RAZONAMIENTO MATEMATICO

AULA PRE

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estr im oB 2d

s ecin p atroO u C

m R NIVEL I

01. A un número se le hacen las siguientes operaciones sucesivas; se les resta 18, se eleva al cuadrado; se le suma 12, se divide entre 8 y se le adiciona 23 para luego extraerle la raíz cuadrad y se obtiene 5. ¿Cuál es el número? A) 8 B) 10 C) 11 D) 12 E) 20 02. Milagros va de compras al mercado, gastó en verduras S/. 12; con la mitad del resto compró menestras; con el nuevo resto compró arroz y azúcar gastando S/.8 quedándose únicamente con S/. 2. ¿Cuánto gastó en total? A) S/. 32 B) S/. 28 C) S/. 40 D) S/. 50 E) S/. 30 03. Cada vez que Leticia visita a su tía, ésta le duplica el dinero que ella lleva. La sobrina siempre le agradece con S/. 80 la bondad de su tía, un día Leticia queriendo ganar más dinero realizó 4 visitas sucesivas a la bondadosa tía, pero fue tal la sorpresa de Leticia que al cabo de la cuarta visita se quedó sin ningún sol. ¿Cuánto llevó Leticia al empezar la visita? A) S/. 30 B) S/. 40 C) S/. 80 D) S/. 75 E) S/. 120 04. De un recipiente lleno de agua se saca 4 litros, más tarde, se derrama la mitad del líquido; enseguida se le adiciona 4 litros, finalmente se gasta la mitad del agua, quedando 24 litros en el recipiente. Calcular la capacidad del recipiente A) 48 L B) 108 L C) 72 L D) 120 L E) 92 L

A) 120 D) 92,5

B) 98,5 E) 80,5

C) 165

08. A, B y C se ponen a jugar y pierden en el orden indicado, donde el 1ro, el 2dop y el 3ro en perder da 20 soles; duplica y triplica el dinero de los demás quedándole al final a cada uno S/. 30. ¿Cuánto perdió uno de ellos? A) S/. 15 B) S/. 10 C) S/. 25 D) S/. 45 E) S/. 30

09. Si 3 jugadores, deciden que el que pierda duplica, triplica y cuadriplica respectivamente el dinero de sus compañeros, ¿cuánto tenía cada uno, si terminaron con S/. 120 cada uni? A) S/. 110 - S/. 100 - S/. 150 B) S/. 85 - S/. 135 - S/. 140 C) S/. 185 - S/. 125 - S/. 50 D) S/. 120 - S/. 100 - S/. 140 E) S/. 50 - S/. 125 - S/. 185 10. Si por cada 2 docenas de cuadernos que compro me regalan 1 y vendo 3 docenas y regalo 1, ¿cuántos libros debo comprar para que aun después, de vender me quede con 12 cuadernos? A) 648 B) 864 C) 486 D) 846 E) 480

05. Yesenia va a la librería de PITÁGORAS y gastó S/. 20 en la compra de un libro de R.M., con la mitad del resto compró cuadernos, con el nuevo resto compró lapiceros gastando S/. 8 quedándose únicamente con S/. 4. ¿Cuánto gastó en total? A) S/. 10 B) S/. 20 C) S/. 30 D) S/. 40 E) S/. 60 06. Ramiro compró cierta cantidad de chocolates, 1/3 de ellos le regaló a Liz, los 2/5 del resto le regaló a María, 1/4 del nuevo resto le regaló a Susana; quedándose únicamente con 6 chocolates. ¿Cuántos chocolates compró Ramiro? A) 20 B) 14 C) 18 D) 16 E) 40 07. Juan cada día gasta la mitad de lo que tiene más 20 soles, la tercera parte de lo que le queda más S/. 30 y finalmente la cuarta parte del resto más S/. 40 y se quedó con S/. 20. ¿Cuánto tenía al inicio?

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01. Una persona empieza un juego de apuesta con cierta cantidad; primero pierde 10 soles; sigue jugando y pierde la mitad; juega por última vez y pierde 8 soles, quedándole 20 soles. Indica con cuánto empezó a jugar. A) 40 B) 60 C) 70 D) 66 E) 62 02. Se tiene un tanque lleno de agua al que abrimos el desagüe. Si en cada hora sale la mitad de lo que quedó la hora anterior más dos litros, quedando al final de la tercera hora sólo cuatro litros, determina la cantidad de litros que había antes de la primera hora. A) 57 B) 48 C) 64 D) 60 E) 32 03. Diez personas efectúan un viaje de excursión a Chosica, cuyos gastos convienen en pagar en partes iguales. Al término del mismo, cuatro de ellos no podían pagar, entonces cada uno de los restantes tuvo que pagar S/. 8 adicionales. ¿Cuánto costaba a cada uno inicialmente dicha excursión? A) S/. 9 B) S/. 10 C) S/. 12 D) S/. 15 E) S/. 18 04. Comprar 3 libros equivale a comprar 7 lapiceros; si por cada 4 cuadernos obtengo 6 lapiceros, ¿cuántos cuadernos obtengo por 9 libros? A) 11 B) 9 C) 7 D) 14 E) 6 05. En una función de teatro se recaudó 420 soles con una asistencia de 75 personas entre niños y adultos; si las entradas costaron 6 soles para adultos y 4 para niños. ¿Cuántos niños asistieron? A) 60 B) 45 C) 30 D) 15 E) 6 06. Un insecto avanza un metro en 2 segundos, y retrocede en un segundo la misma distancia. ¿Qué tiempo demorará dicho insecto al recorrer una distancia de 110 metros, si al avanzar 8 metros luego retrocede 2 metros y así sucesivamente? A) 5 min 30 s B) 5 min 14 s C) 5 min 22 s D) 5 min 28 s E) 5 min 10 s 07. La diferencia entre 1915 y un año del siglo XIX es igual a la suma de cifras de dichos años. ¿Cuál es la mitad de la suma de cifras del año del siglo XIX? A) 9 B) 18 C) 26 D) 27 E) 25 08. Al rendir una práctica de matemática observé que "fallé tantas preguntas como las que acerté, pero no contesté tanto como puntaje saqué". Si la práctica tenía 20 preguntas que se califican así: 10 puntos si está bien respondida, -2 puntos si está mal respondida y 0 puntos por pregunta no contestada,

¿qué puntaje obtuve? A) 8 B) 10 D) 20 E) 12

C) 16

09. Hace 8 años Felipe era 6 años menor que Luis. Si dentro de 5 años la suma de sus edades es 40 años, ¿cuál será la edad de Luis el próximo año? A) 30 años B) 32 años C) 29 años D) 19 años E) 31 años 10. Dos personas tienen para la venta la misma cantidad de libros; el primero de ellos, los vende a 20 soles cada uno y obtiene 240 soles de ganancia; el segundo de éstos: los vende a 24 soles cada libro y gana 360 soles. ¿Cuántos libros tiene cada uno para la venta? A) 10 B) 20 C) 40 D) 50 E) 30 NIVEL II 11. Un padre tiene S/. 2 000 y su hijo S/. 750. Cada uno de ellos ahorra mensualmente S/. 50. ¿Dentro de cuántos meses la fortuna del padre será el doble que la del hijo? A) 12 B) 11 C) 13 D) 16 E) 10 12. Se ha pagado 750 soles con billetes de 50 soles y 20 soles. ¿Cuántos billetes de 20 soles se han dado si éstos son 6 más que los billetes de 50 soles? A) 10 B) 12 C) 15 D) 16 E) 18 13. Un obrero ahorra diariamente la tercera parte de lo que gana en el día. Si al cabo de 10 días este obrero ha ahorrado S/. 66, determinar, cuánto gana por día el obrero A) S/. 18,0 B) S/. 13,2 C) S/. 19,8 D) S/. 24,0 E) S/. 27,0 14. La cabeza de un pescado mide 30 cm, la cola mide tanto como la cabeza más medio cuerpo y el cuerpo mide tanto como la cabeza y la cola juntas. ¿Cuál es la longitud del pescado? A) 180 cm B) 200 cm C) 240 cm D) 270 cm E) 300 cm 15. Un litro de leche pura pesa 1 030 g. Si se compra 9 L de leche adulterada que pesan 9 210 g, ¿cuántos litros de agua contiene? A) 0,5 L B) 1,5 L C) 2,0 L D) 2,5 L E) 3,0 L 16. Una persona compró 132 vasos a razón de S/. 4 la docena, en el transporte se rompieron 30. ¿A qué precio debe venderse c/u de los restantes para obtener una ganancia total de S/.7? A) S/. 0,50 B) S/. 0,55 C) S/. 0,60 D) S/. 0,65 E) S/. 0,70

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estr im oB 2d 17. Por 48 días de trabajo, 19 obreros ganan un total de 29 760 soles. A cada uno de los 12 primeros le corresponde un salario doble del que le corresponde a cada uno de los 7 restantes. ¿Cuántos soles ganan diariamente cada uno de los primeros? A) S/. 60 B) S/. 25 C) S/. 35 D) S/. 30 E) S/. 40 18. En la capilla de la escuela, los alumnos están agrupados en bancos de a 9 cada uno, si se les coloca en bancos de a 8 cada uno entonces ocupan 2 bancos más. ¿Cuántos alumnos hay presentes? A) 432 B) 360 C) 144 D) 216 E) 288 19. Un comerciante ha comprado en 4 800 soles 2 cajones, conteniendo cada uno 150 paquetes de galletas. El primer cajón le ha costado 600 soles más que el segundo. El comerciante ha hecho después una venta de 70 paquetes del primer cajón y 30 del segundo, cobrando por todo 2 000 soles. ¿Cuánto ganó en esta venta? A) 420 B) 270 C) 360 D) 450 E) N.A. 20. Un examen de ingreso de 140 preguntas, dura 3 horas. Si un postulante dedica 60 minutos para leer y responder 40 preguntas y de 10 acierta 5, ¿cuántas no acertó o dejó de responder?. A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 120

aes d E

m R

OBSERVACIONES PREVIAS: Los problemas sobre edades, pertenecen al capítulo de “planteo de ecuaciones”; pero, lo estudiaremos como un capítulo aparte por la diversidad de problemas existentes y por la existencia de formas prácticas para dar solución a dichos problemas.

Luego, según dato: Dándole un valor adecuado a “x” que haga cumplir la   ecuación. 30 30  La edad de la persona es: 30 años.

A toda esa gran variedad de problemas existentes, la dividiremos en grandes grupos, con la finalidad de un mejor estudio.

Ejemplo aplicativo (4) La edad de un muchacho será dentro de algunos años un cuadrado perfecto y hace 8 años su edad era la raíz cuadrada de ese cuadrado. ¿Qué edad tendrá, dentro de 8 años?

I.

CUANDO INTERVIENE LA EDAD DE UN SOLO SUJETO

Es recomendable resolver el problema planteando una simple ecuación. Ejemplo aplicativo (1) Hace 4 años Rocío tenía 2/5 partes de los años que tendrá dentro de 8 años. ¿Cuántos años tendrá Rocío dentro de 12 años? Resolución Sea la edad actual de Rocío: “x”años. Luego: hace 4 años tenía: “x –4”. dentro de 8 años tendrá: “x + 8”. Según dato: x-4=

(x + 8)



Resolución Sea la edad actual del muchacho: “x”años. Luego: 2 x+n=N pero: x - 8 =     12 - 8 = 4

=

4

(Comprueba la igualdad)

 La edad que tendrá dentro de 8 años es: 20 años. Ejemplo aplicativo (5) Luis tenía en el año de 1969 tantos años como el doble del número formado por las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuántos años tendrá Luis el año 2000?

x = 12

 Dentro de 12 años tendrá: 24 años.

*

Ejemplo aplicativo (2) Dentro de 12 años Mauricio tendrá 3 veces más la edad que tuvo hace 6 años. ¿Qué edad tiene Mauricio?

Para dar la solución a este problema, previamente conozcamos dos ecuaciones generales: AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL

Resolución Sea la edad actual de Mauricio: “x”años. Luego:

Si la persona ya cumplió años. AÑO DE NACIMIENTO + EDAD = AÑO ACTUAL - 1 Si la persona aún no cumplió años. Resolución AN + Ex = AA

 La edad de Mauricio es 12 años.

= 1969

Ejemplo aplicativo (3) ¿Cuántos años tiene una persona, sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tuvo hace 5 años más la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años suman 11?

1900 +

+2 3

= 1969 = 69 = 23

Luego: Ex = AA - AN

Resolución Sea la edad actual de la persona: “x”años.

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Ex = 2000 - 1923 = 77 años. Página 4

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Nota: Como Ud. observó en cada ejemplo aplicativo, sólo intervino un solo sujeto, a pesar de las distintas formas de proponer y preguntar el problema. Por lo expuesto se le recomienda al estudiante leer el problema íntegro con la intención de ubicar el tipo de problema y así resolver con precisión. II.

24

E(María) 1998 { 24+x + 3+x + 0+x = 63 3x + 27 = 63 x = 12

Se presentan dos casos:

Ejemplo aplicativo (1) Luis tiene el cuádruplo de los años que tiene Juan. Hace 5 años la suma de sus edades era 30 años. ¿Qué edad tendrá Juan dentro de dos años? Resolución Como se observa, en el problema existe la presencia de dos sujetos (Luis y Juan), pero además especifican el tiempo (hace 5 años). Luego: Luis: 4x Juan: x además:

 En 1998, María tiene: 36 años.  A.N. = 1962. Ejemplo aplicativo (4) Un padre tiene “n”años y su hijo tiene “m”años. ¿Dentro de cuántos años tendrá el padre el doble de la edad de su hijo? Resolución E(p): n E(n): m n + x = 2(m + x) x = n –2m B. Tiempos no específicos: Cuando no especifican cuántos años antes o después, en un problema en el cual intervienen dos, tres o más sujetos. Se recomienda el uso de una “tabla de doble entrada”. Observaciones

4x - 5 + x - 5 = 30 5x = 40 x=8

 La edad de Juan dentro de dos años será: 10 años.



Ejemplo aplicativo (2) Normita le dice a su hermano Tony: “Mi edad es 8 años menos que tu edad, pero dentro de 4 años tu edad será el doble de mi edad”. ¿Cuál es la edad de Tony? Resolución E(Normita): x –8 E(Tony): x pero: 2(x - 8 + 4) = x + 4 2(x - 4) = x + 4 x = 12



Las sumas en “aspas”son iguales: 10 + 36 = 29 + 17 17 + 39 = 36 + 20 10 + 39 = 29 + 20 Las diferencias de edades es cte. Cte.: 36 –17 = 29 –10 = 39 –20 = ... = 19

Ejemplo aplicativo (1) Adrián le dijo a Elvira: “Yo tengo 3 veces la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será 35 años. ¿Cuál es la edad de Elvira? Resolución

 E(Tony) = ? = 12 años. Ejemplo aplicativo (3) María tuvo su primer hijo a los 21 años; a los 24 años tuvo a su segundo hijo; a fines de 1998 las edades de los 3 sumaron 63 años. ¿En qué año nació María? Resolución Según dato: E(María) 21

*

2y = 4x y = 2x ... (α

Luego: (α) = (β) 2x = 9x - 35

0

E(María)

* y + 35 –3x = 6x y = 9x –35 ... (β)



x=5

 E(Elvira) = ? = 10 años. Página 5

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0

Luego:

CUANDO INTERVIENE LA EDAD DE DOS O MÁS SUJETOS

A. Tiempos específicos: Cuando especifican cuántos años antes o después (hace dos años, hace 5 años; dentro de 11 años, etc.). Se recomienda resolver el problema “planteando ecuaciones”, como se verá a continuación en los ejemplos aplicativos.

3

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01. Cuando yo tenía 20 años, tú tenías la tercera parte de la edad que tienes. Si nuestras edades suman 95 años, ¿cuántos años tengo? A) 40 B) 45 C) 50 D) 60 E) 75 02. Dentro de 6 años la edad de Jessica será el triple de la edad de Violeta. ¿Cuál es la edad actual de Jessica, si hace 2 años, la edad de ella era el cuádruplo de la de Violeta? A) 54 B) 66 C) 72 D) 60 E) 56

será el doble que la del primero, dentro de 20 años su edad será el doble de la del segundo, y dentro de 30 años su edad será el doble que la del tercero. ¿Cuál es la edad del hijo menor? A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 10. La edad de María es la mitad de la edad de Miguel, pero hace 20 años la edad de Miguel era el triple de la edad de María. ¿Qué edad tenía María? A) 20 B) 80 C) 40 D) 60 E) 70

03. Sumiko nació en y en el año cumplió (a+b) años. ¿En qué año cumplió 3a.b/2 años? A) 1965 B) 1975 C) 1978 D) 1984 E) 1980 04. En el año 1988 un profesor sumó los años de nacimiento de 45 estudiantes de un salón y luego las edades de los estudiantes, enseguida sumó ambos resultados y obtuvo 89,437. ¿Cuántos estudiantes ya cumplieron años en dichos años? A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 21 05. Alfredito nació en el presente siglo y en este año cumplirá tantos años como la suma de cifras del año en que nació y el año actual. ¿Cuál es la edad actual de “Arturito”, si este año cumplió tanto como la quinta parte del producto de cifras del año de nacimiento de Alfredito? (Observación: considerar año actual 1995) A) 28 B) 27 C) 82 D) 40 E) 72 06. Cuando tú tengas lo que yo tengo, tendrás lo que él tenía, cuando tenías la tercera parte de lo que tienes y yo tenía la tercera parte de lo que él tiene, que es 5 años más de los que tendré, cuando tengas lo que ya te dije y él tenga lo que tú y yo tenemos. Entonces, yo tenía: A) 5 B) 7 C) 8 D) 10 E) 11 07. Bárbara le dice a Penélope: “Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, en ese momento nuestras edades se diferencian en 12 años. ¿Cuántos años tiene Penélope? A) 36 B) 18 C) 20 D) 24 E) 28 08. Mi edad actual es 4 años menos de lo que exactamente representa el triple de la edad que tendrás cuando yo tenga el triple de lo que tienes hoy. Pero cuando tengas mi edad, la suma de nuestras edades será 37 años. ¿Qué edad tengo? A) 11 B) 8 C) 12 D) 14 E) Absurdo 09. La edad de un padre supera en 5 años a la suma de las edades de sus 3 hijos. Dentro de 10 años su edad

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D) 30 años

NIVEL I 01. Mi edad es 4 años menor que la edad que tú tenías, cuando yo tenía 8 años menos que la edad que tú tienes, y cuando tú tengas el doble de la edad que tengo, nuestras edades sumarán 82 años. ¿Qué edad tengo? A) 26 B) 24 C) 22 D) 28 E) 32 02. La edad actual de Gerson y Manolo son entre sí como 12 es a 11. Cuando Manolo tenga la edad que tiene ahora Gerson, éste tendrá el doble de la edad que tenía Manolo hace 27 años. ¿Cuál será la diferencia de sus edades dentro de 19 años? A) 4 B) 6 C) 5 D) 8 E) 10 03. En 1932 tenía yo tantos años como expresan las dos últimas cifras del año de mi nacimiento. Al poner en conocimiento de mi abuelo esta coincidencia él dijo que con su edad ocurría lo mismo. ¿Cuántos años tenía cada uno de ellos? A) 18 y 72 B) 16 y 66 C) 16 y 72 D) 18 y 81 E) 18 y 80 04. Dentro de 8 años la suma de nuestras edades será de 46 años, pero hace “n” años la diferencia de nuestras edades era 4 años. ¿Hace cuántos años la edad e uno era el triple de la edad del otro? A) 10 B) 9 C) 12 D) 13 E) 11 05. Elena le dice a Rosa: tu edad es el doble de la que tenías cuando yo tenía el doble de la que tuviste cuando yo cumplí 4 años. Si las edades actuales suman 32 años, ¿cuántos años tiene Elena? A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16 06. Una familia consta de 8 personas y realizan una fiesta por cada cumpleaños. Estando todos reunidos, en mayo de 1995, hicieron la suma de los años en que habían nacido y luego le sumaron las edades de todos ellos; dando la suma total un resultado de 15,955. ¿Cuántas fiestas faltan realizarse durante este año? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 07. La edad de Javier es los 3/2 de la edad de Luis. Si Javier hubiera nacido 10 años antes y Luis 5 años después, entonces, la razón de ambas edades sería 16/5 de la razón que habría si Javier hubiera nacido 5 años después y Luis 10 años antes. ¿Qué edad tuvo uno de ellos cuando nació el otro? A) 10 B) 20 C) 15 D) 16 E) 5 08. Alicia le dice a Beatriz: “Mi edad es 6 años menos de la edad que tú tenías cuando yo tenía 10 años menos

de la edad que tú tienes. Cuando tú tengas el doble de la edad que tengo, nuestras edades sumarán 80 años. ¿Qué edad tengo?” A) 28 B) 24 C) 23 D) 22 E) 20 09. Cuando yo tenga el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la mitad de la edad que tuve, cuando tú tuviste la edad que yo tengo, tú tendrás el doble de lo que tengo. Si nuestras edades suman 60 años, ¿cuántos años tendrás cuando yo tenga lo que ya te dije? A) 24 B) 48 C) 36 D) 42 E) 50 10. En 1918, la edad de un padre era 9 veces la edad de su hijo; en 1923, la edad del padre fue el quíntuplo de la de su hijo. ¿Cuál fue la edad del padre en 1940? A) 66 B) 72 C) 67 D) 70 E) 57

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E) 28 años

17. En el mes de agosto una persona sumó a los años que tiene los meses que ha vivido y obtuvo 228. ¿En qué mes nació dicha persona? A) Abril B) Enero C) Marzo D) Mayo E) Febrero 18. El año en que nació Ana representa el cuadrado de su edad en 1980. Calcular su edad en 1965 A) 20 B) 25 C) 29 D) 26 E) 31 19. Cuando entre los tres teníamos 180 años, tú tenías lo que yo tengo, yo lo que Carlos tiene y él la tercera parte de lo que tú tendrás, cuando entre los tres tengamos 300 años y yo tenga lo que tú tienes y Carlos lo que yo tengo, tú eres mayor que yo. ¿Qué edad tiene Carlos? A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 20. Un padre tiene “a”años y su hijo “b”años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será “n”veces más la del hijo?

NIVEL II

A)

B)

11. Las edades de dos personas están en la relación de 5 a 7. Si el producto de ambas edades es 560, calcular la diferencia de dichas edades A) 6 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12

D)

E) b - a(n+1)

C)

12. Jorge sumó: 1 año, más 2 años; más 3 años y así sucesivamente hasta la edad actual que tiene, dando como resultado un número de 3 cifras iguales. ¿Cuál es la edad de Jorge? A) 35 B) 34 C) 36 D) 38 E) 50 13. Si al triple de mi edad se le quita 16 años, tendría lo que me falta para tener 88 años. ¿Qué edad tengo? A) 23 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30 14. Actualmente la edad de María es un cuadrado perfecto. Si dicha circunstancia se dio también hace 9 años, calcular la edad actual de María y dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 13 B) 11 C) 10 D) 9 E) 7 15. Las edades de 3 hermanos hace 2 años estaban en la misma relación que; 3; 4 y 5. Si dentro de 2 años serán como : 5; 6 y 7, ¿qué edad tiene el mayor? A) 10 B) 12 C) 14 D) 20 E) 28 NIVEL III 16. Víctor tiene 32 años, su edad es el cuádruple de la edad que tenía Juan cuando Víctor tenía la tercera parte de la edad que tiene Juan. ¿Qué edad tiene Juan? A) 36 años B) 26 años C) 32 años

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éc toam rip C

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NIVEL I

6 4 1 1 -

01. Hallar a + b + c si:

INTRODUCCIÓN Este tema estudia aspectos como la reconstrucción de operaciones, así como el cálculo de cifras faltantes o desconocidas, mediante el método del tanteo. A) 8 D) 7

OBJETIVOS Al finalizar el tema, el alumno será capaz de :

02. Si: A) 1 D) 4

 Reconstruir operaciones.  Calcular las cifras desconocidas.

B) 10 E) 11

A) 10 D) 19 01. Si x + y + z = 18, calcular: A) 1898 B) 1998 D) 1798 E) 2098 02. Si: calcular: a + b + x A) 8 B) 9 D) 11 E) 12 03. Si: calcular: a + b + c + x A) 21 B) 22 D) 24 E) 25

08. Si: A) 4 D) -2

C) 1788

B) 143 E) 120

y

C) 10 calcular: (a . b . c) A) 310 B) 42 D) 210 E) 340 C) 23

B) 48 E) 126

C) 25

10. Si: hallar: A) 789 D) 987

= 840; T . B) 1 400 E) 5 632

06. Si: A) 25 D) 24

C) 879

A) 8 819 D) 2 448

C) 17

C) 7

M+E+S si:

= 560, el valor de: TE .

A) 18 D) 13

C) 47 060

B) 1 E) 21

C) 9

NIVEL III 16. Hallar: a + b + c + d; luego de reconstruir la operación:

abx 21 ab cd 9ab

entonces:

A) 13 D) 17

C) 12

= 7 215, M .

C) 12

B) 6 E) 9

= 100 000, luego equivale a: B) 6 281 C) 6 688 E) N.A.

09. Si: I .

C) 96

B) 11 E) N.A.

15. Calcular:

, el valor de a . b es: B) 21 C) 16 E) N.A.

07. B) 978 E) 798

A) 5 D) 8

04. Hallar: m + n - p, si . 6 = .... 852 A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) N.A. 05. Si: E . AMO es: A) 6 440 D) 2 352

8 4 3 B 1 4 8 8 0

14. Determinar la diferencia entre la mayor y la menor cifra del siguiente producto:

. 6 = 260 604, hallar: ma - am B) 4 C) 7 E) N.A.

08. Si: ; y a + b + c + d + e; es: A) 13 B) 16 D) 14 E) N.A.

C) 156

05. Calcular: a . b . c, si: A) 24 D) 72

, entonces 2B - A es: B) 5 C) 1 E) -4

A B 8 4 4

13. Sabiendo que: calcular: E + R + A A) 15 B) 16 D) 18 E) 12

C) 18

09. Si se sabe que:

04. Si calcular: A) 126 D) 136

B) 12 E) 16

A) 10 D) 13

C) 9

es cuadrado perfecto, hallar: a + b B) 2 C) 3 E) 5

03. Si: A) 6 D)

2 3 8 B 1

= 9 620 y

B) 15 E) 20

17. Si: a + b + c + d = la adición:

C) 18

; hallar la suma de cifras de

es: A) 11 248 D) 103 415

06. Dada la siguiente multiplicación:

7 x    1  3

10. Hallar: A) 999 D) 1 324

son ciertas: I. La suma de las cifras del producto es 12. II. La suma de las cifras que reemplazan a los asteriscos en el multiplicando y multiplicador es 7. III. La suma de las cifras de los productos parciales es 21. A) I y II B) I y III C) II y III D) Sólo I E) Todos

Página 9

C) 16 835

, si B) 888 E) N.A.

. 4 = 9 728 C) 624

A) 26 D) 29

B) 27 E) 30

C) 28

18. Si: O  cero; calcular el valor de la suma de las cifras de: A) 25 B) 26 C) 24 D) 27 E) 22

NIVEL II 11. El perímetro de una cancha de fútbol mide 300 metros. Si tiene de largo y de ancho, hallar A+B A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) N.A. 12. Hallar A + B en:

07. Calcular (U + N + I) si se sabe que:

B) 5 612 E) N.A.

19. Calcular: x . y . z, si se cumple que: A) 24 D) 30

B) 32 E) 36

20. Si se cumple que:

Página 10

C) 45

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estr im oB 2d hallar: x+ y A) 10 D) 13

B) 11 E) 14

C) 12

óviles M

m R

INTRODUCCIÓN La mayoría de fenómenos naturales tales como el giro de la Tierra, la salida del Sol, el disparo de una bala, el lanzamiento de un cohete espacial, el ir de viaje en nuestras vacaciones, las competencias de carrera en los 100 metros planos, el deslizamiento de la punta de un lápiz a la hora de escribir, el parpadeo de los ojos de una persona están relacionados con el concepto de movimiento. Una de las partes de la Física que se encarga de estudiar los movimientos en sí mismo, sin considerar las causas que la producen es la “Cinemática”. En el curso nos abocaremos exclusivamente al desarrollo del MRU.

OBJETIVOS Al finalizar el tema, el alumno será capaz de :  Aprender a utilizar la fórmula básica del MRU.  Aplicar las propiedades adecuadamente en cálculos de tiempo de alcance y tiempo de encuentro.  Utilizar gráficos en la solución de problemas.  Entender la relación de proporcionalidad que hay entre espacio y tiempo. INTRODUCCIÓN Este capítulo trata del estudio del movimiento de los cuerpos, y de sus características fundamentales como son el espacio, tiempo y velocidad Para calcular después de cuánto tiempo se encuentran, se aplica la siguiente fórmula :

ECUACIÓN FUNDAMENTAL Dado un cuerpo que se mueve desde un punto “A”hasta “B”, como indica la figura

Se cumple:

Donde: e : espacio t : tiempo V: velocidad

donde: d : distancia de separación VA : velocidad del móvil que está en A VB : velocidad del móvil que está en B TIEMPO DE ALCANCE (ta) Se refiere al tiempo que demora un móvil en alcanzar a otro que se mueve en el mismo sentido, como indica la figura:

Observación: Es importante verificar que todas las variables tengan unidades compatibles. TIEMPO DE ENCUENTRO (te) Se refiere al tiempo que demoran dos móviles en encontrarse, viajando en sentidos contrarios. Así, dados dos móviles que se mueven en sentidos contrarios, como indica la figura:

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Observación : VA > VB sino no lo podría alcanzar Para calcular después de que tiempo, uno alcanza al otro, se aplica la siguiente fórmula :

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NIVEL I Donde: d: distancia inicial de separación VA: velocidad del móvil que partió de A VB: velocidad del móvil que partió de B

A) 33 m D) 28 m

01. Un matemático desea calcular la distancia entre su casa y el puesto de periódico y observa que caminando a 6 m/s tarda 4 segundos más que al caminar a 8 m/s. ¿Cuál es la distancia? A) 90 m B) 48 m C) 30 m D) 72 m E) 96 m

01. ¿Qué tiempo se demora un auto en recorrer 640 metros con una velocidad de 16 m/s? A) 20 s B) 40 s C) 50 s D) 80 s E) 16 s 02. Toño y Carmen están separados una distancia de 20 m. Parten simultáneamente y en el mismo sentido. Calcular la distancia que ha recorrido Carmen hasta que Toño la alcanzó, si se sabe que sus velocidades son de 6 m/s y 4 m/s respectivamente A) 10 m B) 20 m C) 30 m D) 40 m E) 50 m 03. Ana y Mario están separados una distancia de 80 m parten en el mismo instante y van uno hacia el otro. Ana va a 2 m/s y Mario a 3 m/s. ¿Qué distancia ha recorrido cada uno cuando se encuentran? A) 16 m; 24 m B) 24 m; 32 m C) 48 m; 64 m D) 32 m; 48 m E) 32 m; 46 m

08. Si camino con una rapidez de 10 km/h me retraso 1 hora, pero si camino a 5 km más en caa hora, me adelanto 1 hora. ¿Con qué velocidad debo ir para llegar a la hora exacta? A) 12 km/h B) 14 km/h C) 16 kmh/h D) 18 km/h E) 20 km/h 09. Un bus debía cubrir una cierta distancia en un determinado tiempo, pero el conductor era novato, recorrió todo el trayecto con 1/5 menos de la velocidad normal y llegó con un retraso de cuatro horas. ¿En cuántas horas debió llegar normalmente? A) 12 B) 15 C) 16 D) 18 E) 19 10. Una persona dispone de cuatro horas para dar un paseo, hasta que distancia podrá hacerse conducir con un auto que va a 12 km/h, sabiendo que ha de regresar a pie a la velocidad de 6 km/h A) 12 km B) 13 km C) 14 km D) 16 km E) 15 km

04. Un auto recorre el AB en 20 horas. Si quisiera recorrerlo en 25 horas debe disminuir su velocidad en 8 km/h. ¿Cuántos kilómetros midel el tramo AB? A) 200 km B) 400 km C) 600 km D) 800 km E) 900 km 05. Para ir de un pueblo a otro, una persona camina a razón de 8 km/h y para volver lo hace a razón de 5 km/h. Calcular la distancia que hay entre los pueblos, sabiendo que en el viaje de ida y vuelta se han empleado en total 13 horas. A) 30 km B) 40 km C) 60 km D) 80 km E) 100 km 06. Dos autos separados por una distancia de 240 km parten al mismo tiempo. Si van en el mismo sentido, uno alcanza al otro al cabo de ocho horas, pero si lo hacen en sentidos opuestos, encontrarían al cabo de cinco horas. ¿Cuál es la velocidad de cada uno? A) 9 km/h; 39 km/h B) 9 km/h; 31 km/h C) 20 km/h; 12 km/h D) 12 km/h; 39 km/h 07. Recorrí 200 km con velocidad constante, si hubiera viajado con una velocidad mayor en 2 km/h, hubiera empleado 5 horas menos. ¿En qué tiempo recorreré 240 km? A) 10 h B) 20 h C) 30 h D) 40 h E) 50 h

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02. Una persona dispone de 10 horas para salir de paseo. Si la ida la hace en motocicleta a 15 km/h y el regreso a pie a 5 km/h, hallar el espacio total que recorrió dicha persona. A) 37,5 km B) 375 km C) 750 km D) 75 km E) 27,5 km 03. Una persona dispone de 5 horas para salir de paseo. ¿Hasta qué distancia podrá alejarse con un auto que va a 54 km/h, sabiendo que ha de regresar a pie con una velocidad de 6 km/h? A) 17 km B) 37 km C) 57 km D) 27 km E) 45 km 04. Un carro sale de A hacia B a 80 km/h y regresa a 50 km/h después de 16 horas. Si el carro se detuvo en B por 2 horas y se detuvo 1 hora en el camino de regreso, determinar la distancia AB. A) 1 000 km B) 200 km C) 300 km D) 400 km E) 500 km 05. La distancia entre 2 ciudades a lo largo de un río es 80 km. Un barco tarda en hacer un viaje de ida y vuelta entre las ciudades 8 horas y 20 minutos. Hallar la rapidez del barco en aguas en reposo, sabiendo que la rapidez del agua es 4 km/h. A) 20 km/h B) 10 km/h C)8 km/h D) 12 km/h E) 14 km/h 06. Dos autos pasan por un mismo punto y se mueven en el mismo sentido con velocidades de 40 m/s y 20 m/s. Delante de ellos a 900 m hay un árbol. ¿Después de qué tiempo los móviles equidistarán del árbol? A) 28 s B) 45 s C) 32 s D) 30 s E) 15 s 07. Una persona recorrió los 2/3 de un camino en bicicleta a 32 km/h y el resto a pie, a razón de 4 km/h tardando en total 7,5 h. ¿Cuál fue la longitud total recorrida en km? A) 72 B) 84 C) 96 D) 120 E) 240 08. Un tren que marcha con velocidad constante cruza un túnel de 60 m en 11 s. Si su velocidad la aumenta en 6 m/s logra pasar delante de una persona en 4 s. Hallar la longitud del tren. A) 120 m B) 34,5 m C) 72 m D) 144 m E) 26 m 09. Un camión emplea 8 s en pasar delante de un observador y 38 s en recorrer una estación de 120 m. de longitud. Hallar la longitud del camión.

B) 32 m E) 36 m

C) 30 m

10. Luis y Alberto parten de una ciudad a otra, situada a 24 km de la primera; Luis lo hace con una rapidez de 2 km por hora menos que Alberto, llegando a su destino con una hora de retraso. ¿Cuál es la rapidez de Luis? A) 5 km/h B) 7 km/h C) 6 km/h D) 8 km/h E) 3 km/h NIVEL II 11. Dos autos arrancan del mismo punto viajando en direcciones opuestas. La velocidad de uno es 80 km/h y la del otro es 70 km/h. ¿En cuántas horas llegan a separarse 375 km? A) 2 h B) 2,5 h C) 3 h D) 4,5 h E) 4 h 12. Un tren demora 8 segundos en pasar delante de un observador y 10 segundos en pasar totalmente por un túnel de 400 m de longitud. ¿Cuál es la longitud del tren? A) 1 400 m B) 1 200 m C) 1 600 m D) 1 800 m E) 2 000 m 13. Juan y Claudia parten al mismo tiempo y en el mismo sentido. Si la velocidad de Juan es el quíntuple de la velocidad de Claudia. Hallar la distancia que recorrerá Claudia antes de ser alcanzada por Juan de quien se escapa, sabiendo que inicialmente los separa 1 840 metros A) 280 m B) 460 m C) 560 m D) 580 m E) 620 m 14. Todos los días sale de Chiclayo a Lima un ómnibus con velocidad de 100 km/h, éste se cruza diariamente a las 12:00 h con un ómnibus que viene de Lima con velocidad de 50 km/h, cierto día el ómnibus que sale de Chiclayo encuentra malogrado al otro a las 14:00 h. ¿A qué hora se malogró el ómnibus que sale de Lima? A) 06:00 h B) 07:00 h C) 08:00 h D) 09:00 h E) 10:00 h 15. Un motociclista viajando a 100 km/h, llegaría a su destino a las 19 h, viajando a 150 km/h llegaría a las 17:00 h. Si desea llegar a las 18 horas, ¿a qué velocidad debe ir? A) 100 km/h B) 130 km/h C) 120 km/h D) 180 km/h E) 200 km/h NIVEL III 16. Romeo y Julieta se encuentran separados por 120 m. En determinado momento corren desesperadamente a encontrarse pudiendo hacerlo al cabo de 20 s. Si Julieta cambiando de opinión corre en sentido contrario Romeo lo alcanzaría en 30 s. Hallar la velocidad de Julieta en m/s. A) 5 B) 1 C) 10

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estr im oB 2d D) 8

E) 9

17. Un tren demora en pasar junto a una persona 15 segundos. Hallar la longitud del tren si se demora 20 segundos en cruzar un puente de 500 metros A) 1 200 m B) 1 500 m C) 1 800 m D) 2 000 m E) 2 400 m

es racion F

m R

INTRODUCCIÓN 18. Una lancha a motor, navega un río aguas arriba, describiendo una velocidad de 24 km/h y aguas abajo 86 km/h. Determinar la velocidad del río en km/h A) 55 B) 31 C) 42 D) 44 E) 38 19. Ricardo y Elena se encuentran separados por 3 600 m. En determinado momento corren a encontrarse con velocidades respectivas de 80 y 40 km/h justo en el momento en que parten, de Ricardo sale un pajarito que se dirige a Elena y luego se regresa y así sucesivamente hasta que ambos chocan. Hallar el espacio recorrido por el pajarito si su velocidad fue de 90 km/h. A) 2,4 km B) 3,4 km C) 3,2 km D) 2,7 km E) 6,1 km

Este tema trata sobre como podemos representar una parte de un total y las operaciones que se pueden realizar con las expresiones obtenidas. Además sobre la clasificación de fracciones y su aplicación.

OBJETIVOS Al finalizar el tema, el alumno será capaz de :  Reconocer el tipo de fracción según clasificación.  Realizar operaciones básicas con fracciones.  Aplicar adecuadamente la definición de fracción en la solución de problemas. 1.

20. Un galgo avanza 4 metros cada 5 s y una liebre 2 m cada 3 s, la liebre lleva 8 m de ventaja. ¿En cuántos segundos será alcanzada por el galgo? A) 20 s B) 40 s C) 60 s D) 80 s E) 85 s

EJEMPLOS: Ejemplo: Mi abuelo dejó su herencia entre sus 7 nietos. Si todos recibimos por igual, para hallar qué parte recibirán 3 de ellos, primero dividiremos la herencia en 7 partes iguales, de los cuales consideramos sólo 3 partes; así:

Aplicación 1: De un terreno, la quinta parte se siembra con maíz y los 2/7 del resto con alfalfa; si aún quedan 2 480 m sin sembrar, hallar cuánto mide el terreno y qué parte de lo que queda es la no sembrada de maíz.

Luego: * ¿Qué parte de 7 es 3? ... * ¿Qué parte de 7 representa 5?... * ¿Qué parte es 13 respecto de 18?... 2 2 * ¿Qué parte de a + b es a - b?...

Resolución:

Finalmente:

En general:

: e d p n ié b m a T

También:

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*

Si gastamos

de la herencia, quedará todavía

*

Si perdemos

, quedará

*

Si regalamos

, quedará

*

Si ganamos

*

Si ganamos

2.

OPERACIONES CON FRACCIONES

. .

, tendremos ahora

4x = 5 =7 5 . 4x 5 7 5

Aplicación 2: Ricardín recibe su pago del siguiente modo: el primer día recibió la quinta parte; el segundo día, 1/8 de lo que le faltaba recibir luego del primer día. El tercer día recibe los 5/3 del primer día; el cuarto día recibe el doble del segundo día y el quinto día recibe los S/. 150 restantes. Hallar cuánto recibió en total.

.

, tendremos ahora

.

E o S ízn ra b m sie q a d e u E D

.

Resolución:

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Pago total : S/. x

La fracción equivalente de

Recibe

AULA PRE

será: FEQUIV =

Falta recibir

1°.día

e) Fracciones homogéneas



01. 1/5 de A es los 3/10 de B. ¿Qué parte de B es A? A) 1/2 B) 3/10 C) 3/5 D) 3/2 E) 6/5

Ejemplo: f)

Fracciones heterogéneas



3°.día

Aplicación 1: Se tiene una fracción equivalente a



4°.día

,

donde la diferencia de cuadrados de sus términos es igual a 3 024. Hallar la suma de sus términos.

Dato: 5°. día recibe

Resolución:

x = S/. 150

Primero a

lo debemos reducir:

x = S/. 900 Observación: Dentro de las operaciones con fracciones debemos tener en cuenta que las siguientes palabras: "DE, DEL, DE LOS" significan multiplicar. Hallar los

de los

de los

Dato:

de la cuarta parte

de 470.

2

2

(5k) –(2k) = 3 024  k = 12 Luego:

FEQUIV =

Piden:

24 + 60 = 84

Aplicación 2: ¿Cuántos valores puede tomar "a" sabiendo que

3.

06. Si disminuyo mi edad en 1/5 obtengo 48 años. ¿Qué edad tendré dentro de 10 años? A) 70 B) 75 C) 60 D) 80 E) 90



2°.día

*

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mayor que

CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES

es una fracción propia e irreductible

02. Calcular el valor de un número sabiendo que si a la cuarta parte de sus 2/5 se le agrega los 2/5 de sus 5/8 y se resta los 3/8 de su quinta parte, se obtiene 121. A) 280 B) 440 C) 220 D) 880 E) 420 03. Una piscina está llena sus 5/6 partes. Si se sacara 20 000 litros, quedaría llena hasta sus 2/3 partes, ¿cuántos litros faltan para llenarla? A) 20 000 B) 30 000 C) 40 000 D) 36 000 E) 120 000 04. Se vende 1/3 de un lote de vasos. Si se quiebran 30 y quedan todavía 5/8 de lote, ¿de cuántos vasos constaba el lote? A) 620 B) 720 C) 650 D) 750 E) 670 05. Un envase contiene 48 litros de agua. Si se retiran 3/8 del contenido, luego los 2/3 del resto y por último los 3/5 del nuevo resto, ¿cuántos litros quedan? A) 4 B) 8 C) 12 D) 6 E) 10

donde : N; D  Z

08. Un alumno hace 1/3 de su asignatura antes de ir a una fiesta, después de la fiesta hace 3/4 del resto y se va a dormir. ¿Qué parte de la asignatura le queda por hacer? A) 1/2 B) 1/6 C) 1/12 D) 2/3 E) 7/12 09. Silvia llega tarde al cine cuando había pasado 1/8 de la película, 6 minutos después llega Juanita y sólo ve los 4/5 de la película. Si la película empezó a las 13:00 h, ¿a qué hora termina? A) 14:20 B) 14:30 C) 15:30 D) 16:00 E) 17:00 10. De un juego de 29 cartas se saca primero “x”cartas; luego se saca la mitad de lo que resta. Si todavía restan 10 cartas, ¿cuántas cartas sacó la primera vez? A) 10 B) 12 C) 20 D) 9 E) 14

?

Resolución:

Sea la fracción:

07. El sueldo de un profesor se incrementa en 1/5 y luego disminuye en 1/5 de su nuevo valor. ¿Qué sucedió con el sueldo de dicho profesor? A) No varía B) Disminuyó 1/5 C) Aumenta en 4/5 D) Aumenta 1/10 E) Disminuye en 1/25

+

N a) Fracción propia (N < D) Ejemplo: Luego: b) Fracción impropia (N > D) Ejemplo: Piden: 5 fracciones *

Aquí se originan los números mixtos.

c) Fracción reductible (N y D tienen divisores comunes diferentes de la unidad) Ejemplo:

Ejemplo: De ellos, se desprenden las fracciones equivalentes.

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hermana le regala la mitad de lo que compra más 4 naranjas, a su vecina la mitad de lo que le queda más 2 naranjas. ¿Cuántas naranjas compró si al final le sobraron 16 naranjas? A) 52 B) 96 C) 48 D) 80 E) 60

01. Al retirarse 14 personas de una reunión se observa que ésta queda disminuida en sus 2/9. ¿Cuántos quedaron? A) 60 B) 56 C) 49 D) 50 E) 63 02. Un futbolista disparó 18 penales, acertando 15. ¿Qué parte de los penales que acertó, no acertó? A) 1/3 B) 1/5 C) 5/6 D) 1/6 E) N.A 03. Un cartero dejó 1/5 de las cartas que lleva, en una oficina, los 3/8 en un banco. Si aún le quedaban 34 cartas por distribuir, ¿cuántas cartas tenía para distribuir? A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) N.A.

d) Fracción irreductible (N y D son PESI)

*

NIVEL I

05. Si de un depósito que está lleno 1/3 de lo que no está lleno, se vacía 1/8 de lo que no se vacía. ¿Qué parte del volumen del depósito quedará con líquido? A) 2/7 B) 2/9 C) 1/7 D) 3/8 E) 8/27 06. Cierta tela después de lavada se encoge 1/5 de su longitud y 1/6 de su ancho. ¿Cuántos metros deben comprarse para que después de lavada se 2 disponga de 96 m , sabiendo que el ancho original es 80 cm? A) 160 m B) 200 m C) 180 m D) 220 m E) N.A.

04. Jorge compra cierta cantidad de naranjas, a su

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estr im oB 2d 07. Jorge gasta 1/3 del dinero que tiene y gana 1/3 de lo que le queda. Si ha perdido en total $12, ¿cuánto tenía al principio? A) $ 108 B) $ 120 C) $ 132 D) $ 144 E) N.A. 08. Si a los términos de 2/5 le sumamos 2 números que suman 700 resulta una fracción equivalente a la original. ¿Cuáles son dichos números? A) 200 y 500 B) 300 y 400 C) 250 y 450 D) 350 y 350 E) 600 y 100 09. Gasté 3/5 de lo que no gasté y aún me quedan 60 soles más de lo que gasté. ¿Cuánto tenía? (En soles) A) 150 B) 190 C) 200 D) 250 E) 240 10. En un salón de 50 alumnos se observa que la séptima parte de las mujeres son rubias, y la onceava parte de los hombres usan lentes. ¿Cuántos hombres no usan lentes? A) 22 B) 28 C) 2 D) 20 E) 4

A) 350 D) 150 cm

B) 250 cm E) 200 cm

C) 400 cm

17. Se distribuyó 300 litros de gasolina entre 3 depósitos en partes iguales, el primero se llena hasta sus 3/5 y el segundo hasta los 3/4. ¿Qué fracción del tercer depósito se llenará si su capacidad es la suma de las capacidades de los 2 primeros? A) 1/3 B) 2/5 C) 27/20 D) 11/15 E) 1/4 18. Gasté los 2/3 de lo que no gasté, luego recupero 1/3 de lo que no recupero y tengo entonces S/. 28. ¿Cuánto me quedaría luego de perder 1/4 de lo que no logré recuperar? A) S/. 20 B) S/. 24 C) S/. 25 D) S/. 26 E) S/. 18

20. De un recipiente que contiene vino, no está lleno 2/5 de lo que está lleno; se extrae 2/3 de lo que no se extrae, luego no se elimina 1/2 de lo que se elimina. ¿Qué fracción de lo que había inicialmente quedó con vino? A) 1/12 B) 3/7 C) 2/9 D) 4/15 E) 2/7

Los problemas de este tipo tratan generalmente de analizar y comparar el trabajo realizado por personas, máquinas, etc. tomando como base la unidad de tiempo (día, hora, minuto, etc).

OBJETIVOS Al finalizar el tema, el alumno será capaz de :  Reconocer un problema donde se aplique reducción a la unidad.  Aplicar adecuadamente el método en la solución de problemas. Por ejemplo: Si Brenda realiza un trabajo en 8 días y considerando que su eficiencia es igual todos los días, entonces diremos que en “1 día”ella realizará 1/8 del trabajo; gráficamente:

.

:E ce h ía d 1 11 n 88      jo tb :1 rá sh ía d 8 n E ía  d 1 ía d 1

)1 jo b (tra 8

en 2 días harán 2 .

2° Solo trabajan B y C;

Otro ejemplo: Si un reservorio puede ser llenado por un grifo “A”en 8 horas, pero otro grifo “B”lo puede llenar en 10 horas. Hallaremos que tiempo demoran en llenar todo el reservorio si trabajan juntos.

A B h 0 8 1 h

: ra o m e D

E ía d 1 n : a n le

14. Tengo un vaso lleno de alcohol, bebo la sexta parte, luego bebo 1/4 de lo que queda. ¿Qué fracción de lo que queda debo volver a beber para que aún sobren los 3/8 del vaso? A) 2/3 B) 2/5 C) 1/6 D) 1/3 E) 1/5

1 8

1 1 0

1+ 1 = 9 8 1 0 4 0

=

días

Resolución:

(reservorio)

A ) a n (le h 6

) xtra (e

B

yB A sj to n u

h 8

días llenarán: 1 reservorio

: ra o h 1 n E APLICACIÓN 1: A, B y C pueden hacer una obra en 12; 8 y 6 días respectivamente. Empiezan la obra los tres y al finalizar el segundo día se retira A y lo que falta lo hacen B y C. Hallar en qué tiempo se terminará toda la obra. Resolución:

: ra o m e D

A d 2 1

B d 8

C d 6

E ía d 1 n : n ce a h

/2 1

/8 1

/6 1

NIVEL III

de la obra

en 1 día hacen 7/24 en x días deben hacer 1/4 x = 6/7 días

Luego el tiempo total empleado es: 2 +

: ra o m e D En

=3/4

APLICACIÓN 2: Un tanque puede ser llenado por un grifo “A”en 6 horas y vaciado por otro grifo “B”en 8 h. Se abren ambas cañerías durante 3 horas, luego se cierra “B”, y “A”continúa abierto durante 3 horas; al final del cual se reabre “B”. Hallar cuánto tiempo se empleó para llenarse totalmente el tanque.

A yB s to n ju

Luego: En 1 día juntos llenan:

15. Al lavarse una tela, se observa que se encoge 1/3 de su longitud y así mismo se estira 1/5 de su ancho. ¿Cuántos metros deben comprarse para que después de lavada se disponga de 240 m2, sabiendo que el ancho original sea de 60 cm? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

en 1 día hacen 3/8

faltando hace:

11 88      ía  d 1 ía d 1

13. Con 5/8 de litro se pueden llenar los 5/18 de una botella. Cuando falten 5/3 litros para llenar la botella, ¿qué parte de la botella estará llena? A) 7/9 B) 9/17 C) 5/37 D) 7/27 E) 6/17

Página 19

1° Trabajando A, B y C

JO B A R T

12. En una reunión los 2/3 de los concurrentes son mujeres y los 3/5 de los varones son casados, en tanto que los otros 6 son solteros. El número de personas que asistieron a la reunión es: A) 45 B) 36 C) 30 D) 25 E) 15

16. Al dejar caer el suelo una pelota cada vez que rebota se eleva una altura iguala los 2/5 de la altura anterior. Si después de 3 rebotes alcanza una altura de 16 cm, ¿de qué altura cayó inicialmente?

m R

INTRODUCCIÓN

2

19. Un galón de pintura rinde para 30 m . Si con los 2/5 de los 3/4 de 8 galones se ha pintado los 2/3 de los 4/5 de una pared, ¿cuál es la superficie de dicha pared? A) 720 B) 270 C) 135 D) 13,5 E) N.A.

NIVEL II 11. He recibido los 2/3 de la mitad de la quinta parte de 720, lo cual representa 1/2 de la tercera parte de lo que tenía inicialmente. ¿Cuánto tenía inicialmente? A) 644 B) 460 C) 288 D) 522 E) 366

alU ción u ed R

A yC B s to n ju

B yC s to n ju

1 6

1 8

1- 1= 1 8 8 2 4

1° A y B juntos en 2 horas llenan: Falta llenar: 2° “A”trabajando solo en 3 horas llena: Falta llenar:

1 1 1 3 1 1 7 1 +8+6=8 8+6=2 2 4

3° Finalmente A y B juntos: en 1 h llenan 1/24

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AULA PRE

ASOCIACIÓN EDUCATIVA PITÁGORAS

/5 1    1 + 1 + 1 = 1  1 = 1 - 1 1 = 1 a b c 8 c 8 1 0 c 4 0 1 0 1

en x h deben llenar x = 10 h Luego en total demoran: 2 + 3 + 10 = 15 horas APLICACIÓN 3: Abel y Bruno se comprometieron a realizar un trabajo en 40 horas. Al finalizar la octava hora de trabajo Abel se retira y Bruno continúa el trabajo terminándolo en 12 horas más de lo previsto. Si en lugar de Abel, Bruno se hubiera retirado, hallar qué tiempo adicional hubiera empleado Abel en concluir el trabajo.

Pero:

 b = 24 Resolución: 1° Abel y Bruno pensaban demorar 40 horas, pero como ya pasaron 8 horas, entonces lo que falta de la obra lo harán todavía en 32 horas. Pero Bruno solo, lo hace en (32 + 12) horas. Analicemos lo que falta, porque allí se produce el tiempo adicional. 2°

yB A sj to n u 3 h 2

: ra o m e D

o n ru B

l e b A

1 + 2 3

1 3 2

Luego la tercera parte del tanque, lo llenará “B”en 8 horas.

x 1 4

1 x

AULA PRE

ASOCIACIÓN EDUCATIVA PITÁGORAS

01. Un depósito puede llenarse por un grifo en 2 horas, por otro en 3 horas y puede vaciarse por uno de desagüe en 4 horas. Si se abren los tres grifos juntos, hallar en qué tiempo se llenará A) 2 3/4 h B) 2 5/7 h C) 1 5/7 h D) 2 8/11 h E) 1 8/9 h 02. Un tanque puede ser llenado por una bomba en 5 horas y por otra bomba en 4 horas. Si una llave en el fondo lo puede descargar en 10 horas, hallar el tiempo que demorarían en llenarlo si funcionan todos a la vez A) 2 3/4 B) 1 9/10 C) 3 2/5 D) 2 6/7 E) 4 1/4

Se cumple:

Luego el tiempo adicional será: 117 h 20 min - 32 h = 85 h 20 min.

05. Tres obreros hacen un trabajo en 4 horas. Sabiendo que el primero lo haría solo en 8 horas y el segundo en 12 horas, hallar lo que demoraría el tercero trabajando solo. A) 16 h B) 19 h C) 11 h D) 20 h E) 24 h

APLICACIÓN 4: Tres tuberías A; B y C funcionando juntas pueden llenar la cuarta parte de un tanque en 2 horas; pero A y B pueden llenar la quinta parte en 2 hors y B y C pueden llenar todo en 15 horas. Hallar qué tiempo empleará B en llenar la tercera parte del tanque si trabaja solo.

06. Dos obreros necesitan 12 horas para hacer un trabajo. Si uno trabajando solo lo hace en 20 horas. Hallar cuánto tiempo empleará el segundo trabajando solo en hacer los 3/5 del trabajo. A) 15 h B) 18 h C) 14 h D) 16 h E) 19 h

Resolución:

07. Un caño llena un estanque en 12 horas, mientras que un desagüe lo deja vacío en 15 horas. Hallar en cuánto tiempo se llenará el estanque si el desagüe se abre 2 horas después que el caño A) 48 B) 54 C) 50 D) 56 E) 52

*

A, B y C llenan

tanque en 2 horas

 1 tanque en 8 horas *

A y B llenan

tanque en 2 horas

08. Martha hace un trabajo en 12 días y Raquel hace el mismo trabajo en 60 días; después de trabajar juntos durante dos días se retira Martha. Hallar en cuántos días terminará Raquel la parte que falta. A) 52 B) 48 C) 44 D) 50 E) 46

 1 tanque en 10 horas

e D : ra o m :E ra o h 1 n

A a 1 a

B b 1 b

C ,B A yC c 8 1 1 c 8

A yB 0 1 1 0 1

B yC 5 1 1 5 1

09. Un obrero puede realizar una obra en 9 días. Después de 4 días de empezada la obra recibe a un ayudante y terminan lo que falta en 2 días. Hallar en cuántos días haría toda la obra el ayudante solo.

Se cumple:

Página 21

B) 12 E) 10

C) 8

10. Lolito y Panchito pueden hacer una obra en 12 días. Después de haber trabajado juntos 4 días, Lolito cae enfermo y Panchito termina el trabajo en 40 das. Si Lolito hubiera trabajado solo, hallar en cuántos días hubiera hecho toda la obra. A) 13 B) 21 C) 15 D) 24 E) 18

03. Un obrero puede hacer una obra en 21 días, mientras que su ayudante tarda 28 días para hacer la misma obra. Trabajando juntos, hallar qué tiempo necesitaron para hacer toda la obra A) 12 días B) 21 días C) 15 días D) 24 días E) 18 días 04. Una persona camina sobre una escalera en movimiento y demora en subirla 36 segundos; pero cuando está parada sobre ella demora en subirla 60 segundos. Hallar qué tiempo demora en subir si camina sobre la escalera detenida. A) 80 s B) 85 s C) 75 s D) 90 s E) 70 s

: ra o h 1 n E

A) 6 D) 15

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AULA PRE

ASOCIACIÓN EDUCATIVA PITÁGORAS

AULA PRE

A) 50 L/h D) 5 L/h

02. Un caño llena una piscina en 3/2 h, otro lo hace también a 3/2 h y un desagüe la vacía en 3 h. Si todos se abren a la vez (caños y desagüe), ¿en qué tiempo se llenará? A) No se llena B) 1 h C) 3 h D) 2 h E) N.A. 03. Un tanque está las 3/4 partes lleno; el caño A puede llenarlo en 12 minutos. El caño B puede desaguarlo en 8 minutos. Si ambos caños están abiertos, ¿qué tiempo se emplearía en desaguar el tanque? A) 14 min B) 22 min C) 16 min D) 18 min E) 9 min 04. Un tanque de 480 litros puede ser vaciado en 60 minutos (suponiéndolo lleno) y puede ser llenado en 40 minutos (suponiendo cerrada la llave de desfogue). ¿Cuánto tiempo tomará para llenar este tanque si estuviera vacío y abierto su desagüe? A) 1 h B) 2 h C) 2,5 h D) 3 h E) 3,5 h 05. Dos obreros necesitan 12 horas para hacer un trabajo. Si uno solo lo hace en 20 horas, ¿cuánto tiempo emplearía el segundo? A) 24 h B) 30 h C) 32 h D) 35 h E) 36 h

17. Un recipiente de 620 L debe ser llenado completamente por medio de 3 caños que se abren simultáneamente y que vierten 72 L en 12 minutos, 36 L en 9 minutos y 30 L en 3 minutos. Hallar el tiempo de llenado A) 28 min B) 29 min C) 30 min D) 31 min E) 32 min

10. Tres obreros hacen un trabajo en 4 días. Sabiendo que el primer obrero lo haría él solo en 9 días y el segundo en 12 días, averiguar lo que tardaría el tercer obrero trabajando solo A) 19 días B) 20 días C) 22 días D) 19,5 días E) 18 días

18. Una cañería llena una piscina en 4 horas y otra la puede dejar vacía en 6 horas. ¿En qué tiempo puede llenarse la piscina si la cañería de desagüe se abre 1 hora después? A) 11 h B) 12 h C) 9 h D) 10 h E) 13 h

NIVEL II

19. Un obrero puede hacer un trabajo en 7 días y otro en 14 días. Si el primero trabaja solo durante un día y luego trabajan juntos hasta terminar la obra, ¿cuánto tiempo han tardado en hacer toda la obra? A) 2 días B) 7 días C) 5 días D) 3 días E) 4 días

11. Un obrero puede terminar un trabajo en 15 días con su aprendiz. ¿Qué tiempo empleará él para hacerlo solo, si el trabajo del aprendiz es igual a 1/3 del suyo? A) 18 días B) 20 días C) 21 días D) 16 días E) 22 días 12. Si César es el triple de rápido que Arturo, ¿en qué tiempo harán una obra si trabajan juntos, sabiendo que Arturo hace toda la obra en 6 horas? A) 1 h 20' B) 1 h 30' C) 1 h D) 1 h 45' E) 1 h 50' 13. Tres brigadas de obreros pueden hacer una zanja, la primera en 9 días, la segunda en 10 días y la tercera en 12 días, se emplean a la vez 1/4 de la primera, 1/3 de la segunda y 3/5 de la tercera. ¿En cuánto tiempo se hará la zanja? A) 10 días B) 9 días C) 8 días D) 7 días E) 6 días

06. Dos albañiles pueden construir un muro en 20 días, pero trabajando por separado uno tardaría 9 días, más que el otro. ¿Qué tiempo tardará este otro? A) 36 días B) 40 días C) 45 días D) 48 días E) 54 días

14. A y B pueden hacer una obra en 20 días B y C pueden hacer la misma obra en 15 días y A y C la pueden hacer en 12 días. ¿En cuánto tiempo harán la obra A, B y C juntos? A) 5 B) 10 C) 14 D) 16 E) 18

07. Se tiene un tanque con tres llaves, la primera llena el tanque en 4 h, la segunda llave llena el mismo tanque en 6 horas y la tercera llave desagua el mismo tanque en 8 horas. ¿En qué tiempo deberá llenar las 7/8 partes del tanque, si se abren las tres llaves al mismo tiempo estando vacío el tanque? A) 1 h B) 3 h C) 1,5 h D) 1,75 h E) 2,5 h

15. Tres tuberías A, B y C funcionando juntas pueden llenar la mitad de un tanque en 4 horas. Si funcionan sólo A y B pueden llenar todo el tanque en 10 horas y si funcionan B y C lo llenan en 15 horas. ¿En cuántas horas llenará la tercera parte del tanque la tubería B si funciona sola? A) 12 h B) 8 h C) 6 h D) 9 h E) 10 h

08. Estando el desagüe de una piscina cerrado, un caño demora 6 horas en llenarla, y estando abierto el desagüe, el caño se demora 9 horas en llenarla. Si llenamos la piscina y cerramos el caño, ¿en cuántas horas se vaciará completamente? A) 18 h B) 12 h C) 20 h D) 15 h E) 16 h

NIVEL III

09. Dos grifos A y B llenan juntos un tanque en 30 h. Si el

C) 10 L/h

grifo B fuera desagüe se tardarían en llenar el tanque 60 h. ¿En cuánto tiempo se tardarían en llenar independientemente el tanque? A) 40 h; 120 h B) 60 h; 100 h C) 80 h; 100 h D) 60 h; 120 h E) 40 h; 100 h

NIVEL I 01. Para llenar de agua una bañera hay dos grifos. Si se abre solamente el de agua caliente, se llena la bañera en 20 minutos, si se abre sólo el de agua fría se llena en 30 minutos. ¿En cuánto tiempo se llena la bañera, si se abre los dos a la vez? A) 1/2 h B) 1/4 h C) 1/5 h D) 1/3 h E) 1/12 h

B) 100 L/h E) 20 L/h

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20. Un grifo llena un tanque en 6 horas, otro lo llena en 2 horas y un mecanismo de desagüe lo vacía en 3 horas. Si se mantiene abierto el primer grifo durante una hora y a partir de entonces se abren el segundo y el desagüe, ¿cuánto tiempo tardará para terminar de llenarse el tanque? A) 5/2 horas B) 7/2 horas C) 2 horas D) 3 horas E) 7/3 horas

3

16. Un tanque de 2 m de capacidad posee 3 tuberías de alimentación. Se sabe que dos de ellas poseen un caudal de 100 y 200 litros/h. Hallar el caudal que debe poseer la tercera tubería para que el tanque se llene exactamente en 8 horas y que simultáneamente la tubería de desfogue elimine el agua a razón de 60 litros/h

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AULA PRE

ASOCIACIÓN EDUCATIVA PITÁGORAS

estr im oB 2d 6.

ie rC top an T

Calcular el 20% más de 40< >calcular el 120% de 40= 48

m R

iv cS tosyD en m u A

TANTO POR CIENTO MÁS

9.

AUMENTOS SUCESIVOS

I.

Para dos aumentos sucesivos : Sean a% y b% dos aumentos sucesivos, entonces el aumento único (Au) o equivalente se determina por:

II.

Para “n”aumentos sucesivos : En este caso se aplica el tanto por ciento más para determinar lo que se recibe al final, en consecuencia el aumento único (Au) se obtiene restándole 100%. En general para “n”aumentos sucesivos : A1; A2; A3; ..........; An, el aumento único equivalente (Au) equivalente será :

Calcular el 40% más de 20 calcular el 140% de 20= 28 En general :

INTRODUCCIÓN Calcular el a% más de N< >calcular el (100+a)% de N

El tanto por ciento es una operación aplicada en muchas ocasiones de nuestra vida diaria como al comprar o vender. Por eso su estudio se hace importante para nosotros pues nos ayuda a poder desenvolvernos mejor en nuestra sociedad.

OBJETIVOS

7.

Al finalizar el tema, el alumno será capaz de :

Calcular el 30% menos de 30< >calcular el 70% de 30=21 Calcular el 40% menos de 80< >calcular el 60% de 80=48

 Diferenciar entre tanto por ciento y porcentaje.  Calcular un porcentaje determinado y el tanto por ciento de una cantidad.  Calcular aumentos y descuentos sucesivos de una cantidad determinada. 1.

PORCENTAJE A FRACCIÓN

4.  40% =

= 0,4

 125% =

= 1,25

 24% =

= 0,24

En general : Calcular el a% menos de N < > calcular el (100 - a)% de N

 ¿Qué porcentaje de ? Rpta. :

8.

DESCUENTOS SUCESIVOS

I.

Para dos descuentos sucesivos :

es . 100% = 60%

Sean a% y b% dos descuentos sucesivos, entonces el descuento único o efectivo se determina por:

PORCENTAJE DE UN NÚMERO

Calcular el 20% de 40 =

. 40 = 8

Calcular el 60% de 90 =

. 90 = 54 II.

2.

Calcular el 20% del 60% del 50% de 20=

FRACCIÓN A PORCENTAJE

.20 = 1,2

En general :



. 100% = 20%



. 100% = 75%

 0,32 = 0,32 . 100% = 32%

3.

5.

¿Qué porcentaje es “a”de “b”? Rpta :

.100%

TANTO POR CIENTO MENOS

Para “n”descuentos sucesivos : En este caso se aplica el tanto por ciento menos para determinar lo que se debe pagar, en consecuencia el descuento único se obtiene restando de 100%. En general para “n”descuentos sucesivos : D1; D2; D3; ..........; Dn, el descuento único equivalente (Du) será :

PORCENTAJE DE PORCENTAJE

Calcular el 30% de 50% =

. 50% = 15%

Calcular el 20% de 80% del 50% =

.50% = 8%

Ejemplos :  ¿Qué porcentaje es 3 de 4? Rpta. :

. 100% = 75%

 ¿Qué porcentaje es

Rpta. :

En general :

01. ¿Qué porcentaje de 50 es el 10% del 20% de 400? A) 14% B) 15% C) 16% D) 12% E) 18% 02. ¿El 30% de que número es el 30% del 10% de 700? A) 70 B) 50 C) 80 D) 40 E) 60

de (5x - 1)?

. 100% = 20%

B)

D)

E)

C) 100an

04. ¿Qué porcentaje del inverso de “b”es el inverso de “a”?

03. ¿a de que número es su n%?

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A)

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AULA PRE

A)

B)

D)

E)

ASOCIACIÓN EDUCATIVA PITÁGORAS

AULA PRE

del costo, ¿Cuál es el costo? A) 400 B) 6000 D) 800 E) 900

C) 100ab%

ASOCIACIÓN EDUCATIVA PITÁGORAS

16. Si el lado de un triángulo equilátero aumento 30%, ¿cuál es la variación del área? A) +3% B) +40% C) +53% D) +69% E) +44%

C) 1000

05. Para pagarte me falto tanto como me sobra, si le pagara lo que le debo a él. ¿Qué porcentaje de lo que tengo es mi deuda? A) 20% B) 50% C) 100% D) 200% E) 400%

05. En la figura mostrada. ¿Qué porcentaje del área total representa el área de la región sombreada?

17. Si la base de un triángulo disminuye en su 20% y la altura disminuye en su 10%, ¿en qué porcentaje disminuye su área? A) 72% B) 40% C) 28% D) 30% E) 16%

NIVEL II

2

06. El 40% del 50% de “x” es el 30% de “y”. ¿Qué porcentaje de (2x+7y) es (x+y)? A) 25% B) 12,5% C) 20% D) 10% E) 22,5% A) 50% D) 25%

B) 10% E) 20%

07. El 20% de “a”es “b”, el 20% de “b”es “c”. ¿Qué porcentaje de “a”es “c”? A) 2% B) 4% C) 6% D) 50% E) 20%

C) 15%

06. Dos descuentos sucesivos del 20% y el 40%, ¿A qué único descuento equivale? A) 48% B) 52% C) 44% D) 58% E) 54%

08. Si el 20% de A equivale al 30% de C; el 40% de A equivale al 60% de B y el 50% de D equivale al 10% de B, ¿D qué porcentaje representa de C? A) 20% B) 10% C) 30% D) 15% E) 18%

07. Tres descuentos sucesivos del 10%, 30% y 50% equivalen a un descuento único de: A) 31,5% B) 52% C) 68,5% D) 47,5% E) 56%

18. El área de un cuadrado es 100 m . Si sus lados se reducen en 6 m. ¿En qué % disminuye su área? A) 64% B) 84% C) 90% D) 44% E) 16% 19. Una persona pagó 480 soles por un artículo después de recibir un descuento del 20% del precio de lista. ¿Cuál era el precio de lista? A) S/. 500 B) S/. 600 C) S/. 700 D) S/. 800 E) S/. 900 20. ¿Qué porcentaje se pierde cuando se vende en 13 soles, lo que había costado 65 soles? A) 50% B) 60% C) 70% D) 80% E) 90%

09. Dos descuentos sucesivos del 20% y 40%. ¿A qué único descuento equivale? A) 48% B) 52% C) 44% D) 58% E) 54%

08. Dos incrementos sucesivos del 20% y 30%, ¿A qué aumento único equivale? A) 44% B) 50% C) 60% D) 55% E) 56%

10. Tres descuentos sucesivos del 10%, 30% y 50% equivalen a un único descuento de: A) 31,5% B) 52% C) 68,5% D) 47,5% E) 56%

09. Tres aumentos sucesivos de 10%, 60% y 80%, equivalen a un incremento de: A) 200% B) 116% C) 216,8% D) 126,8% E) 178,2%

NIVEL II 11. ¿El 0,08% de qué número es 24? A) 0,0003 B) 0,003 C) 3 D) 300 E) 30 000

10. Hacer un descuento del 30% y sucesivamente un aumento del 30%, es lo mismo que: A) Aumentar 9% B) Aumentar 109% C) Descontar 9% D) Descontar 109% E) No pasa nada

12. ¿Qué porcentaje se pierde cuando se vende en 13 soles, lo que había costado 65 soles? A) 50% B) 60% C) 70% D) 80% E) 90% 13. Dos descuentos sucesivos del 20% y 40%. ¿A qué único descuento equivale? A) 48% B) 52% C) 44% D) 58% E) 54% triángulo varía en 54 m2. Hallar el área original del triángulo: A) 50 m2 B) 540 m2 C) 580 m2 D) 600 m2 E) 560 m2

14. He mezclado 42 litros de vino con 18 litros de gua; se sacamos 16 litros de la mezcla. ¿Cuántos litros de vino quedan en el depósito? A) 30,6 B) 30,7 C) 30,8 D) 30,9 E) 31

03. Si el largo de un rectángulo aumenta en un 25% y la anchura en un 20%, ¿En qué porcentaje aumenta su área? A) 10% B) 15% C) 45% D) 50% E) 80%

15. Se mezcla 40 litros al 60% con 80 litros de alcohol al 30%. ¿Qué concentración tendrá la mezcla final? A) 30% B) 40% C) 50% D) 48% E) 36%

NIVEL I 01. En la compra de un artefacto obtuve un descuento del 40%, cuando me disponía a pagar, el cajero resulto ser un viejo amigo mío por lo que me hizo una rebaja del 20% sobre el precio descontado. ¿Qué % de descuento obtuve en total? A) 52% B) 48% C) 60% D) 68% E) 47% 02. Si la base de un triángulo aumenta en 30% y la altura relativa a dicha base disminuye en 30% el área del

04. Si vendí un artefacto en 1200 soles ganando el 20%

Página 27

NIVEL II

Página 28

AULA PRE

ASOCIACIÓN EDUCATIVA PITÁGORAS

estr im oB 2d 

PV = PF - D



PV = PC + GB

l oetu P aricón V m R

r m esC licaon p yA OBJETIVOS

Si hay pérdida :

GB = GN + Gastos

PV = PC - P

Al finalizar el tema, el alumno será capaz de : Ejemplo :  Aplicar el criterio de tanto por ciento a problemas comerciales.  Calcular la variación generada por cambios efectuados.

Para fijar el precio de venta de un artículo se aumentó su costo en un 80% pero al venderse se hizo una rebaja del 40%. ¿Qué tanto por ciento del costo se ha ganado?

Variación Porcentual

Resolución :

Ejemplo 1 Si el lado de un cuadrado aumenta en 20%, ¿en qué porcentaje aumenta su área?



Resolución :

l a in F l ica In a

A2

A1



El radio aumenta en : 100% 10 = 10

Sea precio de costo : S/. x 1° PF = x + 80%x  PF = 180%x 2° D = 40%PF 3° PV = 60%(PF) = 60%(180%x) = 108%x Luego : PV = PC + G 108%x = x + G  G = 8%x  Ganancia es el 8% del costo

 El área

a % 0 2 1

a % 0 2 + El área : 2 A1 = a 

2

A2 = (120%a) 2 A2 = 120%a . 120%a = 144% a El área aumenta en 144% - 100% = 44%

Otra forma :

APLICACIÓN COMERCIAL



Ejemplo : Aurelio compró una computadora en S/. 400 (precio de costo : PC) y decide ofrecerle en $500 (precio fijado : PF) sin embargo al momento de venderlo lo hace por S/. 420 (precio de venta PV), se realiza un descuento de (500 - 420 = 80 soles), y se obtuvo una ganancia de 420 - 400 = 20 soles, (ganancia bruta : GB); pero esta operación comercial genera gastos por S/. 5 o sea se ganó realmente 20 - 5 = 15 soles (ganancia neta GN). Veamos :



Se asume al lado inicial diez

El lado aumenta en : 20% . 10 = 2

 El área : 2 A1 = 10  A1 = 100 < > 100% 2 A2 = 12  A2 = 144 < > 144%  Aumentó en 44%

01. El 40% del 50% de x es el 30% de y. ¿Qué porcentaje de (2x+7y) es (x+y)? A) 25% B) 12,5% C) 20% D) 10% E) 22,5%

07. Si el lado de un triángulo equilátero aumenta 30%, ¿cuál es la variación del área? A) +3% B) +40% C) +53% D) +69% E) +44%

02. Dos descuentos sucesivos del 20% y 40%, ¿a qué único descuento equivalen? A) 48% B) 52% C) 44% D) 58% E) 54%

08. En un triángulo la base se reduce en 10% mientras que la altura se aumenta en 10% entonces el área : A) Se reduce en 99/200 B) No varía C) Aumenta 10% D) Se reduce en 1% E) Depende de las medidas

03. Tres descuentos sucesivos del 10%, 30% y 50% equivalen a un único descuento de: A) 31,5% B) 52% C) 68,5% D) 47,5% E) 56% 04. Dos incrementos sucesivos del 20% y 30%, ¿a qué aumento equivale? A) 44% B) 50% C) 60% D) 55% E) 56% 05. Tres aumentos sucesivos del 10%, 60% y 80% equivalen a un único incremento de: A) 200% B) 116% C) 216,8% D) 126,8% E) 178,2%

Ejemplo 2 : Si el radio de un círculo aumenta en 100%, ¿en qué porcentaje aumenta su área? Luego del gráfico :

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06. Si la base de un triángulo se incrementa en 30% y la altura disminuye en un 20%, ¿cómo varía el área? A) -10% B) +4% C) -4% D) -2% E) +2%

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09. Si x aumenta en 44%, ¿qué ocurre con x ? A) Aumenta en 20% B) Aumenta en 120% C) Aumenta en 44% D) Aumenta en 144% E) Aumenta en 12% 10. Si la longitud de una circunferencia aumenta 40%, ¿qué ocurre con el área del círculo A) Aumenta 96% B) Aumenta 120% C) Aumenta 12% D) Aumenta 144% E) Aumenta 30%

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AULA PRE

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NIVEL I 01. Si a un círculo le disminuyen 36% de su área, ¿en qué porcentaje habrá disminuido su radio? A) 60% B) 10% C) 20% D) 80% E) 30% 02. En una tienda se hace al cliente dos descuentos sucesivos del 10% y el 20% y aun gana el 40% del costo. Si el departamento de compras de dicha tienda compra un artículo en S/. 360, ¿qué precio fijará para su venta? A) S/. 700 B) S/. 600 C) S/. 500 D) S/. 400 E) S/. 320 03. Si el lado de un cuadrado se triplica, ¿en qué porcentaje aumenta el área? A) 800% B) 900% C) 300% D) 500% E) 600%

tendría 65 años. ¿Qué edad tuvo hace 4 años? A) 56 años B) 48 años C) 46 años D) 42 años E) 52 años

NIVEL II

06. Indicar V ó F : ( ) Siempre el 20% más el 30% es el 50% ( ) El 20% del 80% de un número es equivalente al 16% del número ( ) La sexta parte, del cuádruple de un número más el 20% de dicho número es equivalente al 70% de dicho número A) FFF B) VFV C) FVV D) FVF E) VVV 07. Si pierdo el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría perdería 156 soles. ¿Cuánto tengo? A) S/. 1 450 B) S/. 1 400 C) S/. 1 750 D) S/. 1 500 E) S/. 1 550 08. Un boxeador debe retirarse cuando tenga un 90% de triunfos. Si hasta el momento ha peleado 100 veces y ha obtenido 85 victorias, ¿cuántas peleas como mínimo debe realizar para poder retirarse? A) 50 B) 35 C) 48 D) 52 E) 30 09. Se rebaja el precio de un artículo en 10% y 20% sucesivamente. ¿En qué tanto por ciento debe incrementarse el precio rebajado para que el nuevo precio sea 8% más que el precio original? A) 84% B) 50% C) 63% D) 59% E) 75%

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19. El 40% de los 3/4 del 6% de 48 es 0,012 de los 2/3 de una cantidad, hallar el 25% de esa cantidad A) 9 B) 27 C) 36 D) 108 E) 144 20. ¿Qué porcentaje del 20% del 10% de 400 es el 8% de 0,2% de 1 000? A) 20% B) 30% C) 2% D) 3% E) 6%

11. En una reunión se sabe que el 30% del número de hombres es igual al 40% del número de mujeres. ¿Qué porcentaje del total son hombres? A) 62% B) 53,5% C) 57,1% D) 82,5% E) 42% 12. Si el 80% del 50% de “M”es el 30% de “N”, ¿qué porcentaje de (2M+7N) es (M+N)? A) 14,5% B) 20,5% C) 19,5% D) 20% E) 18% 13. En la siguiente expresión : E=

04. El precio de un artículo se rebaja en 20%, para volverlo al precio original el nuevo precio se debe aumentar en : A) 25% B) 20% C) 24% D) 30% E) 50% 05. El radio de un círculo se duplica. ¿En qué porcentaje aumenta el área? A) 200% B) 400% C) 300% D) 240% E) 320%

AULA PRE

si “z”disminuye en 19%, “y”aumenta en 40% y “p” disminuye en 30%, ¿en qué porcentaje varía “E”? A) Aumentó en 190% B) Disminuyó en 190% C) Aumentó en 152% D) Aumentó en 135% E) Disminuyó en 98% 14. Un arquitecto ha previsto un recubrimiento de losetas circulares para una cierta pared. Si todas las losetas son iguales, ¿cuál es el mínimo porcentaje de área de la pared que puede ser cubierto con dichas losetas? A) 78,5% B) 91% C) 75% D) 50% E) 800 por 1 000 15. Cuando el lado de un cuadrado se incrementa en 2 30%, resulta que el área aumenta en 621 m . Calcular el lado inicial del cuadrado A) 10 m B) 12 m C) 25 m D) 30 m E) 20 m NIVEL III 16. En un pedido de 10 000 soles, un comerciante puede escoger entre tres descuentos sucesivos del 20%, 20% y 10% o tres descuentos sucesivos de 40%, 5% y 5% escogiendo el mejor. ¿Cuánto se puede ahorrar? A) S/. 350 B) S/. 340 C) S/. 335 D) S/. 360 E) S/. 345 17. El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivale al 24% del 0,01% de 1 000, hallar dicho número A) 700 B) 0,2 C) 1 D) 120 E) 10 18. Si el área de un círculo aumentó en 300%, ¿por cuánto se multiplicó su radio? A) B) 2 C) 4

10. Si Jorge tuviera el 25% más de la edad que tiene

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D)

E) 3

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estr im oB 2d

a iscelán M

m R

01. Un estudiante escribió cada día la mitad de las hojas en blanco que posee ese día, más 15 hojas. Si al cabo de 4 días gastó todas las hojas, ¿cuántas hojas tenía el cuaderno al principio? A) 320 B) 450 C) 520 D) 420 E) 480 02. Al comprar 9 libros me sobran 50 soles y me faltan 70 soles para comprar uno más. ¿Cuánto dinero tengo? A) 1 130 B) 1 230 C) 1 240 D) 1 250 E) 1 030 03. Si compro 9 libros me sobran S/. 20; pero me faltan S/. 80 para comprar dos libros más. ¿Cuánto vale cada libro? A) S/. 60 B) S/. 80 C) S/. 100 D) S/. 20 E) S/. 50 04. Si regalo 7 caramelos a cada uno de mis sobrinos, me faltarían caramelos para 2 de ellos, pero si regalo 5 caramelos a cada uno, me sobrarían 2. ¿Cuántos sobrinos tengo? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 05. En una prueba un alumno gana 10 puntos por cada respuesta correcta y pierde 4 puntos por cada equivocación. Si después de contestar todas las preguntas que son 120; obtiene 500 puntos. Son ciertas : I. Se equivocó en 50 preguntas II. Acertó 80 más de las que no acertó III. Si obtuvo 780 puntos, acertó en 90 problemas A) Sólo I B) II y III C) I y II D) I y III E) Sólo II 06. Con 3 cuadernos se obtiene un libro, con tres libros, una enciclopedia. ¿Cuántas enciclopedias se obtendrá con 225 cuadernos? A) 2 B) 23 C) 25 D) 27 E) 31

10. Pedro y Jorge tienen una diferencia de edad de 10 años. Si Pedro sumase a su edad la de Jorge, tendría 50 años. ¿Qué edad tiene el menor? A) 20 B) 21 C) 22 D) 25 E) 28 11. Dentro de 5 años la edad de Sara será el doble de la que tuvo hace 5 años. ¿Cuál es la edad actual de Sara? A) 16 B) 15 C) 18 D) 20 E) 25 12. Rosa tuvo su primer hijo a los 24 años, 4 años después su segundo hijo, si hoy en el año 1997, la suma de las edades de sus 2 únicos hijos es 16 años. ¿Cuántos años mayor es el esposo de Rosa que ella, si él nació en 1960? A) 1 año B) 2 años C) 3 años D) 4 años E) 5 años 13. ¿Cuántos años tiene una persona sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 4 años más la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 8 años suman 6? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 14. Hallar la fracción equivalente de

diferencia de sus términos sea igual a 585. Dar como respuesta la suma de cifras del denominador. A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21 15. Hallar una fracción equivalente a 0,375 tal que el producto de sus términos resulte 384. Hallar la suma de sus términos. A) 40 B) 42 C) 44 D) 46 E) 48 16. Hallar el valor de “x”si:

7 5 ,.x0 32 =

07. Dentro de 60 años Martín tendrá el cuádruple de su edad actual. Hace 5 años tenía : A) 25 años B) 20 años C) 85 años D) 75 años E) 15 años 08. Las edades de 2 personas están en la misma relación que los números 5 y 7. Determinar la edad de la menor de las personas, si se sabe que la diferencia de sus edades hace 3 años fue de 4 años A) 14 B) 10 C) 8 D) 12 E) 16 09. Si al doble de mi edad se le quitan 13 años se obtendrá lo que me falta para tener 50 años. ¿Cuánto me falta para cumplir el doble de lo que tenía hace 5 años? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

, tal que la

A) 1 D) 5

B) 4 E) 3

C) 2

17. Un obrero gasta en alimentos y pasajes 2/5 de lo que gana, los 5/8 de lo que le resta lo destina a otras necesidades. Si en 8 semanas tiene ahorrados S/. 1 089, hallar cuánto gana semanalmente. A) S/. 605 B) S/. 650 C) S/. 660 D) S/. 625 E) S/. 620 18. Una persona que es dueña de los 2/3 de una fábrica, ha recibido “n”soles de 1/4 de las utilidades que le corresponden. Hallar cuál fue la utilidad de la compañía A) 5 n B) 8 n C) 4 n D) 12 n E) 6 n

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19. Una persona toma 16 metros de una varilla. Luego toma los 2/3 del resto y observa que ambas partes tienen la misma longitud. Hallar la longitud total de la varilla A) 40 B) 46 C) 42 D) 44 E) 48

30. Si vendiera mi libro de razonamiento matemático en un 30% menos, costaría 17,50 soles. ¿Cuál es el precio real del libro? A) 25 B) 30 C) 15 D) 18 E) 20

20. Una pelota cae desde una altura igual a 54 m y en cada rebote se eleva una altura igual a los 2/3 partes de la altura desde donde cayó. Hallar el espacio total recorrido por la pelotita hasta tocar por cuarta vez la superficie A) 208 m B) 104 m C) 206 m D) 210 m E) 198 m 21. Un tanque puede ser llenado en 20 horas por un grifo A. Este tanque tiene un grifo de vaciado B colocado a media altura, del tanque, el cual puede vaciar su parte en 15 horas. Estando abierto el grifo B se abre el grifo A. ¿Al cabo de cuánto tiempo se llenará el tanque? A) 30 h B) 35 h C) 40 h D) 45 h E) 50 h 22. Hallar un número, si los 2/3% de éste es 30 A) 3 500 B) 4 500 C) 2 400 D) 3 600 E) 1 800 23. Si de un total de 290 alumnos, 170 son mujeres, ¿qué % son varones? A) 41,38% B) 46,38% C) 41,62% D) 45,62% E) 58,62% 24. El 40% del 50% de "x" es el 30% de "y". ¿Qué porcentaje de (2x+7y) es (x+y)? A) 25% B) 12,5% C) 20% D) 10% E) 22,5% 25. Tenía 640 soles, con el 20% compré un regalo, con el 30% un juego de ollas y con el 10% una mesa. ¿Cuánto dinero me queda? A) S/. 240 B) S/. 344 C) S/. 360 D) S/. 250 E) S/. 256 26. Gina tiene el 30% de lo que tiene Emilio. ¿Qué porcentaje de lo que tiene Emilio debe darle a Gina para que ambos tengan lo mismo? A) 42% B) 30% C) 40% D) 35% E) 36% 27. Dos descuentos sucesivos 40% y 10% equivalen a uno único de : A) 42% B) 43% C) 50% D) 46% E) 48% 28. Calcular el valor de "N" si el 3 por 7 del 8 por 15 de "N", es igual al 12 por 20 del 40 por 70 de 16 A) 52 B) 58 C) 24 D) 168 E) 172 29. Claudia va al mercado, donde al comprar un cierto número de naranjas le regalan un 5% de las que compró, obteniendo así 420 naranjas. ¿Cuántas naranjas compró? A) 200 B) 300 C) 400 D) 360 E) N.A.

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