RAZONAMIENTO MATEMATICO 3

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” Solución : 50

I. MÉTODO DE INDUCCIÓN Y DEDUCCIÓN

11111 . . . .11 0 888 . . . .889 + 50

2. MÉTODOS 2.1. MÉTODO DEDUCTIVO Consiste en aplicar un caso general ya comprobado en casos particulares. También se dice que es un método por el cual se procede de manera lógica de lo universal a lo particular.

2006

99999 . . . .99 8 000 . . . .001

1. INTRODUCCIÓN En este capítulo analizaremos formas de solución para problemas aparentemente complicados, pero que con un poco de habilidad matemática e intuición práctica llegaremos a soluciones rápidas; haciendo uso de métodos de inducción y deducción o propiedades básicas de la matemática.

(1x 3 x 5 x 7 x .......... ...)         

50

a) 8 d) 6

50

50

4).- Si:

50

→ 50(1) + 50(8) + 9 =

459

2) Halla la suma de las cifras de “E” si: E = (1030 + 1) (1030 – 1 ) Solución: E = (1030 + 1)(1030 - 1) = 1060 - 1

2.2. MÉTODO INDUCTIVO Consiste en analizar casos particulares para conseguir ciertos resultados que al analizarlos nos permitan llegar a una conclusión, que llamaremos caso general. Casos particulares

Inducción

1)

Halla la suma de las cifras del resultado : E = (333 . . . .33)2 + (99 . . . .999)2 51 veces

51 veces

b) 24 e) N.A.

b) 6 e) 35

c) 27

30

a) 630 d) 270

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 01 1).- Calcula el valor de la suma de las cifras de “R”. R = (6666 . . . 666)2

a) 81 d) 60

21 cifras

b) 140 e) 210

b) 6 e) 11

c) 9

3).- ¿Cuántas “cerillas” conforman la torre mostrada?

c) 360

b) 91 e) 12

8).c) 189

10 a) 1 d) 4

P = (111 . . . 111)2

c) 71 1 2 3 4

Efectúa

(12345 )

2).- Halla la suma de las cifras de “P”:

2

4

E

− (12343 ) − 2344 b) 2 e) 5

=

2

c) 3

c) 49

b) 21 e) 420

c) 210

4).- Calcula :

32 4.37

(15627 ).(15623 ) + 4 P= 4 (622)( 628 ) + 9

36

a) 20 d) 200

19 20 21

(1025 . 1023 +1) 9 .111 K= 3

9).- Calcula:

9 cifras

a) 21 b) 81 d) 76 e) 121 3).- Calcula: a + b, si :

c) 10

a −b a b + = 18, calcula: b a ab

a) 4 d) 12

30

b) 540 e) 300

b) 12 e) 13

7).- Halla la suma de cifras del resultado de A = 777777777 x 999999999

NIVEL I

a) 36 d) 72

c) 80

NIVEL II

2).- Si :

R = (10 + 1) (10 – 1)

Luego : E = 9(60) = 540

b) 16 e) 100

a) 66 d) 16

6).- Halla la suma de cifras de R:

60 cifras

a) 5 d) 12

1 x 3 x 5 x 17 x 257 + 1

Halla: x + y a) 21 d) 18

c) 3

1).- Calcula la suma de cifras del resultado de E. E =

c) 22

9y = 3x-9

60 cifras

Caso general

PROBLEMAS RESUELTOS

23 cifras

5).- Si : 2x = 8y+1

E = 1000 . . . . 0 – 1

Casos particulares

Deducción

0 ,00 ... 091     = 91 x 10x-10, halla x +

a) 32 d) 18

b) 2 e) 5

10).- Si: a – b = 8 Halla: E = (a – 3b)2 – 4b(2b – a) + 12

c) 7

30

E = 99 . . . . 9 Caso general

a) 1

= .......ab d) 4

factores

b) 9 e) 3

111111 . . . 11 0 888 . . . .88890

2

a) 2 d) 10

b) 3 e) 7

3º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2008

c) 5

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” 5).- Calcula la suma de las cifras del resultado de:

E= a) 87 d) 89

b) 88 e) N.A.

c) 81

n n n n n n n (3 2 n x... 2 ) x 2  x  x  x3  x3  x...  x3 ) x ( 2

101 cifras

101 cifras

a) 101 d) 907

b) 102 e) 203

c) 202

(12345678900000 . . . . 00)m

d) 7

a) mn c) (n-9)(m+1) e) (n-9)(m-1)

256 x 264 + 16 2 X E= 3 3 123 x 137 + 49 4 a) 2 d) 12

n cifras

b) (m-1)n d) (n-9)m

b) 8 e) 14

c) 9

16

(3 +1)(3 2 +1)(3 4 +1)(3 8 +1)(316 +1)2 +1

a) 1 d) 8

b) 2 e) 9

c) 3

8).- Calcula la suma de las cifras de “M” en: 2

2

M = (99995) + (999996) +(9999995) a) 36 d) 32

b) 48 e) 50

2

c) 45

6

a) 19 d) 12

112 +42(10 ) 2 +123(10 ) 4

b) 7 e) 3

c) 5

10).- ¿Cuántos triángulos hay en total en f(20)?

f(1)

, f(2)

6.....

b) 14 e) 16

c) 11

f(3)

, ... ...

b) 7 e) 3

3 x 5 x 17 x ( 2

a) 8 d) 3

b) 4 e) 1

b) 29 e) 40

=

c) 30

0 ,00 ... 091     = 91 x 10x-10, halla 23 cifras

a) 32 d) 18

+1)(2

+1) +1

c) 6

c) 22

Fila 1 1 Fila 2 3 5 Fila 3 7 9 11 CLAVES DE RESPUESTAS Fila 4 13 15 17 19 NIVEL I NIVEL II

= 16

b) 24 e) N.A.

10).- Calcula la suma de los términos de la fila 50.

c) 5

5).- Calcula el valor de: A 8

99999

x+30

1

a) 8 d) 4

c) -59

8).Si X KENAR ....12345 , Halla: (K + A + R + E + N)

9).- Si:

4).- Calcula : A2 + 1

6).- Simplifica ,

6

b) 30 e) -40

a) 28 d) 31

A = (2 x 22 x 23 x 24 x ...x 2n) 1+ 2 + 3 +.... + n

9).- Halla la suma de las cifras del resultado de:

a) 6 d) 4

c) 81

3).- Calcula : a + b , si: a = 1 + 2 2 2..... b=3+

e) 6n

23 ceros

=

b) 87 e) 63

c) 5n 2

a) 48 d) 43

2 x 4 x 10 x 82 x 6562 +1

a) 82 d) 78

n2

0,0...00    1234 = 1234 x 10x

7).- Halla: R=

b) 6 n

7).- Halla: 2x-5 si:

2).- Calcula el valor de M, en: M 4

2

a) 52n

NIVEL III 1).- Simplifica :

6).- Halla la cantidad de ceros finales que tiene el desarrollo de :

n factores

n factores

(555 . . . .56)2 – (44 . . . .45)2

1) c 2) b 3) c 4) d 5) c 6) b 7) a a) 9750 8) d 9) e c) 25000 10) c e) 125000

1) e 2) a 3) e 4) b 5) c 6) d 7) eb) 12500 8) b 9) dd)75200 10) c

NIVEL III

1) a d 5) b 7) c 9) d 37

2) c 4) c 6) b 8) d 10) e

3)

3º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2008

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” -

r= -

4.- CASOS PARTICULARES

La razón se obtiene:

4.1 S = 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)

a2 a = n a1 an −1

La suma de sus términos:

S = n(n +1)

Solución:

n(n + 1)(n + 2) S= 3

3.- SERIES IMPORTANTES:

S = a1 + a2 + a3 + ... + an

PROBLEMAS RESUELTOS

3.1 La suma de los primeros números naturales consecutivos : S =1 + 2 + 3 + 4 + .... + n

S = 4 + 8 + 12 + ... + 60

n (n + 1) S = 2

2.1 SERIE ARITMÉTICA: Cuando la razón se halla por diferencia. Si: S = a1 + a2 + a3 + ... + an

S = 4 x 15 x 8 = 480 2

r = a2 – a1 = an – an-1 -

La suma es: S=

-

 a1 + an  2 

  n 

El número de términos es: n=

an −a0 r

2.2.SERIE GEOMÉTRICA: La razón se obtiene por cociente. En: S = a1 + a2 + a3 + .... + an

 99 + 1    2 

S= 

2.- Calcula: S = 1 + 4 + 9 + ... + 256

- La razón se obtiene:

S=

S = 12 + 22 + 32 + .... n2

n (n + 1)  S =  2  

S = 1 + 2 + 3 + ......+ 86

Solución: Suma números impares:

2

 ( 2 x − 11) + 1    2  

2

1).- Calcula :

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2x-11) = 1600

S = 13 + 23 + 33 + ... + n3

 15 + 1  −   2 

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 02

16(16 +1)( 2 x16 +1) 6

S = 1496 n (n + 1) ( 2n + 1) S = 6 3.- Halla “x” 3.4 Suma de los cubos de los primeros números naturales consecutivos.

2

S = 2500 – 64 = 2436

Solución: S = 12 + 22 + 32 + ... + 162

3.3 Suma de cuadrados de los primeros números naturales consecutivos.

30(30 +1) 13(13 + 1) − 2 2

Solución: S = 1+3+5+...+15 +17 + 19 + 21 + ... + 99 S2 S1 S = S 1 – S2

15(15 +1)  S = 4  2  

 A +1  S =   2    

S=

5.- Halla: S = 17 + 19 + 21 + ... + 99

Solución: S = 4(1 + 2 + 3 + ... + 15)

S = 1 + 3 + 5 + ... +A

S = 1+2+3+ ... +13 +14 +15 +16+ ...+ 30 S2 S1 S = S 1 – S2

S = 15 x 31 – 13 x 7 S = 374

1.- Calcula:

3.2 Suma de los primeros números naturales impares consecutivos.

2.- CLASES :

S = 14 + 15 + 16 + ... + 30

4.3 S = 1(2) + 2(3) + 3(4) + … +n (n+1)

El último término se obtiene:

II. SERIES Dada la sucesión: a1; a2; a3; ... an. La suma de los términos de dicha sucesión se le conoce como serie.

= 40 2

4.- Calcula:

4.2 S = 2 + 4 + 6 + …..+ 2n

an =a1 r n −1

1.- CONCEPTO:

2

x – 5 = 40 x = 45

S =n 2

a ( r n −1) S= 1 r −1 -

 2 x − 10    2  

2

=1600

a) 3741 d) 3962

b) 3681 e) 3572

c) 8631

2).- Calcula: S = 1 + 4 + 9 +.......+ 400 a) 2660 d) 2970

b) 2690 e) 2390

c) 2870

3).- Calcula: S = 1 + 8 + 27 +.......+ 2197

38

3º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2008

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” a) 8361 d) 4097

b) 6081 e) 8281

c) 8000

a) 9

4).- Calcula: b) 1134 e) 1107

3

e) 12

3

3

3

c) 16

d) 13

e) 17

15).-Calcula: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 +....+ 25.26 a) 5660 b) 5790 c) 5850 d) 5780 e) 6172

S=(13+12)+(23+12)+(33+12)+...+(93+12) c) 2133

1) a

2) c

3) e

4) a

5) c

6) c

7) d

8) a

9) c

10) b

11) b

12) e

13) a

14) d

15) c

16) b

17) c

18) b

19) a

20) b

a) 35410 d) 36219 17).- Halla “x”

b) 510 c) 530 e) 598 S= 20 + 21 + 22 +...+ 60

a) 1520 d) 1640

b) 1590 e) 1720

a) 14 b) 16

8).- Calcula: S= 17 + 19 + 21 + 23 +...+ 73 a) 1305 d) 1275

b) 1205 e) 1315

c) 1425

b) 1345 e) 1325 3

c) 1211 3

3

10).- Calcula: S = 13 + 14 + 15 +...+22 a) 56265 d) 54151

b) 57925 e) 21431

c) 58215

1 + 2 + 3 + ....+ n = 105 c) 15

d) 16

12).-Halla “n” a) 20 b) 17

c) 21

c) 15

d) 18

d) 23

∑x  #T = 6 – 1 + 1

+ 5 +... + 39)

c) 30

x =p

Es la forma abreviada de expresar una serie (síntesis).

2. NOTACIÓN:

x1 + x2 + x3 + .... + xn , se representan universalmente por la letra sigma(Σ), es decir:

e) 24

n

x1 + x2 + x3 + .... + xn =

∑x i i=1

b) 3160 e) 9431

donde : n = límite superior i = límite inferior Σ = operador sigma xi = termino general

c) 3194

S = 1(20) + 2(19) + 3(18) + ...20(1) b) 1540 e) 1624

∑3 = 3 + 3 + 3 + 3 = (4 –1 +1)

Se lee: sumatoria de los (números) de la forma xi desde.

c) 1610

3. PROPIEDADES:

e) 19

3 = 12

3.3. Sumatoria de términos generales con coeficiente: n

∑

ca x

n

= c

x =1

∑a

5

∑2x = 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) + x =1

2(5) =2[1+2+3+4+5]  

5

 

x =1

  x  

∑

=2 términos

x

x =1

Ejemplo:

3.4. Sumatorias de un término compuesto:

13).-Halla “x”

39

x

x =1

Sea x una variable que toma valores : x1, x2, x3, ....xn, la suma de estos valores:

0.1+0.2 +0.3 +.. +2

d) 40

∑c =(Q – P + 1) c

1. CONCEPTO:

e) 19

S = 1.(3)+2.(4)+3.(5)+....+20.(22)

a) 1560 d) 1570

1 + 3 + 5 +...+ n = 100

6

4

20).- Halla: e) 18

Ejemplo :

III. SUMATORIAS

19).-Halla:

a) 3290 d) 3198

11).- Halla “n” a) 13 b) 14

3

# términos : (b – a + 1)

Q

=

a) 10 b) 20

Luego :

c) 34210

M

9).- Halla: S = 102 + 112 + 122 + ...+ 162 a) 1315 d) 1218

b) 35910 e) 35915

18).-Calcula:

42 (1 + 3

x =a

3.2. Sumatoria con término general numérico o constante:

x + ( x +1)+( x + 2 )+( x +3)+...+2x = 360

c) 1710

∑x

= 6

S = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+18.19.20

S=(12-10)+(22-10)+(32-10)+...+(122-10)

b

x =1

16).- Calcula:

6).- Calcula: a) 490 d) 610 7).- Halla:

d) 11

CLAVES DE RESPUESTAS:

a) 12 b) 15

b) 2415 e) 2815

c) 8

1 + 2 + 3 +...+ x = 8281

c) 1148

5).- Halla: a) 2312 d) 2416

b) 10

14).-Halla “x”

S = 1 + 3 + 5 + 7 +.....+ 67 a) 1156 d) 1159

3.1. Número de términos de una sumatoria:

12 + 22 + 32+ ...+ x2 = 285

3º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2008

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” n

10

∑

(ax ± b)

x =1

∑

±

x =1

∑

∑x

b

x =1

=

∑

x ± (n – 1 + 1) b

10

4. FÓRMULAS:

Halla :

3)

n

∑

10

n

n(n + 1) ∑k = 2 k =1

→

∑x

x =1

n

4.2.

∑

2

2

2

2

k = 1 + 2 + 3 + . .. + n

4)

Luego :

∑

k2 =

k =1

3

1).- Calcula :

10(10 +1)  =  2   552 =

=

2

k =1

n

∑

Solución :

k =1

n(n +1)(2n +1) 6

2

4.3.

∑

3

3

3

3

k =1 +2 +3 +4 . . . +n

2

∑

10

→S=

n(n + 1)  k3 =   2   k =1

a) 51336 d) 51925

∑

n =1 10

S=

PROBLEMAS RESUELTOS Resuelve :

10(11)(21) 4(10 )(11) + S= 6 2

∑x

x =1

Solución : 20

∑

x =

x =1

S = 385 + 220 =

20( 20 + 1) = 210 2

a) 4048 d) 4903 6).- Halla :

Efectúa :

∑

∑8a

2

c) 2640

∑k(k +3)

11).- Calcula :

k =2

b) 3825 e) 3496

c) 3531

∑x(x +5) x =3

b) 3900 e) 4100

c) 3840

c) 4804

∑(3x + 2) x =1

b) 1455 e) 1591

14).- Halla :

c) 1325

∑k

2

k =15

a) 170860 d) 173921

∑

b) 92840 e) 96043

13).- Halla :

80

5 x3

(2k-5)

b) 2610 e) 2530

a) 1425 d) 1625

b) 180915 e) 175461

c) 172865

28

x =1

n

5)

c) 418

b) 4262 e) 5102

a) 92480 d) 92120

− x2 )

30

16

605

3

x =2

a) 3910 d) 3710

a =1

n =1

∑(x

c) 52921

b) 513 e) 716

5).- Halla el valor de :

c) 18

20

11

4n

10).- Halla :

12).- Halla el valor de

∑3x

a) 518 d) 712

n =1

∑

3

k =1

x =1

n2 + 4n

=14400

b) 15 e) 20

a) 3600 d) 3592

b) 2331 e) 23661

4).- Calcula :

10

n2 +

n =1

20

1)

∑

∑

c) 1495

18

10

n(n+4) =

3

3

i=1

20

9

x =1

n(n + 4)

2

b) 1392 e) 6685

∑x −∑k

∑i

9).- Halla “a” :

a) 2890 d) 2610

x =1

11

n = 1 ; 2 ; 3 ; . . . . 10

n

∑i +∑x

a) 1425 d) 1895 3).- Halla :

c) 843

2

c) 15

10

24

i=1

3025

k =1

Luego :

x =1

=1240

b) 17 e) 19

a) 16 d) 21

b) 525 e) 462

2).- Calcula :

1(1 + 4) 2(2 + 4)

→

3

x =1

2

a

∑x +∑x 17

n

3

27

a) 460 d) 715

Calcula : S = 1(5) + 2(6) + 3(7) + . . . + 10(14) Solución : el término general :

a) 16 d) 18

n – 4n

30

∑x x =1

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 03

x =1

k = 1 + 2 + 3 + . .. + n

c) 20

n

8).- Halla “n” :

2

n + n – 5n =

x2

b) 21 e) 19

n =1

2

11 x 21 = 385 6

x =1

∑

5

 n(n +1)  2    − 5n 2  

]

6

10 x

=

∑

a) 24 d) 18

10

k -

n =1

[

x =1

n

4.1.

2

Solución : 10 10(10 +1) 2(10 ) +1 2

n

ax

a

x2

x =1

n

=

10

∑

Calcula :

2)

c) 91100

15).- Calcula :

∑(8k −5) k =1

n

k =1

7).- Halla “n” :

Solución :

∑2x = 342 x =1

40

a) 3205 d) 1950

b) 3108 e) 5013

3º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2008

c) 2005

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” 16).-

Demuestra

que

:

n

∑(2k −1) =n

2

k =1

17).- Calcula la suma de todos los números de la forma (8k3-5) donde: k=1; 2; 3; ...; 12 a) 47500 d) 18908

b) 48612 e) 15406

c) 40250

18).- Expresa como sumatoria : S = 1(3)1+2(3)2+3(3)3+...+20(3)20 19).- Calcula : a) 480 d) 380

S=5+7+9+.....+43 b) 460 e) 640

c) 520

271

20).- Calcula :

∑86

x =48

a) 16574 d) 10256

b) 12380 e) N.A.

c) 19264

CLAVES DE RESPUESTAS 1) c

2) e

3) b

4) b

5) a

6) a

7) d

8) c

9) b

10)c

11)e

12)b

13)b

14)c

15)b

16)--

17)b

18)--

19)a

20)c

41

3º SECUNDARIA – I PERÍODO - 2008