March 14, 2017 | Author: Vesna Matkovic | Category: N/A
Udžbenik i zbirka zadataka iz matematike za 8. razred
2. svezak
Matematika 8
petica+
D. Glasnović Gracin • Z. Ćurković • L. Kralj • S. Banić • M. Stepić
SysPrint
SysPrint
drugi svezak
D. Glasnović Gracin, L. Kralj, Z. Ćurković, M. Stepić, S. Banić
Petica+ 8 udžbenik i zbirka zadataka za 8. razred osnovne škole DRUGI SVEZAK
1. izdanje Zagreb, 2010.
Autorice: Dubravka Glasnović Gracin, Lidija Kralj, Zlata Ćurković, Minja Stepić, Sonja Banić Urednik: Vinkoslav Galešev Recenzija: Ines Kniewald, Maja Ljubičić Lektura: Jasmina Han Ilustracija naslovnice: Ivan Marušić Ostale ilustracije: Ivan Marušić, Antonija Jelić, Helena Povijač
Priprema za tisak: Ivana Biluš, Robert Braun, Antonija Jelić, Josip Marić, Tomislav Stanojević Tisak: Gradska tiskara Osijek Za nakladnika: Robert Šipek Nakladnik: SysPrint d.o.o. XIV. trokut 8a, p.p. 84, 10020 Zagreb, Hrvatska tel: (01) 655 8740, fax: (01) 655 8741 e-mail:
[email protected], web: www.sysprint.hr/udzbenici
© SysPrint d.o.o, Zagreb, 2010. Nijedan dio ove knjige ili CD-a ne smije se umnožavati, fotokopirati niti na bilo koji način reproducirati bez nakladnikova pismenog dopuštenja
Sadržaj 4. Preslikavanja ravnine.......................................................................................... 6 4.0. Uvod...............................................................................................6 4.1. Osna simetrija................................................................................8 4.2. Centralna simetrija.......................................................................20 4.3. Rotacija.......................................................................................32 4.4. Vektori.........................................................................................41 4.5. Zbrajanje i oduzimanje vektora....................................................49 4.6. Translacija . .................................................................................62 4.7. Ponavljanje...................................................................................71 5. Pravci i ravnine u prostoru.............................................................................76 5.1. Točke, pravci i ravnine u prostoru................................................77 5.2. Međusobni položaj dvaju pravaca u prostoru................................84 5.3. Međusobni položaj pravaca i ravnine u prostoru...........................87 5.4. Međusobni položaj dviju ravnina u prostoru.................................93 5.5. Okomitost pravca i ravnine. Okomitost dviju ravnina....................97 5.6. Ortogonalna projekcija točaka na ravninu...................................101 5.7. Udaljenost točke od ravnine.......................................................107 5.8. Ponavljanje.................................................................................113 6. Geometrijska tijela.......................................................................................... 116 6.1. Vrste geometrijskih tijela............................................................118 6.2. Osnovno o prizmama.................................................................121 6.3. Kvadar........................................................................................126 6.4. Kocka.........................................................................................132 6.5. Trostrana prizma........................................................................139 6.6. Ostale prizme.............................................................................142 6.7. Obujam kvadra...........................................................................147 6.8. Obujam prizme...........................................................................153 6.9. Osnovno o piramidama...............................................................160 6.10. Četverostrana piramida............................................................165 6.11. Trostrana piramida...................................................................175 6.12. Šesterostrana piramida.............................................................182 6.13. Valjak.......................................................................................187 6.14. Stožac......................................................................................193 6.15. Kugla........................................................................................200 6.16. Ponavljanje...............................................................................205 7. Završno ponavljanje ..................................................................................... 208 Primjerak inicijalnog testa u 1. razredu srednje škole........................227 Rješenja nekih zadataka....................................................................228 Kazalo...............................................................................................244
Upoznajte likove s kojima ćete se družiti kroz gradivo udžbenika Petica!
Uèiteljica Luka
Maja
Matija
Beni
Luka je odličan učenik. Iako se kod njega nikad ne zna hoće li imati 4 ili 5, matematika mu je jedan od najdražih predmeta. Kada mu nešto nije jasno, ne srami se pitati učiteljicu da mu pojasni gradivo.
Matija voli playstation i svoj skateboard mnogo više od matematike. No, pravi je stručnjak za računala svih vrsta, pa tako i za džepna. Otkad je učiteljica dozvolila njihovo korištenje, pomaže cijelom razredu u svladavanju gradiva.
Beni je Lukin pas. Voli dobro jelo, voli spavati, ali voli i prisluškivati kada Luka kod kuće priča o školi. Beni naročito voli matematiku i voli na šaljiv način komentirati matematičke probleme.
Maja ima sve petice i najbolja je učenica u razredu. Voli matematiku i redovito piše zadaće. Često se prepire s Lukom i Matijom oko točnih rješenja zadataka. Naravno, smatra da je baš ona uvijek u pravu!
Učiteljica na zanimljiv način približava učenicima i najteže gradivo iz matematike. Uvijek je tu ako treba nešto dodatno objasniti i strpljivo odgovara na njihova brojna pitanja.
Dragi čitatelji, pred vama je drugi svezak udžbenika sa zbirkom zadataka iz matematike za 8. razred osnovne škole, koji je u potpunosti usklađen sa stručnim i metodičkim zahtjevima Hrvatskog nacionalnog obrazovnog standarda (HNOS). Uz objedinjeni udžbenik sa zbirkom zadataka i rješenjima, u udžbenički komplet ubraja se još i CD za učenike koji će vam približiti gradivo matematike i učiniti ga zanimljivim, pa i zabavnim. U prvom svesku učili ste o kvadriranju brojeva, korjenovanju te Pitagorinom poučku i njogovoj primjeni u geometriji. U ovom drugom svesku gradivo započinjemo sa geometrijskim dijelom gdje ćete se upoznati s geometrijom ravnine i prostora: uče se preslikavanja u ravnini te skupovi točaka u prostoru (prvo točke i pravci, a zatim i tijela). Na kraju udžbenika nalazi se izbor formula i zadataka iz cjelokupnog gradiva matematike osnovne škole. Zadacima na kraju prilažemo i ogledni primjerak inicijalnog testa u prvom razredu srednje škole. Svaki naslov u udžbeniku započinje problemom koji će vas kroz zanimljiv zadatak iz života uvesti u novo gradivo. Zatim slijede riješeni primjeri, putem kojih ćete stjecati nova znanja iz matematike. Znanje ćete utvrditi pomoću raznovrsnih zadataka koji se nalaze iza primjera. Zadaci su složeni po težini od lakših prema težima. Ako neku vrstu zadataka poželite još više uvježbati, na CD-u ćete naći dodatne i dopunske zadatke te druge obrazovne materijale i igre vezane uz matematiku. Kroz gradivo matematike voditi će vas simpatični likovi: Luka, Maja, Matija, učiteljica, Beni i ostali, koji će se, baš kao i vi, uhvatiti u koštac s gradivom matematike. Svojim razgovorima i savjetima olakšat će vam svladavanje početnih teškoća. Kako bi vaš uspjeh iz matematike bio još bolji, na kraju svake nastavne teme nalaze se pitanja za ponavljanje i uvježbavanje gradiva. U udžbeniku su posebno označeni dijelovi gradiva koji nisu dio obaveznog programa, ali su namijenjeni učenicima koji žele znati više. Osim toga, i drugi dijelovi građe istaknuti su posebnim okvirima. U tablici su dani njihovi opisi i značenja: Oblik
Značenje
Zadatak 4.
Lakši zadatak (redni broj zadatka obojan svijetlo-plavom bojom)
Zadatak 5.
Složeniji zadatak i zadaci za nadarene (redni broj zadatka obojan narančastom bojom) Važan dio gradiva kojeg treba dobro naučiti Dio teksta za lakše praćenje i pamćenje gradiva Formula
Gradivo za radoznalce
Ako se u nekom zadatku traži crtanje ili upisivanje rješenja u udžbenik, riješite zadatak u svojoj bilježnici. Udžbenik trebaju koristiti i generacije iza vas. Puno uspjeha u radu žele vam autorice udžbenika!
4. Preslikavanja ravnine 4. Uvod Priroda pruža mnogobrojne primjere simetrije, rotacije, translacije. Važni pojmovi preslikavanje ravnine osna simetrija ili zrcaljenje os simetrije osnosimetrični likovi centralna simetrija i centralnosimetrični likovi rotacija središte rotacije i kut rotacije vektor jednaki vektori translacija
Funkcije ili preslikavanja Već smo se susreli s pojmom funkcije ili preslikavanja. U sedmom razredu bile su to funkcije proporcionalnosti, funkcije obrnute proporcionalnosti i linearna funkcija. U osmom razredu upoznali smo funkciju kvadriranja i funkciju korjenovanja.
A što j e to preslikavanj e ravnine?
6
To j e postupak u koj em j ednoj toèki ravnine pridružuj emo drugu toèku. Na primj er, toèki A pridružuj em toèku A 1.
P r e s l i k a v a n j a Tr ar vonki un te Svim ovim funkcijama zajedničko je to što brojevima pridružujemo brojeve prema utvrđenim pravilima koja su bila zadana formulom. Linearna funkcija x
–2
f(x) = 2x – 1
–5
–1 –3
0 –1
1 1
Kvadratna funkcija 2 3
3 5
4 7
x f(x) =
–2
–1
0
1
2
3
6
4
1
0
1
4
9
36
x2
Funkcije u geometriji ne preslikavaju brojeve, već točke.
D1
D
Sjetimo se osne simetrije koju smo učili u petom razredu. Tu smo točkama ravnine pridruživali točke ravnine (iste te ravnine) prema određenom pravilu. Geometrijske likove možemo premjestiti (“prekopirati”) u ravnini. Da bi pritom likovi zadržali svoju veličinu (primjerice dužina zadržala svoju duljinu) valja slijediti precizne
C1
C
odredbe, tj. pravila. Naredbe koje koristimo u računalnim programima za crtanje
p
(na primjer Paint ili Draw) djeluju po strogim pravilima, poput pravih strojeva, i prenose likove na neko drugo mjesto u ravnini crtnje, okreću ih za neki kut, zrcale lik u odnosu na neki pravac itd. Osim toga, te naredbe možemo koristiti za popločavanje neke površine.
U ovom poglavlju ćeš, primjerice, naučiti: kako nacrtati osnosimetričan lik; kako nacrtati centralnosimetričan lik; kako rotacijom zakrenuti lik oko neke točke za zadani kut; koje dužine su usmjerene dužine; kako nacrtati ornament poput ovoga:
Kratki zadaci za ponavljanje: 1. Nacrtaj dužinu AB i konstruiraj simetralu te dužine. Objasni postupak! 2. Koja svojstva ima simetrala dužine? 3. Nacrtaj neki kut
4. Konstruiraj kut od a) 60°; b) 30°; c) 90°; d) 45°. Objasni postupak! 5. Pročitaj naglas: AB ≅ CD jer je AB = CD .
ABC i konstruiraj simetralu
tog kuta. Objasni postupak!
7
4.1. Osna simetrija
4.1. Osna simetrija Savršenstvo ili simetrija Pogledaj obje slike i usporedi ih. Po čemu se razlikuju? Jednu od njih nazivamo simetrična, a drugu asimetrična slika. Koja je koja?
Da bismo dobili ove likove sa slike služimo se simetrijom u odnosu na odabrane pravce.
U uvodnom zadatku za donju sliku kažemo da je dobivena osnom simetrijom ili zrcaljenjem u odnosu na pravac koji prolazi uspravno sredinom lica. Taj pravac zove se os simetrije. Još u petom razredu naučili smo prepoznati osnosimetrične likove, konstruirati osnosimetrične točke, dužine, trokute. U ovoj temi naučit ćemo da je osna simetrija preslikavanje ravnine.
Primjer 1: Osna simetrija i točka Presavijmo list papira i zamislimo da je crta pregiba os simetrije. Flomasterom obojimo jednu točku i prije nego se osuši boja preklopimo papir. Dobit ćemo sliku obojane točke s druge strane papira u odnosu na os simetrije. Spojimo li obojanu točku s njenom slikom dobit ćemo dužinu kojoj je os simetrije simetrala. Istaknimo u ravnini točku A i pravac p. Zamislimo da je p crta pregiba papira, a točka A se
8
nalazi s jedne strane papira. Gdje će se nalaziti osnosimetrična slika točke A?
Rješenje: Treba pronaći točku A1 takvu da je pravac p simetrala dužine AA1 . Nacrtajmo okomicu o iz točke A na pravac p. Sjecište pravaca p i o nazovimo S. Znamo da simetrala prolazi polovištem zadane dužine, a u našem slučaju točka S će biti polovište. To znači da na pravcu o treba naći točku A1 koja će biti udaljena od S jednako kao što je A udaljena od S, tj. AS = A1S . U šestar uzmemo duljinu AS i nanesemo je iz točke S na pravac o s druge strane. Tako ćemo dobiti točku A1 takvu da je AS = A1S .
Preslikavanja ravnine p
p
o
A
p
o A
A
S
S
A1
Primijenimo sada osnu simetriju na skupove točaka u ravnini.
Neka je zadan pravac p u ravnini. Preslikavanje koje točki A pridružuje točku A1 na gore opisani način nazivamo osnom simetrijom s obzirom na pravac p.
osna simetrija ili zrcaljenje
Pravac p se pritom naziva os simetrije ili os zrcaljenja.
osnosimetrična slika ili zrcalna slika
Kažemo da su točke A i A1 osnosimetrične s obzirom na pravac p.
Primjer 2: Osna simetrija i dužina Nacrtaj dužinu CD i pravac p kao na slici. Što ćeš dobiti ako svaku točku dužine CD preslikaš osnom simetrijom s obzirom na pravac p?
točke postupkom iz prethodnog primjera. Primjećujemo da smo
D
preslikavanjem opet
D1
dobili dužinu. Kako bismo nacrtali osnosimetričnu
D
sliku neke dužine u
C1
C
najmanje koraka? Dovoljno je naći osnosimetrične slike
C
p
krajnjih točaka
p
dužine i spojiti ih.
Rješenje: Znamo da točaka na dužini ima beskonačno mnogo pa je jasno da nećemo moći sve njih preslikati. Uzmimo npr. 10 točaka s dužine CD , povucimo okomicu na pravac p iz svake od njih i nađimo njihove osnosimetrične
9
4.1. Osna simetrija
D1
D
Kažemo da je dužina C1D1 osnosimetrična slika dužine CD s obzirom na pravac p. Mjerenjem se možemo uvjeriti da dužina C1D1 jednake je duljine kao dužina CD . Imaju li dužina i njena osnosimetrična slika uvijek jednake duljine?
C1
C
Pogledajmo ovaj primjer.
p
Primjer 3. Duljine osnosimetričnih dužina
Rješenje:
osnosimetrična slika
Iz točaka B i B1 povucimo okomice na AA1 . Dobili smo pravokutnik BNN1B1 . Kako je pravac
dužine AB s obzirom na pravac p. Dokažimo
p simetrala stranice NN1 tog pravokutnika,
da je AB = A1B1 .
zaključujemo da je
Neka je dužina
A1B1
NS = SN1 . Osim toga
AS = SA1 jer su točke A i A1 osnosimetrične točke. Stoga je i AN = N1A1 .
A
Sada
B
p
AB = A1B1 N B1
S
uočimo
da
su
pravokutni
trokuti
∆ANB i ∆A1N1B1 međusobno sukladni po poučku o sukladnosti trokuta stranica - kut - stranica: AN = N1A1 , N = N1 = 90° i BN = B1N1 . Sto ga su i treće stranice tih trokuta međusobno jednakih duljina, tj. AB = A1B1 .
N1
Osnom simetrijom dužina se preslikava u njoj sukladnu dužinu.
A1
Primjer 4: Osna simetrija i trokut
U prošlom primjeru smo pokazali da je za
Nacrtaj trokut i pravac p koji ga ne siječe. Svaku
dužine potrebno preslikati samo krajnje točke.
točku
Stoga ćemo trokutu osnom simetrijom preslikati
trokuta
preslikaj
osnom
simetrijom
samo njegove vrhove A, B i C.
obzirom na pravac p.
Rješenje:
p
C
Nacrtajmo trokut i pravac p izvan njega: C
B
B
A
10
C1
p B1
A
A1
Preslikavanja ravnine Dobivene
točke
određuju
trokut
∆A1B1C1
sukladnosti trokuta stranica - stranica - stranica.
koji je osnosimetrična slika trokuta ∆ABC s pravcem p kao osi simetrije. Kada bismo trokut ∆A1B1C1 izrezali škarama i prislonili na trokut
Osnom simetrijom trokut se preslikava u
∆ABC u odgovarajućem položaju, oni bi se
njemu sukladan trokut.
potpuno poklapali. Razlog tome smo vidjeli u prethodnom primjeru gdje smo dokazali da su
Na isti način možemo osnu simetriju
osnosimetrične dužine jednakih duljina, pa su
primijeniti na ostale skupove točaka u ravnini.
trokuti ∆ABC i ∆A1B1C1 sukladni prema poučku o
Primjer 5. Osna simetrija i pravac a)
Zadani su pravci p i a tako da je:
a
a) a siječe p; b) a p
A
c) a ⊥ p
B=B1
p
Pravcu a konstruiraj osnosimetričnu sliku s
A1
obzirom na pravac p.
Rješenje: b)
Znamo da je svaki pravac određen dvjema različitim
točkama.
Stoga,
na
pravcu
a
A
B
A1
B1
a
odaberemo po volji dvije točke, primjerice
p
A i B, pa im odredimo osnosimetrične slike s obzirom na os simetrije p. Točke A’ i B’ (koje su osnosimetrične slike točaka A i B) određuju pravac a’ koji je osnosimetrična slika pravca a s obzirom na pravac p. U zadatku a) i c) jedna od odabranih točaka je točka B koja se nalazi na osi simetrije, pa će se
a
c)
na istom mjestu nalaziti i točka B1.
A
U zadatku b) primijetimo ako je pravac a usporedan s osi simetrije, tada je i njegova osnosimetrčna slika usporedna s osi simetrije. U zadatku c) primijetimo ako je pravac a okomit na os simetrije onda se on preslikava u samog
p B=B1 A1
sebe.
11
4.1. Osna simetrija Primjer 6: Osna simetrija i pravokutnik
Rješenje: Kao i kod trokuta u prethodnom primjeru,
Nacrtaj pravokutnik ABCD sa stranicama duljine
nađimo osnosimetrične točke vrhova A, B, C i D
5 cm i 3 cm. Zatim nađi njegov osnosimetričan
s obzirom na pravac p.
pravokutnik ako je zadan položaj kao na slici.
U zadatku a) točka B se nalazi na osi simetrije, pa će se na istom mjestu nalaziti i točka B1.
b)
a)
U zadatku b) neki vrhovi se nalaze s jedne, a
C
C
neki s druge strane osi. Evo rješenja.
p
D
D
b)
a)
B
B A
A
p
C D
C1
C1 D
B B 1
p
D1
D1
A
Prvo skiciraj rješenje, pa ga onda nacrtaj.
Primjer 7. Osna simetrija i kružnica
C
A
A1
p A 1
Rješenje: Tražimo li sliku kružnice k pri osnoj simetriji s
Konstruiraj kružnicu k ( S,3 cm ) i odredi njenu osnosimetričnu sliku s obzirom na pravac p.
obzirom na pravac p, dovoljno je naći sliku S1 središta S dane kružnice. Zatim oko točke S1 opišemo kružnicu jednakog polumjera.
p
k
p
k S
S
r
A
A1 k1
r S1
Z a d a c i 1. Nacrtaj pravac a i točku B koja mu ne pripada. Nacrtaj točku B’ koja je osnosimetrična slika točke B obzirom na pravac a. 2. Nacrtaj trokut ∆ABC i pravac p koji ga ne siječe. Nacrtaj trokut ∆A1B1C1 koji je osnosimetrična slika trokuta ∆ABC obzirom na pravac p.
3. Nacrtaj ∆ABC i pravac p koji ga siječe. Nacrtaj trokut ∆A1B1C1 koji je osnosimetrična slika trokuta ∆ABC obzirom na pravac p. 4. Nacrtaj ∆ABC i pravac p koji je okomit na jednu stranicu trokuta. Nacrtaj trokut ∆A1B1C1 koji je osnosimetrična slika trokuta ∆ABC obzirom na pravac p.
12
Preslikavanja ravnine 5. Precrtaj u bilježnicu pa skiciraj gdje će se nalaziti osnosimetrična slika točke S obzirom
8. Precrtaj u bilježnicu pa nacrtaj osnosimetrične slike ovih dužina s obzirom na zadani pravac.
na pravac. a)
c)
b)
a)
b)
c)
C B S
S
S d)
E
A j
e)
d)
S
F
D k
p
e)
S G
K
H
6. Nacrtaj pravac p i točku A koja mu ne pripada. Nacrtaj točku A1 koja je osnosimetrična s
m
o
L
točkom A s obzirom na pravac p. 7. Precrtaj u bilježnicu pa pogledaj dužine na slici.
9. Nacrtaj pravac p i dužinu AB duljine:
Skiciraj, a zatim i nacrtaj njihove osnosimetrične
a) 4 cm; b) 5 cm; c) 6 cm; d) 24 mm.
dužine s obzirom na zadane pravce.
Svakoj od ovih dužina nađi osnosimetričnu sliku s obzirom na p. Kolika je duljina slike?
a)
b)
c) 10. Nacrtaj dužinu AB i nađi joj osnosimetričnu dužinu s obzirom na pravac p: a) ako pravac i dužina AB nemaju zajedničkih točaka; b) ako se pravac i dužina AB sijeku u točki S; c) ako se pravac i dužina AB sijeku u točki A.
d)
e)
11. Nacrtaj pravac a i dužinu CD koja nema zajedničkih točaka s pravcem. Nacrtaj dužinu
C1D1 koja je osnosimetrična slika dužine CD obzirom na pravac a. 12. Nacrtaj pravac p i dužinu EF tako da se točka E nalazi na pravcu. Nacrtaj dužinu E ' F ' koja je osnosimetrična slika dužine EF obzirom na pravac p. Gdje se nalazi osnosimetrična slika točke E?
13
4.1. Osna simetrija
13. Skiciraj pa nacrtaj osnosimetričnu sliku trokuta
∆ABC s obzirom na pravac.
15. Skiciraj pa nacrtaj osnosimetričnu sliku trokuta
∆ABC s obzirom na pravac: a)
a)
b)
O N
O U
N
p
M
p S
c)
T
r
M
C b)
A R
V
B
P
s
14. Skiciraj pa nacrtaj osnosimetričnu sliku trokuta
c)
C
∆ABC s obzirom na pravac:
a)
q
O N
B
V s
p
M b)
A
16. Nacrtaj trokut ∆ABC. Nacrtaj osnosimetričnu
R
sliku trokuta ∆ABC s obzirom na pravac p: a) koji ne siječe trokut; b) koji prolazi jednim vrhom trokuta;
P q c)
c) koji prolazi stranicom BC ; d) koji siječe trokut. 17. Nacrtaj jednakostraničan trokut ∆DEF sa
C
stranicom duljine 5 cm i pravac p koji prolazi polovištem stranice ED i vrhom F trokuta. Nađi njegov osnosimetričan trokut s obzirom na pravac p.
V
B s
14
Preslikavanja ravnine 18. Nacrtaj paralelogram sa stranicama duljine
25. Nacrtaj kružnicu oko središta A polumjera
4 cm i 2 cm. Nađi njegov osnosimetričan
3 cm. Nađi njenu osnosimetričnu kružnicu s
paralelogram s obzirom na pravac p:
obzirom na pravac:
a) koji nema zajedničkih točaka s
a) koji siječe kružnicu;
paralelogramom;
b) koji dodiruje kružnicu; c) koji s kružnicom nema zajedničkih točaka.
b) koji siječe paralelogram; c) koji prolazi jednom dijagonalom paralelograma; d) koji prolazi jednom stranicom paralelograma.
26. Precrtaj u bilježnicu pa pronađi os simetrije: b)
a)
B
19. Nacrtaj kvadrat ABCD sa stranicom duljine
B1
A
3 cm. Nađi njegov osnosimetričan kvadrat s
B
obzirom na pravac p koji:
A1
a) ne siječe kvadrat; b) siječe kvadrat;
A
C
A1
C1
c) prolazi stranicom BC ; d) prolazi jednom dijagonalom kvadrata.
c)
B1
20. Nacrtaj romb ABCD sa stranicom duljine 5 cm.
A
Nađi njegov osnosimetričan romb s obzirom na pravac p: a) koji nema zajedničkih točaka s rombom; b) koji siječe romb;
C1
B
A1 C
c) koji prolazi dijagonalom BD romba; e) koji prolazi vrhom B romba.
B1 21. Nacrtaj pravce a i p koji se sijeku pod kutom
α = 60° . Nacrtaj osnosimetrčan pravac pravcu a s obzirom na pravac p.
27. Nacrtaj trokut ∆ABC i konstruiraj tom trokutu a) opisanu kružnicu; b) upisanu kružnicu.
22. Nacrtaj dva usporedna pravca i odredi osnosimetričnu sliku jednog pravca s obzirom na drugi pravac.
28. Zadane su tri nekolinearne točke (točke koje ne pripadaju istom pravcu) A, B i C. Odredi točku S jednako udaljenu od točaka A, B i C .
23. Nacrtaj dva okomita pravca i odredi osnosimetričnu sliku jednog pravca s obzirom na drugi pravac. 24. Nacrtaj dužinu AB i pravac s. Odredi
29. Nacrtaj pravokutan trokut ∆ABC i pravac p koji je okomit na hipotenuzu i prolazi nasuprotnim vrhom. Nacrtaj trokut ∆A1B1C1, koji je osnosimetrična slika trokuta ∆ABC obzirom
osnosimetričnu sliku dužine AB s obzirom na
na pravac p. Opiši gdje je osnosimetrična
pravac s. Što je pravac s dužini AB ?
slika hipotenuze. Je li se poklopila s cijelom originalnom hipotenuzom? Zašto?
15
4.1. Osna simetrija
Primjer 8: Osnosimetrični likovi Nacrtaj kvadrat ABCD. Nađi njegov osnosimetričan kvadrat s obzirom na pravac na kojem leži dijagonala AC .
postoji osna simetrija koja ga preslikava u samoga sebe. Primjerice, pravokutnik, kvadrat, jednakokra
C
D
Osnosimetričan lik je onaj lik za kojeg
čan trokut, jednakostraničan trokut i krug su osnosimetrični likovi.
osnosimetrični
Kvadrat ima 4 osi simetrije.
likovi B
A
Rješenje: Točke A i C leže na osi simetrije, pa će se njihove osnosimetrične točke nalaziti na istom mjestu, tj. A = A1, C = C1. Točka D1 past će točno u B, a točka B1 točno u D.
Pravokutnik ima dvije osi simetrije, a jedna kokračan trokut jednu.
Osnosimetričan lik A1B1C1D1 je kvadrat koji se veličinom i položajem potpuno poklapa s kvadratom ABCD. Kažemo da se kvadrat ABCD preslikao u samog sebe. D B1
A A 1
Krug ima beskonačno mnogo osi simetrije, a jednakostraničan trokut tri:
C
C1
B
D1
Z a d a c i 30. Je li paralelogram osnosimetričan lik? 31. Precrtaj u bilježnicu pa nacrtaj osi simetrije:
32. Pronađi barem tri države čije zastave su osnosimetrične. Je li hrvatska zastava osnosimetrična? Zašto?
16
Preslikavanja ravnine 33. Je li romb osnosimetričan lik? Ako jest, odredi mu osi simetrije. 34. Nacrtaj automobilski simbol koji je osnosimetričan. 35. Nacrtaj nekoliko osnosimetričnih likova koji imaju: a) jednu os simetrije; b) dvije osi simetrije; c) četiri osi simetrije. 36. Pogledaj ovu kopču za kosu:
a) Je li ona osnosimetričan lik? Ako jest, pronađi njenu os simetrije. b) Kreiraj svoju kopču za kosu koja je osnosimetričan lik. 37. Koji prometni znakovi su osnosimetrični? Nacrtaj neki od njih. 38. Koji od ovih likova su osnosimetrični? Na slici pronađi sve osi simetrije:
17
4.1. Osna simetrija
Osna simetrija u koordinatnoj ravnini
y
U koordinatnoj ravnini je nacrtana točka A(2, -1). Pogledajmo na
A’
1
slici gdje se nalazi njezina osnosimetrična slika s obzirom na os x.
0
Pogledajmo što se dogodilo s koordinatama nakon osne simetrije
2
-1
obzirom na os x. Slika točke A(2, -1) je točka A’(2, 1). Prva
x A
koordinata je ostala ista, dok je druga promijenila predznak. Nacrtaj osnosimetričnu sliku točke A obzirom na os y i pogledaj što se dogodilo s koordinatama nakon osne simetrije.
Z a d a c i 39. Točkama odredi osnosimetrične slike s obzirom na:
43. Nacrtaj dužinu AB u koordinatnoj ravnini kao na slici, pa odredi njenu osnosimetričnu
a) os apscisu;
sliku s obzirom na pravac p. Kolika je duljina
b) os ordinatu; c) simetralu prvog i trećeg kvadranta.
dužine AB ?
6
40. U koordinatnoj ravnini nacrtaj trokut s vrhovima A(–1, –7.5), B(0, –0.2) i C(5, –2.5).
4
Nađi njegovu osnosimetričnu sliku s obzirom na os x. Zatim nađi njegovu osnosimetričnu
A
2
p
sliku s obzirom na os y. 0 0
41. U koordinatnoj ravnini nacrtaj četverokut s vrhovima A(1, 3), B(3, 5), C(5, 3) i D(3, 1).
B
2
4
6
8
-2
Kako se zove taj četverokut? Nađi njegovu osnosimetričnu sliku s obzirom a) na os y;
se preslikava u samu sebe s obzirom na
b) na os x;
zrcaljenje preko: a) osi x; b) osi y?
c) pravac y = x.
45. Pravac y = 2x - 1 zrcali preko pravca x = 0.
42. Pronađi os simetrije.
Nacrtaj i napiši jednadžbu zrcalne slike tog pravca.
A
4
B
46. Pravac y = 2x - 1 zrcali preko pravca y = 0.
2
Nacrtaj i napiši jednadžbu zrcalne slike tog pravca.
0 0
2
4
B1 A1
18
44. Postoji li točka u koordinatnoj ravnini koja
Preslikavanja ravnine
Vježb lica a
1. Nacrtaj pravac p i dužinu AB duljine: a) 6 cm;
5. Konstruiraj kvadrat ABCD sa dijagonalom 3 2
b) 3.8 cm.
cm. Nađi njegov osnosimetričan kvadrat obzirom
Svakoj od ovih dužina nađi osnosimetričnu sliku
na pravac p koji:
obzirom na p. Kolika je duljina slike?
a) ne siječe kvadrat; b) siječe kvadrat;
2. Nacrtaj dužinu AB i nađi joj osnosimetričnu
c) prolazi stranicom BC ;
dužinu obzirom na pravac p:
d) prolazi jednom dijagonalom kvadrata.
a) ako pravac i dužina AB nemaju zajedničkih točaka;
6. Konstruiraj romb ABCD sa stranicom 5 cm i
b) ako se pravac i dužina AB sijeku u točki T;
kutom α = 50° . Nacrtaj njegov osnosimetričan
c) ako se pravac i dužina AB sijeku u točki B.
romb obzirom na pravac p koji prolazi: a) izvan romba;
3. Precrtaj u bilježnicu pa konstruiraj
b) presijeca romb;
osnosimetričnu sliku trokuta ABC obzirom na
c) stranicom BC ;
pravac p:
a)
e) vrhom B.
C
7. Nacrtaj kružnicu k(S, 4 cm). Nađi njenu
B
osnosimetričnu kružnicu obzirom na pravac koji: a) je njena sekanta; b) je njena tangenta;
p
A
c) prolazi pokraj kružnice. 8. Nacrtaj pravokutnik ABCD sa stranicama duljina 5 cm i 4 cm pa nacrtaj njegovu osnosimetričnu
b)
C
sliku obzirom na pravac p koji prolazi:
B
a) izvan pravokutnika, usporedno s jednom stranicom
A
p
B
c)
C
p
A
4. Konstruiraj paralelogram sa stranicama 6 cm i 4 cm, i kutom α = 60°. Nađi njegov osnosimetričan paralelogram obzirom na pravac p koji: a) prolazi izvan paralelograma; b) siječe paralelogram; c) prolazi jednom dijagonalom paralelograma;
b) ukoso, izvan pravokutnika;
c) presijeca pravokutnik;
d) jednom dijagonalom;
e) stranicom AB ;
f) vrhom C:
g) kroz polovišta nasuprotnih stranica.
9. Konstruiraj trokut sa stranicama a = 4 cm,
b = 5 cm i c = 6.5 cm pa ga preslikaj osnom simetrijom obzirom na pravac koji prolazi stranicom BC.
10. Konstruiraj trokut sa stranicama a = 4 cm, b = 5 cm i kutom γ = 50° pa ga preslikaj osnom simetrijom obzirom na pravac koji prolazi stranicom AC.
d) prolazi jednom stranicom paralelograma.
19
4.2. Centralna simetrija 11. Konstruiraj trokut sa stranicom a = 5 cm i kutovima β = 80° i γ = 50° pa ga preslikaj osnom simetrijom obzirom na pravac koji prolazi stranicom AB.
14. Pravac y = –2x + 1 zrcali preko osi ordinate. Nacrtaj i napiši jednadžbu zrcalne slike tog pravca. 15. Pravac y = –2x + 1 zrcali preko osi apscise.
12. U koordinatnoj ravnini nacrtaj trokut s vrhovima ABC, te nađi koordinate vrhova njemu osnosimetričnog trokuta s obzirom na os x: a) A(–3, 3), B(4, 3), C(0, 5);
Nacrtaj i napiši jednadžbu zrcalne slike tog pravca. 16. Pravac y = x + 3 zrcali preko osi ordinate. Nacrtaj i napiši jednadžbu zrcalne slike tog
b) A(2, 3), B(1, 6), C(–3, 0);
pravca.
c) A(–3,2 ), B(–2,–4 ), C(1,1 ). 13. U koordinatnoj ravnini nacrtaj trokut s
17. Pravac y = 3x – 2 zrcali preko osi apscise.
vrhovima ABC, te nađi koordinate vrhova njemu
Nacrtaj i napiši jednadžbu zrcalne slike tog
osnosimetričnog trokuta s obzirom na os y:
pravca.
a) A(–3, 3), B(4, 3), C(0, 5); b) A(3, 0), B(0, 3), C(–3, –1); c) A(2, –2), B(3, 3), C(–2, 3).
4.2. Centralna simetrija Središte simetrije Pogledaj ove slike i potraži njihovo središte. Kakvi su gornji, donji, lijevi i desni dio slike. Ima li dijelova koji se preklapaju?
Uzorci za tapete
Primjer 1: Centralna simetrija i točka
zadatka.
Istaknimo u ravnini točke A i S, te povucimo pravac p koji prolazi tim točkama. Pronađimo S
na pravcu p točku A1 takvu da je S jednako udaljena i od A i od A1.
Rješenje:
20
A p
Krenimo redom, korak po korak. Nacrtajmo
Sada treba na pravcu p naći točku A1 koja će biti
sliku koja se od nas traži u prvoj rečenici
jednako udaljena od S kao što je A udaljena od
Preslikavanja ravnine
S, tj. AS = A1S . To nije teško pronaći, jasno je
Tako ćemo dobiti točku A1 takvu da je AS = A1S
da će se točka A1 nalaziti “na drugoj strani” od
.
točke S nego što je A. U šestar uzmemo duljinu AS i nanesemo je iz točke S na pravac p.
Neka je zadana nepomična točka S u ravnini. Preslikavanje koje točki A ravnine pridružuje
A i A1 su
točku A1 te iste ravnine na opisani način
centralnosimetrične
nazivamo centralnom simetrijom s obzirom
točke AS = A1S
na točku S. Točka S se pritom naziva centar A1 S
ili središte simetrije. Kažemo da su točke A i A1 centralnosimetrične s obzirom na točku S.
A
Primijenimo sada centralnu simetriju naskupove
p
točaka.
Primjer 2: Centralna simetrija i dužina
C1 D
Nacrtaj dužinu CD i točku S koja ne pripada dužini. Što ćeš dobiti ako svaku točku dužine CD preslikaš centralnom simetrijom s obzirom
S
na točku S?
Rješenje:
C
D1
Nacrtajmo dužinu CD i točku S kako je zadano. Primjećujemo da smo preslikavanjem opet dobili dužinu.
D
S C
Ko bi gori...
sad j e doli!
Znamo da točaka na dužini ima beskonačno mnogo pa je jasno da nećemo moći sve njih preslikati. Uzmimo npr. 10 točaka sa dužine
A tko doli...
gori ustaj e!
CD i nađimo njihove centralnosimetrične točke.
21
4.2. Centralna simetrija Kako bismo nacrtali centralnosimetrične sliku
Na temelju ovog svojstva, pri centralnoj simetriji
neke dužine u najmanje koraka? Dovoljno
je
naći
centralnosimetrične
Centralnom simetrijom dužina se
slike
preslikava u njoj sukladnu dužinu.
krajnjih točaka dužine i spojiti ih. C1 D
s obzirom na danu točku, slika nekog lika bit će njemu sukladan lik. C1 D
S D1
S
C
D1
Kažemo da je dužina C1D1 centralnosimetrična
C
dužina dužine CD s obzirom na središte S. Imaju li dužina i njena centralnosimetrična slika uvijek jednake duljine? Pogledajmo trokute ∆CDS i ∆C1D1S. Njihovi CSD i C1SD1 sukladni su jer su to kutovi vršni kutovi. Osim toga njihove odgovarajuće stranice uz te kutove jednake su duljine zbog centralnosimetričnosti točaka C i C1, odnosno D i D1, tj. CS = C1S i DS = D1S .
Također, iz sukladnosti trokuta ∆CDS i ∆C1D1S slijedi da su i svi kutovi ovih trokuta sukladni. A to znači da je
- stranica. Iz sukladnosti trokuta ∆CDS i ∆C1D1S slijedi da je CD = C1D1 .
Primjer 3: Centralna simetrija i trokut Nacrtaj trokut i točku S izvan njega. Svaku
C1D1 zaključujemo da su ti pravci usporedni. Ovo je još jedno važno
CD || C1D1
Pri centralnoj simetriji pravac se preslikava u usporedan pravac, a dužina u usporednu dužinu.
potrebno preslikati samo krajnje točke. Stoga će mo trokutu centralnom simetrijom preslikati sa mo njegove vrhove A, B i C. C
obzirom na S.
Rješenje:
B
Nacrtajmo trokut i točku S izvan njega.
22
CD = C1D1
svojstvo centralne simetrije.
točku trokuta preslikaj centralnom simetrijom s
U prošlom primjeru smo pokazali da je za dužine
CC1D1 .
Budući su to kutovi uz presječnicu CC1 koja presijeca pravce CD i
Pa zaključujemo da su ova dva trokuta sukladna po poučku o sukladnosti trokuta stranica - kut
C1CD ≅
A
S
Preslikavanja ravnine trokut ∆ABC u odgovarajućem položaju, oni
C
bi se poklapali. Razlog tome smo vidjeli u A1 B
prethodnom primjeru gdje smo dokazali da su centralnosimetrične dužine jednakih duljina,
S
pa su trokuti ∆ABC i ∆A1B1C1 sukladni prema poučku o sukladnosti trokuta
B1
A
stranica - stranica - stranica.
C1
Na isti način možemo centralnu simetriju Dobivene točke određuju trokut ∆A1B1C1 koji je centralnosimetričan trokut trokuta ∆ABC s
primijeniti na ostale skupove točaka u ravnini.
točkom S kao centrom simetrije. Kada bismo
centralnosimetrični žutim likovima.
Na primjer, zeleni likovi s početka ove teme su
trokut ∆A1B1C1 izrezali škarama i prislonili na
Z a d a c i 1. Nacrtaj točku S i dužinu CD smještenu sjeverno od točke. Nacrtaj dužinu C1D1 koja je centralnosimetrična slika dužine CD obzirom na točku S. 2. Nacrtaj točku S i dužinu CD smještenu zapadno od točke. Nacrtaj dužinu C1D1 koja je centralnosimetrična slika dužine CD obzirom na točku S. 3. Nacrtaj dužinu AB i točku S negdje na njoj. Nacrtaj dužinu A' B ' koja je centralnosimetrična slika dužine AB obzirom
5. Nacrtaj dvije dužine jednakih duljina. Postoji li centralna simetrija koja jednu preslikava u drugu? Ako da gdje joj se nalazi središte? Ima li takav zadatak uvijek rješenje? 6. Luka je crtao plan za raspored jednakih klupa oko fontane. Htio je razmjestiti klupe oko fontane tako da budu centralnosimetrične. Pojednostavimo crtež tako da točka S označava fontanu, a dužine klupe. Skicirajte odgovarajući raspored za 4, 6 i 8 klupa. Gdje se nalaze rubne točke svih dužina koje predstavljaju klupe? Ima li zadatak više rješenja?
na točku S. 4. Nacrtaj dužinu AB i simetralom joj odredi polovište P. Nacrtaj dužinu A' B ' koja je centralnosimetrična slika dužine AB obzirom na točku P. Što primjećuješ?
23
4.2. Centralna simetrija Primjer 4: Centralna simetrija i paralelogram Nacrtaj
ABCD sa
paralelogram
b) Ako se središte simetrije nalazi na stranici paralelograma AB , onda će točke S, A, A1, B i B1
stranicama
duljine 4 cm i 5 cm. Zatim nađi njegov
ležati na istom pravcu.
D
C
centralnosimetričan paralelogram ako je središte simetrije: a) unutar paralelograma; b) na stranici AB paralelograma;
B1 S
A
B
A1
c) u vrhu paralelograma B.
Rješenje: a) Nacrtajmo zadani paralelogram i istaknimo točku S unutar njega. Kao i kod trokuta u pret hodnom primjeru, nađimo centralnosimetrične točke vrhova A, B, C i D s obzirom na točku S. (1)
c) Ako se središte simetrije nalazi u vrhu B paralelograma, onda će u istoj točki biti smještene točke B, B1 i S. D
C
(2)
D
C
D
C B1
S
A1
S
S B
A
D1
C1
A
B1
A1
B
BB
A
D1
C1
C1
D1
Z a d a c i 7. Precrtaj u bilježnicu pa nacrtaj centralnosimetričnu sliku dužine CD s obzirom
centralnosimetričnu sliku dužine AB s obzirom
na S:
na S:
D
D
C
S
C
S
A
S
B
C D
C
B A
C D
D S
S
S
24
8. Precrtaj u bilježnicu pa nacrtaj
S
B
A S
Preslikavanja ravnine 14. Nacrtaj jednakokračan trokut ∆KLM s
9. Nacrtaj dužinu duljine: a) 4 cm; b) 5 cm; c) 6 cm; d) 24 mm.
osnovicom KL = 3 cm i kracima duljine 5
Zatim nacrtaj točku T koja ne pripada pojedinoj
cm. Nađi njegov centralnosimetričan trokut s
dužini i svakoj dužini nađi centralnosimetričnu
obzirom na točku M.
dužinu s obzirom na T. Kolika je duljina nove 15. Nacrtaj jednakostraničan trokut ∆DEF sa
dužine?
stranicom duljine 5 cm i točku M unutar 10. Nacrtaj dužinu AB i nađi joj centralnosimetričnu dužinu s obzirom na točku S:
trokuta. Nađi njegov centralnosimetričan trokut s obzirom na točku M.
a) ako točka S ne pripada dužini AB ; b) ako točka S pripada dužini AB ;
16. Nacrtaj paralelogram sa stranicama duljine
c) ako se točka S nalazi u krajnjoj točki A;
5 cm i 3 cm. Nađi njegov centralnosimetričan
d) ako se točka S nalazi u krajnjoj točki B.
paralelogram s obzirom na točku S koja se nalazi:
11. Precrtaj u bilježnicu pa skiciraj centralnosimetričnu sliku trokuta ∆ABC s
b) unutar paralelograma;
obzirom na točku S.
c) u sjecištu dijagonala; d) u jednom vrhu paralelograma.
C
C
C
S 17. Nacrtaj pravokutnik ABCD sa stranicama
B A
a) izvan paralelograma;
B A S
B
A
6 cm i 2 cm. Nađi njegov centralnosimetričan pravokutnik s obzirom na točku S koja se nalazi:
S
a) izvan pravokutnika; b) unutar pravokutnika; 12. Precrtaj u bilježnicu pa skiciraj
c) u sjecištu dijagonala;
centralnosimetričnu sliku trokuta ∆ABC s
d) na stranici BC ;
obzirom na točku S.
e) u vrhu D.
C
C
18. Nacrtaj kvadrat ABCD sa stranicom 4 cm. Nađi
C S
njegov centralnosimetričan kvadrat obzirom na
SS B
B
A
A
S
A
B
točku S koja se nalazi: a) izvan kvadrata; b) unutar kvadrata; c) u sjecištu dijagonala;
13. Nacrtaj trokut ∆ABC . Nacrtaj centralnosimetričnu sliku trokuta ∆ABC s
d) na stranici BC ; e) u vrhu A.
obzirom na točku S koja se nalazi: a) izvan trokuta;
b) unutar trokuta;
c) na stranici BC ;
d) u vrhu A trokuta;
e) u vrhu C trokuta.
25
4.2. Centralna simetrija 19. Nacrtaj pravokutnik ABCD sa stranicama
22. Nacrtaj kružnicu oko središta A polumjera
6 cm i 2 cm. Nađi njegov centralnosimetričan
3 cm. Nađi njenu centralnosimetričnu kružnicu
pravokutnik s obzirom na točku S koja se
s obzirom na točku S koja se nalazi:
nalazi:
a) unutar kružnice;
a) izvan pravokutnika;
b) na kružnici;
b) unutar pravokutnika;
c) u izvan kružnice.
c) u sjecištu dijagonala; d) na stranici BC ;
23. Nacrtaj kružni vijenac oko središta A polumjera
e) u vrhu D.
2 cm i 3 cm. Nađi njegovu centralnosimetričnu sliku s obzirom na točku S koja se nalazi:
20. Nacrtaj kvadrat ABCD sa stranicom 4 cm. Nađi
a) na kružnom vijencu;
njegov centralnosimetričan kvadrat obzirom na
b) izvan kružnog vijenca.
točku S koja se nalazi: a) izvan kvadrata;
24. Pronađi središte simetrije.
e) u vrhu A.
točku S koja se nalazi: a) izvan romba;
E1
B E
B1
21. Nacrtaj romb ABCD sa stranicom 5 cm. Nađi njegov centralnosimetričan romb s obzirom na
F
A1
c) u sjecištu dijagonala; d) na stranici BC ;
G
B
b) unutar kvadrata;
J
K
L1
I
F1 G1
I1
L K1
J1
b) unutar romba; c) na stranici BC ; d) u vrhu B.
25. Zadan je trokut ∆ABC i točka A1 koja je centralnosimetrična slika točke A. Odredi središte simetrije S i sliku trokuta ∆ABC s obzirom na središte S.
Primjer 5: Kvadrat kao centralnosimetričan lik
potpuno poklapa s kvadratom ABCD. Kažemo
Nacrtaj kvadrat i točku S koja je sjecište njegovih
da se kvadrat ABCD preslikao u samog sebe.
dijagonala. Nađi njegov centralnosimetričan lik obzirom na točku S.
A1B1C1D1 je kvadrat koji se veličinom i položajem
D B1
C A1
Rješenje: S
Kako je točka S jednako udaljena od svih vrhova kvadrata, točka A1 past će točno u C, a točka C1 u A. Isto će se dogoditi i s preostala dva nasuprotna vrha. Centralnosimetričan lik
26
A C 1
D1
B
Preslikavanja ravnine Isto
vrijedi
i
za
svaki
paralelogram.
Dj eco, rij ešite ovaj primj er! Tu se j asno vidi kako se toèke preslikavaj u u paralelogramu!
Preslikamo li neki paralelogram centralnom simetrijom obzirom na sjecište dijagonala, paralelogram će se preslikati u samoga sebe. To vidimo i na sljedećoj slici. B1
D
C A1
paralelogram je
S C1
A
D1
centralnosimetrčan
B
lik
Primjer 6: Centralnosimetrični likovi Pronađi središte centralne simetrije tako da se ovi likovi mogu centralnom simetrijom preslikati
H O
I S F
G
R
O G
F
U
Rješenje:
V T
Y
T
W
X
No, trokut sa slike nema centar simetrije. Koju
Y S
V
C U
P
Q
P
Q S
H
S
S
u same sebe. I
R
god točku da uzmemo, trokut se neće moći preslikati u samoga sebe. Kažemo da trokut
W
X
nije centralnosimetričan lik.
Središte centralne simetrije paralelograma, pra vokutnika, romba i kvadrata je u sjecištu njihovih dijagonala. Središte centralne simetrije kruga se poklapa s njegovim središtem. Navedeni likovi su centralnosimetrični likovi.
Kako æu procij eniti gdj e j e središte simetrij e?
Potraži ga oko “sredine” zadanih likova. Probaj sa sj ecištem dij agonala i slièno.
Centralnosimetričan lik je onaj lik za koji postoji centralna simetrija koja ga preslikava u samoga sebe. Primjerice, paralelogram, pravokutnik, kvadrat, romb i krug su centralnosimetrični likovi.
27
4.2. Centralna simetrija 18. Jesu li ovi likovi centralnosimetrični? Ako jesu,
20. Koja slova sa slike su centralnosimetrična?
gdje im je centar simetrije?
21. Odredi centar simetrije?
19. Precrtaj sliku u bolježnicu. Koliko najmanje kvadratića treba osjenčati da bi slika bila centralnosimetrična s obzirom na središte kvadrata?
22. Je li jednakostraničan trokut centralnosimetričan lik? A peterokut? 23. Postoj li pravilni mnogokut s neparnim brijem stranica a da je centralnosimetričan? 24. Je li ovaj cvijet centralnosimetričan?
28
Preslikavanja ravnine
Centralna simetrija u koordinatnoj ravnini U koordinatnoj ravnini je nacrtana točka A(2, -1). Pogledajmo na slici gdje se nalazi njezina centralnosimetrična slika s obzirom na koordinatno ishodište O. Pogledajmo što se dogodilo s koordinatama nakon
3
centralne simetrije s obzirom na koordinatno ishodište A1(-2, 1)
2
O. Slika točke A(2, -1) je točka A1(-2, 1). Obje koordinate
1
su promijenile predznak. Nacrtaj osnosimetrične slike točaka B(3,2) i C(-1,-2) s
0 O -3
-2
-1 -1
0
1
obzirom na koordinatno ishodište O i pogledaj što se
3
2
dogodilo s koordinatama nakon centralne simetrije.
A(-2, -1)
-2
3 2
Točki A(2, -1) u koordinatnoj ravnini mogli smo odrediti
A1(-2, 1)
centralnosimetričnu točku s obzirom na točku O na još
1
jedan način - jednostavno prebrojavanjem kvadratića.
0 O
Pogledaj sliku.
-3
-2
-1 -1
M
0
2
1
3
A(-2, -1)
-2
-4 -5
S
-6
Pogledajmo kako smo u koordinatnoj ravnini
-7
prebrojavanjem odredili centralnosimetričnu sliku točke M s obzirom na točku S.
-8 -9 -10 M1
Z a d a c i (
)
5 2
(
)
25. Točkama A -6, -8 , B 1.5, - i C -2, 0.5
na ishodište O. Zatim nađi njegovu osnosimetričnu sliku s obzirom na točku A.
odredi osnosimetrične slike s obzirom na: a) koordinatno ishodište O;
, ). b) točku S( −13 26. U koordinatnoj ravnini nacrtaj trokut s
27. U koordinatnoj ravnini nacrtaj četverokut s vrhovima A(1, 3), B(3, 5), C(5, 3) i D(3, 1). Kako se zove taj četverokut? Nađi njegovu
vrhovima A(-1, -2), B(0, 2) i C(5, -5). Nađi
osnosimetričnu sliku obzirom na koordinatno
njegovu osnosimetričnu sliku s obzirom
ishodište O.
29
4.2. Centralna simetrija
Vježb lica a
c)
1. Nacrtaj dužinu duljine: a) 5.5 cm;
b) 7 cm;
C
c) 4.9 cm.
Zatim nacrtaj točku T koja ne pripada pojedinoj dužini i svakoj dužini nađi centralnosimetričnu
S
dužinu obzirom na T. Kolika je duljina nove
A
dužine? d)
2. Nacrtaj dužinu AB i nađi joj
B C
centralnosimetričnu dužinu obzirom na točku S: a) ako se točka S nalazi izvan dužine AB ; b) ako se točka S nalazi na dužini AB ; A
c) ako se točka S nalazi u krajnjoj točki A;
B=S
d) ako se točka S nalazi u krajnjoj točki B. 4. Konstruiraj trokut ABC ako je a = 5 cm,
β = 45° , c = 45 mm. Nacrtaj
3. Precrtaj u bilježnicu pa konstruiraj centralnosimetričnu sliku trokuta ABC obzirom
centralnosimetričnu sliku trokuta ABC obzirom
na točku S:
na točku S koja se nalazi: a) izvan trokuta; b) unutar trokuta;
C
a)
c) na stranici BC ; d) u vrhu A trokuta;
S
e) u vrhu C trokuta. 5. Konstruiraj jednakokračan trokut DEF s B
A b)
osnovicom |DE| = 58 mm i kracima 4 cm. Nađi njegov centralnosimetričan trokut obzirom na
C
točku F. 6. Konstruiraj paralelogram sa stranicama 63 mm i 4 cm, i tupim kutom β = 120° . Nađi njegov
S A
B
centralnosimetričan paralelogram obzirom na točku S koja se nalazi: a) izvan paralelograma; b) unutar paralelograma; c) u sjecištu dijagonala; d) u jednom vrhu paralelograma.
30
Preslikavanja ravnine 7. Konstruiraj kvadrat ABCD sa stranicom 5
c)
cm. Nađi njegov centralnosimetričan kvadrat
C
A’
obzirom na točku S koja se nalazi: B’
a) izvan kvadrata;
B
b) unutar kvadrata; A
c) na stranici AD ;
C’
e) u vrhu B. 8. Konstruiraj romb ABCD s dijagonalama duljina
d)
6 cm i 4 cm. Nađi njegov centralnosimetričan romb obzirom na točku S koja se nalazi:
C
a) izvan romba;
A’
b) unutar romba; B’
c) u sjecištu dijagonala;
B
d) u vrhu B. A 9. Nacrtaj kružnicu k(S, 4 cm). Nađi njenu
C’
centralnosimetričnu kružnicu obzirom na točku S koja se nalazi:
11. Trokutu ABC, A( –3, 2), B(–4 , –3) i C(0, –3) nađi
a) unutar kružnice; b) na kružnici;
centralnosimetričnu sliku s obzirom na:
c) u izvan kružnice.
ishodište (0, 0); b) točku A. 12. Trokutu ABC, A( 3, 3), B( –2, 0) i C( 1, –4) nađi
10. Pronađi središte simetrije:
centralnosimetričnu sliku s obzirom na: a)
ishodište (0, 0); b) točku B.
C A’ B’
13. Trokutu ABC, A(1 , 1), B( –3, –1) i C(0 , –4) nađi centralnosimetričnu sliku s obzirom na:
B
ishodište (0, 0); b) točku S( 2, 0).
A C’
b) C A’
B
A
B’ C’
31
4.3. Rotacija
4.3. Rotacija Vrtuljak
svrdlo
kormilo
kotač
Zemlja
Sunčev sustav
Što je zajedničko svim ovim slikama? U prethodnoj smo temi naučili preslikavati točke
A1
ravnine
centralnom
simetrijom.
Provjerimo jesu li na ovoj slici točke A i A1 centralno simetrične točke s obzirom na
S A
točku S. Lijepo vidimo da točke A, S i A1 pripadaju istom pravcu. Provjerimo još je li duljina SA = SA1 . Zabodimo šestar u točku S i otvorimo ga do točke A, pa kružimo do točke A1. Vidimo da nacrtana polukružnica završava u točki
A1
A1, pa zaključujemo da je SA = SA1 te da su točke A i A1 centralno simetrične točke s
S A
32
obzirom na točku S.
Preslikavanja ravnine
Ovo kruženje šestara možemo zamisliti kao vrtnju točke A po kružnici k( S , SA ) do novog položaja, tj. točke A1. Zato često kažemo da se točka A1 dobila vrtnjom točke A za 180° oko točke S kao središta. Sada ćemo pokazati da je centralna simetrija samo
rotacija = okretanje, vrtnja
poseban slučaj preslikavanja ravnine koje se zove
rotirati = vrtjeti se
vrtnja ili rotacija. Pogledajmo sliku. A’
Točka A vrti se po kružnici k( S , SA ) kao pri preslikavanju centralnom simetrijom, samo što se ovog puta okrenula za 60° oko točke S. Kažemo da smo točku A’ dobili vrtnjom ili rotacijom točke A po kružnici sa središtem u točki S i A ' SA = 60° . Na isti način smo mogli umjesto kuta od 60° odabrati kut bilo koje druge veličine α . polumjerom SA za kut
S
Vidimo da je centralna simetrija rotacija ravnine oko
A
nepomične točke S za kut od 180°.
Rotacija ili vrtnja oko točke S za kut α Rotacija ili vrtnja ravnine oko nepomične točke S za kut α je preslikavanje koje svakoj točki A ravnine pridružuje točku A’ te iste ravnine takvu da je: A ' SA = α i SA = SA ' . Točka S zove se središte rotacije, kut α zove se kut rotacije.
A’
Pogledajmo još jednom vrtnju točke A
Pozitivan smjer
oko točke S. Točka A’ se dobila vrtnjom točke A za 60° u smjeru koji je suprotan smjeru gibanja kazaljke sata. Taj smjer se u matematici zove pozitivan smjer.
60° S –60°
A Negativan smjer
Točka B’ se dobila vrtnjom točke A za 60° u smjeru gibanja kazaljke sata.
B’
Taj se smjer zove negativan smjer.
33
4.3. Rotacija Primjer 1. Rotacija točke
(3) Najprije konstruirajmo kut od 60° s jednim
Nacrtaj u ravnini dvije različite točke A i S, te
krakom SA.
odredi sliku točke A pri rotaciji oko točke S za
(4)
kut od 30° u pozitivnom smjeru.
simetrala siječe kružnicu k u točki A’.
Konstruirajmo
simetralu
(3)
Rješenje: kružnici. Zato ćemo sliku točke A potražiti na
A
S
Dobili smo točku A’ takvu da je veličina kuta A ' SA jednak 30° i da je SA = SA ' .
(2) k
Rotacija točaka A, B i C oko središta S a) za kut od 45° b) za kut od -45°
C’
A
A’
A
S
kružnici sa središtem u točki S i polumjerom SA .
S
60°;
s
k
Pri rotaciji točka i njena slika pripadaju istoj
(1)
od
(4)
k
(1) Nacrtajmo točke A i S; (2) Konstruirajmo kružnicu k( S , SA ) .
kuta
S
C
C
A B
B
B
A
A
A’
Sada treba na kružnici k naći točku A’ takvu da je veličina kuta
C’
A ' SA jednaka 30°. To nije teško
B
pronaći ako se sjetimo kako se konstruira kut
S
od 30°.
S
A’
Primjer 2. Rotacija dužine
(1) Konstruirajmo kut od 60° s jednim krakom
Nacrtaj dužinu AB i točku S . Odredi sliku dužine AB pri rotaciji oko točke S za kut α = 60°.
SA . Drugi krak kuta od 60° presijeca kružnicu k1( S , SA ) u točki A’. (2) Ponovimo konstrukciju kuta od 60° s jednim krakom SB. Presjek drugog kraka ovog kuta i kružnice k2 ( S , SB ) je točka
Rješenje: Znamo da dužina ima beskonačno mnogo točaka. No, vidjet ćemo da je pri rotaciji ravnine,
B’. (1)
(2)
k2
isto kao kod osne i centralne simetrije, dovoljno naći slike samo krajnjih točaka dužine. B
k1
Najprije nacrtajmo
A’
B’ k1
B
A’
B
dužinu AB i točku S. Točke A i B spojimo dužinama sa središtem S S
34
A
rotacije.
S
A
S
A
Preslikavanja ravnine
(3) Provjerimo je li dužina A ' B ' slika dužine AB . Odaberimo po volji još nekoliko točaka dužine
B’
AB pa i njih rotirajmo oko točke S za kut α = 60° . (4) (3) k2
B’
k2 k1
a
B
A’
a
B
A
S S
A
S
A
(4) Kao što vidimo slike ovih točaka također pripadaju dužini A ' B ' . Dakle, pri rotaciji dužine opet dobivamo dužinu. Mjerenjem se možemo uvjeriti da dužina A ' B ' jednake je duljine kao dužina AB . Pogledajmo još jednom dužinu AB i njenu sliku A ' B ' i dokažimo da će dužina AB ≅ A ' B '
B
B’ k1
A’
A’
A ' B ' biti uvijek jednake duljine kao dužine AB pri rotaciji ravnine oko točke S za kut α .
Uočimo trokute ∆SAB i ∆SA’B ’ . Ova dva trokuta su sukladna po poučku o sukladnosti trokuta stranica - kut - stranica: SA = SA ' jer su točke A i A’ točke iste kružnice; SB = SB ' jer su točke B i B’ točke iste kružnice; B ' SA ' ≅
BSA
jednaka je α −
jer veličina oba ova kuta A ' SB .
Pa je zbog sukladnosti ovih trokuta AB = A ' B ' Rotacijom ravnine dužina se preslikava u dužinu koja joj je sukladna.
Z a d a c i 1. Nacrtaj dvije točke C i D.
3. Nacrtaj dvije točke A i B.
a) Rotiraj točku C oko točke D za 60° u
a) Rotiraj točku A oko točke B za -30°.
pozitivnom smjeru.
b) Rotiraj točku B oko točke A za 90°.
b) Rotiraj točku C oko točke D za 60° u
c) Rotiraj točku A oko točke B za -45°.
negativnom smjeru. c) Rotiraj točku C oko točke D za 50° u negativnom smjeru.
4. Nacrtaj dvije točke B i S. Pa zatim na istoj slici nacrtaj ova preslikavanja a) Rotiraj točku B oko točke S za 60° u pozitivnom
2. Nacrtaj dvije točke S i T.
smjeru. Dobivenu točku označi s B1.
a) Rotiraj točku C oko točke D za 50° u
b) Rotiraj točku B oko točke S za 360° u
pozitivnom smjeru.
negativnom smjeru. Dobivenu točku označi s B2.
b) Rotiraj točku C oko točke D za 100° u
c) Rotiraj točku B oko točke S za 120° u
pozitivnom smjeru.
pozitivnom smjeru. Dobivenu točku označi s B3.
c) Rotiraj točku C oko točke D za 180° u
d) Rotiraj točku B oko točke S za 240° u
negativnom smjeru.
negativnom smjeru. Dobivenu točku označi s B4. Što primjećuješ? Poklapaju li se koje točke? Zašto?
35
4.3. Rotacija 5. Nacrtaj tri točke i označi ih s A, B i C. Odredi slike
7. Precrtaj sliku u bilježnicu. Konstruiraj sliku dužine
AB pri rotaciji oko točke S za 90°.
točaka A i B pri rotaciji oko točke C za kut od 60°. 6. Nacrtaj dužinu MN i točku S.
B
Odredi sliku dužine MN pri rotaciji oko točke S za:
a) 30°;
b) -30°;
d) -60°;
c) 60°;
e) 180°;
A
A
S
S
B A
f) -180°.
B S
Primjer 3. Rotacija trokuta
točke A’, B’ i C’ određuju trokut ∆A’ B’ C ’ .
Nacrtaj neki trokut ∆ABC i odaberi točku S.
b) Ako je središte rotacije jedan vrh trokuta onda
Konstruiraj sliku tog trokuta pri rotaciji ravnine
će se taj vrh preslikati sam na sebe.
za kut od 90°. C
B’
Rješenje:
C’ B
a) Nacrtajmo trokut ∆ABC i točku S primjerice, izvan tog trokuta. C S=A=A’ B S
Pri rotaciji ravnine središte rotacije je jedina točka ravnine koja miruje pa je pridružena sama sebi.
A
U prošlom primjeru smo pokazali da je za dužine potrebno preslikati samo krajnje točke. Stoga će mo trokutu preslikati samo njegove vrhove A, B i C.
C
Kakvi su trokuti ∆ABC i ∆A’ B’ C ’ međusobno pri rotaciji ravnine? Budući se dužine pri rotaciji preslikavaju u njima sukladne dužine zaključujemo da je trokut
B
∆A’ B’ C ’ sukladan trokutu ∆ABC po poučku o
S
skladnosti trokuta stranica - stranica - stranica. A
B’
Pri rotaciji ravnine svakom trokutu se
C’
pridružuje sukladan trokut.
A’
Slike vrhova trokuta konstruiramo na već opisani način, vodeći računa da veličina kutova A ' SA,
36
B ' SB i
C ' SC
iznosi 90°. Dobivene
Na isti način možemo rotaciju ravnine primijeniti i na sve ostale skupove točaka u ravnini i zaključiti da se rotacijom svaki lik preslikava u njemu sukladan lik.
Preslikavanja ravnine Primjer 4. Rotacija kvadrata oko njegovog središta
Primijetimo da bi se kvadrat preslikao u samog sebe i pri rotaciji oko njegovog središta S za 180°, 270° i 360°.
Nacrtaj kvadrat ABCD i povuci mu dijagonale. D
Označimo sjecište dijagonala kvadrata sa S.
C
Koje točke će biti pridružene vrhovima kvadrata pri rotaciji kvadrata oko središta S za 90°?
S
Rješenje: Pogledajmo na slikama kvadrat ABCD prije rotacije i nakon rotacije za 90° oko točke S. Dijagonale kvadrata sijeku se pod kutom od 90°.
A
B
C’=D
B’=C
Stoga, pri rotaciji kvadrata oko središta S za kut od 90° slika točke A past će točno u B, slika S
točke B past će točno u C, slika točke C past će točno u D, a slika točke D past će točno u A. Dakle A’ = B, B’ = C, C’ = D, D’ = A. Pri opisanoj rotaciji kažemo da se kvadrat ABCD D’=A
preslikao u samog sebe.
A’=B
Z a d a c i 8. Precrtaj lik sa slike i izreži ga.
Jasno je da su lik na slici i izrezani lik sukladni likovi. Preklopi ih i iglicom im spoji jedan vrh. Rotiraj izrezani lik oko zajedničkog vrha za neki kut α . Mjerenjem se uvjeri da su se svi vrhovi zarotirali za isti kut α . Koje zaključke možeš izvesti? 9. Nacrtaj trokut ∆RAJ i odredi sliku tog trokuta pri rotaciji za 60° oko točke S koja je izvan trokuta. 10. Nacrtaj trokut ∆ELA i rotiraj ga oko jednog vrha za 30°. 11. Nacrtaj četverokut SOBA i rotiraj ga oko jednog vrha za -180°.
37
4.3. Rotacija 12. Precrtaj u bilježnicu pa skiciraj sliku trokuta ∆ABC
Zavrtj elo mi se u glavi. Moram li rotirati sva tri vrha trokuta?
Ja samo rotiram dva. Treæi lako odredim j er su to sukladni trokuti.
koja se dobije rotacijom oko točke S za 60°.
C C B B
A
S
A S
C
S B
A
13. Precrtaj u bilježnicu pa skiciraj sliku trokuta
15. Konstruiraj pravokutan trokut kojemu je zadana
∆ABC koja se dobije rotacijom oko točke S za
duljina hipotenuze i veličina jednog šiljastog
30°.
kuta: c = 7 cm, α = 45°. Konstruiraj sliku tog
C
trokuta pri rotaciji oko vrha C za 90°.
C S
S B
A
B
16. Konstruiraj pravokutan trokut kojemu je zadana duljina hipotenuze i veličina jednog šiljastog
A
kuta: c = 6.5 cm, β = 60. Konstruiraj sliku tog
C
trokuta pri rotaciji za 120° oko točke S koja je izvan trokuta.
B A
S
17. Nacrtaj pravac AB i točku S. Vrti pravac AB oko točke S za: a) 90°;
b) -90°;
c) 30°;
d) -60°;
e) 180°;
f) -180°.
18. Nacrtaj pravokutnik i vrti ga oko sjecišta njegovih 14. Konstruiraj trokut kojemu je zadana duljina jedne stranice i veličina dvaju kutova uz nju: c = 10 cm, α =120°, β = 30°. Rotiraj ovaj trokut oko njegovog vrha C za:
38
a) 90°;
b) -90°;
d) 45°;
e) - 45°.
c) 60°;
dijagonala za kut od 120°. 19. Konstruiraj kružnicu k( S ,3.5 cm ) i točku O udaljenu od središta kružnice više od 3.5 cm. Odredi sliku te kružnice pri rotaciji za –240°.
Preslikavanja ravnine 20. Za koliko se stupnjeva
23. Pogledaj sliku
zarotira Zemlja: a) za godinu dana; b) u jednom danu?
21. Hoće li se crveni trokut preklopiti s plavim ako ga zarotiraš? Ako hoće, koliki je kut rotacije? Ako neće, zašto neće?
Za koliko stupnjeva se zarotirao SVEN oko slova N da bi iz položaja (1) došao u položaj a) (2);
b) (3);
c) (4)?
24. Nacrtaj kvadrat pa ga zarotiraj oko njegova središta za 270°. 25. Konstruiraj pravilni šesterokut i zarotiraj ga 22. U kružnicu polumjera 4 cm upiši jednakostraničan trokut ∆ABC . Rotiraj taj
šesterokut poklopi sa svojom slikom. Koliko
trokut oko središta S kružnice za:
rješenja ima ovaj zadatak?
a)120°;
oko središta S opisane mu kružnice tako da se
b) 240°;
c) 360°.
Koje će točke pritom biti pridružene vrhovima trokuta γ ?
26. Odredi središte i kut rotacije kojom se pravilan peterokut preslikava u sama sebe.
Vježb lica a
1. Nacrtaj dužinu AB i točku S. Odredi sliku dužine AB pri rotaciji oko točke S
2. Precrtaj u bilježnicu pa konstruiraj sliku dužine
AB pri rotaciji oko točke S za –90°. S
za: a) 45°;
b) –50°;
c) –120°;
d) 40°.
A
B
39
4.3. Rotacija 3. Precrtaj u bilježnicu pa konstruiraj sliku dužine
AB pri rotaciji oko točke S za 60°. A
8. Precrtaj u bilježnicu pa konstruiraj sliku trokuta
∆ABC koja se dobije rotacijom oko točke S za –300°.
S=C
S B
B
A
4. Precrtaj u bilježnicu pa konstruiraj sliku dužine
AB pri rotaciji oko točke S za –45°.
9. Precrtaj u bilježnicu pa konstruiraj sliku četverokuta koja se dobije rotacijom oko točke S za –90°.
C
D
B S=A 5. Precrtaj u bilježnicu pa konstruiraj sliku trokuta ∆ABC koja se dobije rotacijom oko točke S za 70°.
S=A
C
B
10. Precrtaj u bilježnicu pa konstruiraj sliku
A
četverokuta koja se dobije rotacijom oko točke S za –90°.
B
S
6. Precrtaj u bilježnicu pa konstruiraj sliku trokuta
C
D
∆ABC koja se dobije rotacijom oko točke S za –60°.
A
C
S S B
A
11. Konstruiraj jednakokračan trapez ABCD kome
B
su osnovice duge 8 cm i 5 cm, a krak 4 cm i 7. Precrtaj u bilježnicu pa konstruiraj sliku trokuta
rotiraj ga oko jednog vrha za 30°.
∆ABC koja se dobije rotacijom oko točke S za 260°.
12. Konstruiraj pravokutan trokut kojemu je zadana
C
duljina hipotenuze c = 68 mm i katete a = 4 cm. (Prisjeti se Talesovog poučka).Konstruiraj sliku
S
tog trokuta pri rotaciji oko središta opisane mu
B A
40
kružnice za –50°.
Preslikavanja ravnine 13. Konstruiraj pravokutan trokut kojemu je zadana duljina hipotenuze i veličina jednog šiljastog kuta: c = 7 cm, b = 30°. Konstruiraj sliku tog trokuta pri rotaciji za –120° oko točke S koja je izvan opisane kružnice tom trokutu. 14. Nacrtaj pravac AB i točku S. Vrti pravac AB oko točke S za: a) 70°;
b) –80°;
d) –75°;
e) 20°.
c) 60°;
15. Konstruiraj kvadrat s dijagonalom duljine 5 cm i vrti ga oko sjecišta njegovih dijagonala za kut od 90°.
17. Konstruiraj kružnicu k (S ,3 cm) i točku O udaljenu od središta kružnice 5.5 cm. Odredi sliku te kružnice pri rotaciji za –60°. 18. Konstruiraj pravilni šesterokut stranice a = 5 cm i rotiraj ga oko središnjeg kuta za 45°. 19. Konstruiraj pravilni peterokut koji je upisan u kružnicu polumjera 6 cm i rotiraj ga oko središnjeg kuta za –60°. 20. Konstruiraj pravilni peterokut koji je upisan u kružnicu polumjera 5 cm i rotiraj ga oko središnjeg kuta za 120°.
16. Konstruiraj kružnicu k (S ,5 cm) i točku O udaljenu od središta kružnice 3.5 cm. Odredi sliku te kružnice pri rotaciji za 200°.
4.4. Vektori Kuda ide koja lopta Koja lopta će pasti u rupu? Uvodni primjer s biljarom nas podsjeća na neke osnove ove igre, iza kojih stoje matematika i fizika. Želimo li udariti loptu u biljaru, važno je jesmo li udarili jako ili slabo. Kažemo, važna je jačina udarca ili sile. Zatim, važno je u kojem smjeru ćemo uputiti loptu. Kažemo da je važan i smjer. Tako dolazimo do dvije važne fizikalne veličine: jačine (veličine) udarca i smjera gibanja.
41
4.4. Vektori Vidimo da vektor u fizici nalikuje dužini. Postoji U fizici smo učili da su neke fizikalne
li razlika između vektora i dužine?
veličine vektori i da ih grafički prikazujemo
Razmotrimo ovaj problem.
usmjerenom dužinom jer im pored mjernih
Na pravcu p istaknute su točke A i B.
brojeva pridružujemo i smjer.
Dio tog pravca je dužina s krajnjim točkama A i B.
Podsjetimo se:
B
hvatište vektora pravac veličina vektora
A p
vektorske veličine su: pomak
s
brzina
v
ubrzanje
a
sila
F
Hoćemo li ovu dužinu označiti s AB ili s BA , sasvim je svejedno jer to je jedna te ista dužina. No, postoje situacije kada je važno točno znati ko ja je od njezinih krajnjih točaka početna, a koja završna. Pokazat ćemo to u sljedećem primjeru.
Primjer 1. Gdje se spustio zrakoplov Krajnje točke dužine
AB
Rješenje: Hoće li se zrakoplov spustiti u Zagreb ili Zadar
određuju položaj
Zagreba i Zadra na geografskoj karti. Ako je zrakoplov
preletio
udaljenost
između
ovih
gradova, hoće li se on spustiti u Zagreb ili Zadar?
ovisi o tome koja mu je od krajnjih točaka A i B bila početna, a koja završna točka leta. U ovom primjeru dužinu AB moramo promatrati kao usmjerenu dužinu i to istaknuti njezinom oznakom. A
B
Oznakom AB ističemo da je točka A početna, a B završna točka. Zrakoplov će se spustiti u Zadar.
42
Preslikavanja ravnine Oznakom BA ističemo da je točka B početna, a A završna točka. Zrakoplov će se spustiti u Zagreb. A
Na latinskom j eziku rij eè vector i znaèi vozaè, onaj koji nosi, koji prenosi..
B
Važno Usmjerena dužina ili vektor Usmjerena dužina ili vektor je dužina za koju je istaknuto koja je od njezinih krajnjih točka početna, a koja završna točka.
Primjer 2. Početna i završna točka vektora - oznaka vektora Napiši sve vektore koje vidiš na slici.
F
B
G
P
Rješenje: Pri navođenju i pisanju oznake vektora strogo moramo voditi računa koja mu je početna, a koja završna točka. Na slici su redom vektori: AB , DC , FE , GH i RP .
E
A
Pazi, vrh strelice je uvijek u završnoj
H D
C
točki.
R
Z a d a c i 1. Na pravcu p istakni dužinu KL i usmjeri je tako da joj K bude početna, a L završna
3. Nacrtaj pet proizvoljnih vektora i označi ih ML ,DC , AB ,PG i RQ .
točka. Napiši oznaku za dobiveni vektor. 4. Nacrtaj dužinu AB i na njoj dvije točke C i 2. Na pravcu a istakni dužinu AB i usmjeri je
D. Napiši sve dužine koje su određene tim
tako da joj B bude početna, a A završna
točkama i sve vektore koji su određeni tim
točka. Napiši oznaku za dobiveni vektor.
točkama. Čega ima više?
43
4.4. Vektori Primjer 3. Duljina vektora a) Napiši sve vektore kojima su početna i završna točka vrhovi raznostraničnog trokuta ∆ABC ? b) Kolika je duljina tih vektora? Što misliš, imaju li neki od tih vektora međusobno jednake duljine? A
• duljina vektora AB i BA jest duljina dužine AB , tj. AB ; • duljina vektora AC i CA jest duljina AC ; • duljina vektora BC i CB jest duljina BC . Vidimo da međusobno jednaku duljinu imaju vektori AB i BA , vektori AC i CA i vektori BC i CB . Mjerenjem duljina stranica trokuta možemo točno utvrditi duljine ovih vektora.
B
Konaèno nešto što mogu izmj eriti ravnalom!
C
Rješenje: a) Vrhovi trokuta određuju šest vektora: •vrhovi A i B su krajnje točke vektora AB i BA ; •vrhovi A i C su krajnje točke vektora AC i CA ; •vrhovi B i C su krajnje točke vektora BC i CB . b) Znamo da udaljenost krajnjih točaka duljina
dužine nazivamo duljinom te dužine.
vektora
Jednako tako, udaljenost početne i završne nazivamo
točke
usmjerene
duljinom
te
dužine
usmjerene
dužine. Stoga:
Z a d a c i
5. Što je duljina vektora?
K L
6. a) Izmjeri i zapiši duljinu svakog vektora na
H
slici;
F
b) pročitaj sa slike vektore koji imaju
E
duljinu 4 cm; c) pročitaj sa slike vektore koji nemaju duljinu 4 cm. A
B
P
G
7. Nacrtaj trokut ∆ABC . Napiši sve vektore kojima su početna i završna točka vrhovi tog trokuta. a) Koliko se vektora dobilo?
Q
b) Izmjeri duljine tih vektora. c) Po čemu se razlikuju tvoji vektori?
44
Preslikavanja ravnine Primjer 4: Duljina vektora i fizikalne veličine Koliki je iznos brzine v, pomaka s, sile F i ubrzanja a sa slike?
vektora. Pri tome se rabi unaprijed zadano mjerilo. Primjerice, možemo uzeti da duljina od 1 cm prikazuje pomak točke ili nekog tijela za 1 km. Ili, duljina od 7 mm recimo, prikazuje veličinu sile od 10 njutna.
m m U našem primjeru brzina v = 6 ⋅ 5 ; = 30 s s pomak s = 4 ⋅1 km = 4 km ; sila F = 6 ⋅10 N = 60 N i ubrzanje m m . a = 5 ⋅2 = 10 2 s s2
Čemu služi kompas?
Rješenje: Iznos vektorske fizikalne veličine s naznačenom mjernom
jedinicom
predočavamo
Orijentacija u prostoru
duljinom
Primjer 5. Smjer i orijentacija vektora
Stoga, za vektore AB , CD i EF kažemo da su istog smjera.
U kojem su međusobnom položaju pravci Usporedni pravci
kojima pripadaju vektori sa slike?
Za dva pravca u ravnini kažemo da su a
B
A
C
D
usporedna ako: - ili nemaju niti jednu zajedničku točku p
e
E
q
F
- ili imaju sve zajedničke točke, tj. ako se podudaraju.
Rješenje:
a=b
Vektori AB i CD pripadaju istom pravcu, tj. pravcu a, a vektor EF pripada vektori istog pravcu e koji je usporedan s
smjera
pravcem a. a
B
A
C
D
Za vektore koji leže na usporednim pravcima (ili na istom pravcu) kažemo da imaju jednak smjer.
e
E
F
45
4.4. Vektori Vektori istog smjera mogu imati orijentacija
Pogledajmo vektor AB na slici. Strelica mu je
strelice usmjerene na istu stranu ili
vektora
usmjerena
na različite strane.
Pogledajmo vektore CD
i EF sa
slike. To su dva vektora istog smjera i strelice
na suprotnu stranu u odnosu na strelice vektora CD i EF . Za vektor AB kažemo da je suprotne orijentacije u odnosu na vektore CD i EF .
obaju vektora usmjerene su na istu stranu. Za takva dva vektora kažemo da su jednakih
Samo vektorima istog smjera možemo
orijentacija.
određivati orijentaciju.
Z a d a c i 12. Nacrtaj neki paralelogram ABCD i napiši sve
8. Za koje vektore kažemo da su istog smjera?
vektore kojima su početna i završna točka vrhovi 9. Pogledaj vektore na slici.
tog paralelograma.
D
a) Napiši sve vektore koji su istog smjera kao
C
vektor AB ; b) Napiši sve vektore koji imaju jednaku
S
orijentaciju kao vektor AB ; c) Napiši sve vektore koji su istog smjera kao
vektor AD ;
A
d) Napiši sve vektore koji imaju jednaku
B
a) Jesu li vektori b) Jesu li vektori c) Jesu li vektori d) jesu li vektori
AS AD AB AB
i DS i BC i BC i CD
orijentaciju kao vektor AD .
istog smjera? 13. Na slici je paralelogram ABCD i polovišta njegovih
istog smjera?
stranica E, F, G i H.
istog smjera? istog smjera?
D
10.
G
H
a) Kakvog smjera moraju biti vektori da bi uopće
C
F
mogli govoriti o njihovoj orijentaciji? b) Kakva orijentacija može biti?
A
11. Svi vektori sa slike su istog smjera jer pripadaju
E
B
Napiši sve vektore određene točkama A, B, C, D,
usporednim pravcima. Napiši koji od ovih vektori
E, F, G i H koji su istog smjera kao vektor
su jednakih orijentacija.
a) AB ; b) BC ; c) EF ; d) EH .
G
E
A
14. Nacrtaj paralelogram ABCD i polovišta E, F, G i H
R
njegovih stranica. Napiši sve vektore određene
C
točkama A, B, C, D, E, F, G i H koji su jednake
D B
46
F
P H
orijentacije kao vektor:
a) AB ; b) BC ; c) AC ; d) CB ; e) EF ; g) EH .
Preslikavanja ravnine 15. Nacrtaj paralelogram ABCD i njegove dijagonale.
16. Na slici je prikazana ruža vje
Sjecište dijagonala označi sa S. Napiši sve vektore
trova. Početak vektora poka
određene točkama A, B, C, D i S koji su jednakih
zuje ime vjetra koji ima na
orijentacija kao vektor
značeno usmjerenje. Napiši
a) AB ; b) CD ; c) AS ; d) SB ; e) CS ; g) SD .
parove vjetrova suprotnih orijentacija.
Primjer 6. Jednaki vektori
Za takve vektore kažemo da
Na slici je paralelogram ABCD. a) Što je isto vektorima AD i BC ? b) Što je isto vektorima AB i CD ? Što im je različito?
D
A
C
suprotni vektori
Krajnje
određuju
točke
svake
dužine
dva
suprotna vektora. Primjerice, krajnje točke dužine CD određuju vektore CD i DC . Ovi vektori su istog smjera, jednake duljine, ali suprotne orijentacije. Dakle, vektori CD i DC su suprotni vektori i pišemo DC = −CD .
B
Rješenje:
su suprotni vektori i pišemo: AB = −CD
a) Budući se radi o paralelogramu vektori AD i BC imaju jednaku duljinu i istog su smjera.
C
D
Osim toga vidimo da su im strelice usmjerene na
DC = -CD
istu stranu, pa zaključujemo da su ovi vektori i jednakih orijentacija. Za takve vektore kažemo da su jednaki vektori i pišemo AD = BC . b) Također, vektori AB i CD imaju jednaku du ljinu i istog su smjera, ali strelice ovih vektora usmjerene su na različite strane, pa zaključujemo
Važno Jednaki vektori Za dva vektora kažemo da su jednaka ako imaju jednaku duljinu, smjer i orijentaciju.
da su ovi vektori suprotnih orijentacija.
...
Suprotan broj broj u 3, pišemo - 3. Suprotan vektor vektoru CD , pišemo −CD
Pa to j e vektor DC !
Uèili smo da se umj esto “suprotan” može pisati znak “ - “.
Tako j e! Vektor DC j e vektor – CD
47
4.4. Vektori
Z a d a c i 24. Na slici se nalazi pravokutnik ABCD.
17. Kada su dva vektora jednaka?
D
C
18. Što suprotni vektori imaju isto, a što različito?
S 19. Koji su vektori sa slike međusobno jednaki? Ima li među njima suprotnih vektora?
A E
A
Jesu li vektori:
AS i SC , BS i SD , AB i DC , DA i CB jednaki?
R
G
B
C 25. Na slici je pravokutnik ABCD. Točke E, F, G i H su
D B
H
F
P
polovišta stranica pravokutnika.
D
G
C
20. Nacrtaj kvadrat ABCD. U vrhovima kvadrata nacrtaj strelice tako da dobiješ sljedeće parove
jednakih vektora: AB = DC i AD = BC . 21. Nacrtaj neku dužinu AB . Koji su vektori određeni
H
F
A
E
B
krajnjim točkama dužine AB . Kakvi su ti vektori
Napiši sve vektore kojima su krajnje točke vrhovi
međusobno? Zapiši to!
pravokutnika ili polovišta njegovih stranica, a koji su jednaki vektorima:
22. Dopuni ove jednakosti:
c) FG = - ……;
a) AE = - …… ;
d) −CF = ……
a) AE ;
b) EF ;
c) FG ;
d) CF .
b) −EF = …….; 26. Nacrtaj paralelogram ABCD. a) Napiši sve vektore kojima su početna i završna
23. Na slici je pravilni šesterokut ABCDEF.
E
točka vrhovi tog paralelograma. b) Koji su od tih vektora međusobno jednaki, a
D
koji suprotni?
F
C
27. Na slici je paralelogram ABCD i njegove dijagonale.
D
C S
A
B
a) Jesu li vektori AF i CD jednaki? Zašto?
b) Jesu li vektori AB i DE jednaki? Zašto? c) Dopuni jednakosti AB = − ……. d) Jesu li vektori BC i EF jednaki? Zašto? e) Dopuni jednakosti BC = − ……..
A
a) Napiši sve vektore kojima je jedna od krajnjih točaka vrh paralelograma, a druga sjecište njegovih dijagonala. b) Ima li među tim vektorima jednakih? Ako ima - napiši ih.
48
B
Preslikavanja ravnine
4.5. Zbrajanje i oduzimanje vektora Beni padobranac Beni uči vještinu skakanja s padobranom.
Gdje će Beni sletjeti? U prethodnoj temi smo na učili razlikovati dužinu i ve ktor, označavati vektore, određivati njihovu duljinu, prepoznati
vektore
istog
smjera i zaključiti jesu li takvi vektori jednakih ili su protnih orijentacija. Tako đer, naučili smo koja svoj stva moraju imati vektori da bi oni bili jednaki. U ovom poglavlju naučit ćemo zbrajati i oduzimati vektore, a za to nam je vrlo važno znati crtati međusobno jed nake vektore.
Primjer 1. Crtanje jednakih vektora i suprotnih vektora
Zadan je vektor AB i jedna, bilo koja točka T. a) Nacrtaj vektor TT ' koji je jednak vektoru AB ; b) Nacrtaj vektor TT '' koji je suprotan vektoru AB .
Rješenje:
a) Na slici je zadani vektor AB i neka točka T u ravnini. Trebamo nacrtati vektor TT ' tako da bude jednak vektoru AB .
49
4.5. Zbrajanje i oduzimanje vektora B
TT ' = AB jer ima jednaku duljinu, isti smjer i jednaku orijentaciju kao zadani vektor AB . Vektor
A
Koliko jednakih vektora možemo nacrtati u istoj T
1. Točkom T nacrtamo pravac t usporedan s pravcem AB.
ravnini? Pri crtanju vektora jednakog vektoru AB sasvim proizvoljno smo odabrali početnu točku T. Dakle, mogli smo je odabrati bilo gdje u ravnini. Stoga, možemo nacrtati beskonačno puno vektora jednakih zadanom vektoru AB .
t B
B A
sl. 1.
T
t A
2. U šestar uzmemo duljinu vektora AB . Iz
T
točke T nacrtamo kružni luk tako da presiječe pravac t i to s one strane ravnine prema kojoj je usmjeren vektor AB . T’ t B T’ A
b) Sada želimo nacrtati vektor TT '' koji je suprotan vektoru AB . Budući su suprotni vektori također jednake duljine i istog smjera,
T
postupamo isto kao pri crtanju jednakih vektora.
sl.2
Međutim, kako suprotni vektori imaju suprotnu orijentaciju, pravac t presiječemo s druge strane ravnine, tako da vektori budu suprotno
3. Sjecište kružnog luka i pravca t je završna točka vektora TT ' . t B T’ A T
50
sl.3
orijentirani. Vektor TT '' ima jednaku duljinu i isti smjer kao zadani vektor AB , ali suprotnu orijentaciju, pa vrijedi TT ' = −AB . Točka T je proizvoljno odabrana, pa smo mogli bilo gdje u ravnini nacrtati vektor suprotan zadanom vektoru AB .
Preslikavanja ravnine
Z a d a c i
1. Nacrtaj neki svoj vektor AB i točku koja ne pripada pravcu tog vektora. Potom nacrtaj vektor
jednak vektoru AB .
Nacrtajte vektor kojemu je N početna točka
i koji je jednak vektoru MQ . Zatim nacrtajte vektor kojemu je Q početna točka i koji je
jednak vektoru MN . Neka vektori imaju duljinu
2. Nacrtaj nekoliko jednakih vektora koji pripadaju
naznačenu na slici, a kut
a) Kako se zove četverokut kojeg ste dobili?
istom pravcu.
b) Vektorima MN i MQ promijeni duljine. Hoćeš
3. Nacrtaj neki svoj vektor MN i točku koja ne pripada pravcu tog vektora. Potom nacrtaj vektor
li ponovno dobiti istu vrstu četverokuta? c) Što možeš zaključiti?
suprotan vektoru MN .
6. Zadan je neki vektor AB duljine 3 cm. Odaberi
4. Nacrtaj nekoliko suprotnih vektora koji pripadaju istom pravcu.
proizvoljno tri točke C, D i E . Nacrtaj tri vektora
jednaka vektoru AB tako da svakom od njih početna točka bude jedna od ove tri točke.
5. Nacrtaj vektore MN i MQ tako da ne pripadaju istom pravcu. Pogledaj sliku.
B A C
Q
E
3 cm M
QMN odaberi po volji.
D 5 cm
N
Primjer 2. Zbrajanje vektora po pravilu trokuta
T M
Nacrtaj dva proizvoljna vektora MN i PQ , te neku točku T. a) Nacrtaj vektor jednak vektoru MN . Neka mu T bude početna točka, a završnu označi s T ’.
zbrajanje vektora
b) Nacrtaj vektor jednak vektoru PQ . Neka mu T ’
N
bude početna točka (to je završna točka vektora TT ' ), a završnu označi s T”. P
Q
Rješenje:
Nacrtajmo vektore MN , PQ i točku T. Postupak crtanja jednakih vektora nećemo više opisivati jer smo ga naučili u prethodnom primjeru.
51
4.5. Zbrajanje i oduzimanje vektora a) Najprije nacrtamo vektor TT ' jednak vektoru MN s početkom u točki T ;
ovim svojstvom kažemo da su nadovezani vektori. Vektor TT '' kojemu je početna točka početak vektora TT ' , a završna točka završetak vektora T ' T '' zove se zbroj vektora TT ' i T ' T '' i pišemo TT ' + T ' T '' = TT '' . Vektor TT '' jeste zbroj vektora MN i PQ jer je TT ' = MN i T ' T '' = PQ , pa možemo pisati MN + PQ = TT '' .
N T’ P
. Primijetimo da je završna točka prvog jednaka početnoj točki drugog vektora. Za vektore s
T
M
Sada ponovno pogledajmo vektore TT ' i T ' T ''
Q
sl a. b) Zatim nacrtamo vektor T ' T '' jednak vektoru PQ s početkom u točki T ’.
vektora zove se pravilo trokuta. C
AB + BC = AC
T
M
Način zbrajanja pomoću nadovezanih
AC BC A
N T’ P
T’’
B
Q
sl. b Zamislimo da je točka T ” nastala pomicanjem točke T u ravnini i to, prvo duž vektora TT ' , a nakon toga još duž vektora T ' T '' . Ako točku T ” promatramo na taj način onda smo točku T ” mogli dobiti izravnim pomicanjem točke T duž vektora TT '' . Pogledajte sliku. T
M
N P
52
AB
T’ Q
T’’
Ja sam nauèio zbraj ati po pravilu trokuta! I znam što j e bolj e.
molim?
Hoæu izravni let Split - Zagreb! A ne: Split - Dubrovnik, pa Dubrovnik - Zagreb!
Preslikavanja ravnine
Z a d a c i 7. Precrtaj u bilježnicu pa na svakoj slici odredi
10. Na slici su prikazane tri sile. Jedna od njih je
vektor koji je zbroj istaknutih vektora. a)
b)
c)
F
rezultanta drugih dviju sila. Koja? a)
J
b)
A
A
F1
B
E
C
K
d)
e)
N
B F1
D
C
c)
D
F2
F3
F3
F2 B
E
J
d)
e)
K
G G
L
H
K
I
F2
F3
F3
F2
F3
F1
L
F1
J
F1 F2
L
11. Nacrtaj paralelogram ABCD i njegove
H
M
I
dijagonale. Označi sjecište dijagonala sa S.
O
Koristeći sliku napiši zbrojeve ovih vektora:
8. Precrtaj u bilježnicu pa na svakom crtežu odredi
a) AS + SB =
c) BS + SD =
b) AD + DC = d) BD + DC =
vektor AB + BC . 12. Pogledaj sliku pravilnog šesterokuta i napiši a)
b)
A
A
B
B
C
zbrojeve ovih vektora: a) AS + SC = c) AS + BC = e) ES + FA =
E
b) AD + DC = d) AF + SD =
f) SF + SD =
D
C
c)
d)
D
C
A
B
B
C
S
F
C
A
D
A
B
13. Na karti su prikazani letovi
9. Vektor MN ima duljinu 3 cm, a duljina vektora PQ dva puta je veća. Nacrtaj ove vektore tako da nemaju isti smjer, a zatim odredi vektor MN + PQ .
koji povezuju Pariz, Dover i London. Ispiši sve zbrojeve vektora koje vidiš na toj slici. Umjesto imena gradova stavi točke L, D i P.
53
4.5. Zbrajanje i oduzimanje vektora Primjer 3. Zbrajanje vektora po pravilu paralelograma
F1
2.
F
K
Na tijelo djeluju sile F1 i F2 kao što je
prikazano na slici. Grafički prikaži rezultantnu silu.
F’2
L F2
F1 Vektori s istom početnom točkom
K
U prethodnom zadatku vektori F1 i F2 imaju istu početnu točku. Nacrtali smo vektor F2 '
F2
jednak vektoru F2 tako da počinje u završetku
Rješenje:
Nacrtamo vektor F2 ' jednak vektoru sile F2
vektora F1 . Na taj način smo dobili dva
nadovezana vektora i prema pravilu trokuta
tako da mu je početna točka u završetku
zbroj vektora F1 i F2 je vektor F . No, uočimo
vektora sile 1. F1 .
da se slika iz prethodnog zadatka može lako
F’2
F1
nadopuniti do paralelograma.
Samo povučemo dužinu usporednu s F1 iz
K
završne točke vektora
F2 . Zato ovakav
F2
F1
način zbrajanja
F = F1 + F2 ' . Prema pravilu trokuta vektor Kako je F2 ' = F2 onda je F rezultantna sila.
zbrajanje po pravilu
L F2
paralelograma.
14. Precrtaj u bilježnicu pa grafički prikaži
F
K
vektora zovemo
F’2
15. Sila F1 = 3 N, a sila F2 = 5 N. Grafički odredi
rezultantnu silu.
rezultantnu silu ako pravci tih sila zatvaraju kut od:
a)
b)
F2
F2
a) 120°;
T F1
M
b) 30°;
c) 90°;
d) 0°.
Prije toga odaberi mjerilo, na primjer duljini vektora od 1 cm neka odgovara iznos sile od 1 N.
F1 c)
16. Na osnovu rezultata iz prethodnog zadatka
d) F1 W F2
54
za zbroj sila F1 i F2 zaključi ovisi li taj zbroj o kutu pod kojim djeluju te sile. Ako ovisi, odgovori kako ovisi?
F1 A1
F2
Preslikavanja ravnine b) Neka su zadani vektori MN i AB istog smjera
Primjer 4. Zbrajanje vektora istog smjera
i suprotnih orijentacija.
Zbrojimo dva vektori istog smjera i
M
a) jednakih orijentacija;
B
N
b) suprotnih orijentacija.
A
Rješenje:
a) Neka su zadani vektori MN i AB istog smjera i jednakih orijentacija.
Nacrtajmo vektor BC jednak vektoru MN s početkom u točki B. M
B
M
B
N
N
C A
A
Nacrtajmo vektor BC jednak vektoru MN s
Vektori AB i BC su nadovezani vektori, pa prema pravilu trokuta njihov zbroj je vektor AC .
početkom u točki B. C
N
AB+BC=AC
B
M
M
A
B
N
Vektori AB i BC su nadovezani vektori, pa prema pravilu trokuta njihov zbroj je vektor AC . AB+BC=AC N M
C B
A Primijetimo da vektori AB , BC i AC pripadaju istom pravcu i da je vektor AC zbroj vektora MN i AB jer je BC = MN .
Primjer 5. Nul-vektor Na pravcu p istakni jednu točku, primjerice A. Napiši vektor kojemu je točka A početna i završna točka.
C A
Primijetimo da vektori AB , BC i AC pripadaju istom pravcu i da je vektor AC zbroj vektora MN i AB jer je BC = MN . Što bi bio zbroj vektora MN i AB da je vektor MN = AB ?
Vektor kojemu se početna i završna točka poklapaju nazivamo nul-vektor i označavamo ga s 0 . U našem primjeru vektor AA = 0 . Kolika je duljina nul-vektora? Znamo da je duljina vektora udaljenost njegove
Rješenje: Kako je A i početna i završna točka onda je to vektor AA .
početne i završne točke. Jasno da je duljina nul-vektora jednaka 0.
55
4.5. Zbrajanje i oduzimanje vektora Primjer 6. Zbroj suprotnih vektora
Sjetimo se čestog primjera iz fizike: na neko
Nacrtaj dva suprotna vektora i odredi njihov
tijelo djeluju dvije sile jednake po iznosu i istog
zbroj.
smjera, ali suprotnih orijentacija.
Rješenje:
Vektori AB i BA suprotni su vektori. A
B
F2
F1
200 N
200 N
Rezultanta tih sila jednaka je nuli.
A
Zbrajamo
li
dva
suprotna
vektora,
nakon
nadovezivanja, završna točka drugog vektora podudarit će se s početnom točkom prvog vektora. Dakle, vektor koji je zbroj suprotnih vektora imat će početak i kraj u istoj točki. AB + BA = AA = 0 Zbroj dva suprotna vektora jednak je nulvektoru.
Z a d a c i 17. Luka vuče konopac na jednu stranu silom od
19. Izračunaj:
250, a Matija na drugu stranu silom od
a) AC + CA ;
b) MN + NM ;
a) 200 N;
c) PQ + QP ;
d) KL + LK .
b) 250 N.
Izračunaj napamet rezultantnu silu i prikaži je grafički. Uzmi da duljini vektora od 10 cm
20. Nacrtaj nekoliko parova suprotnih vektora na
odgovara iznos sile od 200 N.
način prikazan na slici.
B1
18. Nacrtaj paralelogram i sjecište S njegovih dijagonala. Odredi sljedeće vektore:
a) AS + SC ; d) SB + BD ;
b) AS + SB ; e) SB + BC ;
A
c) SA + SC ; f) AD + DB .
B
U šestom razredu smo naučili da svako oduzimanje brojeva možemo prikazati oduzimanje vektora
kao zbrajanje sa suprotnim brojem. Podsjetimo se. 3 – 2 = 3 + (–2) = ? 3 5 3 5 − = + − = 4 4 4 4 ? 7.3 – 6.5 = 7.3 + (–6.5) = ? Kod oduzimanja vektora razmišljamo na sličan način. Pogledajmo sljedeći primjer.
56
Preslikavanja ravnine Primjer 7. Oduzimanje vektora
kao na slici. To je vektor BC1 , naime BC1 = −BC .
Zadanim vektorima AB i BC odredi: a) njihov zbroj AB + BC ; b) njihovu razliku AB − BC .
C
a) Neka su zadani vektori AB i BC kao na slici. Vektori AB i BC su nadovezani vektori. Njihov zbroj, prema pravilu trokuta, je vektor AC .
C
B
A
B
A AB-BC
C
C
C1
AB+BC
A
B
A
C1
Na slici vidimo da je AB + BC1 = AC1 . Ako umjesto BC1 zapišemo −BC , dobijemo da je AB + ( −BC ) = AC1 ili, kraće AB − BC = AC1 B
b) A sada pogledajmo kako ćemo od vektora AB oduzeti vektor BC . U završnoj točki vektora AB nadovežemo vektor koji je suprotan vektoru BC
Primjer 8. Razlika vektora Nacrtaj dva proizvoljna vektora MN i PQ i odredi razliku MN − PQ .
Oduzeti od vektora AB vektor BC znači isto što i vektoru AB dodati vektor suprotan vektoru BC , tj. AB − BC = AB + ( −BC ) . a) Iz točke T nacrtajmo vektor TT ' jednak vektoru MN ; T M
Rješenje:
Nacrtajmo vektore MN , PQ i neku (bilo koju) točku T;
T
M
N
sl a.
T’
P
Q
b) Zatim iz točke T’ nacrtamo vektor T ' T '' koji je suprotan vektor vektoru PQ , tj. T ' T '' = - PQ . T
M
N
N
sl. b P
Q
P
T’’
T’ Q
Prema pravilu trokuta TT ' + T ' T '' = TT '' . Vektor TT '' je razlika vektora MN i PQ jer je TT ' = MN i T ' T '' = −PQ , pa možemo pisati MN − PQ = TT '' .
57
4.5. Zbrajanje i oduzimanje vektora
Z a d a c i 21. Precrtaj u bilježnicu pa na svakom crtežu odredi
d)
vektor AB − BC . a)
HI - IG
G
b)
A
A H B I
B
C
C
c)
D
C
23. Nacrtaj bilo koja dva vektora AB i CD i nacrtaj
d)
B
vektor AB − CD .
A
24. Nacrtaj bilo koja dva vektore MN i KL i nacrtaj
A
B
C
D
a) vektor MN − KL ; b) vektor KL − MN .
22. Precrtaj u bilježnicu pa odredi naznačene razlike 25. Skiciraj trokut ∆ABC i odredi koji je vektor
vektora na slici.
AB-BC
a)
razlika vektora
A
a) BC − AC ; b) CA − BA ; c) AB − CB ? 26. Konstruiraj jednakostraničan trokut kojem je
b)
B
LJ - JK
C
stranica dugačka 3 cm. Simetralama dužina odredi polovište svake stranice.
J
A
D K
T
L c)
E
MN-OM B
N
F
C
Odredi razlike vektora:
M O
58
a) AT − BT ;
b) AE − BE ;
c) BD − CD ;
d) CF − AF ;
e) BT − CT ;
f) CT − AT .
Preslikavanja ravnine
Vježb lica a
1. Na pravcu p istakni dužinu AB i usmjeri je tako da joj B bude početna, a A završna točka. Napiši oznaku za dobiveni vektor. 2. Na pravcu a istakni dužinu LM i usmjeri je tako da joj L bude početna, a M završna točka. Napiši oznaku za dobiveni vektor. 3. Nacrtaj četverokut ABCD. Napiši sve vektore kojima su početna i završna točka vrhovi tog četverokuta. Izmjeri duljine tih vektora. 4. Nacrtaj peterokut ABCDE. Napiši sve vektore kojima su početna i završna točka vrhovi tog peterokuta. Izmjeri duljine tih vektora. 5. Nacrtaj neki paralelogram ABCD i napiši sve vektore kojima su početna i završna točka vrhovi tog paralelograma. a) Napiši sve vektore koji su istog smjera kao
vektor BA ;
b) Napiši sve vektore koji imaju jednaku orijentaciju kao vektor DA ; c) Napiši sve vektore koji su istog smjera kao vektor BC ; d) Napiši sve vektore koji imaju jednaku
orijentaciju kao vektor CD . 6. Nacrtaj paralelogram ABCD i polovišta E, F, G i H njegovih stranica Napiši sve vektore određene točkama A, B, C, D, E, F, G i H koji su istog smjera kao vektor a) AD ;
b) CD ;
c) FG ; d) HE .
7. Nacrtaj paralelogram ABCD i polovišta E, F, G i H njegovih stranica. Napiši sve vektore određene točkama A, B, C, D, E, F, G i H koji su jednake orijentacije kao vektor a) CD ; b) AB ; c) CA ; d) EH ; e) HG ; f) CG . 8. Nacrtaj paralelogram ABCD i njegove dijagonale. Sjecište dijagonala označi sa S. Napiši sve vektore određene točkama A, B, C, D i S koji su istog smjera kao vektor a) BC ; b) DA ; c) CS ; d) AS ; e) BS ; f) BD . 9. Nacrtaj pravilni šesterokut ABCDEF i njegove dulje dijagonale. Sjecište dijagonala označi sa S. Napiši sve vektore određene vrhovima šesterokuta i točkom S koji su jednakih orijentacija kao vektor a) BC ; b) DA ; d) AS ; e) BS ;
c) CS ;
f) SE .
10. Nacrtaj pravilni šesterokut ABCDEF i njegove dulje dijagonale. Sjecište dijagonala označi sa S. Napiši sve vektore određene vrhovima šesterokuta i točkom S koji su istog smjera kao vektor a) FE ; d) AS ;
b) FC ; e) FS ;
c) DE ; f) ES .
11. Napiši sve vektore kojima su krajnje točke vrhovi pravokutnika ABCD ili polovišta njegovih stranica E, F, G, H, a koji su jednaki vektorima: a) FE ; b) AH ;
c) DG ;
d) GD
59
4.5. Zbrajanje i oduzimanje vektora 12. Nacrtaj pravilni šesterokut ABCDEF i njegove
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
dulje dijagonale. Sjecište dijagonala označi sa S. Napiši sve vektore određene vrhovima šesterokuta i točkom S koji su jednaki kao vektor a) BC ; d) AS ;
b) DA ;
c) CS ;
e) BS ;
f) SE .
13. Nacrtaj pravilni šesterokut ABCDEF. a) Napiši sve vektore kojima su početna i završna točka vrhovi tog šesterokuta i leže na stranicama tog šesterokuta. b) Koji su od tih vektora međusobno jednaki, a koji suprotni? 14. Nacrtaj neki svoj vektor CD i točku K koja
ne pripada pravcu tog vektora. Potom nacrtaj vektor jednak vektoru CD . 15. Nacrtaj neki svoj vektor MN i točku P koja ne pripada pravcu tog vektora. Potom nacrtaj vektor suprotan vektoru MN s početkom u točki P.
16. Nacrtaj neki svoj vektor AB i točku S koja ne pripada pravcu tog vektora. Potom nacrtaj vektor jednak vektoru AB s početkom u točki S. 17. Nacrtaj neki svoj vektor CD i točku E koja
ne pripada pravcu tog vektora. Potom nacrtaj vektor suprotan vektoru CD s početkom u točki E. 18. Precrtaj vektore u bilježnicu i odredi: a) njihov zbroj; b) njihovu razliku: a)
60
b)
Preslikavanja ravnine 19. Nacrtaj bilo koja dva vektore AN i EF i nacrtaj
a) vektor AN +EF ; b) vektor EF − AN . 20. Nacrtaj bilo koja dva vektore MG i RL i nacrtaj a) vektor MG − RL ; b) vektor RL + MG .
21. Nacrtaj bilo koja dva vektore AB i CD i nacrtaj a) vektor CD + AB ; b) vektor AB − CD . 22. Nacrtaj bilo koja dva vektore DS i GH i nacrtaj a) vektor DS − GH ; b) vektor GH + DS . 23. Nacrtaj dva vektora a i b koji nisu istog smjera
i odredi: a) a + b ;
b) a − b ;
c) b − a .
24. Nacrtaj dva vektora a i b koji jesu istog smjera
i odredi: a) a + b ;
b) a − b ;
c) b − a .
25. Nacrtaj dva vektora a i b koji su iste
orijentacije i odredi: a) a + b ; b) a − b ;
c) b − a .
26. Vektor MN ima duljinu 2 cm, a duljina vektora PQ dva puta je veća. Nacrtaj ove vektore tako da nemaju isti smjer, a zatim odredi vektor MN + PQ .
29. Vektor MN ima duljinu 4.4 cm, a duljina vektora PQ dva puta je manja. Nacrtaj ove vektore tako da nemaju isti smjer, a zatim odredi vektor MN + PQ . 30. Vektor MN ima duljinu 4.2 cm, a duljina vektora PQ tri puta je manja. Nacrtaj ove vektore tako da imaju isti smjer, a zatim odredi vektor MN + PQ . 31. Nacrtaj pravokutnik ABCD sjecište S njegovih dijagonala. Odredi sljedeće vektore: a) AB + BC ; b) AS + DS ; c) d) SB + AD ; e) DC − CB ; f)
SA − CD ; BC − BD .
32. Konstruiraj jednakostraničan trokut ABC kojem je stranica dugačka 4 cm. Simetralama dužina odredi polovište svake stranice D, E, F. Sa T označi težište trokuta. Odredi vektore: a) AT + TD ; c) BD + DC ;
b) AF − BF ; d) CF − AF .
33. Nacrtaj pravilni šesterokut ABCDEF. Sjecište dijagonala označi sa S. Odredi sljedeće vektore: a) FS + SD ; b) AF − SF ; c) BC + SE ; d) CF − DS ; e) AF + SC ; f) ES − AF ; g) BC + BS ; h) CF − BA ; i) AB + AS ; j) SC − ES ; k) BS + CD ; l) CS − AF ; m) BS + ED ; n) ES − SA .
27. Vektor MN ima duljinu 1.5 cm, a duljina vektora PQ tri puta je veća. Nacrtaj ove vektore tako da imaju isti smjer, a zatim odredi vektor MN + PQ . 28. Vektor MN ima duljinu 1.8 cm, a duljina vektora PQ za dva cm je veća. Nacrtaj ove vektore tako da nemaju isti smjer, a zatim odredi vektor MN + PQ .
61
4.6. Translacija
4.6. Translacija Premjesti ribicu Maja želi istu ovakvu ribicu preslikati na drugo mjesto na papiru. Slika ribice iz uvodnog zadatka lako se dobije ako otkrijete u kojem smjeru i koliko daleko ju je Maja pomaknula. U ovoj temi ćemo upravo naučiti takvo preslikavanje točaka ravnine koje se zove usporedni pomak ili translacija. Već možemo naslutiti da postoji veza između ovog preslikavanja točaka ravnine i vektora. translacija = prijenos, usporedni pomak translatirati = prenijeti, premjestiti Dovrši preslikavanje
p B
Pogledajmo vektor AB koji pripada pravcu p. Za točku B možemo reći da je nastala pomicanjem točke A duž pravca p.
A
Primjer 1. Translacija točaka Istaknimo u istoj ravnini još jednu točku, primjerice točku T, pa iz točke T nacrtajmo vektor koji je jednak vektoru AB . Jednake vektore znamo crtati, pogledajte ove tri sličice. (1)
p B
t
(2)
p B
t
(3)
p B
T’
T’ A
A
A T
jednaki vektori: • pripadaju usporednim pravcima (istog su smjera) • jednakih su orijentacija
t
T
T
Dobili smo vektor TT ' = AB . Točke A i T su napravile isti pomak duž usporednih pravaca p i t. Zato i kažemo da smo točku T usporedno pomaknuli ili translatirali za vektor AB i dobili točku T’. Primijetimo da je vektorom AB određeno točno kamo i koliko daleko će se točka T pomaknuti u ravnini. Za točku T’ kažemo da je slika točke T pri translaciji za vektor AB . Translacija za vektor AB Translacija ili usporedni pomak za vektor AB je preslikavanje koje svakoj točki T ravnine pridružuje točku T’ te iste ravnine, takvu da je TT ' = AB .
62
Preslikavanja ravnine Primjer 2. Translacija dužine
Nacrtaj neku dužinu EF i neki vektor MN . Odredi sliku dužine EF pri translaciji za vektor MN .
(3) Ako odaberemo po volji još nekoliko točaka dužine EF i translatiramo ih za vektor MN njihove slike pripadat će dužini E ' F ' . Pa mo žemo zaključiti da je dužina E ' F ' slika dužine EF , tj. da pri translaciji dužine opet nastaje
Rješenje: Znamo da dužina ima beskonačno mnogo točaka. Vidjet ćemo da je dovoljno naći slike
dužina. (3)
krajnjih točaka dužine. E
M
(1) Iz krajnjih točaka dužine nacrtamo vektore jednake vektoru MN . Krajnje točke se
F
N
preslikavaju u točke E’ i F’.
F’
E’
(2) Nacrtamo dužinu E ' F ' . Primijetimo da je pri translaciji dužine EF nastao paralelogram EE’F’F, pa su dužine EF i E ' F '
(1)
M
sukladne i usporedne.
F
E
Ovo
važno EF = E ' F ' i EF E ' F '
F’
E’ (2)
Translacijom ravnine za zadani vektor
F
E
dužina se preslikava opet u dužinu koja joj je sukladna, a uz to i usporedna.
N
F’
E’
Primjer 3. Translacija pravca
(1)
Nacrtaj neki pravac a i neki vektor PQ . Odredi a
A
Rješenje:
(2)
Stoga,
na
pravcu
B Q
P
Znamo da je svaki pravac određen dvjema točkama.
Q P
sliku pravca a pri translaciji za zadani vektor.
različitim
vrlo
svojstvo translacije.
N
M
je
A’
a
odaberemo po volji dvije točke, primjerice A i B, pa ih translatiramo za vektor PQ .
B’
a A (3)
B Q
P A’
a’
B’
a A
B
63
4.6. Translacija Točkama A’ i B’ (koje su slike točaka A i B)
Kao što vidimo točke
A, B, A’ i B’
nacrtamo pravac a’. Kažemo da translacija za vektor PQ pravcu a pridružuje pravac a’. Pravac
vrhovi su paralelograma ABB ' A ' , pa zaključujemo da su pravac a i njegova
a’ je slika pravca a.
slika a’ međusobno usporedni pravci.
a a'
Translacijom ravnine za zadani vektor pravac se preslikava u pravac koji mu je usporedan.
Z a d a c i
1. Nacrtaj nekoliko točaka i neki vektor MN . Odredi slike tih točaka pri translaciji ravnine za vektor
MN .
4. Nacrtaj pravac p i istakni na njemu tri točke A, B i C. Odredi sliku točke B pri translaciji za vektor
AC .
2. Nacrtaj dužinu AB duljine 4 cm i neki vektor
MN . Odredi sliku A' B ' dužine AB pri translaciji za vektor MN . a) Provjeri mjerenjem je li A' B ' = AB = 4 cm; b) Odredi sliku P’ polovišta P dužine translacijom
za vektor MN . Provjeri je li P’ polovište dužine
5. Nacrtaj vektor AB i točke D, E i F. Translatiraj te točke za zadani vektor.
6. Nacrtaj vektor AB u smjeru jug-sjever, duljine 3 cm i točke K, L i M. Translatiraj te točke za zadani vektor.
A' B ' .
7. Nacrtaj vektor AB u smjeru istok-zapad, duljine
3. Nacrtaj pravac a i neki vektor MN . Odredi sliku
p’ pravca p pri translaciji ravnine za vektor MN .
Primjer 4. Translacija trokuta
26 mm i točke P, R i S. Translatiraj te točke za zadani vektor.
M
N
Kako bismo translatirali neki trokut za zadani vektor?
B
B’ A
Rješenje:
A’
Nacrtajmo trokut ∆ABC i neki vektor MN . Dovoljno je vrhove trokuta translatirati za zadani vektor. Naime, translacijom za vektor MN točkama A, B i C pridružene su redom točke A’, B’ i C’ koje određuju trokut ∆A’ B’ C ’ . Kako je AB = A ' B ' , BC = B ' C ' i AC = A ' C ' , trokut ∆ABC ≅ ∆A ' B ' C ' po poučku o sukladnosti trokuta stranica-stranica-stranica.
64
C
C’
Pri translaciji ravnine svakom trokutu se pridružuje sukladan trokut.
Preslikavanja ravnine Primjer 5. Translacija kružnice
Translatiraj kružnicu k( S , 2 cm ) za vektor MN .
Nakon toga konstruiramo kružnicu k '( S ', 2 cm ) .
Rješenje:
N
Dovoljno je translatirati središte S kružnice.
M
Točka S’ je slika središta S.
S’
N
S
M S’ S
Z a d a c i 8. Nacrtaj dva pravca koja se sijeku u točki S i točku A koja ne pripada nijednom od ta dva pravca. Odredi slike tih pravaca translacijom za vektor
SA .
12. Konstruiraj trokut ∆ABC kojemu je zadana duljina jedne stranice i veličina dvaju kutova uz nju: a = 3 cm, β = 45°, γ = 60°. Odredi sliku
trokuta ∆ABC pri translaciji za vektor AC .
9. Nacrtaj tri koncentrične kružnice i neki vektor
AB . Odredi slike tih kružnica pri translaciji za vektor AB .
13. Konstruiraj jednakostraničan trokut duljine stranice 3 cm, te središte S trokutu opisane kružnice. Odredi sliku tog trokuta pri translaciji
10. Konstruiraj kvadrat duljine stranice 3.5 cm.
za vektor AS .
Translatiraj taj kvadrat za vektor AS . Točka S je središte kvadrata.
14. Konstruiraj jednakokračan trokut kojemu je zadana duljina osnovice a = 6.5 cm i kuta
11. Translatiraj dužinu, trokut i kružnicu sa ove slike
za vektor MN .
nasuprot njoj α = 120°, te istakni točku D van tog trokuta. Odredi sliku tog trokuta pri translaciji za vektor:
M
C
A
B N
S
a) AD ;
b) DC ;
c) BD .
15. Konstruiraj pravokutan trokut kojemu je zadana duljina hipotenuze i jednog šiljastog kuta: c = 6.5 cm, β = 60°. Odredi sliku tog trokuta pri
translaciji za vektor AB .
65
4.6. Translacija
16. Nacrtaj vektor AB u smjeru zapad-istok,
duljine 16 mm i dvije spojene dužine MN i NR .
23. Nacrtaj sličan lik u bilježnicu pa translatiraj kuću za
vektor AB .
Translatiraj te dužine za zadani vektor. Promotri nacrtane dužine. Što primjećuješ?
17. Nacrtaj neki vektor AB i dvije usporedne dužine
MN i NR , jednakih duljina. Translatiraj te dužine za zadani vektor. Promotri nacrtane dužine. Što primjećuješ?
18. Nacrtaj neki vektor AB i dvije dužine MN
24. Nacrtaj neki osmerokut (kao na slici) u bilježnicu pa ga translatiraj za vektor A8 A3
i TR koje se sijeku. Translatiraj te dužine za
A6
A5
zadani vektor. Promotri nacrtane dužine. Što A7
primjećuješ?
A4
19. Nacrtaj dva pravca koji se sijeku i vektor MN
A8
izvan njih. Translatiraj oba pravca za taj vektor.
A3
Pogledaj dobivene pravce. Sijeku li se njihove
A1
slike?
20. Nacrtaj dva usporedna pravca i vektor MN
A2
25. Nacrtaj ovakav trapez i točku D’ u bilježnicu. Odredi vektor translacije i dovrši preslikavanje trapeza.
D
izvan njih. Translatiraj oba pravca za taj
C
vektor. Pogledaj dobivene pravce. U kakvom su međusobnom položaju? U kakvom su položaju prema početnim pravcima?
A 21. Konstruiraj jednakokračan trokut DABC kojemu je osnovica duljine 5 cm, a kraci duljine 4 cm.
Translatiraj ga za vektor BC .
22. Nacrtaj sličan lik u bilježnicu pa preslikaj ovaj crtež
tako da ga translatiraš za vektor NO .
D’
B
26. Nacrtaj dvije sukladne kružnice. Odredi vektor translacije pri kojoj je jedna kružnica slika druge kružnice. 27. Precrtaj ovu sliku u bilježnicu. Četverokut A’B’C’D’ je slika četverokuta ABCD pri translaciji ravnine
za vektor MN . No, izbrisao se i vektor translacije i još neki vrhovi četverokuta i njegove slike. Otkrij vektor translacije i vrhove koji nedostaju.
D’
C’ C
A’
B
66
Preslikavanja ravnine
Translacija točaka u koordinatnoj ravnini U koordinatnoj ravnini su nacrtani vrhovi A(2, 4), B(6, 3) i C(5,6) trokuta. Pogledajmo na slici gdje se nalaze njihove slike nakon translacije za vektor OE . C (5, 6)
6
4
(2, 4) A B (6, 2)
2
-2
0 O 0
2
-2
4
A’ 6 (9, 2)
C’ (9, 2)
10
8
B’ (10, -2) -4
E (4, -4)
Početna točka vektora OE je u koordinatnom ishodištu, a završna ima koordinate (4,-4). Slika točke A(2,4) je točka A’(6,0). Vidimo da se prva koordinata povećala za 4, a druga za -4. Na isti način su se promijenile koordinate točaka B i C.
Z a d a c i : 28. Nacrtaj u koordinatnoj ravnini točke A(2, 3), B(-5, 5), C(1, -1) i D(-2, 4). Translatiraj zadane
4
točke za vektor OC . Točka O je ishodište.
A’
Očitaj i zapiši koordinate translatiranih točaka. 2
29. Nacrtaj u koordinatnoj ravnini točke V(-6, 1), L(5, -2), A(-4, -4), T(-3, 3), K(0, -2), I(2, 3) i C(-1, 4). Translatiraj zadane točke
za vektor OL . Očitaj i zapiši koordinate
A
0 -2
0
2
4
6
translatiranih točaka. 32. Konstruiraj pravilan šesterokut ABCDEF sa 30. Vrhovi trokuta imaju koordinate: A(5,-1), B(2,4) i C(6,-4). Odredi sliku ovog trokuta pri
stranicom duljine 33 mm. Označi njegovo središte sa S, najprije ga translatiraj za vektor
translaciji za vektor kojemu je početna točka
AB pa zatim za vektor BC . Jesi li zadatak
koordinatno ishodište, a završna točka L(-2,3).
mogao jednostavnije riješiti? Objasni kako?
Izračunaj površinu i opseg trokuta ∆ABC prije translacije i nakon translacije. Što zaključuješ?
33. Konstruiraj pravilan šesterokut ABCDEF sa stranicom duljine 33 mm. Označi njegovo
31. Točka A’ je slika točke A pri translaciji. Izračunaj
središte sa S pa ga translatiraj za vektor AS .
duljinu vektora translacije.
67
4.6. Translacija D
Primjer 6. Kompozicija preslikavanja
a
E A
Odredi sliku trokuta ∆ABC pri rotaciji oko točke S za 120°, a zatim njegovu sliku translatiraj za vektor DE .
S
B
B’
C’
C
Rješenje:
B’’ A’
Nacrtajmo neki ∆ABC , točku S, kut α = 120° i vektor DE .
C’’ A’’
Trokutu ∆ABC pridružili smo trokut ∆A’’ B’’ C ’’
D
uzastopnom primjenom dvaju preslikavanja. U E
našem
primjeru
najprije
rotacije,
pa
translacije. Umjesto rotacije i translacije mogli smo primijeniti bilo koje drugo geometrijsko
A
preslikavanje. Preslikavanje koje je sačinjeno od
S
B
dva povezana preslikavanja zove se kompozicija preslikavanja. Uzastopna primjena dvaju (ili više) preslikavanja zove se kompozicija
C
preslikavanja.
Rotacijom oko točke S za zadani kut α trokut ∆ABC se preslikava u ∆A’ B’ C ’ .
Kada bismo trokut ∆ABC izrezali škarama i prislonili na trokut ∆A’’ B’’ C ’’ u odgovarajućem položaju, oni bi se poklapali. To smo mogli i
D
očekivati budući znamo da se rotacijom dužina preslikava u njoj sukladnu dužinu. Isto tako
a
E
translacijom se dužina preslikava u njoj sukladnu dužinu.
A B
Dakle
AB ≅ A ' B ' i A ' B ' ≅ A '' B '' pa
zaključujemo AB ≅ A '' B '' .
S
Zaključujemo da se kompozicijom rotacije i translacije dužina preslikava u njoj sukladnu dužinu. B’
Do istog zaključka bi došli da smo primijenili bilo C’
koja dva preslikavanja koja smo učili u ovom poglavlju: osnu
C
simetriju, centralnu simetriju, A’
rotaciju i translaciju jer ova preslikavanja imaju svojstvo da dužinu preslikavaju u sukladnu
Iza toga se trokut ∆A’ B’ C ’ translacijom za vektor DE preslikava u trokut ∆A’’ B’’ C ’’ .
68
dužinu.
simetrija i rotacija
Preslikavanja ravnine
Z a d a c i 34. Nacrtaj dužinu AB pa odredi njenu sliku nakon
37. Nacrtaj dužinu AB i dvije točke C i D koje ne
uzastopnog preslikavanja najprije rotacijom oko
pripadaju toj dužini. Odredi sliku dužine AB
točke A za kut - 60°, a onda rotacijom oko točke
nakon uzastopnog izvođenja centralnih simetrija
B’ za kut 60°.
s obzirom na točku C, pa točku D.
35. Zadan je trokut ∆CDE, pravac p, točka S i kut
38. Nacrtaj kvadrat ABCD. Izvedi kompoziciju
od α = 60° . Precrtaj ovaj crtež u bilježnicu i
preslikavanja kvadrata tako da najprije izvedeš
odredi sliku trokuta ∆CDE nakon uzastopnog
rotaciju oko vrha A za kut 60°, pa osnu simetriju
preslikavanja najprije osnom simetrijom s
s obzirom na pravac kojem pripada njegova
obzirom na pravac p, a onda rotacijom oko točke
stranica AB .
S za ku t α = 60° . 39. Što ćeš dobiti ako jednakostraničan trokut šest
E
puta uzastopno rotiraš oko vrha A za kut od 60°?
S
40. Ako prvo translatiramo trokut ABC za vektor
C
DG , a zatim njegovu sliku rotiramo za 120° oko
D
neke točke S, hoće li se takav trokut poklapati s
p
trokutom A’’B’’C’’?
36. Konstruiraj jednakostraničan trokut DABC sa stranicama duljine 4 cm. Translatiraj ga za vektor
AC .
41. Konstruiraj pravokutan trokut DABC kojemu su katete duljina 3 cm i 4cm. Translatiraj ga za vektor AB .
Vježb lica a
1. Nacrtaj dužinu AB duljine 5 cm i neki vektor
AC . Odredi sliku A ' B ' dužine AB pri translaciji za vektor AC .
2.
Nacrtaj pravac a i neki vektor AB tako da je
A ∈ a . Odredi sliku a’ pravca a pri translaciji ravnine za vektor AB .
3. Nacrtaj pravac a i neki vektor AB tako da
A ∉ a . Odredi sliku a’ pravca a pri translaciji ravnine za vektor AB . 4.
Nacrtaj dva pravca koja se sijeku u S i točku A koja ne pripada nijednom od ta dva pravca. Odredi slike tih pravaca translacijom za vektor
AS .
69
4.6. Translacija
5. Nacrtaj dvije koncentrične kružnice k1(S ,3cm )
i k2(S ,5cm ) i neki vektor AB . Odredi slike tih
kružnica pri translaciji za vektor AB .
10. Konstruiraj jednakokračan trokut kojemu je zadana duljina osnovice a = 5.4 cm i kuta nasuprot njoj α = 70°, te istakni jednu točku D izvan tog trokuta. Odredi sliku tog trokuta pri
6. Konstruiraj kvadrat ABCD duljine stranice 4 cm. Translatiraj taj kvadrat za vektor
BS . Točka S
je središte kvadrata.
translaciji za vektor DA . 11. Konstruiraj pravokutan trokut kojemu je zadana duljina hipotenuze i jednog šiljastog kuta:
7. Precrtaj slike u bilježnicu i odredi translacije trokuta za zadani vektor:
c = 7 cm, β = 30°. Odredi sliku tog trokuta pri
translaciji za vektor AC . 12. Nacrtaj u koordinatnoj ravnini točke A(–2, 3),
a)
B(3, 5), C(0, –1) i D(–1, 4). Translatiraj zadane
H
točke za vektor OC . Točka O je ishodište.
F
Očitaj i zapiši koordinate translatiranih točaka. 13. Nacrtaj u koordinatnoj ravnini točke A(3, –1),
G
B(–5, 1), C(4, –4), D(0, 3), E(–2, 2), F(2, –3) i G(–1, 4). Translatiraj zadane točke
b)
za vektor OA . Očitaj i zapiši koordinate translatiranih točaka.
G
14. Vrhovi trokuta imaju koordinate: A(–5,1),
H
B(–2,–4) i C(6,–4). Odredi sliku ovog trokuta pri translaciji za vektor kojemu je početna točka
F
koordinatno ishodište, a završna točka L(2,3).
c)
15. Nacrtaj dužinu AB pa odredi njenu sliku nakon
G
uzastopnog preslikavanja najprije rotacijom
H
oko točke A za kut – 60°, a onda centralnom simetrijom oko točke B’.
F 8. Konstruiraj trokut ∆ABC kojemu je zadana duljina jedne stranice i veličina dvaju kutova uz nju: a = 4.5 cm, β = 60°, γ = 75°. Odredi sliku
trokuta ∆ABC pri translacija za vektor AC . 9. Konstruiraj jednakostraničan trokut duljine stranice 44 mm, te središte S trokutu opisane kružnice. Odredi sliku tog trokuta pri translaciji za vektor
70
BS .
16. Nacrtaj trokut ∆ABC i točku S izvan njega pa odredi njegovu sliku nakon uzastopnog preslikavanja najprije centralnom simetrijom oko točke A, a onda osnom simetrijom s obzirom na pravac SB’ .
Preslikavanja ravnine
17. Nacrtaj trokut ∆ABC i točku S izvan njega
19. Nacrtaj trokut ∆ABC i točku S izvan njega
pa odredi njegovu sliku nakon uzastopnog
pa odredi njegovu sliku nakon uzastopnog
preslikavanja najprije rotacijom oko točke B
preslikavanja najprije translacijom za AS ,
za kut 30°, a onda centralnom simetrijom oko
zatim osnom simetrijom s obzirom na A’B’, te
točke A’, zatim translacijom za vektor C '' S .
rotacijom oko točke B’’ za –90°.
18. Nacrtaj trokut ∆ABC i točku O izvan njega
20. Nacrtaj trokut ∆ABC i točku S izvan njega
pa odredi njegovu sliku nakon uzastopnog
pa odredi njegovu sliku nakon uzastopnog
preslikavanja najprije translacijom za vektor
preslikavanja najprije osnom simetrijom s
OA , zatim rotacijom oko točke A’ za kut – 60°, a onda centralnom simetrijom oko točke B’’ .
obzirom na AS, zatim osnom simetrijom s obzirom na A’B’, te centralnom simetrijom oko točke B’’ .
4.7. Ponavljanje Pitanja za ponavljanje: 1. Nabroji preslikavanja ravnine koja smo učili
8. Opiši rotacije kojima se jednakostraničan trokut preslikava na sebe samoga?
u ovom poglavlju. 9. Što je vektor i kako ga prikazujemo? 2. Koja zajednička svojstva imaju sva ta preslikavanja? 3. Navedi neke primjere osnosimetričnog preslikavanja u prirodi. 4. Navedi neke primjere centralnosimetričnog preslikavanja u prirodi? 5. Je li paralelogram osnosimetričan lik? A je li centralnosimetričan lik? 6. Prepiši u bilježnicu pa dovrši rečenicu: Centralna simetrija je rotacija ravnine oko
10. Za koje vektore kažemo da su istog smjera? 11. Kada kažemo da su vektori jednake orijentacije? A suprotne orijentacije? 12. Kada su dva vektora jednaka? A kad su suprotna? 13. Kako drugačije zovemo translaciju ravnine i zašto? 14. Za koji vektor translacija ravnine preslikava lik na sebe samoga?
___________ za kut α = _____? 7. Kojim rotacijama se kvadrat preslikava na sebe samoga?
71
4.7. Ponavljanje Zadaci za ponavljanje:
5. Pročitaj:
1. Precrtaj u bilježnicu pa skiciraj osnosimetrične slike ovih dužina.
2. Precrtaj u bilježnicu pa dopuni tako da likovi budu osnosimetrični: Zapiši svoje ime i prezime te datum rođenja na ovaj način. 6. Koja slova abecede su osnosimetrična? 7. Koje brojke 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 su osnosimetrične? 8. Precrtaj slike u bilježnicu. Koliko najmanje kvadratića treba obojiti tako da kvadrat bude osnosimetričan?
3. Precrtaj u bilježnicu pa oboji ovaj prozor tako da dobiješ osnosimetričan lik.
9. Konstruiraj trokut DABC kojemu su zadane duljine stranica i kut: a = 5 cm, c = 4 cm, β = 45°. Preslikaj ga osnom simetrijom obzirom na pravac BC. 4. U koordinatnom sustavu nacrtaj četverokut A(1, 3), B( -2, -2), C( -4, 0) i D( 3, -3). Nacrtaj njegovu
10. Nacrtaj jednakokračan trokut kojemu je osnovica
centralno simetričnu sliku obzirom na ishodište.
a = 5 cm a kutovi na njoj β= 50°. Na osnovici mu
Odredi koordinate vrhova novog četverokuta.
označi točku M. Rotiraj trokut oko točke M za kut -75°.
72
Preslikavanja ravnine 11. Precrtaj slike u bilježnicu. Skiciraj pa nacrtaj
15. Konstruiraj trokut kojemu je zadana duljina
osnosimetričnu sliku trokuta ∆ABC s obzirom
jedne stranice i veličina dvaju kutova uz nju:
na pravac:
c = 10 cm, α =60°, β = 30°. Odredi ovom trokutu
a)
centralnosimetričan trokut s obzirom na:
b)
a) vrh A;
A
O
N
R
b) središte trokutu opisane kružnice; c) središte trokutu upisane kružnice.
p
P
M
g
16. Svi trokuti na slici su preslikani istom centralnom simetrijom. Odredi središte
c)
simetrije.
d)
B
U
U
I’
A S
T
S
r
C T r G’ D
E
12. Nacrtaj pravokutnik ABCD sa stranicama 5 cm i 2 cm. Nađi njegov osnosimetričan pravokutnik s
H’ F’
F
obzirom na pravac p: a) koji prolazi stranicom AB ;
H
b) koji prolazi jednom dijagonalom pravokutnika;
D’
E’
G
c) koji ne siječe pravokutnik.
C’ 13. Nacrtaj kružni vijenac oko središta A polumjera 2 cm i 3 cm. Nađi njegovu osnosimetričnu sliku
A’
I
s obzirom na pravac p:
B’
a) koji siječe kružni vijenac; b) koji ne siječe kružni vijenac.
17. Nacrtaj romb sa stranicama duljine 3 cm. Nađi njegov centralnosimetričan romb s obzirom na
14. Koji od ovih likova su osnosimetrični?
točku S koja se nalazi: a) izvan paralelograma; b) unutar paralelograma; c) u sjecištu dijagonala; d) u jednom vrhu paralelograma. 18. Nacrtaj dužinu AB i točku S. Vrti dužinu AB oko točke S za: a) 60°;
b) -60°;
c) 30°;
d) -30°;
e) 90;
f) -90°.
73
4.7. Ponavljanje 19. Na slici je pravokutnik ABCD.
D
22. Sila F1 = 6 N, a sila F2 = 4 N. Grafički odredi rezultantnu silu ako pravci tih sila zatvaraju kut
C
od: a) 0°;
S
b) 30°;
c) 60°;
d) 90°.
Prije toga odaberi mjerilo, na primjer, duljini vektora od 1 cm neka odgovara iznos sile od 1 N.
A
B
Napiši sve parove međusobno jednakih vektora.
23. Precrtaj sliku u bilježnicu. Odredi vektor translacije i dovrši preslikavanje.
20. Nacrtaj paralelogram ABCD i polovišta E, F, G i H
C
njegovih stranica. Napiši sve vektore određene točkama A, B, C, D, E, F, G i H koji su jednaki kao vektor:
B
D
a) BA ; b) BC ; c) CA ; d) CB ; e) FE .
B’
21. Na svakoj slici odredi vektor koji je zbroj istaknutih vektora. a)
A
b)
F
J
24. Konstruiraj jednakokračan trokut kojemu je zadana duljina osnovice a = 5 cm i kuta
E
nasuprot njoj α = 30°, te istakni točku D
D c)
L
K N
van tog trokuta. Odredi sliku tog trokuta pri translaciji za vektor:
d)
a) AD ;
b) DC ;
c) BD .
G
O H
25. Konstruiraj neki romb ABCD sa stranicama duljine 35 mm. Preslikaj ga centralnom
M
simetrijom obzirom na vrh C.
I
P r i m j e r a k
o g l e d n o g
1. Precrtaj u bilježnicu pa nacrtaj osno-simetričnu
a)
b)
sliku dužine AB s obzirom na zadani pravac p.
p
p B
A
74
t e s t a : A
B
Preslikavanja ravnine 2. Nacrtaj jednakokračan trokut ∆MPQ s osnovicom
MP = 3 cm i kracima 5 cm. Nađi njegov osnosimetričan trokut s obzirom na pravac koji prolazi točkama M i Q.
7. Nacrtaj jednakostraničan trokut ∆ABC i rotiraj ga oko jednog vrha za −60° . Promatraj dobivenu sliku ∆ABC i dovrši rečenice: a) Slika vrha A pri ovoj rotaciji je vrh ____. b) Slika vrha B pri ovoj rotaciji je vrh ____.
3. Precrtaj u bilježnicu pa konstruiraj simetralu kuta
α.
c) Slika vrha C pri ovoj rotaciji je vrh ____. 8. Na slici je pravilni šesterokut ABCDEF.
E
D
F
C
a
A 4. Točka C1 je osnosimetrična slika vrha C pri osnoj simetriji trapeza ABCD s obzirom na pravac p.
a) Koji od istaknutih vektora su jednaki? b) Koji od istaknutih vektora su suprotni?
Konstrukcijom odredi os simetrije p i preostale vrhove trapeza A1B1C1D1 .
B
9. Zadani su sile F1 i F2 . Grafički odredi rezultantnu silu.
D
C F2 C1
A
F1
B
10. Konstruiraj kružnicu k( S ,2 cm) . 5. Nacrtaj neku dužinu AB i točku S koja ne pripada pravcu AB. Konstruiraj dužinu CD koja je centralnosimetrična slika dužine AB s obzirom na točku S. Kakav je lik četverokut ABCD? 6. Nacrtaj dužinu AB i rotiraj je oko točke B za 60°.
a) Odaberi na kružnici točku A i konstruiraj kružnicu k’ koja je slika kružnice k pri translaciji
za vektor SA . b) Točke u kojima se sijeku ove dvije kružnice označi s B i C. Kolika je duljina dužine BC ?
c) Konstruiraj vektor AB + BC i odredi njegovu duljinu.
d) Konstruiraj vektor AB − BC i odredi njegovu duljinu?
75
AB
5. Pravci i ravnine u prostoru Važni pojmovi točka pravac ravnina prostor međusobni odnosi pravaca i ravnina
Geometrija ravnine opisuje veze između skupova točaka u ravnini: točaka, pravaca, polupravaca, dužina, krivulja, geometrijskih likova i poluravnina. S njom smo se bavili u proteklih 7 godina školovanja. No, postoje i skupovi točaka koji ne leže u ravnini, primjerice, kocka, kugla, valjak itd. To su skupovi točaka u prostoru. Geometrija prostora opisuje veze između skupova točaka u prostoru. Pritom se najčešće određuju odnosi okomitosti, usporednosti, ima li zajedničkih točaka i
probodište
slično.
mimosmjerni pravci
Okomitost pravaca i ravnina važna nam je u svakodnevnom životu. Primjerice,
presječnica
pri građevinskim radovima koristi se visak za određivanje okomice na ravninu
okomitost pravca i ravnine
tla, a za određivanje vodoravnog položaja libela.
okomitost dviju ravnina ortogonalna projekcija točke i dužine na ravninu udaljenost točke od ravnine
Mislim da ti ravnine nisu okomite.
U ovom poglavlju ćeš, primjerice, naučiti: Kako odrediti ravninu ako su joj zadane neke točke Kako odrediti (na modelu kvadra) pripada li neka točka nekoj ravnini U kakvim međusobnim položajima mogu biti pravci i ravnine u prostoru Kako prepoznati pravac koji je okomit na ravninu Kako prepoznati dvije ravnine koje su međusobno okomite Što je ortogonalna projekcija Kako odrediti ortogonalnu projekciju točke i dužine na neku ravninu Kako odrediti udaljenost točke od ravnine.
76
P r a v c i i r a v n i n e u p rTo rs otkourtu Kratki zadaci za ponavljanje:
3. Nacrtaj paralelogram sa stranicama 4 cm i 2 cm i kutom od 45° između njih. 4. Kako glasi Pitagorin poučak i za koje geometrijske likove se može upotrijebiti?
1. Nacrtaj točku A i pravac b. Gdje sve se može
5. Koliko zajedničkih točaka imaju pravci koji
nalaziti točka A u odnosu na pravac b?
se sijeku?
2. Nacrtaj dva usporedna pravca a i b.
5.1. Točke, pravci i ravnine u prostoru Izlazimo iz ravnine
B H
E
A
G F
D
C
D
C
B
b
G
f
E
I
L
J
K
A
e
d
F
H
Koji od ovih skupova točaka su dio ravnine, a koji nisu?
G F
E
D
A
C
B
77
5.1. Točke, pravci i ravnine u prostoru Za računanje i mjerenje raznih geometrijskih objekata trebaju nam veličine poput duljine, širine, visine, dubine itd. Te veličine nazivamo dimenzijama. Zamislimo li savršenu točku, primijetit ćemo da ona niti ima duljinu niti visinu itd. Zato kažemo da točka nema dimenzija. No, dužina ima svoju duljinu. Kažemo da ona ima jednu dimenziju. Pojam duljine možemo proširiti i na pravac jer se on širi „po duljini“. Općenito, kažemo da pravac ima jednu dimenziju, tj. da je jednodimenzionalan. I krivulje su jednodimenzionalni skupovi točaka. Prisjetimo se pravokutnika, on ima svoju duljinu i visinu, pa kažemo da pra vokutnik ima dvije dimezije. Pojam dviju dimenzija
Trodimenzionalan Beni nosi dvodimenzionalnog Benij a...
možemo proširiti i na ravninu. Općenito kažemo da ravnina ima dvije dimezije, tj. da je dvodimenzional na. Primijetimo da u ravnini nailazimo na dvodimen zionalne skupove točaka (poluravnine, pravokutnike, trokute i ostale geometrijske likove), na jednodi menzionalne skupove točaka (dužine, pravce, po lupravce, krivulje) i na točke kao objekte koji nemaju dimenziju. Svijet koji nas okružuje je trodimenzionalan - ima duljinu, visinu i širinu (ili dubinu). U matematici taj skup točaka nazivamo prostor ili trodimenzionalni prostor. U njemu „žive“ skupovi točaka poput kocke, kvadra, kugle, valjka, stošca, piramide itd. Te skupove točaka nazivamo geometrijskim tijelima. U prostoru nailazimo i na ravnine, kao i na sve dvodimenzionalne i jednodimenzionalne skupove točaka. U našem 3D svijetu ima i stvari koje nisu trodimenzionalne, primjerice ilustracije u knjizi su dvodimenzionalne. Prisjetimo se kako označavamo skupove točaka u ravnini i prostoru: točke - A, B, C,... dužine - AB, ED ,...
vrh H
brid
G
pravci i polupravci - a, b, c, p, q, AB, GH,... geometrijski likovi - trokut ∆ABC , četverokut EFGH,... Ravnine ćemo označavati malim grčkim slovima: p, a, b, ... ili nekim točkama koje ju određuju, primjerice ravnina ABC.
prostorna dijagonala
Točke, pravce i ravnine u prostoru promatrat ćemo elemente kvadra.
78
C
strana
Kvadar ima: 8 vrhova - točke: A, B, C, D, E, F, G, H;
plošna dijagonala
D
na modelu kvadra ABCDEFGH. Upoznajmo osnovne kvadar
F
E
A
B
P r a v c i i r a v n i n e u p rTo rs otkourtu
12 bridova - dužine: AB, AD, AE, BC, BF, CD, CG, DH, EF, FG, GH, HE; 6 strana - pravokutnici: ABCD, EFGH, BCGF, ADHE, ABFE i DCGH. Svaka strana kvadra ima dvije dijagonale. Te dijagonale se nazivaju plošne dijagonale kvadra. Kvadar ima i četiri prostorne dijagonale. To su dužine koje spajaju one vrhove kvadra koji ne leže na istoj strani kvadra. Prisjetimo se, što znači da dvije točke određuju pravac? To znači da se kroz dvije zadane točke može provući samo jedan pravac. Isto pravilo vrijedi bez obzira promatramo li pravac u ravnini ili u prostoru.
Važno
pravac
Kroz svake dvije točke prostora prolazi točno jedan pravac. Točke koje leže na istom pravcu zovu se kolinearne točke.
kolinearne i
Točke koje ne leže na istom pravcu, tj. koje nisu kolinearne, nazivaju se
nekolinearne
nekolinearne točke.
točke
nekolinearne točke
kolinearne točke
Primjer 1. Točke određuju ravninu H
G
ravnina je beskonačna, no mi crtamo samo njen dio, te je najčešće prikazujemo paralelogramom ili pravokutnikom.
H
F
E
F
E D
G
C C
D A
B
Na modelu kvadra promotrimo ravninu koja sadrži točke A, B, C i D. To je na slici dio ravnine
A
B
koji sadrži “donju” plohu kvadra. Naravno,
79
5.1. Točke, pravci i ravnine u prostoru
ravnina
Ponekad,
pojednostavljujući,
ravninu
prikazujemo samo bojanjem njenog
H
dijela unutar modela kvadra.
H
G
D
A
F
E
F
E
G
D
C A
B
H
C
G F
E
B Ravnina ADH
Kao što je pravac određen dvjema točkama, tako je ravnina određena trima nekolinearnima točkama. Dakle, ravninu koja sadrži vrhove
C
D
A, B, i, D možemo označiti s tri nekolinearne točke. Ta ravnina može se označiti kao ravnina ABC, ravnina BCD, ravnina ACD, ravnina ABD.
B
A
Pri označavanju ravnina na modelu kvadra
Ravnina BEF
najjednostavnije je najprije pronaći četvrtu točku kako bismo je lakše nacrtali.
H
Važno Svake tri točke prostora koje ne pripadaju jednom pravcu, tj. nisu kolinearne,
G F
E
određuju točno jednu ravninu.
H
G D
F
E
A C
D
Ravnina ABC
80
C
B
G F
E
Ravnina CBF
D
B
A
H
A
C
B Ravnina FGD
P r a v c i i r a v n i n e u p rTo rs otkourtu
Z a d a c i 1. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH, pa oboji ravnine:
c)
a) EFG;
H
b) BCF; c) ADE.
G F
E
2. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH, oboji, pa imenuj točkama, ravninu koja sadrži: a) “gornju” stranu kvadra;
D
b) “lijevu” stranu kvadra; c) “desnu” stranu kvadra;
A
d) “prednju” stranu kvadra; e) “stražnju” stranu kvadra. H
G
d)
F
E
D
A
C
B
H F
E
C
G
D
B
A
C
B
3. Napiši koji vrhovi kvadra pripadaju nacrtanoj ravnini: a)
e)
H
G
G
E
D
F
E
F
A
H
D
C
A
B
b)
C
B
4. Koliko kocaka ima na svakoj slici: H
G
D
A
a)
F
E
b)
C
B
81
5.1. Točke, pravci i ravnine u prostoru c)
d)
6. Pogledaj kvadar ABCDEFGH i odgovori na pitanja: a) Pripada li ravnini CGH točka: A; B; D; E; b) Pripada li ravnini BCD točka: A; B; G; E; c) Pripada li ravnini BDF točka: A; B; D; E.
H e)
f)
G F
E
D
A
C
B
7. Pogledaj kvadar ABCDEFGH i napiši vrhove 5. Koji još vrh kvadra ABCDEFGH pripada ravnini: a) ABC;
kvadra koji ne leže u ravnini: a) ABC; b) FGH;
b) FGH;
c) DCB;
c) DCB;
d) DCH;
d) DCH;
e) ACG;
e) ACG;
f) FHD.
f) FHD.
Primjer 2. Pravci određuju ravninu
Ravnini ACE pripadaju pravci AC, CG, EG, AE,
Pogledajmo na modelu kvadra ravninu ACE.
AG i CE. Koliko bismo najmanje pravaca trebali
H
G
zadati da njima bude zadana samo ravnina ACE?
H
F
E
F
E D
C C
D A
B
Važno Pravac koji prolazi kroz dvije različite točke neke ravnine leži u toj ravnini, tj. pripada joj.
82
G
A
B
P r a v c i i r a v n i n e u p rTo rs otkourtu Rješenje: Ravninu možemo zadati s dva pravca koji su ili usporedni ili se sijeku. Dakle, ravnina ACE određena je primjerice, pravcima AC i EG ili pravcima AG i EG. Osim s dva pravca ravninu možemo zadati i s jednim pravcem i jednom točkom koja mu ne pripada. Ravnina je određena s: tri nekolinearne točke dva različita pravca (koji su ili usporedni ili se sijeku) pravcem i točkom koja mu ne pripada.
Ravninu
često
označavamo
malim
grčkim
slovima, npr. π, β, α itd.
Z a d a c i 8. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH pa oboji ravninu
11. Pogledaj kvadar ABCDEFGH i nabroji bridove
određenu pravcima:
kvadra koji leže u ravnini:
a) AB i BC;
a) ABC;
b) BC i FG;
b) FGH;
c) AG i AC;
c) DCB;
d) AE i DH.
d) DCH; e) ACG;
9. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH pa nabroji sve ravnine
f) FHD.
određene vrhovima kvadra koje sadrže točku: a) A;
12. Pogledaj kvadar ABCDEFGH i nabroji pravce
b) C;
određene vrhovima kvadra koji leže u ravnini:
c) E.
a) ABC; b) FGH;
10. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH pa nabroji sve ravnine
c) DCB;
određene vrhovima kvadra koje sadrže pravac:
d) DCH;
a) AB;
e) ACG;
b) CG;
f) FHD.
c) EC.
83
5 . 2 . M e đ u s o bni položaj dvaju pravaca u prostoru
5.2. Međusobni položaj dvaju pravaca u prostoru Pravci u ravnini Pogledaj pravce na slikama i opiši njihove položaje. Koliko zajedničkih točaka mogu imati dva pravca u ravnini?
a
b
a
b
Promotrimo li pravce u prostoru, uočit ćemo slične položaje kao i u ravnini.
Primjer 1. Pravci se sijeku
b
Pogledajmo na modelu kvadra dva pravca koji se sijeku.
H
b H
a
G
a
G F
E
F
E
S S
D
A
D C
A
C
B
B Odaberemo li u prostoru bilo koja dva pravca
Postoji li ravnina koja sadrži oba pravca?
Rješenje:
koji se sijeku, uvijek ćemo moći odrediti njihovu zajedničku ravninu. To je ravnina određena sjecištem tih pravaca kao i po jednom točkom sa svakog od njih.
Ta dva pravca nalaze se u istoj ravnini, pravci se sijeku
ravnini BCG. Pravci a i b imaju jednu zajedničku točku - sjecište S.
Dva pravca koji se sijeku pripadaju jednoj ravnini. Pravci koji se sijeku imaju jednu zajedničku točku.
84
P r a v c i i r a v n i n e u p rTo rs otkourtu Primjer 2. Usporedni pravci
Rješenje:
Pogledajmo na modelu kvadra dva usporedna
H
a b
H
a
pravca.
b
G
G F
E
F
E
usporedni D
D
C
A
C
pravci
B
Ta dva pravaca nalaze se u istoj ravnini, ravnini A
B
FGH. Dva usporedna pravca pripadaju jednoj
Postoji li ravnina koja sadrži oba pravca?
ravnini. Usporedni pravci nemaju zajedničkih točaka.
Primjer 3. Mimosmjerni pravci
H
Pogledajmo na modelu kvadra ova dva pravca. H
a
F
E
a
G
b F
E
C
D
C
D
A
B
H
a
B
H
F
E
b F
E
A
b
G
a
C
D
A
G
B
G
Koliko zajedničkih točaka imaju ta dva pravca?
Rješenje:
A
Ta dva pravca nemaju zajedničkih točaka, ali
Važno
nisu ni usporedni. Ne postoji ravnina u kojoj se nalaze oba pravca. Takve pravce nazivamo mimosmjerni pravci ili mimoilazni pravci. mimosmjerni pravci
Evo
C
D
b
Nalaze li se oni u istoj ravnini?
B
Međusobno usporedne ceste ispod mimoilaznog nadvožnjaka
Međusobni položaj dvaju različitih pravaca u prostoru: 1. Pravci se sijeku, imaju jednu zajedničku točku; 2. Pravci su usporedni, nemaju zajedničkih
još
nekoliko
mimosmjernih modelu kvadra.
primjera
pravaca
na
točaka; 3. Pravci su mimosmjerni, nemaju zajedničkih točaka.
85
5 . 2 . M e đ u s o bni položaj dvaju pravaca u prostoru
Z a d a c i 1. Napiši u kakvom položaju se nalaze zadani
a
d)
pravci.
b H
H
a)
F
E
G
G
F
E
C
D C
D
b
A B
A
b
H H
b)
a
a
e)
a
B
F
E
G
G
F
E
C
D C
D
b
A A H
c)
a
B
F
E
86
A
b
a H
G
B
F
E
C
D
b
f)
B
C
D
A
G
B
P r a v c i i r a v n i n e u p rTo rs otkourtu 2. Skiciraj pogled odozgo na ove grupe kocaka.
3. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i nacrtaj jedan par pravaca koji:
a)
a) su usporedni; b) su mimosmjerni; c) se sijeku.
4. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i odredi u kojem položaju se nalaze zadani pravci:
b)
a) AB i BC;
b) BC i EA;
c) BC i FG;
d) AG i AC;
e) CD i FH;
f) AE i DH.
5. Na modelu kvadra ABCDEFGH uoči nekoliko parova usporednih pravaca. Napiši koji su to pravci te koju ravninu određuju. c)
6. Na modelu kvadra ABCDEFGH uoči nekoliko parova pravaca koji se sijeku. Napiši koji su to pravci te koju ravninu određuju.
7. Na modelu kvadra ABCDEFGH uoči nekoliko parova mimosmjenih pravaca. Napiši koji su to pravci.
d)
5.3. Međusobni položaj pravaca i ravnine u prostoru Papir i olovka Uzmi jedan list papira i olovku. Položi list papira na klupu a olovku drži iznad njega. U kakvom su položaju papir i olovka. Probodi olovkom papir - u kakvom položaju mogu biti papir i olovka?
87
5 . 3 . M e đ u s o bni položaj pravaca i r avnine u prostoru Primjer 1. Pravac leži u ravnini
Rješenje:
Pogledajmo na modelu kvadra pravac BG i rav
Pravac i ravnina imaju beskonačno
ninu BCG. Koliko zajedničkih točaka imaju?
mnogo zajedničkih točaka jer je
a
pravac leži u ravnini
svaka točka koja pripada pravcu ujedno pripada i ravnini. Kažemo
H
da pravac BG pripada ravnini BCG ili da pravac
G
BG leži u ravnini BCG.
F
E
Ako dvije točke pravca pripadaju ravnini onda i cijeli pravac pripada toj ravnini, tj. pravac leži u ravnini.
D
C
A
B
Primjer 2. Pravac probada ravninu Pogledajmo na modelu kvadra pravac EF i
H
ravninu BCG. Koliko zajedničkih točaka imaju?
H a
G
a
G F
E
pravac probada
F
E
ravninu
D D
A
C
B
Rješenje: Pravac EF i ravnina BCG imaju jednu zajedničku točku - točku F. Kažemo da pravac EF probada ravninu BCG. Točku u kojoj pravac probada ravninu nazivamo probodište.
88
A
C
probodište
B
Ako pravac i ravnina imaju samo jednu zajedničku točku onda pravac probada ravninu. Točku u kojoj pravac probada ravninu nazivamo probodište.
P r a v c i i r a v n i n e u p rTo rs otkourtu Primjer 3. Pravac usporedan s ravninom Pogledajmo na modelu kvadra pravac AE i
H
ravninu FGH. Koliko zajedničkih točaka imaju?
a H F
E
b a
D
F
E
G
G
C
D
A
B
c
C
Primijeti da pravci usporedni s jednom ravninom
A
ne moraju biti međusobno usporedni.
B
Rješenje: Pravac
AE
i
ravnina
FGH
pravac
nemaju niti jednu zajedničku
usporedan s
točku. Kažemo da pravac AE i
ravninom
ravnina FGH usporedni.
Važno Međusobni položaj pravca i ravnine u prostoru: 1. pravac leži u ravnini, imaju beskonačno mnogo zajedničkih točaka; 2. pravac probada ravninu, imaju jednu
Pravac i ravnina su usporedni ako nemaju zajedničkih točaka.
zajedničku točku; 3. pravac i ravnina su usporedni, nemaju zajedničkih točaka.
89
5 . 3 . M e đ u s o bni položaj pravaca i r avnine u prostoru
Z a d a c i 1. Napiši u kakvom položaju se nalaze zadani pravac i ravnina
a
e)
H
a
a)
H
G
G F
E
F
E
D C
D
A
C
A
B
B
a
f) b)
H F
E
A
B
H
c)
D
C
A
G
C
B
2. Skiciraj pogled sprijeda na ove grupe kocaka (na slikama je to kao da gledamo dijelom slijeva,
F
E
G F
E
D a
H
G
zbog trodimenzionalnog prikaza).
D
a)
b)
c)
d)
C
a A
B
d)
a H
G F
E
D
A
90
C
B
Pravci i ravnine u prostoru e)
f)
8. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i odredi u kojem položaju se nalaze zadani pravci i ravnine: a) AB i ABC; b) BC i DEA; c) BC i GHD; d) AG i ABC; e) CD i EFH; f) AE i ADH. 9. Na modelu kvadra ABCDEFGH uoči nekoliko parova pravca i ravnine koji su usporedni. Napiši
3. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i nacrtaj po jedan
te parove.
pravac i jednu ravninu koji: a) su usporedni;
10. Na modelu kvadra ABCDEFGH uoči nekoliko
b) se sijeku;
parova pravca i ravnine koji se sijeku. Napiši te
c) pravac leži u ravnini.
parove.
4. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i oboji plavom bojom pravce koji sadrže bridove kvadra i probadaju ravninu: a) ABC;
11. Na modelu kvadra ABCDEFGH uoči nekoliko parova pravca i ravnine koji kojih pravac probada ravninu. Napiši te parove. 12. Nabroji sve ravnine određene vrhovima kvadra
b) FGH;
koje pravac EF probada.
c) DCB;
13. Nabroji sve ravnine određene vrhovima kvadra
d) DCH;
koje sadrže pravac EH.
e) ACG; f) FHD.
14. Nabroji sve ravnine određene vrhovima kvadra s
5. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i oboji crvenom bojom pravce koji sadrže bridove kvadra i pripadaju ravnini: a) BCD; b) EFG;
kojima je pravac FG usporedan. 15. Nabroji sve pravce određene vrhovima kvadra koji probadaju ravninu AFG. 16. Nabroji sve pravce određene vrhovima kvadra
c) ABD;
koji probadaju ravninu AFG.
d) DCH; e) ABF;
17. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH pa na njemu
f) FHD.
istakni pravac AE. Zatim istakni jedan njemu
6. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i oboji zelenom bojom pravce koji su usporedni s ravninom: a) ACD;
b) ADC;
c) EFG;
d) DBF;
e) ABF;
f) FHB.
7. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i istakni ravnine koje nemaju zajedničkih točaka s pravcem: a) AB;
b) BC;
c) CD;
d) FG;
e) AG;
f) AC;
g) AE;
h) DH.
mimosmjeran pravac te ravninu u kojoj se taj pravac nalazi. U kakvom su položaju ta ravnina i početni pravac AE? Objasni. Ima li zadatak samo jedno rješenje? Zašto? 18. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH pa na njemu istakni pravac BH. Zatim istakni jedan pravac koji se s njim siječe te ravninu u kojoj se taj pravac nalazi. U kakvom su položaju ta ravnina i početni pravac BH? Objasni. Ima li zadatak samo jedno rješenje? Zašto?
91
5 . 3 . M e đ u s o bni položaj pravaca i r avnine u prostoru
Vježb lica a
Promotri slike tijela te pripadnih pogleda s nekoliko strana, a zatim skiciraj poglede sprijeda, straga, zdesna, slijeva i odozgo za ostale zadane objekte.
92
odozgo
slijeva
straga
sprijeda
zdesna
slijeva
zdesna
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
sprijeda
straga
odozgo
P r a v c i i r a v n i n e u p rTo rs otkourtu
5.4. Međusobni položaj dviju ravnina u prostoru Pod i strop Pogledaj pod i strop učionice ili tvoje sobe. U kakvom se položaju nalaze ravnine poda i stropa? U kakvom se položaju nalaze ravnine poda i zida učionice ili sobe?
Primjer 1. Ravnine se sijeku Pogledajmo
Te dvije ravnine se sijeku. Pravac na
slici
ravnine ADH i ABD. U G kakvom se položaju
H F
E
AD leži u obje ravnine, on je njihov zajednički pravac. Kažemo ravnine ADH i ABD sijeku se u pravcu AD.
ravnine se sijeku presječnica
nalaze te dvije ravnine?
Taj pravac zove se presječnica.
Što im je zajedničko?
Evo još nekih primjera ravnina koje se sijeku i njihovih presječnica. a
D
H
C
A
G F
E
B
Rješenje: F
E
D
G
H
A
C
B
a D
A a
H
G F
E
C D
B A
C
B
93
5 . 4 . M e đ u s o bni položaj dviju ravnina u prostoru Primjer 2. Usporedne ravnine
Rješenje: H
Pogledajmo na slici
G
te
ravnine
Važno
kakvom se položaju nalaze
usporedne
nemaju zajedničkih točaka.
F
E
ravnine ADH i BCG. U
Ravnine ADH i BCG su usporedne,
Međusobni položaj dviju različitih ravnina
dvije D
ravnine?
u prostoru:
C
1. ravnine se sijeku, imaju zajednički jedan pravac, presječnicu;
A
2. ravnine su usporedne, nemaju
B
zajedničkih točaka.
Z a d a c i 1. Napiši u kakvom su položaju zadane ravnine. a)
H F
E
A H
A
94
C
B
H
d)
F
G F
E
C
B
F
A G
D
G
D
C
B
E
H
E
D
b)
c)
G
D
A
C
B
Pravci i ravnine u prostoru 2. Pogledaj model kvadra ABCDEFGH i nađi tražene
6. Dva pravca u jednoj ravnini usporedna su s
ravnine:
dvama pravcima u drugoj ravnini. Jesu li te dvije
a) usporedne s ABC;
ravnine usporedne?
b) sijeku se s BCF; c) usporedne s ADH;
7. Pogledaj model kvadra ABCDEFGH i nabroji
d) sijeku se s FGD.
sve pravce određene bridovima kvadra, koji su usporedni s ravninom:
3. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i zadane ravnine.
a) BCG;
Napiši u kakvom položaju su te ravnine.
b) ACG;
a) ABC i FGH;
c) DCG.
b) FGH i BCF; c) DCB i ADH;
8. Pogledaj model kvadra ABCDEFGH i nabroji
d) DCH i DCF;
sve pravce određene bridovima kvadra, koji
e) ACG i DBF;
probadaju ravninu:
f) FHD i ABF;
a) ABC;
g) FGH i BDF;
b) ACG;
h) ADH i BCG.
c) BCG.
4. Napiši parove usporednih ravnina koje su određene stranama kvadra ABCDEFGH. 5. Imamo dvije usporedne ravnine. U jednoj odaberemo neki pravac a, a u drugoj neki pravac b. Jesu li pravci a i b usporedni?
9. Koje dijagonale kvadra ABCDEFGH nisu usporedne s ravninom: a) ABC;
b) ACG;
c) BCG.
10. 10. Pravac a probada ravninu a. Može li ravnini
a pripadati koji pravac usporedan s a? Nacrtaj skicu.
Vježb lica a
1. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH, pa oboji ravnine a) DBF;
b) BCH;
c) ABG.
a) ABF; b) AEC; c) ABH;
2. Koji još vrh kvadra ABCDEFGH pripada ravnini:
d) EHA;
a) ACG;
b) HFD;
e) GHC;
c) EGA;
d) HFB;
f) EBF.
e) EFD;
f) BCF. 5. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH pa oboji ravninu
3. Skiciraj kvadar ABCDEFGH i odgovori na pitanja:
određenu pravcima:
a) Pripadaju li ravnini AHE točke: A; B; D; E;
a) DF i BH;
b) CG i FC;
b) Pripadaju li ravnini BCD točke: C; F; A; G;
c) EG i EH;
d) GC i EC.
c) Pripadaju li ravnini ABG točke: A; B; D; E. 6. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH pa nabroji sve ravnine 4. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i napiši sve vrhove kvadra koji ne leže u ravnini:
određene vrhovima kvadra koje sadrže točku: a) B;
b) D;
c) G.
95
5 . 4 . M e đ u s o bni položaj dviju ravnina u prostoru 7. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH pa nabroji sve ravnine
16. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i odredi u kojem
određene vrhovima kvadra koje sadrže pravac:
položaju se nalaze zadani pravci:
a) AD;
a) ED i EF;
b) EH i FC;
c) DA i AB;
d) EG i HF;
e) EH i FB;
f) AC i FG.
b) AG;
c) EH.
8. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i napiši sve bridove kvadra koji leže u ravnini: a) ABD;
b) EFB;
c) DCF;
d) EFH;
e) ACE;
f) BFD.
17. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i napiši sve pravce koji sadrže bridove kvadra i probadaju ravninu:
9. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i napiši pravce
a) DCB;
b) FCB;
c) HFG;
d) EFB;
e) DCG;
f) DFH.
određene vrhovima kvadra koji leže u ravnini: a) ADC;
b) ADE;
c) ADF;
d) FCB;
e) DFH;
f) EHF.
18. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i napiši sve pravce koji sadrže bridove kvadra i pripadaju ravnini:
10. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i napiši sve pravce
a) ABD;
b) DFG;
c) EFD;
d) AFD;
e) AEB;
f) FCD.
koji: a) su usporedni s pravcem DC;
19. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i napiši sve pravce
b) su mimosmjerni s pravcem DF;
koji su usporedni s ravninom:
c) sijeku pravac EF .
a) FCB;
b) DFH;
c) EFD;
d) DCE;
e) AHG;
f) AGC.
11. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i napiši sve pravce 20. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i ispiši sve ravnine
koji: a) su usporedni s pravcem FG;
koje nemaju zajedničkih točaka s pravcem:
b) su mimosmjerni s pravcem AD;
a) AE;
b) EF;
c) GF;
d) DG;
c) sijeku pravac DE .
e) HD;
f) GC;
g) HC;
h) FD.
12. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i napiši sve pravce
21. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i odredi u kojem
koji:
položaju se nalaze zadani pravci i ravnine:
a) su usporedni s pravcem EG;
a) BC i ABC;
b) EF i DEA;
b) su mimosmjerni s pravcem FG;
c) FC i GHD;
d) AG i AEC;
c) sijeku pravac AB .
e) HG i EFH;
f) AE i ADH.
13. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i napiši sve pravce
22. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i napiši sve ravnine
koji:
koje su:
a) su usporedni s pravcem DG;
a) usporedne s FCB;
b) su mimosmjerni s pravcem AC;
b) sijeku se s EFG;
c) sijeku pravac EC .
c) usporedne s EAB; d) sijeku se s EDH.
14. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i odredi u kojem položaju se nalaze zadani pravci: a) EF i BC;
b) AB i EA;
c) BC i EH;
položaju su ravnine:
d) HF i AC;
e) AD i FH;
f) DF i DH.
a) FCG i FGH;
15. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i odredi u kojem položaju se nalaze zadani pravci:
96
23. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH. Napiši u kakvom
a) AB i DC;
b) BC i EG;
d) AG i DC;
e) CD i ED;
c) EF i FG; f) AE i DA.
b) FCG i EFG;
c) DBF i EDH;
d) DFB i HEF;
e) BFG i ECA;
f) DBF i GFC;
g) HGF i FBC;
h) EFB i HDC.
Pravci i ravnine u prostoru 24. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH. i nabroji sve pravce
27. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH :
određene bridovima kvadra, koji su usporedni s
a) napiši sve pravce usporedne s EH koji
ravninom:
pripadaju ravnini ABD;
a) ADB;
b) DFH;
c) EAC.
b) napiši sve pravce koji leže u ravnini EFC a mimosmjerni su s CD.
25. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH. i nabroji sve pravce određene bridovima kvadra, koji probadaju
28. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH : a) napiši sve pravce usporedne s EB koji
ravninu: a) DFB;
b) GBA;
c) FCD.
pripadaju ravnini DCG; b) napiši sve pravce koji leže u ravnini EFH a
26. Koje dijagonale kvadra ABCDEFGH.nisu
mimosmjerni su s AC.
usporedne s ravninom: a) AFE;
b) EDH;
c) ADC.
5.5. Okomitost pravca i ravnine. Okomitost dviju ravnina Zidovi Pogledaj slike i uoči na njima ravnine određene zidovima, stropovima, tlom i sl. Kakve međusobne položaje tih ravnina vidiš na slikama? U kakvom se položaju nalaze zidovi zgrade u odnosu na ravninu tla?
Primjer zidova koji nisu okomiti na ravnini tla.
Primjer okomitih zidova na ravnini tla.
Pri promatranju pravaca u ravnini isticali smo jedan poseban položaj pravaca koji se sijeku - okomite pravce. Zanima nas kako možemo odrediti je li neki pravac okomit na ravninu.
97
5 . 5 . O k o m i t o st pravca i ravnine. Okomitost dviju ravnina Primjer 1. Pravac okomit na ravninu
G
Pogledamo na modelu kvadra ABCDEFGH pravac
H
F
određen točkama BF i ravninu ABC. U kojem položaju se nalaze? Nacrtaj još nekoliko pravaca
a
E
koji pripadaju ravnini ABC i s pravcem BF imaju zajedničku točku. Kakav je odnos između tih pravaca i pravca BF?
C
a
H
G
B
c D
F
E
A Odmah uočavamo da su pravci AB i BF okomiti
D
C
jer su na stranicama pravokutnika ABFE koje su okomite. Također su okomiti i pravci DB i BF i pravci CB i BF.
A
BF ⊥ AB BF ⊥ DB BF ⊥ CB
B
Rješenje:
Dakle, pravac BF okomit je na sve pravce koje
Pravac BF probada ravninu ABC, probodište je točka B. Nacrtamo na slici pravce određenje vrhovima kvadra, koji se nalaze u ravnini ABC i imaju zajedničku točku s pravcem BF. To su pravci AB, DB i CB.
c
H
E
G
smo nacrtali. Zapravo pravac BF je okomit na bilo koji pravac koji odaberemo u ravnini ABC, a koji prolazi točkom B. Kažemo da je pravac BF okomit na svaki pravac ravnine ABC koji prolazi
pravac okomit
probodištem.
na ravninu
Za takav pravac kažemo da je okomit na ravninu
F
i nazivamo ga okomica. Gledajući model
a
ABC.
uočavamo da je pravac BF okomit na ravninu
Važno D b
A
B d
98
C
Pravac je okomit na ravninu ako je probada i ako je okomit na svaki pravac te ravnine koji prolazi probodištem.
P r a v c i i r a v n i n e u p rTo rs otkourtu
Z a d a c i 1. Nabroji pravce određene bridovima kvadra
3. Napiši ravnine kojim je zadani pravac okomica:
ABCDEFGH koji su okomiti na ravninu:
a) AD;
b) BF;
a) ABC;
c) FE;
d) GH.
b) FGH;
4. Promotri ravnine određene dijagonalama kvadra.
c) BCG;
Napiši pravce koji su okomiti na zadane ravnine:
d) ADH;
a) ACG;
e) ABF; f) DCG.
b) ABG;
c) AFG.
5. Koliko je dovoljno naći pravaca iz zadane ravnine
a okomitih na zadani pravac a, kako bismo zaključili da je pravac a okomit na ravninu a?
2. Precrtaj u bilježnicu pa spoji parove ravnina i pripadnih okomica:
EFG DHE ABF
HE DH AB
Primjer 2. Okomite ravnine
Rješenje:
Uoči na modelu kvadra ABCDEFGH ravnine ABC
Ravnine ABC i ADH se sijeku. Njihova presječnica
i ADH. U kakvom se položaju nalaze?
je pravac AD.
Nacrtaj na slici i pravac HD. U kakvom je po ložaju taj pravac prema ravnini ADH, a u kakvom prema ravnini ABC? Nacrtaj na slici i pravac DC. U kakvom je po prema ravnini ABC?
F
E b
G
H F
E
D
A
D
G
H
ložaju taj pravac prema ravnini ADH, a u kakvom
C
C
B
a Pravac HD leži u ravnini ADH, a okomit je na
A
B
ravninu ABC.
a
99
5 . 5 . O k o m i t o st pravca i ravnine. Okomitost dviju ravnina lako ćemo uočiti da ravnina ADH predstavlja ravninu zida koji je okomit na ravninu tla,
G
H
ravninu ABC.
F
E
Oèito su ove ravnine okomite. D
A
C
j el ovo vodovodna cij ev ili znak za pravi kut?
c
B
a Pravac CD leži u ravnini ABC, a okomit je na ravninu ADH. Dakle, u svakoj od ravnina mogli smo pronaći
Važno
pravac koji je okomit na drugu ravninu, zato
Dvije ravnine su okomite ako u jednoj
kažemo da su ravnine ABC i ADH okomite.
ravnini postoji pravac koji je okomit na
Promatramo li taj kvadar kao model neke zgrade
drugu ravninu.
Z a d a c i 6. Nabroji ravnine određene bridovima kvadra
gornjim gredama te klupama. Objasni odnose
ABCDEFGH koje su okomite na ravninu:
između uočenih ravnina i pravaca i razmisli zašto
a) ABC;
su dijelovi terase baš tako postavljeni.
b) FGH; c) BCG; d) ADH; e) ABF; f) DCG. 7. Precrtaj u bilježnicu i spoji parove okomitih ravnina
EFG DHE ABF
HEF DHE ABC
8. Napiši tri para okomitih ravnina koje si uočio na modelu kvadra ABCDEFGH. 9. Koje ravnine određene dijagonalama kvadra su međusobno okomite? 10. Pogledaj drvenu terasu na slici i uoči ravnine i pravce određene stropom, podom, bočnim i
100
11. Ravnine a i b su usporedne, a ravnina g okomita na ravninu a. U kakvom su međusobnom položaju ravnine β i g? Nacrtaj skicu.
P r a v c i i r a v n i n e u p rTo rs otkourtu 12. U kojem su položaju ravnine okomite na isti
14. a) Promatramo li u ravnini dužinu AB , gdje se
pravac?
nalaze sve točke koje su jednako udaljene od
13. Pravci a i b su okomiti na ravninu a. Nalaze li se pravci a i b u istoj ravnini? Nacrtaj skicu.
točke A i od točke B?
b) Promatramo li u prostoru dužinu AB , gdje se nalaze sve točke koje su jednako udaljene od točke A i od točke B?
5.6. Ortogonalna projekcija točaka na ravninu Kamenčić Ispuštaj kamenčić iz ruke i prati gdje pada na pod. Možeš li predvidjeti gdje će pasti? Projekcija filma je prikazivanje (preslikavanje) filma na površini platna. Pro jekcija točke, dužine, geometrijskog lika, geometrijskog tijela i sl. je njihovo preslikavanje na neku ravninu. Postoje razne vrste projekcija, primjerice, kosa, usporedna, centralna, itd; no mi ćemo se upoznati samo s ortogonalnom projekcijom. Riječ ortogonalan potječe od grčkih riječi orthos - prav i gonia - kut; orthogonis - pravokutan. Dakle, umjesto ortogonalna projekcija mogli bismo reći i pravokutna projekcija. Biti ortogonalan znači biti okomit. U našim matematičkim školskim terminima se, međutim, ustalilo koristiti riječ “okomito” za pravce, ravnine, krakove i ostale skupove točaka, dok se riječ “ortogonalno” koristi za ortogonalnu projekciju.
Primjer 1. Ortogonalna projekcija točke Pogledajmo
na
modelu
kvadra
ABCDEFGH
ravninu ABC i točku F. Koja točka bi bila
H
G F
E
ortogonalna projekcija točke F na ravninu ABC?
D
A
C
B
101
5.6. Ortogonalna projekcija točaka na ravninu Rješenje:
Dakle, ortogonalna projekcija točke F na ravninu
Da bismo odredili ortogonalnu projekciju točke
ABC je točka B.
F na ravninu ABC najprije nacrtajmo okomicu iz točke F na zadanu ravninu. Probodište okomice
Važno
kroz točku F i ravnine ABC je ortogonalna
Ortogonalna projekcija točke na ravninu
projekcija točke F na ravninu ABC. Na kvadru
je probodište okomice kroz tu točku na
je to točka B.
zadanu ravninu. Ortogonalna projekcija točke je uvijek točka.
ortogonalna
H
projekcija
Ako točka leži u ravnini, onda je ona sama
G
sebi ortogonalna projekcija.
točke
F
E
a D
A
C
B
Z a d a c i 1. Na modelu kvadra ABCDEFGH odredi ortogonalne
e) ABF;
a) točke A na ravninu EFG;
f) DCG.
b) točke H na ravninu ABC; c) točke E na ravninu BCG; d) točke C na ravninu ADH; e) točke B na ravninu DCG. 2. Odredi ortogonalne projekcije točke H na ravnine: a) ABC; b) EFG; c) BCG: d) ADH; e) ABF; f) DCG. 3. Odredi ortogonalne projekcije točke C na ravnine: a) ABC; b) EFG; c) BCG:
102
d) ADH;
projekcije zadanih točaka na zadane ravnine:
4. Odredi ortogonalnu projekciju sjecišta dijagonala pravokutnika ABCD na kvadru ABCDEFGH na ravnine: a) EFG; b) BCG; c) DCG. 5. Odredi ortogonalnu projekciju sjecišta dijagonala pravokutnika BCFG na kvadru ABCDEFGH na ravnine: a) ADH; b) BCG; c) DCG. 6. Odredi ortogonalne projekcije sjecišta prostornih dijagonala kvadra ABCDEFGH na sve strane kvadra.
P r a v c i i r a v n i n e u p rTo rs otkourtu Primjer 2. Ortogonalna projekcija dužine - dužina
H
Odredi ortogonalnu projekciju dužine AH na
G
ravninu BCG.
H
G
F
E
F
E
D
D
A
C
B
A
C
B
Ortogonalna projekcija dužine AH na ravninu BCG je dužina BG .
Rješenje:
H
G
Dužina je skup točaka. Njezina ortogonalna projekcija na danu ravninu je skup ortogonalnih projekcija svih njezinih
F
E
točaka na tu ravninu. Da bismo odredili ortogonalnu projekciju dužine
D
najprije ćemo odrediti ortogonalne projekcije njenih krajnjih točaka. Ortogonalna projekcija točke A na ravninu BCG je točka B. Ortogonalna projekcija točke H na ravninu BCG je točka G.
A
C
B
ortogonalna projekcija dužine
103
5.6. Ortogonalna projekcija točaka na ravninu Primjer 3. Ortogonalna projekcija dužine - točka
Ortogonalna projekcija dužine koja nije
Odredi ortogonalnu projekciju dužine AB na
okomita na ravninu projekcije je dužina.
ravninu BCG.
Ortogonalna projekcija dužine koja je
Važno
okomita na ravninu projekcije je točka.
H
G F
E
Ako dužina leži u ravnini, onda je ona sama sebi ortogonalna projekcija.
Evo
još
nekih
primjera
dužina
i
njenih
ortogonalnih projekcija (plavo - zadana dužina, crveno - ortogonalna projekcija).
D
A
H
C
F
E
B
G
Rješenje:
C
D
Dužina AB je okomita na ravninu BCG , a točka B pripada toj ravnini. Ortogonalna projekcija točke A na ravninu BCG je točka B. Ortogonalna projekcija točke B na
A
B
ravninu BCG je točka B. Ortogonalna projekcija dužine AB na ravninu
H
BCG je točka B.
H
G
G F
E
F
E
C
D D
A
104
C
B
A
B
P r a v c i i r a v n i n e u p rTo rs otkourtu
H
G
H
F
E
A
F
E
C
D
B
H
G
A
F
E
C
D
B
G
C
D
A
B
Ako je dužina usporedna s ravninom projekcije tada je duljina njene ortogonalne projekcije jednaka duljini zadane dužine. Ako nije, onda je duljina ortogonalne projekcije dužine manja od duljine zadane dužine.
Z a d a c i 7. Na modelu kvadra ABCDEFGH odredi ortogonalne
12. Napiši neke dužine čija ortogonalna projekcija
projekcije zadanih dužina na zadane ravnine:
na ravninu BCG je
a) AB na ravninu EFG; b) EG na ravninu ABC;
a) dužina BC ;
c) DC na ravninu BCG;
c) točka C.
b) dužina BG ;
d) HE na ravninu ADH; e) AG na ravninu DCG.
13. Promotri primjere dužina i njihovih ortogonalnih projekcija. Što možeš reći o njihovim duljinama?
8. Odredi ortogonalne projekcije dužine FG na
Može li duljina ortogonalne projekcije neke
ravnine:
dužine biti veća od duljine originalne dužine?
a) ABC;
b) EFG;
c) BCG:
d) ADH;
e) ABF;
f) DCG.
9. Odredi ortogonalne projekcije dužine AH na ravnine: a) ABC;
b) EFG;
c) BCG:
d) ADH;
e) ABF;
f) DCG.
10. Odredi ortogonalne projekcije dijagonale AC
Navedi primjere koji ilustriraju tvoj zaključak. 14. Zadane su dimenzije kvadra: AB = 3 cm,
a) Odredi duljinu plošne dijagonale AF ;
b) Koja dužina je ortogonalna projekcija dijagonale AF na ravninu ABC?
c) Odredi duljinu ortogonalne projekcije dužine AF na ravninu ABC.
pravokutnika ABCD na kvadru ABCDEFGH na
15. Znamo da je duljina plošne dijagonale BG
ravnine: a) EFG;
AD = 3 cm i AE = 4 cm.
b) BCG;
c) DCG.
11. Odredi ortogonalne projekcije prostorne dijagonale AG kvadra ABCDEFGH na sve strane
kvadra ABCDEFGH dugačka 10 cm, a brid
BF
= 8 cm. Odredi ortogonalnu projekciju
dužine BG na ravninu EFG i izračunaj joj duljinu.
kvadra.
105
5.6. Ortogonalna projekcija točaka na ravninu
Vježb lica a
3.
POGLED STRAGA
2.
kocaka, broj označava koliko se kocaka u visinu nalazi
POGLED STRAGA
Na slici je dan plan objekta izgrađenog od sukladnih na p ojedinom mjestu. Nacrtajte trodimenzionalni
2
1
2
4.
2
1
5.
2
3 POGLED SPRIJEDA
1
1 2
3 POGLED SPRIJEDA
2 1
2
4
1 3
POGLED ZDESNA
POGLED SLIJEVA
1
POGLED SPRIJEDA
SPRIJEDA
STRAGA
106
ZDESNA
1 2
4
2
1
2
1 POGLED SPRIJEDA
1
POGLED ZDESNA
POGLED SLIJEVA
SLIJEVA
POGLED STRAGA
7.
2
1
POGLED STRAGA
6.
2
POGLED ZDESNA
1
1
POGLED SLIJEVA
1
2
POGLED SPRIJEDA
POGLED ZDESNA
Rješenje:
POGLED SPRIJEDA
POGLED SLIJEVA
POGLED SPRIJEDA
1
POGLED STRAGA
3
1
2
POGLED STRAGA
POGLED STRAGA
2
POGLED ZDESNA
POGLED SLIJEVA
1
1
POGLED ZDESNA
1.
1
1
POGLED SLIJEVA
trokutastu mrežu kao u primjeru.)
POGLED ZDESNA
strana. (Za jednostavnije crtanje objekta napravite si
POGLED SLIJEVA
prikaz tog objekta te poglede na njega s raznih
P r a v c i i r a v n i n e u p rTo rs otkourtu
5.7. Udaljenost točke od ravnine Lukina zgrada Luka stoji u svojoj sobi, na četvrtom katu zgrade. Ako znamo da je svaki kat zgrade visok 250 cm i da je Luka visok 156 cm, kolika je, približno, udaljenost kape na vrhu Lukine glave od ravnine tla na kojem je zgrada? Pretpostavljamo da zgrada ima klasičan oblik uspravnog kvadra. Nacrtaj skicu i označi crtu po kojoj bismo mjerili tu udaljenost.
Primjer 1. Udaljenost točke
se radi o točkama u usporednim ravninama. H
Kolika je udaljenost točke F od ravnine ABC kvadra ABCDEFGH, ako su poznate dimenzije
udaljenost točke od
F
E
kvadra: AB = 3 cm, AD = 2 cm i AE = 4 cm.
G
Koji vrhovi kvadra su jednako udaljeni od
ravnine
a
ravnine ABC kao i točka F? D
C
Rješenje: A
Obzirom da je ortogonalna projekcija točke F na ravninu ABC točka B, udaljenost točke F
B
od ravnine ABC jednaka je duljini dužine BF .
Važno
Prema duljinama bridova kvadra ta duljina je 4
Udaljenost točke od ravnine je udaljenost
cm.
te točke od njezine ortogonalne projekcije
Vrhovi E, G i H jednako su udaljeni od ravnine
na tu ravninu.
ABC kao i točka F. Zapravo svaka točka ravnine
Ako točka leži u ravnini njezina udaljenost
EFG je od ravnine ABC udaljena točno 4 cm jer
od ravnine je nula.
Z a d a c i 1. Odredi udaljenost točaka od ravnina ako su dimenzije kvadra:
3. Odredi udaljenost sjecišta dijagonala
AB = 3 cm, AD = 2 cm i AE = 4 cm.
pravokutnika ABCD na kvadru ABCDEFGH od
a) točke A od ravninu EFG;
ravnina. Dimenzije kvadra su:
AB = 6 cm, AD = 5 cm i AE = 15 cm.
b) točke H od ravninu ABC; c) točke E od ravninu BCG;
a) EFG;
d) točke C od ravninu ADH;
b) BCG;
e) točke B od ravninu DCG.
c) DCG.
2. Odredi udaljenost točke H od ravnina ako su
4. Odredi udaljenost sjecišta prostornih dijagonala kvadra ABCDEFGH od svih strana kvadra.
dimenzije kvadra:
AB = 4 cm, AD = 2.5 cm i AE = 5 cm. a) ABC; b) EFG; c) BCG; d) ADH; e) ABF; f) DCG.
Dimenzije kvadra su:
AB = 4 cm, AD = 1 cm i AE = 6 cm.
107
5.7. Udaljenost točke od ravnine Primjer 2. Točke s različitih strana ravnine
koja spaja probodišta A i C je
Dužina AC
ortogonalna projekcija dužine EF . E
Promotrimo neku ravninu i točke E i F koje se nalaze s različitih strana te ravnine. Dakle, dužina EF probada tu ravninu. Odredi ortogonalnu
C
projekciju te dužine na zadanu ravninu. A
E
F
Zamislimo li da se zadana ravnina nalazi u ravnini naših očiju - tada je ne bismo vidjeli kao plohu nego kao pravac. Prethodni primjer
F
pojednostavljeno možemo prikazati i ovako.
Rješenje:
E
Crtamo okomice iz zadanih točaka i određujemo gdje probadaju ravninu. E
A
α
C
C A
F
Takav način crtanja olakšava nam određivanje pojedinih
duljina.
Primjerice,
duljine
ortogonalne projekcije neke dužine.
F
Primjer 3. Točke s iste strane ravnine
Rješenje: E
Promotrimo neku ravninu i točke E i F koje se nalaze s iste strane te ravnine, pritom je
F
svejedno nalaze li se točke s “donje” ili “gornje” strane ravnine. Dakle, dužina EF ne probada tu ravninu. Odredi ortogonalnu projekciju te dužine na zadanu ravninu.
F α
108
E
α
A
C
P r a v c i i r a v n i n e u p rTo rs otkourtu Primjer 4. Duljina dužine
U tom pravokutnom trokutu poznata nam je
Točka A udaljena je od ravnine 4 cm, a točka B 2 cm. Duljina dužine AB je 8 cm. Odredi duljinu dužine A ' B' koja je ortogonalna projekcija zadane dužine, ako su točke A i B:
duljina hipotenuze AB = 8 cm i jedne katete AC = AA ' + BB ' =6 cm. Duljina dužine A ' B' jednaka je duljini dužine BC , tj. katete trokuta ∆ABC .
Korištenjem
jednostavno
a) s različitih strana ravnine;
Pitagorinog
izračunamo
traženu
duljinu
dužine.
b) s iste strane ravnine.
A ' B ' = BC = 82 − 62 = 28 = 2 7 ≈ 5.29 cm .
Rješenje:
b) Najprije nacrtajmo skicu:
a) Najprije nacrtajmo skicu:
A
8 cm
A
B
B′
8 cm
A′
Primijetimo da skicu možemo nadopuniti da
A′
B′
4 cm
2 cm
4 cm
poučka
bismo dobili pravokutan trokut ∆ABC .
2 cm
8 cm
B
B
Primijetimo da skicu možemo nadopuniti da
bismo dobili pravokutan trokut ∆ABC . A
2 cm B′
A 2 cm C 4 cm A′
U tom pravokutnom trokutu poznata nam je duljina hipotenuze AB = 8 cm i jedne katete AC = AA ' − BB ' = 2 cm. Duljina dužine A ' B'
4 cm
jednaka je duljini dužine BC , tj. katete trokuta
8 cm
B′
∆ABC . Korištenjem Pitagorinog jednostavno izračunamo traženu
A′
2 cm B
poučka duljinu
dužine. A ' B ' = BC = 82 − 22 = 60 = 2 15 ≈ 7.75 cm .
C
Z a d a c i 5. Točka A udaljena je od ravnine 3 cm, a točka B 1
6. Točka A udaljena je od ravnine 3 cm, a točka
cm. Duljina dužine AB je 5 cm. Odredi duljinu
B 5 cm. Duljina dužine AB je 10 cm. Odredi
dužine A ' B' koja je ortogonalna projekcija
duljinu dužine A ' B' koja je ortogonalna
zadane dužine, ako su točke A i B:
projekcija zadane dužine, ako su točke A i B:
a) s različitih strana ravnine;
a) s različitih strana ravnine;
b) s iste strane ravnine.
b) s iste strane ravnine.
109
5.7. Udaljenost točke od ravnine 7. Točka A udaljena je od ravnine 3 cm, a točka B 1
10. Točka A udaljena je odravnine 2 cm, a točka B
cm. Duljina dužine AB je 5 cm. Odredi duljinu
6 cm. Odredi duljinu dužine AB ako je duljina
dužine A ' B' koja je ortogonalna projekcija
njene ortogonalne projekcije 3 cm , ako su
zadane dužine, ako su točke A i B:
točke A i B:
a) s različitih strana ravnine;
a) s različitih strana ravnine;
b) s iste strane ravnine.
b) s iste strane ravnine.
8. Točka A udaljena je od ravnine 3 cm, a točka
11. Dužini AB jedna rubna točka pripada ravnini.
B 5 cm. Duljina dužine AB je 10 cm. Odredi
Duljina dužine AB je 12 cm i nagnuta je
duljinu dužine A ' B' koja je ortogonalna
prema ravnini pod kutom od 60°. Odredi duljinu
projekcija zadane dužine, ako su točke A i B:
ortogonalne projekcije te dužine.
a) s različitih strana ravnine; b) s iste strane ravnine.
12. Dužina duljine 5 cm nagnuta je prema ravnini pod kutom od 30°. Odredi duljinu njene
9. Točka A udaljena je od ravnine 2 cm, a točka B
ortogonalne projekcije.
4 cm. Odredi duljinu dužine AB ako je duljina njene ortogonalne projekcije 8 cm, ako su točke
13. Dužina duljine a nagnuta je prema ravnini pod
A i B:
kutom od 45°. Odredi duljinu njene ortogonalne
a) s različitih strana ravnine;
projekcije.
b) s iste strane ravnine.
Vježb lica a
1. Nabroji pravce određene vrhovima kvadra
5. Na modelu kvadra ABCDEFGH odredi ortogonalne
ABCDEFGH koji su okomiti na ravninu:
projekcije zadanih točaka na zadane ravnine:
a) ADC;
b) DCG;
c) EFG;
a) točke E na ravninu EFG;
d) AHD;
e) AHE;
f) FGD.
b) točke F na ravninu ADH; c) točke C na ravninu FGH;
2. Napiši ravnine određene vrhovima kvadra ABCDEFGH kvadra ABCDEFGH kojim je zadani
d) točke D na ravninu FCG; e) točke E na ravninu ADH.
pravac okomica: a) EF;
b) DC;
c) EH;
d) GC.
6. Na modelu kvadra ABCDEFGH odredi ortogonalne projekcije zadanih točaka na zadane ravnine:
3. Napiši pravce određene vrhovima kvadra
a) točke G na ravninu FEG;
ABCDEFGH koji su okomiti na zadane ravnine:
b) točke C na ravninu FGH;
a) ACD;
c) točke D na ravninu FBA;
b) EFH;
c) FCG.
d) točke D na ravninu BFH; 4. Nabroji ravnine određene vrhovima kvadra ABCDEFGH koje su okomite na ravninu:
110
a) ABD;
b) FDB;
c) BCF;
d) AHD;
e) AFE;
f) DGC.
e) točke E na ravninu ABF.
P r a v c i i r a v n i n e u p rTTo rrs ootkkouurttu 7. Na modelu kvadra ABCDEFGH odredi ortogonalne projekcije zadanih točaka na zadane ravnine
14. Zadane su dimenzije kvadra: AB = 5 cm, AD = 8 cm i AE = 12 cm.
a) točke C na ravninu EGC;
a) Odredi duljinu plošne dijagonale AF ;
b) točke D na ravninu ABF;
b) Koja dužina je ortogonalna projekcija
c) točke A na ravninu FGH;
dijagonale AF na ravninu ABC?
d) točke B na ravninu GFC;
c) Odredi duljinu ortogonalne projekcije dužine
e) točke G na ravninu AHD.
AF na ravninu ABC.
8. Odredi ortogonalnu projekciju sjecišta dijagonala
15. Znamo da je duljina plošne dijagonale BG
pravokutnika ABCD na kvadru ABCDEFGH na
kvadra ABCDEFGH dugačka 25 cm, a brid BF
ravnine:
= 24 cm. Odredi ortogonalnu projekciju dužine BG na ravninu EFG i izračunaj joj duljinu.
a) HGC;
b) FCB;
c) ABC.
9. Odredi ortogonalnu projekciju sjecišta dijagonala
16. Znamo da je duljina plošne dijagonale ED
pravokutnika BCFG na kvadru ABCDEFGH na
kvadra ABCDEFGH dugačka 17 cm, a brid AD
ravnine:
= 15 cm. Odredi ortogonalnu projekciju dužine
a) EFG;
b) ABF;
c) ADH.
10. Na modelu kvadra ABCDEFGH odredi ortogonalne projekcije zadanih dužina na zadane ravnine: a) AD na ravninu EFG;
ED na ravninu EFG i izračunaj joj duljinu.
17. Znamo da je duljina plošne dijagonale FC kvadra ABCDEFGH dugačka 29 cm, a brid
AD = 21 cm. Odredi ortogonalnu projekciju
b) EA na ravninu ABC;
dužine FC na ravninu ABC i izračunaj joj
c) FG na ravninu DCG;
duljinu.
d) EF na ravninu ADH; e) AG na ravninu ADH.
18. Odredi udaljenost točaka od ravnina ako su dimenzije kvadra: AB = 28 cm, AD = 45 cm i
11. Na modelu kvadra ABCDEFGH odredi ortogonalne
AE = 60 cm
projekcije zadanih dužina na zadane ravnine:
a) točke B od ravninu EFG;
a) AE na ravninu BCG; b) ED na ravninu ACD;
b) točke H od ravninu EFG;
c) HF na ravninu DFH; d) EA na ravninu AEF;
d) točke F od ravninu ADH;
c) točke E od ravninu ABF; e) točke B od ravninu DCG.
e) AH na ravninu ABC. 19. Odredi udaljenost točaka od ravnina ako su 12. Na modelu kvadra ABCDEFGH odredi ortogonalne projekcije zadanih dužina na
dimenzije kvadra: AB = 7 cm, AD = 24 cm i
AE = 42 cm.
zadane ravnine:
a) točke A od ravninu ECG;
a) AG na ravninu EFG; b) HB na ravninu ABC;
b) točke C od ravninu AEG;
c) FD na ravninu FCG; d) EG na ravninu ADE;
d) točke H od ravninu ADE;
c) točke G od ravninu ABF; e) točke B od ravninu DCG.
e) AC na ravninu ADH 20. Odredi udaljenost sjecišta dijagonala 13. Odredi ortogonalne projekcije dijagonale AC pravokutnika ABCD na kvadru ABCDEFGH na
ravnine ADH. Dimenzije kvadra su: AB = 3 cm,
AD = 4 cm i AE = 5 cm.
ravnine: a) EHD;
pravokutnika ABCD na kvadru ABCDEFGH od
b) BFH;
c) DCG.
111
5.7. Udaljenost točke od ravnine 21. Odredi udaljenost sjecišta prostornih dijagonala kvadra ABCDEFGH od svih strana kvadra. Dimenzije kvadra su: AB = 8 cm, AD = 15 cm i AE = 20 cm. 22. Točka A udaljena je od ravnine 5 cm, a točka B 2 cm. Duljina dužine AB je 25 cm. Odredi duljinu dužine A ' B' koja je ortogonalna
29. Duljine bridova kvadra su AB = 8 cm, AD = 15 cm, AE = 10 cm. a) Izračunaj duljinu ortogonalne projekcije BC na ravninu BGH; b) Izračunaj duljinu ortogonalne projekcije AH na ravninu ADC; c) Izračunaj duljinu ortogonalne projekcije EF na ravninu BCG;
projekcija zadane dužine, ako su točke A i B:
d) Izračunaj udaljenost točke B od ravnine CDG;
a) s različitih strana ravnine;
e) Izračunaj udaljenost točke D od ravnine GEH.
b) s iste strane ravnine. 30. Izračunaj duljinu ortogonalne projekcije 23. Točka A udaljena je od ravnine 9 cm, a točka
dužine MN duljine 61 cm koja siječe ravninu
B 11 cm. Duljina dužine AB je 29 cm. Odredi
projiciranja ako je točka M udaljena od ravnine
duljinu dužine A ' B' koja je ortogonalna
20 cm, a točka N 40 cm.
projekcija zadane dužine, ako su točke A i B:
a) s različitih strana ravnine;
b) s iste strane ravnine.
31. Dužina RS duljine 29 cm ne siječe ravninu projiciranja. Točka R udaljena je od nje 15 cm, a točka S 8 cm. Odredi duljinu ortogonalne
24. Točka A udaljena je od ravnine 18 cm, a točka B
projekcije te dužine.
30 cm. Odredi duljinu dužine AB ako je duljina njene ortogonalne projekcije 35 cm, ako su
32. Izračunaj duljinu dužine AB koja ne siječe
točke A i B:
ravninu projiciranja, ako je duljina njene
a) s različitih strana ravnine;
ortogonalne projekcije 21 dm. Točka A udaljena
b) s iste strane ravnine.
je od ravnine 8 dm, a točka B 28 dm.
25. Točka A udaljena je od ravnine 4 cm, a točka B
33. Izračunaj duljinu dužine koja siječe ravninu
5 cm. Odredi duljinu dužine AB ako je duljina
projiciranja ako je duljina njene ortogonalne
njene ortogonalne projekcije 40 cm, ako su
projekcije 24 cm.Točka A udaljena je od ravnine
točke A i B:
8 cm, a točka B 4 cm.
a) s različitih strana ravnine; b) s iste strane ravnine.
34. Duljina dužine MN je 18 cm i točka N leži u ravnini projiciranja. Izračunaj duljinu
26. Dužini AB jedna rubna točka pripada ravnini.
ravninom R zatvara kut :
ravnini pod kutom od 60°. Odredi duljinu
a) 60°;
ortogonalne projekcije te dužine. 27. Dužina duljine 8 cm nagnuta je prema ravnini pod kutom od 30°. Odredi duljinu njene ortogonalne projekcije. 28. Dužina duljine 10 nagnuta je prema ravnini pod kutom od 45°. Odredi duljinu njene ortogonalne projekcije.
112
ortogonalne projekcije te dužine ako ona s
Duljina dužine AB je 15 cm i nagnuta je prema
b) 30°;
c) 45°.
P r a v c i i r a v n i n e u p rTo rs otkourtu
5.8. Ponavljanje Pitanja za ponavljanje: 1. Koliko najmanje točaka određuje jednu ravninu?
7. Skiciraj i opiši sve međusobne položaje dviju ravnina u prostoru.
2. Čime sve možemo zadati jednu ravninu? 3. Koliko najmanje zajedničkih točaka moraju imati pravac i ravnina da bi znali da pravac leži u ravnini?
8. Objasni kada je neki pravac okomit na ravninu. 9. Objasni kada su dvije ravnine međusobno okomite.
4. Skiciraj i opiši sve međusobne položaje dvaju pravaca u ravnini.
10. Što je ortogonalna projekcija točke na ravninu?
5. Skiciraj i opiši sve međusobne položaje dvaju pravaca u prostoru.
11. Što je ortogonalna projekcija dužine na ravninu?
6. Skiciraj i opiši sve međusobne položaje pravaca i ravnine u prostoru.
Z a d a c i
z a
1. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH, pa oboji ravnine
p o n a v l j a n j e : b)
a) BCD; b) BCG; c) DCG.
H
2. Napiši vrhove kvadra koji pripadaju nacrtanim
G
ravninama. Napiši sve pravce određene tim vrhovima koji leže u nacrtanim ravninama. a)
H
G
D
F
E
A D
A
F
E
C
B
C
B
113
5.8. Ponavljanje 3. Pogledaj kvadar ABCDEFGH i odgovori na pitanja:
13. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i istakni bojom pravce
a) Pripada li ravnini ABF točka: A; B; D; E;
koji su usporedni s ravninom:
b) Pripada li ravnini EFG točka: A; B; G; E;
a) FGH;
c) Pripada li ravnini ADH točka: A; B; D; E. 4. Pogledaj kvadar ABCDEFGH i napiši vrhove kvadra
b) ADH;
c) DCG.
14. Pogledaj model kvadra ABCDEFGH i napiši tražene ravnine:
koji ne leže u ravnini:
a) usporedne s BCG; b) sijeku se s ABC;
a) BCG;
c) EFG.
c) usporedne s CGH; d) sijeku se s ABG.
5. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH pa nabroji sve ravnine
e) okomite na ADH; f) okomite na EFG,
određene vrhovima kvadra koje sadrže točku:
15. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i zadane ravnine.
a) B;
b) DCG;
b) D;
c) F.
Napiši u kakvom položaju su te ravnine.
6. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH pa nabroji sve ravnine
a) ABC i ACG;
b) FGH i BCF;
određene vrhovima kvadra koje sadrže pravac:
c) ABF i ADH;
d) DCH i DCF;
a) BC;
e) FGH i DBF;
f) FHD i DCB;
b) AC;
c) BH.
7. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i nacrtaj jedan par
16. Pogledaj model kvadra ABCDEFGH. i nabroji
pravaca koji:
sve pravce određene vrhovima kvadra, koji
a) su usporedni; b) su mimosmjerni; c) se sijeku.
probadaju ravninu:
8. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i odredi u kojem položaju se nalaze zadani pravci:
a) EFG;
b) BDH;
c) ADH.
17. Napiši ravnine određene vrhovima kvadra koje su:
a) AD i BC; b) BC i EH; c) EF i FG;
a) usporedne sa zadanom;
d) AG i BH; e) CD i AB; f) EH i BG. 9. Na modelu kvadra ABCDEFGH uoči nekoliko
b) okomite na zadanu ravninu. H
parova pravaca koji se sijeku. Napiši koji su to
G
pravci te koju ravninu određuju.
F
E
H F
E
D
A
H
G
D
F
E
B
A
C
A
C
D
C
B
G
B
18. Napiši pravce određene vrhovima kvadra koji su: a) usporedni sa zadanom; b) okomiti na zadanu ravninu. H
10. Napiši po tri pravca koji a) probadaju nacrtanu ravninu;
G F
E
b) su usporedni za nacrtanom ravninom; c) leže u nacrtanoj ravnini; d) su okomiti na nacrtanu ravninu.
C
D
11. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i istakni bojom dva a) BCD;
b) BCG;
c) EFG.
12. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i istakni bojom dva pravce koji pripadaju ravnini: a) DCH;
b) ABC;
c) FHB.
19. Napiši ravnine kojima je zadani pravac okomica: a) DC;
b) BC;
c) FG;
d) GC.
20. Nabroji ravnine određene bridovima kvadra ABCDEFGH koje su okomite na ravninu: a) BCG;
114
B
A
pravca koji probadaju ravninu:
b) BEF;
c) ABC.
P r a v c i i r a v n i n e u p rTo rs otkourtu 21. Na modelu kvadra ABCDEFGH odredi
25. Kolika je udaljenost točke G od ravnine ABC
ortogonalne projekcije zadanih točaka na
kvadra ABCDEFGH, ako su poznate dimenzije
zadane ravnine:
kvadra: AB = 4 cm, AD = 2 cm i
a) točke B na ravninu EFG;
b) točke G na ravninu ABC;
AE = 5 cm. Koji vrhovi kvadra su jednako udaljeni od ravnine ABC kao i točka G?
c) točke H na ravninu BCG;
26. Odredi udaljenost točke A od ravnina ako su
d) točke A na ravninu ADH;
dimenzije kvadra: AB = 3 cm, AD = 5 cm i
e) točke F na ravninu DCG.
AE = 4 cm:
22. Odredi ortogonalne projekcije točke A na ravnine: a) ABC;
b) EFG;
e) ABF;
f) DCG.
c) BCG:
d) ADH;
23. Odredi ortogonalne projekcije dužine AB na ravnine: a) ABC;
b) EFG; c) BCG: d) ADH;
e) ABF;
f) DCG.
a) BCD;
b) FGH;
e) BEF;
f) HCG.
c) BCF:
d) ADE;
27. Točka A udaljena je od ravnine 3 cm, a točka B 4 cm. Duljina dužine AB je 25 cm. Odredi duljinu dužine A ' B' koja je ortogonalna projekcija zadane dužine, ako su točke A i B: a) s različitih strana ravnine; b) s iste strane ravnine.
24. Odredi ortogonalne projekcije dijagonale BD pravokutnika ABCD na kvadru ABCDEFGH na ravnine:
28. Točka A udaljena je od ravnine 7 cm, a točka B 2 cm. Odredi duljinu dužine AB ako je duljina njene ortogonalne projekcije 12 cm , ako su
a) EFG; b) BCG; c) DCG.
točke A i B: a) s različitih strana ravnine; b) s iste strane ravnine.
P r i m j e r a k
o g l e d n o g
1. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH, pa oboji
ravninu BCG.
t e s t a :
6. Napiši po jedan par ravnina određenih vrhovima kvadra ABCDEFGH, koje su: a) okomite; b) usporedne; c) sijeku se.
2. a) Nabroji vrhove kvadra koji pripadaju ravnini ADH;
b) Nabroji vrhove kvadra koji ne pripadaju ravnini ADH.
3. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH, pa na njemu istakni pravac i ravninu koji su a) usporedni; b) okomiti; c) pravac probada ravninu. 4. Nabroji pravce određene vrhovima kvadra ABCDEFGH, koji su:
7. Odredi ortogonalne projekcije zadanih točaka na zadane ravnine: a) točke C na ravninu EFG; b) točke E na ravninu BCG. 8. Odredi ortogonalne projekcije dužine BG na ravnine: a) EFG; b) ADH. 9. Točka A udaljena je od ravnine 3 cm, a točka B 2 cm. Duljina dužine AB je 13 cm. Odredi
a) okomiti; b) usporedni;
duljinu dužine A ' B' koja je ortogonalna
c) pridaju ravnini EFG.
projekcija zadane dužine, ako su točke A i B:
5. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH, pa na njemu istakni dva mimosmjerna pravca.
a) s različitih strana ravnine; b) s iste strane ravnine.
115
6. Geometrijska tijela Važni pojmovi: poliedri prizme piramide kvadar kocka tetraedar baza i pobočje valjak stožac izvodnica stošca kugla sfera oplošje obujam mreža geometrijskog tijela
U geometriji ravnine smo promatrali geometrijske likove i računali njihov opseg i površinu. Sada promatramo odnose u geometriji prostora. Osim točaka, pravaca i ravnina, u prostoru se nalaze i još neki skupovi točaka: geometrijska tijela. To su, primjerice, kvadar, kocka, kugla, piramida, valjak, stožac itd.
kvadar kvadar kvadar
kvadar kvadar kocka kocka
piramida
valjak
stožac stožac
kvadar kvadar kockakocka stožacstožac stožac stožac stožac kuglakugla kugla
piramida piramida
piramida
kocka kocka kocka
piramida piramida piramida valjak
valjak valjak
valjak valjakvaljak
Ova geometrijska tijela su poznata iz najstarijih civilizacija. Iz praktičnih potreba trebalo je znati izračunati obujam pojedinog tijela, tj. izračunati koliki prostor zauzima pojedino tijelo, ili koliko vode ili pijeska stane u njega i sl. Obujam su znali mjeriti već stari Egipćani i Babilonci. Oni su znali točno izračunati obujam kocke i kvadra, te približno i druga geometrijska tijela. Grci su zatim točno izveli mnoge formule za volumene geometrijskih tijela.
116
kug
kugla kugla
Geometrijska tijela
U ovom poglavlju ćeš, primjerice, naučiti: - Koja su to uglata, a koja obla tijela; - Koja je razlika između prizmi i piramida; - Kolika je duljina prostorne dijagonale kocke; - Što je to mreža poliedra; - Imaju li prizma i piramida jednake obujmove ako su im baze i visine sukladne; - Što je to tetraedar; - Što je to izvodnica stošca; - Koja je razlika između kugle i sfere.
Kratki zadaci za ponavljanje
4. Kako glasi formula za površinu jednakostra ničnog trokuta? 5. Kako glasi Pitagorin poučak?
1. Što je opseg mnogokuta? 2. Navedi formule za opseg trokuta, pravokutnika, paralelograma, kvadrata, romba, trapeza i pravilnog mnogokuta. 3. Kako glasi formula za površinu trokuta?
6. Kako glasi formula za površinu kvadrata? Kako glasi formula za površinu pravokutnika? 7. Kako glasi formula za površinu romba? 8. Navedi mjerne jedinice za obujam.
117
6.1. Vrste geometrijskih tijela
6.1. Vrste geometrijskih tijela
S
Koja je razlika? Koja je razlika između slika u prvom i drugom retku? Znaš li kako se nazivaju ovi skupovi točaka? S
S
S S
kvadar
kocka
peterostrana prizma
trostrana prizma
Primijetimo veliku razliku između crteža u prvom i drugom retku uvodnog primjera. U prvom retku se nalaze geometrijski likovi. To su skupovi točaka u ravnini. USdrugom retku se nalaze geometrijska tijela. To su skupovi točaka
S
u prostoru. Kao i kod likova u ravnini, tako i u prostoru ima mnogo vrsta
kvadar
kocka
geometrijskih tijela. Na slici se nalaze neka tijela koja ćemo spominjati u ovoj peterostrana prizma trostrana prizma kvadar šesterostrana prizma
cjelini. Upoznajmo se s njima.
kocka peterostrana prizma četverostrana prizma kojoj je baza trapez
trostrana prizma
S
trostrana piramida šesterostrana prizma kvadar kocka
trostrana piramida
četverostrana prizma peterostrana prizma kojoj je baza trapez
četverostrana piramida
šesterostrana prizma
trostrana prizma
peterostrana piramida
četverostrana prizma kojojUje baza trapezmnoštvu ovom
peterostrana piramida četverostrana prizma kojoj je baza trapez
četverostrana piramida
šesterostrana prizma
šesterostrana stožac četverostrana piramida trostrana piramida valjak piramida
kugla peterostrana piramida
geometrijskih tijela ipak prepoznajemo neke sličnosti i
međusobne razlike između tijela, tako da ih možemo podijeliti u grupe. Jedna od osnovnih podjela geometrijskih tijela je ona na uglata i obla geometrijska tijela. Tako su uglata geometrijska tijela, primjerice: kvadar, kocka, sve prizme i piramide. Obla geometrijska tijela su, primjerice: stožac, valjak i kugla. Svako šesterostrana stožac kugla valjak geometrijsko tijelo je omeđeno piramida trostrana piramida četverostrana peterostrana piramida piramida
stožac kugla šesterostrana plohama. Ukoliko valjak su sve plohe dijelovi ravnine piramida
(mnogokuti), govorimo o uglatim tijelima. Ako postoji bar jedna ploha koja omeđuje geometrijsko tijelo koja nije dio ravnine, već je “zakrivljena” u prostoru, tijelo je oblo.
118 šesterostrana piramida
valjak
stožac
kugla
Geometrijska tijela
Ovo j e dio ravne plohe. Kažemo da j e to dio ravnine.
Ovo j e dio zakrivlj ene plohe.
kome ti da j e zakrivlj en?
Primjer 1. Uglata geometrijska tijela
b) Vrhove, bridove i strane smo već upoznali kod kvadra. Svako uglato geometrijsko tijelo je omeđeno mnogokutima – to su
Osnovni elementi svakog geometrijskog tijela
strane tog tijela. Dužina koja je zajednička
su vrh, brid i strana.
dvjema stranama zove se brid. Točka koja je zajednička trima ili više bridovima zove se vrh. J
V
I H F
a) Koliko je uglatih, a koliko oblih tijela na
G
slici? b) Na svakoj slici pronađi vrhove, bridove i
C
D
strane; c) Koliko svako geometrijsko tijelo sa slike ima vrhova, bridova, te strana?
A
B
E
D A
C B
c) Kvadar ima 8 vrhova, 12 bridova i 6 strana. Četverostrana piramida ima 5 vrhova, 8
Rješenje:
bridova i 5 strana. Peterostrana prizma ima
a) Sva geometrijska tijela sa slike su uglata. Uglata
geometrijska
tijela
se
nazivaju
10 vrhova, 15 bridova i 7 strana. Kocka ima 8 vrhova, 12 bridova i 6 strana.
poliedri.
119
6.1. Vrste geometrijskih tijela Primjer 2. Prizme i piramide
baze
Pogledaj uglata tijela sa slika. Prizme: pobočke
Preostale strane prizme se nazivaju pobočke prizme.
Piramide:
Pobočke
prizme
sa
slike
su
pravokutnici. Usporedimo li piramide s prizmama, primje– ćujemo da piramide imaju samo jednu bazu, a Što je zajedničko svim prizmama, a što svim
umjesto druge baze imaju točku koja se naziva
piramidama?
vrh piramide. Pobočke piramide su trokuti. vrh
Rješenje:
pobočke
Sve prizme imaju svoje dvije strane koje se nalaze u paralelnim ravninama. Te dvije strane nazivamo dvije baze prizme. Po tome ih i prepoznajemo:
baza
Primjer 3. Obla geometrijska tijela
Rješenje:
Koja od nacrtanih tijela su obla? Kako se zovu
Obla geometrijska tijela su omeđena bar jednom
obla tijela sa slike?
zakrivljenom plohom.
štozac
kugla
valjak
Z a d a c i 1. Koja geometrijska tijela prepoznaješ na slici:
a)a)
b)b)
c)c)
120
d)d)
e)e)
f) f)
a) a) a)
d) d) d)
b) b) b)
e) e) e)
c) c) c)
f) f) f)
Geometrijska tijela 2. Na slici su prikazana neka geometrijska tijela. 4. Navedi nekoliko primjera gdje u svakodnevnom životu susrećeš: a) trostranu prizmu; b) četverostranu piramidu; c) valjak; a) Prepoznaj sva tijela sa slike;
d) kvadar; e) kuglu; f) kocku; g) stožac?
b) Koliko vrhova ima svako tijelo? c) Koliko bridova ima svako tijelo?
5. Od kojih tijela se sastoje ova složena tijela na
d) Koliko strana ima svako tijelo?
slici:
e) Koji geometrijski likovi predstavljaju strane? 3. Koja geometrijska tijela prepoznaješ na slici:
6. Koje tvrdnje su točne? a) Prizma je oblo geometrijsko tijelo; b) Piramida je uglato geometrijsko tijelo; c) Prizma je uglato geometrijsko tijelo; d) Kugla je oblo geometrijsko tijelo; e) Valjak je oblo geometrijsko tijelo.
6.2. Osnovno o prizmama Prepoznaj prizme! Na slici se nalaze uglata geometrijska tijela. Kako ćeš među njima prepoznati prizme?
H
G
U prethodnom poglavlju smo naučili da prizma spada u uglata geometrijska tijela, tj. u poliedre. Među stranama svake prizme primjećujemo njene dvije strane koje se nalaze u paralelnim
F
E
ravninama.
dvije baze
Te dvije strane nazivamo bazama prizme. Baze prizme D
C
su razni mnogokuti, uvijek se radi o dva sukladna mnogokuta.
A
B
Preostale
strane
prizme
se
nazivaju
pobočke prizme. Sve pobočke prizme čine pobočje.
ili osnovke pobočke prizme
121
6.2. Osnovno o prizmama
Bridovi koji pripadaju bazama nazivaju se osnovni bridovi, jer se baza još naziva
osnovni brid
i osnovka. Preostali bridovi se nazivaju bočni bridovi, jer su zajednički dvjema
bočni brid
pobočkama. U svakodnevici na svakom koraku susrećemo prizme. U sljedećim primjerima ćemo pokazati neke vrste prizmi, te njihova osnovna svojstva.
Primjer 1. Vrste prizmi Pogledaj
ove
prizme.
Po
Rješenje: čemu
se
one
Svaka prizma na zadanoj slici ima različitu
razlikuju?
bazu. Tako je na prvoj slici baza peterokut. Zato se ta prizma naziva peterostrana prizma. Na drugoj slici je baza trokut, pa se takva prizma naziva trostrana prizma. Na trećoj slici je baza osmerokut, pa se takva prizma naziva osmerostrana prizma.
Z a d a c i 1. Kako se nazivaju prizme na slici?
a) a)
b)
2. Kako se nazivaju prizme na slici?
b)
a)c)
b)
c)
c)
a)
b)
b)
c) d)
c) d)
e)
3. Kako se naziva prizma ako joj je baza: a) deseterokut; b) osamnaesterokut;
e)
c) trideseterokut; d) stoterokut? 4. Skiciraj ove prizme pa im oboji baze crveno, a pobočje plavo:
d)
e)
e)
122
a) trostrana;
b) četverostrana;
c) peterostrana;
d) šesterostrana
Geometrijska tijela Primjer 2. Uspravna i kosa prizma
Rješenje:
Pogledaj ove prizme. Po čemu se one razlikuju?
Obje prizme su peterostrane, no one ipak nisu jednake. Na lijevoj slici se nalazi uspravna prizma. Kod uspravne prizme ortogonalna projekcija gornje baze na ravninu donje baze se potpuno podudara s donjom bazom. Sve pobočke uspravne uspravna i
prizme su uvijek pravokutnici.
kosa prizma
Na desnoj slici se nalazi kosa prizma. Njene pobočke su paralelogrami. No,
prizme koje ćemo mi proučavati biti će samo uspravne prizme.
Primjer 3. Pravilna prizma
Rješenje:
Pogledaj ove prizme. Po čemu se one razlikuju
a) Primijetimo da su na slici pod a) obje prizme
u svakom zadatku?
četverostrane i uspravne. No, ipak ih još po nečemu razlikujemo. Osnovni bridovi prve prizme su svi jednakih duljina. Baza je dakle kvadrat, tj.
pravilna
pravilni četverokut. Zato takvu
prizma
prizmu
d
d
b
b
d
a)
pravilna
četverostrana prizma.
c
d
nazivamo
b) Baza
druge
prizme
ima
sve
stranice
jednakih duljina. To je pravilni trokut, tj.
a
jednakostranični trokut. Zato takvu prizmu nazivamo pravilna trostrana prizma. Pravilna prizma je uspravna prizma kojoj je baza pravilan mnogokut.
e b)
f
a d
a
a
d a
a a
d
d d
m m
m m
m m
123
6.2. Osnovno o prizmama
Z a d a c i 5. Na kojoj slici se nalaze:
11. Na kojoj slici se nalaze:
a) trostrane prizme;
a) uglata tijela;
b) četverostrane prizme;
b) obla tijela;
c) peterostrane prizme;
c) prizme;
d) šesterostrane prizme?
d) piramide; e) trostrane prizme; f) uspravne prizme;
1
g) četverostrane uspravne prizme;
3
2
h) kose prizme?
2
1
3 4
4
5
6
6 5 7
6. Koje prizme primjećuješ na slikama:
8 10
9
7. Koje od ovih prizmi su četverostrane:
7. Navedi gdje sve u životu susrećemo:
3
1
4
2
a) četverostrane prizme; b) peterostrane prizme; c) šesterostrane prizme;
d) trostrane prizme.
5 6
8. Skiciraj pravilnu, uspravnu trostranu prizmu.
7
9. Skiciraj pravilnu, uspravnu četverostranu prizmu. 10. Skiciraj pravilnu, uspravnu šesterostranu prizmu.
124
9 8
Geometrijska tijela
Vježb lica a
1. Na slici su prikazana neka geometrijska tijela.
a) Prepoznaj sva tijela sa slike;
b) Koliko vrhova ima svako tijelo?
c) Koliko bridova ima svako tijelo?
d) Koliko strana ima svako tijelo?
e) Koji geometrijski likovi predstavljaju strane?
f) Ispiši za svaku od nacrtanih prizmi koji likovi
g) Ispiši za svaku od nacrtanih prizmi koji likovi
h) Koliko svaka prizma ima baza?
i) Koliko svaka od nacrtanih prizmi ima bočnih
su joj baze;. su joj bočne strane (pobočke);
strana?
j) Koliko svaka od nacrtanih prizmi ima vrhova?
k) Koliko svaka od nacrtanih prizmi ima
l) Koliko svaka od nacrtanih prizmi ima bočnih
m) Koje prizme od nacrtanih su pravilne?
osnovnih bridova? bridova?
125
6.3. Kvadar
6.3. Kvadar Što im je zajedničko? Koja geometrijska tijela prepoznaješ na slikama? Kojoj vrsti pripadaju?
H
Navedi još nekoliko takvih predmeta.
Mnogi predmeti oko nas imaju oblik prizme kojoj
G F
E
je baza pravokutnik. Takva četverostrana prizma se naziva kvadar.
D
Kao što znamo, kvadar ima 8 vrhova, 12 bridova i
C
6 strana. Sve strane kvadra su pravokutnici.
A
B
Kvadar je uspravna prizma kojoj je baza pravokutnik. Osnovni i bočni bridovi kvadra mogu biti različitih duljina. Među njima se ističu dvije vrste kvadra: 1. Kvadar kojem su svi osnovni bridovi jednakih duljina. Baza takvog kvadra je kvadrat, a pobočke su pravokutnici. Takav kvadar se naziva kvadratna prizma ili pravilna četverostrana prizma.
2. Kvadar koji ima sve bridove jednakih duljina. Sve strane takvog kvadra su kvadrati. Takav kvadar se naziva kocka. Njome ćemo se detaljnije pozabaviti u sljedećem poglavlju.
126
Geometrijska tijela Primjer 1. Crtanje kvadra u kosoj projekciji Zadan je kvadar s bridovima dugim a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm. Nacrtaj ga!
određenim kutom. Ima mnogo mogućnosti za crtanje u kosoj projekciji, ali mi ćemo odabrati da je kut α = 45º i da je bočni
Rješenje:
brid
dvostrukoc
kraći od svoje stvarne
Geometrijska tijela nije moguće nacrtati u
duljine (kažemo da je
ravnini (na papiru) u zadanim dimenzijama.
prikrata
Zato ćemo ih crtati u kosoj projekciji. To znači
b
1 ). 2
45°
a
da bridovi koji se nalaze s prednje strane
Ako kod zadanog kvadra
obzirom na kut gledanja, ili oni bridovi paralelni
uzmemo da je a duljina, a c visina kvadra,
s prednjima, kod crtanja ostaju nepromijenjenih
tada ćemo brid b nacrtati pod kutom od 45º u
duljina. Ostali bridovi (koji prikazuju dimenziju
odnosu na brid a i dvostruko skraćen.
“dubine”) se crtaju skraćeni obzirom na svoju pravu duljinu i zbog perspektive se crtaju pod
Primjer 2. Plošna i prostorna dijagonala kvadra
c
i
plošna
teško
d.
dijagonala
izračunati
d
Duljinu
nije
primjenom
Pitagorinog poučka:
Izračunaj duljinu D sa slike:
d2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 d = 5 cm. c = 12 cm
Sada izračunajmo duljinu pro–
D
storne dijagonale D, također
D
c
primjenom Pitagorinog poučka: D2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 D = 13 cm. b = 4 cm
Rješenje:
d
Tražena prostorna dijagonala D
a = 3 cm
Kut između brida c i ravnine u kojoj leži baza
kvadra je duga 13 cm.
kvadra je pravi kut. Stoga je i trokut istaknut na
Prostorna dijagonala kvadra
ovoj slici pravokutni trokut.
Zadan
je
kvadar
s
bridovima a, b i c. Naučili
smo
prostorne
kvadar ima dvije vrste
c
dijagonala:
plošne i prostorne se
tada je D2 = a2 + b2 + c2. d
duljina
p r o s t o r n e dijagonale D.
dijagonale
No, kako je d2 = a2 + b2,
D
d
D
D jednaka: D2 = d2 + c2
dijagonale. Traži
c
Tada je duljina njegove
da
b
b = 4 cm
a = 3 cm
a
Katete ovog pra–vokutnog trokuta su visina
d
b
a
Dakle, duljina prostorne dijagonale kvadra s bridovima a, b i c je D =
a2 + b2 + c 2 .
Iz ove formule slijedi da kvadar ima sve četiri prostorne dijagonale jednakih duljina.
127
6.3. Kvadar
Z a d a c i 1. Zadan je kvadar s bridovima dugim
6. Može li štap duljine 4 m stati u sobu s
a = 3 cm, b = 4 cm, c = 3.5 cm.
dimenzijama 2.5 m x 3 m x 3 m?
a) Nacrtaj taj kvadar u kosoj projekciji;
7. Izračunaj duljinu brida kvadra kojem su zadane
b) Izračunaj duljinu prostorne dijagonale tog
prostorna dijagonala i duljine drugih dvaju
kvadra.
bridova:
2. Izračunaj duljinu prostorne dijagonale kvadra
a) D = 6.5 dm, b = 1.5 dm, c = 2 dm;
ako su zadane duljine njegovih bridova:
b) D = 7 cm, a = 3 cm, c = 2 cm;
a) 6 cm, 8 cm, 10 cm;
c) D = 11.3 mm, a = 4 mm, b = 4.1 mm;
b) 2.5 mm, 3.3 mm, 7 mm; c) 0.25 cm, 6 cm, 6 cm; d) 2 2 dm, 2 dm, 3 2 dm. 3. Izračunaj duljinu prostorne dijagonale kvadra ako su zadane duljine njegovih bridova: a) 30 cm, 4 dm, 12 dm;
d) D = 6 2 dm, b =
2 dm, c = 2 2 dm.
8. Zadan je kvadar s bridovima dugim 5 cm, 5 cm i 8 cm. Kako se naziva ta vrsta kvadra? Nacrtaj sliku i računanjem se uvjeri da sve četiri prostorne dijagonale imaju jednake duljine. 9. Nacrtaj kvadar sa bridovima dugim 4 cm,
b) 32 mm, 4.5 cm, 50 mm;
2.5 cm i 6.3 cm. Izračunaj duljine svih plošnih i
c) 0.25 m, 6 dm, 45 cm; d) 1.5 m, 82 cm, 6 dm.
prostornih dijagonala ovog kvadra.
4. Može li kišobran duljine 70 cm stati u kofer dug 55 cm, širok 40 cm i visok 15 cm? Objasni svoj odgovor.
10. Plošne dijagonale kvadra su duge 10 cm, 12 cm i 14 cm. Kolika je duljina prostorne dijagonale kvadra?
5. Može li čačkalica duljine 7.3 cm stati u kutijicu s dimenzijama 4.2 cm, 5 cm, 3.5 cm?
11. Plošne dijagonale kvadra su duge
2 3 dm i
2 dm,
11 dm. Kolika je duljina prostorne
dijagonale kvadra?
Primjer 3. Mreža kvadra
Rješenje:
Pogledaj ove pravokutnike. Koji od ovih likova
Ovakav oblik prikazivanja geometrijskih tijela
presavijanjem po istaknutim dužinama može
pomoću likova u ravnini koji presavijanjem u
formirati kvadar?
prostoru mogu formirati geometrijsko tijelo naziva se mreža. Presavijanjem kvadar mogu formirati likovi sa slika a) i c). Dakle, mreže kvadra se nalaze na slikama a) i c). Mreža kvadra Mreža kvadra se može nacrtati na više načina. Evo nekoliko primjera:
a)
c)
128
b)
Geometrijska tijela Primjer 4. Oplošje kvadra
Primijetimo da su nasuprotne strane kvadra
Zadan je kvadar s bridovima 2.5 cm, 5 cm i
sukladni pravokutnici. Dakle, u kvadru imamo
4.2 cm. Želimo nacrtati njegovu mrežu i iz nje
dvije sukladne baze, zatim sukladnu prednju i
složiti kvadar. Koliko će nam točno papira za to
stražnju stranu i dvije sukladne bočne strane.
trebati?
Stoga je ukupna površina papira potrebnog za izradu mreže ovog kvadra jednaka: O = 2 • 12.5 + 2 • 10.5 + 2 • 21 =
Rješenje: Znamo da su sve strane kvadra pravokutnici. Stoga je potrebno izračunati površinu koliko je papira potrebno za izradu svih pravokutnika.
25 + 21 + 42 = 88 cm2. Ukupnu površinu smo označili slo vom O jer ona označava oplošje kvadra. Oplošje kvadra je zbroj
oplošje kvadra
površina svih strana kvadra. Oplošje kvadra Oplošje kvadra je zbroj površina svih strana tog kvadra. Dodajmo tome da su kod kvadra sve strane pravokutnici. Kako svaka strana Površina baze je 2.5 • 5 = 12.5 cm2. Površina prednje strane je 2.5 • 4.2 = 10.5 cm2. Površina bočne strane je 5 • 4.2 = 21 cm2.
kvadra ima svoju paralelnu stranu koja joj je sukladna, oplošje kvadra s bridovima duljine a, b i c možemo računati po formuli O = 2ab + 2bc + 2ca ili
O=2(ab+bc+ca).
Z a d a c i 12. Izračunaj oplošje kvadra s bridovima duljine:
16. Kolika je prostorna dijagonala kvadra ako je
a) 3 cm, 2 cm, 5 cm; b) 1 cm, 2.5 cm, 3 cm;
njegovo oplošje 148 cm2, a bridovi baze dugi
c) 4 cm, 23 mm, 0.35 dm;
4 cm i 5 cm?
d) 3 2 cm, 2 cm,
2 cm.
17. Od papira napravi mrežu kvadara s
13. izračunaj oplošje kvadra s bridovima duljine:
dimenzijama:
a) 30 cm, 4 dm, 12 dm;
a) a = 4 cm, b = 2.5 cm, c = 6 cm;
b) 32 mm, 4.5 cm, 50 mm;
b) a = 2 cm, b = 3.5 cm, c = 7 cm.
c) 0.25 m, 6 dm, 45 cm; d) 1.5 m, 82 cm, 6 dm.
Izračunaj za koji kvadar ćemo potrošiti više
14. Izračunaj duljinu brida kvadra ako su poznati oplošje O i duljine ostalih dvaju bridova a i b:
papira. 18. Može li limar od pravokutnog komada lima
a) O = 62 cm2, a = 2 cm, b = 5 cm;
dimenzija 1 m x 1.5 m načiniti sa svih strana
b) O = 45 cm , a = 4 cm, b = 3 cm;
zatvorenu cijev pravokutnog presjeka s
c) O = 54 cm2, a = 1 cm, b = 10 cm;
dimenzijama 4 cm x 1.5 cm x 15 m?
2
d) O = 14 cm , a = 2 2 cm, b = 2
2 cm.
15. Koliko će papira trebati za omotavanje poklon-
19. Limaru treba cijev duga 135 cm. Cijev treba biti u presjeku pravokutnik širine 6 cm i visine
kutije oblika kvadra koja ima dimenzije:
4 cm. Može li limar od pravokutnog komada
a) 6 dm x 3 dm x 4 dm;
lima dimenzija 45 cm x 60 cm načiniti tu cijev
b) 2.5 cm x 5 cm x 3.2 cm;
kao na slici?
c) 2 dm x 30 cm x 0.02 m; d)
3 dm x 3 2 dm x 1 dm.
129
6.3. Kvadar Primjer 5. Kvadratna prizma
Oplošje je zbroj površina svih strana kvadra.
Baza kvadra je kvadrat sa stranicom duljine
Stoga, da bismo izračunali oplošje zadanog
4.5 cm. Koliki su oplošje i duljina prostorne
kvadra, primijetimo da su mu baze kvadrati
dijagonale tog kvadra ako je njegova visina
sa stranicom 4.5 cm. Pobočke su mu četiri
6 cm?
sukladna pravokutnika sa stranicama 4.5 cm i 6 cm. Oplošje zadane kvadratne prizme je O = 2 • 4.52 + 4 • 4.5 • 6 = 40.5 + 108 =
Rješenje:
148.5 cm2.
Budući da je baza ovog kvadra o
kvadrat,
kvadratnoj
pravilnoj
radi
se
prizmi,
tj.
četverostranoj
prizmi.
Prostorna dijagonala zadane kvadratne prizme b b
D=
a a
je 4.52 + 4.52 + 62 ≈ 8.75 cm.
a a
Samo pazi, opseg j e zbroj duljina, a oplošj e j e zbroj površina!
Aha! Znaèi, geometrijskim likovima smo mj erili opseg, a tij elima mj erimo oplošj e!
Z a d a c i 20. Duljine bridova baze kvadra su 14 cm i 15 cm,
24. Izračunaj duljinu bočnog brida kvadratne
a njegova prostorna dijagonala je duga 22 cm.
prizme ako su poznati oplošje O i duljina
Koliko je oplošje tog kvadra?
osnovnog brida a:
21. Baza kvadra je kvadrat sa stranicom duljine
a) O = 40 mm2, a = 1 mm;
4.5 cm. Koliki su oplošje i duljina prostorne
b) O = 34 mm2, a = 2 mm;
dijagonale tog kvadra ako je njegova visina
c) O = 450 cm2, a = 5 cm;
8 cm?
d) O = 100.25 m2, a = 3.45 m.
22. Izračunaj oplošje i duljinu prostorne dijagonale
25. Neboder visine 50 m ima kvadratno prizemlje
pravilne četverostrane prizme kojoj su osnovni
površine 225 m2. Neboder je ostakljen sa svih
bridovi dugi 6 cm, a visina je 10 cm.
bočnih strana. Kolika je staklena površina tog
23. Izračunaj oplošje i duljinu prostorne dijagonale pravilne četverostrane prizme kojoj je: a) osnovni brid dug 8.2 cm,a bočni brid 1.2 dm; b) osnovni brid dug 12 dm a bočni brid 75 cm.
nebodera? Ako je stakleni dio izrađen od ploča dimenzija 1.5 m x 2 m koliko je ploča utrošeno na to ostakljivanje? Perači prozora mogu oprati približno 7 m2 za sat vremena. Koliko vremena im je potrebno da operu staklene površine tog nebodera?
130
Geometrijska tijela Primjer 6. Poprečni presjek kvadra
Rješenje:
Drveni kvadar je prepiljen po dijagonalama
Poprečni
svojih baza kao na slici.
je na slici prikazan tamnijom bojom. To je
presjek
pravokutnik
s
ili
dijagonalni
jednom
stranicom
presjek duljine
c = 4 cm, a druga stranica mu je dijagonala
4
baze d. Izračunajmo njenu duljinu. d
d2 = 72 + 62 = 49 + 36 = 85
6
7
d=
85 ≈ 9.22 cm.
Poprečni presjek je pravokutnik sa stranicama duljine c i d. Njegova površina je P = c • d.
4 4
Izračunajmo je. 6
P=c•d=4•
6
d
85 ≈ 4 • 9.22 = 36.88 cm2.
Kolika je površina poprečnog presjeka?
Z a d a c i 26. Kolika je površina poprečnog presjeka sa slike: a)
29. Kvadar ima dimenzije 5 cm, 6 cm i 9 cm. Kolike su površine svih njegovih poprečnih presjeka?
b)
Nacrtaj skice. 8
6
30. Površina poprečnog presjeka po dijagonali baze kvadratne prizme je 30 2 cm2. Kolika je njena visina ako su bridovi baze dugi 2 cm?
4
3
2
31. Površina poprečnog presjeka po dijagonali baze
3
kvadra je 60 cm2.
27. Kolika je površina poprečnog presjeka sa slike: a) b)
a) Kolika je njena visina ako su bridovi baze dugi 3 i 4 cm? b) Izračunaj oplošje tog kvadra.
8 5
32. Poprečni presjek kvadra je kvadrat površine 25 cm2. Duljine stranica kvadra izražene u centimetrima su prirodni brojevi. Izračunaj
3
4
2
oplošje tog kvadra.
3
28. Kolika je površina poprečnog presjeka sa slike:
33. Poprečni presjek kvadratne prizme je kvadrat površine 18 cm2. a) Izračunaj oplošje tog kvadra; b) Izračunaj duljinu prostorne dijagonale tog
5
a)
4
2
5
kvadra.
3 b)
1
131
6.4. Kocka
6.4. Kocka Tri kvadra Navedi razlike između ova tri kvadra:
c
c
b
a
a
a
a
a
a
Spomenuli smo već kocku kao vrstu kvadra. Kocka je kvadar koji ima sve bridove jednakih duljina. Sve strane kocke su kvadrati.
a a a Kocka je kvadar koji ima sve bridove jednakih duljina.
Primjer 1. Crtanje kocke u kosoj projekciji Nacrtaj kocku s bridom duljine 32 mm.
Rješenje: Odabrat ćemo da je kut između prednjeg i bočnog brida α = 45º kao na slici i da je bočni brid koji prikazuje “dubinu” dvostruko kraći od svoje stvarne duljine (prikrata je
132
1 ). 2
a a 45°
a
Geometrijska tijela Primjer 2. Plošna i prostorna dijagonala kocke Možemo li u kutijicu oblika kocke staviti štapić duljine 6.5 cm (bez lomljenja ili savijanja)? Duljina unutrašnjeg brida kutijice je 4 cm.
ujedno i najveća moguća duljina štapića koji bi uspio stati u kutijicu. Izračunajmo duljinu prostorne dijagonale kocke. D2 = 42 + 42 + 42 = 3 • 16 = 48 D=
48 ≈ 6.93 cm.
Duljina prostorne dijagonale kocke je približno 6.93 cm. Svi štapići manji od te duljine stanu
Rješenje:
u kutijicu. Kako je zadani štapić dug 6.5 cm,
Prostorna dijagonala kocke predstavlja najveću
zaključujemo da će on stati u kutijicu.
udaljenost između dvaju vrhova kocke. To je Prostorna dijagonala kocke Zadana je kocka s bridom a. Sve njene strane su kvadrati. Tada je duljina svake plošne dijagonale d jednaka dijagonali kvadrata: d = a 2 .
a
D
d
d
Računamo duljinu prostorne dijagonale D . D2 = a2 + a2 + a2 = 3a2. Izraz D =
3a 2 djelomično korjenujemo i dobivamo
D = a 3 . To je formula za računanje prostorne dijagonale kocke.
Primjer 3. Mreža kocke
To znači da treba nacrtati kvadrat sa stranicom
Nacrtaj mrežu kocke s bridom duljine 3 cm.
3 cm koji će biti baza kocke. Zatim nad svakom njegovom stranicom nacrtamo kvadrate koji
Rješenje: Primijetimo da su sve strane kocke kvadrati.
će predstavljati pobočke kocke. Na kraju nad jednom od pobočaka nacrtamo još jedan kvadrat koji će biti gornja baza.
133
6.4. Kocka
Z a d a c i 1. Zadana je kocka s bridom a = 4 cm.
8. Nacrtaj kocku sa bridom dugim 5.5 cm.
a) Nacrtaj tu kocku u kosoj projekciji;
Izračunaj duljine svih plošnih i prostornih
b) Izračunaj duljinu prostorne dijagonale te
dijagonala ove kocke.
kocke.
9. Plošna dijagonala kocke je duga 6 2 cm.
2. Izračunaj duljinu prostorne dijagonale kocke ako je zadana duljina njenog brida:
10. Plošna dijagonala kocke je duga
a) 5 cm; b) 4.5 mm; c) 1.37 cm; d) 2 2 dm.
oblika kocke s unutrašnjim bridom dugim
11. Pri izgradnji zgrade ostavljena je kockasta rupa između dva kata, predviđena za pomičnu traku.
42 cm? Objasni svoj odgovor.
Ta pomična traka treba ići najkraćim putem,
4. Može li čačkalica duljine 6.7 cm stati u kutijicu obli ka kocke s unutrašnjim bridom duljine 39 mm? 5. Može li štap duljine 3.5 dm stati u kutiju oblika kocke kojoj je plošna dijagonala duga 2 2 dm? 6. Izračunaj duljinu brida kocke kojoj je zadana prostorna dijagonala:
dijagonalno od poda donjeg kata do poda gornjeg kata. Rupa je oblika kocke sa stranicom 4 m. Kolika je približna duljina pomiče trake? 12. Luka je za domaću zadaću dobio zadatak izraditi žičani model kocke sa stranicom 20 cm. Na modelu treba istaknuti i jednu plošnu te jednu prostornu dijagonalu. Koliko je Luki
3 dm; c) D = 3 mm;
potrebno žice za izradu tog modela?
d) D = 7 dm.
13. Izračunaj duljinu stranice i prostorne dijagonale
7. Kolika je duljina brida kocke ako je duljina
kocke kojoj je plošna dijagonala:
njene prostorne dijagonale 3 2 m?
a) 5 2 cm;
b) 7 2 ;
d) 40 m;
e) 15 cm.
c) 12 dm;
Primjer 4. Oplošje kocke
Oplošje kocke je ukupna površina svih njenih
Koliko je oplošje kocke iz primjera 3?
strana. No, sve strane kocke su kvadrati, i ima ih šest. Kako je formula za površinu kvadrata a2, onda je površina
Rješenje: Kocka iz primjera 3 ima brid duljine 3 cm.
šest kvadrata jednaka 6a2. To je formula za oplošje kocke.
Oplošje kocke
a a a O = 6a2
134
6 dm. Kolika
je duljina prostorne dijagonale te kocke?
3. Može li kišobran duljine 80 cm stati u škrinju
a) D = 2 3 dm; b) D =
Kolika je duljina prostorne dijagonale te kocke?
Oplošje kocke je zbroj svih površina strana kocke.
oplošje kocke
Geometrijska tijela 14. Nacrtaj mrežu kockice za čovječe ne ljuti se. Pazi na raspored točkica!
i)
j)
15. Izračunaj oplošje tijela sastavljenih od kockica stranice 1 dm. Pripazi, plohe koje su unutar tijela ne računaju se u oplošje! a)
b)
16. Izračunaj oplošje kocke s bridom duljine c)
d)
a) 4 cm;
b) 1.4 cm;
c) 7.33 dm;
d) 3 2 cm.
17. Izračunaj duljinu brida kocke ako je poznato njeno oplošje O a) O = 108 cm2;
b) O = 54 mm2;
c) O = 29.04 mm ; 2
d) O = 6 mm2.
18. Koliko će papira trebati za omotavanje poklonkutije oblika kocke s bridom: e)
a) 6 cm;
b) 22.5 cm;
c) 0.06 m;
d)
3 dm.
19. Kolika je prostorna dijagonala kocke ako je njeno oplošje 216 cm2? 20. Od papira napravi mrežu kocke s dimenzijama: a) a = 5 cm; b) a = 3.9 cm. Izračunaj koliko ćemo papira potrošiti za pojedinu kocku. Hoće li biti dosta jedan papir formata A4?
f) to tijelo s lijeve strane izgleda ovako:
21. Može li limar od pravokutnog komada lima dimenzija 1 m x 1.5 m načiniti limenu kocku s bridom 45 cm? 22. Maja želi omotati poklon oblika kocke. Ona nažalost ima samo jedan list ukrasnog papira i nije sigurna hoće li joj to biti dovoljno. Ukrasni papir je pravokutnog oblika sa stranicama 35 cm i 50 cm. a) Može li Maja njime omotati poklon brida
g)
h)
19 cm? b) Koliki najviše treba biti brid kocke kako bi Maja mogla omotati poklon? 23. Duljine bridova kocke su 5 3 cm. Koliko je oplošje te kocke?
135
6.4. Kocka Primjer 5. Poprečni presjek kocke
a) Primijetimo da poprečni presjek kocke
Kolika je površina poprečnog presjeka kocke:
ima oblik pravokutnika kome je jedna strana
a) S bridom duljine 5 cm;
duga 5 cm, a druga je dijagonala kvadrata.
b) S bridom duljine a?
Ta dijagonala je duga 5 2 cm. Izračunajmo površinu tog pravokutnika: P = a • b = 5 • 5 2 = 10 2 ≈ 14.14 cm2.
Rješenje:
b) Rekli smo da je poprečni presjek kocke pravokutnik. Jedna njegova strana je duga a, dok je druga duga a 2 . Stoga je površina poprečnog presjeka kocke brida a jednaka
a
P = a • a 2 = a2 2 .
d
Z a d a c i 24. Kolika je površina poprečnog presjeka kocke s bridom 3.7 cm? 25. Kolika je površina poprečnog presjeka kocke s bridom 9 6 mm? 26. Kolika je površina poprečnog presjeka kocke s plošnom dijagonalom 5 2 dm? 27. Kolika je površina poprečnog presjeka kocke s plošnom dijagonalom 10 cm? 28. Površina poprečnog presjeka kocke je 25 2 cm2. Kolika je duljina brida kocke? 29. Površina poprečnog presjeka kocke je
31. Površina poprečnog presjeka kocke je 11 cm2. a) Kolika duljina brida te kocke? b) Izračunaj oplošje te kocke. 33. Kvadar je sastavljen od dvije kocke postavljene jedna na drugu. Stranica kocke je 6 cm. a) Izračunaj površinu poprečnog presjeka jedne kocke te površinu poprečnog presjeka cijelog kvadra po dijagonali baze. Je li površina poprečnog presjeka tog kvadra dvostruko veća od poprečnog presjeka kocke? b) Izračunaj površinu pobočja kocke i kvadra i usporedi ih. Je li površina pobočja tog kvadra dvostruko veće od površine pobočja kocke?
36 2 cm . a) Kolika duljina brida te kocke?
Zašto?
b) Izračunaj oplošje te kocke.
ih. Je li oplošje tog kvadra dvostruko veće od
2
c) Izračunaj oplošje kocke i kvadra i usporedi oplošja kocke? Zašto?
30. Površina poprečnog presjeka kocke je 18 2 cm2. a) Kolika duljina brida te kocke? b) Izračunaj oplošje te kocke.
136
Geometrijska tijela 32. Ovo su sve mreže kocke! Nacrtajte ih, izrežite i presavijte u kocku!
Vježb lica a
1. Izračunaj duljinu prostorne dijagonale kvadra
5. Plošne dijagonale kvadra su duge 2 cm, 2.4 cm
ako su zadane duljine njegovih bridova:
i 2.8 cm. Kolika je duljina prostorne dijagonale
a) 12 cm, 16 cm, 20 cm;
kvadra?
b) 3.6 cm, 4.8 cm, 6 cm; c) 2 3 dm, 3 dm,3 3 dm.
6. Izračunaj oplošje kvadra s bridovima duljine:
2. Može li kišobran duljine 63 cm stati u kofer dug
a) 4 cm, 3 cm, 6 cm; b) 8 cm, 3.6 cm, 7 cm;
50 cm, širok 35 cm i visok 18 cm? Objasni svoj
c) 5 cm, 44 mm, 0.56 dm;
odgovor.
d) 8 2 cm, 2 cm, 3 2 cm.
3. Izračunaj duljinu brida kvadra kojem su zadane
7. Izračunaj duljinu brida kvadra ako su poznati
prostorna dijagonala i duljine drugih dvaju bridova: a) D = 13 dm, b = 3 dm, c = 4 dm; b) D = 35 dm, a = 15 dm, c = 10 dm; c) D = 8.75 mm, a = 3.75 mm, b = 2.5 mm; d) D = 7 2 dm, b = 3 2 dm, c = 2 2 dm. 4. Skiciraj kvadar sa bridovima dugim 2.4 cm, 3.2 cm i 4 cm. Izračunaj duljine svih plošnih i prostornih dijagonala ovog kvadra.
oplošje O i duljine ostalih dvaju bridova a i b:
a) O = 126 cm2, a = 3 cm, b = 6 cm; b) O = 65.02 cm2, a = 4.3 cm, b = 3.2 cm; c) O = 92 cm2, a = 5 2 cm, b = 3 2 cm.
8. Kolika je prostorna dijagonala kvadra ako je njegovo oplošje 88 cm2, a bridovi baze dugi 4 cm i 6 cm? 9. Duljine bridova baze kvadra su 1.2 dm i 8 cm, a njegova prostorna dijagonala je duga 2.8 dm. Koliko je oplošje tog kvadra?
137
6.4. Kocka 10. Baza kvadra je kvadrat sa stranicom duljine
22. Izračunaj duljinu brida kocke kojoj je zadana
8 cm. Koliki su oplošje i duljina prostorne dijagonale tog kvadra ako je njegova visina 4
prostorna dijagonala: a) D = 9 3 dm;
cm?
b) D =
c) D = 9 cm; d) D = 243 dm.
11. Izračunaj oplošje i duljinu prostorne dijagonale pravilne četverostrane prizme kojoj su osnovni bridovi dugi 3 cm, a visina je 6 cm. 12. Izračunaj duljinu osnovnog brida kvadratne prizme ako su poznati oplošje O i duljina
23. Kolika je duljina brida kocke ako je duljina njene prostorne dijagonale 3 15 m? 24. Plošna dijagonala kocke je duga 2 8 cm.
bočnog brida b:
Kolika je duljina prostorne dijagonale te kocke?
O = 680 mm , b = 12 mm; 2
25. Plošna dijagonala kocke je duga
13. Izračunaj duljinu bočnog brida kvadratne prizme ako su poznati oplošje O i duljina osnovnog brida a:
c) O = 42 m2, a = 3 m. 14. Kvadar ima dimenzije 5 cm, 12 cm i 35 cm. Kolike su površine svih njegovih poprečnih presjeka? Nacrtaj skice. 15. Površina poprečnog presjeka po dijagonalama baze kvadratne prizme je 20
2 cm2. Kolika je
njena visina ako su bridovi baze dugi 4 cm? 16. Površina poprečnog presjeka po dijagonalama baze kvadra je 200 cm2.
c)
72 dm;
b) 2.3 cm; d) 3 7 cm.
27. Izračunaj duljinu brida kocke ako je poznato njeno oplošje O:
a) O = 150 mm2;
b) O = 30 mm2;
c) O = 8.64 mm2;
d) O = 90 mm2.
28. Kolika je površina poprečnog presjeka kocke s bridom 9 cm? 29. Kolika je površina poprečnog presjeka kocke s bridom
12 cm?
30. Kolika je površina poprečnog presjeka kocke s plošnom dijagonalom 8 2 dm? plošnom dijagonalom 12 cm?
b) Izračunaj oplošje tog kvadra.
32. Površina poprečnog presjeka kocke je
bočnim bridom kvadra je kvadrat površine
169 cm2. Duljina jedne stranice baze kvadra je
33. Površina poprečnog presjeka kocke je
5 cm. Izračunaj oplošje tog kvadra.
144 81
2 cm2. Koliki je brid baze? 2 cm2.
a) Kolika duljina brida te kocke?
18. Poprečni presjek kvadratne prizme je kvadrat površine 50 cm2.
a) Izračunaj oplošje tog kvadra;
34. Površina poprečnog presjeka kocke je
b) Izračunaj duljinu prostorne dijagonale tog
12
b) Izračunaj oplošje te kocke.
kvadra. ako je zadana duljina njenog brida: a) 8 cm; b) 4 3 mm; c) 3 2 dm. 20. Duljine bridova kocke su
2 cm2.
35. Površina poprečnog presjeka kocke je
27 cm. Koliko je
oplošje te kocke? 21. Može li kišobran duljine 70 cm stati u škrinju oblika kocke s unutrašnjim bridom dugim 40 cm? Objasni svoj odgovor.
b) Izračunaj oplošje te kocke.
a) Kolika duljina brida te kocke?
19. Izračunaj duljinu prostorne dijagonale kocke
138
a) 7 cm;
31. Kolika je površina poprečnog presjeka kocke s
17. Poprečni presjek koji prolazi dijagonalom baze i
26. Izračunaj oplošje kocke s bridom duljine:
a) Kolika je njena visina ako su bridovi baze dugi 7 i 24 cm?
32 dm.
Kolika je duljina prostorne dijagonale te kocke?
a) O = 192 cm2, a = 6 cm; b) O = 10170 mm2, a = 45 mm;
6 dm;
3 128 mm2. a) Kolika duljina brida te kocke?
b) Izračunaj oplošje te kocke.
Geometrijska tijela
6.5. Trostrana prizma Zamisli... Zamisli kvadar. Zatim zamisli dijagonalu njegove baze. Zatim zamisli da kvadar podijelimo po toj dijagonali poprečnim presjekom na dva dijela. Koja geometrijska tijela dobivamo? Prizma kojoj je baza trokut naziva se trostrana prizma.
trostrana prizma
Uspravna trostrana prizma je prizma omeđena dvama sukladnim trokutima kao bazama i pobočjem koje se sastoji od tri pravokutnika.
Trostranu prizmu susrećemo na mnogim mjestima svakodnevnog života. Ona u prostoru ne mora uvijek biti stajati na svojoj bazi, ali ćemo je svejedno lako prepoznati. Evo nekoliko primjera:
139
6.5. Trostrana piramida Primjer 1. Pravilna trostrana prizma
b) Nacrtajmo je u kosoj projekciji tako da nacrtamo jednakostranični trokut te istaknemo jednu njegovu visinu v. Iz nožišta M visine
a) Što je pravilna trostrana prizma?
konstruiramo kut od 45º.
b) Nacrtaj je u kosoj projekciji.
Na
Rješenje:
nacrtanom
kraku
pravilna
kuta
trostrana
pronađemo točku C takvu da je
a) Pravilna trostrana prizma je uspravna
MC =
prizma kojoj je baza jednakostranični trokut.
prizma
v . Zatim iz svakog vrha 2
A, B, C povučemo visinu prizme okomitu na prednji brid AB .
F
F
D
K
K
K
A
B
A
M
B
A
M
D
E
K C
45°
E
45°
A
B
M
C B
A
C
C
A
B
B
A
B
Z a d a c i 1. Odgovori:
2. Navedi nekoliko primjera gdje sve susrećemo:
a) Što su baze trostrane prizme?
a) trostranu prizmu;
b) Što su pobočke uspravne trostrane prizme?
b) pravilnu trostranu prizmu.
c) Što su baze pravilne trostrane prizme?
b b
v
3. Što misliš, kakva je to jednakobridna trostrana pravilna prizma? Nacrtaj jednu takvi prizmu. a
Primjer 2. Mreža trostrane prizme
Rješenje:
Nacrtaj mrežu jedne:
Uspravna trostrana prizma je omeđena s dva
a) pravilne trostrane prizme; b) trostrane prizme
trokuta i tri pravokutnika. Mjere bridova učenik a
kojoj je baza jednakokračan trokut; c) trostrane
može sam zadati. Evo primjera traženih mreža:
a
a
prizme kojoj je baza raznostraničan trokut. a) b b
v
b)
b a
b c
a
c
b a
b
v a
v
a a a)
b)
140 c
c
b a
b
c)
b a
Geometrijska tijela Primjer 3. Oplošje trostrane prizme
Po toj formuli ćemo izračunati i oplošje zadane
Izračunaj oplošje pravilne trostrane prizme s
pravilne trostrane prizme.
osnovnim bridom duljine 4 cm i visinom 7 cm.
O = 2B + P Baza zadane prizme je jednakokračan trokut, jer
Rješenje: Oplošje prizme je zbroj površina svih njezinih
je
zadana
pravilna
trostrana
prizma.
Izračunajmo površinu baze. a 2 3 42 3 16 3 = = = 4 3 cm2. 4 4 4
strana. Svaka prizma je omeđena s dvije svoje
B=
baze i pobočkama. Sve pobočke zajedno čine
Pobočje pravilne trostrane prizme se sastoji
pobočje prizme.
od tri sukladna pravokutnika kojima je jedna
Kako su baze sukladni mnogokuti, oplošje bilo
stranica jednaka osnovnom bridu, a druga
koje prizme možemo računati po formuli
bočnom bridu.
O = 2B + P, pri čemu je B površina baze, a P
P = 3 • a • v = 3 • 4 • 7 = 84 cm2.
površina pobočja.
O = 2B + P = 2 • 4 3 + 84 = 8 3 + 84 cm2. Oplošje tražene prizme iznosi 8 3 + 84 cm2. v
Njegova približna vrijednost na dvije decimale iznosi
a
O ≈ 8 • 1.73 + 84 = 97.84 cm2.
a a a
Oplošje prizme Oplošje prizme je zbroj površina svih strana te prizme. Kako se svaka prizma sastoji od dvije sukladne baze i pobočja, oplošje prizme možemo računati po formuli O = 2B + P, pri čemu je B površina baze, a P zbroj površina svih pobočaka prizme.
Z a d a c i 4. Izračunaj oplošje pravilne trostrane prizme s osnovnim bridom duljine 2 cm i visinom 6 cm. 5. Izračunaj oplošje pravilne trostrane prizme s osnovnim bridom duljine 0.4 cm i visinom 3.1 cm. 6. Izračunaj oplošje pravilne jednakobridne
8. Izračunaj oplošje trostrane prizme kojoj je baza pravokutan trokut s katetama dugim 3 cm i 4 cm, te kojoj je visina duga 6 cm. 9. Izračunaj oplošje trostrane prizme kojoj je baza pravokutan trokut s katetama dugim 12 cm i 5 cm, te kojoj je visina duga 1 dm.
trostrane prizme s bridom duljine 4 3 cm.
10. Osnovni brid pravilne trostrane prizme je dug
7. Izračunaj oplošje trostrane prizme kojoj je baza
2.5 cm. Površina jedne pobočke je 8 cm2.
jednakokračan trokut s osnovicom 10 cm i
a) Kolika je visina prizme?
krakom 15 cm. Visina prizme je 6 cm.
b) Koliko je oplošje te prizme?
141
6.6. Ostale prizme 11. Baza trostrane prizme je pravokutan trokut s ka tetama dugim
7 cm i 1 cm. Površina najveće
pobočke je 4 cm2. Koliko je oplošje te prizme? 12. Baza trostrane prizme je pravokutan trokut s
14. Oplošje pravilne trostrane prizme iznosi 12 3 dm2, a duljina osnovnog brida je 2 dm. Kolika je visina prizme? 15. Oplošje pravilne trostrane prizme iznosi
hipotenuzom 10 cm i jednom katetom za 2 cm
16 3 cm2, a duljina osnovnog brida je 2 3 cm.
kraćom od hipotenuze. Najveća od pobočaka
Kolika je visina prizme?
prizme je kvadrat. Izračunaj oplošje ove prizme. 13. Baza trostrane prizme je jednakokračan trokut s kracima dugim 5 cm i osnovicom 8 cm. Dvije strane ove prizme su kvadrati. Izračunaj oplošje ove prizme.
16. Oplošje pravilne trostrane prizme iznosi 56 3 mm2, a površina baze je 16 3 mm. Kolike su duljine bridova prizme? 17. Oplošje pravilne trostrane prizme iznosi 72 3 dm2, a površina pobočja je 8 3 dm. Kolike su duljine bridova prizme?
6.6. Ostale prizme Usporedimo prizme Pogledaj prizme na slici. Kako se zovu te prizme?
Na svakoj sljedećoj slici broj osnovnih bridova prizme se povećava. Kojem će geometrijskom tijelu sve više nalikovati prizme što je veći broj osnovnih bridova? U prethodnim poglavljima smo detaljno upoznali uspravnu trostranu i četverostranu prizmu (kvadar). Sada ćemo na isti način promatrati svojstva, mreže i oplošje i nekih drugih prizmi. Neke od njih susrećemo u uvodnom zadatku. Primjećujemo da što je broj osnovnih bridova veći, to će prizma sve više podsjećati na valjak. Oplošje prizme Oplošje prizme je zbroj površina svih strana te prizme.
baze
Kako se svaka prizma sastoji od dvije sukladne baze i pobočja, oplošje prizme možemo računati po formuli O = 2B + P, pri čemu je B površina baze, a P zbroj površina svih pobočaka prizme.
pobočke
142
Geometrijska tijela Primjer 1. Ostale četverostrane prizme
zadane prizme. Pobočje se sastoji od četiri pravokutnika, koji su u parovima sukladni jer
Izračunaj oplošje te nacrtaj i izreži mrežu ovih prizmi: 12.3
baza ima nasuprotne stranice sukladne. P = 16.9 • 25.2 • 2 + 16.9 • 12.3 • 2 = 1267.5 Primijetimo da smo pri računanju mogli izlučiti
7.8
zajedničke faktore.
25.2 16.9
a)
Sada izračunajmo oplošje zadane prizme. O = 2B + P = 2 • 196.56 + 1267.5 = 1660.62. b) Baza ove prizme je jednakokračni trapez. Za izračunavanje površine baze nedostaje duljina dulje osnovice trapeza. Izračunat ćemo je
7.8 11.7
koristeći Pitagorin poučak.
11.7
10
7.8 11.7
30.3
11.7
10
x x= b)
je
duljina
dulje
osnovice
trapeza
a = 2 • x + 7.8 ≈ 19.9.
Zadane prizme su uspravne četverostrane, ali nisu kvadri, jer im baza nije pravokutnik. Kvadar smo obradili u jedinici 6.3. a) Baza ove prizme je paralelogram. Oplošje je zbroj površina svih strana prizme. Izračunajmo površinu baze. izračunajmo
površinu
B=
(a + c ) ⋅ v 2
=138.5.
Izračunajmo površinu pobočja ove prizme. Pobočje se sastoji od četiri pravokutnika kojima je svima jedna stranica duga 30.3. P = 30.3 • (7.8 + 11.7 + 19.9 + 11.7) = 1548.3. Sada izračunajmo oplošje zadane prizme.
B = a • va = 25.2 • 7.8 = 196.56. Sada
11.72 − 102 ≈ 0.07
Stoga
Rješenje:
x
pobočja
O = 2B + P = 2 • 138.5 + 1548.3 = 1825.3.
Z a d a c i 1. Kako glasi formula za:
3. Izračunaj oplošje prizme kojoj je baza romb sa
a) površinu trapeza;
stranicom a i visinom h na stranicu a. Visina
b) površinu romba;
prizme označena je s v. Zadane vrijednosti su:
c) površinu paralelograma;
a) a = 6 cm, h = 2 cm, v = 9 cm;
d) oplošje bilo koje prizme?
b) a = 3.5 cm, h = 3.5 cm, v = 3.5 cm; c) a = 20 cm, h = 1.5 dm, v = 0.3 m.
2. Izračunaj oplošje prizme kojoj je baza paralelogram sa stranicom a i b i visinom h
4. Izračunaj oplošje prizme kojoj je baza romb s
na stranicu a. Visina prizme označena je s v.
dijagonalama e i f. Visina prizme označena je s
Zadane vrijednosti su:
v. Zadane vrijednosti su:
a) a = 13.3 cm, b = 5 cm,h = 4 cm, v = 4.3 cm;
a) e = 12 cm, f = 16 cm, v = 1 cm;
b) a = 3 2 cm, b =
b) e = 6.4 cm, f = 6.5 cm, v = 6.3 cm.
2 cm, h = 1 cm, v =
2 cm;
c) a = 10 cm, b = 1.3 dm, h = 12 cm, v = 2 dm.
143
6.6. Ostale prizme 5. Izračunaj oplošje prizme kojoj je baza
7. Treba zamotati poklon oblika prizme čija baza
jednakokračni trapez s osnovicama a i c te
je romb. Visina prizme iznosi 10 cm, a površine
visinom baze h. Visina prizme označena je s v.
njenih dijagonalnih presjeka su 60 cm2 i
Zadane vrijednosti su:
25 cm2. Koliko papira treba da bi se omotala
a) a = 6 cm, c = 2 cm, h = 3 cm, v = 5 cm;
ova prizma?
b) a = 25 cm, c = 13 cm, h = 5 cm, v = 6.4 cm. 6. Nacrtaj mrežu četverostrane prizme kojoj
8. Od papira treba napraviti kutiju oblika prizme čija baza je romb. Visina kutije treba biti 12 cm,
je baza trapez s osnovicama 3 cm i 5 cm te
a duljine prostornih dijagonala 13 cm i
krakom od 4 cm. Izračunaj oplošje te prizme
6 14 cm. Je li komad tvrdog papira
ako joj je visina duga 10 cm.
pravokutnog oblika dimenzija 10 cm x 7 cm dovoljan za izradu takve kutije?
Primjer 2. Šesterostrana prizma Zadana je pravilna šesterostrana prizma s osnovnim bridom duljine 3 cm i visinom 5 cm. a) Nacrtaj mrežu te prizme; b) Izračunaj oplošje zadane prizme.
a
Rješenje:
a
a) Pravilna šesterostrana prizma je uspravna
a
a a
a
prizma kojoj je baza pravilan šesterokut. Njega možemo razdijeliti na
b) Baza prizme je pravilni šesterokut kojeg smo
šest jednakostraničnih trokuta,
razdijelili na šest jednakostraničnih trokuta
svaki
duljine stranice a = 3 cm. Stoga je
sa
osnovnog
stranicom brida
a
duljine =
3 cm.
B = 6⋅ a
2
4
3
2 = 13.5 3 cm .
Mrežu crtamo tako da nakon
Pobočje se sastoji od šest sukladnih pravokutnika
što konstruiramo bazu, nad
sa stranicama a i v.
jednom stranicom baze nacrtamo pravokutnik
P = 6av = 90 cm2.
visine v prizme. Zatim konstruiramo i ostale
Izračunajmo oplošje zadane prizme:
pravokutnike te dodamo drugu bazu prizme kao
O = 2B + P = 2 • 13.5 3 + 90 = 27 3 + 90 cm2.
na gornjoj slici.
Z a d a c i 9. Izračunaj oplošje pravilne šesterostrane prizme kojoj je osnovni brid dug 4 cm, a bočni 6 cm. 10. Izračunaj oplošje pravilne šesterostrane prizme
stakla je potrebno za taj paviljon? 12. Izračunaj oplošje pravilne jednakobridne
kojoj je osnovni brid dug 11.76 cm, a bočni
šesterostrane prizme s bridom dugim:
45.01 cm.
a) 15 mm; b) 3.07 cm; c) 4 7 ; d) a.
11. Gradonačelnik želi izgraditi muzički paviljon u
144
bočne strane staklom. Koliko parketa, a koliko
13. Oplošje pravilne šesterostrane prizme iznosi
obliku pravilne šesterostrane prizme. Promjer
155 3 m2, a površina pobočja je za 45 3 m2
paviljona treba biti 10 m, a njegova visina 4
manja od oplošja. Izračunaj duljine svih bridova
m. Pod treba prekriti drvenim parketom, a sve
ove prizme.
Geometrijska tijela
Vježb lica a
1. Izračunaj oplošje pravilne trostrane prizme s osnovnim bridom duljine 4 cm i visinom 5 cm. 2. Izračunaj oplošje pravilne trostrane prizme s osnovnim bridom duljine 18 cm i
13. Osnovni brid pravilne trostrane prizme je dug 3 cm. Površina jedne pobočke je 15 cm2. a) Koliko je oplošje te prizme? b) Kolika je visina prizme? 14. Osnovni brid pravilne trostrane prizme je dug 8 cm. Površina jedne pobočke je
visinom 7 cm. 3. Izračunaj oplošje pravilne trostrane prizme s osnovnim bridom duljine
75 cm i
visinom 8 cm. 4. Izračunaj oplošje pravilne jednakobridne trostrane prizme s bridom duljine 2 cm. 5. Izračunaj oplošje pravilne jednakobridne trostrane prizme s bridom duljine 5 3 cm. 6. Izračunaj oplošje pravilne jednakobridne trostrane prizme s bridom duljine 2 6 cm. 7. Izračunaj oplošje trostrane prizme kojoj je baza jednakokračan trokut s osnovicom 16 cm i krakom 17 cm. Visina prizme je 6 cm. 8. Izračunaj oplošje trostrane prizme kojoj je baza jednakokračan trokut s osnovicom 18 cm i krakom 41 cm. Visina prizme je 7 cm. 9. Izračunaj oplošje trostrane prizme kojoj je baza jednakokračan trokut s osnovicom 26 mm i krakom 85 mm. Visina prizme je 6 cm. 10. Izračunaj oplošje trostrane prizme kojoj je baza pravokutan trokut s katetama dugim 5 cm i 12 cm, te kojoj je visina duga 4 cm. 11. Izračunaj oplošje trostrane prizme kojoj je baza pravokutan trokut s katetama dugim 12 cm i 35 cm, te kojoj je visina duga 14 cm. 12. Izračunaj oplošje trostrane prizme kojoj je baza pravokutan trokut s katetama dugim 2.8 cm i 4.5 cm, te kojoj je visina duga 4 cm.
8 3 cm2. a) Koliko je oplošje te prizme? b) Kolika je visina prizme?
15. Osnovni brid pravilne trostrane prizme je dug 6 cm. Površina jedne pobočke je
12 3 cm2.
a) Koliko je oplošje te prizme? b) Kolika je visina prizme?
16. Baza trostrane prizme je pravokutan trokut s katetama dugim 11 cm i 6 dm. Površina najveće pobočke je 427 cm2. Koliko je oplošje te prizme? 17. Baza trostrane prizme je pravokutan trokut s katetama dugim 2.5 cm i 6 cm. Površina najveće pobočke je 26 cm2. Koliko je oplošje te prizme? 18. Baza trostrane prizme je pravokutan trokut s katetama dugim 22 cm i 12 dm. Površina najveće pobočke je 854 cm2. Koliko je oplošje te prizme? 19. Oplošje pravilne trostrane prizme iznosi 85 3 dm2, a duljina osnovnog brida je 5 2
dm. Kolika je visina prizme? 20. Oplošje pravilne trostrane prizme iznosi 36 + 9 3 cm2, a duljina osnovnog brida je 3 2 cm. Kolika je visina prizme?
145
6.6. Ostale prizme 21. Oplošje pravilne trostrane prizme iznosi 308 3 cm2, a duljina osnovnog brida je 14 cm. Kolika je visina prizme? 22. Oplošje pravilne trostrane prizme iznosi 54 3 mm2, a površina baze je 9 3 mm.
29. Izračunaj oplošje prizme kojoj je baza jednakokračni trapez s osnovicama a i c te visinom baze h. Visina prizme označena je s v. Zadane vrijednosti su:
Kolike su duljine bridova prizme? 23. Oplošje pravilne trostrane prizme iznosi
145 3 dm2, a površina pobočja je 60 3 dm. 2
Kolike su duljine bridova prizme?
24. Oplošje pravilne trostrane prizme iznosi 108 3 dm2, a površina pobočja je 90 3 dm. Kolike su duljine bridova prizme?
30. Izračunaj oplošje prizme kojoj je baza jednakokračni trapez s osnovicama a i c te visinom baze h. Visina prizme označena je s v. Zadane vrijednosti su:
a) a = 8 cm, c = 4 cm, h = 2 3 cm, v = 6 cm; b) a = 28 cm, c = 10 cm, h = 40cm, v = 50cm.
25. Izračunaj oplošje prizme kojoj je baza romb sa stranicom a i visinom h na stranicu a. Visina prizme označena je s v. Zadane vrijednosti su:
31. Izračunaj oplošje pravilne šesterostrane prizme kojoj je osnovni brid dug 6 cm, a bočni 6 3 cm.
a) a = 8 cm, h = 5 cm, v = 7 cm; b) a = 2.7 cm, h = 3.4 cm, v = 5.6 cm.
32. Izračunaj oplošje pravilne šesterostrane prizme kojoj je osnovni brid dug 4 cm, a bočni 5 cm.
26. Izračunaj oplošje prizme kojoj je baza romb sa stranicom a i visinom h na stranicu a. Visina prizme označena je s v. Zadane vrijednosti su:
33. Izračunaj oplošje pravilne šesterostrane prizme kojoj je osnovni brid dug 8 cm, a bočni 6 cm.
a) a = 8.6 cm, h = 5.2 cm, v = 7.1 cm; b) a = 10 cm, h = 15 cm, v = 13 cm.
27. Izračunaj oplošje prizme kojoj je baza romb s dijagonalama e i f. Visina prizme označena je s v. Zadane vrijednosti su:
a) e = 14 cm, f = 48 cm, v = 11 cm; b) e = 10 cm, f = 24 cm, v = 6 cm.
28. Izračunaj oplošje prizme kojoj je baza romb s dijagonalama e i f. Visina prizme označena je s v. Zadane vrijednosti su:
146
a) a = 12 cm, c = 4 cm, h = 4 3 cm, v = 5 cm; b) a = 51 cm, c = 33 cm, h = 40 cm, v = 45 cm.
a) e = 0.6 m, f = 0.8 m, v = 11 dm; b) e = 2.4 dm, f = 1 dm, v = 62 cm.
34. Izračunaj oplošje pravilne jednakobridne šesterostrane prizme s bridom dugim: a) 2 3 cm; b) 10 cm; c) 675 mm. 35. Oplošje pravilne šesterostrane prizme iznosi 1728 3 m2, a površina pobočja je za 972 3 manja od oplošja. Izračunaj duljine svih bridova ove prizme. 36. Oplošje pravilne šesterostrane prizme iznosi 192 3 m2, a površina pobočja je za 96 3 manja od oplošja. Izračunaj duljine svih bridova ove prizme.
Geometrijska tijela
6.7. Obujam kvadra Nacrtane su kutije načinjene od kartona.
Mlijeko
Što misliš: a) Za izradu koje od ovih kutija je potrošeno najviše, a za koju najmanje kartona? b) U koju od ovih kutija stane najviše, a u koju najmanje pijeska? Želimo li saznati koliko kartona treba za izradu neke kutije, tada tražimo njeno oplošje. Želimo li saznati koliko pijeska stane u neku kutiju, zanima nas obujam ili volumen te kutije. Oplošje i obujam su dvije važne veličine koje se pridružuju geometrijskim tijelima. Obujam označavamo slovom V jer je to početno slovo riječi volumen. Obujam nekog tijela se u gradivu osnovne škole već spominjao u 4. razredu iz matematike, kao i u 7. razredu iz fizike. Sada ćemo detaljno proučiti obujam prizmi, a kasnije i još nekih geometrijskih tijela. obujam
Obujam se može opisati kao količina prostora kojeg zauzima
ili volumen
neko geometrijsko tijelo. Opišimo kako se računa obujam na
c
modelu kvadra. Želimo izračunati obujam kvadra sa slike, tj. koliko vode, pijeska i sl. stane u ovaj kvadar s bridovima a, b i c. Da bismo to odredili, kao i kod svakog mjerenja, trebamo uvesti mjernu jedinicu za obujam.
a
b
Mjerne jedinice za obujam su mm3 (kubični milimetar), cm3 (kubični centimetar), dm3 (kubični decimetar), m3 (kubični metar) itd. Osnovna mjerna jedinica za obujam je kubični metar (m3), a sve ostale jedinice obujma su izvedene iz nje. 1 mm3 predstavlja obujam kocke s bridom 1 mm 1 cm3 predstavlja obujam kocke s bridom 1 cm 1 dm3 predstavlja obujam kocke s bridom 1 dm 1 m3 predstavlja obujam kocke s bridom 1 m itd.
mjerne jedinice za obujam
147
6.7. Obujam kvadra Primjer 1. Mjerne jedinice za obujam
Dakle, u kocku obujma 1 m3 stane 10 • 10 • 10 = 1000 kockica obujma 1 dm3. Kažemo da je 1
a) Zadana je kocka obujma 1 m3. Koliko kockica obujma 1 dm3 stane u nju? b) Zadana je kocka obujma 3 dm3. Koliko kockica obujma 1 mm3 stane u nju?;
m3 = 1000 dm3. Na isti način se dobije da je 1 dm3 = 1000 cm3 te da je 1 cm3 = 1000 mm3. Iz ovih jednakosti izvodimo i ostale veze između mjernih jedinica za obujam:
c) Zadana je kocka obujma 0.0045 m3. Koliko
Pretvaranje većih mjernih jedinica
kockica obujma 1 cm3 stane u nju?
obujma u manje:
d) Zadana je kocka obujma 3.28 cm3. Izrazi
1 m3 = 1000 dm3 = 1 000 000 cm3 =
njen obujam u dm3.
1 000 000 000 mm3 1 dm3 = 1000 cm3 = 1 000 000 mm3
Rješenje: a)
1 cm3 = 1000 mm3
U
jednom
metru
kocke
obujma
1
m
ima
10 dm.
možemo
3
Bazu
prekriti
Litra je također dopuštena mjerna jedinica
s
za obujam, ona je jednaka kubičnom
10 • 10 = 100 kockica od 1 dm . Takvih slojeva 3
decimetru (1 l = 1 dm3).
će biti također 10 dok ne popunimo cijelu kocku do vrha.
b) Kako u jednom kubičnom decimetru ima 1 000 000 mm3, tada je 3 dm3 = 3 000 000 mm3. c) U jednom kubičnom metru ima 1 000 000 kockica od 1 cm3, tj. 1 m3 = 10 slojeva
1 000 000 cm3. Stoga ćemo odgovor zadatka dobiti množenjem 0.0045 s 1 000 000. 0.0045 m3 = 0.0045 • 1 000 000 = 4500 cm3. d) U jednom kubičnom decimetru ima 1 000 kockica od 1 cm3, tj. 1 dm3 = 1 000 cm3. Obratno, 1 cm3 =
1 dm3 = 0.001 dm3. Stoga 1000
ćemo odgovor zadatka dobiti dijeljenjem 3.28
10 stupaca
s 1000. 3.28 cm3 = 3.28 : 1 000 = 0.00328 dm3.
10 redaka
Pretvaranje manjih mjernih jedinica obujma u veće:
Mjerne jedinice izvedene iz litre:
1 mm = 0.001 cm = 0.000001 dm = 0.000000001 m
1l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml
3
3
3
3
1 cm = 0.001 dm = 0.000001 m 3
3
1 dm = 0.001 m 3
3
3
1 dl = 0.1 l
dl – decilitar
cl – centilitar
ml – mililitar
Z a d a c i 1. Pretvori u dm3:
148
2. Pretvori u dm3:
a) 2 m ;
b) 6 m ;
d) 0.25 m3;
e) 0.005 m3.
3
3
c) 3.5 m ; 3
a) 3000 cm3;
b) 10600 cm3;
c) 5 000 000 mm3;
d) 0.25 m3;
e) 67 dm3.
Geometrijska tijela 3. Pretvori u cm3: a) 0.5 m ;
8. Pretvori u zadanu mjernu jedinicu:
b) 12 dm ;
3
c) 800 mm ;
3
d) 0.025 dm ;
3
e) 0.0001 m .
3
3
a) 0.12 m3 = ____________ dm3; b) 0.8 l = ____________ dl; c) 30.06 mm3 = ____________ cm3;
4. Pretvori u m3: a) 0.6 dm3; b) 23000 cm3;
d) 89 562 cm3 = ____________ m3;
c) 85 dm3; d) 0.25 dm3; e) 60000 mm3.
e) 0.000009723 m3 = ____________ mm3. 9. Pretvori u zadanu mjernu jedinicu:
5. Pretvori u mm3: a) 4 cm ; 3
b) 0.456 cm ; 3
a) 0.56 m2 = ____________ dm2;
c) 0.0035 dm3;
b) 0.092 l = ____________ cm3;
d) 11 m3;
c) 133.05 mm = ____________ cm;
e) 0.000000008 m3.
d) 45 000 cm3 = ____________ dm3;
6. Pretvori u litre: a) 4.23 dl3; c) 3.5 dl3;
b) 14.004 cm3; d) 0.0009 m3;
e) 23000000 ml . 3
7. Pretvori u zadanu mjernu jedinicu: a) 45 cm3 = ____________ mm3; b) 12 l = ____________ cm3; c) 0.0063 m3 = ____________ l;
e) 0.023 cl = ____________ l. 10. Pretvori u zadanu mjernu jedinicu: a) 0.0009 m3 = ____________ cm3; b) 7 dl = ____________ l; c) 16 ar = ____________ ha; d) 7.4 dl3 = ____________ ml3; e) 100.03 ml = ____________ l.
d) 123 mm3 = ____________ cm3; e) 0.00045 dm3 = ____________ l.
Primjer 2. Obujam kvadra
4 • 3 = 12. Pitamo se koliko će takvih slojeva
Zadan je šuplji limeni kvadar s bridovima dugim
od po 12 kocaka trebati naslagati kako bismo
a = 4 cm, b = 3 cm i c = 5 cm. Koliko pijeska
ispunili čitav kvadar do vrha. Trebat će 5 takvih
stane u taj kvadar?
slojeva, jer je visina kvadra 5 cm. Obujam ovog kvadra, tj. broj kockica od 1 cm3
Rješenje: Budući da su duljine svih bridova izražene u centimetrima kao prirodni brojevi, za mjernu jedinicu uzet ćemo cm3. Ta mjerna jedinica (1 cm3) predstavlja obujam kocke s bridom duljine 1 cm.
koje stanu u njega je 4 • 3 • 5 = 60 cm3. Pokušamo li na isti način izračunati obujam bilo kojeg kvadra, postupak će biti isti. Zaključit ćemo da se obujam kvadra s bridovima a, b i c računa tako da pomnožimo sve tri dimenzije:
obujam
V = a • b • c.
kvadra
Obujam kvadra s bridovima duljina a, b i c:
c a
Stoga bazu, koja je pravokutnik sa stranicama 4 cm i 3 cm, prekrivaju kocke kao na gornjoj
b
V = a • b • c.
slici. Tih kocaka od 1 cm3 ima 12, jer je
149
6.7. Obujam kvadra
Z a d a c i 11. Koliki je obujam kvadra kojem su duljine
18. Obujam kvadra iznosi 255.4 cm3, a dva njegova
bridova:
brida su duga 9.3 cm i 5.5 cm. Koliko je oplošje
a) 4 cm, 7 cm, 9 cm; b) 2.8 cm, 1.3 cm, 5 cm;
kvadra?
c) 0.05 cm, 9 mm, 0.3 mm; d) 11 m, 23.09 dm, 133 cm; e)
5 mm, 3 5 mm, 0.11 cm.
12. Duljina dvaju bridova kvadra su 6 cm i 8 cm, a prostorna dijagonala je duga 23 cm. Koliki su oplošje i obujam tog kvadra? 13. Koliko vode (izraženo u decilitrima) stane u stakleni kvadar kojem su duljine bridova: a) 1 cm, 5 cm, 10 cm; b) 4.2 cm, 0.3 cm, 11 cm; c) 0.25 cm, 9.5 mm, 0.32 mm; d) 4 dm, 3.4 dm, 40 cm; e)
6 mm, 3 2 mm, 2 3 mm.
14. Obujam kvadra iznosi 450 cm3, a dva njegova brida su duga 9 cm i 5 cm. Kolika je duljina trećeg brida kvadra? 15. Obujam kvadra iznosi 200 cm3, a dva njegova brida su duga 0.5 cm i 5 cm. Kolika je duljina trećeg brida kvadra? 16. Obujam kvadra je 144 cm2, a dva brida tog kvadra su 6 cm2 i 12 cm2. a) Kolika je duljina prostorne dijagonale tog kvadra? b) Koliko je oplošje tog kvadra? 17. Obujam kvadra iznosi 600 cm3, a njegova baza
19. Koliko kartona treba za izradu kutije oblika kvadra s bridovima duljine 5 cm, 4 cm i 6 cm? Koliko pijeska stane u tu kutiju? 20. Baze kvadra međusobno su udaljene 7 dm. Dimenzije svake baze su 5 cm x 5.5 cm. Koliki su oplošje i obujam tog kvadra? 21. Površine triju strana kvadra su 10 dm2, 15 dm2, 6 dm2. Koliki su oplošje, obujam i prostorna dijagonala tog kvadra? 22. Duljine bridova kvadra koji izlaze iz istog vrha se odnose u omjeru 2 : 3 : 5. Koliki je obujam kvadra ako mu je oplošje 400 cm2? 23. Bazen oblika kvadra je dug 40 m, širok 30 m i dubok 3 m. Koliko je vode u bazenu ako je voda napunjena tako da je njena razina 20 cm ispod gornjeg ruba bazena? Rezultat izrazi u m3 i u litrama. 24. Akvarij oblika kvadra je dug 65 cm, širok 32 cm i visok 20 cm. Akvarij je tako napunjen vodom da je gornja razina vode 6 cm ispod gornjeg brida akvarija. a) Koliko je vode u akvariju? b) Koliko se vode još može napuniti u akvarij?
je kvadrat sa stranicom duljine 1 dm. Kolika je visina kvadra?
Primjer 3. Obujam kocke
zapisuje kao V = a3. Stoga je obujam zadane
Izračunaj obujam kocke brida 3.6 dm.
kocke V = 3.63 = 46.656 dm3. Obujam kocke s bridom a:
Rješenje: Kako je kocka vrsta kvadra koji ima sve bridove
a
jednake duljine, zaključujemo da se obujam obujam kocke
kocke brida a računa po istoj
a
formuli: V = a • a • a, što se kraće
a V = a 3.
150
Geometrijska tijela Primjer 4. Obujam kvadratne prizme
b = 2.4 cm, c = 0.033 m = 3.3 cm. Traženi obujam je V = 2.4 • 2.4 • 3.3 = 19.008 cm3 =
Koliko vode stane u staklenu posudu oblika
0.019008 l ≈ 0.2 dl.
kvadratne prizme s osnovnim bridom 2.4 cm i visinom 0.033 m? Svoj rezultat iskaži u decilitrima.
v
Rješenje: Kvadratna prizma je kvadar kojem je baza kvadrat. Nnjen obujam računamo po formuli
a
V = a • b • c, pri čemu je a = 2.4 cm,
a
Z a d a c i 25. Koliki je obujam kocke s bridom duljine: a) 1 cm; d)
7 cm;
b) 5.5 cm;
c) 0.65 dm;
e) 4 3 m.
26. Brid kocke dug je 5 cm. Koliko puta se poveća obujam kocke ako se duljina brida uveća 3 puta?
32. Koliki je obujam kocke ako je duljina njene prostorne dijagonale: a) 2 3 cm;
b)
d) 6 mm;
e) 3.5 cm.
3 m;
c) 5.6 6 cm;
33. Oplošje kocke je 54 dm2. Koliki je njem obujam? 34. Koliko vode stane u limenu kocku za koju je
27. U posudi se nalazi 5 l vode. Može li se sva ta voda usuti u šuplju kocku s bridom: a) 1.5 dm; b) 2 dm; c) 16 cm; d) 1.75 dm; e) 17.2 cm. 28. Koliki je obujam kocke ako je površina jedne njene strane:
potrošeno 136 cm2 lima? 35. Maja je tri kocke od plastelina, jednu s bridom 3 cm, drugu 4 cm, a treću 5 cm spojila i od njih napravila novu kocku. Koliki je brid novonastale kocke?
a) 4 cm2; b) 0.25 m2; c) 1.44 cm2; d) 5 mm2; e) 18.23 cm2.
36. Brid kocke dug je a cm. Koliko puta se poveća obujam kocke ako se duljina brida uveća 3
29. Koliki je obujam kocke ako je duljina njene
puta?
plošne dijagonale: a) 4 2 cm;
b) 5 2 m;
d) 5 mm;
e) 4.09 cm.
c) 5.6 6 cm;
30. Kocka i kvadar imaju jednak obujam. Koliko je oplošje kocke ako su duljine bridova kvadra 2 cm, 3 cm i 6 cm? 31. Plošna dijagonala baze kvadratne prizme je 2 2 dm, a visina prizme je 6 dm. Koliki su
37. Brid kocke dug je a cm. Koliko puta se poveća obujam kocke ako se duljina brida uveća n puta? 38. Izračunaj obujam kvadratne prizme osnovnog brida a i visine v: a) a = 2 cm, v = 5 cm; b) a = 1.6 cm, v = 5.4 cm; c) a = 2 3 mm, v = 6 mm.
oplošje i obujam te prizme?
151
6.7. Obujam kvadra 39. Prostorna dijagonala kvadratne prizme je duga
49. Luka je u trgovini vidio dva bazena. Jedan je
38 cm, a bočni brid je dug 20 cm. Koliki je
oblika kocke sa stranicom 2 m, a drugi oblika
obujam te prizme?
kvadra sa stranicama 1.5m, 3 m i 1.7 m. U koji
40. Plošna dijagonala pobočke kvadratne prizme je 5 cm, a osnovni brid je dug 4 cm. Koliki su oplošje i obujam te prizme 41. Prostorna dijagonala kvadratne prizme je duga 38 cm, a osnovni brid je dug 11 cm. Koliki je obujam te prizme? 42. Oplošje kvadratne prizme osnovnog brida 4 cm
od njih stane više vode, uz pretpostavku da ih potpuno napunimo vodom? Izrazi količinu vode u litrama. 50. Izračunaj obujam tijela sastavljenih od kockica stranice 5 cm. Kako ćeš najjednostavnije izračunati taj obujam? a)
iznosi 400 dm2. Koliki prostor zauzima to tijelo? 43. Oplošje kvadratne prizme iznosi 400 dm2, a duljina dijagonale baze je 10 2 cm. Koliki je obujam te prizme? 44. Visina kvadratne prizme dvostruko je dulja od osnovnog brida. Koliki je obujam te prizme ako je njeno oplošje 90 cm2? 45. Posuda oblika kocke ima duljinu brida 8 cm
b)
i cijela je napunjena vodom. Iz nje svu vodu prelijemo u posudu oblika kvadra s osnovnim bridovima duljine 7 cm i 5 cm. Kolika će biti visina vode u posudi? 46. Prostorna dijagonala kvadra s osnovnim bridovima duljine 32 mm i 42 mm te obujmom 32 256 mm3 jednaka je duljini prostorne dijagonale kocke. Izračunaj za koliko postotaka je obujam kocke veći od obujma tog kvadra.
d)
47. Maja u vrtu ima mali bazen, duljine 5 m, širine 3.5 m i dubine 120 cm. Obično je napunjen do 10 cm od ruba. a) Koliko litara vode je potrebno da se napuni bazen? b) Ako kubni metar vode košta 11.40 kuna, koliko treba platiti vodu za jedno punjenje bazena? c) Protok vode kroz cijev kojom Maja puni bazen je 15 litara u minuti. Koliko će vremena trebati da se bazen napuni kroz tu cijev? 48. Kvadar je sastavljen od dvije kocke postavljene jedna na drugu. Stranica kocke je 6 cm. Izračunaj obujam kvadra i kocke. U kakvom su omjeru ti obujmi? Zašto?
152
e)
c)
Geometrijska tijela
6.8. Obujam prizme Procijeni! a) Nacrtaj mrežu pravilne trostrane prizme s osnovnim bridom 3 cm i visinom 6 cm. Procijeni koliko decilitara vode stane u nju! b) Nacrtaj mrežu pravilne šesterostrane prizme s osnovnim bridom 3 cm i visinom 6 cm. Procijeni koliko decilitara vode stane u nju! Obujam kvadra računamo po formuli V = a • b • c, gdje su a i b osnovni bridovi, a c visina kvadra. Možemo reći da obujam kvadra računamo po formuli V = B • v, gdje je B površina baze, a v visina kvadra. Razrežemo li kvadar po dijagonali baze, dobit ćemo dvije trostrane prizme kojima je baza pravokutan trokut.
c=v
b
a
Obujam ove prizme jednak je polovici obujma kvadra, V = a ⋅ b • c. Njena baza 2
je pravokutan trokut s katetama a i b. Stoga formula za obujam prizme kojoj je baza pravokutan trokut također glasi V = B • v, gdje je B baza, a v visina te trostrane prizme.
obujam prizme Na slici se vidi da se svaka prizma može razrezati na manje prizme kojima je baza pravokutan trokut. Stoga zaključujemo da je formula za računanje obujma bilo koje prizme V = B • v. Pritom je B površina baze, a v visina te prizme. Obujam prizme: V = B • v Obujam prizme Obujam bilo koje prizme s bazom površine B i visinom v: v
V=B•v B
153
6.8. Obujam prizme Primjer 1. Obujam trostrane prizme
Iz uvjeta zadatka zaključujemo da je v = 5 cm, a baza je pravokutan trokut s katetama 5 cm i
Visina trostrane prizme je 5 cm. Izračunaj njezin obujam ako je:
12 cm. B=
a ⋅ b 5 ⋅ 12 = 30 cm2. = 2 2
a) njena baza pravokutan trokut s katetama
V = B • v = 30 • 5 = 150 cm3.
dugim 5 cm i 12 cm;
b) Bazu jednakostraničnog trokuta računamo
b) njena baza jednakostranični trokut sa
po formuli B =
stranicom 0.4 m.
a2 3 . 4
Rješenje:
a 2 3 0.42 3 = = 0.04 3 cm2. 4 4 V = B • v = 0.04 3 • 5 = 0.2 3 cm3.
a) Obujam ćemo računati po formuli V = B • v,
Njena približna vrijednost iznosi V ≈
gdje je B površina baze, a v visina te prizme.
0.346 cm3.
B=
Z a d a c i 1. Baza prizme je jednakostraničan trokut sa stranicom duljine 5 cm i visinom 7 cm. Koliki je obujam te prizme? 2. Koliki su oplošje i obujam pravilne trostrane
9. Izračunaj oplošje i obujam prizme kojoj je baza jednakokračan trokut osnovice 12 cm i kraka 9 cm. Visina prizme je 1 cm. 10. Dizajnerica je osmislila staklenu vazu oblika
prizme s osnovnim bridom a i visinom v:
dvostruke pravilne trostrane prizme, s rupom
a) a = 2 cm, v = 19 cm; b) a = 2.5 m, v = 0.3 m;
u sredini kao na slici. Obje prizme su visine
c) a = 2 cm, v = 6 3 cm;
50 cm, rub vanjske je 30 cm, a unutarnje 20.
d) a = 2 3 cm, v = 1 cm.
Koliko vode stane u tu vazu, ako je napunimo
3. Koliki je obujam jednakobridne trostrane prizme s bridom duljine 6 cm?
do vrha (izrazi u litrama)? Koliko je stakla potrebno za stjenke i dno te vaze?
4. Površina pobočja pravilne trostrane prizme iznosi 156 dm2. Koliki je obujam tog tijela ako je njegova visina 26 dm? 5. Visina trostrane prizme je 4 cm. Izračunaj njezin obujam ako je njena baza pravokutan trokut s katetama dugim 7 cm i 4 cm. 6. Visina trostrane prizme je 8 cm. Izračunaj njezin obujam ako je njena baza pravokutan trokut s katetom dugom 2.4 cm i hipotenuzom od 2.6 cm. 7. Izračunaj oplošje i obujam prizme kojoj je baza pravokutan jednakokračan trokut s katetom 6.2 cm. Visina prizme jednaka je duljini katete. 8. Izračunaj oplošje i obujam prizme kojoj je
stranicama 2 m, 3m i visinom 1.75 m ili u bazen oblika pravilne trostrane prizme
baza pravokutan jednakokračan trokut s
sa stranicom baze 3 m i visinom 1.5 m?
hipotenuzom 7 2 cm. Visina prizme je duga
Pretpostavljamo da su oba bazena puna do
3 cm.
154
11. Stane li više vode u bazen oblika kvadra sa
ruba.
Geometrijska tijela 12. Izračunaj obujam tijela sa slike ako je a = 16 cm, d = 24 cm, h = 20 cm.
15. Izračunaj oplošje i obujam prizme kojoj je baza jednakokračan trokut osnovice 7.3 cm i kraka 0.9 dm. Površina pobočja je 143 cm2. 16. Površina pobočja pravilne trostrane prizme iznosi 156 dm2. Koliki je obujam tog tijela ako
h
je njegovo oplošje 400 dm2.
d a
17. Posuda oblika kocke ima duljinu brida 5 cm i cijela je napunjena vodom. Iz nje svu vodu
13. Duljine osnovnih bridova trostrane prizme je
prelijemo u posudu oblika pravilne trostrane
3 cm, 4 cm i 5 cm. Izračunaj obujam ove prizme
prizme s osnovnim bridovima duljine 6 cm.
ako joj je visina 6 cm.
Kolika će biti visina vode u posudi?
14. Duljine osnovnih bridova trostrane prizme je 12 cm, 13 cm i 5 cm. Izračunaj obujam ove prizme ako joj je oplošje 210 cm2.
Primjer 2. Obujam šesterostrane prizme Pogledaj sliku. Može li u zadanu pravilnu prizmu stati litra vode?
a 4.2 cm
3 cm
a a
B = 6⋅ a
2
4
3
=6
32 3 = 13.5 3 cm2. 4
Izračunajmo obujam:
Rješenje:
V = B • v = 13.5 3• 4.2 = 56.7 3 cm3.
Tražimo obujam ove prizme, koristit ćemo
98.21 cm3. Pretvorimo kubične centimetre u
formulu V = B • v. Iz slike čitamo da je visina
kubične decimetre, jer je 1 l = 1 dm3.
prizme 4.2 cm. Baza prizme je pravilni šesterokut
98.21 cm3 = 0.09821 dm3 = 0.09821 l. Obujam
u kojem ćemo primijetiti šest karakterističnih
ove prizme je manji od 1 l, pa zaključujemo da
trokuta koji su jednakostranični.
u zadanu prizmu ne može stati litra vode.
Obujam približno iznosi V ≈ 56.7 • 1.73 =
155
6.8. Obujam prizme
Z a d a c i 18. Izračunaj obujam pravilne šesterostrane prizme
21. Oplošje pravilne šesterostrane prizme je
osnovnog brida a i visine v:
18 3 cm2, a površina pobočja iznosi
a) a = 2 cm, v = 7 cm; b) a = 3 cm, v = 3.5 cm;
10 3 cm2. Izračunaj obujam ove prizme.
c) a = 3 cm, v = 2 3 cm; d) a = 2 cm, v = 2 cm.
22. Posuda oblika kocke ima duljinu brida 1 dm i cijela je napunjena vodom. Iz nje svu
19. Svi bridovi uspravne šesterostrane prizme su dugi 9 cm. Koliki su njeni oplošje i obujam? 20. Stup od gipsa ima oblik pravilnog šesterokuta.
vodu prelijemo u posudu oblika pravilne šesterostrane prizme osnovnog brida duljine 0.5 dm. Kolika će biti visina vode u posudi?
Kolika je njegova visina ako je za njega utrošeno 8 l mase gipsa, a duljina osnovnog brida je 8 cm?
Primjer 3. Obujam ostalih prizmi Za svaku zlatnu polugu kao na slici utroši se 800 cm3 zlata.
Rješenje: a) Zlatna poluga ima oblik četverostrane prizme kojoj je baza jednakokračni trapez. Izračunajmo površinu baze: B = a + c ⋅ h = 9 + 5 ⋅ 3= 21 cm2. 2
a) Kolika je duljina svake zlatne poluge ako presjek poluge ima dimenzije:
2
Duljina zlatne poluge predstavlja visinu te prizme. Kako obujam računamo po formuli V = B • v, onda je visina prizme v = V : B.
c = 5 cm
v = V : B = 800 : 21 ≈ 38.09 cm. h = 3 cm
b
b
b) Obujam svake poluge je 800 cm3. Gus a = 9 cm
b) Kolika je masa svake poluge ako je gustoća zlata 19.3 g/cm3?
23. Obujam pravilne šesterostrane prizme je 10 L, a
toća zlata je
19.3 g/cm3. To znači da sva
kom cm3 pripada masa od 19.3 g. Stoga obujmu
od
800 cm3
masa
od
800 • 19.3 = 15440 g = 15.44 kg. 25. Labirint je izrađen je od dva koncentrična
njena visina je 2 dm.
šesterokutna zida, kao na slici. Stranica
a) Kolika je stranica baze te prizme?
najmanjeg šesterokuta je 4m, a stranica svakog
b) Koliko joj je oplošje?
sljedećeg je za 2 m dulja. Visina svih zidova je 2
24. Pravilna trostrana i pravilna šesterostrana prizma imaju jednake visine 100 cm i duljine
m. Izračunaj kolika količina betona je potrebna za izgradnju to labirinta.
osnovnog brida 50 cm.
a) Izračunaj oplošje obje prizme i usporedi njihove veličine.
b) Izračunaj obujam obje prizme i usporedi njegove veličine. Što primjećuješ?
156
pripada
Geometrijska tijela
Z a d a c i 21. Visina uspravne prizme je 15 cm. Izračunaj oplošje i obujam prizme ako je baza jednakokračni trapez zadan crtežom: 5
55
a) 6
66 5
b) 8.6 8.6 8.6
c)
7.3 7.3 7.3
7.3 55 7.3 7.3
9 6
3.2 3.2 3.2
12 12 12
99
25. Izračunaj obujam zadanih prizmi: a) b) 6m 6 m6 m 4m 4 m4 m 6.5 m 6.5 m 6.5 m
66 20 20 20
22. Za svaku zlatnu polugu kao na slici utroši se 500 cm3 zlata. Baza poluge je jednakokračni trapez s osnovicama dugim 8 cm i 7 cm te
c)
4m 4m4m
5m 5 m5 m
6m 6m6m 2m 8 m 2 m2 m 8m8m 8m 6m 8m8m 6m6m
4m 4 m4 m 15 m 15 m15 m
26. Tvornica čokolade je poznata po svojim neobičnim pakiranjima čokolade.
kracima od 7 cm.
a) Kolika je duljina svake zlatne poluge?
3 cm
3 cm
b) Kolika je masa svake poluge ako je gustoća
15 cm
zlata 19.3 g/cm ? 3
3 cm
23. Za hranjenje divljači proizvode se posebne posude, kao na slici.
40 cm
60 cm
a) Izračunaj koliko cm3 čokolade se može upakirati u ovaj omot, ako znamo da 25% obujma ovog tijela odlazi na prazninu koja se nalazi između čokolade i omota. b) Koliko cm2 kartona je potrebno za pakiranje? 27. Tvornica čokolade je poznata po svojim
30 cm
neobičnim pakiranjima čokolade. 25 cm
a) Koliko litara hrane pojede divljač ako je posuda napunjena do vrha? b) Koliko hrane se još treba napuniti kada je posuda puna do polovice svoje visine? 24. Nasip protiv poplava uz rijeku je dug 30 km.
1 cm 2 cm
2 cm
16 cm
3 cm
Ilustracija nasipa uz rijeku: a) Izračunaj koliko cm3 čokolade se može upakirati u ovaj omot, ako znamo da 25%
5m 8m
obujma ovog tijela odlazi na prazninu koja se 15 m
7m
nalazi između čokolade i omota. b) Koliko cm2 kartona je potrebno za pakiranje?
21 m
a) Koliko zemlje je bilo potrebno za izgradnju
28. Staklena vaza ima oblik kvadratne prizme
ovog nasipa?
osnovnog brida 10 cm i visine 20 cm i puna je
b) S gornje strane i na jednoj strani nasipa je
vode. Ako vazu okrenemo za kut od 45º prema
posađena trava kao na slici. Kolika je površina
ravnini baze oko jednog brida, koliko će se
zasađena travom?
vode izliti iz vaze?
157
6.8. Obujam prizme
Vježb lica a
1. Pretvori u dm3:
11. Koliko vode (izraženo u decilitrima) stane u
a) 0.005 m ; b) 0.8987 m ; c) 87.563 m ;
stakleni kvadar kojem su duljine bridova:
d) 5.4678 m3; e) 0.009 m3.
a) 12 cm, 15 cm, 14 cm;
3
3
3
2. Pretvori u dm3: a) 35640 cm ; b) 123.789 cm ; 3
3
c) 9 000 000 mm3; d) 0.0089 m3; e) 0.67 m3. 3. Pretvori u cm3: a) 0.009 m3; b) 4 dm3; c) 58000 mm3; d) 0.0897 dm3; e) 0.000001 m3.
12. Obujam kvadra iznosi 6 10 cm3, a dva njegova brida su duga 5 cm i 8 cm. Kolika je duljina trećeg brida kvadra? 13. Obujam kvadra iznosi 45 cm3, a dva njegova brida
4. Pretvori u litre: a) 8.23 dm3; b) 14.89 cm3; c) 23.5 dm3;
su duga 2.5 cm i 6 cm. Kolika je duljina trećeg
d) 0.0008 m ; e) 89000000 mm .
brida kvadra?
3
3
14. Obujam kvadra je 210 cm3, a dva brida tog kvadra
5. Pretvori u litre: a) 44.3 dm3;
b) 45.78 cm3;
d) 0.000099 m3;
c) 45 dm3;
e) 4000000 mm3.
6. Pretvori u zadanu mjernu jedinicu: a) 65 cm3 = ________ mm3;
su 7 cm i 5 cm. a) Kolika je duljina prostorne dijagonale tog kvadra? b) Koliko je oplošje tog kvadra? 15. Obujam kvadra iznosi 245 cm3, a njegova baza
b) 675 dm3= ________ cm3; c) 0.0098 m3 = ________ l;
je kvadrat sa stranicom duljine 7 dm. Kolika je
d) 110 mm3 = ________ cm3;
visina kvadra? 16. Obujam kvadra iznosi 270 cm3, a dva njegova
e) 0.00787 dm = ________ l. 3
7. Pretvori u zadanu mjernu jedinicu:
brida su duga 9 cm i 5 cm. Koliko je oplošje kvadra?
a) 0.78 m = ________ dm ; 3
3
b) 0.9 l = ________ mm ;
17. Duljine bridova kvadra koji izlaze iz istog vrha
3
c) 120.05 mm = ________ cm ;
se odnose u omjeru 3 : 4 : 5. Koliki je obujam
d) 77 777 cm3 = ________ m3;
kvadra ako mu je oplošje 376 cm2?
3
3
e) 0.0000012 mm3 = ________ m3. 8. Pretvori u zadanu mjernu jedinicu: a) 0.67 m2 = ________ dm2;
18. Duljine bridova kvadra koji izlaze iz istog vrha se odnose u omjeru 4 : 3 : 2. Koliki je obujam kvadra ako mu je oplošje 1300 cm2?
b) 0.023 l = ________ cm ;
19. Duljine bridova kvadra koji izlaze iz istog vrha
c) 67.055 mm = ________ cm;
se odnose u omjeru 1 : 3 : 7. Koliki je obujam
d) 456 000 cm3 = ________ dm3;
kvadra ako mu je oplošje 558 cm2?
3
e) 0.00023 cl = ________ l. 9. Koliki je obujam kvadra kojem su duljine bridova: a) 5 cm, 8 cm, 19 cm; b) 3.6 cm, 3.8 cm, 3.5 cm; c)
8 mm, 3 2 mm, 0.14 cm;
d) 2 7 cm, 3 14 cm, 5 cm. 10. Duljina dvaju bridova kvadra su 5 cm i 12 cm, a prostorna dijagonala je duga 85 cm. Koliki su oplošje i obujam tog kvadra?
158
b) 4 cm, 3 cm, 7 cm; c) 6 cm, 2 cm, 3 cm; d) 4 2 dm, 3 3 dm, 40 cm.
20. Koliki je obujam kocke s bridom duljine: a) 8 cm; d) 8 cm;
b) 5.8 cm;
c) 0.5 dm;
e) 6 2 m.
21. Koliki je obujam kocke ako je površina jedne njene strane: a) 8 cm2;
b) 25 m2;
d) 12 mm2;
e) 18 cm2.
c) 1.96 cm2;
Geometrijska tijela 22. Koliki je obujam kocke ako je duljina njene plošne
37. Izračunaj oplošje i obujam prizme kojoj je baza
dijagonale:
pravokutan jednakokračan trokut s katetom
a) 3 2 cm; b) 6 2 m; c) 5 6 cm; d) 22 mm;
e) 4 cm.
38. Izračunaj oplošje i obujam prizme kojoj je baza
23. Koliki je obujam kocke ako je duljina njene prostorne dijagonale: a) 8 3 cm; b) 2 3 m; c) 6 6 cm; d) 16 mm;
pravokutan jednakokračan trokut s hipotenuzom 8 2 cm. Visina prizme je duga 8 cm.
e)
75 cm.
39. Izračunaj oplošje i obujam prizme kojoj je baza jednakokračan trokut osnovice 18 cm i kraka 41
24. Oplošje kocke je 384 dm . Koliki je njen obujam?
cm. Visina prizme je 40 cm.
2
25. Plošna dijagonala baze kvadratne prizme je
6 cm. Visina prizme jednaka je duljini katete.
40. Izračunaj obujam pravilne šesterostrane prizme
6 2 dm, a visina prizme je 5 dm. Koliki su
osnovnog brida a i visine v:
oplošje i obujam te prizme?
a) a = 6 cm, v = 3 cm; b) a = 3 2 cm, v = 3 cm; c) a = 4 cm, v = 3 cm;
26. Plošna dijagonala pobočke kvadratne prizme je 17 cm, a osnovni brid je dug 8 cm. Koliki su
d) a = 8 cm, v =
oplošje i obujam te prizme? 27. Prostorna dijagonala kvadratne prizme je duga
41. Svi bridovi uspravne šesterostrane piramide su dugi 4 cm. Koliki su njeni oplošje i obujam?
2 33 cm, a osnovni brid je dug 8 cm. Koliki je obujam te prizme? 28. Prostorna dijagonala kvadratne prizme je duga
42. Oplošje pravilne šesterostrane prizme je 132 3 cm2, a površina pobočja iznosi 96 3 cm2. Izračunaj obujam ove prizme.
2 22 cm, a bočni brid je dug 4 cm. Koliki je
obujam te prizme?
43. Visina uspravne prizme je 5 cm. Izračunaj oplošje i obujam prizme ako je baza jednakokračni
29. Oplošje kvadratne prizme osnovnog brida 5 cm
trapez sa duljinama osnovica a i c, te krakom b:
iznosi 170 dm2. Koliki prostor zauzima to tijelo?
a) a = 42 cm , b = 20 cm, c = 18 cm;
30. Oplošje kvadratne prizme bočnog brida 9 cm iznosi 230 dm2. Koliki prostor zauzima to tijelo? 31. Visina kvadratne prizme dvostruko je dulja od osnovnog brida. Koliki je obujam te prizme ako je
b) a = 16 cm, b = 8 cm, c = 4 cm. 44. Duljine osnovnih bridova trostrane prizme je
stranicom duljine 4 cm i visinom 9 cm. Koliki je obujam te prizme?
trokut pravokutan). 45. Duljine osnovnih bridova trostrane prizme je
a) a = 6 cm, v = 9 cm; b) a = 3 m, v = 4 m; c) a =
12 cm, v = 6 cm; d) a = 2 5 cm, v = 2 cm.
34. Koliki je obujam jednakobridne trostrane prizme s bridom duljine 6 cm? 35. Površina pobočja pravilne trostrane prizme iznosi 90 dm2. Koliki je obujam tog tijela ako je njegova visina 6 dm? 36. Visina trostrane prizme je 24 cm. Izračunaj njezin
8 cm, 15 cm i 17 cm. .(Prvo provjeri je li trokut pravokutan). Izračunaj obujam ove prizme ako joj
33. Koliki su oplošje i obujam pravilne trostrane prizme s osnovnim bridom a i visinom v:
5 cm, 12 cm i 13 cm. Izračunaj obujam ove prizme ako joj je visina 7 cm.(Prvo provjeri je li
njeno oplošje 250 cm2? 32. Baza prizme je jednakostraničan trokut sa
20 cm.
je oplošje 200 cm2. 46. Izračunaj oplošje i obujam prizme kojoj je baza jednakokračan trokut osnovice 2.4 cm i kraka
3.7 cm. Površina pobočja je 49 cm2.
47. Površina pobočja pravilne trostrane prizme iznosi 120 dm2. Koliki je obujam tog tijela ako je njegovo oplošje 32 3 + 120 dm2. 48. Posuda oblika kocke ima duljinu brida 9 cm i cijela je napunjena vodom. Iz nje svu vodu prelijemo u posudu oblika pravilne trostrane prizme s osnovnim bridovima duljine 3 cm. Kolika će biti visina vode u posudi?
obujam ako je njena baza pravokutan trokut s katetama dugim 20 cm i 21 cm.
159
6.9. Osnovno o piramidama
6.9. Osnovno o piramidama Prepoznaj piramide Na slici se nalaze razna geometrijska tijela. Kako ćeš među njima prepoznati piramide?
baza ili
Piramida je uglato geometrijsko tijelo kojem je jedna strana mnogokut, a sve
osnovka
ostale strane su trokuti s jednim zajedničkim vrhom. Taj mnogokut nazivamo bazom piramide, a trokute pobočkama piramide. Sve pobočke zajedno čine
pobočke
pobočje piramide. Za razliku od prizme, piramida ima smo jednu bazu. Nasuprot
piramide
baze nalazi se vrh piramide koji je zajednički vrh svim trokutima iz pobočja.
vrh piramide
Bridovi koji pripadaju bazama nazivaju se osnovni bridovi, vrh vrh V V pobočjepobočje
baza
osnovni brid bočni brid
baza
bočni bridovi bočni bridovi
osnovni osnovni bridovi bridovi
V
v V′
jer se baza još naziva i osnovka. Preostali bridovi se nazivaju bočni bridovi, jer su zajednički dvjema pobočkama. Vrh piramide označimo s V. Ortogonalnu projekciju vrha V na ravninu baze
visina piramide
označimo s V’. Dužinu VV ' nazivamo visina piramide. U svakodnevici vrlo često susrećemo tijela u obliku piramide. U sljedećim primjerima ćemo pokazati neke vrste piramida, te njihova osnovna svojstva.
160
Geometrijska tijela Primjer 1. Vrste piramida
Rješenje:
Imenuj piramide koje vidiš na slici:
Kao i kod prizmi, i piramide međusobno razlikujemo prema broju stranica baze. Tako se piramida kojoj je baza trokut naziva trostrana piramida. Piramida kojoj je stranica četverokut
1
3
2
naziva se četverostrana piramida, piramida
4
kojoj je baza peterokut se naziva peterostrana piramida itd.
6
Trostrana piramida se nalazi na slici br. 3.
7
Četverostrane piramide se nalaze na slikama
5
broj 1, 5 i 7, peterostrana je na slici br. 4, a šesterostrane se nalaze na slikama broj 2 i 6.
Z a d a c i 1. Kako se nazivaju piramide na slici?
2. Kako se nazivaju piramide na slici?
3. Kako se naziva piramida ako joj je baza: a) deveterokut; b) jedanaesterokut; c) šesterokut; d) stoterokut?
Primjer 2. Pravilna piramida
Pravilna piramida je piramida
Što misliš, što su pravilne piramide? Nabroji
kojoj je baza pravilan mnogokut
neke od njih.
i
sve
pobočke
sukladni
pravilna piramida
jednakokračni trokuti.
Rješenje: Pravilna piramida je piramida kojoj je baza pravilan mnogokut i sve pobočke sukladni jednakokračni trokuti. Takva piramida kojoj je baza jednakostranični trokut naziva pravilna trostrana piramida, takva piramida kojoj je baza kvadrat se naziva pravilna četverostrana piramida, takva piramida kojoj je baza pravilni
pravilna trostrana piramida
pravilna četverostrana piramida
pravilna šesterostrana piramida
peterokut se naziva pravilna peterostrana piramida itd.
161
6.9. Osnovno o piramidama
Z a d a c i 4. Koje od ovih piramida su četverostrane:
6. a) Postoje li dvostrane piramide? Objasni odgovor.
1
2
b) S koliko ploha može biti omeđena piramida?
3
7. Navedi gdje sve u životu susrećemo piramide.
4
8. Na kojoj slici se nalaze:
5. Na kojoj slici se nalaze:
a) uglata tijela; b) obla tijela; c) prizme;
a) trostrane piramide;
d) piramide; e) trostrane piramide; f) pravilne
b) četverostrane piramide; c) peterostrane
četverostrane piramide?
piramide; d) šesterostrane piramide? 3
1
4
2
1
6
7
7
9 8
5
4
3
2
10
8
5 6
Primjer 3. Oplošje piramide
s B, a pobočja s P. Kako je oplošje zbroj
Oplošje prizme smo računali po O = 2B + P.
površina svih strana prizme, računamo ga po
Hoćemo li istu formulu moći koristiti i za
O = 2B + P.
računanje
Međutim, piramida ima samo jednu bazu. Stoga
oplošja
piramide?
Objasni
svoj
ćemo uz iste oznake njeno oplošje računati po
odgovor.
O = B + P. Baza piramide je mnogokut, a pobočje se
Rješenje:
sastoji od trokuta. Oplošje raznih piramida
Prizma je omeđena svojim dvjema bazama i
pobočjem.
Površinu
baze
smo
ćemo računati u sljedećim poglavljima.
označili
Oplošje piramide Oplošje piramide je zbroj površina svih njenih strana. Kako se svaka piramida sastoji od baze i pobočja, oplošje prizme možemo računati po formuli O = B + P, pri čemu je B površina baze, a P zbroj površina svih pobočaka piramide. V pobočje
baza
162
Geometrijska tijela
Z a d a c i 9. Koje piramide primjećuješ na slikama:
10. Prepiši u bilježnicu i ispuni tablicu:
Broj
Broj
Broj
vrhova bridova strana Kvadar Peterostrana prizma Šesterostrana prizma Trostrana piramida Četverostrana piramida
Primjer 4. Obujam piramide Izvedite u razredu mali eksperiment. Usporedimo četverostranu piramidu i četverostranu prizmu sa sukladnim bazama i jednakim visinama. Procijeni:
Rješenje: a) Zadane su prizma i piramida sukladnih baza i jednakih visina. Visina piramide je dužina koja spaja vrh piramide s njegovom ortogonalnom projekcijom
na
ravninu
baze.
Nije
teško
pogoditi da zadana prizma ima veći obujam od zadane piramide. No, pitamo se, koliko puta, je li možda dvostruko? Tako procjenjuju mnogi učenici. Pogledajmo b) zadatak. b) Napunimo li piramidu vodom i potom tu a) Koje tijelo ima veći obujam, prizma ili piramida? b) Koliko puta ima veći obujam? Isto procijenite i za neki drugi par prizmi i piramida, npr. trostrane.
tekućinu pretočimo u prizmu primijetit ćemo da voda nije još nije došla do polovice visine prizme. Mnogi učenici će pretpostaviti da je voda dosegnula trećinu visine prizme. Nakon još točno dva takva dolijevanja iz piramide u prizmu, prizma će se do vrha napuniti vodom. Zaključujemo da je obujam piramide trostruko
163
6.9. Osnovno o piramidama manji od obujma prizme. Taj eksperiment
Obujam piramide
možemo ponoviti s bilo kojim drugim parom
Obujam bilo koje piramide s
prizme i piramide koje imaju sukladne baze
bazom površine B i visinom v:
i jednake visine. Zaključit ćemo da zadana
V=
piramida ima trostruko manji obujam od
1 B • v. 3
pripadne prizme. Vprizme = 3 • Vpiramide Stoga je obujam piramide Vpiramide = Obujam
prizme
1 V . 3 prizme
računamo
po
v
Vprizme = B • v, gdje je B njihova obujam ili volumen piramide
površina baze, a v visina. Tada je obujam piramide Vpiramide =
1 1 V = B • v. 3 prizme 3
Z a d a c i 11. U kojim mjernim jedinicama izražavamo
18. U trostranu prizmu je upisana trostrana
oplošje?
piramida. Koliki je obujam prizme ako obujam zadane piramide iznosi 78 cm3?
12. Što je oplošje piramide? 13. Zašto oplošje piramide ne računamo po
19. U šesterostranu prizmu je upisana šesterostrana piramida. Koliki je obujam prizme ako obujam
O = 2B + P? 14. Opiši kako bismo izračunali oplošje piramida sa
zadane piramide iznosi 14 l? 20. Izračunaj oplošje piramide kojoj su zadane
slike:
površine baze i pobočja.
a) B = 40 cm2 i P = 60 cm2; b) B = 60 cm2 i P = 30 cm2;
c) B = 25 dm2 i P = 35 dm2; d) B = 4 m2 i P = 6.6 m2.
21. Izračunaj obujam piramide kojoj je zadana površina baze i visina: 15. Zašto obujam označavamo slovom V? 16. Objasni zašto obujam piramide računamo kao
1 3 B • v. Što označava B, a što v u tom izrazu? 17. Obujam četverostrane prizme je 144 cm3. Koliki je obujam četverostrane piramide koja ima sukladnu bazu i jednaku visinu kao i zadana prizma?
164
a) B = 40 cm2 i v = 6 cm; b) B = 4250 cm2 i v = 200 cm;
c) B = 4 m2 i v = 60 dm; d) B = 12 dm2 i v = 3 cm.
Geometrijska tijela
6.10. Četverostrana piramida Koje od prikazanih piramida su četverostrane:
Mnogi predmeti oko nas imaju oblik piramide kojoj je baza četverokut. One se nazivaju četverostrane piramide.
vrh V pobočje
bočni bridovi
baza
osnovni bridovi
Naročito ćemo promatrati četverostranu piramidu kojoj je baza kvadrat. To je pravilna četverostrana piramida. Pravilna četverostrana piramida je piramida kojoj je baza kvadrat i sve pobočke sukladni jednakokračni trokuti.
pravilna četverostrana piramida
Vrh piramide označimo s V, a ortogonalnu projekciju vrha V na ravninu baze označimo s V’. Tada je dužina VV ' visina te piramide. Točka V’ kod pravilne četverostrane piramide pada točno u sjecište dijagonala baze.
V
visina piramide
v V′
165
6.10. Četverostrana piramida Primjer 1. Crtanje u kosoj projekciji
točka V’. Ta točka je nožište visine piramide,
Zadana je pravilna četverostrana piramida s
tj. ortogonalna projekcija vrha piramide na
osnovnim bridom a = 4 cm i visinom v = 5 cm.
ravninu baze.
Nacrtaj je u kosoj projekciji. U točki V’ nacrtamo okomicu na ravninu baze, tj. na dužinu AB . Na toj okomici izmjerimo zadanu
Rješenje:
duljinu visine. Tako smo dobili vrh piramide
Opet ćemo odabrati da je kut projiciranja
V. Spojimo vrh piramide s vrhovima baze.
1 α = 45º i da je prikrata . 2
Bridove koji se stvarno ne vide prikazujemo isprekidanim dužinama.
Prvo nacrtajmo bazu, koja je kvadrat. Kvadrat sa stranicom a nacrtan u kosoj projekciji crtamo
kao
paralelogram
sa
stranicama
a ai te kutem od 45°. Zatim odredimo sjecište 2
V
V
dijagonala nacrtanog paralelograma – to je
v
v
A
45°
a
V′
a B
2
A
45°
a
a
V′
2
B
45°
A
a
V′
a
B
V
Primjer 2. Visina piramide Baza Keopsove piramide u Egiptu je kvadrat sa stranicom dugom 230 m. Njeni bočni bridovi su dugi 220 m. Koliko je visoka Keopsova piramida?
d 2
A
a
V′
v
b
v
b
a B
d
2
2
Rješenje:
Dijagonala kvadrata se računa po d = a 2
Istaknimo pravokutan trokut kao na slici s
gdje je a osnovni brid piramide. Stoga je
d katetama i v. Hipotenuza tog trokuta je 2
d = a 2 = 230 2 m, pa je
bočni brid b. Tada je
2
(
d = 115 2 m. 2
)
2
d v2 = b2 – = 2202 – 115 2 = 2 48 400 – 26 450 = 21 950.
Visina Keopsove piramide iznosi približno v=
166
21 950 ≈ 148.16 m.
2
Geometrijska tijela Primjer 3. Visina pobočke piramide
2
a
Kolika je visina pobočke Keopsove piramide?
h2 = b2 – = 2202 – 1152 = 48 400 – 13 225 2 = 35 175
Rješenje:
h=
Visina pobočke pravilne piramide je visina
Visina pobočke Keopsove piramide iznosi
jednog
187.55 m.
od
četiri
sukladna
jednakokračna
trokuta koji omeđuju tu piramidu i koji su njene
35 175≈ 187.55 m.
2. način:
pobočke. Visinu pobočke obično
No, često ćemo u zadacima imati zadane samo
visina
označavamo s h, kako bismo je
duljinu visine i osnovnog brida, a tražit će se
pobočke
razlikovali od visine piramide
duljina visine pobočke pravilne četverostrane
piramide
koju obično označavamo s v.
piramide. Zato rješenje pokažimo na ovom zadatku. Treba izračunati duljinu visine po
V
bočke h ako su zadani visina piramide v i osnovni brid a.
b v
b
V
b
b
h
h
v
a
A
a B
a 2
v
h
a
a
2
2
a
A
Ovaj zadatak ćemo riješiti na dva načina.
a B
h
a 2
1. način:
Primjećujemo pravokutni trokut s katetama v
Kako su u prethodnom primjeru zadane veličine
i
bridova baze i pobočaka Keopsove piramide,
duljinu h:
najjednostavnije je na pobočki uočiti pravokutan a trokut s katetama h i , te s hipotenuzom b. 2
Stoga
zadatak
riješimo
koristeći
Pitagorin
poučak.
a , te s hipotenuzom h. Izračunajmo traženu 2 2
a
h2 = v2 + = 21 950 + 13 225 = 35 175 2 h=
35 175≈ 187.55 m.
Naravno, rezultat je isti kao i kod računanja na prvi način.
Pazi! Moraš razlikovati visinu poboÈke h ...
i visinu piramide v !
167
6.10. Četverostrana piramida
Z a d a c i 1. Gdje sve u svakodnevnom životu susrećemo:
10. Piramida je prepiljena po dijagonali baze
a) pravilnu četverostranu piramidu;
ravninom koja prolazi vrhom piramide. Tako
b) četverostranu piramidu; c) piramidu?
dobivamo je poprečni presjek piramide. Kakav
2. Koliko četverostrana piramida ima:
trokut dobivamo u poprečnom presjeku?
a) bočnih bridova; b) osnovnih bridova;
11. U pravilnoj četverostranoj piramidi bočni brid
c) vrhova; d) strana; e) dijagonala baze?
iznosi 16 2 cm, a duljina visine pobočke
3. Kolika je duljina visine pravilne četverostrane piramide ako je duljina njenog bočnog brida 10 cm, a dijagonala baze duga 12 cm? 4. Zadana je pravilna četverostrana piramida s osnovnim bridom a i bočnim bridom b. Izračunaj visinu te piramide ako je:
13 cm. Kolika je duljina dijagonale baze? 12. U pravilnoj četverostranoj piramidi duljina visine iznosi 25.35 dm, a duljina visine pobočke 32 dm. Kolike su duljine osnovnog brida, bočnog brida, te dijagonale baze? 13. Zadana je pravilna četverostrana piramida
a) a = 5 2 cm, b = 13 cm;
visine v = 6 dm i dijagonale baze d = 4 2 dm.
b) a = 9 cm, b = 16 cm;
Izračunaj duljinu osnovnog brida, bočnog brida,
c) a = 7.34 cm, b = 8.6 cm;
te duljinu visine pobočke.
d) a = 8 5 cm, b = 170 cm. 5. Zadana je piramida visine v kojoj je baza kvadrat stranice a. Kolika je duljina njenog bočnog brida ako je: a) a = 30 2 cm, v = 40 cm; b) a = 34 cm, v = 9 cm; c) a = 8.13 cm, b = 5.5 cm; d) a = 4 76 cm, v = 2 133 cm. 6. Zadana je piramida visine v i bočnog brida b kojoj je baza kvadrat. Kolika je duljina njenog osnovnog brida ako je: a) b = 45 cm, v = 27 cm; b) b = 6 cm, v = 2 cm;
14. Izračunaj duljinu osnovnog brida i visinu pobočke jednakobridne četverostrane piramide kojoj je visina duga 16 mm. 15. Izračunaj duljinu osnovnog brida i visinu jednakobridne četverostrane piramide kojoj je visina pobočke duga 4 3 cm. 16. Izvedi formule za visinu piramide, visinu pobočke, bočni brid te dijagonalu baze jednakobridne četverostrane piramide s osnovnim bridom duljine a. 17. Pravilna četverostrana piramida je presječena
c) v = 6.4 cm, b = 11.05 cm;
ravninom koja prolazi dijagonalom njene baze i
d) b = 4 2 cm, v = 2 2 cm.
vrhom piramide. Kolika je površina tog presjeka
7. Izračunaj visinu i visinu pobočke jednakobridne četverostrane piramide osnovnog brida a = 4 cm. 8. U pravilnoj četverostranoj piramidi bočni brid je označen s b, osnovni s a, a visina pobočke s h. Izračunaj treću komponentu ako su zadane dvije: a) a = 7 cm, h = 8 cm; b) a = 6 cm, b = 5 cm; c) b = 18.5 dm, h = 11.2 dm. 9. Može li visina pobočke biti manja od: a) visine piramide; b) bočnog brida; c) brida osnovice?
ako je duljina osnovnog brida 5 cm, a bočnog 7 cm. 18. Pravilna četverostrana piramida je presječena ravninom koja prolazi dijagonalom njene baze i vrhom piramide. Taj presjek ima oblik jednakostraničnog trokuta. Kolika je njegova površina ako je duljina osnovnog brida: a) 7 cm; b) a. 19. Pravilna četverostrana piramida je presječena ravninom koja prolazi dijagonalom njene baze i vrhom piramide. Taj presjek ima oblik jednakostraničnog trokuta i njegova površina iznosi 6 3 dm2. Izračunaj duljinu dijagonale baze.
168
Geometrijska tijela 1
Primjer 3. Mreža pravilne četverostrane piramide
2
Rješenje:1
2
Presavijanjem se u piramidu mogu formirati
Koja od ovih slika predstavlja mrežu pravilne
slike 1, 2 i 4. Na slici 4 se doduše nalazi mreža
četverostrane piramide?
četverostrane piramide, ali kojoj baza nije kvadrat, već pravokutnik.
3 1
3
2
4 4
Primjer 4. Oplošje pravilne četverostrane piramide 3
Rješenje: a) Površinu baze označimo s B, a pobočje s P.
Želimo od papira napraviti kutijicu 4oblika četverostrane piramide s dimenzijama kao na
Tada je oplošje piramide O = B + P.
slici.
pa je njena površina:
Baza pravilne četverostrane piramide je kvadrat B = a2 = 9 cm2. Pobočje pravilne četverostrane piramide se sastoji od četiri sukladna jednakokračna trokuta pa je površina pobočja: P = 4 • piramide.
4 cm
a ⋅h , gdje je h visina pobočke te 2
Sada izračunamo visinu pobočke iz trokuta kao na slici:
3 cm
b h a) Koliko papira će nam za to trebati? b) Koliko takvih kutijica se najviše može izraditi od komada papira formta A4?
b
h a 2
a 2 169
6.10. Četverostrana piramida 2
a
9
h2 = b2 – = 16 – = 4 2
b) Papir formata A4 ima dimenzije 21 cm
64 − 9 55 = 4 4
x 29.7 cm. Njegova površina je 21 • 29.7 =
55 55 = cm. 4 2 3 ⋅ 55 a ⋅h Stoga je P = 4 • =4• = 3 55 cm2. 4 2
h=
Izračunajmo oplošje:
623.7 cm2. Podijelimo li to s oplošjem, dobit ćemo 623.7 : 31.25 = 19.96. Od komada papira dimenzija A4 može se najviše napraviti 19 takvih piramida.
O = B + P = 9 + 3 55 cm2. Oplošje približno iznosi O ≈ 31.25 cm2.
Z a d a c i 20. Visina pobočke pravilne četverostrane piramide
26. Baza pravilne četverostrane piramide je kvadrat
je duga 11 cm, a osnovni brid je dug 8 cm.
površine 100 dm2, a visina piramide je 6 dm.
Izračunaj:
Koliko je njeno oplošje?
a) površinu baze; b) površinu pobočja; c) oplošje piramide.
27. Baza pravilne četverostrane piramide je kvadrat površine 100 dm2, a visina pobočke piramide je
21. Nacrtaj mrežu pravilne četverostrane piramide osnovnog brida 6 cm i bočnog brida 5 cm. Koliko je oplošje te piramide?
13 dm. Koliko je njeno oplošje? 28. Baza pravilne četverostrane piramide je kvadrat površine 100 dm2, a bočni brid iznosi 8 dm.
22. U pravilnoj četverostranoj piramidi osnovni brid je označen s a, bočni brid s b, visina s v, a visina pobočke s h. Izračunaj oplošje ako je: a) a = 6 cm, b = 5 cm;
Koliko je oplošje? 29. Opseg baze pravilne četverostrane piramide je 56 cm, a oplošje je 476 cm2. Kolika je visina piramide?
b) a = 4 cm, v = 11 cm; c) b = 29.9 dm, v = 10 dm;
30. Oktaedar je geometrijsko tijelo koje se sastoji
2 mm, h = 1 mm; e) b = 17 3 m, h = 5 5 m; d) a =
“spajanjem” dviju jednakobridnih četevrostranih piramida kao na slici.
f) v = 20 cm, h = 18 2 cm. 23. Izračunaj oplošje jednakobridne četverostrane piramide s bridom: a) 6 cm; b) 0.3 cm; c) 3 3 dm; d) a. 24. Baza pravilne četverostrane piramide je kvadrat površine 36 dm2. Sve pobočke su jednakostranični trokuti. Koliko je oplošje te piramide? 25. Baza pravilne četverostrane piramide je kvadrat, a pobočke su jednakostranični trokuti. Svaka pobočka ima površinu 3 3 m . Koliko je
Izračunaj njegovo oplošje ako je duljina brida: a) 5 dm; b) 9 cm; c) a.
2
oplošje?
170
31. Kolika je visina okatedra ako je njegovo oplošje 32 3 cm2?
Geometrijska tijela Primjer 5. Obujam pravilne četverostrane piramide
Rješenje: U prethodnom poglavlju smo naučili da je
Zadana je piramida s dimenzijama kao na skici.
obujam piramide trostruko manji od obujma
Koliki je njen obujam?
prizme s istom bazom i visinom. Izračunajmo površinu baze zadane piramide: B = a2 = 9.52 = 90.25 dm2. Obujam piramide je V=
1 1 90.25 ⋅ 12.3 B • v = • 90.25 • 12.3 = = 3 3 3
370.03 dm3. 12.3 dm
Obujam piramide Obujam bilo koje piramide s bazom površine B i visinom v: V=
1 B • v. 3
9.5 dm
Z a d a c i c) a = 12.2 cm, b = 11.4 cm;
32. Duljina osnovnog brida pravilne četverostrane
d) v = 12 3 mm, b = 13 3 mm.
piramide iznosi 13 cm, a visina piramide iznosi 10 cm. Koliki je obujam te piramide?
37. Izračunaj obujam pravilne četverostrane
33. Izračunaj obujam pravilne četverostrane pirami
piramide ako je zadano:
de kojoj su zadani osnovni brid a i visina v:
a) B = 100 cm2, b = 12 cm;
a) a = 15 cm, v = 1 cm;
b) B = 144 dm2, h = 15 dm;
b) a = 12.3 cm, v = 8.8 cm;
c) P = 400 cm2, a = 16 cm;
c) a =
3 mm, v =
3 mm.
34. Izračunaj duljinu osnovnog brida pravilne
d) P = 24.5 dm2, h = 5 dm. 38. Dvije piramide imaju sukladne baze, ali su im
četverostrane piramide ako su zadani obujam V
visine pobočaka različite. Koja od njih će imati
i njena visina v:
veći obujam:
a) V = 30 cm3, v = 3 cm;
a) ona koja ima veću visinu pobočke;
b) V = 100 cm , v = 5 cm;
b) ona koja ima manju visinu pobočke;
c) V = 450.2 cm3, v = 16.16 cm.
c) to je svejedno?
3
35. Izračunaj duljinu visine pravilne četverostrane
39. Crkveni toranj ima oblik pravilne četverostrane
piramide ako su zadani obujam V i duljina
piramide s osnovnim bridom 5 m i visinom 7m.
osnovnog brida a zadane piramide:
Izračunaj kolika je površina krova tog tornja.
a) V = 45 cm , a = 6 cm;
Kolika količina zraka stane u taj toranj?
3
b) V = 15 cm3, a = 2.5 cm;
40. Izračunaj obujam i oplošje pravilne
c) V = 700 cm3, a = 20 10 cm. 36. Pravilna četverostrana piramida ima osnovni
četverostrane piramide kojoj je:
brid a, bočni brid b, visinu v, te visinu pobočke h. Izračunaj njen obujam ako je zadano: a) a = 5 cm, h = 6 cm;
a) a = 6 cm i h = 4 cm; b) h = 5 5 dm i v = 11 dm;
c) a = 5.4 m i v = 7.2 m; d) b = 10 dm i a = 12 dm.
b) v = 11 cm, h = 11.8 cm;
171
6.10. Četverostrana piramida 41. Pravilna četverostrana piramida P1 ima osnovni
45. Arhitekt projektira staklenu šuplju piramidu
brid duljine a. Njene pobočke su šiljastokutni
kojoj je baza pravokutnik. Izračunaj koliko
trokuti. Druga pravilna četverostrana piramida
će kvadratnih metara stakla biti potrebno
P2 (s osnovnim bridom također a) ima pobočke
za izgradnju, te s koliko kubičnih metara
koji su tupokutni trokuti. Koja od tih piramida
zraka će biti ispunjena piramida. Stranice
ima veći obujam, a koja oplošje?
pravokutnika su duge 40 m i 28 m, a visina
42. Izračunaj obujam pravilne četverostrane piramide ako je zadano oplošje i osnovni brid ili
piramide je 20 m. 46. Sljepljivanjem baza dviju pravilnih
visina pobočke:
četverostranih piramida dobiveno je
a) O = 2000 cm2, a = 10 cm;
geometrijsko tijelo slično oktaedru.
b) O = 730 cm2, a = 12.2 cm.
Izračunaj oplošje i obujam toga tijela ako
43. Izračunaj duljinu brida pravilne četverostrane piramide izrađene od zlata. Visina piramide je 15 mm i ima masu 0.5 kg. Gustoća zlata iznosi 19.3 g/cm3. 44. Pravilna četverostrana piramida je upisana u
je osnovni brid početne piramide dug 7 cm, a bočni 12 cm. 47. Na kocku brida 4 cm nalijepljena je jednakobridna četverostrana piramida brida 4 cm.
kocku brida 4 cm.
a) Izračunaj oplošje i obujam tog
a) Koliki je obujam te piramide?
složenog tijela;
b) Koliki je obujam te kocke?
b) Kolika je visina tog tijela?
c) Koliko puta je obujam kocke veći od obujma piramide? d) Izračunaj čije oplošje je veće.
Egipatske piramide
se od oko 2 300 000 kamenih blokova. Svaki je kamen težak oko 2 t i visok 2 m, a neki su dugi i po 5 m i dopremljeni su čamcima niz rijeku Nil. To se moglo raditi jedino u proljeće, kada se Nil izlijevao, pa je zato trebalo 20 godina i oko 500 000 plovidaba da se donese potrebna količina kamena. Zatim su ove blokove uredno redali, a druga grupa ljudi ih je izvlačila do mjesta gdje se gradila piramida. Kada je sagrađena, piramida je bila visoka 145.75 m, ali se tokom godina smanjila za 10
172
Iz ovog teksta o piramidama sastavi matema
m. Radi se o pravilnoj četverostranoj piramidi
tička pitanja.
s osnovnim bridom duljine 229 metara. Svaka
Keopsova piramida je najveća od tri velike
je stranica pažljivo orijentirana prema jednoj
egipatske piramide (Keopsova, Kefrenova
od četiriju strana svijeta. Na sjevernoj je strani
i Mikerinova piramida). Ona je grobnica
ulaz. Unutrašnjost piramide čine tri prostorije
faraona Keopsa u Gizi, izgrađena oko 2560.
povezane mnogobrojnim hodnicima. U srcu
p.K. Smatra se da je oko 100 000 ljudi gradilo
piramide je kraljeva odaja gdje je smješten
Keopsovu piramidu punih 20 godina. Sastoji
Keopsov sarkofag.
Geometrijska tijela
Vježb lica a
1.
Ispuni tablicu:
Broj vrhova
Broj bridova
Broj strana
Kocka Trostrana prizma Četverostrana prizma Peterostrana piramida Šesterostrana piramida
2. Obujam četverostrane prizme je 108 cm3. Koliki je obujam četverostrane piramide koja ima
a) b = 37 cm, v = 35 cm; b) b = 33 cm, v = 5 cm; c) b = 53 mm, v = 45 mm; d) b = 5 6 cm, v = 10 cm. 9. Izračunaj visinu i visinu pobočke jednakobridne četverostrane piramide osnovnog brida a = 5
2 cm. 10. U pravilnoj četverostranoj piramidi bočni brid je označen s b, osnovni s a, a visina pobočke s h. Izračunaj treću komponentu ako su zadane
zadane piramide iznosi 87 cm3? 4. U šesterostranu prizmu je upisana šesterostrana piramida. Koliki je obujam prizme ako obujam zadane piramide iznosi 21 l? 5. Zadana je pravilna četverostrana piramida s osnovnim bridom a, bočnim bridom b i visinom v. Izračunaj visinu te piramide ako je:
osnovnog brida ako je:
prizma?
piramida. Koliki je obujam prizme ako obujam
kojoj je baza kvadrat. Kolika je duljina njenog
sukladnu bazu i jednaku visinu kao i zadana
3. U trostranu prizmu je upisana trostrana
8. Zadana je piramida visine v i bočnog brida b
a) a = 40 2 cm, b = 41 cm; b) a = 8 cm, b = 4 3 cm; c) a = 5 cm, b = 5 6 cm; 2 d) a = 6 cm, b = 10 cm.
6. Kolika je duljina visine pravilne četverostrane piramide ako je duljina njenog bočnog brida 61 mm, a dijagonala baze duga 120 mm? 7. Zadana je piramida visine v kojoj je baza
dvije: a) a = 42 cm, h = 20 cm; b) a = 14 cm, b = 25 cm; c) b = 17 dm, h = 15 dm. 11. U pravilnoj četverostranoj piramidi bočni brid iznosi 6.5 cm, a duljina visine pobočke 5.6 cm. Kolika je duljina dijagonale baze? 12. U pravilnoj četverostranoj piramidi duljina visine iznosi 7 cm, a duljina visine pobočke 25 cm. Kolike su duljine osnovnog brida, bočnog brida, te dijagonale baze? 13. Izračunaj duljinu osnovnog brida i visinu pobočke jednakobridne četverostrane piramide kojoj je visina duga 10 2 cm. 14. Izračunaj duljinu osnovnog brida i visinu jednakobridne četverostrane piramide kojoj je visina pobočke duga 6 3 cm. 15. Pravilna četverostrana piramida je presječena ravninom koja prolazi dijagonalom njene baze i
kvadrat stranice a. Kolika je duljina njenog
vrhom piramide. Kolika je površina tog presjeka
bočnog brida ako je:
ako je duljina osnovnog brida 6 cm, a bočnog 34 cm.
a) a = 4 cm, v = 2 7 cm; b) a = 12 2 cm, v = 5 cm; c) a = 15 2 cm, v = 8 cm; d) a = 6 cm, v = 10 cm.
16. Pravilna četverostrana piramida je presječena ravninom koja prolazi dijagonalom njene baze i vrhom piramide. Taj presjek ima oblik jednakostraničnog trokuta. Kolika je njegova površina ako je duljina osnovnog brida 8 cm.
173
6.10. Četverostrana piramida 17. Pravilna četverostrana piramida je presječena ravninom koja prolazi dijagonalom njene baze i vrhom piramide. Taj presjek ima oblik jednakostraničnog trokuta i njegova površina iznosi 36 3 dm2. Izračunaj duljinu dijagonale
27. Izračunaj oplošje oktaedra ako je duljina brida: a) 2 3 dm; b) 10 cm. 28. Duljina osnovnog brida pravilne četverostrane piramide iznosi 17 cm, a visina piramide iznosi 11 cm. Koliki je obujam te piramide?
baze. 18. Visina pobočke pravilne četverostrane piramide
29. Izračunaj obujam pravilne četverostrane piramide kojoj su zadani osnovni brid a i visina
je duga 35 cm, a osnovni brid je dug 24 cm.
v:
Izračunaj:
a) a = 15 cm, v =
a) površinu baze;
b) a = 3 2 cm, v = 6 cm; c) a = 2 3 mm, v = 3 mm.
b) površinu pobočja; c) oplošje piramide. 19. U pravilnoj četverostranoj piramidi osnovni
30. Izračunaj duljinu osnovnog brida pravilne četverostrane piramide ako su zadani obujam V
brid je označen s a, bočni brid s b, visina s v, a
i njena visina v:
visina pobočke s h. Izračunaj oplošje ako je:
a) V = 32 cm3, v = 6 cm;
a) a = 6 cm, b = 5 cm;
b) V = 180 cm3, v = 15 cm;
b) a = 16 cm, v = 15 cm;
c) V = 36 cm3, v = 4 cm.
c) b = 29 2 dm, v = 20 2 dm;
31. Izračunaj duljinu visine pravilne četverostrane
d) a = 22 mm, h = 60 mm; e) b = 25 m, h = 24 m;
piramide ako su zadani obujam V i duljina
f) v = 40 cm, h = 41 cm.
osnovnog brida a zadane piramide:
20. Izračunaj oplošje jednakobridne četverostrane
a) V = 63 cm3, a = 3 cm;
piramide s bridom:
b) V = 49 cm3, a =
a)
c) V = 128 cm3, a = 8 cm.
27 cm;
c) 4 3 dm.
b) 4 cm;
21. Baza pravilne četverostrane piramide je
7 cm;
32. Pravilna četverostrana piramida ima osnovni
kvadrat površine 64 dm2. Sve pobočke su
brid a, bočni brid b, visinu v, te visinu pobočke
jednakostranični trokuti. Koliko je oplošje te
h. Izračunaj njen obujam ako je zadano:
piramide?
a) a = 8 cm, h = 5 cm; b) v = 33 cm, h = 65 cm;
22. Baza pravilne četverostrane piramide je kvadrat,
c) a = 12 2 cm, b = 13 cm;
a pobočke su jednakostranični trokuti. Svaka pobočka ima površinu 16 3 m2. Koliko je
d) v = 9 mm, b = 41 mm. 33. Izračunaj obujam pravilne četverostrane
oplošje?
piramide ako je zadano:
23. Baza pravilne četverostrane piramide je kvadrat
a) B = 128 cm2, b = 17 cm;
površine 36 dm2, a visina piramide je 4 dm.
b) B = 900 dm2, h = 18 dm;
Koliko je njeno oplošje?
c) P = 60 cm2, a = 6 cm; d) P = 2320 dm2, h = 29 dm.
24. Baza pravilne četverostrane piramide je kvadrat površine 256 dm , a visina pobočke piramide je 2
17 dm. Koliko je njeno oplošje?
34. Izračunaj obujam pravilne četverostrane piramide ako je zadano oplošje i osnovni brid ili
25. Baza pravilne četverostrane piramide je kvadrat površine 196 dm2, a bočni brid iznosi 25 dm. Koliko je oplošje?
48 cm, a oplošje je 336 cm . Kolika je visina 2
piramide?
visina pobočke:
a) O = 3168 cm2, a = 22 cm; b) O = 1800 cm2, a = 18 cm;
26. Opseg baze pravilne četverostrane piramide je
174
2 cm;
c) O = 2352 cm2, h = 37 cm; d) O = 176.4 cm2, h = 53 mm.
Geometrijska tijela
6.11. Trostrana piramida Pokušaj nacrtati mrežu: a) pravilne trostrane piramide; b) trostrane piramide kojoj je baza raznostranični trokut; c) trostrane piramide kojoj je baza jednakokračni tupokutni trokut. Piramida kojoj je baza trokut se naziva trostrana piramida. Pravilna trostrana piramida je piramida kojoj je baza jednakostranični trokut i sve pobočke su sukladni jednakokračni trokuti.
Baza pravilne trostrane piramide se crta u kosoj projekciji kao i baza pravilne trostrane prizme, jer im je baza jednakostranični trokut. V
C
A
V′
V
C
B
A
V′
C
B A
V′
B
Prvo nacrtamo bazu u kosoj projekciji, to je trokut nacrtan na prvoj slici. Zatim nacrtamo dvije težišnice dobivenog trokuta. Težišnica je dužina koja spaja vrh trokuta s polovištem nasuprotne stranice. Težišnice se sijeku u točki koju zovemo težište, označimo je s V’. To je nožište visine piramide, tj. ortogonalna projekcija vrha piramide na ravninu baze. U točki V’ nacrtamo okomicu na dužinu AB - to je visina piramide. Izmjerimo duljinu visine i odredimo vrh piramide V. Na kraju spojimo vrh piramide s vrhovima baze.
175
6.11. Trostrana piramida Primjer 1. Mreža pravilne trostrane piramide
Rješenje: a) Mreže trostranih piramide se nalaze na
Na kojim slikama se nalazi mreža:
slikama br. 2, 3 i 5.
a) trostrane piramide;
b) Mreža pravilne trostrane piramide se nalazi 3 2 1
b) pravilne trostrane piramide?
na slici br. 2.
5 4
3
2
1
5 4
Primjer 2. Tetraedar
koja ima sve bridove jednakih duljina. Takva
Koja je razlika između ovih dviju piramida?
piramida se naziva tetraedar. To znači da su sve
strane
tetraedra
sukladni
jednakostranični trokuti.
tetraedar
Tetraedar je trostrana piramida koja ima sve
b
bridove jednakih duljina.
b a
a
a
a
a a
a a
Rješenje: Obje piramide su pravilne jer im je baza jednakostraničan trokut. To znamo jer su svi bridovi baze jednakih duljina.
“četiri strane”. Zato ponekad tetraedar može
jednake
označavati i bilo koju trostranu piramidu.
trsotrana
176
Napomenimo da tetraedar u prijevodu znači
Na drugoj slici su i duljine bočnih bridova osnovnima. piramida,
To tj.
je
jednakobridna
trostrana
piramida
Geometrijska tijela Primjer 3. Oplošje pravilne trostrane piramide Izračunaj:
b
a) Oplošje tetraedra s bridom duljine 6 cm;
b h
b) Oplošje pravilne trostrane piramide s osno vnim bridom dugim 24 cm i bočnim bridom du gim 13 cm.
a 2
Rješenje:
Pobočje se sastoji od tri jednakokračna trokuta
a) Oplošje je zbroj površina svih strana
s osnovicom 24 cm i krakom 13 cm. Površinu
piramide, a sve strane tetraedra su četiri sukladna jednakostranična trokuta.
jednakokračnog trokuta računamo po
a ⋅h pri 2
čemu je a duljina osnovice, a h visina pobočke
a2 3 O=4• = 36 3 cm2. 4
piramide.
2
a
b) Baza zadane prizme je jednakostranični trokut površine
h2 = b2 – = 132 – 122 = 25 2 h = 5 cm. P=3•
242 3 B= = 144 3 cm2. 4
24 ⋅ 5 a ⋅h =3• = 180 cm2. 2 2
O = B + P = 144 3 + 180 cm2.
Z a d a c i 1. Izračunaj oplošje ovih pravilnih trostranih piramida: a)
5. Izračunaj duljinu brida tetraedra ako mu je zadano oplošje:
b)
c)
a) 12 3 mm2; b) 3 m2; c) 6 cm2; d) 0.34 m2. 6. Izračunaj oplošje pravilne trostrane piramide s osnovnim bridom a i bočnim bridom b ako je: a) a = 6 cm, b = 6.5 cm; b) a = 6.5 cm, b = 6 cm; c) a = 0.26 m, b = 3.01 m;
2. Što je tetraedar? Kako ćeš izračunati oplošje
d) a =
3 dm, b = 4 3 dm.
tetraedra? 7. Baza piramide je jednakostranični trokut 3. Izračunaj oplošje tetraedra s osnovnim bridom dugim: a) 1 cm; b) 0.6 dm; c)
stranice 6 cm, a oplošje piramide je 27 3 cm2. Koliki je bočni brid piramide?
11 cm; d) 8 3 m. 8. Pobočke pravilne trostrane piramide su
4. Koliko papira ćemo potrošiti za izradu kutije
pravokutni trokuti. Izračunaj oplošje te
u obliku jednakobridne trostrane piramide s
piramide ako je duljina osnovnog brida:
bridom dugim 11.5 cm?
a) 4 cm; b) 3 2 dm; c) a.
177
6.11. Trostrana piramida Platonova tijela Platonova tijela ili pravilni poliedri su poliedri čije strane su sukladni pravilni mnogokuti, a svi kutovi među njegovim stranama su jednakih veličina. Postoji samo pet Platonovih tijela, to su: tetraedar:
kocka:
oktaedar:
dodekaedar:
ikosaedar:
178
Geometrijska tijela
Još prije starogrčkog matematičara i filozofa
Arhimedova tijela
Platona je bilo poznato da postoji samo pet
Osim pet Platonovih tijela, postoji i 14
pravilnih poliedara. Platon je svakome od njih
Arhimedovih tijela koja su omeđena pravilnim
pridružio po jedan element iz prirode i zato se
mnogokutima koji mogu imati različit broj
nazivaju Platonovim tijelima. On je tetraedru
stranica (dok strane su Platonovih tijela sve
pridružio element vatre, oktaedru element
sukladni mnogokuti). Arhimedova tijela se
zraka,
nazivaju i polupravilni poliedri. Jedno od njih
kocki
element
zemlje,
ikosaedru
element vode, a dodekaedar je smatrao
prepoznajemo u nogometnoj lopti.
slikom cijelog svijeta.
Primjer 4. Visina pravilne trostrane piramide Izračunaj visinu pravilne trostrane piramide s osnovnim bridom duljine 6 cm i bočnim bridom od 4 cm.
Pitamo se kolika je duljina druge katete. Može se pokazati da je točka V’ je težište baze. Težišnica trokuta je dužina koja spaja njegov vrh s polovištem nasuprotne stranice. Sve tri težišnice se sijeku u jednoj točki – težištu trokuta. Težište trokuta dijeli svaku težišnicu
4
u omjeru 2 : 1.
v
C Tetraedar
Rješenje:
6
B1
O = a2 3
V′
Neka je V’ ortogonalna projekcija vrha piramide na ravninu baze. Tada je dužina VV ' tražena
A
visina piramide. Primijetimo na skici pravokutan trokut s visinom kao jednom katetom i bočnim
A1
C1
B
v =
a 6 3
V =
a3 2 12
AV ' : V ' A1 = 2 : 1
bridom kao hipotenuzom. U
v
jednakostraničnom
trokutu
težišnica
se
podudara s visinom baze, pa je
b
AA1 =
a 3 6 3 = = 3 3 cm. 2 2
179
6.11. Trostrana piramida Tu dužinu podijelimo na tri dijela, a točka
v
b
V’ ta tri dijela dijeli u omjeru 2 : 1. Tada je AV ' =
2 2 AA1 = ⋅ 3 3 = 2 3 cm. 3 3
(
Sada primijenimo Pitagorin poučak na trokut
v2 = 42 – 2 3
istaknut na slici:
v = 2 cm.
)
2
= 16 – 12 = 4
Z a d a c i 9. Izračunaj visinu tetraedra kojem je brid veličine
12. Izračunaj visinu pravilne trostrane piramide ako je zadana visina pobočke h i duljina osnovnog
4 cm.
brida a:
10. Izračunaj visinu tetraedra kojem je brid dug: a) 18 cm; b) 3.4 cm; c)
a) a = 6 mm, h = 4 mm;
3 dm; d) 12 3 m.
b) h = 10.5 cm, a = 16 cm;
11. Izračunaj duljinu bočnog brida pravilne
3 cm.
c) a = 2 2 cm, h =
trostrane piramide ako njen osnovni brid a i
13. Izračunaj oplošje pravilne trostrane piramide
visina piramide v iznose: a) a = 5 mm, v = 5 mm;
ako je zadana visina pobočke h i visina
b) a = 2.4 cm, v = 7.5 cm;
piramide v:
c) a = 2 3 cm, v = 3 3 cm.
a) v = 6 dm, h = 10 dm; b) v = 23.5 cm, h = 70 cm; c) v =
27 dm, h =
72 dm.
V
Primjer 5. Obujam pravilne trostrane piramide
v
Koliko decilitara vode strane u tetraedar s
B1
bridom 3 dm?
V′
A
Rješenje:
B
2 2 3 3 BB1 = ⋅ = 3 dm. 3 3 2 2 2 v2 = VV ' = 32 – 3 = 9 – 3 = 6 BV ' =
( )
v=
6 dm.
Tetraedar
Sada računamo obujam: V= Traži se obujam tetraedra.
Obujam svih
1 piramida računamo po V = • B • v. Baza 3
1 9 3 1 •B•v= • • 4 3 3
6 =
3 18 3 9 ⋅ 2 3 ⋅ 3 2 9 2 dm3. = = = 4 4 4 4
tetraedra je jednakostraničan trokut površine B=
a
Sada
2
3
4
=
9 3 dm2. 4
treba
pronaći
Budući da se traži obujam vode visinu
tetraedra.
Nju
računamo postupkom prikazanim u prethodnom primjeru.
v=
a 6 3
V =
a3 2 12
koji stane u zadani tetraedar, pretvorimo zadanu vrijednost u decilitre. Za to će nam trebati približne vrijednosti obujma. V=
180
O = a2 3
9 2 ≈ 3.18 dm3 = 3.18 l = 31.8 dl. 4
Geometrijska tijela
Z a d a c i 14. Izračunaj oplošje i obujam tetraedra kojem je
19. Koristeći se rješenjem zadatka 18, izračunaj
zadana stranica duljine:
oplošje i obujam tetraedra sa slike:
a) 27 cm; b) 16 cm; c) 5.5 cm; d) a.
a)
15. Izračunaj obujam pravilne trostrane piramide kojoj je zadana duljina osnovnog brida a i visina v: a) a = 4 cm, v = 10 cm; b) a = 15.6 cm, v = 5.9 cm;
b)
c) a = 6 2 cm, v = 6 3 cm.
32.3 dm 12.9 m
16. Izračunaj obujam pravilne trostrane piramide kojoj je zadana duljina osnovnog brida a i bočnog brida b: c)
a) a = 24 cm, b = 20 cm; b) a = 7.2 m, b = 8.3 m; c) a = 5 2 dm, b = 15 dm.
2 3 cm
17. Izračunaj obujam pravilne trostrane piramide koja je zadana mrežom:
6 a)
20. Bočni bridovi pravilne trostrane piramide dugi
4.5
su 6 cm i s ravninom baze zatvaraju kut od
4
60º. Nacrtaj skicu, te izračunaj oplošje i obujam zadane piramide.
4 21. Bočni bridovi pravilne trostrane piramide s
6
ravninom4baze zatvaraju kut od 60º. Izračunaj
5.4
oplošje i obujam piramide ako je zadano:
4.5
4
a)
b)
9 cm b)
4
4.5
5.4 24 m
4
c) c)
4
5.4
2 3 cm
18. Izvedi formule za oplošje i obujam tetraedra sa stranicom duljine a.
181
6.12. Šesterostrana piramida
6.12. Šesterostrana piramida Pogledaj piramide na slici. Kako se zovu te piramide?
Na svakoj sljedećoj slici broj osnovnih bridova piramide se povećava. Kojem će geometrijskom tijelu sve više nalikovati piramide što je veći broj osnovnih bridova? Piramida kojoj je baza šesterokut se naziva šesterostrana piramida. Pravilna šesterostrana piramida je piramida kojoj je baza pravilni šesterokut i sve pobočke su sukladni jednakokračni trokuti. Upoznajmo pobliže kako se računaju oplošje i obujam pravilne šesterostrane piramide. Primijetimo pravokutne trokute na slici.
b
h
v
v
a
va a 2
2
2
b =v +a
2
h =v
2
2
+ va2
a 3 =v + 2 2
Baza pravilne šesterostrane piramide je pravilni šesterokut koji se može razdijeliti na šest sukladnih jednakostraničnih trokuta stranice a.
Mreža pravilne šesterostrane pravilne piramide
V'
a 1
a a
182
2
Geometrijska tijela
Primjer 1. Crtanje pravilne šesterostrane piramide u kosoj projekciji
U sjecištu okomica nacrtamo pravce pod kutom od 45°. Na tim pravcima odredimo točke F’, B’, C’ i E’ kao na slici tako da su duljine dužina
Zadana je pravilna šesterostrana piramida s
jednake polovici zadanih dužina
B 'F ' i C 'E '
osnovnim bridom a = 3 cm i visinom v = 5 cm.
BF i CE . Spajanjem točaka A, B’, C’, D, E’ i F’
Nacrtaj je u kosoj projekciji.
dobivamo pravilan šesterokut nacrtan u kosoj projekciji.
Rješenje:
F
Opet ćemo odabrati da je kut projiciranja 1 α = 45º i da je prikrata . 2
A
E
v
F'
E'
45°
45°
V'
F' A
D
E'
B
F' D
V' B'
C'
B'
Nacrtajmo pravilan šesterokut i tri okomite
V
A
C'
E' D
V' B'
C'
C
dijagonale kao na slici. Točka V’ je središte opisane
kružnice
i
ujedno
ortogonalna
Uklonimo
projekcija vrha piramide na ravninu baze. F
E
F
E
F
A
D
V'
B
45°
A
B
C
V'
45°
D
45°
A B'
C
45°
oplošje
pravilne
nastavimo
crtati
D
C' B
C
Primjer 2. Oplošje pravilne šesterostrane piramide Izračunaj
i
na dužinu AD i odredimo visinu i vrh piramide.
E' V'
crte
piramidu tako da u točki V’ nacrtamo okomicu
E F'
suvišne
šesterostrane
Pobočje pravilne šesterostrane piramide se sastoji
od
šest
sukladnih
jednakokračnih
trokuta pa je površina pobočja: a ⋅h , gdje je h visina pobočke te 2
piramide s osnovnim bridom a = 4 cm i bočnim
P = 6 •
bridom b = 5 cm.
piramide. Sada izračunamo visinu pobočke trokuta kao na
Rješenje:
slici:
Površinu baze označimo s B, a pobočje s P. Tada
b
je oplošje piramide O = B + P.
h
Baza pravilne šesterostrane piramide je pravilni
a
šesterokut koji se može razdijeliti na šest (karakterističnih) sukladnih jednakostraničnih
2
2
a
trokuta sa stranicom a = 4 cm. Stoga je površina
h2 = b2 – = 25 – 4 = 21 2
baze:
h=
B = 6⋅ a
2
4
3
= 6⋅
2
4
4
3
2 = 24 3 cm .
21 cm.
Stoga je P = 6 •
4 ⋅ 21 a ⋅h =6• = 12 21 cm2. 2 2
Izračunajmo oplošje:
O = B + P = 24 3 + 12 21 cm2. Oplošje približno iznosi O ≈ 96.56 cm2.
183
6.12. Šesterostrana piramida
Z a d a c i a) a = 12 cm, b = 8 cm;
1. Visina pobočke pravilne šesterostrane piramide je duga 12 cm, a osnovni brid je dug 10 cm.
b) a = 6 cm, v = 3 cm;
Izračunaj:
c) b = 50 cm, v = 40 cm;
a) površinu baze;
d) a = 12 dm, h = 12.2 dm;
b) površinu pobočja;
e) b = 34.3 m, h = 30 m;
c) oplošje piramide.
f) v = 14 cm, h = 2 dm.
2. Nacrtaj mrežu pravilne šesterostrane piramide
5. Baza piramide je pravilni šesterokut površine
osnovnog brida 6 cm i bočnog brida 5 cm.
36 3 dm2, bočni bridovi su dugi 10 dm. Koliko
Koliko je oplošje te piramide?
je oplošje te piramide?
3. Izračunaj oplošje pravilne šesterostrane
6. Baza piramide je pravilni šesterokut površine
piramide s visinom 12 cm i bridom:
90 3 dm2, a visina piramide je 6 cm. Koliko je
a) 6 cm;
oplošje?
b) 0.3 cm;
7. Baza piramide je pravilni šesterokut površine
c) 3 3 dm;
90 3 dm2, a visina pobočke piramide je 5 dm.
d) a.
Koliko je oplošje?
4. U pravilnoj šesterostranoj piramidi osnovni brid je označen s a, bočni s b, visina s v, a visina
8. Baza piramide je pravilni šesterokut površine 90
3 dm2, a bočni brid je 6 cm. Koliko je oplošje?
pobočke s h. Izračunaj oplošje ako je:
Primjer 3. Obujam šesterostrane pravilne piramide Izračunaj
obujam
pravilne
b
šesterostrane
v
piramide iz primjera 3.
a
Rješenje: Obujam piramide je V =
1 B • v, gdje je B 3
v2 = b2 – a2 = 25 – 16 = 9
površina baze, a v visina piramide. Površinu
v = 3 cm.
baze smo izračunali u primjeru 3.
Sada izračunajmo obujam zadane piramide:
B = 24 3 cm .
V=
2
Visinu ćemo naći primjenom Pitagorinog poučka
1 1 B • v = • 24 3 • 3 = 24 3 cm3. 3 3
na pravokutni trokut sa slike.
Z a d a c i 9. Izračunaj obujam pravilne šesterostrane
184
10. Izračunaj oplošje i obujam pravilne
piramide ako su zadane duljine osnovnog brida
šesterostrane piramide ako su zadane duljine
a i visina piramide v:
osnovnog brida a i bočnog brida b:
a) a = 12 dm, v = 24 dm;
a) a = 6 dm, b = 9 dm;
b) a = 0.3 m, v = 2.1 m;
b) a = 2.5 m, b = 3 m;
c) a = 4 2 cm, v =
c) a =
2 cm.
3 cm, b = 3 cm.
Geometrijska tijela c) a = 2 cm i b = 3 cm;
11. Izračunaj obujam pravilne šesterostrane piramide kojoj površina baze iznosi 12 3 cm ,
d) a = 10 m i b = 13 m;
a površina pobočja 15 3 cm2.
e) b = 10 cm i v = 6 cm;
2
12. Izračunaj obujam pravilne šesterostrane piramide kojoj oplošje iznosi 192 3 dm2, a površina pobočja 130 3 dm2.
f) v = 9 dm i a = 4 dm. 15. Izračunaj obujam i oplošje pravilne šesterostrane piramide kojoj je zadan opseg
13. Majini roditelji odlučili su napraviti stakleni zimski vrt u obliku šesterostrane prizme, s krovom u obliku šesterostrane piramide. Izračunaj koliko je stakla potrebno za zidove i krov tog zimskog vrta ako je osnovni brid 1.5 m, visina zidova 2 m, a visina krova 1 m? Na
baze. a) o = 36 dm, v = 4 dm; b) o = 125 mm, v = 20 mm; c) o = 18 dm, b = 17 cm; d) o = 70 m, v = 10 m. 16. Izračunaj oplošje i obujam pravilne
svim bridovima nalazit će se metalni nosači.
šesterostrane piramide kojoj je zadana površina
Kolika je ukupna duljina tih metalnih dijelova?
baze i visina. a) B = 6 3 dm2, v = 4 cm;
14. Izračunaj oplošje i obujam pravilne šesterostrane piramide kojoj je zadano:
b) B = 24 3 m2, v = 5 m; c) B = 96 3 cm2, v = 9 cm;
a) b = 24 cm i h = 16 2 cm;
d) B = 150 3 mm2, v = 10 mm;
b) v = 3 3 dm i h = 5 3 dm;
Vježb lica a
1. Izračunaj oplošje tetraedra s osnovnim bridom dugim:
b) O =
405 3 + 81 5 m2, h = 6 cm; 4
a) 4 cm; b) 4 3 cm; c) 6 m. 2. Izračunaj duljinu brida tetraedra ako mu je zadano oplošje: a) 64 3 mm2;
b) 108 3 m2;
c) 108 cm2.
3. Izračunaj oplošje pravilne trostrane piramide s osnovnim bridom a i bočnim bridom b ako je: a) a = 4 cm, b = 2.9 cm; b) a = 18 cm, b = 41 cm; c) a = 6 3 dm, b = 2 13 dm. 4. Izračunaj duljinu brida pravilne trostrane piramide ako je zadano oplošje i duljina visine pobočke: a) O = 36 3 + 90 cm2, h = 5 cm;
c) O = 16 3 +108 cm2, h = 9 cm. 5. Baza trostrane piramide je jednakostranični trokut. Koliki su brid tog trokuta i oplošje piramide ako je bočni brid piramide 61 mm, a duljina visine pobočke te piramide iznosi 60 mm? 6. Pobočke pravilne trostrane piramide su pravokutni trokuti. Izračunaj oplošje te piramide ako je duljina osnovnog brida: a) 10 cm;
b) 2 2 dm.
7. Izračunaj visinu tetraedra kojem je brid dug: a) 6 cm; b) 2 3 cm; c) 2 5 m.
185
6.12. Šesterostrana piramida 8. Izračunaj duljinu bočnog brida pravilne
16. U pravilnoj šesterostranoj piramidi osnovni brid
trostrane piramide ako njen osnovni brid a i
je označen s a, bočni s b, visina s v, a visina
visina piramide v iznose:
pobočke s h. Izračunaj oplošje ako je:
a) a = 9 cm, v = 6 cm;
a) a = 40 cm, b = 29 cm;
b) a = 11 3 cm, v = 60 cm;
b) a = 8 cm, v = 15 cm; c) b = 43 cm, v = 4 cm;
c) a = 3 3 cm, v = 4cm. 9. Izračunaj visinu pravilne trostrane piramide ako je zadana visina pobočke h i duljina osnovnog brida a: a) a = 14 3 cm, h = 25 cm; b) h = 5 cm, a = 8 3 cm; c) a = 6 cm, h = 2 2 cm.
d) a = 2 3 dm, h = 7 dm; e) b = 2 7 m, h = 5 m; f) v =12 dm, h = 13 dm. 17. Baza piramide je pravilni šesterokut površine 1350 3 dm2, bočni bridovi su dugi 17 dm. Koliko je oplošje te piramide?
10. Izračunaj oplošje pravilne trostrane piramide ako je zadana visina pobočke h i visina piramide v:
18. Baza piramide je pravilni šesterokut površine 216 3 dm2, a visina piramide je 2 11 dm. Koliko je oplošje?
a) v = 4.5 dm, h = 5.3 dm; b) v = 15 cm, h = 17 cm; c) v = 5 2 dm, h = 13 2 dm.
19. Baza piramide je pravilni šesterokut površine 72 3 dm2, a visina pobočke piramide je 6 dm. Koliko je oplošje?
11. Izračunaj oplošje i obujam tetraedra kojem je zadana stranica duljine: a) 9 cm;
b) 18 cm;
c) 5.7 cm.
20. Baza piramide je pravilni šesterokut površine 54 3 dm2, a bočni brid piramide je 5 dm. Koliko je oplošje?
12. Izračunaj obujam pravilne trostrane piramide kojoj je zadana duljina osnovnog brida a i
24 m2, a njeno oplošje 48 + 24 3 m2. Kolika je
visina v: a) a = 4 cm, v =
3 cm;
b) a = 15 cm, v = 5 cm; c) a = 3 2 cm, v = 7 3 cm. 13. Izračunaj obujam pravilne trostrane piramide
visina piramide? 22. Izračunaj obujam pravilne šesterostrane piramide ako su zadane duljine osnovnog brida a i visina piramide v:
kojoj je zadana duljina osnovnog brida a i
a) a = 16 dm, v = 6 dm;
bočnog brida b: a) a = 12 3 cm, b = 37 cm; b) a = 7 3 m, b = 25 m;
b) a = 0.4 m, v = 2.3 m;
c) a = 2 3 dm, b = 2 2 dm. 14. Visina pobočke pravilne šesterostrane piramide je duga 60 cm, a osnovni brid je dug 22 cm. Izračunaj: a) površinu baze; b) površinu pobočja; c) oplošje piramide. 15. Izračunaj oplošje pravilne šesterostrane piramide s visinom pobočke 10 cm i osnovnim bridom: a) 4 3 cm; b)
12 cm;
c) 8 dm.
186
21. Opseg baze pravilne šesterostrane piramide je
c) a = 3 2 cm, v = 3 2 cm. 23. Izračunaj oplošje i obujam pravilne šesterostrane piramide ako su zadane duljine osnovnog brida a i bočnog brida b: a) a = 6 dm, b = 10 dm; b) a = 2 3 m, b = 4 m; c) a = 4 3 cm, b = 4 13 cm. 24. Izračunaj obujam pravilne šesterostrane piramide kojoj površina baze iznosi 54 3 cm2, a površina pobočja 90 3 cm2. 25. Izračunaj obujam pravilne šesterostrane piramide kojoj oplošje iznosi 4.5 3 dm2, a površina pobočja 6 3 dm2.
Geometrijska tijela
6.13. Valjak Pogledaj slike. Gdje primjećuješ valjak?
Gdje još u svakodnevnom životu susrećeš valjak? Nabroji bar osam primjera. Prisjetimo se prizmi: trostrane, četverostrane, peterostrane, šesterostrane itd. Primjećujemo da što je broj osnovnih bridova veći, to će prizma sve više podsjećati na valjak.
No, valjak nije uglato, već je oblo geometrijsko tijelo. On je omeđen dvama sukladnim krugovima koji leže u usporednim ravninama i dijelom zakrivljene plohe kao na slici.
plašt
baze
baze valjka plašt valjka Krugove nazivamo baze valjka, a zakrivljenu plohu nazivamo plašt valjka.
187
6.13. Valjak Iako valjak može biti uspravan ili kosi, promatrat ćemo samo uspravan valjak. U
visina
uspravnom valjku dužina koja spaja središta dviju baza naziva se visina valjka.
valjka
V
v
v - visina valjka
V'
Primjer 1. Crtanje valjka u kosoj projekciji
Zatim povučemo nekoliko okomica na taj promjer
Zadan je valjak s polumjerom baze r = 2 cm i visinom v = 5 cm. Nacrtaj ga u kosoj projekciji.
Rješenje: Opet ćemo odabrati da je prikrata
kao na slici.
svakoj
odredimo
polovicu
ćemo dobiti krivulju koja se zove elipsa.
B
V'
1 . 2
Nacrtamo krug i njegov horizontalni promjer
na
udaljenosti od polumjera do kružnice. Tako
A
Treba nacrtati bazu valjka u kosoj projekciji.
i
A
B
V'
Okomito na ravninu baze nacrtamo visinu - ona povezuje središta gornje i donje baze valjka. Zatim nacrtamo gornju bazu na isti način kao i donju.
A
V'
B
A
V'
B
A
188
V
V
V
v
v
v
V'
B
A
V'
B
A
V'
B
Geometrijska tijela Primjer 2. Mreža valjka Možeš li zamisliti od kojih likova se sastoji
r
mreža valjka? Skiciraj je.
Rješenje: Baze valjka su dva sukladna kruga polumjera r.
v
Na kružnici baze valjka istaknemo jednu točku i njome povučemo visinu valjka. Ta se dužina naziva izvodnica valjka. Po njoj razrežemo plašt.
2r
Razvijemo li taj plašt u ravninu, dobit ćemo pravokutnik visine v i duljine jednake opsegu baze (kruga). Dakle, plašt valjka se može razviti u pravokutnik sa stranicama duljina v i 2rπ.
Primjer 3. Oplošje valjka
Stoga je oplošje:
Koliko lima je potrebno za izradu limenke u
O = 2B + P = 2 • 16π + 80π = 32π + 80π =
obliku valjka promjera baze 8 cm i visine 10 cm?
112π cm2. Za izradu limenku potrebno je 112π ≈ 351.68 cm2 lima.
Rješenje: Da bismo izračunali potrebnu količinu lima, trebamo izračunati oplošje zadane limenke. Oplošje valjka je zbroj površina svih ploha što omeđuju taj valjak. Oplošje
valjka
računamo
po
formuli:
O = 2B + P, pri čemu je B površina baze, a P površina plašta valjka.
Oplošje valjka: B = r2π P = 2rπ • v O = 2B + P O = 2r2π + 2rπv = 2rπ (r + v)
r
Baza valjka je krug promjera 8 cm, pa je pripadni polumjer 4 cm. Površina baze: B = r2π = 16π cm2. Plašt valjka razvijen u ravninu je pravokutnik
2r
v
visine v = 10 cm i duljine koja je jednaka opsegu baze 2rπ = 2 • 4 • π = 8π cm. Površinu plašta računamo kao površinu pravokutnika. P = v • 2rπ = 10 • 8π = 80π cm2.
189
6.13. Valjak
Z a d a c i 1. Izračunaj oplošje valjka kojemu su zadani
c) Kolike su površine plašteva tih valjaka?
polumjer baze i visina.
d) Kolika su oplošja tih valjaka?
a) r = 5 cm, v = 6 cm;
e) Što je kod tih valjaka jednako, a što različito?
b) r = 2 cm, v = 5 cm; c) r = 3.8 dm, v = 4.2 dm.
4. Opseg baze valjka je 10π cm, a duljina visine 7 cm. Kolika je površina plašta i oplošje tog
2.
Izračunaj potrebnu količinu (površinu) papira
valjka?
za izradu ukrasne kutijice u obliku valjka visine 10 cm i promjera baze:
5. Površina plašta valjka je 96π cm, a duljina
a) 15 cm; b) 10 cm; c) 5 cm.
visine 8 cm. Kolika je površina baze i oplošje
Koje od tih kutijica bismo mogli napraviti iz
tog valjka?
papira formata A4 (21 cm x 29.7 cm)? 6. Plašt valjka je kvadrat sa stranicom 10 cm. 3. Uzmi papir formata A4 (21 cm x 29.7 cm) i
a) Kolika je visina tog valjka?
savini ga u oblik valjka.
b) Koliki je polumjer baze?
a) Koliko različitih valjaka možeš dobiti
c) Koliko je njegovo oplošje?
savijanjem tog papira, tako da se rubovi papira dodiruju, a ne preklapaju? b) Koliki su polumjeri i površine baza tih valjaka?
Primjer 4. Obujam valjka
V = B • v.
Izračunaj obujam valjka iz prethodnog primjera.
Površinu baze smo izračunali u prethodnom primjeru: B = r2π = 16π cm2.
Rješenje: Kako
do
valjka
dolazimo
povećavanjem
stranica baze pravilne prizme, primjećujemo usku vezu između prizmi i valjka. Primjerice, i prizme i valjak imaju dvije baze. Zbog tih sličnosti se može pokazati da za prizmu i valjak vrijede iste formule za oplošje i obujam. Stoga obujam valjka računamo po formuli
190
Obujam limenke je V = B • v = 16π • 10 = 160π cm3. To je približno ≈ 502.4 cm3 = 0.5024 dm3 ≈ 0.5 l.
Geometrijska tijela
Z a d a c i 7. Izračunaj obujam valjka kojemu su zadani polumjer baze i visina:
16. Izračunaj masu željezne žice promjera 2 cm i duge 12 m. Gustoća željeza je 7.9 g/cm3.
a) r = 4 cm, v = 4 cm; b) r = 2.5 dm, v = 5.2 dm; c) r = 3.1 m, v = 1.2 m.
17. Tekućinu je potrebno preliti iz posude oblika kocke s bridom 10 cm u posudu oblika valjka.
8. Spremnik za vodu je oblika valjka promjera 3.6 m i visine 90 cm. Koliko vode je potrebno
Kolike bi trebale biti dimenzije posude u obliku valjka da bi u nju stala ista količina tekućine?
da se taj spremnik napuni do vrha? Koliko treba platiti tu količinu vode ako cijena za 1m3 iznosi 12.07 kn?
18. Iz drvene kocke visine 15 cm izrezan je valjak maksimalnog promjera i visine. a) Koliki su polumjer baze i visina tog valjka?
9. Oglasni stup je oblika valjka. Izračunaj površinu
b) Koliki je obujam kocke i obujam valjka?
na koju se mogu staviti plakati ako je opseg
c) Koliko materijala otpada pri izrezivanju?
stupa 4 m, a visina također 4 m.
d) Koliki je postotak otpada?
10. Koliko vode se može uliti u posudu oblika:
19. Iz drvenog valjka visine 15 cm i polumjera baze
a) valjka promjera baze 1 dm i visine 2 dm;
4 cm izrezan je kvadar čija je baza kvadrat
b) kvadra visine 2 dm, baza kvadrat sa
maksimalnih dimenzija.
stranicom 1 dm;
a) Kolike su dimenzije tog kvadra?
U koju od tih posuda stane više vode? Jesmo li
b) Koliki je obujam kvadra i obujam valjka?
to mogli zaključiti i bez računanja? Kako?
c) Koliko materijala otpada pri izrezivanju? d) Koliki je postotak otpada?
11. Opseg baze valjka je 25.12 cm, a njegova visina 7.5 cm. Izračunaj oplošje i obujam.
20. Valjak za asfalt širok 2.5 m u 1 km napravi 200 okretaja. Izračunaj njegov promjer.
12. U lonac oblika valjka promjera 30 cm stane litra vode. Koliko je visok taj lonac?
21. Drvena građa proizvodi se u obliku kvadra visine 4 m, s bazom u obliku kvadrata sa
13. Potrebno je napraviti limenu posudu (odozgo
stranicom 2 dm i obliku valjka s promjerom
otvorenu) oblika valjka kojemu je promjer baze
baze 2 dm i visinom 4 m. Od te građe izrezuje
jednak visini. Koliko je materijala potrebno
se pravilna šesterostrana prizma maksimalnih
za izradu takve posude i koliki će biti njen
dimenzija.
obujam?
a) Kakve su dimenzije prizme ako je izrezujemo
Visina posude treba biti:
iz kvadra, a kakve ako je izrezujemo iz valjka?
a) 1 dm; b) 2 dm.
b) Ima li više otpada pri izrezivanju iz kvadra ili iz valjka?
14. Površina baze valjka je 200.96 dm2, a njegov obujam 1809.64 dm3. Koliko je njegovo oplošje?
22. Cijev oblika valjka ima promjer 80 cm i debljinu stjenke 10 mm. Ona je duga 4 km. Izračunaj masu željeza (u tonama) koja je potrebna za
15. Za pospremanje žitarica potrebno je izgraditi
izradu te cijevi. Gustoća željeza je 7.9 g/cm3.
silose oblika valjka. U jedan silos treba pospremiti 600 m3 pšenice. Kolika treba biti visina silosa ako mu je polumjer baze: a) 3 m; b) 4 m?
191
6.13. Valjak Primjer 5. Valjak kao rotacijsko tijelo
a)
Koje
geometrijsko
tijelo
opisuje
trag
pravokutnika prilikom te rotacije? b) Koliko je oplošje tog tijela?
Pravokutnik sa stranicama dugim 2 cm i 4 cm rotira oko stranice AD kako je prikazano na
c) Koliki je obujam tog tijela?
slici.
Rješenje: a)
Geometrijsko
tijelo
nastalo
rotacijom
pravokutnika oko njegove stranice je uspravni
C
D
valjak. Zato kažemo da je uspravni valjak rotacijsko tijelo. b) Ako pravokutnik sa stranicama a i b rotira oko svoje stranice b kao na gornjoj slici, valjak koji nastaje tom rotacijom ima polumjer baze a i visinu b. Stoga računamo oplošje: O = 2B + P = 2a2π + 2aπb = 2 • 4π + 2 • 2 • 4π = 8π + 16π = 24π m2. c) V = B • v = a2π • b = 4π • 4 = 16π m3.
B
A
Z a d a c i
6 cm
6 cm
23. Odredi polumjer baze i visinu valjka dobivenog rotacijom pravokutnika oko crvene osi. a)
b)
2 cm
1 cm 1 cm
4 cm
a)
4 cm
b)
2 cm
c)
1.5 cm c)
12 cm 1.2 cm
6 cm 3 cm
d)
1.2 cm
d)
24. Izračunaj oplošje i obujam valjaka iz 1 cm
6 cm
a)
a)
2 cm
b) d)
2 cm
4 cm 3 cm
3 cm
b)
4 cm
prethodnog zadatka.
25. Kolike su dimenzije pravokutnika čija rotacija c) 12 cm opisuje valjak promjera baze 16 cm i visine 6 cm?
11.2 cmcm c)
192d)
3 cm
1.5 cm
26. Izračunaj obujam i oplošje valjka nastalog 12 cm rotacijom kvadrata sa stranicom 8 cm oko jedne njegove stranice.
1.2 cm
1.5 cm
12 cm
Geometrijska tijela 27. Sok se prodaje u dva pakiranja u obliku valjka.
31. Koliko kvadratnih centimetara lima je potrebno
Pakiranje A ima promjer baze 6 cm i visinu
za izradu konzerve promjera d i obujma V, ako
4 cm, a pakiranje B ima promjer baze 4 cm i
se zna da od komada lima nakon rezanja ostane
visinu 6 cm.
škarta 15%:
a) U kojem pakiranju ima više soka?
a) d = 4 cm, V = 0.5 l;
b) Koje pakiranje je povoljnije ako je cijena soka
b) d = 10 cm, V = 1 l;
u pakiranju A 6 kn, a soka u pakiranju B 4 kn?
c) d = 15 cm, V = 1 l?
28. Na slikama je zadan osni presjek valjka.
32. Papir formata A4 (21 cm x 29.7 cm) se može na
Izračunaj oplošje i obujam tih valjaka.
dva načina presavinuti tako da čini plašt valjka. Izračunaj obujme oba moguća dobivena valjka.
6 cm
33. U tvornici se analiziraju pakiranja različitih 2 cm
8 cm
oblika za 1 l soka. Uspoređuju se pakiranja traženog obujma u obliku valjka, pravilne
4 cm a)
četverostrane prizme i pravilne šesterostrane b)
29. Izračunaj oplošje i obujam valjka kojemu je
prizme. a) Ako je zadano da visina pakiranja mora
osni presjek kvadrat sa stranicom 15 cm.
biti 20 cm, odredi kolike trebaju biti ostale
Valjak kojemu je visina jednaka promjeru baze
dimenzije pakiranja.
nazivamo jednakostranični valjak.
b) Kod kojeg pakiranja je potrebno potrošiti
30. Izračunaj oplošje i obujam valjka kojemu je osni presjek pravokutnik površine 32 dm2. Visina valjka je dvostruko veća od promjera njegove baze.
najmanje materijala za izradu? c) Koje pakiranje će biti najjeftinije ako je cijena 1 m2 folije 5.50 kn, a potrebno je dodati 3% površine za spajanje?
6.14. Stožac Dva pitanja Odgovori: - Po čemu su slični stožac i valjak, a po čemu različiti?
193
6.14. Stožac - Po čemu su slični stožac i piramida, a po čemu različiti? Prisjetit ćemo se gradiva o piramidama: trostrane, četverostrane, peterostrane, šesterostrane itd. Primjećujemo da što je broj osnovnih bridova veći, to će piramida sve više podsjećati na stožac.
No, stožac ipak nije uglato, već oblo geometrijsko tijelo. On je omeđen krugom i dijelom zakrivljene plohe kao na slici.
V vrh plašt
baza stošca plašt stošca
baza Krug je baza stošca, a zakrivljenu plohu nazivamo plašt stošca. Iako stožac može biti uspravan ili kosi, promatrat ćemo samo uspravan stožac. U uspravnom stošcu dužina koja spaja vrh stošca sa središtem baze naziva se visina stošca.
V
visina stošca
v - visina v
V′ Dužinu koja spaja vrh s bilo kojom točkom na kružnici baze nazivamo izvodnica stošca. Primijetimo pravokutni trokut određen izvodnicom, visinom i polumjerom V baze.
s - izvodnica izvodnica
v
stošca V′
194
Geometrijska tijela Primjer 1. Crtanje stošca u kosoj projekciji
V
Zadan je stožac s polumjerom baze r = 2 cm i
v
visinom v = 5 cm. Nacrtaj ga u kosoj projekciji.
Rješenje:
A
V'
B
A
V'
B
Kosu projekciju baze stošca crtamo na isti način kao i bazu valjka, jer su obje baze krugovi.
Središte baze ujedno je i ortogonalna projekcija vrha stošca na ravninu baze. Nacrtamo visinu iz središta kružnice, okomito na ravninu baze.
Primjer 2. Duljina izvodnice
Pogledajmo pravokutan trokut istaknut na slici
Odredi duljinu izvodnice stošca kojemu je
stošca. Katete tog pravokutnog trokuta su r -
polumjer baze 3 cm, a visina 4 cm.
polumjer baze i v - visina stošca. Hipotenuza je s - izvodnica. Prema Pitagorinom poučku zaključujemo da vrijedi:
Rješenje:
s2 = r 2 + v 2
s2 = r 2 + v 2 .
s - izvodnica v
Izračunajmo traženu izvodnicu: s 2 = r 2 + v 2 = 32 + 42 = 25 s = 25 = 5 cm.
r
Primjer 3. Mreža stošca Razrežemo li stožac po jednoj izvodnici i razmotamo u ravninu, dobit ćemo mrežu stošca. Koji oblik ima plašt stošca?
Rješenje: Mreža stošca uvijek se sastoji baze i plašta. Baza stošca je krug polumjera r. Plašt stošca razvijen u ravninu je kružni isječak polumjera s, a duljina pripadnog kružnog luka jednaka je opsegu baze stošca: l = 2rπ.
Primjerice, r = 1.5 cm, s = 4.6 cm.
Primjerice, r = 1.5 cm; s = 4.6 cm
195
6.14. Stožac Primjer 4. Oplošje stošca
Prisjetimo
Izračunaj oplošje stošca kojem je polumjer
polumjera r i duljine kružnog luka l računa se
baze 2 cm, a izvodnica je duga 5 cm.
po P = l ⋅ r . U plaštu stošca polumjer je s, a
se,
površina
kružnog
isječka
2
duljina kružnog luka l = 2rπ.
Rješenje: Oplošje stošca je zbroj površina svih ploha što
Dakle, površinu plašta stošca računamo po: 2r π ⋅ s P = = rπ s
omeđuju taj stožac. Tada je oplošje stošca O =
P = rπs = 2π • 5 = 10π cm2.
B + P, pri čemu je B površina baze, a P površina
Stoga je oplošje zadanog stošca
plašta stošca.
O = B + P = 4π + 10π=14π cm2.
Baza
stošca
je
krug
polumjera
2 cm
2
pa
računamo:
Oplošje stošca:
B = r2π = 4π cm2.
B = r2π
Plašt stošca razvijen u ravninu je kružni isječak
P = rπs
polumjera s, a duljina pripadnog kružnog luka
O=B+P
jednaka je opsegu baze stošca: l = 2rπ.
O = r 2π + r π s = r π (r + s ) .
V
r
s
Z a d a c i 1. Koliko šarenog papira treba za novogodišnju kapu u obliku stošca s izvodnicom duljine 40 cm i polumjerom baze 8 cm?
izmjerio opseg glave 45 cm. Kapa treba biti visoka 50 cm.
2. Kolika je površina tijesta potrebnog za izradu korneta oblika stošca s izvodnicom duljine 10 cm i polumjerom baze 3 cm?
a) Koliko papira mu je potrebno za takvu kapu?
3. Izračunaj oplošje stošca kojemu je zadana izvodnica i polumjer baze: a) s = 5 cm, r = 4 cm; b) s = 10 cm, r = 5 cm; c) s = 15 cm, r = 3.5 cm; d) s = 11.7 dm, r = 4.6 dm.
A2(59.4x42 cm). Koji format papira je dovoljno
4. Izračunaj oplošje stošca kojemu je zadana visina i polumjer baze. a) r = 5 cm, v = 12 cm; b) r = 1.5 cm, v = 2 cm; c) r = 40 m, v = 30 m; d) r = 7.5 cm, v = 12 cm. 5. Koliko materijala je potrebno za izradu limenog krova oblika stošca s polumjerom baze 2.5 m i visinom 4 m?
196
6. Luka želi izraditi kapu za svoju glavu, pa je
b) Papiri su dostupni u standardnim formatima A4(21x29.7 cm), A3(42x29.7 cm), velik za Lukinu kapu? 7. Toranj dvorca oblika valjka ima opseg 24 m. Krov tornja ima oblik stošca visine 6.5 m. Krov treba prekriti crjepovima. Koliko je crjepova potrebno ako računamo da je za 1 m2 potrebno 40 crjepova? Koliko treba platiti popravak krova ako je cijena jednog crijepa 2.5 kn, trošak majstora je 2500 kn, a potrebo je uzeti 2% crjepova više zbog mogućih oštećenja?
Geometrijska tijela Primjer 5. Obujam stošca Izračunaj
obujam
stošca
iz
Površinu baze smo izračunali u prethodnom prethodnog
primjeru: B = r2π = 4π cm2.
primjera.
Da bismo mogli računati obujam najprije trebamo odrediti visinu stošca.
Rješenje: Kako
do
stošca
dolazimo
povećavanjem
stranica baze pravilne piramide, primjećujemo usku vezu između piramida i stošca. Primjerice, i piramide i stožac imaju jednu bazu. Zbog tih sličnosti se može pokazati da za piramidu
v 2 = s 2 − r 2 = 52 – 22 = 25 – 4 = 21
v=
21 .
Obujam stošca je V= .
1 1 B • v = • 4π 3 3
i stožac vrijede iste formule za obujam. Stoga
21 =
4 21π ≈ 19.19 cm3 3
Obujam stošca:
obujam stošca računamo po
1 B ⋅v 3 1 V = r 2π v 3 V =
1 V = B ⋅v . 3
Zadano je: r = 2 cm, s = 5 cm.
Z a d a c i 8. Izračunaj obujam stošca kojemu je zadana
14. Zadana su dva stošca: prvi s polumjerom baze
visina i polumjer baze:
duljine a i visinom duljine b, te drugi stožac s
a) r = 5 cm, v = 12 cm; b) r = 1.5 cm, v = 2 cm;
polumjerom baze duljine b i visinom duljine a.
c) r = 40 m, v = 30 dm;
Koji stožac ima veći obujam ako je a > b?
d) r = 7.5 cm, v = 12 cm. 9. Izračunaj obujam stošca kojemu je zadana
15. a) Koliko puta će se povećati obujam stošca ako mu dvostruko povećamo visinu?
izvodnica i polumjer baze:
b) Koliko puta će se povećati obujam stošca ako
a) s = 5 cm, r = 4 cm; b) s = 10 cm, r = 6 cm;
mu dvostruko povećamo polumjer baze?
c) s = 15 cm, r = 3.5 cm; d) s = 11.7 dm, r = 4.6 dm. 10. Izračunaj oplošje i obujam stošca: a) s = 15 cm, r = 12 cm; b) s = 13 cm, r = 5 cm; c) v = 1 dm, r = 3.5 cm; d) v = 17 cm, s = 6 dm. 11. Količina od 600 m3 šljunka prosuta je na gomilu
16. Čaša za šampanjac ima oblik stošca. Kolika tre ba biti visina čaše (bez stalka) da bi u nju stalo 2 dl tekućine, ako je promjer gornjeg ruba: a) 8 cm; b) 10 cm? 17. Čaša za šampanjac visoka 10 cm (bez stalka) ima oblik stošca promjera gornjeg ruba 7.6 cm i treba je napuniti šampanjcem do
koja je poprimila oblik stošca. Koliku površinu
polovice svojeg obujma.
na tlu prekriva ovaj šljunak ako joj je visina
a) Do koje visine (u cm) pritom moramo
5.2 m?
napuniti čašu?
12. Pehar ima oblik stošca, visok je 2.4 dm, a u
b) Konobar toči uvijek 3 mm ispod te visine.
njega stane 1.24 l tekućine. Koliki je promjer
Koliko posto šampanjca pritom konobar
njegovog gornjeg ruba?
“uštedi”?
13. Koliko pijeska ima na hrpi oblika stošca ako
18. Kružni isječak polumjera 8 cm presavinemo
je ta hrpa visoka 8.4 m, a na tlu prekriva krug
u plašt stošca. Izračunaj oplošje i obujam
površine 50 m2?
tog stošca ako je središnji kut mreže plašta u ravnini:
1 litra = 1 dm
3
a) 90º; b) 120º; c) 180º; d) 270º.
197
6.14. Stožac 19. U tvornici analiziraju pakiranja različitih oblika
b) Kod kojeg pakiranja je potrebno potrošiti
za 1 l soka. Uspoređuju pakiranja traženog
najmanje materijala za izradu?
obujma u obliku stošca, pravilne četverostrane
c) Koje pakiranje će biti najjeftinije ako je cijena
piramide i pravilne trostrane piramide.
1 m2 folije 5.50 kn, a potrebno je dodati 3%
a) Ako je zadano da visina pakiranja mora
površine za spajanje?
biti 20 cm odredi kolike trebaju biti ostale dimenzije pakiranja.
Primjer 6. Stožac kao rotacijsko tijelo Pravokutni trokut s katetama b = 5 cm i a = 2 cm, rotira oko svoje katete b kako je prikazano na slici.
b) Ako pravokutni trokut s katetama a i b rotira oko svoje visine b kao na gornjoj slici, stožac b
koji nastaje tom rotacijom ima polumjer baze a i visinu b. r = a = 2 cm, v = b = 5 cm. Izračunajmo najprije duljinu izvodnice:
a
a)
Koje
geometrijsko
tijelo
opisuje
trag
s = 29 cm ≈ 5.39 cm.
pravokutnog trokuta prilikom te rotacije? b) Koliko je oplošje tog tijela?
Računamo površinu baze B = r 2π = 4À cm2 .
c) Koliki je obujam tog tijela?
Površina plašta: P = r π s = 2 ⋅ π ⋅ 29 = 2 29π cm2. O = B + P = 4π + 2 29 cm2 ≈ 46.38 cm2.
Rješenje: a)
Geometrijsko
pravokutnog
tijelo
trokuta
nastalo
oko
s 2 = r 2 + v 2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29
svoje
20π 1 1 B • v = • 4π • 5 = cm3 ≈ 3 3 3
rotacijom
c) V =
katete
20.93 cm3.
je
uspravni stožac. Zato kažemo da je uspravni stožac rotacijsko tijelo.
Z a d a c i 20. Odredi polumjer baze i visinu stošca dobivenog rotacijom pravokutnog trokuta oko crvene osi. 4 cm 4a)cm a)
4 cm
3 cm 3b)cm
3 cm 3 cm
b)
8 cm 8 cm
c)
4 cm
4 cm
c) Izračunaj 4 cm oplošje i obujam stožaca iz 21. prethodnog zadatka.
198
Geometrijska tijela 22. Odredi polumjer baze stošca kojemu je zadan obujam i visina:
s krovom u obliku pravilne četverostrane piramide: visina prizme 8 cm, visina piramide
a) V = 160π cm3, v = 10 cm;
4 cm, brid baze 6 cm.
b) V = 180π dm , v = 5 dm;
Izračunaj oplošja oba pakiranja pazeći pritom
c) V = 567π m3, v = 7 m.
koje plohe nestanu pri spajanju dijelova.
3
23. Koji stožac je viši, A ili B?
29. Krov tornja ima oblik stošca polumjera baze
A: V = 225π cm , r = 5 cm;
5 m i s visinom od 7 m.
B: V = 272π cm3, r = 4 cm.
a) Izračunaj veličinu prostora potkrovlja;
3
b) Koliko je koštalo krovopokrivanje ako 1 m2
24. Odredi oplošje stošca kojemu su zadani:
crijepa košta 170 eura?
a) V = 120π cm3, v = 10 cm; b) V = 189 m3, v = 7 m;
30. Krov tornja ima oblik stošca s polumjerom baze
c) V = 225π cm , r = 5 cm;
4 m i visinom 5.5 m. Krov treba prekriti limom.
d) V = 272π cm3, r = 4 cm.
a) Koliko je lima potrebno za prekrivanje
3
25. Zadan je osni presjek stošca. Izračunaj oplošje i obujam
krova, računajući i to da je na ukupnu količinu potrebno dodati 5% za spajanje dijelova? b) Koliko treba platiti potrebnu količinu lima ako je cijena m2 lima 60 kn i trošak majstora je
14.1
12.1 a)
62.8
4000 kn? 31. Usporedi obujam i oplošje stošca i valjka kojima
b)
19.7
je promjer baze 6 cm, a visina 8 cm. 32. Može li se od papira pravokutnog oblika sa stranicama 50 cm i 60 cm izrezati kapa u obliku stošca da bude dovoljno velika za opseg glave 35 cm i da joj visina bude 30 cm? Objasni i
45˚ c)
50
26. Slastičarne proizvode domaće kornete u obliku stošca, različitih dimenzija. U koji kornet stane
stošca? 33. Osni presjek stošca je jednakostraničan trokut površine 36π dm2. Izračunaj oplošje i obujam
potpunosti ispunjava kornet i ne prelazi van
tog stošca.
ruba.
Slastičarnica Čoko: v = 12 cm, o = 7 cm;
Slastičarnica Slatkić: v = 11 cm, o = 8 cm;
Slastičarnica: Kremisimo: v = 10 cm, o = 9 cm;
27. Plašt stošca razvijen u mrežu je kružni isječak koji čini trećinu kruga polumjera 25 cm. Izračunaj polumjer i obujam stošca. 28. Čokolada je zapakirana u dva različita
još koju veličinu da bi mogao skicirati taj plašt
više sladoleda, uz pretpostavku da sladoled u ruba? Poznate su visine korneta i opseg gornjeg
skiciraj kako treba rezati. Trebaš li izračunati
34. Stožac je dobiven rotacijom jednakokračnog trokuta oko njegove visine na osnovicu. Osnovica tog trokuta je 18 dm, a njegova visina 12 dm. Koliko je oplošje i obujam tog stošca? 35. Preračunaj u zadanu mjernu jedinicu: a) 95.7 dm = _________ cm; b) 2 860 000 m2 = _________ km2; c) 12 500 cm3 = __________ litara; d) 75.6 cm = _________ mm;
pakiranja. Izračunaj u koje pakiranje stane više
e) 52 860 000 mm2 = _________ m2;
čokolade.
f) 7 200 cm3 = __________ litara;
Dvorac: Valjak s krovom u obliku stošca: visina
g) 5200 cm3 = __________ dm3;
valjka 8 cm, visina stošca 4 cm, polumjer baze
h) 65 m3 = = __________ dm3;
3 cm;
i) 5 m3 = __________ cm3;
Vidikovac: Pravilna četverostrana prizma
j) 546302 cm3 = __________ m3.
199
6.15. Kugla
6.15. Kugla Nabroji pet stvari koje imaju oblik kugle. Opiši ih.
Osim piramida, prizmi, valjaka i stošca, u svakodnevnom životu susrećemo i kuglu. Kugla pripada oblim geometrijskim tijelima, ali oplošje i obujam joj nećemo moći izvesti na uobičajen način jer kugla nema bazu. Također, kuglu nije moguće razviti u ravninsku mrežu.
r S
kugla
Kugla ima svoj polumjer r i središte S koji je potpuno određuju u prostoru. Kao što u ravnini krug ima svoju pripadnu kružnicu, tako i svaka kugla ima svoju
sfera
pripadnu sferu. Sfera je ploha koja omeđuje kuglu, ona je njen omotač. Zadan je jednakostranični valjak (visina mu je jednaka promjeru baze) kao na slici i u njega je upisana kugla.
r
2r
r
2 · r 2r
Može se pokazati da je površina plašta tog valjka jednaka oplošju upisane kugle. Pokušajte to eksperimentom pokazati u razredu rezanjem plašta valjka na manje komadiće i lijepljenjem na površinu kugle. Plašt jednakostraničnog valjka razvijen u ravninu je pravokutnik sa stranicama 2rπ i 2r. Okugle = Pvaljka Okugle = 2rπ • 2r = 4r2π
200
Geometrijska tijela Primjer 1. Oplošje kugle
Oplošje kugle:
Izračunaj oplošje Zemljine kugle ako je njen
O = 4r2π
polumjer 6370 km. r
Rješenje:
S
Iako stvarno Zemlja nema oblik savršene kugle, zbog svoje veličine i oblika ipak možemo otprilike izračunati njene mjere pomoću formula za kuglu. Stoga izračunajmo njeno oplošje. O
=
4r2π
=
4
•
63702
•
π
=
162 307 600π km ≈ 509 645 864 km . 2
2
Primjer 2. Obujam kugle
istisnuti onoliki obujam vode koliki je njen
U jednakostranični valjak koji je do vrha ispunjen
obujam.
vodom uronimo kuglu kojoj je promjer jednak promjeru baze valjka. Kada kuglu izvadimo iz
Kada kuglu izvadimo iz valjka, izmjerit ćemo da
valjka koliki dio vode će nedostajati?
nedostaje
2 ukupne količine vode koja je bila u 3
valjku. Pokus pokazuje da obujam kugle iznosi 2 obujma takvog valjka. 3 2 2 2 4 Vkugle = Vvaljka = r 2π v = r 2π ⋅ 2r = r 3π . 3 3 3 3
v=2r
Obujam kugle V =
2r v=2r
2r
Rješenje:
Kada u valjak napunjen vodom uronimo tu
4 3 r π. 3
Uvjerimo se da je obujam kugle polumjera r
jednak
obujmu
jednakobridnog
valjka
polumjera baze r iz kojeg smo izvadili upisani stožac.
kuglu, da bi stala u valjak, kugla 2r će iz valjka
v=2r
2 3
2r
1 3
r S
2r
2r
2 3 1 3
201
6.15. Kugla Primjer 3. Kugla kao rotacijsko tijelo Kugla je rotacijsko tijelo kao i valjak i stožac. Rotacijom kojeg lika nastaje kugla?
S
Rješenje: Kugla nastaje rotacijom kruga oko jednog nje
Nacrtaj na kartonu neki krug, pa zalijepi konac
govog promjera. Kuglu možemo dobiti i rotaci
ili vunu preko njegovog promjera. Primi krajeve
jom polukruga oko njegovog rubnog promjera.
konca i zavrti ih.
Z a d a c i
1. Izračunaj oplošje i obujam kugle polumjera:
11. Izračunaj promjer zlatne kugle koja ima masu
a) 3 cm; b) 5 cm; c) 11.2 dm; d) 5.4 m.
50 kg. Gustoća zlata je 19.3 g/cm3.
2. Izračunaj polumjer i obujam kugle kojoj je
12. Koja količina sladoleda je veća: 2 kuglice
oplošje:
polumjera 3 cm ili 3 kuglice polumjera 2 cm?
a) 100π cm2; b) 324π cm2; c) 900π dm2; d) 25π m2.
21 cm i debljine stjenke 3 mm? Kolika bi bila
3. Izračunaj polumjer i oplošje kugle kojoj je obujam:
masa te lopte da je ispunimo pijeskom (gustoća 2 g/cm3)?
a) 36π cm ; b) 4500π cm ; c) 288π dm ; 3
d)
13. Koliki je obujam lopte za odbojku promjera
3
3
4 π m3. 3
4. Koliko kreme se nalazi u Rafaelo kuglici promjera 3 cm, ako je debljina stjenke 2 mm? 5. Metalne kuglice polumjera 1.5 cm potrebno je pretopiti u jednu kuglu polumjera 10 cm. Koliko kuglica je za to potrebno? 6. Mrlja od sapuna kružnog oblika promjera 1 cm
14. Izračunaj obujam sladoleda koji popunjava kornet oblika stošca visine 12 cm i promjera 5 cm. Na kornetu se nalaze još dvije kuglice sladoleda promjera 3 cm. 15. Iz drvene kocke brida 4 cm izrezana je kugla maksimalnog promjera. a) Izračunaj obujam kocke i obujam kugle b) Za koliko je obujam kocke veći od obujma kugle?
nastala je od kapljice sapunice (oblika kugle)
c) Izračunaj postotak otpada pri tom
promjera 3 mm.
izrezivanju.
a) Izračunaj obujam i oplošje kapljice; b) Koliko puta je površina mrlje veća od oplošja kapljice? 7. Koliki je obujam zraka koji se nalazi u balonu oblika kugle promjera 0.5 m? 8. Četiri metalne kuglice polumjera 2 cm pretopljene su u jednu veću kuglu. Koliki je
16. Iz drvenog kvadra dimenzija 5 x 5 x 25 cm izrezan je ukrasni štap sastavljen od valjka i dvije kugle. Ukupna duljina štapa je 25 cm, promjer kugli je 5 cm, a promjer valjka 2 cm. a) Izračunaj obujam kvadra i obujam štapa b) Izračunaj postotak otpada pri tom izrezivanju.
polumjer nove kugle? 9. Koliko je oplošje i obujam nogometne lopte promjera 25 cm i debljine stjenke 5 mm? 10. Koja kugla ima veću masu?
202
17. Kugla oplošjem 720π cm2 će se premazati s
Srebrna, polumjera 1 dm (gustoća 10.5 kg/dm3)
0.1 mm debelim premazom od zlata. Izračunaj
ili platinasta polumjera 0.5 dm
troškove za to, ako 1 g zlata košta 19 eura.
(gustoća 21.5 kg/dm3)?
(gustoća zlata je 19.3 g/cm3)
Geometrijska tijela
Vježb lica a
1. Izračunaj oplošje valjka kojemu su zadani polumjer baze i visina. a) r = 4 cm, v = 10 cm; b) r = 6 cm, v = 12 cm; c) r = 3 dm, v = 4 dm. 2. Opseg baze valjka je 16p cm, a duljina visine 6 cm. Kolika je površina plašta i oplošje tog valjka? 3. Površina plašta valjka je 70p cm, a duljina visine 7 cm. Kolika je površina baze i oplošje tog valjka? 4.
Plašt valjka je kvadrat sa stranicom 8 cm. a) Kolika je visina tog valjka? b) Koliki je polumjer baze? c) Koliko je njegovo oplošje?
5. Izračunaj obujam valjka kojemu su zadani polumjer baze i visina: a) r = 6 cm, v = 4 cm; b) r = 2 dm, v = 5 dm; c) r = 8 m, v = 10 m. 6. Opseg baze valjka je 37.68 cm, a njegova visina 7 cm. Izračunaj oplošje i obujam. 7. Površina baze valjka je 28.26 dm2, a njegov obujam 84.78 dm3. Koliko je njegovo oplošje? 8. Za pospremanje žitarica potrebno je izgraditi silose oblika valjka. U jedan silos treba pospremiti 4521.6 m3 pšenice. Kolika treba biti visina silosa ako mu je polumjer baze: a) 12 m; b) 15 m? 9. Izračunaj masu željezne žice promjera 3 cm i duge 15 m. Gustoća željeza je 7.9 g/cm3. 10. Iz drvene kocke visine 10 cm izrezan je valjak maksimalnog promjera i visine. a) Koliki su polumjer baze i visina tog valjka? b) Koliki je obujam kocke i obujam valjka? c) Koliko materijala otpada pri izrezivanju? d) Koliki je postotak otpada?
11. Iz drvenog valjka visine 15 cm i polumjera baze 4 2 cm izrezana je kvadratna prizma maksimalnih dimenzija. a) Kolike su dimenzije te prizme? b) Koliki je obujam prizme i obujam valjka? c) Koliko materijala otpada pri izrezivanju? d) Koliki je postotak otpada? 12. Izračunaj obujam i oplošje valjka nastalog rotacijom kvadrata sa stranicom 6 cm oko jedne njegove stranice 13. Izračunaj oplošje i obujam valjka dobivenog rotacijom pravokutnika oko označene osi. a)
6 cm
b) 2 cm
3 cm
4 cm
c)
d) 2 cm
2 cm 5 cm
14 cm
14. Izračunaj oplošje stošca kojemu je zadana izvodnica i polumjer baze: a) s = 13 cm, r = 5 cm; b) s = 41 cm, r = 9 cm; c) s = 5.3 dm, r = 4.5 dm. 15. Izračunaj oplošje stošca kojemu je zadana visina i polumjer baze. a) r = 8 cm, v = 15 cm; b) r = 20 cm, v = 21 cm; c) r = 0.12 m, v = 3.5 dm. 16. Koliko materijala je potrebno za izradu limenog krova oblika stošca s polumjerom baze 3.3 m i visinom 5.6 m? 17. Izračunaj obujam stošca kojemu je zadana visina i polumjer baze: a) r = 2 cm, v = 2.1 cm; b) r = 7 cm, v = 24 cm; c) r = 0.28 m, v = 4.5 dm.
203
6.15. Kugla 18. Izračunaj obujam stošca kojemu je zadana izvodnica i polumjer baze: a) s = 15 cm, r = 12 cm; b) s = 85 cm, r = 13 cm; c) s = 0.41 m, r = 0.9 dm. 19. Izračunaj oplošje i obujam stošca: a) s = 25 cm, r = 7 cm; b) s = 17 cm, r = 8 cm; c) v = 15 cm, r = 8 cm; d) v = 12 dm, s = 13 dm. 20. Količina od 36.9264 m3 šljunka prosuta je na gomilu koja je poprimila oblik stošca. Koliku površinu na tlu prekriva ovaj šljunak ako joj je visina 4.5 m? 21. Pehar ima oblik stošca, visok je 1.2 dm, a u njega stane 31.4 l tekućine. Koliki je promjer njegovog gornjeg ruba? 22. Kružni isječak sa polumjera 6 cm presavinemo u plašt stošca. Izračunaj oplošje i obujam tog stošca ako je središnji kut mreže plašta u ravnini: a) 90º; b) 120º; c) 180º; d) 270º. 23. Odredi polumjer baze i visinu stošca dobivenog rotacijom pravokutnog trokuta oko označene osi. Izračunaj oplošje i obujam stožaca.
a)
15 cm
b)
5 cm 12 cm
8 cm
c) 5 cm 5 cm
24. Odredi polumjer baze stošca kojemu je zadan obujam i visina: a) V = 135p cm3, v = 5 cm; 64 b) V = p dm3, v = 4 dm; 3 c) V = 471 m3, v = 6 m.
204
25. Odredi oplošje stošca kojemu su zadani obujam i visina:
a) V = 48p cm3, v = 9 cm; 128 b) V = p m3, v = 8 m; 3 c) V = 226.08 cm3, r = 6 cm.
26. Zadani su osni presjeci stožaca. Izračunaj oplošje i obujam tih stožaca. a) b) 0.9
24
8 14
c) 6 45º
27. Izračunaj oplošje i obujam kugle polumjera: a) 9 cm; b) 6 cm; c) 12.3 dm; d) 4.5 m. 28. Izračunaj polumjer i obujam kugle kojoj je oplošje: a) 144p cm2; b) 24p cm2; c) 314 dm2; d) 1017.36 m2. 29. Izračunaj polumjer i oplošje kugle kojoj je obujam: a) 288p cm3; b) 2304p cm3; 32 c) 113.04 dm3; d) p m3. 3 30. Iz drvene kocke brida 12 cm izrezana je kugla maksimalnog promjera. a) Izračunaj obujam kocke i obujam kugle b) Za koliko je obujam kocke veći od obujma kugle? c) Izračunaj postotak otpada pri tom izrezivanju. 31. Osam metalnih kuglica polumjera 1 cm pretopljene su u jednu veću kuglu. Koliki je polumjer nove kugle? 32. Koliko kreme se nalazi u Rafaelo kuglici promjera 6.4 cm, ako je debljina stjenke 2 mm? 33. Metalne kuglice promjera 4 cm potrebno je pretopiti u jednu kuglu polumjera 6 cm. Koliko kuglica je za to potrebno?
Geometrijska tijela
6.16. Ponavljanje Pitanja za ponavljanje:
9. Nabroji nekoliko tijela koja imaju dvije baze.
1. Nabroji neka uglata geometrijska tijela.
10. Skiciraj pravilnu četverostranu piramidu, istakni
2. Nabroji neka obla geometrijska tijela.
pravokutne trokute i napiši pripadne Pitagorine
3. Opiši prizme i nabroji ih nekoliko.
poučke.
4. Opiši piramide i nabroji ih nekoliko.
11. Skiciraj stožac, istakni pravokutan trokut i
5. Nabroji nekoliko rotacijskih tijela.
napiši pripadni Pitagorin poučak.
6. Nabroji neka tijela kojima je baza kvadrat.
12. Skiciraj pravilnu šesterostranu prizmu i objasni
7. Nabroji neka tijela kojima je baza krug.
kako joj izračunavamo obujam i oplošje.
8. Nabroji nekoliko tijela koja imaju jednu bazu.
Z a d a c i
13. Što je tetraedar?
z a
p o n a v l j a n j e : 2. Zadan je kvadar s bridovima dugim a = 3 cm,
1. Koja geometrijska tijela prepoznaješ na slici:
b = 4 cm, c = 3.5 cm. a) Nacrtaj taj kvadar u kosoj projekciji; b) izračunaj duljine plošnih dijagonala tog kvadra;
a) a)
b)
c) Izračunaj duljinu prostorne dijagonale; c)
b)
d) Izračunaj mu oplošje i obujam.
c)
3. Izračunaj duljinu bočnog brida kvadratne prizme ako su poznati oplošje i duljina osnovnog brida:
a) b)
a) b)
b)
c) d)
c)
a) b)
c)
b)
b) O = 45.3 cm2, a = 20 mm;
c)
d)
d)
e)
d) e)
d) f)e)
e) f)
g)
h)
e)
f) g)
c) = 40 mm2, a = 1 mm; a) O 2 c) O = 569 f) m , a = 50 dm; d) O = 100.25 m2, a = 345 cm.
e) f)
h)
4. Kolika je površina poprečnog presjeka sa slike:
f) 6 5
i) i) 4 a)
e)
f)
g)
g) h) i)
g) h)
h)
i)
j)
h)
2
i)
3
b) 2
i) 5. Površina poprečnog presjeka po dijagonalama baze kvadratne prizme je 30 2 cm2. Kolika je njena visina ako su bridovi baze dugi 2 cm? 6. Zadana je kocka s bridom a = 3 cm.
j)
a) Nacrtaj tu kocku u kosoj projekciji; b) Izračunaj duljinu prostorne dijagonale te kocke;
h) j)
i) j)
j)
c) Izračunaj joj oplošje i obujam.
205
6.16. Ponavljanje 7. Izračunaj duljinu brida kocke kojoj je prostorna
18. Visina prizme je 15 cm. Izračunaj oplošje i
dijagonala D = 6 3 dm.
obujam prizme ako je baza zadana crtežom:
8. Maja želi omotati poklon oblika kocke. Ima jedan list ukrasnog papira pravokutnog oblika sa stranicama 40 cm i 60 cm. a) Može li Maja njime omotati poklon brida
4m
25 cm? b) Koliki najviše treba biti brid kocke kako bi
6.5 dm
2m
Maja mogla omotati poklon?
a)
9. Kolika je površina poprečnog presjeka kocke s
6.5 dm
prizme s osnovnim bridom2duljine 4.2 dm i m visinom 50 cm. a)
b)
6m
5.6 dm
5 cm
12. Izračunaj 4 m oplošje i obujam trostrane prizme
4 cm
dm kojoj je baza jednakokračan trokut 11.2 s osnovicom
a)
8 cm i krakom 5 cm. Visina prizme je 1 dm.
6.5 dm
b)
kojoj je baza pravokutan trokut s katetama 6m 5.6 dm
5 cm
6.5 dm
24 cm
4 cm
c)
dugim 6 m i 8 m, te kojoj je visina duga 7 m. 14. Izračunaj oplošje i obujam uspravne
c)
10 cm
duljine 6 3 cm.
13. Izračunaj oplošje i obujam trostrane prizme
5 cm
6.5 dm
jednakobridne trostrane prizme s bridom
2m
5 cm
10 cm
19. Za metalnu polugu utroši se 840 cm3 metala.
četverostrane prizme visine 10 cm kojoj je
Baza poluge je jednakokračni trapez s
baza:
osnovicama dugim 10 cm i 4 cm te kracima od
a) paralelogram sa stranicom a i b, te visinom h
5 cm.
na stranicu a: a = 13.3 cm, b = 5 cm, h = 4 cm;
a) Kolika je duljina te poluge?
b) romb s dijagonalama e i f: e = 6.4 cm,
b) Kolika je masa poluge ako je napravljena od
f = 4.8 cm;
zlata (gustoća 19.3 g/cm3);
c) jednakokračni trapez s osnovicama a i c te
c) Kolika je masa poluge ako je napravljena od
visinom baze h.: a = 6 cm, c = 2 cm, h = 3 cm.
olova (gustoća 11.3 g/cm3)?
15. Izračunaj oplošje i obujam pravilne
20. Dječja igračka sastoji se od deset valjaka
šesterostrane prizme kojoj je osnovni brid dug
koji se stavljaju jedan na drugi i tako dobiva
5 dm, a visina 1.1 m.
“stepenasti” stožac. Svi valjci imaju jednaku
16. Posuda oblika kocke ima duljinu brida 6 cm i
visinu - 3 cm. Najgornji valjak ima promjer
cijela je napunjena vodom. Iz nje svu vodu
2 cm, a svaki sljedeći za 2 cm veći promjer.
prelijemo u posudu oblika kvadra s osnovnim
a) Odredi promjer svih valjaka;
bridovima duljine 3 cm i 4 cm. Kolika će biti
b) Izračunaj obujam tijela sastavljenog od tih
visina vode u posudi?
deset valjaka;
17. Izračunaj oplošje i obujam prizme kojoj je
c) Izračunaj obujam stošca koji ima promjer
površina baze 25 dm , opseg baze 20 dm, a
jednak najdonjem valjku, a visinu jednaku visini
visina 15 dm.
tih deset valjaka;
2
d) Usporedi obujmove stošca i “stepenastog” stošca - koji obujam je veći i koliko posto?
206
10 cm 6.5 dm 4 5.6 cm dm
11.2 dm
10. Izračunaj oplošje i obujam pravilne trostrane
11. Izračunaj oplošje i obujam pravilne
b)
6m
4m
plošnom dijagonalom 3 2 cm?
11.2 dm
24 cm
4 cm 10 cm
Geometrijska tijela 21. Čokolada je upakirana u kutijicu oblika
26. Osnovni brid pravilne trostrane piramide je
šesterostrane piramide kojoj je osnovni brid
2.4 cm, a visina 7.5 cm. Izračunaj:
2 cm, a visina 10 cm.
a) duljinu bočnog brida; b) visinu pobočke;
a) Izračunaj koliko cm čokolade se može
c) površinu baze; d) oplošje; e) obujam.
upakirati u ovaj omot, ako znamo da 25%
27. Baza piramide je pravilni šesterokut površine
3
obujma ovog tijela odlazi na prazninu koja se
100 dm2, a visina piramide je 5 dm. Izračunaj:
nalazi između čokolade i omota.
a) duljinu osnovnog brida; b) visinu pobočke;
b) Koliko cm kartona je potrebno za pakiranje, 2
potrebno je dodati 3% ukupne površine za
c) oplošje; d) obujam. 28. Osnovni brid pravilne šesterostrane piramide je a = 4 cm, a bočni brid b = 9 cm. Izračunaj
spojeve? 22. Izračunaj obujam piramide kojoj je površina baze 45 cm , a visina 9 cm. 23. Izračunaj oplošje piramide kojoj je površina baze 26 dm , a površina plašta 3100 cm . 2
oplošje i obujam te piramide. 29. Izračunaj oplošje i obujam stošca:
2
2
24. U pravilnoj četverostranoj piramidi duljina visine iznosi 25.35 dm, a duljina visine pobočke 32 dm. Izračunaj:
a) s = 5 cm, r = 4 cm; b) r = 40 m, v = 30 m; c) s = 13 dm, v = 5 dm. 30. Izračunaj oplošje i obujam kugle polumjera 3.6 cm. 31. Koliki treba biti polumjer plutene (gustoća
a) duljinu osnovnog brida; b) duljinu bočnog
0.2 kg/dm3) da bi imala istu masu kao
brida; c) površinu baze; d) oplošje; e) obujam.
aluminijska kugla polumjera 0.1 dm (gustoća
25. Obujam pravilne četverostrane piramide je V = 30 cm , a visina v = 3 cm. Izračunaj:
21.5 kg/dm3)? 32. Osam metalnih kuglica polumjera 3.1 cm
3
a) površinu baze; b) duljinu osnovnog brida;
pretopljene su u jednu veću kuglu. Koliki je
c) visinu pobočke; d) oplošje.
polumjer nove kugle? Koliko puta je oplošje nove kugle veće ili manje od oplošja kuglice? 33. Izračunaj obujam i oplošje tetraedra kojemu je osnovni brid dugačak 12 cm.
P r i m j e r a k
o g l e d n o g
1. Napiši kako nazivamo tijela na slici:
t e s t a :
5. Skiciraj kocku kojoj je duljina osnovnog brida 3 cm. Izračunaj joj oplošje i obujam te duljinu prostorne dijagonale. 6. Izračunaj oplošje tetraedra s duljinom brida 7 dm. 7. Izračunaj i usporedi obujam i oplošje stošca i valjka kojima je promjer baze 6 cm, a visina
2. Skiciraj pravilnu četverostranu piramidu kojoj
3.
10 cm.
je duljina osnovnog brida 4 cm, a visina 6 cm.
8. Obujam kugle je 972π. Koliko je njeno oplošje?
Izračunaj joj obujam i oplošje.
9. Krov crkvenog tornja ima oblik pravilne
Izračunaj oplošje i obujam pravilne
šesterostrane piramide. Koliko lima je potrebno
šesterostrane prizme kojoj je osnovni brid dug
za prekrivanje tog krova, ako je opseg baze
4.5 dm, a visina 8.2 dm.
24 m, a visina piramide 8 m? Na ukupnu
4. Izračunaj oplošje i obujam kvadra s bridovima 4 cm, 50 mm i 0.7 dm.
površinu potrebno je dodati 5% za spajanje dijelova. Koliko treba platiti potrebnu količinu lima ako je cijena m2 60 kn?
207
AB
7. Završno ponavljanje Kvadrirati neki broj znači pomnožiti ga sa samim sobom. Kvadrat umnoška jednak je umnošku
a 2 = a · a (čitamo: „a na kvadrat’) (a · b)2 = a2 · b2
kvadrata. Kvadrat količnika jednak je količniku
(a : b)2 = a2 : b2
kvadrata.
a2 a b = 2 b
Kvadrat zbroja
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2
Tu formulu možemo izreći i ovako: (prvi + drugi)2 = prvi2 + 2 · prvi · drugi + drugi2 (a −b)2 = a2 −2ab + b2
Kvadrat razlike
Tu formulu možemo izreći i ovako: (prvi −drugi)2 = prvi2 −2 · prvi · drugi + drugi2 a2 −b2 = (a + b) · (a −b)
Razlika kvadrata
Tu formulu možemo izreći i ovako: prvi2 −drugi2 = (prvi + drugi) · (prvi −drugi) Potencija an je broj zapisan u obliku
an
umnoška n jednakih faktora a. Broj a se pritom naziva baza potencije an , a n je
potencija
njezin eksponent. a1 = a
an
a2 = a · a a3 = a · a · a
eksponent
a4 = a · a · a · a ... an = a a ⋅ ... a ⋅ ⋅
baza
n faktora
Množenje potencija jednakih baza n Ako su zadane potencije am i a , gdje su m
am ⋅ an = a ⋅ ... ⋅ a ⋅a ⋅ ... ⋅ a = am +n m faktora n faktora ukupno m +n faktora
i n prirodni brojevi, tada vrijedi: Dijeljenje potencija jednakih baza Ako su zadane potencije a
m
n
i a , gdje su m
i n prirodni brojevi i m > n, tada vrijedi:
208
am
faktora m a ............ ⋅ ⋅a n :a = = a m −n a ... a ⋅ ⋅ n faktora
7 . Z a v r š n o p o n Ta vrl oj aknuj te
n ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ ... . Potencija broja 10 je broj zapisan u obliku umnoška 10 = 10 n faktora
Znanstveni oblik broja -broj zapisan u obliku a · 10n , gdje je a bilo koji broj između 1 i 10, a n je cijeli broj. Potencija s negativnim eksponentom
a −n =
1 a
=
n
1 . a ⋅ ... ⋅ a
Isto tako je a0 = 1 za svaki broj a ≠ 0 . Kvadratni korijen pozitivnoga broja b je pozitivni broj a čiji je kvadrat jednak b.
Zapisujemo:
b i čitamo: kvadratni korijen iz b ili
drugi korijen iz b ili jednostavno korijen iz b. Ako je b pozitivan broj, tada je
Korijen umnoška pozitivnih brojeva jednak je umnošku korijena tih brojeva.
Korijen količnika pozitivnih brojeva jednak je količniku korijena tih brojeva.
Kvadriranje izraza s korijenom
b2 = b
b = a ⋅ b a ⋅
korijen umnoška a ⋅b
umnožak od a i b
b = a : b a :
korijen količnika a ⋅b
(1+ 2 5 )
2
a a = b b
ili
količnik od a i b
( )
2
= 12 + 2 ⋅ 1⋅ 2 5 + 2 5
=
= 1+ 4 5 + 4 ⋅ 5 = 1+ 4 5 + 20 = = 21+ 4 5 Djelomično korjenovanje.
a2 ⋅ b = a ⋅ b = a b 16 ⋅ 3 = 16 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 4 3
Racionalizacija nazivnika - postupak proširivanja razlomka (s iracionalnim
a)
1 2
nazivnikom) do razlomka s racionalnim nazivnikom.
b)
=
1 1+ 2 =
1 2 =
⋅
2 2
Ako je b > 0, tada kvadratna jednadžba oblika x 2 = b ima dva rješenja, x1 = b ,
9x 2 = 121 / : 9
x 2 = b ima jedno rješenje, x = 0.
( )
2
=
1− 2 = 1− 2
1− 2 = −1+ 2. −1
Primjer:
Ako je b = 0, tada kvadratna jednadžba oblika
2 2
1 1− 2 1− 2 ⋅ = 1+ 2 1− 2 12 − 2
Kvadratna jednadžba
x2 = − b .
=
121 9 11 11 x1 = , x2 = − . 3 3 x2 =
Ako je b < 0, tada kvadratna jednadžba oblika x 2 = b nema rješenja u skupu realnih brojeva.
209
7. Završno ponavljanje
d2 = a2 + b2
Pravokutnik:
d = a2 + b2
d
a
o = 2a + 2b = 2(a + b ) P =a b
b
d2 = a2 + a2
Kvadrat
d =a 2 o = 4a
d
a
P = a a = a2
a Trokut
P=
d ⋅ d d2 = 2 2
o =a +b +c
B c
a
b
C
P=
a ⋅ va b ⋅ vb c ⋅ vc = = 2 2 2
α + β + γ = 180°
A
Jednakokračni trokut 2
a b2 = + v2 2 b
b
b
b
v
v
a
a
α + 2β = 180°
a 2
Jednakostranični trokut:
2
a2
a + 2
a 3 2 a2 3 Površina jednakostraničnoga trokuta: P = 4 o = 3a Visina jednakostraničnoga trokuta v =
a
v
a
210
=
v2
a
a
v
a 2
a ⋅ va 2 o = a + 2b P=
7. Završno ponavljanje
Romb
2
d1
d2
a
o = 4a
a
P = a ⋅v =
Jednakokračni trapez
x=
c
b
v
a −c 2
o =a +b +b+ c
b
s=
c
x
a +c 2
P = s ⋅v =
a
Paralelogram
e f 2
b2 = v2 + x2
v
x
2
d d a2 = 1 + 2 2 2
D
C
(a + c ) ⋅v 2
o = 2a + 2b = 2(a + b ) P = a va = b vb
vb va A
b
α
β
a
B
Prizme
Piramide
Oplošje O = 2B + P Obujam V = Bv
Oplošje O = B + P Obujam V =
Kvadar
F
E
G
a i b - bridovi baze
a
Površina pobočja P = 2ac + 2bc
D
Plošne dijagonale d1 = a 2 + b 2
D
d2 = a 2 + c 2
C b
d A
Površina baze B = a • b Oplošje O = 2B + P = 2(ab + bc + ac) Obujam V = abc
A
c
1 Bv 3
B
d3 = b 2 + c 2 Prostorna dijagonala D = a 2 + b 2 + c 2 .
d - dijagonala baze c - visina D - prostorna dijagonala
211
7. Završno ponavljanje
a - osnovni brid
Kocka
d - plošna dijagonala a
D
D - prostorna dijagonala Površina baze B = a2 Oplošje O = 6a2 Obujam V = a3
d
Plošna dijagonala d = a 2 Prostorna dijagonala D = a 3 . a - osnovni brid
Pravilna četverostrana piramida
b - bočni brid d - dijagonala baze
V
v - visina piramide h - visina pobočke Površina baze B = a2 Površina pobočke P1 =
b v
D V? a
B
C aE
d b2 = v 2 + 2 a h2 = v 2 + 2
2
2
a b 2 = h2 + 2
212
a ⋅h = 2ah 2
Oplošje O = B + P 1 Obujam V = Bv 3 Dijagonala baze d = a 2
h
a 2
d A
Površina plašta P = 4 ⋅
a ⋅h 2
2
7. Završno ponavljanje a - osnovni brid b - bočni brid d - dijagonala baze v - visina piramide h - visina pobočke
Pravilna šesterostrana piramida V
a2 3 3 2 = a 3 4 2 a ⋅h Površina pobočke P1 = 2 Površina baze B = 6 ⋅
b
v
h
Površina plašta P = 6 ⋅ Oplošje O = B + P Obujam V = b2 = v 2 + a2
V?
1 Bv 3
a 3 h2 = v 2 + va2 = v 2 + 2 2 a b 2 = h2 + 2
va
a
a ⋅h = 3ah 2
a
a - osnovni brid va - visina baze
Pravilna trostrana piramida V
2
b - bočni brid v - visina piramide
h - visina pobočke a2 3 4 a ⋅h P Površina pobočke 1 = 2 ah Površina plašta P = 3 2
Površina baze B =
b
b v
Oplošje O = B + P Obujam V =
h
2 a 3 2 b 2 = v 2 + va = v 2 + 3 3
C
2 v 3 a
1 v 3 a
2
V? B
Tetraedar
a b 2 = h2 + 2
2 Visina v = a − va 3
a
Površina baze B = a
Oplošje O = 4 ⋅ a
Obujam V =
2
2
2
a
2
1 a 3 h2 = v 2 + va = v 2 + 3 6
A1
a
A
1 Bv 3
2
a 3 = a − 3
2
2
=
a 6 3
a2 3 4
a2 3 = a2 3 4
B ⋅ v 1 a 2 3 a 6 a3 = ⋅ ⋅ = 2 3 3 4 3 12
213
7. Završno ponavljanje
Valjak
Površina baze B = r 2π V r
Površina plašta P = 2r πv Oplošje O = 2B + P = 2r 2π + 2r π = 2r π(r + v ) Obujam V = B ⋅ v = r 2πv
r - polumjer baze v - visina valjka Stožac
s2 = v 2 + r 2
V
Površina plašta P = r πs 2 Oplošje O = B + P = r π + r πs = r π(r + s )
s
v
1 3
1 3
Obujam V = Bv = r 2πv
r
r - polumjer baze v - visina valjka s - izvodnica Kugla
Oplošje O = 4r 2π r
Obujam V =
4 3 r π 3
r - polumjer kugle
Točke koje leže na istom pravcu zovu se kolinearne točke. Točke koje ne leže na istom pravcu, tj. koje nisu kolinearne, nazivaju se nekolinearne točke.
kolinearne točke Ravnina je određena s: tri nekolinearne točke
H
Ravnina ABC
dva različita pravca (koji su ili usporedni ili se sijeku)
nekolinearne točke G F
E
pravcem i točkom koja mu ne pripada. C
D
A
214
B
7. Završno ponavljanje
Međusobni položaj dvaju različitih pravaca u prostoru: 1. Pravci se sijeku, imaju jednu zajedničku točku; 2. Pravci su usporedni, nemaju zajedničkih točaka; 3. Pravci su mimosmjerni, nemaju zajedničkih točaka.
b a
H
H
G F
E
F
E
a
G
S D
A
C
D
C b
B
Međusobni položaj pravca i ravnine u
A
H
B
A
a
F
E
B
a H
G
1. pravac leži u ravnini, imaju
C
D
b
a
prostoru: beskonačno mnogo zajedničkih točaka;
E
a
H
G
F
G
H
F
E
G F
E
2. pravac probada ravninu, imaju jednu D
zajedničku točku; 3. pravac i ravnina su usporedni,
D
C
A
A
B
C
D
B
C
A
B
nemaju zajedničkih točaka. Međusobni položaj dviju različitih
G
H
ravnina u prostoru:
F
E
H
G F
E
1. ravnine se sijeku, imaju jedan zajednički pravac, presječnicu;
D
2. ravnine su usporedne, nemaju zajedničkih točaka.
A
C
B
D
A
C
B
a
Okomitost Pravac je okomit na ravninu ako je probada i ako je okomit na svaki pravac te ravnine koji prolazi probodištem. Dvije su ravnine okomite ako u jednoj ravnini postoji pravac koji je okomit na drugu ravninu. a H
Ortogonalna projekcija točke na ravninu je probodište okomice kroz tu
F
E
E
D
A
B
D
C
Ako točka leži u ravnini, onda je ona sama sebi ortogonalna projekcija. A
B Ortogonalna projekcija dužine koja nije okomita na ravninu projekcije je
dužina.
G
H
F
E
F
točku na zadanu ravninu.
Ortogonalna projekcija točke je uvijek točka.
C
a H
Ortogonalna projekcija H G
G
G F
E
Ortogonalna projekcija dužine koja je okomita na ravninu projekcije je točka. Ako dužina leži u ravnini, onda je ona sama sebi ortogonalna projekcija.
D
A
C
B
D
A
C
B
Ako je dužina usporedna s ravninom projekcije, tada je duljina njezine ortogonalne projekcije jednaka duljini zadane dužine. Ako nije, onda je duljina ortogonalne projekcije dužine manja od duljine zadane dužine.
Udaljenost točke od ravnine je udaljenost te točke od njezine ortogonalne projekcije na tu ravninu. Ako točka leži u ravnini, njezina udaljenost od ravnine je nula.
215
7. Završno ponavljanje Vektor
dužina kojoj je određeno koja je krajnja točka
B
početna, a koja završna.
A Vektor ima duljinu, smjer i orijentaciju.
Duljina vektora jednaka je duljini dužine. Orijentaciju pokazuje strelica vektora. Smjer je određen pravcem na kojem vektor leži.
Zbrajanje vektora Pravilo trokuta AB + BD = AD
Pravilo paralelograma AB + AC = AD
B
B
A D
A D
C
Oduzeti vektor b od vektora a znači zbrojiti a sa suprotnim vektorom od b . Preslikavanja ravnine osna simetrija, centralna simetrija, translacija i rotacija: - čuvaju udaljenost - preslikavaju likove u sukladne likove - čuvaju usporednost - čuvaju veličine kutova Osna simetrija zadana pravcem - osi simetrije
C′
A
C A′
B′
B Centralna simetrija
A
zadana središtem simetrije
C
B′
S B
C′
216
A′
7. Završno ponavljanje Translacija zadana vektorom
A′
A
C′
C
B′
B F Rotacija
G
A
zadana središtem, kutom i smjerom
C
A′
rotacije
B′
B
C′
45˚ S
Z a d a c i 1. U tablici se nalaze razni racionalni brojevi. Prepiši
a) 3 · (x −6);
popuni ga tako da zadane brojeve kvadriraš.
d) −x · (−2x −1);
x
−4
−3.2
0
9
0.22
−160
2
6 7
1 −2
koordinate tako da točke pripadaju grafu
( ) , B ( −2, ) , C (0, ) , D 41 , 1 F 1 , , G ( −1.5, ) . 2 A 2,
(
, E −1,
3. Pojednostavi pa uvrsti
a = 10, b = −3, x = 2.2, y = −0.5: b) −4x −(5x −3x);
a) 6a + (4b −2b); c) −y2 −(5 −10);
d) 16x2 + (11x2 −12x2);
e) (−2a2b2 −6b2a2) −ab2. 4. Pojednostavi: a) 5x + (2x −y);
b) 5x −(2x −y);
c) (4a −2b + c) −b; e)
−6ab2
−(−3a2b
d) −(2x2 −2y2) + 2x2 −y2;
−ab2) + 4ab2.
e)
(x2y
6. a) 5a · (−1 + 2a + y2); c) (−x +
y2
+
z2 )
c) (17 −a) · a;
−5) · y.
b) 10a · (a −8 −2y2);
· 3x;
7. a) ab · (a + 2ab);
kvadratne funkcije f(x) = x 2 . Zatim u koordinatnom sustavu ucrtaj te točke i skiciraj parabolu.
b) −2 · (1 + y2);
d) 2x · (−2x −8 −y2);
e) (−1 −2x −a2 + y2) · 6x.
2. Prepiši u bilježnicu pa u kvadratiće upiši
5. Oslobodi se zagrada:
tablicu u bilježnicu, dodaj drugi redak tablice i
b) −3xz · (−1 −5y2);
c) (2x + y2 + 6z2) · (−5xa);
),
3 1 x − y + 1 · 10xyz; 2 5
d)
e) −(6 −2x + a2 + 3y) · (−5xyb2). 8. Pomnoži pa pojednostavi: a) (x + 3) · (x + 1); b) (−5 + a) · (a −3); c) (1 −y) · (2 −y); d) (−x −1.5)(4 + x);
e) (y +
5 >)(36 −y). 6
9. Pomnoži pa pojednostavi: a) (2 + 3x) · (x + 1);
b) (−y + 5) · (5y −3);
c) (1 −2y) · (1 −4y);
d) (−5x −0.3)( −10 + 0.3x);
1 3 e) (−5a + )(25 − a). 5 5
217
7. Završno ponavljanje 10. Pomnoži i pojednostavi:
19. Izračunaj:
a) x · (x+ 2) + (x −2) · (x + 2);
b) −3a(a −b) + (a −2) · (3a + 1);
c) (x −5) · (x −6) −5x · (6 −x);
d) (x −y) · (x −6) −5x · (6 −y);
e) 2ab −[b(a −1) + (b −a) · b]. a) (2 · 4)2;
b) (−4 · 3)2;
d) (6 · (−2))2;
c) (3 · 2)2;
e) (−5 · (−2))2.
a)
b) (9 ·
d) (bx)2;
x)2;
e) (−xy)2. 2
d)
5x ; 3y
c)
b)
2
a) d)
x
y2
x2 b) ; 4
;
81a 2 16b 2
;
e)
2
c)
144a 2b 2 169x 2y 2
2
2
2 5
2
a) (x + y)2;
2
2
1 5 4 : 2 ; 3 9
1 . 10
d) (10 +
b) (a + 5)2;
x)2;
e) (y +
c) (7 + b)2;
b)2.
17. Izračunaj:
a) (5 −y)2;
b) (x −1)2;
d) (d −x)2;
e) (y −12)2.
c) (3 −b)2;
a) (a +
d) (x + 12y)2;
b) (3x
f) 3a −
2
1 . 3
2 1 x + y)2; b) (0.5x −2y)2; 3 3 4 2 c) ( ab −3a)2; d) (6x + xy)2; 9 3 3 20 2 e) ( x− y) . 10 3 a) (
−1)2;
e) (5x −5)2;
b) (−x −y)2;
a) (−a + b)2; d) (−2x +
c) (−n + 2m)2;
e) (−4y −5x)2.
10y)2;
c) (6
b) x2 −2xy + y2;
a) a2 + 2ab + b2; b2
d) 25x2 + 30xy + 9y2;
c)
e) 100m2 −180mn + 81n2.
+ 4b + 4;
a) 100 −20b + b2;
b)
c) 0.01b2 + 0.04b + 0.04;
d) 0.25x2 + 0.3xy + 0.09y2;
e)
9 2 6 x − xy + y2; 25 5
4 2 m −12mn + 81n2. 9
26. Pojednostavi:
a) (a + b)2 + (2a −b)2;
b) (x −y)2 + (x + y)2;
c) (3a + b)2 −(a −3b)2;
d) (a −5b)2 + (2a −3b)2;
3y)2
e) (4x +
−(2y
−8x)2.
−8m)2;
f) (3a −a)2.
a) (a + b)2 + a(a −b);
c) −6(3a −4) + (2a −3)2;
e) −2(2x +
8y)2
b) (x −y)2 −2x(x + y); d) 2(a −3)2 −(4a −1)2;
−5(3y −3x)2.
28. Zapiši u obliku umnoška dviju zagrada:
218
e) (4xy −5ab)2;
27. Pojednostavi:
18. Izračunaj: 11y)2;
d) (12x + 12y)2;
c) (6n −3m)2;
25. Zapiši u obliku kvadrata:
16. Izračunaj:
.
2
1 −5a)2; 5
24. Zapiši u obliku kvadrata:
12 2 :8 ; 32
2
e) 8 : −2
7 x −6)2. 12
b) (7x −6y)2;
a) (3a + 4b)2;
b)
−38 12 ; d) • 6 19 2
e) (
9x 2 c) ; 4
8 56 : ; 11 121
a)
d) (3.5x + 10)2;
c) (
23. Izračunaj:
15. Izračunaj:
e)
14. Zapiši u obliku kvadrata: 2
b) (0.5x −3)2;
a) (
2
11x . 8aby
4ac ; −7b
3 a + b)2; 4
2
2
−1 ; 6x
2x ; 3
a)
2
a − 2b e) . 3b − 5d
22. Izračunaj:
13. Kvadriraj:
2a + b d) ; 2c + 3
21. Izračunaj:
(−2b)2;
c)
2
a c) ; a +b
20. Izračunaj:
12. Oslobodi se zagrade: (3a)2;
2
a + b b) ; a −b
2
11. Napamet izračunaj:
2
a + b a) ; 2ab
a) c2 −d2; d)
x2
−b2;
b) x2 −y2; e)
z2
−t2.
c) m2 −n2;
7. Završno ponavljanje 29. Zapiši u obliku umnoška dviju zagrada: −a2;
a) 64
d) x2 −1;
x2
b)
−25;
c) 36
41. Zapiši u obliku potencije:
−y2;
e) 4 −b2.
30. Zapiši u obliku umnoška: −49y2;
16x2
a)
c) 121m2 −169n2;
d) x2 −9y2;
a) 0.16x2 −0.01y2;
c)
1 2 1 2 a − b ; 16 64
e)
0.09y2
d) 1.610 : 1.67;
77
b)
c) 59 : 58;
;
73 56 33 3 3 e) . ⋅ 10 10
42. Zapiši u obliku potencije:
e) 144c2 −d2.
31. Zapiši u obliku umnoška:
a) 1012 : 103;
−64a2;
25b2
b)
4 2 b −64; 25 144 2 d) 2.25x2 − y ; 169 b)
a) a9 · a9; d)
y8
:
b) b2 : b1;
y4;
e)
b16
:
c) x5 · x6;
b 5.
43. Izračunaj pazeći na razlike između zbrajanja i množenja:
−9.
32. Zapiši u obliku razlike kvadrata:
a) 3a · a;
d) a4 + a4 + a4;
b) 3a2 −a2;
c) 3 · 29 −29;
e) a4 · a4 · a4.
a) (c + d)(c −d);
b) (x + 6)(x −6);
44. Zapiši u obliku potencije:
c) (1 + y)(1 −y);
d) (100 −a)(100 + a);
a) (a −5)3 · (a −5)2;
e) (m +
b) (x + b)15 : (x + b)8;
c) (3x)7(3x)6;
d) (2y + b)11 : (2y + b)10;
e) (b −3a)9 : (b −3a)7.
16 16 )(m − ). 81 81
33. Pojednostavi:
a) (x + y)(x −y) + (2x −y)2;
b) (a + 2)(a −2) + (2
c) (5d −c)2 −c(5 −c); b)2
+ (a
−b)2
−7a)2;
45. Oslobodi se zagrada:
−(a + 2b)(a −2b);
d) (a +
e) (2x −a)2 −(a −x)2 −(4x + 3y)(4x −3y).
3
2
5
4
1 3 2 4 7 16 ; d) ; e) . ; b) ; c) 4 9 9 87 11
a)
36. Izračunaj: 25
i
52;
a)
d) 37 i 73;
b)
62
i
26;
c)
53
i
35;
e) 310 i 103.
a) 3 · 3 · 3 · 3;
c) 2.8 · 2.8 · 2.8 · 2.8;
e) 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1.
b) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2; d)
5 ; 11
38. Zapiši u obliku potencije: a) 125;
f) 64;
b) 27; g) 1;
c) 81;
d) 625;
h) 0.04;
i) 2.25;
39. Zapiši u obliku potencije:
a) 62 · 68; d)
1.336
·
c) (5x2 −4x) · x5; e)
xy(3x2y5
−xy3
d) xy2(y5 + x2); −3).
e)
e) 729; j)
9
1 2
1 . 27
a) 4x2 (−5x + 9x2); (−3ax2
−4ax) ·
b) −2a(2a2 + a4 −6a);
a 2x 5;
c)
e) 9xy(−x2y5 + xy3 −3x).
d) 6a4y2(−7ay5 + y2);
47. Zapiši u znanstvenom obliku:
a) 3675;
d) 11 001 552;
b) 34 762 000;
c) 433 876 112;
e) 1 123 231 451 267.
348
·
b) 38;
c) 24;
d) 51;
g) 34;
h) 93;
i) 210;
j) 77.
b) 7.88 · 103 + 4.13 · 106;
c) 3.685 · 105 + 4.122 · 104;
d) 5.76 · 104 + 53.1256 · 108;
e) 1.11116 · 105 + 1.15678 · 103.
49. Ukupna je masa Zemlje 5.97 · 1024 kg. Masa Sunca je 1.99 · 1030 kg, masa Jupitera je
1.89 · 1027 kg, masa Marsa je 6.4 · 1023 kg, a
a) Koliko je puta masa Sunca veća od mase Zemlje;
b) Koliko je puta masa Marsa manja od mase Zemlje;
40. Izračunaj: a) 53;
a) 2.6 · 106 + 1.1 · 103;
masa Urana 8.72 · 1025 kg. Izračunaj: ;
3426.
13
1 2
c) ⋅
b) 105 · 105; 1.333;
48. Izračunaj:
37. Zapiši u obliku potencije i izračunaj:
b) 7a(a2 + 3a4 + a);
46. Oslobodi se zagrada:
a) 0.53; b) 2.672; c) 1.444; d) 10.53; e) 7.34.
35. Izračunaj:
a) a2(a + a2);
34. Izračunaj:
e) 62;
f) 84;
c) Za koliko je masa Jupitera veća od mase Zemlje;
d) Za koliko je masa Urana veća od mase Zemlje.
219
7. Završno ponavljanje 50. Zapiši u znanstvenom obliku:
a) 0.7774;
c) 0.000000000000562316;
d) 0.1000000078;
e) 0.00000562006.
60. Izračunaj:
b) 0.04000000001;
a) d)
103 ⋅ 108 12
10
109 ⋅ 103 104 ⋅ 10
;
105 ⋅ 10−3
b)
;
2
10
;
c)
10 ⋅ 108 ⋅ 10−6
e
102 ⋅ 10−9
10 ⋅ 102 ⋅ 10 7
10
;
.
144 ; d) 225 ; a)
169 ; 121 .
b) e)
a)
0.16 ;
0.0009 ;
d)
0.0000000064 ;
b)
54. Izračunaj: 2
a) 3 i
c)
4.41 ;
c)
( −3)
2.562 i
; b)
49 ; d) 81 2
( −7)
( −2.56)2 ;
1 2 ; e) 4
7 1 . 9
7 ;
i
d)
( ) , B (2, ) , C (0, ) F (5, ) , G (1.5, )
( −0.01)2 .
0.012 i
1 , D , 4
( ),
, E 1,
d) 3.9 ili
15 ;
b)
3 ili 1.733;
a)
d)
e) −3 2 ili -4.2411.
8 ⋅ 50 ; b) 50 ⋅ 32 ; c) 20 ⋅ 45 ; e) 128 ⋅ 72 .
18 ⋅ 200 ;
58. Izračunaj:
a)
16a 2b 2 ;
d)
144y 2b 2 ; e)
b)
25x 2 ; c)
220
a)
c)
e)
3 5 8
100b 2 ;
36(fg )2 .
59. Pomnoži i pojednostavi:
;
27
e)
50 ⋅ 10 20 72 ⋅ 27 6
3x ⋅ 3x 16
6ax ⋅ 24xa b2
( d) (3x
); 2 7x ) ;
a) 3ab 7
a⋅ a
; b)
36y
;
c)
24 ⋅ 75 72
;
.
2
;
7 ⋅ 28x
c)
( ) ; c) (2a 6 ) 2 e) (5abc 5abc ) .
2
b) xyz 2
2
2
;
( ) ;2 b) ( 3 + 2 ) ; 2c) (1− 2 5 ) d) (2 + 2 2 ) ; e) (5 2 + 2 5 ) . a) 1+ 5
;
81x
.
2
2
2
;
( 3 + 52 ) + ( 2 + 52 ) ; b) (1+ 5 ) + ( 3 − 2 ) ; 2 2 c) (1+ 2 5 ) − (2 3 + 2) ; 2 2 d) (1+ 2 5 ) − (1− 2 5 ) ; 2 2 e) ( 4 6 + 2 5 ) − (5 2 − 2 5 ) . 2
a)
65. Pojednostavi:
(
2
)
a) 9 3 + 4 2 − 6 2 + 8 3 ;
3+
(
)
5 −2 5 +2 3;
b)
c) 4 2 − 6 2 + 3 + 8 3 − 2 3 ;
d) 9 2 + 2 − 4 5 − 6 2 − 2 ;
e) 9 9 − − 2 − 2 − 2 −
c) 3.14 ili π;
57. Izračunaj:
b)
(
(
(
)
) 25 ) + 8 16 .
66. Djelomično korjenuj:
56. Koji je broj veći:
2 ili 1.45;
x . Zatim u koordinatnom
A 4,
a)
d)
2
sustavu ucrtaj te točke i skiciraj parabolu.
;
64. Izračunaj i pojednostavi:
koordinate tako da točke pripadaju grafu funkcije korjenovanja f(x) =
0.000144 .
e)
1 ; c) 16 2
a)
55. Prepiši u bilježnicu pa u kvadratiće upiši
15 8 ⋅ 54
63. Izračunaj:
53. Izračunaj:
25 ; b) 4
korjenovanja pa izračunaj:
a)
d)
361 ;
c)
52. Procijeni koliko će znamenaka imati rezultat
45 ⋅ 12
62. Izračunaj:
52. Izračunaj:
a)
61. Izračunaj:
51. Izračunaj:
( 27 + 3 ) ; b) 2 ( 2 + 50 ) ; ( 125 + 20 ) ; d) 10 ( 40 + 10 ) ; ( 32 + 2 ) .
a)
32 ; b)
8 ; c)
75 ; d)
98 ; e)
12 .
67. Djelomično korjenuj:
a)
180 ; b)
48 ; c) 125 ; d)
27 ; e)
63 .
68. Pojednostavi:
a) 3 12 + 11 − 3 27 − 2 44 ;
b) 2 10 + 72 + 2 40 − 2 8 ;
c) 3 16 + 25 − 27 − 75 ;
d) 7 8 + 2 45 − 2 5 − 6 18 ;
e) 3 8 + 7 9 − 6 12 − 2 24 .
69. Pojednostavi:
2x 2 + x 72 − 3 8x 2 ;
b)
a2 + a 4 − a ;
a)
c) − 3y 2 − 27y 2 − 12y 2 ;
d) 6 5x 2 − 8 20x 2 + 7x + 45x 2 ;
e) − x 40 − 6 10x 2 + 3x 82 .
7. Završno ponavljanje 79. Majina mama ispekla je biskvit za trokutiće
70. Pojednostavi:
( )( ) 2 2 − 5 27 b) ( ) ( − 5) ; c) (3 2 − 4) ( 27 − 5 2 ) ; d) (5 3 − 25 ) ( 108 − 2 27 ) ; e) ( − 6 − 1) ( 27 − 3 2 ) . 2 +1
a)
8 −3 ;
71. Izračunaj:
(
a) 1+ 7
(
)
2
;
(
b)
d) 2 3 + 3 2
)
2
)
pravokutnih trokuta kojima je jedna kateta za 1 cm kraća od hipotenuze, a druga je kateta duga 3 cm. Kolike će biti dimenzije svake kriške? 80. U pravokutnom trokutu duljina jedne katete i hipotenuze nalaze su u omjeru 5 : 13. Opseg
(
2
3− 2 ;
(
od lješnjaka. Kolač treba rezati u obliku
c) 2 5 + 2
e) 2 32 − 4 27
;
)
2
)
2
toga trokuta iznosi 90 m. Izračunaj duljine svih ;
triju stranica i površinu zadanoga trokuta. 81. Može li se nesklopiv kišobran dug 1.24 m
.
spremiti na dno kovčega pravokutnog oblika
72. Racionaliziraj:
a)
d)
1+ 2
;
5 2 7+ 5
b)
3
;
1− 2 2 e)
;
2+ 3
c)
5
−4 3 + 8 2 6
duljine 120 cm i širine 45 cm?
;
82. Majin otac želi vrata ormara unijeti u sobu. Vrata sobe visoka su 205 cm i široka 90 cm, a
.
krilo ormara visoko je 230 cm i široko 210 cm. Hoće li moći unijeti krilo ormara kroz vrata sobe?
73. Za koje brojeve a vrijedi jednakost:
2
a) a = 0.64 ;
9 c) a = ; 121 2
2
b) a = 0.000009 ;
3600 d) a = ; 169 2
2 e) a = 2 . 49
74. Riješi jednadžbe:
a) 3x 2 = 75 ;
b) 4x 2 = 100 ;
d) 25x 2 = 1;
e) 121x 2 = 289 .
c) 9x 2 = 64 ;
a) Kolike su dimenzija stranica ekrana?
b) Kolika je površina ekrana? dijagonale kvadrata u njenom tlocrtu?
85. Kolika je površina osjenčanoga
33 3 25 2525 xx x b)b) b) c)c) c) 3 3 3 xx x
44 4
stranice ekrana odnose se u omjeru 4 : 4.2.
84. Opseg kvadratne kule je 50 m. Kolika je duljina
75. Izračunaj duljinu x na svakoj slici: 55 5 xx x a)a) a)
83. Dijagonala ekrana televizora je 58 cm, a susjedne
2
kružnog vijenca:
24 2424 d)d) d)xx x 26 2626
b) a cm.
15 1515 12 1212
86. Dvokrake ljestve su
20 2020 21 2121 e)e) e) xx x
f)f) f) 16 1616 xx x
xx x g) 22 g) 2g)2.9 2.92.9
11 1 11 1 h)h) h) xx x
76. Ljestve duge 5.5 m prislonjene su uza zid. odmaknemo: a) 1 m;
b) 2.5 m;
c) 0.7 m?
77. Maja živi na prvom katu zgrade, na visini 3 m iznad tla. Ana živi na šestom katu susjedne
Kolika je horizontalna udaljenost njihovih zgrada? Nacrtaj skicu. 78. Luka u geometrijskom priboru ima trokut kojem
5m 5m 5m 5m
Kolika je visina ljestava?
2m 2m
duga je 8.5 m, a kućica je sprijeda široka 6 m. Koliko je visoka kućica?
a) Procijeni njezinu visinu;
b) Izračunaj njezinu visinu.
88. Zadan je jednakokračni trokut s krakom b , osnovicom a i visinom v. Izračunaj element koji
zgrade, na visini 19 m iznad tla. Udaljenost njihovih stanova zračnom linijom je 50 m.
razmaknute kao na slici:
87. Ploča krova planinske kućice
Koliku će visinu doseći na zidu ako ih od zida
Duljina stranice kvadrata je: a) 3 cm;
nedostaje:
a) b = 13 cm; a = 10 cm;
b) b = 3 3 m; a = 2 6 m;
c) b = 17 cm; v = 7 cm;
d) b = 20 cm; v = 4 cm;
je hipotenuza dvostruko dulja od jedne katete.
e) v = 4 cm; a = 4 cm;
Kolika je površina toga trokuta ako je duljina
f) a = 2 2 cm; v = 4 cm.
druge katete 10 cm?
221
7. Završno ponavljanje 89. Duljina visine pravokutnog jednakokračnoga
100. Na slici su prikazana neka geometrijska tijela.
trokuta je 9 cm.
a) Kolike su duljine njegovih stranica?
b) Koliki je opseg toga trokuta?
c) Kolika je površina toga trokuta?
90. Pravilni šesterokut ima stranicu duljine 8 cm.
a) Kolika je njegova površina?
b) Koliki su polumjer i površina njemu upisanoga kruga?
91. Izračunaj površinu jednakostraničnoga trokuta ako je:
a) Prepoznaj sva tijela sa slike i napiši njihova
a) njegova stranica 2 cm;
b) njegova visina
imena;
27 dm.
b) Koliko vrhova ima svako tijelo? c) Koliko bridova ima svako tijelo?
92. Izračunaj duljinu stranice, visinu i opseg
jednakostraničnoga trokuta ako mu je zadana
d) Koliko strana ima svako tijelo?
površina:
e) Koji geometrijski likovi predstavljaju strane?
a) 25 3 cm2;
b)
f) Koja tijela imaju dvije, koja jednu, a koja
2 m2.
nijednu bazu?
93. Izračunaj opseg i površinu romba ako su mu
101. Skiciraj:
dijagonale duge 24 dm i 32 dm. 94. Površina romba je 216 cm2. Kolika je duljina stranice ako je jedna dijagonala duga 18 cm? 95. Kut među stranicama romba je 60º. Kolike su duljine dijagonala ako su stranice duge 2 dm?
osnovicama dugim 149 mm i 37 mm te visinom 90 mm? Nacrtaj skicu.
c) pravilnu četverostranu piramidu;
b) kvadar;
d) valjak;
e) stožac.
102. Izračunaj duljinu prostorne dijagonale i duljine svih plošnih dijagonala kvadra ako su 10 cm. Izračunaj oplošje i obujam toga kvadra. 103. Može li kišobran duljine 70 cm stati u kovčeg
cm2,
a
osnovice su duge 20 cm i 12 cm. Koliki je opseg toga trapeza? 98. Jednakokračni trapez ima dulju osnovicu dugu 162 mm i visinu dugu 85 mm. Dijagonala toga trapeza iznosi 157 mm. Izračunaj opseg i površinu trapeza. 99. Točka A udaljena je od ravnine 3 cm, a točka B 1 cm. Duljina dužine AB je 5 cm. Odredi duljinu dužine A ' B' koja je ortogonalna projekcija zadane dužine ako su točke A i B:
a) kocku;
zadane duljine njegovih bridova: 6 cm, 8 cm,
96. Koliki je opseg jednakokračnoga trapeza s
97. Površina jednakokračnoga trapeza je 64
dug 55 cm, širok 40 cm i visok 15 cm? Objasni svoj odgovor. 104. Može li štap duljine 4 m stati u sobu dimenzija 2.5 m
.3m.
3 m?
105. Može li štap duljine 3.5 dm stati u kutiju oblika kocke kojoj je plošna dijagonala duga 2 2 dm? 106. Duljina osnovnog brida kocke je 5 cm. Izračunaj duljine plošne i prostorne dijagonale. Izračunaj oplošje i obujam te kocke. 107. Može li limar od pravokutnoga komada lima
. 1.5 m načiniti limenu kocku s
a) s različitih strana ravnine;
dimenzija 1 m
b) s iste strane ravnine.
bridom 45 cm? 108. Izračunaj oplošje i obujam pravilne trostrane prizme s osnovnim bridom duljine 2 cm i visinom 6 cm.
222
7. Završno ponavljanje 109. Baza trostrane prizme je jednakokračni trokut
118. Osnovni brid piramide ima duljinu 3 cm, a
s kracima dugim 5 cm i osnovicom 4 cm. Dvije
duljina visine je 5 cm. Koliki je obujam:
strane ove prizme su kvadrati. Izračunaj oplošje
a) pravilne trostrane piramide;
i obujam ove prizme.
b) pravilne četverostrane piramide;
c) pravilne šesterostrane piramide.
110. Stup od gipsa ima oblik pravilnoga šesterokuta. Kolika je njegova visina ako je
119. Oplošje pravilne četverostrane piramide je
za njega utrošeno 8 l mase gipsa, a duljina
osnovnog brida je 8 cm?
O = 96 cm2, a površina pobočja je P = 60 cm2. Koliki je njezin obujam?
111. Oplošje pravilne šesterostrane prizme je
120. Krov crkvenoga tornja ima oblik pravilne
18 3 cm2, a površina pobočja iznosi
šesterostrane piramide. Osnovni brid je 3 m, a
10 3 cm2. Izračunaj obujam te prizme.
bočni 6.8 m. Krov treba prekriti limom. Koliko
112. Za svaku zlatnu polugu kao na slici utroši se 500
cm3
zlata. Baza poluge je jednakokračni
trapez s osnovicama dugim 8 cm i 7 cm te
stoji utrošeni materijal ako se računa s 5% otpada, a cijena 1 m2 lima je 500 kn? 121. Krov ima oblik stošca. Opseg baze krova
kracima od 7 cm.
je 25.12 m, a izvodnica 6 m. Koliko lima je
a) Kolika je duljina svake zlatne poluge?
potrebno za prekrivanje toga krova? Koliko stoji
b) Kolika je masa svake poluge ako je gustoća
utrošeni materijal ako se računa sa 7% otpada, a
zlata 19.3 g/cm3?
cijena 1 m2 lima je 500 kn? 122. Precrtaj u bilježnicu pa nacrtaj osnosimetričnu sliku
113. Tvornica čokolade poznata je po svojim
A
E
neobičnim pakovanjima čokolade.
D
1 cm 2 cm
2 cm
16 cm
3 cm
a) Izračunaj koliko se
cm3
čokolade može
B C
upakirati u ovaj omot ako znamo da 25% obujma ovoga tijela odlazi na prazninu koja se nalazi između čokolade i omota.
b) Koliko je cm2 kartona potrebno za pakiranje?
123. Precrtaj u bilježnicu pa nacrtaj centralnosimetričnu sliku A
E
114. Tijelo je sastavljeno iz spojenog valjka i stošca. Polumjer valjka iznosi 3 cm. Visine obaju tijela
D
su jednake i iznose 5 cm. Izračunaj volumen
S
toga tijela. 115. Izračunaj oplošje i obujam valjka koji nastaje
B C
rotacijom pravokutnika sa stranicama
a= 4 cm i b= 6 cm oko:
a) kraće stranice;
b) dulje stranice.
116. Izračunaj obujam i oplošje stošca koji nastaje
124. Precrtaj u bilježnicu pa translatiraj nactrani lik A E
rotacijom pravokutnoga trokuta s katetama
a = 3 cm i b = 4 cm oko:
a) kraće katete;
D
b) dulje katete.
117. Izračunaj obujam, oplošje i masu kugle polumjera 1 dm napravljene od:
a) zlata (gustoća 19.3 kg/dm3)
b) kvarcnoga stakla (gustoća 2.2 kg/dm3).
B C
I H
223
7. Završno ponavljanje 125. Precrtaj u bilježnicu pa rotiraj nacrtani lik za 60° u pozitivnom smjeru.
A
E
128. Izračunaj:
a) −2.5 + 3.67 =
b) −45.98 −23.45 =
c) −12.3 −5.99 =
d) 8.79 −8.67 =
D
1 + 4.25 = 6 5 h) 0.8 + = 11
2 e) − − 2.2 = 3 2 g) −6.5 − = 7
f)
129. Koliko je metara
C
S
126. Koja od ovih slika prikazuje likove preslikane osnom simetrijom? A
3 dm; d) 234 mm? 10 3 13 130. Koliko je grama: a) kg; b) kg? 4 25 1 1 131. Koliko je minuta: a) sata; b) sata? 2 6
B
D
132. Izračunaj:
B
C
D
7 42 5 6 ⋅ − = b) = ⋅ 14 21 12 15 −17 55 5 −50 ⋅ − ⋅ c) = d) = 44 34 100 −20 a)
133. Odaberi jednostavniji način rješavanja:
A
2 5
a) 1 km; b) 3 cm; c)
7 10 4 9 7 ⋅ + = b) 5⋅ − = 2 3 5 10 10 3 4 4 11 9 − ⋅ + = c) d) −7 ⋅ = 4 9 3 21 14 a) −
134. Izračunaj:
a) 13 −(−4) ⋅ 3 =
b) 6 + 30 : (−6) =
c) −18 : 3 + (−28) : (−7) = B
d) −6 −55 : 5 + 11=
e) 5 −(−8) ⋅ (−3) =
C
135. Izračunaj:
A
D
3 1 + (−2) + 8 ⋅ −7 − 3.5 + = 2 4
a) 4 − 5.3 −
b) 3.6 −[−7.5 −(−12 −5) ⋅ (−2)] ⋅ (−2) =
c) −[−64 : (−16 + 8) −9.9] =
d) −15.45 + 4 ⋅ {1.6 −14:[16 −3 ⋅ (−9 + 12)]} =
136. Riješi jednadžbe: B
C
127. Poredaj gradove prema izmjerenim temperaturama tako da počneš od najtoplijeg grada.
224
a) 7y + y = 64;
b) x −6x −1 = 2x + 5x + 11;
c) 2.5y = 4y + 86.4;
d) 10 −30y −150 = −200y + 20y + 500;
e)
1 3 x +5 = ; 3 2 x 1 x 2 f) − − 2.5 = 1− − ; 6 2 2 3
g) 4x −114 −(6x −120) −(8x −74)=0;
Oslo −11.4 °C, Pariz −3.8 °C, Prag −5.4 °C,
h) 12(0.44 −2x) = −2.88;
Rim 16.5 °C, Beč 0 °C, Zagreb 2.5 °C,
i)
Bern −4.6 °C, London −5.9 °C, Madrid 9.4 °C,
Kopenhagen −12.8 °C, Haag 2.6 °C,
Helsinki −17.2 °C.
Atena 14.4 °C, Berlin 6.4 °C, Moskva −20.4 °C,
2x + 1 3x − 2 2x − 5 x + 1 37 + = − − ; 5 4 2 10 20 2 j) 10 x + − 4 ( 6x − 1) = 6 . 3
7. Završno ponavljanje 137. Lukina baka šest je puta starija od njega. Baka
145. Automobil za 3 sata i 15 min prijeđe
i Luka zajedno imaju 77 godina. Koliko godina
211.25 km. Koliki put prijeđe tom brzinom
ima svaki od njih?
za 2 sata i 45 minuta?
138. Dva para cipela stoje 680.98 kn. Jedan par
146. Luka je za 15.50 kn kupio 40 dag oraha.
stoji 99.12 kn više nego drugi. Koliko stoji svaki
a) Koliko oraha može kupiti za 24.80 kn?
par cipela?
b) Ako želi kupiti 120 dag oraha, koliko će to platiti?
139. U 6.b razredu ima 28 učenika. Djevojčica ima
147. Što je povoljnije, 5 kg jabuka za 17.50 kn ili
za 2 manje nego dječaka. Koliko je djevojčica, a koliko dječaka u tom razredu?
7 kg jabuka za 23.80 kn? 148. Sat u toku 12 sati kasni 3 min i 20 sek. Koliko
140. Nacrtaj rješenja ovih sustava u koordinatnom sustavu u ravnini, spoji ih i dobit ćeš jedan lik.
1 1 A x + y = −1; x + y = –5; 2 3 1 1 B x + 2y = 7 ; 2x + 3 y = 11; 5
će kasniti u 9 dana? 149. 6 radnika očisti dno jezera za 30 dana. Koliko bi radnika trebalo raditi da dno jezera bude očišćeno za 18 dana (pretpostavimo da je učinak svih radnika jednak)?
C 0.2x + 0.3y = –0.7; 1.3x + 2.2y = –5.3;
150. Odredi koliko je 5 % od 12346.
1 2 5 D x – y = 0; x − y = − ; 2 3 6
151. Odredi broj od kojeg 12 % iznosi 187.2.
E 3x + 2y – 4x –9 = 5 – 2y ; 5y – 4x = 23;
F y – x = 2; x + y = 14.
G 2(x –3) + y = 25; 3x –2(y + 2) = 32;
H
I
J 3x – 5y = 6; –2x + 3y = –5;
K x + y = –1;
1 1 x + y = 2 ; x – y = 2; 7 5 x +y 2 x −y =8 − ; x + 2y = 5; 2 3 3 1 1 x + y = 1. 2 3
152. Breskve stoje 86 kn. Koliko će stajati nakon pojeftinjenja od 14 % ? 153. Jagode nakon poskupljenja stoje od 9 % 109 kn. Koliko su stajale prije? 154. U banku je uloženo 7200 kn. Uz koliku će se kamatnu stopu za 40 mjeseci dobiti 1440 kn kamata ako se radi o jednostavnom ukamaćivanju? 155. Koliku svotu treba vratiti klijent banke koji
141. Riješi sustave metodom po želji
želi kredit od 800 000 kn po kamatnoj stopi 4.5 % ako je vrijeme otplate kredita 250
a) 2x −3y = 5
mjeseci? Kolika je mjesečna rata toga klijenta
4x + 5y = −1;
(jednostavni kamatni račun)?
b) x + y = 13 2x −y = 12.5;
8 c) 4x −7y = 3
156. Prikaži podatke o temperaturama zraka u obliku stupčastog dijagrama. Srednja temperatura zraka u Ogulinu(°C) I II III IV V VI −12 −11 −9 −4 3 11
3x + 0.5y −2 = −y;
d) 2(3x + y) + 2 −3(x + 5y) = −9 3(x −7y) + 33 −2(5x −9y) = −8;
Srednja temperatura zraka u Ogulinu(°C) VII VIII IX X XI XII 21 28 28 18 1 −8
142. U koordinatnoj ravnini nacrtaj trokut s vrhovima A(−3, −2), B(0, −4), C(3, 4). Kojoj vrsti pripada taj trokut s obzirom na duljine stranica? Nađi
a) Izračunaj srednju temperaturu za
b) U kojem je mjesecu temperatura najniža,
njegovu osnosimetričnu sliku s obzirom na os y. 143. Najkraća udaljenost od grada A do grada B na
tu godinu.
karti je 12 cm. Kolika je ta udaljenost u km ako
u kojem najviša, a u kojem najbliža
je karta izrađena u mjerilu 1 : 1 000 000?
srednjoj?
144. Dva radnika, Damir i Josip, zajedno su radili
c) Kolika je razlika u temperaturi između
jedan posao. Damir je radio 12 dana, a Josip 15
najtoplijeg i najhladnijeg mjeseca
dana. Zajedno su zaradili 1350 kn. Kako će ih
te godine?
pravedno podijeliti?
225
7. Završno ponavljanje a)
165. Izračunaj nepoznatu duljinu dužine sa
157. Trokuti ∆ABC i ∆A ' B 'C ' su slični. Izračunaj a) a = 1.2 cm, b’ = 4.6 cm, c = 4.2 cm i a : a’ = 1 : 2;
b) a’ = 28 mm, b = 25 mm, c’ = 16 mm i c = 2 cm;
c)
a)
a)
jedinicom).
a)
158. Sjena bora duga je 5.1 m. U isto vrijeme sjena štapa duga je 1.7 m. Koliko je visok bor ako je
2
159. 2.4 kg krušaka i 3.2 kg banana treba platiti treba platiti 69.3 kn. Kolika je cijena jednoga
c)
c)
a) f(x) = 2x + 1;
x
b) f(x) =
b
rast ili pad
4 y
y
sjecište s osi ordinata
168. Koliko vrhova, stranica i kutova ima mnogokut nul-točka
kojemu je zbroj svih unutarnjih kutova 4140°? 169. Koliko vrhova ima pravilni mnogokut kojem je veličina središnjega kuta 20°? 170. Konstruiraj pravilni osmerokut upisan u kružnicu polumjera r = 5 cm.
f (x ) = A(4, 2),
3 x − 1: 4
B(−4, 4),
a) f(x) = 3x + 1; x −3 −2 0 2 3
f(x)
1 c) f (x ) = x − 10 ; 2 x −10 −2 3 4 1 4
226
3
jedne stranice 7 cm?
171. U posudi se nalazi 10 plavih kuglica, 10 zelenih, 4 zlatne i 1 bijela. Ana i Luka igraju se tako da naizmjence izvlače po jednu kuglicu i
1 5 C( , ), 2 8
2 D( − , −1.5). 3
ih prikaži grafički. Tablice prepiši u bilježnicu.
42
5
6
vraćaju je natrag u kutiju. Promatramo koja je kuglica izvučena u bilo kojem izvlačenju. Koliko ima elementarnih događaja?
164. Izračunaj vrijednosti linearnih funkcija, a zatim
2
mnogokut? Koliki mu je opseg ako je duljina
163. Koje od ovih točaka pripadaju grafu funkcije
5
x
4 166. Postoji li xmnogokut koji ima 20 dijagonala?
1 x −3 2
3 x + 2.6 4
x
21
x
5
21 dvadeseterokutu? Koliko dijagonala ima taj 21
y = 3x + 5 y = -7x −11 y = −4.6x + 1.5
y =
14
2
167. Koliki je zbroj6 svih unutarnjih kutova u
162. Prepiši u bilježnicu pa ispuni tablicu: jednadžba pravca a
d)
d)
14
161. Nacrtaj grafove linearnih funkcija:
x
6
150 grama 30-postotnog srebra?
f(x)
b) f(x) = −x −2.5; x −10 −5 2 10 30
f(x)
Odredi vjerojatnost da je izvučena:
a) plava kuglica;
b) bijela kuglica;
c) zelena kuglica;
d) zlatna kuglica.
172. Ana baca kockicu iz igre ”Čovječe ne ljuti se”.
a) Kolika je vjerojatnost da je pala šestica?
b) Kolika je vjerojatnost da je pao broj manji od 3?
36
d)
x
banana? koliko 34-postotnog srebra da bi se dobilo
36
2
c)
14
11
11
kilograma krušaka, a kolika jednoga kilograma 160. Koliko treba uzeti 22-postotnog srebra, a
x
x
5
c) x
duljina štapa 2 m?
7
7
x 5
36
11
b)
20 2
20
x
b)
b) 5
b' 5 = i b’ = 2.5 cm, a = 2.4 cm, c’ = 3.5 cm. b 3
38.4 kn. 5.1 kg krušaka i 2.7 kg banana
7
20 skice (sve su mjere izražene istom mjernom
nepoznate duljine stranica ako je:
b)
c) Kolika je vjerojatnost da je pao broj veći od 3 ili jednak 3?
3 y
3
7. Završno ponavljanje
Primjerak inicijalnog testa u 1. razredu srednje škole (test za 90 min. pisanja)
1. Anina mama imala je na računu −230 kuna.
11. Izračunaj:
Podigla je na bankomatu 500 kuna, a nakon
( )
a) 5 3
toga joj je uplaćena plaća od 3760 kuna. Je
;
15 ⋅ 10
b)
6 c) 3 4 + 8 − 9 + 50 .
;
li sada Anina mama u plusu ili u minusu?
Kakvo je točno stanje na njezinu računu?
12. Katete pravokutnoga trokuta duge su 6 cm i 8 cm. Izračunaj opseg i površinu toga trokuta.
2. Izračunaj: a) 12 + 3 · (−5) −(−7);
b) (−12 −6) : (−5 + 8).
13. Skiciraj prostoručno:
3. Izračunaj: 4 4 1 +3 ; a) b) : 2.4 ; 3 5 2 1 7 6 17 3 2 6 c) 2 + ⋅ − ; d) 16 + 3 − 5 : 15 . 2 3 7 3 1 x + 0.4 = x ; 4 2 b) 2x − (7 + 5x ) = 3 ⋅ ( x − 3) . 4. Riješi jednadžbe:
a) trapez;
b) tupokutan trokut;
c) kvadar;
d) stožac.
14. Izračunaj oplošje i obujam pravilne četverostrane prizme s osnovnim bridom a)
b)
duljine 2 cm i visinom 0.6 dm.
7
15. Izračunaj x20sa slike:
a)
a)
a)
x b)
b)
a) 5
5. Riješi sustav jednadžbi:
2
b)
7
7
2 20
20
36
11
x
x x
3x − y − 2 = 0 y = −2x + 3
2
6. Matijina je baka pet puta starija od njega. Baka i Matija zajedno imaju 72 godine.
Koliko godina ima svaki od njih? c)
d)
x
x
x
x
4
2
6
stranica? Nađi njegovu osnosimetričnu sliku
21
14 x
4 6
23 y
3
5
5
x
2
5
d)
d)
14
vrhovima A(−1, 0), B(2, −2), C(5, 6). Kojoj
s obzirom na os y.
x
c)
c)
14
36
2 c) x
7. U koordinatnoj ravnini nacrtaj trokut s vrsti pripada taj trokut s obzirom na duljine
36
11
11
5
5
4 y
y
6 16. Cijena cipela bila je 329 kuna. Cijena 21
21 je snižena 15%. Kolika je cijena nakon
8. Izračunaj:
2
2 3 a) ( −3) − ; 2
b)
105 ⋅ 10 ⋅ 10−4 10−7 ⋅ 109
sniženja?
.
9. Koliko je 3a 2 − 2a + 1 ako je a = −3?
17. Konstruiraj trokut ∆ABC sa stranicama dugim 4.5 cm, 3 cm i 5 cm.
10. Izračunaj: 2
a) Konstruiraj tom trokutu opisanu kružnicu;
a) (2x − 1) ;
b) (5x − 4) ⋅ (5x + 4) ;
c) (3a − 1) ⋅ ( 4 − a ) ;
2 d) x − (1− x ) (1+ x ) .
b) Konstruiraj točku O u kojoj se sijeku sve tri visine toga trokuta (ortocentar).
227
3
Rješenja 4.0. Uvod
c) E
e) K
E1
11.
p F F1
L1
1.
L A
F 6. a) A
B
2. Simetrala dužine je pravac koji je okomit na tu dužinu i raspolavlja ju. 3. A
o
F1
K1
A
b) B
7. a)
b)
A1
p
c)
O
b)
N
U1
13. a) D
N1
S
C
V
c)
S
S’
C1
A
N
p
R
q N’
B
V 9. a)
S
B1
B
p
A1
c) D
C C1
D1 d)
A 14. a)
B B1
A1
A1
D1
B1
C
A p A1
B
D
C1 D1
b)
c)
d)
M N’
O’ C
R
P1 A1
16.
1
B1
N p
c)
15. a
A
b)
M1
A1
V1
s
O
c)
a a p
P
60°A = A1
q
p
a1
R1
B
17.
B
e) A
V 10. a)
b) D B
D1
B1
s
B
A1
k
b)
C
C
B1
19. a)
A
A
B
C C1
A1 C = C1
4. a)
B1
A1 C1
228
A
C1
R’ C1
B
A
C B1
p
d)
T’
S = S’
b)
U’
b)
C
P
A’
O’ C
e)
A
3. a)
L
V1
P1
M M1
c)
S
S’ S
N’
C1
b)
O
S
S
2. o
O’ O
A p
T
B B1
8. a) b)
S’
T
D1
4.1. Osna simetrija
d)
U
M
D
4. Preslikavanja ravnine
S’
d)
L’
K
S1
V
S’
C’
c)
1. a)
H J’
D’
T1 O1
I’
G
p
c)
V
B’
M’
M1
d)
A’
K’
M
30°
B
N
U 60°
A
G’
B1
I H’
B
A1
C
b)
C
J
B
A B 4. a)
D
p
p B1
A1 c)
12. a)
B1
D1 E
E1 D
B B1
A B
A1 C1
C A1
b)
p
p
A
B
A1
Rješenja
c)
p A
4.2. Centralna simetrija
b) 2
A1
C 0
20. Dovoljno je konstruirati simetralu dužine kojoj su krajnje točke dvije osnosimetrične točke. s A A s s B B1 B C1 B C = C1 A A 1
A1
A
1
C
0
–2
–4
2
4
B1 –4
6
C C1
–8
D
Nc
A
C’
2
–6
B
–2
–4
4
6
8
C1
B
4
A
A’ A
D’ D’1
0 0
2
A’1
–6
6
B1
8
B1
B’1
5. a)
A
4
B
b)
–4
–2
B1
4
A S 0
B
4
B1
y’
2 0 –2 0 C1 –2 –4
2
4
6
A’ 6. a) B’
A p 0
2
4
y 4
B
c)
C B’
A
1
C’
C
b) S B
C’
y’
B’ S
A’
B’
A
–2 –4
B A’
S
B’
C
0 1
B A
A
7. a)
C
A’ S
B
A
A
b)
2
0
C’
C’
y
2
–6
A’ C S
8
6
B
S
C
B
–2
–8
C’
C’
c)
A1 6
B A’
B’
B’
4
C
A’
A1
S
A
B’
34. a) Postoji, to su sve točke koje se nalaze na osi x; b) postoji, to su sve točke koje se nalaze na osi y. 35. y’ = –2x –1, 36. y’ = –2x +1,
6
–4
4
B1
–2
–6
2
–2
2 0
C
B
33. AB = A1B2
8
A1
C
0 –6
A1
T
B1
A1
32.
A
B
T
2
29.a)
A
B
A
p
27. Romb je osnosimetričan lik. D C
A1
T B1
C’1
–4
A
A1
T
C
2
–2
A1
B
6
–2
B
B
3. Duljine novih dužina su jednake duljinama zadanih dužina. B
A’1
31. Kvadrat.
D’
B1
A
A1
S
S
–8
–4
A
S
A
C
A
C’
B B1
A1
–4
B’
D
S D1
B1
–6
–6
25. a) Jednu os simetrije imaju primjerice jednakokračni trokut, jednakokračni trapez, dužina, deltoid, … b) dvije osi simetrije ima primjerice pravokutnik; c) četiri osi simetrije ima kvadrat; 26. Jeste: s
2
B’1 B
C’1
22. Točka S jednako udaljena od tri nekolinearne točke A, B i C je središte opisane kružnice trokutu ∆ABC . 23. Svaki paralelogram nije osnosimetričan lik. Međutim kvadrat, pravokutnik i romb su osnosimetrični likovi. 24.
S
B’
0
C1
C
C 2.
4
β
D1
D1
6
S O
S
D1
A’ 8
C
α
D1
–6
A1
30.
C1
S
S
D
C
C1
C
B
A B1
D
D
–2
C
B1
21.
–6
1.
C1
A’ B C’
C’
A
229
Rješenja c)
C
13. a) D
A’ B’
S
A
d)
A
A’
B’ B
S A A’
C B1
A1
K1
C
B D1
D
C
A1
C1
B1 S
C1
b)
M
S
S
A
A1
6
D1
S
A1
D
K L 10. a) D
E
B’
C
B1 C
B
b)
B’ D S
C’ A
11.a)
B’
B’ A’
B
A
C’
D’
G
A
A = C’
B = D’
e) B’
A’
E
B1
D
C
A’
B’
S B C’
A
C
DS A
12.a) D
B
C
b) D
S A
B’
A’
B
c)
D = B’
C = A’
d)D
C
B’
D’
B1
C B’
A’
G1
e)
D
C
B C’
D’
S
I1
4 2 B A1
B’
A S A’
C’
230
–4
D’
B
S P1
R S1 V R1 20. Slova N i Z.
0S 0 –2
2
4
B1
–4
C Os simetrije je točka A(-1,-2): 2 B
C1
19. Treba osjenčati najmanje 4 kvadratića.
–2
A
C1 18. Svi likovi sa slike su centralnosimetrični likovi osim peterokuta.
V1
B
C1
S
A
P
6
26. Os simetrije je koordinatno ishodište:
S A
4
–8
A
K
–6
B = D’
2
–4
S
A = C’
0
–2
E1
B
D’
–4
2 0 –2
J1 K1 17. Simetralom dužine odredimo polovište dužine AA1 koji je središte S simetrije. Nakon toga odrede osnosimetrične točke točkama B i C. C A1
A’
B C’
–6
L
S
A C’
L1
I
D’
S
C1
–6
F1
J
D’ C’
F S
c) d) C = A’
4
A1
A1
S
A’
S
6
C
D’
D = B’
S
16. C
8
B
C’
b) A
b)
S B
A1
12
A1
S
10
D A
B
14
B1
D’ C
b)
B = D’
A’
C’
D
A
B
B’ S
6
–8
C = A’
C
A
4
C1
–6
A1
15. a)
D = B’ S A = C’
D
S 0
–2
–4
A
D’
D’ B
d)
S
c)
A’ C
2
–4
A’
C’
4
0
c) A
S A
1
–2
F1
S
22. Jednakostraničan trokut, pravilni peterokut i ostali pravilni mnogokuti s neparnim brojem vrhova nisu centralnosimetrični likovi, dok je svaki pravilni mnogokut s parnim brojem vrhova centralnosimetričan lik s obzirom na središte opisane (i upisane) kružnice. 23. Pogledaj rješenje zadatka 22. 24. Da. 25. a) A
–6
S
S
8
D1
14. a) A
A1
B A B
A
F M M1
C1
d)
S
D1
E1
D1
B1
A 9.
c)
C’ S C
C’
C1
21. A1
S
B
D
B 8. a) L1
D
A
e)
C
B’
B1
S
B C’
b)
C
–4
–2
A
0S 0
A1 –2
2
4
–4 –6
B1
C
Rješenja 27. Taj četverokut je kvadrat. B
10. a) B’
e)
4
N
A
A’
2
4
f)
A1
α
N’
c)
N’
B’ A
d)
S
A’
5. 29. a) Os x je centralnosimetrična u odnosu na ishodište; b) centralno je simetrična i u odnosu na točku (–1, 0); c) nije centralnosimetrična u odnosu na točku (0, 1). 30. a) Os x je osnosimetrična s obzirom na os y; b) os x nije osnosimetrična s obzirom na pravac y = x.
B
J
6.
A A’
S R
J’
B’
L L’
E
E’
7. A
A
B
13. a)
R’
B’
S’
O = O’
A
A’
B’
C
c)
C
C’
B B
A S
M’
A
b)
A’
c)
d)
S
A
M
e) B’
C’ M’
9. d)
M’ M
M
S B
A 14.
B’ C’ D
C’
S
15.
D’ S
B
A
N’
N’
A’
B A’
A A’
S
C S
B’
N
B’ f) Isto kao zadatak e).
C
M’
B
B
A
S
A
A’
B’
N’
A’ S
B
A’
S
C
B B’
S A’
S
B’
C’
B’
N N’
A
B
B’
b)
B’
S
A’ S
A’
N
A’
b)
B
8. a)
c)
B’
A’
S
M
B
A
1. A
N
β
S
C = C1
B
C = C’
4.3. Rotacija
A’ 2. a)
α A
A’
11.
A’
β
A
S
B
A’
B
e) C = C’
B’
A
α
β
A
S
B
S
A S
A’ α
3. B’
C = C’
A’
M’
S
S
B’
C = C’
b)
S
B
B’
B
N
–6
M
β
A
B
c) B’ d)
–4
B1
β
A
6
–2
28. a)
α
C = C’
M
S
D
0
C1
A’
M’
0 S
–4D1–2
–6
C = C’
C
2
b)
O 120° S’
16. a) Za godinu dana Zemlja se okrene oko Sunca za 360°;
231
Rješenja usporednim pravcima. , BC i CB, BC i DA, AD i DA, AD i CB d) da. AB i BA , AB i CD , DC i CD , DC i BA 8. a) Ne; b) da; c) ne; BA, AB orijentacija i CD , DC i CD AD i DA 9. a) Istog smjera;AB b) iJednaka i , DC i BA, BC i CB , BC i DA , , AD i CB . 26. a) AS suprotna orijentacija. , SA , SC ,CS , DS , SD , SB i BS ; b) AS = SC , CS = SA, DS = SB, BS = SB . 10. Međusobno su vektor jednakih orijentacija D C AB, EF i GH . Isto tako vektori DC i PR su S jednakih orijentacija. B BA ° 11. AB , , BC ,CB ,CD , DC , AD , DA, AC ,CA, BD i DB 120 B A A AB, BA, BC ,CB,CD , DC , AC ,CA, BD i DB . , AD , DA ° 75 CD DC a) DC i ; b) ; 4.5. Zbrajanje i oduzimanje vektora i DA c) BC , CB . ; d) BC BE DC CD DG GD GC CG 12. a) BA , AE , EA , EB , , , , , , , ; 1. Kao u Primjeru 1. a) c) Neće jer plavi i crveni trokuti nisu , AD b) CB 2. Primjerice sukladni; , BF , FB , FC ,CF , DA , AH , HA, HD , DH ; c) FE , HG ,GH ; d) HE ,GF , FG . d) Hoće, oko točke S koja je sjecište A B C D E F G H 13. a) AE , EB, DC , DG ,GC ; simetrala dužina AA ', BB ' i CC ' za kut 75°. 3. Kao u Primjeru 1. b) c) d) b) BF , FC , AD , AH , HD ; c) nijedan; 4. Primjerice: A S d) FB , CF , DA, HA , DH ; e) HG ; g) FG . 75° A B C’ C BA SC i AC 14.a) DC ; b) ; c) ; B A B A’ d) DS i DB ; e) SA i CA ; g) BS i DB . BD A B C D
b) u jednom danu Zemlja se također okrene za 360° ali oko svoje zamišljene osi (pravac koji prolazi kroz Sjeverni i Južni pol). 17. a) Hoće, oko vrha A za 75°; b) Hoće, oko vrha B za 120°; a) b)
5. B’ 18. a) za 90°; b) za 180°; c) za 270°; 19. Pri rotaciji jednakostraničnog trokuta oko središta opisane kružnice za a) 120°, b) 240° c) 360°
jednakostraničan trokut se poklopi sa svojom slikom. 20. D = A’ C = D’
B = C’ A4 Pravilni šesterokut će se preslikati sam na sebe pri rotaciji oko središta A3 opisane kružnice za kut 60°, 120°, 180°, 240°, 300° i 360°. A2 A1 22. Pravilni peterokut će se preslikati sam na sebe pri rotaciji oko središta opisane mu kružnice za kut 72°, 144°, 216°, 288° i 360°. 4.4 Vektori 1. KL K
M
p A L Q
C
A B 20. Vektori AB i BA . To su dva međusobno suprotna vektora, tj. AB = − BA . 21. a) AE = – EA b) −EF ; = FE ; c) FG = – GF ; d) −CF = FC 22. a) Jesu jer imaju jednaku duljinu, isti smjer i jednaku orijentaciju. b) Nisu suprotnu orijentaciju. jer imaju c) AB = − DE d) Nisu suprotnu orijentaciju. jer imaju e) BC = − EF . 23. Jesu. G C 24. D H
L
D
O
3 cm 5 cm N M a) Paralelogram; b) Uvijek ćemo dobiti paralelogram. 6. B A
F C
G H D E 7. a) BC ; b) DF ; c) LK ; d) ON ; e) IG . A A 8. a) b) AB + BC B
A = B’ 21. A5 S A 6
B
Q
AB + BC
270°
2. BA a 3.
15. Zapadnjak (pulenat) i istočnjak (levant); bura i lebić; sjevernjak (tramuntana) i pravo jugo (oštro); maestral i jugo (šiloko). 16. Ako imaju jednaku duljinu, te isti smjer i jednaku orijentaciju. 17. Imaju jednaku duljinu i isti smjer. Različita im je orijentacija, naime suprotne su orijentacije. 18. Međusobno jednaki vektori su: AB, EF i GH . Vektor PR suprotan je vektorima AB, EF i GH . C 19. D
A B
G
B c) D
C
9.
B
A
AB + BC A
C B 6 cm
N=P
D
Q
3 cm M 10. a) F1 ; b) F2 ; c) F2 ; d) F3 ; e) F2 . 11. a) F’2
F1
F
12. a) F2 F1 c)
F2
b)
F2
F
T F1
F
F’2
F’2
d) F’ 2
F’2
F1 F R P 4. Udaljenost početne i završne točke. W F2 13. a) b) = 5 cm , BC 5. a) AB = 3 cm, PQ = 4 cm, LK a) AB , BA , CB , CD , DC , AD , DA, AC ,CA, BD i DB F’1 AB, BA, BC ,CB,CD , DC , AD , DA, AC ,CA, BD i DB. GH = 2 cm i EF = 4 cm. b) b) PQ i EF ; c) AB Međusobno jednaki vektori su: , LK ,GH . F AB i DC , BC i AD , BA i CD , CB i DA . 6. a) Šest vektora: AB, BC , AC , BA,CB,CA ; F2 7. za vektore koji pripadaju istom ili Suprotni su međusobno vektori: 120° F1
232
d)
AB + BC
F
A E B a) S vektorom AE jednaki su vektori EB, DG i GC ; b) vektoru EF jednak je vektor HG ; c) vektoru FG jednak je vektor EH ; d) s vektorom CF jednaki su vektori FB, DH i HA . 25.
C
C
F F1 A1
F2
F’1 F2 30° F1
F
Rješenja
F’1
c)
4.6. Translacija
d)
F1
1. Pogledaj Primjer 1. 2. Pogledaj Primjer 2. 3. Pogledaj Primjer 3. B’ 4. B C p A 5. Točka S translacijom za vektor SA preslikala se u točku A.q
F
F
F2
F2
F’1
90° F1
14. Zbroj sila ovisi o kutu pod kojim djeluju te sile. Što je kut manji rezultantna sila je veća. Najveća je kada sile djeluju pod kutom od 0° (tj. kada su vektori sila F1 i F2 istog smjera). 15. Rezultantna sila iznosi a) 50 N; b) 0 N. Prokomentiraj oba slučaja! 16. a) AC ; e) SC ; b) AB ; c) 0 ; d) SD ; f) AB . + NM = 0 ; 17. a) AC + CA = 0 ; b) MN c) PQ + QP = 0 ; d) KL + LK = 0 . 19. a) b) A A AB – BC
S q’
p
7. B
C
S
S’
c) D
d)
C
A AB – BC
M
B
N
S
J
9.
B
C K
c) d)
G
B
K’ b)
A
c)
A
D
C
B
12.
C
21.
–2
0 B’ –2
A’ v’a 0
2
4 A 6 N’ C’ va
C’
A 120°
B
F
C
C’
a = BC = B 'C ' = a ' = 4 ; va = va' ' = 3 4 ⋅3 P =P'= = 6 jed. kv. 2
C
c = AB = va2 + BN
B = A’
B’
va2
b = AC =
+ CN
2
= 9 + 9 = 2 ⋅9 = 3 2
2
= 9 + 1 = 10
b = b ', c = c ' , stoga je i o = o ' = 4 + 3 2 + 10 . 22. 4 2
A
T
B
F
B’
E
B
C
a) b) c) 16. CF – AF = CA BT – CT = BC CT – AT = CA A
N C
–6
A’
D
C
B
BD – CD = BC
E
T
L’ (10, –4)
4
AB – CB
B
10
L
B D = A’
A 13.
8
A’ (1, –6)
c)
AE – BE = AB
E
B’
A
B
6
–6
C’
C’
A
K’
KL – MN
C
I’ (7, 1)
–4
B’
L’ = N’
M’
b)
F
A
–4
b)
T
I
C’ (4, 2) 0 O T’ (2, 1) –4 0 2 4 V’ (–1, –1) –2 K L
S = A’
CA – BA
D
V
G’
MN – KL
A
4
2
2
HI – IG
N’
AT – BT = AB
0 C 2 C’
6
60° C A’
45°
10.
M
B
0
C 4
B’
11.
BC – AC
–2
B’
I
N
24. a)
–4
K’ (5, –4)
O
C
A’
B’
20.
C
M
MN – OM
M’ = L’ 23. a)
A
L
H
a)
4 D’ 2
–6
LJ – JK
N
D
B
A
K
6
B
T
M’
A
A’
B’
B
S’ K’
L
A’ A
–2
D
A
22.
A
B
A
C’
C
C’ C C’ 20. a) b)
BA – AC
D’
D
B’
C
B C’
AB – BC A
MN –MN
C’
S
C’
B
18.
A’
C
C
D’
D
8. B
S’
A
B
C’
S
19.
p’
6. A
C’
AB – BC
17.
A
A
D
A
A 4
0 –2
0
2
6
Duljina vektora translacije AA ' jednaka je
AA ' = 32 + 6 2 = 45 = 3 5 . 23.
C
A
B
A’ D
T
E
D
T
E
D
T
E
A
D’
B
C’
F
C
B
F
C
B
F
C
B’ B’’
B
A’’
A’
B’
233
Rješenja 24.
3.
S
E
14.a)
D
C
B’
60° 60°
D
C
D’’
E’’
D’
C’’
4. Poruka stigla. O 8. a)
E’ A’’ A
B’’
B
p
A1
A’ C’
A
27.
B
Pitanja za ponavljanje:
10.
1. Osna simetrija, centralna simetrija, rotacija, translacija. 2. Likovi se praslikavaju u sukladne likove. 5. Paralelogram nije osnosimetričan lik, ali je centralnosimetričan. 6. ... nepomične točke S za kut od 180° 7. Rotacijama oko sjecišta dijagonala S kvadrata za 90°, 180°, 270° i 360°. 8. Rotacijama oko središta trokutu opisane kružnice S (koja je u tom trokutu i središte upisane kružnice, težište i ortocentar) za 60°, 120°, 180°, 240°, 300° i 360°. 9. Vektore prikazujemo usmjerenim dužinama, a usmjerena dužina ili vektor je dužina za koju je istaknuto koja je od njenih krajnjih točaka početna, a koja završna točka. 10. Za vektore koji leže na usporednim pravcima (ili na istom pravcu) kažemo da imaju isti smjer.
B1 C C1
A A1
F
A
B
A1
B1
p
A’
L
20.
C’
G
K
G’
W
Y
d)
S
30°
S
Y’ W’
S’ T’
P P’
F 90°
F1
C B
B = B’
A = A’
B’
A A’ A D A’
C
B’
K’ O
A’
S
13.
F1
F’1
C’
60°
T
A
30°
C
B
C’
A
75° B
D
G
I
b)
B’ A
C’
c)
A’
D B
O’
C
E
F
H
H’
F’
E’
A
A’
2. C’
B
75°
C
D B’
B’ I’
234
F
60°
D’
c)
F’1
F2
F
D
L’
F’1
F’1
C’
H
–90°
c)
F1
21. a)
H’
C
F1
F2
F2
Zadaci za ponavljanje: D’
A
G’
D’
B
S
b)
C
60°
A’
B’
B
C’
b)
B
S
B’ B f)
90°S
30°
D
0°
C
60° A = A’
30° A’
B’
B
F2 30°
B’
B
–60°
e) A
A’
12. a)
B’
B’ A’ 16. AB = DC , AD = BC , AS = SC , BS = SD . 17. D G C a) CD ; b) AD ; H c) nijedan; d) DA ; F e) GH . A E B 18. a) DF ; b) LK ; c) ON ; d) IG . 19. a) F
A
p
c)
S
S
C1
A
D’
A A
–30°
B
B A’
A’
B
A’ d) A’
A
D1
C
D1
T’ D
B G
E c) D
T
C A’
S
D’
b)
60° S
b)
C
A H
4.7. Ponavljanje
A
S
U’
T’
D
Jednakostranični trokut će se preslikati na sebe samoga, sve dobivene slike čine pravilni šesterokut.
A
r
9. a)
60°
B
B’
U
T
S’
U’ A’
A
S’
S
D’
d)
U
C’
15. a)
R1
C
B’
B’
C
q
D’ D
C’ A B’
D
P
N1
O1
c) D
C’ C A’ c)
B D’
R
P1
M B’
A
b)
N
A C’ d)
M1
D
C
1.
B D B’
b)
S
C’
26.
A
p
25.
A’
S
A’
75° B’
C’
B
C
C’
Rješenja Primjerak oglednog testa: 1. a)
d)
b)
S A S’
k B
2.
3.
Q Q’
E
D
C
A a)
5.0 Uvod
S
D1
A1 5. Četverokut ABCD je paralelogram. A B S D B = B’
4. U svakom pravokutnom trokutu je površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka zbroju površina kvadrata nad katetama. 5. Jednu.
E
F
E
F
D A
c)
H
E
E
C
C B
G
D A
C
B
F
A
1. a) sijeku se
D A
B G
C Duljina dužine BC 2 cm jednaka je polovini S v 2 cm visine A jednakostraničnog S’ k trokuta duljine B stranice 2cm, tj. k’ 2 3 BC = 2 ⋅ = 2 3 cm. 2 c) C AB + BC = AC . S Duljina vektora AC je 2 cm. A S’ k B k’
F
D
H
E
C
A B c) mimosmjerni d) usporedni
F
C B
D
H
A
G
F
D
H
E
G
D
G
F
D
C
A
H
E
C B
G F
D A
C
B
f) sijeku se H
G F
E
F
D
C
C
A B A B d) ABFE e) DCGH H
A
G
D
F
C
D
B
A
E
G F
C
b) ADHE c) BCGF E
E
G
E A
H
F
H
b) usporedni G
D
a) EFGH
S’ k’
B
C
H E
C
5.2. Međusobni položaj dvaju pravaca u prostoru
B
E
2.
D
8. a) ABC; ADE; ABF; b) ABC; DCG; BCG; c) EFG; ABE; ADE. 9. a) ABC; ABF; ABG; b) BCG; DCG; ACG; c) ECA.ECB; EFC 10. a) AB, BC , CD , DA; b) EF , GH , FG , HE ; c) AB, BC , CD , DA; d) DC , CG , GH , HD; e) AE ,CG f) DH,BF . 11. Pogledaj kvadar ABCDEFGH i napiši pravce određene vrhovima kvadra koji leže u ravnini: a) AB, BC, CD, DA, AC, BD; b) FG, GH, HE, EF, FH, EG; c) AB, BC, CD, DA, AC, BD; d) DC, CG, GH, HD, DG, CH; e) AC, CG, GE, EA, AG, EC; f) FH, HD, DB, BF, FD, BH.
F1
k
G F
H
S
H
F
A
b
F2
F
B
b)
3.
1. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH, pa oboji ravnine G G a) H b) H
F’2
A G
D
b 2.
5.1. Točke, pravci i ravnine u prostoru
A’ 7. a) Slika vrha A pri ovoj rotaciji je vrh C. b) Slika vrha B pri ovoj rotaciji je vrh A. c) Slika vrha C pri ovoj rotaciji je vrh B. 8. a) AF = CD ; b) AB i DE , EF i BC . 9. Zadani su sile F1 i F2 . Grafički odredi rezultantnu silu.
C
A
a
C 6. A
D
B H
E
C1
B
A
b)
F
C
1. Točka može pripadati ili ne pripadati pravcu.
B1
E
D
5. Pravci i ravnine u prostoru
P
M M’
10. a)
F
C’ α
k’
P’
4.
3. a) DCGH; b) EFGH; c) BCGF; d) BCHE; e)DBFH. 4. Koji još vrh kvadra ABCDEFGH pripada ravnini: a) D; b) E; c) A; d) G; e) E; f) B. 5. a) D- da; ostale - ne; b) A, B - da; ostale - ne; c) B, D - da, ostale - ne. 6. a) EFGH; b) ABCD; c) EFGH; d) ABEF; e) BDHF; f) ACEG. 7. a) H b) H G G
C
B
A
B
e) mimosmjerni 2. Moguća različita rješenja 3. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i odredi u kojem položaju se nalaze zadani pravci: a) sijeku se; b) mimosmjerni; c) usporedni; d) sijeku se; e) mimosmjerni; f) usporedni. 4. Moguća različita rješenja 5. Moguća različita rješenja 6. Moguća različita rješenja
C B
235
Rješenja 5.3. Međusobni položaj pravaca i ravnine u prostoru
e)
H
E
1. Napiši u kakvom položaju se nalaze zadani pravac i ravnina. a) probada; b) usporedan; c) usporedan; d) probada; e) leži; f) probada. 2. Moguća različita rješenja 3. a) b) H
G
E
H
F
D
E
F
C
A
D
B
c)
G
C
A
H
B
d) H
G
G
E E
F
F
G
f)
H
G
F E
D
C
F
D
C
A B A B 6. Nacrtaj kvadar ABCDEFGH i istakni ravnine koje nemaju zajedničkih točaka s pravcem: a) DCG, EFG, EFC; b) EFG, ADH, ADG; c) EFG, ABF, ABG; d) ABC, ADH, BCH; e) nema; f) EFG; g) BCG, DBF,DCG; h) BCG, ABF, ACG. 7. a) leži; b) usporedan; c) probada; d) probada; e) usporedan; f) leži. 8. Moguće više rješenja 9. Moguće više rješenja 10. Moguće više rješenja 5.4. Međusobni položaj dviju ravnina u prostoru
D
C
A
B
e)
H F
B H
G
E
F
D
D
C
C
A
B
4. a)
C
A
f)
G
E
D
A
H
b) H
G
E
B
F
G
E
F
D
D
C
C
A c)
B
A
H
E
F
A
F
B
B G
E
D
E
C
A G
H
D
b) H
F
A
G F
C
A 5. a) H
c)
H
E
D
E
B
f)
G
F
D
C B
G
A
H
d)
F
236
A
B
G
D
C B
C
F
E
D
5.5. Okomitost pravca i ravnine. Okomitost dviju ravnina
C
D
B
E
G F
C
H
H
E
D
A e)
B
d)
G
A
C B
1. a)sijeku se; b) usporedne; c) sijeku se; d) usporedne. 2. a) EFG; b) ABC, DCG, EFG, ABF; c) BCG; d) ABC, BCF, EFG, ADH, ABF, DCG. 3. a) usporedne; b) sijeku se; c) sijeku se; d) sijeku se; e) sijeku se; f) sijeku se; g) sijeku se; h) usporedne. 4. ABC i EFG, BCG i ADH, ABF i DCG. 5. Ti pravci mogu biti usporedni ili mimosmjerni. 6. Da. 7. a) AD, AE, DH, EH; b) DH, BF; c) AB, BF, EF, AE. 8. a) AE, FB, GC, HD; b)AB, EF, CD, GH, AD, BC, EH, FG; c) AB, DC, EF, HG. 9. a) AF, AG, AH, BE, BH, BG, CE, CF, CH, DE, DF, DG, AC, BD; b) AC, AF, AH, AG, CF, CH, CE, GB, GE, GD, ED, EB; c) BG, BD, BE, BH, CF, CA, CH, CE, GE, GD, GA, FH, FA, FD. 10. Ne.
1. a) AE, BF, CG, DH; b) AE, BF, CG, DH; c) BA, CD, GH, FE; d) BA, CD, GH, FE; e) AD, BC, EH, FG; f) AD, BC, EH, FG. 2. EFG HE DHE DH ABF AB 3. a) ABF, DCG; b) EFG, ABC; c) ADH, BCG; d) ADH, BCG. 4. Promotri ravnine određene dijagonalama kvadra. Napiši pravce koji su okomiti na zadane ravnine: a) BD, FH; b) FC, ED; c) EB, HC. 5. Dva. 6. Nabroji ravnine određene bridovima kvadra ABCDEFGH koje su okomite na ravninu: a) ABF, BCG, DCG, ADH; b) ABF, BCG, DCG, ADH; c) ABF, ABC, EFG, DCG; d) ABF, ABC, EFG, DCG; e) ADH, ABC, BCG, EFG; f) ADH, ABC, BCG, EFG. 7. Spoji parove okomitih ravnina EFG HEF DHE DHE ABF ABC
8. Moguća različita rješenja. 9. Nema ih. 10. Moguća različita rješenja. 11. Okomitom.. 12. Usporedne. 13. Da. 14. a) Na simetrali te dužine; b) U ravnini određenoj simetralom dužine i okomitom na tu dužinu. 5.6. Ortogonalna projekcija točaka na ravninu 1. a) E; b) D; c) F; d) D; e) C. 2. a) D; b) H; c) G: d) H; e) E; f) H. 3. a) C; b) G; c) C: d) D; e) B; f) C. 4. a) sjecište dijagonala pravokutnika EFGH; b) polovište dužine BC; c) polovište dužine CD. 5. a) sjecište dijagonala pravokutnika ADHE; b) ista točka; c) polovište dužine CG. 6. Sjecišta dijagonala pojedinih strana kvadra. 7. a) EF ; b) AC ; c) C; d) HE ; e) DG . 8. a) BC ; b) FG ; c) FG : d) EH ; e) F; f) G. 9. a) AD ; b) EH ; c) BG : d) AH ; e) AE ; f) DH . 10. a) EG ; b) BC ; c) DC . 11. Odgovarajuće dijagonale pojedinih strana kvadra. 12. Moguće više rješenja. 13. Duljina ortogonalne projekcije neke dužine je manja ili jednaka duljini same dužine. 14. a) 5 cm; b) AB ; c) 3 cm. 15. FG , FG = 6 cm 5.7. Udaljenost točke od ravnine 1. a) 4 cm; b) 4 cm; c) 3 cm; d) 3 cm; e) 2 cm. 2. a) 5 cm; b) 0; c) 4 cm: d) 0; e) 2.5 cm; f) 0. 3. a) 15 cm; b) 3 cm; c) 2.5 cm. 4. 3 cm od ABC i EFG; 2 cm od ADH i BCG; 0.5 cm od ABF i DCG. 5. a) 3 cm; b) 21 cm. 6. a) 6 cm; b) 96 = 4 6 cm. 7. a) 10 cm; b) 68 cm. 8. a) 73 cm; b) 5 cm. 9. 6 cm. a a 2 5 = 3 . 10. 11. . 2 2 2 5.8. Ponavljanje Pitanja za ponavljanje: 1. 3 nekolinearne točke. 2. 3 točke, dva pravca, pravac i točka koja mu ne pripada. 3. 2. 4. Međusobni položaj dvaju različitih pravaca u ravnini: - Pravci se sijeku. - Pravci su usporedni. 5. Međusobni položaj dvaju različitih pravaca u prostoru: - Pravci se sijeku, imaju jednu zajedničku točku; - Pravci su usporedni, nemaju zajedničkih točaka; - Pravci su mimosmjerni, nemaju zajedničkih točaka. 6. Međusobni položaj pravca i ravnine u prostoru: - pravac leži u ravnini, imaju beskonačno mnogo zajedničkih točaka; - pravac probada ravninu, imaju jednu zajedničku točku; - pravac i ravnina su usporedni, nemaju zajedničkih točaka.
Rješenja 7. Međusobni položaj dviju različitih ravnina u prostoru: - ravnine se sijeku, imaju zajednički jedan pravac, presječnicu; - ravnine su usporedne, nemaju zajedničkih točaka. 8. Pravac je okomit na ravninu ako je probada i ako je okomit na svaki pravac te ravnine koji prolazi probodištem. 9. Dvije ravnine su okomite ako u jednoj ravnini postoji pravac koji je okomit na drugu ravninu. 10. Ortogonalna projekcija točke na ravninu je probodište okomice kroz tu točku na zadanu ravninu. 11. Ortogonalna projekcija dužine koja nije okomita na ravninu projekcije je dužina. Ortogonalna projekcija dužine koja je okomita na ravninu projekcije je točka. Ako dužina leži u ravnini, onda je ona sama sebi ortogonalna projekcija. Zadaci za ponavljanje: H G 1. a) E
F
21. a) F; b) C; c) G; d) A; e) G. 22. a) A; b) E; c) B: d) A; e) A; f) D. 23. a) AB ; b) EF ; c) B; d) A; e) AB ; f) DC . 24. a) FH ; b) BC ; c) CD . 25. 5 cm, točke E, F i H. 26. a) 0 cm; b) 4 cm; c) 3 cm: d) 0 cm; e) 0 cm; f) 5 cm. 27. a) 24; b) 624 . 28. a) 15; b) 13. Primjerak oglednog testa: H
1. E
G F
D
C
A B 2. a) A, D, H, E; b) B, C, G, F. 3. Primjerice: a) b) H H G E
F
b)
H
E
E
G F
D
D
A
c)
H
E
C B
G
D A
G F
C B
A c) H E
D
C B
A
C B
G F
F D D
C
A B 2. a) E, F, G, H, EF, FG, GH, HE, EG, HF; b) B, C, F, G, BC, CG, GF, FB, BG, CF. 3. a) A, B, E - da; b) G, E - da; c) A, D, E - da. 4. Pogledaj kvadar ABCDEFGH i napiši vrhove kvadra koji ne leže u ravnini: a) A, D, H, E; b) A, B, E, F; c) A, B, C, D. 5. a) ABC, BCG, ABF; b) DAB, DCG, HDA; c) FGH, FBC, FBA. 6. a) ABC, BCG; b) ABC; c) ni jedna strana kvadra. 7. Više rješenja 8. a) usporedni; b) usporedni; c) sijeku se; d) sijeku se; e) usporedni; f) mimosmjerni. 9. Više rješenja 10. Više rješenja 11. Više rješenja 12. Više rješenja 13. a) AB, BC, CD, DA; b) BC, CG, GF, FB; c) AB, BF, FE, EA. 14. a) ADH; b) ABF, BCG, CDH, ADH; c) ABF; d) sve strane kvadra; e) ABC, ABF, EFG, DCG; f) ADH, DCG, BCG, ABF. 15. a) okomite; b) okomite; c) okomite; d) sijeku se; e) okomite; f) okomite. 16. a) EA, HD, GC, FB; b) svi bridovi osim AE i CG; c) AB, DC, EF, HG. 17. a) ADH; b) ABC, ABF, EFG, DCG. 18. a) HG, GC, CD, DH; b) FG, EH, AD, BC. 19. Napiši ravnine kojim je zadani pravac okomica: a) ADH, BCG; b) ABF, DCG; c) ABF, DCG; d) EFG, ABC. 20. a) ABF, ABC, DCG, EFG; b) EFG, ABC, ADH, BCG; c) ABF, BCG, DCG, ADH.
C
A B 4. a) AE, BF, CG, DH; b) AB, BC, CD, AD; c) EF, FG, GH, EH. 5. Primjerice: H E
G F
D
C
A B 6. Primjerice: a) ABC i BCG; b) ADH i BCG; c) ABF i AFG. 7. a) G; b) F. 8. a) FG ; b) AH . 9. a) 12; b) 168 .
6. Geometrijska tijela 6.0. Uvod 1. Opseg mnogokuta je zbroj duljina stranica mnogokuta. 2. Trokut O = a + b + c; pravokutnik O = 2a + 2b; paralelogram O = 2a + 2b; kvadrat O = 4a; romb O = 4a; rapez O = a + b + c + d; pravilni mnogokut O = n ⋅ a. a ⋅ va b ⋅ vb c ⋅ vc = = 3. P = . 2 2 2 2 a 3 4. P = . 4 2 2 5. c = a + b2 , gdje su c duljina hipotenuze, a a i b duljine katete pravokutnog trokuta ABC.
6. Kvadrat P = a2 , pravokutnik P = a ⋅ b . e ⋅f 7. P = , gdje su e i f duljine dijagonala 2 romba. 8. mm3, cm3, dm3, ... 6.1. Vrste geometrijskih tijela 1. a) četverostrana prizma kojoj je baza trapez; b) stožac; c) osmerostrana prizma; d) kugla; e) trostrana piramida; f) valjak. 2. a) šesterostrana prizma, šesterostrana piramida, peterostrana prizma, četverostrana piramida, kocka; b) 12, 7, 10, 5, 8; c) 18, 12, 15, 8, 12; d) 8, 7, 7, 5, 6; e) 2 šesterokuta i 6 pravokutnika, 1 šesterokut i 6 jednakokračnih trokuta, 2 peterokuta i 5 pravokutnika, 1 kvadrat i 4 jednakokračna trokuta, 6 kvadrata. 3. kugla, piramida, kvadar, valjak, valjak, valjak. 5. valjak i stožac, kvadar i piramida. 6. a) netočno, b) točno, c) točno, d) točno, e) točno. 6.2. Osnovno o prizmama 1. a) četverostrana prizma; b) peterostrana prizma; c) šesterostrana prizma; trostrana prizma; četverostrana prizma. 2. a) osmerostrana prizma; b) deseterostrana prizma; c) šesterostrana prizma. 3. a) deseterostrana prizma; b) osamnaesterostrana prizma; c) trideseterostrana prizma; d) stotreostrana prizma. 4. a) 1 i 3; b) 4; c) 5 i 6; d) 2. 5. ne postoje, jer ne postoji geometrijski lik omeđen s dvije stranice. 6. 1, 3, 5, 7 i 9. 7. četverostrana prizma, trostrana prizma, deseterostrana prizma, četverostrana prizma, četverostrana prizma, peterostrana prizma, trostrana prizma. 9. a) 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9; b) 2, 5, 10; c) 1, 4, 6, 7, 8, 9; d) 3; e) 1, 8; f) 1, 6, 7, 9; g) 7, 9; h) 8. 6.3. Kvadar 1. b) D = 6,1 cm. 2. a) 10 2 cm; b) 8.13 mm; c) 8.49 cm; d) 30 cm. 3. a) 13 dm; b) 7.45 cm; c) 7.91 dm; d) 18.12 dm. 4. Ne, jer je prostorna dijagonala kofera duga 69.64 cm. 5. Da, jer je prostorna dijagonala kutijice 7.4 cm. 6. Da, D = 4.92 m. 7. a) 6 dm; b) 6 cm; c) 9.74 mm; d) 62 dm. 8. Kvadratna prizma ili pravilna četverostrana prizma, D = 10.68 9. plošne dijagonale: 4.72 cm, 7.46 cm, 6.78 cm, prostorna dijagonala 7.87 cm. 2 10. 2 55 . 11. 5 . 2 2 12.a) 62 cm ; b) 26 cm2;
c) 62.5 cm2; d) 12 + 16 2 . 13. a) 192 dm2; b) 105.8 cm2 ili 10580 mm2; c) 106.5 dm2; d) 524.4 dm2.
237
Rješenja 17 2 cm; d) cm. 11 2 15. Trebat će papir širine najmanje 12 dm i duljine najmanje 14 dm, O = 108 dm2; b) širina najmanje 10 cm, duljina najmanje 11.4 cm, O = 73 cm2; c) širina 32 cm, duljina 100 cm, O = 1400 cm2; d) širina 6.25 dm, duljina 11.95 dm, O = 26.56 dm2. 16. 77 cm. 17. a) Za mrežu će nam trebati papir širine najmanje 11 cm i dužine najmanje 13 cm, čija je površina 143 cm2. Oplošje kvadra je 98 cm2; b) Za mrežu će nam trebati papir širine najmanje 11 cm i dužine najmanje 11 cm, čija je površina 121 cm2. Oplošje kvadra je 91 cm2; Za kvadar u zadatku a) ćemo potrošiti više papira. 18. Limar za cijev treba rezati komade lima širine 11 cm (2 · 4 + 2 · 1.5). Može izrezati 9 komada dužine 1,5 m ili 13 komada dužine 1 m, a to mu nije dovoljno za 15 m cijevi. 19. Može, ako izreže tri trake lima širine 20 cm i dužine 45 cm. 20. c = 63 , O = 420 + 58 63 . 21. O = 184.5 cm2, D = 10.22 cm. 22. O = 312 cm2, D = 2 43 cm. 23. a) O = 528.08 cm2, D = 16.69 cm; b) O = 648 dm2, D = 18.55 dm. 15 24. a) 9.5 mm; b) mm; 4 c) 20 cm; d) 5.54 m. 25. a) 12 5 , b) 24 2 . 26. a) 3 29 ; b) 4 73 . 27. a) 4 29 ; b) 34 . 28. 9 61 cm, 5 117 cm, 6 106 cm. 29. 15 cm. 30. a) 12 cm; b) 192 cm2. 31. Visina kvadra je 5 cm, a duljina dijagonale baze je isto 5 cm. Znači da su stranice baze duge 3cm i 4 cm. O = 94 cm2. 32. b = 3 2 cm, a = 3 cm, a) 18(1 + 2 2 ) cm; b) 3 5 cm. 14. a) 3 cm; b) 1.5 cm; c)
6.4. Kocka 1. b) 4 3 cm. 2. a) 5 3 cm; b) 4.5 3 mm; c) 2.37 cm; d) 2 6 dm. 3. Ne, jer je prostorna dijagonala te škrinje 72.75 cm. 4. Da, jer je prostorna dijagonala kutijice 6.75 cm. 5. Ne, jer je prostorna dijagonala te kutije 2 3 ≈ 3.46 cm. 7 3 dm. 6. a) 2 dm; b) 1 dm; c) 3 mm; d) 3 7. 6 m. 8. Plošne dijagonale 7.78 cm, prostorne dijagonale 9.53 cm. 9. 6 3 cm. 10. 3 dm. 11. a) 96 cm2; b) 11.76 cm2; c) 322.37 dm2; d) 108 cm2. 12. a) 3 2 mm; b) 3 cm; c) 2.2 mm; d) 1 mm. 13. a) trebat će papir širine najmanje18 cm i duljine najmanje 24 cm. O = 216 cm2; b) širina 67.5 cm, duljina 90 cm, O = 3037.5 cm2; c) isto kao u a);
238
d) širina 3 3 dm, duljina 4 3 dm, O = 18 dm2. 14. 6 3 cm. 15. a) širina 15 cm, duljina 20 cm, dovoljan je papir A4; b) širina 11.7 cm, duljina 15.6 cm, dovoljan je papir A4. 16. Može, jer je oplošje kocke 1.215 m2, a površina lima 1.5 m2. 17. a) Ne može; b) 11.6 cm. 18. 450 cm2. 19. 19.36 cm2. 20. 486 2 mm2. 21. 25 2 dm2. 22. 50 2 cm2. 23. 5 cm. 24. a) 6 cm; b) 216 cm2. 25. a) 3 2 cm; b) 108 cm2. 26. a) 2.79 cm; b) 46.67 cm2. 6.5. Trostrana prizma 1. a) trokuti; b) pravokutnici; c) jednakostranični trokuti. 3. To je prizma kod koje su duljine svih bridova jednake. Znači da je duljina brida baze jednaka duljini bočnog brida prizme. 4. 2(18 + 3 ) cm2. 5. 3.79 cm2. 6. 24( 3 + 6) cm2. 7. 10(10 2 + 24) cm2. 8. 84 cm2. 9. 360 cm2. 10. a) v = 3.2cm; b) O = 29.41 cm2. 11. v = 2 cm, O = 7 + 14 + 2 + 4 ≈ 11.8 cm2. 12. 288 cm2. 13. 114 cm2. 5 5 3 14. dm. 15. cm. 3 3 16. a= 8mm v= 3 mm. 17. 8 2 dm. 6.6. Ostale prizme 2. a) 167.78 cm2; b) 6 2 + 16 cm2; c) 1160 cm2. 3. a) 240 cm2; b) 73.5 cm2; c) 30 dm2. 4. a) 232 cm2; b) 156.51 cm2. 5. a) 64 + 10 13 cm2; b) 433.2 + 12.8 61 ≈ 533.17 cm2. 6. 8( 15 + 20) cm2. 7. O = 145 cm2, trebat će papir širine 14 cm i dužine 15 cm. 8. Ne, jer j prizma visine 12 cm. 9. 48( 3 + 3) cm2. 10. 3894.52 cm2. 11. a) 675( 3 + 2) mm2; b) 105.52 cm2; c) 336( 3 + 2); d) 3a2( 3 + 2). 11 5 12. a = 15 m, v = m. 3 6.7 Obujam kvadra 1. a) 2000 dm3; b) 6000 dm3; c) 3500 dm3; d) 250 dm3; e) 5 dm3. 2. a) 3 dm3; b) 10.6 dm3; c) 5 dm3; d) 250 dm3; e) 67 dm3. 3. a) 500000 cm3; b) 12000 c) 0.8 cm3; d) 25 cm3; e)100 cm3. 4. a) 0.0006 m3; b) 0.023 m3; c) 0.085 m3; d) 0.00025 m3; e) 0.00006 m3. 5. a) 4000 mm3; b) 456 mm3; c) 3500 mm3; d) 11000000000 mm3; e) 8 mm3. 6. a) 0.00423 l; b) 0.014004 l; c) 0.35 l; d) 0.9 l; e) 23000 l. 7. a) 45000 mm3; b) 12000 cm3; c) 6.3 l; d) 0.123 cm3; e) 0.00045 l. 8. a) 120 dm3; b) 8 dl; c) 0.03006 cm3; d) 0.089562 m3; e) 9723 mm3. 9. a) 56 dm2; b) 92 cm3; c) 13.305 cm; d) 45 dm3; e) 0.00023 l. 3 10. a) 900 cm ; b) 0.7 l; c) 0.16 ha;
d) 7400000 ml3; e) 0.10003 l. 11. a) 252 cm3, b) 18.2 cm3; c) 1.35 mm3; d) 33780670 cm3; e) 16.5 mm3. 12. V= 48 429 cm3, O= 96 + 28 429 cm3. 13. a) 50 cm3 = 0.5 dl; b) 13.86 cm3 = 0.1386 dl; c) 0.76 mm3 = 0.0000076 dl; d) 54.5 l; e) 36 mm3 = 0.00036 dl 14. 10 cm. 15. 80 cm. 16. a) 2 46 cm; b) 216 cm2. 17. 6 cm. 18. 250.1 cm2. 19. Potreban je karton širine14 cm i duljine 22 cm, O = 148 cm2, u kutiju stane 120 cm3pijeska. 20. O = 1525 cm2, V = 1925 cm3. 21. O = 62 dm2, V = 30 dm2, D = 38 dm. 22. 491.61 cm3. 23. 3360 m3 = 3360000 l. 24. a) 29.12 l; b) 12.48 l. 25. a) 1 cm3; b) 166.375 cm3; c) 0.274625 dm3; d) 343 ≈ 18.52 cm3; e) 64 27 ≈ 332.55 cm3. 26. a) ne; b) da; c) ne; d) da; e) da. 27. a) 8 cm3, b) 0.125 m3; c) 1.728 cm3; d) 125 mm3, e) 77.84 cm3. 28. a) 64 cm3; b) 125 cm3; c) 912.53 cm3; 125 2 d) mm3; e) 24.19 cm3. 4 29. a) 8 cm3; b) 1 m3; c) 496.72 cm3; d) 24 3 mm3; e) 8.25 cm3. 30. 27 dm3. 31. 0.1079 l. 32. 6 cm. 33. 27 puta. 34. 27 puta. 35. n3 puta. 36. 36 3 6 cm2. 37. a) 20 cm3; b) 13.824 cm3; c) 72 mm3. 38. 56 dm2, 24 dm3. 39. 80 cm2, 48 cm3. 40. 4195.05 cm3. 41. 10440 cm3. 42. 39.968 dm3. 43. 500 dm3. 44. 54 cm3.
45. 14.63 cm. mm3,
46. V = 37549.32 16.41 %. 47. a) 19250 l; b) 219.45 kn; c) 21 sat i 23 minute. 6.8. Obujam prizme 175 3 cm3. 4 2. a) 19 3 cm3; b) 0.8119 m3; c) 18 cm3; d) 3 3 cm3. 3. 54 3 cm3. 4. 26 3 dm3. 5. 56 cm3. 6. 9.6 cm2. 7. O = 169.68 cm2, V = 119.164 cm3. 49 3 8. 90.4 cm2, cm3. 2 2 9. 30 + 36 5 cm , 18 5 cm3. 10. 3840 cm3. 11. 36 cm3. 12. 150 cm3. 13. O»203.05cm3, V» 169.73 cm3. 14. 377.95 dm3. 15. 8.02 cm. 189 3 16. a) 42 3 cm3; b) cm3; 4 3 c) 27 cm ; d) 12 6 cm3. 2187 3 17. 243( 3 + 2) cm2, cm3. 2 18. 48.11 cm 19. 5 6 cm3. 20. 1.54 dm. 21. a) 492 cm2, 540 cm3; b) 476.24 cm2, 601.8 cm3; c) 853.18 cm2, 1305 cm3. 22. a) 9.548 cm; b) 9650 g. 23. 58.5 l; b) 32.625 l. 24. a) 2730000 m3; b) 390000 m2. 1.
Rješenja 25. a) 143 m3; b) 192 m3; c) 600 m3. 26. a) 43.84 cm3; b) 142.8 cm2. 27. a) 41.57 cm3; b) 134.93 cm2. 28. 500 2 cm3 = 0.707 l.
6.9. Osnovno o piramidama 1. šesterostrana piramida, peterostrana piramida, četverostrana piramida. 2. trostrana piramida, šesterostrana piramida. 3. deveterostrana piramida, jedanaesterostrana piramida, šesterostrana piramida, stostrana piramida. 4. 2 i 3. 5. a) 1, 5,8; b) 2, 7; c) 4; d) 3, 6. 6. a) ne, jer ne postoji mnogokut sa dvije stranice; b) s bilo kojim brojem ploha većim od 3. 7. četverostrane piramide 9. a) 1, 2, 3, 4, 7, 8, 10; b) 5, 6, 9; c) 3, 4, 8; d) 1, 2, 7, 10; e) 1; f) 7. 10.
Kvadar Peterostrana prizma Šesterostrana prizma Trostrana piramida Četverostrana piramida
Broj vrhova
Broj bridova
Broj strana
8
12
6
10
15
7
12
18
8
4
6
4
5
8
5
11. m2, dm2, cm2 i mm2. 12. Oplošje piramide je zbroj površina svih njenih strana. 13. Jer piramida ima samo jednu bazu. 15. Po riječi volumen. 16. Obujam piramide je tri puta manji od obujma prizme jednake baze i visine. B je površina baze piramide, a v je visina piramide. 17. 48 cm3. 18. 234 cm3. 19. 42 l. 6.10. Četverostrana piramida 2. a) 4; b) 4; c) 5; d) 5; e) 2. 3. 8 cm. 4. a) 12 cm; b) 14.68 cm; c) 6.87 cm; d) 10 cm. 5. a) 50 cm; b) 25.67 cm; c) 7.96 cm; d) 2 285 cm. 6. a) 36 2 cm; b) a = 8 cm; c) 12.74 cm; d) 4 3 cm. 7. v = 2 2 cm, h = 2 3 cm. 8. a) 8.73 cm; b) 4 cm; c) 29.45 dm. 9. a) ne; b) ne; c) da. 10. jednakokračan 11. 14 14 cm 12. a = 39.06 dm, b = 37.49 dm, d = 55.24 dm. 13. a = 4 dm, b = 2 11 dm, h = 2 10 dm. 14. a = 16 2 mm, h = 8 6 mm. 15. a = 8 cm, v = 4 2 cm. 2 3 16. v = a ,h=a , b = a, d = a 2 . 2 2 2 17. 21.36 cm . 49 3 a2 3 cm; b) . 2 2 19. 2 6 dm. 20. a) 64 cm2; b) 176 cm2; c) 240 cm2. 18. a)
21. 84 cm2. 22. a) 112 cm2; b) 16 + 40 5 cm2, c) 3365.33 dm2; d) 2(1 + 2 ) mm2; e) 4186.20 m2; f) 2595.52 cm2. 23. a) 36(1 + 3 ) cm2; b) 0.09(1 + 3 ) cm2 ≈ 0.246 cm2; c) 27(1 + 3 ) cm2; d) a2(1 + 3 ). 24. 36(1 + 3 ) dm2. 25. 12(1 + 3 ) m2. 26. 20(5 + 61 ) dm2 ≈ 256.20 dm2. 27. 230 dm2. 28. 20(5 + 39 ) dm2 ≈ 224.90 dm2. 29. 51 cm. 30. a) 50 3 dm2; b) 162 3 cm2; c) 2a2 3 . 1690 31. 2 2 cm. 32. cm3. 3 3 3 33. a) 75 cm ; b) 443.784 cm ; c) 3 mm3. 34. a) 30 cm; b) 60 cm; c) 9.14 cm. 35. a) 3.75 cm; b) 7.2 cm; c) 0.525 cm. 36. a) 45.45 cm3; b) 267.52 cm3; c) 369.74 cm3; d) 600 3 mm3. 37. a) 323.33 cm3; b) 144 21 dm3; c) 128 41 cm3; d) 9.70 dm3. 38. a), jer ona koja ima veću visinu pobočke ima i veću visinu piramide, pa i veći obujam. 39. Piramida čije su pobočke šiljastokutni trokuti ima veći obujam i veće oplošje. 40. a) 1000 10 cm3; b) 1142.28 cm3. 41. a ≈ 7.2 cm, b ≈ 5.3 cm. 64 42. a) cm3; b) 64 cm3; 3 c) 3 puta; d) veće je oplošje kocke. 43. Trebat će 2888.48 m2 stakla, a piramida će biti ispunjena s 7466.67 m3 zraka. 44. O ≈ 322 cm2, V ≈ 359.33 cm3. 45. a) O = 16(5 + 3 ) cm2, b) V = 4 + 2 2 cm. 2 V = 32( +2) cm3. 3 6.11. Trostrana piramida 2. Tetraedar je trostrana piramida koja ima sve bridove jednakih duljina. O = a2 3 . 3. a) 3 cm2; b) 0.36 3 cm2; c) 11 3 cm2; d) 24 3 m2. 4. Trebat će nam papir širine 23 cm, a duljine 20 cm, O = 229.06 cm2. 5. a) 2 3 mm; b) 1 m; c) 1.86 cm; d) 0.443 m. 6. a) 67.48 cm2; b) 67.47 cm2; c) 1.202 m2; d) 19.16 dm2. 7. 21 cm. 9 8. a) 4(3 + 3 ) cm2; b) (3 + 3 ) dm2; 2 2 a c) (3 + 3 ). 4 4 6 9. cm. 3 10. a) 6 6 cm; b) 2.78 cm; c) 2 dm; d) 12 2 m. 10 3 11. a) mm; b) 7.63 cm; c) 31 cm. 3 21 12. a) 13 mm; b) 9.43 cm; c) cm. 3 13. a) O=432 3 dm2; b) O ≈ 46575.3 cm2; c) O ≈ 529.6 cm2 14. a) O = 729 3 cm2, V = 4920.75 2 cm3; b) O = 256 3 cm2, V = 1024 2 cm3; c) O = 52.39 cm2; V = 58.82 cm3; a3 2 d) O = a2 3 , V = . 4 40 3 15. a) V= cm3;V≈ 207.24 cm3;V=108 cm3. 3
16. a)V≈1199.04cm3;b)V≈53.75m3; c)V≈104.17 dm3
17. a) 8 23 cm3; b)
16 2 cm3; c) 13.66 cm2. 3
a3 2 . 12 6.12. Šesterostrana piramida 18. O = a2 3 , V =
1. a) 150 3 cm3; b) 360 cm2; c) 30(5 3 +12) cm2. 2. 18(3 3 + 4) cm2. 3. a) 54( 3 + 19 ) cm2; b) 11.04 cm2; c) 269.93 dm2; 3a2 3a2 3 + 3a v 2 + d) . 4 2 2 4. a) 18(3 3 + 55 ) cm ≈ 227.02 cm2; b) 54(2 + 3 ) cm2; c) 450(3 3 + 91 ) ≈ 6630.99 cm2; d) 1250.71 dm2; e) 5866.41 m2; f) 408 3 + 240 17 ≈ 1696.22 cm2. 5. 36 3 + 12 141 dm2 ≈ 204.85 dm2. 6. 18(5 3 + 3 15 ) dm2. 7. 30(3 3 + 15 ) dm2. 8. 18(5 3 + 35 ) dm2 ≈ 262.37 dm2. 9. a) 1728 3 dm3; b) 0.1636 m3; c) 16 6 cm3. 10. a) O = 54( 3 + 2 2 ) dm2, V = 54 15 dm3; b) O = 36.69 m2; V = 8.98 m3; 9 9 2 cm3. c) O = ( 3 + 11 ) cm2, V = 2 2 3 12. 367 dm . 6.13. Valjak 1. a) 110π cm2; b) 28π cm2; c) 60.8π dm2 ≈ 191.01 dm2. 2. a) potreban je papir širine 40 cm i duljine 47.2 cm, O = 824.67 cm2; b) širina 30 cm, duljina 31.42 cm, O = 471 cm2; c) širina 20 cm, duljina 15.71 cm, O = 196.35 cm2. Treću kutijicu. 3. a) dva valjka; b) r = 3.34 cm, B = 35.09 cm2, r = 4.73 cm, B = 70.19 cm2; c)623.7cm2;d)O1≈693.02cm2,O2≈764.3 cm2; e) jednake su površine plašta, a površine baza i oplošja su različiti. 4. P = 70π cm2, O = 120π cm2. 5. B = 36π cm2, O = 168π cm2. 5 6. a) 10 cm; b) cm; π 1 c) 50(2 + ) cm2 ≈ 115.92 cm2. π 3 7. a) 64π cm ; b) 32.5π cm3 ≈ 102.10 cm3; c) 36.23 m3. 8. 9.16 m3, 110.56 kn. 9. 16 m2. 10. a) 1.57 dm3; b) 2 dm3. 11. O = 92π cm2, V = 120π cm3. 12. 1.42 cm. 13. a) 3.925 dm2, 0.7854 dm3; b) 15.7 dm2, 6.28 dm3. 14. 854.51 dm2. 15. a) 21.22 m; b) 11.94 m. 16. 29.78 kg. 17. jedno moguće rješenje: r = 5.64 cm, v = 10 cm. 18. a) r = 7.5 cm, v = 15 cm; b) Vk = 3375 cm3, Vv = 2650.72 cm3; c) 724.28 cm3; d) 21.46%. 19. a) a = 4 2 cm, v = 15 cm; b) Vk = 480 cm3, Vv = 753.98 cm3; c) 273.98 cm3; d) 36.34%. 20. 1.59 m.
239
Rješenja 21. a) Dimenzije prizme su jednake, a = 1 dm; b) Više otpada ima pri izrezivanju iz kvadra. 22. 784.26 t . 23. a) r = 2 cm, v = 6 cm; b) r = 4 cm, v = 1 cm; c) r = 6 cm, v = 1.5 cm; d) r = 1.2 cm; v = 3 cm. 24. a) 32π cm2, 24π cm3; b) 40π cm2, 16π cm3; c) 90π cm2, 54π cm3; d) 10.08π cm2, 4.32π cm3 25. širina 8 cm i visina 6 cm. 26. 256π cm2, 512π cm3. 27. a) U pakiranju A ima više soka; b) jednako su povoljna. 28. a) 10π cm2, 4π cm3, b) 66π cm2, 72π cm3. 29. 337.5π cm2, 843.75π cm3. 30. 40π dm2, 32π dm3. 31. a) 602.19 cm2; b) 640.64cm2, c) 713.11 cm2. 32. 2652.13 cm3, 3345 cm3. 33. a) Valjak promjera 8 cm, četverostrana prizma osnovnog brida 5 2 cm ≈ 7.07 cm, šestrostrana prizma brida baze 4.39 cm; b) za pakiranje u obliku valjka; c) folija za jedno pakiranje u obliku valjka treba dati 0.34 kn, u obliku četverostrane prizme 0.38 kn, u obliku šesterostrane prizme 0.36 kn. 6.14. Stožac 1. 320π cm2. 2. 30π cm2 . 3. a) 36π cm2; b) 75π cm2; c) 64.75π cm2; d) 235.55 dm2. 4. a) 90π cm2; b) 6π cm2; c) 3600π m2; 510.14 cm2. 5.37.05 m2. 6. a) 1136.48 cm2 ; b) samo je najveći format dovoljno velik. 7. Potrebno je 3616 crjepova. Popravak treba platiti 11725 kuna. 8. a) 100π cm3; b) 1.5π cm3; c) 1600π m3; d) 225π cm2. 9. a) 16π cm3; b) 96π cm2; c) 187.11 cm3; d) 238.38 dm2. 10. a) 324π cm2, 432π cm3; b) 90π cm2, 100π cm3; c) 154.98 cm2, 128.28 cm3; d) 212.48 dm2, 58.94 cm3. 11. 346.15 m2. 12. 1.4 dm. 13. 140 m3. 14. prvi stožac. 15. a) dva puta; b) četiri puta. 16. a) 11.9 cm; b) 7.6 cm. 17. a) do visine 7.9 cm; b) uštedi 11% šampanjca. 18. a) O ≈ 62.8 cm2, V ≈ 32.43 cm3; b) O ≈89.45 cm2, V ≈ 55.96 cm3; c) O ≈150.72 cm2, V ≈ 116.05 cm3 d) O ≈263.76 cm2, V ≈ 199.7 cm3. 19. a) Promjer baze stošca treba biti 13.8 cm, osnovni brid četverostrane piramide treba biti 12.25 cm, a osnovni brid trostrane piramide treba biti 18.6 cm. b) 608.2 cm2, 662.52 cm2, 1305.32 cm2, za pakiranje u obliku stošca treba najmanje materijala. 20. a) r = 3 cm, v = 4 cm; b) r = 8 cm, v = 3 cm; c) r = 4 cm, v = 4 cm. 21. a) O = 24π cm2, V = 12π cm3; b) O = 415.8 cm2, V = 64π cm3;
240
64 π cm3. 3 22. a) 4 3 cm; b) 6 3 cm; c) 9 3 cm. 23. Stožac B je viši. 24. a) 12π(3 + 34 ) cm2; b) 9π(9 + 130 ) m2; c) 509.6 cm2; d) 693.12 cm2. 25. a) O ≈ 6413.7 cm2, V ≈ 12486.8 cm3; b) O ≈ 740.752, V ≈ 1025.7 cm3 15625 c) O = 625π(1 + 2 ), V = π. 3 26. Najviše sladoleda stane u kornet Kremisimo. 25 27. r = cm, V =1713.2 cm3. 3 28. U dvorac stane 263.89 cm2 čokolade, a u vidikovac 336 cm3 čokolade. Oplošje dvorca je 72 π cm2, a vidikovca 288 cm2. 29. a) Prostor potkrovlja je 183.17 m3; b) krovopokrivanje je koštalo 22959.6 eura.
8. Piramide, stožac. 9. Prizme, valjak. V 10.
6.15. Kugla
12.
c) O = 16π(1 +
1. a) O = 36π
2 ) cm2, V =
cm2,
cm3;
V = 36π 500 π cm3; 3 2 c) O = 1576.32 dm , V = 5884.95 dm3; d) O = 366.43 m3, V = 659.58 m3. 500 2. a) r = 5 cm, V = π cm3; 3 b) r = 9 cm, V = 972π cm3; c) r = 15 dm, V = 4500π dm3; d) r = 2.5 m, V = 65.45 m3. 3. a) r = 3 cm, O = 36π cm2; b) r = 15 cm, O = 900π cm2; c) r = 6 dm, O = 144π dm2; d) r = 1 m, O = 4π m2. 4. U kuglici se nalazi 9.2 cm3 ili 9.2 ml kreme . 5. potrebno je 297 kuglica. 6. a) O = 9π mm2, V = 4.5 mm3; b) 2.8 puta. 7. 0.0655 m3 = 65.5 l. 8. 3.17 cm. 9. O = 1963.5 cm2, V = 7238.2 cm3 = 7.24 l. 10. Srebrna kugla ima masu 43.98 kg, a platinasta 11.26 kg. 11. 17.04 cm. 12. Više je sladoleda u dvije kuglice polumjera 3 cm. 13. 4445.17 cm3 = 4.44 l, 8890 g = 8,89 kg. 14. 106.81 cm3 ≈ 1 dl. 15. a) Vkocke = 64 cm3, Vkugle = 33.51 cm3; b) za 30.49 cm3; c) 47.64%. 16. a) Vk = 625 cm3, Vš = 178.02 cm3; b) 71.5%. 17. 8294.56 eura. b) O = 100π cm2, V =
6.16 Ponavljanje Pitanja za ponavljanje: 1. Prizma, piramida, kvadar, kocka. 2. Valjak, stožac, kugla. 3. Uspravne prizme su tijela koja imaju dvije baze, koji su sukladni mnogokuti, a plašt im se sastoji od pravokutnika, prizme mogu biti četverostrane, trostrane, peterostrane,... 4. Uspravne piramide su tijela koja imaju jednu bazu, i to neki mnogokut, te vrh, a plašt im se sastoji od jednakokračnih trokuta, piramide mogu biti četverostrane, trostrane, peterostrane,... 5. Stožac, kugla, valjak. 6. Pravilna četverostrana piramida, kocka, kvadratna prizma. 7. Valjak, stožac.
2
d b2 = v 2 + . 2
b
2
a h2 = v 2 + . 2
h v D
d A
C a 2 E a
V’
a V
11.
2
a b2 = h2 + . 2
B 2 2 2 s =v +r
s
v r V
b v
V’ a a
h va
O =B +P 1 Bv 3 a2 3 3 B =6 ⋅ = a2 3 4 2 a ⋅h P =6 ⋅ = 3ah 2
V =
13. Tetraedar je trostrana piramida koja ima sve bridove jednakih duljina. Zadaci za ponavljanje: 1. a) četverostrana prizma; b) stožac; c) kocka; d) kugla; e) tetraedar; f) valjak; g) pravilna šesterostrana prizma; h) pravilna šesterostrana piramida; i) peterostrana prizma, j) pravilna čeverostrana piramida. 2. b) 5 cm, 4.6 cm, 5.3 cm; c) 6.1 cm; d) O = 73 cm2, V = 42 cm3. 3. a) 9.5 mm; b) 4.66 cm; c) 25.95 m; d) 5.54 m. 4. a) 12 5 ; b) 5 13 . 5. 15 cm. 6. b) 3 3 cm; c) 54 cm2, 27 cm3. 7. 6 dm. 8. a) ne može; b) 15 cm. 9. 9 2 cm. 10. O = 78.28 dm2, V = 38.19 dm3. 11. O = 54( 3 +6) cm2, V = 486 cm3. 12. O = 204 cm2, V = 120 cm3. 13. O = 216 m2, V = 168 m3. 14. a) O = 472.4 cm2, V = 532 cm3; b) 190.72 cm2, 153.6 cm3; c) 176.11 cm2, 120 cm3. 15. 459.90 dm2, 714.47 dm3. 16. 18 cm. 17. O = 350 dm2, V = 375 dm3. 18. a) O = 51 m2, V = 3.6 m3; b) O = 143.25 dm2, V = 73.91 dm3; c) O = 1073.14 cm2, V = 2040 cm3. 19. a) 30 cm; b) 16.212 kg; c) 9.492 kg. 20. a) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 i 20 cm; b) 1155π cm3; c) 1000π cm3; d) obujam stepenastog stošca veći je 15.5%. 21. a) 26 cm3; b) 71.57 cm2 papira. 22. 135 cm3. 23. 57 dm2. 24. a) 39.06 dm; b) 37.49 dm; c) 1525.68 dm2; d) 4025.52 dm2; e) 12892 dm3. 25. a) 30 cm2; b) 30 cm; c) 4.06 cm d) 74.5 cm2.
Rješenja 26. a) 7.63 cm; b) 7.53 cm; c) 2.49 cm2; d) 29.6 cm2; e) 6.225 cm3. 27. a) 6.2 dm; b) 7.34 dm; c) 236.47 dm2; d) 166.67 dm3. 28. O = 147.3 cm2; V = 112.24 cm3. 29. a) 36π cm2, 16π cm3; b) 3600π m2, 16000π m3; c) 300π dm2, 240π dm3. 30. 51.84π cm2, 62.208π cm3. 31. 0.4755 dm. 32. r = 6.2 cm; Oplošje 8 malih kuglica je dva puta već od oplošja nove kugle. 33. 144 3 cm2, 144 2 cm3. Rješenja oglednog testa: 1. tetraedar, kocka. 2.
V = 32 cm3, O = 16(1 + 10 ) cm2
v
c)
1. −4
x
0
–3.2
x2
0
10.24
16 81
–160
2
6 7
−2
x2
25600
8
8 49
1 4
1
) (
1 1 E −1, 1 , F 1 , 2 2 4
(
)
B (–2, 4) 4
G (–1.5, 2.25)
2
a2 + 2ab + b2 4a2b2 a2
2 2 ; b) a + 2ab + b ;
a2 − 2ab + b2
; d)
a2 + 2ab + b2 a2 − 4ab + 4b2
; .
9b2 − 30bd + 25d 2 9 2 3 20. a) a + ab + b2 ; 16 2
0.0484
x
) (
e)
0.22
9
2. A 2, 4 , B −2, 4 , C 0, 0
) , D 14 , 161 ,
, G −1.5 , 2.25
(
),
A (2, 4)
1 1 F (1 , 2 ) 4 4
E (–1, 1)
12ab 9a d) . ; e) 4b 13 xy 121 9 1521 15. a) ; b) ; c) 16; d) ; e) 16. 49 4096 529 2 2 2 16. a) x + 2xy + y ; b) a + 10a + 25; c) 49 + 14b + b2; d) 100 + 20x + x2; e) y2 + 2by + b2. 17. a) 25 – 10y + y2; b) x2 – 2x + 1; c) 9 – 6b + b2; d) d2 – 2dx + x2; e) y2 – 24y + 144. 18. a) a2 + 22ay + 121y2; b) 9x2 – 6x + 1; c) 36 – 96m + 64m2; d) x2 + 24xy + 144y2; e) 25x2 – 50x + 25; f) 4a2. 19. a)
7. Završno ponavljanje
(
2
2
a
3. O = 326.622 dm2, V = 431.41 dm3. 4. O = 166 cm2, V = 140 cm3. 5. O = 54 cm2, V = 27 cm3, D = 3 3 cm. 6. 49 3 dm2. 7. Stožac: V = 30π cm3, O = 40.32π cm2, valjak: V = 90π cm3, O = 78π cm2. Obujam valjka je tri puta veći od obujma stošca, a oplošje valjka je 1,935 puta veće od oplošja stošca. 8. O = 324π. 9. Potrebno je 109.84 m2 lima, i za to treba platiti 6590.40 kuna.
7. a) a2b + 2a2b2; b) 3xz + 15xzy2; c) –10ax2 – 5axy2 – 30axz2; d) 2x2yz – 15xy2z + 10xyz; e) 30 b2xy – 10 b2x2y + 5a2b2xy + 15 b2xy2. 8. a) x2 + 4x + 3; b) a2 – 8a + 15; c) 2 – 3y + y2; 1 d) –x2 – 5.5x – 6; e) 30 – 35 y – y2. 6 9. a) 3x2 + 5x + 2; b) –5y2 + 28y – 15; c) 1 – 6y + 8y2; d) 3 + 49.91x – 1.5x2; 3 e) 3a2 – 125 a + 5. 25 10. a) 2x2 + 2x – 4; b) 3ab – 5a – 2; c) x2 + 4xy – 36x + 6y; d) 6x2 – 41x + 30; e) 2ab + b – b2. 11. a) 64; b) 144; c) 36; d) 144; e) 100. 12. a) 9a2; b) 81x2; c) 4b2; d) b2x2; e) x2y2. 4x 2 1 25 x 2 13. a) ; b) ; c) ; 2 9 36 x 9y 2 2 2 2 16a c 121x d) ; e) . 49b2 64a2b2y 2 2 2 2 x x 3x 14. a) ; b) ; c) ; 2 2 y
1 1 D( , ) 4 16 C (0, 0)
3. a) 6a + 2b = 54; b) –6x = –13.2; c) 5 – y2 = 4.75; d) 15x2 = 72.6; e) –8a2b2 –ab2 = –7290. 4. a) 7x – y ; b) 3x + y; c) 4a –3b + c; d) y2; e) 3a2b – ab2. 5. a) 3x – 18; b) –2 – y2; c) 17a – a2; d) 2x2 + x; e) x2y2 – 5y. 6. a) –5a + 10a2 + 5ay2; b) 10a2 – 80a – 20ay2; c) –3x2 + 3xy2 + 3xz2; d) –4x2 – 16x – 2xy2; e) –6x – 12x2 – 6a2x + 6xy2;
b) 0.25x2 – 3x + 9; 1 c) – 2a + 25a2; 25 d) 12.25x2 + 70x + 100; 49 2 x − 7 x + 36 . e) 144 2 21. a) 9a + 24ab + 16b2; b) 49x2 –84xy + 36y2; c) 36n2 – 36mn + 9m; d) 144x2 + 288xy + 144y2; e) 16x2y2 – 40abxy + 25a2b2; 1 f) 9a2 – 2a + . 9 4 2 4 1 x + xy + y 2 ; 22. a) 9 9 9 b) 0.25x2 – 2xy + 4y2; c)
;
4 2 2 d) + + x y ; 9 400 2 9 2 x − 4 xy + y . e) 9 100 36x2
8x2y
23. a) a2 – 2ab + b2; b) x2 + 2xy + y2; c) n2 – 4mn + 4m2; d) 4x2 – 40xy + 100y2; e) 16y2 + 40xy + 25y2. 24. a) (a + b)2; b) (x – y)2; c) (b + 2)2; d) (5x + 3y)2; e) (10m –9n)2. 2
3 25. a) (10 – b)2; b) x − y ; c) (0.1b + 0.2)2; 5
2 m – 9n)2. 3 26. a) 5a2 – 2ab + 2b2; b) 2x2 + 2y2; c) 8a2 + 12ab – 8b2; d) 5a2 – 22ab + 34b2; e) 5y2 + 56xy – 48x2. 27. a) 2a2 + ab + b2; b) y2 – 4xy – x2; c) 4a2 – 30a + 33; d) 17 – 4a – 14a2; e) –53x2 + 26xy – 173y2. 28. a) (c – d)(c + d); b) (x – y)(x + y); c) (m – n)(m + n); d) (x – b)(x + b); e) (z – t)(z + t). 29. a) (8 – a)( 8 + a); b) (x – 5)(x + 5); c) (6 – y)(6 + y); d) (x – 1)(x + 1); e) (2 – b)(2 + b). 30. a) (4x – 7y)(4x + 7y); b) (5b – 8a)(5b + 8a); c) (11m – 13n)(11m + 13n); d) (x – 3y)(x + 3y); e) (12c – d)(12c + d). 31. a) (0.4x – 0.1y)(0.4x + 0.1y); 2 2 b) ( b – 8) ( b + 8); 5 5 1 1 1 1 c) ( a – b) ( a + b); 4 8 4 8 12 12 d) (1.5x – y)(1.5x + y); 13 13 e) (0.3y – 3) (0.3y + 3). 32. a) c2 – d2; b) x2 – 36; c) 1 – y2; 256 d) 10 000 – a2; e) m2 – . 6561 33. a) 5x2 – 4xy; b) 50a2 – 28a; c) 25d2 – 10cd – 5c + 2c2; d) a2 + 6b2; e) –13x2 – 2ax + 9y2. 34. a) 0.125; b) 7.1289; c) 4.29981696;
d) (0.5x + 0.3y)2; e) (
d) 1157.625; e) 2839.8241. 27 4 16 35. a) ; b) ; c) ; 64 81 87 2401 1024 d) ; e) . 14641 59049 36. a) 32 i 25; b) 36 i 64; c) 125 i 243; d) 2187 i 343; e) 59049 i 1000. 37. a) 34 = 81; b) 27 = 128; c) 2.84 = 61.4656; 1 5 5 d) = ; e) 18 = 1. 11 11 38. a) 53; b) 33; c) 34; d) 54; e) 36; f) 26; 3
1 g) 1n; h) 0.22; i) 1.52; j) . 3 22 1 10 10 39. a) 6 ; b) 10 ; c) ; d) 1.339; e) 3434. 2 40. a) 125; b) 6561; c) 16; d) 5; e) 36; f) 4096; g) 81; h) 729; i) 1024; j) 823543. 89 3 41. a) 109; b) 74; c) 51; d) 1.63; e) . 10
42. a) a18; b) b1; c) x11; d) y4; e) b11. 43. a) 3a2; b) 2a2; c) 210; d) 3a4; e) a12. 44. a) (a –5)5; b) (x + b)7; c) (3x)13; d) (2y + b)1; e) (b – 3a)2. 45. a) a3 + a4; b) 7a3 + 21a5 + 7a2; c) 5x7 – 4x6; d) xy7 + x3y2; e) 3x3y6 – x2y4 – 3xy. 46. a) –20x3 + 36x4; b) –4a3 – 2a5 + 12a2; c) –3a3x7 – 4a3x6; d) –42a5y7 + 6a4y4; e) –9x3y6 + 9x2y4 – 27x2y. 47. a) 3.675 ⋅ 103; b) 3.4762 ⋅ 107; c) 4.33 876 112 ⋅ 108; d) 1.1 001 552 ⋅ 107; e) 1. 123231451267 ⋅ 1012. 48. a) 2.6011 ⋅ 106; b) 4.13788 ⋅ 106; c) 4.0972 ⋅ 105; d) 5.3126176 ⋅ 109; e) 1.1227278 ⋅ 105. 49. a) 3.33 ⋅ 103 puta; b) 9.328125puta; c) za 1.88403 ⋅ 1027; d) za 8.123 ⋅ 1025. 50. a) 7.774 ⋅ 10–1; b) 4.000000001 ⋅ 10–2; c) 5.62316 ⋅ 10–13; d) 1.000000078 ⋅ 10–1; e) 5.62006 ⋅ 10–6. 51. a) 10–1 = 0.1 ; b) 100 = 1; c) 10–3 = 0.001;
241
Rješenja d) 107 = 10 000 000; e) 1010 = 10 000 000 000. 52. a) 12; b) 13; c) 19; d) 15; e) 11. 5 1 7 3 4 53. a) ; b) ; c) ; d) ; e) . 2 4 9 2 3 54. a) 3 i 3; b) 7 i 7; c) 2.56 i 2.56;d)0.01 i 0.01. 55. F
25
20
15
10
5
(
) (
)
(
) , D 14 , 161 ,
A 4, 16 , B 2, 4 , A
C 0, 0
( ) ( G (1.5 , 2.25 )
)
E 1, 1 , F 5 , 25 ,
B G D E
C 1
56. a) 2 < 1.45; b) 3 < 1.733; c) 3.14 < π; d) 3.9 > 15 ; e) −3 2 < –4.2411. 57. a) 20; b) 40; c) 60; d) 30; e) 96. 58. a) 4ab; b) 5x; c) 10b; d) 12by; e) 6fg. 59. a) 12; b) 12; c) 35; d) 30; e) 20. 60. a) 6; b) 5; c) 5; d) 4; e) 18. a 3x 14 12ax 61. a) ; b) ; c) ; d) . 6y 4 9 b 63a2b2;
2x2y2z2;
24a2;
63x3;
62. a) b) c) d) e) 125a3b3c3. 63. a) 6 + 2 5 ; b) 5 + 2 6 ; c) 21 – 4 5 ; d) 12 + 8 2 ; e) 70 +20 10 . 64. a) 15 + 2 10 + 2 15 ; b) 11 + 2 5 – 2 6 ; c) 5 + 4 5 – 8 3 ; d) 8 5 ; e) 46 + 16 30 + 20 10 . 65. a) 17 3 – 2 2 ; b) 3 3 − 5 ; c) 7 3 − 2 2 ; d) 17 2 − 4 5 ; e) 64 + 3 2 . 66. a) 4 2 ; b) 2 2 ; c) 5 3 ; d) 7 2 ; e) 2 3 . 67. a) 6 5 ; b) 4 3 ; c) 5 5 ; d) 3 3 ; e) 3 7 . 68. a) −3 11 − 3 3 ; b) 6 10 + 2 2 ; c) 17 – 8 3 ; d) 4 5 − 4 2 ; e) 6 2 + 21 −12 3 − 4 6 . 69. a) x 2 ; b) 2a; c) −6y 3 ; d) 7x –7x 5 ; e) 24x – 8x 10 . 70. a) 1 – 2 ; b) 6 6 −15 3 −10 2 + 25 ; c) 9 6 −12 3 − 30 − 20 2 ; d) 0; e) 3 3 − 6 2 . 71. a) 8+2 7 ; b) 5 – 2 6 ; c) 22 + 4 10 ; d) 30 + 12 6 ; e) 560 – 192 6 . 10 + 5 2 −2 15 + 10 72. a) ; b) ; c) ; 5 2 5 2 21 + 15 8 3 −6 2 d) ; e) . 3 3 73. a) a1 = 0.8, a2 = –0.8; b) a1 = 0.003, a2 = –0.003; 3 3 c) a1 = , a2 = – ; 11 11 60 60 d) a1 = , a2 = – ; 13 13 10 10 e) a1 = , a2 = – . 7 7 74. a) x1 = 5, x2 = –5; b) x1 = 5, x2 = –5; 8 8 1 1 c) x1 = , x2 = – ; d) x1 = , x2 = – ; 3 3 5 5 17 17 e) x1 = , x2 = – . 11 11 75. a) x = 3; b) x = 3 2 ; c) x = 20; d) x = 10; e) x = 29; f) x = 20; g) x = 2.1; h) x = 2 . 76. a) Doseći će visinu od približno 5.4 m;
242
b) doseći će visinu od 2 6 ≈ 4.9 m; c) doseći će visinu od približno 5.46 m. 77. x = 2 561 ≈ 47.37 m. 50 m
3m
x
16 m 19 m
100 3 cm2. 6 79. Dimenzije kriški su 3 cm, 4 cm i 5 cm. 80. Duljine stranica su 15 cm, 36 cm i 39 cm, a P = 270 cm2. 81. Može, d ≈ 1.28 m. 82. Moći će unijeti krilo ormara, d ≈ 2.24 m. 83. a) Dimenzije stranica ekrana su 42 cm i 40 cm; b) P = 1680 cm2. 25 2 ≈ 17.68 m. 84. d = 2 a2 π 9π 85. a) P = cm2; P = cm2. 4 4 86. v = 2 6 ≈ 4.9 m. 87. b) v ≈ 7.95 m. 88. a) v = 12 cm; b) v = 21 m; c) a = 8 15 cm; d) a = 4 cm; e) b = 2 5 cm; f) b = 3 2 cm. 89. a) Duljine njegovih kateta su 9 2 cm, a hipotenuze 18 cm; b) O = 18 + 18 2 cm; P = 81 cm2. 90. a) P = 96 3 cm2; b) r = 4 3 cm, P = 48 π cm2. 91. a) P = 3 cm2; b) P = 9 3 dm2. 92. a) a = 10 cm, v = 5 3 cm, O = 30 cm; 4 6 b) a = m, v = 2 2 m, O = 4 6 m. 3 93. O = 80 dm, P = 384 dm2. 94. a = 15 cm. 95. d = 2 3 dm. 96. O = 398 mm. 97. O = 32 + 8 2 cm. 98. O = 264 + 50 13 mm, P = 11220 mm2. 78. P =
99. a) A ' B ' = 3 cm; b) A ' B ' = 21 cm. 100. a) Pravilna 6-strana prizma, pravilna 6-strana piramida, 5-strana prizma, pravilna 4-strana piramida, kocka, valjak, kugla; b) 12, 7, 10, 5, 8, 0, 0; c) 18, 12, 15, 8, 12, 0, 0; d) 8, 7, 7, 5, 6, 3, 0; e) mnogokuti i krug; f) prizme i valjak imaju dvije baze, piramide i stožac jednu bazu, a kugla nema niti jednu. 102. D = 10 2 cm, d1 = 10 cm, d2 = 2 34 cm, d3 = 2 41 cm, O = 376 cm2 , V = 480 cm3. 103. Ne može, D ≈ 69.64 cm. 104. Može, D ≈ 4.92 m. 105. Ne može, D ≈ 3.46 dm. 106. D = 5 3 cm, d = 5 2 cm, O = 150 cm2, V = 125 cm3. 107. Može, P = 1.5 m2, a O = 1.215 m2. 108. O = 36 + 2 3 cm2, V = 6 3 cm3. 109. O = 4 21 + 70 cm2, V = 10 21 cm3. 110. v ≈ 48.11 cm. 111. V = 5 6 cm3. 112. a) Duljina poluge je približno 9.55 cm; b) masa poluge je 9650 g. 113. a) Približno 41.57 cm3 čokolade; b) potrebno je približno 134.93 cm2 kartona. 114. V = 60 π cm3. 115. a) V = 96 π cm3, O = 80 π cm2; b) V = 144 π cm3, O = 120 π cm2. 116. a) V = 12 π cm3, O = 24 π cm2 ; b) V = 16 π cm3, O = 36 π cm2 .
4 π cm3, O = 4 π cm2, 3 m ≈ 80.84 kg; 4 π cm3, O = 4 π cm2, b) V = 3 m ≈ 9.22 kg. 15 3 118. a) V = cm3; b) V = 15 cm3; 4 45 3 c) V = cm3. 2 3 119. V = 48 cm . 120. Materijala treba približno 59.67 m2, a naručiti treba 62.65 m2, što će koštati 31 325 kn. 121. Potrebno je 75.36 m2 lima za prekrivanje tog krova, ali treba naručiti 80.64 m2 što će koštati 40 320 kn. 122. 123. 117. a) V =
A
A
E
D
B
A’ B D’
C C’
S
D C
B’
C’
E
E’
D’
B’
E’ A’
124. A’ A
E
B’ B
E’ D’
D C’
I
C
125.
H
A
BE’
E D S
C
A’ D’
C’
B’ 126. Druga slika prikazuje likove preslikane osnom simetrijom. 127. Rim, Atena, Madrid, Berlin, Haag, Zagreb, Beč, Pariz, Bern, Prag, London, Oslo, Kopenhagen, Helsinki, Moskva. 128. a) 1.17; b) –69.43; c) –18.29; d) 0.12; 13 5 11 14 e) −2 ; f) 4 ; g) −6 ; h) 1 . 15 12 14 55 129. a) 1400 m;b)0.03m; c) 0.03 m;d) 0.234 m. 130. a) 750 g; b) 520 g. 131. a) 30 min; b) 10 min. 1 1 5 132. a) ; b) –1; c) ; d) . 8 6 8 7 4 5 133. a) –14 ; b) –1; c) ; d) . 15 3 6 134. a) 25; b) 1; c) –2; d) –6; e) –19. 135. a) 81.2; b) –79.4; c) 1.9; d) –17.05. 136. a) y = 8; b) x = –1; c) y = –57.6; 4 d) y = 4 ; e) x = –10.5; f) x = 5; g) x = 8; 15 1 h) x = 0.34; i) x = –16.6; j) x = . 3 137. Luka ima 11, a baka 66 godina. 138. Jedan par košta 290.93 kn, a drugi 390.05 kn. 139. Djevojčica ima 13, a dječaka 15.
Rješenja 140. A(4, –9), B(5, 3), C(1, –3), D( 5, 5), E(–2, 3), F(6, 8), G(14, 3), H(7, 5), I(11, –3), J(7, 3), K(8, –9).
6
D
H
B
J
4
172. a) P =
jednadžba pravca y = 3x + 5 y = –7x –11 y = –4.6x + 1.5
F
8
E
162.
y =
G
2
0
–2
–2
0
4
6
8
10
C
I
–4 –6
A
–8
K
2 141. a) (1, –1); b) (8.5, 4.5); c) ( , 0); d) (5, 2). 142. Trokut je jednakokračan, 3 C
C’
–2 A
0
–2
A’
B’ B 143. 120 km. 144. Damir će dobiti 600 kn, a Josip 750 kn. 145. Prijeći će 178.75 km. 146.a)Može kupiti 64 dag; b) platit će 46.50 kn. 147. Povoljnije je kupiti 7 kg jabuka za 23.80 kn. 148. Kasnit će 1 sat. 149. Treba 10 radnika. 150. 617.3 151. 1560. 152. Koštat će 73.96 kn. 153. Koštale su 100 kn. 154. Kamatna stopa je 6%. 155. Treba vratiti 1 550 000 kn, a mjesečna rata je 6 200 kn. 156. a) x = 5.5°C; b) najniža temperatura je u siječnju, najviša u kolovozu i rujnu, a najbliža srednjoj u svibnju; c) razlika je 40°C.
3 –7 –4.6
5 –11 1.5
rast ili pad raste pada pada
3 4
2.6
raste
sjecište s osi ordinata
nul-točka
y = 3x + 5
(0, 5)
(−
5 , 0) 3
y = –7x –11
(0, –11)
(−
11 , 0) 7
(0, 1.5)
15 ( , 0) 46
52 3 x + 2.6 (0, 2.6) (− , 0) 15 4 163. Grafu pripadaju točke A i D. 164. a) f(x) = 3x + 1; b) f(x) = –x –2.5; x f(x) x f(x) –3
–8
–10
–2
–5
–5
7.5 2.5
0
1
2
–4.5
2
7
10
–12.5
3
10
30
–32.5
10
10
5
5
–10
1
–5
–5
–10
–10
c) f ( x ) =
–15
–2
–11
3 4
5 –9 8
–5
1 –9 2 –8
–10
15 10 5 0
1
-5 -10
4
-15
I II III IV V VI VIIVIII IX X XI XII 157. a) a’ = 2.4 cm, b = 2.3 cm, c’ = 8.4 cm; b) a = 35 mm, b’ = 20 mm; c) b = 1.5 cm, a’ = 4 cm, c = 2.1 cm. 158. Bor je visok 6 m. 159. 1 kg krušaka košta 12 kn, a 1 kg banana košta 3 kn. 160. 22-postotnog srebra treba 50 g, a 34-postotnog treba 100 g. 161. a) b)
2
1
5
1 –2
4
5
2
A
–10
A’
–2
B’
5 B
3 8. a) 6 ; b) 1. 4 9. 34. 10. a) 4x2 – 4x + 1; b) 25x2 – 16; c) –3a2 + 13a –4; d) 2x2 – 1. 11. a) 75; b) 5; c) 3 + 7 2 . 12. O = 24 cm, P = 24 cm2. 13. a) b) C
C
B
A
B
d)
10
14. O = 24 cm2; V = 56 cm3. 15. x = 4. 16. Cijena cipela nakon sniženja je 279.65 kn. 17. C
1 x −10 . 2 f(x)
x
C
6
D
1
–10
2
C’
A
25
4
1. Stanje računa Anine mame je 3030 kn u plusu. 2. a) 4; b) –6. 5 1 5 1 3. a) 4 ; b) ; c) 1 ; d) 1 . 6 3 7 16 1 4. a) x = –1.6; b) x = . 3 5. (1, 1). 6. Matija ima 12 godina, a baka 60. 7. Trokut je jednakokračan,
c)
30
4
Primjerak inicijalnog testa u 1. razredu srednje škole:
jednadžba pravca
y = –4.6x + 1.5
20
–2
b
y =
2 0
3 x + 2.6 4
a
1 1 2 ; b) P = ; c) P = . 6 3 3
1
10
5 cm
3 cm
S O
A
4.5 cm
B
–15
165. a) x = 8; b) x = 14; c) x = 4. 166. Postoji, to je 8-kut. 167. Zbroj unutarnjih kutova je 3240°, taj mnogokut ima 170 dijagonala, O = 140 cm. 168. n = 25. 169. n = 18. 170.
45° r = 5 cm
171. Elementarnih događaja ima 25, 2 1 a) P = ; b) P = ; 5 25 2 4 c) P = ; d) P = . 5 25
243
Kazalo pojmova A, B
oduzimanje vektora, 50 okomitost dviju ravnina, 89
baza prizme , 132
okomitost pravca i ravnine, 87
simetrija i rotacija, 60
oplošje kocke, 126
stožac, 179
oplošje kugle, 187
suprotni vektori, 41
C, Č centralna simetrija, 19 centralnosimetričan lik, 25 centralnosimetrične točke, 19 četverostrana piramida, 154
oplošje kvadra, 119 oplošje piramide, 152 oplošje prizme, 130
sfera, 186
šesterostrana piramida, 169
T tetraedar, 163
oplošje prizme, 132
točka u prostoru, 71
oplošje stošca, 182
translacija , 53
duljina vektora, 38
oplošje valjka, 175
translacija vektora, 54
geometrija prostora, 68
orijentacija vektora, 40
trodimenzionalni prostor, 70
geometrija ravnine, 68
ortogonalna projekcija dužine na
trostrana piramida, 162
I, K
ravninu, 93
D, G
izvodnica stošca, 180 kocka, 123
ortogonalna projekcija točke na ravninu, 91
trostrana prizma, 128
U udaljenost točke od ravnine, 96
os simetrije, 8, 9
uglata geometrijska tijela, 107
kompozicija preslikavanja, 60
osna simetrija ili zrcaljenje, 9
usmjerena dužina (vektor), 37
kosa prizma, 113
osnosimetrična slika, 9
usporedne ravnine, 85
kugla, 186
osnosimetrični likovi, 16
usporedni pomak (translacija), 53
kolinearne točke, 71
usporedni pravci, 77
kvadar, 117,1137
M, N
P
uspravna prizma, 113
piramida, 148
V
međusobni odnosi pravaca i
Platonova tijela, 165
ravnina, 80
pobočke prizme, 111
mimosmjerni pravci, 78
pobočke prizme, 132
mjerne jedinice za obujam, 137
poliedar, 166
negativan smjer rotacije, 30
pozitivan smjer rotacije, 30
nekolinearne točke, 71
pravac u prostoru, 76
nul-vektor, 49
pravilna prizma, 113
O
presječnica, 85
valjak, 173 vektor, 36 vektori istog smjera, 39 visina piramide, 149 visina stošca, 180 visina valjka, 174 volumen (obujam), 136
preslikavanje ravnine, 8
vrste piramida, 149
obla geometrijska tijela, 107
probodište, 81
obujam kocke , 140
prostor, 70
Z
prostorna dijagonala kocke, 124
zbrajanje vektora, 45-46
obujam kugle, 187 obujam kvadra, 136
zrcalna slika, 9
obujam piramide, 154,162
R
obujam prizme, 142
rotacija, 29
obujam stošca, 183 obujam valjka, 176
244
S, Š
Arhimedova tijela, 166
ravnina u prostoru, 85 rotacijsko tijelo, 177
