Razones y Proporciones, Triángulos y Productos Notables

Semana 02  

1.

Razones y Proporciones Definición

2. CAritmética lases 3. TGeométrica ipos Discreta Continua

 

 

1. Definici ón 2. Clases Aritméti ca Geomét rica

Razones y Proporciones  

Razón

Comparación de 2 cantidades

Aritmética  − Geométrica

  

Proporción Comparación de Razones

 

 

1. Definici ón 2. Clases Aritméti ca Geomét rica

Razones y Proporciones Proporción Aritmética

Geométrica −=  − 

 

 

Suma de extremos Igual a la suma de

=

   

Producto de extremos Igual al producto de

 

 

1.

Razones y Proporciones Pro porción Definició

n 2. Clases Aritmétic a Geométri ca

Discreta: T odos los    términos diferentes =  −=  −   



Cuarta diferencial

 

Cuarta Proporcional

 

 

1.

Razones y Proporciones Pro porción Definici

ón 2. Clases

Contínua: Términos iguales Media medios −= −    



Aritméti ca Geomét rica

Media Tercia diferencial diferencial

=

 Proporcional

Tercia Proporcional

NIVEL BÁSICO  

 

1. Cuando Jairo nació, Rosa tenía 4 años. Calcule la edad del menor si actualmente la edad de Rosa es a la edad de Jairo como 4 es a 3.  A) 16 B) 10 C) 12 D) 8

2. En el corral de Renato se cuentan 12 conejos y 14 cuyes. Un día su hermana Delia les dio de comer perejil y murieron 4 conejos y 5 cuyes. Determine el valor de la razón aritmética del número de cuyes y conejos que sobrevivieron.  A) 1 B) 3 C) 4 D) 5

 

NIVEL BÁSICO  

3. La diferencia de dos cantidades a su suma como 1 es a 5, si el producto de dichos números es 24 y el mayor de ellos representa la cantidad de dinero que tiene Luis en soles, ¿cuánto le falta a Luis para tener S/ 12?  A) S/ 4 B) S/ 3 C) S/ 5 D) S/ 6

4. En un recipiente hay 12 litros de leche mezclados con 2 litros de agua. Si luego añadimos 5 litros de leche y 1/2 litro de agua la relación de leche y agua será:  A) 34 a 5 B) 17 a 5 C) 34 a 2 D) 17 a 10

 

NIVEL BÁSICO   5. La suma de dos números es 24 y el valor de su razón aritmética es 10, calcule el valor de la razón geométrica del mayor número sobre el menor.  A) 7/17 B) 3 C) 5 D) 17/7

 

NIVEL INTERMEDIO 6. Si la media diferencial de m y m + 6 es 16, entonces la media proporcional de m – 4 y m + 12 es:  A) 10 B) 5 C) 12 D) 15

7. El dinero que tienen Álex, Carlos y Miguel en ese orden, forman una proporción geométrica continua. Si Álex y Miguel tienen S/ 12 y S/ 3 respectivamente, ¿cuánto dinero le falta a Carlos para comprar un polo que cuesta S/35?  A) S/ 29 B) S/ 30 C) S/ 12 D) S/ 15

 

NIVEL INTERMEDIO 8. La cantidad de dinero que tiene Johana es a la cantidad de dinero que tiene Ana como 2 es a 3, pero si Ana le diese S/ 120 a Johana la nueva relación sería como 4 es a 3. ¿Cuál sería la relación si Ana le diese S/ 40 a Johana y esta a su vez le diese S/ 25 a Ana?  A) 59 a 81 B) 49 a 9 C) 49 a 81 D) 7 a 81 9. Lourdes le dice a Isabel que prepare ron en proporción de 12 a 1 mezclado con gaseosa, Isabel por error mezcla el ron con gaseosa en la proporción de 4 a 1 hasta obtener 80 litros de mezcla. ¿Qué cantidad de ron habrá de agregar a la mezcla para obtener la proporción deseada?  A) 64 L B) 128 L C) 132 L D) 150 L

 

NIVEL INTERMEDIO 10. El profesor tiene una caja de plumones, de los cuales la cantidad de rojos y negros están en la relación de 2 a 3, además, la diferencia y suma de las cantidades de negros y azules, respectivamente, están en la relación de 3 a 5. Si no tiene más colores en su caja, ¿en qué relación están las cantidades de rojos y azules, respectivamente?  A) 2 a 5 B) 8 a 3 C) 5 a 2 D) 3 a 8

NIVEL INTERMEDIO

 

8. La cantidad de dinero que tiene Johana es a la cantidad de dinero que tiene Ana como 2 es a 3, pero si Ana le diese S/ 120 a Johana la nueva relación sería como 4 es a 3. ¿Cuál sería la relación si Ana le diese S/ 40 a Johana y esta a su vez le diese S/ 25 a Ana?  A) 59 a 81 B) 49 a 9 C) 49 a 81 D) 7 a 81 9. Lourdes le dice a Isabel que prepare ron en proporción de 12 a 1 mezclado con gaseosa, Isabel por error mezcla el ron con gaseosa en la proporción de 4 a 1 hasta obtener 80 litros de mezcla. ¿Qué cantidad de ron habrá de agregar a la mezcla para obtener la proporción deseada?  A) 64 L B) 128 L C) 132 L D) 150 L

 

NIVEL AVANZADO 11. Las velocidades de M, N y P son proporcionales a 5; 2 y 7, respectivamente. Además, M y N van al encuentro de P. Si luego de encontrarse los más veloces, P recorre 150m más de lo que recorre N para que se encuentren. ¿Cuándo le faltaría a M para llegar al punto del cual partió P?  A) 360 B) 450 C) 480 D) 580

12. Julio sale de su casa en su automóvil. Veinticuatro minutos después, su esposa nota que olvidó su portafolio e inmediatamente decide alcanzarlo en su propio automóvil recorriendo el mismo camino. Si Julio viaja a 80 km/h y su esposa a 100 km/h, ¿qué distancia recorrió él hasta el momento en que fue alcanzado por ella?  A) 120 km B) 130 km C) 80 km D) 160 km

 

NIVEL AVANZADO 13. En una reunión se observa que por cada 3 varones que no bailan 4 mujeres no bailan y que la cantidad de personas que no bailan es a la cantidad de asistentes como 1 es a 3. Si en dicho momento 56 personas están bailando, ¿cuántas parejas deben llegar para que por cada 11 varones haya 12 mujeres?  A) 8 B) 4 C) 10 D) 18

14. Hace “k” años las edades de Oscar y Eddy estaban en la relación de 5 a 1, además la edad de Oscar era 7 años más que la edad actual de Eddy. Si dentro de “2k” años la relación de sus edades será de 7 a 5. Calcule la suma de sus edades actuales.  A) 84 B) 28 C) 75 D) 80

 

NIVEL AVANZADO 15. De un barril lleno de vino se extraen 12 litros que son reemplazados con agua, y de esta mezcla se extraen otros 12 litros que también son reemplazados con agua y por tercera vez se extraen otros 12 litros que son reemplazados con agua. Si la relación de vino y agua que hay al final es de 8 a 19, respectivamente, determine el volumen del barril.  A) 36 L B) 24 L C) 60 L D) 72 L

 

Productos Notables Cuadrado de un binomio Suma por su diferencia Producto de binomios con termino común Cubo de un binomio Suma o diferencia

(A + B=+ 2AB + (A - B= - 2AB +

(A+B)(A-B)= (X+A)(X+B)=(A+B)X + AB

(A+B3A + (A - B3A -

  + = ( A + B ) (    −  +  ¿   −  = ( A − B)(     +  +  ¿

de cubos

(A+B+C)2=

Cuadrado de un

 

Cuadrado de un binomio

EJEMPLOS: (X+5 (3X-5 (2+4y (2n-3a

¿ ¿

 ¿   +      ¿ + (  ) (  ) + (  ) + 

+     −  (   ) (   )+ (  )   ¿    −  

¿   + (     ) ¿  +    +        ) + ( ) (    ¿¿

    +     (   ) (   + −    −    ( ) ¿ ) ¿¿

 

Producto de Suma por diferencia EJEMPLOS: (X+4)(x-4)

¿

¿

¿   − 

 − (  )    

 

(3X-4)(3x+4) ( () (





−   



−( ) ¿ ¿ ¿¿ ¿   ( ) ¿  −  ¿    (  ¿    −  ) −   ¿¿ 

−

 

  −

 



 

 

¿



  



 

  −

    

¿¿ ( )  

Producto de dos binomios con término en común

EJEMPLOS:

( ( ( (

¿

¿ +  +  ¿ +  − 

¿¿ ¿

−  − 

¿ ¿ −    + 

 

Cubo de un binomio

EJEMPLOS: (X+5 (3X-5 (2+4y (2n-3a

¿ ¿

    )+ ¿ +  (  ) (  +)  (  ) (  )  +( ¿   

¿





 +)  (  ) (     ) +(     +  (  ) (  ¿¿ 

¿

+ 

  + 

¿   ) ¿ +     +     

  ( ) )  (  ) (  ) − −  (   ) (  + 







 

 



−   +   −  

+     

  (   ) (   ) +(   )    −    +    +   −  (   ) (   + ) ¿

¿  

NIVEL BÁSICO 1. Si: x + y = 4, además: xy = 2, halle: E = x² + y² + x³ + y³ a) 40 b) 52 c) 16 d) 64

2.   Si: a + b = , ab = 2 calcule:

a) 2 b) –1/2 c) 1/2 d) –2

 

NIVEL BÁSICO 3.   Efectúe:

a) 4 b) 2c c) 7 d) 4c

cumple: . Halle el valor valor de:  4. Si se cumple: a) 1/4 b) 1 c) 2 d) 1/2

 

NIVEL BÁSICO 5.   Si x + y = 1, halle: a) 2/3 b) 1/3 c) 1/2 d) 2/5

 

NIVEL INTERMEDIO 6. Si: a + b + c = 0, halle:

a) 6 b) 0 c) – 6 d) 3

7. Si: x + y + z = 12; xy + xz + yz = 60 halle: w = (x + y)² + (x + z)² + (y + z)² a) 204 b) 168 c) 180 d) 228

RAZONAMIENTO RAZONAMIE NTO MATEMÁ MATEMÁTICO TICO

 

Semana1: Cuatro operaciones - métodos operavos 1.

SITUACIONES CO CON P PA ALITOS D DE E FÓSFORO

2.

REGLA CONJUNTA

3.

MÉTODO DE LAS OPERACIONES INVERSAS

 

NIVEL BÁSICO

1. 16 personas tiene que pagar por partes iguales S/. 75000; como algunos son insolventes, cada uno de los restantes tiene que poner S/. 2812,50 adicionales para cancelar el pago mencionado ¿Cuántos son insolventes? a) 11 b) 6 c) 10 d) 5

2. Al hacer una colecta, un niño nota que de las 30 personas que colaboran con él, algunos le dieron S/ 1 cada uno, y del resto, la mitad le dio 50 céntimos cada uno y los demás S/. 1,50 ¿Cuánto dinero recaudó el niño? a) S/. 20 b) S/. 25 c) S/. 27 d) S/. 30

 

NIVEL BÁSICO

3. Un caminante ha recorrido 1000 metros unas veces avanzando otras retrocediendo, terminando su recorrido 350 metros delante del punto de inicio. ¿Cuántos metros anduvo retrocediendo? a) 650 b) 325 c) 375 d) 350 4. Un campesino tiene vacas, ovejas y cerdos un total de 90 animales. Si tuviera 15 vacas más, 5 ovejas más y 11 cerdos menos, tendría la misma El número de cerdos que cantidad tiene es: e s:de animales de cada especie. a) 33 b) 44 c) 28 d) 46

 

NIVEL BÁSICO

5. En una fiesta hay 62 personas entre damas, caballeros y niños. Por cada 5 caballeros hay 4 damas y por cada 3 damas hay 1 niño. ¿Cuántos niños hay? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11

 

NIVEL INTERMEDIO

6. Una persona sube una escalera con el curioso método de subir 5 escalones y bajar 4. si en total subió 75 escalones, ¿cuántos escalones tiene la escalera? a) 30 b) 19 c) 60 d) 15 7. Un jardinero pensó en sembrar pasto en un terreno de 347 m2 en 20 días, pero tardó cinco días más por trabajar 2 horas y 30 minutos menos cada día ¿Cuánto tiempo trabajó por día? a) 7 h 30 min b) 10 h c) 15 h d) 12 h 30 min

 

TRIGONOMETRÍA

Semana1: Razones trigonométricas trigonométricas de Ángulos Agudos

 

NIVEL BÁSICO

 

1. Si , θ: ángulo agudo, calcule el valor de Ctgθ – Cosθ. a)

15 b) 4 c) 3 15 2

d) 3

15 4 15

12

  Si , θ: ángulo agudo, y 2.

calcule el valor de 4 5

Sec  .

Cscα =

21Ctgθ 21Ctgθ + 5Cosθ

 A)

5

4 15

B)

15 5 3 3

C)

5

D)

   

NIVEL BÁSICO

 3. En la figura, los ángulos A y B verifican la ecuación

9TgA + TgB = 6. Calcular el valor de la expresión:

 A) 4 B) 5 C) 2 D) 8 4. En un triángulo rectángulo, el cateto menor mide el triple de la diferencia entre las medidas de la hipotenusa y el otro cateto. Calcule el seno del mayor ángulo agudo. 4 5

 A)

5

4 15

B)

15 5 3 3

C)

4 5  

D)

NIVEL BÁSICO

5.   5. En un triángulo ABC (B = 90°) se cumple que , calcular el valor de SenA . SenC.  A)3/2 B)1/3 C)2/3 D) 2

 

NIVEL INTERMEDIO  6. En la figura, y los triángulos ADC y CDB tienen áreas (s)

cm² y (t) cm² respectivamente de modo que Calcular el valor de la expresión: .  A) B) C) D) 2

7. cumple que y el área de la   7. En el triángulo de la figura, se cumple región triangular ADB es 8 cm2, calcular Tgθ.  A) 9/2 B) 7/2 C) 5/2 D) 4

 

GEOMETRÍA

Semana1: TRIÁNGULOS

 

NIVEL BÁSICO 1. Del gráfico que se muestra, el triángulo ABC es isósceles de base AC Si m – n = 36°, calcule x.  A) 36° B) 38° C) 40° D) 12°

2. Del gráfico que se muestra, calcule .  A) 10° B) 15° C) 20° D) 30

 

NIVEL BÁSICO 3. Del gráfico que se muestra, calcule x si se sabe que el triángulo ABC es isósceles de base AC.  A) 10° B) 15° C) 20° D) 25°

4. Del gráfico que se muestra, calcule + b si AMN y NQC son triángulos isósceles de base MN y NQ, respectivamente.  A) 110° B) 115° C) 120° D) 135°

 

NIVEL BÁSICO 5. Del gráfco que se muestra, calcule la m