Razonamiento Matemático 1

TEORICO . PRACfICO

MANUEL COVEÑAS NAQUICHE

INDICE

l. 2.

3. 4. 5. 6. 7.

8. 9.

Numeración ....................................................................................... ,................. Teoría de Conjuntos . •• . ... _.......... __ ..... __ .........__ ...... __.... __ ._ .. . Series ... _.........,............................ _............. _................................. _........................ . Teoria de Exponentes .........

n

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Sucesiones y Progresiones ..................................... . Ecuaciones Exponenciales ... ___ .......... __

Operadores Matemáticos ...... __ ..... __ ....... _____ .... ____ ... . Cripto Aritmético ..... ............................................................................................. Trazos y Figuras .. ................... .......................................................... ,..

10. Angulos ............................................................................................................ 11 . Cuatro Operaciones ........................................................................................... .. 12. Planteo de Ecuac;ones ........................................................................ 13. Problemas sobre Edades ................................................................................ 14. Probtemas sobre Flelojes ................................................ 15. Cinemálica ...................................................................................................... . 16. Surnatonas ............................................................ ............................................. . 17. Conteo de Figuras ................................................................................. : ............. .. 18. Prot:rlemas sobre Cortes. Estacas y Pastillas ..................................................... .. 19. Razones y Proporciones ........................... ....................................... ................... .. 20. Promedios ........................................................ .................................................... . 21. 22. 23. Fracciones ........................... ............................................................................... .. 24. Porcentajes ......................................................................................................... .. 25. Productos Notables ................................................................... .... .. ..... ...... ........ .. 26. Valor Numérico ............................................................ ....................................... .. 27. ProblelTlas sobre Relaciones Familiares .. ........................................................... .. 28. Test de Cuadro de Des;C¡ones .............................................................................. 29. Ejes Coordenados ............................................................................................... .. 30. Razonamiento lógico Matemático ....................................................................... 3l. Problemas sobre Rumbos o Direcciones .............................................................. 32. Regla de Tres .••....•...........•.......•.. ....•......•.....•... ..••................•••............•....•............ 33. Problemas sobre Orden de Información ............................................................. .. 34. Factorial de un Numero Natural ..... ..................................................................... .. 35. Análisis Combinatorio .......................................................................................... 36. Probabilidad ..................................................................................•....................... 37. P«Xiudoria ............................. .............................................................................. .. 3B. Relaciones y Funciones .......... ................... ............ .. ............................................. 39. Desigualdades e Inecuaciones ..........................................................._................ . 40. Valor Absoluto ...................................... .............................. ................................. . 41. Escalas y Gráficos ................................................................................................

~=::~=~~~~.~~~:::~:::::::::::::~:~:::::.::::::~::::~::::::::::::::::::~::::::::::::~:::::::::::::::::::

Yl

37

69 99 103 129 }43

161 179 >87

_a05 .... .231 251 267 287

301 323

~

:sª89 395

427 4ff7 479 487

490

4!i9 ~15

64Z BS7 SSl

'!i!ll f¡97 611 621 625 643 663 669

42. 43. 44. 45. 46.

Logarilmos ................................................. .......................................................... Evaluación o Descartes de Datos ..... Relaciones Métricas ...

....... ,..... ,....,.... " ................................. ..

Areas y PerílT\elros .................................................................... ......................... . Exámenes Tipo Admisión ........ ...... .... ....... ..... .... ........................... ...... . Examen 1 ... ........................................................................................................... Examen 2 ....................... ............. " ...... ,...... ,.......... ,....... ,.".,

Examen 3 ................................................ .. Examen 4 .. __ ................................................ .. Examen 5 .......................................... .............. ... . Examen 6 ............ ...................... ......... .. ........................... ........................ Examen 7 ..............................................................................,................... ,.... , ...... Examen 6 ..... ,...., ...........................................................................__ ..................... . Examen 9 .............................. ...............................

Examen 1O... ,.... " .... ,................. ,............... " .... ...... ,...................................... ,.... .. 47. Psicotécntco ................. .

681 691

703 713 747 747 751 755

759 763 767 771 775 779

783 787

NUMERACION

1

• Numeración: En vista de que la serie de los números naturales es ilimitada aparece como un prob lema muy difícil el dar nombre a cada número. Efectivamente: si a cada número se le da un nombre distinto aparece que para nombrar, por ejemp lo los mil primeros números habra que inventar y aprender mil palabras distintas. Esto resulta casi imposible pero, además. ¿Cómo nombraríamos después todos los infinitos números que vienen a continuación de mil? Además al hombre no sólo le es necesario nombrar los números, sino Que debe representarlos por símbolos adecuados. Pero, sin duda. el problema de encontrar un signo para representar cada número nos parece todavfa más dificil que el de encontrarle un nombre.

la teoria de la númeración enseña el modo de resolver estos dos problemas. Un sistema de númeración es un conjunto de reglas que nos perm ite nombrar y escribir cualquier número mediante la combinación de unas pocas palabras y 5;gn05 o cifras.

.. Base del sistema: Al número fijo de unidades de un orden que se toman para fonnar una unidad del orden superior, se le llama base del sistema. En el sistema usual la base n : Base del s;stema es diez, y lo explicamos en esta abcd(o) O n : { Es un número entero lección. luego explicaremos el sistema binario, cuya base es dos.

Observaciones:

positivo mayor que 1

1} abe jn)

C>

Se debe cumplir que: ¡a b< < nn

c :.( n > a ; bYC )

Ii 3} -aoc(.) - -e!9ímj I

Si :

a "se lee FI". También se le representa por un conjunto que no tiene elementos dentro de las llaves. AsI por ejemplo:

0: 11

consideramos como un conjunto uni· versal al sistema universitano de nuestro país, entonces cada universidad x, será elemento de dicho universo. El conjunto de libros de una Biblioteca determinada. puede ser otro ejem· plo, sus elementos serán cada uno de los libros de los que consta. El marco de referercia es relativo. de modo que podemos referir como conjunto universal por ejempo al Conjunto de Bibtiotecas de la ciudad

( Conjunto Finito: )

Simbólicamente se define como:

1; {)(Ix" xl Ejemplo: A = {Es el conjunb de mujeres que ti enen 3 piernas} Comosehabrádadocuenla no ex,:ste flfnguna mujer que posee 3 piemas, por tanto, este conjunto carece de elementos y oeclmo5 que es un conjunto vacfo.

NOTA: lO}; Representa. a un conJ~'1.tO de un sólo el.(!m.(!nlo. el nlÍmero cero.

Es aquel royos elementos se pueden contar en forma usual desde el primero hasta el último. El numero de sus elementos se llama cardinal de conjunto.

EjemplO$:

1. 2.

{El número de carpetas del salón} {24 675 gramos de Brena}

3.

{Hojas d e un árbol}

4.

{Números enteros entre 1 y 20}

( Conjunto

InfinIto: )

s. contarnos no se llega nunca a un úttimo elemento del coníu nto se ltama intW1ito o indefinido.

Ejemplos:

(1) (2)

{Punto de una recta} (Es infinitO) {Números enteros mayores que 100) (Es infinito)

NOTA: Lospunl ossu.spensiv~ ooooo en tre dos elementos se leen ~y asi sucesioomentehasto-oEsospuntos como lerminación, se lee "'y asi suct!siuamenle"

C _ (b, d, a. e);

En es1e caso se observan las siguientes inclusiones:

Be A;C e A;A e c En cambio los conjuntos C y D son incomparables, porque ni ~C" incluye a ND", ni "O" incluye a ·C", es decir:

Ejemplos:

D¡fC ;.C$Z'D fin~o

(1,2,3, ... 100)

es

(1 ,3. 5. 7. oo.)

es ¡nl¡nito

Hemos visto que pueden ocurrir al mismo tiempo las dos inclusiones e e A y A e C, eslo quiere decir, sencillamente. que A::: C o

IRELACIONES ENTRE CONJUNTOS I ( Inclusión: ) Se dice que "AHestá incluido en el conjunto "B", cuando todo elemento de A, pertene· Ce a -S"oLa inclusión Se simboliza por " e "o AcB

7I.EA

-H

-+

xe B

También se puede decir que A es del conjunto B. Se puede denotar por B :> A, que se lee "8- incluye, contiene o es un subconjunto del conjunto A. Ejemplo de subco!iunto o inclusión es el Siguiente: subco~unto

Si:

D - (a. e, e)

( Conjuntos 19u1Jles:) Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elemen[Qso Su forma simbólica es:

A _ B. Nótese Que decimos los mismos elementos que no es igual a decir el mismo número de elementos. De la definición podemos ¡nfem que: A :::

A (Todo conjunto es igual a si mismo). Ejemplo 1

Si:

P = (Perros)

A - (1, 3, 7, 9, a, b) B - (a, b, 9, 3, 1, 7)

M = (Mamíferos) Entonces se tiene:

P e M ("P" está incluido en HM")

e

Se lee:

~Esta

incluido en"o

Su negativa es: ~ :>

Se lee: "Incluye a"o Su negativa es; ~

Sean, por ejemplO, los conjuntos:

A = (a, b, c, d);

B = (a, d)

Entonces: A ::: B pues son los mismos elementos aunque estén en diferente orden oRecuerde, no importa el norrbre dado al conjunto sino los elementos que lo 1orman.

Ejemplo 2

Si:

C = (a, e, i, o, u) D _ (a, e, o, 4, i)

Entonces C .,. O porque a pesar de que cada conjunto tiene 5 elementos (igual número de elementos) basta que exista un elemento diferente para que ya no sean igualeso

Esto es; número de elementos de A; es n = 3, de donde:

( eonfunlos DIferentes=-)

rl-2-'-=-S-S-ubc - O-n-ju-n-to - s' l

Dos conjuntos son diferentes si sus elementos no son iguales.

I

Ejemplo: A ={m, n, p, q}

REPRESENTACiÓN GRÁFIC'-A- D - E' CONJUNTOS

Se pueden i....uir muchos sistemas auxiliares para visualizar las relaciones. Enre con-

B = {r, s, m, p}

juntos; k>s más conocidos son los Diagramas

_. lA'#. B (~ : significa no igualo diferente) I

UneaJes y

I

[Con/unt08 Disjuntos: ) Dos conjuntos son disjuntos si no tienen ning(rn elemento en común: es decir, todos sus etementos de un conjunto son diferentes a los etementos del otro conjunto.

tos de Venn-Euler

DIAGRAMAS UNEALES

I

Son segmentos de rectas que ilustren las relaciones entre conjuntos.

I

DIAGRAMAS DE VENN-EULER

I

Consiste en graficar mediante círculos. etipses, rectángulos u otras figuras geométricas de área plana, cada uno de los conjuntos con los que s e labora. Generaln lenle los puntos interiores a un rectángulo representa al con· junto del sistema .

Ejemplo: A = {O, 1, 2, 3, 4, 5} B = [9,S,7,S,lO}

f~OP~iéi)

Ejemplo:

Se llama

a~;

al oonjunto fonnado por

todos los subconjuntos que es posible formar

de lWl conjunto dado. Se sirrboJiza por P. La notación P(A), se Jea potencUi del conjunto A. El romero de subconjuntos que es posible

S i el conjunto universal lo tounan las letras del alfabeto y además se tienen los siguientes conjuntos: A = (a, b , e, d) B = (e, a, di = (a, dI

formar con k>selementos de un conjunto 8S2";

siendo -n" el nUmero de elementos integ rantes

e

del conjuoto.

Representar las relaciones entre dichos gráficamente .

co~unt os

EJemplo: Si se tiene:

Resolución:

A = (a, b, e),

Observamos que: e e B; además Be A: y como U es el coniunto universal (Todas las letras del alfabeto)

hallar la potencia del conjunto A

Resolución:

La representacoo lineal será:

Se tiene:

.

P[A) = [[a}; lb}; (e); (a,b), (a,e); {b,e}; (a,b,e} ;,)

ISubconjunl os o partes del conjunto Al

~c r,

Elconjunto Deslamás

Q

aoojolk aquel enelque Queda incluido, y asi sucesivamenlf!'.

~

--~

La representación de los diagramas de Venn Eu&er,

u

r7'\\

I A v BI



A~B

u x

Ejemplo:

m

Ob5ervarque el conjtJ nto"O~ está en el interior del conjunto que lo incluye del mismo mooo "8" respecto a '"N. El conjunto uriversal está representado p:>r el rectángulo en nuesUo ejern-plo. Esta formado por las letras del alfabeto. D c B c AcU.

I

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

I

Las operacKmes entre conjuntos son disposicionesespeclfeasdecooonarconj ..... tospara 10000000r otros, de semejarte estructura . Dichas operaciones son la unión, la intersecd6n, la aterencia, la cof11>lementaci6n. el conjunlo producto o conjunto cartesiano y la diferencia siméfrica.

Sean los conjuntos: A = {a, b, e, d. el y el conjunlo B = {t, b, d}; el universo las lelras del aHabeto. Hallar. A u B.

Resolución: Como tos elementos de Ay B pueóen pertenecersófa a · A"', sókl a "B'" o simultáneamente a ambos, entonces:

Av B ; la, b, e, d, e, 1} Su representación gráfica en el diagrama de Vem-Euler es toda la superficie achurada_

G[) e

( ÚnI6 se lee: ~mp/ica'1 Ejemplo: (a, b,el e la, b, e,d, el

la. b, el u la, b, e, d, el = la, b, e, d, el 4.

1(Au B} u e = A u

(B u C)

1,. n B: (7, 9,~

I

Ejemplo; (a, b, e , a, b, e, d, e ) u la, m} = la, b, e} u (a, b, e, d, e, a , m) De cIoncle:

la, b, e, d, el u la, m} = (a, b, e, d, e, mJ ~~~v~~~~a,~ = ~~~da,~

¡IntersecciÓn: J Intersección de los conjuntos A yB es el CClrlunlo de elementos ..](' que pertenecen a "A"ya"B". Estáformado por elementos comunes a k>s COrluriOS Que forman la i1terseoción. Se simboliza por A n S, y se lee: "A" intersección "8".

Problema: En el colegio 'San Miguel" de Piura. se ha

evaluado a mil alumnos en las astgnaturas de lenguaie, Biologia y matemáticas y, se ha obtenido el siguiente resultado. a) b) e) d)

680 alumnos aprobaron lenguaje. 320 alumnos aprobaron biologra. 400 alumnos aprobaron sólo lenguaje. 50 alumnos aprobaron lenguaje

y biolo·

gía: pero no matemáticas. el

1)

170 alumnos aprobaron biología, y matemáticas, pero no lenguaje. 40 alumnos aprobaron biologia,lenguaje y Matemáticas

¿Cuántos alumnos aprobaJon sólo matemáti·

cas?

Tenemos ya 40 que aprobaron Lenguaje. Biología y Matemática pero, como la condición es que no aprobaron matemática estos 50 alumnos pertenecen s610 a la intersección de Iosque aprobaron lenguaje y Biología.

ResolucIón: Para resolver este lipo de problemas es conveniente errpezar su desarrollo a partir del último dato (O sea: la intersección de los 3 conjuntos). Veamos :

f}

-40 alul1YlOS aprobaron Biologfa. lenguaje y Mate~ttca". esto quiere decir que 40 alumnos son elementos comunes (están en la intersección) de los 3 conjuntos.

u

e)

u Donde:

"400 aprobaron sólo Lengua}e"; estos alullTlos son elementos Que pertenecen al conjunto exclusivo de Lenguaje, es decir no son elementos comunes a los conjuntos -aprobaron Biología·ylo "aprobaron Matemáttca".

L = alumnos que estudian Lenguaje. B = Alumnos que estudian Biología = AllIfJYlos Que astucian Matemática

e

e)

"170alumnos aprobaron Biología y Matemática pero no lenguaje" o sea que. estos 170 alurmos son elementos comunes (esta n en la intersección) de los alunTlosque aprobaron Biología y Matemática

u b)

"320 aprobaron Biologla"

u d)

..SO aprobaron Lenguaje y Biología pero no Matemática-; el razonamiento es s;" milar al anterior.

u

:.lz=901

de la gráfica tenemos: 5O+4O+170+x= 320

(Aprobaron sólo Matemáticas) Propiedades de la Intersección de Conjuntos

26O+x= 320

1x= 60 1 (Aprobaron sólo B/ologla)

a)

~

~

1.1 A"B=B"AI (Propiedad Conmutativa)

"680 aprobaron Lenguaje-

2.

I(A" B) CAl

3·I {A"B)CB I 4· IA C B=>A " B = AI 5. HA" B) "

u

e = A"

{B

"C) I

(Propiedad Asociativa)

De la gráfica, lenemos:

6.

(Prop;edad distributiva respecto a la umón)

4OO+50+40+y = 680

490 + y= 680

· · E~

lA " (B u e) = (A" B) u {A" C)I

7. lA u (B"

C) = (A u B) ,, {A u e)1

(Propiedad distributiva de la unión respecto a la intersección)

(Aprobaron sófo Lenguaje y Matemática)

Como hay 1 000 alumnos podemos obtener cuantos alumnos aprobaron sólo Matemática procediendo de la siguiente manera; Dl1erencia entre los conjuntos "N' Y "8", es el conjunto de los elementos "x" que pertenecen a "A~ pero no a "8", se simbotiza ~r NA - S-,

Por compresión:

A-B ={xlxE Ay,xE Bl Es decir:

u

x e (A-B)pXE A AXt!

B

Del dagrama tenemos:

Ejemplo 1

400+50+60+190+ 4O+170+z= 1000

Sean los conjunlos: A= (1, 2, 3, 4, 5, 61: B= (4,

910+z=1000

'06,7, B, 9} Y conjunto universal, el conjunto

de

L{ls

números naturales.

u = {Números naturates}

Hallar:

a) A- B '3ralicándolo

b) B-A

c)U -(A v B)

Observar el diagrama:

en el diagrama de Venn-Euler

A

Resolución:

10

De la definición de diferencia de conjuntos, tenemos:

11

A - B={1.2.3. ~ - ~ 7. 8 . 9)

U

a)

IA- B=[1.2. 3)

I

~~7

15 3 6

B 8

9

12,13,•• ,06

Propiedades de la Diferencia de Conjuntos:

En el diagrama, la parte achurada. representa: "~A - S"

1.

A - B=B- A ~ A = B

2.

Si: A c B = A- B = (3

3.

A - 0 = A, "i A ("i: significa "para 1000")

4.

A -B = (A u B) - B = A - (An B)

5.

(A - B) n B=0

A-B = {l. 2. 3} b)

Si el conjunto universal, eslá formado por los números naturales. la diferenda será: B-A=~

I

7. 8.9)-(1.2.3, 4. ~.6J

B - A = (7.8. 9)

I

( c omplerm;nlacI6n:) Complemento de un subconjunto cualquiera "B" respecto a U (Conjunto universal), es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a "8". Se llama también complemento de B en U. o simplemente conjunto dilerencia U - B.

En el diagrama, la parte achurada representa: • B - A"

A' U

B - A=(7. 8, 9)

e)

U - (A v S), serán los elementos que pertenecen al U (universo) pero no al conjunto A v B.

Notación:

CuB,

I

Rpta. O

Problema (!) Cel sigr;iente diagrama de Venn-Eulel. Determinar el cardinal del siguiente conjunto.

A ~ (2x+l)

Para: x:; 3 Para: x :; 4 Para: x = 5-

G)Se A

(A · 6) . le . E¡

----

2 (3). 1 = 7 2(4). , = 9 2(5) .1 =1 1

- - - ---,

A = (7,9, 11} 1

probl'ema @

u

Determinar porcof1lXensi6n el siguiente conjunto: A = (3. 5,7,9. 11}

Resolución: Determinar un conjunlo por comprensión implica definir dicho conjunlo mediante una fórmula que proyec1e las propiedades comunes que caracterizan dicho conjunto.

Luego:

A)2

B} 3

C)4

0)5

Resolución: En primer lugar, calculamos: "'A - 8" A

~~_~~~

A· B = (a, b. c. m)

E) 6

2" + 2Y "" 2 3 + 25 (Unica posibilidad)

En segundo lugar, calculamos: "C - Bto

Donde:

B

1.=3 ;

Pero: I nIAIB~ I =In{iA}

I+

n(B) .ln(AjB} I

6=x+y-n(A ....... S)

6=3+5·n(A " B)

I

C·B = lm.p.q.w}

I

In(A " B) = 2 I

Entonces: Luego:

Ahora, cak::u1amos:

In{p(A " Bn = 2" = 2' = 41 Rpta. B

(A· B) . (C . B)

tJ (a, b, e,!!,) • {'!l, p. q, w} = la. b, e} Cl

Problema

(!)

prOblemaQ)

En un colegto 100 alumnos han rendido 3 exámenes. De ellos 40 aprobaron el primero. 3gelsegundoy48~tercerexamen . Aprobaron 1OIostresexámenes. 21 no aprobaron 8JCamen alguno, 9 aprobaron los dos plimefOs, pero no el lercero; 19 no aprobaron los dos primeros exámenesperosfeltercero. Calcúlese cuAntos alumnos aprobaron por lo menos 2 exAmenes.

Para dos conjuntos A y B se cumole que:

Resolución:

Numerocardinalesolnúmero de elemenlos del conjunto

El numero cardinal es

31 Rpta. B

Disponemos los dalas del problema en un

n(AuB)=B además:

n(P(A)) + n{P(B)) = 40.

Determinar:

A)3

diagrama de Venn-Euler. tomando oomo oonjunto la. cantidad de alumnos que llevan el primer, el segundo y el tercer curso y como corlunto universal los 100 alumnos del colegio.

R)4

n(P(A ,.., B)) C)5

D)B

E)8

Resolución:

Consideremos:

2"E~

(39)

n(A) :: )( entonces: n{P(A)} :: 2lf

n(B) = y enlonces: n(P(B)) = 2'

Reef11)lazamos estos valores en la expresión: n{P(A)) + n (P(B)) = 40

~Ex.

(48)

Del diagrama tenemos que: x+y+1O+9::4Q

-)(+43=30 ...... (1 )

w+z+ 10+9=39

... ... (2)

y+z+10+19=48

...... (3)

Se ptde; calcular. 9 + Y + z + 10 :c ?

De (3):

Luego:

El número de días que la persona come tocino duranle er mes de Abril es de 13 mañanas.

y huevos

Rpta .

.-_ I=y=+=z==='9:.

1 _ _ _•

19+ '1+ z+ 10 = 9 + 19+ 10 = 38 _ Rpta.

Alumnos que ap'obaron por los menos dos

cursos. NOTA: 1..08 JO alumnos qUi!aprobaron 3 cursos, ackmós de aprobar 'os .1 cursos quiere decir QU€ aprobaron 2 curoos. Si en el problema nos pregunta ran . ¿Cuántos aprobaron sólo 2 curo SOS mtonces lo que nos piden será:

Problema

®

De un grupo de 105 deportistas. se observó que: A)

15son311e13S. que practican eltútbol yla nalación.

B)

52 son atletas.

C)

55 son nadadores.

O)

TodOS I OSfu!boljstassona!'(~tas y

12son deportistas que sólo practican el atletis-

mo. E)

15 depomslrts no ~raClK:an ninguno de los depo rtes mencionaooo

¿ Cuántos deportistas sen atletas y nadado-

res.

problema @ Una persona come huevos o losino en el desayuno cada mañana durante el mes de Abril. Si con 10 locino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevo y tocino?

per~

no flJlbolfmas?

Resolución: Sean:

A = {Con¡unl{l de Atletas} F = {Con!untc de FLtbolislas} N = (CQnOl, n'? de t-.~dado",s}

Resolución: LlQvando nuostros dalos a un diagrama tQr-Krmos:

Tocino (25)

Huel'OS(18)

ffiu Luego:

(25 -

x) +X + (18 - xl =~

(1 do di. quQ tkIn9

AbrW)J

(No practican ningun deporte)

Del diagrama: i)

12+'1+15+)( = 52

ly=2S

o

·1

;;1

52+(4O-xl+15=105

b+q=24 c+ r = 48

52 + (40 -xl = 90

e + p = 18

92-x=90 x= 2

Problema

1: m.a .m. 2a + 2b + 2c + 2p ... 2q + 2r = 168

I

Apta.

2(3 .. b .. e .. p ... q .. r) :: 168

@

a+b+c+p+q+r::

De 1BOalumnos de una Academia Pre-Universitana que gustan de Ioscursos "Razonamiento Matemático", "Algebl'a", o -Aritmébca" se supo Que:

841

Pero:

.

a+b+c+p+q+r+x::180

L. 84+x=180

Al

34 gustan de "Razonamiento Matemático" pero no de "Algebra"

e)

28 gustan do "Razonamiento Matemático" pero no de "Aritmética"

Problema

16 gustan de "Algebra" pero no de "Ra-

En un avión transcontinental viajan 9 muchachos. 5 niños latinoamericanos. 9 hombres. 7 muchachos extranjeros. 14 latinoamericanos. S latinoamericanos hombres. 7 mujeres extranjeras. Determinar el número de personas que viajan en el avión.

e)

zonamiento Matemático"

O)

24 gustan do MAJgobra" pero no de "Arit-

E)

4B gustan de "Aritmética pero no de "Razonamiento Matemático·

FJ

18 gustan de "Aritmétk;a" pero no de "Algebra"

mética"

¿A t:uállllr.i jÚ\'vllw ~ ym>lClI1 IIA> 3 cur~

mencionados?

(Les gusta los 3 cursosl

®

Resolución: Realizando un ól8grama con los datos. se tiene:

Resolución: Llevando nuestros datos. tenemos:

El número de personas que \Jiajan en el avión:

I 3 .. 6 + 3 + 5 + 2 + 7 .. 7.:= 33' Del diagrama:

Problema a+p=34 a+q=28 b+r=16

Rpta.

~

De un grl4X> de postulantes a Universidades, se sabe que:

Además sabemos que:

A)

El 46% pos.ulan a la "UNI"

Bl

El 4~.k postulan a "San Marcos"

C)

El 58% pos.ulan a ·Ca.ólica"

O)

El B% postulan a las tres universidades

E)

El 5% no postulan a ninguna de estas 3

a+b+ c +p+q + r+ 80/0)( = 95% x [(a + b + e) + (p + q

.,)J = 87% x

.. ,(O)

Ahora , reemplazamos (~) y (O) en (a):

universidades

(1290 - 8% x) + 87% x = 122%x Si 1 290estudiantespostularon apor lo menos a 2 universidades, diga ¿Cuántos¡x>stutanles hubieron en total?

1290 = 43%x 1290 =

Resolución:

.~x

Ix=3oool

ReaiZando un áagama con los dalos, se tiene:

Rpta,

(# de postulantes en total)

UNI(46%x)

San Marcos (42'1'. x)

Problema

@

En una fiesta donde hablan 120 personas. 30

Sea: # de postulantes: x

100% )( de este

1~(,. el 5% no postulan a ninguna de estas 3

universidades. esto quiere decir que los que

eran hombres que no les gustaba la música "criolla-, 50 eran mujeres que gustaban de esta música . Si el número de hombres que gustaban de la música "criolla" es la tercera p arte de las mujeres que no gustan de esta música. ¿A cuántos le gus1a la mústca -criolla"?

Resolución: Realzando un ciagrama coo los datos, se tiene:

poStulan so.... el 95% x.

M

H

Del diagrama:

a + b+ p+ 8% x::::; 46% x a + e + q + SOlo x =

4~k

x

b +c +r + 8% )( =58%x E M.A.M: (a + b+ e) + (a + b + e) + (p + q + r) + 24% x= 146% x (a + b+ e) +[(a+b + el +(p+ q .r)J = '22% x ... (a) Sabemos que: 1290 estudiantes postularo n a por lo menos a 2 universidades. Del enuncia-

do, obtenemos:

Como el nú mero total de personas es 120, tenemos: X

30+)(+ '3 +50 = 120 4 '3)( :: 40

,', 1.=30 1 Por lo Tanto gustan de la música criolla:

(a+b+c) = 1290-8% x

., , (~)

Ii

+ 50 "" 60 personas

l

@

Problema

( i - i)+ i+( ~~

LuegO:

Al realizarse una encuesta entre los alumnos del QUinto año de un colegio, se sabe que:

2x + !+~+35= x 12

6 6 ---..-... x

'200 los alumnos postulan a la KUNI'"

S)

12 de

11

7

los alumnos postulan a

12x + 35 =x

"San

11 x-t-420 :;:. 12x

Marcos"

e)

1

6" de

.". I x ~ 420 I

los alumnos postuan a las dos

(' total de a1urrnos

universidades

O)

5x

2"+""12+ 35 = x

1

A)

- i )+35 = X

35 alumnos aún no deciden dondE! donde postular.

¿Cuántos alumnos hay en el Quinto año de dicho colegio?

Problema

@

Rpla.

de Quinto año)

Hallar: b +e - a, sabiendo Que los conjuntos: A, B Y son conjunto iguales

e

A ~ (a+2;3-a)

Resolución:

B ~ (a-l ; 6·

San Marcos ...--~----~

A) 2

(;; -t) U

e)4

D) 5

cum~irse

Sea: "x" = # de alumnos del quinto año de dicho colegio:

A ~ (W;~} S~(~;~

f 7x

W

i)

8+2=6-a ~

2a=4

~

1 a=2 1

ii)

3-a=a-1

~

4 =2a

~

I a=21

De los conjuntos 6 y C, obtenemos:

A las dos universidades: ~

B = (ª-:J; 6- al Entonces: Sólo poslulan a la UN1:

E)6

Para que dtchos conjuntos sean iguales; debe que:

CA un no deciden postular)

Postulan a SeUl Marcos:

B) 3

Resolución:

35

Poslulan a la UN!:

a)

e = (1 : b + e)

7x

1'2'"

x

e = I!; b + el

x

"2 - "6 7x

Sólo postulan a la San Marcos: 12 -

i)

a-1=1

ii)

6-a=b+c

x

6'

4 = b+c

luego:

Problema

b+c - a = 4 - 2 = 2

Rpta A

Problema@ Se- hizo ona encoe-sta a 832 personas sobre pre1erencias respecto a 2 revistas A y B, observándose que: ab teen la revista A aOb leen la revista B ba

leen la

r~ista

0

Se reunen en un club, 80 socios de los coales 25 juegan a'''cachito'', 45 juegan al"dominó~ y 20 juegan sólo "ajedrez", Entonces los que juegan "cachito" y "dominó" son: A)5

B) 10

O) 20

E) Falta más información

C) 15

Resolución:

AyB

Sí todos leen por 10 menos una de las 2 revistas. Hallar; '"a + b"

C) 12

B)13

Alll

0)15

Ell7

Resolución:

Del diagrama: A(ab)

m + n + a+b+20+x=BO

B aOb)

I m+n+a+b+x=60 I

...(ll

Ademas :

i) Aldecirque todos leenporlo menos unade/as 2 revistas quiere decir que mínimo leen 1 fe\lista, aunque también algunos leen 2 reMs-

n + b + x == 45

ii)

LM.A,M..m ... n + a ... b + x .+ )(:; 70

taso

6O+x= 70 De' gráfico; obtenemos:

• ab:P9

+iii. +.3m;; ¡;¡; t

RptaB

832

Por descomposición polinomica. se tiene:

(lOa + b) + (l00a + b) • (I Ob +. , ; 832

prQblema @

Si: A = {1 , 2, {4, 3}, a}, determinar cuántas expresiones son correctaS: 1.

s portanteo; a

{{4,

311 a: A

111. {4.3) C A

5

11. {{l ,2]} E A IV. ({l, Sil e A

V. "EA

=B Y b =5

A) 1

luego: Rpla. B

B) 2

Resolución:

C) 3

0)4

E)Q

Analizamos cada uno de las expresiones da-

das, veamos: 1.

{{4, 3)) si es subconjunto de A la pertenencia e se usa enlfe un elemento y un ronjunto

11. 111.

{4. 3} es un elemento de A Y no un subconjunto

IV.

({l. an es un subconjunto de elemento de A

V.

" no está como elemento de A

Ay no un

a+ 3 =5

ii}

a+3+c+5=11 2+8+c=11

¡ji)

b + 3 + 1 + e = 16

iv)

I

.....

I-dl

->

1c= I 1

.....

1b';'4 1

.....

1':=7:1

b + 3 + e + a ;:;; 16

x+a+3+b= 16 x + 2 + 3 + 4 :=. 16

1 ~ de las expresiones es correcta

.,

i)

luego, las personas que s610 visitaron Francia 500:7

Rpta. C

Rpta. E

probfema @ De 3Opersonasqueviajanrumbo a Europa. 16 dijeron que visilarian Francia. 16 Inglaterra y 11 Suiza, 5 de los escuestados viajarán a Francia y Suiza. y tres de ellos visitarán también Inglaterra. 5 sólo van a Suiza y a sólo a Inglaterra. ¿Cuántos visitarán sólo Francia? A) 3

8)5

C)7

0)9

PROBLEMAS CON REGIONES SOMBREADAS Problema

Sean k:ls conjuntos:

A = (0, 1, 2,3,4, S, 6, 7) B= [O. 2, 4, 6. S. tO)

E).

Resolucl6n:

CD

Hallac"A · B" y "S· A"

ToIalde personas queviajan rumbo a Europa = 30 Por diagrama de Venn. obtenemos:

Resolución: Aplicando la definición; cak::ulamos:

-

A · B =@ I,@3,@S,@7) . ~~

«J.@'@@ S, 10J .'.

8.aa(11)

• 5 de los encuestados viajarán a Francia y Suiza. y tres de ellos visitaran también Inglale rra. esto nos da a entender que 3 visitarán Francia. Suiza e Inglaterra. lo cual el 3 lo colocamos en el centro del diagrama. Del enunciado, obtenemos:

1

A·B = (1 , 3,S, 7J1

Gráficamente tenemos:

u

Apltcando la delinición. calculamos:

B - A = 1(Q¡~@(&M

Problema G)

)-

Dados los conjuntos:

l@ 1,~ 3,@lS,(7)

A:12,4, 6,a,10)

B=la, b,e, d, e, fl

-- 1 B-A=18,10) 1 Hallar: Gráficamente tenemos:

Resolución:

Gráficamente tenemos: B

:. O"e (8)

u

6

10

d. f

U

problema @

IA- B =12, 4, 6, 8,10) 1

Dados los conjuntos: A = la, b, e, d, e, 1, g, h}

¿ Recuerda ladefinidón dI; COfluntos disjuntos?

B = [e, e, 1, g}

prOblema @

Hallar: -A· BOl Y -8 - A-

Achurar en el diagrama de Venn·Euler cada una de las siguientes operac;ones:

ResolucIón;

lli)B

Gráficamente calculamos "A . B" ~-;:-........

A

1:fu u Gráficameme calculamos "B . A"

e

al

A vBu

b)

A-lB v C)

el

[A ,-; C) v (B ,-; CJ

Resolución:

B-A =(l pues no hay ele·

mentos de"B"que no esten en · A-

[B- A)

u

A v B vC

rAJB Uu rAJB Uu

Región sombreada = (a, b. e, d]

(A u B) 11 e = (a, b, el, e, 1, g),; (e, d. e, g) •

= (a, b. I) v {e} .. leA v B) A C = (a. b, e, (fa/so), no se parece a

a : b

.

lO

B

_d

e

e

¿Cuál de la siguientes relaciones expresa mejor la siguiente región achurada?

rAJB Uu

IRegión sombreada = (a, b, e, d)l

= (a, b, d, g) v (e , d, e, g) ..

[ (A'; Bl vC = (a, b. e, d, e, g) 1

(Falso), no se parece a la expresi6n "a ~

~ , a

.

Para su mejor enlendimiento acada una de las regiones le designamos una \elra minúscula o

un número: y el'fl)ezamos a reemplazar en cada una de las relaciones dadas. veamos:

q@ b

b

,

d

g

•

u

I Región sombreada = {a. b. e, el} [

.

.

A

N

...(n)

= (A - Nl v (N - A)

.. -d

= {a} v lb. e. d}

e

e

e

:

A"NvC)=~~tm,,~~el,~t~ , ' . .

B

g

B

.

C)

N.A.

:

... (n)

= (( a. g) v lb, dll v {c. d • •. g}

(Av B)" C (A IIB)ve AII(B v C) (A 11 B) - (A n B n C)

•

u

(A "B) v C = I(A - B) v lB - A)] v C

Resolucl6n:

A)

9

1)1

la expresión "a

q@

B)

Problema G)

O) E)

e

= (M - C) v (C- M)

(AnB)v(B n C)

Bl e)

¡

M

A-(B v C)

A)

... (ex)

u

AA (B vC) = (a, b. e. d)

BI

·'. I A A (8 v CI = Aeg;ón sombreada I

(e - SI v (e - Al = (b. e) u [b, e}

4

{b. e, e} I diferente al área achurada

NOTA :Como ya hemos encontrado la relación correcta,siendo esta la "'c", ya

110

C)

es necesario conti-

=[a. g} ,, [a, f) v (b. c, d. e}

nuar con las relacWnes D y E. Rpta.

=[a) u (b.e,d,e)

e

1(a. b. e, d , e)ldHeren,e a' area achurada

Problema @ O) ¿Cuál de las siguientes relaciones expresa mejor la siguiente región, achurada?

Al

DI

(A-8) vIC - (AuB)) (e - 8) v (e - A) (A- C),,(B - C) vC «A" BI - C) v (C - (A vB))

E)

N;nguna

B)

C)

[(A - C}) N.B - C)} u C

(lA " Bl - C) v (e , (Av 8)}

= (la, di - (b. c, d , e)) v {(b,c, d, e ) - (a:

Ejemplo2:

Razón

(Cuando la razónesconstan-

te, la serie, recibe el nombre de Progresión Geométrica)

Ejemplo3:

~~\,,;'.A,;..64 x-t

~

.1

,.;16

-... "'-""'-" )(4

)( 4

_

Q

Razón

Q

Razón

Hay

Observación 1: claseB anteriores.

ca.sos

en que

se

plantean ejercicios combinando las dos

....

1 . 3 . 12 . 60 . 360 ~~~~

Ejemplo:

'W~~,6 L;> -1-1

-1-1

c;>

+1

Razón Geométrica Razón Aritmética

Observación 2: Se pueden plantear series literales en [unción del ol{abetocastellano. Ejemplo t: Que lelra sigue en: A ; E ; I

;M •...

Resolución: Para resolver esta dase de ejercicios también se busca una razón de distancia. entre letra y letra. siempre encontrará Ud. una relación de simetría. así como nuestro caso observece y convenzase.

. .

® : .B : e: D. : © : .F : G, : H.: