Udžbenik i zbirka zadataka iz matematike za 8. razred
1. svezak
Matematika 8
petica+
D. Glasnović Gracin • Z. Ćurković • L. Kralj • S. Banić • M. Stepić
SysPrint
SysPrint
prvi svezak
D. Glasnović Gracin, L. Kralj, Z. Ćurković, M. Stepić, S. Banić
Petica+ 8 udžbenik i zbirka zadataka za 8. razred osnovne škole PRVI SVEZAK
1. izdanje Zagreb, 2010.
Autorice: Dubravka Glasnović Gracin, Lidija Kralj, Zlata Ćurković, Minja Stepić, Sonja Banić
Urednik: Vinkoslav Galešev Recenzija: Ines Kniewald, Maja Ljubičić Lektura: Jasmina Han
Ilustracija naslovnice: Ivan Marušić Ostale ilustracije: Ivan Marušić, Antonija Jelić Priprema za tisak: Ivana Biluš, Robert Braun, Antonija Jelić, Josip Marić, Tomislav Stanojević Tisak: Gradska tiskara Osijek Za nakladnika: Robert Šipek Nakladnik: SysPrint d.o.o. XIV. trokut 8a, p.p. 84, 10020 Zagreb, Hrvatska tel: (01) 655 8740, fax: (01) 655 8741 e-mail:
[email protected], web: www.sysprint.hr/udzbenici
© SysPrint d.o.o, Zagreb, 2010. Nijedan dio ove knjige ili CD-a ne smije se umnožavati, fotokopirati niti na bilo koji način reproducirati bez nakladnikova pismenog dopuštenja
Sadržaj
0. Uvodno ponavljanje............................................................................... 6 1. Kvadriranje...............................................................................................18 1.1. Kvadriranje racionalnih brojeva......................................... 19 1.2. Zbrajanje i oduzimanje matematičkih izraza..................... 26 1.3. Množenje matematičkih izraza.......................................... 30 1.4. Kvadriranje matematičkih izraza........................................ 36 1.5. Potencije........................................................................... 45 1.6. Potencije s bazom 10........................................................ 51 1.7. Ponavljanje........................................................................ 58 2. Korjenovanje i realni brojevi............................................................60 2.1. Korjenovanje..................................................................... 61 2.2. Približno računanje korijena.............................................. 67 2.3. Grafovi funkcija kvadriranja i korjenovanja........................ 71 2.4. Realni brojevi.................................................................... 78 2.5. Računanje s korijenima..................................................... 84 2.6. Djelomično korjenovanje................................................... 90 2.7. Kvadratna jednadžba......................................................... 97 2.8. Ponavljanje...................................................................... 101 3. Pitagorin poučak................................................................................. 104 3.1. Pravokutni trokut............................................................ 105 3.2. Pitagorin poučak............................................................. 108 3.3. Realni brojevi na brojevnom pravcu................................. 115 3.4. Primjena Pitagorina poučka na pravokutnik i kvadrat...... 121 3.5. Primjena Pitagorina poučka na jednakokračni i jednakostranični trokut............... 127 3.6. Primjena Pitagorina poučka na romb i trapez.................. 135 3.7. Ponavljanje...................................................................... 139 Rješenja.................................................................................. 142 Kazalo.................................................................................... 157
Upoznajte likove s kojima ćete se družiti kroz gradivo udžbenika Petica!
Luka
Uèiteljica
Maja
Matija
Beni
Luka je odličan učenik. Iako se kod njega nikad ne zna hoće li imati 4 ili 5, matematika mu je jedan od najdražih predmeta. Kada mu nešto nije jasno, ne srami se pitati učiteljicu da mu pojasni gradivo.
Matija voli playstation i svoj skateboard mnogo više od matematike. No, pravi je stručnjak za računala svih vrsta, pa tako i za džepna. Otkad je učiteljica dozvolila njihovo korištenje, pomaže cijelom razredu u svladavanju gradiva.
Beni je Lukin pas. Voli dobro jelo, voli spavati, ali voli i prisluškivati kada Luka kod kuće priča o školi. Beni naročito voli matematiku i voli na šaljiv način komentirati matematičke probleme.
Maja ima sve petice i najbolja je učenica u razredu. Voli matematiku i redovito piše zadaće. Često se prepire s Lukom i Matijom oko točnih rješenja zadataka. Naravno, smatra da je baš ona uvijek u pravu!
Učiteljica na zanimljiv način približava učenicima i najteže gradivo iz matematike. Uvijek je tu ako treba nešto dodatno objasniti i strpljivo odgovara na njihova brojna pitanja.
Dragi čitatelji, pred vama je prvi svezak udžbenika sa zbirkom zadataka iz matematike za 8. razred osnovne škole, koji je u potpunosti usklađen sa stručnim i metodičkim zahtjevima Hrvatskog nacionalnog obrazovnog standarda (HNOS). Uz objedinjeni udžbenik sa zbirkom zadataka i rješenjima, u udžbenički komplet ubraja se još i CD za učenike koji će vam približiti gradivo matematike i učiniti ga zanimljivim, pa i zabavnim. Gradivo osmog razreda započinje poglavljem o kvadriranju racionalnih brojeva. Kvadriranje brojeva često se koristi u matematičkoj i tehničkoj praksi, povezuje se s geometrijom i površinom kvadrata, te čini osnovu za kompletno gradivo matematike u osmom razredu. Uz neka svojstva funkcije kvadriranja, upoznat ćemo se pobliže i s potencijama s bazom 10. Zatim slijedi korjenovanje i upoznavanje s novim skupom brojeva – iracionalnim brojevima, te sa skupom realnih brojeva. Ova su nam znanja važna za jedan od najpoznatijih školskih matematičkih poučaka – Pitagorin poučak i njegove primjene u geometriji. Svaki naslov u udžbeniku započinje problemom koji će vas kroz zanimljiv zadatak iz života uvesti u novo gradivo. Zatim slijede riješeni primjeri, putem kojih ćete stjecati nova znanja iz matematike. Znanje ćete utvrditi pomoću raznovrsnih zadataka koji se nalaze iza primjera. Zadaci su složeni po težini od lakših prema težima i obojani odgovarajućim bojama: plavo - lakši zadaci, crno - srednje teški zadaci i narančasto - složeniji zadaci. Ako neku vrstu zadataka poželite još više uvježbati, na CD-u ćete naći dodatne i dopunske zadatke te druge obrazovne materijale i igre vezane uz matematiku. Kroz gradivo matematike voditi će vas simpatični likovi: Luka, Maja, Matija, učiteljica, Beni i ostali, koji će se, baš kao i vi, uhvatiti u koštac s gradivom matematike. Svojim razgovorima i savjetima olakšat će vam svladavanje početnih teškoća. Kako bi vaš uspjeh iz matematike bio još bolji, na kraju svake nastavne teme nalaze se pitanja za ponavljanje i uvježbavanje gradiva. U udžbeniku su posebno označeni dijelovi gradiva koji nisu dio obaveznog programa, ali su namijenjeni učenicima koji žele znati više. Osim toga, i drugi dijelovi građe istaknuti su posebnim okvirima. U tablici su dani njihovi opisi i značenja: Oblik
Značenje
Zadatak 4.
Lakši zadatak (redni broj zadatka obojan svijetlo-plavom bojom)
Zadatak 5.
Složeniji zadatak i zadaci za nadarene (redni broj zadatka obojan narančastom bojom) Važan dio gradiva kojeg treba dobro naučiti Dio teksta za lakše praćenje i pamćenje gradiva Formula
Gradivo za radoznalce
Ako se u nekom zadatku traži crtanje ili upisivanje rješenja u udžbenik, riješite zadatak u svojoj bilježnici. Udžbenik trebaju koristiti i generacije iza vas. Puno uspjeha u radu žele vam autorice udžbenika!
0. Uvodno ponavljanje
Uvodno ponavljanje Koordinatni sustav Koordinatni sustav na pravcu
O
E
0
1
Pravokutni koordinatni sustav os y os ordinata
E2 O
Točka na x - osi
E1 os x
os apscisa
y T(x,0) Kvadranti
x
y II. kvadrant (-,+)
Točka na y - osi
y
I. kvadrant (+,+)
x
V(0,y) III. kvadrant (-,-)
x
IV. kvadrant (+,-)
Omjeri i proporcije Omjer dvaju brojeva a : b =
6
a . b
Jednakost omjera a : b = c : d naziva se proporcija ili razmjer i vrijedi a ⋅ d = b ⋅ c
Dvije veličine su međusobno proporcionalne
Dvije veličine su međusobno obrnuto proporcio
ako iz povećanja (smanjenja) jedne veličine
nalne ako iz povećanja (smanjenja) jedne veličine
slijedi povećanje (smanjenje) druge veličine za
slijedi smanjenje (povećanje) druge veličine za isti
isti faktor.
faktor.
Količnik dviju proporcionalnih veličina je y stalan. k = ili k = y : x. x
Umnožak dviju obrnuto proporcionalnih veličina je stalan. k = x ⋅ y.
0. Uvodno ponavljanje Postotni i kamatni račun Postotak označava omjer nekog broja
Jednostavni kamatni račun
naprema 100.
kamate - k
Postotni iznos - y Postotak - p %
glavnica - g
y = p% ∙ x
kamatna stopa - s
Osnovna vrijednost - x.
k = g•s•v
vrijeme (godine) - v
Osnove statistike i vjerojatnosti Stupčasti dijagram
grafički prikaz koji se sastoji od niza pravokutnika jednakih širina, a visina mu odgovara različitim vrijednostima promatranog obilježja.
Frekvencija
broj koji nam kazuje koliko puta se ta vrijednost pojavila u nekom skupu.
Relativne frekvencije
računamo tako da svaku frekvenciju podijelimo s ukupnim brojem pojavljivanja u nekom skupu. Zbroj svih relativnih frekvencija nekog skupa uvijek mora biti 1.
Aritmetička sredina n brojeva
x =
Vjerojatnost nekog događaja A
P(A) =
x1 + x2 + x3 + x 4 + ... + xn . n broj povoljnih elementarnih događaja . ukupan broj elementarniih događaja
C γSličnost C
trokuta C’
γ
γ’ b’
b
a’
a
b
α’
α A
β
α A
c
c
β’
A’ c’ B B
B’
o P a b c = = = k , 1 = k , 1 = k ⋅k o a' b' c' P
7
0. Uvodno ponavljanje Poučci o sličnosti trokuta 1. Poučak o sličnosti trokuta: stranica – stranica – stranica (SSS) Ako su omjeri duljina svih triju stranica
jednaki,
onda
su
trokuti slični. a
b
ti
2. Poučak o sličnosti trokuta: stranica – kut – stranica (SKS) Ako je jedan unutarnji kut jednog trokuta jednak po veličini kutu drugog trokuta i ako su omjeri duljina stranica uz taj kut jednaki, onda su ti trokuti slični.
c
a
b
b’
γ’
Ako su dva unutarnja kuta jednog trokuta jednaka po veličini dvama kutovima drugog trokuta, onda su ti trokuti slični.
a’ α
c’
Talesov poučak o proporcionalnim dužinama:
B
α’
β
Mnogokuti
a
q
p
A
a
g
G
B’
B O
kut – kut (KK)
γ
a’
b’
3. Poučak o sličnosti trokuta:
f
b
A
b
A’
'
'
' '
OA : OA = OB : OB = AB : A B Iz jednog vrha mnogokuta s n vrhova može se nacrtati d = n – 3 dijagonala.
F
C '
i OA : AA = OB : BB
e
c
'
D
Mnogokut s n
Zbroj veličina svih unutarnjih
vrhova ukupno n ⋅ (n − 3) ima Dn = 2 dijagonala.
kutova n-terokuta računamo po
d
E
Zbroj veličina svih vanjskih kutova
formuli
n-terokuta je 360°.
Kn = (n − 2) ⋅ 180°
Pravilni mnogokuti karakteristični trokut
veličina unutrašnjeg kuta
αn =
αn — 2
A1
8
P =n⋅
a⋅r 2
odnosno visina karakterističnog
r
trokuta αn — 2
a
360 n
upisane kružnice,
βn
p
βn =
površina
r je polumjer
S
r
(n − 2) •180 Kn = n n
veličina sred. kuta
A2
opseg O = n ⋅a
0. Uvodno ponavljanje Površina i opseg trokuta i četverokuta pravokutni trokut B β
trokut
b
a C
c α
c
A
P=
a ⋅b 2
kvadrat
P=
D
c ⋅ vc 2
P = a ⋅a = a P=
pravokutnik
paralelogram
b
a
B
C
D
C
A
vb
va
α
β B
a
O = 2a + 2b = 2(a + b ) P = a ⋅b
O = 2a + 2b = 2(a + b ) P = a ⋅ va = b ⋅ vb
trapez
deltoid
b
d ⋅ d d2 = 2 2
romb D
a
D
C
va A
a ⋅ va 2
P=
A
2
C
α
a ⋅ va b ⋅ vb c ⋅ vc P= = = 2 2 2
d
O = 4a
A O = 3a
D
B
va a α a B
a γ
a
a
a
A
va
C α
b vc
O =a +b +c
C d
vb
β
B
O =a +b +c
jednakostraničan trokut
A α
f
a B
A
a
C d
e a B
A
α
D δ v
c s a
O = 4a
O =a +b +c +d
e ⋅f P = a ⋅v = 2
s=
a +c , 2
P = s ⋅v =
(a + c ) ⋅v 2
C γ
D a
b β B
b
e
f
2
A
C
e
a
2
B
b
O = 2a + 2b = 2(a + b ) P=
e ⋅f 2
9
0. Uvodno ponavljanje Krug i kružnica krug
kružni isječak
duljina kružnog luka l
A S
r
r
P = r2π
P = r2 ⋅
O = 2r π
α
r r
α . 360°
r
l=
α
r πα 180º
Poučak o središnjem i obodnom kutu:
Talesov poučak:
Ako se središnji i obodni kut nalaze nad istim
Svaki obodni kut nad promjerom kružnice je
kružnim lukom, onda je središnji kut dvostruko
pravi kut.
veći od obodnog kuta.
promjer
2α
S
S α
Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice a 1x + b 1y = c 1 a 2x + b 2y = c 2
Metoda supstitucije ili zamjene je način rješavanja sustava u kojem jednu nepoznanicu zamjenjujemo nekim izrazom.
10
Rješenje sustava (x, y)
Metoda suprotnih koeficijenata zasniva se na činjenici da je zbroj suprotnih brojeva jednak 0.
0. Uvodno ponavljanje Linearna funkcija f (x) = a•x + b Graf
Graf linearne funkcije u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini je pravac Linearna funkcija kojoj je koeficijent smjera pozitivan, a > 0 je rastuća funkcija.
Tok
Linearna funkcija kojoj je koeficijent smjera negativan, a < 0 je padajuća funkcija. Nultočku linearne funkcije određujemo rješavanjem linearne jednadžbe ax + b = 0 .
Sjecište s koordinatnim osima
Grafičko
b Sjecište s osi apscisa – nultočka N − ,0 . a Sjecište s osi ordinata A(0, b). Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice može: o imati jedno rješenje - sjecište pravaca određenih tim jednadžbama
rješavanje
o nemati rješenja - dva usporedna pravca određena tim jednadžbama
sustava dviju
o imati beskonačno mnogo rješenja - isti pravac je određen tim jednadžbama
jednadžbi
Eksplicitna jednadžba pravca je y = ax + b Jednadžba
Pravci su usporedni ako imaju jednake koeficijente smjera.
pravca
Pravac x = broj usporedan je s y osi. Pravac y = broj usporedan je s x osi.
Z a d a c i 1. Organiziraj koordinatni sustav na pravcu, ucrtaj
rantu ili koordinatnoj osi pripada koja točka.
10 1 1 ),B (1.12), A(2 ),I (− ) ; 3 5 7 11 3 b) R(−0.3), A( ),G (−3.42),D (2 ) ; 6 4 13 1 c) A(2.4), Ž (−0.15),R(− ),U (−1 ) . 5 6 a) R(−
5. U koordinatnoj ravnini istakni točke
1 2 3 1 4 A( , −2),B (−3,3 ),C (0, − ),D (2 ,1 ). 2 3 4 2 5 6. U koordinatnoj ravnini nacrtaj trokut s vrhovima
2. Kojim su brojevima pridružene točke A, B, C i D sa slika?
B
4. U koordinatnoj ravnini istakni točke A(–3, 0), B(4, –2), C(0, 1), D(–2, –2). Napiši kojem kvad
točke, te odgonetni riječ:
A(–3, –2), B(0, –4), C(3, 4). Kojoj vrsti pripada taj trokut obzirom na duljine stranica? Nađi
C
O
A
0
ED 1
3. a) Nađi sve uređene parove kojima je prvi član prost broj veći od 3 i manji od 10, a drugi član je višekratnik broja 3 manji od 10.
njegovu osnosimetričnu sliku obzirom na os y. 7. U koordinatnoj ravnini nacrtaj četverokut s
1 2
3 2
1 2
, .5),B (0, ),C (1, ),D (0,2 ) . vrhovima A(−11 Kako se zove taj četverokut? Nađi njegovu osnosimetričnu sliku obzirom na os x. 8. Izračunaj x u omjeru
b) Kakve koordinate mogu imati točke koje su
a) 16 : 2.5 = x;
jednako udaljene od obje koordinatne osi?
b) 34 : x = 2; c) x :
1 = 6. 2
11
0. Uvodno ponavljanje 20. Električna grijalica za 2 sata i 20 min potroši 9. Pojednostavni omjere: a) 10.5 : 7;
4 7 b) : ; 9 6
2.1 kW struje. Koliko će potrošiti za 5.5 sati?
7 c) 3.5 : . 2
10. Izračunaj nepoznati član proporcije:
a) –2 : x = 4 : (–3);
b) x : 6 = (x + 2) : 3.
21. Majka pegla rublje 4 sata. Koliko bi ranije bila gotova da joj pomognu sin i dvije kćeri? 22. 18 radnika 20 dana grade tunel. Za koliko bi se dana skratio taj posao ako nakon 5 dana dođu
11. Najkraća udaljenost od grada A do
još 2 radnika?
grada B na karti je 12 cm. Kolika je ta udaljenost u km, ako je karta izrađena u mjerilu 1 : 1 000 000? 12. Dva radnika, Damir i Josip, radili su zajedno jedan posao. Damir je radio 12 dana, a Josip 15 dana. Zajedno su zaradili 1350 kn. Kako će ih pravedno podijeliti? 13. Izračunaj kutove trokuta koji se odnose kao 7 : 3 : 8. 14. Dok se zupčanik A okrene 3 puta, zupčanik B će se okrenuti 7 puta.
23. Za 62 l vina potrebno je 93 kg grožđa. Koliko grožđa je potrebno za 472 l vina? 24. Luka je za 15.50 kn kupio 40 dag oraha. a) Koliko oraha može kupiti za 24.80 kn? b) Ako želi kupiti 120 dag oraha koliko će to platiti? 25. Sat u toku 12 sati kasni 3 min i 20 sek. Koliko će kasniti u 9 dana? 26. 6 radnika očisti dno jezera za 30 dana. Koliko bi radnika trebalo raditi, pa da dno jezera bude
Ako je zupčanik A napravio 12 okreta koliko ih
očišćeno za 18 dana?(pretpostavimo da svi
je napravio zupčanik B?
radnici imaju isti učinak)
Ako je zupčanik B napravio 84 okreta koliko ih je napravio zupčanik A?
27. a) Kilogram krušaka prodaje se za 4.5 kn. Nacrtaj tablicu i izračunaj koliko treba platiti
15. Smreka visoka 16 m baca sjenu dugačku 12 dm.
0, 1, 2 i 3 kg tih krušaka. Nacrtaj grafički
Koliko je visoka breza koja baca u isto vrijeme
prikaz.
sjenu dugu 0.9 m.
b) Kilogram krumpira prodaje se za 1.2 kn.
16. Izračunaj x iz proporcije:
1 ):4 (7 + x) : 6 = (x + 3 17. Za 23.40 kn može se kupiti 9 kg šećera. Koliko se šećera može kupiti za 39 kn?
Nacrtaj tablicu i izračunaj koliko treba platiti 0, 2, 4 i 6 kg tih krumpira. Nacrtaj grafički prikaz. 28. Odredi koliko je 5 % od 12346. 29. Odredi broj od kojeg 12 % iznosi 187.2.
18. 35 učenika posadi cvijeće u školskom dvorištu za 6 sati. Koliko bi učenika trebalo raditi da bi cvijeće bilo posađeno za 5 sati (pretpostavimo
30. Breskve koštaju 86 kn. Koliko će koštati nakon pojeftinjenja od 14 % ?
da svi učenici rade jednako brzo)? 31. Jagode koštaju nakon poskupljenja od 9 % 109 19. Postaviti ogradu oko manjeg dvorišta može
kn. Koliko su koštale prije?
Mate za 15 sati, a Goran za 25 sati ako rade svaki za sebe. Za koliko bi sati zajedno postavili ogradu oko tog dvorišta?
12
32. Koliko je posto 54 od 90?
0. Uvodno ponavljanje 33. Stranica kvadrata je 24 cm. Ako stranicu
40. 15 učenika se natječe u skoku u vis. Rezultati
umanjimo za 25 %, za koliko posto će se
su im sljedeći: 1.5m, 1.44 m, 1.35 m, 1.44 m,
umanjiti opseg i površina kvadrata?
1.35 m, 1.5 m, 1.48 m, 1.48 m, 1.44 m, 1.35 m, 1.44 m, 1.48 m, 1.44 m, 1.48 m, 1.35 m
34. Prepiši, pa dopuni tablicu:
a) Nacrtaj kružni dijagram frekvencija; b) Izračunaj relativne frekvencije i nacrtaj stupčasti
glavnica 4000 eura 5000 kn 9000 kn
dijagram za njih.
kamatna stopa
5.2 %
vrijeme
7g
1.7 %
4.4 % 41. Prikaži podatke o temperaturama zraka u obliku
kamate
3g 510 kn
2g
linijskog dijagrama:
1539 kn 704 eura
35. U banku je uloženo 7200 kn. Uz koliku kamatnu stopu će se za 40 mjeseci dobiti 1440 kn kamata ako se radi o jednostavnom ukamaćivanju? 36. Koliku svotu treba vratiti klijent banke koji želi kredit od 800000 kn po kamatnoj stopi 4.5 %, ako je vrijeme otplate kredita 250 mjeseci? Kolika je mjesečna rata tog klijenta (jednostavni kamatni račun)? 37. Koliko vremena treba da bi oročena štednja od 7000 kn narasla na 7700 kn, ako je kamatna stopa na tu štednju 2.5 % (jednostavni kamatni račun)?
Srednja temperatura zraka u Ogulinu(°C) I
II
III
VII VIII IX
X
IV
V
VI
–12 –11 –9 –4
3
11 21 28 28 18
XI
XII
1
–8
a) Izračunaj srednju temperaturu za tu godinu. b) Koji mjesec je temperatura najniža, koji najviša, a koji najbliža srednjoj? c) Kolika je razlika u temperaturi najtoplijeg i najhladnijeg mjeseca te godine? 42. Napravi histogram frekvencija i relativnih frek vencija za rezultate ispita znanja (od ukupno 24 boda) u 7.a razredu s postignutim bodovima 0, 2, 7, 7, 8, 10, 11, 11, 15, 16, 16, 16, 18, 18, 20, 20, 20, 21, 22, 23, 23, 24, 24, 24: a) Izračunaj aritmetičku sredinu tih podataka.
38. Maja je dobila 1620 kn kamata. Koliko je
b) Izračunaj postotak riješenosti ispita.
uložila ako je štedjela 5 godina po kamatnoj stopi 3.6 % (jednostavni kamatni račun)?
43. Sedmi razred je na sistematskom pregledu. Svi se moraju izvagati. Svrstaj težinu učenika u histogram frekvencija, i relativnih
39. Završne ocjene 7b razreda na kraju prvog
frekvencija, i nađi aritmetičku sredinu tih
polugodišta iz matematike su 4, 5, 5, 4, 3, 3,
podataka. Izmjerene težine u kg su slijedeće:
3, 2, 2, 4, 3, 3, 3, 5, 5, 4, 4, 4, 5, 5, 3, 5, 5, 4,
55, 49, 60, 61, 45, 59, 69, 49, 56, 55, 57, 49,
3, 5:
55, 67, 64, 63, 66, 61, 66, 50, 56, 56, 49,
a) Nacrtaj stupčasti dijagram frekvencija;
60, 68. Relativne frekvencije prikaži u obliku
b) Izračunaj relativne frekvencije i nacrtaj stupčasti dijagram za njih;
postotka. 44. U posudi se nalazi 10 plavih kuglica, 10 zelenih,
c) Zapiši relativne frekvencije u obliku
4 zlatne i 1 bijela. Ana i Luka se igraju tako da
postotka;
naizmjenice izvlače po jednu kuglicu i vraćaju
d) Izračunaj srednju ocjenu tog razreda iz matematike
je natrag u kutiju. Promatramo koja je kuglica izvučena u bilo kojem izvlačenju. Koliko ima elementarnih događaja?
13
0. Uvodno ponavljanje Odredi vjerojatnost da je izvučena:
c) čiji zbroj je 8;
a) plava kuglica;
d) čiji zbroj je manji od 10;
b) bijela kuglica;
e) čiji zbroj je veći ili jednak 10;
c) zelena kuglica;
f) koji nisu jednaki.
d) zlatna kuglica. 49. Izračunaj nepoznatu duljinu dužine sa skice (sve 45. U šeširu se nalazi šesnaest kuglica, označenih brojevima od 1 do 16. Igrači izvlače po jednu kuglicu i vrate ju natrag u šešir.
a)
mjere su izražene istom mjernom jedinicom). a)
20
a) Kolika je vjerojatnost da je igrač izvukao paran broj?
5
b) Kolika je vjerojatnost da je izvukao prosti 4
broj?
x
c) Kolika je vjerojatnost da je izvučeni broj
b)
dvoznamenkast? d) Kolika je vjerojatnost da je izvučeni broj
b) 7
višekratnik broja 5?
x
e) Kolika je vjerojatnost da je izvučeni broj djelitelj broja 36?
36
11
46. U posudi se nalazi 150 kuglica. Od toga je 40% žutih, 12% bijelih, 2% crvenih, 24% plavih, a ostale su zelene. Igrač izvlači jednu kuglicu. a) Koliko ima kojih kuglica? b) Kolika je vjerojatnost da je izvučena žuta
c)
c)
kuglica? c) Kolika je vjerojatnost da je izvučena bijela ili crvena kuglica? 14
d) Kolika je vjerojatnost da je izvučena
x
jednobojna kuglica? e) Kolika je vjerojatnost da je izvučena crna
6
kuglica? 47. Ana baca kockicu iz igre “Čovječe ne ljuti se”.
21
d)
d) x
a) Kolika je vjerojatnost da je pao broj manji
2
od 3? b) Kolika je vjerojatnost da je pao broj veći ili
5
jednak 3? 4
48. Maja se igra bacajući istovremeno dvije kockice, crvenu i crnu. Odredi vjerojatnosti da na kockicama padnu brojevi: a) 2 i 3 ili 3 i 2; b) čiji je zbroj 11;
14
y
3
0. Uvodno ponavljanje 50. Nacrtaj dužinu AB duljine 10 cm. Na toj dužini konstruiraj točku C tako da vrijedi:
AC : CB = 3 : 4
61. Površina stola je u obliku mnogokuta. Koliko stranica ima površina stola ako zbroj svih njegovih unutarnjih kutova iznosi dvadeset dva prava kuta?
51. Konstruiraj trokut opsega 15 cm tako da mu se duljine stranica odnose kao 1 : 2 : 3.
62. Izračunaj veličinu unutrašnjeg kuta pravilnog 12-kuta.
52. Trokuti
i
su slični. Izračunaj
nepoznate duljine stranica ako je: a) a = 1.2 cm, b’ = 4.6 cm, c = 4.2 cm i a : a’ = 1 : 2; b) a’ = 28 mm, b = 25 mm, c’ = 16 mm i c = 2 cm;
b' 5 = i b’ = 2.5 cm, a = 2.4 cm, c) b 3 c’ = 3.5 cm. 53. Sjena bora duga je 5.1 m. U isto vrijeme sjena štapa duga je 1.7 m. Koliko je visok bor ako je duljina štapa je 2 m? 54. Koliko najviše dijagonala možeš nacrtati iz jednog vrha osamnaesterokuta. 55. Koliko kutova ima n-terokut ako znaš da se iz jednog njegovog vrha može nacrtati najviše 17 dijagonala? 56. Koliko ukupno dijagonala možeš nacrtati mnogokutu koji ima 24 stranice? 57. Postoji li mnogokut koji ima 20 dijagonala? 58. Koliki je zbroj svih unutarnjih kutova u
63. Kolika je duljina stranice pravilnog mnogokuta opsega 37.5 cm, i veličine unutrašnjeg kuta 156°? 64. Koliko vrhova ima pravilni mnogokut veličine središnjeg kuta 20°? 65. Konstruiraj pravilni osmerokut upisan u kružnicu polumjera r = 5 cm. 66. Konstruiraj pravilni dvanaesterokut, duljine stranice a = 2 cm. 67. Konstruiraj kvadrat opsega 16 cm. 68. Vrt u nekoj školi je oblika pravilnog osmerokuta. Oko njega treba zasaditi ruže. Ako je stranica osmerokuta 3.6 m, a svaku ružu treba zasaditi na razmaku od 30 cm, koliko ruža treba kupiti? 69. Lukin djed želi oko drveta u vrtu složiti klupu u obliku šesterokuta, kao na slici. Koliko je drveta potrebno za tu klupu? Napomena: pogledaj od kojih dijelova je sastavljena ta šesterokutna klupa.
dvadeseterokutu? 59. Koliko vrhova, stranica i kutova ima mnogokut
b) 7560°.
17.3 cm
50 cm
a) 4140°;
30 cm
kojemu je zbroj svih unutarnjih kutova
60. Kojem mnogokutu je zbroj veličina vanjskih kutova osamnaest puta veći od broja njegovih vrhova?
15
0. Uvodno ponavljanje 70. Nacrtaj kružnice k(A, 2.3 cm) i k(B, 3.5 cm) tako
81. Provjeri je li zadani uređeni par (3, –2) rješenje
da se one:
sustava:
a) sijeku;
2x + 3y = 0
b) dodiruju;
–3x + 4y = 2.
c) niti sijeku niti dodiruju. Koliko im moraju biti udaljena središta tako da
82. Riješi sustave metodom supstitucije: a) 2x + y = 4
se one neće sjeći ni dodirivati? 71. Nacrtaj trokut i konstruiraj mu opisanu
–x – y = – 3.5 b) 3x + 2y = 5 –7x + 3y = –4
kružnicu. U kakvom su položaju pravci, na kojima leže stranice trokuta, u odnosu na tu kružnicu ? 72. Koliki je pripadni obodni kut ako je
83. Riješi sustave metodom suprotnih koeficijenata: a) 4x + 3y = 2 3x – 6y = 18
središnji 252°?
b) –2x – 7y = –21 73. Koliki je pripadni središnji kut ako je
3x + 2y = 6
obodni 42°? 84. Riješi sustave: 74. Konstruiraj pomoću Talesovog poučka pravokutan trokut kojem je:
a)
a) Hipotenuza duga 3.4 cm, a jedna kateta
2.4x – 3y = 7.8
2.1 cm; b) Hipotenuza duga 5.3 cm, a jedan kut
b)
iznosi 40°.
c) 3(x +1) –2y = 6x + 2
te točke na kružnicu. 76. Promjer kotača bicikla je 64 cm. Koliki put prijeđe bicikl kada se kotač okrene 255 puta? 77. Polumjer kružnice iznosi 2.4 cm. Izračunaj
2 1 x + y =3 3 2 1 3 x − y = −2 3 2
75. Konstruiraj kružnicu promjera 67 mm i istakni jednu točku na kružnici. Konstruiraj tangentu iz
1 x +y = 0 2
2x – 2(y –2) = –4y + 2 d)
x + 3 y −1 − =2 2 3 2x − 1 y + 2 5 + =1 3 2 6
duljinu kružnog luka kojem pripada središnji kut veličine 60°.
85. Na igralištu je sedmerostruko više dječaka nego djevojčica. Koliko je dječaka, a koliko djevojčica
78. Kolika je površina poprečnog presjeka cijevi ako je njen promjer 8.5 cm? 79. Kolika će biti površina poprečnog presjeka balvana ako je njegov opseg 28.26 dm?
na tom igralištu, ako je ukupno 64 djece na igralištu? 86. Opseg pravokutnika je 16.4 cm. Duljina jedne stranice je za 0.8 cm veća od duljine druge stranice. Kolike su
80. Polumjer kružnice iznosi 2.3 cm. Kolika je površina kružnog isječka kojem pripada središnji kut veličine 40°.
16
duljine stranica? Kolika je površina tog pravokutnika?
0. Uvodno ponavljanje 87. Tijekom ljeta Ana je radila šest puta više dana nego Luka. Ukupno su radili 49 dana. Koliko dana je radio svatko od njih? 88. Zbroj znamenki dvoznamenkastog broja jednak je 13. Ako znamenke zamijene mjesta dobiva se broj veći za 9. Koji je to broj? 89. Omjer dva broja je 5 : 6. Ako prvi uvećamo za 5,
95. Prepiši, pa ispuni tablicu: jednadžba pravca
a
b
sjecište nuls osi ili pad ordinata točka rast
y = 3x + 5 y = -7x – 11 y = –4.6x + 1.5
a drugi umanjimo za 8, dobit ćemo vrijednost omjera 2. Koji su to brojevi?
y = 90. 2.4 kg krušaka i 3.2 kg banana treba platiti
3 x + 2.6 4
38.4 kn. 5.1 kg krušaka i 2.7 kg banana treba platiti 69.3 kn. Kolika je cijena jednog kilograma krušaka, a kolika jednog kilograma banana?
96. Nacrtaj pravce x = –6 ; y = –4. 97. Sustave riješi grafički
91. Koliko treba uzeti 22-postotnog srebra, a koliko 34-postotnog srebra da bi se dobilo 150 grama 30-postotnog srebra?
a) y = 2x –3 y = –1x + 3; b) 3x – y = –4 2x + 5y = 3.
92. Da bi se dobilo neku slitinu treba miješati dva metala u omjeru 8 : 3. Koliko kojeg metala treba za 165 dag te slitine? 93. Nacrtaj grafove linearnih funkcija: a) f(x) = 2x + 1; b) f(x) =
1 x −3. 2
94. Koje od ovih točaka pripadaju grafu funkcije
f (x ) =
3 x − 1: 4
1 5 2 A(4, 2), B(–4, 4), C( , ), D( − , –1.5). 2 8 3
98. Napiši jednadžbe i ucrtaj u pravokutnom koordinatnom sustavu tri pravca koji su usporedni sa zadanim pravcem y = −
1 x + 1. 2
99. Taksist Marko naplaćuje start 20 kn plus 6.5 kn po prijeđenom kilometru. A taksist Jura start naplaćuje 40 kn plus 5 kn po prijeđenom kilometru. a) S kojim taksistom se povoljnije voziti 20 km, a s kojim 5 km? b) Koliko bi uštedjeli ako za put duljine 15 km odaberemo povoljnijeg taksistu? A za put od 45 km?
17
1. Kvadriranje Važni pojmovi kvadriranje kvadrat broja kvadratne mjerne jedinice kvadratna funkcija parabola kvadrat umnoška i količnika kvadrat zbroja i razlike razlika kvadrata potencija baza potencije eksponent potencije potencije broja 10 znanstveni zapis
Stari su Grci umnožak a • a shvaćali kao površinu kvadrata sa stranicom a. Kvadrirati neki broj – to je za njih značilo izračunati površinu kvadrata koji ima stranicu duljine a. To je razlog povezivanja imena kvadrata i kvadriranja broja. I naziv kvadriranje potječe od latinske riječi quadratum, što znači kvadrat.
1 mm 1 mm
1cm2 1 cm 1 cm
1 cm2 = 100 mm2
Na sličan su način stari Grci umnožak a • a • a shvaćali kao obujam (volumen) kocke s bridom a. Kocka se na grčkom nazivala kubos pa otuda potječe naziv kubiranje. Kubirati neki broj – to je za njih značilo izračunati volumen kocke koja ima brid duljine a. To je razlog povezivanja imena kocke (kubosa) i kubiranja broja.
1
cm3
= 1000
možda j e rj ešenj e u knjizi...
mm3
1 cm
1cm3 1 cm 1 cm
heureka!
18
Kvadriranje U ovom ćeš poglavlju, primjerice, naučiti: - Kako kvadrirati racionalne brojeve; - Što zapravo znači ona mala dvojka u mjernim jedinicama cm2, dm2 itd.; - Što je parabola i gdje je susrećemo; - Što je potencija; - Kako znanstvenici zapisuju vrlo velike i vrlo male brojeve.
Kratki zadaci za ponavljanje
3. Nastavi niz iz prethodnog zadatka! 4. Koja je razlika i koja je sličnost između mjernih jedinica: cm, cm2 i cm3?
1. Nabroji neke dekadske jedinice.
5. Nastavi niz: 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...
2. Što je zajedničko brojevima 1, 4, 9, 16, 25,
6. Nastavi niz: 3, 9, 27, 81, ...
36, 49, ...?
7. Nastavi niz: 1, 8, 27, 64, 125, ...
1.1. Kvadriranje racionalnih brojeva Uoči vezu! Prepiši tablicu pa je popuni odgovarajućim brojevima. 1
2
3
4
5
1
4
9
16
25
6
7
8
9
10
11
12
13 169
14
15 225
Množenje broja sa samim sobom nazivamo kvadriranjem. Tako množenje 7 • 7 = 49 kraće zapisujemo 72 = 49 i čitamo: “7 na kvadrat jednako je 49”. Isto tako je 42 = 4 • 4 = 16 202 = 20 • 20 = 400 (–6)2 = –6 • (–6) = 36 1.52 = 1.5 • 1.5 = 2.25 kvadriranje Kvadrirati neki broj znači pomnožiti ga sa samim sobom. a 2 = a • a (čitamo: “a na kvadrat”) Zapis a2 možemo čitati na još nekoliko načina: “a na kvadrat” ili “a na drugu” ili “kvadrat broja a”. Tako je 49 kvadrat broja 7 jer je 72 = 49. 25 je kvadrat broja 5 jer je 52 = 25 itd.
19
1.1. Kvadriranje racionalnih brojeva Formula za površinu kvadrata j e P = a2
A zašto se a2 èita baš “a na kvadrat”? Kakve veze kvadrat ima s tim?
Stari su Grci uvij ek a2 shvaæali kao površinu kvadrata sa stranicom a. To j e razlog povezivanj a naziva kvadrat i kvadriranj e broj a.
Primjer 1. Kvadriranje racionalnih brojeva Izračunaj,
a
zatim
pročitaj
rješenjem:
4
a) 92; b) 2.12; c) (–2.1)2; d) 9
cijeli 2
jer je 2.12= 4.41 i (–2.1)2= 4.41.
izraz
s 2
1
; e) −3 . 5
Rješenje:
a) Znamo da kvadrirati znači pomnožiti zadani broj sa samim sobom pa je 92 = 9 • 9 = 81. Zato je 92 = 81 i čitamo: “9 na kvadrat jednako je 81”. b) 2.12 = 2.1 • 2.1 = 4.41. Kvadriranje decimalnog broja se svodi na množenje decimalnih brojeva.
To vrijedi za svaka dva suprotna broja a i –a jer je (–a)2 = –a •(–a) = a 2. Stoga kažemo da suprotni brojevi imaju jednake kvadrate. Suprotni brojevi imaju jednake kvadrate. (–a)2 = a 2 2
4 4 4 16 d) = ⋅ = . Prisjetimo se, dva razlomka 9 9 81 9
množimo tako da im pomnožimo brojnik s brojnikom te nazivnik s nazivnikom. 2
4 4 42 4 Primjećujemo da je = ⋅ = 2 . Stoga kod 9 9 9 9
kvadriranja razlomka kvadriramo njegov
c) (–2.1)2 = (–2.1) • (–2.1) = 4.41. Kako je umnožak dvaju negativnih brojeva pozitivan broj, zaključujemo da je kvadrat negativnog
brojnik i njegov nazivnik = 2 . O ovom b b svojstvu kvadriranja još ćemo govoriti kasnije,
broja uvijek pozitivan broj.
a sada će nam dobro doći za brzo kvadriranje
2
a
a2
Kvadrat negativnog broja uvijek je
razlomaka.
pozitivan broj.
e) Treba kvadrirati mješovit broj. Njega ćemo prvo pretvoriti u razlomak, a onda kvadrirati
Promotrimo još jednom zadatke b) i c). Brojevi koje treba kvadrirati su 2.1 i –2.1. To su suprotni brojevi. Oni imaju jednake kvadrate
Primjer 2. Pripazi na zagrade! U svakom zadatku prikazana su dva kvadriranja. U čemu je njihova sličnost, a u čemu razlika?
postupkom kao u zadatku d): 2
2
16 16 256 1 16 . ⋅− −3 = − =− = 5 5 5 5 25 2
4 a) = 7
42 = 7
b) (–4)2 =
–42 =
Jesu li rezultati u pojedinom zadatku jednaki?
20
Kvadriranje Rješenje:
Kvadriranje na džepnom računalu
a) Jedan razlomak nalazi se u zagradi, a drugi
I. način - pomoću tipke za množenje
2
ne. To znači da kod kvadriramo cijeli ra7 4
Da biste izračunali koliko je 82, pritisnite: 2. Tipku za množenje
8
8
3. Tipku s brojem
42 izostavljene su zagrade. To 7
U zadatku
8
1. Tipku s brojem
2
4 4 4 16 zlomak = ⋅ = . 7 7 7 49
ENTER
4. Za prikaz rezultata pritisnite tipku
znači da se ne kvadrira cijeli razlomak, nego
=
5. Na zaslonu će se prikazati rezultat 64.
samo brojnik 4. Rezultati nisu jednaki jer je
II. način - pomoću tipke za kvadriranje
4 2 4 ⋅ 4 16 . = = 7 7 7
Da biste izračunali koliko je 82 pritisnite:
8
1. Tipku s brojem
b) Znamo da je (–4)2 = 16.
x2
Pitamo se koliko iznosi –42.
2. Tipku za kvadriranje
Taj je izraz zapravo skraćen
3. Za prikaz rezultata pritisnite tipku
ENTER
=
4. Na zaslonu će se prikazati rezultat 64.
2
zapis od −(4 ) . To znači da se kvadrira samo broj 4, a zatim se traži suprotan broj od dobivenog kvadrata 16. Rezultat je stoga –16.
Ne zaboravi staviti zagrade kad kvadriraš razlomak ili negativan broj!
x2
–42 = –(42) = –16 = –16.
kvadriranje
Z a d a c i 1. Izračunaj: a) 92, 12, 102, 32, 82; b) (–1)2, (–9)2, (–3)2, (–6)2, (–2)2.
6. Izračunaj:
2. Izračunaj: a) 4.12, (–1.6)2, 0.92, 3.02, (–8.5)2;
b) (–0.3)2, −
a) 42, –62, (–5)2, –3.22,
7. Izračunaj:
2
2
2
2 1 4 8 6 , , , , ; 9 7 10 7 5 2
2
2
2
a a2
2
−2 4 11 −10 −4 , , − , , − . 7 −5 1 −9 −3
4. Izračunaj:
2
1
2
4
2
1
2
4
2
2
2
2
2
6 3 5 1 7 , 2 , − 3 , 1 , −9 . 7 10 9 9 8
5. Koja je razlika između zadanih kvadriranja? Izračunaj ih. 2
1
12
2
2
22
2
a) , ; b) , ; c) (–4.2)2, –4.22; 3 5 3 5 d) –252, (–25)2.
0
1
–1
1.5
–1.5
2
–2
9. Izračunaj
a) 1 , 5 , 2 , 1 , 4 ; 3 3 10 2 5 b) −4
2
2
8. Prepiši u bilježnicu pa popuni tablicu:
b)
2
2
1 4 11 3 1 + 1 ; c) + 1 ; d) 3 − ; e) 5 − 2 2 2 2 5
1 3
a) 1− ; b)
a)
2
2
3. Izračunaj: 2
2
2 1 11 , (–7.44)2, 652, . 2 2
b) (–1.11)2, 29.072, 0.352, (–0.709)2, (–2.006)2. 2
72 2 ,0 ; 5
a) 22; (-2)2; -22;
3
2
3
2
32 3
b) -42; (-4)2; 42;
5
2
5 5
2
52
c) ; − ; ; ; d) − ; ; ; ; 8 8 8 82 6 62 6 6
10. Izračunaj:
a) 12 + 22-22 -(-1)2=
b) (-5)2 + 32-22 -(-2)2=
c) -52-(-5)2=
d) -52+(-5)2=
f) c) 52 - 52=
g) -( -5)2-(-5)2=
e) (-5)2-(-52)=
21
1.1. Kvadriranje racionalnih brojeva
treba staviti zagradu kako bi sva kvadriranja
12. a) Napiši jedan par suprotnih, cijelih brojeva i njihove kvadrate. Što primjećuješ?
bila točna?
b) Napiši kvadrate brojeva: -1, 1 i 0.
11. Neka su kvadriranja točna, a neka nisu. Gdje
a)
32 9 7 2 49 9 2 81 = ; b) = ; c) = ; 5 25 4 4 6 36
d)
12 1 7 2 49 = ; e) = . 5 5 1 1
c) Koji brojevi su jednaki svojim kvadratima?
Primjer 4. Procjena Prvo procijeni, a zatim izračunaj:
smjestiti između dvije vrijednosti. Tako je 332
Koliko j e 402? Je li 160? Ili 1600?
veći od 900, a manji od 1600. c)
Procjena:
a) 302; b) 332;
(jer je to
302)
c) 392; d) 3412.
možemo
sa
392
se
nalazi
i 1600 (jer je to sigurnošću
reći
između
900
402).
Zapravo,
da
tražimo
broj “bliži” broju 1600. Točan rezultat je
Rješenje:
392= 1521.
a) 302 = 900 jer je 30 •
d)
30 = 900. Neki učenici
400, tada se 3412 nalazi između 90 000
krivo napamet računaju
(jer je to 3002) i 160 000 (jer je to 4002). Točan
da je 302 jednako 90.
rezultat je
No, pripazimo ovdje jer ne množimo 30 • 3,
3412 = 116 281.
već 30 • 30 pa umnožak mora završavati s dvije nule. Ovo svojstvo množenja smo učili u petom razredu. b) Procijenimo rezultat. Kako se broj 33 nalazi između 30 i 40, znači da se 332 nalazi između 302 i 402, a njih možemo lako kvadrirati napamet kao u primjeru a). Točan rezultat je 332 = 1089. Kod kvadriranja nam se pogreška procjene može činiti velika, no najvažnije je uvijek rezultat
Kako
se
341
nalazi
između
300
i
Ovo je tablica kvadrata brojeva do 20. Bilo bi dobro znati je napamet! 1 1 2 112 121 2 4 2 122 144 9 3 2 132 169 2 4 16 142 196 2 5 25 152 225 2 6 36 162 256 72 49 172 289 2 8 64 182 324 2 9 81 192 361 2 10 100 202 400
Z a d a c i 13. Bez računanja nađi koliko znamenaka imaju brojevi
102,
1002,
10002,
10
0002,
1 000
15. Procijeni između koja se dva kvadrata nalaze brojevi:
14. Napamet izračunaj:
a) 532, (–72)2, 812, 122;
a) 302, 102, 702, (–60)2, 802;
b) 442, (–65)2, 792, 182.
b) 4002, (–200)2, 5002, 8002, (–900)2; c) 20002, 502, 7002, (–1000)2, 902.
22
0002.
Kvadriranje b) Izračunaj koliko je 132 i koliko je 142. Što
16. Procijeni pa izračunaj: a)
422,
612,
182,
(–73)2,
852;
primjećuješ?
b) (–144)2, 3522, (–998)2, 17442, 320112. 17. Izračunaj služeći se tablicom kvadrata brojeva do 20: b) 142, (–16)2, (–15)2, 192, 172, 202. 18. a) Izračunaj koliko je 122 i koliko je 212. Što primjećuješ?
Broj
decimala
kod
rezultati, a zatim procijeni i izračunaj: a) 2.12; b) (–5.27)2 ; c) 0.32 ; d) 0.032 ; e)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 1 11 13 −18 , , , , − . −16 13 17 19 −3
b)
b) Umnožak će imati četiri decimalna mjesta. Primijetimo da kod kvadriranja decimalnih
Prvo napamet izreci koliko će decimala imati
0.0032
2
12 1 −14 18 6 , ; , , , − 19 11 15 7 15
a)
a) 122, 112, 102, (–13)2, 182;
Primjer 5. kvadriranja
19. Izračunaj služeći se tablicom kvadrata brojeva do 20:
.
brojeva rezultat uvijek ima dvostruko decimalnih mjesta u odnosu na broj koji kvadriramo. Procjenu radimo gledajući samo cijeli dio broja, (−5.27)2 ≈ (−5)2 pa je rezultat ≈ 25. Točno: (–5.27)2 = 27.7729;
Rješenje:
c) Obratimo pažnju na posljednja tri kvadriranja
a) Decimalne brojeve kvadriramo na isti način
0.32, 0.032 i 0.0032. Procjena svih rezultata je 0.
kao i prirodne. Stoga kod 2.12 množimo
Znamo da je 32 = 9. Želimo li kvadrirati decimalni
2.1 • 2.1. Svaki od faktora ima po jedno
broj 0.3, rezultat će imati dvije decimale jer
decimalno mjesto pa će rezultat kvadriranja
množimo 0.3 • 0.3. Rezultat je 0.32 = 0.09. Na
imati dva decimaln a mjesta. Procijenimo
isti način napamet možemo izračunati slična
rezultat gledajući samo cijeli dio broja, 2.1 ≈ 2.
kvadriranja.
Kvadriramo li ga, dobivamo da je 2.12 ≈ 4.
d) Četiri decimalna mjesta. 0.032 = 0.0009;
Točan rezultat je 2.12 = 2.1 • 2.1 = 4.41.
e) Šest decimalnih mjesta. 0.0032 = 0.000009.
Primjer 6. Kvadriranje u geometriji
b) Površinu kruga računamo po formuli
a) Izračunaj površinu kvadrata sa stranicom duljine 4 cm; b) Izračunaj površinu kruga kojem je polumjer 2.3 cm.
P = r • r • π. I tu primjećujemo množenje r sa samim sobom. Zapišimo ga u obliku kvadriranja. Formula za površinu kruga glasi: P = r 2π Površina kruga sa stranicom duljine 2.3 cm je
Rješenje: a) Površinu kvadrata računamo po formuli
P = 2.32π = 5.29π cm2. Uvrstimo li umjesto broja π njegovu približnu vrijednost π ≈ 3.14
P = a • a. Kako duljinu stranice množimo sa
dobit ćemo i približnu površinu
samom sobom, ovdje se radi o kvadriranju.
P ≈ 5.29 ⋅ 3.14
Formula za površinu kvadrata glasi: P = a2 Površina kvadrata sa stranipovršina kvadrata P = a2
com duljine 4 cm je P=
42
= 16
cm2.
P ≈ 16.6106 cm2
Dobivenu površinu zaokružimo na dvije decimale i zadatak je riješen:
površina kruga P = r 2π
P ≈ 16.61 cm2 .
23
1.1. Kvadriranje racionalnih brojeva
Kvadratne mjerne jedinice Kao što množenjem broja sa samim sobom dobivamo kvadrat tog broja, tako i množenjem mjerne jedinice za duljinu sa samom sobom (duljina • širina) dobivamo kvadratnu mjernu jedinicu.
1 mm 1 mm
1cm2 1 cm 1 cm 1
cm2
= 100 mm2
Kvadratne mjerne jedinice koje smo spominjali do sada su: mm2 (kvadratni milimetar), cm2 (kvadratni centimetar), dm2 (kvadratni decimetar), m2 (kvadratni metar) itd. Postoje kvadratne jedinice s posebnim nazivima kao što su ar (iznosi 100 m2) i hektar (iznosi 10 000 m2). Kvadratne mjerne jedinice se nazivaju i mjerne jedinice za površinu.
Z a d a c i 20. Koliko će decimala imati rezultat kvadriranja: 0.92,
0.012,
0.052,
0.00032,
0.0082?
21. Napamet izračunaj:
b) Nakon što je Maja izrezala kvadrat preostao joj je pravokutnik. Iz njega opet reže najveći mogući kvadrat. Kolika površina novog kvadrata i kolika je površina otpadnog papira?
a) 0.22, 0.022, 0.0022, 0.12, 0.0012; b) 0.42, 0.62, 0.052, 0.00082, 0.0072, 0.000092. 22. Izračunaj služeći se tablicom kvadrata brojeva do 20: a) 122, 1.22, 0.122, 0.0122, 0.00122; b) 1.42, 0.192, 0.000182, 1.72, 0.0152. 23. Napamet izračunaj površinu kvadrata sa stranicom duljine: 3 mm; e) 0.05 m. a) 1 cm; b) 6 cm; c) 0.2 dm; d)
29. Provjeri uz pomoć džepnog računala: a) (–2.5)2 = 6.25; b) 91.42 = 835.96; c) 1.2052 = 1.452025; d) (–0.59)2 = –0.2581; e) –60.22 = 3624.04. 30. Procijeni pa izračunaj: 2
f)
8
24. Procijeni pa izračunaj površinu kvadrata sa strani-
25. Izračunaj površinu kruga (točno i približno)
2
1 2
1 ; b) –82 = –64; c) (–0.2)2 = –0.04; 4 32 9 d) (–0.03)2 = 0.00009; e) − =− . 8 64
a) − =
a) 2 cm; b) 3.3 mm; c) 0.12 cm; d) 2 m; e) 0.002 dm.
32. Zaokruži točne jednakosti. Netočna rješenja ispravi: 2
26. Izračunaj površinu presjeka cijevi kružnog oblika
a) (–0.81)2 = 0.9; b)
2 5
s promjerom duljine: a) 8.2 cm; b) 84.7 mm; c) 223.5 mm; d) 73.37 cm; e) 8.513 dm. 27. Lukini roditelji su kupili pločice u obliku kvadrata stranice 16.5 cm. a) Kolika je površina jedne pločice? b) Koliku površinu žele popločiti ako su izračunali da im treba točno 120 pločica? c) Kolika je duljina hodnika kojeg žele popločiti ako je on pravokutnog oblika i širok je 90 cm? 28. Papir formata A3 ima dimenzije 21 x 30. a) Maja treba iz njega izrezati najveći mogući kvadrat. Kolika je površina tog kvadrata?
24
11 g) 2 ; h) 5002; i) 97.42. 12
ispravi:
e) 0.871 m. kojem je polumjer jednak:
0 2;
31. Zaokruži točne jednakosti. Netočna rješenja
com duljine: a) 0.5 cm; b) 1.2 cm; c) 2.53 cm; d) 1.5 dm;
2
4 7
a) (–3.5)2 ; b) 1.32 ; c) 2 ; d) 4.882; e) 0.0532;
121 11 ; = 29 841 572 3249 c) –0.742 = 5476; d) = . 44 1936
33. Tablicu prepiši u bilježnicu pa kvadriraj upisane racionalne brojeve.
x
0
–3.2
−4
9
0.22
–160
2
6 7
1 −2
x2 34. Tablicu prepiši u bilježnicu pa kvadriraj upisane racionalne brojeve.
x x2
–28 –13.5 −17
11 6 0.082 4.833 7 19 7
−51 16
Kvadriranje 35. Duljina stranice žutog kvadrata je dvostruko manja od duljine stranice crvenog kvadrata, a duljina stranice plavog kvadrata je tri puta manja od stranice žutog kvadrata.
Koliko je puta površina plavog kvadrata manja od površine crvenog kvadrata? 36. Stranica crvenog kvadrata sa slike dvostruko je dulja od stranice žutog kvadrata a stranica žutog dvostruko je dulja od stranice plavog kvadrata.
1 2
3. Izračunaj:
1
2
11
( −5)2
2
; h)
3
1
2
a)
e) 2 −
h)
c)
( −3)2 ; b) 5
32 3 − ; 5 52 2
3 1 3 1 2 − ⋅ − ; d) 0.2 – − . 4 2 4 2 5
0
1
–3
–
2 3
4 5
1.4
–3
1 2
3 5
–2.2
–2
1 2
(–a)2 8. Prepiši pa popuni tablicu:
2
a
2
0
7
–2
2 7
−
–a2 2
2
3 1 + 2 ; b) 2.5 − ; c) 4 2
a
0.22 ; i) − − . 2 1
2
a) − +
7. Prepiši pa popuni tablicu:
1 4 d) 3 − ; e) 5 − . 2 5
4. Izračunaj:
2 5
2
+ 1 ; c) + 1 ; a) 1− ; b) 2 3 2 2 2
4
e) –0.52; f) −4 ; g)
2
2 32 4 2 1 52 ⋅ ; a) 2 − + ; b) − − + 5 10 3 3 6 2 2 2 3 1 2 3 c) − + 0.31; d) − − . 2 5 7 14
6. Izračunaj:
3 4 ( −3) −2 2 f) – ; g) ; h) ; i) ; j) -(-4) . − 5 ( −2) 7 2
2. Izračunaj: 2 62 32 1 a) ; b) − ; c) (–5)2; d) 3.22; d) 3 ; −4 7 3
38. Ana je načinila plakat u obliku kvadrata duljine stranice 4.2 m, no rečeno joj je da ga mora smanjiti tako da novi plakat ima isti oblik ali da zauzima 25% površine od prvotnog. Kolika mora biti duljina stranice novog plakata? Rezultat
2
2
2
Ako iz kruga izrežemo kvadrate kao na slici, kolika je površina preostalog dijela kruga? Rezultat zaokruži na dvije decimale. Koliko iznosi ta površina izražena u dm2?
1. Izračunaj: 2 2 4 32 8 6 æ ö2 a) çç 2 ÷÷ ; b) ; c) 2 ; d) − ; e) − ; 5 3 5 7 çè 9 ÷ø
37. Neka je promjer zadanog kruga 8 cm, a duljina stranice svakog od kvadrata sa slike 2 cm.
5. Izračunaj:
a
2
Ako je duljina stranice crvenog kvadrata a, kolika je površina žute pruge?
izrazi u centimetrima!
Vježb lica 2
2
2
2
2
1 18 2 − 2 ; d) 7 − 3 ;
9. Prepiši pa popuni tablicu:
2
6 22 1 4 1 ; f) 2 − ; g) + ; 15 3 2 5 62
2 2 12 3 1 −18 13 − 2 ; i) − ; j) 1 – . −3 5 9 4 32
a
–5.1
2
–4
2 3
−
3 4
0.5
–2
1 3
–(–a)2
25
1.2. Zbrajanje i oduzimanje matematičkih izraza
1.2. Zbrajanje i oduzimanje matematičkih izraza Izračunaj ! a) 2x + 3x = 15 b) a + a – a + a + a – a = –8 + 4a c) z – z – z – z – z – 1 = 3.6 matematički
Pri rješavanju jednadžbi u šestom i sedmom razredu već smo se susreli sa zadacima
izraz
kao u uvodnom primjeru. Svaka se jednadžba sastoji od znaka jednakosti i dva matematička izraza, jednog na lijevoj strani jednakosti, a drugog na desnoj strani jednakosti. znak jednakosti 7x + 9x – 3 = x + 5 lijeva strana jednakosti
desna strana jednakosti
Da bismo riješili jednadžbu, često prije toga izraze moramo pojednostaviti. Primjerice, u jednadžbi 7x + 9x – 3 = x + 5 prvo treba zbrojiti sve članove istog imena kako bismo jednadžbu pojednostavnili. Upravo zbog
toga sve nepoznanice prebacujemo na jednu stranu jednakosti, a poznanice na drugu. Što složenije i teže jednadžbe dobivamo, to nam je važnije da što bolje i elegantnije pojednostavimo izraze. U nekoliko narednih poglavlja pokazati ćemo neke važne tehnike pojednostavljivanja matematičkih izraza. Rečenica: Nekom broju x dodaj 8 Trostruka vrijednost od a Broj 25 umanjen za x Broj 25 umanjen za dvostruku vrijednost od x Zbroj broja x i njegova kvadrata Količnik od y i kvadrata broja 2 3
26
Matematički izraz: x+8 3•a 25 – x
ili
3a
25 – 2x x + x2 2
2
y: 3
Primjer 1. Uvrštavanje u matematički izraz
Rješenje:
U izraz 3x 2 + 5 uvrsti sljedeće vrijednosti:
uvrštavamo zadanu vrijednost x = 2.
a) Kao i kod funkcija, umjesto nepoznanice x
a) 2;
3x 2 + 5 = 3 • 22 + 5 = 3 • 4 + 5 = 12 + 5 = 17;
b) –2;
b) 3x 2 +5 = 3 •(–2)2 +5 = 3• 4 + 5 = 12 + 5 = 17;
c) 0.
c) 3x 2 + 5 = 3 • 0 + 5 = 5.
Kvadriranje
Z a d a c i 1. Prepiši u bilježnicu pa ove rečenice zapiši u obliku matematičkih izraza: Rečenica: Matematički izraz:
Rečenica:
Matematički izraz: 5–x x+2
Nekom broju x dodaj 1
9x
Dvostruka vrijednost nekog broja
7x – 2
Neki broj umanji za 223
(5x – 3)2
(x + 9)2
Od nepoznatog broja oduzmi njegovu dvostruku vrijednost
3. Kolika je vrijednost izraza x 2 – 3 ako x iznosi: a) 1; b) –1; c) 0; d) –5; e) 6. 4. Kolika je vrijednost od –2x 2 + 1 ako x iznosi:
Od nepoznatog broja oduzmi 8 pa razliku kvadriraj
a) 1; b) –1; c) 3; d) 1.5; e) 0.5.
Kvadriraj zbroj nepoznatog broja i broja 3 2. Prepiši u bilježnicu pa matematičke izraze zapiši u obliku rečenica:
Primjer 2. Zbrajanje i oduzimanje izraza
5. Izračunaj vrijednost izraza x 2 + x – 4 za sljedeće vrijednosti od x: 1 4 a) 6; b) –3; c) 0; d) ; e) − .
2
3
Član –3 nema faktor a pa stoga nije istog imena kao ostali članovi i ne može im se pribrajati. Kada uočimo članove istoga imena, zbrojimo
Pojednostavi:
ih:
a) 9a + 7a – 3 – 20a;
9a + 7a – 3 – 20a = –4a – 3.
b) –3a 2 + 4b 2 – 3a 2 – 5b 2.
b) Ovo je izraz s dvije nepoznanice: a2 i b2.
Rješenje:
Članovi istog imena su –3a 2 i –3a 2, te 4b 2 i
a) Zbrajati i oduzimati možemo samo članove
–5b 2.
istog imena. Tako su članovi istog imena 9a,
–3a 2 + 4b 2 – 3a 2 – 5b 2 =
7a i –20a. Važno je ispred člana 20a primijetiti
–6a 2 – 1b 2 =
predznak “minus” koji ovdje predstavlja računsku
–6a 2 – b 2.
operaciju oduzimanja. Naime, prisjetimo se da je oduzimanje zapravo zbrajanje sa suprotnim
1x = x
brojem pa je ova
–1x = –x
jednadžba skraćeni oblik od 9a + 7a – 3 + (–20a). ZBRAJAJU SE SAMO ISTOIMENI ČLANOVI Duljine dužina možemo zbrajati
Površine likova možemo zbrajati
a 2a
a2
Ali duljine dužina ne možemo pribrojiti površini
2a2 a
a + 2a = 3a
a2
??
a2
2a2
a2 + 2a2 = 3a2
27
1.2. Zbrajanje i oduzimanje matematičkih izraza
Z a d a c i c) 11 – 3d + 2c – d – d + 6e;
6. Pojednostavi:
d) 8z 2 – 2 – 2 – y 2 + 6z 2 – 6y 2 – 4;
a) 3x + 6x; b) 10a – 13a; c) –a – a; d)
5x 2
–
6x 2;
e)
–17y 2
+
17y 2.
e) 5ax 2 + 5a 2x – 3a 2x + 3ax 2 – a 2x 2 – 4a 2x 2.
7. Pojednostavi pa uvrsti a = 1, x = 0, b = –2, y = –4:
12. Što ne valja u sljedećim zadacima? Objasni.
a) 6a + 2a – 4a;
a) 7a 2 – a 2 = 6;
b) –23ab – 15ab = 8ab;
c) 7.5y – 7.2y 2 = 0.3y.
b) –x + 8x – 11;
c) –b 2 + b 2 + b 2; d) –x 2y 2 + 5x 2y 2 – x 2y 2; e)
–15ax 2
+
14ax 2
–
ax 2.
8. Pojednostavi:
13. Učiteljica je na ploču napisala zadatke. Matija ih
a) 2x + 3y – 7x;
b) –5a + 3 + 2a – 1 + 3a;
je sve riješio i na ploču napisao svoje rezultate.
c) 7p 2 + 9g 2 – 8p 2 – 4g 2 – 5g 2; d) 12ab –
4a 2b
+
Jesu li svi rezultati točni?
8a 2b;
e) –xy 2 + 2x2y +5x 2y – xy 2 – x 2y. 9. Pojednostavi: a) 1.2c – 2.2c + d – 0.5d; b) –4.5x 2 + 11.5y – 5.5x 2– 2.5y; c) 1.1ab + 1.1ba – 1.1 – 1.1ba +1.1; d) 0.2yxz – 8.3ab 2 + 9.2xyz – 3.9ab 2 – ab 2; e) 2.4x 2y 2 – 3.4xy 2 – 1.9x 2y 2 + 0.5x 2y 2 – 3.2xy 2. 10. Pojednostavi:
a) 3.5x + 11.2x = 14.7x; b) 7b2 - 0.5b2 = 6.5b2; c) 12 x + 13 x = 25 x; d) 41 x + 3 x = x2; 4 e) 0.5a + a + a + a + a - 1.5a = 3.5a.
a) 7m – 11n – 12n + 6m – 14m – m – n; b) –3x 2 + 2y 2 – y 2 – y 2 + x 2 + x 2; 14. Koje izraze trebaš zbrojiti da bi njihov zbroj bio
c) 2 – 2a 2 + 2 – 2a 2 – 2a 2 – 2 – 2; d)
7a 2b
+
8ab 2
–
11a 2b
+
a 2b
–
ab 2
–
3a 2b
;
e) –x 2y 2 – 2xy 2 – 2xy 2 + x 2y 2 – 3x 2y 2+ 5x 2y 2 + 7xy 2.
7.5a ?
0.25a
0.5
1.5a
6.75a
7a
6.25a
5.5a
3.2a
7.3a
a
11. Pojednostavi:
a) 5a + a – 2b + c – 3b;
b) 7y – 2x – y – z – z + 2x;
Primjer 3. Izrazi i zagrade
rješavanje zagrada:
Pojednostavi:
17a + (4b – 6b) + b = 17a – 2b + b = 17a – b.
a) 17a + (4b – 6b) + b; b) –8x 2 – (25x 2 – 3y 2 + 5x 2);
{
(
)
}
b) Pogledajmo možemo li u ovom zadatku
2 2 c) −2 + 5a b − 1+ −4 − 3a b − 5 .
pojednostaviti izraz u zagradi. Možemo, jer
Rješenje:
računamo:
a) Prisjetimo se pravila za rješavanje zagrada. U ovom je zadatku ispred zagrade znak + pa se zagrada može izostaviti. Taj je postupak u redu. Međutim, prije nego što krenemo računati na taj način, pogledajmo bolje izraz u zagradi. Tu se nalaze elementi istog imena 4b – 6b, koje
28
možemo izračunati. To je elegantniji način za
su pribrojnici 25x 2 i 5x 2 istog imena. Stoga –8x 2 – (25x 2 – 3y 2 + 5x 2) = –8x 2 – (30x 2 – 3y 2). Sada više nikako ne možemo oduzeti članove u zagradi pa se oslobađamo zagrade po pravilu “ako je ispred zagrade minus, svim članovima unutar zagrade mijenjamo predznak”. –8x 2 – (30x 2 – 3y 2) = –8x 2 – 30x 2 + 3y 2 = –38x 2 +3y 2.
Kvadriranje c) Ako je u zadatku više zagrada jedna unutar
Kako se rješavamo zagrada:
druge, tada izraz računamo počinjući od one unutarnje.
{
(
)
- Ako možemo zbrojiti istoimene izraze u zagradi, prvo ih zbrojimo.
}
−2 + 5a 2b − 1+ −4 − 3a 2b − 5 =
{
}
- Ako je ispred zagrade +, zagradu uklonimo. - Ako je ispred zagrade –, svim članovima unutar zagrade mijenjamo predznak.
−2 + 5a 2b − 1− 4 − 3a 2b − 5 =
{
2
2
}
- Ako je u zadatku više zagrada (...)
{ } −2 + {8a b − 2} = −2 + 8a b − 2 = −4 + 8a b −2 + 5a 2b − 1+ 4 + 3a 2b − 5 =
jedna unutar druge, tada izraz računamo počevši od one unutarnje.
2
Z a d a c i 15. Pojednostavi:
d) 5 – (4x 2 – 2y 2 + x 2) + 2x 2 – y 2 + (–3x 2 – x 2);
a) –2x + (–5x) – (–2x);
e) 1.2ab 2 – (–a 2b – 5.1ab 2 – 2ab 2+8.3ab 2) +
b) –(–3a) + (–2b) – 5b + (–a);
c) –9x 2 – (–8x 2) +(–1);
d) –6a 2b 2 + (–5a 2b 2) – (–6b 2a 2);
e) 11 – (–xyz) – (–xyz) + (–5xyz) + (–1).
16. Pojednostavi pa uvrsti
4.9ab 2. 19. Pojednostavi:
a) 6 + a + ( 4 + 3a ) ;
b) 5x + 2y − (y + 2x ) ;
a = 10, b = –3, x = 2.2, y = –0.5:
c) 17ab − 2a − (ab + a ) + (−4a + 3ab ) ;
a) 6a + (4b – 2b);
d) 12x 2 + 3y 2 − 4x 2 + 4y 2 + 2x 2 − 3y 2 − 3x 2 ;
b) –4x – (5x – 3x);
c) –y 2 – (5 – 10);
e)
d) 16x 2 + (11x 2 – 12x 2);
e) (–2a 2b 2 – 6b 2a 2) – a b 2.
{
(
{
}
)
(
}
)
−1− 6.5xy 2z − 2 + 1.1xy 2z + 2.9xy 2z − 1.6 − 0.99xy 2z + 0.7
20. Pojednostavi: 17. Pojednostavi:
a) 5x + (2x – y);
b) 5x – (2x – y);
c) (4a – 2b + c) – b;
d) –(2x 2 – 2y 2) + 2x 2 – y 2;
e) –6a b 2 – (–3a 2b – a b 2) + 4a b 2.
18. Pojednostavi:
a) –x + (2x – y – 5x);
b) 3x – (x – 3y + x + y);
c) –(a – 2b + a) – (9b – b + a – 2a);
a) 11a + 2a − (a + 2b ) − (a − 6b );
b) 2a + (1− 3a ) + 5 + (a − 2) ;
c) (2xy − 3) + 9xy + 1 − 2xy − (yx + 2) ;
d)
{
}
(
)
−x 2 − y 2 − x 2 − 1 −
e)
{x y − − ( xy 2
2
{y − (2x
)}
2
{
2
}
)
− 3y 2 + 2x 2 + 1 ;
)}
(
− 3x 2y + 3y 2x − −2x 2y − −4yx 2 − 3xy 2 .
29
1.3. Množenje matematičkih izraza
1.3. Množenje matematičkih izraza Zbrojiti ili pomnožiti Objasni kako bi riješio ove zadatke: a) 5x • 4x = b) 5x + 4x = Pri zbrajanju članova istog imena primijenili smo svojstvo distributivnosti i izlučivali zajednički faktor. Tako je 2x + 3x = x • (2 + x) = x • 5 = 5x. To kraće pišemo 2x + 3x = 5x. No pitamo se koliki je umnožak članova 2x • 3x ? Prema svojstvu asocijativnosti i komutativnosti racionalnih brojeva vrijedi: 2x • 3x = 2 • x • 3 • x = 6 • x • x = 6 • x 2 = 6x 2. To kraće pišemo 2x • 3x = 6x 2. Na isti način možemo množiti i druge izraze istoga tipa. Zaključujemo da jednostavne izraze množimo tako da međusobno pomnožimo brojčane faktore, a zatim međusobno pomnožimo i sve nepoznanice. Tako je, primjerice, umnožak izraza 5x i 4y jednak 5x • 4y = 20xy. Prisjetimo se da zbroj istih izraza 5x + 4y nećemo moći dalje pojednostavljivati jer to nisu istoimeni pribrojnici.
Primjer 1. Množenje jednostavnih izraza
b) Prvo pomnožimo brojčane članove 8 • 8 = 64, a zatim prepišemo nepoznanice. 8x • 8y = 64 • x • y = 64xy;
a) 9a • 4; b) 8x • 8y; c) 5a • 6b • a • 2b;
d) 5x • (–2y 2) • 3x.
Rješenje: a) Međusobno pomnožimo brojčane faktore, a nepoznanicu a prepišemo. 9a • 4 = (9 • 4) • a = 36a Ovakve zadatke rješavat ćemo računanjem napamet i odmah zapisivati rezultat 9a • 4 = 36a.
c) 5a • 6b • a • 2b = 60a 2b 2; d) Jedan od članova ima negativan predznak. No poznata su nam pravila za množenje brojeva s pozitivnim i negativnim +•+=+ predznacima. Ona vrijede i za množenje + • – = – izraza jer množimo brojčane izraze – • + = – koji su racionalni brojevi pa mogu biti i negativni. 5x • (–2y 2) • 3x = –30x 2y 2.
–•–=+
Z a d a c i 1. Izračunaj napamet: a) 2a • b; b) 4x • 3; c) x • 5x; d) x • 6y; e) 7y • 8. 2. Izračunaj napamet: a) –x • (–y); b) –3x • 9; c) 5d • (–6); d) –2a • (–7); e) –7y • (–8). 3. Kolika je površina pravokutnika sa slike:
30
a)
2x
b)
x
a a
x x
x 3x
x
a
a
a
Kvadriranje 4. 5. 6.
Izračunaj: a) 5a • 3a; b) 5a + 3a; c) 5a • 3b; d) 5a + 3b; e) 5a – 3a. Pojednostavi: a) 4a • a; b) 4a + a; c) 4a : a; d) 4a – a; e) 4a • b; f) 4a + b. Pojednostavi: a) 3x • 4y • z; b) a • 5x • x; c) –2x • 3y • 5; d) 7y • (–2x) • y; e) 10x 2 • (–y) • (–y).
7. Pojednostavi: a) 7ab • 9ac; b) 4a • 6ab; c) 8uv • (-4w); d) 6xy • (-6xy); e) -3abc • (-3abc): f) -5xy • 4 x;
9. Koji članovi nedostaju?
2a • ? = 14a2b ? • 7x = 28 xyz 6ab • ? = –42a2b2 0.3de • (–2.2df 2) = ? 10. Luka treba izmjeriti opseg i površinu kvadrata, ali pri ruci ima samo komad užeta i škare. Primijetio je da ako malo skrati uže, ono će stati u jednu stranicu točno dva puta. Kada je došao kući izmjerio je duljinu užeta. Koliki su opseg i površina kvadrata ako je duljina užeta:
a) 4 m; b) 5 cm; c)
1 m; d) a? 4
11. Koliko iznosi d ako je površina lika na slici 44 dm2?
g) 2x • 3x + 4x • 3y - 5 -2x • 3y;
d
h) 4y • 2y - 4y • 5 + 3 • 2y -5 • 3; 8. Pojednostavi: a) a • 4ax • (–3) • x; b) 0.5 • (–0.2x) • ax • (–10a); c) –3d • (–3d) • (–3x); d) –1.3x 2y • 2.5ya • (–5am);
1.5d 4d
e) 15xy • (–0.2yz) • 5 • (–xz).
Primjer 2. Množenje zagrade pozitivnim izrazom a) 6 • (–2x + a 2 + y 2); b) (x + 4ay – 7) • 3x.
Rješenje:
d
3.5d
5d
6 • (–2x + a 2 + y 2) = 6 • (–2x) + 6a 2 + 6y 2 = –12x + 6a 2 + 6y 2; b) U ovom zadatku faktor se nalazi s desne strane zagrade. Po svojstvu distributivnosti njega množimo sa svakim članom u zagradi. (x + 4ay – 7) • 3x =
a) Zagrade se oslobađamo po pravilu
x • 3x + 4ay • 3x
distributivnost
distributivnosti: svaki član u zagradi
– 7 • 3x =
(a + b) • c = a • c + b • c
množimo s faktorom ispred zagrade.
3x 2 + 4axy – 21x.
(a – b) • c = a • c – b • c
Primjer 3. Množenje zagrade s negativnim izrazom
Rješenje:
a) –1 • (–2x + a 2 + y 2); b) –2x(x + 4ay – 7).
Pri množenju zagrade s negativnim brojem treba paziti na predznake faktora i samog umnoška. a) –1 • (–2x + a 2 + y 2) = –1 • (–2x) + (–1) • a 2 + (–1) • y 2 = 2x –a 2 – y 2.
31
1.3. Množenje matematičkih izraza Primijetimo da početni izraz u zagradi i krajnji
b) Zagradu množimo s –2x. Ako zagradu
rezultat imaju iste članove, ali s promijenjenim
množimo izrazom, možemo izostaviti oznaku
predznacima. To je zato što smo zagradu
za operaciju množenja.
množili s –1.
–2x (x + 4ay – 7) =
Ako zagradu množimo s –1, članovi će
–2x • x + (–2x) • 4ay + (–2x) • (–7) =
samo promijeniti predznak.
–2x 2 + 8axy + 14x.
–1 • (a + b – c) = –a – b + c
Primjer 4. Složeniji zadatak
množimo zagrade su –3x i –5.
Izračunaj:
2 • 4x – 3x(–7 – 2x) + (6x 2 – x) • (–5) =
2 • 4x – 3x(–7 – 2x) + (6x 2 – x) • (–5).
8x – 3x • (–7) – 3x • (–2x) + 6x 2 • (–5) – x • (–5) = 8x + 21x + 6x 2 – 30x 2 + 5x =
Rješenje:
34x – 24x 2.
U ovom zadatku treba dobro obratiti pažnju na predznak pojedinog umnoška. Faktori s kojima
Z a d a c i 12. Oslobodi se zagrada:
U zadatku –a • (x – 5 – 4y2) • 2 zagradu
a) 3 • (x – 6);
množimo s dva faktora: jedan je ispred,
b) –2 • (1 + y 2);
a drugi iza zagrade. Tada je najbolje
c) (17 – a) • a;
prvo pomnožiti faktore –a i 2, a tek onda
d) –x • (–2x – 1);
primijeniti distributivnost!
e) (x 2y – 5) • y.
–a • (x – 5 – 4y2) • 2 = –2a • (x – 5 – 4y2)
13. a) 5 • (–1 + 2a + y 2); b) 10a • (a – 8 – 2y 2);
16. Koje jednakosti su točne? Netočne ispravi:
c) (–x + y 2 + z 2) • 3x;
a) 6a(2x + 3y – 4z) = 12ax + 18ay – 24z;
d) 2x • (–2x – 8 – y 2); e) (–1 – 2x –
a2
+
y 2)
b) –x (y 2 – x + 2) = –xy 2 – x 2 – 2x;
• 6x.
14. a) ab • (a + 2ab);
17. Prepiši u bilježnicu pa u kvadratić upiši član
b) –3xz • (– 1 – 5y2);
c) (2x +
y2
+
6z2)
c) 3x 2(4 – y + 2y 2) = 12x 2 – 3x 2y + 6xy 2. izraza tako da jednakost bude točna:
• (–5xa);
3 1 x − y + 1 • 10xyz; 5 2
d)
e) – (6 – 2x + a2 + 3y) • (–5xyb2). 15. a) 5ax • (–2 + a + 3y2); b) –a • (x – 5 – 4y2) • 2; c) – (x + y2 + z2) • (–x); d) –2x • (–2x + 8 –
y2 )
• 4;
e) – 7 • (6 – 2x + a2 + y2) • (–x).
) = 2x + xy;
a) x (2 + b) 2x(–1 + c) –x(3x – d) (2 – e) 5x • (
) = –2x + 10x; ) = –3x 2 + x;
) • (–3x) = –6x + 6x 2; – xy) = –20x 2 – 5x 2y.
18. a) 3x(2 + x) + 4(6x – 1); b) 3 • (–3x) + x(–1 –x) – 2(1 – x); c) (–3 – 2x) • (–3x) + 4 • (–4x) + (–2x 2 – y) • (–1); d) 4a(3 + a – 2a) + (6 – a) • (–7a) – 3a 2; e) y • (–3y) – y(–5y – 2 + y) – (–y 2 – y) • (–4).
32
Kvadriranje Primjer 5. Množenje zagrada
Zaključujemo da se dvije zagrade množe tako da se svaki pribrojnik iz prve zagrade pomnoži sa
Oslobodi se zagrada pa pojednostavi:
svakim pribrojnikom iz druge zagrade. Nakon toga
a) (2 + a) • (b + 4);
pojednostavljujemo izraz, ako je moguće.
b) (7x – 2y) • (–3x – 4).
Rješenje:
(2 + a) • (b + 4) =
a) Opet ćemo primijeniti distributivnost tako da cijeli izraz (b + 4) shvatimo kao faktor izvan
2•b+2•4+a•b+a•4= 2b + 8 + ab + 4a;
zagrade.
b)
(2 + a) • (b + 4) =
(7x – 2y) • (–3x – 4) =
2 • (b + 4) + a • (b + 4) = 7x • (–3x) + 7x • (–4) –2y • (–3x) –2y • (–4) =
2•b+2•4+a•b+a•4
–21x 2 – 28x + 6xy + 8y.
Primjer 6. Složeniji zadatak sa zagradama Oslobodi se zagrada pa pojednostavi: (2x – 1)(–3 + x) – (8 – 6x)(x + 1).
Rješenje: Ako množimo dvije zagrade, možemo izostaviti znak za operaciju množenja između njih. Primijetimo da ispred množenja dviju zagrada – (8 – 6x)(x + 1) stoji minus. To znači da svaki umnožak koji dobijemo treba imati suprotan
predznak. Kako se ne bismo zabunili pri računanju, korisno je prvo samo pomnožiti dvije zagrade (8 – 6x)(x + 1) kao da nema minusa ispred njih, a rezultate staviti u zagradu. Tek u sljedećem koraku možemo rješavati predznake. (2x – 1)(–3 + x) – (8 – 6x)(x + 1) = 2x • (–3) + 2x • x – 1 • (–3) – 1 • x – (8 • x + 8 • 1 – 6x • x – 6x • 1) = –6x + 2x 2 + 3 – x – (8x + 8 – 6x 2 – 6x) = –6x + 2x 2 + 3 – x – 8x – 8 + 6x 2 + 6x = 8x 2 – 9x – 5.
Z a d a c i 19. Pomnoži: a) (x + 1) • (y + 5); b) (2 + a) • (b – 7); c) (4 – x) • (2 – d); d) (–x – y)(4 + a); e) (y + 2)(x – y); f) (f + 7)(g – 8).
23. Pomnoži i pojednostavi: a) (x – 2) • (x + 2) – (x2 – 2) • 2; b) –3(a – b) – (a – 3) • (3 – b); c) (z – t) • (z – 6) – (z – t) • (6 – t);
20. Pomnoži pa pojednostavi: a) (x + 3) • (x + 1); b) (–5 + a) • (a – 3); c) (1 – y) • (2 – y); d) (–x – 5)(4 + x); e) (y + 6)(6 – y).
d) ab – [b2 – (b – a) • b].
21. Pomnoži pa pojednostavi: a) (2 + 3x) • (x + 1); b) (–y + 5) • (5y – 3); c) (1 – 2y) • (1 – 4y); d) (–5x – 3)( –4 + 3x); e) (–6a + 4)(2 – 7a). 22. Pomnoži i pojednostavi: a) x • (x + 2) + (x – 2) • (x + 2); b) –3a(a – b) + (a – 2) • (3a + 1); c) x(x + 4y) – 6(6x –y); d) (x – y) • (x – 6) – 5x • (6 – y); e) 2ab – [b(a – 1) + (b – a) • b].
24. Prepiši u bilježnicu i upiši članove koji nedostaju: a) (
+ b) • (p + r) = ap + ar +bp + br;
b) (2a + b) • (d +
) = 2ad + 2ag + bd + bg;
) • (g + h) = 7g + 7h + bg + bh;
c) (
+
d) (
+ c) • (
+
) = 4x + xz + 4c + cz.
25. Pomnoži pa pojednostavi: a) (x – 1)(3 + y) + (1 – x)(y + 1); b) (2x – 1)(–3 + x) + (8 – 6x)(x + 1); c) (6 – 2a)(a + 5) – (1 – 6a)(–2a + 1); d) (1.4y – 20x)(–0.9x – 30y) – (–y – x)(–0.2x + 8y); e)
1 3 3 • (–3x) – (x + 1)( + x) – (1 – 9x)(x + ). 2 8 5
33
1.3. Množenje matematičkih izraza
Vježb lica a
1. Izračunaj vrijednost izraza x2 – 2x + 3 ako je : 3 1 a) x = 3 ; b) x = –2 ; c) x = ; d) x = − . 4 3 2. Izračunaj vrijednost izraza –x2 – x + 2 ako je : a) x = 2 ; b) x = –1 ; c) x = – 3 ; 2 1 d) x = ; e) x = – . 3 2 3. Izračunaj vrijednost izraza –2x2 + 2 ako je :
a) x = –2 ; b) x = 1 ; c) x = – 1.2 ; 1 2 d) x = − ; e) x = – . 3 5 4. Izračunaj vrijednost izraza –3x2 – x ako je :
a) x = 4 ; b) x = –2 ; c) x = 0 ;
d) x =
5 5 ; e) x = – . 8 4
5. Ako je a = –3, b = 2 izračunaj (a + b)2, a2 + b2, (a – b)2, a2 – b2. 6. Ako je a = 4, b = –2 izračunaj (a + b)2, a2 + b2, (a – b)2, a2 – b2. 7. Ako je a = –1, b = –2 izračunaj (a + (a – b)2, a2 – b2.
b)2,
a2
+
b2,
8. Ako je a = –6, b = 1 izračunaj (a + b)2, a2 + b2, (a – b)2, a2 – b2. 9. Ako je a = –4, b = –2 izračunaj (a + b)2, a2 + b2, (a – b)2, a2 – b2.
a) 4x + y – 7x; b) –3a + 4 + 2a – 7 + 3a;
c) 4p2 + 2g2 – p2 – 3g2 – 4g2;
d) 2ab – 12a2b + 3a2b;
e) –xy2 + 3x2y +6x2y – 2xy2 – x2y
16. Pojednostavi pa uvrsti a= –2, x = –1, b = 3, y = 0:
a) 2x + 9y – 17x; b) –52a + 13 + 12a – 41 + 3a; c) a2 + 92b2 – 18a2 – 24b2 – b2;
d) 2ab – 4a2b + 7a2b;
e) –2xy2 + 2x2y +3x2y – 3xy2 – x2y
17. Pojednostavi pa uvrsti a = 2, x = –1, b = –3, y = 4:
a) 3a + 2 – 4a; b) –2x + x – 11; c) –b2 +7 b2 + 3b2; d) –2x2y2 + x2y2 – x2y2; e) –15x2 + 4ax2 – ax2.
18. Pojednostavi pa uvrsti a = 11, x = 10, b = –12, y = –14: a) 6a + a – 4a; b) –5x + x – 11; c) –6b2 + 2b2 + 10b2; d) –4x2y2 + 5x2y2 –3 x2y2; e) –5ax2 + 4ax2 – ax2. 19. Pojednostavi:
10. Ako je a = –0.5, b = 1.2 izračunaj (a + b)2, a2 + b2, (a – b)2, a2 – b2.
a) 6 − a − ( −4 + 3a ) ;
b) 2x − 2y − (2y + 2x ) ;
1 , b = 2 izračunaj (a + b)2, 2 a2 + b2, (a – b)2, a2 – b2. 2 1 12. Ako je a = , b = − izračunaj (a + b)2, a2 + b2, 3 3 (a – b)2, a2 – b2. 2 13. Ako je a = – , b = 0.3 izračunaj (a + b)2, 5 a2 + b2, (a – b)2, a2 – b2. 3 1 izračunaj (a + b)2, 14. Ako je a = − , b = 4 2 a2 + b2, (a – b)2, a2 – b2.
c) ab − a − (ab + a ) + ( −a + ab ) ;
d)
11. Ako je a = –
34
15. Pojednostavi:
{
}
)
(
2x 2 + 2y 2 − 2x 2 + 2y 2 + 2x 2 − 4y 2 − 4x 2 ;
e)
{
(
)
}
−1− 2y 2z − 2 + xy 2z + 2xy 2z − 1 − 3xy 2z + 1.
20. Izračunaj napamet:
a) –2x • (–y); b) –6x • 5c; c) 7d • (–8x);
d) –6a • (–7); e) –9y • (–8).
Kvadriranje 21. Izračunaj napamet:
30. Pomnoži i pojednostavi:
a) –x • (–y) • –3x • 9;
a) (x – 3) • (x + 3) – (x2 – 3) •(– 4);
b) 5d • (–6d) • –2a • (–7a);
b) –2(a – b) – (a – 2) • (4 – b);
c) –7y • (–8) •2y •x.
c) (z – 4) • (z – 6) – (z – 5) • (6 – z);
22. Izračunaj napamet:
d) (x – 4) • (x + 2) – (x2 – 5) •(– 2);
a) –x • (–2y) • –4y • 9;
e) (x 2– 4) • (–2) – (x2 – 2) •(– 2).
b) 3b • (–6b) • –2x • (–25x);
c) –8a • (–8) •125a •x.
31. Pomnoži i pojednostavi:
23. Izračunaj:
a) 5a • 7a;
b) 5a + 7a;
c) 5a • 7b; d) 5a + 7b; e) 5a – 7a.
24. Pojednostavi:
a) 5x • x; b) 5x + x; c) 6x : x;
d) 3x – x; e) 6a • b;
3y2);
a) –4 • (x – 6);
b) –7 • (2 +
c) (1 – a) • 5a;
d) –2x • (–2x – 11);
e)
– 8) • y.
a) 4a • (–1 + 3a + y2); b) –2a • (a –
3 1 c) (–x + y2 + z2) • 6x; 4 2 2 4 d) –3x • (– x – – y2); 3 6 4 e) (–1 – 2x – 3a2 + y2) • x. 3 27. Pomnoži:
2 – 2y2); 5
a) (x – 1) • (y + 5);
b) (3 + a) • (a – 7);
c) (7 – x) • (2 – x);
e) (2y + 1.2)(1 – y);
d) (–x – y)(3 + a); 8 2 f) (f + )(f – ). 3 5
28. Pomnoži:
a) (x + 1) • (x – 5); b) (2 + b) • (b – 7);
c) (3 – d) • (2 – d); d) (–x – 3)(4 + x); 8 2 5 3 e) (y + )( – y); f) (g+ )(g – ). 7 7 6 5 29. Pomnoži i pojednostavi: a) x • (x+ 3) + (x – 2) • (x + 2); b) –3a(a – 1) – (a – 2) • (3a + 1); c) (x – 4) • (x – 6) – 5x • (6 – x); d) (x – y) • (x – 2) – 5x • (7 – y); e) 6ab – [b(a – 3) + (b – a) • 2b].
b) –3a(a – 3) – (a – 2) • (–5);
c) (2x – y) • (x – 6) – 5x • (6 – y);
d) (x – 3) • (x – 6) – x • (6 – x);
e) 2x – [x(x – 1) + (x – 5) • x].
a) (x – 1) • (x + 2) • (–3) – (x2 – 2) • 2;
b) –(a – b) – (a – 1) • (1 – b);
c) (x – 5) • (x – 5) – (x – 5) • (5 – x);
d) 4 – [b2 – (b – 6) • b].
33. Izluči zajednički faktor:
26. Oslobodi se zagrada:
a) x • (x – 3) + (x + 3) • (x + 2);
32. Pomnoži i pojednostavi:
f) 6a + b.
25. Oslobodi se zagrada:
(x2y
a) 2x – 2y;
b) 3x + 4xy;
d) 12x + 18y; e) 24a –24;
g) 12bc + 9cd.
c) 6x –6xy; f) 14a + 7b;
34. Izluči zajednički faktor:
a) 6x – 9y; b) 3x2 + 4x; c) 8xy2 –6x2 y;
d) 2x2 + 8y2; e) 42a –28; f) 32a + 36b;
g) 11xy + 22x2.
35. Izluči zajednički faktor:
a) 3x – 2xy; b) 32x2y + 4xy2; c) 16x –20xy;
d) 48x + 80y;
g) –2bc + 8cd.
e) a2–2a;
f) –4a + 6b;
36. Izluči zajednički faktor:
a) 22x – 12y; b) 32x2+ 44xy; c) 6x2y –6xy2;
d) –12x – 8y; e) –24a –24; f) –14a – 7b;
g) –12b – 9b2.
37. Izluči zajednički faktor:
a) 13x2 –x; b) –2y – 3xy; c) 24a2b – 32ab2;
d) –12x –x2;
e) –15ac + 25ab;
f) –x2 – x.
35
1.4. Kvadriranje matematičkih izraza
1.4. Kvadriranje matematičkih izraza Imaš izraz...
Koje su jednakosti točne? (6 • 2)2 = 62 • 22 (6 : 2)2 = 62 : 22 (6 + 2)2 = 62 + 22 (6 – 2)2 = 62 – 22
Kvadriranj e izraza. Što znaèi ovaj naslov?!
eh?
Pogledajmo kako ćemo najbrže
I onda ga kvadriraš!
kvadrirati umnožak i količnik dvaju brojeva. Primjerice, želimo izračunati (2 • 5)2. Oba faktora u zagradi poznate su brojčane vrijednosti pa ih možemo pomnožiti: (2 • 5)2 = 102 = 100. Jednak ćemo rezultat dobiti ako ra-
pa da.
čunamo i na drugi način:
Ne zaboravi zagradu!
(2 • 5)2 = (2 • 5) • (2 • 5) = 2•5•2•5=2•2•5•5= 22 • 52 = 4 • 25 = 100 Sada želimo kvadrirati umnožak a • b. tj. izračunati (ab)2. Faktore a • b pritom ne možemo pomnožiti
ups. čaju (2 •
5)2
kao što je to bilo u prethodnom slu=
102
= 100. Ali znamo: kvadrirati bilo koji broj ili izraz znači po-
množiti ga sa samim sobom. Nakon toga iskoristit ćemo svojstva asocijativnosti i komutativnosti. (a • b)2 = (a • b) • (a • b) = a • b • a • b = a • a • b • b = a 2 • b 2 kvadrat umnoška
Kvadrat umnoška jednak je umnošku kvadrata. (a • b)2 = a 2 • b 2 2
2 Izračunajmo sada . Ovaj slučaj već smo spominjali pri kvadriranju razlomka. 5 2
2 2 22 4 2 = ⋅ = 2 = 5 5 5 25 5
kvadrat količnika
To vrijedi i za količnik bilo Kvadrat količnika jednak je količniku kvadrata. (a : b)2 = a 2 : b 2 koja druga dva broja. 2
a a a2 a = ⋅ = 2 b b b b
36
2
a2 a = b2 b
Kvadriranje Primjer 1. Kvadrat umnoška
ako pomnožimo brojeve u zagradi.
Izračunaj:
(4 • 9)2 = 362 = 1296.
a) (4 • 9)2;
b) (7x)2;
b) U ovom zadatku treba kvadrirati izraz u kojem
c) (–10abc)2.
Rješenje:
se nalazi i nepoznanica x pa zadatak moramo
a) Primijetimo da treba kvadrirati umnožak poznatih vrijednosti (nema nepoznanica). Ovaj zadatak doduše možemo riješiti po formuli (a • b)2 = a2 • b2, ali brže ćemo doći do rezultata
(7x)2 = (7 • x)2 = 72 • x 2 = 49x 2
riješiti tako da kvadriramo svaki član zagrade.
Primjer 2. Kvadrat količnika
s više faktora. (–10abc)2 = (–10)2 • a 2 • b 2 • c 2 = 100a 2b 2c 2
b) Primijetimo da je u ovom zadatku zadan obrnut smjer formule (a : b)2 = a 2 : b 2. Dakle,
Izračunaj: 2
−12 a) ; ax
gledamo formulu a 2 : b 2 = (a : b)2 i računamo: b) 632 : 92.
632 : 92 = (63 : 9)2 = 72 = 49.
Rješenje:
Pomoću svojstva kvadriranja količnika vrlo smo
a) Kvadrat količnika jednak je količniku kvadrata pa računajmo:
elegantno i napamet riješili problem. Zadatak bismo mogli riješiti i na drugi način: 632 : 92 = 3969 : 81 = 49,
2
2 ( −12) = 144 . −12 = ax (ax )2 a 2x 2
ali tako bismo morali kvadrirati velik broj 63, a zatim rezultat dijeliti s 81.
Primjer 3. Primjena Izračunaj:
b) Na prvi pogled zadatak nam izgleda zahtjevno zbog silnih računanja kvadrata dvoznamenka2
11 stih brojeva. No kako oba faktora 252 i −
2
a) 12002; b) 252 ⋅ − 11 . 75
75
Rješenje:
treba kvadrirati, gledamo obrnuti smjer formule
a) Na ovom ćemo primjeru pokazati kako nam svojstvo
c) Na jednak način možemo kvadrirati i umnoške
kvadriranja
umnoška
pomaže
da
zadatak riješimo na što brži način. 12002 = (12 • 100)2 = 144 • 10 000 = 1 440 000 Rastavili smo 1200 na 12 • 100, a taj je umnožak lako kvadrirati i napamet.
(a • b)2 = a2 • b2 i faktore stavljamo pod zajednički kvadrat. 2
2
2
2
−11 121 11 −11 −11 252 ⋅ − = 25 ⋅ = 1⋅ = = 75 75 3 3 9
Brojeve 25 i 75 moguće je skratiti s 25, a onda 2
11 je lako napamet kvadrirati − po svojstvu 3 kvadriranja količnika.
Z a d a c i 1. Napamet izračunaj: a) (2 • 4)2; d) (6 • (–2))2;
b) (–4 • 3)2;
c) (3 • 2)2;
e) (–5 • (–2))2.
2. Oslobodi se zagrade: a) (3a)2; b) (9 • x)2; c) (–2b)2; d) (bx)2; e) (–xy)2.
3. Oslobodi se zagrade: a) (4ab)2; b) (10xy)2; c) (–5yb)2; d) (–9xm)2; e) (13cdef)2. 4. Zapiši u obliku kvadrata: a) 16; b) 16a2; c) x2a2; d) 25x2; e) 100a2b2; f) 121x2y2z2.
37
1.4. Kvadriranje matematičkih izraza 5. Kvadriraj:
10. Kvadriraj:
2
2
2
2
2
a)
a) 11002;
b) 2102;
d) 13002;
e) 350 0002.
6. Kvadriraj:
11. Izračunaj:
−2 y a x 1 ; d) ; e) ; b) ; c) . n 5 13 25 x 2
2
2x −1 a) ; b) 6 ; 3 x 2 11x 4ac d) ; e) 8aby −7b
2
a) 162 ⋅
2
.
a)
x2
x2
; b) ; c) y2 4
144a 2b 2 81a 2 9x 2 ; d) ; e) . 169x 2y 2 4 16b 2
d)
362
:
9 2;
9. Izračunaj: a)
242
b) 422 : 72; e)
812
:
c) 242 : 122;
Luka
izračunati
42
152
722
trebaju
a2
površinu
a•b
od četiri prostorije, a
a•b
b2
2
12 2 :8 ; 32
b)
2
−38 19 : ; 6 12 2
2 5
e) 8 : −2
2
1 3
2
5 9
d) 4 : 2 ;
2
1 . 10
No, Ana je zaključila da je tlocrt cijelog stana kvadrat sa stranicom duljine a + b. Zato je zaključila da je površina stana: P = (a + b)2.
Rješenje: Budući da se slika tlocrta zaista sastoji od
na slici. Dvije prostorije su u
b
tlocrtu kvadrati stranice a, odnosno b, a dvije pravokutnici sa stranicama duljina a i b. Luka je računao ovako:
zadanih kvadrata i pravokutnika, zaključujemo da je Luka u pravu. No, i Ana je u pravu jer je duljina stranice tlocrta stana jednaka a + b. Dakle, oboje su u pravu, pa je
P = a • a + a • b + b • a + b • b = a2 + 2ab + b2.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Primjer 5. Kvadrat zbroja
pomnožimo sa svakim članom iz druge zagrade.
Izračunaj:
a) (a + b)2 = (a + b) • (a + b) =
a) (a + b)2;
b) (6x + 10y)2 .
Rješenje: Kvadrirati izraz znači pomnožiti ga sa samim sobom. To znači da ćemo množiti dva jednaka izraza. Podsjetimo se prethodnog poglavlja, višečlane izraze zapisane u zagradama množimo tako da svaki član iz prve zagrade
38
2
Što misliš tko je u pravu – Ana ili Luka?
stana koji se sastoji njegov tlocrt je prikazan
2
2
; b) ; c) ; d) ; e) . 362 602 362 502 812
i
12. Izračunaj:
c)
Primjer 4. Površina kvadrata sa stranicom a + b a Ana
2
1 2
e) −1 ⋅ 7 .
a)
272.
302
2
8 56 ; : 11 121
8. Izračunaj: a) 752 : 252;
2
4 5
2
14 18 ; ⋅− 27 35 2 2 3 25 d) 2 ⋅ ; 5 −26
b)
−4 ; 5
c) (−0.5)2 ⋅
7. Zapiši u obliku kvadrata:
2
2
21 ; 16
5x c) ; 3y
c) 45 0002;
a • a + a • b + b • a + b • b = a 2 + 2ab + b 2 Dobivamo formulu (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2. U zagradi (a + b)2 zbroj je dvaju brojeva, koji treba kvadrirati. Dakle treba izračunati kvadrat od zbroja dvaju brojeva. Zato tu formulu nazivamo kvadratom zbroja.
kvadrat zbroja
Kvadriranje Važno
Nakon uvrštavanja potrebno je srediti dobiven izraz. Tako je (6x)2 = 36x 2 po pravilu kvadriranja
Kvadrat zbroja:
umnoška.
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
Aha! Znaèi, (7 + 3)2
nij e j ednako 72 + 32
Tu formulu možemo izreći i ovako:
Tako j e! Provj eri to.
(prvi + drugi)2 = prvi 2 + 2 • prvi • drugi + drugi 2 b) Primijenimo odmah formulu iz zadatka a) koju možemo izreći i ovako: (prvi + drugi)2 = prvi2 + 2 • prvi • drugi + drugi2 Prvi član zagrade je 6x, a drugi član je 10y. Uvrstimo ih u gornju formulu: (6x + 10y)2 = (6x)2 + 2 • 6x • 10y + (10y)2 =
Nedostaj e ti dvostruki prvi puta drugi. ali (7 + 3)2 =
36x 2 + 120xy + 100y 2
72 + 2 · 7 · 3 + 32
Primjer 6. Kvadrat razlike a) (a – b)2;
Važno Kvadrat razlike: (a – b)2 = a 2 – 2ab + b 2 Tu formulu možemo izreći i ovako: (prvi – drugi)2 = prvi2 – 2 • prvi • drugi + drugi2
b) (2x – 5y)2.
Rješenje: a) Postupimo kao i u primjeru 4. (a – b)2 = (a – b) • (a – b) = a • a – a • b – b • a – b • (–b) = Dobivamo formulu (a –
b)2
=
a2
a2
– 2ab +
b2
– 2ab + b 2.
U zagradi je razlika dvaju brojeva koju treba kvadrirati. Dakle, treba izračunati kvadrat od razlike dvaju brojeva. Zato tu formulu nazivamo kvadratom razlike. kvadrat razlike
b) Primijenimo odmah formulu iz zadatka a) koju možemo izreći i ovako: (prvi – drugi)2 = prvi2 – 2 • prvi • drugi + drugi2 Prvi član zagrade je 2x, a drugi član je 5y. Uvrstimo ih u gornju formulu: (2x – 5y)2 = (2x)2 – 2 • 2x • 5y + (5y)2 = 4x 2 – 20xy + 25y 2 Nakon uvrštavanja potrebno je srediti dobiven izraz. Tako je (2x)2 = 4x 2 po pravilu kvadriranja umnoška.
Z a d a c i 13. Izračunaj:
16. Prepiši u bilježnicu pa dopiši što nedostaje:
a) (x + y)2; b) (a + 5)2; c) (7 + b)2; d) (10 +
x)2;
e) (y +
b)2.
14. Izračunaj: a) (5 – y)2; d) (d –
x)2;
b) (x – 1)2; e) (y –
c) (3 – b)2;
12)2.
15. Izračunaj: a) (1 + z)2;
b) (5 – c)2;
d) (a + x)2;
e) (b – 7)2.
c) (6 – x)2;
a) (x + 4) 2 = x2 ð 8x ð 16
b) (3a -b)2 = 9ð - 6ab + ð
c) (a - 2b)2 = a2 ð 4ab ð 4b2
d) (3 + 4x)2 = ð + ðx ð 16x2
e) (9 ð p)2 = 81 - 18p ð p2
f) (5a + ðb)2 = ða2 + ð ab + 49 b2
g) 1 x − y = 1
1 h) 5a + b = 25 5
2
2
4
−
xy +
2
+2 b
1 2 b . 25
39
1.4. Kvadriranje matematičkih izraza 17. Izračunaj: a) (2x
+y)2;
23. Izračunaj: b) (3a +
4)2;
c) (2 +
18. Izračunaj: a) (3a – b)2; b) (a – 4b)2; c) (1 – 3b)2;
2
24. Izračunaj: a) (ab – 1)2 – (ab)2; b) (2ab)2 – (2ab – 3)2; c) (a – 10b)2 + (7ab)2; d) (a – 3b)2 + (a + 3b)2; e) (2ab – 1)2 – (2ab + 1)2; f) 25 – 10 (x + 5) + (x + 5)2.
d) (x – 8y)2; e) (6x – 4)2; f) (22 – 1)2. 19. Izračunaj: a) (a + 11y)2; b) (3x – 1)2; c) (6 – 8m)2; d) (x + 12y)2; e) (5x – 5)2; f) (3a – a)2. 20. Izračunaj:
3 1 a + b)2; b) (0.5x – 3)2; c) ( – 5a)2; 4 5 7 x – 6)2. d) (3.5x + 10)2; e) ( 12
a) (
25. Pomoću formula za kvadrat zbroja i razlike možemo brzo računati kvadrate zadanih brojeva. Ovdje ćemo računati pomoću međurezultata, a u sljedećem zadatku pokušaj računati napamet. Prepiši u bilježnicu pa dopuni:
21. Izračunaj:
a) (3a + 4b)2; b) (7x – 6y)2; c) (6n – 3m)2;
2
1
d) (12x + 12y)2; e) (4xy – 5ab)2; f) 3a − . 3 22. Izračunaj:
a) 212 = (20 + 1)2 = 400 + 40 + _______ = _______; b) 532 = (50 + 3)2 = 2500 + ______ + ______ = _____;
2 1 4 x + y)2; b) (0.5x – 2y)2; c) ( ab – 3a)2; 3 3 9 2 3 20 2 d) (6x + xy)2; e) ( x– y) . 3 10 3
c) 692 = (70 – 1)2 = 4900 – 140 + _______ = _______; d) 982 = (100 – 2)2 = 10 000 – _______ + _______ = _______.
a) (
26. Izračunaj: a) 332; b) 912; c) 292; d) 472; e) 822.
Primjer 7. Promjena predznaka
Do ovih se rezultata moglo doći i množenjem dviju jednakih zagrada.
Pokaži da je: 2
2
a) (b − a ) = (a − b ) ;
b)
( −a − b )2 = (a + b )2 .
Važno
Rješenje:
(b − a )2 = (a − b )2 = ( −b + a )2 = ( −a + b )2 ( −a − b )2 = (a + b )2
Primijenimo formulu za kvadrat razlike: 2
2
2 2 2 2 a) (b − a ) = b − 2ab + a = a − 2ab + b = (a − b ) 2
2
a)
d) (y + 5x)2; e) (1 + 4b)2.
2
a + b a + b a ; b) ; c) a + b ; 2 ab a − b 2 2 2a + b a − 2b d) ; e) 3b − 5d . 2c + 3
3b)2;
2
2
b) ( −a − b ) = ( −a ) − 2 ⋅ ( −a ) ⋅ b + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 = (a + b )
Z a d a c i d) 0.25x 2 + 0.3xy + 0.09y 2;
27. Izračunaj: a) (–a +
b)2;
b) (–x –
y)2;
c) (–n +
2m)2;
d) (–2x + 10y)2; e) (–4y – 5x)2. 28. Zapiši u obliku kvadrata: a) a 2 + 2ab + b 2; b) x 2 – 2xy + y 2; c) b 2 + 4b + 4; d) 25x 2 + 30xy + 9y 2; e) 100m 2 – 180mn + 81n 2. 29. Zapiši u obliku kvadrata: a) 100 – 20b + b 2; b)
9 2 6 x – xy + y 2; 25 5
c) 0.01b 2 + 0.04b + 0.04;
40
e)
4 2 m – 12mn + 81n 2. 9
30. Pojednostavi: a) (a + b)2 + (2a – b)2; b) (x – y)2 + (x + y)2; c) (3a + b)2 – (a – 3b)2; d) (a – 5b)2 + (2a – 3b)2; e) (4x + 3y)2 – (2y – 8x)2. 31. Pojednostavi: a) (a + b)2 + a(a – b); b) (x – y)2 – 2x(x + y); c) –6(3a – 4) + (2a – 3)2; d) 2(a – 3)2 – (4a – 1)2; e) –2(2x + 8y)2 – 5(3y – 3x)2.
Kvadriranje Primjer 8. Razlika kvadrata
koju obično zapisujemo u obrnutom redoslijedu: a 2 – b 2 = (a + b) • (a – b)
Izračunaj:
To je formula u kojoj su zadani kvadrati a 2 i b 2
(a + b) • (a – b).
i traži se njihova razlika. Zato tu formulu nazi-
Rješenje:
vamo razlikom kvadrata. razlika
Pomnožimo zadane zagrade:
kvadrata
(a + b) • (a – b) = a•a–a•b+b•a–b•b= a 2 – ab + ab – b 2 = a 2 – b 2 Zbroj pribrojnika –ab + ab jednak je 0 jer su to suprotni pribrojnici.
Važno Razlika kvadrata: a 2 – b 2 = (a + b) • (a – b) Tu formulu možemo izreći i ovako:
Tako dolazimo do formule
prvi 2 – drugi 2 = (prvi + drugi ) • (prvi – drugi )
(a + b) • (a – b) = a 2 – b 2
Kakve veze (a+b) • (a–b) ima s razlikom kvadrata? Pa tu nema nikakvih kvadrata!
aha! sad vidim razliku kvadrata!
tvoj a glava j e nekako kvadratna. možda zbog frizure?
dobro, nij e kvadratna. mogu sad skinuti kutij u?
Primjer 9.
Izraze 16x2 i 25y2 napisali smo u obliku kvadrata
Izračunaj razliku kvadrata
umnoška 16x2 = (4x)2 i 25y2 = (5y)2, a zatim ra-
a) 16x2 – 25y2;
stavili na umnožak dviju zagrada.
b) 103 • 97.
b) Razlika kvadrata će nam pomoći da zadatke
Rješenje: a) Zadani izraz zapišimo u obliku razlike kvadrata:
poput 103 • 97 izračunamo napamet. Primijetimo da su oba faktora „udaljena“ do 100 za 3 , a sa 100 je lako množiti. Zatim primijenimo formulu
2 2 16x2 – 25y2 = (4x) – (5y) = (4x – 5y)(4x + 5y)
prvi član
drugi član
za razliku kvadrata da bismo olakšali računanje. 103 • 97 = (100 + 3) • (100 – 3) = 1002 – 32 = 10 000 – 9 = 9991.
41
1.4. Kvadriranje matematičkih izraza
Z a d a c i c) (1 + y)(1 – y);
32. Zapiši u obliku umnoška dviju zagrada: a)
c2
–
d 2;
b)
d) x 2 – b 2;
x2
–
y 2;
c)
m2
–
n2
d) (100 – a)(100 + a);
e) z 2 – t 2.
e) (m +
16 16 )(m – ). 81 81
33. Zapiši u obliku umnoška dviju zagrada:
39. Izračunaj primjenjujući razliku kvadrata:
a) 64 – a 2;
a) 49 • 51;
d) x 2 – 1;
b) x 2 – 25;
c) 36 – y 2;
e) 4 – b 2.
b) 8 • 12;
d) 204 • 196;
34. Izračunaj površinu crveno obojanih geometrijskih
c) 103 • 97;
e) 29 • 31.
40. Zapiši u obliku razlike kvadrata:
likova sa slike. Što misliš, koji od njih ima veću
a) (3a + b)(3a – b);
površinu? Provjeri za a = 3 i b = 5.
b) (2x + 3)(2x – 3);
c) (1 + 6y)(1 – 6y);
a
5 5 – 5a)( + 5a); 3 3 5 2 5 2 e) ( m + )( m – ). 3 11 3 11 d) (
a-b a+b
41. Zapiši u obliku razlike kvadrata: a) (2x + 8y)(2x – 8y);
b 35. Zapiši u obliku umnoška: a)
25x 2
–
b) (7a + 9b)(7a – 9b);
14 11 14 11 x+ y)( x– y); c) ( 19 12 19 12
y 2;
d) (0.1b – 0.3a)( 0.1b + 0.3a); e) (6mn +
b) a 2 – 49b 2;
2 2 k)(6mn – k). 7 7
c) 100 – 49n 2;
42. Prepiši u bilježnicu pa dopuni:
d) 81 – 9y 2;
a) (5a + 2b) • ( _____
_____ ) = 25a 2 – 4b 2;
e) 144c 2 – d 2.
b) (a – 0.3b) • ( _____
_____ ) = a 2 – 0.09b 2.
36. Zapiši u obliku umnoška:
43. Izračunaj:
a)
16x 2
–
49y 2;
a) (♠ + ♥) • (♠ – ♥);
b) 25b 2 – 64a 2;
b) (♦ + ♣)2
c) 121m 2 – 169n 2;
c) (♪ – ♫)2;
d) x 2 – 9y 2;
d) (uh)2 – (oh)2;
e) 144c 2 – d 2.
e) (☺ + ☼)2.
37. Zapiši u obliku umnoška:
44. Pojednostavi:
a) 0.16x 2 – 0.01y 2;
4 2 b – 64; 25 1 2 1 2 a – b ; c) 16 64 144 2 y ; d) 2.25x 2 – 169 b)
e)
0.09y 2
– 9.
a) (x + y)(x – y) + (2x – y)2; b) (a + 2)(a – 2) + (2 – 7a)2; c) (5d – c)2 – c(5 – c); d) (a + b)2 + (a – b)2 – (a + 2b)(a – 2b); e) (2x – a)2 – (a – x)2 – (4x + 3y)(4x – 3y). 45. Riješi jednadžbe: a) (x – 1)2 – (x – 1)(x + 1) = 6; b) (x + 7)2 – (x – 2)(x + 2) = x;
42
38. Zapiši u obliku razlike kvadrata:
c) (2x – 3)2 – (x – 1)2 = 3x2 – 1;
a) (c + d)(c – d);
d) – (5y – 8)2 + (5y – 3)(5y + 3) = 2(y + 7) – 9;
b) (x + 6)(x – 6);
e) 4(a – 7)2 – (2a – 1)2 = –3(–1 – 4a).
Kvadriranje
Vježb lica a
1. Oslobodi se zagrade: a) (–2a)2;
b) (3 • x)2;
d) (ax)2;
e) (–5xy)2.
c) (–4b)2;
2. Oslobodi se zagrade: a) (3ab)2; b) (–11xy)2;
d) (7xm)2; e) (19cdef)2.
c) (–yb)2;
3. Zapiši u obliku kvadrata:
d)
16x2;
b)
25a2;
e)
81a2b2;
2
e) 3 : −1 :
1 9
2
2
23 . 35
a) (2x + y)2;
b) (3a + 5)2;
d) (y + x)2;
e) (7 + b)2.
a) (5 –2y)2;
b) (x – 1)2;
d) (5 – x)2;
e) (y – 2)2.
c)
a) (1 – x)2;
b) (5a – c)2;
f)
169y2z2.
d) (3a + x)2;
e) (2b – 7)2.
c) (6 + b)2;
c) (3 – 4b)2;
2
5. Kvadriraj: 2
2
2 −1 3x 7x a) ; b) ; ; c) 8x 5y 3
6ac d) ; e) −9b
c) (6 – 2x)2;
12. Pojednostavni:
2
c) −1 ; n
a x d) ; e) . 14 16
2
2
2 ; 19
11. Pojednostavni:
y 4 a) ; b) ; 15 x 2
2
2
x2a2;
4. Kvadriraj: 2
2 7
5 7
10. Pojednostavni:
a) 64;
2
d) 4 : 2 : 1
9. Pojednostavni:
1 5
a) (ab – 2)2 – (ab) 2;
b) (2a) 2 – (2a – 3)2;
c) (x – 10y)2 + (7xy) 2;
d) (a – 2b)2 + (a + 2b) 2;
e) (2x – 1)2 – (2x + 1) 2;
f) 25 – 10 (x + 3) + (x + 3) 2.
13. Zapiši u obliku kvadrata:
2
12x 7aby .
a) c2 + 2cd + d2; b) x2 – 2xy + y2;
c) x2 + 4x + 4;
e) 25m2 – 90mn + 81 n2.
d) 16x2 + 24xy + 9y2;
6. Zapiši u obliku kvadrata: x2 196a 2b 2 25x 2 121a 2 81x 2 . ; b) a) ; c) ; d) ; e) 16 4 169x 2y 2 y2 64b 2
a) 25c2 + 10cd + d2;
b) 64x2 – 80xy +25y2;
7. Izračunaj:
c) 9x2 + 12x + 4;
d) 100x2 +20 xy + y2;
e) 49m2 – 14mn + n2.
2
21 ; b) 8
2
28 54 27 ⋅ − 35 ;
2 a) 32 ⋅
2 −40 c) ( −0.5) ⋅ ; d) 45
2
4 7
2
e) −1 ⋅ 7
8. Izračunaj:
2
2
2
2
2
2
2
12 2 32 : 88 ; 2
−38 12 36 : ⋅ ; 6 19 361
c)
2
3 25 2 5 ⋅ −39 ;
1 14 . ⋅ 11 13
a) 8 : 56 ; b) 17 289 2
2
14. Zapiši u obliku kvadrata:
15. Zapiši u obliku kvadrata:
a) 81c2 + 18cd + d2;
b) x2 – 22xy + 121y2;
c) x2 – 4x + 4;
d) 16x2 – 24xy + 9y2;
e) m2 –2mn + n2.
16. Zapiši u obliku kvadrata: 4 4 x2 – xy + y2; a) 121 – 22b + b2; b) 49 7
c) 0.04b2 + 0.04b + 0.01;
d) 0.25x2 – 0.3xy + 0.09y2;
e)
9 2 m – 9mn + 9n2. 4
43
1.4. Kvadriranje matematičkih izraza 17. Zapiši u obliku umnoška dviju zagrada:
a) x2 – 10x + 25; b) x2 + 2x + 1; c) x2 –9; d) (3x – y)2; e) (x +7 )(x –7 ).
a) 64 – 4a2;
b) x2 –1; c) 144 – y2;
d) x2 – 196;
e) 16 – b2.
28. Primjenom formula za kvadrat binoma i razliku kvadrata odredi:
18. Zapiši u obliku umnoška dviju zagrada:
a) x2 – a2;
b) c2 – 4d2;
d) 25x2 – 81b2;
c) 16m2 – n2;
e) 121z2 – 169t2.
19. Zapiši u obliku razlike kvadrata:
a) (a + d)(a – d);
b) (x + 7)(x – 7);
c) (1 + b)(1 – b); d) (11 – a)(11 + a); 1 1 e) (m + )(m – ). 8 8 20. Zapiši u obliku razlike kvadrata:
a) (5c + d)(5c – d);
c) (
e) (m +2x)(m –2x).
b) (3x + 6)(3x – 6);
2 2 + y)( – y); 3 3
d) (1 – a)(1 + a);
a) 4x2 –16;
d) (3x + 2)(3x – 2);
b) (2x –3)2;
c) 25x2 + 10x +1; e) 81x2 – 72x + 16.
22. Primjenom formula za kvadrat binoma i razliku kvadrata odredi:
a) 169x2 – 26x + 1; b) 25x2 + 30x + 9;
c) 25x2 –1; d) (2x –5y)2; e) (3x + 1)(3x – 1).
29. Primjenom formula za kvadrat binoma i razliku kvadrata odredi:
a) x2 –196; b) (x – 4)2; c) 4x2 +12 x +9;
d) (7x +3 )(7x –3 ); e) x2 –18 x + 81.
30. Primjenom formula za kvadrat binoma i razliku kvadrata odredi:
a) x2 – 20x + 100; b) x2 –225; c) 49x2 + 28x + 4;
d) (x –5)2; e) (x + 6)(x – 6).
31. Primjenom formula za kvadrat binoma i razliku kvadrata odredi:
21. Primjenom formula za kvadrat binoma i razliku kvadrata odredi:
a) 100x2 – 20x + 1; b) x2 –25; c) x2 + 8x +16; d) (7x –2)2; e) (x + 1)(x – 1).
23. Primjenom formula za kvadrat binoma i razliku kvadrata odredi:
a) (x –15)2; b) 9x2 – 289; c) 121x2 + 22x + 1;
d) (x + 21)(x – 21); e) 144y2 – 72y + 9.
32. Primjenom formula za kvadrat binoma i razliku kvadrata odredi:
a) x2 – 6x + 9 ; b) (4x – 7)2; c) x2 – 49;
d) 25x2 + 60x + 36; e) (x + 3)(x – 3).
33. Pojednostavi:
a) (2a + b)2 + (2a – b)2; b) (x – y)2 – (x + y)2;
c) (4a + b)2 – (a – b)2; d) (5a – b)2 + (a – 3b)2; e) (x + 3y)2 – (2y – x)2.
a) (3x –1)2; b) 49x2 –25; c) 16x2 + 8x +1;
d) (x + 16)(x – 16); e) 81y2 – 198y + 121
34. Pojednostavi:
24. Primjenom formula za kvadrat binoma i razliku kvadrata odredi:
a) 121x2 – 88x + 16; b) (x –12)2; c) x2 –225; d) x2 + 14x + 49; e) (3x + 17)(3x – 17).
25. Primjenom formula za kvadrat binoma i razliku kvadrata odredi:
a) (4x + 1)(4x – 1); b) c)
4x2
x2
–361;
+ 20x +25; d) (2x –5)2; e) x2 – 2x + 1.
26. Primjenom formula za kvadrat binoma i razliku kvadrata odredi:
a)
25x2
– 40x + 16; b)
c)
16x2
–2y)2;
–1; d) (x
36x2
+ 12x +1;
e) (8x + 1)(8x – 1).
27. Primjenom formula za kvadrat binoma i razliku kvadrata odredi:
44
a) (3a + b)2 + a(3a – b); b) (2x – y)2 – x(x + y);
c) – (a – 4) + (a – 3)2; d) –2(4a – 3)2 – (a – 1)2;
e) – (x + 2y)2 – 5(y – 3x)2.
35. Pojednostavni:
a) (3x + y)(x – y) + (2x – y)2;
b) (a + 2)(a – 2) + (2 – a)2; c) (5 – c)2 – c(5 – c); d) (a + 2b)2 + (a – 2b)2 – (a + b)(a – b);
e) (2x – y)2 – (y – x)2 – (x + 3y)(2x – y).
36. Pojednostavni:
a) (x + y)(x – y) + (x – y)2;
b) (3a + 2)(a – 1) + (1 – a)2;
c) (2 – c)2 – c(3 – c);
d) (3 + b)2 + (4– b)2 – (3+ 2b)(1 – 2b);
e) (2x –3)2 – (1– x)2 – (4x + 3)(4x – 3).
Kvadriranje
1.5. Potencije Pomnožimo Pogledaj brojeve u tablici, prepiši tablicu u bilježnicu pa i dopiši one koji nedostaju. Kakva vez postoji između dva susjedna broja u tablici, a kakva između prvog i zadnjeg? 1
3
9
27
81
Matijino pitanje iz desne ilustracije možemo još proširiti i pitati se: postoje li a 4, a 5, a 6 itd.? Evo i odgovora. Znamo da je 52 skraćeni zapis za umnožak 5 • 5. Tada će na isti način 53 biti skraćeni zapis za 5 • 5 • 5 jer se u rastavu nalaze tri ista faktora 5. Dalje, 54 je skraćeni zapis od 5 • 5 • 5 • 5 itd.
A zašto se kvadriranj e oznaèava baš s malim broj em 2, a ne s nekim drugim broj em?
Postoji li na primj er i a3?
Zapišimo to: 52 = 5 • 5
čitamo: “5 na drugu” ili “5 na kvadrat”
53
= 5 • 5 • 5
čitamo: “5 na treću”
54
= 5 • 5 • 5 • 5
čitamo: “5 na četvrtu”
55
= 5 • 5 • 5 • 5 • 5 čitamo: “5 na petu”
itd. Dodajmo na početak tog niza dogovor da je 51 = 5. Kažemo da smo te umnoške zapisali pomoću potencija broja 5.
potencija
Važno Neka je a racionalan broj i n prirodan broj. Potencija an broj je zapisan u obliku umnoška n jednakih faktora a. a1 = a a2 = a • a a3 = a • a • a a4 = a • a • a • a ... an = a a ⋅ ... ⋅a ⋅ n faktora
Broj a se pritom naziva bazom potencije an , a n je njezin eksponent.
a baza
n
eksponent
baza potencije
an potencija
eksponent
45
1.5. Potencije Primjer 1. Potenciranje Izračunaj: 4
Kubne mjerne jedinice Umnožak a • a • a zapisujemo u obliku poten-
5
cije kao a 3. Broj a 3 nazivamo trećom potenci-
a) 37; b) ; c) 0.54. 7
jom od a ili kubom broja a.
Rješenje:
Na isti način i množenjem mjerne jedinice za
a) Baza potencije je 3, a eksponent je 7. To znači da se broj 3 pojavljuje kao faktor 7 puta. Izračunajmo umnožak: 37 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 2187.
duljinu sa samom sobom (duljina • širina • visina) dobivamo kubnu mjernu jedinicu.
4 , a eksponent je 5. To zna7 4 či da se broj pojavljuje kao faktor 5 puta. Izra7 5 4 4 4 4 4 1024 4 čunajmo umnožak: = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
b) Baza potencije je
7
7 7 7 7 7
1 cm
Mjerne jedinice za obujam su:
16807
mm3 (kubni ili kubični milimetar), cm3 (kubni ili kubični centimetar), dm3 (kubni ili kubični decimetar) ili jedna litra, m3 (kubni ili kubični metar) itd.
Potenciranje na džepnom računalu Da biste izračunali koliko je
1 cm3 = 1000 mm3
1 cm
c) Baza potencije je 0.5, a eksponent je 4. To znači da se broj 0.5 pojavljuje kao faktor 4 puta. Izračunajmo umnožak: 0.54 = 0.5 • 0.5 • 0.5 • 0.5 = 0.0625.
8 6,
1cm3
1 cm
Kubne mjerne jedinice nazivaju se i mjernim jedinicama za obujam (volumen).
pritisnite:
8
1. Tipku s brojem
^
2. Tipku za potenciranje
6
3. Tipku s brojem
3. Za prikaz rezultata pritisnite tipku
^
ENTER
=
potenciranje
4. Na zaslonu će se prikazati rezultat 262 144.
Z a d a c i 1. Izračunaj: a) 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27; b) 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37; c) 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47.
6. Izračunaj: a) 25 i 52; d) 37 i 73;
2. Izračunaj: a) 0.21, 0.22, 0.23, 0.24, 0.25;
a) 3 • 3 • 3 • 3;
7. Zapiši u obliku potencije i izračunaj:
2
3
4
c)
8. Zapiši u obliku potencije:
3. Izračunaj: a) 53; b) 38; g) 34; h) 93;
a) 125;
c) 24; d) 51; i) 210; j) 77.
e) 62;
f) 84;
3
2
1
5
3 2 16 4 ; b) ; c) ; d) ; e) 4 9 87 9
a)
b) 27;
f) 64; g) 1;
4. Izračunaj: a) 0.53; b) 2.672; c) 1.444; d) 10.53; e) 7.34. 5. Izračunaj:
d)
5 ; 11
e) 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1 • 1.
5
1 1 1 1 1 , , , , . 8 8 8 8 8
46
b) 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2;
c) 2.8 • 2.8 • 2.8 • 2.8;
b) 1.31, 1.32, 1.33, 1.34, 1.35, 1.36, 1.37; 1
b) 62 i 26; c) 53 i 35; e) 310 i 103.
4
7 . 11
9.
c) 81;
h) 0.04;
d) 625;
i) 2.25;
j)
e) 729;
1 . 27
Zapiši u obliku potencije: a) a • a • a • a • a • a; b) x • x • x • x • x • x • x • x • x • x • x; c) m • m • m • m; d) y • y; e) b • b • b • b • b • b • b • b.
Kvadriranje 10. Zapiši u obliku potencije:
15. Papir podijelimo na tri dijela te svaki novi komad
a) (a + b) • (a + b) • (a + b);
papira opet na tri dijela. Koliko ćemo komada
b) (x – y) • (x – y);
papira dobiti nakon tri takve podjele?
c) (2c – 3d) (2c – 3d) (2c – 3d) (2c – 3d) (2c – 3d); d) 2a;
16. Bakterija ima svojstvo da se svakog sata podijeli tako da od jedne nastavu dvije bakterije, nakon još
e) (a + 6)(a + 6)(a + 6)(a + 6)(a + 6).
jednog sata od one dvije nastanu četiri i tako redom.
11. Na drvetu su dvije grane, na svakoj su grani
Koliko će ukupno bakterija biti nakon 8 sati?
dvije grančice, na svakoj grančici po 2 lista.
17. Prateći obiteljsko stablo porodice Četvrtković došli
Koliko je ukupno listova na drvetu? Nacrtaj sliku
smo do zanimljivih zapažanja: svaki potomak je
i izračunaj.
uvijek dobio točno četiri nova potomka. Koliko
12. U sobi je 7 vaza, u svakoj je vazi 7 cvjetova, na svakom cvijetu 7 latica. Koliko je ukupno latica? 13. U učionici je 9 đaka, svaki đak ima 9 knjiga,
je začetnik obiteljskog stabla, gospodin Ivan Četvrtković, imao potomaka u petom naraštaju (Ivana računamo kao prvi naraštaj).
u svakoj je knjizi 9 listova, na svakom listu 9
18. Izračunaj:
rečenica. Koliko je rečenica ukupno?
a) 36 + 63;
14. Izmisli zadatak sličan zadacima 12 i 13 i riješi ga.
Potencije su moćne! (Priča o šahu) Prema jednoj legendi, čovjek koji je izumio šah bio je pozvan kod perzijskog cara. Car mu je rekao: - Nagradio bih te, što želiš? Sam odaberi nagradu. Odgovor je bio:
d)
82
–
25
b) 24 + 3 • 44;
• 2;
e) 4 •
52
c) 32 + 8 • 76;
+ 103 • 3.
do zadnjeg polja. Ta zrna pšenice bit će moja nagrada. Car se jako iznenadio jer mu se činilo da je nagrada skromna, ali kada su izračunali koliko je zrna pšenice potrebno, vidjeli su da u cijelom velikom carstvu nemaju toliko pšenice za isplatu!
- Uzmi šahovsku ploču i na prvo polje stavi jedno zrno pšenice, na drugo dvostruko više, na treće još dvostruko više i tako udvostručuj zrna pšenice za svako sljedeće polje dok ne dođeš
Primjer 2. Množenje potencija jednakih baza Izračunaj: a) 102 • 103; b) 35 • 38.
Rješenje:
(
) (
)
b) 35 • 38 = 3⋅ 3⋅ 3⋅ 3⋅ 3 ⋅ 3⋅ 3⋅ 3⋅ 3⋅ 3⋅ 3⋅ 3⋅ 3 = 313
3 3 Ukupno množimo 13 trojki, rezultat je 313. Za5
8
ključujemo da je: 35 • 38 = 313. U eksponentima primjećujemo da je 5 + 8 = 13. ….. ovo dalje je isto kako je bilo
a) Zapišimo zadane potencije u obliku umnoška.
Općenito, ako su zadane potencije am i an ,
5 102 • 103 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 =10
gdje su m i n prirodni brojevi, tada vrijedi:
102
103
Ukupno množimo 5 desetica, rezultat je 105. Zaključujemo da je: 102•103 = 105. U eksponentima primjećujemo da je 2 + 3 = 5.
am ⋅ an = a ⋅ ... ⋅a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a = am +n m faktora faktora n ukupno m +n faktora
am ⋅ an = am +n
47
1.5. Potencije Primjer 3. Dijeljenje potencija jednakih baza
b) 49 : 46 =
Izračunaj: a)
108 107
; b)
49 6
4
=
4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 43 4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4
Zaključujemo da je 49 : 46 = 43. U eksponenti49
:
4 6.
ma primjećujemo da je 9 – 6 = 3.
Rješenje:
Općenito, ako su zadane potencije am i an , gdje su m i n prirodni brojevi i m > n, tada vri-
a) Zapišimo zadane potenci-
jedi:
je u obliku umnoška jednakih faktora pa pokratimo odgovarajuće faktore:
am
108
10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = = 10 = 101 7 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 10
faktora m a ⋅ ............ ⋅ a n = am −n :a = a ... a ⋅ ⋅ n faktora
Zaključujemo da je 108 : 107 = 101. U ekspo-
U razlomku je u brojniku m faktora a, a u naziv-
nentima primjećujemo jednakost 8 – 7 = 1.
niku je n faktora a. Nakon skraćivanja ostaje m – n faktora a.
am : an = am −n
Z a d a c i
a) 103 • 106; b) 105 • 1016; c) 1031 • 1065;
a) 52 • 53 = 56; c) 105 : 104 = 109;
d) 104 • 109; e) 10100 • 10610; f) 104 • 105.
e) 186 • 182 = 1812.
g) 1013 • 106; h) 1055 • 1010; i) 103 • 1015;
25. Zapiši u obliku potencije: b) b 2 : b 1; a) a 9 • a 9; 8 4 d) y : y ; e) b 16 : b 5.
19. Pomnoži potencije:
j)
1044
•
1090;
k)
10102
•
1010;
fl
102
•
103.
20. Podijeli potencije:
a) 106 : 102; b) 1050 : 1016; c) 109 : 106;
d) 1014 : 109; e) 10100 : 1010; f) 107 : 105.
a) 1016 : 104; b) 105 : 10;
d) 10140 : 1040; e) 1010 : 1010; f) 107 : 107.
a) 62 • 68; d)
1.336
•
9
1.333;
e)
348
1 2
13
1 2
c) ⋅
b) 105 • 105; •
3426.
b)
77 3
7
56
d) 1.610 : 1.67;
29. Koje su jednakosti točne? Netočna rješenja ispravi.
33
3 3 : 10 10
e)
.
23. Zapiši u obliku potencije: a) 87 • 81; 7
d)
10
; 105
b) 1112 : 113;
c) 32 • 314;
e) 5536 : 5530.
24. Koje jednakosti su točne? Netočna rješenja ispravi.
48
e) (b – 3a)9 : (b – 3a)7.
c) (a + 1)5 • (b + 1)3 = (a + 1)8.
c) 59 : 58;
;
;
27. Zapiši u obliku potencije: a) (a – 5)3 • (a – 5)2; b) (x + b)15 : (x + b)8; c) (3x)7(3x)6; d) (2y + b)11 : (2y + b)10; 28. Zašto ove jednakosti nisu točne? a) 82 • 88 = 816; b) a3 • b5 = (ab)8;
22. Zapiši u obliku potencije: a) 1012 : 103;
c) x 5 • x 6;
26. Izračunaj, pazeći na razlike između zbrajanja i množenja: a) 3a • a; b) 3a2 – a2; c) 3 • 29 – 29; d) a4 + a4 + a4; e) a4 • a4 • a4.
c) 1012 : 106;
21. Zapiši u obliku potencije:
b) 89 : 85 = 83; d) 71 • 71 = 72;
a) 5 • 53 = 54; c)
45
:
43
= 16;
b) 39 : 38 = 3; d) 71 : 71 = 49;
e) 26 : 22 = 16. 30. Zapiši u obliku potencije: a) x 2 ⋅ x 4 ⋅ x 8 ; b) x 2 ⋅ x 4 ⋅ x 8 ⋅ x ; c) 21 ⋅ 22 ⋅ 23 ⋅ 24 ⋅ 25 ;
Kvadriranje
e) 32a +b ⋅ 39a −b .
5 7 2 d) (4a ) ⋅ (4a ) ⋅ (4a ) ⋅ (4a ) ;
d) x14m +n ⋅ x m −11n ;
2 2 2 2 e) (x + y ) ⋅ (x + y ) ⋅ (x + y ) ⋅ (x + y ) .
34. Zapiši u obliku potencije:
31. U kvadratić upiši broj koji nedostaje: a) 2 ⋅ 26 = 28 ; c) 108 : 10 6
e) x ⋅ x
9 b) a : a
= 106 ; 3
⋅x = x
13
= a8 ;
d) 59 ⋅ 53 = 5 ;
a) b)
. c)
32. Izračunaj:
22 ⋅ 26
102 ⋅ 106 ⋅ 105 32 ⋅ 33 a) ; b) ; c) ; 3 23 103 ⋅ 104 9 ⋅ 96 ⋅ 98 ⋅ 81 7 ⋅7 ⋅7 ⋅9 . d) ; e) 49 93
d)
33. Zapiši u obliku potencije:
e)
a) x n ⋅ x m ;
b) x 5a ⋅ x 7a ;
c) z 6 ⋅ z14k ;
Primjer 4. Potenciranje potencije Izračunaj: a) (103)5;
6
3 4 b) . 5
xn
;
x3
x a ⋅ x 4a x9 56a 56b
;
;
28 ⋅ 2n ⋅ 24n −1 26+3n
;
a3m ⋅ a 9n −2m ⋅ a a
2m +3n
⋅ a 6m −n .
b) 6 4 4 4 4 4 4 6 ⋅ 4 24 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 5 5 5 5 5 5 5 5 5
6
24 3 4 3 Zaključujemo da je = . U ekspo 5 5
Rješenje: a) Napišemo danu potenciju u obliku umnoška:
nentima primjećujemo jednakost 4 • 6 = 24.
(103)5 = 103 • 103 • 103 • 103 •103 = = 10
3+3+3 +3+3=
(a )
105 • 3 = 1015.
Zaključujemo da je
(103)5
=
1015.
m
U eksponenti-
n
= am
⋅n
ma primjećujemo jednakost 3 • 5 = 15.
Primjer 5. Množenje zagrada i potencije Pojednostavi: a) 2x 2 (3x 3 + x ); b) (3a + a 2 b 3)(7a 5 – 9ab 2).
Rješenje:
2x 2 •3x 3 = 2 • 3 • x 2 • x 3 = 6x 5 2x 2 • x = 2 • x 2 • x 1 = 2x 3 Evo cijeloga postupka: 2x 2 (3x 3 + x ) = 2x 2 •3x 3 + 2x 2 • x = 6x 5 + 2x b) Pomnožimo svaki pribrojnik prve zagrade sa svakim iz druge. Nakon množenja združimo odgovarajuće faktore.
a) Izraz 2x 2 pomnožit ćemo sa svakim pribrojnikom u zagradi.
(3a + a 2 b 3)(7a 5 – 9ab 2) =
2x 2 (3x 3 + x ) = 2x 2 •3x 3 + 2x 2 • x
21a 6 – 27a 2 b 3 + 7a 7 b 3 – 9a 3 b 5.
3a • 7a 5 – 3a • 9ab 2 + a 2 b 3 • 7a 5 – a 2 b 3 • 9ab 2 =
Sada ćemo združiti poznanice s poznanicama i nepoznanice s nepoznanicama istog imena u svakom pribrojniku.
49
Kvadriranje
Z a d a c i
35. Potenciraj:
a)( 103)6; b) (105)10; c) (1031)5; d) (104)9;
e) (10100 )10; f) (104)5; i) (102)5; j) (104)8;
g)( 103)7; h) (105)11; k) (1010 )7; l) (108)5.
36. Potenciraj:
a)( 123)6; b) (a5)10; e)
(7100 )10;
i)
(y2)5;
(254)5.
f)
(24)8;
j)
c) (x31)5; d) (64)9; g)( 43)7; k)
h) (b5)11;
(310 )7;
l)
Vježb lica
11. Izračunaj, pazeći na razlike između zbrajanja i množenja: a) 9a •a; b) 4a2 – a2; c) 9 • 211 – 211; d) a6 + a6 + a6; e) a6 • a6 • a6.
a
1. Izračunaj: a) 33; b) 45; c) (–6)2; d) 71; e) (–6)8; f) 24; g) –35; h) 23; i) –110; j) 47. 2. Izračunaj: a) 0.23; b) –7.62; c) (–1.6)4; d) 11.53; e) –5.34.
0
2
3
6
4. Izračunaj: a) 26 + 62; b) 34 + 3 • (–4)1; c) 22 + 8 • 36; d) (–1)2 – (–2)5 • 2; e) –4 • (–5)2 + 103 • 3. 5.
Izračunaj: a) (–2)6 + 32; b) (–1)2 – 25 • (–2); c) 22 + (–7) • 36; d) –4 • (–4)2 + 13 • 3; e) 24 + (–2) • (–1)1.
6.
Izračunaj: a) 120 + (–6)2; b) (–3)4 + 3 • (–3)2; c) 4•12 + (–1)3 • 27; d) (–2)2 – (–5)2 • 3; e) –6 • (–7)2 + 113 • (–2). b) 105 • 106;
c) 1031 • 105;
d) 1014 • 109;
e)
1010
•
1061.
8. a) 1062 : 1021; 1019
1016;
c)
e) 10101 : 1011;
:
b) 105 : 102; d) 104 : 102; f) 1075 : 105.
9. Zapiši u obliku potencije: a) 89 • 81; b) 1129 : 113; c) 312 • 3114;
d)
1017 105
; e) 536 : 530.
10. Zapiši u obliku potencije: a) a8 • a8; b) b4 : b1; 7 4 d) y : y ; e) b15 : b5.
50
4
16 7 4 2 3 a) − ;b)– − ; c) ; d) − ;e) . 87 10 3 7 5
7. a) 1023 • 107;
38. Oslobodi se zagrada: a) 4x 2 (–5x + 9x 2); b) –2a(a 2 + a 4 – 6a); c) (–3ax 2 – 4ax) • a 2x 5; d) 6a 4y 2(–7ay 5 + y 2); e) 9xy(–x 2y 5 + xy 3 – 3x). 39. Oslobodi se zagrada: a) (a 2 – 9a)(a + a 2); b) (7a – 1)(a 2 + 3a 4 + a); c) (–2x 2 – 6x) • (3x 5 +4); d) (7xy + xy 2)(y 5 + x 2); e) (9x – 5xy)(3x 2y 5 – xy 3 – 3).
(x8)5.
37. Oslobodi se zagrada:
3. Izračunaj:
a) a 2(a + a 2); b) 7a(a 2 + 3a 4 + a); c) (5x 2 – 4x) • x 5; d) xy 2(y 5 + x 2); e) xy(3x 2y 5 – xy 3 – 3).
c) x15 • x6;
12. Izračunaj: 1212 ⋅ 120 45 ⋅ 414 78 ⋅ 76 ⋅ 75 a) ; b) ; c) ; 3 12 4 73 ⋅ 49 15 ⋅ 15 ⋅ 15 8 ⋅ 26 ⋅ 4 ⋅ 16 ⋅2 . ; e) d) 225 23 13. Izračunaj: 35 ⋅ 34 118 ⋅ 116 ⋅ 115 12 ⋅ 16 ; b) ; c) ; a) 3 113 ⋅ 114 13 12 ⋅ 12 ⋅ 12 8 ⋅ 86 ⋅ 88 ⋅ 64 ; e) d) ⋅8. 144 83 14. Izračunaj: 122 ⋅ 126 a 8 ⋅ a 6 ⋅ a5 35 ⋅ 27 ; b) ; c) ; a) 3 12 a3 ⋅ a16 3 4 ⋅ 8 ⋅ 16 5 ⋅ 56 ⋅ 58 ⋅ 25 d) ; e) ⋅5. 3 2 53 15. Zapiši u obliku potencije:
a) x a ⋅ x 4 ; b) x 7a ⋅ x 5a ; c) z 6 ⋅ z 3k ;
7m +n ⋅ x m − 4n ; e) 33a +b ⋅ 37a −b . d) x
16. Zapiši u obliku potencije:
a)
x 7n x
3n
3m
; b)
x a ⋅ x 8a x
9n −2m
7
; c)
86a 6b
8
; d)
24 ⋅ 2n ⋅ 23n −1 ; 26+ 4n
⋅7 ⋅ 7 6m −n ⋅7 . 72m +3n 17. Oslobodi se zagrada: a) x2(x + x2); b) 3a(a4 + 3a3 + a); c) (3x2 – x) •2x5; d) xy6(y2 + x3); e) 2xy(3x2y5 – 3xy3 – 2).
e)
7
18. Oslobodi se zagrada: a) –4x2 (–x + 2x2); b) –2a(–a2 + 3a4 – a); c) (–3ax2 – 4ax) • (–a2x5); d) a4y2(–ay5 + 10y2); e) 8xy(–4x2y5 + 5xy3 – 2x). 19. Oslobodi se zagrada: a) (a3 – a)(a + a2); b) (3a – 1)(a2 + 3a +1); c) (–x2 – 6x) • (x5 +4); d) (7xy + y2)(2y5 + x2); e) (10x – y)(x2y5 – xy3 – 1).
Kvadriranje
1.6. Potencije s bazom 10 Zanimljivi podaci Pročitaj ove rečenice: Zemlja je udaljena od Sunca 149 000 000 000 m. Masa elektrona je 0.00000000000000000000000000091 g. Svjetlosna godina je jedinica za duljinu i iznosi 9 460 000 000 000 000 m. Priznat ćemo da je vrlo nezgodno čitati tako velike brojeve, kao što bi bilo vrlo nepraktično pisati ih i računati s njima u tom obliku. Zato se za zapisivanje vrlo velikih i malih brojeva upotrebljava zapis s potencijama broja 10.
Važno Neka je n prirodni broj. Potencija broja 10 je broj zapisan u obliku umnoška . 10n = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ ... n faktora
101 = 10 102 = 100 103 = 1000 104 = 10 000 105 = 100 000 ... 10n = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ...00 ⋅ ... = 100 n faktora
n nula
Primjećujemo da je za prirodni n potencija 10n zapravo dekadska jedinica. Brojeve možemo zapisati u obliku a • 10n , gdje je a bilo koji broj između 1 i 10, a n je cijeli broj. Budući da se taj zapis najviše upotrebljava u prirodnim znanostima, nazivamo ga znanstvenim oblikom broja. Tako brojeve lakše možemo pisati, čitati, uspoređivati i računati s njima. Primjerice, broj zapisan u znanstvenom zapisu je 2.35 • 103. To je broj 2350. Obratno, broj 230 se može zapisati u obliku 2.3 • 102. Broj 56 890 može se zapisati kao 5.689 • 104. Evo još nekoliko primjera: 5438 = 5.438 • 103 688 000 000 = 6.88 • 108 Primijetimo da se velike vrijednosti prikazuju u znanstvenom zapisu s prirodnim eksponentima (tj. eksponenti su prirodni brojevi). Za male vrijednosti se uvode negativni cjelobrojni eksponenti. Pogledamo kako: Decimalni broj 0.1 pretvorimo u dekadski razlomak. 1 1 = 1 10 10
51
1.6. Potencije s bazom 10
Sada se potencija 101 nalazi u nazivniku. Taj se broj dakle, kao potencija s negativnim eksponentom.
1 1 = 1 označava s 10-1, 10 10
Potencije s negativnim eksponentom možemo na isti način definirati i za bilo koju drugu bazu a ≠ 0 : a −n =
1 a
n
=
1 . a ⋅ ... ⋅ a
Isto tako je a0 = 1 za svaki broj a ≠ 0 . Stoga, kada u znanstvenom obliku zapišemo 8 • 10-3, to je broj 8•10-3 = 8•
100 = 1
6.75 • 10-6
1 3
=
8 =0.008. Isto je tako, primjerice: 1000
10 6.75 = = 6.75 • = 0.00000675. 106 1 000 000 1
Znanstveni zapis broja uvježbat ćemo kroz primjere i zadatke koji slijede.
Važno 10−1 = 10−2 = −3
10
=
10−4 =
... 10−n
1 1
10 1
2
10 1
103 1 104
1 = 0.1 10 1 = = 0.01 100 1 = = 0.001 1000 1 = = 0.0001 10 000
=
a5 : a2 = a5 – 2 = a3 a5 : a3 = a5 – 3 = a2 a5 : a4 = a5 – 4 = a1 = a. Na isti način računamo a5 : a5 = a5 – 5 = a0. A vrijedi i a5 : a5 =
a•a•a•a•a = 1. a•a•a•a•a
Stoga zaključujemo da je a0 = 1. Na isti način bismo mogli nastaviti i dalje:
1
1 = n = = 0. 0 01 ... ... 10 0 10 n n nula
decimala
Dodajmo ovom nizu da je 100 = 1.
Primjer 1. Potencije s prirodnim eksponentom
a•a•a•a•a = a-1. a•a•a•a•a•a 1 a•a•a•a•a a 5 – 7 = a5 : a 7 = = 2 = a-2. Itd. a•a•a•a•a•a•a a a5 – 6 = a 5 : a 6 =
pomnožimo s faktorom ispred potencije. Ovaj zadatak možemo izračunati napamet.
Izračunaj: a) 2 • 102, 4 • 101, 8 • 103, 5 • 105;
2 • 102 = 200, 4 • 101 = 40, 8 • 103 = 8000,
b) 2.3 • 103; 3.5 • 102, 8.8 • 109, 1.9 • 104.
b) 2.3 • 103 = 2300; 3.5 • 102 = 350,
Rješenje:
8.86 • 109 = 8 860 000 000,
a) Prvo izračunamo potenciju, a zatim
Primjer 2. Veliki brojevi Broj 345 000 000 zapiši u znanstvenom obliku.
Rješenje: Zadani broj treba zapisati u obliku a • 10n , gdje je a broj između 1 i 10. Da dobijemo takav broj a stavit ćemo decimalnu točku iza prve
52
Pogledajmo ova dijeljenja s bazom a:
5 • 105 = 500 000.
1.9 • 104 = 19 000.
znamenke. Zaključujemo da a mora biti 3.45. Zatim se prisjetimo množenja broja s dekadskim jedinicama i izbrojimo za koliko mjesta treba pomaknuti decimalnu točku da bismo od 3.45 došli do 345 000 000. Treba pomaknuti za 8 mjesta pa je n = 8. 345 000 000 = 3.45 • 108.
Kvadriranje
Veliki brojevi 106
milijun
Ovaj postupak imenovanja velikih brojeva nastavlja se još dalje. Kako se čitaju
109
milijarda
još veći brojevi pronađi na CD-u Petice 8. Primjerice, broj 10600 se naziva
1012
bilijun
centilijun. No iza centilijuna dolazi njegov sljedbenik “centilijun i jedan” i tako
1015
bilijarda
dalje.
1018
trilijun
Osim ovih velikih brojeva koji su svoja imena dobili po latinskim nazivima
1021
trilijarda
brojeva, postoji i broj googol (čitaj: gugl). To je broj 10100. Taj naziv izmislio
1024
kvadrilijun
je devetogodišnji dječak Milton Sirrota kada ga je njegov stric, američki
...
itd.
matematičar Edward Kasner, zamolio da nadjene ime broju sa sto nula.
Znanstveni oblik broja na džepnom računalu
3. Na zaslonu će se pojaviti riječi FLO SCI ENG.
Da biste uključili znanstveni prikaz brojeva na džepnom računalu:
Pomaknite pokazivač strelicama tako da bude
1. Pritisnite tipku
2nd
4. Pritisnite tipku
SCI/ENG
2. Pritisnite tipku
ENTER
=
.
DRG
Primjer 3. Računanje sa standardnim zapisom
Masa staklene kugle je 19.63 puta veća od mase zlatne kugle.
Masa staklene kugle je 5.3 • 103 g, a masa zlatne kugle je 2.7 • 102 g.
c) Treba oduzeti 5.3 • 103 – 2.7 • 102. No, to nisu istoimeni pribrojnici pa se ne mogu oduzeti (kao što se ne oduzimaju 5.3a3 i 2.7a2 jer nisu
a) Koja kugla ima veću masu? b) Koliko puta je masa staklene veća od mase zlatne kugle? c) Za koliko je masa staklene kugle veća od mase zlatne kugle?
istoimeni). Kako imamo zadane konkretne brojeve, svedimo ih na istoimene pribrojnike. Broj 103 možemo rastaviti na 102 • 10. 5.3 • 103 – 2.7 • 102 = 5.3 • 10 • 102 – 2.7 • 102 =
Rješenje:
53 • 102 – 2.7 • 102 Izlučivanjem zajedničkog faktora 102 dobit
a) Staklena kugla ima veću masu. b) Podijelimo
podcrtana riječ SCI
5.3 ⋅ 103 2.7 ⋅ 102
ćemo u nastavku:
. Faktori 103 i 102 se oba
53 • 102 – 2.7 • 102 = 102 • (53 – 2.7) =
mogu skratiti sa 100.
102 • 50.3 = 50.3 • 100 = 5030.
5.3 ⋅ 103
Masa staklene kugle je za 5030 g veća od
2
2.7 ⋅ 10
=
5.3 ⋅ 10 53 = = 19.63 . 2.7 2.7
zlatne.
Z a d a c i 1. Zapiši u obliku potencije broja 10:
3. Koji od ovih zapisa nije znanstveni? Zašto?
a) 100;
a) 12 • 106;
b) 100 000;
d) 1 000 000 000;
c) 10;
d) 1.23333333 • 105;
e) 10 000.
b) 107;
c) 105;
d) 108;
c) 0.3 • 104;
e) 5 • 1010.
4. Izračunaj:
2. Koji broj predstavlja potencija: a) 104;
b) 8.99 • 107;
e) 101.
a) 5 • 107;
b) 3 • 103;
105;
101.
d) 5 •
e) 9 •
c) 2 • 104;
53
1.6. Potencije s bazom 10 5. Ove rečenice prepiši tako da brojku izračunaš iz znanstvenog oblika:
8. Zapiši u znanstvenom obliku: a) 3600;
a) Zraka svjetlosti za 1 minutu prijeđe 1.8 •
107
km;
b) Najbolje plaćen sportaš u 2000. godini bio Michael Schumacher sa zarađenih 5.9 • c) Promjer Saturna je 1.2 •
105
107
dolara;
b) 864 000;
d) 10 100 000;
9. Zapiši u znanstvenom obliku: a) 3675;
b) 34 762 000;
d) 11 001 552;
km;
d) U atmosferi se u obliku pare nalazi oko
c) 459 000 000;
e) 7 860 000 000. c) 433 876 112;
e) 1 123 231 451 267.
10. Izračunaj:
a) 2.6 • 106 + 1.1 • 103;
e) U 70 godina života ljudsko srce zakuca
b) 7.88 • 103 + 4.13 • 106;
2.575 • 109 puta i potisne 1.8 • 108 litara krvi.
c) 3.685 • 105 + 4.122 • 104;
6. Zapiši u znanstvenom obliku:
d) 5.76 • 104 + 53.1256 • 108;
e) 1.11116 • 105 + 1.15678 • 103.
1.4 •
1017
litara vode;
a) 20 000;
b) 500;
c) 90;
d) 70 000 000;
e) 3000 000 000 000 000.
11. Ukupna masa Zemlje je 5.97 • 1024 kg. Masa
7. Ove rečenice prepiši tako da brojku zapišeš u
Sunca je 1.99 • 1030 kg, masa Jupitera je 1.89 • 1027 kg, masa Marsa je 6.4 • 1023 kg, a
znanstvenom obliku: a) Polumjer Zemlje na ekvatoru iznosi 6 377 397 m;
masa Urana 8.72 • 1025 kg.
b) Volumen Zemlje je
Izračunaj:
1 082 841 322 036 000 000 000 000 litara;
a) Za koliko je masa Sunca veća od mase Zemlje;
c) Zraka svjetlosti za 1 godinu prijeđe
b) Za koliko je masa Marsa manja od mase Zemlje;
9 460 800 000 000 km;
c) Za koliko je masa Jupitera veća od mase Zemlje;
d) Sva voda na Zemlji (slana i slatka) procjenjuje se
d) Za koliko je masa Urana veća od mase Zemlje.
na 1 400 000 000 000 000 000 000 litara.
Primjer 4. Potencije s cjelobrojnim negativnim eksponentom Izračunaj i prikaži u decimalnom obliku: a) Jedan mikron ima 10-6 m; b) Zlatni privjesak je težak 3.2 • 10-4 kg; c) Masa atoma vodika je 1.67 • 10-24 g.
Rješenje: a) Mikron je kraći naziv za jedinicu mikrometar, oznaka μm. 10-6 =
1 6
10
=
Zaključujemo da je ćemo
vezu
= 0.000001. Jedan između
zadanog
eksponenta i decimalnog broja: u eksponentu je broj –6, a zadani decimalni broj ima 6 decimalnih mjesta.
54
decimalnu točku od 3.2 trebati pomaknuti za 4 mjesta ulijevo. 3.2 • 10-4 kg = 0.00032 kg. Evo i detaljnijeg objašnjenja: 3.2 • 10-4 = 3.2 ⋅
1 4
10
= 3.2 ⋅
1 3.2 = = 10 000 10 000
3.2 : 10 000 = 0.00032 c) Masa atoma vodika je 1.67 • 10-24 g. 24 mjesta ulijevo:
mikron ima 0.000001 m. Primijetit
eksponentu je broj –4, što znači da ćemo
Pomaknimo decimalnu točku iz broja 1.67 za
1 = 0.000001 1 000 000
10-6
b) Zlatni privjesak je težak 3.2 • 10-4 kg. U
1.67 • 10-24 g = 0.00000000000000000000000167 g.
Kvadriranje
Kako znam idem li za 24 mj esta ulij evo ili udesno?
Razmisli! Ako trebaš dobiti manji broj, ideš ulij evo. Ako trebaš dobiti veæi broj, ideš udesno!
Primjer 3. Potencije s negativnim eksponentom Zapiši u znanstvenom zapisu: a) 0.001;
b) 0.0845;
c) 0.00000051674.
manji od dobivenog 8.45, zaključujemo da se mora raditi o negativnoj potenciji –2: 0.0845 = 8.45 • 10-2. Evo i detaljnijeg objašnjenja: 0.0845 = 8.45 : 100 =
Rješenje:
8.45 ⋅
1 102
8.45 1 = 8.45 ⋅ = 100 100
= 8.45 ⋅ 10−2
1 1 = 3 a) 0.001 = 1000 10
c) Od broja 0.00000051674 treba dobiti faktor
b) Znamo da se znanstveni oblik sastoji od
između 1 i 10. Opet ispred prve znamenke (koja
faktora koji je između 1 i 10 i potencije broja 10.
je različita od 0) stavljamo decimalnu točku.
Od broja 0.0845 treba dobiti faktor između 1 i
Traženi broj je 5.1674.
10. Opet ispred prve znamenke (koja je različita
Do njega smo došli pomicanjem decimalne
od 0) stavljamo decimalnu točku. Traženi
točke za 7 mjesta.
broj je 8.45. Do njega smo došli pomicanjem decimalne točke za 2 mjesta. Kako je 0.0845
0.00000051674 = 5.1674 • 10-7.
55
1.6. Potencije s bazom 10
Z a d a c i 12. Ove brojeve zapiši u obliku potencija s bazom 10: a)
1 ; 100
b)
1 ; 1000
1 c) ; 1 000 000
c) Procesor u računalu izvrši jednu instrukciju za 0.00000000067 s; d) Svjetlost u vakuumu prijeđe jedan metar za
1 d) ; e) 1. 10
0.0000000033 s; e) Zvuk u zraku prijeđe jedan metar za 0.00303 s.
13. Ove brojeve zapiši u obliku potencija s bazom 10: a) 0.0000001;
20. Zapiši u znanstvenom obliku: a) 0.00678;
b) 0.001;
b) 0.346;
c) 0.00000000001;
c) 0.0105;
d) 1;
d) 0.0000000000899;
e) 0.1.
e) 0.443.
14. Zapiši u obliku decimalnog broja i razlomka: a) 10-6;
b) 100;
c) 10-4;
d) 10-28;
e) 10-16.
21. Zapiši u znanstvenom obliku: a) 0.7774;
15. Koji od ovih zapisa nije znanstveni? Zašto?
b) 0.04000000001;
a) 2 • 10-45;
c) 0.000000000000562316;
c) 0.3 •
100;
b) 899 • 107; d) 1.6 •
1002;
e) 53.
d) 0.1000000078; e) 0.00000562006.
16. Ove rečenice prepiši tako da brojku zapišeš u 22. Izračunaj:
decimalnom obliku: a) Masa protona je 1.673 •
10-24
g;
b) Džepnim računalom teče struja od
a)
5.23 • 10-3 A (ampera); c) Jedna litra sadrži 2.642 •
10-1
galona.
17. Izračunaj: a) 5.2366 • 10-7; b) 3.404 • 10-9; c) 2.15555 • 10-4;
b) c) d)
d) 5.3511 • 10-10; e) 9.99 •
10-1.
18. Zapiši u znanstvenom obliku: a) 0.0002; b) 0.5;
e)
a) b)
e) 0.0000000000005. 19. Ove rečenice prepiši tako da brojku zapišeš u
c)
znanstvenom obliku: a) Mrav je prešao put od 0.045 m;
d)
b) Debljina lista papira je 0.00021 m; e)
56
1012
;
105 ⋅ 10−3 102
;
10 ⋅ 102 ⋅ 10 107 109 ⋅ 103 104 ⋅ 10
;
;
10 ⋅ 108 ⋅ 10−6 102 ⋅ 10−9
.
23. Izračunaj i zapiši u znanstvenom obliku:
c) 4; d) 0.00000000008;
103 ⋅ 108
5 ⋅ 102 ⋅ 7 ⋅ 103 ; 10 105 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ 2 106
;
6 ⋅ 1012 ⋅ 8 ⋅ 103 2 ⋅ 104
;
25 ⋅ 106 ⋅ 7 ⋅ 106 ⋅ 4 3 ⋅ 106
;
4 ⋅ 108 ⋅ 3 ⋅ 103 3 ⋅ 102 ⋅ . 10 104
Kvadriranje
Vježb lica a
1. Zapiši u obliku potencije broja 10:
10. Ove brojeve zapiši u obliku potencija s bazom 10: 1 1 1 a) 1000 ; b) 10 ; c) ; 1 000 000 000
1
d) 10 000 ; e) 100.
a) 1 000; b) 10 000; c) 100 000 000;
11. Ove brojeve zapiši u obliku potencija s bazom 10:
d) 100 000; e) 10 000 000 000.
a) 0.00001; b) 0.00000000001; c) 100 000 ;
d) 0.0000001; e) 0.1.
2. Koji broj predstavlja potencija:
a) 108; b) 103; c) 107; d) 100; e) 1011.
12. Zapiši u obliku decimalnog broja i razlomka:
3. Izračunaj:
a) 10-5; b) 10–3; c) 10–6; d) 10–8; e) 10-10.
a) 4 • 106; b) 2 • 108; c) 1 • 101;
13. Koji od ovih zapisa nije znanstveni? Zašto?
d) 3 • 105; e) 8 • 103.
a) 12 • 10-4;
b) 8.99 • 10–3;
4. Zapiši u znanstvenom obliku:
c) 7.3 • 100;
d) 11.6 • 1002; e) 4.
a) 700 000; b) 800; c) 30 000;
14. Izračunaj:
d) 6 000 000; e) 8000 000 000 000 000.
a) 4.22 • 10-6; b) 2.99 • 10-4; c) 4.34 • 10-8;
5. Zapiši u znanstvenom obliku:
d) 0.006 • 10-3; e) 2 • 10-4.
a) 4300; b) 564 000; c) 123 000 000;
15. Zapiši u znanstvenom obliku:
d) 10 770 000; e) 7 550 000 000.
a) 0.0000023;
6. Zapiši u znanstvenom obliku:
d) 0.0000000000118; e) 0.00000000004005.
a) 2564; b) 11 650 000; c) 5 454 102;
16. Zapiši u znanstvenom obliku:
d) 15 770 000; e) 347 445 211.
a) 0.00345; b) 0.265; c) 2.085;
d) 0.0000000050055; e) 0.1203.
7. Izračunaj:
b) 0.7;
c) 60;
a) 1.5 • 105 + 2 • 103;
17. Zapiši u znanstvenom obliku:
b) 4.8 • 104 + 5.1 • 105;
a) 0.09; b) 4010000000; c) 0.00000000000056;
c) 2.11 • 104 + 4.3 • 103;
d) 1550000000; e) 5.2060.
d) 8.7 • 105 + 59.44 • 103;
18. Izračunaj:
e) 4.65 •
107
+ 1.2 •
103.
a)
d)
8. Izračunaj:
a) 1.8 • 107 + 0.5 • 102; b) 2.67 •
107
103
+ 0.4 •
105;
+ 5.2 • 107;
c) 2.8 •
d) 6.2 • 105 + 55.3 • 107;
e) 11.7 •
107
+ 1.17 •
b) 23.11 •
103
+ 24.1 •
105;
c) 6.2 •
d) 4.66 • 107 + 5.3 • 103;
e) 1 • 108 + 2 • 103.
10−4 ⋅ 10
;e
10−6 ⋅ 109 ⋅ 10
; c)
1025
1012 ⋅ 108 ⋅ 10−9 102 ⋅ 10−4
1017
;
.
7 ⋅ 102 ⋅ 6 ⋅ 103
10−5 ⋅ 105 ⋅ 25 ⋅ 4
a)
c)
e)
7 ⋅ 108 ⋅ 3 ⋅ 103 3 ⋅ 10−5 12 ⋅ 101 ⋅ 7 ⋅ 103 ⋅ ; f) ; 14 ⋅ 10 10−7 4 ⋅ 10−8
g)
8 ⋅ 10−8 ⋅ 9 ⋅ 105 6 ⋅ 10−7 ⋅ . 10−7 100
+ 4.2 • 107;
109 ⋅ 100
10−5 ⋅ 10−9
a) 22.7 • 105 + 1.13 • 105; 104
1016
; b)
19. Izračunaj i zapiši u znanstvenom obliku:
105.
9. Izračunaj:
10−3 ⋅ 107
10−6
; b)
125 ⋅ 1019 ⋅ 8 ⋅ 103 4 ⋅ 10−4
; d)
108
;
2 ⋅ 107 ⋅ 6 ⋅ 10−6 ⋅ 4 3 ⋅ 10−4
;
57
1.8. Ponavljanje
1.8. Ponavljanje Pitanja za ponavljanje: 1. Što znači kvadrirati neki broj?
7. Nacrtaj graf funkcije f(x) = x 2.
2. Kakvi su kvadrati suprotnih brojeva? Navedi
8. Kako se zove graf kvadratne funkcije? Kako
primjer.
2
3
se zove graf linearne funkcije? 3
2
? Napamet 3. Koja je razlika između i 8 8 izračunaj oba kvadriranja.
9. Kako glasi formula za kvadrat zbroja?
4. Koja je razlika između (–6)2 i –62? Napamet
11. Kako glasi formula za razliku kvadrata?
10. Kako glasi formula za kvadrat razlike? 12. Što je potencija broja a? Na primjeru pokaži
izračunaj oba kvadriranja.
nazive dijelova potencije.
5. Navedi neke kvadratne mjerne jedinice. 6. Je li kvadrat nekog broja uvijek pozitivan
13. Navedi neke kubne mjerne jedinice.
broj? Objasni svoj odgovor.
Z a d a c i 1. Izračunaj:
2
z a
2 5
a) 92; b) ; c) (–3.8)2; d) 0.0132; e) −3
p o n a v l j a n j e : 2
1 . 13
2. Procijeni između koja se dva kvadrata nalaze brojevi: a) 722;
b) (–36)2; b) 0.62;
c) 0.0092.
4. Procijeni pa izračunaj površinu kvadrata sa stranicom duljine 7.86 cm. 5. Izračunaj površinu kruga (točno i približno) kojem je polumjer jednak 2.6 dm.
a) −1+ 2a + ( −6 + a ) ;
b) 7xy − 5y − ( xy + 3y ) + (−11y + 6yx ) ;
2 2 2 2 2 2 c) x − 2y − 4 + −y + 6x − 3x + x − 1.
{
(
)
11. Pojednostavi:
a) y • 2x • x;
b) p • (–6f ) • 3p;
c) 0.3 • (–1.2x) • yx • (–5a).
12. Oslobodi se zagrade:
a) y • (–1 + 4a + 3y);
a) f (x ) = 2x – 6;
b) –2a • (–6a + 5 – 3x 2).
b) f (x ) = x 2.
13. Pomnoži pa pojednostavi:
Kako se zovu te funkcije? Kako se zovu njihovi grafovi?
a) (y + 5) • (2 + y);
b) (–6x + 4y)( 3y – 2x).
6. Nacrtaj graf funkcije:
7. U izraz 3x 2 – 2x – 1 uvrsti sljedeće vrijednosti: a) 2;
b) –1;
c) 0.3.
8. Pojednostavi: a) –3a + 5 + 9a – 10 + 3a;
58
c) 8.642.
3. Napamet izračunaj: a) 0.032;
10. Pojednostavi:
14. Pomnoži pa pojednostavi:
a) (7x – 2)(1 + y) + (2 – x)(2y + 1);
b (3y –x)(–5x –y) – (4y – 2x)(–2x + 3y).
b) 6ab –a 2b + 3a 2b.
15. Kvadriraj:
9. Pojednostavi:
a) –4x + (x – 3y – 7x);
b) 9x – (2x – y + 6x + 4y).
a) (3x 2);
2
−1 ; ax
b)
2
2x . 3ay
c)
}
Kvadriranje 24. Izračunaj:
16. Zapiši u obliku kvadrata:
a)
a
2
2
; b2
b)
2
2 3
a) ⋅
2
b)
18. Izračunaj:
a) (x + y)2;
2
12 15 : . 7 4
15 ; 8
b) (2x – y)2;
a) 1034 : 107;
c) 103 • 109;
a) 16x 2 – 25y 2;
a) 1041 : 1021;
c) (8m – 3y)2.
a) (e + d)(e – d);
b) (0.5x + 0.6y)(0.5x – 0.6y). 1
a)
1 b) ; 29
e) 10101 : 1011:107;
f) 1025 • 105 • 108.
•
a) x 2 (–2x + 5x 2 + 1);
b) – 5a 7 y 3 (2 ay 2 – 7 y 2 ).
28. Zapiši u znanstvenom obliku:
21. Izračunaj potencije: 45;
d) 104 • 102 : 105 ;
:
102
b) 1010 • 1021;
1010;
c)
105
27. Oslobodi se zagrada:
b) 100b 2 – 64.
20.Zapiši u obliku razlike kvadrata:
b) 1055 • 1061;
26. Zapiši u obliku potencije:
19. Zapiši u obliku umnoška:
b) 7 • 42 – 23 • 2.
25. Zapiši u obliku potencije:
17. Izračunaj:
a) 25 + 53;
9x . 16
c)
0.343.
22. Zapiši u obliku potencije:
a) 564;
b) 32 962 000;
c) 7 805 663 451 267.
a) 9 • 9 • 9 • 9 • 9 • 9;
29. Zapiši u znanstvenom obliku:
b) y • y • y • y • y;
a) 0.0704;
c) (2a + 1)(2a + 1)(2a + 1).
b) 0.00000000011;
c) 0.000000000000698.
23. Prabaka ima troje djece, svako njezino dijete ima po troje djece, i svako od te djece ima po troje djece. Koliko ukupno prabaka ima potomaka?
P r i m j e r a k 1. Izračunaj:
2. Izračunaj:
32 8 a) : ; 25 100
6 52 b) ⋅ . 2 5 2
−5xy a) (10a)2; b) . 9abc 4. Pojednostavi:
a) –2a + (3a – 2b + a);
b) 6x + 3 + 2x − ( x + 7 − 5y ) .
a) 7 • (2 +
–
t e s t a :
a) (x + 8)2;
b) (3x – y)2;
c) (
2 3 2 3 m – n)( m + n). 5 5 5 5
49a 2 – 16b 2.
b) 6x(y – 2x + 10) – 2(4xy –
c) (8a + 3b) • (2b – 5a).
a) 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4;
b) t • t • t • t;
c) (a + 3)(a + 3).
a) 0.001;
b)
1 100 000
;
c) 10 000 000.
10. Zapiši u znanstvenom obliku:
3x 6);
9. Zapiši u obliku potencije:
5. Pomnoži pa pojednostavi: y2
c) 2.15 • 108.
8. Zapiši u obliku potencije:
2
3. Kvadriraj:
2
o g l e d n o g
b) 4.54 • 10-6;
7. Zapiši u obliku umnoška:
2
a) 1.2786 • 103;
6. Izračunaj:
2
6 a) 42; b) ; c) (–5.2)2; 7 2 5 2 d) 0.71 ; e) −4 . 12 2
30. Izračunaj:
3y 2);
a) 3688;
b) 0.00452;
c) 3 540 000 000 000.
59
2. Korjenovanje i realni brojevi Važni pojmovi kvadratni korijen korjenovanje funkcija korjenovanja
U prošlom smo poglavlju naučili da kvadrirati znači pomnožiti neki broj sa samim sobom. U poglavlju koje je pred nama bavit ćemo se obrnutim postupkom: tražit ćemo broj koji kvadriran daje zadani broj. Primjerice,
konačan decimalni broj
tražit ćemo duljinu stranice kvadrata ako je zadana površina toga kvadrata.
beskonačan periodički
Kažemo da ćemo tražiti korijen nekog broja.
decimalni broj
beskonačan neperiodički
Stari Indijci korijen su nazivali mula, što znači osnova, strana (jer se iz
decimalni broj
površine kvadrata dobivala stranica), ali i korijen drveta. Arapi su tu indijsku
iracionalni broj realan broj skup realnih brojeva R
riječ preveli riječju džizir, što znači korijen drveta. Europski matematičari to su izravno preveli latinskim radix. Izraz “vađenje drugoga korijena nekog
djelomično korjenovanje
broja” interpretirao se dobivanjem stranice kvadrata iz površine kvadrata.
racionalizacija nazivnika
Hrvatski naziv korijen u matematiku ulazi kao prijevod latinske riječi radix.
kvadratna jednadžba
Mula!
Džizir!
U ovom ćeš poglavlju, primjerice, naučiti: - Što je to korijen broja; - Kako korjenujemo brojeve; - Je li graf funkcije korjenovanja baš parabola; - Kakvi su to iracionalni brojevi; - Od kojih se brojeva sastoji skup realnih brojeva; - Što to znači djelomično korjenovati neki broj; - Što znači racionalizirati nazivnik nekog razlomka; - Koliko rješenja može imati kvadratna funkcija.
60
Radix!
Korij en!
Korjenovanje i realni brojevi Kratki zadaci za ponavljanje: 1. Ako je površina kvadrata 25 cm2, kolika je duljina njegove stranice? 2. Ako je površina kvadrata 16 cm2, kolika je duljina njegove stranice? 3. Ako je površina kvadrata 100 cm2, kolika je duljina njegove stranice? 4. Ako je površina kvadrata 0.16 m2, kolika je
duljina njegove stranice?
5. Kakvi su kvadrati suprotnih brojeva? Navedi primjer. 6. Kako se zove graf kvadratne funkcije? Kako se zove graf linearne funkcije? 7. Kako glasi formula za kvadrat zbroja? 8. Kako glasi formula za kvadrat razlike? 9. Kako glasi formula za razliku kvadrata?
2.1. Korjenovanje Dva kvadrata a) Površina kvadrata iznosi 16 cm2. Nacrtaj taj kvadrat. b) Površina kvadrata iznosi 0.01 cm2. Nacrtaj taj kvadrat. Ako je zadana površina kvadrata 900 cm2, pitamo se kolika je duljina stranice a toga kvadrata. Prema formuli za površinu kvadrata P = a • a traži se broj koji pomnožen sam sa sobom daje 900. Dakle kvadrat nepoznatog broja je 900. U
kvadratni korijen ili drugi korijen
tom slučaju kažemo da tražimo kvadratni korijen od 900. a2 = 900 a = 30 cm
Traži se broj a takav da je a2 = 900.
korjenovanje
Postupak traženja broja kojemu je zadan njegov kvadrat naziva se korjenovanjem. Tako je 25 = 5 jer je 52 = 25.
Matematièki se to lj epše kaže: traži se korij en broj a 900.
61
2.1. Korjenovanje
Kvadratni korijen pozitivnog broja b je pozitivni broj a čiji je kvadrat jednak b. Zapisujemo: b i čitamo: “kvadratni korijen iz b” ili “drugi korijen iz b” ili jednostavno
b
“korijen iz b”. a2 = b a= b
Stoga je
( b)
2
=b
Primjer 1. Veza kvadriranja i korjenovanja Iz ovih kvadriranja izvedi korjenovanja: a) 62 = 36;
Odakle tako èudna oznaka ?
b) 102 = 100;
.
Oznaka za korij en razvila se iz slova r, koj e j e poèetno slovo rij eèi radix, što j e latinski naziv za korij en.
c) 0.82 = 0.64; d) 02 = 0.
Rješenje: a) 36 = 6 jer je 62 = 36; b)
100 = 10 jer je 102 = 100;
c)
0.64 = 0.8 jer je 0.82 = 0.64;
d)
0 = 0 jer je 02 = 0. Rekli
smo da je kvadratni korijen uvijek pozitivan broj. No možemo uvesti i korjenovanje nule:
0= 0
Kažeš,
81 = 9. Ali zašto nij e 81 = –9? Pa i (–9)2 = 81!
èitaj što ti gore piše! Kvadratni korij en broj a definira se kao pozitivan broj.
Primjer 2. Kvadratni korijen Izračunaj: a)
81 ;
b)
0.04 ;
d)
1 ; 49
e) 2
c)
1.44 ;
7 . 9
Rješenje: a) Tražimo broj koji na kvadrat daje 81. To je broj 9 i pišemo
81 = 9.
b)
0.04 = 0.2;
d)
1 = 1; 49 7
c)
1.44 = 1.2;
e) Mješoviti broj prvo pretvorimo u razlomak, a zatim ga korjenujemo.
62
2
7 = 9
25 5 = . 9 3
Korjenovanje i realni brojevi Primjer 3. Broj decimala kod korjenovanja Prvo napamet izreci koliko će decimala imati rezultati, a zatim izračunaj: a)
0.09 ;
b)
0.000049 .
Rješenje: Prisjetimo se da je kvadrat decimalnog broja imao dvostruko više decimala od zadanog broja koji smo kvadrirali. a) Kako 0.09 ima dvije decimale, onda će
0.09
imati dvostruko manje decimala, tj. jednu. Zaista,
0.09 = 0.3.
b) Broj 0.000049 ima šest decimala pa će 0.000049 imati dvostruko manje decimala,
tj. tri. Zaista,
heej! u ovom primj eru mudro ste zadali samo broj eve s parnim broj em decimala. A što ako broj ima neparan broj decimala?
Primjer 4. Pripazi na pisanje korijena! U svakom zadatku prikazana su po dva korjenovanja. U čemu je njihova sličnost, a u čemu razlika? a)
25 25 i ; 64 64
b) 0.000036 i 0.000036 .
Rješenje: a) Pri pisanju korijena razlomka važno je povući korijen skroz “dolje” do nazivnika. To znači da želimo korjenovati cijeli razlomak:
0.000049 = 0.007
To æeš nauèiti u slj edeæem poglavlj u. Sad uživaj dok možeš...
25 5 jer je 5 = 64 8 8
2
=
25 . 64
Ali ako napišemo korijen samo u brojniku, to znači da želimo korjenovati samo brojnik: 25 5 . = 64 64
Zato pripazimo na pravilno pisanje korijena u zadacima. b) Također, ako želimo korjenovati broj s mnogo znamenaka ili decimala, korijen treba provući preko cijelog broja. To znači da zapis
0.000036 nije dobar, pravilno je:
0.000036 = 0.006 .
63
2.1. Korjenovanje
Z a d a c i 1. Prepiši u bilježnicu pa dopuni: 102
8. Kolika je duljina stranice kvadrata ako je njegova površina:
= 100;
a)
100 = 10 jer je
b)
225 = 15 jer je ____________;
c)
0.01= 0.1 jer je ____________;
d)
0.0169 = 0.13 jer je ____________.
a) 0.49 m2; b) 3600 cm2; c) 169 mm2; d) 0.000144 dm2; e) 90 000 m2.
2. Prepiši u bilježnicu pa dopuni: a)
49 = 7 jer je 72 = 49;
b)
400 = 20 jer je ____________;
c)
= 1 jer je ____________;
9. Korjenuj zadane brojeve. Pripazi na pravilno pisanje znaka korijena:
d) ____________ jer je 0.042 = _____; e) ____________ jer je
1.32
f) ____________ jer je
_____2
d) 2
= _____;
nedostaje:
64 ; b)
100 ; c)
1; d)
4 ; e)
16 .
4. Izračunaj: a)
400 ;
b)
10 000 ;
c)
900 ;
d)
360 000;
e)
4900 .
e)
144 ; b) 121.
a)
1 = 9;
d)
500 = 50 ;
361; d)
169 ; c)
a)
25 + 64 ;
b)
64 +
1 ; 16
c)
4 – 25
1 ; 100
d)
25 + 36
81 – 64
225 ;
6. Procijeni koliko će znamenaka imati rezultat korjenovanja pa izračunaj: a)
0.16 ;
b)
0.0009 ;
c)
4.41;
d)
0.0000000064;
e)
0.000144.
e) –
12. a)
7. Izračunaj: a) d)
64
25 ; 4
b)
1 ; 4
e)
2
b)
1 1 = 11;
c)
= 7;
4
e) 1. 9 = 1.3 .
11. Izračunaj:
5. Izračunaj: a)
46 ; e) 0.0000000196. 49
10. Prepiši u bilježnicu pa umetni znamenku koja
= 25.
3. Izračunaj: a)
100 ; c) 25 000 000; 9
a) 0.0001; b)
1 ; 16 7 1 . 9
c)
49 ; 81
1 + 49 81 • 49
1 ; 16
9 – 49
1 16 + 9 900
8100 . 25
;
b)
25 36 625 − • ; 100 25 64
c)
0.25 + 7
9 1.21 + 100 400 ; 1.44 1.96 0.01 1.69 1 − + : e) 9 36 9 0 25 . 1 16 d)
5
9 49 : ; 49 0.01
:
.
Korjenovanje i realni brojevi Primjer 5. Kvadrat i korijen
Tako i bez računanja možemo izračunati
Koja je razlika između ova dva zadatka?
da je
( 5)
2
; b)
52 ; c)
korijena.
( −5)2 .
= 5. Nije
teško
izračunati
da
je
2
2
5 = 25 = 5 . Stoga je 5 = 5 . Ovo će
Rješenje:
svojstvo vrijediti za bilo koji pozitivni
a) Naučili smo da
je kvadratni korijen
pozitivnog broja b pozitivni broj a čiji je kvadrat jednak b. Dakle a2 = b, pa je a=
2
b) U ovom slučaju kvadrat se nalazi ispod
Izračunaj ih: a)
( 5)
b . To možemo pisati kao
Ako je b pozitivan broj, tada je
( b)
=b .
( b)
=b
2
2
broj. Stoga zapisujemo pravilo pozitivan broj b. =5 Ako je b pozitivan broj, tada je c)
Primjer 6. Negativni brojevi i korjenovanje
b 2 = b za
( −5)2 =
b2 = b
25 = 5. Primijetimo da je rezultat
pozitivan broj iako je pod korijenom bio zadan -5.
Ne postoji kvadratni korijen negativnog broja u skupu racionalnih brojeva.
Prepiši u bilježnicu i u kvadratić stavi broj koji nedostaje: a)
−9 =
; b)
−100 =
.
Rješenje: a) Tražimo broj koji kvadriran daje –9. No sjetimo se da kvadrat bilo kojeg broja može biti samo pozitivan broj, 32 = 9 i (–3)2 = 9.
Pa to j e super! Uopæe se ne moram zamarati negativnim broj evima! Ispod korij ena može doæi samo pozitivan broj! èekaj da doðeš u srednj u školu...
Zaključujemo da ne postoji racionalan broj čiji kvadrat daje –9. b) Iz istog razloga kao u a) zadatak
−100 =
pfuu
nema
rješenje u skupu racionalnih brojeva.
65
2.1. Korjenovanje
Z a d a c i 13. Bez korjenovanja i kvadriranja izračunaj:
( 9 ) ; b) ( 49 ) ; c) ( 19 ) ; 2 2 d) ( 8933 ) ; e) ( 59 611) . 2
a)
2
a)
32 ; b)
d)
60.562 ; e)
2.332 ;
112 ; c)
15. Bez korjenovanja i kvadriranja izračunaj:
a) d)
(
)
(
0.25 ; b) 2;
0.90001
e)
)
5112 ;
4.9 ; c)
(
)
a) 32 i c)
7 13
2
.
a)
36 ; b)
d)
5 ; e)
4;
-25 ; c) -64 .
-25 i – 25 .
20. Koji rezultati korjenovanja nisu racionalni
( −3)2 ;
2.562 i
; e)
−
82 ;
c)
19. Objasni koja je razlika između:
2
87.551 .
16. Izračunaj:
( −5.5)
( −1)2 ;
18. Koji rezultati korjenovanja nisu racionalni
2
2
b)
brojevi:
89112 .
2
( −5)2 ;
a) d)
14. Bez korjenovanja i kvadriranja izračunaj:
17. Napamet izračunaj:
2
b)
( −2.56)2 ; d)
( −7)2 i
0.012 i
brojevi:
72 ;
( −0.01)2
Vježb lica
a)
100 ; b) - 1.44 ; c)
d)
-1; e) - -16 .
-0.0144 ;
a
1. Prepiši pa dopuni:
jer je _________; 121 = jer je _________; b) 289 = jer je _________; c) 0.04 = jer je _________. d) 0.0144 = 2. Prepiši pa dopuni: a) 17.64 = jer je _________; b) 6.76 = jer je _________; = 2.3 jer je _________; c) d) _________ jer je 0.82 = ____; e) _________ jer je 1.62 = ____; f) _________ jer je ___2 = 11.56. 3. Izračunaj: a) 81; b) 2116 ; c) 1.44 ; d) 0.09 ; e) 1369 . 4. Izračunaj: a) 1600 ; b) 9.61 ; c) 441 ; d) 810 000 ; e) 0.64 . 5. Izračunaj: a) 3.24 ; b) 96.04 ; c) 20.25 ;
a)
d)
676 ; e)
5625 .
6. Izračunaj:
66
a)
25 ; b) 16
1 ; c) 25
169 ; 121
6
d)
19 ; e) 25
3
6 . 25
7. Izračunaj:
36 + 1.44 ; b)
0.81 +
a)
11 c) 38 25 – 39.69 ; d)
e) –
64 49
8. a)
9 – 25
4 21 + 25
1 ⋅ + 16
14 + 4 – 0.81; 25
529 100 .
49 ; 64
19 1 25 ; ⋅ 25 25 144
b) 6
1.69 c) + 4
d)
e)
2
69 1 ; 100
49 : 68.89 ; 16
: 11.56 + 4.41 9
2.25 36
81 49
9 ; 25
2916 1 ⋅ + . 841 3364
Korjenovanje i realni brojevi
2.2. Približno računanje korijena Odgovori na Lukina pitanja:
a Površina ovog kvadrata j e 26 cm2. Kolika mu j e stranica?
Površina ovog kvadrata j e 25 cm2. Kolika mu j e stranica?
HMM...
To j e bar lako... To smo uèili u prošlom poglavlj u.
Moguæe j e, moguæe...
Kako 26 cm2? Pa to j e nemoguæe!
U prošlom su poglavlju svi zadaci bili postavljeni tako da je broj koji treba korjenovati zapravo kvadrat nekog racionalnog broja. Primjerice, trebalo je izračunati
36 ,
25 itd. To je lako i napamet izračunati jer je 81
0.09 , 2
25 5 = . No, što ako je, kao u uvodnom primjeru, zadana 81 9 površina kvadrata 26 cm2? Kolika je tada duljina njegove stranice? Tražimo broj koji kvadriranjem daje 26. Jasno je da to nije prirodan broj. Poslužimo se džepnim računalom pri traženju korijena broja 26. Na nekim računalima je dovoljno utipkati 26 i pritisnuti tipku za korijen. Slijedi postupak za složenija džepna računala. 36 = 62, 0.09 = 0.32 i
približno računanje korijena
Korjenovanje na džepnom računalu: 1. Pritisnite tipku 2nd pa zatim 2. Pritisnite tipku
x2 . Na zaslonu će se pokazati simbol za drugi
korijen i otvorena zagrada 3. Unesite broj 4. Pritisnite tipku za zatvorenu zagradu 5. Pritisnite tipku
ENTER
=
.
)
Pokazan je primjer računanja korijena na jednom modelu džepnog računala. Na drugačijem modelu postupak može različit od navedenog.
67
2.2. Približno računanje korijena Ovisno o veličini zaslona džepnog računala rezultat će biti ispisan na više ili manje decimala: 26 = 5.0990195135927848300282241090228... Kada bismo imali računalo s još većim zaslonom, vidjeli bismo da dobiveni broj ima još decimala te da je ovo samo približna vrijednost izražena 31 decimalom. Korijen
26 ne možemo točno zapisati u decimalnom obliku jer
on ima beskonačno mnogo decimala. Stoga se služimo njegovim približnim vrijednostima ili aproksimacijama. Evo primjera: 26 ≈ 5.09901951 je broj zaokružen na 8 decimala; 26 ≈ 5.0990195136 je broj zaokružen na 10 decimala; 26 ≈ 5.1 je broj zaokružen na jednu decimalu. Kada bismo ove približne vrijednosti kvadrirali, dobili bismo broj koji je “blizu” 26, ali ne i točno 26. Primjerice, 5.099019512 = 25.99999996 .
Primjer 1. Približno računanje korijena
broj koji zaokružen na 8 decimala iznosi 0.004 ≈ 0.06324555 .
Pomoću džepnog računala izračunaj i zapiši: a) b)
39 na 3 decimale;
1. Izračunajte ili upišite neki broj
0.004 na 8 decimala.
2. Pritisnite tipku 2nd
Rješenje:
FIX
3. Pritisnite tipku
a) Rezultat korjenovanja na džepnom računalu valja zaokružiti na 3 decimale. Ne zaboravimo na pravilo povećavanja posljednje znamenke za 1 ako je sljedeća znamenka 5, 6, 7, 8 ili 9. To je upravo slučaj u ovom zadatku. Budući da približna vrijednost iznosi 6.2449, treću decimalu 4 povećavamo za 1. Stoga je 39 ≈ 6.245. b) Na prvi pogled može nam se učiniti da je
•
4. Pomaknite pokazivač strelicom udesno da biste zadali broj decimala 5. Pritisnite tipku
ENTER
=
sve dok ga ne isključite. Da je zadan broj decimala, prepoznaje se po tome što na dnu zaslona piše FIX. Da biste ga isključili:
0.22 = 0.04. Rezultat korjenovanja
1. Pritisnite 2nd
0.004
broj decimala kvadriranjem se udvostručuje. Zbog toga su svi kvadrati decimalnih brojeva
FIX
3. Pritisnite tipku
•
4. Pomaknite pokazivač strelicom ulijevo
imali paran broj decimala. U ovom je zadatku
na slovo F
zadan korijen broja s neparnim brojem
5. Pritisnite tipku
decimala. Rezultat je beskonačan decimalni
.
Zadani broj decimala ostaje uključen
rješenje zadatka 0.2, no sjetimo se da nije ni 0.02 jer 0.022 = 0.0004. Prisjetimo se,
68
Zaokruživanje na džepnom računalu:
ENTER
=
.
Korjenovanje i realni brojevi
Z a d a c i 1. Pomoću džepnog računala uvjeri se da vrijedi:
6. Bez korjenovanja odredi koji se rezultati mogu
a) 3 ≈ 1.73205081; b) 5 ≈ 2.23606798;
odrediti točno u decimalnom obliku:
c) 32 ≈ 5.657; d) 101 ≈ 10.0498756;
a)
e) 472 ≈ 21.73.
9 ; b) 10 ; c) 15 ; d) 16 ; e) 101.
7. Bez korjenovanja odredi koja korjenovanja možeš
2. Pomoću džepnog računala uvjeri se da vrijedi: a) 8.65 ≈ 2.9 ; b) 0.008 ≈ 0.0894427; c) 1.1 ≈ 1.04881; d) 6.4 ≈ 2.52982; e) 3.14 ≈ 1.77200451.
odrediti točno u decimalnom obliku: a)
0.09 ; b)
0.9 ; c)
d)
0.0009 ; e)
0.009 ;
0.00009.
8. Bez korjenovanja odredi koji rezultati se mogu
3. U svakom je zadatku jedna znamenka netočna. Uz
odrediti samo približno u decimalnom obliku:
pomoć džepnog računala pronađi je i ispravi!
a)
2.5 ; b)
a) 90 ≈ 9.5868; b) 58 ≈ 7.696;
d)
704.9025 ; e) 1000 .
0.0081; c)
600 ;
c) 7200 ≈ 85.85281374; d) 0.61 ≈ 7.81024963;
Evo što se dogaða kada j e broj decimala neparan!
e) 300 ≈ 17.920508. 4. Pomoću džepnog računala izračunaj i zapiši:
7 na 5 decimala;
a)
999 na 3 decimale; b)
c)
150 na cijelo; d) 3.6 na jednu decimalu;
e)
7.1 na 7 decimala.
5. Pomoću džepnog računala izračunaj i zapiši: a)
501 na dvije decimale; b) 2.5 na 5 decimala;
c)
0.000049 na 8 decimala;
d) 97.79 na jednu decimalu; e)
106.449 na 7 decimala.
Primjer 2. Procjena Bez računanja odredi između koja se dva cijela 10 ; b)
b) Kod procjene decimalnih brojeva dovoljno je gledati samo cijeli dio broja. Tražimo kvadrate
broja nalazi broj: a)
Zaista, broj 3.16 se nalazi između 3 i 4.
39.88 ; c) – 0.0059 .
prirodnih brojeva koji su najbliži broju 39. To su 36 i 49 pa se broj
Rješenje:
6 i 7. Zaista, 39.88 ≈ 6.31506136 .
a) Tražimo kvadrate prirodnih brojeva koji su najbliži broju 10. To su kvadrati 9 i 16. To znači da se broj
39.88 nalazi između
10 nalazi između brojeva
9 i 16 . Drugim riječima, 10 se nalazi između brojeva 3 i 4. Provjerom na džepnom
c) Opet ispod
gledamo korijena,
cijeli a
dio to
broja je
0.
Broj
0.0059 se nalazi između 0 i 1. Zaista, 0.0059 ≈ 0.07681146 . To znači da se broj
– 0.0059 nalazi između –1 i 0.
računalu dobivamo da je 10 ≈ 3.16227766 .
69
2.2. Približno računanje korijena Primjer 3. Korjenovanje u geometriji
Tražimo broj koji kvadriran daje 17. Traženi polumjer je r =
Koliki je polumjer kruga ako je njegova površina:
17 m, što je približno 4.12
m. Pišemo r ≈ 4.12 m. b) Zadano je r2π = 45.77. U ovom slučaju nemamo posebno istaknut broj π kao faktor
a) 17π m2; b) 45.77 cm2.
u površini. r2 • π = 45.77
Rješenje: u ovom zadatku zadana površina, računamo:
r2 = 45.77 : π 45.77 r= . Ovo je točna vrijednost ∏
r2π = 17π.
polumjera kruga. Za praktičnu uporabu
a) Formula za površinu kruga je P = r2π. Kako je
Dijeljenjem cijele jednadžbe sa π dobivamo
računamo
da je r2π = 17π
π ≈ 3.14 pa dobivamo:
/: π
r2 = 17
s
približnom
vrijednošću
r ≈ 14.58 ≈ 3.82 cm.
Z a d a c i 9. Procijeni između koja se dva broja nalazi: a)
70 ;
b)
49.88 ;
d)
44 ;
e)
5.723.
c)
0.8 ;
10. Procijeni između koja se dva broja nalazi: 35.99 ; b) - 36.00001; c) - 0.97 ; d) 10000 ; e) - 57 .
a)
11. Kolika je duljina stranice kvadrata ako je njegova
a) 70 m2; d) 0.256
Pa samo sam pokušao izraèunati -26 ...
dm2;
e) 45
a) 8π m2;
b) 600π cm2;
c) 169π mm2;
d) 80.6π dm2; e) 1.73π m2. 13. Koliki je polumjer kruga ako je njegova površina: a) 10 m2;
b) 2.5 cm2;
dm2;
c) 7966 mm2;
e) 205.25 m2.
Ti nisi bio na prošlom satu? U prošlom poglavlj u smo nauèili da se iz negativnog broj a ne može izvaditi korij en!
Kids, don’ t try this at home...
70
c) 55 mm2;
m2.
12. Koliki je polumjer kruga ako je njegova površina:
d) 99.45
površina:
b) 3601 cm2;
Korjenovanje i realni brojevi
2.3. Grafovi funkcija kvadriranja i korjenovanja Linearna funkcija Nacrtaj u bilježnicu koordinatni sustav pa u njemu nacrtaj graf funkcije f(x) = 2x - 1
x 2x – 1
4
2
-5
0
1
5
-2
Što je graf linearne funkcije? U uvodnom zadatku, kao i u poglavlju ponavljanja gradiva 7. razreda, ponovili smo linearnu funkciju i kako crtati njezin graf. Vrijednosti linearne funkcije dobivamo po formuli f(x) = ax + b. U uvodnom zadatku, primjerice, ta funkcija glasi f(x) = 2x – 1. To znači da smo brojevima x iz tablice pridruživali brojeve 2x – 1. Krenimo sada korak dalje i proučimo funkcije u kojima se pojavljuje kvadriranje. Svakom racionalnom broju x možemo pridružiti njegov jedinstveni kvadrat x2 (koji se dobije množenjem broja x sa samim sobom). Pridruživanje (preslikavanje, funkcija) koje broju x pridružuje njegov kvadrat nazivamo kvadratnom funkcijom i označavamo je sa f (x) = x 2 . Tako kvadratna funkcija broju 3 pridružuje 9 jer je
kvadratna funkcija
to njegov kvadrat, broju –10 pridružuje broj 100, broju 1.5 pridružuje 2.25 itd. To matematički zapisujemo u obliku: f (3) = 9, f (–10) = 100, f (1.5) = 2.25. Kroz sljedeće primjere naučimo neka zanimljiva svojstva kvadratne funkcije.
71
2.3. Grafovi funkcija kvadriranja i korjenovanja
Aha! Znaèi, kvadratna funkcij a broj u 8 pridružuj e 64!
Funkcij a j e zapravo vrsta pridruživanj a. Nekom broj u pridružuj eš drugi broj.
O ne! Opet funkcij a! Ma što to znaèi „funkcij a“?
A kvadratna funkcija je kada nekom broju pridružiš njegov kvadrat!
Primjer 1. Može li a 2 biti negativan? Možeš li pronaći neki racionalni broj koji nakon kvadriranja daje negativan broj?
Kvadrat racionalnog broja uvijek je pozitivan broj ili nula. a2 ≥ 0
Rješenje: Treba pronaći broj koji pomnožen sam sa sobom daje negativan broj. Kvadriramo li bilo koji pozitivni racionalni broj, dobit ćemo pozitivan broj. Primjerice, 42 = 16. Iz prethodnog primjera vidimo da i kvadrat negativnog broja daje pozitivan broj. Primjerice, (–4)2 = 16. Zaključujemo da ne postoji racionalni broj koji nakon kvadriranja daje negativan broj. Ako kvadriramo bilo koji racionalni broj (različit od nule), njegov će kvadrat biti pozitivan. Ako kvadriramo nulu, dobit ćemo 0, tj. 02 = 0.
72
A
–3 –2 –1 0 1 2 3
B 9 4 1 0
Korjenovanje i realni brojevi Primjer 2. Kvadratna funkcija
Rješenje:
Pogledaj ove četiri tablice. U svakom se stupcu
a) Preslikavanje koje broju 0 pridružuje 0, broju
gornjem broju pridružuje donji broj po nekom
1 pridružuje 1, broju 2 pridružuje 4, broju 3 broj
pravilu. U kojoj se od ovih tablica nalazi primjer
9 itd. kvadratna je funkcija, f(x) = x 2.
kvadratne funkcije?
b) Primijetimo da u ovoj tablici funkcija svakom
a)
x f(x)
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
b)
x f(x)
0 –1
1 0
2 1
3 2
4 3
5 4
6 5
c)
x f(x)
0 0
1 2
–1 –2
d)
x f(x)
0 0
1.5 –1.5 3 –3
2 4
0.5 –0.5 1.5 –1.5 0.25 0.25 2.25 2.25
kvadratna funkcija jer broju x ne pridružuje x 2, nego pridružuje broj x – 1. Zato zapisujemo f(x) = x – 1. To je linearna funkcija. c) Ovo je također linearna funkcija koja broju x
–2 –4 2 4
broju x pridružuje broj za 1 manji. To nije
–2 4
pridružuje njegovu dvostruku vrijednost, f(x) = 2x. d) U tablici je prikazana kvadratna funkcija, f(x) = x 2.
Primjer 3. Parabola Nacrtaj graf kvadratne funkcije f(x) = x 2.
Rješenje: U uvodnom primjeru prisjetili smo se kako crtamo graf linearne funkcije. Koristit ćemo isti
8
postupak za crtanje grafa kvadratne funkcije. Načini se tablica u koju se upisuju vrijednosti x. Što više vrijednosti upišemo, to će naš graf biti
6
bogatiji točkama. Zatim u drugi redak za svaki x izračunamo x 2. 4
graf funkcije x x2
0 0.5 –0.5 1 –1 1.5 –1.5 2 0 0.25 0.25 1 1 2.25 2.25 4
–2 4
3 –3 9 9
2
Podatke iz svakoga stupca zapisujemo u obliku uređenoga para (x, x2). To su (0, 0), (0.5, 0.25), (–0.5, 0.25), (1, 1), (–1, 1), (1.5, 2.25) itd.
0
1
Zatim se te točke ucrtavaju u koordinatni sustav u ravnini.
73
2.3. Grafovi funkcija kvadriranja i korjenovanja Iz 7. razreda znamo da je graf linearne funkcije pravac. No na ovom crtežu već nakon tri ucrtane točke zaključujemo da se ne radi o pravcu, nego o nekakvoj krivulji. Što više točaka ucrtamo, to će dobivena slika grafa biti jasnija. Graf kvadratne funkcije je krivulja koja se zove parabola. parabola Ovaj izgled i položaj parabole u koordinatnom sustavu mnogo govore o svojstvima kvadratne funkcije f(x) = x 2.
8
6
Parabola je osnosimetrična s obzirom na os y. To je zato što suprotni brojevi imaju jednake kvadrate. Tako je 22 = 4, baš kao i (–2)2 = 4. Parabola, graf funkcije f(x) = x 2, nalazi se samo u gornjoj poluravnini iznad osi x. To je zato što je kvadrat svakog broja pozitivan broj, jedino je kvadrat od 0 jednak 0. O tome smo govorili u primjeru 1. U nuli se postiže najmanja vrijednost grafa f(x) = x 2, uz to nula leži na osi simetrije parabole. Zato bi nulu svakako trebalo uvrstiti u tablicu pri crtanju parabole. Točku (0,0) zovemo tjeme parabole.
4
2
1
0
2
4
y = ax + b
2 0
y = x2
1
-2
0
1
Linearna funkcija ima oblik f(x) = ax + b.
Najjednostavnija kvadratna funkcija ima
Njezin graf je pravac.
oblik f(x) = x 2. Njezin graf je parabola.
Z a d a c i 1. a) Kvadrirali smo nepoznat broj i dobili 0. Koji smo broj kvadrirali? Objasni svoj odgovor; b) Kvadrirali smo nepoznat broj i dobili pozitivan broj. Koji smo broj kvadrirali?
74
Objasni svoj odgovor; c) Kvadrirali smo nepoznat broj i dobili negativan broj. Koji smo broj kvadrirali? Objasni svoj odgovor.
Korjenovanje i realni brojevi
Z a d a c i 2. Zadane su četiri tablice. U kojima se od njih nalazi primjer kvadratne funkcije f (x) = a) b) c) d)
x f(x)
2
3
1
0
–1 –2 –3 –4 –5 –6
7 4 x f(x) –3.5 –2
5
(1, 1), (15, 3), (–10, 100), (100, 10), (10, –100), (2, 2), (2, 4), (0, 0).
0
–2 –1 0 x f(x) 4 1 0
4
x 2? 6
6. Koje od ovih točaka pripadaju grafu kvadratne funkcije f (x) = x 2 ?
1
2
3
6
1
4
9
36
–1
18
–15
12
–12
0.5
–9
7.5
–6
6
−1 1 1 1 , , (1, –1), 9 , − 81 , (0.3, 0.09), 100 10 3 81 (–0.12, 0.0144), 2 , , (100, 100 000). 4 16
7. Prepiši u bilježnicu pa u kvadratiće upiši koordi-
30 15 –5 21 –45 29 –72 x f(x) 990 225 25 441 2025 841 5184
nate tako da točke pripadaju grafu kvadratne funkcije f (x) = x 2 . Zatim u koordinatnom sustavu ucrtaj te točke i skiciraj parabolu.
3. Koja od ovih preslikavanja predstavljaju kvadratnu, a koja linearnu funkciju? Po čemu ih prepoznaješ? Nacrtaj sve grafove. a) f (x) = 2x; b) f (x) = x 2 ;
4. Bez crtanja odredi koja od ovih preslikavanja za graf imaju pravac, a koja parabolu. Po čemu to zaključuješ? a) f (x) =
b) f (x) =
( ) , B ( −2, ) , C (0, ) , D 41 , E ( −1, ) , F 11 , , G ( −1.5, ) . 2 A 2,
,
8. Prepiši u bilježnicu pa dopuni tablicu. Zatim
c) f (x) = x + 2; d) f (x) = 5x – 2.
2x 2 ;
–x 2 ;
ucrtaj te točke u koordinatnu ravninu i skiciraj parabolu.
x x2
0
–0.5 0.5
1
2.5 –2.5
–1
0
c) f (x) = 5x – 1; d) f (x) = –x.
9. Nacrtaj graf kvadratne funkcije f (x) = x 2 .
5. Koje od ovih točaka pripadaju grafu kvadratne
10. Nacrtaj graf kvadratne funkcije f (x) = –x 2 .
funkcije f (x) = x 2 ?
Parabola svuda oko nas
75
2.3. Grafovi funkcija kvadriranja i korjenovanja Primjer 4. Funkcija korjenovanja Nacrtaj graf funkcije f(x) =
x
x.
0
9
10
0.25
1
2.25
4
x 0
3
10 ≈ 3.16
0.5
1
1.5
2
Rješenje: Svakom
racionalnom
x≥0
broju
možemo
x. Pridruživanje koje broju x pridružuje njegov pridružiti
korijen
njegov
jedinstveni
korijen
x nazivamo funkcijom korjenovanja
i označavamo je sa f(x) =
x . Tako funkcija
Podatke iz svakoga stupca zapisujemo u obliku uređenog para (x, (10,
x ). To su (0, 0), (9, 3),
10 ), (0.25, 0.5), (1, 1), (2.25, 1.5) itd.
Zatim se te točke ucrtavaju u koordinatni sustav u ravnini.
korjenovanja broju 9 pridružuje 3, broju 10 pridružuje broj 10 ≈ 3.16, broju 0.25 pridružuje 0.5 itd. To matematički zapisujemo u obliku: f(9) = 3,
2
f(10) = 10 ≈ 3.16,
f(0.25) = 0.5.
0
1
5
10
Kao i prije kod crtanja grafova, nacrtajmo i ispunimo tablicu. Što više vrijednosti upišemo,
–2
to će naš graf biti bogatiji točkama i slika grafa bit će nam jasnija. Točke možemo izabrati tako
Što više točaka ucrtamo, to će dobivena slika
da im je korijen racionalan broj, ali i ne moramo
grafa biti jasnija. Graf funkcije korjenovanja je
jer sada uz pomoć džepnog računala možemo
jedna grana parabole. Primijetimo da je graf
izračunati približnu vrijednost korijena svakog
smješten u I. kvadrantu koordinatnoga sustava
broja. U tablici je dovoljna aproksimacija na
jer su i x i
x pozitivni brojevi.
dvije decimale.
Z a d a c i 14. Zadane su četiri tablice. U kojima se od njih nalazi primjer funkcije korjenovanja f(x) = x ? a) x
0
1
2
3
4
5
6
f(x)
0
1
1.41
1.73
2
2.24
2.45
b)
koja linearnu, a koja funkciju korjenovanja? Po čemu ih prepoznaješ? Nacrtaj sve grafove. a) f (x ) = −3x ;
b) f (x ) = x 2;
c) f (x ) = x ;
d) f (x ) = x − 2 .
16. Bez crtanja odredi koja od ovih preslikavanja x
–2
–1
0
1
2
3
6
f(x)
4
1
0
1
4
9
36
c) x
7
4
1
18
f(x)
7
2
1
18
15 15
0
100
0
10
d)
76
15. Koja od ovih preslikavanja predstavljaju kvadratnu,
predstavljaju pravac, a koja parabolu ili dio parabole. Po čemu to zaključuješ? a) f (x ) = 4x 2;
b) f (x ) = x ;
c) f (x ) = −x − 1;
d) f (x ) = −x 2.
17. Koje od ovih točaka pripadaju grafu funkcije korjenovanja f(x) =
x?
x
4
15
5
20
–40
0
–70
(1, 1), (15, 0), (100, –10), (100, 10), (25, 5), (–4, 2),
f(x)
2
7.5
2.5
10
–20
0
–35
(2, 4), (0, 0).
Korjenovanje i realni brojevi ( ) , B (2, ) , C (0, ) , D F (5, ) , G (1.5, ) .
18. Koje od ovih točaka pripadaju grafu funkcije korjenovanja f(x) =
1 1 1 1 , (1, 1), , , (–0.16, 0.4), ,− 36 6 100 10 81 1 , (100 000, 100). ,2 16 4 19. Prepiši u bilježnicu pa u kvadratiće upiši koordinate tako da točke pripadaju grafu funkcije korjenovanja f(x) = x . Zatim u koordinatnom sustavu ucrtaj te točke i skiciraj parabolu.
(0.0144,0.12) ,
b) f(x) = 2x2;
c) f(x) = x – 2;
d) f(x) = 3x – 2.
2. Bez crtanja odredi koja od ovih preslikavanja za graf imaju pravac, a koja parabolu. Kako to zaključuješ? 1 a) f(x) = –3x2 ; b)ff(x) (x ) == -– xx2;- 1 2 c) f(x) = 5x – 3; d) f(x) = –x + 1. 3. Koje od ovih točaka pripadaju grafu kvadratne funkcije f(x) = x2?
(1, –1), (–15, 225), (–10, 10), (121, 11),
(10, –100), (3, 6), (2, 4), (0, 0).
4. Koje od ovih točaka pripadaju grafu kvadratne funkcije f(x) = x2? 1 1 1 -1 7 , - 49 , (0.3, 0.9), - 10 , 100 , (1, 2), 1 81 (–0.13, 0.0169), 2 , , (100, 1000). 4 16 5. U kvadratiće upiši koordinate tako da točke pripadaju grafu kvadratne funkcije f(x) = x2. Zatim u koordinatnom sustavu ucrtaj te točke i skiciraj parabolu.
(
A -2,
) , B (-3, ) , C (0, )
( )
(
, D 3 , , 4
E 1,
x x2
0
–0.3
0.3
)
2
–2
–2.5
x
0
0.5
0.75
1
1.5
1.75
2
x 21. Nacrtaj graf funkcije korjenovanja f(x) =
x.
9. Bez crtanja odredi koja od ovih preslikavanja predstavljaju pravac, a koja parabolu ili dio parabole. Kako to zaključuješ? 2
a) f (x ) = 9x ; b) f (x ) = 7 x ; 3 1 c) f (x ) = - x - 1; d) f (x ) = - x 2 . 4 2 10. Koje od ovih točaka pripadaju grafu funkcije korjenovanja f(x) = x ?
(121, 11), (1.6, 1.4), (81, –9), (81, 9), (64, 0.8), (–16, 4), (196, 14), (0, 0).
11. Koje od ovih točaka pripadaju grafu funkcije korjenovanja f(x) = x ? 1 , (–0.81, 0.9), 36 1 ,0.6 , (1,2), 25 , - 5 100 3 (0.0289, 0,17), 7.5625,2 , (10, 100). 4 12. U kvadratiće upiši koordinate tako da točke pripadaju grafu funkcije korjenovanja f(x) = x . Zatim u koordinatnom sustavu ucrtaj te točke i skiciraj parabolu.
(
A 0.64,
9 D , 4
) , B (12, ) , C (0, ) , , E (1, ) , F (6, ) , G (1.69, ) .
13. Prepiši i popuni tablicu, a zatim ucrtaj te točke u koordinatnu ravninu i skiciraj parabolu. x
0
0.09
0.25
1
1.69
2.25
4.84
x
, F 11 , , G -1.6, . 3 6. Prepiši i popuni tablicu, a zatim ucrtaj te točke u koordinatnu ravninu i skiciraj parabolu.
20. Prepiši u bilježnicu pa dopuni tablicu. Zatim ucrtaj te točke u koordinatnu ravninu i skiciraj parabolu.
8. Nacrtaj graf kvadratne funkcije f(x) = –x2.
1. Koja od ovih preslikavanja predstavljaju kvadratnu, a koja linearnu funkciju? Po čemu ih prepoznaješ? Nacrtaj sve grafove. a)f(x) = –2x;
( ),
, E 1,
7. Nacrtaj graf kvadratne funkcije f(x) = x2.
a
1 , 4
22. Nacrtaj graf funkcije korjenovanja f(x) = - x .
Vježb lica
A 4,
x?
14. Nacrtaj graf funkcije korjenovanja f(x) = 2
x .
15. Nacrtaj graf funkcije korjenovanja f(x) = - x + 2.
2.5
77
2.4. Realni brojevi
2.4. Realni brojevi Od prirodnih do racionalnih brojeva Pročitaj ove tvrdnje i napiši koja je točna, a koja nije. Za netočne tvrdnje smisli primjerkojim pokazuješ da je netočna. a) Zbroj dvaju prirodnih brojeva je uvijek prirodan broj. b) Razlika dvaju prirodnih brojeva je uvijek prirodan broj. c) Umnožak dvaju cijelih brojeva je uvijek cijeli broj. d) Količnik dvaju cijelih brojeva je uvijek cijeli broj. e) Brojevi 0, -6, 1.5 su racionalni brojevi. f) Brojevi 0, -6, 1.5 su prirodni brojevi. Prošle smo se godine upoznali s racionalnim brojevima te s računskim operacijama na njima. Ove smo ih godine učili kvadrirati i korjenovati. No vidjet ćemo, korjenovanjem ćemo dobiti i neke brojeve koji nisu racionalni. Krenimo Skup prirodnih brojeva N
redom i ponovimo: Skup prirodnih brojeva označavamo s N. N = {12 , ,3, 4,5,...} Zbrajanjem prirodnih brojeva dobivamo opet prirodan broj. No, razlika dvaju
Skup cijelih brojeva Z
prirodnih brojeva nije uvijek prirodan broj. Tako skup prirodnih brojeva valja proširiti do skupa cijelih brojeva Z: Z = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Skup prirodnih brojeva sadržan je u skupu cijelih brojeva. To zapisujemo N ⊆ Z (čitamo: skup N je podskup skupa Z). Zbrajanjem cijelih brojeva dobivamo cijeli broj. Oduzimanjem dvaju cijelih brojeva dobivamo opet cijeli broj. I množenjem cijelih brojeva dobivamo cijeli broj. No, Skup racionalnih
količnik dvaju cijelih brojeva nije uvijek cijeli broj. Tako skup cijelih brojeva valja
brojeva Q
proširiti do skupa racionalnih brojeva Q: a Q= : a Z ,b N b
{
}
a , takvih da je a cijeli broj, a b prirodan broj. Skup b cijelih brojeva sadržan je u skupu racionalnih brojeva. To zapisujemo N ⊆ Z ⊆ Q
Skup Q se sastoji od razlomaka
(čitamo: skup N je podskup skupa Z i skup Z je podskup skupa Q). Može nam se učiniti da su to svi skupovi brojeva i da nema potrebe za novim skupovima. No ipak će se pojaviti potreba za proširivanjem skupa racionalnih brojeva. Racionalni brojevi mogu se zapisivati i u decimalnom obliku. Decimalni zapis broja vrlo se često upotrebljava u svakodnevnom životu i u tehnici. Decimalni zapis broja upotrebljavaju i džepna računala. To je vrlo pregledan zapis i pogodan za računanje i aproksimacije. Takav će nam zapis, između ostalog, ukazati na činjenicu je li broj racionalan ili nije.
78
Korjenovanje i realni brojevi
79
2.4. Realni brojevi Primjer 1. Decimalni zapis racionalnog broja
decimale 3. Budući da se znamenka 3 u tom broju periodički ponavlja, kažemo da je to beskonačan periodički
Zapiši u obliku decimalnog broja: 7 1 29 ; b) a) ; c) . 4 3 7
decimalni
Rješenje: Racionalne
brojeve
zapisujemo
u
obliku
razlomka: oni se definiraju kao razlomci oblika a , pri čemu je a cijeli, a b prirodan broj. Te b razlomke možemo zapisati na još jedan način: u
Znamenka
periodički
Period označavamo točkicom: 1 = 1: 3 = 0.33333333... = 0.3 3
decimalni
označava operaciju dijeljenja, pa dijeljenjem
4.14285714285714285714...
7 = 7 : 4 = 1.75 a) 4 7 zapisan u decimalnom obliku Broj 4 iznosi 1.75. To je konačan decimalni broj jer ima konačno mnogo decimala (tj. ima točno dvije decimale). Razlomke koji imaju konačan decimalni zapis lako je prepoznati: njima se u nazivniku nalazi broj koji je djelitelj neke od dekadskih jedinica. To su, primjerice, nazivnici 2, 5, 10, 25, 4, 20, 2 17 100, 8, 125 itd. Tako razlomci , , 5 2 1 7 5 4 , , , itd. prikazuju konačne 10 25 8 125 decimalne brojeve. Oni se konačan
proširivanjem lako mogu svesti
decimalni
na dekadske razlomke i zato u
broj
decimalnom obliku imaju konačno mnogo decimalnih mjesta.
b)
1 = 1: 3 = 0.33333333... 3 Kod zapisivanja razlomka malnom
obliku
kvocijent
broj
29 = 29 : 7 = 4.14285714285714285714... 7 29 primjeU decimalnom zapisu razlomka 7 ćujemo niz znamenaka koji se periodički ponavlja unedogled:
zapis racionalnog broja.
beskonačan
3 je period zadanog broja.
decimalnom obliku. Znamo da razlomačka crta brojnika s nazivnikom dobivamo decimalni
To znači da taj broj ima beskonačno mnogo decimala i zato je to beskonačan decimalni broj. Kod njega znamo svaku sljedeću decimalu. Budući da se niz znamenaka 142857 u tom broju periodički ponavlja, kažemo da je to također beskonačan periodički decimalni broj. Niz znamenaka 142857 je period zadanog broja.
Ako
se
period
sastoji
od
više
znamenaka kao u ovom slučaju, točkice stavljamo na prvu i posljednju znamenku perioda. To znači da se taj niz znamenaka ponavlja. 29 = 29 : 7 = 4.142857 7 Razlomke koji imaju beskonačan periodički decimalni zapis je lako prepoznati: oni se proširivanjem ne mogu svesti na dekadske razlomke. Svaki racionalni broj može se zapisati u decimalnom obliku: kao konačan decimalni
1 3
u decidijeljenja
1 : 3 bit će broj 0.333333... gdje se znamenka 3 ponavlja unedogled. To znači da taj broj ima beskonačno mnogo decimala i zato je to beskonačan decimalni broj. Kod njega znamo svaku sljedeću decimalu jer su sve
80
c)
broj.
broj ili kao beskonačan periodički decimalni broj. Ako je nazivnik razlomka djelitelj neke od dekadskih jedinica, tada je to konačan decimalni broj. Ako nazivnik razlomka nije djelitelj neke od dekadskih jedinica, tada je to beskonačan periodički decimalni broj.
Korjenovanje i realni brojevi To znaèi da se ponavlj a unedogled u nekom smislenom redoslij edu.
Što to znaèi “periodièki”?
Period j e niz znamenaka u decimalnom broj u koji se ponavlj a u beskonaènost.
beskonačan neperiodički
Primjer 2. Iracionalni brojevi a) Izračunaj
beskonačan neperiodički
b) Izračunaj točnu vrijednost od
2.
Kako smo u Primjeru 1 naučili da svi racionalni brojevi imaju ili konačan ili
Rješenje: a) Upotrebom džepnog računala dobivamo da je 2 ≈ 1.41421356 . To je približna vrijednost broja
2 na 8 decimala. Potrebno je i korisno
upamtiti približnu vrijednost od
2 na dvije
decimale: 2 ≈ 1.41 . Na zaslonu piše da
No kvadriranjem ovog broja ne bismo dobili točno 2, što znači da je ovo približna 2 , ali ne i točna. Kada bismo
imali džepno računalo s mogućnošću prikaza još više decimala, uvjerili bismo se da
zaključujemo da se
2 ne može zapisati u
obliku racionalnog broja. To nije racionalan,
nego
iracionalan
broj. Njega ne možemo točno
iracionalan broj
već ga točno zapisujemo jednostavno 2.
2 iznosi
1.4142135623730950488016887242097.
vrijednost od
beskonačan ali periodičan decimalni zapis,
zapisati u decimalnom obliku,
b) P ozovimo u pomoć džepno računalo.
broj
decimalni broj.
2 približno na 7 decimala;
decimalni
2
ima beskonačan decimalni zapis kojem je
U decimalnom obliku zapisujemo njegove približne vrijednosti.
I broj π j e iracionalan broj!
Skup iracionalnih brojeva označavamo sa I.
Nj egova približna vrij ednost iznosi 3.14, ali zapravo on ima beskonaèno mnogo decimala koj e se ne ponavlj aj u u smislenom redoslij edu.
nemoguće odrediti period.
1 29 i 3 7 imali beskonačno mnogo decimala koje se
I u prošlom su primjeru brojevi periodički ponavljaju, a kod
2 decimale se
pojavljuju bez nekog smislenog redoslijeda, tj. bez perioda. Zato kažemo da je to Iracionalni brojevi čije približne vrijednosti trebaš upamtiti!
2 ≈ 1.41 3 ≈ 1.73 ∏ ≈ 3.14
81
2.4. Realni brojevi Primjer 3. Skup realnih brojeva Na slici se nalaze skupovi brojeva, kao i njihov međusobni odnos. Na pravo mjesto na slici upiši ove brojeve: ∏ 2 3 5, 0, -3, 17 , , -2.8, 1, , π, , -11, - 6.13 . 4 7 4
2 3 , -2.8 i . U skup iracionalnih 7 4 ∏ i brojeva I treba upisati brojeve 17 , π, 4 - 6.13 . Skup racionalnih brojeva zajedno sa skupom iracionalnih brojeva čini skup realnih brojeva upisati brojeve
koji označavamo sa R. Skup racionalnih brojeva zajedno sa skupom iracionalnih brojeva čini skup realnih brojeva koji označavamo sa R.
Rješenje: U skup prirodnih brojeva N treba upisati brojeve 5 i 1. U skup cijelih brojeva Z (ali izvan skupa N) treba upisati brojeve 0, -3 i -11. U skup racionalnih brojeva Q (ali izvan skupa Z) treba
Primjer 4. Uspoređivanje realnih brojeva Poredaj po veličini realne brojeve 2 , 1.4, 1.41, 1416 3 i počinjući od najmanjeg broja. 1000 2
Rješenje: Pretvorimo sve zadane brojeve u decimalni oblik, tako ćemo ih moći uspoređivati.
2
,
1.414213
1 .4
,
000... 1.4000 ...
3 1 .41 , 1416 , . 2 1.41000 ... 1000 000... 1.416
1.5
Sada vidimo da je najmanji broj 1.4, a najveći 3 . Zadani brojevi poredani od najmanjeg do 2 najvećeg glase: 1416 3 i . 1.4, 1.41, 2 , 1000 2
Z a d a c i 1. Zapiši u obliku decimalnog broja: 1 5 3 555 27 3 ; d) ; e) ; f) . a) ; b) ; c) 2 4 10 100 125 25 2. Zapiši u obliku decimalnog broja: 7 2 1 17 53 ; e) . a) ; b) ; c) ; d) 6 3 9 18 6 3. Zapiši u obliku decimalnog broja: 1 13 7 14 2 ; b) ; c) ; d) . ; e) a) 27 11 26 39 13 4. Zapiši u obliku decimalnog broja: 9 4 36 2 59 ; b) ; c) ; d) ; e) . a) 20 15 17 25 9 5. Bez računanja odgovori koji su od ovih razlomaka konačni, a koji beskonačni periodički decimalni brojevi: 1 4 3 14 5 ; b) ; c) ; d) ; e) . a) 200 33 25 5 9
82
6. Zapiši ove brojeve pomoću perioda (koristeći točkice za početak i kraj perioda): a) 0.23232323...; b) 13.6666666...; c) 9.7825378253...; d) 0.53333...; e) -13.44818181... . 7. Bez korjenovanja odredi koji su rezultati racionalni, a koji iracionalni brojevi: a)
16 ; b)
17 ; c)
65 ;
d)
64 ; e)
100 .
8. Bez korjenovanja odredi koja su rješenja iracionalna: a) 0.49; b) 4.9 ; c) 0.049; d) 490 ; e) 0.00001. 9. Bez korjenovanja odredi koji su rezultati mogu odrediti samo približno u decimalnom obliku: a) 0.36; b) 0.0091; c) 200; d) 3.14; e) 4000. 10. Je li
3 = 1.73? Objasni odgovor.
Korjenovanje i realni brojevi 13. Poredaj po veličini brojeve počinjući od najmanjeg: 9 i - 6. 11, 3, -1.1, 7 14. Poredaj po veličini brojeve počinjući od najvećeg: 7 -2 3, -3.46, 3.5, - i -3 2 . 2
11. Koji je broj veći:
a)
2 ili 1.45;
d) 3.9 ili
3 ili 1.733; c) 3.14 ili π;
b)
15 ; e) -3 2 ili -4.2411.
12. Poredaj po veličini brojeve: ∏ i 2. 3 , 1.73, 0.5, 2
Vježb lica a
1. U svakom zadatku jedna znamenka je netočna. Uz pomoć džepnog računala je pronađi i ispravi!
7. Koliki je približno polumjer kruga ako je površina kruga:
a) 2π m2; b) 612π cm2; c) 169 mm2;
7254 ≈ 85.1705174 ;
d) 8.6π dm2; e) 16 m2.
d)
0.71 ≈ 0.8426129 ;
e)
301 ≈ 17.74935157 .
8. Zapiši u obliku decimalnog broja: 555 27 3 18 1 5 a) ; b) ; d) ; e) ; f) . ; c) 500 20 8 25 10 4
a)
95 ≈ 9.7477 ; b)
c)
56 ≈ 7.4834 ;
2. Pomoću džepnog računala izračunaj i rješenje zaokruži:
9. Zapiši u obliku decimalnog broja:
a)
976 na 3 decimale; b)
c)
1340 na cijelo; d) 0.6 na jednu decimalu;
e)
4.6 na 2 decimale.
65 na 5 decimala;
3. Pomoću džepnog računala izračunaj i rješenje zaokruži:
a)
51 na dvije decimale;
b)
27.6 na 1 decimalu;
c) 0.00049 na 4 decimala; d) 1000 na jednu decimalu; e) 16.9 na 3 decimale.
4. Procijeni između koja dva broja se nalazi:
a)
78 ; b)
d)
448 ; e)
67 ; c)
0.7 ;
5.99 .
5. Procijeni između koja dva broja se nalazi:
a)
39 ; b) - 900 ; c) - 97 ;
d)
10 ; e) - 687 .
6. Kolika je približna duljina stranice kvadrata ako je površina kvadrata:
a) 90 m2; b) 601 cm2; c) 5.5 mm2;
d) 56 dm2; e) 4523 m2.
a)
5 73 7 23 91 ; b) ; c) ; d) ; e) . 6 18 19 6 6
10. Zapiši ove brojeve pomoću perioda (koristeći točkice za početak i kraj perioda):
a) 0.242424242...; b) 11.77777777...;
c) 56.76327632763...; d) 0.422222...;
e) –14.443232... .
11. Bez korjenovanja odredi koji rezultati su racionalni, a koji iracionalni brojevi:
a)
16 ; b)
17 ; c)
12. Koji broj je veći: a)
65 ; d)
64 ; e)
8 ili 2.95; b)
c) 3.14 ili π; d) 3.8 ili
100 .
7 ili 2.733;
15 ; e) -3 3 ili -5.2411.
13. Poredaj po veličini brojeve:
5 , 1.99, 2,
π 3
i
6.
14. Poredaj po veličini brojeve počevši od najmanjeg: 50 55 , 8.5, – 1.3, i - 2. 7 15. Poredaj po veličini brojeve počevši od najvećeg:
-2 13 , -13.46, 13.5, -
17 i -3 12 . 2
83
2.5. Računanje s korijenima
2.5. Računanje s korijenima Izračunaj� a) 25•4 i 25 • 4 ;
b)
25 + 4 ;
d)
c)
25 + 4 i
25 25 i ; 4 4 25 - 4 i 25 - 4 .
Što primjećuješ?
Iz uvodnoga primjera možemo zaključiti da se kod korjenovanja umnoška korijen može “rastaviti” na umnožak korijena istih brojeva. Isto vrijedi i za dijeljenje. No, važno je primijetiti da ćemo kod zbrajanja ikod oduzimanja dobiti različite rezultate. Ta važna i lijepa svojstva množenja i dijeljenja pomoći će nam da brže i elegantnije riješimo zadatke. U sljedećim primjerima pokazat ćemo da svojstva korjenovanja umnoška i korjenovanja količnika vrijede za sve brojeve.
Primjer 1. Korijen umnoška Izračunaj:
(
a•b
)
2
Zatim izračunajmo
25 • 4 . a) 25•4 i Što zaključuješ?
(
= a •b .
) = ( a ) •( b ) 2
a• b
Kako
Rješenje:
su
2
oba
2
izraza
= a•b . jednaka
brojeva 25 i 4, a u drugom je zadan umnožak korijena od 25 i 4. Izračunajmo: 25•4 = 100 = 10 25• 4 = 5•2 = 10
•
b,
svojstvo vrijedi za bilo koja dva pozitivna broja a i b. Evo i dokaza:
Primjer 2. Korijen količnika 25 : 4
Što zaključuješ?
(
a•b
) =( 2
a• b
)
2
. Tada su i izrazi koji se
kvadriraju jednaki, tj. a•b = a • b . Korijen umnoška pozitivnih brojeva jednak je umnošku korijena tih brojeva.
Primjećujemo da su rezultati jednaki. Isto
i
25 :
4.
• b b = 1 a2 4 4 3 1a2•3
korijen umnožak umnožaka od a i b a•b
Rješenje: U prvom zadatku zadan je korijen količnika brojeva 25 i 4, a u drugom je zadan količnik korijena od 25 i 4. Izračunajmo: 25 : 4 = 6.25 = 2.5 25 : 4 = 5 : 2 = 2.5
84
a
zaključujemo da su i početni izrazi jednaki, tj.
U prvom zadatku zadan je korijen umnoška
Izračunaj:
Znamo da je
Korjenovanje i realni brojevi Primjećujemo da su rezultati jednaki. Zadatak 25 5 = se mogao zadati i u obliku dijeljenja 4 2 25 5 = i 2. 4 Primjećujemo da su rezultati jednaki. Isto svojstvo vrijedi za bilo koja dva pozitivna broja
Kako su oba izraza jednaka
a , zaključujemo da su i b
početni izrazi jednaki, tj.
a b
2
a
=
izrazi koji se kvadriraju jednaki, tj.
b
2
. Tada su i
a a = . b b
a i b. Evo i dokaza: Znamo da je a b
a b
( a) =a 2 ( b) b
2
=
a . Zatim izračunajmo b
2
2
=
Korijen količnika pozitivnih brojeva jednak je količniku korijena tih brojeva. b = a : b a :
.
korijen količnika a•b
Primjer 3. Primjena
ili
količnik od a i b
a a = b b
•3 18•12•24 = 9 •2•4•3•6•4 = 9• 4 • 4• 1 2• 34 6 = 3•2•2•6 = 72 4 2
Izračunaj: a) 27•12 ;
36 b) •3 18•18 12••12 24•24 = 9; •2•4•3•6•4 = 9• 4 • 4• 1 2• 34 6 = 3•2•2•6 = 72 . 4 2 36 c) 54 • 24 ; d) 180 . c) Na prvi pogled izgleda da s ovim zadatkom 245 ne možemo drugo nego korjenovati pomoću džepnog računala jer ni 54 ni 24 nisu kvadrati a) Jedan je način rješavanja pomnožiti brojeve prirodnih brojeva. No primjenjujući svojstvo 27 i 12 te pronaći korijen umnoška. No kvadriranja umnoška korijena, zadatak mnogo elegantnije i bez množenja velikih možemo riješiti mnogo brže: brojeva ovaj problem možemo riješiti uz 54 • 24 = 54•24 pomoć svojstva kvadriranja umnoška. Jedan je način da pomnožimo ove brojeve, no Rastavimo brojeve 27 i 12 na faktore od mnogo je elegantnije rastaviti ih do kvadrata kojih je jedan kvadrat prirodnog broja. i onda postupiti kao u primjeru a). 27•12 = 9•3•4•3 54 • 24 = 54•24 = 9•6•6•4 = 9 • 6•6 • 4 = 3•6•4 = 72 Vidimo da se rastav sastoji od brojeva 9 i 4, 54 • 24 = 54• 9•6•6•4 = 9 • 6•6 • 4 = 3•6•4 = 72 kojima je lako izračunati korijen, te24od= dva
Rješenje:
faktora 3, čiji je umnožak 9.
d) Znamo da je količnik korijena jednak korijenu Zatim skratimo dobiveni razlomak 27•12 = 9•3•4•3 = 9•4•3•3 = 9• 4 • 3•3 = 3•2•količnika. 3 = 18 i korjenujemo ga. = 9•3•4•3 = 9•4•3•3 = 9• 4 • 3•3 = 3•2•3 = 18 . 180 180 36 6 . b) Na isti način rješavamo i korijene umnoška = = = 245 49 7 245 koji imaju više od dva faktora.
Z a d a c i 1. Primjenom svojstava za korijen umnoška izračunaj: a) 25•100 ; b) 9•16 ; c) 25•81 ; d) 4•144 ; e) 64•36 . 2. Primjenom svojstva za korijen umnoška izračunaj: a) 0.01•1.44 ; b) 0.25•0.04 ;
c) 0.0049•0.25 ; d) 0.81•1.44 ; e) 0.000025•0.0025 . 3. Izračunaj: a) 75•3 ; b) 2•128 ; c) 2•32 ; d) 242•2 ; e) 28•7 .
85
2.5. Računanje s korijenima 11. Primjenom svojstva za korijen kvocijenta
4. Izračunaj: a) 8•50 ; b) 50•32 ; c) 18•200 ; d) 20•45 ; e) 128•72 .
izračunaj: 25 a) ; b) 49
5. Izračunaj:
izračunaj: 5 a) 1 ; b) 4
d) 12•27•16 ; e) 50•8•64 . 6. Izračunaj: 16a 2b 2 ; b)
d)
144y 2b 2 ; e)
100b 2 ;
25x 2 ; c) 36(fg )
b) 2• 8 ;
d) 50 • 8 ; 8. Izračunaj:
d) 24 • 2 • 12; e) 6 • 8 • 3.
a)
9. Izračunaj:
c)
2
b) 16 • x y • y ;
e) 3a • 2b • 6ab .
(
d) 10
)
2
27 + 3 ; b)
(
)
40 + 10 ; e)
(
)
2 + 50 ; c) 8
(
5
)
(
)
(
Koliko je: a) 3 7
)
d)
125 + 20 ;
(
)
(
2
)
; b) −3a 5 ; c) 1+ 2 5 .
)
kod 3 7 korijen
2 200
24 • 75
64
( ) 7
)
2
100
; d)
20
; c)
5
8 • 54
; d)
72
6ax • 24xa 2
( −3a 5 )
2
= 32•
121
; d)
128 98
27
; e)
; e)
6
25yz
( 7)
2
= (− 3)2• a 2•
( 5)
2
86
)
( )
(
)
(
(
)
)
( )
(
2
.
= 9•a 2• 5 = 45a 2 .
i riješimo:
= 21+ 4 5
(
.
( 7)
= 1+ 4 5 + 4 5 = 1+ 4 5 + 20 =
18. Izračunaj: 2 2 2 2 2 a) a 7 ; b) a 2 ; c) b 3 ; d) ab 5 ; e) xy 11 .
)
.
možemo kratiti tek kad
2
19. Izračunaj:
(
72
.
(1+ 2 5 ) =2= 12 + 2•1 2 5 + (2 5 )
17. Izračunaj: 2 2 2 2 2 a) 3 7 ; b) 2 2 ; c) 5 3 ; d) 9 10 ; e) 5 5 .
)
.
800
; e)
72 • 27
18xy • 2xz
(a + b )2 = a2 + 2ab + b2
= 9•7 = 63 .
ne smiju odmah skratiti
(
169
c) Prisjetimo se formule za kvadrat zbroja
7 i kvadrat jer u zagradi postoji
)
144
; e)
Z a d a c i (
19 1 . 81
b) Ovaj zadatak računamo jednako kao onaj u
Kod ovog zadatka važno je naglasiti da se
(
25
81
; c)
primjeru a).
2
24 1 ; e) 25
zadani kvadrat rastavimo na 32•
2
kvadrata, tj. (a • b)2 = a2 • b2. Tako je
(
25
16
; b)
i faktor 3.
a) Kvadrat umnoška jednak je umnošku 3 7
36
b
Rješenje: 2
4 ; d) 16
32 + 2 .
Primjer 4. Kvadriranje izraza s korijenom 2
2
16. Izračunaj: 7 • 28x a• a 3x • 3x a) ; c) ; b) ; 81x 16 36y 2
2 c) a • 4y • a ; d) 5x • 2y 2 • 10x ;
a) 3
400 . 121
15. Izračunaj: 50 • 10 45 • 12 ; b) ; a) 20 15
a) 8• 6 • 3; b) 2• 2 • 36 ; c) 18 • 6 • 3 ;
10. Pomnoži i pojednostavi:
9 1 ; c) 16
14. Izračunaj: 3 a) ; b) 75
c) 3 • 3 ;
e) 72 • 32 .
a) x • xy • y ;
144 ; e) 169
13. Primjenom svojstva za količnik korijena izračunaj:
2.
7. Primjenom svojstva za umnožak korijena izračunaj: a) 12• 3 ;
64 ; d) 16
12. Primjenom svojstva za korijen količnika
a) 4•100•16 ; b) 25•100•9 ; c) 49•121•16 ;
a)
1 ; c) 4
)
( d) (3x
) ( ) ( 2 2 7x ) ; e) (5abc 5abc ) . 2
2
)
2
a) 3ab 7 ; b) xyz 2 ; c) 2a 6 ;
=
Korjenovanje i realni brojevi 20. Izračunaj:
( ) 2 ( 3 + 2 ) ; c)2 (1− 2 5 ) d) (2 + 2 2 ) ; e) (5 2 + 2 5 ) . 2
2
a) 1+ 5 ; b)
2
21. Izračunaj i pojednostavi: ;
( 3 + 5 ) + ( 2 + 5 ) ; b (1+ 5 ) + ( 3 − 2 ) ; 2 2 2 2 c) (1+ 2 5 ) − (2 3 + 2) ; d) (1+ 2 5 ) − (1− 2 5 ) ; 2 2 e) ( 4 6 + 2 5 ) − (5 2 − 2 5 ) . 2
a)
Primjer 5. 2 5 +3 5 −7 Zbrajanje 2i oduzimanje 5 + 3 5 − 7 5 + korijena 1 5 = 5• (2 +3 − 7 +1) = 5• ( −1) = −1
2
2
2
5 + 1 5 = 5• (2 +3 − 7 +1) = 5• ( −1) = −1 5 = − 5 5= − 5.
Izračunaj: 2 5 + 3 5 − 7 5 + 5 .
Ovaj postupak možemo i skratiti tako da
Rješenje:
preskočimo zapisivanje izlučivanja zajedničkog 5.
Zajednički faktor svakog od pribrojnika je Možemo ga izlučiti.
Primjer 6. Zadaci sa zagradama Pojednostavi: a) 3 2 +
(
)
2 −5 2 ;
(
) (
faktora, pa zapisujemo: 2 5 + 3 5 − 7 5 + 1 5 = − 1• 5 = − 5 .
b) U ovom zadatku ni u jednoj se zagradi ne
)
b) 3 3 + 1 − 6 − 9 3 .
Rješenje:
nalaze elementi istog imena pa ih nije moguće izračunati. Zato se oslobađamo zagrada po poznatim pravilima. Prva je zagrada je na početku pa se ispušta, a
a) U zagradi se nalaze pribrojnici istog imena pa ih možemo izračunati. Broj
2 skraćeni
ispred druge je znak oduzimanja pa svi pribrojnici iz nje mijenjaju predznak pri
je zapis od 1 2 .
oslobađanju od zagrada. . 2 − 5 2 = −4 2 3 3 + 1 − 6 − 9 3 = 3 3 + 1− 6 + 9 3 = −5 + 12 3 Sada računamo zadatak: 3 3 + 1 − 6 − 9 3 = 3 3 + 1− 6 + 9 3 = −5 + 12 3 . 3 2 + 2 − 5 2 = 3 2 + −4 2 = − 2 .
(
()
) ((
(
) )
) (
)
Z a d a c i 22. Izračunaj napamet:
26. Pojednostavi:
a) 8 2 - 5 2; b) 3 2 + 6 2; c) 2 5 - 2 5; d) 3 + 3; e) 10 10 - 6 10.
a) 9 3 + 4 2 − 6 2 + 8 3 ; b)
23. Izračunaj: a) 9 2 − 2 + 6 2 ; b) 3 3 − 11 3 + 2 3 ; c) - 2 - 2 - 2 ; d) 17 2 − 18 2 + 5 2 ; e) 5 5 − 55 5 + 555 5 . 24. Izračunaj: a) 9 2 − 5 2 + 6 2 − 2 2 ; b) 4 3 + 2 3 − 8 3 − 3 ; c) 5 − 5 5 + 3 5 + 5 ; d) 2 − 2 + 2 + 2 2 ; e) −7 12 − 5 12 + 12 − 9 12 .
(
(
)
)
3+
(
)
5 − 2 5 + 2 3;
c) 4 2 − 6 2 + 3 + 8 3 − 2 3 ;
(
) )
d) 9 2 + 2 − 4 5 − 6 2 − 2 ;
(
e) 9 9 − − 2 − 2 − 2 − 25 + 8 16 . 27. Pojednostavi:
(
)
(
)
a) 4 3 + 3 2 + 3 + 7 3 ; b) −2 3 + 5 2 − 6 3 + 3 ; c) −8
(
)
2 + 3 + 5 3 + 2 2;
(
)
d) 4 7 − 5 3 2 − 7 + 7 − 2 2 ;
(
) (
)
11−−22 −−33 11 11−−55 55 ++ 11 11++ 11 11−−77 55 . e) 99 55 −−77 11
25. Združi pribrojnike istog imena i izračunaj:
28. Pojednostavi:
a) 2 2 + 5 2 + 5 + 6 5 ; b) 9 2 − 5 + 6 5 ;
a)
c) 4 3 − 1+ 3 + 6 ; d) −7 8 − 2 5 + 6 5 − 8 ;
c)
e) −4 7 − 3 6 + 6 5 + 7 + 7 .
e)
(
)
3 7 − 3 + 9 3 − 1+ 3 ; b)
;
; d)
; .
87
2.5. Računanje s korijenima
Vježb lica a
9. Izračunaj:
1. Izračunaj: a) 16 ⋅ 4 ; b)
2 ⋅ 98 ; c)
81⋅ 36 ;
d) 50 ⋅ 18 ; e) 112 ⋅ 7 . 2. Izračunaj: a)
50 ⋅ 80 ⋅ 40 ;
81⋅ 25 ⋅ 16 ; b)
c) 169 ⋅ 121⋅ 49 ; d) e)
432 ⋅ 28 ⋅ 2 ⋅ 42 ;
4 ⋅ 80 ⋅ 20 .
6
d)
529 ; e) 729
2 225a 2 ; c) 121x ;
36x 2y 2 ; b)
d) 169x 2y 2 ; e)
289(ab )2 .
4. Izračunaj: a)
63 ⋅ 2 7 ; b)
20 ⋅ 3 5 ; c) 5 6 ⋅ 6 ;
d) 7 150 ⋅ 2 6 ; e) 104 ⋅ 26 . 5. Izračunaj:
a)
d)
25 36 55
121
a)
d)
5 125 72 4 18
a)
d)
35 ⋅ 6 ⋅ 21 ⋅ 2 15 ; d)
10 ⋅ 55 ⋅ 22 ;
e) −3 8 ⋅ ( −3 28) ⋅ 2 ⋅ 14 . 7. Pomnoži i pojednostavi: a) c) e)
( 125 + 3 5) ; b) 3 (2 27 + 75) ; 2 ( 98 + 3 200 ) ; d) 11( 99 + 44 ) ; 6 (4 150 + 2 42 ) . 5
a) d)
2
1 ; e) 289
1 ; c) 64 6
1 . 4
1 5 ; 16
5 3 300 300 147
40 ⋅ 15 7 20
15 ⋅ 14 ⋅ 12
6
; c)
96
;
.
8 ⋅ 6 28
; b)
24
3 14
48 ⋅ 24
; c)
18
21 ⋅ 6 35
; e)
8 40 ⋅ 24
.
13. Izračunaj:
a)
c)
e)
5y ⋅ y 20
2x ⋅ 3 2x
; b)
6 ⋅ 24x 9x
49y 2
10yz ⋅ 2 2xz
;
8ax ⋅ b 32x
; d)
z 5xy
8. Izračunaj: 225 ; b) 49
81 ; 18
; c)
144 . 16
; e)
c)
4 25
; b)
c) 2 ⋅4 11 ⋅ 44 ; d)
42 ⋅ 3 21 ⋅ 4 ⋅ 2 ;
11 . 49
8 676
; e)
12. Izračunaj:
a) 18 ⋅ 12 ⋅ 6 ; b)
37 ; 81
11. Izračunaj:
6. Izračunaj:
88
; b)
a) 3 ⋅ 5 ⋅ 2 5 ; b) 3 5 ⋅ 4 2 ; 15 ⋅ 2 3 ⋅ 5 .
5
4
10. Primjenom svojstva za količnik korijena izračunaj:
3. Izračunaj: a)
25 169 ; c)
19 ; b) 25
a)
ab 2
;
.
14. Izračunaj:
( ) ; b) (3 2) ; c) (5 4 ) 2
2
)
( )
a) 2 5
d) 9 11 ; e) 6 5 .
(
2
2
2
;
;
Korjenovanje i realni brojevi 15. Izračunaj:
( ) ( ) ( 2 2 d) (a 5b ) ; e) ( x 7y ) . 2
2
a) x 5 ; b) a 3 ; c) 5 x
)
2
21. Izračunaj: ;
16. Izračunaj:
(
)
2
(
)
a) 3a 7a
d) − −3x 5 ; e) 5abc c
(
(
2
; b) 5z 2 ; c) −a 6b
)
2
(
)
2
(
a)
c) 2 6
e)
)
6
(
(
);
.
23. Izračunaj:
b) 9 2 − 2 + 6 ; c) 7 3 − 2 + 3 + 6 ;
d)3 5 − 3 + 2 5 − 4 .
(
)
b)
c) 4 11 − 6 3 + 11 + 8 11 − 2 3 ;
d) 9 + 2 − 4 − 6 2 − 3 ;
e) 9 9 − − 8 − 2 − 8 − 4 + 8 16 .
8−
(
(
)
(
(
19. Pojednostavi:
(
)
)
2
2
2 ( ) ( 3 + 5)( 3 − 5) ; 2 c) (1− 2 3 ) ; d) (1+ 3 )(2 − 2 ) ; 2 e) ( 2 + 2) ; f) ( 2 + 2)(2 − 3 ) .
a) 1+ 6 ; b)
24. Izračunaj:
5 −7 8 +2 5;
)
)
( ) ; b) ( 3 + 2 5) ; c) (3 − 2 3 )(3 + 2 3 ) ; d) (2 3 + 3)(2 − 3 ) ; 2 2 e) ( 2 + 2 5 ) ; f) (1+ 2 3 ) . a) 2 + 5
2
2
25. Izračunaj:
(
)
2
(
3 −2 5
2 + 3 + 6 3;
a) 2 3 + 1 ; b)
(
c) 3 − 2 3 3 + 12 ;
d)
a) 8 3 − 3
b) −2 9 + 5
c) −8
d) 5 7 − 2 3 25 − 7 + 6 7 − 2 2 ;
e)
26. Izračunaj i pojednostavi:
9 25 − 7 16 − 2 −3 11 − 5 4 +
(
)
2−6 4 + 2;
)
16 + 3 + 5 3 + 2 ;
(
(
)
) (
)
81 + 11 − 7 .
20. Pojednostavi:
(
a)
b) −2 2
)
(
)
2 + 2 + 2 2 − 2;
) d) −2 7 + 5 2 ( 2 − 6 7 ) + 7 ; e) 3 ( 3 + 2) − 3 2 ( − 3 + 4) + 4 − 8 c)
16 + 5 2
(
5 7 − 5 + 9 5 − 1+ 5 ;
)
2+4 7 ;
( ) 2; b) ( 3 + 2 122 ) ; c) (3 − 2 3 ) ; d) (1+ 2 3 ) ; 2 e) ( 2 + 2 5 ) ; f) ( 3 − 1)( 3 + 1) .
a) 2 + 5
a) 2 3 + 5 3 + 7 + 6 7 ;
a) 4 7 + 6 3 − 7 3 + 7 7 ;
(
150 + 6 .
)
24 + 2 6 ; d) 3 2
)
)
22. Izračunaj:
2
17. Združi pribrojnike istog imena i izračunaj:
18. Pojednostavi:
(
3 2− 5 ;
5 1+ 3 5 ; b)
2 − 6 36 + 8 ;
3.
(
)(
)
( 2 + 3)(2 − 8 ) ; 2 e) ( 2 − 2 8 ) ; f) (1− 3 )
2
)(
)
3+2 5 ;
.
( 3 + 12) − ( 20 + 5) ; 2 2 b) (1+ 5 ) − ( 5 − 2) ; 2 c) (1+ 2 3 ) − (2 3 + 2)(2 3 − 2) ; 2 2 d) (1+ 5 ) − (1− 5 ) ; 2 e) (4 2 + 2 5 ) − (5 2 − 2 5 )( 2 − 5 ) . a)
2
2
89
2.6. Djelomično korjenovanje
2.6. Djelomično korjenovanje Korijen umnoška jednak je umnošku korijena Prepiši u bilježnicu pa dopuni: a) 16•4 =
•
= __•__ = __ ;
b) 16•3 =
•
= __•
.
U uvodnom zadatku podsjetili smo se svojstva da je korijen umnoška jednak umnošku korijena zadanih faktora, tj. a•b = a • b . To nam je svojstvo bilo od koristi pri bržem računanju, kao u zadatku a) uvodnog primjera. No ono će nam pomoći i pri pojednostavljivanju još jednog zapisa. Primijenimo ga i u slučaju b) iz uvodnoga primjera. Korijen
umnoška
16•3
rastavimo
na
umnožak
korijena
16 • 3 .
Primijetimo da možemo izvaditi prirodni korijen samo iz 16. To je 4, pa je rezultat 4• 3 . Broj 3 nije racionalan broj pa ga ostavljamo zapisanog u obliku s korijenom. Na kraju, broj 4• 3 kraće zapisujemo 4 3 . 16•3 = 16 • 3 = 4• 3 = 4 3 djelomično korjenovanje
Ovaj postupak naziva se djelomičnim korjenovanjem. Djelomično korjenovanje nekog broja je postupak kojim zadani broj rastavljamo na faktore tako da je bar jedan od faktora kvadrat prirodnog broja. Zatim primjenjujemo svojstvo korijena umnoška.
A baš i nij e neka fora, matematièarima se ne da pisati tu j ednu toèkicu u 4• 3 pa sad kraæe pišu 4 3 . Pih!
2
a • b = a• b = a b
90
Matematièari štede olovku...
Korjenovanje i realni brojevi Primjer 1. Djelomično korjenovanje
Rješenje:
Djelomično korjenuj zadane brojeve:
Djelomično
a) 50 = 25•2 = 25• 2 = 5• 2 = 5 2 ;
kada broj pod korijenom možemo rastaviti
b) 80 = 16 •__ = 16 • __ = .__________________
na
korjenovanje
umnožak
dvaju
primjenjujemo
brojeva,
od
kojih
je
jedan potpuni kvadrat. Primjerice, možemo djelomično korjenovati
50 jer je 50 = 25 • 2,
a 25 je kvadrat broja 5. b) 80 = 16 •5 = 16 • 5 = 4 • 5 = 4 5 .
Z a d a c i 1. Djelomično korjenuj:
a)
32 ; b)
8 ; c)
5. Djelomično korjenuj:
75 ; d)
2. Djelomično korjenuj: a) c)
125 ; d)
27 ; e)
3. Djelomično korjenuj: a) c)
18 ; d)
20 ; e)
98 ; e)
180 ; b) 63 .
300 ; b) 45 .
12 .
27
80 ;
24 2 5
2 6
128
8 2
72
20 6 2
20 000 ;
b)
50 000 ;
c)
4 000 000;
d)
27 000 000;
e)
50 000 000 000 ;
g)
392
j)
48 ;
4. Prepiši u bilježnicu pa spoji parove:
200
a)
h)
48
b)
ax 2 ;
f)
200 ;
i)
125
c)
49a ;
72 .
6. Pojednostavi:
a)
5x 2 ;
d)
300x 2y 2 ;
g)
49a 2x h)
j)
e)
6xy 2 . f)
12a3
i)
7a 2 27x 2a 2
16xy 2
10 2 3 3
Primjer 2. Djelomično korjenovanje i zbrajanje Izračunaj:
a) 2 12 + 3 27 ;
b) − 50 + 3 2 − 6 8 .
možemo ih djelomično korjenovati. Tada dobivamo da je 2 12 = 2 4•3 = 2 •2 3 = 4 3 i 5 27 = 5 9•3 = 5•3 3 = 15 3 . Stoga je 2 12 + 5 27 = 4 3 + 15 3 = 19 3
.
b) I ovdje postupamo kao u primjeru a): − 50 + 3 2 − 6 8 =− 25•2 + 3 2 − 6 4 •2 =
Rješenje:
= − 5 2 + 3 2 − 6 •2 2 =
a) Primijetimo da pribrojnici 2 12 i 5 27 nisu
= − 14 2.
= − 5 2 + 3 2 − 12 2 =
istoga imena, pa ih ne možemo zbrojiti. No,
91
2.6. Djelomično korjenovanje
Z a d a c i 10. Pojednostavi:
7. Izračunaj: a) 18 + 50 ; b) 2 8 + 3 32; c) 10 700 + 28; d) 125 + 8 20;
a) 3 12 + 11 − 3 27 − 2 44 ;
e) 12 12 + 27 27.
c) 3 16 + 25 − 27 − 75 ;
b) 2 10 + 72 + 2 40 − 2 8 ; d) 7 8 + 2 45 − 2 5 − 6 18 ;
8. Izračunaj:
12 - 3 27;
a)
c) 2 7 - 13 63;
e) 3 8 + 7 9 − 6 12 − 2 24 .
b) - 8 - 98; d)
5 - 9 45;
11. Pojednostavi:
e) -6 288 - 11 7200. 9. Izračunaj:
12 + 5 27 − 3 ;
a)
a)
2x 2 + x 72 − 3 8x 2 ;
b)
a2 + a 4 − a ;
2 2 2 c) - 3y - 27y - 12y ;
b) - 18 - 2 - 8 ;
2 2 d) 6 5x − 8 20x + 7x +
c) 4 75 + 2 27 − 5 48 ;
45x 2 ;
2 2 e) − x 40 − 6 10x + 3x 8 .
d) − 20 − 5 45 + 5 ; e) −10 200 − 4 2 + 3 50 .
Primjer 3. Zadaci sa zagradama Pojednostavi: a)
2
(
(
)
18 + 3 8 ;
( 2 − 1) ( 8 + 3 2 ) ; c) (3 2 − 4) ( 27 − 5 2 ) ; 2 d) (2 3 + 3 2 ) . b)
Sada primijenimo distributivnost, tj. svaki član zagrade pomnožimo sa 5 2 .
)
2 − 1 •5 2 = 5 4 − 5 2 = 5•2 − 5 2 = 10 − 5 2.
c) Djelomično korjenujmo
27 = 9•3 = 3 3 .
Sada množimo svaki pribrojnik prve zagrade sa svakim pribrojnikom druge zagrade:
(3 2 − 4) ( 27 − 5 2 ) = (3 2 − 4 ) (3 3 − 5 2 ) = 3 2•3 3 − 3 2•5 2 − 4•3 3 + 4•5 2 = Rješenje: •5 2 − 4•3 3 + 4 •5 2 = 2•−343 4 ) (3 3 − 5 2 ) = 3 2•3 3 − 3 2•5 2(3−94 (+343•45−−5212=2 )3=+3202•23 =39− 63 −230 (3 2 − možemo 6 −)15 − 12 3 + 20 2 a) Ovaj zadatak riješiti na dva − 152 4 − 12 3 + 20 2 = 9 6 − 30 − 12 3 + 20 2 9 6da − 15 4 −primijenimo 12 3 + 20 2 svojstvo = 9 6 − 30 − 1293 6+ 20 načina: tako prvo distributivnosti korjenujemo
ili
da
izraze
prvo
u
djelomično
zagradi.
Primijetimo
da
se
u
rezultatu
nalaze
Ovdje
pribrojnici različitog imena koje nije moguće zbrojiti, niti ih je moguće djelomičnim ćemo navesti rješenje s djelomičnim korjenovanjem svesti na pribrojnike istog korjenovanjem: da. je zadatak riješen. 2 18 + 3 8 = 2 2•9 + 3 2•4 = 2 3 2 + 6 2 = imena. 2•9 2To = 9znači 4 = 18
( ) ( 8 ) = 2 ( 2•9 + 3 2•4 ) = 2 (3 2 + 6 2 ) = 2•9
)
(
)
d) Primijenimo formulu za kvadrat zbroja:
2 = 9 4 = 18.
2
b) Izraze u drugoj zagradi možemo djelomično korjenovati.
( 2 − 1) ( 8 + 3 2 ) = ( 2 ) = ( 2 − 1) (2 2 + 3 2 ) = ( 2 − 1)•5 2 92
)(
(2 3 + 3 2 ) = (2 3 )
) (
2−1 2 2 +3 2 =
2
= 4•3 + 12 6 + 9•2 = 12 + 12 6 + 18 =
)
2 − 1 •5 2 = 30 + 12 6
(
+ 2•2 3•3 2 + 3 2
)
2
=
Korjenovanje i realni brojevi
Z a d a c i 12. Pojednostavi:
( 5(
( 2 + 1) ( 8 − 3) ; b) (2 2 − 5) ( 27 − 5) ;
) 48 ) ;
a)
3 5 18 − 3 8 ;
a) b)
50 + 3
(
3( 27 + 4 75) ;
d)
2 3 8 + 18 − 4 2 ;
( 8 (2 2 − 7
e)
)
( e) ( −
)
8 − 128 .
(
)(
2 -2
)
( 3 + 3 ) ( 3 + 5) ; c) ( −2 2 + 8 ) ( − 8 + 6 ) ; d) ( 75 − 4) ( − 27 + 13 3 ) ; e) ( 20 − 45 ) ( − 7 + 3) .
a)
b)
Izračunaj s točnošću od tri decimale broj
2+ 5
)(
)
2− 5 ;
( )2 c) (5 3 − 6 45 ) ; 2 d) ( −2 3 − 7 2 ) ; e) ( 3 − 3 5 ) ( 12 − 2 3 + 1) . 2
iracionalnog). Stoga ćemo razlomak proširiti sa 1 2
.
Rješenje: Treba izračunati količnik 1: 2 s točnošću od tri decimale. Primijetimo da u nazivniku imamo 2
(
2
b) 9 3 − 27 ;
15. Pojednostavi:
Primjer 4. Racionalizacija nazivnika
)
2
17. Izračunaj:
8 -5 2 ;
iracionalni broj
27 − 3 2 .
)
108 − 2 27 ;
b) ( 3 − 2 ) ; ( ) ; 2 2 d) (3 3 + 5 2 ) ; c) (2 5 + 2 ) ; 2 2 e) (2 32 − 4 27 ) ; f) ( 5 - 2) 2 2 g) ( 5 + 3 ) ; h) (2 5 + 5 3 ) ; 2 2 j) (5 3 + 12 ) . i) ( 18 - 2 3 ) ;
a) 1+ 7
( 7 + 3 5) ; b) 3 (2 18 − 3 3 ) ; c) 5 (2 45 − 12 ) ; d) −2 2 ( 12 + 3 8 − 4 5 ) ; e) − 27 (3 3 − 8 − 5 32 ) .
a)
)(
6 −1
)(
)
16. Izračunaj:
5
14. Pojednostavi:
18 + 4 2 ;
d) 5 3 − 25
13. Pojednostavi: a)
)(
c) 2 2 - 3
c)
koji ćemo zaokružiti na
2 . Prisjetimo se, proširiti razlomak znači i
brojnik i nazivnik pomnožiti istim brojem. 1 1 2 2 = = • 2 2 2 2 2 . To znači da umjesto 2 2 dijeljenja 1: 2 možemo računati 2 : 2 , što je Dobili smo da je
1
=
mnogo lakše podijeliti.
1.414. Pisanim dijeljenjem izračunamo da
1.414 : 2 = 0.707
je 1 : 1.414 ≈ 0.707. Bez upotrebe džepnog
To se može i napamet podijeliti, za razliku
računala ovo dijeljenje može biti vrlo zamorno.
od 1: 2 . Taj postupak proširivanja razlomka
Zato se u matematici umjesto toga primjenjuje
(s
iracionalnim
jednostavniji postupak. 1 Zadani razlomak proširimo tako da u 2 nazivniku dobijemo racionalni broj (umjesto
s
racionalnim
nazivnikom) nazivnikom
do
razlomka
naziva
se
racionalizacijom nazivnika. racionalizacija nazivnika
93
2.6. Djelomično korjenovanje Sada više nemamo iracionalan broj u nazivniku, nego racionalan. Kažemo da smo racionalizirali nazivnik.
Ovaj razlomak ima 2 u nazivniku. To j e iracionalan broj.
Primjer 5. Racionalizacija složenijeg nazivnika
b) Ovaj zadatak možemo riješiti na više načina. Evo jednoga: Nazivnik 18 trebamo pomnožiti s nekim
Racionaliziraj nazivnik: 2 2 a) ; b) . 18 3 2
Rješenje:
brojem tako da dobijemo potpun kvadrat. Ako pomnožimo 18 s 2 dobit ćemo 36 = 6 i tako u nazivniku više neće biti iracionalnog broja:
2
proširimo sa 2 jer ćemo 3 2 tako ukloniti korijen iz nazivnika.
a) Razlomak
2 3 2
=
2 3 2
2
•
2
Ti si tako racionalna!
=
2 18
=
2 18
2
•
2
=
2 2 36
=
2 2 2 . = 6 3
Do istog rješenja moglo se doći djelomičnim
2 2 2 = . 3 3 2
korjenovanjem
nazivnika
i
njegovom
racionalizacijom. Rezultat je isti kao u zadatku a).
Z a d a c i 18. Izračunaj bez džepnog računala s točnošću od d)
tri decimale: a)
1
3
; b)
2 3
2
; c)
6
; d)
5 5
4
; e)
(Napomena: racionaliziraj nazivnik).
1
2 3
; b)
2
3 6
; c)
20. Racionaliziraj: a)
1
18
; b)
2
12
; c)
4 3 5 -3 12
; d)
; d)
7 2 7
; e)
50 50
5 2 10
; e)
9 45
.
e)
94
1 3
=
3 ; b) 2
2 18
=
2 3 2 3 ; e) . = 3 2 3 8
2 2 ; c) = 2; 3 2
1+ 2 5
; b)
1- 2
; c)
2
−4 3 + 8 2 6
2+ 3 5
; d)
.
23. Racionaliziraj: .
a)
21. Koji je od ovih razlomaka točno racionaliziran? a)
12
=
22. Racionaliziraj: a)
19. Racionaliziraj: a)
2
.
4
d)
1+ 2 3
; b)
− 5+ 2
−4 3 + 8 2 8
2 ; e)
; c)
1+ 2 2 2
- 3-6 5 3 27
.
;
2 7+ 5 3
;
Korjenovanje i realni brojevi Primjer 5. Racionalizacija nazivnika i razlika kvadrata
2
b)
5− 3
Racionaliziraj: 2• 22 4 2 +1 5 + 3 2• 5 + 3 1 a) ; b) ; =c) 2 . = = • 2 2 55-− 33 3 1+ 2 5 −6 −32 25 + 3 5 − 3
( ) ( ) ( )
Rješenje: 2 , umnožak
a) Pomnožimo li nazivnik sa
(
2
=
5− 3
5+ 3 2
5+ 3
•
)=
5+ 3
=
( ) = 2• ( 2 2 ( 5) − ( 3) 2• 5 + 3
5+ 3 2
)=
5+ 3
5+ 3
c)
(
)( ) (
) (
4 2 +1• 3 6 + 2 2 3 6 +2 2 = 4 2 + 1 3 6 + 2 2= 4 2 + 1 4 2 + 1 2 • 2 kojim se proširuje razlomak. No prisjetimo = 3 6 −2 2 3 6 −2 2 3 6 +2 2 = 4 2 − 32 362 + 4− 2 2 +21 3 634− 62 2 +21 6 2+ 22 2 3 6 = = 3 6 • se razlike kvadrata i da je (a + b)(a – b) = 6 −4 2•3 2 + 16 3 +6 3− 26 + 2 2 32 6 + 2 2 + 3+ 26 2 + 2 2 3 12 12 12 + 8 34 6 3 a2 – b2. Stoga je mudro =22 12 + 8 4 + 3 6 + 2 2 12 = 4•3 + 16 + 3 4 2 + 1pomnožiti 4 2 +nazivnik 1 3 6 + 2 2 = 4 2 +1• + 4 2 1 3 6 2 + • 1 4 =2 + 1 4• 2 + 1 3 6= + 2 2 9 6 − 4•2 == 54 8 − = = = 2 2 a + b s faktorom 3 a –6b−i2obratno. 2 3 6Pogledajmo − =2 2 3 6 + • 2 2 + 16 − 8+ 33 +616 −+ 32 622+ 2 2 2= 12 129+68 − 44•+23 6 + 2 2 = 12 4•354 3 6 − 2 2 3 6 − 2 2 3 6 +24 2 2 − 3 6 2 2 = . 24 3 + 169+ 3 zašto: 6 −64+•2 2 54 − 46 = . +−8 2 4 + 3 16−+ 22 2 12 4•3 + 16 + 3 6 2 2 + 1 1 1− 122 12 1 46+ 3 6 + 2 2 12 12 +=8 4 + 3= 6= + 2 2 12 4•3 + 16 + 3 6= + 2 2 24 3 + 16 = = • = . = 54 − 8 = 1+ 2 1+ 2 1− 2 12= −9 62−24•92 1 46 6−−24•2 54 − 8 24 3 + 16 + 3 6 + 2 2 24 3 + 16 + 3 6 = . +2 2 = 46 . 1− 2 = − 1+ 2. = 46 −1 će biti
2 + 4, što znači da nije dobar broj
4 2 +1
(
4 2 +1
=
•
(
)
() ( ) ( ) ) ( ) ( ( )) ( )
( )
Z a d a c i 24. Racionaliziraj: a) d)
1 1+ 2
4
; b)
−5
6+ 2
; e)
2 5 +5
; c)
14 2 7 -7 2
1 1- 2 3
d)
;
a)
3 6 -2 2
2 +3
; b)
a)
3− 2
; c)
4 2 +1 3 6 −2 2
1. Djelomično korjenuj:
50 ; b)
98 ; c)
44 ; d) 18 ; e)
24 .
2. Djelomično korjenuj:
a)
432 ; b)
675 ; c) 1620 ; d)
5 6 + 10 5 −6 5 + 5 6
.
1
; b)
a -1
a -b a a -b
; e)
1 a +3
; c)
a a +b b a a −b b
2 a - b
;
.
4. Pojednostavni:
a
a)
d)
;
Vježb lica
; e)
26. Racionaliziraj:
.
25. Racionaliziraj:
4 2
3 5 −2 3 3 5+2 3
28 ; e)
200 .
3. Izračunaj:
a) 3 12 + 5 75 - 3 ; b) -3 18 - 7 2 - 8 ;
c)
e) - 200 + 2 + 50 .
75 - 6 27 - 5 18 ; d) -2 20 - 45 + 3 5 ;
a) 6 12 + 3 11 - 27 -
b)
10 + 3 72 + 40 - 8 ;
c)
16 + 2 25 - 4 27 - 2 75 ;
d)
8 + 45 - 5 - 18 ;
e) 2 8 +
44 ;
9 - 2 12 - 24 .
5. Pojednostavni:
( 15 + 3 5) ; b) 3 (2 6 - 3 3) ; c) 5 (2 15 - 10 ) ; d) - 2 ( 2 + 3 8 ) ; e) - 27 (3 3 - 9 - 5) .
a)
5
95
(
(
(
2.6. Djelomično korjenovanje 6. Pojednostavni:
( 2 - 1)( 8 + 2) ; b) ( 3 + 9 )( c) ( -2 2 + 8 )( - 2 + 6) ; d) ( 5 - 4)( - 10 + 13 5 ) ; e) ( 8 - 2 )( - 2 + 3) .
a)
)
3 +5 ;
14. Racionaliziraj:
( ) ; b) ( 6 - 2) ; c) (2 5 + 15) ; 2 d) (2 8 + 3 2 ) ; e) ( 32 - 4)(4 2 - 4) .
a) 1+ 12
8. Izračunaj:
)(
2
) ( 3 - 27 ) ; c) (5 5 - 6 45 ) ; d) ( 12 - 7 2 )(2 3 + e) ( 3 - 3 5 )( 12 - 4 3 ) . a)
(
2
2
2
2 + 1 2 2 - 8 ; b)
a)
)
2
98 ;
a)
( 20 ) ; b) ( 2 + 2 18 ) ; 2 c) (3 - 2 3 )(3 + 12 ) ; d) ( 6 + 2 3 ) ; 2 e) ( 2 + 2 32 ) ; f) ( 3 - 8 )( 3 + 1) . a) 2 +
2
a)
d)
2
6
2
3 + 1 1- 12 ;
; b)
a)
d)
a)
d)
( 6 ) ; b) ( 3 + 2 25) ; c) (3 5 - 2 3 )(3 5 + 2 3 ) ; d) ( 108 + 3)(2 - 3 ) ; 2 2 e) ( 2 + 2 8 ) ; f) (1+ 2 45 ) .
a) 2 +
12. Izračunaj:
a)
(
(
2
2
)
2
44 + 11 ; b)
)(
(
3 - 20
) (
c) 1- 2 3 3 + 12 ; d) e)
(
10 - 2 8
)
2
(
; f) 1-
6
)(
)
a)
d)
96
( 6 + 122 ) - ( 20 +2 5) ; b) (1+ 12 ) - ( 3 - 2) ; 2 c) (1+ 27 ) - ( 3 + 2)(2 3 - 1) ; d) (1+ 45 ) - (1- 80 ) ; 2
a)
2
2
2
)
3+2 5 ;
)(
)
a)
d)
; e)
2 7
3 12
2
; b)
18
-3
; c)
45
; d)
20
15 2 10
; e) -
20
1+ 2 8
; b)
2+ 3
1- 32
2 5
-4 5 + 8 2
; e)
3
2+ 5
; c)
2
;
.
40
1+ 3 3
; b)
- 8+ 2 2
- 32 + 2
2 3
- 3- 5
; e)
8
1+ 6
; c)
3 15
;
.
1 1+ 3
5
; b)
-17 2 2 +5
7+ 2
; e)
1
; c)
1- 3 2
1
;
.
2 3 -3 2
1 1- 2
4
; b)
-5 5 +5
; e)
6- 8
19
; c)
10
1- 2 5
;
.
2 2 -3 2
23 2 3 6 -2 2
5- 3 5+ 3
; b) ; c)
3 +1 3 3 -2 2
5+ 5
; e)
5- 6
;
.
21. Racionaliziraj:
a)
d)
.
13. Izračunaj i pojednostavi:
3 5
7
20. Racionaliziraj:
32 + 3 2 - 8 ; 2
3 5
; d)
19. Racionaliziraj:
11. Izračunaj:
8
; c)
18. Racionaliziraj:
) ( ) ( )( 2 c) (2 - 32 ) ; d) (1+ 3 3 )(2 - 15 ) ; 2 e) ( 2 + 2 50 ) ; f) ( 2 + 2)(2 - 8 ) .
a) 2 8 +
2 5
2
)
18 - 3 .
17. Racionaliziraj:
10. Izračunaj:
; b)
2
16. Racionaliziraj:
9. Izračunaj:
1
) - (5 16 - 2 27 )(
.
15. Racionaliziraj:
7. Izračunaj:
(
e) 4 8 + 2 3
4 2 -1 3 2 -2 5 3 5 -2 3 3 5+2 3
; b)
; e)
2 +3 3 -2
; c)
7+ 5 5- 7
2 +1 2 -1
.
22. Racionaliziraj:
a)
d)
4 3 -1 3-2 5
; b)
3 3 -2 2 3 3+2 2
2 +3 2 -2 ; e)
; c)
2 3 +1 3 2 -1
2 7+ 5 2 5- 7
.
;
;
9 27
.
Korjenovanje i realni brojevi
2.7. Kvadratna jednadžba Zapiši matematičkim jezikom i riješi� a) Dodamo li nepoznatom broju 8, dobit ćemo trostruki nepoznati broj. Koji je to broj? b) Kvadriramo li nepoznati broj, dobit ćemo 64. Koji je to broj?
Zadan je kvadrat sa stranicom a. Kolika je duljina stranice a ako je površina kvadrata 36 cm2? Zadatak toga tipa već nam je poznat i nije teško točno odgovoriti da je stranica a duga 6 cm. No ubacimo sada u taj zadatak malo više matematike. Možemo ga pretočiti u jednadžbu s nepoznanicom a. Traži se broj a, takav da je a2 = 36. Prije smo takav zadatak rješavali pogađanjem, no sada, kada znamo računati s korijenima, zaključujemo da se traži korijen iz 36. kvadratna
a2 = 36 a=
jednadžba
36
a = 6 cm. Jednadžba oblika a2 = 36 zove se kvadratna jednadžba jer je nepoznanica zapisana u obliku kvadrata.
Ovo j e linearna j ednadžba.
Ovo j e kvadratna j ednadžba.
97
2.7. Kvadratna jednadžba Primjer 1. Kvadratna jednadžba x2 = b
d) Rješenja ove jednadžbe bit će iracionalni brojevi. Računamo: x 2 = 50
Riješi kvadratnu jednadžbu:
x1 =
a) x 2 = 49 ; b) x 2 = 0.0009 ; c) x 2 = 5 ; 16 d) x 2 = 50 ; e) x 2 = 0 ; f) x 2 = − . 81
No, primijetimo da ova rješenja možemo još djelomično korjenovati jer je 50 = 25•2 = 5 2 . Zato su rješenja ove
Rješenje:
jednadžbe x1 = 5 2 , x2 = –5 2 .
a) Tražimo broj koji kvadriran daje 49. Naravno, to je broj 7. No i broj –7
50 , x2 = – 50
kvadriran daje 49. Zaključujemo da kvadratna jednadžba x 2 = 49 ima dva rješenja i pišemo x1 = 7, x2 = –7.
b) Ovu jednadžbu rješavamo na isti način. x 2 = 0.0009
e) Rješenje jednadžbe x 2 = 0 je 0 jer je 0 = 0 . To je jedina kvadratna jednadžba koja ima jedno rješenje. 16 . No 81 znamo da je kvadrat bilo kojeg broja uvijek 2 pozitivan broj ili 0. Stoga x ne može biti
f) Tražimo broj koji kvadriran daje -
negativan broj. Ta jednadžba nema rješenja
x1 = 0.03, x2 = –0.03.
u skupu realnih brojeva. 2
c) Pri rješavanju jednadžbe x = 5 pitamo se koji broj treba doći na mjesto nepoznanice x
Kvadratna jednadžba
tako da njegov kvadrat bude jednak 5. To je 2 broj 5 jer je 5 = 5 .
Ako je b > 0, tada kvadratna jednadžba
( )
No, rješenje jednadžbe je i - 5 jer je
(− 5)
2
= 5 . Stoga rješenja jednadžbe x 2 = 5 su x1 = 5 , x2 = – 5 . Primijetimo da ova rješenja
nisu
racionalni
brojevi,
nego
iracionalni.
Primjer 2. Kvadratna jednadžba oblika ax2 = b
oblika x 2 = b ima dva rješenja, x1 = x2 = – b .
Ako je b = 0, tada kvadratna jednadžba oblika x 2 = b ima jedno rješenje, x = 0. Ako je b < 0, tada kvadratna jednadžba oblika x 2 = b nema rješenja u skupu realnih brojeva.
b) U jednadžbi 9x 2 = 121 prvo želimo dobiti koliko je x 2 kako bismo iz toga izračunali
Riješi jednadžbu:
x. No umjesto x2 zadano nam je 9x2. Stoga
a) x 2 − 4 = 0 ; b) 9x 2 = 121; c) 3x 2 = 75 .
ćemo x2 dobiti dijeljenjem jednadžbe s 9.
Rješenje: a) Kao i kod rješavanja linearnih jednadžbi, prebacimo poznanicu na desnu stranu. Tada treba riješiti jednadžbu x 2 = 4 . Rješenja su x1 = 2, x2 = –2.
9x 2 = 121 / : 9 121 9 11 11 , x2 = – . x1 = 3 3 c) Dijeljenjem jednadžbe x2 =
dobivamo: 3x 2 = 75
/:3
2
x = 25 x1 = 5, x2 = –5.
98
b ,
3x 2 = 75
s
3
Korjenovanje i realni brojevi Primjer 3. Kvadratna jednadžba sa zagradom Riješi jednadžbe: a) (2x–3)2 = 49 ;
b) 3(2x+1)2 –27 =0.
Uočite da kvadratna jednadžba ima dva rješenja, ali ona sad nisu par suprotnih brojeva. b) 3(2x+1)2 –27 =0. Najprije sredimo
Rješenje:
jednadžbu tako da nam na lijevoj strani ostane
a) Promatramo cijelu zagradu kao nepoznanicu
3(2x+1)2 = 27
u toj kvadratnoj jednadžbi i dobivamo dva
(2x+1)2 = 9. Zatim nastavimo kao u
rješenja:
prethodnom primjeru – dobivamo dvije
2x1–3 = 7 i 2x2 – 3 = –7.
linearne jednadžbe.
Riješimo te linearne jednadžbe svaku zasebno.
2 x1+1 = 3 i 2 x2 + 1 = –3. Rješavanjem tih
samo zagrada s kvadratom.
2x1–3 = 7
2x2 – 3 = –7
2x1 = 7 + 3
2x2 = –7+3
2x1= 10
2x2 = –4
x1 = 5
x2 = 2.
linearnih jednadžbi dobivamo rješenja : x1 = 1 i x2 = –2.
Z a d a c i 7. Riješi jednadžbe:
1. Riješi jednadžbe: 2
2
2
2
a) x = 49; b) x = 16;
2
c) x = 100;
2
d) x = 1; e) x = 400. 2. Za koje brojeve a vrijedi jednakost: b) a 2 = 0.000009 ; c) a 2 = 9 ; 121 2 2 3600 2 d) a = ; e) a = 2 . 169 49 a) a 2 = 0.64;
a) x = 5; 2
d) x = 15;
2
b) x = 13;
g) -5x2 = 125; h) 27 = 3x2;
i) -2x2 = -200;
j) 25x2 = 16.
8. Riješi jednadžbe: a) 7x 2 = 0.28 ; b) 0.01x 2 = 6.25 ; c) d)
c) x = 0 ;
e) x = 52.
2
1 2 16 . x = 1; e) 3x 2 = 27 9
1 2 x = 36; 4
9. Riješi jednadžbe: a) (x + 3)(x − 2) = x + 10 ;
4. Riješi jednadžbe: a) x 2 = 50;
c) 9x 2 = 64; f) 4x2 = 64;
2
2
2
d) 25x = 1; e) 121x = 289;
3. Riješi jednadžbe: 2
a) 3x 2 = 75; b) 4x 2 = 100;
b) (x + 1)(x − 1) = 1 ; c) (x − 6)(x − 3) + 2 + 9x = 0;
b) x 2 = 320 ; c) x 2 = 600; 2
d) x = 3200; e) x = 180 .
d) (2x + 5)(2x − 5) = 4 ; e) (2x + 1)(x − 2) = 2 − 3x + 6 .
5. Koja je linearna, a koja kvadratna jednadžba? Riješi ih! a) x 2 = 49;
b) 7x = 49; c) x = 49 ; d) 7x = 49; e) x − 2 = 42. 2
10. Riješi jednadžbe:
6. Koliko rješenja imaju zadane jednadžbe? c) x 2 − 4 = 23;
2 b) (x − 3) = 16 ;
c) (x − 1)2 − 81 = 0;
d) (4x − 3)2 − 42 = 7 ;
2
e) (−5x + 5) = 5 ;
f) (x-2)2 = 64;
g) (x+5)2 = 25;
h) 27 = 3(x-4)2;
i) -2(3x+1)2 + 200 = 0;
j) (2x-3)2 - 81= 0.
Riješi ih! b) x 2 = 0 ; a) x 2 = −4; d) x − 4 = 23; e) x = 52 + 2.
a) (x + 3)2 = 1;
99
2.7. Kvadratna jednadžba
Vježb lica a
1. Riješi jednadžbe:
e) 4x2 + 12x + 9 = 0;
a) x 2 = 36 ; b) x 2 = 121; c) x 2 = 196 ; 25 400 2 2 d) x = ; e) x = . 49 16 2. Riješi jednadžbe: 121 2 ; b) x 2 = 0.04 ; c) x 2 = 1.69 ; a) x = 25
g) 16x2 + 8x + 1 = 0.
2 d) x =
25 81 2 ; e) x = . 36 49
3. Riješi jednadžbe:
121 = 0; a) x2 – 36 = 0; b) x 25 2
b) x 2 - 2.89 = 0 ; c) x 2 - 1.69 = 0 ; 5 32 2 20 2 = = 0. d) x ; e) x - 1 36 36 49
4. Riješi jednadžbe:
a) 3x 2 = 48 ; b) 4x 2 = 196 ; c) 9x 2 - 64 = 0 ; d) 25x 2 = 100 ; e) 16x 2 - 289 = 0 .
5. Riješi jednadžbe:
a) 7x 2 - 112 = 0 ; b) 6x 2 = 216 ;
c)
1 2 x = 25 ; 4
2 2 48 ; x = 3 50 6. Riješi jednadžbe:
e)
d)
1 2 x = 32 ; 8
3 2 4 f) x = . 4 3
9. Riješi jednadžbe:
a) (x – 3)2 = 49;
b) (2x + 1)2 = 36;
c) (x – 3)2 = 25;
d) (x + 8)2 = 49;
e) (2x + 3)2 = 9;
f) (x –7)2 = 64;
g) (x + 3)2 = 36.
10. Riješi jednadžbe:
a) (2x + 1)2 – 36 = 0;
b) (x – 11)2 – 121 = 0;
c) (3x + 2)2 – 4 = 0;
d) (x + 4)2 – 64 = 0;
e) (x + 1)2 – 1 = 0;
f) (x + 5)2 – 4 = 0;
g) (3x – 6)2 – 144 = 0.
11. Riješi jednadžbe:
a) 2(x + 2)2 – 8 = 0;
b) –3(x – 1)2 + 12 = 0;
c) 4(x + 2)2 – 4 = 0;
d) –5(x + 4)2 + 20 = 0;
e) 6(x + 1)2 – 6 = 0;
g) 7(3x – 6)2 – 28 = 0.
f) –(x + 5)2 + 4 = 0;
12. Riješi jednadžbe:
a) 36x2 +12x +1 = 121;
b) 4x2 – 4x + 1 = 16;
c) x2 + 6x + 9 = 64;
d) x2 – 8x + 16 = 36;
a) (x + 2)2 = 0;
b) (2x + 1)2 = 0;
e) x2 – 14x + 49 = 121;
c) (x + 4)2 = 0;
d) (3x –1)2 = 0;
f) x2 – 12x + 36 = 100;
e) (x – 12)2 = 0;
f) (2x + 3)2 = 0;
g) 25x2 + 30x + 9 = 1.
g) (x – 10)2 = 0.
13. Riješi jednadžbe:
7. Riješi jednadžbe:
a) 2x2 = 25;
b) 3x2 – 49 = 0;
a) (x –3)(x + 4) = 0;
b) (2x –3)(3x + 2) = 0;
c) –5x2 + 36 = 0; d) 7x2 = 16;
c) (x + 5)(2x –2) = 0;
d) (x + 7)(3x + 6) = 0;
e) 3x2 = 121;
e) (2x + 6)(3x – 9) = 0; f) (4x + 4)(3x – 6) = 0;
g) –2x2 + 169 = 0.
g) (x + 6)(3x + 5) = 0.
14. Riješi jednadžbe:
8. Riješi jednadžbe:
100
f) 9x2 –24x + 16 = 0;
a) 4x2 + 4x +1 = 0;
b) x2 –6x + 9 = 0;
c) 36x2 + 12x + 1 = 0; d) x2 + 8x + 16 = 0;
f) 8x2 – 81 = 0;
a) 6x2 = 25;
b) 2x2 – 100 = 0;
c) –5x2 + 60 = 0; d) 7x2 = 25;
e) 3x2 = 135;
g) –2x2 + 17 = 0.
f) 8x2 – 64 = 0;
Korjenovanje i realni brojevi
2.8. Ponavljanje Pitanja za ponavljanje: 1. Što je kvadratni korijen nekoga pozitivnog broja?
12. Kakvi su to iracionalni brojevi?
2. Što znači korjenovati?
13. Kojim slovom označavamo skup realnih brojeva?
3. Kojim znakom zapisujemo kvadratni korijen?
14. Od kojih se skupova sastoji skup realnih brojeva?
0?
4. Koliko je
0.0000000016 ?
5. Koliko će decimala imati
6. Navedi neke brojeve iz kojih nikako ne možemo izvaditi realan korijen. 7. Navedi neke brojeve čiji korijen nije prirodan broj, ali je racionalan. 8. Navedi neke brojeve čiji korijen nije racionalan broj. 9. Navedi nekoliko primjera konačnih decimalnih
15. Koji su od ovih brojeva iracionalni: 2 , 3 , 1 π, 4 , . 3 16. Koji se od ovih brojeva mogu djelomično korjenovati: 12 , 10 , 20 , 18 , 30 ? 17. Što znači racionalizirati nazivnik nekog razlomka? 18. Koje od ovih nazivnika treba racionalizirati: 1 1 3 1 , , , 1 . , 3 3 3 24 24 19. Koje su od ovih jednadžbi kvadratne, a koje linearne:
brojeva. 10. Navedi
nekoliko
primjera
a)
beskonačnih
nekoliko
primjera
beskonačnih
7x 3 = −56 ; c)
2x 2 = 164 ;
d) 2x = 164 ; e) x − 22 = 42 .
periodičkih decimalnih brojeva. 11. Navedi
x 2 = 25 ; b)
20. Koliko
rješenja
može
imati
kvadratna
jednadžba i o čemu to ovisi?
neperiodičkih decimalnih brojeva.
Zadaci za ponavljanje 1. Izračunaj: a)
25 ; b)
d)
2
1 ; e) 4
6. Zapiši s točnošću od 5 decimala kolika je duljina
1 ; c) 16
stranice kvadrata ako je njegova površina:
0.81;
a) 23 m2; b) 6.87 cm2. 7. Koliki je polumjer kruga ako je njegova površina:
0.000049.
2. Kolika je duljina stranice kvadrata ako je njegova površina: a) 100 m2; b) 0.36 cm2; c) 1.69 mm2.
a) 25π m2; b) 6.2π cm2; c) 16.9 mm2. 8. Nacrtaj graf kvadratne funkcije f(x) =
x.
9. Primjenom
umnoška
a)
( 6 ) ; b)
4. Koji
rezultati
41 42
; c)
500.8 .
korjenovanja
nisu
10. Izračunaj: a) racionalni
brojevi: a)
200 ; b) - 36 ; c)
5. Pomoću džepnog računala izračunaj i zapiši: a)
3 na šest decimala; b)
decimala.
0.7257 na 5
9a 2 ; b)
36x 2y 2 .
11. Izračunaj:
-36 .
korijen
a) 25•49 ; b) 25x •8100x .
2 2
za
izračunaj:
3. Bez korjenovanja i kvadriranja izračunaj: 2
svojstva
a) a • ab • b ;
12.
Primjenom
b)
svojstva
4a • 3b • 12ab . za
količnik
korijena
izračunaj: a)
100 36
; e)
14400 25
.
101
2K o. 8r. j ePnoonvaavnl j ea nij er e a l n i b r o j e v i 13. Izračunaj:
19. Pojednostavi:
( ) ; b)2 ( −10 2 ) ; c) (2a 2 ) ; d) (3c 5x ) .
a) 3 2
2
14. Izračunaj:
(
2
)
2
a) 5 + 2 ; b)
(
3− 2
2
)
2
(
; c) 2 7 − 3 5
a) −2 12 + 2 − 3 27 − 2 8; b) 2 − 3 72 + 2 400 − 6 8 .
)
2
.
2 − 2 2 + 3 2 − 2 2; b) 4 3 − 2 + 3 + 6 2 ; c) −7 5 − 2 5 + 6 2 − 2 .
)
16. Pojednostavi:
(
) ( )
(
(
)
27 ; b)
(
)
3 −2 12 + 3 3 .
( b) (
) ( 8 − 3 2) ; 12 − 4) (2 27 + 4 3 ) .
2 −3
1
3
; b)
2
10
; c)
-15 2 10
.
23. Riješi jednadžbe : a) x 2 = 100; b) x 2 − 0.36 = 0 ; 2 c) x 2 = 6 ; d) 2x − 180 = 0
)
24. Koliko rješenja imaju zadane jednadžbe?
17. Djelomično korjenuj: a)
)
2 + 3 5 ; b)
22. Racionaliziraj: a)
6 2 − 6 + 9 3 − 1+ 6 ; b) −3 2 2 − 1 − 2 2 − 5 ; c) 6 − 5 2 2 − 4 3 + 1. a)
(
21. Pojednostavi: a)
15. a)
(
2
20. a)
Riješi ih!
800 ; c) 3 18 .
a) x 2 = −1; b) x 2 = 0 ; c) x 2 − 1 = 0; d) x − 23 = 4; e) x = 12 + 2.
18. Izračunaj:
12 + 27 + 3 ; b) 4 18 - 2 2 - 8 ; c) −3 75 + 3 27 − 3 18 .
a)
Zadaci za ponavljanje – skupovi brojeva: 1. Kojem skupu brojeva pripada rješenje zadatka:
točno soli dobiti od 7300 kg morske vode?
a) 14 – 14 : 2 + (19 – 5) : 7 + 3 • 2;
Rješenje
b) 22 – 13 : 13 + 12 : (4 + 2) – 20;
b)
c) 5 • (9 + 2) – 25 : 5 + 0 – 7 : 2.
jedinica, a ne zaokruživanjem!).
2. Kojem skupu brojeva pripada rješenje zadatka: b) 2.5 + 2.5 : 5 – 12.5 + 0.5 • 1.5 + 0.5; c) (9 – 12.5) • 4 – 0.25 • 6 – 10.5.
b) –9 – 9 : 9 – 100 : (–3 • 5 – 4 – 1) + 6; c) 6.25 + (1.3 – 2.15) • 0.44 – 3.2 : (–0.1 + 0.6);
1 9 − ( 4. 3 + 2 1.6 ) . 3 5
mjernih
7 2 17 53 3 1 ; b) ; c) 2 ; d) ; e) ; f) . 100 3 9 10 11 7
brojevi: a)
6 4 13 1 5 ; b) ; c) ; d) 2 ; e) - . 20 30 10 5 9 period
u
decimalnom
zapisu
ovih
razlomaka:
n u razlici 3 – n tako da rezultat: Z;
c) pripada skupu Q, a ne pripada skupu Z; d) pripada skupu R, a ne pripada skupu Q. 5. Trgovac ima 139.5 kg banana i 9 sanduka. Može li on u jedan sanduk smjestiti cijeli broj kg banana, pod uvjetom da u svakom sanduku bude jednako kg banana? Objasni svoj odgovor. 6. Jadransko more sadrži 3.8% soli. Koliko će se
102
a)
9. Pronađi
4. Napiši nekoliko vrijednosti koje može imati broj a) pripada skupu N; b) pripada skupu
brojem;
konačni, a koji beskonačni periodički decimalni
a) 9 • (12 – 3) + 6 : (–8 + 2) + 8 • (–10);
3.5 +
decimalnim (pretvaranjem
8. Bez računanja odgovori koji su od ovih razlomaka
3. Kojem skupu brojeva pripada rješenje zadatka:
2 −4 5
a)
brojem
7. Zapiši u obliku decimalnog broja:
a) (2.5 + 2.5) : 5 – (12.5 + 0.5) • 1.5 + 0.5;
d) −2
izrazi:
prirodnim
1 2 6 7 10 2 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) 2 ; 3 3 7 9 12 3 3 11 g) ; h) 3 . 11 24
a)
10. Kojem skupu brojeva pripadaju brojevi: a) 0.33333…; b)
5 ; c) 0.272727…; d) 0;
e) 3 + 2 7 ; f) –1.1; g) π; h) 600 000 000; i) 3π; j) 0.4568045680...; k) –2π + 6. 11. Koji je broj veći: a) c) 3.14 ili π; d) 4 ili
3 ili 1.73; b) 2 ili 1.4; 16 ; e) − 2 + 1 ili –0.414.
Korjenovanje i realni brojevi π 6 , 2.5, 2.449, 2
12. Poredaj po veličini brojeve: i 2.44948.
a) x2 – 100 = 0;
13. Pojednostavi, a zatim izračunaj vrijednost izraza ako je a = 2, b = 3, c = – 3. Kojem skupu brojeva pripada rezultat pojedinog zadatka? a) 4a + 2b – 7a;
b) 3a(2 + 3b – 4a);
c) (–5 + c) • (2c – 3);
d) (–a – 2b + 6c) – 4b;
e) a2b + 3ab2 – 10a2b + a2b – ab2 – 3a2b. 14. Pojednostavi, a zatim izračunaj vrijednost izraza ako je a =
2 , b = 0.5, c = –4. Kojem skupu 5
brojeva pripada rezultat pojedinog zadatka?
[
]
a) −2 + 3a − (1 +3a ) ; b) –2ab –
16. Jesu li rješenja zadane jednadžbe racionalni ili iracionalni brojevi?
4a2b
+
6a2b;
c) (6 + 5a) • (3b – 1);
[
]
d) ab − 2a − (ab − a ) + (2a + 3ab ) ; e) ( 2 – 2c)(c + 2 2 ) – 3a(–a + 1).
15. Je li rješenje zadane jednadžbe cijeli ili prirodan broj? a) 2x + 3 – 4x = 9;
d) x + π = 0;
b) x2 = 0; c) x2 – 1 = 0;
6 =2+
e) 3x2 +
6.
17. Može li duljina neke dužine biti negativan broj? A iracionalan? Obrazloži odgovore. 18. Kvadrat ima površinu P = 2. Kolika je duljina stranice toga kvadrata? 19. Sastavi zadatak tako da površina kvadrata bude racionalan, a duljina njegove stranice iracionalan broj. 20. Ako je površina kruga 16π, je li polumjer toga kruga racionalan ili iracionalan broj? Kolika je točna vrijednost polumjera toga kruga? 21. Ako je površina kruga 16 m2, je li polumjer toga kruga racionalan ili iracionalan broj? Kolika je točna vrijednost polumjera toga kruga? 22. Kojem skupu brojeva pripadaju dobivene vrijednosti nepoznanice x, a kojem nepoznanice y?
b) 3x – (2x – 1) = 5 + (2x + 3);
a)
2x
+
5y
=
–1,
–4x
+
y
=
c) 3(3 – 2x) – 5(5x – 1) + 42 = 2 (1 – 3x) – 7 (2x – 3);
b) 0.2x – 0.5y = –1.3, 0.2x + 0.4y = 4;
d) (2x – 1)(x + 4) = (x + 9)(2x + 7) + 5;
c) 3 (1 – 2x) = y + 5, –2(x + y) = 5x – 3y;
x 13 + x 11- 2x = 3; f) =5– . e) x – 2 4 5
1 7 6 1 x + 0.7y = , − x + y = −2 ; 3 5 7 5 2x − y 2 x − 5y y − 3x 7 +y = , − = −2 . e) 3 3 2 5 10
2;
d)
Primjerak oglednog t esta: 1 ; b) 0.36 ; d)
1. Izračunaj: a)
1 . 4
2. Zapiši s točnošću od 4 decimale kolika je duljina stranice kvadrata ako je njegova površina:
a) 114 m2; b) 3.255 cm2.
3. Koliki je polumjer kruga ako je njegova površina 169π m2? a) 81•36 ; b)
72
9a 2b 2 ; c)
242
d) 2a • 2b • 12ab . a) 4 3 − 3 + 3 3 − 9 3 ;
) (
)
b) 7 5 + 2 − 2 5 + 6 2 . 6. Pojednostavi: a)
(
8. Djelomično korjenuj: a)
;
60 ; b)
)
6 2 − 3 6 − 1+ 5 6 ;
(
1000 .
)
a)
12 + 27 + 3 ; b) 2 18 − 2 2 − 8 ;
c)
3 −2 12 + 3 3 .
(
)
10. Racionaliziraj: a)
5. Pojednostavi:
3 −2 2
9. Izračunaj:
4. Izračunaj:
(
( 2 − 4 3 ) + 1. 2 2 2 7. Izračunaj: a) (5 5 ) ; b) ( −2 7a ) ; c) ( 4 − 5 ) ; 2 d) (2 3 + 3 2 ) . b)
3 12
; b)
25 3 5
.
11. Riješi jednadžbe : 2 a) x =
49 ; b) x 2 − 72 = 0. 9
12. Poredaj po veličini brojeve počinjući od najmanjeg:
3 , π, 3.14,
2 i 1.4.
103
3. Pitagorin poučak Važni pojmovi
Matematika je od davnih vremena bila potrebna za
Egipatski trokut:
izračunavanje problema iz svakidašnjice. Tako je
Indijski trokut
često potrebno izračunati dijagonalu pravokutnika
Pitagorin poučak
čije su duljine stranica poznate.
Pitagora
Sa svojim trenutnim matematičkim znanjem taj
Obrat Pitagorina poučka
problem možemo riješiti samo mjerenjem. No nije
Spirala drugog korijena
uvijek zgodno konstruirati pravokutnik da bi se
Skup R na pravcu Dijagonala kvadrata Visina jednakostraničnoga trokuta Površina jednakostraničnoga trokuta
izmjerila njegova dijagonala. Za njegovo rješavanje potreban nam je Pitagorin poučak. To je jedna
Pitagora VI st. pr. Kr.
od najpoznatijih matematičkih istina, a toliko je poznata i važna upravo zbog svoje primjenjivosti na razne probleme iz srodnih znanosti i iz svakodnevnog života. Pitagorin poučak bio je zbog svoje važnosti poznat još u davna vremena, a naziv mu potječe od starogrčkog matematičara po imenu Pitagora, koji je taj poučak dokazao.
d
b
Evo nekih primjera koje dosad nismo znali izračunati, a znat ćemo ih točno
a
izračunati kada naučimo Pitagorin poučak:
– Kolika j e visina dvokrakih lj estava?
– Može li se kišobran dug 1 m spremiti na dno kofera dimenzij a 40 cm x 30 cm?
– Može li Matij a ovaj svoj skate duljine 47 cm ugurati u školski ormariæ dimenzij a 37 cm x 20 cm?
U ovom ćeš poglavlju, primjerice, naučiti:
• Tko je bio Pitagora i tko su bili pitagorejci;
• Kako su stari Egipćani pomoću konopca uvijek točno sastavljali pravi kut;
• Je li baš Pitagora otkrio Pitagorin poučak;
• Kako izračunati duljinu treće stranice pravokut noga trokuta ako su zadane preostale dvije; • Kako glasi formula za duljinu dijagonale kvadrata čija je stranica poznata; • Zašto volovi ne vole matematiku;
104
• Ako svim racionalnim brojevima pridružimo točke pravca, jesmo li iskoristili sve točke na pravcu; • Kako konstruirati dužinu duljine točno
2 cm;
• Kako glasi formula za površinu jednakostraničnoga trokuta... I još mnogo toga!
Pitagorin poučak Kratki zadaci za ponavljanje:
5. Što je hipotenuza? 6. Kako glasi formula za opseg pravokutnog trokuta?
1. Što je pravokutni trokut? 2. Kako se nazivaju stranice pravokutnoga trokuta? 3. Kako
se
naziva
najdulja
stranica
u
pravokutnom trokutu? 4. Što su katete?
7. Kako glasi formula za površinu pravokutnog trokuta? 8. Što je kvadrat? 9. Kako glasi formula za površinu kvadrata? 10. Što je to poučak?
3.1. Pravokutni trokut Pronađi pravokutne trokute Gledajući slike objasni gdje se sve u raznim geometrijskim likovima skrivaju pravokutni trokuti.
U nastavnoj cjelini Pitagorin poučak upoznat ćemo se s jednom važnom matematičkom formulom koja ima primjenu u mnogim srodnim znanostima i u svakodnevnom životu. Kako se Pitagorin poučak odnosi na stranice pravokutnoga trokuta, važno je ponoviti gradivo vezano uz pravokutni trokut. U uvodnom B zadatku možemo prepoznati pravokutni trokut kao dio mnogih geometrijskih likova i tijela. Pravokutni trokut je trokut koji ima pravi kut.
pravokutni trokut katete
c
a
hipotenuza
Stranice trokuta koje zatvaraju pravi kut nazivaju se katetama.
C
A
b
Stranica nasuprot pravom kutu naziva se hipotenuzom. Hipotenuza je najdulja stranica pravokutnog trokuta. Na slici vidimo da dijeljenjem pravokutnika po dijagonali dobivamo dva sukladna pravokutna trokuta. Stoga je površina pravokutnoga trokuta P = ab . 2
a b
105
3.1. Pravokutni trokut Među brojnim pravokutnim trokutima istaknimo dva koja a
45°
a
1. Jednakokračni pravokutni trokut, koji se dobiva
45°
dijeljenjem kvadrata po dijagonali. Kutovi uz hipotenuzu
a
30°
c
susrećemo u našem geometrijskom priboru:
d
a
iznose 45º. 2. Pravokutan trokut s kutovima 30º, 60º i 90º. To je
c
b
trokut koji se dobije dijeljenjem jednakostraničnog trokuta
v
po jednoj njegovoj visini. Stoga je njegova hipotenuza 60°
a
60°
a
dvostruko dulja od kraće katete.
Primjer 1. Prepoznavanje kateta i hipotenuza
Rješenje: Znamo da su katete stranice pravokutnoga trokuta
Pogledaj sliku i svakom trokutu nađi katete i
koje čine pravi kut pa nije teško redom odrediti:
hipotenuzu: b
Katete: f, d; hipotenuza: e.
f
e d
c
a
Katete: b, c; hipotenuza: a.
c p
j
s
q
t
k
l
Katete: q, s; hpiotenuza: p.
s b
d
r
Katete: k, l; hipotenuza: j. Katete: s, r; hipotenuza: t. Katete: c, b; hipotenuza: d.
Primjer 2. Konstrukcija pravokutnoga trokuta
Rješenje:
Konstruiraj pravokutni trokut ABC s katetama
vrha C povucimo okomit polupravac. Na njemu
a = BC i b = AC ako je:
pronađimo dužinu b = AC = 4.6 cm. Spajanjem
a) a = 2.5 cm, b = 4.6 cm;
točaka A i B dobivamo pravokutan trokut ABC. ab 2.5 ⋅ 4.6 = Njegova površina je P = = 5.75cm2. 2 2 b) Kut uz hipotenuzu je 45º. To je jednakokračan
b) a = 39 mm, α = 45º. Kolika je površina dobivenoga trokuta?
a) Konstruirajmo stranicu a = BC = 2.5 cm i iz
pravokutni
trokut
koji
ćemo
konstruirati
kao u primjeru pod a). Njegova je površina a ⋅ a 39 ⋅ 39 760.5 mm2. P= = = 2 2 Egipatski trokut Pravokutni trokut bio je poznat i u davna vremena. Tako se u starom Egiptu pravokutni trokut upotrebljavao u zemljomjerstvu. Svake je godine rijeka Nil poplavljivala imanja i nakon poplava je trebalo ponovo odrediti granice između polja. Pri tim mjerenjima starim je Egipćanima trebao pravi kut. Pravi kut su dobivali preko trokuta sa stranicama dugim 3, 4 i 5 jediničnih dužina. Znali su da je takav trokut pravokutni trokut pa je kut što ga čine dvije kraće stranice pravi kut. Uz egipatski trokut veže se još jedna zanimljivost. Egipćani nisu za mjerenje zemljišta uoptrebljavali trokute načinjene od drveta i sl., nego od užadi. Na teren bi sa sobom nosili uže na kojem se pomoću jednakomjerno
106
Pitagorin poučak
raspoređenih čvorova nalazilo 12 dužina. To bi uže zatim savili u trokut sa stranicama od po 3, 4 i 5 dužina, a kako je to pravokutni trokut, kut između kraćih dužina tada je pravi kut. Budući da znamo da su stari Egipćani poznavali pravokutni trokut sa stranicama duljine 3, 4 i 5, takav trokut nazivamo egipatskim trokutom. Osim egipatskog postoji i tzv. indijski trokut sa stranicama duljina 36, 15 i 39 jediničnih dužina. Njega su poznavali stari Indijci. Napravi egipatski i indijski trokut od konca, vune ili konopca i uvjeri se da su pravokutni.
Z a d a c i 1. Koji su od ovih trokuta pravokutni, koji tupokutni, a koji šiljastokutni?
1
a) ima dva prava kuta; b) ima tri prava kuta;
7
3 2
4
5. Skiciraj trokut koji:
c) ima jedan pravi i jedan tupi kut;
6
5
d) ima jedan pravi i dva šiljasta kuta. 6. Nacrtaj pravokutni trokut s katetama duljina: a) 2 cm i 5 cm;
2. Koji su od ovih trokuta:
b) 4 cm i 4 cm;
a) pravokutni, tupokutni te šiljastokutni?
c) 1 cm i 5 cm.
b) jednakokračni, jednakostranični te raznostranični?
Izmjeri duljine njihovih stranica i izračunaj im opsege.
3
1
5
2
Koji su od ovih trukuta jednakokračni?
7
6
7. Konstruiraj pravokutni trokut ABC s katetama a = BC i b = AC ako je:
4
a) a = 2.5 cm, b = 4.6 cm;
3. Pogledaj sliku i svakom trokutu nađi katete i hipotenuzu:
A B
I
S G
B
b) a = 4 cm, b = 30 mm; c) a = 54 mm, α = 30º; d) a = 3.1 cm, α = 75º.
V
J
R
Kolika je površina dobivenoga trokuta? 8. Konstruiraj jednakokračni pravokutni trokut s katetom duljine 33 mm.
D E
F
C K
M
N
P
B
C T
4. Skiciraj: a) pravokutni jednakokoračni trokut; b) pravokutni raznostranični trokut;
9. Konstruiraj jednakokračni pravokutni trokut s
L
hipotenuzom duljine 4.5 cm. 10. Konstruiraj pravokutni trokut kojem je promjer opisane kružnice jednak 7 cm, a duljina jedne katete je 2.2 cm. 11. Konstruiraj pravokutni trokut kojem je duljina
c) tupokutni jednakokoračni trokut;
hipotenuze 57 mm, a visina na hipotenuzu duga
d) tupokutni raznostranični trokut;
je 2.8 cm.
e) šiljastokutni jednakokoračni trokut; f) šiljastokutni raznostranični trokut.
12. Konstruiraj pravokutni trokut kojem je visina na hipotenuzu 48 mm, a jedan šiljasti kut iznosi 30º.
107
3.2. Pitagorin poučak
3.2. Pitagorin poučak Nešto mi govori da ne mogu pogrij ešiti!
Priča o zlatnim pločicama Jednom davno kralj reče svome slugi: - Uvijek si mi vjerno služio, sada ću te nagraditi. Imam ovdje tri jednako debele zlatne pločice. Izaberi: možeš uzeti ovu veliku, ili obje male. Razmisli koji ti odabir više odgovara.
Prisjetimo se egipatskog trokuta iz prethodnoga poglavlja i povežimo ga s pričom iz uvodnog zadatka. Nacrtajmo pravokutni trokut s katetama duljina 3 cm i 4 cm. Znamo da je to egipatski trokut s hipotenuzom dugom 5 cm. Nacrtajmo sada kvadrate nad Što misliš, bi li sluga trebao uzeti veliku pločicu ili obje male? U kojem bi slučaju dobio više zlata?
B a C
svakom stranicom ovog trokuta:
c b
Zbrojimo li površine A
kvadrata nad katetama, primijetit ćemo da je B a C
B a C
c b
A
zbroj jednak površini kvadrata nad c b
hipotenuzom. A
kvadrat nad hipotenuzom, to zna svako dij ete, j ednak j e zbroj u kvadrata nad obj e katete.
9 + 16 = 25, tj. a 2 + b 2 = c 2.
aha... površina dvaj u manjih kvadrata zaj edno daj e površinu veæeg kvadrata.
Pitamo se vrijedi li ta jednakost samo za egipatski trokut ili možda vrijedi za svaki pravokutni trokut. Evo, pokušajmo s indijskim trokutom: 362 + 152 = 392. I tu je zbroj dvaju manjih kvadrata jednak površini najvećega kvadrata. Dapače, tvrdnja da je zbroj kvadrata nad katetama jednak kvadratu hipotenuze poznata je još od davnina. Smatra se da je starogrčki mate matičar Pitagora prvi dokazao da ova tvrdnja vrijedi za svaki pravo kutni trokut, pa se njemu u čast ta tvrdnja naziva Pitagorinim poučkom ili Pitagorinim teoremom.
108
Pitagorin poučak ili Pitagorin teorem
Pitagorin poučak
Pitagorin poučak B
U svakom pravokutnom trokutu površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka je zbroju površina kvadrata nad katetama. U svakom pravokutnom trokutu zbroj kvadrata duljina kateta jednak je
a2
kvadratu duljine hipotenuze.
c2 c
a C
Sada nam je jasan i odgovor na uvodni zadatak: slugi je svejedno hoće li uzeti oba mala ili samo veliki zlatni kvadrat jer je zadani trokut oko kojega su poslagani
b
A
b2
kvadrati – pravokutni trokut, pa je P 1 + P 2 = P 3. Postoji i legenda o tome
Pitagora Pitagora iz Samosa veliki je
kako ju je dokazao. Čeka
starogrčki matematičar, rođen
jući u predvorju jedne pa
oko 570. g. na otoku Samosu.
lače, Pitagora se zagledao
Osnovao je filozofsku školu na
u kamene pločice na podu.
jugu Italije, a njegovi učenici su
Tako mu je sinula ideja:
se zvali pitagorejci.
zbroj kvadrata dviju kateta
Važna matematička tvrdnja da je zbroj kvadrata
jednak
nad katetama jednak kvadratu nad hipotenuzom
hipotenuzom.
bila je poznata još prije Pitagore, no smatra se da
Pitagora je dokazao još jednu važnu geometrijsku
ju je on prvi dokazao. Zato se njemu u čast ta tvrd
tvrdnju: da je zbroj unutrašnjih kutova u trokutu
nja naziva Pitagorinim poučkom.
jednak 180º.
je
kvadratu
nad
Primjer 1. Pitagorin poučak b) Izračunaj duljinu stranice d sa slike:
a) Izračunaj duljinu stranice c sa slike:
C
5
4.4
b
12
1.2
Rješenje:
b) Kako je b kateta ovoga pravokutnoga trokuta,
a) Stranice duljina 5 i 12 su katete, a c je hipotenuza ovoga trokuta, a prema Pitagorinom poučku vrijedi formula a2 + b2 = c 2. Uvrstimo
vrijedi formula b 2 + 1.22 = 4.42. Stoga je b 2 = 4.42 – 1.22. b2 = 4.42 – 1.22 = 19.36 – 1.44 = 17.92
poznate veličine:
Kako je b 2 = 17.92, zaključujemo da je
c 2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169.
b =
Kako c=
je
c2
=
169,
zaključujemo
da
je
169 , tj. c = 13 cm.
17.92 . Ovaj je korijen
iracionalan broj,
pa ćemo uz pomoć džepnog računala pronaći njegovu približnu vrijednost: b=
17.92 ≈ 4.23 cm.
Ako su nam zadane duljine samo dviju stranica pravokutnog trokuta, pomoću Pitagorinog poučka možemo odrediti duljinu treće stranice.
109
3.2. Pitagorin poučak Primjer 2. Primjena Pitagorinog poučka
Ljestve su naslonjene uza zid kao na slici. Koliko trebaju biti dugačke ljestve ako im podnožje mora biti udaljeno od zida 0.9 m kako bi dosegnule 3 m visine zida?
Rješenje: Ljestve naslonjene na zid zajedno s dijelom zida i poda čine pravokutni trokut s katetama dugim 3 m i 0.9 m. Traži se duljina ljestava, tj. hipotenuza toga pravokutnoga trokuta. c 2 = 0.92 + 32 = 0.81 + 9 = 9.81 Kako je c 2 = 9.81, onda je c =
9.81 cm. Približna
vrijednost s točnošću na dvije decimale je c ≈ 3.13 m.
Primjer 3.
Rješenje:
Izračunaj x na slici ako je zadano:
Zadani je trokut visinom y podijeljen na dva pravokutna trokuta. Prvo ćemo izračunati katetu y iz pravokutnoga trokuta s hipotenuzom 10 i
10
y
6.5
katetom 8. y 2 = 102 – 82 = 100 – 64 = 36
x 8
36 = 6.
y=
Sada računamo katetu x iz trokuta s hipotenuzom 6.5 i drugom katetom y = 6. x 2 = 6.52 – 62 = 42.25 – 36 = 6.25 6.25 = 2.5
x=
Na slici se nalazi dokaz da Pitagorin poučak vrijedi za
a
a
Dokaz Pitagorina poučka
b
b2
b
c
svaki pravokutni trokut. Objasni! Objašnjenje:
c2 a2
Na obje se slike nalaze dva sukladna kvadrata sa stranicom dugom a + b. Oba kvadrata sastoje se od četiri sukladna pravokutna trokuta koji su na slici označeni plavom bojom. To znači da i preostali žuti dijelovi moraju biti jednakih površina. U prvom kvadratu to je a 2 + b 2, a u drugom c 2. Stoga zaključujemo da je a 2 + b 2 = c 2. Time je pokazano da Pitagorin poučak vrijedi za bilo koji pravokutni trokut.
Na CD-u Petice 8 koji dolazi uz udžbenik nalazi se još nekoliko zanimljivih dokaza Pitagorina poučka.
110
Pitagorin poučak
Z a d a c i
1. Iskaži Pitagorin poučak nad ovim stranicama:
b c
3
c a p
e
f
6. Izračunaj duljinu x na svakoj slici:
d
t
j
s
l
k
q
5 a)
s b
d
x
x
24 b)
25
x
3
d)
c)
4
x
26
15 12
r
20 21
2. Nacrtaj pet različitih pravokutnih trokuta, izmjeri
e)
3. Iskaži Pitagorin poučak za svaki pravokutni trokut:
x
f)
1
g)
2
x
x
im duljine stranica i uvjeri se da vrijedi Pitagorin poučak.
16
1
h)
2.9
x
7. Ljestve su naslonjene uza zid kao na slici. Koliko su duge ljestve?
a)
b) g
d
a
z
c
2.5 m
e y
b
x
h
c)
0.8 m
u
8. Ljestve duge 1.3 m prislonimo uza zid tako da im p
r
je donji kraj na podu od zida udaljen 0.5 m. Koliku t
s
visinu dosežu ljestve na zidu? Nacrtaj skicu. 9. Ljestve duge 5.5 m prislonjene su uza zid. Koliku će visinu doseći na zidu ako ih od zida
4. a) Izračunaj duljinu hipotenuze c pravokutnoga trokuta ako su zadane duljine kateta
odmaknemo: a) 1 m;
b) 2.5 m;
c) 0.7 m?
a = 40 cm i b = 30 cm;
10. Maja živi na prvom katu zgrade, na visini
b) Izračunaj duljinu hipotenuze m pravokutnoga
trokuta ako su zadane duljine kateta
3 m iznad tla. Ana živi na šestom katu susjedne zgrade, na visini 19 m iznad tla. Udaljenost
k = 2 cm i l = 2.1 cm;
između njihovih stanova zračnom linijom je 50 m.
c) Izračunaj duljinu hipotenuze t pravokutnoga
Kolika je horizontalna udaljenost između njihovih zgrada? Nacrtaj skicu.
trokuta ako su zadane duljine kateta m = 2.2 cm i n = 4.1 cm. 5. a) Izračunaj duljinu katete k pravokutnoga trokuta
11. Izračunaj duljine dužina x i y:
ako je zadana hipotenuza b = 3.7 cm i kateta
a) 35
c = 1.2 cm; b) Izračunaj duljinu katete d pravokutnoga trokuta ako je zadana hipotenuza h = 2 cm i kateta e = 1.2 cm.
ako je zadana hipotenuza h = 20 cm i kateta
d)
29
15
9
y
e)
15
f) y
0.3 2.9
2.9 x
y x
1.5
x
20
2.5
e = 11.25 cm. Izračunaj površinu svakog od ovih trokuta.
x
y y
c) Izračunaj duljinu katete d pravokutnoga trokuta
c)
29
21 x
b) 20
0.5
2.5
y 2.1
0.5 x
111
3.2. Pitagorin poučak 12. Zadan je pravokutni trokut s katetama a i b te
14. Katete pravokutnoga trokuta duge su 3 i 4 cm.
hipotenuzom c. Prepiši u bilježnicu i ispuni tablicu
Kolika je visina spuštena na hipotenuzu tog
približnim vrijednostima na dvije decimale:
trokuta?
a b c
2 2
5 12
a b c
4.2 4
5.5 19
1.3 5
6.2 2.6
15. Katete pravokutnoga trokuta duge su 2.7 i 3.6 cm.
12
2.45 9.8
11
3 7 14
trokuta?
8.13
16. Luka u geometrijskom priboru ima trokut
dvije decimale: a) 9
kojem je hipotenuza dvostruko dulja od
x
b)
9.9
x
b) Konstruiraj taj trokut i mjerenjem se uvjeri da je tvoj rezultat iz zadatka a) točan.
13. Izračunaj duljinu x sa svake slike s točnošću od
a) Kolika je visina spuštena na hipotenuzu tog
7
jedne katete. Kolika je površina toga trokuta ako je duljina druge katete 10 cm? 17. Majina mama ispekla je biskvit za trokutiće
6
od lješnjaka. Kolač treba rezati u obliku
c) x
d) 27
y
34
4.4
x
e) y
9 x
hipotenuze nalaze se u omjeru 5 : 13. Opseg toga trokuta iznosi 90 m. Izračunaj duljine
x
svih triju stranica i površinu zadanoga trokuta.
y
23
18
8 10
Primjer 4. Obrat Pitagorina poučka
c vrijedi da je a 2 + b 2 = c 2, tada su to duljine stranica pravokutnog trokuta s hipotenuzom c.
Zadan je trokut sa stranicama duljina:
Obrat Pitagorina poučka:
a) 24 cm, 25 cm i 7 cm;
Ako za duljine stranica a, b i c nekoga
b) 13 dm, 16 dm i 18 dm. Kako ćemo bez konstruiranja znati jesu li ti trokuti pravokutni?
Rješenje: Naučili smo da za svaki pravokutni trokut vrijedi da je zbroj površina kvadrata nad katetama jednak površini kvadrata nad hipotenuzom. No može se pokazati da vrijedi i obrat Pitagorinog poučka: Ako za duljine stranica trokuta a, b i
112
svake kriške? 18. U pravokutnom trokutu duljina jedne katete i
f) 15
za 1 cm kraća od hipotenuze, a druga je kateta duga 3 cm. Kolike će biti dimenzije
15 1.2
pravokutnih trokuta kojima je jedna kateta
trokuta vrijedi da je a 2 + b 2 = c 2, tada je taj trokut pravokutni trokut s hipotenuzom c. a) Sada nije teško riješiti zadatak. Hipotenuza pravokutnoga
trokuta
njegova
je
najdulja
stranica. To bi morala biti stranica duljine 25 cm jer je najdulja između 24 cm, 25 cm i 7 cm. Izračunajmo 252 = 625. Provjerimo: 242 + 72 = 576 + 49 = 625 = 252.
Pitagorin poučak Zaključujemo da je trokut sa stranicama duljina
b) Najdulja je stranica 18 cm, 182 = 324.
24 cm, 25 cm i 7 cm pravokutni trokut s
132 + 162 = 169 + 256 = 425
hipotenuzom 25 cm.
Budući da je 425 ≠ 324, zaključujemo da zadani trokut nije pravokutni trokut.
Ako za neka tri broj a vrij edi
Ako j e trokut sa stranicama
a2 + b2 = c2, tada su to duljine stranica
a, b i c pravokutan kao na slici,
pravokutnoga trokuta kao na slici.
onda vrij edi a2 + b2 = c2.
Z a d a c i 19. Dokaži da je egipatski trokut pravokutni trokut. 20. Dokaži da je indijski trokut pravokutni trokut. 21. Provjeri jesu li pravokutni trokuti sa stranicama duljina:
a) 6 cm, 8 cm, 10 cm;
b) 5 cm, 8 cm, 12 cm;
c) 4.5 cm, 7.5 cm i 6 cm;
d) 13.5 cm, 11 cm i 12 cm.
24. Nacrtaj nekoliko šiljastokutnih trokuta, izmjeri im duljine stranica i provjeri je li kvadrat najdulje stranice veći ili možda manji od kvadrata zbroja preostalih dviju stranica. Zatim isto napravi i za nekoliko tupokutnih trokuta. Možeš li nakon toga izvesti zaključak: kako računski možemo odrediti je li trokut šiljastokutan, pravokutan ili tupokutan ako su mu zadane duljine svih triju stranica?
22. Zadani su trokuti sa stranicama duljina:
a) 3 cm, 4 cm, 6 cm;
Skulptura posvećena
b) 35 mm, 21 mm, 28 mm;
Pitagori koja je
c) 2.5 cm, 1.5 cm i 2 cm;
podignuta na njegovu
d) 13 cm, 5 cm i 12 cm.
rodnom otoku Samosu,
Za svaki trokut računski i grafički (konstrukcijom)
koji danas pripada
provjeri je li pravokutan.
Turskoj.
23. Izračunaj površinu trokuta ako su mu duljine stranica:
a) 6 cm, 8 cm i 10 cm;
b) 12 cm, 5 cm i 13 cm.
113
3.2. Pitagorin poučak
Vježb lica
13. Zadan je pravokutan trokut s katetama a i b, te hipotenuzom c. Prepiši tablicu pa je ispuni
a
približnim vrijednostima na dvije decimale: a b c
1. Konstruiraj pravokutan trokut ABC s katetama
a = BC i b = AC ako je:
a) a = 2.5 cm, b = 3.2 cm;
b) a = 4.3 cm, b = 37 mm;
c) a = 48 mm, α = 40º;
d) a = 2.8 cm, α = 45º.
5
6.2 5 3.2 4 4.2 2.2 3.4 5.5 4 6 10 5 12 20 9.8 14 8.5
14. Izračunaj duljine nepoznatih dužina sa slike:
a) 15
2. Konstruiraj jednakokračni pravokutni trokut s katetom duljine 45 mm.
2 3
b)
x x
13
12
y
x
3. Konstruiraj jednakokračni pravokutni trokut s
50
3
22.5
y
hipotenuzom duljine 6 cm. 4. Konstruiraj pravokutni trokut kojem je polumjer
opisane kružnice jednak 7.5 cm, a duljina jedne
c)
37.7
10
11.6
y
5. Konstruiraj pravokutni trokut kojem je duljina
y
x
26
katete je 3 cm.
d)
y
19.5
6 x
hipotenuze 65 mm, a visina na hipotenuzu duga 3.5 cm.
e)
6. Konstruiraj pravokutni trokut kojem je visina na 0.9
hipotenuzu 52 mm, a jedan šiljasti kut iznosi 50º. 7. Izračunaj duljinu hipotenuze c pravokutnog
y x
trokuta ako su zadane duljine kateta a = 8 cm i
f)
3
20.3 17.5
y
3
b = 6 cm.
14.7 x
8. Izračunaj duljinu hipotenuze m pravokutnog trokuta ako su zadane duljine kateta k = 1.1 cm i l = 6 cm, i izračunaj površinu tog trokuta.
15. Ljestve duge 5.3 m prislonimo uza zid tako da im je donji kraj na podu udaljen od zida 2.8 m.
9. Izračunaj duljinu hipotenuze t pravokutnog
Koliku visinu dosežu ljestve na zidu? Nacrtaj
trokuta ako su zadane duljine kateta m = 13 mm i
skicu.
n = 84 mm, i izračunaj površinu tog trokuta. 10. Izračunaj duljinu katete k pravokutnog trokuta je
16. Ljestve duge 2.9 m su prislonjene uza zid. Koliku će visinu doseći na zidu ako ih od zida
zadana hipotenuza b = 3.3 cm i kateta c = 6.5 cm,
odmaknemo 2?
i izračunaj površinu tog trokuta. 11. Izračunaj duljinu katete d pravokutnog trokuta je
17. Računski provjeri jesu li trokuti pravokutni ako su im stranice duljina:
zadana hipotenuza h = 53 mm i kateta e = 2.8 cm, i izračunaj površinu tog trokuta. 12. Izračunaj duljinu katete d pravokutnog trokuta je zadana hipotenuza h = 3.7 cm i kateta e = 0.35 m.
a) 6 cm, 8 cm, 11 cm; b) 5 cm, 13 cm, 12 cm;
c) 2.5 cm, 7 mm i 2.4 cm; d) 4.1 cm, 4 cm i 2.5 cm.
18. Zadani su trokuti sa stranicama duljina:
a) 12 cm, 16 cm, 20 cm; b) 12 cm, 0.35 m, 375 mm; c) 9 cm, 4.1 dm i 0.4 m; d) 24 cm, 25 cm i 23 cm. Računski provjeri jesu li ti trokuti pravokutni.
114
Pitagorin poučak
3.3. Realni brojevi na brojevnom pravcu Nacrtaj brojevni pravac poput ovog na slici i na njemu pronađi točke pridružene brojevima: 1 -12 5 , -2, 1.3, , -0.7, 2 . 4 5 6 -3 -2 -1
O
E
0
1
2
U poglavlju 2.3. smo naučili da se skup realnih brojeva R
3
R
sastoji od skupa racionalnih brojeva Q i skupa iracionalnih brojeva I.
N
Z
Q
I
Racionalne brojeve smo naučili smještati na brojevni pravac još u šestom razredu. Evo nekoliko primjera pridruživanja racionalnih brojeva točkama brojevnog pravca:
O -3 -3.1
-2 11 1 -2 6 3
-1
-1 4
0
E 31 4
2 2.5 3
4 3 3 4
9 2
U ovom poglavlju ćemo naučiti kako i neke od iracionalnih brojeva smjestiti na brojevni pravac. Tek kada i iracionalne brojeve smjestimo na brojevni pravac ćemo moći reći da smo svim realnim brojevima pridružili točke pravca, a i obrnuto. No, prvo ćemo se zapitati može li duljina neke dužine biti iracionalni broj. Primjerice, može li duljina neke dužine biti točno
2 cm? Riješimo sljedeći
problem: Zadan je jednakokračni pravokutni trokut sa stranicom duljine 1 cm.
1
d
Pitamo se kolika je duljina njegove dijagonale d. Primjenom Pitagorinog poučka dobivamo d2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2. Zaključujemo da je duljina dijagonale kvadrata d =
1
2 cm, a to je iracionalni broj. Dakle, duljina
dužine može biti iracionalni broj. Otkriće iracionalnih brojeva Pitagorejci su bili učenici i sljedbenici Pitagore koji je na jugu Italije osnovao filozofsku školu. Matematiku su dijelili na aritmetiku, geometriju, astronomiju i glazbu. U središtu njihova pro matranja bio je broj, i to prirodni broj. Brojevima su pridavali ljudske osobine. Tako su, primjerice, razlikovali muške i ženske brojeve, prijateljske brojeve, savršene brojeve itd.
uvijek prikazivali geometrijski. Tako su došli i do zaključka da broj 2 nije racionalni broj. Taj se zaključak kosio s cijelim njihovim učenjem i otkriće iracionalnih brojeva toliko ih je pogodilo da su se bojali da će cijelo njihovo dotadašnje naučavanje i vjerovanje propasti. Zato su to svoje saznanje čuvali u strogoj tajnosti kako bi i dalje mogli slijediti svoje ideje. No istina je na kraju izišla na vidjelo i morali su priznati činjenicu da postoje i brojevi koji nisu racionalni.
Z a d a c i
Po njihovu shvaćanju jedini brojevi bili su prirodni i racionalni brojevi, koje su promatrali preko omjera prirodnih brojeva. Brojeve su
115
3.3. Realni brojevi na brojevnom pravcu Primjer 1. Konstrukcija dužine duge
1 cm. Kao što je gore pokazano, duljina njegove 2
cm
hipotenuze je
2 cm.
Konstruiraj kvadrat površine 2 cm2.
Rješenje: Tražimo duljinu stranice kvadrata s površinom 2
cm2.
a2
Kako je P =
a 2,
√2
1
zaključujemo da je
1
=2
a=
√2
1 1
2 cm.
Treba konstruirati stranicu kvadrata duljine
2
Sada
nije
teško
prenošenjem
dužina
i
cm. Nju ćemo nacrtati tako da prvo konstruiramo
konstrukcijom kuta od 90º konstruirati preostale
jednakokračni pravokutni trokut s katetom duljine
stranice kvadrata sa stranicom
Primjer 2. Spirala drugog korijena
Na taj smo način konstruirali dužinu dugu
Odaberi jediničnu dužinu po volji. Zatim konstrui
Ako sada nad njom konstruiramo okomicu dugu
raj dužine duljina 2, 3, 4 , 5,
1, dobit ćemo hipotenuzu h, takvu da je: 6,
7 , ... itd.
h2 =
2
√2
1
trokut s katetama duljine 1.
nastaviti. Na taj ćemo način za svaki prirodni broj √bilo 2 a moći konstruirati koju 1 √2 dužinu duljine a .
1
Hipotenuza tog trokuta će biti 2.
2 konstruirajmo
okomicu dugu 1. Dobit ćemo pravokutni trokut kojem je jedna kateta duga 2 , a druga kateta 1. Izračunajmo duljinu njegove hipotenuze d:
d=
3.
2
1 1
1
Sada nad hipotenuzom dugom
( 2)
+ 12 = 3 + 1 = 4,
dulja od jedinične dužine. Taj postupak možemo
rajmo jednakokračni pravokutni
d2 =
√8
1
1 1
√7
√6
√9 = 3
√5
√10
+ 12 = 2 + 1 = 3
√2
√2
1
1
1
√3
1
1
√2
1
1
√3
1
√3
1
√4 = 2
√4 = 2
1
3.
Možemo provjeriti da je duljina h zaista dvostruko
Odaberimo neku jediničnu du žinu OE = 1. Zatim konstrui
duga
( 3)
2 cm.
h = 2.
Rješenje:
116
√2
1 Tako nastaje tzv. spirala drugoga
1
korijena (naziva se još i Pitagorinom spiralom ili Pitagorinim pužem).
spirala drugoga korijena
Pitagorin poučak
Z a d a c i 2 cm.
1. Konstruiraj dužinu duljine
d) 6 cm;
2. Konstruiraj kvadrat s dijagonalom duljine 2 2 cm. 3. Nacrtaj spiralu drugoga korijena do hipotenuze duljine
e) 9 cm.
5. Konstruiraj dužinu duljine: a)
2 cm;
b) 2 2 cm;
d) 1.5 2 cm;
20 .
c) 5 2 cm;
1 e) 2 cm. 4
4. Konstruiraj dužinu duljine: a)
3 cm;
b)
7 cm;
c)
8 cm;
Primjer 3. Konstrukcija dužina s iracionalnom duljinom
3 cm konstruirajmo okomicu duljine 1 cm. 10 cm. U sljedećem
Hipotenuza će biti duga
koraku hipotenuza će biti duga 11 cm.
Konstruiraj kvadrat površine 47 cm2.
Rješenje: Površina zadanoga kvadrata je 47 cm2. To 6
znači da stranica kvadrata treba biti duga 47 cm. Ako konstruiramo tu stranicu, lako
√47
ćemo konstruirati i zadani kvadrat. Ispada da bismo morali konstruirati veći niz koraka spirale da dođemo do duljine
47 cm. No pronađimo
1
√11
prvi broj manji od 47 koji je potpun kvadrat, a to je 36. Primijenimo Pitagorin poučak: 47 = 36 + 11, tj.
(
47
)
2
= 62 +
( 11)
2
11 cm. I za dužinu od
√11
√10
1
. Prvo konstruirajmo
1
√9 = 3
11 cm morali bismo
1 √10 √9 = 3
konstruirati veći niz koraka, stoga pronađimo
Nad katetom duljine
prvi broj manji od 11 koji je potpun kvadrat,
drugu katetu duljine 6 cm. Njihova hipotenuza
a to je 9. Kako je
bit će duga
9 = 3, nad dužinom duljine
11 cm konstruirajmo
47 cm jer je
(
47
)
2
= 62 +
( 11)
2
.
Z a d a c i 6. Odaberi jediničnu dužinu po volji. Zatim konstruiraj
a) 3 cm2; b) 5 cm2; c) 8 cm2;
dužinu duljine: a)
3 ; b)
17 ; c)
29 ; e)
24 ; d)
57 .
7. Odaberi jediničnu dužinu po volji. Zatim konstruiraj dužinu duljine: a)
39 ; b)
47 ; c)
54 ; d)
59 ; e)
67 .
8. Konstruiraj dužinu zadane duljine. (Napomena: prvo djelomično korjenuj zadane brojeve).
12 cm; b) d) 18 cm; e) a)
9. Konstruiraj kvadrat površine:
20 cm; c) 75 cm.
72 cm;
d) 18 cm2; e) 31 cm2. Koliki je opseg svakog zadanoga kvadrata? 10. Zadan je pravokutni trokut s hipotenuzom dugom 4 2 cm i katetom od 4 cm.
a) Kolika je duljina druge katete toga trokuta?
b) Kojoj vrsti pripada taj trokut?
c) Konstruiraj taj trokut.
117
3.3. Realni brojevi na brojevnom pravcu 11. Površina pravokutnika je 6 5 cm2, a jedna
njegova stranica duga je 3 cm.
b) Koliko je puta polumjer većega kruga dulji od polumjera manjega kruga?
a) Kolika je duljina druge stranice pravokutnika?
b) Izračunaj opseg toga pravokutnika;
c) Konstruiraj taj pravokutnik.
c) Za koliko je veći polumjer dulji od manjeg? Rješenja prvo prikaži točnim brojem, a zatim zapiši približnu vrijednost zaokruženu na dvije
12. Površina manjega kruga je 3π mm, a većega
decimale.
kruga 9π mm.
a) Konstruiraj te krugove;
Primjer 4. Realni brojevi na brojevnom pravcu
dođemo do duljine 11 . Zato se poslužimo prvim manjim brojem od 11 koji je potpun kvadrat, a to je 9. Kako je 9 = 3, nad dužinom duljine 3
Na brojevnom pravcu jedinične dužine OE = 1 cm pronađi točke:
konstruirajmo okomicu duljine 1. Hipotenuza će biti duga 10 . U sljedećem koraku hipotenuza
A( 2 ), B( − 3 ), C( 11 ), D( 2 2 ).
će biti duga
11 .
Rješenje: Sve zadane točke pridružene su iracionalnim √3
brojevima. Pitamo se ima li točaka na brojevnom pravcu koje su pridružene iracionalnim brojevima.
Z a d a c-√ i
Odgovor je potvrdan iako nam se možda ranije
B
3
-1
√2
O
E
0
1 √2
A
D 2
C
2√2 √11
4
činilo da samo racionalni brojevi zauzimaju sve točke na pravcu. No sada kada znamo konstruirati dužine s realnim duljinama
a za prirodni broj
a, zaključujemo da i točkama brojevnoga pravca možemo pridruživati iracionalne brojeve. Konstruirajmo
dužinu
duljine
2
Pomoćna slika
√11
√10
1
pomoću
pravokutnoga trokuta s katetama duljine 1. Zatim tu dužinu nanesimo na brojevni pravac udesno od ishodišta. Na taj je način broju
1
2 pridružena
jedna posve određena točka brojevnoga pravca. Nanesemo li je dvaput, odredit ćemo točku koja je pridružena broju 2 2 .
√9 = 3
Ovdje smo vidjeli kako realnim brojevima oblika a pridružujemo točke pravca. I svakom drugom realnom broju pridružena je po jedna određena točka pravca. Tek sada, kada osim racionalnim i iracionalnim brojevima pridružimo njihove točno određene točke pravca, bit će popunjene sve točke na brojevnom pravcu.
√2 -1
O
E
A
0
1 √2
D 2
2√2
4
Pravac i skup R Svakom realnom broju pridružena je točno
118
Pomoću spirale drugoga korijena možemo odrediti točke B( − 3 ) i C( 11 ). Primijetimo da
određena točka na brojevnom pravcu.
bismo morali konstruirati veći niz koraka da
pridružen je jedan točno određen realan broj.
Vrijedi i obratno: svakoj točki pravca
Pitagorin poučak
Z a d a c i 16. U koordinatnoj ravnini pronađi točke:
13. Na brojevnom pravcu jedinične dužine
OE = 1 cm pronađi točke:
A( 3 ), B( −2 3 ), C( 12 ), D( − 27 ).
D( −3 2 , 5 ).
14. Na brojevnom pravcu pronađi točke:
17. U koordinatnoj ravnini nacrtaj graf kvadratne
A( 5 ), B( − 17 ), C( 3 11 ), D( −3 20 ).
funkcije. Za točke uzmi brojeve iz tablice:
15. Na brojevnom pravcu jedinične dužine
OE = 1 cm pronađi točke: A(
A( 2 , 2 ), B( − 3 , 0.5), C( 11 , 0),
2 −3 3 27 −3 19 ), B( ), C( ), D( ). 2 4 3 2
x
0
2
1
− 2
-1
2 2
− 3
Z a d a c i x2
Primjer 5. Kvadratura kruga problema u povijesti. To je problem tzv.
one oblika a ), dok neke i nije (primjerice, π, ∏ 3π, itd.). No bez obzira na (ne)mogućnost 2 matematičke konstrukcije važno je naglasiti da
kvadrature kruga koji je postavljen prije
se svakom realnom broju (pa čak i broju π) može
otprilike 2000 godina:
pridružiti točno određena točka brojevnoga
Zadan je krug polumjera r. Ravnalom i
pravca. I obratno, svakoj točki pravca može se
šestarom treba konstruirati kvadrat čija je
pridružiti točno određen realni broj.
Ovdje donosimo jedan od najvećih matematičkih
površina jednaka površini zadanoga kruga. Skup Q -1
0
E
0
1
2
3
èak i kada bismo sve racionalne broj eve smj estili na pravac, ostalo bi beskonaèno mnogo nepopunj enih toèaka...
Rješenje: Taj
problem
stoljećima
je
bio
izazov
za
matematičare, koji su pokušavali konstruirati taj kvadrat, ali nikako nisu uspijevali. Tek je 1882. godine njemački matematičar Lindemann dokazao da je nemoguće konstruirati taj kvadrat
Tek kada racionalnim broj evima na pravcu dodamo i iracionalne broj eve, bit æe ispunj en cij eli broj evni pravac.
jer je nemoguće točno konstruirati broj π. U ovom poglavlju pokazali smo da je moguće konstruirati duljine dužina koje su iracionalni brojevi oblika a . No nije moguće konstruirati dužinu duljine π iako je i broj π iracionalni broj. To znači da je neke iracionalne brojeve moguće konstruirati ravnalom i šestarom
(primjerice,
119
3.3. Realni brojevi na brojevnom pravcu
Vježb lica a
1. Konstruiraj dužinu duljine
2 cm.
2. Konstruiraj kvadrat s dijagonalom duljine 5 cm. 3. Nacrtaj spiralu drugog korijena do hipotenuze duljine 22 . 4. Konstruiraj dužinu duljine: a)
6 cm; b)
8 cm; c)
d)
12 cm; e)
15 cm.
3 cm;
6 ; b)
18 ; c)
26 ; d)
40 ; e)
20 .
7. Odaberi jediničnu dužinu po volji. Zatim konstruiraj dužinu duljine: a)
37 ; b)
10 ; c)
63 ; d)
60 ; e)
23 .
8. Konstruiraj dužinu zadane duljine. (Napomena: prvo djelomično korjenuj zadane brojeve). a)
32 cm; b)
48 cm; c)
d)
28 cm; e)
125 cm.
24 cm;
9. Na brojevnom pravcu jedinične dužine
OE = 1 cm pronađi točke:
A(– 8 ), B( 2 8 ), C( 0.5 10 ), D( − 15 ). 10. Na brojevnom pravcu pronađi točke:
120
27 −5 19 3 −3 3 ), B( ), C( 4 ), D( ). 2 2 5 12. U koordinatnoj ravnini pronađi točke:
A(
A( 2 , 8 ), B( −4 3 , 2.5), C( 12 , 0),
D( 4 2 ,– 6 ).
13. U koordinatnoj ravnini pronađi točke:
5. Konstruiraj dužinu duljine: 1 2 cm; a) 5 cm; b) 3 5 cm; c) 2 2 3 2 cm; e) 2 cm. d) 3 2 6. Odaberi jediničnu dužinu po volji. Zatim konstruiraj dužinu duljine: a)
11. Na brojevnom pravcu jedinične dužine OE = 1 cm pronađi točke:
A(–2 10 ), B( − 14 ), C( 3 13 ), D( −3 24 ).
40 A(– 3 ,– 4 ), B( −4 3 , ),
C( 10 , 2 2 ), D( 3 3 ,4).
2
14. Izračunaj duljinu hipotenuze pa je zatim i konstruiraj. Zadane su duljine kateta.
a) 1 i 1 cm; cm; d) 2 i 3 cm; cm.
b) 1 i 2 cm; c) 2 i 2 e) 3 i 1 cm; f) 3 i 2
15. Izračunaj duljinu katete pa je zatim i konstruiraj. Zadane su duljine hipotenuze i druge katete.
a) 5 i 4 cm; b) 3 i 2 cm; c) 6 i 4 cm;
d) 3 i 1 cm; e) 5 i 1 cm; f) 6 i 2 cm.
16. Poredaj brojeve po veličini pa ih zatim prikaži na brojevnom pravcu.
a)
5 , 1.99, 2,
π 3
i
6;
22 i − 2; 7 7 c) −2 5 , -3.6, 3.5, − i −3 2 . 2
b) 2 3 , 3.5, – 1.3,
17. Konstruiraj kvadrat površine 10 cm2. 18. Konstruiraj kvadrat s duljinom stranice
3.
19. Konstruiraj kvadrat s duljinom dijagonale
3.
Pitagorin poučak
3.4. Primjena Pitagorinog poučka na pravokutnik i kvadrat Pravokutnik i kvadrat Iskaži Pitagorin poučak na ovim trokutima:
a)
b) d
c
x
d x
b
Pitamo se kako izračunati duljinu dijagonale pravokutnika ili kvadrata ako su zadane duljine njegovih stranica. Na gornjim slikama primjećujemo da dijagonala siječe pravokutnik i kvadrat na dva sukladna pravokutna trokuta, a na pravokutnom trokutu možemo primijeniti Pitagorin poučak. Kroz sljedeće primjere uvježbat ćemo primjenu Pitagorinog poučka na pravokutnik i kvadrat. Pravokutnik je paralelogram s pravim kutom. Kvadrat je pravokutnik koji ima susjedne stranice jednakih duljina.
Primjer 1. Primjena Pitagorinog poučka na pravokutnik
d 2 = 452 + 902 = 2025 + 8100 = 10 125 d = 10 125 ≈ 100.62 m.
Matija će trebati pretrčati 100.62 m. Z a d a c i igralište po
Matija je na nogometnom treningu dobio zadatak
pretrčati
nogometno
dijagonali. Koliki put će pretrčati Matija ako su dimenzije nogometnog igrališta 45 m
. 90 m?
Primjena Pitagorinog poučka na pravokutnik:
Rješenje: Na slici primjećujemo pravokutni trokut s katetama duljine 45 m i 90 m, a treba izraču nati njegovu hipote nuzu koja je dijagonala pravokutnika.
45 m
d 90 m
d
b a
d2 = a2 + b2 d = a2 + b2
121
3P .i4t. aPgroi rmijne npa oPitagorinog učak poučka na pravokutnik i kvadrtat
Z a d a c i 1. Izračunaj duljinu dijagonale pravokutnika sa slike: a)
4. Izračunaj duljinu stranice a pravokutnika kojem su zadane dijagonala d i druga stranica b:
b) d
12
a) d = 15 cm, b = 12 cm;
d
1.5
b) d = 3 cm, b = 1 cm;
16
c) d = 2.6 cm, b = 0.8 cm;
2
d) d = 5 cm, b =
c) 1
c
d)
a
√2
3√3
3 cm.
5. Može li se nesklopivi kišobran dug 1.24 m spremiti na dno kofera pravokutnog oblika duljine 113 cm i
2√5
širine 45 cm? 2. Izračunaj duljinu stranice pravokutnika sa slike: a)
b) 25
a
6. Izračunaj duljinu dijagonale d pravokutnika sa slike: a)
1.5
b
b) 3a
d 4a
1.2
c) 1
√2
3b
d)
3√2
x
a
7. Izračunaj duljinu stranice x pravokutnika sa slike:
a)
b)
2√2 x
3. Izračunaj duljinu dijagonale pravokutnika kojem su duljine stranica jednake: a) 6 cm i 8 cm;
d
2b
20
10a
7a
8a
b) 7 cm i 9 cm;
c) 1.6 dm i 1.9 dm; d) 2 2 mm i
5 mm.
13a
x
8. Izračunaj opseg i površinu pravokutnika kojem je dijagonala duga 5 3 cm, a jedna stranica duga 4 3 cm.
možda sam ipak trebao prvo zaklopiti kišobran..?
9. Površina papira pravokutnog oblika je 300 cm2. Kolika je njegova dijagonala ako mu je jedna stranica duga 15 cm? 10. Matija i Luka se nalaze u jednom kutu parka pravokutnog oblika sa stranicama duljine 19 m i širine 10 m. Lopta se nalazi u nasuprotnom vrhu dvorišta kao na slici.
Matija i Luka
Lopta
Luka je odlučio doći do lopte stazicom koja ide rubom parka, a Matija je odlučio ići po dijagonali. Tko je prešao veći put i za koliko?
122
Pitagorin poučak 11. Konstruiraj pravokutnik kojem je jedna stranica duga
17. Građevinsko zemljište ima oblik pravokutnika.
2 cm, a druga 3 2 cm. Kolika je duljina
Dijagonala se prema manjoj stranici odnosi u
njegove dijagonale?
omjeru 25 : 7. Izračunaj površinu tog zemljišta i iskaži je u arima ako je kraća stranica
12. Luka ima u kuhinji okrugli stol promjera 2.2 m.
pravokutnika duga 28 m.
Može li gornja ploča tog stola proći kroz vrata dnevne sobe (visina vrata: 2 m; širina vrata:
18. Konstruiraj pravokutnik sa stranicama duljina
80 cm)?
4.2 cm i 2.8 cm. Zatim konstruiraj krug opisan
13. Majin otac želi vrata ormara unijeti u sobu. Vrata sobe su visoka 205 cm i široka 90 cm, a krilo ormara je visoko 243 cm i široko 220 cm. Hoće li moći unijeti krilo ormara kroz vrata sobe?
tom pravokutniku.
pravokutnika?
15. Dijagonala ekrana televizora je 54 cm, a
19. Površina kruga opisana pravokutniku je
36π cm2.
a) Konstruiraj taj pravokutnik ako mu je jedna stranica duga 4.1 cm;
susjedne stranice ekrana se odnose u omjeru
4 : 3.
c) Koliki postotak od površine kruga čini površina pravokutnika?
14. Nesklopivi kišobran je dug 1.24 m. Može li se i visine 25 cm?
b) Koliko puta je površina kruga veća od površine pravokutnika?
on spremiti u kofer duljine 113 cm, širine 45 cm
a) Za koliko je površina kruga veća od površine
b) Kolika je duljina druge stranice pravokutnika?
a) Kolike su dimenzija stranica ekrana?
Odgovor pronađi na dva načina: računanjem i
b) Kolika je površina ekrana?
mjerenjem.
16. Dijagonala ekrana televizora je 35 cm, a
20. Nogometaši su
susjedne stranice ekrana se odnose u omjeru
svakoga jutra tri puta
16 : 9.
na pripremama trebali
a) Kolike su dimenzija stranica ekrana?
pretrčati označenu
b) Kolika je površina ekrana?
c) Po preporukama, daljina iz koje gledamo
Početak
udaljenost.
Koliko metara su prešli
televizor trebala bi biti najmanje 3 puta veća
svakoga jutra ako je
od duljine dijagonale ekrana. Na koju najbližu
nogometno igralište dugo 90 m i široko 45 m?
udaljenost od TV-a bismo stoga trebali staviti naslonjač iz kojeg ćemo gledati programe?
Primjer 2. Primjena Pitagorinog poučka na kvadrat Kolika je duljina dužine FH sa slike? H
G
Rješenje: Treba izračunati duljinu dijagonale zadanog kvadrata. Primijetimo da dijagonala dijeli svaki kvadrat na dva sukladna pravokutna, jednakokračna trokuta. Primijenimo li Pitagorin poučak, dobit ćemo: FH 2 = 202 + 202 = 400 + 400 = 800
20 m
E
FH =
20 m
800 = 400 •2 = 20 2 ≈ 28.3 m
F
123
3P .i4t. aPgroi rmijne npa oPitagorinog učak poučka na pravokutnik i kvadrtat Primjer 3. Dijagonala kvadrata
Djelomično korjenujemo dobiveni izraz
Izračunaj duljinu dijagonale kvadrata sa stra nicom duljine a.
2a 2 = 2 ⋅ a 2 = 2 ⋅ a = a 2 i
kvadrata
dijagonalu kvadrata:
Rješenje: Gledajući sliku, primijenimo Pitagorin poučak
d =a 2.
na jednakokračni pravokutni trokut s katetama
Primjena Pitagorinog poučka na kvadrat:
duljine a.
d
d
a
a
a
a
d2 = a2 + a2 d 2 = 2a 2
d2 = a2 + a2 d 2 = 2a 2 d=
dijagonala
dobit ćemo korisnu formulu za
Dijagonala kvadrata:
2
d =a 2
2a .
Z a d a c i 21. Izračunaj duljinu dijagonale kvadrata sa slike:
a)
2
c)
b)
d
d)
2
11
d
1
23. Izračunaj duljinu dijagonale kvadrata ako mu je
c) 2
d)
1
stranica duga:
d
7
2.5
7
d
a)
2√2
124
b) 1 cm;
c) 0.6 m;
d) 2 2 mm.
24. Izračunaj duljinu stranice kvadrata ako mu je dijagonala duga:
2.5
22. Izračunaj duljinu stranice kvadrata sa slike:
a) 3 cm;
b)
a) d = 15 2 cm;
c) d = 12.5 2 cm; d) d = 5.5 cm;
e) 7.865 cm.
b) d =
2 cm;
25. Izračunaj duljinu stranice kvadrata, njegov opseg
5√2
i površinu, ako mu je dijagonala duga: b) 3 2 dm; c) 6 2 m;
a) 5 2 cm;
d) 10 2 cm; e) 10 cm
g) 6 m
h) 100 cm.
f) 12 dm;
Pitagorin poučak 26. Izračunaj duljinu stranice pravokutnika, njegov opseg i površinu, ako su mu dijagonala i jedna
31. Površina papira kvadratnog oblika je
400 cm2. Kolika je njegova dijagonala?
stranica duge: a) d = 34 cm a =16 cm;
c) d = 82 m a =18 m; d) d = 2 6 mm a = 2 2 mm;
e) d = 7 2 mm b= 5 2 mm;
33. Površina kvadrata je 8 cm.
f) d = 60 m b = 36 m;
h) d =
2mb=
1 m. 2
b) d = 13 cm a =5 cm;
32. Opseg kvadratne kule je 40 m. Kolika je duljina
g) d = 45 cm b = 36 cm;
dijagonale kvadrata u njenom tlocrtu?
a) Koliki je polumjer tom kvadratu opisane kružnice?
b) Konstruiraj taj kvadrat i njemu opisanu kružnicu.
27. Izračunaj duljinu dijagonale kvadrata sa slike:
34. Matematički diktat:
- Konstruiraj kvadrat stranice 2.5 cm;
a)
b)
- Izračunaj njegov opseg i površinu; - Izračunaj duljinu njegove dijagonale; - Konstruiraj kvadrat nad dijagonalom kvadrata; - Izračunaj opseg i površinu novog kvadrata; - Kolika je duljina dijagonale novog kvadrata?
x
- Kako se odnose opsezi, površine i dijagonale
p
c)
novog i starog kvadrata?
d)
x
35. Kolika je površina osjenčanog kružnog vijenca:
√2a
2a
28. Izračunaj duljinu stranice kvadrata sa slike:
a)
b)
2a√2
a√2
Duljina stranice kvadrata je:
a) 2 cm;
b) a cm.
36. Površina manjeg kvadrata je 2 cm2, a površina
c)
većeg kvadrata je 4 cm2.
d)
2a
7a
a) Konstruiraj te kvadrate;
b) Kolike su dijagonale tih kvadrata?
c) Koliki je omjer stranica manjeg i većeg kvadrata? Rješenje prikaži prvo točnim brojem, a zatim rješenje prikaži u obliku približne vrijednosti s točnošću od dvije decimale;
29. Izračunaj opseg i površinu kvadrata kojem je dijagonala duga 5 2 cm.
a) 3 2 cm;
b) 4.5 2 cm;
d) Koliki je omjer dijagonala manjeg i većeg kvadrata?
30. Konstruiraj kvadrat kojem je dijagonala duga:
c) 8 cm.
e) Koliki je omjer površina manjeg i većeg kvadrata?
125
3 . 4 . P r i m j e n a Pitagorinog poučka na pravokutnik i kvadrtat
Vježb lica
a
1. Izračunaj duljinu dijagonale pravokutnika kojem su duljine stranica jednake:
a) 5 cm i 12 cm;
b) 2 cm i 2.1 cm;
c) 3.3 dm i 5.6 dm; d)
5 cm i 2 3 cm.
2. Izračunaj duljinu stranice a pravokutnika kojem su zadane dijagonala d i druga stranica b:
a) d = 17 cm, b = 15 cm; b) d = 29 cm, b = 2.1 dm; c) d = 8.5 cm, b = 8.4 cm; d) d = 13 cm, b = 2 cm.
3. Može li se nesklopivi kišobran dug 1.3 m spremiti na dno kofera pravokutnog oblika duljine 120 cm i širine 50 cm? 4. Izračunaj opseg i površinu pravokutnika kojem je dijagonala duga 3 5 cm, a jedna stranica duga 2 5 cm. 5. Lukin otac želi vrata ormara unijeti u sobu. Vrata sobe su visoka 210 cm i široka 95 cm, a krilo ormara je visoko 235 cm i široko 220 cm. Kako će unijeti krilo ormara kroz vrata sobe? 6. Nesklopivi kišobran je dug 1.1 m. Može li se on spremiti u kofer duljine 100 cm, širine 50 cm i visine 25 cm? 7. Dijagonala ekrana televizora je 56 cm, a susjedne stranice ekrana se odnose u omjeru 4 : 3. a) Kolike su dimenzija stranica ekrana? b) Kolika je površina ekrana? 8. Dijagonala ekrana televizora je 45 cm, a susjedne stranice ekrana se odnose u omjeru 3 : 4.
a) Kolike su dimenzija stranica ekrana?
b) Kolika je površina ekrana?
9. Konstruiraj pravokutnik sa stranicama duljina 4.5 cm i 2.8 cm. Zatim konstruiraj krug opisan tom pravokutniku. a) Za koliko je površina kruga veća od površine pravokutnika? b) Koliko puta je površina kruga veća od površine pravokutnika? c) Koliki postotak od površine kruga čini površina pravokutnika? cm2.
10. Površina kruga opisana pravokutniku je 2.89 π a) Konstruiraj taj pravokutnik ako mu je jedna stranica duga 3 cm; b) Kolika je duljina druge stranice pravokutnika? c) Za koliko je površina kruga veća od površine pravokutnika?
126
d) Koliko puta je površina kruga veća od površine pravokutnika? e) Koliki postotak od površine kruga čini površina pravokutnika?
11. Izračunaj duljinu dijagonale kvadrata ako mu je stranica duga:
a) 5 cm; b) 1.5 cm; c) 5 2 m; d) 2 8 mm.
12. Izračunaj duljinu stranice kvadrata ako mu je dijagonala duga:
a) d = 7 2 cm; b) d = 18 cm; c) d =
d) d = 4 cm; e) 6 cm.
3 4
2 cm;
13. Izračunaj opseg i površinu kvadrata kojem je dijagonala duga 6 2 cm. 14. Konstruiraj kvadrat kojem je dijagonala duga:
a) 5 2 cm; b) 2.5 2 cm; c) 4 cm; d) 5 cm.
15. Površina papira kvadratnog oblika je 361 cm2. Kolika je njegova dijagonala? 16. Opseg kvadrata je 4.8 dm. Kolika je duljina dijagonale kvadrata? 17. Površina manjeg kvadrata je 12 cm2, a površina većeg kvadrata je 16 cm2. a) Konstruiraj te kvadrate; b) Kolike su dijagonale tih kvadrata? c) Koliki je omjer stranica manjeg i većeg kvadrata? d) Koliki je omjer dijagonala manjeg i većeg kvadrata? e) Koliki je omjer površina manjeg i većeg kvadrata? 18. Opseg manjeg kvadrata je 16 cm, a površina većeg kvadrata je 32 cm2. a) Konstruiraj te kvadrate; b) Kolike su dijagonale tih kvadrata? c) Koliki je omjer stranica manjeg i većeg kvadrata? d) Koliki je omjer dijagonala manjeg i većeg kvadrata? e) Koliki je omjer površina manjeg i većeg kvadrata? 19. Površina manjeg kvadrata je 8 cm2, a opseg većeg kvadrata je 4 2 cm. a) Konstruiraj te kvadrate; b) Kolike su dijagonale tih kvadrata? c) Koliki je omjer stranica manjeg i većeg kvadrata? d) Koliki je omjer dijagonala manjeg i većeg kvadrata? e) Koliki je omjer površina manjeg i većeg kvadrata? 20. Opseg manjeg kvadrata je 12 cm, a opseg većeg kvadrata je 16 cm. a) Konstruiraj te kvadrate; b) Kolike su dijagonale tih kvadrata? c) Koliki je omjer stranica manjeg i većeg kvadrata? d) Koliki je omjer dijagonala manjeg i većeg kvadrata? e) Koliki je omjer površina manjeg i većeg kvadrata?
Pitagorin poučak
3.5. Primjena Pitagorina poučka na jednakokračni i jednakostranični trokut Jednakokračni i jednakostranični trokut a) Na kojoj se slici nalazi jednakokračni, a na kojoj jednakostranični trokut? b) Što je jednakokračni trokut? Kako glasi formula za njegov opseg? c) Što je jednakostranični trokut? Kako glasi formula za njegov opseg? Kolike su veličine njegovih kutova? d) Gdje na ovim trokutima možeš primijeniti Pitagorin poučak? Jednakokračni trokut je trokut koji ima dvije stranice jednakih duljina. Te se
b
v
b
b v
a
stranice nazivaju krakovima, a preostala stranica trokuta naziva se osnovicom. Kutovi uz osnovicu jednakokračnoga
a — 2
trokuta jednakih su veličina.
Spustimo visinu v iz vrha jednakokračnoga trokuta koji se nalazi nasuprot osnovice. Ta će visina dijeliti jednakokračni trokut na dva sukladna pravokutna trokuta. Kako krajnja točka visine leži u polovištu osnovice jednakokračnoga trokuta, katete dobivenoga pravokutnoga trokuta su visina v i polovica osnovice a , dok je hipotenuza krak b. 2
Primjer 1. Jednakokračni trokut Luka je izmjerio da je krovna ploča planinske kućice duga 9 m, a da je kućica sprijeda široka 6 m. Kolika je visoka kućica? a) Procijeni njezinu visinu;
9m
b) Izračunaj njezinu visinu.
6m 127
3 . 5 . P r i m j e n a Pitagorina poučka na jednakokračni i jednakostranični trokut Rješenje: Primjećujemo da kućica sprijeda ima oblik jednakokračnoga trokuta i da se traži njezina visina. Povucimo visinu v.
Primijenimo Pitagorin poučak: 2
v2 = b2 – a 2 v 2 = 92 – 32 = 81 – 9 = 72 72 ≈ 8.5 m.
v= 9m
9m
v
9m
v
6m
9m
Planinska kućica visoka je oko 8.5 m.
3m
Primjena Pitagorina poučka na jednakokračni trokut:
b
2
v
b2 = a + v2 2
b
b
v a a —
a
2
Z a d a c i 1. Izračunaj duljinu visine jednakokračnoga trokuta sa slike: a)
trokuta sa slike: b)
c)
a)
d)
5
v
1.3
8
2.4
7
b)
c)
d)
4√2
17 v
3. Izračunaj duljinu osnovice jednakokračnoga
v 2
b
15 a
25
4 a
13
4√2
a
2. Izračunaj duljinu kraka jednakokračnoga trokuta sa slike: a)
4. Dvokrake ljestve razmaknute su kao na slici:
b)
8 12
c)
d)
21.5
4 8
14.1
4√2
4m
4m
5
1.5 m Kolika je visina ljestava?
128
25
18.5 21.5 a
Pitagorin poučak 5. Ploča krova planinske kućice duga je 8 m, a kućica
a) krak b = 50 mm;
Z a d a b)cvisina i v = 4 cm, osnovica a = 5 cm.
je sprijeda široka 6.5 m. Koliko je visoka kućica? a) Procijeni njezinu visinu;
11. Osnovica jednakokračnoga trokuta iznosi
b) Izračunaj njezinu visinu.
48 mm. Pritom je krak za 8 mm dulji od visine
6. Kolika je visina jednakokračnoga trokuta ako su
toga trokuta. Izračunaj opseg i površinu toga
zadani krak b i osnovica a:
trokuta.
a) b = 13 cm; a = 10 cm; b) a = 40 mm; b = 5 cm; c) b = 1.3 cm; a = 0.6 cm; d) b =
12. Konstruiraj kružnicu polumjera r = 4.2 cm i
2 cm; a = 2 cm;
jednu njegovu tetivu duljine t = 2.5 cm. Koliko je
e) b = 3 3 m; a = 2 6 m.
središte kružnice udaljeno od tetive t?
7. Kolika je osnovica jednakokračnoga trokuta ako su
13. Površina jednakokračnoga trokuta s osnovicom
zadani krak b i visina v:
duljine 9 cm iznosi 27 3 cm2.
a) b = 13 cm; v = 12 cm; b) v = 30 mm; b = 5 cm; c) b = 17 cm; v = 7 cm; d) b = 2 6 cm; v = 4 cm;
a) Kolika je duljina visine na tu stranicu?
b) Kolika je duljina kraka?
e) b = 3 2 m; v = 2 2 m.
c) Koliki je opseg toga trokuta?
8. Koliki je krak jednakokračnoga trokuta ako su
d) Konstruiraj taj trokut.
zadani osnovica a i visina v:
14. Površina jednakokračnoga trokuta s osnovicom
a) v = 6 cm; a = 16 cm; b) a = 13 mm; v = 7 cm; c) v = 4 cm; a = 4 cm; d) a = 2 2 cm; v = 4 cm; e) a = 3 2 m; v = 2 3 m. 9. Koliki su površina i opseg jednakokračnoga trokuta ako je: a) visina v = 4 cm, krak b = 5 cm;
duljine 3 3 cm iznosi 9 cm2.
a) Kolika je duljina visine na tu stranicu?
b) Kolika je duljina kraka?
c) Koliki je opseg toga trokuta?
d) Konstruiraj taj trokut.
15. Zadan je jednakokračni trokut s krakom duljine
b) osnovica a = 6 cm, krak b = 6.5 cm.
5 cm i osnovicom 6 cm. Kolika je duljina visine na
10. Opseg jednakokračnoga trokuta je 18 cm. Kolika
krak toga trokuta?
je površina toga trokuta ako je:
Primjer 2. Jednakokračni pravokutni trokut Duljina visine pravokutnog jednakokračnoga trokuta je 3 2 cm. a) Kolike su duljine njegovih stranica? b) Koliki je opseg toga trokuta? c) Kolika je površina toga trokuta?
Rješenje: Nacrtajmo skicu.
a 3√2
a) Zadana visina na osnovicu duga je 3 2 cm pa zaključujemo da je dijagonala d kvadrata dvostruko dulja, tj. d = 6 2 cm. To je ujedno i duljina osnovice pa je a = 6 2 cm. Prisjetimo se, ako je b stranica kvadrata, tada je formula za duljinu dijagonale kvadrata d = b 2 pa zaključujemo da je b = 6 cm. b) Kako je a = 6 2 cm i b = 6 cm, izračunajmo opseg. o = a + 2 · b = 6 2 + 2 · 6 = 6 2 + 12 cm To je točna vrijednost opsega, a ako je za praktične primjene približna vrijednost, dobije se o ≈ 20.49 cm.
a 3√2
a
dva sukladna dijela. Primijetimo da je visina na osnovicu jednakokračnoga pravokutnoga trokuta jednaka polovici dijagonale kvadrata.
a
Jednakokračni pravokutni trokut dobiva se dijeljenjem kvadrata jednom dijagonalom na
c) Površina kvadrata sa stranicom duljine b = 6 cm je 36 cm2. Stoga je površina zadanoga trokuta dvostruko manja, tj. P = 18 cm2.
129
3 . 5 . P r i m j e n a Pitagorina poučka na jednakokračni i jednakostranični trokut
Z a d a c i 16. Izračunaj opseg i površinu pravokutnog
b) Koliki je opseg toga trokuta?
jednakokračnoga trokuta kojem je svaka kateta
c) Kolika je površina toga trokuta?
duga:
19. Duljina visine pravokutnog jednakokračnoga
a) 6 cm;
b) 3.5 mm;
c)
2 dm.
a) Kolike su duljine njegovih stranica?
jednakokračnoga trokuta kojem je osnovica duga:
b) Koliki je opseg toga trokuta?
a) 4 2 cm;
c) Kolika je površina toga trokuta?
17. Izračunaj opseg i površinu pravokutnog
trokuta je 9 cm.
b)
2 mm;
c) 6 dm.
18. Duljina visine pravokutnog jednakokračnoga trokuta je 5 2 cm.
a) Kolike su duljine njegovih stranica?
Primjer 4. Jednakostranični trokut Izračunaj duljinu visine jednakostraničnoga trokuta sa stranicom a = 6 cm. Prvo procijeni
a
a
v
v
a
rezultat.
Jednakostranični trokut je trokut koji ima sve stranice jednakih duljina. Svi kutovi u tom trokutu imaju veličinu 60º. Primijetimo da nam je u zadatku zadan samo jedan poznat podatak – duljina stranice trokuta. U jednakostraničnom trokutu taj je podatak dovoljan da se nađu visina i površina trokuta.
Gledajući sliku, zaključujemo da je zaista dovoljan samo jedan poznat podatak jer je kod jednakostraničnoga trokuta duljina kraka jednaka osnovici, tj. b = a. 2
v 2 = a 2 – a = 62 – 32 = 36 – 9 = 27 2 v = 27 cm ≈ 5.2 cm.
Primjer 5. Visina jednakostraničnoga trokuta
Kvadrirajmo izraz u zagradi i svedimo umanjenik
Izračunaj duljinu visine jednakostraničnoga
v 2 = a2 −
trokuta sa stranicom duljine a.
Ovaj zadatak jednak je onome iz prethodnog primjera, samo što sada nemamo zadane mjere u cm, nego opći broj a. visina jednakostraničnoga trokuta
i umanjitelj na zajednički nazivnik. a 2 4a 2 − a 2 3a 2 = = 4 4 4
3a 2 4 Kako faktore a 2 i 4 možemo korjenovati, v=
Rješenje:
130
a — 2
a
Rješenje:
Postupimo na isti način. 2
v2 = a2 – a 2
pristupimo djelomičnom korjenovanju. Tako dobivamo formulu za visinu jednakostraničnoga trokuta uz zadanu stranicu a. v=
a 3 2
Pitagorin poučak Primjer 6. Površina jednakostraničnoga trokuta Pronađi formulu za površinu jednakostraničnoga trokuta ako mu je zadana samo duljina stranice a.
Rješenje:
a ⋅v , pri 2 čemu je a duljina stranice, a v visina trokuta. U
jednakostraničnoga trokuta površina a v= 3 . Uvrstimo je u jednakostraničnoga 2 formulu za površinu trokuta a ⋅v P= . 2 1 a ⋅v 1 a a2 3 P= = a ⋅v = ⋅ a ⋅ 3= 2 2 2 2 4 a2 3 . To je formula 4 za površinu jednakostraničnoga trokuta uz
Površina bilo kojega trokuta je P =
Tako dobivamo formulu P =
prethodnom smo primjeru naučili da je visina
zadanu stranicu a.
Primjena Pitagorina poučka na jednakostranični trokut: 2
a a2 = v2 + 2 a 3 Visina jednakostraničnoga trokuta v = 2 a2 3 Površina jednakostraničnoga trokuta: P = 4
a
v
a
v
a
a — 2
a
Z a d a c i 20. Izračunaj duljinu visine jednakostraničnogaa
25. Izračunaj površinu pravilnoga šesterokuta sa stranicom duljine 2 cm.
trokuta ako je njegova stranica:
a) 1 cm;
d)
b) 2.5 cm;
27 dm;
c)
3 cm;
upisanog polumjera 10 cm.
21. Izračunaj duljinu stranice jednakostraničnoga trokuta ako je njegova visina:
a) 6 3 cm;
d)
27 dm;
3 cm;
b)
c) 4 cm;
e) 2 2 m.
ako je njegova stranica: a) 2 cm;
d)
b) 3.5 cm;
27 dm;
c)
27. Pravilni šesterokut ima stranicu duljine 8 cm.
a) Kolika je njegova površina?
b) Koliki su polumjer i površina njemu upisanoga kruga?
22. Izračunaj površinu jednakostraničnoga trokuta
26. Izračunaj površinu pravilnoga šesterokuta
e) 2 2 m.
3 cm;
e) 2 2 m.
28. Lukin djed želi oko drveta u vrtu složiti klupu u obliku šesterokuta, kao na slici. Kolika je površina drvene ploče potrebne za tu klupu? (Napomena: dopuni trapeze do jednakostraničnih trokuta kao
23. Izračunaj površinu jednakostraničnoga trokuta
na drugoj slici.)
ako je njegova visina:
d)
27 dm;
b) 5 3 cm;
c) 3 cm;
e) 2 2 m.
24. Izračunaj duljinu stranice, visinu i opseg jednakostraničnoga trokuta ako mu je zadana
50 cm
a) 4 3 cm;
30 cm
površina:
a) 25 3 cm2; d)
27
dm2;
b) 4 3 cm2; e)
2
c) 4 cm2;
m2.
131
3 . 5 . P r i m j e n a Pitagorina poučka na jednakokračni i jednakostranični trokut Primjer 7. Nadopunjavanje do jednakostraničnoga trokuta
60° Sada je jasno da je
Odredi duljine m i n u trokutu sa slike: n
nepoznata stranica m
n
m
jednakostraničnoga 60°
60°
60°
75
75
Rješenje: Zadan je pravokutni trokut kojem je jedan kut uz hipotenuzu 60º. To znači da je drugi kut uz hipotenuzu jednak 30º. Nadopunimo ovaj trokut uz pravi kut do jednakostraničnoga trokuta kao na slici.
n zapravo visina trokuta sa stranicom
75. Formula za visinu a jednakostraničnoga trokuta je v = 3 . Zato je 2 75 75 3 n= = 37.5 3 . 3= 2 2 Duljina nepoznate stranice m dvostruko je manja od stranice a pa je 75 = 37.5. m= 2
Z a d a c i 29. Odredi duljine m i n sa slika: Matematički origami:
a)
Papir oblika kvadrata sa stranicom 40 cm
n
režemo po dijagonali, a zatim dobivene
5
jednakokračne pravokutnike režemo na
30°
polovice kao na slici:
m b)
10
m
30°
n
30. Odredi duljine m i n sa slika:
Izračunaj:
a)
a) duljine kateta i hipotenuze crvenoga trokuta
7√3
sa slike;
n
b)
c) Koliki je dio od površine kvadrata površina
7√3
30°
m m
c)
5
120°
m
132
b) površinu crvenoga trokuta sa slike;
5
crvenoga trokuta?
45° n
31. Izračunaj duljinu stranice, opseg i površinu jednakostraničnog trokuta kojemu je visina duga:
a) 3 3 cm;
d)
75 m;
b)
4 3 m;
e) 15 cm;
c)
12 dm;
f) 9 mm.
Pitagorin poučak
Vježb lica a
1. Kolika je visina jednakokračnog trokuta ako su zadani krak b i osnovica a:
8. Površina jednakokračnog trokuta s osnovicom duljine 56 cm iznosi 1260 mm2.
a) b = 6.1 cm; a = 12 cm;
a) Kolika je duljina visine na tu stranicu?
b) a = 60 mm; b = 5 cm;
b) Kolika je duljina kraka?
c) b = 8.5 cm; a = 2.6 cm;
c) Koliki je opseg tog trokuta?
d) b =
34 cm; a = 6 cm;
e) b =
30 m; a = 2 5 m.
2. Kolika je osnovica jednakokračnog trokuta ako su zadani krak b i visina v:
8. Površina jednakokračnog trokuta s osnovicom duljine 6 2 cm iznosi 6 cm2.
a) Kolika je duljina visine na tu stranicu?
b) Kolika je duljina kraka? c) Koliki je opseg tog trokuta?
a) b = 41 cm; v = 40 cm;
b) v = 37 mm; b = 3.5 cm;
c) b = 12 cm; v = 8 cm;
d) b =
9. Izračunaj opseg i površinu pravokutnog jednakokračnog trokuta kojem je svaka kateta duga:
e) b = 2 3 m; v =
10 cm; v = 2 cm; 3 m.
3. Koliki je krak jednakokračnog trokuta ako su zadani osnovica a i visina v:
a) 5 cm;
b) 2.4 mm;
c) 4 2 dm.
10. Izračunaj opseg i površinu pravokutnog jednakokračnog trokuta kojem je osnovica duga:
a) v = 12 cm; a = 10 cm;
b) a = 80 mm; v = 9 cm;
c) v = 8 cm; a = 8 cm;
d) a = 6 3 cm; v = 3 cm;
11. Duljina visine pravokutnog jednakokračnog trokuta je 4 2 cm.
e) a = 4 5 m; v = 2 2 m.
a) Kolike su duljine njegovih stranica?
b) Koliki je opseg tog trokuta?
c) Kolika je površina tog trokuta?
4. Koliki su površina i opseg jednakokračnog trokuta ako je:
a) visina v = 12 cm, krak b = 15 cm;
b) osnovica a = 5.6 cm, krak b = 5.3 cm.
5. Koliki su opseg i površina jednakokračnog trokuta ako je:
a) 6 2 cm; b)
8 mm; c) 8 dm.
12. Duljina visine pravokutnog jednakokračnog trokuta je 8 cm.
a) Kolike su duljine njegovih stranica?
b) Koliki je opseg tog trokuta? c) Kolika je površina tog trokuta?
a) visina v = 16 mm, krak b = 20 mm;
b) visina v = 4.8 cm, osnovica a = 2.8 cm.
13. Izračunaj duljinu visine jednakostraničnog trokuta ako je njegova stranica:
6. Osnovica jednakokračnog trokuta iznosi 24 mm. Pritom je krak za 2 mm dulji od visine tog trokuta. Izračunaj opseg i površinu tog trokuta. 7. Osnovica jednakokračnog trokuta iznosi 66 mm. Pritom je krak za 9 mm dulji od visine tog trokuta. Izračunaj opseg i površinu tog trokuta.
a) 6 cm; b) 5.6 cm; c) 3 3 cm;
d)
48 dm; e)
2 m.
14. Izračunaj duljinu stranice jednakostraničnog trokuta ako je njegova visina:
a) 8 3 cm; b) 12 3 cm; c) 6 cm;
d)
48 dm; e)
2 m.
133
3 . 5 . P r i m j e n a Pitagorina poučka na jednakokračni i jednakostranični trokut 15. Izračunaj površinu jednakostraničnog trokuta ako je njegova stranica:
a) 3 cm;
d)
b) 10 cm;
b)
a) 10 3 cm; b) 3 3 cm; c) 5 cm;
d)
m
19. Izračunaj površinu pravilnog šesterokuta opisanog u krug polumjera 10 cm.
m
23. Odredi duljine m i n sa slika:
a)
a) Kolika je njegova površina?
b) Koliki su polumjer i površina njemu upisanog kruga?
21. Odredi duljine m i n sa slika:
7√3
n 30° m
b) √18 m 30° n
24. Odredi duljine m i n sa slika:
a)
b) 5√2
20. Pravilni šesterokut ima stranicu duljine 8 6 cm.
√8
120°
n
6 m.
e)
17. Izračunaj duljinu stranice, visinu i opseg jednakostraničnog trokuta ako mu je zadana površina: 3 a) 64 3 cm2; b) 81 3 cm2; c) 3 cm2; 4 5 d) 108 dm2; e) 3 m2. 3 18. Izračunaj površinu pravilnog šesterokuta sa stranicom duljine 2 3 cm.
4√3
n
45° m
60°
n
m
c) 4
a)
4
120° m
n
7
30°
25. Odredi duljine m i n sa slika:
m
√8
45°
c) 6 3 cm;
16. Izračunaj površinu jednakostraničnog trokuta ako je njegova visina:
c)
3√2
6 m.
75 dm; e)
27 dm;
b)
a)
m
8
b)
m
n 12
m
45°
√12 n
n 60°
30° n
26. Odredi duljine m i n sa slika: 22. Odredi duljine m i n sa slika:
a)
a)
b) 45°
30°
2√3
n 60° m
134
n
n
3√3
m 60°
45° m
2
Pitagorin poučak
3.6. Primjena Pitagorina poučka na romb i trapez Romb i trapez Pogledaj ove četverokute.
Z2 a d a c i
1
3
a) Koji je od njih romb, a koji trapez? b) Što je romb? Kako glasi formula za njegov opseg? c) Što je trapez? Kako glasi formula za njegov opseg?
d1
d) Što misliš, gdje na ovim četverokutima možeš primijeniti Pitagorin poučak?
d2
Romb je paralelogram kojemu su susjedne stranice jednakih duljina.
a
Prisjetimo se gradiva šestog razreda: dijagonale svakog romba su okomite i
d1
raspolavljaju se. Uočavamo četiri sukladna pravokutna trokuta s katetama hipotenuzom a.
Primjer 1. Primjena Pitagorina poučka na romb dijagonala d 1 = 8 cm i d 2 = 6 cm. b) Izmjeri duljine njegovih stranica. Zatim izračunaj duljinu stranice i provjeri s podatkom dobivenim mjerenjem. c) Kolika mu je površina?
Kada bismo konstruirali
Kako se dijagonale
2
d d a2 = 1 + 2 2 2
konstruirati pravokutni trokut s katetama duljina d1 d2 i . 2 2 b) Uočavamo četiri sukladna pravokutna trokuta d d s katetama 1 i 2 te hipotenuzom a. 2 2 2
2
d1 d2 a2 = + = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 2 2 a = 5 cm.
c) P =
a) Nacrtajmo skicu romba.
nadopunili do romba.
2
d1 d2 i i 2 2
Duljina stranice zadanog romba je 5 cm.
Rješenje:
trokuta, lako bismo ga
d2
romba raspolavljaju i okomite su, nije teško
a) Konstruiraj romb kojem su zadane duljine
jedan od pravokutnih
a
Primjena Pitagorina
d1 d2 a
d1 ⋅ d2 8 ⋅ 6 = = 24 cm2. 2 2
d1
poučka na romb: a
2
2
d a 2 = d1 + 2 2 2
d2
a
a
135
3.6. Primjena Pitagorina poučka na romb i trapez
Z a d a c i 1. Izračunaj duljinu stranice romba kojem su
4. Kut među stranicama romba je 60º. Kolike su
dijagonale duge:
duljine dijagonala ako su stranice duge 1 dm?
a) 40 mm i 36 mm; b) 3.5 cm i 3 cm.
5. Kut među stranicama romba je 120º. Kolike su
2. Izračunaj opseg i površinu romba ako su mu
duljine dijagonala ako su stranice duge 3.3 cm?
dijagonale duge 24 dm i 18 dm.
6. Izračunaj duljinu stranice, opseg i površinu romba kojemu su dijagonale duge: a) 24 cm i 32 cm; b) 4 m i 4 3 m; c) 4.2 dm i 5.6 dm; d) 1.4 cm i 4.8 cm.
3. Površina romba je 45.9 cm2. Kolika je duljina stranice ako je jedna dijagonala duga 18 cm?
Primjer 2. Primjena Pitagorina poučka na trapez
2.2 m
Kolika je dubina jarka sa slike?
1.4 m
x
x
0.9 m
2.2 m
0.9 m 1.4 m
0.9 m
0.9 m 1.4 m
Takav trapez je jednakokračan pa su pravokutni trokuti sa slike sukladni s jednom katetom duljine x i drugom katetom koja je visina
Rješenje:
trapeza. Iz duljina obiju osnovica možemo
Presjek jarka je jednakokračni trapez kojem je
izračunati duljinu x:
kraća osnovica jednaka 1.4 m, dulja osnovica
x=
jednaka 2.2 m, a kraci dugi 0.9 m.
Sada možemo izračunati duljinu visine v trapeza
2.2 m 0.9 m
a − c 2.2 − 1.4 0.8 = = = 0.4 m. 2 2 2
preko pravokutnoga trokuta s hipotenuzom 0.9 m i katetom x.
0.9 m
v 2 = b 2 – x 2 = 0.92 – 0.42 = 0.81 – 0.16 = 0.65
1.4 m
v=
65 m ≈ 0.81 m.
Jarak je dubok oko 81 cm.
Primjena Pitagorina poučka na jednakokračni trapez: x=
c
a −c 2
b2 = v2 + x2
b
c b
a
b
x
v
v c a
136
b
x
Pitagorin poučak
Z a d a c i 7. Presjek jarka je jednakokračan trapez kojem je
d)
kraća osnovica duga 2 m, dulja osnovica 4 m, a kraci 2 m. Kolika je dubina jarka? 8. Kolika je površina jednakokračnoga trapeza s osnovicama dugim 5 cm i 2 cm te kracima duljine 2.5 cm? 9. Osnovice jednakokračnoga trapeza duge su 17 cm i 11 cm, a visina je 6 cm. Kolika je duljina kraka toga trapeza?
13. Koliki je opseg jednakokračnoga trapeza s osnovicama dugim 149 mm i 37 mm te visinom
10. Koliki su opseg i površina presjeka nasipa sa slike?
90 mm? Nacrtaj skicu. 14. Površina jednakokračnoga trapeza je 64 cm2, a
Kruna nasipa
osnovice su duge 20 cm i 12 cm. Koliki je opseg toga trapeza?
Visina nasipa Dno nasipa
15. Jednakokračni trapez ima dulju osnovicu dugu 162 mm i visinu dugu 85 mm. Dijagonala toga trapeza iznosi 157 mm. Izračunaj opseg i površinu trapeza.
Širina krune nasipa je 3.5 m, širina dna nasipa 6.5 m i visina nasipa 4 m. 11. Koliki su opseg i površina presjeka kanala sa slike?
16. Kut uz dulju osnovicu jednakokračnoga trapeza je 60º. Kolika je površina toga trapeza ako je dulja osnovica duga 30 m, a krak 10 m? 17. Izračunaj opseg i površinu paralelograma sa slike.
Površina vode u kanalu Dubina kanala
3.1 cm 0.7 cm
2.5 cm
Dno kanala
18. Izračunaj opseg i površinu paralelograma sa slike.
Širina kanala na dnu je 1.5 m, a na vrhu 3.5 m. Dubina kanala je 2 m.
12.Izračunaj površine ovih cvjetnjaka te koliko je žice potrebno za njihovo ograđivanje:
a)
b)
c)
36 mm 107 mm
42 mm
19. Izračunaj duljinu kraka i opseg jednakokračnog trapeza ako je zadano: a) P = 6.72 dm2; a = 3.8 dm, v = 2.4 dm; b) c = 14 cm, v = 12 cm, P =276 cm; c) a = 20 m, P = 48 m2, c = 12 m; d) P = 104 cm2, a = 19 cm, v = 8 cm. 20. Izračunaj opseg i površinu jednakokračnog trapeza ako je zadano: a) a = 9 m, c = 5 m, v = 2 3 m; b) a = 19 dm, b = 10 dm, v = 8 dm; c) a = 260 mm, b = 130 mm, c = 20 mm; d) v = 5 cm, b = 13 cm, c = 2 cm.
137
3.6. Primjena Pitagorina poučka na romb i trapez
Zadan je pravilni osmerokut sa stranicom a = 10
ostalo 45º. Zato su četiri trokuta jednakokračni
2 . Treba izračunati površinu tog osmerokuta.
pravokutni trokuti. Izračunajmo njihove katete:
x a x
a
x a x
a
a
x a x
a
a x x
Jedan je od načina
2x 2 = a 2
dolaska do rješenja
2x 2 = 10 2
nadopunjavanjem
x = 10.
osmerokuta do kvadrata sa
Stoga je površina pravokutnoga trokuta P trokuta =
stranicom duljine a + 2x
102 : 2 = 50.
kao na slici. Površinu toga
Površina traženog osmerokuta je razlika površine
kvadrata označimo sa P.
kvadrata i površina četiriju pravokutnih trokuta.
Znamo da jedan kut pravilnog osmerokuta iznosi
a =
(8 − 2)•180 8
a
1. Izračunaj duljinu stranice romba kojem su dijagonale duge: a) 6 cm i 8 cm; b) 6.6 cm i 11.2 cm.
2. Izračunaj opseg i površinu romba ako su mu dijagonale duge 5.6 dm i 9 dm. 3. Površina romba je 1320 cm2. Kolika je duljina stranice ako je jedna dijagonala duga 22 cm? 4. Kut među stranicama romba je 60º. Kolike su duljine dijagonala ako su stranice duge 4 dm? 5. Kut među stranicama romba je 120º. Kolike su duljine dijagonala ako su stranice duge 8 cm? 6. Izračunaj duljinu stranice romba kojem su dijagonale duge:
a) 16 mm i 3 cm; b) 2.4 cm i 7 cm.
7. Izračunaj opseg i površinu romba ako su mu dijagonale duge 18 cm i 8 dm. 8. Površina romba je 8 3 cm2. Kolika je duljina stranice ako je jedna dijagonala duga 4 cm? 9. Kut među stranicama romba je 60º. Kolike su duljine dijagonala ako su stranice duge 8 cm? 10. Kut među stranicama romba je 120º. Kolike su duljine dijagonala ako su stranice duge 2 3 cm? 11. Izračunaj duljinu stranice romba kojem su dijagonale duge:
a) 8 2 cm i 4 5 mm; b) 2.6 cm i 16.8 cm.
12. Izračunaj opseg i površinu romba ako su mu dijagonale duge 10 5 dm i 10 dm.
138
)
2
P osmerokuta = P – 4P trokuta = (a + 2x)2 – 4 · 50 = (10
2 + 20)2 – 4 · 50 = 400( 2 + 1).
= 135 te je do ispruženoga kuta
Vježb lica
(
14. Površina romba je 8.4 cm2. Kolika je duljina 13 ako je jedna dijagonala duga 24 mm? 14. Kut među stranicama romba je 60º. Kolike su duljine dijagonala ako su stranice duge 6 3 dm? 15. Kut među stranicama romba je 120º. Kolike su duljine dijagonala ako su stranice duge 5 cm? 16. Kolika je površina jednakokračnog trapeza s osnovicama dugim 66 cm i 44 cm, te kracima duljine 61 cm? 17. Osnovice jednakokračnog trapeza su duge 10 cm i 3 cm, a visina je 1.2 cm. Kolika je duljina kraka tog trapeza? 18. Koliki je opseg jednakokračnog trapeza s osnovicama dugim 200 mm i 88 mm, te visinom 33 mm? 19. Površina jednakokračnog trapeza je 54 cm2, a osnovice su duge 10 cm i 2 cm. Koliki je opseg tog trapeza? 20. Jednakokračni trapez ima dulju osnovicu dugu 21 cm i visinu dugu 8 mm. Dijagonala tog trapeza iznosi 17 cm. Izračunaj opseg i površinu trapeza. 21. Kut uz dulju osnovicu jednakokračnog trapeza je 60º. Kolika je površina tog trapeza ako je dulja osnovica duga 8 m, a krak 4 m? 22. Kolika je površina jednakokračnog trapeza s osnovicama dugim 55 cm i 7 cm, te kracima duljine 25 cm? 23. Osnovice jednakokračnog trapeza su duge 45 cm i 15 cm, a visina je 8 cm. Kolika je duljina kraka tog trapeza? 24. Koliki je opseg jednakokračnog trapeza s osnovicama dugim 62.8 mm i 8.2 mm, te visinom 26 mm?
Pitagorin poučak paralelograma sa slike. Z a d a34. Izračunaj c i opseg i površinu 4.4 cm
25. Površina jednakokračnog trapeza je 23.6 cm2, a osnovice su duge 6.8 cm i 5 cm. Koliki je opseg tog trapeza?
26. Jednakokračni trapez ima dulju osnovicu dugu 43 mm i visinu dugu 6 cm. Dijagonala tog trapeza iznosi 68 mm. Izračunaj opseg i površinu trapeza. 27. Kut uz dulju osnovicu jednakokračnog trapeza je 45º. Kolika je površina tog trapeza ako je dulja osnovica duga 12 m, a krak 4 2 m? 28. Kolika je površina jednakokračnog trapeza s osnovicama dugim 125 mm i 25 mm, te kracima duljine 17 mm? 29. Osnovice jednakokračnog trapeza su duge 16 cm i 40 cm, a visina je 5 cm. Kolika je duljina kraka tog trapeza? 30. Koliki je opseg jednakokračnog trapeza s osnovicama dugim 60 mm i 18 mm, te visinom 20 mm? 31. Površina jednakokračnog trapeza je 1.825 m2, a osnovice su duge 2.5 m i 1.15 m. Koliki je opseg tog trapeza? 32. Jednakokračni trapez ima dulju osnovicu dugu 12 mm i visinu dugu 4 cm. Dijagonala tog trapeza iznosi 58 mm. Izračunaj opseg i površinu trapeza. 33. Kut uz dulju osnovicu jednakokračnog trapeza je 60º. Kolika je površina tog trapeza ako je dulja osnovica duga 12 m, a krak 8 m?
3.7 cm
1.2 cm
35. Izračunaj opseg i površinu paralelograma sa slike. 9 cm 41 cm
15 cm
36. Izračunaj opseg i površinu paralelograma sa slike. 26.4 cm 25 cm
7 cm
37. Izračunaj opseg i površinu paralelograma sa slike. 8.1 cm 36.9 cm
13.5 cm
38.Zadan je pravilni osmerokut stranice a = 4 2 cm. Treba izračunati površinu tog osmerokuta. 39. Zadan je pravilni osmerokut stranice a = 10 cm. Treba izračunati površinu tog osmerokuta
3.7. Ponavljanje Pitanja za ponavljanje: 4. Kako glasi formula za visinu jednakostraničnoga
1. Kako glasi Pitagorin poučak?
trokuta uz zadanu stranicu a?
2. Kako glasi obrat Pitagorina poučka?
5. Kako glasi formula za površinu jednakostrani-
3. Kako glasi formula za duljinu dijagonale
čnoga trokuta uz zadanu stranicu a?
kvadrata uz zadanu stranicu a?
Zadaci za ponavljanje 2. Izračunaj duljinu hipotenuze c pravokutnoga
1. Iskaži Pitagorin poučak za svaki pravokutni trokut:
a) a
c e
trokuta ako su zadane duljine kateta
b)
d
g b
x
y
a = 32 cm i b = 24 cm.
c)
h z
r t
u v
3. Ako svim racionalnim brojevima pridružimo točke p
pravca, jesmo li svim točkama pravca pridružili neki racionalan broj?
139
3.7. Ponavljanje
Z a d 16. a Luka c iima u kuhinji okrugli stol promjera 3 m.
4. Izračunaj duljinu x na svakoj slici: 5.1 10
b) 5 x
8
a)
x
c)
x
5
Može li gornja ploča toga stola proći kroz vrata
10.2 d) 14.5
dnevne sobe (visina vrata: 2.7 m; širina vrata: 80 cm)? x
17. Dijagonala ekrana televizora je 38 cm, a susjedne stranice ekrana odnose se u omjeru 4 : 3.
1
5. Ljestve duge 4.5 m prislonimo uza zid tako da im je donji kraj (na tlu) od zida udaljen 0.65 m. Koliku visinu dosežu ljestve na zidu? Nacrtaj skicu.
a) Kolike su dimenzije stranica ekrana?
b) Kolika je površina ekrana?
18. Izračunaj duljinu dijagonale kvadrata sa stranicom:
6. Katete pravokutnoga trokuta duge su 5 cm i 6 cm. a) Kolika je visina spuštena na hipotenuzu toga trokuta? b) Konstruiraj taj trokut i mjerenjem se uvjeri da je
a) 6 cm, 8 cm, 10 cm; b) 4.5 cm, 7.5 cm i 6 cm. Za svaki trokut računski i grafički (konstrukcijom) provjeri je li pravokutan. 8. Nacrtaj spiralu drugoga korijena do hipotenuze
14 .
9. Konstruiraj dužinu duljine:
3 cm;
b)
6 cm;
a) 2 cm2;
b) 8 cm2;
c) 3 2 cm.
A( 2 ), B( −3 3 ), C( − 12 ).
OE = 2 cm pronađi točke:
A(
zadani krak b i osnovica a:
a) b = 6cm; a = 5 cm;
b) a = 22 mm; b = 5 2 cm.
22. Kolika je osnovica jednakokračnoga trokuta ako su zadani krak b i visina v:
a) b = 9 cm; v = 2 2 cm;
b) v = 8.8 mm; b = 1 cm.
a) v = 5 cm; a = 16 cm;
b) a = 6 2 mm; v = 7.5 mm.
24. Osnovica jednakokračnoga trokuta iznosi 48 mm. Pritom je krak za 8 mm dulji od visine toga trokuta. Izračunaj opseg i površinu toga trokuta. 25. Izračunaj opseg i površinu pravokutnog jednakokračnoga trokuta kojem je osnovica duga
3 27 3 ), B( − ), C( ). 2 3 4
6 2 m. 26. Izračunaj duljinu visine jednakostraničnoga
13. U koordinatnoj ravnini pronađi točke:
A( 3 , 2), B( − 2 , 0), C( 2 2 , −2 2 ).
trokuta ako je njegova stranica:
14. Izračunaj duljinu stranice x pravokutnika sa slike:
a) 10
b) x
24
6
1.5 x
c) d = 9 cm.
dijagonala duga 8 cm.
12. Na brojevnom pravcu jedinične dužine
2 cm;
zadani osnovica a i visina v:
11. Na brojevnom pravcu jedinične dužine
OE = 1 cm pronađi točke:
b) d =
23. Koliki je krak jednakokračnog trokuta ako su
c) 9 cm2.
a) d = 6 2 cm;
20. Izračunaj opseg i površinu kvadrata kojem je
10. Konstruiraj kvadrat površine:
2 mm.
c)
21. Kolika je visina jednakokračnoga trokuta ako su
7. Zadani su trokuti sa stranicama duljina:
a)
b) 1.5 cm;
19. Izračunaj duljinu stranice kvadrata s dijagonalom:
tvoj rezultat iz zadatka a) točan.
duljine
a) 4 cm;
c)
a) 10 cm;
b) 25 cm;
c) 3 3 cm.
27. Izračunaj duljinu stranice jednakostraničnoga trokuta ako je njegova visina 6 3 cm. 28. Izračunaj površinu jednakostraničnoga trokuta
x
5
√2
ako je njegova stranica:
a) 2 cm;
b)
3 cm.
29. Izračunaj duljinu stranice, visinu i opseg 15. Može li se nesklopivi kišobran dug 1 m spremiti na dno kovčega pravokutnog oblika duljine 90 cm i širine 15 cm?
140
jednakostraničnoga trokuta ako mu je zadana površina 16 3 cm2.
Pitagorin poučak 30. a) Izračunaj duljinu stranice romba kojem su
32. Presjek jarka je jednakokračan trapez kojem
dijagonale duge 24 mm i 10 mm;
je kraća osnovica duga 2.1 m, dulja osnovica
b) Kolika je površina tog romba?
jednaka 4.5 m, a kraci dugi 2 m. Kolika je dubina
c) Kolika je visina tog romba?
jarka?
31. Izračunaj opseg i površinu romba ako su mu
33. Koliki je opseg jednakokračnoga trapeza s osnovicama dugim 113 mm i 89 mm te visinom
dijagonale duge 40 dm i 30 dm.
35 mm? Nacrtaj skicu.
Primjerak oglednog t esta: 1. Iskaži Pitagorin poučak za svaki nacrtani
7. a) Izračunaj duljinu dijagonale kvadrata sa
pravokutni trokut:
stranicom duljine 3 cm; t z
v
b) Izračunaj duljinu stranice kvadrata s dijagonalom duljine 3 2 cm;
y
c) Izračunaj duljinu stranice kvadrata s
x
dijagonalom duljine 3 cm.
2. Izračunaj duljinu x na svakoj slici: a)
8. Izračunaj duljinu visine i površinu jednakostraničnoga trokuta ako je njegova
b)
stranica duga 6 cm.
7.2 26
x
9. Nesklopivi kišobran dug je 1.1 m. Može li se
8.9
x
on položiti na dno kovčega duljine 103 cm,
24
širine 55 cm i visine 25 cm?
3. Zadani su trokuti sa stranicama duljina: a) 8 cm, 6 cm, 10 cm;
10. Dijagonala ekrana televizora je 72 cm, a susjedne stranice ekrana odnose se u omjeru
b) 3 cm, 7 cm i 6.5 cm.
4 : 3.
Koji je od njih pravokutan?
a) Kolike su dimenzije stranica ekrana?
b) Kolika je površina ekrana?
4. Konstruiraj dužinu duljine
7 cm.
5. Na brojevnom pravcu jedinične dužine
OE = 1 cm pronađi točke:
11. Izračunaj duljinu rukohvata za stepenice. Visina i širina svake
− 3 A( 2 ), B( ), C( 2 12 ). 3 6. Dvokrake ljestve
stepenice je 20 cm, a stepenište ima 50 stepenica.
razmaknute su kao na slici:
12. Izračunaj duljinu stranice, opseg i površinu 4m
4m
romba kojemu su dijagonale duge e = 56 cm i f = 90 cm. 13. Izračunaj opseg i površinu jednakokračnog
1.5 m
Kolika je visina ljestava?
trapeza sa osnovicama 25 cm i 5 cm te krakom 26 cm.
141
Rješenja 0. Ponavljanje gradiva prethodnih razreda 1. a) RIBA; b) GRAD; c) RUŽA. 1 1 3 2 2. A( ), B( −1 ),C ( − ), D(1 ). 5 5 5 5 3. a) (5, 3), (5, 6), (5, 9), (7, 3), (7, 6), (7, 9); b) x = y. 4. A - os x, B - IV kvadrant, C - os y, D - III kvadrant y 2 C (0, 1) 1 A (–3, 0) –3
–2 –1 0 D (–2, –2)
–1
1
2
x
3
B (4, –2)
–2
5.
10. a) x = 1.5; b) x = –4. 11. 120 km. 12. Damir će dobiti 600 kn, a Josip 750 kn. 13. α = 70°, β = 30°, γ = 80°. 14. Zupčanik B je napravio 28 okreta. Zupčanik A je napravio 36 okreta. 15. Breza je visoka 12 m. 16. x = 13. 17. 15 kg šećera. 18. 42 učenika. 19. Za 9.375 sati, tj. 9 sati, 22 minute i 30 sekundi. 20. Potrošit će 4.95 kW. 21. Završit će 3 sata ranije. 22. Posao bi se skratio za 1.5 dan. 23. 708 kg grožđa. 24. a) 64 dag; b) 46.50 kn. 25. Kasnit će 1 sat. 26. 10 radnika. 27. a)
y 2 B (–3, 3 ) 3
x y
3
0 0
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
11
x
10
9
6. Trokut je jednakokračan. C’ (–3, 4)
3 13.5
12
1 –3 –2 –1 0 C (0, – 3 ) 4 1 A ( , –2) 2 –3
2 9
35. 6%. 36. Treba vratiti ukupno 1550000 kn. Mjesečna rata je 6200 kn. 37. 4 godine. 38. Uložila je 9000 kn. 39. a) 10
13
1 4 D (2 , 1 ) 2 5
2
1 4.5
28. 617.3. 29. 1560. 30. Koštat će 73.96 kn. 31. Koštale su 100 kn. 32. 60%. 33. Opseg će se umanjiti za 25%, a površina za 43. 75%. 34. glavnica 4000 eura 5000 kn kamatna 5.2 % 1.7 % stopa vrijeme 7g 6g kamate 1456 eura 510 kn glavnica 9000 kn 8000 eura kamatna 5.7% 4.4 % stopa vrijeme 3g 2g kamate 1539 kn 704 eura
C (3, 4)
dobar
vrlo dobar
odličan
dovoljan
dobar
vrlo dobar
odličan
1
8
y
dovoljan
b) 0,8 0,6
7
0,4
3
6
2
–1
1
2
3
x
3 2
A’ (3, –2)
–3
B (0, –4) 7. Četverokut je kvadrat
1
B’
–1
1
2
3
1 0,8
0 0
2 2.4
4 4.8
6 7.2
0,6 0,4
1
0 1.35m
30 25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15
6 1
x
5
–1
–2
4 3
C’
2 D’
1
–3 8. a) x = 6.4; b) x = 17; c) x = 3. 9. a) 3 : 2; b) 8 : 21; c) 1 : 1.
0 –1
1.44m
1.48m
1.5m
41.
7
B B’
0,2
8
C
A
142
b)
9
2
A’
0
b) x y
D
0
1,48m 1,5m
0
y
–1
c) Dovoljan - 8%, dobar - 31%, vrlo dobar - 27%, odličan - 34%; d) srednja ocjena je 3.88. 40.a) 1,35m 1,44m
4
–2 A (–3, –2)
0
5
1 –3 –2 –1 0
0,2
0
1
2
3
4
5
6
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
a) Srednja temperatura te godine u Ogulinu je 5.5 °C; b) najniža temperatura je u siječnju, najviša u kolovozu i rujnu, a najbliža srednjoj je u svibnju; c) razlika u temperaturi najhladnijeg i najtoplijeg mjeseca je 40 °C.
Rješenja 42. a) 15.67; b) 65.28%. 12 10 8 6 4 2 0 0 do 4
5 do 9
10 do 14
15 do 19
58. 3240°. 59. a) 25; b) 44. 60. 20-erokutu. 61. 13 stranica. 62. α12 = 150°. 63. A = 2.5 cm. 64. 18 vrhova. 65.
20 do 24
c)
r = 2.3 cm A B
r = 3.5 cm
0,5 0,4
Udaljenost središta mora biti manja od 1.2 cm ili veća od 5.8 cm. 71.
0,3 0,2
0,1
r = 5 cm
0 0 do 4
5 do 9
10 do 14
15 do 19
C
20 do 24
43. Srednja težina učenika je 57.8 k 12
66. A
10
S
8 6 4 2
B
0 40 do 49
50 do 59
60 do 69
72. 73. 74.
50% 40%
30% 20%
75° 75°
10%
2 cm
67.
Pravci sijeku tu kružnicu u dvije točke. α = 126° . β = 84° . a) K
0% 40 do 49
50 do 59
60 do 69
44. Elementarnih događaja ima 25; a) 0.4; b) 0.04; c) 0.4; d) 0.16. 45. a)
2.1 cm
7 1 3 7 3 ; b) ; c) ; d) ; e) . 16 2 8 16 16
46. a) Žutih ima 60, bijelih 18, crvenih 3, plavih 36 i zelenih 33; b) 0.4; c) 0.14; d) 1; e) 0. 1 2 47. a) ; b) . 3 3 1 1 5 5 1 5 48. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . 18 18 36 6 6 6 49. a) x = 16; b) x = 14; c) x = 4; d) x = 2.5; y = 6. 50. C 10 cm A
S 3.4 cm
M
a = 4 cm
B
68. 96 ruža. 69. Potrebno je 4152 cm2 drveta. 70. a)
b)
C
r = 3.5 cm B
B
A
S 40° c = 5.3 cm
B
r = 2.3 cm A
51.
75. 15 cm
b)
d = 67 mm r = 2.3 cm A 52. a) a’ = 2.4 cm, b = 2.3 cm, c = 2.1 cm; b) a = 35 mm, b’ = 20 cm; c) b = 1.5 cm, a’ = 4 cm, c = 2.1 cm. 53. Bor je visok 6 m. 54. 15 dijagonala. 55. 20 kutova. 56. 252 dijagonale. 57. Da, osmerokut.
S
r = 3.5 cm B
76. Bicikl prijeđe 512.448 m. 4π 77. l = = 2.512 cm. 5 78. P = 56.71625 cm2 . 79. P = 63.585 dm2. 80. P = 2.0096 cm2.
143
Rješenja ... nastavak tablice
81. Nije. 82. a) (0.5, 3); b) ( 1, 1). 83. a) (2, –2); b) (0, 3). 84. a) (2, –1); b) (3, 2); c) (3, –4); d) (1, 1). 85. 8 djevojčica i 56 dječaka. 86. Duljine stranica su 3.7 cm i 4.5 cm, a površina tog pravokutnika je 16.65 cm2. 87. Ana je radila 42 dana, a Luka 7 dana. 88. To je broj 67. 89. To su brojevi 15 i 18. 90. Kilogram krušaka košta 12 kn, a kilogram banana 3 kn. 91. Treba 50 g 22-postotnog i 100 g 34-postotnog srebra. 92. Prvog metala treba 120 dag, a drugog 45 dag. 93. a) y
jednadžba pravca
sjecište s osi ordinata
nul-točka
y = 3x + 5
(0, 5)
(–
5 , 0) 3
y = -7x – 11
(0, –11)
(–
11 , 0) 7
y = –4.6x + 1.5
(0, 1.5)
(
(0, 2.6)
(–
y =
3 x + 2.6 4
15 , 0) 46 52 , 0) 15
96. y x=–6 3 1 0 1 2 3 –1
–6 –5 –4 –3 –2 –1
–3
y=–4
–4 97. a)
1
0
–1
y
2 x
1
3
–1
2 S (2, 1)
1
x
–2
2
b)
–3 –2 –1 0
y
–1 –2
1
1
2
3
x y = –1x + 3 y = 2x – 3
–3 –1
0
1
2
b)
x
3
y
–2
2 1
S (–1, 1)
–4 –3 –2 Ж1 0 1 –1 3x – y = –4
2
3
–2 –3 94. Pripadaju točke: A i D. 95.
98. y
jednadžba pravca
a
b
rast ili pad
y = 3x + 5
3
5
raste
y = -7x – 11
–7
–11
pada
3
144
–4.6
1.5
pada
3 4
2.6
raste
y=–
2 1
3 x + 2.6 4
1. 10, 100, 1000, ... 2. 1 = 1 ⋅ 1, 4 = 2 ⋅ 2, 9 = 3 ⋅ 3, 16 = 4 ⋅ 4,... 3. 64, 81, 100, 121, 144, 169, ... 4. cm je mjerna jedinica za duljinu, cm2 je mjerna jedinica za površinu i znači cm ⋅ cm, cm3 je mjerna jedinica za obujam(volumen) i znači cm ⋅ cm ⋅ cm. 5. 128, 256, 512, 1024, 2048, ... 6. 243, 729, 2187, 6561, ... 7. 216, 343, 512, 729, 1000, ...
1. a) 81, 1, 100, 9, 64; b) 1, 81, 9, 36, 4. 2. a) 16.81, 2.56, 0.81, 9, 72.25; b) 1.2321, 845.0649, 0.1225, 0.502681, 4.024036. 4 1 4 64 36 3. a) , , , , ; 81 49 25 49 25 4 16 100 16 b) , , 121, , . 49 25 81 9 4 19 1 1 7 4. a) 2 , 28 , 5 , 2 , 23 ; 9 25 4 25 9 29 52 19 33 29 b) 23 , 5 , –12 ,1 , 97 . 100 81 81 64 49 1 1 4 4 , ; b) , ; c) 17.64, −17.64 ; 5. a) 9 3 25 5 d) –625, 625. 49 6. a) 16, –36, 25, 10.24, , 0; 5 121 1 b) 0.09, , 55.3536, 4225, . 4 4 1 1 4 16 7. a) ; b) 42 ; c) 9; d) 6 ; e) 17 . 4 4 9 25 8. a
0
1
–1
1.5
–1.5
2
–2
a2
0
1
1
2.25
2.25
4
4
–4 –3 –2 –1
y=–
2
3 9 9 81 9. a) = ; c) = . 25 36 5 6
3
2x + 5y = 3
–3
y =
1. Kvadriranje racionalnih brojeva
2
–1
y = –4.6x + 1.5
0. Uvod
1.1 Kvadriranje racionalnih brojeva
2
3
99. a) 20 km je povoljnije kod Jure, a 5 km kod Marka; b) na 15 km uštedjeli bi 2.5 kn, a na 45 km 47.5 kn.
1 x + 4.5 2
1 x+3 2
x 0 1 2 3 –1 y = – 1 x + 1 2 –2
10. a) Rješenja su ista; b) rješenja su ista; c) rješenja su ista. 11. Tri, pet, sedam, devet, trinaest znamenaka. 12. a) 900, 100, 4900, 3600, 6400; b) 160 000, 40 000, 250 000, 640 000, 810 000; c) 4 000 000, 2500, 490 000, 1 000 000, 8100. 13. a) Između 502 i 602, između 702 i 802, između 802 i 902, između 102 i 202; b) između 402 i 502, između 602 i 702, između 702 i 802, između 102 i 202. 14. a) 1764, 3721, 324, 5329, 7225; b) 20736, 123904, 996004, 3041536, 1024704121. 15. a) 144, 121, 100, 169, 324; b) 196, 256, 225, 361, 289, 400. 16. a) 144, 441; b) 169, 196. 144 1 196 324 36 17. a) , , , , ; 361 121 225 49 225 4 1 121 169 324 b) , , , , . 256 169 289 361 9 18. Dvije, četiri, četiri, osam, šest decimala.
Rješenja 19. a) 0.04, 0.0004, 0.000004, 0.01, 0.000001; b) 0.16, 0.36, 0.0025, 0.00000064, 0.000049, 0.0000000081. 20. a) 144, 1.44, 0.0144, 0.000144, 0.00000144; b) 1.96, 0.0361, 0.0000000324, 2.89, 0.000225. 21. a) P = 1 cm2; b) P = 36 cm2; 9 c) P = 0.04 dm2; d) P = mm2; 81 2 e) P = 0.0025 m . 22. a) P = 0.25 cm2; b) P = 1.44 cm2; c) P = 6.4009 cm2; d) P = 2.25 dm2; e) P = 0.758641 m2. 23. a) P = 4 π cm2 ≈ 12.56 cm2; b) P = 10.89 π mm2 ≈ 34.2 mm2; π cm2 ≈ 0.045 cm2; c) P = 0.0144 19 π d) P = 5 m2 ≈ 18.09 m2; 25 e) P = 0.000004 π dm2 ≈ 0.000013 dm2. 24. a) P ≈ 52.78 cm2; b) P ≈ 5631.66 mm2; c) P ≈ 39212.52 mm2; d) P ≈ 4225.78 cm2; e) P ≈ 56.89 dm2. 25. a) Površina jedne pločice je 272.25 cm2; b) površinu od 32670 cm2; c) hodnik je dug 363 cm. 26. a) Površina je 441 cm2; b) površina kvadrata je 81 cm2, a površina otpadnog papira je 108 cm2. 30 ; d) 23.8144; 28. a) 12.25; b) 1.69; c) 6 49 73 e) 0.002809; f) 0; g) 8 ; h) 250000; 144 i) 9486.76. 2
1 1 29. a) − = ; b) −82 = −64 ; 4 2 c) ( −0.2 ) 2 = 0.04 ; d) ( −0.03) 2 = 0.0009 ; 2 3 9 =− . e) − 8 8 2 11 121 30. a) ( −0.81) 2 = 0.6561 ; b) ; = 841 29 57 2 3249 = c) – 0.742 = −0.5476 ; d) . 44 44 31. 32.
33. Površina plavog kvadrata je 36 puta manja od površine crvenog. 3a2 . 34. Površina žute pruge je 16 35. P = 42.24 cm2 = 0.42 dm2. 36. Duljina stranice treba biti 210 cm.
x2
1. a) Kvadrirali smo 0, 02 = 0; b) bilo koji broj, jer kad množimo dva pozitivna ista broja dobijemo pozitivan broj; c) ne postoji takav broj jer kad množimo dva ista negativna broja rješenje je pozitivan broj. 2. b). 3. a) Linearna ( x nema kvadrata);
0
2
1
0
Ж1
1
–3
1
–1
x
–2
2
–2
2
–1
3
1
0
2
3
4. a) parabola (kvadratna); b) parabola (kvadratna); c) pravac (linearna); d) pravac (linearna). 5. Pripadaju točke (1, 1), (–10, 100), (2, 4), (0, 0). 6. Pripadaju točke (0.3, 0.09), ( −0.12,0.0144 ) ,(100, 100 000).
x
–1 b) kvadratna ( x ima kvadrata);
1 1 1 1 7. A( 2, 4 ), B( −2, 4 ),C ( 0, 0 ), D( , ), E ( −1, 1 ), F (1 , 2 ),G( −1.5 , 2.25 ). 4 4 16 2 1 1 1 1 4 A( 2, 4 ), B( −2, 4 ),C ( 0, 0 ), D( , ), E ( −1, 1 ), F (1 , 2 ),G( −1.5 , 2.25 ). 4 2 2 y 4= x16 y
y 2
4
B
E
x
1
A
2
G
x2
x
–28
3
y
0 0
y
1.2. Kvadratna funkcija
x
d) linearna ( x nema kvadrata).
784
F
D 0C 1
x
8. –3.2
10.24
−4
16 81
9 0.22
0.0484
–13.5
−17
11 19
0.082
182.25
309
c) linearna ( x nema kvadrata); y
7 361
0.006724
x
3 2
–160
4.833
23.357889
8 8 49
6 7 7
36 61 49
1 4
−51 16
41 10 256
25600
1 −2
–2
–1
1
0
0
0
–0.5
0.25
0.5
0.25
1
1
2.5
6.25
–2.5
6.25
–1 1 9. Vidi 8. zadatak.
1 6 2 7
x2
2
3
6
y
4 2
0
1
x
x
–1
145
Rješenja 10.
–1 0
y
x
1
–2
–4
–6 1.3. Zbrajanje i oduzimanje matematičkih izraza
1.4. Množenje izraza
Rečenica:
Matematički izraz:
Nekom broju dodaj 1
x+1
1. a) 2ab; b) 12x; c) 5x2; d) 6xy; e) 56y. 2. a) xy; b) –27x; c) –30d; d) 14a; e) 56y. 3. a) 6x2; b) 4a2. 4. a) 15a2; b) 8a; c) 15ab; d) 5a + 3b; e) 2a. 5. a) 4a2; b) 5a; c) 4; d) 3a; e) 4ab; f) 4a + b. 6. a) 12xyz; b) 5ax2; c) –30xy;
Dvostruka vrijednost nekog broja
2x
d) -14xy2 ; e) 10x2y2.
Neki broj umanji za 223
x – 223
Od nepoznatog broja oduzmi njegovu dvostruku vrijednost
x – 2x
Od nepoznatog broja oduzmi 8 pa razliku kvadriraj
(x – 8)2
Kvadriraj zbroj nepoznatog broja i broja 3
(x + 3)2
1.
2. Rečenica:
Matematički izraz:
Od broja 5 oduzmi nepoznati broj
5–x
Nepoznatom broju dodaj 2
x+2
Nepoznati broj uvećaj 9 puta
9x
Od sedmerostruke vrijednosti nepoznatog broja oduzmi 2
7x – 2
Kvadriraj zbroj nepoznatog broja i 9
(x + 9)2
Kvadriraj razliku peterostruke vrijednosti nepoznatog broja i 3
(5x – 3)2
3. a) –2; b) –2; c) –3; d) 22; e) 33. 4. a) –1; b) –1; c) –17; d) –3.5; e) 0.5. 1 5 5. a) 38; b) 2; c) –4; d) −3 ; e) −3 . 4 9 6. a) 9x; b) –3a; c) –2a; d) –x2; e) 0. 7. a) 4a = 4; b) 7x – 11 = –11; c) b2 = 4; d) 3x2y2 = 0; e) –2ax2 = 0. 8. a) 3y – 5x; b) 2; c) –p2; d) 12ab + 4a2b; e) 6x2y –2xy2. 9. a) 0.5d – c; b) 9y – 10x2; c) 1.1ab; d) 9.4xyz –13.2ab2; e) x2y2 – 6.6xy2. 10. a) –2m –24n; b) –x2; c) –6a2; d) 7ab2 –6a2b; e) 2x2y2 + 3xy2. 11. a) 6a – 5b + c; b) 6y – 2z; c) 11+ 2c – 5d + 6e; d) 14z2 – 7y2 – 8; e) 8ax2 + 2a2x – 5a2x2. 12. a) Nedostaje a2; b) –23 –15 = –38; c) ne možemo oduzimati y i y2; d) ne možemo zbrajati a i b; e) a + a = 2a. 13. Točni su a) i b). Točna rješenja ostalih 5 x ; d) x; e) 3a. trebala bi biti c) 6
146
14. 0.25a + 6.25a + a = 7.5a. 15. a) –5x; b) 2a – 7b; c) –x2 – 1; d) –5a2b2; e) 10 – 3xyz. 16. a) 6a + 2b = 54; b) –6x = –13.2; c) 5 – y2 = 4.75; d) 15x2 = 72.6; e) –8a2b2 –ab2 = –7290. 17. a) 7x – y ; b) 3x + y; c) 4a – 3b + c; d) y2; e) 3a2b – ab2. 18. a) –4x – y; b) x + 2y; c) –a – 6b; d) 5 – 7x2 + y2; e) 4.9ab2 + a2b. 19. a) 10 + 4a; b) 3x + y; c) 15ab + 3a; d) 3x2 +2y2; e) 0.1 – 1.51xy2z. 20. a) 11a+4b; b) 4; c) 10xy;d) -5y2;e) xy2-4yx2
7. a) 63a2bc; b) 2.4a2b; c) 3.2uvw; d) –36x2y2. 8. a) –12a2x2; b) a2x2; c) –27d2x; d) 16.25x2y2a2m; e) 15x2y2z2. 9. 2a ⋅ 7 ab ; 4yz ⋅ 7 x ; 6ab ⋅ ( −7 ab ) ; −0.66d 2 ef 2 . 10. a) O = 32 m, P = 64 m2; b) O = 40 cm, P = 100 cm2; 1 2 c) O = 2 m, P = m ; 4 2 d) O = 8a , P = 4a . 11. d = 2 dm. 12. a) 3x – 18; b) –2 – 2y2; c) 17a – a2; d) 2x2 + x; e) x2y2 – 5y. 13. a) –5 + 10a + 5y2; b) 10a2 – 80a –20ay2; c) –3x2 + 3xy2 + 3xz2; d) -4x2-16x-2xy2 e) -6x - 12x2 - 6a2x + 6xy2. 14. a) a2b + 2a2b2; b) 3xz + 15xzy2; c) –10x2a – 5xay2 – 30xaz2; d) 2x2yz – 15xy2z + 10xyz; e) 30xyb2 – 10x2yb2 + 5a2xyb2 + 15xy2b2. 15. a) –10ax + 5a2x + 15axy2; b) –2ax + 10a + 8ay2; c) x2 + xy2 + xz2; d) 16x2 – 64x + 8xy2; e) 42x – 14x2 + 7xa2 +7xy2. 16. a) 12ax+18ay-24az; b) –xy2 + x2 – 2x; c) 12x2 – 3x2y + 6x2y2. 17. a) y; b) 5; c) 1; d) 2x; e) –4x. 18. a) 3x2 + 30x – 4; b) –x2 – 8x – 2; c) 8x2 – 7x + y; d) -30a2; e) –3y2 – 2y. 19. a) xy + 5x + y + 5; b) 2b + ab – 14 – 7a; c) 8 – 2x – 4d + xd; d) –4x – 4y – ax – ay; e) xy – y2 +2x – 2y;
f) fg – 8f + 7g – 56.
20. a) x2 + 4x +3; b) a2 – 8a + 15; c) 2 – 3y + y2; d) –x2 – 9x – 20;
e) 36 – y2.
21. a) 3x2 + 5x + 2; b) –5y2 + 28y – 15; c) 1 – 6y + 8y2; d) –15x2 + 11x +12; e) 42a2 – 40a + 8. 22. a) 2x2 + 2x – 4; b) 3ab – 5a – 2; c) x2+4xy–36x+6y; d) x2+4xy–6x+6y–30x; e) 2ab + b – b2.
23. a)– x2; b) –6a + ab +9; c) z2 – 12z + 12t – t2; d) 0. 24. a) a; b) g; c) (7 + b); d) (x + c)(4 + z). 25. a) 2x – 2; b) –4x2 – 5x + 11; c) –14a2 + 4a + 29; d) 17.8x2 + 606.54xy – 34y2; 21 39 e) 8 x 2 + 1 x− . 40 40 1.5. Kvadriranje matematičkih izraza 1. a) 64; b) 144; c) 36; d) 144; e) 100. 2. a) 9a2; b) 81x2; c) 4b2; d) b2x2; e) x2y2. 3. a) 16a2b2; b) 100x2y2; c) 25y2b2; d) 81x2m2; e) 169c2d2e2f2. 4. a) 42; b) (4a)2; c) (xa)2; d) (5x)2; e) (10ab)2; f) (11xyz)2. 1 4 a2 x2 y2 5. a) ; b) 2 ; c) 2 ; d) ; e) . x n 169 625 25 1 25 x 2 16a2c 2 4x 2 6. a) ; b) ; c) ; d) ; 36 x 2 9y 2 9 49b2 2 121x e) . 64a2b2y 2 2
2
2
2
9a x 3x x 7. a) ; b) ; c) ; ; d) 4b 2 2 y 2
12ab e) . 13 xy 8. a) 9; b) 36; c) 4; d) 16; e) 9. 4 1 1 9 64 9. a) ; b) ; c) ; d) ; e) . 9 4 81 100 81 10. a) 1 210 000; b) 44100; c) 2 025 000 000; d) 1 690 000; e) 122 500 000 000. 1 1 16 11. a) 441; b) ; c) 0.16; d) 6 ; e) 182 . 4 4 225 23 463 9 12. a) 2 ; b) ; c) 16; d) 2 ; e) 16. 49 529 4096 13. a) x2 + 2xy + y2; b) a2 + 10a + 25; c) 49 + 14b + b2; d) 100 + 20x + x2; e) y2 + 2yb + b2. 14. a) 25 – 10y + y2; b) x2 – 2x + 1; c) 9 – 6b + b2; d) d2 – 2dx + x2; e) y2 – 24y + 144. 15. a) 1 + 2z + z2; b) 25 – 10c + c2; c) 36 – 12x + x2; d) a2 + 2ax + x2; e) b2 – 14b + 49. 16. 1. (x + 4)2 = x2 + 8x + 16; 2. (a – 2b)2 = a2 − 4ab + 4b2; 3. (9 − p)2 = 81 – 18p + p2. 17. a) 4x2 + 4xy + y2; b) 9a2 + 24a + 16; c) 4 + 12b + 9b2; d) y2 + 10yx + 25x2; e) 1 + 8b + 16b2. 18. a) 9a2 – 6ab + b2; b) a2 – 8ab + 16b2; c) 1 – 6b + 9b2; d) x2 – 16xy + 64y2; e) 36x2 – 48x + 16; f) 9. 19. a) a2 + 22ay + 121y2; b) 9x2 – 6x + 1; c) 36 – 96m + 64m2; d) x2 + 24xy + 144y2; e) 25x2 – 50x + 25; f) 4a2. 9 2 3 20. a) a + ab + b2 ; b) 0.25x2 – 3x + 9; 16 2 1 c) − 2a + 25a2 ; 25 d) 12.25x2 + 70x + 100; 49 2 e) x − 7 x + 36 144
Rješenja 21. a) 9a2 + 24ab + 16b2; b) 49x2 – 84xy + 36y2; c) 36n2 – 36nm + 9m2; d) 144x2 + 288xy + 144y2; e) 16x2y2 – 40xyab + 25a2b2; 1 f) 9a2 – 2a + . 9 4 2 4 1 22. a) x + xy + y 2 ; 9 9 9 b) 0.25x2 – 2xy + 4y2; 16 2 2 8 2 c) a b − a b + 9a2 ; 81 3 4 2 2 d) 36x2 + 8x2y + x y ; 9 400 2 9 2 e) x − 4 xy + y . 9 100 a2 + 2ab + b2 a2 + 2ab + b2 23. a) ; b) 2 ; 4a2b2 a − 2ab + b2 2 2 2 2a + 4ab + b a c) 2 ; d) ; 4c 2 + 12c + 9 a + 2ab + b2 2 2 a − 4ab + 4b e) . 9b2 − 30bd + 25d 2 24. a) 1 – 2ab; b) 12ab – 9; c) a2 – 20ab + 100b2 + 49a2b2 ; d) 2a2 + 18b2; e) –8ab; f) x2. 25. a) 400 + 40 + 1 = 441; b) 2500 + 300 + 9 = 2809; c) 4900 – 140 + 1 = 4761; d) 10 000 – 400 + 4 = 9604. ⋅ 26. a) 1089; b) 8281; c) 841; d) 2209; e) 6724. 27. a) a2 – 2ab + b2; b) x2 + 2xy + y2; c) n2 – 4mn + 4m2; d) 4x2 – 40xy + 100y2; e) 16y2 + 40xy + 25x2. 28. a) (a + b)2; b) (x – y)2; c) (b + 2)2; d) (5x + 3y)2; e) (10m – 9n)2. 2 3 29. a) (10 – b)2; b) x − y ; c) (0.1b + 0.2)2; 5 2
2 d) (0.5x + 0.3y)2; e) m − 9n . 3
30. a) 5a2 – 2ab + 2b2; b) 2x2 + 2y2; c) 8a2 + 12ab – 8b2; d) 5a2 – 22ab + 34b2; e) 5y2 + 56xy – 48x2. 31. a) 2a2 + ab + b2; b) y2 – 4xy – x2; c) 4a2 – 30a + 33; d) –14a2 – 4a + 17; e) –53x2 + 26xy – 173y2. 32. a) (c – d)(c + d); b) (x – y)(x + y); c) (m – n)(m + n); d) (x – b)(x + b); e) (z – t)(z + t). 33. a) (8 – a)(8 + a); b) (x – 5)(x + 5); c) (6 – y)(6 + y); d) (x – 1)(x + 1); e) (2 – b)(2 + b). 34. Imaju iste površine. 35. a) (5x – y)(5x + y); b) (a – 7b)(a + 7b); c) (10 – 7n)(10 + 7n); d) (9 – 3y)(9 + 3y); e) (12c – d)(12c + d). 36. a) (4x – 7y)(4x + 7y); b) (5b – 8a)(5b + 8a); c) (11m – 13n)(11m + 13n); d) (x – 3y)(x + 3y); e) (12c – d)(12c + d). 37. a) (0.4x – 0.1y)(0.4x + 0.1y);
2 2 b) b − 8 b + 8 ; 5 5
1 1 1 1 c) a − b a + b ; 8 4 8 4
12 12 y 1.5 x + y ; d) 1.5 x − 13 13
e) (0.3y – 3)(0.3y + 3). 38. a) c2 – d2; b) x2 – 36; c) 1 – y2; 256 d) 10 000 – a2; e) m2 − . 6561
39. a) (50 – 1)(50 + 1) = 2500 – 1 = 2499; b) (10 – 2)(10 + 2) = 100 – 4 = 96; c) (100 + 3)(100 – 3) = 10000 – 9 = 9991; d) (200 + 4)(200 – 4) = 40000 – 16 = 39984; e) (30 – 1)(30 + 1) = 900 – 1 = 899.
42. a) (5a – 2b); b) (a + 0.3b). 44. a) 5x2 – 4xy; b) 50a2 – 28a; c) 25d2 – 10dc + 2c2 – 5c; d) a2 + 6b2; e) 9y2 – 13x2 – 2ax. 1 45. a) x = –2; b) x = – 4 ; c) x = 0.9; d) y = 1; 13 e) a = 3.
27. a) točno; b) točno; c) točno; d) 7 : 7 = 1; e) točno. 28. a) x14; b) x15; c) 215; d) (4a)15; e) (x + y)8. 29. a) 2 2 ⋅ 26 = 28 ; b) a9 : a 1 = a8 ; c) 108 : 10 2 = 106 ; d) 59 ⋅ 53 = 512; e) x 6 ⋅ x 4 ⋅ x 3 = x13 . 30. a) 25; b) 34; c) 106; d) 71; e) 915. 31. a) xn+ m; b) x12a; c) z6 + 14k; d) x15m – 10n; e) 311a . 32. a) xn – 3; b) x5a – 9; c) 56a – 6b; d) 21+ 2n; e) a5m + 5n + 1. 33. a) a3 + a4; b) 7a3 + 21a5 + 7a2; c) 5x7 – 4x6; d) xy7 + x3y2; e) 3x3y6 – x2y4 – 3xy. 34. a) –20x3 + 36x4; b) –4a3 – 2a5 + 12a2; c) –3a3x7 – 4a3x6; d) –42a5y7 + 6a4y4; e) –9x3y6 + 9x2y4 – 27x2y. 35. a) a4 – 8a3 – 9a2; b) 21a5 – 3a4 + 7a3 + 6a2 – a; c) –6x7 – 8x2 – 18x6 – 24x; d) 7xy6 + xy7 + 7x3y + x3y2; e) 27x3y5 – 15x3y6 – 9x2y3 + 5x2y4 – 27x + 15xy.
1.6. Potencije
1.7. Potencije s bazom 10
40. a) 9a2 – b2; b) 4x2 – 9; c) 1 – 36y2; 25 2 4 25 m − − 25a2 ; e) d) . 9 121 9 41. a) 4x2 – 64y2; b) 49a2 – 81b2; 196 2 121 2 x – y ; d) 0.01b2 – 0.09a2; c) 361 144 4 2 2 2 k . e) 36m n − 49
1. a) 102; b) 105; c) 101; d) 109; e) 104. 2. a) 10 000; b) 10 000 000; c) 100 000; d) 100 000 000; e) 10. 3. Znanstveni nije zapis a) jer je 12 > 10 i c) jer je 0.3 < 1. 4. a) 50 000 000; b) 3 000; c) 20 000; d) 500 000; e) 90. 5. a) 18 000 000 km; b) 59 000 000 dolara; c) 120 000 km; d) 140 000 000 000 000 000 litara; e) zakuca 2 575 000 000 puta, potisne 180 000 000. 6. a) 2 ⋅ 104; b) 5 ⋅ 102; c) 9 ⋅ 101; d) 7 ⋅ 107; e) 3 ⋅ 1015. 7. a) 6.377397 ⋅ 106 m; b) 1.082841322036 ⋅ 1024 litara; d) 2187 i 343; e) 59049 i 1000. c) 9.4608 ⋅ 1012 km; d) 1.4 ⋅ 1021 litara. 1 5 8. a) 3.6 ⋅ 103; b) 8.64 ⋅ 105; c) 4.59 ⋅ 108; 7. a) 34; b) 27; c) 2.84; d) ; e) 18. 11 d) 1.01 ⋅ 107; e) 7.86 ⋅ 109. 8. a) 53; b) 33; c) 34; d) 54; e) 36; f) 26; 9. a) 3.675 ⋅ 103; b) 3.4762 ⋅ 107; 3 c) 4.33876112 ⋅ 108; d) 1.1001552 ⋅ 107; 1 g) 1bilo koji broj; h) 0.22; i)1.52; j) . e) 1.123231451267 ⋅ 1012. 3 10. a) 2.6011 ⋅106 ; b) 4.13788 ⋅ 106; 9. a) a6; b) x11; c) m4; d) y2; e) b8. c) 4.0972 ⋅105 ; d) 5.3126176 ⋅109 ; 10. a) (a + b)3; b) (x – y)2; c) (2c – 3d)5; e) 1.1227278 ⋅105 . d) (2a)1; e) (a + 6)5. 11. a) 1.98999403 ⋅1030 ; b) 5.33 ⋅1024 ; 11. Na drvetu je 8 listova. c) 1.88403 ⋅1027 ; d) 8.123 ⋅1025 . 12. Ukupno je 343 latice. 12. a) 10–2; b) 10–3; c) 10–6; d) 10–1; e) 100. 13. Ukupno je 6561 rečenica. 13. a) 10–7; b) 10–3; c) 10–11; d) 100; e) 10–1. 15. Dobit ćemo 729 komada papira. 14. a) 0.000001; b) 1; c) 0.0001; 16. Bit će 256 bakterija. d) 0.0000000000000000000000000001; 17. Imao je 1024 potomka. e) 0.0000000000000001. 18. a) 945; b) 784; c) 941201; d) 0; e) 3100. 15. Znanstveni nije zapis b) jer je 899 > 10; 22 c) jer je 0.3 < 1 i 1 10 10 9 34 19. a) 6 ; b) 10 ; c) ; d) 1.33 ; e) 34 . e) jer nema potencije broja 10 i 53 > 10. 2 23 16. a) 0.000000000000000000000001637 g; 3 20. a) 109; b) 74; c) 51; d) 1.63; e) b) 0.00523 A; c) 0.2642. . 10 17. a) 0.00000052366; b) 0.000000003404; 21. a) 88; b) 119; c) 316; d) 102; e) 556. c) 0.000215555; d) 0.00000000053511; 5 4 1 8 22. a) 5 ; b) 8 ; c) 10 ; d) točno; e) 18 . e) 0.999. 23. a) a18; b) b1; c) x11; d) y4; e) b11. 18. a) 2 ⋅10 −4 ; b) 5 ⋅10 −1 ; c) 4 ⋅100 ; 24. a) 3a2; b) 2a2; c) 210; d) 3a4; e) a12. d) 8 ⋅10 −11 ; e) 5 ⋅10 −13 . 25. a) (a – 5)5; b) (x + b)7; c) (3x)13; d) (2y + b)1; 19. a) 4.5 ⋅10 −2 m; b) 2.1 ⋅10 −4 m; e) (b – 3a)2. c) 6.7 ⋅10 −10 s; d) 3.3 ⋅10 −9 s; e) 3.03 ⋅10 −3 . 26. a) 2 + 8 = 10; b) a ≠ b ; c) (a + 1) ≠ (b + 1) . 20. a) 6.78 ⋅10 −3 ; b) 3.46 ⋅10 −1 ; c) 1.05 ⋅10 −2 ; d) 8.99 ⋅10 −11 ; e) 4.43 ⋅10 −1 . 1. a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128; b) 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187; c) 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384. 2. a) 0.2, 0.04, 0.008, 0.0016, 0.00032; b) 1.3, 1.69, 2.197, 2.8561, 3.71293, 4.826809, 6.2748517; 1 1 1 1 1 , , , , c) . 8 64 512 4096 32768 3. a) 125; b) 6561; c) 16; d) 5; e) 36; f) 4096; g) 81; h) 729; i) 1024; j) 823543. 4. a) 0.125; b) 7.1289; c) 4.29981696; d) 1157.625; e) 2839.8241. 4 27 16 1024 5. a) ; b) ; c) ; d) ; 81 64 87 59049 2401 e) . 14641 6. a) 32 i 25; b) 36 i 64; c) 125 i 243;
147
Rješenja 21. a) 7.774 ⋅10 −1 ; b) 4.000000001 ⋅10 −2 ; c) 5.62316 ⋅10 −13 ; d) 1.000000078 ⋅10 −1 ; e) 5.62006 ⋅10 −6 . 22. a) 0.1; b) 1; c) 0.001; d) 107; e) 1010. 7 23. a) 350 000; b) 10; c) 2.4 ⋅1012 ; d) ⋅108 ; 3 e) 3.6 ⋅109 .
b) kvadratna funkcija, graf je parabola y
2. Korjenovanje 2.0. Uvod
4
1. Duljina njegove stranice je 5 cm. 2. Duljina njegove stranice je 4 cm. 3. Duljina njegove stranice je 10 cm.
y = x2 2
1.8. Ponavljanje 1. Kvadrirati neki broj znači pomnožiti ga sa samim sobom. 2. Kvadrati suprotnih brojeva su jednaki, npr. 52 = (–5)2 = 25. 2
2
3 9 3 9 , = . 3. = 64 8 8 8 4. (–6)2 = 36, –62 = –36. 5. cm2, m2,... 6. Kvadrat racionalnog broja je uvijek pozitivan broj ili nula. Kvadriramo li bilo koji pozitivan racionalan broj, dobit ćemo pozitivan broj. Primjerice, 42 = 16 . Iz prethodnog primjera vidimo da i kvadrat negativnog broja daje pozitivan broj. Primjerice, ( −4) 2 = 16 . Zaključujemo da ne postoji racionalan broj koji nakon kvadriranja daje negativan broj. 7. y 4 y = x2 2
0
x
1
8. Graf kvadratne funkcije zove se parabola, a graf linearne funkcije zove se pravac. 9. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. 10. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. 11. a2 – b2 = (a + b) (a – b) . ⋅ a ⋅ ... ⋅ a . 12. Potencija je an = a n faktora
Broj a se pritom naziva baza potencije an , a n je njen eksponent. 13. dm3, mm3,...
4 ; c) 14.44; d) 0.000169; 25
79 . 169 2. a) Između 702 i 802; b) između 302 i 402; c) između 82 i 92. 3. a) 0.0009; b) 0.36; c) 0.000081. 4. P = 61.7796 cm2. 5. P = 6.76 π ≈ 21.23 dm2. 6. a) Linearna funkcija, graf je pravac e) 9
y
f(x) = 2x – 6
3 2 1 0 –1 –2
148
1
1
x
7. a) 7; b) 4; c) –1.33. 8. a) 9a – 5; b) 6ab + 2a2b. 9. a) –10x – 3y; b) x – 3y. 10. a) 3a – 7; b) 2xy + 9y; c) 3x2 – 3y2 + 3. 11. a) 2x2y; b) –18fP2; c) 1.8ax2y. 12. a) –y + 4ay + 3y2; b) 12a2 – 10a + 6ax2. 13. a) y2 + 7y + 10; b) 12y2 – 26xy + 12x2. 14. a) 6x + 5xy + 2y; b) x2 – 15y2. 4x 2 1 15. a) 9x2; b) 2 2 ; c) . 9a2y 2 a x 2
a 3x 16. a) ; b) . b 4 256 5 17. a) ; b) . 1225 6 2 2 18. a) x + 2xy + y ; b) 4x2 – 4xy + y2; c) 64m2 – 48my + 9y2. 19. a) (4x + 5y)(4x – 5y); b) (10b + 8)(10b – 8). 20. a) e2 – d2; b) 0.25x2 – 0.36y2. 1 21. a) 1024; b) ; c) 0.039304. 29 22. a) 96; b) y5; c) (2a + 1)3. 23. Prabaka ima 27 potomaka. 24. a) 157; b) 96. 25. a) 69; b) 80; c) 102. 26. a) a26; b) (4b)7; c) (3b – 3a)1. 27. a) –2x3 + 5x4 + x2; b) –10a8y5 + 35a7y5. 28. a) 5.64 ⋅102 ; b) 3.2962 ⋅107 ; c) 7.805663451267 ⋅1012 . 29. a) 7.04 ⋅10 −2 ; b) 1.1 ⋅10 −10 ; c) 6.98 ⋅10 −13 . 30. a) 1278.6; b) 0.00000454; c) 215 000 000. Primjerak oglednog testa 1. a) 16; b)
2
3
x
x
0
0
0.5
0.5 ≈0.707
0.75
0.75 ≈0.866
1
1
x
x
1.5
1.5 ≈1.2247
1.75
1.75 ≈1.322
2
2 ≈1.4142
2
36 ; c) 27.04; d) 0.5041; 49
73 . 144 2. a) 256; b) 9.
e) 19
Zadaci za ponavljanje: 1. a) 81; b)
0
x
25 x 2y 2 . 81a2b2c 2 4. a) 2a – 2b; b) 7x + 5y – 4. 5. a) 14 + 7y2 – 21x6; b) 6y2 – 12x2 + 60x – 2xy; c) 6b2 + ab – 40a2. 6. a) x2 + 16x + 64; b) 9x2 – 6xy + y2; 4 2 9 2 m − n . c) 25 25 7. (7a – 4b)(7a + 4b). 8. a) 48; b) t4; c) (a + 3)2. 9. a) 10-3; b) 10-5; c) 107. 10. a) 3.688 ⋅103 ; b) 4.52 ⋅10 −3 ; c) 3.54 ⋅1012 . 3. a) 100a2; b)
4. Duljina njegove stranice je 0.4 cm. 5. Kvadrati suprotnih brojeva su jednaki. 6. Graf kvadratne funkcije je parabola, a linearne pravac. 7. Kvadrat zbroja (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. 8. Kvadrat razlike (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. 9. Razlika kvadrata a2 – b2 = (a – b)(a + b). 2.1. Korjenovanje 1. b) 152 = 225; c) 0.12 = 0.01; d) 0.132 =0.0169. 2. b) 202 = 400; c) 1 = 1 , 12 = 1; d) 0.0016 = 0.04 jer je 0.042 = 0.0016; e) 1.69 = 1.3 jer je 1.32 = 1.69; f) 25 = 5 jer je 52 = 25. 3. a) 8; b) 10; c) 1; d) 2; e) 4. 4. a) 20; b) 100; c) 30; d) 600; e) 70. 5. a) 12; b) 13; c) 19; d) 15; e) 11. 6. a) 0.4; b) 0.03; c) 2.1; d) 0.00008; e) 0.012. 5 1 7 3 4 ; b) ; c) ; d) ; e) . 7. a) 2 4 9 2 3 8. a) 0.7 m; b) 60 cm; c) 13 mm; d) 0.012 dm; e) 300 m. 5 10 12 =1 ; 9. a) 0.01; b) ; c) 5 000; d) 7 3 7 e) 0.00014. 10. a) 8; b) 2; c) 9; d) 2; e) 6. 1 124 3 13 11. a) 13; b) 8 ; c) ; d) ; e) − . 4 7 10 8 3 2500 1 −35 12. a) ; b) ; c) ; d) ; 140 16 5 213 e)
1 . 17
13. a) 9 b) 49 c) 19; d) 8933; e) 59 611. 14. a) 3; b) 11; c) 2.33; d) 60.56; e) 8911. 15. a) 0.25; b) 4.9; c) 511; d) 0.90001; e) 87.551. 16. a) 3 i 3; b) 7 i 7; c) 2.56 i 2.56; d) 0.01 i 0.01. 7 17. a) 5; b) 1; c) 8; d) 5.5; e) . 13 18. b) i e) nisu racionalni. 19. −25 nije racionalan broj, – 25 = –5. 20. c), d) i e) nisu racionalni brojevi.
Rješenja 2.2. Približno računanje korijena 3. a) 9.4868; b) 7.615; c) 84.85281374; d) 0.781024967; e) 17.3205808. 4. a) 31.607; b) 2.64575; c) 12; d) 1.9; e) 2.6645825. 5. a) 22.38; b) 1.58114; c) 0.00700000; d) 9.89; e) 10.3174125. 6. a), d). 7. a), d). 8. a), c), d). 9. a) 8 i 9; b) 7 i 8; c) 0 i 1; d) 6 i 7; e) 2 i 3. 10. a) 5 i 6; b) –7 i –6; c) –1 i 0; d) 100; e) –8 i –7. 11. a) 70 m; b) 3601 cm; c) 55 mm; d) 0.256 dm; e) 45 m. 12. a) 8 m; b) 600 cm; c) 13 m; d) 80.6 dm; e) 1.73 m. 13. a) 10 m; b) 2.5 cm; c) 7966 mm; d) 99.45 dm; e) 205.25 m. 14. Funkcije korjenovanja su a) i c). 15. Kvadratna: b) , linearna: a) i d), a funkcija korjenovanja c). 16. Pravac: c), parabola: a) i d), dio parabole: b). 17. (1, 1), (100, 10), (25, 5), (0, 0).
e) 0.358974359. 4. a) 0.45; b) 0.2666…; c) 2.117647059; d)0.08; e)6.55555…. 5. a) konačni; b) beskonačni periodički; c) konačni; d) konačni; e) beskonačni periodički. ; b) 13.6 ; c) 9.78253 ; d) 0.53 ; 6. a) 0.23 . d) −13.4481 7. Racionalni: a), d), e), a iracionalni: b), c). 8. Iracionalni su: b), d), e). 9. Samo približno možemo odrediti rezultate b), c), d), e). 10. 3 ≈ 1.732050808, jer je iracionalan broj. 11. a) 2 15 ; e) −3 2 < –4.2411. π 12. 0.5 < 2 < < 1.73 < 3 . 2 9 < 3 < 11 . 13. − 6 < –1.1 < 7 7 14. 3.5 > –3.46 > −2 3 > − > −3 2 . 2
2.5. Djelomično korjenovanje 1. a) 4 2 ; b) 2 2 ; c) 5 3 ; d) 7 2 ; e) 2 3 . 2. a) 6 5 ; b) 4 3 ; c) 5 5 ; d) 3 3 ; e) 3 7 . 3. a) 10 3 ; b) 4 5 ; c) 3 2 ; d) 2 5 ; e) 3 5 . 4. 200 10 2 27 2 6 8 2 20 6 2
= =3 3 = 24 = 128 =2 5 = 72
5. a) 100 2 ; b) 100 5 ; c) 2 000; d) 3 000 3 ; e) 100 000 5 . 6. a) x 5 ; b) x a ; c) 7 a ; d) 10xy 3 ; e) y 6x . 2.4. Računanje s korijenima 7. a) 8 2 ; b) 16 2 ; c) 102 7 ; d) 21 5 ; e) 105 3 . 1. a) 50; b) 12; c) 45; d) 24; e) 48. 7 2. a) 0.12; b) 0.1; c) 0.035; d) 1.08; e) 0.00025. 8. a) –7 3 ; b) –9 2 ; c) –37 ; d) –26 5 ; e) –732 2 . 3. a) 15; b) 16; c) 8; d) 22; e) 14. 1 1 , , (1, 1), (0.0144,0.12 ) , 18. 9. a) 16 3; b) –6 2;c)6 3 ; d)–16 5; e) –89 2 . 4. a) 20; b) 40; c) 60; d) 30; e)96. 36 6 10. a) –3 3 –3 11 ; b) 6 10 + 2 2 ; 5. a) 80; b) 150; c) 308; d) 72; e) 160. c) 17 –8 3 ; d) –4 2 +4 5 ; 81 1 6. a) 4ab; b) 5x; c) 10b; d) 12yb; e) 6fg. ,2 . e) 6 2 + 21 −12 3 − 4 6 . 4 16 7. a) 6; b) 4; c) 3; d) 20; e) 48. 1 1 11. a) x 2 ; b) 2a; c) –6y 3 ; d) 7x–7x 5 ; 8. a) 12; b) 12; c) 18; d) 24; e) 12. , 2 19. A(4,2), B(2, ), C(0,0), D , E(1,1), e) 24x–8x 10 . 4 2 9. a) xy; b) 4xy; c) 2ay; d) 10xy; e) 6ab. 12. a) 9 6 ; b) 18; c) 69; d) 10; e) –80. 10. a) 12; b) 12; c) 35; d) 30; e) 20. F(5, 5 ), G(1.5, ≈1.2247) 13. a) 15 + 35 ; b) –9 +6 6 ; c) 30 –2 15 ; 5 1 12 20 ; b) ; c) 2; d) ; e) . 11. a) d) −4 6 − 24 + 8 10 ; e) −27 + 6 6 + 60 6 . 7 2 13 11 4 14. a) 10 –5 2 ; b) 6 +10 3 ; c) 0; 3 5 3 7 10 3 d) 150 –40 3 ; e) 35– 3 5. 12. a) ; b) ; c) ; d) ; e) . A F 2 4 2 5 9 15. a) 1– 2 ; b) 6 6 – 15 3 – 10 2 + 25; 2 B 6 4 9 10 12 G E c) 9 6 – 12 3 – 30 + 20 2; d) 0; 13. a) ; b) ; c) ; d) ; e) . 5 5 8 11 13 e) −6 2 + 3 3 . D 1 1 8 10 16. a) 8 +2 7 ; b) 5 –2 6 ; c) 22 +4 10 ; 14. a) ; b) ; c) 2; d) ; e) . C 0 1 4 5 9 10 5 10 7 3 d) 30 +12 6 ; e) 560 –192 6 . 15. a) 6; b) 5; c) 5; d) 4; e) 18. 17. a) –3; b) 108; c) 1695 –180 15 ; 20. x 0 a 3x 14 12ax 6x 0.5 0.75 1 d) 110 +28 6 ; e) 3 − 3 5 . 16. a) ; b) ; c) ; d) ; e) . 6y 4 9 b 5 3 x 0 0.5 0.707 0.75 0.866 6 1 18. a) ; b) ; c) ; d) 5 ; e) 2 2 . 17. a) 63; b) 8; c) 75; d) 810; e) 125. 3 3 x 1 1.5 1.75 2 18. a) 7a2; b) 2a2; c) 3b2; d) 5a2b2; e) 11x2y2. 3 6 4 5 7 19. a) ; b) ; c) ; d) ; x 1 1.5 1.2247 1.75 1.323 19. a) 63a2b2; b) 2 x2y2z2; c) 24a2; d) 63x3; 2 1.4142 6 9 15 2 21. 3 3 3 e) 125a b c . 10 e) . 20. a) 6+2 5 ; b) 5+2 6 ; c) 21–4 5 ; 4 4 d) 12+8 2 ; e) 70+20 10 . 3 2 x 3 f (x) = √¯ 3 ; b) ; c) − ; d) 5 2 ; 21. a) 15 + 2 15 + 2 10 = 15 + 2 5 ( 3 + 2 ) ; 20. a) 3 2 6 2 b) 11 + 2 5 − 2 6 ; 3 5 c) 5 + 4 5 − 8 3 ; d) 8 5 ; e) . 5 e) 46 + 16 30 + 20 10 = 46 + 4 10 ( 4 3 + 5 ) 21. a) NE; b) DA; c) DA; d) DA; e) NE. 1 4 5 9 10 0 46 + 16 30 + 20 10 = 46 + 4 10 ( 4 3 + 5 ) 5 + 10 2 −2 10 + 15 . 22. a) ; b) ; c) ; 5 2 5 22. a) 3 2 ; b) 9 2 ; c) 0; d) 2 3 ; e) 4 10 . 22. 2 21 + 15 8 3 −6 2 23. a) 14 2 ; b) −6 3 ; c) −3 2 ; d) 4 2 ; d) ; e) . 3 3 e) 505 5 . 0 1 4 5 9 10 3 + 6 2 − 10 2 + 2 24. a) 8 2 ; b) −3 3 ; c) 0; d) 3 2 ; 23. a) ; b) ; c) ; 3 2 4 e) −20 12 . –2 −1 − 2 15 5 3 +5 ; 25. a) 7 2 + 7 5 ; b) 9 2 + 5 5 ; c)−3 x f (x) =–√¯ d) ; e) . –3 4− 6 d) −8 8 + 4 5 ; e) −2 7 − 3 6 + 6 5 . 9 26. a) 17 3 − 2 2 ; b) 3 3 − 5 ; –4 −1 − 2 3 24. a) 2 −1 ; b) 6 − 2 ; c) ; c) 5 3 + 5; d) 17 2 − 4 5 ; 11 e) 64 + 3 2 . −2 7 − 7 2 2.3. Realni brojevi d) 2 5 − 5 ; e) . 27. a) 14 3 + 3 2 ; b) −31 3 + 5 2 ; 5 1. a) 0.5; b) 1.25; c) 0.3; d) 5.55; e) 0.216; c) −6 2 − 3 3 ; d) −17 2 + 10 7 ; 8 + 12 3 f) 0.12. 25. a) ; b) 2 + 3 2 + 3 3 + 6 ; e) 12 5 + 11 . 23 2. a) 1.16666…; b) 0.66666…; c) 0.11111…; 28. a) 17 3 − 4 ; b) −117 − 9 2 ; 16 + 2 2 + 24 3 +3 6 d) 0.944444…. e) 8.833333…. c) ; c) 19 −29 6 ; d) 10 − 30 6 − 3 ; 46 3. a) 0.0370370..; b)1.1818… e) 3 3 − 88 2 + 12 + 5 6 . 19 − 4 15 −45 − 8 30 c)0,269230769…; d) 0.153846153; d) ; e) . 11 3
149
Rješenja
26. a)
d)
e)
a +1 a −3 2( a + b ) ; b) ; c) ; a −1 a −9 a −b a2 a + ab − ab a − b2 a3 − b 2 a3 + 2ab ab + b3 a3 − b3
;
.
2.6. Kvadratna jednadžba 1. a) x1 = 7, x2 = –7; b) x1 = 4, x2 = –4; c) x1 = 10, x2 = –10; d) x1 = 1, x2 = –1; e) x1 = 20, x2 = –20. 2. a) a1 = 0.8, a2 = –0.8; b) a1 = 0.003, a2 = –0.003; 3 3 c) a1 = , a2 = – ; 11 11 60 60 d) a1 = , a2 = – ; 13 13 3 3 e) a1 = 1 , a2 = –1 . 7 7 3. a) x1 = 5 , x2 = – 5 ; b) x1 = 13 , x2 = – 13 ; c) x = 0; d) x1 = 15 , x2 = – 15 ; e) x1 = 2 13 , x2 = –2 13 . 4. a) x1 = 5 2 , x2 = – 5 2 ; b) x1 = 8 5 , x2 = – 8 5 ; c) x1 = 10 6 , x2 = –10 6 ; d) x1 = 40 2 , x2 = –40 2 ; e) x1 = 6 5 , x2 = –6 5 . 5. a) Kvadratna, x1 = 7, x2 = –7; b) linearna, x = 7; c) linearna, x = 49; d) kvadratna, x1 = 7 , x2 = – 7 ; e) linearna, x = 18. 6. a) Nema rješenja u skupu realnih brojeva; b) jedno dvostruko rješenje x = 0; c) dva rješenja x1 = 3 3 , x2 = –3 3 ; d) jedno rješenje x = 27; e) jedno rješenje x = 27. 7. a) x1 = 5, x2 = –5; b) x1 = 5, x2 = –5; 8 8 1 1 c) x1 = , x2 = – ; d) x1 = , x2 = – ; 3 3 5 5 17 17 e) x1 = , x2 = – . 11 11 1 1 8. a) x1 = , x2 = – ; b) x1 = 25, x2 = –25; 5 5 c) x1 = 12, x2 = –12; d) x1 = 3, x2 = –3; 4 4 e) x1 = , x2 = – . 9 9 9. a) x1 = 2, x2 = –2; b) x1 = 2 , x2 = – 2 ; c) nema rješenja u skupu realnih brojeva; 29 29 d) x1 = , x2 = – ; 2 2 e) x1 = 5 , x2 = – 5 . 10. a) x1 = –2, x2 = –4; b) x1 = 7, x2 = –1; 5 c) x1 = 10, x2 = –8; d) x1 = , x2 = –1; 2 5+ 5 5− 5 e) x1 = , x2 = . 5 5 2.7. Ponavljanje 1. Kvadratni korijen pozitivnog broja b je pozitivni broj a čiji je kvadrat jednak b. 2. Postupak traženja broja kojemu je zadan njegov kvadrat naziva se korjenovanje. 3. . 4. 0 = 0. 5. Imat će 5 decimala. 6. Npr. −17 , −25 , −27 ,... 25 169 7. Npr. , ,... 9 196
150
8. Npr. 17 , 22 , 27 ,... 9. Npr. 3.5, 4.224, 0.23,.. 5 , 3.232323..., ... 10. Npr. 4.6666..., 9 11. Npr. 4.356782..., 12 , ... 12. Iracionalni brojevi su brojevi koje ne možemo točno prikazati u obliku razlomka ili decimalnog broja, tj. to su beskonačni neperiodički decimalni brojevi. 13. Skup racionalnih brojeva zajedno sa skupom iracionalnih brojeva čini skup realnih brojeva kojeg označavamo s R. 14. Skup racionalnih brojeva zajedno sa skupom iracionalnih brojeva čini skup realnih brojeva. 15. Iracionalni su 2 , 3 i π. 16. Djelomično se mogu korjenovati 12 , 20 , 18 . 17. Postupak proširivanja razlomka (s iracionalnim nazivnikom) do razlomka s racionalnim nazivnikom se naziva racionalizacija nazivnika. 1 1 18. Racionalizirati treba i . 3 24 19. Kvadratne su a) i c), linearne su d) i e), a jednadžba b) je kubna. 20. Ako je b > 0, tada kvadratna jednadžba oblika x 2 = b ima dva rješenja, x1 = b , x2 = – b . Ako je b = 0, tada kvadratna jednadžba oblika x 2 = b ima jedno rješenje, x = 0. Ako je b < 0, tada kvadratna jednadžba oblika x 2 = b nema rješenja u skupu realnih brojeva. Zadaci za ponavljanje - korjenovanje: 1 3 ; c) 0.9; d) ; e) 0.007. 4 2 2. a) a = 10 m; b) a = 0.6 cm; c) a = 1.3 mm. 41 3. a) 6; b) ; c) 500.8. 42 4. c) nije racionalan. 5. a) 1.732051; b) 0.85188. 6. a) a = 4.79583 m; b) a = 2.62107 cm. 7. a) r = 5 m; b) r ≈ 2.5 cm; c) r ≈ 4.11 mm. 8. 1. a) 5; b)
x f (x) = √¯
2
0
1
4
5
9. a) 35; b) 450x. 10. a) 3a; b) 6xy. 11. a) ab; b) 12ab. 5 ; b) 24. 12. a) 3 13. a) 18; b) 200; c) 8a2; d) 45c2x. 14. a) 27 + 10 2 ; b) 5 – 2 6 ; c) 73 – 12 35 . 15. a) 0; b) 5 3 + 5 2 ; c) –9 5 – 7 2 . 16. a) 3 6 − 7 + 9 3 ; b) 2 −11 ; c) 21 6 − 9 . 17. a) 3 3 ; b) 20 2 ; c) 9 2 . 18. a) 6 3 ; b) 8 2 ; c) −6 3 − 9 2 . 19. a) −13 3 − 3 2 ; b) 42 –30 2 . 20. a) 2 + 3 10 ; b) –3. 21. a) –2 + 3 2 ; b) 60 – 40 3 . 3 10 3 10 22. a) ; b) ; c) – . 3 5 4
23. a) x1 = 10, x2 = –10; b) x1 = 0.6, x2 = –0.6; c) x1 = 6 , x2 = – 6 ; d) x1 = 3 10 , x2 = – 3 10 . 24. a) Nema rješenja u skupu realnih brojeva; b) jedno dvostruko rješenje x = 0; c) dva rješenja x1 = 1, x2 = –1; d) jedno rješenje x = 27; e) jedno rješenje x = 3. Zadaci za ponavljanje – skupovi brojeva 1. a) 15, prirodni; b) 3, prirodni; c) 46.5, racionalni. 2. a) –18, cijeli; b) –8.25, racionalni; c) –26, cijeli. 3. a) 0, prirodni s nulom; b) 1, prirodni; c) –0.524, racionalni; d) –26.3, racionalni. 4. a) n = 2, 1, 0, –1,...; b) n = 4, 5, 6,...; 1 c) n = 2.1, ,...; d) n = 10 , −2 2 ,... 2 5. Ne može jer je 139.5 : 9 = 15.5. 6. a) 277.4 kg; b) 2 774 dg = 27 740 cg = 277 400 g. 7. a) 0.07; b) 0.66666...; c) 2.11111...; d) 1.7; e) 4.8181...; f) 0.428571428... 8. a) konačni; b) beskonačni; c) konačni; d) konačni; e) beskonačni. = 0.857142 ; 9. a) 0.3 ; b) 0.6 ; c) 0.857142 d) 0. 7 ; e) 0.83 ; f) 2. 6 ; g) 0.4583 ; . h) 3.27 10. a) ; b) ; c) ; d) 0 ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) . 11. a) 3 > 1.73; b) 2 > 1.4; c) 3.14 < π; d) 4 = 16 ; e) − 2 + 1 < –0.414. π < 2.449 < 2.44948 < 6 < 2.5. 12. 2 13. a) 2b – 3a = 0 ∈ 0 ; b) 6a + 9ab – 12a2 = 18 ∈ ; c) 2c2 – 13c + 15 = 72 ∈ ; d) –a – 13c +15 = –38 ∈ ; e) 2ab2 – 11a2b = –96 ∈ . 6 ∈ ; 14. a) –3 ∈ ; b) –2ab + 2a2b = − 25 c) 18b + 15ab – 6 – 5a = 4 ∈ ; d) –ab – 5a = –2.2 ∈ ; e) 4 – 2c2 + c 2 – 4c 2 + 3a2 – 3a = = –28.72 + 12 2 ∈ . 15. a) x = –3 ∈ ; b) x = –7 ∈ ; c) x = 3 ∈ ; d) x = –4 ∈ ; e) x = 6 ∈ ; f) x = 3 ∈ . 16. a) x1 = 10, x2 = –10 ∈ ; b) x = 0 ∈ ; c) x1 = 1, x2 = –1 ∈ ; 6 6 d) x = – π ∈ I; e) x1 = , x2 = – ∈ I. 3 3 17. Duljina neke dužine ne može biti negativan broj, ali može biti iracionalan, jer iracionalne duljine možemo konstruirati, a negativne ne. 18. a = 2 . 20. r = 4, racionalan. 4 π ,iracionalan. 21. r = π 1 22. a) x = − ∈ ,y = 0 ∈ 0 ; 8 22 b) x = 8 ∈ ,y = 5 ∈ ; 9 9 2 14 ∈ ,y = − ∈; c) x = − 13 13 d) x = 3.15 ∈ , y = 0.5 ∈ ; e) x = 0 ∈ 0 , y = 1 ∈ .
Rješenja Primjerak oglednog testa 1 . 2 2. a) a = 10.6771 m; b) a = 1.8042 cm. 3. r = 13 m. 6 ; d) 4 3 ab. 4. a) 54; b) 3ab; c) 11 5. a) −3 3 ; b) 5 5 − 5 2 . 6. a) 12 + 6 ; b) 3 + 8 6 − 3 . 7. a) 125; b) 28a; c) 21 – 8 5 ; d) 30 + 12 6 . 8. a) 2 15 ; b) 10 10 . 9. a) 6 3 ; b) 6 2 ; c) –3. 3 5 5 10. a) ; b) . 2 3 7 7 11. a) x1 = , x2 = – ; 3 3 b) x1 = 6 2 , x2 = – 6 2 . 12. 1.4 < 2 < 3 < 3.14 < π .
b) O ≈ 13.7 cm, jednakokračan B
d) katetu b treba izmjeriti, P ≈ 1.2 cm2 A
1. a) 1; b) 0.6; c)
c B 8. c
c
90° b = 4 cm
C c) O ≈ 11.1 cm
90°
45° c
B 9.
b = 5 cm
C
a = 3.3 cm C
A
7. a) P = 5.75 cm2 B
1. Pravokutni trokut je trokut koji ima jedan pravi kut. 2. Stranica nasuprot pravom kutu naziva se hipotenuza, a druge dvije su katete. 3. Najdulja stranica je hipotenuza. 4. Katete su stranice uz pravi kut. 5. Hipotenuza je stranica nasuprot pravom kutu. 6. O = a + b + c. c ⋅ vc a ⋅b 7. P = = . 2 2 8. Kvadrat je četverokut koji ima sve četiri stranice jednake duljine i sva četiri kuta prava. 9. P = a2. 10. Poučak je tvrdnja koju treba dokazati.
b
A
B
C
3.0. Uvod
A
a = 4 cm
a = 1 cm 90°
3. Pitagorin poučak
b 90° C
15° a = 3.1 cm
b
a
45°
c
A
a = 2.5 cm
45° B
c = 4.5 cm
10.
90° b = 4.6 cm C b) P = 6 cm2
A
B
C 2.2 cm B
3.1. Pravokutni trokut
S
c
1. Pravokutni trokuti su 1, 6 i 7, tupokutni su 3 i 5, a šiljastokutni 2 i 4. 2. a) Pravokutni trokuti su 2,3 i 7, tupokutni su 3, 5 i 7; a šiljastokutni 1 i 4; b) jednakokračni je 1, jednakostranični 4, a ostali su raznostranični. 3. Katete trokuta ABC su AB i BC , trokuta DEF su DE i EF , trokuta BKI su BI i BK , trokuta GMN su MN i NG , trokuta SPB su PB i BS , trokuta JTV su JT i JV , trokuta CLR su CL i LR . 6. a) O ≈ 12.4 cm
d = 7 cm
A
a = 4 cm
90° b = 30 mm C A c) katetu b treba izmjeriti, P ≈ 2525 mm2 A 11.
B C1
C2
c a = 2 cm
v = 2.8 cm
90° C
b = 5 cm
S
c
A
b
60° B
A
57 mm
B
90° a = 54 mm
C
151
Rješenja 12.
C
v = 48 mm
e)
50 3 cm2. 3 17. Dimenzije kriški su 3 cm, 4cm i 5 cm. 18. a = 15 cm, b = 36 cm, c = 39 cm, P = 270 cm2. 19. 25 = 16 + 9. 20. 1521 = 1296 + 225. 21. a) da; b) ne; c) da; d) ne. 22. a) ne; b) da; c) da; d) da. 23. a) P = 24 cm2; b) P = 30 cm2. 24. Ako je zbroj kvadrata dviju kraćih stranica manji od kvadrata treće stranice, trokut je tupokutan, ako je jednak kvadratu treće stranice, trokut je pravokutan, a ako je veći trokut je šiljastokutan.
√¯9 = 3
16. P =
30° 60° v 30° B
A 3.2. Pitagorin poučak
1. e2 = f2 + d2; a2 = b2 + c2; p2 = s2 + q2; j2 = k2 + l2; t2 = s2 + r2; d2 = c2 + b2. 3. a) a2 = b2 + c2, d2 = e2 + c2; b) h2 = g2 + x2, y2 = z2 + x2; c) r2 = s2 + p2, u2 = p2 + t2. 4. a) c = 50 cm; b) m = 2.9 cm; c) t ≈ 4.65 cm. 5. a) k = 3.5 cm, P = 2.1 cm2; b) d = 1.6 cm, P = 0.96 cm2; c) d ≈ 16.54 cm, P ≈ 93.04 cm2. 6. a) x = 3; b) x = 3 2 ; c) x = 20; d) x = 10; e) x = 29; f) x = 20; g) x = 2.1; h) x = 2 . 7. Ljestve su duge približno 2.62 m. 8. Ljestve dosežu visinu od 1.2 m. 9. a) Približno 5.41 m; b) približno 4.9 m; c) približno 5.46 m. 10. Horizontalna udaljenost je približno 47.37 m.
1.
a
b
c
2
2
2.83
5
10.91
12
4.83
1.3
5
6.2
2.6
6.72
11
4.80
12
18.19
5.5
19
4.2
4
5.8
2.45
9.49
9.8
12.12
7
14
3
7.56
8.13
13. a) x = 6.71; b) x = 7; c) x = 4.23; d) y = 22.45, x = 25.53; e) x = 15.59, y = 16.91; f) y = 11.18, x = 13.75. 14. v = 2.4 cm. 15. a) v = 2.16 cm b) B
2
√¯2 √¯2 c) Šestarom prenesemo pet puta duljinu
2
√¯2
1
3.
1
1 1
6. a)
3
√¯3 b)
16 √¯
17 √¯ 19 18 √¯ √¯
1
17 √¯
1
1
1
1
c)
√¯2
1
1 1
1
c)
√¯2
1
1
1
152
b = 3.6 cm
A
1
1
√¯6 1 1
1
24 √¯
1
d)
√8¯
1
d)
1
√¯3
1
C
1 5
√¯7
√¯3
1
90°
1
b)
c
2
1
20 √¯
1 1
√¯2
= 22 −12
1
29 √¯
1 1
v
– ¯ 4√ 2
1
√¯3
2 a = 2.7 cm
2
1
4. a)
√¯2 1 1
1 √¯5 √¯4 = 2
√¯2
1
13 √¯ 14 √¯ 15 √¯
1
√¯8 √¯7 √¯6
12 √¯
√¯2
– 2
√¯2
1
10 √¯
1
√¯2
1.5√¯ 2
1
11 √¯
1
√¯2
e)
1
1
√¯9 = 3
√¯2
1 1
1
√¯2
√¯2
1
1
2√¯ 2
1
3
1 b) Šestarom prenesemo dva puta duljinu
d)
√¯2
1
16 3
√¯2
2.
1
11. a) x = 28, y = 20; b) x = 12; y = 16; c) x = 25, y = 21; d) y = 2, x = 2.1; e) x = 0.4, y = 0.3; f) y = 2, x = 1.5. 12.
1
3.3. Realni brojevi na pravcu
50 x x
5. a)
1
1
1
1
Rješenja
e)
57
2
e)
= 112 − 82
1
31 √¯
1
8. a)
1
11 1 b)
b)
5 20 = 2√¯ √¯
√¯5
1 1
a = √¯ 31 10. a) Duljina druge katete je također 4 cm; b) to je jednakokračan pravokutni trokut; c)
√¯2
1
1
39 √¯
√¯3
1
3 12 = 2√¯ √¯
√¯5
c)
6 1
√¯3
1
8
7. a)
6
1
1
1
67 √¯
√¯3
1
57 √¯
e) O = 4 31
8
4 √¯ 2
4 2 72 = 6√¯ √¯
1 d) 1
√¯2
1 e) 1
2 18 = 3√¯ √¯
√¯3
1
4 11. a) Duljina druge stranice je 2 5 cm; b) O = 6 + 4 5 cm; c)
1 47 √¯ 49 = 7 √¯
3 75 = 5√¯ √¯
√¯2
1 b) O = 4 5 cm
1 c)
1
√¯3
1
1
1
9. a) O = 4 3 cm 1
a = 2√¯ 5
12. a) 3 a = √¯
1
√¯3
1
√¯5
1
3
√¯5
r=
√¯3
1
1
c) O = 8 2 cm
a = √¯ 5
7 54 √¯ 1
√¯5
1 d)
1 d) O = 12 2
r=3
2 a = 2√¯
1
1
8
√¯5
1
b) Polumjer većeg kruga dulji je 3 ≈ 1.73 puta; c) dulji je za 3 − 3 ≈ 1.27 cm. 13. 1
√¯2 1
59 √¯
√¯2
2 a = 3√¯
D (– √¯ 27 ) B (– √¯ 3)
1 –1
√¯3
0
C ( √¯ 12 ) 1 A (√¯ 3)
1
153
Rješenja 3.4. Primjena Pitagorinog poučka na pravokutnik i kvadrat
14.
√¯5
1 1
¯ 11 √¯2 √
1
1
1 –1 0
B (– √¯ 17 )
D (–3 20=(–6 5)
1
17 √¯
1
1
¯
5 ) √ 11 A (√¯
C (3 11)
15. 1 1
1
√¯2
√¯3 1
1
4 1
19 √¯
√¯3
1
1
1
27 √¯ –3√¯ 3 3) B– ( ) C (–) =( √¯ 3 4
–3√¯ 19 D (–) 2
–1
0 1 √¯2 A ( –) 2
16.
1
1. a) d = 20; b) d = 2.5; c) d = 3 ; d) d = 47 . 2. a) a = 15; b) b = 0.9; c) x = 1; d) a = 10 . 3. a) d = 10 cm; b) d = 130 cm; c) d = 6.17 ≈ 2.48 dm; d) d = 13 mm. 4. a) a = 9 cm; b) a = 2 2 cm; 3 17 c) a = cm; d) a = 22cm. 5 5. Ne može, d ≈ 1.22 m. 6. a) d = 5a; b) d = 13b . 7. a) x = 6a; b) x = 2 30a . 8. a = 3 3 cm, O = 14 3 cm, P = 36 cm2. 9. d = 25 cm. 10. Luka je prešao 29 m, a Matija 461 ≈ 21.47 m, dakle Luka je prešao dulji put za približno 7.53 m. 11. d = 2 5
√¯2 1
6
1
√¯3
1
4
1
1
D (–3√¯ 2 , √¯ 5) 2
1
1
√¯5
B (– √¯ 3 , 0.5) –3√¯ 2
1
√¯5
11 √¯2 √¯
1
2 , √¯ 2) A (√¯
√¯2
√¯2
1 2 a = 3√¯ 12. d = 40 29 ≈ 2.15 m, ne može. 13. d ≈ 223.89 cm, može samo po širini. 14. Može. 15. a) Dimenzije su 32.4 cm i 43.2 cm; b) P = 1399.68 cm2. 16. a) Dimenzije su približno 30.5 cm i 17.1 cm; b) P = 521.55 cm2; c) najbliža udaljenost treba biti 105 cm. 17. P = 2688 m2 = 26.88 ari. 7 13 ≈ 5.05 cm, Pk ≈ 20.02 cm2, 18. d = 5 Pp = 11.76 cm2,
23. a) d = 3 2 cm; b) d = 2 cm; c) d = 0.6 2 cm; d) d = 4 cm. 24. a) a = 15 cm; b) a = 1 cm; c) a = 12.5 cm; 11 2 d) a = cm; e) a ≈ 5.56 cm. 4 25. a) d = x 2 ; b) d = p 2 ; c) d = 2a 2 ; d) d = 2a. 26. a) duljina stranice je a; b) duljina stranice je 2a; c) duljina stranice je a 2 ; 7 2 d) duljina stranice je a. 2 27. a = 5 cm, O = 20 cm, P = 25 cm2. 28. a) a = 3 cm
a = 3 cm b) a = 4.5 cm
a = 4.5 cm c) a = 4 2 cm
C (√¯ 11, 0)
– √¯ 3
√¯2
11 √¯
5
1 2.8 cm
–2
√¯2 1
17. x
0
2 − 2
1
-1
2 2
− 3
x2
0
2
1
1
8
3
2
10
1
√¯3
1 8
4.2 cm
a) veća je za 8.26 cm; b) veća je 1.7 puta; c) 58.74%. 19. r = 6 cm, a)
2 a = 4√¯
29. d = 20 2 cm. 30. d = 10 2 m. 31. a) r = 2 cm; b)
1
1 6
√¯2 1
1
4.1 cm 32.
4
√¯2 1 cm
2 cm a = 2√¯
3 2 1 – √¯ 3 – √¯ 2 –1
154
0
1√¯ 2
2√¯ 2
5
b) b ≈ 11.28 cm. 20. Pretrčali su 810 + 270 5 ≈ 1413.74 m. 21. a) d = 2 2 ; b) d = 2 ; c) d = 7 2 ; d) d = 2.5 2 . 11 2 22. a) a = 2; b) a = 5; c) a = 2 ; d) a = . 2
a = 2.5 cm O1 = 10 cm, P1 = 6.25 cm2; d1 = 2.5 2 cm;
Rješenja
d)
26. P = 200 3 cm2. 27. a) P = 96 3 cm2; b) r = 4 3 cm, P = 48 π cm2. 28. P = 24 3 dm2. 29. a) m = 10, n = 5 3 ; 10 3 20 3 b) m = ,n= . 3 3 30. a) m = 14, n = 7; b) m = n = 7; c) m = 5 3 . Matematički origami a) kateta = 10 cm, hipotenuza = 10 2 cm; 1 b) P = 50 cm2; c) Pc = P. 32
2 cm d = 2.5√¯ a = 2.5 cm O2 = 10 2 cm, P2 = 12.5 cm2; d2=12.5 2 ; O1 : O2 = 1 : 2 ,P1 : P2=1 : 2, d1 : d2 = 1: 5. a2 π cm2. 33. a) P = π cm2; P = 4 34. a)
1
√¯3
1
v = 6 √¯ 3 cm
1
√¯2 1 cm
3.6. Primjena Pitagorinog poučka na romb i trapez
1
2 cm a1 = √¯
a2 = 2 cm
b) d1 = 2 cm, d2 = 2 2 cm; c) a1 : a2 = 2 : 2 ≈ 0.71; d) d1 : d2 = 1 : 2 ; e) P1 : P2 = 1 : 2.
3.5. Primjena Pitagorinog poučka na jednakokračni i jednakostranični trokut 1. a) v = 3; b) v = 0.5; c) v =
5 3 14. a) v = 2 3 cm; b) b = cm; 2 c) O = 8 3 cm, d) A
3 123 ; 2
1
d) v = 31 . 2. a) b = 10; b) b = 4 2 ; c) b ≈ 6.18; 103 d) b = . 2 3. a) a = 40; b) a = 8; c) a = 3 77 ; d) a = 651 . 4. v ≈ 3.93 m. 5. b) v ≈ 7.31 m. 6. a) v = 12 cm; b) v = 21 cm; 2 10 c) v = cm; d) v = 1 cm; 5 e) v = 21 cm. 7. a) a = 10 cm; b) a = 8 cm; c) a = 8 15 cm; d) a = 4 2 cm; e) a = 2 10 . 365 8. a) b = 10 cm; b) b = cm; 2 c) b = 2 5 cm; d) b = 3 2 cm; 66 e) b = cm. 2 9. a) O = 16 cm, P = 12 cm2; 3 133 b) O = 19 cm, P = cm2 . 2 2 10. a) P = 12 cm ; b) P = 10 cm2. 11. O = 128 mm, P = 768 mm2. 12. d ≈ 4 cm t = 2.5 cm d S r = 4.2 cm
13. a) v = 6 3 cm; b) b = c) O = 9 + 3 57 cm;
a = 9 cm
3 57 cm; 2
√¯3
1 1
3 cm v = 2 √¯ B
3 cm a = 3 √¯
C
15. vb = 4.8 cm. 16. a) P = 18 cm2, O = 12 + 6 2 cm; b) P = 6.125 mm2, O = 7 +3.5 2 mm; c) P = 1 dm2, O = 2 + 2 2 dm. 17. a) P = 8 cm2, O = 8 + 4 2 cm; b) P = 0.5 mm2, O = 2 + 2 mm; c) P = 9 dm2, O = 6 + 6 2 dm. 18. a) a = 10 2 cm, b = 10 cm; b) O = 20 + 10 2 cm; c) P = 50 cm2. 19. a) a = 18 cm, b = 9 2 cm; b) O = 18 + 18 2 cm; c) P = 81 cm2. 3 5 3 20. a) v = cm; b) v = cm; 2 4 c) v = 1.5 cm; d) v = 4.5 dm; e) v = 6 m. 8 3 21. a) a = 12 cm; b) a = 2 cm; c) a = cm; 3
d) a = 6 dm; e) a =
22. a) P =
4 6 m. 3
3 cm2; b) P =
49 3 cm2; 16
3 3 27 3 cm2; d) P = dm2; 4 4 e) P = 2 3 m2. 23. a) P = 16 3 cm2; b) P = 25 3 cm2; c) P = 3 3 cm2; d) P = 9 3 dm2; 8 3 e) P = m2. 3 24. a) a = 10 cm, O = 30cm, v = 5 3 cm; b) a = 4 cm, O = 12 cm, v = 2 3 cm; c) a ≈ 3.04 cm, O ≈ 9.12 cm, v » 2.63 cm; 3 d) a = 2 dm, O = 6 3 dm, v = 3 dm; ≈ e) a 1.81 m, O ≈ 5.43 m, v » 1.57 m. 25. P = 6 3 cm2.
c) P =
1. a) a = 2 181 mm; b) a =
85 cm. 4
2. O = 60 dm, P = 216 dm2. 3. a ≈ 9.35 cm. 4. Dijagonale su duge 1 dm i 3 dm. 5. Dijagonale su duge 3.3 cm i 3.3 3 cm. 6. Dubina jarka je 3 m. 7. P = 7 cm2. 8. b = 3 5 cm2. 9. O = 10 + 73 m, P = 20 m2. 10. O = 5 + 2 5 m, P = 5 m2. 11. a) Treba približno 28.26 cm ograde; b) treba približno 17.26 cm ograde; c) treba približno 27.9 cm ograde; d) treba približno 26.89 cm ograde. 12. O = 398 mm. 13. O = 32 + 8 2 cm. 14. O = 264 + 50 13 mm, P = 11220 mm2. 15. P = 125 3 m2. 31 + 7 2 16. O = cm, P = 2.17 cm2. 5 17. O ≈ 242.26 mm, P ≈ 2848.68 mm2. 3.7. Ponavljanje 1. U svakom pravokutnom trokutu je površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka zbroju površina kvadrata nad katetama. 2. Ako za duljine stranica a, b i c nekog trokuta vrijedi da je a2 + b2 = c2, tada je taj trokut pravokutni trokut s hipotenuzom c. 3. Nismo iskoristili sve točke pravca, preostale su točke pridružene iracionalnim brojevima. 4. d = a 2 . a 3 . 5. v = 2 6. P =
30 61≈ 3.8 . 61
Zadaci za ponavljanje 1. a) c2 = a2 + e2, d2 = a2 + b2; b) x2 = g2 + y2, z2 = h2 + y2; c) u2 = t2 + v2, r2 = t2 + p2. 2. c = 40 cm. 39 5 . 3. k = 10 4. a) x = 6; b) x ≈ 7.14; c) x = 2 6 ; d) x ≈ 10.31. 5. Dosežu visinu približno 4.45 m. 25 61 6. a) v = ≈ 3.2 cm. 61 2 7. a) 10 = 82 + 62 = 100; b) 7.52 = 4.52 + 62 = 56.25.
155
Rješenja 24. O = 128 mm, P = 768 mm2. 25. O = 12 + 6 2 m, P = 18 m2. 25 3 26. a) v = 5 3 cm; b) v = cm; 2 c) v = 4.5 cm. 27. a = 12 cm. 3 3 28. a) P = 3 cm2; b) P = cm2. 4 29. a = 8 cm, v = 4 3 cm , O = 24 cm. 30. a) a = 13 mm; b) P = 120 mm2; c) v ≈ 9.23 mm. 31. O = 100 dm, P = 600 dm2. 32. Dubina je 1.6 m. 33. O = 276 mm.
8. 1
1 1
√¯9 = 3
1
1
√¯8 √¯7 √¯6
10 √¯
1 1 √¯5 √¯4 = 2
11 √¯
1
12 √¯ 1
1
13 √¯ 14 √¯
1
√¯2
1
√¯3
11.
a = 3 cm 1
1 1
–5
–4
–3
–2
¯) B (–3 √¯ 3 ) C (– √12
1
√¯2 √¯3
–1
0
1 A (√¯ 2)
12. 9. a)
√¯2
1
√¯3 1
b)
1 1 2
1
√¯22 + 2 = √¯62
√¯2
√¯6
√¯3 B ( – –) 4
– √¯ 3
√¯2 3 √¯ 2
1
c) a = 3 cm,
√¯2
√¯3 2√¯2
1
√¯3
√¯2 √¯2 cm
2 √¯ 2 cm
5.
5
2 , –2√¯ 5) C (2√¯
3 15 14. a) x = 26; b) x = ; c) x = 23 . 2 15. Ne može, d ≈ 91.24 cm. 16. Ne može, d ≈ 2.82 m. 17. a) Stranice ekrana duge su 30.4 cm i 22.8 cm; b) P = 693.12 cm2. 18. a) d = 4 2 cm; b) d = 1.5 2 cm; c) d = 2 mm. 9 2 19. a) a = 6 cm; b) a = 1 cm; c) a = cm. 2 20. O = 16 2 cm, P = 32 cm2. 119 21. a) v = cm; b) v ≈ 6.99 cm. 2 22. a) a = 2 73 cm; b) a ≈ 9.5 mm. 3 33 23. a) b = 89 cm; b) b = mm. 2
√¯2
√¯3
√¯7 cm
1cm
√¯2
1
1 1
–2√¯ 2
√¯2 1 cm
1
1
–2
2 cm,
1 cm b) a = 2 2 cm,
A (√¯ 3 , 2)
1
– √¯ 2
1
1
1
B (– √¯ 2 , 0)
1
10. a) a =
1. v2 = x2 + z2, t2 = z2 + y2. 2. a) x = 10; b) x ≈ 11.45. 3. Pravokutan je trokut a). 2 2 4. 7 = 3 + 22 2
13.
2
1
27 √¯ √¯3 3) = √¯ A ( – ) C (– 3 2 0 2 cm 1 √¯3
–1
1
c)
156
Primjerak oglednog testa
√¯2 √¯3
√¯3
1 cm √¯3 B ( – –) A ( √¯ 2) 3 –1 0 1 – √¯ 3 √¯3
3) 12 = 4 √¯ C ( 2√¯
6. v ≈ 3.93 m. 7. a) d = 3 2 ; b) a = 3 cm; c) a =
3 2 cm. 2
8. v = 3 3 cm, P = 9 3 cm2. 9. Može. 10. a) Dimenzije stranica su 57.6 i 43.2 cm; b) P = 2488.32 cm2.
Kazalo pojmova O, P
B baza potencije, 45
obrat Pitagorina poučka, 98
beskonačan
parabola, 27
neperiodički decimalni broj, 72 beskonačan periodički decimalni broj, 71
D
dijagonala kvadrata, 108, 112 djelomično korjenovanje, 78 drugi korijen, 60
E, F
Egipatski trokut, 93
eksponent potencije, 45 funkcija korjenovanja, 68
H, I hipotenuza, 91 Indijski trokut, 93 iracionalni broj, 72, 100
K, M katete, 91 konačan decimalni broj, 71 korjenovanje, 58, 59 kvadrat broja, 18, 19 kvadrat količnika, 39 kvadrat razlike, 41
Pitagora, 95 Pitagorin poučak, 95, 96 Pitagorin teorem, 95, 96 potencija, 44 potencije broja 10, 50 površina jednakostraničnoga trokuta, 114 površina kruga, 23 površina kvadrata, 23 pravokutni trokut, 91 približno računaje korijena, 64
R racionalizacija nazivnika, 81 razlika kvadrata, 43 realan broj, 70, 103
S skup R na pravcu, 103 skup racionalnih brojeva, 70, 100 skup realnih brojeva R, 73, 100 spirala drugog korijena, 101
V, Z visina jednakostraničnoga trokuta, 113 znanstveni zapis, 50
kvadrat umnoška, 39 kvadrat zbroja, 40 kvadratna funkcija, 25 kvadratna jednadžba, 84 kvadratni korijen, 58, 59 kvadratura kruga, 104 kvadriranje, 18, 19 matematički izraz, 30
157
