Razones y Proporciones

ARITMÉTICA 24. En la siguiente serie

,se cumple:

SEMANA 01

25. En una partida de billar de 100 carambolas

ARITMÉTICA

el jugador "A" le da de ventaja al jugador "B" 10 carambolas; "B" le da al jugador "C" 20 carambolas de ventaja. ¿Cuánto de ventaja le debe dar el jugador "A" al

Calcular:

jugador "C"?

      A) 9/7

B) 8/13

D) 7/4

E) 7/13

C) 4/9

A) 22

B) 24

C) 26

D) 28

RAZONES Y PROPORCIONES

E) 30

INTRODUCCIÓN

Razón

En nuestra vida diaria, aparecen con mucha frecuencia algunas afirmaciones como:

Es la comparación que existe entre dos

•

operaciones de sustracción y división.

Las edades de Juana y Rosa son 18 años

cantidades de una magnitud, mediante las

y 16 años respectivamente. •

Tengo 2 vinos: Uno de 800 ml y el otro de 640 ml.

1.

Si:

Calcular:

2.

3.

4.

A) 4/3

B) 5/2

D) 7/4

E) 8/7

A) 64

b) 128

D) 512

E) 1024

B) 6

D) 8

E) 9

•

El sueldo de Víctor el mes pasado fue S/. 1500 y este mes será S/. 1800

Podemos observar que las edades, los volúmenes y el dinero pueden ser medidos o

Sabiendo que "b" es media proporcional

contados, a los cuales se les llama magnitudes

entre "a" y "c" y que a, b y c suman 93,

escalares. Observación: Hay magnitudes no medibles como la alegría, la memoria; por lo tanto no pueden expresarse numéricamente, por ello

Determinar (a× b). A) 40

B) 42

D) 50

E) 56

C) 45

no las consideraremos en este texto.

Ejemplo: Dos toneles contienen 20 litros y 15 litros respectivamente, al comparar sus volúmenes. Razón Aritmética 20 L – 15 L=5 L

5.

Sea

 ; a y d mínimos, además: a 2+d2 +bc=61

Es el resultado de la medición del estado de una magnitud escalar. Ejemplo: La altura del edificio Trilce Arequipa es 24

b>1; donde a, b, c y d son enteros

metros.

positivos. Hallar el máximo valor de:

Magnitud : Longitud

E=a+c

Cantidad : 24 metros

A) 12

B) 15

D) 21

E) 24

Antecedente Valor de razón Consecuente Razón Geométrica Ejemplo:

Cantidad

C) 256

En una proporción continua, la suma de los cuatro términos es 36, y el producto de los extremos es 32. Calcular la razón aritmética sabiendo que es positiva

C) 7

además:

C) 6/5

Determinar el mayor de los términos de una proporción geométrica continua para lo cual se verifica que el producto de los cuatro términos es 1048576 y que el cuarto termino es el doble de la suma de los términos medios.

A) 5

Razón Aritmética

Se comparan dos terrenos, cuyas superficies son: 80 m2 y 40 m2 y así obtenemos: Antecedente Consecuente

80 m2 = 48 m2

® Valor de la razón

Razón Geométrica En conclusión: Sean a y b dos cantidades:

C) 18 Se llama magnitud a todo aquello que puede ser medido o cuantificado; además, puede definirse la igualdad y la suma de sus diversos

Aritmética Razón

a – b=d

Geométrica 

estados.

6

1

ARITMÉTICA a: antecedente

Nota: "Cuando los medios son diferentes, la

b: consecuente

proporción se llama discreta, pero cuando los

d y k: valores de las razones

medios son iguales se llama continua". PROPORCIÓN ARITMÉTICA

Proporción Es la igualdad de dos razones de una misma

a –b=c– d

a– b=b–c

d: cuarta diferencial

b: media diferencial c: tercera diferencial

especie. Proporción Aritmética

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

Ejemplo: Las edades de 4 hermanos son : 24 años, 20 años, 15 años y 11 años; podemos decir: 24 años – 15 años=9 años 20 años – 11 años=9 años Se puede establecer la siguiente igualdad: Medios 24 – 15=20 – 11 Extremos A la cual se le llama proporción aritmética.



Propiedades de Proporciones  se cumple:

I.

,

II.

,

III.

Se tiene 4 terrenos cuyas superficies son 9 m 2; 2

2

2

12 m ; 15 m y 20 m al comprarlos se tiene:

Serie de Razones Geométricas Equivalentes

B) 135

D) 128

E) 45

C) 216

17. Si:





 

(9)(20)=(12)(15) Extremos Medios

2

dente es al último antecedente como 1 es a 27. Calcular la suma de todos los consecuentes si se sabe que la suma de los términos de la Última razón es 540. A) 600

B) 580

D) 680

E) 720

C) 630

Además d – b=25, calcular b+d. Calcular (C – A+n). A) 60

B) 50

D) 30

E) 20

C) 40

A) 1

B) 2

D) 4

E) 5

C) 3

A) 45

B) 75

D) 65

E) 55

C) 35

22. Si: ; Calcular:

A) 81

B)

D)

E)

C)

23. En una serie de tres razones geométricas equiv alentes , el product o de los dos primeros antecedentes, el producto de



los dos últimos antecedentes y el producto de los dos primeros consecuentes son: 48,

De donde: 

"9 es a 12, como 15 es a 20" De donde:

continuas equivalentes, el primer antece-

; cd –ab=1100

 A la cual se le llama proporción geométrica

20. En una serie de cuatro razones geométricas

21. Si:

Además:

19. Si:

Sean: Se puede establecer la siguiente igualdad:

A) 27

18. En una serie de tres razones geométricas, la diferencia entre los extremos es 10 y la suma de los términos de la segunda razón es 32. Si a cada uno de los antecedentes se disminuye en 6, 8 y 2 respectivamente, resultan ser proporcionales a 3, 8 y 2 respectivamente. Determinar el primer consecuente.

Proporción Geométrica Ejemplo:

16. La suma de los tres antecedentes de una serie de razones geométricas continuas equivalentes es 195. Determinar el primer antecedente, si el valor común de dichas razones es un entero diferente de uno.



d: cuarta proporcional b: media proporcional c: tercera proporcional

Sea

SEMANA 01





432 y 6912 respectivamente. Calcular el

Calcular:

producto del segundo consecuente por el último antecedente.

Se cumple las siguientes propiedades: I.

A) 2

B) 3

D) 5

E) 6

C) 4

A) 4306

B) 5184

D) 7542

E) 4816

C) 6128

5

ARITMÉTICA 7.

8.

En un partido de la "U" vs "Alianza", 300 personas hacen apuestas sobre cual seria el ganador. Al comenza r las apuestas favorecen al Alianza en razón de 3 es a 2 quedando al final favorable la "U" en razón de 3 es a 2. Diga cuantos hinchas del "Alianza" se pasaron a la "U" A) 80

B) 100

D) 70

E) 40

En la proporción

C) 60

, se cumple que:

Calcular (a+b+c+d) sabiendo que cada termino es diferente de 1.

9.

A) 315

B) 513

D) 624

E) 128

C) 426

¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción geométrica continua?, si la suma de los 4 términos es 36 y la razón entre la suma y la diferencia de los 2 primeros términos es 3. A) 10

B) 11

D) 15

e) 12

C) 13

A) 105

B) 108

D) 114

E) 117

C) 111

SEMANA 01

12. Ana comparte el agua de su balde con Rosa y esta con Lucy. Si lo que le dio Ana a Rosa es a lo que no le dio como 4 es a 5 y lo que dio Rosa a Lucy es a lo que no

Observación: Donde "n" nos indica el

B) 22

D) 24

E) 25

le dio como 5 es a 4. En que relación se encuentra lo que no le dio Ana a Rosa y

Ejemplo:

lo que recibió Lucy.

4

II.

k

A) 7/5

B) 4/3

D) 3/2

E) 9/4

k



C) 5/2

simplificando k

III. k

Sea la siguiente serie: 

k

k

k

13. La suma de antecedentes de una serie de tres razones geométricas continuas es 42. Calcular el primer antecedente, si el valor común de las razones es un entero

1.

diferente de uno. A) 13

B) 17

D) 26

E) 48

C) 24

La suma de los cuadrados de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 2601. La suma de los extremos es 51. Calcula la suma de las cifras de la media proporcional. A) 4

B) 3

D) 6

E) 7

A)

B)

D)

E)

y

continuas equivalentes, la suma del primer antecedente y el tercer consecuente

A) 1120

B) 1240

D) 1820

E) 1640

C) 1440

5.

.

Calcular el máximo valor de (a+b+c ) sabiendo que a, b, c y k son naturales distintos entre si

15. En una serie de cuatro razones geométricas

consecuentes, si se sabe que la suma de las cuatro razones es 4/3

C) 5

 

C)

es 33 6. De te rmi na r la su ma de lo s

4.

Si:

La suma de antecedentes es "m" y la de consecuente es "n". Calcular el valor de:

C) 23

11. En una proporción geométrica continua en la cual el producto de sus 4 términos es 50625, se cumple además que la suma de los antecedentes es igual al doble del producto de los consecuentes. Calcular la suma de los cuatro términos de dicha proporción.

k

número de razones.

2.

A) 20

I. III.

14. Si:

10. El producto de los 4 términos de una pr op or ci ón geo mé tr ic a es 81 00 , la diferencia de los antecedentes es 3 y la de los consecuentes es 5. Calcular la suma de dichos 4 términos.

Se cumple:

II.

3.

A) 1365

B) 714

D) 1526

E) 1386

C) 1200

En una proporción geométrica continua cuyo producto de sus cuatro términos es 1296 y que el primer antecedente es menor que el consecuente en 2 unidades. Calcular el antecedente.

6.

A) 4

B) 5

D) 7

E) 8

C) 6

En una fiesta concurren 400 personas entre hombres y mujeres, asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres. Luego de 2 horas, por cada dos hombres hay una mujer. ¿Cuántas parejas se retiraron? A) 40

B) 80

D) 60

E) 20

C) 100

¿Cuántas proporc iones existen, si el producto de los términos extremos es 36 y la suma de los términos medios es 12. Si todos los términos son enteros? A) 1

B) 3

D) 2

E) 4

C) 6

Determinar el valor numérico de:

A) 21/4

B) 89/72

D) 89/75

E) 29/9

C) 71/89

3