RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

BANCO DE PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO MATEMATICO

SEMANA Nº 03 TEMA: SERIES Y SUMATORIAS

Coordinador : Lic. Daúl Andrés Paiva Yanayaco. Responsable : Lic. Jorge Enrique More Gómez. PROPIEDADES DE SUMATORIAS

SERIE NUMÉRICA

n

åt

= t k + t k +1 + t k + 2 + ... + tn

i

i= k

Número de Términos = éë( n - k ) + 1ùû

t1 ; t 2 ; t 3 ; ... ; t n

n

Entonces la serie numérica será

n

i

i= k

n

å

Ø

i= 1

Ú +r

Ú +r

i= k

i

i= k

k

å

i= 1

ti +

n

å

i = k +1

n

n ( n + 1)

i =1

2

ti

Suma de los primeros “ n ” números pares.

Ø n

å 2i = 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n ( n + 1)

Donde t1 : Primer Término; t n : Último Término n : Número de Términos

i =1

Suma de los primeros “ n ” números impares.

Ø

SERIE GEOMÉTRICA

n

å ( 2i - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + ( 2n -1) = n

Pueden ser:

2

i =1

SERIE GEOMÉTRICA FINITA

S = t1 + t2 + t3 + t4 + ... + tn Ú ´q

Ú ´q

n

åi

Ú Ú ´q ´q

(q

2

= 12 + 22 + 32 + ... + n 2 =

n ( n + 1)( 2n + 1) 6

i =1

Suma de los primeros “ n ” cubos.

Ø

La suma de todos sus términos se obtiene: n

Suma de los primeros “ n ” cuadrados.

Ø

Para toda progresión geométrica de “ n ” términos:

t1

ti =

å i = 1 + 2 + 3 + ... + n =

æt +t ö S = t1 + t2 + t3 + ... + tn = ç 1 n ÷ n è 2 ø

S =

i= k

Suma de los primeros “ n ” números naturales:

Ø

La suma de todos sus términos se obtiene:

Ú ´q

n

i

SUMAS NOTABLES

t1 + t2 + t3 + t4 + ... + t n

Ø

i

i= k

En general: Para toda sucesión aritmética de “ n ” términos:

Ú +r

i

n

Es la adición indicada de los términos de una progresión o sucesión aritmética.

Ú +r

i

å c = éë ( n - k ) + 1ùû ´ c

Ø

SERIE ARITMÉTICA

Ú +r

n

å ( a + b + c ) = å a + åb + å c

Ø

S = t1 + t2 + t3 + ... + tn

Ø

Número de términos:

Ø

Es la adición indicada de los términos de una sucesión numérica y al resultado se le llama valor de la serie. Sea la sucesión:

- 1)

é n ( n + 1) ù i = 1 + 2 + 3 + ... + n = ê ú å i =1 ë 2 û n

q -1

Donde: t1 : Primer Término; q : Razón q ¹ 1 ; q ¹ 0 n : Número de Términos

3

3

3

å ( 2i )

3

n

= 23 + 43 + 63 + ... + ( 2n ) = 2n 2 ( n + 1) 3

å ( 2i - 3)

t S = t1 + t 2 + t3 + t 4 + ... = 1 , 1- q Ú Ú Ú Ú ´q ´q ´q ´q

å i (i + 1) = 1´ 2 + 2 ´ 3 + 3 ´ 4 + ... + n ´ ( n + 1) =

3

i =1

2

= 13 + 33 + 53 + ... + ( 2 n - 1) = n 2 ( 2 n 2 - 1)

Para toda serie geométrica de infinitos términos su suma se calcula así

q 1)

1æ 1 1 ö = ç ÷ ç r è a1 an +1 ÷ø

; ai = elemento de una progresión aritmética r = razón dela progresión aritmética

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PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

9.

Determinar la razón de la siguiente progresión aritmética, si la suma de sus términos es 1 476.

a) 23 d) 29

31 ; K ; 133 a) 5 d) 8 2.

b) 6 e) 9

c) 6 870

donde Halle

M = 3 + 5 + 9 + 15 + 23 + K 144424443

2

a1 + a 2 + a3 + K + a k = cb 00 .

R =b+c

a) 7 d) 10

" M ",

Calcular

c) 27

an = n 2 ( n + 1) - ( n - 1) n 2 ;

E = 1 ´ 8 + 2 ´10 + 3 ´12 + ... + 20 ´ 46

3.

b) 25 e) 31 2

b) 6 950 e) 7 000

S

10. Se define

c) 7

Calcular

a) 8 720 d) 6 240

S

, sabiendo que Indique la suma de las cifras de es la suma de todos los números impares que son capicúas de tres cifras significativas.

b) 8 e) 11

c) 9

11. Indique el valor de la suma de todos los términos del siguiente arreglo

4 0 té rm in o s

a) 18 640 d) 24 500 4.

b) 21 520 e) 20 250

Dada una sucesión de números definida del modo siguiente:

m k = (13 + 2 3 + 33 + K + k 3 )

- 0.5

De modo que

an = ( m1 + m2 + m3 + K + mn ) ´ (1 + 2 + 3 + K + n ) Halle

b) 187 e) 385

Halle el valor de

c) 231

" m " , si

"a "

y

a) 12 d) 40 6.

a+b+c

b) 24 e) 30

a) -200 d) -190 Halle

c) 44

de la siguiente suma

43 + 71 + 46 + 69 + 49 + 67 + ... + 70 = aabc b) 6 e) 12

13. ¿Cuál es el valor de

c) 8

E?

a) 1 540 d) 1 640

b) 1 550 e) 1 660

t1 t2 t3 t10

c) -180

t3 O L t10

t k = 1 + 3 + 5 + 7 + . .. 1 4 42 4 43 " k " su m a n d o s

a) 2 025 d) 4 356

E = 3 ´ 8 + 6 ´12 + 9 ´16 + 12 ´ 20 + K 144444 42444444 3

b) 3 000 e) 5 625

c) 3 025

" x " , si 1 + 2 + 3 + L + x = aaa

10 sumandos

c) 5 200

t3 L t10

Sabiendo que

15. Calcular

b) 5 180 e) 5 080

t2

N

" M ",

b) -210 e) -220

c) 1 600

14. Halle la suma de todos los términos de la siguiente distribución:

c) 26

" E ",

a) 5 280 d) 5 100

c) 4 500

(Exprese el resultado en base 10) cifras significativas diferentes

M = 12 - 22 + 32 - 42 + K - 202

8.

b) 4 280 e) 4 950

¿Cuál es el resultado de sumar todos los productos que se obtienen al multiplicar cada número de dos cifras por su consecutivo? . (De como respuesta la suma de sus cifras)

Hallar el valor de

25 27 29 31 M 49

10 sum andos

b) 18 e) 30

a) 22 d) 28 7.

"b "

7 L 9 L 11 L 13 L M 31 L

E = 1 2 3 + 3 4 5 + 5 6 7 + 7 8 9 + ... 1 4 4 4 42 4 4 4 43

a 2 + 3b = 1. b 2 + 3a

Siendo entre sí.

5 7 9 11 M 29

a) 4 d) 10

72 + 70 + 68 + 66 + ... + m = aabb Donde

3 5 7 9 M 27

a) 4 225 d) 4 850 12. Halle

S = a1 + a 2 + a 3 + K + a10 .

a) 143 d) 297 5.

1 3 5 7 M 25

c) 21 440

a) 35 d) 111

b) 37 e) 36

c) 38

BANCO DE PREGUNTAS DE RAZONAMIENTO MATEMATICO 16. En una progresión aritmética la suma de los

" n " primeros

términos está dada por la siguiente

relación

n(3n + 13) . 2

Sn =

17. Hallar

b) 1 203 e) 1 211

K = 3 + 337 + 3337 + 33337 + ... + 33...337 1 424 3 " n " cifras

Hallar el término de lugar 400. a) 1 208 d) 1 205

22. ¿Cuál es la suma de la serie en base 10?

a)

7 n+1 - 6n - 6 12

b)

7 n+1 - 6n - 7 12

c)

7 n+1 - 6n + 1 6

d)

7 n - 6n - 6 12

e)

7 n+1 - 6n - 7 6

c) 1 200

"S ",

" n " té r m in o s 6 4 447 4 4 48 (1 .3 + 3 .5 + 5 .7 + K ) + n S = 12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + K 1 4 4 42 4 4 43

23. En la siguiente progresión geométrica de términos enteros:

" n " té r m in o s

a) 4 d) 1

b) 3 e) 0

( 2 n + 1 ); (7 n + 1 ); (2 0 n + 5 );

c) 2

Halle el quinto término.

18. Si

A = 100 (1 + 2 + 3 + K + 101) B = 101(1 + 2 + 3 + K + 100 )

de

modo

A - B= abab ,

que

a) 54 d) 405 halle

S= 1 + 2 + 3 + K + ab a) 1 275 d) 1 035 19. Calcular

b) 820 e) 1 485

c) 630

" x + y " si

1 + 3 + 5 + 7 + L + x = 196 2 + 4 + 6 + 8 + L + y = 420 a) 69 d) 40

b) 68 e) 27

c) 67

20. Calcular

S=

3 4 3 4 3 4 + + + + + +L 5 52 53 54 55 56

a) 7 5 d) 3 25

b) 19 24 e) 1 5

c) 1

21. Cada bolita ha sido numerada, y están dispuestas del modo siguiente hasta completar 10 filas.

1 2 4 7

3 9

8

11 12

6

5

10

13 14

15

M M M M M

¿Cuánto suman los valores que corresponden a las bolitas oscuras? a) 1 540 d) 1 455

b) 1 544 e) 1 450

c) 1 510

b) 45 e) 1 215

c) 135

K

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TAREA DOMICILIARIA 1.

S = 1-

1 1 1 1 1 1 1 + - + - + +L 2 4 8 16 32 64 128

a) 2 3 d) 5 3 2.

K

términos, la razón es Sabiendo que tiene es el término central. Además R + K = 30 .

Calcular la suma límite de la Serie Infinita

4.

c) 4 3

b) 1 e) 7 3

Si

æ 1 öæ 1 öæ 1 ö æ 1 ö Pn = ç1 + ÷ç1 + ÷ç1 + ÷L ç1 + ÷ , è 1 øè 2 øè 3 ø è n ø entonces el valor de

3.

a)

(n

d)

n2 + 1

2

+ 1)

2

Pn2

es:

b)

( n + 1)

e)

n2

2

c)

( n - 1)

a) 2 070 d) 2 570

b) 2 520 e) 2 700

y 90

c) 2 250

Sea " P " la suma de los cuadrados de los números pares de dos cifras y sea " I " la suma de los cuadrados de los números impares de dos cifras. Halle

T=

I 2 - P2 102 + 112 + 122 + K + 992

a) 4 905 d) 5 940

2

Hallar el valor de la siguiente serie:

13 + K + 90 + K

R

,

HOJA DE CLAVES Curso: Razonamiento Matemático Tema: Series y Sumatorias Semana: 03 Pregunta Clave Tiempo Dificultad (Min.) 01 B 2 F 02 E 2 F 03 C 2 F 04 E 2 F 05 E 3 M 06 B 3 M 07 B 2 F 08 A 2 F 09 C 2 F 10 C 3 M 11 A 3 M 12 B 3 M 13 D 2 F 14 C 2 F 15 E 2 F 16 D 2 F 17 A 3 M 18 A 2 F 19 C 2 F 20 B 3 M 21 D 2 F 22 B 3 M 23 D 2 F TAREA DOMICILIARIA 01 A 2 F 02 D 2 F 03 A 3 M 04 A 3 M

b) 5 000 e) 5 990

c) 5 004