Razonamiento Matemático 1

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c e S ión

c a c Edu

1

Editorial

INICIALES RMS1.indd 1

Grandes Libros

Grupo Editorial

20/11/19 17:49

Conociendo nuestro libro Apertura del área El libro de Razonamiento matemático está conformado por una serie de ejercicios propuestos que abarcan diversos temas y que promueven el conocimiento y ampliación de nuestro conocimiento.

UnidadIntermedio 4

Básico

Unidad 2

Avanzado

Básico

Intermedio

Avanzado

Logramos metas trabajando juntos

chos Conocemos nuestros dere eres y cumplimos nuestros deb

Criptoaritmética: para completar • Emplea estrategias de cálculo ón de opeel valor que falta en la reconstrucci raciones aritméticas.

Razonamiento lógico Relación temporal: as diver• Traduce situaciones problemátic en el sas de relación temporal expresados lenguaje cotidiano. problemas • Resuelve de forma estratégica sobre relaciones de tiempo.

Cuatro operaciones: que com• Efectúa de forma lógica, problemas binan las cuatro operaciones. Métodos operativos: as usando el • Resuelve situaciones problemátic que relacionan método del cangrejo u otros, principales. las cuatro operaciones aritméticas Planteo de ecuaciones: situaciones • Plantea ecuaciones, traduciendo el lenguaje coproblemáticas expresadas en tidiano.

Certezas: cuando se pue• Deduce de forma ingeniosa a de afirmar que una situación problemátic o certeza. se puede realizar con seguridad

es probable • Diferencia cuanto un suceso de ocurrir y cuando no lo es.

• ¿Qué objetivos se plantearon los estudiantes del primero de secundaria? • ¿Cómo los nomino el director de la escuela? • ¿Cuál es la importancia de trabajar en equipo?

parcial de este libro por cualquier

Razonamiento matemático

Desempeños

Presenta los aprendizajes esperados.

Tolerancia y autonomía

Valores Liderazgo y compañerismo

Desempeños

Razonamiento lógico

Razonamiento matemático

Ordenamiento por tablas:

Fracciones:

• Traduce situaciones problemáticas diversas de ordenamiento por tablas expresados en el lenguaje cotidiano.

• Efectúa problemas de fracciones utilizando estrategias de cálculo. Sucesiones:

• Resuelve problemas sobre ordenamiento por tablas, de forma lógica.

• Reconoce la regla de correspondencia asignada a los términos de una sucesión.

Psicotécnico:

Perímetro y área de regiones sombreadas:

• Traduce situaciones que involucran destreza visual y creativa para identificar detalles gráficos y comparar relaciones gráficas.

• Emplea estrategias basadas en la manipulación para calcular el área y perímetro de una región determinada.

88

34

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Valores

en la charla? • ¿Qué objetivo principal se destacó nuestros derechos y deberes? • ¿Cuál es la importancia de conocer la charla? respecto a las frases finales de • ¿Qué mensaje destacas con

Es por esta razón que el director premio al aula y los proclamo como “ejemplo y motivación para todos los demás estudiantes”.

Observamos y respondemos

Prohibida la reproducción total o

Observamos y respondemos

Juana, Leslie y Mario fueron seleccionados entre todas las secciones del primero de secundaria para el concurso nacional de matemáticas. Este logro se ha dado gracias al esfuerzo de toda el aula, ya que ellos desde un principio se plantearon tener las mejores notas, en todo el plantel. Trabajaron durante todo el año esforzadamente en equipo y de esta manera toda el aula obtuvo las mejores calificaciones.

medio o procedimiento sin permiso

acerca de los derechos recibió una charla informativa El aula de primer año de secundaria de lograr la armonía en el aula. niños y niñas con la finalidad y deberes que tienen todos los de sus derechos y sus deestudiante reconozca cada uno El objetivo principal es que cada asertiva. en su vida cotidiana de manera beres para así poder aplicarlos para el entendimiento relevantes: “el respeto, es la base La charla terminó con dos frases de todos tus derechos” con todos tus deberes y gozarás entre los seres humanos” y “cumple

Presenta un texto motivador.

expreso de la Editorial.

Título del área Formula preguntas para orientar el análisis del texto.

El libro se desarrolla en dos secciones: razonamiento matemático y razonamiento lógico.

Organizadores internos Te ayudarán a desarrollar los temas de una manera ordenada y progresiva.

Básico

Básico

a la izquierda

Elvis”

M

E

de Martín”

tres personas de • Finalmente, ubicamos a las acuerdo a lo señalado: E

M

Rodrigo

Richard

Richard

Francisco

Francisco

expreso de la Editorial.

los hermanos es Por lo tanto, el menor de Francisco.

Ernesto llega 1. En una carrera de atletismo, de Roberto, después de Gerardo, Luis antes Si Arturo llegó pero después de Ernesto. quien ganó la antes de Ernesto y, Gerardo fué lugar? 4° el ocupó ¿quién competencia, Tenemos de dato lo siguiente: • “Ernesto llega después de Gerardo” después de • “Luis antes de Roberto, pero Ernesto.” • “Arturo llegó antes de Ernesto” competencia” • “Gerardo fue quien ganó la Finalmente: Luis. Por lo tanto, el 4° lugar lo ocupa

o de la Editoria

A

que Elvis se Por lo tanto, podemos decir y Martín. encuentra sentado entre Ángel

David

Rodrigo

sin permiso expres

• “Ángel se sienta a la izquierda M A

David

l.

66

o procedimiento

Solución: Tenemos de dato lo siguiente: y a la derecha de • “Martín esta sentado junto

Richard

“David es mayor que Rodrigo y Richard”

cualquier medio

Ejemplo: derecha de Elvis, Martín se sienta junto y a la de Martín. además Ángel se sienta a la izquierda Elvis? ¿qué podemos decir acerca de

Rodrigo

Francisco

de este libro por

“Ximena y Carlos están sentados de Andrea”

“Richard nació 3 años después de Rodrigo”

Richard

cción total o parcial

Andrea

Carlos

obtenidos: “Francisco es menor que Richard”

Razonamiento

matemático

Paso 3: se eleva al cuadrado la cifra de las dece y se le agrega nas lo que se llevó en el paso 2. 62 + 11 = 47 & 692 = 4761

n ceros

medio o procedimiento sin permiso

Genaro

“Martha está a la derecha de Genaro”

Ximena

Los ejercicios resueltos son ejemplos de como se deben resolver los problemas referidos a los temas propuestos.

Martha

Ejemplo: son cuatro David, Rodrigo, Richard y Francisco hermanos, si se sabe que: y Richard. • David es mayor que Rodrigo de Rodrigo. • Richard nació tres años después • Francisco es menor que Richard es el menor? ¿Quién de los cuatro hermanos Solución: a los datos Ordenamos los datos con respecto

parcial de este libro por cualquier

Tipos de ordenamiento lineal a. Ordenamiento horizontal es necesario En este tipo de ordenamiento, horizontal, para ubicar los datos en una línea encontrar la solución pedida. , tendremos Para resolver este tipo de problemas en cuenta lo siguiente:

Avanzado

Avanzado

Ejemplos: 1. Si 752 = ab 25, determina a. 37 3 999 = el valor de ba2 37000 – 37 = . 369963 b. 10027 3 99 = 1002700 – 10027 = 9926 73 6. Cuadrado de un número de Por la propiedad 2 cifras Dividiremos en del cuadrado de mero que term 2 casos: un núina en cifra a. Caso 1: Nos 5, tenemos lo siguiente: apoyaremos en un ejemplo para explicar con mayo 752 = 5625 r claridad como este proceso. se realiza & 5625 = ab 25 & a = 5 / Ejemplo: b=6 Nos piden ba2 , ento nces : Calcula el valor ba2 = (65)2 = de 712. 4225 Solución: Paso 1: Se eleva al cuadrado la cifra de la unida d. 2. Halla la 12 = 1 & 712 = cifra terminal, ...1 luego de efect Paso 2: Se multi siguiente opera uar la plican las cifras ción: resultado se lo y luego al duplica, si el result E = (894671)49 ado es menor 10, este número + (286)200 – (6570 856 a va como cifra de ) las decenas en el resultado final, pero, si el núme ro resulta mayo a 10, la cifra de r las unidades va como cifra de decenas en el Por propiedad las resultado final de cifras term y el resto nuestro ejemplo, inales: (894671)49 = …1 tendremos lo siguie se lleva. En nte: (286)200 = …6 2(7 × 1) = 14 & 712 = ...41 (escr (6570 )856 = …0 ibo el 4 y llevo 1) Paso 3: Se eleva E = (...1) al cuadrado + (...6) – (...0) la cifra de las decenas y se le agrega lo que E = …7 se llevó. Por lo tanto, la 72 = 49 cifra terminal es 7. 49 + 1 = 50 2 71 = 5041 b. Caso 2: Cuan 3. Halla el valor do el de A = 652 +3 unidad es mayo cuadrado de la cifra de la 427 × 11 r a 10. Ejemplo: Halla el valor Aplicamos el de 692. primer y segu ndo criterio. Solución: 652 = 4 225 Paso 1: Se eleva al cuadrado 6×7 la cifra de la unidad, en este caso 9, se deja unidad y se lleva la cifra de la el resto. 3 4 2 7 3 11 = 3 7 6 92 = 81 & 692 9 7 + + + = ...1 (se deja 1 y se lleva 8) Paso 2: Se proce de con el mism paso 2 dado en o análisis del el que se debe agreg caso 1, tomando en cuenta Por lo tanto A ar lo que se lleva = 4 225 + 37 en el paso 1 697 2(6 × 9) + 8 = 116 A = 41 922 692 = ...61 (se deja 6 y se lleva 11 )

Unidad 1

en ordenar un Un ordenamiento lineal consiste de acuerdo a una grupo de personas u objetos como posición, determinada característica, tales peso, talla, etc.

b. Ordenamiento vertical al problema es En este caso, para dar solución una línea vertical. necesario ubicar los datos en

Prohibida la reproducción total o

Ordenamiento lineal

Intermedio

Intermedio

5. Multiplicación por 9, 99, 999, … El resultado de multiplica r cualquier núm natural (N) con ero un número form ado únicamen por cifras 9, se te obtiene de la siguiente man era. N # 999f999 144444424444443 = N 000f000 - N 144444424444443 n cifras

Prohibida la reprodu

En la primera parte de cada tema, se presentan la teoría fundamental para el desarrollo del tema.

Ordenamiento lineal

Se emplean indicadores para diferenciar las áreas de razonamiento lógico y razonamiento matemático.

Para el desarrollo del libro se presentan secciones diferenciadas por medio de unidades.

11

INICIALES RMS1.indd 2

22/11/2019 18:41:54

Interiores Básico

Intermedio

Avanzado

Razonamiento matem

ático

Refu Avanzado erzo en casa Intermedio

Básico

Nivel Básico

Nivel básico

e expresión: Calcula el valor de la siguient + 7 – 8 + ... – 2000 R=1–2+3–4+5–6

1.

g

a. 40 b. 37 c. 35 d. 32 ¿Cuántos triáng ulos, con solo UN asterisco, hay en la figura?

por cualquier medio o procedimien

l.

expreso de la Editoria

e cifras de la siguient Indica la suma de operación: 3 5678 A = 1234 3 5678 + 8765

total o parcial de este libro

Calcula el valor de: 2 2 032 002) R = (20 032 003) – (20 del resultado. indica la suma de cifras

Prohibida la reproducción

r medio o procedim iento sin permiso

4.

10.

1

2

3

4

f

d. 9

entos hay en la

figura?

15

a. 225 b. 105 c. 11 025 d. 120 ¿Cuántos segm entos hay en la siguiente figura

? 11.

6.

c. 5

¿Cuántos segm

b. 16 c. 12 d. 9 Nivel intermedio 4. Si «s» es la cantidad de segm entos en la figura determina s2 ,

5.

*

*

a. 15

este libro por cualquie

7.

?

a. 8 b. 6 Nivel avanzado

total o parcial de

luego de efectuar la Halla el número de cifras siguiente expresión: 5 E = 43 × 5

3.

Presentamos una serie de ejercicios para reforzar lo aprendido en clase.

a. 20 b. 60 c. 125 d. 900 ¿Cuántos segm entos hay en la siguiente figura

a. 5 b. 6 c. 7 d. 9 3. Determina la cantidad de cubo s en la siguiente figura

to sin permiso expreso de

la Editorial.

a la siguiente operación: Efectúa de forma abreviad 2 2 B = (788 – 785 ) + 3

Prohibida la reprodu cción

6.

d e

a. 9 b. 8 c. 11 d. 10 8. Encuentra la cantidad de paralelepípedos la siguiente figura en .

9.

=2×3×4×5×6×7 Determina el valor de M = 20160 Si 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8

2.

ningún * ?

b c

2.

Presentamos los problemas con una jerarquía de niveles: nivel básico, intermedio y avanzado.

¿Cuántos cuadr iláteros NO contie nen

Unidad 1

Practica lo aprendido

Determina la cantid ad total de triáng la figura. ulos en

1.

Nivel intermedio 2 = 625, halla el valor de: 5. Si (U + R + P) UPR + PRU + RUP

7.

a. 59 b. 21 c. 28 Nivel destacado (UNI 2009 - I) ¿Cuántos triáng ulos tiene por lo

d. 50 menos un * ?

a. 63 b. 68 c. 71 d. 78 Halla la cantidad de segmentos que se muestra en la figura. a. 6

b. 10

c. 12

Respuestas a. 266

b. 250

c. 300

d. 150

Presentamos un ejercicio para plantearnos retos.

d. 16

1

2

3

4

5

6

a

7

d

8

b

9

c

10

a

11

a

d

d

c

a

d

31

12

Evaluación Básico Básico

Intermedio Intermedio

Avanzado

Avanzado

5. Determina la figura que continúa la secuencia:

 1°

2

la Editorial.

6. Felipe tiene un galón de 7 1 litros llenos de 2 gasolina y desea vaciarla en botellas de 3 1 4 litros de capacidad. ¿Cuántas botellas podrá llenar y cuánto quedará en el galón después de dicha operación?

Se proponen ejercicios textuales para su traducción al lenguaje matemático.

por cualquier l de este libro

2x y + z , luego de analizar las siguientes sucesiones:

10. Calcula el valor de

2; 3; 5; 8; 13; z 810; 135; 270; 45; x; y

total o parcia

7. Tres amigas, Lucero, Patricia, Julieta estudiaron carreras diferentes: Derecho, Educación y Medicina, aunque no necesariamente en ese mismo orden. Cada una tiene un hijo que seguirá una de estas carreras mencionadas, pero no la misma que estudio su madre. Si Patricia es médico y el hijo de Julieta quiere ser profesor. ¿Qué carrera estudiaron Lucero y su hijo?

reproducción

siguiente sigue en la la figura que 4. Identifica secuencia:

medio o proced

permis imiento sin

o expreso de

9. Tres amigos: un Ingeniero, un Químico y un Arquitecto comentan que cada uno de ellos nacieron en diferentes ciudades del Perú: Huánuco, Lima y Ayacucho. Julio no nació en Huánuco, Daniel no nació en Lima. El que nació en Huánuco no estudió Ingeniería. El que nació en Lima estudió Química. Daniel no estudió Arquitectura. Determina qué carrera estudió Ricardo y en donde nació.

Prohibida la

r1

1 8 27 64 6 ; 11 ; 16 ; 21 ; ...

3°

64 m

2

36 m

medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

A

B

8. ¿Cuál es el término enésimo de la siguiente sucesión?

54 m

si las curvas son n sombreada, y r = 7 cm: área de la regió ás r = 5 cm 2 2. Calcula el ncias y adem 1 semi circunfere

r2

2°



2

2

16 m

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier

Se presenta una evaluación al final de cada unidad con relación a los temas tratados.

etines a sus reparte chup primero el ra Juanita o: al 1. La seño iente mod ro 1/12 y al os del sigu 1/4 ; al terce cuatro niet s l; al segundo 1/8 del tota que a los otro melos más cara 12 es le toco cuarto le tocó os. ¿Cuántos chupetin junt os tres niet o? al tercer niet



n total, si se ro de la regió son a el perímet e superior 3. Determin de la part las figuras sabe que cuadrados.

Unidad 1

n°4 Evaluación

111 110

Cajitas adicionales Dato importante TIC Ingresa al link donde encontrarás un video que amplía la información sobre las R.T. de ángulos cuadrantales: https://www.youtube.com/ watch?v=yH0bCp_zpaw&t=1085s

TIC: sugiere enlaces de Internet, donde encontrarás información adicional relacionada al tema tratado.

INICIALES RMS1.indd 3

Metacognición

Para ubicar un punto P(x;y) en el plano cartesiano, primero debemos reconocer el signo de la abscisa y la ordenada para de esta manera saber en que cuadrante se encuentra.

•• ¿Qué aprendí?, ¿cómo aprendí? •• ¿Qué dificultades tuve?, ¿cómo las superé? •• ¿Para que me sirve lo aprendido en este tema?

Dato importante: brinda información sustancial al tema trabajado.

Metacognición: son preguntas formuladas para que reflexiones sobre tu propio aprendizaje.

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TEMAS Valoramos la importancia de vivir en un ambiente de Cerillos 6 respeto y solidaridad

1

4 Valores Respeto y solidaridad

Conocemos nuestros derechos y cumplimos nuestros deberes

2

34 Valores Tolerancia y autonomía Revaloramos nuestra identidad cultural aprendiendo nuestra historia

3

61

EVALUACIÓN

Habilidad operativa Distribuciones númericas

10 15

Razonamiento inductivo Relación de parentesco Conteo de figuras

19 23 27

32 - 33

Criptoaritmética Relación temporal Cuatro operaciones

35 39 43

Metodos operativos 47 Certezas 51 Planteo de ecuaciones 55

59 - 60

86 - 87

Edades 62 Ordenamiento lineal 66 Operadores matemáticos 70

Cortes, estacas y pastillas Ordenamiento Circular Figura de un solo trazo

74 78 82

Ordenamiento por tablas 89 Fracciones 94 Sucesiones 98

Psicotécnico Perímetros y Áreas de regiones sombreadas

102

Valores Identidad y naturaleza

4

Logramos metas trabajando juntos 88 Valores Liderazgo y compañerismo

Competencias

• Resuelve problemas de cantidad

• Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio

Capacidades

• Traduce cantidades a expresiones numéricas • Comunica su comprensión sobre los números y las operaciones • Usa estrategias y procedimientos de estimación y cálculo • Argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las operaciones

• Traduce datos y condiciones a expresiones algebraicas • Comunica su comprensión sobre las relaciones algebraicas • Usa estrategias y procedimientos para encontrar reglas generales • Argumenta afirmaciones sobre relaciones de cambio y equivalencia

INICIALES RMS1.indd 4

110 - 111 106

• Resuelve problemas de movimiento, forma y localización

• Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones • Comunica su comprensión sobre las formas y relaciones geométricas • Usa estrategias y procedimientos para orientarse en el espacio • Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas

23/11/2019 09:33:09

Básico

Intermedio

Razonamiento lógico

Avanzado

Unidad 1

Valoramos la importancia de vivir en un ambiente de respeto y solidaridad

Unidad 1

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

El tutor del aula de primer año de secundaria invito a sus estudiantes a reflexionar lo importante que es el respeto a sus compañeros y a todas las personas, sin importar las clases sociales, los dialectos y las razas. También habló acerca de lo valioso que es el apoyo mutuo y el compañerismo. Él profesor concluyó diciendo: “el respeto y el compañerismo son factores que contribuyen a nosotros los peruanos a forjar un mejor país”

Observamos y respondemos • ¿Sobre qué tema habló el tutor de los alumnos de primero de secundaria? • ¿Qué opinas acerca de lo mencionado por él tutor? • ¿De qué forma podrías aportar con lo mencionado por el profesor?

Valores Respeto y solidaridad

Desempeños

Razonamiento lógico

Razonamiento matemático

Cerillos:

Habilidad operativa:

• Emplea estrategias ingeniosas para resolver juegos matemáticos. Distribuciones numéricas: • Resuelve problemas sobre figuras mágicas y pirámides numéricas, a través de tácticas de ingenio. Relación de parentesco: • Relaciona datos de forma adecuada en un problema de relación de afinidad o parentesco y utiliza estrategias para resolverlos.

• Utiliza métodos estratégicos para resolver de forma práctica y rápida operaciones aritméticas. Razonamiento inductivo: • Deduce ingeniosamente resultados generales a partir de casos particulares, para resolver situaciones problemáticas. Conteo de figuras: • Emplea estrategias heurísticas en el conteo de figuras para determinar resultados de forma práctica.

5

1 CERILLOS RL.indd 5

22/11/2019 18:44:29

Básico

Cerillos Introducción En esta sección desarrollaremos una serie de acertijos y problemas con cerillos, situaciones que pondrán en práctica tu habilidad e ingenio. Para dar solución a este tipo de problemas debemos mover, quitar o aumentar cerillos. Ejemplos de problemas con cerillos: 1. ¿Cuántos cerillos deben moverse, como mínimo, para formar una igualdad correcta?

¿Cuántos cerillos como mínimo se deben retirar para que queden exactamente dos cuadrados (no necesariamente del mismo tamaño)?

Condiciones cerillos

para

resolver

a. Los cerillos no se pueden doblar ni romper

problemas

sobre

Operaciones Aritméticas Los problemas de este tipo son como el Ejemplo N° 1 mencionado arriba, ejercicios que involucran operaciones aritméticas conocidas: suma, resta, multiplicación, división, raíz:

=+

5 = V & 

2 = II & 

10 = X & 

3 = III & 

50 = L & 

100 = C  &  1000 = M  & 

Gráficos En este tipo de problemas se da solución formando nuevos gráficos con los cerillos que se usaron para el gráfico inicial. En el Ejemplo N° 2, inicialmente teníamos 4 cuadrados formados con cerillos, nos pedían quitar el mínimo tal que el nuevo gráfico sean dos cuadrados de indistinto tamaño:

Observamos que, será necesario retirar 2 cerillos como mínimo para que queden 2 cuadrados.

b. No deben quedar cerillos sueltos

cerillos libres

=–

& 

1 = I

=×

=

Observamos que en el ejemplo n°1 la igualdad mostrada será correcta, si movemos un sólo cerillo de la siguiente manera:

1. ¿Cuántos cerillos, como mínimo, debes mover para que la igualdad sea correcta?

Quedando finalmente, la igualdad correcta: Se mueve un cerillo 2. En el siguiente gráfico. ¿Cuántos cerrillos se deben retirar, como mínimo, para que no quede ningún cuadrado?



Quedando así, la igualdad correcta:



Debe quitarse 4 cerillos para que en la nueva figura no quede ningún cuadrado.

6

1 CERILLOS RL.indd 6

19/11/19 16:54

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2.

Caso particular: Como caso particular vamos a considerar los referentes a los números romanos; para los cuales vamos a considerar:

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Cerillos

Básico

Intermedio

Razonamiento lógico

Avanzado

Practica lo aprendido

4.

1.

¿Cuántos cerillos como mínimo se deben mover para que dicha operación sea correcta?

Unidad 1

Nivel básico

En el gráfico, ¿Cuántos cerillos hay que mover para que se cumpla la igualdad?

Se debe mover solo un cerillo Nivel intermedio

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

5.

¿Cuántos cerillos como mínimo se deben mover para que queden solo 4 cuadrados del mismo tamaño?

Se debe mover solo un cerillo 2.

En el gráfico, ¿Cuántos cerillos hay que mover para que se cumpla la igualdad?



Se deben mover dos cerillos

6.

¿Cuántos cerillos como mínimo se deben quitar para formar 3 cuadrados?

Es necesario mover como mínimo 3 cerillos 3.

En el gráfico, ¿Cuántos cerillos hay que mover para que se cumpla la igualdad?





Se debe mover dos cerillos



Es necesario quitar 6 cerillos



7

1 CERILLOS RL.indd 7

19/11/19 16:54

Básico

7.

Mueve el mínimo número de cerillos para que el punto rojo quede fuera de la copa, no puedes mover el punto rojo, además la copa puede quedar en cualquier orientación.

11. En

el gráfico, ¿Cuántos cerillos hay que mover para que se cumpla la igualdad?



Se debe mover dos cerillos 8.

¿Cuántos cerillos como mínimo se deben mover para formar 3 triángulos iguales?

12. ¿Cuántos

cerillos como mínimo se deben mover para que la suma sea correcta?

Se deben mover tres cerillos Nivel avanzado 9.

Cuantos cuadrados cuya longitud de arista sea igual a un cerillo se pueden formar como máximo con 12 cerillos.

Formando un cubo se puede llegar a formar hasta 6 cuadrados iguales 10. ¿Cuántos

cerillos como mínimo se deben mover para formar el número cincuenta y ocho?



Se debe mover tres cerillos Se debe mover tres cerillos



8

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Se deben mover un cerillo.

Básico

Intermedio

Razonamiento lógico

Avanzado

Refuerzo en casa Nivel Básico 1.

En el gráfico, ¿Cuántos cerillos hay que mover para que se cumpla la igualdad?

Unidad 1

¿Cuántos cerillos como mínimo se deben mover para que la suma sea correcta?

7.

a. 9 2.

b. 1

c. 3

d. 2

En el gráfico, ¿Cuántos cerillos hay que mover para que se cumpla la igualdad?

a. 9

a. 1

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3.

b. 2

c. 3

d. 4

En la figura se muestra 24 cerillos de igual tamaño ¿Cuántos cerillos se deben retirar como mínimo para obtener seis cuadrados de igual tamaño?

b. 1

c. 3

d. 2

Nivel Avanzado ¿Cuántos cerillos como mínimo se deben mover para formar 4 triángulos iguales?

8.

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

¿Cuántos cerillos hay que mover como mínimo para obtener la igualdad?

9.

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

Nivel Intermedio 4.

a. 1

En el gráfico, ¿Cuántos cerillos hay que mover para que se cumpla la igualdad?

b. 2

5.

b. 2

c. 3

para obtener la igualdad?

d. 4

¿Cuántos cerillos como mínimo se deben mover para formar 5 cuadrados de igual tamaño?

6.

b. 2

c. 3

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

11. En

el grafico muestra a una rana formada por cerillos. ¿Cuántos cerillos es necesario mover, como mínimo, para que la rana mire en sentido contrario?

d. 4

¿Cuántos cerillos como mínimo se deben mover para que el pez cambie de dirección?

�

b. 2

Nivel destacado

a. 1

d. 4

10. ¿Cuántos cerillos como mínimo hay que mover

a. 1 a. 1

c. 3

a. 3

b. 4

c. 5

d. 6

Respuestas

c. 3

d. 4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

c

b

b

c

c

b

d

b

b

c

c

9

1 CERILLOS RL.indd 9

19/11/19 16:54

Básico

Habilidad operativa

Criterios para la solución rápida de operaciones aritméticas 1. Multiplicación por medio de la diferencia de cuadrados Recordemos que la expresión a2 – b2 recibe el nombre de «diferencia de cuadrados», y se expresa como el producto de la suma y la diferencia de dichos números. a2 – b2 = (a + b)(a – b)

2. Cuadrado de un número cuya cifra de la unidad es 5 El cuadrado de todo número cuya cifra de la unidad es 5, termina en 25 y las demás cifras que faltan, se obtienen multiplicando el número que queda a la izquierda del 5 por su consecutivo. Ejemplo 1: Calcula el valor de B = 352. Solución: 3 52 = 12 25

3 × 4 = 12

Ejemplo 2: Halla a + b + c si 2abc5 = 1652. Solución: 16 52 = 272 25 16 × 17 = 272 Luego: 2abc5 = 27225 Entonces: a = 7, b = 2  y  c = 2 Nos piden a + b + c = 7 + 2 + 2 = 11

Ejemplo: Halla el valor de A = 4352 × 11. Solución: Paso 1

4 3 5 2  3 11 = 4 7 8 7 2 + + + Paso 2: 5 + 2 = 7

Paso 3: 3 + 5 = 8 Paso 4: 4 + 3 = 7 Paso 5

b. Caso II: cuando la suma de cifras dos a dos del numeral es mayor a 10. Ejemplo: Halla el valor de B = 7296 × 11. Solución: Paso 1

7 2 9 6 3  11 = 8 0 2 5 6 + + + Paso 2: 9 + 6 = 15

Paso 3: 2+9+1 = 12 Paso 4: 7 + 2 + 1 =10 Paso 5: 7 + 1 = 8

4. Cifras terminales (0, 1, 5 y 6) Todo número que termina en 0; 1; 5 o 6, al ser elevado a cualquier potencia natural, siempre termina en la misma cifra. a. (...0)n = ...0 b. (...1)n = ...1 c. (...5)n = ...5 d. (...6)n = ...6 Ejemplo: Halla la cifra terminal. E = 467149 + 286200 – 6570156 Solución: Usando la propiedad de cifras terminales, tenemos que: E = (...1) + (...6) – (...0) � La cifra terminal es 7.

E = ...7

10

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Ejemplo: Halla el valor de 582 – 422. Solución: Aplicamos la propiedad de diferencia de cuadrados: 582 – 422 = (58 + 42)(58 – 42) 582 – 422 = (100)(16) 582 – 422 = 1600

3. Multiplicación por 11 Vamos a dividirlo en dos casos. a. Caso I: cuando la suma de cifras dos a dos del numeral es menor a 10.

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Introducción: En este capítulo vamos a desarrollar estrategias para dar solución a problemas aritméticos y algebráicos de manera más simple y didáctica.

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

N # 999f999 = N 000f000 - N 144444424444443 144444424444443



n cifras

n ceros

Ejemplos: a. 37 3 999 = 37000 – 37 = 369963 b. 10027 3 99 = 1002700 – 10027 = 992673

Paso 3: se eleva al cuadrado la cifra de las decenas y se le agrega lo que se llevó en el paso 2. 62 + 11 = 47 &   692 = 4761

1. Si 752 = ab25, determina el valor de ba2.

Por la propiedad del cuadrado de un número que termina en cifra 5, tenemos lo siguiente: 752 = 5625 & 5625 = ab25  &  a = 5  /  b = 6 Nos piden ba2, entonces: ba2 = (65)2 = 4225

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6. Cuadrado de un número de 2 cifras Dividiremos en 2 casos: a. Caso 1: Nos apoyaremos en un ejemplo para explicar con mayor claridad como se realiza este proceso. Ejemplo: Calcula el valor de 712. Solución: Paso 1: Se eleva al cuadrado la cifra de la unidad. 12 = 1  & 712 = ...1 Paso 2: Se multiplican las cifras y luego al resultado se lo duplica, si el resultado es menor a 10, este número va como cifra de las decenas en el resultado final, pero, si el número resulta mayor a 10, la cifra de las unidades va como cifra de las decenas en el resultado final y el resto se lleva. En nuestro ejemplo, tendremos lo siguiente: 2(7 × 1) = 14 & 712 = ...41 (escribo el 4 y llevo 1) Paso 3: Se eleva al cuadrado la cifra de las decenas y se le agrega lo que se llevó. 72 = 49 49 + 1 = 50 712 = 5041

Unidad 1

5. Multiplicación por 9, 99, 999, … El resultado de multiplicar cualquier número natural (N) con un número formado únicamente por cifras 9, se obtiene de la siguiente manera.

2. Halla la cifra terminal, luego de efectuar la siguiente operación: E = (894671)49 + (286)200 – (6570)856

Por propiedad de cifras terminales: (894671)49 = …1 (286)200 = …6 (6570)856 = …0 E = (...1) + (...6) – (...0) E = …7 Por lo tanto, la cifra terminal es 7. 3. Halla el valor de A = 652 +3 427 × 11

b. Caso 2: Cuando el cuadrado de la cifra de la unidad es mayor a 10. Ejemplo: Halla el valor de 692. Solución: Paso 1: Se eleva al cuadrado la cifra de la unidad, en este caso 9, se deja la cifra de la unidad y se lleva el resto. 92 = 81  & 692 = ...1 (se deja 1 y se lleva 8) Paso 2: Se procede con el mismo análisis del paso 2 dado en el caso 1, tomando en cuenta que se debe agregar lo que se lleva en el paso 1 2(6 × 9) + 8 = 116 692 = ...61 (se deja 6 y se lleva 11 )

Aplicamos el primer y segundo criterio. 652 = 4 225 6×7 3 4 2 7 3 11 = 3 7 6 9 7 + + +

Por lo tanto A = 4 225 + 37 697 A = 41 922

11

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22/11/2019 18:45:53

Básico

Practica lo aprendido

Nivel intermedio

Nivel básico

5.



Calcula el valor de la siguiente expresión: R = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + ... – 2000



Extrayendo la raíz cuadrada U + R + P = 25, luego: UPR + P R U R U P 2 7 7 5

Realizamos la suma de términos de dos en dos: R = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + ... – 2000

2.

–1 –1 –1    –1 Podemos concluir que hay 1000 sumandos, entonces: R = 1000(–1) = –1000  & R = –1000 Determina el valor de M = 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 Si 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 20160

6.



Halla el número de cifras luego de efectuar la siguiente expresión:

E = 43 × 55



Como tenemos potencias de 2 y de 5, trataremos de formar potencias de 10, así: 43 3 55 = (22)3 3 55 = 26 3 55 = 26 3 55 = 2x(2 3 5)5 = 2 3 105 = 200 000 Luego 43 3 55 consta de 6 cifras.

7.

Calcula el valor de:

R = (20 032 003)2 – (20 032 002)2 indica la suma de cifras del resultado.





B = (7882 – 7852) + 3 Por diferencia de cuadrados B = 7882 – 7852 + 3 B = (788 + 785)(788 – 785) + 3 B = 1573 3 3 + 3 = 3(1573 + 1) B = 3 3 1574 = 4722



4.

Efectúa de forma abreviada la siguiente operación:

Indica la suma de cifras de la siguiente operación: A = 1234 3 5678 + 8765 3 5678

Para resolver el problema, vamos a utilizar la diferencia de cuadrados, entonces: R = (20 032 003)2 – (20 032 002)2 R = (40 064 005)(1) R = 40 064 005 Nos piden la suma de cifras del resultado: 4 + 0 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 + 5 = 19 Por lo tanto, la suma de cifras es 19.

Factorizamos por el método del factor común: 5678(1234 + 8765) = 5678 3 9999 = 5678(10000 – 1) = 56780000 – 5678 = 56774322 Nos piden: 5 + 6 + 7 + 7 + 4 + 3 + 2 + 2 = 36



12

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19/11/19 16:55

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Nos piden el valor de: M=2×3×4×5×6×7 &  M × 8 = 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 8M = 2(20 160) = 40 320 & 8M = 40 320 &  M = 5 040 3.

UPR + PRU + RUP

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1.

Si (U + R + P)2 = 625, halla el valor de:

Básico

Intermedio

8.

Razonamiento matemático

Avanzado

Calcula el valor de E = S + A + T + U + R + N + O,



Por propiedad de multiplicación de 999… S A T U R N O 0 0 0 0 0 0 0  – S A T U R N O 4 3 2 1 5 6 8 Luego: O =2, N =3, R =4, U = 8, T = 7, A =6, S = 5 Por lo tanto, S + A + T + U + R + N + O = 35

9.

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¿En qué cifra termina la siguiente operación?

F = 20212023 + 20252024 + 20262025

el valor de:

366 # 463 + 251 # 234 + 137 # 366 + 234 # 346 Agrupamos de forma conveniente, para resolver de forma más rápida la operación: 366 # (463 + 137) + 234 # (251 + 349) 366 # 600 + 234 # 600 = 600 # (366 + 234) 2

600 # 600 = 600 = 600

12. Simplifica

la siguiente expresión:

W= Como piden la cifra de unidades únicamente consideramos la cifra de unidades de cada sumando: f52024

f12023

Unidad 1

si SATURNO ×9999999 = ...4321568

11. Calcula

22023 + 22024 + 22025 22021 + 22020 + 22019

Factorizando 22019, en todos los términos:

f62025

2 2019 # 24 + 2 2019 # 2 5 + 2 2019 # 26 2 2019 # 2 2 + 2 2019 # 21 + 2 2019 # 1

+ + 644444444474444444448 64444444 47444444448 64444444444 744444444448 1 # 1 # 1 # f # 1 + 5 # 5 # f # 5 +6 # 6 # 6 # f # 6 Siempre termina en 6

=

Siempre termina en 5 Siempre termina en 1

2 2019 _24 + 2 5 + 26 i 2

2019

_2 + 2 + 1 i 2

1

=

16 + 32 + 64 112 = = 16 7 4+2+1

Luego: …1 + …5 + …6 = …2 Nivel avanzado 10. Determina

la cifra terminal de la siguiente

operación:

13. Halla

R = (4344 + 4243) × 67542 – 4641 – 5140

el valor de:

A=

1 + 3 _22 + 1 i_2 4 + 1 i_28 + 1 i

Debemos tener en cuenta lo siguiente: (#impar)n = #impar; (#par)n = #par  & n $   (...5)n = ...5; (...6)n = ...6; (...1)n = ...1

Sabemos que: 3 = 22 – 1 Entonces utilizamos la diferencia de cuadrados para resolver la expresión:

      números cíclicos

A=

Aplicando lo anterior en el problema resulta: R = (impar + par) 3 ...5 – ...6 – ...1 &  R = impar 3 ...5 – ...7 &  R = ...5 – ...7 &  R = ...8

A=

1 + _2 2 - 1 i_2 2 + 1 i_24 + 1 i_28 + 1 i 1 + _24 - 1 i_24 + 1 i_28 + 1 i

A=

1 + _28 - 1 i_28 + 1 i = 1 + _216 - 1 i

A=

216 = 28 = 256



13

2 HABILIDAD OPERATIVA.indd 13

19/11/19 16:56

Básico

Refuerzo en casa

10. Si ` 1 + 3

Nivel Básico

U + R + P 2 , hallar U + R + P.

De cuántas cifras constará el resultado de: 85 3 58 a. 8

2.

b. 9

• 89 × 999 = 88 911

(

)

• 562 = 3 135

(

)

• 473 × 11 = 5 203

(

)

• 749 × 99 = 74 150

(

)

b. VVFF

c. VFVF

b. 803 502

c. 80 352

a. 148 814 5.

b. 214 000

c. 225 400

Determina el valor de M = a. 98

6.

a. 13

b. 115

582 –

c. 213

a. 1 111

b. 1 211

c. 1 112

a. 33

c. 963

d. 151

Calcula el valor de P = 9 998 × 8 992 a. 99 998 899

c. 89 902 016

b. 88 985 593

d. 96 987 698

Si  P + A + Z = 15, halla  PAZ + ZPA + ZAP. a. 1 665

b. 1 515

c. 19

d. 22

b. 5

c. 4

d. 2

Nivel Avanzado 15. Si

z = 3 2, calcula: 1 + (z + 1) (z2 + 1) (z – 1) (z4 + 1)

S= a. 16 16. Calcula

b. 18

c. 21

3

d. 25

la suma de las fracciones.

2 22 222 2222 22222 222222 + + + + + 3 33 333 3333 33333 333333 a.

2 3

b.

4 3

c. 4

d. 3

Nivel destacado 17. Calcula

la suma de cifras del resultado,

si en total hay 370 sumandos. a.

9.

b. 25

a. 1



= 15

8.

+A+R+E+S

40 4040 404040 40404040 + +g + + 37 3737 373737 37373737

= 11

b. 264

d. 32

abcd199 + abcd5999 + abcd6999

=7

a. 751

c. 16

qué cifra termina el resultado de la siguiente operación?

d. 1 221

  7  4

3 _22 + 1 i_2 4 + 1 i_28 + 1 i + 1 .

14. ¿En

Indica y completa las cifras que falta en la siguiente operación: 6 8 3 4 3  11 = + + +

d. 23

Si  PILARES 3 9 999 999 =_______4 160 513

Nivel Intermedio 7.

4

c. 18

b. 8

13. Calcula  P

d. 362 880

Halla  ABC + BCA + CAB, si (A+B+C)2 = 121.

M=

a. 4

572 d. 350

b. 17

12. Calcula

Si se sabe que:

¿Cuál es el valor de 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9?

d. 19

123 4562 – 123 4552 e indica la suma de cifras del resultado.

d. 83 502

3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 = 1 814 400

c. 20

11. Calcula

d. VVVF

Indica a que número corresponde la siguiente expresión: (8 3 105) + (3 3 103) + (5 3 102) + 2 a. 8 352

4.

d. 12

Verifica y escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

a. FFFV 3.

c. 11

b. 25

a. 29

c. 1 616

d. 1 565

40 37

b.

4 3

c. 400

d. 370

Respuestas 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

c

c

b

d

b

d

a

c

a

a

d

12

13

14

15

16

17

c

a

d

a

c

c

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

1.

2 j`2 + 3 2 j es equivalente a:

14

2 HABILIDAD OPERATIVA.indd 14

23/11/2019 08:46:07

Básico

Intermedio

Razonamiento lógico

Avanzado

Distribuciones numéricas Una distribución es un arreglo de números o letras de modo que entre ellos existe una determina ley de formación. Para encontrar la ley de formación se emplean operaciones básicas (aritméticas) y se analiza el arreglo de forma vertical u horizontal.

Así para descubrir las operaciones mediante las cuales se debe hallar el número faltante, es recomendable realizar diversos intentos con operaciones de adición, sustracción, multiplicación, entre otras, hasta dar con el resultado correspondiente. No siempre en todas las analogías, la variable «x» se ubica en la tercera columna, observa la siguiente distribución:

Ejemplos: a. Determina el valor de «x» en: 1

2

5

2

4

2

5

1

x

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Analizamos la suma de los elementos: • 1° fila: 1 + 2 + 5 = 8 • 2° fila: 2 + 4 + 2 = 8 Esto también se debe cumplir en la tercera fila, así: • 5 + 1 + x = 8    6 + x = 8   &  x=2 b. Determina el valor de «x» en la distribución: 3

5

7

8

9

8

7

4

x

Analizamos la suma de los elementos: • 1° columna: 3 + 8 + 7 = 18 • 2° columna: 5 + 9 + 4 = 18 Esto también se debe cumplir en la tercera columna, así: • 7 + 8 + x = 18 15 + x = 18   &  x = 3 No existe un criterio general para resolver las distribuciones numéricas, las relaciones entre los elementos se pueden dar de diversas formas: relación entre filas, entre columnas y otras.

7

4

7

2

3

18

x

13

Analizando por columnas la siguiente operación: • 1° columna: 52 – 7 = 18 • 3° columna: 42 – 3 = 13 Esto también se debe cumplir en la segunda columna, así: • x = 72 – 2 = 49 – 2 = 47

1. Determina el valor de “x” en el siguiente arreglo 6



7

11

9

3

9 5

8

4

3

5

2

1

33

68

x

Analizamos las siguientes operaciones: • 1° columna: 23 + 52 = 8 + 25 = 33 • 2° columna: 43 + 22 = 64 + 4 = 68 Esto también se debe cumplir en la tercera columna, así: • 33 + 12 = 27 + 1 = 28  ⇒ x = 28

3

7

8

1

4

2. Calcula el valor de “x” 3

2

1

x

Observa las siguientes operaciones: 1° gato: (7 + 11) – (9 + 3) = 18 – 12 = 6 2° gato: (5 + 8) – (1 + 3) = 13 – 4 = 9 Como podrás observar, se está sumando los números de las dos últimas patas, para restar con la suma de las dos primeras, por lo tanto: 3° gato: x = (7 + 8) – (1 + 4) = 15 – 5 = 10

Ejemplo:

3 DISTRIBUCIONES NUMERICA - RL.indd 15

5

Unidad 1

Distribuciones numéricas

6

4 4

36

2

2 5

30

9

7 x

Analizamos la operación en cada globo: 1° globo: (6 + 3) × 4 = 9 × 4 = 36 2° globo: (2 + 4) × 5 = 6 × 5 = 30 Esta misma operación, se debe cumplir en el tercer globo, entonces: 3° globo: (9 + 2) × 7 = 11 × 7 = 77

15

19/11/19 16:57

Básico

Practica lo aprendido

4.

Encuentra «x» en la distribución.

Nivel básico 1.

2

Determina el valor de «x» en la siguiente distribución: 10

80

8

5

45

9

12

x

20

4

10

5 3

6

20

1



x 2

7

7

19

3

4

Sumando los números de cada círculo, nos da como resultado el número del círculo central: 1° gráfico: 4 + 2 + 3 + 1 = 10 2° gráfico: 6 + 5 + 2 + 7 = 20 De la misma manera en el tercer gráfico: 3° gráfico: x + 7 + 3 + 4 = 19 x + 14 = 19  & x = 5

Multiplicando en una fila el primer por el tercer número, nos da el número central: 1° fila: 10 × 8 = 80 2° fila: 5 × 9 = 45 3° fila: x = 12 × 20 = 240

Nivel intermedio Determina el valor de «x».

5.

4

5

17

2

8

6

22

5

3

1

16

4

9

0

x

6



Multiplicando en una fila el primer por el segundo número, sumado con el tercero, nos da el 4° número: 1° fila: (3 × 4) + 5 = 12 + 5 = 17 2° fila: (2 × 8) + 6 = 16 + 6 = 22 3° fila: (5 × 3) + 1 = 15 + 1 = 16 4° fila: x = (4 × 9) + 0 = 36 + 0 = 36

12

7

9

11

9

13

3

x

5

13

6

Sumando los números de cada círculo restándolo con el de abajo, nos da como resultado el número central: 1° gráfico: (12 + 6) – 5 = 18 – 5 = 13 2° gráfico: (9 + 7) – 13 = 16 – 13 = 3 De la misma manera en el tercer gráfico: 3° gráfico: x = (11 + 9) – 6 = 20 – 6 = 14

3.

Encuentra «x» en la siguiente distribución. 6

5 4

5

10 7

11 3

6.

x 3 9

2 4



20 9

Multiplicando los números de los brazos y restando con el producto de los números de las piernas: 1° muñeco: (4 × 10) – (5 × 7) = 5 2° muñeco: (11 × 3) – (3 × 9) = 6 De la misma manera para el tercer muñeco 3° muñeco: x = (2 × 20) – (4 × 9) = 40 – 36 = 4

Encuentra el valor de «x» en la distribución. 6

2

5

15

8

4

6

12

12

3

2

8

84

12

11

x

Realizando las siguientes operaciones: 1° fila: (6 ÷ 2) × 5 = 3 × 5 = 15 2° fila: (8 ÷ 4) × 6 = 2 × 6 = 12 3° fila: (12 ÷ 3) × 2 = 4 × 2 = 8 4° fila: (84 ÷ 12) × 11 = 7 × 11 = 77



16

3 DISTRIBUCIONES NUMERICA - RL.indd 16

19/11/19 16:57

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

3

Halla el valor de la incógnita en la siguiente distribución.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

2.

Básico

Intermedio

7.

Razonamiento lógico

Avanzado

Calcula «x2» en la siguiente distribución.

7



49 2

8

x 1

13

5

Realizando las siguientes operaciones: 1° gráfico:  (7 – 2)2 = 52 = 25 2° gráfico:  (8 – 1)2 = 72 = 49 De la misma manera en la tercera fila: 3° gráfico:  x = (13 – 5)2 = 82 = 64 Entonces: x2 = 642 = 4096

Encuentra el valor de la incógnita en la distribución.

3

8

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

30 6

13 7

6



2

5

3



Calcula la suma de cifras del valor que toma la incógnita en la siguiente distribución.



50

5

9

15 60

5

6

12 x

65

x

26

49

x

8

5

9

3

9

2

3

6

8

4

6

1

12. Encuentra

7

Realizando las siguientes operaciones: 1° gráfico: (8 × 5) + 10 = 40 + 10 = 50 2° gráfico: (9 × 5) + 15 = 45 + 15 = 60 De la misma manera, haciendo esto en el tercer gráfico: 3° gráfico: (6 × 7) + 12 = 42 + 12 = 54 x = 54 Suma de cifras: 5 + 4 = 9



13

Realizando las siguientes operaciones: 1° gráfico: (8 – 5) × (3 + 6) = 3 × 9 = 27 3° gráfico: (9 – 2) × (6 + 1) = 7 × 7 = 49 De la misma manera para el segundo gráfico: 2° gráfico: (9 – 3) × (8 + 4) = 6 × 12 = 72 x = 72 Suma de cifras: 7 + 2 = 9

Nivel avanzado

10

9

27



8

23

la suma de cifras de la incógnita en la siguiente distribución.

Realizando las siguientes operaciones: 1° gráfico: (8 × 6) – (6 × 3) = 48 – 18 = 30 2° gráfico: (7 × 3) – (2 × 4) = 21 – 8 = 13 De la misma manera en tercer gráfico: 3° gráfico: (13 × 5) – (7 × 6) = 65 – 42 = 23

9.

11

11. Calcula

6

7

13

5



x

4

12

Realizando las siguientes operaciones, suma de cifras: 1° fila: (1 + 2) + (1 + 1) = 3 + 2 = 5 2° fila: (2 + 3) + (1 + 3) = 5 + 4 = 9 De la misma manera para la tercera fila: 3° fila: (6 + 5) + (2 + 6) = 11 + 8 = 19

8.

el valor de «x». Unidad 1

25

10. Encuentra

x + y en la siguiente distribución.

4

12 10 30

6

x 2

y

Según el gráfico, se observa que cada número se multiplica por 5 con el sector opuesto correspondiente, por lo tanto: x = 4 × 5 = 20 y = 12 × 5 = 60 x + y = 20 + 60 = 80



17

3 DISTRIBUCIONES NUMERICA - RL.indd 17

19/11/19 16:57

Refuerzo en casa

Encuentra el valor de «x».

8.

Nivel Básico

4

5

30

6

x

a. 13

80

5

23

92

2

x

5

3

x

c. 34

30 20

d. 36

8

14

24

a. 13

6 c. 72

20

10. Calcula

4

10

5

17

2

10

3

17

4

x

c. 16

4



a. 6

2

6

7

10

8

3

5

2 b. 4

a. 3

16

216

48

10



c. 5

12. Encuentra

16

7

12

d. 6

48

8

20

a. 3

9

a. 11

8

19

c. 20

36

49 13

b. 15

6

12

6

5

7

8

9

1

x

b. 4

d. 216

c. 5

d. 6

x

c. 17

el valor de «x» en:

15 15

d. 0

Encuentra el número que falta. 25

c. 125

x

el valor de «x».

9

13. Halla

b. 32

16

68

Nivel destacado

5

a. 36

4

72

125

b. 64

x

Halla el valor de «x».

15

3 d. 7

53

a. 36

Nivel intermedio

10

5

el valor de «x» en la distribución.

15 7

8

d. 11

28 2

3

c. 6

Encuentra el valor de «x» 6

d. 17

Nivel avanzado



6

c. 10

4

16

x

b. 5

a. 4

x

b. 15

x

d. 26

12 6

15

9

22

8

6 c. 15

6

Halla el valor de «x».

2

10

el número faltante en la distribución.

11. Encuentra

b. 10

12

b. 11

d. 32

5

6

7.

2

5

b. 5

d. 45

3

3

6.

1

Halla el valor de «x» en la distribución.

9.

9 c. 63

8 9 b. 54

a. 13

5.



Encuentra el número que falta en la siguiente distribución.

4.

8

3

13

Encuentra el valor de «x».

a. 108 3.

2 7 b. 56

a. 36 2.

2

Determina el número que falta.

64

81

a. 9

10

4

4

3

6

9

2

4

12

8

2

x

b. 8

c. 11

d. 12

Respuestas

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12 13

d. 21

c

a

d

b

a

c

c

c

b

c

d

b

a

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

1.

18

3 DISTRIBUCIONES NUMERICA - RL.indd 18

23/11/2019 08:48:54

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Razonamiento inductivo Unidad 1

Razonamiento inductivo: La inducción es un tipo de razonamiento que consiste en analizar casos particulares y sencillos que tengan las mismas características para luego llegar a una fórmula general que nos permitirá resolver un determinado ejercicio mediante un proceso más simple. Para llegar a una fórmula general, se deben analizar por lo menos tres casos particulares:

1. Determina la cantidad de esferas que hay en la figura 30. ... Fig. 1



1° Caso Casos Particulares

Fig. 2

Fig. 3

Figura Caso General

2° Caso

Fig. 1

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

1+2+3=6

2 A = ^333f33 h 144444424444443 25 cifras

Solución: Operación Suma de cifras 9=9×1

1 cifra



18 = 9 × 2

2 cifras



2 3° Caso:  ^333h =110889 27 = 9 × 3 [

3

= 3 × 4 + 16 = 28

Calcula el valor de 15 . Para resolver este tipo de problemas, vamos a inducir un método general, de la siguiente manera:

225 = 9 × 25

25 cifras

Por lo tanto, la suma de cifras del resultado es 225. Observaciones: Para resolver ejercicios de razonamiento inductivo, nos vamos apoyar de las siguientes fórmulas: n (n + 1) a. S = 1 + 2 + 3 + ... + n  & S = 2 n ( n + 1) (2n + 1) b. S = 12 + 22 + 32 + ... + n2  & S = 6 RS V2 + n ( n 1) WW WW c. S = 13 + 23 + 33 + ... + n3  & S = SSS 2 T X

=1×2+4=6 = 2 × 3 + 9 = 15

3 cifras



1

2

h

2

Fig. 3 Luego, el número de esferas en la figura 30 es: 30 (31) 1 + 2 + 3 + ... + 30 = =465 2 Por lo tanto, la figura 30 tiene 465 esferas.

2. Si:



^333f33 h = 1444442444443

1

Fig. 2

Ejemplo: Calcula la suma de cifras de la siguiente operación:

2 2° Caso:  ^33h = 1089 X

N° de esferas

1+2=3

3° Caso

2 1° Caso:  ^3h = 9 V

Fig. 4

1

= 1 × (1 + 1) + (1 + 1)2 = 6

2

= 2 × (2 + 1) + (2 + 1)2 = 15

3

= 3 × (3 + 1) + (3 + 1)2 = 28

Luego: 15 = 15 × (15 + 1) + (15 + 1)2 15 = 15 × 16 + (16)2 15 = 496



19

4 RAZONAMIENTO INDUCTIVO.indd 19

22/11/2019 18:48:39

Básico

Practica lo aprendido

Nivel intermedio

Nivel básico

4.

E = (6666f66)2 14444444244444443

Calcula el valor de la siguiente expresión:

100 cifras

B = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 120 Un término  & 1 =

Casos particulares    Suma de cifras (6) 2 = 36 9 = 9 3 1 W

1#2 2

2#3 2 3#4 3 términos  & 1 + 2 + 3 = 6 = 2 Entonces para sumar hasta 120, realizamos la siguiente operación 120 (121) 1 + 2 + 3 + 4 + … + 120 = = 7260 2 2 términos  & 1 + 2 = 3 =

1 cifra

(666)2 =443 556 144424443

27 = 9 3 3

3 cifras

5.

Por lo tanto, para el resultado pedido, tenemos 100 cifras, entonces: Suma de cifras = 9 × 100 = 900 Halla la suma de cifras del siguiente resultado.

Determina la suma de cifras del siguiente resultado.

F = (7777f77) # (9999f99) 144444424444443 14444444244444443 50 cifras

C = ( 11 111 111 )2

Casos particulares    suma de cifras • 1° Caso (1 cifra) 7 × 9 = 63 9 = 9 × 1 • 2° Caso (2 cifras) 77 × 99 = 7623 18 = 9 × 2 • 3° Caso (3 cifras) 777 × 999 = 776223 27 = 9 × 3 Caso general (50 cifras): Suma de cifras = 9 × 50 = 450

Caso 1  & 12 = 1  1 = 12 Caso 2  & 112 = 121  4 = 22 Caso 3  & 1112 = 12321  9 = 32 2 Entonces lo pedido será 8 = 64, puesto que son 8 cifras uno.



3.

50 cifras

Halla el valor de “n” en la siguiente expresión: D = 1 + 3 + 5 + f = 400 14444444244444443 "n" tér min os

Realizamos el siguiente análisis: S= = 1 = 12 1 S

6.

+3 1Y

1#2#3#4+1 = 5

2 # 3 # 4 # 5 + 1 = 11 3 # 4 # 5 # 6 + 1 = 19 Determina el valor de

10 # 11 # 12 # 13 + 1 .

Inducimos la solución de la siguiente manera:

1 tér min o

S=

Si:

= 4 = 22

1° caso:  5 =

2 tér min os

+ 3 + 5 = 9= 32 S = 114444 244443 3 tér min os

S = 1 + 3 + 5 + 6 + 7 +… = n2 144444444424444444443

1#2#3#4+1 = 1 × 4 + 1

2° caso:  11 =

2#3#4#5+1 = 2 × 5 + 1

3° caso:  19 =

3#4#5#6+1 = 3 × 6 + 1

Nos piden:

n tér min os

& n2 = 400  & n = 20

10 # 11 # 12 # 13 + 1 = 10 × 13 + 1 10 # 11 # 12 # 13 + 1 = 131





20

4 RAZONAMIENTO INDUCTIVO.indd 20

22/11/2019 18:49:15

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

2.

18 = 9 3 2

2 cifras



(66) 2 = 4 356 Z

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

1.

Indica la suma de cifras del siguiente resultado.

Básico

Intermedio

7.

Razonamiento matemático

Avanzado

9.

Halla el total de esferas que hay en el siguiente arreglo.

1 2 3



1 2 3

18 19 20

98 99 100

# de esferas



1#2 & 1 = 1 = 2 2#3 & 2 = 3 = 2

Casos particulares   # de esferitas & 1 = 12

3#4 & 1 + 2 + 3 = 6 = 2 & 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Unidad 1

Calcula la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo triangular.

4#5 2

1 2

& 4 = 22

1 2 3

& 9 = 32

h & 1 + 2 + 3 + ... + 100 100 # 101 = = 5 050 2 1 2

Luego lo que nos piden será:  202 = 400

99 100



10. ¿Cuántos

cuadrados hay en la siguiente figura?

Nivel avanzado 8.

Determina la cantidad de sombreados en la figura 20.

círculos

no 1 2 3

33 34 35

...

Figura 1

Figura 2

Figura 3



Figura 1 1 círculo sombreado Figura 2 2 círculos sombreados Figura 3 3 círculos sombreados    h Figura 20 20 círculos sombreados Por otro lado, el total de esferas en la figura 20 es: 21 # 22 1 + 2 + 3 + … + 21 = = 231 2 Luego, la cantidad de esferas sin sombrear es: 231 – 20 = 211

Casos particulares   # de cuadrados 1

& 1 = 12

1 2

& 4 = 22

1 2 3

& 9 = 32

Luego para lo pedido, se tendrá que # de cuadritos pequeños:  352 = 1 225

21

4 RAZONAMIENTO INDUCTIVO.indd 21

22/11/2019 18:49:32

Refuerzo en casa

¿Cuántos palitos de fosforo se necesitan para formar la figura 20?

8.

Nivel Básico Calcula “E” y dar como respuesta la suma de sus cifras. E = (333f333)2 144444424444443

1.

a. 1 600 2.

b. 1 500

c. 1 800

d. 1 700

Determina la suma de cifras del resultado.



Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

b. 445

a. 455

c. 441

80 tér min os

b. 640

a. 720 3.

30

c. 810

d. 630

Fig. 1

(666f666666)2 144444444424444444443

4.

b. 1 440

c. 1 530

d. 1 350

15

35 40

Fig. 3

Fig. 4

b. 2 525

10. Calcular el valor de E =

a. 9 700

¿Cuántos triángulos unitarios hay en la figura 15?

45 50

20 25

Fig. 2

a. 2 025

150 tér min os

a. 1 450

10

5

Calcula la suma de cifras del resultado de:



d. 440

En la figura 10, determina la suma de todos los numero de la siguiente secuencia.

9.

(999f9999)2 1444444442444444443



...

b. 9 705

c. 2 225

d. 2 200

97 3 98 3 99 3 100 + 1 c. 9 701

d. 9 710

Nivel avanzado 11. Halla

Fig. 1

Fig. 2

a. 120 5.

Fig. 3

b. 240

n términos

a. 10

d. 320

¿Cuántos cuadrados unitarios hay en la figura 30?

Fig. 1

a. 800

Fig. 2

b. 900

a. 601

b. 600

13. Halla

50 cifras 100 cifras

a. 900

a. 1 285 7.

b. 1 326

b. 800

c. 700

d. 1000

el esquema

¿Cuántas bolitas habrá en S12? S1: S2: S3:

Fig. 3

c. 1 350

50 cifras 100 cifras

Nivel destacado

... Fig. 2

d. 700

f777777 # 9999f99999999 P = 7777 1444444442444444443 1444444444442444444444443

d. 850

¿Cuántas esferas hay en la figura 50?

Fig. 1

c. 706

la suma de cifras del producto siguiente

14. Dado



d. 13

el valor de “E” y dar como respuesta la suma de sus cifras. E = (333...334)2

Nivel intermedio 6.

c. 12

100 cifras

Fig. 3

c. 100

b. 11

12. Calcular

...

E = 1 + 8 + 27 + 64 + ... = 3 025

...

Fig. 4

c. 260

el valor de “n” en la siguiente expresión.

S4: ...

d. 1 355

¿Cuántos cuadrados unitarios hay en la figura 100? a. 4 097

Fig. 1

a. 104

Fig. 2

b. 125

Fig. 3

c. 268

... d. 302

b. 4 090

c. 4 094

d. 4 095

Respuestas 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14

c

a

d

a

b

b

d

d

b

c

a

a

a

d

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

200 tér min os

22

4 RAZONAMIENTO INDUCTIVO.indd 22

23/11/2019 08:50:37

Básico

Intermedio

Razonamiento lógico

Avanzado

Relación de parentesco Los problemas sobre relación de parentesco son situaciones que se refieren al número de miembros de una familia y al parentesco que existe entre ellos.

Ejemplo: Una familia está compuesta por un padre, dos hermanos y dos hijos. ¿Cuántas personas, como mínimo, componen dicha familia?

1. Problemas sobre identificación de parentesco El objetivo de este tipo de problemas es identificar la relación de parentesco (consanguinidad o afinidad) entre diversas personas. Ejemplo: Andrea y Luis son hermanos, Katy es la hija de Luis. Si Andrea se casa con José, ¿Qué parentesco tendrá Katy con José? Luis

Andrea

José

Papá Katy tíos

Respuesta: Si José se casa con Andrea, José se convertiría en tío de Katy. Procedimiento para resolver problemas sobre identificación de parentesco Para este tipo de problemas se sugiere comenzar el análisis de la parte final de forma regresiva hasta el inicio de este. Ejemplo: ¿Qué parentesco tiene conmigo la nuera de la mamá de mi madre? Respuesta: Será mi tía. La nuera de la mamá de mi madre

Padre Padre

Hijo n° 1

1. ¿Una familia está compuesta por un padre, una madre, una tía, un tío, un hermano, una hermana, un sobrino, una sobrina y dos primos en total. ¿Cuántas personas, como mínimo, conforman dicha familia? Observamos que bastan 4 personas para poder describir a todos los integrantes de dicha familia. hermano

Mi abuela



hermana

Mi tia

hijo

a rin b so

tía so br in o

Madre

tío

hija

2. Problemas sobre mínima cantidad de integrantes de una familia El objetivo de este tipo de problemas es describir a todos los integrantes de una familia con el mínimo número de personas. Es decir, se debe buscar que cada integrante de la familia asuma la mayor cantidad de roles.

Hijo n° 2

Hermanos

Respuesta: Podemos observar con ayuda del esquema, que con tan sólo tres personas es posible describir a todos los integrantes de dicha familia. Pues los hijos hacen el rol de hermanos. Procedimiento para resolver problemas sobre mínima cantidad de integrantes de una familia Para este tipo de problemas se sugiere iniciar reconociendo la cantidad de generaciones que integran la familia, e ir ubicando la cantidad de integrantes que pertenecen a la generación de mayor y menor jerarquía, finalmente completar el resto de las relaciones de parentesco.

Padre

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

hermanos

Unidad 1

Relación de parentesco

prima primo



23

5 RELACIÓN DE PARENTESCO - RL.indd 23

19/11/19 16:58

Básico

Practica lo aprendido

4.

Nivel básico 1.

¿Qué relación familiar tiene conmigo Lola, si su madre fue la única hija de mi madre?

Una familia que se compone 2 madres, una hija y 3 hijos, 2 abuelo, una abuela, 2 nietos, esposos una nuera ¿Cuántas como mínimo?

de 2 padres, hermanos un una nieta, 2 personas son

Mi madre Los abuelos

Madre de lola sobrina

hijo, padre

hija, nieta, hermana

Lola nieto, hermanos

Por lo tanto, lola es mi sobrina. 2.



Nivel intermedio 5.

padre

Por lo tanto, la cantidad mínima son de 7 personas.

¿Qué parentesco tiene Carlos con la madre del esposo de la madre de su hermano?

Abuela de Carlos

hermano

hija

Padre

Madre

Carlos

hermano

Por lo tanto, es mi padre. 3.

Ramón es el único hijo del abuelo de Fabricio y María es la hija de Ramón. ¿Qué es Fabricio de María?

6.

Abuelo de Fabricio

Por lo tanto, es la abuela de Carlos. Víctor se pregunta ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre?

Mamá de Victor

Ramon

María hermanos

Victor

Fabricio

Por lo tanto, Fabricio y María son hermanos.

esposos

Madre

Por lo tanto, es la hija de Victor.

hija

24

5 RELACIÓN DE PARENTESCO - RL.indd 24

22/11/2019 18:51:05

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

¿Qué es de mí el abuelo paterno de la hija de mi único hermano?

Yo

nuera

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Yo

Básico

Intermedio

7.

Razonamiento lógico

Avanzado

Un padre, un hijo Un hijo, un nieto

Luz (Mamá de Lucho)

Lucho

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Un padre

(Abuela de Lucho)

Luisa

8.

una reunión se encuentran dos padres, dos hijos y un nieto ¿Cuántas personas, como mínimo, se encuentran en dicha reunión?

Mamá de Luisa

Luis



10. En

Por lo tanto, Luis es tío abuelo de Lucho. En una sala asistieron un esposo, una esposa, 3 hermanos, una madre, dos padres, 4 hijos, una nuera, un suegro, dos cuñados, una cuñada, un nieto, un abuelo, 2 tíos y un sobrino. ¿Cuál es la cantidad mínima de personas que integran esta sala?

Unidad 1

Luis es tío materno de Luisa. Luisa es hermana de Luz y Luz es madre de Lucho. ¿Qué es Luis de Lucho?

Por lo tanto, la cantidad mínima son de 3 personas. Nivel avanzado 11. En

un avión viajan dos papás, dos mamás, tres hijos, un abuelo, una abuela, un tío, un sobrino, dos hermanos, un nieto, una suegra, un suegro, una nuera y un cuñado ¿Cuántas personas como mínimo viajan en dicho avión?

abuelos 1 suegro, 1 abuelo

suegros hijos

Esposa, madre, nuera, cuñada

tío 3 hermanos, 3 hijos, 2 tios, 2 cuñados

1 nieto, 1 hijo, 1 sobrino

Por lo tanto, la cantidad mínima son de 6 personas. 9.

Por lo tanto, la cantidad mínima son de 6 personas. 12. La

mamá de Luisa es la hermana de mi padre. ¿Qué representa para mí el abuelo materno del mellizo de Luisa?

¿Qué viene hacer de mí, el hijo del hijo de la tía de mi padre?

Abuelo de Luisa

Tía - abuela

Padre

Yo



Tío

hermanos

Primo

Por lo tanto, es mi primo.

yo

Mamá de Luisa

Luisa

Mellizo de Luisa

Por lo tanto, es mi abuelo.

25

5 RELACIÓN DE PARENTESCO - RL.indd 25

22/11/2019 18:51:28

Refuerzo en casa

10. En

un accidente automovilístico sucedió tremenda tragedia: una familia por completo falleció en un accidente de tránsito; murió el bisabuelo, la bisabuela, los 3 padres y las 3 madres, el tío y la tía, el hijo y las 3 hijas, los 2 suegros y las 2 suegras, el nieto y las dos nietas el cuñado y la cuñada, además murió el abuelo ¿Cuántas personas fallecieron como mínimo?

Nivel Básico

2.

3.

4.

¿Qué parentesco tiene conmigo, el hijo de la hermana de mi hermana a. hijo

c. hermano

b. sobrino

d. primo

¿Qué viene a ser de mí el papá de la mamá de la hermana de mi hermano? a. mi papá

c. mi abuelo

b. mi tío

d. mi hermano

a. 9

a. él mismo

c. su papá

b. el nieto

d. su abuelo

a. 6

11.

Si se sabe que Ana es sobrina de Luisa, y hermana de Angelica, la que a su vez es madre de Leonela. Si Ana no es hija de Angelica, ¿Qué relación existe entre Ana y Leonela?

8.

c. 10

d. 11

señorita Andrea, al mirar un álbum de fotos familiar, observa con detenimiento la fotografía de un hombre, le preguntó a su padre, quien es hijo único, y el respondió "la madre de ese hombre era la suegra de mí madre". ¿Qué parentesco hay entre la señorita Andrea y el hombre de la fotografía?

a. es su hermana

c. es su abuela

b. es su hija

d. es su mamá

a. soy su hijo

c. soy su esposo

b. soy su hermano

d. soy su sobrino

El hermano de Juana tiene un hermano más que hermanas ¿Cuántos hermanos más que hermanas tiene Juana?

b. son primos

d. padre - hijo

La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi

b. hija - padre

d. suegra - yerno

a. Mi tía

c. Mi sobrina

b. Mi prima

d. Mi madre

Nivel destacado 15. No

es cierto que Javier no sea sobrino de Alan, quien es tío de Paul. Si es falso que Paul y Javier sean hermanos y además; Javier y Martha son hermanos, entonces:

El parentesco que existe entre el tío del hijo del tío de Andrés y el hijo del tío de Andrés, es c. nieto - abuelo

c. nieta - abuelo

abuelos maternos Carlos y Mery tuvieron tres hijos, dos mujeres y un hombre. ¿Qué representa para mí, la tía del hijo de la hermana de mí madre?

d. 6

a. tío - sobrino

a. sobrina - tío 14. Mis

¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre, si yo soy hijo único?

a. Paul es pdre de martha.

Obs: Andrés tiene un solo tío

9.

b. 8

a. 9

Ricardo se jactaba de tratar muy bien a la suegra de la esposa de su hermano ¿Por qué?

c. 5

d. 9

13. La

Nivel intermedio

b. 4

c. 8

esposos Mendoza tienen 4 hijos varones. Cada hijo tiene una hermana y casa hermana tiene 3 sobrinos ¿Cuál es el número mínimo de personas que conforman esta familia?

d. Ana es la tía de Leonela

a. 3

b. 7

12. Los

c. Ana es la prima de Leonela

7.

d. 10

Nivel avanzado

¿Qué representa para Gabriel el único nieto del abuelo del padre de Gabriel?

b. Ana es la hermana de Leonela

6.

c. 11

Una familia consta de dos padres, dos madres, cuatro hijos en total, dos hermanos, una hermana, un abuelo, una abuela, dos nietos, una nieta, dos parejas de esposos y una nuera ¿Cuántas personas, como mínimo, conforman dicha familia

a. Ana es la sobrina de Leonela

5.

b. 8

b. Paul y Martha son esposos. c. Martha es nieta de Alan. d. Martha y Paul son primos. Respuestas

a. hija

c. nieta

1

2

b. madre

d. sobrina

b c

3

4

5

6

7

8 9 10 11 12 13 14 15

c d d c

a

a d a b c b d d

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

1.

26

5 RELACIÓN DE PARENTESCO - RL.indd 26

23/11/2019 08:51:48

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Conteo de figuras Consiste en la determinación de una máxima cantidad de figuras de un determinado tipo (segmentos, triángulos, cuadrados, cubos, etc.), presentes en una figura dada. En este capítulo estudiaremos las técnicas básicas para determinar la cantidad de figuras del determinado tipo. Conteo directo Se reduce a asignar letras o números a las figuras simples, luego se procede al conteo creciente y ordenado de figuras de 1 número o letras, al unir figuras de dos números o letras, y así sucesivamente.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

1. Conteo de triángulos Ejemplo: I. Determina la cantidad total de triángulos que hay en la figura.

Conteo inductivo Este método se aplica a casos particulares, encontrando una ley de formación, para luego generalizar. Ejemplo: I. Calcula la cantidad de cuadrilateros en:

Figura 1

Figura 2

Unidad 1

Conteo de figuras

Figura 3

II. Del enunciado, empieza de lo particular a lo general: f1 =

_ 1 (1 + 1) i

fn =

_n (n + 1) i

2

=1 4 2 _2 (2 + 1) i =9 f2 = 4 2 _ 3 (3 + 1) i = 36 f3 = 4 2

II. Enumera las figuras simples (de una sola pieza) que componen la figura mayor, así:

4 Por lo tanto:

_ 10 (10 + 1) i

2

2 1



4

f10 = 3

•• Triángulos de una pieza:1; 2; 3; 4:   4 •• Triángulos de dos piezas: 24:    1 •• Triángulos de tres piezas: 243:    1 •• Triángulos de 4 piezas: 1234:    1 � Total de triángulos:    7 2. Conteo de cuadrados Ejemplo 1: I. Determina la cantidad total de cuadrados que hay en la siguiente figura. II. Enumera las figuras simples (de una sola pieza) que componen la figura mayor, así:



�

a c d

= 3 025

Conteo de triángulos Para un arreglo de triángulos de la forma:

1

2 3

...

n–1 n

Total de triángulos =

n (n + 1) 2

Ejemplo: Calcula el total de triángulos en la figura:

b e

•• Cuadrados de una pieza: b: •• Cuadrados de dos piezas: ac, cd: •• Cuadrados de cinco piezas: abcde: � Total de cuadrados:

6 CONTEO DE FIGURAS RM.indd 27

4

1 2 1 4

1 2 3

...

13

n = 13 Total de triángulos =

13 (13 + 1) = 13 × 7 = 91 2

27

22/11/2019 18:54:32

Básico

Caso especial Para un arreglo de triángulos como el anterior, consistente de «N» pisos, tenemos:

1. Determina la cantidad de figuras en cada caso. a. Total de triángulos

N 4 3 2

3

4

n–1 n

...



2 1

Según la fórmula anterior: n (horizontal): 8 N(vertical): 5 RS V 8 (8 + 1) WW S S WW × 5 = 180 Total de triángulos:  S 2 T X

SR n (n + 1) WWV WW × N Total de triángulos = SSS 2 T X Número de cuadriláteros

b. Total de segmentos

n ...





Según la fórmula anterior: ...

1

m

RS V R V n (n + 1) WW SS m (m + 1) WW Total de WW # SS WW = SSS 2 2 cuadriláteros T X T X

2

3

4 5 6 7 8 9 10 11 12

RS V 12 (12 + 1) WW S S WW = 78 Total de segmentos: S 2 T X

c. Total de paralelepípedos

Número de paralelepípedos



n 2 1





Según la fórmula anterior: n= 4, m = 6, p = 4 Total de cuadriláteros RS V R V R V SS 4 (4 + 1) WWW # SSS6 (6 + 1) WWW # SSS 4 (4 + 1) WWW SS WW SS WW SS WW 2 2 2 T X T X T 3 X Total de paralelepípedos = 10 = 1000

P 1

2

...

m 1

2

SRS n (n + 1) WVW SRS m (m + 1) WVW SRS p (p + 1) WVW SS WW # SS WW # SS WW 2 2 2 T X T X T X

Número de cubos

d. Total de triángulos

n





2 1

n 1 2

... n 1

2

RS V2 n (n + 1) WW WW Total de cubos = SSS 2 T X



Colocando letras a las figuras simples: 1 letra: a, b, c: 2 letras: bc, bd, af, ce: b c 3 letras: bdg, abd: a d 5 letras: abdfg, bcdeg: e f g 7 letras: abcdefg: Total:

3 4 2 2 1 12

28

6 CONTEO DE FIGURAS RM.indd 28

22/11/2019 18:54:53

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3 2 1 2 3

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1

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Practica lo aprendido

3.

1.

Determina el total de triángulos en la siguiente figura.

Unidad 1

Nivel Básico

¿Cuántos cuadriláteros convexos se observan en la siguiente figura?

Colocando letras a las figuras simples:



a

De la gráfica:

d

2

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1

4

3

c

5 3 1



e

f

g

1 letra: d = 1 2 letras: ce, dg, ed = 3 = 1 3 letras: dbg = 1 4 letras: abdg 7 letras: abcdefg = 1 Total: 1 + 3 + 1 + 1 + 1 = 7

2

Triángulos: 5#6 1° nivel: = 15 2 3#4 2° nivel: =6 2 Al unir los triángulos del 1° y 2° nivel se forman otros 3, así: Total: 15 + 6 + 3 = 24 triángulos 2.

b

Nivel intermedio 4. Determina la cantidad de segmentos que hay en la siguiente figura.

¿Cuántos triángulos en total hay en la siguiente figura?

Colocando letras a las figuras simples: h

a b

c

i j d

k

Partiendo a la figura, tenemos: 1° segmento: a

e f

g

Total: 1 letra: b, c, f, g, h, i, j, k = 8 2 letras: hi, ik, kj, hj = 4 4 letras: cdjk, dfjh, cdfj, ikeg, abhi = 5 Total: 8 + 4 + 5 = 17 triángulos

b

4#5 = 10 2

c d

2° segmento: a b

c

d

e

f

g

7#8 = 28 2 Total de segmentos: 10 + 28 = 38

Total:



29

6 CONTEO DE FIGURAS RM.indd 29

22/11/2019 18:55:08

Básico

Determina la cantidad de triángulos en la siguiente figura.

a

b

8.

Determina la cantidad total de segmentos. 1 2 3 4

c

h

d



Para los triángulos: 7 (7 + 1) 4 (4 + 1) Izq.: = 28 Arriba: = 10 2 2 3 (3 + 1) 5 (5 + 1) Der.: = 6 Abajo: = 15 2 2 En el cuadrado central: 1 letra: a, b, c, d: 4 2 letras: ab, bc, cd, da: 4 Total: 28 + 10 + 6 + 15 + 4 + 4 = 67

9

Total de segmentos: RS6 (6 + 1) VW WW = 189 Horizontal: 9 × SSS W 2 RS10 T(10 + 1) VW X WW = 275 Vertical: 5 × SSS W 2 T X Total: 275 + 189 = 464 segmentos 9.

¿Cuántos paralelepípedos hay en la siguiente figura?

6.

¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

Para los cuadriláteros: 2 letras: ab, bc, ce, cd: 3 letras: bce, cde: 4 letras: bcde: 5 letras: abcde: Total: 4 + 2 + 1 + 1: 8

4 2 1 1

d

a c b

e

7.

¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?



n= 4, m = 4, p = 3 N° de paralelepípedos RS n (n + 1) VW RS m (m + 1) VW RS p (p + 1) VW SS WW # SS WW # SS WW S W S W S W 2 2 2 T R X VT R XV TR XV S4 (4 + 1) WW SS4 (4 + 1) WW SS 3 (3 + 1) WW W#S W#S W = SS S W S W S W 2 2 2 T X T X T X = 10 × 10 × 6 = 600 Hay 600 paralelepípedos.

10. ¿Cuántos

triángulos hay en la figura?

Total de triángulos. Horizontal: 8

Vertical: 6 SR8 (8 + 1) WVW WW Total de triángulos = 6 × SSS 2 T X Total de triángulos = 6 × [36] Hay 216 triángulos en total

Según la figura:  m = 7 n=6 Total de cuadriláteros: R V R V SSS n (n + 1) WWW # SSS m (m + 1) WWW S W S W 2 2 T X T X Total de cuadriláteros = 3 × 7 × 7 × 4 = 588



30

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22/11/2019 18:55:39

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5.

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Refuerzo en casa

¿Cuántos cuadriláteros NO contienen ningún * ?

7.

1.

Unidad 1

Nivel Básico

b

Determina la cantidad total de triángulos en la figura.

c

d e g

a. 9 b. 8 c. 11 d. 10 Encuentra la cantidad de paralelepípedos en la siguiente figura.

8.

2.

a. 40 b. 37 c. 35 d. 32 ¿Cuántos triángulos, con solo UN asterisco, hay en la figura? a. 20 b. 60 c. 125 d. 900 ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?

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9.

3.

* *

a. 5 b. 6 c. 7 d. 9 Determina la cantidad de cubos en la siguiente figura a. 8 b. 6 Nivel avanzado 10. ¿Cuántos

c. 5

d. 9

segmentos hay en la figura?

a. 15

b. 16

c. 12

d. 9

Nivel intermedio 4. Si «s» es la cantidad de segmentos en la figura, determina s2 1

5.

2

3

4

f

15

a. 225 b. 105 c. 11 025 d. 120 ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?

a. 59

b. 21

6.

d. 50

Nivel destacado (UNI 2009 - I) 11. ¿Cuántos

a. 63 b. 68 c. 71 d. 78 Halla la cantidad de segmentos que se muestra en la figura.

c. 28

triángulos tiene por lo menos un * ?

a. 6

b. 10

c. 12

d. 16

Respuestas

a. 266

b. 250

c. 300

d. 150

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

a

d

b

c

a

a

d

d

c

a

d

31

6 CONTEO DE FIGURAS RM.indd 31

23/11/2019 08:53:25

Básico

Evaluación n°1 1. ¿Cuántos cerillos cómo mínimo debes mover para que la igualdad se cumpla? Justifica tu respuesta

4. Halla la suma de cifras del resultado de la siguiente operación B= (333...33)2 48 cifras

Para hacer que se cumpla la igualdad, debemos mover un sólo cerillo:

Resolvamos por inducción: 32 = 9 � suma de cifras = 9 = 9 × 1 332 = 1 089 � suma de cifras = 18=9 × 2 3332=110 889 � suma de cifras = 27=9 × 3 Por lo tanto, para: B= (333...33)2

2. Determina la cifra terminal en la siguiente operación:

48 cifras

Por la propiedad de cifras terminales:

a

3. En el siguiente arreglo, calcula la cantidad de esferas que hay en la figura 21

Fig. 1

Fig. 2

b

Los primeros 6 números impares son: 1; 3; 5; 7; 9 y 11. Sea S = 15 la suma de cada lado, entonces: S+S+S – (a+b+c)=1+3+ ... +11 3(15) – (a+b+c) = 36 45 – 36 = a+b+c � a+b+c=9

Fig. 3

Encontremos una fórmula general para poder calcular la cantidad de esferas en la figura 21 N° de esferas 3 =

2#3 2

N° de esferas 6 =

3#4 2

Fig. 1

6. Completa la pirámide y luego determina el valor de "p+q+r" 112

Fig. 2

54 p = 28

4#5 N° de esferas 10 = 2

18

Fig. 3

q = 58

26 10

r = 16

� p = 28; q = 58 y r = 16 � p+q+r = 102

Luego, para la figura 21, la cantidad de esferas se calcula de la siguiente manera: 22 # 23 = 253 2

c



32 16

32

7 EVALUCIÓN UNIDAD1 RM -.indd 32

19/11/19 17:11

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352019 = f5 712020 = f1 162018 = f6 Luego la suma será: A = f5 + f1 + f6 = f2 Por lo tanto, la cifra terminal es 2

5. Ubica los 6 primeros números impares en el siguiente arreglo, de tal manera, que la suma de cada lado del triángulo sea 15. Calcula a+b+c.

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Suma de cifras = 9 × 48 = 432

A = 352019 + 712020 + 162018

Básico

Intermedio

Avanzado

9. ¿Quién es el hijo del hermano del hermano de mi padre, que no es mi padre? Construimos el siguiente esquema:

Mi padre

3 2

Hno. de mi padre

Unidad 1

7. Calcula el número de triángulos en la siguiente figura.

Otro Hno. de mi padre

1

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n

1

2

3

4

m

Por propiedad: n ^n + 1 h #m #△= 2 4 ^4 + 1 h #3 #△= 2 4 ^5 h # 3 = 30 #△= 2

Yo

HIjo

Por lo tanto, la respuesta es “mi primo”.

8. ¿Cuántos segmentos como máximo puedes contar en la siguiente figura?

10. La familia Alcántara está compuesta por dos esposas, dos esposos, dos padres, dos madres, una nuera, un yerno, tres nietos, dos hermanas y un hermano. ¿Por cuántas personas como mínimo está conformada la familia Alcántara? Padre, esposo

A

Madre, esposa

B

D

#seg. en AB = #seg. en BC =

Hija, nuera, madre, esposa

C

3 _4 i = 6 # 2 = 12 2

5 _6 i = 15 2 2_3i =3 #segmentos en AD = 2 Por lo tanto, el número de segmentos máximo es: 12 + 15 + 3 = 30

Hijo, yerno, padre, esposo

3 nietos (2 hermnas, 1 hermano)

#segmentos en DC =



Por lo tanto, la familia Alcántara esta conformada por 7 integrantes.



33

7 EVALUCIÓN UNIDAD1 RM -.indd 33

22/11/2019 18:57:51

Unidad 2

Básico

El objetivo principal es que cada estudiante reconozca cada uno de sus derechos y sus deberes para así poder aplicarlos en su vida cotidiana de manera asertiva. La charla terminó con dos frases relevantes: “el respeto, es la base para el entendimiento entre los seres humanos” y “cumple con todos tus deberes y gozarás de todos tus derechos”

Observamos y respondemos • ¿Qué objetivo principal se destacó en la charla? • ¿Cuál es la importancia de conocer nuestros derechos y deberes? • ¿Qué mensaje destacas con respecto a las frases finales de la charla?

Desempeños

Valores Tolerancia y autonomía

Razonamiento matemático Criptoaritmética:

Razonamiento lógico Relación temporal:

• Emplea estrategias de cálculo para completar el valor que falta en la reconstrucción de operaciones aritméticas.

• Traduce situaciones problemáticas diversas de relación temporal expresados en el lenguaje cotidiano.

Cuatro operaciones:

• Resuelve de forma estratégica problemas sobre relaciones de tiempo.

Métodos operativos:

Certezas: • Deduce de forma ingeniosa cuando se puede afirmar que una situación problemática se puede realizar con seguridad o certeza. • Diferencia cuanto un suceso es probable de ocurrir y cuando no lo es.

• Efectúa de forma lógica, problemas que combinan las cuatro operaciones. • Resuelve situaciones problemáticas usando el método del cangrejo u otros, que relacionan las cuatro operaciones aritméticas principales. Planteo de ecuaciones: • Plantea ecuaciones, traduciendo situaciones problemáticas expresadas en el lenguaje cotidiano.

34

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22/11/2019 19:03:42

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El aula de primer año de secundaria recibió una charla informativa acerca de los derechos y deberes que tienen todos los niños y niñas con la finalidad de lograr la armonía en el aula.

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Conocemos nuestros derechos y cumplimos nuestros deberes

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Criptoaritmética

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«Cripto» significa oculto, y se refiere a las operaciones matemáticas, donde las cifras (todas o algunas) se han «ocultado» por medio de una letra, un asterisco o cualquier símbolo. Este tema permite revalorar las operaciones básicas como adición, sustracción, multiplicación y división. Consideraciones generales: • abc se lee: «numeral abc». Representa a un número de tres cifras. • Un numeral no puede empezar con “0”. • Cada letra de un numeral dado representa una cifra. • A letras o símbolos diferentes corresponden cifras o dígitos también diferentes. • A letras o símbolos iguales corresponden cifras o dígitos iguales. • En el caso de guiones o asteriscos pueden tomar cualquier valor (igual o diferente a otro). • Además, la suma de dos dígitos como máximo es 18, siempre y cuando los dígitos sean iguales (9 + 9) y 17 si es que los dígitos son diferentes (9 + 8). Ejemplo: Calcula el valor de «a» a b c  + b35 c81 Solución: Para la cifra de las unidades: c + 5 = _1  & c = 6 (llevamos 1 decena) Para la cifra de las decenas: 1 + b + 3 = _8  & b + 4 = _8  & b = 4 Finalmente, para la cifra de las centenas: a + b = c  & a + 4 = 6  & a = 2

1. Si M – A = 8. Determina el valor de:

Unidad 2

Criptoaritmética:

B = MA + AM Tenemos de dato que: M – A = 8…(*) Además, M y A no pueden ser cero, puesto que forman parte de un número de dos cifras. Luego, en (*): M–A=8 & M = 9 & A = 1 (No hay otra forma de obtener una diferencia cuyo resultado sea 8) Nos piden: B = MA + AM B = 91 + 19 Por lo tanto: B = 110. 2. Halla el valor de A + B + C

Enlace En está página podrás encontrar un ejercicio modelo de Criptoaritmética. https://www.youtube.com/ watch?v=D2ScmWwdw40

2 A B C  3    3 ABC1

3 × C = ...1  & C = 7 Reemplazamos el valor correspondiente:  2 2 A B 7  3    3 AB71 3 × B + 2 = ...7  & B = 5 1 2 2 A 5 7  3    3 A571 3 × A + 1 = ...5  & A = 8 2 1 2 2 8 5 7  3    3 8571 Nos piden el valor de: A + B + C = 8 + 5 + 7  & A + B + C = 20.

35

CRIPTOARITMÉTICA.indd 35

22/11/2019 19:04:05

Básico

Practica lo aprendido

4.

Nivel básico Halla el valor de A, si:

Halla A + B + C

A B B  + 3 3 A 8 0 0 Escribimos la suma en forma vertical: A B B  + 3 3 A 8 0 0 Para las cifras de las unidades:  B + A = 10 Para las cifras de las decenas:  B + 3 + 1 = 10 Concluimos que:  B = 6 Además, si B = 6  & A = 4. Si



A 5 6 + B A B D 1 9 4



Nivel intermedio Si  UNI 3 156 = …876. Calcula la suma de las 3 últimas cifras del siguiente resultado: UNI 3 468

5.

Calcula el valor de A + B + D.

3.

De dato, tenemos que: A B 4 + 5 3 A C 2 6 C Analizando en las centenas: A = 7 y C = 1 Luego, para las decenas, se tiene que: B = 2 Entonces: A = 7; B = 2 y C = 1 Nos piden: A + B + C = 7 + 2 + 1 = 10.

Escribimos la suma en forma vertical: A 5 6 + B A B D 1 9 4 Analizando en las unidades, tenemos que: B=8 En las decenas A = 3 y en las centenas D = 1 Entonces: A = 3; B = 8 y D = 1 Nos piden: A + B + D = 3 + 8 + 1 = 12. Indica la suma de las casillas en blanco en la siguiente operación: 4 9 3 × 4

.

Tenemos que: UNI 3 156 = …876 Luego: UNI 3 468 = UNI 3 156 3 3 UNI 3 468 = (...876) 3 3 UNI 3 468 = ...628 &  Lo que piden será:  6 + 2 + 8 = 16.

6.

M = a7b + c8a + b5c

9

Ordenamos los sumandos y usamos el dato: a 7 b+ c 8 a b 5 c 2 3 2 1 Por lo tanto: a7b + c8a + b5c = 2321.

4 9 3 + 3 1 4 7 9

Luego, la suma de las casillas en blanco será: 1 + 3 + 7 = 11.



Si a + b + c = 21, determina el valor de:



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22/11/2019 19:05:40

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2.

A B 4 + 5 3 A C 2 6 C

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1.



Si  

Básico

Intermedio

Si

De las unidades: M + E + S = …S  & M + E = …0 De las decenas: M + E + S + ? = ME De donde se deduce que: M = 1; E = 9 y S = 8 Luego, M + E + S = 1 + 9 + 8 = 18.

Nivel avanzado 10.

B A3 7 C A A Determina el valor de:  A + B + C. Del dato se tiene 7 3 A = …A      5   5 & A = 5 Entonces 7 3 A = 7 3 5 = 35; se escribe 5 y se lleva 3 7 3 B + 3 = C5 & B = 6, C = 4 Finalmente: A + B + C = 5 + 6 + 4 = 15.



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8.

En la siguiente multiplicación: a b c 3 8 2 2 0 8



11.

Del dato se tiene: abc 3 8 = 2208 2208 abc = 8 abc =276; Luego: a = 2; b = 7; c = 6 Reemplazamos:  bc – ab = 76 – 27 &  bc – ab = 49.

Calcula ca – bc si se cumple que: a b c 3 9 2 1 3 3



12.

* 3 8 * + * *

Observando y analizando tenemos que: 8 3 ** = **# de 2 cifras 9 3 ** = ***# de 3 cifras Se deduce que el multiplicando es 12 luego reconstruyendo la operación: 1 2 3 9 8 9 6 + 1 0 8 1 1 7 6 Suma de cifras: 1 + 1 + 7 + 6 = 15 Si 3(abc) = 2bc1; Calcula el valor de “a” a b c 3 a b 7 3 3 3 & 2 b c 1 2 b 7 1 & 3b + 2 = …7  & b = 5 También, 3a + 1 = 25  & a = 8 Por lo tanto, el valor de a es 8.

abc 3 9 = 2133  &  abc = 237 Luego: a = 2; b = 3; c = 7 `  ca – bc =72 – 37 = 35.



Halla la suma de cifras del producto en: * 9 * * * * * *

Calcula:  bc – ab.

9.

A, B y C son dígitos en la multiplicación:

Unidad 2

MM+ E E S S ME S Calcula M + E + S

7.

Razonamiento matemático

Avanzado



37

CRIPTOARITMÉTICA.indd 37

22/11/2019 19:07:27

Básico

Refuerzo en casa

Nivel avanzado

Nivel básico

10.

Si 3 × N = …18; calcula la suma de las dos últimas cifras en las que termina N. b. 2

a. 4 2.

Si 

3

b. 18

c. 20

d. 25

Si: (a + b)4 = 81

Halla:  ab + ba a. 55 b. 99

c. 66

d. 33

Si (a + b)2 = 169, determina el valor de ab + ba. a. 143

c. 131

b. 133 5.

Si (a + b+

d. 154 c)5

= 32,

calcula: abc + bca + cab a. 333 c. 222 b. 332 d. 221 6. Indica la menor cifra significativa encontrada en: 7 8 5 3 5 a. 1 7.

b. 2

a. 12

c. 14

b. 13

d. 15

d. 3

b. 21 12.

d. 27

Sí a,b,c,d,e,f,g representan dígitos diferentes y pertenecen al conjunto {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, tal que:

   a b  +    cd    e f g Sí efg es el mayor resultado que se puede obtener en la operación, halla la suma de los dígitos que no se usaron en la operación. a. 7 b. 8 c. 9 d. 6 Nivel destacado 13.

d. 3478

De la siguiente división, calcula su cociente. * * * * 7 * * 1 2 * * * * * 8 * * * * * * * 0 * * * * 1

Si a × ab = 425; b × ab = 680,

calcula (ab)2. a. 4930

c. 4530

b. 7225

d. 7205

Reconstruye e indica la suma de cifras del dividendo. * * * 1 3 * 8 *, * - 4 * * * - 3

a. 13

y

Calcula el valor de A + B + C + D, luego de resolver lo siguiente suma:   A 9 0 5  +    B 5 D    A 6 9    C4   D A 1 4 a. 20 c. 22

c. 2209

b. 5170

9.

0 c. 0

Si a × ab = 188; b × ab = 329,

calcula ab 3 ba. a. 3450

8.



y x y

11.

Nivel intermedio 4.

w x y w x 2 8 7 x 2 y 0 2

d. 5

BCA = 9, halla B + A + C+ A

a. 27 3.

c. 6

b. 10

c. 11

a. 90889

c. 90809

b. 99809

d. 90890

Respuestas

d. 12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

c

a

d

a

c

b

d

a

d

b

d

b

c

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

1.

Indica la suma de los digitos w, x, y; si se sabe que son distintos y además se conoce el siguiente producto:

38

CRIPTOARITMÉTICA.indd 38

23/11/2019 08:54:37

Básico

Intermedio

Razonamiento lógico

Avanzado

Relación temporal En esta parte del libro vamos a tratar problemas en los que debamos determinar qué día de la semana fue, es o será, debido a cierta variación de días con respecto a un día de referencia (por lo general nos referimos al hoy) . Métodos para resolver un problema de relación temporal a. Método regresivo: Este método consiste en analizar el ejercicio, leyendo con mucho cuidado las oraciones del problema, además, se apoya en un gráfico para su mejor interpretación.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Ejemplo: El ayer del pasado mañana de mañana es viernes. ¿Qué día fue el ayer del anteayer de pasado mañana? Solución: Tenemos el siguiente gráfico Viernes Ayer

Hoy

Mañana

Ayer

Pasado Mañana

Ejemplo: ¿Qué día de la semana será el mañana del anteayer del día que precede a mañana si hoy es lunes? Solución: Para dar respuesta a la pregunta, vamos a emplear las equivalencias numéricas señaladas anteriormente: “el mañana del anteayer del día que precede a +1 –2 mañana si hoy es lunes”

Ayer

Hoy

Jueves Mañana

Viernes

1. Si el mañana del pasado mañana de hace 7 días fue el ayer del martes, ¿qué día es el día que precede al siguiente día del mañana de hoy?

“el mañana del pasado mañana de

Sábado

   

Pasado Mañana

b. Asignando valores numéricos al tiempo en mención: Asignamos un valor numérico a cada día, con respecto al día actual (hoy). Equivalencias: Día

Valor numérico –2

Ayer, el día anterior, el día que precede, el día que antecede

–1

Hoy

0

Mañana, día posterior

+1

Pasado mañana, el subsiguiente día

+2

+1

+1

hace 7 días fue el ayer del martes”

      –7 –1 Luego: +1 + 2 – 7 = –1 del martes –4 = lunes Entonces:

Ayer Anteayer Por lo tanto, el día pedido, es martes.

Anteayer

–1

+1 Entonces, tenemos lo siguiente: +1 – 2 – 1 + 1 de hoy Lunes  &  –1 de hoy Lunes Es decir, nos preguntan, por el día anterior a lunes, por lo tanto, la respuesta es Domingo.

Pasado mañana Luego asignamos los días correspondientes. Martes Miércoles

Unidad 2

Relación temporal

Lu

Ma

Mi

Ju

Vi

–4

–3

–2

–1

0

Sa

Do

Por lo tanto, el día de hoy es lunes Nos piden: “qué día es el día que precede al siguiente día  

–1

+1

del mañana de hoy”

    +1 –1 + 1 + 1 de hoy +1 de hoy Es decir, nos preguntan, por el día posterior a viernes, por lo tanto, la respuesta es sábado.

39

8. RELACIÓN TEMPORAL.indd 39

22/11/2019 19:09:31

Básico

Practica lo aprendido

4.

Nivel básico 1.

Si el mañana de ayer es sábado. ¿Qué día será el mañana del pasado mañana de anteayer?

Si el pasado mañana de mañana es miércoles. ¿Qué día será el anteayer del ayer de mañana? Ubicamos los datos temporales de la siguiente manera: Miercoles

Ubicamos los datos temporales de la siguiente manera:

Hoy

Ayer

Mañana

Sábado Ayer

Hoy

Mañana

Sábado

Domingo

Hoy

Mañana

Pasado mañana Viernes Sábado Domingo Lunes Martes Miercoles

Mañana

Anteayer

Ayer Pasado mañana

Mañana

Por lo tanto, la respuesta es domingo. Si ayer de pasado mañana es lunes. ¿Qué día será el anteayer del ayer de mañana?

Ayer Anteayer

Nivel intermedio 5.

Viernes Anteayer

Hoy

Anteayer

Lunes

Mañana

Hoy

Pasado Mañana

Ayer

Mañana

Ayer

Ayer

Si el anteayer de mañana es domingo. ¿Qué día será el pasado mañana del ayer de pasado mañana?

Anteayer

Ayer

Hoy

6.

Anteayer

Si el anteayer del ayer de pasado mañana es viernes. ¿Qué día será mañana? Ubicamos los datos temporales de la siguiente manera: Viernes

Pasado Mañana

Ayer

Hoy

Pasado Mañana

Pasado Mañana

Mañana

Anteayer

Ayer

Viernes

Sábado

Domingo

Ayer

Hoy

Mañana

Pasado Mañana

Mañana

Ayer

Por lo tanto, la respuesta es jueves.

Pasado Mañana

Por lo tanto, la respuesta es miércoles.

Pasado mañana Jueves Mañana

Mañana

Sábado Domingo



Domingo Mañana

Hoy

Ayer

Ubicamos los datos temporales de la siguiente manera: Hoy

Pasado Mañana

Pasado mañana Mañana

Pasado Mañana



Ayer

Mañana

Mierc. Jueves Viernes

Por lo tanto, la respuesta es viernes. 3.

Hoy

Ayer

Sábado Domingo Ayer

Si el mañana del pasado mañana de mañana es lunes. ¿Qué día es el ayer del anteayer de pasado mañana? Ubicamos los datos temporales de la siguiente manera:

Lunes

Ayer

Ayer

Por lo tanto, la respuesta es viernes.

Ubicamos los datos temporales de la siguiente manera: Anteayer

Hoy

Por lo tanto, la respuesta es domingo.

40

8. RELACIÓN TEMPORAL.indd 40

22/11/2019 19:10:03

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

2.

Tras pasado mañana

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Anteayer

Pasado Mañana

Básico

Intermedio

7.



Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Si el pasado mañana del mañana de ayer es viernes, ¿qué día fue ayer?

11.

Por dato, tenemos lo siguiente: –1 + 2 = jueves +1 = jueves hoy es miércoles Nos piden:  +1 – 2 = –1 (ayer) `  Ayer fue martes.

Nivel avanzado 12.

Por dato, tenemos lo siguiente: +2 + 1 – 1 = viernes +2 = viernes hoy es miércoles Nos piden:  –1 = ayer `  Ayer fue martes.

9.

Si el mañana del anteayer de mañana fue martes, ¿qué día será pasado mañana?

13.

El ayer del pasado mañana de ayer es sábado. ¿Qué día es el mañana del pasado mañana de ayer?

14.

Por dato, tenemos lo siguiente: –1 + 2 – 1 = sabado 0 = sabado  &  hoy es sabado Nos piden: +1 + 2 – 1 = +2 (pasado mañana) `  Pasado mañana será lunes.



Si el pasado mañana del mañana de anteayer es martes. ¿Qué día será el ayer de pasado mañana de hace 3 días? Por dato, tenemos lo siguiente: +2 + 1 – 2 =martes +1 = martes  &  hoy es lunes Nos piden:  –1 + 2 – 3 = –2(anteayer) `  Anteayer fue sábado.

Por dato, tenemos lo siguiente: +1 – 2 + 1 = martes 0 = martes  &  hoy es martes Nos piden:  +2 = pasado mañana `  Pasado mañana será jueves.

10.

El ayer del pasado mañana es jueves, ¿qué día será el mañana de anteayer?

Unidad 2

Si el pasado mañana de ayer es miércoles. ¿Qué día será el ayer del ayer de mañana? Por dato, tenemos lo siguiente +2 – 1 + hoy = miercoles hoy = miercoles – 1 &  hoy es martes. Nos piden: hoy –1 – 1 + 1 = hoy – 1 = ayer `  Ayer fue Lunes.

8.

Razonamiento lógico

Avanzado

El ayer del anteayer de mañana fue jueves. ¿Qué día será el mañana del mañana de pasado mañana de dentro de 24 días? Por dato, tenemos lo siguiente: –1 – 2 + 1 = jueves –2 = jueves  &  hoy es sábado Nos piden:  +1 + 1 + 2 + 24 = 28 Como hoy es sábado y cada 7 días que pase volverá a ser sábado de nuevo Así dentro de 28 (múltiplo de 7) será sabado El día que está 3 días después del mañana del anteayer de mañana será domingo. ¿Qué día fue el ayer del pasado mañana hace 35 días? Por dato, tenemos lo siguiente: +3 + 1 – 2 + 1 = domingo +3 = domingo hoy es jueves Nos piden:  –1 + 2 – 35 = –34 Como 35 es múltiplo de 7, entonces si hoy es jueves hace 34 días fue viernes.



41

8. RELACIÓN TEMPORAL.indd 41

23/11/2019 08:15:52

Básico

10.

Nivel básico 1.

2.

3.

¿Qué día es el ayer del anteayer del día miércoles? a. viernes

c. sábado

b. jueves

d. domingo

Si el martes es el mañana de hoy, antes de ayer fue: a. viernes

c. sábado

b. jueves

d. miércoles

Si el ayer de pasado mañana es jueves, ¿qué día será el mañana de anteayer? a. martes c. jueves b. viernes

4.

d. miércoles

d. miércoles

Si el ayer de mañana es lunes, ¿qué día será el mañana del ayer de pasado mañana? a. martes c. jueves b. miércoles

6.

12.

Si el anteayer del mañana de pasado mañana es viernes, ¿qué día fue ayer? a. viernes c. sábado b. lunes

5.

11.

b. martes

13.

14.

d. miércoles

Nivel intermedio 7.

Si el ayer del anteayer de mañana es jueves. ¿Qué día será el pasado mañana del mañana de anteayer? a. martes c. lunes b. domingo

8.

15.

d. sábado

¿Qué día de la semana será el mañana del anteayer del día que precede a mañana si hoy es miércoles? a. lunes

c. miércoles

b. martes

d. jueves

c. miércoles

b. jueves

d. viernes

Si el pasado mañana de mañana es lunes. ¿Cuál es el día que está inmediatamente después del día que precede al anterior día de hoy? a. miércoles

c. jueves

b. viernes

d. sábado

Si el ayer del pasado mañana del mañana del anteayer es viernes, ¿Qué día de la semana será el ayer del ayer del pasado mañana de mañana? a. jueves

c. viernes

b. sábado

d. domingo

Si el ayer del pasado mañana de hace 3 dias es martes, ¿qué día de la semana será el ayer de hace 4 dias del mañana de hoy? a. lunes

c. domingo

b. sábado

d. jueves

Si el ayer del pasado mañana del día que sigue al posterior día de anteayer es lunes, ¿qué día de la semana será el pasado mañana del día que será dentro de 5 días al subsiguiente día de hoy? a. lunes

c. martes

b. jueves

d. miércoles

Nivel destacado

Ayer era el pasado mañana del mañana de ayer del domingo. ¿Qué día fue el anteayer del día que precede a hoy? a. viernes c. lunes b. domingo

9.

d. jueves

a. martes

Nivel avanzado

d. sábado

Si el pasado mañana del mañana de anteayer es martes, ¿qué día será el ayer de pasado mañana de hace 3 días? a. lunes c. sábado

¿Cuál es el día que está inmediatamente después del anterior día del anteayer de mañana del día que está antes del día posterior a hoy miércoles?

¿Cuál es el día que esta inmediatamente después del día posterior al siguiente día que subsigue al que esta antes del día que procede al inmediatamente después del pasado mañana de lunes a. domingo

c. jueves

b. martes

d. sábado

Respuestas 1

2

d c

3

4

5

6

7

8 9 10 11 12 13 14 15

a d b c b b b a

c b c

c

a

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Refuerzo en casa

42

8. RELACIÓN TEMPORAL.indd 42

23/11/2019 08:21:50

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Cuatro operaciones

Ejemplo: Un comerciante compra 10 panetones y 6 chocolates. Si cada paneton vale S/ 12 y cada chocolate S/ 7 ¿Cuánto dinero gasto? Solución:

Si conocemos la suma y el cociente de dos números, sabemos que: Datos

Suma (S) y Cociente (q) M=

Número Mayor (M)

Diferencia (D) y Cociente (q) M=

Número Mayor (M) Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Cada paneton le cuesta S/ 12 si compra 10 panetones debe pagar: 10 × 12 = S/ 120

Número menor (m)

Número Mayor (M) Número menor (m)

S+D 2

m=

S-D 2

Ejemplo: Las edades de Carlos y Luis suman 44 años, además Carlos nació cuando Luis tenía 4 años. Calcula la edad de Luis. Solución: Las edades suman (S) = 44 y la diferencia (D) = 4 Del enunciado sabemos que Luis es mayor que Carlos 44 + 4 &  La edad de Luis = = 24 años 2

m = M ÷ q  0 m =

D   q-1

S = 180; q = 5 Reemplazando: En la caja más grande: S # q 180 # 5 = M= q+1 5+1 M = 150 huevos

Suma (S) y Diferencia (D) M=

D#q q-1

1. En dos cajas hay 180 huevos, si lo que hay en una es el quíntuplo de lo que hay en la otra, ¿Cuántos huevos hay en la caja más grande?

Si conocemos la suma y diferencia de dos números, sabemos que: Datos

S   q+1

Si conocemos la diferencia y el cociente de dos números, sabemos que: Datos

Cada chocolate le cuesta S/ 7, si compra 6 chocolates debe pagar:  7 × 6 = S/ 42 En total gasto S/ 120 + S/ 42 = S/ 162

S#q q+1

m = S – M  o

Número menor (m)

Unidad 2

Introducción El objetivo principal es aprender a utilizar adecuadamente las cuatro operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división) ya que nos permiten resolver problemas de carácter comercial y de la vida diaria.

2. La diferencia de dos números excede en 12 unidades a 138 y el cociente de ambos es seis unidades menor que 13. Calcula los números y determina la suma de los mismos.



D – 12 = 138  & D = 150; q = 13 – 6  & q = 7 Reemplazando: D # q 150 # 7 = El mayor número: M = = 175 q-1 7-1 150 D = = 25 El menor número: m = q-1 7-1 &  ambos números suman:  25 + 175 = 200

43

9. CUATRO OPERACIONES.indd 43

23/11/2019 08:19:02

Básico

Practica lo aprendido

4.

Nivel básico 1.

Rafaela compra polos a S/ 360 la docena. Si vende cada polo a S/ 50. ¿Cuántos polos debe vender para ganar S/ 480?

Dos amigos trabajan juntos, el primero gana S/ 40 más por día que el segundo, si después de haber laborado el mismo número de días, el primero recibió S/ 650 y el segundo S/ 450 ¿Cuánto gana diariamente el segundo? El primero recibió: 650 – 450 = 200 soles más que el segundo, y como:

Por una docena de polos paga = 360 soles Por una docena de polos recibe

1 día S/ 40 demás.

= 50 3 12 = 600 soles

&  número de dias que laboran:

En una docena de polos gana

200÷40= 5 días

= 600 – 360 = 240 soles

Como el segundo ganó S/ 450 en 5 días

Para ganar 480 soles necesitas vender:

&  en un día ganara: 450 ÷ 5 = S/ 90

480 ÷ 240 = 2 docenas de polos Un depositó contiene 460 litros de agua y otro, 600. ¿Cuántos litros debo pasar del segundo al primero para que, al final, tengan la misma cantidad de agua?

5.

En total hay: 460 + 600 = 1060 litros Como al final ambos depósitos tienen que tener la misma cantidad de agua, cada deposito tendrá: 1060 ÷ 2 = 530 litros El segundo deposito tenia al inicio 600 litros y al final se quedo con 530 litros, por lo tanto, ha pasado: 600 – 530=70 litros de agua. &  Se pasan 70 litros de agua

Las edades de juan y pedro suman = 56 La diferencia de las edades según el enunciado seria = 4 56 + 4 = 30 Edad de Pedro (mayor) = 2 años 56 - 4 = 26 años 2 dentro de 7 años ambos tendrán 37 y 33 años por lo que la suma de sus edades seria: 70

Edad de Juan (menor) =



3.

Las edades de Juan y Pedro suman 56 años. Juan nació cuando Pedro tenía 4 años. Calcula la suma de las edades de ambos dentro de 7 años.

Tengo 15 monedas de S/ 2 y algunas de S/ 5. ¿Cuántas monedas de S/ 5 tengo, si el total de mi dinero asciende a S/ 145?

6.

15 monedas de 2 soles = 15 3 2 = 30 soles

Sabemos 3S = 96  & S = 32 / D = 4 Del problema se entiende que Fernanda es mayor. Por tanto 32 + 4 Edad de Fernanda = = 18 años 2 32 - 4 Edad de Rafaela = = 14 años 2

En total tengo 145 soles, entonces en monedas de 5 soles tengo: 145 – 30 = 115 soles Por lo tanto, la cantidad de monedas de 5 soles será: 115 ÷ 5 = 23 monedas &  En total tiene 23 monedas de 5 soles



El triple de la suma de las edades de Rafaela y Fernanda es 96, además se sabe que la edad de Fernanda excede a la edad de Rafaela en 4. Determina la edad de Rafaela y Fernanda.



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9. CUATRO OPERACIONES.indd 44

23/11/2019 08:24:46

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

2.

Nivel intermedio Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

&  2 docenas equivalen a: 2 3 12 = 24 polos

Básico

Intermedio

7.

Razonamiento matemático

Avanzado

Nivel avanzado 10.

Por comprar un dron le rebajaron S/ 20, entonces en 40 drones hubiese ahorrado 40 × 20 = S/ 800, dinero con el cual hubiera comprado 8 drones.

En la clase de R.M asisten 150 estudiantes: 80 son mujeres, 70 viven en Lince y 15 son mujeres que no viven en Lince ¿Cuántos hombres viven en Lince?

Unidad 2

Mateo importó 40 drones, si cada uno le hubiera costado S/ 20 menos, hubiera adquirido 8 drones más. ¿Cuánto le costó cada dron?

Total, de hombres: 150 – 80 = 70 son Hombres

Por lo tanto, el precio rebajado por dron:

Número de personas que no viven en Lince: 150 – 70 = 80

800 ÷ 8 = 100 Precio Real = 100 + 20 = S/ 120

El número de hombres que no viven en Lince seria: 80 – 15 = 65 Entonces el número de hombres que viven en Lince seria: 70 – 65 = 5



Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

8.

Compré 2 manzanas por S/ 3 y las vendo a 8 por S/ 15. ¿Cuántas manzanas debo vender para ganar S/ 42?

11.

2 manzanas S/ 3  &  1 manzana costo: 3/2 8 manzanas S/ 15 & 1 manzana lo vendo a:  15/8 Luego por una manzana ganare: 3 15 3 - = S/ 8 2 8 Gano S/3 por 8 manzanas 42 Si quiero ganar S/ 42 debo vender 3 manzanas 8 Esto sería igual a 112 manzanas

Julio compra pelotas al precio de S/ 80 cada una y además le regalan 10 por cada 30 que compra, recibiendo en total 2800 pelotas. ¿Cuál fue la inversión? De cada 30 + 10 = 40 pelotas que se adquiere, solo se paga 30; luego de 280 pelotas que recibí: 30 (2800) = 2100 pelotas 40 &  La inversión será: Pague por:

2100 3 S/ 80 = S/ 168 000

9.

7 amigos tienen que pagar en partes iguales un total de S/ 3 220, como algunos no pueden hacerlo, cada persona restante deberá poner S/ 345 más de lo que le corresponde pagar. ¿Cuántas personas no pagaron?

12.

7 personas S/ 3220 S/ 3220 1 persona = S/ 460 7 Pero algunos pagaron S/ 345 demás, es decir 460 + 345 = S/ 805 El numero de personas que pagaron: S/ 3220 =4 S/ 805 Por lo tanto, el número de personas que no pagaron seria 7 – 4 = 3

El valor de un tanque de gasolina es de S/ 4600 si se sacan 20 litros valdría solamente S/ 3600. ¿Cuántos litros contiene el tanque de gasolina? Se deduce que: S/ 4600 – S/ 3600 20 litros S/ 1000 20 litros S/ 1 20/1000 litros Por lo tanto, 20 (4600)litros 1000 El tanque contiene 92 litros de gasolina S/ 4600



45

9. CUATRO OPERACIONES.indd 45

23/11/2019 08:25:12

Básico

Refuerzo en casa

Nivel avanzado

Nivel básico

10.

La suma de dos números consecutivos es 27, calcula el triple del mayor de los números. b. 14

a. 13 2.

b. 39

c. 40

b. 39

c. 40

a. 35

b. 36

c. 37

d. 38

La suma de dos números consecutivos pares es 42, calcula la mitad del mayor de los números. a. 10

6.

7.

d. 13

b. 29

c. 31

d. 30

b. 215

c. 200

d. 300

¿Entre cuantas personas se repartieron S/ 4800 si cada una recibió S/ 56 y sobraron S/ 40? a. 85

9.

c. 12

Si compro 15 boletos para el cine me falta S/ 10. Pero si compro 13 boletos me sobran S/ 20 ¿Cuántos soles tengo? a. 225

8.

b. 11

La suma de tres números consecutivos es 45, halla la suma del mayor y menor de los números. a. 14

b. 98

c. 96

d. 82

Laura y Alonso tienen S/ 460 y S/ 200 respectivamente. Se ponen a jugar cartas a S/ 5 cada partida y al final Laura que ha ganado todas las partidas, tiene el triple de lo que tiene Alonso ¿Cuántas partidas se jugaron? a. 6

a. 60 12.

b. 40

b. 7

c. 8

d. 9

d. 48

c. 50

d. 55

En una conferencia asistieron 60 profesionales, de las cuales 24 son mujeres, 50 viven en EEUU y 6 mujeres no viven en EEUU. ¿Cuántos hombres no viven en EEUU? a. 6

13.

c. 45

En un establo hay cierta cantidad de vacas. Se venden media docena de vacas, luego se mueren la sexta parte de las que quedaban y finalmente adquieren 15 vacas. Si en la granja hay 60 vacas. ¿Cuántas había inicialmente?

b. 4

c. 5

d. 2

Una empresa importadora de vehículos, compra cierta cantidad de vehículos con S/ 456 000 y los vende todos en S/ 516 000, ganando así S/ 3 000 por vehículo ¿Cuántos vehículos compró? b. 22

a. 20

Nivel intermedio 5.

11.

d. 41

Julio y Milagros quieren ahorrar S/ 6480 para su viaje a Brasil, Si Julio ahorra al día S/ 80 y Milagros S/ 100 ¿En cuantos días ahorraran el dinero necesario para irse a Brasil?

b. 43

a. 41

d. 41

Karla compró zapatos a S/ 360 la media docena. Si vende cada zapato a S/ 120 ¿Cuántos zapatos debe vender para ganar S/ 2400? a. 38

4.

d. 42

La edad de María excede a la de Pablo en 3 años, además se sabe que, la edad de Pablo 7 es igual a los de la edad de María. ¿Cuánto 6 suman las edades de Pablo y María? a. 38

3.

c. 39

c. 24

d. 26

Nivel destacado 14. El metropolitano realiza el servicio de Chorrillos a Comas y en uno de sus viajes recaudo S/ 540 por la cobranza de adultos y S/ 120 por los niños, sabiendo que para cualquier recorrido el pasaje adulto es de S/ 3 y S/ 2 el de niños. ¿Cuántos adultos y cuantos niños partieron de Chorrillos? a. 180 – 60

c. 150 – 30

b. 160 – 80

d. 140 – 20

Respuestas 1

2

3

4

5

6

7

d

b

c

b

b

d

b

8

9

10

11

12

13

14

a

b

d

a

b

a

a

TIC En esta página puedes encontra información que te ayude a ampliar tus conocimientos https://www.youtube.com/ watch?v=sTs3hPgXjJ4

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

1.

Angela tiene cierto número de peluches en venta, vende la cuarta parte a Mariaelena y la sexta parte del resto a Sol. Si le quedan aún 30 peluches. ¿Cuántos peluches tenía al inicio?

46

9. CUATRO OPERACIONES.indd 46

23/11/2019 08:28:59

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Metodos operativos Es un método llamado método de cangrejo que se aplica a problemas donde una cantidad inicial (desconocida) se transforma en otra por medio de cierta operación y, a su vez, este resultado se transforma en otro mediante una operación distinta, y así sucesivamente hasta llegar a un resultado final que se presenta como dateo. Ejemplo: Paolín piensa un número y lo triplica, al resultado le agrega 10 a lo que obtiene le extrae la raíz cúbica que es igual a 4. ¿Cuál fue el número? Solución: Operaciones sucesivas Operaciones inversas incognita

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.



×3  



+10     64 – 10 = 54 dato

18

3 d   4 Por tanto, el número es 18

54 ÷ 3 = 18

Otra forma del método del rombo También podemos obtener el número de monedas de S/ 5 (mayor denominación) de la siguiente forma S/5 (mayor valor unitario) 44 (total de elementos)

178 - 44 # 2 90 = n° de monedas de S/ 5: =30 3 5-2 `  Hay 30 monedas de S/ 5 y 14 monedas de S/ 2.

1. En 60 billetes tengo S/ 1180, algunos billetes son de S/ 10 y otras S/ 20 ¿Cuántos billetes son de S/ 10? Haciendo el diagrama (dibujo del rombo) S/ 20 (mayor valor numérico) × 60 (total de elementos)

44 (total de elementos)

–

S/. 1180 (total recaudado)

60 # 20 - 1180 20 = =2 20 - 10 10 Por tanto, hay 2 billetes de S/ 10 y 58 billetes de S/ 20.

n° de billetes de S/ 10:

2. Entre 50 personas juntamos S/ 1 680, el grupo A colabora S/ 15 por persona y el grupo B S/ 45 por persona ¿Cuántas personas integran el grupo A? Haciendo el diagrama (dibujo del rombo) S/ 45 (mayor valor numérico) ×

–

–

– 50 S/. 1680 (total de (total elementos) recaudado) S/ 15 (menor valor unitario)

S/. 178 (total recaudado)

S/2 (menor valor unitario)

44 # 5 - 178 42 = = 14 3 5-2 Por tanto, hay 14 monedas de S/ 2 y 30 monedas de S/ 5.

–

S/ 10 (menor valor unitario)

S/5 (mayor valor unitario)

–

– S/ 2 (menor valor unitario)

Métodos del rombo Este tipo de problemas debe tener las siguientes características: • Dos incógnitas. • Un valor numérico resultado de la suma de dos incógnitas. • valor unitario de las incógnitas. • Un valor numérico resultado del número total de elementos.

×

S/ 178 (total recaudado)

– ×

(4)3 = 64

Ejemplo: Entre 44 monedas tengo S/ 178, algunas monedas son de S/ 5 y otras de S/ 2 ¿Cuántas monedas son de S/ 2? Solución: Haciendo el diagrama (dibujo del rombo)

Unidad 2

Operaciones Inversas

n° de monedas de S/ 2:



n° de personas del grupo A: 50 # 45 - 1680 570 = =19 45 - 15 30 Por tanto, hay 19 personas en el grupo A y 31 en el grupo B.

47

10. METODOS OPERATIVOS.indd 47

23/11/2019 08:29:46

Básico

Practica lo aprendido

Nivel intermedio

1.

4.

Un número es multiplicado por 3 se divide entre 7 se suma 12 y resulta 15 ¿Cuál es dicho número? Usando método del cangrejo Operaciones sucesivas

Operaciones inversas

Haciendo el diagrama S/ 40 (mayor valor numérico)

incógnita

7   ×3     ÷3 = 7   ÷7 ×7 = 21 dato

× 80 (total de elementos)

15

  +12     –12 = 3 Por lo tanto, la respuesta es 7.

– –

S/ 1775 (total recaudado)

S/ 15 (menor valor unitario)

Jorge quiere saber cuánto dinero tiene al principio si luego de gastar la mitad de su dinero, cobra S/ 30 y pagar S/ 15 de una deuda, le quedan S/ 50. Usando método del cangrejo Operaciones sucesivas

Operaciones inversas

incógnita

70

  ÷2     +30

  × 2 = 70 –30 = 35

5.

dato

50   –15     +15 = 65 Por lo tanto, la respuesta es 70.

Haciendo el diagrama

3.

S/ 0.20 (mayor valor numérico)

Pepe realiza las siguientes operaciones a un número, le resta 100, luego le suma 50, lo divide entre 10 y le saca la raíz cuadrada, si luego de realizar tales operaciones le queda 5 ¿Cuál fue el número?

× 30 (total de elementos)

Usando método del cangrejo Operaciones sucesivas

–

S/ 5.50 (total recaudado)

n° de monedas de S/ 0.10: 30 # 0.2 - 5.50 0.5 = =5 0.20 - 0.10 0.1 Por tanto, hay 5 monedas de S/ 0.10 y monedas de S/ 0.20: 30 – 5 = 25 Nos piden la diferencia: 25 – 5 = 20.

Operaciones inversas

300   –100     +50   ÷10

–

S/ 0.10 (menor valor unitario)

incógnita

+100 = 300 –50 = 200 ×10 = 250

dato



Cierto niño empieza hacer una fila con monedas de S/ 0.20 y S/ 0.10. Si en total ha usado 30 monedas y la suma de todas las monedas es S/5.50 ¿Cuál es la diferencia entre las monedas de S/0.10 y S/ 0.20?

5 ^dh2 = 25    d    Por lo tanto, la respuesta es 300.



48

10. METODOS OPERATIVOS.indd 48

23/11/2019 08:30:10

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

n° de objeto de cobre: 80 # 40 - 1775 1425 = = 57 40 - 15 25 Por tanto, hay 57 objetos de cobre y objetos de plata: 80 – 57 = 23 Nos piden la diferencia: 57 – 23 = 34.

2.

Carlos es un coleccionista de objetos de plata y objetos de cobre, las de plata tiene un valor de S/ 40 y las de cobre S/ 15, si tiene un total de 80 objetos que están valorizado en un monto de S/ 1775 ¿Cuántos más de cobre tiene que de plata hay?

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Nivel básico

Básico

Intermedio

6.

Razonamiento matemático

Avanzado

10.

Usando el método del cangrejo ÷2 ÷2 ÷2 ÷2 ÷2 Incógnita S/ 256

7.

Usando el método del cangrejo Dato S/ 8

×2 ×2 ×2 ×2 &  Nos piden cuanto perdió S/256 – S/ 8 = S/ 248

`  Compró 4 ×

11.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Dato 0

×2; +1 ×2; +1 ×2; +1 `  El pozo estaba inicialmente con 14 litros

3 5 6 # # = 18 2 2 5

Un tanque se vacea en 3 horas. Si en cada hora se va la tercera de lo que había en esa hora más un litro ¿Cuánto había en el tanque inicialmente?

÷3; –1

Un número se le divide entre 3, se le suma 10, se divide a la mitad y da como resultado 20 ¿Cuál es el número?

×3; +1

`  El tanque estaba inicialmente con 39 litros

×0.5

–10

÷0.5

12.

Nivel avanzado A un número se le hacen las siguientes operaciones se le resta 40. Si el último resultado es multiplicado por 4 y finalmente se le resta 9. Indicar cual era el número si al final de todas las operaciones se obtiene 47.

–40

×4

× 50 (total de elementos)

–9

Incógnita 54

+40 `  El número es 54

– –

S/ 1850 (total recaudado)

S/ 30 (menor valor unitario)

Dato 47

÷4

Francis tiene entradas para un museo, la entrada para una chica es S/ 30 y chicos S/40 cada uno. Si solo se venden 50 entradas y se recauda 1850. ¿Cuántas parejas hay en el museo? S/ 40 (mayor valor numérico)

Usando el método del cangrejo



×3; +1

Dato 20

×3 `  El número es 90

9.

÷3; –1 Dato 0L

×3; +1

Incógnita 90

÷3; –1

Incógnita 39 L

Usando el método del cangrejo +10

6/5

Usando el método del cangrejo



÷3

5/2



÷2; –1

Incógnita 14

1 – 1/6 = 5/6 Dato 4

3/2

÷2; –1

1–3/5 = 2/5

Incógnita 18

Un pozo se vacea en 3 horas. Si en cada hora se va la mitad de lo que había en esa hora, más un litro ¿Cuánto había en el pozo inicialmente?

÷2; –1 Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

1 – 1/3 = 2/3

×2

Usando el método del cangrejo

8.

Carmen compró cierta cantidad de caramelos, 1/3 regalo a Pepe, las 3/5 del resto le regalo a Marcia y 1/6 de lo que le quedaba se los dono a Juan quedándose con 4 caramelos ¿Cuántos caramelos compro Carmen?

Unidad 2

Un jugador perdió la mitad de su dinero volvió a jugar y perdió la mitad de lo que le quedaba, repitió el mismo juego por tercera, cuarta y quinta vez, hasta que le quedó sólo 8 soles ¿Cuánto perdió?

50 # 40 - 1850 150 = =15 40 - 30 10 `  Hay 15 mujeres y hombres:  50 – 15 = 35 `  las parejas que estan en el museo son 15 n° de mujeres:

+9

49

10. METODOS OPERATIVOS.indd 49

23/11/2019 08:30:28

9.

Nivel básico 1.

La edad de Pedro se duplica, luego se suma 10 finalmente se le saca raíz y da como resultado 6 ¿Qué edad tiene Pedro? a. 13

2.

d. 16

b. 12

c. 48

d. 36

Juan apuesta su dinero y pierde la cuarta parte luego vuelve apostar y pierde la cuarta parte de lo que tenía, finalmente apuesta S/ 9 y pierde todo ¿Cuánto tenía Juan al principio? a. 8

4.

c. 15

a. 10 10.

Juan tiene monedas de S/ 2 y S/ 5 que sumados es 264 y contados 60 ¿Cuántas monedas de S/ 5 tiene Juan? a. 6

3.

b. 14

b. 16

c. 32

a. 7 kg

c. 15 kg

b. 7.5 kg

d. 15.5 kg

Con un número se hacen las siguientes operaciones; primero se le agrega 10, a la suma se le multiplica por 2, al producto se divide entre 4 y luego de realizar esas operaciones indicadas se obtiene 16 ¿Cuál es el número? a. 22

6.

11.

b. S/ 2

c. S/ 4

12.

b. 4

c. 8

13.

a. 20

b. 45

c. 15

d. 27

c. 7

d. 5

Tres amigos A, B, C se reparten las canicas de una bolsa y cogen en el orden mencionado la mitad de las canicas más una. Si después de C ya no sobro canicas ¿Cuántas canicas se habrá llevado A? b. 2

c. 4

d. 8

Víctor se puso a jugar con el dinero que llevaba, logra duplicarlo y gasta S/ 20, con lo que le queda juega por segunda vez, triplica su dinero y gasta S/ 30; juega por tercera vez, pierde y se queda con la cuarta parte su dinero, gasta S/ 50 y se retira con S/ 10 ¿Cuánto tenía al inicio? b. 60

c. 65

d. 70

El agua contenida en una piscina se ha estado extrayendo durante 3 días hasta que solo haya quedado vacía. Si en cada día se extraía la cuarta parte de lo que había el día anterior, más 10 litros ¿Cuál fue el volumen de agua inicial en la piscina? b. 200

a. 40

c. 840

d. 900

Nivel destacado 14.

d. 1

A un número se le hacen las siguientes operaciones se le suma 20. Si el último resultado es multiplicado por 5 y finalmente se le divide entre 4. Indica cual era el número si al final de todas las operaciones se obtiene 50.

b. 8

a. 55

d. 28

d. S/ 6

d. 20

En una granja se observa 25 cabezas y 82 patas, entre conejos y gallinas ¿Cuántas gallinas hay?

a. 1

¿Cuál es el número que sumado por sí mismo, multiplicado por sí mismo y elevado al mismo número me dé el mismo resultado? a. 2

8.

c. 26

Cada vez que paso por el quiosco decido gastar la mitad de mi dinero que tengo en ese momento. Si luego de pasar 3 veces me sobra S/ 1 ¿Cuánto dinero gasté en la segunda pasada? a. S/ 1

7.

b. 24

c. 30

Nivel avanzado

Nivel intermedio 5.

b. 12

a. 9

d. 64

Una bolsa de arena tiene un hueco, si en cada cuarto de hora la bolsa disminuye la mitad más 500 g al final la bolsa queda vacía en una hora ¿Cuánto pesaba la bolsa?

Juan vende entradas para el teatro. La entrada para un niño es de S/ 10 y para un adulto S/ 20. Si solo se venden 50 entradas y se recauda 800, ¿cuántos niños hay en el teatro?

La edad de Roberto se cuadruplica, el resultado se incrementa en 4. Luego se extrae la raíz cuadrada, esta raíz se disminuye en 2, luego la diferencia se eleva al cuadrado y por último el resultado se divide entre 3 obteniéndose 12 de cociente. ¿Hallar la edad de Roberto dentro de 9 años? a. 4

b. 14

c. 24

d. 34

Respuestas 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14

a

c

b

c

a

b

a

a

d

a

d

a

c

c

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Refuerzo en casa

50

10. METODOS OPERATIVOS.indd 50

23/11/2019 08:34:48

Básico

Intermedio

Razonamiento lógico

Avanzado

Certezas

Ejemplos: a. Extraer con certeza una esfera roja de una caja que contienen esferas verdes, rojas y amarillas de similar peso y tamaño. b. Lanzar una moneda y un dado al aire.

1. En una caja, hay 6 esferas amarillas, 7 esferas rojas y 4 esferas celestes. ¿Cuántas esferas cómo mínimo se deben extraer al azar para tener la certeza de haber sacado una esfera de color amarillo? Como mencionamos anteriormente, debemos ponernos en el peor de los casos. Sucesos

Experimento aleatorio Un experimento aleatorio es aquel que puede dar lugar a varios resultados, sin que se pueda enunciar con exactitud cuál de todos estos va ocurrir. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Certeza Es aquel conocimiento seguro y claro de algo, donde no hay temor a equivocarse. Es el proceso por el cual obtenemos con seguridad y anticipación el resultado de un determinado problema. Estrategia para resolver un problema de certezas Para resolver un ejercicio de certezas, asumiremos que no ocurre lo que deseamos, sino hasta el final (cuando ya no quede otra opción), es decir, analizaremos el problema dirigiéndolo al caso más extremo (“el peor de los casos”).

1° suceso

Se extrae 7 esferas rojas

2° suceso

Se extrae 4 esferas celestes

3° suceso

Se extrae 1 esfera amarilla

2. En una urna, se tienen 30 bolillas enumeradas del 1 al 30, ¿cuántas bolillas cómo mínimo se debe extraer al azar para sacar una bolilla enumerada con un número par mayor a 20? Analizamos el problema, colocándonos en el peor de los casos:

¿Cuál es el mínimo número de esferas que debo extraer sin mirar (al azar) para tener la certeza de obtener una esfera azul? Solución: Para tener la seguridad de obtener una esfera “azul” nos ponemos en el peor de los casos, es decir, sacamos las esferas rojas. Rojas

Peor de los casos

Total, de esferas extraídas: 7 + 4 + 1 = 12 Por lo tanto, se extrajeron 12 esferas

Ejemplo: La caja que se muestra, contiene 7 esferas:

Azules

Unidad 2

Introducción: En estos problemas se presentan aquellas situaciones en las que intervienen el azar y la inseguridad, tratan acerca de la búsqueda del caso seguro, en el menor número de ensayos.

Sucesos

Peor de los casos

1° suceso

Se extrae 20 bolillas enumeradas del 1 al 20

2° suceso

Se extraen las bolillas 21, 23, 25, 27, 29

3° suceso

Se extrae 1 bolilla enumerada con cifra par

El total de bolillas extraídas es: 20 + 5 + 1 = 26 Por lo tanto, para tener la certeza de extraer una bolilla enumerada con un número par mayor a 20, debemos extraer 26 bolillas.

TIC Como solo quedaron las azules, saco cualquiera al “azar” y se cumple lo que se me pide. Luego, el total de esferas extraídas será: 3 + 1 =4

http://razonamiento-logico-problemas. blogspot.com/2018/07/problemas-de-certezas.html

51

11. CERTEZAS.indd 51

19/11/19 19:30

Básico

4.

Nivel básico 1.

Dentro de una caja cerrada tenemos 3 bolitas blancas y 4 bolitas negras. ¿Cuántas bolitas como mínimo, se deben extraer para tener la seguridad de haber elegido una bolita negra? Para estar completamente seguro de que ocurra tal evento o resultado (extraer bolita negra), vayamos al caso más extremo, es decir, que ocurran primero los otros casos que no sea lo pedido. casos pedidos 1ro 2do 3ro 4to 5to 6to 7mo

extraer N

N

B

N

B

N

B

B

N

El mínimo caso con el cual se cumple la condición

mínimo número de extracciones: 4.



5.

José ingresa su mano a una bolsa oscura donde hay 6 bolas rojas y 8 bolas naranjas. ¿Cuántas bolas como mínimo debe extraer para tener la certeza de sacar una bola naranja?

De un mazo de 52 cartas ¿Cuántas habrá que extraer consecutivamente y sin reposición para obtener con certeza una carta de color rojo? Lo peor que puede ocurrir es que salgan las cartas de color negro y luego una carta roja 13 tréboles +13 espadas + 1 carta roja = 27 Por lo tanto, se extraen 27 cartas para tener la certeza de extraer una carta de color rojo

Analizamos poniéndonos en el peor de los casos: Sucesos Peor de los casos 1° suceso & Se extrae 6 bolas rojas 2° suceso & Se extrae 1 bola naranja Por lo tanto, para tener la certeza de extraer una bola naranja, se extraen 7 bolas.

Nivel intermedio

3.

En la caja, tenemos 4 cubos rojos ,3 blancos y 2 cubos negros Nos ponemos en el peor de los casos: Esto se dará cuando salga los cubos rojos y negros quedando los blancos, es decir: 4 rojos + 2 negros +1 blanco El total de cubos que se extraen es: 4+2+1=7 Por lo tanto, se extraen 7 cubos, para tener la certeza de haber extraído un cubo blanco

En una caja hay 16 bolas verdes y 18 bolas moradas. ¿Cuántas bolas se deben extraer como mínimo para tener la seguridad de haber elegido una bola de color verde?

6.

Primero debo agotar todas las cartas que no son corazones, es decir que debo extraer 13 de trébol + 13 de espadas + 13 de diamantes + 1 de corazones. Por lo tanto, se extraen 40 cartas para tener la certeza de extraer una carta de corazones.

Analizamos poniéndonos en el peor de los casos: Sucesos Peor de los casos 1° suceso & Se extrae 18 bolas morada 2° suceso & Se extrae 1 bola verde Por lo tanto, para tener la certeza de extraer una bola verde, se extraen 19 bolas



De una baraja de 52 naipes. ¿Cuántas cartas debo extraer como mínimo, para que salga con seguridad una carta de corazones?



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19/11/19 19:30

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

2.

B

B

En una caja hay 4 cubos rojos, 3 blancos y 2 negros. ¿Cuál es el mínimo número de cubos que se deben extraer al azar para tener la certeza de haber tomado un cubo blanco?

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Practica lo aprendido

Básico

Intermedio

7.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

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9.



En una caja hay 15 bolas negras, 12 bolas blancas y 10 bolas rojas. ¿Cuántas bolas como mínimo se deben extraer al azar, de modo que se obtenga 10 bolas de un mismo color En el peor caso, se debe extraer la mayor cantidad de colores diferentes. Es decir: 9 negras + 9 blancas + 9 rojas = 27 bolas; porque al extraer la bola número 28 necesariamente obtendremos 10 bolas de un solo color. 9 + 9 + 9 + 1 = 28 Por lo tanto, se extraen 28 bolas como mínimo En una urna se tiene 8 dados negros, 8 dados blancos, 8 canicas negras y 8 canicas blancas. ¿Cuántos objetos debo extraer para tener la seguridad de obtener un par de dados y un par de canicas del mismo color? El peor de los casos: - Extraer sólo dados o canicas: 8 dados negros + 8 dados blancos = 16 objetos - Luego solo quedan canicas entonces extraemos 3 objetos que con seguridad sabemos que habrá un par de canicas del mismo color. Número de objetos extraídos: 8 + 8 + 3 = 19 Luego hay que extraer 19 objetos

10.

En una caja se tiene: 23 esferas rojas, 25 blancas, 28 amarillas, 8 negras, 11 verdes y 11 azules. ¿Cuántas esferas se deben sacar como mínimo y al azar para tener la certeza de obtener una roja o una blanca?

Unidad 2

Jaimito tiene una bolsa de caramelos, donde 2 son de sabor a fresa, 6 tiene sabor a manzana y 10 tienen sabor a limón. Si Jaimito desea por lo menos 1 caramelo de cada sabor, ¿cuál es la mínima cantidad de caramelos que debe extraer de la bolsa sin mirar, para tener la certeza de obtener lo deseado? Sucesos Peor de los casos 1° suceso & Se extrae 10 caramelo de limón 2° suceso & Se extrae 6 caramelos de manzana 3° suceso & Se extrae 1 caramelo de fresa Por lo tanto, la mínima cantidad de caramelos que se extrae es: 10 + 6 + 1 = 17

8.

Razonamiento lógico

Avanzado

Nos piden extraer una esfera roja o una blanca” Poniéndonos en el peor de los casos saldrían las amarillas, negras, verdes y azules. Ama. Ne. Ve. Az. R o B 28  + 8 + 11 + 11 + 1 = 59 Por lo tanto, se extraen 59 esferas para tener la seguridad de sacar una esfera roja o blanca Nivel avanzado 11.

Se tiene 50 bolos numerados desde 1 hasta el 50, ¿Cuántos bolos, como mínimo, se deben extraer al azar para tener la certeza de extraer 5 bolos pares, mayores de 30? Números de extracciones: 25 bolos impares 15 bolos pares menores e igual a 30 5 pedidos El total de bolos extraídos es: 25 + 15 + 5 = 45 Por lo tanto, se extraen 45 bolos como mínimo

12.

Se tiene una urna con 31 fichas numeradas del 1 al 31 cada uno con un número entero diferente. Si se extraen las fichas de uno en uno al azar, ¿cuántas fichas se deben extraer como mínimo para tener la certeza de extraer dos fichas cuyo producto sea un número impar? Nos ponemos en el peor de los casos. Sabemos que el producto de dos números pares nos da un número par, entonces: Primero, se extraen 15 fichas con numeración par Segundo, se extraen dos fichas con numeración impar, y así se obtiene lo pedido. Por lo tanto, se deben extraer 17 fichas para tener la certeza de obtener dos fichas cuyo producto sea un número impar



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Básico

Refuerzo en casa

como mínimo para obtener con certeza 3 de cada color y 3 del mismo color? a. 18 y 9 c. 20 y 6

Nivel básico

2.

3.

De un juego de naipes (52 naipes, 13 de cada palo), ¿cuántas hay que extraer como mínimo para tener la certeza de haber obtenido un naipe de color negro y un naipe de trébol? a. 39 y 40

c. 10 y 40

b. 27 y 40

d. 13 y 24

Dentro de una urna depositamos 6 esferas blancas, 8 negros, 12 rojas y 15 amarillas. ¿Cuántas esferas se deben extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de haber obtenido un par de uno de los colores y cinco esferas rojas? a. 5 y 34

c. 20 y 50

b. 15 y30

d. 5 y 24

4.

b. 10

c. 15

d. 11

La abuela de Anita guarda en una caja las bombillas del árbol de navidad donde se encuentran 15 de color rojo, 20 verdes y 18 azules, la abuela pregunta: ¿Cuántas bombillas se deben extraer al azar y como mínimo para obtener 2 bombillas de color rojo? a. 38

b. 40

c. 50

d. 25

• 13 blancas • 12 negras • 7 rojas ¿Cuántas fichas se deben extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de obtener un color completo? b. 60 c. 30 d. 20 a. 15 Jorge tiene 10 pares de medias rojas, 6 azules y 12 blancas. ¿Cuántas medias se deben extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de obtener un par útil del mismo color?

6.

Dentro de una urna depositamos 120 esferas numeradas del 1 al 120, ¿cuántas esferas hay que extraer como mínimo para tener la certeza de haber obtenido una esfera con numeración que termina en cero y una esfera de cifras iguales? a. 100 y 150

c. 109 y 111

b. 12 y 100

d. 15 y 124

Según la gráfica mostrada. • 9 azules • 7 rojas • 6 amarillas

¿Cuántos caramelos se deben extraer al azar

b. 29

a. 28

c. 30

d. 31

Nivel avanzado Dentro de una urna depositamos 12 esferas rojas, 15 blancas, 20 negras, 36 azules y 32 verdes, ¿cuántas esferas hay que sacar como mínimo para estar seguro de haber extraído 12 de uno de los colores?

9.

a. 28

b. 45

c. 56

d. 52

Cesar tiene en una urna 12 fichas numeradas del 1 al 12, ¿cuál es el mínimo número de fichas que ha de extraer para tener la certeza de haber obtenido 3 fichas numeradas consecutivas?

10.

Nivel intermedio 5.

d. 14 y 5

Según la gráfica mostrada,

7.

8.

Malena tiene un cofre el cual contiene 3 pulseras de color rojo, 4 de color azul y 5 de color blanca ¿Cuántas pulseras deben extraer al azar y cómo mínimo para obtener al menos una pulsera de color rojo? a. 12

b. 19 y 7

a. 2

b. 8

c. 6

d. 3

Nivel destacado Pre San Marcos 2018 11. En una urna hay 40 bolos, enumerados del 1 al 40, sin repeticiones ¿cuántos bolos como mínimo, se deberá extraer al azar para tener con certeza dos bolos cuya numeración sume un número impar mayor qué 22? a. 12

b. 20

c. 21

d. 22

Respuestas 1

2

3

4

5

6

7

8.

9

10

11

b

a

b

b

c

b

c

b

c

b

c

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1.

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Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Planteo de ecuaciones Plantear una ecuación significativa traducir el enunciado de un problema de un lenguaje cotidiano a un lenguaje matemático, es decir, transformar el enunciado a una ecuación. Enunciado: lenguaje cotidiano

1. A una fiesta asisten 330 personas entre hombres mujeres y niños. Si el número de hombres es el triple de la cantidad de mujeres y la cantidad de niños es la mitad de la cantidad de hombres, ¿cuántas mujeres asisten a la fiesta? Asignemos una variable a los datos correspondientes: Hombre: H  Mujer: M  Niños: N Por dato: H H H H = 3M  /  = N  & M =   / N = 3 2 2 Además: H + M + N = 330 H H 11H H+ + = 330  &  = 330 3 2 6 & H = 6(30)  & H = 180 No piden: 180 H M= = = 60  & M = 60 3 3 Por lo tanto, a la fiesta, asisten 60 mujeres.

Ecuación: lenguaje matemático Métodos para resolver un problema de planteo Para resolver un problema de planteo de ecuaciones podemos seguir los siguientes pasos:

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Paso 1: Leer cuidadosamente el problema, separar los datos del problema y ubicar los datos correspondientes. Paso 2: Definimos las variables o incógnitas, las cuales generalmente se encuentran en la pregunta del problema. Además, se convierte el enunciado verbal a lenguaje algebraico. Paso 3: Resolvemos las ecuaciones que responden las preguntas del problema. La tabla siguiente nos muestra como transformar un enunciado cotidiano al lenguaje matemático Lenguaje cotidiano La edad de Melanie

Lenguaje matemático x

El sueldo de Pamela aumentado en S/50

x + 50

El cuadrado de un número

x2

El doble de un número aumentado en 7

2(x + 7)

El cubo de un número disminuido en 8

(x – 8)3

El cubo de un número, aumentado en 2

x3 + 2

La diferencia de dos números es 15

x – y = 15

Dos números consecutivos

pares

La edad de Manuel excede en 10 años a la edad de Luis

Unidad 2

Planteo de ecuaciones

2. Juan, Martha y Pedro desean comprar un televisor de S/ 7200, es por ello que deciden reunir el dinero que tiene cada uno, para así poder comprar el televisor. Si se sabe que el dinero que tiene Martha excede en S/ 150 al dinero de Pedro y el dinero de Juan excede en S/ 120 al dinero de Martha, ¿cuánto dinero aportó Pedro? Sea «x» la cantidad de dinero que tiene Martha, «y» la cantidad de dinero de Pedro y «z» la cantidad de dinero de Juan Por dato: x – 150 = y  / z – 120 = x & y = x – 150  / z = x + 120 Además, tenemos de dato que: x + y + z = 7200 & x + (x – 150) + (x + 120) = 7200

x; x + 2 (x:par) M:edad de Manuel L: edad de Luis L + 10 = M

3x – 30 = 7200  & 3x = 7230  & x = 2410 Nos piden:  y = x – 150 = 2410 – 150 = 2260 Por lo tanto, Pedro aportó con S/ 2260.

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Básico

Practica lo aprendido

4.

Nivel básico Si la suma de dos números es 45 y su diferencia es 5, calcula el valor del número mayor.

Sea «x» el valor de dicho número, nos piden encontrar el valor de:  x3 – 2 …(*) Por dato, tenemos lo siguiente: 3(x + 3) = 27  & x + 3 = 9  & x = 6 Luego, reemplazamos el valor de “x” en (*): 63 – 2 = 216 – 2 = 214 El valor pedido es 214

Sean los números a y b, tales que, a > b: Por dato: a + b = 45 …(*) a – b = 5  & a = b + 5 …(**) Reemplazando (**) en (*): (b + 5) + b = 45  & 2b = 40  & b = 20 Reemplazando en (**): a = b + 5 = 20 + 5 = 25  & a = 25



2.

Sean los números a y b, por dato: a + b = 21 …(*) …(**) b = 2a – 15 Reemplazando (**) en (*): a + (2a – 15) = 21 3a = 36  & a = 12 Reemplazando en (**): b = 2(12) – 15 = 24 – 15 = 9  & b = 9 Nos piden: (a)(b) = (12)(9) = 108 3.

Sean los números consecutivos: x – 1; x; x +1 Nos piden el valor de: (x – 1) + (x + 1) = 2x …(*) Por dato, tenemos que: (x – 1) + x + (x + 1) = 33 3x = 33  & x = 11 Luego, reemplazamos el valor de «x» en (*) 2x = 2(11) = 22 Por lo tanto, la suma entre el mayor y menor número es 22 6.

Ernesto compra una mochila y un pantalón a S/ 77. Si el pantalón le costó S/ 17 más que la mochila, ¿cuánto le costó la mochila?

El cuádruple de la tercera parte de un número, aumentado en su novena parte es igual a 13. Indica el triple de dicho número. Asignemos la variable «x» para la primera parte del problema. Por dato, vamos a tener lo siguiente: JK x NO x 13x 4 KK OO + = 13  &  = 13  & x = 9 3 9 9 L P Nos piden el triple de dicho número, es decir: 3x 3x = 3(9) = 27

P: precio del pantalón M: precio de la mochila Por dato: M + P = 77 …(*) P = 17 + M …(**) Reemplazando (**) en (*): M + (17 + M) = 77 2M = 60  & M = 30 Por lo tanto, el precio de la mochila es de S/30.

La suma de tres números consecutivos es 33. Halla la suma entre el mayor y menor de los números



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La suma de dos números es igual a 21, además uno de ellos es igual al doble del otro, disminuido en 15 unidades. Determina el producto de dichos números.

5.

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1.

El triple de un número aumentado en 3 unidades es igual a 27. Calcula el cubo de dicho número disminuido en 2 unidades.

Básico

Intermedio

Nivel intermedio

8. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

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María ahorró en enero los 3/5 de lo que ahorró en febrero. Si la suma de ambas cantidades es S/ 128, ¿cuánto ahorró en enero? Consideremos lo siguiente: Cantidad de dinero que ahorro en febrero: x 3x Cantidad de dinero que ahorro en enero:  …(*) 5 Por dato, tenemos lo siguiente: 3x = 128 x+ 5 8x x = 128  &  = 16  & x = 80 5 5 Reemplazando en (*): 3x 3 (80) = = 48 5 5 Por lo tanto, María ahorro S/ 48.

Nivel avanzado 10.

Sea «x» el número de escalones y N el número de pasos. Por dato, tenemos lo siguiente: x x   / N – 6 = N= 3 2 x x x x Entonces: = + 6  &  – =6 3 3 2 2 x = 6  & x = 36 6 Por lo tanto, la escalera tiene 36 escalones. 11.

El triple de un número, disminuido en 1 equivale a 8 veces el exceso de dicho número sobre 2. Calcula el valor del número. Sea «x» el número pedido. Por dato del problema, tenemos lo siguiente: 3x – 1 = 8(x – 2) & 3x – 1 = 8x – 16 5x = 15 & x = 3 Por lo tanto «x» toma el valor de 3.



Pedro le dice a Diego lo siguiente: “mis camisas son de color verde, azul y blanco. Si todas mis camisas son blancas menos 4, todas son azules menos 4 y todas son verdes, menos 4, ¿cuántas camisas tengo?” Sea «x» el total de camisas que tiene Pedro. Por dato, tenemos lo siguiente: Total, de camisas blancas: x – 4 Total, de camisas azules: x – 4 Total, de camisas verdes: x – 4 Entonces: x = (x – 4) + (x – 4) + (x – 4) x = 3x – 12 12 = 2x  & x = 6 Por tanto, Pedro tiene 6 camisas.

Genaro gasta 1/3 de su dinero y luego 2/5 de lo que le queda. Si aún le queda S/ 60, ¿Cuánto dinero tenía Genaro al principio?

Miriam y Antonio disponen de cierta cantidad de dinero para ir al teatro. Si compra entradas de S/ 7 le faltaría S/ 17 y si adquiere entradas de S/ 4 le sobraría S/ 10, ¿cuántos hijos tienen Miriam y Antonio?

Sea «x» la cantidad de dinero que tiene Genaro. Por dato del problema, tenemos que: x 2x   Queda: Gasta: 3 3 Luego: 3 JK 2x NO 2 JK 2x NO Gasta:  KK OO   Queda: KK OO = 60 5L 3 P 5L 3 P 2x &  = 60  & x = 150 5 Por lo tanto, Genaro tiene S/ 150 al principio.

Sea N el total de dinero que tienen ambos. Sea «x» el número de personas. Por dato, tenemos que: N - 10 N + 17 = x  /  =x 4 7 N - 10 N + 17 Entonces: = 4 7 4N + 68 = 7N – 70  & 138 = 3N  & N = 46 46 + 17 Nos piden x = = 9  & hijos = 9 – 2 = 7 7 Por lo tanto, Miriam y Antonio tienen 7 hijos.

9.

Una persona sube una escalera de 2 en 2 escalones, pero si sube de 3 en 3 escalones da 6 pasos menos, ¿cuántos escalones tiene la escalera?

12.



Unidad 2

7.

Razonamiento matemático

Avanzado



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Refuerzo en casa

Nivel avanzado

Nivel básico

11.

Si un número aumentado en 53 es igual a 71, determina dicho número a. 36

2.

b. 1892

c. 1867

b. 24

c. 18

a. 480

b. 600

c. 720

12.

13.

14.

d. 640

Nivel intermedio 5.

6.

c. 15;25

d. 30;40

b. 18

c. 32

d. 36

b. 200

c. 100

d. 150

La suma de dos números es 37, además, si se divide el mayor con el menor número, el cociente nos da 3 y el residuo 5. Halla el valor de dichos números a. 40; 5

10.

b. 40;10

Repartir: S/ 300 entre A, B y C de modo que la parte de B sea el doble que la de A y la de C el triple de la de A. Determina el valor del doble de A sumado con B. a. 40

9.

d. 230

En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero. ¿Cuántas habitaciones hay en el primer piso? a. 4

8.

c. 220

La edad de Pedro es el triple de la de Juan y ambas edades suman 40 años, halla ambas edades. a. 30;10

7.

b. 200

b. 29; 8

c. 10; 15

d. 15; 20

El exceso de 8 veces un número sobre 60 equivale al exceso de 60 sobre 7 veces el número. Determina el valor de dicho número aumentado en 5. a. 11

b. 12

c. 13

15.

d. 14

d. 80

c. 720

d. 500

¿Qué número es aquel, cuyo exceso sobre 232 equivale a la diferencia entre los 2/5 y 1/8 del número? b. 300

c. 320

d. 480

Entre Juan y Claudia tienen S/ 76. Si el cociente que se obtiene al dividir lo que tiene Juan y lo de Claudia es 5 y aún a Juan le sobra 4, ¿cuánto tiene Claudia? a. S/ 12

La suma de dos números excede a 572 en 146. Si la diferencia de los números es 258, calcula el número menor. a. 180

b. 750

a. 160

d. 36

c. 40

¿Cuál es el número cuyos 3/4 exceden en 420 a su sexta parte? a. 640

d. 1038

La suma de dos números es 872 y sus diferencia 328. Halla el mayor de los números.

b. 60

a. 30

d. 14

La edad de A es el doble de la de B; ambas edades suman 36 años; halla la edad de B dentro de 15 años. a. 27

4.

c. 36

¿Qué número dividido por 43 dará como resultado 44? a. 1720

3.

b. 18

b. S/ 14

c. S/ 16

d. S/ 10

En un aula se sienta a 6 alumnos en cada banca y no sobra ninguna, pero si se sienta a 4 alumnos por banca se necesitarán 3 banca. ¿Cuántos alumnos hay en el aula? b. 24

a. 12

c. 30

d. 36

Nivel destacado 16.

Se tiene un cajón de 84 manzanas de 10 g cada una y otro cajón con 54 manzanas de 25 g cada una. ¿Cuántas manzanas deben de intercambiarse para que, sin variar el número de manzanas de cada cajón, ambas adquieran el mismo peso? a. 15

b. 20

c. 17

d. 22

Respuestas 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

b

b

a

b

d

a

c

b

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

b

c

b

c

c

a

d

c

Metacognición ¿Qué aprendí?,¿cómo aprendí? ¿Qué dificultades tuve?, ¿cómo las superé? ¿Para qué me sirve lo aprendido en este tema?

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1.

Repartir: 180 dólares entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B y un tercio de la de C. Determina lo que le toca a B.

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Básico

Intermedio

Avanzado

Evaluación n°2 * * 1 *

* 2 * 3 5 5 * * * 1 * * * 7 * 7 0 3

4. Para el cumpleaños de Jorge, 24 de sus amigos decidieron realizarle una pequeña fiesta, para ello, propusieron aportar con una cantidad de dinero. Si se sabe que algunos dieron S/ 25, otros S/ 30 y en total recaudaron S/ 665, ¿cuántos amigos aportaron con S/ 25? Sea “x” el total de amigos que aporto con S/ 25, entonces:

Resolviendo, tenemos lo siguiente:

24 – x = cantidad de amigos que aportaron con S/ 30. Luego:

4 3 1 1

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6 2 3 3 5 5 1 3 2 1 2 0 5 7 3 7 0 3 Nos piden: 4623 + 132 = 4755 2. Sergio le dice a Marcos lo siguiente: si a la cantidad de dinero que tengo lo divido entre 4, luego le resto 11 y finalmente lo multiplico por 19, obtengo S/ 247. ¿Qué cantidad de dinero tengo? Utilizamos el método del cangrejo: [(247 ÷ 19) + 11] × 4 = x [13 + 11] × 4 = x 24 × 4 = x  & x = 96 Por lo tanto, Sergio tiene S/ 96.

Unidad 2

1. Calcula la suma del dividendo y el cociente

25x + 30(24 – x) = 665 25x + 720 – 30x = 665 & 55 = 5x  & x = 11 Por lo tanto, 11 de los amigos de Jorge aportaron con S/ 25

5. Si se cumple que: PAZ × P = 267; PAZ × Z = 192; PAZ × A = 204. Efectúa la siguiente operación: M = PAZ × ZAP Luego, halla la suma de cifras del resultado Por dato, tenemos que: PAZ × P = 267; PAZ × Z = 192; PAZ × A = 204 P Z 2 2 0 1 9 2 2 1 5

3. Si el pasado mañana del mañana de anteayer es sábado, ¿qué día será el ayer del pasado mañana del día de hoy? Por dato, tenemos lo siguiente: Hoy + 2 + 1 – 2 = sábado Hoy + 1 = sábado  & hoy = viernes Nos piden: Hoy – 1 + 2 = hoy + 1 = viernes + 1 = sábado La respuesta es sábado



A Z3 A P 6 7 4 0 7

Nos piden: 2 + 1 + 5 + 0 + 7 = 15



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Básico

8. Si a un número le multiplicamos por 3, le sumamos 25, luego, lo dividimos entre 4 y finalmente le restamos 8, nos da como resultados 5, determina el valor de dicho número.

En total, tenemos:

Utilizamos el método del cangrejo:

3 guantes rojos izquierdos y 3 derechos

{[(5 + 8) × 4] – 25} ÷ 3 = x

4 guantes azules derechos y 4 izquierdos

{[13 × 4] – 25} ÷ 3 = x

2 guantes negros derechos y 2 izquierdos

{52 – 25} ÷ 3 = x

Para resolver el problema, debemos ponernos en el peor de los casos, es decir la cantidad de guantes que extraemos será: 4 guantes azules derechos + 3 guantes rojos derechos + 2 guantes negros derechos + 1 guante (con este último se completa el par usable, puesto que en la caja sólo nos quedaría guantes izquierdos) Por lo tanto, se extraen como mínimo 10 guantes

27 ÷ 3 = x  & x = 9 Por lo tanto, el valor del número pedido es 9. 9. Un estudiante universitario, gasta S/ 3 en ir de su casa a la universidad y S/ 4 en regresar. Si hasta el momento a gastado S/ 88, ¿En dónde se encuentra el estudiante En ir y venir a su casa, el estudiante gasta: S/ 7 Luego: 88 = 12 × 7 + 4 El residuo es 4, esto nos indica que, el estudiante se encuentra en la universidad.

7. Si el día precedente al pasado mañana de ayer es 3 días antes de lunes, ¿qué día será el anteayer del mañana de dos días anteriores al día de hoy? Por dato, tenemos lo siguiente: Hoy – 1+ 2 – 1 = lunes – 3 Hoy = lunes – 3  & hoy = viernes Nos piden: – 2 + 1 – 2 + hoy –3 + hoy

10. Dos secretarias tienen que redactar 540 cartas cada una, la primera redacta 18 cartas por hora y la segunda 12 cartas por hora. Cuando la primera secretaria termine, ¿cuántos documentos le faltarán a la segunda?

viernes – 3 = martes

La primera secretaria redacta 18 documentos por hora, entonces: Total, de horas que emplea para redactar las 540 cartas es: 540 ÷ 18 = 30 h Luego, el total de documentos que redacta la segunda secretaria en 30 h es: 12 × 30 = 360 La cantidad de documentos que le faltará redactar es: 540 – 360 = 180

La respuesta es martes





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6. En una caja hay 3 pares de guantes rojos, 4 pares de guantes azules y 2 pares de guantes negros, ¿cuántos pares de guantes como mínimo debo extraer, para tener un par de guantes usables?

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Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Unidad 3

Revaloramos nuestra identidad cultural aprendiendo nuestra historia

Unidad 3

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Los alumnos de primero de secundaria pusieron en marcha el plan “#CONOCETUPAÍS”, para ello colocaron afiches en lugares estratégicos de la escuela. Cada afiche contiene información acerca de cada región de nuestro país, resaltando sus manifestaciones culturales como danza, gastronomía, agricultura, costumbres y tradiciones. El objetivo es reforzar, en cada estudiante, la identidad cultural, partiendo de ellos mismos, su familia y la sociedad.

Observamos y respondemos • ¿En qué consiste el plan #CONOCETUPAÍS? • ¿Cuál es el objetivo del plan elaborado por los estudiantes del 1° de secundaria? • ¿Qué aportes darías para incentivar en tu escuela la identidad cultural?

Valores Identidad y naturaleza

Desempeños

Razonamiento matemático

Razonamiento lógico

• Emplea estrategias de cálculo para completar el valor que falta en la reconstrucción de operaciones aritméticas.

Edades:

Ordenamiento lineal: • Interpreta situaciones problemáticas diversas de ordenamiento lineal expresados en el lenguaje cotidiano.

Operadores matemáticos:

• Emplea estrategias para resolver problemas sobre ordenamiento lineal.

Cortes y estacas:

Ordenamiento circular: • Traduce situaciones problemáticas diversas de ordenamiento circular expresados en el lenguaje cotidiano. • Resuelve problemas de ordenamiento circular de forma ingeniosa.

• Interpreta la regla de correspondencia asignada a un operador matemático. • Resuelve problemas cotidianos sobre cortes y estacas, empleando las propiedades correspondientes. Figuras de un solo trazo: • Reconoce las propiedades que deben cumplir una figura para que se dibuje mediante un solo trazo.

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Básico

Edades

Expresiones

Presente

Tengo, tienes, tenemos, mi edad actual es, al día de hoy tengo…

Pasado

Hace diez años, tenías, cuando tenía, él tuvo…

Futuro

Dentro de cuatro años, cuando tenga, tu tendrás dentro de…

• Edad: Tiempo de existencia del sujeto, puede darse en años, meses o días. Antes de resolver un problema de edades, es necesario tener en cuenta las siguientes observaciones: 1. Edad de una sola persona o sujeto Ejemplo: Hoy tengo 25 años, ¿cuántos años tenía hace 8 años y cuántos tendré dentro de 9 años? Veamos: hoy tengo hace ocho años

Pasado

Presente

Dayana

D – 16

D

Lucía

2D – 16

2D

Luego: D – 16 + (2D-16) = 19 3D = 19 + 16 + 16 3D = 51 D = 17 Por lo tanto, la edad actual de Dayana es 17 años. Para resolver este tipo de problemas, por lo general, nos podemos apoyar en la siguiente tabla: Hace b años   Dentro de a años Pasado

Presente

Futuro

x–b

x

x+a

1. La edad de Carlos es el triple de la edad de Miguel, dentro de 13 años sumarán 50. Calcula la edad de Miguel y Carlos respectivamente.

dentro de nueve años

Similar al problema anterior, trabajamos con una tabla:

25 años



Pasado

Presente

Futuro

• Hace ocho años: 25 – 8 = 17 • Dentro de nueve años: 25 + 9 = 34 2. Cuando intervienen edades de dos o más sujetos Ejemplo: Lucía le dice a Dayana: «Mi edad es el doble de la tuya y hace 16 años la suma de nuestras

Presente

Futuro

Miguel

M

M + 13

Carlos

3M

3M + 13

Luego: 3M + 13 + M + 13 = 50 4M + 26 = 50 4M = 24 M=6 Miguel: M = 6 años   Carlos: 3M = 18 años Por lo tanto, las edades de Miguel y Carlos son 6 y 18 años respectivamente.

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Tiempo

edades era 19 años», ¿Qué edad tiene Dayana actualmente? Para resolver el problema es de mucha ayuda trabajar con una tabla. Edad de Dayana: D De acuerdo a los datos de problema:

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En este tipo de ejercicios participan los siguientes elementos: sujeto, tiempo y edad. • Sujeto: Hace referencia a las personas que participan en el problema. • Tiempo: Nos indica en qué momento se da cierto acontecimiento en el problema. La siguiente tabla nos permite reconocer en que tiempo nos vamos a ubicar, de acuerdo a cada expresión:

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Practica lo aprendido

4.

1.

De acuerdo al siguiente cuadro mostrado, determina la edad actual de María. Pasado

Presente

Cristina

2c

36

María

48

4c

36 – 2c = 4c – 48 84 = 6c  & c = 14 Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

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Edad actual de María: 4c = 56

2.

5.

Si al triple de la edad que tengo, se quita mi edad aumentado en 8 años, resulta 36 años. ¿Qué edad tengo?

Sea r la edad actual de Roger, entonces: Eduardo: 2r   Roger: r Hace 16 años, sus edades sumaban 40: 2r – 16 + (r – 16) = 40 3r – 32 = 40 3r = 72  & r = 24 La edad actual de Roger es 24 años.

3n

40

Rocío

16

5n

La edad de Luis es el séxtuplo de la edad de Jorge, pero dentro de 8 años, solo será el doble. Halla la edad de Luis. Identifiquemos los tiempos: presente y futuro, para ello veamos la tabla: Presente

Futuro

Luis

6J

6J + 8

Jorge

J

J+8

6J + 8 = 2(J + 8) 6J + 8 = 2J + 16 4J = 8 J=2 Edad de Luis: 6(2) = 12 años. 6.

La edad actual de Eduardo es el doble que la edad de Roger, y hace 16 años, la suma de sus edades era 40 años. Determina la edad actual de Roger.

Diana

Nivel intermedio

Sea «x» la edad que tengo, entonces: Triple de la edad que tengo: 3x Mi edad aumentada en 8 años: x + 8 Finalmente: 3x – (x + 8) = 36 3x – x – 8 = 36 2x = 44 x = 22 Tengo 22 años.

3.

Futuro

Se verifica que: 40 – 3n = 5n – 16 40 + 16 = 5n + 3n 56 = 8n  & n = 7 Diana dentro de 3 años: 3n + 3 = 3(7) + 3 = 24 Diana tendrá 24 años.

Como del pasado hasta el presente transcurrieron la misma cantidad de años, tanto para Cristina como para María, entonces: 36 + 48 = 4c + 2c

Presente

Unidad 3

Nivel básico

De acuerdo al siguiente cuadro, calcula la edad de Diana dentro de 3 años.

De acuerdo a la siguiente tabla, calcula el valor de x + y. Pasado

Presente

Futuro

Ricardo

12

3x

40

Jorge

x

24

y

Los tiempos transcurridos tanto para Ricardo como para Jorge son los mismos, entonces: 3x – 12 = 24 – x 4x = 36  & x = 9 40 – 12 = y – x & y = 28 + 9 = 37 Nos piden:  x + y = 9 + 37 = 46

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Básico

A partir de los datos mostrados en la tabla, determina el valor de x + y. Pasado

Presente

Futuro

José

25

3x

2y

Pedro

x

63

75

10.

Sea «x» la edad del segundo, en la tabla:

Para José y Pedro transcurrieron la misma cantidad de años, entonces: 3x – 25 = 63 – x 2y – 3x = 75 – 63 2y – 3(22) = 75 – 63 3x + x = 63 + 25 4x = 88 2y – 66 = 12 x = 22 2y = 78  & y = 39 Entonces: x + y = 22 + 39 = 61

Nivel avanzado 8.

11.

Sea . D la edad de Daniel Elaboremos la tabla: Pasado

Presente

Miguel

(D – 5) – 4

D–5

Daniel

D–4

D

[(D – 5) – 4] + D – 4 = 21 [D – 9] + D – 4 = 21 2D – 13 = 21 2D = 34  & D = 17 Por lo tanto, la edad de Daniel es 17 años.

Un padre tiene a años y su hijo b años. Hace cuantos años la edad del padre fue el triple que la del hijo. Expresa tu respuesta en función de a y b.

Pasado

Presente

Padre

a–x

a

Hijo

b–x

b

3b – a = 2x  & x =



3b - a 2

x–3

(x –3) + 6

Intermedio

x

x+6

Mayor

2x

2x + 6

Dentro de 6 años, las edades sumarán 47, entonces: (x –3) + 6 + x + 6 + 2x + 6 = 47 4x + 15 = 47 4x = 32  & x = 8 Edad del mayor: 2x = 2(8) = 16 años.

Un padre le dice a su hijo: «hace 8 años mi edad era el cuádruple de la edad que tu tenías, pero dentro de 8 años, será el doble», ¿qué edad tiene el hijo?

Pasado

Presente

Futuro

Padre

p–8

p

p+8

Hijo

h–8

h

h+8



Dibujamos la siguiente tabla:

Entonces: a – x = 3(b – x) a – x = 3b – 3x

Menor

Hace 8 años era el cuádruple: p – 8 = 4(h – 8)  & p = 4h – 24 …(1) Dentro de 8 años será el doble: p + 8 = 2(h + 8) p + 8 = 2h + 16  & p – 8 = 2h …(2) Reemplazando (1) en (2) tenemos: (4h – 24) – 8 = 2h 4h – 2h = 24 + 8 2h = 32  & h = 16 Entonces, el hijo tiene 16 años.

D – 9 + D – 4 = 21

9.

Futuro

Sea p la edad del padre y h la edad del hijo, entonces:

Hace 4 años, la suma de sus edades era 21 años:



Presente

Metacognición ¿Qué aprendí?,¿cómo aprendí? ¿Qué dificultades tuve?, ¿cómo las superé? ¿Para qué me sirve lo aprendido en este tema?

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Miguel tiene 5 años menos que Daniel, hace 4 años la suma de sus edades era 21 años, ¿qué edad tiene Daniel?

El menor de tres hermanos tiene 3 años menos que el segundo, y la edad del mayor es el duplo de la edad del segundo. Dentro de 6 años la suma de las edades será 47 años, ¿qué edad tiene el mayor?

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7.

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Refuerzo en casa Nivel básico 1.

Elías es 6 años más joven que Iván. Hace 3 años Iván tenía el triple de la edad que Elías tenía en ese entonces. ¿Qué edad tiene Iván? a. 10

2.

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d. 16

b. 14

c. 15

d. 16

Dentro de 15 años, la suma de nuestras edades será 80 años. Si tienes 12 años más que yo, ¿cuál será tu edad dentro de cinco años? a. 32

4.

c. 14

Adela tiene 8 años y su papá tiene 50, ¿dentro de cuantos años la edad de su papá será el triple que la de Adela? a. 13

3.

b. 12

a. 25 b. 30 c. 15 d. 28 La edad de Rolando es el triple de la edad de Francisco, pero dentro de 15 años la edad de Francisco será la mitad de la de Rolando, ¿cuál es la suma de las edades de Rolando y Francisco?

7.

b. 34

c. 35

c. 16 y 12

b. 18 y 20

d. 18 y 12

c. 70

a. 5

b. 3

c. 12

d. 9

Dentro de 40 años la edad de Abraham será a la de Josué como 4 es a 3. ¿Cuál es la edad de ambos si hace 26 años la edad de Abraham era el quíntuplo de la de Josué?

9.

a. 50 y 30 b. 53 y 31

Lee y luego indica los enunciados que son correctos:

d. 73

Betty tiene 4 hijos: Luis de 4 años, Lorena de 8 años, Elena de 6 años y Roberto de 12 años. Betty tiene 42 años y dentro de «x» años las edades de los hijos sumarán la edad de Betty, ¿que edad tendrá Lorena dentro de «x» años?

8.

Nivel intermedio 5.

b. 63

Nivel avanzado

d. 36

La relación entre las edades de Sergio y Maritza 4 actualmente es de . Si dentro de 12 años la 3 7 relación de sus edades será de . ¿Cuál es la 6 edad de Sergio y Maritza respectivamente? a. 16 y 18

a. 60

Unidad 3

Cuando Fernando tenga 30 años, Alberto tendrá 21 ¿cuál es la edad actual de Alberto, si Fernando hace 4 años tenía 20 años de edad?

6.

10.

Sergio le dice a Roxana: «Hace 15 años tuve la tercera parte de la edad que tendré dentro de 7 años».

c. 56 y 32 d. 58 y 34

Si la edad de Abraham dentro de 5 años será el triple que la que tenía hace 3 años, ¿qué edad tendrá dentro de 20 años? a. 26 b. 27

11.

c. 28 d. 29

Wendy tiene 48 años, su edad es el cuadrúple de la edad que tenía Raquel cuando Wendy tenía la tercera parte de la edad que tiene Raquel. ¿Cuál es la edad de Raquel? a. 27 b. 28 c. 29 d. 45 Nivel destacado

12.

I. La edad de Sergio es menos de 30 años II. La edad de Sergio es 28 años III. La edad de Sergio es más de 30 años IV. Si la respuesta de Roxana fue 30 años, ella respondió de manera correcta V. Si la respuesta de Roxana fue 26 años, ella respondió de manera correcta a. Solo I

b. I y IV

c. II y IV

d. I y V

La suma de las edades de una pareja de esposos, cuando nació su primer hijo, era la mitad de la suma de sus edades actuales. Si ahora el hijo tiene 20 años, ¿qué edad tenía cuando las edades de los 3 sumaban 70 años? b. 12

a. 16

c. 18

d. 10

Respuestas 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

b

a

d

c

d

c

a

c

c

b

d

d

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Básico

Ordenamiento lineal Un ordenamiento lineal consiste en ordenar un grupo de personas u objetos de acuerdo a una determinada característica, tales como posición, peso, talla, etc. Tipos de ordenamiento lineal a. Ordenamiento horizontal En este tipo de ordenamiento, es necesario ubicar los datos en una línea horizontal, para encontrar la solución pedida. Para resolver este tipo de problemas, tendremos en cuenta lo siguiente:

Ejemplo: David, Rodrigo, Richard y Francisco son cuatro hermanos, si se sabe que: • David es mayor que Rodrigo y Richard. • Richard nació tres años después de Rodrigo. • Francisco es menor que Richard ¿Quién de los cuatro hermanos es el menor? Solución: Ordenamos los datos con respecto a los datos obtenidos: “Francisco es menor “Richard nació 3 años que Richard” después de Rodrigo”

Martha

“Martha está a la derecha de Genaro”

Richard

Rodrigo

Francisco

Richard

“David es mayor que Rodrigo y Richard”

Ximena

Carlos

Andrea

“Ximena y Carlos están sentados a la izquierda de Andrea”

Ejemplo: Martín se sienta junto y a la derecha de Elvis, además Ángel se sienta a la izquierda de Martín. ¿qué podemos decir acerca de Elvis? Solución: Tenemos de dato lo siguiente: • “Martín esta sentado junto y a la derecha de Elvis” E M • “Ángel se sienta a la izquierda de Martín”

David

Rodrigo

Rodrigo

Richard

Richard

Francisco Francisco Por lo tanto, el menor de los hermanos es Francisco.

1. En una carrera de atletismo, Ernesto llega después de Gerardo, Luis antes de Roberto, pero después de Ernesto. Si Arturo llegó antes de Ernesto y, Gerardo fué quien ganó la competencia, ¿quién ocupó el 4° lugar?

A M • Finalmente, ubicamos a las tres personas de acuerdo a lo señalado: A E M Por lo tanto, podemos decir que Elvis se encuentra sentado entre Ángel y Martín.

David



Tenemos de dato lo siguiente: • “Ernesto llega después de Gerardo” • “Luis antes de Roberto, pero después de Ernesto.” • “Arturo llegó antes de Ernesto” • “Gerardo fue quien ganó la competencia” Finalmente: Por lo tanto, el 4° lugar lo ocupa Luis.

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Genaro



b. Ordenamiento vertical En este caso, para dar solución al problema es necesario ubicar los datos en una línea vertical.

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Ordenamiento lineal

Básico

Intermedio

Razonamiento lógico

Avanzado

Practica lo aprendido Nivel básico 1.

• Elena es mayor que Rosa y Sofia. • Nicole es menor que Sofia. • Sofia nació 30 años después que Rosa. Si las ordenamos de menor a mayor, entonces, la segunda, de las 4 será:

En un examen

• Brenda obtuvo más puntos que Ana. • Doris menos puntos que Ana. • Carlos más puntos que Elena. • Elena más puntos que Brenda. ¿Quiénes Obtuvieron el puntaje menor y mayor, respectivamente?

De los datos podemos establecer lo siguiente: Elena Como Sofia nació 30 años desRosa pués que rosa, Rosa es mayor Sofia que Sofia Nicole Menor edad Si lo ordenamos de menor a mayor la segunda es Sofia.

Utilizando un esquema vertical de la siguiente manera: Más puntos

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Menos puntos

Carlos Elena Brenda Ana Doris



Rpta: Doris y Carlos.

5.

2.

En un edificio de 4 pisos viven 4 hermanos. Julio vive en el 3er Piso, Rafaela vive debajo de Milagros y Fernanda dos pisos más arriba que Milagros.

¿En qué piso vive Rafaela? • Como Fernanda vive dos   pisos más arriba que Fernanda milagros, se deduce que Julio Fernanda vive en el 4to piso. Milagros • Milagros tendría que vivir en el 2do piso y por último Rafaela Rafaela en el 1er piso. Rpta: Rafaela vive en el 1er Piso. 3.

Cinco amigos se sientan en una banca de cinco asientos a esperar el ómnibus. Se conoce lo siguiente:

• Mateo está sentado cuatro asientos a la izquierda de Roxana. • Roxana está junto a Alejandra. • Pablo está a la derecha de Edith. ¿Quién se sienta junto y a la izquierda de Edith?

Saúl, Roberto, Juan y Carlos se ubican en 4 asientos contiguos en una fila del cine. Roberto esta junto y a la derecha de Juan, Carlos a la izquierda de Saúl y, además entre Carlos y Roberto está Juan ¿Quién ocupa el tercer asiento de derecha a izquierda? De los datos . siguiente: Carlos

Edith

Izq.

Juan

Roberto

establecer

lo

Saul Der.

Rpta: El tercer asiento de derecha a izquierda lo ocupa Juan. 6.

Cuatro amigos están sentados en una banca de 4 asientos y observa lo siguiente:

• Gaby está junto a Pedro, pero no junto a Belén. • Belén está lo más alejado de Paul. • Paul se encuentra a la izquierda de todos. ¿Quién ocupa el segundo lugar de izqu. a der.? De los datos siguiente: Paul

Pablo Alejandra Roxana

Izq.

Der.

Rpta: Mateo.

podemos

Izq.

Podemos considerar el siguiente esquema Mateo

Unidad 3

Nivel intermedio 4. Sabiendo que:



podemos

Gaby

Pedro

establecer

lo

Belen Der.

Rpta: El segundo lugar tomado de izquierda a derecha seria Gaby.

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Básico

En la competencia de natación Artística de los juegos panamericanos, Jorge obtuvo 5 puntos menos que Patrick y 6 puntos más que Joan. Sí Andrés obtuvo 4 puntos más que Patrick, ¿Cuántos puntos más obtuvo Andrés que Joan?

10.

• Italia llegó 5 minutos después de Rusia. • España llegó 10 minutos antes que Rusia. • Sí Alemania llegó 2 minutos antes que Italia. ¿Quién quedó en último puesto?

Utilizando un esquema  Más puntos vertical de la siguiente manera Con los dos primeros datos Menos puntos ubicamos a Jorge, Patrick y Joan, luego con la última información a Andrés. Rpta: obtuvo 15 puntos más.

Utilizando un ordenamiento horizontal 2 min Italia

9.



Julio

Maura

Roxana

Dennise

1990

1993

2000

2007

Rpta: Julio nació en el año 1990.

12.

• Belén llegó delante de Paty. • Martha aventajo a Paty por dos puestos. • Gladis batió récord panamericano. ¿Quién quedó en tercer puesto?

Pedro, Juan, Carlos y María aprobaron el examen de matemática con 15, 16, 18 y 20. Se sabe que:

• Carlos obtuvo 1 punto más que Juan, pero menos que María. • Pedro le ganó a Carlos y María. ¿Quién obtuvo 18 de nota?

Utilizando un esquema horizontal



Roxana, Dennise, Maura y Julio nacieron en años distintos: 1990, 1993, 2000 y 2007. No necesariamente en ese orden. Si se sabe que Dennise aún está en el colegio, y que Maura es 7 años mayor que Roxana ¿En qué año nació Julio? • Del primer dato se deduce que Dennise es la menor ya que aún está en el colegio por ende nació en el 2007 • Del segundo dato se deduce que Maura nacio en 1993 y Roxana en el 2000.

Paul Edison Tesla Octavio

En la maratón de los juegos panamericanos se observó que:

España Meta

11.



Rusia

Rpta: Quedó último Italia.

• Tesla es más bajo que Edison. • Paul es más alto que Edison. • Octavio es el más bajo de todos. ¿Quién es más alto? Utilizando un ordenamiento  vertical, el de mayor altura se encontrará arriba por ende el de menor talla estará debajo. Rpta: El más alto sería Paul.

Alemania

Paty Belen Martha Gladis Meta • Utilizamos el tercer y segundo dato respectivamente para posicionar a Martha, Paty y Gladis. • El primer dato nos ayuda a posicionar a Belén Rpta: El tercer puesto lo ocupa Belén.

• Del primer dato se deduce que Carlos obtuvo 16 de nota y Juan 15. • Del segundo dato se deduce que Pedro sacó 20. Rpta: María Obtuvo 18.

Pedro (20) Maria (18) Carlos (16) Juan (15)

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Nivel avanzado 8. Sabiendo que:

Andrés Patrick Jorge Joan

En el Rally DAKAR 2019 participaron 4 camiones de distintos países y se sabe que:

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7.

Básico

Intermedio

Razonamiento lógico

Avanzado

Refuerzo en casa Tres amigos escalan una montaña. Víctor se encuentra debajo de Paola, Pablo está entre Víctor y Paola. ¿Quién está en primer lugar? a. Victor b. Paola 2.

c. Pablo d. No se puede determinar En un edificio de 4 pisos viven 4 hermanos, Adolfo vive entre Sofia y Víctor, Julio vive por encima de todos y junto a Sofia. ¿Quién vive en el primer piso?

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a. Adolfo b. Sofia

c. Julio d. Víctor

Nivel intermedio 3. Cinco amigos entran al cine y se acomodan en una butaca de 6 asientos de la siguiente manera: I. Pedro está sentado a la izquierda de Juan y adyacente a Jorge y Lewis. II. Dora esta sentada en el extremo derecho y separada de los demás por un asiento vacío. De izquierda a derecha. ¿Quién ocupa el cuarto asiento? a. Juan c. Dora d. Lewis b. Pedro En el examen de admisión a la UNMSM: I. Antonio obtuvo menos puntos que César. II. Darío menos puntos que Antonio. III. Pamela más puntos que Eduardo. IV. Eduardo más puntos que César. ¿Quiénes obtuvieron el menor y mayor puntaje, respectivamente? a. Darío y Pamela c. César y Darío b. Antonio y César d. Pamela y Cesar

En una reunión se encuentran seis amigos: Beatriz, Roxana, Chavela, Edith, Paty y Elizabeth sentados en una misma fila, pero no en ese orden. I. Edith está junto y a la derecha de Patty. II. Beatriz está a la izquierda de Roxana. III. Elizabeth está junto y a la izquierda de Chavela. IV. Entre Edith y Roxana está Beatriz. ¿Quién se encuentra entre Chavela y Roxana? a. Elizabeth c. Roxana b. Paty d. Beatriz

7.

8.

4.

Nivel avanzado 5. En los juegos panamericanos los países como Perú, EEUU, México, Venezuela y Brasil obtuvieron 13, 15, 28, 30 y 33 medallas, se sabe que: I. El país con más medallas no habla español. II. Perú obtuvo la mitad de medallas que Brasil. III. México Obtuvo más medallas que Perú, pero menos medallas que Brasil. ¿Quién obtuvo 13 medallas? a. Perú c. México b. EEUU d. Venezuela

Unidad 3

Nivel básico 1.

Ana, Belén, Carlos, Doris y Ernesto trabajan en un edificio de 6 pisos, cada uno en un piso diferente y se sabe que: I. Doris trabaja en un piso adyacente al que trabajan Carlos y Belén. II. El segundo piso esta vacío. III. Adyacente y arriba de Carlos, trabaja Ernesto. ¿Quiénes trabajan en el tercer y cuarto piso, respectivamente? c. Ernesto y Ana a. Ana y Doris b. Belén y Doris d. Ana y Belén

6.

Rosa al conversar con sus 4 amigas sobre su estatura, dice: yo soy 5 cm más alta que Ana, pero Dina es 3 cm más baja que yo. Ana es 2 cm más alta que Eva quien es 4 cm más baja que Irla. Determina el par de amigas con la misma estatura. a. Ana y Rosa b. Irla y Dina

c. Irla y Eva d. Dina y Eva

Nivel destacado 9.

Seis amigos se ubican simétricamente alrededor de una mesa circular para almorzar, si se sabe que: • Alex no está al lado de Joel ni de Daniel. • Aldo no está al aldo de Alex ni de Oliver. • Daniel no está al lado de Joel ni de Oliver. • Nilo está junto y a la derecha de Alex. ¿Quién está junto y a la izquierda de Daniel? a. Nilo c. Oliver b. Aldo d. Joel Respuestas 1

2

3

4

5

6

7

8

9

b

d

a

a

d

b

a

b

a

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Básico

Operadores matemáticos Los operadores matemáticos, son símbolos matemáticos acompañados de una ley de formación, que afectan y transforman una o más cantidades en resultados. Símbolos convencionales Son aquellos que ya se encuentran definidos: +; –; ×; ÷; π; ;… Símbolos arbitrarios Son aquellos para los cuales se define una ley de formación: ; Y; i; Z; #; ...; H Ley de formación Son operaciones matemáticas asignadas a ciertas variables.

Criterios para resolver problemas sobre operadores matematicos • Identificar el operador matemático y la ley de formación. • Aplicar las leyes de formación dada a las operaciones pedidas.

1. Si xiy = 7y + x. Halla (5i4) + (3i2)

p

H

Primera componente

q

= 2p – q

Segunda componente



2. Si p@q = 2p – q, calcula (9@6) @ (7@5 )

2da. Componente: "b" 1ra. Componente

COLUMNA DE ENTRADA

Operadores matemáticos mediante tablas de doble entrada Son operaciones que involucran a dos cantidades, representadas en una tabla, mediante una columna y una fila de entrada, donde el resultado se encuentra en la intersección de la fila y columna correspondiente. FILA DE ENTRADA

"a"



Resultados ó elementos del conjunto de llegada (Cuerpo) a + 2b

3. Se definen los operadores: x ↺ y = x – y x % y = [(xy) ↺ x] + y Determina el valor de 12 % 9

Ejemplo: F

3

5

2

20

22

7

27

15

De la tabla, obtenemos los siguientes resultados: 2 F 3 = 20 2 F 5 = 22 7 F 3 = 27 7 F 5 = 15

Se reemplaza: (9@6) @ (7@5) = (2(9) – 6) @ (2(7) – 5) = (18 – 6) @ (14 – 5) = 12 @ 9 = 2(12) – 9 = 24 – 9 = 15 Por lo tanto:  (9@6) @ (7 @ 5) = 15



Remplazamos los valores de forma adecuada: 12 % 9 = [(12 ∙ 9) ↺ 12] + 9 12 % 9 = [108 ↺ 12] + 9 12 % 9 = [108 – 12] + 9 12 % 9 = 96 + 9 Por lo tanto:  12 % 9 = 105

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Operador matemático Ley de formación

Teniendo en cuenta la siguiente ley de formación xiy = 7y + x Reemplazamos de forma adecuada: (5i4) + (3i2) = (7 ∙ 4 + 5) + (7 ∙ 2 + 3) = (28 + 5) + (14 + 3) = 33 + 17 = 50 Por lo tanto (5i4) + (3i2) = 50

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Operador matemático

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Practica lo aprendido Nivel básico 1.

Si k

= 6k + 8, calcula 15

Halla [(12 Z 9) Z 12] Z 10

+ 18

Reemplazando: [(12 Z 9) Z 12] Z 10 = [(12 + 9) Z 12] Z 10 [(12 Z 9) Z 12] Z 10 = [21 Z 12] Z 10 [(12 Z 9) Z 12] Z 10 = (21 + 12) Z 10 [(12 Z 9) Z 12] Z 10 = 33 Z 10 [(12 Z 9) Z 12] Z 10 = 33 + 10 Por lo tanto  [(12 Z 9) Z 12] Z 10 = 43

Reemplazmos de forma adecuada 15

= 6(15) + 8 = 90 + 8 = 98

18 = 6(18) + 8 = 108 + 8 = 116 Por lo tanto: 15

+ 18

= 98 + 116 = 214

Unidad 3

Nivel intermedio 5. Si m Z n = m + n



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2.

6.

Con respecto a la siguiente tabla 7

8

9

7

9

8

7

8

7

9

8

T = (5 w 6) + (7 w 8) + (1 w 9), si se cumple que a w b = 3b2 – 2a2 Se desea encontrar: T = (5 w 6) + (7 w 8) + (1 w 9)   5 w 6     7 w 8    1 w 9 = 3(6)2 – 2(5)2 = 3(8)2 – 2(7)2 = 3(9)2 – 2(1)2 = 3 . 36 – 2 . 25 = 3 . 64 – 2 . 49 = 3 . 81 – 2 . 1 = 108 – 50 = 192 – 98 = 243 – 2 = 58 = 94 = 241 Por lo tanto: T = (5 w 6) + (7 w 8) + (1 w 9) T = 58 + 94 + 241  & T = 393

9 8 7 9 Determina el resultado de: ^8 U 9h U 7^7 U 9h U ^8 U 7hA A = ^7 U 8h U 7^9 U 8h U ^9 U 9hA De la tabla se tiene: ^8 U 9h U 7^7 U 9h U ^8 U 7hA A= ^7 U 8h U 7^9 U 8h U ^9 U 9hA 8 U 67 U 7@ A= 8 U 67 U 9@ 8U9 8 = A= 8U7 7 8 Por lo tanto:  A = 7

Determina el valor de

7.

Si:

Σ 2 4 6 8

2 4 6 8 2

4 6 8 2 4

6 8 2 4 6

8 2 4 6 8

Halla el resultado de

3.

Determina el valor de 9 + 8 , definida en:

4.

Sean los operadores a = 6a + 9  y  a = 6a – 10. Reemplazando

Reemplazando

9 = 6(9) + 9

8 = 6(8) – 10

9 = 54 + 9

8 = 48 – 10

9 = 63

8 = 38

B =

Se tiene: (8) 2 + (6) 3 + (4) 5 (8) 64 + 216 + 1024 B= 8 1304 B= 8 Por lo tanto: B = 163

B=

9 + 8 = 63 + 38 = 101 Por lo tanto: 9 + 8 = 101

^6 R 2h2 + ^2 R 4h3 + ^8 R 4h5 ^8 R 8h



71

UNIDAD 3 RMS1 14 - 18.indd 71

19/11/19 19:40

Básico

8.



Calcula el valor de

11.

si:

6

m = 2m + 8  y  m = 10 – 2m

Si m = m2 – 2 Calcula el valor de Calculando 3 3 = 32 – 2 = 9 – 2 = 7 Calculando 3

Calculando 6

3 = 7 = 72 – 2 = 49 – 2 = 47

6 = 2(6) + 8 = 12 + 8 = 20 Entonces se tiene

6

3 = 47 = 472 – 2 = 2209 – 2 = 2207 Por lo tanto: = 2207

3

20 = 10 - 2 x 20 = 10 - 40 = -30



= -30

6

3

Calculando

= 20

Calculando 20

Por lo tanto

3

12.



Determina el valor de:

8 + 7

definidos por

los operadores matemáticos:

9.

Si jhk = (j + k) (j – k).

p =p+5y



p

= 5p – 8

Calculando 7 7 = 7 + 5 = 12



Luego: 8 + 7 = 13 + 12 = 25 Entonces:



8 + 7

Nivel avanzado 10. Si

25

6

7

8

9

∅

8

7

6

5

9

7

8

9

6

5

8

7

6

5



8

8

9

6

7

6

7

6

5

8

13.

7

9

6

7

8

7

6

5

8

7

6

6

7

8

9

8

5

8

7

6

Halla el resultado de:  C =

^9Y6h Q ^8Q5h ^7Q8h Y ^6Y8h

=

25

8 + 7

Calcula: A = (6 9)

^7Q6h ^6Y8h 8 C= 8 Por lo tanto: C = 1

= 117

Se define:

x y =

C=

reemplazando

= 5(25) – 8 = 125 – 8 = 117

Finalmente:

Se tiene: ^9Y6h Q ^8Q5h C= ^7Q8h Y ^6Y8h



8 = 8 + 5 = 13



x + y;   x . y x + 2y;   x , y (8 7)

Para: (6 9) = x + 2y; porque 6 , 9 (6 9) = 6 + 2(9) (6 9) = 24 Para: (8 7) = x + y; porque 8 . 7 (8 7) = 8 + 7 (8 7) = 15 Por lo tanto: (24 15) = x + y; porque 24 > 15 (24 15) = 24 + 15 (24 15) = 39 Finalmente: A = (6 9) (8 7) = 39

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19/11/19 19:40

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Calculando 8

Entonces: (887) 8 6 = [(8 + 7) : (8 – 7)] 8 6 (887) 8 6 = [15 : 1] 8 6 (887) 8 6 = 15 8 6 (887) 8 6 = (15 + 6) : (15 – 6) (887) 8 6 = 21 : 9 Por lo tanto:  (887) 8 6 = 189

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Calcula el valor de (887)86

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Refuerzo en casa Nivel básico 1.

Halla el valor de 6Y3 b. 16 a. 15 2. Si e . f = e – 2f,

c. 17

d. 18

calcula el valor de (8 . 1) . (6 . 2) b. 4 c. 3 a. 5 3. Se define los operadores:

d. 2

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mdn = m + n p * q = [(p – q) d p] + q Determina el valor de 23 * 7 b. 46 c. 55 d. 56 a. 45 4. En la siguiente tabla determina el valor de [(2 6) 9]

a. 9 Nivel intermedio 5.

9

6

2

2

2

9

6

6

9

2

2

9 b. 7

6

6

9 c. 6

c. 30 g+h 6. Se tiene:  g & h = 2 Halla el valor de [(25 33) 15] a. 15 b. 20 c. 25 7. Con respecto a la tabla

a. 3

5

7

10

8

7

4

8

3

10

7

4

7

a.

1 3

b.

b. 7

d. 2

d. 35

c. 4

d. 8

3 + 5

Determina el valor de:

11.

por los operadores matemáticos:



definidos

c = c – 2  y  c = 2c – 3 a. 0

b. 5 i

Sea

c. 10

d. 15

= 2i + 2 determina el valor de

a. 35

b. 25

A =



10

10.

b. 42

c. 54

5 d. 63

Se define:  p⊗q = p + q;   p , q 2p – q;   p . q Calcula: ^3 7 2h 7 ^9 7 5h A = ^6 7 8h 7 ^7 7 8h 12.

a. 28

17 29

b.

51 62

c.

17 62

d.

62 17

Nivel destacado

d. 30 13.

Si

@

4

5

6

Y

1

2

3

4

9

5

4

3

2

4

5

6

4

1

1

3

4

2

2

4

5

3

2

5

6

4

5

6

4

5

6

2

3

4

2

1

3

3

4

2

5

3

4

2

1

3

4

5

3

4

2

4

2

1

3

4

5

2

2

5

4

Determina el resultado de



7

Nivel avanzado

11.

Si t = 3t – 5, calcula el valor de 9 + 6 a. 20

8.

4

Si cYd = 3d + c

8^4@6 h @ ^4@5 hB @ ^6@6 h

^5@4 h @ 8^6@5h @ ^5@5 hB

2 3

c.

2 5

d.

3 2

Halla el valor de 4 + 7 , definida en:

Halla el resultado de: ^2 9 5h 9 ^4 Y 3h M = ^1 Y 1 h Y ^ 3 9 5 h a. 9 b. 6 c. 3

d. 1

Respuestas

x = 2x + 7 x = 3x – 5 a. 31 b. 33

Unidad 3

Halla [(5 7) 4] 10, sabiendo que el operador cumple la propiedad conmutativa.

9.

c. 37

d. 39

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 13

a

d

b

c

d

c

b

a

a

b

c

a

d

73

UNIDAD 3 RMS1 14 - 18.indd 73

19/11/19 19:40

Básico

Cortes, estacas y pastillas Se desea dividir una soga de 27 m de longitud, para obtener pedazos de 3 m de largo, ¿cuántos cortes se le deberán realizar a dicha soga? • Para una soga de 3 m • Para una soga de 6 m 3m No se realiza ningún corte

1er Corte

n° de estacas= 3m

3m

6m Se realiza un corte

Para una soga de 9 m 1er Corte 3m

2do Corte 3m

Se realizan dos cortes

A partir del análisis anterior, podemos concluir: Para una soga de 27 m: 27 -1 = 8 N° de cortes = 3 Por lo tanto, se realizan 8 cortes. Generalizando:

Longitud total Longitud unitaria n° de cortes = n° de partes iguales – 1

n° de partes iguales =

Estacas ¿Cuántos árboles pueden colocarse a lo largo de una avenida que tiene 1 km de longitud si los árboles se colocan cada 20 metros? • Para un recorrido de 40 m

Pastillas Un doctor recomienda a un paciente tomar una pastilla cada 6 horas, durante 5 días, ¿cuántas pastillas deberá comprar el paciente para cumplir con lo recetado por el doctor? • Un intervalo de tiempo 6h Se tomarán 2 pastillas • En dos intervalos de tiempo 6h 6h Se tomarán 3 pastillas • En tres intervalos de tiempo 6h 6h 6h Se tomarán 4 pastillas. A partir del análisis anterior, podemos concluir: • En seis intervalos de tiempo 6h

6h

6h

6h

6h

Se tomarán 6 pastillas Generalizando:

N° de árboles: 40 +1=3 20

20m

Longitud total +1 Longitud de separación

n° de intervalos = n° de pastillas – 1

40m

• Para un recorrido de 60 m

20m



20m 60m

N° de árboles =

1. ¿Cuántos cortes debemos realizar a una soga de 420 m de longitud, para obtener pedazos de 21 m de longitud? Longitud total: 420 m Longitud unitaria: 21 m 420 – 1 = 20 – 1 = 19 n° de cortes = 21 Se realizaron 19 cortes.

20m

60 +1=4 20



74

UNIDAD 3 RMS1 14 - 18.indd 74

23/11/2019 09:02:10

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

3m 9m

20m

A partir del análisis anterior, podemos concluir: Para una soga de 1 000 m: N° de árboles = 1 000 + 1 20 Por lo tanto, se realizan 51 árboles Generalizando:

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Cortes

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Practica lo aprendido

4.

1.

Un tronco de árbol es cortado en trozos de 15 cm de largo cada uno para leña; para esto se ha efectuado 30 cortes. ¿Cuál fue la longitud inicial del tronco?

Según el problema: Longitud unitaria: 15 cm N° de cortes: 30 30 = n° de partes – 1  &  n° de partes = 31 Longitud total 31 = 15 &  Longitud total = 465 cm

Según el problema: Longitud total: 40 m Longitud unitaria: 4 m

5.

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2.

Isabel cobra S/24 por dividir un tronco de árbol en 5 partes dando cortes paralelos. ¿Cuánto tendremos que pagarle si, necesitamos que corte el árbol en 4 partes?

Según el problema: n° de cortes = n° de partes – 1 n° de cortes = 5 – 1 = 4 24 Costo por corte: = S/6 4 Para tener 4 partes: n° de cortes = 4 – 1 = 3 Cantidad a pagar: 6 × 3 = S/18

Unidad 3

Nivel básico

Un sastre tiene una tela de 40 m de longitud, la misma que necesita cortarla en retazos de 4 m cada uno. Sabiendo que en cada corte se demora 11 segundos. ¿Qué tiempo emplearía como mínimo para cortar toda la tela? Expresa tu respuesta en minutos y segundos.

40 n° de partes iguales = = 10 4 n° de cortes = 10 – 1 = 9 Tiempo empleado: 11 × 9 = 99 s 99 s = 60 s + 39 s = 1 min + 39 s. Un sastre para cortar una cinta de tela de 20 metros de largo cobra S/1,5 por cada corte que hace, si cada corte lo hace cada 4 metros, ¿cuánto cobrará por toda la cinta? Según el problema tenemos: Longitud total: 20 m Longitud unitaria: 4 m 20 n° de partes iguales = =5 4 n° de cortes = 5 – 1 = 4 Cobró: S/1,5 × 4 = S/6

Nivel intermedio 6. Se tiene un terreno de forma cuadrada con 336 m de lado, si se desea cercar el terreno con estacas colocadas cada 8 metros, ¿cuántas estacas se necesitarán?

3.

En una pista de salto con vallas hay 18 de estas separadas por una distancia de 5 m ¿Cuál es la longitud entre la primera y la última valla?

Según el problema tenemos: Longitud total: 336 m Longitud unitaria: 8 336 + 1 = 43 en cada lado n° de estacas= 8

Según el problema: N° de Vallas: 18 Separación: 5 m Longitud total N° de Vallas = +1 separación Longitud total +1 18 = 5 &  L. total = 17 × 5 = 85 m La longitud entre la primera y la última es de 85 m

43 estacas

41 estacas

41 estacas

43 estacas

Total de estacas: 43 + 43 + 41 + 41 = 168 estacas

75

UNIDAD 3 RMS1 14 - 18.indd 75

19/11/19 19:40

Básico

7.

Se desea colocar postes de luz al perímetro de un parque triangular como el de la figura, ¿cuántos postes se necesitarán para cercarlo, si se deben colocar cada 5 metros? 15m

10.

20m

Se ha formado un triángulo hecho por personas, de modo que en un lado hay 22 personas, en el segundo hay 23 y en el tercer lado hay 24 personas, ¿cuántas personas hay en total si en cada vértice hay una persona y estas están separadas la misma distancia? Según el problema, gráficamente:

30m



22 estacas

23 estacas

• Para el lado de 15 m:

9.

Nivel avanzado 11.

Según el problema: Diagonal del cuadrado: 40 2 m Lado: 40 m Estacas en un lado: 11 estacas n° de estacas:

Se tiene un alambre de 84 m de longitud, si cada día se cortan 7 m, ¿en cuántos días se cortará todo el alambre? Longitud total: 84 m Longitud unitaria: 7m longitud total n° de cortes = –1 longitud unitaria 84 n° de cortes = –1 7 n° de cortes=11 Se cortará en 11 días. Janet está en cama por una enfermedad, por lo que el médico le recomendó tomar cada 6 horas una pastilla durante 6 días. ¿Cuántas pastillas tomó si lo hizo desde el inicio del primer día hasta el final del último?

40 + 1 = 11 4

40 ⇒

2

40 m

40 m

12.

Según el problema tenemos: Tiempo total: 6 días = 144 horas Intervalo: 6 horas Tiempo total +1 n° de pastillas = Intervalo de tiempo 144 + 1 = 25 n° de pastillas = 6 Janet tomó 25 pastillas

¿Cuántas estacas serán necesarias para colocarlas alrededor de un terreno cuadrangular que tiene por diagonal 40 2 m y estas deben de estar separadas 4m?



Total de estacas: 11 + 11 + 9 + 9 = 40 Leonor toma 2 pastillas cada 8 horas debido a una enfermedad durante 8 días. Si toma las pastillas desde el inicio del primer día hasta el final del último día, ¿cuántas pastillas consumió? Según el problema: Intervalo: 8 horas Tiempo total: 8 días = 192 horas tiempo total n° de pastillas = +1 int ervalo 192 n° de pastillas = + 1 = 24 + 1 = 25 8 Dado que se toma dos pastillas, entonces el total de pastillas será 25 x 2 = 50

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8.

24 estacas

Como hay una persona en cada vértice, tenemos: Total de personas = (22 + 23 + 24) – (1 + 1 + 1) Total de personas = 69 – 3 = 66

76

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19/11/19 19:40

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15 n° de postes = +1=4 5 • Para el lado de 20 m: 20 n° de postes = +1=5 5 pero restamos uno, pues se colocó en el lado final de 15 m, entonces: n° de postes: 5 – 1 = 4 • Para el lado de 30 m: 30 +1=7 n° de postes = 5 pero restamos dos, pues se colocaron en el lado inicial y final: n° de postes = 7 – 2 = 5 Total de postes: 4 + 4 + 5 = 13

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Refuerzo en casa Nivel básico 1.

Si a un alambre de 64 metros de longitud se le corta en pedazos de 4 metros de longitud. ¿Cuántos cortes se han realizado? a. 16

2.

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b. 108 m

c. 180 m

d. 84 m

b. 7

c. 5

b. 17

c. 15

a. 600 cm

c. 630 cm

b. 660 cm

d. 690 cm

a. S/ 98

7.

9.

c. S/13

d. S/11

b. 30

c. 25

13 b b b. 13 + 12

b. 36

c. 37

c. 13 +

a. 12 +

d. 35

12 b

d. 12b(b + 1)

Nivel destacado Un granjero tiene dos terrenos como se muestran en la figura, los cuales desea cercarlos con el mínimo número de estacas igualmente espaciadas, ¿cuántas estacas necesitará?

15.

12

14 8

Respuestas

a. 18

d. 8

¿Cuántos árboles pueden colocarse a lo largo de una avenida que tiene 6(b+1) metros de longitud; si los árboles se colocan cada b/2 metros?

14.

a. 8n – 8

Mitchell toma una pastilla cada 3 horas. Si comienza tomando a las 09: 00 h de un día lunes, ¿cuántas pastillas tomará hasta el día viernes, de la misma semana hasta las 18: 00 h?

d. 52m

c. 6

d. 29

d. 8n + 1

d. S/ 77

c. 51m

b. 5



c. 9n

b. 50m

a. 4

Se tiene «n –1» varillas y a cada varilla se le aplica cortes para obtener 9 pedazos iguales, ¿cuántos cortes se realizarán en las n – 1 varillas? b. 8n

c. S/ 84

En un terreno que tiene forma de un triángulo equilátero cuyo perímetro es de 60 metros, se desea colocar estacas cada 4 metros; si en cada vértice va una estaca. Decir cuántas estacas hay en cada lado.

13.

A un cable de longitud «L» se le hacen 9 cortes y se obtienen pedazos de 5 m cada uno, ¿cuántos cortes deben hacerse para conseguir pedasos del mismo tamaño mencionado, en un cable de longitud «3L»? a. 28

8.

b. S/10

b. S/ 91

a. 40m

Si tiene un lingote de 120 cm de largo, que se ha dividido en trozos de 12 cm de largo cada uno, ¿cuánto nos cobra el cortador por cada corte sabiendo que nos cobró S/81 en total? a. S/9

d. 46

Para cercar un terreno en forma de triángulo equilátero se utilizarán 30 estacas colocadas cada 5 metros y empezando en un vértice del triángulo. ¿Cuál es la longitud de cada lado del terreno?

12.

Nivel intermedio 6.

c. 42

Nivel avanzado

d. 14

Una varilla de fierro ha sido seccionada en pedazos de 30 cm de largo, si para esto se hicieron 21 cortes, ¿cuál fue la longitud inicial de la varilla de fierro?

b. 40

Un carpintero cobra S/70 por realizar cortes con su sierra a un tronco de árbol en 6 partes iguales, ¿cuánto se le pagaría por realizar 7 cortes?

11.

d. 4

¿Cuántos cortes se le debe dar a una soga de 500 m de longitud para obtener pedazos de 25 m de longitud? a. 19

5.

d. 17

Se tiene una barra de cobre de 24 metros de longitud; si se quiere tener 6 partes iguales. ¿Cuántos cortes deben efectuarse? a. 6

4.

c. 14

Una soga ha sido cortada en pedazos de 12 metros de largo, si para esto hicieron 8 cortes. ¿Cuál fue la longitud inicial de la soga? a. 96 m

3.

b. 15

a. 36

Unidad 3

¿Cuántas estacas se necesitan para cercar un terreno de forma cuadrada de 30 metros de lado, si las estacas se colocan cada 3 metros?, (en cada esquina hay una estaca)

10.

10

16

a. 34

6

b. 33

c. 32

d. 31

1

2

3

4

5

6

7

8

b

b

c

a

b

a

d

a

9

10

11

12

13

14

15

b

a

a

b

c

c

b

77

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Básico

Ordenamiento Circular Los problemas que se desarrollan en esta sección tienen como objetivo el ordenamiento de una serie de elementos (objetos, animales o personas) alrededor de un determinado lugar cerrado (circular, cuadrado u otro). Por lo general, se refieren a mesas circulares simétricamente espaciados (espacios iguales), un jardín circular bordeado con árboles, niños haciendo una ronda, etc. Esquema General Para este tipo de problemas, debemos tener presente el siguiente esquema: i

d

1. Seis amigas: Liz, Mónica, Nuria, Olinda, Perla y Roxana se sientan a cenar en una mesa de forma circular, uniformemente espaciadas, de la siguiente manera: • Perla no se sienta junto a Nuria. • Olinda no se sienta junto a Mónica. • Liz se sienta junto y a la derecha de Mónica y frente a Nuria. ¿En medio de que amigas se encuentra ubicada Liz?

Ejemplo: Sean los elementos “A”, “B”, “C”, “D”, “E” y “F” que han sido ordenados en el siguiente esquema circular. Observa y analiza los datos.

Desdoblando los datos, obtenemos los siguientes datos específicos: 1° Liz está sentada a la derecha de Mónica. 2° Liz se encuentra frente a Nuria.

B A

C

3° Perla no se sienta junto a Nuria. 4° Olinda no se sienta junto a Mónica.

F

Por dato 3°, Perla no se sienta junto a Nuria, por tanto, no está sentada en ninguno de estos lugares.

D E

• ¿Quién se sienta frente a D? Rpta.: A • ¿Quién se sienta junto y a la izquierda de E? Rpta.: F • ¿Quién se sienta junto y a la derecha de C? Rpta.: B Procedimiento para resolver problemas de ordenamiento circular Para un buen desarrollo de problemas de este tipo, debemos tener en cuenta lo siguiente: • Toda la información que nos brinda el problema debe ser ordenada. • Antes de iniciar con el ordenamiento, se debe tener en cuenta la cantidad de asientos y/o elementos, para que no queden sitios vacíos. • También, se debe asumir que todos se ubican mirando al centro, para facilitar las ubicaciones de izquierda/derecha de los elementos.

Nuria

2° Liz Mónica

Dado que sólo queda una opción para ubicar a Perla, sólo faltaría completar el esquema con el dato 4°: Olinda Nuria

Perla

Roxana

Liz Mónica



Por tanto, Liz se encuentra ubicada en medio de Perla y Mónica.

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Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

d: derecha i: izquierda

• Se inicia preferentemente completando aquellos datos de los que mayor información se tenga. • Debemos verificar que la respuesta final, cumpla con todas las condiciones descritas en el problema.

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Ordenamiento Circular

Básico

Intermedio

Razonamiento lógico

Avanzado

Practica lo aprendido

3.

Durante una reunión familiar, 4 hermanos: Miguel, Israel, Rosita y Sally se sientan alrededor de una mesa circular, Miguel se sienta junto y a la izquierda de Sally; Israel se sienta frente a Sally, Rosita está muy entretenida observando como los otros tres juegan cartas. ¿Quién se sienta frente a Miguel?

1.

Del enunciado, obtenemos el siguiente diagrama: Julia

Tenemos dos datos bien específicos: 1° Miguel lado izquierdo de Sally 2° Israel frente a Sally graficamos nuestro esquema

Giampier

Joel Rita

Israel 2°

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

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Miguel 1°

Rosita

Sally

Finalmente completamos la gráfica con el dato que faltaba.

Por tanto, Rosita es la persona que se encuentra sentada al frente de Miguel.



El señor Gonzalo invita a sus amigos a cenar. Al sentarse en la mesa se ubican de la siguiente manera:

2.

Rodrigo

Manuel



Ivan

Nivel intermedio 4.

Cuatro amigas: Anita, Beatriz, Melany y Dorita se sientan a comer su lonchera en el recreo formando una rueda. Dorita se sienta junto y a la derecha de Melany. A la izquierda de Beatriz se encuentra Anita.

¿Cuál de las siguientes alternativas son verdaderas? I. Dorita está sentada frente a Anita. III. A la izquierda de Anita se encuentra Dorita.

a. ¿Quién está a la izquierda de la persona que se ubica frente a Gustavo?

Rpta: Iván Manuel

Ivan Gustavo

Rodrigo

Rpta: Gustavo Ivan Gustavo

1°

Melany

Dorita

b. ¿Quién está a la derecha de la persona que se ubica frente a Iván?

Manuel

IV. A la derecha de Beatriz se encuentra Dorita. Tenemos dos datos específicos: 1° Dorita está a la derecha de Melany 2° Anita está a la izquierda de Beatriz

Rodrigo



Por lo tanto Rita se encuentra junto y a la derecha de Joel

II. Anita está sentada frente a Melany.

Gustavo



Unidad 3

Nivel básico

Cuatro amigos Gianpier, Julia, Rita y Joel se dirigen a un restaurante donde solo hay mesas circulares y se ubican en una con 4 asientos. Si se ubican alternamente varones y mujeres y además Gianpier se encuentra junto y a la derecha de Rita. Determina quien se encuentra junto y a la derecha de Joel.

Beatriz Anita

2°

Una vez construido el esquema, pasamos analizar las proposiciones: I. Falso II. Verdadero III. Verdadero IV.Falso

79

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Básico

Nivel avanzado 7.

• Entre Adrián y Carlos hay un asiento vacío. • Carlos esta sentado frente a un asiento vacío. • Daniel está sentado junto y a la derecha de Boris, quién no se sienta junto a Carlos. ¿Quién es el que está sentado en medio de dos asientos vacíos?

Del enunciado, obtenemos el siguiente diagrama:

Del enunciado, obtenemos el siguiente diagrama:

Miriam Sara

Patricia

Celeste

∅

Rosa

6.

• El hermano de pedro se ubica entre sus padres. • Pedro y su novia se sientan juntos. • Pedro se sienta junto y a la izquierda de su padre. ¿Quien se encuentra frente al asiento vacío?

8.

9.

Del enunciado, obtenemos el siguiente diagrama:

∅

Daniel

Por tanto, Adrián es quién se sienta en medio de los dos asientos vacíos. Una familia está conformada por un padre, una madre, un hijo y una hija, cuyos nombres son Pedro, Roció, Brandon y Valentina respectivamente, suelen ir cada fin de semana a un restaurante de comida criolla y se sienta en una mesa con 4 asientos simetricamente espaciados de la siguiente manera: • Brandon siempre se sienta junto a su padre. • Valeria siempre se sienta junto a su madre. • Los niños nunca se sientan juntos, ya que suelen discutir. Determine la ubicación de cada uno de los integrantes de la familia.

Del enunciado, obtenemos el siguiente diagrama:

hermano

Padre

Carlos

Boris

Por tanto, Nilda es la que se encuentra al lado derecho de Celeste. Pedro es un alumno de la universidad nacional de ingeniería el cual esta por egresar. Con motivo de tal logro se suele hacer una fiesta de graduación, en la que cada graduado puede llevar 5 invitados. Él asiste con su papá, su mamá y su novia; se sientan en una mesa circular de 6 asientos simetricamente espaciados de la siguiente manera:

Adrián

Valeria (hija)

madre Pedro (padre)

∅

Pedro

Rocio (madre)

novia Brandon (hijo)

Por lo tanto quien se encuentra frente al asiento vacio es el padre de Pedro

7.

10.

80

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Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Nilda



Adrián, Beto, Carlos y Daniel disponen de una mesa circular con 6 asientos, simétricamente espaciados, para sentarse lo hacen de la siguiente manera:

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Seis amigas: Mirian, Patricia, Nilda, Sara, Rosa y Celeste, deciden jugar póker aprovechando su rato libre, para ello se sientan alrededor de una mesa circular, de la siguiente manera: • Mirian está sentada a la derecha de Patricia y frente a Nilda. • Patricia está frente a la que se encuentra junto y a la derecha de Sara. • Sara está sentada frente a Rosa. ¿Quién está junto y a la derecha de Celeste?

5.

Básico

Intermedio

Razonamiento lógico

Avanzado

Refuerzo en casa

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

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1.

Aracelly, Viviana, Lucero y Clarita se toman de las manos y forman una ronda, si no se conoce exactamente la ubicación de cada una de ellas, sólo se sabe que:

• Viviana se encuentra junto y a la derecha de Aracelly. • Clarita y Viviana se encuentran juntas. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Clarita está sentada frente a Aracelly II. Lucero esta sentada frente a Clarita III. Viviana se encuentra a la derecha de Aracelly IV. Lucero y viviana se encuentran juntas a. I y III c. I y II b. II y III d. Ninguna 2. En la hora de receso, tres amigos: Víctor, Luis y Kevin se sientan a comer en una mesa circular simétricamente espaciados. Si Luis está a la derecha de Kevin. ¿Cuál es el orden en el que se sientan los amigos empezando por Víctor y siguiente en sentido antihorario? a. KLV b. LKV Nivel intermedio 3.

4.

c. VKL

d. KVL

Cuatro amigas se sientan alrededor de una mesa redonda con 4 sillas distribuidas simétricamente. Si Ana se sienta junto y a la izquierda de Marisol, y Valeria se sienta junto y a la derecha de Lourdes. ¿A la derecha de quién está sentada Ana? a. Ninguna c. Valeria b. Marisol d. Lourdes Seis amigos se sientan alrededor de una mesa circular simétricamente espaciados. Si se conoce:

• Esteban está al frente de Cecilia • Diana está al frente de Flor, quién no está junto a Alex • Cecilia está junto y a la derecha de Alex ¿Quién está junto y a la izquierda de Bryan? a. Alex c. Esteban b. Cecilia d. Flor 5. Alexandra, Beto, César, Denis, Estrella y Fabricio se sientan en el parque formando un círculo, si sabe que:

Unidad 3

Nivel básico

• Denis no está sentado junto a Beto • Estrella no está sentada junto a César • Alexandra se sienta junto y a la derecha de Beto, frente a César ¿Quién se sienta frente a Beto? c. Estrella a. Alexandra b. César d. Denis Nivel avanzado Cinco personas A, B, C, D, E se sientan alrededor de una mesa. Se sabe que:

6.

• A no está al costado de B ni de E. • B está al lado de E y D. • C está a la derecha de E. ¿Quién está a la izquierda de D? b. B c. C a. A

d. E

Seis amigos: César, Nick, Julia, Lizardo, Mercedes y Valentina, se sientan de forma alternada (varones y mujeres) alrededor de una fogata. Si se sabe lo siguiente:

7.

• Nick se sienta a la derecha y junto a Valentina. • César se sienta frente a Valentina. • Julia no se sienta junto a Nick. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son correctas? I. Nick se sienta junto a Mercedes. II. Lizardo no se sienta junto a Valentina. III. Julia se sienta frente a Nick. a. Todas b. I y ll c. Sólo ll d. l y lll Nivel destacado Adolfo, Ernesto, Juan y Ciro fueron a cenar en compañía de sus esposas. En el restaurante ocuparon una mesa redonda y se sentaron cumpliendo las siguientes condiciones:

8.

• Todos los esposos se sentaron junto a su esposa. • En frente de Adolfo estuvo sentado Juan • Junto y a la derecha de la esposa de Adolfo se sentó Ernesto. • No se sentaron dos varones juntos. ¿Quién se sentó frente a la esposa de Adolfo? a. Juan c. Esposa de Ernesto b. Esposa de Juan d. Ernesto Respuestas 1

2

3

4

5

6

7

8

a

c

c

d

d

a

d

b

81

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Básico

Figuras de un solo trazo En esta parte, vamos a estudiar estrategias que nos permitan averiguar de una forma práctica, cuando podemos dibujar una figura cerrada realizando un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel. a. Vértice par Llamaremos vértice par aquel punto donde concurren una cantidad par de líneas. Vértice par



Ejemplo: Determina la cantidad de vértices pares en la siguiente figura:

1. Indicar si la siguiente figura se podrá o no realizar mediante un solo trazo

2

3

3

2

2

Tenemos en total 3 vértices pares.

b. Vértice impar Llamaremos vértice impar aquel punto donde concurren una cantidad impar de líneas.

3

3

3

3 3

3



3

Vértice impar

Ejemplo: Indica la cantidad de vértices impares en la siguiente figura:

3

2. La siguiente figura, ¿se podrá dibujar mediante un solo trazo?



Solución: 3

2

3

2

2

3

3

2

2

4 3



Todos los vértices son impares, es decir la figura posee más de dos vértices impares, por lo tanto, no se puede dibujar mediante un solo trazo

3

Por lo tanto, la figura tiene 4 vértices impares.



La figura posee dos vértices impares, por lo tanto, si se puede dibujar mediante un solo trazo

82

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Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Solución:

Postulados para reconocer si una figura se puede dibujar de un solo trazo 1° Postulado: si todos los vértices de una figura son pares, ésta se podrá dibujar de un solo trazo. Para realizar el dibujo se podrá partir de cualquier vértice y terminar en cualquiera de ellos también. 2° Postulado: si una figura posee dos vértices impares, se puede dibujar mediante un solo trazo. Para realizar el dibujo debemos empezar por uno de los vértices impares y terminar en el otro vértice impar. 3° Postulado: si la figura posee más de dos vértices impares, entonces, la figura nunca se podrá dibujar mediante un solo trazo. 4° Postulado: si la figura posee “n” vértices impares, entonces la cantidad de líneas que se trazaran dos veces para dibujar la figura será la siguiente: n-2 n° de líneas repetidas = 2

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Figura de un solo trazo

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Nivel intermedio

Nivel básico

3.

1.

¿Cuál de las siguientes figuras es posible dibujar de un solo trazo?

I.

Halla la cantidad de vértices impares que contiene la figura mostrada.

Unidad 3

Practica lo aprendido



II.

De la figura mostrada: i

p

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

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p p

p

p

p

p p p p

II.

p

4.

p

p

p

p

i

p p

III.

p

p

2.

p

p

p

p



p

p p

i

i

i

p

i p

III.

I.

i p

i

i p

i

p

i

Por lo tanto: la cantidad de vértices impares es 8 Verifica si la siguiente figura es posible dibujarla de un solo trazo empezando desde un vértice y terminando en el mismo vértice.

p i

Puesto que la alternativa I y II tiene todos los vértices pares se asegura que se puede hacer la figura de un solo trazo, puesto que la figura III tiene más de dos vértices impares dicha figura no se puede trazar de un solo trazo.

Del enunciado: i

p

i

i i

p p

Calcula la suma de la cantidad de vértices pares e impares de la figura mostrada.

i i



De la figura mostrada: P

5.

I I

I

I

P

Cantidad de vértices pares: 2 Cantidad de vértices impares: 4 Por lo tanto:  2 + 4 = 6

Puesto que la figura posee más de dos vértices impares, entonces, la figura nunca se podrá dibujar mediante un solo trazo. Coloca verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Si una figura presenta todos sus vértices pares entonces es posible dibujarlo de un solo trazo. (   V) II. Si una figura presenta más de dos vértices impares entonces no es posible dibujarlo de un solo trazo.

(   V)

III. Si a un vertice convergen 5 líneas, se dice que el vertice es impar.

(   V)

83

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23/11/2019 09:45:09

Básico

6.

Observa cada figura y determina aquella(s) que puedes realizar con un solo trazo. Justifica tu respuesta.

8.

Se tiene 4 triángulos equiláteros de 2 cm de lado cada uno ¿cuántos centímetros como mínimo se deben recorrer sin levantar el lápiz del papel?

b.

a.

c.

Del gráfico mostrado: 2cm

P p

p

p

p

I. p

p p

p

p

p

i

i

i

p

P

9.

p

p

De las figuras mostradas I y III se pueden graficar de un solo trazo puesto que todos los vértices son pares y puesto que solo presenta dos vértices impares y el resto de la figura presenta vértices pares respectivamente. Nivel avanzado 7. Del gráfico mostrado, indica la cantidad de vértices pares e impares respectivamente.

Indica la cantidad de vertices pares e impares de la siguiente figura, luego determina cual de las dos figuras posee más vertices pares:

b.

a.

p p a. p

p p

p p b.

De la figura mostrada: i

i

p p

i p



p p

p p

2cm

Se debe recorrer como mínimo para levantar el lápiz del papel 18 cm.

p

p

i

2cm

P



p

p

2cm 2cm

P

i p

2cm

P

p

p p p i

p

i p

i i p

Por lo tanto: hay 8 vértices impares y 14 vértices pares.

p

p p

p

p

p p

p

p

p p

p p

p

De las figuras mostradas se tiene: En la figura a el número de vertices pares es 8 y en la figura b el número de vertices pares es 13. Por lo tanto la figura b posee mas vertices pares que la figura a.

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Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

III.

2cm

2cm

p i

i

p

II.

p p

i

i

2cm

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

p

P

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Refuerzo en casa

4.

1.

Un ciclista desea recorrer todo el distrito de San Isidro con la condición de pasar tan solo una vez por cada calle o avenida. ¿Con cuál (es) de la ruta puede realizar dicho recorrido según las condiciones establecidas?

Unidad 3

Nivel básico

Observa y ubica los vértices pares o impares. Luego, determina si la figura se puede realizar de un solo trazo.

II.

I.

I. III.

a. I y III b. Sólo II

II.

c. I y II d. Ninguno

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

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Nivel avanzado

2.

a. Sólo I b. Sólo II De la figura I y II

c. I y II d. Ninguno

5.

De la gráfica mostrada se muestra una vereda, si Manuel decide caminar por la vereda, sin pasar 2 veces por el mismo lugar. ¿Cuál es la longitud recorrida por Manuel?

8m

6m



I.

5m

5m

5m

5m

6m 6m 6m

8m

a. 50 b. 60

II. 6.

Calcula la diferencia de los vértices pares de la figura I y los vértices impares de la figura II. a. 5 b. 7 c. 9 d. 11 Nivel intermedio 3.

c. 18 d. 20

Nivel destacado ¿Cuántas líneas debemos dibujar como mínimo para gráficar la figura mostrada sin levantar el lápiz del papel y pasando por todos los puntos? a b e

¿Cuál de las figuras es posible dibujarlo de un solo trazo sin levantar el lápiz del papel? c

I.

II.

4.

a. Sólo I b. Sólo II

c. I y II d. Ninguno

d

a. 6 b. 7 Respuestas

c. 8 d. 9

1

2

3

4

5

6

c

a

d

a

b

d

85

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19/11/19 19:40

Básico

Evaluación n°3

2. Tres amigos, Santiago, Manuel y César se encuentran escalando una montaña. Si Manuel se encuentra más abajo que Santiago Y César más arriba que Santiago, ¿quién de ellos se encuentra menos próximo a la cima?

La longitud de la cinta es: 4,5 m 450 cm Nos piden realizar cortes para retazos de 30 cm, luego, el número de cortes es: 450 #cortes= – 1=14 30 #cortes=14 Por lo tanto, Juana debe realizar 14 cortes

5. Si se cumple que:

=3x – 2

x

Halla el valor de:

7

De los datos podemos construir el siguiente diagrama: Cima César Santiago Manuel Por lo tanto, Manuel se encuentra menos próximo a la cima. 3. Si: p⊗q=p+2q. Calcula el valor de: A=5⊗(3⊗7) De dato tenemos entonces: 3⊗7=3+2(7)=17 Luego: A=5⊗17=5+2(17)=39 ⇒A=39

que:

+

2

De acuerdo a la definición del operador, tenemos lo siguiente: 7

= 3(7) – 2 = 19

2

4

= 3(4) – 2 = 10

2

= 3(2) – 2 = 4 = 10

Entonces:

p⊗q=p+2q, 7

+

2

= 19 +10 = 29

86

EVALUACION N 3.indd 86

20/11/19 16:59

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Edad de Alberto: A Edad de Genaro: G Por dato: A = 7 ⇒ A=7k ⋀ G=3k G 3 Además, nos dicen que la edad de Alberto y la de Genaro dentro de 8 años estarán en relación de 9 a 5, entonces: 7K + 8 9 = ⇒35k+40=27k+72 3K + 8 5 ⇒8k = 32 ⇒ K = 4 ⇒A=7(4)=28 ⋀ G=3(4)=12 Por lo tanto, las edades de Alberto y Genaro son 28 y 12 respectivamente.

4. Juana hace listones para obsequio, para ello, divide una cinta de 4,5 m en retazos de 30 cm cada uno, ¿cuántos cortes como mínimo debe realizar Juana en la cinta?

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1. Alberto le dice a Genaro lo siguiente: “actualmente, nuestras edades se encuentran en relación de 7 a 3 y dentro de 8 años nuestras edades estarán en relación de 9 a 5”, determina la edad de cada uno de ellos

Básico

Intermedio

Avanzado

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De acuerdo a la respuesta de Vidal, tenemos lo siguiente: Hace 15 años Edad actual Hace 25 años x x + 25 x – 15 Por dato: x = ( x + 25 ) – (x – 15) ⇒x = x + 25 – x + 15 = 40 ⇒x = 40 Por lo tanto, la edad del tío de Martín es 40 años

7. Seis amigos: Jenny, Wendy, Edgar, Benito, Jessica y Humberto se ubican en 6 asientos contiguos en una fila de teatro, Edgar está junto y a la izquierda de Jessica, Jenny, a la derecha de Edgar, entre Wendy y Humberto. Wendy, está junto y a la derecha de Benito, ¿quién ocupa el segundo asiento de derecha a izquierda? De los datos mencionados en el problema, obtenemos el siguiente orden:

8. Diego fue al hospital por un malestar que presentó los últimos días. El doctor le recetó tomar una pastilla cada 6 horas durante 1 semana. Si Diego empezó a tomar las pastillas el mismo día y culminó el último día, ¿cuántas pastilla tomó Diego?

Unidad 3

6. Martín conversa con su tío Vidal, que es profesor de matemáticas, cuando le pregunta por su edad, él le responde: “si a la edad que tendré dentro de 25 años, le restas la edad que tenía hace 15 años, obtendrás mi edad actual”. ¿qué edad tiene el tío de Martín?

El total de horas en una semana es: 24 × 7 = 168 Luego, la cantidad de pastilla que tomó Diego es: 168 # pastillas= +1=28+1=29 6 Por lo tanto, Diego tomó 29 pastillas en una semana. 9. Cuatro amigos: Jimmy, Soledad, María y Piero, se encuentran sentados en una mesa circular distribuidos simétricamente, si se sabe que: • Al frente de Jimmy no se encuentra ninguna mujer. • Soledad, se encuentra a la derecha de Jimmy ¿Quién se encuentra a la izquierda de María? De acuerdo a los datos, los 4 amigos quedarán ubicados de la siguiente manera: María Jimmy

Piero Soledad

Por lo tanto, a la izquierda de María está Piero 10. Indica si la siguiente figura se puede dibujar mediante un solo trazo. Justifica tu respuesta

Edgar Jessica Benito Wendy Jenny Humberto

Por lo tanto, la respuesta es Jenny

Primero, reconocemos los vértices pares e impares: P P

I

I

P

Por lo tanto, la figura si se puede dibujar mediante un solo trazo

87

EVALUACION N 3.indd 87

23/11/2019 09:08:56

Unidad 4

Básico

Es por esta razón que el director premio al aula y los proclamo como “ejemplo y motivación para todos los demás estudiantes”.

Observamos y respondemos • ¿Qué objetivos se plantearon los estudiantes del primero de secundaria? • ¿Cómo los nomino el director de la escuela? • ¿Cuál es la importancia de trabajar en equipo?

Valores Liderazgo y compañerismo

Desempeños

Razonamiento lógico

Razonamiento matemático

Ordenamiento por tablas:

Fracciones:

• Traduce situaciones problemáticas diversas de ordenamiento por tablas expresados en el lenguaje cotidiano.

• Efectúa problemas de fracciones utilizando estrategias de cálculo. Sucesiones:

• Resuelve problemas sobre ordenamiento por tablas, de forma lógica.

• Reconoce la regla de correspondencia asignada a los términos de una sucesión.

Psicotécnico:

Perímetro y área de regiones sombreadas:

• Traduce situaciones que involucran destreza visual y creativa para identificar detalles gráficos y comparar relaciones gráficas.

• Emplea estrategias basadas en la manipulación para calcular el área y perímetro de una región determinada.

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UNIDAD 4 RMS1 19-23.indd 88

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Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Juana, Leslie y Mario fueron seleccionados entre todas las secciones del primero de secundaria para el concurso nacional de matemáticas. Este logro se ha dado gracias al esfuerzo de toda el aula, ya que ellos desde un principio se plantearon tener las mejores notas, en todo el plantel. Trabajaron durante todo el año esforzadamente en equipo y de esta manera toda el aula obtuvo las mejores calificaciones.

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Logramos metas trabajando juntos

Básico

Intermedio

Razonamiento lógico

Avanzado

Ordenamiento por tablas ma, porque en ocasiones la tabla no se llega a completar en su totalidad. La siguiente imagen nos muestra de que forma queda nuestra tabla de doble entrada, luego de rellenar los datos del problema de forma adecuada: PROFESIONES

Ejemplos:

Tabla de doble entrada Es una tabla que nos permite relacionar dos categorías que son de mucha utilidad para dar solución a determinados problemas. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

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•• {Ingeniero; doctor; profesor} pertenecen a la categoría de profesiones. •• {Bulldog; Pug; Chihuahua} pertenecen a la categoría de raza de perros

Unidad 4

Ordenamiento por tablas En esta parte vamos a estudiar problemas en la que se relaciona a personas, animales u objetos con alguna determinada categoría (profesión, raza, color, etc.). Categoría: se denomina así a una característica en común entre un conjunto de elementos.

Doctor Contador Mecánico Profesor N O M B R E S

Marcos









Roberto









Ernesto









Gerardo









Categoría 2

OCUPACIONES

Categoría 1

Actor N O M B R E S

Policia

Chef

Locutor

Alicia Carlos David Emma

Para organizar los datos de un problema en una tabla de doble entrada, debemos tener en cuenta lo siguiente:

•• Primero debemos leer todo el problema para reconocer las categorías que se presentan. •• A menos que el problema indique lo contrario, a cada persona, animal u objeto, le corresponden características distintas. Por ejemplo, si en alguna parte del texto encontramos la frase: «Mercedes y la enfermera»; se deduce que Mercedes no es enfermera. •• Si nos indican en el problema que un elemento de la categoría 1 cumple con la característica que indica un elemento de la categoría 2, se dibuja un check en la celda correspondiente y automáticamente, se dibuja un aspa a lo largo de la fila y la columna correspondiente a dicha celda. •• Debemos tener claro que nos pide el proble-

1. Tres compañeras de trabajo: Isabel, Gladys y Rosario comentan en su descanso sobre la raza de perro que tienen como mascota. Isabel dice: «mi mascota no es de raza Pug ni Poodle como la de ustedes» Gladys dice: «mi mascota de raza Pug es muy obediente» ¿De qué raza es la mascota de Rosario? Para dar respuesta al problema, vamos a organizar y ubicar los datos en una tabla de doble entrada: Isabel dice: «mi mascota no es de raza Pug ni Poodle como la de ustedes». En esta parte podemos concluir que Isabel tiene una mascota de raza Chow Chow, por lo tanto, Gladys ni Rosario tienen una mascota con esa raza. Luego, completamos los datos en la tabla. Raza de perros

Nombres

Isabel

Pug

Poodle

Chow Chow







Gladys



Rosario



Gladys dice: «mi mascota de raza Pug es muy obediente». En esta parte podemos deducir que Gladys tiene una mascota de raza Pug.

89

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Básico

Gladys







Rosario







Con ayuda de la tabla de doble entrada, podemos concluir que Rosario tiene una mascota de raza Poodle. 2. En un examen de matemáticas 3 amigos Karen; Saul y Ricardo obtuvieron notas de 15; 16 y 17, no necesariamente en ese orden. Karen comenta lo siguiente: mi nota no es un número impar, luego Saul dice: mi nota es un número primo y por último Ricardo comenta nuestras notas son números consecutivos. Determina quien obtuvo la nota mas baja .

Karen comenta: mi nota no es un número impar De esto se puede concluir que la nota de Karen es par y por lo tanto es de 16 16

17







Saul



Ricardo



De esto se puede concluir que la nota de Saul es de 17 Notas

Especialidad

Nombres



Juan Roberto

Julio Julio y el químico estudiaron en la misma universidad Especialidad

Nombres



Juan Roberto

Saul dice: mi nota es un número primo

15

16

17

Karen







Saul







Ricardo







Nombres

Vamos a organizar y ubicar los datos en una tabla de doble entrada: Juan ayuda a su amigo el físico a realizar una investigación, entonces Juan no es físico.

La última información Ricardo comenta nuestras notas son números consecutivos no es útil para el análisis. De la tabla podemos determinar que la nota mas baja la obtuvo Ricardo.

 Julio El químico y el matemático no trabajan juntos. En esta parte podemos deducir que Juan no es químico gracias a la primera información que es Juan ayuda a su amigo el físico a realizar una investigación, por lo tanto, Juan es matemático

Nombres

Química

Karen

15

¿Qué estudio Roberto?

Física

Notas Nombres

• El químico y el matemático no trabajan juntos.

Juan







Roberto







Especialidad

   Julio Con ayuda de la tabla de doble entrada, podemos concluir que Roberto estudio Química.

90

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Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

Para dar respuesta al problema, vamos a organizar y ubicar los datos en una tabla de doble entrada:

• Julio y el químico estudiaron en la misma universidad.

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

Química



Química



Física

Isabel

Física

Chow Chow

Matemática

Poodle

Matemática

Pug

Matemática

Raza de perros Nombres

3. Tres amigos, Juan, Roberto y Julio, estudiaron matemática, física y química, no necesariamente en ese orden, si se sabe la siguiente información • Juan ayuda a su amigo el físico a realizar una investigación.

Básico

Intermedio

Razonamiento lógico

Avanzado

Nivel intermedio

Nivel básico

4.

1.

Angel, Bartleby y Carlos son profesores de distintos cursos: Lenguaje, Literatura e Historia, aunque no necesariamente en ese orden. Si: Carlos enseña Literatura. Bartleby no enseña Historia. ¿Qué curso enseña Angel? Lenguaje Literatura Historia Angel Bartleby Carlos

  

  

Tres Compadres: Ronal, Luis y Alberto se encuentran y comentan sobre los colores de sus carros. Solo hay 3 colores: negro, rojo y plomo, y no hay dos carros con el mismo color. Ronal dice: «Mi carro no es rojo ni negro». Alberto dice: «Me hubiera gustado que sea rojo». ¿De qué color es el carro de Luis?

Unidad 4

Practica lo aprendido

Con los datos llenamos el cuadro de doble entrada.

  

Ronal Luis Alberto

`  Angel enseña Historia.

Negro

Rojo

Plomo

  

  

  

`  El carro de Luis es de color rojo. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

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2.

Tres niños tienen como mascota un gato, un perro y un perico y les han puesto como nombre: Firulay, Milkito y Dunsunel. Se sabe que Dunsunel no maúlla y que Firulay ladra. ¿Cuál es el nombre del perico?

gato perro perico

Firulay

Mikito

Dunsunel

  

  

  

5.

Con los datos llenamos el cuadro de doble entrada. Gato

Lucía, Juana y Melissa son tres amigas y viven en distritos diferentes. Se sabe que: a Lucía le gustaría vivir en Surco. Juana y la que vive en Miraflores juegan tenis todos los domingos. Melissa vive en Jesús María. ¿Quién vive en Surco? Con los datos llenamos el cuadro de doble entrada Surco Lucía Juana Melissa

Miraflores

  

`  Juana vive en el surco.

  

Jesús María

  

Canario

Perro

   Fernando    Juliam    Dennis ` Juliam tiene un canario y el dueño del perro es Fernando.

`  El perico se llama Dunsunel.

3.

Tres amigos Fernando, Juliam y Dennis tienen 3 mascotas gato, canario y perro. Se sabe que: Juliam no tiene ni gato ni perro, ha Dennis no les gusta los ladridos ¿Qué mascotas tiene Juliam y Fernando?

6.

Cuatro compañeros: Alex, Pedro, Edú y Sebastian viven en cuatro distritos diferentes. Además, se sabe que: Pedro no vive en Jesús María, pero Sebastian vive en Pueblo Libre. Alex va a Jesús María a visitar a Edú. A Pedro le gustaría vivir en San Isidro. ¿Dónde vive Alex? ¿Quién vive en San Borja? Con los datos llenamos el cuadro de doble entrada. J.M. Alex Pedro Edú Sebastian

   

P.L.

   

S.I.

   

S.B.

   

`  Alex vive en San Isidro y en San Borja vive Pedro.

91

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Básico

   

Con los datos llenamos el cuadro de doble entrada.

No

Juan

No

Andres

Si

Nivel avanzado 8.

Lucio, Lupe, Lucas y Lucho terminaron sus estudios en ingeniería de software, electrónica sistemas y eléctrica (una carrera por persona). Se sabe: Lucio no estudió software; Lupe habría estudiado eléctrica si Lucas hubiera estudiado electrónica; Lucho quiere empezar a estudiar sistemas; Lucas estudiaría software si Lupe lo hiciera; Lucio estudiaba eléctrica, pero se trasladó sistemas. ¿Qué estudiaron Lupe y Lucho?

electrónica

sistemas

eléctrica

Lucio Lupe Lucas Lucho

software

Con los datos llenamos el cuadro de doble entrada.

   

   

   

   

` Lupe estudió electrónica y Lucho software

No

No

Si

No

Si

No

No

No

No

Aquiles No Si No No ` Arnaldo es comerciante, Juan es sastre, Andrés es carpintero y Aquiles es electricista. 10. Raúl,

Carlos, Pedro y Bruno tienen diferentes profesiones: ingeniero, profesor, abogado y médico; pero ninguno en ese orden. Se sabe que: • Carlos, el abogado y el médico juegan futbol • Raúl, el médico y el abogado juegan ajedrez • Carlos no enseña y Bruno le teme a la sangre ¿Qué profesión tiene Pedro?

Raúl Carlos Pedro Bruno

   

   

   

   

`  Pedro tiene la profesión de médico

92

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Arnaldo

`  El moreno (C) es Durand y A es Angeles.

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   

comercio

   

médico

   

sastre

Durand

D

abogado

Castilla

C

electricista

Barrera

B

Arnaldo, Juan, Andres y Aquiles tienen diferentes ocupaciones: • Arnaldo y el carpintero están enojados con Aquiles. • El comerciante es familiar de Aquiles. Juan es amigo del electricista. • El sastre es muy amigo de Andrés y del electricista. • Arnaldo desde muy joven se dedica a vender abarrotes. ¿Cuál es la ocupación de cada uno de ellos?

profesor

Angeles

A

9.

carpintero

A, B, C y D corresponde a los apellidos: Angeles, Barrera, Castilla y Durand (no necesariamente en ese orden). Angeles, C y D fueron al teatro juntos. Barrera, A y B trabajan en la misma fábrica. A, C y Castilla concurren a los juegos mecánicos con regularidad. D, B y Durand juegan en el mismo equipo. C es moreno, en cambio, Barrera es de tez blanca. Determine quién es moreno y quién es A.

ingeniero

7.

Básico

Intermedio

Razonamiento lógico

Avanzado

Refuerzo en casa Nivel Básico 1.

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2.

3.

Cuatro amigas: Melissa, Pamela, Gloria y Gaby practican cada uno un deporte diferente. Melissa juega básquet. Pamela le pide prestadas sus raquetas de frontón a Gaby. Gloria no sabe nadar. ¿Qué deporte practica Pamela? a. Natación

c. Básquet

b. Futbol

d. Frontón

Nivel Avanzado 6.

Tres hermanos practican natación, atletismo y tenis. Cada deporte se identifica con un color. amarillo, rojo y verde. Juan no sabe nadar. El que juega por el verde es atleta. Los rojos no juegan tenis. Gustavo participa con el verde. ¿Qué deporte y color le corresponde a Alberto? a. Natación–Rojo

c. Tenis–Azul

b. Atletismo–Rojo

d. Tenis–Verde

7.

Sandra, Consuelo y Ana son amigas. Una es soltera, otra es casada y la otra es viuda (no en ese orden). Se sabe que: Ana no es casada y debe 5 soles a la verdulera. La viuda y Sandra solo le deben a la carnicera. ¿Quién es la casada? a. La verdulera

c. Consuelo

b. Ana

d. Sandra

5.

Alberto, Braulio, Cristian y Daniel tienen las siguientes profesiones: escritor, historiador, periodista y filósofo, aunque no necesariamente en ese orden. Se sabe que Alberto y el historiador se reúnen con Cristian y el escritor todos los fines de semana. Daniel no es historiador y Cristian no es filósofo. ¿Quién es el filósofo? a. Cristian

c. Daniel

b. Braulio

d. Alberto

Rosa, Zuleima, Diana y Gaby están casadas con David, Bruno, Juan y Roberto; pero no necesariamente en el orden mencionado. Los nombres de una de las parejas empiezan con la misma letra. Zuleima está casada con Juan. La esposa de David no es Rosa ni Diana. ¿Cuál de las siguientes es una pareja de esposos? a. Rosa–Bruno

c. Diana–Roberto

b. Gaby–David

d. Gaby–Juan

Nivel destacado

Nivel Intermedio 4.

Unidad 4

¿Qué ocupación tienen María y Sonia respectivamente? a. policía y cantante c. enfermera y peinadora b. cantante y enfermera d. peinadora y policía

Tres hermanos: Jinmy, Toño y Santiago, ejercen diferentes profesiones: médico, profesor y contador, cada uno con su respectivo hijo; hijos que no desea seguir la carrera de su padre, sino la carrera de sus tíos y no quieren ser colegas sabiendo que el profesor es Jinmy y que el hijo de Toño quiere se médico, ¿quién tiene un hijo profesor?

8.

Beto, Ronal, Betty y Sandra son cuatro personas, uno es bailarín, uno es pintor, uno es cantante y otro escritor. Se sabe que:

Rosa, Sonia, Janet y María tienen diferentes ocupaciones de las cuales se conoce lo siguiente:

Beto y Betty estuvieron entre el público la noche que el cantante hizo su debut. Tanto Ronal como el escritor han posado para el pintor. El escritor, cuyo libro biografía de Sandra fue un éxito, está escribiendo una biografía de Beto. El cantante nunca ha oído hablar de Ronal. ¿Quién es el cantante? a. Ronal c. Beto

Rosa y la enfermera están molestas con María.

b. Betty

a. Santiago

c. Jinmy

b. Toño

d. Jose

Sonia es muy amiga de la peinadora. Rosa desde muy joven se dedica al canto. La policía es muy amiga de Janet y la peinadora.

d. Sandra

Respuestas 1

2

3

4

5

6

7

8

a

a

d

a

d

d

b

d

93

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Básico

Fracciones

Fracción Una fracción es una división inexacta entre dos números enteros. Se denota de la siguiente manera: a Numerador Denominador b Donde a, b ! Z La fracción como parte de la unidad: En una fracción, el denominador nos indica en cuantas partes se ha dividido a la unidad y el numerador nos indica las partes que tomamos de la unidad.

3 4 El denominador 4 nos indica la cantidad de partes iguales en la que se ha dividido a la unidad. El numerador 3 nos indica la cantidad de partes que se ha tomado de la unidad. Operaciones con fracciones Debemos recordar cómo se efectúan las operaciones con fracciones. Adición: Sustracción: a b a+b a b a-b • c + c = c • c - c = c a c a # d + b # c • a - c = a # d - b # c • + = b d b#d b d b#d Multiplicación: a c a#c • # = b d b#d

Dato importante Relación parte todo Parte: número de partes que se toma de la unidad. Todo: número de partes en que se divide a la unidad. Parte / Todo

Ana tenía S/ 76 y gasta S/ 19, entonces: No gasta: S/ 76 – S/ 19 = S/ 57 Luego, utilizamos la relación parte–todo Todo: S/ 76 Parte: S/ 57 (no gasta) no gasta 57 3 = = 76 4 todo 3 Por lo tanto, no gasta del dinero que tenía 4 2. Alan y Genaro compraron una pizza, primero, Genaro se sirvió la tercera parte de la pizza, luego Alan se sirvió la cuarta parte, ¿qué parte de la pizza comieron entre los dos? 1 Genaro come de la pizza, entonces que3 2 1 JK 2 NO 1 da , luego Alan come KK OO = , entonces: 3 4L3P 6 1 1 1 Genaro y Alan comen juntos:  + = 3 6 2 1 Por lo tanto, se comieron de la pizza. 2 3. ¿Qué parte de la figura esta sombreada? 3 cm 4 cm 3 cm 4 cm 6 cm

De acuerdo a las dimensiones dadas, completamos la figura de la siguiente manera:

Ahora utilizamos la relación parte–todo: Todo: 8 unidades Parte: 5 unidades parte 5 = todo 8 5 Por lo tanto, la parte sombreada es del 8 área total.

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Ejemplo: Si dividimos un papel en 4 partes y luego pintamos tres de dichas partes, la parte pintada del pa3 pel se representa como . 4

1. Ana tenía ahorrado S/ 76, si compró unos audífonos a S/ 19, ¿qué parte de lo que tenía no gastó?

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Introducción: En nuestra actividad cotidiana uno de los conceptos que se menciona de manera común es la de fracciones.

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Practica lo aprendido

Nivel intermedio

1.

5.

¿Qué parte del área total, representa el área de la región sombreada?

Si ayer perdí 1/7 de lo que no perdí. ¿Qué parte de lo que tenía perdí? 1 no perdí 7 Perdí 1k = No perdí 7k &  Tenía como 8k 1 Por lo tanto, perdí 8

Perdí =

La región sombreada representa: 1 1 1 1 . & # # #1 = 2 2 4 16 6.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

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2.

Una caja contiene 120 bombones, si Eduardo escogió 1/4 de ellos y Anderson, 1/3, ¿cuántos bombones quedan en la caja? Inicio: 120 bombones 1 × 120 = 30 Eduardo escoge:  4 1 Anderson escoge:  × 120 = 40 3 `  Al final quedan:  120 – 30 – 40 = 50 bombones.

3.

Halla el valor de  M = 1 +

1 1+

x–

Inicio: S/ 400 2 × 400 = 160 Gasta en pantalones:  5 3 × 400 = 150 Gasta en polos:  8 `  Al final el vuelto es:  400 – 160 – 150 = 90 Queda de vuelto S/ 90.

3 x 8

3 x = 75 8

5 x = 75  & x = 120 8 Por lo tanto, karolina tiene S/ 120.

7.

1 4

Juana se va de compras con S/ 400. Si gasta 2/5 en pantalones y 3/8 en polos, ¿cuánto de vuelto le queda?

Karolina tiene tanto dinero como S/ 75 más los 3/8 de su dinero. ¿Cuánto dinero tiene Karolina? x = 75 +

La señora Mercedes ahorra durante una semana la sexta parte de S/ 666. Si en una reunión familiar gastó un tercio de S/ 147, ¿cuánto le quedó? 1 Ahorra: 6 ]600 g = 111 1 Gasta: 3 ]147 g = 49 1 1 Saldo = (666) – (147) = 62 3 6 `  la señora Mercedes tiene un saldo de S/ 62.

1 1 1 M=1+ =1+ 4+1 5 4 4 4 5+4 9 = M=1+ = 5 5 5 4.

Unidad 4

Nivel básico

8.

Resuelva la siguiente ecuación

x 1 1 + = 96 6 4

x 1 1 x 1 1 + = & = 96 6 4 96 4 6 3-2 x x 1 = = & 96 12 96 12 x=8

95

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Básico

Juan se pone a pensar y dice: Gasté los 3/7 de lo que no gasté y aún me quedan S/ 40 más de lo que gasté. ¿Cuánto tenía Juan? (en soles)

3x

7x

Gasté

No Gasté ,. Queda

12.

Observamos el siguiente esquema: Total de bolas: 100 Bolas rojas: 30 Bolas blancas: 70 Luego: bolas no rojas bolas blancas 30 3 = = = 70 7 bolas no blancas bolas rojas Entonces, la fracción que representan los que no son bolas rojas respecto de los que no son blancas es: 3 7

3 7 Además quedan = 40 + GASTÉ 7x = 40 + 3x 4x = 40  & x = 10 `  Tenía: 10x = 100

10. De

13.

T (total de vino al inicio) = 76L



Se extraen

Quedan

1/4T

3/4T

1/2 (3/4 T)

1/2 (3/4 T)

Supongamos que inicialmente tenemos x. Si ganó 1/5 de lo que tengo, entonces tendría 6/5 de dicha cantidad y como esto ocurre 3 veces consecutivas, planteamos: 6 KJK 6 JKK 6 NOOONO x = 2 160 5 KK 5 KL 5 OPOO L P Resolviendo: x = 1 250 Luego, inicié el juego con S/ 1 250.

&  1/2 (3/4 × 76L) = 28,5L

Nivel avanzado 11. Ayer

perdí 3/5 de mi dinero y hoy presté 3/8 de lo que me quedó. Si aún me queda S/ 100. ¿Cuánto dinero tenía? Sea x el dinero que tengo Perdí Queda 3x 2x 5 5 Presté Queda 3 JKK 2x ONO 5 JKK 2x ONO 8 LK 5 OP 8 LK 5 OP 5 JK 2x NO Luego: KK OO = 100 8L 5 P x = 100(4) x = 400

Luego de ganar 3 veces consecutivas 1/5 del dinero que iba acumulando, tengo S/ 2 160. ¿Con cuánto inicié el juego?

14.

Susana tiene S/ 270 y pierde 3 veces consecutivas 1 1 1 , , de lo que le iba quedando, ¿Con cuánto 3 5 6 se quedó?

Para la resolución consideramos lo que va quedando cada vez que se pierde y aplicaremos las conclusiones de la tabla dada. Así tendremos: 5 JKK 4 KJK 2 ^270 hOONNOO 5 # 4 # 2 (270) = 120 KK K OOO = 6#5#3    6 L 5 L 3 PP   se tiene al inicio     si pierde 1/3 queda 2/3   si pierde 1/5 queda 4/5   si pierde 1/6 queda 5/6 `  Se quedó con S/ 120.

96

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un barril se extrajo 1/4 de vino y luego la mitad de lo que quedaba. ¿Cuántos litros quedaron en el barril si al inicio había 76 litros?

Una bolsa contiene bolas rojas y blancas si hay 100 bolas las cuales 30 son rojas. ¿Qué fracción representan los que no son rojas respecto de los que no son blancas?

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9.

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Refuerzo en casa

a. 12

a. 10

Nivel Básico 1.

2.

3.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.

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5.

c. 6

d. 4

b. 20

¿Cuánto le falta a 3/5 para ser igual a 11/15?

Nivel Avanzado

a. 7/10

12.

b. 4/15

c. 2/5

d. 2/15

¿Cuánto le sobra a 9/4 con respecto a 3/8? a. 13/8

4.

b. 9

b. 15/8

c. 15/4

d. 15/16

Si los 7/12 de un terreno valen S/ 28 000, ¿cuál es el valor de todo el terreno? a. 8 400

c. 56 000

b. 64 000

d. 48 000

¿Qué fracción del gráfico representa la parte sombreada?

b. 54

c. 42

b. 7 h

c. 5 h

6.

b. 1/3

c. 1/6

d. 1/12

Me deben 3/7 de S/.630 y me pagan los 2/5 de S/ 150. ¿Cuánto dinero aún me deben? a. S/ 180

c. S/ 240

b. S/ 210

d. S/ 260

4 4 1 3 Simplifica P = b 5 l - 4 ; 5 - b 5 l E 3 1 a. 10 c. 20 17 13 b. 20 d. 20

7.

De una cesta con manzanas se malograron 2/3, comemos los 4/5 del resto y los 25 restantes las utilizamos para hacer mermelada. ¿Cuántas manzanas había en la cesta? a. 225

8.

d. 375

b. 620 L

c. 500 L

Dos tercios de los profesores de un colegio son mujeres, 12 de los profesores varones son solteros, mientras que los 3/5 de los mismos son casados. ¿Cuál es el número de docentes? a. 90

b. 96

c. 87

d. 84

Respuestas 1

2

3

4

5

6

7

8

c

d

b

d

d

b

d

a

9

10

11

12

13

14

15

c

c

d

d

d

d

a

d. 520 L

5 a es equivalente a 7 ademas b la suma de sus términos es 192 determine el denominador de dicha fracción

Si la fracción

a. 100 10.

c. 315

De un tonel con vino se ha extraído la quinta parte del total, que es 1200 L; luego se ha sacado los 7/8 del resto. ¿Cuántos litros de vino aún quedan en el tonel? a. 600 L

9.

b. 250

Nivel destacado 15.

Nivel Intermedio

d. 9 h 2

2

a. 1/2

d. 48

Si fuera 5 horas más tarde , faltaria para acabar 5 el día 13 de lo que faltaria si fuese 3 horas más temprano ¿cuántas horas faltarian para las 11 pm? a. 8 h

14.

d. 50

En una reunión 1/6 de los asistentes son varones, la mitad de las mujeres son casadas y 20 son solteras. ¿Cuántas personas asistieron a dicha reunión? a. 50

13.

c. 30

Unidad 4

Agustino trabaja los 1/4 del día. ¿Cuántas horas estudia Agustino?

En una junta de 63 promotores se observa que la cuarta parte de las mujeres son delgadas, la onceava parte de los varones son gordos y la quinta parte de varones son primerizos. ¿Cuántos varones son delgados?

11.

b. 120

c. 112

d. 85

Juanita tiene S/. 360 y gasta 4/5 de lo que no gasta. ¿Cuánto gastó? a. 40

b. 120

c. 160

¿Qué aprendí?, ¿cómo aprendí? ¿Qué dificultades tuve?, ¿cómo las superé? ¿Para qué me sirve lo aprendido en este tema?

d. 200

97

UNIDAD 4 RMS1 19-23.indd 97

23/11/2019 09:51:05

Básico

Sucesiones Es un conjunto ordenado de elementos que pueden ser: letras, números, figuras o una combinación de las anteriores, de esta manera cada uno ocupa una posición establecida y se pueden diferenciar entre ellas mismas. Ejemplo

En general:

t0; t1; t2; t3; t4;  ... ; tn +r +r

•• t1: Primer término •• tn: Enésimo término •• t0: término anterior al primero •• n: número de términos •• r: razón aritmética Donde: t0 = t1 – r n=

tn - t 1 r +1

tn = n ∙ r + t0 n=

tn - t0 r

2. Sucesión geométrica Se denota de la siguiente manera En general: t1; t2; t3; t4; ... ; tn ×q ×q ×q •• t1: Primer término •• tn: Enésimo término •• n: número de términos •• q: razón geométrica (q ≠ 0) Donde: tn = t1 ∙ qn – 1

A

B

C

D

E

F

G

H

I

1

2

3

4

5

6

7

8

9

J

K

L

M

N

Ñ

O

P

Q

10

11

12

13

14

15

16

17

18

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

19

20

21

22 23

24 25 26 27

1. ¿Qué letra continúa? C; F; I; L;… De la sucesión: C 3

;

F 6

;

I 9

;

L 12

;

Ñ 15

+3 +3 +3 +3 Por lo tanto: La letra que continúa en la sucesión es Ñ. 2. Halla el valor de n × m en la siguiente sucesión 7; 8; n; 13; 17; m; 28 De la sucesión: 7

; +1

8

; 10 ; 13 ; 17 ; 22 ; 28 +2

+3

+4

+5

+6

Donde, n = 10 ∧ m = 22 Por lo tanto, n × m = 10 × 22 = 220 3. Calcula el vigesímo octavo termino de la siguiente sucesión 42; 34; 26; 18; ... De la sucesión: t1 = 42 ∧ r =–8 ∧ n = 28 t -t Aplicamos la fórmula: n = n r 1 + 1 t - 42 28 = 28-8 + 1 27(–8) = t28 – 42 –216 = t28 – 42 t28 = –174

98

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20/11/19 16:53

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•• 8; 12; 16; 20; … (sucesión numérica) •• A, C, E, G, … (sucesión literal) Ley de formación Es una expresión matemática, que relaciona la posición o lugar de cada término y el término en sí, de una sucesión, con el cuál se puede obtener cualquiera de los términos de la sucesión dada. Ejemplo: Se tiene: an = 2n3 – 1, para: n = 1  & a1 = 2(1)3 – 1 = 1 n = 2  & a2 = 2(2)3 – 1 = 15 n = 3  & a3 = 2(3)3 – 1 = 53 La sucesión será: 1; 15; 53; …. Tipos de sucesiones 1. Sucesión aritmética Se denota de la siguiente manera –r

3. Sucesión literal En este tipo de sucesiones es necesario conocer el orden de las letras del abecedario y considerar las letras.

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Sucesiones

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Practica lo aprendido

4.

1.

15; 20; 25; 30; …; 225

Halla el número que sigue en cada sucesión: I. 1; 2; 6; 12; 36; …

II. 5; 7; 14; 16; 32; …

De la sucesión: 15; 20; 25; 30; ...; 225

III. 1; 1; 2; 6; 24; …

+5 +5 +5 • t1 = 15 • r = 5 • tn = 225

Del enunciado: I. 1; 2; 6; 12; 36; 72 ×2 ×3 ×2 ×3 ×2

tn - t1 Aplicamos la fórmula:  n = r +1 Luego reemplazamos nuestros datos: 225 - 15 n= +1  & n = 42 + 1 = 43 5 Por lo tanto: La suma de cifras de 43 es 4 + 3 = 7

II. 5; 7; 14; 16; 32; 34 +2 ×2 +2 ×2 +2 III. 1; 1; 2; 6; 24; 120 ×1 ×2 ×3 ×4 ×5

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Unidad 4

Nivel Básico

Calcula la suma de cifras del número de términos de la siguiente sucesión:

Nivel intermedio 2.

¿Qué letra sigue en la sucesión?

5.

A; D; I; O; … De la sucesión: A

D

I

O

X

12

22

32

42

52

De la sucesión mostrada: 9

Calcula el primer término de la sucesión mostrada. si la cantidad de términos de la sucesión mostrada es 50. t1; …; 580; 586; 592; …; 724 De la sucesión: t1; ...; 580; 586; 592; ...; 724 +6 • tn = 724 • r = 6 • n = 50 • t1 = ?

+6

tn - t1 Aplicamos la fórmula:  n = r +1 Luego reemplazamos nuestros datos: 724 - t1 +1  & t1 = 430 50 = 6 Por lo tanto:  t1 = 430

25

49

121

169

32 52 72 112 132 Cada término de la sucesión mostrada, tiene como base un número primo. Por lo tanto: El número que sigue en la sucesión es 169.

Por lo tanto: el siguiente valor en la sucesión es X.

3.

¿Qué número continúa? 9; 25; 49; 121…

6.

Calcula el valor de mostrada:

m + 2n , de la sucesión 2

2; 5; 6; 8; 18; 11; 54; 14; De la gráfica mostrada: +3 +3 +3

m;

n

+3

2; 5; 6; 8; 18; 11; 54; 14; 162; 17 ×3 ×3 ×3 ×3 El valor de m = 162 y n = 17 Por lo tanto: m + 2n 162 + 2 (17) = 2 2 m + 2n = 98 2

99

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20/11/19 16:53

Básico

Calcula el valor de t20 + a10.

Nivel avanzado

a. 2; 10; 18; 26; …; t20

9.

b. 3; 6; 12; 24; …; a10 De la primera sucesión: a. 2; 10; 18; 26; ...; t20 +8 +8 +8 • t0 = t1 – 8  ⟹ t0 = 2 – 8 = -6 • n = 20 • r = 8 Aplicamos la fórmula: tn = n ∙ r + t0 Luego reemplazamos, nuestros datos: t20 = 20 ∙ 8 – 6 = 154 b. 3; 6; 12; 24; ...; a10

Por lo tanto:  t20 + a10 = 154 + 1 536 = 1 690

8.

Halla el valor de n + r. Si se tiene la siguiente sucesión aritmética 22; n0; n8; … . (siendo r: la razón aritmética) De la sucesión mostrada: 22;  n0;  n8; ... +r +r Siendo la sucesión aritmética, se cumple que la razón es constante. Luego tenemos: n0 + r = n8 …(1) 10n + r = 10n + 8 r=8 22 + r = n0 …(2) Reemplazamos (1) en (2): 22 + 8 = n0 30 = 10n 3=n Por lo tanto:  n + r = 3 + 8 = 11

halla el valor de

t20 - t10 - 9

De la sucesión mostrada: 10; 14; 18; 22 +4 +4 +4 • t1 = 10 • r = 4 • t0 = 10 – 4 = 6 Aplicamos la fórmula:  tn = n ∙ r + t0 Luego reemplazamos nuestros datos: t10 = 10 ∙ 4 + 6  & t10 = 46 t20 = 20 ∙ 4 + 6  & t20 = 86 Por lo tanto: t20 - t10 + 9 = 86 - 46 + 9 = 7

10. En

una sucesión aritmética se sabe que el t4 = 12 y el t10 = 30. Calcula el valor de la r3 + 3r. (r: razón aritmética) De la sucesión aritmética: 12; t4

… t5

t6

t7

; 30 t8

t9

Obtenemos, de la sucesión: • n = 7 • t1 = t4 = 12 • t7 = t10 = 30 tn - t1 Aplicamos la fórmula: n = r +1 Luego reemplazamos nuestros datos: 30 - 12 +1 7= r 18 6= r r=3 Por lo tanto: r3 + 3r = 33 + 3(3) = 27 + 9 = 36

t10

100

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×2 ×2 ×2 • a1 = 3 • n = 10 • q = 2 Aplicamos la fórmula:  an = a1 ∙ qn – 1 Luego reemplazamos nuestros datos: a10 = 3 ∙ 210 – 1 a10 = 1 536

De la sucesión aritmética: 10;14;18;22;…

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7.

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Nivel avanzado

Nivel Básico

9.

1.

Coloca verdadero (V) o falso (F), según sea el caso: I. Los términos de una sucesión ocupan una posición establecida.  (   )

3; a. 259 10.

II. En la sucesión aritmética, si la razón es constante se denomina progresión (   )

a. VFVF

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2.

b. FFVV

3; 6; 12; 24; 48; 96; ____ b. 185 c. 154

a. B 4.

d. L

6; 8; 9; 11; 12; 14; 15; ____ b. 17 c. 18

5.

13.

14.

Determina el valor de a+b que sigue en la sucesión:

Calcula el termino enésimo de la siguiente sucesión:

7.

a. 22 – 5n

27; 22; … c. 5 – 5n

b. 47 – 5n

d. 32 – n

5; 9; b. 34

13;

17;… ;209 c. 45

16.

a. –22

2; –1; b. –24

–4;

–7; –10; … c. –26

37;

a;

56; b

c. 50

77;

102;

b. 15

d. 55

127,

152;…

c. 18

d. 21

Indica el par de letras que sigue en la sucesión: DE;

FI;

HN; ________

b. JF

c. KR

d. JS

El alquiler de un auto grande para 5 personas en la ciudad de Lima es de S/ 30 la primera hora y S/ 15 las horas siguientes por cada hora. ¿En 12 horas, cuál será el precio total del alquiler del auto? b. S/ 200

c. S/ 210

d. S/ 215

La población de migrantes en Perú aumenta por término medio cada 12 meses a un 1%. Actualmente hay 850 mil habitantes migrantes ¿Cuál será el número aproximado de migrantes que tendrá Perú dentro de 5 años? a. 950 mil

c. 893 mil

b. 900 mil

d. 890 mil

En la siguiente sucesión aritmética: a;

17;

b+1;

29;

halla el valor de b + a + 16 a. 5

b. 7

c. 9

d. 10

Respuestas d. 52

Calcula el décimo segundo término de la sucesión: 5;

29;

Nivel destacado

Indica el número de términos de la siguiente sucesión: a. 23

8.

37; 32;

52;

a. S/ 195 15.

42;

d. 8

Dada la siguiente sucesión:

a. JK

9; 8; 27; 16; 81; 32; a; b; a. 309 b. 320 c. 307 d. 345 6.

22;

b. 21

BB;

d. 19

Nivel intermedio

16;

a. 12

¿Qué número sigue en la sucesión? a. 16

c. 6

¿Cuál es la posición del término más cercano a 455?

Indica la letra que sigue en la sucesión: Z; U; P; L; G; ____ b. M c. A

d. 261

Halla b – a en la siguiente sucesión:

27;

d. FVVF

d. 132

c. 268

b. 4

(   )

Halla el número que sigue en la sucesión: a. 192

3.

c. VVFF

18; …

Indica el valor de «m» Si m; 3m; … son términos de una sucesión aritmética.

a. 40 12.

IV. El orden no es necesario en las sucesiones literales.

13;

m2;

11; (   )

8;

b. 260

a. 2 11.

III. El primer término y la razón de la sucesión geométrica son iguales a cero.

En la siguiente sucesión determina el vigésimo tercer término más el trigésimo término:

Unidad 4

Refuerzo en casa

d. –28

1

2

3

4

5

6

7

8

c

a

a

b

c

b

d

d

9

10

11

12

13

14

15

16

d

a

b

c

d

a

c

b

101

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Básico

Psicotécnico Introducción: En esta parte vamos a tratar con problemas en los que se nos piden encontrar el valor de un número, determinar la figura que continúa en una serie de figuras o reconocer una figura discordante dentro de un grupo de imágenes.

Ejemplo: Determina la figura que no guarda relación con las demás

Secuencias aritméticas: Una secuencia aritmética, es un conjunto de números ordenados en forma ascendente o descendente, en este tipo de problemas se nos pide, por lo general, encontrar el número que sigue.

(1) Solución:

Ejemplo: Determina que figura continúa en la siguiente secuencia.  ; 

 ; 

 ; 

B

A

(4)

(5)

Podemos observar, que todas las figuras tienen forma de “L” y giran en sentido horario, además, en la parte B hay un segmento que corta a la imagen. De acuerdo con lo notado anteriormente, podemos percibir que la figura (3) no cumple con estas condiciones.

En la figura (3), la línea que corta a la figura, a diferencia de las otras figuras, está en la parte A.

1. ¿Qué figura no guarda relación con las demás? A

B

C

D

E

La figura E no guarda relación puesto que el sentido de la flecha es horaria, mientras que las demás figuras mantienen el sentido antihorario 2. ¿Qué figura continúa en la secuencia?

; ...

Solución: Se observa que el punto va girando en sentido antihorario de 1 en 1. Mientras que la parte sombreada gira en sentido horario de 1 en 1. Por lo tanto, la figura que sigue en la secuencia es:

Figura excluida En este caso, el objetivo de los problemas es buscar aquella figura discordante, es decir, aquella que no guarde relación con las demás figuras dentro de una determinada secuencia gráfica.

Se observa que los asteriscos van aumetnando de uno en uno, la primera figura aparece 1 asterisco, en la segunda 2 asteriscos y asi sucesivamente, según se observa en la gráfica, los asteriscos son desplazados por lado en sentido antihorario, por lo tanto, la siguiente figura es:

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Secuencias gráficas: El objetivo es encontrar la figura que continúa en una determinada secuencia, a través de ciertos patrones o características en común.

B

(3)

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Ejemplo: En la siguiente secuencia, halla el valor de “x” 5 7  ; 1 ;   ; 2 ; x 7 5 Solución: Primero, vamos a dar forma a cada elemento de la secuencia anterior, de la siguiente manera: 6 8 5 7     ;   ;   ;   ; x 6 4 7 5 Luego, se observa que el numerador aumenta de 1 en 1 y el denominador disminuye de 1 en 1. Encontramos el valor de «x»: 8 6 9 5 7  ;   ;   ;   ;  = 3 & x = 3 3 4 6 7 5

A

(2)

Básico

Intermedio

Razonamiento lógico

Avanzado

Practica lo aprendido

4.

¿Qué figura continua?

1.

Unidad 4

Nivel básico ¿Qué figura continua?

?

? ?

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Las figuras inician de esquina a esquina en sentido antihorario. La curva de la flecha primero empieza en contra del punto la segunda empieza a favor del punto y así sucesivamente. Por tanto, la figura que sigue es:

2.

La parte superior constituyen a una serie que va en aumento de 1 En la parte inferior constituyen a una disminución de 2 Por tanto, el número que sigue a 6 es 0 y el número 2 – 2 = 0, la figura que continua es: Nivel intermedio

¿Qué figura continua?

?

5.

El sentido de los triángulos sombreados es horario La primera tiene un trazo diagonal la segunda dos trazos diagonales la tercera un trazo diagonal así sucesivamente Por tanto, La cuarta figura tendrá tendrá dos trazos y el triángulo sombreado estará arriba

3.

¿Qué figura falta?

¿Qué figura no corresponde al grupo?

A

B

C

D

E

El sentido de sector circular sombreado es la cuarta del círculo. El sector circular tiene un sentido antihorario en «A», «B», «C» pero en «D» no sigue con la relación de antihorario en cambio «E» sí continua. Por lo tanto, la figura «D» es la figura que no corresponde. 6.

¿Qué figura no corresponde al grupo?

? A

Tanto el minutero como el horario siempre tiene un ángulo de 90°. El sentido de como se mueven es antihorario moviéndose 5 minutos Por tanto, la figura que falta debe tener el horario a las 6 y el minutero a los 45 minutos

B

C

D

E

Cada estrella tiene un punto amarillo. El traslado de este punto está en sentido horario. Como vemos «A», «B» se traslada dejando una esquina. De «B», «C» traslada directamente a la síguete esquina. Finalmente, de «D», «E» se traslada dejando una esquina. Por tanto, la figura «C» es la que no con lleva relación con las demás figuras

103

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Básico

7.

Dibuja la figura que falta   es a 

10. ¿Qué

 como 

figura no guarda relación con las demás?

  es a ... A

El círculo grande se relaciona con el círculo pequeño en la misma forma que el triángulo grande se relaciona con un triángulo pequeño. Existe una relación de tamaño. Por lo tanto:

B

C

D

E

El círculo negro se ubica siempre a la izquierda del triángulo sombreado, salvo en la opción “C” en la cual el círculo está a la derecha

  es a 

Dibuja la figura que falta:  como 

figura no corresponde al grupo?

  es a ...

A

Las figuras que envuelven ingresan, y viceversa, lo sombreado se invierte. Por lo tanto:   es a 

B

C

D

E

Todas las figuras son iguales salvo la rotación en el sentido horario u antihorario, pero la figura E no corresponde con ninguna de estas rotaciones.

E

Nivel avanzado 9.

¿Qué figura no guarda relación con las demás?

A

B

C

D

E

Las figuras «A», «B», «C» y «E» son las fases correctas de una sucesión de giros en sentido anti horario; por lo tanto, la figura que no corresponde a esta secuencia es:

D

12. ¿Qué

figura sigue en la siguiente sucesión?

? El triangulito sombreado va girando en el sentido horario ocupando sus casilleros correspondientes, por lo tanto, la figura que continua es:

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  es a 

11. ¿Qué

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8.

Básico

Intermedio

Razonamiento lógico

Avanzado

Refuerzo en casa

Nivel avanzado

Nivel Básico

7.

¿Qué figura no corresponde al grupo?

A

B

a. A 2.

C

D

b. B

E

c. C

d. D

2

3

4

6

8

A

B

C

D

E

a. A b. B c. C d. D Indica la figura que falta para completar las analogías.

8.

¿Cuál es la figura que no corresponde al grupo?

  es a  A

a. A

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3.

B

C

b. B

D

c. C

a. A

B

C

b. B

D

c. C

como

E

a.

c.

d. D

b.

d.

¿Qué figura no corresponde al grupo?

A

es a ...

Marca la alternativa que sea la figura que falte.

9.

E

d. D

Nivel intermedio 4.

?

¿Qué figura no corresponde al grupo?

A

a. A 5.

Unidad 4

1.

¿Qué figura no corresponde al grupo?

B

C

b. B

D

c. C

a.

c.

b.

d.

E

d. D

¿Qué figura no corresponde al grupo?

Nivel destacado 10.

A

a. A 6.

B

b. B

C

D

c. C

¿Qué figura completa la matríz?.

E

d. D

¿Qué figura continua en la secuencia mostrada? ?

a.

a.

c.

b.

d.

c.

Respuestas b.

d.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

d

c

b

b

d

a

b

a

a

b

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Básico

Perímetros y Áreas de regiones sombreadas

Área de una región: El área es la medida de la superficie de una región limitada. A diferencia del Perímetro, para calcular el área se necesitará más de una fórmula, pues dependerá de la forma poligonal de la región. Notación: El área se denota con «A»

Ejemplos: En el siguiente gráfico, se observa un cuadrado de lado 16 cm. Determina el área de la región sombreada. A

D

B

A

B S

16 cm

S

S D

4m G

F

8m

Solución: Del gráfico, observamos que el área de la región sombreada será igual al área del rectángulo DEFG menos el área de la semicircunferencia de diámetro DG, es decir: • Calculamos el radio de la semicircunferencia: DG = 2r = 4  & r = 2 m • Calculamos el área: A=A –A 1 A = (4 × 8) – ((22)π) 2 2 ` A = (32 – 2π) m

C

S S

E

1. Determina el área de la región sombreada, si O es el centro de las circunferencias, donde r = 7 cm y R = 9 cm.

Solución: Del gráfico, observamos un cuadrado dividido simétricamente en 4 regiones que tendrán misma área, por ello es conveniente hacer el siguiente traslado:

S

D

B 16 cm

A

Ejemplos: Determina el área de la región sombreada, si DEFG es un rectángulo.

S

16

S C

D

C

Quedando así, el área de la región sombreada igual al área del triángulo 3ABC: b # h 16 # 16 = A= = 128cm2 2 2 Por tanto, el área de la región sombreada será 128 cm2.

O

r

R

En este caso, usaremos la Estrategia N° 2. Del gráfico, el área de la región sombreada será igual al área de la circunferencia de radio mayor (R) menos el área de la circunferencia de radio menor (r), es decir: A = A9R – A9r A = (πR2) – (πr2) A = (92 π) – (72 π) A = 32 πcm2 Por tanto, el área de la región sombreada será 32π cm2.

Recomendación: Para complementar tu aprendizaje consultar las paginas 145 y 146 de tu libro de texto escolar.

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Estrategias para resolver problemas sobre Áreas: Estrategia N° 1: Juntar las áreas sombreadas y formar una región poligonal conocida.

Estrategia N° 2: Calcular el área total y restar el área de la región no sombreada:

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Perímetro de una región: El Perímetro es la longitud total de la línea (o líneas) que limita a una determinada región. Notación: El perímetro se denota con «2p», y el semiperímetro con «p» .

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Practica lo aprendido

4.

1.

6u

R

N EL rectángulo NEFP  es la mitad del cuadrado E Luego PR = PF + FR M & 6 = 2(PF)  &  PF = 3 Asombreada = NP × PF = 6 × 3 = 18

20 u

Del gráfico A = AT – A1 = 10 × 20 – 14 × 4 A = 200 – 56 A = 144 u2

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M

4u

10 u

Halla el área de la región sombreada en cada caso. F1

9u

2u

7u

A1

5.

A2

A1

2

36 m2

A2

De F1: A = A1 + A2 = A = 50 u2 De F2:

R

6 6

10u

F

Calcula el perímetro de la región total si se sabe que todas las figuras son cuadradas.

24u 3u

P

Nivel intermedio

A1

4 A2

16 m2

F2

6

10 # 7 10 # 3 + = 35 + 15 2 2

4

4

El lado del cuadrado A1 = 6 El lado del cuadrado A2 = 4 Del gráfico P = 6 × 3 + 4 × 3 + 2 = 32

9 # 24 2 # 24 + 2 2 A = 108 + 24  & A = 132 u2

A = A1 + A2 =

3.

P

14 A1

2.

N

Determina el área de la región sombreada.

Unidad 4

Nivel básico

Calcula el área de la región sombreada si MNPR es un cuadrado de 6 cm de lado.

Calcula el área de la siguiente figura, si cada cuadrito es de 1 m2.

6.

Halla el área de la región sombreada.

4u

Trasladando áreas  para formar un cuadrado de 4m de lado Por tanto A=4×4=16



Del gráfico: A = Acuadrado – Acírculo A = 42 – π × 22 A = 16 – 3.14 × 4 = 3,44

107

UNIDAD 4 RMS1 19-23.indd 107

23/11/2019 09:27:28

Básico

7.

Nivel avanzado

Calcula el área de la región sombreada.

10.

Calcula el perímetro de la región sombreada.

α 6u

α

37° 16

La región sombreada representa un semicírculo con r = 3 u p # r2 3.14 # 32 = A= = 14,13 u2 2 2

B α 12 α

37°

A

D E 16

8.

b 12

C

Perimetro = π(10) + π 6 2 + π(b) + π(a) R1

R2

Perimetro = 24π + 6 2 π R3

R4 11.

Calcula el área de la región sombreada si BC = 16 m. A

El perímetro de la región sombreado será igual a la suma de los perímetros de los 4 círculos. 2p = 2πR1 + 2πR2 + 2πR3 + 2πR4 2p = 2π(R1 + R2 + R3 + R4) 2p = 2π(12) = 24π

B 4 6

D A

C P

B

4 C2 4 O C1

9.

Halla el área de un cuadrado ABCD, si se traza una recta BM donde M es punto medio de AD y se traza la diagonal AC que corta en P a BM. Además, el triángulo APM tiene un área de 1m2. B

C

El triángulo APM: 3S S AAPM = 1 m2  & S = 1 m2 S 3S P EL cuadrado ABCD: S S AABCD = 12S = 12(1) S S A D 2 M     = 12 m

R

O'

4

N 6

D

Q

16 S

6

C

BC = PQ = 16  & 4 + ON + 6 = 16 &  ON = 6 Por Pitágoras en el triangulo ONO’ &  NO' = 8 AB = RS = 4 + 8 + 6 = 18 Luego: Sx = SABCD – SC1 – SC2 Sx = 16(18) – π(6)2 – π(4)2 Sx = 288 – 52π

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Del gráfico:  AD + DE + EC = AC 2a + 2b = 16 + 12  & a + b = 14 Además α = 45° % % % Perimetro = l % AB + lBC + l CE + l AE

Halla el perímetro de la región sombreada, si R1 + R2 + R3 + R4 es igual a 12.

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a

Básico

Intermedio

Razonamiento matemático

Avanzado

Refuerzo en casa Nivel básico 1. Halla el área de la región sombreada.

a. 20 b. 50 c. 60 d. 70

6u

10u

Calcula el área de la región sombreada.

7.

2.

Unidad 4

Cada cuadradito tiene 2 u de lado. Halla el área de todos los cuadrados no sombreados.

6.

6 cm

a. 36𝛑 u2 c. 100𝛑 u2 b. 64𝛑 u2 d. 16𝛑 u2 Calcula el perímetro total si se sabe que las figuras son cuadrádas.

a. 24 – 2π cm2 b. 26 – 4π cm2 c. 24 – 4π cm2 d. 25 – 2π cm2

6 cm

5m

Nivel avanzado

16m2

Del plano cartesiano, halla el área de la figura que se encuentra en el primer cuadrante.

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8.

7m

3.

a. 20 m b. 27 m c. 30 m d. 56 m Halla en qué relación está el área de la región sombreada y el área total del trapecio.

y (10; 20)

(20; 25)

a. 400 u2 b. 450 u2 c. 500 u2 d. 550 u2

(30; 20)

4u 0

h

El cuadrado MNPQ está dividido en 16 cuadraditos de 1 cm de lado cada uno. Calcula el área del triángulo ABC.

9.

16

4.

x

30

a. 1/5 b. 1/4 c. 1/3 d. 1/6 Halla el perímetro total de la figura que contiene tres cuadrados.

N

P

A

B

36u2 100u2

a. 55 u

b. 52 u

9u2

c. 53 u

a. 1 cm2 b. 2 cm2 c. 3 cm2 d. 4 cm2

C

M

d. 56 u

10.

Nivel intermedio 5. Halla el perímetro de la región sombreada si todas las circunferencias tienen igual radio.

Q

Nivel destacado Si el área del triángulo equilátero ABC es 32 cm2, halla el área del triángulo equilátero MNP. C

a. 4 cm2 b. 3 cm2 c. 2 cm2 d. 8 cm2

P

4m M

N

A

B

Respuestas a. 102,4 m b. 99,58 m

c. 100,48 m d. 100 m

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

b

c

a

b

c

a

c

d

b

c

109

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Básico

Evaluación n°4 3. Determina el perímetro de la región total, si se sabe que las figuras de la parte superior son cuadrados.

cuarto le tocó 12 caramelos más que a los otros tres nietos juntos. ¿Cuántos chupetines le toco al tercer nieto?

16 m2

x 8

x 12

x 4

Total

11x 24 + 12

x

Total 3 nietos =

b x + x + x l = 11x 8 4 12 24

2. Calcula el área de la región sombreada, si las curvas son semi circunferencias y además r1 = 5 cm y r2 = 7 cm:

–– Para los cuadrados: A Y = 16m 2 & ,12 = 16 & ,1 = 4m A Y = 36m 2 & ,22 = 36 & ,2 = 6m A Y = 64m 2 & ,23 = 64 & , 3 = 8m –– Para el rectangulo: base = b = ,1 + ,2 + , 3 = 18 m A Y = 54m 2 & b # h = 54m & h = 3m Reemplazando en el gráfico: 8 6 2 4 2 8 64 m2 2 4 16 m2 36 m 3

54 m2

3

18 2p = 3 + 4 + 4 + 2 + 6 + 2 + 8 + 8 + 3 + 18 ⇒ 2p = 58 Por tanto, el perímetro será 58 m. 4. Identifica la figura que sigue en la siguiente secuencia:

A

r2

r1

B

Del gráfico observamos que el área de la región sombreada será igual al área de la semi circunferencia de diámetro AB menos el área de las dos semi-circunferencias. –– De la circunferencia mayor (de radio R), sabemos: AB = 2(r1 + r2) = 24 cm ∧ AB = 2R ⇒ R = 12 cm –– Finalmente, calculamos el área: A = A 9R - A 9 r1 - A 9 r2 A=

p ^12

h

1 ^ 2 h - 21 p ^5 2 h 2p 7 49 25 A = 72p - 2 p - 2 p A = 35p cm2

2

2

-

El gráfico consiste de dos figuras grandes que alternan de posición. • En el cuadrado: cuadradito sombreado gira en sentido horario dejando 2 espacios, el puntito gira en sentido horario sin dejar espacios. • El círculo contiene uno más pequeño, los cuales se van alternando en cuanto al relleno.

Quedando:

110

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Entonces: b x l + b x l + b x l + b 11x + 12 l = x 8 4 12 24 14444444444244444444443 b 11x l + b 11x + 12 l = x 24 24 11x 12 + 12 = x ⇒ x=144 144 Por tanto, al 3er nieto le tocará 12 = 12 chupetines.

64 m2

54 m2

Sea x = cantidad total de chupetines 1° nieto 2° nieto 3° nieto 4° nieto

36 m2

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1. La señora Juanita reparte chupetines a sus cuatro nietos del siguiente modo: al primero el 1/8 del total; al segundo 1/4 ; al tercero 1/12 y al

Avanzado

3°

–– El cuadradito sombreado gira en sentido horario dejando 2 espacios en blanco. –– El puntito gira en sentido antihorario dejando un espacio en blanco. –– El asterisco también gira en sentido antihorario dejando un espacio en blanco.



1 6. Felipe tiene un galón de 7 2 litros llenos de 1 gasolina y desea vaciarla en botellas de 3 4 litros de capacidad. ¿Cuántas botellas podrá llenar y cuánto quedará en el galón después de dicha operación? 15 Felipe tiene en total 2 litros de gasolina 13 La capacidad de cada botella será de 4 litros 15 13 17 13 –– 1° llenado, queda: 2 - 4 = 4 2 4 17 13 13 –– 2° llenado, queda: 4 - 4 = 1 1 4 Por tanto, podrá llenar 2 botellas y quedará en el galón 1 litro. 7. Tres amigas, Lucero, Patricia, Julieta estudiaron carreras diferentes: Derecho, Educación y Medicina, aunque no necesariamente en ese mismo orden. Cada una tiene un hijo que seguirá una de estas carreras mencionadas, pero no la misma que estudio su madre. Si Patricia es médico y el hijo de Julieta quiere ser profesor. ¿Qué carrera estudiaron Lucero y su hijo?

  

  

  

Hijo Patricia Hijo Julieta Hijo Lucero

Lucero

Derecho Educación Medicina

Julieta

Completamos la tabla con los siguientes datos específicos: Patricia

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Por tanto, la figura que continúa con la secuencia será de la siguiente forma:

  

  

  

Para finalizar concluimos con lo siguiente (verde): –– 5°El hijo de Lucero estudiará Medicina –– 6° Lucero estudió Educación

–– Para los numeradores: 1 = 13; 8 = 23; 27 = 33; 64 = 43 –– Para los denominadores: 6 = 5.1 + 1 ; 11 = 5.2 + 1 16 = 5.3 + 1 ; 21 = 5.4 + 1 n3 Por tanto, el término enésimo será: 5n + 1 9. Tres amigos: un Ingeniero, un Químico y un Arquitecto comentan que cada uno de ellos nacieron en diferentes ciudades del Perú: Huánuco, Lima y Ayacucho. Julio no nació en Huánuco, Daniel no nació en Lima. El que nació en Huánuco no estudió Ingeniería. El que nació en Lima estudió Química. Daniel no estudió Arquitectura. Determina qué carrera estudió Ricardo y en donde nació.

Daniel Julio Ricardo

Ayacucho

2°

Lima

1°



Huánuco



1 8 27 64 6 ; 11 ; 16 ; 21 ; ...

Unidad 4



8. ¿Cuál es el término enésimo de la siguiente sucesión?

Arquitecto

5. Determina la figura que continúa la secuencia:

Químico

Intermedio

Ingenioso

Básico

  

  

  

  

  

  

Por tanto, Ricardo es el Arquitecto nacido en Huánuco. 2x 10. Calcula el valor de y + z , luego de analizar las siguientes sucesiones: 2; 3; 5; 8; 13; z 810; 135; 270; 45; x; y –– De la primera sucesión: 2; 3; 5 ; 8 ; 13 ; z ⇒ z = 8 + 13 = 21 S 3S+ 5 5T 2+3 +8 –– De la primera sucesión: 810; 135 ; 270 ; 45 ; x ; y S S U V Y 45 # 2 135 # 2 270 ' 6 810 ' 6 '

x 6

x = 90 ⇒ y = 90 ÷ 6 = 15 Finalmente, reemplazando en la expresión: 2 ]90 g 180 2x y + z = 15 + 21 = 36 = 5

111

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Bibliografía y páginas web

UACIÓN

Referencias bibliográficas

•• Miller, C., Vern E. Heeren, Jhon Hornosby. (2013). Matemática razonamiento y aplicaciones. Editorial Person. Décimosegunda edición. - 33

•• Caraballo, A., Cruz, T., Hernández, O. y Rodríguez, J. (1997). Razonamiento matemático fundamentos y aplicaciones. Editores Thomson. •• Castelnuovo, E. (2001). Razonamiento matemático. Editorial Trillas. Primera edición. •• Zevallos, O. (1990). Razonamiento matemático. Editores Centauros S.A. 4ta edición. •• Flores, M.(2005. Temas selectos de Matemáticas. México: Editorial Progreso

- 60

Enlaces bibliográficos

•• https://app.box.com/s/j0i16vgacc45zer6od4rgg6kucmij1nr •• https://academiainternet.wordpress.com/razonamiento-matematico/ •• https://www.matesymas.es/category/c487-razonamiento-matematico/c675-ejemplos/ •• https://matemovil.com/curso-de-razonamiento-matematico-ejercicios-resueltos/

- 87

•• http://academiacesarvallejo.edu.pe/recursos/razonamiento-matematico/

0 - 111

ación

s

entos o

bre

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