Razones y Proporciones

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Módulo Nº 8 : RAZONES Y PROPORCIONES MAGNITUD : Es la cualidad común a un conjunto de seres, objetos o entes, cuya intensidad puede variar y además puede ser medido. CANTIDAD : Es el resultado de medir la intensidad de una magnitud. RAZÓN : Es la comparación de dos cantidades. Pueden ser: • Razón Aritmética : ( R.A. ) → A – B • Razón Geométrica : ( R.G. ) → A / B A : se llama antecedente B : se llama consecuente. PROPORCIONES : Se denomina así a la igualdad que existe entre 2 razones que tiene el mismo valor y pueden ser de 2 tipos: proporciones aritméticas y proporciones geométricas. PROPORCIÓN ARITMÉTICA Es cuando se igualan 2 razones aritméticas que tienen el mismo valor ya su vez se clasifican en: 1) PROPORCIÓN ARITMÉTICA DISCRETA: A -B=C–D • A≠B≠C≠D • “D” se denomina cuarta diferencial • “A y B” → extremos • “B y C” → medios • Se cumple que: A+D=B+C 2) PROPORCIÓN ARITMÉTICA CONTÍNUA: A–B=B–C Es cuando los términos medios son iguales. OBSERVACIONES:

“C” se denomina tercera difrencial • “B” es la media diferencial o media aritmética A+C • Se cumple : B = 2 PROPORCIÓN GEOMÉTRICA: Es cuando se igualan 2 razones geométricas que tienen el mismo valor y a su vez se clasifican en: 1) DISCRETA: A C = B D OBSERVACIONES: • A≠B≠C≠D • “D” se denomina cuarta proporcional • “A y D” → extremos • “B y C” → medios • Se cumple que: AxD=BxC 2) CONTÍNUA: A B = B C Es cuando los términos medios son iguales OBSERVACIÓN: • “C” se denomina tercera proporcional. • “B” es la media proporcional o media geométrica. • Se cumple: B 2 = AC ó B = AC PROPIEDAD FUNDAMENTAL : A C = ⇒ A.D = BC B D

Matemática y Razonamiento Matemático

•

PROPORCIÓN CONTÍNUA : A C = B D D → es la tercera proporcional de A y B. -1-

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B → es la media proporcional de A y D. PROPORCIÓN DISCONTÍNUA A C = D es B D proporcional de A, B y C PROPIEDADES : A C Si : = B D

cuarta

se cumple: A+ B C + D = A− B C − D

A+ B C + D = B D

SERIE DE RAZONES IGUALES :

a c e y = = = .... = . = k b d f z Se cumple: a + c + e + ... + y =k b + d + f + ... + z

a.c.e........ y n = (k ) b.d . f .....z

“n”

Número

de

razones. Ejemplo: Las edades de Mario, Angel y José suman 126 años y estas edades guardan una relación de los números 3, 4 y 7. Calcular la edad de cada uno. Solución : Podemos plantear el sistema así: x y z = = 3 4 7 Por propiedad se tiene : x y z x 126 x = = = ⇒ = 3 4 7 3 14 3 Simplificando: x = 27 126 y 126 x 4 = →y= → y = 36 14 4 14 126 z 126 x7 = →z= → z = 63 14 13 14 Respuesta : las edades de cada uno Matemática y Razonamiento Matemático

son : 27, 36 y 63 años. PROBLEMAS RESUELTOS: 1. Pilar lleva al mercado 280 frutas entre manzanas y plátanos. Si el número de manzanas es al número de plátanos como 3 es a 7. Hallar el número de manzanas que lleva. A) 82 B) 76 C) 88 D) 77 E) 84 Solución : M 3 = = K ⇒ M = 3K P 7 P = 7K Planteamos : 3K + 7K = 280 K = 28 Piden : M = 3K M = 3 ( 28 ) M = 84 Rpta E 2. La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros están en la misma relación que los números 7; 1; y 48. Hallar el mayor. A) 18 B) 12 C) 20 D) 16 E) 15 Solución : Los números son A y B A + B A − B AB = = 7 1 48 Por propiedad : A + B + A − B AB = → B = 12 7 +1 48 Reemplazando: A + 12 A − 12 = 7 1 A+12 = 7A - 84 A = 16 Rpta. D

a 2 = y a 3 + b3 = 280 b 3 Calcular: a+ b A) 20 B) 10 C) 12 D) 14 E) 6 Solución: a 2 = =K b 3 a = 2K b = 3K 3. Si:

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Universidad Privada de Tacna a 3 + b3 = 280

Planteamos :

(2 K )3 + (3K )3 = 280

Piden: a = 4

K =2 b = 6 S = a+ b S = 10 Rpta B

4. Dos personas tiene 45 y 60 años, cuando la primera tenga la edad que tiene la segunda ahora. ¿Cuál será la razón de sus edades? A) 3/5 B) 5/8 C) 5/4 D) 4/5E) ¾ Solución : Presente Futuro A 45 60 B 60 75 Razón ( presente ) = 45 / 60 = 3 / 4 Razón ( futuro ) = 60/75 = 4/5 Rpta. D 5. Hace 5 años la edad de Miguel era igual a la edad que tiene actualmente Pedro. Si dentro de tres años sus edades estarán en la relación de 6 a 5. Determinar la edad actual de Miguel. A) 60 B) 70 C) 22 D) 27 E) 65 Solución : Pasado Presente Futuro Miguel X X+5 X+8 Pedro X X+3

x+8 6 = → x = 22 x+3 5 Piden : Miguel = 27 años. Rpta D

Planteamos:

6. Se sabe que la suma de los cuatro términos de una proporción aritmética discreta es 48. Calcular la suma de los extremos de dicha proporción. A) 20 B) 24 C) 25 D) 28 E) 23 Solución : Proporción aritmética discreta : a -b=c- d Matemática y Razonamiento Matemático

Centro Pre Universitario Ciclo 2010 También : a+d=b+c Por dato : a + b +c+ d = 48 a + d + a + d = 48 2a + 2d = 48 2 (a+ d) = 48 a + d = 24 Rpta. B 7. En una proporción geométrica contínua el primer término es 1/9 del cuarto término, si la suma de los medios es 72. Hallar la diferencia de los extremos. A) 90 B) 93 C) 95 D) 96 E) 99 Solución : Proporción Geométrica Contínua: a b = b c 1 Por dato: a = c También: 2b = 72 9 b = 36 Planteamos : 1 9c = 36 c = 108 a = 12 36 c Piden : D = 108 – 12 D = 96 Rpta D 8. En una proporción geométrica contínua la suma de los antecedentes es 24 y la suma de los consecuentes es 12. hallar la diferencia de los antecedentes. A) 12 B) 10 C) 8 D) 11 E) 9 Solución : Proporción geométrica contínua : a b = b c a b Por propiedad : = a+b b+c a b = = K → a = 2K ∧ b = K 24 12 Por dato : a + b = 24 2K + K = 24 K = 8 Piden D = 16 – 8 = 8 -3Canal: Letras

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Rpta C 9. (x + y); (4x – 3y); (5y + 3x) , son tres términos consecutivos de una progresión aritmética, la relación entre “x” e “y” es: A) x = 3y B) 2x = 5y C) y = 3x D) x = y E) N.A. Solución : Como es una progresión aritmética se cumple que: (4x – 3y ) – (x + y) = (5y + 3x ) – (4x 3y) 4x – 3y – x – y = 5y + 3x – 4x + 3y 4x = 12y X = 3y Rpta A 10. Hallar la suma de la media diferencial de 60 y 20; la cuarta proporcional de 15; 9 y 20 y la tercera proporcional de 2 y 8. A) 40 B) 26 C) 81 D) 84 E) 44 Solución : Media proporcional (60; 20) 60 + 20 b= 2 b = 40 Cuarta proporcional (15; 9 y 20) : 15 20 = → d = 12 9 d Tercera proporcional (2 y 8) : 2 8 = → c = 32 8 c Piden . S = 40 + 12 +32 S = 84 Rpta. D

:

11. Si el valor de la razón aritmética y geométrica de dos números es 5. ¿Cuál es la suma de dichos números? A) 30/7 B) 15/2 C)13/2 D)7/8 E) N.A.

Los números son “a” y “b” a – b = 5………………..(1) a / b = 5 → a = 5b ………………(2) Reemplazando (2) en (1) : a–b=5 5b – b = 5 4b = 5 → b=5/4 a = 25 / 4 Piden : S = 5/4 + 25 / 4 = 30 / 4 = 15 /2 Rpta B 12. Tres númros a; b y c Son entre sí como 9; 12 y 25 si la cuarta proporcional de a; b y c es 100. ¿Cuál es la tercera proporcional de a y b? A) 50 B) 84 C) 28 D) 48 E) 72 Solución: a b c = = = K → a = 9 K ∧ b = 12 K 9 12 25 c = 25K 9K 25K Planteamos: = →K =3 12 K 100 Entonces: a = 27 b= 36 c = 75 27 36 Piden: = → c = 48 36 c PROBLEMAS PROPUESTOS 1. La suma de los cuatro términos de una proporción geométrica contínua es 25. si el producto de dichos términos es 1296. Hallar la suma de los extremos. A) 15 B) 16 C) 13 D) 19 E) 12 2. Hallar dos números sabiendo que su razón aritmética es 260 y su razón geométrica es 9 / 5. dar como respuesta el menor de los números. A) 324 B) 300 C) 310 D) 290 E) 325 3. Determinar la cuarta proporcional de 15; 9 y 20. A) 10 B) 20 C) 13 D) 16 E) 12

Solución : Matemática y Razonamiento Matemático

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Universidad Privada de Tacna 4. Dos números son proporcionales a 2 y 5 . Si se aumenta 175 a uno y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el menor? A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 5. Hallar la cuarta diferencial de: 280; 80 y300. A) 110 B) 90 C) 120 D) 80 E) 100 6. Las edades de Ángel, Beto y Carlos son entre sí como los números 2; 3 y 1 respectivamente. Si sus edades suman 96 años. Hallar la edad de Ángel. A) 40 B) 50 C) 32 D) 70 E) 80. 7. Los volúmenes de agua que contiene los depósitos A, B y C están en la relación de 5; 4 y 2 . Si se suman dichos volúmenes se obtienen 110 litros. Calcular el volumen de agua del depósito B. A) 70 B) 80 C) 40 D) 120 E) 160 8. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo están en la relación de 1; 3 y 5. Hallar la medida del mayor ángulo. A) 100 B) 120 C) 130 D) 50 E) N.A. 9. La cantidad de dinero que tiene “A” es al que tiene “B” como 5 es a 3, el de “B” es al de “C” como 2 es a 3; sabiendo que “A” y “C” tienen juntos 380 soles. ¿Cuántos soles tiene “B”? A) 60 B) 120 C) 200 D) 400 E) N.A. 10. Las edades actuales de Xiomara y Mishell son como 2 a 1. Si dentro de 12 años estarán en la relación de 4 a 3, dentro de cuántos años estarán de 8 a 5. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Matemática y Razonamiento Matemático

Centro Pre Universitario Ciclo 2010 11. En una caja de caramelos hay de los sabores fresa y limón. Si por cada caramelos de fresa hay 3 caramelos de limón. ¿Cuántos caramelos de fresa hay, si en total hay 80 caramelos? A) 18 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40 12. Las edades de Arturo y Jorge son entre sí como 8 es a 9. Si Arturo tiene 32 años. ¿Cuántos años tiene Jorge? A) 33 B) 34 C) 35 D) 36 E) 38 13. Se tiene dos recipientes de agua: A y B. En el primero hay 20 litros de agua y en el segundo el doble. Si el primer recipiente se pasan 5 litros de agua al segundo, entonces el número de litros que queda en el recipiente A es al número de litros que ahora hay en B como: A) 1 es a 3 B) 2 es a 3 C) 1 es a 2 D) 2 es a 5 E) 2 es a 1 14. En una canasta el número de plátanos es al número de manzanas como 2 es a 1. Si hay dos docenas de plátanos. ¿Cuánrtas manzanas hay? A) 10 B) 126 C) 14 D) 16 E) 18 15. En un corral por cada 3 patos hay 2 conejos y por cada conejo hay 2 gallinas. Si hay 12 patos. ¿Cuántas gallinas hay? A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24 16. La edad de Ana es a la de Bety como 5 es a 4 y la edad de Bety es a la de Cecilia como 2 es a 1. Si Cecilia tiene 16 años. ¿Cuántos años tiene Ana? A)30 B) 36 C) 40 D) 42 E) 45 17. En un estante la razón del número de libros de matemática al de Física es 3 7 $ y la razón del -5Canal: Letras

Universidad Privada de Tacna número de libros de Biología al de Física es 3 / 2. Si hay 18 libros de Matemática. ¿Cuántos libros de Biología hay? A) 24 B) 28 C) 30 D) 36 E)40 18. Divide el número 720 en dos partes tales que la razón entre ambas sea 0,6. Hallar una de las partes. A) 540 B) 270 C) 207 D) 504 E) 206 19. El duplo de un número es a dicho número aumentado de dos unidades como 4 es a 7. ¿Cuál es el número buscado? A) 0,4 B) 0,6 C) 0,8 D) 0,9 E) 0,7 20. Cuando Pablo nació, Mariela tenía 14 años. Actualmente, la razón entre las edades de ambos es 0,75. ¿Cuál es la edad de Pablo? A) 56 B) 42 C) 24 D) 65 E) 48 21. Calcular el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro es de 70 cm. Y la razón entre sus dimensiones (largo y ancho es 5 / 2 ) A) 205 cm² B) 250 cm² C) 520cm² D) 260 cm² E) 280 cm² 22. Dos cajas contienen 25 fósforos cada una. ¿Cuántos fósforos hay que pasar de una a otra para que la razón de las cantidades de fósforos de cada caja sea 7 / 3 ? A) 8 B) 10 C) 12 D) 20 E) 14 23. Dos números son entre sí como 7 es a 13, si al, menor se le suma 140,para que el valor de la razón no se altere, el valor del otro número debe quintuplicarse. Hallar el mayor de los números. A) 52 B) 130 C) 65 D) 78 E) 104 Matemática y Razonamiento Matemático

Centro Pre Universitario Ciclo 2010 24. Dos números son entre sí como 5 es a 8, si la suma de sus cuadrados es 712 su diferencia es: A) 9√2 B) 3√2 C) 6√2 D) 8√2 E) 4√2 25. En una proporción geométrica contínua los términos extremos son entre sí como 4 a 9. Si la suma de los términos de la primera razón es 40. Hallar la suma de los consecuentes. A) 45 B) 50 C) 60 D) 72 E) 80 26. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 11, 3 y 560. Hallar uno de los números A) 85 B) 90 C) 110 D) 120 E) 140 27. En una proporción geométrica discreta la diferencia entre los medios es 14. Hallar uno de los términos medios si se sabe que el producto de los cuatro términos de la proporción es 2601. A) 4 B) 2 C) 1 D) 3 E) 5 28. En una reunión de camaradería por cada 5 hombres adultos que entran, ingresan 6 niños, y por cada 3 mujeres adultas que entran, ingresan 8 niñas. Si en total ingresaron 572 niños y el número de hombres es al número de mujeres como 7 a 4 ¿Cuántos hombres asistieron a dicha reunión? A) 120 B) 210 C) 320 D) 410 E) N.A. 29. Se tiene una proporción geométrica contínua de términos y razón enteros. La suma de los extremos menos la suma de los medios es 245. Hallar la media geométrica. A) 40 B) 35 C) 42 D) 48 E) 56 -6Canal: Letras

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30. Tres números a, b y c son entre sí como 9, 12 y 65. Si la cuarta proporcional de a, b y c es 520. ¿Cuál es la tercera proporcional de a y b? A) 24 B) 45 C) 32 D) 27 E) 96 31.Se tiene 3 números enteros que son entre sí como 4, 7 y 9 Si el cuadrado de la suma de los 2 menores números menos el cuadrado del mayor es 360. Hallar la suma de los 3 números. A) 40 B) 60 C) 80 D) 100 E) 120.

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