Razonamiento Matemático - Pamer.pdf
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ÍNDICE GENERAL Orden Orde n de Información Informaci ón .......................................... ........................................................................ .............................. 1 Mentiras Ment iras y Verda Verdades des ........................................ ................................................................... .................................... ......... 3 Cuadro Cuadr o de decision es ............................................... ........................................................................ .........................
5
Cert ezas ....................................... ................................................................... ..................................................... ........................... ..
7
Análisis de figuras I: Secue ncia ......... .............. ......... ......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... ......... ....
10
Análisis d e figuras II: II: Analogías Analogías ......... .............. ......... ......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... ......... ....
12
Sucesi ones: Simples ......... .............. ........... ........... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... ..
16
Suc esione s: Compleja s ......... .............. .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... ......... .... 20 Lógica: Lógic a: Tablas ................................................... ......................................................................... .................................. ............
22
Lógica: Prop osicional ......... .............. ........... ........... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... ..
28
Lógica Lógic a de clases clas es ............................................ ..................................................................... ..................................... ............
31
Operador es matemáticos I ......... .............. ........... ........... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... ..
35
Operador es matemáticos II ....... ............ .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... ......... ....
37
Planteo de ecuaciones lineales ......... .............. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ....
41
Planteo de ecuaciones cuadráticas ......... .............. .......... ......... ......... .......... .......... .......... ......... ....
43
Planteo d e ine cuaciones ......... .............. .......... ......... ......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... ......... .... 47 Fracc iones I y II................... II ......................................... ............................................ ............................................ ...................... 48 Análisis combinatorio I: Principios .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... ........... .......... .... 51 Análisis c ombinatorio ombinatorio II: Mét odo pascal ......... .............. .......... .......... .......... ......... ......... ....... ..
53
Análisis combinator io III: III: Combinaci ón ......... .............. .......... .......... .......... ......... ......... ....... ..
55
Análisis combinatorio IV: IV: Permutación ......... .............. .......... .......... .......... .......... .......... ......... ....
57
Probabilid ades I: Definición ....... ............ .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... ......... ....
59
Probabili dades II: II: Propiedades
61
......... .............. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ....
Estadística: Análisis Análisis de tablas ......... .............. .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... ....... ..
63
Estadística: Diagrama de barras ......... .............. .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... ......... ....
67
Estad ística: Diagr amas circulares .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... ........... .......... .... 69 Suficienci Sufi cienci a de datos dat os ......................................... ............................................................... .................................. ............
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ÍNDICE GENERAL Orden Orde n de Información Informaci ón .......................................... ........................................................................ .............................. 1 Mentiras Ment iras y Verda Verdades des ........................................ ................................................................... .................................... ......... 3 Cuadro Cuadr o de decision es ............................................... ........................................................................ .........................
5
Cert ezas ....................................... ................................................................... ..................................................... ........................... ..
7
Análisis de figuras I: Secue ncia ......... .............. ......... ......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... ......... ....
10
Análisis d e figuras II: II: Analogías Analogías ......... .............. ......... ......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... ......... ....
12
Sucesi ones: Simples ......... .............. ........... ........... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... ..
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Suc esione s: Compleja s ......... .............. .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... ......... .... 20 Lógica: Lógic a: Tablas ................................................... ......................................................................... .................................. ............
22
Lógica: Prop osicional ......... .............. ........... ........... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... ..
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Lógica Lógic a de clases clas es ............................................ ..................................................................... ..................................... ............
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Operador es matemáticos I ......... .............. ........... ........... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... ..
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Operador es matemáticos II ....... ............ .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... ......... ....
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Planteo de ecuaciones lineales ......... .............. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ....
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Planteo de ecuaciones cuadráticas ......... .............. .......... ......... ......... .......... .......... .......... ......... ....
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Planteo d e ine cuaciones ......... .............. .......... ......... ......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... ......... .... 47 Fracc iones I y II................... II ......................................... ............................................ ............................................ ...................... 48 Análisis combinatorio I: Principios .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... ........... .......... .... 51 Análisis c ombinatorio ombinatorio II: Mét odo pascal ......... .............. .......... .......... .......... ......... ......... ....... ..
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Análisis combinator io III: III: Combinaci ón ......... .............. .......... .......... .......... ......... ......... ....... ..
55
Análisis combinatorio IV: IV: Permutación ......... .............. .......... .......... .......... .......... .......... ......... ....
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Probabilid ades I: Definición ....... ............ .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... ......... ....
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Probabili dades II: II: Propiedades
61
......... .............. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ....
Estadística: Análisis Análisis de tablas ......... .............. .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... ....... ..
63
Estadística: Diagrama de barras ......... .............. .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... ......... ....
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Estad ística: Diagr amas circulares .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... ........... .......... .... 69 Suficienci Sufi cienci a de datos dat os ......................................... ............................................................... .................................. ............
75
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ORDEN DE DE INFORMACIÓN INFORMACIÓN DESARROLLO DEL TEMA
I.
Si Edwin llego en 1.er lugar, José tuvo que haber llegado en 3.er lugar.
ORD RDEN ENA AMIEN MIENTO TO LI LINE NEAL AL
a. Ordenam Ordenamiento iento crecien creciente te o decreci decreciente ente.. b. Ordenam Ordenamien iento to later lateral. al. c. Ordenam Ordenamien iento to por posición posición de datos. • Problemas Problemas sobre carre carrera rass • Problema Problemass sobre edificios edificios
Problemas sobre edificios Decir: "Vanessa vive más arriba que María" no implica que necesariamente vivan en pisos adyacentes (contiguos).
A. Ordenamiento Ordenamiento creciente o decreciente decreciente
Para estos problemas hay que tener en cuenta lo siguiente:
II. ORDENAMIEN ORDENAMIENTO TO CIRC CIRCULAR ULAR O CERRADO
En estos casos los elementos estarán ordenados de manera que formen una figura cerrada. Debemos tener en cuenta lo siguiente:
A no es mayor mayor que B < >
Equivale a decir que A es menor o igual que B.
A no es menor que B < > Equivale a decir que A es mayor o igual a B . B. Ordenami Ordenamiento ento lat later eral al
izquierda oeste
derecha este
occidente
oriente
Decir: "Javier está a la derecha de Luis" no implica que necesariamente estarán juntos. Decir: "César está entre Andrés y Pedro" no implica que necesariamente estarán juntos (adyacentes).
III.TABLAS III.TABLAS DE DOBLE ENTRADA E NTRADA
En problemas donde se tiene una diversidad de datos y es complejo relacionarlos a simple vista s e recomienrecomienda emplear las "Tablas de doble entrada", donde generalmente en la columna de entrada se escriben los nombres de los sujetos y en la fila de entrada las cua-
C. Ordenamien Ordenamiento to por posición de datos datos
Problemas sobre sobre ca rreras Decir: "José llegó 2 puestos detrás de Edwin" implica que por ejemplo: UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
lidades. 1
RAZ. MAT M ATEMÁTICO EMÁTICO
TEMA 1
ORDEN DE INFORMACIÓN
Exigimos más!
problemas resueltos
Problema 1 En un edificio de cinco pisos viven las amigas María, Lucía, Irma, Cathy y Luisa. Cada una vive en un piso diferente. Además se sabe que Cathy vive más abajo que Lucía, pero más arriba que Irma. María no vive debajo de Irma, Lucía no vive arriba de Irma. ¿Quién vive en el quinto piso?
La esposa de David no es Norma ni Gaby. ¿Cuál de las siguientes es una pareja de esposos?
A estaba fren te al qu e beb ía vino.
UNI 2008-II
Quien se sentaba a la derecha de D bebía anís. El que bebe café y el que bebe anís estaban frente a frente. UNI 2008-II
Nivel intermedio
A) Betty – Bruno
Nivel difícil
B) Betty – Néstor
Indique la proposición verdadera:
C) Norma – Bruno
A) B bebía anís
A) María
D) Gaby – Bruno
B) B bebía agua
B) Lucía
E) Gaby – Néstor
C) C bebía anís D) A bebía café
C) Irma D) Cat hy
Resolución:
E) Luisa
•
Helen está casada con Juan.
•
La esposa de David no es Norma ni Gaby.
UNI 2009-I Nivel fácil
•
Los nombres de una de las parejas empiezan con la misma letra.
Resolución:
La pregunta esta mal planteada porque no puede ser que Lucía viva más arriba que Irma, eso contradice el dato inicial.
E) D bebía agua
Se utilizará el cuadro de Descarte: David
Bruno
Juan
Néstor
Si se cambian los datos.
Norma
María no vive debajo de Irma por:
Hellen
Betty
Gaby
María vive debajo de Irma y Lucía no vive arriba de Irma por:
Resolución:
I.
El que se sentó a la izquierda de B bebió agua.
II. A estaba frente al que bebía vino. III. Quien se sentaba a la derecha de D bebía anís. IV. El que bebe café y el que bebe anís estaba frente a frente.
Luisa no vive arriba de Irma Nota: Como dicen que hay una pareja de esposos cuyos nombres empiezan con la misma letra se deduce que Norma el esposa de Néstor y se logra completar todo el cuadro.
Respuesta: B) Lucía
Relación correcta: Gaby – Bruno
Problema 2 Respuesta: D) Gaby – Bruno
Norma, Helen, Betty y Gaby están casadas con David, Bruno, Juan y Néstor, pero no necesariamente en el orden men-
Problema 3
cionado. Los nombres de una de las parejas empiezan con la misma letra. Helen está casada con Juan.
Cuatro amigos A, B, C y D se sentaron a beber en una mesa circular. El que se sentó a la izquierda de B bebió agua.
UNI SEMESTRAL 2013 - III
2
Se descarta por el dato (III)
Proposición verdadera: bebía anís. Respuesta: C) bebía anís
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 1
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
MENTIRAS Y VERDADES DESARROLLO DEL TEMA Juego lógico en el que a partir de un suceso, ofrecen versiones sobre lo ocurrido. Hay tres maneras de abordar este tipo de juegos:
I. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Consiste en buscar entre las proposiciones dadas, dos que sean equivalentes, las que tendrán el mismo valor de verdad.
Ejemplo: Se tiene las siguientes declaraciones: Mario: "Raúl es mayor de edad". Raúl: "Yo soy mayor de edad".
•
Es evidente que las proposiciones hacen la misma afirmación, por ende, ambas tendría el mismo valor de verdad.
II. PRINCIPIO DE CONTRADICCIÓN Consiste en buscar entre las proposiciones dadas, dos que s ean contradictorias, las que tendrán dif erentes valores de verdad.
Ejemplo: Se tiene las siguientes declaraciones: Mario: "Llevo puesto un polo color rojo". Raúl: "Mario lleva puesto un polo color azul".
•
Es evidente que las proposiciones plantean ideas distintas, por ende ambas no pueden ser verdaderas o falsas a la vez.
III. PRINCIPIO DE SUPOSICIÓN Consiste en asumir un valor de verdad para alguna de las proposiciones, que se to mará luego como punto de partida para verificar una coherencia lógica entre los demás enunciados. De llegar a una contradicción (o alguna situación absurda), deberá evaluarse otra proposición. UNI SEMESTRAL 2013 - III
3
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 2
MENTIRAS Y VERDADES
Exigimos más!
problemas resueltos
Respuesta: D) David Problema 3 La mamá interroga a sus cinco hijos: Andrés miente los días miércoles, jue"¿Quién rompió el espejo?" y ellos resves y viernes, y dice la verdad el resto Problema 2 pondieron: de la semana. Pedro miente los doUna de cinco personas ha cometido • Alberto: Lo hizo Eduardo. mingos, lunes y martes, y dice la veruna falta y al ser interrogadas, Alberto • Eduardo: Carlos lo hizo. dad los otros días de la semana. Si dijo que lo hizo David, David dijo que • Carlos: Yo no fui. ambos dicen: "Mañana es un día en el lo hizo Juan, Juan dijo que lo hizo Car• David: Juan lo hizo. cual yo miento", ¿cuál día de la semalos, Carlos dijo que él no lo hizo y Eduar• Juan: Lo hizo Alberto. na será mañana? do confesó que lo hizo él. Si no fue Si uno de ellos lo hizo, si no fue Carlos y Alberto y sólo uno de ellos dice la verUNI 2007-I sólo uno dice la verdad, ¿quién lo hizo? Nivel difícil dad, ¿quién cometió la falta? UNI 2008-II UNI 2006-II A) Lunes Nivel fácil Nivel intermedio B) Martes A) Al berto C) Miércoles A) Al berto B) Ed uard o D) Ju ev es B) David C) Carlos E) Viernes C) Juan D) David D) Carlos E) Juan Resolución: E ) Ed uard o Tenemos: Resolución: Resolución: Del enunciado tenemos que no fue Asumiendo que Juan es el que dice la Carlos y solo uno dice la verdad, entonverdad, todos los demás mentirían. ces podemos concluir que lo que dice Carlos es verdad ya que dice que él no lo hizo, esto implica que todos los demás enunciados son falsos, si analizaComo ambos dicen "Mañana es un día mos lo que dijeron los demás y tenienen el cual yo miento", el día en que do en cuenta que mintieron; Alberto dijeron eso tendría que ser: "martes" dice que fue Eduardo esto quiere decir por lo cual el día de mañana será "miérque no fue Eduardo, de lo que dijeron coles". Por lo tanto el culpable sería Carlos. David y Juan deducimos que no fueron ni Juan, ni Alberto, por consiguiente el úniRespuesta: C) Miércoles Respuesta: D) Carlos co que queda como culpable es David. Problema 1
UNI SEMESTRAL 2013 - III
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RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CUADRO DE DECISIONES DESARROLLO DEL TEMA ORDENAMIENTO EN CUADROS DE DOBLE ENTRADA (CUADRO DE DECISIONES) En estos tipos de problemas generalmente se encuentran una cantidad de sujetos, con sus características dadas en forma desordenada. El objetivo es ordenarlos por medio de cuadros donde se muestran todas las posibles posibilidades, de modo que se van descartando todas a excepción de una (la correcta), con los datos que nos proporcionan en cada dato.
Ejemplos ilustrativos: 1. Tres niños. Andrés, Beto y Toño tienen 5 caramelos, 3 caramelos y 2 caramelos. Beto le di ce al que tiene 3 caramelos, que el que tiene 2 caramelos es simpático. El que tiene 3 caramelos le pregunta a Toño, por su estado de ánimo. ¿Cuánto tiene cada uno?
Rpta.: Andrés 5; Beto 3; Toño 2
OJO: "NO": se deduce de los datos. Y los demás, uno mismo tiene que colocarlo. 2.
Resolución: El cuadro será:
Freddy, Antonio y César estudiaron en la Universidad San Marcos, uno estudió Ing. Civil, otro Medicina y el otro Derecho, cada uno de ellos tiene un hijo que cuando ingresan a la Universidad deciden no tomar la carrera de su padre, si no dedicarse a estudiar la carrera de uno de los amigos de su padre. Sabiendo que el abogado se llama Freddy y que el hijo de Antonio quiere ser médico. ¿Qué profesión tiene Antonio y a qué quiere dedicarse el hijo de César? Resolución:
De los datos se deduce: Que Freddy estudió Derecho y su hijo no, como el hijo de Antonio aspira ser médico, luego Antonio no es médico.
De los datos: • Beto le dice al que tiene caramelos, que el que tiene 2 caramelos es simpático. Se deduce: que Beto no tiene 2 ni 3 caramelos (porque conversa con la de 3, refiriéndose al de 2 caramelos). • El que tiene 3 caramelos le pregunta a Toño. Se deduce: que Toño no tiene 3 caramelos.
Ojo: : Significa "NO" : Significa "SI" Se utiliza para los que no fueron datos del enunciado.
Para poder completar el cuadro, tenemos que ver que en cada fila y columna debe haber un único "si", ya que cada sujeto tiene una sola característica, entonces será: UNI SEMESTRAL 2013 - III
: se utiliza para la respuesta. 5
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 3
CUADRO DE DECISIONES
Exigimos más!
Rpta : Ing. Civil - Derecho
problemas resueltos
Problema 1
Carlos, Víctor y José estudian en tres universidades: X, Y, Z. Además cada uno de ellos estudia una carrera diferente: A, B ó C. Carlos no está en X y José no está en Y. El que está en Y estudia B y el que está en X no estudia A. José no estudia C. ¿Qué estudia Víctor y dónde? A) C en Y B) C en X C) B en Z D) A en Z E) B en X Resolución: Ordenando las informaciones dadas mediante una tabla:
mencionado. Los nombres de una de las parejas empiezan con la misma letra, Helen está casada con Juan. La esposa de David no es Norma ni Gaby. ¿Cuál de las siguientes es una pareja de esposos? A) Betty – Bruno B) Betty – Néstor C) Norma – Bruno D) Gaby – Bruno E) Gaby – Néstor
a) El Chato lo lleva a Coco en su auto y comentan que el Flaco gana menos que todos. b) Gallo y el Flaco caminan juntos al trabajo y comentan que Chani gana más que todos. c) Lucho comenta la suerte del Loco, porque lo llevan en auto y gana 50% más de su sueldo.
Resolución: Ordenando las informaciones dadas mediante una tabla:
A) Lucho y Coco , 2500 n uevos soles. B) Coco y Gallo, 3300 nuevos soles.
¿Cuáles son los nombres del Flaco y el Chato, y cuánto suman sus sueldos?
C) Gallo y Chani, 3800 nuevos soles. D) Lucho y Gallo, 2800 nuevos soles. E) Lucho y Chani, 3000 nuevos soles. Resolución:
Analizando por cuadro de doble entrada: Se deduce que Carlos estudia C en la universidad X.
Respuesta: D) Gaby – Bruno Problema 3
Norma, Helen, Betty y Gaby están casadas con David, Bruno, Juan y Néstor, pero no necesariamente en el orden
Lucho, Coco, Gallo y Chani tienen como sobrenombres: Chato, Loco, Flaco y Gordo, así como sueldos de 2000, 1800, 1500 y 1000 nuevos soles, ambas informaciones en orden arbitrario. Además se sabe que:
UNI SEMESTRAL 2013 - III
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Respuesta: B) C en X Problema 2
Respuesta: E) Lucho y Chani, 3000 nuevos soles
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 3
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CERTEZAS DESARROLLO DEL TEMA I.
PROBLEMAS SOBRE CERTEZAS
A. Certeza Es el conocimiento seguro de un evento, sin t emor a equivocarse. Es el proceso que realizamos, por el temor cual obtenemos el resultado de un problema con anticipación y ese resultado puede verificarse en la práctica. B. Situaciones negativas (casos desfavorables o en contra) Son las situaciones contrarias a lo que buscamos, de acuerdo a la pregunta. En este tipo de problemas debemos analizar primero las situaciones negativas y luego se añaden los elementos necesarios para dar solución al problema.
Explicamos la estrategia a utilizar en este tipo de problemas a través de la construcción de la pregunta con un ejemplo. En una caja se tiene 4 esferas rojas y 3 esferas azules, todas del mismo tamaño y textura.
•
¿Cuántas esferas tendré que extraer para tener 1 roja? Sencillo, como no tengo ninguna restricción, abriré la caja y cogeré la esfera de color rojo.
•
¿Cuántas esferas tendré que extraer al azar para tener 1 roja? Como es cuestión del azar, puede que me salga a la primera, a la segunda, a la tercera, no tendría la completa seguridad de cuando me tocará.
•
¿Cuántas esferas tendré que extraer al azar para tener la certeza de haber obtenido 1 roja? Para tener la seguridad de que me salga una roja, primero sacaré todas las azules, es decir saco 3 azules y lu ego la roja, pero si saco todas también tendré la seguridad de tener 1 roja.
•
¿Cuántas esferas, tendré que extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de haber obtenido 1 roja? Ahora si, para tener la certeza de te ner 1 roja, saco las 3 azules y como me piden el mínimo número, sacaré solo una esfera más, es decir que necesito 4 como mínimo.
II. PROBLEMAS SOBRE PESOS Y COSTOS En este tipo de problemas se trabaja con un intervalo de valores que puede tomar el peso o el costo de uno o más objetos y lo que haremos es analizar la situación según lo que me pida el problema. UNI SEMESTRAL 2013 - III
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RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 4
CUADRO DE DECISIONES
Exigimos más! A. Ejemplo 1 Planteo Si un kilo de naranja contiene desde 4 hasta a 6 naranjas.
Interpretación 4 n aranjas 1 kilogramos 6 naranjas Si me preguntó a que se debe la variación entre el número de naranjas, la respuesta será muy sencilla, por su tamaño, según esto podremos asumir que si vienen 4 naranjas estas serán grandes y si me tocan 6 naranjas estas serán pequeñas.
1 kg
6 naranjas
x
48 naranjas
x = 8 kg B. Ejemplo 2
Planteo Una camisa de manga larga puede costar de 12 soles hasta 22 soles.
Preguntas 1. ¿Cuál es el máximo número de naranjas que habrán en 7 kilogramos? Como me piden el máximo, deberé trabajar con
Intepretación S/. 12 1 camisa S/.22
las naranjas pequeñas.
Si me pregunto a que se debe la variación entre el precio de las camisas, la respuesta será muy sencill a, por su calidad, según esto podremos asumir que si cuestan 12 soles son baratas y su cuestan 22 soles serán cara.
1 kg 6 naranjas 7 kg x x = 42 naranjas
Preguntas 1. ¿Cuál es el costo máximo y el costo mínimo de 13 camisas?
2. ¿Cuál es el mínimo número de naranjas que habrán en 6 kilogramos? Como me piden el mínimo, deberé trabajar con
a) Máximo Trabajaré con las camisas caras.
las naranjas grandes.
1 camisa
S/. 22
13 camisas
x
x = S/. 286 1 kg 6 kg
4 naranjas
b) Mínimo
x
Trabajaré con las camisas baratas.
x = 24 naranjas 3. ¿Cuál es el máximo peso de 24 naranjas? Como me piden el peso máximo, deberé trabajar
1 camisa
S/. 12
13 camisas
y
y = S/. 156
con las naranjas grandes. 2. ¿Cuál es la máxima ganancia que se puede obtener al comprar y vender 1 docena de camisas? Como quiero obtener la ganancia máxima, debo comprar lo más barato posible y venderlo lo más caro posible.
1 kg 4 naranjas x 24 naranjas x = 6 kg 4. ¿Cuál es el mínimo peso de 48 naranjas? Como me piden el peso mínimo, deberé trabajar con las naranjas pequeñas. UNI SEMESTRAL 2013 - III
Gmáx = 22 - 12 = 10 8
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 4
CUADRO DE DECISIONES
Exigimos más! La ganancia máxima de 1 camisa será 10 soles,
por lo tanto si me piden de una docena, esta será 120 soles. 3. ¿Cuál es la pérdida máxima que se puede obteneral
Pmáx = 22 – 12 = 10
comprar y vender 1 decena de camisas? Como quiero obtener la pérdida máxima, debo
La pérdida máxima de 1 camisa será 10 soles,
comprar la más cara posible y vender los más
por lo tanto si me piden de una decena, esta
barato posible.
será 100 soles.
problemas resueltos
Problema 1 En una urna hay 12 bolas azules, 15 bolas
¿Cuántos guantes se debe extraer al azar y como mínimo para obtener con
blancas, 18 bolas verdes y 20 rojas. ¿Cuál es el mínimo número de bolas que deben sacarse al azar para tener la certeza de haber extraído 13 de uno
toda certeza un par de un solo color?
de los colores?
UNI Nivel intermedio B) 6 C) 7 E) 8
A) 9 D) 10
UNI
A) 49 D) 69
B) 50 E) 79
Nivel fácil C) 65
Resolución: Para tener la certeza nos ponemos en
Resolución: Tenemos 4 guantes negros, es decir 2
pares de guantes negros y 5 guantes rojos osea 2 pares de guantes rojos y 1 guante rojo sobrante. Es decir: 4 pares de guantes + 1 guante rojo
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Nivel difícil C) 14
Resolución: Bolos numerados: 1, 2, 3, ..., 89, 90
3 impares < 66 21 pares e impares > 66
Considerando 3 guantes rojos izquierdos. Extracciones:
De los 21 pares e impares < 66 En el peor de los casos tendremos: 12 pares y 9 impares
Respuesta: A) 49 bolas
En un ánfora hay 4 guantes negros y 5 guantes rojos.
B) 24 E) 28
Hay 24 bolos extraídos:
12 + 12 + 12 + 12 + 1 = 49 bolas
Problema 2
A) 30 D) 34
Existen en total 45 bolos pares y 45 bolos impares.
el peor de los casos. Estos se dará cuando: Extraemos Quedan en la urna 12 R 8R 12 V 6V 12 B 3B 12 A 0A Ahora extraemos 1 bola cualquiera y podemos cumplir lo pedido, por ello se había extraído:
Problema 3 En un juego de bolos, 90 de ellos numerados desde 1, 2, ..., 90; sabemos que de 24 bolos extraídos, 3 son impares y menores de 66. ¿Cuántos bolos más se tendrá que extraer al azar. Y como mínimo para obtener con certeza un bolo con número par? UNI
Luego: N° de extracciones = (45 - 12) + 1 = 34
6 guantes
Respuesta: D) 34
Respuesta: B) 6 guantes
9
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 4
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ANÁLISIS DE FIGURAS I: SECUENCIAS DESARROLLO DEL TEMA En este capítulo estudiaremos los diversos métodos de conteo que nos permitirán determinar la máxima cantidad de figuras de cierto tipo, que se encuentran presentes en una figura dada. Es importante que quede establecido la diferencia entre figura simple y figura compuesta.
En este caso si se lleva un registro de lo que se va contando.
C. Conteo por inducción
Se aplica cuando la figura dada presenta una forma ordenada y repetitiva. Se empieza analizando casos pequeños parecidos a la figura principal.
I. FIGURA SIMPLE Es aquella que no contiene otra figura en el interior.
Observaciones:
Ejemplo:
A
B,
,
, etc.
•
Para el conteo de segmentos, triángulos, cuadriláteros, etc; en figuras de la siguiente forma, se aplicará la misma fórmula.
•
En una figura como la siguiente:
II. FIGURA COMPUESTA Es aquella que esta conformada por figuras simples. Ejemplo:
A
M B,
,
, etc.
III. MÉTODOS DE CONTEO A. Conteo por simple inspección
Contamos las figuras que nos solicitan de manera directa, utilizando únicamente nuestra capacidad de observación. En este caso no se lleva ningún registro de lo que se va contando, teniendo solo a nuestra memoria como aliado. B. Método combinatorio
N° de cuadriláteros=
Consiste en asignar dígitos y/o letras a todas las figuras simples que componen la figura dada y luego se procede contar de manera ordenada y creciente. Es decir, figuras con 1 dígito, figuras de 2 dígitos y así sucesivamente. UNI SEMESTRAL 2013 - III
10
n(n+1) m(m+1) x 2 2
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 5
ANÁLISIS DE FIGURAS I: SECUENCIAS
problemas resueltos Respuesta: E) 14
Problema 1
¿Cuántos triángulos contienen a lo más 2 asteriscos en su interior?
Respuesta: A) 10 Problema 3
Problema 2
¿Cuántos triángulos hay en la fig ura?
¿Cuántos segmentos hay en la figura? 1
2 3
.........
UNI Nivel intermedio
*
*
2n(n 1) n(n 1) (n 1) B) C) n n 2n
A)
*
UNI Nivel fácil
A) 19 C) 24 E) 14
n
B) 15 D) 29
Resolución:
Debemos contar los triángulos que no contienen asteriscos, los triángulos que contienen un asterisco y los que contienen dos asteriscos. Observando la figura, tendremos: N° de triángulos sin asterico:
14
N° de triángulos que contienen a lo más 2 asteriscos: 14
UNI SEMESTRAL 2013 - III
A) 10 C) 30 E) 50
Resolución: Por el método combinatorio, asignaremos dígitos.
1
3 2
2
N° de triángulos con 1 asterico: 9 N° de triángulos con 2 asteriscos: 3 Total:
UNI Nivel intermedio B) 20 D) 40
E)
n(n 1) 2n
Resolución: Por el método inductivo:
# de segmentos 1
2
3=1+2
1
2 3
6=1+2+3
1
2
3
4
10=1+2+3+4
5
4
Triángulos con: 1 dígito: 1, 3, 5, 4 ................... 4 2 dígitos: 23, 45, 24, 35 ........... 4 3 dígitos: 124 ..........................1 4 dígitos: 2345 ........................ 1 Total: 10
11
n(n 1) 2
D)
Luego:
1
2 3
1 2 3 ... n
......... n(n 1) 2
Respuesta: D)
RAZ. MATEMÁTICO
n
n(n+1) 2
TEMA 5
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ANÁLISIS DE FIGURAS II: ANALOGÍAS DESARROLLO DEL TEMA Estas son las aptitudes que están presentes en los test y lo que debes hacer para trabajarlas. A. Aptitudes verbales
Se miden por medio de ejercicios de ortografía, sinónimos, antónimos, analogías verbales, vocabulario.
Test de laberintos.
•
Test de razonamiento abstracto.
•
Test de resistencia a la fatiga y al aburrimiento.
•
Test de retención de memoria.
Para lo que son exámenes de admisión principalmente tenemos que detenernos básicamente en tres tipos de test: • El test de razonamiento y inteligencia lógica. • El test de dominó. • El test de razonamiento abstracto.
B. Aptitudes numéricas
Se trata de operaciones elementales y problemas sencillos de razonamiento numérico. C.
•
Aptitudes de razonamiento
I. TEST DE RAZONAMIENTO Y DE INTELIGENCIA LÓGICA
Se trata de series de números, de letras, de figuras, dominós, monedas, etc.
Los test que componen este tipo de ejercicios suelen ser series de números y de letras. Cada serie sigue una regla de composición lógica que usted deberá descubrir para completar la misma. Para su realización deberemos estar muy familiarizados con el abecedario y con operaciones matemáticas simples.
D. Capacidad administrativa
Archivos, o rdenación alfabética, resistencia a la fatiga, detección de errores. E. Capacidad de retención
Memoria visual, memoria auditiva, memoria lectora. F.
Veamos seguidamente algunos ejemplos: 1, 2, 3, 4, 5, …….
Capacidad mecánica
Palancas, problemas mecánicos.
A) 5 D) 4
Hay diferentes tipos de test para evaluar psicotécnico algunos son: • Test de razonamiento e inteligencia lógica. •
Test de capacidad numérica y de cálculo.
•
Test de cálculo aritmético.
•
Test de factor verbal.
•
Test razonamiento verbal.
•
Test de suficiencia administrativa.
•
Test de capacidad administrativa.
•
Test de conocimiento verbal y agilidad mental.
•
Test de dom inó. UNI SEMESTRAL 2013 - III
•
B) 7 E) 3
C) 6
En este ejemplo los números van correlativos 1, 2, 3, 4, 5, … y por lo tanto siguen un orden por lo tanto la respuesta sería la C) 6.
Veamos ahora un ejemplo con una serie de letras: a, a, b, c, c, c, d, e, e, e, e, f, ……. •
12
En este ejemplo van dos, tres, cuatro letras repetidas y en el centro una sola letra; por lo tanto la respuesta correcta sería la g. RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 6
ANÁLISIS DE FIGURAS II: ANALOGÍAS
II. TEST DE DOMINÓ En esta prueba nos vamos a encontrar con una serie de fichas de Dominó que guardan una cierta relación entre sí. La misión del opositor radicará en descubrir el sistema de ordenación de esta serie y poner los valores que corresponden a la ficha en blanco.
Examine este grupo de fichas y piense cual iría a continuación: No es difícil llegar a la conclusión de que si las fichas A, B, C, D, E, tienen el valor 6/2, la blanca F, poseerá el mismo valor.
III. TEST DE RAZONAMIENTO ABSTRACTO En este tipo de test usted deberá averiguar que número corresponde a cada signo de los que aparecen a continuación siguiendo la lógica de las series que aparecen en el ejercicio. Recuerda
Responde primero a aquellas preguntas de las que estás seguro, si dudas ante una pregunta sáltatela y pasa a la siguiente. No te agobies ni empieces con que no te da tiempo, lo importante es contestar el mayor número de respuestas de forma correcta.
problemas resueltos
Resolución:
Problema 1
Indique la figura que corresponde al
A)
Analizando:
casillero con signo de interrogación. B)
C)
D)
UNI 2010 - I Nivel fácil UNI SEMESTRAL 2013 - III
Observando la relación de los casilleros E)
horizontales.
13
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 6
ANÁLISIS DE FIGURAS II: ANALOGÍAS
Exigimos más!
B)
B)
C)
C)
D)
D)
E)
E)
Resolución:
(I)
La alternativa que completa la secuencia es:
Analizando:
En algunos de los tres cubitos sombreados debe aparecer una o más esferas que debe(n) ser vista(s) desde la parte superior. Se descarta las alternativas A y D
Respuesta: E)
(II) En alguno de los tres cubitos marcados con una aspa (x) debe aparecer una o más esferas que debe(n) ser vista(s) desde a p arte superior. Se descarta la alternativa B.
Problema 2
Un cubo está formado por 27 cubos pequeños, algunos de ellos contienen una esfera en su interior. La figura adjunta muestra la vista frontal (F) del cubo y la vista del lado derecho del cubo (D).
(III) Se descarta la alternativa C, puesto que como mínimo deben haber tres esferas en el cubo. Por descarte respuesta:
Determine la alternativa que corresponde a la vista superior del cubo. Resolviendo:
UNI 2010-I Nivel intermedio
Respuesta:
A)
A)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
14
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 6
ANÁLISIS DE FIGURAS II: ANALOGÍAS
Exigimos más! Problema 3
Indique la alternativa que mejor complete el cuadro.
•
Analiz ando:
•
Operando:
C)
D)
UNI 2008 - II Nivel difícil
A)
E)
Las figuras que se encuentran en la mitad inferior son el reflejo de las que se encuentran en la mitad superior.
Resolución:
•
Ubicando la incógnita: Grupo de figuras que siguen en los recuadros.
B)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
15
Respuesta: D)
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 6
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
SUCESIONES: SIMPLES DESARROLLO DEL TEMA NOCIÓN DE SUCESIÓN
B.
Se entiende por sucesión a un conjunto ordenado de elementos de acuerdo a una ley de formación o también una característica común.
Sucesión literal
Una sucesión de letras se puede construir a partir de 3 criterios generales. 1. Según el alfabeto:
Ejemplos:
Sucesión gráfica:
, • • A.
,
,
, ....
Sucesión literal: A, C, E, .... Sucesión numérica: 1, 5, 13, 29, ....
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
M
N
O
P
R
S
Ñ T
L Q
U
V
W
X
Y
Z
Sucesión Gráfica
Ejemplo:
Una sucesión de figuras se forma de acuerdo a un "criterio de movimiento" de sus elementos. Se debe percibir el desplazamiento o giro.
¿Qué letra continúa? A, D, I, O, .... Resolución:
De acuerdo al alfabeto a cada letra le corresponde un número: A, D, I, O, . . . . 1 4 9 16 12 22 3 2 42 Son los cuadrados perfectos Continúa 52 = 25 y en el alfabeto es la letra "X".
Ejemplo:
¿Qué figura continúa?
,
,
, ....
Resolución:
2. Son iniciales de nombres con un orden dado. Ejemplos:
Se observa que cada figura es una vista del siguiente sólido.
U, D, T, C,... u d t c n o r u o s e a s t r o
giro
Por lo tanto la siguiente vista será: UNI SEMESTRAL 2013 - III
16
L, M, M, J,... l m m j u a i u n r e e e t r v s e c e s o s l e s
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 7
SUCESIONES SIMPLES
Cada uno de los términos de la sucesión posee un número ordinal que indica su posición y el número de términos hasta dicho término.
3. Completan una palabra o frase. Ejemplos:
O, N, M, U, L, . . .
C.
Ejemplo:
la "A" completaría ALUMNO en orden inverso.
¿Qué número continúa? 1, 4, 27, 256, . . .
Sucesión numérica
Resolución:
Consideremos al conjunto numérico: 1, 2, 3, 4, 5, . . . , n
Se puede reemplazar cada número por una expresión que esta en función de su ordinal. 1, 4 ,27,256,...
Como los números "ordinales" es decir aquellos que indican el lugar del término de una sucesión: a1, a2 , a3 , a4, a5, . . . , an
D.
11 22 33 44 ....
Por lo tanto continúa 5 5 = 3125
Entonces:
Sucesiones notables
0, 1,
Ejemplo:
Qué número continúa? 0, 1, 5, 23, . . .
5, 23, . . .
1!-1 2!-1 3!-1
Resolución:
4!-1
Por lo tanto el número que continúa es 5! – 1 = 119
Recordamos la sucesión de los factoriales. 1, 2, 6, 24, 120, . . .
E.
Se le llama también sucesión de 1. er orden o progresión aritmética, se forma cuando a partir del primer término siempre agregamos una misma cantidad llamada razón aritmética.
1 1x2 1x2x3 1x2x3x4 1x2x3x4x5 UNI SEMESTRAL 2013 - III
Sucesión lineal
17
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 7
SUCESIONES SIMPLES
Exigimos más! Ejemplos:
Ejemplo:
5, 9, 13, 17, . . . , (4n+1)
Calcula el vigésimo término de la sucesión. 2, 11, 20, 29, . . .
+4 +4 +4 . . . .
6, 11, 16, 21, . . . , (5n+1) +5 +5 +5
Solución:
... .
100, 98, 96, 94, . . . , (-2n+102) -2
-2
-2 . . . .
¿Como podríamos hallar an? a 1, a 2, a3, a4 , a5 , . . . , an -r
-r
-r -r
Nos piden: a20 = 9(20) – 7 = 173 Propiedades
.. ..
Sea la progresión aritmética: a1, a2, a3, a4, a5, . . . , an
Por inducción: a1 = a1 a2 = a1 + r a3 = a1 + 2r a4 = a2 + 3r
1. Tomamos 3 términos consecutivos cualquiera. a2
a3
Entonces:
a1 a3 2 a 2 a4 2
an a1 (n 1)r
2. Si "n" es impar: acentral
También: a0
a1 , a2, a3, a4, . . . , an +r
+r
a an 1 2
3. La suma de términos extremos siempre es la misma. a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = ...
+r
an rn a 0
problemas resueltos
• • • •
Problema 1
Considerando la sucesión: –1, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 6 el siguiente término es:
0= 1= 2= 3=
–1 + 0 + 1 0+1 +0 1+0 +1 0+1 +2
B) 10 D) 12
Ubicación de incógnita
Determinar la letra que continúa.
UNI 2012-II
A) 8 C) 11 E) 14
Resolución:
Análisis de los datos o gráficos
Conclusiones y respuesta
B, C, E, G, K, M, P
Luego: x = 2 + 3 + 6 Respuesta: C)
Operación del problema
11
–
Resolución:
Ubicación de incógnita
Problema 2
Indicar el término que continúa.
Determine la letra que continúa en la sucesión: B, C, E, G, K, M, P, .... Observación: no considere "LL".
Análisis de los datos o gráficos
–1, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 6, x
A,B, C ,D,E ,F,G ,H,I,J,K ,L, M ,N,Ñ,O, P ,Q,R
2 3
UNI 2012-II
Operación del problema
–
Resolución del problema Cada término es la suma de los tres que le preceden, es decir: UNI SEMESTRAL 2013 - III
A) B) C) D) E)
Q R S V W
Resolución del problema Cada letra ocupa un lugar en el alfabeto, es decir:
5
7
11
13
17
Y las posiciones que ocupan son números primos. Conclusiones y respuesta
El siguiente número primo es 19. Respuesta: C) R 18
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 7
SUCESIONES SIMPLES
Exigimos más! Problema 3
Indique el número que continúa en la siguiente sucesión: 75, 132, 363, 726, ... UNI 2012-I
A) B) C) D) E)
118 0 1254 1353 1452 1551
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Resolución: Ubicación de incógnita
Indique el número que continúa. Análisis de los datos o gráficos
Conclusiones y respuesta
A cada número se le suma el número que resulta de invertir el orden de sus cifras.
75; 132; 363; 726; ... Operación del problema Respuesta: C)
19
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 7
1353
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
SUCESIONES: COMPLEJAS DESARROLLO DEL TEMA I. SUCESIÓN POLINOMIAL
Sea la sucesión:
Es aquella sucesión en donde "a n" tiene forma de polinomio: P(n). El grado del polinomio determina el orden de la sucesión.
c = ao \ a1, a2, a3, a4, a5, . . . a + b = bo \ +b1 +b2 +b3 2a = r \
Ejemplos:
r 2 b = b o – a c = ao
Entonces: a
1.º Orden: 5, 7, 9, 11, . . ., (2n + 3) -2
-2
-2 2
2.º Orden: 3, 3, 5, 9, . . ., (n - 3n + 5) -0
-2
+2
Ejemplo: Calcular el vigésimo término de la sucesión siguiente: 9, 13, 19, 27, 37, . . .
-4 . . . . . +2 . . . .
3.º Orden: 0, 7, 26, 63, 124, . . . , (n3 - 1) 7
19 12
35 18
6
+r +r . . .
Resolución: Buscamos las diferencias sucesivas y hallamos los términos que estarían antes que los primeros.
61 24
6
c = 7 \ 9, 1 3, 19, 27, 37, . . . a + b = 2 \ +4 +6 +8 +10
En general:
a 1, a2, a 3, a 4, a5, a6, . . . , an
2a = 2 \ +2 +2 +2
+b1 +b2 +b3 +b4 +b5
Entonces: a = 1; b = 1; c = 7 Reemplazando en: an = an2 + bn + c an = n2 + n + 7 Nos piden: a20 = 20 2 + 20 + 7 = 427
+c 1 +c2 +c3 +c4 +d1 +d2 +d3 +e1 +e2 • •
III. SUCESIÓN GEOMÉTRICA
•
Donde:
También se le llama progresión geométrica y es aquella en donde a partir del primer término siempre se multiplica por una misma cantidad llamada razón geométrica.
an a1 c1n 1 b1 cn2 1 c1 c3n 1 d1 ...
n
Ck : Número n
combinatorio.
n!
Ejemplos: • 7, 14, 28, 56, . . . x2 x2 x2 . . . • 9, 27, 81, 243, . . . x3 x3 x3 . . . • 120, 60, 30, 15, . . . x1x1 x1 2 2 2
Ck k !(n k) ! II. SUCESIÓN DE 2.° ORDEN Es toda sucesión polinomial en donde: an an2 bn c ¿Como hallar an en forma práctica? UNI SEMESTRAL 2013 - III
20
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 8
SUCESIONES COMPLEJAS
En general: a1, a 2, a3, a4, . . . , an xq xq xq
Sabemos que: an = a1 x q n–1
Por inducción:
Entonces: a20 = 5 x 2 19
a1 = a1 a2 = a1 x q a3 = a2 x q2 a4 = a3 x q3
Propiedades Sea la P.G. a1, a2 , a3, a4 , a5 , . . 1. Si tomamos 3 términos consecutivos cualquiera:
a 2 a1 a3
n1
an a1 q
Entonces:
a3
Ejemplo: Calcule el vigésimo término de la P.G. siguiente: 5, 10, 20, 40, . . . .
a2 a4
a 4 a3 a5
2. Si "n" es impar: a central a1 an 3. El producto de términos extremos es siempre el mismo. a1 x an = a2 x an-1 = a3 x an-2 = ...
Resolución: 5, 10, 20, 40, . . . x2 x2 x2
problemas resueltos Problema 1 En la distribución mostrada, determine el valor del dígito de W.
A) 5 D) 8
B) E)
6 9
Problema 2 Determine el valor de: W – Z
UNI 2012-I C) 7
Resolución: Ubicación de incógnita Determine el valor de W.
Análisis de los datos o gráficos
A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
UNI 2012-II C) 6
Resolución: Ubicación de incógnita Hallar W – Z
Análisis de los datos o gráficos Operación del problema fig1 32 52 34 fig 2 4 2 52 41 fig
2
3
2
2 7 53
fig 4 82 22 68 6W fig5 12 92 82 W2
Operación del problema – Resolución del problema
Conclusiones y respuesta Luego: Z = 3 W = 10 W – Z = 7 Respuesta: D) 7
Problema 3 Señalar la alternativa que continúa correctamente la siguiente secuencia: 4, 9, 20, 43, 90, 185, 376 ... UNI 2004 - I Nivel intermedio A) 884 B) 487 C) 542 D) 759 E) 1005 Resolución:
Conclusiones y respuesta W= 8 Respuesta: D) 8 UNI SEMESTRAL 2013 - III
Respuesta: D) 759 21
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 8
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
LÓGICA: TABLAS DESARROLLO DEL TEMA
I. DEFINICIONES
•
Compuestas: Mario es un niño y es travieso. Ricardo es médico o ingeniero.
A. Proposiciones
Son expresiones del lenguaje que tienen la propiedad fundamental de ser verdaderas o falsas.
B. Variables proposicionales
Son los símbolos que representan a las proposiciones simples: p, q, r, s, ......
Ejemplos: – Lima es la capital del P erú. – x + 2 > 8, si x = 5
C. Conectivos lógicos
Son los símbolos que se usan para relacionar proposiciones, es decir forman proposiciones, es decir, forman proposiciones compuestas a partir de las proposiciones simples.
Las proposiciones se pueden clasificar en: •
Simples: Mario es un niño. Mario es travieso.
Símbolo
Nombre
Lenguaje común
Negación
No, no es cierto que, no es el caso que, etc.
Conjunción
Y, pero, sin embargo, además, aunque, a la vez, etc.
Disyunción inclusiva
“O”
Disyunción exclusiva
“O”, “O ... O ...”
Condicional
“Si ... entonces...”, “... si ...”, “... dado que ...”, “... siempre que ...”, “... porque ...”, “... en vista que ...”, etc.
Bicondicional
“.......si y solo si .....”
UNI SEMESTRAL 2013 - III
22
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 9
LÓGICAS: TABLAS
II. TABLAS DE VALORES DE VERDAD
La disyunción exclusiva es verdadera cuando sus
A. Conjunción ( )
componentes tienen diferente valor de verdad y
Une dos proposiciones mediante el término "y". Ejemplo:
es falsa cuando sus componentes tienen el mismo valor de verdad.
Luis es joven y honrado. p: Luis es joven. q: Luis es honrado. Simbología: p q La conjunción es verdadera únicamente cuando ambas proposiciones componentes so n verdaderas y es falsa cuando al menos una de sus componentes es falsa.
p
q
V V F F
V F V F
D. Condicional (
p
q
p
q
p
q
)
Es la combinación de dos proposiciones mediante:
V V V F F V F F
"Si ........................ entonces ......................" antecedente
consecuente
Ejemplo: Si estudias, entonces ingresarás:
B. Disyunción inclusiva ( )
Une dos proposiciones mediante el término "o".
p: Estudias
Ejemplo: El gerente habla inglés o francés.
q: Ingresarás Simbología: p q "Ingresarás, si estudias"
p: El gerente habla inglés q: El gerente habla francés.
El condicional es falso únicamente cuando el ante-
Simbología: p q
cedente es verdadero y el consecuente es falso, y es verdadero cuando al menos el antecedente es
La disyunción inclusiva es falsa únicamente cuando ambas proposiciones componentes son falsas y es verdadera cuando al menos una de sus componentes es verdadera.
p
q
V V F F
V F V F
p
falso o el consecuente es verdadero.
p
q
V V F F
V F V F
E. Bicondicional (
)
q
p
q
Es la combinación de dos proposiciones con: "....................... si y solo si ......................."
C. Disyunción exclusiva ( )
Une dos proposiciones mediante el término "o" pero exclusivo.
Ejemplo:
Ejemplo:
Serás un excelente ingeniero si y solo si te esfuerzas en tus estudios.
Raimondi nació en Perú o en Italia. p:
Raimondi nació en Perú.
q:
Raimondi nació en Italia.
p: Serás un excelente ingeniero. q: Te esfuerzas en tus estudios.
Simbología: p q UNI SEMESTRAL 2013 - III
Simbología: p 23
q
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 9
LÓGICAS: TABLAS
Exigimos más! El bicondicional es verdadero cuando ambos com-
3. Cuando una proposición compuesta tiene más
ponentes tienen igual valor, de verdad y es falso
de dos proposiciones, por tanto más de un conec-
cuando sus componentes tienen valores de ver-
tivo lógico, entonces es necesario usar los sig-
dad diferentes.
nos de agrupación (paréntesis, corchetes, etc.) para distinguir el alcance de los operadores. p
q
V V F F
V F V F
p
q
Ejemplo: a) (p q) r b) p [q (r
s)]
4. Las proposiciones compuestas toman el nomF. Negación ( )
bre de su operador principal:
Cambia el valor de verdad de la proposición.
• La fórmula del ejemplo a) representa una pro-
Ejemplo:
posición disyuntiva, pues es " " el operador
p: Luis es honesto. p:
de mayor alcance.
Luis no es honesto.
• La fórmula del ejemplo b) representa una proposición condicional, pues es " " el ope-
Por tanto la simbolización y la tabla de verdad de la
rador de mayor jerarquía.
proposición negativa es:
p
III. EVALUACIÓN DE FÓRMULAS POR LA TABLA DE VALORES
p
V F
•
Evaluar una fórmula por la tabla de verdad es obtener los valores del operador principal a partir de los valores de verdad de cada una de las variables
La frase "no es el caso que" generalmente se emplea
proposicionales.
para negar proposiciones compuestas. •
El número de valores que se asigna a cada variable es 2n, donde "n" es el número de proposiciones
Ejemplo:
que hay en la fórmula.
No es cierto que J uan sea pintor y se levante temprano. p: Juan es pintor.
Ejemplo:
q: Juan se levanta temprano.
Hallar la Tabla de Verdad de la siguiente proposición
Simbología:
compuesta:
(p q)
(p q)
(p q)
Observaciones 1. La doble negación es lo mismo que una afirma-
•
ción: " ( p)" tiene la misma tabla de verdad
Luego: Número de valores para cada variable: 2 2 = 4
que "p". •
Se procede a aplicar la Tabla de Valores de cada uno de los conectivos empezando por el de menor
2. "p q" y " (p q)" tienen la misma tabla de
jerarquía hasta llegar al de mayor alcance.
verdad. UNI SEMESTRAL 2013 - III
Número de proposiciones: 2 (p y q)
24
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 9
LÓGICAS: TABLAS
Exigimos más! C. Contingencia
Cuando entre los valores de su operador principal hay por lo menos una verdad y una falsedad. Por ejemplo:
1° Con la ayuda de la tabla de valores de la conjunción y la disyunción completamos las columnas (1) y (2). 2° Con ayuda de la tabla de valores del condicional completamos la columna (3).
IV. PROPOSICIONES EQUIVALENTES •
•
El resultado de la Tabla de Valores de la fórmula
Dos proposiciones son equivalentes cuando al unirlas
pertenece al operador principal.
bicondicionalmente, su resultado es una tautología.
Dependiendo del resultado de la fórmula por Tabla de Valores, este puede ser:
Notación: A B y se lee: "A es equivalente a B"
A. Tautología
Ejemplos:
Cuando los valores de su operador prin-cipal son
( p) p p q (p q) p p (p p)
todos verdaderos. Por ejemplo:
V. LEYES LÓGICAS A. De Morgan (p q)
p q (p q) p q
Ejemplo: "No es el caso que estudies y trabajes".
B. Contradicción
p: Estudias.
Cuando los valores de su operador principal son todos falsos.
q: Trabajas. Simbología: (p q)
Por ejemplo:
Su equivalente: p q Se lee: "No estudias o no trabajas" B. Del condicional
(p q) p q (p q)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
25
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 9
LÓGICAS: TABLAS
Exigimos más! Ejemplo:
Simbología: p q
"Si Luis es escritor, entonces es poeta".
Su equivalente: p q
p: Luis es escritor.
Se lee: "Si Pedro no canta, entonces no toca guitarra".
q: Luis es poeta. D. Transitividad
Simbología: (p q) Su equivalente: p q
Si :p q y q r Entonces : p r
Se lee: "Luis no es escritor o es poeta".
Segundo equivalente: (p q)
Ejemplo:
Se lee: "No es cierto que Luis sea escritor y no sea poeta".
• •
Si estudias, entonces ingresarás. Si ingresas, entonces serás profesional.
C. Transposición
p: Estudias. q: Ingresarás. r: Serás profesional.
p q q p
Simbología: p q qr
Ejemplo: "Si Pedro toca guitarra, entonces canta". p: Pedro toca guitarra.
Conclusión: p r Se lee: "Si estudias, entonces serás profesional".
q: Pedro canta.
problemas resueltos
Problema 1
Reducir:
Si:
II. q: Pedro no es arquitecto.
Operación del problema
q: Pedro es arquitecto.
III. r: Alejandro hace su tarea o Luis Simplifique:
recurre a Héctor. UNI 2011 - I
A) t
B)
C) t E) r
r: Alejandro no hace su tarea y
r
D) r
Luis no recurre a Héctor. s
t
Resolución:
Ubicación de incógnita Indica el resultado de reducir la expresión. Análisis de los datos o gráficos
UNI SEMESTRAL 2013 - III
¿en cuáles de los casos la afirmación está acompañada correctamente por Respuesta: C) t
su negación? UNI 2009 - I
Problema 2 En cada caso, debajo de cada afirmación (proposición) aparece su posible negación. I. p: Juan juega y José estudia. p: Si Juan juega, entonces José no estudia. 26
A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E ) I, II y III RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 9
LÓGICAS: TABLAS
Exigimos más! Resolución:
Conclusión
Resolución:
•
Uno de ellos lo hizo.
Ubicación de incógnita
I, II y III están acompañadas con sus negaciones.
•
Solo uno dice la verdad.
•
No f ue Carlos.
Señala los casos en los que la afirmación está acompañada correctamente por su negación.
Respuesta: E) I, II y II
PProblema 3 Operación del problema a) Aplicación de fórmula o teorema Leyes lógicas:
La mamá interroga a sus cinco hijos: ¿Quién rompió el espejo?" y ellos respondieron: Alberto: Lo hizo Eduardo. Eduardo: Carlos lo hizo.
Como se sabe que uno ellos lo hizo y no fue Carlos se puede suponer que haya sido Alberto, Eduardo, David o Juan, de lo que concluirá: Alberto: lo hizo Eduardo Eduardo: Carlos lo hizo Carlos: Yo no fui Dario:Juan lo hizo Juan: lo hizo Alberto
Alberto Eduardo David Juan F V F F F F F F V V V V F F F V V F F F (*)
Carlos: Yo no fui. David: Juan lo hizo. b) Solución del problema I)
pq p q p q (p q)
(*) Además nos dicen que sólo uno dice la verdad:
Juan: Lo hizo Alberto. Si uno de ellos lo hizo, si no fue Carlos y sólo uno dice la verdad, ¿quién lo hizo? UNI 2008-II Nivel intermedio
II) p p
III) p q p q (Morgan)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
A) Al berto
B) Eduardo
C) Carlos
•
Se concluye que David lo rompió puesto que es la única que cumple con las condiciones del problema.
•
Del dato que dice solo uno de ellos dice la verdad, se deduce que es Carlos o las otras personas mienten.
Fue
David.
D) David
E) Juan
Respuesta: D) David
27
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 9
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
LÓGICA: PROPOSICIONAL DESARROLLO DEL TEMA I. EQUIVALENCIAS LÓGICAS NOTABLES
I. Leyes bicondicionales
Son leyes lógicas que permiten la transformación y simplificación de un esquema molecular en otro más simple, cambiando una o más expresiones componentes del esquema por sus equivalentes lógicos, sin alterar el valor de verdad de la proposición la que corresponde al esquema:
•
p
q (p q) (q p)
•
p
q (p q) ( p q)
J. Leyes del Complemento V: una tautología F: u na contradicción • p p V
• • •
A. Ley de idempotencia • pp p • pp p
p p F
V F F V
K. Transposición • p q q p
B. Ley conmutativa • p q q p • p q q p • p q q p
• p q q p L. Existencia del elemento neutro • p p V p
C. Ley asociativa • p (q r) (p q) r • p (q r) (p q) r
• • •
D. Ley distributiva • p (q r) (p q) (p r) • p (q r) (p q) (p r)
F p pF F
p p V V
F p p F p
V: Tautología
F: C ontradicción
II. CIRCUITOS LÓGICOS Un circuito lógico es la representación gráfica de una o más proposiciones, utilizando esquemas denominados circuitos eléctricos. Las proposiciones simples serán representadas como interruptores en el circuito, abriendo o cerrado el circuito.
E. Leyes de Morgan • (p q) p q • (p q) p q F. Ley de involución (doble negación) ( p) p
p
G. Ley de Absorción • p (p q) p • p (p q) p • p ( p q) p q • p ( p q) p q
equivale
Proposición
Interruptor
Si el circuito está asociado a una lámpara: • El circuito funciona si la proposición es verdadera, el interruptor está cerrado y pasa corriente.
H. Leyes condicionales p q pq UNI SEMESTRAL 2013 - III
28
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 10
LÓGICA PROPOSICIONAL
•
El circuito no funciona si la proposición es falsa, el interruptor está abierto y no pasa corriente.
* El circuito que representa a la condicional: p q, será:
P
p
q
dado que: p q p q.
Según la disposición de los interruptores en un circuito, se tiene dos tipos de circuitos: serie y paralelo.
* El circuito que representa a la bicondicional: p q, será:
A. Circuito serie Es aquel que está constituido por interruptores dispuestos uno detrás de otro.
p q r se represe nta: p q
pq Se represent a:
Se toma el conectivo de menor jerarquía, en este caso la condicional p q: p q
Se asocia con el conectivo siguiente, en este caso la disyunción, en , en paralelo con s. p q s Finalmente todo el circuito mostrado, se asocia por la conjunción , en serie con t, obtiéndose la siguiente representación: p q t s
• pqr Se representa: p q r
q
p
Ejemplo: Grafique el circuito equivalencia a: ((p q) s) t
r
p
q
dado que: p q (p q) (q p)
B. Circuito paralelo Es aquel que está constituido por interruptores dispuestos uno al lado del otro. Si un circuito paralelo no funciona, todos sus interruptores están abiertos (proposiciones falsas). El circuito paralelo representa la disyunción débil de dos o más proposiciones.
•
q
Para que el circuito funcione, todos los interruptores deben de estar cerrados (proposiciones verdaderas). El circuito serie presenta la conjunción de dos o más proposiciones. • p q se representa: p q •
p
problemas resueltos Problema 1
Resolución:
Señale el circuito equivalente a la proposición:
Ubicación de incógnita
[(p q)
p] [ p ( p q)]
Halle el circuito equivalente. Análisis de los datos o gráficos
UNI 2012 - I
A)
p
B)
q
C) D) E)
[(p q)
p
p] [ p ( p q)]
Ley del condicional:
q) [(p
p]
p q) p (
p ( p q)] [
( p q) p
( p) ( p q) p q) p (
q) p (p
p ( p) q
p (p q)
p
(p q) p
p q pq
•
q
p
Aplicación de fórmula, teorema o propiedad •
Operación del problema
q
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Leyes de absorción: p (p q) p p (p q) p 29
Conclusiones y respuesta De reducir la expresión usando las leyes propo-sicionales queda "p". RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 10
LÓGICA PROPOSICIONAL
Exigimos más! Operación del problema Respuesta: A)
p
(p
q)
s ) F
V
Problema 2
V
Si la proposición: (p
(r
Operación del problema Usando los datos:
q)
(r s)
es falsa. El valor de verdad de p, q, r, s (en ese orden) es: UNI 2012 - I
A) FFVV
F
V
F
Entonces: Conclusiones y respuesta Se deduce: r V sV
B) FVVF D) VVFF
II.
E) FVFF Resolución:
Ubicación de incógnita Halle el valor de verdad de p, q, r, s (en ese orden). Análisis de los datos o gráficos (p
I.
entre p y q al menos 1 debe ser una verdadera.
C) VFVF
q) (r s) F
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Rpta: p;q; r ; s F F V V Respuesta: A)
FFVV
Problema 3 Indicar el valor de verdad de las proposiciones.
III.
Resolución: Análisis de los datos o gráficos ( p q) (r s) F
30
Respuesta: C)
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 10
VFF
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
LÓGICA DE CLASES DESARROLLO DEL TEMA I.
LÓGICA DE CLASES
3. "Algunos estudiantes son mayores"
Es la parte de la lógica que se encarga del estudio de las proposiciones categóricas.
___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ 4. "Algunos pobres no son locos"
A. Proposiciones categóricas Es una enunciado o proposición que afirma o n iega que un conjunto o clase está incluído en otro, total o parcialmente. Las proposiciones categóricas típicas se caracterizan por tener en su estructura: a) Cuantificador b ) S ujet o c) Verbo copulativo d) Predicado
___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ 5. "Cada niño recibió un regalo" ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ 6. "Más de uno se quedó sin escuchar la clase"
Ejemplo:
___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___
Todos los hombres son mortales.
(a)
(b)
(c)
7. "Todas las gallinas tienen plumas"
(d)
___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___
Cuantificador Parte de la expresión que indica la cantidad lógica en una proposición. Según esto un cuantificador puede ser universal o particular (existencial). Según su calidad una proposición categórica puede ser afirmativa o negativa.
8. "Los hombres son celosos" ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ 9. "Por los menos un luchador es fuerte" ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ 10."No hay peces voladores" ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___
Ejemplos: 11."Dos gatos son chillones"
1. "Todos los perros son rabiosos" ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___
12."No existe mujer paciente"
2. "Ningún niño es responsable" ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ UNI SEMESTRAL 2013 - III
___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___
31
___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 11
LÓGICA DE CLASES
Exigimos más! Representación gráfica de los cuantificadores
3. Particular afirmativa Algunos políticos son honestos.
1. Conjunto universal
4. Particular negativa Algunos mamíferos no son carnívoros.
2. Conjunto no vacío
3. Conjunto vacío
Negación de proposiciones categóricas La negación de una proposición categórica consiste, básicamente, en cambiar la cantidad y la calidad de ésta. (Universal afirmativa) = __________________ (Universal negativa) = ___________________ (Particular afirmativa) = __________________ (Particular negativa) = ___________________
4. Conjunto indeterminado
Caso especial En una proposición categórica con un cuantificador universal, si la negación se encuentra afectando al verbo copulativo, entonces la negación funciona como si afectará a toda la proposición. Luego, grafiquemos a manera de ejemplo algunas proposiciones categóricas: 1. Universal afirmativa Todos los limeños son peruanos.
Nota: En una proposición categórica existe una diferencia cuando la negación está antes del verbo copulativo y cuando está después del verbo.
2. Universal negativa Ningún judío es alemán.
Por ejemplo: •
UNI SEMESTRAL 2013 - III
32
Todos los debutantes son inexpertos
Todos los debutantes son no expertos RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 11
LÓGICA DE CLASES
Exigimos más! Graficamente:
4. Algunos S no son no P: ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ 5. Todos los niños son irresponsables:
Todos los debutantes son inexpertos debutante es experto.
ningún
___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ 6. Ningún juez es descortés:
Halla la equivalencia de las siguientes proposiciones 1. Todos los S son no P:
___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___
___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___
7. Algunos futbolistas son inescrupulosos:
2. Ningún S es no P:
___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___
___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___
8. Algunos peces no son atípicos:
3. Algunos S son no P:
___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___
___ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ____ ___
problemas resueltos
Problema 1 A partir de las siguientes premisas: • Todos los artistas son sensibles. •
No es cierto que todos los poetas sean sensibles.
No es cierto que todos los poetas sean sensibles. No (todos los poetas son sensibles) algunos poetas no son sensibles.
UNI 2007 - I
Respuesta: C) Algunos poetas no son artistas
Problema 2 La negación de: "todos los rectángulos son paralelogramos"es: UNI 2005 - I
Nivel intermedio
Se infiere validamente que: A) Todos los poetas son artistas. B) Ningún artista es poeta. C) Algunos poetas no son artistas. D) Todos los artistas son poetas. E) Algunos sensibles no son poetas.
Nota: recuerda que primero se gráfica las proposiciones universales y luego las particulares. Graficando ambas premisas:
Resolución:
• •
Todos los artistas son sensibles. No es cierto que todos los poetas sean sensibles.
Operación del problema: Todos los artistas son sensibles.
B) Todos los no rectángulos no son paralelogramos. C) Algunos rectángulos no son paralelogramos. D) Algunos rectángulos son paralelogramos. E) Todos los no rectángulos son paralelogramos.
Nota: Recuerda que primero se grafica las proposiciones universales y luego las particulares. Conclusión:
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Nivel fácil A) Todos los rectángulos son no paralelogramos.
Algunos poetas no son artistas. 33
Resolución:
Todos los rectángulos son paralelogramos. Operación del problema: • Todos los rectángulos son paralelogramos. RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 11
LÓGICA DE CLASES
Exigimos más! •
R ec on oc em os q u e es tá p ro po sición es universal afirmativa y al momento de negar debo cambiar la cantidad y calidad de dicha proposición.
De la segunda premisa:
Se deduce que: A) Ninguno que estudie arquitectura hace deporte. B) Todos los que hacen deporte saben dibujar.
universal afirmativa
particular ne-
gativa.
D) Algunos que hacen deporte saben dibujar.
Conclusión:
C) Todos los que estudian arquitectura no hacen deporte.
(todos los rectángulos son p ara-
lelogramos) Algunos rectángulos no son paralelogramos. Respuesta: C) algunos rectángulos
E) Ninguno que hace deporte estudia arquitectura. Resolución:
Todos los que estudian arquitectura hacen deporte.
no son paralelogramos Algunos estudiantes de arquitectura hacen deporte. Problema 3 Dadas las siguientes premisas: • Todos los que estudian arquitectura saben dibujar.
Gráficando ambas premisas:
Operación del problema: De la primera premisa:
• Algunos estudiantes de arquitectura hacen deporte.
Nota: Recuerda que primero se gráfica las proposiciones universales y luego las particulares. Conclusiones Algunos que hacen deporte saben dibujar.
UNI 2008 - II
Respuesta: D) Algunos que hacen
Nivel intermedio
deporte saben dibujar
UNI SEMESTRAL 2013 - III
34
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 11
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
OPERACIONES MATEMÁTICAS I DESARROLLO DEL TEMA Una operación matemática es una correspondencia o relación mediante la cual, dado uno o mas números se hace corresponder otro llamado resultado, con sujeción a ciertas reglas o leyes perfectamente definidas. Las reglas pueden ser descritas mediante palabras, pero por razones de simplificación se las representa mediante símbolos llama-
El operador matemático puede ser cualquier símbolo (incluso figuras geométricas).
, , # , ,
, ,
...
Las reglas de definición se basarán en las operaciones matemáticas ya definidas. Veamos los siguientes ejemplos:
dos operadores matemáticos.
a Las operaciones matemáticas antes mencionadas son conocidas universalmente, es decir, que cualquier matemático del mundo al observar la siguiente operación Log 2 8, sabe que el resultado es 3.
2
b = 2a - a x b
Regla de Operador definición matemático 2
x = x -x+2 En la presente clase lo que haremos es definir operaciones matemáticas con operadores y reglas de definición elegidos de forma arbitraria.
Regla de Operador definición matemático
El objetivo de este capítulo es familiarizarnos en el uso y manejo de los operadores matemáticos, por lo tanto usaremos símbolos arbitrarios para representar operaciones arbitrarias, las cuales definiremos en base a las operaciones conocidas. UNI SEMESTRAL 2013 - III
35
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 12
OPERACIONES MATEMÁTICAS
Exigimos más!
problemas resueltos Problema 1
UNI 2009 - II Además, se tiene como dato:
Se define:
Nivel intermedio
0; x a x ; a (x) 1; x a
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
Calcule el valor de
E) 12 y para n ;
n
2k
k 0
Resolución:
Analizando: Halle, para x 4 , el valor de:
.
A) –6
B) –5
C) –4
D) –3
E) –5/2
(b * a)2 = a(a * b) ; a * b > 0
Resolución:
Resolviendo: b * a a(a * b)
UNI 2009 - II
Analizando:
Nivel fácil
A) 4/3
B) 3
C) 4
D) 15
E) 20
Hallamos:
; (a * b) b(b * a) Despejamos:
Reemplazamos: Resolución:
b*a=
0; x a x ; a(x) ;n 1; x a n
=
a( b(b * a) )
Despejamos: (b * a)2 a( b(b * a))
2k
k 0
[(b * a) 2]2 a2 b(b * a)
(b * a)4 a2 b (b * a)
Y además x 4 Si x 4
(4) (x) 1
(b * a)3 a2 b
M 4 3
b * a 3 a2 b Deducimos:
54 * 2 3 22 54
= 2 0 + 21 = 3 = 20 + 21 + 22 + 23 = 15 M 4 (15) 20 3
54 * 2 3 22 2 33 54 * 2 = 6
Respuesta: E) 20
Respuesta: B) 6
5 1 (22) x 2
Problema 2
Problema 3
Se define la operación (*), tal que:
Se define la operación: x = –6
(b(*)a)2 = a(a(*)b); a(*) b > 0
Respuesta: A) –6
Hallar R = 54(*) 2 UNI SEMESTRAL 2013 - III
36
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 12
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
OPERACIONES MATEMÁTICAS II DESARROLLO DEL TEMA OPERACIONES EN UNA TABLA DE DOBLE ENTRADA
Indica los elementos que han sido operados y resultados de dichas operaciones que son presentados en una tabla de doble entrada.
Propiedades
Se define en el conjunto "A" mediante el operador (*) lo siguiente: 1.
Clausura a b A a*b A
Ejemplo: en el conjunto A = {1, 2, 3, 4}, se define la operación (*) mediante la siguiente tabla:
*
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
3
4
1
3
3
4
1
2
4
4
1
2
3
En la tabla: Si todos los elementos de la columna y fila de entrada pertenecen al conjunto "A", así también como los resultados al operar o cuerpo de la tabla. Entonces diremos que la operación es clausura en "A". 2.
Co nm uta ti va a, b A a*b=b*a
Hallar: 4 * 3 En la tabla: "Criterio de la diagonal" Los pasos a seguir son: primero se traza la diagonal que pasa por el operador; luego se observa que los elementos que se encuentran a ambos lados de la diagonal mantengan una simetría (un l ado es el reflejo del otro lado). Entonces la operación es conmutativa, en caso contrario no lo será. Es decir:
Resolución :
Ubicamos al elemento (4) en la columna de entrada y al elemento (3) en la fila de entrada, el resultado de la operación la encontraremos en la intersección de la columna y la fila del primero y el segundo elemento respectivamente. Veamos:
UNI SEMESTRAL 2013 - III
37
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 13 - 14
OPERACIONES MATEMÁTICAS II
Exigimos más! * a b c
3.
a a
-1
e
Ejemplo:
As oci ati va
Calcular: 1 –1 ; 2 –1 ; 3 –1 en:
a, b y c A a*(b*c)=(a*b)*c
4.
1 2 3
Elemento neutro
e A / a A a*e=e*a=a
Resolución: 1.° Calcularemos el elemento neutro "e".
En la tabla: •
Se verifica que la operación sea conmutativa.
•
En el cuerpo de la tabla se busca una columna igual a la columna de entrada y una fila igual a la fila de entrada. Donde se intersecten, será el elemento neutro ("e").
1
e=1
2 3
Es decir:
Encerremos todos los elementos neutros del cuerpo.
1 2 3
2.° Aplicamos el criterio de las eles volteadas ( ).
El elemento neutro es "1". 5.
a a
Elemento inverso (a- 1)
Donde:
1 2
e = elemento neutro
3
a-1 = elemento inverso de a En la tabla:
Del gráfico tenemos que:
-
Se busca el elemento neutro y se considera todos iguales a él.
1 –1 = 1
Se traza una ele volteada ( ), es decir:
3 –1 = 2
UNI SEMESTRAL 2013 - III
e
Es decir:
a-1 A; e A/ a A a*a-1=a -1*a=e
-
-1
2 –1 = 3
38
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 13 - 14
OPERACIONES MATEMÁTICAS II
Exigimos más!
problemas resueltos
Problema 1 Para la operación definida en el con junto A = {1, 2, 3, 5} mediante la siguiente tabla:
Se afirma:
Resolución
I.
Halle:
Es cerrada en el conjunto A.
II. Es conmutativa. III. Posee elemento neutro. I)
No es cerrada puesto que aparece el elemento {0} y no pertenece al conjunto A.
II) Sí es conmutativa puesto que la diagonal cumple la propiedad de ser eje de simetría.
31 51 E 7 1 5 1
donde x –1 es el elemento inverso de x.
Analizando:
III) Sí posee elemento neutro (e). Se afirma: I.
e=5
Es cerrada en el conjunto A.
II. Es conmutativa.
Respuesta: C) II y III
III. Posee elemento neutro. Son ciertas: UNI 2010 - I Nivel fácil
A) Solo I
Problema 2
Ordenamos la tabla:
En el conjunto Q = {1, 3, 5, 7} se define la operación " " según la siguiente tabla:
B) I y II C) II y III D) I y III E ) I, II y III Resolución
Analizando: A = {1; 2; 3; 5}
Elemento neutro (e) = 5 Luego, sea x –1 el inverso de x Q, según la operación , halle: 31 51 E 7 1 11
UNI 2010 - I Nivel intermedio
Ordenamos la tabla: A)
1 3 3 5
B)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
5 3
E)
3
5 –1 = 5
3 –1 = 7
7 –1 = 3
E 7 5 12 3 31 4
C) 1 D)
1 –1 = 1
Respuesta: E) 3 39
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 13 - 14
OPERACIONES MATEMÁTICAS II
Exigimos más! Problema 3
Resolución:
Si:
1° determinamos la ley de formación del operador .
x = 3x+2
2x+1 =
x+4 3
11 = 2(5) + 1
2x+1 = x+6
=
5+4 =3 3
Hallar: 10 + 11
Entonces: UNI Nivel difícil
A)
20
B)
38
C)
40
D)
30
E)
35
UNI SEMESTRAL 2013 - III
10 + 11 = 32 + 3 = 35
Luego: x = 3x + 2
Respuesta: E) 35
10 = 3(10) + 2 = 32
40
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 13 - 14
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
PLANTEO DE ECUACIONES: LINEALES DESARROLLO DEL TEMA
Plantear una o más ecuaciones consiste en traducir el enunciado de un problema de un lenguaje verbal a un lenguaje matemático. Para llevar a cabo dicha tarea es necesario llegar a una compresión cabal del enunciado. Esto es, distinguir la información que nos brinda el problema (datos), por un lado y por el otro que nos solicita que calculemos (incógnitas). Podemos resumir el planteo ecuaciones con el siguiente esquema:
Veamos a continuación algunos ejemplos de pequeñas frases u oraciones traducidas del lenguaje castellano al lenguaje simbólico. Lo que aquí hemos mostrado son ejemplos de cómo se puede representar simbólicamente en el lenguaje matemático un fragmento de enunciado. Una frase u oración puede ser representada simbólicamente de una o varias maneras, el estudiante deberá actuar de acuerdo a los requerimientos de cada problema en particular. Ya que para encontrar la respuesta a un problema debemos resolver una o más ecuaciones, es necesario que el estudiante haya aprendido plenamente a resolver ecuaciones en sus diferentes formas. UNI SEMESTRAL 2013 - III
41
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 15
PLANTEO DE ECUACIONES LINEALES
Exigimos más!
problemas resueltos
Problema 1
Existen en oferta 2 modelos de automóvil: El modelo A se vende a 50 000 soles, pero se sabe que el costo de combustible y aceite en el primer año es de 2 soles por km recorrido. El modelo B se vende a 65 000 soles, pero se sabe que el costo de combustible y aceite en el primer año es de 1,75 soles por km recorrido. Indique el recorrido en km para el cual se podría escoger cualquier vehículo. UNI 2010 - I
A) 15 D) 33
B) 30 000
C) 50 000 E) 65 000
D) 60 000
E) 3 6
Q 1 P 8 Nivel difícil
Hallamos el total de pasajeros que fueron transportados y analizamos la relación de personas que suben y bajan del bus. a) Aplicación de fórmula o teorema #pasajeros
Total recaudado Costo unitario del pasaje
99 66 personas 1, 5
Num. personas al inicio: x Indique el recorrido en km para el cual se podría escoger cualquier vehículo.
Considere:
Resolución:
b) Solución del problema
Resolución:
¿En cuánto vendió cada ciento si en total ganó r% de su inversión?
UNI 2009 - II
Nivel fácil
A) 25 000
UNI 2010 - I Nivel intermedio B) 18 C) 27
Núm.personas suben: 12k (Por dato) Núm.personas bajan: 7k
A)
6 r C 1 5 100
B)
6 C (1 r) 5
C)
4 C (1 r) 3
D) 3 C 1 r 2 100 E)
3 C (1 r) 2
Resolución:
Valor de venta de cada ciento de pollitos. Analizando:
Número de km recorridos: "x" Operando: Para que se elija cualquiera de los vehículos el costo debe ser el mismo: 50 000 + 2x = 65 000 + 1,75x 0,25x = 15 000 x = 60 000
Siempre se sumple que:
Inv ersión : P
•
Gan ancia: r%
•
Por cada 100 que vende regala 5.
•
Pierde "Q" pollitos.
•
P 8k Q 1k
Inicio + suben = Bajan + final Además todos los que pagan pasaje son: 1,5(7x + 38) = 99
C 100
•
Resolviendo:
7x + 38 = 66 x=4
Respuesta: D) 60 000
El número de pasajeros que había al inicio es 18.
Problema 2
Un bus que cubre la ruta UNI-Callao logró recaudar en uno de sus viajes 99 soles, habiendo cobrado 1,5 soles como pasaje único. Durante el recorrido por cada 12 pasajeros que subieron, bajaron 7 y llegó al paradero final con 38 pasajeros, ¿con cuántos pasajeros inició su recorrido? UNI SEMESTRAL 2013 - III
Respuesta: B) 18 Problema 3
Un comerciante compró P pollitos a C soles el ciento. Durante el periodo de venta, se pierden Q pollitos y, además, el comerciante regaló 5 pollitos por cada ciento que vendió. 42
1 r 8 k C 7 k x 100 100 105
r 6C Operando: x 1 100 5
Respuesta: A) 1 r 6C 100 5 RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 15
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
PLANTEO DE ECUACIONES: CUADRÁTICAS DESARROLLO DEL TEMA I.
ECUACIÓN Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que poseen al menos una variable llamada incógnita. Ejemplos:
•
•
•
En el planteo de ecuaciones no sólo es importante lograr interpretar y transformar los enunciados que se pre-sentan en un problema sino, también, hacerlo empleando el menor número de variables posibles. Interpreta y transforma en expresión matemática:
UNI SEMESTRAL 2013 - III
43
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 16
PLANTEO DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
Exigimos más!
Notas:
•
Se pueden obtener todos los números entre el 0 y el 116 usando sólo cuatro cuartos y los símbolos y op eradores más habituales.
•
Al momento de resolver un problema es fundamental que te fijes bien en qué es lo que se te está pidiendo.
•
Antes de plantear un problema primero lee completo, para que puedas desarrollarlo bien.
Por ejemplo:
II. EDADES
2 = 4/4 + 4 /4; 10 = (44 – 4)/4 o algo más complicado como: 73 •
En este tema nos dedicaremos a la resolución de problemas en los que se mencionan la edad o las distintas edades de uno o más sujetos a lo largo del tiempo.
4 4! 4 / 0.4
Ejemplo con un sujeto: Dentro de 8 años tendré el triple de la edad que tenía hace 4 años, ¿qué edad tengo?
En todo problema de edades que se resuelva por medio de cuadros, no te olvides que la suma en aspa entre dos tiempos y personas distintas siempre es constante.
x + 8 = 3(x – 4) x + 8 = 3x – 12 20 = 2x
x 10 Tengo 10 años
Otra forma:
x + 12 = 3x 12 = 2x
x 6 Tengo 6 + 4 = 10 años
UNI SEMESTRAL 2013 - III
44
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 16
PLANTEO DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
Exigimos más! Ejemplo con más de un sujeto:
Para más de un sujeto es recomendable hacer una tabla que identifique las personas. Se puede observar que las sumas en aspa siempre son iguales. Notas: • Año de nacimiento + Edad actual = Año actual (Siempre que ya se ha cumplido años)
•
En los problemas de edades que se desarrollan con tabla, la suma en aspa siempre es constante.
•
La diferencia de las edades de dos personas siempre va a ser la misma.
problemas resueltos Problema 1
UNI 2006 - II
Operación:
Una persona cobra un cheque por
Valor
N° de Billetes
$2400 y en la ventanilla le pide al cajero que le entregue cierta cantidad de bi-
$10
a
lletes de $10, quince veces esa cantidad de billetes de $20 y el resto en
$20
15a
$50
b
billetes de $50. ¿Cuántos billetes en total le entregó el cajero? UNI 2008 - II Nivel fácil
A) 69
El monto entregado = 2400 10(a) + 20(15a) + 50(b) = 2400 310 a + 50b = 2400
C) 78 E) 100 Resolución:
Analizando: •
Cobra $2400
•
Se le entrega billetes de $10, $20 y $50
•
Además el número de billetes de $10 es quince veces el número de billetes de $20.
UNI SEMESTRAL 2013 - III
A) 1/4 B) 1/2 C) 3/4 D) 4/5 E) 11/10 Resolución:
31a 5b 2400
B) 70 D) 97
Nivel intermedio
5
17
¿Qué fracción del número corresponde a 0,8? f x N 0, 8
Por tanteo: Son 5 billetes de:
2
$10
Son 75 billetes de: $20 y
f x
Problema 2
Si los 3/8 de un número es 0,4; ¿qué fracción del número corresponde a 0,8?
45
8
15
10
3
2
Son 17 billetes de: $50 Total de billetes = 97 Respuesta: D) 97
1
16
f
3 4
Respuesta: C) 3/4 Problema 3
Hace seis años yo tenía la mitad de la edad que tendré dentro de un número de años, equivalente a la tercera parte de mi edad actual.
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 16
PLANTEO DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
Exigimos más! ¿Dentro de cuántos años tendré el triple de la edad que tengo actualmente?
x=6
Resolución:
UNI 2006 - II
Luego:
Nivel difícil
A) 12 B) 18 C) 24 D) 36 E) 48
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Se observa: Respuesta: D) 36
2x + 6 = 3x
46
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 16
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
PLANTEO DE INECUACIONES DESARROLLO DEL TEMA
I. INECUACIONES
Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen una ó más incógnitas. Resolver una inecuación es encontrar lo s valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las propiedades de las desigualdades. II. INTERVALOS
Los intervalos vienen a ser subconjunto de los números reales, generalmente se usan para expresar el conjunto solución de las inecuaciones. Consideramos los siguientes intervalos a. Intervalo cerrado:
a,b x / a x b b. Intervalo abierto:
a,b
x / a x b
c. Intervalos semiabiertos:
a,b x / a x b d. Intervalos semiabiertos:
a,b x / a x b
UNI SEMESTRAL 2013 - III
47
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 17
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
FRACCIONES I - II DESARROLLO DEL TEMA I.
FRACCIONES
Principales tipos de fracción Fracción Propia
A. Número Racional
27 , 9 , 12 , 18 , 15 , 8 , 5 , 21 , 7 , 14 100 10 20 30 25 6 4 8 3 9
Está representado por la división indicada de dos números enteros, donde el divisor es diferente de cero. Se denota:
F. Decimal
F. Reductible
2. Representación gráfica de una fracción Se debe considerar lo siguiente:
1. Fracción Todos los número racionales que cumplen las siguientes condiciones, se denomina fracción.
f: a b
Numerador Denominador
Donde: a y b a
F. Irreductible
Fracción Ordinaria
ba / a b {0}
Fracción:
Fracción Impropia
a b
# de partes que se consideran de la unidad # de partes iguales en que se dividen la unidad o total
+
Nota:
o b
I. a es una fracción propia, si a < b. b a es una fracción impropia, si a > b b a es una fracción irreductible si a y b son b PESI
Ejemplo: ¿Cuáles de las siguientes expresiones representan a una fracción? 2 ; 8 ; ; 0 ; 7 ; 6 ; 4 ; 8 3 5 4 3 5 4 3 2
II. Sean las fracciones irreductibles De la definición: ; ; representan una fracción.
c a y d b
se cumplen que: a c k; k b d b d III.Sean las fracciones irreductibles a , c , e b d f se sabe que:
Nota: Podemos ayudarnos graficando:
MCD(a; c;e) MCD a ; c ; e b d f MCM(b; d; f) MCM(a;c; e) MCM a ; c ; e b d f MCD(b; d; f)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
48
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 18 - 19
FRACCIONES I - II
3. Fracciones Equivalentes Dos o más fracciones son equivalentes, cuando con términos distintos expresan la misma parte de la unidad o total.
En 161, en la traducción al inglés de la obra del escocés John Napler (1550-1617), las fracciones decimales aparecen tal como las escribimos hoy, con una coma decimal para separar la parte entera de la decimal. Naplar propuso un punto o una coma como signo de separación decimal. Nota:
Los números decimales pueden ser: Ejemplo: Fracción generatriz
Fracción equivalente a:
a aK a ;K : fracción irreductible b bK b
25 0.25 100 1. Decimal exacto 10137 10,137 1000
4. Fracción de fracción Es una fracción tomada de otra fracción respecto de la unidad. Ejemplo: Determine la mitad de la tercera parte de la mitad de un todo. Resolución:
5. Relación parte todo La relación parte-todo viene a ser una comparación de una parte respecto de un todo mediante una fracción.
B. Reducción a la unidad de tiempo
En estos casos se trata de homogenizar lo hecho por cada objeto (caños, grifor) o personajes ya sean en "un minuto"; "un día", etc. Si nos dicen María Pía hace todo un trabajo en 5 horas, entonces en 1 hora hará 1/5 de la obra y visceversa.
Ejemplo: ¿Qué parte del área de la región no sombreada es el área de la región sombreada en la siguiente figura?
2S S S S S 2S S 2S 2S S S S
Ejemplo: Se desea fabricar 60 carpetas en 1 día.
Nos piden:
En un día
Ejemplo: Oscarín tenía 300 chapitas, luego de jugar con sus amigos pierde y gana alternadamente en
se demora
Carpintero B
se demora
Juntos harán
tiempo =
=
Nota:
cuatro juegos: 1 ; 3 ; 3 y 1 de lo que iba que5 4 7 3 dando ¿cuánto le quedó al final? 4 4 7 4 de 300 S /.320 3 7 4 5
El tiempo se = Total de la obra calcula Lo realizado en cada unidad de tiempo
•
6. Fracción generatriz de un número decimal Nuestra escritura decimal es consecuencia directa de la utilización de fracciones decimales (con denominador 10 o potencia de 10). Durante bastante tiempo se utilizaron fundamentalmente fracciones sexagesimales (de denominador 60). UNI SEMESTRAL 2013 - III
Carpintero A
•
49
Cuando reducimos a la unidad lo que tratamos de averiguar es lo que realiza un obrero en una unidad de tiempo. Si sabemos por ejemplo lo que avanza en un día sabremos lo que avanzará en 4 o 7 días, dependiendo del problema. RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 18 - 19
FRACCIONES I - II
Exigimos más!
problemas resueltos
Problema 1 El intervalo:
Método práctico
Luego: Se produce a acomodar los datos desde abajo hacia arriba.
1 ; 1 4 2
Respuesta: A) 1 20 L
es dividido en 5 intervalos iguales más pequeños, y la fracción irreductible p se encuentra en el punto medio del segundo de éstos. Halle la suma del numerador y denominador por p. A) 32 C) 47 E) 53
UNI 2010 - II B) 45 D) 51
Resolución: Ubicación de incógnita
Suma del numerador y denominador de "p". Análisis de los datos o gráficos "p" se encuentra en el punto del segundo intervalo de los 5 intervalos en que se divide: 1 ; 1 4 2
Problema 3
Respuesta: E) 53
Problema 2 De un bidón de agua mineral que está lleno 2/3 de lo que no está lleno, se extrae 1/5 de lo que no se extrae, luego de lo que queda se consume la mitad de lo que no se consume y finalmente se pierde 1/3 de lo que no se pierde, quedando al final sólo 30 litros. ¿Cuál es la capacidad total del bidón? A) 120 L
B) 130 L
C) 140 L
D) 150 L
Si al denominador de una fracción propia e irreductible se le añade 3, se volvería equivalente a 1/2; en cambio si al numerador se le suma 4 unidades; ambos términos se hacen iguales. ¿Cuánto se le debe sumar a ambos términos de la fracción original para que sea igual a 0,81?
A) 7
B) 9
D) 11
C) 10
E) 13
Resolución: Sea: a/b la fracción propia (a < b) e irreductible.
1era condición:
E) 160 L
a 1k 2a b 3 b 3 2k
Resolución:
Graficando los datos:
2da condición:
Operación del problema
a 4 a 4 b b Luego:
2a (a 4) 3 a 7 b
1 – 1 A 2 4 1 5 20 p
b = 11
Para obtener 0,81 hay que sumar x a cada término:
1 3A 4 2
7x 81 0,81 11 x 99
7(99) + 99x = 11 (81) + 81x
Conclusiones y respuesta
18x = 198 x = 11
13 13 40 53 p 40
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Respuesta: D) 11
50
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 18 - 19
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ANÁLISIS COMBINATORIO I: PRINCIPIOS DESARROLLO DEL TEMA Una hormiga se introduce en un panal en búsqueda de un poco de miel, la miel se encuentra en el fondo del panal. ¿De cuántas maneras diferentes puede la hormiga llegar a la miel, teniendo en cuenta que no debe retroceder?
Nota: Por convención 0! = 1
II. DESARROLLOPARCIAL DE UN FACTORIAL 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 7!
8! = 8 x 7 x 6x 5 x 4 x 3 x 2x 1 6!
8! = 8 x 7! 8! = 8 x 7 x 6! n! n(n 1)! n! n(n 1)(n 2)!
I.
III. COFACTORIAL O SEMIFACTORIAL DE UN NÚMERO
FACTORIAL DE UN NÚMERO
a) Si n es un número par positivo.
Se define factorial de un número n al producto de los números enteros y consecutivos desde la unidad hasta n inclusive. Se denota por: n! Se lee: "Factorial de n" o "n factorial"
n!!=2 x 4 x 6 x 8 x ... x (n– 2)n
6!! = 2 x 4 x 6 = 48 8!! = 2 x 4 x 6 x 8 = 384
n!=1 x 2 x 3 x 4 x ... x (n –1) n n Z+
b) n es un número impar positivo. n!!=1 x 3 x 5 x 7 x ... x (n– 2)n
Ejemplo: 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 20! = 1 x 2 x 3 x ... x 19 x 20 3 ! no existe; (–5)! no existe 2
5!! = 1 x 3 x 5 = 15 7!! = 1 x 3 x 5 x 7 = 105
IV. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO
Ejemplos de factoriales: 1! = 1 2! = 1 x 2 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 6 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040 8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40 320 9! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 36 2880 10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 36 228 800 UNI SEMESTRAL 2013 - III
Veamos el siguiente caso: Carolina desea viajar de Lima a Tacna y tiene a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje?
51
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 20
ANÁLISIS COMBINATORIO I: PRINCIPIOS
Exigimos más! Carolina puede elegir viajar por aire o por tierra, pero evidentemente no puede viajar por ambas vías al mismo tiempo. Luego: Actividad A (viajar por tierra) o 5 maneras
+
Actividad B (viajar por aire) 2 maneras
= 7 maneras
Carolina tiene 7 maneras diferentes de realizar su viaje. Podemos ahora en base a este ejemplo enunciar el principio de adición.
Se observa que tienen 2 formas a elegir una blusa y para cada una de éstas tiene 3 formas más de elegir falda.
V. PRINCIPIO DE ADICIÓN Si una actividad A ocurre n maneras diferentes y otra actividad B ocurre de m diferentes, entonces A o B ocurren de m + n maneras diferentes. Ejemplo: Laura desea comprar un televisor a crédito ha preguntado en 3 tiendas comerciales donde le ofrecieron 3, 5 y 6 sistemas de crédito respectivamente. ¿De cuántas maneras puede Laura comprar el televisor?
Karina tiene 6 formas diferentes de vestirse.
VI. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN Si una actividad A se puede realizar de m maneras y para cada una de estas maneras otra actividad B se puede realizar de m x n maneras. En el principio de multiplicación las actividades se realizan una a continuación de otra o simultáneamente.
Resolución: El televisor lo podrá adquirir en:
Ejemplo: De un grupo de 10 estudiantes, 4 varones y 6 damas, se va a elegir una pareja mixta para participar en un concurso de baile. ¿De cuántas formas diferentes se puede hacer dicha elección? Resolución: Se va a escoger una pareja.
Se compran de 14 maneras diferentes.
Ejemplo: Karina tiene 3 faldas: roja, azul y verde; también tiene 2 blusas: blanca y crema. ¿De cuántas formas diferentes puede vestirse utilizando dichas prendas? Las formas son:
Se puede elegir de 24 formas una pareja mixta.
Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A hacia C?
Resolución: De "A" hacia "C", tengo que ir: A hacia B
y
B hacia C
5
x
3
= 15 maneras
existen 15 maneras. UNI SEMESTRAL 2013 - III
52
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 20
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ANÁLISIS COMBINATORIO II: MÉTODO PASCAL DESARROLLO DEL TEMA I.
TRIÁNGULO DE PASCAL
A. Cálculo de Tn para las sucesiones cuadráticas y c úbicas
Sucesión cuadrática
tn
t1 a1 C1n
1
r Cn2
1
Ejemplo: Halla el tn de la siguiente sucesión: 1, 2, 5, 10, ... Resolución:
n1
n1
tn
1 1C1
tn
1 1(n 1) 2x
tn
n2 2n 2
2C 2
(n 1)(n 2) 2
UNI SEMESTRAL 2013 - III
53
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 21
ANÁLISIS COMBINATORIO II: MÉTODO PASCAL
Exigimos más! Sucesión cúbica
tn
t1 a1C1n
1
b1 Cn2
1
rC3n
1
Ejemplo: Halle el tn de la siguiente sucesión:
t1
n1
1 1C1
tn 1 1(n 1) 8
tn
n1
8C 2
n1
6C 3
(n 1)(n 2) (n 1)(n 2)(n 3) 6 2 6
n3 2n2 2
UNI SEMESTRAL 2013 - III
54
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 21
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ANÁLISIS COMBINATORIO III: COMBINACIÓN DESARROLLO DEL TEMA I.
Entonces los combinados (combinaciones) de 4 comidas tomadas de 3 en 3 son sólo 4.
COMBINACIONES
Ejemplo: Armando está parado frente al buffet el cual consta de arroz con pollo , cebiche, papa a la huancaína y chanfainita. Armando es aficionado a los "combinados". ¿De cuántas maneras diferentes se puede preparar un "com-binado" de tres comidas?
P
4
C3 4
4 3
6
4! (4 3)! 3!
4! 3!(4 3)!
4!
4
C 3 3!(4 3)!
Resolución:
En general las combinaciones de n elementos tomados de K en K. n
n!
Ck k !(n k)! 0 k n Las combinaciones son las diferentes formas de agrupar a los elementos de un conjunto, tomando una parte de ellos o todos a la vez. En una combinación el orden de los elementos no determina una forma diferente. Una combinación se diferencia de otra si posee al menos un elemento diferente.
Supongamos que para encontrar los "combinados" debemos realizar permutaciones con las 4 comidas tomándolas de 3 en 3.
Ejemplo: ¿De cuántas maneras se puede formar un equipo de fulbito, si se dispone de 8 jugadores? Observaciones
I)
n
C2
n(n 1) 2
Ejemplo: 6
6x5 2
15
9
9x8 2
36
C2 Sólo estos 4 combinados son diferentes porque difieren en al menos una comida. UNI SEMESTRAL 2013 - III
C2 55
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 22
ANÁLISIS COMBINATORIO III: COMBINACIÓN
Exigimos más! II)
n 3
C
Ejemplo:
n(n 1)(n 2) 6
5
C5 1 11
Ejemplo:
C
5 3
10 3
C
5x4x3 6
10x9x8 6
C11 1
10
V)
120
n
n
Ck C n
k
Ejemplo: III)
10
Ejemplo:
15
4
8
15
10
C2
15
7
VI)
n
n
n
n
56
n
n
C1 C2 C3 ... Cn 2 Ejemplo:
Cn 1
UNI SEMESTRAL 2013 - III
C12 C15 12 C 3
C1 4 C1 7
IV)
10
C8 C10
n
C1 n
4
4
4
4
1 4
C1 C2 C3 C4 2
RAZ. MATEMÁTICO
1
15
TEMA 22
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ANÁLISIS COMBINATORIO IV: PERMUTACIÓN DESARROLLO DEL TEMA
I.
PERMUTACIONES
Resolución:
A. Permutación circular
Se da cuando los elementos son distintos y se arreglan u ordenan alrededor de un objeto o forman una línea cerrada. Ejemplo:
Si permutamos linealmente 3 personas nos deben resultar P(3) = 3! = 6 maneras {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}. Pero si analizamos estas 6 maneras en forma circular: Primero ordenamos por separado y luego todos juntos en forma circular:
Existen 12 maneras. B. Permutaciones con elementos repetidos
Sólo son 2 formas.
Se da cuando los elementos a ordenar no son distintos, es decir, hay un elemento o más de uno que se repite.
Se observa que ordenando circularmente no importa el lugar que ocupa cada persona sino su posición relativa respecto a los demás. Para encontrar las diferentes permutaciones circulares debemos tomar un elemento de referencia y permutar a los demás. "Hemos permutado circularmente a 3 personas". Pc(3) = 2 = 2! = (3 – 1)! Pc(3) = (3 – 1)! En general las permutaciones circulares de n elementos será:
Ejemplo
¿Cuántos arreglos diferentes se pueden realizar con todas las letras de la palabra MAMÁ? Resolución:
MAMA MAAM MMAA 6 formas AMAM AMMA AAMM
Pc(n) (n 1)! Ejemplo
"Hemos permutado 4 elementos donde 2 se repiten y otros 2 también se repiten (las letras M)".
Jorge, su novia y los 3 hermanos de su novia se sientan alrededor de una fogata. ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacerlo si Jorge y su novia desean estar juntos? UNI SEMESTRAL 2013 - III
4
P 2,2 6 57
24 4! 4 2!x2!
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 23
ANÁLISIS COMBINATORIO IV: PERMUTACIÓN
Exigimos más!
En general:
Resolución:
P nk1,k 2,k 3... k1 !xk 2 n! !xk 3 !x... Como existen elementos que se repiten aplicamos: 6! 60 P63R,2B 3!X2! Se colocan de 60 maneras diferentes.
Ejemplo
Un niño tiene 3 cubos rojos, 2 cubos blancos y 1 cubo amarillo. ¿De cuántas maneras pueden colocarse en fila?
UNI SEMESTRAL 2013 - III
58
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 23
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
PROBABILIDADES I: DEFINICIÓN DESARROLLO DEL TEMA I. CONCEPTOS PREVIOS
D. Evento o suceso (A, B, C, ...)
Es cualquier subconjunto de un espacio muestral, se denota con las primeras letras del alfabeto (mayúsculas).
A. Experimento determinístico
Es toda prueba o ensayo cuyo resultado puede predecirse sin realizarse previamente la prueba, ya que consta de un único resultado posible. Ejemplo: lanzar una monerda que tiene en los dos lados la misma figura (cara o sello).
Ejemplo: Experimento aleatorio: "Lanzar un dado" Evento: "Obtener como resultado un número par"
B. Experimento aleatorio ( )
Es toda prueba o ensayo cuyos resultados no pueden predecirse sin realizarse previamente la prueba, ya que consta de más de un posible resultado. Ejemplo: lanzar un dado normal, es decir que tiene los números del 1 al 6.
= {1; 2; 3; 4; 5; 6} n() 6
A = {2; 4; 6} n(A) 3
II. DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD Si "A" es un evento de un espacio muestral, entonces la probabilidad de ocurrencia de "A" se denota por
C. Espacio muestral ( )
Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Ejemplo: Experimento aleatorio: "Elegir un número natural del 1 al 8". Espacio muestral: = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
P(A) y está dado por la relación:
n(A) P(A) N° casos a favor de A N° total de casos en n()
Número de elementos del espacio muestral: n() 8.
problemas resueltos
Problema 1 Una ficha cuyas caras están marcadas con los números 3 y 4, respectivamente es lanzada 8 veces. ¿Cuál es la razón entre el número de eventos posibles que sumen 27 y el número total de eventos posibles?
7 A) 32 7 D) 16
9 B) 32 3 E) 8
5 C) 16
Resolución: Eventos totales: 28 = 256 Eventos en donde la suma sea 27:
Permutación con repetición
=
8! 56 5!3!
razónpedida 56 7 256 32
UNI 2008 - I Nivel fácil UNI SEMESTRAL 2013 - III
Respuesta: A)
33333444 59
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 24
7 32
PROBABILIDADES I: DEFINICIÓN
Exigimos más! Problema 2 En un juego de lotería se sacan 6 bolillas de un total de 20 bolillas numeradas del 1 al 20. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos primeros números de la combinación ganadora sumen 30? UNI 2010 - I
Total de casos: 20 19 190 2 1 P 50 1 190 38
A) 0,05
B) 0,02
D) 0,5
E) 0 ,20
C) 0,2
C 20 2
Resolución:
Haciendo un esquema:
Método práctico: A favor:
Nivel intermedio
A)
1 190
1 B) 100
D)
1 40
1 E) 38
1 C) 80
Resolución: Ubicación de incógnita Cálculo de la probabilidad de que los dos primeros sumen 30.
Análisis de los datos o gráficos Total 20 bolillas numeradas del 1 al 20. Operación del problema a b 30 20 19 18 17 16
10 11 12 5 posibilidades 13 14
UNI SEMESTRAL 2013 - III
10 1 1 20 19 38
Del gráfico: (0,3 – x) + x + (0,5 – x) + 0,5 = 1 1 Respuesta: E) 38
Problema 3 La probabilidad de que Karina compre una blusa es 0,3 y de que compre una falda es 0,5. Halla la probabilidad de que compre solo una de dichas prendas, si la probabilidad de que no compre ninguna es 0,5.
1,3 – x = 1 x = 0,3 Probabilidad de que compre solo la blusa = 0,3 – 0,3 = 0 Probabilidad de que compre solo la falda = 0,5 – 0,3 = 0,2 Piden: 0 + 0,2 = 0,2
UNI Nivel difícil
60
Respuesta: C) 0,2
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 24
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
PROBABILIDADES: PROPIEDADES DESARROLLO DEL TEMA
I.
PROPIEDADES
C. Eventos independientes
Si A es un evento definido en
,
entonces:
Se dice que dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta a la ocurrencia del otro, entonces se cumple: P(A y B) = P(A) x P(B). Donde: P(A y B): Probabilidad de que ocurra A y B.
0 P(A) 1 Cuando P(A) = 1, se dice que A es un evento seguro, debido a que siempre ocurre.
Ejemplo: Calcula la probabilidad de obtener cara al lanzar una
Ejemplo: Evento A: arrancar una página con numeración par al arrancar las 20 primeras hojas de un libro.
moneda, y un puntaje par al lanzar un dado. Evento A: obtener cara al lanzar una moneda.
A
P(A) 1 2
Cuando P(A) = 0, obtener un puntaje mayor que 10 en el lanzamiento de un dado. A { }
Evento B: o btener un puntaje par al lanzar un d ado. P(B) 1 2
A. Probabilidad por complemento Si "A" es un evento definido de un espacio muestral
P(A y B) 1 x 1 1
, entonces: P(A) = 1 – P(A') Donde: P(A): Probabilidad de que ocurra el evento A. P(A'): Probabilidad de que no ocurra el evento A.
2
4
D. Eventos no mutuamente excluyentes
Cuando dos eventos A y B no son mutuamente excluyentes, es decir que pueden ocurrir a la vez. P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
B. Eventos mutuamente excluyentes Se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes cuando ambos no pueden ocurrir a la vez, entonces se cumple: P(A o B) = P(A) + P(B) P(A y B) = 0 Donde: P(A o B): probabilidad de que ocurra A o B.
Ejemplo: La probabilidad de que Miguel salga con Carla es 0,75 y la probabilidad de que salga con Julia es 0,50. Si la probabilidad de que salga con Carla o Julia es 0,85. ¿Cuál es la probabilidad de que salga con ambas a la vez? Como Miguel puede salir con Carla y Julia a la vez, los eventos "salir con Carla" y "salir con Julia" no son mutuamente excluyentes, entonces: P(C o J) = P(C) + P(J) – P(C y J)
Ejemplo: Una bola se extrae al azar de una caja que contiene 6 bolas verdes, 5 rojas y 3 azules. Determine la probabilidad de que sea verde o roja. P(verde) 6 P(roja) 5 14 14 Como no es posible que la bola sea verde y roja a la vez, entonces: P(verde o roja) 6 5 11 14 14 14 UNI SEMESTRAL 2013 - III
2
0,85 = 0,75 + 0,50 – P(C y J) P(C y J) = 0,40
La probabilidad de que salga con ambas a la vez es 0,40. 61
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 25
PROBABILIDADES: PROPIEDADES
Exigimos más! extrae dos fichas, una por una. Halle la probabilidad de que ambas sean de color negro.
E. Eventos dependientes
Cuando dos sucesos A y B son dependientes: P(A y B) = P(A) x P(B/A) Donde: P(B/A) = probabilidad de que ocurra B, asumiendo que ya ocurrió el evento A. Ejemplo: En una caja hay 15 fichas, de las cuales 10 están pintadas de negro y el resto de amarillo. Una persona
3 Respuesta: 7
problemas resueltos
Problema 1 Considere un dado "trucado", de tal forma que la probabilidad de que salga cierto número es inversamente proporcional al mismo. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 dados trucados idénticos, la suma de los números obtenidos sea 5? UNI A) 0,1 4 B) 0,24 C) 0,28 D) 0,34 E) 0,39 Resolución: Ubicación de incógnita ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados trucados idénticos, la suma de los números obtenidos sea 5?
Análisis de los datos o gráficos La probabilidad de que salga cierto número es inversamente proporcional al mismo. Operación del problema Para que salga cinco de resultado hay 4 casos.
Las probabilidades para los números es: • P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=1 •
P P P P P P 1 P 60 2 3 4 5 6 147
P 1 60 147 P 4 15 147
P 2 30 147 P 5 12 147
Para: 4 3 2 1
y 1 15 147 y 2 20 147 30 y 3 147 y 4 60 147
60 147 30 147 1000 0,138 7203 20 147 15 147
Conclusión y respuesta P 0, 14 Aproxi madam ent e Respuesta: A) 0,14
Se encuentran en: 1 1 B 3 2 1 1 C 3 2 11 1 1 1 B o C = 3 2 3 2 3
Respuesta: D) 1/3 Problema 2 De la casa de Garu a la casa de Pucca Problema 3 solo hay 3 caminos posibles distintos A, Se colocan 100 bolillas en el interior B y C. Si Pucca nunca escoge el camino A por ser accidentado, y Garu escoge de una caja. Cada bolilla tiene un número asignado del 1 al 100. ¿Cuál cualquier camino sin preferencias; ¿cuál es la probabilidad de que al sacar al azar es la probabilidad de que al salir ambos una bolilla de la caja, se obtenga un al mismo tiempo, rumbo a la casa del número N, tal que 35 N 72? otro, se encuentren en el camino? UNI UNI A) 1/9 B) 1/6 C) 2/9 A) 0,35 B) 0,36 C) 0,37 D) 0,38 E) 0,72 D) 1/3 E) 3/2 Resolución: Ubicación de incógnita Probabilidad de que al salir ambos al mismo tiempo, rumbo a la casa del otro, se encuentren en el camino.
Análisis de los datos o gráficos • De la casa de Garu a la casa de Pucca hay tres caminos (A. B, C) • Pucca no escoge el camino A. Operación del problema
P 3 20 147 P 6 10 147
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Como Pucca no puede tomar el camino A solo se pueden encontrar en B o en C.
Resolución: Ubicación de incógnita Cálculo de la probabilidad de que al extraer una bolilla se obtenga un número del conjunto N.
Análisis de los datos o gráficos I. Son 100 bolillas numeradas del 1 al 100. II. 35 N 72 Operación del problema N = {35; 36; 37; 38; ...; 72} n(N) = 72 – 35 + 1 = 38 n(N) P 38 0, 38 Total 100 Respuesta: D) 0,38
62
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 25
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ESTADÍSTICA: ANÁLISIS DE TABLAS DESARROLLO DEL TEMA I.
TÉRMINOS UTILIZADOS EN LA ESTADÍSTICA
b. Continuos
Cuando sus valores pueden ser expresados como número reales. Ejemplo: La temperatura, la masa (volumen, peso).
A. Población
Se llama así al conjunto de objetos, mediciones o personas con características comunes observables, el cual es analizado para mostrar una información determinada. Ejemplo: farmacias de Lima Metropolit ana.
II. PRESENTACIÓN TABULAR DE DATOS ESTADÍSTICOS Al proceso de ordenar y clasificar un conjunto de datos para elaborar una tabla estadística, se le conoce como tabulación de datos. Con el siguiente ejemplo le mostrará las diferentes etapas y conceptos que emplea la investigación estadística. Ejemplo: Un grupo de 30 personas se encuentran en el patio de un colegio. A cada uno se le pregunta por su edad, obteniendo las siguientes respuestas: 15; 17; 16; 17; 19; 18; 15; 17; 18; 20; 17; 16; 16; 15; 16; 17; 19; 17; 20; 18; 16; 19; 17; 16; 16; 15; 21; 20; 17; 18;
B. Muestra
Es un subconjunto de la población que es tomado aleatoriamente (al azar), para ser estudiada como parte representativa de la población. Ejemplo: número de vehículos que circulan por la Av. Javier Prado Este, cuadra N° 38 entre las 10 y 11 a. m. del día 20-08-2008. C. Variable
Es el símbolo asociado a las características de los elementos que forman una población o muestra (unidades estadísticas) y que van a proporcionar los datos requeridos para el estudio estadístico. Ejemplo: Edad de los alumnos de Pamer UNI.
Se observa que estos valores corresponden a una característica determinada (edad) de la población (30 personas), expresados en forma cuantitativa, se les denomina datos estadísticos cuantitativos. En este ejemplo los valores señalados son números enteros, por lo tanto se trata de una variable cuantitativa discreta al observar los datos anteriores se puede indicar: • Hay muchas personas que tienen 17 años. • Ninguna persona tiene menos de 15 años. • Solo una persona tiene 21 años.
1. Variable cualitativa
Son aquellas que expresan una unidad o atributo, sus datos se expresan mediante una palabra. Ejemplo: Estado civil, lugar de nacimiento. 2. Variable cuantitativa
Son aquellas que están asociadas a una característica que puede ser medida, es decir, que tienen valor cuantificable. Ejemplo: Número de carpetas vendidas. a. Discretos
Sin embargo se pueden ordenar los datos para conseguir una mejor información, así se tendrá: 15; 15; 1 5; 15; 16; 16; 16; 16; 16; 16; 16 17; 17; 17; 17; 17; 17; 17; 17; 18; 18; 18; 18 19; 19; 19; 20; 20; 20; 21;
Cuando sus valores correspondientes solo pueden ser expresados por números enteros. Ejemplo: Número de hijos de una familia, número de accidentes por día en una autopista. UNI SEMESTRAL 2013 - III
63
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 26
ESTADÍSTICA: ANÁLISIS DE TABLAS
Exigimos más!
Ahora rápidamente se puede afirmar: • La menor edad es de 15 años y la tienen 4 personas. • Los que tienen 14 años son tantos como los que tienen 20 años. • Son 8 personas los que tienen 17 años.
Para el ejemplo se tendrá:
Para que los datos sean de mayor utilidad, conviene establecer en forma sencilla el número de veces que aparece cada dato: • 4 personas tienen 15 años (aparecen 4 veces) • 7 personas tienen 16 años (aparecen 6 veces) • 8 personas tienen 17 años (aparecen 8 veces) • 4 personas tienen 18 años (aparecen 4 veces) • 3 personas tienen 19 años (aparecen 3 veces) • 3 personas tienen 20 años (aparecen 3 veces) • 1 persona tiene 21 años (aparece 1 vez)
Donde: Fk f1 f2 f3 ... fk 1 fk Fk 1
Con los datos obtenidos y sus frecuencias respectivas se puede formar una tabla tal como se presenta:
Frecuencia relativa (h)
Es el cociente que resulta de dividir la frecuencia del dato entre el total de datos. También es llamado frecuencia relativa simple. Ejemplo: Frecuencia relativa del dato: 15 frecuencia del dato 15 4 Total de datos 30 Asi, para cada uno de lo s datos, se obtendrá una columna más en la tabla de frecuencias:
A esta presentación de los datos, su conteo y la frecuencia que presentan se le llama tabla de frecuencias o tabla estadística. Donde: F1: frecuencia del primer dato. F2: frecuencia del segundo dato. Fn: frecuencia del n-ésimo dato. k
f1 f2 f3 ... fk fi n
K
i 1
Donde: h1 + h 2 + h 3 + ... hk = hi 1
k número de datos n tamaño de la población
i 1
Frecuencia relativa acumulada (H)
En ocasiones resulta conveniente añadir a la tabla de frecuencia una columna más qué será destinada a las frecuencias acumuladas.
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Es la suma de las frecuencias relativas del dato y la de todas las anteriores a dicho dato.
64
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 26
ESTADÍSTICA: ANÁLISIS DE TABLAS
Exigimos más! 2. Rango o recorrido (R)
Es la amplitud del alcance, se calcula como la diferencia del mayor y menor de los datos. Ejemplo: R = 21 – 15 = 6 3. Intervalo de clase (Ii)
Es una clasificación de los datos en subgrupos. Ejemplo: Se podría tener un intervalo I 2 = 10;20 aquí están aquellas personas cuyas edades sean mayores o iguales a 10 pero menores, que 20. 4. Número de clases (k)
Es el número de categorías o intervalos en el que se va a dividir la información. Regla de Sturges:
Nota:
En algunos casos, se expresa la frecuencia relativa en forma porcentual, para ello, basta con multiplicar a cada una de las frecuencias relativas por 100% y el valor obtenido será la expresión busca representará como hi%.
k 1 3,322 logn n :número de datos
Ejemplo: k = 1 + 3,322 log20 = 5,32 Si k = 5,32 Se recomendaría tomar 5 intervalos o un valor cercano que podría ser.
Por ejemplo: h1=0,13 forma porcentual:
h1% = 0,13 x (100%) = 13% h2=0,24 forma porcentual: h2% = 0,13 x (100%) = 13% Donde:
5. Amplitud o ancho de clase (W)
K
Es la diferencia entre el límite superior e inferior de cada intervalo. Ejemplo: En I 2 = 10;20 W = 20 – 10 = 10
h1% + h 2% + h3% + ... h k % = hi% 100% i 1
A. Elementos de una tabla de distribución de frecuencias
1. Alcance (A)
Intervalo cerrado en la cual se considera como límites al menor y mayor de los datos. Ejemplo:
6. Marca de clase (Xi)
Es el punto medio de cada intervalo. x1
(Límite inferior) (Límite superior) 2
problemas resueltos
Problema 1
La tabla muestra todas las calificaciones, en la escala vigesimal, de un examen.
¿Cuántos estudiantes tienen la misma calificación que Juan? UNI Nivel intermedio
A) 7 D) 12 Si Juan obtuvo una calificación de 12, ¿qué porcentaje de estudiantes tienen notas menores que la de Juan? UNI SEMESTRAL 2013 - III
B) 8 E) 15
C) 10
Resolución:
Puntaje de Juan = 12 El porcentaje de estudiantes que tienen notas menores que la de Juan: 65
25 97 2 5 9 7 8 10 3 5 1 x100% 23 x100% 46%
50
El número de estudiantes que tienen el mismo puntaje que Juan: 7 Respuesta: A) 7 RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 26
ESTADÍSTICA: ANÁLISIS DE TABLAS
Exigimos más! Problema 2
Pedro a inicios del año 2007, compró 10 000 dólares y 10 000 euros. Al término del IV trimestre del 2007, cambia nuevamente sus ahorros a soles. ¿Qué porcentaje de su capital inicial en soles, perdió durante el año 2007, si el comportamiento del tipo de cambio en las monedas mencionadas es el mostrado en las figuras adjuntas?
Resolución: Ubicación de incógnita:
Porcentaje de capital que perdió durante el año 2007. Análisis de los datos o gráficos
Inicio 2007
1 dólar 1 euro 1 euro
3,5 soles 1,3 dólares 4,55 soles
Problema 3
La tabla muestra los valores y frecuencias de las notas de los alumnos de Álgebra. Con la información mostrada se puede afirmar: I. La media es menor que la mediana. II. La moda es mayor que la mediana. III. La media es mayor a 13. Valor
2
Final 2007
1 dólar 1 euro 1 euro
2,8 soles 1,6 dólares 4,48 soles
Operación del problema Compra: 10 000 dólares y 10 000 euros Solución del problema:
A) VV V D) FFF
Final 2007:
10 000(2,8) + 10 000(4,48) = 72 800 soles 7700 72 800 Conclusiones 80 500 perdió: 7700 soles
A) 9,50% C) 6,30% E) 8,56%
B) 8,50% D) 9,56%
UNI SEMESTRAL 2013 - III
8
15 15 25
B) VV F E) FFV
C) VFF
5
Resolución:
Ubicación de incógnita Indicar verdadero (V) o falso (F).
10 000(3,5) + 10 000(4,55) = 80 500 soles
Nivel difícil
5
Análisis de los datos o gráficos
Inicio 2007:
UNI
05 08 10 12 14 1 6 18
Método práctico
Para pasarlo a porcentaje: 7700 100% 9,56% 80500
Valor
05 08 10 12 14 1 6 18 2
5
15 15 25
5
Operación del problema * Media = 5(2) 8(5) 10(8) 12(15) 14(15) 16(25) 18(5) 13,46 2 5 8 15 15 25 5
* *
Moda = 16 Mediana = 14
Conclusiones y respuesta: Luego: I. (V) II. (V) III. (V)
Respuesta: D) 9,56%
66
8
Respuesta: A) VVV
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 26
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ESTADÍSTICA: DIAGRAMA DE BARRAS DESARROLLO DEL TEMA PRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS ESTADÍSTICOS
productividad respectiva, por ejemplo una longitud de 1 cm por cada unidad de productividad. Se tendría: País
Las tablas de frecuencias de los datos estadísticos muestran una info rmación ordenada del hecho que se analiza y estudia. Además de esta forma de presentación es útil y conocer la forma de presentarlos gráficamente para obtener una apreciación global, rápida y visual de la información señalada. Muchas de estas presentaciones podrán ser familiares por haberlas visto en periódicos o revistas. Diagrama de barras separadas La Organización Internacional del Trabajo (OIT) pre-sentó el siguiente cuadro acerca de la evolución de la competitividad laboral en el sector manufacturero en el año 96, con tasas de crecimiento anual.
País
Productividad Competividad
Argentina
8,2
7,1
Brasil
7,5
4,5
3,2
–1,1
Chile
El gráfico señalado corresponde a un diagrama de barras horizontales. También se pudo hacer un diagrama de barras verticales si se hubiera situado los países en el eje horizontal y la productividad en el eje vertical. Este tipo de diagrama se utiliza para representar variables cualitativas, siendo la longitud de cada bara la frecuencia correspondiente a cada característica. Para el ejemplo, mencionado anteriormente se tendría:
Característica Frecuencia (f)
5,3 4,1 México 6,6 1,4 Perú Vamos a representar la productividad de cada país del modo siguiente: Trazamos unos ejes coordenadas, dos rectas perpendiculares entre sí, una vertical y otra horizontal. En el eje vertical situamos los países, por el lugar asignado a cada país, se trazan barras paralelas al eje horizontal y de longitud proporcional a la
Informativos Películas Documentales Familiares Novelas Concursos Otros
580 530 270 230 160 140 90
f 600 500 400 300 200 100 I P D F N C O
problemas resueltos Problema 1 Respecto a la información brindada en el diagrama de barras mostrado:
UNI SEMESTRAL 2013 - III
UNI Nivel fácil
Es correcto afirmar: A) El promedio de producción en los últimos tres años, supera al promedio del total de años. B) El promedio de producción de los cuatro primeros años, supera al promedio total de años. 67
C) El promedio de producción del segundo, tercer y cuarto año supera al promedio de producción de los últimos tres años. D) El promedio de producción del segundo y cuarto año es mayor al promedio de producción de los primeros cuatro años. E) El promedio de producción del primer y tercer año es igual al promedio de producción del segundo y cuarto año.
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 27
ESTADÍSTICA: DIAGRAMA DE BARRAS
Exigimos más! De la información brindada concluimos: I. El 70% de los entrevistados usa la PC. II. Del total de entrevistados el 21% usa la PC para procesar textos III. La frecuencia de uso promedio es mayor de 4 días por la semana. A) VV V B) VV F C) VFV D) VFF E) FVF
Resolución: De acuerdo con el gráfico:
Analizando las alternativas: A) Dice el promedio de los 3 últ imos años (6) supera al promedio del total de años (7,8) ........... Falso B) Dice que el promedio de los 4 pri-
meros años(7,5) superael pro-medio del total de años (7,8) ........ Falso C) Dice que el promedio del segundo, tercer y cuarto año (6) supera al promedio delos últimos 3 años (6) ..................................... Falso D) Dice queel promedio deproducción del segundo y cuarto año (7,5) es mayor al promedio de los primeros 4 años (7,5) ...... Falso E) Dice queel promedio del primer y tercer año (7,5) es igual al promedio del segundoy cuarto año ........ Verdadero
Resolución: Ubicación de incógnita Indique verdadero (V) o falso según corresponda.
% de personas 30%
30%
Resolución: Ubicación de incógnita Indicar verdadero (V) o falso (F).
30% 20%
20%
Operación del problema
15%
10%
Inversión(millones de dólares)
5% nunca1-2 3-4
E
Problema 2 Se entrevistó a 400 personas respecto al uso de la computadora personal (PC). Los resultados se muestran en los gráficos. Gráfico I Frecuencia de uso de la PC % de personas 30%
30%
30% 20%
20%
5500 5 4500 4 3500 3 2500 2
5-6 todos los días Frecuencia de uso (días/semana)
10%
0 [1–2] [3 –4] [5–6] 7
xi 0 1,5 3,5 5,5 7
I Del gráfico:
Gráfico II Uso mas frecuente de la PC
22,2% 28,6% 40%
108 (30%) 9% (F) 360 III. Frecuencia promedio =
3,8
Respuesta: D 5-6 todos los días Frecuencia de uso (días/semana)
años
II III IV
Operación del problema I. Entrevistados usa la PC = 70 % (V) II. Usa PC para procesar textos =
5% nunca1-2 3-4
f i 30% 5% 15% 20% 30%
(0 30) (1, 5 15) (5, 5 20) (7 30) 100
15%
El porcentaje de crecimiento anual de la inversión en millones de dólares ha ido disminuyendo. II. La inversión en millones de dólares ha crecido en un porcentaje constante. III. La inversión en el último año ha sido más del 100% de la inversión en el 1.er año. Indique la alternativa que corresponde a la verdad o falsedad de las afirmaciones. A) VV V B) VV F C) VFF D) VFV E) FFV
Análisis de los datos o gráficos
Esta información en una tabla será: Respuesta:
I.
Problema 3 El gráfico de barras representa los montos de inversión extranjera en millones de dólares en los últimos 4 años. De la información del gráfico se puede afirmar:
I
II III IV
100%
*
40% 3500 2500 2500
*
28, 6% 4500 3500 3500
*
22,2% 5500 4500 4500
100%
100%
Hoja de cálculo
Procesador de texto
Inversión(millones de dólares) 15% 108° 20%
Software especial
5% 108°
Otro curso
Acceso a internet
UNI SEMESTRAL 2013 - III
5500 5 4500 4 3500 3 2500 2 I
II III IV 68
Conclusiones y respuesta: Luego: I. (V) II. (F) III. (V)
años
Respuesta: D RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 27
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
ESTADÍSTICA: DIAGRAMAS CIRCULARES DESARROLLO DEL TEMA I.
GRÁFICO DE SECTORES CIRCULARES A un seminario de liderazgo, asistieron 540 profesionales, de los cuales: 180 son ingenieros, 150 son médicos, 108 son abogados, 60 son profesores y el resto son profesionales de otras especialidades. Ordenando estos datos estadísticos con sus respectivas frecuencias, se forma la siguiente tabla: Profesión Frecuecia
Frec. relativa (hi)
Ingenieros
180
180/540 = 0,33 33%
Médicos
150
150/540 = 0,28 28%
Abogados Profesores
108 60
108/540 = 0,20 60/540 = 0,11
20% 11%
otros
42
42/540 = 0,08
8%
Total 540
hi%
Profesión
f i
hi
hi%
Ingenieros
180
0,33
33%
0,33 360°=120°
Médicos
150
0,28
28%
0,28 360°=100°
Abogados
108
0,20
20%
0,20 360°=72°
Profesores
60
0,11
11%
0,11 360°=40°
Otros
42
0,08
8%
0,08 360°=28°
Ángulo
i
Tendremos la representación siguiente:
Total 100%
Para formar el gráfico de sectores se considera el total de datos de la población como el área del círculo y a cada característica señalada le corresponderá un sector circular, cuyo ángulo central estará dado por:
Otro ejemplo es la siguiente gráfica de sectores correspondiente a la distribución de los alumnos de un colegio según los cursos que prefieren.
Ángulo(º) frecuencia (f) x 360º Total de datos (n) Pero: frecuencia(º ) relativa (h)
frecuencia (f) h = f Total de datos (n) n
Reemplazando: Ángulo (º) h x 360º La parte que representa a cada sector circular es proporcional a la frecuencia del mismo. Con lo anterior, se calcularía el ángulo de cada sector. UNI SEMESTRAL 2013 - III
Si se desea conocer los ángulos. 69
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 28
ESTADÍSTICA: DIAGRAMAS CIRCULARES
Exigimos más!
Curso
h i%
Ángulo
Historia
35%
35% (360°) =126°
Castellano
30%
30% (360°) =108°
Matemática
20%
20% (360°) =72°
Otros
15%
15% (360°) =54°
II. HISTOGRAMAS Se tiene la siguiente distribución de frecuencias, formando con los resultados de los exámenes tomados a 30 estudiantes en un curso de la universidad.
Para graficar estos datos de modo que se visualice los intervalos señalados, se emplean los Histogramas, estos son diagramas que representan datos cuantitativos continuos utilizando barras o rectángulos contiguos, cuyas bases se sitúan en el eje horizontal y están limitados por los valores extremos de cada intervalo de clase y las alturas son del histo-grama señalado, se puede apreciar:
El polígono de frecuencias se puede construir sin necesidad de haber hecho antes el histograma. Basta señalar en el eje horizontal las marcas de clase; por cada punto señalado se traza un segmento proporcional a la frecuencia de la clase respectiva. Tanto con el histograma o el polígono de frecuencias es posible obtener la tabla estadística a la que pertenecen las datos señalados.
III. POLÍGONOS DE FRECUENCIAS Se obtiene a partir del histograma, uniendo con segmentos los puntos medios de los lados superiores de los rectángulos. Así para los ejemplos mostrados: UNI SEMESTRAL 2013 - III
70
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 28
ESTADÍSTICA: EST ADÍSTICA: DIAG RAMAS CIRCULARES
Exigimos más!
IV. DIAGRAMA DIAGRAMA ESCALONADO ESCALONADO
clasificados • Para datos clasificados Cuando los datos se encuentran en una tabla de frecuencias, se utilizará:
Son diagramas de barras o rectángulos, similares al histograma, cuyas bases representan los intervalos de clase y las alturas son proporcionales a las frecuencias absolutas o relativas acumuladas.
k
x
fi.x i i1
n
k
hi.x i i1
donde: f i: frecuencia absoluta de la clase i xi: marca de clase de la clase i hi: frecuencia relativa de la clase i k: número de clases n: total de datos B. Median Mediana a (x (x m o Me)
La mediana de un conjunto de datos es aquel valor que divide a dicho conjunto en dos partes que poseen la misma cantidad de datos.
V. ESTADÍ ESTADÍGRA GRAFOS FOSDETENDENCIA TENDENCIACENTRAL CENTRAL Llamados generalmente generalmente promedios, son funciones que se obtienen a partir de los datos cuantitativos de una población o muestra, resumiendo la información obtenida puntualmente, es decir en un solo valor. Según el estadígrafo que se utilice, pueden esta ubicados cerca a la parte central de los datos estadísticos estadísticos (por ello su nombre de tendenc te ndencia ia central). Entre ellos se tiene: la media aritmética, la mediana y la moda. Otros estadígrafos que no son tendencia central son la dispersión, llaa varianza, varianza, la desviación media, etcétera. Los datos cuantitativos que se obtienen de la población, pueden presentarse en tablas de frecuencias (datos tabulados o clasificados) o sin que sean ordenados en tablas (datos no tabulados o no clasificados). En cada caso, hay que considerar la característica de los datos para calcular el promedio respectivo.
Conocidos los datos: d1 , d 2 , d 3 , ... dn ordenados en forma creciente: d1 d2 d3,... dn Siendo n el total de datos, se tendrá que si n es impar se tomará como mediana el valor central; pero si el número de datos fuese par, habrá entonces 2 términos centrales y la mediana será la semisuma de dichos valores. Término ino cent entral d n1 ,si ,si n es impar Tér 2 xm d n d n ( ) ( 1) 2 2 , si si n es par semisuma de 2
A. Media Media aritmética aritmética (x o Ma)
Esta dada por la suma de todos los datos de la población dividida entre el número total de ellos. Sean los datos d 1 , d2 , d3 , ... dn Se tendrá:
Por ejemplo: Mediana de 5, 7, 7, 9, 10, 12, 15 n = 7 datos (impar)
n
di
xm= término central = d 7 1 d4
d d ... dn i 1 x 1 2 n n
xm = 9
Otro ejemplo: Mediana de 5, 6, 7, 8, 10, 10, 14, 15 n = 8 datos (par) xm = semisuma s emisuma de
Por ejemplo: Media aritmética de 5, 7, 11, 12, 14 x Ma(5,7,1 ,7,111,12 ,12,14 ,14) 5 7 11 12 14 5
términos centrales = 8 10 9 2
Se obtiene: x 9, 8 UNI SEMESTRAL 2013 - III
2
71
RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 28
ESTADÍSTICA: DIAGRAMAS CIRCULARES
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datos c lasificados lasificados • Para datos Cuando los datos aparecen en una tabla de frecuencias, la mediana será el menor valor cuya frecuencia absoluta acumulada iguala o excede a la mitad del total de datos.
repite, se dirá que no existe moda y el conjunto de datos será amodal. Por ejemplo: moda Mo = 15 • 7, 13, 13, 15, 15, 15, 15, 17, 17, 21 • 5, 6, 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10 10 moda Mo = 9 • 13, 13, 19, 19, 21, 21, 37 37, 47 47 no hay moda es amodal
Ejemplo (1): (1): Conocida la distribución de frecuencia de las longitudes de clavos, de un lote que ha sido comprado.
Por datos clasificados: cl asificados: Si los datos tabulados son discretos la moda será aquella que posee mayor frecuencia.
Si los datos tabulados son contínuos, tomados con intervalos de ancho de clase común, el intervalo que contiene a la moda es aquella que tiene la mayor modal) . El valor de la frecuencia (se le llama clase modal). moda estará dado por:
La mediana debe estar ubicada en el valor que corresponde a la mitad de los datos. Según la tabla: 100 es el total de datos, la mediana debería ocupar el lugar 50, en la columna de F i se observa que se acumulan 44 datos en la cuarta fila, se toma el inmediato superior. Me = 17 Los datos tabulados son discretos.
d1 d1 d2
Mo Lo o
donde: Lo : límite inferi inferior or de la clase clase modal. modal. o : ancho ancho de la la clase clase modal modal d1 : diferencia diferencia entre la frecuencia frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior. d2 : diferencia diferencia entre la frecuencia frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase siguiente.
C. Moda Moda (x o , Mo)
La moda de un conjunto de valores es es el valor que más se repite en dicho conjunto. Si ningún valor se
problemas resueltos
Problema 1 A continuación se muestra la gráfica que indica los gastos incurridos para remodelar la casa de la familia Pérez: S/.1900
S/.1500 Eléctricas Elé ctricas
Cemento S/.1000 Pintura
Mano de S/.5800 Madera obra S/.2800
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Señale la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I. El porcen porcentaj tajee del del costo costo tota total,l, que que fue dirigido a cemento y madera, es 36,15%. II. El gasto gasto en pintura pintura repre represen senta ta el 19,24% del gasto en mano de obra. III. III. La diferenc diferencia ia angular ( – ) es de 36°. A) VV V B) VFV VF V C) VFF D) FF FF V E ) FV F 72
Resolución:
Análisis de los datos o gráficos La casa de la familia Pérez S/.1500 S/.1900 Eléctricas Cemento S/.1000 Pintura
Mano de S/.5800 Madera obra S/.2800
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ESTADÍSTICA: EST ADÍSTICA: DIAG RAMAS CIRCULARES
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Operación del problema: I.
Cem Cemento ento Made adera 100% Total 1900 2800 100% 36,15% 13000
Gráfico II De exportaciones del sector no tradicional.
Servicios
25%
II. Pintura 100% obra Manode obra
10%
1000 100% 17,24 ,24% 5800
III. 2800 360 28 36 13000 13 1500 360 15 36
13000
13
– 28–15 36 13
10 30 Rubro textil = 100 360 3600 = 30
Calzado
Productos alimentarios
Textil
15%
Madera
Minería
Respuesta: B) 30
Problema 3 La gráfica circular muestra la distribución del presupuesto de una familia. Otros 5%
A) 30 C) 30 30 0 E ) 36 0
B) 108 D) 35 4
Conclusiones y respuesta I. V II. F III. V Respuesta: B) VFV
Problema 2 El Perú exportó a China, en el año 2011, mercadería mercadería por un valor va lor de 3600 millones de dólares. Con la información de los gráficos circulares. Indique el valor de las exportaciones a China solo en el rubro textil, en millones de dólares. Gráfico I Total de exportaciones por sector. $3600 millones
Diversión
Resolución:
Calzado
Productos alimentarios
Servicios
25%
15%
Textil
Madera
Minería
Ubicac Ubicación ión de incógnita Calcula los montos correspondiente a cada sector para indicar las afirmaciones correctas. Análisis de los datos dato s o gráficos gráfico s Ingreso familiar =3600 soles Otros 5%
Comida
Educación
30°
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Salud
Resolución:
Pesca
Metal mecánica
Casa
Si el ingreso familiar es de 3600 soles. Indique las afirmaciones correctas: Análisis de los datos o gráficos I. El pre presu supue puest stoo para para gasto gasto de de educación es de 720 soles. II. Si usaran usaran la tercera tercera parte del Pesca presupuesto de diversión en el rubro salud, podrían gastar hasta 480 soles en salud. III. III. En casa y educación educación gastan gastan 1140 30° soles. No tradicional tradicional A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II Metal mecánica E) I, II y III III Minería
10%
No tradiciona tradicionall
Comida
Educación
Ubicac Ubicación ión de incógnita Cuánto se exportó a China en el rubro textil.
– 36
Minería
30 = 10% 360 Total
Operación del problema 30 No tradicional=30° 360 Total Textil = 10% (No tradicional) 73
Diversión
Casa Salud
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ESTADÍSTICA: DIAGRAMAS CIRCULARES
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Operación del problema Otros= 5 (3600)=180 100 Comida=3600 =900 100 Educación S/.720 S/.900 S/.720 S/.720 Diversión
Casa Salud=S/.180
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Del gráfico obtenemos: Educación: S/.720 Comida: 900 Diversión: S/. 900 Casa: S/. 720 Salud: S/.180 Otros: S/.180 I. El presupuesto para gastos de educación es de 720 soles. II. Si usaran la tercera parte del presupuesto de diversión en el rubro salud, podrían gastar hasta 480 soles en salud.
74
III. En casa y educación gastan 1440 soles. I. Educación = S/.720
(V )
900 II. Salud 180 3 S / .480 III. Casa + Educación S/. 720 + S/.720 = S/.1 440
(V ) (V )
Respuesta: E) VVV
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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
SUFICIENCIA DE DATOS DESARROLLO DEL TEMA En cada pregunta se plantea un problema y se ofrecen dos datos o dos series de datos para resolverlo. Debe identificar qué datos se necesitan y marcar de acuerdo a estas alternativas. A) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. B) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. C) Es necesario utilizar I y II conjuntamente. D) Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. E) Se necesitan más datos.
I.
4. En algunos casos que se pide el valor numérico de alguna expresión grande, deberá primero pensar en factorizarla o reducirla. No intente reemplazar el dato de manera directa. Casi siempre lo único que se logra es complicar más el problema. Ejemplo:
Hallar el valor numérico de: x + y = 2 Antes de usar l os datos debo notar que: lo cual posibilita que el análisis sea más sencillo. • Con el dato I sí se puede. • Con el dato II no se puede.
INDICACIONES 1. En esta parte se manejan conceptos básicos de los cursos de ciencias (Aritmética, Álgebra, Geometría y Razonamiento Matemático). 2. El procedimiento adecuado debe ser el siguiente: • Primero se intenta resolver el problema con sólo el primer dato. Si se puede resolver, la respuesta ya no podría ser ni C ni E. • Luego se intenta resolver con el segundo dato. Si se puede resolver, la respuesta ya no podría ser tampoco C ni E. • Si con ambos datos se pudo (por separado) la respuesta sería D. • Si no se pudo con los datos por separado, recién debería intentar resolver el problema con ambos datos. Si se puede la respuesta sería C y si no se puede la respuesta sería E. 3. En esta parte, sólo interesa saber si se puede resolver la interrogante planteada, así que se deberá evitar hacer cálculos innecesarios.
Respuesta: A
II. CONCLUSIÓN En este capítulo se plantean problemas y en cada uno se ofrecen 2 datos para resolverlo. Debe identificar qué datos se necesitan para llegar a la solución, aunque no es necesario hallar el resultado. No olvidar que: A) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. B) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. C) Es necesario utilizar I y II conjuntamente. D) Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. E) Se necesitan más datos. Ejemplos:
1. Hallar el valor de x. I. 3x + 5 = 7 II. x x 1 4
Ejemplo:
Hallar a. I. a + 3b = 5 II. a – 3b = 2 • Con el primer dato es imposible (hay infinitas soluciones). • Con el segundo dato es imposible (hay infinitas soluciones). Si los combino tengo un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Si las sumo puedo encontrar el valor de a. Fin del análisis. Rpta. C. ¿Acaso me debí preocupar por el valor final de a? Pues, no hizo falta. UNI SEMESTRAL 2013 - III
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Con el dato I
a. ¿Se puede hallar el valor pedido? b. ¿Entre qué claves está la respuesta? Con el dato II
a. ¿Se puede hallar el valor pedido? b. ¿Entre qué claves está la respuesta? En base al análisis de los 2 datos
a. ¿Se puede resolver el problema con alguno de los datos anteriores? RAZ. MATEMÁTICO
TEMA 29
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