Razonamiento Inductivo

WALTER MONROY P.

JOHN MAMANI M. D. EN ARREGLOS SOMBREADOS

Para arreglos de esta forma

Caso General O N N H H H S S S S

CAPÍTULO V RAZONAMIENTO INDUCTIVO Es un razonamiento que consiate en obtener conclusiones generales a partir de premisas que contienen datos particulares. Por ejemplo, de la observación repetida de objetos o acontecimientos de la misma índole se establece una conclusión para todos los objetos o eventos de dicha naturaleza. Es decir

Casos particulares N 1 = 97 × 92

J O N H S

O N N H H H S S S S

5 niveles

El número de maneras de leer la palabra JOHNS se determina mediante la siguiente expresión:

N 2 = 997 × 992 N 3 = 9997 × 9992

1 2 3

Casos particulares

B. EN ARREGLOS GRÁFICOS

3

18 19 20

n −1

n: número de niveles de letras En el ejemplo, el número de maneras de leer

Caso General

JOHNS será 3

CASO 1

5 −1

4

= 3 = 81

Para arreglos de esta forma INDUCCIÓN

CASO GENERAL

Si en cada caso se requiere saber el resultado, el número de cerecillos, el número de palabras y el número de esferas sombreados, lo podemos obtener relacionando los resultados de los casos particulares con la cantidad de cifras, el número de filas, número de letras…

CASO 1

1

99 100

2

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4

1 2

CASO 1

Casos particulares Casos particulares

Observación

Para obtener una conclusión general (fórmula) correcta es importante que los casos particulares cumplan las siguientes condiciones. Deben ser casos que partan de lo simple a lo complejo. Sus estructuras deben ser similares, pero a menor escala, a la que presenta el arreglo o la expresión original. Se deben analizar como mínimo 3 casos particulares. En este tema podemos observar tres tipos de problemas.

1

1

2

50 cifras

Academia SERUNA

3

2

I O

A Y

O C

I O

O

Casos particulares A

D D

A A

Y

Y

A Y

Y

I

O

O

Y I

I

JOHNS será 2

50 cifras

77

n

78

5 −1

5

JOHNS será 2 − 1 = 31 ¡Tenga en cuenta que…! Además en este tema, los números triangulares son muy usados.

n −1

n: número de niveles de letras En el ejemplo, el número de maneras de leer

A Y

I

5 niveles

I

2 D

A

C I

El número de maneras de leer la palabra ROCIO se determina mediante la siguiente expresión:

I I I I R R R R R O O O O O O

El número de maneras de leer la palabra JOHNS se determina mediante la siguiente expresión:

n: número de niveles de letras En el ejemplo, el número de maneras de leer

C

Y

5 niveles

R O

D Y

J O J N O J H N O J

2 −1

Caso General A

J O N H S

Para arreglos de la siguiente forma

C. EN ARREGLOS LITERALES

A. EN ARREGLOS NUMÉRICOS Caso General N = 999......97 × 999......92

1

J

J J O J O N O N H

4

= 2 = 16

1

1 2

1 2 3

1 2 3 4

1

3

6

10

1× 2 2

2× 3 2

3× 4 2

5×6 2

Academia SERUNA

WALTER MONROY P.

JOHN MAMANI M. a) 4924 d) 4936

ARREGLOS NUMÉRICOS

b) 4862 e) 4816

2 −1

E = (999....995) 2 a) 901 d) 907

b) 307 e) 607

4 sumandos ; R = 1 + 2 + 4 + 8

=

Resultado Suma de cifras 9025 → 1 ×9 +7

9952

=

990025

=

999952

99900025

→ →

= 9999000025 →

2 ×9 +7 4 ×9 +7

M= a) 2 d) 1

PROBLEMA 02 R = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ......

a) 2

40

−1

b) 2

d) 2

39

−1

e) 2

+1

39

+1

Resolución Analizando por partes, tenemos:

c) 2

40

b) 900 e) 320

c) 1089

b) 900 e) 1080

c) 180

Siempre sale el último número Entonces

b) 360 e) 540

c) 630

2

101cifras

2 1 −1

2 sumandos ; R = 1 + 2 2 2 −1 Academia SERUNA

a) 606 d) 500

PROBLEMA 03

Si:

a5 × a6 × a7 × a8 + 1 = 2161

b) 600 e) 909

c) 630

05. Calcular la suma de cifras del resultado de:

E = (33......34)2

Calcular: R = a + aa + aaa + ..... " a " sumandos

2

31cifras

a) 925 d) 62

b) 279 e) 155

c) 277

08. Hallar la suma de cifras del resultado:

A = (333......33)2 + (999......99)2

A = 36 × (111...111 )

1 sumando ; R = 1

c) 229

07. Hallar la suma de las cifras de:

04. Calcular la suma de las cifras de A

M = 3 9999 × 10000 × 10001 + 10000 M = 10000

b) 228 e) 265

A = (999...995)

50 cifras

a) 900 d) 450

c) 129

30 cifras

03. Calcula la suma de las cifras del resultado de: A = (999...999) × 12

M2 = 3 3 × 4 × 5 + 4 = 4

b) 128 e) 125

06. Hallar la suma de cifras del resultado:

a) 277 d) 130

2

100 cifras

a) 1800 d) 720

a) 127 d) 130

E = (999....994)2

E = (999......99)

M2 = 3 2 × 3 × 4 + 3 = 3

Calcular:

2

02. Hallar la suma de cifras de:

Resolución M1 = 3 1 × 2 × 3 + 2 = 2

40 sumandos 40

+1

100 cifras

a) 9000 d) 300

Analicemos los tres casos particulares

100 cifras

Entonces: R = 4 + 44 + 444 + 4444 R = 4936

121 = 11

01. La suma de cifras de: E = (333...333)

9999 × 10000 × 10001 + 10000 b) 10000 c) 9999 e) 10001

→ 100 × 9 + 7 = 907

a5 × a8 + 1 = 2161

¡Comprueba lo que sabes!

Halle el valor de M. 3

+1

Luego para el caso pedido

Por tanteo a = 4

PROBLEMA 04

3 ×9 +7

Cantidad de cifras "9" (999...995)2 =

2×5

2 40 −1

361 = 19

a5 × a8 = 2160 45 × 48 = 2160

25 = 5

+1

2 × 3× 4 × 5 + 1 =

40 sumandos ; R = 1 + 2 + 4 + 8 + .......

95 2

9995

1× 4

c) 405

Analicemos por Inducción.

2

1 × 2× 3× 4 + 1 =

2 4 −1

Resolución

3×6

Analizamos los casos particulares con el producto de cuatro números consecutivos.

2 3 −1

101 cifras

3 × 4× 5× 6 + 1 =

Resolución

3 sumandos ; R = 1 + 2 + 4

PROBLEMA 01

Calcule el valor de E y de cómo respuesta la suma de las cifras del resultado.

c) 4546

21 cifras

a) 199 d) 201

b) 189 e) 203

21 cifras

c) 198

09. Hallar la suma de las cifras del resultado de: E = (999...999) × (777...777) a) 450 d) 700

50 cifras

50 cifras

b) 630 e) 2500

c) 350

21 cifras

79

80

Academia SERUNA

WALTER MONROY P. 10. Halle la suma de cifras del resultado de: A = 888.....888 × 999.....999 100 cifras

a) 800 d) 700

20 cifras

c) 178

101 cifras

N = 999......94 × 999......96

307 a) 308 301 d) 302

101 cifras

298 b) 299 300 e) 301

305 c) 306

13. Calcule la suma de cifras del siguiente producto: 222.....222 × 999.....998 51 cifras

a) 567 d) 163

51 cifras

b) 546 e) 357

c) 239

(n − 3) cifras

c) 9n + 20

a) 100 d) 90

c) 13/12

a) 300 d) 900

20 sumandos

c) 20/25

2

2

2

2

2

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − ⋯ + 21 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ + 21 a) 1 b) 21 c) 3 d) 1/21 e) 4

2

a) 1 d) 90

1 × 3 + 3 × 5 + 5 × 7 + ⋯ + 59 × 61 + 30 2

2

2

2

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 30 b) 2 c) 30 e) 40

2

c) 13/12

9 + 45 + 105 + ...... + 3n 3 + 12 + 27 + ...... " n " sumandos

b) 4 e) 25

Academia SERUNA

a) 100 d) 300

b) 200 e) 400

c) 450

100 × 101 × 102 × 103 + 1 b) 10030 c) 13001 e) 10301

b) 362 e) 456

c) 452

29. Halle el valor de N(152) si N(1) = (1 × 2) + 3 N(2) = (2 + 3) × 4 N(3) = (3 × 4) + 5 N(4) = (4 + 5) × 6 Dé como respuesta la suma de sus cifras. a) 24 b) 25 c) 26 d) 18 e) 29 30. Dada la siguiente sucesión R(1) = 1 × 2 + 3 R(2) = 2 + 4 + 1 R(3) = 3 × 4 + 3 R(4) = 4 + 16 + 1 R(5) = 5 × 6 + 3 R(6) = 6 + 36 + 1 Hallar el valor de: R(14) + R(17) a) 520 b) 400 c) 540 d) 420 e) 440

94 × 96 × 98 × 100 + 16 b) 9440 c) 9040 e) 9004

27. Sabiendo que: A(1) = 1 × 100 + 50 A(2) = 2 × 99 + 49 A(3) = 3 × 98 + 48 Calcular: A(20) a) 1551 b) 1651 c) 2236 d) 1546 e) 1561 28. Si se cumple que: M(1) = 2 + 1 − 1 M(2) = 4 − 4 ÷ 3 M(3) = 6 × 9 − 5 M(4) = 8 + 16 ÷ 7 Halle: M(19)

444....444 − 888....888 100 cifras

E= a) 10310 d) 10410

S=

24 cifras

" n " sumandos

100 cifras

M = 1 + 40 × 41 × 42 × 43 + 1 Dé como respuesta la suma de sus cifras a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

a) 9404 d) 9044

24 cifras

b) 13 e) 13/24

b) 100 e) 200

a) 348 d) 286

26. Halle el valor de:

13 1313 131313 1313...13 E= + + + ... + 12 1212 121212 1212..13

a) 12 d) 1/2

c) 180

25. Hallar:

19. Calcule el valor de la siguiente expresión A=

b) 99 e) 200

24. Calcule el valor de

18. Calcule el valor de la expresión

P=

10 cifras

200 cifras

2 + 5 + 8 + 11 + 14...... 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + ...... b) 62/65 e) 61/65

20 cifras

M = 111....111 − 222....222

20 sumandos

a) 18/11 d) 80/81

1000....000 − 1999....999

23. Hallar la suma de las cifras del resultado de:

17. Calcule el resultado en la expresión

21. Hallar la suma de las cifras del resultado de:

2

a) 1 d) 16

b) 13 e) 13/14

(n − 3) cifras

b) 9n + 27 e) 9n − 23

15. Hallar " K ", si:

K=

A=

20. Calcular “E”

14. Calcula el valor de "N" y dar como respuesta la suma de sus cifras en: E = 999.....992 × 999.....992 a) 9n + 18 d) 9n − 20

a) 12/13 d) 14/11

M=

12. Hallar a ÷ b si "a" es la suma de cifras de M y "b" es la suma de cifras de N. M = 999......93 × 999......97

101 cifras

1 + 9 + 25 + ...... 4 + 16 + 36 + ...... 20 sumandos

b) 174 e) 176

101 cifras

M=

c) 1000

11. Hallar la suma de cifras del resultado: N = 999......97 × 999......93 a) 179 d) 271

22. Calcula la suma de cifras del resultado de la siguiente operación.

20 sumandos

100 cifras

b) 900 e) 1200

20 cifras

16. Calcule el valor de la expresión

JOHN MAMANI M.

50 cifras

c) 600

c) 9

81

82

Academia SERUNA

WALTER MONROY P.

05. ¿Cuántos palitos de fósforos son necesarios para formar la figura 20?

ARREGLOS GRÁFICOS SUCESIVOS

iii

PROBLEMA 01

¿Cuántos puntos de contacto habrá en la figura 20?

9 puntos de contacto = 3 × 3 = 3(1+2) 2 ×3 2

Fig. 2

18 puntos de contacto = 3 × 6 = 3(1+2+3) 3 ×4 2

Fig. 3 Fig.1

Fig.2

a) 260 d) 644

JOHN MAMANI M.

Fig.3

b) 307 e) 630

Fig.20

Fig. 1 a) 440 d) 380

Fig. 2 b) 450 e) 500

iii 20 × 21 2

3 puntos de contacto = 3 × 1 = 3(1) 1 ×2 2

Fig. 1

Fig. 1 a) 210 d) 240

Fig. 20

Fig. 2 b) 220 e) 250

iii Fig. 1 a) 100 d) 600

Fig. 2 b) 200 e) 800

Fig. 3

iii Fig. 1

c) 400

a) 59 d) 63

02. Se sigue la secuencia, ¿Cuántos cuadrados se contarán en la figura 100?

Fig. 1

Fig. 2 b) 60 e) 64

Fig. 1

iii

iii

Fig. 1 a) 200 d) 404

Fig. 2 b) 400 e) 800

Academia SERUNA

Fig. 3 c) 440

Fig. 1

a) 299 d) 399

b) 300 e) 400

Fig. 2 b) 440 e) 500

b) 55 e) 100

Fig. 3 c) 27

12. Calcule el número total de bolas que se ubican en la figura 10.

iii

c) 61

a) 420 d) 480 Fig. 2

Fig. 3

a) 50 d) 42

Fig. 2

c) 24

08. ¿Cuántos puntos de cortes tenemos en la figura 20?

Fig. 3

04. Siguiendo la secuencia mostrada, determine cuántos segmentos tendrá la figura 100.

Fig. 1

Fig. 2 b) 22 e) 26

11. Determine el número total de esferas oscuras que habrá en la figura 10.

c) 230

iii

a) 21 d) 25

Fig. 3 c) 135

iii

07. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura 20?

03. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 30?

Fig. 2 b) 134 e) 136

Fig. 3

¡Comprueba lo que sabes! 01. ¿Cuántos puntos de corte tendrá la figura 100?

c) 8008

10. Halle el número de esferas que hay en la figura 15.

Fig. 1 a) 133 d) 132

c) 635

Resolución

b) 4004 e) 1608

iii

Fig. 3 c) 400

06. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 20?

3(1+2+3+.....+20) = 630

a) 2002 d) 8007

Fig. 1 a) 100 d) 101

Fig. 2 b) 90 e) 120

Fig. 3 c) 99

13. Calcule el número de esferas que tiene la figura 50.

Fig. 3 c) 460

iii

09. ¿De cuántos lados constará la figura 2002?

Fig. 3 c) 397

iii F(1)

83

84

F(2)

F(3)

Fig. 1 a) 250 d) 200

Fig. 2 b) 110 e) 400

Fig. 3 c) 120 Academia SERUNA

WALTER MONROY P. 14. ¿Cuántas bolitas pintadas hay en la figura 15?

18. ¿Cuántos cuadrados sombreados se contaran en la figura 25?

iii iii Fig. 1 a) 240 d) 225

Fig. 2

Fig. 3

b) 140 e) 150

Fig. 1

c) 340

a) 625 d) 250

15. En la siguiente sucesión, determinar el número de círculos sin pintar, en la colección de círculos que ocupe el décimo lugar.

JOHN MAMANI M.

Fig. 2 b) 600 e) 750

ARREGLOS GRÁFICOS En el problema:

PROBLEMA 01

Calcular el número total de palitos de fósforos que conforman la torre.

Fig. 3 c) 500

19. Halle el número de cerillas de la figura 20.

iii Fig. 1 a) 201 d) 181

b) 131 e) 231

16. ¿Cuántos triángulos ubicación 100?

a) 842 d) 867

c) 151 se

contarán

en

la

Fig. 2

1

Fig. 3

b) 754 e) 859

2

3

28 29 30

2

1 2 a) 900 d) 907

c) 782

3

28 29 30 c) 405

b) 307 e) 899

20. Determine el número total de cerillas desde la figura 1 hasta la figura 20.

⇒ 30 − 1

∴ Nº de palitos = 899

PROBLEMA 02

Resolución

¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?

Caso 1:

1

2

3 = 2 −1

iii

iii

1

2 3

2

Caso 2: Fig. 1 a) 103 d) 275

Fig. 2

Fig. 1

Fig. 3

b) 300 e) 725

c) 301

a) 2250 d) 2050

17. ¿Cuántos triángulos hay en total en f(n)?

iii F(1)

F(2)

a) 4n d) 4n + 2

b) 4n –1 e) 3n –1

b) 2450 e) 2375

Fig. 3 8 = 3 −1

1

2

3

18 19 20 a) 400 d) 907

Caso 3:

b) 307 e) 300

c) 405

Resolución iii

F(3)

c) 4n + 1

2

c) 6160

21. ¿Cuál es la suma del número de triángulos de la figura n + 1 y el número de cuadriláteros de la figura n − 1 ?

Fig. 1 a) 4n + 1 d) n

Academia SERUNA

Fig. 2

Fig. 2 b) 4n e) 4 + n

2

15 = 4 − 1

Analizando por partes, tenemos: Caso 1

Fig. 3

1 triángulo = 12

c) 2n + 1 1

85

86

2

3

4

1 Academia SERUNA

WALTER MONROY P.

a) 10 d) 13

En el problema:

Caso 2

1

4 triángulos = 22

1

JOHN MAMANI M. b) 11 e) 14

c) 12

08. ¿Cuántos palitos conforman la siguiente torre?

2 3

2

202 = 400 triángulos

05. Halle el número de cerillos que forma la siguiente figura

18 19 20

Caso 3

1

∴ el total de triángulos es 400.

9 triángulos = 32

2 3

1

¡Comprueba lo que sabes! 01. Calcule el número total de cerillos en el siguiente gráfico.

a) 2450 d) 4500

b) 1350 e) 1325

2

a) 1010 d) 10197

c) 1225

03. Halle el número total de cerillos en el gráfico.

3

1 2 a) 6225 d) 4525

98 99 100

b) 5000 e) 20097

c) 10027

06. Halle el número de cerillos que forma la siguiente figura

1

2

3

a) 2400 d) 2560

39

b) 2460 e) 2580

40

c) 2500

2 3 4

a) 800 d) 982

b) 881 e) 884

38 39 40 41

1

c) 882

04. Halle el número total de palitos utilizados en la construcción del siguiente gráfico.

a) 5000 d) 4080

2

3

b) 5050 e) 5060

48

49

50

c) 4060

4 b) 7550 e) 3125

97 98 99 100 c) 8950

09. Halle el número total de palitos en la siguiente figura:

1 1

3

2 3

a) 250 d) 5050

4

b) 2450 e) 1275

47

48 49

50

c) 1324

10. ¿Cuántas esferitas sombreadas en total se pueden contar en la siguiente figura?

07. Hallar el número total de puntos de contacto.

02. ¿Cuántos palitos de fósforo conforman la siguiente torre?

1

1

2

3

4

Academia SERUNA

47

48 49

50

2

3

48

49

50

Dé como respuesta la suma de sus cifras.

87

1 2 3 a) 290 b) 870 d) 1305 e) 2875

88

28 29 30 c) 420

1 2 3

a) 625 d) 450

48 49 50

b) 756 e) 650

c) 240 Academia SERUNA

WALTER MONROY P. ARREGLO MATRICIALES

PROBLEMA 01

Calcule la suma de todos siguiente arreglo. 3 5 7 1  3 5 7 9   5 7 9 11  ⋮ ⋮ ⋮  ⋮  49 51 53 55  a) 30625 d) 87815

los elementos del

b) 12254 e) 13315

... 49  ... 51  ... 53   ⋮   ...  c) 32350

Resolución Analizamos tres casos particulares de matrices más pequeñas.

[1]

2  1+1  Suma : 1 = 1 × 1 = 1 × 1 = 1    2 

2 1 3 2  3+1  3 5  Suma : 12 = 3 × 4 = 3 × 2 = 3    2   

1 3 5 2 3 5 7 2  5+1   Suma : 45 = 5 × 9 = 5 × 3 = 5  2   5 7 9 

Por lo tanto para la matriz de 49 3 5 … 1 2  ⋮ ⋮ ⋮ …  Suma : = 49  49 + 1  = 30625   2   49 51 ⋮ 

2

¡Comprueba lo que sabes! 01. Hallar la suma total en el siguiente arreglo: 1 2 3 4 ⋯ 12 2 3 4 5 ⋯ 13 3 4 5 6 ⋯ 14 4 5 6 7 ⋯ 15 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 12 13 14 15 ⋯ 23 a) 1608 b) 1728 c) 1624 d) 1526 e) 1804 02. Hallar la suma de siguiente matriz 1 2 2 3  3 4  4 5  ⋮ ⋮  10 11 Academia SERUNA

a) 100 d) 2000

... 10  4 5 ... 11  5 6 ... 12   6 7 ... 13  ⋮ ⋮ ⋮   12 13 ... 19 

c) 8000

03. calcule la suma de todos los números del siguiente arreglo: 10

5 4 3 4 5 4 3 2 3 4 10

3 2 1 2 3

10

4 3 2 3 4

todos los elementos de la

3

b) 1000 e) 1500

5 4 3 4 5

4

a) 1000 d) 3781

10 b) 2000 e) 1331

JOHN MAMANI M. 04. Calcule la suma de todos los números de la siguiente distribución numérica cuadrada si consta de 400 números  1 5 9 13 ... 77   5 9 13 17 ... ⋮     9 13 17 21 ... ⋮     13 17 21 25 ... ⋮   ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮     77 ... ... ... ...  a) 32800 b) 30800 c) 30600 d) 32600 e) 30400 05. Hallar la suma de los siguiente matriz de 10 × 10 6 8 2 4  8 10 4 6 6 8 10 12   8 10 12 14  ⋮ ⋮ ⋮ ⋮  20 22 24 26  a) 1800 b) 2000 d) 2400 e) 2700

... ... ... ...

20   22  24   26  ⋮   ... 38  c) 2100

06. Calcule la suma de todos los números de la siguiente distribución cuadrada de 20 × 20  2 5 8 11 ... 59   5 8 11 14 ... ⋮     8 11 14 17 ... ⋮     11 14 17 20 ... ⋮   ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮     59 ... ... ... ...  a) 22600 b) 21600 c) 23400 d) 23800 e) 23600 07. Hallar la suma numérico: 1 + 3 3 + 5 5 + 7 7 + 9

c) 3000

elementos de la

a) 3780 d) 1650

b) 1700 e) 1500

c) 1900

08. Calcular la suma de los términos de las veinte primeras filas en el triángulo numérico siguiente. F1 F2

1 4

F3 F4

9 16 ⋰

a) 44000 d) 10000

4 9

16 ⋰

9 16

.

16 ⋱

b) 44100 e) 12100

⋱

c) 14400

09. Calcular la suma de la fila 50 Fila 1 : 1 Fila 2 : 3 + 5

Fila 3 : 7 + 9 + 11 a) 125000 b) 12500 c) 25000 d) 75000 e) 250000 10. Calcular el valor de "R", si: (n + 2) R= (n + 1) (n + 2) + n (n + 1) + ⋮

3 2

3+ 2+

1 1+

n+2 n +1 n+3 d) n+4

a)

n+3 n +1 n+3 e) n+2 b)

c)

1 2

n+5 n+3

total en el siguiente arreglo + + + +

5 7 9 11

+ + + +

7 9 11 13

+ + + +

... ... ... ...

+ + + +

19 21 23 25

⋮ 19 + 21 + 23 + 25 + ... + 37

89

90

Academia SERUNA

WALTER MONROY P.

JOHN MAMANI M.

Resolución

PROBLEMA 03

ARREGLO LITERALES En el problema:

PROBLEMA 01

¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "SEBASTIÁN"?

SEBASTIAN : 9 letras

−1

S E A T

A

A

N

N

A

a) 256 d) 444

I A

N

S T

I

A N

S T

I

a) 64 d) 256

A

S T

I

B A

S

T I

B A

S

2 8 = 256 formas

E

B

T I

N

N

A N

b) 307 e) 322

PROBLEMA 02

I

A

A N

N

¿De cuántas formas diferentes se puede leer la palabra LIBROS uniendo las letras adyacentes?

c) 435 L I

Resolución R

−1

O

S

→ 2 formas = 2

E E

O S

R O

S

b) 63 e) 31

1

O S

S

Resolución

−1

S → 4 formas = 2

E E

1 1

2

1 1

B B B

1

SEBA : 4 letras S E B

1 3

6 10

1 4

10

5

1

E

→ 8 formas =2

B A

01. Halle de cuantas maneras se puede leer la palabra RIOS, en el siguiente arreglo numérico R I I O O O S S S S a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 2

E S S T T T U U U U D D D D D I I I I I I O O O O O O O

3

A

Academia SERUNA

91

4

1

16 8

2

4

4

1

16 16

8 1

4

64 32

64

16

128 64

16

∴ Total de palabras 128

c) 72

03. ¿De cuantas maneras diferentes se puede leer la palabra “ESTUDIO”, uniendo círculos consecutivos?

1

1 1

¡Comprueba lo que sabes!

∴ Total de palabras 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31

B A

2

4 5

−1

1

3

b) 128 e) 36

02. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas diferentes se puede leer la palabra YELSIN? Y E E L L L S S S S I I I I I N N N N N N a) 4 b) 128 c) 16 d) 32 e) 64

c) 62

Resolveremos por el triángulo de pascal

SEB : 3 letras

A

B R

O

a) 64 d) 32

−1

B R

S

S → 1 formas = 2 0 SE : 2 letras

I

B

Cuando la palabra tiene:

S : 1 letra

¿Cuántas palabras RAZONAMIENTO se pueden leer en total uniendo letras adyacentes? Z N E A A I T R Z O N M E N O A A I T Z N E

92

a) 64 d) 128

b) 32 e) 49

c) 56

04. De cuantas maneras diferentes se puede leer la palabra INDUCE uniendo letras vecinas. E C U D N I N D U C E E C U D N D U C E E C U D U C E E C U C E E C E E a) 16 d) 64

b) 32 e) 63

c) 31

05. ¿De cuantas formas diferentes se puede leer la palabra RAZONAR, uniendo letras vecinas, en el siguiente arreglo? RAZONARANOZAR RAZONANOZAR RAZONOZAR RAZOZAR RAZAR RAR R a) 63 d) 128

b) 64 e) 256

c) 127

06. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas distintas se lee la palabra INDUCTIVO uniendo letras vecinas? Academia SERUNA

WALTER MONROY P.

a) 60 d) 68

b) 65 e) 120

c) 75

07. ¿De cuantas maneras distintas se puede leer la palabra ROMA en el siguiente arreglo triangular: R R O R R O M O R R O M A M O R a) 12 b) 32 c) 15 d) 18 e) 23 08. ¿De cuantas maneras se pude leer la palabra COMPLETA, de modo continuo y uniendo letras vecinas en la siguiente distribución? C O O M M M P P P P L L L L L E E E E E E T T T T T T T A A A A A A a) 124 b) 126 c) 253 d) 128 e) 254 09. ¿De cuantas maneras se puede leer, de forma continua y uniendo letras vecinas, la palabra LEONEL en el siguiente esquema? L L L E E E E O O O O O N N N N N N E E E E E E E L L L L L L a) 96 b) 95 c) 92 d) 93 e) 94

10. ¿De cuántas maneras distintas se puede leer ESTUDIOSO en el arreglo mostrado? E S S T T T U U U U D D D D D I I I I I I O O O O O O O S S S S S S S S a) 256 b) 254 c) 512 d) 128 e) 126 11. ¿De cuantas maneras se puede leer la palabra SALSA, de forma continua y uniendo letras vecinas en el siguiente esquema? S A A L L L S S S S A A A A A L L L L L L S S S S S S S A A A A A A a) 80 b) 90 c) 88 d) 76 e) 78 12. ¿De cuantas maneras se puede leer la palabra música, de forma continua y uniendo letras consecutivas en el siguiente diagrama? C I S U M U S I C A C I S U S I C A A C I S I C A A C I C A A C A a) 63 b) 62 c) 61 d) 60 e) 59

JOHN MAMANI M.

01. Halle la suma de las cifras del producto de: A = 7777777 × 999999999

a) 22 d) 30

b) 24 e) 20

c) 26

UNAP–2008

a) 82 d) 19

b) 18 e) 81

c) 80

06. ¿Cuántas bolitas tiene la posición número 20?

02. Halle la suma de cifras del resultado de: E = (3333......3333) 2 100 cifras CEPREUNA–BIO–2012

a) 900 d) 1098

b) 1000 e) 9000

c) 300

03. Calcular la suma de cifras del resultado de:

Nº 1

Nº 2

Nº 3 UNAP–EXT–2014

a) 180 d) 420

b) 280 e) 400

c) 300

07. ¿Cuántas bolitas hay en la figura 10?

2

E = (333.....333) × 6 50 cifras CEPREUNA–BIO–2014

a) 650 d) 750

b) 450 e) 350

c) 550 F1

04. Si se observa que: 2

F2

F3

F4 UNAP–SOC–2015

1 = 2 − 3×1

a) 150 d) 100

2

2 = 3 + 4×2 2

3 = 4 − 5× 3

b) 50 e) 160

c) 90

08. ¿Cuánto triángulos habrá en la figura F10 ?

2

4 = 5 + 6×4

iii

Halle el valor de: 15 CEPREUNA–BIO–2014

a) 2 d) 5

b) 3 e) 1

F1

c) 4

F2

F3

F4

UNAP–EXT–SOC–2015

05. Calcule; f(20) si: f(1) = 2 + 1 − 1 f(2) = 6 − 3 × 2 f(3) = 12 × 6 ÷ 3 f(4) = 20 ÷ 10 + 4 f(5) = 30 + 15 − 5 f(6) = 42 − 21 × 6 UNAP–SOC–2013

a) 14 d) 19

b) 15 e) 21

c) 17

09. Halle el numero de cuadradosque hay em la figura 10.

Figura 1 Figura 2

Figura 3 CEPREUNA–SOC–2014

Academia SERUNA

93

94

Academia SERUNA

WALTER MONROY P. a) 19 d) 23

b) 21 e) 17

c) 25

14. ¿Cuántas esferas hay en la f(11)?

JOHN MAMANI M. 18. Halle el total de palitos de fosforo en P(10).

10. ¿Cuántos triángulos hay en total en f(10)?

F(2)

F(3)

b) 43 e) 41

f (2)

c) 44

a) 28 d) 30

b) 20 e) 36

F(1)

F(2)

F(3)

c) 25

CEPREUNA–BIO–2015

a) 440 d) 210

15. ¿Cuántos cuadrados se obtiene en la posición número 50 de esta figura?

11. ¿Cuántos triángulos hay en total en f(20)?

b) 220 e) 110

c) 100 f(1)

19. Dado el esquema: S1 =

F(2)

#2

F(3)

#3

UNAP–ING–2007/2014

a) 77 d) 92

b) 88 e) 81

c) 64

12. ¿Cuántos cuadrados posición número 20?

se

encontraran

b) 1175 e) 1375

c) 1075

16. ¿Cuántos triángulos habrá en la figura de posición 19?

f(3) UNAP–BIO–2014

b) 1060 e) 1260

c) 1160

23. Calcule la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo triangular

S3 =

UNAP-ING-2012

a) 1475 d) 1275 en

#4

f(2)

a) 1000 d) 1200

S2 =

F(1)

c) 320

f (3) UNAP–EXT–ING–2015

CEPREUNA–ING–2015

a) 47 d) 42

b) 380 e) 400

22. ¿Cuántas bolitas se contaran en la figura f(20)? f (1)

F(1)

a) 225 d) 256

S4 =

¿Cuántas bolitas habrá en S12 ? CEPREUNA–2007

F(1)

F(2)

F(3)

Fig. 1

Fig. 2

CEPREUNA–BIO–2013

a) 96 d) 144

b) 81 e) 400

c) 399

13. Si se dispone del siguiente arreglo de esferas

a) 4095 d) 1645

Fig. 3 CEPREUNA–ING–2014

a) 190 d) 210

b) 240 e) 200

c) 120

b) 4810 e) 4050

17. ¿Cuántos puntos de intersección hay en la figura 20? Fig (2)

13 14 15 UNAP–EXT–SOC–2015

20. En la siguiente secuencia, calcular el número de circunferencias en la figura 20.

Fig (1)

1 2 3

c) 5155 a) 120 d) 160

b) 240 e) 180

c) 150

24. Calcule la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo triangular

Fig (3) CEPREUNA–BIO–2014

¿Cuántas esferas se necesitan cuando en la base del arreglo existan 30 esferas?

Fig (1)

Fig (2)

UNAP–SOC–2012

a) 425 d) 496

b) 450 e) 435

c) 465

Fig (3) UNAP–ING–2012

a) 490 d) 480

b) 840 e) 449

c) 400

a) 3

21

d) 3

20

−1

b) 2

21

e) 2

21

−1

c) 2

20

−1

21. ¿Cuántos puntos de intersección se contaran como máximo al intersectar 20 circunferencias? CEPREUNA–BIO–2014

Academia SERUNA

95

96

1

2 3

48 49 50 CEPREUNA–SOC–2015

Academia SERUNA

WALTER MONROY P. a) 1215 d) 1275

b) 1200 e) 1300

c) 1225

28. Calcule el número total de palitos que conforman la figura siguiente

JOHN MAMANI M. 31. Según el siguiente el esquema ¿de cuántas maneras se puede leer la palabra SOCIALES? S

25. Se tiene la siguiente formación de ladrillos, cuantos ladrillos se contaran en total.

O C I A L E

1 1

2

3

3

4

27 28 29 30

18 19 20 CEPREUNA–BIO–2012

a) 250 d) 210

2

b) 710 e) 211

c) 510

26. Calcular el número total de palitos usados en la construcción del castillo.

S

b) 890 e) 899

A

A L

E S

I

a) 81 d) 163

A L

E

L E

S

c) 900

29. Halle el número máximo de triángulos que hay en la figura.

a) 120 d) 128

b) 200 e) 512

E

S

S

S

c) 256

1

2

29

30

UNAP–SOC–2008/2014

a) 1395 d) 1590

b) 1585 e) 1251

c) 1495

2

3

4

47 48 49 50 CEPREUNA–ING–2014

a) 4851 d) 5253

b) 5000 e) 4735

c) 5050

3 4

c) 24

792 791 792 + 790 791 + ⋮

3

1 2 3

3+

5 6

6 7

⋯ 22 ⋯ 23

b) 8000 e) 5000

c) 9000

36. Calcula la suma de todos los siguiente matriz 3 5 7 1  5 7 9 3 5 7 9 11  9 11 13 7  ⋮ ⋮ ⋮ ⋮  99 101 103 105 

elementos de la

... ... ... ... ...

99   101  103   105  ⋮   

CEPREUNA–ING–2014

a) 247500 d) 254700

2 2+

4 5

UNAJ–2014

33. Calcule:

30. ¿Cuantos ladrillos hay en total?

27. Halle la cantidad de palitos de la figura.

35. Calcule la suma de todos los números del siguiente arreglo: 1 2 3 4 ⋯ 20 2 3 4 5 ⋯ 21

a) 6000 d) 7000 UNAP–2006

b) 16 e) 36

c) 153

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 20 21 22 23 ⋯ 39

N U U M M M E E E E R R R R R O O O O O O

1

b) 144 e) 177

32. ¿De cuantas formas se puede leer la palabra “NUMERO”?

a) 8 d) 32

Q CEPREUNA–BIO–2014

A L

E S

P

C I

CEPREUNA–SOC–2013

UNAP–2010

a) 690 d) 906

I

L E

S

O C

1 1+

b) 275400 e) 245700

c) 274500

1 2

CEPREUNA–ING–2013

1

2

3

38 39 40

100 UNAP–ING–2015

a) 14250 d) 15650

b) 13250 e) 15150

Academia SERUNA

c) 14650

794 a) 793 793 d) 794

CEPREUNA–BIO–2013

a) 4000 d) 1800

b) 1000 e) 2000

c) 1600

97

791 b) 792 792 e) 793

c)

793 792

34. Si a la siguiente figura le trazamos 50 rectas paralelas a PQ al interior del triángulo. ¿Cuántos triángulos se contaran en total?

98

Academia SERUNA