Razones y Proporciones

RAZONES Y PROPORCIONES

* Se lee : “6 excede a 2 en 4” ; “6 es mayor que 2 en 4” ; “2 es menor que 6 en 4”, etc.

I) RAZÓN O RELACIÓN. Es la comparación de dos cantidades Ejemplo:

PROPIEDADES DE LA RAZÓN ARITMÉTICA

La edad de Juan es 16 años y la edad de Pedro es 48 años. Podemos observar que: a) Pedro es mayor que Juan en ___años.

Son las mismas propiedades que en la resta o sustracción.

___años -___años =___años b) La edad de Pedro es el____ que la de Juan

1) Si al antecedente de la R.A. se le suma o resta una cantidad, entonces el valor de la Razón quedará aumentado o disminuido en dicha cantidad, respectivamente. Ejem.: Si 6  2  4  6  3  2  4  3 () 6  1  2  4 1 9

7

6/2 = 3

2) Si el consecuente de la R.A. quedase aumentado o disminuido en cierta cantidad, entonces el valor de la Razón quedara disminuido, en el primer caso, o aumentado, en el 2do caso, en dicha cantidad. Ejm.: O

POR

Si 6  2  4  6  ( 2  1)  4 1 (  ) 6  ( 2  1)  4 1    1

Es la diferencia que se da entre 2 cantidades. Como su operación básica es la sustracción o resta, La Razón Aritmética se puede dar de 2 formas: separando las cantidades por el signo de la sustracción (-) o por medio de un punto ( . ) Ejem.:

* Se lee “6 contiene a 2 en 3” ; “ 6 contiene 3 veces a 2” ; “2 está incluido en 6, 3 veces” etc.

+

Si 6  2  4  6 1  (2  1)  4 (  ) 6 1  (2  1)  4     7

3

5

1

A Ambos Términos o se les suma o se les resta la misma cantidad

Son las mismas propiedades que en las fracciones. 1) Si el antecedente de la R.G. queda multiplicada o dividida por una cantidad, el valor de la Razón quedará también multiplicado o dividido por la misma cantidad, respectivamente. Ejem.: 30 2   6 6 .5 6:3 Si  3   3 .5 (  )  3 :3 2 2 2 15 1

24  6 6 .4 Si  3   3 () 2 2 .4  8

2/5

II)PROPORCIONES Son igualdades que se establecen entre 2 Razones de la misma clase. Las proporciones pueden ser: PROPORCIONES ARITMÉTICAS O EQUIDIFERENCIA: Es la igualdad que se establece entre 2 Razones Aritméticas, Una Equidiferencia se escribe de 2 formas siguientes :a – b = c – d (v) a . b :: c . d + ;a;b;dZ TÉRMINOS DE UNA P.A: a- b = c - d 1°miembro 2°miembro

2) Si el consecuente de un R.G. queda multiplicado o dividido, por una cantidad entonces el valor de la Razón quedará dividido, en el 1er caso; o

6/5  6:5 3 2 :5 

a ;c= antecedentes b;d= consecuentes a;d= t. extremos b;c= t. medios

Z

Esq. Ramón Castilla y Prol. Bolognesi – Reque

1 ° T é r m in o ( a n t e c e d e n t e )

3

3) Si al antecedente y al consecuente de una R.A. Se le suma o se le resta una misma cantidad, entonces el valor de la Razón no se verá afectado (permanecerá constante). Ejm:

6 -2 = 4 V a lo rd e la R a z o n 2 ° T é r m in o ( c o n s e c u e n t e )

3

5

+

Z

1° Término (antecedente)

1

3) Si el antecedente ya la consecuente de una R.G. se les multiplica o se les divide por una misma cantidad, entonces el valor de la Razón permanecerá constante. Ejm.

Valor de la Razon 2° Término (consecuente)

6 6 6 3 3 .3 ( ) 3 :2   2 2 . 3 2 :2   1 6 6

6:2=3

3

5

Si

Es la Razón que se establece por medio del cociente que se obtiene al dividir 2 cantidades. Se pueden representar de 2 modos: en forma de fracción o por medio de 2 puntos, signo de la división (a/b ó ) Ejem:

PROPIEDADES DE LA RAZÓN GEOMÉTRICA

______años= 3 años

 RAZÓN ARITMÉTICA DIFERENCIA.-

multiplicado, en el 2do caso, por esa misma cantidad. Ejm:

RAZÓN GEOMÉTRICA O POR COCIENTE

Aritmética - Primer Grado de Secundaria

S c

PROPIEDAD FUNDAMENTAL: “En toda equidiferencia la suma de los extremos es igual a la suma de los medios”.

MEDIA DIFERENCIAL O ARITMÉTICA

b

Si a – b = c – d es P.A.  a + d = c + b.

Forma General:

a : b :: c : d

ac 2

Ejm: 8 – 6 = 11 – 9  9 + 8 = 11 + 6  17 = 17

PROPORCIONES GEOMÉTRICAS O EQUICOCIENTES: Son las igualdades que se establecen entre 2 Razones geométricas. Una Proporción geométrica se puede representar de 2 maneras:

CLASES DE EQUIDIFERENCIAS  EQUIDIFERENCIA DIRECTA: Es aquella cuyos Términos medios no son iguales Forma general:

a : b :: c : d

a–b=c–d

(a/b)= (c/d).

* TÉRMINOS DE UNA P.G

a : b :: c : d 1°miembro 2°miembro

 EQUIDIFERENCIA CONTÍNUA: Es aquella cuyos Términos medios son iguales. Forma General: a–b=b–c Ejm.. 11 – 8 = 8 – 5 Donde: “b”: Media diferencial respecto de “a” y “c” era

“a”, “c”: 3 ó Tercia diferencial, respecto a “b” (abc) OBSERVACIÓN Esq. Ramón Castilla y Prol. Bolognesi – Reque

a ;c= Antecedentes b;d= Consecuentes a;d= T. extremos b;c= T. Medios

+

Z

Se lee (“a” es a “b” como “c” es a “d”) PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En todo equicociente el producto de los extremos es igual al producto de los medios”. Si

Donde: d : 4ta proporcional respecto de a “a” ; “b” ; “c” a ; b ; c : 3era o tercia proporcional, respecto de “a” ; “b” y “c” (abcd).

CLASES DE EQUICOCIENTES:  EQUICOCIENTES DISCRETA: aquella cuyos Términos medios no son iguales 10 : 2 = 125 : 25

a b d c  ; 2)  ; c d b a d b c a 3)  ; 4)  ; c a d b

1)

 EQUICOCIENTE CONTÍNUA: Aquella cuyos Términos medios son iguales. Ejm.: 32 : 16 :: 16 : 8 Forma General:

a c b a  ; 6)  ; b d d c c d b d 7)  ; y 8)  ; a b a c

5)

Donde: “b”: Media proporcional respecto de “a” y “c” “a”; “c”: 3era o Tercia proporcional, respecto a “b” (abc). OBSERVACIÓN MEDIA PROPORCIONAL O GEOMÉTRICAS

b  a.c

a c a c   ad  bc   es una P.G. ; Ejm : b d b d 18 51   18 . 57  6 . 51  306  306 6 17

a c  ; b d

sus variaciones legítimas serán.

a : b :: b : c

Ejm: 9 – 7 = 8 – 6 Donde: “ d” : 4ta diferencial respecto a “a” ; “b” ; “c”.

Sea la proporción Geométrica:

TRANSFORMACIONES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS Una P.G. puede sufrir hasta 8 transformaciones distintas y legitimas entre sí (una transformación es legitima cuando su propiedad fundamental permanece constante en valor numérico).

Ejemplo:

32 16  ; 16 8 escribirse de 8 modos: La

proporción

32 16  ; 16 8 16 32 3)  ; 8 16

1)

32 16  ; 16 8 16 32 7)  ; 8 16

5)

puede

8 16  ; 16 32 16 8 4)  ; 32 16

2)

8 16  ; 16 32 16 8 8)  ; 32 16

6)

Aritmética - Primer Grado de Secundaria

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS Sea la proporción

a c  ; se cumple: b d

a c ab cd    b d b d a c ab cd 2) Si    b d a c a c ac a c 3) Si     b d bd b d a c ab cd 4) Si    b d ab cd a c ac bd 5) Si    b d ac bd a c ac ac 6) Si    b d bd bd a c ab cd 7) Si    b d ab cd

1) Si

SERIE DE RAZONES QUIVALENTES (S.R.E.) Son las igualdades que se establecen entre los grupos de proporciones que poseen la misma constante de Razón. Puede ser de 2 formas:

1)

2) S.R.E. GEOMÉTRICAS: Si la igualdad se establece entre 2 ó más proporciones geométricas. Ejm: a b c d     .......k(cte). b c d e

 Si

Esq. Ramón Castilla y Prol. Bolognesi – Reque

Primera Propiedad

Dos números son entre sí como 5 a 8 ; si la suma de sus cuadrados es 712 y su diferencia es 6 2 ¿Cuál es el número menor?

3)

La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación con los números 11; 3 y 560. Hallar el mayor de los números.

4)

En una proporción continua geométrica los términos extremos son entre sí como 4 es a 9. si los términos de la primera razón suman 40. Hallar la suma de los consecuentes de dicha proporción.

5)

En una proporción geométrica discreta la diferencia entre los medios es 14. Hallar uno de los términos medios si se sabe que el producto de los 4 términos de la proporción es 2601.

a b c d Z abcd..... Z     .....   K(cte)   (K ) n b c  de  bcde......    " N" RAZONES

Se Cumple: a   k n ; b   k (n1) ; c   k (n2) ;.....; Z  k

Donde: + K = Cte. De proporcionalidad (kZ ) a = 1° antecedente N = # Total de Razones geométricas = Ultimo consecuente.  Si

6)

Segunda Propiedad

a c e Z a  c  e  ......  Z    .....   k  k b d f  b  d  f  .......  

7)



Tercera Propiedad

a c e Z a p  c p  e p  ......  Z p    .....   k   kp b d f  b p  dp  e p  .......   p

8)

Donde: k = cte. De proporcionalidad ( + + Q ); P Z

Dos números son entre sí como 7 es a 13, si el menor se le suma 140, para que el valor de la razón no se altere, el valor del otro número debe quintuplicarse. Hallar el valor de los 2 números.

2)

PROPIEDADES DE LAS S.R.E.G:

Si

1) S.R.E. ARITMÉTICAS: Si la igualdad se establece entre 2 o más proporciones aritméticas. Ejm:

9)

8 – 5 = 7 – 4 = 11 – 8 = 6 – 3 =........ 18 – 15 = 15 – 12 = 12 – 9 = 9 – 6 =........

En una reunión social por cada 5 hombres adultos que ingresan, ingresan 6 niños y por cada 3 mujeres adultas que entran, ingresan 8 niñas. Si en total ingresaron unos 572 niños y el número de hombres es al número de mujeres como 7 es a 4¿Cuántos hombres asistieron a dicha reunión? Tenemos dos terrenos: 1 terreno rectangular y el otro en forma cuadrada. Si uno de los lados del primero es al lado del menor del segundo es como 3 es a 2 ¿En que relación están sus perímetros, si sus áreas son iguales?

Se tiene 3 números enteros que son entre sí como 4; 7; 9. Si el cuadrado de la suma de los 2 menores números menos el cuadrado del mayor da 360. Hallar la suma de los 3 números.

10) ¿Cuál es el número entre el tercio proporcional y el tercio diferencial de 9 y 5? 11) Hallar la Razón de una proporción geométrica continua, sabiendo que la suma de sus términos extremos es a su diferencia como 25 es a 24. 12) En una serie de tres Razones geométricas contiguas e iguales la suma de los antecedentes es 147 y la suma de las tres Razones es 9/5.Hallar la suma de los consecuentes. 13) En una competencia de obstáculos de 800 metros, Andrés y Belisario vencen a Carlos y Danilo por 50 metros. En la misma distancia Andrés gana a Belisario por 100 metros y Carlos a Danilo por 160 metros. ¿Por cuánto ganara Carlos a Belisario en una carrera de 1125 metros? 14) Tenemos 3 números enteros A; B y C Tales que A es a B como 4 es a 5 y B es a C como 10 es a 11 Si la diferencia entre A y C es 36 ¿Cuál es el mayor de esos 2 números? 15) Si el valor de la Razón aritmética y geométrica de 2 números es 5 ¿Cuál es la suma de dichos números? 16) Se tiene la siguiente serie de Razones geométricas equivalentes:

a b c   5 7 10 Hallar la suma de los antecedentes.

Si a cada uno de los 4 términos de una proporción se le quita una cantidad misma, se obtiene 20; 28; 32; 44. Hallar la suma de los términos de dicha proporción.

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