Razones y Proporciones

Ejercicios de Laboratorio

1. La razón geométrica de dos números es 13/6 y su diferencia es 35 ¿Cuál es el número mayor? a = 13K b 6K a = 13K a = 65

a – b = 35 13k – 6k = 35 7K = 35 K = 35

2. Si: a = 3 b 8 Calcular: 4ª + 3b 4ª – 3b a = 3K b 8K

; 4a + 3b 4a – 3b 12K + 24K 12K – 24K 36K -12K -3

3. En una reunión la relación de hombre a mujeres es de 9 a 7. Si se cuentan 45 hombres ¿Cuántas Mujeres hay? H = 9K M 7K

; 9K = 45 K=5

; M = 7K M = 35

4. En un teatrillo infantil, 5 de cada 40 personas son padre de familia. Si en total hay 95 padres de familia ¿Cuántas personas hay en el circo? Sea “x” personas e “y” padres de familia Y = 5K X 40K 5K = 95 K = 19 X = 19K

X = 760

5. Un Libro de Historia costo $84 pesos el año pasado. Este año la docena de dichos libros cuesta $1152 pesos ¿Cuál es la razón geométrica del precio antiguo y actual del libro? Precio Antiguo: $. 84 Precio Actual: 1152 = $. 96 12 7 Razón = 84 = 7 96 8 8 6. Si: 5a – C = 48 y a = b = c 3 5 7

;

Hallar el Valor de “a + b + c”

a =b=c=K 3 5 7

; 5a – C = 48 15K – 7K = 48 8K = 48 a = 3K; b = 5K; C = 7K K=6 a–b+c 5K = 30 7. La razón geométrica de dos números es de 4 y 9 y la suma es 7371. Uno de los números es: a = 4K b 9K a = 4K a = 2268

; a + b = 7371 13K = 7371 k = 567 b = 9K b = 5103

8. Si: a + b – c = 3 y

3= 5= 7 a b c

; Hallar el Valor de “ a – b + c “

3=5=7 a+b–c=3 a b c K=3 a=b=c=K a–b–c 3 5 7 5K a = 3K; b = 5K; c = 7K 15

9. Dos números son entre si como 3 es a 7 si la suma de sus cuadrados es 1450, hallar el mayor.

; X2 + Y2 = 1450 9k 2 + 49k2 = 1450 58k2 = 1450 K2 = 25 K = 25

X = 3K Y 7K y = 7k y = 35

10.

Si: B – A = 2 y A2 = B2 16 25

A2 = B2 16 25 A = 4K B 5K

; 5A + 3B A–B 40 + 30 80

; Hallar el valor de: 5 A + 3 B A.B

;B–A=2 K=2 A=8 B = 10

7 8 11. La suma de dos números es 36 y su diferencia es 24. Hallar la razón geométrica de dichos números. X + Y = 36 r = Y = 6 = 1 X – Y = 24 x 30 5 2x = 60 X = 30 Y=6 12. La razón aritmética de dos números es 15 y su razón geométrica es 2 1/2 . Hallar al Mayor al mayor de los dos números. a – b = 15 3k = 15 K=5 13.

; a = 5k b 2k El mayor: 5k = 25

Si: 4a +5b 2a - b

; Hallar la razón geométrica entre “a” y “b”

4a + 5b = 7 2a – b 3 12a + 15b = 14a – 7b 22b = 2a b=1 a 11 14. La relación de A y B es como 6 es 13 y su diferencia 637; la suma de A, B y C es 2940. Hallar el valor de C

A = 6K ; B – A = 637 B 13K 7K = 637 A = 546 K = 91 B = 1183 A + B + C = 2940 546 + 1183 + C = 2940 C = 1211 15.

Si: a = 4 ; Hallar el valor de: b

R = 4a2 + 8ab + b2 9b2 a = 4k b 1k R = 4(16k2) + 8(4k2) + k2 9k2 2 R = 64k + 32k2 + k2 9k2 R = 97 9

16. María, Fernanda y Alejandra tienen dinero en cantidades proporcionales a los números a, b y c, respectivamente. María da la tercera parte de lo que tiene a Alejandra; Alejandra da S/.300 a Fernanda, resultando Fernanda y Alejandra con Igual cantidad de dinero. Si 3(c-b)=5 a, entonces María tenía inicialmente: A) S/.200 E) S/.100

B) S/.600

C) S/.300

m f a X=Y=Z=K a b c x = ak; y = bk; z = ck Maria: da ak y le queda 2ak 3 3 Alejandra: ck + ak 3 Alejandra da: s/. 300 y le queda: ck + ak – 300 3

D) S/.500

Fernanda: bk + 300 3(c- b) = 5a Bk + 300 = ck + ak – 300 c – b = 5a 3 3 600 = ck – bk + ak 3 600 = k(c – b) + ak 3 600 = k 5a + ak María tiene s/. 300 3 3 600 = 6ak 3 ak = 300 x = 300

17. La Relación entre las edades de dos hermanas es, actualmente, 3/2. Se sabe que: dentro de 8 años, dicha relación será 5/4. ¿Cuál es la edad actual de la hermana menor? A) 4 años B) 6 años C) 8 años D) 10 años E) 12 años X = 3k Y 2k X+8=5 Hermana Menor Y+8 4 y = 2k 3k + 8 = 5 y=8 2k + 8 4 12k + 32 = 10k + 40 2k = 8 K=4 18. En una fábrica embotelladora, se tiene 3 máquinas (A, B y C). Por cada 7 botellas que produce la maquina A, la maquina B produce 5 y, por cada 3 botellas que produce la maquina B, la maquina C produce 2. En un día, la maquina A produjo 4400 botellas más que C. ¿Cuantas botellas produjo la maquina B ese día? A =7A=B=C =K B 5 21 15 10 B = 3 A = 21k B = 15k C = 10k C 2 A – C = 4400 11K = 4400 K = 400

La Màquina B B = 15K B = 6000

19.

En el sgt cuadro se muestran los valores de las magnitudes A y B.

Si la Magnitud A es inversamente proporsional a

n

√B

; entonces, “x

+ y + n” es:

A 70

105

B Y

64

84

125

140

x

60

27

8

343

Solución Nos dicen que A es inversamente proporcional (IP) cantidades son IP se multiplican: A×

. Cuando ambas

= Constante. Esto quiere decir que:

Usando este mecanismo podemos hallar "n", "X" e "Y" Primero hallamos "n" Usando el cuadro tomamos los primeros valores de la tabla, 105 y 64, lo reemplazamos en A1 y B1respectivamente; y los segundos valores 84 y 125 en A2 y B2 respectivamente. A1× 105×

= A2× = 84×

pasamos 84 a dividir a 105 y

a dividir a

.

Para que cumpla la igualdad n = 3, así se elimina la raíz con el exponente. Ahora que sabemos que n = 3, podemos hallar X e Y. Hallamos X: 140× = X× 140×3 = X×2 420 = 2X 210= X Hallamos Y: 140×

= 70×

140×3 = 70× 420 = 70 6= 216 = Y. Nos piden hallar la suma de: n + X + Y n + X + Y = 3 + 210 + 216 = 429 • Respuesta: 429 140. 3√27 = X. 3√8 420 = 70. 3√Y 420 = 2X 63 = 3√Y3 X = 210 Y = 216 X + y + n = 210 + 216 + 3 = 429 20. En el grafico se muestra la relación entre las magnitudes A y B. Halle “a + b”. A

a + b ----------------------------------------

B ------------------------A ---------7

28

42

B

Solución De la figura podemos observar, cuando la cantidad A aumenta también lo hace B: Veamos, el valor "a" de A, se le asocia con el valor 7 de B, y cuando "a" aumenta en 20 (a+20) a este se le asocia un mayor valor de B, 42. En conclusión A es Directamente proporcional a B. Al ser directamente proporcional ambas cantidades se dividen:

Usando este mecanismo podemos hallar "a" y "b". Hallamos primero "a"; de la ecuación anterior podemos deducir que:

Igualamos el primero con el tercero, y hallamos "a"

42a = 7(a + 20) 42a = 7a + 140 42a − 7a = 140 35a = 140 a=4 Ahora hallamos "b"

4×28 = 7b 112 = 7b 16 = b

Nos piden hallar a + b a + b = 4 + 16 = 20 • Respuesta: 20 Del gráfico, se tiene que A y B son M.D.P a + 20 = a 42 7 6 1 a + 20 = 6a 5a = 20 a=4

b =a 28 7 b =4 28 7

a + b = 20

4 1 b = 16

21. Las Magnitudes M y N son I.P; además A, B, C, D y E representan la medida de las áreas de los cuadriláteros que se muestran en la figura, siendo A = 49u2 y D = 35u2 . Calcule “ C ”

Solución La figura nos muestra que las cantidades N y M son Inversamente Proporcionales. Z×Y = P×Q = X×K = constante

nos piden hallar el area C, que vendria a ser: (P − X)(Q − Y) PQ − XQ − PY + XY PQ − PY − (XQ − XY).......① Nos dan por dato, que el area A mide 49u 2 y D mide 35u2 A = (Z − P)×Y = 49 A = Z×Y − P×Y = 49 sabemos que Z×Y es igual a P×Q así que reemplazamos A = P×Q − P×Y = 49 ........② D = X×(Q − Y) = 35 D = X×Q - X×Y = 35 .........③ Reemplazamos ③ y ② en ① PQ − PY − (XQ − XY) 49 − 35 14 • Respuesta: 14

22. Un padre le dice a su hijo: Juan te voy a dar un dinero mensual que vas a hacer directamente proporcional al cubo de la edad que tiene. Si actualmente tiene 20 años ¿En cuantos años octuplicara el dinero que recibe de su padre? Solución A Juan le dan un monto "M" mensual que es directamente proporcional al cubo de su edad.

E2 = 2×20 E2 = 40 • Respuesta: 40 años

23. El precio de un Diamante es D.P al cuadrado de su peso. Si un diamante de $6000 pesos se ha fragmentado en dos partes, de manera tal que una de ellas es el doble de la otra. ¿Cuál es el precio que tiene la mayor parte? Solución El precio "P" de un diamante es Directamente Proporcional al peso del diamante "W", entonces:

dónde: W1 y W2: son los pesos de los dos pedazos fragmentados del diamante. P1 y P2: son los precios de los dos pedazos fragmentados del diamante.

WDiamante completo: peso total del diamante. PDiamante completo: 9000 peso (precio del diamante completo) Dato: al fragmentarse el diamante en dos pedazos un pesa el doble del otro entonces: W1 = K y W2 = 2K entonces WDiamante completo : 3K Reemplazamos los datos en la ecuación.

Hallamos primero P1; Entonces:

1000 = P1 Ahora hallamos P2

4000 = P2 • Respuesta: la mayor parte tiene un precio de 4000 pesos. 24.

Se tienen 2 magnitudes A y B tal que A es I.P a la

√ B /2

¿ En

cuanto aumentara o disminuirá A si B disminuye en sus 36/100 ? Solución

A las cantidades antes del cambio llamaremos A1 y B1, y después del cambio A2 y B2.

Si B1 disminuye en sus 36/100 el nuevo valor de B1, al cual llamaremos B2 tendría una valor de (64/100)B1 Entonces:

A1 = A2/10 10A1 = A2 ● Respuesta: al disminuir B en sus 36/100, A se multiplica por 10. 25.

Tenemos las magnitudes A, B y C. La magnitud a es inversamente

proporcional a las razin cuadrada de B y directamente proporcional al cuadrado de C. Si B disminuye en 19/100 su valor y C aumenta en 1/2 de su valor; entonces, el nuevo valor de A aumentara o disminuirá en:

Solución Veamos A es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de B y directamente proporcional al cuadrado de C.

A las cantidades antes del cambio llamaremos A1, B1 y C1, y después del cambio A2 y B2 y C2.

Si B1 disminuye en sus 19/100 el nuevo valor de B1, al cual llamaremos B2 tendría una valor de fracción 81B1/100. Si C1 aumenta en un 1/2 el nuevo valor de C1, al cual llamaremos C2 tendria un valor de 3C1/2.

A1×5 = A2×2 5A1/2 = A2 ● Respuesta: El nuevo valor de A, se multiplica por 5/2.

26. El precio de una refrigeradora varía inversamente con el número de refrigeradoras producidas. Para una producción de 700 refrigeradoras cada refrigerador vale 270 euros. Si la producción es de 300 refrigeradoras, ¿en cuánto aumentara el precio de cada refrigerador? Solución Analizamos el enunciado: el precio de las refrigeradoras inversamente proporcional a la cantidad producida, quiere decir a mayor producción menor precio y viceversa. Cuando es inversamente proporcional (I.P) ambas cantidades se multiplican obteniendo una constante. Precio × Producción = constante. ¿Esto qué quiere decir? ... así varié el precio y la producción el resultado seguirá siendo el mismo. Precio1 × Producción1 = Precio2 × Producción2 CASO 1: Producción: 700 refrigeradoras. Precio: 270 euros. CASO 2: Producción: 300 refrigeradoras. Precio: ¿? Precio1 × Producción1 = Precio2 × Producción2 270 × 700 = P2 × 300 630 = P2 El precio en el primer caso era de 270 euros, en el segundo caso obtenemos un precio de 630, entonces variara en: 630 − 270 = 360 ● Respuesta: El precio aumenta 360 euros.

27. Una editorial fija el precio de cada libro de manera siguiente: el precio de cada libro es D.P al costo unitario de los materiales e I.P. a la raíz cuadrada del número de ejemplares editados. Si para un tiraje de 4900 ejemplares y un costo de 35 dólares el precio de venta fue de 50 dólares. ¿Cuál será el costo de un libro para que el precio de venta no varié y una producción de 2500 ejemplares?

Solución Analizamos el enunciado: el precio de cada libro es directamente proporcional al costo unitario de materiales. Al ser D.P ambas cantidades se dividen:

Seguimos con el análisis: nos dicen que el precio unitario también es I.P a la raíz cuadrada del número de ejemplares editados. Al ser I.P ambas cantidades se multiplican, entonces la ecuación quedaría de la siguiente manera:

¿Esto qué quiere decir? ... así varié el precio unitario, el tiraje y el costo unitario el resultado seguirá siendo el mismo.

CASO 1: Precio unitario: 50 dolares. Costo Unitario de materiales: 35 dolares # de ejemplares: 4900 ejemplares. CASO 2: El precio de venta no varia. Precio unitario: 50 dolares. Costo Unitario de materiales: ¿? # de ejemplares: 2500 ejemplares.

Costo unitario de materiales Costo unitario de materiales

2 2

= 2500⁄100 = 25

● Respuesta: El costo de materiales sera de 25 dolares.

28. La resistencia eléctrica de un conductor es directamente proporcional a su longitud “L” e inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro “D”, que sucede con la resistencia si “L” aumenta en su mitad y “D” disminuye en su cuarta parte.

Solución Analizamos el enunciado. Tenemos tres Magnitudes: Resistencia Electrica (R), Longitud de la resitencia (L) y diametro de la resistencia (D). Nos mencionan que la Resistencia es directamente proporcional a su longitud, entonces ambas magnitudes se dividen.

Tambien nos dicen que la Resistencia es inversamente proporcional al cuadrado de su diametro. Entonces ambas magnitudes se multiplican, con lo mencionado anteriormente obtendriamos:

¿Esto qué quiere decir? ... así varié la resistencia, la longitud y el diametro el resultado seguirá siendo el mismo.

Nos preguntan que sucede con la resistencia, si "L" aumenta en su mitad y "D" disminuye en su cuarta parte. Bueno vayamos por partes, primero con la Longitud. - "L" aumenta en su mitad, o sea el nuevo valor de "L" sera: L + L/2. Llamemos al valor original de "L", L1 y despues del aumento L2, entonces: L2 = 3L1/2. - Ahora veamos el Diametro. El diametro disminuye en su cuarta parte, o sea el nuevo valor de "D" sera: D - D/4. Llamaremos al valor original de "D", D 1 y despues del cambio D2, entonces: D2 = 3D1/4.

Ahora si reemplazamos en la ecuación:

● Respuesta: la resistencia aumenta a 8R/3

29. Se ha repartido un dinero en forma directamente proporcional a la edad de 4 hermanos que son 15, 18, 24 y 30; si se repartió 2900 euros ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

SOLUCIÓN Vamos a repartir 2900 euros entre cuatro personas

Proporcional a sus edades: 15, 18, 24 y 30.

Para resolver este problema vamos a simplificar o sacar los divisores comunes a cada uno. y luego lo multiplicamos a cada uno por una constante K y los sumamos.

El resultado 29k lo igualamos con los 2900 euros y hallamos "K" 2900 = 29K 100 = K Hallamos "K", y reemplazamos en 5K, 6k, 8K Y 10K, y obtenemos lo que recibe cada hermano: Hermano #1 = 5K = 5(100) = 500 euros. Hermano #2 = 6K = 6(100) = 600 euros. Hermano #3 = 8K = 8(100) = 800 euros. Hermano #4 = 10K = 10(100) = 1000 euros. Para comprobar si el resultado es correcto sumamos lo que reciba cada hermano y el resultado debe ser 2900 euros. 500 + 600 + 800 + 1000 = 2900 euros

¡Queda comprobado!

● Resultado: Hermano Hermano Hermano Hermano

#1 #2 #3 #4

= = = =

500 euros. 600 euros. 800 euros. 1000 euros.

30. Se tiene que repartir chocolates en forma inversamente proporcional a los números 3, 7 y 11; si la cantidad de chocolates a repartir es 691. La menor de las partes es:  En este Problema el Numero 691 es incorrecto porque no es divisible por 131

3x = 7y = 11z =231 X=77k

Y= 33k

Z= 21k

X + y + z = 691 131k + = 691 k = 691; Lo que no es Divisible, se podría tomar cualquier numero divisible por 131 131 K = 917 131



k=7

x = 539

y = 231

Z = 147 31. Dos amigos emprenden un negocios, Ana y Josué, obteniendo una utilidad de 18000 dólares, Ana contribuyo con 1875 dólares durante 8 meses y Josué con un cierto capital durante 5 meses; Josué cuadruplico su capital. Hallar el capital invertido por Josué.

a: Ganancia de Ana b: ganancia de jose ( Cuadruplico se Capital ) a

= 3x

1875

x

a + b = 18000

x =

4125 a = 5625

b = 12375 b = 3x 12375 = 3x

32. Tres socios levantaron una empresa de muebles, al finalizar el año reportaron una utilidad de 27000 euros; el socio A aporto la cuarta parte del capital, el socio B la tercera parte y el socio C el resto ¿Cuántos recibió el socio C?

Capital 12 C CA = 3C

C = 27000

CC=5C CB = 4C CC= 11250 CC = 5C

12

El Socio “C” Recibio

C = 2250 33. En el sgt grafico las magnitudes A y B son Inversamente proporcionales, Calcular (2x + 3Y)

A

45 ( x -1 ) = 36 5x – 5 = 4x 

x=5 45 ------------

36 * 5 = Y * 6 Y = 30 .´. x + y =

35 36 ------------------Y ------------------------(X – 1) x (x+1)

B

34. Para las magnitudes P y Q se tiene el grafico siguiente: Hallar ( P 1 – P2 ) A L2 P1 P2 2 0

L1 1/10

P1 = P2 1/5 1/10 P2 = 2 1/5 1/10

1/5 

5P1 = 10P2 P1 = 2P2 P1 = 8 P 1 – P2 = 4

5P2 = 20 P2 = 4

Q