Razonamiento_Matemático_1_

Índice UNIDAD I

conociendo el idioma de la matemática

Capítulo 1 Ecuaciones lineales I: Resolución y despeje ........................................................................................................ 5 Capítulo 2 Ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas............................................................................................. 12

UNIDAD II

MATEMÁTICA recreativa

Capítulo 1 Ruedas, figuras y palitos de fósforo ............... 18

Capítulo 3 Repaso I

Capítulo 2 Cuadros numéricos

Capítulo 4 Multiplicaciones abreviadas .......................... 41

UNIDAD III

................................... 28





.................................... 37

CONOCIENDO SITUACIONES ESPECIALES

Capítulo 1 Situaciones lógicas

.................................... 49

Capítulo 4 Ordenamiento lineal

Capítulo 2 Pensamiento lateral

................................... 55

Capítulo 5 Ordenamiento circular .................................... 72

Capítulo 3 Repaso II

.................................... 61





UNIDAD IV

.................................... 65

EXPLORANDO HABILIDADES MATEMÁTICAS: pSICOTÉcNICO

Capítulo 1 Razonamiento abstracto ................................. 79

Capítulo 3 Sucesiones especiales .....................................91

Capítulo 2 Repaso III

Capítulo 4 Relaciones numéricas .................................... 96

UNIDAD V

................................... 87

reconociendo situaciones especiales de conteo

Capítulo 1 Conteo de triángulos .................................. 103

Capítulo 3 Contar caminos

Capítulo 2 Repaso IV ................................. 109

Capítulo 4 Perímetros .................................. 118

.................................. 112

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO UNIDAD VI

interpretando las operaciones fundamentales

Capítulo 1 Criptogramas I

................................. 124

Capítulo 4 Operaciones combinadas II .......................... 140

Capítulo 2 Criptogramas II

................................. 129

Capítulo 5 Método de las operaciones inversas ............. 145

Capítulo 3 Operaciones combinadas I ............................ 135

Capítulo 6 Repaso V .................................. 151

UNIDAD VII

analizando los intervalos iguales

Capítulo 1 Intervalos de longitud .................................................................................................................................... 155 Capítulo 2 Intervalos de tiempo

UNIDAD VIII

.....................................................................................................................................161

analizando situaciones fraccionarias

Capítulo 1 Los números fraccionarios y sus aplicaciones ................................................................................................... 168 Capítulo 2 Situaciones básicas en las fracciones

UNIDAD IX

................................................................................................... 176

usando símbolos y gráficos en la matemática

Capítulo 1 Operaciones matemáticas arbitrarias ........... 184 Capítulo 2 Gráficos estadísticos ................................. 190

Capítulo 3 Repaso VI

.................................. 199

UNIDAD I

Conociendo el idioma de la Matemática

L

a Matemática nos ayuda a entender y explicar los hechos que ocurren en la naturaleza. Para ello se vale de expresiones donde hay letras, números y otros símbolos. Por ejemplo, son ecuaciones las expresiones: • E=mc2 mm • F=G 1 2 2 d • x+x+1+x+2=36

AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Interpretar el significado de las expresiones simbólicas y numéricas en las diversas situaciones y operaciones. • Identificar cantidades conocidas y desconocidas. Resolución de problemas • Aplicar conocimientos básicos en la resolución de problemas con las ecuaciones lineales. • Realizar procesos y operaciones en el despeje de la variable. Razonamiento y demostración • Evaluar los datos disponibles y las estrategias de resolución. • Formular conclusiones de las expresiones simbólicas.

Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático

1

Ecuaciones lineales I: Resolución y despeje .

En este capítulo aprenderemos a: • •

Aplicar los diferentes conceptos matemáticos para resolver una ecuación. Identificar una variable y despejarla.

Encontrando la incógnita Resolver una ecuación significa aplicar los conocimientos conocidos, es decir, emplear las diferentes operaciones aritméticas y algebraicas con la finalidad de hallar el valor de una incógnita. Al reemplazar el valor hallado en la ecuación se debe cumplir una igualdad. Ejemplo: 2x+5=17 Resolución: x=6 → 2(6)+5=17 123 17 ¿Cómo se halló el valor: x=6?

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Unidad I

5

Ecuaciones lineales I: Resolución y despeje

Conceptos básicos Ecuación

Es la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por ejemplo:

Es una expresión algebraica

5x+8

Coeficiente

Término independiente

Es otra expresión algebraica

3x+20



Variable

Luego, igualando las expresiones, se determina una ecuación: Términos

5x+8 = 3 x+20 123 123 Primer miembro



Segundo miembro

Solución de una ecuación Es el valor numérico que debe tomar la variable para que la igualdad sea cierta, así: En la ecuación: 5x+8=3x+20 La solución de la ecuación es cuando: x=6; porque al reemplazar se tiene: 5(6)+8=3(6)+20 30+8=18+20 38=38 ¡Se cumple la igualdad! Resolución de una ecuación En general, para resolver una ecuación hay que despejar la incógnita. Los pasos a seguir son: 1º Quitar paréntesis. 2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos con la variable en un miembro y los términos independientes en el otro. 4º Reducir los términos semejantes. 5º Despejar la incógnita.

Ejemplos



1. Resolver: x - 1 - x - 3 =- 1 6 2

Resolución



•





"Quitamos" denominadores y para ello hallamos el mcm: mcm(6;2)=6

Luego:

Colegios

6

TRILCE

(x - 1) - 3 (x - 3) =- 1 6 x - 1 - 3x+9= - 6 - 2x+8= - 6 - 2x= -6 - 8 - 2x = - 14





x=7

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2. Resolver:

x+1= x+5 2 3



Resolución



•







Se multiplica en aspa:



3(x+1) = 2(x+5) 3x+3 = 2x+10



3x - 2x = 10 - 3

1

Ejemplo

Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático

x=7



•

Los términos que son sumados o restados pasan de un miembro a otro con solo cambiar de signo. Los que aparecen sumando pasarán restando y los que aparecen restando pasarán sumando.

•

Los términos que en un miembro aparecen multiplicando pasarán al otro lado dividiendo.

•

Los términos que aparecen dividiendo pasarán al otro lado multiplicando.

Ejemplo

Despejar una variable en una ecuación Despejar una variable significa dejar "sola" a la variable en uno de los miembros. Se debe tener presente lo siguiente:



Despejar "d" en: V f = Vo +2ad



Resolución

2

2



2

• "Vo " pasa al primer miembro: 2

2

V f - Vo =2ad

• "2a" pasa al primer miembro: 2

2

V f - Vo

2

V f = Vo +2ad

Ejemplo

2

2a

=d

• Luego, "d" queda despejada: 2



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d=

2

V f - Vo 2a

Unidad I

7

Ecuaciones lineales I: Resolución y despeje

Síntesis teórica Conceptos básicos

es

forma

tiene

por

es

Colegios

8

TRILCE

en

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático

10 x 5 50

1

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC Resuelve las siguientes ecuaciones: 4. Despeja "t" en: a= m t-n

2. - 3(x - 2)+6 = -(5 - 2x)

5. Resolver: 4x+2y=22

3. Despeja "m" en: b=c - 5m



123

1. x - 5 = x - 1 2 3

7x - 2y=11

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática

2. Despeja "K" en: A=K - L

I. Completa los espacios en blanco: 3. Despeja "Z" en: X=Y - Z

7x - 8 = 2(1 - x)

1. El primer miembro de la ecuación es



2. El coeficiente de la variable en el primer miembro de la ecuación es .



.

4. Despeja "Q" en. U=P - Q 5. Despeja "K" en: S=K.V2

3. El término independiente en el primer miembro de la ecuación es

.

II. Relaciona:

7. Despeja "S2" en: A=5.M.N.S2

Pregunta

Ecuación

4

A+B=C.D

B= D A.C

8. Despeja "Q" en: A=P.Q - S

5

C - D= A B

A= C.D B

9. Despeja "t2" en: L= V.t - 2K.t2

6

A.C= D B

D=A+B - C

7

D= B A C

C= A + B D

A-C=D-B

A= D B.C

8

Despeje

6. Despeja "K" en: L=A(K - S)

10. Despeja "B" en: S= A.B.C Resolución de problemas II 11. 5(x+8) = 50

9

A.B.C = D

B= A C-D

12. 2(x - 9)+4=30

10

A= B C.D

D= B A.C

13. 2(x - 5) + 3(x+5)=20

Resolución de problemas I

14. 2(x+3)=5(x - 1) - 7(x - 3)+2

1. Despeja "N" en: S=U.V - N

15. x - 3 - 2(6 - 2x)=2(2x - 5)

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Unidad I

9

Ecuaciones lineales I: Resolución y despeje

123 123

16.

19. 6x - 3y=48 3x - 5y=31

3 (x - 8) =21 5

17. 3x+ 2x =77 3 •

20. 9y - 2x=11 4x+2y=38

Resolver los siguiente sistemas: 123

18. 4x+3y=23

7x - 5y= -11

Problema en el supermercado Frida realizará unas compras en un supermercado. Lo curioso fueron los precios de estos productos.

Leche (Unidad) x-1

Arroz (kg) x

Azúcar (kg) z-1

Aceite (L) 2z

Panetón 8z

Chocolate y

Pavo (kg) 8y

Champagne 6y

Responde: •

Si gastó S/. 29 comprando tres botellas de leche y 5 kg de arroz, halla el precio de cada uno de los productos.

•

Si gastó S/. 70, comprando 2 kg de azúcar, cuatro panetones y 1 L de aceite, halla el precio de cada uno de los productos.

•

Si gastó S/. 105, comprando cinco chocolates, 2 kg de pavo y tres botellas de champagne, hallar el precio de cada uno de los productos.

•

¿Cuánto gastaría Frida si logra comprar cinco botellas de leche, 4 kg de arroz, 6 kg de azúcar, un panetón, 2 L de aceite y 4 kg de pavo?

Colegios

10

TRILCE

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático

1

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC •

Hallar "x" en cada una de las ecuaciones propuestas.

1. 30x - ( - x+6)+( -5x+4) = - (5x+6)+( - 8+3x) a) 3 4



b) 4 7

c) - 3 7

d) 1 2

e) 1 5

d) 1

e) 4

c) 1 4

d) 1 2

e) 1

c) 70

d) 120

e) 60

c) 5

d) 6

e) 7

2. 15x+(- 6x+5) - 2 - ( - x+3)= - (7x+23) - x+(3 - 2x)

a) - 1

b) 2

c) 1 2

3. 16x - [3x - (6 - 9x)]= 30x+[ - (3x+2) - (x+3)]

a) 2

b) 3 4

4. x + x + x + x = 77 2 3 4 5

a) 30

b) 40

5. x - 6 +2(x+8) - 3(x - 5)= x + 3 +24 9 7

a) 3

b) 4

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos •

Calcular "x" en:

1. 5(x+8)=50 2. 2(x - 9)+4=30 3. 4(x+1) - 20=28 4. 5x = 10 2 5.

3 (x - 8) = 21 5

6. 2(x - 5)+3(x+5)=20 7. 4(5x+2) - 7(3x+5)=x - 31 8. 3(x+2) - 2(x - 2)=10

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9. x - x = 2 3 5 10. x + 3 + 2x - 1 = 4 2 3 11. Si: MN - P = Q; hallar "M" 12. Si: abc - n = p+q; hallar "n" 13. Si: x +a=b ; hallar "y" y 14. Si: x =mn ; hallar "n" y 15. Si: x2 + ay=z ; hallar "y"

Unidad I

11

Ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas

Ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas .

En este capítulo aprenderemos a: • •

Identificar y representar simbólicamente situaciones problemáticas. Interpretar expresiones verbales como el doble, el triple, la tercera parte, etc.

Del enunciado verbal a la forma matemática Las diferentes situaciones donde hay cantidades conocidas y desconocidas, relacionadas con términos como doble, mitad, excede, etc., se expresan simbólicamente en una ecuación.

El doble de la suma de un número con cinco

Fuete:http://elpaiser.blogspot.com

2(x+5)

Colegios

12

TRILCE

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Razonamiento Matemático

2

Conceptos básicos Traducir del lenguaje natural al lenguaje matemático Forma verbal

Forma simbólica

El triple de un número

3x

El cubo de un número

x3

La cuarta parte de un número

x 4

Un número aumentado en cinco

x+5

La suma del doble de un número con cinco

2x+5

El doble de la suma de un número con cinco

2(x+5)

La suma de dos números consecutivos

La diferencia de los cuadrados de dos números

Se representa como "2x"

x+(x+1) x y

El cociente de dos números La diferencia de dos números

¿Cómo se representa el doble de un número?

x-y x2 - y 2

Síntesis teórica

Forma

como

Resueltos

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Unidad I

13

Ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Un número aumentado en 17 es 53. Halla el número. 2. La suma de dos números consecutivos es 91. Halla los números. 3. El doble de un número sumado con el triple del número es 65. Halla el número.

4. El exceso de un número respecto a 12 es igual al exceso de 18 respecto al número. Halla el número. 5. En un salón hay 42 alumnos. Si los hombres representan el doble que el número de mujeres, ¿cuántos hombres hay en el salón?

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática I. Completa: Forma simbólica

3x - 2

15

x x+1

16

2x3

Preg.

Forma verbal

1

La séptima parte de un número

17

6x - 10

2

La raíz cuadrada de un número

18

(x+2)(x+3)

3

Un número aumentado en su doble

19

2x+4x

4

El doble de un número aumentado en su triple

20

x2+2x

5

El producto de dos números consecutivos

Resolución de problemas

6

El cociente de número y su mitad

1. El doble de un número, aumentado en 23, es 75. Halla dicho número.

7

La diferencia del triple de un número y cinco

8

La edad de Javier hace doce años

9

El dinero que tendré si gano 20 soles

10

El producto números

de

un

dos

Preg.

Forma simbólica

11

8-x

12

10x

13

5 (x+3)

Colegios

TRILCE



a) 32 d) 25

b) 26 e) 30

c) 28

2. El cuádruple de un número, disminuido en 36, es 88. Halla dicho número.

a) 29 d) 30

b) 28 e) 31

c) 34

3. El triple de la suma de un número con 10 es 45. Halla dicho número.

II. Completa:

14

14

Forma verbal



a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6



4. El quíntuple de la diferencia de un número con 8 es 70. Halla dicho número.

a) 22 d) 25

b) 23 e) 26

c) 24

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Razonamiento Matemático

5. La cuarta parte un número, disminuido en 6, es 17. ¿Cuál es el número?

a) 90 d) 93

b) 91 e) 94

c) 92

6. La cuarta parte de la diferencia entre un número con 6 es 24. ¿Cuál es el número?

a) 100 d) 112

b) 102 e) 108

c) 110

11. El exceso del triple de un número sobre 52 equivale al exceso de 240 sobre el número. ¿Cuál es el número?

a) 75 d) 70

b) 71 e) 73

c) 69

12. María reparte un dinero entre sus tres hijos: al primero le da el doble de lo que le dio al segundo, y al tercero, $ 2000 más que al segundo. Si su fortuna fue de $ 22 000, ¿cuánto le tocó al tercero?

7. Un número excede en 24 a 38. Halla dicho número.





13. El sapito de Vanesa da cuatro saltos, recorriendo en cada salto 3 cm más que en el anterior. Si el sapito recorrió un total de 74 cm, ¿cuánto recorrió en el segundo salto?

a) 64 d) 50

b) 66 e) 62

c) 60

8. ¿Cuál es el número que excede a 49 tanto como es excedido por 87?

a) 66 d) 69

b) 67 e) 70



c) 68

a) $ 8000 d) 7000

b) 6000 e) 9000

a) 6 cm d) 14

b) 8 e) 17

c) 5000

c) 11

9. Halla un número, tal que su doble exceda a 60 tanto como su triple excede a 96.

14. Blas reparte su dinero del modo siguiente: a Fernando le da la mitad, a Alfredo, la séptima parte y a Letty, los 2000 dólares restantes. ¿Cuál era el dinero de Blas?





a) 42 d) 36

b) 38 e) 34

c) 40

10. ¿Cuál es el número cuyo cuádruple excede a 46 tanto como su doble excede a 18?

a) 17 d) 12

b) 14 e) 11

c) 15

2

a) $5600 d) 2800

b) 6000 e) 5800

c) 4200

15. Halla un número tal que, si lo elevamos al cuadrado, luego le agregamos 11 al resultado, y le sacamos la raíz cuadrada, para luego aumentar cuatro unidades al resultado, obtenemos 10.

a) 7 d) 4

b) 6 e) 8

c) 5



socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Tres cestos contienen 575 manzana. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en el segundo cesto?

a) 190

b) 188

c) 176

d) 197

e) 181

2. A cierto encuentro futbolístico, asistió cierto número de espectadores, pagando cada uno S/. 5 por entrada. En el encuentro de revancha asistió el triple de espectadores que la primera vez y cada uno pagó ahora S/. 8 por entrada. Si en la segunda recaudación se recibió S/. 380 000 más que en la primera, ¿cuántos espectadores asistieron al segundo encuentro?

a) 6000

b) 2000

c) 60 000

d) 4000

e) 4500

3. Hallar el número de pelotas que tiene Mathías, tal que si se multiplican por siete y luego se le agrega 20 resulta el quíntuple de ellas, aumentada en 60.

a) 10

Central: 619-8100

b) 18

c) 20

d) 25

e) 35

Unidad I

15

Ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas

4. A la cantidad de soles que tiene Edú le agregamos S/. 8 para luego al resultado duplicarlo, y sumarle 9, a este último resultado se le divide entre 7 y se obtiene cinco unidades menos que la cantidad inicial. ¿Cuál es dicha cantidad?

a) S/. 10

b) 12

c) 13

d) 18

e) 20

5. El profesor Medrano recibió S/. 4 y tuvo entonces cuatro veces de lo que hubiera tenido si hubiera perdido S/. 2. ¿Cuánto tenía al principio?

a) S/. 2

b) 4

c) 6

d) 3

e) 5 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Halla la edad de Jackeline, si al duplicarla y aumentarle 36, nos da 64. 2. ¿Cuál es el número cuyo triple disminuido en 100, nos da el mismo número aumentado en 30? 3. El séxtuple de la diferencia de un número con 30, es tanto como el cuádruple de la suma del mismo número con 10. Halla dicho número. 4. Halla dos números consecutivos, tal que al sumarlos obtengamos 59. 5. La suma de tres números consecutivos es 72. ¿Cuál es el número intermedio? 6. Halla cuatro números consecutivos, sabiendo que la suma nos da 174. Indica el menor. 7. ¿Cuál es el número de cuadernos que hay en un aula, si el quíntuple de ellos disminuido en 20 resulta 80 más su triple?

9. Halla un número, de cuya suma de su doble y su triple, resulta dicho número aumentado en 80. 10. Halla un número de cuya suma de su mitad, tercera y cuarta parte, resulte 130. 11. La tercera parte de un número más la mitad del número resulta 35. Halla dicho número. 12. El cubo de la suma de un número con 8 resulta 1000. Halla dicho número. 13. El cuadrado de la diferencia de un número con 12, resulta 196. Halla dicho número. 14. ¿Qué edad tiene Christian, si sabemos que al cuadruplicarla y agregarle 44 años, obtendremos su séxtuplo disminuido en cuatro años? 15. El doble de la suma de un número con 5 es 20. Halla dicho número.

8. Halla la edad de Patty, si sabemos que al restarle 12 años obtendremos el triple de dicha edad disminuido en 62 años.

Colegios

16

TRILCE

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UNIDAD II

A

Matemática Recreativa

unque no se puede definir rigurosamente a las matemáticas recreativas, estas proporcionan el mejor camino para captar el interés de los jóvenes durante la enseñanza de la matemática elemental. Un buen rompecabezas matemático, una paradoja o un truco de apariencia mágica, pueden excitar mucho más la imaginación de los niños que las aplicaciones "prácticas", sobre todo cuando estas aplicaciones se encuentran lejanas de las experiencias vividas por ellos. Y si el "juego" se elige y se prepara con cuidado, puede llevarle casi insensiblemente hasta ideas matemáticas de importancia..." Circo matemático Martín Garder

AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Reconocer e identificar los diferentes juegos matemáticos. • Interpretar las reglas de los juegos matemáticos. Resolución de problemas • Aplicar estrategias y realizar las operaciones correspondientes. Razonamiento y demostración • Analizar las diferentes situaciones y formular estrategias de solución.

Ruedas, figuras y palitos de fósforo

Ruedas, figuras y palitos de fósforo En este capítulo aprenderemos a: • • •

Colegios

18

TRILCE

Identificar y relacionar formas geométricas usando palitos de fósforo. Identificar y aplicar el giro horario y antihorario en ruedas con ejes. Dividir y comparar figuras geométricas.

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Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático

1

Conceptos básicos Palitos de fósforos

Sabías que...? Los problemas con palitos de fósforo deben cumplir las siguientes condiciones: • Todos deben tener la misma longitud, es decir, no deben cortarse ni doblarse. • En una solución deben intervenir todos los palitos y no quedar palitos sueltos. palito suelto

Quita dos palitos de fósforo para que quede solamente cuatro cuadrados iguales.

Resolución

Al quitar los palitos indicados

Queda solo cuatro cuadrados iguales

Ejemplo

Ejemplo

Por lo tanto, al formar dos cuadrados es incorrecto No es parte de dar como solución: los cuadrados



Ruedas y transmisiones •

Observa la figura y luego reconoce qué ruedas giran en sentido horario.



2 1

3

4

5



Central: 619-8100

Unidad II

19