Razonamiento matematico

UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO ´ FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

´ ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS

RAZONAMIENTO MATEMATICO

presentado por:

Lic.Mat. Walter Arriaga Delgado LAMBAYEQUE – PERU 2013

Dedicatoria Para mis padres, Martha y El´ıas; para mi adorable esposa, Flor Angela y para los m´ as grandes tesoros de mi vida, mis hijas Alessandra Anghely y Stefany Grace.

Walter Arriaga Delgado

Razonamiento Matem´ atico

1

CAP. 01: SUCESIONES Y SERIES Sucesiones 1. Calcular el t´ermino que continua: 5; 3; 6; 5; 7; 7; 8; 9; 9; . . . a) 7 b) 11 c) 9 d) 10 e) 8 2. Hallar “x + y” en la siguiente secuencia: 2 1 4 2 6 3 x ; ; ; ; ; ; ; ... 3 5 6 10 9 15 y a) 14 d) 16

b) 17 e) 20

c) 15

b) 404/20 e) 400/480

4. Calcular x + y en: 1; 3; −1; 10; 5; 11; 6; 19; x; y a) 36 b) 20 d) 25 e) 80

c) 400/404

c) 40

5. Calcular el t´ermino que contin´ ua: 1; 1; 1; 3; 9; . . . . . . . . . a) 22 b) 24 c) 23 d) 21 e) 25 6. Halle el t´ermino del lugar 10 en: 5; 17; 43; 89; 161; . . . . . . a) 1221 b) 1121 c) 1321 d) 1421 e) 1721 7. Calcular el t´ermino que contin´ ua: 4; 4; 4; 8; 24; 120 . . . . . . a) 5040 b) 4860 c) 720 d) 345 e) 960 8. Calcular: A + B 2; 3; 7; 5; 6; 15; 8; 24; A; B a) 40 b) 35 d) 48 e) 55

10. La suma de los 3 t´erminos de una Progresi´ on Aritm´etica es 33 y su producto 1232. ¿Cu´ al es la raz´ on de la progresi´ on? a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5 11. Dada la Progresi´ on Aritm´etica: a, b, c, d; de raz´ on “r”. Calcular: (a2 + d2 − b2 − c2 )r −2 a) 1 b) 4 c) 5 d) 2 e) 6 12. ¿Cu´ al es el t´ermino central de la Progresi´ on Geom´etrica de 3 t´erminos positivos, si el producto de los dos primeros es 24 y el producto de los dos u ´ltimos es 54? a) 4 b) 32 c) 8 d) 16 e) 6

3. En la siguiente sucesi´ on: 1 1 9 4 25 ; ; ; ; ;...... 5 2 13 5 29 Hallar el t´ermino vig´esimo. a) 400/4 d) 400/396

0.1.

c) 45

9. ¿Cu´ antos t´erminos de la sucesi´ on terminan en cifra 5? 13; 22; 31; 40; . . . . . . ; 904 a) 10 b) 12 c) 11 d) 15 e) 20

13. Determinar el n´ umero de t´erminos de la siguiente progresi´ on: 8; 18; 38; 68; . . . . . . ; 1908 a) 18 b) 17 c) 20 d) 19 e) 21 14. Que n´ umero contin´ ua? 1; 2; 4; 10; 34; 154; . . . a) 874 b) 924 d) 816 e) 743 15. Hallar la letra que sigue C; D; E; I; G; M; I; O; . . . a) Q b) M d) K e) J

c) 877

c) L

16. En la siguiente sucesi´ on 4; 7; 12; 19; 28; . . . determinar el lugar que ocupa el t´ermino 1684 a) 23 b) 41 c) 39 d) 32 e) 53 17. Dadas las sucesiones: A1 : 3; 3; 11/3; 9/2; 27/5;. . . A2 : 1.5; 4/3; 1.25; 6/5; . . . Hallar la diferencia de los t´erminos en´esimos de A1 y A2 n3 + n a) n n3 + 7 d) n(n + 1)

n3 + 2 b) n+1 e)

n3 + 2 n2 + n

c)

n3 + 2 n

2

Razonamiento Matem´ atico Series 18. Una tina se encuentra en reparaci´ on, el primer d´ıa da 63 goteadas y cada d´ıa que transcurre da dos gotas menos que el d´ıa anterior. ¿Cu´ antos d´ıas gotear´ a la tina y cu´ antas goteadas dar´ a en total?. a) 32; 512 b) 32; 1024 c) 64; 1024 d) 64; 512 e)512; 32 19. Evaluar: P = 23 + 43 + 63 + 83 + . . . . . . + 163 dar como respuesta la suma de cifras del resultado. a) 16 b) 17 c) 20 d) 19 e) 15 20. Calcular: S1 + S2 + S3 ; si se sabe que: S1 = 1 + 3 + 5 + . . . . . . + 19 S2 = 1 + 4 + 9 + . . . . . . + 100 S3 = 0,1 + 0,2 + 0,3 + . . . . . . + 8 a) 719 b) 729 c) 809 d) 619 e) 819 21. Calcular:

10 X

(2n3 − 3n2 + 2n)

n=1

a) 5005 d) 2695

b) 5555 e) 2965

c) 2690

22. Hallar “x”; si: √ √ √ √ 2 · 22 · 23 . . . 2x = 1048576(285 ) a) 18 d) 20

b) 19 e) 22

c) 21

23. Del tri´ angulo num´erico: 1 2+4 3+6+9 4 + 8 + 12 + 16 .. . Calcular la suma de los elementos de la fila 30. a) 13850 b) 13950 c) 13750 d) 14350 e) 14250 24. Calcular: S = 2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . . 930 a) 9930 b) 9810 c) 9450 d) 9350 e) 9920

Walter Arriaga Delgado

25. Calcular: S = 1 × 5 + 2 × 6 + 3 × 7 + . . . + 20 × 24 a) 4651 b) 4871 c) 3710 d) 4961 e) 3920 1 1 + + 2×4×6 4×6×8 1 n 1 + ... + = 6 × 8 × 10 40 × 42 × 44 m a) 3811 b) 3812 c) 3912 d) 3913 e) 3915

26. Hallar (n + m) en:

27. Reducir: 1 2 3 4 10 S =1+ + + + + . . . + 10 2 4 8 16 2 a) 1 b) 2071/1023 c) 2071/1025 d) 3631/1025 e) 3060/1024 28. Se tiene 101 n´ umeros consecutivos, se divide el mayor entre el menor y se obtiene 17 de resto; la suma de los n´ umeros es: a) 15231 b) 13433 c) 33431 d) 51321 e) 11321 29. Efectuar: S = 2 + 5 + 8 + . . . . . . + (3n − 1). b) 12 (3n2 + 2) a) 1 (2n2 + 3) c) e)

2 1 3 3 (3n 1 2 2 (3n

d) 12 (2n2 + n)

+ n) + n)

30. Calcular (x + 3)2 , si: 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2x + 3) = 7 + 14 + 21 + · · · + 49 a) 220 b) 169 c) 225 d) 361 e) 144 31. Sumar: S = a) 10/81 d) 3/25

1 2 3 4 + 2 + 3 + 4 + ··· 1 10 10 10 10 b) 5/42 c) 1/9 e) 10/101

32. Hallar S en: 9 18 36 72 S= + + + + ··· 20 80 320 1280 a) 0.1 b) 1.9 c) 0.6 d) 0.9 e) 0.7 33. Hallar:

∞ X x=1

a) 3/4 d) 1/4

 x

‹

2 + 3x 6x b) 2 12 e) 1/2

c) 1 12

Walter Arriaga Delgado

Razonamiento Matem´ atico

3

CAP. 01: SUCESIONES Y SERIES 8. Hallar el n´ umero que contin´ ua en:

Sucesiones 1. En la siguiente sucesi´ on, hallar el n´ umero que sigue y dar como respuesta la suma de sus cifras: 3; 0; 0; 0; 0; 5; 27; 87; . . . a) 6 b) 17 c) 10 d) 21 e) 23 2. Calcular la suma de los tres n´ umeros que tiene la figura 50, teniendo en cuenta la siguiente sucesi´ on:          1 3 5 ; 5 7 9 ; 9 11 







13
; . . . |

{z

}

fig. 1

a) 597 d) 1343

|

0.2.

{z

}

|

fig. 2

b) 1236 e) 588

{z

}

fig. 3

c) 879

3. Hallar el n´ umero que contin´ ua en la sucesi´ on: −1; 0; 0; 2; 9; . . . Dar como respuesta el producto de sus cifras. a) 16 b) 24 c) 18 d) 8 e) 15 4. El quinto y noveno t´ermino de una progresi´ on aritm´etica son 17 y 33 respectivamente. Hallar su d´ecimo t´ermino. a) 31 b) 37 c) 35 d) 43 e) 27 5. Las dimensiones de un paralelep´ıpedo rectangular est´ an en progresi´ on aritm´etica cuya suma de dichas dimensiones es 30 m, el volumen del paralelep´ıpedo es de 640 m3 . ¿Cu´ anto mide la arista mayor?. a) 6 m b) 8 m c) 12 m d) 14 m e) 16 m 6. Cu´ antos t´erminos de la sucesi´ on: 16; 19; 22; . . .; 616 resulta tener raiz cuadrada exacta al sumarle 2 unidades. a) 8 b) 9 c) 7 d) 12 e) 10 7. Se tiene una progresi´ on geom´etrica de tres t´erminos y raz´ on dos, si se le restan cuatro unidades al tercer t´ermino se convierte en una progresi´ on aritm´etica. Hallar la suma de los tres t´erminos de ´esta progresi´ on aritm´etica. a) 24 b) 26 c) 28 d) 22 e) 35

8; 1; −1; 7; 31; 78; . . . a) 146 b) 148 d) 156 e) 168 9. Que letras siguen en: B; D; E; G; I; K; N; O; . . . a) P; O b) S; U d) S; T e) V; Y

c) 166

c) T; O

10. En la siguiente sucesi´ on: √ r √ √ √ 14 √ 7 ; 7; 2 ; 2 7; 2 14; a 2 2 La suma de las cifras de “a” es: a) 13 b) 11 c) 9 d) 6 e) 4 11. En la sucesi´ on: 3; 10; 29; 66; . . .; 1730 el pen´ ultimo t´ermino es a) 1354 b) 1140 c) 1333 d) 1526 e) 1108 12. La fracci´ on inversa del t´ermino siguiente en la sucesi´ on: 4 3 18 39 18 6 ; ; ; ; ; ; . . . es: 5 4 22 42 17 5 a) 23/31 b) 13/23 d) 23/13 e) 13/32

c) 31/23

13. Se tiene la siguiente sucesi´ on bb; bb + b; bb + 2b; . . . ; 609 |

{z

}

bb t´ erminos

Hallar: b2 + 1. a) 52 d) 50

b) 26 e) 37

c) 17

14. Cu´ al es el tercer t´ermino de la siguiente sucesi´ on: 3; 6; 11; 18; 27; . . .; que termina en cifra 7. a) 127 b) 627 c) 427 d) 227 e) 297 15. Que t´ermino de la siguiente progresi´ on aritm´etica es 89. −15; −13; −11; −9; . . .. a) 50 b) 51 c) 52 d) 54 e) 53

4

Razonamiento Matem´ atico Series 16. Calcular la suma del siguiente arreglo: 5 + 6 + 7 + 8 + · · · · · · · · · · · · + 20 6 + 7 + 8 + 9 + · · · · · · · · · · · · + 20 7 + 8 + 9 + 10 + · · · · · · · · · + 20 8 + 9 + 10 + 11 + · · · · · · + 20 9 + 10 + 11 + 12 + · · · + 20 ··············· ········· ··· 20 a) 1496 b) 2040 c) 1982 d) 1796 e) 2140 17. Alessandra regresa a trabajar en una empresa, con la condici´ on de que le pagar´ an por cada art´ıculo S/.7 m´ as que la cantidad de art´ıculos que vende. Si el primer d´ıa vendi´ o un art´ıculo y cada d´ıa vende un art´ıculo m´ as que el d´ıa anterior. ¿Cu´ anto cobrar´ a Alessandra por los 20 d´ıas que trabaj´ o?. a) 4280 b) 4350 c) 4430 d) 4530 e) 4340 18. Hallar el valor de S en: 3 3 3 3 + + +· · ·+ S= 2 × 6 6 × 10 10 × 14 78 × 82 a) 20/41 d) 23/27

b) 7/21 e) 3/4

c) 15/41

19. Hallar el n´ umero de t´erminos de una progresi´ on aritm´etica de raz´ on 1, la suma de todos sus t´erminos es 33 y el t´ermino del lugar n3 es 4. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 20. Hallar el valor de “n” si: n + 2n + 3n + · · · + k} −32n = 32 | {z n sumandos

a) 4 d) 8

b) 6 e) 10

c) 5

21. Hallar el valor de “W ” n X

W =

x=1 12 X y=1

x2 −

n X

k2

k=13 12 X

7y 2 − 2

y=1

y2

Walter Arriaga Delgado

a) 1/2 d) 1

22. Reducir:

b) 1/5 e) 10 n € X

√

k=1

√ a) 2n − 1−1 d) n

c) 1/4

2k + 1 −

√

Š

2k − 1

√ b) √ 2n + 1 e) 2n + 1− 1

c) 1

23. Calcular: 58 X

D=

k=1 30 X k=1

a) 29/15 d) 58/15

(2k − 1)

(5k + 26) − b) 19/20 e) 29/30

30 X k=1

(5k − 32) c) 30/29

24. Alessandra recauda el d´ıa lunes S/.14400, el martes S/.19600, el mi´ercoles S/.22200, el jueves S/.23500, si las cantidades que recauda de lunes a viernes cumplen una sucesi´ on, Alessandra quiere recaudar S/.190000 en una semana ¿Cu´ anto tiene que recaudar el s´ abado y domingo?. a) 80650 b) 82400 c) 87300 d) 86150 e) 87850 25. Una empresa de seguros de vida contrata a la se˜ norita Anghely para afiliar clientes prometi´endole pagar una suma por el primer cliente que afilie y luego se ir´ a duplicando dicha suma por cada nuevo cliente afiliado. Si afilia 13 clientes y recibe S/. 24573. ¿Cu´ anto le pagar´ an por el d´ecimo cliente afiliado?. a) 384 b) 1536 c) 768 d) 6144 e) 6164 26. Calcular la suma de t´erminos de la Progresi´ on Aritmetica: 3, . . . . . . , 23, . . . . . . , 59. Sabiendo que el n´ umero de t´erminos comprendidos entre 23 y 59 es el doble de los comprendidos entre 3 y 23. a) 485 b) 438 c) 475 d) 436 e) 465

Walter Arriaga Delgado

Razonamiento Matem´ atico

5

CAP. 01: SUCESIONES Y SERIES Sucesiones 1. Hallar el noveno t´ermino: 5, 17, 6, 17, 8, 18, 11, . . . a) 17 b) 27 d) 15 e) 13 2. Hallar el t´ermino en´esimo de: √ √ 1 2 3 2 , , , , ... 2 5 10 17 √ n n b) 2 a) n +1 n√+ 1 √ n n d) − e) n 1 n

c) 28

√ n c) 2 n +1

4. Dadas la sucesiones S1 y S2 , hallar cu´ antos t´erminos comunes tienen ambas sucesiones: S1 = 5; 8; 11; 14; . . . ; 122 S2 = 3; 7; 11; 15; . . . ; 159 a) 20 b) 11 c) 12 d) 10 e) 41 5. En el siguiente tri´ angulo num´erico, hallar la suma del primer y u ´ltimo t´ermino de la fila 25.

10. Si a la sucesi´ on cuya forma general es n tn = 2n+2 , se eliminan los t´erminos de posici´ on par, la nueva sucesi´ on tendr´a como forma general a: n b) n+3 a) n+1 c) 14 3n d) 2n−1 e) 3n−2 4n 4n 11. La suma de lo 20 n´ umeros enteros consecutivos es “S”. ¿Cu´ al es la suma de los 20 n´ umeros siguientes? a) S + 10 b) S + 200 c) S + 20 d) S + 190 e) S + 400 12. En el siguiente arreglo 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 Halle la suma del t´ermino central y el u ´tlimo t´ermino de la fila 25 a) 232530 b) 203594 c) 230594 d) 230250 e) 242384

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 b) 325 e) 3000

8. Cu´ antos t´erminos de tres cifras hay en la siguiente sucesi´ on: 3 ; 4 ; 11 ; 30 ; 67 ; 128 ; . . . a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 9. En la sucesi´ on: 7 ;14 ; 21 ; . . . ; 343000 ¿cu´ antos t´erminos son cubos perfectos? a) 7 b) 2 c) 9 d) 18 e) 10

3. Hallar el vig´esimo t´ermino en: 1; 5; 19; 49; 101; . . . a) 7600 b) 8001 c) 7601 d) 4421 e) 7281

a) 625 d) 1250

0.3.

c) 650

6. Cu´ antos t´erminos de la sucesi´ on: 13 ; 16 ; 19 ; . . . ; 613 Resultan tener ra´ız cuadrada exacta al sumarle 2 unidades? a) 1 b) 7 c) 5 d) 10 e) 51 7. Hallar el segundo t´ermino negativo en la sucesi´ on: 284 ; 278 ; 272 ; 266; . . . a) −7 b) −8 c) −9 d) −10 e) −11

13. En un cuartel, el mayor decide que cada cadete realice abdominales de acuerdo a su hora de llegada al patio. A las 6:16 a.m. se realiza 2 abdominales; a las 6:17 a.m., 5 abdominales; a las 6:18 a.m., 9 abdominales; a las 6:19 a.m., 14 abdominales y asi sucesivamente. Si Juan lleg´ o al patio a las 6:59 a.m., ¿cu´ antas abdominales deber´ a realizar? a) 1025 b) 1034 c) 1038 d) 1304 e) 1044 14. Calcular el vig´esimo t´ermino de: 4; 9; 18; 31; 48; 69; . . .. a) 763 b) 783 c) 823 d) 803 e) 817

6

Razonamiento Matem´ atico Series

16. Evaluar: W = 23 + 43 + 63 + 83 + · · · + 163 dar como respuesta la suma de cifras del resultado. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 17. Hallar x si: 12 + 18 + 24 + 30 + 36 + 42 + · · · + x = 1254 a) 190 b) 118 c) 121 d) 120 e) 123 18. Calcular el valor de “a + b” sabiendo que 1 1 1 1 11 + + + ··· + = 1×3 3×5 5×7 a×b 23 a) 42 d) 48

b) 44 e) 36

a) 1 d) 50/151

20. Calcular: S = a) 15/32 d) 15/64

k=4

a) 6−4 /4 d) 6−5



‹

1 1 k+2 − 2 3 b) 6−5 /5 e) 6−3 /3

c) 6−4

25. Calcular: S = 1 12 + 4 12 + 9 12 + 16 12 + · · · + 400 12 a) 2620 b) 2280 c) 3240 d) 3460 e) 2880 26. Hallar el valor de S en: S = 2 + 3 + 5 + 7 + 8 + 11 + · · · + 62 a) 1492 b) 1592 c) 1942 d) 2491 e) 2591 27. Calcular la suma de cifras del resultado de: S=

12 X

(k + 3)2

k=4

a) 15 d) 17

b) 14 e) 20

c) 16

c) 24

19. Hallar la suma de los 50 primeros t´erminos de la sucesi´ on: 1 1 1 + + + ··· 1 × 4 4 × 7 7 × 10 b) 151/150 e) 151/50

c) 150/151

1 3 5 7 + 3 + 5 + 7 + ···∞ 3 3 3 3 b) 15/16 c) 15/36 e) 12/25

21. En la base cuadrangular de una pir´ amide de han usado 400 bolas de billar. ¿Cu´ antas bolas se han usado en total? a) 8270 b) 2870 c) 2370 d) 3450 e) 2780

a) 3780 d) 4080

∞ X

24. Calcular:

15. Calcular: W = 0,2 + 0,4 + 0,6 + 0,8 + · · · + 3,8 a) 30 b) 36,5 c) 38 d) 34 e) 40

22. Calcular:

Walter Arriaga Delgado

!!

20 X

n X

m X

n=1

m=1

k=1

(2)

b) 2240 e) 5200

c) 3080

23. Sumar: E = 2 × 12 + 3 × 22 + 4 × 32 + · · · + 11 × 102 a) 3025 b) 3415 c) 3410 d) 1270 e) 495

28. Hallar la suma de las siguientes fracciones: 2 2 2 + + + ···∞ 3 9 27 a) 1 b) 1/2 c) 2/3 d) 2/9 e) 3/2 29. Hallar el valor de S si: 1 1 1 1 S= + + + ··· + 18 54 108 990 a) 20/29 b) 30/33 c) 33/10 d) 10/99 e) 30/29 30. Efectuar: S = 1 + 3 + 2 + 6 + 3 + 9 + · · · + 20 + 60 a) 480 b) 804 c) 840 d) 408 e) 484 31. Calcular: W = (1 × 2) + (2 × 5) + (3 × 10) + (4 × 17) + (5 × 26) + · · · , sabiendo que hay 20 sumandos. a) 44210 b) 54510 c) 34210 d) 24310 e) 44310 32. Evaluar: W = 23 + 43 + 63 + 83 + · · · + 163 Dar como respuesta la suma de cifras del resultado. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

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Razonamiento Matem´ atico

7

CAP. 01: SUCESIONES Y SERIES Sucesiones 1. Se escribe la sucesi´ on de los primeros n´ umeros naturales y nos detenemos cuando marcamos 1412 veces la cifra 7 en el lugar de las unidades. Indique cu´ al es el u ´ltimo n´ umero natural escrito en la sucesi´ on y dar como respuesta la suma de sus cifras a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 2. Una m´ aquina selectora recibe productos en grupos de 1, 4, 7, 10, 13, . . .. Y las seleccionadas van saliendo en grupos de 0, 2, 4, 6, 8, . . .. Respectivamente. ¿cu´ antos productos habr´ an sido desechados despu´es que hayan ingresado 25 grupos? a) 125 b) 225 c) 325 d) 425 e) 525 3. Los t´erminos de la sucesi´ on definidos por 2 tn = 8n −6n+3 ocupan los lugares impares de una nueva sucesi´ on y los t´erminos de otra sucesi´ on definidos por tn = 8n2 + 2n + 2 ocupan los lugares pares de la misma nueva sucesi´ on. Calcule el t´ermino en´esimo de la nueva sucesi´ on formada. a) tn = 2n2 +2n+1 b) tn = n2 + 2n + 1 c) tn = 2n2 +2n+2 d) tn = 2n2 + n + 2 e) tn = n2 + n + 2 4. En la siguiente sucesi´ on: 7; 10; x; 94; 463; y; . . . Hallar E = (suma de cifras de y) + x a) 27 b) 12 c) 10 d) 37 e) 41

A3 = 3 × 98 + 48; . . . Calcular A20 a) 1561 b) 1651 d) 1156 e) 1061

7. Si se tiene la sucesi´ on A1 ; A2 ; A3 ; A4 ; . . . ; A30 ; tal que A1 = 1 × 100 + 50; A2 = 2 × 99 + 49;

c) 1165

8. En la siguiente sucesi´ on −2; 0; 4; 10; 18; . . . ¿Que posici´ on ocupa el t´ermino m´ as cercano a 399? a) 14 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23 9. La suma de 3 t´erminos consecutivos de una P.A. creciente es 27 y su producto es 648. ¿Cu´ al es la raz´ on? a) 2 b) 3 c) 6 d) 2/3 e) 1/3 10. Hallar el t´ermino general en: 1/5; 5/7; 11/9; 19/11; . . . 5 − 4n 4n + 1 n2 + n − 1 c) 2n + 3 10(n − 1) + 1 e) 2n + 3

n(2n − 1) 2n + 3 2n3 − n d) 4n + 1)

a)

b)

2

11. Calcule “x”, si: 4x −x ; 4x Est´ an en P. G. a) 2 b) −2 d) 3 e) −3

2 −3x+1

; 4−x−2

c) 4

12. Calcular la suma de t´erminos de la fila anterior al consecutivo posterior de la fila siguiente al anterior de la fila duod´ecima del tri´ angulo num´erico. 2

5. Hallar la letra que sigue en la sucesi´ on ˜ A; B; D; H; N; . . . a) Y b) X c) S d) Z e) P 6. Si a1 = 2; a2 = 3 y el t´ermino general es an+1 = 3an − 2an−1 . Hallar a6 a) 33 b) 40 c) 36 d) 42 e) 49

0.4.

2 2 2 4 2 2 6 6 2 a) 2048 d) 4096

b) 1048 e) 8192

c) 512

13. El sexto y el noveno t´ermino de una progresi´ on geom´etrica son 8a y 27a, respectivamente. ¿Cu´ al es el octavo t´ermino?. a) 12a b) 18a c) 6a √ √ d) 3 a e) 4 3 a

8

Razonamiento Matem´ atico

21. En la siguiente serie: (q > 1)

Series n X

n (Bn2 + Cn + D) A k=1 Hallar el valor de: 5(A + B + C + D). a) 160 b) 280 c) 150 d) 360 e) 180

14. Si:

(k2 + 2k + 1) =

15. Calcule la suma de los t´erminos de 3 cifras de la sucesi´ on: 9; 12; 17; 24 : . . . a) 20 153 b) 10 143 c) 10 307 d) 10 153 e) 11 153 16. Para comprar un equipo de sonido, Alessandra decidi´ o ahorrar diariamente y lo hizo de la siguiente manera: El primer d´ıa ahorr´ o3 monedas de 50 c´entimos, el 2◦ d´ıa S/.3 m´ as er de lo que ahorr´ o el d´ıa anterior; el 3 d´ıa 5 soles m´ as de lo que ahorr´ o un d´ıa antes; to as de lo que ahorr´ o el d´ıa el 4 d´ıa S/.7 m´ anterior y as´ı continu´ o hasta que el u ´ltimo d´ıa ahorr´ o 801 monedas de 50 c´entimos. ¿Cu´ anto costaba el artefacto? a) 2880 b) 2890 c) 2680 d) 2580 e) 2990 17. Hallar la suma de los 15 primeros t´erminos de la serie: S = 7 + 26 + 63 + . . . . . . a) 18480 b) 17620 c) 15230 d) 4961 e) 5687 18. Hallar el valor de la serie “‘S” S = 13 − 23 + 33 − 43 + 53 − 63 + . . . . . . + 213 a) 10721 d) 4961

b) 13561 e) 5687

c) 4300

19. Una pelota cae desde un altura H y en el 1er ; 3er ; 5to ; . . . . . . etc. rebote se eleva 3/4 de la altura desde la cual cae y en el 2do ; 4to ; 6to ; . . . . . . etc. rebote se eleva 4/5 de la altura de la cual cae. ¿Cu´ al es el espacio total recorrido por la pelota hasta quedar en reposo, si en el cuarto rebote se eleva 36 cms.? a) 770 b) 775 c) 780 d) 785 e) 745 20. Calcular el valor de “P ”, si: P =

1 1 1 1 + + + ...... + 6,15 10,21 14,27 50,81

a) 1/4 d) 4/27

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b) 1/3 e) 2/81

c) 3

S=

a a + r a + 2r a + 3r + 2 + + + ...... q q q3 q4

El valor de S es: pq + r a) (q − 1)2 aq + r c) q2 aq + r − 2 e) (q − 1)2 22. Sea

∞ X k=0

Calcular:

a(q − 1) + r (q − 1)2 a(q + 1) + r d) (q + 1)2 b)

ak xk = 5x4 + 3x3 − 1 + x. ∞ X

D=

a(2k−1)

k=0 ∞ X

a(2k)

k=0

a) 1 d) 5/3

b) 2 e) ∞

c) 3

23. Calcule: S = 2 + (a2 + b2 )(ab)−2 + (a4 + b4 )(ab)−4 + . . . 2ab − a − b (a − 1)(b − 1) 2a2 b2 c) 4 a − b2 a2 + b2 e) 2 (a − 1)(b2 − 1) a)

a2 b2 − (a2 + b2 ) (a2 − 1)(b2 − 1) 2a2 b2 − (a2 + b2 ) d) (a2 − 1)(a2 + 1) b)

24. La suma de la u ´ltima fila del siguiente arreglo: 1 2+3 3+4+5 4+5+6+7 −−−−−−−−− −−−−−−−−− Es 2380. ¿Cu´ antas filas hay? a) 35 b) 38 d) 40 e) 41

c) 39

25. Hallar el valor de: S = 1 + 5 + 15 + 34 + 65 + 111 + · · · (18 t´erminos) a) 13706 b) 14726 c) 14696 d) 14716 e) 14706

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Razonamiento Matem´ atico

9

CAP. 02: FRACCIONES. RAZONES Y PROPORCIONES Fracciones 1. Calcular: E = a) 9 d) 1

2, 2 + 4, 4 + 6, 6 + 8, 8 2, b8 + 4, b6 + 6, b4 + 8, b2 b) 0,99 c) 0,9 e) 1,01

2. Hallar: a + b, sabiendo que son naturales y a b + = 1, 0b que 2. 9 5 a) 5 b) 10 c) 7 d) 8 e) 6 3. Hallar los 2/3 menos de los 4/5 m´ as del triple de 30. a) 18 b) 32 c) 54 d) 36 e) 62

1, b6 0, b 3 − 0, b3 1, b 6

a) 3 d) 2

9. En un grupo de estudios hay 60 alumnos, las 2/5 partes tienen mochilas. ¿Qu´e fracci´ on de los que no tienen mochilas, tienen mochila?. a) 2/3 b) 4/3 c) 3/4 d) 3/2 e) 5/3 10. Se extraen 400 litros de un tanque que estaba lleno hasta sus 2/3, quedando hasta sus 3/5. ¿Cu´ antos litros falta para llenar el tanque?. a) 3600 b) 6000 c) 1200 d) 2400 e) 2000 11. Yo poseo los 3/5 de una empresa. Si vendo 5/8 de mi parte. ¿Cu´ ales son correctos? A. Me quedan 9/40 de la empresa.

4. Hallar a en: ‚

0.1.

Œ‚

b) 1 e) 4

B. Me quedan los 5/8 de mi parte.

Œ

a 2 − + 0, 1b 6 2, b6 3

=3

c) 6

5. El denominador de una fracci´ on excede al numerador en 6, si el denominador aumenta en 4 el valor de la fracci´ on ser´ıa 1/6. Entonces dicha fracci´ on es: a) 3/9 b) 4/10 c) 8/14 d) 2/8 e) 5/11 6. Alessandra perdi´ o 2/7 del dinero que le encargaron. ¿Qu´e parte de lo que quede servir´ a para reponer lo perdido?. a) 2/3 b) 2/5 c) 2/7 d) 3/5 e) 5/7 7. En una fiesta la 1/5 parte del n´ umero de hombres es igual a los 7/9 del n´ umero de mujeres. ¿Qu´e parte de los reunidos representan las mujeres?. a) 9/22 b) 17/40 c) 3/20 d) 5/27 e) 9/44 8. Una persona ya avanz´ o 1/5 de su recorrido. ¿Qu´e fracci´ on de lo que falta debe avanzar para llegar a los 8/15 del recorrido?. a) 8/15 b) 6/13 c) 5/12 d) 7/12 e) 5/13

C. Vend´ı menos de 1/4 del total de la empresa. a) solo B d) A y B

b) solo A e) B y C

c) solo C

12. Un tren parte con cierto n´ umero de pasajeros. En el primer paradero deja la tercera parte, en el segundo suben 65 pasajeros, en el tercero bajan las 3/5 de los que lleva, en el cuarto suben 50 pasajeros y en el trayecto al quinto paradero deja los 3/8 de los que lleva, llegando a este con 80 pasajeros determine, con cu´ antos pasajeros parti´ o. a) 200 b) 320 c) 300 d) 190 e) 195 13. Se tiene 2 cajas de f´ osforo; se usa de la primera 3/8 del total y de la segunda 2/7 del total. Los f´ osforos usados en la primera son 13 m´ as que de la segunda y queda en la segunda caja 4/7 de f´ osforos que queda en la primera. ¿Cu´ antos f´ osforos tiene cada caja?. a) 56 y 28 b) 19 y 14 c) 28 y 56 d) 14 y 19 e) 30 y 12 Ù 14. Si 0, n(n − 1) = N/11, hallar: N + n. a) 11 b) 9 c) 10 d) 8 e) 12

10

Razonamiento Matem´ atico Razones y proporciones

15. La media proporcional de “a” y “b” es “x”, que es lo mismo que la tercera proporcional de “8a” y “b”; √ lo mismo que √ la cuarta proporcional de 3 a, 2 y 3 b. El valor de a + b + x es: a) 25 b) 28 c) 27 d) 26 e) 29 16. Los n´ umeros x, y, z son proporcionales a los n´ umeros 2, 3, 5, la suma de x, y, y z es 80. El n´ umero y est´ a dado por la ecuaci´ on: y = ax + 8. El valor de a es: a) −1/3 b) 2/3 c) 3/4 d) 2/5 e) 1 17. Dos n´ umeros est´ an en la relaci´ on de 2 a 6. Si la cuarta parte del mayor es la tercera proporcional de 4 y la mitad del otro n´ umero. Hallar la suma de los n´ umeros. a) 22 b) 18 c) 48 d) 36 e) 26 18. En un recipiente de 30 litros y otro de 74 litros ¿Cu´ antos litros deben ser transferidos del segundo recipiente al primero de manera que los contenidos se encuentren en la raz´ on de 3:5?. a) 9 b) 7 c) 6 d) 12 e) 8 a c √ √ √ √ 19. Sabiendo que = , a+ b+ c+ d = b d 15. Hallar: a + b + c + d. a) 25 b) 40 c) 70 d) 65 e) 16 a a c ; si = = k. Adem´ as b b d a+1 c+3 = . b+5 d + 15 a) 2/3 b) 1/5 c) 1/2 d) 1/3 e) 2/5

20. Hallar:

a 5 = y a2 + b2 = 712. 21. Si: b 8 Calcular √ el exceso de b sobre a. b) 3√ a) √ 2 d) 3 3 e) 6 2

c) 4

22. Calcular la raz´ on de una serie de razones iguales donde la suma de cuadrados de los

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antecedentes es 1/2 y de los consecuentes es 1/8. a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6 23. Si A es inversamente proporcional a B; con una constante de proporcionalidad k, ¿Cu´ anto vale k si la constante de proporcionalidad entre la suma y diferencia de A y 1/B vale 6?. a) 7/5 b) 5/8 c) 6/5 d) 8/5 e) 13/6 24. Repartir 154 en partes directamente proporcionales a: 2/3, 1/4, 1/5, 1/6, e indicar la mayor cantidad. a) 20 b) 120 c) 100 d) 80 e) 30 25. A tiene 8 panes y B tiene 4; y deben compartirlos equitativamente con C y D. Para recompensarlo, ´estos entregaron 18 soles a A y B ¿Cu´ anto le toc´ o a A?. a) 9 b) 15 c) 14 d) 12 e) 10 26. Hallar el valor de A + B + C + D + E, si: A es la tercera diferencial de 20 y 16 B es la media diferencial de 27 y 39 C es la media proporcional de 72 y 18 D es la tercera proporcional de 5 y 25 E es la cuarta proporcional de 42, 12 y 14 a) 200 b) 160 c) 180 d) 320 e) 210 27. Tres cantidades son proporcionales a 6, 8 y 10 y el producto de ´estos 960. Hallar el n´ umero √ intermedio. √ √ 16 b) 3√3 16 c) 4 3 16 a) 3√ d) 6 3 16 e) 2 3 16 28. En una fiesta se observa por cada 5 hombres hay 7 mujeres y adem´ as por cada 3 hombres que fuman hay 8 mujeres que no fuman. Sabiendo que hay 10 mujeres m´ as que hombres y hay 20 personas fumando. ¿Cu´ antos hombres fuman? a) 9 b) 8 c) 10 d) 7 e) 11

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Razonamiento Matem´ atico

11

CAP. 02: FRACCIONES. RAZONES Y PROPORCIONES Fracciones

8. Hallar el valor de:

Õ

1. Halle a2 + b2 , si 0, ab (5) = 0, (2a)b(7) . a) 15 b) 22 c) 24 d) 17 e) 20

2. Cu´ antas fracciones propias e irreductibles de denominador 160 existen?. a) 32 b) 64 c) 60 d) 128 e) 120

0.2.

6

R=

6

1+

6

1+ 1+ a) 1 d) 4

6 ..

b) 3 e) 2

. c) 5

3. Cu´ antas fracciones propias positivas menores que 9/11 cuyos t´erminos son n´ umeros enteros consecutivos, existen?. a) 5 b) 7 c) 3 d) 6 e) 4

b−5 b = 9. Dados los n´ umeros: 0, abb = y 0, ba 6 5a + 6 . Hallar la tercera cifra decimal que 18 resulta al sumar dichos n´ umeros. a) 3 b) 6 c) 7 d) 4 e) 5

4. Si me deben una cantidad igual a los 7/8 de 960 y me pagan los 3/4 de lo que me deben. ¿Cu´ anto me deben a´ un?. a) 120 b) 200 c) 210 d) 430 e) 400

10. ¿Cu´ antas fracciones impropias existen de t´erminos impares consecutivos que sean d mayores que 1, 136. a) 6 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9

5. Un tigre persigue a un venado que le lleva 90 saltos de ventaja, sabiendo que el tigre da 7 saltos, mientras que el venado da 6 saltos y que 4 saltos del venado equivalen a 3 del tigre. ¿Cu´ antos saltos dar´ a el tigre para alcanzar al venado?. a) 189 b) 190 c) 194 d) 196 e) 198

11. Hallar el valor de: 1 1 1 1 + + ··· + W = + 4 28 70 868 a) 11/31 b) 8/31 d) 10/31 e) 7/31

6. Un tanque es vaciado por un ca˜ no de desag¨ ue en 8 horas; mientras que otro ca˜ no lo llenar´ıa en 12 horas. Si el tanque est´ a lleno en su 7/8 partes. ¿Qu´e tiempo demorar´ a en vaciarse totalmente si se abren simult´ aneamente los dos ca˜ nos?. a) 20 horas b) 23 horas c) 22 horas d) 21 horas e) 24 horas 7. Un ca˜ no llena un tanque en cierto tiempo y un desag¨ ue lo vac´ıa en la mitad del tiempo, si el tanque estuviera lleno sus 2/3 y se abriera simult´ aneamente ca˜ no y desag¨ ue, se vaciar´ıa en 8 horas. ¿En cu´ anto tiempo lo llenar´ıa si el ca˜ no trabajara solo?. a) 8 horas b) 12 horas c) 6 horas d) 9 horas e) 11 horas

c) 7/29

12. Si se tiene 2 fracciones irreductibles que suman 5 y la suma de sus numeradores es 15. ¿Cu´ antas parejas de fracciones cumplen con dicha condici´ on? a) 3 b) 5 c) 8 d) 4 e) 2 1 × ¿Cu´ = 0, 1c2b5a. antas a a cifras no peri´ odicas genera ? 11b2 a) 4 b) 7 c) 5 d) 9 e) 6

13. Si se sabe que:

14. Una fracci´ on irreductible tiene la siguiente propiedad, al sumar 7 unidades a su numerador y 11 unidades a su denominador, la fracci´ on no cambia de valor. La suma de sus t´erminos puede ser: a) 12 b) 24 c) 18 d) 15 e) 35

12

Razonamiento Matem´ atico Razones y proporciones

15. La suma de los cuadrados de dos n´ umeros es igual a 29, y la suma de sus logaritmos en base 10 es igual a 1, entonces la raz´ on aritm´etica de ´estos es: a) 6 b) 4 c) 1 d) 3 e) 5 16. Las edades actuales de dos hermanos est´ an en la relaci´ on de 3 a 5. Si dentro de diez a˜ nos dicha raz´ on ser´ a 8/10. ¿Cu´ al ser´ a la raz´ on en 6 a˜ nos m´ as? a) 7/6 b) 11/13 c) 5/6 d) 7/13 e) 6/13 17. En un instante de una fiesta, el n´ umero de hombres que no bailan es al n´ umero de personas que est´ an bailando como 5 es a 6. Adem´ as el n´ umero de damas que no bailan es al n´ umero de hombres como 7 es a 8. Encontrar el n´ umero de hombres que asisten a dicha fiesta, si el total de personas es 180. a) 60 b) 70 c) 55 d) 90 e) 80 18. Se tienen tres recipientes de vino cuyos contenidos est´ an en la relaci´ on de 9, 6 y 10. Se pasa “a” litros del primero al segundo recipiente y luego “b” litros del tercero al segundo, siendo la nueva relaci´ on de 4, 6 y 5 respectivamente. Calcular el volumen final del tercer recipiente. Si: a − b = 14. a) 120 b) 135 c) 175 d) 138 e) 177 19. Tres n´ umeros forman una progresi´ on aritm´etica continua de raz´ on constante igual a 5. Si los dos mayores est´ an en la proporci´ on de 4 a 3. Calcular la tercera diferencial. a) 10 b) 15 c) 5 d) 12 e) 14 20. Determinar la tercera diferencial de la media diferencial de 38 y 10 y la cuarta diferencial de 36, 30 y 20. a) 5 b) 2 c) 6 d) 4 e) 8 21. Si 7 es la cuarta diferencial de a, b y c, con (b < c); adem´ as 30 es la tercera diferencial de 3a y 45, entonces el m´ aximo valor de b es: a) 11 b) 13 c) 12 d) 14 e) 15

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22. En una proporci´ on aritm´etica continua, la suma de los cuadrados de sus t´erminos diferentes es 200 y el producto de los t´erminos extremos es 60. Calcular la media diferencial a) 7 b) 5 c) 10 d) 6 e) 8 23. Hallar a + c; si son primos entre si y adem´ as aa40 a y son equivalentes. c cc56 a) 14 b) 10 c) 12 d) 15 e) 16 24. A var´ıa proporcionalmente a B y al cuadrado de C e inversamente proporcional a D. Si cuando A = 8, B = 5 y C = 4, entonces D es 2. ¿Cu´ anto valdr´ a B, cuando A = 2D y D = 4C?. a) 160 b) 80 c) 40 d) 120 e) 140 25. A var´ıa proporcionalmente con B y C; C var´ıa proporcionalmente con F 3 , cuando A es 160, entonces B = 5 y F = 2. Si B = 8 y F = 5, ¿Cu´ anto ser´ a A? a) 3200 b) 3800 c) 3500 d) 4000 e) 2400 a c = = k con 2b−d 6= b d a+1 c+2 0. Adem´ as se sabe que = . Enb+3 d+6 tonces k vale: a) 1/5 b) 1/3 c) 1 d) 1/2 e) 1/4

26. Se da la proporci´ on:

A B C Aa + Bb + Cc 37 = = y 2 = . 2 2 a b c a +b +c 41 AB + BC + AC Calcular: E = ab + bc + ac a) 169/361 b) 1639/1861 c) 625/1024 d) 512/724 e) 1369/1681

27. Si:

28. Alessandra le da a Flor 50 m de ventaja en una carrera de 400 m. Luego Flor le da a Mar´ıa 40 m de ventaja en una carrera de 200 m. ¿Cu´ antos metros le debe dar de ventaja Alessandra a Mar´ıa en una carrera de 100 m.? a) 70 b) 20 c) 30 d) 80 e) 40

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Razonamiento Matem´ atico

CAP. 02: FRACCIONES. RAZONES Y PROPORCIONES Fracciones 1. Responder V o F seg´ un corresponda:

 Disminuir 121 en sus 9/11 es 22.  Si 0, ab + 0, ba = 1, 4 ⇒ a + b = 10.  Si la capacidad de una botella es 3/4 de



b

litro, entonces 5/8 de botella es 15/32 litros.

 La u´ltima cifra decimal de (1/5) es 6.  Si el MCM de los t´erminos de una frac424

ci´ on equivalente a 7/15 es 945, entonces el menor t´ermino es 84.

a) FFVFF d) VFVFF

b) FFVVF e) VFFVF

c) VFVVF

2. Los 4/7 menos de los 3/4 m´ as de (a + b) es equivalente a: a) Los 2/3 m´ as de (a + b). b) Los 3/4 menos de (a + b). c) 1/4 menos de (a + b). d) 1/3 m´ as de (a + b). e) Los 5/7 menos de (a + b). 3. ¿Cu´ antas fracciones impropias hay, de t´erminos impares consecutivos que sean

mayores que 1, 136?. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 4. La edad de Betty es a la de Ivonne como 4 es a 5. Dentro de 15 a˜ nos la relaci´ on ser´ a de 17/20. Determinar la relaci´ on de edades hace 15 a˜ nos. a) 4/5 b) 7/10 c) 4/7 d) 5/17 e) 3/10 5. ¿Cu´ al es la u ´ltima cifra del periodo de a) 1 d) 7

b) 3 e) 9

c) 4

1 ? 319

6. ¿Cu´ antas fracciones equivalentes a 0, 136 existen, si el numerador es un n´ umero de 2 cifras y el denominador un n´ umero de 3 cifras?. a) 27 b) 17 c) 23 d) 29 e) 31

13

0.3.

a b 7. Sean a, b ∈ N: + . Determinar el valor 11 5 de 3a + 2b. a) 23 b) 24 c) 25 d) 26 e) 27 8. A puede hacer un trabajo en 20 d´ıas, B en 15 d´ıas y C en 12 d´ıas. El primer d´ıa trabaja A s´ olo, el segundo d´ıa se le une B, a partir del tercer d´ıa trabajan los 3 juntos ¿En cu´ antos d´ıas concluyen el trabajo?. a) 4 16 b) 5 16 c) 6 16 1 1 d) 7 6 e) 8 6 9. Una llave A puede llenar un tanque en 6 horas y una llave B vaciarlo en 8 horas. Se abren ambas llaves por 2 horas, luego se cierra B y A contin´ ua abierta por 3 horas; al final se reabre B. Desde la reapertura de B ¿Qu´e tiempo demora el tanque en llenarse?. a) 6 horas b) 7 horas c) 8 horas d) 10 horas e) 12 horas 10. Con 5/8 de litro se puede llenar los 5/18 de una botella. Cuando falten 5/3 litros para llenar la botella. ¿Qu´e parte de la botella estar´ a llena?. a) 7/9 b) 9/17 c) 5/37 d) 7/27 e) 6/27 11. Un obrero A demora en hacer la mitad de la obra tanto como otro obrero B se demora en hacer los 5/6 de la misma obra. ¿Cu´ anto se demora A en hacer toda la obra, si entre los dos tardar´ıan 15 d´ıas? a) 21 d´ıas b) 27 d´ıas c) 30 d´ıas d) 36 d´ıas e) 40 d´ıas 12. Se tiene 3 ca˜ nos para llenar un tanque; el primero lo puede llenar en 10 horas; el segundo en 15 horas y el tercero en 18 horas. Si estando vac´ıo el tanque se abren simult´ aneamente las llaves de los 3 ca˜ nos. ¿En que tiempo llenar´ a los 5/7 de los 3/4 de los 7/5 del tanque? a) 21/8 h b) 13/15 h c) 26/9 h d) 27/8 h e) 7/9 h 3+0,0b 6+0,1+0,1b 3+· · ·+8. 13. Calcular: S = 0,0b a) 972 b) 864 c) 944 d) 964 e) 932

14

Razonamiento Matem´ atico Razones y proporciones

14. Justificar si es verdadero o falso:

 Si x : y = 3 : 4, entonces la raz´on de 

c) 1050

a b = = k ∈ Z y a2 − b2 = 960. b c Hallar la diferencia de los consecuentes. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

19. Si

es la tercera proporcional de 9 y 12; C la cuarta diferencial de 2, 5 y 3; puede afirmarse que la cuarta proporcional de A, B y C es 30. A B C Si = = a b c y adem´ as

20. Lo que gana y lo que gasta Ronaldo est´ an en la relaci´ on de 11 a 5. Si ahorra diariamente S/ 396. ¿En cu´ anto debe disminuir su gasto diario, para que la relaci´ on entre lo que gana y lo que gasta sea de 22 a 7? a) 81 b) 89 c) 90 d) 95 e) 99



A3 + B 3 + C 3 A2 + B 2 + C 2 r

El valor de a) FFFV d) VFVV

6



a2 + b 2 + c2 a3 + b 3 + c3



= 16.

ABC es 4. abc

b) VFVF e) VVFF

c) VFFV

a b c 15. Si = = y adem´ as a + b = 20, b c d c + d = 45. Hallar “a”. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 16. Un refer´endum fue sometido a votaci´ on por 4290 personas. Se supo que la relaci´ on de personas que estaban a favor es a las que estaban en contra era como 4 a 7. Luego de reconsideraciones fue aprobada con una relaci´ on de 8 es a 5. ¿Cu´ antas personas cambiaron de opini´ on, si no hubo abstenciones? a) 1000 b) 1050 c) 1080 d) 1120 e) 1250 17. En una serie de 3 razones geom´etricas equivalentes de valor 4/3, la suma de los t´erminos de cada raz´ on es 49, 70 y 63. Hallar la suma de los consecuentes. a) 72 b) 78 c) 80 d) 52 e) 84 b c a = = y adem´ as x y z (a + b + c)(x + y + z) = 7225. Calcular:

18. Si

√ √ √ W = 12( ax + by + cz). a) 1000 b) 1020 d) 1080 e) 1100

(7x − 4y) : (3x + y) es 5/13. x3 + y 3 x2 + y 2 x2 − y 2 xy = = = 182 25 7 12 implica que y/x = 4/3.

 Si A es la tercera diferencial de 9 y 6; B 

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11a + 8e 18 b d ; si: = = ,y 2a + 4e a c e ab + be + 27c = 4cd. a) 9/4 b) 53/16 c) 23/16 d) 29/31 e) 19/6

21. Hallar E =

22. Dos ciudades A y B distan entre s´ı 1200 Kil´ ometros. Dos autos parten en forma simult´ anea uno al encuentro del otro con velocidad uniforme y se encuentran en un punto M de la v´ıa. A partir de M, el que sali´ o de A demora 5 horas en llegar a B y el que sali´ o de B demora 20 horas en llegar a A. Hallar la distancia de M a B. a) 300 b) 400 c) 450 d) 500 e) 350 23. A tres n´ umeros enteros a, b y c; que suman 48, se les suman y restan respectivamente 21, 9 y 6, para obtener antecedentes y consecuentes de una serie de tres razones geom´etricas equivalentes Hallar a − 3b + 2c. a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 24. En una serie de 3 razones geom´etricas equivalentes y continuas, el primer antecedente es 64 veces el u ´ltimo consecuente. Hallar el valor de la constante de proporcionalidad. a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

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Razonamiento Matem´ atico

CAP. 02: FRACCIONES. RAZONES Y PROPORCIONES Fracciones 1. Una pelota en cada rebote se eleva 1/5 de la altura de la cual cay´ o. Hallar la longitud (en metros) de la trayectoria descrita por la pelota hasta quedar en reposo, si se dej´ o caer desde una altura de 24 metros. a) 12 b) 24 c) 36 d) 40 e) 42 2. Un auto parte con los 3/5 de su tanque con gasolina; si despu´es de 5 12 horas de trabajo le quedan los 2/7 de su tanque de gasolina. ¿Para cu´ antas horas de trabajo le alcanza el tanque lleno de gasolina?. a) 15 b) 16 c) 16.5 d) 17.5 e) m´ as de 17.5 3. Yo gast´e los 5/6 de mi dinero. Si en lugar de gastar los 5/6 hubiera gastado los 5/6 de lo que no gast´e. Tendr´ıa entonces 5/6 soles m´ as de lo que tengo. Cu´ anto tengo? a) 6/5 sol b) 5/6 sol c) 6 soles d) 1/5 sol e) 5 soles 4. Una fracci´ on irreducible de denominador 37 genera un n´ umero decimal de la forma 0, a(a + 2)(a + 1). Hallar el numerador de dicha fracci´ on. a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 13 5. Disminuyendo una misma cantidad a los dos t´erminos de la fracci´ on x/y. se obtiene la fracci´ on original invertida. Cu´ al es aquella cantidad. a) xy b) x − y c) y − x d) −xy e) x + y 6. Los 2/3 de los profesores de una Instituci´ on Educativa son mujeres. 14 de los varones son solteros, mientras que los 3/5 de los profesores varones son casados. Cual es el n´ umero total de profesores en la Instituci´ on Educativa. a) 110 b) 105 c) 100 d) 95 e) 70 7. Si a, b, c, y k son n´ umeros naturales tales 8 15 10 1 que , , son equivalentes a: . Se˜ nala ab ac bc k

15

0.4.

la suma de los menores valores de a, b, c y k. a) 35 b) 37 c) 45 d) 55 e) 47 8. Antes de una votaci´ on los 3/4 del total apoyaba una lista A, la mitad del resto votar´ıan por B y 17 estaban indecisos. Despu´es de la votaci´ on, los resultados mostraron que s´ olo la mitad de los que apoyaban la lista A votaron por ella, 1/34 del total no vot´ o, y el resto vot´ o por B. cu´ antos votos de diferencia obtuvieron las listas A y B. a) 24 b) 25 c) 30 d) 31 e) 35 9. Carlos adelanta a Manuel en 24 pasos y avanza 6 pasos por cada 5 que d´ a Manuel, pero 3 pasos de Carlos equivalen a 2 pasos de Manuel. Cu´ antos pasos debe dar este u ´ltimo para que alcance a Carlos. a) 75 b) 80 c) 84 d) 85 e) 90 10. Carlos debe 120 soles, piensa amortizar la deuda pagando 7/15 del valor de esta, pero realiza gastos de modo que s´ olo puede pagar 3/4 de lo que pensaba dar. Si hubiera pagado 8 soles m´ as. Qu´e parte de la deuda le faltar´ıa pagar. a) 3/7 b) 4/15 c) 4/7 d) 7/12 e) 1/15 11. Un balde se llena con 54 litros de agua, se extrae 9 litros de agua remplaz´ andolo con lej´ıa, despu´es se extrae 9 litros de mezcla resultante, que son remplazados por lej´ıa; haciendo lo mismo una 3o , 4o , . . . “n” ´esima vez, observ´ andose que luego de “n” operaciones, la parte fraccionaria del agua en la mezcla es 78125/179936 hallar “n”. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 12. Alessandra es el triple de r´ apida que Leonardo y este es el doble de lento que Flor. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en 12 d´ıas. ¿Cu´ antos d´ıas le tomar´ a hacerlo el m´ as lento?. a) 72 b) 76 c) 86 d) 80 e) 96

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Razonamiento Matem´ atico Razones y proporciones

13. Dada la siguiente serie: √ √ √ 3 3 3 27 + a3 125 + b3 343 + c3 = = 39 65 91 Calcular: “b” si c − a = 20. a) 20 b) 25 c) 32 d) 30 e) 28 a b c d e = = = = en el cual, el u ´ltimo b c d e f √ √ consecuente es 8. Adem´ as: 3 ae + 3 bd = 200. Calcular “a”. a) 12 000 b) 25 000 c) 8 000 d) 4 000 e) 16 000

14. si:

15. Los cuadrados de 1/2; 1/4; 1/8 son proporcionales a otros tres n´ umeros que suman 147/ 176. Uno de dichos n´ umeros es: a) 7/176 b) 8/21 c) 5/44 d) 7/18 e) 8/41 16. En una proporci´ on geom´etrica continua la suma de los t´erminos extremos es 60 y la de los antecedentes es 24. Calcular la media diferencial de la media proporcional y uno de los extremos. a) 36 b) 28 c) 48 d) 40 e) 32 17. En una serie de tres razones geom´etricas equivalentes, la diferencia de los t´erminos de cada raz´on son 4; 6 y 60 respectivamente. Si el producto de los antecedentes es 11 520. Hallar la suma de los consecuentes sabiendo que la raz´ on es menor que la unidad. a) 60 b) 210 c) 85 d) 90 e) 120

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a 48 c e = = = adem´ as ab + cf = 168 2 b d f y c + de + f = 90 hallar c2 + f 2 . a) 120 b) 144 c) 225 d) 320 e) 180

20. Si

21. Se tiene una serie de 4 razones geom´etricas equivalentes donde el segundo y cuarto antecedente son 65 y 117. El primer y tercer consecuente son 14 y 49. Hallar la media aritm´etica del segundo y cuarto consecuente sabiendo que la suma del primer y tercer antecedente es 117. a) 98 b) 49 c) 30 d) 27 e) 35 22. Un motociclista parte de un punto “A”, simult´ aneamente un ciclista sale de un punto “B” distante 800 metros del punto “A”. Ambos recorren el camino ABX en el mismo sentido, con velocidades iniciales que son entre si como 11 es a 3, pero una vez que el motociclista alcanza al ciclista la raz´ on de velocidades es como 7 es a 2. Calcular del punto A al punto en el cual el ciclista est´ a atrazado 2500 metros respecto al motociclista. (No considerar aceleraci´ on en alg´ un instante). a) 2100 m b) 2300 m c) 1800 m d) 1870 m e) 1500 m

18. Hallar la suma de dos √ n´ umeros tal que su media geom´etrica sea 5 2 y su tercera proporcional sea 20. a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 18

23. Si el tiempo que demora un planeta en dar la vuelta al sol es directamente proporcional al cubo de la distancia entre el sol y el planeta e inversamente proporcional al peso del planeta. ¿Cu´ anto tiempo demora un planeta de doble peso que el de la tierra en dar la vuelta al sol, si la distancia que lo separa del sol es el doble que el de la tierra? a) 1300 d´ıas b) 1460 d´ıas c) 365 d´ıas d) 530 d´ıas e) 1600 d´ıas

19. Calcular: H = D + I + A + N + A si: “D” es la tercera proporcional de 343 y 49 “I” es la tercera arm´ onica de 60 y 40 “A” es la media arm´ onica de 60 y 30 “N ” es la media proporcional de 49 y 16. a) 130 b) 128 c) 142 d) 139 e) 145

24. Se sabe que una magnitud A es inversamente proporcional a B 2 . Hallar el valor de A, sabiendo que si disminuye en 36 unidades el valor de B var´ıa en un 25 %. a) 90 b) 95 c) 100 d) 110 e) 120

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Razonamiento Matem´ atico

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CAP. 03: REGLA DE TRES Y PORCENTAJES Regla de tres 1. Un ladrillo pesa 4 kg, ¿Cu´ anto pesar´ a otro ladrillo cuyas dimensiones sean la mitad del ladrillo anterior? a) 1 kg b) 0.5 kg c) 2 kg d) 1.5 kg e) 0.75 kg 2. Si 40 carpinteros fabrican 16 puertas en 9 d´ıas ¿Cu´ antos d´ıas tardar´ an 45 carpinteros para hacer 12 puertas iguales? a) 5 b) 4 c) 7 d) 8 e) 6 3. Por 8 d´ıas de trabajo, 12 obreros han cobrado $.640 ¿Cu´ anto ganar´ an por 16 d´ıas, 15 obreros con los mismos jornales? a) 1400 b) 1800 c) 1600 d) 1060 e) 1700 4. Si con 120 kg de pasto se alimenta a 4 caballos durante 5 d´ıas ¿Cu´ antos kg de pasto se necesitar´ an para alimentar a 9 caballos en 3 d´ıas? a) 162 b) 158 c) 126 d) 174 e) 192 5. Un grupo de obreros deb´ıa entregar una obra en un determinado plazo. Luego de algunos d´ıas de trabajo se accidentaron 10 obreros y no pudieron ser reemplazados hasta dentro de 8 d´ıas y por ello se contrataron 30 obreros adicionales, con lo cual, se acab´ o la obra en la fecha prevista ¿Cu´ antos d´ıas trabajaron los u ´ltimos obreros? a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 6 6. Una cuadrilla de 15 obreros trabajando 6 horas diarias terminan una obra en 38 d´ıas. ¿Cu´ antos d´ıas tardar´ıan para hacer la misma obra, 19 obreros trabajando 3 horas diarias m´ as que los anteriores? a) 24 b) 20 c) 18 d) 22 e) 28 7. Ocho obreros pueden hacer una obra en 3 d´ıas. ¿Cu´ antos obreros m´ as har´ıan falta

para hacer la obra en 2 d´ıas?. a) 2 b) 3 d) 6 e) 4

0.1. c) 8

8. Si 36 obreros para pavimentar una pista de 400 metros de largo, por 6 metros de ancho; demoran 32 d´ıas. ¿Cu´ antos d´ıas tardar´ an, si se aument´ o 12 obreros m´ as para pavimentar otra pista de 300 metros de largo, por 8 metros de ancho? a) 28 b) 26 c) 24 d) 29 e) 30 9. Un ciclista cubre una distancia de Lima a Trujillo en 10 d´ıas, corriendo 12 horas a una velocidad de 42 km por hora ¿A qu´e velocidad deber´ a correr para cubrir la misma distancia en 8 d´ıas de 9 horas diarias? a) 70 b) 60 c) 50 d) 40 e) 80 10. Un ej´ercito de 7000 hombres tienen municiones para 20 d´ıas a raz´ on de 6 cargas diarias cada hombre, pero si llegan 1850 hombres sin municiones. ¿Cu´ antos d´ıas durar´ an las municiones, si cada hombre recibe ahora s´ olo 3 cargas diarias? a) 21,6 b) 20,6 c) 24,6 d) 31,6 e) 41,6 11. Un grupo de 45 obreros se comprometen a hacer 900 m2 de una obra en 30 d´ıas, trabajando 6 horas diarias. Si trabajaron juntos 5 d´ıas, al final de los cuales, se les pidi´ o que 2 entreguen s´ olo 750 m de la obra, pero 7 d´ıas antes de lo previsto. ¿Cu´ antos obreros ser´ an necesarios emplear para que trabajando 12 horas diarias puedan cumplir la nueva orden? a) 15 b) 25 c) 20 d) 30 e) 35 12. Treinta obreros hacen una zanja de 20m de largo, 2m de ancho y 1m de profundidad en 18 d´ıas a 8h/d´ıa, ¿En cu´ antos d´ıas, 45 obreros har´ an una zanja, de manera que las dimensiones finales sean 50 % mayor que las iniciales y si las horas diarias no se alteran? a) 35 b) 28,5 c) 50 d) 60 e) 40,5

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Razonamiento Matem´ atico Porcentajes

13. Si el 40 % de A es igual a 20 % de B. ¿Qu´e porcentaje de B es A? a) 20 % b) 50 % c) 40 % d) 80 % e) 70 % 14. El 20 % de un n´ umero es el 30 % de otro. ¿Qu´e porcentaje de la suma es la diferencia de estos n´ umeros? a) 10 % b) 15 % c) 50 % d) 40 % e) 20 % 15. Si al 60 % del 85 por mil de 7 por 17 de un n´ umero se le suma la cuarta parte de su 38 % el resultado es 493. Hallar el n´ umero a) 3850 b) 3000 c) 4250 d) 4500 e) 425 16. Ayer tuve $69 y gast´e el 38 % de lo que no gast´e. ¿Cu´ anto no gast´e? a) $50 b) $70 c) $80 d) $90 e) $60 17. Se vendi´ o un art´ıculo en $4200 ganando el 14 % del precio de compra m´ as el 5 % del precio de venta. ¿Cu´ anto cost´ o el art´ıculo? a) $2500 b) $3200 c) $3000 d) $3500 e) $2600 18. ¿Qu´e porcentaje habr´ıa que disminuir a un n´ umero para que sea igual al 60 % del 25 % del 80 % del 50 % de los 10/3 del n´ umero? a) 28 % b) 80 % c) 70 % d) 82 % e) 88 % 19. Si a un n´ umero “N” se le aumenta 5/16 de su valor, luego 1/7 del nuevo valor. El porcentaje total que aument´ o el n´ umero “N” es: a) 40 % b) 30 % c) 45 % d) 35 % e) 50 % 20. Si al precio de venta de un art´ıculo, se le hace 3 descuentos sucesivos del 20 %; 10 % y 5 % se observa que el descuento efectivo ha sido de 632 soles ¿Cu´ al es el precio de venta de dicho art´ıculo? a) $1500 b) $1200 c) $2000 d) $1800 e) $1650 21. ¿Cu´ al es el precio de costo de un art´ıculo, cuyo precio de venta es “a” soles y la ganan-

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cia es de “b %” del precio de venta? a) a(100−b) b) a(100+b) c) 100 10 b(100−a) b(a−100) d) 100 e) 100

a(50−b) 100

22. Si la arista de un cubo disminuye en un 50 %. ¿En qu´e porcentaje ha disminuido su area? ´ a) 10 % b) 20 % c) 25 % d) 75 % e) 80 % 23. Si el di´ ametro de un c´ırculo aumenta en un 70 %. ¿En qu´e porcentaje aumenta su ´ area? a) 140 % b) 189 % c) 198 % d) 70 % e) 148 % 24. De un recipiente lleno de vino, se extrae el 25 % de lo que no se extrae. ¿Qu´e tanto por ciento estar´ a lleno el recipiente, si se agrega el 30 % de lo que faltaba por llenar? a) 40 % b) 43 % c) 60 % d) 80 % e) 86 % 25. Si Flor se retir´ o del casino con 240 soles, habiendo perdido primero el 20 % y luego ganando el 50 % de lo que le quedaba. ¿Con cu´ anto fue al casino?. a) 343 b) 288 c) 250 d) 200 e) 240 26. A una fiesta asisten hombres y mujeres, el 25 % son hombres y el resto mujeres, si se retiran el 40 % de los hombres y el 50 % de las mujeres. ¿Qu´e porcentaje de las mujeres que quedan son los hombres que quedan?. a) 40 % b) 80 % c) 53 % d) 50 % e) 30 % 27. Un art´ıculo se ha vendido en ganando el 20 % del costo m´ as precio de venta. Hallar el precio dicho art´ıculo. a) 1400 b) 850 d) 870 e) 825

1200 soles el 15 % del de costo de c) 820

28. Si en la venta de un artefacto se gana el 25 % del precio de costo. ¿Que tanto por ciento es la ganancia respecto al precio de venta?. a) 25 % b) 15 % c) 10 % d) 20 % e) 18 %

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Razonamiento Matem´ atico

CAP. 03: REGLA DE TRES Y PORCENTAJES Regla de tres 1. Un grupo de 24 excursionistas llevan v´ıveres para 18 d´ıas, pero al inicio de la excursi´ on se suman 3 personas m´ as. ¿Cu´ antos d´ıas antes se acabar´ an los v´ıveres?. a) 4 b) 3 c) 8 d) 2 e) 6 2. 45 tigres en el mes de abril comen 480 kg de carne. ¿Cu´ antos kg de carne comer´ an 270 tigres en 25 d´ıas? a) 2100 b) 2200 c) 2400 d) 2300 e) 2500 3. 50 hombres tienen provisiones para 20 d´ıas a raz´ on de 3 raciones diarias; si las raciones, se disminuyen a 1/3 y se aumentan 10 hombres ¿Cu´ antos d´ıas durar´ an los v´ıveres? a) 50 b) 30 c) 15 d) 10 e) 20 4. Un grupo de 21 obreros han hecho en 12 d´ıas de 8 h/d un total de 36 m2 ¿Cu´ antos 2 m har´a otro grupo de 40 obreros, 20 % m´ as eficientes que los anteriores en 7 d´ıas trabajando 10 h/d? a) 84 b) 72 c) 48 d) 60 e) 30 5. A es el 25 % m´ as eficiente que B. Si B puede hacer una obra en 18 d´ıas. ¿En cu´ antos d´ıas podr´ an hacer juntos la obra?. a) 5 b) 8 c) 7 d) 6 e) 9 6. Una obra la pueden hacer 28 obreros en cierto tiempo. ¿Cu´ antos obreros se necesitar´ an aumentar para hacer 1/4 de la obra en un tiempo igual a 2/7 del anterior, trabajando la mitad de horas diarias?. a) 22 b) 24 c) 18 d) 20 e) 21 7. Un bote puede transportar a 6 gordos ´ oa8 flacos. Si tiene que transportar a 212 flacos y 123 gordos. ¿Cu´ antos viajes debe realizar como m´ınimo?. a) 49 b) 46 c) 47 d) 48 e) 45

19

0.2.

8. 35 obreros pueden terminar una obra en 27 d´ıas. Al cabo de 6 d´ıas de trabajo se les junta cierto n´ umero de obreros de otro grupo de modo que en 15 d´ıas terminan la obra. ¿Cu´ antos obreros se adicionaron del segundo grupo?. a) 14 b) 7 c) 13 d) 16 e) 21 9. Veinte obreros pensaron hacer una obra en x d´ıas. Despu´es de haber hecho la mitad de la obra, ellos aumentaron su rendimiento en 20 %, con lo que el tiempo total de trabajo fue de 11 d´ıas. ¿Cu´ antos d´ıas antes de lo pensado, terminaron la obra?. a) 4 b) 2 c) 3 d) 1 e) 8 10. Se est´ a construyendo una obra que se debe terminar dentro de 18 d´ıas para lo cual se emplean 24 obreros que tienen una jornada de trabajo de 8 horas diarias. Al cabo de 9 d´ıas se enferman tres obreros faltando al trabajo tres d´ıas. ¿Cu´ antas horas m´ as por d´ıa deben trabajar estos tres obreros durante los d´ıas restantes para que la obra se entregue en el plazo fijado?. a) 3 b) 4 c) 2 d) 1 e) 5 11. Doce costureras pueden hacer un tejido en 23 d´ıas trabajando 8 horas diarias, despu´es de 5 d´ıas se retiran 2 costureras y 6 d´ıas despu´es de esto se contratan x costureras adicionales para terminar a tiempo. Hallar el valor de x. a) 2 b) 6 c) 4 d) 5 e) 3 12. Dos cuadrillas de 34 obreros hacen un tramo de carretera en partes iguales. Luego de 72 d´ıas de comenzada la obra se observa que mientras los primeros les falta 3/5 de la obra los otros han hecho 4/5. Si se quiere que la primera parte de la obra este terminada en 140 d´ıas. ¿Cu´ antos obreros del segundo grupo deber´ an pasar al primer grupo?. a) 6 b) 8 c) 10 d) 5 e) 9

20

Razonamiento Matem´ atico Porcentajes

13. En una reuni´ on el 20 % de los hombres y el 25 % de las mujeres son peruanos. Si el n´ umero de mujeres representa el 40 % del total de personas. ¿Qu´e tanto por ciento de personas presentes en dicha reuni´ on no son peruanos?. a) 78 % b) 88 % c) 22 % d) 68 % e) 12 % 14. Un comerciante vendi´ o las dos terceras partes del cemento que hab´ıa comprado con un beneficio del 10 %, la mitad del resto al precio de costo y lo que qued´ o con un porcentaje de p´erdida tal que solo pudo obtener en todo el negocio lo que le costo. ¿Cu´ al fue ese tanto por ciento?. a) 20 % b) 40 % c) 30 % d) 25 % e) 42 % 15. De un tanque de combustible que est´ a completamente lleno saco el 40 % de lo que no saco, y de lo que saqu´e devuelvo el 40 % de lo que no devuelvo, resultando al final 195 litros en el tanque. ¿Qu´e capacidad tiene el tanque?. a) 390 lt b) 400 lt c) 500 lt d) 195 lt e) 245 lt 16. Si el 50 % del 20 % de “x”, el 5 % de “y” m´ as el 25 % de “y”, y el cuatro por veinte del cinco por siete de la mitad de “z”, son proporcionales a 8, 6 y 2. ¿Qu´e tanto por ciento de (x + y) es “z”?. a) 28 % b) 29 % c) 30 % d) 31 % e) 32 %

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19. Luis, Pedro y Juan tienen juntos un n´ umero de soles entre 70 y 80, si el 20 % de lo que tiene Juan es lo que tiene Luis; y el dinero de Luis aumentado en un 80 % equivale al 10 % del dinero de Pedro menos el 25 % del dinero de Juan. ¿Cu´ antos soles tiene Pedro, sabiendo que cada uno de ellos tiene un n´ umero entero de soles?. a) 68 b) 61 c) 10 d) 70 e) 30 20. Un comerciante tiene 3 televisores de 20 pulgadas de distintas marcas. Vende 2 de ellos en 1080 soles cada uno, ganando en uno de ellos el 15 por 75 y perdiendo en el otro el 20 por 70. Si el tercer televisor le costo 630 soles. ¿Qu´e tanto por ciento debe ganar en este u ´ltimo para que en el total de la venta no se gane ni se pierda?. a) 26 % b) 60 % c) 40 % d) 45 % e) 50 % 21. En que porcentaje se debe incrementar el precio de un producto para seguir ganando lo mismo, pero otorgando un descuento del 20 %. a) 20 % b) 25 % c) 18 % d) 30 % e) 24 % 22. El a2 % m´ as el b2 % de 9000 es 2250, sabiendo que el (a× b) % excede en 450 al (a+ b) % de la cantidad original. Hallar el (a − b) % de ´esta. a) 60 b) 70 c) 90 d) 85 e) 89

17. Si la base de un rect´ angulo aumenta en un 10 % y su ´ area no var´ıa. ¿En qu´e tanto por ciento disminuye la altura?. a) 19 % b) 10 % c) 11 % 1 d) 9 14 % e) 9 11 %

23. En una reuni´ on hay 8 hombres y 12 mujeres. ¿Cu´ antas mujeres se deben ir para que el porcentaje de hombres presentes aumente en un 40 %? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 7

18. Alessandra quiere reducir la cantidad de energ´ıa el´ectrica que consume su familia haciendo tres modificaciones sucesivas que le permitan ahorrar respectivamente un 20 %, un 25 % y un 55 % de los costos de la luz, el porcentaje total ahorrado ser´ a de: a) 33 % b) 73 % c) 66, b6 % 1 b e) 33 3 % d) 33, 3 %

24. En una reuni´ on el 10 % de los hombres y el 20 % de las mujeres son lime˜ nos. Si el n´ umero de mujeres representa el 30 % del total de personas. ¿Qu´e tanto por ciento de las personas presentes en dicha reuni´ on no son lime˜ nos? a) 92 % b) 68 % c) 87 % d) 58 % e) 76 %

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Razonamiento Matem´ atico

CAP. 03: REGLA DE TRES Y PORCENTAJES Regla de tres 1. Un capataz contrata una obra que debe terminar en 30 d´ıas. Al iniciar la obra con 10 obreros trabajando 6 horas diarias, transcurrido 20 d´ıas han realizado el 50 % de la obra. ¿Cu´ antos obreros adicionales debe aumentar como m´ınimo, si decide aumentar la jornada de 8 horas diarias para terminar a tiempo? a) 10 b) 15 c) 5 d) 8 e) 20 2. Sabiendo que un buey atado a una cuerda de 3m. de largo tarda 5 d´ıas en comerse toda la hierva que se encuentra a su alcance. Cu´ antos d´ıas tardar´ a si la cuerda fuera de 6m. a) 10 b) 20 c) 15 d) 25 e) 30 3. En un circo existen 24 leones para los cuales se tiene raciones para 21 d´ıas. ¿Cu´ antos leones tendr´ a que vender el circo si quiere que las raciones duren 28 d´ıas? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 4. Una f´ abrica tiene petr´ oleo suficiente para 20 d´ıas, consumiendo 2 barriles diarios. ¿Cu´ antos barriles menos se debe consumir diariamente para que el petr´ oleo alcance para 30 d´ıas? a) 1/3 b) 1/2 c) 2/3 d) 2/5 e) 3/4 5. Si un bast´ on de 84 cm. de largo proyecta 25,2 m de sombra parado verticalmente. Calcular el ancho del r´ıo. Si colocada una estaca de 5m de largo en vertical en uno de sus extremos proyecta una sombra con 23m en tierra. a) 127m b) 147m c) 157m d) 150m e) 180m 6. En 48 d´ıas 15 obreros han hecho 1/5 de una obra que les fue encomendada. ¿Cu´ antos d´ıas emplear´ a otra cuadrilla de 24 obreros,

21

0.3.

triplemente h´ abiles, en terminar la obra? a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 7. Tres personas pueden hacer un trabajo en 5, 10 y 20 horas respectivamente. ¿En que tiempo har´ an ellos juntos los 7/5 de una obra que tiene el doble de dificultad? a) 5 b) 8 c) 9 d) 12 e) 14 8. Si 6 obreros trabajan 8 horas diarias, con una eficiencia del 50 %. ¿Cu´ antas horas diarias trabajar´ an 10 obreros con un 40 % de eficiencia? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 9. Un pozo de tres metros de radio, fue hecho por 18 hombres en 24 d´ıas. Se quiere aumentar en 1 metro el radio del pozo y el trabajo ser´ a hecho por 16 hombres. ¿Qu´e tiempo demorar´ an? a) 40 b) 42 c) 24 d) 48 e) 54 10. Si 10 obreros pueden hacer un trabajo en 24 d´ıas. ¿Cu´ antos obreros de igual rendimiento se necesitar´ an para hacer un trabajo 7 veces m´ as considerable en un tiempo de 5 veces menor? a) 420 b) 350 c) 280 d) 320 e) 480 11. Una cuadrilla de 12 obreros pueden terminar un trabajo en 15 d´ıas, trabajando 10 horas diarias. Al cabo de 7 d´ıas de labor se enferman 5 de los obreros, y 3 d´ıas m´ as tarde, se comunica al contratista para que entregue el trabajo en la fecha fijada previamente. ¿Cu´ antos obreros adicionales tendr´ an que tomar para cumplir con tal exigencia? a) 8 b) 10 c) 9 d) 6 e) 7 12. 12 obreros pueden hacer una obra en 28 d´ıas. Si 8 de estos obreros se reemplazan por 8 obreros que rinden 60 % m´ as ¿En cu´ anto tiempo se har´ a la misma obra? a) 17 b) 14 c) 15 d) 16 e) 20

22

Razonamiento Matem´ atico Porcentajes

13. El 40 % del 50 % de x es el 30 % de y. ¿Qu´e tanto por ciento de (2x+7y) es (x+y) a) 20 % b) 40 % c) 25 % d) 35 % e) 50 % 14. En una reuni´ on se encuentran 16 varones y 24 damas. ¿cu´ antas mujeres deber´ an retirarse para que el porcentaje de hombres sea un 24 % m´ as que al inicio? a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 15. Se mezclan dos clases de avena en proporci´ on de 3 a 2 y se vende ganando el 10 %; luego se mezclan en proporci´ on de 2 a 3, para luego venderlo ganando el 15 %. Determin´ andose que los precios de venta en ambos casos son iguales, calcule la relaci´ on de precios de las dos clases de avena? a) 5:4 b) 3:2 c) 5:3 d) 4:3 e) 4:1 16. Un boxeador ha peleado 34 veces de las ´ dice que se recuales en 18 ha ganado. El tirar´ a cuando el 60 % de sus peleas sean ganadas, pero en su intento pierde 2 peleas; por lo que ahora decide retirarse cuando el 80 % de sus peleas sean victorias. ¿cu´ antas peleas debe realizar como m´ınimo para retirarse? a) 36 b) 54 c) 56 d) 52 e) 32 17. Una persona entra a un juego de 3 apuestas consecutivas perdiendo y ganando alternadamente, 80 %, 10 % y 70 % siempre en relaci´ on a lo que ten´ıan o quedaba. Si se retir´ o con S/. 66, ¿cu´ anto dinero perdi´ o? a) S/.934 b) S/.1020 c) S/.852 d) S/.658 e) S/.920 18. Una se˜ nora lleva 3000 manzanas al mercado, de las cuales el 30 por 1000 estaban malogradas y s´ olo pudo vender el 20 por 30 de las buenas. ¿Cu´ antas manzanas se quedaron sin vender? a) 960 b) 970 c) 281 d) 282 e) 1060

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19. Halle la cantidad de gramos de aguas que se necesita para rebajar al n % el contenido de alcohol de un frasco de loci´ on de afeitar de 9 gramos que contiene m % de alcohol. a) 9(m−n)/n b) (9m+n)/n c) 9m/n d) 9(m − n) e) (m + n)/n 20. Un bid´ on est´ a lleno de 100 litros de vino. Se consume el 10 % de vino y se sustituye por agua; luego se consume el 20 % de la mezcla y tambi´en se reemplaza por agua. Finalmente se consume el 25 % de la u ´ltima mezcla y tambi´en se sustituye por agua. ¿cu´ antos litros de vino puro quedan en el bid´ on, luego de la u ´ltima operaci´ on? a) 54 b) 28 c) 72 d) 36 e) 40 21. Si 30 litros de una soluci´ on alcoh´ olica contienen 12 litros de alcohol. ¿cu´ antos litros de agua debemos agregar para obtener una soluci´ on al 25 %? a) 10 b) 12 c) 28 d) 18 e) 20 22. Un tonel tiene una mezcla de 50 % de agua, 20 % de alcohol y el resto de vino. Del tonel se saca el 40 % de su contenido y en su lugar se agrega 15 litros de agua y 36 litros de vino, resultando de esta mezcla final la misma cantidad de agua y vino. ¿cu´ antos litros de alcohol ten´ıa la mezcla inicial? a) 32 b) 35 c) 40 d) 28 e) 20 23. Si el lado de un cuadrado aumenta en 20 % anto su ´ area aumentar´ıa en 33m2 . ¿En cu´ disminuye el ´ area del cuadrado, si su lado disminuye en 20 %? a) 33m2 b) 9m2 c) 343m2 2 2 d) 11m e) 27m 24. Si el ´ area de la superficie de una esfera disminuye en un 19 %, ¿en qu´e tanto por ciento disminuye su volumen? a) 38.3 % b) 27.3 % c) 28.1 % d) 37.1 % e) 27.1 % 25. ¿A qu´e aumento u ´nico equivale los aumentos sucesivos del 10 % y 20 %? a) 30 % b) 28 % c) 32 % d) 19 % e) 90 %

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Razonamiento Matem´ atico

CAP. 03: REGLA DE TRES Y PORCENTAJES Regla de tres 1. Tres obreros A, B y C pueden hacer una obra en 15, 20 y 30 d´ıas respectivamente. Empiezan la obra trabajando juntos y a los dos d´ıas se retira A, contin´ uan juntos B y C otros 3 d´ıas y se retira B, terminando C la obra. ¿En qu´e tiempo total hicieron la obra? a) 18.5 d´ıas b) 16 d´ıas c) 17 d´ıas d) 20 d´ıas e) 19 d´ıas 2. La rapidez de Alessandra es igual a 3 veces la rapidez de Leonardo y a su vez ´este es 4 veces la rapidez de Flor. Si Alessandra hace un trabajo en 90 minutos. ¿En que tiempo lo haran Leonardo y Flor juntos?. a) 5 h. b) 3.6 h. c) 3 h. d) 4 h. e) 2.5 h. 3. 30 obreros excavan una zanja de 6m. de largo, 5m. de ancho y 2m. de profundidad, con un rendimiento tal como 5, una actividad tal como 2 y en un terreno de resistencia la cava tal como 5. ¿Cu´ antos obreros se necesitan para hacer una zanja del mismo ancho, doble de largo y de mitad de profundidad, con un rendimiento tal como 3, una actividad tal como 4 y en un terreno de resistencia a la cava como 2?. a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 4. En Cajamarca por los huaycos, un pueblo A con 16000 habitantes ha quedado aislado y s´ olo tiene v´ıveres para 24 d´ıas a 3 raciones diarias por cada habitante. Si el pueblo A socorre a otro pueblo B con 2000 habitantes y sin v´ıveres. ¿Cu´ antos d´ıas durar´ an los v´ıveres para los dos pueblos juntos, si cada habitante toma dos raciones diarias?. Considerar que llegar´ a una ayuda de la capital 30 d´ıas despu´es que iniciaron A y B el compartimiento de v´ıveres. a) Los v´ıveres se terminaron antes de llegar la ayuda. b) Los v´ıveres duran 30 d´ıas. c) Los v´ıveres duran hasta un d´ıa despu´es de llegar la ayuda.

23

0.4.

d) Los v´ıveres duran hasta dos d´ıa despu´es de llegar la ayuda. e) Faltan datos. 5. La cantidad necesaria para vivir en una ciudad A, es los 7/8 de lo que se necesita para vivir en otro pueblo B. Seg´ un esto, si 8 personas gastan en A durante 9 meses 227934 soles. ¿Cu´ anto gastar´ an en B, 6 personas durante 8 meses?. a) 173 664 b) 174 556 c) 174 645 d) 178 764 e) 178 964 6. Si 6 le˜ nadores pueden talar 8 ´ arboles en 8 d´ıas. ¿En cu´ antos d´ıas talar´ an 16 le˜ nadores 16 ´ arboles, si estos u ´ltimos son 1/4 menos rendidores?. a) 10 b) 8 c) 9 d) 12 e) 16 7. Un tonel de vino vale S/. 900. Si se sacan de ´el 80 litros vale solamente S/. 180. ¿Cu´ al es la capacidad en litros del tonel?. a) 80 b) 180 c) 900 d) 150 e) 100 8. h hombres hacen un trabajo en d d´ıas. ¿En cu´ antos d´ıas h − r hombres har´ an el mismo trabajo?. dr hd dr c) a) b) h−r h+r h+r hd dr d) e) h−r h+d

9. A es el doble de r´ apido que B; pero la cuarta parte de C. Si A y B hacen una obra en 33 d´ıas. ¿En cu´ antos d´ıas har´ an la obra los tres juntos?. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 12

10. Para segar un terreno se han contratado 50 peones. Al cabo de 14 d´ıas han hecho hecho 1/6 de su trabajo. Si en el mismo tiempo 72 peones de otro grupo pueden hacer 4/11 de la obra. El n´ umero de peones del segundo grupo que deben pasar al primero para que puedan terminar su trabajo en 56 d´ıas es: a) 22 b) 40 c) 18 d) 15 e) 30

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Razonamiento Matem´ atico Porcentajes

11. Se vende un art´ıculo en 80 soles ganando el 25 %. ¿Cu´ al fue el precio de costo? a) 100 b) 80 c) 64 d) 60 e) 50 12. El precio de un art´ıculo se aumento n %. Despu´es al nuevo precio se disminuye en n %. Si el u ´ltimo precio es de 1 sol, el precio original era: 2 a) S/. 1 b) S/ n c) 104n−n2 4 2 d) 1010 e) 1−n 4 −n2 100 13. ¿Qu´e porcentaje de a) (a − b) % c) (a + b) % e) 10(a − b) %

(a2 +ab+b2 )

(a3 −b3 )?

es b) 100(a − b) % d) 100(a + b) %

14. Un vendedor vende 2 autos a 6 000 soles cada uno, ganando en el primero el 20 % y en el segundo pierde el 20 % del precio de compra. Gana o pierde y cu´ anto. a) Gana 1000 b) Pierde 1000 c) Gana 5000 d) Pierde 500 e) No gana ni pierde 15. Mar´ıa compra 2 750 huevos por S/. 1 000, pero se le rompen 350 y vende los restantes a S/. 7 la docena. ¿Cu´ al es el porcentaje de ganancia? a) 40 % b) 60 % c) 35 % d) 42 % e) 46 % 16. En un corral donde solo hay cuyes y conejos, el n´ umero de cuyes representa el 60 % del n´ umero total de animales. ¿Qu´e tanto por ciento de cuyes deben morir para que el n´ umero de cuyes restantes representen el 30 % del n´ umero de conejos? a) 80 % b) 20 % c) 90 % d) 30 % e) 50 % 17. El 20 % de (x + y) es igual al 40 % de (2x − y). ¿Qu´e tanto por ciento m´ as representa (12x + 15y) respecto de (12y − 3x)? a) 100 % b) 200 % c) 300 % d) 150 % e) 400 % 18. El precio de un art´ıculo aumenta mensualmente en un 10 % sobre el precio del mes anterior. Si despu´es de 4 meses el precio de

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un art´ıculo es de 29 2820 nuevos soles. Hallar el precio inicial del art´ıculo. a) 200 000 b) 120 000 c) 20 000 d) 120 200 e) 140 200 19. Si gc es el porcentaje de ganancia con respecto al costo y gv es la misma ganancia pero en porcentaje del precio de venta. De1 1 terminar el valor de − . gv gc a) 0.1 b) 0.01 c) 0.05 d) 0.02 e) 0.06 20. Un ambulante posee un lote de camisas vende la tercera parte de ellas ganando el 15 % del precio de costo y el resto del lote ganando el 20 % del precio de venta. Determinar que porcentaje del precio de costo representa la diferencia del precio de venta menos el de costo, si al final gan´ o tanto como si hubiera ganado el 5 % del pareci´ o de venta. a) 35 % b) 53.3 % c) 53 % d) 53.4 % e) 54 % 21. A un n´ umero se hace tres descuentos sucesivos de 20 %, 25 % y 20 %, al n´ umero que resulta se le hace tres incrementos sucesivos de 20 %, 25 % y 20 % resultando un numero que se diferencia del original en 408 unidades. Determinar la suma de cifras del n´ umero origina. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 22. Alessandra vende autos ganando el 30 % del costo entre las 5:00 a las 8:00, el 10 % entre las 8:00 y 10:00 y perdiendo el 15 % a partir de ese lapso. Si en un d´ıa gano el 5 % de lo invertido y sabiendo que vendi´ o el 40 %, antes de las 8:00. ¿Qu´e porcentaje de lo comprado, lo vendi´ o con p´erdida? a) 60 % b) 52 % c) 7,5 % d) 8 % e) 4 % 23. En una jaula el 60 % de los ratones son grises y el resto son blancos. Si se retiran la mitad de los blancos. ¿Qu´e tanto por ciento ser´ an ahora los blancos en la jaula? a) 20 % b) 21,5 % c) 25 % d) 27,5 % e) 30 %

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Razonamiento Matem´ atico

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´ ´ ´ ´ CAP. 04: LOGICA MATEMATICA Y ORDEN DE INFORMACION L´ ogica Matem´ atica 1. Si se sabe que p es Verdadera; entonces el valor de: p ∨ [∼ q ∧ (r → s)] a) Depende del valor que asume q. b) Siempre ser´ a Verdadera. c) Depende del valor que asume s. d) Siempre ser´ a Falsa. e) Depende del valor que asume r. 2. Si se sabe que ∼ q es Verdadera; entonces el valor de: [p ∧ (r ∨ s)] →∼ q a) Depende del valor que asume r. b) Depende del valor que asume p. c) Depende del valor que asume r ∨ s. d) Siempre ser´ a Falsa. e) Siempre ser´ a Verdadera. 3. Si se sabe que: p ∨ ∼ q es falso; q → s es verdadero. Al hallar el valor de verdad de:

 (∼ q ∧ ∼ r) ↔ (t ∨ ∼ t)  (p ↔ ∼ s)∨ ∼ (t ∧ ∼ s)

Se obtiene: a) VF d) FF

b) VV e) Imposible

c) FV

4. Si la proposici´ on: ∼ [(q → s) → (p → r)] es verdadera; hallar el valor de verdad de:

 (∼ s → ∼ q) ∆ (r → p)  ∼ (q ∧ ∼ s) ∧ (p ∧ ∼ r)  (p ∧ q ∧ r ∧ s) ∨ (p ← r)

a) FVV d) VVV

b) VFV e) FFF

c) FVF

 [(∼ p ∧ ∼ q) ∨ (r ∧ s)] ∧ p  [(∼ p ∨ q) ∧ (r ∨ s)] ∨ (∼ p ∧ q)  [(∼ r∧ ∼ s) → (p∨ ∼ q)]∧ ∼ (r ∧ s) b) FFV e) VVF

6. Si la proposici´ on compuesta: ∼ (p ∨ ∼ q) ∧ (q ↔ r) es verdadera. ¿Cu´ ales de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. (p ∨ s) ∧ q II. (t ∧ q) → r III. (s ∆ q) → q a) S´ olo I d) I y II

b) II y III e) Todas

7. Simplificar: ∼ (∼ p ∧ ∼ q) a) p b) q d) p → q e) p ∨ q

c) I y III

c) p ∧ q

8. Simplificar: (p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q) ∨ p a) ∼ p ∨ q b) ∼ p ∨ q c) p ∨ ∼ q d) p ∨ q e) ∼ p ∧ q 9. Simplificar el esquema: (∼ p ∧ q) → (q → p) a) q → p b) ∼ (p ∨ q) d) p ∨ q e) p ∧ q

c) p → q

10. Simplificar: ∼ [(p →∼ q) ∨ ∼ q] → [∼ p ↔ (∼ p → q)] a) ∼ p ∧ q b) ∼ p ∧ ∼ q c) ∼ (p ∨ q) d) ∼ (p ∧ q) e) p → q 11. Hallar el equivalente de: ∼ (p → q) ∧ (q →∼ r) I. p ∧ (p ∨ ∼ r) ∧ ∼ q II. p ∧ ∼ q ∧ ∼ (q ∧ r) III. (p ∧ ∼ q) ∨ [(p ∧ ∼ r) ∧ ∼ q]

5. La proposici´ on ∼ [(p ∨ q) ↔ (r ∧ s)] es falsa teniendo r y s valores de verdad opuestos. ¿Cu´ al es el valor veritativo de cada una de las proposiciones siguientes?

a) VVV d) FVV

0.1.

c) VFV

a) I y II d) S´ olo II

b) Todas e) II y III

c) S´ olo I

12. Indicar las proposiciones verdaderas: I. (∼ p ∧ ∼ q) ↔ (p ∨ q) es una contradicci´ on. II. [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) es una tautolog´ıa. III. [p ∧ (p → q)] → (q ∆ r) es una contingencia. a) S´ olo II y III c) S´ olo I e) I, II y III

b) S´ olo I y II d) S´ olo I y III

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Razonamiento Matem´ atico

13. ¿Cu´ al de las siguientes proposiciones es una tautolog´ıa? I. [∼ (p ∧ q) → p] ∨ ∼ p II. ∼ (p → q) → (p ∨ ∼ q) III. ∼ (p → q) → (∼ p → ∼ q) a) S´ olo I d) I y II

b) S´ olo II e) S´ olo III

c) Todas

14. De las siguientes proposiciones ¿Cu´ al es (son) contradicci´ on (es)? I. ∼ [∼ (p ∨ q) → ∼ q] ∧ ∼ (p → q) II. ∼ (∼ p → q) → (p → q) a) Ninguna c) S´ olo II e) Depende de p

b) S´ olo I d) I y II

15. Dados los siguientes operadores l´ ogicos: p ♣ q ≡∼ p →∼ q p ♠ q ≡∼ p ∧ ∼ q Simplificar: [(p ♣ q) → (p ♠ q)] ∨ q a) ∼ p ∧ q b) p → q c) q → ∼ p d) ∼ (p ∨ q) e) ∼ (p ∨ ∼ q) 16. Si se define: L p q ≡∼ p →∼ q N p q≡ p∧ ∼q Decir cu´ ales son proposiciones equivalentes: N

L

I. (r ∼ q) p L N II. ∼ p ∼ (r ∼ q) N N III. ∼ [p (r ∼ q)] a) S´ olo I y II c) S´ olo II e) Ninguna

p

z V V F V

18. De un examen Martha obtuvo menos puntaje que Flor; El´ıas menos puntos que Martha y Alessandra m´ as puntos que Walter. Si Walter obtuvo m´ as puntos que Flor, ¿Qui´en obtuvo el puntaje m´ as alto? a) Flor b) Alessandra c) El´ıas d) Walter e) Martha 19. Garu miente siempre los martes, jueves y s´ abado y es completamente veraz los dem´ as d´ıas. Cierto d´ıa mantiene el siguiente di´ alogo con Pucca: Pucca: ¿Qu´e d´ıa es hoy?. Garu: S´ abado. Pucca: ¿Qu´e d´ıa ser´ a ma˜ nana?. Garu: Mi´ercoles. De qu´e d´ıa de la semana se trata. a) Martes b) Mi´ercoles c) Domingo d) Viernes e) Jueves 20. Los profesores Goku, Gohan y Picoro ense˜ nan Biolog´ıa, Matem´ atica y Qu´ımica, no necesariamente en ese orden. El profesor de Qu´ımica, que es el mejor amigo de Gohan, es el menor. El profesor Picoro es mayor que el profesor de Matem´ atica. Indicar las proposiciones correctas.

II. Goku es el profesor de Quimica.

b) S´ olo II y III d) I, II y III

q V F V F

Orden de informaci´ on

I. Picoro es menor que el profesor de Biolog´ıa.

17. Si se define p z q, por la tabla: p V V F F

Walter Arriaga Delgado

q

Simplificar: W = {[(∼ p z q) z p] → (q z p)} a) p ∨ q b) p → q c) p ∧ q d) ∼ p ∨ ∼ q e) p

III. Gohan no es profesor de Matem´ atica. a) S´ olo III c) S´ olo II e) S´ olo II y III

b) S´ olo I d) S´ olo I y II

21. De cinco amigos Jennifer, Shaun, Karla, Kimee, Curtis estaban sentados en fila, Jennifer entre Curtis y Shaun, Shaun a la derecha y junto a Karla, Shaun a la izquierda y junto a Jennifer, Kimee a la izquierda de Karla. Contando de derecha a izquierda ¿Qui´en se ubica en la segunda posici´on? a) Jennifer b) Shaun c) Kimee d) Karla e) Curtis

Walter Arriaga Delgado

Razonamiento Matem´ atico

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´ ´ ´ ´ CAP. 04: LOGICA MATEMATICA Y ORDEN DE INFORMACION L´ ogica Matem´ atica 1. La negaci´ on de “Los estudiantes no rinden porque est´ an mal alimentados” equivale a: a) Los estudiantes est´ an bien alimentados pero rinden. b) Los estudiantes est´ an bien alimentados pero no rinden. c) Si los estudiantes no est´ an bien alimentados entonces no rinden. d) Los estudiantes rinden as´ı como tambi´en est´ an mal alimentados. e) Los estudiantes rinden as´ı como est´ an bien alimentados 2. El enunciado equivalente a “Si me esfuerzo, lograr´e mis objetivos” es: a) Lograr´e mis objetivos o me esfuerzo. b) Me esfuerzo y lograr´e mis objetivos. c) No me esfuerzo pero lograr´e mis objetivos. d) No me esfuerzo o lograr´e mis objetivos. e) Me esfuerzo, sin embargo no lograr´e mis objetivos. 3. La formalizaci´ on correcta de: O el le´ on es un animal dom´estico o el perro es una fiera salvaje, mas no es verdad que el perro sea una fiera salvaje. a) (p ∆ q)∧ ∼ q b) (p 6= q) ∧ q c) (p ∆ q)∧ ∼ p d) (p 6= q)∨ ∼ p e) (p ∆ q)∨ ∼ q 4. Se˜ nale los enunciados que no son proposiciones. I. Mira que hermoso pa´ıs. II. La luna es un meteorito. III. El intelecto es facultad humana. IV. Ven ahora. V. Est´ a triste porque no fue a pasear. VI. 21235 termina en cifra 8.

a) I y II c) I, IV y V e) IV y V

0.2.

b) IV d) II y IV

5. Son proposiciones moleculares: I. El coraz´ on adem´ as el cerebro. II. De ser fil´ osofo Arist´ oteles luego Plat´ on lo fue. III. La l´ ogica es ciencia salvo que sea arte. IV. Hueso y Pellejo eran fieles a su amo. V. Carlos es m´ as alto que Rosa. VI. Tanto Marte como Jupiter son planetas. a) Todas c) I, II, III y VI e) II, III, V y VI

b) I, II y III d) II, III y VI

6. Si [∼ (∼ p → ∼ q) ∧ (r ↔ q)] es verdadera. Determine los valores de verdad de: m → r; r ∨ s y p ↔ q a) VVF b) FVF c) VFF d) VFV e) No se puede 7. Si P = [(∼ p ← ∼ q)∨ ∼ (r ∆ s)] es falsa; cuales de los siguientes esquemas moleculares son contradicci´ on: I. (p ∨ q) ∧ (r ∧ s). II. (r ∨ s) → ∼ (∼ r → s). III. [(q → r) ∧ q] ↔ (∼ q ∨ s). a) II y III d) Todos

b) II e) I y III

c) I y II

8. Dado que el conocimiento es objetivo, luego no es subjetivo, equivale a: I. El conocimiento no es objetivo o en su defecto es subjetivo. II. El conocimiento no es objetivo o en todo caso no es subjetivo. III. Siempre que el conocimiento sea subjetivo, luego no es objetivo. IV. Dado que el conocimiento no es subjetivo, obviamente no es objetivo. V. Es falso que el conocimiento sea subjetivo a la vez objetivo.

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Razonamiento Matem´ atico Son correctas: a) I, II y III c) II, IV y V e) II, III y V

b) I, III y IV d) I, IV y V

9. Es absurdo que si la fiesta est´ a triste entonces nos divertimos, equivale a: I. La fiesta est´ a triste y no nos divertimos. II. Es falso que, si no nos divertimos entonces la fiesta est´ a alegre. III. No nos divertimos y la fiesta est´ a triste. IV. La fiesta no est´ a triste o no nos divertimos. V. Si no nos divertimos es obvio que la fiesta est´ a triste. Son correctas: a) I, II y III c) II, IV y V e) I, IV y V

b) I, III y IV d) I, III y V

{(∼ p → q)∧[r → (∼ q ∨p)]} → (∼ p ∧ ∼ q) Verdadero. Falso, si r es Verdadero. Falso, si p es Verdadero. Verdadero, si p es Falso. c´ o d.

Los Gonz´ alez son vecinos de los Garc´ıa. La Familia Ram´ırez, vive en el tercer piso. Para ir del departamento de los Garc´ıa al departamento de los Mantilla hay que bajar tres pisos. El departamento de los Bocanegra se encuentra mas abajo que el departamento de los Garc´ıa y de los R´ıos. Las familias Rodr´ıguez y Castro viven en el mismo piso. ¿Cu´ al de los enunciados siguientes no es verdadero?

12. Simplificar la siguiente proposici´ on: M = ∼ [∼ (p ∧ ∼ q) → p] ∨ q

Orden de informaci´ on

c) La familia R´ıos no vive en el segundo piso.

e) Los Garc´ıa no viven en el primer piso.

a) No tengo plata si no te llevo al cine. b) No te llevo al cine porque no tengo plata. c) No tengo plata y te llevo al cine. d) No te llevo al cine a pesar que tengo plata. e) No tengo plata y no te llevo al cine.

b) ∼ p → q e) p∨ ∼ q

b) Los Rodr´ıguez viven en el segundo piso.

d) La familia Ram´ırez es vecina de la familia Bocanegra.

11. La negaci´ on de: Te llevo al cine solo si tengo plata.

a) p →∼ q d) p ∨ q

13. Un edificio tiene 8 departamentos, dos por piso, los cuales est´ an habitados por las familias: Rodr´ıguez, Castro, Garc´ıa, Gonz´ alez, Ram´ırez, R´ıos, Mantilla y Bocanegra. Adem´ as se sabe lo siguiente:

a) Los Gonz´ alez no viven en el tercer piso.

10. Si q es una proposici´ on falsa, determinar el valor de verdad de: a) b) c) d) e)

Walter Arriaga Delgado

c) p → q

14. Los se˜ nores Cardozo, Chirinos, Morales y ´ Alvarez tiene profesiones diferentes: M´edico, Agr´ıcola, Ing. Qu´ımico y Abogado, se van de vacaciones a diferentes lugares: Huar´ az, Trujillo, Cuzco e Iquitos. Morales trajo un caim´ an, Chirinos el neur´ ologo admir´ o la ´ belleza del lanz´ on de Chav´ın, Alvarez no es Abogado; Cardozo cumpli´ o su deseo de conocer el Cuzco y no le gustan las leyes. El agr´ıcola no conoce Trujillo ¿Qui´en es el Ingeniero Agr´ıcola? ¿El que conoce Iquitos es? ´ a) Alvarez − Cardozo.

b) Cardozo − Morales. c) Morales − Acu˜ na.

d) Chirinos − Cardozo.

e) Cardozo − Chirinos.

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Razonamiento Matem´ atico

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´ ´ ´ ´ CAP. 04: LOGICA MATEMATICA Y ORDEN DE INFORMACION

c) Ning´ un desordenado es estudiante.

L´ ogica Matem´ atica 1. Indicar qu´e enunciados dados son proposiciones: I. El Per´ u tiene 24 departamentos. II. El n´ umero at´ omico del ox´ıgeno es 16. IV. ¡Viva la libertad de expresi´ on! V. La Matem´ atica es una ciencia inexacta. b) I e) I, II y V

c) II

a) Existen estudiantes desordenados. 7. De: Todas las enzimas son prote´ınas se infiere:

II. Todos son prote´ınas o no son enzimas. III. Es falso que algunas enzimas no sean prote´ınas. IV. Nunguna prote´ına es enzima. V. Ninguna enzima es prote´ına.

2. Indicar si es tautol´ ogico (T), o Contradicci´ on (C): [(p ∧ q) → q] ∆ [q ∆ ∼ q].

[p∧ ∼ (q ∨ r)] ↔ [∼ p ∨ (r ∨ q)]. a) TT d) TC

d) Todos los estudiantes son ordenados.

I. Todos no son enzimas o son prote´ınas.

III. ¿Hoy me siento bien?

a) I y II d) V

0.3.

b) CC e) No se puede

c) CT

3. Simplificar: ∼ [(q∨ ∼ p) →∼ q] ∨ p a) p ∧ q b) ∼ p ∧ q c) ∼ p → q d) ∼ q e) ∼ p ∨ q

Son correctas: a) I, II y III d) I, III

b) I, III y IV e) III

c) todas

8. La negaci´ on de: Todos los estudiantes son aplicados porque son responsables. a) Algunos estudiantes no son aplicados porque no son responsables. b) Algunos estudiantes son aplicados y no son responsables. c) Ning´ un estudiante es aplicado y responsable

4. Simplificar: [(∼ p ∨ q) → (q ∨ p)]∧ ∼ q a) p ∧ q b) ∼ p c) p∧ ∼ q d) p e) p ← q

d) Existen estudiantes responsables pero no aplicados.

5. Si Φ es un operador l´ ogico definido mediante la siguiente tabla de verdad:

e) Nung´ un estudiante que no es responsable es aplicado.

p V V F F

q V F V F

p

Φ F F F V

q

entonces al simplificar la proposici´ on (p Φ q) Φ (q Φ p), se obtiene: a) ∼ p ∧ q b) p ∨ q c) p ∧ q d) p∧ ∼ q e) ∼ p∧ ∼ q 6. Si es falso que Ning´ un estudiante es desordenedo, entonces:

9. Determinar la validez de los razonamientos l´ ogicos: I. Estudiar´e si el profesor es exigente. Reprober´e el curso o estudio o, Luego el profesor no es exigente porque reprob´e el curso. II. Me voy de vacaciones o me compro un auto. No me compro un auto porque no se conducir. En consecuencia, se conducir o me voy de vacaciones. a) v´ alido, v´ alido

a) Alg´ un desordenado es estudiante.

b) v´ alido, no v´ alido

b) Hay alg´ un estudiante ordenado.

c) no v´ alido, v´ alido

30

Razonamiento Matem´ atico

Walter Arriaga Delgado

d) no v´ alido, no v´ alido e) No se puede determinar, v´ alido

e) Tigro se sienta junto y a la derecha de Leono.

10. Simbolizar: “Aunque llueva ir´e a visitarte” a) p → q b) p ← q c) p →∼ q d) (p∧ ∼ p) e) (p → p) → q

15. En un pentagonal de f´ utbol, la tabla de posiciones fue la siguiente: Barcelona (B) obtuvo un punto m´ as que Real Madrid (R) Real Madrid (R) obtuvo un punto m´ as que Manchester (M) Inter (I) obtuvo dos puntos menos que Real Madrid (R) Barcelona (B) obtuvo dos puntos menos que Chelsea (C).

11. Simplificar ∼ {∼ [∼ (∼ p ∧ q)∨ ∼ q] → [∼ (p∨ ∼ q)]} a) p b) q c) T d) C e) ∼ p 12. Simplificar: ∼ [∼ (q ∧ p) →∼ q] ∨ p a) p ∧ q b) ∼ p ∧ q d) p e) ∼ p → q

c) ∼ p ∨ q

13. Determina la expresi´ on simplificada que representa el siguiente circuito: p u

a) p ∧ ∼ q d) p ∧ ∼ p

q

p

∼q

∼p

p b) q ∨ p e) q∆p

∼q

u

c) q → p

Ordene en forma creciente: a) CBRMI b) IRBCM d) IRMBC e) IMRCB

c) IMRBC

16. Seis amigos se sienta alrededor de una mesa redonda, Alberto no est´ a sentado al lado de Mario ni de Sim´ on, Walter no est´ a sentado al lado de Carlos ni de Sim´ on, Mario no est´ a al lado de Carlos ni de Walter. Daniel est´ a a la derecha de Mario. ¿Qui´en esta sentado junto y a la derecha de Alberto?. a) Mario b) Alberto c) Carlos d) Walter e) Daniel

14. Cuatro amigos: Leono, Panthro, Tigro y Cheetara se sientan alrededor de una mesa redonda, en la que hay cuatro sillas distribuidas sim´etricamente. Sabemos que:

17. En la inauguraci´ on del campeonato deportivo del CPU, seis amigos que van a asistir se han puesto de acuerdo para sentarse en una misma fila que tenga seis asientos cont´ıguos y vac´ıos. Los amigos son tres varones Pocho˜ lo, Nazo, Chucho y tres mujeres Elsa, Ytaca, Esma y se sabe que:

Leono se sienta junto y a la derecha de Panthro. Tigro no se sienta junto a Panthro. Cheetara est´ a entretenido observando como los otros tres discuten.

Dos personas del mismo sexo no se sentar´ an juntas. ˜ Nazo se sentar´ a en el extremo derecho. Pocholo y Elsa se sentar´ a a la izquierda de los dem´ as.

Orden de informaci´ on

Seg´ un esto podemos afirmar que: a) Cheetara y Leono se sientan juntos. b) Panthro y Cheetara no se sientan juntos. c) No es cierto que Cheetara y Leono no se sientan juntos. d) Tigro se sienta junto a la derecha de Cheetara.

¿Cu´ al de las siguientes afirmacines es correcta? ˜ a) Esma se sienta junto a Nazo ˜ b) Ytaca se sienta junto a Nazo c) Pocholo se sienta junto a Esma d) Ytaca se sienta junto a Chucho e) Ninguna de las afirmaciones son correctas

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Razonamiento Matem´ atico

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´ ´ ´ ´ CAP. 04: LOGICA MATEMATICA Y ORDEN DE INFORMACION II. [(p → q) ∧ p] → q

L´ ogica Matem´ atica 1. En el siguiente p´ arrafo determinar el n´ umero de proposiciones: Si la infraestructura es el principal problema de la Educaci´ on, entonces muchos ni˜ nos no ir´ an al colegio a menos que el Estado construya nuevos CE. No es el caso que se mejora el nivel de la ense˜ nanza, la infraestructura no sea el principal problema de la educaci´ on. Pero muchos ni˜ nos ir´ an al colegio si mejora el nivel de ense˜ nanza. En consecuencia, el estado construye nuevos CE. si y s´ olo si mejora el nivel de ense˜ nanza. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 2. Si “q” es verdadera y la f´ ormula [(q∨ ∼ p) ↔ (r ∨ s))] ∨ (r ∧ q) Es falsa. ¿Cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. ∼ p ∨ q es falsa.

c) III

3. Si la proposici´ on (q →∼ p) ∨ (∼ r → s) es falsa. Deducir el valor de verdad de: I. (p → r) → (p ∨ s)

II. (∼ r ∧ q) ↔ (∼ q ∧ s)

III. [t → (∼ p△q)]∨ ∼ q a) VVF d) VVF

b) FFV e) FFV

c) VFV

4. Simplifica la proposici´ on [(∼ p ∧ q) →∼ (∼ q →∼ p)] ∧ (q →∼ p) a) ∼ p b) ∼ q c) T d) p ∨ q e) p ∧ q 5. ¿Qu´e proposiciones son tautolog´ıas? I. [(p → q)∧ ∼ q] →∼ p

a) I d) I y II

b) II e) Todas

c) III

6. Si (p∧ ∼ q) → (p → r) es falsa. Hallar el valor de verdad de cada proposici´ on: I. (p ↔ q) ∧ (∼ r ∨ s) II. ∼ (r → p) → (∼ q ∧ t) III. (∼ r ∨ u) ↔ [q ∧ (u → p)] a) VVV d) FVV

b) FFV e) VVF

c) FVF

7. Negar la proposici´ on: “El avi´ on despegar´ a a las 4 a.m. a menos que la neblina cubra el aeropuerto” a) El avi´ on no despegar´ a a las 4 a.m. aunque la neblina cubra el aeropuerto.

c) Por que la neblina no cubre el aeropuerto, el avi´ on no despegar´ a a las 4 am.

III. p∧ ∼ (∼ q → r) es falsa. b) II e) I y III

III. [p → (q∧ ∼ q)] →∼ p

b) El avi´ on no despegar´ a a las 4 am. puesto que la neblina cubre el aeropuerto.

II. ∼ p ↔ r es verdadera.

a) I d) I y II

0.4.

d) Ni el avi´ on despegar´ a a las 4 am. ni la neblina cubre el aeropuerto. e) Si el avi´ on despegar´ a a las 4 am. la neblina no cubre el aeropuerto. 8. Sean las proposiciones: p: Es hora de clase q: En el aula hay profesor r: En el aula hay alumnos. La simbolizaci´ on l´ ogica de: “Como es hora de clase, se concluye que en el aula hay profesor y alumnos, dado que, si es hora de clase, en el aula hay profesor, y hay alumnos si en el aula hay profesor”, es: a) [p → (q ∧ r)] → [(p → q) ∧ (r → q)] b) [p → (q ∧ r)] → [(p → q) ∧ (q → r)] c) [(p → q) ∧ (q → r)] → [p → (q ∧ r)] d) {p → [(p → q) ∧ (q → r)} → (q ∧ r) e) [q → (p ∧ r)] → (q ∧ r)

32

Razonamiento Matem´ atico 9. Definimos el conectivo ∇ por la tabla p V V F F

q V F V F

p∇q V V F V

Seg´ un esto (p ∧ ∼ q) ∨ (q ∧ ∼ p) equivale a: a) ∼ (p ∇ ∼ q)∇(q ∇ p) b) ∼ (q ∇ ∼ p)∇(q ∇ p) c) ∼ (p ∇ q)∇(q ∇ p) d) ∼ (p ∇ q)∇(∼ q ∇ p) e) ∼ (p ∇ q)∇ ∼ (q ∇ p) 10. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones considerando como universo a los n´ umeros reales: P 1 : ∀x ∈ R : x − 3 < x P 2 : ∀x ∈ R : x2 − 10 ≤ 8 P 3 : ∃x ∈ R : x + 3 < 6 P 4 : ∃x ∈ R : 2x2 + x = 15 a) VFVF b) VVFF c) VFVV d) FVFV e) FVFF 11. Hallar el valor de verdad de las proposiciones: p, q, r, s y w √ p : ∃x ∈ Q : x + 3 = 2 + 3 q : ∃x ∈ I : x + 0 = π r : ∀x ∈ N : x + 2,5 = √5 s : ∃x ∈ Q : x + 0 = 2 w : [(p ∨ q) → (∼ r ∨ ∼ s)] ↔ (q → r) a) VVVVV b) FVFFF c) FVFFV d) VVFVF e) VFVFV 12. Sean A = {−1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2}, determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: ∀x ∈ A, ∀x ∈ A, ∀x ∈ A, ∃y ∈ B, a) VVVV d) VFVF

∀y ∈ B, ∀y ∈ B, ∃y ∈ B, ∀x ∈ A,

3x2 + y 2 ≤ 16 x + 2y ≤ 4 (x − 1)2 ≥ y (x − 1)2 ≥ y

b) VVFF e) VFVV

c) FFVV

Orden de informaci´ on 13. Julio naci´ o antes que Gloria y que Pablo; Miguel es menor que Silvia, pues naci´ o despu´es que Pablo, pero antes que Gloria; y

Walter Arriaga Delgado

Julio es menor que Silvia. ¿Qui´en de los cinco j´ ovenes ocupa el tercer lugar en el orden de nacimiento? a) Julio b) Gloria c) Pablo d) Miguel e) Silvia 14. Un edificio de seis pisos est´ a ocupado por seis familias. Cada una ocupa un piso. Los Alvarado viven dos pisos m´ as arriba que los Camacho y dos pisos m´ as abajo que los Becerra. Los Durango viven en el segundo piso y los Gonzales no viven adyacente con los Alvarado ¿En qu´e piso viven los Montenegro? a) Primero b) Tercero c) Cuarto d) Quinto e) Sexto 15. Cuatro mujeres que conocen a un tal Antonio Banderas, sosten´ıan una conversaci´ on de la que se rescat´ o lo siguiente: Marilyn: “Brook estuvo casada con Antonio”. Susan: “Yo no me cas´e con ´el”. Brook:“Yesabella estuvo casada con Antonio”. Yesabella: “Brook, eso es mentira”. Si tres de ellas mienten, y quien dice la verdad no estuvo casada con el tal Banderas. ¿Qui´en dice la verdad? a) Marilyn b) Yesabella c) Brook d) Susan e) Susy 16. Los piratas Barba Azul, Barba Roja y Barba Negra, realizan excavaciones buscando el tesoro por su antecesor Barba Sucia. Encuentran tres cofres: Uno de plata, otro de bronce y otro de madera y saben que en uno de ellos est´ a el anciado tesoro. Si en la tapa de cada cofre hay un mensaje: Plata: “El tesoro est´ a aqu´ı” Bronce: “El tesoro no est´ a aqu´ı” Madera: “El tesoro no est´ a en el cofre de plata” ¿En cu´ ales de los cofres no est´ a el tesoro, si uno de los tres mensajes es correcto? a) Plata y Bronce b) Solo Bronce c) Solo Madera d) Bronce y Madera e) Plata y Madera

Walter Arriaga Delgado

Razonamiento Matem´ atico

33

´ ´ CAP. 06: NUMERACION. CRIPTOARITMETICA. 4 OPERACIONES Sistemas de numeraci´ on 1. Un n´ umero de cuatro cifras cuya suma de cifras es 25, sumado con otro n´ umero de tres cifras iguales da 10000. Hallar la cifra de las decenas del primer n´ umero. a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 2. En que sistema de numeraci´ on los n´ umeros 24, 27 y 32 est´ an en progresi´ on aritm´etica. a) 12 b) 14 c) 16 d) 9 e) 8 3. Si 594 − abc = 10(a − b + c). Adem´ as b > a + c − 1. Hallar: 2a − b + c a) 8 b) 6 c) 5 d) 2 e) 3 4. Hallar b − a; si ab = a(a + b) a) 4 b) 7 d) 3 e) 2

c) 6

11. Hallar P , si P = 234(8) × 14(8) . a) 2355(8) b) 3520(8) d) 3524(8) e) 2348(8)

0.1.

c) 3541(8)

12. Cu´ antos d´ıgitos tiene el resultado de la operaci´ on: (234567 + 136427 + 14437 )(347 ). a) 42 b) 8 c) 10 d) 6 e) 7 13. Si el numeral 21212n se convierte a base n2 , se obtiene un numeral cuya suma de cifras (en base decimal) es 16. Hallar “n”. a) 4 b) 6 c) 5 d) 7 e) 8 14. Un n´ umero se expresa como 157 en base x. ¿C´ omo se expresar´ a en base x + 2?. a) 111 b) 110 c) 112 d) 131 e) 142

5. Escribir 121(n) + 12(n) en base (n + 1) a) 101(n+1) b) 110(n+1) c) 112(n+1) d) 111(n+1) e) 120(n+1)

15. ¿Como se escribe en base 8, el menor de los siguientes n´ umeros? 7b6(a) ; 656(b) ; 8a6(9) a) 336(8) b) 353(8) c) 656(8) d) 517(8) e) 665(8)

6. El mayor n´ umero del sistema binario de 7 cifras, se expresa en el sistema nonario como aba. Hallar (a + b). a) 7 b) 6 c) 8 d) 5 e) 9

16. A una reuni´ on familiar asisten: 10m4 caballeros, 2npm damas, y nnp ni˜ nos. ¿Cu´ antas personas hab´ıan en total? a) 25 b) 45 c) 32 d) 42 e) 38

7. Si 12131415

17. Indicar la suma de cifras de la siguiente expresi´ on en base 16: W = 6× 165 + 43× 163 + 8 × 162 + 53 × 16 + 48. a) 24 b) 54 c) 33 d) 36 e) 38

16n

a) 11 d) 9

= 130(4) . Hallar el valor “n”. b) 7 e) 8

c) 10

8. El mayor n´ umero de 3 cifras de base “k” se escribe en base 10 como 2ab. Calcular: (a + b)k a) 30 b) 42 c) 36 d) 48 e) 40 9. Calcular el valor de x + y + z en: 2143(n) = 1xyz (6) a) 7 b) 8 c) 6 d) 9 e) 11 10. Dado N = α02β en base 12, entonces N en base 10 es: a) 10535 b) 20854 c) 20835 d) 17315 e) 28503

18. ¿Cu´ antos n´ umeros impares de 3 cifras no poseen cero en su escritura en base 8?. a) 224 b) 147 c) 196 d) 231 e) 168 19. Calcular en base decimal 135(a) + 12b(c) + 15a(b) + 14c(9) . a) 361 b) 360 c) 362 d) 359 e) 363 20. Hallar a + b + c, si: ccc(8) = ab1 a) 11 b) 12 c) 14 d) 13 e) 15

34

Razonamiento Matem´ atico Criptoaritm´ etica

21. Determine: W + A + D en: W AD + AD = AW D donde cada letra diferente representa a un d´ıgito diferente. a) 16 b) 17 c) 18 d) 15 e) 14 22. Sabiendo que ABC4 × 6 = 25CBA, hallar: A + B + C. a) 13 b) 12 c) 9 d) 10 e) 11 23. Determine: x + y + z, si: x74y + 5yx2 + z7x = yyx68 a) 13 d) 14

b) 10 e) 15

c) 12

24. Hallar: c + d + e; si: 5cde − ed0c = 2579 a) 13 b) 10 c) 12 d) 14 e) 15 25. Hallar: a + b + c; si: abc × 9 = d833 a) 14 b) 13 c) 16 d) 15 e) 18 26. Hallar: A + L + E; si: ALE × 999 = . . . 764 a) 7 b) 11 c) 5 d) 13 e) 9 27. Si: RA × AR × M R × AL = 1901025. Determinar: R + A + M + A + L a) 11 b) 23 c) 15 d) 17 e) 22 28. Determinar: L + I + N + O, √ ♥ si N ILO = ♥ a) 12 b) 10 d) 13 e) 19

c) 11

29. Si mn × RS = abc, hallar la suma de las 2 cifras de abc , si: mn × S = 230 − mn × R y mn × R = mn × S − 92 a) 16 b) 13 c) 14 d) 15 e) 12 Cuatro operaciones 30. A una fiesta asistieron 83 personas y en un momento determinado, 17 mujeres y 8 hombres no bailaban. ¿Cu´ antos hombres

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asistieron a la fiesta? a) 56 b) 37 d) 29 e) 21

c) 46

31. El producto de dos n´ umeros es 720; si se a˜ naden 6 unidades al multiplicando, el producto es entonces 816. ¿Cu´ al es el multiplicador? a) 72 b) 36 c) 45 d) 32 e) 16 32. En la multiplicaci´ on de dos n´ umeros, si a uno de ellos se le quita 3 decenas, el producto disminuye en 10 830. Hallar uno de dichos n´ umeros. a) 320 b) 412 c) 361 d) 317 e) 326 33. La suma del dividendo y del divisor de una divisi´ on inexacta es 31 veces el resto y la diferencia de los mismos es 21 veces dicho resto. ¿Cu´ al es el cociente de dicha divisi´ on? a) 5 b) 7 c) 9 d) 12 e) 15 34. El cociente de la divisi´ on de un n´ umero entero entre otro n´ umero entero es 19 y el resto, 26. Si se suman el dividendo, el divisor, el cociente y el resto, la suma obtenida es 1 011. ¿Cu´ al es el dividendo? a) 825 b) 872 c) 966 d) 919 e) 1013 35. Un numeral de 3 cifras es tal que al restarle el doble de su complemento aritm´etico resulta 523. ¿Cu´ al es la suma de las cifras de dicho n´ umero? a) 10 b) 13 c) 12 d) 11 e) 14 36. Messi, Ronaldo y Kak´ a est´ an jugando con la condici´ on de que aquel que pierda tiene que duplicar el dinero de los otros dos. Si cada uno pierde una partida en el orden dado quedando finalmente cada uno con S/. n y adem´ as se sabe que los 3 ten´ıan sumando sus capitales S/. 6000. ¿Cu´ anto es la diferencia entre los capitales iniciales de Kak´ ay Messi? a) 1025 b) 287 c) 3125 d) 3200 e) 2250

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Razonamiento Matem´ atico

35

´ ´ CAP. 06: NUMERACION. CRIPTOARITMETICA. 4 OPERACIONES Sistemas de numeraci´ on 1. Calcular m+n+p si los siguientes numerales est´ an bien escritos: n23q (m) , p21(n) , n3m(6) , a2aa(p) . a) 20 b) 12 c) 18 d) 15 e) 16 2. ¿Cu´ antos n´ umeros de tres cifras existen que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar?. a) 500 b) 625 c) 675 d) 635 e) 600 3. ¿Cu´ al es el n´ umero comprendido entre 200 y 300, tal que, le´ıdo al rev´es es el doble del n´ umero que sigue al original?. a) 297 b) 295 c) 237 d) 247 e) 252 4. Un n´ umero de tres cifras del sistema de base 7, se escribe en el sistema de base 9 con las mismas cifras pero colocadas en orden inverso. Entonces la suma de las cifras de este n´ umero escrito en base 7 es: a) 7 b) 9 c) 6 d) 8 e) 5 5. Un n´ umero escrito en dos bases consecutivas se representa como 454 y 353. Hallar la suma de las cifras del n´ umero en base decimal. a) 8 b) 9 c) 12 d) 15 e) 10 6. Convertir el mayor n´ umero de 3 cifras diferentes del sitema quinario al sistema hexadecimal. a) 51(16) b) 75(16) c) 61(16) d) 62(16) e) 63(16) 7. Alessandra observa que Leonardo al multiplicar 244 × 3 obtiene como producto 1342 y le advierte que est´ a errado, pero Leonardo le contesta que su respuesta es la correcta, entonces Alessandra le pide que divida 322 ÷ 3. ¿Cu´ al ser´ a el cociente obtenido por Leonardo?. a) 104 b) 105 c) 101 d) 102 e) 103

0.2.

8. Expresar el siguiente n´ umero 0.121212. . . , que est´ a escrito en base 3, a base 10. a) 2/7 b) 5/8 c) 1/3 d) 1/7 e) 3/5 9. Convertir 6,44 a base 5. b) 12,435 25 a) 11,13b d) 11,215 e) 22,1b 25

c) 12,135

10. ¿Cu´ antos n´ umeros de 4 cifras en el sistema octal existen y son de la forma:  ‹   a b b a 3 2 (8) a) 1 b) 12 c) 8 d) 15 e) 24 11. En qu´e sistema de numeraci´ on existen 3584 n´ umeros de 4 cifras unicamente. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 12. Hallar “n” en 13131313

(n)

a) 8 d) 5

b) 4 e) 7

= 18. c) 6

13. Expresar (a − 4)(2b − 1)(a + 1)(b − 3)7 en el sistema senario a) 23506 b) 25306 c) 32506 d) 23126 e) 20506 14. En que sistema de numeraci´ on se escribe 171 como un n´ umero de tres cifras iguales. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 2 15. Un n´ umero capic´ ua de 3 cifras en el sistema decimal es un n´ umero de 4 cifras iguales en el sistema senario. Hallar dicho n´ umero en el sistema decimal. a) 777 b) 767 c) 525 d) 252 e) 575 16. Hallar el producto de las cifras del n´ umero bab, sabiendo que su complemento aritm´etico es x(a + 3)(a + 2). a) 20 b) 36 c) 32 d) 54 e) 45 17. Si: 1a1a(n) = 182. ¿Cu´ anto vale “n + a”? a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8

36

Razonamiento Matem´ atico Criptoaritm´ etica

18. Si (a + b + c)2 = 324. Hallar la suma de las cifras de: E = abbab + baaba + ccccc a) 32 b) 36 c) 40 d) 45 e) 43 19. Hallar el m´ aximo valor de a × b s´ı: ab − ba = de y de = ed + 27. a) 8 b) 18 c) 42 d) 36 e) 40 20. Sabiendo que: abc × d = 294; abc × e = 441; abc × f = 588. Hallar el valor de abc × def . a) 39348 b) 39846 c) 34938 d) 39438 e) 34398 21. Si: ROM A × A = 5379; ROM A × O = 12551; O 6= cero. Hallar A + M + O + R. a) 18 b) 8 c) 20 d) 36 e) 42 22. Hallar (M I)A ; Si √ se sabe que: AM − A = I A y adem´ as: M I = LASI a) 1296 b) 1421 c) 257 d) 1234 e) 1582 23. En la siguiente divisi´ on: 67b8 ab dc 2f g - ab - ab --8 ¿Cu´ al es el valor de: a + b + c + d + f + g? a) 14 b) 18 c) 19 d) 16 e) 12 24. Si cada letra representa una cifra y letras iguales representan cifras iguales, halle a + b + c; siendo abc × 6 = ccc. a) 12 b) 13 c) 15 d) 16 e) 14 25. Si abc × 3 = 8aa; hallar: ab + bc + ca. a) 154 b) 145 c) 132 d) 123 e) 143 26. Si ABC × 999 = . . . 1648. Calcular el valor de: ACAC × 99. a) 389916 b) 399681 c) 319968 d) 318996 e) 391986

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Cuatro operaciones 27. Si vendo n/2 tickets para un sorteo, gano S/. n pero si vendo n/3 tickets pierdo S/. n/2. ¿Cu´ anto cuesta cada ticket? a) n b) n/2 c) 9 d) 6 e) n/3 28. El cociente y el resto de una divisi´ on inexacta son 4 y 30 respectivamente, si los t´erminos de la divisi´ on suman 574. Hallar el divisor. a) 102 b) 98 c) 100 d) 106 e) 85 29. En un corral hay tantas patas de patas como cabezas de patos; pero hay tantas patas de patos y patas como cabezas de patas y patos aumentado en 30. ¿Cu´ antos animales se contar´ a en total luego de que cada pata tenga cr´ıa 6 patitos?. a) 80 b) 100 c) 30 d) 90 e) 60 30. Cuando se posa una paloma en cada poste hay 3 palomas volando, pero cuando en cada poste se posan 2 palomas, quedan 3 postes libres. ¿Cu´ antas palomas hay?. a) 9 b) 12 c) 10 d) 16 e) 8 31. En un corral hay gallinas y conejos, el n´ umero de patas es 14 m´ as 2 veces el n´ umero de cabezas. ¿Cu´ antos conejos hay?. a) 6 b) 10 c) 8 d) 9 e) 7 32. En un mercado por 3 kilos de arroz, dan 5 kilos de az´ ucar, de la misma manera por 8 kilos de az´ ucar dan 4 kilos de frijoles; por 10 kilos de frijoles dan 2 kilos de carne de res. ¿Cu´ antos kilos de carne de res nos dar´ an por 30 kilos de arroz?. a) 4 b) 8 c) 5 d) 2 e) 3 33. Un ratoncito sale de su hueco hacia el hueco de su ratoncita dando saltos de 11 cm, luego regresa dando saltos de 7 cm, pero habiendo recorrido en total 1,23 m se detiene a descansar. ¿Cu´ anto le falta a´ un por recorrer?. a) 26 cm b) 30 cm c) 20 cm d) 32 cm e) 53 cm

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Razonamiento Matem´ atico

37

´ ´ CAP. 06: NUMERACION. CRIPTOARITMETICA. 4 OPERACIONES Sistemas de numeraci´ on 1. Determinar el valor de “n” en: 31(31)(31) a) 2 d) 6

(31)(31)

b) 4 e) 8

= 1579

0.3.

8. Cual es la suma de las cifras del n´ umero capic´ ua de tres cifras que en el sistema senario se escribe con cuatro cifras iguales. a) 9 b) 21 c) 14 d) 23 e) 17

(n)

c) 5

2. Dada la progresi´ on aritm´etica, en el sistema de numeraci´ on que se indica: 1023 , 1113 , 1203 . . . la suma de los 8 primeros t´erminos es: a) 211003 b) 120003 c) 121003 d) 201003 e) 210003 3. Un granjero vende huevos en cajas de 12 unidades. De la producci´ on de una semana se tiene 4 gruesas, 3 docenas y 8 huevos. ¿Cu´ al es ´este n´ umero si le hacen un pedido que debe entregar en cajas de 9 unidades. a) 5739 b) 7589 c) 6409 d) 6819 e) 7689 4. ¿En que sistema de numeraci´ on se cumple que su mayor n´ umero de 3 cifras es igual a 31 veces la mayor cifra que existe en ese sistema?. Indique la base. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 5. Hallar la suma de cifras de un numeral de 3 cifras tal que si colocamos la cifra 1 a su derecha ser´ıa el triple del numeral que resultar´ıa al colocar la cifra 2 a la izquierda del numeral. a) 12 b) 16 c) 24 d) 18 e) 20 6. Cual es la cifra de mayor orden del numeral W = (x − 4)(2y − 1)(x + 1)(y − 3)7 escrito en el sistema senario. a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. En que sistema de numeraci´ on se escribe 171 como un numeral de tres cifras iguales. a) Quinario b) Senario c) Heptal d) Nonal e) Octal

9. Cu´ antas cifras tiene el numeral en el cual se cumple que su cifra de orden 6 coincide con su cifra de quinto lugar? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 10. Dado el numeral capic´ ua: N = (2b + 1)(5b − 6a)c(7a − 11)(4a − 1)(9) Hallar el m´ aximo valor de: a + b + c a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 11. El n´ umero telef´ onico de Alessandra es capic´ ua. Si la primera cifra se multiplica por 13, se le a˜ nade la segunda; luego todo se multiplica por 13 y finalmente a˜ nadimos la tercera cifra y obtenemos 874. ¿Cu´ al es el n´ umero telef´ onico de Alessandra? a) 435534 b) 123321 c) 523325 d) 542245 e) 453354 12. En que sistema de numeraci´ on, el mayor n´ umero de 3 cifras diferentes es igual a 2ab. a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 9 13. Si: abb(9) = 10a3(7) . Hallar (a + b) a) 5 b) 4 c) 7 d) 9 e) 8 14. Si FAC(9) − PRG(9) = CAF(9) la suma de las cifras del resultado de operar: PPP(16) + RRR(16) + GGG(16) a) 1 b) 3 c) 9 d) 16 e) 20 15. ¿Cu´ al es el sistema de numeraci´ on en el cual, el menor n´ umero de seis cifras al restarle 1 es equivalente a 555 . . . 556 . Dar como resul|

{z

20 cifras

}

tado la suma de las cifras de dicha base. a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

38

Razonamiento Matem´ atico Criptoaritm´ etica

Cuatro operaciones

16. Cada punto de la multiplicaci´ on representa una cifra. Determine la suma de las cifras del producto 4 • • × • 7 1 •

•

•

8

2

2 •

• •

• •

•

a) 21 d) 24

b) 32 e) 26

c) 18

17. Hallar la suma de las cifras del producto: 7 z z × 4 z z z z a) 21 d) 24

z z

4

z

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23. Al lanzar 3 dados, al doble de lo que sali´ o en el primer, se le a˜ nade el triple de lo que sali´ o en el segundo y finalmente el cu´ adruple de lo que sali´ o en el tercer obteni´endose 24. ¿Cu´ al no es la suma de los valores que sali´ o en los 3 dados? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) b ´ oc 24. Una chompa cuesta 19 soles, pero el comprador solo tiene billetes de 3 soles y la cajera solo de 5 soles. ¿Cu´ antos billetes como m´ınimo debe tener el comprador para adquirir una chompa?. a) 10 b) 9 c) 7 d) 8 e) 12

z

4 0 z 7 b) 32 e) 26

0 c) 18

18. Si a un n´ umero de tres d´ıgitos que empiezan en 7 se le suprime este d´ıgito, el n´ umero resultante es 1/26 del numero original.¿Cu´ al es la suma de los tres d´ıgitos de dicho n´ umero? a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24 19. Si se cumple que: ABC × 14 = ⋆ 838. El valor de ABC − BAC es: a) 170 b) 180 c) 240 d) 270 e) 300 20. Si: ABC − CBA = 1 ⊗ ⊗. Adem´ as A + C = 12. El valor de A × C es: a) 35 b) 32 c) 37 d) 20 e) 31 √ 21. Si: AABB = CC. Hallar el valor de: A + B + C. a) 15 b) 19 c) 21 d) 24 e) 20 22. Calcular: W = m + n + p + q + r, si: 3(2mnpqr) = mnpqr2. a) 25 b) 26 c) 27 d) 29 e) 30

25. Se tiene un mont´ on de 84 monedas de 10g cada uno y otro de 54 monedas de 25g cada uno. ¿Cu´ antas monedas deben intercambiarse para que sin variar el n´ umero de cada mont´ on, ambos adquieran el mismo peso?. a) 16 b) 15 c) 18 d) 19 e) 17 26. Un estudiante no sabe si comprar 56 hojas de papel o por el mismo precio 8 l´ apices y 8 lapiceros, luego decide comprar el mismo n´ umero de art´ıculos de cada clase. ¿Cu´ antos art´ıculos compr´ o?. a) 21 b) 24 c) 18 d) 15 e) 20 27. Para pavimentar un patio cuadrado se emplean losetas de 50 x 50 cm si el patio tuviera un metro m´ as por cada lado, se habr´ıa necesitado 140 losetas m´ as. ¿Cu´ anto mide cada lado del patio?. a) 16 m b) 15 m c) 18 m d) 19 m e) 17 m 28. En una feria de ropas por 3 casacas dan 2 pantalones, por 4 pantalones dan 3 camisas, por 12 camisas dan 8 polos, si 5 polos cuestan 150 soles ¿Cu´ anto se tiene que pagar por 5 casacas?. a) 50 b) 60 c) 45 d) 24 e) 48

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Razonamiento Matem´ atico

39

´ ´ CAP. 06: NUMERACION. CRIPTOARITMETICA. 4 OPERACIONES Sistemas de numeraci´ on 1. Expresar N en la base 4 y dar como resultado la suma de las cifras: N = 3 × 83 + 2 × 82 − 3 × 8 + 1 a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 2. Escribir 1346(n) + 264(n) en base (n + 1) a) 1234(n+1) b) 1324(n+1) c) 1432(n+1) d) 1243(n+1) e) 1342(n+1) 3. En que sistema de numeraci´ on se cumple:

= 5/7. 0.41 a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 4. Hallar el valor “n” en: 14

= 66

14 14 . 13 veces

..

..

(9)

14 (n)

a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

5. Cu´ antos n´ umeros capic´ uas de 3 cifras son iguales a 46 veces la suma de sus cifras. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6. Un n´ umero capic´ ua de 3 cifras en el sistema decimal es un n´ umero de 5 cifras iguales en el sistema ternario. Hallar la suma de todos los n´ umeros capic´ uas en el sistema decimal. a) 1000 b) 980 c) 1210 d) 1450 e) 1250 7. Calcular el valor de “a” si: (3x)x(3x)(y) = xy4(11) , x > 2. Adem´ as: 1a

= xx(x−1)

1a (x+1)(x+2) veces

a) 6 d) 10

1a .

..

..

b) 7 e) 11

1a

c) 8

0.4.

8. ¿En que sistema de numeraci´ on se emplean 2240 cifras para escribir todos los n´ umeros cap´ıcuas de cinco cifras?. a) senario b) notario c) heptal d) undecimal e) octal 9. Hallar el resultado de: z

20 cifras }|

{

W = 18 +118 +1118 +11118 +· · ·+111 . . . 1118 a) d)

821 −148 49 821 +148 49

b) e)

820 −140 49 820 −20 49

c)

820 −1 49

10. Hallar el producto de las cifras del n´ umero xyx, sabiendo que su complemento aritm´etico es: N = a(y + 3)(y + 2) a) 15 b) 45 c) 75 d) 13 e) 24 11. Cuanto suman los n´ umeros capic´ uas de tres cifras que son iguales a 46 veces la suma de sus cifras. a) 1514 b) 1415 c) 1654 d) 1314 e) 1242 12. Daddy Yankee ten´ıa cab soles y durante c d´ıas gast´ o ab soles por d´ıa, entonces le qued´ o abc soles. ¿Cu´ anto le qued´ o? a) 281 b) 182 c) 812 d) 821 e) 123 13. Hallar el mayor producto de las cifras del n´ umero capic´ ua, de tres cifras, cuya suma de las mismas es 12. a) 32 b) 45 c) 64 d) 36 e) 24 14. Si a un n´ umero de tres cifras significativas que empieza con la cifra m´ axima, se le suprime esta cifra, el n´ umero queda disminuido en el doble de sus 10/21. Cu´ anto suman en el sistema nonal, las cifras de dicho n´ umero. a) 18 b) 20 c) 15 d) 13 e) 24 15. ¿Cu´ antos n´ umeros no pares existen entre los numerales 3124 y 3137 inclusive? a) 18 b) 20 c) 52 d) 43 e) 34

40

Razonamiento Matem´ atico Criptoaritm´ etica

Cuatro operaciones

16. Si en una divisi´ on, el dividendo es a ⊛ aaaa, el divisor es a68, el cociente 86a y el residuo 92. Hallar el valor de “a” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17. Si abcd×9999 = . . . 4276, hallar: a+b+c+d a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 18. Si (a + b + c)3 = 2197, hallar: a8b + cbc + 5a + bc9 + a3 a) 1585 b) 1685 c) 1595 d) 1485 e) 1565 √ F 19. Si LOR = F , hallar: F + L + O + R a) 16 b) 9 c) 5 d) 18 e) 17 20. Siendo ab0 + a0c + bc + c = bcc. Calcular: bcc, sabiendo que es menor que 500. a) 255 b) 314 c) 215 d) 250 e) 315 21. Si W AD × 148 = . . . 136. Calcular la suma de las 3 u ´ltimas cifras del resultado de: W AD × 592. a) 11 b) 12 c) 13 d) 10 e) 14 22. Si AM + M A = 187; con A > M . Calcular: A + M + A. a) 24 b) 25 c) 22 d) 26 e) 23 23. Si:

abc bc 80 11 Hallar: “a + b + c” a) 19 b) 20 d) 14 e) 16

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c) 22

24. Si se cumple que: a × ab × abc = 41514. Hallar: “a − b + c” a) 0 b) 7 c) 4 d) 2 e) 5 25. Sabiendo que: CAI + ICA + AIC = 166012 . Encuentre C × I × A a) 504 b) 720 c) 620 d) 360 e) 288

26. Alessandra recibe su propina y se pone a jugar: en el primer juego duplica su dinero y gasta 20 soles; vuelve a jugar y triplica su dinero y entusiasmado gasta 90 soles; decide jugar por u ´ltima vez cuadruplicando lo que ten´ıa. Si se retira con 600 soles. Hallar el valor de la propina. a) 50 b) 60 c) 45 d) 24 e) 48 27. Dos secretarias tienen que escribir 900 cartas cada una; la primera escribe 25 cartas por hora y la segunda 22 cartas por hora. Cuando la primera haya terminado su trabajo, ¿Cu´ antas cartas le faltar´ an escribir a la segunda?. a) 98 b) 40 c) 20 d) 108 e) 80 28. La suma, el producto y el cociente de dos n´ umeros dan un valor constante. ¿Cu´ al es dicho valor? a) −1/2 b) 2 c) −1 d) 1 e) 1/2 29. En una balanza de 2 platillos se tiene 38 esferas que pesan 25g cada una y 77 esferas que pesan 10g cada una. ¿Cu´ antas esferas se deben intercambiar para que se encuentren en equilibrio, sabiendo que de ambos platillos se saca la misma cantidad de esferas?. a) 8 b) 12 c) 6 d) 14 e) 10 30. Un ´ omnibus que hace servicios de Chiclayo a Cusco cobra 88 soles como pasaje u ´nico y en el trayecto se observa que cada vez que baja un pasajero, suben 3. Si lleg´ o a Cusco con 49 pasajeros y una recaudaci´ on de 5456 soles. ¿Cu´ antas personas partieron de Chiclayo?. a) 21 b) 23 c) 18 d) 20 e) 26 31. Se compra lapiceros a 2 por 5 soles y se vende a 3 por 8 soles. ¿Cu´ antos soles se ganar´ a si se venden 240 lapiceros?. a) 40 b) 35 c) 60 d) 30 e) 45

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Razonamiento Matem´ atico

41

´ CAP. 07: CONTEO DE FIGURAS. MAXIMOS Y M´INIMOS. EDADES

0.1.

(estrella de 6 puntas) se puede ver en total:

Conteo y trazado de figuras 1. Cu´ antos semicirculos hay en total en la figura:

I. Tres rombos. II. Seis trapecios is´ osceles. III. Ocho tri´ angulos equilateros.

a) 16 d) 64

b) 32 e) 48

c) 24

2. Hallar el n´ umero total de diagonales en la figura:

a) 280 d) 360

b) 140 e) 560

c) 500

3. Diga en cu´ anto excede el n´ umero de v´ertices impares al n´ umero de v´ertices pares de la figura:

Indique cu´ ales de las siguientes afirmaciones es la correcta: a) I, II y III son verdaderas. b) I, II y III son falsas. c) S´ olo II es verdadera. d) S´ olo I es verdadera. e) S´ olo I y II son verdaderas. 5. Hallar el n´ umero de cuadrilateros de la figura:

a) 17 d) 25

b) 20 e) 28

6. El n´ umero de tri´ angulos en la figura:
A
A 1
A
A2 3
·· AA
··
A ·
A 38 A 39

A 40

a) 39 d) 88 a) 20 d) 11

b) 15 e) 12

c) 10

c) 30

b) 40 e) 89

c) 86

7. Cu´ antos segmentos hay en total en la figura: t t

4. En el pol´ıgono estrellado de la figura:

t t

t

t t t t

a) 78 d) 36

t t

b) 41 e) 31

t t

c) 26

42

Razonamiento Matem´ atico M´ aximos y m´ınimos 8. En una caja hay 10 esferas amarillas, 12 azules y 15 verdes. ¿Cu´ al es el m´ınimo n´ umero de esferas que se debe extraer al azar de manera que se obtengan 10 de un mismo color? a) 30 b) 28 c) 29 d) 27 e) 26 9. De 7 fichas rojas, 9 azules y 11 verdes. ¿Cu´ al es el m´ınimo n´ umero que se debe extraer para tener la certeza de haber extra´ıdo un color por completo? a) 22 b) 23 c) 26 d) 24 e) 25

10. Un vaso de yogurt contiene seg´ un la marca, entre 15 y 25 calor´ıas. Si la dieta de Mar´ıa Kirilenko le permite desayunar s´ olo yogurt, en una cantidad de 75 calor´ıas. ¿Cu´al ser´ a lo m´ aximo que ella gastar´ a si cada vaso cuesta entre 2,5 y 3 soles? a) S/.9 b) S/.12,5 c) S/.15 d) S/.17,5 e) S/.18 11. Se compraron casacas de cuero a 50 y 100 d´ olares cada una y se vendieron entre 90 y 125 d´ olares. ¿Cu´ al es la m´ axima cantidad que puede haber de ganancia por la venta de 4 casacas? a) 300 b) 100 c) 125 d) 75 e) 350 12. Si “x” tiene un valor entre 4 y 5 y “z” tiene un valor entre 20 y 40. Entre qu´e valores estar´ a “z/x”. a) 5 y 8 b) 4 y 8 c) 4 y 5 d) 4 y 10 e) 5 y 10 13. ¿Cu´ al es el m´ınimo n´ umero de soldados que se necesita para formar 6 filas de 4 soldados cada fila? a) 34 b) 12 c) 36 d) 18 e) 6 14. ¿Cu´ antas personas como m´ınimo hay en 5 filas de 4 personas cada fila? a) 8 b) 9 c) 20 d) 12 e) 10 Edades

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15. Las edades de los cinco integrantes de SODA ESTEREO son n´ umeros consecutivos. Si la suma de los cuadrados de los dos mayores es igual a la suma de los cuadrados de los otros tres. Determinar la suma de las cinco edades. a) 75 b) 60 c) 65 d) 70 e) 18 16. Hace 3 a˜ nos Flor le dijo a Alessandra: dentro de 7 a˜ nos la relaci´ on de nuestras edades ser´ a como 22 a 7. Determinar la edad actual de Flor; si la relaci´ on actual es como 4 a 1. a) 48 b) 20 c) 30 d) 42 e) 40 17. La edad que tendr´e dentro de 2m a˜ nos es a lo que ten´ıa hace m a˜ nos como 8 es a 5. ¿Qu´e edad tendr´e dentro de 3m a˜ nos, si mi edad actual es 60 a˜ nos? a) 105 b) 75 c) 90 d) 100 e) 120 18. Si a la suma del a˜ no en que nac´ı con el a˜ no en que tuve 18 a˜ nos, le restamos la suma del a˜ no actual con el a˜ no en que tendr´e 30 a˜ nos, resultar´ıa mi edad actual, menos 52 a˜ nos. ¿Qu´e edad tendr´e dentro de 8 a˜ nos? a) 28 b) 25 c) 26 d) 27 e) 24 19. Dentro de 8 a˜ nos la edad de Peter Pan ser´ a la que Campanita tiene ahora. Dentro de 15 a˜ nos Peter Pan tendr´ a 4/5 de la edad que entonces tendr´ a Campanita. ¿Cu´ al era la suma de sus edades; cuando Campanita ten´ıa el doble de la edad de Peter Pan? a) 27 b) 25 c) 26 d) 24 e) 28 20. Hace “n” a˜ nos la relaci´ on de las edades de dos personas es de 6 a 5, si la diferencia de los cuadrados de sus edades es 111. ¿Cu´ al ser´ a la relaci´ on de sus edades dentro de “3n” a˜ nos? a) 26/25 b) 26/23 c) 27/25 d) 28/29 e) 18/17 21. Dentro de 4 a˜ nos la suma de las edades de 2 hermanos ser´ a “k” a˜ nos, si hace 4 a˜ nos la edad del mayor era el triple de la edad del menor. Hallar la edad actual del mayor. a) 34 k + 6 b) 32 k − 6 c) 2k − 5 d) 3k − 6 e) 34 k − 8

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Razonamiento Matem´ atico

43

´ CAP. 07: CONTEO DE FIGURAS. MAXIMOS Y M´INIMOS. EDADES Conteo y trazado de figuras 1. ¿Cu´ antos tri´ angulos hay en total en la figura?

a) 30 d) 35

b) 33 e) 42

c) 36

2. Hallar el n´ umero de tri´ angulos que se pueden contar como m´ aximo en la figura? 1

2

3

·········

17

a) 8 d) 4

b) 7 e) 5

Fig. I

'$ '$ '$ @  @    '$ '$    &% &% &%  @@ &% &%

Fig. III b) I y II d) Todas

a) II y III c) Ninguna e) S´ olo II

b) 1627 e) 1505

c) 1684

6. ¿De cu´ antas maneras se puede leer la palabra UNIVERSIDAD?. U N I V E

3. ¿C´ uantos cuadrilateros no cuadrados hay en la figura:

a) 90 d) 190 a) 85 d) 335

b) 125 e) 505

c) 420

c) 6

5. ¿Cu´ al o cu´ ales de las siguientes figuras se puede trazar sin levantar la mano ni pasar dos veces por una misma l´ınea?

Fig. II

a) 1785 d) 1714

0.2.

N I V E R

I V E R S

V E R S I

b) 110 e) 150

E R S I D

R S I D A

S I D A D c) 210

7. ¿Cu´ al es el menor n´ umero de rectas que deben trazarse, para dividir la figura en 6 regiones?

4. Hallar el n´ umero de tri´ angulos en la figura

a) 2 d) 1

b) 4 e) 5

c) 3

44

Razonamiento Matem´ atico M´ aximos y m´ınimos 8. ¿Cu´ antos soldados como m´ınimo hay en 6 filas de 3 soldados cada fila? a) 5 b) 15 c) 7 d) 16 e) 18 9. Sumar el m´ aximo y el m´ınimo valor entero de “x” en: −12 < 4x + 8 < 20 a) −2 d) −3

c) −1

b) 4 e) 1

10. Cu´ al es el m´ aximo valor de W en: 60 W = 2 x − 10x + 27 a) 15 d) 30

b) 60 e) 120

c) 20

11. Hallar el m´ aximo valor que toma “y” en: y = −x2 + 6x − 8 a) 2 b) 1 c) 3 d) 5 e) 6 12. Si a+b = 3 y a > 0, b > 0. Hallar el m´ aximo valor de: F (a, b) = ab a) 3/2 b) 9/7 c) 9/5 d) 9/13 e) 9/4 13. Si a, b representan n´ umeros naturales tales que a + b = 20. El m´ aximo valor de ab ser´ a: a) 20 b) 50 c) 100 d) 95 e) 110 14. Dentro de una urna depositamos 15 esferas rojas, 19 blancas, 24 negras, 40 azules y 56 verdes. ¿Cu´ antas esferas hay que sacar como m´ınimo para estar seguro de haber extra´ıdo 15 de uno de los colores? a) 71 b) 70 c) 72 d) 73 e) 74 15. Hallar el m´ınimo valor que puede tomar: È

2x2 + 8x + 12

W = a) 1 d) 2

b) 5 e) 8

2x2

b) 12 e) 11

c) 13

Edades 17. Batman le dice a Robin: “Yo tengo el triple de edad que t´ u ten´ıas cuando yo ten´ıa la edad que tienes. Pero cuando transcurra el doble del tiempo de aquel entonces al presente, nuestras edades sumar´ an 108 a˜ nos. ¿Qu´e edad tiene Batman? a) 35 b) 37 c) 36 d) 31 e) 29 18. Cuando t´ u nacistes, yo ten´ıa la tercera parte de la edad que tengo ahora. ¿Cu´ al ser´ a tu edad cuando yo tenga el doble de la edad que tienes, si en ese entonces nuestras edades sumar´ an 56 a˜ nos? a) 24 b) 23 c) 21 d) 35 e) 29 19. En 1963 la edad de Pel´e era 9 veces la edad de su hijo. En 1968 era solamente el qu´ıntuplo de la de ´este, en 1993, el n´ umero de a˜ nos que cumpli´ o el padre fue: a) 70 b) 65 c) 85 d) 75 e) 80 20. Popeye le dice a Pluto: “Yo tengo la edad que t´ u ten´ıas, cuando yo ten´ıa la edad que t´ u tuviste; cuando yo tuve la cuarta parte de la edad que t´ u tienes. ¿En que relaci´ on se encuentran nuestras edades? a) 1/2 b) 3/4 c) 2/3 d) 5/3 e) 3/7 21. La edad de mi esposo dec´ıa Flor, es un n´ umero formado por las dos mismas cifras de mi edad, pero dispuestos en orden inverso, ´el es mayor que yo, y la diferencia entre nuestras edades es un onceavo de su suma. Encontrar la edad de Flor. a) 36 b) 38 c) 42 d) 46 e) 45

c) 3

16. Hallar el m´ınimo valor que puede tomar: A= √

a) 10 d) 15

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60 − 4x + 27

22. Mi hermano me lleva 8 a˜ nos. ¿Dentro de cu´ antos a˜ nos su edad ser´ a el doble que la m´ıa, si hace tres a˜ nos era el triple? a) 2 b) 3 c) 1 d) 5 e) 4

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Razonamiento Matem´ atico

45

´ CAP. 07: CONTEO DE FIGURAS. MAXIMOS Y M´INIMOS. EDADES

0.3.

Conteo y trazado de figuras 1. El n´ umero de segmentos en la figura es:

a) 96 d) 94

b) 48 e) 104

c) 88

6. ¿Cu´ antos tri´ angulos hay en la figura? a) 250 d) 280

b) 266 e) 232

c) 225

2. ¿De cu´antas maneras diferentes se puede leer la palabra INDUCCION? I NN DDD UUUU CCCCC CCCCCC I I I I I I I OOOOOOOO NNNNNNNNN a) 250 d) 128

b) 127 e) 256

a) 25 d) 29

c) 255

R ROR ROMOR ROMAMOR b) 16 e) 25

c) 26

7. ¿Cu´ antos tri´ angulos hay en la figura?

3. ¿De cu´antas maneras diferentes se puede leer la palabra ROMA?

a) 12 d) 18

b) 24 e) 30

······

1 2 3 a) 110 d) 175

10

b) 61 e) 195

c) 55

8. ¿Cu´ al de las figuras se puede dibujar sin repetir el trazo ni levantar el l´ apiz del papel? c) 15

4. ¿Cu´ antos tri´ angulos hay en un tablero de ajedrez si se traza una diagonal? a) 70 b) 72 c) 75 d) 76 e) 80 5. ¿Cu´ antos tri´ angulos hay en la figura?

I a) S´ olo II d) S´ olo III

III

II b) S´ olo I e) I y II

c) Todas

46

Razonamiento Matem´ atico M´ aximos y m´ınimos 9. Se tiene un juego que permite un m´ aximo de 5 jugadas. Si se gana, se recibe S/. 10 y si se pierde se paga S/. 10. Si Melissa tiene S/. 20 y espera obtener S/. 40 o quedar sin dinero para retirarse. ¿De cu´ antas maneras podr´ a ella lograr S/. 40? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 8

10. Los art´ıculos que salen de una l´ınea de producci´ on se clasifican como defectuosos y no defectuosos. Se observa la l´ınea, los productos y se anota su condici´ on. Si se sabe que la m´ aquina se detiene cuando: Se producen dos art´ıculos defectuosos consecutivos. Se producen 4 art´ıculos cualesquiera. ¿Cu´ antas combinaciones de producci´ on diferentes tiene la m´ aquina? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 11. ¿Cu´ antos cortes debe darse a una soga de (k2 − 1) metro de largo para tener pedazos de k − 1 metros de largo? a) k − 2 b) k + 1 c) k d) k − 1 e) 2k 12. Se tiene una balanza con platillos y varias pesas de 5g, 20g y 100g. ¿Cu´ al ser´ a la menor cantidad de pesas a usar para pesar 3/4 de kilo de manzana?. a) 11 b) 13 c) 14 d) 15 e) 18 13. En una reuni´ on se encuentran presentes 250 personas. ¿Cu´ antas personas como m´ınimo deber´ an llegar para que en dicha reuni´ on tengamos la seguridad de que est´en presentes dos personas con la misma fecha de cumplea˜ nos?. a) 733 b) 116 c) 117 d) 732 e) 1099 Edades 14. El´ıas le dice a Martha: Yo tengo el doble de la edad que tu ten´ıas cuando yo ten´ıa la

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edad que tu tienes, pero cuando tu tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades ser´ a 81 a˜ nos. ¿Que edad tiene El´ıas?. a) 18 b) 21 c) 24 d) 36 e) 42 15. La edad de Martha es el triple de la edad de Daniela, pero dentro de 50 a˜ nos, la relaci´ on, ser´ a de 11/7. ¿Qu´e edad tiene Martha cuando Daniela ten´ıa 10 a˜ nos?. a) 40 b) 30 c) 50 d) 60 e) 65 16. Las edades de dos hermanos son tales que dentro de 15 a˜ nos sumaran 58 a˜ nos y hace 4 a˜ nos, la edad del mayor era tres veces m´ as de la edad del menor. Hallar las diferencias de sus edades. a) 7 b) 9 c) 13 d) 12 e) 15 17. Hace 7 a˜ nos la edad de Shakira era el triple de la de su hija; pero dentro de 9 a˜ nos ser´ a s´ olo el doble. ¿Cu´ al es la suma de las edades actuales? a) 73 b) 74 c) 76 d) 78 e) 80 18. Flor le dice a Alessandra, el MCM de nuestras edades es el doble de mi edad y el MCD de nuestras edades es la tercera parte de mi edad. Si yo nac´ı 24 a˜ nos antes que t´ u. ¿Cu´ al es mi edad? a) 24 b) 72 c) 36 d) 60 e) 42 19. Las edades de Roger Federer y Rafael Nadal est´ an formados por las mismas cifras pero en orden invertido. Si cuando Roger ten´ıa el doble de la edad que ten´ıa Rafael, ´este ten´ıa la mitad de la edad que tendr´ıa dentro de un a˜ no. La edad de Roger es: a) 53 b) 60 c) 65 d) 35 e) 56 20. Dentro de 4 a˜ nos, la edad de Conan ser´ a el triple de la edad de Rambo. ¿Cu´ al es la edad actual de Rambo, si hace 2 a˜ nos la edad de Conan era el s´extuple de la edad de Rambo? a) 12 b) 8 c) 10 d) 16 e) 6

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Razonamiento Matem´ atico

47

´ CAP. 07: CONTEO DE FIGURAS. MAXIMOS Y M´INIMOS. EDADES a) 18 d) 15

Conteo y trazado de figuras 1. ¿Cu´ antos tri´ angulos hay en la figura?

a) 18 d) 15

b) 20 e) 16

b) 20 e) 16

0.4.

c) 12

5. ¿Cu´ antos pol´ıgonos regulares hay en la figura?

c) 12

2. Hallar el n´ umero de paralelep´ıpedos no cubos en la figura:

a) 10 d) 15

b) 20 e) 16

c) 12

6. ¿C´ uantos cuadrados contienen solo un tr´ebol (♣) en la figura:

a) 3600 d) 360

b) 7200 e) 7190

c) 7560

3. ¿Cu´ antos semic´ırculos hay en la figura? 3

4 5

a) 6 d) 10

♣

♣

♣

b) 8 e) 11

♣

c) 9

7. ¿Cu´ antos tri´ angulos hay en total en F20 de la figura?

2 m 1 1

2

3 n

F1 a) mn d) 2mn

b) 2n(m − 1) e) 2m(n − 1)

c) n(m − 1)

4. ¿Cu´ antos segmentos hay en la figura?

a) 40 d) 81

F2 b) 45 e) 100

F3 c) 64

8. Hallar el n´ umero de cuadril´ ateros en la figura siguiente:

a) 16 d) 10

b) 14 e) 12

c) 18

48

Razonamiento Matem´ atico M´ aximos y m´ınimos 9. Calcular el mayor cuadrado perfecto de 4 cifras siendo 9 su cifra de unidades. Dar como respuesta la suma de cifras. a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

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16. T´ u tienes la edad que yo ten´ıa cuando tu ten´ıas 10 a˜ nos. Se sabe que cuando yo tenga 34 a˜ nos t´ u tendr´ as la edad que yo tengo. ¿Cu´ antos a˜ nos tienes actualmente? a) 20 b) 18 c) 16 d) 12 e) 14

10. A y B son dos n´ umeros diferentes de dos cifras cada uno. ¿Cu´ al es el mayor valor que puede tomar la expresi´ on: A.B W = A−B

17. Diana tuvo su primer hijo a los 18 a˜ nos, su segundo hijo a los 24 a˜ nos y 9 a˜ nos despu´es a su tercer hijo. Si en 1999 la suma de las edades de los 4 fue 97 a˜ nos. ¿En que a˜ no naci´ o Diana? a) 1954 b) 1956 c) 1960 d) 1952 e) 1958

11. La diferencia entre el mayor n´ umero n´ umero impar de 4 cifras diferentes y el mayor n´ umero de 4 cifras impares diferentes es: a) 122 b) 133 c) 144 d) 124 e) 142

18. Yo tengo el cu´ adruple de la edad que t´ u ten´ıas cuando yo ten´ıa la edad que t´ u tienes, pero cuando tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades ser´a de 95 a˜ nos. Hallar la suma de las edades actuales. a) 70 b) 60 c) 75 d) 80 e) 65

a) 9801 d) 9207

b) 9702 e) 9306

c) 9603

12. De un juego de naipes (52 naipes, 13 de cada palo). ¿Cu´ antos hay que extraer como m´ınimo para tener la certeza de haber obtenido tres naipes pares de color rojo? a) 45 b) 44 c) 43 d) 42 e) 41 13. Dentro de una urna depositamos 150 esferas numeradas del 1 al 150. ¿Cu´ antas esferas hay que extraer como m´ınimo para tener la certeza de haber obtenido una esfera con numeraci´ on que termine en cero? a) 135 b) 136 c) 133 d) 134 e) 137 14. Se compran camisas cuyo precio unitario var´ıa desde S/.12 hasta S/. 21 y se vende cada una a un precio que var´ıa desde S/.18 hasta S/. 25. ¿Cu´ al es la m´ axima ganacia que se puede obtener por la venta de 5 camisas? a) 65 b) 75 c) 30 d) 25 e) 35 15. Si a, b representan n´ umeros naturales diferentes tales que a+ b = 100. El m´ aximo valor de ab ser´ a: a) 2699 b) 2469 c) 3000 d) 2649 e) 2499 Edades

19. Hace 8 a˜ nos una persona ten´ıa una edad igual a la raiz cuadrada del a˜ no en que naci´ o. ¿Qu´e edad tiene ahora? a) 50 b) 48 c) 56 d) 52 e) 54 20. Al preguntarle la edad al abuelo de Michael Jackson este contest´ o: No tengo menos de 45, pero a´ un no tengo m´ as de 63 a˜ nos. Cada uno de mis hijos me ha dado tantos nietos como hermanos tiene; y mi edad es exactamente el triple del n´ umero de hijos y nietos que tengo. Halle la edad del abuelo. a) 57 b) 50 c) 54 d) 52 e) 48 21. Cesar tendr´ a “x” a˜ nos, dentro de 4 a˜ nos. Lucas hace 5 a˜ nos ten´ıa “x” a˜ nos ¿Por cu´ antos a˜ nos supera Lucas a Cesar? a) 6 b) 4 c) 9 d) 7 e) 5 22. Hace 14 a˜ nos mi edad era el triple de la tuya, pero dentro de 7 a˜ nos mi edad ser´ a el cu´ adruplo de la edad que tu ten´ıas cuando yo ten´ıa la edad que t´ u tienes ¿Qu´e edad tienes? a) 29 b) 21 c) 19 d) 17 e) 23

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Razonamiento Matem´ atico

49

´ CAP. 08: DIVISIBILIDAD. NUMEROS PRIMOS. MCD Y MCM ◦

1. Si 1a2aa5 = 11. Hallar “a”. a) 5 b) 9 d) 8 e) 6

c) 7

2. Hallar x + y sabiendo que el n´ umero 2x45y es m´ ultiplo de 72. a) 5 b) 6 c) 9 d) 8 e) 7 3. ¿Cu´ antos n´ umeros positivos de tres cifras son m´ ultiplos de 13 que terminan en la cifra cero? a) 13 b) 10 c) 7 d) 9 e) 5 4. Del 2000 al 3000. ¿Cu´ antos n´ umeros son m´ ultiplos de 7 pero no de 13? a) 132 b) 134 c) 139 d) 143 e) 151 5. Del 2000 al 3000 son m´ ultiplos de a) 154 d) 209

¿Cu´ antos n´ umeros enteros 7 0 13?. b) 143 c) 210 e) 200 ◦

◦

6. ¿Cu´ antos n´ umeros de 3 cifras son 3 o 4 pero ◦ no de 5? a) 345 b) 360 c) 347 d) 456 e) 678 7. Calcule la suma de todos los n´ umeros positivos de dos cifras, tal que al dividirse entre 8 se obtienen residuos m´ aximos a) 354 b) 560 c) 495 d) 412 e) 605 ◦

8. Hallar el menor n´ umero N , si: N = 7 +3 y ◦ 4N = 15 +13 a) 124 b) 65 c) 52 d) 137 e) 157 ◦

9. Si se sabe que: a(a + 1)a = 7 y (a + 1)b1 = ◦ 9. Hallar: E = b2 − a2 a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15 10. Hallar el residuo de la divisi´ on por 9 del n´ umero (65)42 a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 0

0.1.

11. Calcule el residuo al dividir: (1333)508 entre 11 a) 9 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8 12. Calcular el resto que se obtiene al dividir la expresi´ on: W = 23k+1 + 26k+4 + 23 entre 7 a) 1 b) 3 c) 9 d) 7 e) 5 13. Hallar la suma de las cifras del menor ◦ n´ umero abcd tal que: abcd = 19 y cd = CA(ab). a) 10 b) 15 c) 19 d) 18 e) 26 14. Si N = 15 × 21n tiene 220 divisores dar como respuesta n2 . a) 81 b) 64 c) 100 d) 121 e) 49 15. ¿Cu´ antas veces habr´ a que multiplicar por 8 al n´ umero 300 para que el producto resultante tenga 126 divisores? a) 9 b) 5 c) 3 d) 6 e) 10 antos 16. Sabiendo que N = 321 × 103 ¿Cu´ n´ umeros no m´ ultiplos de 6 est´ an contenidos exactamente en N ? a) 30 b) 40 c) 45 d) 48 e) 36 17. Si N = 4400 . . . 00} ¿Cu´ antos de sus divisores | {z 12 cifras

son m´ ultiplos de 55 pero no de 2? a) 64 b) 12 c) 130 d) 96 e) 10 2

18. Hallar: a + b; si ab tiene 12 divisores y ab tiene 33 divisores. a) 12 b) 8 c) 15 d) 10 e) 3

19. Las cifras del n´ umero abcabc son todas diferentes de cero. Si el n´ umero es el menor posible y tiene 16 divisores ¿Cu´ al es la suma de sus cifras? a) 12 b) 8 c) 10 d) 18 e) 24

50

Razonamiento Matem´ atico

20. La suma de los divisores de N = 25 × p × q; es el triple de N ¿Cu´ antos divisores tiene el n´ umero (p − q)(p − q), si p y q son n´ umeros primos? a) 8 b) 5 c) 4 d) 6 e) 9 21. Si MCD(A, B) = 14m MCD(C, D) = 21m MCD(A, B, C, D) = 42 Hallar m a) 7 b) 6 d) 21 e) 12

c) 14

22. Hallar 2 n´ umeros P.E.S.I., tal que el MCM de ellos sea 330 y su diferencia sea 7. Dar como respuesta la suma de dichos n´ umeros. a) 57 b) 42 c) 47 d) 52 e) 37 23. Leonardo quiere visitar a Alessandra pero no se acuerda de la direci´ on donde vive. S´ olo recuerda que la calle era Tumi, donde el n´ umero ten´ıa 4 divisores y la suma de aquellos eran 600 ¿En qu´e n´ umero de la calle Tumi vive Alessandra?, si Alessandra vive en la cuadra tres de dicha calle. a) 399 b) 348 c) 398 d) 324 e) 340 24. Se dispone de ladrillos cuyas dimensiones son 16cm × 20cm × 10cm ¿Cu´ antos de estos ladrillos como m´ınimo se necesitar´ an para formar un cubo perfecto? a) 160 b) 190 c) 180 d) 145 e) 300 a

25. Si: N = ab · 2c · (a + 1)c · (2c)d · dd · ba est´ a descompuesto can´ onicamente. Calcular: a + b + c + d a) 9 b) 11 c) 13 d) 17 e) 15 26. Si 27a tiene “n” divisores. ¿Cu´ antos divia sores tendr´ a 729 ? a) 2n + 1 b) 2n − 1 c) 2n d) 4n − 2 e) 4n − 1 27. Si el n´ umero: N = 40 × 15a tiene 116 divisores compuestos. Hallar “a” a) 2 b) 3 c) 6 d) 5 e) 4

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28. Cu´ antos divisores de “N ” no son m´ ultiplos 2 de 6, siendo N = 180 × 45 a) 24 b) 48 c) 36 d) 56 e) 84 29. Si W = 2(13m+2 + 13m ) tiene 16 divisores que son m´ ultiplos de 4. ¿Cu´ antos divisores en total tiene W ? a) 48 b) 26 c) 30 d) 32 e) 24 30. Si W = 2(13m+2 + 13m ) tiene 16 divisores que no son m´ ultiplos de 4. ¿Cu´ antos divisores en total tiene W ? a) 32 b) 26 c) 30 d) 24 e) 48 31. Calcular “n” si: N = 18×234n ×42n+2 tiene 700 divisores m´ ultiplos de 7 pero PESI con 13. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 32. Si A = 2 × 15k y B = 30k el n´ umero de divisores de B es el cu´ adruple del n´ umero de divisores de A. Calcule el n´ umero de divisores compuestos de N = (k + 3)k+1 . a) 72 b) 73 c) 78 d) 80 e) 86 33. Las edades de dos hermanos se pueden representar por dos n´ umeros primos absolutos y se sabe que la suma de dichas edades es 24. Adem´ as si al producto de dichas edades se le agrega la unidad el n´ umero resultante tiene 15 divisores ¿Qu´e edad tiene el menor? a) 13 b) 17 c) 11 d) 19 e) 7 34. Hallar A × B, sabiendo que MCM(42A, 6B) = 8064 y MCD(77A, 11B) = 88 a) 1536 b) 1476 d) 1356 e) 1748

c) 1756

35. Sabiendo que: MCD(a5a, 7b7) = 11. Hallar el MCM(a2, b4) a) 1367 b) 1359 c) 1350 d) 1394 e) 1435

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Razonamiento Matem´ atico

51

´ CAP. 08: DIVISIBILIDAD. NUMEROS PRIMOS. MCD Y MCM 1. ¿Cu´ antos n´ umeros de 3 cifras son m´ ultiplos de 14 y termina en 8? a) 18 b) 12 c) 24 d) 13 e) 27 2. ¿Cu´ al debe ser N = 1a 11a 111a m´ ultiplo de 9? a) 3 d) 6

el valor de a para que . . . que tiene 77 cifras sea b) 4 e) 9

c) 5

3. Determinar ¿cu´ antos n´ umeros de 3 cifras son divisibles por 2 y 5 a la vez, pero no por 3? a) 240 b) 30 c) 120 d) 60 e) 150 4. Un n´ umero de la forma siempre m´ ultiplo de: a) 41 b) 43 d) 17 e) 9

(3a)(3b)ab

es

c) 11

5. Hallar el n´ umero de la forma: ◦ x(x + 1)(x + 2)(x − 1)x , si es 11 +9 a) 67856 b) 78967 c) 56745 d) 34523 e) 23412 6. ¿Cu´ antos n´ umeros de 3 cifras, cuya cifra de las decenas es 5, cumplen con ser m´ ultiplos de 36? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 36 7. ¿Cu´ antos n´ umeros capic´ uas de 4 cifras son divisibles por 63? a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 5 8. ¿Cu´ antos n´ umeros de 3 cifras divisibles entre 11 tienen como complemento aritm´etico un n´ umero m´ ultiplo de 13? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 9. Si la suma de 45 n´ umeros consecutivos resulta un m´ ultiplo de 17. ¿Cu´ al ser´ a el menor valor que puede tomar el primero de ellos? a) 12 b) 15 c) 13 d) 17 e) 19

0.2.

10. Hallar un n´ umero de 3 cifras que al ser disminu´ıdo en 3 unidades sea divisible por 5 y por 14, tal que, la suma de sus cifras sea 14. Dar como respuesta su cifra de mayor orden. a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 9 11. Determinar el mayor n´ umero menor de 600, tal que, al restarle su complemento aritm´etico de como resultado un m´ ultiplo de 17. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 15 b) 21 c) 17 d) 18 e) 19 12. Hallar la suma de todos los capic´ uas de 3 cifras que sean m´ ultiplos de 33. a) 1565 b) 1484 c) 1221 d) 1969 e) 1211 13. ¿Cu´ antos n´ umeros impares de 3 cifras son divisibles por 7 pero no por 11? a) 58 b) 59 c) 60 d) 61 e) 62 ◦

◦

14. Si 7a9bc = 77 y abc = 25. Hallar: “a”. a) 5 b) 8 c) 4 d) 3 e) 0 15. Hallar un n´ umero de la forma N = mcdu, sabiendo que es divisible por 13 y que adem´ as du = 3(mc+2). Dar como respuesta m.c.d.u a) 542 b) 426 c) 182 d) 162 e) 180 16. Un estudiante perdi´ o un d´ecimo de su boleto de loter´ıa y no recordaba el n´ umero, pero si que era un n´ umero de 4 cifras divisible por 5, 9 y 11 y que la primera y la u ´ltima cifra eran iguales. ¿Cu´ al era el n´ umero?. Dar como resultado la cifra mayor de dicho n´ umero. a) 5 b) 4 c) 8 d) 7 e) 6 17. Si al cuadrado de un n´ umero de 2 d´ıgitos se le resta el cuadrado del n´ umero formado por los 2 d´ıgitos en orden invertido, el resultado

52

Razonamiento Matem´ atico es divisible por: a) 7 b) El producto de los d´ıgitos c) La suma de los cuadrados de los d´ıgitos d) La diferencia de los d´ıgitos e) 13

18. ¿Cu´ antos n´ umeros de 4 cifras que terminan en 6 son m´ ultiplos de 37?. a) 18 b) 25 c) 19 d) 22 e) 30 ◦

19. Sabiendo que 4ab58a = 56. Hallar: a + b. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 ◦

20. Si aa . . . a = 9 +2. Hallar el valor de “a”. | {z } 40 cifras

a) 5 d) 3

b) 6 e) 2

c) 7

◦

21. Si 3aaa2a5 = 11 +4. Hallar el valor de “a”. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 22. Dar la suma de las cifras del n´ umero a17a0, si es divisible por 125. a) 15 b) 18 c) 22 d) 12 e) 17 23. Sabiendo que: A = 45 × 60n ; B = 60 × 45n . Hallar el valor de “n” para que se cumpla: MCM(A, B) = 12MCD(A, B) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 24. ¿Cu´ antos pol´ıgonos regulares se pueden formar de tal manera que su semiper´ımetro sea 120 m. y sus lados miden cantidades enteras iguales?. a) 10 b) 12 c) 11 d) 13 e) 14 25. El producto de dos n´ umeros es: P = (180)5 (27)4 y su MCD es 94 ×43 . Hallar en cuantos ceros termina el MCM de dichos n´ umeros. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 €

21k 2k 9k 5 , 10 , 5

26. Hallar k, si MCM a) 7 b) 5 d) 35 e) 50

Š

= 630 c) 25

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27. Hallar dos n´ umeros sabiendo que suman 78 y su MCD es 13. Dar como respuesta su diferencia. a) 65 b) 13 c) 52 d) 42 e) 50 28. Al explicar el algoritmo de Euclides para hallar el MCD de 2 n´ umeros, se obtuvo como cocientes sucesivos: 2, 4, 1 y 2. Si dichos n´ umeros difieren en 204. ¿Cu´ anto suman? a) 270 b) 504 c) 540 d) 570 e) 620 29. Si tenemos que llenar 4 cilindros de capacidad 72; 24; 36 y 120 galones respectivamente ¿Cu´ al es la capacidad del balde que puede usarse para llenarlos exactamente. Si este esta comprendida entre 2 y 8 galones? a) 4 b) 5 c) 9 d) 7 e) 8 30. En un patio de forma cuadrada se desea acomodar losetas de 15× 24 cm. de tal manera que no sobre ni falte espacio. El menor n´ umero de losetas que se requiere es: a) 60 b) 90 c) 120 d) 40 e) 20 31. A un terreno rectangular de 952 × 544 m. se le quiere cercar con alambre sujeto a postes equidistantes, de manera que disten entre 20 y 60 metros y que corresponda uno a cada v´ertice y otro a cada uno de los puntos medios de los lados. ¿Cu´ antos postes se necesitan? a) 44 b) 66 c) 92 d) 88 e) 108 32. El n´ umero de pollos de un granja es menor que 1000. Si los agrupamos de a 5, de a 6, de a 9 ´ o de a 11 siempre sobra 1. ¿Cu´ antos pollos existen en la granja? a) 991 b) 989 c) 899 d) 919 e) 998 33. Si N = 15(30)x tiene 294 divisores. Hallar: “x”. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

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Razonamiento Matem´ atico

53

´ CAP. 08: DIVISIBILIDAD. NUMEROS PRIMOS. MCD Y MCM 1. Hallar el valor de a, si el n´ umero 13a372 es divisible entre 7. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 ◦

2. Hallar a + b en la expresi´ on: 2a42b = 72 a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 3. Hallar cuantos n´ umeros enteros de 4 cifras existen, tales que sean divisibles por 11 y que terminen en 17. a) 1 b) 4 c) 6 d) 8 e) 14 4. Si se sabe que el 28 de julio del a˜ no 2006 fue viernes. ¿Qu´e d´ıa ser´ a cuando el pr´ oximo presidente del Per´ u asuma su mandato? a) Lunes b) Martes c) Mi´ercoles d) Jueves e) Viernes ◦

5. Si a un n´ umero 7 se le suma los 30 n´ umeros consecutivos el resultado ser´ a: ◦ ◦ ◦ a) 7 +1 b) 7 +2 c) 7 +3 ◦ ◦ d) 7 +4 e) 7 +5 6. Colocar una V en la afirmaci´ on verdadera y una F en la falsa: Si un numero divide a otros dos, entonces siempre divide a:

 Su suma y su diferencia.  Su cociente.  Al residuo de su divisi´on.

a) VVV d) FFF

b) VFF e) FVF

c) VFV

7. Colocar una V en la afirmaci´ on verdadera y una F en la falsa:

 Si un n´umero no divide a otros dos n´ umeros, tampoco puede dividir a su diferencia.

 Si un n´umero es divisible por 15 y 9 siempre es divisible por 135.  Todo n´umero divisible por 63 es divisible por 21.

a) FFF d) FVF

b) VVV e) VVF

0.3. c) FFV

8. Colocar una V en la afirmaci´ on verdadera y una F en la falsa:

 La suma de dos n´umeros impares consecutivos siempre es divisible por 4.  La suma de dos n´umeros pares consecutivos siempre es divisible por 4.  La suma de tres n´umeros pares consecutivos siempre es divisible por 6.

a) VVV d) FVV

b) VFV e) VFF

c) FFF

9. Un comerciante tiene 1000 cajas de un producto, luego de vender cierta cantidad decide verificar el saldo de cajas. Para ello su sobrino las cuenta de 3 en 3 y le sobran 2. Luego va al cajero y cuenta de 5 en 5 e igual le sobran 2, ante esto va al due˜ no y las cuenta de 7 en 7 y nuevamente le sobran 2, y ´el piensa voy a contarlas de 8 en 8, y tambi´en le sobran 2. Viendo esto el due˜ no dice que todo est´ a conforme. ¿Cu´ antas cajas se vendieron? a) 148 b) 152 c) 154 d) 156 e) 158 10. El n´ umero cbacba es siempre divisible por: a) 14 b) 91 c) 17 d) 19 e) 23 11. Si el numeral aba2b es m´ ultiplo de 99. Hallar “a + b”. a) 7 b) 17 c) 16 d) 8 e) 9 12. Si b(a + 2)(a − 1)(b + 3) es divisible por 63. Hallar “a × b” a) 10 b) 12 c) 18 d) 16 e) 24 13. ¿Cu´ antos d´ıgitos tiene el producto 214 × 58 . a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 15 ◦

14. Cuantos divisores 15 tiene 453 ? a) 13 b) 15 c) 10 d) 18 e) 17

54

Razonamiento Matem´ atico

15. Si 48! tiene n divisores, 49! Tendr´ a: a) 49n divisores b) 2n divisores c) 3n divisores d) 8n/7 divisores e) 9n/7 divisores 16. ¿Por cuantos n´ umeros compuestos es divisible el numero 8200? a) 11 b) 12 c) 20 d) 22 e) 24 17. ¿Cu´ antos n´ umeros de tres cifras son primos relativos con 6? a) 150 b) 200 c) 300 d) 450 e) 600 18. Un n´ umero de tres cifras es 15 veces la suma de sus cifras. Hallar la cantidad de divisores del n´ umero. a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 19. Un n´ umero tiene 25 divisores y el triple de este, 30 divisores. ¿Cu´ antos divisores tendr´ a el triple del cuadrado del mismo n´ umero? a) 90 b) 162 c) 40 d) 42 e) 121 20. Hallar a + b, si ab tiene 12 divisores y ab tiene 33. a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

2

21. Si MCD(B/2, 2B/3, 6B/5) = 17, hallar la suma de cifras de B a) 10 b) 12 c) 6 d) 8 e) 9 22. ¿Cu´ antos divisores tendr´ a el MCM de n n 40 × 60 y 60 × 40 ; si su MCD tiene 100 divisores?. a) 280 b) 250 c) 260 d) 200 e) 240 23. Sportacus obtuvo por la venta de polos de igual precio $ 6804 en enero, $ 10800 en febrero y $ 7938 en marzo. Sabiendo que el precio de cada polo est´ a entre $ 15 y $ 20, ¿Cu´anto recaud´ o en abril si vendi´ o 480 polos? a) $ 6780 b) $ 8640 c) $ 10800 d) $ 9600 e) $ 5400

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24. Hallar tres n´ umeros enteros, tales que su suma sea 432, su producto 2 694 384 y su MCD es 18. Dar como respuesta la suma de las cifras de estos n´ umeros. a) 27 b) 33 c) 36 d) 39 e) 45 25. Si MCD(A, B) = 18, adem´ as A y B tienen 8 y 12 divisores respectivamente. ¿Cu´ al es el menor valor que puede tener A + B? a) 126 b) 81 c) 95 d) 144 e) 180 26. Si MCM(A, B) = 320 y A − B = 24. Hallar A + B. a) 52 b) 80 c) 104 d) 150 e) 320 27. El MCD de dos n´ umeros es 36 y su MCM es 5148. Si los dos son menores que 500, su suma es: a) 942 b) 864 c) 760 d) 818 e) 996 28. Tres corredores A, B y C parten juntos desde un mismo punto de una pista circular que tiene 90 metros de circunferencia. La velocidad de A es de 9 m/s; la de B es de 5 m/s y la de C es de 3 m/s. ¿Despu´es de cuanto tiempo tendr´ a lugar el pr´ oximo encuentro de los tres? a) 90 s. b) 45 s. c) 60 s. d) 75 s. e) 105 s. 29. Sabiendo que el MCD de los n´ umeros N , 2730 y 21420 es 1; adem´ as N 6= 1. Si adem´ as N es el menor posible, hallar el complemento aritm´etico de N . a) 89 b) 37 c) 73 d) 71 e) 69 30. Dos n´ umeros cuyo MCD es 10 se suman y se obtiene 100; si la diferencia es menor que 50, ¿Cu´ al es mayor de dichos n´ umeros? a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90 31. El MCD de dos n´ umeros de tres cifras consecutivas crecientes es 9. Hallar el MCM de dichos n´ umeros. a) 7371 b) 14742 c) 29484 d) 23456 e) 45678

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Razonamiento Matem´ atico

55

´ CAP. 08: DIVISIBILIDAD. NUMEROS PRIMOS. MCD Y MCM 1. ¿Cu´ al es la afirmaci´ on falsa? a) Si el MCD de varios n´ umeros es 1; dichos n´ umeros son primos entre s´ı. b) la serie de los divisores comunes a varios n´ umeros es limitada. c) Un n´ umero es m´ ultiplo de 105 si lo es de 3, 5 y 7. d) El MCM de dos n´ umeros dividido entre el MCD de dichos n´ umeros tiene solamente 4 divisores. e) El producto de dos n´ umeros primos absolutos elevado a la potencia “n” tiene (n + 1)2 divisores. ◦

2. Hallar “a + b”. Si 5a10b = 72 a) 15 b) 14 d) 11 e) 13

c) 12

3. En una secci´ on las notas obtenidas por los alumnos fueron: 21, 33 y 77 puntos. Determinar cu´ antos alumnos hab´ıa en la secci´ on, si se sabe que al sumar todas las notas se obtuvieron 436 puntos. a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 27 4. Hallar el resto de dividir 38605 entre 7. a) 5 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6 5. Hallar el residuo de dividir a7b9c entre 7, ◦ sabiendo que: a1b3c5 = 7 +2 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 6. ¿En que n´ umero termina 30910 escrito en base 13?. a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 6 7. ¿Cu´ antos n´ umeros de tres cifras son m´ ultiplos de 5 y 6 pero no de 8? a) 22 b) 18 c) 30 d) 19 e) 24 8. ¿Cu´ antos numerales de tres cifras que terminan en 4 son m´ ultiplos de 19? a) 10 b) 5 c) 8 d) 4 e) 9

0.4.

9. Hallar las dos ultimas cifras de 20122 , al ser escrito en base 3. a) 10 b) 11 c) 12 d) 22 e) 21 10. Hallar el n´ umero de divisores compuestos de 65520. a) 120 b) 113 c) 114 d) 115 e) 116 11. Si aabb tiene 21 divisores. Hallar “a − b” a) 6 b) 5 c) 3 d) 9 e) 8 12. ¿En cu´ antos ceros termina 180!? a) 46 b) 44 c) 52 d) 38 e) 50 13. Si E = 213 × 21m × 7 tiene 396 divisores que no son m´ ultiplos de 28. Hallar el valor de “m” a) 10 b) 11 c) 12 d) 9 e) 8 14. Si N = 2 × 3a × 7b tiene 40 divisores m´ ultiplos de 9 y 30 divisores m´ ultiplos de 2. Hallar “a + b” a) 6 b) 7 c) 8 d) 12 e) 9 15. Si 2k ! tiene n divisores ¿Cu´ antos de ellos son impares?. b) n × 2−k c) n/k a) n × 21−n k−1 k d) n × 2 e) 2n × 2 16. La suma de divisores del n´ umero: 3a+1 3a N =6 × 2 es 16 veces mas la suma de los divisores de 8a × 33a+1 . Hallar a a) 2 b) 1 c) 4 d) 3 e) 5 17. Indicar verdadero (V) o falso (F). Si A y B son MCD(A, B) = 1

pesi,

entonces

B Si k ∈ Z+ , entonces MCM( A k, k) = 1 k MCM(A, B)

Si A es divisor de B, MCD(A, B) = B MCM(3/4, 5/6) = 15/2

56

Razonamiento Matem´ atico a) VFFV d) VFVV

b) VVVV e) VVFF

c) VVFV

18. Si A = 222 . . . 227 y B = 222 . . . 227 . Hallar |

{z

100 cifras

}

|

{z

}

200 cifras

la suma de cifras del MCD(A, B) escrito en base 7. a) 120 b) 180 c) 140 d) 210 e) 200 19. Tres carros salen de una poblaci´ on un cierto d´ıa al mismo tiempo. El primero tarda 7 horas en volver al punto de partida y se detiene en este 1 hora el segundo tarda 10 horas y se detiene 2 horas y el tercero tarda 12 horas y se detiene 3 horas ¿Cada cuanto tiempo saldr´ an a la vez los 3 carros de dicha poblaci´ on? a) cada 5 dias b) cada 6 horas c) cada 8 dias d) cada 2 dias e) cada 4 dias 20. ¿Cuantas cajas c´ ubicas como m´ aximo se podr´ an utilizar para empaquetar 245 000 barras de jab´ on cuyas dimensiones son 20, 14 y 10 cm, de modo que est´en completamente llenas? a) 200 b) 225 c) 240 d) 250 e) 275

Walter Arriaga Delgado

21. La diferencia de dos n´ umeros es 44 y la diferencia entre el MCM y el MCD es 500 ¿Cu´ al es el mayor de los n´ umeros? a) 82 b) 48 c) 56 d) 72 e) 4 22. La suma de dos n´ umeros es 7740. Hallar el mayor de ellos si los cocientes obtenidos al calcular el MCD por el algoritmo de Euclides fueron 2, 3, 1, 3, 5. a) 5500 b) 5600 c) 5370 d) 5360 e) 5450 23. ¿Cu´ antos de los siguientes enunciados son verdaderos? ◦

◦

◦

◦

∀n ∈ Z, n + n + n = 3 n ◦

∀n 6= 0;

n ◦

n

=1 ◦

◦

∀n ∈ Z, ∀k ∈ Z+ , (n)k = n ◦

◦

◦

∀n ∈ Z, n −2 n = n ◦

◦

Si k n = n ⇒ k = 1 a) 1 d) 4

b) 2 e) 0

c) 3

Walter Arriaga Delgado

Razonamiento Matem´ atico

57

CAP. 09: HABILIDAD OPERATIVA. RELOJES. CALENDARIOS Habilidad Operativa 1. Hallar la suma de todos los elementos de la siguiente matriz: 2

3

2 3 4 5 .. .

a) 1900 d) 990

3 4 5 6 .. .

4 5 6 7 .. .

b) 1000 e) 400

3x

c) 100

2. Calcular: E = (333 .{z . . 333})2 y dar como re| 200 cifras

spuesta la suma de sus cifras. a) 1600 b) 1000 d) 1500 e) 1800

c) 540

3. Calcular la suma de cifras del resultado de: W = (777 .{z . . 777} + |222 . {z . . 2225})2 . | n cifras

a) 16 d) 64

n−1 cifras

b) 34 e) 640

c) 19

12. Si: 9999 × 5345 = . . . abcd y (r + s + t)2 = 144 Hallar: (a + b + c + d) + rst + str + trs a) 1350 b) 1358 c) 1354 d) 1356 e) 1352

K = 55 . . . 5 + 777 . . . 7} + 999 . . . 9} | {z } | {z | {z 300 cif

a) 901 d) 1004

298 cif

b) 1001 e)1015

296 cif

c) 904

14. Hallar el valor de: 33333 ‹ 88888 77777 66666 E= − 99999 99999 

c) 360

6. Hallar2 la suma de las cifras de:

32

6

a) 1/3 d) 2/3

b) 3/2 e) 5/4

c) 3/4

7

N = 4(a + 1)(a + 1) . . . (a + 1) − aa . . . a5 | {z } |

{z

9 cifras

a) 9 d) 18

11. ¿En cu´ anto aumenta el producto: 3067 × 931 si se aumenta a cada factor 2? a) 1 b) 8000 c) 3067 d) 931 e) 8008

13. Calcule la suma de las cifras de la suma total de:

√ (20002 − 19992 ) 12321 . 4. Reducir: A = 3999 a) 111 b) 112 c) 100 d) 50 e) 1998 5. Hallar la suma de las cifras de: F = (1030 + 1)(1030 − 1). a) 630 b) 270 d) 540 e) 640

8. Cu´ antos d´ıgitos tiene el producto: 217 × 34 × 515 . a) 15 b) 16 c) 18 d) 17 e) m´ as de 18 9. Hallar “x” si: 73x−2 + 7 2 +1 = 50 a) 2/3 b) 2/5 c) 5/2 d) 3/2 e) 5/3 √ 10. Si: Er = 5 × 7 × 37 × 1297 + 1 y 1298 × 1294 + 4 P = 67 × 61 + 9 Hallar: R = E/P a) 4 b) 42 c) 44 3 5 d) 4 e) 4

· · · 9 10 · · · 10 117 7 · · · 11 127 7 7 · · · 12 137 . .. 7 7 .. . .. .7 6 7 4 9 10 11 12 · · · 17 185 10 11 12 13 · · · 18 19 1 6 2 6 6 6 3 6 6 4 6 6 .. 6 .

0.1.

b) 81 e) 36

}

9 cifras

c) 27

7. Reducir: È W = 12 1 + 215(63 + 1)(66 + 1)(612 + 1). a) 7 b) 6 c) 8 d) 16 e) 36

15. Hallar la u ´ltima cifra del resultado de: E = 216532 + 566930 + 306730 + 9807652 + 9100116 a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6 16. Calcular la suma de las cifras de 999 987 × 999 993 a) 45 b) 54 c) 50 d) 64 e) 72

58

Razonamiento Matem´ atico Relojes

17. Un reloj da 2 campanadas en 2 segundos. ¿En cu´ antos segundos dar´ a 3 campanadas?. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2

Walter Arriaga Delgado

Calendarios 26. Si el 4 de enero de 1992 fue domingo. ¿Qu´e d´ıa fu´e 7 de enero de 1993?. a) Domingo b) Viernes c) Jueves d) Lunes e) S´ abado

18. Un reloj de campanadas demora 4 segundos en dar las 4:00 a.m. ¿Cu´ antos segundos se demorar´a en dar las 10 a.m.? a) 9 b) 11 c) 13 d) 10 e) 12

27. Si el 5 de julio de 1996 fu´e domingo. ¿Qu´e d´ıa fu´e el 5 de julio del 2004?. a) S´ abado b) Domingo c) Lunes d) Martes e) Mi´ercoles

19. Consultando por la hora, una persona contesta: Las horas que quedan del d´ıa, son menores en 6 que las horas transcurridas. ¿Qu´e hora es? a) 5 p.m. b) 1 p.m. c) 3 p.m. d) 2 p.m. e) 4 p.m.

28. Si el primero de Enero de 1964 fue d´ıa lunes. ¿Qu´e d´ıa cay´ o el d´ıa de la Independencia del Per´ u en ese a˜ no? a) Jueves b) Martes c) Lunes d) S´ abado e) Domingo

20. ¿Qu´e hora es, si faltan del d´ıa, la tercera parte de lo que faltaba hace 6 horas?. a) 9 pm b) 9 am c) 10 am d) 8 pm e) 8 am 21. Siendo las 8:00 a.m. un reloj empieza a adelantarse a raz´ on de 5 minutos por hora. ¿Qu´e hora estar´ a marcando ´este reloj cuando en realidad sean las 10:00 p.m del mismo d´ıa? a) 8:10 pm b) 10:15 pm c) 9:10 pm d) 11:10 pm e) 11:15 pm 22. Un reloj se atrasa 8 minutos cada 5 horas. Si son las 3:00 a.m. ¿Qu´e hora marcar´ a el reloj cuando realmente transcurran 25 horas? a) 2:50 am b) 3:20 am c) 3:15 am d) 3:50 am e) 4:10 am 23. Un reloj comienza a adelantarse 5 minutos cada 10 horas. ¿Cu´ anto tiempo pasar´ a para que marque la hora exacta nuevamente? a) 45 d´ıas b) 30 d´ıas c) 50 d´ıas d) 75 d´ıas e) 60 d´ıas 24. Cuando sean las 17 horas con 10. ¿Qu´e ´ angulo formar´ an las manecillas de un reloj? a) 290◦ b) 296◦ c) 265◦ ◦ ◦ d) 202 e) 280 25. ¿Qu´e ´ angulo forman entre s´ı las manecillas de un reloj a las 4:10? a) 65◦ b) 45◦ c) 30◦ ◦ ◦ d) 90 e) 75

29. En un mes dado existen 5 lunes, 5 martes y 5 mi´ercoles. ¿Qu´e d´ıa cae el 20 de ese mes? a) S´ abado b) Martes c) Lunes d) Mi´ercoles e) Jueves 30. ¿Cu´ antos a˜ nos bisiestos hay de 1934 a 1992 inclusive? a) 14 b) 17 c) 16 d) 15 e) 13 31. Si el ma˜ nana de ma˜ nana de pasado ma˜ nana del ayer de anteayer de ma˜ nana hace 5 d´ıas fue domingo. ¿Qu´e d´ıa ser´ a pasado ma˜ nana? a) S´ abado b) Viernes c) Lunes d) Jueves e) Domingo 32. Si se sabe que ayer del d´ıa anterior de dos d´ıas despu´es del pasado ma˜ nana del tras anteayer del hoy es Mi´ercoles; ¿Qu´e d´ıa ser´ a el d´ıa siguiente del ma˜ nana del pasado ma˜ nana del anteayer del hoy del ayer del ma˜ nana de dos d´ıas antes del tras anteayer del ma˜ nana? a) Mi´ercoles b) Jueves c) Lunes d) Viernes e) Martes 33. La fecha del u ´ltimo Lunes del mes pasado sumada a la del primer Jueves del mes que viene da 38. Si todo sucede en el presente a˜ no. ¿Cu´ al es el mes actual? a) Marzo b) Julio c) Agosto d) Octubre e) Diciembre

Walter Arriaga Delgado

Razonamiento Matem´ atico

59

CAP. 09: HABILIDAD OPERATIVA. RELOJES. CALENDARIOS

7. Efectuar y dar como respuesta la suma de cifras del resultado: 25 2525 252525 252525 . . . 25 A= + + ··· 37 3737 373737 373737 . . . 37} | {z

Habilidad Operativa 1. Calcula el valor de a.b, si: „

Ž8

1 × 3 × 5{z× 7 × . . }. |

= . . . ab

111 sumandos

177 factores

a) 6 d) 16

b) 10 e) 7

c) 12

√ 2. Si a − b = b − c = 6 6, calcular el valor de: (a − c)6 + (b − c)6 + (a − b)6 E= 132 a) 6 b) 4 c) 3 d) 5 e) 66 r

3. Efectuar: M =

3

a) 2 d) 4

256 × 264 + 16 2 ×√ 3 123 × 137 + 49 4 b) 1 c) 3 e) 5 Ñ

4. Determina el valor: W =

Î 5

a) 1 d) 2

b) 32 e) 7

5

64 64 s 64 5 .. . c) 8

6. Hallar la suma de las cifras del resultado de la siguiente operaci´ on que consta de 20 sumandos: > > > > > > > <

20 sumandos

a) 110 d) 121

> > > > > > > :

9 9 9 ...9 9 9 9 ...9 9 9 9 ...9 .. .. . . 9 9 8 ...9 9 8 9 ...9 8 9 9 ...9 b) 159 e) 169

9998 9989 9899 .. .

a) 9 d) 11

b) 10 e) 13

c) 12

8. Hallar el valor de la raiz cuadrada de: (7000)3 − (6999)3 − (6999)2 − 7(6999)(10)3 a) 7000 b) 6999 c) 111 d) 10 e) 1 9. Calcular la suma de las cifras de: .{z . . 1111})2 A = (1111 .{z . . 1113})2 − (1111 | | 100 cif ras

a) 400 d) 404

b) 40 e) 401

100 cif ras

c) 410

10. Calcular la suma de las cifras de: E = (777778)2 − (222223)2 a) 45 b) 60 c) 35 d) 50 e) 65 11. Hallar el valor de: W = [5833 + 2173 + (2400)(583)(217)]1/3 . a) 400 b) 500 c) 600 d) 700 e) 800

5. Si: x = 0, 01 + 0, 2 × 0, 9 + 0, 81. Adem´ as −x xy = 5 . Hallar: x + y a) 1/5 b) 6/5 c) 2/3 d) 1 e) 0

8

0.2.

+

9999 9999 9999 c) 147

12. Hallar el valor de “x” en: (12346)2 − (24691)2 3x + 2 = 2 2 (12344) − (24689) 3x − 2 a) 12123 d) 12321

b) 37037 e) 54321

c) 12345

13. Si 4(a + b + c) = a3 + b3 + c3 = 24. Calcular: E = (a + b)(a + c)(b + c) a) 64 b) 4 c) 16 d) 2 e) 216 14. Dadas las siguientes ecuaciones: (x − a)2 + (x − b)2 − 2(x − m)(x − n) = 0 (x − m)2 + (x − n)2 − 2(x − a)(x − b) = 0 Calcular el valor num´erico de: a2 + b2 + m2 + n2 E= ab + mn a) 6 d) 2

b) 3 e) 7

c) 4

60

Razonamiento Matem´ atico Relojes

15. ¿Qu´e ´ angulo forman entre s´ı las manecillas de un reloj a las 2:20? a) 60◦ b) 45◦ c) 30◦ d) 50◦ e) 55◦ 16. ¿A qu´e hora entre las 2 y las 3, las manecillas de un reloj est´ an superpuestas? 5 a) 2h 10 11 min b) 2h 10 10 11 min 10 c) 2h 15 11 min d) 2h 10 11 10 min 11 e) 2h 15 10 min 17. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 3 horas ¿A qu´e hora empez´ o adelantarse si a las 11h 15 min de la noche se˜ nala 11h 27 min? a) 4:15 am b) 5:15 pm c) 6:15 am d) 4:15 pm e) 5:15 am 18. Alessandra comienza a estudiar a las 2 pm en un reloj que empieza a adelantarse 30 segundos cada media hora; al terminar observa que faltaban del d´ıa 2/3 de lo que faltaba hace 2 horas. ¿Cu´ al es la hora final de su estudio?. a) 8:54 pm b) 7:32 pm c) 7:54 pm d) 7:45 pm e) 7:50 pm 19. Un reloj que se atrasa 6 min. cada 2h es sincronizado el 4 de Mayo a las 4 pm. ¿Cu´ al ser´ a el pr´ oximo d´ıa en el que volver´a a marcar la hora exacta? a) 14 de Mayo b) 13 de Mayo c) 15 de Mayo d) 12 de Mayo e) 11 de Mayo 20. Un reloj tiene 3 minutos de atraso y retras´ andose 3 segundos por minuto. ¿Cu´ antos minutos debe transcurrir para que el reloj marque una hora de retraso? a) 120 b) 180 c) 1200 d) 1140 e) 1800 21. ¿A qu´e hora, entre las 3 y las 4, las agujas de un reloj forman un ´ angulo de 57◦ por primera vez? a) 3h 7 min b) 3h 6 min c) 3h 17 min d) 3h 15 min e) 3h 30 min Calendarios

Walter Arriaga Delgado

22. Leonardo en el mes meses que ha vivido obtiene 647. ¿En qu´e a) Octubre c) Abril e) Febrero

de Julio, resta a los los a˜ nos que tiene; y mes naci´ o Leonardo? b) Setiembre d) Noviembre

23. En un mes ¿Cu´ antos Lunes y Martes existir´ an como m´ aximo? a) 4 y 4 b) 5 y 4 c) 4 y 5 d) 5 y 5 e) m´ as de 5 24. En un a˜ no ¿Cu´ antos Viernes y S´ abados existir´ an como m´ aximo? a) 48 y 48 b) 53 y 53 c) 60 y 60 d) 52 y 53 e) 53 y 52 25. Si el 14 de Febrero de 1992 fue S´ abado ¿Qu´e d´ıa fue el 19 de Agosto de ese mismo a˜ no? a) Mi´ercoles b) Martes c) S´abado d) Viernes e) Jueves 26. El 12 de Enero de 1960 fue Martes. ¿Qu´e d´ıa fue el 18 de Mayo de ese mismo a˜ no? a) Martes b) Jueves c) Mi´ercoles d) Viernes e) Lunes 27. Frank Lampard naci´ o en 1972 a las 06:00 h, de un d´ıa tal que los d´ıas transcurridos eran 1/5 de los d´ıas que faltan transcurrir de ese a˜ no. ¿En qu´e d´ıa naci´ o Lampard, si el 1 de Enero de ese a˜ no fue Lunes? a) S´ abado b) Mi´ercoles c) Lunes d) Martes e) Jueves 28. En un a˜ no com´ un celebr´e mi cumplea˜ nos el 26 de Setiembre, queremos saber qu´e d´ıa fue y para ello s´ olo sabemos que este a˜ no hay m´ as d´ıas Lunes que otros. ¿Qu´e d´ıa ser´ a la v´ıspera de mi cumplea˜ nos? a) Lunes b) Domingo c) Martes d) Mi´ercoles e) S´ abado 29. Si todos los a˜ nos tuvieran 365 d´ıas. Mar´ıa Sharapova naci´ o un mi´ercoles. El cumplea˜ nos de Sharapova por tanto: a) Ser´ıa siempre los mi´ercoles. b) Ser´ıa mi´ercoles cada 7 a˜ nos. c) Ser´ıa los mi´ercoles cada 15 a˜ nos. d) Ser´ıa los mi´ercoles despu´es de 3 y 4 a˜ nos alternadamente. e) Depende del mes.

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Razonamiento Matem´ atico

61

CAP. 09: HABILIDAD OPERATIVA. RELOJES. CALENDARIOS Habilidad Operativa 1. En que cifra termina W = (53762)2113 + (77733)7394 a) 2 b) 3 c) 6 d) 1 e) 4 s

2. Calcular A = a) 9 d) 2/3 2

3. Simplificar:

4

s

a) 1 d) 4

10. Si f (x + y) = f (x) + f (y); ∀ x, y Z+ f (1) = 6. Hallar f (3) a) 1 b) 3 c) 18 d) 15 e) 6 ”

11. Hallar el valor de: c) 4

92x + 138x 69x + 46x b) 5 e) 2

c) 3

b) 1 e) 81 –Ê

6. Reducir: 5 a) 12 d) 26

a

™

"Ê b

21b + 45b 7b + 15b c) 46

#

2 , si el polinomio: a99 6 9 P (x) = (a3 + b − c − 10)xa + (c − b + 9)xa es id´enticamente nulo. a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 2

7. Hallar el valor de a33 +

8. Hallar el grado absoluto de: 2

È 2

P (x, y, z) = (a+b) +c x7a2 y 6bc z 2ac a b c si: = = a+b b+c c+a a) 51 b) 3 c) 16 d) 2 e) 7

4 1 = + x+y x 2x + y 3y valor de: M = − 2x + 2y 4x a) 2 b) 4 d) 1 e) y

13. Si se cumple

c) 243

9a + 19a +7 45a + 95a b) 36 e) 22

—2

12. Si (p + q + r − s)(p + q − r + s) = (r + s + p − q)(r + s − p + q) p2 + q 2 Calcular: E = 2 r + s2 a) 0 b) 3 c) 2 d) 1 e) 5

3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4 3x−1 + 3x−2 + 3x−3 + 3x−4

a) 3 d) 1/3

x2 + y 2 + z 2

x4 + y 4 + z 4 Si x + y + z = 0 a) 2 b) 1 c) −1 d) 4 e) 0, 5

5. Simplificar: M=

9. Sea el polinomio homog´eneo P (x, y, z, w) = xa+b+c + y b+c+d − 3z c+d+a + 2wd+a+b a2 + b2 + c2 + d2 Calcular E = ab a) 4 b) 0 c) 2 d) 8 e) 1

3x+2

2

2x +3x+4 5 √ x 2 32x b) 2 e) 16

Ê x

2

x3 +8

a) 8 d) 1/2 4. Simplificar:

2

9m +2 + 9(3m ) 6m2 +2 + 4(2m2 ) b) 6 c) 1/3 e) 3/2

m2 +2

0.3.

1 . Calcular el y 2x + 5y + 7y c) x

1 1 +√ >0 2 9−x 25 − x2 a) [−3, 3] b) [−5, 5] c) [−3, 5i d) h−3, 0] e) h−3, 3i

14. Resolver: √

x2 y2 − = 3(x − y); x, y 6= 0. Hallar el y x € Š 4 x18 + y 18 valor de: R = (x3 y 3 )3 a) 0 b) 8 c) 15 d) 6 e) 1/4 √ 9 x+1−1 16. El valor que toma √ , cuando x se 3 x+1−1 aproxima a 0 es: a) 1/3 b) 0 c) 1 d) 3 e) −1

15. Si

62

Razonamiento Matem´ atico Relojes

Calendarios

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Walter Arriaga Delgado

Razonamiento Matem´ atico

63

CAP. 09: HABILIDAD OPERATIVA. RELOJES. CALENDARIOS Habilidad Operativa 3m − n 1. La relaci´ on F (x − ) = F [F (x)] − 5  ‹ 2m + n 7x + 8 con F (m) = 2F ; m 5 m 6= 0 se verifica para un polinomio F (x). Hallar F (7) a) 7 b) 4 c) 8 d) 9 e) 10 2. Si el polinomio: M (x, y) = (a + b − c − d2 )x2 + (b − de)xy + 9(b + c − a − e2 )y 2 es id´enticamente nulo, calcular: d2 9b 6a + 2+ S= b e c a) 15 b) 9 c) 18 d) 13 e) 16 –

™

1 1 3. Dada la matriz A = , hallar: 0 1 traz(A + A2 + A3 + · · · + An ). a) n b) n2 c) 2n n d) 2 e) 0 …

4. Si A = a) 35 d) 49

Ǒ

3 −1 −2 −2 2 −3 4 −1 −2 b) 42 e) 54



. Hallar |A · AT | c) 45

0.4.

8. Al resolver (3x + 1)3 (x − 2)2 (x + 5)5 (x + 2)4 (4 − x) ≤ 0 un intervalo del conjunto soluci´ on es: a) h4, +∞i b) [4, +∞i c) [−5, −1/3] d) [−5, −1/3i e) h−∞, −5] (x − 5)8 (x + 1)11 (x − 2)5 ≥0 (2x2 + x + 5)(x − 3)7 a) [−1, 2] ∪ h3, ∞i b) h−1, 2i ∪ h3, ∞i c) [−2, 1i ∪ h1, 3] d) h3, 5i ∪ h5, ∞i e) [−1, 2i ∪ [3, ∞i

9. Resolver

10. Resolver: √ (x − 6)(x3 − 8)(x + 3)3 3 x − 1 √ ≥0 x(x − 4)9 (x + 4)10 (x3 − 64) 5 − x a) [−4, −1] ∪ h2, 5i b) h−∞, 5] ∪ [6, ∞i c) [−3, 0i ∪ [1, 2] d) h−3, 0] ∪ [1, 2i e) h−2, 0i ∪ [2, 6] 11. Hallar el valor de la expresi´ on: |5x − 20| − |3x − 20| , si x ∈ h−3, −2i. x a) −2 b) −4 c) −1 d) 4 e) 1 12. El equivalente de: log2 (tan 1o )3 . log3 (tan 2o )4 . log4 (tan 3o )5 . . . |

{z

}

89 factores

1 1 1 1 1 a+1 1 1 5. Calcular: 1 1 b+1 1 1 1 1 c + 1 a+b+c a) 0 b) a + b + c c) abc d) 1 e) abc 6. Ê Resolver: Ê x2 − 2x + 14 x2 + 4x + 2 + =2 x2 + 4x + 2 x2 − 2x + 14 a) 1 b) 2 c) 3 d) 5/2 e) 7/2 7. ( Calcular x + y en el sistema: (a + b)x − (a − b)y = 4ab (a − b)x + (a + b)y = 2a2 − 2b2 a) a b) b c) ab d) a − b e) 2a

a) 0 d) 89

b) 1 e) 2

c) 1/2

13. Hallar x + y si se cumple: a5 + b5 + c5 + · · · + n5} = | {z

√ . . . xy

mn7 t´ erminos

a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

14. Si 4355 × 4356 = P , entonces 4356 × 4357 es igual a: a) P + 4355 b) P + 4356 c) P + 8710 d) P + 8711 e) P + 8712 15. Halla el n´ umero natural n que es el producto de los primos p, q y r, sabiendo que r − q = 2p y rq + p2 = 676. a) 2000 b) 2001 c) 4000 d) 3000 e) 1000

64

Razonamiento Matem´ atico Relojes

16. ¿Cu´ al es el menor ´ angulo que forman las manecillas del reloj a las 9h 30 min.? a) 100◦ b) 98◦ c) 110◦ ◦ ◦ d) 120 e) 105 17. Son las 3 pm; a las 2 am del d´ıa siguiente. ¿Cu´ antas veces ha pasado la aguja del minutero a la aguja del horario? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 18. El horario y el minutero forman un ´ angulo de 15◦ a las “H” horas con 30 minutos. Hallar ”H” a) 5 b) 3 c) 4 d) 7 e) 6 19. ¿A qu´e hora entre las 12 del mediod´ıa y la 1:00 pm forman un ´ angulo de 90◦ por segunda vez? a) 12h 37 min b) 12h 49 min 54 16 s 5 c) 12h 47 min d) 12h 49 min 5 11 s e) 12h 40 min 20. Un reloj se adelanta 1 minuto cada 8 horas. ¿Despu´es de cu´ anto tiempo marcar´ a la hora exacta nuevamente? a) 240 h b) 240 d c) 2 400 h d) 210 d e) 101 d 21. ¿Cada cu´ antas horas se adelanta un reloj 2 minutos para que cada 6 semanas con 3 d´ıas vuelva a marcar la hora exacta? a) 2 b) 6 c) 7 d) 1 e) 3 22. Seg´ un el gr´ afico. ¿Qu´e hora es?.

11

12

1

10 9

3 8

4 7

a) 12h 55 c) 12h 55 e) 12h 56

5 13 3 11 5 13

min min min

6

5

b) 12h 56 d) 12h 56

23. Siendo las 5:00 pm con 20 minutos un reloj marca las 5:00 pm con 28 minutos. Si dicho reloj se adelanta a raz´ on de 20 segundos cada 30 minutos. ¿A qu´e hora empez´ o a adelantarse? a) 5h 30m b) 5h 10m c) 5h 48m d) 5h 20m e) 5h 17m Calendarios 24. Si el d´ıa de ma˜ nana fuese como pasado ma˜ nana, entonces faltar´ıa dos d´ıas a partir de hoy para ser domingo. ¿Qu´e d´ıa de la semana ser´ a el ma˜ nana de ayer de hoy? a) S´ abado b) Domingo c) Viernes d) Jueves e) Mi´ercoles 25. Si el ayer de pasado ma˜ nana es Lunes. ¿Qu´e d´ıa ser´ a el ma˜ nana del ayer del pasado ma˜ nana de ayer? a) Lunes b) Martes c) Jueves d) Domingo e) S´ abado 26. Si el ayer de ma˜ nana de pasado ma˜ nana es Lunes. ¿Qu´e d´ıa ser´ a el ma˜ nana del ma˜ nana del ayer del pasado ma˜ nana de ayer? a) Lunes b) Martes c) Mi´ercoles d) Jueves e) S´ abado 27. Si el Lunes es el Martes del Mi´ercoles y el Jueves es el Viernes del S´ abado, entonces ¿Qu´e d´ıa ser´ a el Domingo del Lunes? a) Viernes b) Martes c) Mi´ercoles d) S´ abado e) Domingo 28. Un determinado mes inici´ o y termin´ o un d´ıa martes. ¿Qu´e d´ıa se celebr´ o el d´ıa de los enamorados? a) Lunes b) Martes c) Mi´ercoles d) Jueves e) Viernes 29. ¿Qu´e d´ıa es aquel que est´ a antes del domingo de la misma forma que est´ a despu´es del Lunes? a) Viernes b) Martes c) Mi´ercoles d) Jueves e) S´ abado

2

a a

Walter Arriaga Delgado

7 13 3 11

min min

30. Si cada d´ıas voy al cine y en el mes de enero fu´ı 11 veces. ¿Cu´ antas veces fu´ı al cine en febrero? a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 11

Walter Arriaga Delgado

Razonamiento Matem´ atico

65

CAP. 10: RELACIONES 1. Dada la relaci´ on R definida como: Ê

y=

49 x − 12 − 36 + (x + 2)2 x+2

Hallar el dominio de R a) [−4; −1] c) [−3; −1] − {−2} e) [−17/5; −1] − {−2}

b) h−3; −1i d) [−2; 0]

2. Dada la relaci´ on: R = {(x, y) ∈ R2 /x2 +y 2 −8x+4y+11 ≤ 0}, donde: dominio = [a, b] y rango = [c, d]. Hallar: (a + b)(c + d) a) −20 b) −15 c) −32 d) −40 e) −10 3. Si consideramos que: (x2 + 3x, y 2 − 7y) = (−2, −12). Hallar M N ; donde M es el mayor valor de x, y N es el menor valor de y. a) 5 b) −4 c) −6 d) 7 e) −3 4. Dado el conjunto A = {1; 2; 3; 4} y la relaci´ on R definida por: R = {(2, 2); (2, 1); (1, 1); (4, 4); (3, c); (a, b); (a, c); (2, 3); (c, b); (3, 1)} Si R es una relaci´ on de equivalencia en A. Calcular el valor de: (a + b + c)2 a) 9 b) 36 c) 1 d) 16 e) 4 5. Si R = {(x, y) ∈ R × R/y 2 = x2 + 9}. Hallar el rango de R a) h−∞, 0] b) h−∞, −3] ∪ [3, ∞i c) R d) φ e) h0, 2i 6. Hallar el per´ımetro de la regi´ on que resulta de la gr´afica de R2 − R1 : R1 = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < 9} R2 =√{(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≤ 16} √ a) ( 2 + 2) b) 2π c) 2π( 2 − 2) √ d) 14π e) 2 2π 7. Hallar el ´ area de la regi´ on que resulta de la gr´ afica de R2 − R1 : R1 = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < 9}

0.1.

R2 = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≤ 16} a) 5πu2 b) 6πu2 c) 7πu2 d) 2πu2 e) 4πu2 8. Dadas las siguientes relaciones: A = {(x, y) ∈ R × R/x2 + y 2 = 9} B = {(x, y) ∈ R × R/y 2 = x2 } la intersecci´ on de los dominios de dichas relaciones es: a) h−∞, ∞i b) h0, ∞i c) [0, ∞i d) [−3, 3] e) h−∞, −3] ∪ [3, ∞i 9. Indicar verdadero (V) o falso (F), seg´ un corresponda a cada proposici´ on: i. (a, b) = {{a}, {b}}

ii. (a, b) = {{a}, {a, b}}

iii. (a, b) = (b, a), ∀a, b ∈ R iv. (a, a) = {{a}} a) VVVV d) FVFV

b) VFVF e) VVFF

c) FFFF

10. Hallar el m´ınimo valor de x + y, sabiendo que: (x3 − 19, x2 y − 6) = (y 3 , xy 2 ); x, y ∈ Z a) −5 b) -3 c) 0 d) 3 e) 5 11. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y R = {(x, y) ∈ A2 / x + y 6= 8}. Calcular n(R). a) 42 b) 90 c) 49 d) 35 e) 7 12. Si A = {5, 6, 7}, definimos las siguientes relaciones R1 = {(x, y) ∈ A2 / x + y es un n´ umero primo}, R2 = {(a, b) ∈ 2 A / ab es impar}. Calcular n(R1 × R2 ). a) 20 b) 16 c) 14 d) 18 e) 10 13. Consideremos los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {2, 4, 6}, se definen las relaciones R1 = {(x, y) ∈ A × B / x + y = 7}; R2 = {(x, y) ∈ A × B / y = 6}. Hallar la suma de todos los elementos de D(R1 −R2 ) ∪ R(R1 −R2 ) . a) 7 b) 10 c) 14 d) 12 e) 6

66

Razonamiento Matem´ atico

14. Si P (a, a + 1) es un punto que equidista de A(2, 1) y B(−6, 5), hallar el valor de “a”. a) 2 b) −2 c) 6 d) −6 e) 5 15. Dada la relaci´ on: R = {(x, y) ∈ R × R / (2 − y)2 = 9 − x2 }. Halle DR ∩ RR . a) [−1, 3] b) [−3, 1] c) [3, 5] d) [−3, 5] e) [−1, 2] 16. Dada la relaci´ on: √ R = {(x, y) ∈ R2 / y + 2 = 5 + 4x − x2 }. Halle DR ∩ RR . a) [−1, 1] b) [−2, 1] c) [0, 2] d) [−3, 1] e) [−1, 3] 17. Dadas las relaciones: R1 = {(x, y) ∈ R2 / 4y + x2 − 4x = 0} R2 = {(x, y) ∈ R2 / y 2 − 6y − 4x + 5 = 0}. Hallar RR1 ∩ DR2 . a) [−1, 2] b) [−1, 1] c) [−2, 2] d) [−3, 1] e) [1, 3] 18. Dada la relaci´ on: R = {(x, y) ∈ R2 / 16x2 + 9y 2 − 64x + 18y − 71 = 0}. Halle DR ∩ RR . a) [−1, 1] b) [−2, 3] c) [−3, 2] d) [−3, 3] e) [−1, 3] 19. La ecuaci´ on 9y 2 − 4x2 = 36, representa la gr´ afica de una: a) Recta. b) Par´ abola. c) Circunferencia. d) Hip´erbola. e) Elipse 20. Si el dominio de la relaci´ on R = {(x, y) ∈ 2 2 2 R / x − 4y + 2x + 24y − 51 = 0} es de la forma: h−∞, a] ∪ [b, ∞i. Hallar ab. a) 10 b) −5 c) −3 d) −15 e) 12 21. Dada la relaci´ on: R = {(x, y) ∈ R2 / |x − 3| + |y − 1| = 3}. Halle DR ∩ RR . a) [0, 4] b) [−2, 1] c) [−3, 1] d) [1, 5] e) [−1, 3] 22. Hallar el ´ area de la regi´ on definida por la relaci´ on: R = {(x, y) ∈ R2 / |x| + |y| ≤ 5}. a) 35 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60

Walter Arriaga Delgado

23. Hallar el dominio y rango de la relaci´ on 2 2 definida por: R = {(x, y) ∈ R / y − x + 10x ≥ 24 , x + y − 6 < 0}. a) DR = h3, 6i ; RR = h−1, 3i b) DR = h3, 6i ; RR = [−1, 3i c) DR = h3, 6i ; RR = [−1, 3] d) DR = [3, 6i ; RR = h−1, 3i e) DR = [3, 6] ; RR = [−1, 3] 24. Dadas las relaciones: R1 = {(x, y) ∈ R2 / |x| + |y| ≤ 4} R2 = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 ≥ 8}. Hallar el ´ area de la regi´ on R1 ∩ R2 . a) 4 − π b) 2(4 − π) c) 4(4 − π) d) 8(4 − π) e) 3(4 − π) 25. Dadas las relaciones en R2 : R1 = {(x, y) / x2 + 3y 2 − 4x + 6y − 20 ≤ 0} R2 = {(x, y) / |x − 2| + |y + 1| ≥ 3}. ∩ R2 . Hallar√el ´ area de la regi´ on R1√ a) √ 9( 3π − 2) b) 9(√3π − 1) − 2 d) 2( 2π − 1) c) 3π √ e) 3( 3π − 2) 26. Hallar el ´ area de la regi´ on definida por las inecuaciones: R1 = {(x, y) ∈ R2 / |x| + |y| ≥ 1} R2 = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 ≤ 1}. a) π − 2√ b) π + 2√ c) π − 1 d) π − 2 e) 2π − 2 27. Dada la relaci´ on R = {(x, y) ∈ R × R / 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4} De las afirmaciones I. II. III. IV.

Dom(R) = [−2, −1] ∪ [1, 2] Dom(R) = [−2, 2] Ran(R) = [−2, −1] ∪ [1, 2] Ran(R) = [−2, 2]

Son verdaderas a) II y IV b) S´ olo II d) II y III e) I y IV

c) I y III

28. Dadas las relaciones: R1 = {(x, y) ∈ R2 / x ≥ |y|} R2 = {(x, y) ∈ R2 / x ≤ 6} R3 = {(x, y) ∈ R2 / |x| + |y| ≥ 4} Hallar el ´ area comprendida por: R1 ∩ R2 ∩ R3 . a) 25 b) 28 c) 15 d) 12 e) 30

Walter Arriaga Delgado

Razonamiento Matem´ atico

CAP. 10: RELACIONES 1. Dadas las siguientes afirmaciones: (3, 7) = (7, 3) {1} ∈ (1, 5)

(2, 2) = {2, 2} {5} ∈ (5, 5)

{8} 6⊂ (8, 8) Cu´ antas son ciertamente no falsas. a) Todas b) Ninguna c) 2 d) 3 e) 4 2. Si A es un conjunto singleton. A = {(3x − 8y , 4x + 3y); (4 − 2x − 10y , 2x + 4y + 7)}. Hallar: y 2 − x2 . a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 3. Dados los conjuntos: § ª 2n − 1 A = x ∈ Z+ / x = ∧ n ∈ Z+ 3 ©  B = x ∈ Z+ / x2 + 1 ≤ 12 Hallar n[(B ∩ A) × (B − A)]. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4. Hallar el cardinal de A × B: A = {x ∈ Z / − 8 < x − 2 ≤ 8}  © B = x ∈ Z / 100 < x2 < 256 . a) 140 b) 150 c) 160 d) 170 e) 180 5. Indicar verdadero (V) ´ o falso (F), seg´ un corresponda a cada proposici´ on: (a, b) = {{a}, {a, b}}

(a, b) = (b, a), ∀a, b ∈ R (1, 1) = {{1}}

(1, 2) = {{1}, {2}} a) VVVV d) FVFV

b) VFVF e) VVFF

c) FFFF

6. Dadas las relaciones: R = {(2; 7), (0; 1), (1; 0), (9; 6), (−1; −1), (8; 8)} S = {(7; 6), (1; 2), (0; 3), (−1; 4), (−2; 5)} Hallar el cardinal de R ◦ S. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

67

0.2.

7. En A = {1; 2; 3; 4} se define la siguiente relaci´ on R = {(x, y) ∈ A2 / x = y ´ o x + y = 5} podemos decir que R es: a) Reflexiva b) Sim´etrica c) Transitiva d) Equivalencia e) Todas las anteriores 8. Dados los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {2, 4, 6}; se definen las relaciones: R = {(x, y) ∈ A × B / x + y = 7} y S = {(x, y) ∈ A × B / y = 6}. Hallar la suma de todos los elementos de: Dom(R − S) ∪ Ran(R − S). a) 13 b) 14 c) 15 d) 12 e) 11 9. Si A = {1, 2, 3, 4, 5} se define la relaci´ on: R = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (5, 1); (5, 4); (5, 2); (4, 3); (3, 5)}. Si M = {x ∈ A / (x, 2) ∈ R}; N = {y ∈ A / (3, y) ∈ R}; P = {x ∈ A / (x, 5) ∈ R}. Hallar (M ∪ N ) − P. a) {2, 3} b) {1, 3} c) {3} d) {1, 2, 3} e) {2, 5} 10. Dada la relaci´ on T : N −→ N tal que T (x) = 2x + 3; y si T (ax) = aT (x); T (b + x) = T (b + 2) + T (x) − 7b. Hallar: a + b. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. Determinar el dominio y rango de:  1 √ . R = (x, y) ∈ R2 / y = √ x 2+ 2 a) R − {1} y R − {1} b) R y R − {0} c) R − {−1} y R − {0} d) R − {1} y R − {0} e) R − {1} y R − {−1} 12. Hallar el rango de la relaci´ on: Q = {(x, y) ∈ R2 / y = x2 + 4x + 8} a) [0, ∞i b) [4, ∞i c) [−4, ∞i d) h4, ∞i e) h−4, ∞i

68

Razonamiento Matem´ atico

13. Hallar el rango de S −1 



x+2 S = (x, y) ∈ R2 / y = √ . 3x + 6 a) x > 0 b) x ≤ −2 c) x ≥ 0 d) x ≤ −2 e) x > −2

14. Indicar cu´ antas de las siguientes proposiciones son verdaderas: {(x, y) ∈ R2 / (x−2)2 +(y+5)2 = 91/2 } es un c´ırculo de radio 3. {(x, y) ∈ R2 / 3x − 0y = 20} es una recta. {(x, y) ∈ R2 / |x| = 3 − |y|} es un rombo. {(x, y) ∈ R2 / x2 + 2y − 1 = 0} no es una par´ abola. {(x, y) ∈ R2 / x2 − y 2 = 23 } es una par´ abola c´ ubica. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

5 4 3 y 2 1 –4

–2

0 –1

2

4

x

6

8

10

–2

√ a) y + 4√= −x c) y = x + 4 e) x = |y 2 − 4|

17. Halle el v´ertice de la siguiente par´ abola: 2 x + 4x + 3 = y − 2. a) (1, 2) b) (−2, −1) c) (2, 1) d) (−2, 1) e) (−1, 2) 18. Halle el centro de la siguiente elipse: 4x2 + 9y 2 + 8x + 3y = 21y + 23. a) (2, −1) b) (−1, −1) c) (1, −1) d) (−2, 1) e) (−1, 1) 19. Hallar el ´ area de T ∩ Q, si: Q = {(x, y) ∈ R2 / (x + 1)2 + (y − 2)2 ≤ 6} y T = {(x, y) ∈ R2 / |x + 1| √ + |y − 2| ≥ 2}. a) 4(π − 1) b) 2 2(π − 2) c) 16π − 8 d) 2(3π − 4) e) 16π − 16 20. Sea R = {(x, y) ∈ R2 / x2 ≤ 4 − y 2 ∧ 2x + 3y > y + 4}, hallar el rango de R. a) h−1, 1i b) [−2, 2] c) h0, 2i d) h0, 1i e) [0, 2] 21. Hallar el ´ area determinada por: R = {(x, y) ∈ R2 / |x − 2| + |y + 1| ≤ 3}. a) 36 b) 18 c) 12 d) 8 e) 6

15. La grafica, corresponde a:

–6

Walter Arriaga Delgado

b) y 2 = x + 4 d) y = |x2 + 4|

16. El crecimiento poblacional de cierto par´ asito se rige por la siguiente relaci´ on: R = {(x, y) ∈ R2 / 2y = x2 − 5x + 3}, Donde: “y” representa el n´ umero de individuos en un determinado tiempo de “x” horas. ¿Cu´ al es la suma del n´ umero de individuos en un tiempo x = a + 2, y el n´ umero de individuos una hora despu´es?. a) 5 b) 1 c) 2a 2 d) a e) a − 3

1 1 22. Si y + 2x = 4x − x2 + . Hallar el valor 2 2 de “x” para que “y” sea el m´ aximo valor posible. a) −2 b) −1/8 c) 0 d) 2 e) −1 23. Hallar la suma de los valores extremos del intervalo que conforman el dominio de la relaci´ on: ¨ « (x − 2)2 (y − 1)2 2 R = (x, y) ∈ R / + =1 9 4 a) −1 b) 0 c) 1 d) 3 e) 4 24. Hallar el complemento del rango de la relaci´ on: ¨ « (x + 3)2 (y − 1)2 2 R = (x, y) ∈ R / − =1 4 9 a) h−2, 4i b) h−∞, −2i∪ h4, ∞i c) [−2, 4] d) h−∞, −2] ∪ [4, ∞i e) φ

Walter Arriaga Delgado

Razonamiento Matem´ atico

69

CAP. 11: FUNCIONES 1. Indicar el valor de verdad de: Toda funci´ on es una relaci´ on. Si f es una funci´ on tal que f (1) = 5, f (3) = 5 entonces f (5) = 5. El gr´ afico de f (x) = 2x+1, es una l´ınea recta. f = {(1, 2); (2, 1); (1, 1); (0, 0); (3, 2)} es una funci´ on. a) VVFV d) VFVF

b) VVVF e) VFVV

2. De las relaciones: R = {(1, 2), (2, 3), (4, 5), (5, 6)} S = {(1, 3), (2, 3), (4, 3)} T = {(2, 6), (7, 6), (2, 6), (3, 3)} U = {(1, 2), (2, 6), (7, 9), (2, 4)} no es funci´ on a) U b) T d) R e) Todas

c) FVVF

0.1.

6. En la siguiente funci´ on: f = {(3, 5), (6, b), (2, 4), (3, a), (ab, a + b), (6, 1)} Halle f (5) a) 0 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 2 7. La gr´ afica de la funci´ on: f (x) = x2 + bx+ c 3 intersecta el eje X en los puntos (−2, 0) y (5, 0). Halle (b + c). c) −6 23 a) −8 23 b) 7 23 d) −5 23

e) −4 23

20 3 intersecta al eje X en los puntos (−2, 0) y (5, 0); al eje Y en el punto (0, k). Hallar el valor de a − 3b + k. a) −2 b) −1 c) 0 d) 1 e) 2

8. La gr´ afica de la funci´ on f (x) = ax2 +bx−

c) S

3. Dadas las funciones f = {(1, 2); (2, 1); (3, 2); (4, 1); (0, 1)} g = {(2, 5); (5, 2); (3, 5); (1, 2); (4, 5)} entonces f − g es: a) {(1, 4); (2, 6); (3, 5); (4, 2); (0, 2)} b) {(1, 5); (2, 2); (3, 5); (4, 2)} c) {(2, −4); (3, 3); (1, 0); (4, 4)} d) {(1, 0); (2, −4); (3, −3); (4, −4)} e) {(1, 0); (2, 4); (3, 3); (4, 4)} 4. Dadas las relaciones binarias: W = {(x, y) ∈ R2 /|x| + |y| = 2} A = {(a, b) ∈ N2 /a2 + b2 = 25} L = {(x, y) ∈ R2 /x − 5 = y} T = {(x, y) ∈ R2 /5 = y 3 + x} E = {(x, x2 + 1)/x ∈ N} R = {(x, y) ∈ R2 /x = 2y 2 + 8y + 1} ¿Cu´ antas son funciones? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 5. Hallar ab si: f = {(2, 6), (1, a − b), (1, 4), (2, a + b), (3, 4)} es funci´ on a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

9. Los puntos (−2, 9); (−1, 3); (0, 1) pertenecen a una funci´ on cuadr´ atica. Indicar el m´ınimo valor posible de dicha funci´ on. a) −2 b) 1 c) 0 d) 2 e) −1 10. Si f (2x + 1) = 2x − 1 y g(x) = 3x − a donde a ∈ Q y (f ◦ g)(3) = (g ◦ f )(a − 1). Hallar f (a). a) 16/3 b) 2/3 c) 20/3 d) 10/3 e) 3 r

11. Halle el dominio de: f (x) = a) R−[−5, 0i d) R−h−5, 0]

b) [−5, 0i e) R

12. Calcule el rango en: x3 + 3x2 + x + 3 f (x) = x+3 a) R − {−3} b) [1, ∞i d) h−∞, −1i e) [1, 3i

5x x+5 c) [0, 5i

c) R − {0}

13. Determine dominio de: È el √ f (x) = 3 + 4 − x a) R b) h−∞, 4] c) h−4, 4i d) [4, ∞i e) h−∞, −2] ∪ [2, ∞i

70

Razonamiento Matem´ atico

14. Determine el complemento del dominio de: √ x3 − 1 f (x) = 4 x2 − 1 + x−1 a) h1, +∞i b) R − {1, −1} c) h−1, 1] d) R − {1} e) h−∞, −1i ∪ h1, ∞i 15. Halle el rango de la funci´ on real definida: f (x) = x2 − 22x + 120, x ∈ [8, 12] a) [−1, 8i b) [0, 8] c) R d) φ e) [−1, 8] 16. Hallar el√rango de la funci´ on: f (x) = 4 − x2 + 1. a) h0, 3] b) [−1, 3] c) [1, 3] d) [1, +∞i e) [3, +∞i 17. Sea f la funci´ on8identidad, con dominio en x < , si x < −2 R y sea g(x) = 1 + x . Hal: x, si x > 2 lar (f + g)(−3) + (g − f )(4) + (f.g)(3) a) 15/2 b) 3.5 c) 15 d) 5/2 e) 5 18. Si f (x) = x2 − 1 y g(x) = 2x − n. Halle el menor valor de “n” para que se cumpla (f ◦ g)(1/2) = (g ◦ f )(n + 1) a) −5 b) 0 c) 2 d) −6 e) 3 19. Sea f (x) una funci´ on lineal en la que se cumple: f (2) = 3 y f (3) = 2f (4). Halle f −1 (x) a) f −1 (x) = 3x + 5 b) f −1 (x) = 2x c) f −1 (x) = 5 − x d) f −1 (x) = 3x − 2 e) f −1 (x) = 4x + 5

22. Sean las funciones: f = {(2, 1); (3, 5); (4, 2); (5, 8); (6, 0); (7, 4)} g = {(2, 4); (3, 3); (4, 3); (5, 1); (6, 4); (7, 6)} y sea h la funci´ on con dominio {1, 2, 4, 5} tal que g = h ◦ f . Hallar h(1) + h(2) + h(4) + h(5). a) 18 b) 19 c) 17 d) 16 e) 15 23. El gr´ afico de f (x) =

(

q(x) g(x) = 2x − 1 a) h2, +∞i d) R

x ∈ h−∞, −1i x ∈ h2, +∞i b) h9, +∞i c) [9, +∞i e) φ

|x| es: x

y6

a) 

-

x

?

y6

b) 

d d

-

x

?

y6

c) 

d

t

-

x

?

y6

d)

20. Si la funci´ on G(x) = −3x2 + 96x + 552 representa la ganancia de una empresa. Hallar la suma de las cifras de la ganancia m´ axima. a) 8 b) 3 c) 6 d) 2 e) 4 21. Halle Dom(f + g) ∩ Rang(f + g) si: ( p(x) x ∈ h−1, 2i f (x) = 2 x + 2 x ∈ [2, +∞i

Walter Arriaga Delgado



t

d

-

x

?

y6

e) 

d

?

-

x

Walter Arriaga Delgado

Razonamiento Matem´ atico

71

CAP. 11: FUNCIONES

0.2.

1. Si F representa una funci´ on dada por: F = {(3, 7a + 2b), (2, 5), (2, a + 2), (3, 5b − 2a)}; diga cu´ al o cu´ ales de los siguientes conjuntos son funciones.

7. Dada la funci´ on f (x) = |x + 3| − |x − 3| cuyo rango es [a, b], calcule a + b. a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

I. R1 = {(a, b), (b − a, 5), (5, b − a), (a + b, 5)}.

8. Sea la aplicaci´ on f : [0, 6] −→ R, definida 1 por f (x) = (x−2)2 −2; encontrar su rango. 4 a) h2, 3i b) h−2, 3i c) [2, 3] d) [−2, 2] e) h−2, 3]

II. R2 = {(3, b), (b, 3), (3, 8), (9, 2a − b)}.

III. R3 = {(3, 5), (9, 7), (b, a), (5a, 3b)}. a) Solo I d) I ∧ III

b) Solo II e) II ∧ III

c) Solo III

2. Dadas las funciones: f = {(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}, g = {(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 4)}. Hallar la suma de los elementos del rango de h = (f ◦ g) + (g ◦ f ). a) 8 b) 10 c) 12 d) 15 e) 16 3. Si f : R −→ B es una funci´ on sobreyectiva, donde f (x) = |x − 3| − x. Hallar el conjunto B. a) [3, ∞i b) h3, ∞i c) [−3, ∞i d) h−3, ∞i e) [−3, 3i

x2 es +1 luego el valor de a + b es: a) 0 b) 1 c) 2 d) 1/2 e) 3/4

9. Si el rango de f (x) =

x2

[a, bi,

10. Si el dominio de la siguiente funci´ on Ê x2 − 5x + 6 es [a, bi − {c}, f (x) = 7x − x2 − 12 calcular: a + b + c. a) 7 b) 5 c) 12 d) 8 e) 9 11. Hallar È el rango de la siguiente funci´ on √ f (x) = 1 − 1 − x. a) h0, 1i b) h0, 1] c) [0, 1] d) [0, 1i e) h1/2, 1]

4. Dada la8funci´ on definida por: >3x − 1 , si x > 3 < 2 f (x) = x − 2 , si − 2 ≤ x ≤ 3 > : 2x + 3 , si x < −2 calcule el valor de W = f (2) + f (−1) + f (−3) + f (4). a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

12. Hallar el ´ area de la regi´ on limitada por la funci´ on f (x) = 2 − |x + 1| y el eje X. a) 2 u2 b) 8 u2 c) 4 u2 2 2 d) 10 u e) 6 u

x3 + x2 + x + 1 , in|x + 1| dique el menor valor entero positivo del rango. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14. Sea f una funci´ on definida de la siguiente manera: ( 4 − x2 ; si x ≤ 1 f (x) = 2 + x2 ; si x > 1 El Dominio y Rango de la funci´ on es: a) R, [0, ∞i b) R, [4, ∞i c) R, h−∞, 4] d) R, R e) R, [2, ∞i √ 15. Dada las√ funciones: f (x) = x2 − 1 y 2 g(x) = x + 1. Entonces Domf ∩ Domg

5. Sea la funci´ on f (x) =

6. El valor m´ aximo que tiene la funci´ on a2 − x2 f (x) = 2 en los reales, es: b + x2 a) a b) b c) 0 d) (a/b)2 e) ∞

13. Siendo (f ◦ g)(x) = x2 + 7x + 4; g(x) = x2 + 2. Hallar: f (18). a) 24 b) 36 c) 48 d) 30 e) 40

y

72

Razonamiento Matem´ atico es: a) h−∞, −1] d) Domf

b) [1, ∞i e) φ

c) R

Walter Arriaga Delgado

22. La gr´ afica de f (x) = (x − 1)|x − 1| es: a) 4 3

16. Si f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} y g = {(0, 1), (1, 1), (2, 4), (3, 0)}, hallar el rango de f /g. a) {2, 3/4, 0} b) {1, 3/4} c) {2, 3/4} d) {2, 3/4, φ} e) {1, 2, 3/4} 17. Hallar el complemento del dominio de la √ x2 + 6x − 16 funci´ on: f (x) = x−6 a) [0, 32i b) h−8, 2i ∪ {6} c) h−∞, 12] d) R e) h−∞, 4] ∪ {6} 18. Hallar el rango de la funci´ on: 2 f (x) = x − 8x + 12 a) [12, ∞i b) h−∞, 12] d) h−∞, 4] e) R

y

1

–3

–2

–1

b)

1

2 x

3

4

3 2 y 1

–2

0

–1

1

2 x

3

4

1

2 x

3

4

–1

c) [−4, ∞i

–2 –3

c)

20. Dadas las funciones: f = {(−1, 4), (0, 3), (4, −1), (2, −3), (−3, 2)} g = {(−2, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 3)} Cu´ antas de las siguientes proposiciones son verdaderas?.

d)

4 3 y

2 1

–2

0

–1

–1 4 3 y

Es falso que no existe la inversa de f .

–3

–2

–1

No es cierto que g es inyectiva. Se niega que existe la inversa de g.

2 1

No es cierto que f no es inyectiva.

b) 1 e) 4

0 –1

19. Dadas las funciones: f (x) = 3x + 12; −4 ≤ x < 4 g(x) = 4x − 12; 0 ≤ x < 18 Entonces (f ◦ g)(x) es: a) 12x − 24, si 2 < x < 4 b) 12x − 24, si 2 ≤ x < 4 c) 12x + 36, si −4 < x ≤ 2 d) 12x + 36, si −4 ≤ x < 2 e) 12x + 36, si −4 < x < 2

a) 0 d) 3

2

0

1

2 x

3

4

–1

e)

3

c) 2

2 y 1

21. Sea f (x) una funci´ on que es invertible entonces (f ◦ f −1 )(2) es igual a: a) −2 b) −1 c) 0 d) 2 e) 1/2

–5

–4

–3

x

–2

–1

1 –1 –2

2

3

Walter Arriaga Delgado

Razonamiento Matem´ atico

73

CAP. 12: Promedios. Operadores. Notaci´ on Funcional. Relaciones Familiares 0.1. a) 2 d) 5

Operadores 1. Se define a) 93 d) 87

x2 + 4 = 7x + 5. Hallar: 37 4 b) 78 c) 89 e) 85

2. Se define la siguiente operaci´ on para 3 casos: b ⋆ (b + 1) = 3b b N (b − 1) = 2b b  c = 2b + 3c (5 ⋆ 6)  (6 N 5) Simplificar: W = (4 N 3) − 2 a) 12 b) 17 c) 11 d) 15 e) 21 3. Si ROCA = 10 + 40 + 90 + · · · + 1210, y @ Z Y@@W = XW Y Z X@

Hallar:

b) 6006 e) 6060

c) 6050

4. Si se define x∆ = 5x + 1, hallar x en: [(x − 2)∆ ]∆ = 31 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1 5. Si se define:

J

J

x − 2 J = 2x − 1

5−x

= 3x

Calcular: a) 33 d) −33 J

J

−5JJ

6. Si 2xJ = x2

c) 4

7. Dado el siguiente gr´ afico:

30◦ donde la hipotenusa es C + 7 y se cumple que: B∆C = B+C − B−C y adem´ as 2 3 15∆C √ = 5. Hallar el ´ area del tri´ a ngulo. √ √ 26 3 27 3 23 3 b) c) a) 3√ 2 3 √ 25 3 28 3 d) e) 2 3 Promedios 8. Si la media aritm´etica de dos n´ umeros consecutivos es 21,5. Halle la media aritm´etica de los 4 siguientes consecutivos. a) 26 b) 24 c) 23 d) 22, 5 e) 24, 5

@ O R@@A C@

a) 5060 d) 5600

b) 3 e) 1

J − −6JJ

J

b) 23 e) −23

JJ

Hallar el valor de “m” en:

c) 10

J

8mJ = 36 JJ

9. La edad promedio de tres personas es 29 a˜ nos, ninguna de ellas tiene m´ as de 32 a˜ nos. ¿Cu´ al es la m´ınima edad que puede tener una de ellas? a) 24 b) 23 c) 25 d) 22 e) 27 10. El promedio de las edades de 4 hombres es 55 a˜ nos, ninguno de ellos es menor de 52 a˜ nos. ¿Cu´ al es la m´ axima edad que uno de ellos podr´ıa tener? a) 60 a˜ nos b) 62 a˜ nos c) 58 a˜ nos d) 64 a˜ nos e) 66 a˜ nos 11. Se dan 4 n´ umeros enteros positivos, si hacemos grupos tomados de 3 en 3 el promedio aritm´etico para cada grupo son respectivamente: 21; 23; 24 y 25. ¿Cu´ al es el menor de estos n´ umeros? a) 19 b) 18 c) 16 d) 17 e) 20 12. La media aritm´etica de tres n´ umeros es 16 y de otros dos n´ umeros es 26. Halla la media

74

Razonamiento Matem´ atico aritm´etica de los 5 n´ umeros. a) 24 b) 18 d) 16 e) 22

c) 20

13. El promedio de las edades de 6 personas es 34 a˜ nos, tres de ellas tienen 33; 35 y 38 a˜ nos y ninguna de las restantes tienen menos de 26 a˜ nos. ¿Cu´ al es la m´ axima edad que puede tener una de ellas? a) 42 a˜ nos b) 46 a˜ nos c) 50 a˜ nos d) 44 a˜ nos e) 48 a˜ nos 14. En una clase de Razonamiento Matem´ atico el promedio de 30 alumnos es 12, de otros 20 es 13 y de los restantes 33 es 16. ¿Cu´ al es el promedio de todos? a) 13, 83 b) 12, 24 c) 14, 25 d) 34, 78 e) 16 15. El promedio de las edades de 5 personas es 28 a˜ nos. Si se retiran dos de ellos el nuevo promedio es 23 a˜ nos. Halla la suma de las edades de las personas que se retiran. a) 65 a˜ nos b) 67 a˜ nos c) 69 a˜ nos d) 71 a˜ nos e) 73 a˜ nos 16. El promedio de 50 n´ umeros es 38, si de los 50 n´ umeros se anulan el 45 y el 55, entonces el promedio de los restantes es: a) 36 b) 36, 5 c) 37, 5 d) 37 e) 37, 2 17. El promedio aritm´etico de 81 n´ umeros enteros pares es 96. Hallar los 2 n´ umeros pares consecutivos que se deben quitar para que el promedio aritm´etico de los n´ umeros restantes sea 90. a) 126; 128 b) 252; 254 c) 200; 202 d) 128; 130 e) 332; 334 18. El promedio de notas de un curso de 30 alumnos fue 52. Los primeros 6 obtuvieron un promedio 80 y los u ´ltimos 10 sacaron un promedio 31. Calcular el promedio de los restantes alumnos. a) 25 b) 45 c) 55 d) 65 e) 75 Notaci´ on Funcional 19. Siendo: f (x) = x2 (x − 4) + 3(x − 1) − 10. Calcular: f (f (4))

a) −21 d) −19

Walter Arriaga Delgado b) −20 e) −18

c) −30

20. Se define la funci´ on: √ √ 3 f (8x − 13) = 13x + 1 + x + 14. Encontrar: f (3) a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 7 21. Siendo f (f (x)) independiente de “x” calcunx + 1 lar “n” si: f (x) = x−4 a) −1/4 b) 1/3 c) 1/5 d) 1/9 e) −1/9 

‹

x+1 x+1 . Hallar A , evalux−1 x−1 ando cuando x = 1/3 a) −2 b) −1/3 c) 1/3 d) 2 e) 3

22. Si A(x) =

23. Sea f (x − 1) = xf (x); adem´ as f (2) = 12. Hallar f (5) a) 1 b) 0.5 c) 0.2 d) 5 e) 0.1 Relaciones familiares 24. Si soy u ´nico hijo. ¿Qu´e parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre? a) Hijo b) Esposo c) T´ıo d) Sobrino e) Cu˜ nado 25. En una reuni´ on se encuentran 2 padres, 2 hijos y 1 nieto. ¿Cu´ antas personas como m´ınimo se encuentran en dicha reuni´ on? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 26. Qu´e parentesco tiene nuera de la mam´ a de a) Mi hermana c) Mi mam´ a e) yo

conmigo, la hija de la mi madre?. b) Mi prima d) Mi hija

27. En una reuni´ on conmemorativa de la Soka Gakkai Internacional, se retiraron todos a excepci´ on de 2 padres, 2 hijos, 1 abuelo y un nieto. ¿Cu´ al es el m´ınimo n´ umero de personas que quedaron?. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 3

Walter Arriaga Delgado

Razonamiento Matem´ atico

75

CAP. 12: Promedios. Operadores. Notaci´ on Funcional. Relaciones Familiares 0.2. 5. Siendo: x2 − 2 = x2 − 1. Hallar el valor de:

Operadores 1. Si se tiene que la diagonal de un cuadrado es d y satisface que: d2 %(3 %68) = 15 %8, b+7 donde a %b = , hallar el per´ımetro del a cuadrado. √ a) 16 b) 8 c) 4 2 d) 9 e) 25 2. Se define:

1 + 2 + 4 + 6 + ......

|

{z

}

80 operadores

a) 5626 d) 7235

b) 8101 e) 6001

c) 6401

6. Se define una operaci´ on matem´ atica mediante la siguiente tabla: ∆ 2 3 4 5

Hallar W = a) 8 d) 10

2 5 10 17 26

3 6 11 18 27

4 7 12 19 28

5 8 13 20 29

♥ 1 2 3 4

È

(6∆3) + (3∆3). b) 7 e) 5

c) 9

3. Se define en A = {0; 2; 4; 6; 8} la operaci´ on (♠) mediante la siguiente tabla: ♠ 0 2 4 6 8

0 4 6 8 0 2

2 6 8 0 2 4

4 8 0 2 4 6

6 0 2 4 6 8



‹



1 1 1 1 r r r 4 3 4 5 b) 2/7 e) 6/7

2 A 8 S 20

3 L 13 N R

4 17 E 25 32

Calcular el valor de: A+L+E +S+S+A+N +D+R+A a) 123 b) 131 c) 133 d) 143 e) 134 Promedios

8. Hallar el promedio de n´ umeros: 5, 8, 11, 14, . . .

4. Se define en Ω una operaci´ on que relaciona dos elementos mediante el operador r como el doble producto de sus t´erminos, multiplicando por el inverso multiplicativo de la suma de los mismos. Hallar: W =

1 2 5 10 D

7. La MA de 5 n´ umeros es 4, si la MA de 3 de ellos es 2. Hallar la MA de los otros 2 n´ umeros. a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7

8 2 4 6 8 0

Calcular W = 2−1 + 8−1 + 4−1 . a) 12 b) 8 c) 10 d) 14 e) 16

a) 5/7 d) 9/7

......

‹

c) 13/7

|

{z

los

siguientes

}

12 t´ erminos

a) 25, 1 d) 51, 2

b) 21, 5 e) 28, 6

c) 52, 2

9. Si el promedio de las edades de 6 amigos es 5. Si el promedio del menor y el mayor de los amigos es 7. ¿Cu´ al ser´ a el promedio de edades de los otros 4 amigos? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 10. Si xy = 1; entonces y es rec´ıproco de x. ¿Cu´ al es el promedio de x y su rec´ıproco? 2 +1 b) x+1 c) x+y a) x 2x 2x 2x 2 x +1 d) x+y e) x x

76

Razonamiento Matem´ atico

11. Si el promedio de 27−x ; x−8 ; con 3x+11 es “m”. ¿Cu´ al es el promedio de 2m/3 con 2m? a) 4(x + 10) b) x + 10 c) 4(x+10) 3 d) 8(x+10) e) 2(x+10) 3 3 12. El promedio de 15 n´ umeros enteros y distintos es 20. Si se aumenta 1 al primero, 2 al segundo, 3 al tercero, ... y as´ı sucesivamente, entonces el nuevo promedio: a) No var´ıa b) Aumenta en 15 c) Aumenta en 8 d) Disminuye en 4 e) Absurdo 13. La edad promedio de n hermanos es hoy x a˜ nos. ¿Cu´ al ser´ a el promedio de los mismos n hermanos dentro de z a˜ nos? a) x + z b) x + nz c) x + nz x+z d) n e) xn + z 14. Si cada uno de los cinco n´ umeros: 23, 16, 19, 21, 15 se disminuye una cantidad “w”, el promedio de los nuevos n´ umeros resultantes es 0,8 menos que el promedio original. ¿Cu´ al es el valor de la media geom´etrica de w y los 25/36 de w? a) 2/5 b) 5/3 c) 3/4 d) 2/3 e) 5/2

Walter Arriaga Delgado

18. Si x ∈ [−8; −2] y f (x) =

[a; b], calcular a + b a) −11/13 b) −11/15 d) 11/13 e) 11/12

4 ; f (x) ∈ 2 + 3x c) −13/11

19. Si F (x) = (x − 2)2 ; reducir: q” 9

W =

F (x)F (1/2)

—2

F (x + 2) − F (x − 1) − 3

a) 1 d) 1/6

b) 1/2 e) 6

c) 1/12

20. Si P (x) = x + 2; G(x) = x2 − 1. Hallar E = P [G(2)] + G[P (1)] a) 20 b) 31 c) 23 d) 33 e) 13 

‹

√ √ √ 3x + 3 = 2x + 8 + x + 5 + x 5 Hallar f (3). a) 3 b) 9 c) 7 d) 4 e) 2

21. Si: f

Relaciones familiares

15. El promedio de 4 n´ umeros es 11 y cuando se les agrupa de 3 en 3 dichos promedios aritm´eticos son n´ umeros pares consecutivos. Calcule el menor de los 4 n´ umeros. a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

22. En una familia hay: 2 esposos, 2 hermanos, 2 sobrinas y 2 hermanas. ¿Cu´ antas personas como m´ınimo son?. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

16. En un aula del CPU JFAC un profesor observa que 14 de los alumnos tienen 13 a˜ nos, otros 28 son de 15 a˜ nos y otros 22 de 14 a˜ nos. Calcule la edad promedio de todos los presentes en el aula, si el profesor tiene 26 a˜ nos y cont´ o a todos los alumnos. a) 14.1 b) 14.4 c) 14.8 d) 15.2 e) 15.5

23. Lelo es t´ıo materno de Lola. Lola es hermana de Lita y Lita es madre de Lalo. Qu´e es Lalo de Lelo. a) Nieto b) Sobrino nieto c) T´ıo d) T´ıo abuelo e) Padre

Notaci´ on Funcional 17. Si P (x) = 2x3 + 5x2 + 3x + 15; F (x) = 4x3 − 5x2 + 6; adem´ as: F (−3) + F (2) E= ; calcular: P (E) F (−1) − F (−2) a) −1 b) −2 c) −3 d) −4 e) −5

24. Qu´e parentesco tiene conmigo un joven que es el hijo de la esposa del u ´nico v´ astago de mi abuela. a) Padre b) Hermano c) T´ıo d) Hijo e) Abuelo 25. En una reuni´ on se encuentran dos padres y dos hijos y 1 nieto. Cu´ antas personas como m´ınimo se encuentran en dicha reuni´ on. a) 4 b) 3 c) 5 d) 2 e) 6

Walter Arriaga Delgado

Razonamiento Matem´ atico

77

CAP. 12: Promedios. Operadores. Notaci´ on Funcional. Relaciones Familiares 0.3. 8. Si: a3 ∆b2 = b3 − a2 y x2 + 1 = 2x + 1.

Operadores ab

1. Si a ⋆ b =

y

(sen x)sen x

(csc x) ⋆ (csc x) es: √ a) 4 b) 2 d) 1/2 e) 2

=

√

2 . El valor de 2 √ c) 2/2

a+b+1 a⊠b= 2 Halle el elemento inverso de 8; es decir 8−1 a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 4. Si se cumple que:

J

J as: x J = 8x + 7

xJ = x ; adem´

J

b) 19 e) 3

c) 39

5. Se define en Z: a∇b = a + b − 5. Hallar su elemento neutro. a) 10 b) 5 c) 6 d) 3 e) 4 

x y



P (4) P (2) c) 4

= P (x) − P (y). Calcule:

a) 1 d) 8

b) 2 e) 16

7. Se definen los operadores como: 2x Y x−1 X

=

x X

=2

n X

c) 65

(2i − 1); m, n ∈ Z.

i=m

Calcule: E = (4 ◭ 15) + (16 ◭ 30). De c´ omo respuesta la suma de las cifras de E. a) 14 b) 12 c) 13 d) 18 e) 15

−x + 3

10. La media aritm´etica de 70 n´ umeros es “a” y la de otros 30 es 45. Si a cada uno de los n´ umeros del primer grupo se les agrega 20 y a los n´ umeros del segundo grupo se les disminuye en 10, el promedio ahora de los 100 n´ umeros es 52.5. Calcule “a”. a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 11. El promedio de un conjunto de n´ umeros es P . Si se eliminan 31 n´ umeros cuya suma es 527, el promedio de los n´ umeros restantes sigue siendo P . Calcule cu´ anto deber´ an sumar 7 n´ umeros de tal manera que agregados a los anteriores, el promedio siga siendo P. a) 110 b) 112 c) 115 d) 119 e) 120 12. Indique si son verdaderos (V) o falsos (F) los siguientes enunciados:

 El promedio aritm´etico de todos los  

+x − 1

x+5 Y

b) 48 e) 60

Promedios

3. Se define en R:

6. Si: P

a) 70 d) 50

9. Se define: m ◭ n =

2. Se define la siguiente operaci´ on en el conjunto R: a ⊗ b = a(b ⊗ a)2 ; a ⊗ b 6= 0. Calcular: 8 ⊗ 1 a) 2 b) 0.5 c) 1.5 d) 0.2 e) 0.25

Hallar: 9 a) 17 d) 21

Calcular: W = 5 + 17 + (343∆16)

12 Y

Calcular el valor de: a) 1 b) 2 d) −1 e) −2

c) 0

n´ umeros positivos de dos cifras es igual a 54.5. El promedio geom´etrico de todos los n´ umeros uas de dos cifras es igual √ capic´ a 11 9 9!. Si para 2 n´ umeros enteros se tiene que MG2 = 5MH, entonces la ecuaci´ on tiene 4 soluciones de n´ umeros diferentes.

a) VFV d) FFV

b) VVF e) FVF

c) VVV

78

Razonamiento Matem´ atico

Walter Arriaga Delgado

13. Si la media arm´ onica de (2; 6; 12; 20, . . . ) es 50, halle la media aritm´etica de dichos n´ umeros. a) 120 b) 180 c) 280 d) 420 e) 850

17. Si f (x) = (x3 −1)2 + (x3 + 2)2 , È hallar f 3 2/3

14. La media arm´ onica 50 n´ umeros es 13 y la media arm´ onica de otros 30 n´ umeros es 26. Halle la media arm´ onica de todos los n´ umeros. D´e como respuesta la suma de cifras del resultado. a) 7 b) 16 c) 13 d) 11 e) 9

18. Se define Q(y) =

15. En una f´ abrica de polos existen 3 m´ aquinas A, B y C. En 1 hora, la m´ aquina A produce 30 polos, la m´ aquina B, 45 polos y la m´ aquina C, 90 polos. Determine la producci´ on promedio por hora en dicha f´ abrica, si todas deben producir la misma cantidad de polos en un d´ıa. a) 55 b) 48 c) 45 d) 60 e) 40 16. Se tiene los siguientes n´ umeros: −18, −16, −14, −11, 0, 0, 14, 10, 16, 22. Luego, de las siguientes proposiciones cuales son correctas: I. La media de los valores absolutos de los n´ umeros negativos es mayor que el promedio total. II. La media de los valores positivos es 10, b3 III. La media de los n´ umeros positivos es mayor que la media de los valores absolutos de los n´ umeros negativos.

a) 64/3 d) 66/5

a) 0 d) y

b) 63/2 e) 67/2

c) 65/9

y+3 , hallar Q(Q(y)) y−1 b) y 2 c) y −3 e) −3y

19. Si f (x) = 2x2 − 8x + 16, hallar “a” para a 6= 0, de f (3a + 2) + 3 f (a + 4) = 56 a) 3 b) −1 c) 1 d) 5 e) 1 √ 20. Se define f ( 2x + 3) = 2x2 + 4x+ 10, hallar √ 4x2 + 13 “x” en f ( 2x + 4) = 2 a) −1 b) 2 c) 1 d) −2 e) 3 Relaciones familiares 21. Una familia esta integrada por un abuelo; dos pap´ as; dos mam´ as; una abuela; un hermano; dos hermanas; dos hijos varones; dos hijas; un suegro; una suegra; una nuera y un yerno. Cu´ al es el menor n´ umero de personas que integran dicha familia. a) 10 b) 12 c) 14 d) 6 e) 7 22.

El matrimonio Renault tiene 3 hijos: Nataly, Vanessa y C´esar. El matrimonio Ferrari tiene 4 hijos: Mar´ıa, Gladys, Franklin y Miguel. El matrimonio McLaren tiene dos hijos: Bertha y Carla.

IV. La media de los n´ umeros positivos es mayor que el valor absoluto de la media de los n´ umeros negativos.

C´esar Castro se casa con Mar´ıa Ferrari, de este matrimonio nacen dos hijos: Daniel e Irma.

V. Los dos ceros no afectan a la media de los n´ umeros

Miguel Ferrari se casa con Bertha McLaren, de este matrimonio nace Julio.

a) I y II d) I, II y V

b) I, II y III e) I, III y IV

Notaci´ on Funcional

c) II y III

¿Qu´e parentesco tiene Julio con Daniel? a) T´ıo, sobrino b) Primos c) Hermanos d) Abuelo, nieto e) Sobrino, t´ıo

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Razonamiento Matem´ atico

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CAP. 12: Promedios. Operadores. Notaci´ on Funcional. Relaciones Familiares 0.4. 7. Dado: (2a + b; a − 2b) = a2 + b2 . Calcular:

Operadores 1. Considere las operaciones: A ⊲⊳ B = A + B − N ; si 1 < N < 5 A ⊲⊳ B = A + B + N ; si 5 < N < 10 Donde N es la suma de las cifras de los operandos (A y B). Halle: (12 ⊲⊳ 15) ⊲⊳ (3 ⊲⊳ 1) a) 45 b) 40 c) 46 d) 48 e) 50 5 = 35. 2. Sabiendo que x = x(x + 2); y Calcular: 1995 veces 5

a) 10 d) 5

b) 15 e) 35

c) 25

3. Si PACO ∗ RITA = PICA, entonces: (FITO ∗ PECO) ∗ (PODA ∗ MICO) es: a) FITO b) POCA c) MUDO d) MILO e) FIDO H

H

H

4. Si: a b = a2 − 3b. Hallar: (2 1) + (4 2) a) 10 b) 11 c) 13 d) 14 e) 12 5. Si: = 2x − 3

x x

= 3x − 4

Hallar: a) −1 d) 5

2

−

2

b) 2 e) 1

6. Si: a ∗ b = a2 − ab − 1. Calcular: 3 ∗ (3 ∗ (3 ∗ (3∗))) a) 1 b) 5 d) 4 e) 2

c) 4

c) 3

È

5+ a) 1 d) 4

√

È

3;

b) 2 e) 5

5−

√ ‹ 3 c) 3

Promedios 8. El promedio geom´etrico de 20 n´ umeros es 8 y el promedio geom´etrico de otros 20 n´ umeros es 18. Cual es el promedio geom´etrico de los 40 n´ umeros. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 9. El promedio de las edades de 6 personas es 48, si ninguno de ellos es menor a 46. Cu´ al es la m´ axima edad que debe de tener uno de ellos. a) 58 b) 48 c) 56 d) 50 e) 60 10. El promedio de la edad de 18 hombres es 16 a˜ nos y la edad promedio de 12 mujeres es 14 a˜ nos. Calcular el promedio del sal´ on. a) 15 b) 16.2 c) 15.2 d) 15.1 e) 16.1 11. La media arm´ onica de 30 n´ umeros es 36. Cual es la media arm´ onica de sus tercias. a) 18 b) 12 c) 24 d) 36 e) 30 12. En una aula de 70 alumnos donde hay 50 hombres, se sabe que si a cada uno de estos se les aumenta 3 a˜ nos y a cada una de las mujeres se les aumenta “m” a˜ nos, el promedio total de edades aumentar´ıa en 3 a˜ nos; pero si cada hombre tuviera 2 a˜ nos menos y los mismos cada mujer, el promedio total disminuir´ıa en “n” a˜ nos. En cuanto var´ıa el promedio total, si cada hombre tuviera “m” a˜ nos m´ as y cada mujer “2n” a˜ nos menos. a) Aumenta en 1 a˜ no. b) Disminuye en 1 a˜ no. c) No varia. d) Aumenta 2 a˜ nos. e) Disminuye 2 a˜ nos.

80

Razonamiento Matem´ atico

13. La nota promedio de un examen es “x”, el profesor decide aumentar 2 puntos al tercio superior de la clase, 1 punto al tercio central y bajarle 1 punto al tercio inferior de la clase. Cual el nuevo promedio. a) x b) x + 13 c) 3x+5 3 x 2 d) 3 e) x + 3 14. El promedio aritm´etico de 27 n´ umeros es 27. Si a cada n´ umero se le multiplica por 9 y se agrega 18 unidades ¿Cu´ al ser´ a el nuevo promedio aritm´etico? a) 420 b) 27 c) 729 d) 420/27 e) 261 15. Cu´ al es el promedio de P , Q, R y S, si: 25 %P = 0,6Q = 6R = C.A.(75)S a) 881P/2400 b) 107P/75 c) 107P/300 d) 214P/75 e) 1071P/600 16. El promedio de 20 n´ umeros es 10. ¿Qu´e sucede con el promedio si se le agregase 10 n´ umeros que suman 20? a) Aumenta en 10/3 b) Aumenta a 10/3 c) Disminuye en 8/3 d) Disminuye a 8/3 e) Disminuye en 10/3 Notaci´ on Funcional 17. Si f (z) = (z − 1)2 + b, entonces: f (z) − f (z + 2) es: z a) −4 b) 4 c) −3 d) b e) 3 18. Si f (x) = x2 + 3 , hallar f (x + 2) − f (x) =4 3 a) −1 b) 1 d) 3 e) 2 19. Si f (x) = x a) 2 d) 4

. xx

..

c) 4

∞

; encontrar “a” si f√(a) = 2 √ b) 2 c) 3 e) 1/2

20. Se define: f (x + 1) = 3x + h; adem´ as f (4) = 1. Calcular: f (h). a) 3 b) 4 c) −35 d) 6 e) 7

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21. Si f (x+1) = f (x)+2x+4; adem´ as f (0) = 2; entonces f (1) + f (−1) vale: a) 0 b) 2 c) 6 d) −2 e) −6 22. Si f (f (y)) = 9y + 28; calcular f (2). a) 14 b) 15 c) 16 d) 13 e) 18 23. Si f (x + 4) = x2 + 6x + 7; calcular f (n) + f (n + 2). a) n2 + 1 b) 2n2 + 2 c) n2 + 2 2 2 e) 2n − 2 d) 2n + 1 Relaciones familiares 24. Los esposos L´ opez tiene 3 hijos (varones), cada hijo tiene una hermana y cada hermano tiene 3 sobrinos. Cu´ al es el n´ umero m´ınimo de personas que conforman esta familia. a) 11 b) 15 c) 9 d) 10 e) 12 25. No tengo hermanos ni hermanas, pero el padre de ese hombre es hijo de mi padre ¿Qui´en es “ese hombre”? a) Mi padre b) Mi hijo c) Mi t´ıo d) Mi abuelo e) Soy yo 26. ¿Qui´en es el hijo del padre del abuelo de Daniel? a) Daniel b) El padre de Daniel c) El abuelo de Daniel d) El hijo de Daniel e) El nieto de Daniel 27. Si la mam´ a de Sara es la hermana de mi hermano gemelo, ¿qu´e es respecto a m´ı, el abuelo del mellizo de Sara? a) Hijo b) Padre c) Abuelo d) Yerno e) T´ıo 28. Una familia est´ a compuesta por 4 hermanos, 4 t´ıos, 2 padres, 2 madres, 3 sobrinos, 2 sobrinas y 5 primos ¿Cu´ al es el m´ınimo n´ umero de personas que lo conforman? a) 8 b) 15 c) 12 d) 10 e) 9