Razonamiento Matematico - Oscar Zevallos

?5.

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O

TEDT CO I..A PBESENIE OBRA

A:

MI

I,TADFE

ZENAIDA GARCTA

\DA, DE

ZEVALLOS, POR I NNI.JI,ERABLES

TIV6.

I'40

t*s;1 a-

: tl'|'

.r' .¡;,

A LA

..

I,ETORIA DE I,1I PADRE I.4ARTÍN

ZEVqLLOS HAYTEE

J

f1:

VIDA.

EL

Y

CASTI LLO.

DE

MI MIGA

NOTA

EL

A.'TOR

'

?ennítd^eme, iJúeLqhnerutz, lwcut una üdenenciau.6n ettfne lÁ. ApLL tud U e.L Razonaru¿nto, QUL no Lon tünLno¿ lÁn6n inoa , cono hemod de vwt a conLLnuacLín: Aptrtud(t) : Et b di-tpoticLín ndfinol que no^ permite ú buen de. twtvolvintento ut tyla ae-LLvidnd def.umiwh, diempn* que hayomot atqu¿Aido , ademfu, la. prLepoJLae*6n nee.e¡afiia. E¿ úgo que poáeemo^ en nueltsu etpi-ta,L bíoLígi co q que podunot duoanollnn o no. ?uede duaútúru'e en Lo¿ inüvidtnt neü,ante pzwbat pieíLogieat. Apt).tud, Pl Capaei-dad o poteneial,ídad que tizne una. peiaona parLa neal-Lzo¿t una. accLín o una tnnen. Razonanientol3l: Acciftn de ¡¡zonan. Sl¿¡.ie de üguny¿.tlis e¡n Lo¿ qul áe int¿nto. ¡iettuditt a atguien¡ duetbni.n, duotÜún, o aneliitt tobne algo. E¿ utt h¿ehorenlone?a, gue á¿ pue.de enuidelwt a.k Apti.tud cono algo -INIJAIO, quz no neceai.ta, peu Su etoüttnoia:en noáot)106, de l.a adqwbie,L6n de conooiníetfoa b6.¿zicot. ?ot Ejup.l,o : Et nw¡ potiblz Erc lld.twt ga Apti;tud ¡tana dotwnpeñorue un éü.tt u el carp de Ia. lngenietia. ¡l¿ ea fiú6, Ea rc ¿Wa 6n de tal ejrho).o., dt EXISTE en lld. lNcanbid ti lld,. no po a t¡tvez del ettu-= üo puela adqwín¿¡ln

tl

Cumbre : T-1 -,Pá9.. 373. al Cumbre - l,lé xi co . lz) Muesti'a de Preguntas apl i cadas en el ExarBn de Ingleso. Uni versi dad Catól i ia del Pe rú - 0f. de Ingreso. Editorial Minerva - Perú. l'sl' "Di ccionari o de I a lengua Español a" T- 1. - Pág. i20. Editorial Sopena - Argentina.

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.

¡.-¡.-.-

Enciclopedia

Ilyttrada

Edi to

ri

La.

'

En cuatto

ol iuonaniinit

u4uda

tr¿zapu.eat!, opeiín quz eonpalfa,

ot a4ut)la rluz üc¿ {in

ne pon

tucele olso ü6uleÉ.¿; ?a¡t podo-t con

"

*,1",ffi r#fltrü*I frltn\'flfadznút, .que

au,,athL{ioLo{,, haci¿ttdo ottat püneipiot dL k6 ut6t a ¿u olestt c¿. Sé cona itutlunetfot pata. ejetui,ton q dua.arullu t-a eapaci.dod-7 l¿ól¿xiv* dt Lo¿ a.hlntwÁ, túilizatrot lna pnincLpaLu tipot rle pruble- ' rnÁ que auelel pheau.ta,ue uL un @ncultao de Adnlri.dn lpaituipioln¿n-tel pode¡aa Logtun íptina tuttilt¡dot uL taút)o objetivo. La p,LeA¿nte ob¡ta ha ¿ido. d¿tuu lltda aiguiudo el tegundo. u'ti,te ¡io, A dando a Üoa pabltnot ptagtutot ut nivel dL ü&Lcúf.ad nelo4= que el utul ¿n wt Conatuo'dt Aúúti,6n La.t atttlti¡ttu e¡uide¡¡¡ioneÁ g etneltttionel , ton ptwdueto de nb nz{Aex,ionü ut bat¿ a nú- expel,iutü.a. Honutanutz a.dnÁo, que,el tuwl erperiunci-q u algo ru inpl,íaa neaua)Li.anentz qu kt cnnciitioneÁ 6¿cyl utaeclo¡ I ¡ puzdo habe¡ uzonado nal ', I , ¿6 potl ?Ao qud tuqbit€. con mteJu a4nato ltt tugetunoia¿ U cnÍ,Lteaa, de. Ud, anqbt ¿ Lzequiwtu de Wo,doq tut

R

,tl

de

OlüUu

1800.

=R sR a

Rr t

o rÉstar p0rcentaJes de una misma canil--

a

* 30% det + 10Í úe a = 70,¡i de a * 581" de I'l + L26?/ de I',1 - l0% cle M = * 3!% de' (20,Á de ,ol. + ggu de (20/" de

EJERCICIO N9

.

(59+12ti-10)% de t0

)' ::

ll0%

14

=

17

de (201t

4% de 'M.

de ls)

N

R

Hal I ar e'l

!

Se Dueden sumár

el

{*d,e ^r =

qul era

cantldrd curl qul srt

'Pt

Hallar

en

t.r.a¡¡

de una qant'ldad cutl qul era

de una canüfdad

de N a R Se desconozca (R) y sean conocidos Pl y

Cuando

I.-

EJERCICIO N9

sOLUcl0U

de

i{8-

de

:oiI

tomemos

f nd I ca gu

nos I ndl

!rnos

$r

lndlca que

partes que se. puede tomar

5

nos I nd I áa que tomemos

E3.8

0.08 1

.ff, il,, :Íf"rÍ!,rFii':'rr'as

sc)

tuc f 0N

:

3.-

Hal

lar

el 0.008

Y,

de 0 .2

?

=

*

Exptwl,on Gute¡u!..

.. 46.

OSCAR ZEVALLOS G.

x t0-6 = R en el eapffuLn

Vente llotaü.6n Decimat

¡

0,08

%

de 0.05

:,,,i.t"

a) 0.16

6obne FRAccIO,úEs .

ISÍ

47

PORCENTAJES

5.- Halle :

16

t

I

ipl

o.o 16

% de

/

40,000 c

)

?

d)

0;032

e) N.A.

o. 165

,

[.

I

EJ ERC IC

IO N9 4. -

llallar ei

5.-

í,r

Cuando tr

*o soructd¡l i

la + bl1

de

3R

s0ruct0/\,

N9

5.-

Hallar

7

el 20% del 407', de 16000.

20t del 402 de t 6000 t

:

tY'

=

v.'

20

40 x TiO x

TN

16000

Cuando me den 0.08% de

.: El 20% de lo que tengo ,excedé al 30% de lo que tienes en $ 2, st €fl-tre ambos tenemo s $ 30 . = . i,Cuán to tengo más 'que tú ? a) $ 2?;= b) $ 8.= @ S L4./ d) $ 10.= . e) $ t6 8.- Et 50% del 40% del 30% de 500 es : ' b) 36/ a) 3.60 d) 40 c) 25 e) 32 9.- Compré un reloj en $ 800.00. Lo vendo a Juan ganando el 30%. A su vez Juan lo vende a Carlos ganando el 20f de lo que me pag6, y Carlos lo vende a José perdiendo el 10f de lo que le costo. Si tlarla tiene $ 100.00 y José le'leva ha vender el reloj haciendolé un descuento del ' 5% de lo que a él costo. Diga Ud. si a María le falta o le sobra di

=,R EJERCTCIO

de 200; el 0.08U de 40úOO 6 los

17%

40,000.í ü) Cuando me den L7i, de ?OO./ ' d') Si empre i gual . e) Ninguna de las anteriores.

a)

x

reclbiré más : St me dan el

l" de 3,000.

=

:

t 280

nero

a) simple éllo es verdad? Resuelva ros siguientes ejercicios.

-

lar e'l 0.02% de 0:5 a) t0-2 b) tooo

10.

Hal

2.-

Hallar

a)

3.-

86

53f de 200

b)

a)

0.001 i) o.ooor-' e) t0,o0o

to.6

,\ nav c) 0.25

d)

1060 e) ¡1.t.

l§ zt.

e)

rr.R.

: ] ?'de la mitad de g0 aumentada en 20 ?

o.t,/

b)

67.00 b) No le sobra, ni ie .c) fal ta.

-

Hal'lar :

e)

Etlo8 if de 0.007X del 40f de fi x bl 4t

a) 0.4

o.o3

c) o.oo3 d)

3

I

I

CASO.

-

c) 40 en : P

%

deN

Se conocen: P

%

yR

Cuando

EJERCICI0 Ne

se desconoce;

1.-

P%

Fa'lta $ 67.041/'

Ninguna de 'las anteriores, l

d) 32

?

Hallar r z o. foo z $ a) 0.2 b) 0.00a

4-- ,..ualfar

'

el

c)

Le sobra $

d) Falta 127.04

EJERCICIOS: 1.

y cufnto?.

=

N

de

N=R

e.) 0.6 100 P

.

R

e)

N.A.

)) 4B

))))

)

OSCAR ZEVALLOS G.

de que número cs' 36

t ttF et Núntuw de x r 36 ¡Xa36 .

Dupeiando

rtxr, )Luutfd

))))

?

EJERCICI0ST

IIIEIEC

buteado, Q,ntoncu

i'.

-

12%

a)

.. ¡ 3 16rxrtoo .

2,-

20%

de que número es ?Z

S¿a

Itr)t el ytúne¡0, 22

X=

'rLl

El

?O%

a)

2000

xtt

gl

eb15?

6.-

ruinuw

0,08l.de[ . -T¡¿*-,

Xr

st)lucI0,

Ne"

:

5.'

7,8.-

sr ,losÉ tuvier^á 24% fiienos de ra.eirh¿ qr.re trthe, 38 años. ¿Qué e¿ao tiená iitúárñlni.i". ,

toncu turdrilto:cet de

tu edad,

ai

Joa€.

tt'io¡t¡ i¡g

l00Z

qu¿ tegún

-

u,

c)

0.003

l*,

es 0.02

ir de que nünero b)

c)

lo-2

55% menos

?

0,2

es 4

de

la

oo

b)

50

@ 4oo ./

d)

40

d)

8oo e

?

c) 0.8

6000

3oxto3,,4

O.oo03xl o-?d) 0.3x10-5

edad que

cooo'/

tienes, tendrfas 27 años.

?

QSrcr'

d)

5s

e)45

Sl al venderte ml üutor te hago un descuento del 15Í te lo venderfa $ 1'700,000.00. üCuánto me ha costado?

El

30%

de que número es

tendrte

0,7

30%

en

del 10f de 700.

c) 0.07

dl 70/

El 309 Oál ZO* de los 2/5 de un número es equivalente de 1;000. El nilmero es ; '

:

er t00g cte ettn nLíanal ^;;";-d;"üA"d";ie tiene lEl¡ en_ 769

b)

el

a)'0.1

b)

0.2

c) I

d)

r2o

á¿ariw¿

= ol ¡tnobrun os iqual o is onor. Ettr¡ncet ; ?4eo

e) N. A.

s 2'OO0,OOO.0O¡/ b) $ r',4O0,00O.OO c) $ e'300,000 d) $ +'000,000.00 e) Nlnguna de las anterlores.

16

La totar-idacr-de-un« cnvttdad,

so.s

t

lCuántos tendrás dentro de 10 años

¡) 700 IERCI.IO

d)

¿l

i.6

t

6 x t0-'

de

Si tuvieras el a)

,.

b)

a) z x 1o-1 b)

ertftonct.,6 ,

¿EsrA E^rrEA/OIENIA?.

.

O soo -/

sso

3.- * % del * % de que núrnero

?

5.-

Sel,

b)

s05

a).0.03

r4o

4,-

0. 08% de que número

de que número es 60.

0.08% de que número es 24?

t¡¡I-

XE

t9

PoRCENTAJ ES

9.. {,Cutl es nayor : ? . I. Un número cuyo 207l es 200. 260. II. Un nimero cuyo 130% me da III. Un número cuyo 101 del 20% es 50.' IV.. Un número cuyo 15fl es 240. V. Un número cuyo 0.02% es 0.001. d)Iv c)III a)t b)ll

1

e) 7 x t0-2

al e

24*

)

del 0.01Í

Nl nguna

Anterl or

.

e)v 10- ,luan rrparte su fortuna asl : a Qscar e'l 20%, a CÉsar el 15f y a Fernrn rlo los i30c restántes. Pedro lo hace de la slgu.lente münera : t Le -nny e1 30,,, d Lucy el 25% y a 0limpia los 9000 r'estantes. iiQrriér' t.uvo más dinero y cuánto?

ry(-

r.9r

OSCAR ZEVALLOS G.

51

PORCENTAJE§

50

b) Pedro

d) Tuvieron lo-e)

c) 0scar

mi snn

Cuando

en

:

Se desconoce:

y se conoce

ütwnoa

P%

Ny

:

=

237

P

co

tto

=

1980

.tgro

,h

R

=R

:

EJERCICIO N9 5.

=R

Scl L [tC I

i=_T_100 R EJEMPLO Ns S0IUC10^,

:

2

.

OigutoE qu¿ 881 "x

+

de 240 es

¿Qué Porcentaie

xg de

= =

240 240

Aun¿nfo

14?

->

:

x

r*

Despeiando

:

1

'200

6.-

1,200

:

\eo

Sun¡t/, se van i*1

des pués de I a primera QUEDA de la anter i or .

+

x, Quedan:

hora,

t'HAYt'

;-

l=Restofinal (3)

en cada una de las sl a

entonces

r QU€

este ti po de prob 1 emas s e puede reso I ver trabajando ú nicamente con los restosrrE gresando ordenadamente haI

E,

^3

r

cia el

z

primero.

El único requisito es fijar cl aramente e'l resto ex I s ten te en cada hora. Calculamos

!

En nuestro problema: El agua se le acaba en 3 horas, €S decir que e'l resto final vale cero. Si en cada hora se va la mitad de 1o que hay, más 1 litro, entonces quedará la otra miffilT'enos 1 litro. Asf :

3a.hora: QUEDA: 0=!-1 ?De donde, x3 = 2 I i tros , za.hora: QuEDA: De

Dlgamos que:

2a, hora:

2a. hora: QUEDA:

reemPl azamos

:

-l # --z-¡

donde: .r

(

I I !

I

I I I I

i I

t I

,

Podemos deci

1

'

poF lo tanto como ud. mismo" (a) aíie, ios-t, áoo a l, la mitad de lo que tenfa. nf

)

NOTE'Ud.

x

-7 * Cal cul amos x3 y reempl azamos l

soosoles

slgulente:

en la.co'lum sl conoc'lé¡qmgs el resto flnal',potlrfams calcular x3r gue a su vez reemplazando en (2), nos permitlrfa calcular IZ { a su vcz al reemplazarlo en (1) nos quedarfa xl! es decir, la cantldaá lnlclal de litros. En resumen, lCóno hemos procedido?...... iEs clertol Hemos regresado desde el flnal al comienzo, teniendo en cuen ta .los restos que hay en cada hora. Es declr, la solución serfa:

3a. hora: QUEDA: RFinal

Estos 8q0 soles I._quedaban Iuego de gastar L/3 de Io que I e quedaba guiere dectr que 80-hsqles equivalen á Zt3 de lo que le quedaba; por lo tanto, to gue le quedaba era:

-

'

Pero 'la observaLl6n más lmportante es la na de los restos, que en Ia igualdad (3)

l i tros, resnplazamos:

: {-x, s' la. hora: QUEDA 6 = I2' f xrI = 14 litros

que habfan iniclalmente.

I

I I

'

,)4

u§ cr,,()

)))

F¡,.rCC r r.lN

a la condleltn, $i en cada hora se va 'l a mltad de lo qus en ella hahf a más Li?." 1 t tro, entoncns querf ard 1t¡. otrn r¡t'Lad rnenos l/? lltro, üDe ñDe acuerdo

cuerdo?

'-t*tl*hora:

0Ei¡- t--¡-.*. !.=+

Quecia:

r-r

rr ¡rrrr-

-t¡p

h-F rr¡Er=!

x3 E

¡-.¡tra.

¡ürs.

E¡

§gHsff,n l

tl po quq vemosi para q1t? .Ud.. pueda e! este es el Prlmer Prob.l eF de este rr ipaso a'pasotr, pues'en realldad hay va de hacer tender -de-su soluc{6n, 1o he es cuát ) ül i os que [ueden abrevl arse [rivr-Uü:-"- pániando rl;;

Como

Reprocluc{ remos I o que

I lts,

t

{**rts!¡.Ex,H¡q#p{r

Irl{-,-,á,.-,.--+- I e¡+ *-f- *zE¡3lts. '-' ? x.J' ^ TE5 $--F. Xl ¡§ 7 itS. i.&hora: Quea: 3t ? " T '*--+- 2',¿

Sacamos

ht¡,hora:Qu*cfa:

llo

I

s

lry(oErEMA

(ffi*\--y'

Aumento

frñ ?,

§elsslüs: El resto flnal, como Ud. puede apreclar es 2 so'les¡ sl llamamos x3 r xZ , xl a 1o que t'lene el 3o, 2o y Xer. dfa respectivamente y ernpezando a-resoTver'

el fiml,

Ser

dfa:

Hay

?ds

dfa!

HEy

ler dfa:

tendremus:

"*g",

se

va: +*B + 2.-,,p Queda, +x3 -

"n,"r

s€

vü! ü *,

Hay t'01", se

pasemos &

*r -

vü; + xI + 4.--F Queda $ *, r

tQuÉ I e pareca? Senci I I 0. .

Bfen, ahora

+ §.-a,, Queda $

. éNo es clerto?

total á d*l 'en

wt utho d¿ do g 2 de o4ua.

ll*.rutt el cubo c le vietto nuevañ en utoa non¿ntosl

-

lt,

de Ac.

+

-

t

(e) Llt,

Agua,

I I t. agua

agua:

üsua

b

16 -lr

1

,rr

[8 $] 14

x{¡

5

t. aEua

llt.agua

B

6 1lt,Mez,

del total t*¡ff-,ñ¡

Ahorahabrán:

1{t'Ac'

t/2 del total en uorr, + (6) ,, 3 llt.agua $ llt' At' F'l

5 a

$

Ahora aumento

6 1 I t.MQz,

lrt' Ac' Es declr habrán al flna'l : %" 4'4

nalmente

4 I

habránt

$.

WOBTEMA

otro tlpo de problemas.

É,n

un

euho

de,

t !!101.,*

A,

ezcla" q

gu

hay

- --^ r-

t l't )¡

Da d^r\tñ

¿c¡tÁ¡tto¿

de dol.

elvo

ry?,#iir'á'tr,^rÍ"W:y "riffit'ú'ñ-üieiua ., Slr'l)d íueu-q

-

'.

t'¿' i deaeasw? ¿c vae)t u,'ffii[ál-u'ñ-'ait'tna ^eiel¡' a'úd'o vuartriiii¿liñe',rué-ae

PROETEI,{A

?oáeo

de Ac.

de

.'. Nos quedará 12 del total: +['Sl tit'Ac'

s¡

.

:16 llt.

b

Ahora sücamos Il'¿

* ?,

de Ac.

16

q

Ahora habrán:

*

1it.

Ac. .8 +§

+ (4) Llt'

+

n 4 /5 del total

(6) E $ o.

+

+ 2llt.de ilgua E 611't.Mex.

I lt.de ücldo

4

1

*

ilE6¡EI§I

probl ema:

eI

Ahora habrü n:

ildti"?,?A gotta. au dlnuo tle Ea úgwienLe nianeh.c.: EÍ. pi,inú üat un 4¿11s¿u d{. Lo qtu teri¡.tú¿ 4 toLw, el*gw.do df,a, Loa 2/t del nwvo nwto rtút 5 ao-&u A ol tulcuL dtl, 3/7 dol rupva tLe.¿io ña 2 Áo/'ea, quedÁndo&e diwhnento¿otu. ¿CuÁvúo *enia.' ir¿í;üa,tni*el

desde

ucede erl'

1/5 del total.

queclará

'1

/

s

haY:

Inlc{almente

s,Él

EEÑEEI8E

bs

))i)

iIVALL0S,d.

I l§I tPreste atencllnl

§ol uc

llamemos A

al

6ctdo

y B al

aguu

oscAR ZEVALLqS G.

86

2llt.

Inici almente: *

U3 del total Queda á o. cada uno, (3) = 1 lit.B Aumento: + Vacfo L/4 del total

+

A

1

lit.

Dc

B

aa

*

*

Queda

*

i o.

Queda

*

Por

ú

l

o.

cada

+

A

+

$ tit.

[3. ']

rt''

B

lu**nto

i

Como

(3

i ut.B

1

lit.

,Iit.

uno

lit.).

3 =Z Ii

Ud. puede

A

+

+

íWrit'B [? r-d

.B

1 z lit.

A

ver; finalmente habrá:

+

0.5 ?.5

- f]

rit'

B

+ 1l

l

lit.

B

t

6¡

de áci de agua

la

izg1{

-\J

Solucl6n' Dl remos:

del En t hora vacia:- á horas + o Luego, en l:hor¡ que trabajen iuntos;, quedará en el átlo le parece?

B vacla en 6

- B: en t

total

Entonces, todo'

1

estánque se

de1 tota I

Ti

horars€ Jlena

el

ít.nará

(-)

estanque la dlferencf'a.

(no se olvide

en

versas )

qrlf os

.

que

son

1n

.

pno¡,ru úO \-/

con¡tioiottu del *oblma anXwiot, ¿en cuÁ.itf.o'tiutpc te llenatá. el ett4¡(/tf% ti li ttl¿ve dcl: detagie enpieL a {unciotutt ur,« it¡,ia" o¿6fuf-á de a-O¿q¡n "2¡ p¡tit¡tlttt tbve? Con

b¿

Sol uct

6n;

,1

mediante Uria Si calculamos 1o que arüos juntos 'l 'lenan erl una hora¡ podremos juntos todo el essirpie iegiá ae ti"r,-i"iáuiá" en cuánto tiempo I lenarán iunhue. iNo es ver6á¿f... Pero... éCuánto lienan juntos en una hora?. üi"Jii'r,"ii-.ñüoi-ii.ñ;;á; I; sú'iá ae lá qre cada uño llena en esa hora, poi .

.'A, llen¡'el totrl en 4 hrs r B vrétl el total en 6 hrs.

r

En

I

->

I hora llena f, del totalEn t hora ,ulr. f del total -+ juntos, quedarát i - * = t' a.t tntut En

hora de trabajo

* St el prlmerO

Entonces declmos:

El caño A I I ena el estanque en 6 horas

la lnversa de 1o que

hora)

-2'.1!--toras.,

do

Sol uci 6n:

eparado

en

Ql QÁt,n4ue de2 prcbtan antQaio4 di t)av¿ rlrt.ü4at de lkta¡2b en 6 hona.t, ll vaei.q zn QA¿ tietwo?

A

Itn cafw A llena un utarque en 4 ltonnt, un 6 egundo eaño B Lo l'tace- 8-n 6 ltotu¡ al wúl,mo LLempo ¿En cuá.ttto tiempo Lo tlevw¡Á-n anbod á't enpiezán a {unúovto'rL tt cuando el elta nr¿ue erstd- vaeÍ-o?

s

(Note qúe es 'llenan

,l

B

@

PRgBtE[,q

*-

.¿En cittittto.tiettryo te:l2enotúa

lrurlit.

A

v: Probl emas sobre

PRoErRr da

íWrrt'A

x -

hora

E7

B

I timo 1 ,^ i.r

-

A

L-/

cada uno

lleno con, + (3) = saco I a"r total

*

$ tit. + tir.

donde: x = l3O.

'

Yacfo a

!;

t.

rR¡eetolrS

(*)

(-)

hora' enlonces en ese tiem¡o l]equedando por' llenar: parte del total, narárcomo sabemos, la cuarta f - " a.t tot.t, cantidad que sl va a ser "'l 'l enada" por arnbos cairos

|

Entonces:

funCiOna sólO durante una

I

S

I

en una hora. "'l I enanrf +

en cuán'tas ---

rr

del

to ta

t

xI noris "'t 'l ena rán" ; oel t:ta I 3

Dedonde:

¿+

x=+

E

= (iZi 1

l

\)t).) . AA.

OSCAR ZEVALLOS

G.

-t0,.-5

Bn

x r 9 hofql ' lr"go

el il ernpo total

qR0BLer{AS PRC?UESros

en gue se llenará cl

es

tarque será

th + Ih = t0 horas

:

f i2l*:

t&,.. l0t

minttot

Hallan al- valon dL

E

wt: E

=

(0.

o ?,81

lo .ooooSl l?

,l5l I

B

a)

(ue.te

b)

1s0

15

x lo:2 c)

15

x to-3 d) 1.5 x lo4 e) il.A.

üempc

&lucÍ,ó¡ I A 'l Jena el'reservorlo Ert,,._

en ,xr horas _| t¡

,

rlyr,

,t

siBfuesededesague:^ *

@ En t¡

.f

t I

hora llenará: tt

+ ,l,,

Amba§,Juntas llenan

vacranái

eI neservorro en 3u ñoras .) totai, iuego te.r..emos gue: +L = I r + xayBm(1) * S l ,a s egunda es de desagu€, ,,l ,

'

10

J

. ¿r'Irr.r nantt l-

i = --i + x - -'':' '-

y(z)

(+)

¡

rel :otal

(+)

f

c.r tota I

(-

I hora

valot de

?n:

E

I Ienan

x

tO3ll0.-0007!

(3.,{ x

,0-21

E= 12.25l. lo,ooooSl lo .9)

)

.l

I

(0. r,ar,oll 12,5

b) o.ool x

I

-t d) I0'

§6 del

r

t o-t

T

to-3

I

c) o.nl

x 1ó3

I

-+

,.

En

t

hora

"lle-

O

ttns

de tot

t

vdJlcnet de

E,

I

tutá.:

-*+

E=

r

, J._l

.l = -.:l

et

ISS I

.

enan, sR 60 honas

¡ial 5r¡-t EOdel total, tuego terdremos QUe:

Luegoo,.(r)

En

i

cel t0ta

Hallar,

d)€

b). -6

60

e)

[,]

.A.

,,.

I =_ x40 ionde: x = 40

-1

dan

ü.

valc,r.

E - (t\

gue

,horqg¡ es Ia respuestq lnal f . €n :uánto tiempo Irenarfa ra ilave B ai estanque? ,_-irr,

a) 36

b) n-l

Í I

\

c)

e)

Inf

É

a

.()

U.,arrxo

z 6a/11 a.La nii¡.d de

.t d¿t¡ttrr"iae laeu.

a) f&

bl

17

c)

Lc¿

10

1A

|

O"

I

de 3

pta

arl,r



a

a

a

=

9

g Como

to;

v€¡

hemos logrado nuestro obje-

Ahora identi

ficando' tenemos :

Fi nalmente:

ur

[.2'12

forma; Para eso dlgamos que:

a,tTo ? = 4,lT =

*tX = rBlzt = jg

+

'r1

Note que el prlnrer mlembro ya ldqll rld una forma clara, tratemos de g'

@ xx' a

: -rr

Nos quedará:

Pero:

x,? ut ,

t6n

a "3*

por Último, un problema clásico muy lnterer.nanl

uclón_

íAtenc

*

,

r

en (Zt

,3=

m'l

Ll?z

+E z

Este úl fimo

De

el evemos ambos

b2

o

)

t)SCAR ZEVALLOS G.

L42

qR1BIE[,{/S

ECUACIONES EXPONENCIALES

Ha!-kn m

P?(?PUI-SToS

143

* gít*l = zg b) L.25 c) -g-1

zn

tl6m+l

a) 0.25

lf

Tiwnpo: 50 míyutfot

Sl,: a) '2

(0,

+

z¡o+z B

b)

O

256 .

0e ud.. el

volnn

mat¡on

que pued¿

o. lzs

)

Fa'l ta

n

da

tos

o¿umt¡ 4x ?n:

d) -2ñ

2/Z

e

e)

No

fi gura

Sin¡ilidiean:

b)

E=

c) zr/+

4

a)

c)

b)

d)

e)

1_

N.A.

3

-ot -t

-1t

g-8

b) -3 S¿:

Hollau

a)

d) 5

@ Húhh,x,

@

HottarL ,,62,,

-

O s¿:

b)

O

HarturL

-

b) I

x

o2

*

d) -

c) 2/3

213

* ,a+2 + ,a+3 + ,a+4

a) 24

@ nAlt", a)18

),P=

?

I

en:

a) lZ

d) -2-L

?-7

3

b) 52

e) /22

etls

215

5e*1

c)

,u'f

lñr* a)

e) 3

1

c)

780.

e¡: ,a+1 * na = u)-18 úru

7/g

Halhn:

zle

fa

16

2d

-g

e) 7le +

a)

sl

e) -6

@

d)6+3

l20xl* + 7! t 40*

.f

-'

**_

:.

=l

a,

-1 vaLott de x ¿eltd.: Lle

-9

e)

){,

Fa'l

zn:

sa.3b = 25-23 b) -t/64 c) -t/B

3-

4-2

e) -4

e)N.A.

@

LrL:

alb

a) -l/4

80

-L

b)

t/e

Har-Ia

4

-1t

uU"a

S¿:

a)

a' 3

+

aau

=27

b) 3ñ

,rr'+

aaa- zauu

d) 9,8

e)

3-1

tan datos

)l*J

)l)))'i OSCAR ZEVALLOS

CJ

É2

ts b)

ooo*oo*dd

4odrda D4

a)ñ

c)

4

Hallau

b) 2-l

c

(a + bt ,tt: db =

)

d)

32

I

e)

Absurdo

u d'ad-44

E

2'L/2

d)z

Ecuaciones e)

Impos

lbl

e

,o,

o

q,= a¡6

'a)

4

b)z

c)

q3us@ -6

e) Fal tan datoi

EL pudue,to d¿ 3 nlnelu¿ ¿vtlütot covueculivot

gundo, La S¿; enÍ,oncea

a)

@

-16

*

1/z

d)

li

:

Sean I os

números: 19a-1

Procederernos

vos y luego

Entonces:

7/3

b) -3

c) -u3

e) 3rti

'

Fi nal mente

'l@ \/ 00000

(a (a

u ...

u

igunl a 35 vecu of tg

?

inicialmente representando 'l os 3 números consecuti representaremos la condic'ión del probl ema.

a 3ea+1

2e

Hatr.ut:

a)

de ello¿

SOLUCION

{2,

s

áunw.

I I

Puesto que I os enteros consecuti vos

se

d'i f

erenci an en una uni dad .

J

- r)ló (a + 1) = 35(a) - 1) (a + 1) = 35 az -1 =35 a2 =36 a ?t6

:

u

?t ruinuo inrva lroJl que agnegado a Loa cuo,tlto inpaners que Le diguen totnt de 905 ? . SOLUCION : Nuestro procedimiento será el mismo que en el caso antérior. * Seán ]os números : a, a+2, ¡+4, ¿+6, a+8, .puesto que sabemos que los nú

*

¿cudL

dan un

meros pares Según

o impares consecutivos se diferencian en 2 unidades.

'la condici6n

:

= 5a+20 = 5a =

a+a+2+a+4+a+6+a+8

-

d

905 905

885

T E

146

OSCAR ZEVALLOS G.

/ @ W*w:' lm .tt'^h' ,, de que La pnine í;L"¿' i áffi W ff 200.00 náa que La -: turce¡n. Le toen a etda ina?

CUAC I UN ES

* Si la planilla

.

*

Fi nal mente tendremos

t Qo1n son 3 personas que,tienen cada una diferente cantidad¡ ten-drfamo!; que poner 3 i.ncógnitas, pero con detenirñiento el enünciado, notamoi quá eI reparto-se hace'con observando respecto lo gue a

ellas,

x+

(x+200)

+

le toca á otras z

o

o Entonces

o

16,800

I¡cogd ta : Lo que tenía i nicialnrente = Si reci be $ 2.00 tendría : x + 2

^i

*

:

1

,700

1,700

diarios. é'

10 soles

ái.9

e

e4uivo'--

:

:

Jornal 0brero = H + salario 15 obreros será = Jornal Obrera = M -)salarioBobreras.será = Jornal Aprendiz = A + sal ar:io, 12 aprendiz será =

Además:

3H=4M

A

=-

3045 . 60

LZA

(1) (2)

áM

$trr ) + I M + rzf#l Resol vi endo coÍno ecLlación fraccionaria obtenemos : 15(

(3)

=

M = cuánto gana un obrero? $ f.C¿v cuánto un apren diz? d¿ Secnúaniado.

la tnd¿

de. n a¿?..

g¡4

a,

-)

A=i$

¿Cuántt garw cada rúño?

15H

:

5M= 18A-> Sustituyendo:(Z)V(3) en (1) : Tendrernos

¿Y

:

don'*rsor'

trí{i, eqúiva(

x

a'l §a'larió de quién, giran 1os demás salarios ? Salario de una mujer en 1 dfa : "x" +Salario total 20 mujeres = 20x Salario de un hombre en 1 día : "2x" +salario total 30 hombres + 30(2x) Sal ario de un niño en 1 día :"xf 2" + sal ario total 10 niños = 10 (x/2)j

S0LUCION

ZO

15 H + B M + 72

3=x Compruebe Ud. el resultado con el enunciado del problema Ury Á-eñorl coytt)ufa Wa un Lubdjo a 30 lwnbttct, 20 mujute,a, 10 ní-ñoá, W gdnloLe a cdda honbttz oL fubLe de L que Le Wgq q und rrujen q d coda yllia lÁ. ni.tod. de Lo que Le pa.ga a ura mtien, en in dÍa. Slú- duwü dQ. 3T ,000.00.

:

)

ne

Del enunci ado tenemos que

x+2 = 5(x 2) x+2 = 5x 10

S/.51

ION

: '

Si.pierde$2.00tendría : x-z De acuerdo a Ia condición :

dfa¡ ¿u pkruf,UÁ. axielde a

niño ganará

+

,

Digamos que

neúbi6 2 óoLeA, tttv,6 enfoncet 5 vecet !.0 quz hubielu, tenilo lqubiettn pudil,o 2 áolu. ¿CuÁytto t¿nÍ.a, at prunoLpl-o?

:

Un

x + 60x

= 5x = x=20 : + 2 =

í;, atns. SOLUC

Ran6n

-

l-1

L-,309

:

:

sl.

suma repartida

La Segunda persona tendrá! 5,300+200 = SJOO La primera persona tendrá: 5,300+700 = 6,000

SOLUCION

Entonces

n

(x+700) =

$ 51,000,00, en 1 dÍa el salario total + 30 = $ 1,700 dtarios,

a

51,000

:

20

en este caso, latercera, así podremos represéntar las 'Veamos basándonos en lo que le toéa a la teróera pLrsona : : - A la tercera persona Ie toca !'x,, soles. - A la segunda peisona 'le toca ,'x + 200, soles. - A la primera persona le ioca','(x+200)+500 = x+700 soles. Entonces:

:

Z0x+30(Zx)+ 10(,

s0LUcI0N

una-de

mensual asciende

de Ios trabajadores será

modo

.¿Cuáytfo

t47

507.60

$ 16.20

4. 5ü

-

In*

Sl.'ASO.=,'S

nea de Agoato LaA dLt futnrc-Mañana

éCon respecfo

sOLUcION

:

Reempraze 1os puntos suspensivos

por las cantidades pertinentes:

*1LJ

))

!S,

Inc6snitas r-a --¡¡¡ _¡

,

;

i

Ns alumnas Tarde

las alumnqs de .l a mañana Sean Ias a'l urnnas de la tarde

=

IO

Er lC^,lE

l,la ña na

i

¡lxt'

=

Adernás:

Ne a I umna s

'

Sean

)V,

R

En ambos casos:

tota'l café + Costo total azúcar = Gasto Total reallzado + ?0y = 206 ,,i (1) lra. Compra: 10 x \ E 376 ,.i (2) + 10y 20 x Zda. Compra :

x+Trpordato: + Pago Al umnas Tarde

+

y*

k+7

( +

)

... ,.

Costo

¿

*

oso

üQué método enrPl

ear?

en usaremos el

Bi

¡

I

..rrr..

= -?Ü0x-100y = 300 Y = y =

x

aj umnas de

ri

x

X=

*r€

=

ial¿u

.

.1.?,

Ha entend'ido? Blen

BS eJ Ne de a l dq l a mañana, e.l será:. .r J4., .,t y elumnas. total de i;ürru, .

,

Representando

Reso'l vÍ

F'ína

J

enclo

mente

de Pafua

2 patas -+Total patas 4 patas -+-Total patas Ns Total De Cabezas Ns Totat cJe patas

:

*

Dlgamos

=

=

20

f

Iq§ :

prec i o

de 1

kg

s0LUc

= x+y = 2x + 4y

=

PrecÍo de 1 kgr. de azúcar=

y = $ 1.20 en (1) o en (2) y halle

el

qa'ttoz'82'l¿i2o-

\comry Qt de'az1' el dzdea¡ o¿ n6,t d¿

L.sl.st, Si lu-sutu\9

hubi.etú.

de o¡tuz comqÓl

áDe

a

cuerdo

I.0u

:

Ne

de kgr. de azúcar

Ne

de kgr. de arroz

?

Debemos hal I Ca

ar :

"x

=x --+ Precio unJ tario =y ----i- Prgci o un i tari o tp yt'

+

bezas

1ra. compra

i

2da. compra : (Cambio de precios) Restando mlembro

l-,

a mi

$38 $ 38 + $ 1o = $ 48.=

or embro

:

l*' (2 )

Gas

to en Arroz = Gasto tota'l

+ + 48(V) + 38 (v)

- (1) quedará

?

=30,ti40 ",.(1) = 301840 + 2250 . .(2) :

ata

puede saber

hgu

el

No de

Ga

I I I nas

,,xI ilyI

I kgr. de

t9x-tgy=2250...tDeacuerdo?

?

Factorl zando

, de a1úrat

r. de café y de

: precÍodelkgr.decafé

$ 1.20

2(x)

au)

2'06 óp¿"o6 , -p?tL U 20 lrsu, de cad¿' lriArr¿a g&6tq_ un lrgl,¿, de cada uno?

Inc.qn

360

z IE¡.'l ,,.

I 0

,

ly,pQh;ora comry l0 l¿gu, de. cad€. S/ hubierza comynado A t 0 hgu. de-áidoín do 57 6 ao l,u , ¿Cuá,rut0 euuta

:

Uncom ¿g ah.ano z v ';ffi; ,2, ll.-2,

vee?,á

2y=14 Y=l

.

a

l-qu

t4 md¡ Z

¡ i tas

condicÍón : EI Ne De patas es 14 miis 2 veces el Ne de Y 2x + 4y = U +Z(x + y) ?x'+ 4y = '14 + u + 2y

Ia

i!:il1:"?:mn, se? §gL,Uq

u

va'lor de "x"¡ e1 cuá'l será

: É.'1.

4120

-3760

:

Sustituya Ud, ahora e'l valor d,q.:

Ne de

será

cn un cothal lrau ?,t N! de u.oe.zaA .

de Reducción Y tendremos:

Z1Vx + 400 y

1450 x

Finalmente como

Método

azúcar

:

10(x-Y) xrY

= 2250 =225

decir se ha comprado de aztlcar 225 kllos más que-de arroz. S! IL.pregun]-¿óuañiói iiíos-cómprO'¿á ia¿a espec'lei lC6mo .procederfa Ud?" ' ñilié-iis-cáñiiaa¿es réiñeiiivai i compruebb e'l resultado anterlor. Es

il il;;

:

@- ,,

¡r,Lo q un Cabat)-o llevan ubne

¿u.¿

tunb¡ud

puadot Eacoá, El. nugo

T tr¡CAk ZEvnLLUS

-50

G.

E

q,AC IONES 151

ditz al cafull.o : Si r¡o ttnaiÁ. tul Áaco de Lo¿ tryoa nvL etnga tuf-a eL dobLe que It ttqa. ü. caboll¡ Le üce ol ru20 : E¿ e-Lefiio, petu ti qo tonwú. urc de Loa fuqol tweoÜtu cilLgal te i4ulaafnn, ¿C'uÁntot ¿acot tiene cado. uno?

Le

SOLUCI0N

: Incdonitas :

Ne de sacos Ne de sacos

Re presentadas

re spectivas

o

Si

del caballo = ! del mulo = m

las incdgnitas, representarps

ahora con

ellas las

condiciones

Si el'caballo tomasé un saco del mulo, €l caballotendrfa:C+1 y al mulo Ie quedarían :m 1 y se cumpl i ría que : m 1= C + 1 ...(2)

A = = _ B + 2+6 B+8 '= BrE:== 13 + A+6

*

n=7

'

*

I

tnc,flggisgs

:

tiene

6)

3(g _

6)

3B A = .-E-EE

18 15

i

Compruebel o l

¿cui¡tt¡.o¿

tio"Oiu

^tl*t¿"'iñia7.r¡7i1h.

que : t{'e de hornbres en el prirner ejercitc '#u;, Com entre ambos tienen 161000 hombres, ;; ;t;; to es = 16,000 - x Dl gamos

El primero tiene ,'x,, hombres, mueren gg5, le quedan El segundo tiene ',16,000-x,,, se mueren 13g5 le quedan Com a ambos les queda Ia misna cantidad tendremos :

x-885 = 2x = 2x = x: =

Jaine q Jazmln tienen d,Qfe^ninÁnúa cnyúilddu d¿ etwnol¡¿. Janfn Le dite a l¿.ine : Si m¿ üerut uno de t¡u waneLot Í¿nd¡.í.ano¿ i4uaLu cayúi.dade¡ de elLo¿. Jaine Le d,be d Jaanín : il eie¡fo, púo ¿í n¿ üuu 6 de Ind tuqoa ¿CuÁnfoa

x-

16,000 15,000

1SOL

¡. =

: :

: Inc§gqilgs :

Ns de Caramel os, Ja ime

=

A

Ne de Caramelos,Jazmln

=

B

Representando I os hechos que suceden cuando cada uno de

@

Si Jazmín recibe 1 caramelo de Jaime, tendrá y a Jaime le quedarán Por condición se cumplirá que

a

: a

ellos habla B+

Le pon wgo sl.120.= u

1

S0LUCION:

A1 B+ 1= A

Razonemos 1

*

LLarnemos

16,000_x_13g5

1395

15 r500

TTSO

=

to y

8.259

*aü,yily á,ffiy ta u,¿p,inle¡o.

.

#ffi,,, ;lli.ü ^^á la bi.c.i:teta?-

Hattr^ el va.riz de

al valor de la bicicl eta,

gu€ es nuestra incógnita.

:

Por LZ I

rrBrr

gg5

71750

16000

@ trffiffi?,ffiqffi

:

x_

ejerc.i

1385 + 885

Hombres que habían en el primer ejerci

cada. uvw?

].., seEundo

Hbmbres que habían en el segundo ej erc i to SOLUC ION

el sistema?

Ns de hombres eR cada ejerci to

enunciado.

tendtfa el fiiple de Lo¿ que te quolwt.

:^esoJver

zjercifot ar pte¿e,.ttn bafatta autw.ban-r6r00.0 hombne,a, s¿ et pL&i ¿uíne BB's bajg a- 4 *s' úl l,us qle¡" ¡rhbíon is$at --

canL¡lnd. d.e honb¡e^r. ION

+ 6 = 3(8-6) ...(2)

B+z

3(g

ejuoirt

S0LUC

Cómo

(A) y sustituyanns en (ei'-

despejamos'

ooa

* tendremosque:

(1)

SACO S

m = C+2 Sustitufnnsen(t) : m+1 = 2(C-1) C+2+L = 2C-Z

qo

A+6 A

SACOS

... De (2) :

los resu'ltados hallados, con el

n, tendrá

B6

: Sqstituyendoen(Z) :

il'1e entiende hasta aquí? éCómo resolvemos el sistema de 2 ecuaciones que te nemos? De (2) despejaremos (m) y sustituíremos en (1)

Compruebe

de Jazmf

que

De(l)

, Si el mrtl o to¡nasé un saco del cabal t o , €l mulo tendría : m + 1 sacos y al caballo le Quedarían' : C 1 sacos y secumplirfaque : m+1=2 (C-1) ... (1)

+ Si:

6 caramelos

guedarán

Hasta aguí, estamos de acuerdo éNo es verdad?.

De

:

5-C ,r=g+2 y C = 5,

Jaime recibe

y a Jazmfn le y se cumpl i rá

meses l

e pa§arfan :

g pqgarán (240+8)

(

240+g

/L2,

) so] es ,

iDe acuerdo?

esto quiere r-

decÍr gue por 1 n¡es

t

)y

' r.l ')

i

)

)

bs'ln

' -^ por g *

mes

le T;;:r': [ir8l, i ,á'20+s)

sol

es, esto (uiere

z-\

W

viendo

'lrrui.il

+ ?!?!o 1920 +

BJ gB

480

$reo bte

a)5

',L#irrÍ;rtrwá;00ff;".

r,':donde,

.

i=;:

!g1.e7g¡emos.saber

(1) :

.=

ii .... Iii

,,,

....

jff:r'r.t ,'..^,, _:: c : 20 r L.E. =

24 C +.ZO

ü!l;r*nr" I

mul

t!

mayor.

'

8

van

rt

ftu *

b)

-' cl

$r. b) d) 3r o a) e) Absurdo

Á$150/"

(3)

han de en.trar¡ reemptaza_

b) $

r20

c) $ 100

d) $ 80

e

)

Ni nguna

Si me regalisen a so'l es, lo que tendría en tal caso y'lo que me qued'a-de que perdiese b soles, estarfan eh la misma razón que los núnreros rrmrr y ttn", donde n rTa en,,caso

\ .--an+bm '

b

n+m

) an-bm n+m

.

c)

ffiu

yf

#

e)

N.A,

Entre A, B, C y D tienen $ 20,000.=. B tiene e'l doble de 1o que tiene C, A a su vez poseé $ 1,000.= más que B y D tiene e'l triple de la di.ferencia entre Io que tienen A y C. La ñayor cantidad poseída es :

a) $ s,ooo u) $ a,ooo c) $ 6,ooo

y' $ s,ooo,'", T;Í:i.tienen

Entre 5 amigos pos,een $ g00.=. Ricardo tiene,el triple ae 1o que tiene Pedro, Juan el triple de lo que ti.enen juntos..Guillenno y Jqrge, Pedro tiene n yeces lo qúe tiene üorge, Ricardo entsntcs tcndrá :

.) J:to .gu-e-entrarán 7Z ! cua.lfgnÍfica n tos cie ingl és únÍcamente I i bros de cas tel- J- 5"v ano .

j,f,

o)

4*r?

.)

#*

d)

,:.

podrán entr¡r?

al

diferenciando en "x" unidades. Jaime toma 5 "plutonianos" consecutivos el menor de los cuales vale "a + b" y el sumarlos obtiene 8 veces el va lor del que le sigue al primero. iCuánto vále "x" ?

dl

."':-';":'

"uro''(ii-á'r"rii?0"'"ir?!i'i,diri.iji]3§ E',

manera quc

a1 principio? ,,

c+IsI

o o l=12C/S a la pregunta :

para responder .¡hora La iongitud del estante

el

tal

del que es mayor que el

Juan tiene cuadrüple cantidad de soles que Luis, si Juan le diera $ 45 a Luis ambos tendrían 'la misma cantidad. En iotal áCuánto tienen ambos

C

il,j: **ij

2tr,qa*ot-';

I

roayor de 3 números consecutivos de

b)7

a) 3r. + b)

..,,* ", =, 24I c + 2o r : :; :] I;ffi':::. ,..n,.ni",i;;,;:#,lH:::;::,:ff -+

60 niínutos

e) 64 d) fr., Se l'laman números "plutonianos" a aguellos que consecutivamente se

=g

:

= Q)

ar el

PROPUESTOS

icarlos entre sÍ se obtiene 63 veces el valor

menor pero menor que

ra ronsitud

(i)

lrEMP0:

p1

= =

o. ,rriir,.

PROBLEMAS

Hal i

=

L.E. = Longitud del estante. EJ espacio que ocupit I .li.bro de castelJano = EI espacio que ocupa1 tibro .SOLUCION

G.

a

in eafintz to n

'iLtr:fr,hitr"h" S,

i.norerros-:

ru_!: %+

:

Ir

)

r que por

Lo que recfbe en 1 mes en eJ primer rec Í be en mes en er s.ürioo";;$] c?so tiene que ser igual

l

Resol

decr

.Ay^.10,

'

3üü I

F.. darcso'

En una fábrica trabajan 35 niños y 155 adul tos qui enes reci ben 26,?44 soles por semana de 6 días de trabajo. Cal cul ar el jornal de cada uno sqbiendo que el jornal de un adulto es igual a 5 veces el jornal de un ni ño. Dar I a suma de ambos jornal es .

a) $ 32.50

@H señor por

b)

$'35.20 c) $

compra 35 metros

lasuma de

de dri I

$ I,441.65.

32

,

fl

28.40

El prec i o

$ tz.qo.i e) $ "3

mts. de paño y 25,ntJ u* sede un metro de dri I es- 1q, cCor'

ñr.ü.,

,ili ts

SCAR ZEVALLOS G;'

,

154

ta parte del Precio to como un metro de

de un metro de pánó y

uno O.

PEño

y

un f[etro de seda cuesta tan-

tt?l,iúl.os,

zCuál es

el precio

a) $ 28

de

un métro de paño?

b)$26.2s c)$25

a)$5.'s

d)$30

15 soldadores, 18 mecánicosy 4 lavadOres'

ta'lle¡

donde laboran a $'1,81s.40. y ü ;i";iii; .riáliá álñLili"-á.-ilüi de lo que-gana sextuplo óó i"ñ" latraceavapa"tá'áát En un

adertrás un mecáni-

un soldador y'un .tavadór gana gana un mecánico que de.ló la Aoceavi-pirie-áii-quintuplo : rán bi reci trabaio de por días 20' sór ááoorei 15 t-ós $ ,22,620

a)$??,Ooa b)$?6,220 c)$22,260 d)$2'260

(fi\v

representa a

cantidad de

d) $ 340

b) $ 300

e) $ 160

Si por equrvo En un corral hay cierta cantidad de coneios y.gallinas. fñsucedrfa q' diñrersamente, \-7- ;;.;;.;;;iisl a las sallinas que ahora tendrfa, disminufdo en "omo-cóñejós iñiraies

eI cuadruple á"i nüñ.ió'áá 76 me darfá .f-"Orá.ó'ioti¡-0" patas'que'habfan. iCuántos

,

coneios ten

go en realidad? a

)

i,l

I

b)

76 coneios Fal

tan

Datos

e

)

c

38 coneios Ni

)

28 coneios

nguna de I as anteri ores '

de mis pelotitas ten: i:?::^l',lu:,,::1""::il::.0:: ll,l!,09'3 ;fi;;.r=t u-,ni irá- cáñtiááo'áequeel I as? .ñ si te re di *lb una de oso I Es c i erto I o iuan : i Que curi ';i"i 9i q.: ¡ Pero qge qug tendffa. i 11a,-,-fre .a ronar.el dobi-e'de laS as de e' -yO tendrra vo ¿óbi r !g.ii;; ; iá,,d. el i #=r;;L ' ' vend i eü'amos todas : si p"to i d nre iuit l' iüi;;i; [i.n".n ü;:.I Jo rge una' icuánto recl

Jorse

-

1

A:

T::';.i;;i¡]! il;"b"I.m; total b'i

ríamos en

:lesponda Ud.

a) s 6

lr--Q-A-^

-a-

?

por Juan

b) $ ls

Laura le ,Jice a Rocio Rocio

á 2.50 sores cáda

l.rálc

^-li^.r^-aA-

le replica

JÍ

."c

60

)

d) $ 2A

e) N.A,.

"

soles' El númebilletes de l0 y 5 soles se pag6 una deuda de 280 10 so-üiiiái.s-¿á-5'ssles excede'eñ A al númerc de bil'letes de como si los contáramos soles de'lO "á"¿é idñáro. Ies. Si los Uiii"I"i.qrá -iQue dinero'tendríamos? a) $ 280

úÍ'_

b) $ 68

(í})- Se tienen $ 82.= en 2 grupos de npnedas. En uno hay monedas de 1 s^I \'/ y en el segundo hay monedas de 0.5 solgs. Si del segundo se pasan a! primero-12 monedas, tq! 2'tendrlan igual valor. üCuántas monedas I'ablan inicialmente eh el segundo giupo. e4 monedas b) 47 rronedas c ) 35 monedas . {, td 82 monedas e) Ninguna de I as anteriores ) Se divide N,ed 2.parftes tales que, La primera A divida por x, menos'la segunda ¿'¡li¿i¿a por y., resulta Dr Determinar-cuá'l dc, ias -expres iones

Con

fuesen de 5 so'les.e inyersamente.

@

155

ECI'ACIONES

N. .

; b) ,(* -

+ A.=

Ñ

-

N

A=

D)-A =

'-e)'N.inguna

de

c) v(f +

N

D)+ A

=

N

las anteriore:,

* José acaba de regalar tantas veces 5 centavos como soles tenía en eI bolsillo quedanddlé 39.= * Miguel.ha regalado$tantas veces 35 centavos como so'les tenía en su cartera quedandol.é $ t69.= iCuánto tenfan entre ambos inicia'lmente?

a) $ ?60

b) $ 3oo

c) $ 40

d) $ 18p

e)

N.A.

Una persona compra una canasta de peras y otra de ma¡rzanas con ígual número de frutas cada una. La canasta de manzanas le ha costado $ 15 ñenos que la de peras. iCuántas manzanas compró si 5;eras valen tanto cormi 7 manzanas y en conjunto 5 peras y 7 manzanas vaien 7 soles.

a)

55

b)

los

P

75

d) 57

e)

65

Entre 4 hemanos tienen 45 soles,si.al dinero del primero se le añade 2 soles, aI del segundo.se le quita la cant'idad que se aumento a1 primero, se dupl'ica el dinero del tercerr¡ y se hace lr.inverso con el diner.o del cuarto, resultará que todos lrendrlan 'l a misnra ¡antidad. El que más tiene es : .

e) $ 6s

c) $ s0 Si me dieras tendrfas

1

a

uno de los caramelos que tienes tercera Parte de 1 os que Yo ten--

a

) le

b) 2e

c)

3e

o) 4e

e)

ll .A.

señorita duda entrré conprar 360 cuadernos o ¡rrr el ¡rismo precio qs Iápices y 45 lapiceros. Décide comprar el mismc, número de artículos de las 3 clases. iCuántos comprd en total'? Una

a

)

13s

b)

180

c

)

190

d)

200

e) r20

Sobre un estante puedo co1 ocar rra¡! I i bros de H'i stcr la o rrbrr I i hros 'ls Ingl és . Si estando vaci ó ei estante se col ocan ¡rmrr I 'i bros de i ngl é', iCuántos más , d€ Hi s toria pr¡edo col ocar? ,

.\

b-m

lm-h\e

r^ L\L

)e

t5r

))

))))) OSCAR ZEVALLOS

:

G.

ECUAC

I ONES

Se tienen un montón de 40 monedas de 10 qrs. cada un,a y otro de 24 mone das de 15 grs. cada una. De1 prirnero hernos pasado al segundo cierto nl: me¡o de'monedas. y de este otra cantidad al primero.resultando e1 peso-l del primero excediendo en 40 grs. al triple de1 peso del segundo. Siii en total se han trasladado 22 monedas. iCuántas se han pasado del se-., gundo al primero?

a)

\ZZ)v

b) 22

6

c) 11

,J)

16'

e)

o,o

irYZ"r' Yi:^:,?', do Ql c(,mo ^1"7,,I2 con nz'b?zcto a )?;'aytfe.n,¿oi mcLLjcttt i'0' ;; va Áiuo,"ta'ilu6 bi,olL6n de oPLni6n?

10

;"

tiene un rnontón de 89 monedas de 10 centavos y otro de 38 msnedas de 5 centavos. Estas dos clases de monedas pesan respectivamente 10 y Zs grs. iCuántas monedas deben pasar de un montón a otro para que los mon tones, pesen igual sin variar, el nrimero de monÉdas de cada uno de e--a

(A)

Ios?

)

b) B

10

c) 6

d) 4

e)

qir!?: , p€pres.entando ,;;o l.,no, hay dos una be 'el J as ' tendremos s ucede án- ca¿á

vdtan = favOr = Ng de=personas a

Ns de Personuf que

= Ne de Persoñas. en éontÉa

2

i

entregarle $ 8,000 como compensación a1 gerente de la com-; pañía. iCüál era su sueldo mensual en un nuevo trabajo que se ha conse guido. sablendo que supera en un 50% al sue'ldo anterior?'

a) $

1,600

b) $ +,ooo c) $ 3,800

I/

$

+,soo

e) $ 4,800

JB)

votan =

Ne de Personas que

a) En total, ha perdido 400 so'les. b) c) in.total, ha ganado 400 soles. d) e) E'l enunciado es absurdo.

total, ha perd'ido No gana, ni pierde. En

600 soles.

¡;-:ooo x

De

2,000. Además se sabe que e1 número de las que fa1 'l ecen en la ciudad "A" es'igual al número de'l as que na-cen en la ciudad "B" y. las que fal'lecen en esta es igual ai número de I as que .nacen en rrAr¡ . ¿Cuántos mueren al año en I a ci udad "A" , sabi endo que dentro de 10 años su población será la cuarta parte de la que tenga rr Br¡

cada una de'las dos ciudades es de

1

,100

b)

1,200

c)

1,500

o en (1)

d)

1,300

e)

.

:

2(600 =7I

2x)

"

D'e'donde

:

*t

.. ..

Pa

rece?

(1) (2) St.rSt i tr-¡ ir

(600

- 'x)

I - 600 = 2(6oo-2x)

- 4200 = 14 (600 2x) x = 250 + iCómo así? y=400 + #

16(600-x)

1,400

c

:

No I e

elSi§tema?.i.De(2)despejemosllyllpara

zt?{6oo-x)

.(1)

a favor. 2,\ *r

600 i.

?Y - '600 =

y =?

:

que

*

:

(2)

SOLUCIoN

c'L¡e

xf6oo

(mayoría)

- y (mi noría ) de: y-(600-y)

60#r 'iCómo' resol veremos

1o

*

6Q0

.De acuerdo a las condiciones'

'l

(r3Se tienen dos ciudades "A" de 15,000 habitantes y "B" de 10,000 habitan v tes¡ l.a suma de 'l as personas que nacen y 'l as que fal lecen en un año eñ

)

600

=., Ne de pefsonas en contra difereñcja Se ha ganado p r una

.

noría)

- )s (mayoría)' estuv i eron en contrq

y tLsdápEtsonas afrvor = "600

Juan va a'l as carreras con $ 2,000.= y cuando está perdiendo las dos terceras partes de 1o que no perdía, apuesta la mitad de 1o que aún lc queda y, cons'igue tripi icar 'la cantidad apostada. Entonces :

a

(m'i

x

se ha PeYdido'mál'qet::li: di ferenc'ra Se nu-ittái bo Por una

:

al sebrá i camente

600

Como

Marie'l a trabaja en una compañia en )a que por 1 año de labores 'l e prome, a")v tén pa-oar S 4,000 más l televisor a colores', a1 cabo de I meses elll;l se retira, y como pago le entregan el televisor a colores,pero como el valor de djcho artefacto supera a lo que ella tenía ganado, se ve en la: 'necesidad.de

fAv

,uot:tL1:.!.:^loo^^u^lnoliX^^^rl

^\'r11i,o'6un"'á|;;: ^ome.Lidtt iii"'i:;; ,:"::".Tü';,;4;;7.::*i*",^20:"" nItT' ,i:Á1',¡,' i: iiffii' uur o-rl"2-{T4'i;:i;:1t eL potL o"T.o^i:i":lf¡i'0"7'1^ & ^t 2oouÍ" cabo 8 eL

Se

'l

a.

/ou6 {oL'

Sea'el número buscado

: N=

á6

OSCAR ZEVALLOS G.

158

* *

Dividamos a5- entre Invi rtamos á5-,

la

suma de sus

cifras

y di vidams entre I a suma

Por condici6n tendrerrps

Además

'-

r + s6 :(*)(#)

'

E

CUAC I ON ES

r59

e5' Apl

a+b

icándolo tendremos

:

de sus cifras

=ab =

,.v \? = x T .-y+ yz = (

(1)

xy=+

v=+

i

y 2 incógnitas

Ya que tenemos 2 ecuaciones

Des

componemos pol i norni

cament;I10a

+

o

oo

Reempl

azando

(3

t-r¡r

) en (2)

:

(+

ba=

i

En fugdn de ta, f,eú.dz ael Uao ,,a

:

* *

I amemosl

SOLUCION

:

v x

despejamos

5l)

= =

más pequeña medi

rá

longitudes vienen a ser como los perÍmetros, iDe acuerdo? ... Entonces en cada caso podemos obte ner el I ado del cuadrado respecti -

x

4

vo.

,

Area

Ias relac'io

=

(á)z

ancho

Por condic'ión

(í)z

del problema :

ar

Áf =x+y ,=;.y Notemos el triángulo rectángulo ABC ,al I í r €stán nuestras i ncógni tas if,s¡s-

=x =5x

entonóes

Ambas

81

+

81

a parte

81

dato ninguna condición entre el largo y el ancho = v I argo = x es entonces :

cemos alguna propiedad que

:

seá"'la parte más Iarga de una longitud I

t I El camino más largo es : AB- + Bf = x+J Pero Jaimi to sol amente cami na por A0ahorrandosé 1a mitad del lado mayorr€s deci r : x/2, entonces habrá cami nado : Querernos hal I

ar :

Un i¡ozo de aldnbtte de. 5 en¿. ¿e co¡,td. en ? pan-tu de tot nqnut-c. quo- el uli-dJu.d.o qüe ¿e {oana dobland.o una ¡wtte t¡ue.¿ ve-cet el A,ret. dct i,ra.l dta.do clue ae dobtando ta ot¡a puf¿. La Inngi.tul, de Ia. panf,e n6t Illr4d, ea : $onnw

No nos dan como 1

*

Como querernos hal I

d¿ Lod 2 Lado¿ de un nec.tlfirgu.lt, Jd,inional ahoutttdo¿é atí de canÜran 20. nitdd. 6n enÍn¿ el kno nerlol. q el 2.ano naqorL'

del nu.tátEuln.

99!UCI0N

b)(a + b)

10b a = (a + b)(a 9a 9b = (a+b)(a 9(a b)= (a+b)(a 9= a+b ¡a\ = á5" )( -¡t 5a

s

= (a -

:

b

r\r Fi nalmente

resol vamos

yZ

A2

(2)

l5'

+ v?

^2 x? +

x

2

16 *? 0

Resol v j endo obtendrernos

:

*1

t+ r

x?

üCuál de I as

dos

es

I a' 'res pues

= 100-40x + 4x2 ^2 = 3x--40x+100 = 10 cms. = g3vr cms. ta correcta

?

))),)

)r 160

G.

Un gtupo de abelas igruX- a Lo, za.lz cuad,¡a.da de l¡. m,ttad de f.odo et ujambte , te poa6 ¿obtte. ei¿nl,a (Loz dziando a.LnÁt.0. Lo¿ B/9 d¿ fuido et

enjanbtte. S6,b una nevoloteaba en totno a un Lots afnafta rtoh el zur bido d¿ una de aut arwLgat. ¿cu-6.ntaa abela,s $oatian et eijanlbnzt

SOLUCION

* * *

:

LJ arnemos

al

número de abejas

Se han

del probl ema : posado sobre cierta flor ,

Quedan

atrás

'-

tota'l

x

Entonces

Una

revolotea en torr{o a una am'i ga

Si se suman las partes.

:

Para resolver., agrupenps en

un rniembro a

Ahora el eveinos

al

oJadrado

las cantioáillt'i"i"ülánia¿ás

cal

:

;;eH;'róiiió áá oiro - En Filosoffa : Empezaron "Y", la deiar6n 4 y luegoy'vinOSuno "'(1) Quedaronentonces: y-4+1= a ella - En Economía : Empezaron (+ - y) ' I a deia uno y dos vieñen - Y - +Z=+ y+1...(2) Quedaron entonces t + y 2 I a dejan -En psicologfa : Empezarón f' 4 van a ella * 4 - 2 = á+ ? ... (3) Quedaron entonces t t 1

¿

Finatmente igua'l amos

zxx2 m + +4 2 72x+648 B1x = 2x Dc donde

0

:

Resolviendo obtendrernos

=

r *i = 18

iCuál de 'l as

y

dos

*? =

(1), (2) y y-

:

) Zx- -_ 153x +

j,:Íl

:

os que no conti enen radi

:

Lo que a s u vez s e conv'i erte en

=X'

iii,.ió-oi ;i,,ñ; riili'"i-ü;;-;;i ;¡i:'.íl,i:§H f;.'ltffiH'o: que se tnnliilái'i..ón' menes ]os a'lúnnes iDe acuerdo? Entonces : curso

2

/TBx^x '{z= T--¿ /iX?, {z =g

resolviendo Economfa

Cgnpe.tfinalresuc]vencadaeurso].amismacantidadde^alumnos'hallemos.las in'iiiiiréntá. iA qué será isual el

=x 1

=X = x/4 - Al umno s reso'l vi endo Pstcol ogía otros Cursos : x T = T Jos - Qui ere decir que estarán resolviendo --y , - Al umnos resol vi endo Fi I osofía 3x

en base a

1+1=

z

:

Inic'ialmente : Sea el número total de al umnos

SOLUC ION

T

:

G ++ +

ECUACIONES

- Es decir que, alunnos

iQué se obtiene? . . .

Entonces sumando obtendremos

'

€

8'

,

It, -

)

)

OSCAR ZEVALLOS

(3)

3 = + - Y + 1 = +- 2

como Este sistema de doble igualdad puede descomponerse -)

a^aaA

¿uomo

asr I

y?3 = +-y+1 y-3 = f +

649

?

72

es I a correc ta? 2?.. iPorqué

?

dula, laq úe,nfo númeto de afuntwt quz utat¡ nuolviudo ¿ul exá.. m¿nu d_e. FiJoaodía, Ecovwnia g ?ditoLogfa, Lot analu viuen inpnuotEn un

De

esta última

SustituYendo en

(4)

A' su

vez

:

Finalmente:

.

(1)

..

(5)

.. .

5

:

f +5-3 t* 2

en uadenwLhoa t epatadoa,

M nomento de empezan It

ptueba, unoa enpiezan Wn FLbaodfn, ot¡oa -pon EcorwnÍa g Lo- cuntvta pate del total pn Pticotngfa., -?oc.o dupuu ' 4 de eliot dejan La. Fiboto{í.o. pon ld P4ieoLogf-0., urc deia ts. Economf.q, Wa La Fi,ln.to(Ía. q doa dejan la Piittlogfa pott t¡ Ee¡nonfd, con Lo auL nexúta que tetuelven tantoá Filoao(f-a. cono Eeotunú.o. q ttntot Eeo nomí!" como Ptl[co Lo gía. En'el auls. adend¿ hary un vigi,t-attf,z. ¿CuÁ,yttot p?Jttonaa lwl en to¿sl7

Y=t +

:

:

=

=

+-t-5r1 + , -4

üQué he hccho? - 16 x= 24 al tmnos . icuál es? t será ésta la r€sPuasta f i nal ? tNo?

X+8

=

2x

df

T ECUACI O¡IES

OSCAR ZEVALLOS G.

162

Representemos ahora

cie¡fo nfute¡n d,e me,ttor de tela en urua orri "m" . s¿con cÁna. ne.tsto lwbiele cotttdo 'ta.tt rcLet meno6 áe hubie.nan teruido

@

S¿ lwn eomptado

It

müma Áwta "b'r ne,t¡to¿

§Q!=UCION

:

rn6^6

.

ni

cuánto

Ne ha costa

las

Ns de pares de medi.Es bl

¿Cttfrnfot nel¡o¿ áe eonpnanlín?

No co-nocemos cuántos metrcs se han comprado, do.cada uno. EntonQes :

163

-

de pares de medrlas Costo

N" de

mtros

x

|

:

c/metro

metrt vale,"¡" menos, valdría, Se habrían comprado "b" mts. más

Si

cada

Como

ó¡ : Es decir '

= y l(H, l4ts. comprados)(Costo c1nts.) = Gasto Tota'l se ha gastado 'lm" so'les tendrenns :. (x). (V) = m ...(i)

Costo dé Como

comprados =

el

gasto sigue siendo

eI

= =

ci

co.n.Ci

xy

ax +

by'-

ab

\r" m- ax + b * -ab =

0

a*2*ab*

=

0

en

S0LUCION

:¡

if$(il;'

=

lr{rc + x) 24 +

3x

I6_pqrgs de JLnE.li as bi ang.gs

.

nelao

a resolver el sistema,

?ROBIEMA IJ9 6.

ica que estas

¡,

,tV

Representándoi

vol ando , si gni f

Als

Representan-

nls la segunda, en cada

iW,

'nn ",, r:;-'..-:, La,, ,n, 'Palome6 l'aq "d

Lona

:

En

7.- ,rtrir"

=

En url,a- ela¿e ,s¿ colocan 12 d¡AaLptúoa uL ceds" banes- A ^o bnan 11 d¿ ello¿ t QuL pulnen.o.cun de. piei püLo L e. d,uyto^i Le eflcuen nzn 15 zt1" cz.da, banca,, Ln L0, ú,Z-tina de utÁa t6lo l>ts-n 11 . ¿Cttfi,ytto¿ a,Lunnod haq? .

PR)BLEI$ l,/s 5.-

173

)

(2)

a

s'Lucro*

:

;ffi."",

ff*uz

-':"il.lo::':"1: !!ii'roi|.'l}ill'.1i1: : ái-.uu¿raoá'- Entonces li:ó":':ltl§"'li[l?: iili'"i";:;""no

Nuestra'incóenita.principal

OSCAR ZEVALLOS G,

174

Inlcialmgnte

175

PROBLEMAS PROPUESTOS

:

Ne Rosas

Entonces :

por

Col umna

=

Ne Rosas necesarias para

(n)(n) =

Ne Rosas por pl

Flla =

antar en todo

el

'

La Seounda Vez

TIEl,lP0: 25 l4inutos

n

cuadrado

':

n2

Como'le fa'ttan 17 para completarlo, entonces en realldad tendrá

n2-',t7

:

.....(1)

Entonces :

G

a repartlr'los caramelos que tiene entre sus hijos, si'les a cada uno le sobran 11 y si les da 6 en lugar de 8, le han de.so-brar 37 caramelos. Del número que representa e'l número de caramelos que tiene la señora, la. suma de sus cifras es : Una señora va

da

I

a)

6

:

por Colut'nna = Ne Rosas por Fila = (n-1) N9 Rosas necesarias para plantar en tOdO el CUadrado : Ne Rosas

('n-1)(n-1) = (n-1)2 -Como I e sobran 56, I uego de compl etarl o ' entonces en real idad tendrá (n-1)2 + (

ECUAC I ONES

56

1) y Q) nos dan I a canti dad de rosas que ti ene, nz_L7 = (n_1)2 +56 . nz - L7 = .nz - 2n +'1 + 56 2 n = 74

n=

Las Rosas que tiene iCuántas serán?-. .

I

.

(2)

i guaJ andol

Un número de 2

:

37 Rosas.

as obtenemos reempl azando r¡ n, en ( 1) ó en (2)

I

d,)

13

i

e

)

1,1,.

A.

cifras se dividen entre el rni smo número pero i nvert i do ob y de resto Ia suma de las cifras del número que

hace de di vi sor.

aumentamos 200 unidades y )e dividimos entre e'i antiguo dividendo,obtendremos 'la mitad del cociente anterior y de resto 2 unidades más que el sextupio de la suma de cifras de'l nuevo divisor. La diferencia de 'las cifras del primer dividendo es :

Si ál divisor antiguo le

e

b) 4

c) 63

d)

7

La suma de 2 números es 1043, su cociente es 27 posible. La suma de cifras del Dividendo es :

a)

1o

, c) e

$t

d)

6

e)

y e'l resto e)

5

es e1 mayor N.A.

Divido dos números entre sirobteniendo-43 unidades de cociente y 39 unidades menos de residuo. Sumando los 4 términos de esta división proce do a dividirlos entre'la suma del cociente y residuo anterior;obtenjendd un cociente que es excedido por e'l primero en 6 unidades y un residuo -que es igual al producto de las cifras de1 nuevo divisor. La suma de

cifras dél Dividendo inicial es : b) 1s c) 72 a) 14

-0

4

teniéndose 4 de cociente

a) os

c)

tt

d)

?L

16

Acabo de terminar de hacer una división. Procedo a mu'ltiplicar.e'l Dividendo por el residuo, dividiéndolos entre divisor inicial, el nuevo cociente queda multiplicado por e1 residuo que ahora es máximo y que excede al inicial en 20 unidades. La diferencia de cifras de] divisor es:

e'l

a)

2

b) 0

c)

d)

4

5

e)

3

Tengo determ'inada canti tad de cararnelos que voy a repartirlos entre mis hennanos. Si 'l es doy 10 a cada uno me sobran 6, pero si les doy 12 a ca da uno al último sól o podría- darl e 3 cararnel os . ZCuántos hermanos s0; frlos ? .

ils

b)

7

De un grupo de caramelos

c)

d)

4

retiro

5

56

e) 6

y el resto los reparto entre

un grupo

de niños a quienes les doy 11 caramelos a cada uno, menos a1 último a -quien'le doy 15. Si antes de repartirlos retirase 20 caramelos más ahora sólo podría darles 9 caramelos a todos menos al último a quien ahora sólo podría darle 5 caramelos. iCuántos niños hay?

.}t)

Jc, ,\z-.[-Js

I

a)

75

b)

11

c)

§ 6

s

e)

)

F.D.

Eduardo razonaba

lu siguiente manera : si a mis arumnos ros hago tar de 2 en.Z me 9.fal tan 3 carpetas; pero si los hagó ilür" de 4 ensenq 'me fal tarían 14 aJ umnos pai"a que en todas I as carpetas hal I a el mi smo número de el I os . iCuántos s uman el número de carpetas y de a'l umnos ? a)'30 b) 18 c) 52 d) 44

t

do

36

lleno de naranjas con .tas que

__

aI distancia una áe la otra tanto a la primera vez que 1o intenta, 15

o poniendo una menos en cada éenti_

le faltan ren ni Ie falten?. o) ra e)

na¡anjas-que

5

para que

pue

xl

rzo

Problemas sobre reloies a) 257

b) 241

c)

226

d) z}r

e)

242

posibles. GRUPO

A

Veamos:

:

PROBLEMA 1.

-

Hace ZQué

ya 45 horas que un rel oi se adel anta 3' cada 5 hrs . hora señal¡rá el reloi cuando sean en realidad las

8h 50' SOLUCI0N

3

LLdAd áe. ta

¿Qué tllJrf,a.

Ud. en uno" ¿ifinciín ¿eneianfe a lÁ. de,,suuta? ..

Hal-b¡Ía atanfot mivutf,oa lleva adettntado el agne4atÍ-l, a 14,6 8 tt)rA. 50t . ¿No eA vüLdf,d?

Eytff,nceA dinanoA

:

S¿ eyl en

Lue4o

:

?

:

EvtÍnncet a Laa 8 lL 50' ,

:

SlL 45lL

n:elo

i

,

.

U ücha can

od.llrufo. 3'¡ ^e anQkntüÁ. x' ^e

x, = 45hx3'= Zyt 'AOELN'Í!2 H0R'4 MARCA?A = H2RA REAI + tetdnenod :-5r t, ,t ,,

= ?lL 50' = hll 771 = gt'L l7l

+

27'

I/8

OSCAR ZEVALLOS G.

PROBL EIqA

'N9

2.-

Un rel

se adel anta 1 mj nuto cada 15 mi nutos . Si ahora 20' y hace I horas que se adel anta , I a hora

oj

marca 1 as 4h

P

ROBL ET'IAS SOB

*

¡

el wumüado,

Sl, ta entendi.do marLco.

podemod covtocüL La

b.

nota¡t-á. QuLtcovwcemoá

eilcúafi ú adekytf,o Itona neaL. VeÁ2rt Ud.

A podwnoa

que

lrcn-a. que da.to¿

lleva,con tn[.e,s

= 4lL 20' S¿ uL 1.5,

t

á2 adelan'ta¡'d' x'

F¿noln¿nl.e.

PROBLEMA

:

-

=-

=%

x,

l,

á¿ adelanfn

3zt |.4EDIDA

= HORA REAI + A?ELANT? 32'. H?RA REAL = 4l,L 20' , 3tL REAL HORA 481 = H0R4 I{ARCATA

ANG.

Es aquel c uyo

= =

CENTRAL

m

nOC

La circunferencia

del

re'l

MEDIDA DEL ARCO CORP,ESPONDIENTE

^ mAC

oj,

como Ud. sabe, podemos conc1

as que en total ocupan 360o , cada di vi s'ión I e corres ponde : I

reloj marca la hora exacta un dfa a las 6 p.m. Supo-niendo que se adelanta j minutos cada LZ horas a partir de di cha hora . ¿Cuánto ti empo pasará para que rnarque I a

N9 3. -

-

vérti ce esta en el centro de la circunferen ci a y sus I ados son dos rad'ios de e'l 'l a. Ta1 ángulo, es en 'l a fi gura el ángu1 o A6C . Notemos que entre I os I ados de AOC, está comprendido el arco de circunfere,¡cia Í¡, a tal arco se 'l e denomi na "Arco Correspond i ente" al ángul o nOC Podemos dec i r tamb i én que :

3

en 8fix60 = 480'

179

ANGULO CENTRAL.

correcta es:

s0tucl0lJ

RE RELOJES

tiene 60 divisiones u

1'r

,

€trtonces

,

, que a

Un

3600

6

0

¡ifT.

hora exacta nuevamente.

d'i vi s ión representa 1 mi nuto , tambi én : a cada m'i nuto I e corresponden 6o

Pero como sabemos, que cada S0LUCIOI\J o-,Ldn

3

Pana que

del

el

nelo

hottolt Lo A

j

müLque nu¿vamenf.¿ IÁ. ho¡n exae,ta, 8A m¿nerStüL

mirutfüto, volvelt a

A püu, clue e,llo áe.a ytotíbLe

tA, u deein,

Lo!

el

hotu¿t

io

ocupa¡L ru¿vamevlfe. I-a" mi¿ma po 5¿ t¿nd¡t"d. que do,rL uvtf, vuelfa cnmplz

tendnd,n que Ltuvaat¡¡in 12 honn¿ d¿ adelanf,o, t¿vtd¡tÁ, gu¿ adefu.ytfwue : 12h x 60' = 720'

Evltoncü deerutoa

:

Eytfonctü

Ltottt¿ x hono¿

S¿ en 12

ztr

Luego

hemos de concl u'i

áe adelnnta

x = !20'x12h = T tendr¡án q.ue Wan 2880 ltona,a, 6 : 80 + 24 =

I 20 di-a.6

7

201

1 Divis'ión

=

1 m'i nuto

=

60

Para pasar de una hora a otrar 0l horario tiene que recorrer 5 di visiones mientras que el minutero ha tenido que recorrer 60 divil siones¡ Podemos entonces decir que por cada djvisión que recorra e'l ,horario, el minutero tendrá que recorrer L? divisiones y podemos entonces escri bi r que :

.

ESPAC

tendremos en cuenta que

IO

RECORRIDO POR

HORARIO

].

T

vez sea necesari o acl arar , gu€ el Es pac i o recorri do al que referÍmos , €s el arco de 'l a c i rcunferenc'ia del rel oj , barri p0r e'l extremo de cada maneci I I a , durante su movimi ento .

Ta'l nos

do

6n entre el espac i o recorri do por el hora. iEntre el mi nutero y e1 segundero? Bueno, ahora veamos por separado, 1os dos t'i pos de prob'l emas . qtre ¿Y

tipo,

.

2880 hottat.

GRUPO B.

Para solucionar 1os problemas de este

en que

dee-tlt, Ql ne-

3t

Ee. adehvúa¡Á.

s

28

u

r

cuál serf a I a

re1 ac i ..

rio y e'l segundero?

se nos presentan en este grupo

:

Y)

)orrhn

lrroi,o,

r))

))))

lB-

SOBRE RELOJES

ROBLEMAS

t

^, BC = 13.75 üv . PR0BLEI'IA Ns

S)LUCION.

n

ento

:

4.-

irTur;l,ryr,

Ayúe¿ d.e

ann,. ),,Y

forman entre

si,

como ¿abenoá que eÁna.

las agujas de un reloj a

las

ta¿

oO

nuolvaL

hatt6. unsa

^Í:f,fftrr:f f

aelataeionu

:

Como

,á-

no

oo,

r,r,

ycqndo

* il^ff

de

PROBL

t

dd

ee

t

*-

I I

eneno^ c¡u?

t lmano,,s

te

¡

I

*

0

co^o

La¿

sin

hnllüL :

t

cc)mo honn-

de

tiL' tt,l^

= A

de nedenenüa»

t,?,_honari"]"io*

oinuno¿ evutonce¿ que I Zhom¿:

: A Wf¿tL

=

rn

d-cgurt^a. ob¿üLvamoá

^ ^

BC

BC G BC

que

^ = tSüv

EMA N9 5 . -

15

1T

to

-;

6o

saosst

= 82o30t

A

=B|JC

15¡ IÁa manee-t2ln¿ hacut etfne ptoceltnvLerltt?

iQué ángulo forman

th 15' ?

¿i un dngLrlo

entre

si las

2 agujas de un reloi a las

l

3

Haceno{

el

eA_

ó¿ywt a

de tn¿

fr

=

couLeApond,Letf.z

grt^6,{zceo

Hon-a"

de ne[e¡tucín

Hotu,

6inol

Tenemo¿ c¡u.e

U

: thtu. lFleclu¡

ha,UfiL: AOB' = G' :

I futt. E. d.et mivutÍuto = A' =

A WJtfrüL de l^at

E.

d,Qt

Adenú¿

rw¡usúo

3

15

üv.

d¿ La 6r¡u)tt

3

,m,

I "j.:.,i I z-i'.

,,\¡¡

A'B'

S üv,t¿.tbngL.

A

A' 9,

i-.',

.-ii

i¿ , r.4:: ,

..'

!::

'l'

^^ 'M' = AB' -\-7E -\r= 30 üv. - íi üu. tv' 345 aLv. ,o

del ángutn

6otunaio

A6B'=

n

r,r

= TT

.

r:. ur..



[: :J ri"

' L?t k=5

n

R.

=

+

1

c'tk = c

E

k

1

,,.,Í

A

n

k

:f,

ak

:

1

..{ .t

'.t

k3 = 63 +

n

emos comprobarl

+.

o?

[ ?k - 1= k=?

C.uk = Car+Ca,+ga3+

x

.k

L2

L

,il

52 + caso en que

E

del índi ce de variac'ión.

no depende

3

á1

'i

or que

...

I n it I .:l

+ 9un

i.f

'¡§

1

.,,t

rf

l

n

I

+

=

c(

)

^t

.¡

f

I

k

puede haber' v í stl , .cada, térní no se obtíene reemplazando I os ya Iores gue í" o "ktt, Ios indíces de variact,ón, iiyin asumiendo. Escriba Ud. en forma explicita : 10 ,2? 10 a) r a.i (6-i) e) r i) i2 + 3i j=1 i =q1 i =1,3 L? 5,' 5 ;. ak ,- ( k+l) 2] b/ r) sk ; E i) Lt ir.=5 k=2 k=1 15 15 5 'i, i? g) E (k3- 2k) c) j=5 k) .'f, (ak-a[-] ) k=I k = l,

c'uk

s

.l

fi

Cgno

t

't

E

:

:

d)

10

t

!-t

'¡

3

h

)

a

.h .->E

Fi nal mente

(

1

I

esto?

t

n C

K=

I ¿

a

t

1 I I

10

a)

r k=7

b) r

k'2+' 5k)

k=

C.uk =

,lf

t.

i

Veamos a1 gunos ej empl o S:

i =3

l7

10

Suk

L ¿

12

8

,t k=1

I

iQué

t k=1

c)

a,

K

T

3

1

5k2

5,

ai

d)

t

77

k=8

krl

,:

1

i(

?i'

30

L2

6a.

t =8

':

\.,, L

3

(k2- 1)

=10

I¡

,) !,

9

tI

k

'1 ;t

ti

Ahora, dpl ique

PRCi,I EDADES DE I.AS SII,TATORÍAS t

Ud

.

i d

i

cha propi edad

..t

a

.: l

,! :t

a)

n

La Expresión

't

tk ' representa I a k: 1 k=lhástak n

mi

r,§ d

,

entra

s

que

E ar-', ['= R l(-

s

represqnta

desde

Ek,

desde

pr:im_era I

r

j =5

PR0P r

b)

10'i 2

EDAD (B

)

15

1B

c) r . k=5

r t?a, j'= 3 ¡

¡

-

a primera

'¡¡ _r

)

'¡

.;[ ¡

ii't

t I

:

,* n

k = R hasta

En real i dad I a segunda- expres i ón. es mucho más prrede\er que s'i en I a segunda. reEmpl azamos fl =

16

t a=(n k=R

R+1)a

,T§ +

Ji

¡

t

-r{ ,tE '-ü

,71

)))

)))

))

))

)))))

))

) 333

TORIAS OSCAR ZEVALLOS G.

332

Note

ak

Ud.

, ar),

que rra¡r no

número de

esto

s'i

posee

gnifica

índi ce de variación (como por ejemplo,

qug a rt' es un va1 or constante gue rr

veces 'igua'l al número

de

términos gue hay desde

195

-E k=I 195

si lo tienen

se esta sumando un' k = R hasta k = n.

E¡2 k=8

(2k+rz)

195

E¡2

n

Cuando

k=8

k=E1a= a + a + a +.o. + a (n+l-1) veces

:

;

n

x

k=1 Ejempl

os :

10

na.

k=

(10-1+1)(B) =

E8= k=1

Ek

Ey2

(kz+k+3)=

1-8 18 * ; (3i-2iz)= '' ' 3i E = 10 i = 10

B0

+

k = 10

k = 10

10

30

30

30

30

E

k=

10

18

:1

-2Eiz i=10

15

E ( 10 = (tS-3+1)(10) = 130 k= 3 )

Ahora, apl i que

n

¿Y

a)

a qué será 54

r i-22

E (n) = (n-5+1)(n) = (n)(n+4) k= 5 Ígua1 ? ,... f'

d)

36

'\

25

b) j=18 r

?4

': i =n

a)

2T

e) 'n;',

t

:,, ú-'

c)

j

x

I

32

=10

É:'

53

820

f)

¡

c)'i E = 15

(3k2-2k+2)

5

i=n+? =-í

18

b)' E k = 30

( 5k2+ 3k,

E

:

45

60

45

k=

entes casos 1a prop'iedad, a 1os si gui

Ud .

'i =Lz

,.

Io',

=

I

r¡

Veamos

a.1

gunos eiemplos

30.

X i=l

:

30

t?

il:I

..1I

=

E . arI i = 13

+

d:

I=I

PRoPTEDAD (C) n

(ao+b¡)

E

k=R

=

nn k:Rak+k:Rbk

30 E

i= 1 Si

hacemos

R

tendremos

k

i

ai

T7

E ..1

=

+E . i

d:

1=I

:

(ao+b¡)

1

=E

k=

n

a, 1

K

I

k= 1

bk

1

E

1=r ¡l

84

E k= 1

=

ai 18

54

54

n

30

j=

1

I - .^+

:-.{

=

(

E

k=

30

84

44

(tz+k)

1

E

1

kz+k )

+

(

E

k

45

k2+ k)

(i+6)

"(

{(

f

r

,'

t

,(

(\(

OSCAR ZEVALLOS G.

334

100 ' E

k= I

EK

I

kE

k=

9

25

E

k= 1

¡3

E

k

1

=38

t

335

SI,MATOR IAS

*n

tr00

37

I ,(

x k= 1

(k-l)h.=

k4-

nr+

-

0r+

Ahora, apI ique di cha. propi edad

a

lgt

siguientes

'k3

+

k=1

30

¡3

x

k

n

* E ¡s i=1 Zn, *xk4 i=1

t(i-l)

ti ,'l L =I

10

52

Descomponga Ud.

eh

Ia suma de ? sumatorias

103

b)

TK k=1

a)

cuaiesquiera, 'los casos sgtes.

2Ls

108

x Yz k=1

c)

33

(k3 + 3)

E

k=

E k2- (k_l)2

:

dk-1) ;

(E)

donde

ak =

3k

:

va

s

i mpl 'i f i

car todo nuestro traba

jo

si :

ones, Qu€ no s

.PROBLEIv{A ¡1e

n

k:n[tr

5

do Perf ectamente , todas Jas Propiedades anteriores?

util izarlas

tante que asÍ 'seE, Pues ahora vamos a

Ahora veamos I a propi edad que

t(t-t)]=un t(n-t)

va

na

l.

Perm'i

ti r

Oeno¡tna¡L

S0LUCI0N: Preste Atención

cal cu l ar

l¿=

b =

a* es e1 término que continua luego de a¡-r, iNo es verrdad?, por'lo tanto Ia diferencia entre el'los t ak - a1l_i) iQu§ r:epresenta? ..., así es, representa Ia raz6n aritmét'ica entre 2 términos consecutivos, q,ue como sabemos puede o no ser constante; por lo tanto, 'la expresión (E), está representado la su

Sabemos que

l+z+3+ oo-

Hagamos.

sultado está dado por la diferencia entre e] úItimo término (a-) V-.]--término. anterior al orimero u(n_t). il4e entiende Ud.?. ' Ahora Veamos algunos ejemplos de (E) : (ak-a( t-rf

k=

= un tr-r) = dn

:

Luego

del

Corchete

k

(ar