RdeM CAPITULO v Corte en Vigas Flexionadas

UTN FRC Cátedra: Estática y resistencia de materiales

Corte en vigas flexionadas

CAPITULO V CORTE EN VIGAS FLEXIONADAS  5.1. Introducción. Introducción. El esfuerzo de corte actuante sobre una viga solicitada a flexión, es la resultante de todas las fuerzas proyectada tangente a una sección considerada, o sea en dirección perpendicular al eje de la viga. En corte puro actúan solamente tensiones tangenciales producidas por fuerzas cortantes, siendo las tensiones normales nulas. En las vigas flexionadas generalmente estas fuerzas cortantes T van acompañadas de momentos flectores, en estos casos se denominan corte simple. En adelante siempre consideraremos que las deformaciones de las secciones se encuentran dentro del rango elástico.  5.2. Tensiones cortantes en sección sección rectangular. rectangular. Consideremos un tramo elemental de una barra de sección transversal rectangular solicitada a flexión simple entre dos secciones simétricas s 1 y s 2, donde el esfuerzo de corte es constante y coincidente con el eje de solicitación y (Fig. 5.1a). y (+)

F1

y (+)

T

1

M

2

M dM   .

s1

x

F 2

dA y

x

c

F 1

  )  +   z (  x ( +  + )   

z (+)

s2 dx

T

a)

dx

b

b)

c)

d  x 

b

d)

Fig. 5.1 De las condiciones de equilibrio de momento entre las dos secciones, particularizado para el sistema de ejes de coordenadas adoptado, resulta: dMz = Ty.dx

(5.1)

La tensión longitudinal por flexión en ambas secciones (Fig. 5.1b), valdrá:

σ1 =

M z .y Iz

Por Nolberto Lanari, profesor UTN

σ2 =

M z + dM z Iz

y

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(5.2)

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Si sobre la sección transversal consideramos un elemento de área (rayada) a una distancia y del eje neutro, identificando un dA en dicha área (Fig. 5.1c), la resultante de las fuerzas normales sobre las secciones 1 y 2 del elemento tomando en cuenta la (5.2), serán:

∫

∫

A

A

F1 = σ1.dA =

∫

∫

A

A

F2 = σ 2 .dA =

Mz Iz

y.dA

M z + dM z Iz

y.dA =

∫ A

Mz Iz

y.dA +

∫ A

dM z Iz

y.dA

Como F2 ˃ F1 y de sentido contrario, de la suma de ambas resulta una fuerza diferencial:

∫

dF =

dM z Iz

A

y.dA

Considerando el momento flector constante en el largo dx, por (5.1) obtenemos: Ty dx

dF =

Iz

∫ y.dA A

La integral de esta expresión es el momento estático S n  del área (rayada) respecto al eje neutro, o sea del área de la sección que se encuentra por arriba de la fibra transversal a una distancia y del eje neutro. Entonces la expresión anterior, queda: Ty .dx.Sn

dF =

Iz

Esta fuerza cortante denominada fuerza rasante, se distribuye sobre la cara inferior del elemento de área b.dx (se representa separado para mejor interpretación), generando tensiones tangenciales horizontales (Fig. 5.1d). Admitiendo una distribución uniforme de estas tensiones sobre el ancho b de la sección, tenemos: Ty .dx.Sn Iz

= τ.b.dx

de donde

τ=

Ty .Sn

(5.3)

b.I z

Fórmula denominada del cortante o de Jourawski (transliterado ruso, Dimitrii Ivanovich Zhurayskii, ingeniero ruso 1821-1891). Esta formula nos permite calcular la magnitud de las tensiones tangenciales que aparecen en una sección longitudinal horizontal de la barra y que será igual por reciprocidad a las tensiones tangenciales actuando en la sección transversal, o sea τ = τxy = τyx. El estudio de las tensiones tangenciales por la teoría de la elasticidad muestra en este caso que no es constante a lo ancho del eje neutro, sino que es máxima en los puntos Por Nolberto Lanari, profesor UTN

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extremos, no obstante la aproximación es suficiente siempre que la viga sea más alta que ancha. El flujo de corte resulta:

τx .b =

Ty .Sn Iz

=R

o

dF dx

=

Ty .Sn Iz

=R

(5.4)

Esta fuerza R se denomina fuerza rasante, se distribuye sobre el ancho b de la sección y se mide en unidad de fuerza sobre unidad de longitud. Si el momento flector en ambas secciones es el mismo, estamos en presencia de flexión pura, no habrá esfuerzos cortantes y la fuerza rasante es nula. El elemento se encuentra en equilibrio por las tensiones normales producidas por flexión. El momento estático S n de la expresión (5.3) disminuye hasta hacerse cero a medida que crece el valor de y acercándose al borde superior de la sección, lo mismo ocurre para el borde inferior, Sn  aumenta a medida que disminuye y, hasta hacerse máximo para y = 0, o sea respecto al eje neutro de la sección. h

  .

n

n

h

  .

P

h h

La importancia de los esfuerzos rasantes se pone en evidencia con dos vigas iguales de sección rectangular, apoyada una sobre otra y sustentadas en los extremos, lubricando la interfase n-n y cargando el conjunto con fuerzas transversales cualesquiera (Fig. 5.2). Si no hay rozamiento entre las vigas, ambas flexionarán independientemente una de otra y las fibras inferiores de la viga superior que estarán traccionadas deslizarán sobre las fibras superiores de la viga inferior que estarán comprimidas. Se comportaran como dos vigas independientes y el módulo resistente a flexión del conjunto, vale:

P

2h

   .

Fig. 5.2 W=

b.h

2

6

+

b.h 6

2

=

b.h

2

3

Si en cambio ambas vigas forman una sola pieza de sección b x 2h, unidas a través de cola, chavetas o pernos que impidan el desplazamiento en la interfase, o sea que se comportara como un conjunto monolítico, el modulo resistente será: W=

b(2h) 6

2

=

2b.h

2

3

O sea mayor que las dos vigas apoyadas entre si que flexionan en forma independiente una de otra, en nuestro caso el doble.

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Los elementos de unión que se impida el desplazamiento en la interfase, deberán soportar las tensiones rasantes R que se generaran por el esfuerzo cortante T. En resumen, para la sección rectangular, resulta: b  h2

 −y  Sn = ∫ y.dA =  2 4  A 2

2 τ= = − y   b.I b.h 3  4 

T.Sn

6T  h 2

Smáx =

b.h

2

I=

8

b.h

3

y (+)

12

xy z (+)

τmáx =

max

x (+)

3 T 2 b.h

El diagrama de tensiones es una parábola cuadrática que se hace máximo cuando y = 0 y nulo cuando y = h/2. Convención de signo . Según la cara que analicemos, el esfuerzo de corte tiene un sentido u otro (acción y reacción). Para diferenciarlas, consideramos positivas las tensiones de corte que actúan sobre una cara cuyo eje normal tiene sentido positivo, y el sentido de τ  es positivo respecto a la dirección positiva de su eje. En nuestro caso τxy actúa en la cara cuyo eje normal es (+ x) y el sentido de τ  es en sentido (- y) por ser reactivo, o sea la acción de la parte derecha de la viga sobre la sección.  5.3. Tensiones cortantes en otros tipos de secciones. Las tensiones tangenciales exactas por corte en muchos tipos de secciones macizas deben determinarse por la teoría matemática de la elasticidad, no obstante las fórmulas para algunas secciones que presentaremos a continuación son suficientemente aproximadas a los fines prácticos. Para secciones de pared delgada que veremos mas adelante, la formula para determinar las tensiones de corte vista en el punto anterior dan resultados muy precisos.  5.3.1. Sección maciza con un solo eje de simetría. Consideremos una sección cualquiera con un eje de simetría vertical, según el cual actúa un esfuerzo cortante T y. La tensión de corte en un punto cualquiera sobre una fibra genérica m-n paralela al eje neutro y a una distancia y del mismo, en general es oblicua y tiene dos componentes, τxy y τxz  (Fig. 5.3). Para determinar τxy  es valida la expresión (5.3), o sea Ty .Sn τxy = τ yx = . La tensión τxy varía con la relación S n /bz, resultando máxima sobre el eje b z .Iz neutro, salvo ensanchamiento brusco de la sección cerca de dicho eje.

τxy  es tangente al contorno de la sección, por lo tanto las rectas de acción de dos vectores tangentes actuando sobre el mismo eje m-n, se interceptaran sobre el eje de simetría en un punto A. Supongamos que un vector tensión τ actuando en a se dirije también hacia A, de la figura obtenemos:

τxz = τ xy tgϕ

τ = τ2xy + τ 2xz =

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τ xy cos ϕ

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En particular, la tensión tangencial máxima ocurre en el contorno de la sección y vale:

A

xy

1

τ1 =

1

a xz . b z c Ty

m

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n

y

z (+)

τxy cos ϕ1

 

(5.5)

Nota:  Si la sección tiene uno o dos ejes de simetría y el esfuerzo de corte tiene una dirección cualquiera, se descompone T en sus dos componentes ortogonales T z y Ty sobre ambos ejes, que son los ejes principales de inercia de la sección, entonces la tensión cortante en un punto de la sección se obtiene superponiendo vectorialmente las tensiones producidas por ambas componentes.

Fig. 5.3  5.3.2. Sección circular maciza. En esta sección se acepta que el esfuerzo cortante se distribuye en forma uniforme sobre el eje perpendicular a la acción cortante y siempre tangente al contorno del circulo, por el mismo razonamiento que se hizo para torsión, no podría haber otra componente porque la superficie esta libre de esfuerzos. La tensión en el contorno la determinamos por la formula indicada abajo, al igual que la máxima sobre el eje central: Smáx =

τxy =

2 3

r

3

4 T 2 3 π.r

τmáx =

I=

π.r 4 4

2

cos ϕ1

τ1 =

4 T 2 3 π.r

cos ϕ1 =

4 T 2 3 π.r

y 1−   r

2

4 T

(5.6)

2 3 π.r

 5.3.3. Sección triangular maciza con un eje de simetría. Siendo y eje de simetría, este caso es interesante presentar dado que la tensión tangencial máxima no ocurre sobre el eje neutro. Si analizamos una sección de ancho b z, de igual manera 3 que los casos anteriores, como I z = b.h  /36, obtenemos: y (+)

12Ty  2

b

 τxy = h + y−y  3  b.h  9 3  2

h

2

Derivando respecto a y e igualando a cero, obtenemos que las mayores tensiones tangenciales se producen sobre un eje a una distancia del eje neutro y = h/6, son tangente al borde y valen:

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h  .

m

c Ty bz .

z (+) n

y

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τmáx =

3T

 b  1+    2h 

τ1 = τ xy

b.h

Corte en vigas flexionadas 2

(5.7)

 5.3.4. Sección circular hueca. Admitiendo nuevamente que el esfuerzo cortante se distribuye en forma uniforme sobre el eje perpendicular a la acción cortante, en este caso si el espesor es pequeño, mayor será la exactitud. Siendo r2  radio exterior y r 1  radio interior, utilizando la formula del cortante obtenemos la tensión tangencial máxima sobre el eje central:

τmáx

3 3   r2 − r1 = 2 2  2 2  3 π(r2 − r1 )  (r2 − r1 )(r2 + r1 ) 

4

T

(5.8)

 5.3.5. Secciones de forma cualquiera. Para determinar las tensiones tangenciales en barras de sección cualquiera se requiere de un análisis particular. Si la sección de la barra no tiene un eje de simetría coincidente con el plano de solicitación, aparecerán tensiones tangenciales que originan un momento torsor en la sección, fenómeno secundario que hará que la sección gire sobre su eje. Para compensar ésta situación es necesario desplazar el plano de solicitación del centroide la sección para anular el fenómeno secundario de torsión, así la sección se deformará por efecto del sistema de cargas alrededor del eje neutro sin torsionar, o sea paralelo al plano de solicitación. El punto por donde debe pasar el esfuerzo cortante para anular el efecto secundario de torsión se denomina centro de corte ó centro de torsión.  5.3.6. Secciones abiertas de pared delgada. Sección en U. Consideremos una sección abierta de paredes delgadas en forma de U, solicitada al esfuerzo cortante Ty  actuando en el centroide de la sección (Fig. 5.4a). Determinamos la tensión de corte en la línea m-n del ala inferior a una distancia z del borde libre. El momento estático a considerar será el del área sombreada e.z, y vale: Sn(ala) = a.z

h 2

Smáx(ala) = a.b

h 2 (5.9)

τala =

Ty .z.h 2I z

τ1 =

Ty .b.h 2I z

Las tensiones de corte en el ala superior serán las mismas pero de sentido contrario, debido a que sus reciprocas normales que la producen son de diferente signo. Como vemos varían linealmente desde el borde libre donde z = 0 hasta z = b (Fig. 5.4c). Nótese que se tomo las dimensiones b y h entre líneas centrales de las secciones, este procedimiento aproximado simplifica los cálculos y da resultados satisfactorios para secciones abiertas de pared delgada.

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Determinamos ahora las tensiones de corte sobre la línea s-t del alma. El momento estático a considerar será el del área rayada respecto al eje z (Fig. 5.4b), y las tensiones se calculan ahora para el espesor del alma, así:

 h e  h2 h  h 1 − y2  Sn = a.b + e  − y  + y  = a.b +  2 2 2 4 2  2 2  h

Smáx =

h

h  a.b + e  2 4 (5.10)

τalma =

Ty .Sn (alma )

τ2 =

e.I z

Ty .Sn (ala )

τmax(alma) =

e.I z

Ty .Smax(alma ) e.I z

Los diagramas de las tensiones cortantes se representan en la figura 5.4c. El diagrama de tensiones para el alma es similar que para una sección rectangular. Como la fuerza cortante T y  la absorbe totalmente el alma dado que las alas no tienen componente vertical porque las tensiones cortantes son horizontales, podemos aplicar el criterio de la tensión media, τm = Ty /e.h, resultando valores suficientemente aproximados. y (+) 2

1

e. h c

  .

Ty

c

z

a  .

h  .

max

c

Ty

y n

b

z (+)

s

t a  .

m

b

2 1

a)

b)

c)

Fig. 5.4 Centro de torsión. Así como el centro de torsión en secciones con dos ejes de simetría coincide con el centroide, o sea la sección flexiona sin torsionarse, en secciones con un solo eje de simetría el centro de torsión se encuentra sobre dicho eje, en nuestro caso se ubicara sobre el eje neutro z. Determinaremos la posición que debe tener el plano de solicitación con el fin que la viga flexiones paralelamente al eje z sin torsionarse.

La fuerza cortante H actuando sobre las alas, resulta de multiplicar el área del diagrama de tensión triangular por el espesor del ala (Fig. 5.4c), y por la última de las expresiones (5.9), obtenemos: H=

τ1.b 2

a=

Ty .a.h.b 2 4I z

La resultante de las tensiones de corte actuando sobre toda la sección debe ser igual a T y. Trazando el polígono de fuerzas se observa que R se encuentra a la derecha del alma e intercepta en forma perpendicular al eje z, por lo tanto por el efecto torsional la sección rotará en sentido horario (Fig. 5.5a y 5.5b).

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El momento de las tres fuerzas respecto a cualquier punto de la sección transversal debe ser igual al momento de la resultante respecto al mismo punto. Si tomando como centro de momento el mismo centro de torsión, ubicado a la izquierda del alma para anular el efecto torsional, es decir que hacemos pasar la resultante por el centro de torsión o, el momento de la resultante es nulo e igual al momento de las componentes, así: M R (o) = Ty .t − H.h = 0 Despejando t y sustituyendo H por su valor, obtenemos: 2

t=

a.h .b

2

(5.11)

4I z

Vemos que el centro de torsión se encuentra a una distancia t del eje del alma y que depende exclusivamente de las características geométricas de la sección (Fig. 5.5c). H

H Ty

t c

o

h  .

t c

o

Ty

Ty

R=T y

H

H

a)

h  .

b

b)

c)

Fig. 5.5 Sección de una parte de corona circular. Consideremos una parte de una corona circular de espesor constante que presenta un eje de simetría horizontal y un esfuerzo cortante actuando perpendicular a este y en el centroide de la sección (Fig. 5.6a). y

y

y (+)

y (+)

e r1

ds

r  m

.  

d

Ty

.  

.  

z (+)

O . zc

c

O

. 

  .

Ty

r2

a)

b)

Fig. 5.6

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dF m n c

.  m n z (+)

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El momento de inercia de toda la sección y el momento estático de un área cualquiera respecto al eje neutro, son: θ

∫ sen α.dα

3 m

2

I z = e.r

3 I z = e.rm (θ − senθ.cos θ)

−θ

(5.12) θ

2 Sn = e.rm

∫ senα.dα

Sn = e.rm2 (cos θm,n − cos θ)

θm,n

Aplicando la formula del cortante, la tensión sobre una línea m-n orientada tangente al borde de la sección (Fig. 5.6b), resulta:

τm,,n =

Ty (cos θm, n − cos θ)

(5.13)

e.rm (θ − senθ.cos θ)

La tensión cortante máxima sobre el eje de simetría z la obtenemos haciendo θm,n = 0, y es:

τmax(z) =

Ty

(1 − cos θ)

(5.14)

e.rm (θ − senθ.cos θ)

El ángulo θ se mide en radianes. Centro de torsión. Determinaremos la posición del centro de torsión respecto al centroide de la sección. La posición del centroide z c respecto al eje y* que pasa por centro O del círculo, es:

zc =

Sy • A θ

dA = e.rm .dα

A = e.rm

∫ dα = 2.e.r .θ m

−θ

z c = rm

senθ

θ

θ

Sy • =

∫ z.dA = e.r ∫ cos α.dα = 2e.r −θ

 

θ

2 m

2 m

.senθ

−θ

(5.15)

La resultante de las fuerzas cortantes actuando en la sección es igual a T y  y se ubica a la izquierda de sus componentes, a una distancia z R del centro del círculo y torsiona a la sección en sentido antihorario (polígono de fuerzas, fig. 5.7a). Estas fuerzas cortantes actuando en la sección producen además momento respecto al centro O del círculo. Reduciendo el sistema de fuerzas al centroide de la sección, o sea trasladando la resultante al punto c (Fig. 5.7b), obtenemos: M c = M O − Ty (zc − z R ) Siendo z R = rm. cos θ  

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(5.16)

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y

y (+) y (+)

y

MO O

rm

Ty c

z.c

z (+)

o

t

Ty

.  

z (+)

O

c

zR .

rm

z (+)

O

c   .

R=Ty

Mc

O

Ty c

a)

. t

o

z (+) o

b)

c)

Fig. 5.7 Si a su vez reducimos el sistema de fuerzas anterior al centro de torsión O que se encontrará a la derecha de la sección por donde deberá pasar el plano de solicitación para que el momento torsional se anule (Fig. 5.7b y 5.7c), resulta: M R (o) = M c − Ty .t = 0 M O − Ty (zc − z R + t) = 0  

(5.17)

El momento respecto al centro del círculo producido por las tensiones de corte sobre el elemento dA, es: 2 dM O = rm .dF = rm .τ m,n .e.dα

El momento producido por las tensiones cortantes sobre toda la sección, lo obtenemos aplicando la formula del cortante, haciendo para el momento estático (expresión 5.12), θm,n = α, y 0 ≤ α ≤ θ, resultando: M O = 2rm .Ty

(senθ − θ.cos θ) (θ − senθ.cos θ)

Sustituyendo esta última expresión, z c y zR en la (5.17) y operando, obtenemos:

 (senθ − θ.cos θ) senθ

t = rm  2

 (θ − senθ.cos θ)

−

θ



− cos θ   



(5.18)

En el caso particular que la sección sea una corona semicircular, es decir que θ = 90º = π /2, sustituyendo en la anterior, obtenemos: t  =

2rm

(5.19)

π

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Sección circular hueca.

y (+) B

La tensiones de corte sobre una línea m-n de una sección circular hueca de espesor pequeño solicitada por una fuerza cortante actuando en el centroide (Fig. 5.8), podrá obtenerse utilizando las expresiones (5.13), haciendo en I z θ = π y en Sn θ = π /2, resulta: 3 I z = π.e.rm

e r1

1

1

Ty .  

y

m O

A

n

.  m n z (+)

A   .

r2

Sn = 2e.rm2 .cos θm,n

B

Fig. 5.8

τm,n =

Ty

π.e.rm

cos θ m,n  

(5.20)

La tensión de corte máxima ocurrirá sobre el eje neutro z, haciendo θm,n= 0, obtenemos: Ty

τmax(z) =

π.e.rm

 

(5.21)

Determinado por otra forma la tensión de corte máxima para la corona circular, siendo Iz =

π(r24 − r14 ) 4

τmax =

 y Sn =

2 3

3 3 (r2 − r1 ) , resulta:

4Ty (r23 − r13 ) 4 4 3π.e (r2 − r1 )

Comparando numéricamente ambas expresiones resulta diferencias menores al 1 % para una relación e/D ˂ 0,1. Sección simétrica de curvatura cualquiera. Este tipo de secciones es casi imposible abordarlo con una formula especifica. Es más práctico plantear directamente en forma de integración numérica dividiendo la sección en partes tal que se obtenga la aproximación que se desee cuanto más divisiones se realice. Para una sección de espesor delgado como la de l a figura 5.9, planteamos: Iz =

∫ y .e.ds 2

AT

τm,n =

t=

Ty e

Ty

∫

∫

∫

A

A

y (+)

Sn = y.dA = y.e.ds e ds m

y.e.ds

y

Ty

A

e

Iz

c

∫ S .ρ.ds n

A

Fig. 5.9

Iz

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n

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z (+) .t

o

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Siendo Iz, momento de inercia de toda la sección respecto al eje simétrico z. Sn, momento estático del área de longitud ds respecto al eje neutro z, para 0 ≤ y ≤ h/2. Sección doble T. Los esfuerzos cortantes en una viga doble T, ya sea PNI o Perfil de alas anchas (Fig. 5.10a), es más complicado que en una sección rectangular, dado que las tensiones en las alas se producen tanto en la dirección vertical como la horizontal. Las tensiones cortantes en el alma actúan solo en la dirección vertical y son mucho mayores que las de las alas. Para determinarla es valida la formula del cortante. Esta sección podrá resolverse directamente considerando dos perfiles U unidos por el alma, resultando una sección doblemente simétrica. El centro de torsión coincide con el centroide de la sección y no existen efectos torsionales. Los flujos de tensiones son de sentido contrario en ambos lados del ala y en continuidad con el flujo de tensiones cortantes en el alma. Los esfuerzos de corte sobre una línea a una distancia y del eje neutro z se determinan tomando el momento estático de toda el área que esta sobre dicha línea, los filetes de unión entre el alma y las alas pueden despreciarse por ser de poca influencia. Si analizamos las tensiones en la unión entre el alma y las alas, para una misma área (ala) tenemos dos espesores muy diferentes, resultando un cambio brusco del flujo de tensiones. 1

1 2

2

T c

T max

max

a)

c

max

b)

En el alma las tensiones máximas se producen sobre el eje neutro y la minima en el encuentro con el ala. El diagrama de tensiones tangenciales es el indicado en la figura 5.10a. Como el alma resiste la mayor parte del esfuerzo, es de uso corriente calcular la tensión tangencial máxima como una tensión media dividiendo la fuerza cortante por el área del alma, obteniéndose resultados con aproximación del 5 % según las dimensiones del perfil, así:

Fig. 5.10

τm(alma) =

Ty e.h1

 

(5.22)

Sección rectangular hueca. Esta sección es muy utilizada en estructuras de edificios y construcciones metálicas diversas, se denominan tubos estructurales o vigas cajón y generalmente son de espesor constante. La tensión cortante máxima se encuentra sobre el eje neutro y puede determinarse directamente por la formula del cortante. En los encuentros de las paredes del tubo se produce una situación similar a los perfiles doble T, puede considerarse entonces como dos secciones U unidas por las alas, en estas, el flujo de tensiones a cada lado del eje donde actúa T son de sentido contrario y en continuidad con el sentido de las tensiones cortantes en las almas (Fig. 5.10b). Por Nolberto Lanari, profesor UTN

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Sección en ángulo. Esta sección esta compuesta por dos rectángulos iguales dispuestos a 90 º, el esfuerzo de corte se aplica en el centroide y es perpendicular al eje de simetría z (es también uno de los ejes principales de inercia de la sección). La tensión cortante máxima podemos determinarla por la formula del cortante. El momento estático del área e.s lo obtenemos multiplicando esta por la b−s/ 2 distancia al eje neutro que es  (Fig. 5.11a), quedando: 2 Iz ≈

e.b3 3

 b −s / 2  Sn = e.s   2  

Smax =

e.b

2

τmax ≈

2 2

3T e.b.2 2

 

(5.23)

Las fuerza cortante en cada lado del perfil es igual al área del diagrama parabólico de tensiones por el espesor e, la resultante es una fuerza vertical igual a T, dado que las proyecciones sobre el eje z se anulan entre si. Como la resultante de ambas fuerzas cortantes que actúan en cada lado pasa por el punto de concurrencia sobre el eje neutro, se ve que el centro de torsión esta ubicado en la intersección de la línea media de los lados de la sección (Fig. 5.11b y (5.11c).

    b

m n

e s

T

T max

c

c

T o

c

b  

e   a)

b)

c)

Fig. 5.11 Secciones constituidas por rectángulos delgados que se cruzan. Considerando siempre espesores pequeños, las secciones indicadas en las figura 5.12 tienen los centros de torsión ubicados en la intersección de la línea media de los lados cualquiera sea la posición de la sección. La determinación del τmax se efectúa con igual procedimiento que para la sección en ángulo. Analizamos en particular la sección z. Esta sección no tiene ejes de simetría o confluencia única de los lados que forman la sección, pero tiene una particularidad, toda recta que pase por el centroide c dividirá a la sección en dos áreas iguales. Si posicionamos la sección de tal manera que el plano de solicitación s-s coincide con y, que es uno de los ejes principales de inercia de la sección, vemos que puede obtenerse dos componentes según la dirección de las alas y el alma, que producirán tensiones y fuerzas cortantes como se indica. La resultante de las tres fuerzas que actúan sobre la sección transversal, F 1  en las alas y F 2 en el alma, será igual a T en magnitud y sentido y pasara por el centroide de la sección, por lo tanto el centro de torsión se encuentra en c y no habrá efectos torsionales en la sección.

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y (+)

y (+)

F1

z (+)

c

F2

2F1 T

c

z (+)

F2

F1

Fig. 5.12 Secciones macizas disimétricas. La determinación del centro de corte en secciones macizas que no tienen ejes de simetría es un problema muy complejo de la teoría de la elasticidad y solamente resuelto para algunas secciones simples, no abordable en este escrito.  5.4. Trabajo de deformación en sección rectangular. Debido a la acción cortante T, la capa transversal de altura dy a una distancia y del eje neutro sufren un deslizamiento unitario vertical dy = γ.dx (Fig. 5.13). Dada la validez de la proporcionalidad elástica donde τ = G.γ, resulta que dy = (τ /G)dx. La resultante diferencial de las tensiones de corte sobre dicha capa vale dF = τ.b.dy. El trabajo de deformación elemental almacenado en la capa de altura dy de largo dx, vale:

y (+)

T

      y         d

M

M dM

dy  .

x (+)

y

  .

s1

c

h z (+)   .

dU =

s2 T+dT

dx

b

1 2

F.dy

d(dU) =

1 2

Fig. 5.13 d(dU) =

1 2

τ.b.dy

τ G

dx =

τ2 2G

b.dy.dx

Sustituyendo τ por la formula del cortante

dU =

b.dx 2G

2

2

2

2 z

T Sn

∫ b .I

T.Sn b.I z

 e integrando, resulta:

dy

Sustituyendo Sn y Iz y efectuando la integración, obtenemos:

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dF.dy

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2

dU =

T .dx

(5.24)

2G.A• +h / 2

b Siendo A • =

∫

I 2z

−h / 2 +h / 2

∫

, tiene la dimensión de un área y se denomina sección reducida.

2

Sn .dy

0

Efectuando la integración para las variables que correspondan, obtenemos, A • =

5 6

b.h

Si consideramos un deslizamiento medio γm, igualando el trabajo externo y el interno, obtenemos: T.γ m .dx 2

γm =

=

T 2 .dx 2G.A

T

•

o

•

G.A

Denominándose χ =

γm =

T G.A•

=

γm = χ 1 A

•

=

6 5

T

(5.25)

G.A

 factor de forma de la sección, quedando en resumen:

dy

(5.26)

dx

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Problema 5.1. En la viga de la figura del problema 3.2 del capitulo III, de 2x4 cm de sección, determinar:

a) La tensión tangencial en una sección a 15 cm. del apoyo A. b) La tensión tangencial en la misma sección sobre un eje distante 1 cm del borde superior.

L   60  − x  = 5  − 15  = 75 kg 2   2 

y (+)

Ty = q 

q = 0,5 t / m

Iz =

b.h 3 12

2x4 3

=

12

x (+) A

= 10, 67 cm4

B 60 cm

a)

Sn =

b.h 2 8

τmáx =

2x4 2

=

8

Ty .Sn b.I z

=

= 4 cm3

75x4 2x10, 67

= 14,06 kg  ⁄  cm2 ˂ τadm ≈ 10 % de σadm

b) 3 Sn,1 = 2x1x1,5 = 3 cm

τ1 =

Ty .Sn ,1 b.I z

=

75x3 2x10, 67

= 10,54 kg  ⁄  cm2

Problema 5.2. Calcular la tensión tangencial máxima en el ala y en el alma en la viga del problema 5.1, si 4 está compuesta por un PNI 16 (I z = 935 cm ) y la longitud entre apoyos es de 3 m. Se pide:

a) la tensión tangencial máxima en el ala. a) la tensión tangencial en la unión entre el alma y el ala. a) la tensión tangencial máxima en el alma. c) dibujar los diagramas correspondientes. 2

τmax(ala) = 21,16 kg  ⁄  cm 2 τ(ala-alma) = 63,81 kg  ⁄  cm 2 τmax(alma) = 83,71 kg  ⁄  cm Problema 5.3. Una viga de sección circular hueca de D = 10 cm y d = 8 cm, esta solicitada a un esfuerzo de corte de 10 t. Determine:

a)la tensión tangencial sobre una línea a 2,5 cm del eje neutro. b)la tensión tangencial máxima. 2

τm-n = 581,06 kg  ⁄  cm 2 τmax =701,66 kg  ⁄  cm Por Nolberto Lanari, profesor UTN

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Problema 5.4. 4

Determinar el centro de torsión del PNU 12 de la figura, siendo I z = 367 cm . 0,9 cm

t = 2,0 cm.

        7   ,         0

        5   ,         5

12

Problema 5.5. El máximo esfuerzo cortante en la viga de madera de 12x18 cm de sección (problema 3.5 del capitulo III), reforzada con una planchuela de acero de 5 x 0,8 cm es de 500 kg. Si la 2 planchuela se fija con pernos de acero de 10 mm de diámetro con un τadm = 700 kg  ⁄  cm  y la 4 sección equivalente tiene un I z = 531,53 cm . Determinar:

a) la separación máxima λ entre pernos. y (+) 12 18 c

z (+)

x (+) 7,16  . .

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λ  = 16,2 cm