Razonamiento Estadístico - Jeffrey O. Bennett, William L. Briggs & Mario F. Triola - 1ed

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Razonamiento estadístico Jeffrey O . Bennett U n iv e r sity o f C o l o r a d o a t B o u ld e r

W i l li a m L. B rig g s U n iv e r sity o f C o l o r a d o a t D e n v e r

M a r i o F. T r i ó l a D u tc h e s s C o m m u n it y C o l le g e T R A D U C C IÓ N V íctor H ugo Ibarra M ercado Escuela d e Actuaría U niversidad Anahuac, M éxico R E V ISIÓ N T É C N IC A Roberto H ernández Ram írez Departamento d e M atem áticas Universidad d e Monterrey, N u evo León

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B e n n e tt, J e ffr e y O -, B r ig g s, W Q Iiam L ., T r ió la , M a r io F. R a z o n a m ie n to e sta d ístic o Primera e d ic ió n P E A R S O N E D U C A C IÓ N , M éxico , 2 0 1 1 IS B N : 978-607-32-0759-1

Form ato: 2 1 * 2 7 cm

R íg in as: 5 12

Statisticalreasoningforeveryday

Authorized tran slation from the E n g lish la n g u ag e e d ñ io n , entitled: /(/é ,3 r d E d ition, by Je ffie y O . Bennett, W illiam L . B r ig g s, M ario F . T r ió la , p u blish ed b y P earson E d u catio n Inc., p ublish in g a s P earson , C o p y rig h t © 2 0 0 9 . O rigin al IS B N 978-0-321 -2 8 6 7 2 -7 . A ll rights reserved.

Slalistícal reasoning jo r everyday Ufe

Tradu cción au to rizad a d e la e d ic ió n en id io m a in g lés, p o r Je ffr e y O . Bennett, W illiam L . B r ig g s, M a rio F . T rió la , p u b li­ cad a p o r P earson E d u cation Inc., p ublicad a c o m o P earson, C o p y rig h t © 2 0 1 1 . T o d o s lo s d e re c h o s reservados. E sta e d ició n en e sp a ñ o l e s la única au to rizad a.

E d ic ió n e n e s p a ñ o l Editor:

C a rlo s M ario R am íre z T o rre s c a rio sm ario jam irez @ p ea rso n .co m

E d itor d e d esarro llo : S u p erv iso r d e producción:

C la u d ia S ilv a M orales Ju a n J o s é G a rc ía G u zm án

E d ic ió n e n in g lé s E d itor in C h ie f: A ssociate E d ito r E d itorial A ssistant: S én ior M a n ag in g E d ito r S én io r Production S u p e r v iso r

D eirdre L y n ch S ara O liv e r G o rd u s C h ristin a L ep re K aren W em holm T rac y Patruno B a rb ara T . Atkinson B eth A n derson M arianne G roth C e c ilia F lem in g Edw ard C h a p p d l a n d M ary W right W ayne Parkins C aroline C e laño a n d K athleen D e C h a vez

S én io r D e sig n e r Photo R e se a rc h e r D igital A sse ts M a n a g e r S én ior M e d ia P ro d u cer Softw are D evelopm ent: M arketing M a n a g e r M arketing A ssistan ts: S én io r A uthor S up p ort/T ech n ology S p e c ia list: S én io r Fhepress S u p e r v is o r R ights a n d P erm issio n s A d v iso r M anufacturing M a n a g e r T e x t D esign : Production C oordination: C om p ositio n :

J o e Vetere C aro lin e Fell D an a W eightm an E v elyn B eató n L e slie H a i m es L iflan d e t a l., B o o k m ak ers P ro g ressiv e Inform ation T ech n o lo gies

Dlustrations: C o v e rp h o to s.

S d e n tifíc M ustrators Shutterstock

P R IM E R A E D IC IÓ N , 2 0 1 1 . D .R .© 2 0 1 1 p o r P earson E d u cació n d e M é x ic o , S .A . d e C .V . A tlacom ulco 5 0 0 - 5 o . p is o Industrial A toto, 5 3 5 1 9 N au calp an d e Ju á r e z , E sta d o d e M é x ico C ám ara N acio n al d e la Industria E ditorial M exican a. R e g . n úm . 1031. C u stom P ublish in g e s una m arca registrad a d e P earso n E d u cació n d e M é x ico , S . A . d e C .V . R eservad os todos lo s d erech o s. Ni la to talid a d ni p arte d e e s t a p u b licación pueden reproducirse, reg istrarse o tran sm itirse, por un s iste m a d e recuperación d e inform ación, e n ningun a form a ni p o r ningún m ed io , s e a electró n ico , m ecán ico , fotoq u ím ico, m agn ético o d e c tro ó p tic o , p o r foto co p ia, grab a ció n o cu alq u ier otro, sin p e rm iso p re v io p o r e sc r ito d e l editor. El préstam o, a lq u ile r o c u a lq u ie r o tra form a d e cesión d e u s o d e e ste e je m p la r requerirá tam b ién la au torización del e d ito r o d e s u s representantes. IS B N V E R S IÓ N IM P R E S A : 978-6 0 7 -3 2 -0 7 5 9 -1 IS B N V E R S IÓ N E -B O O K : 9 7 8 -6 0 7 -3 2 -0 7 6 0 -7 IS B N V E R S IÓ N E -C H A P T E R : 9 7 8 -6 0 7 -3 2 -0 7 6 1 -4 Im preso e n M é x ic o .

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E s te lib r o e s tá d e d ic a d o a t o d o s a q u e llo s q u ie n e s tr a ta n d e h a c e r d e e s te m u n d o u n lu g a r m e jo r. E s p e r a m o s q u e el e s tu d io d e la e s t a d ís t ic a te s e a d e u tilid a d e n t o d o s tu s e s f u e r z o s p o r lo g ra rlo .

T a m b ié n e s tá d e d ic a d o a q u ie n e s h a c e n n u e s tra s v id a s m á s b rilla n te s , e s p e c ia lm e n t e a Lisa, G ra n t, B ro o k e , J u lie , K a tie , G in n y , M a r c y S c o tt.

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Contenido Prefacio vil C o m p le m e n to s

xi

Al estudiante: C ó m o

ten er é x ito en s u c u rso d e e sta d ístic a

Indice de aplicaciones Capítulo I

xv 1

H a b le m o s d e e sta d ístic a 1 .1

xiii

¿ Q u é e s la e sta d ístic a ?

2

1 .2

M u e stre o

1 .3

T i p o s d e e s tu d io s e s t a d ís tic o s

1 .4

¿ D e b e ten er c o n fia n z a e n u n a in v e stig a c ió n e sta d ístic a ?

H A B LE M O S DE

11 21

s o c i o l o g í a : ¿L a s g u a rd e ría s g e n e ra n n iñ o s a g re siv o s?

H a b le m o s d e s a l u d p ú b l ic a : ¿ E s sa lu d a b le s u e stilo d e v id a?

Capítulo 2

M e d ic ió n en e sta d ístic a 2.1

T i p o s d e d a t o s y n iveles d e m e d id a M a n e jo d e e r ro re s

2 .3

U so d e p o rc e n ta je s e n e s t a d ís tic a

Capítulo 3

N ú m e r o s ín d ic e

H

a b l e m o s d e p o l ít ic a

H

ablem o s

DE

51

54

59 67

75 : ¿ Q u ié n s e b e n e fic ia c o n u n a re d u c c ió n d e im p u e sto s?

e c o n o m ía

: ¿ E stá m e jo r a n d o n u e stro n ivel d e v id a ?

T a b la s d e fre c u e n c ia

3 .2

D is tr ib u c ió n g rá fic a d e d a t o s

3 .3

G r á fic a s e n lo s m e d io s

3 .4

A lg u n a s p re c a u c io n e s c o n re sp e c to a g rá fic a s

90 99

112 125

136

¿ L a g u e r r a p u e d e d e sc rib irse c o n u n a g rá fic a ?

H A B L E M O S DE

h is t o r ia :

H

M E D IO A M BIEN TE : ¿ C ó m o p o d e m o s v isu a liz a r e l c a le n ta m ie n to

ablem o s de

g lo b a l?

D e sc r ip c ió n d e d a to s

137

140

145

4 .1

¿ Q u é e s u n p ro m e d io ?

4 .2

F o r m a s d e las d is tr ib u c io n e s

4 .3

M e d id a s d e v a ria c ió n

164

4 .4

P a ra d o ja s e sta d ístic a s

178

U S O DE LA T E C N O L O G ÍA

84

86

89

E x h ib ic ió n v isu a l d e d a to s 3 .1

U s o DE LA T E C N O L O G ÍA

Capítulo 4

48

53

2 .2

2 .4

34

146 157

187

H a b l e m o s d e la BOLSA d e v a l o r e s : ¿ Q u é e s p r o m e d io c u a n d o s e h a b la d el D o w

www.FreeLibros.org J o n e s?

188

H a b l e m o s d e e c o n o m ía : ¿Lo s ric o s s e v u elv e n m á s rico s?

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191

C o n te n id o

Capítulo 5

U n m un do n orm al

195

5 .1

¿Q u é e s n o rm a l?

5 .2

P r o p ie d a d e s d e la d is tr ib u c ió n n o rm a l

5 .3

E l te o r e m a d e l lím ite c e n tra l

U S O DE LA T E C N O L O G ÍA

196 204

215

225

H a b le m o s D E e d u c a c i ó n : ¿Q u é p o d e m o s a p ren d e r d e las te n d e n c ia s del S A T ? H A B L E M O S D E P S IC O LO G ÍA :

Capítulo 6

¿ S o m o s m á s in te lig e n te s q u e n u e stro s p ad re s?

P r o b a b ilid a d en e sta d ístic a 6 .1

F u n d a m e n to s d e p r o b a b ilid a d

6 .3

P r o b a b ilid a d c o n g r a n d e s n ú m e ro s

251

6 .4

Id eas d e rie sg o y e sp e ra n z a d e v i d a

260

C o m b in a c ió n d e p ro b a b ilid a d e s (se c c ió n c o m p le m e n ta ria )

H a b l e m o s d e leyes : ¿E l A D N e s u n a h u e lla c o n fia b le ?

C o r r e la c ió n y c a u sa lid a d

267

279 282

B ú sq u e d a d e c o rre la c ió n

286

7 .2

In te rp re ta c ió n d e c o rre la c io n e s

7 .3

R e cta s d e m e jo r a ju ste y p r o n ó stic o

7 .4

L a b ú sq u e d a d e l a c a u sa lid a d

299 307

315

324

H a b le m o s D E e d u c a c i ó n : ¿Q u é a y u d a a lo s n iñ o s a a p ren d e r a leer? H a b l e m o s d e m e d i o a m b ie n t e : ¿ Q u é c a u s a e l c a le n ta m ie n to

Capítulo 8

D e m u e str a s a p o b la c io n e s 8 .1

D is tr ib u c io n e s d e m u e stre o

8 .2

E s tim a c ió n d e m e d ia s p o b la c io n a le s

8 .3

E s tim a c ió n d e p r o p o r c io n e s p o b la c io n a le s

U so

DE LA T E C N O LO G ÍA

g lo b a l? 3 2 8

334 346 355

362 363

H a b l e m o s d e l it e r a t u r a : ¿ C u á n ta s p a la b ra s c o n o c ió S h a k e sp e a re ?

P ru e b a s d e h ip ó te s is

366

369

9 .1

F u n d a m e n to s d e las p ru e b a s d e h ip ó te sis

9 .2

P ru e b as d e h ip ó te sis p ara m e d ia s p o b la c io n a le s

9 .3

P ru e b as d e h ip ó te sis p ara p r o p o r c io n e s p o b la c io n a le s

U s o DE L A T E C N O L O G ÍA

325

333

H a b l e m o s d e h is t o r ia : ¿ D ó n d e in ic ió la e sta d ístic a ?

Capítulo 9

234

285

7 .1

U S O DE LA T E C N O L O G ÍA

229

238

H a b l e m o s d e c ie n c ia s s o c ia l e s : ¿ S o n ju s t a s las lo terías?

Capítulo T

226

233

E l p ap e l d e la p r o b a b ilid a d en e sta d ístic a : sig n ific a n c ia e s t a d ís tic a

6 .2

6 .5

v

370 380 394

402

H a b l e m o s d e s a l u d y e d u c a c ió n : ¿ S u e d u c a c ió n le a y u d a rá a v iv ir m á s tie m p o ?

403

H a b l e m o s d e a g r ic u l t u r a : ¿L o s a lim e n to s m o d ific a d o s g e n é tic a m e n te so n se g u ro s?

406

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C o n t e n id o

Capítulo 10

P ru e b a s

r, ta b la s

409

d e d o s e n tra d a s y A N O V A

1 0 .1 L a d is tr ib u c ió n t p a r a in fe re n c ia s a c e rc a d e u n a m e d ia 1 0 .2 P ru eb as d e h ip ó tesis c o n tab las d e d o s co las

417

1 0 .3 A n á lisis d e v a ria n z a (A N O V A d e u n fa c to r) U s o D E LA T E C N O L O G Í A

H A B LE M O S DE e d u c a c i ó n :

¿P u e d e d e sc u b rir u n fra u d e c u a n d o lo ve?

¿ Q u é p u e d e h a c e r u n a a lu m n a d e c u a rto grad o c o n e sta d ístic a ?

u n a p e rsp e c tiv a s o b r e e sta d ístic a

Apéndice A: ta b la s Apéndice B :

d e p u n tu a c ió n z

Créditos

443

445

446

ta b la d e n ú m e r o s a le a to rio s

Lecturas sugeridas

429

437

H A B L E M O S DE C R IM IN O L O G ÍA :

Epílogo:

410

449

450

452

Glosario 454 Respuestas Índice

R -l

1-1

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Prefacio ¿Por qué estudiar estadística? E l escritor d e cien cia ficción H. G . W ells, una vez escribió, “ E l razonamiento estadístico algún día será tan necesario para e l ciudadano eficiente co m o la cap acidad para leer y escribir” . E l fu­ turo q u e W ells im aginó está aquí. Ahora, la estadística e s una parte importante de la vida diaria, inevitablem ente si usted inicia un nuevo negocio, si decide có m o plan ear su futuro financiero, o só lo o b serv ar las noticias en la televisión. L a estadística surge en todo, d e sd e en cuestas de opinión a reportes econ óm icos y hasta la últim a investigación sobre la prevención d e cáncer. P or tanto, la com prensión d e las ideas centrales en q u e se b asa la estadística e s crucial para su éxito en e l m undo moderno.

¿Q ué clase de estadística aprenderá en este libro? L a estadística es un cam po rico d e estudio — tan rico que e s posible estudiarla durante toda una vida y aún sentir que queda mucho p o r aprender— . Sin embargo, puede entender las ideas cen ­ trales de estadística con sólo un trimestre o un semestre de estudio académ ico. Este libro está diseñado para ayudarle a aprender estas ideas centrales. L a s ideas q u e estudiará en este libro repre­ sentan la estadística q u e necesitará en su vida diaria — y que de manera razonable puede aprender en un curso d e estudio— . En particular, hemos diseñado este libro con tres propósitos específicos: 1 . Para proporcionarle la com prensión d e la estadística q u e necesitará en cu rso s universita­

rios, en particular en cien cias sociales tal co m o econom ía, p sicología, so cio lo g ía y ciencias políticas.

3 . Para ayudarle a desarrollar la cap acidad d e razonar usando inform ación estadística — una capacidad q u e e s crucial para c a si cualquier carrera en e l mundo moderno. 3 . Para proporcionarle el poder d e evaluar la gran cantidad d e informes noticiosos d e estudios es­ tadísticos que encontrará en su vida diaria, de este modo le ayudará a form ar opiniones acerca de su s conclusiones y para decidir si las conclusiones deben influir la forma de su vida.

¿Q uién debe leer este libro? Esperam os q u e este libro será útil p ara todos, p ero está diseñ ad o principalm ente para estudian­ tes q u e no planean continuar co n cu rso s avanzados d e estadística. En particular, este libro debe proporcionar una introducción adecuada a estadística para estudiantes q u e se especializan en un am plio rango d e cam p o s q u e requieren dom inio estadístico, incluyendo la m ayoría d e las humanidades y cien cias sociales. El nivel d e este texto d eb e ser adecuado para cualquiera que haya com pletado d o s años d e m atem áticas d e preparatoria.

E n foque Este libro toma un enfoque diseñado para ayudarle a entender las ideas estadísticas importan­ tes d e m anera cualitativa, u san d o técnicas cuantitativas só lo cu an d o clarifiquen e s a s ideas. A continuación se proporcionan unas cuantas d e las estrategias p ed agó gicas clav e q u e guiaron la creación d e e ste libro. INICIAR C O N EL P A N O R A M A G EN ER A L. L a m ayoría d e las personas ingresan a un cu rso de estadística teniendo p o co s conocim ientos previos del tema, d e m odo q u e e s importante man­

www.FreeLibros.org tener la vista del propósito glo b al d e la estadística mientras se aprenden la s ideas o m étodos individuales. P or tanto, iniciam os este libro co n un panoram a am plio d e la estadística en e l c a ­ pítulo 1, en e l q u e explicam os la relación entre m uestras y poblaciones, analizam os los m étodos v ii

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de m uestreo y los diferentes tipos d e estu d io s estadísticos, y m ostram os num erosos ejem plos diseñados p ara ayudarle a decidir si crear un estudio estadístico. E ste “ panoram a general” d e la estadística proporciona un sólido fundam ento para e l estudio a m ayor profundidad d e las ideas estadísticas del resto d el libro. C O N S T R U IR IDEAS P A S O A P A S O . E l objetivo d e este cu rso en estadística es ayudar a los

estudiantes a entender lo s tem as reales d e estadística. Sin em bargo, co n frecuencia e s m ás fácil iniciar mediante la investigación d e ejem plos sencillos p ara construir e l conocim iento p aso a paso q u e entonces pueda aplicarse a estudios m ás com plejos. A plicam os esta estrategia en cad a sección, construyendo en form a gradual hacia ejem p los reales y c a so s d e estudio. U S O D E C Á L C U L O S PARA A U M E N T A R L A C O M P R E N S IÓ N . E l objetivo principal d e este

libro e s ayudar a los estudiantes a com prender las ideas y los conceptos estadísticos, p ero cree­ m os firmemente q u e e ste objetivo se alcan za m ejor haciendo a l m enos algun os cálcu los. Por tanto, incluim os técnicas com putacionales siem pre q u e ellas aum enten la com prensión d e las ideas subyacentes. R ELA CIÓ N ENTRE PR O B ABILID AD

y

ESTADÍSTICA. M uchos cu rso s d e estadística incluyen

información d e probabilidad, p ero a los estudiantes e l concepto d e probabilidad co n frecuencia fes p arece desconectado del resto d e los temas. E sto e s una pena, y a q u e la probabilidad desem ­ peña un papel integral en la cien cia estadística. A nalizam os este punto a l inicio del capítulo 1, con la estructura b ásica d e estudios estadísticos, y luego los revisam os a lo largo del libro — en particular en e l capítulo 6, donde presentam os m uchas ideas d e probabilidad. Para aquellos cursos en los q u e la cobertura d e probabilidad no se resalta, e l capítulo 6 está diseñado para ser opcional. M

an ten er

el o b je t iv o

:

a p lic a c ió n

del r a z o n a m ie n t o

e s ta d ís t ic o

para

la

VID A DIARIA. Puesto q u e la estadística es un tema tan rico, puede ser difícil decidir q u é tan

profundo ir co n cualquier tem a estadístico en particular. Para tom ar tales decision es para este libro, siem pre regresam os al objetivo reflejado en e l título. E ste libro se supone q u e le ayuda con e l razonam iento estadístico necesario en la v id a diaria. S i consideram os q u e un tem a no se encontraba co n frecuencia en la vida diaria, lo dejam o s fuera. E n e l m ism o espíritu, incluim os algunos tem as — tal com o un análisis d e porcentajes en e l capítulo 2 y un estudio a profundidad de g rá fic a s en e l capítulo 3— q u e n o se tratan co n frecuencia en cu rso s d e estadística p ero son una parte importante d e la estadística encontrada en la vida diaria.

m odular Aunque hem os escrito este libro de m odo que pueda leerse com o una narración del principio al final, reconocem os q u e m uchos instructores podrían d e se ar en señar e l material en un orden diferente a l q u e hem os elegid o o cubrir só lo partes seleccionadas del texto conform e e l tiempo permita para c la se s d e diferentes duraciones o co n estudiantes a niveles diferentes. P or tanto, hemos organizado e l libro co n una estructura m odular q u e permita a los instructores crear un curso personalizado. L o s diez capítulos están organizados en general p or áre as conceptuales. A su vez, c a d a capítulo está dividido en un conjunto d e secciones autocontenidas, c a d a una dedicada a un tema o aplicación particular. E n la m ayoría d e los c a so s, usted puede cubrir las secciones o capítulos en cualquier orden o saltar seccion es que no se ajusten bien a su curso. Por favor, ob serv e la siguiente estructura específica dentro d e c a d a capítulo: O B JET IV O S D E APREN DIZAJE. C ada capítulo inicia co n una página que d a una visión general del tema, incluyendo una lista del contenido d e cad a sección p ara los objetivos d e aprendizaje. SECC IO N ES N U M E R A D A S . C ada capítulo está subdividido en un conjunto d e secciones nume­

radas (p or ejem plo, seccion es 1.1, 1 .2 ,...) . Para facilitar e l u so d e e stas seccion es en cualquier orden, c a d a sección termina co n su propio conjunto d e ejercicios esp ecíficos só lo para e s a sec­ ción. L o s ejercicios se dividen en subgrupos con en cabezados q u e deben ser autoexplicativos,

www.FreeLibros.org incluyendo “ A lfabetización estadística y pensam iento crítico” , “ C onceptos y aplicaciones” , “ Proyectos p ara internet y m ás allá” y “ E n las noticias” . L a s respuestas para c a si todos los ejer­ cicios co n número im par aparecen a l final del libro. L a s secciones num eradas tam bién incluyen las características p ed a g ó g ic a s siguientes:

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P r e fa c io

•

ix

Ejemplos y casos de estudio. Ejem p los num erados en c a d a sección están diseñ ad os para construir la com prensión y ofrecer práctica co n los tipos d e preguntas que aparecen en los ejercicios. C a so s de estudio, q u e siem pre se en focan a tem as reales, llevan m ás profundidad que los ejem plos numerados.

•

Momento de reflexión. L a s características d e “ M om ento d e reflexión” plantean preguntas conceptuales breves diseñ ad as para ayudar a los estudiantes a reflexionar sobre nuevas ideas importantes. Tam bién sirven co m o excelentes puntos d e inicio p ara discusión en clase, en algunos c a so s pueden usarse para preguntas para d a r m ayor com prensión.

EJERCICIOS D E R EPASO D E L C A P Í T U L O . L a parte principal d e c a d a capítulo termina co n un

breve conjunto d e ejercicios diseñ ad os p ara ligar m uchas d e las ideas del capítulo. E sto s ejer­ cicio s están diseñ ad os principalmente para autoestudio, co n respuestas a todas ellas en la parte final del libro. S EC C IO N ES H A B LE M O S D E U N T E M A . C ad a capítulo term ina co n d o s seccion es tituladas

“ H ablem os d e ...” que profundizan sobre tem as estadísticos importantes d e nuestro tiempo. L o s tem as d e estas secciones fueron elegid os para dem ostrar la gran variedad de cam p o s en los que la estadística desem peña un papel, incluyendo historia, estudios ambientales, agricultura y eco­ nomía. C ad a una d e e stas seccion es “ H ablem os d e ...” incluye un conjunto d e preguntas para asignación o discusión.

Acerca de esta edición H em os desarrollado esta edición d e Razonamiento estadístico con la ayuda de m uchos usuarios y revisores. A dem ás, se editó y rediseñó todo e l libro para hacerlo aún m ás am igable p ara el estudiante. Para esta edición hem os realizado los cam b ios principales siguientes: •

Puesto q u e este libro está planeado para m ostrar la relevancia d e la estadística en la vida diaria, e s crítico q u e las discusion es y ejem p los se hayan actualizado. Por tanto, hem os re­ visado o reem plazado m uchos d e los ejem plos del texto, los ejem p los num erados, y los c a so s d e estudio p ara asegurar q u e reflejen los últim os d atos o tem as d e interés. Tam bién hemos reem plazado cuatro d e las veinte seccion es "H ab lem os d e ...” y actualizado todas las dem ás.

•

H em os vuelto a trabajar tod os los conjuntos d e ejercicios, reem plazado p or com pleto 6 3% de tos ejercicios y revisado o actualizado la inform ación en la m ayoría d e los dem ás. Existen 1,412 ejercicios, divididos en las categorías siguientes: Aprendiendo a escribir en estadística y pensam iento crítico, C onceptos y aplicaciones, Proyectos para internet y m ás allá, E n las noticias, Ejercicios d e repaso, y — n uevo en esta edición— Cuestionario del capítulo.

•

En aqu ellos capítulos q u e analizam os cálcu los, la sección final num erada es segu id a p or una sección llam ada “ U so d e la tecnología” , que proporciona un breve panoram a d e có m o p u e­ den hacerse los cálcu los con paquetes populares co m o SP SS® , Excel® y ST A T D ISK ® .

•

L a tercera edición contiene m ás d e treinta figuras anotadas. L a s anotaciones resaltan infor­ mación relevante acerca d e exhibición visu al d e datos.

•

C asi hem os reescrito p o r com pleto e l capítulo 9 p ara proporcionar una introducción m ás sencilla y m ás en focada a pruebas d e hipótesis.

•

H em os agregado d o s seccion es nuevas, am b as en e l capítulo 10, q u e cubren las distribucio­ nes t y A N O V A d e un factor. C on estas adiciones, e l capítulo 10 ahora construye sobre las ideas d e pruebas d e hipótesis introducidas en e l capítulo 9.

•

H em os m ovido y revisado d o s secciones q u e aparecieron antes en e l capítulo 10. L a sección sobre P arad ojas estadísticas (antes sección 10.2) ahora aparece a l final del capítulo 4 com o sección 4 .4 ; la sección sobre R iesgo y esperanza d e v id a (antes sección 10.1) ahora aparece com o sección 6.4.

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x

P r e fa c io

R econocim iento Escribir un libro d e texto requiere del esfuerzo d e m uchas personas adem ás de los autores. E ste libro no habría sido p osib le sin la ayuda d e m ucha gente. Q uerem os agradecer en particular a nuestros editores en A ddison-W esley, G reg T o b in y Deirdre Lynch, cu y a confian za n o s per­ m itió crear e ste libro. Tam bién agrad ecem os a l resto del equip o en A ddison-W esley quienes nos ayudaron a producir este libro, incluyendo a S a ra O liv er G ordus, Christina Lepre, T racy Patruno, C eci Flem m ing, C aroline C elano, Beth Anderson, Barbara Atkinson y nuestro gerente de producción, Sally Lifland. Para ayudar a asegurar la precisión d e este texto, le d am o s las gracias a Matthew Bognar, U niversidad d e Iow a y Sheila O ’ Leary W eaver, Universidad d e Vermont. P or la revisión de este texto y proporcionar una invaluable asesoría, agrad ecem os a las siguientes personas:

Revisores de esta edición Jennifer Beineke

Western New England College Matthew Bognar

University o f Iowa Pat Buchanan

Jack R. Fraenkel

San Francisco State University Susan Janssen

University o f Minnesota-Duluth Becky Ladd

Pennsylvania State University

Arizona State University

Antonius H. N . Cillessen

Christopher Leary

University o f Connecticut Robert Dobrow

SUNY Geneseo

Carrie M. Margolin

Thomas Petee

Auburn University William S. Rayens

University o f Kentucky Pali Sen

University ofNorth Florida DonaId Hugh Smith

Oíd Dominion University Elizabeth Walters

Carleton College

The Evergreen State College

Loyola College o f Maryland

B everlyJ. Ferrueci

G a ig McCarthy

Sheila O’ Leary Weaver

Keene State College

Ohio University

University o f Vermont

Revisores de ediciones anteriores Dale Bowman

University o f Mississippi Patricia Buchanan

Penn State University Robert Buck

Western Michigan University Olga Cordero-Brana

Arizona State University Terry Dalton

University o f Denver Jim Daly

California Polytechnic State University Mickle Duggan

East Centra! University Juan Estrada

Metropolitan State University, Minneapolis-St. Paul

Golde Holtzman

Virginia Polytechnic ¡nstitule and State University

Texas A&M University

Jim Koehler

University o f South Carolina

San Diego State University Stephen Lee

University o f Idaho Kung-Jong Lui

San Diego State University Judy Marwick

Prairie State College Richard McGrath

Penn State University Abdelelah Mostafa

University o f South Florida Todd Ogden

University o f South Carolina

Frank Grosshans

University o f Pittsburgh

Silas Halperin

California Polytechnic State University

West Chester University Syracuse University

Larry Ringer

Colleen Kelly

Jack R. Fraenkel

San Francisco State University

Lawrence D. Ries

University o f Missouri-Columbia John Spurrier

Gwen Terwilliger

University o f Toledo David Wallace

Ohio University Larry Wasserman

Carnegie Mellon University Sheila Weaver

University o f Vermont Robert W olf

University o f San Francisco Fancher Wolfe

Nancy Pfenning

Metropolitan State University, Minneapolis-St. Paul

Steve Rein

University o f Mississippi

K eW u

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Complementos C O M P L E M E N T O S P A R A E L E S T U D IA N T E

R E C U R S O S D E T E C N O L O G ÍA

M A N U A L D E S O LU C IO N ES DEL ESTUDIAN TE. Este manual

M

proporciona soluciones detalladas y totalmente desarrolladas para todos los ejercicios co n número im par del texto y proble­

M y M ath L ab * y M a th X L *) e s un cu rso en línea esp e cífico del texto y fácil d e personalizar q u e integra instrucción interactiva

m as d e cuestionario d e cad a capítulo. ISB N -13: 978-0-321-

con m últiples m edios co n e l contenido del libro d e texto. Poten­

28706 -9; ISB N -10: 0-321-28706-1.

ciado co n C ou rse-C om p ass™ (am biente d e enseñanza y apren­ dizaje en línea de Pearson Education) y co n M athX L (nuestro

SITIO W EB A C O M P A Ñ A N T E . E l sitio w eb para este texto co n ­

tiene recursos adicion ales para los estudiantes, incluyendo co n ­ ju n tos d e d atos y en laces d e la web del texto. E l U R L e s www. aw-bc.com/bbt.

y

S t a t L a b ®. M yStatLab (parte d e la fam ilia d e productos

sistem a d e evaluación d e tareas y tutorial en línea), M yStatLab le d a las herramientas q u e necesita para liberar todo o parte de su cu rso en línea, s i su s estudiantes están en un laboratorio co n ­ figurado o trabajan en ca sa. M y StatL ab proporciona un conjunto d e m ateriales para el cu rso q u e son ricos y flexibles, caracteri­ zado p or ejercicio s tutoriales d e respuesta abierta para práctica

C O M P L E M E N T O S P A R A E L IN S T R U C T O R

y dom inio ilim itados. Tam bién los estudiantes pueden u sar las

E D IC IÓ N DEL IN ST R U C T O R . Esta versión del texto incluye

herramientas en línea, tal co m o anim aciones y un libro d e texto en multimedios, p ara m ejorar independientemente d e su co m ­

las respuestas para todos los ejercicios y problem as d e los cu e s­

presión y desem peño. L o s instructores pueden u sar las tareas y

tionarios. ( L a edición del estudiante só lo contiene respuestas para los problem as co n número impar).

adm inistradores d e exám enes d e M yStatLab para seleccionar y asignar tareas en línea correlacionados directamente co n e l libro

M A N U A L D E S O L U C IO N E S DEL IN ST R U C T O R . E ste manual

de texto, y también pueden crear y a sign ar su s propios ejerci­ cio s en línea e importar exám enes d e T estG en para agregar fle­

detallado contiene soluciones p ara tod os los ejercicios y cuestio­

xibilidad. E l registro d e calificacion es en línea d e M yStatLab

narios d e c a d a capítulo.

— diseñada específicam ente para matem áticas y estadística— de

TESTG EN ® .

manera autom ática d a un seguim iento de los resultados d e las tareas y exám en es d e los estudiantes y proporciona a l instructor

preguntas com putarizado desarrollado p ara cubrir todos los ob­

un control sobre có m o calcu lar la calificación final. L o s instruc­ tores tam bién pueden agregar fuera d e línea (en lápiz y papel)

je tiv o s del texto. T estG en tiene b ase s algorítm icas, q u e permiten a los instructores crear version es múltiples, pero equivalentes

calificacion es para e l registro d e calificaciones. M yStatLab tam ­

TeslG en perm ite a los instructores construir, editar, im prim ir y adm inistrar exám en es usando un banco de

de la m ism a pregunta o exam en co n un clic d e un botón. T a m ­ bién los instructores pueden m odificar las preguntas del banco de exám enes o agregar nuevas preguntas. L o s exám en es pueden im prim irse o adm inistrarse en línea. E l softw are y e l banco de exám en es están dispon ib les b aján dolos del catá lo g o en línea de Pearson Education. PREGUNTAS

PAR A

APRENDIZAJE

A C TIV O .

Form ateadas

co m o diapositivas d e Pow erPoint*, estas preguntas pueden usarse co n sistem as de respuesta en e l salón d e clases. V arias preguntas d e opción múltiple están dispon ibles para c a d a sec­ ción del libro, perm itiendo a los instructores ev alu ar co n rapi­ d e z e l dom inio del material en e l grupo. L a s diapositivas están dispon ibles para bajarse d e M y StatL ab y del centro d e recursos para e l instructor d e Pearson (w w w.aw-bc.com /irc).

bién incluye acceso a l Centro de A sesoría d e Pearson, q u e pro­ porciona a estudiantes d e asesoría vía telefónica y co n llam adas gratis, fax, em ail y sesion es interactivas en la w eb. M yStatLab está disponible para quien es adopten e l libro. Para m ás informa­ ción, visite nuestro sitio w eb en ww w.m ystatlab.com , o contacte a su representante d e ventas.

M

ath

X L® PARA ESTADÍSTICA. M athX L para E stadística es

un sistem a para tareas, tutorial y evaluación en línea q u e acom ­ paña a los libros d e texto d e estadística de Pearson Education. C on M athX L para Estadística, los instructores pueden crear, editar y a sign ar tareas en línea y exám enes u san d o ejercicios g e ­ nerados d e manera algorítm ica correlacionados co n e l nivel del objetivo p ara e l libro d e texto. Tam bién pueden crear y asign ar su s propios ejercicio s en línea e importar exám en es d e TestG en para a g re g a r flexibilidad. T o d o e l trabajo d e los estudiantes es

®. E stas diapo­

seguido en e l registro d e calificaciones en línea d e M athX L. L o s

sitivas presentan conceptos clav e y definiciones del texto. L a s diapositivas están dispon ibles para bajarse d esd e M yStatLab

estudiantes pueden presentar exám en es de capítulo en M athX L y recibir planes d e estudio personalizados co n base en su s resul­

y del centro d e recursos para e l instructor d e Pearson (www.

tados. E l plan d e estudio diagn ostica las debilidades y vincula

aw.aw-bc.com /irc).

a los estudiantes directamente a ejercicios tutoriales para los

D

ia p o s it iv a s d e c la s e s en

Po w

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Po in

t

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xii

C o m p le m e n t o s

objetivos q u e ello s necesitan estudiar y v o lv er a exam inar. L o s estudiantes también pueden tener acceso a anim aciones ad i­

para Estadística está disponible para quien es adopten el libro. Para m á s información, visite nuestro sitio web en ww w .m athxl.

cion ales directamente d e los ejercicios seleccionados. M athX L

com, o contacte a su representante d e ventas.

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Al estudiante C óm o tener éxito en su curso de estadística S i está leyendo e ste libro, q u izás esté inscrito en un cu rso d e estadística d e algún tipo. L a s claves para tener éxito en su cu rso incluyen abordar e l material dentro d e un m arco mental abierto y optim ista, poniendo mucha atención en la utilidad y em pleo q u e la estadística puede tener en su vida, y hacer un estudio eficiente y eficaz. L a s secciones siguientes ofrecen unas sugerencias esp ecíficas q u e puede utilizar cu ando estudie.

C Ó M O U S A R E S T E L IB R O •

Antes d e d a r estrategias m ás generales para estudiar, a continuación están algun as directri­ ces que le ayudarán a u sar este libro d e manera m ás eficaz.

Antes d e hacer cualquiera d e los ejercicios asign ados, lea e l material asign ad o dos veces. — E n la prim era lectura, lea rápidamente p ara obtener “ una idea” del material y los concep­ tos que se presentan. — E n la segunda, lea e l material co n m ayor profundidad y trabaje com pletam ente los e jem ­ plos co n mucho cuidado. •

Durante la segunda lectura, tome notas que le ayudarán cu ando regrese a estudiar posterior­ mente. E n particular:

—¡U tilice lo s m árgenes! L o s am p lio s m árgenes en este libro están diseñ ad os para d arle e s ­ pacio suficiente p ara hacer notas cuando estudie. — N o resalte— ¡su braye! Utilice una plum a o un lápiz para subrayar e l material q u e requiera mayor cu idado y p or tanto le ayudará a mantenerse alerta cu an d o estudie. •

Aprenderá m ejor haciendo, a sí que después d e q u e com plete la lectura asegúrese d e hacer una cantidad suficiente d e ejercicio s del final d e la sección y los ejercicios d e repaso del capítulo. E n particular, trate algun os d e los ejercicios que tengan respuesta a l final del libro, adem ás d e todos los ejercicios asign ad os p o r su instructor.

•

S i tiene a c c e so a M y StatL ab co n este libro, asegú rese d e aprovechar las ventajas d e la gran cantidad de recursos dispon ibles en este sitio web.

A D M I N I S T R E S U T IE M P O U na regla em pírica general para c la se s en la universidad e s que d eb e esperar estudiar alrededor de 2 a 3 horas p or sem ana Ju e ra d e cla se p or cad a unidad d e crédito. C on b ase en e sta regla em pírica, un estudiante q u e tom a 15 horas crédito deb e esperar destinar entre 30 y 4 5 horas a la sem ana para estudiar fuera d e clase. C om binadas con e l tiempo d e clase, este trabajo d a un total de 4 5 a 60 horas destinadas a l trabajo académ ico, no m ucho m ás del tiempo requerido en un trabajo común, y usted elige su propio horario. P or supuesto, si está trabajando mientras asiste a la escuela, necesitará adm inistrar de manera cu idado sa su tiempo. A continuación están algun as directrices d e cóm o podría dividir su tiem po d e estudio.

Si su

T ie m p o p a r a le e r

T ie m p o

T ie m p o p a r a r e v i s a r y

c u rso

e l t e x t o a s ig n a d o

p a ra ta re a s

p r e p a r a c ió n d e e x á m e n e s

T ie m p o t o t a l d e e s t u d io

es d e

(p o r sem ana)

(p o r sem ana)

( p r o m e d io p o r s e m a n a )

(p o r sem ana)

www.FreeLibros.org 3 c r é d it o s

1a 2

h o ra s

3 a 5 h o ra s

2

4 c r é d it o s

2 a 3 h o ra s

3 a 6 h o ra s

3 h o ra s

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5 c r é d it o s

2 a 4 h o ra s

4 a 7 h o ra s

4 h o ra s

10 a 15 h o r a s

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h o ra s

6 a 9 h o ra s

12

h o ra s

Si determ ina q u e usted está destinando m enos horas q u e las q u e sugieren estas directrices, quizá podría m ejorar su s calificaciones estudiando m ás. S i está destinando m á s horas d e las que sugieren estas directrices, podría ser q u e esté estudiando d e manera poco eficiente; en e se caso, debe hablar co n su instructor acerca d e cóm o estudiar d e m anera m ás eficiente.

E S T R A T E G IA S G E N E R A L E S P A R A E S T U D IA R •

N o falte a clase. E scu ch ar las c la se s y participar en las discusiones e s m ucho m ejor q u e leer los apuntes d e alguien m ás. L a participación activa le ayudara a retener lo q u e está apren­ diendo.

•

Administre cuidadosam ente su tiempo. D estinar una o d o s horas diarias e s m ás efectivo, y mucho m enos penoso, que estudiar toda la noche antes de hacer la tarea o antes de exám enes.

•

Si un concepto le d a problem as, haga una lectura adicional o resuelva m ás problem as que los que le han sido asign ad os. Y si aún tiene problem as, pida ayuda, seguram ente puede en ­ contrar am igos, com pañeros o m aestros q u e co n gu sto le ayudaran a q u e usted aprenda.

•

E l trabajo co n a m igo s puede ser m uy v alio so y le ayuda a resolver problem as difíciles. Sin em bargo, asegúrese que usted está aprendiendo con sus a m igo s y no q u e está dependiendo d e ellos.

P R E P A R A C IÓ N P A R A E X Á M E N E S •

V uelva a trabajar los ejercicios y otras tareas; intente ejercicios adicion ales para estar seguro que entendió los conceptos. Estudie su desem peño co n base en asign aciones, cuestionarios o exám enes previos del semestre.

•

•

Estudie su s apuntes d e c la se s y discusiones. Ponga atención a lo q u e su instructor espera que usted sep a para un examen. V uelva a leer las seccion es relevantes en e l libro d e texto, poniendo esp e cial atención a notas que haya hecho en los márgenes.

•

Estudie d e manera individual antes d e unirse a un grupo d e estudio co n am igos. L o s grupos de estudio son efectivos só lo si

•

cada individuo v a preparado para contribuir.

N o llegue dem asiado tarde antes d e un exam en. N o co m a m uchos alim entos una hora antes del exam en (pen sar es m ás difícil cuando la sangre está siendo d esv iad a a l sistem a d ig e s­ tivo).

•

Intente relajarse antes y durante e l e x a m e a S i ha estudiado de m anera efectiva, usted será cap az d e hacerlo bien. Perm anecer relajado le ayudara a pen sar co n claridad.

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ín d ice de aplicaciones ( C S = C a s o d e e s t u d io , E = E je m p l o , H = S e c c ió n Ha b l e m o s D E . . . , E T = E je m p l o e n e l t e x t o , P = P r o b l e m a , P R = P r o y e c t o )

A

Pr u e b a s d e d r o g a s

P

4.4, PP. 184-185

3.1, P. 9 6

Uso d e dro gas en ad o lescen tes

P

9 .3 , P. 399

3 2 , P.

Es p e c ie s e n p e l ig r o d e e x t in c ió n

PR

3 .1 , P. 9 8

S e l e c c ió n d e g é n e r o e n b e b é s

P

1.3, P. 3 2

P

6 .1 , P. 2 3 7

ET

9 .1 , P. 370

rtes y l it e r a t u r a

P r e m io s d e l a a c a d e m i a

P E

106

Id e n t i f i c a c i ó n d e a u t o r e s

P

4 3 , P. 175

S in f o n ía s d e M a h l e r y B e e t h o v e n

P

4 3 , P. 176

D u r a c ió n d e p e l íc u l a s

P

5.1, P.202

PR

5.1, P. 2 0 4

A u m e n t o g e n é t ic a m e n t e m o d if ic a d o

S e c u e l a s d e p e líc u l a s

ET

4.1, P. 146

G e n é t ic a

D ir e c t o r e s d e o r q u e s t a y l o n g e v id a d

P

7.4, P. 3 2 0

L es io n e s e n l a c a b e z a y a c c id e n t e s

C a l if ic a c io n e s d e l e g ib il id a d

ET

1 0 3 , P. 4 2 9

E

1 0 3 , P. 431

H

C a p . 8, P 3 6 6

V o c a b u l a r io d e S h a k e s p e a r e

C

ie n c ia s b io l ó g ic a s y d e l a s a l u d

A lc o h o l y ch oq ues

PR

7.4, P. 321

asbestos

PR

7 3 , P. 3 1 4

H

C a p . 9, p. 406

P

6 .5 , P. 275

a u t o m o v il ís t ic o s

P

10.3, P. 4 3 4

C h o co late sa lu d a ble

P

1.4, P. 4 2 C a p . 1, p . 57

Es t il o s d e v i d a s a l u d a b l e s

H

C a r d io p a t ía s

P

1.3, p . 32

P u lso c a r d ia c o

E

5.2, P. 2 0 9

Es t a t u r a d e h o m b r e s

p

5 2 P 214

Es t a t u r a d e m u je r e s

E

5.2, P. 2 1 0

P

5.2, P. 213

A s p ir in a y c a r d io p a t ía s

E

1.4, P. 35

LÍN EAS DE A LT O VOLTAJE

P

1.3, P. 32

R ed d e c a m a y m a l a r ia

P

6.1, P. 2 3 7

R ie s g o s d e V I H

P

4 .4 , P. 185

C a s c o s p a r a b ic ic l e t a y l e s io n e s

P

1 0 3 , P. 4 2 7

E n v e n e n a m ie n t o po r plo m o

PR

7 .3 , P. 3 1 4

M ig r a c ió n d e a v e s

E

3 3 , P. 118

D u r a c ió n d e e s t a n c ia e n h o s p it a l

P

9 .2 , P. 392

T a s a s d e n a t a l i d a d /m o r t a l i d a d . C h in a

P

6.4, P. 2 6 6

Es p e r a n z a d e v id a

E

2 .3 , P. 70

Es p e r a n z a d e v i d a y m o r t a l i d a d i n f a n t il

E

7 .1 , P. 2 9 0

ET

7 .2 , P. 3 0 8

T a s a s d e n a t a l i d a d /m o r t a l i d a d . E s t a d o s U n id o s

E

32,

P. 109

P

6.4, P. 2 6 6

T a s a s d e n a t a l i d a d /m o r t a l i d a d . M u n d i a l

P

P eso a l n acer

P

1 2 , P. 3 0 6 92 , P. 3 9 2

P eso a l n a c e r y c o m p l e m e n t o s v it a m ín ic o s

P

10.1, P. 4 1 7

G r u p o s s a n g u ín e o s

PR

62,

P r e s ió n s a n g u ín e a

P

5 3 , P. 2 2 2

E

10.1, P. 4 1 2

P r u e b a s c o n l ip it o r

P

1 0 3 , P. 4 3 4

T r a t a m ie n t o s m a g n é t ic o s

P

1.3, P. 32

Ín d i c e d e m a s a c o r p o r a l

P

1.1, P. 9

M AM OG RAFÍA

ET

4 .4 , P. 179

T em peratura co rpo ral

P

1.1, P. 10

M elan o m a

P

3 .3 , P. 122

P

6.1, P. 2 3 7

E

6 .4 , P. 2 6 2

E

92 ,

CS

C ir u g ía c a r d i a c a d e b y p a s s

P. 2 5 0

Es p e r a n z a d e v i d a y m o r t a l id a d

ET

6 .4 , P. 263

E

6 .4 , P. 2 6 4

P PR

6 .4 , P. 2 6 6

PR

6 .4 , P. 2 6 6

P

9 .3 , P. 4 0 0

6 .4 , P. 2 6 6

Es p e r a n z a d e v i d a , Es t a d o s U n id o s

vs. M u n d o

N ic o t in a y c ig a r r o s

P

10.1, P. 4 1 7

7.4, P. 3 1 7

Sa l v a d o d e a v e n a y c a r d io p a t ía s

CS

7 .2 , P. 304

P E

4 .3 , P. 167

P. 3 8 7

S ín d r o m e d e l t ú n e l c a r p ia n o

P

6.1, P. 2 3 7

M a d res g r an d es d e ed ad

T e lé f o n o s c e l u l a r e s y a c c id e n t e s

P

1 0 3 , P. 4 3 6

F u m a d o r e s p a s iv o s y a c t iv o s

N iñ o s y b o l s a s d e a i r e

CS

7.4, P. 3 1 7

PR

4 .3 , P. 177

PR

7.4, P. 3 2 0

M uertes peato n ales

P

6 .5 , P. 275

Efecto plac eb o

ET

1.3, P. 2 6

Em barazo y beber D u r a c ió n d e e m b a r a z o

P ET

5.1, P. 196 5.2, P. 2 0 7

7.4, P. 3 2 0

CO LESTER O L

E

C a f é y c á l c u l o s b il ia r e s

PR

5 3 , P. 2 1 0 7.4, P. 3 2 0

C o n f u s ió n e n e s t u d io d e d r o g a

CS

1 3 , P. 25

COTININA Y FUM AR

P

3 3 , P. 110

E

C o s t o s h o s p it a l a r io s p o r a c c id e n t e s

P

10.1, P. 4 1 6

P

5.2, P. 213

Pr u e b a s d e e m b a r a z o

P

6 .5 , P. 2 7 7

In g e s t a d e p r o t e í n a s p o r h o m b r e s

ET

8.2, P. 3 4 6

In g e s t a d e p r o t e í n a s p o r m u j e r e s

E

8.2, P. 3 4 9

Ra d ó n y c á n c e r d e p u lm ó n

E

T a s a s d e m o r t a l id a d y l ím it e s DE VELO CID AD

P

7.1, P. 2 9 6

T a s a s d e m o r t a l id a d d e b id a s A ENFERMEDADES

E

3 3 , P. 113

10.2, P. 4 2 7

1.4, P. 3 9

www.FreeLibros.org F ib r a d ie t é t ic a

PR

7.4, P. 3 2 0

M e m o r ia r e p r im id a

PR

1.3, P. 33

Pr u eba s d e en ferm ed ad es

P H

4.4, P. 184

V a c u n a c o n t r a l a p o l io d e Sa l k

CS

1.1, P. 8

H u ellas d el D N A

C a p . 6 , p .2 8 2

E

1.3, p p . 2 3 -2 7

D r o g a s e n p e líc u l a s

P

8 3 , P. 3 5 9

E

6 .1 , P. 2 3 6

xv

www.fullengineeringbook.net 17 of 495.

xvi

Tam año

ín d ic e d e a p lic a c io n e s d e l p e c h o d e m i l it a r e s

ESCOCESES

E

5.1, P. 198

E

1.2, P. 13

P

2.4, P. 80

E f e c t o s e s t a c io n a l e s d e e s q u iz o f r e n ia

P

3 .4 , P. 132

E

8 3 , P. 3 5 6

C in t u r o n e s d e s e g u r id a d y n iñ o s

P

6 .1 , P. 2 3 7

C o n s u m o d e p e t r ó l e o , Es t a d o s U n id o s

P

3.4, P. 130

Ta m a ñ o d e cr án eo s

P

10.3, P. 4 3 4

Po r c e n t a j e d e p r o p ie t a r io s d e c a s a

ET

3.4, P. 126

Fum ar y cáncer

E

1.4, P. 36

Ín d i c e d e p r e c i o s a l p r o d u c t o r

PR

2.4, P. 81

ET

7 .4 , P. 316

S e g u r id a d s o c ia l

CS

6.4, P. 2 6 4

P

7.4, P. 3 2 0

E

7.1, P. 2 8 8

Ta s a s d e fum ad o res

P

9 .3 , P. 3 9 9

E s t á n d a r d e v id a

H

C a p . 2 , p. 86

HÁBITOS DE S A L U D EN ESTADOS

P

8.3, P. 359

Pr e d i c c i o n e s e n e l m e r c a d o d e v a l o r e s

E

7 3 , P. 303

Es t u d io d e s íf il is

PR

1.3, P. 33

R e d u c c ió n d e im p u e s t o s

H

C a p . 2 , p . 84

T o q u e t e r a p é u t ic o

P

1.3, P. 3 2

Pr in c ip a l e s v e n d e d o r e s a l m e n u d e o

P

7.1, P. 2 9 7

H

C a p . 10, p . 443

D esem pleo

E

1.1, P. 4

P

3 .4 , p. 131

P

1.1, P. 10

U S O DE TA BA C O

P

7 .4 , P. 322

PR

1 .1 ,P. 11

T r a t a m ie n t o d e á l a m o s

P

E

M u e r t e s po r t u b e r c u l o s is

P

4 .3 , P. 175 4 .4 , P. 183

PR

12 , P. 16 1 2 , P. 2 0

N a c im ie n t o d e m e l l iz o s

P

3 .4 , P. 135

E

8 3 , P. 356

Es t u d io s d e m e l l i z o s

PR

1.4, P. 4 4

P

8 3 , P. 360

M e l l iz o s ,s u ec o s

P

1.3, P. 3 2

V a s e c t o m ía

P

7 .4 , P. 320

N u t r ic ió n m u n d i a l y m o r t a l id a d INFANTIL

E d u c a c ió n C o s t o d e l a u n iv e r s id a d

P

P

2.4, P. 80

ET

3.4, P. 129

G r a d o s u n iv e r s it a r io s p o r g é n e r o

P

3 3 , P. 122

E s t u d ia n t e s u n iv e r s it a r io s p o r g é n e r o

P

3 3 , P. 120

H

C a p . 9 , p . 403

7 .1 , P. 2 9 8

A d m in is t r a c ió n y e c o n o m ía A e r o l ín e a s , a t ie m p o

PR

1.1, P. 11

E d u c a c ió n y l o n g e v id a d

Ín d i c e d e c o n f i a n z a d e l c o n s u m i d o r

PR

2 .4 , P. 81

G ÉN ER O Y GRADOS EN ADMINISTRACIÓN/

Ín d i c e d e p r e c i o s a l c o n s u m i d o r

ET

2 .4 , P. 7 7

E

2 .4 , P. 7 8

BIOLOGÍA P r e s ió n p o r c a l if ic a c io n e s

ET

1 0 3 , P .4 1 8

P

8 3 , P. 360

P

2 .4 , P. 80

P

9 3 , P. 399

PR

2 .4 , P. 81

P u n t u a c io n e s d e l g r e

P

5 2 , P .2 1 3

Pu n t u a c ió n d e l C I

E

5 2 , PP. 2 0 9 -2 1 0

P

3 .4 , P. 131

P r e c io s d e d ia m a n t e s

ET

7 .1 , P. 2 8 6

P

5 2 , P .2 1 3

Í n d i c e In d u s t r i a l D o w J o n e s

E

3 .1 , P. 9 2

H

C a p . 5, p . 2 2 9

P

3 .2 , P. 111

A p r e n d iz a je p a r a l e e r

H

C a p . 7 , p . 325

H

C a p . 4 , p. 188

C a l if ic a c io n e s e n e x á m e n e s d e N e b r a s k a

E

7 .1 , P. 291

P

4.4, P. 183

PR

5.1, P. 203

E

5 3 , P. 205

T a m a ñ o d e g r a n j a s , E s t a d o s U n id o s

E

y

NJ

C a l if ic a c io n e s d e l S A T

Presupuesto fed er al

CS

8.1, P. 340 2 .2 , P. 6 4

G asto fe d er a l

P

3 .3 , P. 122

P

5 3 , P .2 1 3

P r e c io s d e g a s o l in a

ET

2 .4 , P. 75

H

C a p . 5, p . 226

E

2 .4 , P. 76

P

6.1, P. 2 3 8

G a s t o en c u id a d o d e l a s a l u d

P

2 .4 , P. 82

S e g r e g a c ió n e s c o l a r

P

3 3 , P. 123

P r e c io s d e c a s a s

P

S a l a r io s in ic ia l e s d e u n iv e r s it a r io s P

9 3 , P. 393

E

3 3 , P. 104

P

8 3 , P. 354

ET

3.4, P. 127

P

9 3 , P. 399

Ín d i c e d e p r e c io s d e c a s a s

P

3 .3 , P. 121 2 .4 , PP. 80-81

In g r e s o p o r g é n e r o

P

3 .4 , P. 130

D is t r ib u c ió n d e in g r e s o s

H

C a p . 4 , p. 191

E s p e c ia l id a d e s d e e s t u d ia n t e s T iem p o p a r a g r a d u a r s e M u jer e s e n e d u c a c ió n s u p e r io r

G RADUADOS

P

9 .2 , P. 393

In g r e s o d e l o s p a d r e s In f l a c i ó n y d e s e m p l e o

ET

3 .3 , P. 112

PR

7 .1 , P. 2 9 8

In v e r s i o n e s

E

3 .3 , P. 113

P

4 .3 , P. 177

A m e n a z a d e a s t e r o id e

CS

3.4, P. 127

BÚ SQ U ED A DE TRABAJO

P

3 .2 , P. 111

M lL L A J E DE G ASO LIN A EN AUTO M Ó VILES

P

9 3 , P. 3 9 2

D e v o l u c io n e s (P a g o s ) e n s e g u r o s d e v id a P r o d u c c ió n d e c a r n e y d e g r a n o s ,

ET

6 .3 , P. 2 5 2

C o n t a m in a c ió n d e a u t o m ó v il e s

P

10.1, P. 4 1 6

E m is io n e s d e C 0 2

E

3 3 , P. 101

M UN DIAL Sa l a r i o m í n i m o

C ie n c ia s f ís ic a s y a m b ie n t a l e s

P

7 .1 , P. 295

PR

3 3 , P. 111

P

2 .4 , P. 82

C o n t o r n o s d e e le v a c ió n

E

3 3 , P. 117

P

3 .4 , P. 132

U S O DE ENERGÍA POR ESTADO

ET

3.1, P. 91

E

7 .1 , P. 293

PR

3.1, P. 9 8

P

7 .1 , P. 2 9 7

ET

3 3 , P. 105

ET

1.1, P. 2

ET

3 3 , P. 116

PR

1.1, P. 10

E

2 3 , P. 6 0

www.FreeLibros.org U t il id a d e s d e p e l íc u l a s Ra t in g s d e N ielsen

C a l e n t a m ie n t o g l o b a l

www.fullengineeringbook.net 18 of 495.

ín d ic e d e a p lic a c io n e s H

C a p . 3 , p . 140

E n c u e s t a s p r e -e l e c t o r a l e s

ET

9 .3 , P. 394

H

C a p . 7 , P .3 2 8

E d a d e s c u a n d o a s u m e n l a p r e s id e n c ia

P

4 .3 , P. 176

P r o b a b il id a d e s d e h u r a c á n

E

6 2 , P. 243

P r e s ió n e n a d o l e s c e n t e s

P

8.3, P. 3 6 0

P l o m o e n e l a ir e

P

10.1, P. 4 1 6

Ps i c o l o g ía y r ie s g o

PR

6 .3 , P. 2 5 8 9 .2 , P. 393

xv ii

U S O DE G A S N A T U R A L

P

9 3 , P. 399

S e n t e n c ia s p o r d e s f a l c o

P

O céan o s y m ares

E

4.1, P. 148

F u m a d o r e s e n C h in a

P

10.3, P. 4 2 7

E r u p c io n e s d e l V ie jo F ie l

P

4.1, P. 154

R ie s g o e n v ia j e

E

6 .4 , P. 261

P

4 2 , P. 162

P

6 .4 , P. 265

Plan etas d e o tras estrellas

E

1.4, P. 3 .8

T V E INGRESOS

P

7 .1 , P. 2 9 7

A fl u e n c ia a v o t a r y d e s e m p le o

E

7 .3 , P. 311

CS PR

2 .2 , P. 6 7

CO N FIA B ILID AD DE RADIO

P

10.1, P. 4 1 6

C ontornos d e tem peratura

ET

3 3 , P. 117

P r e c is ió n e n p r o n ó s t ic o d e c l i m a

P

4 3 , P. 175

2 .2 , P. 6 4

E

7.1, P. 2 9 2

M ad r es q u e t r a b a ja n

P

3 .3 , P. 124

P

7.1, P. 295

Po b l a c ió n m u n d ia l

E

2 .3 , P. 6 9

P

10.1, P. 4 1 6

PR

2 .3 , P. 74

P

7.1, P. 2 9 7

ET

3 .4 , P. 129

P

7 2 , P. 3 0 6

PR

7 .3 , P. 315

3.4, P. 134

E d a d y G én ero

P PR

6 2 , P. 2 5 0

P

1.1, P. 10

E d \ d e n e l p r im e r m a t r im o n io

P

6 2 , P. 2 4 9

D is t r ib u c ió n d e e d a d e s , Es t a d o s U n id o s

E

3 2 , P. 107

P

3.4, P. 131

C l im a m u n d ia l

C ie n c ia s s o c ia l e s

In d i c a d o r e s d e p o b l a c i ó n m u n d i a l

En c u e s t a s y s o n d e o s d e o p in i ó n

A d o p c ió n d e C h in a

PR

6 2 , P. 2 5 0

Po b l a c i ó n e n l a E x p l o s ió n D e m o g r á f ic a

P

3.4, P. 132

C e n s o , Es t a d o s U n id o s

CS

2 2 , P. 61

a b u s o d e n iñ o s

E

1 3 , P. 2 8

A r m a s o cultas

P

8 3 , P. 3 6 0

C r im e n y d e s c o n o c id o s

P

1 0 3 , P. 4 2 7

N iñ o s a g r e s iv o s p o r g u a r d e r í a s

H

C a p . 1, p .4 8

A bo rto

P

1.4, P. 43

P

9.3, P. 399

P e r f o r a c ió n e n A N W R

P

C o n t r o l d e n a t a l id a d

E

1.1, P .9 1.4, P. 4 0

P r o p ie t a r io s d e a u t o m ó v il e s

P

9.2, P. 392

C a m b io d e c a r r e r a s

P

1.1, P. 10

C l o n a c ió n

E P

1.1, P .6 1.2, P. 19

C o m p r a d o r e s c o m p u ls iv o s

P

9.2, P. 3 9 2

¿U sted vo ta ?

P

Es t u d ia n t e s u n iv e r s it a r io s d e p r im e r a ñ o

P

1.1, P. 10 8.3, P. 359

D r o g a s p a r a d e p r e s ió n

CS

1 3 , p . 31

K e n t u c k y F r ie d C h ic k e n

P

2.4, P. 82

D e t e c c ió n d e f r a u d e

H

C a p . 10, p . 4 3 9

V id a e n M a r t e

E

M a n e ja r y t o m a r

P

3 3 , p . 123

Re v is t a d e lit e r a t u r a

CS

1.1, P .6 1.4, P. 3 7

P

3.4, P. 135

P

1 0 3 , P. 4 2 7

A CCID EN T ES M O RTALES POR A R M A S DE FUEGO

P

3 3 , P. 124

P r o d u c c ió n d e b a s u r a

E

8 2 , P. 3 5 0

P

8 3 , P. 354

P

6 3 , P. 265

E

1 0 3 , P. 425

P

7.4, P. 3 2 0

E m a il y p r iv a c id a d

D e c l a r a c i ó n d e c u l p a b l e y p r i s ió n C ontrol de armas

D in e r o y a m o r

E

1.4, P. 38

A le a t o r iz a c ió n d e u n a e n c u e s t a

PR

6.2, P. 2 5 0

P r e f e r e n c ia d e l e c t u r a

P

3.2, P. 110

C uentas de ahorro

P

In v e s t i g a c i ó n d e c é l u l a s m a d r e

P

1.1, P. 10 1.1, P .9

P

1.3, P. 3 2

R e d u c c i ó n d e im p u e s t o s

E

1.4, P. 4 0

P

1.4, P. 43

P r o n ó s t ic o d e c l i m a .

P

¿Q u é e s im p o r t a n t e ?

P

1.3, P. 32 8.3, P. 3 5 9

E

1 0 3 , P. 4 1 9 4.4, P. 185

H is t o r ia d e l a e s t a d í s t i c a

P H

T a s a d e h o m ic id io s , Es t a d o s U n id o s

ET

3 3 , P. 108

Ín d i c e d e D e s a r r o l l o H u m a n o

PR

2.4, P. 81

S e l e c c ió n d e ju r a d o

E

6 3 , P. 2 7 0

A n t ig ü e d a d d e a e r o n a v e s

P

5.3, P. 221

N iñ o s y l o s m e d i o s Po b l a c ió n z u r d a

PR

4 3 , P. 177 9 3 , P. 397

P E

6 .4 , P. 265

E

T a s a s d e a c c id e n t e s e n a v ia c ió n P e r d ic ió n d e Pe t e R o s e

M a t r im o n io y d iv o r c io

P

3 3 , P. 121

Ju g a d o r m á s v a l io s o e n B é is b o l

P

7 .1 , P. 2 9 6

A d u lto s ca sad o s

P

9 3 , P. 3 9 9

S a l a r io s e n b é is b o l

E

2 .4 , P. 7 8

E s t a d ís t ic a s d e c o n t r a t a c ió n

C a p . 8 .P .3 6 3

C en t r o m e d io d e l a p o b l a c ió n .

V a r io s ( in c l u y e n d o d e p o r t e s )

8.3, P. 3 5 7

R e g i s t r o d e g a n a d o s /p e r d i d o s P E

4.1, P. 156

EN BALONCESTO

P

4 .4 , P. 184

M in o r ía s y p o b r e z a

6 3 , P. 273

P r o m e d io d e b a t e o

P

4 .3 , P. 177

M u e r t e s p o r v e h íc u l o s m o t o r iz a d o s

P

3 3 , P. 111

D is t a n c ia d e f r e n a d o e n a u t o m ó v il

P

3 .4 , P. 130

M a r c h a d e N apo leó n

H

C a p . 3 , p . 137

P r u e b a s d e a c c id e n t e s e n a u t o m ó v il

E

10.1, P. 4 1 4

U so DE COMPUTADORAS PERSONALES

E

3 3 , P. 114

D a d o s e n u n c a s in o

P

6 .3 , P. 2 5 8

P r u e b a s d e p o l íg r a f o

P

4.4, P. 184

S u s c r ip c io n e s d e t e l é f o n o s c e l u l a r e s

P

3 .4 , P. 131

D e n s id a d d e p o b l a c ió n p o r e s t a d o

E

5.1, P. 198

Es c á n e r d e V e r if ic a c ió n d e c o m p r a

E

6 .2 , P. 2 4 4

C r e c i m i e n t o p o b l a c i ó n al p o r e s t a d o

P

7.1, P. 2 9 6

P eso d e m o n e d a s

P

5.2, P. 213

P o b r e z a e n Id a h o

P

9 3 , P. 3 9 9

P

9 .2 , P. 3 9 2

E s t a d o s U n id o s

www.FreeLibros.org www.fullengineeringbook.net 19 of 495.

x v iii

ín d ic e d e a p lic a c io n e s

V e l o c id a d d e c o m p u t a d o r a s P e r ió d ic o s

ET

3 .4 , P. 127

C arrera d e caballo s

P

6 3 , P. 2 5 7

P

3 .4 , P. 131

E fecto M o zart

E

1 3 , P .2 5

P

3 .3 , P. 123

E s t a t u r a d e ju g a d o r e s d e l a N B A

P

10.1, P. 415

10.1, P. 415

É XIT O EN L A N F L

PR

7.1, P. 2 9 8

D is t a n c ia d e l c o d o a l a p u n t a d e l o s d e d o s P In f l a m a b i l i d a d d e t e jid o s

P

10.3, P. 433

T iem p o s d e c a r r e r a s e n O l im p ia d a s

P

10.1, P. 4 1 7

Pu n t o s e x t r a e n f ú t b o l

P

6 .3 , P. 2 5 7

T eclad o s Q W E R T Y

P

3.1, P. 9 7

Fa l a c ia d e l ju g a d o r

ET

6 .3 , P. 2 5 4

M lL L A J E DE AUTO M Ó VILES EN RENTA

P

6 .3 , P. 2 5 8

E

9.1, P. 377

E

9 2 , P. 385 6 3 , P. 2 5 8

A tletas no vato s

P

8.3, P. 3 5 9

R u leta

P

V e s t ir s e d e n a r a n j a p a r a c a z a r

P

6 .5 , P. 2 7 4

P eso s d e ju g a d o r e s d e r u g b y

P

4 2 , P. 162

L o t e r ía s

P E

6 .2 , P. 2 4 9

E d a d e s d e p o l iz o n e s

P

6 .3 , P. 253

T ít a n ic

P

4 3 , P. 175 2.4, P. 82

P

6 .3 , P. 2 5 7

D e s c a r r il a m ie n t o d e t r e n e s

P

3 2 , P. 111

PR

6 .3 , P. 2 5 9

M u je r e s e n ju e g o s o l ím p ic o s

E

3 3 , P. 119

H

C a p . 6, p. 279

T iem p o s d e r é c o r d m u n d ia l e n u n a m i l l a

E

7 3 , P. 310

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Hablemos! de estadística

O B JE T IV O S D E A P R E N D IZ A JE 11

¿ Q u é e s la e s t a d í s t i c a ? C o m p r e n d e r lo s d o s s ig n if ic a d o s d e l t é r m i n o e s t a d ís t ic a y la s i d e a s b á s ic a s q u e r e s p a l d a n c u a lq u ie r i n v e s t i g a c ió n e s t a d ís t ic a , i n c l u y e n d o l a s r e la c io n e s e n t r e la p o b l a c i ó n d e e s t u d io , la m u e s t r a , la m u e s t r a e s t a d í s t i c a y lo s p a r á m e t r o s d e la p o b l a c i ó n .

¿ E L A G U A Q U E T O M A E S S E G U R A ? ¿ L A M A Y O R ÍA D E L A S

p erson as aprueban el plan d e im p u esto s del p re sid e n te ?

1 .2

M u e stre o E n t e n d e r la i m p o r t a n c ia d e s e l e c c io n a r

¿E sta m os o b te n ie n d o un buen valor p o r el g a sto en el c u i­

u n a m u e s t r a r e p r e s e n t a t iv a y f a m i li a r i z a r s e c o n l o s d i v e r s o s m é t o d o s

d a d o d e n uestra salud? P re g u n tas co m o éstas só lo pueden a b ord arse p o r m e d io d e e stu d io s e stadísticos. En el p rim e r

c o m u n e s d e m u e s tre o . 1 .3

T ip o s d e e s t u d io s e s t a d ís t ic o s E n t e n d e r la s d if e r e n c i a s e n t r e

ca p ítu lo analizam os los p rin c ip io s b ásicos d e la in v e s tig a ­

l o s e s t u d i o s d e o b s e r v a c ió n y lo s

ción e sta d ístic a y e sta b le ce m o s el fun da m en to para un

e x p e r im e n t o s ; r e c o n o c e r la s p a r t e s

e stu d io m ás d eta lla d o d e la e sta d ístic a en el re sto d e esta

c o m o la s e l e c c ió n d e l t r a t a m ie n t o y lo s g r u p o s d e c o n t r o l, e l e f e c t o

obra. A lo largo del te x to con sid era re m os d iverso s e jem p los

d e l p l a c e b o y la s p r u e b a s c ie g a s .

que m uestran có m o e s tu d io s estadísticos, bien diseñados,

i m p o r t a n t e s e n l o s e x p e r im e n t o s ,

1 .4

¿ D e b e t e n e r c o n fia n z a e n u n a i n v e s t i g a c ió n e s t a d í s t i c a ?

p ro p o rcio n a n una guía para la to m a de d ecisio n es en p o lí­

S e r c a p a z d e e v a lu a r e s t u d io s

tic a social y personal, así c o m o algunos casos en los que la

e s t a d í s t i c o s q u e o i g a e n lo s m e d io s , d e m o d o q u e p u e d a d e c i d i r s i lo s

e sta d ístic a p u e d e ser e ngañosa o m al interpretada.

r e s u lt a d o s s o n s i g n i f i c a t iv o s .

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2

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a

1.1 ¿Q ué es la estadística?

E l pensam iento estadístico algún día será tan necesario para la ciudadanía com o la habilidad de leer y escribir. — H. G. Wells

S

i usted, co m o la m ayoría d e los estudiantes q u e utilizan este texto, e s un novato en el estudio d e la estadística, podría no estar seguro del porqué estudia estadística y entonces sentir ansiedad acerca d e hacia dónde va. Pero conform e em piece a leer, d eseam os que

su interés crezca y tenga una agrad ab le sorpresa. E l tem a d e la estadística co n frecuencia está estereotipado co m o árido o técnico, pero incide en todos los ám bitos d e la sociedad moderna. P or ejem plo, la estadística n os permite saber si un nuevo m edicam ento e s efectivo en e l tratamiento d el cáncer, ayuda a los inspectores agrícolas a estar segu ros que nuestra alim entación e s san a y e s la clav e d e tod as las encuestas de opinión. L o s n egocios utilizan la estadística en investigación d e m ercado y en publicidad. H acem os un u so constante d e la estadística en los deportes, co m o una manera d e cla sificar a b s equipos y a los ju gadores. En realidad, e s difícil p en sar en un tema que no esté vinculado con la estadística d e algún m odo importante. E l objetivo principal d e este libro e s ayudarlo a aprender las ideas centrales en las que se fundam entan los m étodos estadísticos. E stas ideas b ásicas no son d ifíciles de entender, aun­ que adquirir un dom inio d e los detalles y d e la teoría detrás d e ello s puede requerir d e años de estudio. U na d e las gran des ventajas d e la estadística e s q u e incluso la poca teoría q u e aborda este libro le dará la capacidad para entender la estadística q u e encuentra en las noticias, en sus clases o en e l trabajo y en su vida diaria. Un buen lugar para iniciar e s e l término

estadística o estadísticas , q u e si se utiliza en sin­ estadística ciencia

gu lar o en plural tiene significado diferente. Cuando e s singular, e s la que ayuda a entender có m o recolectar, organizar e interpretar núm eros u otra información acerca de algún tem a; harem os m ención a los núm eros u otras partes d e inform ación co m o

estadísticas

datos. C uando

es plural, , son los d atos que describen algun a característica. P or ejem plo, s i exis­ ten 30 estudiantes en su grupo y su s ed ad e s varían d e 17 a 64, los núm eros “ 3 0 estudiantes” , “ 17 años” y “ 6 4 años” son estadísticas q u e describen, d e alguna manera, a su grupo.

D efin icio n es de e stad ística y estadísticas • E s t a d ís t ic a e s la c ie n c ia q u e r e c o le c t a , o r g a n iz a e in t e r p r e t a d a t o s . • E s t a d ís t ic a s s o n lo s d a t o s ( n ú m e r o s y o t r a s p a r t e s d e in f o r m a c ió n ) q u e d e s c r ib e n o r e s u m e n a lg o .

C ó m o fu n cio n a la estad ística ¿H a visto e l S ú p er T azó n ? L o s anunciantes lo necesitan saber, y a q u e e l co sto del tiempo de publicidad durante e l gran ju e g o e s aproxim adam ente d e 3 m illones d e d ó lares p or un de

spot

30 segundos. E ste esp acio vale bien su precio si suficientes personas lo o b serv an P or ejem plo, b s reportes d e noticias establecen que 93.2 m illones d e estadounidenses observaron ga n ar el Súper T azón X L I a los Potros d e Indianápolis. Pero, podría preguntarse: ¿quién contó a todas estas person as?

A p r o p ó s ito ... L a e s ta d ís tic a tu v o su orig en en la re c o le c c ió n d e inform ació n para c e n s o e im p uesto s, q u e son

nadie.

L a respuesta es L a afirm ación que 9 3 .2 m illones d e p erson as observaron e l Sú per Tazón resulta de investigaciones estadísticas llevadas a c a b o p or una com pañ ía llam ada Nielsen M edia Research. E sta com pañ ía publicó los resultados de su s estudios en e l fam oso Nielsen ratings. L o sorprendente e s q u e N ielsen elaboró e sto s índices d e audiencia p or un monitoreo de b s hábitos d e los telespectadores en só lo 5 0 0 0 hogares.

cual la p a la b ra Estado e s la raíz

S i usted es nuevo en e l estu d io d e la estadística, la conclusión d e N ielsen puede parecer una exageración . ¿C óm o puede alguien sac ar una conclusión acerca de m illones d e personas

d e la p alab ra estadística.

si sólo estudia a unos cuantos m iles? Sin embargo, la ciencia estadística muestra que esta conclu­

www.FreeLibros.org asu n to d e Estado. R azón por la

sión puede ser m uy precisa, siem pre y cu an d o e l estudio sea llevado d e manera adecuada.

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1.1 ¿Qué es la estadística?

3

C onsidere los índices d e audiencia d e N ielsen del S ú p er T azón com o un ejem plo y hagam os algunas preguntas clav e q u e ilustrarán cóm o, en general, funciona la estadística.

¿ C u á l e s e l o b je t i v o d e la i n v e s t i g a c i ó n ? E l objetivo d e N ielsen e s determ inar e l número total d e estadounidenses q u e vieron e l Sú per Tazón. E n e l lenguaje estadístico decim os q u e N ielsen está interesada en la población de los estadounidenses. E l número q u e N ielsen d e se a determ inar— e l número d e personas q u e vieron e l Sú per Tazón— e s una característica particular d e la población. E n estadística, las caracterís­ ticas d e la población se denom inan parámetros de la población. Aunque p or lo regular consideram os a una población com o un gru p o d e personas, una población estadística puede ser cualquier cla se d e grupo, personas, anim ales o co sa s. P or ejem ­

plo, en un estudio d e seguridad autom ovilística, la población podría s e r todos los automóviles en la carretera. D e manera análoga, e l término parámetro de la población puede referirse a cual­ quier característica d e una p o b lació a En e l c a so anterior, los parám etros d e la población podrían

incluir e l número total de autom óviles en la carretera en cierto periodo dado, la tasa de acciden­

A p r o p ó sito ... A t h u r C. N ie lse n fu nd ó su co m p a ñ ía e in v e n tó la investigación d e m e rc a d o en 1923. É l introd ujo e l índ ice de radio N ie lse n para c la s ific a r los p rog ram as d e ra d io e n 1942 y e n la d é c a d a d e los se se n ta a m p lió sus m é to d os para la p ro g ram a ció n de televisión.

tes entre autom óviles en la carretera, o e l rango de p eso s d e los autom óviles en la carretera.

D efin icion es L a p o b la c ió n e n u n e s t u d i o e s t a d í s t i c o e s e l c o n j u n t o c o m p le t o d e p e r s o n a s u o b je t o s a e s t u d ia r . L o s p a rá m e tro s d e la p o b la c ió n s o n la s c a r a c t e r ís t ic a s e s p e c íf ic a s d e la p o b la c ió n .

E JE M P L O 1

P o b l a c io n e s y p a r á m e t r o s d e l a p o b la c i ó n

Para c ad a una d e las situaciones siguientes, describa la población que se estudiará e identifique algunos d e los parám etros d e la población q u e serían d e interés. a.

U sted trabaja para S eg u ro s del A gricultor y ha investigado para determ inar e l monto p ro­ medio p agad o a víctim as d e accidente en autom óviles sin b olsas d e aire para im pactos laterales.

b . Ha sido contratado p o r M cD onald’ s para determ inar los p eso s d e las papas enviadas cad a sem ana para producir las p ap as fritas.

c . U sted e s un reportero de n egocios que está cubriendo los Laboratorios Genentech, e inves­ tiga si su nuevo tratamiento e s efectivo contra la leucem ia infantil. S o lu c ió n a.

La población consiste en las personas que han recibido p agos d e seguro p or accidentes en autom óviles que carecen de bolsas d e aire para im pactos laterales. El parám etro de la pobla­ ción relevante e s la m edia (prom edio) del monto pagado a estas personas. (V e a e l capítulo 4 para un an álisis m ás detallado d e la m edia y otras m edidas d e “prom edio” ).

b . L a población consiste en todas las p ap as en viadas cad a sem ana para hacer p ap as fritas. L o s parámetros relevantes d e la población incluyen e l p eso m edio d e las papas y la variación de los p eso s (p or ejem plo, ¿ la m ayoría d e ello s so n cercanos o lejanos a la m edia?).

c . L a población co n siste en todos los niños co n leucem ia. Parám etros im portantes d e la pobla­ ción son e l porcentaje de niños q u e se recuperaron

sin e l tratamiento nuevo y e l porcentaje

de niños q u e se recuperaron co n e l tratamiento nuevo.

E n r e a l id a d , ¿ q u é s e o b t i e n e c o n l o s e s t u d i o s ? S i los investigadores en N ielsen fueran todopoderosos podrían determ inar e l número d e perso­ nas que ven e l Sú per Tazón, preguntando a cad a estadounidense. Pero nadie puede hacer eso,

www.FreeLibros.org en cam bio, estim an e l número d e estadounidenses q u e lo ven a partir del estudio d e un grupo relativamente pequeño d e personas. E n otras palabras, N ielsen aprende acerca d e la pobla­

ción d e tod os los estadounidenses mediante un monitoreo cu idado so d e los hábitos televisivos

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4

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a de una muestra mucho m ás pequeña d e estadounidenses. En concreto, N ielsen u só dispositi­ v o s (con o cidos co m o “ m edidores d e p erson as” ) fijados a los televisores en alrededor d e 5 0 0 0 hogares, d e m o do que las aproxim adam ente 1 3000 personas que vivían en esto s hogares son la muestra de estadounidenses q u e estudia N ielsen. (P ara segu ir e l rápido cam bio d e los hábitos d e las personas, q u e ahora incluye program as en internet y p or televisión d e cab le, N ielsen ha increm entado su número d e m edidores d e personas, pero los 5 0 0 0 h o gares siguen siendo repre­ sentativos del p roceso general d e clasificación). L a s m edidas individuales q u e N ielsen recolecta d e las personas en los 5 0 0 0 hogares co n s­ tituyen los datos. N ielsen recolecta m uchos d atos — p or ejem plo, cuándo y cuánto tiempo está encendido cad a televisor en la casa, qué program a está sintonizado y quién ve e l program a— . Luego N ielsen con solid a e s a información en un conjunto d e núm eros q u e caracterizan a la muestra, tal com o e l porcentaje d e televidentes en la muestra que vieron cad a program a d e tele­ visión o e l número total d e personas en la muestra q u e vieron e l S ú p er Tazón. E stos números se denominan estadísticas muéstrales.

D efin icio n es muestra e s

Una

u n s u b c o n j u n t o d e la p o b l a c i ó n d e l c u a l s e o b t ie n e n lo s d a t o s .

L a s m e d id a s u o b s e r v a c io n e s r e a le s r e c o le c t a d a s d e la m u e s t r a c o n s t it u y e n lo s Las

estadísticas muéstrales

datos.

s o n c a r a c t e r ís t ic a s d e la m u e s t r a e n c o n t r a d a s m e d ia n t e la

c o n s o lid a c ió n o r e s u m e n d e lo s d a t o s .

E JE M P L O 2

E n c u e s t a d e d e s e m p le o

El Departamento del T rabajo d e E stad os U nidos define la

A p r o p ó s ito ...

Juerza de trabajo civil co m o todas

aquellas personas que están em pleadas o bien d e manera activa buscan un em pleo. C ad a mes

Según la d e fin ic ió n del

este departam ento informa la tasa d e desem pleo, q u e e s e l porcentaje d e p erson as q u e están activamente buscando un em pleo dentro d e toda la fuerza d e trabajo civil. C on e l fin d e deter­

D e p a rtam e n to d e l T rab ajo

minar la tasa d e desem pleo, este departam ento encuesta 6 0 0 0 0 hogares. Para los inform es de

d e Esta d os Unidos, alguien

desem pleo, describa

q u e n o e s tá tra b a ja n d o no necesariam ente e s tá d esem p lead o .

Por e jem p lo , las m am ás y los

a . la pobáción b . la nuestra e . parám etros de la población

c . los d a o s

d . estadísticas miestrales

papás q u e perm anecen e n casa no s e co n tab ilizan e n tre los ctesem pleados, a m e n o s q u e de m anera a ctiv a e s té n tratan d o

Solución a . L a población e s e l gru p o d el q u e e l Departamento del T rabajo quiere aprender, todas las personas que conform an la fuerza d e trabajo civil.

d e b u sca r un em ple o; la gente

muestra consiste en todas las personas d e los 6 0 0 0 0 hogares encuestados. L o s datos consisten en toda la inform ación recolectada en la encuesta. L a s estadísticas muéstrales resumen lo s d atos d e la muestra. E n e ste caso ,

q u e b u sc ó tra b a jo p ero se rin d ió

b. La

ta m p o c o se c o n ta b iliza n c o m o

c.

ctesem pleados.

d.

la estadística

m uestral relevante e s e l porcentaje d e personas en la m uestra q u e están buscando d e manera activa trabajo. (E l Departamento del T rabajo tam bién calcu la una estadística m uestral sim i­ lar para subgrupos en la población, tal co m o los porcentajes de adolescentes, hombres, m ujeres y e x com batientes q u e están desem pleados).

e. Los

parámetros de la población son

las características d e toda la población q u e corres­

ponden a la s estadísticas muéstrales. E n este caso , e l parám etro poblacional relevante e s la

no

tasa real d e desem pleo. O bserve q u e e l Departamento del T rab ajo en realidad m ide este parám etro d e la población, y a que los d atos se recolectan só lo para la muestra y luego se utilizan p ara estim ar e l parám etro d e la población.

www.FreeLibros.org ¿ C ó m o s e r e la c io n a n l a s e s t a d í s t i c a s m u é s t r a l e s c o n l o s p a r á m e t r o s d e la p o b la c i ó n ?

Suponga q u e N ielsen determina q u e 31% d e las personas en los 5 0 0 0 hogares d e su muestra observaron e l Sú per Tazón. E ste “ 3 1%” e s una estadística muestral, y a q u e caracteriza a la

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1.1 ¿Qué es la estadística?

5

muestra. Pero lo q u e en realidad N ielsen quiere conocer e s e l parám etro poblacional correspon­ diente, q u e e s e l porcentaje d e estadounidenses que vieron e l Sú per Tazón. N o hay form a p ara q u e los investigadores d e N ielsen conozcan e l v a lo r exacto del p ará­ metro d e la población, y a q u e ello s só lo estudiaron una muestra. Sin em bargo, los investi­ gad o res d e N ielsen desean hacer su trabajo d e m odo q u e la estadística muestral sea una buena estim ación del parám etro d e la población. E n otras palabras, les gustaría concluir q u e puesto que 3 1 % d e la muestra vio e l S ú p er Tazón, entonces aproxim adam ente 3 1 % d e la población tam bién lo vio. U no d e los propósitos principales d e la estadística e s ay u d ar a los investigado­ res a ev alu ar la validez d e este tipo d e conclusiones.

U N M O M E N T O D E ItE F lL E X IÓ N ________________________ S u p o n g a q u e N ie ls e n c o n c l u y e q u e 3 0 % d e lo s e s t a d o u n id e n s e s v ie r o n e l S ú p e r T a z ó n . ¿ C u á n t a s p e r s o n a s r e p r e s e n t a n e s t o ? ( L a p o b la c ió n d e E s t a d o s U n id o s e s a p r o x i m a d a ­ m e n t e d e 3 0 0 m illo n e s ) .

L a cien cia estadística proporcion a m étodos q u e perm iten a lo s investigadores deter­ m inar cu án bien una muestra estadística estim a un parám etro d e la población. P or ejem plo, los resu ltados d e en cuestas o son d eos d e opinión p o r lo regular se reportan co n algo denom inado margen de error. A l su m ar y restar e l m argen d e error d e la estad ística m uestral, deter­ m inam os un rango d e valores o intervalo de confianza, q u e e s p robable q u e contenga el parám etro d e la población. E n la m ayoría d e lo s ca so s, e l m argen d e error se defin e d e modo q u e p od am o s tener 9 5 % d e co n fian za q u e este rango contiene a l parám etro d e la población. A n alizarem os e l sign ificad o p reciso d e “ probable” y “ 9 5 % d e co n fian za” en e l cap ítu lo 8, p ero p or ahora podría serle útil una exp licación d ad a p or e l New York Times (figu ra 1.1). En e l c a so d e los ín dices d e aud iencia d e N ielsen, e l m argen d e error e s alred ed or d e un punto porcentual. P or tanto, si 3 1 % d e la m uestra estuvo vien do e l S ú p er T azón , en ton ces podem os tener 9 5 % d e confian za q u e e l rango d e 3 0% a 3 2 % contiene al porcentaje real d e la p ob la­ c ió n q u e vio e l S ú p er Tazón.

C óm o fu e realizad o el sondeo E l últim o son d eo de N ew York Tim es/N oticias de C B S del estado de N ueva Y ork tiene co m o base entrevistas telefónicas realizadas d el 2 3 de octubre a l 2 8 de octubre a 1315 adu ltos. De ellos, 1026 dijeron que estaban regis­ trados para votar. L a s entrevistas se realizaron en inglés o español.

F I G U R A 1.1

En teoría, en 19 d e 2 0 c a s o s los resultados con base en tales m uestras diferirán en no m ás de tres puntos por­ centuales en cualquier dirección de la que se hubiese obtenido entrevistando a todos los adultos residentes del estado de N u eva Y ork. P ara subgrupos m ás reducidos, e l error d e muestreo poten­ cial e s mayor.

E l m a r g e n d e e r r o r e n u n a e n c u e s t a o s o n d e o d e o p in ió n p o r

lo r e g u la r d e s c r i b e u n r a n g o q u e e s p r o b a b l e ( c o n 95% d e c o n f ia n z a , lo q u e q u ie r e d e c ir 1 9 d e 2 0 c a s o s ) c o n t e n g a a l p a r á m e t r o d e la p o b la c ió n . E s t e e x t r a c t o d e l N e w Y o r k T im e s e x p lic a u n m a r g e n d e e r r o r d e 3 p u n t o s p o r c e n t u a le s .

U no d e los hallazgos m ás extraordinarios d e la cien cia estadística e s q u e e s p osib le obte­ ner resultados significativos a partir d e m uestras pequeñas. S in em bargo, m uestras d e tamaño grande son m ejores (cuan do son factibles), y a q u e e l m argen d e error, p or lo com ún, e s menor para m uestras m ayores. P or ejem plo, e l m a rg al d e error para un intervalo d e confianza d e 9 5 %

www.FreeLibros.org en una encuesta bien realizada e s alrededor d e 5 puntos porcentuales para un tam año d e m u es­ tra d e 4 0 0 , p ero baja a 3 puntos porcentuales para un tam año d e muestra d e 1 0 0 0 y a 1 punto porcentual p ara una muestra d e 10000. (V ea e l capítulo 8 para entender có m o se calculan los m árgenes d e error).

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6

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a

D efin ición E l m a rg e n d e e rro r e n u n a in v e s t ig a c ió n e s t a d ís t ic a s ir v e p a r a d e s c r i b i r e l r a n g o d e v a lo r e s , o in te rv a lo d e c o n fia n z a , q u e p r o b a b l e m e n t e c o n t e n g a a l p a r á m e t r o d e la p o ­ b la c ió n . E s t e in t e r v a lo d e c o n f i a n z a lo d e t e r m in a m o s a l s u m a r y r e s t a r e l m a r g e n d e e r r o r a la e s t a d ís t ic a m u e s t r a l o b t e n id a e n e l e s t u d io . E s d e c ir , e l r a n g o d e v a lo r e s q u e p r o b a b le m e n t e c o n t e n g a n e l p a r á m e t r o d e la p o b la c ió n e s d e s d e ( e s t a d ís t ic a m u e s t r a l - m a r g e n d e e r r o r ) h a s ta ( e s t a d ís t ic a m u e s t r a l + m a r g e n d e e r r o r ) P o r l o c o m ú n e l m a r g e n d e e r r o r e s d e f in id o p a r a q u e p r o p o r c io n e u n in t e r v a lo d e 95% efe c o n fia n z a , e s t o q u ie r e d e c ir q u e 95% d e la s m u e s t r a s d e l t a m a ñ o u t iliz a d o e n e l e s t u d io c o n t e n d r ía n e l p a r á m e t r o r e a l d e la p o b la c ió n ( y 5% n o lo c o n t e n d r ía n ) .

E JE M P L O 3

¿ V id a e n M a r t e ?

El Centro d e Investigación Pew para la G ente y la Prensa entrevistó a 1546 adultos estadouni­ denses acerca d e su s actitudes hacia e l futuro. L e s preguntó s i e l hombre llegaría a M arte en b s p róxim os 5 0 años, 76% d e estas 1 5 4 6 p erson as dijeron

sí. E l margen d e error para la encuesta fue d e 3

definitivamente sí o probablemente

puntos porcentuales. D escriba la población y

la m uestra para esta encuesta, y explique el significado del estadístico muestral d e 76% . ¿Q ué puede concluir acerca d el porcentaje d e la población q u e piensa q u e e l hombre llegará a Marte en los próxim os 5 0 añ o s?

S o lu c ió n

La población son todos los adultos estadounidenses y la muestra consiste en las

1546 personas q u e fueron entrevistadas. E l estadístico muestral d e 7 6 % e s e l porcentaje

real

de personas en la muestra q u e respondió que e l hombre definitiva o probablem ente llegaría a Marte en los próxim os 5 0 años. E l estadístico muestral d e 7 6 % y e l m argen d e error d e 3 pun­ tos porcentuales n os dicen que e l rango d e valores

A p r o p ó s ito ...

desde

7 6 % - 3 % = 73%

hasta

7 6 % + 3% = 79%

e x a cta d e su padre. Por

es probable (con 9 5 % d e confian za) q u e contenga e l parám etro d e la población, q u e en este c a so e s e l porcentaje verdadero d e todos los adultos estadounidenses q u e piensan q u e e l hom­

q e m p lo , un c lo n d e u s te d se ría

bre definitiva o probablem ente llegará a p isar M arte en los p róxim os 5 0 años.

Un c lo n e s una c o p ia g e n é tic a

gen ética m en te igual a usted, p ero nacería c o m o un b eb é y te nd ría ex p erien cias d e v id a d istin ta s a las suyas. La p rim era c lo n a c ió n exito sa de un m a m ífe ro a d u lto fu e e n 1997, c u a n d o lan W ilm u ty s u s colegas en E sco c ia clo n aro n a una oveja. El clon, llam ado D o lly, n o tie n e padre, ya q u e

todos sus gen es provienen

d e la m adre. E n la a c tu a lid a d los d e n tífic o s han c lo n a d o a m uchos otros m am íferos.

E JE M P L O 4

¿ C lo n a c ió n d e h u m a n o s?

L a m ism a encuesta Pew preguntó a las personas si creían q u e los hum anos serían clon ados en b s siguientes 50 años. A esta pregunta 5 1 % respondió o

definitivamente sí probablemente sí.

Efe nueva cuenta, e l m argen d e error fue d e 3 puntos porcentuales. ¿Podem os estar segu ros que una m ayoría d e los adultos estadounidenses piensan q u e los humanos serán clon ados en los próxim os 5 0 añ o s?

S o lu c ió n taje d e

No. Para determ inar e l rango d e valores que probablem ente contenga e l porcen­

todos los adultos estadounidenses quien es piensan q u e la clonación humana definitiva o

probablem ente ocurra, sum am os y restam os e l m argen d e error d e 3 puntos porcentuales d e la estadística muestral d e 51% . Esto proporciona un rango d e valores d e 4 8 % a 54% . Puesto que este rango incluye valores a am b o s lados d e 50% , no podem os estar segu ros q u e la m ayoría (es decir, m á s d e 5 0 % ) d e los adultos estadounidenses piense q u e los hum anos serán clon ados en b s siguientes 5 0 años.

www.FreeLibros.org U N M O M E N T O IDE R E F L E X I Ó N ________________________ B u s q u e u n r e p o r t e s o b r e u n a e n c u e s t a d e o p in ió n e n la s n o t ic ia s d e e s t a s e m a n a . ¿ E l r e ­ p o r t e p r o p o r c io n a u n m a r g e n d e e r r o r ? E n e s t e c a s o , ¿ q u é s ig n if ic a ?

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1.1 ¿Qué es la estadística?

7

C ó m o reu n ir las p artes: el p roceso de u n a in vestigació n estad ística E l p roceso utilizado p or N ielsen M edia R esearch e s sim ilar a l q u e se u tiliza en m uchos estudios estadísticos. L a figura 1.2 y e l recuadro siguiente resum en los p a so s b ásicos en una investiga­ ción estadística. T en ga en cuenta q u e esto s p aso s están un poco idealizados, y los p aso s reales pueden d iferir d e un estudio a otro. A dem ás, los detalles ocultos en los p aso s b ásicos son muy importantes. P or ejem plo, una m ala elección d e la muestra en e l paso 2 puede ca u sa r q u e todo e l estudio carezca d e significado, y deb e tenerse sum o cu idado en inferir conclusion es acerca de una población tomando co m o b ase resultados d e una muestra m uy pequeña d e la población.

P aso s b á sico s en u n a in vestigación estad ística P a s o 1. I n d iq u e c o n p r e c i s i ó n e l o b j e t iv o d e s u e s t u d io ; e s t o e s , d e t e r m in e la p o b la c ió n q u e q u ie r e e s t u d ia r y lo q u e q u ie r e s a b e r d e e lla . P a s o 2 . S e le c c io n e u n a m u e s t r a d e la p o b la c ió n . ( A s e g ú r e s e d e u t iliz a r u n a t é c n ic a a p r o p i a d a d e m u e s t r e o , c o m o s e e s t u d ia e n la s e c c ió n s ig u ie n t e ) . P a s o 3 . R e c o le c t e d a t o s d e la m u e s t r a y r e s u m a e s o s d a t o s d e t e r m in a n d o la s e s t a d ís t ic a s m u é s t r a le s d e in t e r é s .

A p r o p ó sito ... COn fre cu e n c ia los e sta d ístic o s d v id e n s u m ateria e n d o s ramas principales: estadística descriptiva, que tra ta la descripción d e los d a to s p o r m e d io d e g ráficas y e sta d ística s m uéstrales, y estadística inferencial,que trata

P a s o 4 . U t ilic e la s e s t a d ís t ic a s m u é s t r a le s p a r a r e a liz a r in f e r e n c ia s a c e r c a d e la p o b la c ió n .

co n la inferencia (o estim a ció n )

P a s o 5 . O b t e n g a c o n c lu s io n e s , d e t e r m in e lo q u e a p r e n d ió y s i a l c a n z ó s u o b j e t iv o .

a p a rtir d e los d a to s m uéstrales.

d e los p arám etro s d e la p ob lació n En e s t e te xto, los c a p ítu lo s 2 al 5 tratan, p rin cipalm ente, la esta d ística d escriptiva, m ientras

^

IN IC IO

q u e los c a p ítu lo s 6 a

10 están

e n fo cad o s e n la e sta d ístic a inferencial.

F I G U R A 1.2

E JE M P L O 5

E l p r o c e s o d e u n a i n v e s t ig a c ió n e s t a d ís t ic a .

I d e n t i f i c a c i ó n d e lo s p a s o s

C onsidere la encuesta del Centro d e Investigación Pew q u e se describió en los ejem p los 3 y 4. A hora identifique có m o los investigadores aplican los cin co p a so s b ásicos en una investigación estadística.

S o lu c ió n 1.

L o s pasos se aplican com o se indica a continuación.

Los investigadores tenían com o objetivo aprender acerca d e las actitudes esp ecíficas q u e los estadounidenses tienen sobre e l futuro. Ellos seleccionaron a los adultos estadounidenses com o la población, dejaron intencionalmente fuera a los niños.

www.FreeLibros.org 2 . Seleccionaron 1 5 4 6 adultos estadounidenses co m o su muestra. A unque n o dijeron cóm o tom aron la muestra, supondrem os q u e fueron elegid o s de m odo q u e los 1546 adu lto s esta­ dounidenses son representativos d e toda la población d e adultos estadounidenses.

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8

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a

3. Ellos recolectaron los datos pidiendo a las personas en la muestra respuestas a las pregun­ tas cuidadosamente seleccionadas. L o s datos son las respuestas individuales a las preguntas. E llos resumieron esto s datos con estadísticas muéstrales, tal com o los porcentajes globales de personas, en la muestra, que respondieron

sí o no a cad a pregunta.

4 . L a s técnicas d e la cien cia estadística perm itieron a los investigadores inferir características d e la población. En este caso , la inferencia consistió en la estim ación d e ciertos parámetros de la población y e l cálculo d e los márgenes d e error.

5. Seguro s d e q u e e l estudio fue realizado adecuadam ente e interpretando las estim aciones de lo s parám etros d e la población, los investigadores sacaron conclusion es glo b ales sobre las actitudes d e los estadounidenses acerca del futuro.

E stad ístic a: d ecision es p a ra u n m u n d o in cierto Los índices d e audiencia d e N ielsen y la m ayoría d e los ejem p los q u e hemos analizado hasta ahora incluyen en cuestas o sondeos. N o obstante, e l tem a d e la estadística ab arca m ucho m ás, com o diseñ o d e experim entos para probar nuevos tratam ientos m édicos, an álisis d e los peli­ gros del calentam iento global e incluso la evaluación del v a lo r d e una educación académ ica. En realidad, e s ju sto d ecir q u e e l propósito principal d e la estadística e s ayudar a tom ar buenas decisiones siem pre que n os enfrentem os co n una diversidad d e op cion es posibles.

P ro p ó sito d e la estadística L a e s t a d ís t ic a t i e n e m u c h o s u s o s , p e r o q u i z á s e l m á s i m p o r t a n t e e s a y u d a r n o s a t o m a r b u e n a s d e c is io n e s e n s it u a c io n e s q u e in c lu y e n in c e r t id u m b r e .

E ste propósito será claro en la m ayoría d e los c a so s d e estudio y ejem plos q u e conside­ ramos en este texto, p ero a v e c e s tendremos q u e estudiar un poco d e teoría que, a l principio,

A p r o p ó s ito ... L a p oliom ie litis s e ha v u e lt o rara

podría parecer abstracta. S i tiene en mente e l propósito general d e la estadística, será recom ­ pensado a l final, cuando vea có m o la teoría nos ayuda a entender nuestro mundo. E l estudio de

en E sta d o s Unidos a p a rtir del

caso siguiente le dará una muestra d e lo q u e viene. Incluye v arias ideas teóricas importantes

d e s a rro llo d e la va cu n a d e Salk,

que llevan a uno d e los m ás gran des logros del siglo X X en salud pública.

p ero sig ue s ie n d o co m ú n e n países m enos d esa rro llad o s. Un e sfu e rzo g lo b a l p ara v a c u n a r a niños co n tra la p o lio in ició e n 1998 y ha te n id o un gran éx ito , aunq u e n o s e ha

E S T U D IO D E C A S O

L a v a c u n a d e S a l k c o n tr a la p o lio m ie lit is

a lca n za d o la m e ta d e e rra d ic a r por c o m p le to la e n fe rm ed ad .

S i hubiese sido padre en las d é cad as d e los cuarenta o cincuenta, uno d e su s m ayores tem ores hubiese sido la enferm edad conocida co m o poliom ielitis. C ad a año, durante esta larga ep i­ dem ia d e polio, m iles d e niños sufrieron p arálisis p or la enferm edad. E n 1954 se realizó un experim ento para probar la efectividad d e una vacuna nueva creada p or e l d octor Jo ñ a s Salk (1914-1995). E l experim ento incluyó una muestra de 4 0 0 0 0 0 niños elegid os d e la población infantil en Estados Unidos. L a mitad d e estos niños recibieron una inyección de la vacuna d e Salk. L a otra mitad recibió una inyección q u e só lo contenía agu a co n sal. ( L a inyección d e agu a con

placebo

sal fue un , v e a la sección 1.3). Entre los niños q u e recibieron la vacuna d e Salk, só lo 33 contrajeron la polio. En contraste, hubo 115 c a so s d e polio entre los niños q u e no recibieron la vacuna d e Salk. A l utilizar técnicas d e la cien cia estadística, q u e estudiarem os posteriormente, b s investigadores concluyeron q u e la vacuna era efectiva en la prevención d e la polio. Por tanto, decidieron em prender un esfuerzo m ayor p ara m ejorar la vacuna d e S a lk y distribuirla a

www.FreeLibros.org La gran recom pensa de las obras es la oportunidad de hacer m ás .

—Joñ as Salk

la población d e

todos los niños. U na consecuencia de esto fue que los niños en E stad os Unidos

y en otro s p aíse s desarrollados em pezaron a recibir la vacuna d e m anera rutinaria y ahora el horror d e la polio e s c o sa del pasado.

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1.1 ¿Qué es la estadística? r •s'-y

Sección 1.1 Ejercicios A lf a b e t iz a c ió n e s ta d ís tic a y p e n s a m ie n to c r ít ic o 1.

P o b la c ió n y m u e s tra .

¿Q ué e s una población?, ¿q u é es

n ía m uestra? y ¿cu á l e s la diferencia entre ella s? 2.

E s t a d ís tic a y e s t a d ís tic a s .

Suponga que en una plática

n ía persona se refiere a las estadísticas del béisbol, mien­ tras q u e otra se refiere a l uso de la estadística para mostrar

^

M u e stra , p o b la c ió n , e s ta d ís tic a y p a rá m e tro .

tica muestral y e l parám etro d e la población. 11.

E s ta d ís tic a s y p a rá m e tro s .

tos encuestados, 4 8 % dijeron estar a favor.

M a rg e n d e e rro r.

12.

E s ta d ís tic a s y p a rá m e tro s .

13.

14.

d o s sem an as antes d e las eleccion es determ inó q u e Smith obtendría 7 0% d e los votos, co n un margen d e error d e 3%, pero terminó perdiendo la elección. E n c u e s ta c ie rta .

N asonex e s un medicamento

de cabeza. Id e n tific a c ió n d e l ra n g o d e v a lo re s .

En los ejercicios 15 a l 18

utilice la estadística d a d a y e l m argen d e error para identificar el rango d e valores (intervalo d e confian za) q u e probablemente contenga a l v a lo r verdadero del parám etro d e la población. 15.

I n v e s tig a c ió n

de

c é lu la s

m a d re .

E n un sondeo del

Newsweek realizado p or Princeton Su rvey R esearch A sso­ ciates International, se preguntó a 1002 adultos en E stados

ción, y a q u e una encuesta d e salida m ostró q u e ella recibió

U nidos s i estaban a favor o en contra del uso d e “ dinero

54% d e los vo to s y e l m argen d e error fue d e só lo 3 puntos porcentuales.

d e im puestos federales para financiar investigación médica q u e utilice células m adre d e em briones hum anos” . Con

Una com pañía nueva intenta co m ­

petir co n N ielsen M edia R esearch proporcionando informa­ ción co n un m ayor m argen d e error p or e l m ism o precio.

M e d ic a m e n to p a ra a le r g ia .

374 niños d e 3 a 11 años se les d io una d o sis d e 100 microgram os de N aso n ex y 17% de ello s experim entaron dolores

N o existe d u da q u e Johnson g a n ó la elec­

V e n c ie n d o a N ie ls e n .

L o s astrónom os determ inan la d is­

utilizado p ara tratar sín tom as d e alergia. E n una prueba a

M i profesor realizó una in­

Un sondeo d e opinión llevado a cab o

D is ta n c ia s g a lá c tic a s .

d e estas distancias.

dísticas m uéstrales, pero tuvo éxito en la determ inación de

E n c u e s ta f a llid a .

E n una encuesta d e G allup a 1 2 3 6 adultos, 9%

tancia a una g a la x ia lejana m idiendo la s distancias d e unas cuantas estrellas en ella y tomando la m edia d e las m edidas

vestigación estadística en la q u e fue incapaz d e m edir esta­ parám etros de la población co n un m uy pequeño margen de error.

V ie r n e s 13.

respondió q u e había m ala suerte e l viernes q u e fuese d ía 13 de un mes.

¿Q ué e s e l m argen d e error en una in­

enunciados tienen respuestas definitivas, p or lo que su exp lica­ ción e s m ás importante q u e la respuesta elegida.

10.

E n un sondeo del

q u e utilice células m adre d e em briones humanos” . Entre

¿Q ué e s una muestra estadís­

tido (o claram ente e s falso). E xplique claram ente; no todos los

9.

m a d re .

U nidos s i estaban a favor o en contra del uso d e “ dinero d e im puestos federales para financiar investigación médica

Para los ejercicios 5 a l 10 decida si e l enun­ ciad o tiene sentido (o e s claram ente verdadero) o no tiene sen­

8.

c é lu la s

ciates International, se preguntó a 1002 adultos en E stados

¿ T ie n e s e n tid o ?

7.

de

del término estadística tienen e l m ism o significado? Si i » , ¿en q u é difieren?

vestigación estadística y p o r q u é e s importante?

6.

I n v e s tig a c ió n

Newsweek, realizado p o r Princeton Su rvey Research A sso ­

q re cierto medicamento e s un tratamiento efectivo. ¿A m bo s

diferencia entre ellos?

5.

C ada uno de

los ejercicios 11 a l 14 describe una investigación estadística. En cad a c a so identifique la muestra, la población, la e stad ís­

tica?, ¿qu é e s un parám etro d e la población? y ¿cu á l e s la

4.

-v - ‘V

C o n c e p to s y a p lic a c io n e s

ie o s

3.

9

base en los resultados del sondeo, 4 8 % d e los adultos están a favor, con un margen d e error de 3 puntos porcentuales. 16.

P e tr ó le o e n A N W R .

E n una encuesta d e C B S News/Afew

E l objetivo d e mi estudio e s apren­

York Times a 1241 adultos en E stad os U nidos se le s pre­

der acerca d e la depresión en p erson as que han sufrido una

guntó si aprobaban o no perforaciones para petróleo y g a s

tragedia fam iliar, p or lo q u e planeo seleccionar una m ues­

natural en e l Refugio Nacional d e Vida Salvaje del Ártico en

tra de la población q u e ha esta d o enferm a en e l mes pasado.

A laska (ANW R, p o r sus siglas en inglés). C on b ase en los resultados d e la encuesta, 4 5 % de los adultos no la aprueban,

M u e stra d e d e p r e s ió n .

P ro d u c to nuevo.

con un margen d e error de 3 puntos porcentuales.

Nuestro departam ento d e investigación

efe m ercado encuesto a 1000 consum idores sobre su s acti­ tudes hacia nuestro nuevo producto. Puesto q u e las perso­

17.

ín d ic e d e M asa C o r p o r a l (IM C ).

E n E stados U nidos, 4 0

www.FreeLibros.org adultos fueron elegid os d e m anera aleatoria para m edir su

nas en la muestra fueron m uy entusiastas en su interés por

IMC. E l resultado de e s a muestra m ostró q u e e l IM C pro­

la com pra del producto, decidim os extender una cam paña efe publicidad a nivel nacional.

m edio (m edio) para hom bres e s 26.0, co n un m argen de error d e 3.4.

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10

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a

18. T e m p e r a tu r a c o rp o r a l.

Investigadores seleccionaron de

23.

m anera aleatoria a 106 adultos y midieron la temperatura

19.

diferente. E l margen d e error fue d e 3 puntos porcentuales. 24.

Una

E n una encuesta d e Caravan a 1018 adul­

encuesta realizada un d ía antes d e la elección estatal para senadores, en la cu al só lo quedan d o s can didatos en co m ­

efe 3.2 puntos porcentuales.

de

r e s u lta d o s

de

una

e n c u e s ta .

25.

porcentuales. ¿ L o s republicanos deben esperar gan ar? ¿P o r

Con b ase en una en cu esta reciente a adultos en 6 0 0 0 0 hogares, el Departamento del T rab ajo de

T a s a d e d e s e m p le o .

Estados U nidos reportó una tasa d e desem pleo de 4 .6% . E l

qué s í o p or q u é no?

margen d e error fue de 0 .2 puntos porcentuales.

I n te rp re ta c ió n d e re s u lta d o s d e d e g u s t a c io n e s .

E n una

prueba d e catar televisada en vivo a nivel nacional, una mues­

26.

prefieren Michelob, cuando se les d a a probar M ichelob y Schlitz? ¿P or qué sí o p o r qué no? ¿ M ie n te la g e n te a c e rc a d e si v o t ó ?

E n una encuesta de

U na encuesta d e la O rganiza­

regulares. E l margen de error fue d e 2 .0 puntos porcen­

b s resultados es que 52% de tales personas tenían preferen­ cia por Michelob, con un margen d e error de 10%. ¿ E s p o si­ ble concluir que la m ayoría de los tomadores d e Budw eiser

A h o r ro p a ra im p re v is to s .

ción Roper a 2 0 0 0 adultos en E stad os U nidos m ostró que 64% d e los en cuestados tuvo dinero en cuentas d e ahorro

tra d e bebedores regulares d e Budw eiser probaron a cieg as muestras de M ichelob y Schlitz. L a estimación con base en

21.

Sú pe r p o d e re s.

tos, 11% dijeron q u e elegirían la cap acidad d e ser invisibles com o e l súper poder q u e preferirían. E l margen d e error fue

In te rp re ta c ió n

petencia, muestra q u e 58% de los votantes están a favor del candidato republicano, co n un m argen d e error d e 3 puntos

20.

En una en cu esta d e K om /Ferry In­

ternational a 1 7 3 3 ejecutivos, 5 1 % d e ello s dijeron q u e si pudiesen iniciar otra carrera nuevam ente, elegirían un área

de su cuerpo. C on b ase en e s a muestra, estim aron q u e la temperatura prom edio (m edia) del cuerpo e s 9 8 .2 °F , con un margen d e error d e 0.1 °F .

C a m b io d e c a rre ra .

tuales. C in c o p a s o s e n u n e s tu d io .

D escriba có m o aplicaría los cinco

p asos b ásicos en una investigación estadística (com o se listó en el recuadro d e la página 7 ) a los tem as en los ejercicios 2 7 a 30. 27.

T e lé f o n o s c e lu la re s y m a n e jo .

U sted quiere determinar

1002 personas, 701 (o 7 0 % ) dijeron q u e votaron en una elección particular para la presidencia (con b ase en infor­

el porcentaje d e conductores co n licencia q u e utilizaron un teléfono celular a l m enos una v e z mientras conducían d u ­

mación d e IC R Research Group). E l m argen d e error para

rante la sem ana pasada.

esta encuesta íu e d e 3 puntos porcentuales. Sin em bargo, los registros d e las votaciones m uestran q u e só lo 6 1 % de

28.

todos los votantes elegib les lo hicieron. ¿E sto im plica que la gente mintió cuando respondió la encuesta? Explique. 2 2 . ¿ P o r q u é la

d is c r e p a n c ia ?

U na encuesta del Instituto

Eagleton preguntó a hombres si estaban d e acuerdo con esta afirmación: “ E l aborto e s una c o sa privada que debe

(m edia) d e FIC O d e todos los adultos en E stad os Unidos. 29

P e s o d e p a s a je ro s .

Reconociendo q u e e l sobrepeso en

una aeronave com ercial llevaría a vu elo s inseguros, quiere determinar e l p eso prom edio (m edio) d e los p asajero s en la

dejarse a la m ujer q u e decida sin intervención del g o ­ bierno” . Entre los hom bres q u e íueron encuestados por mujeres, 77% estaban d e acuerdo co n la afirm ación. Entre

C a lific a c io n e s d e c r é d ito . L a com pañía FIC O utiliza sus calificacion es p ara clasificar la calidad d e un crédito a l co n ­ sumidor. U sted qu iere determ inar la calificación prom edio

aerolínea. 30.

P ila s d e m a rc a p a s o s .

Puesto q u e las p ila s utilizadas en

b s hom bres que eran encuestados por hombres, 7 0% e s ­

b s m arcapasos del corazón son sum am ente importantes,

taban d e acuerdo co n la afirmación. Suponiendo q u e la discrepancia e s significativa, ¿cóm o puede explicar esta dis­

quiere determ inar la duración prom edio (m edia) d e tales pilas, a partir d e la últim a falla.

crepancia? In te rp re ta c ió n d e e s tu d io s re a le s .

Para c a d a uno d e los ejerci­

Proyectos para internet y más allá

d o s d el 2 3 a l 2 6 , realice lo siguiente: a.

Cón b ase en la inform ación dada, indique cu ál considera q u e fue e l objetiv o del estudio. Identifique una p osib le po­ blación y e l parám etro poblacional d e interés.

b.

c

Para enlaces útiles seleccione "Linksfo r Internet Projects "para el capítulo l en www.aw.com/bbt. 31.

ín d ic e s d e a u d ie n c ia a c tu a le s d e N ie ls e n .

Determine

los índices d e audiencia d e N ielsen para la sem ana pasada.

D escriba brevem ente la muestra, los d atos y la estadística muestral para e l estudio.

¿C u á le s fueron los tres program as d e televisión m ás popu­ lares? E xplique e l significado d e “ índices d e audiencia” y

Cón base en la estadística muestral y e l margen d e error, identifique e l rango d e valores (intervalo d e confian za) que

e l término “ participación” para c a d a program a.

www.FreeLibros.org e s probable q u e con ten ga a l parám etro p ob lacio n al de interés.

32.

M é to d o N ie ls e n .

L a com pañ ía N ielsen M edia Research

con frecuencia revisa los detalles d e sus m étodos para reco­

www.fullengineeringbook.net 30 of 495.

1.2 M u e s tre o lectar la información. V isite su sitio w eb y lea acerca d e sus estrategias actuales para cla sificar los program as d e tele­ visión. Resum a esto s m étodos en una lista con form ato de

11

E N L A S N O T IC IA S

viñetas. 33.

C o m p a r a c ió n d e a e r o lín e a s .

E l Departamento d e T ran s­

porte d e E stados U nidos publica e l desem peño d e puntua­ lidad, tasa d e equipaje perdido y otras estadísticas para diferentes com pañ ías aéreas. Determine un ejem plo re­ ciente d e tales estadísticas. C on b ase en su s hallazgos, ¿es ju sto decir q u e algun a línea en particular destaca com o m ejor o peor q u e las o tras? Explique. 34.

U tilice e l sitio web d e la O ficina de E stadísticas d e T rabajo para determ inar las ta sa s d e d e s­

E s ta d ís tic a s la b o r a le s .

algo. En cad a c a so escriba un párrafo breve q u e d e s­ criba e l p ap el d e la estadística en e l artículo. Escriba una descripción breve d e algu n as form as en las q u e pien sa q u e la cien ­

38. E s ta d ís tic a e n s u c a rre ra .

de estudio. (S i n o ha seleccionado un área, responda la pregunta para una q u e esté considerando). 3 9 . E s ta d ís tic a y

e n tr e te n im ie n to .

L o s índices d e a u ­

cuesta m ensual tiene un m argen d e error d e alrededor de 0.2 puntos porcentuales, ¿h a habido un cam b io notable en

diencia d e N ielsen son bien conocidos p or su papel en el cálcu lo d e televidentes. Identifique otra form a en que

la tasa d e desem pleo durante e l último año? Explique.

las estadísticas son utilizadas en la industria del entre­

E s ta d ís t ic a s y s e g u r id a d .

Identifique un estudio q u e se

haya realizado (o d eb a hacerse) para m ejorar la seguridad de los autom ovilistas y los pasajeros. D escriba brevemente la importancia d e la estadística en e l estudio. 36.

Identifique tres artículos

efe la sem ana p asad a que incluyan estadísticas sobre

cia estadística puede utilizarse en su cam po principal

em pleo durante los últim os 12 m eses. S i supone q u e la en ­

35.

37. E s ta d ís tic a s e n la s n o tic ia s .

C e n tro d e I n v e s tig a c ió n P e w .

El Centro Pew para la G ente

y la Prensa, estudia actitudes del público hacia la prensa, la política y temas de política. Visite su sitio web y encuen­ tre las últim as encuestas acerca d e las actitudes. Seleccione n ía encuesta, escriba un resumen d e lo q u e lúe e s a encuesta, cóm o se realizó y cuando fue hecha.

tenimiento. D escriba brevemente e l papel d e la estadís­ tica en esta aplicación. Seleccione un deporte y des­ criba, a l m enos, tres estadísticas diferentes q u e re­

4 0 . E s ta d ís tic a y d e p o r t e .

gularm ente son segu id as p o r los participantes o los espectadores. E n c a d a c a so , d escrib a la importancia de la estadística p ara e l deporte. 41. E s ta d ís tic a s

e c o n ó m ic a s .

C on regularidad, e l g o ­

bierno publica m uchas estadísticas económ icas, tal com o la tasa d e desem pleo, la tasa d e inflación y el superávit o déficit en e l presupuesto federal. Analice periódicos recientes e identifique cin co estadísticas económ icas importantes. E x p liq u e brevem ente e l p ro­ pósito d e c a d a u na d e estas cin co estadísticas.

1.2 M uestreo

L

a única form a d e co n ocer e l v a lo r verdadero d e un parám etro d e la población e s o b ser­

todos

var a los m iem bros d e la población. P or ejem plo, para aprender acerca d e la altura m edia exacta d e todos los estudiantes en su escuela, necesita m edir la altura d e cad a uno d e los estudiantes. Una colección d e datos d e c a d a miem bro de una población se denom ina

N o todo lo que puede contarse cuenta y no todo lo que cuenta puede ser contado.

cen so . Por desgracia, llevar a cab o un censo co n frecuencia e s poco práctico. En algu n os c a so s la población e s tan gran de q u e sería dem asiado on eroso o tardaría m ucho tiem po recolectar la

inform ación d e c a d a miembro. E n otros ca so s un cen so interferiría co n las m etas glo b ales del estudio. P or ejem plo, un estudio diseñado para probar la calidad d e las barras de du lce antes de enviarlas a su distribución, no podría incluir un cen so y a q u e significaría p rob ar c a d a una d e las

— Albert Einstein

barras d e dulce, dejan do nada para la venta.

D efin ició n

www.FreeLibros.org U n c e n s o e s u n a r e c o le c c ió n d e d a t o s d e

cad a uno

d e lo s m ie m b r o s d e u n a p o b la c ió n .

Por fortuna, la m ayoría d e los estudios estadísticos pueden hacerse sin llevar e l problem a

de la realización d e un censo. En lugar de recolectar los d atos d e cad a m iem bro d e la población,

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12

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a recolectam os la inform ación d e una muestra y utilizam os las estadísticas muéstrales para hacer inferencias acerca d e la población. P or supuesto, la s inferencias serán razon ables só lo s i los miem bros de la muestra representan bien a la población, a l m enos en términos de las caracterís­ ticas b ajo estudio. E sto es, bu scam os una m u e s tra r e p r e s e n ta tiv a d e la población.

D efin ición U n a m u estra re p re s e n ta tiv a e s u n a m u e s t r a e n la c u a l la s c a r a c t e r ís t ic a s r e le v a n t e s d e b s e le m e n t o s d e la m u e s t r a g e n e r a lm e n t e s o n la s m is m a s q u e la s c a r a c t e r í s t i c a s d e la p o b la c ió n .

E JE M P L O 1

U n a m u e s t r a r e p r e s e n t a t iv a p a r a a lt u r a s

Suponga q u e quiere determ inar la altura m edia d e todos los estudiantes d e su escuela. ¿C u ál podría ser una muestra m ás representativa para e ste estudio: los integrantes del equip o varonil de básquetbol o los estudiantes de su cu rso d e estadística?

S o lu c ió n L o s integrantes del equip o varonil d e básquetbol n o son una muestra representa­ tiva para un estudio d e altura, y a q u e só lo está form ada p or hombres y , segundo, los ju gad o res de básquetbol tienden a ser m ás altos que e l prom edio. L a altura m edia d e los estudiantes en su curso d e estadística, tal vez, e s m ucho m ás cercana a la altura m edia d e todos los estudiantes, de m odo que su cla se form a una muestra m ás representativa q u e los integrantes del equipo varonil d e básquetbol.

Sesg. Im agine que para los 5 0 0 0 hogares en su muestra, N ielsen eligió só lo los hogares en los que e l principal proveedor d e ingresos trabajó en horario nocturno. Puesto q u e los trabajadores de tum o nocturno no están en c a sa para ver la televisión p or la noche, N ielsen determ inaría

A p r o p ó s ito ...

que los program as nocturnos no son populares entre los hogares d e esta muestra. C laro, esta

M uchos e s tu d io s m é d ico s son

muestra no sería representativa d e todos los hogares d e E stad os U nidos, sería erróneo concluir que los program as nocturnos no son populares para todos los estadounidenses. D ecim os q u e tal

exp erim en to s d is e ñ a d o s para

muestra está sesg ad a y a q u e los hogares en la muestra difieren de una manera específica d e los

probar si un m e dicam ento

hogares “ típicos” estadounidenses. (E n realidad, N ielsen tiene gran cuidado en ev itar tal sesgo obvio en la selección d e la muestra). E l término sesgo refiere cualquier problem a en e l di­

nuevo e s e fe ctiv o . En un a rtíc u lo p u b lica d o e n la Journal o fthe Am erican M e d ical Association, los autores d e te rm in a ro n q u e los

seño o realización d e una investigación estadística q u e tiende a inclinarse a ciertos resultados. N o podem os tener confianza d e las conclusiones d e un estudio sesgado.

estud io s co n resu lta d o s p ositivo s (el m e d ica m e n to e s e fe ctiv o ) es más prob ab le q u e se publiquen,

D efin ición

q j e los e s tu d io s co n resultados

U n a in v e s t ig a c ió n e s t a d í s t i c a s u f r e d e s e s g o s i s u d is e ñ o

negativos (e l m e d ic a m e n to no

c e r c ie r t o s r e s u lt a d o s .

o r e a liz a c ió n t ie n d e a f a v o r e ­

€5 e fe ctiv o ). Este "s e s g o e n la p u b lica ció n " para la p rod u cció n de nuevos m edicam ento s, c o m o grup o , p arece m ás e fe c tiv o d e lo q j e e n re a lid a d son.

E l se sg o puede surgir de m uchas form as. P or ejem plo: U na muestra tiene se sg o si los m iem bros de la muestra difieren de alguna manera esp ecí­ fic a d e los m iem bros d e la población general. E n tal caso , los resultados d el estudio refle­ jarán las características inusuales d e la muestra en lugar d e las características reales d e la población. Un investigador está sesg a d o si tiene un interés en un resultado particular. E n e se caso , el investigador podría, a propósito o sin querer, distorsion ar e l significado real d e la infor­ mación. E l conjunto d e d atos podría estar se sg ad o s i su s valores fueron recolectados, a propósito o

www.FreeLibros.org sin querer, d e una form a q u e los hace no representativos d e la población. Aun si un estudio está bien hecho, podría reportarse de una form a sesgada. P or ejem plo,

una gráfica q u e representa los d atos podría d ecir só lo parte d e la historia o ilustrar la infor­ m ación d e una m anera en gañ osa (v e a la sección 3.4).

www.fullengineeringbook.net 32 of 495.

1.2 M u e s tre o

13

Prevenir e l sesgo e s uno d e los m ayores retos en una investigación estadística. P or tanto, identificar se sg o e s uno d e los p a so s m ás importantes en la evaluación d e una investigación estadística o d e inform es en m edios acerca de una investigación estadística.

E JE M P L O 2

¿ P o r q u é u s a r N ie ls e n ?

N ielsen M edia Research co b ra a las redes y estaciones d e televisiones p or su s servicios. Por ejem plo, N B C p ag a a N ielsen p or proporcionar índices d e audiencia d e su s program as d e tele­ visión. ¿P o r q u é N B C no hace su s p rop ios índices d e audiencia, en lugar d e p ag ar a una co m ­ pañía p or hacerlos?

S o lu c ió n

E l co sto d e publicidad en un program a d e televisión depende del índice d e a u ­

diencia del show. Entre m ayor sea, m ás puede cob rar la red p or un anuncio, lo q u e significa q u e N B C podría tener un claro se sg o si hace su s p rop ios índices d e audiencia. P or tanto, los anunciantes no confiarían en e sto s índices. A l contratar una fuente independiente, tal com o N ielsen, N B C proporciona inform ación m á s creíble p ara los anunciantes.

U N M O M E N T O D E R E F L E X I Ó N ________________________ E l h e c h o q u e N B C p a g u e a N ie ls e n p o r s u s s e r v ic io s p o d r ía d a r a N ie ls e n u n i n c e n t iv o f i ­ n a n c ie r o p a r a h a c e r q u e N B C s a lg a b ie n e n lo s ín d ic e s d e a u d ie n c ia . E l h e c h o d e q u e N ie ls e n t a m b ié n p r o p o r c io n a ín d ic e s d e a u d ie n c ia p a r a o t r a s c a d e n a s , ¿ c ó m o a y u d a a p r e v e n ir d e u n p o s ib le s e s g o h a c ia N B C ?

M é to d o s d e m uestreo U na buena investigación estadística debe tener una muestra representativa. D e otra form a la muestra está se sg ad a y las conclusion es del estudio carecen d e confiabilidad. Exam inarem os unos cuantos m étodos com unes d e muestreo que, a l m enos en principio, pueden proporcionar una muestra representativa.

M u e s t r a s a l e a t o r i a s s im p le s E n la m ayoría d e los c a so s, la m ejor form a d e obtener una muestra representativa e s seleccio­ nándola a l a z a r (o aleatoriam ente) d e la población. U na muestra aleatoria es aq u élla en la cu al c a d a elem ento d e la población tiene igual oportunidad d e ser seleccionado co m o parte de la muestra. P or ejem plo, podría obtener una muestra aleatoria q u e contenga a todos aquéllos de una población q u e tiren un d ad o y seleccionar a los que obtengan un 6. E n contraste, la muestra no sería aleatoria si selecciona a aqu ellos d e m ás d e 6 p ie s d e estatura, y a que no todos tendrían igual oportunidad d e ser seleccionados. E n estadística, p or lo regular decidim os p or adelantado e l tam año d e la muestra q u e se necesita. C on un muestreo aleatorio simple, cualquier muestra p osib le d e un tam año parti­ cu lar tiene igual oportunidad d e ser seleccionada. P or ejem plo, para seleccionar una muestra aleatoria sim ple d e 100 estudiantes d e todos los estudiantes en su escuela, podría a sign ar un número a c a d a uno y seleccionar la muestra sacan do 100 d e e sto s núm eros d e un sombrero. Siem pre q u e e l número de c a d a estudiante esté en e l som brero una so la vez, c a d a muestra de 100 estudiantes tiene igual oportunidad d e ser seleccionada. C om o una alternativa m ás rá­ pida a l uso del som brero, podría seleccionar los núm eros d e los estudiantes con ayuda d e una com putadora o una calculadora q u e tenga integrado un generador de núm eros aleatorios.

CJN M O M E N T O D E R E F L E X I Ó N ________________________ B u s q u e la t e c la d e n ú m e r o s a le a t o r io s e n u n a c a lc u la d o r a . ( C a s i t o d a s la s c a lc u la d o r a s c ie n t íf ic a s t ie n e n u n a ) . ¿ Q u é s u c e d e c u a n d o la o p r im e ? ¿ C ó m o p o d r ía u t iliz a r la t e c la d e n ú m e r o s a le a t o r io s p a r a s e le c c io n a r u n a m u e s t r a d e

100

e s t u d ia n t e s ?

www.FreeLibros.org Puesto q u e un m uestro aleatorio sim ple proporciona a una muestra sim ple d e un tamaño particular la m ism a oportunidad d e ser elegida, e s probable proporcionar una m uestra repre­ sentativa, siem pre y cuando sea suficientemente grande. Entre m ayor sea la muestra aleatoria simple, m ás probable e s q u e sea representativa d e la población.

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14

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a

E JE M P L O 3

M u e s t r e o e n u n d ir e c t o r io t e le f ó n ic o

U sted podría llevar a ca b o una encuesta d e opinión en la cu al la población sean todos los resi­ dentes en una ciudad. ¿P od ría seleccionar una m uestra aleatoria sim ple escogiendo nombres aleatoriamente del directorio telefónico local?

S o lu c ió n

Una muestra extraída de un directorio telefónico n o e s una muestra aleatoria sim ­

ple d e la población d e la ciudad, y a que en los directorios invariablem ente no hay m uchos nombres y alguien que no aparezca n o tiene oportunidad d e ser elegido. P or ejem plo, e l direc­ torio telefónico no tendrá los nom bres d e d o s o m ás personas que com parten e l m ism o número telefónico, só lo una d e e lla s está en la lista, o cu an d o una persona elige q u e su número tele­ fónico no aparezca, o cuando dependen exclusivam ente d e un teléfono celular, o cu an d o una persona (tal co m o los vagabundos) no tienen teléfono.

M u e stre o s is te m á tic o El m uestreo aleatorio sim ple e s efectivo, pero en m uchos c a so s podem os obtener resultados igualmente buenos co n una técnica m ás sencilla. Su pon ga q u e está probando la calidad d e los m icrocircuitos producidos p o r Intel. C onform e é sto s salen d e la línea d e ensam blado, podría decidir probar cad a 5 0 circuitos. E sto podría d a r una muestra representativa y a q u e n o existe razón para creer q u e c a d a 5 0 circuitos tenga una característica especial com parada co n los otros circuitos. E ste tipo d e muestreo, en e l q u e utilizam os un sistem a, tal co m o la elección de cad a 5 0 m iem bros d e la población, se denom ina muestreo sistemático.

E JE M P L O 4

E v a lu a c ió n e n u n m u se o

O ran do e l M u seo N acion al del A ire y del E sp acio necesitó p rob ar ideas p osibles para una nueva exhibición del sistem a solar, un miem bro del equip o entrevistó a una m uestra d e v isi­

A p r o p ó s it o ...

tantes seleccionados p o r m uestreo sistemático. E lla entrevistó a un visitante exactam ente cad a

El m u e stre o d e s c rito en e l eje m p lo

15 minutos, seleccionando a quienquiera q u e íu ese a entrar, en e se momento, a la exhibición actual del sistem a solar. ¿ P o r q u é cree q u e e lla eligió e l m uestreo sistem ático en lugar del

4 fu e e m p re n d id o an tes d e la co n stru c c ió n d e l M o d e lo a Escala ctel S istem a So lar V oyage, una e x h ib ició n p erm a nen te d e un m o d elo a e s c a la q u e s e extien d e

m uestreo aleatorio sim ple? ¿ E s probable q u e e l m uestreo sistem ático produzca una muestra representativa en este c a so ?

S o lu c ió n

El muestreo aleatorio simple, ocasionalm ente, podría elegir d o s visitantes q u e lle­

N acional d e l A ir e y d e l E sp a c io a la

guen uno atrás d e otro q u e e l miem bro d el equip o no tendría tiem po d e entrevistar a c a d a uno de ellos. E l p roceso sistem ático d e seleccionar un visitante cad a 15 minutos, presentado en este

T o rre Sm ithsoniana. L a fo to g ra fía

ejem plo, previene este problem a. Puesto q u e no e x iste razón p ara pen sar que una persona que

siguiente m u e stra al hijo d e uno

ingrese en un momento particular sea diferente d e los q u e entran unos minutos antes o después, es probable q u e este p roceso proporcione una muestra representativa d e la población d e visi­

a lo larg o d e l p ase o d e l M u seo

d e los cre a d o re s d e la e x h ib ició n (tam b ié n a u to r de e s te libro) to c a n d o e l m o d e lo a e s c a la d e l sol.

tantes durante e l tiem po del muestreo.

E JE M P L O 5

C u a n d o e l m u e s t r e o s i s t e m á t i c o n o f u n c io n a

Usted está realizando una encuesta d e estudiantes en un dormitorio de una escuela m ixta en el que los hombres tienen asign adas habitaciones con número im par y las m ujeres habitaciones con número par. ¿Puede obtener una muestra representativa cuando elige cad a 10 habitaciones?

S o lu c ió n

No. S i usted inicia co n una habitación co n número impar, cad a 10 habitaciones

también será una co n número im par (tal co m o las habitaciones co n número 3, 13, 2 3 ,...). D e forma an áloga, si inicia co n una habitación co n número par, c a d a 10 habitaciones tam bién tendrá número par. P or tanto, obtendrá habitaciones co n só lo hom bres o co n só lo mujeres, nin­ guna d e ellas e s representativa d e la población d e la escu ela mixta.

www.FreeLibros.org U N M O M E N T O IDE R E F IL E X IÓ N ________________________ S u p o n g a q u e e n e l e j e m p lo 5 e lig e c a d a 5 h a b it a c io n e s , e n lu g a r d e c a d a 10, a h o r a ¿ la m u e s ­ tr a s e r ía r e p r e s e n t a t iv a ?

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1.2 M u e s tre o

15

M u e s t r e o d e c o n v e n ie n c ia E l m uestreo sistem ático e s m ás sencillo q u e e l m uestreo aleatorio simple, p ero tam bién puede ser p o c o práctico en m uchos c a so s. P or ejem plo, suponga que quiere conocer la proporción de estudiantes zurdos en su escuela. Sería un gran esfuerzo seleccionar una muestra aleatoria sim ple o una m uestra sistemática, y a q u e am bas requieren e le g ir entre todos los estudiantes de la escuela. En contraste, sería m ás sencillo utilizar a los estudiantes en su cla se d e estadística — basta co n pedir q u e levanten la mano los estudiantes q u e son zurdos— . E ste tipo d e muestra se denom ina muestra de conveniencia y a q u e selecciona p or conveniencia en lugar d e hacerlo p or un procedim iento m ás com plejo. A l tratar d e determ inar la proporción d e p erson as zurdas, e l m uestreo d e conveniencia d e su cla se d e estadística probablem ente esté bien; no existe razón para pensar que la proporción d e estudiantes sea diferente q u e la d e la escuela. Pero si estuviese tratando d e determ inar la proporción d e estudiantes co n diferentes especialidades, esta muestra sería sesgada, y a q u e algu n as especialidades requieren un cu rso d e estadística y otras no. En general, e l m uestreo d e conveniencia tiende a ser m á s propenso a ser se sg ad o q u e otras form as d e muestreo.

E JE M P L O 6

P r u e b a d e l s a b o r d e u n a s a ls a

Un superm ercado necesita decidir si tener una nueva m arca d e salsa, por lo que ofrece una prueba gratis en un p uesto en la tienda y pregunta a las personas si les gusta. ¿Q ué tipo de m uestreo se utiliza? ¿ E s probable q u e la muestra sea representativa d e la población d e todos los clien tes?

S o lu c ió n L a muestra d e clientes q u e se paran a p rob ar la salsa e s un m uestreo d e co n ­ veniencia, y a q u e e stas personas se encuentran en la tienda y son voluntarios para probar el producto nuevo. (E ste tipo d e m uestreo de conveniencia, en e l q u e las personas eligen o no ser

muestreo de autoselección.

parte d e la muestra, también se denom ina E n la sección 1.4 estu­ diarem os m ás este tipo de muestreo). T al muestra no e s probable que sea representativa d e la población de todos los clientes, y a q u e distintos tipos d e personas podrían hacer su s com pras en diferentes m om entos (p or ejem plo, los p ad res q u e están en c a sa e s m ás probable q u e hagan la s com pras a m ediodía q u e los p ad res q u e trabajan) y só lo las personas a quien es les g u sta la salsa e s probable q u e participen. Aun así, la información podría ser m uy útil, y a q u e las opinio­ nes d e las personas q u e les gu stan la salsa qu izá sean m ás importantes en este caso.

M u e stre o p o r c o n g lo m e r a d o E l muestreo por conglomerado incluye la selecció n d e (o

conglomerados) seleccionados aleatoriam ente.

todos

lo s m iem bros d e grupos Im agine q u e trabaja p ara e l Departamento

d e A gricultura y d e se a determ inar e l porcentaje d e agricu ltores q u e utilizan técnicas d e cu l­ tiv o orgánicas. Sería d ifíc il y co sto so recolectar una m uestra aleatoria sim ple o un m uestreo sistem ático y a q u e am bos requerirían la v isita d e m uchas gran jas q u e están ubicadas m uy lejos unas d e otras. Un m uestreo d e conveniencia d e agricultores en un so lo co n d ad o sería sesgado, y a q u e las técnicas d e cu ltivo varían d e región en región. P or tanto, podría d ecid ir seleccionar d e form a aleatoria unos cuantos co n d ad os en todo e l p aís y encuestar a los agricul­

todos conglomerado

tores de e s o s condados. D ecim os q u e c a d a condado tiene un d e agricultores y la muestra co n siste en agricultor q u e pertenece a los con glom erad os seleccionados

cada

aleatoriam ente.

E JE M P L O 7

P r e c io s d e g a s o l i n a

U sted quiere co n ocer e l precio m edio d e la gaso lin a en las gasolin erías localizadas en un radio de una m illa d e la ubicación d e rentas de autom óviles en los aeropuertos. E xplique có m o p o ­ dría utilizar e l m uestreo p or conglom erados en este caso.

www.FreeLibros.org S o lu c ió n

Podría seleccionar aleatoriamente unos cuantos aeropuertos en todo e l país. Para

esto s aeropuertos verificaría los precios d e la gaso lin a en m illa d e la ubicación d e la renta d e autom óviles.

cada gasolinería en

un radio d e una

www.fullengineeringbook.net 35 of 495.

16

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a

M u e stre o e s tr a tific a d o

A p i-o p ó sito ...

Suponga q u e realiza una encuesta p ara pronosticar e l resultado d e la siguiente elección presi­ dencial en E stad os U nidos. L a población b ajo estudio son todos los votantes, p or lo q u e podría

C o m o lo m an d a la c o n s titu d ó n

seleccionar una muestra aleatoria sim ple d e esta población. Sin em bargo, y a q u e las elecciones

d e Esta d os Unidos, e n realidad

presidenciales las decide e l reparto d e los votos electorales estado p or estado, obtendría un m ejor pronóstico si determ ina las preferencias d e los votantes dentro d e c a d a estado. P or tanto,

el v o t o p ara p resid en te lo realiza un p e q u e ñ o g ru p o d e personas cfenom inadas electores. Cada e sta d o pued e s e le c c io n a r tantos e le cto re s c o m o te n g a m iem b ro s en el C o n g re so (co n ta n d o sen adores

su muestra glo b al consiste d e m uestras aleatorias d e c a d a uno d e los 5 0 estados. E n termino­ logía estadística, las poblaciones d e los 5 0 estad os representan subgrupos, o estratos, d e la población total. Puesto q u e su m uestra total co n siste en los m iem bros seleccionados d e cada estrato, hem os utilizado muestreo estratificado.

y representantes). C u a n d o usted em ite un v o t o para presidente, en realidad e m ite un v o t o para el e le c to r d e su estad o , c a d a un o de b s cu a le s tie n e e l c o m p ro m is o de v o ta r p o r un c a n d id a to presidencial particular. L o s e le c to re s em iten sus v o to s unas cua ntas sem anas ctespués d e la e le c c ió n general.

E JE M P L O 8

D a t o s d e d e s e m p le o

El Departamento del T rab ajo d e E stad os U nidos encuesta c a d a m es 6 0 0 0 0 hogares para co m ­ pilar su reporte d e desem pleo (vea ejem plo 2 en la sección 1.1). Para seleccionar e sto s hogares, este departam ento primero agrupa las ciudades y condados en alrededor de 2 0 0 0 áreas ge o g rá ­ ficas. Luego, d e form a aleatoria, selecciona hogares en c a d a una d e e stas áreas ge o gráficas para encuestarlos. ¿ E s un ejem plo d e m uestreo estratificado? ¿C u á le s son los estratos? ¿P o r q u é el m uestreo estratificado e s importante en este c a so ?

S o lu c ió n

La encuesta d e desem pleo es un ejem plo d e m uestreo estratificado y a q u e pri­

mero divide la población en subgrupos. L o s subgrupos, o estratos, son las p erson as en las 2 0 0 0 regiones geográficas. E n este c a so e l m uestreo estratificado e s importante, porque la s tasas de desem pleo probablem ente son diferentes en las distintas regiones geográficas. P or ejem plo, las ta sa s d e desem pleo en la parte rural de K an sas podrían ser m uy diferentes q u e en Silicon V alley. A l utilizar m uestreo estratificado, e l Departamento del T rab ajo asegura q u e su muestra representa adecuadam ente a todas las regiones geográficas.

R esu m en de m é to d o s de m uestreo El recuadro siguiente y la figura 1.3 resum en los cin co m étodos d e m uestreo q u e hem os anali­ zado. N ingún m étodo es “ e l m ejor” , c a d a uno tiene sus p rop ios usos. (A lgun os estudios incluso combinan d o s o m á s tipos d e muestreo). Pero sin importar có m o se elija una muestra, tenga en mente las tres ideas clav e siguientes: • •

Un estudio puede tener éxito só lo si la muestra e s representativa d e la población. U na muestra se sg ad a no e s probable q u e sea una muestra representativa.

•

Aunque una muestra sea bien elegida, puede resultar no representativa, p o r m ala suerte, al sac ar la muestra.

M éto d o s co m u n e s d e m u estreo • M u e stre o a le a t o r io s im p le : e le g im o s u n a m u e s t r a d e e le m e n t o s d e t a l m a n e r a q u e c u a lq u ie r m u e s t r a d e l m is m o t a m a ñ o t e n g a ig u a l o p o r t u n id a d d e s e r s e le c c io n a d a . • M u e stre o s is te m á tic o : u t iliz a m o s u n s is t e m a s e n c i ll o p a r a s e l e c c io n a r la m u e s t r a , t a l c o m o e l e g i r á c a d a 1 0 o c a d a 5 0 e le m e n t o s d e la p o b la c ió n . • M u e stre o p o r c o n v e n ie n c ia : u t iliz a m o s u n a m u e s t r a q u e p u e d a s e r c o n v e n ie n t e d e s e le c c io n a r . • M u e stre o p o r c o n g lo m e r a d o s : p r im e r o d iv id im o s la p o b la c ió n e n g r u p o s , o c o n g lo m e r a d o s , y s e le c c io n a m o s a l a z a r a lg u n o s d e e s t o s c o n g lo m e r a d o s . L u e g o o b t e n e m o s la m u e s t r a m e d ia n t e la s e le c c ió n d e t o d o s lo s m ie m b r o s e n c a d a u n o d e l o s c o n g l o m e r a d o s s e le c c io n a d o s .

www.FreeLibros.org • M u e stre o e s tra tific a d o : u t iliz a m o s e s t e m é t o d o c u a n d o n o s in t e r e s a n la s d if e r e n c ia s e n t r e s u b g r u p o s , o e s tra to s , d e n t r o d e u n a p o b la c ió n . P r im e r o id e n t if ic a m o s lo s e s t r a t o s y lu e g o s a c a m o s u n a m u e s t r a a le a t o r ia e n c a d a u n o d e lo s e s t r a t o s . L a

m u e s t r a t o t a l c o n s is t e e n t o d a s la s m u e s t r a s d e c a d a u n o d e lo s e s t r a t o s in d iv id u a le s .

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1.2 Muestreo

M u e str e o a lea to rio sim p le: C a d a m uestra d el m ism o tamaño tiene igual oportunidad d e ser elegida. Con frecuencia las computadoras so n utilizadas p ara generar números aleatorios.

M u e str e o sistem á tico : Selecciona cad a

k elementos.

M u e str e o p o r co n ven ien cia : U tiliza resultados que son fácilmente disponibles.

Elección de distritos en el condado de Carson

M u e str e o p o r con g lo m era d o s: Divide la población en conglomerados, selecciona algunos d e e so s conglomerados y luego tom a a todos lo s elementos de los conglom erados seleccionados.

en los distritos som breados.

Mtt HH

M u e str e o estratificad o: Divide a la población en a l menos d os estratos, luego se s a c a una m uestra de cad a uno de ellos.

F ig u ra 1.3

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18

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a

E JE M P L O 9

M é to d o s d e m u e stre o

Identifique e l tipo d e m uestreo utilizado en cad a uno d e los c a so s siguientes:

a . L a cosecha d e m anzanas en un huerto se recolecta en 1 200 can astos. Un inspector d e agri­ cultura selecciona 2 5 can astos a l a z a r y luego revisa s i cad a m anzana en esto s can astos tiene gusan os.

b . U na investigadora educativa quiere co n ocer si, en una escuela en particular, los hom bres y la s m ujeres tienden a realizar m ás preguntas en clase. D e los 1 0 0 0 0 estudiantes en e l cole­ gio , ella entrevista a 50 hom bres y a 5 0 m ujeres elegid as a l azar.

c . A l tratar d e aprender s i los sistem as planetarios son com unes, los astrónom os realizan un sondeo buscando planetas entre 100 d e las estrellas m ás cercanas.

d . Para determ inar quién ganará balones d e fútbol autografiados, un program a d e cóm puto selecciona aleatoriam ente los núm eros d e boleto d e 11 personas en un estadio lleno con gente.

Solución a . L a inspección de m anzanas e s un ejem plo d e m uestreo p or conglom erados, y a q u e e l ins­ pector inicia co n un conjunto d e conglom erados (lo s can astos) elegid o s d e m anera aleatoria y luego revisa tod as las m anzanas en los conglom erados seleccionados.

b . Para este estudio los grupos de hom bres y d e m ujeres representan d o s estratos diferentes, por lo q u e e s un ejem plo d e m uestreo estratificado.

c. L o s astrónom os centran su atención en estrellas cercanas, y a q u e son m ás sencillas d e estu­ diar, p o r lo q u e e s un ejem plo d e m uestreo p or conveniencia.

d . Puesto que la com putadora selecciona a l azar los 11 boletos, cad a boleto tiene igual oportu­ nidad d e ser elegido. E s un ejem plo d e m uestreo aleatorio simple.

Sección 1.2 Ejercicios A lf a b e t iz a c ió n e s ta d ís tic a y p e n s a m ie n to c r ít ic o

5.

E d a d d e g ra d u a c ió n .

Para un proyecto d e la cla se de esta­

dística, y o realicé un censo para determinar la edad m edia de estudiantes cuando ellos obtienen su grado de licenciatura.

1. C e n s o y m u e s tra .

¿Q ué e s un censo, q u é e s una muestra y

cu ál e s la diferencia entre ellos? 2.

M u e stra s e s g a d a .

En una encuesta antes d e elecciones, se

M u e stre o p o r c o n g lo m e r a d o s y e s tra tific a d o .

Para un proyecto d e la cla se

tos resultados podrían no ser significativos. 7.

L o s m ués­

treos por conglom erados y estratificado incluyen la selec­ ción d e sujetos en subgrupos d e la p o b lació a ¿C u ál e s la

M u e stra s e s g a d a . E l estudio puede estar sesgado, y a que concluyó que 7 5 % d e los estadounidenses tienen m ás de

6 p ie s d e altura. 8.

C o n d e n a d o s a m u e rte .

En la actualidad existen 3 3 6 6 con­

victos con pena de muerte (con base en datos de 2007 d e la Oficina d e Estadísticas d e Justicia). Obtuvim os una muestra

diferencia entre e sto s d o s tipos d e m uéstreos? 4.

M u e stre o d e c o n v e n ie n c ia .

de estadística, utilicé un m uestreo d e conveniencia, pero

saca una muestra aleatoria d e una lista d e dem ócratas regis­ trados. ¿E x iste a lg o erróneo en este método d e m uestreo? 3.

6.

U no d e los autores realizó un

aleatoria simple de eso s reos com pilando una lista numerada,

estudio registrando si c a d a estudiante en su cla se era dies­

luego utilizamos una computadora para generar aleatoriamente 2 0 números entre 1 y 3 366 y luego seleccionam os a

M u e stre o d e e s t u d ia n t e s .

tro. E l objetivo era sacar una conclusión acerca d e la pro­ porción d e estudiantes d e la universidad q u e eran diestros. ¿Q ué tipo d e muestra obtuvo? ¿Q u izás esta muestra fue sesgad a? ¿P o r qué sí o p o r q u é no? ¿ T ie n e s e n tid o ?

Para los ejercicio s 5 a l 8 decida si e l enunciado

tos reos que correspondían a los números generados.

C o n c e p to s y a p lic a c io n e s C enso.

En los ejercicios 9 a 12 determ ine s i un cen so e s prác­

www.FreeLibros.org tiene sentido (o e s claram ente verdadero) o no tiene sentido (o

claramente e s falso). E xplique claram ente; no todos los enun­ ciados tienen respuestas definitivas, p or lo que su explicación es m ás importante q u e la respuesta elegida.

tico en la situación que se describe. E xplique su razonamiento. 9.

A ltu ra d e ju g a d o r e s .

U sted quiere determ inar la altura

media d e todos los ju gad o res de básquetbol del equipo de tos Lakers d e L o s Á ngeles.

www.fullengineeringbook.net 38 of 495.

1.2 M u e s tre o 10.

media d e tod os los ju gad o res d e básquetbol en las prepara­

U sted quiere llevar a cabo una encuesta para determ inar la proporción d e votantes e le g i­

torias d e E stad os Unidos.

bles en C alifornia que probablemente voten p or e l can di­

E s ta tu ra e n la p re p a ra to r ia .

11. P u n tu a c ió n d e IQ .

Q uiere determ inar la estatura

18. V o ta n te s e n C a lifo rn ia .

dato dem ócrata a la presidencia en la siguiente elección.

Q uiere determ inarla puntuación media

de IQ d e todos los profesores d e estadística en E stados

a.

E d a d e s d e lo s p r o fe s o r e s .

b. T o dos los votantes elegib les en la ciudad d e Sonom a.

Q uiere determ inar la edad

media d e todos los p rofesores d e estadística en la U niversi­

c. T o dos los votantes elegib les que respondan a una en ­

dad d e Colorado. ¿ M u e stra s

T o dos los votantes elegib les en e l condado d e San Diego.

Unidos. 12.

19

cuesta p or internet d e A O L (A m erica O nLine).

re p r e s e n t a tiv a s ?

d.

En los ejercicios del 13 a l 16

identifique la muestra, la población y e l método d e muestreo. L u ego com ente si e s probable q u e la m uestra se a representativa de la población.

C ada 1 0 0 0 personas en una lista com pleta d e todos los votantes elegib les en California.

Sesgo.

En las situaciones descritas en los ejercicios del 19 al

22, ¿ex iste se sg o ? 13.

14.

D u ra c ió n e n el S e n a d o . U n científico d e la política selec­ ciona aleatoriam ente 4 d e los 100 senadores q u e actual­

16.

U na crítica d e cin e p ara A B C N ew s le

q re han estado en servicio.

pasó p or A B C .

Súper Tazón.

Durante e l ju e g o del S ú p er T azón , N ielsen

20.

R e v is ió n d e a u to m ó v ile s .

L a revista

Consumen Reports,

que no acepta productos o publicidad gratuita de nadie, im ­ prime un estudio de autom óviles nuevos. 21.

So ya g e n é tic a m e n te m o d ific a d a .

M onsanto contrata cien ­

En una encuesta d e Gallup a 1012 adultos estadounidenses elegid os aleatoriamente, 89% d ijo q u e la

tíficos universitarios independientes para determinar s i su nueva soya modificada genéticamente plantea algún peligro

clonación d e humanos no deb e permitirse.

para el medio ambiente.

C lo n a c ió n .

E n cu e sta p o r co rre o .

U na estudiante graduada en la Uni­

E l Journal o f tiie American M edical Association publica un artículo que

22. F o n d o s p a ra e s tu d io d e m e d ic a m e n to s .

versidad d e Newport realizó un proyecto d e investigación

evalúa un medicamento y algunos d e los m édicos que escri­

acerca d e có m o los adultos estadounidenses se com unican. Ella inicia co n una encuesta enviada por correo a 5 0 0 de

ben e l artículo recibieron fondos d e la com pañ ía farm acéu­ tica que lo produce.

los adultos q u e conoce. L e s p id e q u e regresen p or correo una respuesta a esta pregunta: “¿P refiere utilizar correo electrónico o e l correo “caracol” (el servicio p ostal de E sta­ d as U nidos)?” . Obtiene 6 5 respuestas, co n 4 2 d e ellas indi­ cando que prefieren e l correo caracol. E v a lu a c ió n d e e le c c io n e s d e m u e s tre o .

L o s ejercicio s 17 y

18 describen e l objetivo d e un estudio y luego le ofrecen cu a ­ tro p osibles muestras. E n cad a c a so decida cu ál m uestra e s m ás

M é to d o s d e m u e s tre o .

estratificada o d e conglom erado. En cad a caso establezca si consi­ dera que e l método probablemente dará una muestra representativa o una sesgada y explique por qué. 2 3 . E n s a y o c l ín i c o .

los rojos en la sangre, una investigadora co n sigu e sobres con los nombres y direcciones d e todos los sujetos tratados. Ella quiere aum entar la d o sis en una subm uestra de 12 su ­

U sted quiere determ inar el

jetos, p o r lo q u e m ezcla todos los sobres en una bandeja y luego sac a 12 d e e s o s sobres p ara identificar a los sujetos a

monto prom edio (m ed io) d e tarjetas d e crédito d e adultos consum idores en Florida: a.

L o s conductores d e Florida que p oseen y tienen regis­

quienes les aum entara la d o sis. 24.

trados vehículos L an d Rover. b.

c.

E n la fase II d e prueba d e un m edica­

mento nuevo diseñ ad o para aum entar e l conteo d e gló b u ­

D espués explique p or q u é c a d a una d e las otras opciones e s pro­ bable q u e no sea una muestra representativa p ara e l estudio. D e u d a e n ta rje ta d e c r é d ito .

En los ejercicios del 2 3 a l 3 8 identifique

cada muestra com o aleatoria simple, sistemática, de conveniencia,

probable que sea una muestra representativa y explique p o r qué.

17.

C rític a d e p e líc u la .

da su opinión d e la últim a película d e D isney, q u e también

M sdia R esearch lleva a c a b o una encuesta en 5 108 hogares seleccionados aleatoriamente y determina que 4 4 % d e ellos tienen la televisión sintonizada en e l S ú p er Tazón. 15.

19.

mente están en e l C ongreso y luego determ ina e l tiem po

P u n to

d e re v is ió n d e s o b r ie d a d .

U no d e los autores

fiie ob serv ad o en un punto policial d e verificación d e so­

L o s prim eros 1000 residentes d e Florida listados en el

briedad, en e l q u e c a d a quinto conductor era detenido y

directorio d e Fort Lauderdale.

revisado.

L o s prim eros 1 0 0 0 residentes d e Florida en una lista

25.

E n c u e s ta s d e s a lid a .

E n e l d ía d e la elección presidencial

www.FreeLibros.org com pleta d e tod os los residentes d e núm eros telefóni­ c o s d e Florida.

d.

L o s residentes d e Florida q u e regresen p or correo una encuesta im presa en e l periódico M iam i H erald.

los noticiarios organizaron una encuesta d e salida en la que casillas d e votación esp ecíficas fueron seleccionadas alea­ toriamente y todos los votantes eran en cuestados conform e salían d e las instalaciones.

www.fullengineeringbook.net 39 of 495.

20 26.

27.

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a Un investigador para la com pañía

de artículos deportivos Spald in g estudia la relación entre el

Una muestra d e C D producidos se obtiene p or m edio d e una com putadora que genera aleato­

nivel educativo y la participación en algún deporte. É l lleva

riamente un número entre 1 y 1 0 0 0 para c a d a C D y luego

a c ab o una encuesta d e 4 0 g o lfista s elegid o s a l azar, 4 0 te­ nistas elegid os a l azar y 4 0 nadadores elegid os a l azar.

se selecciona e l C D si e l número generado es 1000.

E d u c a c ió n y d e p o r t e s .

E r g o n o m ía .

37.

38.

Un estudiante d e ingeniería m ide la fuerza

de los d e d o s utilizados para oprim ir botones haciendo la prueba co n los m iem bros d e la familia. 28. E v a s ió n d e im p u e s to s .

C ad a 5 0 0 cinturones d e seguri­

S e le c c ió n d e u n m é t o d o d e m u e s tr e o .

Un investigador del Servicio de

duzca una muestra representativa. Explique p or q u é seleccionó

Ingresos Internos investiga la ev asión en los reportes d e im­

este método sobre otros métodos.

puestos a los ingresos encuestando a todos los cam areros y

39.

E n c u e s ta e n M T V .

Para c a d a uno d e los

q e rc ic io s del 3 9 a l 4 2 , sugiera un m étodo d e m uestreo q u e pro­

Un experto en m arketing para M T V

4 0 . T ip o d e s a n g re .

Q uiere determinar e l porcentaje d e per­

sonas en este país en c a d a uno d e los cuatro gru p o s sanguí­ neos principales (A , B , A B y O).

10-19, 20-29, y a sí sucesivam ente. 41. I n fo rm a c ió n d e ta rje ta s d e c r é d ito .

Q uiere pronosticar a l gan ad or en la

E le c c ió n e s tu d ia n til.

próxim a elección p ara presidente estudiantil.

planea una encuesta en la q u e 5 0 0 p erson as se seleccio­ narán aleatoriam ente d e cad a uno d e los gru p o s d e edad

30.

C in tu r o n e s d e s e g u r id a d .

dad se prueban mediante esfuerzo hasta q u e fallen.

las cam areras en 2 0 restaurantes elegid os aleatoriamente. 29.

C o n tr o l d e c a lid a d .

U no d e lo s auto­

M u e rtes p o r c a r d io p a tía s .

Q uiere determ inar e l porcen­

taje d e muertes anuales d eb idas a cardiopatías.

res encuesto a tod os su s estudiantes p ara obtener datos m uéstrales del número d e estudiantes q u e tenían taijeta de

42.

R e c a u d a c ió n d e f o n d o s .

L o s recaudadores d e fondos

para e l C o legio d e Newport prueban una nueva cam paña de telemarketing obteniendo una lista alfabética d e tod os los alum nos y llam an a c a d a 100 en e s a lista. 32. E n c u e s ta t e le fó n ic a . E n una encuesta d e G allup a 1 0 5 9 adultos, los sujetos entrevistados fueron seleccionados usando una com putadora para elegir núm eros telefónicos generados a l azar. 33.

I n v e s tig a c ió n d e m e r c a d o .

Proyectos para Internet y más allá

Para enlaces útiles seleccione "Linksfo r Internet Projects ”para el capítulo I en www.aw.com/bbt. 43.

E n c u e s ta d e o p in ió n p ú b lic a .

U na investigadora d e mer­

las preguntas siguientes: a.

em pleados d e m edio tiempo. E lla está encuestando a 50 b.

M otivado p or la muerte d e un es­

10 diferentes gru p o s y entrevistó a todos los estudiantes de

E n c u e s ta e n una re v is ta .

L a revista

People eligió a

resultados de la encuesta son co n fiab les? S i e s así, ¿por

44.

T ra s p la n te s d e c o r a z ó n .

Un investigador m édico en la

Universidad Joh n s H opkins obtiene una lista num erada de

U tilice la p ágin a web d e la O fi­

de có m o e sta oficina selecciona la muestra d e hogares en su encuesta m ensual. E scrib a un breve resumen del p roce­

"fa m o so s m ejor vestidos” com pilando las respuestas que

36.

M u e stra d e d e s e m p le o .

cina d e E stadísticas de T rab ajo para encontrar los detalles

sus

su s lectores enviaron p o r correo a una en cu esta im presa en la revista.

Cbn base en lo q u e ha aprendido, ¿considera q u e los qué? S i no, ¿p o r qué no?

e so s grupos. 35.

Exactamente, ¿cóm o se selecciona una muestra d e indi­ viduos?

personas d e c a d a categoría.

tudiante en una borrachera, e l C o legio d e N ew port realizó un estudio d e los estudiantes q u e beben, seleccionó a l azar

U tilice la inform ación dis­

ponible en e l sitio w eb de una com pañ ía d e encuestas, tal com o G allup, Harris, Pew o Yankelovich, para responder

cad o dividió a todos los residentes d e C alifornia en cate­ gorías: desem pleados, em plead os d e tiem po com pleto y

3 4 . E s tu d ia n te s b e b e d o r e s .

Q uiere determ inar e l prom edio de

mercurio contenido en e l atún que consum en los residentes efe E stad os Unidos.

crédito. 31.

M e rc u rio e n a tu n e s .

dimiento y p or q u é e s probable q u e arroje una muestra re­ presentativa. 45.

V o t a c ió n s e le c tiv a .

L o s prem ios de la A cadem ia, e l T ro­

feo H eism an y la lista d e é x ito s d e venta d e

New York Times

tod os los pacientes q u e esperan p or un trasplante d e co ­

son só lo tres ejem p los d e c a so s en los q u e las selecciones están determ inadas por votos d e individuos especialm ente

razón, utiliza una com putadora para generar 5 0 números aleatorios y luego selecciona los pacientes q u e correspon­

elegidos. V ea uno d e e sto s p rocesos d e selección y describa quiénes votan y có m o so n elegid as estas personas. A nalice

www.FreeLibros.org dan a los 5 0 números.

las fuentes de se sg o en e l proceso.

www.fullengineeringbook.net 40 of 495.

21

1.3 T ip o s d e e s tu d io s e s ta d ís tic o s

E N L A S N O T IC IA S 4 6 . M u e stre o e n lo s n o tic ia r io s .

Encuentre un reportaje

48.

E n c u e s ta s p o lític a s .

Encuentre resultados d e una en ­

de una noticia reciente acerca d e una investigación e s ­

cuesta reciente llevada a cab o p o r una organización p o ­

tadística q u e sea d e su interés. E scriba un breve resu ­ men d e có m o fue elegid a la muestra para el estudio y

lítica (tal co m o e l partido Republicano o e l Dem ócrata o una organización que busque influir a l C ongreso

analice brevemente si cree q u e la m uestra fue represen­

sobre un tem a en particular). D escriba brevem ente la

tativa d e la población b ajo estudio.

muestra y có m o se seleccionó. ¿ L a muestra fue elegida de tal manera q u e e s probable introducir se sg o ? ¿D e­

4 7 . M u e stra e n e n c u e s ta d e o p in ió n .

Determine un re­

bería estar m ás preocupado acerca del se sg o en tal en ­

portaje d e una noticia reciente d e una encuesta d e o p i­

cuesta d e lo q u e estaría en una encuesta realizada por m a organización d e n oticias? Explique.

nión llevada a cab o p o r una com pañ ía d e noticias (tal com o G allup, H arris, o

USA Today, New York Times

C N N ). D escriba brevem ente la m uestra y có m o se eli­ gió. ¿ L a muestra se seleccion ó d e manera tal q u e sea probable q u e se le introduzca un se sg o ? Explique.

1.3 T ip o s de estu d ios estadísticos

L

o s estudios estadísticos se realizan de m uchas form as distintas. E n tod os los c a so s las personas, los anim ales (u otros seres vivientes) u ob jetos seleccionados para la muestra se denom inan sujetos del estudio. S i los sujetos son personas, e s com ún referirse a ellos

co m o los participantes en e l estudio.

D efin ició n L o s s u je to s d e u n e s t u d i o s o n la s p e r s o n a s , lo s a n im a le s ( u o t r o s s e r e s v iv i e n t e s ) u o b ­ j e t o s s e le c c io n a d o s p a r a la m u e s t r a . S i lo s s u je t o s s o n p e r s o n a s , t a m b ié n s e le s p u e d e lla m a r p a rtic ip a n te s e n e l e s t u d io .

Existen d o s tipos b ásicos d e estudios estadísticos: estudios d e observación y experim en­ tos. E n un estudio de observación ob serv am os o m edim os características esp e cífica s tratando de ser cu idadosos en evitar la influencia o m odificación d e las características en observación. .

.

.

.

.

.

.

.

,

•

I

J

J- J

u

•'

XI - I

L o s índices d e audiencia N ielsen son un ejem plo de un estudio de observación, y a q u e N ielsen utiliza su s “ m edidores d e personas” para lo que están viendo en e l televisor los parti-

observar

cipantes, p ero no trata d e influir en lo q u e ven.

n

.

,,

Puedes observar m ucho tan sólo

m¡ran j 0 m u an ° ‘

—Y ogi Berra

Note q u e un estudio d e observación puede incluir actividades q u e van m ás a llá d e la d e ­ finición usual d e L a m edición d e p eso s d e p erson as requiere interactuar co n ellas,

observación.

a l igual q u e a l preguntarles para co locarlas en algun a escala. Pero en estadística consideram os estas m edidas co m o observaciones, y a q u e las interacciones no cam bian e l p eso d e las perso­ nas. D e form a análoga, una encuesta d e opinión en la q u e los investigadores realizan entrevis­ tas a profundidad e s considerada d e observación, siem pre q u e los investigadores só lo intenten conocer las opiniones d e las personas y no cam biarlas. E n contraste, considere un estudio m édico diseñado p ara probar s i d o sis m ayores d e vi­ tamina C ayudan a prevenir resfriados. Para llevar a cab o e l estudio, los investigadores deben

www.FreeLibros.org pedir a algun as personas en la muestra q u e diariam ente tomen d o sis m ayores d e vitam ina C. E ste tipo d e investigación estadística se denom ina experimento. E l propósito d e un ex p eri­ mento e s estudiar los efectos de algún tratamiento, en este c a so una d o sis diaria m ayor de

vitam ina C.

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22

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a

D o s tip o s b ásico s de in vestigación estadística E x is t e n d o s t i p o s b á s ic o s d e in v e s t ig a c ió n e s t a d ís t ic a : 1. E n u n e s t u d io d e o b s e r v a c i ó n lo s in v e s t ig a d o r e s o b s e r v a n o m id e n c a r a c t e r ís t ic a s d e lo s s u je t o s , p e r o n o in t e n t a r in f lu ir o m o d if ic a r e s t a s c a r a c t e r ís t ic a s . 2 . E n u n e x p e r i m e n t o lo s in v e s t ig a d o r e s a p l i c a n a lg ú n t r a t a m i e n t o y o b s e r v a n s u s e f e c t o s e n to s p a r t ic ip a n t e s e n e l e x p e r im e n t o .

E JE M P L O 1

T i p o d e e s t u d io

Identifique si se trata d e un estudio de observación o un experim ento.

a . El estudio d e la vacuna contra la p olio d e S a lk (v e a e l estudio d e c a so en la página 8). b . U na encuesta en la q u e se pregunta a la gente p or quién planean vo tar en la siguiente elección.

Solución

experimento

a . E l estudio d e la vacuna contra la polio d e S a lk fue un , y a q u e los investigado­ res probaron un tratamiento — en este caso, la vacuna— para ver si reducía la incidencia de la polio.

b . L a encuesta e s un estudio de observación y a q u e intenta determ inar la preferencia d e vo to pero no intenta influir en los votos.

Id en tificació n de las variab les Por lo com ún los estudios estadísticos, y a sean d e observaciones o d e experim entos, intentan medir lo que denom inam os variables de interés. E l término describe un elem ento o

variable

cantidad q u e puede variar o tom ar valores diferentes, y las variables d e interés son aquéllas sobre las q u e buscam os aprender. P or ejem plo, las variables d e interés en los estudios d e hábi­ tos d e televidentes d e N ielsen incluyen y

programa que están viendo número de espectadores. programa que están viendo puede tom ar valores diferentes tal co m o Súper Tazón , 60 minutos o Lost. L a variable número de espectadores depende d e la popularidad d e un pro­ L a variable

gram a. E n esencia, los datos d e cualquier investigación estadística son los valores diferentes de las variables d e interés. E n e l c a so que considere c a u sa y efecto, subdivida las variables d e interés en d o s cate­ gorías. P or ejem plo, c a d a persona en e l estudio d e la vitamina C y resfriados puede tom ar una d o sis diferente d e vitamina C y podría terminar co n un número diferente d e resfriados en algún periodo. Puesto q u e trata de sab er si la vitamina C ca u sa una dism inución en e l número d e res­ friados, decim os q u e la e s una variable explicatoria, puede expli­

dosis diaria de vitamina C

c a r o ca u sa r un cam b io en e l número d e resfriados. D e form a análoga, decim os q u e e l

de resfriados e s

número

una variable de respuesta, y a que esperam os que responda a cam b ios en la variable explicatoria (la d o sis d e vitamina C ).

D efin icio n es U n a v a r i a b le e s c u a lq u ie r e le m e n t o o c a n t id a d q u e p u e d e v a r ia r e n v a lo r e s d if e r e n t e s . L a s v a r ia b le s d e in t e r é s e n u n a in v e s t ig a c ió n e s t a d í s t i c a s o n to s e le m e n t o s o c a n t id a -

www.FreeLibros.org ctes q u e e l e s t u d io b u s c a m e d ir .

C u a n d o b u s c a c a u s a y e f e c t o , u n a f r i a b l e e x p li c a t o r i a e s u n a v a r ia b le q u e p u e d e e x ­ p lic a r o c a u s a r e l e f e c t o , m ie n t r a s q u e u n a v a r i a b le d e r e s p u e s t a r e s p o n d e a c a m b io s e n la v a r ia b le e x p lic a t o r ia .

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1.3 T i p o s d e e s t u d i o s e s t a d í s t i c o s

E JE M P L O 2

I d e n t i f i c a r la s v a r ia b le s

Identifique las variables d e interés en c a d a estudio:

a . El estudio de la vacuna contra la polio d e Salk. b . Una encuesta en la que a la gente le preguntaron p or quién planea votar en la elección si­ guiente.

Solu ción a . L a s d o s variables d e interés en e l estudio d e la vacuna d e S a lk son la

vacuna

polio.

y la Son variables y a q u e pueden tom ar d o s valores diferentes: a un niño se le d a o no se le da

la vacuna y é l contrae o no contrae la polio. E n este caso , puesto q u e e l estudio b u sca d e ­ terminar si la vacuna previene la polio, decim os q u e la (puede exp licar un cam bio en la incidencia de la polio) y

vacuna e s la variable explicatoria \a polio es la variable d e respuesta

(se supone q u e cam bia en respuesta a la vacuna).

nombre del candidato , y a que la gente deb e elegir uno d e los can didatos p or e l que planea votar y proporción de partidarios , que e s la fracción d e la gente encuestada q u e planea votar p or

b . L a s variables d e interés en la en cu esta previa a la elección podrían llam arse

un can didato particular. (E n este estudio no están involucrados c a u sa ni efecto, p or lo que no necesitam os decidir si la variable e s explicatoria o d e respuesta).

E stu d io s de o b serv ació n L o s estudios d e observación que hemos analizado hasta aquí, tal co m o los índices d e audien­ c ia d e N ielsen, las en cuestas d e opinión y la determ inación d e las estaturas d e lo s estudiantes, son estudios en los que, p or lo com ún, todos los d atos se recolectan c a si a l m ism o tiempo. Sin em bargo, algun as v e c e s los estudios d e observación exam inan d atos p asad o s o están diseñados para exam in ar d atos en un periodo largo. Un estudio en retrospectiva (en ocasion es denom inado

estudio con control de caso) e s

un estudio d e observación q u e utiliza d atos del pasado, tal co m o registros o ficiale s o entrevis­ tas anteriores, para aprender acerca d e un tem a d e interés. L o s estudios en retrospectiva son especialm ente valiosos cu an d o puede ser p oco práctico o no ético realizar un experim ento. Por ejem plo, suponga q u e quiere aprender có m o e l alcoh ol consum ido durante e l em barazo afecta a los bebés recién nacidos. Puesto q u e y a sab e q u e e l consum o d e alcohol durante e l em barazo puede ser dañino, no sería ético p edir a las m adres em barazadas probar e l “ tratamiento” de consum o d e alcohol. Sin em bargo, puesto que m uchas m adres consum en alcohol en em barazos previos (ya sea antes d e que fuesen co n ocid os los peligros o porque deciden ignorar los p eli­ gros), podem os realizar un estudio en retrospectiva en e l q u e com param os hijos nacidos d e e sa s madres co n niños n acid os de m adres q u e no consum ieron alcohol. En ocasiones, la inform ación que necesitam os para llegar a conclusion es claras no está disponible en los registros pasados. En e s o s c a so s, los investigadores pueden preparar un estu­

dio en prospectiva (estudio

longitudinal) diseñ ad o para recolectar observaciones en e l futuro

de grupos q u e com parten factores com unes. Un ejem plo clásico d e un estudio en prospectiva e s e l Estudio d e S alu d d e las Enferm eras d e Harvard, e l cu al se inició en 1976 para recolectar datos acerca de có m o estilos d e vida diferente afectan la salud d e las m ujeres (vea la sección “ H ablem os d e salud pública” a l final de este capítulo). E l estudio, q u e aún continúa en la actua­ lidad, ha seguido a m iles d e enferm eras durante m ás d e tres décadas, recolectando información acerca d e su s estilos d e vida y su salud.

V ariacio n es e n e stu d io s d e observación E n lo s e s t u d io s d e o b s e r v a c ió n m á s c o m u n e s lo s d a t o s c o n r e c o le c t a d o s d e u n a v e z ( o t a n c e r c a n o a e s t o c o m o s e a p o s ib le ) . D o s v a r ia c io n e s e n e s t u d i o s d e o b s e r v a c ió n t a m b ié n s o n c o m u n e s :

www.FreeLibros.org 1. U n e s tu d io e n re tro s p e c tiv a ( o c o n tro l d e c a s o ) u t iliz a la in f o r m a c ió n d e l p a s a d o , t a l c o m o r e g is t r o s o f i c ia le s o e n t r e v is t a s p a s a d a s .

2. U n e s tu d io e n p r o s p e c t iv a ( o lo n g itu d in a l) t ie n e u n d is e ñ o p a r a r e c o le c t a r d a t o s e n e l fu tu ro d e g ru p o s q u e c o m p a rte n fa c to r e s c o m u n e s .

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24

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a

E JE M P L O 3

E s t u d i o d e o b s e r v a c ió n

U sted quiere sab er si a los niños nacidos prematuramente les v a tan bien en la escu ela elemen­ tal co m o a los niños n acid os en término. ¿Q ué tipo d e estudio debe hacer?

S o lu c ió n En este c a so la única opción real e s hacer un estudio de observación en retros­ pectiva. Recolectaría los d atos d e nacim ientos anteriores y com pararía e l desem peñ o en la e s ­ cuela elem ental d e los nacidos prematuramente co n los nacidos en término.

Puesto q u e los experim entos requieren d e intervención activa, tal co m o la aplicación d e un tratamiento, deb em os tener cu idado especial en asegurar q u e están diseñ ad os d e m anera que proveerán d e la inform ación q u e buscam os. R evisem os algu n os d e los tem as q u e surgen en el diseño d e experim entos.

N e c e s id a d d e c o n tr o le s Cónsidere un experim ento q u e sum inistra vitamina C a algu n os participantes en un estudio p ara determ inar su efecto sobre los resfriados. Su pon ga q u e la gente q u e diario toma vitam ina C tiene un prom edio d e 1.5 resfriados en un periodo de tres m eses. ¿C óm o los investigadores pueden sab er si los participantes hubiesen tenido m ás resfriados sin la vitam ina C ? Para res­ ponder e ste tipo d e pregunta, los investigadores deben llevar a ca b o su s experim entos co n do s (o m ás) gru p o s d e sujetos: un gru p o q u e diario tom a grandes d o sis d e vitam ina C y otro grupo que no lo hace. C om o estudiarem os dentro d e p oco, en la m ayoría d e los c a so s e s importante que los participantes sean asign ad os de m anera aleatoria a c a d a uno d e los d o s grupos. E l gru p o d e personas q u e se asignan aleatoriam ente p ara tom ar vitamina C se denom ina

grupo de tratamiento, y a que su s miem bros reciben e l tratamiento que será probado (vita­ mina Q . E l grupo d e p erson as q u e no tom a la vitam ina C , se denom ina g*upo de control. L o s investigadores pueden tener confian za q u e la vitam ina C e s un tratamiento efectivo só lo si las personas en e l gru p o d e tratamiento tienen un número significativam ente menor d e resfriados que la gente en e l grupo d e control. E l gru p o d e control recibe su nombre porque ayuda a co n ­ trolar la form a d e interpretar los resultados experim entales.

G ru p o s d e tratam ien to y d e con trol E l g r u p o d e tra ta m ie n to e n u n e x p e r im e n t o e s e l g r u p o d e s u je t o s q u ie n e s r e c ib e n e l t r a t a m ie n t o q u e s e r á p r o b a d o . E l g ru p o d e c o n tr o l e n u n e x p e r i m e n t o e s e l g r u p o d e s u je t o s q u e

no

r e c ib e n e l t r a t a ­

m ie n t o q u e s e r á p r o b a d o . E n la m a y o r ía d e lo s c a s o s e s i m p o r t a n t e e l e g i r á lo s m ie m b r o s d e lo s d o s g r u p o s m e ­ d ia n t e u n a s e le c c ió n a le a t o r ia d e l c o n j u n t o t o t a l d e s u je t o s d is p o n ib le s .

E JE M P L O 4

T r a t a m ie n to y c o n tro l

R evise e l estudio d e c a so sobre la vacuna contra la poliom ielitis d e S a lk (página 8). ¿C u á l fue e l tratamiento? ¿Q ué gru p o de niños constituyó e l grupo de tratamiento? ¿C u ál gru p o consti­ tuyó e l grupo d e control?

S o lu c ió n

El tratamiento fue la vacuna d e Salk. E l grupo d e tratamiento consistió en los niños q u e recibieron la vacuna d e Salk. E l grupo d e control consistió en los niñ os a quien es no se les aplicó la vacuna d e Salk y en su lugar se les aplicó una inyección de agu a co n sal.

www.FreeLibros.org E JE M P L O 5

T ra ta m ie n to M o z a rt

Un estudio divide a los estudiantes d e una universidad en d o s grupos. Un grupo escuchó a

Mozart u otra m úsica clásica, antes de que se le asignara una tarea específica, y a l otro grupo

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1.3 T ip o s d e e s tu d io s e s ta d ís tic o s só lo se le a sign ó la tarea. L o s investigadores encontraron q u e quien es escucharon la m úsica clásica realizaron la tarea un p oco mejor, pero só lo s i ello s hicieron la tarea unos cuantos minu­ to s después d e haber escuchado la m úsica (lo s d o s gru p o s realizaron las tareas d a d a s después). Identifique e l tratamiento y los gru p o s d e tratamiento y d e control.

S o lu c ió n

E l tratamiento fiie la m úsica clásica. E l grupo d e tratamiento consistió en los estu­

diantes, quien es escucharon la m úsica. E l gru p o d e control consistió en los estudiantes q u e no escucharon la m úsica.

25

A p r o p d s ito ... El lla m a d o e fe c to M o zart ase g ura g j e e sc u c h a r a M o z a rt puede hacer niños m ás inteligentes. El su pu esto e fe c to g e n e ró to d a una industria d e p ro d u cto s M o z a rt para niños. El e s ta d o d e G e o rg ia ha e m p e z a d o a re p a rtir C D d e M o zart

V a r ia b le d e c o n fu s ió n

a las nuevas m am ás. Sin em ba rgo ,

U tilizar grupos d e control ayuda a asegurar q u e contam os co n variables conocidas q u e podrían

estu d io s m ás re cie n te s d e l e fe c to

afectar los resultados d e un estudio. Sin em bargo, los investigadores pueden no ser conscientes o ser incapaces d e contar otras variables importantes. C onsidere un experim ento en e l q u e un

M o za rt n o han sid o c a p a ce s de p ro b a r ta l efecto.

m aestro d e estadística b u sca determ inar si quien es estudian en colaboración (en gru p o s d e e s ­ tudio co n otros estudiantes) obtienen calificacion es m ás altas q u e quien es lo hacen d e manera aislada. E l m aestro selecciona a cinco jó v en es que estudiarán en colaboración (el gru p o d e tra­ tamiento) y otros cin co q u e estudiarán d e manera aislada (grupo d e control). Para asegurar que lo s estudiantes tienen cap acid ad es sim ilares y estudiarán co n diligencia, e l m aestro selecciona só lo estudiantes co n altos prom edios d e calificación. A l final del sem estre e l m aestro encuentra que quien es estudiaron en colaboración obtuvieron calificacion es m ás altas.

el estudio en colaboración

L a s variables d e interés p ara este estudio son (lo hagan a sí o no) y la Pero suponga que, sin conocim iento del maestro, tod os los estudian­

calificación final.

tes del gru p o en colaboración viven en un dormitorio donde una restricción asegura q u e ellos

duerm en lo suficiente. E ste hecho introduce u na nueva variable, q u e podría llam arse cantidad de sueño , la cu al podría exp licar parcialm ente los resultados. En otras palabras, la conclusión del experim ento parece apoyar los beneficios del estudio en colaboración, pero esta conclusión no está ju stificad a porque e l m aestro n o tom ó en cuenta cuánto durm ieron los estudiantes. E n térm inos estadísticos dich o estudio sufre d e confusión. L a s calificacion es m ayores podrían deberse a la variab le d e interés (

estudio en colaboración) o bien a los diferentes hora­

rios p ara dorm ir o bien a una com binación d e am bos. Puesto q u e e l m aestro no tom ó en cuenta la s diferencias en las horas q u e se durm ió, la e s una variable de confusión

cantidad de sueño

para e ste estudio. Posiblem ente usted p iense en o tras variables d e confusión potenciales que pueden afectar un estudio co m o éste.

D efin ició n U n e s t u d i o s u f r e d e c o n f u s ió n s i lo s e f e c t o s d e v a r ia b le s d if e r e n t e s s e m e z c la n d e m o d o q u e n o p u e d e d e t e r m in a r s e lo s e f e c t o s e s p e c íf i c o s d e la s v a r i a b le s d e in t e r é s . L a s v a r ia ­ b le s q u e lle v a n a la c o n f u s ió n s e d e n o m in a n v a ria b le s d e c o n fu s ió n .

E S T U D IO D E C A S O

C o n f u s ió n e n r e s u lta d o s c o n m e d ic a m e n to s

L a com pañía Pfizer desarrolló un m edicam ento nuevo (denom inado fluconazole) diseñado para prevenir m icosis en pacientes d e hospital. V arios estudios determ inaron q u e e l m edica­ mento nuevo era m ás efectivo que un m edicam ento anterior (denom inado am photericin B). Sin em bargo, un an álisis posterior, realizado p or otros investigadores, determ inó q u e e l m edi­ cam ento anterior había sido adm inistrado oralmente, cu an d o se suponía q u e deb ía haberse ad­ ministrado por m edio de una inyección. E sto introdujo una fuente d e confusión en los estudios: los investigadores originales pensaron q u e los resultados mostraron q u e e l m edicam ento nuevo era m ás efectivo q u e e l anterior, pero no habían tom ado en cuenta los efectos d e confusión de

www.FreeLibros.org cóm o había sido adm inistrado e l m edicam ento anterior. Una v e z q u e los nuevos investigadores

tom aron en cuenta este efecto (com parando só lo los c a so s en los q u e am b o s m edicam entos se administraron d e m anera correcta), determ inaron q u e e l m edicam ento n uevo no era m ás efec­ tivo que e l m edicam ento anterior.

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H a b le m o s d e e s ta d ís tic a

A s ig n a c ió n d e g r u p o s d e t r a t a m i e n t o y d e c o n tr o l C om o ilustra e l experim ento d el estu d io en colaboración, lo s resultados c a si siem pre sufren de confusión, si los gru p o s d e tratamiento y d e control difieren en form as im portantes (distin­ tas a que reciban o no e l tratamiento). P or lo com ún, los investigadores em plean d o s estrate­ g ia s p ara prevenir tales diferencias y d e este modo asegurar q u e los gru p o s d e tratamiento y d e control puedan com pararse sin problem as. Prim ero, asign an integrantes d e los gru p o s de tratamiento y d e control

a l azar , lo cu al quiere d e c ir q u e utilizan una

técnica diseñ ad a para

asegurar que c a d a participante tiene igual oportunidad de ser asign ad o a cualquiera d e los gru ­ pos. C uando los participantes se asign an de manera aleatoria, e s m enos probable q u e las perso­ nas en los grupos d e tratamiento y de control difieran d e alguna manera que afecte los resultados del estudio. Segundo, los investigadores tratan de asegurar que los gru p o s d e tratamiento y d e control sean suficientemente grandes. P or ejem plo, en e l experim ento del estudio en colaboración, la inclusión de 5 0 estudiantes en cad a grupo, en lugar d e 5, habría hecho m enos probable que todos los estudiantes en un grupo vivieran en un dorm itorio especial.

E strate g ias p a r a la selección d e lo s g r u p o s de tratam ien to y d e control 1. S e le c c io n a r lo s g r u p o s al a z a r. A s e g u r a r q u e lo s s u je t o s d e l e x p e r i m e n t o s e a n a s i g ­ n a d o s a l g r u p o d e t r a t a m ie n t o o d e c o n t r o l a l a z a r s ig n if ic a q u e c a d a s u j e t o t ie n e ig u a l o p o r t u n id a d d e s e r a s i g n a d o a c u a lq u ie r g r u p o .

2. U sar g r u p o s s u fic ie n te m e n te g ra n d e s . A s e g u r a r q u e t a n t o e l g r u p o d e t r a t a m ie n t o c o m o e l d e c o n t r o l s e a n s u f ic ie n t e m e n t e g r a n d e s p a r a r e d u c ir la p r o b a b i l id a d d e q j e d if ie r a n d e u n a m a n e r a s ig n if ic a t iv a ( s a l v o p o r e l h e c h o q u e a u n g r u p o s e le d a e l t r a t a m ie n t o y a l o t r o n o ) .

E JE M P L O 6

G r u p o s d e e stu d io S a lk

Brevemente explique có m o se utilizaron las d o s estrategias para la selección d e los gru p o s de tratamiento y d e control p ara e l estudio de la vacuna contra la polio d e Salk.

S o lu c ió n

Participaron un total d e alrededor d e 4 0 0 0 0 0 niños en e l estudio, a la mitad se

fe aplicó una inyección d e la vacuna d e S a lk (el grupo de tratamiento) y la otra mitad recibió una inyección d e agu a salada (el grupo d e control). L a primera estrategia se implemento se­ leccionando de m anera aleatoria, d e entre todos los niños, a los niños p ara los d o s grupos. L a segunda estrategia se aplicó mediante e l u so d e un gran número d e participantes (2 0 0 0 0 0 en cad a gru p o) de m o do que e s p oco probable q u e por accidente los d o s gru p o s difieran.

El e f e c t o p l a c e b o

Una gran im aginación provocó el [efecto placebo]. . . Todo el m undo siente su im pacto, pero algunos son derrum bados p o r él. . . [los doctores] saben que existen hom bres para los cuales la sim ple vista de la m edicina es curativa. —Michel de Montaigne (1533-1592), filósofo francés

O ran do un experim ento involucra a gente, los efectos pueden ocurrir porque la gente se sabe parte del experim ento. P or ejem plo, suponga q u e usted está probando la efectividad d e un nuevo m edicam ento antidepresivo. U sted encuentra 5 0 0 personas q u e sufren d e depresión y d e m anera aleatoria las divide en un grupo d e tratamiento q u e recibe e l nuevo medicamento y un gru p o d e control que no lo recibe. U nas sem an as desp ués, entrevistas co n los pacientes muestran que la gente en e l gru p o d e tratamiento tiende a sentirse m ucho m ejor q u e la gente en d gru p o d e control. ¿Puede concluir q u e e l nuevo m edicam ento funciona? P or desgracia, e s m uy p o sib le q u e el hum or d e la persona q u e recibe e l medicamento m ejore p or e l sim ple hecho de q u e fue agrad able recibir alguna cla se d e tratamiento, lo cual significa q u e usted no puede estar seguro d e q u e e l m edicam ento realmente sea útil. E ste tipo de efecto, en e l q u e las personas m ejoran porque creen q u e han recibido un tratamiento útil, es e l efecto placebo. (L a palabra proviene del latín

placebo

placeré).

www.FreeLibros.org Para distinguir entre los resultados provocados p or e l efecto placebo y los q u e en reali­

dad son d eb idos a l tratamiento, los investigadores tratan de asegurarse q u e los participantes no saben si ellos son parte del grupo d e tratamiento o del d e control. Para hacerlo dan a la gente en el grupo d e control un placebo: algo q u e parezca o se sienta igual a l tratamiento q u e se prueba,

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1.3 T ip o s d e e s tu d io s e s ta d ís tic o s pero que carezca d e sus ingredientes activos. P or ejem plo, en una prueba d e un medicamento que viene en forma de píldoras, e l placebo podría ser una píldora de la m ism a forma y tam año que contenga azúcar en lugar del m edicam ento real. E n una prueba de una vacuna inyectada, e l p la ­

A p r o p ó s ito ...

cebo podría ser una inyección q u e só lo contenga una solución salin a (agua co n sal) en lugar de la vacuna real. E n una prueba reciente d e la efectividad d e la acupuntura, e l p laceb o consistió

extrao rd in ariam en te poderoso.

en un tratamiento co n agu jas com o en la acupuntura real, salvo que las agu jas no se colocaban en

En alg un os e stu d io s hasta 75% de

los lugares especiales que los acupunturistas aseguran son importantes. M ientras los participantes no sepan s i recibieron e l tratamiento real o un placebo, el

el p laceb o m ejoraron e n realidad.

efecto p lacebo debería afectar de la m ism a form a a los grupos de tratamiento y d e control. Si los resultados d e los d o s gru p o s son significativam ente diferentes, las diferencias pueden ser atribuidas a l tratamiento. P or ejem plo, en e l estudio del m edicam ento antidepresivo, conclui­

El e fe c to p la ce b o p uede se r

tos particip antes q u e recib ieron Para alg un os pacientes, e l e fe c to es ta n p o d e ro s o q u e suplican co n tin u a r co n su tra ta m ie n to aun cfespués q u e s e les d ice q u e se

ríam os q u e e l m edicam ento fue efectivo só lo si e l gru p o d e control recibió un placebo y los

les d io un p la ce b o e n lu g a r del

m iem bros del grupo d e tratamiento m ejoraron m ucho m á s q u e los m iem bros del grupo d e co n ­ trol. Para un m ejor control, algunos experim entos utilizan tres grupos, un gru p o d e tratamiento,

tra tam ie n to real. Sin em ba rgo ,

un gru p o placebo y un gru p o d e control. A l grupo placebo se le d a un placebo, mientras q u e al

d e a c u e rd o e n e l p o d e r del

grupo de control n o se le d a nada.

27

crtros in v e stig a d o re s n o están e fe c to placebo, e in c lu so algunos cu e stio n an la re a lid a d d e l efecto.

D efin icio n es U n p l a c e b o c a r e c e d e in g r e d ie n t e s a c t iv o s d e u n t r a t a m ie n t o q u e s e p r u e b a e n u n e s ­ t u d io , p e r o p a r e c e o s e s ie n t e c o m o e l t r a t a m ie n t o , d e m o d o q u e lo s p a r t i c i p a n t e s n o p u e d e n d is t in g u ir s i r e c ib ie r o n e l p l a c e b o o e l t r a t a m ie n t o r e a l. E l e f e c t o p l a c e b o e s la s it u a c ió n e n q u e lo s p a c ie n t e s m e jo r a n s ó lo p o r q u e c r e e n q u e r e c ib ie r o n u n t r a t a m ie n t o ú t il. O b s e r v a c ió n : a u n q u e lo s p a r t i c i p a n t e s n o d e b e n s a b e r s i p e r t e n e c e n a l g r u p o d e t r a ­ t a m ie n t o o a l g r u p o d e c o n t r o l, p o r r a z o n e s é t ic a s e s m u y i m p o r t a n t e q u e s e le s d ig a q u e a a lg u n o s d e e llo s s e le s s u m in is t r a r á u n p l a c e b o , m ie n t r a s q u e o t r o s r e c ib ir á n e l t r a t a m ie n t o r e a l.

U N M O M E N T O D E R E F L E X I Ó N ________________________ E n la s d é c a d a s p a s a d a s , c o n f r e c u e n c ia , lo s in v e s t ig a d o r e s le s d e c ía n a t o d o s lo s p a r t i c i ­ p a n t e s e n u n e s t u d i o q u e r e c ib ir ía n e l t r a t a m ie n t o r e a l, p e r o e n r e a lid a d s e d a b a u n p l a ­ c e b o a la m it a d d e e llo s . A n a lic e a lg u n a s r a z o n e s d e p o r q u é a h o r a e s t o s e c o n s id e r a r ía p o c o é t ic o . ¿ D e b e p e r m it ir s e a lo s in v e s t ig a d o r e s u t iliz a r r e s u lt a d o s d e e s t u d io s p a s a d o s q u e n o c u m p le n c o n lo s c r it e r io s é t i c o s a c t u a le s ? D e f ie n d a s u o p in ió n .

E JE M P L O 7

V a c u n a p la c e b o

¿C u ál fue e l placebo en e l estudio d e la vacuna contra la polio de S a lk ? ¿P o r q u é los investiga­ d o res utilizaron un p laceb o en este experim ento?

S o lu c ió n

El placebo fue la inyección de agua con sal sum inistrada a los niños en e l grupo

de control. Para entender p o rq u é los investigadores utilizaron un placebo para e l gru p o d e co n ­ trol, suponga q u e no se hubiese utilizado un placebo. C uando las m ejoras fuesen observad as en e l gru p o d e tratamiento, sería im posible saber si éstas se debieron a la vacuna o a l efecto p la ­ cebo. Para elim inar esta confusión, todos los participantes habían creído que fueron tratados de la m ism a form a. E sto asegura que cualquier efecto placebo ocurriría igualmente en am b o s gru ­ pos, d e modo q u e los investigadores podrían atribuir cualquier diferencia restante a la vacuna.

A p r o p d s ito ... Un e fe c to relacion ad o , c o n o c id o c o m o e l efecto Hawthorne, ocurre cu a n d o los su je to s tratados, p o r a lg u n a razón, re sp o n d e n de m anera d ifere n te s ó lo porque son parte d e un ex perim en to , sin im p o rta r la fo rm a p articu lar en la q u e son tra tad o s. El e fe c to H aw thorne d e b e su n o m b re al

E fe c t o s d e l e x p e r im e n ta d o r

www.FreeLibros.org hecho d e que se o b s e r v ó por

Incluso s i los sujetos d e estudio no saben si recibieron e l tratamiento real o e l placebo, los expe­ rim entadores aún pueden tener un efecto. Por ejem plo, en la prueba d e un m edicam ento antide­

obre ros e n la fá b ric a W e ste rn

presivo, los experim entadores q u izás entrevistarán a los pacientes para determ inar si se sienten

E le ctric's H aw thorne.

m ejor. Pero si los experim entadores saben quién recibió e l tratamiento y quién e l placebo, sin

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prim era v e z e n un e s tu d io de

28

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a darse cuenta podrían sonreír m ás a las personas en e l gru p o d e tratamiento. S u s sonrisas po­ drían m ejorar los hum ores de los participantes, haciendo p arecer q u e e l tratamiento funcionó, cuando d e hecho la m ejora fue cau sad a p or e l experim entador. E ste tipo d e confusión, en la que e l experim entador d e alguna m anera influye en los resultados, se denom ina efecto del experi­ mentador (o efecto Rosenthal). L a única manera d e evitar esto s efectos e s asegurarse q u e el experim entador no sep a cu áles sujetos pertenecen a c a d a grupo.

D efin ición U n e f e c t o d e l e x p e r i m e n t a d o r o c u r r e c u a n d o u n i n v e s t i g a d o r o e x p e r im e n t a d o r in f lu y e efe a lg u n a m a n e r a e n lo s s u je t o s a t r a v é s d e f a c t o r e s , t a le s c o m o e x p r e s i o n e s f a c ia le s , t o n o d e v o z o a c t it u d .

E JE M P L O 8

¿ A b u s o in fa n til?

En un c a so fam oso d o s parejas d e Bakersfield, C alifornia, fueron condenadas p or ab usar de

A p r o p ó s ito ...

docen as d e niños en ed ad p reesco lar en su guardería. L a evidencia d el ab u so resultó princi­

M uchos ca so s d e s u p u e s to

palmente d e las entrevistas co n los niños. Sin em bargo, la condena fue rechazada d esp u és de que un hombre había cum plido 14 añ o s en prisión, cuando un ju e z reexam inó las entrevistas

a b u so e x te n d id o e n g uarderías

y concluyó q u e los niñ os habían dado las respuestas que los entrevistadores querían oír. S i co n ­

y p reescolares e s tá n sien do

sideram os a los entrevistadores co m o los experim entadores, e s un ejem plo d e un efecto del e x ­ perimentador, y a q u e los entrevistadores influyeron las respuestas d e los niños p or m edio del

revisados para v e r si e fe c to s ctel e x p e rim e n ta d o r (quienes

tono y estilo de su interrogatorio.

en tre vistaron a los niñ os) pueden lle var a co n d en as erróneas. A firm acio n e s sim ilares d e e fe c to s del e x p e rim e n ta d o r s e han h e ch o en ca so s q u e invo lu cran m em oria reprim ida, e n la q u e e l a p o yo p s ic o ló g ic o supu estam ente ayuda a la g e n te a re c u p e ra r recuerdos perdid os d e e v e n to s traum áticos.

P ru e b a c ie g a En term inología estadística, la práctica d e mantener a la gente sin sab er quién e stá en e l grupo d e tratamiento y quién está en e l gru p o d e control se denom ina prueba ciega. Un experim ento

ciego simple es aqu él en e l q u e los participantes no saben a cu ál grupo pertenecen, p ero los experim entadores sí lo saben. S i ni lo s participantes ni los experim entadores saben quién per­ tenece a c a d a grupo, e l estudio se d ice q u e e s doble ciego. P or supuesto, alguien con serva el control d e los d o s gru p o s para ev alu ar los resultados a l final. P or lo com ún, en un experim ento doble c ie g o los investigadores llevan a c a b o e l estudio contratando experim entadores para hacer cualquier contacto que se necesite co n los participantes. D e este m odo, los investigadores evitan cualquier contacto co n los participantes, asegurándose q u e ello s no puedan influirlos de alguna manera. El estudio d e la vacuna contra la polio de S a lk fue do b le ciego, y a q u e ni los participantes (los niños) ni los experim entadores (los doctores y las enferm eras q u e aplicaron las inyecciones y realizaron e l diagn óstico de polio) conocían a quién es se les aplicó la vacuna y a quién es se les adm inistró e l placebo.

P ru e b as ciegas en experim entos U n e x p e r i m e n t o e s c i e g o s i m p l e s i lo s p a r t ic ip a n t e s n o s a b e n s i e s t á n e n e l g r u p o d e t r a t a m ie n t o o e n e l g r u p o d e c o n t r o l, p e r o lo s e x p e r im e n t a d o r e s s í lo s a b e n . U n e x p e r i m e n t o e s d o b l e c i e g o s i n i lo s p a r t ic ip a n t e s n i lo s e x p e r im e n t a d o r e s s a b e n q u ié n p e r t e n e c e a l g r u p o d e t r a t a m ie n t o y q u ié n p e r t e n e c e a l g r u p o d e c o n t r o l.

E JE M P L O 9

¿ Q u é e s t á m a l c o n e s t e e x p e r im e n t o ?

Para c a d a uno d e los experim entos q u e se describen a continuación, identifique los problem as y explique có m o pueden evitarse.

www.FreeLibros.org a . S e supone que un medicamento nuevo para e l trastorno d e déficit d e atención (T D A ) provoca

que los niños sean m ás am ables. N iñ os q u e sufren T D A fueron seleccionados aleatoriamente y divididos en grupos d e tratamiento y d e control. El experimento es ciego simple. L o s exp e­ rimentadores evalúan cuán am ables son los niños durante una entrevista d e uno en uno.

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1.3 T ip o s d e e s tu d io s e s ta d ís tic o s

29

b . Investigadores de la educación se preguntan si escuchar m úsica clásica cuando se estudia m ejora e l aprendizaje. E llo s dieron a d o s grupos d e estudiantes una lección d e d o s horas y luego le s perm itieron tiempo p ara estudiar para un exam en breve. Un grupo, com puesto de 5 0 estudiantes quien es les dijeron a los investigadores q u e les gu stab a la m úsica clásica, escuchó m úsica c lá sic a mientras estudiaba. E l otro grupo, com puesto d e 5 0 estudiantes quienes dijeron q u e no le s gu stab a la m úsica clásica, estudió en silencio. L o s resultados muestran q u e los estudiantes q u e escucharon m úsica clásica hicieron m ejor e l exam en.

c . Investigadores buscan sab er si los efectos de una rara enferm edad degenerativa puede d e ­ tenerse mediante ejercicio. Identifican a 6 personas q u e padecen la enferm edad y d e forma aleatoria asignan 3 al grupo d e tratamiento, que hace ejercicio diario, y asignan a 3 a l grupo de control q u e no hace ejercicio. D espu és de seis m eses com paran la cantidad d e degenera­ ción en c a d a grupo.

d . Un quiropráctico realiza ajustes en 2 5 pacientes co n dolor d e espalda. Después, 18 de los p a ­ cientes dicen que se sintieron mejor. Él concluye q u e los ajustes son un tratamiento efectivo.

Solu ción a.

Los experim entadores valoran la cortesía en entrevistas, p ero y a que saben cu áles niños recibieron e l m edicam ento real, d e manera inadvertida podrían h ablar d e form a diferente a estos niños durante las entrevistas. O podrían interpretar e l com portam iento d e los niños de manera diferente, y a q u e ello s saben cu áles sujetos recibieron e l m edicam ento real. É stos son efectos del experim entador q u e pueden contundir los resultados del estudio. E l exp eri­ mento debe ser do b le ciego.

b . El problem a co n este estudio e s que los estudiantes n o fueron asign ados a los d o s grupos a l azar. A l co lo car a los estudiantes q u e les gu sta la m úsica clásica en un gru p o y a los que no les gu sta en otro, los investigadores crearon una situación en la cu al los do s grupos no com parten las m ism as características generales.

c . L o s resultados del estudio serían d ifíciles d e interpretar ya q u e los tam años d e las muestras no son suficientemente grandes. Por supuesto, co n una enferm edad p oco común, puede ser difícil encontrar a gente q u e participe en un experim ento.

d . L o s 2 5 pacien tes q u e recibieron ajustes representan un gru p o d e tratamiento, pero e l estu­ dio carece d e un grupo de control. L o s pacientes podrían haberse sentido bien a consecuen ­ cia del efecto placebo, en lugar d e que sea p o r e l efecto real d e los ajustes. E l quiropráctico podría haber m ejorado su estudio si hubiera contratado a un actor q u e hiciese aju stes falsos (uno q u e se sintiera d e m anera parecida, pero q u e en realidad no se realizase d e acuerdo con las g u ía s quiroprácticas) en un grupo d e control. L u ego podría haber com parado los resultados en los do s grupos para ver si un efecto placebo estab a presente.

E JE M P L O 1 0

I d e n t i f ic a c ió n d e l t i p o d e e s t u d io

Para c a d a una d e las preguntas siguientes, ¿qu é tipo d e investigación estadística e s m ás proba­ ble q u e conduzca a una respuesta? a.

¿C u á l e s e l ingreso m edio de un corredor d e la b olsa?

b . ¿L o s cinturones d e seguridad salvan vidas? c . ¿ E l levantam iento d e p esas m ejora lo s tiem pos d e los corredores d e la carrera d e 10 km (1 0 K )?

d . ¿ E l contacto d e la piel co n cierto pegam ento c a u sa sarpullido? e.

¿Puede un rem edio d e hierbas reducir la gravedad d e los resfriados?

f.

¿C om plem entos alim enticios d e resveratrol (un extracto de u vas) prolongan la vida?

Con un tratam iento adecuado, un resfriado puede curarse en una sem ana. N o le haga caso y puede durar siete días.

www.FreeLibros.org Solu ción a.

U n estudio de observación puede d e cim o s e l ingreso m edio d e un corredor d e la bolsa. S ólo necesitam os encuestar a los corredores y la encuesta m ism a no cam biará los ingresos.

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— Refrán médico popular

30

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a

b.

Podría ser poco ético hacer un experim ento en que se le pidiese a unas personas u sar e l cin­ turón d e seguridad y a otros decirles q u e lo usen. P or tanto, un estudio para determinar

no

s i los cinturones d e seguridad salvan v id a s deb e ser

p erson as eligen utilizar los cinturones d e seguridad mientras q u e otros eligen no usarlos, podríam os llevar a cab o un A l com parar la tasa d e m ortalidad en

estudio en retrospectiva.

A p r o p d s ito ...

accidentes entre los q u e usaron y los que no utilizaron cinturones de seguridad, podem os

E xp erim entos co n ratones m uestran q u e é s to s v iv e n más y tienen m a y o r resistencia

de observación. Puesto q u e algunas

aprender si los cinturones d e seguridad salvan vidas. ( S í las salvan).

c . N ecesitam os un

c u a n d o to m a n d o s is g randes

experimento para determ inar si levantar p e sa s puede m ejorar los tiem pos

de los corredores de 10 K . A l azar seleccionam os un grupo d e corredores p ara crear un

efe resvera trol, un e x tra c to de

grupo d e tratamiento a l q u e som etem os a un program a de levantamiento d e p e sa s y un grupo de control a quienes les pedimos que permanezcan alejados de las pesas. Debem os de tratar de

la c áscara d e uvas rojas. Sin em ba rgo , aún n o s e sabe s i d osis

asegurar q u e todos los d em ás aspectos d e su entrenamiento sean similares. L u ego verem os si

altas d e resv era tro l te n d ría n los se sabe si e l resveratrol e s s e g u ro

lo s corredores en e l gru p o d e levantam iento m ejoran su s tiem po m ás q u e los del gru p o de control. N o p odem os utilizar una prueba cie g a en este experim ento, y a que no hay manera

para los hum anos. A d em á s, las

de evitar q u e los participantes sepan que están levantando pesas.

m ism os e fe c to s e n hum anos, ni

ctosis d ad as a los ratones son ta n g ra n d e s q u e p od ría s e r p o co

d. Un

experimento puede ay u d am os a determ inar si e l contacto d e la piel co n e l pegam en ­ experimento ciego sencillo en el

to cau sa un sarpullido. En este c a so e s m ejor utilizar un

p rá ctic o dar una d osis eq u ivale nte ta n grande, c o m p a ra d o co n e l de

que aplicam os e l pegam ento real a los participantes en un grupo y aplicam os un placebo que parezca igual, pero q u e carezca del ingrediente activo, a los miem bros del grupo d e control.

b s roedores.

N o hay necesidad d e un experim ento do b le ciego y a que parece poco probable q u e los

a los hum anos, p o r n u e stro ta m añ o

experim entadores puedan influir para que una persona tenga sarpullido. (S in em bargo, la pregunta d e si e l su jeto un sarpullido está sujeta a interpretación, e l conocim iento del

tiene

experim entador d e a quien es les d io e l tratamiento real podría afectar esta interpretación).

e . D ebem os utilizar un

experimento doble ciego

para determ inar si un nuevo rem edio con b ase en hierbas puede reducir la grav edad d e los resfriados. A lgun os participantes reciben

e l rem edio real, mientras q u e a otros se les d a un placebo. N ecesitam os las condicion es de doble ciego, y a q u e la severidad d e un resfriado podría ser afectad a por e l hum or u otros factores en q u e los investigadores, sin d arse cuenta, podrían influir.

f.

El resveratrol ha sido identificado y se ha puesto disponible en form a de com plem entos só lo recientemente, p o r lo q u e n ecesitam os m uchos años d e d atos para determ inar s i tiene e l efecto d e prolongar la vida. P or tanto, deb em os utilizar un estudio en prospectiva d i­ señado p ara monitorear a participantes durante m uchos añ os. L o s participantes podrían con servar registros si han tomado, y cuánto, del com plem ento, y en algún momento los in­ vestigadores podrían analizar los datos para ver s i e l resveratrol tiene e l efecto d e prolongar la vida.

M e ta - a n á lisis T o d a s las investigaciones estadísticas individuales son estudios d e observación o experim en­ tos. Sin em bargo, en añ o s recientes, los estadísticos han encontrado útil “ extraer” gru p o s de estudios p asad o s para ver si pueden aprender algo que no fueron cap aces d e aprender d e los estudios individuales. P or ejem plo, cientos d e estudios habían considerado los efectos p osibles de la vitam ina C sobre los resfriados, p o r lo q u e los investigadores podrían revisar los d atos de m uchos d e e sto s estudios co m o un grupo. E ste tipo d e estudio, en los q u e los investigadores revisan estudios anteriores co m o un grupo, se denom ina meta-análisis.

D efin ición E n u n m e t a - a n á lis is lo s in v e s t ig a d o r e s r e v is a n m u c h o s e s t u d io s a n t e r io r e s . E l m e t a a n á lis is c o n s id e r a a e s t o s e s t u d i o s c o m o u n g r u p o c o m b in a d o , c o n e l o b j e t iv o d e e n ­ c o n t r a r t e n d e n c ia s q u e n o f u e r o n e v i d e n t e s e n lo s e s t u d i o s in d iv id u a le s .

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1.3 T ip o s d e e s tu d io s e s ta d ís tic o s

E S T U D IO D E C A S O

31

M e d ic a m e n to s p a r a c o m b a t ir la d e p r e s ió n : u n m e ta - a n á lis is

L o s investigadores del gobierno estim an q u e 1 d e c a d a 5 estadounidenses sufren d e depresión en algún momento d e su v id a y q u e e l co sto anual para la econom ía en pérdida de productividad es a l m enos d e 4 0 m il m illones d e dólares. H asta la década d e los noventa, los únicos m edicam en­ tos disponibles para com batir la depresión pertenecían a la cla se conocida com o antidepresivos tricíclicos. Pero en la década pasada, varios m edicam entos se hicieron d e u so com ún. El m ás fa­ m oso fue e l Prozac, que había sido prescrito de manera tan am plia que algun as personas asegu ­ raban que ahora en E stados Unidos se v ivía en e l “ p aís del Prozac” . Pero, ¿el Prozac y los otros m edicam entos sirven? Para responder a esta pregunta, los investigadores d e la A gencia para las Políticas e Investigación del C uidado d e la S alu d llevaron a cab o un meta-análisis. L o s investigadores em pezaron p or bu scar en la literatura m édica estudios acerca del tra­ tamiento d e la depresión. Encontraron m ás d e 8 0 0 0 estudios reportados durante un periodo de 9 añ os. A l b u scar estudios q u e cum pliesen ciertos criterios esp eciales, tal co m o observación d e los pacientes a l m enos durante seis sem an as y la com paración d e los tipos anterior y nuevo de m edicam entos antidepresivos, redujeron la lista a c a si 300 estudios. Tam bién consideraron alre­ dedor d e 600 estudios que trataban con efectos laterales d e los medicamentos. S u m eta-análisis consistió en analizar los resultados d e todos esto s estudios co m o un grupo, para bu scar tenden­ cias q u e podrían no haber sido evidentes en los estudios individuales. Globalm ente encontraron q u e los nuevos m edicam entos son m ás efectivos q u e los pla­ cebos para personas gravem ente deprim idas. Alrededor d e 5 0 % d e tales personas respondieron a los medicam entos nuevos, com parad as con c a si 3 2 % q u e respondieron a un placebo. Sin em bargo, los antidepresivos tricíclicos anteriores fueron igualm ente efectivos y , co n frecuen­ cia, dispon ibles a p recios menores. L o s m edicam entos nuevos y los anteriores tienen efectos secundarios diferentes, pero los g rad o s d e grav edad d e e sto s efectos fueron aproxim adam ente iguales. Aunque e sto s resultados pueden considerarse co m o buenas y m alas noticias p ara los fabricantes y usuarios d e los m edicam entos nuevos, e l m eta-análisis qu izá fue m ás valioso p or 10 q u e podría no decir. L o s investigadores encontraron q u e los d atos fueron inadecuados para determ inar si los m edicam entos nuevos eran efectivos para depresión ligera o p ara niños, a p esar d e q u e eran com únm ente recetados en am b o s c a so s. Tam bién encontraron q u e los datos eran inadecuados para ev alu ar tratamientos co n hierbas, tal co m o kava o m osto de S a n Juan. A sí, e l m eta-análisis señaló la dirección a i q u e era necesaria una nueva investigación.

U N M O M E N T O D E R E F L E X I Ó X ________________________ V e a d e n u e v o to s p o r c e n t a j e s d e r e s p u e s t a a lo s m e d ic a m e n t o s n u e v o s ( 5 0 % ) y a l p la c e b o ( 3 2 % ) e n e l m e t a - a n á lis is d e m e d ic a m e n t o s a n t i d e p r e s i v o s . ¿ L a s r e s p u e s t a s r e la t iv a m e n t e g r a n d e s a l p l a c e b o s u g ie r e n q u e a to s p a c ie n t e s s e le s d e b e d a r u n p l a c e b o a n t e s d e s u ­ m in is t r a r le s u n m e d i c a m e n t o r e a l c o n e f e c t o s la t e r a le s p o t e n c i a le s ? ¿ P o r q u é s í o p o r q u é n o ? S i u s t e d f u e r a p s ic ó lo g o , ¿ q u é le s u g e r ir ía a a lg u ie n q u e f u e p a r t e d e l 5 0 % , q u e n o r e s ­ p o n d ió a l m e d ic a m e n t o r e a l?

Sección 1.3 Ejercicios A lf a b e t iz a c ió n e s ta d ís tic a y p e n s a m ie n to c r ít ic o 1.

2.

P la c e b o .

¿Q ué e s un placebo y p or qué es importante en

grupo d e tratamiento y m ujeres p ara e l gru p o placebo. ¿Cuál es la confusión y có m o afecta a este experim ento? 4.

T r a ta m ie n to n e g a d o .

E n un estudio tristemente célebre, a

un experim ento para probar la efectividad d e un medica­

399 hom bres afroam ericanos co n sífilis no se les d io un tra­

mento?

tamiento que podría haberlos curado. A otros se les dieron tratamientos. L a intención fue aprender acerca del efecto ¿Q ué e s una prueba cie g a y p or q u é e s im­

d e la sífilis en hom bres afroam ericanos. ¿É ste e s un exp eri­

portante en un experim ento para probar la efectividad d e un

mento o un estudio de observación? ¿P or qué este estudio es moral y terriblemente erróneo?

P r u e b a s c ie g a s .

www.FreeLibros.org medicamento?

3.

C o n fu s ió n .

A l probar la efectividad d e una vacuna nueva,

suponga q u e los investigadores utilizaron hombres para el

5. C o lo r d e ro p a .

U n investigador planea indagar acerca d e la

creencia d e q u e la gente se siente m ás a gu sto en e l so l de

www.fullengineeringbook.net 51 of 495.

32

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a verano, cu an d o utiliza ropa co n co lo res claros, en lugar de ropa con colo res oscu ros. En este caso , ¿tiene sentido utili­ z a r una prueba do ble c ie g o ?, ¿ e s sencillo im plem entar una prueba ciega en este c a so ?

6 . T ra ta m ie n t o d e c é s p e d .

(Journal o f the American M edical Association).

15.

Un investigador planea probar la

efectividad d e un nuevo fertilizante en e l crecim iento de pasto. E n este caso , ¿tiene sentido utilizar una prueba doble cieg o ? 7.

mucho m enor p ara aquellos q u e tomaron com plem entos de vitamina B

entre la vasectom ía y la incidencia d e cán cer en la próstata

(Chance). 16.

U na encuesta d e A m erica O nLine

có m o e l efecto d e un tratamiento podría afectar d e manera

poca” o “ ninguna” . 17.

M a íz O G M .

Investigadores d e la Universidad d e N ueva

En un estudio real de un trata­

York encontraron q u e e l m aíz m odificado genéticam ente

miento para la calvicie, se aseguró que el grupo placebo tenía mejores resultados en e l crecimiento d e nuevo cabello q u e el

(O G M ) conocido co m o m aíz B t libera un insecticida a tra­ vés d e su s raíces en la tierra

Estos resultados, ¿qué sugerirían acerca del tratamiento?

(Nature).

18.

T ip o d e e s tu d io .

19. T r a ta m ie n to c o n im a n e s .

pecífico co m o pueda. T e ra p ia d e t o q u e .

American M edical Association después de

Journal o f the

En un estudio acerca d e los efec­

positivos no m agnéticos pero con una apariencia sim ilar. Los im anes no parecieron ser efectivos en e l tratamiento del d o lo r d e esp ald a

que ella probó e l toque d e terapistas profesionales (v e a la sección "H ab le­ m os d e educación” en e l capítulo 10). Por m edio d e una división co n un cartón ella mantenía u na d e su s m anos en ­

News­

tos d e im anes en e l d o lo r d e espalda, algu n os sujetos fueron tratados co n im anes mientras q u e a otros se les dieron dis­

Em ily Rosa, una niña d e nueve años, se

convirtió en protagonista d e un artículo en la

week,

En una encuesta d e

vestigación médica q u e utilice células m adre d e em briones.

Para los ejercicio s del 9 a l 2 0 , establezca el

tipo d e estudio e identifique las variables d e interés. S e a tan e s ­

I n v e s tig a c ió n d e c é lu la m a d re .

realizada p or Princeton Survey Research A ssociates, 48% d e los 1002 adultos que respondieron dijeron que estaban a favor d e utilizar fondos federales p ara financiar in­

C o n c e p to s y a p lic a c io n e s

sociation). 20.

(Journal o f the American M edical As­

C a b le s d e t e n d id o e lé c tr ic o y c á n c e r.

Cientos d e estu­

cim a d e una d e las m anos del terapista, y se le pedía identi­

dios científicos y estadísticos se han hecho para determ i­

ficar la mano q u e Em ily eligió.

nar si los cab les aéreos d e tendido eléctrico d e alto voltaje aumentan la incidencia d e cán cer entre los q u e viven cerca

10. C o n t r o l d e c a lid a d .

L a Administración Federal d e M edi­

efe ellos. Un estudio sum ario con b ase en m uchos estudios

cam entos selecciona aleatoriamente una muestra d e tabletas

previos concluyó que no existe relación significativa entre los cab les d e tendido eléctrico y e l cán cer

d e aspirinas Bayer. L a cantidad d e aspirina en c a d a tableta se m ide p ara ver su exactitud. A los p asajero s d e algun os cruce­ ros les proporcionan un brazalete m agnético, y ello s acce­ den a utilizarlo en un intento p or elim inar o dism inuir los B r a z a le te s m a g n é tic o s .

efectos del m alestar p or e l movimiento. A otros se les p ro­ porcionan brazaletes sim ilares q u e no tienen magnetism o. S e le c c ió n d e g é n e r o .

En un estudio del m étodo para la

selección d e género Y S O R T , desarrollado p or el Instituto G enetics & IVF, 152 p arejas tienen 127 niños y 2 5 niñas. 13.

AO L.

“ ¿Cuánta credibilidad le d a a pronósticos d e clim a d e largo plazo?” . Entre aqu ellos q u e respondieron, 4 7 % d ijo “ m uy

grupo tratado con e l tratamiento. ¿ E s posible este resultado?

12.

de

M e d ic ió n d e l d o lo r . M uch os estudios incluyen métodos para m edir e l d o lo r d esp u és d e algún tratamiento. D escriba

8. T ra ta m ie n to d e la c a lv ic ie .

11.

E n c u e s ta

(A O L ) tuvo co m o resultado 3 8 4 1 0 respuestas a la pregunta

adversa y describa có m o este efecto puede evitarse.

9.

Un an álisis d e 11 estudios indivi­ duales intentó determ inar si hay una relación concluyente

C á n c e r d e p ró s ta ta .

American M edical Association).

Para c a d a uno d e los e s ­ tudios descritos en los ejercicio s 21 a 28, identifique problem as

¿ Q u é e stá m a l e n e s te e x p e r im e n to ?

que probablem ente causen confusión y explique có m o pueden evitarse. A nalice cualquier otro problem a q u e podría afectar los resultados. 21.

(Science).

Un experim ento diseñado para

miento d e álam os: e l fertilizante se utiliza co n un grupo de á lam os en una región húm eda y la irrigación en álam os en

Un estudio d e cientos d e m ellizos su ecos de­ terminó q u e e l nivel d e habilidad mental era m á s sim ilar

óvulo) que en gem elos fraternos (gem elos q u e provienen de do s ó v u lo s distintos)

C r e c im ie n t o d e á la m o s .

evaluar la efectividad del riego y e l fertilizante en e l creci­

G e m e lo s .

en gem elos idénticos (gem elos que provienen d e un solo

(Journal o f the

una región árida. 22.

C o m p r a s e n in te rn e t.

D oscientos voluntarios se reclutan

PC M agazine.

por m edio d e un anuncio en Ellos son utili­ zados en un estudio para com parar los montos totales g asta ­

www.FreeLibros.org Un estudio europeo a 1 500 hom bres y muje­

d as p or aquellos q u e usan internet y p or los que no. A cad a

res con niveles excepcionalm ente altos del am inoácido hom ocisteína determ inó q u e e sto s individuos tenían e l doble

persona se le perm ite elegir estar en e l grupo d e usuarios de internet o e l grupo q u e n o utiliza internet. A l cab o d e un

de riesgo de una card iopatía Sin em bargo, e l riesgo era

mes se com paran los m ontos gastad os p or los d o s grupos.

14. C a r d io p a t ía .

www.fullengineeringbook.net 52 of 495.

1.3 T ip o s d e e s tu d io s e s ta d ís tic o s 23.

N iv e l d e o c ta n o .

En una com paración d e gaso lin a co n d i­

m ás interesantes y, co n b ase en lo q u e lea, exprese su o p i­ nión acerca d e si las m em orias recuperadas presuntamente lo hicieron influidas p or los efectos del experimentador.

ferentes niveles d e octano, 2 4 cam ionetas son llenadas con gasolin a d e 87 octanos, mientras q u e 28 autom óviles de­ portivos son llenadas co n gaso lin a d e 91 octanos. D espués que un vehículo ha sido conducido durante 2 5 0 m illas, se

34.

25.

d e sífilis llevado a ca b o en T u skegee, A labam a, d e 1932 a 1972. (V e a e l ejercicio 4 ). E n dich o estudio se les dijo

probar la efectividad d e la aspirina para la prevención de

a hom bres afroam ericanos q u e recibirían un tratamiento

infartos a l m iocardio, la aspirina se le d a a 3 p erson as y un placebo a otras 7.

para la sífilis, p ero en realidad no lo recibieron. E l obje­ tivo oculto d e los investigadores era estudiar los resultados

E n s a y o c o n h ip e rte n s ió n .

a largo plazo de los efectos d e la enferm edad. Utilice la web

En un en sayo clínico acerca de

para aprender arerca d e la historia del estudio d e la sífilis en Tuskegee. M antenga un debate en cla se acerca d e los tem as

sión, a los sujetos se les pregunta s i desean recibir e l m edi­

éticos incluidos en este c a so o escriba un breve en sayo que

camento real o un placebo. P ie d e a tle ta .

resuma e l c a so y su s lecciones éticas.

E n un en say o clínico acerca d e la efectivi­

dad d e una loción utilizada para tratar

linea pedis (pie de

atleta), los m édicos q u e evalúan lo s resultados saben a qué sujetos se les aplicó e l tratamiento y a quién es se les aplicó m placebo. 27.

28.

35.

D e b a te : ¿ d e b e n u tiliz a rs e d a to s d e e x p e rim e n to s no é tic o s ?

pasado no cum plen co n los estándares éticos actuales. En c a so s extrem os, tal co m o la investigación realizada por

E n u na prueba acerca d e los

efectos d e levantamiento d e p esas en la presión sanguínea,

cuen cia m ataban a los su jeto s d e su s experim entos. Aunque esta investigación no ética claram ente violó los derechos

m grupo experim enta un tratamiento, q u e consiste en un

humanos d e los sujetos experim entales, en algu n os c aso s

program a d e levantam iento d e p esas, mientras q u e otro grupo levanta pelotas d e tenis.

llevó a revelaciones que podrían ayudar a la gente en nues­ tros días. ¿ E s ético utilizar los resultados d e investigación

E n pruebas d e durabilidad d e d o s m ezclas d e pinturas diferentes, los investigadores q u e e v a ­ M e z c la s d e p in tu ra s .

no ética? 3 6 . E s t u d io s d e t e n id o s p re m a tu r a m e n te .

cede q u e un estudio se detiene antes d e su conclusión. U ti­

de las d o s diferentes m ezclas.

lice internet para encontrar un ejem plo d e ta l estudio. ¿P o r qué e l estudio se d etuv o? ¿D eb ió detenerse o hubiese sido m ejor com pletar e l estudio?

Los ejercicios 2 9 a l 32 presentan pre­

tratamiento y d e control? ¿ E l experim ento debe ser ciego sencillo,

E N L A S N O T IC IA S

doble ciego o ninguno de ellos? Explique su razonamiento. B e e th o v e n e in te lig e n c ia .

¿Escuchar a Beethoven hace Busque en los periódicos de hace unas sem an as y encuentre un ejem plo d e una

37. E s tu d io s d e o b s e r v a c ió n .

m ás inteligentes a los niños? L ip it o r y c o le s t e r o l.

¿ E l m edicam ento Lipitor tiene com o

investigación estadística q u e sea d e observación. D es­

resultado dism inuir los niveles d e colesterol? 31.

E ta n o l y m illa je .

¿U n aditivo d e etanol en la gaso lin a re­

criba brevemente e l estudio y resum a sus conclusiones. 38. E s t u d io

duce e l m illaje? 32.

E n ocasio n es su ­

lúan los resultados saben cu áles m uestras son d e c a d a una

A n á lis is d e e x p e rim e n to s .

30.

C on frecuencia investigaciones realizadas en el

doctores en la A lem ania nazi, los investigadores co n fre­

L e v a n ta m ie n to d e p e s a s .

guntas que podrían ser gu ías en un experimento. Si usted tuviese que diseñar e l experimento, ¿cóm o seleccionaría a los grupos de

29.

L o s estándares éticos cam bian de

En la fase I d e un en sayo clínico para

E n s a y o c o n a s p irin a .

la efectividad de un m edicam ento para tratar la hiperten­

26.

É tic a e n e x p e rim e n to s .

época a ép oca. Un c a so d e sobra p o co ético fue un estudio

mide la cantidad d e gaso lin a consum ida. 24.

33

e x p e rim e n ta l.

Busque en los periódicos de

hace unas sem anas y encuentre un ejem plo de una in­ s t i g a c i ó n estadística que incluya un experimento. D es­

¿ L a s puertas d e servicio d e alum inio son m ás en una c a sa q u e las puertas d e servicio d e m adera?

P u e rta s e n c a s a .

criba brevemente e l estudio y resum a sus conclusiones. Busque en los periódicos efe hace unas sem an as y encuentre un ejem plo d e una investigación estadística q u e sea d e observación y re­

3 9 . E s t u d io s e n re tro s p e c tiv a .

Proyectos para Internet y más allá

Para enlaces útiles seleccione “Links fo r Internet Projects ”para el capítulo I en www.aw.com/bbt.

trospectiva. D escriba brevem ente e l estudio y resuma sus conclusiones.

E f e c t o s d e l e x p e r im e n ta d o r e n c a s o s d e m e m o r ia r e p r i­

Busque en los periódicos d e hace unas sem anas y encuentre un ejem plo d e un meta-análisis.

Busque en la w eb artículos e información acerca de

D escriba brevem ente e l estudio y resum a su s conclu­

40.

M e ta -a n á lis is.

www.FreeLibros.org 33.

m id a .

la controversia en cuanto a los c a so s de recuperación d e me­

siones.

moria reprimida. Brevemente resum a uno o d o s de los c a so s

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34

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a

1.4 ¿D ebe tener con fian za en u n a investigación estadística?

L

a m ayor parle d el resto d e este libro está dedicad a a ayudarle a obtener una com prensión m ás proíunda d e los conceptos y definiciones q u e hem os estudiado hasta aquí. Pero ya

sabe suficiente para lograr uno d e los objetivos principales d e este texto: ser ca p az de responder la pregunta “ ¿D ebe tener confian za en una investigación estadística?” .

S i he hecho algún descubrim iento valioso, ha sido m ás p o r la atención paciente, que por cualquier otro talento. — Isaac Newton

L a m ayoría d e los investigadores llevan a ca b o su s investigaciones estadísticas con ho­

nestidad e integridad, y la m ayoría d e e lla s se realizan co n diligencia y cuidado. S in em bargo, la investigación estadística e s d e tal com plejidad q u e puede surgir se sg o de m uchas form as diferentes, haciendo m uy importante q u e siem pre exam in em os con cu idado los inform es de investigaciones estadísticas. N o hay una m anera definitiva d e responder la pregunta: “ ¿D ebe tener confian za en una investigación estadística?” . Sin em bargo, en esta sección consideram os ocho directrices q u e pueden ser útiles. A lo largo del cam ino también introduciremos unas cuantas definiciones y conceptos q u e lo prepararán para los análisis q u e vienen m ás adelante.

O cho d ire ctrice s p a ra la evalu ación crítica d e u n a in vestigación estadística 1. I d e n t if iq u e e l o b j e t iv o d e l e s t u d i o , la p o b la c ió n c o n s id e r a d a y e l t ip o d e e s t u d io . Z

C o n s id e r e la f u e n t e , e n p a r t i c u la r s i lo s in v e s t ig a d o r e s p u e d e n p r e d is p o n e r s e .

3. E x a m in e e l m é t o d o d e m u e s t r e o p a r a d e c i d i r s i e s p r o b a b l e p r o d u c ir u n a m u e s t r a r e p r e s e n t a t iv a . 4 . B u s q u e p r o b le m a s e n la d e f in ic ió n o m e d ic ió n d e la s v a r ia b le s d e in t e r é s , c u á le s p u e d e n h a c e r d i f í c il la in t e r p r e t a c ió n d e lo s r e s u lt a d o s r e p o r t a d o s . 5 . T e n g a c u i d a d o d e la s v a r ia b le s d e c o n f u s ió n q u e p u e d a n in v a lid a r la s c o n c lu s io n e s cte u n e s t u d io . 6 . C o n s id e r e e l c o n t e x t o y la r e d a c c ió n d e la s p r e g u n t a s d e la e n c u e s t a , b u s q u e c u a l ­ q u ie r a s p e c t o q u e p u e d a t e n e r u n a t e n d e n c ia a p r o d u c ir r e s p u e s t a s im p r e c is a s o c te s h o n e s ta s . 7. V e r if iq u e q u e lo s r e s u lt a d o s e s t é n b ie n r e p r e s e n t a d o s e n g r á f ic a s y c o n c lu s io n e s , y a q u e t a n t o lo s in v e s t ig a d o r e s c o m o lo s m e d io s c o n f r e c u e n c ia c r e a n g r á f ic a s e n g a ­ ñ o s a s o s a c a n c o n c l u s i o n e s q u e lo s r e s u lt a d o s n o a p o y a n . 8 . T o m e d is t a n c ia y c o n s id e r e la s c o n c lu s io n e s . ¿ E l e s t u d io lo g r a s u s o b j e t i v o s ? ¿ L a s c o n c lu s io n e s t ie n e n s e n t id o ? ¿ L o s r e s u lt a d o s t ie n e n a lg ú n s i g n i f i c a d o p r á c t i c o ?

L o s reportes d e las noticias no siem pre proporcionan suficiente inform ación para que aplique tod as las directrices anteriores, pero p or lo regular puede encontrar información adicio­ nal en la w eb. Busque pistas tales c a n o “ reportado por la N A S A ” o "pu b licad o en

New England

Journal o f M edicine ” para ayudarle a seguir las fuentes originales u otra información relevante. D irectriz 1: id en tifiq u e el ob jetivo, la p o b lació n y el tip o de estu dio El prim er p aso en la evaluación d e una investigación estadística e s entender e l objetivo y el enfoque del estudio. C on b ase en lo que o ig a o lea acerca d e un estudio, trate d e responder estas preguntas básicas: • •

¿P ara qué fue diseñ ad o e l estudio? ¿C u ál fue la población b ajo estudio? ¿ L a población estaba clara y apropiadamente definida?

www.FreeLibros.org •

¿ E l estudio fue d e observación, un experim ento o un m eta-análisis? S i fue un estudio de

observación, ¿ fu e retrospectivo? S i fue un experim ento, ¿ fu e sim ple o do b le ciego, y los grupos d e tratamiento y d e control fueron aleatorizados correctam ente? D ado e l objetivo, ¿ e l tipo de estudio fue apropiado?

www.fullengineeringbook.net 54 of 495.

1.4 ¿ D e b e t e n e r c o n fia n z a e n u n a in v e s t ig a c ió n e s ta d ís tic a ?

E JE M P L O 1

35

¿ T i p o d e e s t u d i o a p r o p ia d o ?

Im agine e l reporte siguiente (hipotético) en un periódico: “ Investigadores dieron a 100 partici­ pantes su s horóscopos individuales y les preguntaron s i los horóscopos fueron precisos. D e los participantes, 85% dijeron que su s horóscopos fueron precisos. L o s investigadores concluyeron q u e los h oróscopos son válidos la m ay or parte del tiem po” . A nalice este estudio d e acuerdo co n la directriz 1.

S o lu c ió n

E l objetivo del estudio era determ inar la validez d e los horóscopos. C on b ase en los reportes d e las noticias, parece q u e e l estudio fue de observación : los investigadores sólo preguntaron a los participantes acerca de la precisión d e los horóscopos. S in em bargo, y a que

A p r o p ó s ito ... Las en cu e sta s revelan q u e casi la m ita d d e los estad o u n id e n se s creen e n sus h o ró sco p o s. Sin em bargo, e n experim en to s c o n tro la d o s, las p re d iccio n e s de los h o ró sco p o s son v e rd a d e ra s co n m enos fre cu e n c ia q u e lo q u e se esp e raría p o r e l azar.

la precisión d e un horóscopo e s un tanto subjetiva, e l estudio deb ió haber sido un experim ento controlado en e l q u e a algunas personas les diesen su s horóscopos reales y a otros un horós­ co po falso. L u e g o los investigadores podrían b u scar diferencias entre los d o s gru pos. A dem ás, com o los investigadores podrían influir co n facilidad en los resultados, en la form a en q u e ellos cuestionan a los participantes, e l experim ento d eb e ser do b le ciego. E n resumen, e l tipo d e e s ­ tudio no fue adecuado para e l objetivo y su s resultados carecen d e sentido.

U N M O M E N T O D E R E F L E X I Ó N ________________________ I n t e n t e p r o b a r s u h o r ó s c o p o . E n c u e n t r e e l h o r ó s c o p o d e a y e r p a r a c a d a u n o d e lo s 12 s i g ­ n o s y p o n g a c a d a u n o e n u n a h o ja s e p a r a d a , s in n a d a q u e id e n t if iq u e e l s ig n o . R e v u e lv a la s h o ja s d e m a n e r a a le a t o r ia y p i d a a a lg u n a s p e r s o n a s q u e a d iv in e n c u á l s e s u p o n ía q u e e s s u h o r ó s c o p o p e r s o n a l. ¿ C u á n t a s p e r s o n a s h ic ie r o n la e l e c c ió n c o r r e c t a ? A n a lic e s u s r e s u lt a d o s .

E JE M P L O 2

¿ L a a s p i r in a p r e v ie n e a t a q u e s c a r d ia c o s ?

Un estudio reportado en New England Jo u rn al o f M edicine (vol. 318, núm. 4 ) buscaba deter­ m inar si la aspirina e s efectiva en la prevención d e ataques cardiacos. Incluía 22 0 0 0 hombres que los m édicos consideraron q u e estaban en riesgo d e ataques cardiacos. L o s hom bres fueron

A p r o p ó s ito ... M uchos e stu d io s recien te s m uestran d ife re n c ia s su stan ciales

divididos en un grupo d e tratamiento que tom ó aspirina y un gru p o d e control que no lo hizo. E l resultado fue tan convincente en favor d e los b en eficios d e la aspirina que, p or razones éti­

en las fo rm a s e n q u e ho m b res y

cas, e l experim ento se detuvo antes d e que se com pletase y los sujetos fueron inform ados de

tra tam ie ntos m édico s. P o r ejem plo,

los resultados. M uch os artículos salieron co n la noticia titular q u e tom ar aspirina puede ayudar a prevenir ataques cardiacos. A nalice este titular de acuerdo co n la directriz 1.

la a sp irin a e s m ás e fe c tiv a en

mujeres re sp o n d e n a los m ism os

sangre lig e ra en los ho m b res q j e e n m ujeres (se p ien sa que

S o lu c ió n El estudio fue un experimento, que e s apropiado, y su s resultados parecen ser convincentes. Sin em bargo, e l hecho d e q u e la muestra só lo consistió d e hom bres significa que los resultados deben considerarse para aplicación en la población d e hombres. Puesto q u e los resultados d e pruebas m édicas en hom bres no necesariam ente se aplican a mujeres, las noticias tergiversaron los resultados cu an d o no cualificaron a la población.

la san gre lig e ra a y u d a a prevenir ataques c a rd ia c o s e n algunas personas). La m o rfin a c o n tro la el ctolor m e jo re n mujeres, p ero el ib u p ro fe n o e s m ás e fe c tiv o para hom bres. Y las m ujeres rechazan tos tra splan te s d e c o ra zó n con

D irectriz 2: con sid ere la fuente L a s investigaciones estadísticas cuentan co n e l supuesto de que son objetivas, pero la gente q u e las lleva a cabo y que las financia puede predisponerse. Por tanto, e s importante considerar la fuente de un estudio y evaluar la posibilidad de sesgo que podría invalidar las conclusiones del estudio. E l se sg o puede ser o b v io en c a so s donde una investigación estadística se lleva a cab o para marketing, prom oción u otros propósitos com erciales. Por ejem plo, un anuncio de dentí­ frico que asegura que “ 4 d e 5 dentistas prefieren su m arca” , parece q u e tiene b ase s estadísticas,

m ayo r fre c u e n c ia q u e los hom bres. Estas d ife re n cia s pued en derivarse efe in te ra ccio n e s co n las horm onas q j e d ifieren e n ho m bres y mujeres o d e d ife re n cia s e n la v e lo c id a d en q u e los ho m b res y las m ujeres m etabolizan m e d icam en to s d fe re n te s.

pero no nos dan detalles de có m o se llevó a ca b o la encuesta. Puesto que, obviam ente, los anunciantes quieren d ecir c o sa s buenas d e su s m arcas, e s difícil tom ar co n seriedad la afirm a­ ción estadística sin m ás inform ación acerca d e có m o se obtuvieron los resultados.

www.FreeLibros.org O tros c a so s d e sesgo pueden ser m ás sutiles. P or ejem plo, suponga q u e un estudio lle­

vado a cabo d e m anera cuidadosa concluye q u e un medicamento nuevo ay u d a a cu rar e l cáncer. En apariencia, e l estudio podría parecer creíble. Pero, ¿qu é p asa si e l estudio fue financiado p or

www.fullengineeringbook.net 55 of 495.

36

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a una com pañía farm acéutica q u e ganará m iles d e m illones d e dó lares en ventas si e l m edica­ mento prueba ser efectivo? L o s investigadores podrían haber realizado bien su trabajo co n gran integridad a pesar d e la fuente d e financiamiento, pero podría ser valioso un poco d e investiga­ ción adicional para estar seguros. L a s principales investigaciones estadísticas p or lo regular son evaluadas p or expertos im parciales. P or ejem plo, e l p roceso mediante e l cu al los científicos exam inan investigaciones d e otros se denom ina re v is ió n de pares (ya q u e los científicos q u e hacen la evaluación son

p ares d e quien es la realizaron). R evistas cien tíficas acreditadas requieren q u e todos los repor­ tes d e investigación sean revisados p o r pares antes q u e la investigación sea aceptada para su publicación. L a revisión d e pares no garan tiza q u e un estudio sea válido, p ero d a credibilidad, y a q u e im plica q u e otros expertos están d e acuerdo en q u e e l estudio fue llevado a cab o d e m a­ nera adecuada.

D efin ición R e v is ió n d e p a re s e s u n p r o c e s o e n e l q u e v a r io s e x p e r t o s e n u n c a m p o e v a lú a n u n r e ­ p o r t e d e i n v e s t ig a c ió n a n t e s d e q u e e l r e p o r t e s e a p u b lic a d o .

A p r o p ó s ito ...

E JE M P L O 3

D espués d e d é ca d a s de

En 1963 las investigaciones habían m ostrado tan claram ente los peligros p ara la salud d e fumar, que e l director general d e salud pública d e E stad os Unidos anunció públicam ente q u e fum ar es

arg u m e n ta r lo co ntrario , en o ctu b re d e 1999 la c o m p añ ía Philip Morris, e l m a y o r v e n d e d o r de p ro d u cto s d e ta b aco, re c o n o c ió p úb licam en te q u e fu m ar cau sa cá n ce r e n los pulm ones, cardiop atías, e n fise m a y otras enfe rm ed ad e s graves. A partir cte e sto , P h ilip M o rris ca m b ió su nom bre a Altria.

¿ E s s a l u d a b l e fu m a r ?

m alo para la salud. L a s investigaciones realizadas d esd e entonces dieron m ás apoy o a esta afirm ación. Sin em bargo, mientras q u e una gran m ayoría d e los estudios mostraron q u e fum ar no e s saludable, unos cuantos estudios no encontraron peligros en e l fum ar e incluso qu izá

beneficios para la salud. P or lo general, e sto s estudios fueron llevados a c a b o p o r e l Instituto de Investigación del Tabaco, financiado por las com pañías tabacaleras. Analice e sto s estudios de acuerdo con la directriz 2.

S o lu c ió n

Incluso en un c a so co m o éste puede ser difícil decidir a quién creer. Sin em ­

bargo, los estudios q u e muestran q u e fum ar no e s saludable aparecieron principalmente en investigaciones revisadas p or pares. E n contraste, los estudios realizados en e l Instituto d e In­ vestigaciones d e T a b a c o tenían un claro se sg o potencial. E l se sg o potencial no significa q u e la investigación fue sesgad a, pero e l hecho q u e contradiga a c a si todas las otras investigaciones sobre e l tema debe ca u sa r preocupación.

E JE M P L O 4

C o n f e r e n c i a d e p r e n s a c ie n t í f ic a

Suponga q u e las noticias nocturnas d e televisión presentan a científicos en una rueda d e prensa anunciando q u e han descubierto evidencia d e q u e un quím ico nuevo desarrollado puede dete­ ner e l p roceso d e envejecim iento. E l trabajo aún no ha p asa d o por un p roceso d e revisión de pares. A nalice e l estudio d e acuerdo co n la directriz 2.

S o lu c ió n

C ón frecuencia los científicos anuncian los resultados d e su s investigaciones en una conferencia d e prensa, p or lo que e l público puede enterarse d e su trabajo tan pronto com o sea posible. S in em bargo, podría requerirse mucha experiencia para ev alu ar su estudio sobre posible se sg o u otros errores, q u e e s e l objetivo del proceso d e revisión p or pares. H asta q u e el trabajo sea revisado p o r pares y publicado en una revista d e prestigio, cualesquiera hallazgos deben considerarse preliminares, en esp e cial acerca d e afirm aciones sorprendentes tal co m o la posibilidad d e detener e l p roceso d e envejecim iento.

D irectriz 3 : exam in e el m étodo de m uestreo

www.FreeLibros.org U na investigación estadística no puede ser válida a m enos q u e la muestra sea representativa de

la población b ajo estudio. M étodos de m uestreo m alos c a si garantizan una muestra se sg ad a que hace q u e los resultados del estudio sean inservibles.

www.fullengineeringbook.net 56 of 495.

1.4 ¿ D e b e t e n e r c o n fia n z a e n u n a in v e s t ig a c ió n e s ta d ís tic a ?

37

M uestras sesgad as pueden surgir de m uchas form as, pero d o s problem as estrechamente relacionados son particularmente comunes. El prim er problem a, denom inado sesgo de selección ( o efecto de selección), ocurre siem pre q u e los investigadores

seleccionan su muestra d e forma

que los d atos tiendan a no ser representativos d e la población. Por ejem plo, un sondeo previo a elecciones q u e encuesta só lo a republicanos registrados tiene se sg o d e selección, y a q u e e s poco probable que reflejen las opiniones d e los votantes d e todos los partidos (e independientes). E l segundo problem a, denom inado sesgo de participación, puede surgir cuando la gente un estudio, esto es, cuando los participantes son voluntarios. L a form a m ás com ún d e se sg o d e participación ocurre en encuestas de autoselección (o encuestas de res­

elige ser parte d e

puesta voluntaria), en cuestas o son d eos en los q u e la gente decide participar. E n tales casos, cuando la gente siente mucha atracción p o r un tem a e s m á s probable q u e participe, y su s o p i­ niones podrían no representar las opiniones d e la población en su totalidad, que tienen m enos atracción sentimental hacia e l tema.

D efin ició n E l s e s g o d e s e le c c ió n ( o e fe c to d e s e le c c ió n ) o c u r r e s ie m p r e q u e lo s in v e s t ig a d o r e s

se le c cio n a n s u m u e s t r a d e u n a m a n e r a s e s g a d a . E l se sg o d e p a r t ic ip a c ió n o c u r r e e n c u a lq u ie r m o m e n t o e n u n e s t u d io q u e e s v o lu n t a r io . U n a e n c u e s ta d e a u t o s e le c c ió n ( o e n c u e s ta d e re sp u e s ta v o lu n ta ria ) e s u n a e n la c u a l la g e n t e d e c id e s i e lla e s t a r á in c lu id a e n la e n c u e s t a .

L a popu lar revista

A p r o p é s it o ...

L a e n c u e sta d e la r e v is ta U t e r a r y D i g e s t de 1936

E S T U D IO D E C A S O

Literary D igest d e

Ito e n c u e s ta d o r jo v e n llam ado

la d é cad a d e los treinta, predijo d e manera ex ito sa los

Lite­

resultados d e v a ria s eleccion es p or m edio de en cuestas grandes. E n 1936, los editores d e llevaron a c a b o una encuesta grande previa a la elección presidencial. D e manera

rary D igest

G e o rg e G allu p lle v ó a c a b o su p rop ia e n c u e sta an tes d e la e le cc ió n d e 1936. Él e n v ió tarjetas a s ó lo 3 0 0 0 personas elegid as

aleatoria seleccionaron una muestra d e 10 m illones d e personas d e varias listas, incluyendo nom bres d el directorio telefónico y listas d e clu b es d e cam po. Enviaron p o r correo una tarjeta

alea to riam en te y p re d ijo n o só lo

de “ voto” a c a d a uno d e e stas 10 m illones d e personas. A lrededor d e 2 .4 m illones d e perso­

tam bién e l re su lta d o d e l so nd eo

nas regresaron su s tarjetas d e voto. C on b ase en los vo to s regresados, los editores d e Literary D igest predijeron que A lf Landon gan aría la presidencia p or un margen d e 5 7 % a 4 3 % sobre

el resu ltad o d e la e le cció n , sin o d e Literary Digest d e n tro d e 1%. G allu p c o n tin u ó fu n d a n d o una m uy e x ito sa c o m p añ ía d e encuestas.

Franklin Roosevelt. E n lugar d e eso , Roosevelt gan ó con 62% del vo to popular. ¿C óm o fue que esa encuesta grande estuvo tan errónea? L a muestra sufrió tanto d e se sg o d e selección co m o d e sesgo d e participantes. E l sesgo de selección surgió porque

Literary D igest eligió su s

10 m illones de nom bres d e manera que

favorecían la elección d e personas d e c la se alta. P or ejem plo, seleccionaron nom bres d e gu ías telefónicas, lo q u e sign ificó elegir só lo aqu ellos q u e podían perm itirse teléfono en 1936. De form a similar, los m iem bros d e un clu b d e cam po p o r lo com ún son muy pudientes. E l se sg o de selección tam bién se inclinaba a favor del republicano Landon porque la afluencia d e votantes de 1930 se inclinaba p o r los can didatos republicanos. E l surgim iento del se sg o d e participación d e quien es regresaron las papeletas p or correo fue voluntario, p or lo q u e la gente q u e crey ó firmemente en la elección fue m ás propen sa a estar entre quienes regresaron su s votos. E l se sg o también se inclinaba a favor d e Landon y a

A p r o p ó s ito ... Más d e un te rc io d e to d o s los estad o u n id e n se s habitualm ente d e rra n la p u e rta o cue lga n el te lé fo n o c u a n d o so n c o n ta cta d o s para una en cuesta, e s t o hace la au to se le cció n un p ro b le m a para

que é l era e l aspirante, la gente q u e no quería a R oosevelt com o presidente podía ex p resar su

tos e n cu e sta d o res legítim o s. Una

d e se o para cam biar regresando las papeletas. Juntas, las d o s form as d e se sg o hicieron inservi­ bles los resultados d e la muestra, a p e sa r del gran número de personas encuestadas.

razón p o r la cu a l la g e n te cu e lga

E JE M P L O 5

puede s e r la p ro life ra ció n de ven tas bajo la ap arien cia d e una in vestiga ció n d e m e rc a d o (con

E n c u e s t a d e a u t o s e le c c ió n

fre cue ncia llam ad a "insin uación")

www.FreeLibros.org El program a d e televisión

Nightline llevó a cab o una encuesta en

la q u e a los televidentes se

les preguntó s i las o ficin as d e las N acion es U nidas deberían continuar en E stad os U nidos. L o s televidentes podrían responder la encuesta por un p ag o d e 5 0 centavos a l llam ar a un número “9 0 0 ” con su s opiniones. L a encuesta obtuvo 186 0 0 0 respuestas, d e las cu ales 6 7 % estuvo a

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en la que e l v e n d e d o r p o r te lé fo n o pretende s e r p arte d e una

e n cu e sta para tra ta r d e q u e usted co m p re algo.

38

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a fevor d e sac ar a las N acion es Unidas d e E stad os Unidos. E n la m ism a época, un sondeo que utilizó m uestreo aleatorio sim ple a 5 0 0 personas determ inó q u e 7 2 % quería q u e las N aciones U nidas

permanecieran en E stad os Unidos. ¿C u á l encuesta e s m á s probable q u e sea representa­

tiva d e la opinión general d e los estadounidenses?

S o lu c ió n

L a muestra d e

Nightline estuvo m uy sesgada. T u vo se sg o porque su muestra só lo

se extrajo d e los televidentes del program a, en lugar d e todos los estadounidenses. L a encuesta m ism a fue una encuesta d e autoselección en la q u e los televidentes n o só lo elegían responder, sino también tenían q u e

pagar 5 0

cen tavos p or participar. E ste co sto hizo aún m ás proba­

ble q u e los encuestados fuesen aquellos q u e sentían una n ecesidad de cam bio. P or tanto, a p esar d e su número tan grande de encuestados, la encuesta d e e s p o c o probable que

Nightline

d iese resultados significativos. En contraste, e l m uestreo aleatorio sim ple d e 500 personas es muy probable que sea representativa, de m odo q u e los resultados de esta encuesta tienen m ejor oportunidad d e representar la opinión verdadera d e tod os los estadounidenses.

E JE M P L O 6

A p r o p ó s ito ... La m is ió n Kepler d e la N A S A p ro g ra m ó un la n za m ie n to a finales d e

2008 , e s un te le s c o p io

P l a n e t a s a l r e d e d o r d e o t r a s e s t r e lla s

Hasta m ediados d e la década d e los noventa, los astrónom os n o habían encontrado evidencia concluyente d e planetas fuera d e nuestro sistem a solar. Pero la tecnología m ejorada hizo p o si­ ble em pezar a b u scar tales planetas y m ás d e 2 0 0 se han descubierto h asta principios d e 2007. La tecnología existente hizo m ás sencillo encontrar planetas grandes que planetas pequeños y

d e te c ta r planetas ta n pequeños

m ás sencillo encontrar planetas que orbitan cerca de su s estrellas q u e planetas que orbitan lejos de su s estrellas. D e acuerdo co n lo teoría principal d e la form ación d e un sistem a solar, los

c o m o la T ie rra a lre d e d o r d e otras

planetas que orbitan cerca de su s estrellas deben ser m uy raros. Pero ello s fueron m uy com unes

estrellas. Kepler b u sca rá ligeras

entre los prim eros 2 0 0 descubrim ientos. ¿ E sto sign ifica q u e a lg o está m al co n la teoría princi­ pal d e la form ación d e un sistem a solar?

o rb ita n d o q u e d e b e s e r c a p a z de

d sm in u c io n e s d e la lu z d e una estrella c a d a v e z q u e un planeta

S o lu c ió n

(un "tránsito ” ), lo c u a l significa

Aunque la teoría sugiere que planetas gran des en órbitas cercan as deben ser raros, la tecnología hace d e estos c a so s raros los m ás fáciles de encontrar. P or tanto, la determ inación

q j e só lo se rá c a p a z de d e te c ta r

de m uchos d e e sto s planetas representa un

p lanetas para la peq u eñ a fracció n

cubrimiento de planetas) hacia un tipo raro. D e hecho, esto parece q u e e s c a si seguram ente el caso, y a q u e actualmente m uchos planetas “ norm ales” se están descubriendo y los astrónom os

q u e ó rb ita pase en fre n te s u y o

de e stre lla s q u e te n g a n a sus sistem as planetarios a lin e a d o s co n nuestra lín ea visual.

efecto de selección q u e se sg a

la muestra (de d e s­

han determ inado q u e co n pequeñas m odificaciones la teoría existente puede ex p lic a r los tipos raros encontrados en los prim eros descubrim ientos.

D irectriz 4 : b u scar p ro b le m a s en la defin ición o m ed ición de las v aria b les de interés L o s resultados d e una investigación estadística pueden ser d ifíciles d e interpretar si las varia­ bles b ajo estudio son d ifíciles d e definir o medir. P or ejem plo, im agine tratar d e llevar a cabo un estudio d e có m o e l ejercicio afecta e l ritmo cardiaco en reposo. L a s variables d e interés se­ rían

cantidad de ejercicio y ritmo cardiaco en reposo. A m bas variables son d ifíciles d e definir cantidad de ejercicio cantidad de ejercicio

y medir. E n e l c a so d e , no e s claro q u é incluye la definición, ¿cam inar está incluido? Incluso s i especificam os la definición, ¿có m o m edim os dado q u e algun as form as son m ás intensas q u e otras?

U 1V M O M E N T O D E R E F L E X I Ó N ________________________ ¿ C ó m o m e d ir ía s u r i t m o c a r d i a c o e n r e p o s o ? D e s c r ib a a lg u n a s d if ic u lt a d e s p a r a d e f in ir

y

m e d ir e l r it m o c a r d ia c o e n r e p o s o .

E JE M P L O 7

¿ E l d in e r o p u e d e c o m p r a r e l a m o r ?

www.FreeLibros.org USA Today

Una encuesta de R oper reportada en incluyó una encuesta al 1% m ás ricos d e los estadounidenses. L a encuesta determ inó q u e esta gente pagaría un prom edio d e $487 0 0 0 p or

amor verdadero , $407 0 0 0 p or gran inteligencia , $285 0 0 0 p or talento y tud eterna. A nalice e sto s resultados d e acuerdo co n la directriz 4. www.fullengineeringbook.net 58 of 495.

$ 2 5 9 0 0 0 p or

juven­

1.4 ¿ D e b e t e n e r c o n fia n z a e n u n a in v e s t ig a c ió n e s ta d ís tic a ?

S o lu c ió n definiría

39

L a s variables d e dich o estudio son co m p lejas d e definir. P or ejem plo, ¿cóm o

amor verdadero ?

y ¿q u é significa am o r verdadero por un día, toda la vida o algo

sem ejante? D e manera análoga, ¿ la habilidad para equilibrar una cuchara en su nariz co n sti­ tuye ? Puesto q u e las variables están tan vagam ente definidas, e s probable q u e personas

talento

diferentes las interpreten d e manera distinta, haciendo q u e los resultados sean d ifíciles d e in­ terpretar.

E JE M P L O 8

S u m in is tr o ile g a l d e m e d ic a m e n to

U na estadística citada com únm ente e s q u e las autoridades aplican la ley d e m anera exitosa para detener en só lo 10 a 20% la entrada ilegal d e drogas a E stad os Unidos. ¿D e b e creer esta estadística?

S o lu c ió n En esen cia hay d o s variables en un estudio d e intercepción d e d ro ga ¡legal: canti­ dad de drogas ilegales interceptadas y cantidad de drogas ilegales NO interceptadas. D ebe ser relativamente sencillo m edir la cantidad d e d ro g as ilegales q u e los o ficiale s q u e aplican la ley interceptan. Sin em bargo, puesto q u e las d ro g as son ilegales, e s poco probable q u e alguien esté

no

reportando la cantidad d e droga q u e e s interceptada. Entonces, ¿có m o alguien puede saber q u e las d ro g as interceptadas son 10% a 2 0 % d el total? E n un an álisis del un

New York Times,

o ficial d e la policía fue cuestionado cuando d ijo q u e su s c o le g a s se referían a e ste tipo d e esta­ dísticas co m o “ PFA ” p or su s siglas en inglés “ sacad as del aire” .

D irectriz 5 : tener cu id ad o co n las v ariab les de co n fu sió n C on frecuencia las variables q u e no están planeadas co m o parte del estudio pueden hacer d ifí­ c il la interpretación adecuada d e los resultados. C om o se analizó en la sección 1.3, no siempre e s sencillo descubrir estas E n ocasio n es se descubren só lo años después

variables de confusión.

d e q u e un estudio se term inó y otras veces nunca se descubren, en cu y o c a so la conclusión de un estudio podría aceptarse aunque no sea correcto. P or fortuna, las variables de confusión son m ás o b v ia s y pueden descubrirse co n só lo pen sar detenidam ente acerca d e los factores que pueden influir en los resultados d e un estudio.

E JE M P L O 9

R a d ó n y c á n c e r d e p u lm ó n A p r o p ó s i t o ...

El radón e s un g a s radiactivo producido p or procesos naturales (decaim iento d e uranio) en la Tierra. E l g a s puede filtrarse en los ed ificios p o r los cim ientos y puede acum ularse en co n ­ centraciones relativamente altas, si las puertas y ventanas están cerradas. Im agine un estudio (hipotético) q u e bu sca determ inar si e l g a s radón ca u sa cáncer en los pulm ones com parando la tasa d e cán cer d e pulm ón en C olorado, donde e l g a s e s muy común, co n la tasa d e cán cer de pulm ón en H ong K on g, donde e l g a s radón e s m enos común. Su pon ga que e l estudio determ ina que las tasas d e cáncer d e pulm ón son iguales. ¿ S e ría razonable concluir que e l radón es una

no

para p ro b a r s i e l g a s radón está acu m ulán d ose e n su casa. Si e s el caso, e l p ro b le m a pued e elim inarse instalando un sis te m a a p ro p ia d o efe "re d u c c ió n d e radón", q u e por lo re g u la r co n siste en un v e n tila d o r

cau sa importante d e cáncer d e pulm ón?

cantidad de radón

S o lu c ió n L a s variables d e interés son (u na variable d e explicación en este c a so ) y (variable d e respuesta). Sin em bargo, e l g a s radón no es la única cau sa p osib le de este cáncer. P or ejem plo, fum ar puede cau sar cán cer pulmonar, p or lo

tasa de cáncer de pulmón

Muchas ferrete ría s v e n d e n eq u ip o s se n cillo s q u e p ued en utilizarse

q j e d is p e rs a e l rad ó n d e b a jo d e la ca sa an tes d e q u e e n tre a ella.

tasa de fum adores

que en este estudio, podría ser una variable de confusión, en especial porque la tasa d e fum adores en Hong K ong e s mucho m ás alta q u e la d e C olorado. C om o resultado, no podem os sac ar ninguna conclusión acerca d e radón y cán cer pulm onar sin tom ar en cuenta la tasa d e fum adores (y qu izás otras variables también). D e hecho, estudios cu id ad o sos han m os­ trado q u e e l g a s radón cau sar cán cer pulmonar y la A gen cia d e Protección del Ambiente

puede

www.FreeLibros.org de E stados U nidos (E P A ) recom endó segu ir p aso s para prevenir e l radón en construcciones interiores.

www.fullengineeringbook.net 59 of 495.

40

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a

D irectriz 6 : co n sid erar el contexto y red acció n de las encuestas Aunque una encuesta se lleve a c a b o d e m anera adecuada co n un m uestreo apropiado y con términos y preguntas claram ente definidos, debe tener cu idado en la com posición y palabras que podrían producir respuestas im precisas o deshonestas. E sta s últim as son particularmente probables cu an d o la encuesta tiene q u e ver co n tem as delicados, tales co m o hábitos personales o ingresos. P or ejem plo, la pregunta “ ¿U sted miente en su declaración d e im puestos?” e s poco probable q u e obtenga respuestas honestas d e aqu ellos q u e mienten, a m enos q u e estén com ple­ tamente segu ros d e la confidencialidad (y quizá ni aun así). E n otros c a so s, incluso respuestas honestas podrían no ser realmente precisas, s i la re­ dacción del cuestionario invita a l sesgo. A lgunas veces e l orden de las palabras en una pregunta puede afectar e l resultado. Un sondeo realizado en A lem ania hizo las d o s preguntas siguientes: •

¿D iría que e l tráfico contribuye m ás o m enos a la contam inación d el aire que las industrias?

•

¿D iría q u e las industrias contribuyen m ás o m enos a la contam inación del aire q u e el tráfico?

L a única diferencia e s e l orden d e las palabras tráfico e in dustrias , p ero esta diferencia cam bia drásticamente los resultados: co n la primera pregunta 4 5 % respondieron q u e e l tráfico y 32% respondieron q u e las industrias. Con la segunda, só lo 2 4 % respondió q u e e l tráfico, mientras 57% respondió q u e las industrias.

E JE M P L O 1 0

¿ Q u i e r e u n a d i s m i n u c i ó n d e im p u e s t o s ?

A p r o p ó s ito ...

En un tiem po, cuando e l gobierno de E stad os U nidos tuvo exceden tes en e l presupuesto anual, tos republicanos en e l co n greso propusieron una dism inución d e im puestos y e l C om ité N acio­

En una e n c u e s ta e s m ás p robable

nal Republicano encargó una encuesta para determ inar si los estadounidenses apoyaban la pro­

q u e la g e n te se le c c io n e los elem en to s q u e ap are cen prim ero, a co n s e cu e n c ia d e lo q u e los p sic ó lo g o s llam an e l error de disponibilidad, la te n d e n c ia a re a liza r ju icio s co n base e n lo que e stá a

disponibilidad e n

la m ente.

puesta. Preguntaron, “ ¿E stá a favor d e una reducción d e im puestos?” , 6 7 % d e los encuestados respondieron sí. ¿D eb em os concluir que los estadounidenses apoyaban la propuesta?

S o lu c ió n Una pregunta co m o “ ¿E stá a favor d e una reducción d e im puestos?” está sesgad a y a q u e no d a otras opciones. D e hecho, un sondeo independiente realizado a l m ism o tiempo daba a los encuestados una lista d e opiniones para e l u so d e los ingresos excedentes. E sta

en cuestas tie n e n m u ch o cu id a d o

encuesta encontró que 3 1 % quería e l dinero dedicad o a Seguridad Social, 2 6 % quería q u e se utilizara para reducir la deuda nacional y só lo 18% estaba a favor de usarlo para una reducción

para e v ita r e s te problem a; por

de im puestos. (E l restante 25% d e encuestados eligió entre una variedad d e otras opciones).

O rg anizacion es p ro fesio n ales de

ejem plo, e llo s pued en plantear una p re g u n ta c o n d o s o p cio n e s en un o rd e n para la m ita d d e las personas e n la m u e stra y e n o rd e n inverso p ara la o tr a m ita d

E JE M P L O 11

E n c u e s t a s e n s ib le

D os en cuestas preguntaron a católicos en e l área d e Boston si los anticonceptivos debían estar disponibles a m ujeres solteras. L a primera incluyó entrevistas personales y 4 4 % d e los en cu es­ tados respondieron q u e s í L a segunda encuesta fue realizada p o r correo y p or teléfono y 75% de los encuestados respondieron sí.

S o lu c ió n

L o s anticonceptivos son un tem a delicado, en particular entre cató lico s (ya que

la Iglesia católica oficialm ente se opone a los anticonceptivos). L a primera encuesta, co n en ­ trevistas personales podría prom over respuestas deshonestas. L a segunda encuesta h acía que las respuestas pareciesen m ás privadas y , p or tanto, era m ás probable q u e refleje las opiniones verdaderas d e los encuestados.

D irectriz 7 : verificar q u e lo s re su ltad o s estén bien rep resen tad os en g rá fic a s y co n clu sio n es

www.FreeLibros.org Aun cu an d o una investigación estadística e sté bien realizada, puede representarse d e manera in­

correcta en gráficas o conclusiones. L o s investigadores en ocasio n es malinterpretan los resulta­ d o s d e su s propios estudios o pasan a conclusion es q u e no están sustentadas p or los resultados, en particular cu an d o tienen un se sg o personal. Reporteros d e noticias podrían m al interpretar una encuesta o pasar a conclusion es no garantizadas que hacen que una historia p arezca m ás

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1.4 ¿ D e b e t e n e r c o n fia n z a e n u n a in v e s t ig a c ió n e s ta d ís tic a ?

41

espectacular. L a s gráficas en gañ osas son especialm ente com un es (en e l capítulo 3 dedicam os gran parte a este tema). Siem pre deb e bu scar inconsistencias entre la interpretación d e un estu­ d io (en figuras y en palab ras) y cualesquiera d atos reales d a d o s co n él.

E JE M P L O 12

¿ E l c o n s e jo e s c o l a r n e c e s it a u n a le c c ió n d e e s t a d ís t i c a ?

E l co n sejo esco lar en Boulder, C olorado, ca u só revuelo cuando anunció q u e 2 8 % d e los niños en escu elas d e B oulder leían “ p o r d eb ajo del nivel d e su grado” y p or e so concluyeron q u e los m étodos d e enseñanza d e lectura necesitaban ser cam biados. El anuncio estuvo b asad o en las pruebas de lectura en q u e 2 8 % de los niños en edad escolar obtuvieron calificacion es p or d e ­ bajo del prom edio nacional para su grado. ¿E sto s d atos apoyan la conclusión del co n sejo?

S o lu c ió n

El hecho d e que 2 8 % d e los niños en ed ad esco lar obtuvieran calificacion es p or debajo del prom edio nacional para su grad o im plica q u e 7 2 % sacaron calificacion es en y p or arriba del promedio nacional. A sí, la om inosa declaración acerca d e la lectura de los estudiantes “d eb ajo del nivel d e su grado” tiene sentido só lo si “ nivel d e su grado” sign ifica la calificación promedio nacional para un grad o particular. Esta interpretación d e “ nivel d e su grad o ” e s c u ­ riosa, y a q u e implicaría que la mitad d e los estudiantes en e l p aís siempre están debajo del nivel de su grado, no importa cu án altas sean las calificaciones. Aun podría ser e l c a so q u e los méto­ do s de enseñanza necesitasen ser mejorados, pero estos datos no justificaban e s a conclusión.

D irectriz 8 : reflexione y con sidere las co n clu sio n es P or último, incluso s i un estudio parece razonable d e acuerdo co n todas la s directrices anterio­ res, deb e reflexionar y considerar las conclusiones. H ágase preguntas tal co m o éstas: •

¿ E l estudio llegó a su s objetivos?

• •

¿ L a s conclusion es tienen sentido? ¿Puede descartar explicaciones alternas para los resultados?

•

Si las conclusion es tienen sentido, ¿tienen significado practico?

E JE M P L O 13

A f ir m a c io n e s e x t r a o r d in a r ia s

Su pon ga q u e un estudio (hipotético) concluye q u e u sar una cad en a d e o ro aum enta su probabili­ dad d e sobrevivir en un accidente autom ovilístico en 10% . E sta afirm ación tiene com o b ase un an álisis estadístico acerca d e d atos d e tasas d e supervivencia y lo q u e la gen te llevaba puesto. Un análisis cuidadoso d e la investigación muestra q u e fue realizada d e manera adecuada y cu i­ dadosa. ¿U sted debe llevar p uesta una cadena d e oro siem pre que conduzca un autom óvil?

S o lu c ió n

A p e sa r del cuidado del estudio, la afirm ación de que una cadena d e oro puede sal­ var su vida en un choque e s difícil d e creer. D espués d e todo, ¿cóm o podría una delgada cadena

de oro ayudar en un choque a alta v elo cid ad ? Cierto, e s

posible que algún efecto desconocido

de las cadenas d e oro hagan correcta la conclusión, pero parece mucho m ás probable q u e los re­ sultados fueran debido a la casualid ad o debido a una variable de confusión no identificada (p or ejem plo, qu izás aquellos q u e usan cadenas d e o ro son m ás pudientes y conducen autom óviles m ás nuevos con m ayores características d e seguridad, dism inuyendo la tasa de c a so s fatales).

E JE M P L O 1 4

Im p o r ta n c ia p rá c tic a

Un experim ento conducido en e l q u e la pérdida d e peso d e una persona q u e consum e un nuevo “com plem ento rápido dietético” e s com parada con los p eso s perdidos en un gru p o d e control que trata d e perder p e so de otras form as. A l c a b o de o ch o semanas, los resultados muestran q u e el grupo d e tratamiento pierde un promedio d e media libra m ás que e l grupo d e control. Suponiendo que no hay efectos secundarios, ¿este estudio sugiere que e l com plem ento rápido dietético e s un

Afirm aciones extraordinarias requieren de evidencia extraordinaria.

www.FreeLibros.org buen tratamiento para la gente que quiere b ajar d e peso?

S o lu c ió n

C om parada co n e l p eso prom edio d e una persona, una pérdida d e m edia libra

difícilm ente importa mucho. A sí, aunque los resultados d e pérdida d e p e so podrían ser intere­ santes, no parecen tener m ucha importancia practica.

www.fullengineeringbook.net 61 of 495.

—C ari Sagan, astrónomo y ganador del Premio Pulitzer

42

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a

Sección 1.4 Ejercicios -

A lf a b e t iz a c ió n e s ta d ís tic a y p e n s a m ie n to c r ít ic o 1.

R e v is ió n d e p a r e s .

12.

A g ric u ltu ra .

Investigadores concluyeron q u e un sistem a

de riego u sado para plantíos d e tom ates en C aliforn ia es m ás efectivo que un sistem a com petidor u sado en Arizona.

¿Q ué es una revisión de p ares? ¿C óm o 13.

e s útil?

E n c u e s ta a p ris io n e r o s .

L o s prisioneros q u e asisten a cla ­

se s a la universidad d e uno d e los autores fueron encuesta2.

S e s g o d e s e le c c ió n y s e s g o d e p a r tic ip a c ió n .

D escriba y

com pare e l se sg o d e selección y e l se sg o d e participación en muestreo. 3.

E n c u e s ta s d e a u t o s e le c c ió n .

d as acerca d e reincidencia y 10% d e ello s respondió. 14.

¿P or qué las encuestas d e au-

bió 5 5 % d e los v o to s en una encuesta previa a la elección,

toselección siempre son propensas al sesgo d e participación? 4.

¿Q u é son las variables d e con fu ­ sión y qué problem as pueden cau sar?

V a r ia b le s d e c o n fu s ió n .

com parada con 4 5 % de su oponente. 15.

miles d e personas inocentes?” .

tido (o claram ente e s falso). E xplique claram ente; no todos los

6.

16.

B ie n e s f a ls if ic a d o s .

Un consorcio d e fabricantes planea

un estudio diseñado p ara com parar e l v a lo r d e bienes fal­ sificados en E stad os U nidos en e l añ o 2000 co n e l v a lo r de

L a encuesta d e televisión obtuvo

tos producidos en e l año actual.

m á s d e un m illón d e respuestas p or teléfono, p or lo q u e es claramente m ás válida q u e la encuesta realizada p or en-

Se sg o.

cuestadores profesionales, q u e incluyó entrevistas co n sólo unos cientos d e personas.

Luego sugiera có m o podría evitarse e l sesgo.

U b ic a c ió n d e e n c u e s ta s .

L a encuesta d e creen cias reli­

En los ejercicios 17 a 2 0 , identifique y explique al menos una fuente d e sesgo en cad a estudio que se describe.

17.

El

C h o c o la t e s a lu d a b le .

New York Times publicó un ar­

tículo q u e incluía e sto s enunciados: “ Finalmente, e l cho­ colate se m ueve h acia su legítim o lugar en la pirám ide

g io sa s sufrió d e se sg o d e selección, y a q u e los cuestiona­ rios só lo fueron repartidos en iglesias católicas. 7.

A adultos seleccionados de

o en desacuerdo con e l aum ento d e la producción d e ener­ g ía nuclear que, potencialmente, podría ca u sa r la muerte de

Para los ejercicios 5 a l 8, decida si e l enun­ ciado tiene sentido (o e s claram ente verdadero) o no tiene sen­

5. V a lid e z d e la e n c u e s ta .

E n c u e s ta d e e n e rg ía n u c le a r .

manera aleatoria se les hizo la pregunta: “ ¿ E stá d e acuerdo

¿ T ie n e s e n t id o ?

enunciados tienen respuestas definitivas, p or lo q u e su ex p lic a ­ ción e s m ás importante q u e la respuesta elegida.

B a jo e l encabezado “ T u m e r predijo gpnar en form a aplastante” , se informó q u e T u m e r reci­

S o n d e o d e e le c c ió n .

de alim entos, en la parte m ás alta ju nto co n e l vino tinto,

M i experimento probó, m ás allá

de cualquier duda, que la vitamina C puede reducir la grave­

frutas, verduras y té verde. V arios estudios reportados en el m ostraron q u e d esp u és d e com er

dad d e los resfriados, puesto q u e controlé e l experimento cu i­

chocolate, los sujetos d e prueba habían aum entado los ni­

dadosamente para cualquier variable de confusión posible.

v eles d e antioxidante en su sangre. E l chocolate contiene flavonoides antioxidantes q u e se han aso ciad o co n la dis­

V ita m in a C y re s fr ia d o s .

8. T r o t e r á p id o .

Journal o f Nutrition

Cualquiera q u e trote p or ejercicio deb e pro­

minución d e riesgo d e cardiopatías y apoplejía. M ars Inc.,

bar e l nuevo régim en d e entrenamiento, y a q u e estudios cu i­

la com pañía d e du lces y la A sociación d e Fabricantes de C hocolate financiaron gran parte d e la investigación.”

dadosos sugieren q u e puede aumentar su velocidad en 1%. 18.

C o n c e p to s y a p lic a c io n e s

L ib r o

fa m o s o .

C uando la autora Shere Hite escribió

Women an d la v e : A C ultural Revolution in P ro gress, basó

E n los ejercicio s 9 a l 16, determ ine

sus conclusion es acerca d e la población general d e todas

cu ál d e las o ch o directrices para ev alu ar estudios estadísticos

las m ujeres en 4 5 0 0 respuestas q u e recibió d esp u és d e en ­

parece ser m ás relevante. E xplique su razonamiento.

viar 100 0 0 0 cuestionarios a varios gru p o s d e mujeres.

A p lic a c ió n d e d ir e c tr ic e s .

9 . C o n tr o l d e c a lid a d .

E l departam ento d e relaciones públi­

ca s de Telektronics llevó a ca b o un estudio d e la tasa de defectos d e los circuitos fabricados p or la com pañía. 10.

S e le c c ió n d e g é n e r o .

D espués d e un método d e selección

de género diseñado para aum entar la verosim ilitud d e tener niña, se encontró que 2 3 bebés fueron niñas y 21 fueron

19.

Newsweek

L a revista efectúo una encuesta acerca del sitio w eb d e N apster para descargar m úsica. L o s N a p s te r.

lectores podían registrar su s respuestas en e l sitio web de

Newsweek

2 0 . M é t o d o d e e n c u e s t a . U sted plan ea llevar a c a b o una encuesta para determ inar e l porcentaje d e personas en su estado que pueden nom brar al vicegobernador (que planea

www.FreeLibros.org niños, p or lo q u e e l portavoz de la com pañía estableció que e l método e s efectivo la m ayoría d e las veces.

11.

É tic a .

E n un estudio a 2 5 0 abogados, a c a d a uno se le pre­

guntó si é l o e lla tienen ética correcta.

com petir por e l senado en E stados Unidos). U sted obtiene direcciones d e una lista d e habitantes en e l estado y en vía

par correo una encuesta a 8 5 0 personas seleccionadas alea­ toriamente d e la lista.

www.fullengineeringbook.net 62 of 495.

1.4 ¿ D e b e t e n e r c o n fia n z a e n u n a in v e s t ig a c ió n e s ta d ís tic a ? 21. T o d o e s tá e n la r e d a c c ió n .

Princeton Survey Research

2 6 . C u r s o s d e e s ta d ís tic a

A ssociates hizo un estudio para la revista New sw eek que

Primera pregunta: ¿C u ál e s la proporción d e grad u ad os de universidad q u e tomaron un cu rso d e estadística?

ilustra e l efecto d e la redacción en una encuesta. S e hicie­ ron d o s preguntas:

Segunda pregunta: ¿Q ué proporción d e todos los cu rso s de

• ¿U sted, personalm ente, cree q u e e l aborto está m al? • Sin importar su punto d e vista personal sobre e l aborto, ¿usted está a favor o en contra d e q u e una m ujer en este p aís tenga la opción d e tener un aborto co n la ay u d a de su doctora?

43

estadística son tom ados p or estudiantes universitarios? L o s ejercicios 2 7 y 28 dan un enca­

¿ E n c a b e z a d o s p r e c is o s ?

bezado y una descripción breve d e las estadísticas d el artículo que acom pañaron a l encabezado. E n c a d a c a so analice si e l en ­ cabezado representa d e m anera precisa a l artículo.

Para la prim era pregunta, 5 7 % d e los en cuestados respon­ dieron s í, mientras que 3 6 % respondieron no. En respuesta a la segunda pregunta, 6 9 % d e los en cuestados estuvieron

Encabezado: “ L a s drogas se muestran en 9 8 % d e las pelí­ culas” .

a favor d e la opción, mientras que 24% se op uso. A nalice por q u é las d o s preguntas producen resultados contradic­

Resum en del artículo: un “ estudio oficial” asegura q u e el uso de drogas, bebida o e l íum ar se describían en 9 8 % de

torios. ¿C óm o podrían utilizarse los resultados d e las pre­

las películas m ás rentadas (A ssociated Press).

27.

guntas d e manera selectiva p o r varios gru p os? 22.

¿ Im p u e sto o g a s t o ?

U na encuesta d e G allup preguntó lo

28 . Encabezado: “ E l se x o e s m ás importante q u e e l trabajo” .

Resum en del artículo: una encuesta determ inó que 82%

siguiente:

de 500 personas entrevistadas p or teléfono clasificaron una v id a sexual satisfactoria co m o importante o m uy im­

• ¿U sted está a favor de una reducción d e im puestos o “ aum ento en e l g a sto en otros program as del gobierno” ?

portante, mientras que 7 9 % clasificó trabajo satisfactorio

Resultado-. 7 5 % para la dism inución d e im puestos. • ¿U ste d está a favor d e una dism inución d e im puestos o “ destinar dinero para financiar nuevas cuentas d e aho­

com o importante o m uy importante (A ssociated Press). D e c la r a c io n e s p o lític a s .

rro para el retiro, a sí co m o aum entar e l g a sto en ed u ­ cación, defensa, seguro m édico para ancianos y otros program as” ? R esultado : 6 0 % para el gasto.

el periodo d e atención d e los oyentes e s m uy breve. Un efecto sim ilar ocurre en reportes estadísticos en noticias. L a s princi­

Analice p o r q u é las d o s preguntas produjeron resultados

pales investigaciones estadísticas co n frecuencia se reducen a una o d o s oraciones. L o s resúm enes d e inform es estadísticos en

contradictorios. ¿C óm o podrían utilizarse los resultados de las preguntas d e manera selectiva p or varios gru p os? ¿ Q u é q u ie r e c o n o c e r ? L o s ejercicios 2 3 a 2 6 plantean d o s pre­ gu ntas relacionadas q u e podrían form ar la b ase d e una investi­ gación estadística. Brevem ente analice en q u é difieren las d o s

los ejercicios 2 9 a 32 se tomaron d e varias fuentes d e noticias. Describa cu ál inform ación crucial está perdida en e l enunciado dado y q u é m ás necesitaría conocer antes d e se g u ir los co n sejos del informe. 2 9 . C o n fia n z a e n m ilita re s.

preguntas y có m o estas diferencias afectarían e l objetivo d e un estudio y e l diseñ o del estudio. 23.

en 5 4 % (arriba d e 3 7 % en 1997). 30.

M e jo re s re sta u ra n te s .

Inform es d e C N N en una encuesta

de Z agat d e los M ejores Restaurantes d e E stad os Unidos determinaron que “ só lo nueve restaurantes lograron un es­

Segunda pregunta: ¿Q ué porcentaje d e matrimonios ini­ cian co n citas p o r internet?

tupendo 2 9 d e una calificación d e 3 0 p osib le y ninguno de e s o s restaurantes están en la G ran M anzana (Central Parle en N u eva York)” .

P r o fe s o r e s d e tie m p o c o m p le t o

Primera pregunta: ¿Q ué porcentaje d e c la se s d e prim er año en un cam pu s son enseñadas p or los profesores d e tiem po com pleto?

25.

L o s inform es d e USA Today en

una encuesta d e H arris aseguran q u e e l porcentaje d e a d u l­ tos co n “ gran confian za” en líderes militares se encuentra

C ita s p o r in te rn e t

Primera pregunta: ¿Q ué porcentaje d e citas p or internet terminan en matrimonio?

24.

Comúnm ente los políticos creen que

ello s deben hacer su s declaraciones políticas m uy cortas y a que

31. P r o n ó s t ic o d e c lim a .

U n encabezado d e USA Today in­

formó q u e “ M ás com pañ ías intentan apostar a los pronósti­ c o s del clim a” . E l artículo d io ejem plos d e com pañ ías que

Segunda pregunta: ¿Q ué porcentaje d e profesores de

creían q u e los pronósticos a largo p lazo son creíbles y cu a ­

tiempo com pleto dan c la se s d e prim er añ o ?

tro com pañ ías fueron citadas.

B o rra c h e ra s

32.

N a c im ie n to s e n C h in a .

Un encabezado en USA Today

www.FreeLibros.org Primera pregunta: ¿C on q u é frecuencia los estudiantes universitarios se em borrachan?

Segunda pregunta: ¿C on q u é frecuencia hay borracheras

realizadas p or estudiantes d e universidad?

inform ó q u e “ C h in a perdió e l equilibrio cu ando los niños superaron a l número d e niñas" y la gráfica adjunta mostró

que p or c a d a 100 niñas nacidas en China, nacieron 116.9 niños.

www.fullengineeringbook.net 63 of 495.

44

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a

Proyectos para internet y más allá

estadounidenses y su s estilos de vida. Seleccione un ar­ tículo específico y utilice las ideas de esta sección para resumir y evaluar e l estudio. A segúrese d e citar la informa­

P ara en laces ú tiles seleccion e "Linksfo r Internet P ro jects ” p a ra e l cap ítu lo 1 en ww w.aw.com /bbt. 33.

A n á lis is

de

una

in v e s t ig a c ió n

e s ta d ís tic a .

ción que considere faltante y que debe proporcionarse para que usted haga un análisis completo.

Encuentre

un reporte detallado d e algun a investigación estadística reciente d e interés para usted. E scrib a un informe breve aplicando cad a uno d e las o ch o directrices d a d a s en esta

E N L A S N O T IC IA S -® *-

sección. ( S i algun as d e las directrices no pueden aplicarse al estudio particular que esté analizando, explique p o r qué la directriz no e s aplicable). 34.

ín d ic e d e H a rp e r.

V ay a a l sitio w eb para el índice d e Har-

per y exam in e algu n as d e las estadísticas recién citadas. E lija tres estadísticas que encuentre particularmente inte­ resantes y analice si las cree, co n b ase en las directrices dad as en esta sección. 35. E s t u d io s d e g e m e lo s .

Investigadores que hacen estudios

estadísticos en biología, p sicología y sociología están agra­ decidos p or la existencia d e gem elos. L o s gem elos pueden usarse para estudiar si ciertos rasgos son heredados d e los padres (naturaleza) o adquiridos del entorno d e uno durante la educación (aprendidos). L o s gem elos idénticos están for­ mados del m ism o ó v u lo en la m adre y tienen e l m ism o m a­

Encuentre un artículo re­

ciente en e l periódico o en la televisión acerca d e una investigación estadística sobre un tem a q u e considere interesante. E scriba un informe breve q u e aplique cad a una d e las o ch o directrices dad as en esta sección . (A l­ gu n as d e las directrices podrían n o aplicarse a l estudio particular que está analizando, explique p or q u é la d i­ rectriz no e s aplicable). 38. R e s u lta d o s c r e íb le s .

Encuentre un informe d e una

noticia reciente acerca d e una investigación estadística cu y os resultados usted considera sign ificativos e im­ portantes. E n una p ágin a o m enos, resum a e l estudio y explique p or q u é lo considera creíble. 3 9 . R e s u lta d o s p o c o c re íb le s .

Encuentre un informe de

terial genético. L o s gem elos fraternos están form ados de d o s óvulos separados y comparten aproximadamente la mitad

una noticia reciente acerca d e u na investigación e sta ­ dística cu y o s resultados usted no considera significati­

del m ism o material genético. Encuentre un informe publi­

v o s ni importantes. En una página o m enos, resum a el

cado d e un estudio d e gem elos. Analice cóm o los gem elos idénticos y fraternos son utilizados para form ar e l gru p o del

estudio y explique p o r qué no cree su s afirmaciones.

caso y e l d e control. A plique las directrices 1 a 8 para e l es­

36.

37. A p lic a c ió n d e d ire c tr ic e s .

4 0 . E n c u e s ta d e a u t o s e le c c ió n .

Encuentre un ejem plo de

tudio y com ente si encuentra convincentes las conclusiones.

una encuesta reciente en q u e la muestra fue d e autoselección. D escriba la conform ación d e la m uestra y

A m erican D em ograph ics. Consulte un tema de

cóm o cree q u e la autoselección afecta los resultados de

R e v is ta

Am erican D em ographics, una revista no técnica q u e se es­

la encuesta.

pecializa en resumir estudios estadísticos que incluye a

www.FreeLibros.org www.fullengineeringbook.net 64 of 495.

E je r c ic io s d e r e p a s o d e l c a p ít u l o

45

Ejercicios de repaso del capítulo 1. A rm a s e n c a s a . U na encuesta d e G allup incluyó a adultos seleccionados en E stad os U nidos. S e le s hizo esta pregunta:

c. Cón respecto a las unidades d e m uestreo sim ple d e s­ critas en e l inciso b, describa un plan d e m uestreo que resulte en una muestra aleatoria simple.

“¿U sted tiene un arm a en c a s a ? ” . Entre las 1012 respuestas recibidas, 3 8% fueron s í. E l m argen d e error reportado fue (fe 3 puntos porcentuales. a.

3.

Interprete e l m argen d e error identificando e l rango de valores q u e e s probable q u e contenga la proporción

Identifique la población.

c.

¿ E l estudio e s un experim ento o un estudio d e o b serv a­ ción ?

d.

a.

b.

¿E l v a lo r reportado d e 3 8 % e s un parám etro poblacio-

sugiere esta información adicional acerca d e do lores de cabeza co m o una reacción adversa al u so de Z oco r?

S i sab e q u e lo s su jeto s d e la en cu esta respondieron a c

respuestas p or teléfono, ¿con sideraría q u e los resulta­ d o s d e la encuesta son v á lid o s? ¿P o r q u é sí o p or qué no?

d.

de la encuesta usando una muestra aleatoria simple.

h. D escriba un procedimiento para seleccionar sujetos sim i­

lares usando muestreo p or conglom erados. i. D escriba un procedim iento para seleccionar sujetos si­ m ilares usando m uestreo sistem ático. J. D escriba un procedimiento para seleccionar sujetos sim i­ lares usando muestreo d e conveniencia. 2.

M u e stra a le a to ria s im p le .

U n elem ento importante d e este

capítulo e s e l concepto de una m uestra aleatoria simple. a.

¿Q ué e s una muestra aleatoria sim ple?

b.

C u an d o la O ficin a d e E sta d ístic a s L ab o rale s realizó una encuesta, in ició dividien do la pob lació n adu l­ ta d e E sta d o s U n idos en 2 0 0 7 gru p o s denom ina­ d o s u n idades p rim arias d e m uestreo. Su p o n ga que e sta s u n idad es prim arias d e m uestreo contienen el m ism o número d e adultos. S i se leccio n a a leato ria­ mente un adu lto d e c a d a unidad prim aria d e m ues­ treo, ¿ e l resu ltad o e s una m uestra aleatoria sim p le? ¿ P o r q u é sí o p or q u é no?

En este en sayo clínico, ¿qu é e s una prueba ciega? y ¿por qué e s importante en la prueba d e los efectos d e Z oco r? Este en say o clínico ¿ e s un estudio observacional o un experim ento? Explique.

f. D escriba un procedim iento p ara seleccionar los sujetos

D escriba un procedimiento para seleccionar sujetos si­ m ilares usando m uestreo estratificado.

M ientras q u e 1 583 sujetos fueron tratados co n Zocor, a otros 157 sujetos se les d io un placebo y 5 .1% del grupo placebo experim entaron d o lo r d e cabeza. ¿Q ué

un artículo d e una revista q u e pid ió a su s lectores sus

g.

Cón b ase en la inform ación dada, ¿puede concluir que en algun os c a so s e l Z o c o r c a u sa d o lo r d e ca b e z a ? ¿P or qué sí o p or q u é no?

nal o una estadística m uestral? ¿P or qu é? e.

En ensayos clínicos del medicamento

servó a 1583 usuarios d e Z ocor p or reacciones adversas. Se encontró que 3.5% de ellos experimentaban dolor de cabeza.

de todos los hogares co n arm as. b.

P ru e b a d e Z o c o r .

Zocor, usado para tratar altos niveles d e colesterol, se ob­

e.

¿Q ué e s un efecto del experim entador y có m o podría m inim izarse este efecto?

4.

R e d a c c ió n d e una p re g u n ta e n una e n c u e s ta .

E n The

Su perpo llsters, D avid W . M oore describe un experimento en e l q u e a sujetos diferentes se les preguntó si estaban de acuerdo co n los enunciados siguientes: •

M uy poco dinero se g a sta en e l bienestar.

•

M uy p o c o dinero se g a sta en asistencia a los pobres.

A unque son los p ob res quien es reciben bienestar, só lo 19% estaban d e acuerdo cu ando la palabra b ien estar era usada, pero 6 3 % estaba d e acuerdo co n asisten cia a lo s p ob res. a.

¿Cuál d e las d o s preguntas d eb e utilizarse en la en ­ cu esta? ¿P o r qu é?

b.

S i usted estuviese trabajando en una cam paña para un candidato conservador para el C ongreso y necesitase enfatizar la op osición a l u so d e fon dos federales para la asisten cia a los pobres, ¿cu ál d e las d o s preguntas usaría? ¿P o r qu é?

c. ¿ E s ético redactar deliberadam ente la pregunta d e una encuesta d e m odo q u e influya en las respuestas? ¿P or qué sí o p or q u é no?

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46

H a b le m o s d e e s ta d ís tic a

ar* *

C uestion ario del capítulo

E lija la m ejor respuesta para c a d a una d e las preguntas siguien­

b.

tes. Explique su razonamiento con una o m ás oraciones com -

distinguir entre los c a so s y los controles en un estudio efe control d e caso.

c. determinar si enferm edades pueden curarse sin trata­

1. U sted realiza una encuesta en la cu al selecciona aleatoria­ mente a 1 0 0 0 votantes registrados en T e x a s y pregunta si aprueban el trabajo que su gobernador está haciendo. L a población p ara este estudio es a.

todos los votantes registrados en e l estado d e T exas.

b.

las 1 0 0 0 personas q u e entrevistó usted,

c

el gobernador d e T exas.

miento alguno. 7. Si vem os un efecto p laceb o en un experim ento para probar un tratamiento diseñado para cu rar verrugas

a. d experim ento no fue apropiadam ente d o b le ciego. b. c.

los grupos experim entales fueron dem asiado pequeños. las verrugas fueron cu radas entre los m iem bros del grupo d e control.

2 . Para la encuesta descrita en la pregunta 1, sería m ás p roba­ ble que su s resultados sufrieran se sg o si eligió a los partici­ pantes de

a. carece d e un gru p o d e tratamiento.

a.

todos los votantes registrados en T exas.

b.

todas las personas co n licencia d e m anejo en T ex as.

c. personas q u e donaron dinero para la cam paña del g o ­ bernador. 3. G ian d o decim os que una muestra e s represen tativa d e la población, querem os d ecir que a.

8. Un experim ento e s c ie g o sencillo si

b.

carece d e un grupo d e control.

c. los participantes no saben si pertenecen al gru p o d e tra­ tamiento o a l grupo d e control. 9 . L a encuesta X predice q u e Pow ell recibirá 4 9 % d e los votos, mientras q u e la encuesta Y predice q u e e lla recibirá 53% d e los votos. A m bas encuestas tienen un m argen de error d e 3 puntos porcentuales. ¿Q ué puede concluir?

los resultados encontrados para la m uestra son sim ila­ res a los que encontraríam os para toda la población.

a . Una d e las en cuestas deb e haberse realizado d e manera incorrecta.

b.

la muestra e s m uy grande. b.

L as d o s en cuestas son consistentes una co n la otra.

c.

Powell recibirá 51 % d e los votos.

c. la muestra fríe seleccionada d e la m ejor manera posible. 4 . C onsidere un experim ento diseñ ad o p ara ver si incenti­ v o s en efectivo pueden m ejorar la asisten cia a la escuela. L a investigadora selecciona d o s grupos d e 100 estudiantes de secundaria y ofrece a un gru p o $ 10 p or c a d a sem ana de asisten cia perfecta. E lla le d ice a l otro gru p o q u e son parte

1 0 . Una encuesta revela q u e 12% d e los estadounidenses creen que E lv is aún está vivo, co n un m argen d e error de 4 pun­ tos porcentuales. E l intervalo para esta encuesta es a. (fe 10% a 14%.

de un experim ento p ero no les d a incentivo alguno. L o s es­ tudiantes q u e no reciben incentivo representan a.

d gru p o d e tratamiento.

b.

d gru p o d e control.

11. Un estudio realizado p or E xx on M obil muestra q u e no había dañ o permanente a consecuencia d e un gran derram e en A laska. L a conclusión

5. El experim ento descrito en la pregunta 4 es c ie g o sencillo.

b.

es do ble ciego,

c

no e s ciego.

efe 8 % a 16%.

c. efe 4 % a 20% .

c. d gru p o d e observación.

a.

b.

a. definitivam ente no e s válida, y a q u e e l estudio fue se s­ gado. b.

6 . El propósito d e un p laceb o es

c.

puede ser correcto, pero e l se sg o potencial significa que usted debe re v isar co n cu idado có m o se llegó a la co n ­ clusión. podría ser correcto s i c a e dentro del intervalo d e co n ­

www.FreeLibros.org a. evitar q u e los participantes conozcan s i pertenecen al

fianza del estudio.

grupo d e tratamiento o a l gru p o d e control.

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C u e s tio n a r io d e l c a p ít u lo 12. El program a d e televisión A m erican Id o l selecciona g a n a ­ dores d e vo to s d a d o s p o r cualquiera q u e quiere votar. Esto

e s la persona q u e la mayoría d e los estadounidenses quiere q u e gane.

b.

14. Im agine una encuesta d e p erson as elegid as a l a z a r en la

cual se encuentra q u e la gente q u e utiliza crem a d e pro­ tección so la r tuvo m ás probabilidad d e sufrir quem aduras

significa q u e e l ganador a.

deb idas a l so l e l añ o pasado. ¿Q ué explicación parece m ás probable para este resultado?

puede o no ser la persona q u e la m ayoría d e los estado­

a. la crem a d e protección so lar no sirve.

unidenses quiere q u e gan e, y a q u e e l vo to está sujeto a

b.

la gente en e l estudio utilizó crem a d e protección solar que estaba caduca.

c.

la gente q u e utiliza crem a d e protección so lar e s m ás

sesgo d e participantes. c.

47

puede o no ser la persona q u e la m ayoría d e los estado­ unidenses quiere q u e gane, y a que e l voto debió haber

probable q u e p ase tiempo en e l sol

sido do ble ciego. 13. Cbnsidere un experim ento en e l q u e usted m ide los pesos

efe niños de 6 años d e edad. En este estudio la variable de interés es a.

e l tam año d e la muestra.

b.

los pesos d e niños d e 6 años d e edad.

c.

las ed ades d e los niños b ajo estudio.

15. Si una investigación estadística se realiza d e m anera cu ida­

do sa de tod as las form as p osibles, entonces a.

sus resultados deben ser correctos.

b.

podem os tener confian za en su s resultados, pero aún es posible que no sean correctos.

c.

decim os q u e e l estudio es perfectamente sesgado.

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HABLEMOS BE SOCIOLOGÍA ¿Las guarderías generan niños agresivos? quedaban en

Hace unas décad as s c asa para cu idar a sus jeres trabajadoras hay,

itre m ás mujn algún tipo

efe guardería. E n 1975

i hijos meno-

res d e 6 añ o s trabajaban s m ás de 6 0 % de

i d e ca sa. En E ste drástico

en e l número de

a p sicó lo g o s y

a l estudio d e los efectos d e las tuto N acion al de S alu d Infantil y D esarrollo Hum*

E n 1991, e l Insti(N ICH D , p o r sus

siglas en inglés) inició e l estudio del C uidado de

a Edad Tem -

p an a , hizo e l seguim iento d e m ás d e 1 500 niños rías en 10 diferentes localidades d e investigación continuó su seguim iento hasta los 15 años. O bserve q u e esto establecía ui de observación (v e a la sección 1.3). E l estudio ha sido realizado cuidadosam ente p ello los resultados han provocado cierta controversia.

destacados, a considere esi

:n 2001: los niños que p asan m á s tiempo e a ser agresivos cuando crezcan. L a s madre

>n significativam ente m á s d e todas partes se sienten

y preocupadas p o r las consecuencias d e las

su s h ijos y los m edios de

informaron q u e las guarderías generaban esta afirm ación? H ay m uchas m aneras d e evaluarla, peí

Pero, ¿d eb em o s creer facilidad u sem os las o ch o direc-

trices proporcionadas en la sección 1.4 (página 34). Directriz 1: El objetivo del estudio parece claro (aprender sobre los efectos de ría) así co m o e l grupo d e estudio (todos los niños en guarderías). N o obstante, e l tipo de problem a potencial. El estudio e s de observación m ás que un experimento y a q u e sería p oco ético recom endar o no a los padres e l u so d e las guarderías. P or desaunque un estudio d e observación ay u d e a establecer u na relación (o correlación ) entre puede por sí m ism a establecer c a u sa y efecto (vea e l capítulo 7). En el estudio nos d a evidencia d e una relación entre guarderías y niños agresivos, p ero no si uno es cau sa del otro. El problem a e s que puesto que los p ad res eligieron si su s hijos estuvie­ ran en guarderías o en casa, no podem os asegurar que los grupos muestral y d e control sean ver­ daderamente com parables. P or ejem plo, qu izá las m adres q u e hacen “ m alabares” entre los niños y e l trabajo tienden a estar m ás estresadas que las m adres que no trabajan; que a su vez puede hacer a los niños d e guardería m ás estresados q u e los q u e no están en ellas. O podría ser q u e las hijos inquietos con m ayor probabilidad los metan a guarderías. D e este modo, la validez de la relación entre guardería y agresividad, la naturaleza de observación del estudio hace im posible sostener la afirm ación que la guardería cau se la agresividad. Directriz 2 : E l estudio se ha llevado cuidadosam ente y no tenemos sospechar algún se sg o p o r parte d e los investigador* de carg a em ocional y los investigadores podrían tener opiniones fuertes acerca d e ellas, mentando e l se sg o potencial. E n realidad, diferentes tados del estudio d e diferentes m aneras, lo cu al sugiere que e l se sg o puede papel en las interpretaciones, p ero no en e l estudio m ism o. D irectriz 3: L o s investigadores utilizaron un tipo d e m uestreo estratificado p ara reclu­

www.FreeLibros.org tar participantes para e l estudio, y a q u e querían relacionar la dem ografía nacional co n fac­

tores co m o nivel socio-económ ico, raza y estructura fam iliar. E ste tipo d e m uestreo parece apropiado p ara e l estudio. Sin em bargo, las fam ilias q u e fueron reclutadas tienen la opción de

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H a b le m o s d e s o c io lo g ía participar en e l estudio. E sta autoselección aum enta d e manera autom ática e l potencial sesgo d e participación, q u e puede afectar los resultados del estudio. Directriz 4 : L a afirm ación sobre las gu arderías y la agresividad incluye esencialm ente do s variables: e l tiem po que un niño perm anece en la gu ard ería y e l n ivel de ag resiv id ad d el niño. A m bas son m uy d ifíciles d e definir. P or ejem plo, e l estudio del C uidado d e N iñ os a Edad T em prana define gu ard ería co m o cu idado proporcionado p or alguna persona que no es la m adre, esto sign ifica q u e e l cuidado d e los p ad res o ab u elos cuenta co m o guardería. M ucha gente im pugna esta definición. D efinir agresión tam bién e s com plicado, p o r ejem plo, podría ser difícil distinguir entre un ju e g o activo y verdadera agresividad. Directriz 5: H ay m uchas variables d e confusión potenciales en e l estudio del C uidado de N iñ os a E d ad Tem prana. C om o se v io a l inicio, e l estudio no proporciona inform ación acerca d e si las m adres d e los niños en gu arderías son sujetas a m á s estrés q u e las m am ás q u e perm a­ necen en casa, lo cu al podría confundir los resultados. Q uizá la m ay or preocupación e s q u e no hay una form a aceptable para m edir o controlar la calid ad d e las guarderías. En consecuencia, incluso algu n os d e los investigadores involucrados en e l estudio han sugerido q u e la agresivi­ dad observada e s un resultado d e una guardería de pobre o m ediocre calidad en com paración con las guarderías en general. Directriz 6: L o s investigadores utilizaron entrevistas para determinar e l tipo y la cantidad d e cuidado, a sí co m o e l nivel d e agresión d e c a d a niño. Y a q u e la agresividad e s d ifíc il d e de­ finir y puede ser concebida d e diferente manera p or c a d a persona, no hay una form a clara para asegurar q u e todos los entrevistadores pregunten precisam ente d e la m ism a manera (no só lo en palabras, sino en expresión facial y entonación) y q u e tod os los entrevistados interpreten las preguntas d e la m ism a forma. Directriz 7: L o s inform es producidos p or los investigadores del C uidado d e N iñ os a Edad Tem prana reconocen importantes fallas en e l estudio y enfatizan q u e e l estudio só lo muestra una p o sib le relación entre guarderías y agresividad. A sí que, ¿d e dónde vien e la afirm ación de que las guarderías generan niños a g re siv o s? V iene del m odo en que los m edios d e com unica­ ción presentan su s resultados. Y a que los actuales resultados n o respaldan esta interpretación, los noticiarios reflejan una clara falta de entendimiento sobre e l tem a. P or ejem plo, los perio­ distas q u e no han estudiado estadística no podrían distinguir entre los resultados d e u na relación y los resultados d e una cau sa, y entonces su falta d e entendimiento se refleja en su s noticias. De manera alterna, los m edios de com unicación podrían deliberadam ente d a r un cariz sensacionalista a los resultados co n tal d e llam ar m ás la atención. Y en algun os c a so s, personas q u e creen que las m ujeres deben perm anecer en c a sa co n su s hijos, podrían tergiversar los resultados para afirm ar q u e e l estudio proporciona respaldo científico p ara su s opiniones. Directriz 8: L a pregunta sobre e l significado práctico en este estudio e s m uy importante. A nivel individual: m uchas m ujeres trabajadoras no creen tener opción sobre las guarderías, e lla s deben trabajar p o r razones financieras y profesionales. P or tanto, e lla s podrían hacer uso de las guarderías aun si tuvieran pruebas d e que e l cu idado en c a sa fuera mejor. A nivel social, lo s resultados podrían ser prácticam ente sign ificativos si ésto s nos condujeran a nuevas políti­ ca s q u e podrían m ejorar e l cu idado d e los niños en general. Pero mientras que los resultados no prueben cau sa y efecto, n o pueden d a r una pauta clara p ara los q u e dictan la política. E n resumen, hem os encontrado que un título provocativo sobre las guarderías y agresi­ vidad se desm orona ante un exam en riguroso. Aún así, la investigación podría ser m uy valiosa, en especial porque los m ism os investigadores reconocen importantes fallas en e l estudio. L o s resultados pueden llevar a futuros estudios a resultados m ás concluyentes, inform ación q u e se­ guram ente será apreciada p o r padres de fam ilia trabajadores d e tod as partes. Pero hasta enton­ c e s necesitam os ser cu idadosos en có m o interpretar los resultados del estudio d e C uidado de N iñ os a E d ad T em prana y m ás aún acerca d e có m o reaccionam os ante títulos sensacionalistas que dich o estudio pudiera producir.

P R E G U N T A S PA R A D IS C U S IÓ N

www.FreeLibros.org 1. U na tercera variable d e confusión e s e l tiem po que lo s niños p asan fren te a la televisión o

con videojuegos, los cu ales tam bién han sido aso cia d o s co n conducta agresiva. ¿C onsidera que esta variable p u eda afectar lo s resultados del estudio del C uidado d e N iñ os a Edad

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H a b le m o s d e e s ta d ís tic a T em prana? y si e s así, ¿có m o los afectaría? ¿Q ué otras variables de confusión pueden afectar su s resultados? E xplique claram ente su s respuestas. 2 . Su pon ga q u e estuviera diseñan do una continuación del estudio co n la intención d e p ro­ porcionar resultados m ás concluyentes. Con b ase en lo q u e ha aprendido del estudio del C uidado a N iñ os en E d ad Tem prana, ¿qu é haría d e m anera diferente?

3. ¿C u ál e s su opinión personal acerca d e si e s m ejor p ara un padre perm anecer en c a sa o trabajar? ¿ S u opinión cam biaría si e l estudio d e C uidado d e N iñ os a Edad T em prana p ro­ dujese algu n os resultados definitivos acerca d e las gu arderías? ¿P o r q u é sí o p o r q u é no?

4 . En general, ¿considera que e l estudio presentado fue un esfuerzo valioso en térm inos del tiem po y g a sto q u e requirió? D efienda su opinión.

LECTURAS SUGERIDAS Lea m ás acerca del Estudio del Cuidado de Niños a Edad Temprana (SECC, por sus siglas en inglés) en su sitio web en http://secc.rti.org. Carey, Benedict, “ Study Finds Rise in Behavior Problems After Significant Time in Day Care” , New York Tim es, 26 de marzo de 2007. Stolberg, Sheryl Gay, “ Science, Studies, and Motherhood” , New York Tim es, 22 de abril de 2001.

Sweeney, Jennifer Foote, “ The Day-Care Scare, Again” , Salon.com, 20 de abril de 2001.

www.FreeLibros.org www.fullengineeringbook.net 70 of 495.

HABLEMOS BE ¡SALUD Pl BMt'A ¿Es salu d ab le su estilo de vida? C onsidere las conclusiones siguientes de • Fum ar aum enta e l riesgo d e cardiopatía. • C om er m argarina puede aum entar e l riesgo de • U n v aso d e vino diario puede proteger contra cardiopatía, p ero au­ menta e l riesgo de cán cer d e mam a. Q u izás esté fam iliarizado co n algun as d e estas conclusion es y tal vez ha cam biado su estilo d e vida p o r ellas. Pero, ¿ d e dónde provienen? Para su sorpresa é stas y cientos d e otras conclusion es importantes sobre salud pública provienen d e un enorm e estudio prospectivo que ha proporcionado inform ación p ara cientos d e estudios estadísticos m á s pequeños. C on ocido co m o e l Estudio d e Salud d e Enferm eras de Harvard, e s e l estudio d e salud pública m ás longevo dido. S i éste aún no ha cam biado su form a d e vida, casi hará en e l futuro. D icho estudio inició en 1976 cuando e l d octor Frank E . Speizer, la E scu ela d e M edicina d e H arvard, decidió estudiar a largo p lazo d e anticonceptivos orales. É l en vió cuestiona­ rios por correo a aproxim adam ente 3 7 0 0 0 0 enferm eras registradas y m ás d e 1 2 0 0 0 0 respuestas. E ligió encuestar a enferm eras pues ía q u e su entrenamiento m édico haría que su s respuestas fuesen m ás íbles q u e las del público. Cuando e l doctor S p eizer y su s c o le g a s exam inaron cuidadosam ente la inform ación en cuestionarios regresados, se dieron cuenta q u e e l estudio podría am pliarse p ara incluir m ás que só lo los efectos de los anticonceptivos. E n nuestros d ía s este equipo d e investigación lú a siguiendo alrededor d e 9 0 % d e las 120 0 0 0 en cuestadas originalmente. C ientos de también utilizan la inform ación p ara estudiar salud pública, stionarios anu ales aún son una parte vital d el estudio, lo q u e perm ite a los inves• inform ación acerca d e lo q u e las enferm eras com en ; q u é m edicinas y vitam inas si se ejercitan y cuánto, toman y fum an; y q u é enferm edades han contraído. A lgun as de las enferm eras tam bién proporcionan m uestras d e sangre, q u e es u sada p ara m edir c o sa s tales co m o nivel d e colesterol, n iveles hormonales, variaciones gen éticas y residu os d e p esticidas y del m edio ambiente. L a confian za del d octor S p eizer en las enferm eras ha com • justificada, y a q u e dependen d e las en cuestas y ellas c a si siem pre, a solicitud, m uestras de sangre extraídas y etiquetadas adecuadam ente. D espués de m á s d e 3 0 años d e correspondencia, tanto los investigadores co m o las enfersentido d e cercanía. M uch as d e las enferm eras quedan en espera d e o ír noti­ c ia s d e los investigadores y dicen q u e e l estudio les ha ayudado a poner m ás atención en cóm o viven su s vidas. L o s investigadores sienten profunda pena cuando deben registrar la muerte de L a pen a p or e l fallecimiento desem peñará un p ap el creciente en e l estudio, y a q u e mu­ ch as d e ellas ahora están entrando a su s 7 0 y 80. Pero esta p en a también dará una abundante inform ación acerca d e los factores que influyen en la longevidad y salud en edad avanzada. L o s investigadores desean q u e la inform ación m arcará e l cam ino hacia una com prensión definitiva acerca d e lo q u e constituye una dieta saludable, có m o la contam inación y la exp osición a qu í­

www.FreeLibros.org m ico s afectan la salud y có m o podríam os prevenir las enferm edades degenerativas co m o la osteoporosis y e l Alzheimer. En muerte, las 1 2 0 0 0 0 m ujeres del Estudio d e Salu d d e Enferm eras de Harvard pueden d a r e l regalo d e una m ejor vida a las generaciones futuras.

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H a b le m o s d e e s ta d ís tic a

P R E G U N T A S PA R A D IS C U S IÓ N 1. C onsidere algunos resultados q u e qu izá vienen del Estudio d e S alu d de Enferm eras de H arvard durante los siguientes 10 a 2 0 años. ¿Q u é tip o s d e resultados cree q u e serán m ás im portantes? ¿C on sidera que las conclusion es alterarán la manera en q u e v iv e su v id a? 2 . Explique p o r q u é este estudio e s d e observación. L o s críticos algun as veces dicen q u e los resultados serían m ás válidos si s e obtuvieran p o r experim entos en lugar d e observaciones. A nalice s i sería p osib le reunir inform ación sim ilar llevando a ca b o experim entos d e una m anera ética y práctica. 3 . En principio, este estudio está sujeto a se sg o d e participación y a que só lo 1 2 0 0 0 0 d e los

3 7 0 0 0 0 cuestionarios originales fueron devueltos. ¿ L o s investigadores deben preocuparse p or este se sg o ? ¿P o r q u é sí o p o r q u é no? 4 . O tra falla potencial proviene del hecho d e q u e los cuestionarios co n frecuencia abordaban

tem as sensibles d e salud personal y los investigadores n o tenían form a d e confirm ar que las enferm eras respondían d e manera honesta. ¿C onsidera q u e la deshonestidad podría llevar a los investigadores a conclusion es incorrectas? D efienda su opinión. 5 . T o d a s las participantes en e l Estudio d e Salud d e Enferm eras d e Harvard son mujeres.

¿C onsidera que tam bién los resultados son d e u so p ara los hom bres? ¿P o r qué sí o p or qué n o? 6 . H aga una búsqueda en la w eb p o r artículos q u e analicen los resultados d e este estudio. E lija un resultado reciente q u e le interese y analice lo q u e significa y cóm o puede afectar, en e l futuro, la salud pública o su propia salud.

LECTURAS SUGERIDAS Lea m ás acerca del Estudio de Salud de Enfermeras de Harvard (con sede en e l Laboratorio Channing de Harvard) en su sitio web en http://www.nursehealthstudy.org. Brophy, Beth, "D oin g It for Science", U.S. News & World Report, vol. 126, 21 marzo de 1999, p. 67. Conwell, Vikki, “ Forever Friends: T ies Can Last a Lifetime and Sustain Body and Soul” , A tlanta Journal-C onstitution, 2 de enero de 2007. Parker-Pope, Tara, “ Drinking Has Hidden Health Riks for Women", Wall Street Jou rn al, 26 de diciembre de 2006. Yoon, Carol Kaesuk, “ In N urses’ Lives, a Treasure Trove o f Health D ata", New Yok Tim es, 15 de septiembre de 1998.

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Prácticam ente nadie sabe de lo que está hablando cuando aparecen números en los periódicos. Y eso es porque siem pre consultam os a otras personas quienes no saben de lo que están hablando, como políticos y analistas del mercado. — M o lly Ivin s ( 1 9 4 4 - 2 0 0 7 ) co lu m n ista d e p e rió d ico

Medición en estadística

O B JE T IV O S D E A P R E N D IZ A JE Z1

T ip o s d e d a to s y n iv e le s d e m e d id a S e r c a p a z d e id e n tific a r d a to s c u a lita tiv o s o c u a n tita tiv o s , p a ra id e n tific a r lo s d a t o s c u a n tita tiv o s c o m o d is c re to s o c o n tin u o s, y p a ra a s ig n a r los d a to s d e u n n iv e l d e m e d id a (re la c ió n n o m in a l, o r d in a l o in te rv a lo ).

TODOS

SA B E M O S CÓM O

M EDIR

C A N T ID A D E S T A L E S

2 .2

E n te n d e r la d ife re n c ia e n tre lo s e rrores

co m o estatura, peso y tem peratura. Sin em bargo, en la in ­ v e stig a ció n

M a n e jo d e e rro re s

a le a to rio s y s is te m á tic o s , s e r c a p a z d e d e s c r ib ir lo s e rro re s d e s u ta m a ñ o

e sta d ística existen m uchas o tra s cla ses de

a b s o lu to y re la tiv o , y s a b e r la d ife re n c ia

m edidas, y d e b e m o s a seg u ra rn os que estén d efin id a s y re ­

e n tre e x a c titu d y p re c is ió n e n las m e d ic io n e s .

p orta d a s d e m anera cuidadosa. En e ste ca p ítu lo analizam os Z3

algunos c o n c e p to s im p o rta n te s a so cia d o s co n las m e d i­

E n te n d e r c ó m o lo s p o rc e n ta je s se u sa n p a ra in fo rm a r lo s re su lta d o s

d as y la estadística. C o m o verá, esto s c o n c e p to s son m uy

e s ta d ís tic o s y re c o n o c e r la s fo rm a s en q u e a v e c e s s o n m a l u tiliz a d o s .

ú tile s para c o m p re n d e r los in fo rm es e sta d ístic o s que en ­ cu e n tra en su v id a diaria.

U s o d e p o rc e n ta je s e n e s ta d ís tic a

Z4

N ú m e ro s ín d ic e E n te n d e r el c o n c e p t o d e u n n ú m e ro d e ín d ic e ; e n p a rtic u la r, e n te n d e r c ó m o el ín d ic e d e P r e c io s a l C o n s u m id o r (IPC) s e u tiliza p a ra m e d ir la in fla c ió n .

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M e d ic ió n e n e s ta d ís tic a ^

*

Ü! no d e lo s retos en estadística e s decidir cóm o resumir y mostrar d atos d e la mejor

U

manera. D iferentes tipas de d atos requieren distintas form as d e resúm enes. E n esta sección analizarem os cóm o s e clasifican lo s datos, una idea que nos ayudará cuando

considerem os resúm enes d e dates y visualización d e d atos en lo s últimos capítulos.

Los d atos so n d e do s tipos básicos: cualitativos y cuantitativos. L o s d a to s c u a lit a t iv o s tienen valores que pueden colocarse en categ o rías no num éricas. (Por esta razón, en ocasion es a estos datos s e le s denomina d atos categóricos). Por ejem plo, lo s datos acerca del color de lo s o je s son cualitativos, y a que están clasificados por colores, tales com o azul, café y avellana. O tros ejem ­ plos de datos cualitativa» incluyen sabores de helado, nombres d e em pleadores, género d e anim a­ les, y "número d e estrellas" de películas o restaurantes. Observe que la clasificación por estrellas es cualitativa aunque incluya un núm ero d e estrellas (tal com o tres estrellas o cuatro estrellas), ya que la s números no so n necesaria» y no podrían utilizarse para cálculos; d e igual forma podría­ m os clasificar la s películas co n cuatro categorías no numéricas, tal com o mala, regular, buena y excelente. L o s d a to s c u a n tita tiv o s tienen valores num éricos q u e representan cuentas o medidas. Los tiem pos de lo s corredores en u na carrera, lo s ingresos d e graduados d e una universidad y el número d e estudiantes en c la se s diferentes, so n ejem plos d e d atos cuantitativos.

T ip o s d e d ato s D a to s c u a lita tiv o s ( o c a t e g ó r ic o s ) c o n s i s t e n e n v a lo r e s q u e p u e d e n c o lo c a r s e e n c a t e ­ g o r ía s n o n u m é r ic a s . D a to s c u a n tita tiv o s c o n s is t e n e n v a lo r e s q u e r e p r e s e n t a n c u e n t a s o m e d id a s .

E JE M P L O 1

T ip o s d e d a to s

C lasifique cad a uno d e lo s conjuntos d e d atos siguientes com o cualitativos o cuantitativos. a . N om bres d e m arcas d e zapatos en una encuesta a consum idores.

b . C alificaciones en un exam en de opción múltiple. c. C alificaciones co n letras en una tarea d e ensayo. d . N úm eros en lo s uniform es q u e identifican a lo s ju gad o res en un equip o d e básquetbol. Solución a . L o s nombres de m arcas so n categorías y , por tanto, representan d atos cualitativos. b . L a s calificacion es en un exam en de opción múltiple son cuantitativas, y a que representan un conteo del número d e respuestas correctas.

c. C alificacion es con letras en una tarea de en say o so n cualitativas y a que representan d ife­ rentes categorías d e desem peño (desde no aprobado hasta excelen te).

d . L o s números en lo s uniform es d e lo s ju gad o res so n cualitativos y a q u e no representan un conteo o m edida; só lo s e utilizan para identificación. Podem os decir q u e esto s núm eros son cualitativos en lugar d e cuantitativos, y a q u e no podríam os utilizarlos para hacer cálculos. Por ejem plo, no tendría sen tido sum ar o restar los núm eros de lo s uniform es d e ju g a d o re s

www.FreeLibros.org distintos.

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2.1 T ip o s d e d a t o s y n iv e le s d e m e d id a

55

D a to s d iscreto s frente a d a to s co n tin u o s A dem ás, a lo s d atos cuantitativos lo s clasificam os com o continuos o discretos. L o s d atos son contkmos s i pueden tomar cu alqu ier valor en un intervalo dad o. Por ejem plo, e l p eso d e una persona puede ser cualquiera entre 0 y unos cuantos cientos d e libras, así, les d atos q u e co n ­ sisten en p eso s so n continuos. L o s d atos so n discretos s i só lo tom an valores particulares y no otro s valores entre ellos. Por ejem plo, e l número d e estudiantes en su clase e s discreto, y a que debe ser un número entero no negativo, y la m edida d e los zapatos e s discreta y a q u e só lo tom a valores en lo s enteros o en mitad d e enteros, tal co m o 7,

8 y 8 j.

D a to s d iscreto s fren te a d a to s co n tin u o s L o s d a t o s c o n tin u o s t o m a n c u a lq u ie r v a l o r e n u n in t e r v a lo d a d o . L o s d a t o s d is c re to s s ó lo t o m a n v a lo r e s p a r t ic u la r e s , d is t in t o s y n in g ú n v a l o r e n t r e e llo s .

E JE M P L O 2

¿ D i s c r e t o o c o n t in u o ?

Para cad a conjunto d e datos, indique s i lo s d atos so n discretos o continuos. a.

M edidas del tiem po que tom a cam inar una milla.

b.

L e s núm eros d e añ o s calendario (tal co m o 2 0 0 7 ,2 0 0 8 ,2 0 0 9 ).

c.

L e s núm eros d e v a c a s lecheras en diferentes granjas.

d.

L a cantidad de leche producida por v a c a s lecheras en una granja.

S o lu c ió n a.

El tiempo tom a cualquier valor, por lo cu al la s m edidas d e tiem po son continuas.

b.

L o s núm eros d e añ o s calendario so n discretos y a que no pueden ser v a lo re s fraccionarios. Por ejem plo, en la víspera del añ o nuevo d e 2009, e l año cam bió d e 2009 a 2010; nunca direm os e l añ o e s 2 0 0 9 |.

c . C ada gran ja tiene un entero no negativo de v acas q u e podem os contar, por lo que estos datos so n discretos. (Por ejem plo, no puede contar fracciones d e vaca). d . L a cantidad d e leche que una v aca produce tom a cualquier valor en algún rango, por lo cual la información d e producción de leche e s continua.

N iveles de m ed id a Otra form a d e clasificar los d atos e s por su n ivel d e m edida. E l nivel m ás sim ple d e medida s e a p lica a v ariab les tal co m o color d e o jo s, sab o res d e un helado o género d e anim ales. E stas variables so n descritas por nom bres, etiquetas o categorías. D ecim os q u e lo s d atos están en un n iv e l d e m e d id a n o m in a l (L a palabra nom inal indica nom bres para las categorías). E l nivel nominal de m edida no incluye ninguna clasificación u ordenamiento d e los datos. Por ejem plo, no podríamos decir que o jo s azules están antes que lo s o jo s color café o q u e la vainilla clasifica m ás alto que e l chocolate. Cuando describim os d atos con un esquem a d e clasificación u orden, tal com o núm ero de estrellas d e películas o restaurantes, estam os utilizando un n iv e l d e m e d id a o r d k ia L (L a pala­ bra o rd in al s e refiere a orden). Por lo com ún no podem os utilizar tales d atos co n algún sentido para cálculos. Por ejem plo, no tiene sentido sum ar número d e estrellas, ver tres películas de

www.FreeLibros.org una estrella no e s equivalente a ver una película de tres estrellas.

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56

M e d ic ió n e n e s ta d ís tic a

UN M O M EN TO D E R E F L E X IÓ N C o n s id e r e u n a e n c u e s t a q u e p r e g u n t a : " ¿ C u á l e s su s a b o r f a v o r i t o d e h e la d o ? ” . H e m o s d ic h o q u e lo s s a b o r e s d e h e la d o r e p r e s e n t a n d a t o s e n e l n iv e l n o m in a l d e m e d id a . P e r o s u ­ p o n g a q u e , p o r c o n v e n ie n c ia , lo s in v e s t ig a d o r e s in g r e s a n lo s d a t o s d e la e n c u e s t a e n u n a c o m p u t a d o r a y a s ig n a n n ú m e r o s a lo s d if e r e n t e s s a b o r e s . P o r e j e m p lo , a s ig n a n 1 = v a in illa , 2 = c h o c o la t e , 3 = g a lle t a s y c r e m a , e t c é t e r a . ¿ E s t o c a m b ia lo s d a t o s d e s a b o r d e h e la d o d e n o m in a l a o r d in a l? ¿ P o r q u é s í o p o r q u é n o ?

E l d e m edida nivel ordinal proporciona un sistem a d e clasificación, pero no permite d e ­ terminar las diferen cias precisas entre la s m edidas. Por ejem plo, no hay manera de determinar la diferencia exacta entre una película d e tres estrellas y una d e d o s estrellas. E n contraste, una temperatura d e 8 1 °F e s m ás caliente q u e 8 0 °F en la m ism a cantidad que 2 8 °F e s m ás caliente que 2 7 °F . L o s d atos d e tem peratura están a un nivel m ás a lto de m edida, y a q u e lo s in tervalos (diferencias) entre unidades en una esca la d e tem peratura siem pre sign ifican la m ism a cantidad definida. S in em bargo, aunque lo s intervalos (que incluyen sustracción) entre tem peraturas tie­ nen sign ificado, razon es (que incluyen división) no. Por ejem plo, no e s cierto q u e 2 0 °F se a el doble d e caliente q u e 1 0 °F o q u e - 4 0 ° F se a e l do b le d e frío q u e - 2 0 ° F . Por lo q u e la s razones carecen d e significado en la escala Fahrenheit, e s que su punto cero e s arb itrario y no representa un estado d e "no calor". S i lo s intervalos tienen significado pero las razones no, com o en e l caso de las temperaturas Fahrenheit, decim os que los dates están en el n iv e l d e m w ir ia d e U c r v a lo Cuando tanto intervalos co m o razones tienen significado, decim os q u e lo s datos están en e l d v d d e m e d id a d e ra z ó n . Por ejem plo, datos que consisten en distancias están en e l nivel de razón d e m edida, y a que una distancia d e 10 km realm ente está e l do b le d e lejos que una distancia d e 5 km. En general, e l nivel de razón de medida s e aplica a cualquier esca la co n un

cero verdadero, que e s un valor q u e sign ifica n ad ade a lg o que está en medición. En e l c a so de distancias, una distancia d e cero sign ifica q u e "no hay distan cia". Otros ejem plos d e d atos al nivel d e razón de m edida incluyen pesos, velocidades e ingresos. Observe q u e los d atos a l nivel nominal u ordinal d e m edida siem pre so n cualitativos, mien­ tras que le s d atos a l nivel de intervalo o razón siem pre son cuantitativas (y por tanto pueden ser continuos o discretcs). L a figura 2.1 resume los posibles tipos d e d atas y los niveles de medida.

T ip o d e d a to

N iv e l d e m o lid a Nominal

Cualitativo

— Ordinal Intervalo Razón Intervalo Razón

F ig u ra 2.1

T ip o s d e d a t o s y n iv e le s d e m e d id a .

N iveles de m ed ida E n e l n iv el d e m e d id a n o m in a l lo s d a t o s c o n s i s t e n s ó lo e n n o m b r e s , e t iq u e t a s o c a t e ­ g o r ía s . L o s d a t o s s o n c u a lit a t iv o s y n o s o n c la s if ic a b le s n i o r d e n a d le s . E l n iv el d e m e d id a o r d in a l a p lic a a d a t o s c u a lit a t iv o s q u e s e a c o m o d a n e n a lg ú n o r d e n ( t a l c o m o d e b a j o a a lt o ) . P o r lo c o m ú n n o t ie n e s e n t i d o h a c e r c á lc u lo s c o n d a t o s e n e s t e n iv e l. E l n iv e l d e m e d id a d e in te rv a lo a p lic a a d a t o s c u a n t it a t iv o s e n lo s q u e lo s in t e r v a lo s

www.FreeLibros.org t ie n e n s ig n if ic a d o , p e r o r a z o n e s o c o c ie n t e s n o . L o s d a t o s e n e s t e n iv e l t ie n e n u n p u n t o c e r o a r b it r a r io .

E l nivel d e m e d id a d e ra z ó n a p lic a a d a t o s c u a n t it a t iv o s e n lo s q u e t a n t o lo s in t e r v a lo s

c o m o la s r a z o n e s t ie n e n s e n t id o . L o s d a t o s e n e s t e n iv e l t ie n e n u n p u n t o c e r o v e r d a d e r o .

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2.1 T ip o s d e d a t o s y n iv e le s d e m e d id a

E JE M P L O 3

57

N iv e le s d e m e d id a

Identifique e l nivel d e m edida (nominal, ordinal, intervalo, razón) para cada uno d e lo s conjun­

A p r o p ó s ito ...

to s d e d atos siguientes.

COn fre c u e n cia los c ie n tífico s

a.

Números en uniform es q u e identifican a lo s ju g a d o re s en un equipo d e básquetbol.

b.

C lasificación que lo s estudiantes dan a lo s alim entos de la cafetería com o excelente, bueno,

m iden las te m p eratu ra s e n la escala Ke lvin . L o s d a to s en la e sc a la K e lvin e s tá n en e l nivel

regular o malo. c.

d e razón d e m edida, y a que

A ños del calendario para acontecim ientos históricos, tal co m o 1776, 1945 o 2001.

la e sc a la K e lv in tie n e un c e ro verd ad ero . Una te m p eratu ra

d . Tem peratura en la esca la C elsiu s (o centígrada). e.

de

Tiem po» de lo s corredores en la maratón de Boston.

0 kelvin e n re a lid a d e s la

te m p eratu ra m ás fría posible. D e no m inad o

a.

cero absoluto,

0 K e s e q u iv a le n te a alred e do r

S o lu c ió n

d e -2 7 3 .1 5 °C o -4 5 9 .6 7 ° F . (El

Cóm o s e analizó en e l ejem plo 1, lo s números d e uniforme n o cuentan ni miden algo. Están en e l nivel d e m edida nominal y a que so n etiquetas y no im plican alguna clase d e cla sifica ­

sím b o lo d e g ra d o s n o se utiliza para las te m p eraturas Kelvin).

ción. b.

Un conjunto d e clasificaciones representa d atos en e l nivel de m edida ordinal, y a q u e las categorías (excelente, buena, regular y m ala) tienen un orden claro.

c.

Un intervalo en un año calendario siem pre tiene e l m ism o significado. Pero razones o c o ­

Escala deten 3

100 *c

- 2 1 2 #F -373.15 K

cientes d e añ o s calendario no tienen sentido, y a q u e la elección del añ o 0 e s arbitrario y no sign ifica “e l inicio del tiem po". Por tanto, lo s añ o s de calendario están en e l nivel d e inter­ 0 *C -3 2 *F -273.15 K

valo d e medida. d.

A l igual q u e la s temperaturas Fahrenheit, la s tem peraturas C elsiu s están en e l nivel de m e­ dida de intervalo. Un intervalo de 1 °C siem pre tiene e l m ism o significado, pero e l punto cero (0 °C = punto d e congelación del agu a) e s arbitrario y no sign ifica “no calor".

Ebullición d el agu a C ongelación d el agu a

C ero absoluto -273.15 *C

- - 4 5 9 . 6 7 #F -0 K

La maratón tiene razones con significado, por ejem plo, un tiem po d e 6 horas en realidad e s el doble del tiempo que 3 horas, y a que tienen un punto cero verdadero en un tiempo d e 0 horas.

Sección 2.1 Ejercicios A lf a b e t iz a c ió n e s ta d ís tic a y p e n s a m ie n to c r ít ic o 1.

D a to s c u a lita tiv o s fr e n t e a d a t o s c u a n tita tiv o s .

C o n c e p to s y a p lic a c io n e s D a to s c u a lita tiv o s fre n te a d a t o s c u a n tita tiv o s .

¿ C u á le s

la diferencia entre d atos cualitativos y d atos cuantitativos?

o cuantitativos y explique por qué. 5.

2.

D a to s c u a lita tiv o s fre n te a d a t o s c u a n tita tiv o s .

G ru p o s sa n g u ín e o s .

Un ju -

^ d o r d e fútbol está tom ando un curso d e estadística y e s ­

L e s p eso s d e lo s su jeto s en una clínica piloto d e un nuevo medicamento.

L a s estaturas d e lo s su jeto s en una clín ica pi­ loto d e un nuevo medicamento.

7. E s ta tu ra s .

números en las cam isetas de su s uniformes. ¿ E stá en lo co ­ rrecto? ¿P or q u é s í o por q u é no?

8. P e líc u la s . 3.

¿U n a investigadora está en lo correcto cu ando argum enta que

D a to s c u a lita tiv o s fr e n t e a d a t o s c u a n tita tiv o s .

L os grupos sanguíneos A , B, A B y O.

6. P esos.

tablece q u e lo s nom bres d e los ju g a d o re s en su equip o son cualitativos, pero pueden ser cuantitativos s i s e utilizan los

En los ejerci­

d o s del 5 a l 16, determ ine s i lo s d atos descritos so n cualitativos

9.

L os tipos d e películas (drama, comedia, etcétera).

D u r a c ió n d e p e líc u la s .

L a s duraciones (en minutos) de

películas.

todos les d atos so n cualitativos o cuantitativos? Explique. 10.

R e s p u e s ta s a e n c u e s ta s . L a s respuestas {sí, ndf d e su je ­ tos en cuestadcs cuando s e le s realizó una pregunta.

www.FreeLibros.org 4.

C ó d ig o s

p o s ta le s .

Un investigador argum enta q u e los

códigos postales so n d atos cuantitativos porque miden una ubicación, con núm eros menores en e l este y m ayores en el

oeste. ¿ E stá en lo correcto? ¿P o r qué s í o por q u é no?

11.

ín d ic e s d e a u d ie n c ia N ie ls e n . L o s program as d e televi­ sión que serán observad os por televidentes en cuestados por

N ielsen M edia Research.

www.fullengineeringbook.net 77 of 495.

58 12.

M e d ic ió n e n e s ta d ís tic a ín d ic e s d e a u d ie n c ia N ie ls e n . 0 número d e hogares con televisor en u so cuando fueron encuestados por N ielsen

M edia Research. 13.

2 9 . E s ta tu ra s . L a s estaturas d e tod os los ju g a d o re s del equipo de básquetbol L ak ers d e L o s Á ngeles. 30.

R e c h a z o a e n c u e s ta s .

responder preguntas cuando son encuestadas. L a s m edidas de zap atos (tal co m o 8 o 1 0 |) d e su jeto s de prueba.

14. M e d id a s d e z a p a to s .

15.

Sa la rio.

Los salarios de todos les gobernadores de les estades.

16. C ó d ig o s d e á re a .

31. T ip o s d e p e líc u la s .

D a to s d is c r e t o s fr e n t e a d a t o s c o n tin u o s .

32. T e m p e ra tu r a s .

17. B o t o n e s p a ra p e a t o n e s .

En los ejercicios

nar en cruceros y 2 5 0 0 d e e sto s botones no funcionan (con base en inform ación del artículo "F o r Exercise in New York Futility, Push Button", d e M ichael Luo, New York Tim es). 18. P e s o s d e m o n e d a s .

34.

L o s p eso s d e la s m onedas d e un cen ­

A u to m ó v ile s . C lasificaciones d e autom óviles com o subcompacto, com pacto, intermedio o grande. E n s a y o c lín ic o .

35.

C a lif ic a c io n e s .

20.

P e s o s . P esos d e tod os lo s p aquetes m anejados por U P S el día de hoy.

37.

N SS .

38.

A ños.

0 número d e m o­ nedas d e un centavo recolectadas e l d ía de hoy en tod as las

E n c u e s ta G a llu p .

Q u ím ic a .

En en cuestas Gallup tom adas en d ife ­

Un experim ento en qu ím ica fue repetido y s e re­

gistró e l número de v e c e s necesario para q u e ocurriese una reacción. L o s tiem pos n ecesarios para q u e los estudiantes terminen un exam en d e estadística.

2 2 . T ie m p o s d e e x a m e n .

L a s calificacion es numéricas de un exam en d e estadística, que son e l número d e respues­ tas correctas en un exam en con 25 preguntas d e opción

2 3 . C a lif ic a c ió n d e e x á m e n e s .

múltiple. 2 4 . C o n t e o d e trá n s ito .

40.

L a s calificaciones a películas

por un crítico: 0 estrellas, | estrella, 1 estrella, etcétera. 2 7 . E s tre lla s .

L a s clasi­

ciente) co n sentido, d e modo que s e aplique e l nivel de medida

41.

G a s ific a c ió n d e p e líc u la .

Una película con una clasificación

de 4 estrellas e s e l do b le d e buena que una con 2 estrellas. U na carrera d e 10 kilóm etros e s e l do ble de larga que una de 5 kilómetros.

42.

M a ra to n e s.

43.

V e lo c id a d d e a v io n e s .

Un avión que s e mueve a una v e ­

locidad d e 4 5 0 m illas por hora v ia ja tres v e c e s m ás rápido q je otro avión q u e vu ela a 150 m illas por hora. 44.

T e m p e ra tu ra s .

E l 6 d e agosto, estuvo a 8 0 T e n la ciudad

de N u eva York, por lo q u e estuvo e l d o b le d e caliente que el 7 de diciem bre, cuando estuvo a 4 0 T . 45.

P esos d e p eces.

U n pez p esa 2 libras, mientras q u e otro

pesa 4 libras, por lo q u e e l pez m ás p esad o p esa e l do ble

0 número d e estrellas en cad a g a la x ia del U ni­

verso.

C la s if ic a c ió n d e s e g u r id a d e n a u to m ó v ile s .

de razón. Explique.

V e lo c id a d e s d e a u to m ó v ile s .

2 6 . C a lif ic a c io n e s a p e líc u la s .

P esos d e tod os lo s eq u ip ajes

¿ L a s ra z o n e s t ie n e n s e n tid o ? En lo s ejercicios del 41 a l 48, determ ine s i e l enunciado d ad o representa una razón (o c o ­

0 núm ero d e autom óviles q u e cruzan

L a s velocidades d e autom ó­ viles cuando pasan por e l centro del puente G olden Gate.

E q u ip a je e n una a e ro lín e a .

ficaciones d e seguridad d e la revista Consum er R eports, dadas por 0 = m enos segu ro a 3 = m ás seguro.

el puente Golden G ate cada hora. 25.

A ños en lo s q u e lo s dem ócratas gan aron la elección

revisadas en e l vu elo 15 d e cierta aerolínea.

registraron para cad a instante. 21.

Número del segu ro social.

por la presidencia d e E stad os Unidos. 39.

rentes instantes, su je to s q u e fueron cuestion ados acerca de si poseían una pistola y e l número d e respuestas s í q u e se

C alificaciones finales d e un cu rso dad as

36.

N ú m e ro d e m o n e d a s d e u n c e n ta v o .

tiendas S e a r s en E stad os Unidos.

R esultadas d e un en say o clínico que co n ­

por A , B, C, D, F.

tavo que s e acuñan actualm ente en E stad os Unidos. 19.

Tem peraturas del cuerpo d e todos los estu­

siste en "verdadero positivo", “falso positivo", “verdadero negativo", "falso negativo".

En la ciu dad d e N ueva Y ork e x is­

ten 3 2 5 0 botones para peatones q u e ello s pueden presio­

Tipos d e películas (drama, com edia,

diantes en una clase d e estadística. 33.

17 a 28, establezca s i lo s d atos reales so n discretos o continuos y explique por qué.

L a s recom endaciones d e un

etcétera).

L o s có d igos d e área (com o 617) d e los

teléfonos d e lo s su jeto s d e una encuesta.

C a lific a c io n e s a p e líc u la s .

crítico d e cine, dad as com o "debe verse’’, "b uen a”, “regu ­ lar", “m ala”, "evítela a toda co sta".

0 número d e personas que rehúsan

que e l otro pez 46.

L o s núm eros de calorías consum idas por ju g a d o ­ res d e fútbol durante un ju eg o .

28. C a lo r ía s .

Por m edio del fechado con car­ bono, s e determ inó q u e una m uestra d e m adera e s e l do ble

F e ch a d o co n carb on o .

www.FreeLibros.org Rara los d atos descritos en los ejercicios 29 a l 40, identifique e l nivel d e m edida com o nominal, ordinal,

de antigua q u e otra, puesto q u e la prim era muestra tiene 2000 añ o s mientras q u e la otra tiene 1000 años.

N iv e le s d e m e d id a .

de intervalo o d e razón.

47.

S a la rio .

U n em pleado tiene un salario d e $ 1 5 0 0 0 0 , q u e es

el d o b le del salario d e $ 7 5 0 0 0 d e otro em pleado.

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2.2 M a n e jo d e e rro re s 48.

Una persona con una calificación del S A T d e 2 200 está e l do b le d e cu alificada para una uni­

C a lif ic a c io n e s d e l S A T .

53.

C la s if ic a c ió n c o m p le ta .

Eh los ejercicios del 49 a l 56, deter­

su s niveles de m edida. S i lo s d atos so n cuantitativos, indique si son continuos o discretas. Proporcione una breve explicación. 49.

T ie m p o s e n m a ra tó n .

T iem pos finales en la maratón d e la

ciudad d e N ueva York. 50.

O r d e n e n el m a ra tó n .

N ú m e ro d e

54.

E n c u e s ta p o lític a .

Eh una encuesta d e preferencia d e v o ­

tantes, lo s partidos políticos d e lo s encuestados s e registran com o números codificados 1, 2 ,3 , 4 ó 5 (donde 1 = dem ó­ crata, 2 = republicano, 3 = liberal, 4 — conservador, 5 = otro). L a lista d e clasificación d e la revista Consum er R ep orts dada por "m ejor com pra", “re­

55. C la s if ic a c ió n d e p r o d u c to s .

Posición a l finalizar (tal com o pri­

mero, segundo, tercero) d e lo s corredores d e u na maratón. 51.

Los añ o s en los

q u e lo s em plead os fueron contratados (tal co m o 2003, 1998, 2007).

versidad q u e una persona con u na calificación d e 1100.

mine s i los d atos descritcs so n cualitativas o cuantitativas y dé

A ñ o s d e c o n tr a ta c ió n d e e m p le a d o s .

59

I d e n tific a c ió n d e

e m p le a d o .

Números de

identificación de se is dígitos generados aleatoriamente a sig ­ nados a em pleados de la com pañía Telektronics. 52. T ie m p o s d e se rv icio d e e m p le a d o s .

com endada" o “no recom endada", para cada una d e varias com putadoras diferentes. 56. C o n t r o l d e c a lid a d .

L a com pañía Newport Electronics

prueba c a d a uno de lo s rad ios q u e fabrica y lo s etiqueta com o aceptable o defectuoso.

La antigüedad de cada

em pleado en la com pañía Telektronics desde que s e contra­ tó por primera vez.

2 .2 M an ejo d e errores

A

lo ra q u e entendió los diferentes n iveles y tipos de m edidas, p asam os a l tem a d e cóm o tratar los errores en la medición. Primero, considerarem os los diferentes tipos de erro­ res que pueden ocurrir, y lu e go analizarem os có m o considerar lo s errores posibles

cuando se establezcan lo s resultados. O bserve que aunque expondrem os la m ayoría d e este

L o s e rro re s so n ¡o s p o rta le s d e l descubrim ien to. —Jam es Joyce

an álisis en términos de m edidas, s e aplica igual d e bien a estim aciones o proyecciones, tal co m o estim aciones d e población o ingresos proyectados para una compañía.

T ip o s de error: aleato rio y sistem ático E n térm inos informales, los errores en la medición caen en d o s categorías: errores aleatorios y errores sistem áticos. Un ejem plo ilustrará la diferencia. S u p o n g a q u e trab aja en una o ficin a pediátrica y utiliza una b áscu la digital p ara pesar a bebés. S i algu n a v e z ha trabajado co n bebés, sa b e q u e no le s h a c e m uy fe lice s q u e lo s pon­ g a n en una b áscu la. S u s p ataleos y llan to tienden a m over l a b áscu la, haciendo q u e l a lectura

A prop dsito... I b e rro r s is te m á tic o e n e l que las m e d id a s e n una e sc a la (p o r

o sc ile . Para e l c a so q u e s e m uestra en l a figura 2 .2 a podría, posiblem ente, registrar e l peso del bebé com o entre 14.5 y 15.0 libras. Entonces d e cim o s q u e e l m ovim iento d e la báscula

q e m p lo una balanza) d ifie re n de

introduce un e r r o r a le a to r io , y a q u e cualquier m edición particular podría ser dem asiad o alta

\e rd a d e ro s, lo d en om in am o s

o dem asiad o baja. A hora suponga que hemos m edido lo s pesos d e lo s bebés a lo largo de todo e l d ía con la báscula q u e s e m uestra en la figura 2.2b. A l final del día, o b serv a q u e la b á sc u la m arca 1.2 libras cuando está vacía. E n e se caso cada medida q u e realizó tuvo un e x c e so d e 1.2 libras. Este tipo d e error s e denom ina e r r o r s is te m á tic o , y a que e s cau sado por un error en e l sistem a de

m anera c o n siste n te d e los valores

error de calibración. P uede p ro b a r la c a lib ra c ió n d e una balanza c o lo c a n d o e n e lla p eso s conocid os, ta l c o m o 0 , 5 ,10 y 2 0 libras, y ase g urán do se q u e la b alan za p ro p o rcio n a las lecturas esp e radas.

medición, un error que afecta d e manera consistente (sistemática) a tod as las medidas.

D o s tip o s d e erro res de m ed ició n

www.FreeLibros.org L o s e rro re s a le a t o r io s o c u r r e n c o m o c o n s e c u e n c ia d e e v e n t o s a le a t o r io s e in h e r e n t e ­ m e n t e i m p r e d e c i b l e s e n lo s p r o c e s o s d e m e d ic ió n .

L o s e rro re s s is te m á t ic o s o c u r r e n c u a n d o e x is t e u n p r o b le m a e n e l s is t e m a d e m e d ic ió n q u e a f e c t a a t o d a s la s m e d id a s d e la m is m a m a n e r a .

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60

M e d ic ió n e n e s ta d ís tic a

F ig u ra 2 .2

( a ) E l m o v im ie n t o d e l b e b é in t r o d u c e e r r o r e s

a le a t o r io s , ( b ) L a b á s c u la in d ic a 1.2 lib r a s c u a n d o e s t á v a c ía , c o n lo q u e in t r o d u c e u n e r r o r s is t e m á t ic o , lo c u a l o c a s io n a q u e t o d a s la s m e d ic io n e s s e a n 1 2 lib r a s m á s a lt a s .

Un error sistem ático afecta a todas las m edidas d e la m ism a form a, hace q u e tod as ellas sean m ás altas o tod as m ás bajas. S i descubre un error sistem ático, puede regresar y ajustar la s m ediciones afectadas. E n contraste, la naturaleza im predecible d e los errores aleatorios los hace im posibles de corregir. S in em bargo, puede minimizar los efectos de errores aleatorios si hace m uchas m ediciones y la s prom edia. Por ejem plo, s i m ide e l peso del bebé diez veces, su s m ediciones tal v e z serán altas en algu n os c a so s y b ajas en otros. Por tanto, puede obtener un m ejor valor a l prom ediar las diez m ediciones individuales.

A p r o p ó s ito ...

Ü N M O M E N T O D E R E F L E X I Ó N ________________________ V a y a a u n s i t i o w e b ( c o m o w w w . t im e . g o v ) q u e p r o p o r c io n e la h o r a a c t u a l. ¿ C u á n a le j a d a

El h e ch o q u e áreas urbanas tiendan

e s t á d e la h o r a d e s u r e lo j? D e s c r ib a p o s ib le s f u e n t e s d e e r r o r e s a l e a t o r io y s is t e m á t ic o e n

a s e r m ás calie n te s d e lo q u e sería

s u c o n t r o l d e p u n t u a lid a d .

en au se n cia d e a c tiv id a d humana, se d e n o m in a efecto de calor humano. Las cau sas principales incluyen e l c a lo r lib e ra d o cu a n d o los au to m ó viles, e n la ca sa y

E JE M P L O 1

E r r o r e s e n l o s d a t o s d e l c a le n t a m ie n t o g lo b a l

co m b u stib le, y p o r e l h e ch o q u e el

L o s cien tíficos q u e estudian e l calentam iento glo b al necesitan conocer cóm o la tem peratura prom edio d e toda la Tierra, o l a tem peratura prom edio g lo b al, ha cam biado con e l tiem po.

p a v im e n to y los g ra n d e s ed ificio s

C onsidere d o s dificultades a l tratar d e interpretar lo s d atos d e tem peratura histórica d esd e

d e c o n c re to tie n d e n a re te n e r el

prin cipios d el sig lo x x : ( 1 ) la s tem peraturas s e m idieron co n term óm etros se n c illo s y lo s d atos s e registraron m anualm ente, y (2) la m ayoría d e las tem peraturas fueron registradas en

en la ind u stria q ue m an algún

c a lo r d e la lu z solar.

o ce rca d e áre as urbanas, las cu a le s tienden a ser m ayores q u e la s circundantes a á re as rura­ le s a con secu en cia del ca lo r liberado por la actividad humana. A n alice s i c a d a una d e estas d o s dificultades produce errores aleatorios o sistem áticos, y con sid ere la s im plicacion es de e sto s errores. L a prim era dificultad incluye e rro res aleato rio s; y a q u e sin d u da la s personas de manera ocasio n al cometen errores en la lectura d e lo s termómetros, a l calibrarlos y a l registrar

S o lu c ió n

las lecturas d e las tem peraturas. N o h ay form a d e predecir s i algun a lectura e s correcta, m ás alta o m ás baja. S in em bargo, s i hay v arias lecturas para la m ism a región e l m ism o día, a l pro­ mediar estas lecturas s e pueden minimizar los efectos d e lo s errores aleatorios. L a segunda dificultad incluye un erro r sistem ático, y a q u e e l ex ceso de calor en áre as ur­ banas siem pre c a u sa que la lectura d e la s tem peraturas se a m ayor d e lo q u e debería ser d e otra form a. S i lo s investigadores pueden estim ar cuánto afectó este error sistem ático a las lecturas,

www.FreeLibros.org entonces pueden corregir le s d atos para este problem a.

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2.2 M a n e jo d e e r r o r e s

E S T U D IO D E C A S O

61

E l c e n so

L a constitución d e E stad os U nidos ob liga un cen so d e la población cad a 10 añ os. L a O fi­ cin a del C en so d e E stad os U nidos realiza e l censo (y tam bién m uchos otros estudios dem o­ gráficos). A l intentar contar la población, la O ficina de Censo depende en gran m edida d e una encuesta q u e e s en viada y regresada por cad a hogar en E stad os U nidos. S in em bargo, m uchos

e rro res ale ato rio s ocurren en este proceso d e encuesta. Por ejem plo, algun as personas llenan su s form as de manera incorrecta y algu n as respuestas so n registradas d e manera errónea por los em pleados d e la O ficina del Censo. E l cen so tam bién e stá su jeto a v arios tipos d e erro res sistem ático s. Por ejem plo, e s muy difícil enviar en cuestas a vagabundos, y e s difícil contar a extranjeros indocumentados, qu ie­ nes pueden ser reticentes a revelar su presencia en E stados U nidos. E sto s errores sistem áticos conducen a un subconteo d e la p o b lac ió a Un ejem plo d e un error sistem ático q u e lleva a un sobreconteo, e s e l conteo d o b le d e algu n os estudiantes en ciertas universidades, quien es son contados por su s padres y nuevam ente en su escu ela d e residencia.

E n o casio n es, una pequeñ a im p recisión ah o rra m iles de exp licacio n es. - H . H. Munro (Saki)

Por ejem plo, en e l cen so d e 2000, originalm ente s e contaron 281.4 m illones de personas. S in em bargo, la investigación estadística su girió q u e e l cen so no había contabilizado a cerca d e 7.6 m illones de personas y contó alrededor de 4.3 millones d o s veces. S i esto s resultados estadísticos so n correctos, entonces e l cen so subcontó la población por m ás d e 3 m illones de personas.

1 JN M O M E N T O D E R E F L E X I Ó N ________________________ L a p r e g u n t a d e s i la O f ic in a d e l C e n s o d e b e p e r m it ir s e a j u s t a r s u " c o n t e o " o f i c ia l c o n b a s e e n e n c u e s t a s e s t a d í s t i c a s e s m u y p o lé m ic a . L a C o n s t it u c ió n e x i g e u n a " e n u m e r a c ió n r e a l" d e la p o b la c ió n ( a r t í c u lo 1, s e c c ió n 2 , s u b s e c c ió n 2 ). ¿ U s t e d c r e e q u e e s t e t e x t o im p id e o p e r m it e e l u s o d e e n c u e s t a s e s t a d ís t ic a s e n e l c o n t e o o f ic ia l? D e f ie n d a s u o p in ió n . T a m b ié n a n a l ic e p o r q u é to s d e m ó c r a t a s t ie n d e n a e s t a r a f a v o r d e l u s o d e m é t o d o s d e m u e s t r e o m ie n t r a s q u e to s r e p u b lic a n o s t ie n d e n a o p o n e r s e a él.

T a m a ñ o d e lo s erro res: a b so lu to fren te a relativo A d em ás d e necesitar sab er s i un error e s aleatorio o sistem ático, co n frecuencia querem os conocer a lg o ace rca del tam año total del error. Por ejem plo, ¿ e l error e s tan gran de q u e nos interese o e s tan pequeño q u e no e s im portante? Ahora, estu d iam os e l concepto d e tam año del error. Su p o n ga q u e v a a la tienda y com pra lo q u e cree so n 6 libras d e carne para ham burgue­ sas, pero com o la balanza d e la tienda está m al calibrada, en realidad só lo obtiene 4 libras. Seguram ente estaría m olesto por este error d e 2 libras. A hora su ponga que está com prando carne para ham burguesas para barbacoa para una enorm e ciudad, y ordena 3 0 0 0 libras d e ham ­ burguesas, pero en realidad recibe só lo 2 998 libras. L e faltarían la s m ism as 2 libras q u e antes, pero en este caso e l error quizá no parezca m uy importante. E ste ejem plo sen cillo muestra que e l tam año d e un error depende d e có m o lo valora usted. En un lenguaje m ás técnico, e l error d e 2 libras en am b o s c a so s e s un o r a r a b so lu to describe cuán lejos está e l valor m edido del valor verdadero. Un «rro r relativo com para el tam año del error absoluto co n e l valor verdadero. E l error relativo para e l primer c a so e s muy grande y a q u e e l error absoluto d e 2 libras e s la mitad del p eso verdadero d e 4 libras: por tanto, decim os q u e e l error relativo e s 2/4 o 50% . E n contraste, e l error relativo del segu n d o caso es muy pequeño: e s e l error absoluto d e 2 libras dividido entre e l p eso verdadero d e la carne, que

www.FreeLibros.org es 2 998, lo q u e sign ifica un error relativo d e só lo 2/2998 « 0.0 00 6 7 o 0.067% .

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62

M e d ic ió n e n e s ta d ís tic a

E rro r a b so lu to y e rro r relativo E l error a b s o lu t o d e s c r ib e c u á n le jo s e s t á e l v a l o r m e d i d o d e l v a l o r v e r d a d e r o : e r r o r a b s o lu t o = v a l o r m e d i d o - v a l o r v e r d a d e r o E l e rro r re la tiv o c o m p a r a e l t a m a ñ o d e l e r r o r a b s o lu t o c o n e l v a l o r v e r d a d e r o , c o n f r e ­ c u e n c ia s e e x p r e s a c o m o u n p o r c e n t a j e : . .. e r r o r a b s o lu t o w e r r o r r e l a t iv o = — ¡--------- -r— 7------ x 100 % v a lo r v e r d a d e r o

O bserve q u e lo s errores absoluto y relativo so n p o sitiv o s cu ando e l valor m edido es mayor que e l valor verdadero y so n n egativos cuando e l valor medido e s menor q u e e l valor verdadero.

E JE M P L O 2

E r r o r a b s o l u t o y e r r o r r e la tiv o

Eh cad a caso determ ine e l error absoluto y e l error relativo. a. b.

Su p eso verdadero e s 100 libras, pero una báscula le indica q u e pesa 105 libras. El gobierno asegu ra q u e un program a cuesta $99 0 0 0 millones, pero una auditoría muestra q je e l co sto verdadero e s $ 1 0 0 0 0 0 millones.

S o lu c ió n a.

0 valor m edido e s la lectura d e la báscula d e 105 libras y e l valor verdadero e s 100 libras: error absoluto = valor m edido - valor verdadero = 105 Ib - 100 Ib = 5 Ib error absoluto error relativo = — -------- — — X 100% valor verdadero 51b 100 Ib

X 100%

= 5% El p eso m edido se p asa por 5 libras o 5%.

M il m illo n es aq u í, m il m illo n es a llá ; d en tro d e p o co e sta rá h ab lan d o d e d in ero re a l. —Senador Everett Dirksen

b.

El co sto afirm ado e s $99 0 0 0 m illones y e l co sto verdadero es $ 100 0 0 0 millones: error absoluto = valor afirm ado — valor verdadero = $ 9 9 0 0 0 m illones - $100 0 0 0 m illones — — $1000 m illones error absoluto error relativo = — -------- — — X 100% valor verdadero - $ 1 0 0 0 millones $100000 millones

X 100%

= -1% E l co sto afirm ado e s inferior en $ 1 0 0 0 0 millones o 1%.

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2.2 M a n e jo d e e rro re s

63

D e scrip c ió n de resu ltad o s: ex actitu d y p recisió n Una v e z que s e reporta una medida, deb em os evaluarla para ver s i e s creíble a la luz d e errores potenciales. E n particular debem os considerar d o s ideas principales acerca d e cualquier valor reportado: su exactitu dy su p recisión . Con frecuencia, en español, e sto s térm inos s e utilizan en form a intercambiable, pero en la cien cia so n d o s conceptos diferentes. E l objetivo de cualquier m edición e s obtener un valor q u e se a tan cercan o co m o sea posible a l vaior verdadero. L a « a c t it u d describe cuán cercano e s e l valor m edido del valor verdadero. L a i r e d s i ó n describe la cantidad d e detalle en la medición. Por ejem plo, su p on ga

A p r o p ó sito ... En 19991a N A S A p e rd ió el

que un censo d ice q u e la población de su ciu dad e s de 72 543, pero la población verdadera e s de 96 000. E l valor d el censo d e 72 543 e s m uy preciso y a q u e parece d e cim o s la cantidad exacta,

o rb ita d o r c lim á tic o d e Marte,

pero no e s m uy exacto y a que e s c a si 25% menor q u e la población real de 9 6 0 0 0 . O bserve que,

ingenieros e n v ia ro n instruccion es

usualmente, la exactitud e s definida mediante e l error relativo en lugar del error absoluto. Por ejem plo, s i una com pañía proyecta ventas de $7 3 0 0 m illones y la s ventas verdaderas resulta

d e c o m p u ta d o ra m u y precisas

que so n de $ 7 3 2 0 millones, decim os q u e la proyección fue m uy exacta, y a q u e quedó a m enos de 1%, aunque e l error represente $ 2 0 millones.

de

$160 m illones, cu a n d o los

en unidades ing lesas (lib ras) p ero e l p ro g ra m a d e la nave las in te rp re tó e n unidades m é tricas (kilogram os). E n o tras palabras, la p é rd id a o c u rrió porq u e las instrucciones m u y p recisas en

D efin icio n es La

realid ad fueron m u y inexactas! La

exactitu d d e s c r ib e c u á n t o u n a m e d id a s e a p r o x im a a u n v a lo r v e r d a d e r o . U n a m e ­

d id a e x a c t a e s c e r c a n a a l v a lo r v e r d a d e r o . ( C ercana p o r lo g e n e r a l s e d e f in e c o m o un

erro r relativo La

p e q u e ñ o , e n lu g a r d e u n e r r o r a b s o lu t o p e q u e ñ o ) .

p recisión d e s c r ib e la c a n t i d a d d e d e t a lle e n la m edición.

N A S A a p re n d ió su le cc ió n y d esd e en to nce s ha e n v ia d o , c o n éxito, c u a tro n aves a M arte, co n o tro p rog ram a (d e n o m in a d o

Phoenix)

q j e d e s c e n d ió e n M arte e n 2 0 0 8 .

Por lo general suponem os q u e la precisión con la q u e un número s e reporta refleja cóm o fue m edido realmente. S i usted d ice q u e p esa 132 libras, su ponem os q u e m idió su p eso só lo a l a libra m ás cercana. E n e se caso , una m edida m ás precisas podría determ inar q u e usted pesó, digam os, 132.3 libras o 131.6 libras (am bas s e redondearían a 132). En contraste, s i dice que pesa 132.0 libras, suponem os que m idió su p eso a l décim o d e libra m ás cercano. E sta su p o si­ ción acerca d e la precisión sign ifica que lo s núm eros reportados co n precisión injustificada son deshonestos. Por ejem plo, s i en realidad m idió su p eso só lo a la libra m ás cercana, sería d e s­ honesto decir q u e p esó 132.0 libras, y a que im plicaría q u e hizo una m edida a l décim o d e libra m ás cercano.

E JE M P L O 3

E x a c titu d

y

p r e c is ió n e n s u p e s o

Su pon ga que su p eso verdadero e s de 102.4 libras. L a báscula en e l consultorio d el doctor puede mostrar a l cuarto d e libra m ás cercano, d ice q u e usted p esa 102{. L a b á sc u la en e l g im ­ nasio, q u e proporciona lecturas digitales a l 0.1 de libra m ás cercano, d ice q u e usted pesa 100.7 libras. ¿C u á l b áscu la e s m ás p re c isa? ¿C u á l e s m ás ex acta ? S o lu c ió n

L a b áscu la en e l gim n asio e s m ás p re c isa y a q u e le d a su p eso a l décim o d e libra

m ás cercano, mientras q u e la báscula del doctor proporciona su peso só lo a l cuarto d e libra m ás próximo. S in em bargo, la b áscu la en e l consultorio del doctor e s m ás ex actay a q u e su valor es m ás cercan o a su p eso verdadero.

U N M O M E N T O D E R E F L E X I Ó N ________________________ E n e l e j e m p lo 3 n e c e s it a m o s c o n o c e r s u p e s o v e r d a d e r o p a r a d e t e r m in a r c u á l b á s c u la e s m á s e x a c t a . P e r o , ¿ p o d r ía c o n o c e r s u p e s o v e r d a d e r o ? ¿ A lg u n a v e z p u e d e a s e g u r a r q u e lo c o n o c e ? E x p liq u e .

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64

M e d ic ió n e n e s ta d ís tic a

E S T U D IO D E C A S O

¿E l c e n so m id e la p o b la c i ó n v e r d a d e r a ?

A l terminar e l censo d e 2 0 0 0 la O ficina d e C en so d e E stad os U nidos reportó una población de 281421 906 (al 1 de abril d e 2000), y de este modo (por la form a d e reportar) implica un conteo exacto d e todos los que viven en E stad os Unidos. Por desgracia, tal conteo preciso qu izá no sea tan ex acto co m o parece implicar. Incluso en principio, la única m anera d e obtener un conteo ex acto del número d e perso­ nas que viven en E stados U nidos sería contar a tod os d e m anera in stan tán ea. D e otra forma, e l conteo se ría incorrecto y a q u e e l número d e personas cam bia m uy rápidamente. E n E stados Unidos ocurren, en prom edio, alrededor d e ocho nacim ientos y cuatro d e ce so s por minuto, y un nuevo inmigrante ingresa a E stados U nidos cad a tres minutos, en promedio. D e hecho, la O ficina del C en so dedica m uchos m eses a recolectar la inform ación q u e conduce a l conteo. Adem ás, los errores aleatorios y sistem áticos, con facilidad, pueden hacer im preciso e l censo en unos millones d e personas (vea e l Estudio d e caso de la página 61).

A p r o p ó s ito ... Los d íg ito s e n un n ú m e ro q u e en realid ad se m id ió se den om in an

dígitos significativos. Todos tos d íg ito s e n un n ú m e ro son sig n ifica tiv o s e x c e p to p o r los

Entonces, en realidad la O ficina del C en so no podría conocer la población e x a c ta en un d ía particular, y la incertidumbre en la población real e s a l m enos d e unos cuantos m illones de personas. D ados esto s hechos, e s deshonesto reportar la población com o un conteo exacto. Un reporte m ás honesto sería utilizar m ucha m enos precisión, por ejem plo, estableciendo q u e la población e s "alrededor de 2 8 0 m illones". Para ser ju sto s con la O ficina del C enso, su s reportes detallados explicaban las incertidumbres en e l conteo de población pero estas incertidumbres rara v e z s e m encionaron en la prensa.

ce ro s q u e se incluyen, p o r lo que el pun to d e cim a l d e b e co lo carse

E S T U D IO D E C A S O

cte m an era ad e cuad a. Por q e m p lo , 0 .0 0 1 2 3 4 tiene cu a tro

D e s a p a r e c e n b illo n e s e n p r e c is ió n « ju s t if ic a d a d e u n p re su p u e sto

* req u ie ren p a ra la ub icació n

A principios d e 2001 los políticos anunciaron un su p eráv iten e l presupuesto federal d e E stados Unidos d e 5.6 billones d e dólares durante lo s siguientes 10 años. E n 2007, en lugar d e obtener

a d e cu a d a d e l p u n to decim al.

billones en dinero excedente, e l gobierno había en viado otros 3 billones d e d ó lares a la deuda.

P o r la m ism a razón, e l núm ero

En otras palabras, con cuatro añ o s para terminar la proyección a 10 años, la proyección y a había com probado estar en un error por cerca d e 9 billones d e dólares (yendo de 5.6 billones

d íg ito s sig n ificativ o s, los ce ro s

1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 tie n e c u a tro d íg ito s sig nificativo s. El nú m e ro 132.0 tiene c u a tro d íg ito s significativos:

p o sitiv o sa 3 billones n egativos). Q uizás usted ha escuchado o leído inform es en la s noticias acerca d e e sto s m uchos bi­

el c e r o e s sig n ific a tiv o y a q u e no €s re q u e rid o para la u b icació n a p ro p ia d a d e l p un to d e cim a l y por ta n to im p lic a una m e d id a real de c e ro d écim o s.

llones d e dólares entregadas a fortunas del gobierno, y la gente d e diferentes convicciones po­ líticas pueden tener m uy diferentes sentim ientos co n resp ecto a su significado. Pero aquí, para nuestros propósitos, lo m ás destacable fue la precisión injustificada d e la proyección original. D espués d e todo, la proyección d e $5.6 billones fue d ad a a l décim o de billón m ás próxim o (lo cu al sign ifica a la centena d e m illar d e millón m ás cercana), lo q u e im plica q u e e l valor real sería entre alrededor d e $5.5 y $ 5 .7 billones. Ahora podría decir "¡U p sl" Para hacer ju sticia a lo s econ om istas responsables d e la proyección, ello s estaban cons­ cientes d e la s incertidumbres aso ciad as. Adem ás, los cam b ios que ocurrieron después que se hizo la proyección — incluyendo los ataqu es terroristas del 11 d e septiem bre, la guerra en A fganistán y en Irak, y lo s recortes en lo s im puestos— hicieron com prensible que la proyec­ ción fuera tan equivocada. Pero la lección e s clara. L a siguiente vez q u e escu ch e a políticos o en les m edios hablar de presupuestos federales futuros con gran precisión, recuerde q u e e s muy probable q u e su s núm eros resulten m uy imprecisos.

R esu m en : m an ejo d e errores L as ideas que hemos tratado en esta sección so n un poco técnicas, pero muy importantes para la comprensión d e m edidas y errores. A continuación resum im os cóm o están relacionadas las ideas. •

L o s errores pueden ocurrir d e m uchas form as, pero por lo general lo s clasificam o s en uno

•

de d o s tipos b ásicos: errores aleatorios o errores sistem áticos. Cualquiera q u e se a l a fuente d e un error, su tam año puede describirse en d o s form as d ife­ rentes: com o un error absoluto o com o un error relativo.

•

Una vez q u e s e reporta una medida, podem os evaluarla en térm inos d e su exactitud y su

www.FreeLibros.org precisión.

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2.2 M a n e jo d e e rro re s

65

Sección 2 .2 Ejercicios A lf a b e t iz a c ió n e s ta d ís tic a y p e n s a m ie n to c r ít ic o 1. T ip o d e e rro r.

manera deshonesta. A nalice s i cad a problem a incluye erro­ res aleatorios o sistem áticos.

C uando un técnico registra lo s tiem pos de

reacción d e un conductor en un experim ento, e l técnico re­

2.

y (2) lugares donde e l contribuyente reportó ingresos de

10.

S e g u rid a d e n v ia je s a é re o s .

Antes d e despegar, s e supone

gistra d e m anera incorrecta uno d e lo s tiem pos reales. ¿ E l error e s aleatorio o sistem ático? Explique.

que un piloto fija e l altímetro d e la aeronave a la altitud del

P e s o e s tá n d a r. Un p eso estándar definido para representar exactam ente un kilogram o s e gu arda en e l Instituto N acio­

la s lecturas del altímetro a lo largo de todo e l vuelo. ¿Q ué

aeropuerto. Un piloto sa le de Denver (altitud 5 2 8 0 pies) a m su altím etro fijado en 2 500 pies. Explique có m o afecta clase d e error e s éste?

nal de Estándares y Tecnología. S i usted coloca este peso de un kilogram o verdadero en una b alan za y ésta indica q je pesa 1.002 kilogram os, ¿cu á l e s error absoluto y cu ál el

L a com pañía manufacturera Newport recibe un pedido por 1 0 0 0 0 tom illos d e metal,

11. E s p e c ific a c io n e s té c n ic a s .

que s e su p on e so n d e 25 milímetros d e largo. D espu és que

error relativo d e la m edición? 3.

L o s estudiantes en una cla se de

s e fabrican lo s tom illos, un an alista de control de calidad hace m ediciones cu idadosas y determ ina q u e la longitud

estadística miden la altura d e su instructor y la registran como 174.0123668 centímetros. L a altura verdadera del

d e la mitad so n m ás largos d e 25 milím etros y la mitad son

M e d ic ió n d e e s ta tu ra s .

m edia d e lo s tom illos es d e 25 milímetros, pero alrededor

instructor e s cercana a 176 centímetros. D escriba la exacti­

m ás pequeños q u e 25 milímetros. Aquí, ¿c o n cu ál tipo de error en la m edición estam os enfrentando? Explique.

tud y la precisión d e la altura registrada Explique. 4.

L o s m edios reportaron q u e la pobla­ ción de E stados U nidos alcan zó la s 3 0 0 m illones a la s 7:46

P o b la c ió n h is tó ric a .

12.

a m . (hora del Este) del 17 d e octubre d e 2006. D escriba la

yoría d e los expertos creen q u e las estadísticas d e su icidios

exactitud y la precisión d e e se tiem po reportado.

son m ás som brías q u e las reportadas. E llas afirm an que num erosos su icid io s s e clasifican co m o accidentes y otras muertes para apiadarse d e l a fam ilia". S i éste e s e l caso,

¿ T ie n e s e n tid o ?

Para lo s ejercicios 5 a l 8 , decida s i e l enun­

ciado tiene sentido (o e s claram ente verdadero) o no tiene sen ­ tido (o claram ente e s falso). E xplique claramente; no todos los enunciados tienen respuestas definitivas, por lo que su exp lica­ ción e s m ás importante q u e la respuesta elegida. 5.

E s p e c ie s d e p e c e s .

Existen 24 6 2 7 esp ecies d e peces en la

Tierra. 6.

¿qu é clase d e error se introduce en lo s d atos de su icid io s y cóm o afecta los valores d e lo s datos? F u e n te s d e e rro r.

torios y también identifique a l m enos una probable fuente de

El error relativo q u e un m icrobiólogo co ­ 13.

E n c u e s ta . Los ingresos an u ales d e 2 0 0 personas encuestad as por teléfono.

14.

D e v o lu c ió n d e im p u e s to s . L os ingresos an u ales d e 200 personas so n obtenidas d e su s devoluciones d e im puestos.

tivo que un astrónom o com ete a l medir una galax ia, y a que las células so n m ás pequeñas q u e la s galax ias. E rro r d e

escan eo.

El adm inistrador d el superm ercado

Jenkins asegu ra q u e lo s errores de escan eo en los artículos com prados so n aleatorias, y casi la mitad de lo s errores son a favor del superm ercado. 8.

Para cada m edición descrita en lo s ejercicios

13 a 20, identifique a l m enos una posible fuente d e errores alea­ errores sistem áticos.

E r r o r re la tiv o .

mete a l medir una célula deb e ser menor q u e e l error rela­

7.

D a to s d e s u ic id a s . Con respecto a la colección d e datos de su icidios, e l New York Tim es A Jm anacsseg^ira, " L a m a­

M illa je e n u n a u to m ó v il. Cuando s e com pra un autom óvil, el m illaje s e reporta com o 22.3655 m illas por galón. P o­

15. P e s o s d e p a s a je ro s .

L a Administración Federal d e A via­

ción pide a la s aerolíneas pesar una muestra d e pasajeros, y e s a s pasajeros fueron pesados con ro pa y equipaje de mano. 16.

M & M . L o s p eso s individuales d e lo s du lces M & M resultan d e co locar cad a du lce en una taza d e papel y luego pesar tomando en cuenta e l p eso d e la taza.

17.

R a d a r d e v e lo c id a d e s .

dem os tener m ucha confianza en e se valor y a q u e e s muy preciso.

C o n c e p to s y a p lic a c io n e s

Las velocidades de autom óviles

las registró un o ficial d e policía, quien utilizó una pistola

www.FreeLibros.org 9.

Un auditor d e im puestos a l revisar n ía devolución d e im puestos busca v arias clases d e proble­

de radar.

A u d it o r d e im p u e s to s .

mas, incluyendo estas d o s: (1) errores com etidos a l intro­ ducir o calcular lo s núm eros en la devolución d e im puestos

18.

P r o d u c to s f a ls if ic a d o s .

E l com isionado d e policía en la

ciudad d e N ueva Y ork estim a e l valor anual d e lo s bienes falsificad os en la ciudad.

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66 19.

M e d ic ió n e n e s ta d ís tic a L a com isionada d e salu d d e C alifor­ nia estim a e l número d e cigarros fum ados en su estado a

la m ejor opción: elegir una d e la s 10 m ediciones a l azar o reportar e l prom edio de la s 10 m ediciones? Explique.

V e n ta s d e c ig a r ro s .

partir d e determinar e l número d e cajetillas vendidas con

c.

b ase en las estam pillas d e im puestos q u e s e ponen en cad a cajetilla. 20.

d.

Un jardin ero m ide la longitud y el ancho d e un cam po de fútbol usando una regla q u e tiene M e d ic ió n d e lo n g itu d .

una longitud d e un pie. E rro re s a b s o lu t o y re la tiv o .

27.

En lo s ejercicios 21 a 24, deter­

cante, q u e e s precisa a la decena d e libra m ás próxima, proporciona e l p eso com o 3 2 5 0 libras, m ientras q u e el Departamento de Transporte d e E stad os U nidos utiliza una

una factura d e la taijeta d e crédito V isa por $ 2 9 9 5 , pero

báscula que e s precisa a l 0.1 d e libra y obtiene un peso de

incluía un cargo de $ 1750 que no era válido.

3 298.2 libras. ¿C u á l m edición e s m ás p re c isa ? ¿C u á l es m ás exacta ? Explique.

22. P e s o d e u n f ile t e .

Un estudiante de uno d e los autores

pesó un filete y determ inó que p esab a 18 on zas, pero el menú decía q u e era de 2 0 onzas. M illa je e n u n a u to m ó v il.

28.

puede leerse a l octav o d e pulgada m ás próxim o y e l resul­ tado q u e se encuentra e s 71 g. C on un nuevo dispositivo

pero la s m ediciones muestran q u e e l m illaje real e s 24 m i­ llas por galón.

láser en e l consultorio m édico q u e proporciona lecturas al 0.05 m ás próxim o d e pulgada, su altura s e determ inó que €571.15 pulgadas. ¿C u ál medición e s m ás p recisa ? ¿C u ál es

L a carta d e una panadería muestra que so n 12 d o n as en una b o lsa , pero e l panadero por s i s ­

2 4 . P iló n e n la p a n a d e ría .

tema pone 13 donas en cad a bolsa.

Su pon ga q u e e l ex presidente G eorge W . B u sh tiene una estatura ex acta de

E x a c titu d y p r e c is ió n e n e s ta tu ra s.

71 pulgadas. S u estatura s e mide con una cinta m étrica que

L a etiqueta en un autom óvil e s ­

tablece q u e s e obtienen 22 m illas por galón en l a carretera,

m ás exacta? Explique.

A veinticinco personas, inclu­

Su pon ga q u e usted pesa 52.55 kilogram os. U na báscula en la clínica d e salud, que

yéndolo a usted, s e le s pide q u e midan la longitud d e una

proporciona m ediciones d e p eso a l m edio d e kilogram o

habitación a l décim o d e m ilím etro m ás cercano. Su pon ga que todos utilizan e l m ism o dispositivo d e medición, que

m ás próxim o, indica su p eso com o 53 kilogram os. Una báscula digital en e l gim n asio q u e proporciona lecturas al

está bien calibrado, tal co m o una cinta métrica.

Q01 kilogram o m ás próxim o, indica su p eso com o 52.88

M in lm iz a c ió n d e e rro re s .

a.

29.

fuentes d e errores. E sto s errores, ¿ so n aleatorios o s i s ­ tem áticos? Explique. b.

exacta? Explique. 30.

m ás próxim o, indica su p eso co m o 5 2 j kilogram os. Una

d e la habitación o reportar e l prom edio d e las 25 m edi­ cion es? Explique.

¿ E l proceso de promediar las 25 m edidas puede ayudar a reducir les errores sistem áticcs? ¿Por qué s í o por qué no?

E l instrumento d e medición para pesar la batería m odelo 2 2 F d e autom óvil e s m uy pre­ M in lm iz a c ió n d e

S u pon ga q u e usted pesa

b áscula digital en e l gim n asio q u e proporciona lecturas al Q01 kilogram o m ás próxim o, indica su p eso com o 51.48

¿qu é e s mejor: reportar su m edición co m o l a longitud

d.

E x a c titu d y p re c is ió n e n p e s o .

52.55 kilogram os. U na b áscu la en la clínica d e salud, que proporciona m ediciones d e p eso a l m edio d e kilogram o

S i quiere minimizar e l efecto d e lo s errores aleatorios en la determ inación d e l a longitud d e la habitación,

c. D escriba p osibles fuentes d e error sistem ático en la m e­ dición de la longitud d e la habitación.

E x a c titu d y p r e c is ió n e n p e s o s .

kilogram os. ¿C u á l m edición e s m ás p re c isá t ¿ C u á l e s m ás

E s muy probable q u e las 25 m ediciones no sean e x a c ­ tamente iguales; a sí que la s m ediciones tendrán algun as

26.

Un nuevo Corvette p esa 3 2 7 3 libras. L a b áscu la del fabri­

E x a c titu d y p r e c is ió n e n el p e s o d e u n C o r v e t t e .

U no d e lo s autores recibió

21. F a c t u r a d e ta rje ta d e c r é d it o .

25.

¿E l proceso de promediar les 10 pesos puede ayudar a re­ ducir lo s errores sistem áticos? ¿P or qué s í o por qué no?

mine lo s valores d e los errores absoluto y relativo.

23.

D escriba cualquier fuente d e p osibles errores sistem áti­ cos en la s 10 mediciones.

kilogram os. ¿C u á l m edición e s m ás p re c isá t ¿ C u á l e s m ás

exacta? Explique. ¿ H e c h o s c re íb le s ?

L os ejercicios 31 a 38 proporcionan enuncia-

cb s d e ‘‘hechos" q u e provienen d e m ediciones estadísticas. Para cada enunciado analice brevemente fuentes p osibles d e error en la medición. Luego, considerando la precisión co n la q u e se efe la medición, analice s i considera q u e e l hecho e s creíble.

e rro re s .

31.

P o b la c ió n . L a población d e E stados U nidos en 1860 fue d e3 1 443 321.

32.

M u e rte s e n v e h íc u lo s d e m o to r .

ciso y e l p eso s e obtiene 10 v e c e s consecutivas. a . N o e s probable q u e las d iez m ediciones sean exactam en­

El año p asad o hubo

www.FreeLibros.org 44 758 muertes en E stad os U nidos debido a accidentes autom ovilísticos.

te iguales; así, las m ediciones tendrán algu n os errores.

¿ L o s errores so n sistem áticos o aleatorios? Explique.

b.

S i quiere minimizar e l efecto d e errores aleatorios en la determinación d el p eso verdadero d e la batería, ¿cu á l es

33.

El año pasado, la población d e China fue d e 1 3 7 2 5 5 7 2 3 6 personas.

P o b la c ió n d e C h in a .

www.fullengineeringbook.net 86 of 495.

2.3 U s o d e p o r c e n t a je s en e s ta d ís tic a

fijar un reloj a l segundo m ás cercano. L u ego com pare la hora d e su reloj con la hora d e lo s relojes d e su s am igos.

El ed ificio T aip ei 101 tiene una altura efe 1671 pies, haciéndolo e l edificio m ás alto del mundo.

34.

E d if ic io m á s a lto .

35.

H Puente d e Entrada a S a n L u is tiene una altura de

Registre los errores con sig n o s positivos para relojes que estén adelantados d e la hora verdadera y con sig n o s n ega­ tivos para los relojes q u e estén atrasad as d e la hora verda­

630.2377599694 pies. 36.

T e lé f o n o s c e lu la r e s .

67

InfoW orld reportó q u e actualm ente

dera. U tilice la s conceptos d e esta sección para describir la

el núm ero d e u su arios d e teléfonos celulares e s d e 2 10 mi­

exactitud d e lo s relojes en su muestra.

llones. 37.

E s tu d ia n te s d e u n iv e rs id a d .

Actualm ente hay 18 0 0 0 000

•^3*- E N L A S N O T I C I A S

estudiantes en universidades en E stad os Unidos. 38.

E s p e c ie s a m e n a z a d a s .

De acuerdo con e l gobierno de Es-

lados U nidos ahora hay 1879 esp ecies d e an im ales y planlas am enazadas o en peligro d e extinción.

4 2 . E rr o re s a le a t o r io s y e rro re s s is te m á tic o s .

dida d e manera estadística (por ejem plo, un reporte (fe población, ingreso prom edio o número de personas

Proyectos para Internet y más allá

sin hogar). Escriba una descripción corta de có m o fue medida la cantidad y describa brevem ente cualesquiera

P a ra en laces ú tiles seleccion e “L in k s fo r Internet P ro je cts” p a ra e l cap ítu lo 2 en ww w.aw.com /bbt. 39.

E l censo d e 2010.

fuentes d e errores, y a sean aleatorios o sistem áticos. En general, ¿con sidera que la m edición reportada fue

V ay a a l sitio web d e la O ficina del

Censo d e E stados U nidos y aprenda acerca de los planes que tuvieron para e l cen so d e 2010. ¿C ó m o y cuándo los

exacta? ¿P o r qué s í o p o rq u é n o? 43.

palabras, describa e l tam año del error en térm inos de error absoluto y error relativo.

2000? D efienda su opinión. U tilice e l sitio web d e la

4 4 . E x a c titu d y p re c is ió n .

Biblioteca del C ongreso d e “T ilom as" para determinar acerca d e la legislación pendiente respecto a la recolección o u so d e los d atos del censo. S i encuentra m ás de un asunto pendiente elija uno para estudiar a profundidad. R esum a la legislación propuesta y analice brevem ente tanto lo s argu ­ mentos a favor co m o lo s argum entos en contra. 41.

E rr o re s e n re lo je s d e p u ls e ra .

Encuentre un

n ía proyección d e presupuesto que salió incorrecto). En

q je e l censo d e 2 0 1 0 será m ás preciso q u e e l censo de

C o n tr o v e r s ia s e n lo s c e n s o s .

E rro re s a b s o lu to s y e rro re s re la tiv o s.

artículo reciente que describa algun os errores en u na m e­ dición, estim ación o número proyectado (por ejem plo,

datos fueron recolectados? ¿E xisten cam bios significati\ o s en e l proceso d e recolección planeado (com parado con el utilizado en 2 0 0 0 )? E n general, ¿p arece m ás probable

40.

Encuentre

u i artículo reciente que d é una cantidad que fu e m e­

Utilice un sitio w eb que

Determine un artículo reciente

q je le provoque d u da acerca d e la exactitud o preci­ sión. Por ejem plo, e l artículo podría reportar una cifra (Dn m ás precisión de la que usted considera q u e está justificada, o podría citar u na cifra q u e se p a q u e e s im­ precisa. E scrib a un resumen d e u na págin a del artículo y explique por qué pone en d u d a su exactitud o preci­ sión (o am bas).

le proporcione la hora local (tal com o w w w.tim e.gov) para

2 .3 U so de porcen tajes en estadística

C

on frecuencia los resultados estadísticos s e indican con porcentajes. Un porcentaje es só lo una form a d e expresar una fracción; la s palabras p o r ciento literalmente significan “dividido entre 100’’. S in em bargo, con frecuencia lo s porcentajes s e utilizan d e m a­

nera m ás sutil. Considere un enunciado que apareció en un artículo de primera plana del N ew

York Tim es. L a ta sa [d e fum adores] en alum nes d e décim o g rad o sa ltó 4 5 p o r ciento, a 18.3 p o r ciento, y la ta sa p a ra alum nes d e octavo g rad o su b ió a 44 p o r ciento, de 10.4 p o r ciento.

www.FreeLibros.org T o d o s lo s porcentajes en este enunciado so n usados correctamente, pero so n m uy co n ­ fusos. Por ejem plo, ¿q u é sign ifica decir “su b ió 44% , a 10.4% “? E n esta sección estudiarem os

algu n os d e lo s u so s su tiles y a b u so s d e lo s porcentajes. A ntes d e iniciar, deb e revisar la s s i ­ guientes reglas b ásicas para la conversión entre fracciones y porcentajes.

www.fullengineeringbook.net 87 of 495.

68

M e d ic ió n e n e s ta d ís tic a

C o n version es entre fraccion es y p orcen tajes Para c o n v e r tir u n p o rc e n ta je a una fr a c c ió n c o m ú n : r e m p la c e e l s í m b o l o % c o n la d i v i ­ s ió n e n t r e

1 0 0 , s i e s n e c e s a r io s im p lif iq u e la f r a c c ió n . E je m p lo :

25% = ^

^

P ara c o n v e r tir un p o rc e n ta je a u n d e c im a l: q u it e e l s ím b o lo % y m u e v a e l p u n t o d e c im a l d o s lu g a r e s h a c ia la iz q u ie r d a ( e s d e c ir , d i v i d a e n t r e

100 ).

25% =

E je m p lo :

0 .2 5

P ara c o n v e r t ir u n d e c im a l a p o rc e n ta je : m u e v a e l p u n t o d e c i m a l d o s lu g a r e s h a c ia la d e r e c h a ( e s t o e s , m u lt ip liq u e p o r

1 0 0 ) y a g r e g u e e l s ím b o lo %. 0 .4 3 =

E je m p lo :

43%

Para c o n v e r tir una f r a c c ió n c o m ú n a u n p o rc e n ta je : p r im e r o c o n v i e r t a

la f r a c c ió n

c o m ú n a u n d e c im a l; lu e g o c o n v i e r t a e l d e c i m a l a u n p o r c e n t a j e .

E je m p lo :

E JE M P L O 1

^ = 0 .2 = 2 0 %

E n c u e s ta e n p e rió d ic o

Un periódico informa q u e 4 4 % d e 1069 personas en cuestadas dijeron q u e e l presidente está haciendo un buen trabajo. ¿C u án tas personas dijeron q u e e l presidente está haciendo un buen trabajo?

S o lu c ió n

El 44% representa la fracción de en cuestados que dijeron q u e e l presidente está

haciendo un buen trabajo. Puesto que "d e " por lo regular indica multiplicación, multipli­ cam os: 4 4 % X 1069 = 0 .4 4 X 1069 = 4 7 0.36 « 4 7 0 .

A lrededor de 470 de las 1069 personas dijeron q u e e l presidente está haciendo un buen tra­ bajo. Observe q u e redondeam os la respuesta a 470 para obtener un número entero d e personas. (El sím bolo « sign ifica "aproxim adam ente igual a ").

U so de p o rcen tajes p a ra d escrib ir cam b io En estadística co n frecuencia lo s porcentajes describen có m o cam bian lo s d atos co n e l tiempo. Com o un ejem plo, su p on ga que la población d e un pueblo fue 1 0 0 0 0 en 1970 y 1 5 0 0 0 en 2000. Podem os expresar e l cam b io en la población d e d o s form as básicas: •

R iesto q u e la población s e elevó en 5 0 0 0 personas (de 1 0 0 0 0 a 15000), decim os q u e el

•

cam b io a b so lu to en la población fue de 5 0 0 0 personas. R iesto que e l aum ento de 5 0 0 0 personas fue 5 0 % d e la población inicial d e 1 0 000, deci­ mos q u e e l c a m b io r e la t iv o en la población fue 50% .

En general, a l calcular un cam bio absoluto o uno relativo siem pre incluye d o s números: un nú­ mero inicial, o v a lo r d e re fe r e n c ia , y un v a lo r n u e v o U na vez q u e identifiquem os e sto s do s

www.FreeLibros.org valores, podem cs calcular e l cam bio absoluto y e l relativo co n las fórm ulas siguientes. Observe que los cam b ios ab solu tos y relativos so n p ositivos s i e l valor nuevo e s m ayor q u e e l valor de referencia y e s negativo s i e l valor n uevo e s menor q u e e l valor d e referencia.

www.fullengineeringbook.net 88 of 495.

2.3 U s o d e p o r c e n t a je s en e s ta d ís tic a

69

C am b io a b so lu to y cam b io relativo E l c a m b io a b s o lu t o d e s c r ib e e l a u m e n t o o d is m in u c ió n r e a l d e u n v a l o r d e r e f e r e n c ia a un v a l o r n u e v o :

c a m b io a b s o lu t o = v a lo r n u e v o — v a l o r d e r e f e r e n c ia E l c a m b io re la tiv o d e s c r ib e e l t a m a ñ o d e l c a m b io a b s o lu t o e n c o m p a r a c ió n c o n e l v a lo r d e r e f e r e n c ia y p u e d e e x p r e s a r s e c o m o u n p o r c e n t a j e : c a m b i o r e l a t iv o = v a lo r n u e v o - v a lo r d e r e f e r e n c ia x TO0% v a lo r d e r e f e r e n c ia

U N

M O M EN TO D E

R F . n , E \ I Ó \ ________________________________

C o m p a r e la s f ó r m u la s p a r a e l c a m b io a b s o lu t o y e l r e la t iv o c o n la s f ó r m u la s p a r a e l e r r o r a b s o lu t o y e l e r r o r r e la t iv o d a d a s e n la s e c c i ó n 2 .2 . D e s c r ib a b r e v e m e n t e la s s e m e j a n z a s q ue o b se rve .

E JE M P L O 2

C r e c i m i e n t o d e la p o b la c i ó n m u n d ia l

L a población mundial en 1950 fue 2 6 0 0 m illones. A l inicio d e 2 0 0 0 había llegado a 6 0 0 0 m i­ llones. D escriba e l cam bio absoluto y e l relativo en la población mundial d e 1950 a 2000. S o lu c ió n

E l valor d e referencia e s la población d e 2 6 0 0 m illones en 1950 y e l valor nuevo

A p r o p d s ito ... De a c u e rd o co n las N aciones Unidas y la O fic in a d e l C e n s o de E sta d os Unidos, se c a lc u la q u e la

es d e 6000 millones en 2000 .

p ob lació n m undial re b a s ó la cifra d e los 6 mil m illo n e s d e habitantes

cam bio absoluto = valor n uevo — valor d e referencia = 6 000 m illones - 2 600 m illones = 3 4 0 0 m illones

a fin ales de 1999, só lo 12 años ctespués d e a lca n za r la de 5 m il m illones. En 2 0 0 6 , la p ob lació n m u nd ial a lc a n zó los 6 m il q u in ie n to s m illones y,

cam bio relativo =

valor n uevo - valor d e referencia — X 100% valor d e referencia

6000 m illones - 2600 millones X 100% = --------- — . 2600 m illones

p robablem ente, a p rin cip io s de 2012 a lca n za rá la d e 7 m il m illones efe personas.

= 130.7% L a población mundial aum entó en 3 4 0 0 millones d e personas o en alrededor d e 131%, de 1950 a 2000.

U so de p o rcen tajes p a ra co m p aracio n es Por lo común, los porcentajes tam bién s e usan para com parar d o s números. E n este caso, los do s núm eros so n e l valor d e referencia y e l valor com parado. •

E l v a lo r d e r e fe r e n c ia es e l número q u e estam os utilizando co m o la base para la com para­ ción.

•

E l v a lo r c o m p a r a d o es e l otro número, que com param os co n e l valor d e referencia.

www.FreeLibros.org Entonces, podem os expresar la diferencia absoluta o la relativa entre e sto s d o s valores con

fórm ulas m uy sim ilares a las d e cam b ios absoluto y relativo. O bserve que la s diferencias a b so ­ luta y relativa so n p ositivas s i e l valor com parado e s m ayor q u e e l valor d e referencia y n ega­ tiva s i e l valor com parado e s menor q u e e l valor d e referencia.

www.fullengineeringbook.net 89 of 495.

70

M e d ic ió n e n e s ta d ís tic a

D iferen cia a b so lu ta y d iferen cia relativa L a d ife re n c ia a b s o lu ta e s la d if e r e n c ia e n t r e e l v a l o r c o m p a r a d o y e l v a l o r d e r e f e r e n ­ c ia : d if e r e n c ia a b s o lu t a = v a l o r c o m p a r a d o - v a l o r d e r e f e r e n c ia L a d ife re n c ia re la tiv a d e s c r ib e e l t a m a ñ o d e la d if e r e n c ia a b s o lu t a e n c o m p a r a c ió n c o n e l v a lo r d e r e f e r e n c ia y e s e x p r e s a d a c o m o u n p o r c e n t a j e :

-

v a l o r c o m p a r a d o - v a l o r d e r e f e r e n c ia d if e r e n c ia r e la t iv a = ¡— : x 100% v a lo r d e r e f e r e n c ia

E JE M P L O 3

A p r o p ó s ito ... N adie sabe to d a s las razon es de la baja e s p e ra n z a d e v id a d e los hom bres rusos, p e ro un fa c to r q u e co n trib u y e seg u ram en te e s el alcoholism o, q u e e s m u ch o más com ún e n R usia q u e e n Estados Unidos.

E s p e r a n z a d e v i d a d e e s t a d o u n id e n s e s y r u s o s

La esperanza d e v id a d e los hom bres estadounidenses e s alrededor d e 75 añ os, mientras q u e la esperanza d e v id a d e lo s hom bres rusos e s alrededor de 59 años. Com pare la esperanza d e vid a de lo s hom bres estadounidenses con la d e lo s hom bres rusos en térm inos ab solu tos y relativos. (Vea la sección 6.4 para un estudio del significado d e esperanza d e vida).

S o lu c ió n Se n os pide com parar la esperanza d e vid a m asculina d e lo s estadounidenses con la esperanza d e vid a m asculina en Rusia, lo cu al sign ifica q u e utilizam os la esperanza d e vida m asculina en R usia co m o e l valor d e referencia y la esperanza d e vida m asculina en E stados Unidos com o e l valor com parado: diferencia ab so lu ta = valor com parado - valor d e referencia = 75 añ o s - 59 años = 16 años diferencia relativa =

valor com parado - valor d e referencia valor d e referencia 75 añ o s - 59 años

X

X

100%

100%

59 años = 27% L a esperanza d e vid a d e hom bres estadounidenses e s 16 añ o s mayor, en térm inos absolutos, y 27% mayor, en térm inos relativas, q u e la esperanza d e vida d e hom bres en Rusia.

D e en co m p aració n co n M ás que Una sutileza a l tratar co n enunciados de porcentaje proviene d e la form a com o están escritos. Considere u na población q u e trip lica e l tam año d e 200 a 600. Existen d o s m aneras equivalen­ tes para indicar este cam bio con porcentaje: •

Con e l u so d e m ás que. la población nueva e s 2 0 0 % m ás que la población original. Aquí estam os buscando e l cam bio relativo en la población:

-

valor nuevo - valor de referencia cambio relativo = — -— x 100% valor de referencia 600 - 200 = ------------- X 100%

www.FreeLibros.org 200

= 200%

www.fullengineeringbook.net 90 of 495.

2.3 U s o d e p o r c e n t a je s en e s ta d ís tic a •

71

U san do de. la nueva población e s 3 0 0 % d e la población original, lo q u e sign ifica q u e es tres v e c e s d e la población original. A quí estam os buscando la razón d e la población nueva a la población original: población n ueva 600 — :-----:------■ = — = 3 .0 0 = 3 0 0 % población original 200

O bserve q u e lo s porcentajes en lo s enunciados “m ás q u e " y “d e " están relacionados por 300% = 100% + 200% . E sto lleva a la relación gen eral siguiente.

D e en •

co m p aració n co n

M ás q u e (o m enos qué)

S i e l v a l o r n u e v o o e l c o m p a r a d o e s P% m á s q u e e l v a lo r d e re fe re n c ia , e n t o n c e s 0 0 0 + P )% d e l v a lo r d e r e f e r e n c ia .

•

S i e l v a l o r n u e v o o e l c o m p a r a d o e s P% m e n o s q u e e l v a lo r d e r e f e r e n c ia , e n t o n c e s e s ( 1 0 0 - P )% c / e / v a lo r d e r e f e r e n c ia .

Por ejem plo, 4 0% m ás q u eel valor d e referencia e s 140% d d valor d e referencia, y 4 0 % m enos

que e l valor d e referencia e s 6 0 % d d valor de referencia. C uando o ig a estadísticas citadas con porcentajes, e s m uy importante escuchar co n cuidado la s palabras clave de y m ás que (o m enos que) y esperem cs q u e e l orador conozca la diferencia.

E JE M P L O 4

P o b l a c i ó n m u n d ia l

En e l ejem plo 2 determ inam os que la población mundial en 2 0 0 0 fue alrededor d e 131% m ás que la población en 1950. Exprese este cam bio con un enunciado “d e".

A p r o p ó s ito ... En la a c tu a lid a d la p oblació n

S o lu c ió n

L a población mundial en 2 0 0 0 fue 131% m ás q u e la población mundial en 1950.

Puesto q u e (100 + 1 3 1 )% = 231% , la población en 2 0 0 0 fue 2 3 1 % d e la población en 1950. E sto sign ifica q u e la población en 2000 fue 2.31 veces la población d e 1950.

m undial e s tá c re c ie n d o en a lre d e d o r d e 75 m illones de personas c a d a año, lo q u e significa q j e e n só lo c u a tro añ os e l m undo aum entará ap ro xim ad am e nte en ta n ta g e n te c o m o to d a la

E JE M P L O 5

¡O fe r ta !

p ob lació n d e Esta d os Unidos.

Un alm acén tiene una venta con “2 5 % d e descuento". ¿C ó m o s e com para un precio d e oferta con un precio original? S o lu c ió n

El “25% d e descuento" sign ifica q u e e l precio de venta e s 2 5 % m enos que e l pre­

cio original, lo cu al sign ifica q u e e s (100 — 2 5 )% = 7 5 % ote/precio original. Por ejem plo, s i el precio original de un artículo fue $ 100, su precio d e venta e s $75.

U N M O M E N T O D E R E F L E X I Ó N ________________________ U n a t ie n d a a n u n c ia “ 1 /3 d e d e s c u e n t o e n t o d a la t ie n d a ! ” . O t r a t ie n d a a n u n c ia " P r e c io s d e v e n t a a s ó lo 1 / 3 d e lo s p r e c i o s o r ig in a le s ! ” ¿ C u á l t ie n d a t ie n e p r e c i o s m á s r e b a j a d o s ? E x p liq u e .

P o rcen tajes de p orcen tajes L o s cam bies d e porcentaje y las diferencias d e porcentajes pueden ser m uy con fu sos cuan­ d o lo s valores m ism os son porcentajes. Su p o n ga q u e su banco aum enta la ta sa d e interés en su

www.FreeLibros.org cuenta de ahorro d e 3 a 4%. U no s e siente tentado a decir que la tasa d e interés aum entó en 1%,

www.fullengineeringbook.net 91 of 495.

72

M e d ic ió n e n e s ta d ís tic a pero en e l m ejor d e lo s c a so s e l enunciado e s am biguo. L a tasa d e interés aum entó en 1 punto

porcentual, pero e l cam bio relativo en la tasa d e interés e s 33% : « o / 39á --------------X 100% = 0 .3 3 X 100% = 33% 3%

Por tanto, puede decir q u e e l banco elev ó su tasa d e interés en 33% , aunque la tasa real a u ­ mentó en só lo 1 punto porcentual (de 3 a 4%).

P u n to s p o rcen tu ale s en co m p aració n con % C u a n d o v e u n c a m b i o o d if e r e n c ia e x p r e s a d o e n p u n to s p o rc e n tu a le s, p u e d e s u p o n e r q j e e s u n c a m b io o d if e r e n c ia a b so lu to . S i s e e x p r e s a c o m o u n p o r c e n t a j e , p r o b a b l e ­ m e n t e e s u n c a m b i o o d if e r e n c ia relativo.

E JE M P L O 6

M arg en de erro r

Con b ase en entrevistas con una muestra d e estudiantes en su escuela, usted concluye q u e el porcentaje d e tod os lo s estudiantes q u e so n vegetarianos qu izás esté entre 2 0 y 30% . ¿D ebe reportar su resultado com o “25% co n un m argen d e error d e 5 % ’’ o com o “25% co n un margen de error d e 5 puntos porcentuales"? Explique. (V ea la sección 1.1 para revisar e l sign ificad o de margen d e error). S o lu c ió n

El ran go d e 2 0 a 3 0 % proviene d e restar y sum ar una diferen cia ab so lu ta de

5 puntos porcentuales a 25% . E sto es,

20% = (25 -

%

y

3 0 % = (25 + 5)%

Por tanto, e l enunciado correcto e s "2 5 % co n un m argen d e error de 5 puntes porcentuales". S i en su lugar usted d ice “2 5 % con un margen d e error d e 5 % " usted deduciría q u e e l error era 5% de 25% , que só lo e s 1.25% .

S i no p u ede con ven cerlos, confún dalos. — Harry S . Truman, ex presidente de Estados Unidos

E JE M P L O 7

C u i d a d o e n la r e d a c c ió n

Su pon ga q u e 4 0 % d e los votantes registrados en la ciudad d e Carson so n republicanos. L ea cuidadosamente la s preguntas siguientes y proporcione las respuestas m ás apropiadas.

a . El porcentaje d e votantes registrad o s com o republicanos e s 2 5 % m ayor en Freetown que en C arson City. ¿Q u é porcentaje de lo s votan tes registrad o s en Freetow n so n repu­ blicanos? b . El porcentaje d e votantes registrados com o republicanos e s 25 puntos porcentuales mayor en Freetown q u e en Carson City. ¿Q u é porcentaje d e los votantes registrados en Freetow n son republicanos? S o lu c ió n a.

Interpretamos “25% " com o una diferencia relativa, y 2 5 % d e 4 0 % e s 10% (ya que 0.25 X 0 .4 0 = 0.10). Por tanto, e l porcentaje de republicanos registrados en Freetown es 40% + 10% = 50% .

www.FreeLibros.org b . En este caso, interpretamos los “25 puntos porcentuales" com o una diferencia absoluta, por lo q u e só lo su m am os este valor a l porcentaje d e republicanos en C arson City. Por tanto, el porcentaje d e republicanos registradas en Freetown e s 4 0 % + 2 5 % = 65% .

www.fullengineeringbook.net 92 of 495.

2.3 U s o d e p o r c e n t a je s en e s ta d ís tic a

A lf a b e t iz a c ió n e s ta d ís tic a y p e n s a m ie n to c r ít ic o 1.

I n te rp re ta c ió n d e p o rc e n ta je .

P rá c tic a c o n p o rc e n ta je s .

Tenga en cuenta la cita del

comienzo de esta sección : “la tasa (de fumar) entre los e s ­

ron inocentes, 58 d e ellas fueron enviadas a prisión (con b ase

tudiantes universitarias p asó d e 45 a 18.3% , y la tasa de estudiantes d e preparatoria p asó del 44 a 10.4% ". E xplique

en información d e “D oes It Pay to Plead G uilty?" de Brereton y C asp e r, L aw an d S o d ety R evíew .vd. 16, número 1).

brevemente e l sign ificad o d e cada uno de lo s porcentajes a.

P o rc e n ta je .

b. ¿Q ué porcentaje d e los crim inales fueron en viados a prisión?

“reduce la p laca en lo s dientes por m ás d e 3 0 0 % ". S i el enjuague dental elim ina toda la placa, ¿q u é porcentaje se

c. Entre los q u e se declararon culpables, ¿cu á l e s e l por­ centaje q u e fue en viado a prisión?

remueve? ¿ E s posible reducir la placa en m ás d e 3 0 0 % ? d.

Una encuesta d e Gallup, donde par­ ticipan 1236 adultos, nos señ ala que 5 % d e ello s cree que P u n to s p o rc e n tu a le s .

s e tiene m ala suerte s i s e rom pe un espejo. E ste porcentaje

4.

12. P rá c tic a c o n p o rc e n ta je s.

determinar s i lanzar o girar una moneda d e un centavo tiene algún efecto sobre la proporción d e caras. En 4 9 4 3 7 en sa­

margen d e error d e 1.2% ?

yes, 2 9 0 1 5 fueron lanzamientos d e la moneda y 1 4 7 0 9 de

D e y m á s q u e . Una encuesta incluye 1400 encuestados.

esas monedas salió cara. L o s o tres 2 0 4 2 2 en sayes incluyeron girar la moneda y 9 1 9 7 d e ellcs salieron en cara (con base en datos d e Robin Lock com o aparece en Chance News).

Para lo s ejercicios 5 a l 8 , decida s i e l enun­

a . ¿Q ué porcentaje d e lo s en say os incluyeron lanzamiento

ciad o tiene sentido (o e s claram ente verdadero) o no tiene sen ­ tido (o claramente e s falso). E xplique claramente; no todos los

de m onedas? b. ¿Q ué porcentaje d e los en say o s incluyeron hacer girar

enunciados tienen respuestas definitivas, por lo que su exp lica­ ción e s m ás importante q u e la respuesta elegida. 5. T e lé f o n o ce lu la r.

las m onedas?

c. Entre la s m onedas q u e fueron lanzadas, ¿cu á l e s e l por­

El porcentaje d e gente con teléfono c e ­

centaje q u e salió cara?

lular aum entó en 1.2 m illones d e personas. d.

E l director general d e Telektron ics tiene un salario anual q u e e s 5 0 % m ayor a l del director financiero, P o rc e n ta je s .

por lo q u e e l salario del director financiero e s 5 0 % menor que e l del director general. 7. T a s a d e in te ré s.

El b an co Jefferson V alley aum entó su

tasa para préstam o d e autom óviles nuevos en 100%. T a s a d e in te ré s.

El b an co Jefferson V alley aum entó su

tasa (anual) para préstam os d e autom óviles nuevos en 100

taje para expresar e l cam bio o la diferencia relativos. U tilice el segundo valor d ad o co m o e l valor d e referencia y exp rese los resultados a l punto porcentual m ás próxim o. A dem ás, escriba un enunciado q u e describa su resultado. 13.

14.

F r a c c io n e s , d e c im a le s y p o rc e n ta je s .

b.

1.50

En la actualidad e l número d e periódicos en

c.

0.25

A u t o m ó v ile s .

Ahora existen 1 3 6 6 5 1 0 0 0 autom óviles par­

ticulares registrados y en 19 8 0 fueron 1 2 1 6 0 1 0 0 0 . Exprese c a d a uno

efe los núm eros siguientes en las tres form as: fracción, d e ­ cim al y porcentaje. 2/5

P e r ió d ic o .

E stados U nidas e s d e 1 4 5 6 , y en 1 9 0 0 fue d e 2 2 2 6 .

C o n c e p to s y a p lic a c io n e s

a.

Entre las m onedas q u e fueron giradas, ¿cu ál e s e l por­ centaje q u e salió c a ra ?

C a m b io re la tiv o . C ada uno d e lo s ejercicics 1 3 a 2 0 propor­ ciona d o s valores. Para cada par de valores utilice un porcen­

puntos porcentuales.

9.

Se llevó a cabo un estudio para

tiene un índice d e error d e 1.2 puntee porcen tu ales. ¿P or q jé e s erróneo afirm ar q u e e l porcentaje e s d e 5 % con un

¿ T ie n e s e n tid o ?

8.

Entre lo s q u e s e declararon inocentes, ¿cu ál e s e l por­ centaje q u e fue en viado a prisión?

¿Cuánto e s 5% d e 1 4 0 0 ? ¿C u ánto e s 5 % d e m ás d e 1 4 0 0 ?

6.

¿Q ué porcentaje d e los crim inales se declararon c u l­ pables?

Un editorial del New York Tim es criticó un

com ercial q u e describe un enjuague bucal com o a lg o que

3.

A l realizar un estudio de las

declaraciones hechas por 1 0 2 8 criminales, 9 5 6 d e ellos se declararon culpables y 3 9 2 d e ellos fueron sentenciados a prisión. Entre los 7 2 criminales restantes, quienes s e declara­

en este com unicado. 2.

73

d.

30%

15. A v io n e s .

Ahora existen 8 2 0 6 avion es com erciales en E s ­

tados U nidos y en 1 9 8 0 fueron 3 8 0 8 . 16. Q u ie b ra s . El añ o pasado hubo 1 7 2 5 3 0 0 quiebras registra­ d as y en e l año 2 0 0 0 s e registraron 1 2 7 6 9 0 0 c a so s d e qu ie­

www.FreeLibros.org 10.

F r a c c io n e s , d e c im a le s y p o rc e n t a je s .

Exprese cad a uno

efe los núm eros siguientes en las tres form as: fracción, d e ­ cim al y porcentaje. a.

225%

b.

0 .3 7 5

c.

1/20

d.

- 0 .1 2

bras.

17. P e r ió d ic o s .

La circulación diaria del W all S treet Jo u rn al

e s alrededor de 1 .7 5 m illones (la m ayor en E stad os Uni­ dos). L a circulación diaria del New York Tim es e s alrede­ dor d e 1 .0 9 m illones (la tercera mayor en E stad os Unidos).

www.fullengineeringbook.net 93 of 495.

74

M e d ic ió n e n e s ta d ís tic a

18. V e n ta d e a u to m ó v ile s .

Eh un año reciente s e vendieron

13 525 autom óviles Chrysler 300C y 45 782 Honda híbridos. 19.

A e ro p u e rto s.

El aeropuerto O 'H are d e C hicago tuvo un

tráfico d e 34 m illones d e pasajeros e l añ o pasado. E l a e ­ ropuerto con m ayor tránsito en e l mundo, e l aeropuerto H artsfleld de Atlanta, d io servicio a 42 m illones de p asaje­

P o rc e n ta je s d e p o rc e n ta je s .

absoluta en términos d e puntos porcentuales, y (2) com o una d i­ ferencia relativa en térm inos d e por ciento. 31.

El porcentaje de alum nos de último año en preparatoria que ingieren alcohol dism inuyó de 68.2% en 1975 a 52.7% ahora.

ros e l añ o pasado. 2 0 . T u ris ta s .

L o s ejercicio s 31 a 34 descri­

ben cam bios en los cu ales la s m edidas m ism as so n porcentajes. Exprese c a d a cam bio d e d o s form as (1) com o una diferencia

Eh un añ o reciente Francia estab a clasificada

32.

nes d e llegad as internacionales. E stad os U nidos estab a en tercero, con 46.1 millones d e llegad as internacionales. E n c u e s ta s . Algunos análisis de resultados de encuestas requieren que usted sep a e l número real d e sujetes cu y as respuestas caen en

una categoría particular. En lo s ejercicios 21 a 24, determ ine el

33.

La tasa d e supervivencia d e cin co años para cau cásico s para todas las form as d e cáncer aum entó d e 39% en la d é ­ cada d e 1960 a 6 1 % en la actualidad.

3 4 . L a tasa d e supervivencia d e cin co añ o s para afroam erica­ nos para tod as las form as d e cáncer aum entó d e 2 7 % en la

número d e encuestados que corresponden a l porcentaje dado. 21. L la m a d a s p e rs o n a le s .

El porcentaje d e población mundial que v iv e en p aíse s en desarrollo dism inuyó d e 27.1% en 1970 a 19.5% ahora.

com o e l destino número uno d e lo s turistas, co n 75.1 m illo­

década de 1960 a 4 8 % en la actualidad.

Eh una encuesta d e 1385 o ficin is­

tas, 4.8 % d ijo que no realizaba llam adas personales. 22.

E rr o re s e n e n tre v is ta s .

47% d ijo que la m ayoría de los errores en entrevistas com u ­ nes e s tener poco o nulo conocim iento de la compañía. 23. T e le v is o r e s .

Proyectos para Internet y más allá

En una encuesta de 150 ejecutivos,

En una encuesta d e Frank. N. M agid A sso ­

P a ra en laces ú tiles seleccion e “L ín ks fo r Internet P ro je c ts” p a ra e l cap ítu lo 2 en w w w .aw .com /bbt. 35.

ciates a 1005 adultos, 83% reportó q u e tenían m ás d e un televisor en casa.

la Oficina del C en so d e E stados U nidos. D escriba e l cam ­

2 4 . T e lé f o n o s c e lu la re s .

bio porcentual en la población d e sd e q u e la m arca de 6 mil millones s e p asó durante 1999. A dem ás, determ ine cóm o

Eh una encuesta de Frank N. M agid

A sso ciates a 1109 consum idores m ayores a 11 añ o s de edad, 81% reportó tener al m enes un teléfono celular en su hogar.

De

e n c o m p a r a c ió n c o n

S i un cam ión pesa 40% m ás que un automóvil, en ­ tonces e l p eso del cam ión e s % del peso del automóvil.

25. P e s o s .

Á re a s .

la estim ación d el reloj de población se hizo y analice la s incertidumbres en la estim ación d e la población mundial.

m ás q u e. En lo s ejercicio s del 25 al

28, rellene lo s espacios en blanco. E n cad a c a so explique breve­ mente su razonamiento.

26.

Determine la estim ación actual d e la población mundial en e l reloj de población mundial de

P o b la c ió n m u n d ia l.

S i e l área d e N oruega e s 2 4 % m ayor q u e e l área de

Colorado, entonces e l área d e N oruega e s d e Colorado.

% del área

36.

E s ta d ís tic a s d e u s o d e s u s ta n c ia s .

V ay a a l sitio web para

e l Centro N acional so b re la A dicción y A buso d e Su stan ­ cias (C A SA , por su s sig la s en inglés) y encuentre un re­ porte reciente q u e proporcione estadísticas so b re abuso de sustancias. Escriba un resumen d e una página de la nueva investigación, dan do a l m enos algun a d e la s conclusiones en términos de porcentaje.

S i la población d e M ontana e s 2 0 % menor que la población d e New Hampshire, entonces la población de

27. P o b la c ió n .

Montana e s 28.

E l salario actual d e J a y Leño e s 18% menor q u e el salario d e D avid Letterman, a sí q u e e l salario d e J a y Leño

EN L A S N O T IC IA S ^

S a la rio .

es 29.

% d e la población d e N ew Hampshire.

% del salario d e D avid Letterman.

M a rg e n d e e rro r.

Una encuesta d e Gallup a 1012 adultos

m ostró que 8 9 % d e lo s estadounidenses dicen q u e la clon a­ ción humana no deb e permitirse. E l m argen d e error fue de 3 puntos porcentuales. ¿Im portaría s i un periódico reportó el m argen d e error com o 3 % ? Explique.

Ehcuentre tres artículos recientes en los q u e s e utilicen porcentajes para describir resultados

37. P o rc e n ta je s .

estadísticos. En cad a caso describa e l significado del porcentaje. 38. C a m b io p o rc e n tu a l.

Encuentre un artículo reciente en

e l q u e s e utilicen porcentajes para expresar e l cam bio en un resultado estadístico d e un instante a otro (tal

www.FreeLibros.org 30.

Una encuesta del Centro d e Investiga­

co m o un aum ento en la población o en e l núm ero de

ción Pew a 3 0 0 2 adultos m ostró q u e e l porcentaje q u e e s ­

niños q u e fum an). D escriba e l significado del cam bio. A segúrese de observar la s palabras clav e tal co m o de o

M a rg e n d e e rro r.

cuchaba National Public R adio probablem ente está entre 14 y 18%. ¿C ó m o deb e reportar e l m argen d e error un pe­

m ás que.

riódico? Explique.

www.fullengineeringbook.net 94 of 495.

2.4 N ú m e r o s ín d ic e

75

2 .4 N ú m eros índice

S

i usted escu ch a e l reporte econ óm ico nocturno, qu izá haya escuchado acerca de r o s ín dices, tal co m o e l índice d e precios a l consum idor, e l índice de precios a l produc­

tor o e l índice d e confian za d el consum idor. L o s núm eros índice so n m uy com un es en estadística, y a q u e proporcionan una m anera sen cilla d e com parar m edidas realizadas en d ife ­ rentes tiem pcs o en distintos lugares. En esta sección investigarem os e l sign ificad o y u so d e los números índice, centrándonos en e l índice d e precios a l consum idor (IP Q . Iniciam os con un ejem plo q u e utiliza precios d e gasolina. L a tabla 2.1 muestra e l precio prom edio d e la gaso lin a en E stad os U nidos para añ o s s e ­ leccionados d e 1955 a 2005. (Son precios reales d e e s o s añ os; e s decir, no se han aju stado a la inflación). Su p o n ga que, en lugar d e los precios m ism os, querem os conocer có m o s e com para e l precio d e la gaso lin a en añ o s diferentes co n e l precio d e 1975. U na m anera d e com parar los precios sería expresar e l precio d e cad a año, com o un porcentaje del precio de 1975. Por ejem ­ plo, a l dividir e l precio d e 1965 entre e l precio d e 1975, encontram os que e l precio d e 1965 fue 55.0% del precio d e 1975: precio d e 1965

31.2C

precio d e 1975

56.7C

= 0 .5 5 0 = 55.0%

A l proceder de m anera sim ilar para cad a uno d e los otros añ os, podem os calcular tod os los precies com o porcentajes del precio d e 1975. L a tercera colum na d e la tabla 2.1 muestra lo s resultados. O bserve q u e e l porcentaje para 1975 e s 100%, y a q u e elegim os e l precio de 1975 co m o e l valor de referencia. T a b la 2.1

P r e c io p ro m e d io d e g a s o lin a ( p o r g a ló n ) P r e c io c o m o p o rc e n ta je

P r e c io ín d ic e

A p r o p ó sito ...

0 9 7 5 = 100)

Los p re cio s e n la ta b la 2.1 son

Año

P re c io

d el p re c io d e 1975

1955

29.1*

51.3%

51.3

1965

31.2$

5 5 .0 %

5 5 .0

1975

5 6 .7 $

1 0 0 .0 %

1 0 0 .0

1985

119.6$

2 1 0 .9 %

2 1 0 .9

un p ico m u y breve, d e $3.13 por

1995

1 2 0 .5 $

212.5%

212.5

galón, a co n s e cu e n c ia d e l huracán

2000

1 5 5 .0 $

2 7 3 .4 %

2 7 3 .4

Katrina.

2005

2 3 1 .0 $

4 0 7 .4 %

4 0 7 .4

R/ente: Departam ento d e E n erg ía d e E sta d o s Unidos.

p ro m e d io d e to d o un a ñ o que no m u estran c u á n to va ria ro n los precios. P o r e jem plo , duran te 2 0 0 5 los p re cio s d e la g aso lin a tu v ie ro n

n v ío b iT

A hora v e a la últim a colum na d e la tabla 2.1. E s idéntica a la tercera colum na, sa lv o que hem os quitado lo s sig n o s % . E ste cam b io sencillo convierte a lo s núm eros d e porcentajes a un

p recio índice, q u e e s un tip o d e número índice. E l enunciado " 1975 = 1 0 0 ” en e l encabezado de la columna muestra q u e e l valor d e referencia e s e l precio d e 1975. En este caso , en reali­ dad no existe diferencia entre indicar las com paraciones com o porcentajes y com o números índice, e s cuestión d e elección y conveniencia. S in em bargo, co m o verem os dentro de poco, es tradicional utilizar núm eros índice en lugar d e porcentajes en c a so s donde m uchos factores se consideran d e m anera simultánea.

N ú m ero s ín d ice U n n ú m e ro ín d ic e p r o p o r c io n a u n a m a n e r a s e n c illa d e c o m p a r a r m e d ic io n e s r e a liz a d a s e n t ie m p o s d if e r e n t e s o e n lu g a r e s d if e r e n t e s . E l v a l o r e n u n t i e m p o p a r t ic u la r ( o lu g a r )

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valor d e referen cia

(o

valor b a se ).

E l n ú m e r o ín d ic e p a r a c u a l­

q u ie r o t r o t ie m p o ( o lu g a r ) e s

n ú m e ro ín d ic e

- — ;— . Val° / ------— x 100 v a lo r d e r e f e r e n c ia

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76

M e d ic ió n e n e s ta d ís tic a

E JE M P L O 1

A p r o p ó s ito ...

D e t e r m i n a c i ó n d e u n n ú m e r o ín d ic e

Suponga q u e e l costo de la gasolin a e l d ía d e hoy e s $3.20 por galón. C on e l precio d e 1975 com o valor d e referencia, determ ine e l número índice para la gaso lin a hoy.

El té rm in o índice p o r lo co m ú n se u tiliza para casi c u a lq u ie r clase

S o lu c ió n

efe nú m ero s q u e p rop o rcio na

galón en 1975. S i utilizam es e l precio d e 1975 co m o e l valor d e referencia y e l precio actual es $3.20, e l núm ero índice para la gaso lin a hoy es

una c o m p a ra c ió n útil, aunq u e los

L a tabla 2.1 m uestra q u e e l precio d e l a gaso lin a fue 56.7 centavos o $0.567 por

núm eros n o s o n nú m eros índice estándar. P o r ejem plo, e l índ ice de

precio actual $3.20 número índice = --------- , X 100 = —— — X 100 = 564.4 precio d e 1975 $0.567

m asa co rp o ra l (IMC) p ro p o rcio n a una m an era d e c o m p a ra r g ente por su p e s o y s u estatura, p ero está d e fin id o sin ningún v a lo r de re fe re n c ia En e s p e c ífic o , e l índice

Este número índice para e l precio actual e s 564.4. E sto sign ifica q u e e l precio d e la gaso lin a

d e m asa co rp o ra l se d e fin e c o m o

actual e s $ 564.4% del precio d e 1975.

el p e s o (en kilo g ra m os) d iv id id o en tre e l cu a d ra d o d e la e statu ra (en m etros).

M O M E N T O D E R E F L E X I Ó N ________________________ D e t e r m in e e l p r e c io r e a l d e la g a s o lin a h o y e n u n a g a s o lin e r ía c e r c a n a . ¿ C u á l e s e l p r e c io ín d ic e p a r a e l p r e c i o a c t u a l c o n e l p r e c i o d e 1 9 7 5 c o m o e l v a l o r d e r e f e r e n c ia ?

C o m p aracio n e s co n n ú m ero s ín d ice El propósito principal d e lo s núm eros índice e s facilitar la s com paraciones. Por ejem plo, su ­ ponga que querem os saber cuánto fue m ás cara la gaso lin a en 2 0 0 0 q u e en 1975. Con facilidad podem os obtener la respuesta d e la tabla 2.1, q u e utiliza e l precio d e 1975 co m o e l valor de referencia. E sta tab la muestra q u e e l precio índice para 2 0 0 0 fue 273.4, lo q u e sign ifica q u e el precio de la gaso lin a en 2000 fue 273.4% del precio d e 1975. D e manera equivalente, podem os

U n estu d io d e econ om ía p o r ¡o re g u la r m u estra que e l m ejo r m om ento p a ra com prar cu alq u ier c o sa e s e l añ o p asad o .

decir q u e e l precio d e 2000 fue 2.734 v e c e s e l precio d e 1975. Tam bién podem os hacer com paraciones cuando no existe ningún valor d e referencia. Por ejem plo, su p on ga q u e querem os conocer cuánto e s m ás cara la gaso lin a en 1995 q u e en 1965. D eterm inam os la respuesta dividiendo lo s núm eros índice para lo s d o s años: número índice para 1995 -----------------------------

— Marty Alien

número índice para 1965

212.5 — -— 3 .8 6

55.0

El precio d e 1995 fu e 3.86 v e c e s e l precio d e 1965, o 3 8 6 % del precio d e 1965. E n otras pala­ bras, la m ism a cantidad d e gaso lin a q u e cuesta $ 1 .0 0 en 1965 tendría un co sto d e d e $3.86 en 1995.

E JE M P L O 2

U s o d e l ín d ic e d e p r e c io d e g a s o l in a

U tilice la tabla 2.1 para responder la s preguntas siguientes. a . Suponga que en 1975 co stó $7.00 llenar su tanque d e gasolin a. ¿C u ánto costaría com prar la mism a cantidad de gaso lin a en 2 0 0 5 ?

b.

Suponga q u e en 1995 co stó $ 2 0.00 llenar su tanque d e gasolin a. ¿C u ánto costaría comprar la m ism a cantidad de gaso lin a en 1955?

S o lu c ió n a . L a tabla 2.1 muestra q u e e l precio índice (1975 = 100) para 2005 fue 407.4, lo cu al sign i­ fica q u e e l precio d e la gaso lin a en 2005 fu e 4 0 7 .4 % del precio de 1975. A sí q u e e l precio

www.FreeLibros.org efe gaso lin a que costó $7.00 en 1975 fue

407.4% X $ 7 .0 0 = 4.074 X $ 7 .0 0 = $28.52

www.fullengineeringbook.net 96 of 495.

2.4 N ú m e r o s ín d ic e

77

b . L a tabla 2.1 muestra que e l precio índice (1975 = 100) para 1995 fue 212.5 y e l índice para 1955 fue 51.3. A sí e l costo d e la gaso lin a en 1955 com parada co n e l co sto en 1995 fue 51.3 — — 0.2414 212.5 -

número índice para 1955 ---------------------número índice para 1995

L a gaso lin a q u e cuesta $ 2 0.00 en 1995 cuesta 0 .2414 X $ 2 0 .0 0 « $4.83 en 1955.

E l ín d ice de precios al co n su m id o r H em os visto q u e e l precio d e la gaso lin a s e elevó d e manera sustancial co n e l tiem po. L a m a­ yoría de otro s precios y sa la rio s tam bién s e elevaron, un fenóm eno que llam am os fc if la r ió n (L os precios y salarios d e manera ocasio n al dism inuyen co n e l tiempo, lo cu al e s deflación ). Por tanto, le s cam bios en e l precio real de la gaso lin a no so n m uy sign ificativos a m enos que lo s com parem os con la tasa glo b al de inflación, q u e s e mide m ediante e l f c id k e d e p r e c io s a l c o n s u m id o r ( I P C )

E l índice d e precios a l consum idor s e calcula y reporta mensualmente por la O ficin a de E stadísticas del T rab ajo d e E stad as U nidos. Representa un prom edio d e precios para una m ues­ tra d e bienes, servicios y vivienda. L a muestra m ensual consiste en m ás d e 6 0 0 0 0 artículos. L o s detalles d e la recolección d e d atos y e l cálcu lo del índice so n bastante com plejos, pero el IP C m ism o e s un número índice sim ple. L a tabla 2.2 muestra e l IPC anual prom edio durante un periodo d e 3 0 años. En nuestros d ía s e l valor de referencia para e l IPC e s un prom edio de precies durante e l periodo 1982-1984, por lo cu al la tabla d ice “ 1982-1984 = 1 0 0 ”.

E l ín d ice d e p re c io s al co n su m id or E l í n d i c e d e p r e c io s a l c o n s u m id o r ( I P C ) , q u e s e c a lc u la y r e p o r t a m e n s u a lm e n t e , t ie n e c o m o b a s e u n a m u e s tra d e l c o s to d e m á s d e

T a b la 2 .2

6 0 O O O b ie n e s , s e r v ic io s y v iv ie n d a .

ín d ic e d e p r e c io s a l c o n s u m id o r anual p r o m e d io (1 9 8 2 -1 9 8 4 = 10 0)

Año 1977

IP C 6 0 .6

Año

IP C

Año

1987

113.6

19 9 7

IP C 1 6 0 .5

N O TA TÉC N IC A El g o b ie rn o m ide dos ín d ices de p recios al co nsu m ido r. El IPC-U co n base e n p ro d u c to s q u e reflejan

1978

6 5 .2

1988

118.3

1998

1 6 3 .0

1979

7 2 .6

1989

1 2 4 .0

1999

1 6 6 .6

1980

8 2 .4

1990

1 3 0 .7

2000

172.2

q j e e l IP C -W tie n e c o m o base los

1981

9 0 .9

1991

1 3 6 .2

2001

177.1

há b itos d e c o m p ra d e únicam ente

1982

9 6 .5

1992

140.3

2002

179.9

los asalariados. (La ta b la 2.2

1983

9 9 .6

1993

1 4 4 .5

2003

1 8 4 .0

n u e s tra e l IPC-U).

1984

1 0 3 .9

1994

148.2

2004

188.9

1985

1 0 7 .6

1995

152.4

2005

195.3

1986

1 0 9 .6

1996

1 5 6 .9

2006

2 0 1 .6

los hábitos de c o m p ra d e to d o s los co n su m id o res urbanos, mientras

E l IPC n o s permite com parar precios en tiem pos diferentes. Por ejem plo, para deter­ minar cuánto fueron m ayores los precios en 2005 q u e en 1995, dividim os e l IPC para lo s d o s años:

www.FreeLibros.org P C para 2005

195.3

P C para 1995 ~

152.4 ~

'

www.fullengineeringbook.net 97 of 495.

78

M e d ic ió n e n e s ta d ís tic a Con b ase en e l IPC, lo s precios tiplees en 2005 fueron 1.28 v e c e s los d e 1995. Por ejem plo, un artículo com ún q u e en 1995 co stó $1000, en prom edio, tendría un co sto $1280 en 2005. Por supuesto, lo s artículos individuales pueden tener cam b ios en e l precio q u e so n diferentes del promedio. Por ejem plo, lo s precios d e las com putadoras para potencia de cóm puto equivalente cayeron significativam ente d e 1995 a 2005, lo q u e sign ifica que podría com prar una com pu­ tadora mucho m ás poderosa en 2005 por e l m ism o o m enes dinero. En contraste, e l precio pro­ m edio del segu ro d e salu d fue m ás del do b le en e l m ism o periodo, por lo q u e decim os q u e los precios del seguro so cial s e elevaron mucho m ás rápido q u e la tasa d e inflación general.

E JE M P L O 3

C a m b io s en e l I P C

Su pon ga q u e necesitó $ 3 0 0 0 0 para mantener un estándar d e v id a particular en 2000. ¿Cuánto habría necesitado en 2006 para mantener e l m ism o estándar d e v id a ? Su p o n ga q u e e l precio promedio d e su s com pras com un es se elevó a la m ism a tasa q u e e l índice d e precios a l co n su ­ midor (IPC ). S o lu c ió n

C om param os los IPC para 2006 y 2000: IPC para 2006

201.6

IPC para 2 0 0 0 ”

172.2 ~~ '

Esto es, lo s precios com unes en 2006 fueron alrededor d e 1.17 v e c e s lo s d e 2000. A sí, s i usted necesitó $ 3 0 0 0 0 en 2000, habría necesitado 1.17 X $ 3 0 0 0 0 = $35 100 para tener e l m ism o estándar de v id a en 2006.

A p r o p ó s ito ... Los salario s d e atletas

A ju ste de p recio s p o r la inflación A m ediados d e 2000 los precios d e la gaso lin a subieron de manera repentina, alcanzando un

p rofesion ales alg un a v e z se

pico d e alrededor d e $1.87 por galón. A unque podría parecer barato para los estándares d e hoy,

m an tu vieron bajos y a q u e a los

en e se momento ca u só indignación entre los consum idores cu ando la s noticias los pregonaron cóm o “los precios m ás altos d e gaso lin a en la historia".

jugadores n o s e les p erm itía c fre c e r sus h a b ilid ad es e n el m e rca d o lib re ("ag en cia lib re” ).

E n térm inos d e precios reales (com o s e indican en la bom ba) e l precio d e $ 1.87 por galón

ju g ad o r e s tre lla d e l b éisb ol C u rt

hace añ ico s e l récord alto anterior d e $ 1.47 de 1981. Pero, ¿ lo s precios d e la g a so lin a realm ente fueron un récord alto ? S i querem os com parar los precios d e m anera ju sta , deb em os tom ar en

F lo o d p rese n tó una dem and a

cuenta los efectos d e la inflación. Para hacer eso , primero deb em os sab er có m o cam biaron lo s

co n tra la L ig a M a y o r d e B éisb ol

precios com un es entre 1981 y 2000, lo cu al podem os hacer dividiendo los IPC para e s o s años, usando d atos d e la tabla 2.2:

E so c a m b ió d e s p u é s q u e el

en 1970. E n últim a instancia, Floo d p e rd ió c u a n d o la Su p rem a C o rte fa lló e n fa v o r d e l b éisb ol e n 1972,

IPC para 2 0 0 0 _

172.2 _ ^ gg

p ero e l p ro c e s o q u e é l p u so en

IPC para 1981

90.9

m o v im ie n to (h acia la a g e n c ia libre) fue im parable.

Puesto q u e e l IPC s e elevó en un factor d e 1.89, e l precio de la gaso lin a en 1981 d e $ 1.47 fue equivalente a un precio de $1.47 X 1.89 = $2.78. En e l lenguaje de econom ía, decim os que $1.47 en "dólares de 1 9 8 1 ” fue equivalente a $2.78 en “dólares de 2 0 0 0 ”. Puesto q u e e l precio real d e la gasolin a en 2 0 0 0 fue m ucho menor q u e $2.78, e l precio d e 2 0 0 0 no fue tan alto com o el precio d e 1981 en “térm inos re ale s”, significando precios aju stados por la inflación. L a fi­ gura 2.3 muestra m ás d e 50 añ o s d e d atos d e precios anu ales para precios reales d e la gaso lin a y lo s precios ajustados a dó lares d e 2006. O bserve que, en térm inos reales, e l precio prom edio anual de 1981 perm aneció com o e l récord hasta 2006.

E JE M P L O 4

S a l a r i o s e n e l b é is b o l

Eh 1987 e l salario m edio para los ju gad o res en la L iga M ayor d e B éisb ol fue $ 4 1 2 0 0 0 . En

www.FreeLibros.org 2006, fue $ 2 8 6 7 000. Com pare e l incremento en lo s salarios m edio d e béisbol a la tasa general de inflación m edida por e l IPC.

www.fullengineeringbook.net 98 of 495.

2.4 N ú m e r o s ín d ic e

79

C o sto d e g e o fin a

Año F ig u ra 2 .3

P r e c io s d e g a s o lin a ( p r o m e d io a n u a l) , 1 9 5 0 - 2 0 0 6 . O b s e r v e

q u e , c o m o u t iliz a m o s d ó la r e s d e

2 0 0 6 p a r a lo s p r e c io s a j u s t a d o s p o r 2006.

la in f la c ió n , lo s p r e c i o s r e a le s y a j u s t a d o s s o n lo s m is m o s p a r a

fíjente: A m erican P etroleum Instilute.

S o lu c ió n

Primero com param os los índices d e precios a l consum idor para 2006 y 1987:

1PC para 2006 _ 201.6 _ P C para 1987 ”

113.6 ~

'

Ahora com param os los salarios prom edio para e s o s d o s años:

salario prom edio de béisbol para 2006 _ $ 2 8 6 7 0 0 0 _ g g g salario prom edio de béisbol para 1987

$4 1 2 0 0 0

Durante e l m ism o periodo q u e los precios prom edio (m edidos mediante e l IP Q s e elevaron a l­ rededor d e 77% , e l salario m edio de béisb ol s e elev ó c a si 600% . E n otras palabras, lo s salarios de los ju gad o res de la L iga M ayor de Béisbol s e elevaron c a si 600/77 « 8 veces la tasa glo b al de la inflación.

A p r o p ó s ito ...

O tro s n ú m ero s ín d ice

¿P ien sa c o n v e rtirse en

E l índice d e precios a l consum idor e s só lo uno d e m uchos núm eros índice q u e verá en los reportes d e noticias. A lgunos tam bién so n índices d e precios, tal com o e l índice de precios al

c o m e d ia n te ? E nton ces

productor (IPP), e l cu al m ide lo s precios q u e lo s productores (fabricantes) pagan por lo s bienes que com pran (en lugar de lo s precios q u e e l consum idor p aga). O tros índices intentan medir

el ín d ic e d e c o s to d e la risa ( En

variables m ás cualitativas. Por ejem plo, e l índice d e confianza del consum idor tiene com o base una encuesta diseñada para medir actitudes de lo s consum idores de m odo que la s em presas puedan calcular s i la gente g a sta o ahorra. N uevos índices s e crean con frecuencia por grupos

p rob ab lem ente n e cesitará v e rific a r realid ad e x iste uno!), q u e sigue la tra y e c to ria d e los co s to s de artícu lo s ta le s c o m o p ollos

www.FreeLibros.org tratando d e proporcionar com paraciones sim ples.

www.fullengineeringbook.net 99 of 495.

efe hule, an teojos d e G ro u c h o

Marx y la ad m isió n a clu b e s de hum orism o.

80

M e d ic ió n e n e s ta d ís tic a

Sección 2 .4 Ejercicios A lf a b e t iz a c ió n e s ta d ís tic a y p e n s a m ie n to c r ít ic o 1.

N ú m e ro ín d ic e .

11. U s o d e l ín d ic e d e p r e c io s d e g a s o lin a .

de llenar e l m ism o tanque en 2 0 0 0 ?

Un periódico reporta q u e e l índice del

precio del g a s en 2007 fue $2.27 por g a l ó a ¿Q u é e s inco­

12.

N ú m e ro ín d ic e .

S i lo s costos d e una com putadora en el

zarse com o la b ase para la determ inación d e lo s números índice, y e l número índice para e l añ o 2005 e s 20, ¿qu é

utilice e l índice d e precios a l consum idor d e la tabla 2.2. 13.

IPC .

C o sto

d e u n iv e rs id a d e s p r iv a d a s .

El co sto anual pro­

medio (matrícula, cuotas, alojam iento y com ida) en una universidad privada para cuatro añ o s s e elevó d e $ 5 9 0 0 en 1980 a $ 2 7 5 1 6 en 2004. C alcu le e l porcentaje de aum ento

IPC . S i lo s precios d e lo s bienes, servicios y vivien da a u ­ mentan, ¿ e l IPC debe aum entar? Explique.

en e l co sto de 1980 a 2004 y com párelo a la tasa general de inflación m edida mediante e l IPC.

S i e l IPC aum enta, ¿ lo s salarios tam bién deben a u ­ 14.

mentar? Explique.

d e u n iv e rs id a d e s p ú b lic a s . El co sto anual pro­ medio (matrícula, cuotas, alojam iento y com ida) en una

C o sto

universidad pública para cuatro añ o s s e elevó d e $2 4 9 0 en

C o n c e p to s y a p lic a c io n e s

1980 a $113 5 4 en 2004. C alcule e l porcentaje de aum ento en e l co sto de 1980 a 2004 y com párelo a la tasa general de

En lo s ejercicios del 5 a l 8 , uti­ lice e l índice de precios d e gaso lin a d e la tabla 2.1. Explique ín d ic e d e p r e c io s d e g a s o lin a .

brevemente su razonamiento en c a d a caso. 5.

En lo s ejercicios 13 a l 16,

ín d ic e d e p r e c io s al c o n s u m id o r .

com parados co n lo s costes d e una com putadora en 2 0 0 0 ?

4.

S i co stó $23.25

año 2 0 0 0 s e fijan iguales a 100 d e m odo q u e puedan utili­

sab em o s acerca d e lo s co sto s d e una com putadora en 2005

3.

U s o d e l ín d ic e d e p r e c io s d e g a s o lin a .

llenar su tanque d e gaso lin a en 2000, ¿cuán to sería e l costo de llenar e l m ism o tanque en 2 0 0 5 ?

rrecto en e se enunciado? 2.

S i co stó $16.74

llenar su tanque d e gaso lin a en 1985, ¿cuán to sería e l co sto

inflación m edida mediante e l IPC.

Su pon ga q u e e l co sto d e la gaso lin a hoy

E l precio típico (m edio) de una casa nueva unifam iliar en la parte su r d e E stad os Uni-

es $3.25 por g a l ó a ¿C u á l e s e l número índice para e l pre­

cb s s e elevó d e $ 7 5 3 0 0 en 1990 a $ 1 5 5 5 0 0 en 2004.

cio d e la gaso lin a hoy, tom ando e l precio d e 1975 co m o el valor de referencia?

Calcule e l porcentaje d e aum ento en e l co sto d e una casa de 1990 a 2004 y com párelo co n la tasa general d e inflación

D a to s a c tu a le s .

15.

P r e c io s d e c a s a s e n el s u r.

medida con e l índice d e precios a l consumidor. 6.

ín d ic e 2 0 0 6 .

El precio prom edio d e un galón d e gasolin a

en 2006 fue $2.62. ¿C u á l e s e l número índice precio para la gasolin a en 2006, co n e l precio d e 1975 co m o e l valor de

P r e c io d e 1 998.

Tom ando e l precio d e 1975 co m o e l valor

d e referencia, e l número índice precio de la gaso lin a para 1998 e s 197.5. ¿C u á l fue e l co sto d e un galón d e gasolin a en 1998? 8.

9.

El precio típico (medio)

P r e c io s d e c a sa s e n el o e s te .

de una c a sa nueva unifamiliar en la parte oeste de E stados Unidos s e elevó d e $ 1 2 9 6 0 0 en 1990 a $ 2 4 1 3 0 0 en 2004. Calcule e l porcentaje d e aum ento en e l co sto d e una casa de

referencia? 7.

16.

P r e c io 1978. C on e l precio d e 1975 com o e l valor d e re­ ferencia, e l índice d e precios d e la gaso lin a para 1978 es

1990 a 2004 y com párelo co n la tasa general d e inflación medida con e l índice d e precios a l consumidor. L o s agen tes inm obiliarios uti­ lizan un índice para com parar los precios d e c a sas en las ciuda­ ín d ic e d e p r e c io s d e v iv ie n d a .

d es principales en todo e l país. L o s núm eros índices para varias ciudades s e dan en la tabla siguiente. S i conoce e l precio d e una

114.6. ¿C u á l fue e l co sto de un galón d e gaso lin a en 1978?

o s a particular en su ciudad, puede utilizar e l índice para deter­

Iden­ tifique lo s siete núm eros índice de lo s precies en la tabla

minar e l precio de una casa com parable en otra ciudad:

R e c o n s t ru c c ió n d e l ín d ic e d e p re c io s d e g a s o lin a .

2.1 q u e resultarían de usar e l precio d e 1965 co m o e l valor de referencia. (Sugerencia: cree una colum na para e l precio com o un porcentaje del precio de 1965 y otra colum na que

precio (otra ciudad)

_

precio (su ciudad)

x

índice en otra ciudad índice en su ciudad

Utilice e l índice de precios d e viviendas en lo s ejercicios 17 a l 20.

proporcione e l precio índice co n 1965 = 100). C iu d a d 10.

R e c o n s t ru c c ió n d e l ín d ic e d e p re c io s d e g a s o lin a .

ín d ic e

C iu d a d

ín d ic e

Iden­

tifique lo s siete núm eros índice de lo s precies en la tabla

D enver

100

B o sto n

358

www.FreeLibros.org 2.1 q u e resultarían de usar e l precio de 2000 com o e l valor de referencia. (Sugerencia: cree una colum na para e l precio

M ia m i

194

P h o e n ix

86

D a lla s

com o un porcentaje del precio de 2 0 0 0 y otra colum na que

A t la n t a

90

Cheyenne

proporcione e l precio índice co n 2 0 0 0 = 100).

B a lt im o r e

150

www.fullengineeringbook.net 100 of 495.

Las Vegas

S a n F r a n c is c o

101

81

60

382

2.4 N ú m e r o s ín d ic e 17.

Para una casa valuada en $300 000 en Denver, determine e l precio d e una c a sa equivalente en

P r e c io s d e v iv ie n d a s .

24.

P r e c io s d e v iv ie n d a s .

de cerca d e este reporte e s e l índice d e desarrollo humano

Para una casa valuada en $ 5 0 0 0 0 0

(IDH), q u e m ide los logros generales en un país en tres dim ensiones b ásicas d e desarrollo humano: esperanza de

en Boston, determ ine e l precio de una casa equivalente en Baltim ore y en Phoenix. 19.

P r e c io s d e v iv ie n d a s .

vida, logros en educación e ingreso ajustado. Encuentre la copia m ás reciente d e este reporte e investigue exactam ente

Para una c a sa valuada en $250 000

cóm o se define y e s calculado e l IDH.

en Cheyenne, determ ine e l precio d e una casa equivalente en San F rancisco y en Boston. 20.

ín d ic e d e d e s a r r o llo h u m a n o . El Program a d e D esarro­ llo d e las N acion es U nidas por lo regular publica su repor­

te d e desarrollo humano. U na conclusión m uy observada

M iami y en Cheyenne. 18.

81

25.

ín d ic e d e tie n d a s d e c o n v e n ie n c ia .

V aya a un superm er­

Para una casa valu ad a en $ 1 0 0 0 000

cad o local y encuentre los precios de unas cuantos pro­

en Boston, determ ine e l precio d e una casa equivalente en San F rancisco y en Cheyenne.

du ctos básicos, pan, leche, ju g o y café. C alcule e l costo

P r e c io s d e v iv ie n d a s .

total d e e s o s artículos. L u ego vay a a algu n as pequeñas tiendas d e conveniencia y encuentre lo s precios d e lo s m is­ m os artículos. U se e l total del superm ercado com o e l valor de referencia, calcule lo s números índice para la s tiendas de

Proyectos para internet y más allá P a ra en laces ú tiles seleccion e “L ín ks fo r Internet P ro je cts " p a ra e l capítulo 2 en w w w .aw .com /bbt. 21.

ín d ic e d e p re c io s al c o n s u m id o r .

V aya a la págin a prin­

cipal (home page) del índice d e precios a l consum idor y

conveniencia. 26.

P r e c io s d e g a s o lin a . R ecolecte datos, h aga una gráfica convincente y escriba un argum ento persuasivo, y a sea

para defender o refutar e l enunciado q u e los precios d e la g aso lin a no han aum entado en lo s últim as 3 0 a ñ o s relativos a l co sto total d e la vida.

determ ine lo s últim os valores publicados para e l IPC. R e­ sum a éstcs y cualquier tendencia en e l IPC. 22.

V ay a a la págin a prin­ cipal (home page) del índice d e precios a l productor (IPP).

ín d ic e d e p r e c io s ai p r o d u c t o r .

L e a la s noticias generales y m ás recientes publicaciones. Escriba un breve resum en que describa e l propósito del IPP y e n q u e s e diferencia del IPC. Tam bién resum a cualquier

ín d ic e d e c o n fia n z a d e l c o n s u m id o r .

Determine un ar­ tículo reciente q u e incluya una referencia a l IPC. D es­

27. ín d ic e d e p r e c io s a l c o n s u m id o r .

criba brevem ente cóm o e l IP C e s importante en la

tendencia importante reciente en e l IPP. 23.

E N L A S N O T IC IA S ^

Utilice un motor

de búsqueda para determinar noticias recientes acerca del

historia. 28. N ú m e ro s ín d ic e s .

Determine un artículo reciente que

índice de confianza del consumidor. D espu és d e estudiar la noticia, escriba un resum en breve de lo q u e este índice

incluya un número índice distinto a l IPC. D escriba el número índice y su sign ificado, y an alice có m o e s im­

trata d e medir y describa cualquier tendencia reciente del

portante e l índice en la historia.

índice.

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82

M e d ic ió n e n e s ta d ís tic a

Ejercicios d e repaso del capítulo 1. Titanic. D e la s 2 2 2 3 personas q u e abordaron e l Titanic, 31.76% sobrevivió cu an d o e l barco s e hundió e l lunes 15

3.

G a s to e n c u id a d o d e la s a lu d . El total d e g a sto en cu i­ dado d e la salu d en E stad os U nidos s e elevó d e $ 8 0 0 0 0

de abril d e 1912.

millones en 1973 a $1.8 billones en 2004. E l índice de pre­

a. Determine e l número verdadero de personas q u e so b re­

cios a l consum idor fue 44.4 en 1973 y fue 188.9 en 2004 (con 1982-1984 — 100). Com pare e l cam bio en e l g a sto en

vivió cuando s e hundió e l Titanic.

salud gastad o d e 1973 a 2004 co n la tasa general d e infla­

b. ¿ E l número d e sobrevivientes e s un valor de un con­ ju nto de datos discreta» o de un conjunto de datas conti­ núes? Explique. c. De las personas que abordaron e l Titanic, 531 eran mu­

d.

ción m edida por m edio del IPC. 4.

S a la rio m ín im o .

L a tabla siguiente lista los sa la rio s míni­

m os federales por hora en la s p asada» 60 añ os, tanto en d ó ­ lares reales en e l instante co m o en dó lares de 1996. S a lv o

je re s o niños. ¿Q u é porcentaje de pasajeros del T itanic

por 2006, la s entradas d e la tabla corresponden a añ o s en

fueron m ujeres o niños?

q je e l salario mínimo cam bió (con base en la información del Departamento del Trabajo).

Había 45 niñas a bordo del T itan ic y había 4 2 % m ás niños que niñas. ¿C u án tos niños había a bordo?

Año e.

f.

2.

S i com pilam os la s ed ad e s d e tod os lo s pasajeros a bordo del Titanic, ¿cu á l e s e l nivel de m edida (nominal,

1938

ordinal, intervalo, razón) de e s a s ed ad es?

D ó la re s re ales

D ó la re s d e 1996

0 .2 5

2 .7 8

1939

0 .3 0

3 .3 9

1945

0 .4 0

3 .4 9

S i listam os a lo s pasajeros d e acuerdo co n las categorías

1950

0 .7 5

4 .8 8

de hombres, mujeres, niños y niñas, ¿cu á l e s e l nivel de medida (nominal, ordinal, intervalo, razón) d e este co n ­

1956

1 .0 0

5 .7 7

1961

1.25

6.41

ju nto d e datos?

1967

1 .4 0

6 .5 8

E n c u e s ta d e A O L En una encuesta de A m erica OnLine a 3309 personas, 66% d ijo que algu n as v e c e s com ían en

1968

1 .6 0

7.21

1974

2 .0 0

6 .3 7

K F C , 2 6% d ijo q u e ello s nunca com ían en K F C y 8 % dijo

1976

2 .3 0

6 .3 4

que con frecuencia com ían en K FC .

1978

2 .6 5

6 .3 8

1979

2 .9 0

6 .2 7

1981

3 .3 5

5 .7 8

a . ¿C u á l e s e l número d e en cuestados que dijeron que nunca com ían en K F C ?

1990

3 .5 0

4 .5 6

b. S i 1224 d e lo s en cuestados d ijo q u e K F C ni gan aría ni

1991

4 .2 5

4 .9 0

perdería d esp u és d e la elim inación d e las g ra sa s trans,

1996

4 .7 5

4 .7 5

¿cu ál es porcentaje de encuestados que hicieron esta afirm ación?

1997

5.15

5 .0 3

2006

5.15

4.01

c. D ado q u e la s respuestas p osibles so n siem pre, alg u n as veces y nunca, ¿ e l nivel d e m edida d e e s a s respuestas

a.

es nominal, ordinal, intervalo o d e razón? d.

Dado que la encuesta fue llevada a cabo preguntando a b s usuarias d e America O nLine para responder a una pregunta que fue puesta en e l sitio web, ¿qu é concluye acerca d e los resultada» d e la encuesta? ¿ E s probable que b s resultada» reflejen la opinión de la población general?

De acuerdo con la tabla, ¿cu á l e s e l valor d e $0.25 en dólares de 1938 en dólares d e 1996?

b.

De acuerdo con la tabla, ¿cu á l e s e l valor d e $1.00 en dólares d e 1956 en dólares d e 1996?

c.

¿P or q u é e l salario mínimo para 2006 en dó lares reales es m ayor que e l salario mínimo para 2006 en dó lares de 1996?

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C u e s tio n a r io d e l c a p ít u lo

83

C uestion ario del capítulo 1 . El color d e o jo s d e su jeto s seleccion ados aleatoriam ente se

registraron com o parte d e un estudio d e salu d nacional. ¿ E l

D o s estudiantes miden la estatura d e un instructor que, en realidad, m ide 178.44 centím etros d e altura. E l primer estu­

nivel d e m edida d e e s o s co lo res d e o jo s e s nominal, ordi­

diante obtiene una m edida d e 178 centím etros y e l segundo

nal, d e intervalo o d e razón?

una m edida d e 179.18 centímetros. ¿C u á l m edida e s m ás exacta? ¿C u á l m edida e s m ás precisa?

2 . L as circunferencias de la s cabezas d e su jeto s elegid o s alea­

toriamente s e registraron com o parte d e un estudio d e salud racional. ¿ E s e s valores so n continuos o discretos?

9. L a com pañía Telektronics ha estado en actividad durante 5 añ o s y la tabla lista la s utilidades netas en cad a uno de e so s años. Con e l primer año co m o referencia, determ ine el

3. ¿E l nivel d e m edida d e la s circunferencias de las cabezas, descritas en e l ejercicio 2 e s nominal, ordinal, d e intervalo o d e razón?

número índice para la utilidad neta en e l segundo año. Año

4 . Un investigador m ide la circunferencia d e la cabeza de un sujeto y registra un valor de 45.4 centím etros, pero la cir­

1

cunferencia real d e la cab e za del su jeto e s 55.4. ¿C u á l e s el error absoluto? 5. Un investigador m ide la circunferencia d e la cabeza de un sujeto y registra un valor de 45.4 centím etros, pero la cir­ cunferencia real d e la cab e za del su jeto e s 55.4. ¿C u á l e s el error relativo?

10 .

U tilid a d n eta $ 1 2 ,3 3 5

2

$ 1 5 ,2 5 7

3

$ 2 3 ,4 4 4

4

$ 3 1 ,8 9 8

5

$ 4 7 ,2 9 6

C on respecto a la tabla en e l ejercicio 9 . S i la utilidad neta en e l se xto añ o está proyectada q u e será 12% m ás q u e en

6 . Eh una encuesta d e Gallup a 1038 adultos, 540 dijeron que fum ar co lillas d e cigarro e s m uy dañino. ¿C u á l e s e l por­

e l quinto año, ¿cu á l e s la utilidad neta proyectada para el sexto añ o ?

centaje d e adultos q u e dijeron q u e fum ar colillas d e cigarro Eh una encuesta d e G allup a 1038 adultos, 5 % d ijo que fum ar co lillas d e cigarro n o e s tan dañino. ¿C u á l e s e l por­ centaje de adultos q u e dijeron q u e fum ar colillas d e cigarro r a e s tan dañino?

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IIABREMOS DE EOLÍTICA ¿Q uién se beneficia con un a reducción de im puestos? L o s políticos tienen una asom brosa capacidad par;

núme-

ros en la form a q u e m ejor apoy en su s convicciones, diagram as q u e s e muestran en la figura 2.4. A m bos

lo s do s mostrar

b s efectos d e la m ism a propuesta d e reducción de

i em-

bargo, parecen respaldar conclusiones radicalm ente reducción d e im puestos en particular no s e convirtió en le y ).

(Esta

El diagram a d e l a figura 2 .4 a refleja lo s núm eros proporciona­ d as por lo s republicanos, quienes apoyaron la reducción d e im pues­ tos. Su gie re q u e la reducción d e im puestos beneficiaría a fam ilias de en térm inos d e porcentaje; co n beneficios un poco fam ilias de m edianos ingresos q u e para fam ilias pobres o ricas. L a figura 2 .4 b refleja le s núm eros proporcionados por lo s dem ó­ cratas, quien es s e opusieron a la reducción d e im puestos. E ste diagram a sugiere q u e lo s b en eficios s e irían desproporcionadam ente hacia lo s ricos. S i suponem os q u e ninguna d e la s partes miente, ¿có m o pueden hacer afirm aciones tan diferentes? L a respuesta reside en cóm o cada parte elige calcular "lo s ben eficios" d e la reducción d e impuestos. L o s republicanos calcularon e l prom edio d e la reducción d e im­ puestos q u e sería recibida por la s fam ilias d e cada grupo. Por ejem plo: la últim a colum na d e la figura 2 .4 a muestra q u e la s fam ilias co n ingresos superiores a lo s $200 0 0 0 podrían tener un prom edio d e 2 .9 % en la reducción d e im puestos. Por supuesto, una reducción d e 2 .9 % sign ifica mucho m ás dinero para alguien q u e p ag a una tasa alta d e im pues­ tos q u e para alguien que paga m enos. Por ejem plo: alguien q u e p ag a $ 1 0 0 0 0 0 en im puestos, ahorraría $ 2 9 0 0 con 2.9% d e reducción d e im puestos, mientras otra persona q u e só lo paga $ 1000 en im puestos, ahorraría $29. L o s dem ócratas calcularon e l porcentaje del to ta l d e beneficio para c a d a grupo. Por ejem plo, la última colum na de la figura 2 .4 b muestra q u e la s fam ilias con ingresos superiores a lo s $200 0 0 0 recibiría 2 8 .1 % del total d e b en eficios de la reducción de im puestos. Pero esto

www.FreeLibros.org (a)

F ig u ra 2 .4

84

Píenle: A d ap tada d e l N ew York Times.

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H a b le m o s d e p o lít ic a

no síg n íñ ca que estas fam ilias conseguirían 28.1% d e reducción d e impuestos. Para ver por qué, considere los efectos d e una reducción d e im puestos del m ism o porcentaje para c a d a uno. Puesto q u e la s fam ilias con ingresos superiores a le s $ 2 0 0 0 0 0 pagan m ás d e un cuarto del total de im puestos recaudados por e l gobierno d e E stad os U nidos, estas fam ilias recibirían un cuarto del total d e los ben eficios para cu alq u ier reducción generalizada. P or ejem plo, s i e l gobierno recolectase un billón d e dólares d e im puestes, 10% sign ifica un ahorro d e $ 1 0 0 mil m illones para los contribuyentes, co m o un todo. E n e se caso, y a q u e un cuarto del b illón d e dó lares fue pagado por fam ilias co n ingresos superiores a $ 200000 , un cuarto d e lo s $100 m il m illones ahorrados s e canalizarían h acia estas m ism as fam ilias. D e esta manera, e sta s fam ilias obten­ drían 2 5% d e lo s ben eficios d e la reducción d e im puestos aunque su reducción d e im puestos real fuese d e 10%. ¿Q u é partido fue m á s ju sto ? Ninguno realmente. L o s republicanos optaron por n o tomar en cuenta e l hecho d e q u e la m ayoría del total d e lo s im puestos s e v a h acia lo s ricos, mientras q u e lo s dem ócratas eligieron despreciar e l hecho q u e lo s ricos pagan la m ayor parte d e lo s im­ puestos. Lam entablem ente este m odo d e "elegir la verdad" e s m uy com ún cu an d o s e trata de

85

P o lític o s y m iem bros d e l go b iern o con frecu en cia ab u san de lo s núm erosy d e la ló g ic a en la s fo rm as m ás elem en tales. E llo s só lo acom odan la s c ifra s p a ra que convengan a su s p ro p u estas, u san m ed id as v ag as de desem peño económ ico y dan ejem p lo s trem endos d e ab u so de g rá ñ e a s todo en nom bre de d isfra z a r verd ad es d ifíc ile s de acep tar. —A K . Dewdney,

20096 ofN othing

números, especialm ente aqu ellos que s e em plean en la política.

P R E G U N T A S PA R A D IS C U S IÓ N 1 . Los porcentajes d e la figura 2.4a muestran e l ahorro relativo d e im puestos para cad a grupo

de ingresos. ¿C ó m o com para esto s ahorros relativos con lo s ahorros ab solu tos d e cada grupo? (Sugerencia: a l estim ar e l ahorro absoluto en im puestos, recuerde que la cantidad de im puestos q u e p ag a c a d a fam ilia e s algún porcentaje d e su s ingresos y que, por lo general, la s fam ilias co n b ajo s ingresos pagan, en im puestos, un porcentaje menor d e su s ingresos).

2 . Una razón d e menor importancia en la s diferencias en am b as gráficas e s que lo s d o s parti­ do s definen in g reso s d e diferente manera. Por ejem plo: lo s dem ócratas decidieron asignar la s gan an cias d e la s em presas a lo s ingresos individuales d e lo s accion istas, esto sign ifica que una persona, tenedora de accion es, fu e catalogada co n m ayores ingresos por lo s d e ­ m ócratas q u e por los republicanos. ¿C ó m o la diferente definición d e ingresos afecta a las do s g rá ficas?

3. ¿C ree usted q u e algun a d e la s gráficas en la figura 2.4 describe con precisión “la ju sticia" glo b al d e la iniciativa d e reducción d e im puestos? S i e s así, ¿cu á l g rá fica y por q u é ? Y si dice que no, ¿có m o cree usted q u e lo s númeres podrían describirse d e manera m ás ju sta ?

4 . ¿A lgu n a reducción o incremento de im puestos h a sid o propuesta por e l C on greso d e E sta­ do s Unidos o por e l presidente este añ o ?

LECTURAS SUGERIDAS T w o V iew s o f a T ax C u t", New York Tim es, 7 de abril de 1995. Andrews Edward, “Your Taxes: Cracking the T ax C o d e", New York Tim es, 11 de febrero de 2006. Andrews Edward, T a x Cuts O ffer Most for V ery Rich, Study S a y s ", New York Tim es, 8 de enero 2007.

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HABLEMOS DE ECONOMÍA ¿Está mejorando nuestro nivel de vida? A la m ayoría d e nosotros nos gustaría q u e nuestro nivel d e v id a estu­ viese m ejorando cad a año, y en principio e s fácil decir s i é se e s e l caso: si su ingreso s e eleva m ás rápido que la tasa d e inflación, entonces su nivel de vida s e elevará, s i su ingreso no s e mantiene arriba de la infla­ ción, entonces su nivel d e vid a caerá. S in em bargo, en realidad, la situación e s m ucho m ás com pleja. Fbr ejem plo, incluso s i su s ingresos s e elevan sustancialm ente, su nivel efe v id a podría caer, s i en cara nuevos gasto s, tal co m o una c risis de salud q u e su seguro no cubrirá o costos propios o un h ijo q u e v a a la universidad, o un p ag o d e hipoteca d e tasa variable que s e aju sta a un costo m ensual m ás alto. C om plicaciones sim ilares afectan la pregunta del nivel d e vida racional. L o s econ om istas coinciden, c a si por unanimidad, q u e el de v id a d el estadounidense prom edio s e ha elevado d e manera d a l a partir d e la S egu n d a Guerra M undial h asta principios d e la d é ­ cada d e lo s setenta, y luego nuevam ente durante e l final d e la década de lo s noventa. Pero, a m enos q u e usted e sté en e l pequeño porcentaje con salarios altos (cuyo ingreso s e ha elevado d e manera continua; vea "H ablem os de econom ía; ¿ L o s ricos s e vuelven m ás rico s?” a l final del capítulo 4), existe un debate considerable so b re lo s n iveles d e vida durante las d é cad as d e los setenta y ochenta y durante los prim eros años del nuevo milenio. La pregunta clave en e l debate e s s i e l in greso re a l — ingreso ajustado por la inflación— está subiendo o bajan do. E sta pregunta, a su vez, depende d e có m o m edim os la inflación. C om o s e analizó en la sección 2.4, la inflación por lo com ún s e m ide co n e l índice d e precios al consum idor (IPC). L a figura 2.5 muestra cóm o los salarios reales de la m ayoría d e lo s estadounidenses han cam biado desde la d é cad a d e lo s ochenta, s i utilizam os el IPC com o la m edida d e la inflación. P or ejem plo, un cam bio en lo s salarios reales de 0 % sig ­ nifica q u e lo s sa la rio s reales y e l IPC cam biaron exactam ente en l a m ism a cantidad en un año particular. E l cam b io en lo s salarios reales e s positivo cu ando los salarios reales aum entan m ás que e l IPC y e s n egativo cuando lo s salarios reales aum entaron m enos q u e e l IPC. O bserve que, de acuerdo con esta m edida, lo s salarios reales han dism inuido (cam bios negativos) en la m ayoría d e lo s añ o s desde finales de la década de lo s setenta. En realidad, si calcula e l cam bio total durante e l periodo m ostrado (y regresam os unos cuantos años m ás), esta figura indica q u e lo s salarios reales en 2006 fueron m enoresque lo s q u e s e tenían tres décad as antes. En la s elecciones d e 2006 esto s d atos ayudaron a los dem ócratas que com petían por el C ongreso a asegurar q u e lo s salaries — y por tanto, e l nivel de vid a— para la m ayoría d e los estadounidenses s e habían estancado durante m ás d e 30 años. ¿P ero e s la im agen de que nuestro nivel de vida en realidad e s desolador? ¿ O en realidad es aún m ás desolador? L a respuesta depende de a quién le pregunte, y a que diferentes econom istas tie­ nen opiniones diferentes de cóm o e l IPC exagera, minimiza o mide de manera precisa la inflación. Iniciem os con aqu ellos que argum entan q u e e l IPC calcu la en ex ceso h inflación. S i ese es e l caso, entonces l a inflación real e s m enor a lo que indica e l IPC, lo cu al sign ifica q u e la línea cero está dem asiado arriba en la figura 2.5. Por ejem plo, s i e l IPC exag era la tasa d e in­

www.FreeLibros.org flación en un punto porcentual cada año, entonces la línea del cero d eb e esta en e l nivel d e - 1

en la figura 2.5, en lugar d e estar en 0. E se cam bio haría positivos la m ayoría d e lo s añ o s m os­ trados en la gráfica en lugar d e negativos, lo cu al sign ificaría q u e en lugar de estar estancado el nivel de vida prom edio en realidad se habría elevado durante la s p asad as tres décadas.

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H a b le m o s d e e c o n o m ía

87

Sudarios ra fe s prometió, ¡¿astados á IPC

F I G U R A 2 .5

E l c a m b i o e n lo s s a la r io s , a j u s t a d o s a l I P C , p a r a

t r a b a j a d o r e s n o p a t r o n e s e n e l s e c t o r p r iv a d o . E s t o s t r a b a j a d o r e s r e p r e s e n t a n a l r e d e d o r d e 8 0 % d e la f u e r z a d e t r a b a jo , s in c o n t a r a lo s e m p l e a d o s d e l g o b ie r n o . L o s c a m b io s n e g a t iv o s r e p r e s e n t a n d is m in u c ió n e n lo s s a la r io s r e a le s y c a m b io s p o s i t iv o s r e p r e s e n t a n a u m e n t o e n lo s s a la r io s r e a le s . A d a p t a d o d e l N e w Y o rk Tim es, 3 d e e n e ro d e 2 0 0 7 .

Fíjente: Departam ento d e l T ra b a jo d e E s ta d o s U nidos, U n iversid ad

d e M ich igan , O ficin a N a c io n a l d e In vestigació n E conóm ica.

L a clav e de este argum ento, docum entado m ás claramente en e l Reporte B oskin de 1996 (vea la lista d e lecturas sugeridas), e s que e l cálcu lo estándar del IPC tiene errores sistem áticos que aum entan e l costo de la v id a E l reporte señ ala d o s errores sistem áticos principales que parecen tener este efecto. Primero, d e un m es a l siguiente, e l IPC tiene co m o b a se los cam bios en lo s precios d e artículos particulares en tiendas particulares. S in em bargo, en realidad, s i el precio d e un artículo aum enta en u na tienda, co n frecuencia lo s consum idores com pran m ás barato en otra tienda. S i e l precio de un artículo sube dem asiado, los consum idores pueden sustituirlo por u no sim ilar pero d e menor precio, lo cual puede sign ificar a lg o tan sim ple com o un cam bio d e m arcas. Por tanto, le s consum idores no encuentran que su s costos reales s e hayan elevado tanto co m o indica e l IPC. Segun do, e l IPC sig u e la pista d e artículos com prados por consum idores "típicos" en cualquier instante dado. E sto s artículos cam bian co n e l tiem po, en especial cu ando provienen d e tecnología, pero e l IPC no tom a en cuenta q u e tales cam bios afectan nuestro nivel d e vida. Por ejem plo, hace 2 0 añ o s nadie era propietario de un grabador d e D V D , un iPod, u na televisión d e alta definición o una com putadora con a c c e so a internet de alta velocidad. L a m ayoría d e los econ om istas dirían q u e e sto s artículos han m ejorado nuestro nivel de vida, pero en e l IPC só lo cuentan co m o artículos q u e actualm ente lo s consum idores “típ icos" com pran. Con b ase en e sto s tipos d e errores sistem áticos, e l Reporte B oskin concluyó q u e e l IPC sobreestim a la tasa real d e inflación entre 0 .8 y 1.6 puntos porcentuales por año.

S i tu v iese que lle n a r un m anicom io con g en te certificad a com o lo c a , y o só lo se le cc io n a ría de to d a s a q u e lla s que aseg u ran en ten d erla in flació n . —Will Rogers

A unque l a m ayoría d e lo s econ om istas reconocen lo s problem as identificados por el Reporte Boskin, algu n os argum entan q u e otros errores sistem áticos funcionan en la dirección opuesta. Por ejem plo, m uchos trabajadores d e m ediana ed ad ahora tienen g a sto s sign ificativos aso ciad os co n e l cu idado d e su s padres en la vejez, a lg o q u e no fue cierto durante décadas, y en prom edio tod os p agam os un porcentaje m ucho m ás a lto d e ingresos en segu ro d e salu d y atención m édica de lo que p agábam os en e l pasado. E sto s tipos d e g a sto s dejan m enos ingresos para e l tipo d e artículos que, por lo general, consideram os q u e m ejoran nuestro nivel d e vida. En realidad, algu n os econ om istas argum entan q u e estes cam b ios han sid o tan sign ificativos q u e e l IPC en realidad subestim a la verdadera tasa d e inflación, en cu y o caso nuestros niveles de v id a han caído m ás d e lo q u e indica la gráfica d e lo s salarios en la figura 2.5. L a lección en e ste estudio deb e ser clara. L a s estadísticas q u e consideran a l IPC y los cam bios en lo s salarios reales so n muy claras, aunque personas d e diferentes creen cias políti­ cas o sistem as políticos puedan sacar conclusiones m uy diferentes d e e sto s datos. D espu és de todo, e so e s por lo cu al la gente puede no estar de acuerdo, d e buen a fe, acerca d e interrogantes

www.FreeLibros.org co m o s i nuestro nivel d e vid a está subiendo o bajando. Tam bién e s por lo que deb em os pensar cuidadosam ente acerca d e las afirm aciones estadísticas d e todo tipo, en lugar d e só lo aceptar el últim o eslo gan político sin cuestionarlo.

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88

M e d ic ió n e n e s ta d ís tic a

P R E G U N T A S PA R A D IS C U S IÓ N 1. C on b a se en la gráfica d e la figura 2.5, describa en térm inos generales có m o han cam biado los salarios reales en la s p asad as tres décadas. Por ejem plo, describa e l periodo general en e l q u e los salaries s e han elevado y aquéllos en que han dism inuido. 2 . En general, ¿con sidera q u e la figura 2.5 proporciona una representación ex acta d e los cam bios en e l nivel d e vida para lo s estadounidenses prom edio? D efienda su opinión.

3. Considere lo s argum entes en e l artículo que sugieren errores sistem áticos que podrían pro­ vocar que e l IPC sobreestim ara o subestim ara la inflación. Seleccion e uno d e e sto s errores sistem áticos e investigúelo co n m ayor detalle. Proporcione suficientes ejem plos, sa q u e su propia conclusión acerca del cam bio en nuestro nivel d e vida.

4 . En la figura 2.5 observe e l drástico aum ento en lo s salarios reales q u e s e muestra para 2006. H aga una b ú squ ed a en la web para determinar q u é su cedió a lo s salarios d esd e ese momento. ¿H a continuado e l aum ento o só lo fu e tem poral?

LECTURAS SUGERIDAS Boskin, Michael J „ Ellen R. Dulberger, Robert J . Gordon, Zvi Grílíches y Dale W. Jorgenson, “Toward a More Accurate Measure o f the Cost o f Living", Informe fin al a l Com ité de

Finanzas d elSenado, de la Com isión A sesora p ara e l Estudio d el Indice de P recios a l Consu­ m idor, Washington, D C , Comité de Finanzas del Senado, 1996. Greenhouse, Steven, “Falling Fortunes o f W age E am ers", New York Tim es, 12 de abril de 2005. Gross, Jane, “ Elder-Care C osts De piete Savings o f a Generation", New York Times, 30 de diciembre de 2006. Leonhar, David, “It’s the Y ear to K eep an Eye on Paychecks", New York Tim es 3 de enero de 2007.

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Lo m ás grandioso de una p in tu ra es cuando nosfu erza a observar lo que nunca esperábamos ver. — Jo h n T u key

Exhibición visual de datos

O B JE T IV O S D E A P R E N D IZ A JE 3.1

T a b la s d e f r e c u e n c i a S e r c a p a z d e c r e a r e i n t e r p r e t a r t a b la s d e f r e c u e n c ia .

3 .2

D is t r ib u c ió n g r á fic a d e d a t o s S e r c a p a z d e c r e a r e in t e r p r e t a r g r á f ic a s d e b a r r a s , d i a g r a m a s d e p u n t o s , g r á f i c a s c ir c u la r e s , h is t o g r a m a s ,

SI U S T E D V E UN P E R IÓ D IC O , UN R E P O R T E A N U A L D E

d ia g r a m a s d e t a ll o s y h o j a s , g r á f i c a s d e l ín e a s y d ia g r a m a s d e s e r ie s d e t ie m p o .

una e m p re sa o un e stu d io g u b ernam ental, casi s e g u ra ­ m ente v e rá tablas y g rá fica s d e datos e sta d ístico s. Algunas

3 .3

d e estas tab las y g ráficas son m uy sencillas, otras pueden

t i p o s d e g r á f i c a s m á s c o m p le j a s q u e s e e n c u e n t r a n r e g u la r m e n t e e n n o t ic ia s d e

ser m u y com plejas. Unas facilitan e n tend e r los datos; otras p u e d e n ser confusas o in clu so engañosas. En e ste capítulo e stu d iare m os las form as p rin cip a le s en que los datos e s ta ­ d ís tic o s se m uestran en tablas y gráficas. P u e sto que la c a ­ p a cid a d para tra n sm itir co n ce p to s p o r m e d io d e g ráficas es

G r á f ic a s e n l o s m e d io s E n t e n d e r c ó m o in t e r p r e t a r lo s d iv e r s o s

l o s m e d io s . 3 .4

A lg u n a s p r e c a u c io n e s c o n r e s p e c t o a g r á f ic a s E v a lu a r d e u n a m a n e r a c r ít ic a la s g r á f ic a s e i d e n t i f i c a r f o r m a s c o m u n e s e n la s q u e la s g r á f i c a s p u e d e n s e r engañosas.

tan v a lio sa en la actual so cie d a d d e la in form a ción , las h a b i­ lidades d e sa rro lla d a s en e ste ca p ítu lo son m uy im p orta n tes para el é x ito en casi cualquier profesión.

www.FreeLibros.org 89

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90

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s •*>

T a b la 3.1

3.1 T ab la s de frecuencia

T a b la d e

fre c u e n c ia s p a ra u n c o n ju n to d e c a lific a c io n e s d e un ensayo C a lific a c ió n

F r e c u e n c ia

L

a profesora D elaney registra la lista siguiente d e calificaciones de su s 25 estudiantes en i r conjunto d e ensayos: A B

C B

C A

B B

C D

D B

C A

C A

F B

D F

C

C C C B

A

4

B

7

E sta lista tiene tod as las calificaciones, pero no e s m uy fácil d e leer. U na form a m ucho m ás

C

9

D

3

sencilla d e mostrar los d atos e s mediante la construcción de una tabla en la q u e registram os el número d e veces, o frecuencia, que apareció cad a califica c ió a E l resultado, q u e s e muestra en

F

2

la tabla 3.1, s e denom ina tabla d e frecuencias. L a s cin co p osibles calificacion es (A, B, C, D,

T o ta l

25

F), s e denom inan categorías (o clases) para la tabla.

D efin ición U n a ta b la b á s ic a d e fre c u e n c ia s t ie n e d o s c o lu m n a s : • U n a c o lu m n a lis t a t o d a s la s c a te g o ría s d e lo s d a t o s . • L a o t r a c o lu m n a lis t a la fre c u e n c ia d e c a d a c a t e g o r ía , q u e e s e l n ú m e r o d e v a lo r e s d e lo s d a t o s e n la c a t e g o r ía .

E JE M P L O 1

P ru eb a d e sab o r

La com pañía d e bebidas Rocky M ountain quiere conocer la reacción a su producto nuevo, Coral Cola, y prepara una prueba d e sabor con 2 0 personas. A cad a individuo s e le pide que clasifique e l sab o r d e la co la en una esca la de 5 puntos: (mal abor) 1 T a b la 3 .2

C a lif ic a c io n e s

2

3

4

5 (excelente abor)

L a s 2 0 calificacion es so n las siguientes:

d e p ru e b a d e s a b o r E s c a la d e s a b o r 1

F r e c u e n c ia

3

3

9

4

4

5

3

3

2

3

3

4

3

2

4

3

5

3

4

5

3

4

3

1

2

2

T o ta l

1 2

2 20

Construya una tabla de frecuencias para e sto s datos.

S o lu c ió n L a variab le d e interés e s sab o r y esta variable puede tom ar cin co valores: las c a ­ tegorías d e sab o r de 1 a 5. (Observe q u e lo s d atos son cualitativos y están en e l nivel d e medida ordinal). Construim os la tabla co n estas cinco categorías en la colum na izquierda y su s frecuen­ cias en la columna derecha, com o s e muestra en la tabla 3.2.

C lasificació n de d a to s en clases Considere lo s datos en la tabla 3.3, q u e muestra e l prom edio anual d e energía q u e consum e una persona, en millones d e B T U , en cad a uno d e los 5 0 estad os d e la Unión Americana. L o s 50 números en este conjunto d e d atos (sin contar e l prom edio d e E stad cs U nidos) varía de 212 mi­ llones de B T U por persona (Rhode Island) hasta 1 1 7 5 m illones de B T U por persona (A laska), y la m ayoría d e los números só lo aparecen una vez. ¿C ó m o podem os, d e manera eficiente,

www.FreeLibros.org construir una tabla d e frecuencias d e e sto s datos?

L a respuesta e s crear categorías que cubran algún rango d e valores d e lo s datos. Por ejem plo, podríam os crear una categoría para tod os los valores entre 2 0 0 y 299 m illones de

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3.1 T a b la s d e fre c u e n c ia

T ab la 3 .3

91

E n e rg ía anual p r o m e d io usa d a p o r p e rso n a , p o r e sta d o , e n m illo n e s d e B T U

E sta d o

M illo n es

M illo n e s

M illo n e s

d e B TU p o r p e rs o n a

de BTU p o r p e rs o n a

d e BTU p o r p e rs o n a

E s ta d o

A la b a m a

447

L o u is ia n a

822

A la s k a

1175

M a in e

366

A r iz o n a

246

M a r y la n d

A rk a n sa s

415

M a s s a c h u s e tts

C a lif o r n ia

229

M ic h ig a n

C o lo r a d o

297

M in n e s o t a

C o n n e c t ic u t

255

M is s is s ip p i

281 248 313 355 411

E s ta d o O h io

349

O k la h o m a

425

O re g o n

295

P e n n s y lv a n ia

321

R h o d e Is la n d

212

S o u t h C a r o lin a

389

S o u th D a k o ta

345

D e la w a r e

383

M is s o u r i

322

Tennessee

388

F lo r id a

252

M o n ta n a

410

Texas

560

G e o r g ia

343

N e b ra sk a

372

U ta h

296

H a w a ii

248

N evada

292

V e rm o n t

252 329

Id a h o

341

N e w H a m p s h ir e

254

V ir g in ia

Illin o is

310

N e w J e rs e y

298

W a s h in g t o n

In d ia n a

470

N e w M é x ic o

353

W e s t V ir g in ia

433

lo w a

400

N e w Y o rk

Una BTU, o u n id ad té rm ica británica, e s la e n e rg ía necesaria para e le v a r la te m p e ra tu ra d e una libra d e ag u a e n 1°F. Es eq u ivale nte a 2 5 2 calo rías o 1 0 5 5 joules.

316

220

W is c o n s in

335

Kansas

410

N o r t h C a r o lin a

314

W y o m in g

919

K e n tu c k y

456

N o rth D a k o ta

624

P r o m e d io d e E s ta d o s U n id o s

A p r o p ó sito ...

339

Ñola: L o s d a to s Incluyen to d o s le s u s o s d e energía, Incluyendo resid en cial, com ercial, Industrial y transporte. Fhente: A d m in istració n d e E n ergía, E sta d o s U n id o s (tab las d e 2007, c o n Inform ación d e 2003). B T U , lu ego crear una segu n d a categoría para lo s valores entre 3 0 0 y 399 m illones d e BTU , y a sí sucesivam ente. L u e g o contam os la frecuencia (número d e valores) en cad a categoría, generando la tabla d e frecuencia que s e muestra com o tabla 3.4. E ste proceso d e denom ina d a s t f k a d ó n e n c la s e s de le s datos, y a q u e cada categoría actúa com o una cla se separad a en la

que podem os colocar algun os d e lo s datos.

D efin ició n C u a n d o e s i m p o s ib le o p o c o p r á c t i c o t e n e r u n a c a t e g o r ía p a r a c a d a v a l o r e n u n c o n ­ j u n t o d e d a t o s , d a s if ic a m o s ( o a g r u p a m o s ) lo s d a t o s e n c a t e g o r ía s (cla se s), c a d a u n a c u b r i e n d o u n r a n g o d e p o s ib le s v a lo r e s .

T a b la 3 .4

T a b la d e fre c u e n c ia s p a ra la in fo r m a c ió n d e l u so

d e e n e rg ía d e la ta b la 3.3 U s o a n u a l d e e n e rg ía p o r p e rs o n a (m illo n e s d e B T U )

F r e c u e n c ia (n ú m e ro d e e s ta d o s )

2 0 0 -2 9 9

16

3 0 0 -3 9 9

19

4 0 0 -4 9 9

10

5 0 0 -5 9 9

1

6 0 0 -6 9 9

1

7 0 0 -7 9 9

0

www.FreeLibros.org 8 0 0 -8 9 9

1

9 0 0 -9 9 9

1

1 0 0 0 -1 0 9 9

0

1 1 0 0 -1 1 9 9

T o ta l

1

50

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92

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s

T a b la 3 .5

D a to s p a ra a c c io n e s e n el p r o m e d io in d u stria l D o w J o n e s , 2 0 0 6 In g re so (m ile s

C o m p a ñ ía

R e n d im ie n to *

d e m illo n e s )

Rango**

C o m p a ñ ía

Ing reso (m ile s d e m illo n e s )

R e n d im ie n to *

351.1

0.1%

1

Jo h n so n & Jo h n son

E x x o n M o b il

3 4 7 .3

3 9.2%

2

P f iz e r

5 2 .4

15.3%

39

G e n e ra l M o to rs

2 0 7 .3

6 4 .2 %

3

U n it e d T e c h n o lo g ie s

4 7 .8

13.7%

42

G e n e r a l E le c t r i c

168.3

2 6 .5 %

5

M ic r o s o f t

4 4 .3

15.8%

49

1 4 6 .8

19.4%

8

C a t e r p illa r

41.6

7 .9%

55

113.2

6.0%

10

In te l

3 5 .4

-17.2%

62

3 4 .3

4 4 .5 %

64

31.4

2 4 .2 %

69

W a l- M a r t

C it ig r o u p A IG J.P . M o rg a n C h a s e

5 3 .3

12.4%

Rango** 36

1 0 0 .0

2 5 .5 %

11

W a l t D is n e y

V e r iz o n

932

3 4 .6 %

13

H o n e y w e ll

H e w le t t - P a c k a r d

91.7

4 5 .3 %

14

ALCO A

3 0 .9

3.5%

71

IB M

91.4

19.8%

15

DuPont

2 9 .0

18.7%

74

H om e D epot

9 0 .8

0.9%

17

A m e r ic a n E x p r e s s

27.1

19.1%

79

A lt r ia

7 0 .3

19.9%

23

C o c a - C o la

24.1

23.1%

94

P r o c t e r & G a m b le

6 8 .2

13.3%

25

3M

2 2 .9

3 .0%

97

AT&T

63.1

5 2 .9 %

27

M e rc k

2 2 .6

4 2 .9 %

99

B o e in g

61.5

2 8 .4 %

28

M c D o n a ld ’s

21.6

3 4 .6%

108

•R en d im ien to total p ara in versionistas, 2 0 0 6 , incluyendo d iv id e n d o s y cam b io en e l p recio d e la a cció n . ••R a n g o , c o n b a s e e n el Ingreso en tre 5 00 c o m p a ñ ía s d e la revista

Fhente: Fortune.com

.: ,

--

A p r o p d s ito ... Las 3 0 a ccio n e s q u e co nfo rm an la lista D o w s o n e le g id a s p o r los e d ito re s d e Wall Street Journal. En

E JE M P L O 2

Fortune.

L a s a c c io n e s D o w

Para la s 3 0 accion es del prom edio industrial D ow Jo n es, la tabla 3.5 muestra e l ingreso anual (en m iles d e m illones d e dólares), e l rendimiento total d e un año y e l rango en la lista d e 500 com pañías con m ayores ingresos en E stad os U nidos d e la revista Fortune. A nalice las ventajas y las desven tajas d e la elección d e clases.

ocasion es las a ccio n e s d e la lista son cam b iad as. Por e jem p lo , en ab ril d e 2 0 0 4 , se q u ita ro n AT&T, E astm an K o d a k e International Paper, y fu e ro n reem p lazad as p o r AIG , P fizer y V e rizo n . A T & T

S o lu c ió n L os d atos d e ingresos varían d esd e $21.6 mil m illones (M cD onald’s) a $351.1 m il m illones (Wal-Mart). Existen m uchas p osibles m aneras d e clasificar lo s d atos para este rango; a continuación está una buena y la razón para ello:

p ro n to re g re s ó a l índ ice cu a n d o Co m m u nicatio ns) s e fu s io n ó con

Cream os c la se s q u e cubran un rango d e $0 a $ 4 0 0 mil millones. E so cubre e l rango co m ­ pleto d e lo s datos, con esp acio adicional para los valores m ás pequeñas y por arriba para

ella y to m ó e l n o m b re AT&T.

b s valores m ás altos.

o tra co m p a ñ ía d e la lista (S B C

•

•

A cad a clase le dam o s un ancho d e $ 5 0 mil millones, de modo que podem os cubrir e l rango de $ 0 a $ 4 0 0 mil m illones co n o ch o clases. A dem ás, e l ancho d e $ 5 0 mil m illones e s un número adecuado que ayuda a construir una tabla fácil d e leer.

•

Puesto que lo s dates están dad os a l décim o (de m il millón) m ás próxim o, tam bién defini­

www.FreeLibros.org m os la s clases a l décim o m ás cercano, a sí q u e no s e traslapan. E sto es, las clases van de $0 a $49.9 mil millones, de $50.0 a $99.9 mil millones, y a sí sucesivam ente.

L a tabla 3.6 muestra las frecuencias resultantes.

www.fullengineeringbook.net 112 of 495.

3.1 T a b la s d e fre c u e n c ia

T a b la 3 .6

93

T a b la d e fre c u e n c ia s p a ra la in fo r m a c ió n d e in g r e s o a n u a l d e la ta b la 3.5

In g re so a n u a l (m ile s d e m illo n e s d e d ó la re s )

F r e c u e n c ia (n ú m e ro d e c o m p a ñ ía s )

0 -4 9 .9

13

5 0 -9 9 .9

10

1 0 0 - 1 4 9 .9

3

1 5 0 - 1 9 9 .9

1

2 0 0 -2 4 9 .9

1

2 5 0 -2 9 9 .9

0

3 0 0 -3 4 9 .9

1

3 5 0 -3 9 9 .9

1

T o ta l

30

UN M O M EN TO P E R E F I.F /X iÓ X ______________________ C o n s id e r e o t r a s t r e s p o s ib ilid a d e s d e c l a s if ic a r lo s d a t o s e n la t a b la 3 .6 : 4 c la s e s q u e c u ­ b r a n e l r a n g o d e $ 0 a $ 4 0 0 m il m illo n e s , 11 c la s e s q u e c u b r a n e l r a n g o d e $ 0 a $ 3 7 5 m il m i­ llo n e s y 3 6 c la s e s q u e c u b r a n d e $ 0 a $ 3 6 0 m il m illo n e s . A n a lic e b r e v e m e n t e la s v e n t a j a s y la s d e s v e n t a ja s d e c a d a u n a d e e s t a s e le c c io n e s .

F recu en cia relativa V uelva a considerar las calificaciones del en say o q u e se listan en la tabla 3.1. Podríam os ne­ cesitar saber no só lo e l número d e estudiantes que obtuvieron c a d a calificación, sin o también la fracción o porcentaje d e estudiantes q u e obtuvieron e s a s calificacion es. A estas fracciones (o porcentajes) para c a d a categoría le s llam am os frecuencias relativas. Por ejem plo, 4 d e los 25 estudiantes obtuvieron calificación d e A, a sí q u e la frecuencia relativa d e A e s 4/25, o 0.16, o bien 16% . L a tabla 3 .7 repite la inform ación d e la tabla 3 .1 , pero esta v e z co n una columna adicional para la frecuencia relativa.

T a b la 3 .7

T a b la d e fre c u e n c ia s re la tiv a s

C a lif ic a c ió n

F re c u e n c ia

F r e c u e n c ia re la tiva

A

4

4 / 2 5 = 0 .1 6

B

7

7 / 2 5 = 0 .2 8

C

9

9 / 2 5 = 0 .3 6

D

3

3 / 2 5 = 0.12

F

2

2 / 2 5 = 0 .0 8

T o ta l

25

1

L a su m a d e las frecuencias relativas deb e ser igual a 1 (o 100% ), y a q u e cad a frecuencia relativa e s una fracción de la frecuencia total. (En ocasion es, lo s redondeos provocan q u e el total se a un poco diferente d e 1).

“¡D a to s! ¡D a to s! ¡D a to s!” exclam ó d e m an era im pacien te. “N o p u edo h ac e r la d rillo s sin a rc illa . ” —Sherlock Holmes en L a aventura

de la ñnca de Cooper Beeches de Sir Arthur Conan Doyle

D efin ició n

www.FreeLibros.org L a fre c u e n c ia re la tiv a d e c u a lq u ie r c a t e g o r ía e s la p r o p o r c ió n o p o r c e n t a j e d e lo s d a t o s

q u e c a e n e n e s a c a t e g o r ía :

f r e c u e n c ia r e la t iv a =

f r e c u e n c ia d e la c a t e g o r ía ------------ ------------------f r e c u e n c ia t o t a l

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94

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s

F recu en cia ac u m u lad a Observe una v e z m ás las calificacion es d el en say o en la tabla 3.1. ¿Q u é p asa s i quiere conocer cuántos estudiantes obtuvieron una calificación de C o m ejor? Por supuesto, podríam os sum ar las frecuencias d e las calificaciones A, B y C para encontrar que 2 0 estudiantes obtuvieron una C o m ejor calificación. S in em bargo, con frecuencia, la s tab las hacen esta aritm ética por N O T A TÉC N IC A

nosotros, mostrando la s fre c u e n c ia s a c u m u la d a s o e l núm ero d e dates en una categoría en particular y to d as ¡a s categ o rías que ¡e preceden . L a tabla 3.8 repite la inform ación d e la tabla

L a m a y o ría d e las ta b la s de

3.1, pero esta vez con una colum na adicional para la frecuencia acu m u lad a Observe q u e la

fre c u e n d a s in id a n co n la ca te g o ría

frecuencia acum ulada para la últim a categoría siem pre deb e ser igual a l número total d e datos, que e s la frecuencia total.

más baja, p e ro las ta b la s de c a lific a c io n e s p o r lo com ún inician c o n la c a te g o ría m ás alta

T a b la 3 .8

(A ). E l o rd e n d e las categorías

T a b la d e fre c u e n c ia s a c u m u la d a s

n o a fe c ta las fre c u e n c ia s ni las C a lif ic a c ió n

frecuencias relativas, p e ro sí afecta

F r e c u e n c ia

F r e c u e n c ia a c u m u la d a

las fre c u e n c ia s acum ulativas. Por

A

4

4

q e m p lo , s i la ta b la d e la d e re ch a

B

7

7+4=11

C

9

9 + 7 + 4 = 20

D

3

3+ 9+ 7 + 4=23

2

2 + 3 +9+7 + 4=25

25

25

tiene las categ o rías e n o rd e n inverso, la fre c u e n c ia acu m ulativa para C s e ría e l nú m e ro de

F

c a lific a c io n e s d e C o m enores (en

T o ta l

lugar d e C o m ayores).

D efin ición L a fre c u e n c ia a c u m u la d a d e c u a lq u ie r c a t e g o r ía e s e l n ú m e r o d e d a t o s e n e s a c a t e g o r ía

y e n to d a s las c a te go ría s p re ce d e n te s .

T en ga en cuenta q u e las frecuencias acu m u ladas só lo tienen sentido para d atos categóri­ co s q u e tienen un orden claro. E s decir, podem os utilizar frecuencias acum ulativas para d atos en lo s niveles d e m edida ordinal, d e intervalo y d e razón, pero no podem os hacerlo en d atos en el nivel d e m edida nominal.

E JE M P L O 3

M á s so b re la p ru e b a d e sab o r

M ediante lo s dates d e la prueba de sabor del ejem plo 1, construya una tabla d e frecuencias con colum nas para las frecuencias relativa y acum ulada. ¿Q u é porcentaje d e lo s en cuestados dieron a la co la la calificación m ás alta? ¿Q u é porcentaje d io a la cola una d e la s tres calificaciones m ás b ajas? S o lu c ió n D eterm inam os las frecuencias relativas dividiendo la frecuencia d e c a d a categoría entre la frecuencia total d e 20. Encontram os la s frecuencias acu m u ladas sum an do las frecuen­

cias en cad a categoría a la su m a d e las frecuencias d e tod as la s categorías q u e le preceden. L a tabla 3.9 muestra lo s resultados. L a columna d e frecuencias relativas muestra q u e 0.10, o 10%, d e los en cuestados d io a la co la la calificación m ás alta. L a colum na d e frecuencia acum ulada muestra q u e 14 de 2 0 personas, o 70% , d io a la co la una calificación d e 3 o menor.

N O TA TÉC N IC A Una fre c u e n c ia acum ulada, d iv id id a e n tre la fre c u e n c ia total, se d e n o m in a frecuencia relativa acumulada. P o r ejem p lo , e n la ta b la 3.9 la fre c u e n c ia relativa

T a b la 3.9

F r e c u e n c ia s re la tiv a y a c u m u la d a

E s ca la d e s a b o r

F r e c u e n c ia

F r e c u e n c ia re la tiva

F r e c u e n c ia a c u m u la d a

1

2

2 / 2 0 = O.IO

2

2

3

3 / 2 0 = 0 .1 5

3 + 2 = 5

3

9

9 / 2 0 = 0 .4 5

9 + 3 + 2 = 14

4

4

4 / 2 0 = 0 .2 0

4 + 9 + 3 + 2 = 18

2

2 / 2 0 = 0 .1 0

www.FreeLibros.org acu m u la d a d e 3 o m enos e s 14/20

=0 .7 0 , lo q u e sig n ifica q u e 70% de b s datos e s tá n e n las categ o rías 3 ,2 o l.

5

T o ta l

20

1

www.fullengineeringbook.net 114 of 495.

2 + 4 + 9 + 3 + 2= 20

20

3.1 T a b la s d e fre c u e n c ia

E JE M P L O 4

95

D a t o s d e e n e r g ía

A p r o p ó sito ...

Para la tabla d e frecuencias d e la energía q u e s e m uestra co m o tabla 3.4, agregu e colum nas para la s frecuencias relativa y acum ulada. A n alice cualquier tendencia q u e parezca particular­

Las partes d e la e n e rg ía to ta l que

mente reveladora o sorprendente.

van a u so residencial, com ercial, industrial y tra n sp o rte varían

Encontram os la s frecuencias relativas dividiendo la frecuencia en c a d a categoría entre la frecuencia total, q u e en este caso e s 50. L a s frecuencias acu m u ladas la s encontram os S o lu c ió n

am pliam ente d e un e s ta d o a otro. Los u sos industrial y d e transp o rte

sum ando la frecuencia en cad a categoría a la su m a de la s frecuencias en tod as las categorías

son m u y alto s e n los tres e stad o s

precedentes. L a tabla 3 .1 0 muestra los resultados.

con e l m a y o r u s o d e e n e rg ía total (Alaska, W y o m in g y Louisiana).

L a tabla revela m uchos hechos interesantes acerca del u so d e energía anual por persona en lo s diferentes estados. Por ejem plo, la columna d e frecuencia relativa nos d ice q u e 3 8 % (o 0.38) d e los estad os están en la categoría d e 300-399 m illones d e B T U por persona por año. L a colum na de frecuencia acum ulada muestra que 35 d e 5 0 estados caen en la s prim eras d o s c a ­ tegorías, o uso d e energía menor a 4 0 0 m illones d e B T U por persona por año. L o s tres estados con e l u so m ás alto d e energía anual por persona utilizan m ás del do b le de energía por persona que cualquiera d e los 35 estados co n consum o m ás bajo. (C on la term inología q u e estudiare­ m os en e l capítulo 4, decim os q u e esto s tres estad os tienen valores atípleos, y a q u e su s valores difieren mucho de lo s d e los otros estados).

T a b la 3.10

D a to s d e e n e r g ía e n c la s e s F re c u e n c ia

F r e c u e n c ia

p e rs o n a (m illo n e s d e B T U )

U s o a n u a l d e e n e rg ía p o r F r e c u e n c ia

re la tiva

a c u m u la d a

2 0 0 -2 9 9

16

0 .3 2

16

3 0 0 -3 9 9

19

0 .3 8

35

4 0 0 -4 9 9

10

0 .2 0

45

5 0 0 -5 9 9

1

0 .0 2

46

6 0 0 -6 9 9

1

0 .0 2

47

7 0 0 -7 9 9

0

0 .0 0

47

8 0 0 -8 9 9

1

0 .0 2

48

9 0 0 -9 9 9

1

0 .0 2

49

0

0 .0 0

49

0 .0 2

50

1

50

1 0 0 0 -1 0 9 9 1 1 0 0 -1 1 9 9

1

T o ta l

50

U N M O M E N T O IDE R E F L E X I Ó N ________________________ T e n g a c u i d a d o a l in t e r p r e t a r la t a b la 3 .1 0 d e l e j e m p lo 4 . P o r e j e m p lo , la f r e c u e n c ia r e la t iv a 0 .3 2 p a r a 2 0 0 - 2 9 0 m illo n e s d e B T U s ig n if ic a q u e 32 % d e lo s 5 0 e s t a d o s t ie n e n u n u s o d e e n e r g ía p e r c á p it a e n e s t e r a n g o . ¿ E s t o t a m b ié n s ig n if ic a q u e 32% d e t o d o s lo s e s t a d o u n i ­ d e n s e s u t iliz a n e n t r e 2 0 0 y 2 9 9 m illo n e s d e B T U c a d a a ñ o ? ¿ P o r q u é s í o p o r q u é n o ? ( S u ­ g e r e n c ia : v u e lv a a v e r la t a b la 3 .3 y c o n s id e r e la s p o b l a c i o n e s d e e s t o s e s t a d o s ) .

Sección 3.1 Ejercicios A lf a b e t iz a c ió n e s ta d ís tic a y p e n s a m ie n to c r ít ic o 1.

T a b la d e f re c u e n c ia s .

¿Q ué e s una tabla d e frecuencias?

Explique q u é querem os decir con categorías (o clases) y fre­

- i- -------F r e c u e n c ia

a c u m u la d a .

1

U na tabla d e frecuencia tiene

cinco clases con frecuencias d e 2 ,9 , 14, 12 y 3. ¿C u á le s son la s frecuencias acu m u ladas d e la s cin co clases? T a b la d e fre c u e n c ia s .

La primera cla se en una tabla d e fre­

cuencias muestra una frecuencia d e 12, correspondiente al

www.FreeLibros.org cuencias.

2.

F r e c u e n c ia re la tiv a .

Una tabla d e frecuencias tiene cinco

d a s e s co n frecuencias d e 2, 9 , 14, 12 y 3 . ¿C u á le s so n las frecuencias relativas de la s cin co clases?

rango de valores d e 15.0 a 15.9. U san do únicamente esta información acerca d e la tabla d e frecuencias, ¿ e s posible

identificar lo s 12 valores m uéstrales originales q u e están re­ sum idos en esta c la se ? Explique.

www.fullengineeringbook.net 115 of 495.

96

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s

¿ T ie n e s e n t id o ? Para los ejercicios 5 a l 8, decida s i e l enun­ ciado tiene sentido (o e s claram ente verdadero) o n o tiene sen ­

tido (o claram ente e s falso). E xplique claramente; no tod os los

A c to re s g a n a d o r e s d e u n O s c a r . L o s d atos siguientes muestran la s ed ad e s d e actores hombres gan ad ores del premio d e la A cadem ia en e l momento en q u e gan aron su

enunciados tienen respuestas definitivas, por lo q u e su ex p lic a ­ ción e s m ás importante q u e la respuesta elegida.

premio. Construya una tabla d e frecuencias para lo s datos, utilizando c la se s d e 20-29, 30-39 y a sí sucesivam ente.

5.

T a b la d e f re c u e n c ia s .

13.

A nalice su s hallazgos.

U na am iga le d ice q u e su tabla de

frecuencias tiene d o s colum nas con etiquetas E stad o e In­

g reso m edio. 6.

F r e c u e n c ia re la tiv a .

L a frecuencia relativa d e la categoría

A en u na tabla e s 1.4. 7.

F r e c u e n c ia a c u m u la d a . L a frecuencia acum ulada d e una categoría en una tabla e s 1.4.

8. C la s e s .

14.

Para un conjunto de datos, conform e e l ancho de

La profesora D íaz regis­

tra las calificaciones finales siguientes en uno de su s cursos: A

A

A

B

B

C

C

C

C

C

C

B

B

C

D

B D

B D

B

C

F

F

Construya una tabla d e frecuencias para e stas calificacio­ nes. Incluya colum nas para la frecuencia relativa y p ara la frecuencia acum ulada. E xplique brevem ente e l significado

15.

de cad a columna. 10.

32

51

53

33

61

35

45

76

37

42

40

32

60

38

56

48 39

48 46

40 31

43 47

62

43

42

44

41

56

T e m p e ra tu r a s c o r p o r a le s .

L e s d atos siguientes muestran

98.6

98.6

98.0

98.0

99.0

98.4

98.4

98.4

98.4 97.6

98.6 97.7

98.6 98.8

98.8 98.0

98.6 98.0

97.0 98.3

97.0 98.5

98.8 97.3

98.7

97.4

98.9

98.6

99.5

97.5

97.3

97.6

98.2 97.2

99.6 98.4

98.7 98.6

99.4 98.2

98.2 98.0

98.0 97.8

98.6 98.0

98.6 98.4

98.6

98.6

In fo rm a c ió n p e r d id a .

L a tabla siguiente m uestra las c a ­

lificaciones d e un exam en final en una clase de inglés. L a

P r á c tic a c o n ta b la d e f re c u e n c ia s .

tabla está incom pleta. U tilice la inform ación d ad a p ara h e­

Una g u ía de l a ciu ­

nar las entradas perdidas en la tabla.

dad d e N ueva Y ork lista restaurantes d e 5 estrellas (la m ás alta calificación), 10 de cuatro estrellas, 20 d e tres estrellas, 15 d e d o s estrellas y 5 d e una estrella. Construya una tabla

n.

36

39

97.2, 97.3-97.6, 97.7-98.0, etcétera.

C o n c e p to s y a p lic a c io n e s

A

37

55

las tem peraturas (°F) d e su jeto s elegid os aleatoriamente. Construya una tabla d e frecuencias co n siete clases: 96.9-

la s c la se s disminuye, e l número d e clases aumenta.

9. P rá c tic a c o n t a b la d e fre c u e n c ia s .

32

C a te g o ría

F r e c u e n c ia

F r e c u e n c ia re la tiv a

de frecuencias para estas calificaciones. Incluya colum nas para la s frecuencias relativa y acum ulada. E xplique breve­ mente e l significado d e cad a columna.

A

?

?

B

?

18%

C

?

24%

Construya una tabla d e frecuencias para los pesas (en libras) dad os a continuación d e 36 latas d e C oca regular. Inicie la primera clase en 0.7900 libras y utilice un

D

n

?

F

6

?

P esos d e C o c a .

T o ta l

•>

50

ancho de la cla se d e 0 .0050 libras. A nalice su s hallazgos. 16.

In fo rm a c ió n p e r d id a .

L a tabla siguiente m uestra las c a ­

0.8192

08150

0.8163

0.8211

0.8181

0 .8247

0.8062 0.7901

08128 08244

0.8172 0.8073

0 .8110 0.8079

0.8251 0.8044

0 .8264 0 .8 1 7 0

lificaciones de d o s presentaciones en una clase d e teatro. La tabla está incom pleta. Utilice la inform ación dada para

0.8161

08194

0.8189

0.8194

0.8176

0 .8284

llenar las entradas perdidas en la tabla.

0.8165 0.8207

08143 08152

0.8229 0.8126

0 .8150 0.8295

0.8152 0.8161

0 .8244 0 .8192

12. P e s o s d e C o c a d e d ie ta .

C a te g o ría

Construya una tabla d e frecuen­

c ia s para los p eso s (en libras) dad os a continuación d e 36 la ta s d e C oca d e dieta. Inicie la primera clase en 0 .7 7 5 0 li­ bras y utilice un ancho d e la clase de 0 .0050 libras. Analice su s hallazgos. 0.7868 0.7879

0.7844 0.7881

0.7861 0 .7826

F r e c u e n c ia

F r e c u e n c ia a c u m u la d a

A

?

1

B

6

?

c

7

?

D

?

23

F

?

25

T o ta l

?

______________ ? _____________ |

0.7773 0.7806

07758 07830

0.7896 0.7852

0.7923

07852

0.7872

0.7813

0.7885

0 .7760

0.7822 0.7874

07874 07907

0.7822 0.7771

0.7839 0 .7870

0.7802 0.7833

0 .7892 0.7822

a lanzarlo. L o s resultadas se dan en la siguiente tabla de

0.7837

07910

0.7879

0.7923

0.7859

0.7811

frecuencias.

www.FreeLibros.org 17.

U n d a d o ca rg ad o .

Uno d e le s autores hizo un agu jero en

m dado, lo llenó co n un plom o p esad o y luego procedió

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97

3.1 T a b la s d e fre c u e n c ia a.

D e acuerdo con lo s datos, ¿cu án tas v e c e s s e tiró el dad o ?

b.

¿C u án tas v e c e s e l resultado fue mayor q u e 2?

c.

¿Q ué porcentaje d e los resultados fueron 6 ?

d.

L iste la s frecuencias relativas que correspondan a las frecuencias dadas.

e.

L iste la s frecuencias acu m u ladas que correspondan a

Qwerty y de 1 en e l teclado D vorak, com o se muestra a continuación.

■

T

A

T

1

s

T

1

c

s

T e c la d o Q w e r t y

O

1

O

1

1

0

1

1

2

o

(su m a = 7

T e c la d o D v o ra k

O

O

O

0

O

0

o

O

1

0

(su m a =

1

U san do este sistem a d e calificación con c a d a una d e las 52 palabras en e l preám bulo d e la Constitución d e E stados

las frecuencias dadas.

Unidos, obtenem os los valores siguientes. R e s u lta d o

F r e c u e n c ia 27

2

5

1

2

6

3

4

2

4 0 5

2

31

3

42

7 2

7 5

5 4

6 2

6 6

8 2

10 7 6 1

2 7

2 2

10 5 8 7 2 3

4

40

8

1

5

2

5

2

14 2

2

6

3 1 7

1

18.

C alifícacíon es d e ¡a s p a la b ra s con un teclad o Q w erty: 2

5

28

6

32

C alifícacíon es d e ¡a s p a la b ra s con un teclad o D vorak: 2

0

3

1

Considere la

4 0

0 3

3 5

3 0

labia d e frecuencias para e l número d e hijos en fam ilias e s ­

3

0

1

0

I n te rp re ta c ió n

de

lo s

d a to s

fa m ilia re s .

3

0

0

0

2

0

1 3 5 2 0 4

4

2

0

3

0

0

1

1 2

5 0

4 5 0 4

0

0

0

3

1 0

4 1

1

4

tadounidenses. a. a.

D e acuerdo co n los datos, ¿cu án tas fam ilias hay en E s ­ tad os U nidos?

b.

¿C u án tas fam ilias tienen d o s o m enos hijos?

c.

¿Q ué porcentaje d e fam ilias estadounidenses no tienen

d.

Cree una tabla de frecuencias para las calificacion es d e las palabras co n e l teclado Qwerty. U tilice c la se s de 0-2, 3-5, 6-8, 9-11 y 12-14. Incluya una colum na para la frecuencia relativa.

hijos?

Cree una tabla d e frecuencias para la s calificacion es de la s palabras con e l teclado D vorak, utilice las m ism as clases q u e en e l inciso a. Incluya una colum na para la

¿Q u é porcentaje d e fam ilias estadounidenses tienen tres

frecuencia relativa.

b.

o m ás hijos? c. N ú m e ro d e h ijos

19.

Con b ase en su s resu ltados d e los in cisos a y b, ¿cu ál acom odo del teclado e s m ás fácil para escribir? Explique.

N ú m e ro d e fa m ilia s (m illo n e s )

O

3 5 .5 4

1

14.32

2

13.28

3

5.13

4 o m ás

1.97

T e c la d o s d e c o m p u t a d o r a .

L a configuración tradicional

del teclado se denom ina teclado Q w erty por la posición de las letras Q W E R T Y en la fila superior d e las letras. D esa­ rrollada en 1872, la configuración Qwerty supuestam ente forzó a la s personas a teclear m ás despacio d e m odo que

20.

C la s e s d o b le s . Los estudiantes en una clase d e e stad ís­ tica realizan una encuesta d e transporte d e estudiantes en

su preparatoria. Entre otro s datos, para c a d a estudiante, ello s registran la edad y e l tipo d e transporte de su casa a la escuela. L a tabla siguiente proporciona algu n os d atos que s e recolectaron. Para la edad: 1 = 14 añ os, 2 = 15 años, 3 = 16 años, 4 = 1 7 añ os, 5 = 18 añ os. Para transporte: 1 = cam inando, 2 = autobús escolar, 3 = transporte pú­ blico, 4 = manejando, 5 = otro.

E s tu d ia n te E d a d T ra n sp o rte

E s tu d ia n te E d a d T ra n sp orte

las prim eras m áquinas d e escribir no s e atorarán. E l teclado Dvorak, desarrollado en 1936, supuestam ente proporciona

1

1

1

11

3

2

5

1

12

5

5

n i acom od o m ás eficiente, co n la colocación d e las teclas

3

2

2

13

1

2

m ás utilizadas en la fila d e en m edio (o fila "principal”),

4

3

5

14

5

5

donde so n m ás accesibles. Un artículo d e la revista D isco ver su girió q u e usted

5

4

3

15

5

5

podía medir lo fácil d e teclear usando e l sistem a d e ca lifi­ cación siguiente: cuente cad a letra en la fila principal com o

6

1

1

16

4

4

7

5

2

17

2

2

0, cuente cad a letra en la fila superior co m o 1 y cuente cada letra en l a fila inferior com o 2. Por ejem plo, la palabra

8

2

1

18

3

1

9

3

4

19

3

3

sta tistíc s resultaría en u na calificación d e 7 en e l teclado

10

1

3

20

1

4

5

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98

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s a.

b.

C lasifique las d o s variables, ed ad y trasp orte, com o cualitativa o cuantitativa, y proporcione e l nivel d e m e­

24.

Recolecte su propia información de frecuencias para algún conjunto d e c a ­

S u p r o p ia ta b la d e fre c u e n c ia s ( s in c la s e s ).

dida de c a d a una.

tegorías que no requerirán clasificarse. (Por ejemplo, podría

Para analizarse o exhibirse, los d atos deben organizarse

recolectar información preguntando a su s am igos para que hagan una prueba de sabor de alguna marca d e galletas). In­

respecto a am b as variables. Cuente e l número d e estu­

dique cóm o recolectó su s datos y haga una lista de tod os su s

diantes de cad a una d e la s 25 categorías edad/transporte y llene la s celdas vacías en la tabla siguiente.

(fetos sin procesar. Luego resum a lo s datos en una tabla de frecuencia y también incluya una columna para la frecuen­ cia acumulada, s i ésta e s apropiada (L a frecuencia acum u­ lada e s apropiada para todos los d atas excepto para aquéllos a i el nivel nominal de medida). 25.

Recolecte su propia inform ación para algún conjunto d e categorías que

S u p r o p ia ta b la d e fre c u e n c ia s ( s in c la s e s ).

requerirán clasificarse (por ejem plo, p eso s d e su s am igos o calificacion es en algún exam en reciente). Indique cóm o recolectó su s datos, y h aga una lista de tod os su s d atos sin procesar. Incluya una colum na para la frecuencia relativa y para la frecuencia acum ulada.

Proyectos para Internet y más allá P a ra en laces ú tile s seleccion e “L in k s fo r Internet P ro je cts” p a ra e l capítulo 3 en www.aw.com/bbt. 21.

Encuentre un artículo reciente

2 6 . T a b la s d e f re c u e n c ia s .

El sitio web del Departamento de

que incluya algún tipo d e tabla d e frecuencia. D escriba

Información de la Energía de E stad as U nidos ofrece mu­

brevem ente la tabla y có m o e s útil para e l reporte de la noticia. ¿C onsidera q u e la tabla fu e elaborada d e la

T a b la s

d e e n e rg ía .

ch as tablas relativas a l u so d e energía, precios d e energía y contaminación. E xplore la selección d e tablas. Encuentre una tabla d e d atos q u e se a d e su interés y conviértala a una labia d e frecuencias apropiada. D iscuta brevem ente lo que pueda aprender de la tabla de frecuencias que se a m enos

mejor manera posib le? S i e s a sí ¿p o r qu é? S i no, ¿usted qué habría hecho diferente? 2 7 . F re c u e n c ia s re la tiv a s .

Encuentre un artículo reciente

obvio q u e la tabla d e d atos sin procesar.

que proporcione a l m enos algun a inform ación en forma d e frecuencias relativas. D escriba brevem ente la

El sitio web del Centro de M onitoreo para la Conservación M undial en Gran B re­

información, y analice p o rq u é la s frecuencias relativas fueron útiles en este caso.

2 2 . E s p e c ie s e n p e lig r o d e e x tin c ió n .

taña proporciona inform ación sobre esp ecies de anim ales extintas, en peligro d e extinción y am enazadas. Explore estos d atos y resum a algun os de su s hallazgos m ás impor­ tantes co n tablas d e frecuencias. 23.

E N L A S N O T I C I A S -**--

D a to s .

Encuentre una noticia redente q u e proporcione a l m enos algun a información en la form a d e frecuencia acum ulada. D escriba breve­

2 8 . F r e c u e n c ia s a c u m u la d a s .

mente la inform ación y analice por q u é la s frecuencias

L a relació n a i om biígo s e define co m o la altura de

una persona dividida entre la altura (desde e l piso) a su o m ­ bligo. Y una v ie ja teoría d ice que, en prom edio, la razón a l om bligo e s la razón áurea (a v e c e s llam ada razón d e oro

acum uladas fueron útiles en este caso. 2 9 . D a to s d e te m p e ra tu ra .

Busque en un periódico un

reporte d e clim a q u e liste la s tem peraturas m ás altas

o dorada): (1 + V 5 ) / 2 . M ida la relación a l om b ligo de

esperadas en m uchas ciudades d e E stad os Unidos. (Saque una fotocopia para que su profesor pueda verla).

tod as la s personas d e su clase. ¿Q u é porcentaje tiene una razón dentro del 5% d e la razón áu rea? ¿Q u é porcentaje

Seleccion e c la se s apropiadas, construya u na tabla de

d e estudiantes tienen una razón áurea dentro d el 10% d e la

frecuencias para la inform ación d e tem peraturas m ás altas. Incluya u na colum na para la frecuencia relativa

razón áurea? ¿P arece confiable esta vieja teoría?

y para la frecuencia acum ulada. D escriba brevem ente cóm o y por q u é eligió su s clases.

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3 .2 D is tr ib u c ió n g r á f i c a d e d a t o s

99

3 .2 D istrib u ció n gráfica d e d ato s

U

na tabla d e frecuencias muestra có m o una variable s e distribuye en las categorías s e ­ leccionadas, por lo que decim os q u e resum e la d is t r ib u c ió n de lo s datos. Aunque las tablas pueden ser extraordinariamente útiles, con frecuencia obtenem os una mayor

idea d e la distribución con un dibu jo o gráfica. E n e sta sección estudiarem os algu n os d e los m étodos m ás com un es para mostrar distribuciones d e datos.

D efin ició n L a d is tr ib u c ió n d e u n a v a r ia b le s e r e f ie r e a la f o r m a e n q u e s u s v a lo r e s s e e x t ie n d e n s o b r e t o d o s lo s v a lo r e s p o s ib le s . P o d e m o s r e s u m ir u n a d i s t r ib u c ió n e n u n a t a b la o m o s ­ t r a r u n a d is t r ib u c ió n d e m a n e r a v is u a l p o r m e d io d e u n a g r á f ic a .

G ráfica s de b a rras, d ia g ra m a s de p u n to s y d ia g ram a s de P areto U na ¿pática d e b a rra s es una d e las m aneras m ás sencillas d e representar u na distribución. L a s gráficas d e barras so n utilizadas para d atos cualitativos. C ad a barra representa la frecuencia (o frecuencia relativa) d e una categoría: cuanto m ayor se a la frecuencia m ás larga será la barra. L a s barras pueden ser verticales u horizontales. A hora crearem os una gráfica de barras verticales co n lo s d atos d e la calificación d e un en sayo d e la tabla 3.1. N ecesitam os cinco barras, u na para cad a una d e las cinco categorías Gas calificacion es A , B, C , D, F ). L a altura d e cada barra deb e corresponder a la frecuencia d e su categoría. L a figura 3.1 m uestra e l resultado. O bserve las siguientes características clav e en la construcción d e la gráfica: •

Puesto q u e la m ayor frecuencia e s 9 (la correspondiente a la s calificaciones C ), elegim os hacer q u e la esca la vertical vay a d e 0 a 10. E sto asegu ra que incluso la barra m ás alta no toque la parte superior d e la gráfica.

•

L a gráfica no deb e ser dem asiado pequeña ni dem asiado grande. En este caso parece c o ­ rrecto seleccionar u na altura total d e 5 centímetros, lo q u e e s conveniente y a q u e sign ifica que c a d a centím etro corresponde a una frecuencia d e 2.

Datas d e l» caU B rariofs del «mayo L a ah u rad e una barra nos dice la frecuencia de su categoría.

36% 32% 28% 24% Para datos cualitativos las barras no se tocan.

u.

20 %

T a b la 3.1

( r e p e t id a )

C a lific a c ió n

F re c u e n c ia

A

4

- 16%

B

7

12%

C

9

8%

D

3

4%

F

2

T o ta l

25

www.FreeLibros.org C

D

Calificación

F ig u ra 3.1

G r á f ic a d e b a r r a s p a r a la s c a lif ic a c io n e s

d e l e n s a y o d e la t a b la 3.1.

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100

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s •

La altura d e cad a barra deb e ser proporcional a su frecuencia Por ejem plo, co m o c a d a cen ­ tímetro corresponde a una frecuencia d e 2, la barra q u e representa una frecuencia d e 4 debe

•

tener una altura de 2 centímetros. Y a q u e los d atos so n cualitativos, la anchura d e las barras no tiene un sign ificad o especial, y no hay razón para q u e s e toquen entre ellas. Por tanto, dibú jelas co n anchuras uniformes.

L a rotulación d e las gráficas e s m uy importante. S in etiquetas apropiadas una gráfica ca­ rece d e sentido. E l resum en siguiente proporciona las etiquetas importantes para casi cualquier gráfica. O bserve cóm o e stas reglas s e aplicaron en la figura 3.1.

E tiq u e tas im p o rtan tes p a ra la s g ráfica s T í t u l o / p i e d e f ig u r a : la g r á f ic a d e b e t e n e r u n t í t u l o o u n p ie d e f ig u r a ( o a m b o s ) q u e e x p liq u e lo q u e s e m u e s t r a y , s i e s a p lic a b le , lis t e la f u e n t e d e lo s d a t o s . E s c a la y e t iq u e t a d e l e j e v e r t ic a l: lo s n ú m e r o s a lo la r g o d e l e je v e r t ic a l d e b e n in d ic a r c la r a m e n t e la e s c a la . L o s n ú m e r o s d e b e n a lin e a r s e c o n la s marcas', la s m a r c a s a lo la r g o d e l e je u b ic a n d e m a n e r a p r e c is a lo s v a lo r e s n u m é r ic o s . I n c lu y a u n a e t iq u e t a q u e d e s ­ c r ib a la v a r i a b le q u e s e m u e s t r a e n e l e j e v e r t ic a l. E s c a la y e t iq u e t a d e l e j e h o r iz o n t a l: la s c a t e g o r ía s d e b e n in d ic a r s e c o n c la r id a d a lo la r g o d e l e je h o r iz o n t a l. ( L a s m a r c a s p u e d e n n o s e r n e c e s a r ia s p a r a d a t o s c u a lit a t iv o s , p e r o s í l o s o n p a r a d a t o s c u a n t it a t iv o s ) . I n c lu y a u n a e t iq u e t a q u e d e s c r i b a la v a r ia b le q j e s e m u e s t r a e n e l e je h o r iz o n t a l. L e y e n d a : s i s e e x h ib e n v a r i o s c o n j u n t o s d e d a t o s e n u n a s o la g r á f ic a , in c lu y a u n a l e ­ y e n d a o c la v e p a r a i d e n t if ic a r lo s c o n j u n t o s in d iv id u a le s d e d a t o s .

Un d b ^ a m a d e p u n to s es una variación d e una g rá fica de barras en la q u e utilizam os puntes en lugar de barras para representar la s frecuencias. C ada punto representa un valor de dato; por ejem plo, una pila con 4 puntos sign ifica una frecuencia d e 4. L a figura 3.2 muestra un diagram a d e puntos para e l conjunto d e d atos del en sayo. L o s diagram as d e puntos son conve­ nientes cuando se hacen gráficas d e d atos sin procesar, y a q u e puede contar los d atos haciendo un punto por cada dato. Luego puede decidir convertir la gráfica en una gráfica d e barras para un reporte formal. P a t o d e l a s a ü f i r a r i a n » del « s a y o 10 r -

9 „

8 -

1 A

B

C

D

F

Calificación F ig u r a 3 . 2

G r á f ic a d e p u n t o s p a r a lo s d a t o s

www.FreeLibros.org d e l e n s a y o d e la t a b la 3.1.

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3.2 D is t r ib u c ió n g r á fic a d e d a t o s

101

C ím o c ú d a d fs m ás g a n d e s E sta g ráfica de barras tiene las barras en orden alfabético.

Un diagram a de Pareto coloca las barras en orden descendente.

•§

C hicago

F ig u r a 3 .3

Filadelfia

Houston

L o s A ngeles Nueva York

Nueva York L o s Á ngeles

Chicago

Ciudad

Ciudad

(a)

(b)

Houston

Filadelfia

( a ) G r á f ic a d e b a r r a s q u e m u e s t r a la s p o b la c io n e s p a r a la s c i n c o c iu d a d e s m á s g r a n d e s d e E s t a d o s U n id o s

( 2 0 0 5 ) . ( b ) D ia g r a m a d e P a r e t o p a r a lo s m is m o s d a t o s . Fíjente:O fic in a d e l Censo d e Estados Unidos.

L a figura 3 .3 a muestra una gráfica de barras de poblaciones para la s cin co ciudades m ás grandes en E stad os U nidos. E n este caso, las cinco ciu dades so n las categorías y su s poblacio­ nes so n las frecuencias; las ciu dades s e listan en orden alfabético. L a figura 3 .3 b muestra los

A p r o p d s ito ...

m ism os datos, pero con la s barras acom odad as en orden descendente. U na gráfica d e barras en

Los diag ram as d e P a re to los

la cu al é stas s e acom odan en orden d e su frecuencia s e denom ina d b g y a n a d e Pareto. Ob­ serve q u e e l reacom odo d e las barras só lo tiene sentido s i lo s d atos so n cualitativos en e l nivel

inven tó e l e c o n o m ista italiano V ilfre d o P areto (1848-1923).

nominal d e m edida, co m o son cuando las categorías so n ciudades. Por ejem plo, no tendría

P areto es m e jo r c o n o c id o p o r el

sentido hacer un diagram a de Pareto para lo s d atos d e la s calificaciones d e nivel ordinal de la figura 3.1, y a q u e co locar las barras en orden d e frecuencias pondría las calificacion es en el

d e sa rro llo d e m é to d o s d e análisis

orden C , B, A, D, F.

d e d istrib u cio n e s d e ingresos, p ero q u iz á s u s c o n trib u c io n e s más im portantes fu e ro n e n e l d esa rro llo efe nu evas fo rm a s d e a p lica ció n de

1 _S M O M E N T O D E R E F L E X I Ó N ________________________

la m atem ática o la e sta d ística al análisis e co n ó m ico .

¿ S e r ía p r á c t i c o c o n s t r u ir u n d i a g r a m a d e p u n t o s p a r a la in f o r m a c ió n d e la p o b la c ió n e n la f ig u r a 3 .3 ? ¿ T e n d r ía s e n t id o h a c e r u n d ia g r a m a d e P a r e t o p a r a lo s d a t o s c o n c e r n ie n t e s a c a lif ic a c io n e s d e l S A T ? E x p liq u e .

D efin icio n es U n a g r á f i c a d e b a r r a s c o n s is t e e n b a r r a s q u e r e p r e s e n t a n la s f r e c u e n c ia s ( o f r e c u e n c ia s r e la t iv a s ) p a r a c a t e g o r ía s p a r t ic u la r e s . L a s lo n g it u d e s d e la s b a r r a s s o n p r o p o r c io n a le s a la s f r e c u e n c ia s . U n d ia g r a m a d e p u n t o s e s s im ila r a u n a g r á f ic a d e b a r r a s , s a l v o q u e c a d a d a t o in d i v i ­ d u a l se r e p re s e n ta p o r un p u n to . U n d ia g r a m a d e P a r e t o e s u n a g r á f i c a c o n b a r r a s a c o m o d a d a s e n o r d e n d e f r e c u e n c ia s . L o s d ia g r a m a s d e P a r e t o t ie n e n s e n t id o s ó lo p a r a d a t o s e n e l n iv e l n o m in a l d e m e d id a .

E JE M P L O 1

E m is io n e s d e d ió x id o d e c a rb o n o

E l d ióxido d e carbono s e libera a la atm ósfera principalm ente por la com bustión d e com busti­ b les fósiles (petróleo, carbón, g a s natural). L a tabla 3.11 lista los ocho p aíses q u e anualmente em iten la m ayoría del d ióxido d e carbono. Construya diagram as d e Pareto para las em isiones

www.FreeLibros.org totales y para e l prom edio de em isiones por persona. A n alice por q u é lo s d o s diagram as pare­ cen tan diferentes.

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102

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s

T a b la 3.11

L o s o c h o líd e r e s m u n d ia le s e n e m is ió n d e d ió x id o d e c a r b o n o

N O TA TÉC N IC A L a ta b la 3.11 d a las em isio n e s en té rm in o s d e l p e s o d e l c a rb o n o co n te n id o e n e l d ió x id o d e ca rb o n o e m itid o ( C O 2), p e ro n o in clu y e el p eso d e l o x íg e n o e n e s te últim o. Desenlace

P a ís / re g ió n

E m is io n e s to ta le s d e

E m is io n e s d e d ió x id o de

d ió x id o d e c a r b o n o

c a r b o n o p o r p e rs o n a

(m illo n e s d e to n e la d a s m é tric a s d e c a r b o n o )

( to n e la d a s m é trica s d e carb o n o )

E s t a d o s U n id o s

15 8 2

5 .4

C h in a

966

0 .7

R u s ia

438

3 .0

Ja p ó n

329

2 .6

In d ia

280

0 .3

A le m a n ia

230

2 .8

Canadá

164

5.2

R e in o U n id o

154

2 .6

P je n te : Departamento de Energía d e Estados U nidos. D alos publicados e n 2007, que muestran las em isiones de 2003.

S o lu c ió n L a s categorías so n lo s p aíses y la s frecuencias lo s valores. Puesto q u e e l rango de v alo re s para las em isiones totales d e d ióxido d e carbono v a d e 154 a 1 582, un ran go d e 0 a 1600 e s una buen a elección para la e scala vertical. Para construir un diagram a d e Pareto pone­ m os las barras en orden descendente de tam año. L a altura d e cad a barra corresponde a su valor y rotulam os la categoría (país) b a jo la barra. L a figura 3.4a muestra la g rá fica resultante para las em isiones totales d e dióxido de carbono. L a figura 3.4b muestra e l diagram a de Pareto para las em isiones por persona, un rango vertical de 0 a 6 abarca todos lo s datos. O bserve q u e los d o s diagram as de Pareto tienen a lo s p aíses en orden diferente. E sto nos indica que lo s m ayores em isores d e dióxido de carbono no necesariam ente so n lo s m ayores em isores por persona. Por ejem plo, China s e clasifica com o e l segundo m ayor em isor total, pero las em isiones por persona están m uy por d eb ajo d e E stad os U nidos y de otras naciones desarrolladas.

EmfckaMB totales d e C O z

F ig u ra 3 .4

E m s o a d e COg p o r p a jo n a

D ia g r a m a s d e P a r e t o p a r a ( a ) e m is io n e s d e d i ó x id o d e c a r b o n o p o r p a ís ,

y ( b ) e m is io n e s d e d i ó x id o d e c a r b o n o p o r p e r s o n a .

UN M OM ENTO DE REFLEX IÓ N _______________________

www.FreeLibros.org L a p o b l a c i ó n c o m b in a d a d e C h in a e I n d ia e s m á s d e o c h o v e c e s la p o b la c ió n d e E s t a d o s

U n id o s , s in e m b a r g o , la s e m is io n e s d e d i ó x id o d e c a r b o n o d e E s t a d o s U n id o s s o n m a y o r e s q u e la s d e C h in a e I n d ia ju n t a s . ¿ P o r q u é c r e e q u e e s e l c a s o ? ¿ Q u é c o n s e c u e n c ia s p o d r ía

h a b e r p a r a e l m u n d o s i C h in a e I n d ia t u v ie s e n la s m is m a s e m is io n e s d e d i ó x id o d e c a r b o n o p o r p e r s o n a q u e E s t a d o s U n id o s ?

www.fullengineeringbook.net 122 of 495.

3.2 D is t r ib u c ió n g r á fic a d e d a t o s

103

G ráfica s circulares L a s ^ á f i c a s c ir c u la re s (a v e c e s llam adas g rá fic a s d e pastel) s e utilizan p ara mostrar distri­ buciones d e frecuencias relativas. U na gráfica circular representa la frecuencia relativa total

A p r o p ó sito ... N acionalm ente, e n las

d e 100 %, y lo s tam años d e lo s sectores, o cuñas, representan las frecuen cias relativas d e las

e le ccio n e s d e 2 0 0 6 ,3 7 % d e los

diferentes categorías. L a s gráficas circulares s e utilizan c a si exclusivam ente para d atos cu ali­

estado un id enses e n e d a d d e v o ta r

tativos. C om o un ejem plo sencillo, considere los votantes registrados en e l condado d e Roches-

se id en tificaro n c o m o dem ó cratas,

ter: 25% so n dem ócratas, 2 5 % so n republicanos y 5 0 % so n independientes. Podem os mostrar

c o m o in d ep end ien tes o d e otros

e sta s afiliacion es en una gráfica circular. Y a que lo s dem ócratas y lo s republicanos, cad a uno, representan 25% d e los votantes, los sectores para c a d a uno de ello s ocupa 25% , o un cuarto,

31% c o m o re p u blica n o s y 32% partidos, (fesumen Estadístico de Estados Unidos).

del círculo. L o s independientes representan la mitad d e lo s votantes, por lo q u e su sector ocupa la mitad restante d el círculo. L a figura 3.5 m uestra e l resultado. C om o siem pre, ob serv e la im ­ portancia d e poner un título claro.

V ota e te s registrados e n «i contado d e R od M ster

F ig u r a 3 .5

A f ilia c io n e s p a r t id is t a s d e v o t a n t e s r e g is t r a d o s

en e l c o n d a d o d e R o c h e ste r.

D efin ició n U n a g rá fic a c ir c u la r e s u n c í r c u l o d i v i d i d o d e f o r m a q u e c a d a s e c t o r r e p r e s e n t a la fre­ cu e n cia relativa d e u n a c a t e g o r ía p a r t ic u la r . E l t a m a ñ o d e l s e c t o r e s p r o p o r c io n a l a la f r e c u e n c ia r e la t iv a . E l c í r c u l o c o m p le t o r e p r e s e n t a la f r e c u e n c ia r e la t iv a t o t a l d e 100% .

U na gráfica circular co m o la figura 3.5 e s fácil d e crear, y a q u e e l tam año d e los se c ­ tores representa fracciones m uy sen cillas. Para gráficas circulares m ás com plejas, d eb e tener cuidado en la m edición d e lo s án gu los o utilizar un program a que h aga la s m edidas. Y aunque la s gráficas circulares pueden ser útiles para conjuntos d e d atos sim ples, e l ejem plo siguiente muestra q u e gráficas circulares no siem pre pueden ser la m ejor m anera d e presentar los datos.

E JE M P L O 2

E s p e c i a l i d a d d e e s t u d ia n t e s

www.FreeLibros.org L a figura 3.6 e s u na gráfica circular q u e muestra las principales áreas para estudiantes d e primer año de universidad. Construya un diagram a d e Pareto que muestre los m ism os datos. ¿C u áles son las tres áreas d e especialización m ás com un es? Com ente so b re la facilidad relativa con la cual esta pregunta puede responderse con la gráfica circular y con e l diagram a de Pareto.

www.fullengineeringbook.net 123 of 495.

104

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s

O tros cam pos 9.9%

Indecisos

Técnicas 1 2 . 1%

C iencias sociales 1 0 .0 %

Profesional 11. 6 % Negocios 16.7% físicas

26

. %

F ig u r a 3 . 6

P r in c ip a le s á r e a s p la n e a d a s p o r

F ig u r a 3 . 7

D ia g r a m a d e P a r e t o p a r a lo s d a t o s e n la f ig u r a 3 .6 .

e s t u d ia n t e s u n iv e r s it a r io s d e p r im e r a ñ o .

Miente: TTie ChronJde o f Hígher Educatton.

S o lu c ió n

L a figura 3 .7 muestra e l diagram a d e Pareto para lo s datos. E ste diagram a hace

muy ob v io q u e la s tres áre as d e especialización m ás com unes so n n egocios (16.7% ), artes y humanidades (12.1% ) y profesional (11.6% ). (“Profesional" incluye especialidades en los cam ­ pos con licenciatura, tal co m o arquitectura, enfermería, y farm acología). E n contraste, tom a un poco d e tiem po e l estudio d e la gráfica circular antes d e q u e podam os listar la s tres áreas m ás com unes d e especialización.

UN M OM ENTO D E R EFLEX IÓ N _______________________ E l e j e m p lo 2 e s t u d i a u n a v e n t a j a d e l d ia g r a m a d e P a r e t o s o b r e u n a g r á f ic a c ir c u la r m o s ­ t r a n d o lo s d a t o s r e la t iv o s a á r e a s d e e s p e c ia liz a c ió n . ¿ C o n s id e r a q u e la g r á f ic a c ir c u la r t ie n e a lg u n a s v e n t a j a s s o b r e e l d ia g r a m a d e P a r e t o ? S i e s a s í, ¿ c u á le s s o n ?

Histogramas y diagramas de tallos y hojas N O T A T É C N IC A D iversos te xtos d e fin e n los

L a figura 3.8 muestra una gráfica d e barras para la inform ación del u so d e la energía d e la tabla 3.4. E l eje horizontal está m arcado co n la s categorías del u so de energía por persona por año

té rm in o s histogram a y g ráfica de

(en millones de B T U ), y e l e je vertical está m arcado co n la s frecuencias (número d e estados)

barras de fo rm a d iferente, y no

que corresponden a cad a categ o ría C om o en toda gráfica de barras, la s longitudes d e la s barras

existen d efin icio n e s universalm ente

son proporcionales a la s frecuencias. S in em bargo, a diferencia d e las barras en las gráficas que hicim os anteriormente con d atos cualitativos, la s barras en esta gráfica caen en un orden

ace p tad as. En e s te lib ro una g rá fic a d e barras e s cu a lq u ie r g rá fic a q u e u tilic e barras, y los histogram as son los tip o s d e barras

natural co n b ase en los valores d e la categoría. A dem ás, lo s anchos d e las barras en la figura 3.8 tienen un sign ificad o específico, en este caso n os dicen e l rango d e valores en cad a una de

usadas p ara d a to s cua n titativ o s en

las categorías de u so d e la energía. Este tipo de gráfica de barras, en e l q u e la s barras tienen un

el nivel d e in te rv a lo o d e ra zó n de

orden natural y las anchuras d e la s barras tienen un sign ificad o específico, s e denom ina hfeto^ a m a L a s barras en un histograma s e tocan y a q u e no hay separación entre las categorías.

medida.

E l histogram a del u so d e energía revela co n claridad las tendencias listadas en una tabla d e frecuencias com o la 3.4. S in em bargo, ni l a tabla d e frecuencias ni e l histogram a pro­ porcionan tod os los detalles del conjunto original d e d atos d e la tabla 3.3. Por ejem plo, el

www.FreeLibros.org histogram a n os d ice q u e un estado tiene u so d e en ergía en la categoría de 800 -8 9 9 m illones

de B T U por persona, pero no n o s d ice cuál e s o e l valor preciso del u so d e en ergía para ese

www.fullengineeringbook.net 124 of 495.

3.2 D is t r ib u c ió n g r á fic a d e d a t o s

105

U so d e o i a ^ a «stafcil

100

200

300

400

500

600

700

800

900 1000 1100 1200

Consum o de energía por persona (m illones de BTU) F ig u ra 3 .8

H is t o g r a m a p a r a lo s d a t o s e n la t a b la 3 .4 .

estado. E l d ia m a n t a d e t a llo s y b o f a s (o d iagram a d e tallo s ) d e l a figura 3.9 proporciona una vista m á s d etallad a d e los datos. S e p arece a un histogram a g ira d o excep to q u e en lugar d e barras v e m o s una lista d e d atos — en este caso, lo s estad os— para c a d a categoría. Por ejem p lo, ahora podem os ver q u e e l esta d o en la categoría 800-899 m illones d e B T U por persona e s Louisiana.

1100-1199

AK

1000-1099 900-999 800-899

WY LA

700-799 600-699 500-599

ND TX

400-499 300-399

A L A R IA IN K S K Y M S M T O K W V

200-299

D E G A ID IL M E M I M N M O N E N M N C OH PA S C S D T N V A W A WI A Z C A C O C T F L H I M D M A N V N H N J N Y O R RI U T V T

Tallo F ig u ra 3 .9

H ojas

D ia g r a m a d e t a llo s y h o ja s p a r a lo s d a t o s d e u s o d e e n e r g ía d e la t a b la 3.3.

Otro tipo d e diagram a d e tallos y h ojas lista lo s v alo res individuales. Por ejem plo, la figura 3 .1 0 muestra un diagram a d e tallos y h ojas para las em isiones por persona d e dióxido d e carbono d e la tabla 3.11. E n este c a so c a d a valor s e representa co n un tallo que co n siste en e l primer d ígito (y e l punto decim al) y una h o ja consiste en e l dígito restante. Podem os leer lo s valores directamente d e este diagram a. Por ejem plo, la primera fila muestra los valores 0.3 y 0.7.

0.

3 7

1. 2. 3.

6 6 8 0

4. 5.

F ig u ra 3.10

D efin icio n es

2 4

D ia g r a m a d e t a llo s

y h o ja s q u e m u e s t r a d a t o s

U n h is to g ra m a e s u n a g r á f ic a d e b a r r a s q u e m u e s t r a u n a d i s t r ib u c ió n p a r a d a t o s c u a n t i­ t a t iv o s ( e n e l n iv e l d e in t e r v a lo o d e r a z ó n d e m e d id a ) ; la s b a r r a s t ie n e n u n o r d e n n a t u ­

n u m é r ic o s , e n e s t e c a s o la s e m is io n e s d e d i ó x id o d e c a r b o n o

www.FreeLibros.org ra l y la s a n c h u r a s d e la s b a r r a s t ie n e n u n s ig n if ic a d o e s p e c íf ic o . U n d ia g ra m a d e ta llo s y h o ja s ( o

diagram a d e tallo s)

e s m u y p a r e c i d o a u n h is t o g r a m a

g ir a d o , s a l v o q u e e n lu g a r d e b a r r a s v e m o s u n lis t a d o d e d a t o s .

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p o r p e r s o n a d e la t a b la 3.11.

106

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s

T a b la 3.12

Edades de

a c tr ic e s e n el m o m e n to d e r e c ib ir el p re m io d e la a c a d e m ia 1 9 7 0 - 2 0 0 7

E JE M P L O 3

A c t r ic e s g a n a d o r a s d e u n O s c a r

L a tabla 3.12 muestra las edades (en e l momento que gan aron e l premio) d e actrices gan ad oras del prem io d e la academ ia d esd e 1970 a 2007. Construya un histogram a para mostrar esto s datos. A nalice lo s resultados.

Edad

N ú m e ro d e a c tr ic e s

2 0 -2 9

8

3 0 -3 9

18

4 0 -49

8

5 0 -5 9

0 2

6 0 -69 7 0 -7 9 8 0 -8 9

1 1

S o lu c ió n La frecuencia m ás alta e s 18 (actrices), por lo que elegim os 2 0 co m o la altura del histogram a. C om o en cualquier gráfica d e barras, la altura de cad a barra corresponde a la

frecuencia para la categoría. L a anchura d e cad a barra cubre 10 añ o s com pletos, por lo q u e las barras s e tocan. L a figura 3.11 m uestra e l resultado. V em os q u e e s m ás probable q u e la s actri­ ces ganen O scares cuando son m uy jó v en es. E n contraste, lo s actores hom bres tienden a ganar O scares a ed ades m ás grandes (vea e l ejercicio 13 en la sección 3.1). M uch as actrices creen que estos hechos reflejan una form a sutil d e discrim inación: lo s productores d e H ollyw ood rara vez producen películas q u e caractericen a m ujeres m ayores en papeles principales. 19702007

m

A p r o p ó s it o ... L a a c tr iz d e m a y o r e d a d g an ad ora d e un O sca r fu e J e s s ic a Tandy, q jie n g a n ó e n 1990 por la película

Driving Miss Daisy. 20

30

40

50

60

70

80

Edad en el momento del premio F ig u ra 3.11

H is t o g r a m a p a r a e d a d e s d e a c t r ic e s g a n a d o r a s d e l O s c a r .

U N M O M E N T O IDE IR EEILEX IÓ N ¿ Q u é in f o r m a c ió n a d ic io n a l n e c e s it a r ía p a r a c r e a r u n d ia g r a m a d e t a ll o s y h o ja s p a r a la s e d a d e s d e a c t r ic e s c u a n d o g a n a r o n e l p r e m io d e la a c a d e m i a ? ¿ C ó m o s e v e r ía e l d ia g r a m a d e t a llo s y h o ja s ?

G ráfica s de líneas N O TA TÉC N IC A

A l igual q u e un histograma, una fp á f ic a d e Ifaieai muestra una distribución de datos cuantitati­

Una g rá fic a d e líneas c re a d a co n

vos. S in em bargo, en lugar de usar barras, un diagram a d e líneas conecta una serie de puntos. L a

base e n un c o n ju n to d e d a to s de

pcsición vertical de cada punto representa una frecuencia; lo s puntos van donde iría la parte su p e­ rior d e una barra en un histogram a. L a figura 3.12 muestra una gráfica de líneas para lo s datos

fre cue ncia a v e c e s se c o n o c e co m o

polígono de frecuencias, y a que co n siste en v a rio s se g m e n to s de rectas q u e to m a n la fo rm a d e una fig u ra d e m u cho s lados.

de energía d e la tabla 3.4. Para comparar sobreponem os e l histograma d e la figura 3.8. O bserve una sutileza importante a l interpretar una gráfica d e líneas. L a s posiciones ho­ rizontales d e lo s puntos corresponden a lo s cen tros d e la s clases. Por ejem plo, e l punto que representa la clase para 300-399 m illones d e B T U está ubicado en 349.5 m illones de B T U . Por tanto, s i no sa b e a lg o m ás, podría considerar q u e e l punto sign ifica que 19 estad os tienen un uso d e la energía d e exactam ente 349.5 m illones d e B T U por persona, cuando en realidad 19 estados están en e l ran god e 300-399 millones d e B T U por persona.

D efin ición

www.FreeLibros.org U n d ia g ra m a o g rá fic a d e lín e a s m u e s t r a u n a d i s t r ib u c ió n d e d a t o s c u a n t it a t iv o s c o m o

u n a s e r ie d e p u n t o s c o n e c t a d o s p o r m e d io d e r e c t a s . P a r a c a d a p u n t o , la p o s ic ió n h o ­ r iz o n t a l e s e l c e n tro d e la c l a s e q u e r e p r e s e n t a y la p o s ic ió n v e r t ic a l e s e l v a l o r d e la

f r e c u e n c ia p a r a e s a c la s e .

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3.2 D is t r ib u c ió n g r á fic a d e d a t o s

107

U so d e m ^ a estatal

•8

i 100 2 0 0

3 0 0 4 0 0 5 00 6 0 0

700 8 0 0

9 0 0 1 0 0 0 1 100 1 2 00

Consum o de energía per cápita (millones de BTU) F ig u ra 3.12 G r á f ic a d e lín e a s p a r a lo s d a t o s d e u s o d e e n e r g ía , c o n u n h is t o g r a m a s u p e r p u e s t o p o r c o m p a r a c ió n .

E JE M P L O 4

D istr ib u c ió n d e e d a d e s

L a tabla 3.13 muestra la distribución de la población de E stados U nidos d e acuerdo co n catego­ rías de ed ades. Construya un histogram a y una gráfica d e líneas para estes datos. S i hiciera una g rá fica sim ilar para ed ades, dentro d e 20 añ o s ¿cóm o esperaría q u e fuese diferente?

T a b la 3.13

D is t r ib u c ió n e s tim a d a d e e d a d e s d e la p o b la c ió n d e E s t a d o s U n id o s , 2 0 0 7

C a te g o ría d e

P o b la c ió n

C a te g o ría d e

P o b la c ió n

C a te g o ría d e

P o b la c ió n

edad

(m illo n e s )

edad

(m illo n e s )

edad

(m illo n e s )

0 -4

2 1 .0

3 5 -3 9

1 9 .0

7 0 -7 4

9 .0

5 -9

19.4

4 0 -4 4

2 0 .4

7 5 -7 9

7.2

1 0 -1 4

1 9 .9

4 5 -4 9

2 2 .2

8 0 -8 4

5 .6

15 -1 9

21.7

5 0 -5 4

2 2 .0

8 5 -8 9

3 .5

2 0 -2 4

21.2

5 5 -5 9

19.2

9 0 -9 4

1.6

2 5 -2 9

19.8

6 0 -6 4

16.3

9 5 -9 9

0 .6

3 0 -3 4

1 9 .0

6 5 -6 9

12.2

100

o m ás

0.1

Fíjente: O fic in a d e l Censo d e Estados Unidos.

S o lu c ió n

L o s dates y a están separados en clases co n intervalos de 5 añ o s (excepto por la

últim a categoría d e “ 100 o m ás"). Construim os e l histogram a representando la frecuencia (po­ blación) en c ad a categoría con una barra. L a figura 3.13 muestra e l resultado. S o b re este histo­ gram a está sobrepuesta una gráfica d e lín eas en la que un punto s e co locó en e l centro d e cad a categ o ría Por ejem plo, e l punto que representa la cla se d e 25 a 29 añ o s de ed ad está ubicado en 27.5 so bre e l e je horizontal. Por consistencia, m ostram os la categoría “ 100 o m ás" co m o si fuese 100-104, pero la etiqueta en e l e je horizontal muestra lo q u e realmente sign ifica. M uchas tablas d e frecuencia incluyen categorías con un extrem o abierto, com o “ 100 o m ás" cuando se tiene una pequeña cantidad d e valores extrem os en un ran go am plio. S i h iciésem o s una g rá fica sim ila r dentro d e 2 0 añ o s, esp e raríam o s ver d o s d iferen cias prin cipales. Prim era, to d as la s frecu en cias se ría n m ayores d e b id o a l crecim iento p o b lacio ­

www.FreeLibros.org nal. S eg u n d a , habría un m ayor crecim ien to en la s e d a d e s su p eriores q u e en la s ed ad e s in­ feriores, co n secu en cia d e lo s av an ces en tec n o lo g ía m éd ica q u e perm iten a m á s gen te v ivir m á s añ os.

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108

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s D is tr ib u c ió n » d e e d a d e s d e h p a b l a r i f a d e E s ta d a s U nidos, 2 0 0 7 (estim ada)

F ig u ra 3.13

H is t o g r a m a y g r á f ic a d e lín e a s p a r a lo s d a t o s

d e e d a d e s e n la t a b la 3.13.

D ia g ra m a s d e series de tiem p o L a tabla 3.14 muestra có m o la tasa d e hom icidios en E stad os U nidos ha cam biado a través del tiem po. L a s categorías so n los añ o s y lo s d atos so n las ta sa s d e hom icidios (m edidas en a se si­ natos por cad a 100 0 0 0 personas). Podem os representar e sto s datos, y a se a con un histogram a o con una g rá fica d e líneas; la figura 3.14 m uestra una gráfica d e líneas. Puesto q u e en este caso e l e je horizontal representa tiempo, decim os que esta gráfica e s una fp á fic a d e s e r ie d e tie m p o .

T a b la 3.14

T a s a d e h o m ic id io s e n E s t a d o s U n id o s p o r c a d a lO O O O O p e rs o n a s , d e sd e 1960

H o m ic id io s ( p o r

H o m ic id io s ( p o r

H o m ic id io s ( p o r

10 0 0 0 0 p e rs o n a s)

Año

10 0 0 0 0 p e rs o n a s)

1960

5.1

1976

8 .8

1992

9 .3

1961

4 .8

19 7 7

8 .8

1993

9 .5

1962

4 .6

1978

9 .0

1994

9 .0

1963

4 .6

1979

9.7

1995

8.2

1964

4 .9

1980

10.2

1996

7 .4

Año

Año

100 000 p e rs o n a s)

1965

5.1

1981

9 .8

1997

6 .8

1966

5 .6

19 8 2

9.1

1998

6 .3

1967

6 .2

19 8 3

8 .3

1999

5.7

1968

6 .9

1984

7 .9

2000

5 .5

1969

7.3

1985

7 .9

2001

5 .6

1970

7 .9

1986

8 .6

2002

5 .6

1971

8 .6

19 8 7

8 .3

2003

5.7

1972

9 .0

1988

8 .4

2004

5 .5

1973

9 .4

1989

8 .7

2005

5 .8

1974

9 .8

1990

9 .4

1975

9 .6

1991

9 .8

Fltente: O fic in a d e Estadísticas d e Ju sticia de Estados Unidos.

www.FreeLibros.org D efin ición

U n h is t o g r a m a o u n a g r á f ic a d e lín e a s e n la q u e e l e j e h o r iz o n t a l r e p r e s e n t a tie m p o s e

d e n o m in a g rá fica d e se rie s d e tie m p o .

www.fullengineeringbook.net 128 of 495.

3.2 D is t r ib u c ió n g r á fic a d e d a t o s

109

T asa tle hom icidios «n E stadas U nidas

8.

8 •— « 1 w 8.

J3 3

Año F ig u ra 3.14

G r á f ic a d e s e r ie d e t ie m p o p a r a lo s d a t o s d e t a s a d e h o m ic id io s

d e la t a b la 3.14.

UN M O M EN TO P E R F .n ,R X lñ \______________________ B u s q u e in f o r m a c ió n a m p l i a d a d e la t a b la 3.14 y la f ig u r a 3.14 p o s t e r i o r a 2 0 0 5 . ¿ O b s e r v a a lg u n a t e n d e n c ia e n la t a s a d e h o m ic id io s ?

E JE M P L O 5

D i s m i n u c i ó n d e t a s a d e m o r t a l id a d

L a figura 3.15 muestra una gráfica d e serle de tiem po para la tasa d e mortalidad (muertes por 1 0 0 0 personas) en E stad os U nidos desde 1900. (Por ejem plo, la tasa d e mortalidad en 1905 de 15 sign ifica que, por cad a 1 0 0 0 personas q u e vivían a l inicio d e 1905, 15 d e e lla s morían durante e l año). A nalice la tendencia general y las razones para la tendencia. A dem ás, co n si­ dere e l pico en 1919: s i alguien le d ijese que este pico s e deb ió a las muertes en batalla en la Primera G uerra M undial, ¿ lo creería? Explique.

T¡ k b de m u rta s por o d a 1000 d e p o U ad te 20

15

10 5 1 900

1910

1920

1930

1 940

1950

1960

1 970

1980

1990

2 0 00

2 0 10

Año

Fuente: National C enter for Health Statistics F ig u ra 3.15

T a s a s h is t ó r ic a s d e m u e r t e s e n E s t a d o s U n id o s p o r c a d a 1 O O O p e r s o n a s .

A p r o p ó s ito ... L a tendencia general en la s ta sa s d e mortalidad claramente e s descendente, pre­ sum iblem ente a consecuencia d e lo s adelantos en la cien cia m édica. Por ejem plo, las enferm e­ S o lu c ió n

L a e p id e m ia d e in flu en za d e

1919

m ató a 8 5 0 0 0 0 p erso nas en

d ad es bacteriales, com o la neumonía, fueron la principal c a u sa d e mortandad a principios de

E sta d os Unidos y un e s tim a d o de

1900, pero son m uy curables con lo s antibióticcs actuales. E l pico en 1919 s í coincide con el final de la Primera Guerra M undial. S in em bargo, s i e l pico fuera deb ido a las b ajas en batalla,

2 0 m illones e n to d o e l mundo.

podríam os esperar que s e extendiera durante lo s añ o s d e la Primera Guerra M undial, adem ás de ver un pico sim ilar durante la S eg u n d a Guerra Mundial. L a ausen cia de estas características

fu ero n cau sad as p o r infeccion es

L a m a y o ría d e las m uertes

www.FreeLibros.org sugiere q u e e l pico d e 1919 podría no deberse a la Primera Guerra Mundial. D e hecho, la razón del pico fue una epidem ia mortal de influenza.

www.fullengineeringbook.net 129 of 495.

bacteriales secu n d a rias que

serían cu ra b le s actu alm e n te con

an tibióticos.

110

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s

A lf a b e t iz a c ió n e s ta d ís tic a y p e n s a m ie n to c r ít ic o 1.

D is trib u c ió n .

12.

datos? ¿C ó m o e s m ás útil un histogram a q u e una lista d e v a ­

13.

S i un conjunto d e datos

só lo tiene cinco valores, ¿p o r q u é no deberíam os preocu­ pam os por construir un histogram a? G rá fic a s d e s e rie s d e t ie m p o .

Q u é le e n las p e rs o n a s .

L a gráfica circular en la figura

3.16 muestra los resultados d e una encuesta acerca d e lo q je están leyendo las personas.

lores m uéstrales para la comprensión d e la distribución?

3.

C osto d e com erciales televisivos durante

iniciando en e l primer S ú p er T azón en 1967.

¿Q u é querem os d ecir por la distribución de

2 . C o n ju n to s p e q u e ñ o s d e d a t o s .

Súper Tazón.

el m edio tiem po del ju e g o del Sú per T az ó n para cad a año,

¿Q u é tip o d e d atos s e re­

quieren para la construcción d e una gráfica d e series de tiem po? y ¿q u é revela d e los d atos una gráfica d e series

a.

Resuma estes dates en una tabla d e frecuencias relativas.

b.

Construya un diagram a de Pareto para e sto s datos.

c.

¿C u á l cree q u e e s la m ejor representación de lo s datos: la gráfica circular o e l diagram a d e Pareto? ¿P o r qu é?

d e tiem po? 4.

fe lig ió n

Su pon ga que un conjunto d e d atos s e utiliza para construir un histograma H is to g ra m a y d ia g ra m a d e t a llo s y h o jas.

r & 6%

-------------- T é c n ico /C ie n d a/ f k Educación

y un diagram a d e tallos y hojas. U sando só lo e l histogram a, N o ficció n general

¿ e s posible recrear la lista d e datos originales? U sando só lo el diagrama d e tallos y hojas, ¿ e s posible recrear la lista de datos originales? ¿C u ál e s una ventaja d e un diagram a de tallos y

i M e f l J l e ratu ra'P o e.ia

~~j

C on sulla

r

F icción popular

rá.49¿^\

hojas sobre un histograma?

1

*3

V iaje s/R e gio n a l f

1 .3 %

T o d as la s dem ás c a .e g o .ia s

Para lo s ejercicios 5 a l 8, decida s i e l enun­ ciado tiene sentido (o e s claram ente verdadero) o no tiene sen ­ ¿ T ie n e s e n t id o ?

tido (o claramente e s falso). E xplique claramente; no tod os los enunciados tienen respuestas definitivas, por lo q u e su ex p lic a ­ ción e s m ás importante q u e la respuesta elegida. 5.

H is to g ra m a .

S e utilizó un histogram a para describir una

muestra d e altu ras clasificadas d e acuerdo co n e l color de lo s o jo s del sujeto. 6.

D ia g ra m a d e s e rie d e t ie m p o .

Un diagram a d e serie de

tiempo s e usaría para mostrar la utilidad neta d e diferentes fabricantes d e com putadoras en 2007. 7.

D ia g ra m a d e P a r e to .

U na ingeniera d e control d e calidad

quiere llevar la atención hacia las cau sas principales d e d e ­

Fuente: Book ¡ndustry Study Group F ig u ra 3.16

14.

H is to g ra m a . El histogram a generado co n S T A T D IS K en la figura 3.17 describe lo s niveles de cotinina (en m iligra­

m os por mililitro) d e una m uestra d e su jeto s q u e fum an c i­ garros. L a cotinina e s un m etabólico d e la nicotina, lo que significa q u e la cotinina e s producida por e l cuerpo cuando la nicotina e s absorbida. L o s d atos provienen d e la Tercera Encuesta N acional d e S a lu d y Nutrición. a. ¿C uántos su jeto s están representados en e l histogram a? b.

¿C uántos su jeto s tienen niveles d e cotinina inferiores a 400?

c.

¿C uántos su jeto s tienen niveles de cotinina por arriba efe 150?

d.

¿C u á l e s e l nivel m ás alto d e cotinina d e un su jeto re­

fectos, por lo que ella utiliza un diagram a de Pareto para ilustrar la s frecuencias d e las diferentes c a u sa s d e defectos. 8.

G rá fic a c irc u la r.

Una desven taja importante d e la s g rá fi­

cas circulares e s q u e carecen d e una esca la apropiada.

presentado en este histogram a?

C o n c e p to s y a p lic a c io n e s R e p r e s e n t a c ió n g rá fic a m á s a p r o p ia d a .

Fíjente: WallStreet Journal Almanac.

Los ejercicios 9 a l 12

describen conjuntos d e datos, pero no dan los d a to s reales. Para cada conjunto d e dates indique e l tipo d e gráfica q u e considera m ás adecuado para mostrar los datos, s i estuvieran disponibles. Explique su elección. 9 . C a lif ic a c io n e s d e l S A T .

C alificaciones del S A T d e estu­

www.FreeLibros.org diantes d e estadística.

10. n.

C o lo r d e o jo s .

Colores d e o jo s d e actrices.

C a u s a s d e m u e rte s .

•2C0

O

C ausas d e muertes d e personas que

fallecieron e l año pasado.

F i g u r a 3 .1 7

www.fullengineeringbook.net 130 of 495.

200

Valor muestral

400

«O

3.2 D is t r ib u c ió n g r á fic a d e d a t o s 15.

El ejercicio 11 en la sección 3.1 requirió la construcción de una tabla d e frecuencias de lo s p eso s (en

P esos d e C o ca .

23.

libras) de 36 latas d e C oca regular. U tilice e s a tabla d e fre­ cuencias para construir e l histograma correspondiente. 16.

24.

requirió la construcción de una tabla de frecuencias d e los

gráfica d e puntos. C om pare e l resultado co n l a gráfica de puntos del ejercicio 23. C on base en lo s resultados, ¿qu é configuración d e teclado parece ser m ejor? Explique.

A c to r e s g a n a d o re s d e u n O s c a r .

E l ejercicio 13 en la

sección 3.1 requirió la construcción de una tabla d e fre­

S e r ie d e tie m p o d e D J IA . L o s valores siguientes so n los valores altos del índice industrial D ow Jo n e s (D JIA , por

cuencias d e las ed ad e s d e actores hom bres gan adores del prem io d e la acad em ia en e l momento q u e ganaron su pre­

s u s sig la s en inglés) an u ales iniciando con 1980. L o s datos están acom odad os en orden por renglones. Construya una g ráfica d e serie d e tiem po y lu e go determ ine s i parece

mio. U tilice e s a tabla d e frecuencias para construir e l histo­ gram a correspondiente.

haber una tendencia. ¿U n inversionista podría sac ar prove­

18. T e m p e ra tu r a s c o r p o r a le s .

cho d e esta tendencia?

El ejercicio 14 en la sección

3.1 requirió la construcción d e una tabla d e frecuencias de una lista d e tem peraturas corporales (°F) d e su je to s elegi­ d o s aleatoriamente. Utilice e s a tabla d e frecuencias para construir e l histogram a correspondiente. S e llevó a cab o un estudio para d e ­ terminar có m o obtenía trabajo la gente. L a tabla siguiente

B ú s q u e d a d e tra b a jo .

26.

1000

1024

1071

1287

1287

1553

1956 3413

2722 3794

2184 3978

2791 5216

3000 6561

3169 8259

1 1350

10635

10454

9374

11568

11401

10855

10941

1 2464

S e rie d e t ie m p o p a ra m u e rte s p o r v e h íc u lo s d e m o to r.

L o s valores siguientes so n cifras d e muertes cau sad as por vehículos d e motor en E stados U nidos por años, iniciando

lista los d atos d e 400 su jeto s elegid o s aleatoriamente. L o s cfatos están basad a» en resultados del Centro Nacional de Estrategias Profesionales. Construya un diagram a de Pareto q je corresponda a les d atos dados. S i alguien pudiera obte­

con 1980. L o s d atos están acom od ad os por renglones. Construya una gráfica d e serie d e tiem po y luego determine si parece haber una tendencia. S i e s así, proporcione una

ner un trabajo, ¿cu ál parece ser e l enfoque m ás apropiado?

posible explicación.

F u e n te s d e tra b a jo d e lo s e n c u e s ta d o s

F re c u e n c ia

A n u n c io s

56

C o m p a ñ ía s d e b ú s q u e d a d e e j e c u t iv o s C o n t a c t o s p r o f e s io n a le s

F u e n te s d e tra b a jo .

44 280

E n v ío m a s iv o d e c o r r e o

20

Consulte lo s d atos d el ejercicio 19 y

construya una g rá fica circular. Com pare la g rá fica circular a m e l diagram a d e Pareto. ¿P u ede determinar cuál gráfica

27.

51091 46 087

49301 46 390

43945 4 7087

42589 45582

3 9250

4 0150

40716

41817

42065

42013

41501 42836

41717 4 3443

41945

42196

43005

42884

D ia g ra m a d e ta llo s y h o ja s .

44257 44 599

43825 41508

Construya un diagram a d e ta­

llo s y hojas d e estas calificacion es de exam en: 67, 72, 85, 75, 89, 89, 88, 90, 9 9 , 100. ¿C ó m o m uestra e l diagram a de tallos y hojas la distribución d e los datos? 28. D ia g ra m a d e ta llo s y hojas.

A continuación s e listan las du­

fuentes d e trabajo?

raciones (en minutos) de películas anim adas para niños. Cons­ truya un diagram a de talles y hojas. ¿ E l diagrama de tallos y hojas muestra la distribución de le s dates? S i es así, ¿cóm o ?

C a u s a s d e d e s c a r rila m ie n t o d e tre n e s .

Un an álisis de lo s incidentes d e descarrilam iento d e trenes m ostró q u e 23

83 75

88 79

descarrilam ientos fueron causados por vías en m al estado,

72

82

74

84

90

89

9 d ebidos a fallas en e l equipo, 12 atribuidas a error hu­ mano y 6 a otras cau sas (con b ase en inform ación d e la

82 75

89 64

82 73

74 74

86 71

76 94

es m ás efectiva en mostrar la im portancia relativa d e las

21.

Consulte la inform ación del teclado

D vorak en e l ejercicio 19 de la sección 3.1 y construya una

25.

20.

G rá fic a d e p u n to s .

E l ejercicio 12 en la sección 3.1

P e s o s d e C o c a d e d ie ta .

pondiente.

19.

G rá fic a d e p u n to s . Consulte la inform ación del teclado Q W ER TY en e l ejercicio 19 de la sección 3.1 y construya

una gráfica de puntos.

pesos (en libras) de 36 latas d e C oca d e dieta. U tilice esa labia d e frecuencias para construir e l histogram a corres­

17.

111

120 80

64 78

69 78

71 83

76 77

74 71

75 83

76 80

75 73

81

8 1 90

79

92

81

75

77

70

75

A dm inistración Federal d e Ferrocarriles). Construya una gráfica circular q u e represente los d atos dados. 22.

A n á lis is d e la s ca u sa s d e d e s c a r rila m ie n t o d e tre n e s.

Proyectos para Internet y más allá

www.FreeLibros.org Consulte la inform ación d ad a en e l ejercicio 21 y construya n i diagram a d e Pareto. C om pare e l diagram a d e Pareto con

la gráfica circular. ¿P u ed e determ inar cuál g rá fica e s m ás efectiva en mostrar l a importancia relativa d e la s cau sas de descarrilam iento d e trenes?

P a ra en laces ú tiles seleccion e “L in k s fo r Internet P ro je cts " p a ra e l cap ítu lo 3 en ww w.aw.com /bbt.

En e l sitio w eb d e In tern ation al E nergy Annuai, publicado por e l Departamento d e Inform ación de

2 9 . E m is io n e s d e C 0 2.

www.fullengineeringbook.net 131 of 495.

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s

112

Energía (EIA, por su s sig la s en inglés) busque información actualizada d e em isiones internacionales d e d ióxido d e car­

31.

bono. C ree u na gráfica q u e incluya la últim a información.

b las frecuentemente consultadas". Seleccio n es una tabla que le interese y construya una gráfica d e su s datos. Puede elegir cualquiera d e lo s tipos de gráficas an alizad os en esta

A nalice cualquier inform ación importante de su gráfica. 30.

T a b la d e e n e rg ía .

Explore e l conjunto com pleto d e tablas

sección. E xplique có m o hizo su g rá fica y discuta breve­

de energía en e l sitio w eb del E IA d e E stados U nidos. S e ­ leccione una tabla q u e le parezca interesante y construya una gráfica d e su s datos. Puede elegir cualquiera d e los

R e su m e n e s t a d ís t ic o . V ay a a l sitio web del S tatístíca l A bstract o fth e U nited S tates. E xplore la selección d e “ta­

mente qué puede aprender d e ella. 32.

D a to s d e l o m b lig o .

Cree una exhibición g rá fica apropiada

tipos de gráficas an alizad os en esta sección . E xplique cóm o hizo su gráfica y discuta brevem ente qué puede aprender

de lo s d atos del om b ligo recolectados en e l ejercicio 23 de la sección 3.1. A nalice cualesquiera propiedades especiales

d e ella.

de esta distribución.

E N L A S N O T I C I A S -**= . Encuentre u na n oticia reciente

la efectividad de la gráfica circular. Por ejem plo, ¿sería

que incluya una gráfica d e barras co n categorías cuali­

m ejor s i los d atos fueran presentados en u na gráfica de barras en lugar d e una gráfica circular? ¿ L a gráfica cir­

33. G rá fic a s d e b a rra s.

tativas d e datos. a.

Explique brevem ente q u é muestra la gráfica d e b a ­ rras y analice s i ayuda a l punto que sostien e la noti­

cular podría mejorar d e algun a otra form a? 35. H is to g ra m a s .

Encuentre una noticia reciente q u e in­

cluya un histogram a. Explique brevem ente q u é muestra

cia. ¿ L a s etiquetas so n claras? b.

A nalice brevem ente s i l a gráfica d e barras podría re­ adaptarse com o u na gráfica de puntos.

c.

¿ L a gráfica y a e s un diagram a d e Pareto? S i e s así, explique por q u é considera q u e fu e m ostrada d e esta manera. S i no, ¿con sidera q u e sería m ás clara s i las barras fuesen acom od ad as para construir un diagram a de Pareto? Explique.

Encuentre u na noticia reciente q je incluya una gráfica circular. A nalice brevemente

3 4 . G rá fic a s c irc u la re s .

e l histogram a y analice s i ay u d a a l punto q u e sostiene la noticia. ¿ L a s etiquetas so n claras? ¿ E l histogram a es una gráfica d e serie d e tiem po? Explique. 3 6 . G rá fic a s d e lín e a s .

Encuentre u na noticia reciente que

incluya una gráfica d e líneas. E xplique brevem ente q u é muestra la gráfica d e lín eas y an alice s i ay u d a al punto q u e sostiene la noticia. ¿ L a s etiquetas so n c la ­ ra s? ¿ L a gráfica d e lín eas e s u na gráfica d e serie de tiem po? Explique.

3 .3 G ráficas en los m edios

L

a s gráficas b ásicas que hem os estudiado hasta aquí so n só lo e l inicio d e las m uchas for­ m as de describir lo s d atos d e manera visual. E n esta sección explorarem os algun os de b s tipos m ás com plejos de gráficas q u e so n com un es en lo s medios.

Gráfica de barras múltiple y gráficas de líneas U na ip á fk a d e b a rra s múltiple es una extensión sencilla d e una gráfica de barras común: tiene d o s o m ás conjuntos de barras q u e permiten la com paración entre d o s o m ás conjuntos de dates. T o d o s los conjuntos de d atos deben tener las m ism as categorías d e modo q u e puedan mostrarse en la m ism a gráfica. L a figura 3 .1 8 e s una g rá fica d e barras múltiple q u e muestra la cantidad d e dinero q u e lo s hijos reciben d e su s padres. L a s categorías so n lo s rangos d e edad d e lo s hijos. L o s tres conjuntos de barras representan ingreso sem an al d e tres fuentes paternas diferentes: asign ación (mesada), donativo y p ag o por tareas dom ésticas. (Nota: L a mediana,

www.FreeLibros.org que estudiarem os en la sección 4.1, e s la mitad d e un conjunto d e valores; por ejem plo, la a sig ­ nación m ediana de $3.00 para los h ijos en edad d e 9 -1 0 sign ifica q u e la mitad d e esto s niños recibieron m ás d e $ 3 .0 0 y la mitad recibió m enos d e $3.00).

www.fullengineeringbook.net 132 of 495.

3.3 G r á f ic a s en lo s m e d io s

113

M ediana d ein & Y sas redbid a d é lo s padres

Asignación Donativos

S15

T areas dom ésticas

12

8 o

0

ilL Edad 9 -1 0

E dad 11-12

Edad 13-14

Fuente: Reportes deI consumidory Zillions F ig u ra 3.18

U n a g r á f ic a d e b a r r a s m ú lt ip le . Fíjente: Wall Street Journal Almanac.

U na jp á fic a d e lín e a s m ú ltip le sigu e las m ism as id e as b ásicas q u e la gráfica d e barras múltiple, pero m uestra los conjuntos d e d atos relacionados co n líneas en lugar de barras. L a figura 3.19 muestra una gráfica d e lín eas múltiple d e precios de accion es, de bonos y d e oro durante un periodo d e 12 sem an as. E sta gráfica particular tam bién e s una gráfica d e serie de tiem po, y a q u e muestra d atos so b re e l tiempo.

INDICADOR DEL MERCADO: COMPARACIÓN DE INVERSIONES

A p r o p ó s ito ... A lg u n a v e z , e l o r o fu e c o n sid e ra d o

Cuánto habrían valido hasta ayer

una in versió n só lid a y parte

S 100 invertidos hace 12 sem anas en acciones (medidas p o r e lS & P 500), bon os (índice Lehman de bonos del tesoro) y oro.

cte inversión. Sin em b a rg o , los

im p ortante d e c u a lq u ie r p ortafo lio p recios d e l o r o lan g u id e cie ron en d écadas recientes. A l final d e 2 0 0 6 el o r o te n ía un v a lo r d e s ó lo $ 6 3 0 p o r onza, m u ch o m e n o s q u e su v a lo r a ju sta d o p o r la infla ció n de más d e $ 2 0 0 0 p o r o n z a e n 1980.

Ju lio

F ig u ra 3.19

E JE M P L O 1

A gosto

Sept

U n a g r á f ic a d e lín e a s m ú lt ip le . Fíjente:New York Times.

L e c t u r a d e la g r á f ic a d e in v e r s ió n

Considere la figura 3.19. Su p o n ga q u e e l 7 d e ju lio había invertido $ 100 en un fondo d e acc io ­ nes q u e sigu e a S & P 500, $100 en un fondo d e bon os que sig u e a l índice Lehm an y $ 1 0 0 en oro. S i e l 15 d e septiem bre vende los tres fondos, ¿cuánto habría gan ad o o perdido?

S o lu c ió n

L a gráfica m uestra q u e lo s $ 100 en e l fondo d e accion es habrían tenido un valor

de alrededor de $105 e l 15 de septiem bre. L a inversión de $100 en b on os habría dism inuido a alrededor d e $99, L a inversión en oro habría conservado su v a lo r inicial de $100. E l 15 de

www.FreeLibros.org septiem bre su portafolio com pleto habría valido

$ 1 0 5 + $ 9 9 + $100 = $304

U sted habría gan ad o $4 sobre su inversión total d e $300.

www.fullengineeringbook.net 133 of 495.

114

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s

EJEMPLO 2 Conversión de gráficas A p r o p ó s ito ...

L a figura 3 .2 0 e s una gráfica d e b arras múltiple d e lo s números d e hogares en E stad os Unidos con com putadoras y e l número d e hogares en línea (o conectados a internet). V uelva a dibujar

En 1993 s ó lo 3 m illo n e s de

la gráfica com o una gráfica d e lín eas múltiple. A nalice brevem ente la s tendencias q u e m ues­

personas e n to d o e l m undo estab an co n e c ta d a s a in te rn e t

tran las gráficas.

En 2 0 0 7 e l a c c e s o a internet fue c o m p a rtid o p o r m ás d e

210

m illones d e esta d o u n id e n se s y más cte m il m illones d e personas en to d o e l mundo.

H o g a w coa RC y «n to e* en Estadas Unfcks, 1985-2003 (Enm ilaae>)

1995

F ig u ra 3 .2 0

1997

1999

2001

2003

U n a g r á f ic a d e b a r r a s m ú lt ip le d e la s t e n d e n c ia s

d e c ó m p u t o e n c a s a . Fuente: Resum en E sta d ístico de E stados U n idos

S o lu c ió n Para convertir la g rá fica a una d e lín eas múltiple, deb em os cam biar los d o s con­ ju n tos de d atos d e barras a un conjunto de d o s líneas. C olocam os un punto q u e corresponda a la altura de c a d a barra en e l ce n tró te cad a categoría (año) y lu ego unim os los puntos del m ism o color con una línea de e se color, co m o s e muestra en la figura 3.21.

Hogares con P C y « k n e a m Estados Unidas, 19852003

Año

F ig u ra 3.21

D ia g r a m a d e lín e a s m ú lt ip le q u e m u e s t r a lo s d a t o s d e

la f ig u r a 3 .2 0 .

www.FreeLibros.org L a tendencia m ás o b v ia e s que am b o s conjuntos d e d atos muestran un aum ento con el

tiempo. V em os una segunda tendencia com parando las barras en cad a año. E n 1995 e l número de hogares en línea (alrededor de 10 millones) era menor a un tercio del número d e hogares con com putadora (alrededor d e 33 m illones). En 2003 e l número d e h o gares en línea (alrededor de

www.fullengineeringbook.net 134 of 495.

3.3 G r á f ic a s en lo s m e d io s

115

6 2 millones) fue casi 90% del número d e hogares con com putadora (alrededor d e 7 0 m illo­ nes). E sto nos d ice que un porcentaje m ás alto d e usuarios de com putadora están poniéndose en línea. S i proyectam os la s tendencias a l futuro, parece probable q u e e l número d e hogares en línea s e aproxim ará a l número d e hogares co n computadora, y am bos s e aproxim arán a l número total de hogares en Estados Unidos.

G ráfica s ap ila d as Otra form a d e mostrar d e manera sim ultánea d o s o m ás conjuntos d e d atos relacionados e s con una g 'á fic a a p ila d a , que muestra conjuntos de d atos diferentes en una pila vertical. Aunque lo s d atos puedan estar apilados en la s gráficas d e barras y en la s gráficas d e líneas, e stas últi­ m as so n mucho m ás com unes.

E JE M P L O 3

G r á f i c a a p i l a d a d e lín e a s

L a figura 3.22 muestra las ta sa s d e mortalidad (muertes por 100 0 0 0 personas) para cuatro en ­ ferm edades d esd e 1900. C on b a se en esta gráfica, ¿cu á l fue la tasa de m ortalidad por enferm e­ dad cardiovascular en 1 9 8 0 ? A nalice las tendencias generales v isib les en esta gráfica.

A p r o p ó síto ...

gm sorde

En u n a gráfica apilada, el un sector en un tiempo particular nos indica su valor.

L a ta sa d e m o rta lid a d d e l cá n ce r tu v o un a u m e n to c o n siste n te en casi to d o e l s ig lo xx, a lca n za n d o un p ico e n 1995 d e a lre d e d o r de

Eh 1980 la parte superior del sector cardiovascular e s de alrededor de 6 20 a lo largo del eje vertical ... ... y la parte inferior e s c a si 180. Por lo que la tasa de mortalidad en 1980 para enferm edades cardiovasculares fu e de 6 20 - 180 - 440 (muertes por 100 000)

□

Neumonía

□ Cardiovascular □ Tuberculosis ■

Cáncer

205 m u e rte s p o r 1 0 0 0 0 0 personas. Sin em b a rg o , a p artir d e e se m om en to, la tasa efe m o rta lid a d d e l cá n c e r ha d s m in u id o casi

10%, y

en

2006

el n ú m e ro real d e m u ertes por c á n c e r ( n o s ó lo la ta sa por

100000) d is m in u y ó

por prim era

vez. L o s c ie n tífic o s atrib u yen la d s m in u c ió n p rin cipa lm en te a una d ism in u ció n e n e l n ú m e ro de personas q u e fu m an (s e e stim a c p e fu m a r p ro v o c a a lre d e d o r de F ig u r a 3 . 2 2

U n a g r á f ic a a p i l a d a u s a n d o s e c t o r e s a p i l a d o s . P ie n te s.C e ntro N acion al para

Estadísticas d e S a lu d y Sociedad Am ericana d e l Cáncer.

1/3 d e to d o s los tip o s d e cán cer) y a los a d e lan to s e n la d e te cc ió n tem p ran a y tra ta m ie n to d e l cáncer.

S o lu c ió n

C ada enferm edad tiene su propia región, o sector, coloreada; ob serv e l a impor­

tan cia d e la leyenda. E l gro sor d e un sector en un tiem po particular nos indica su valor en ese tiem po. Para 1980, e l sector cardiovascular s e extiende de alrededor d e 180 a 6 2 0 en e l eje vertical, d e m odo q u e su gro sor e s alrededor d e 440. E sto n os indica q u e la tasa d e mortalidad en 1980 para enferm edades cardiovasculares fu e d e casi 4 4 0 muertes por 100 0 0 0 personas. L a gráfica muestra v arias tendencias importantes. Primera, la pendiente descendente d el sector superior m uestra q u e la tasa glo b al de mortalidad d e estas cuatro enferm edades dism inuyó sustancialm ente, d e casi 800 muertes por 100 0 0 0 en 1900 a alrededor d e 525 en 2003. L a d is ­

www.FreeLibros.org minución radical en e l gro sor del sector de la tuberculosis muestra q u e esta enferm edad fue una gran cau sa d e mortandad, pero c a si h a sid o erradicada d e sd e 1950. M ientras tanto, e l sector del

cáncer muestra q u e la tasa d e mortalidad del cáncer s e elevó d e manera constante hasta m edia­ do s d e la década de le s noventa, pero ha caído d esd e entonces.

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116

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s

D a to s g eo g ráfico s Los d atos del u so de energía en la tabla 3.3 so n un ejem plo d e datos g e o ^ áfico s y a q u e los datos corresponden a diferentes lugares geográficos. U tilizam os e sto s d atos para hacer una tabla d e frecuencias (tabla 3.4), un histogram a (figura 3,8) y un diagram a d e tallos y hojas (figura 3.9). S in em bargo, ésto s n o nos dan un sentido d e algún patrón geográfico en lo s datos. Por ejem plo, no so m o s cap aces d e ver s i lo s estad os a l noreste tienen niveles sim ilares d e uso de energía. L a figura 3.23 muestra una m anera d e presentar las tendencias geográficas. L a s categorías s e codifican con colo res d e acuerdo con la clav e y cad a estado s e colorea d e manera apropiada.

Uso de «w rga por estado

C lave 1 1 0 0 -1 2 0 0 m illones de B T U por persona 900-999 m illones de B T U por persona 800-899 m illones de B T U por persona 600-699 m illones de B T U por persona 500-599 m illones de B T U por persona 400-499 m illones de B T U por persona 300-399 m illones de B T U por persona 200-299 m illones de B T U por persona

F ig u ra 3 .2 3

D a t o s g e o g r á f i c o s p u e d e n p r e s e n t a r s e c o n u n m a p a c o d i f ic a d o p o r c o lo r e s .

UN M OM ENTO IDE REFLEX IÓ N _______________________ ¿ Q u é p u e d e a p r e n d e r d e l h is t o g r a m a d e la f ig u r a 3 .8 q u e n o p u e d a a p r e n d e r c o n f a c il i d a d d e la p r e s e n t a c ió n g e o g r á f ic a e n la f ig u r a 3 .2 3 ? ¿ Q u é p u e d e a p r e n d e r d e la p r e s e n t a c ió n g e o g r á f ic a q u e n o p u e d a h a c e r lo d e l h is t o g r a m a ? ¿ O b s e r v a a lg u n a s t e n d e n c ia s g e o g r á f i ­ c a s s o r p r e n d e n t e s e n la f ig u r a 3 .2 3 ? E x p liq u e .

L a figura 3.23 funciona bien para e l conjunto d e d atos de energía, y a q u e a cad a estado corresponde un número único. Para d atos q u e varían d e manera continua a lo largo d e áreas geográficas, e s m ás conveniente un m apa d e contornos. L a figura 3.24 muestra un m apa de contornos d e la tem peratura en E stados U nidos en un momento particular. C ada uno d e lo s

contornos (líneas) conecta localidades con la m ism a temperatura. Por ejem plo, la tem peratura es 5 0 °F en tod os lados a lo largo del contorno etiquetado co n 5 0 ° y 6 0 °F donde s e etiqueta la línea co n 6 0 °. Entre e sto s d o s contornos la tem peratura está entre 5 0 °F y 6 0 °F . O bserve que

www.FreeLibros.org diferencias de tem peraturas m ayores sign ifican contornos m ás espaciad os. Por ejem plo, los contornos m uy ju n to s en e l noreste indican q u e los valores d e la tem peratura varían de manera sustancial a pequeñas distancias. Para hacer la gráfica m ás sencilla de leer, la s regiones entre contornos adyacentes s e codifican con un color.

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3 .3 G r á f i c a s e n l o s m e d i o s

F ig u ra 3 .2 4

D a t o s g e o g r á f ic o s q u e v a r ía n d e m a n e r a c o n t in u a , t a l c o m o la s

te m p e ra tu ra s , p u e d e n m o s tra rs e c o n un m a p a d e c o n to rn o s .

E JE M P L O 4

M a p a d e c o n t o r n o s d e n iv e l

L o s diagram as d e contornos también s e utilizan p ara mostrar altitudes (o niveles) geográficas. L a figura 3.25 muestra contornos d e altitudes alrededor d e Boulder, Colorado. A nalice unas cuantas características clav e q u e muestra e l mapa.

S o lu c ió n L a s etiquetas en la figura indican la s características clave. L o s contornos están am pliam ente esp aciad o s en e l este, donde e l terreno e s relativamente plano y la s altitudes son casi constantes. H acia e l oeste los contornes so n m uy densos, donde las m ontañas s e ele­ van desde las planicies. L o s contornas concéntricos en e l centro del m apa rodean cim as de montañas.

Contorno d e 6 000 pies Contorno d e 6 200 pies

www.FreeLibros.org F ig u ra 3 .2 5

U n m a p a d e c o n t o r n o s d e a l t i t u d p a r a la r e g ió n c e r c a n a a

B o u ld e r , C o lo r a d o .

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118

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s

G ráfica s en tres d im en sio n es En la actualidad, los program as d e cóm puto hacen sencillo dar a casi cualquier gráfica una a p a ­ riencia d e tres dim ensiones. Por ejem plo, la figura 3.26 muestra la m ism a gráfica d e barras que la figura 3.1, pero “arreglada" con una apariencia d e tres dim ensiones. Podría parecer bonita, pero e l efecto d e tres dim ensiones e s só lo decorativo; no proporciona inform ación q u e no haya m ostrado y a la figura 3.1.

D zéos d e c a E fira d n m d e u n ensayo

•8

5-

i

Calificación F ig u ra 3 .2 6

E s ta g r á f ic a t ie n e u n a a p a r i e n c ia d e t r e s d im e n s io n e s , p e r o s ó lo

m u e s t r a d a t o s d e d o s d im e n s io n e s .

E n contraste, c a d a uno d e lo s tres e je s en la figura 3 .2 7 lleva inform ación distinta, da valor a la gráfica d e tres dim ensiones. L o s investigadores estudian le s patrones de m igración de una especie d e a v e (el ch arlatán ) contando e l número d e a v e s q u e pasan volando sobre siete ciudades d e N ueva Y ork por la noche. C om o s e muestra en e l m apa inserto, las ciudades fueron alineadas d e este a oeste d e m odo q u e le s investigadores supieron sobre qué partes del estado vuelan las av es y en q u é momentos d e la noche, cuando e lla s em igran h acia e l su r en invierno. Observe q u e lo s tres e je s miden núm ero d e av es, hora en la noche y ubicación este-oeste.

E JE M P L O 5

M ig ra c ió n d e aves

C on b a se en la figura 3,27, ¿aproxim adam ente a q u é hora v o ló la m ayor cantidad d e av es so b re la lín ea este-oeste m arcada por las siete ciu dades? ¿ E n q u é parte d e N ueva Y ork v o ló la m ayoría d e las a v e s? Aproxim adamente, ¿cuán tas av es pasaron so b re O neonta alrededor d e las 12:30 a.m .?

S o lu c ió n El número d e a v e s detectado en tod as la s ciudades tuvo un pico entre 4 y 6 horas, después d e la s 8 :3 0 p.m., o entre las 12:30 y la s 2 :3 0 a.m . Una m ayor cantidad de a v e s v o ló sobre la s d e s ciudades d e m ás a l este, O neonta y Jefferson , q u e so b re las ciudades d e m ás a l oeste, lo cu al sign ifica que l a m ayoría d e las av es pasaron volan do sobre l a parte este del estado. Para responder la pregunta específica acerca d e Oneonta, ob serv e que 12:30 a.m . son 4 horas después d e la s 8 :3 0 p.m. En la gráfica esta hora s e alinea con la hondonada entre los

www.FreeLibros.org picos en la línea de Oneonta. B uscando en e l e je núm ero d e av es, v em o s q u e entre 25 y 3 0 av es pasaron volando so b re Oneonta a e s a hora.

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3.3 G r á f ic a s en lo s m e d io s

119

SEGUIMIENTO SÓNICO DE RUTAS DE MIGRACIÓN DE AVES

Fuente: B ill Evans/ Laboratorio de Ornitología de Cornell F ig u ra 3 .2 7

E s t a g r á f ic a m u e s t r a v e r d a d e r o s d a t o s d e tr e s d im e n s io n e s . Fíjente:

New York Times.

G ráfica s co m b in ad as T o d o s lo s tipos d e gráficas q u e h em os estudiado hasta aqu í son com unes y m uy fáciles de crear. Pero ahora lo s m edios están llen os con m uchas variedades d e g rá fic a s m ás com plejas. Por ejem plo, la figura 3.28 muestra una gráfica concerniente a la participación d e mujeres en lo s ju e g o s olím picos d e verano. E sta so la gráfica com bina una gráfica de líneas, m uchas g rá fic a s circulares y d atos numéricos. E n efecto, e s un caso d e "un dibu jo d ice m ás q u e m il palabras".

E JE M P L O 6

M u je r e s o l ím p ic a s

D escriba tres tendencias que s e muestran en la figura 3.28, en la página 120.

S o lu c ió n

L a gráfica d e lín eas muestra q u e e l número total d e m ujeres q u e com piten en

la s olim piadas d e verano ha crecido de m anera consistente, en especial d e sd e 1960, llegando a 5 0 0 0 en los ju e g o s d e 2004. L a s gráficas circulares m uestran q u e e l porcentaje d e mujeres entre todos los com petidores tam bién ha aum entado, alcanzando 44% en lo s ju e g o s d e 2004.

www.FreeLibros.org L o s números en la parte inferior muestran que e l núm ero d e even tcs en q u e la s m ujeres com pi­

ten tam bién se ha increm entado radicalmente, llegando a 135 en lo s ju e g o s d e 2004.

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120

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s c n l® 0

2

3

6

no hubo

11

14

14

15

no hubo

19

25

26

29

33

«teV «

39

43

Participación de mujeres

49

50

62

86

98

108 121 135

p a r a m a re s

Ni

Fuente: Comité Olímpico Internacional. F ig u ra 3 .2 8

M u je r e s e n la s O lim p ia d a s . C a p t a d o d e l New York Times.

UN M O M EN TO D E R E F L E X IÓ N ¿ C u á l d e la s t e n d e n c ia s m o s t r a d a s e n la f ig u r a 3 .2 8 e s p r o b a b l e q u e c o n t in ú e d u r a n t e lo s s ig u ie n t e s j u e g o s o lí m p i c o s ? ¿ C u á le s n o ? E x p liq u e .

Sección 3 .3 Ejercicios A lf a b e t iz a c ió n e s ta d ís tic a y p e n s a m ie n to c r ít ic o

5.

G rá fic a s e n tre s d im e n s io n e s . Su e asegu ra q u e necesita i r a gráfica en tres dim ensiones para mostrar la tem pera­

tura m áxim a diaria en Sacram ento del añ o pasado. 1.

G rá fic a s e n tre s d im e n s io n e s .

U na revista utilizó barriles

d e petróleo en tres dim ensiones d e distintos tam años para presentar la producción del com bustible d e diferentes p aí­

6.

je re s en su universidad en le s 10 añ o s anteriores.

ses. L o s barriles de petróleo, claramente, eran ob jetos de tres dim ensiones pero ¿ la s cantidades d e producción de pe­ tróleo d e diferentes p aíses son ejem plos d e d atos de tres d i­

7.

¿Q ué son las gráficas apilad as y cóm o

D a to s g e o g r á f ic o s .

D a to s g e o g r á f ic o s .

U n artista gráfico para una revista

está mostrando la población d e las ciudades principales de

ayudan? 3.

Un m apa d e contornos podría usarse

E stados Unidos. 8.

G rá fic a s a p ila d a s .

M a p a d e c o n to r n o s .

para presentar la población en cada ciudad importante de

m ensiones? ¿ L o s barriles d e petróleo so n apropiados para estos d a to s? S i no, ¿có m o deben representarse los datos? 2.

Una gráfica apilada d e líneas podría usarse para presentar lo s núm eros de hombres y mu­

G rá fic a a p ila d a d e lín e a s .

Estados U nidos usando barras de alturas diferentes, con las barras co lo cadas en la s ubicaciones d e la s ciudades en un

¿Q ué so n d atos g e o g rá fic o s? Identifi­

mapa d e E stad os Unidos.

que a l m enos d o s form as de presentar d atos geográficos. 4.

M a p a d e c o n to r n o s .

¿Q ué e s un contorno en un m apa de

contorno? ¿Q ué quiere decir que les contornes estén m uy ju n ­ tes unes de otras? ¿Q ué significa que estén muy separados?

C o n c e p to s y a p lic a c io n e s 9.

G é n e ro d e e s tu d ia n te s .

L a gráfica apilada en la figura

3.29 muestra los núm eros d e estudiantes hom bres y mu­ je re s en educación superior para diferentes años. L a s pro­

www.FreeLibros.org ¿ T ie n e s e n t id o ?

Para lo s ejercicio s 5 a l 8 decida s i e l enuncia­

do tiene sentido (o e s claram ente verdadero) o no tiene sentido (o claramente e s falso). Explique claramente; no tod os lo s enun­ ciados tienen respuestas definitivas, por lo que su explicación es m ás importante q u e la respuesta elegida.

yecciones so n del Centro N acional para E stadísticas de Educación d e E stad os Unidos. a.

En palabras, analice las tendencias reveladas en esta gráfica.

www.fullengineeringbook.net 140 of 495.

3.3 G r á f ic a s en lo s m e d io s

b . H aga nuevamente la gráfica com o una d e líneas múlti­

121

b. V uelva a dibujar la gráfica com o una gráfica d e líneas múltiple (dos). Brevem ente analice la s ventajas y d e s­

ple. A nalice brevem ente las ventajas y desven tajas de la s d o s representaciones d e este conjunto particular

ventajas d e la s d o s representaciones de este conjunto particular d e datos.

d e datos.

E stu d ia n te s d e w h ic a r iá a s u p t r i r , p a r g á n r o

I n g n s o m e d ia n o , p a r g ü n cro

20000

2004

’0 5

’0 6

’0 7 i Año

08 09 ’ 10 e stim a d o --------1

1960

1970

1980

1990

2000

Año F ig u ra 3.31

F ig u ra 3.29

10.

1950

P r e c io s d e c a s a s p o r re g ió n .

L a g rá fica en la figura 3.30

12.

T a s a s d e m a trim o n io s y d iv o r c io s .

L a g rá fica en la fi­

muestra los precios d e la s c a sas en regiones diferentes de Estados U nidos. O bserve q u e los d atos no s e han ajustado

gura 3.32 muestra las ta sa s d e matrimonios y divorcios en

por lo s efectos d e la inflación.

se dan en unidades d e matrimonies o divorcios por 1000 personas en la población (Departamento de S alu d y S erv i­

a.

D escriba la s tendencias generales q u e s e aplican a los dates d e precios de c a sas para tod as las regiones.

b. D escriba las diferencias que o b serv a entre las diversas regiones. c.

E stados U nidos para ciertos añ o s desde 1900. A m bas tasas

c io s Humanos). a . ¿P or q u é esto s d atos consisten en ta sa s d e matrimonios y divorcies en lugar d e numeres totales de matrimonios y d ivo rcios? Com ente cu alesquiera tendencias q u e o b ­

D escriba có m o e sta gráfica s e vería diferente s i los

serve en estas ta sa s y proporcione explicaciones histó­ ricas y so cio ló gicas plausibles para estas tendencia.

dates fuesen aju stados por lo s efectos d e la inflación. b.

P red as de*

P o r refrá n

$350000 $300000 $250000

$200000

Construya una gráfica apilada d e los dates d e tasa de matrimonio y tasa d e divorcio. Para cad a barra co lo ­ q u e la tasa d e divo rcio arriba d e la tasa d e matrimonio. ¿C u á l gráfica hace m ás sencilla la s com paraciones: la gráfica d e barras múltiple m ostrada aqu í o la gráfica

Estados Unidos Noreste M edio Oeste Sur Oeste

apilada? Explique.

y de divorcio

$150000

$100000 $50000

F ig u ra 3 .3 0

11.

G é n e ro e in g r e s o .

Considere la g rá fica en la figura 3.31

efe lo s ingresos m edianos d e hombres y m ujeres en diferen­ tes añ o s (Oficina del C en so de E stad os U n idos).

www.FreeLibros.org a.

¿Q ué d ice la gráfica? ¿ L a razón de ingresos de hombres

en com paración con lo s ingresos d e m ujeres parece que está decreciendo? ¿P or q u é s í o por q u é no?

Año

F ig u r a 3 .3 2

www.fullengineeringbook.net 141 of 495.

122 13.

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s G a s to fe d e r a l.

Graduados m rivositarios

L a gráfica d e líneas ap ilad as en la figura

3.33 muestra lo s cam b ios en la s principales categorías de gasto s del presupuesto federal. O bserve q u e la categoría "interés neto" representa los p ag o s d e interés en la deuda nacional, y la categoría “todo lo d e m ás" incluye e l g asto en co sas tales com o educación, cuidado am biental e investiga­ ción científica. Interprete esta gráfica y analice algu n as de las co sa s q u e revela.

C c a p a d d á i d d p o m m t a fe d e i ^ t o d e l g o b ie r n o fed aral

Año F ig u ra 3 .3 4

b. c.

Com pare lo s núm eros de grad u ad os para hom bres y mujeres (por separado) en 1980 y 2000. ¿Durante q u é década e l número to tal d e graduados a u ­ mentó m ás?

d.

Año F ig u ra 3 .3 3 14.

Fl/ente: O ficin a d e A dm inistración y

Presupuesto.

L a g rá fica d e líneas apilad as en la figura 3.34 muestra lo s núm eros d e grad u ad os universita­ r ia ; para hom bres y m ujeres a lo largo del tiempo.

e.

G r a d o s u n iv e rs ita rio s .

a.

Estim e lo s números d e graduados universitarios para hombres y m ujeres (de manera separada) en 1930 y 2000.

Com pare lo s núm eros to tale s d e graduados en 1950 y 2000 . ¿Considera que la gráfica d e líneas apiladas e s una m a­ nera efectiva d e mostrar esto s datos? A nalice brevemente ctras form as que podrían haberse usado en su lugar.

15.

M o rta n d a d d e b id a al m e la n o m a .

La figura 3.35 muestra

cómo la tasa d e mortandad debida a l m elanom a (una form a de cáncer en l a piel) varía d e condado a condado en todo Estados U nidos. L a leyenda muestra que entre m ás oscuro

D ecesos por millar ■ 1.875-2.973 □

1.675-1.874

□ □

1.524-1.673 1.385-1.523

www.FreeLibros.org □

1.158-1.384

□

0-1.157

F ig u ra 3 .3 5

P íente: P rofesor K aren K afad ar, Departam ento d e M atem áticas, U n iversid ad d e C o lo rad o

en Denver.

www.fullengineeringbook.net 142 of 495.

3.3 G r á f ic a s en lo s m e d io s

123

fcabiEdad de que u n estudiante im &'o ta ig a compañeros de d a se Mancos

■

M enos de 10%

□ 2 0 % -4 0 % □ 4 0 % -6 0 % □

6 0 % -8 0 %

□ □

M ás d e 80% Condados sin información o sin estudian les negros

F ig u ra 3 .3 6

Ríen te: New York Times.

sea e l som breado en un condado m ás alta e s la tasa d e mor­

Año

S in a lc o h o l

P o c o a lc o h o l

M u c h o a lc o h o l 2 0 .4

tandad. A nalice algu n as tendencias q u e revela l a figura. S i usted estuviese investigando e l cáncer d e piel, ¿cu á le s re­ gion es merecerían estudio esp e cial? ¿P o r qu é? 16.

S e g r e g a c ió n e s c o la r.

Una m anera d e medir la segregación

es la probabilidad de q u e un estudiante negro tendrá co m ­ pañeros que so n blancos. Un estudio reciente del New York

Tim es encontró que, con esta m edida, la segregación a u ­

1982

18.7

4 .8

1984

2 0 .5

4 .8

1 9 .0

1986

2 2 .0

5.1

1 8 .9 18.7

1988

2 3 .5

4 .9

1990

2 2 .5

4 .4

17.7

19 9 2

21.4

3 .6

14.2

1994

24.1

mentó d e manera significativa en la d é cad a d e los noventa. L a figura 3.36 muestra la probabilidad d e q u e un estudiante

3 .5

13.1

1996

2 4 .8

3 .8

13.4

1998

2 5 .5

3.7

12.2

regro tenga com pañeros blancos, por condado, durante un año escolar reciente. ¿P arecen existir diferencias regionales

2 0 0 0 ( e s t .)

25.1

3 .9

12.8

significativas? ¿P u ede reconocer alguna diferencia entre áreas urbanas y áre as rurales? A nalice explicaciones p osi­ bles para algun as tendencias que v e a en la figura. C r e a c ió n d e fig u ra s .

L o s ejercicios 17 a 2 0 proporcionan ta­

18. P e r ió d ic o s .

L a tabla siguiente proporciona e l número de

periódicos y su circulación total (en millones) para añ o s s e ­ leccionados d esd e 1920 (E ditor & P ublish ei)

b la s d e d atos reales. Para c a d a tabla construya una presentación gráfica de lo s dates. Puede elegir cualquier tipo de gráfica que sienta que e s apropiada para e l conjunto d e datos. A dem ás, para Año

N ú m e ro d e p e r ió d ic o s

C ir c u la c ió n

hacer la presentación, escriba unas cuantas oraciones que exp li­ quen por q u é eligió este tipo d e presentación y unas cuantas ora­

1920

2042

2 7 .8

ciones q u e describan patrones interesantes en los datos.

1930

1942

3 9 .6

La tabla siguiente proporciona

1940

1878

41.1

el número de accidentes autom ovilísticos m ortales en los q je (a) no estuvo involucrado e l alcohol, (b) estuvo invo­ lucrado alcohol en pequeña cantidad (contenido d e alcohol

1950

1772

5 3 .9

1960

1763

5 8 .8

1970

1748

62.1

en la san gre entre 0.01 y 0.09) y (c) estuvo involucrado un

1980

1747

6 2 .2

alto nivel d e alcohol (contenido d e alcoh ol en la san gre por

1990

1611

6 2 .3

arriba d e 0 .1 ). T o d a s la s cifra s están en m iles d e muertes (Departamento N acional d e S eg u rid ad en Carreteras).

2000

1485

56.1

1456

5 5 .2

17.

A lc o h o l e n la c a rre te ra .

(m illo n e s )

www.FreeLibros.org 2003

www.fullengineeringbook.net 143 of 495.

124 19.

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s V íc tim a s d e arm a d e f u e g o .

L a tabla siguiente resum e las

muertes d ebidas a arm as d e fu ego en p aíses diferentes en un añ o reciente (Coalición para la detención d e violencia

información puede presentarse d e una menor m anera? S i es así, construya su propia gráfica q u e presente d e mejor manera la inform ación dada.

con arm as d e fu e g o ). D IR E C T O R E S G E N E R A L E S p o r g ru p o d e edad A c c id e n t e s

T o ta l d e víctim a s H o m ic id io s

S u ic id io s

p o r arm a

c o n arm a

p o r a rm a

fa ta le s p o r a rm a

de fu e g o

d e fu e g o

d e fu e g o

d e fu e g o

35563

15835

18503

1225

A le m a n ia

1197

168

1004

25

Canadá

País E s ta d o s U n id o s

3 1 -4 0 8 . 0%

2 0 -3 0 años de

11.1 %

1189

176

975

38

A u s t r a lia

536

96

420

20

España

396

76

219

101 12

R e in o U n id o

277

72

193

S u iz a

200

27

169

4

V ie t n a m

131

85

16

30

Ja p ó n

93

34

49

10

L a e d a d m e d ia n a 4 1 -5 0 27.2%

p a ra d ire c to re s g e n e ra le s d e c o m p a ñ ía s 5 1 - 6 0 fa m ilia re s e s 56. 29.0%

Perfil de directores

F ig u ra 3 .3 7

Fbente: D ito s d e A rth u r AndersoiVEncuesta d e 1997

M ass M u tu a l F a m ily Business. 20.

M a d re s e n la fu e rz a la b o r a l.

L a tabla siguiente lista los

porcentajes de m adres en l a fuerza laboral q u e tienen hijos en d o s diferentes ran gos d e ed ad e s (con b ase en d atos d e la Oficina d e E stadísticas de T rabajo).

E N L A S N O T IC IA S ¿a *. Años

6 a 17 a ñ o s

M enos d e 6

1955

3 8 .4

18.2

1965

4 5 .7

2 5 .3

1975

5 4 .9

3 9 .0

1985

6 9 .9

5 3 .5

1995

7 6 .4

6 2 .3

2005

7 7 .5

6 2 .2

Determine un ejem plo de una gráfica d e barras múltiple o gráfica d e líneas

2 4 . G rá fic a s d e b a rra s m ú ltip le s .

múltiple en un reporte reciente. Com ente so b re la efe c­ tividad d e la presentación. ¿O tra presentación podría haber sid o u sa d a para m ostrar lo s m ism os datos? 1

25. G rá fic a s a p ila d a s .

Encuentre un ejem plo d e u na g rá ­

fic a apilada en u na noticia reciente. Com ente so bre la

Proyectos para internet y más allá

efectividad d e la presentación. ¿O tra presentación po­ dría haber sid o u sada para m ostrar lo s m ism os datos? 2 6 . D a to s

g e o g r á f ic o s .

Encuentre un ejem plo d e una

P a ra en laces ú tiles seleccion e “L in k s fo r Internet P ro je cts " p a ra e i cap ítu lo 3 en ww w.aw.com /bbt.

gráfica d e d atos ge o gráfico s en una noticia reciente. Com ente so b re la efectividad d e la presentación. ¿O tra

M uchos sitios web ofrecen m apas de contornos con d a to s d e clim a actuales. Por ejem plo, puede

presentación podría haber sid o u sada para m ostrar los

21. M a p a s d e c lim a .

utilizar e l sitio Y ah oo! W eather para generar m uchos

2 7 . P r e s e n ta c io n e s e n tre s d im e n s io n e s .

Encuentre un

m apas d e contorno d e clim as. G enere a l m enos d o s m apas de contornos d e clim as y analice lo s q u e muestran.

ejem plo d e u na presentación en tres dim ensiones en una noticia reciente. ¿ L a s tres dim ensiones so n nece­

V a y a a l sitio web d e la O ficin a de Administración y Presupuesto d e E stados U nidos y busque

sarias, o están incluidas por razon es decorativas? C o­ mente so b re la efectividad d e la presentación. ¿O tra presentación podría haber sid o u sa d a para m ostrar los

22. P r e s u p u e s t o fe d e r a l.

algun as de su s gráficas relacionadas a l presupuesto federal. E lija d o s gráficas q u e le interesen y analice q u é muestran lo s datos. 23.

m ism os datos?

m ism os datos? s o f is t ic a d a s e n n o tic ia s . Encuentre un ejem plo en la s noticias d e una gráfica que com bine do s

28. G rá fic a s

Consulte la figura 3.37 en la q u e lo s porcentajes están re­

www.FreeLibros.org presentados por volúm enes d e partes d e la cab e za de a l­ guien. ¿ L o s d atos están presentados en un form ato q u e los

o m ás d e lo s tipos d e gráficas b ásicos. E xplique breve­ mente qué muestra la gráfica y analice la efectividad

hace fáciles d e entender y com parar? ¿ L o s d atos están pre­

d e la gráfica.

sentados d e manera q u e no cau sen confusión? ¿ L a m ism a

www.fullengineeringbook.net 144 of 495.

3.4 A lg u n a s p r e c a u c io n e s c o n r e s p e c to a g r á f ic a s

125

3 .4 A lgun as precauciones con respecto a gráficas

C

1 orno h em os visto, las gráficas pueden ofrecer resúm enes claros y sign ificativos d e datos estadísticos. S in em bargo, incluso g rá fic a s m uy bien realizadas pueden ser engañosas, y s i no s e tiene cuidado a l interpretarlas, y gráficas pobrem ente hechas casi siem pre son

confusas. A dem ás, algu n as personas utilizan la s gráficas d e form as deliberadam ente en gañ o­ sa s. E n esta sección analizam os unas d e las m aneras m ás com un es en las cu ales la s gráficas pueden llevar a confundim os.

A p r o p ó s ito ... Investigadores alem anes a fín a le s cfel s ig lo x ix e stu d ia ro n m uchos tip o s d e gráficas. El tip o de d s to rs ió n e n las fig u ra s 3.38 y 3.39 fu e ta n co m ú n q u e le d ieron

D isto rsio n e s sen soriales

su p ro p io nom b re, q u e s e tra d u ce

M uchas gráficas s e dibujan de manera que distorsionan nuestra percepción d e ellas. L a figura 3.38 m uestra uno d e lo s tipos m ás com unes de distorsión. L a s barras en form a d e dólar se utilizan para m ostrar la dism inución d el valor del dólar con e l tiem po. L a s lon gitu des de las

más o m e n o s c o m o "e l v ie jo tru c o efe resa ltar e l e fe c to re d u c ie n d o la visión".

barras representan lo s datos, pero nuestros o jo s tienden a centrarse en las á re a s d e las barras. Por ejem plo, la barra d e la derecha tiene la intención d e mostrar q u e un dólar en 2006 tenía un valor de 41% del valor d e un dólar en 1980. S u longitud en realidad e s 41% d e la d e la barra de la izquierda, pero su área e s mucho m ás pequeña en com paración (alrededor d e 17% del área d e la barra d e la izquierda). E sto d a la percepción d e q u e e l v alo r del dólar s e contrajo mucho m ás d e lo q u e en realidad lo hizo.

1990 = 50.63

2006 = 50.41

1980 = 51.00

F ig u r a 3 .3 8

L a s lo n g it u d e s d e lo s d ó la r e s s o n p r o p o r c io n a le s a s u p o d e r d e c o m p r a , p e r o

n u e s t r o s o jo s s e d e s v ía n a la s á r e a s , la s c u a le s d is m in u y e n m á s q u e la s lo n g it u d e s .

D istorsiones aún m ayores ocurren cuando una gráfica muestra volum en donde la m e­ dida importante e s la longitud. L a figura 3.39 utiliza televisores para representar e l número de hogares con televisión por cable en 1980 y 2005. E ste número ha aum entado en un factor de alrededor d e 4 durante e se periodo, d e 18 m illones a 73 m illones de hogares, com o s e muestra por m edio d e la s altu ra de lo s televisores en la figura. S in em bargo, nuestros o jo s so n llevados a lo s volúm enes d e lo s televisores, q u e difieren en un factor mucho mayor d e alrededor de 43 = 64 y , por tanto, hace aum entar la apariencia m ucho m ás d e lo q u e en realidad fue.

nTV p

A p r o p o s ¡fo ... El c re c im ie n to d e la te le v isió n por cab le ha d ism in u id o e n los años recientes a co n s e cu e n c ia d e la co m p e te n cia d e los se rv icio s de te levisió n satelital. La co m p e te n c ia puede a u m e n ta r aún m ás cu a n d o las líneas te le fó n ica s e internet sean c a p a c e s d e p ro p o rcio n a r p ro g ram a ció n d e televisión.

www.FreeLibros.org 18 m illones de b o g a re

F ig u r a 3 .3 9

73 m illones de hogares

L a s a lt u r a s d e lo s t e le v is o r e s s o n la m e d id a i m p o r t a n t e e n e s t a f ig u r a , p e r o

n u e s t r o s o jo s s e d e s v ía n a s u s v o lú m e n e s .

www.fullengineeringbook.net 145 of 495.

126

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s

A p r o p ó s it o ... En 2 0 0 5 e l p orcentaje g en eral d e hogares e n Esta d os Unidos o c u p a d o p o r s u s p rop ietarios había a lca n za d o 69.0%, e l porcentaje más a lto e n la historia.

Fuente: O ficina del Censo de Estados Unidos F ig u r a 3 . 4 0

C a s a - t e n ie n t e s p o r r a z a u o r ig e n h is p a n o . O b s e r v e la e s c a la h o r iz o n t a l

n o u n if o r m e . Fuente: departamento d e C o m ercio d e Estados U nidos, O fld n a d e l Censo d e Estados Unidos; adaptado d e l Wall Street Journal Almanac.

T e n g a cu id ad o co n las escalas L a figura 3 .4 0 muestra una gráfica d e múltiples barras respecto a casa-tenencia en E stados Unidos. A primera vista parece q u e les porcentajes d e personas propietarias de su s c a sas s e ele­ varon m ucho m ás rápido durante e l periodo 1960-2000 q u e en añ o s recientes. Pero ob serv e la escala horizontal co n m ayor cuidado: la s prim eras cin co categorías representan añ o s q u e están una d é cad a separad os, mientras q u e las últimas d o s categorías representan los añ o s 2003 y 2005. S i lo s pequeños aum entos d e 2003 a 2005 se repitiesen cada añ o para una década entera, el aum ento no s e vería m uy diferente d e la s tendencias d e las otras décadas. E sta gráfica e s en ­ gañ osa a primera vista, y a que no utiliza u na esca la uniforme para e l e je horizontal.

U N M O M EN TO P E K E F 1 .B X IÓ \______________________ C o n b a s e e n la f ig u r a 3 . 4 0 y s u in t u ic ió n , p r o n o s t iq u e la s t a s a s d e c a s a - t e n e n c ia e n E s t a d o s U n id o s ( p o r r a z a u o r ig e n h is p a n o ) e n 2 0 2 0 . E x p l i q u e e l r a z o n a m ie n t o q u e r e s p a ld a s u s p r o n ó s t ic o s .

Problem as sem ejantes de e sca la s pueden ocurrir con e l e je vertical. L a figura 3.41a muestra e l porcentaje d e estudiantes universitarios fem eninos entre 1910 y 2005. A primera vista parece q u e este porcentaje creció m uchísim o d esp u és d e 1950. Pero la e sc a la en e l e je vertical n o inicia en cero y no termina en 100% . E l aum ento sigu e sien do sustancial pero pa­ rece lejo s d e ser drástico s i vo lv em o s a dibujar la gráfica con e l eje vertical cubriendo e l rango completo de 0 a 100% (figura 3.4 Ib). D esde un punto d e vista matemático, dejar fuera e l punto cero en una esca la e s perfectamente honesto y puede hacer m ás sencillo ver tendencia en los datos a pequeña escala. S in em bargo, co m o m uestra este ejem plo, puede ser en gañ oso s i no estudiam os la esca la con m ucho cuidado. E n ocasiones la esca la podría no ser engañosa, pero podría malinterpretarse a m enos que la exam in e co n cuidado. Considere la figura 3 .42a, q u e muestra cóm o la s velocidades de las com putadoras m ás rápidas s e ha increm entado con e l tiem po. A primera vista parece que las velocidades han aum entado en form a lineal. Por ejem plo, parecería com o s i la velo ci­ dad aum entara la m ism a cantidad de 1990 a 2000 q u e d e 1950 a 1960. S in em bargo, s i revisa­ m os con cuidado, v em o s q u e c a d a m arca en la esca la vertical representa un aum ento d e diez

www.FreeLibros.org L a p erso n a m ás fá c il d e en g añ ar e s uno m ism o. —Edward Bulwer-Lytton

vecese n v e lo cid a d A hora v e m o s q u e la velocidad d e la s com putadoras creció alrededor d e 1 a

100 cálculos por segundo de 1950 a 1960, y d e alrededor d e 100 m illones a 10 mil m illones de cálculos por segundo entre 1990 y 2000. E ste tipo d e esca la s e denom ina e sc ala exponencial

www.fullengineeringbook.net 146 of 495.

3.4 A lg u n a s p r e c a u c io n e s c o n r e s p e c to a g r á f ic a s

M u ja » com o u n p arem ia) e d e todos fc» a tu

127

oversit

i

•8

F i g u r a 3 .4 1

Ario

Año

(a)

(b)

A m b a s g r á f ic a s m u e s t r a n lo s m is m o s d a t o s , p e r o s e v e n m u y d if e r e n t e s p o r q u e

s u s e s c a la s v e r t ic a le s t ie n e n r a n g o s d if e r e n t e s .

(o e sc ala logarítm ica) y a que crece en potencias de 10 y la s potencias d e 10 tienen exponentes. (Por ejem plo, 3 e s e l exponente d e 103). L a s e sca la s expon en ciales so n útiles para presentar d atos que varían en un enorm e rango d e valores, co m o puede ver a l com parar la gráfica e x p o ­ nencial d e la figura 3 .4 2 a co n la g rá fica com ún en la figura 3.42b. Puesto q u e la s velocidades han crecido tan rápidam ente, la esca la común hace im posible ver cualquier detalle d e lo s pri­ meros añ o s en la gráfica.

A p r o p d s ito ... En 1965 e l fu n d a d o r d e Intel, G ordon E. M oore, p ro n o stic ó q u e los avances e n la te cn o log ía p erm itirían a los c h ip s d e las co m p u ta d o ra s d u p lic a r la p oten cia a p ro xim ad am e n te ca d a d o s años. Esta id ea ah o ra s e llam a le y de M oore, y casi se ha c u m p lid o efesde q u e M o o re la e s ta b le c ió por prim era vez.

F ig u r a 3 .4 2

A m b a s g r á f ic a s m u e s t r a n lo s m is m o s d a t o s , p e r o la

g r á f ic a d e la iz q u ie r d a u t iliz a u n a e s c a la e x p o n e n c ia l ( lo g a r ít m ic a ) .

U N M O M E N T O IDE R E F L E X I Ó N ________________________ C o n b a s e e n la f ig u r a 3 .4 2 a , ¿ p u e d e p r o n o s t ic a r la v e lo c id a d d e la s c o m p u t a d o r a s m á s r á ­ p id a s e n 2 0 1 5 ? ¿ P o d r ía h a c e r e l m is m o p r o n ó s t i c o c o n la f ig u r a 3 . 4 2 b ? E x p liq u e .

E S T U D IO D E C A S O

A m e n a z a d e u n a s t e r o id e

www.FreeLibros.org L o s asteroides y lo s com etas en ocasio n es chocan con la Tierra. L o s pequeños tienden a consu­ mirse en la atm ósfera o a crear pequeños cráteres con e l impacto. Pero lo s gran des podrían ca u ­ sar una devastación significativa. H ace alrededor d e 65 m illones de añ os, un asteroide d e casi

www.fullengineeringbook.net 147 of 495.

128

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s

1 hora

i

Api-opósito...

ld ía

Más de 150 cráteres d e im p a c to

Explosión atm osférica o cráter pequeño

1a f»

han s id o id e n tific a d o s a lre d e d o r d e la T ie r r a U no d e los m ejo r

100 años

co nse rvad o s e s e l C rá te r del

Tsunam is, am plia devastación, cambio del clim a

1000

M eteoro e n A r iz o n a (fo to g rafía d e abajo). Se fo rm ó hace 5 0 0 0 0 añ os c u a n d o un a ste ro id e d e casi

1 millón de años

5 0 m etros s e e s tre lló co n la Tierra y lib e ró en e rg ía e q u iv a le n te a la d e una b om ba d e h id ró g e n o d e

100 millones

20

de años

m egatones y d e jó un c rá te r d e un k iló m etro d e larg o y

Extinción e n m a sa

200 m etros

Una vez en la historia de la Tierra

d e profun d id ad .

lm

10 m

100 m

1 km

10 km

100 km

Tam año del objeto que im pacta (diámetro) F ig u r a 3 .4 3

E s ta g r á f i c a m u e s t r a c ó m o la f r e c u e n c ia d e im p a c t o s — y la m a g n it u d d e s u s

e f e c t o s — d e p e n d e n d e l t a m a ñ o d e l o b j e t o q u e im p a c t a . O b s e r v e q u e im p a c t o s m e n o r e s s o n m u c h o m á s f r e c u e n t e s q u e lo s g r a n d e s .

10 kilóm etros d e diám etro ch ocó co n la Tierra, dejan do un am plio cráter de 2 0 0 kilóm etros en la co sta d e la península d e Yucatán en México. Los científíccs suponen que este impacto cau só la extinción d e alrededor de tres cuartos d e todas la s especies q u e vivían en la Tierra en e se tiempo, incluyendo a todos le s dinosaurios. Claro, un im pacto sim ilar serían m alas noticias para nuestra civilización. Por tanto, podríam os querer entender la posibilidad d e tal evento. L a figura 3.43 muestra una gráfica que relaciona e l tam año d e asteroides y com etas q u e han im pactado con la frecuencia co n que tales ob jetos chocan con la Tierra. A consecuencia del am plio rango d e tam años y e sca la s de tiempo involucradas, am boseje s en esta gráfica so n exponenciales. El e je horizontal muestra la frecuencia del impacto; m oviéndose hacia arriba en e l e je vertical corresponde a even tos m ás frecuentes. C on esta gráfica doblem ente exponencial, podem os ver con claridad la s tendencias. Por ejem plo, ob jetos pequeños d e alrededor d e 1 metro golp ean la Tierra diariamente, pero causan poco daño. E n e l otro extrem o, ob jetos m uy grandes que causan una extinción m asiva só lo chocan una v e z cad a cien m illones d e años. L o s c a so s intermedies qu izá so n lo s m ás preocupantes. L a gráfica indica q u e lo s o b ­ je to s q u e causarían "am plia devastación " —ta l co m o acab ar con la población d e una ciudad grande— puede esperarse con una frecuencia d e una v e z cad a mil añ os. E s tan frecuente que ju stific a a l m enos algu n as accion es preventivas. E n la actualidad los astrónom os tratan d e hacer predicciones m ás precisas acerca d e cuándo un ob jeto podría chocar con la Tierra. S i descubren un ob jeto que chocaría con la Tierra, necesitarían encontrar u na manera para desviarlo y preve­ nir e l impacto.

G ráficas co n cam b io p o rcen tu al ¿Ir a la universidad se e stá vo lv ien d o m ás o m enos caro ? U n a m irada rápida a l a figura 3.44a

P rim ero ob ten ga su in form ación y lu eg o p u ede d isto rsio n arla tan to com o q u iera. —Mark Twain

podría dar la im presión q u e e l co sto para la s u niversidades p rivadas s e ha m antenido estab le m ientras q u e e l co sto para universidades p úb licas dism in uyó de m anera abrupta en 2006, d esp u és d e estar subien do en lo s añ o s anteriores. Pero v e a con m ás cu idado y verá q u e éste no e s e l caso . E l e je vertical d e la s x en esta g rá fica representa e l porcentaje d e increm ento en lo s co sto s. U na g rá fica plan a só lo sig n ific a q u e lo s c o sto s aum entaron e l m ism o porcentaje cada año, no q u e los co sto s s e m antuviesen estab les. D e manera sim ilar, la caída en 2006

www.FreeLibros.org para universidades púb licas só lo sign ifica q u e e l co sto s e elevó m enos q u e en lo s añ o s pre­

cedentes. E n realidad, los costos reales (no ajustados por la inflación) para universidades pú­ b licas y privadas s e han elevad o d e manera sustancial con e l tiem po, com o s e muestra en la

www.fullengineeringbook.net 148 of 495.

3.4 A lg u n a s p r e c a u c io n e s c o n r e s p e c to a g r á f ic a s

129

Cambiasen S24000

16%

S20000 |

5

S 16 000

g

$12000

S

$8000 $4000

F ig u r a 3 . 4 4

O o ‘l

— o 'i

o "i

oj

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-v o ‘i

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eo p ‘i

3

8

p

8

8

3

3

0 i s

i s

i s;

i

8

A ño

Año

(a)

(b)

i

8

i

i

3

3

T e n d e n c ia s e n c o s t o s u n iv e r s it a r io s : ( a ) c a m b io p o r c e n t u a l a n u a l; ( b ) c o s t o s a n u a le s . Fíjente:T he C o lle g * Board.

figura 3.44b. Adem ás, co m o la tasa d e inflación (m edida con e l IPC) ha sid o menor q u e la tasa de aum ento en lo s co sto s universitarios, e l costo real de universidades públicas s e ha elevado constantemente. L a s gráficas q u e muestran cam bios porcentuales so n m uy com unes, en par­ ticular con d atos económ icos. Aunque so n perfectamente honestas, s e puede confundir con facilidad, a m enos q u e la s interprete co n mucho cuidado.

P icto gram as L o s p ictogram asson gráficas adornadas con trabajo d e arte adicional. E ste trabajo hace q u e la g rá fica se a m ás atractiva, pero tam bién puede distraer o confundir. L a figura 3.45 e s un pictogram a q u e muestra e l aum ento en la población mundial d e 1804 a 2054 (los núm eros para años futuros están basados en las proyecciones d e las Naciones U nidas). L a s longitudes d e la s barras de manera correcta corresponden a la población mundial para los añ o s listados. S in em bargo, lo s adornos artísticos d e esta gráfica so n en gañ osos por v arias razones. Por ejem plo, su o jo po­ dría d e sv iarse a la s figuras d e la gente alineada en e l g lo b o terráqueo. Puesto q u e e sta línea de personas sube d e sd e e l lado izquierdo del pictogram a hacia e l centro y luego desciende, podría

A p r o p d s ito ... Cbn fre c u e n cia los dem ó g rafo s caracterizan e l c re c im ie n to de la p o b la ció n p o r un tie m p o de d up licación , e l tie m p o q u e ta rd a la p ob lació n e n d uplicarse. Durante el fin a l d e l s ig lo xx, e l tie m p o d e d u p lic a c ió n para la p ob lació n hum ana e ra a lre d e d o r de 4 0 años. Si la p o b la c ió n contin uara d u p licá n d o se a e sta v e lo c id a d , la p ob lació n m u nd ial lle g aría a 3 4 mil m illones en 2 1 0 0 y 192 m il m illones €n 2 2 0 0 . A lr e d e d o r d e 2 6 5 0 la p ob lació n hum ana s e ría ta n grande

www.FreeLibros.org q u e n o c a b ría e n la Tierra, y to d o s estarían c o d o c o n c o d o e n todas

F ig u r a 3 .4 5

U n p ic t o g r a m a . Fílente: Datos provenientes d e D iv is ió n

de P ob lación d e N aciones Unidas, P osibilidades d e P ob lación M undial.

www.fullengineeringbook.net 149 of 495.

partes,

130

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s dar la im presión que la población futura del mundo disminuirá. En realidad la línea d e personas es só lo decorativa y no lle v a información. T a l vez e l problem a m ás grave co n este pictogram a e s que hace parecer q u e la población mundial s e ha elevado linealmente. S in em bargo, ob serv e q u e los intervalos de tiem po en el eje horizontal no so n los m ism os en c a d a caso. Por ejem plo, e l intervalo entre la s barras para mil millones y d o s m il m illones de personas e s d e 123 añ o s (de 1804 a 1927), pero e l intervalo entre las barras para 5 mil m illones y 6 mil m illones d e personas e s só lo d e 12 añ o s (de 1987 a 1999). L e s pictogramas son m uy comunes. S in embargo, com o lo muestra este ejemplo, usted tiene q je estudiarlos cuidadosamente para sacar la información esencial y n o distraerse por le s adornos.

Sección 3 .4 Ejercicios A lf a b e t iz a c ió n e s ta d ís tic a y p e n s a m ie n to c r ít ic o

$50 ooo

¿P or q u é e s confusa una gráfica cuando su e scala vertical no inicia en cero?

1. E s c a la v e r tic a l.

2.

P ic to g r a m a .

¿Q ué e s un pictogram a? Identifique breve­

mente u na ventaja y una desven taja d e un pictograma. 3. E s c a la

e x p o n e n c ia l.

$2° ooo

¿Q ué e s una escala exponencial?

¿Cuándo e s útil usar una esca la exponencial en una gráfica? 4.

G rá fic a s

de

c a m b io

p o r c e n t u a l.

„

.

Hombres

F ig u ra 3 .4 7

M ujeres

Fbente: O fic in a d e l Censo d e Estados Unidos,

Explique cóm o una

gráfica q u e muestra cam bios porcentuales puede mostrar

7.

barras descen dentes (o una línea descendente) aunque la variable d e interés se a creciente.

L a figura 3.48 m uestra la s cantidades d ia­ rias d e consum o de petróleo en E stados U nidos y Japón.

P ic to g r a m a .

¿ L a ilustración muestra d e m anera precisa los d a to s? ¿P or q jé s í o por qué no?

C o n c e p to s y a p lic a c io n e s 5.

D is ta n c ia s d e fr e n a d o .

d ia r io d e p etró leo

L a figura 3.46 m uestra la distan ­

cia d e frenado para diferentes autom óviles, m edida b a jo las m ism as condiciones. Analice las form as en q u e la presen­ tación podría ser engañosa. ¿C u án gran de e s la distancia de frenado d e un A cura R L com parada co n la distan cia d e un V olvo S 8 0 ? H aga la presentación d e m anera q u e muestre tos d atos d e form a m ás fidedigna.

Estados Unidos

Japón

F ig u ra 3 .4 8 8.

P ic to g r a m a .

R evise la figura 3.48 u sada en e l ejercicio 7

y construya una gráfica d e barras para m ostrar lo s m ism os 120

140

160

datos en una manera m ás honesta y objetiva.

200

Distancia de frenado (pies) 9. F ig u ra 3 .4 6 6.

D istancias de fren ado .

C o m p a r a c ió n d e in g re s o s . Considere l a gráfica d e barras en la figura 3.47, la cu al com para los ingresos m edianos de

G rá fic a s c irc u la re s e n tre s d im e n s io n e s .

L a s gráficas

circulares en la figura 3.49 dan un porcentaje d e estadouni­ denses en tres categorías d e edad en 1990 y en 2050 (pro­

www.FreeLibros.org hombres y mujeres. Identifique cualquier asp ecto en gañ oso

de la presentación. H aga la presentación de una manera m ás ju sta.

yectada). a.

Considere la distribución d e ed ades en 1990. L o s por­ centajes reales para las tres categorías para 1990 fueron 87.5% (otros), 11.3% (60-84) y 1.2% (85+). ¿ L a grá-

www.fullengineeringbook.net 150 of 495.

3.4 A lg u n a s p r e c a u c io n e s c o n r e s p e c to a g r á f ic a s

b.

fic a circular muestra esto s valores de m anera precisa? Explique.

a . Construya una g rá fica d e serie d e tiem po d e esto s datos, usando una esca la uniforme en am b o s ejes.

Considere la distribución d e edades para 2050. L o s por­

b.

centajes reales para las tres categorías para 2 0 5 0 fueron 80.0% (otros), 15.4% (60-84) y 4 .6 % (85+). ¿ L a g rá ­ fic a circular muestra esto s valores d e m anera precisa? Explique. c.

U sando lo s porcentajes reales, dad os en lo s incisos a y b, dibuje u na gráfica circular plana (en d o s dim ensio­ nes) para mostrar esto s dates. Explique por q u é estas grá fic a s circulares dan una im agen m ás precisa q u e las gráficas en tres dim ensiones.

d.

131

Construya una gráfica exponencial d e esto s datos, en b s q u e la s su bdivision es en e l e je vertical son 1, 10, 100,1 0 0 0 ,1 0 0 0 0 ,1 0 0 000 y 1 000 0 0 0 .

c

Com pare la s gráficas d e lo s incisos a y b.

12 . L e y d e M o o re . En 1965 e l cofúndador d e Intel, Gordon

Moore, inició lo q u e d esd e entonces s e conoció co m o ley de M oore. e l número d e transistores por pulgada cuadrada en los circuitos integrados se duplicará aproxim adam ente cada 18 m eses. L a tabla siguiente lista e l número d e tran­ sistores (en m iles) para diferentes años.

Com ente so b re las tendencias generales m ostradas en la s d o s gráficas circulares.

Dfctríbudón 60 -8 4

de edades 1900

8 5+

F ig u ra 3 .4 9

6 0 -8 4

Píente: O fic in a del Censo, Estados Unidos.

Año

T ra n s is to re s

Año

T ra n s is to re s

1971

2.3

1993

3100

1974

5

1997

7500

1978

29

1999

24 0 00

1982

120

2000

42000

1985

275

2002

220000

1989

1180

2003

410000

a. Construya una g rá fica d e serie d e tiem po d e esto s datos, use una esca la uniforme en am b o s ejes.

10.

P ic to g r a m a d e u n c ig a r r o .

C onsidere e l pictogram a d e la

figura 3.50. D escriba brevem ente q u é muestra la gráfica. A nalice s i e s efectiva en su propósito y s i e s en gañ osa de

b.

Construya una gráfica exponencial d e esto s datos, en b s que las su bdivision es en e l e je vertical son 1, 10, 100,1 0 0 0 ,1 0 0 0 0 ,1 0 0 0 0 0 y 1 0 0 0 000.

alguna manera. c.

Com pare la s gráficas en los incisos a y b.

13. C a m b io p o rc e n tu a l e n el IPC .

La gráfica en la figura 3.51

muestra e l cam bio porcentual en e l IPC durante 17 años. U so de tabaco repollado, 38.0% H ogar o trabajo no reportado a AHT, 38.8% H ogar reportado sólo a A H T , 7.7% Trabajo reportado sólo a AH T, 12.4%

H ogar y trabajo reportado a exposición a AHT, 3.1%

¿E n q u é añ o (de lo s añ o s q u e s e muestran) fue mayor el cam bio del IPC? ¿E n qué año fue menor e l cam bio en el IP C ? ¿ C ó m o s e com paran lo s precios en 1991 co n los de 1990? Con base en esta gráfica, ¿qu é puede concluir acerca d e lo s cam b ios en lo s precios durante e l periodo q u e se muestra?

P íente: Centros de Controly Prevención de Enfermedades F ig u ra 3 .5 0

11.

Píente:

W alt Street Journal Alm anac.

S u s c rip c io n e s a t e lé fo n o s c e lu la re s .

L a tabla siguiente

muestra lo s núm eros d e suscripcion es a teléfonos celulares en E stad os Unidos.

N ú m e ro

Año

1985

340

1997

55312

1987

1231

1999

86047

1989

3 509 7557

2001

1991

2003

128 3 7 5 158722

1993

16009

2005

207900

1995

33 786

Año

N ú m e ro

www.FreeLibros.org Año

F ig u ra 3.51

Píente: O fic in a d e Estadísticas d e l Trabajo, Estados

Lbidos.

www.fullengineeringbook.net 151 of 495.

132

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s

F ig u ra 3 .5 2

14.

Fhente: NewEnglandJournal ofMedicine.

L a gráfica en

compra, q u e está aju stado por la inflación con 1996, usado

la figura 3.52 muestra dates que consideran el riesgo relativo de esquizofrenia en la gente nacida en diferentes m eses.

com o e l añ o d e referencia. L a g rá fica representa los años efe 1955 a 2006. R esum a lo q u e muestra la gráfica.

¿ E fe c to s e s ta c io n a le s d e la e s q u iz o fre n ia ?

a.

O bserve q u e la esca la del e je vertical no incluye e l cero. H aga un bosqu ejo d e la m ism a curva d e riesgo usando un e je q u e incluya a l cero. Com ente so b re e l efecto de este cam bio.

b . C ada valor de riesgo relativo s e muestra con un punto con su valor m ás probable y con una "banda d e error" que indica e l rango en e l que probablemente esté e l dato. El estudio concluye que “e l riesgo tam bién estuvo asociado de manera significativa con la estación d e nacimiento". Dado e l tamaño d e las barras d e error, ¿parece q u e está justificada la afirm ación? (¿E s posible dibujar una línea

16.

h o riz o n ta l. L a g rá fica en la figura 3.54 muestra de m anera sim ultán ea e l número de nacim ien­

D o b le e s c a la

tos en E stados U nidos durante d o s periodos: 1946-1964 y 1977-1994. ¿C uándo ocurrió e l pico de la primera ex p lo ­ sión dem ográfica? ¿C u án d o ocurrió e l pico d e la segunda explosión dem ográfica? ¿P or q u é cree que los diseñadores efe esta presentación eligieron superponer las d o s intervalos de tiempo, en lugar d e utilizar u na so la esca la de 1946 a 1994?

Baby B o o m s y sus hijos

horizontal q u e pase por todas las barras d e error?) 15.

D ó la re s c o n s ta n te s .

L a gráfica en l a figura 3.53 muestra

e l salario mínimo en E stad os Unidas, ju n to con su poder de

L a generación de la explosión dem ográfica (baby boomers), nacidos entre 1946 y 1964, produjeron su propia pequeña explosión dem ográfica entre 1977 y 1994.

1977 1955

1963

1971

1979

1987

1995

2003

Año

1979

1981

1983

1985

1987

1989

1991

1993

Año

Fuente: Centro Nacional para Estadísticas de Salud

www.FreeLibros.org F ig u ra 3 .5 3 Fíente: Departamento d e l Trabajo, Estados Unidos.

F ig u ra 3 .5 4

Fhente: Wall Street Journal Aimanac.

www.fullengineeringbook.net 152 of 495.

3.4 A lg u n a s p r e c a u c io n e s c o n r e s p e c to a g r á f ic a s 18.

Proyectos para internet y más allá

133

C r e a c ió n d e p re s e n ta c io n e s . Actualmente la s mujeres ganan m enos que los hom bres haciendo e l m ism o trabajo.

Determine e l monto actual gan ad o por m ujeres por cad a $ 1

P a ra en laces ú tiles seleccion e “L ín ks fo r Internet P ro je cts” p a ra e l capítulo 3 en ww w.aw.com /bbt. 17.

E s t a d o s U n id o s

e n im á g e n e s .

L a revista USA Today

ganado por hombres. D ibuje una gráfica q u e presente esta información d e m anera objetiva y lu ego dibuje otra gráfica que ex ag ere la diferencia.

ofrece un pictogram a diario para su sección “U SA Sn apshot". O btenga una fotografía de lo s números d e esta s e ­ mana d e USA Today. A nalice brevem ente su propósito y efectividad.

E N L A S N O T IC IA S Encuentre un ejem plo d el reporte d e u na gráfica en u na noticia reciente que

19. D is to rs io n e s e n la s n o tic ia s .

0

* ^

Encuentre un ejem plo efe un pictogram a en una n oticia reciente. A nalice lo

22. P ic to g r a m a s e n la s n o tic ia s .

involucre algún tipo d e distorsión sensorial. Explique

que e l pictogram a intenta m ostrar y s i lo s adornos ay u ­

los efectos d e la distorsión y describa có m o la gráfica podría haber sido dibu jada de manera m ás honesta.

dan o entorpecen este propósito. 23. G rá fic a s s o b r e s a lie n te s e n n o tic ia s .

Encuentre una

Encuentre un ejem plo del reporte d e una gráfica en una n oticia re­

gráfica de u na noticia reciente que, en su opinión, sea \erdaderam ente excepcion al en la exhibición visu al de

ciente en la cu al la esca la vertical no inicie en cero.

lo s datos. A nalice lo q u e la g rá fica muestra y explique

Su giera por qué la gráfica fue dibujada d e e s a manera y tam bién an alice la s form as en q u e la gráfica podría

por q u é considera q u e e s sobresaliente.

2 0 . P r o b le m a s d e e s c a la s e n la s n o tic ia s .

ser en gañ osa a consecuencia d e esto. Encuentre un ejem plo del reporte d e una gráfica en una n oticia re­

21. G rá fic a s e c o n ó m ic a s e n la s n o tic ia s .

24.

G rá fic a s n o t a n s o b r e s a lie n te s . Encuentre u na g rá ­ fica d e u na noticia reciente que, en su opinión, falle en

su intento d e mostrar d atos visualm ente de u na manera significativa. A nalice lo q u e la g rá fica está tratando de

ciente que muestre d atos económ icos en e l tiempo.

mostrar, explique por q u é falló y có m o podría haber

¿ L o s d atos están aju stados por la inflación? A nalice el significado d e la gráfica y algu n as form as en la s que

sido mejor.

podría ser engañosa.

www.FreeLibros.org www.fullengineeringbook.net 153 of 495.

134

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s

Ejercicios d e repaso del capítulo A continuación se miden lo s p eso s (en libras) d e lo s contenidos en m uestras d e latas d e Pepsi regular y d e Pepsi d e dieta. Utilice estos d atos para lo s ejercicio s 1-3.

b.

pesos d e Pepsi regular. 3.

a.

P ep si reg u lar: 0.8258

0.8156

0.8211

0 .8170

0 .8216

0 .8302

0.8192 0.8139

0.8192 0.8260

0.8271 0.8227

0.8251 0.8388

0 .8 2 2 7 0 .8 2 6 0

0.8256 0 .8317

0.8247

0.8200

0.8172

0.8227

0 .8244

0 .8244

0.8319 0.8401

0.8247 0.8233

0.8214 0.8291

0.8291 0.8172

0 .8227 0 .8233

0.8211 0.8211

b.

U tilice e l resultado del ejercicio Ib para construir un

c.

Com pare los histogram as de los incisos a y b. ¿ E n qué son parecidos y en qué so n diferentes?

4.

G r á f ic a c ir c u la r .

0.7868

0.7846

0.7938

0.7861

0 .7844

0.7795

0.7883

0.7879

0 .7850

0 .7899

0 .7 8 7 7

0.7852 0.7822

0.7756 0.7742

0.7837 0.7833

0.7879 0.7835

0 .7839 0 .7855

0 .7 8 1 7 0.7859

0.7775

0.7833

0.7835

0.7826

0 .7815

0.7791

0.7866

0.7855

0.7848

0.7806

0 .7773

0.7775

las cau sas: transportación: 2 375 contacto con ob jetos o equipo, 884 asalto o actos d e violencia, 829 caídas, 718 exposición a su stan cias dañinas o un am biente dañino, 552

Construya una tabla d e frecuencias para los p eso s de

fuego o explosiones, 166 (Los d atos so n d e la O ficina d e Estadísticas del Trabajo).

Pepsi regular. U tilice la s clases 0.8130-0.8179

Construya una gráfica circular q u e represente los datos

0.8180-0.8229

dados.

0.8230-0.8279 0.8280-0.8329

5.

0.8 3 3 0-0 .8 379

D ia g r a m a d e P a r e t o . Construya un diagram a d e Pareto de lo s d atos d a d o s en e l ejercicio 4. C om pare e l diagram a de

Pareto con la gráfica circular. ¿C u á l gráfica e s m ás efectiva

0.8380-0.8429

para mostrar la s cau sas d e muerte en e l trabajo? Explique.

Construya una tabla d e frecuencias para los p eso s de Pepsi d e dieta. U tilice la s clases

6.

G r á f ic a d e b a r r a s .

0.7740-0.7779 0.7780-0.7819

fica q u e muestre lo s d atos d e una manera m ás objetiva. 7500

0.7 9 0 0-0 .7 939

2. a.

L a figura 3.55 muestra lo s núm eros de

adopciones en E stados U nidos de China en lo s años 2005 y 2000. ¿Q u é e s incorrecto en esta grá fica ? Dibuje una g rá ­

0.7 8 2 0-0 .7 859 0.7 8 6 0-0 .7 899

c.

En un añ o reciente, 5 524 personas mu­

rieron mientras trabajaban. A continuación un d e sg lo se de

0.7925

b.

U tilice e l resultado del ejercicio l a para construir un histograma de lo s p eso s d e Pepsi regular.

histograma para les p eso s d e Pepsi d e dieta.

P ep si d e d ieta:

1. a .

Construya una tabla d e frecuencias acu m u ladas para los

I &

7000 " 6500 -

■§ 1

6000

carse e s a s diferen cias?

1^

5500 -

1

5000

C onstruya una tab la d e frecuencias relativas para los

2

Compare las tablas de frecuencias d e lo s incisos a y b. ¿Q ué diferencias notables h ay ? ¿C ó m o pueden ex p li­

p esos d e Pepsi regular. U tilice la s clases 0 .8 1 3 0 -0 .8 1 7 9 0 .8 1 8 0-0.8229

4500 4000 Año

F ig u r a 3 . 5 5

0 .8 230-0.8279 0 .8 280-0.8329 0 .8 3 3 0-0.8379 0 .8 3 8 0-0.8429

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Cuestionario del capítulo -

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;

¿f*--

r

~

77

135

t 7

1

C uestion ario del capítulo

1 . L as frecuencias d e diferentes colores d e o jo s s e obtuvieron

efe una muestra d e su jeto s seleccion ados aleatoriamente,

8. Identifique e l valor m ás gran de representado en la gráfica de puntos en la figura 3.57.

quienes participaron en un estudio d e salud nacional. ¿C u ál gráfica sería m ás adecuada para esto s datos: un histogram a, n ía gráfica d e barras, una g ráfica de barras múltiple o una gráfica ap ilad a? 2 . Para investigar e l género y e l color d e o jo s, la s frecuencias de diferentes co lo res d e o jo s s e obtuvieron d e una muestra aleatoria de hom bres y otra muestra aleatoria d e mujeres quienes participaron en un estudio d e salud nacional. ¿C u ál gráfica sería m ás adecuada para esto s datos: un histogram a, n ía gráfica d e barras, una g ráfica de barras múltiple o una gráfica ap ilad a? 3.

S e m ide e l ancho d e cad eras d e su jeto s elegid o s aleatoria­ mente, quien es participaron en un estudio d e salu d nacio­

F ig u ra 3 .5 7 9.

L a figura 3.58 muestra e l número d e accidentes autom o­ vilísticos m ortales en E stad os Unidos en los q u e e l a lco ­ hol estuvo involucrado para cada añ o d esd e 1982 a 2000. ¿C u án tos accidentes mortales hubo en 19 8 2 ? ¿C u án tos en

2000 ? Total dcacádc

ata» a i d w q ira relacionadas can d alcohol

nal. ¿C u ál gráfica sería m ás adecuada para esto s datos: un histograma, una gráfica de barras, una gráfica de barras múltiple o una gráfica apilada? 4.

L a primera cla se en una tabla d e frecuencia e s 50-59 y la frecuencia correspondiente es 7. ¿Q u é indica e l valor d e 7 ?

5.

L a prim era clase en una tabla d e frecuencia relativa es 50-59 y la frecuencia relativa correspondiente e s 0 .2 . ¿Q ué indica e l valor d e 0 .2 ?

6 . Identifique lo s valores representados en e l siguiente diagram a d e tallo y hojas.

7.

Fuente: Departamento Nacional de Seguridad en Carreteras F ig u ra 3.58

10. Un reportero d e un periódico quiere construir una gráfica que muestre la cantidad d e gasolin a consum ida anualmente

0 0

por autom óviles en E stados U nidos para una su cesión de años recientes. ¿P or q u é no tiene sentido ajustar las can­ tidades an u ales usando un añ o d e referencia particular, tal

0

com o 1996?

1

0

1

22

1

4

L a g rá fica d e barra en la figura 3.56 muestra e l número de nacim ientos d e gem elos en E stados U nidos en los años 2000 y 2004. ¿ D e q u é manera e s confusa esta grá fica ?

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136

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s

U so d e tecn ología L o s p a q u e t e s d e c ó m p u t o a h o r a s o n m u y e f e c t iv o s p a r a

Excel

la g e n e r a c i ó n d e u n a a m p l i a v a r i e d a d d e g r á f i c a s i m p r e ­ s io n a n t e s .

Las

in s t r u c c io n e s

d e t a lla d a s

pueden

v a r ia r

Aunque

puede

g e n e r a r h is t o g r a m a s , g r á f i c a s

de

b a rra s,

d e m u y f á c i l e s a m u y c o m p le j a s , a s í q u e a c o n t i n u a c i ó n

g r á f i c a s d e lín e a s , g r á f i c a s c i r c u l a r e s , g r á f i c a s a p i l a d a s , g r á ­

p r o p o r c io n a m o s

p e r t in e n t e s . P r o c e d im ie n ­

f ic a s d e lín e a s a p ila d a s y g r á f i c a s d e m ú lt i p l e s b a r r a s , p o r

t o s a m a y o r d e t a l l e p u e d e n e n c o n t r a r s e e n e l T e c h n o lo g y

lo r e g u la r E x c e l e s d i f í c il d e u t iliz a r . E l c o m p le m e n t o D D X L

c o m e n t a r io s

c o m p le m e n t o s

p u e d e i n s t a la r s e e n E x c e l, y p u e d e u s a r s e p a r a g e n e r a r f á ­

d e la s e r i e d e E s t a d í s t i c a d e T r ió l a , t o d o s d i s p o n i b l e s d e

c i l m e n t e u n h i s t o g r a m a , u n a g r á f i c a d e b a r r a s , u n a g r á f ic a

P e a r s o n A d d i s o n W e s l e y , p u e d e n s e r ú t i le s : S P S S S t u d e n t

d e p u n t o s o u n a g r á fic a c ir c u la r . E l c o m p le m e n t o D D X L

L a b o r a t o r y M a n u a l a n d W o r k b o o k d e J a m e s J . B a l l, E x c e l

e s t á d is p o n ib le e n w w w . a w . c o m / b b t . D e s p u é s d e q u e s e h a

S t u d e n t L a b o r a t o r y M a n u a l a n d W o r k b o o k d e J o h a n a H a l-

in s t a l a d o D D X L e n E x c e l, p r o c e d a c o m o s ig u e .

M anual a n d

W o rk b o o k .

A dem ás,

e sto s

s e y y E l l e n a R e d a , y S t a t d is k S t u d e n t L a b o r a t o r y M a n u a l

P r i m e r o i n t r o d u z c a to s d a t o s e n la c o l u m n a A , l u e g o

a n d W o r k b o o k p o r M a r i o F . T r ió l a . L o s c o m p l e m e n t o s t a m ­

d é c lic e n e l c o m p le m e n t o D D X L , s e le c c io n e C h a rts a n d

b ié n e s t á n d i s p o n i b l e s p a r a M i n i t a b , S A S y la c a l c u l a d o r a

P lo t s , d é c l i c e n e l c u a d r o e t i q u e t a d o f u n c t io n t y p e y d e l

T I-8 3 /8 4 .

m e n ú s e le c c io n e

la

g r á fic a

d e s e a d a . P o r e j e m p lo , p a r a

g e n e r a r u n h i s t o g r a m a s e l e c c i o n e H is t o g r a m

del m enú,

lu e g o d é c lic e n e l ic o n o d e l lá p iz e in g r e s e e l r a n g o d e

SPSS

c e ld a s q u e

c o n t ie n e lo s

d a to s , ta l c o m o

A 1 :A 5 0 0

p a ra

5 0 0 v a l o r e s e n l o s r e n g l o n e s 1 a 5 0 0 d e la c o l u m n a A . S P S S p u e d e u s a r s e p a ra c r e a r g r á fic a s d e b a r r a s , g r á f i­ c a s d e lín e a s , g r á f i c a s c i r c u l a r e s , d i a g r a m a d e P a r e t o , h is t o g r a m a s , y g r á f ic a s d e s e r ie s d e t ie m p o .

P r im e r o e n t r e

STATDISK

o a b ra e l c o n ju n to d e d a to s d e s e a d o . L u e g o d e c lic en

S T A T D I S K e s g r a t is p a r a q u ie n e s c o m p r a n

G ra p h s y p r o c e d a a s e le c c io n a r e l t i p o d e s e a d o d e g r á ­

v a s d e e s t e lib r o , y e s t á d is p o n ib le e n w w w . a w . c o m / b b t .

f i c a . P o r e j e m p lo , p a r a g e n e r a r u n h i s t o g r a m a s e l e c c i o n e

S T A T D I S K g e n e r a c o n f a c i l i d a d h i s t o g r a m a s . I n g r e s e lo s

e l e l e m e n t o d e l m e n ú H is t o g r a m , d e c l i c e n la c o l u m n a d e

d a t o s e n la v e n t a n a d e d a t o s d e S T A T D I S K , d é c l i c

d a t o s d e s e a d o , d e c l i c e n b o t ó n s i g u i e n t e e n la e t i q u e t a

D a ta , d é c l i c e n H is t o g r a m y lu e g o d é c lic e n e l b o t ó n

V a r ia b le , y l u e g o d e c l i c e n O K . N o t a : la v e r s i ó n e s t u d i a n ­

P lo t . ( S i p r e f i e r e i n t r o d u c i r s u p r o p i o a n c h o d e c l a s e y e l

til d e S P S S

p u n t o in ic ia l, d é c l i c e n e l b o t ó n

d a to s.

e s t á l im it a d a a n o m á s d e 1 5 0 0

v a lo r e s d e

c o p ia s n u e ­

en

U s e r d e f in e d a n t e s d e

d a r c l i c e n P lo t ) . P a r a g e n e r a r u n a g r á fic a

c ir c u la r , p r im e r o in g r e s e

l o s n o m b r e s d e la s c a t e g o r í a s e n la c o l u m n a 1 d e la v e n ­ t a n a d e d a t o s d e S T A T D I S K y lu e g o in g r e s e la s f r e c u e n ­ c ia s c o r r e s p o n d i e n t e s e n la c o l u m n a 2 ; s e l e c c i o n e D a ta , d é c l i c e n P ie C h a r t y d é c l i c e n C h a r t .

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MAIBJLIEMOS DE HISTORIA 1

1

¿La guerra puede describirse co n u n a gráfica? ¿U n a gráfica puede describir la guerra? L a figura 3.59 (en la página 138) creada por Charles Jo se p h M inard en 1889, lo hace extraordinaria­ mente bien. E sta gráfica cuenta la historia d e la desafortunada cam paña de 1812 d e Napoleón, algunos le han llam ado la marcha d e la muerte de Napoleón. E l m apa subyacente en la gráfica d e Minard muestra una franja de aproxim adam ente 5 0 0 m illas d e tierra que v a d esd e e l río Niemen, en la frontera polaco-rusa hasta M oscú. L a prim era franja presenta la marcha hacia adelante del ejército d e N a p o le ó a E n e l dibu jo original de M inard c ad a milímetro de anchura representaba 6 0 0 0 hombres, esta reproducción s e muestra en un tam año m ás pequeño q u e e l original. L a marcha com ienza en la izquierda lejana donde la franja e s m ás ancha. A quí, un ejército d e 4 2 2 0 0 0 hom bres com ien za a marchar triunfal­ mente h acia M cscú e l 24 d e ju n io d e 1812. En ese momento, era el ejército m ás gran de ja m á s m ovilizado. L a reducción d e la franja en cuanto s e aproxim a a M o scú re­ presenta cóm o s e diezm aba e l ejército. (L as ram ificaciones representan lo s batallones que fueron en viados en otras direcciones a lo largo del cam ino). N apoleón só lo había llevad o e l mínimo d e víveres y e l calu roso verano acom pañado d e fuertes lluvias trajeron incontrolables enferm edades. Inanición, enferm edades y m iles de hombres muertos en combate cada día. Para cu ando e l ejército llegó a M o scú e l 14 d e septiem ­ bre, s e había reducido a 1 0 0 0 0 0 hombres. L o peor estaba por venir. Para consternación d e N a p o le ó a lo s ru so s evacuaron M o scú antes d e la llegada del ejér­ cito francés. Carente d e oportunidad para atrapar a la s tropas rusas sabien do q u e las condi­ cion es d e su ejército eran pésim as para continuar hacia la capital rusa de S a n Petersburgo, N apoleón tom ó su s tropas y las llevó rum bo a l su r en la s afueras d e M oscú. L a parte m ás baja d e la fran ja so bre la gráfica (la segu n d a línea) representa la retirada, y la últim a línea ab ajo m arca la tem peratura q u e tenían por la s n oches co n e l invierno aproxim ándose. L a s heladas tem peraturas y a estaban desde e l 18 d e octubre. L a s tem peraturas caían b a jo 0 °F a finales d e noviem bre. L a repentina angostura d e la franja inferior, alrededor del 2 8 de noviembre, muestra que 2 2 0 0 0 hom bres perecieron en los del río Berezina. T re s cuartas partes d e lo s sobrevivientes s e congelaron h asta morir lo s siguientes días, m uchos d e ello s por e l crudo frío nocturno del 6 d e diciem bre. Para e l ejército llegó a Polonia e l 14 d e diciem bre, só lo lo hizo con 1 0 0 0 0 d e los 4 2 2 0 0 0 s iniciales. En un fam oso análisis de técnicas gráficas, e l autor Edw ard T u fte describió la gráfica de Minard co m o la posible “m ejor gráfica ja m á s dibujada". S in em bargo, E J . Marey, un contem ­ poráneo d e Minard, escribió q u e esta gráfica “c a u só lágrim as en lo s o jo s d e toda Francia".

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138

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s

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H a b le m o s d e h is to ria

139

P R E G U N T A S PA R A D IS C U S IÓ N 1. D iscuta có m o esta gráfica ay u d a a vencer la naturaleza im personal d e m uchas muertes en una guerra. ¿Q u é im pacto le causó a usted personalm ente? 2 . O bserve q u e esta gráfica traza se is variables: d o s v ariab les d e dirección (norte-sur y esteoeste), e l tam año del ejército, la dirección d e m ovilización del ejército y la s temperaturas durante la retirada. ¿C on sidera usted que M inard pudo haber conseguido les puntos de coincidencia co n m enos v ariab les? ¿P o r qué s í o por q u é n o?

3. D iscuta cóm o s e puede hacer u na gráfica para algún otro evento histórico o político.

LECTURAS SUGERIDAS Tufte, Edgard, The V isualD isplay oíQ uantitative Inform ation, Graphic Press, 1992. Wainer, Howard, Visual R evelations: G raphical T ales o fF ate and D eception from Napoleón Bonaparte toR o ssP erot, Copemicus, Nueva York, 1997.

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140

E x h ib ic ió n v isu a l d e d a t o s

HABLEMOS DE MEDIO AMBIENTE ¿C óm o p od em o s visualizar el calentam iento global? El calentamiento glo b al e s sin duda uno d e lo s tem as m ás discutidos de nuestro tiem po. Pero, ¿cu án serio e s e l problem a? y ¿có m o podem os decidir s i e l calentam iento e s cau sado por la actividad hum ana o por tos ciclo s naturales d e la T ierra? E stas preguntas pueden ser abordadas estadísticam ente y , com o m uchas otras ideas estadísticas, s e visualizan mucho m ejor a través d e gráficas. El punto obvio d e partida para un estudio científico so b re el glo b al e s averiguar q u é tanto calentamiento está ocuL o primero q u e s e puede hacer para estudiar ten­ del clim a e s sim plem ente com parar las tem peraturas locales en periódicos antiguos co n la s tem peraturas actuales d e los m ism os lugares. S in em bargo, el calentam iento glo b al s e refiere a l incremento en e l prom edio d e tem peratura d e todo e l planeta, lo q u e sign ifica que localidades en particular puedan calentarse m ás o m enos que este pro­ medio. D e hecho, deberíam os esperar q u e algu n os lugares pudieran en ­ friarse aun cuando e l planeta su fre calentamiento. S i querem os saber si el planeta s e calienta entonces necesitam os inform ación q u e n os diga cóm o la tem peratura prom edio g lo b a l —4 a tem peratura prom edio d e la Tierra— está cam biando con e l tiempo. En la actualidad, lo s satélites q u e están en órbita proporcionan información q u e nos perdeterminar e l promedio d e temperatura con mucha precisión, y a que nos proporcionan una i general del planeta. Podem os validar e sto s registros con m ediciones “verdaderas en tierra" de 7 0 0 0 estaciones m eteorológicas alrededor del mundo, ju n to con m edidas de temperaturas del océano, generalm ente obtenidas con la m edición d e la temperatura del agu a recolectada por las v álvu las d e adm isión d e lo s barcos. Com o resultado, tenem os información fidedigna de temperatura para las c a si cuatro décad as para la s q u e tenem os observaciones satelitales de nuestro planeta. L a información que proviene d e algun os años antes d e la era satelital es un poco m enos confiable porque só lo podem os ver información d e localidades específicas, y el número d e localidades q u e podem os ver en lo s d o s sig lo s anteriores e s m ás reducida. A dem ás, la m ayoría d e lo s d atos d e la s tem peraturas capturadas fueron de ciudades, la s cuales tienden a ser m ás calientes co n respecto a l tiempo por razones independientes del calentamiento global (vea e l ejem plo 1 d e la sección 2.2). Con frecuencia lo s científicos explican este efecto d e “islas urbanas de calor", pero incluso entonces s e dejan principalmente d atos para temperaturas en tien a y pocos registros d e temperaturas so b re los océanos, lo s cuales cubren tres cuartas partes de la superficie terrestre. L o s científicos han dedicado mucho d e su esfuerzo, d e lo s últim os años, inform ación d e la tem peratura del pasado a detalle. A través d e análisis estadísticos reconstruir la historia d e la temperatura ju sta y fidedigna d e la m ayor parte d e lo s do s siglo s anteriores, aunque la incertidumbre s e hace mayor conform e vem os m ás atrás. L a figura 3 .6 0 muestra la historia reconstruida d e la temperatura prom edio glo b al d e la Tierra desde 1860. A pesar d e ciertas dudas, la conclusión general e s clara: la tem peratura pro­ medio global s e ha elevado en alrededor d e 0 .8 °C (1.4°F) en e l sig lo pasado. A dem ás, la m ayo­ ría del calentam iento (cerca d e 0 .6 °C ) ocurrió en só lo los últim os treinta añ os, e l periodo cuya inform ación e s la m ás confiable. E l calentam iento a l parecer tiende a acelerarse. Por ejem plo, nueve d e lo s diez añ o s m ás calu roso s registrados ocurrieron en e l periodo d e diez añ o s m ás

www.FreeLibros.org recientes, m ostrado en la gráfica.

Con la información de la temperatura q u e muestra una clara tendencia a l calentamiento, la siguiente pregunta e s ¿cuánto podríam os esperar que la temperatura s e incremente en e l futuro?

140

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H a b le m o s d e m e d io a m b ie n te

141

0.6o -

1860

1880

F ig u ra 3 .6 0

1900

1920

1940

1960

1980

2000

T e m p e r a t u r a s g lo b a le s p r o m e d io d e s d e 1 8 6 0 , c o m p a r a d a s c o n la

t e m p e r a t u r a p r o m e d io d u r a n t e e l p e r i o d o d e 3 0 a ñ o s d e 1961 a 1 9 9 0 . O b s e r v e la c la r a t e n d e n c ia a l c a le n t a m ie n t o g l o b a l d e la s p a s a d a s d é c a d a s . Fhente:Centro N a cio n a l de Investigación Atm osférica.

Com o lo analizarem os m ás adelante en e l capítulo 7 (vea la sección "H ablem os d e" en la página 328), la elevación d e la temperatura claramente está aso ciad a a un incremento en la concentración atm osférica d e dióxido d e carbono (CO 2) y otros g is e s d e invernadero. Por tanto, s i querem os predecir cuánto s e elevará la temperatura en e l futuro, necesitam os d atos sobre la reciente eleva­ ción en la concentración atm osférica d e C 0 2, d e igual manera s e requiere la información anterior referente a cóm o la concentración d e CO 2 está asociada a lo s cam bios clim áticos globales. Para e l reciente aum ento en la concentración d e C 0 2 tenem os una extraordinaria in­ form ación obtenida d esd e 1958 por científicos q u e laboran en una estación d e M auna L o a (Hawai). E sto s d atos m ostrados del lad o derecho d e la figura 3.61 representan m edidas directas del cam bio d e concentración d e C 0 2. Note q u e las unidades d e la concentración so n p a rle s

p o r m illón (ppm), por ejem plo: 320 ppm sign ifica q u e hay 320 m oléculas d e d ióxido d e car­ bono en c a d a millón d e m oléculas d e aire. L a s oscilacion es an u ales en la gráfica muestran que la concentración del dióxido d e carbono varía co n la s estaciones. A pesar d e estas oscilaciones, la tendencia e s claramente hacia arriba. Para saber cuánto podríam cs esperar q u e la temperatura suba, nos gustaría tener informa­ ción q u e muestre la correlación entre la concentración del dióxido d e carbono y la temperatura

Uso humano d e combustibles 380 — fósiles h a elevado los n iv eles........... — de C 0 2 por arriba de todos los picos que ocurrieron 360 en los últimos 4 0 0 0 0 0 años. .¿

con tiempos de mayor temperatura global promedio.

*

tAN*

340

320

300

! ! • 1i ! I 1! ! ! ! 1! ! ! 1! ! ! 1! ! ! 1! ! ! ! 1! ! 1960 1970 1980 1990

...................... 2000

2010

año

www.FreeLibros.org Años atrás

F ig u ra 3.61

L a c o n c e n t r a c ió n a t m o s f é r ic a d e d i ó x id o d e c a r b o n o y la t e m p e r a t u r a g l o b a l p r o m e d io r e c o n s t r u id a s c o n b a s e

e n n ú c le o s d e g la c ia r e s y o t r o s d a t o s p a r a lo s ú lt im o s 4 0 0 0 0 0 a ñ o s . L o s d a t o s r e c ie n t e s d e C O m e d ic io n e s d i r e c t a s t o m a d a s e n M a u n a L o a ( H a w a i) .

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2 (d e re c h a ) re p re s e n ta n

142

E x h ib ic ió n v is u a l d e d a t o s en e l pasado. Para lo s últim os m ilenios lo s científicos pueden obtener esta inform ación exam i­ nando lo s anillos d e lo s árb oles; co n un estudio cuidadoso pueden revelar un registro tanto de tem peratura com o d e concentración d e d ióxido d e carbono. L o s registros pueden extenderse mucho m ás atrás con estudios d e lo s núcleos d e hielo extraído de cap as heladas d e la Antártica. L o s n úcleos d e hielo s e form aron d e c a p a s antiguas acum uladas, com prim iendo nieve. Y a que la nieve c a e cad a tem porada, cad a c a p a d elgad a representa un año, a sí com o cad a anillo d e un árbol representa un añ o en la vid a d e éste. M ediante e l estudio d e burbujas d e aire atrapadas en la s cap as d e hielo, los científicos han podido reconstruir la historia d e la tem peratura y de la concentración d e d ióxido d e carbono. (L a concentración del d ióxido de carbono puede m edirse directam ente d e la s burbujas d e aire m ientras la s tem peraturas s e miden a través de estudios cuidadosos d e isótopos d e oxígen o en la s burbujas d e aire: lo s isótopos m ás pesados no so n transportados en e l aire tan fácilm ente cuando las tem peraturas son m ás bajas, a sí que la proporción d e lo s isótopos m ás d e n so s y m ás lig ero s perm ite a lo s investigadores estimar temperaturas en e l pasado). L o s resultados so n sorprendentes. Com o puede ver en l a gráfica inferior en e l lado iz­ quierdo d e la figura 3.61 lo s d atos d e lo s n úcleos d e hielo proporcionan un registro d e tem pe­ ratura y concentración d e dióxido d e carbono q u e s e remontan a m ás d e 400 0 0 0 añ os, periodo en e l cual la Tierra p asó por num erosas ed ades de hielo a sí com o periodos d e calentamiento. A l m enos tres conclusiones deben saltarle a la vista cuando estudia la figura: 1. Existe u na relación entre tem peratura y concentración de dióxido d e carbono: lo s periodos d e tem peratura m ás alta tienden a ser tam bién lo s periodos d e m ayor concentración de dióxido de carbono. A unque esto no prueba que la concentración del d ióxido d e carbono se a la c au sa d e la tem peratura m ás alta, hace parecer m uy probable q u e van d e la mano —quiere decir q u e e l aum ento reciente en la concentración d e d ióxido d e carbono ha sido acom pañado por un correspondiente aum ento en la temperatura.

2. L a tem peratura y la concentración del dióxido d e carbono varían natural y sustancialm ente con e l tiem po. L a tem peratura prom edio global ha subido y bajado por m ás d e 10°C (apro­ xim adam ente 18 °F) en m uchas ocasio n es en lo s últimos cientos d e m iles de añ o s y la co n ­ centración del d ióxido d e carbono ha variado naturalmente entre m enos d e 200 y c a si 300 partes por millón (ppm ).

3. Cuando com param os la inform ación del dióxido d e carbono del lado derecho d e la gráfica con lo s d atos del p asad o del lado izquierdo, encontram os q u e estam os en un territorio com pletam ente nuevo: la concentración actual d e d ióxido d e carbono está m uy por encim a de lo q u e nuestro planeta había visto en lo s 4 0 0 0 0 0 años anteriores. E n realidad, d atos re­ cientes han extendido, d e manera preliminar, e l registro d e núcleos d e hielo a un millón de años atrás, y encontram os l a m ism a idea básica. D esde e l inicio d e la era industrial hem os elevado la concentración atm osférica de d ióxido d e carbono por arriba d e lo s n iveles que han ocurrido naturalmente durante cualquiera d e le s periodos d e calentam iento o eras de hielo q u e sucedieron m illones de a ñ o s atrás. A ún sin predicción precisa d e les cam b ios esperado s en e l futuro so b re e l clim a global, estos d atos proporcionan un m ensaje para reflexionar. L a diferencia entre una era glacial, en que la m ayor parte d e E stados U nidos estaría enterrado entre los glaciares y nuestras m ás a c ­ tuales condiciones cálid as en só lo algun os g rad o s Celsius, y lo s d atos d e lo s núcleos d e hielo nos dicen q u e incluso gran des cam b ios d e tem peratura han ocurrido en e l pasado con cam bios en la concentración del dióxido d e carbono, m ucho m ás pequeños q u e lo s cam bios q u e están ocurriendo ahora. S i la s tendencias p asadas so n indicadores d e lo q u e podem os esperar en el futuro entonces, a m enos q u e h agam os a lg o pronto para detener e l crecim iento del d ióxido de carbono, nuestros hijos y nietos habitarán un mundo con un clim a m uy diferente a l q u e v ivi­ m os hoy en día.

P R E G U N T A S PA R A D IS C U S IÓ N

www.FreeLibros.org 1. Estudie cuidadosam ente la figura 3.61. ¿Cuánta e s la concentración de d ióxido d e carbono actual com parada con la d e 1750? ¿C ó m o e s esta concentración en e l añ o 1750 com parada co n la d e hace 400 0 0 0 a ñ o s? ¿Q u é conclusion es puede usted sacar d e su s respuestas a estas preguntas?

www.fullengineeringbook.net 162 of 495.

H a b le m o s d e m e d io a m b ie n te

143

2 . D iscuta algu n os d e lo s factores que pueden afectar la futura concentración atm osférica de dióxido d e carbono. ¿Q u é debería hacerse para reducir o detener e l crecim iento en la co n ­ centración del dióxido de carbono?

3. ¿Q ué tipo d e consecuencias s e podrían esperar del calentamiento g lo b a l? D iscuta lo que haya escuchado en la s noticias y considere qué consecuencias parecen probables y cuáles parecen excesivam ente optim istas o dem asiado alarmantes.

4 . Hace ap en as una d é cad a había cierta controversia acerca d e s i e l calentam iento glo b al en realidad estaba ocurriendo o s i s e podría calificar co m o un problem a serio. Actualmente esa controversia y a está terminada. D iscuta e l papel que la n ueva información ha desem ­ peñado en aclarar la am enaza del calentam iento global. ¿C u án importantes so n gráficas d a r a s para nuestra com prensión d e esto s d atos nuevos?

LECTURAS SUGERIDAS Usted puede encontrar gran cantidad de sitios científicos en internet con la s últimas actuali­ zaciones de la información del calentamiento global. Un buen punto de partida son los sitios ctel Intergovemmental Panel on Climate Change (IPCC), e l Centro Nacional de Investigación Atmosférica (NCAR, por su s siglas en inglés) y la A gencia de Protección Ambiental (EPA, por su s siglas en inglés) de Estados Unidos. Bennet, Jefírey y Shostak, Seth, L ife in the Uníverse, segunda edición, Addison W esley, 2007 (véase la sección 10.5). Flannery, Tim, The W eather M akers, Atlantic Monthly Press, 2005.

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Es in ú til tratar de hacer caso a todos. Uno debe seguir sugerencias, no exactam ente como se dicen, n i com pletam ente como están hechas. — V irg in ia W o o lf

Descripción de datos

O B JE T IV O S D E A P R E N D IZ A JE 4 .1

¿ Q u é e s u n p r o m e d io ? C o m p r e n d e r la d i f e r e n c i a e n t r e u n a m e d ia , m e d ia n a y m o d a y c ó m o c a d a u n a e s a f e c t a d a p o r d a t o s a t íp ic o s . A d e m á s, e n te n d e r c ó m o e s to s d if e r e n t e s t i p o s d e “ p r o m e d i o s ’' p u e d e n l le v a r a c o n f u s i ó n y c u á n d o e s a p r o p i a d o u t i li z a r u n a m e d ia

EN E L C A P ÍT U L O 3 E S T U D IA M O S L O S M É T O D O S P A R A

m ostrar la d istrib u ció n d e d a to s co n tablas y gráficas. A h o ra

p o n d e ra d a . 4 .2

F o r m a s d e la s d i s t r i b u c i o n e s S e r c a p a z d e d e s c r i b ir la f o r m a g e n e r a l

e sta m o s listos para e studiar có m o p o d e m o s resum ir las c a ­

d e u n a d is t r ib u c ió n e n té r m in o s d e s u

ra cte rística s d e una d istrib u ció n en té rm in os d e unas cu an ­ tas p ro p ie d a d e s y núm eros. En particular, analizarem os m é to d o s co m u n e s p a ra la d e scrip c ió n del centro, fo rm a y v a ria ció n d e un con ju n to d e datos. E stos m é to d o s son p ri­ m o rd iale s p a ra el análisis d e d a to s y, c o m o verem os, tienen a p lica c io n e s en casi cualquier e stu d io e s ta d ístic o que usted

n ú m e r o d e m o d a s , s e s g o y v a r ia c ió n . 4 .3

M e d id a s d e v a r i a c ió n C o m p r e n d e r e in t e r p r e t a r e s ta s m e d id a s d e v a r i a c ió n c o m u n e s : r a n g o , re s u m e n d e c in c o n ú m e ro s y d e s v ia c ió n e stá n d a r.

4 . 4 P a r a d o ja s e s t a d ís t ic a s I n v e s t ig a r a lg u n a s p a r a d o j a s c o m u n e s q u e s u r g e n e n e s t a d ís t ic a , p o r e j e m p lo ,

en cu en tre en las noticias. C o n c lu ire m o s el ca p ítu lo e stu ­ d ia n d o algunas sorpresas que en o ca sio n e s se presen ta n in ­ clu so cu an d o exa m in am os los d a to s cuidadosam ente.

c ó m o e s p o s i b l e q u e la m a y o r ía d e la g e n t e q u e f a l l e e n u n a p r u e b a d e l p o líg r a f o “ c o n 9 0 % d e p r e c is ió n ” , e n r e a lid a d e s t á d i c ie n d o la v e r d a d .

www.FreeLibros.org 145

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146

D e s c r ip c ió n d e d a t o s

4.1 ¿Q ué es un prom edio?

E

1 término prom edíoaparece con frecuencia en noticias y otros reportes, pero no siem pre

tiene e l m ism o significado. C om o verem cs en esta sección , la definición m ás apropiada de prom edio depende d e la situación.

M ed ia, m ed ian a y m o d a T a b la 4 .1

P e l í c u l a s d e c in c o

s e r ie s d e c i e n c ia f i c c i ó n N ú m e ro d e p e líc u la s S e rie

4

V o lv e r a l futuro

3

E l plan eta

c. o

d e los sim ios

a las estrellas La g u e rra d e las galaxias

en estas se ries? U na m anera d e responder e s calcular la in e d ia (El término form al d e m edia

aritm ética sim plem ente e s referido co m o m edid). D eterm inam os la m edia a l dividir e l número total d e películas entre cin co (ya que hay cinco series en e l conjunto d e datos):

(h a sta 2 0 0 7 )

A lie n

Viaje

La tabla 4.1 muestra e l número d e películas (original, secu elas o previos) para cada u na de las cin co se ries d e ciencia ficción m ás populares. ¿C u á l e s e l número prom edio d e películas

10 oc

4 + 3 + 6 + 10 + 6 29 m edia = ------------- --------------= — = 5.8 O d En otras palabras, hay cin co series q u e tienen una m edia de 5.8 películas. Determ inam os la m edia d e cualquier conjunto d e d atos s i dividim os la su m a d e tod os ello s entre e l número de datos. L a m edia e s lo q u e la m ayoría d e la s personas consideran com o e l promedio. En esencia, representa e l punto d e equilibrio para una distribución d e d atos cuantitativos, com o s e muestra en la figura 4.1. Tam bién describim cs e l número prom edio d e películas mediante e l cálcu lo d e la ■ « « S a n a o valor medio, del conjunto de datos. Para determinar la mediana, acom odam os los valores en orden ascendente (o descendente), repitiendo lo s d atos q u e aparezcan m ás d e una vez. S i e l número d e valores e s impar existe exactam ente un valor en la mitad d e la lista, y este valor e s la m ediana. S i e l núm ero d e valores e s par, existen d o s valores en la mitad d e la lista, y la m ediana e s e l número que está a la mitad de ellos. A l colocar lo s d atos d e la tabla 4.1 en orden ascendente s e obtiene la lista 3, 4, 6, 6, 10. E l número m ediano d e películas e s 6, y a que 6 e s e l número a mitad de la lista. L a m o d a es e l valor o gru p o de valores m ás com ún en un conjunto d e datos. E n e l caso de las películas, la m oda es 6 y a que este valor ocurre d e s v e c e s en e l conjunto d e datos, mien­ tras q u e lo s otro s valores aparecen una so la vez. Un conjunto d e d atos puede tener una moda, m ás d e una m oda, o no tener moda. E n ocasio n es la m oda muestra un gru p o de valores muy cercanos en lugar de un so lo valor. L a m oda s e utiliza d e manera m ás com ún para d atos cuali­ tativos que para d atos cuantitativos, cuando ni la m edia ni la mediana pueden usarse co n d atos cualitativos.

www.FreeLibros.org F ig u ra 4.1

U n h is t o g r a m a r e a liz a d o c o n b lo q u e s q u e s e e q u ilib r a r ía n e n la p o s i c i ó n d e la

m e d ia .

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4.1 ¿ Q u é e s un p r o m e d io ?

147

D efin icio n es: m ed id as de ten dencia central en un a d istrib u c ió n L a m e d ia e s a la q u e lla m a m o s c o m ú n m e n t e e l v a lo r p r o m e d io . S e d e t e r m in a c o m o s ig u e : m e d ja _

s u m a d e t o d o s lo s v a lo r e s n ú m e r o t o t a l d e v a lo r e s

L a m e d ia n a e s e l v a lo r d e e n m e d io e n e l c o n j u n t o o r d e n a d o d e d a t o s ( o a la m it a d e n t r e lo s d o s v a lo r e s d e la m it a d , e n c a s o d e q u e e l n ú m e r o d e v a lo r e s s e a p a r ) . L a m o d a e s e l v a l o r ( o g r u p o d e v a lo r e s ) m á s c o m ú n e n u n c o n j u n t o d e d a t o s .

A l redondear utilizarem os la regla siguiente para tod os lo s cálculos estudiados en este capítulo.

R egla d e re d o n d eo p a ra cálcu lo s estad ísticos N O T A T É C N IC A I n d iq u e su r e s p u e s t a c o n un d e c im a l m á s d e p r e c is ió n q u e lo s q u e s e e n c u e n t r a n e n lo s d a t o s e n p r o c e s a r . E je m p lo : L a m e d ia d e 2 , 3 y 5 e s 3 .3 3 3 3 ..., q u e r e d o n d e a m o s a

Si la m e d id a d e te n d e n cia central

3 .3 . P u e s t o q u e lo s d a t o s s o n n ú m e r o s e n t e r o s , r e d o n d e a m o s a l d é c i m o m á s c e r c a n o .

tiene e l m ism o n ú m e ro d e d íg ito s

C o m o siem pre, re d o n d e e s ó lo la respuesta final y n o los valores in te rm e d io s usados en su s cálculos.

originales, puede in clu ir un c e ro

sig n ificativo s q u e los datos ad icio n al o bien u tilizar e l resu ltad o e x a cto sin lugares d e c im a le s extra.

Por e jem p lo , la m e d ia d e 2 y 4

Observe q u e aplicam os esta regla en nuestro ejem plo d e las películas. L o s d atos en la tabla 4.1 consisten en núm ercs enteros, pero indicam os la m edia co m o 5.8.

puede ex p re sa rse c o m o 3 o 3.0.

EJEMPLO 1 Datos de precios Ocho tiendas venden barras d e energía PR a los precios siguientes: $1.09

$1.29

$1.29

$1.35

$1.39

$1.49

$1.59

$1.79

Determine la media, la m ediana y la m oda para e sto s precios.

S o lu c ió n

E l precio m e dio e s $1.41:

m edia _ $1.09 + $1.29 + $1.29 + $1.35 + $1.39 + $1.49 + $1.59 + $1.79

8

A p r o p ó sito ... Un e s tu d io recien te e n la

= $1.41

U n ive rsid ad d e C h ic a g o d e sc u b rió q u e la a sig n a ció n m e d ia n a para

Para determ inar la mediana, primero ordenam os lo s d atos en orden ascendente:

ad o le scen te s e n Esta d os Unidos es $ 5 0 p o r sem ana. El e s tu d io e stim ó

.$1.09,

$ 1 .29,

$1.29,,

3 v a lo re s a b a jo

$1.35,

$1.39,^

2 va lo re s e n m e d io

$1.49,

$159,

$1.79

3 va lo re s a rrib a

q u e los ad o le scen te s re cib e n más efe m il m illones d e d ó la re s a la sem ana e n asignaciones.

Puesto que hay o ch o precios (un número par), existen d o s valores a la mitad de la lista: $ 1.35 y $1.39. Por tanto, la m ediana está a la mitad entre e sto s d e s valores, q u e calcu lam os sum ándolos y dividiendo entre 2: $1.35 + $1.39 m ediana = ---------------

= $1.37

www.FreeLibros.org Con la regla de redondeo exp resam o s la m edia y la m ediana com o $ 1 .410 y $1.370, respecti­

vamente.

L a m o d a es $1.29 y a q u e este precio aparece m ás veces q u e cualquiera otro.

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D e s c r ip c ió n d e d a t o s

M A E S T R O M E D IO

U N M AESTRO W M E D I O

A S IG N A R ÍA D IEZ P Á G IN A S

PODRÍA A S I G N A R T O S P A G I N A S D E TAREA.

(-O

^ G ra n B a n c o :

4 .1

M e jo r B a n c o :

6 .6

5 .2 6 .7

5.6 6.7

C u a r t il s u p e rio r

« ü 6 .2 6 .9

6 .7 7 .1

(ft)

7.2

7 .7

7 .7

8.5

9 .3

1 1 .0

7.2

7 .3

7 .4

7.7

7 .8

7 .8

D efin icion es N O T A T É C N IC A E l cu a rtil in fe rio r ( o p rim e r c u a rtil o Q ,) d iv id e e l c u a r t o in f e r io r d e lo s d a t o s d e lo s t r e s Los e sta d ís tic o s n o co in cid e n

c u a r t o s s u p e r io r e s . E s la m e d ia n a d e lo s v a lo r e s e n la m ita d in fe rio r d e u n c o n j u n t o d e

a ce rc a d e l p ro ce d im ie n to

d a t o s . ( Q u it a n d o e l v a lo r d e e n m e d i o e n e l c o n j u n t o d e d a t o s , s i e l n ú m e r o d e p u n t o s

para c a lc u la r los cu a rtile s y

e s im p a r ) .

p roce d im ie n tos d ife re n te s pueden resultar e n v a lo re s un p o co

E l cu a rtil d e e n m e d io ( o s e g u n d o c u a rtil o G>2 ) e s la m e d ia n a g lo b a l.

d fe re n te s.

E l cu a rtil s u p e rio r ( o t e r c e r c u a rtil o Q 3) d iv id e lo s t r e s c u a r t o s d e d a t o s in f e r io r e s d e

www.FreeLibros.org u n c o n j u n t o d e d a t o s d e l c u a r t o s u p e r io r . E s la m e d ia n a d e lo s v a lo r e s e n la m ita d s u p e rio r d e u n c o n j u n t o d e d a t o s . ( Q u it a n d o e l v a l o r d e e n m e d io e n e l c o n j u n t o d e d a t o s , s i e l n ú m e r o d e p u n t o s e s im p a r ) .

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4.3 M e d id a s d e v a ria c ió n

167

U na v e z que conocem os los cuartiles, podem os describir una distribución con un re s u ­ m e n d e c h ic o n ú m e ro s que co n siste del valor inferior, e l cuartil inferior, la m ediana, e l cuartil

superior y e l valor m áxim o. Para los tiem pcs de espera en lo s do s bancos, e l resum en d e los cinco núm eros e s com o sigue:

G ran B an co:

M ejor B an co:

mínimo

= 4.1

mínimo

cuartil inferior = 5.6 mediana

= 6.6

cuartil inferior = 6.7

= 7.2

mediana

= 7.2

cuartil superior = 8.5

cuartil superior = 7.7

m áxim o

m áxim o

= 11.0

= 7.8

R esum en de lo s cinco n ú m e ro s E l r e s u m e n d e l o s c i n c o n ú m e r o s p a r a u n a d is t r ib u c ió n d e d a t o s c o n s is t e e n lo s c in c o n ú m e r o s s ig u ie n t e s : v a lo r m ín im o

c u a r t i l i n f e r io r

m e d ia n a

c u a r t il s u p e r io r

v a l o r m á x im o

Podem os mostrar e l resumen d e lo s cinco núm ercs co n una gráfica denom inada o b o x p lo t (algunas v e c e s llam ada diagram a d e c a ja s y b igotes}. U sando un

d ^ a m a d e c a ja s

número d e referencia, encerram os los valores d e los cuartiles inferior y superior en una caja. L u e g o dibu jam os una línea q u e atraviese la caja en la m ediana y agregam os d o s "b igo tes" que s e extiendan d e la c a ja a lo s valores m áxim o y mínimo. L a figura 4.14 muestra e l diagram a d e cajas para los tiem pos d e espera d e lo s bancos. T an to la c a ja com o lo s bigotes para e l Gran Banco so n m ás am plios que lo s del M ejor Banco, indicando que lo s tiem pos de espera tienen mayor variación en e l G ran Banco. «*- cm r - oo q u e abrió una fábrica, lo que generó 455 em pleos. Para

c.

dad es del paciente de q u e en realidad ten ga la enfer­ m edad? Com pare esta cifra con la tasa d e incidencia

fueron contratados, mientras q u e só lo 15% d e m ujeres fue­ ron contratadas. D e los 400 hombres q u e solicitaron puesto

global d e la enferm edad.

efe obrero, 75% fueron contratados, mientras que 85% de las 100 m ujeres q u e solicitaron fueron contratadas. ¿C óm o

d.

prueba positiva, ¿q u é porcentaje tiene V IH ? Explique por qué e sto s d o s porcentajes so n diferentes.

por m ujeres? ¿ L o s d atos glo b ales apoyan la idea d e q u e la ajm p añ ía contrata preferentemente m ujeres? Explique por

e.

des de q u e e l paciente en realidad tenga la enferm edad?

(Este problem a tiene com o base un ejem plo en "A sk M arilyn", P arad e M agazine, 28

P r u e b a s c o n m e d ic a m e n to .

Com pare esta cifra con la tasa d e incidencia glo b al de la enferm edad.

efe abril de 1996). Una com pañía realiza d o s pruebas de d o s tratamientos para una enferm edad. El tratamiento A san a 20% de lo s casos (40 d e 200) y e l tratamiento B sa n a 15%

Proyectos para internet y más allá

de lo s c a so s (30 d e 200). En la segunda prueba, e l trata­

pruebas? E n form a global, ¿cu á l tratamiento tiene la mejor lasa d e curación? E xplique por q u é éste e s un ejem p lo de

P a ra en laces ú tiles seleccion e “L in ks fo r Internet P ro je cts” p a ra e l capítulo 4 en ww w.aw.com /bbt. 22.

El departam ento estatal d e salu d d e N ueva Y ork estim a una tasa d e 10% de V IH para la población en

verdaderos n egativos co m o lo s verdaderos positivos. Una selección aleatoria y e l exam en d e 5 0 0 0 personas en riesgo y 20 0 0 0 personas d e la población general tiene com o re­ sultados la tabla siguiente.

V isite sitios w eb dedicad os a

s u s argum entos de am b as partes, en específico teniendo en cuenta e l papel q u e desem peñan las ta sa s de falso s negati­

R ie s g o d e V IH.

riesgo y una tasa d e 0.3% para la población en general. L a s pruebas para e l V IH so n 9 5 % precisas en detectar tanto los

A r g u m e n to s d e l p o líg r a fo .

oponerse o apoyar e l u so d e pruebas del polígrafo. Resum a

paradoja de Sim pson y cóm o la paradoja puede resolverse. 21.

Su pon ga q u e un paciente en la población general tiene un exam en p ositivo para la enferm edad. C om o doctor que utiliza esta tabla, ¿có m o describiría la s posibilida­

q jé éste e s un ejem plo d e paradoja de Sim p so n y cóm o la paradoja puede resolverse.

tiene la m ejor tasa d e curación, individualmente, en las d o s

Considere a la población general. D e aqu éllos co n VIH, ¿qu é porcentaje tiene prueba p ositiv a? D e aqu éllos con

al exam inar le s puestos adm inistrativos y de obreros de manera separada sugieren una preferencia d e contratación

miento A cu ra 8 5 % d e lo s c a so s (85 d e 100) y e l tratamiento B s a n a 7 5% d e los c a so s (300 de 400). ¿C u á l tratamiento

Su pon ga q u e un paciente en la categoría en riesgo tiene un exam en p ositivo para la enferm edad. C om o doctor que utiliza esta tabla, ¿có m o describiría la s posibili­

b s 70 puestos d e oficina hubo 2 0 hombres y 2 0 0 mujeres solicitantes. D e los hom bres q u e solicitaron e l em pleo, 20%

20.

185

v o s en la discusión. 23.

P ru e b a s d e d o p a je .

Explore e l tem a d e pruebas d e dopaje

en e l trabajo o en com petencias atléticas. A n alice la le g ali­ d a d d e la s pruebas d e d o p aje en esto s contextos y la preci­ sión de la s pruebas q u e s e realizan comúnmente. 24.

D e t e c c ió n d e c á n c e r. Investigue las recom endaciones concernientes a la detección d e rutina para algu n os tipos

de cáncer (por ejem plo, cáncer de pecho, cáncer de próstata P o b la c ió n e n rie s g o P ru e b a p o s it iv a

P ru e b a n e g a tiv a

In fe c ta d o

475

25

N o in fe c t a d o

225

4 275

o cáncer d e colon). E xplique có m o s e mide l a precisión de las pruebas d e detección.

P o b la c ió n g e n e ra l P ru e b a p o s itiv a In fe c ta d o N o in fe c t a d o

P ru e b a n e g a tiv a

57

3

997

18 943

EN LA S N O T IC IA S ^ ' 2 5 . P o líg ra fo s .

Encuentre un artículo reciente en e l que

alguien o algún gru p o proponga una prueba d e polí­ a.

b.

V erifique q u e la s tasas d e incidencia para las poblacio­ nes, general y en riesgo, so n 0 .3 % y 10% , respectiva­

grafo para determ inar s i una persona d ice la verdad. En vista d e lo q u e usted sa b e acerca d e la s pruebas del

mente. Tam bién verifique q u e la s ta sa s de detección

polígrafo, ¿con sidera q u e lo s resultados serían sign ifi­

para estas poblaciones so n 95% .

cativos? ¿P o r q u é s í o por q u é no?

Considere la población en riesgo. D e aqu éllos con

2 6 . E x á m e n e s d e d o p a je y a tle ta s .

Encuentre un artículo

www.FreeLibros.org VIH , ¿q u é porcentaje tienen prueba p ositiva? D e aq u e­ llos q u e tienen prueba positiva, ¿q u é porcentaje tienen

V IH ? Explique por qué esto s d o s porcentajes so n d ife­

que tenga q u e ver co n pruebas d e d o p aje y atletas. R e­ sum a có m o la s pruebas so n utilizadas y analice s i son confiables.

rentes.

www.fullengineeringbook.net 205 of 495.

186

D e s c r ip c ió n d e d a t o s

Ejercicios d e repaso del capítulo 1. Respecto a los p eso s (en gram os) d e ch ocolates M & M s e ­ leccionados aleatoriamente:

2 . C om bine las d o s m uestras d e p eso s del ejercicio anterior y determine:

M & M ro jo s:

a.

0.751

0.841

0.856

0.799

0.966

0.859

0.942

0.873

0.809

0.890

0.878

0.905

b. La moda.

0.857

3. a . ¿C u á l e s la desviación estándar para una muestra d e 50

M & M verdes:

a.

valores, en la cu al tod os so n iguales?

0.925

0.914

0.881

0.865

0.865

1.015

0.876

0.809 0.778

0.865 0.814

0.848 0.791

0.940 0.810

0.833 0.881

0.845

0.852

b.

• Uno tom ado de una población co n vid a m edia d e 48

Determine la m edia y la m ediana para cada conjunto de

m eses y una desviación estándar d e 2 m eses. • Uno tom ado de una población con vid a m edia de 48

Determine e l ran go y la desviación estándar para cada

m eses y una desviación estándar d e 6 m eses.

uno d e lo s d a s conjuntos d e datos. c.

c.

Proporcione e l resum en d e lo s cin co núm eros y co n s­

S i un dato atípico s e incluye en una muestra d e 5 0 v a lo ­ res, ¿cu á l e s e l efecto d el dato atípico en la m edia?

truya un diagram a d e ca ja s para cad a uno d e lo s d o s conjuntos d e datos.

d.

S i un dato atípico s e incluye en una muestra d e 5 0 v a lo ­ res, ¿cu á l e s e l efecto d el dato atípico en la m ediana?

d. Aplique la regla em pírica del rango para estim ar la d e s­ e.

S i un dato atípico s e incluye en una muestra d e 5 0 v a lo ­ res, ¿cu á l e s e l efecto d el dato atípico en e l rango?

f.

C on base en todas su s resultada;, compare y analice los

S i un dato atípico s e incluye en una muestra d e 5 0 v a lo ­ res, ¿cu á l e s e l efecto del dato atípico en la desviación

d as conjuntes de dates en términes de su s medidas de ten­

estándar?

viación estándar de cada uno d e les do s conjuntos de datos. ¿Q ué tan bien funciona la regla en cada caso ? Analice brevemente por qué funciona o no funciona bien. e.

¿C u á l d e lo s d o s acu m u ladores para autom óvil preferi­ ría com prar y por qu é?

datos. b.

El percentil para e l p eso d e 0.845 gram os.

dencia central y la v ariacióa ¿Parece existir una diferen­ cia entre le s pesas de le s M & M ro ja; y les M & M verdes?

C uestion ario del capítulo 1. Cuando su m a lo s valores 3, 5, 8, 12 y 2 0 y lu ego divide entre e l número de valores, e l resultado e s 9 .6 . ¿Q u é tér­ mino describe m ejor este valor: promedio, media, mediana, m oda o desviación estándar? 2 . Para medir la variación en una muestra, ¿cu á l d e la s e s ­ tadísticas siguientes deb e utilizarse: prom edio, media, m e­ diana, m oda o desviación estándar? 3. Cuando s e utiliza la regla em pírica del rango para deter­ minar e l valor d e la desviación estándar de una muestra de

a.

N o existe m oda

b.

Existen d o s m odas.

c.

Existen tres m odas.

b.

La m ediana e s m ayor q u e e l primer cuartil.

c.

El tercer cuartil e s m ayor q u e e l primer cuartil.

d.

La m edia e s igual a la mediana.

e.

H rango e s cero.

que la calificación m edia e s 5 0 y la desviación estándar es 10. Con b ase en la regla em pírica del rango, ¿cu á le s so n los probables valores mínimo y m áxim o?

estándar? numéricos. ¿C u ál, s i lo hay, d e les enunciados siguientes podría ser correcto?

El percentil 20o. e s mayor q u e e l percentil 30o.

6 . Una prueba estándar para la an siedad s e diseñ a d e manera

datos, ¿ e l resultado siem pre e s e l valor real d e la desviación 4 . Un conjunto d e d atos consiste en un conjunto d e valores

a.

7. U tilice la regla em pírica d el rango para estim ar la d e sv ia­ ción estándar de lo s valores 2, 4, 5, 8 y 10. 8. ¿C u ál e s la desviación estándar d e lo s valores 5.8, 5.8, 5.8. 5.8 y 5 .8 ?

www.FreeLibros.org 9 . ¿C u á l e s e l rango d e lo s valores 2.0, 3.7, 4.9, 5.0, 5.7, 6.7., 8.5 y 9 .0 ?

5. Indique s i e l enunciado dado podría aplicarse a un conjunto de d atos d e 1000 valores tod os diferentes.

10 .

Identifique los com ponentes que constituyen e l resum en de

b s cinco núm eros para un conjunto d e datos.

www.fullengineeringbook.net 206 of 495.

U s o d e la t e c n o lo g ía

187

U so de la tecn ología

"•4

M u c h o s p r o g r a m a s d e c ó m p u t o le p e r m it e n in t r o d u c ir u n

Excel

c o n ju n t o d e d a t o s y u t iliz a r u n a o p e r a c ió n p a r a o b t e n e r v a r i a s e s t a d í s t i c a s m u é s t r a le s d i f e r e n t e s , q u e h a c e n r e f e ­

E s t a d ís t ic a

r e n c ia

in ­

d a t o s d e b e e s t a r in s t a la d o . S i e l p r o c e d im ie n t o s ig u ie n t e

c l u y e n , c o n f r e c u e n c i a , a la m e d i a , m e d i a n a , r a n g o y la

n o p r o d u c e la v e n t a n a d e a n á l i s i s d e d a t o s , d e b e i n s t a l a r

d e s v i a c i ó n e s t á n d a r . A c o n t i n u a c i ó n e s t á n a l g u n o s d e lo s

e l c o m p le m e n t o A n á lis is d e d a t o s . S i e s t á u t iliz a n d o E x c e l

a e s ta d ís tic a s d e s c r ip t iv a s . T a l e s

e s t a d ís t ic a s

O b s e r v a c io n e s im p o r ta n t e s a c e r c a d e lo s p r o c e d im ie n to s s ig u ie n te s :

2.

c o m p le m e n t o

A n á lis is

de

2 0 0 3 , d é c l i c e n A y u d a , l u e g o i n t r o d u z c a P a q u e t e a n á li­

p r o c e d i m i e n t o s p a r a o b t e n e r t a le s e s t a d í s t i c a s .

1.

d e s c r ip t iv a : e l

s is d e d a t o s y p r e s i o n e E n t e r . S e l e c c i o n e la o p c i ó n

de

a y u d a C a r g a r y d e s c a r g a r c o m p le m e n t o s , s e m o s t r a r á n la s i n s t r u c c i o n e s . S i e s t á u t i l i z a n d o E x c e l 2 0 0 7 s e l e c c i o n e

S P S S y E x c e l p r o p o r c io n a n d ia g r a m a s d e c a ja s " m o ­

la f u n c i ó n

d if ic a d o s " q u e m u e s t r a n p u n t o s e s p e c ia le s q u e r e p r e ­

d e i n t e r r o g a c i ó n . L u e g o i n t r o d u z c a A n á lis i s d e d a t o s y

d e a y u d a d a n d o c lic e n e l ic o n o

d e l s ím b o lo

s e n ta n d a t o s a t íp ic o s , q u e s o n v a lo r e s le j a n o s d e c a s i

s e l e c c i o n e e l t e m a d e a y u d a C a r g a r e l c o m p le m e n t o d e

t o d o s lo s d e m á s v a lo r e s .

a n á lis is y a p a r e c e r á n la s i n s t r u c c i o n e s .

No

e x is t e

un

a cu e rd o

u n iv e r s a l

so b re

un

p r o c e d i­

I n t r o d u z c a l o s d a t o s m u é s t r a le s e n la c o l u m n a S e le c c io n e

re n te s

d ife r e n t e s . P o r

u t i li z a E x c e l 2 0 0 7 d é c l i c e n D a t o s y l u e g o e n A n á lis i s

e j e m p lo , s i u t i l i z a e l c o n j u n t o d e d a t o s 1 , 3 , 6 , 1 0 , 1 5 , 21,

d e d a t o s . E n la v e n t a n a q u e s e m u e s t r a s e l e c c i o n e E s t a ­

p ro g ra m a s

a r r o ja n r e s u lt a d o s

H e r r a m ie n t a s y l u e g o

A n á lis i s d e

A.

m ie n t o ú n ic o p a r a e l c á lc u lo d e lo s c u a r t ile s y d if e ­

d a to s. S i

d ís t ic a d e s c r ip t iv a , y d é c l i c e n A c e p t a r . E n e l c u a d r o d e

2 8 y 3 6 , o b t e n d r á e s t o s r e s u lt a d o s :

d iá lo g o in t r o d u z c a e l r a n g o d e e n tr a d a ( ta l c o m o A 1 :A 7 6 p a r a 7 6 v a l o r e s e n la c o l u m n a A ) , d é c l i c e n R e s u m e n d e

*

Qi

Q*

e s t a d ís t ic a s y l u e g o d é c l i c e n A c e p t a r . L a s e s t a d í s t i c a s d e s c r i p t i v a s i n c l u y e n la m e d i a , la m e d i a n a , la d e s v i a c i ó n

SPSS

3 .7 5

1 2 .5

2 6 .2 5

Excel

5 .2 5

1 2 .5

2 2 .7 5

S T A T D IS K

4 .5

1 2 .5

2 4 .5

D ia g r a m a s

M in ita b

3 .7 5

1 2 .5

2 6 .2 5

p a r a g e n e r a r d ia g r a m a s d e c a ja s , é s t o s p u e d e n g e n e r a r s e

SAS

4 .5

1 2 .5

2 4 .5

u s a n d o e l c o m p le m e n t o D D X L q u e e s u n c o m p le m e n t o

T 1-83/84 P lus

4 .5

12.5

2 4 .5

d e e s t e l ib r o .

e s t á n d a r , e l r a n g o , e l m í n i m o y e l m á x im o . de

c a ja s : A u n q u e

Excel

no

e stá

d is e ñ a d o

P r im e r o i n t r o d u z c a l o s d a t o s e n la c o l u m n a A . S e ­ l e c c i o n e C h a r t s a n d P lo t s . P a r a e l t i p o d e f u n c i ó n , s e l e c ­

SPSS

c i o n e la o p c i ó n B o x p lo t . E n e l c u a d r o d e d i á l o g o d é c l i c e n e l ic o n o d e l lá p iz e in t r o d u z c a e l r a n g o d e d a t o s , ta l

E s t a d ís t ic a s

con­

c o m o A 1 : A 7 6 , s i t i e n e 7 6 v a l o r e s l i s t a d o s e n la c o l u m n a A .

j u n t o d e d a t o s o a b r ie n d o u n c o n j u n t o d e d a t o s e x is t e n t e .

D é c lic e n O K . E l r e s u lt a d o s e r á u n d ia g r a m a m o d if ic a d o

D é c lic

d e c a ja s c o n

en

d e s c r ip t iv a s : i n i c i e

A n a ly z e , s e l e c c i o n e

in t r o d u c ie n d o

D e s c r i p t iv e

un

S t a t is t i c s y

d a t o s a t íp ic o s a t e n u a d o s y d a t o s a t íp ic o s

l u e g o s e l e c c i o n e F r e q u e n c y . D é d o b l e c l i c e n la v a r i a b l e o

e x t r e m o s . A d e m á s s e m o s t r a r á e l r e s u m e n d e lo s c in c o

c o l u m n a d e d a t o s a la i z q u i e r d a . A h o r a d é c l i c e n e l b o t ó n

n ú m e ro s .

S t a t is t i c s y p r o c e d a a d a r c l i c e n l o s c u a d r o s c o r r e s p o n ­ d i e n t e s a la e s t a d í s t i c a q u e n e c e s i t e . P u e d e s e l e c c i o n a r c u a r t i le s , d e s v i a c i ó n

e s t á n d a r , r a n g o , m í n i m o , m á x im o ,

m e d ia , m e d ia n a y o t r a s . D é c lic

en el b o tó n

C o n t in u é ;

STATDISK E s t a d ís t ic a d e s c r ip t iv a : i n g r e s e lo s d a t o s e n la v e n t a n a

lu e g o d é c lic e n e l b o t ó n O K p a r a o b t e n e r lo s v a lo r e s d e

d e d a t o s . D é c l i c e n D a t a y s e l e c c i o n e D e s c r i p t iv e S t a ­

la s e s t a d í s t i c a s s e l e c c i o n a d a s .

t is t ic s . A h o r a

B o x p lo t ( d ia g r a m a d e c a j a s ) : i n g r e s e o a b r a u n c o n j u n t o d e d a t o s e n G r a p h s y s e l e c c i o n e B o x p lo t . E n la v e n t a n a b o x p l o t s e l e c c i o n e la o p c i ó n S u m m a r ie s o f s e p á r a t e v a ­ r ia b le

(re sú m e n e s

de

v a r ia b le s

se p a ra d a s)

y

S im p le , y

e s t a d ís t ic a s

d é c lic

en

d e s c r ip t iv a s ,

E v a lú a t e

p a ra

in c lu y e n d o

o b t e n e r v a r ia s

m e d ia ,

m e d ia n a ,

r a n g o , d e s v ia c ió n e s t á n d a r y lo s v a lo r e s q u e c o n s t it u y e n el r e s u m e n d e lo s c in c o n ú m e r o s ( m ín im o , p r im e r c u a r t il, m e d i a n a o s e g u n d o c u a r t i l , t e r c e r c u a r t i l y m á x im o ) .

l u e g o d é c l i c e n e l b o t ó n D e f in e . A h o r a d é c l i c e n la v a r i a ­

D i a g r a m a d e c a j a s : i n g r e s e l o s d a t o s e n la v e n t a n a

b l e o c o l u m n a a la i z q u i e r d a , d e c l i c e n e l b o t ó n a la m i t a d

d a t o s , l u e g o d é c l i c e n D a t a y l u e g o e n B o x p lo t . D é c l i c

de

d e l c u a d r o , y lu e g o d é c lic e n O K .

e n la s c o l u m n a s q u e q u i e r e i n c l u i r y l i e g o d é c l i c e n P lo t .

www.FreeLibros.org www.fullengineeringbook.net 207 of 495.

EEABUSMOS I>E U L BOL§A DE VALOIRES ¿Q ué es p rom edio cuan do se h ab la del D o w Jon es? C uando s e trata de "prom edios", éste e s extraordinario. N o puede ver las noticias sin escuchar q u é le está sucediendo, y c a d a d ía m uchas perso­ nas dedican horas a su seguim iento. E s por m ucho e l m ás fam oso indi­ cador del desem peño d e la bolsa de valores. Por supuesto estam os hablando del índice D ow Jo n es {D ow Jo n e s In d u strial A verage o en breve D JIA). ¿Pero qué e s exactam ente este índice? L a form a m ás sim ple de entender este índice e s investigar su histo­ ria. Cuando arrancó la m oderna era industrial, a fin ales del sig lo x ix , mu­ chas personas consideraron a la s accion es m uy peligrosas e inversiones dem asiado especulativas. U na de la s razones fue la falta de control, lo q u e hizo fácil q u e especu ladores ricos, gerentes sin escrú pulos y em pre­ sario s vo races m anipulasen los precios d e la s accion es. Pero otra razón fue que, dado lo com plejo del com ercio diario d e accion es, incluso para lo s profesionales d e W all Street, tenían poco tiem po para calcular s i la s accion es en general estaban subien do (un "m ercado a la alz a ”) o estaban bajando ( “m ercado a la b a ja "). Charles H. D ow , fundador (junto con Edw ard D. Jon es) y primer editor d e W all S treet Jo u rn al creía que podía corregir este problem a creando un “prom edio" para la b o lsa d e valores en su totalidad. S i e l prom edio era alto, e l m ercado tenía superávit y s i e l prom edio era b a jo el m ercado tenía déficit. Para mantener e l prom edio (ahora conocido co m o índice), D ow eligió 12 gran des em ­ presas para incluirlas en su prom edio. E l 26 de m ayo d e 1896 D ow su m ó lo s precios de la s ac.d e estas 12 em presas y las dividió entre 12, con lo que determ inó un precio m edio d e la s d e $40.9 4 . É ste fu e e l prim er valor del D JIA . C om o D ow había esperado, repentina­ mente fu e fácil para e l público segu ir la dirección del m ercado con só lo com parar su promedio día a día, m es co n m es o añ o con año. L a idea b ásica q u e sustenta e l D JIA sig u e siendo la m ism a hoy en día, la única diferencia es q u e h o y s e incluyen 3 0 accion es en lugar d e 12 (vea l a tabla 3.5). S in em bargo, e l D JIA y a no e s e l precio m edio d e su s 3 0 accion es. En lugar d e eso, s e calcu la sum an do lo s precios de la s 3 0 accion es y s e divide entre un d iviso r especial. A consecuencia d e este divisor, ahora se considera e l D JIA com o un índice que n os ay u d a a dar un seguim iento d e lo s valores d e la s acciones, en lugar d e ser un prom edio real de precios d e acciones. E l divisor está diseñado para dar continuidad en e l valor subyacente q u e representa el D JIA y , por tanto, deb e cam biar siem pre q u e la lista d e 3 0 accion es cam bie y siem pre q u e una com pañía en la lista tenga una división d e accion es. Un ejem plo sencillo muestra por q u é e l d i­ visor deb e cam biar cu an d o la lista cam bia. Su pon ga q u e e l D JIA consiste en só lo d o s accion es (en lugar d e 30): la acción A con un precio d e $100 y la acción B co n un precio d e $50. E l pre­ cio m edio de estas 2 accion es e s ($ 1 0 0 + $50)/2 = $75. A hora su pongam os q u e cam biam os d e la lista la acción B y la reem plazam os con la acción C y q u e la acción C tiene un precio de $200. L a n ueva m edia e s ($ 1 0 0 + $ 200)/2 = $ 150, por lo q u e s i só lo reem plazam os una acción de l a lista aum entaría e l precio m edio d e $75 a $150. Por tanto, para mantener e l "valor" del D JIA constante cu ando cam bia esta lista, deb em os dividir la nueva m edia d e $ 1 5 0 entre 2. D e esta form a, e l D JIA perm anece en 75 antes y después d e q u e la lista cam bie, pero y a no pode­ m os pensar en este 75 co m o un precio m edio en dólares.

www.FreeLibros.org Para ver por q u é una división de accion es cam b ia e l divisor, nuevamente supongam os que

el índice consiste en só lo d o s accion es: la acción X en $ 100 y la acción Y con un valor de $50, para un precio m edio d e $75. Ahora, suponga que la acción X su fre una división de 2 por 1, por

188

www.fullengineeringbook.net 208 of 495.

H a b le m o s d e la b o ls a d e v a lo r e s

189

tanto su nuevo valor será d e $50. Con am bas accion es ahora valuad as en $50, e l precio medio después d e la división de la acción tam bién sería $50. En otras palabras, aunque una división de acciones no afecta e l valor total d e la com pañía (sólo cam bia e l número y precios d e lo s títulos) no deberíam os tener una caíd a en e l precio d e $75 a $50. En este caso, podem os preservar la continuidad dividiendo la nueva m edia de 5 0 entre 2/3 (que es equivalente a multiplicar por 3/2) por lo que e l D JIA s e mantiene en 75 antes y después de la división d e la acción. A l igual q u e en esto s ejem p los sencillos, e l divisor real cam b ia co n cad a cam b io en la lista o a l dividirse la s accion es, por lo q u e éste h a cam biado m uchas v e c e s d e sd e q u e Charles D ow lo calcu ló por primera v e z co m o una m edia real. E l valor actual del divisor s e publica diariam ente en e l W allS treet Jo u rn al D ado q u e en la actualidad hay m ás d e 10 0 0 0 accion es q u e s e com ercian d e manera a c ­ tiva, podría parecer aso m b roso que una m uestra d e só lo 3 0 pueda reflejar la actividad global del m ercado. Pero ahora, cu ando las com putadoras hacen m ás sencillo calcular "prom edios" en e l m ercado d e valores d e m uchas otras m aneras, podem os revisar d atos históricos y ver q u e el D JIA en verdad ha sid o un indicador confiable del desem peño glo b al del mercado. L a figura 4.17 m uestra e l desem peñ o histórico del D JIA . S i estudia la figura 4.17 cuidadosam ente, podría intentar pensar que puede ver patrones, q u e le permitirían pronosticar v a lo re s precisos del m ercado en e l futuro. Desafortunadamente, nadie ha encontrado una manera d e hacer pronósticos precisos y la m ayoría d e los econ om istas creen que tales pronósticos so n im posibles.

F ig u ra 4 .1 7

V a lo r e s a l c ie r r e d e l a ñ o d e l D J I A , h a s t a 2 0 0 6 .

L a inutilidad d e tratar d e pronosticar e l m ercado s e ilustra mediante la historia del e s ­ tim ado profesor Benjam ín Graham, con frecuencia llam ado e l padre d e "la investigación en v alo res". E n la prim avera d e 1951 uno d e su s estudiantes fue por una asesoría d e inversión. El profesor G raham notó q u e e l D JIA s e mantuvo en 250 pero caía por debajo d e 2 0 0 a l m enos una v e z c a d a añ o d e sd e 1896. Puesto q u e en 1951 no había caíd o por d eb ajo d e lo s 200, el profesor Graham aco n sejó a su estudiante que p ospusiera la com pra hasta q u e ésta bajara. El profesor Graham presum iblem ente sigu ió su propio consejo, pero su estudiante no. E n lugar de posponerlo d e inm ediato invirtió su s “ 10 0 0 0 d ó lares" en e l m ercado. Resultó que, en 1951, e l m ercado nunca ca y ó por d eb ajo d e lo s 200, ni en ningún otro momento d e sd e entonces. Y el alumno, W arren Buffet, s e convirtió en multimillonario.

www.FreeLibros.org P R E G U N T A S P A R A D IS C U S IÓ N

1. La b o lsa de valores se sigu e considerando un riesgo d e inversión m ayor q u e lo s b o n o s o las cuentas de ahorro. S in em bargo, lo s a se so res financieros recom iendan, casi en forma

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D e s c r ip c ió n d e d a t o s general, mantener a l m enos algu n as accion es, lo q u e e s un m uy diferente a la situación q u e prevalecía hace m ás d e un siglo. ¿Q u é papel considera q u e desem peñ ó e l D JIA en la conform ación d e la confian za d e lo s inversionistas en la b olsa d e valores?

2

. E l D JIA e s uno d e lo s tantos índices d e la b o lsa d e valores h o y en día. Brevem ente vere­ m os otros índices com o e l S & P 500, e l Rusell 2 0 0 0 y e l N A SD A Q . ¿C ó m o e s q u e estos índices difieren del D JIA ? ¿C ree q u e algun o d e e sto s índices deb e considerarse m ás co n ­ fiable del m ercado glo b al q u e e l D JIA ? ¿P or q u é s í o por q u é n o?

3. L a s 3 0 accion es en e l D JIA representan una muestra d e m ás d e 10 0 0 0 accion es com er­ cia d a s activam ente. S in em bargo no e s una m uestra aleatoria, porque so n e sco g id a s por editores específicos co n m otivos especiales d ad o q u e algu n as v e c e s s e incluye e l se sg o personal. Su pon ga que usted elige una muestra aleatoria d e 3 0 accion es y h ace un se g u i­ miento d e su s precios. ¿C on sidera q u e tal muestra aleatoria continuaría la trayectoria del m ercado a sí com o la s accion es en e l D JIA ? ¿P o r q u é s í y por q u é no?

4 . H aga su propio "portafolio" co n 10 accion es de su preferencia y su p on ga que p osee 100 títulos d e cad a una. C alcule e l valor total de su portafolio hoy y h aga e l seguim iento del precio h asta e l siguiente m es. A l final del m es calcu le e l porcentaje d e cam bio d e su por­ tafolio. ¿C ó m o com para e l rendimiento de su portafolio co n e l rendim iento en e l D JIA durante e l m es? S i realmente fuera propietario d e estas accion es ¿segu iría sién dolo o las vendería? Explique su respuesta.

5. L a figura 4.17 muestra lo s v a lo re s a l cierre del añ o del D JIA hasta 2006. Determine los d atos d e fin d e añ o desde 2006 y ag re g ú e lo s a la gráfica. D espu és determ ine los m áxim os y lo s m ínim os d e c a d a año desde 1995 y graflque cad a u no d e é sto s com o una curva s e ­ parada en la gráfica. ¿C ó m o com para lo s m áxim os y lo s m ínim os a l final d e c a d a añ o ? ¿C on sidera que los d atos d e c a d a añ o so n una form a válida d e hacer e l seguim iento del cam b io histórico en e l D JIA ?

LECTURAS RECOMENDADAS Puede encontrar información del D JIA regularmente en e l Wall Street Jou rn al, New York Times, Money, Business W eeky otras publicaciones periódicas. Morris, K . M. y S ie ge l, A .M ., The W allStreet Jo u rn al Guide to P erson al Fínance, Fireside, 2000.

Prestbo, John (ed.), The M arkets M easure: An Illustrated H istory o f Am erica Told Through the Dow Jo n es Industrial A verage, Dow Jon es & Company, 1999.

www.FreeLibros.org www.fullengineeringbook.net 210 of 495.

HABLEMOS BE ECONOMÍA ¿Los ricos se vuelven m ás ricos? En pleno a u g e d e "la burbuja d e la s com pañías punto co m " en 1999, cuando lo s precios d e la s accion es d e la tecn ología s e elevaron a nive­ le s nunca antes visto s y que no s e han visto desde entonces, e l fundador d e M icrosoft, Bill G ates, s e convirtió brevem ente en la primera persona en e l mundo co n u na fortuna d e m ás d e 100 m il m illones d e dólares. S u riqueza rebasó los productos nacionales brutos d e tod os lo s países, quitando a lo s 18 p aíse s m ás ricos d el mundo. L a riqueza d e G ates, en realidad, h a dism inuido d e sd e entonces, debido a d o s factores, e l primero una dism inución en e l precio de la s accion es de M icrosoft y e l segundo porque ha donado grandes cantidades d e su riqueza neta a ob ras d e c a ­ rid a d N o obstante, lo s m edios d e com unicación continuamente resal­ tan historias acerca d e los sú per ricos, haciendo parecer q u e lo s ricos se hacen c a d a vez m ás ricos mientras que e l resto d e nosotros nos estam os quedando atrás; pero, ¿e sto e s verdad? S i querem os sac ar conclusion es generales acerca d e có m o e l co m ­ portamiento econ óm ico d e la persona prom edio s e com para co n e l d e la persona rica, debem os revisar la distribución total del ingreso. L o s econ o­ m istas han desarrollado un número llam ado índice G ini q u e e s utilizado para describir e l nivel d e igualdad y d e desigualdad d e la distribución del ingreso. E l índice G ini está definido d e tal manera q u e só lo puede variar entre 0 y 1. Un índice Gini d e 0 indica igualdad perfecta en e l ingreso. Un índice G ini de 1 indica una perfecta desigualdad, en la cual una so la persona tiene todo el ingreso y todos lo s d em ás tienen nada. L a figura 4.18 muestra e l índice G ini en E stad os Unidos desde 1947; observe q u e e l índice G ini c a y ó d e 1947 a 1968, esto indica q u e la distribución del ingreso s e vo lv ió m ás uniforme en este periodo. E l índice G ini se ha elevado d e sd e entonces e indica q u e los ricos, en efecto, s e vuelven m ás ricos.

Año F ig u r a 4 .1 8

ín d ic e G in i p a r a f a m ilia s y h o g a r e s , 1 9 4 7 - 2 0 0 5 . L a in f o r m a c ió n d e h o g a r e s ,

q u e in c lu y e p e r s o n a s s o la s y h o g a r e s e n lo s q u e lo s m ie m b r o s n o s o n p a r t e d e la m is m a f a m ilia , s e h a n t o m a d o d e s d e 1 9 6 7 . L a s lín e a s d is c o n t in u a s e n 1 9 9 3 in d ic a n un

www.FreeLibros.org c a m b i o e n la m e t o d o lo g ía p a r a la r e c o le c c ió n d e in f o r m a c ió n , p o r l o q u e e l a u m e n t o

c o r r e s p o n d i e n t e e n e l ín d ic e p u e d e d e b e r s e e n p a r t e o c o m p le t a m e n t e a e s t e c a m b io , e n lu g a r d e q u e e n r e a lid a d s e a u n c a m b i o e n la d e s ig u a ld a d d e l in g r e s o . Fílenle: O fic in a del Censo, Estados Unidos.

191

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D e s c r ip c ió n d e d a t o s

49.4 50-4 43.6 44.0

46.2

6 0 por den tó de central 24.2 24.7 24.3 23 2 23.0 17.2 16.8

15.0 i4.6

$ 1

^1 0 2^ 6

10

10

5 por d en tó superior

a 9 8.6

4.0 4.2 3.8 3.6 3.4 1967*77 *87 *97 *05

1967*77 *87 *97 *05

1967*77 *87 *97 *05

1967*77 *87 *97 *05

1967*77 *87 *97 *05

Quintil inferior

Segundo quintil

Tercer quintil

Cuarto quintil

Quintil superior

F ig u r a 4 . 1 9

D is t r ib u c ió n d e l in g r e s o t o t a l e n h o g a r e s p o r q u in t ile s ( y e l 5% s u p e r io r ) : 1 9 6 7 ,

1 9 7 7 ,1 9 8 7 ,1 9 9 7 y 2 0 0 5 . Fíjenle: O fic in a d e l Censo, Estados U nidos.

A unque e l índice Gini proporcione un sencillo resum en d e un so lo número d e la d e s­ igualdad, este núm ero en s í m ism o e s difícil d e interpretar (y calcular). U na manera alterna de revisar la distribución del ingreso e s estudiar lo s quintiles del ingreso, lo s cu ales dividen a la población en cin co partes agru padas por ingresos. C on frecuencia, e l quintil m á s alto s e divide para mostrar có m o e l 5% superior d e lo s que perciben ingreses s e com paran con los dem ás. L a figura 4.19 muestra l a parte del total de ingresos recibido por c a d a quintil y e l 5% superior en diferentes décad as en E stados U nidos. L a altura d e c a d a colum na (el número so bre ella) representa la parte del ingreso total. Por ejem plo, e l 3.4 so b re e l quintil m ás b a jo en 2005 sign ifica q u e e l 2 0 % d e la población m ás pobre só lo recibió e l 3 .4 % del ingreso total en Estadcs U nidos. D e form a sim ilar, e l 50.4 sobre la colum na del quintil superior sign ifica q u e e l 20% d e la población m ás rica recibió 5 0 .4 % del ingreso. Tam bién ob serv e q u e e l 5 % d e lo s m ás ricos recibió e l 2 2 .2 % del ingreso, c a si e l do b le del total q u e recibió e l 4 0 % d e la población m ás pobre. S i estudia esta gráfica cuidadosam ente, usted verá q u e la parte del ingreso gan ad o por los prim eros cuatro quintiles — lo que quiere decir tod os excep to e l 20% d e la población m ás rica— ca y ó desde 1967. M ientras tanto, la parte gan ad a por e l 2 0 % d e lo s m ás ricos se elevó d e manera sustancial, a sí co m o lo hizo la parte del 5% superior. E n otras palabras, esta gráfica tam bién confirm a q u e e l rico se ha vuelto m ás rico com parado co n la m ayoría d e la población. A hora que hem es establecido que e l rico s e vuelve m ás rico, la siguiente pregunta es s i esto e s importante. L a m ayoría d e la gente, incluyendo m uchos econom istas, ha su puesto tradicionalm ente q u e e l aum ento del ingreso desigu al está m al debido a la s dem ocracias. Pero algun os econ om istas tanto de derecha com o d e izquierda del espectro político argum entan que el cam bio en las recientes d é cad as e s diferente. Por un lado, e l cam bio cum ple u na condición ética am pliam ente aceptada, denom inada criterio d e Pareto, por e l econom ista italiano V ilfredo Pareto (por quien lo s diagram as d e Pareto s e llam an así): cualquier cam bio e s bueno s i ayuda sin perjudicar a alguien m ás. E l criterio d e Pareto parece satisfacerse y a q u e e l crecim iento g lo ­ bal en la econ om ía d e E stados U nidos h a ayudado a casi todos. En otras palabras, la m ayoría de la gente tiene un porcentaje m ás pequeño d e ingreso q u e lo q u e tuvo en e l pasado, pero aún así tienen m ás ingreso absoluto y , por tanto, están vivien do m ejor d e lo q u e vivieron en e l pasado. E n segu n d o lugar, e l rico actual difiere del rico en e l pasado. Por ejem plo, sin ir m ás lejos, en 1980 e l 6 0 % de los "Forbes 4 0 0 ” (las 4 0 0 personas m ás ricas) habían heredado la mayoría de su s fortunas. En 2005 m enos del 20% d e lo s 4 0 0 Forbes representaron dinero h e­ redado. L a im plicación e s que aunque usted hubiese nacido rico en e l pasado, ahora podría

volverse rico con buena educación y un trabajo duro. Seguram ente ésta e s una muy buena m o­ tivación para estudiar y trabajar duro.

www.FreeLibros.org Finalm ente, aun que la d esigu ald ad glo b al en e l ingreso ha aum entado, e l ingreso d e s­

igual entre diferentes razas a sí co m o entre hom bres y m ujeres ha dism inuido. E n otras pala­ bras, ahora e s m ucho m ás fácil q u e en e l p asad o para lo s afroam ericanos, hispanos y mujeres poder gan ar m ás q u e lo s hom bres d e raza blanca. Nuevam ente, éste e s un buen punto para los

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H a b le m o s d e e c o n o m ía

193

valores dem ocráticos estadounidenses, aunque todavía h ay un largo cam ino por recorrer antes de q u e la s desigu aldades sean com pletam ente elim inadas. Por supuesto, aun s i e l reciente aum ento en la desigualdad de ingresos ha sid o bueno para E stados U nidos, no podría ser tan bueno s i continúa. Desafortunadamente nadie sa b e los m otivos precisas q u e incrementan e l ingreso d esigu al y por tanto nadie sa b e cóm o revertir la tendencia actual.

P R E G U N T A S PA R A D IS C U S IO N 1. Com pare d iversas form as de ver la inform ación m ostrada en la s figuras 4.18 y 4.19. Por ejem plo, ¿ a lg o parece indicar un cam b io m ás gran de en e l ingreso d esigu al q u e otro? ¿Puede usted considerar otras p osibles form as d e exhibir la inform ación d e ingresos que puedan dar una visión diferente d e la que s e m ostró a q u í?

2

. ¿E stá usted d e acuerdo en q u e e l criterio d e Pareto e s una buena manera d e evaluar la ética de lo s cam bias en la econ om ía? ¿P o r qué s í o por q u é n o?

3. Globalmente, ¿cre e usted q u e e l aum ento en la desigu ald ad del ingreso ha sido bueno o malo para E stados U nidos?, ¿seg u irá siendo bueno s i esta tendencia continúa? D efienda su opinión.

4 . Aunque la información econ óm ica su giere q u e la gran m ayoría d e lo s estadounidenses está m ejor hoy que com o lo estuvieron en décad as pasadas, los estadounidenses m ás po­ bres aún viven en m alas condicion es económ icas. ¿Q u é cree usted que s e pueda o debería hacer para ayudar a m ejorar la v id a d e lo s pob res? ¿ S u s su geren cias pueden ser implementadas sin dañar la econ om ía en gen eral? Explique.

LECTURAS RECOMENDADAS Usted puede encontrar extensa información y reportes sobre la distribución del ingreso s i va al área de “Income” (ingresos) en e l sitio web, www.census.gov, de la O ficina de C ensos de Estados Unidos. Arrow, Kenneth, et al. (eds.), M erítocraey an d Econom ic Equality, Princeton University Press, 2000. Rrebaugh, Glenn, The New G eography o f G lobal Incom e ¡nequality, Harvard University Press, 2006. Nasar, Sylvia, “ Is the U .S. Income Gap Really a B ig Problem?", New York Times, 4 de abril efe 1999.

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N ada en la vida debe temerse . Sólo debe entenderse. — M a r ie C u r ie

Un mundo normal

O B JE T IV O S D E A P R E N D IZ A JE SI

¿ Q u é e s n o r m a l? E n t e n d e r lo q u e s i g n i f i c a u n a d is t r ib u c ió n n o rm a l y s e r c a p a z d e id e n t i f i c a r s i t u a c i o n e s e n la s q u e u n a d is t r ib u c ió n n o r m a l e s m u y p r o b a b le q u e s u rja .

5 .2

C U A N D O C A M IN A E N U N A T IE N D A , ¿C Ó M O S A B E SI UN

P r o p i e d a d e s d e la d i s t r i b u c i ó n n o r m a l S a b e r c ó m o i n t e r p r e t a r la d i s t r i b u c i ó n

p re cio d e o fe rta en realidad es un buen p re c io ? Cuando

n o r m a l e n t é r m i n o s d e la r e g la 6 8 -

usted hace e je rcicio y su ritm o ca rd ia co sube, ¿c ó m o sabe si

p e r c e n t ile s .

h a s u b id o suficiente, p e ro no d em asiado, para ser resultado

9 5 -9 9 .7 , c a lif ic a c io n e s e s t á n d a r y

5 .3

E l t e o r e m a d e l lím it e c e n t r a l E n t e n d e r la id e a b á s ic a s u b y a c e n t e

de un buen e je rcicio ? Si su hija d e d o c e años co rre una m illa en 5 m inutos, ¿e lla es una fu tu ra p ro m e s a o lím p ic a ? Estas

a l t e o r e m a d e l l ím it e c e n t r a l y s u im p o r t a n t e p a p e l e n e s t a d ís t ic a .

preg un tas p a recen m uy diferentes, p e ro d e sd e un p u n to d e vista e sta d ístico son m u y sim ilares. C a d a una p re g u n ta si un n úm ero p a rticu la r (precio, ritm o cardiaco, tie m p o de carrera) es, d e alguna m anera, p o c o usual. En e ste c a p í­ tu lo analizarem os có m o p o d e m o s re sp o n d er tales p re g u n ­ tas co n a yu da d e la distribución n o rm a l que tiene fo rm a de cam pana.

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196

U n m u n d o n o rm a l

5.1 ¿Q ué es norm al?

S

ip o n g a q u e una am iga e stá encinta y dará a luz e l 3 0 d e ju n io . ¿U sted le acon sejaría programar una importante reunión d e n egocios para e l 16 de junio, d o s sem an as antes de su parto? L a respuesta a esta pregunta requiere conocer s i e s probable q u e e l bebé llegu e

con una anticipación de 14 d ía s antes d e la fecha del parto. Para e s o necesitam os exam inar la información concerniente a las fechas program adas y a la s fechas reales d e nacimiento. L a figura 5.1 es un histogram a para una distribución de 300 nacimientos naturales en el hospital Providence M emorial; la s fechas son hipotéticas, pero co n b ase en có m o estarían distri­ buidos les nacimientos sin intervención médica. El e je horizontal muestra cuántos d ía s antes o después d e la fecha program ada nació un bebé: núm eros negativos representan nacimientos

an tesd e la fecha programada, cero representa un nacim iento en la fech a program ada y números positivos representan nacim ientos d espuésd e la fecha program ada. El e je vertical a la i2quierda muestra e l número d e nacimientos para cad a clase d e 4 días. Por ejem plo, la frecuencia d e 35 para la barra m ás alta corresponde a la clase d e - 2 a 2 días; muestra q u e del total de 3 0 0 naci­ mientos en la muestra, 35 nacim ientos ocurrieron dentro d e d o s d ía s d e la fecha programada. Para responder nuestra pregunta acerca de s i e s probable que un nacim iento ocurra con m ás d e 14 d ía s d e anticipación, e s m ás útil revisar la s frecu en cias relativ as. Recuerde q u e la frecuencia relativa d e cualquier valor e s su frecuencia dividida entre e l número total d e valores (vea la sección 3.1). L a figura 5.1 muestra la s frecuencias relativas en e l e je vertical d e la dere­ cha. Por ejem plo, la cla se para - 1 4 a - 1 0 d ía s (som breado co n g ris oscuro), tiene una frecuen­ cia relativa d e alrededor d e 0.07, o 7% . E sto es, alrededor de 7 % d e 3 0 0 nacim ientos ocurrieron de 14 a 10 d ía s antes d e la fecha program ada. A hora podem os determinar la proporción d e nacim ientos q u e ocurrieron m ás de 14 días antes d e la fech a programada. Sim plem ente su m am os la s frecuencias relativas para las c la se s a la izquierda d e - 1 4 , puede medir la gráfica para confirmar que estas c la se s tienen una frecuencia relativa total d e alrededor de 0.21, lo cual indica que alrededor de 2 1 % d e lo s nacim ientos en este conjunto d e d atos ocurrió m ás de 14 d ía s antes d e la fecha program ada Podríam os decir que su am iga tiene alrededor d e 1 en 5 oportunidades d e que su b eb é nazca en o antes d e la fecha de la ju n ta de negocios. S i la reunión e s importante, podría ser bueno program arla antes.

u.

Dkas antes o después de la fecha pugram ada Nacimientos 14 o m ás dias a n t e de la fecha program ada F ig u r a 5.1

H is t o g r a m a d e f r e c u e n c ia s ( e je iz q u ie r d o ) y f r e c u e n c ia s r e la t iv a s ( e je

www.FreeLibros.org d e r e c h o ) p a r a f e c h a s d e n a c im ie n t o r e la t iv a s a la f e c h a p r o g r a m a d a . ( E s t o s d a t o s

s o n h ip o t é t ic o s ) . L o s n ú m e r o s n e g a t iv o s s e r e f ie r e n a n a c im ie n t o s a n t e s d e la f e c h a p r o g r a m a d a , lo s n ú m e r o s p o s it iv o s s e r e f ie r e n a n a c im ie n t o s p o s t e r io r e s a la f e c h a

p r o g r a m a d a . E l a n c h o d e c a d a c la s e e s 4 d ía s . P o r e j e m p lo , la c la s e s o m b r e a d a e n g r is

o s c u r o r e p r e s e n t a n a c im ie n t o s q u e o c u r r ie r o n e n t r e 1 0 y 14 d ía s p r e m a t u r a m e n t e .

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5.1 ¿ Q u é e s n o rm a l?

197

UN M O M EN TO D E R E F L E X IÓ N S u p o n g a q u e s u a m ig a p la n e a t o m a r t r e s m e s e s d e p e r m i s o p o r m a t e r n id a d d e s p u é s d e la f e c h a d e l n a c im ie n t o . C o n b a s e e n lo s d a t o s d e la f ig u r a 5.1 y s u p o n ie n d o u n a f e c h a p r o g r a m a d a p a r a e l 3 0 d e ju n io , ¿ e lla s e p o d r ía c o m p r o m e t e r a e s t a r e n e l t r a b a j o e l 1 0 d e o c tu b re ?

L a fo rm a n o rm al L a distribución de la fecha d e nacim iento tiene una form a m uy distintiva, la cual e s m ás fácil de observar s i sobreponem os en e l histogram a una curva continua (figura 5.2). Para nuestros pro­ pósitos presentes, la forma d e esta distribución continua tiene tres características importantes: •

L a distribución tiene un so lo p ico. S u m oda, o fech a d e nacim iento m ás com ún, e s la fecha programada.

•

L a distribución e s sim étrica alrededor d e su pico único: por tanto, su m ediana y su media son iguales a la m o d a L a m ediana e s la fecha program ada, y a q u e igual núm ero de naci­ mientos ocurren an tes y d esp u és d e esta fecha. L a m edia tam bién e s la fecha program ada, ya que, para todo nacim iento previo a la fech a program ada, existe un nacim iento posterior a l m ism o número d e días a la fecha program ada.

•

L a distribución tiene una dispersión tal q u e parece la form a de una cam pana, d e m odo que la denom inam os distribución "en form a d e cam pana”.

D ías antes de la fecha program ada F ig u r a 5 .2

U n a c u r v a c o n t in u a d e la d i s t r i b u c i ó n n o r m a l s e d ib u j a s o b r e e l h is t o g r a m a d e

la f ig u r a 5.1.

U N M O M E N T O D E R E F L E X I Ó N ________________________ E l h is t o g r a m a d e la f ig u r a 5 .2 , q u e t ie n e c o m o b a s e lo s n a c im ie n t o s n a t u r a le s , e s c a s i s i m é ­ t r i c o . A h o r a , lo s d o c t o r e s p o r l o c o m ú n in d u c e n e l n a c im ie n t o s i u n a m u je r s e p a s a d e m a ­ s ia d o d e s u f e c h a p r o g r a m a d a . ¿ C ó m o c a m b ia r ía la f o r m a d e l h is t o g r a m a s i s e in c lu y e n tos

N O T A T É C N IC A

n a c im ie n t o s in d u c id o s ? Una d istrib u c ió n norm al co n m e d ia

H y d e sv ia c ió n está n d a r a se d a

L a distribución continua en la figura 5.2 co n e sta s tres características se denom ina

d k r S x d ó D norm al (Observe q u e la fecha d e nacim iento d ad a no e s exactam ente normal). T o d as las distribuciones n orm ales tienen l a m ism a form a d e cam pana característica, pero pue­

m edian te la fó rm u la

_ e-4t(x-M)/«rl2

31

u-

0

1

2

3

4

5

6

M edia - 3.43, D esviación estándar - 1.21

M edia - 3.46, Desviación estándar - 0.74

M edia - 3.49, Desviación estándar - 0.56

(a)

(b)

(c)

F ig u ra 5 . 2 5

L a s d i s t r ib u c io n e s d e f r e c u e n c ia s y f r e c u e n c ia s r e la t iv a s d e la s m e d ia s m u é s t r a le s d e l t ir o d e ( a ) d o s d a d o s

1 0 0 0 v e c e s , ( b ) c in c o d a d o s 1 0 0 0 v e c e s , y ( c ) d i e z d a d o s 1 0 0 0 v e c e s .

L a figura 5 .2 5 a m uestra e l resultado d e tirar d o s dad os 1 0 0 0 veces. L o s valores m ás co ­ m unes en esta distribución so n l o v a lo re s centrales 3.0, 3.5 y 4.0. E sto s v a lo re s so n com unes porque pueden ocurrir d e varias m aneras. Por ejem plo, una m edia de 3.5 ocurre s i lo s dad os caen com o 1 y 6 , 2 y 5 , 3 y 4 , 4 y 3 , 5 y 2 o bien 6 y 1. V alores a lto s y b ajo s ocurren con m enos frecuencia y a q u e pueden ocurrir d e p o cas form as. Por ejem plo, un tiro puede tener una m edia d e 1.0 só lo s i am b o s d a d o s caen m ostrando un 1. D e nuevo, e s posible calcular la media y la d esv iación estándar para esta distribución, y e lla s resultan ser 3.43 y 1.21, respecti­ vamente. ¿Q u é sucede s i aum entam os e l número d e dad os lanzados? Su pon ga q u e tiram os cinco dados 1 0 0 0 v e c e s y registram os la m edia d e lo s cin co núm eros en cad a tiro. Un histogram a para este experim ento se muestra en la figura 5.25b. U na v e z m ás, lo s valores centrales alrede­ dor d e 3.5 ocurren con m ás frecuencia pero la dispersión d e la distribución e s m ás reducida que en lo s d o s c a so s anteriores. A l calcular la m edia y la desviación estándar d e esta distribución obtenem os le s valores d e 3.46 y 0 .7 4 , respectivamente. S i aum entam os e l número d e dad os a d iez en cada uno d e los 1000 tiros, encontram os el histogram a d e la figura 5 .25c, q u e es aún m ás angosto. En este caso, la m edia e s 3.49 y la desviación estándar e s 0.56. L a tabla 5.2 resum e lo s cuatro experim entos descritos. L a s colum nas 2 y 3 d e la tabla se refieren a una distribución d e m edías; y a que en cada uno de los experim entos de tiro d e dad os registram os la m edia d e c a d a uno d e los 1 0 0 0 tiros (esto es, la m edia d e un d ad o en c a d a tiro, de d o s dad os en cad a tiro, d e cin co d a d o s en cad a tiro y d e diez d a d o s en cad a tiro). A sí, la m edia para los 1 0 0 0 tiros en un experim ento e s un a m edia d e la distribu ción d e la s m edías (colum na 2). D e manera sim ilar, la desviación estándar para los 1 0 0 0 tiros en un experim ento es una desviación están d ar d e la distribución d e la s m edías (colum na 3).

T a b la 5 .2

R e s u m e n d e lo s e x p e rim e n to s d e tir o d e d a d o s

N ú m e ro d e d a d o s

M e d ia d e la d is tr ib u c ió n

D e s v ia c ió n e s tá n d a r d e la

la n z a d o s c a d a v e z

d e la s m e d ia s

d is trib u c ió n d e la s m e d ia s

1 2

3.41 3.43

1.73 1.21

www.FreeLibros.org 5

10

3.46 3.49

www.fullengineeringbook.net 236 of 495.

0.74

0 .5 6

5.3 E l te o re m a d e l lím ite c e n tra l

217

U na idea sorprendente su rge d e esto s cuatro experim entos. Tirar n = 1 dado 1 0 0 0 veces puede considerarse co m o tom ar 1 0 0 0 m uestras d e tam año n = 1 d e la población d e tod os los p osibles tiros d e dad os. T irar n = 2 d a d o s 1 0 0 0 v e c e s puede verse co m o tom ar 1 0 0 0 m uestras d e tam año n = 2. A sim ism o, tirar n = 5 y n = 10 dad os 1 0 0 0 veces e s co m o tom ar 1 0 0 0 m ues­ tras d e tam año y?= 5 y y?= 10, respectivam ente. L a tabla 5.2 muestra que cu an d o e l tam año de la muestra aum enta, la m edia de la distribución d e m edias s e aproxim a a l valor 3.5 y la d e sv ia­ ción estándar s e hace m ás pequeña (haciendo q u e la distribución se a m ás angosta). M ás impor­ tante aún, la distribución s e hace cad a vez m ás parecida a la distribución norm al conform e el tamaño d e la muestra aumenta. Este últim o hecho puede parecer sorprendente, y a q u e hemos tom ado m uestras d e una distribución uniform e (los resultados del tiro de un dado m ostrados en l a figura 5.23), no d e una distribución normal. S in em bargo, la distribución d e las m edias cla ­ ramente s e aproxim a a una distribución normal para tamaños grandes d e la muestra. Este hecho es una consecuencia del te o re m a d e l lim it e c e n t r a l

T eo rem a del lím ite central N O T A T É C N IC A S u p o n g a q u e t o m a m o s m u c h a s m u e s t r a s a le a t o r ia s d e t a m a ñ o n p a r a u n a v a r ia b le c o n c u a lq u ie r d i s t r ib u c ió n ( n o n e c e s a r ia m e n t e u n a d is t r ib u c ió n n o r m a l) y r e g is t r a la d i s t r i ­

0 ) Para p ro p ó sito s p ráctico s, la

b u c ió n d e la s m e d ia s d e c a d a m u e s t r a . E n t o n c e s ,

d istrib u c ió n d e las m edias será casi n o rm a l s i e l ta m a ñ o d e la

1. L a d is t r ib u c ió n d e la s m e d ia s s e r á a p r o x im a d a m e n t e u n a d is t r ib u c ió n n o r m a l p a r a m u e s tra s d e ta m a ñ o g ra n d e .

n u e s tra e s m a y o r q u e 30. (2 ) Si la p o b la ció n o rig in al se d istrib u y e

2 . L a m e d ia d e la d is t r ib u c ió n d e la s m e d ia s s e a p r o x im a a la m e d ia d e la p o b la c ió n , ¿t, p a ra m u e s tra s d e ta m a ñ o g ra n d e .

norm alm ente, e n to n c e s las m edias m uéstrales serán norm alm ente d s trib u id a s p ara cualquier ta m añ o

3. L a d e s v ia c ió n e s t á n d a r d e la d is t r ib u c ió n d e la s m e d ia s s e a p r o x im a a a ! V ñ p a r a m u e s t r a s d e t a m a ñ o g r a n d e , d o n d e a e s la d e s v ia c ió n e s t á n d a r d e la p o b la c ió n .

efe m u e stra n . (3 ) En e l caso ideal, c u a n d o la d istrib u c ió n de m edias esté fo rm a d a de todas las m uestras p osib les, la m e d ia d e la

A segúrese d e observar e l aju ste muy importante, descrito en e l punto 3 anterior, q u e deb e ha­ cerse cuando s e trabaja co n m uestras o gru p o s en lugar d e individuos:

d s trib u c ió n d e m edias e s iguala

H y la d e sv ia ció n e s tá n d a r d e la d s trib u c ió n d e m edias es igual

acr/y/ñ . l a d e s v ia c ió n e s & t d a r d e h d k á t i m c i f a d e m e t M a s im e s t a k s m e s ¡ a d e svia ció n estándar d e l a p o b la c ió n , a ,

e n su k i g ¡ r t r / X n , d o n d e n c s d ta m a ñ o d e la v

nuestras.

U N M O M E N T O D E R E F L E X I Ó N ________________________ C o n f ir m e q u e la s d e s v ia c io n e s e s t á n d a r d e la s d i s t r ib u c io n e s d e la s m e d ia s d a d a s e n la t a b la 5 .2 p a r a n = 2 , 5 , 1 0 c o in c id e n c o n e l p r o n ó s t i c o d e l t e o r e m a d e l lím it e c e n t r a l, d a d o q u e a = 1.73 ( la d e s v ia c ió n e s t á n d a r d e la p o b la c ió n e n c o n t r a d a e n la f ig u r a 5 2 3 ) . P o r e j e m p lo , c o n n = 2 , < r/V 2 = 1.22 « 121 .

Resum am os lo s ingredientes del teorem a del límite central. Siem p re iniciam os con una variable particular, tal co m o los resultados del tiro d e unos d a d o s o les p eso s d e personas, que varían aleatoriam ente en una población. L a variable tiene cierta media, /x, y desviación estándar, cr, que podem os o no conocer. E sta variable tiene cu alq u ier ciase d e distribución, no necesariam ente normal. A hora tom am os m uchas m uestras d e e s a variable, co n n elem entos en c a d a m uestra, y encontram os la m edia d e c a d a m uestra (tal co m o e l valor m edio d e n d a d o s o e l p eso m edio d e una muestra de ap erso n as). S i luego hacem os un histogram a de las m edias de tod as las muestras, verem os una distribución q u e e s cercana a una distribución normal. Entre mayor se a e l tam año d e la muestra, n, m ás cercana será la distribución d e las m edias a una d is­

www.FreeLibros.org tribución normal. Un estudio cu idado so d e la figura 5.26 deb e ayudar a consolidar e sta s ideas importantes.

www.fullengineeringbook.net 237 of 495.

218

U n m u n d o n o rm a l

M edias muéstrales - 30)

(n

F ig u r a 5 . 2 6

C u a n d o e l t a m a ñ o d e la m u e s t r a c r e c e ( n = 5 , 1 0 , 3 0 ) , la d is t r ib u c ió n d e

la s m e d ia s m u é s t r a le s t ie n d e a u n a d i s t r ib u c ió n n o r m a l, s in im p o r t a r la f o r m a d e la d i s t r ib u c ió n o r ig in a l. E n t r e m á s g r a n d e s e a e l t a m a ñ o d e la m u e s t r a , m á s p e q u e ñ a e s la d e s v ia c ió n e s t á n d a r d e la d is t r ib u c ió n d e la s m e d ia s m u é s t r a le s .

E JE M P L O 1

P r o n ó s t ic o d e c a li f ic a c io n e s e n e x á m e n e s

Usted e s e l director de una escu ela secundaria y su s 100 alum nos de octav o grad o están a punto de presentar un exam en nacional estandarizado. E ste exam en está diseñado para que la califica­ ción m edia se a ¡x = 4 0 0 con una desviación estándar de 5 y n(1 - p ) > 5, co n d icio n e s

- E = 0.039 628

V

o alrededor d e 4 puntos porcentuales. El intervalo d e confianza del 9 5 % v a desde 6 2 - 4 = 58% a 62 + 4 = 66 % . O bserve q u e e l m argen d e error citado d e “no m ás d e 5 puntos porcentuales" es, d e hecho, una sobreestim ación.

Selección del tamaño de la muestra L o s diseñadores d e encuestas y so n d eo s d e opinión con frecuencia especifican cierto nivel de precisión d e su s resultada». Por ejem plo, podía ser d eseable estim ar una proporción pobla­

N O T A T É C N IC A P uede d e d u c ir la fó rm u la E =» 1/Vñ

cional co n un intervalo d e confian za del 9 5 % y un m argen d e error d e no m ás d e 1.5 puntos porcentuales. En tales situaciones e s necesario determinar cu án grande debe ser la muestra para

d e la fó rm u la m ás p re c isa dad a

garantizar esta precisión. M ientras utilicem os un nivel d e confianza del 9 5 % , podem os trabajar

€rror, re e m p la za n d o e l p ro d u c to

co n esta fórm ula sim plificada d e aproxim ación para e l m argen d e error:

p f l - p ) por su v a lo r m áxim o

an terio rm en te para e l m argen de

posible d e 0.25. Esta ap ro xim ación

1

so breestim a e l m arg en d e e rro r real y e s m ás p re c isa cu a n d o p es

Vn

c e rca n a a 0.5.

Esta fórm ula proporciona una estim ación conservadora (m ayor q u e la necesaria) para e l mar­ ge n d e error. A l d esp ejar n s e obtiene e l tam año d e la m uestra necesario para obtener un mar­ gen d e error E

www.FreeLibros.org 1

Cualquier tam año d e muestra igual o m ayor q u e este valor será suficiente.

www.fullengineeringbook.net 377 of 495.

358

D e m u e s tra s a p o b la c io n e s

Selección del ta m a ñ o correcto d e m u estra R a ra e s t im a r u n a p r o p o r c ió n p o b l a c i o n a l c o n u n g r a d o d e 95% d e c o n f i a n z a y u n m a r ­ g a n d e e r r o r e s p e c if i c a d o d e E , e l t a m a ñ o d e la m u e s t r a d e b e s e r p o r l o m e n o s

1

n= ¥ E JE M P L O 4

Mínimo tamaño de la muestra para una encuesta

U sted planea estim ar la proporción d e estudiantes en su cam pus q u e regularmente llevan un teléfono celular. ¿C u án tos estudiantes deben estar en la muestra s i quiere un margen d e error (con una confianza del 9 5 % ) de no m ás de 4 puntos porcentuales? S o lu c ió n

O bserve q u e 4 puntos porcentuales sign ifican un m argen d e error d e 0 .0 4 . Con

base en la fórm ula, e l tam año mínimo d e la muestra es 1

1

n =

j E2

= 625

0 .0 4

D ebe encuestar por lo m enos 6 2 5 estudiantes.

E JE M P L O 5

Encuesta Yankelovich

Yankelovich Partners e s una com pañ ía d e investigación d e opinión pública y d e investigación de mercado. L a com pañía hace en cuestas regularm ente para la revista Time y las noticias de CNN. L o s resultados de su s en cuestas pueden encontrarse en la publicación m ensual Yankelo-

vich M onitor, U na encuesta reciente concluyó que 6 1 % de todos lo s hogares tienen una com pu ­ tadora, con un m argen de error d e 3.5 puntas porcentuales. Aproxim adamente, ¿q u é tam año de muestra deb e haberse utilizado en esta encuesta? S o lu c ió n Un m argen d e error d e 3.5 puntos porcentuales (0.035) podría ser obtenido co n un tam año d e muestra de

n =

E

= — í - r = 816.3 0.035

Puesto q u e deb em os redondear a l siguiente entero mayor, concluim os q u e fueron encuestados aproxim adam ente 8 1 7 hogares.

Interva los d e c o n fia n z a e n lo s m e d io s . A continuación está un enunciado com ún hecho en lo s m edios: “C on base

A lfa b e tiz a c ió n e s ta d ís tic a y p e n s a m i e n t o c rític o 1.

In te rv a lo d e c o n fia n z a .

en la encuesta, d e tod os lo s probables votantes 3 8 % vota­ rán por D íaz. E l margen d e error para esta encuesta e s 3 puntos porcentuales”. ¿Q u é parte importante y relevante de

Con b ase en una encuesta rea­

lizada por IC R Su rv ey R esearch G roup, se obtuvo e l s i ­ guiente intervalo de confianza del 9 5 % para la proporción

información e s om itida en e se enunciado?

poblacional p 0 .4 5 7 < p < 0 .5 5 1 . Interprete e se intervalo 4.

de confianza. 2.

M a rg e n d e e rro r.

En una muestra d e 8 4 1 1 accidentes en

e l aterrizaje por aeron aves d e aviación general, la propor­ ción de accidentes en los que los pilotos murieron e s 0.052.

M u e stre o d e c o n v e n ie n c ia .

La presidenta d e la S o cied ad

de A lum nos en la U niversidad d e Newport dirige una en ­ cuesta a 3 2 5 0 estudiantes. Con base en los resultados, ella construye e l intervalo d e confianza del 9 5 % para la pro­

www.FreeLibros.org Cuando un intervalo de confianza d el 9 5 % e s construido

para la proporción poblacional d e tod os lo s accidentes, el m argen d e error s e encontró q u e fue 0.005. Identifique el intervalo d e confianza.

porción d e tod os los estudiantes universitarios d e E stados Unidos, que s e han em borrachado. E lla asegu ra q u e e l ta­ maño gran de d e la muestra com pensa e l hecho q u e todos

su s su jeto s sean d e la m ism a universidad. ¿ E sta afirm ación e s válida? ¿P o r qué s í o por q u é no?

www.fullengineeringbook.net 378 of 495.

8.3 E s t im a c ió n d e p r o p o r c io n e s p o b la c io n a le s

359

¿ T ie n e s e n t id o ? Para lo s ejercicios 5 a l 8 decida s i e l enuncia­ do tiene sentido (o e s claram ente verdadero) o no tiene sentido

N ielsen sería duplicado, ¿este incremento en e l tam año de la muestra parece estar ju stificad o por e l aum ento d e con-

(o claram ente e s falso). E xplique claramente; no tod cs lo s enun­

fiabilidad?

ciad o s tienen respuestas definitivas, por lo que su explicación es m ás importante q u e la respuesta elegida.

19. R ie s g o d e a tle ta s. Un estudio realizado por investigado­

K ingston C h ron icle publica un

artículo q u e establece q u e los d atos d e la en cu esta fueron

lo s atletas estudiantes en E stad os U nidos han corrido a l­ guna form a de riesgo. E l estudio está b asad o en respuestas

iBados para desarrollar un intervalo de confianza de 0.45.

de 1400 atletas. ¿C u ál e s e l margen d e error y e l intervalo de

In terva lo d e c o n fia n z a e n lo s m e d io s . E l K ingston Chron icie publica un artículo en e l que establece que, con base

confianza del 9 5 % para e l estudio?

5. In terva lo d e c o n fia n z a . El

6.

a i lo s resultados d e la encuesta, 82 % de lo s residentes del condado d e O range se oponen a l aum ento en los im pues­ tos, con un m argen d e error de 4 puntos porcentuales. Un lector d ice q u e esto puede exp resarse co m o e l intervalo de confianza 0,78 < p < 0.86.

20.

O p in io n e s d e e s tu d ia n te s .

Una encuesta anual d e estu­

diantes universitarios d e primer año, realizada por e l Insti­ tuto d e Investigación d e Educación Su perior en la U C LA , pregunta a aproxim adam ente 276 0 0 0 estudiantes acerca de s u s actitudes en una variedad de tem as. De acuerdo con una

El intervalo de confianza d el 9 5 %

encuesta reciente, 51% d e lo s estudiantes d e primer año creen q u e e l aborto d eb e ser legal (bajó de 65% en 1990) y

de 0 .2 0 0 < p < 0 .4 0 0 tiene com o base un tam año d e m ues­

40% creen q u e e l se x o casual e s aceptable (bajó d e 50% en

tra de 500. S i e l tam año d e muestra s e aum enta, e l intervalo de confianza se hará m ás pequeño (m ás angosto).

1975). ¿ C u á le s so n lo s m árgenes d e error y los intervalos de confianza del 9 5 % para estas estim aciones?

7. T a m a ñ o d e la m u e stra .

8.

res en la Universidad d e A lfred concluyó que 8 0% d e todos

Un reportero del K ingston Chro­ n icle asegura q u e cualquier buen intervalo d e confianza

T a m a ñ o d e la m u e s tra .

debe tener co m o b a se una muestra que se a a l m enos del 5% del tamaño d e la población.

C o n c e p to s y a p lic a c io n e s

L e s centros para Control y Preven­ ción d e Enferm edades realizan en cuestas para com parar los

21. H á b ito s e n e s t a d o s .

hábitos y actitudes d e ciudadancs en varíes estados. Para cada uno d e los resultados siguientes, proporcione e l inter­ valo d e confianza del 95% : a. 17.2% d e le s encuestados en Colorado so n sedentarios

cicio s del 9 a l 12 suponga q u e la s proporciones poblacionales

(el porcentaje m ás b ajo en E stad os U nidos); tam año de la muestra = 1 500.

son estim adas a partir de la s m uestras descritas. En cad a caso determ ine e l m argen d e error aproxim ado y e l intervalo d e con­

b . 13.2% d e lo s encuestados en Utah fum an (el porcentaje m ás b ajo en E stados U nidos), tam año de la muestra =

M á rg e n e s d e e rro r e in te rv a lo s d e c o n fia n z a .

Para lo s ejer­

fianza del 95% .

2500.

9 . Tam año d e la muestra = 100, proporción m uestral = 0.25 1 0 . Tam año d e la muestra = 400, proporción m uestral = 0 .4 0 11 . Tam año d e l a muestra =

1 0 6 8 , proporción muestral =

0.228 0.377 Para lo s ejercicios del 13 a l 16 estim e

e l tam año mínimo de la muestra necesario para obtener e l mar­ gen d e error dado. 13. £ * = 0.01 14.

2 2 . T e m a s im p o r ta n te s .

En una encuesta d e A B C JW ashing­

ton P o st a 1 5 2 6 estadounidenses elegid os aleatoriam ente

12. Tam año d e l a muestra = 1 4 9 2 , proporción muestral =

T a m a ñ o d e la m u e s tra .

c. 22.9% d e lo s encuestados en W isconsin so n bebedores consuetudinarios; tam año d e la muestra = 3 500.

15. £ * = 0 .0 6

£ * = 0 .0 2 5

17.

ín d ic e s d e a u d ie n c ia N ie ls e n .

adm inistración del presupuesto (74% ) fueron listados com o b s tem as m ás importantes. E l margen de error citado para la encuesta fue d e 3 puntos porcentuales. ¿ E l m argen de error e s consistente con e l tam año d e la muestra? 23. D ro g a s e n p e líc u la s . Un estudio por lo s investigadores de la U niversidad d e Stanford para la O ficina N acional d e P o­ lítica d e Control d e D rogas y e l Departamento d e S a lu d y

£ '= 0 . 0 3

16.

s e le s pidió q u e listaran los tem as m ás importantes en las elecciones recientes. Educación (79% ), econ om ía (74% ) y

Servicio s H um anes concluyó q u e 9 8 % d e las películas m ás

N ielsen M edia Research utiliza m uestras d e 5 0 0 0 hogares para clasificar lo s pro­

gram as d e televisión. N ielsen reportó q u e 6 0 M inutes tenía 15% d e la audiencia d e televisión. ¿C u á l e s un intervalo de confianza del 9 5 % para este resultado?

rentadas involucran drogas, bebida y fum adores. Su pon ga que e l estudio revisó la s 400 p elículas m ás rentadas: a.

U tilice lo s resultados d e esta m uestra para estim ar la proporción d e tod as la s películas q u e involucran dro­ gas, bebida o fum adores.

www.FreeLibros.org 18.

Repita e l ejercicio 17 su ­ poniendo q u e e l tam año d e la muestra s e d u p lica a 1 0 000.

ín d ic e s d e a u d ie n c ia N ie ls e n .

D ado q u e e l m ayor co sto y esfuerzo d e realizar la encuesta

b . ¿C u á l e s e l intervalo d e confianza d el 9 5 % ?

c. ¿U sted cree que la s 4 0 0 películas m ás rentadas repre­ sentan una m uestra aleatoria? Explique.

www.fullengineeringbook.net 379 of 495.

360 24.

D e m u e s tra s a p o b la c io n e s P r e s ió n e n a d o le s c e n te s . Un estudio en cargad o por el Departamento d e Educación d e E stad os Unidos concluyó

en la legislatura q u e estandarizaría leyes so b re e l otorga­ miento d e licencias d e arm as escon didas a propietarios de arm as. L a enm ienda obligaría a aplicar la ley local para

que 44% de lo s adolescen tes citan las calificaciones com o su fuente principal de presión. E l estudio registró respues­ tas d e 10 15 adolescentes. ¿C u á l e s e l intervalo d e confianza

conceder licencia a todo aquel q u e pueda portar legalm ente un arm a. E l m argen d e error en la encuesta fue reportado

del 9 5 % ? 25.

P r e d ic c ió n e n e le c c ió n .

como 4 puntos porcentuales. E n u na muestra aleatoria d e 1 6 0 0

a. ¿ E s e l m argen d e error reportado en consonancia con el

personas de una gran ciudad, s e encontró q u e 900 apoyan

tamaño d e la muestra para esta estim ación?

a l actual alcalde en la próxim a elección. Con b ase en esta muestra, ¿u sted afirm aría q u e e l alcalde gan ará con una

b.

m ayoría d e lo s vo to s? Explique. 26.

En una m uestra aleatoria de 1600 personas d e una gran ciudad, s e encontró q u e 900

P r e d ic c io n e s e n e le c c ió n .

Proyectos para internet y más allá

apoyan a l actual alcalde en la próxim a elección. Con base en esta muestra, ¿u sted afirm aría q u e e l alcalde gan ará con una m ayoría d e le s v o to s? Explique. ¿Q u é conclusión hu­ biese obtenido de una muestra d e 2 5 0 personas en la cual 130 apo y an a l alcalde? 2 7 . S o n d e o d e o p in ió n p re e le c c io n e s .

P a ra en laces ú tiles seleccion e “L ín ks fo r Internet P ro je c ts" p a ra e l cap ítu lo 8 en ww w.aw.com /bbt. 31.

Antes d e u na elección

muestral está dentro d e 0.1 d e la proporción poblacional?

gunda encuesta, 1 2 8 5 de 2 500 votantes están a favor de Martínez. E n la tercera, 1 8 0 2 d e 3 5 0 0 votantes están a

Usando e se tam año de muestra, recolecte su s propios datos muéstrales seleccionado aleatoriam ente y encuestando a

favor de Martínez. Encuentre intervalos d e confian za del

estudiantes d e su universidad. L u e g o utilice lo s métodos

9 5% para los tres son d eos. A nalice las posibilidades de Martínez para ganar co n base en esto s sondeos.

de esta sección para construir un intervalo de confian za del 95%. E scriba una oración q u e resum a su s resultados. 32.

En un m es, 3.4 % d e los 6 0 000 individuos encuestados estaban desem pleados. Determine e l m argen d e error para esta estim ación. L a precisión (al décim o m ás cer­ cano) e s razonable. Explique.

b.

Su pon ga q u e e l número d e individuos en cuestados se aum entó en un factor d e cuatro (a 240 000). ¿ E n cuánto cam biaría e l margen d e error?

c.

Su pon ga q u e e l número d e en cuestados dism inuyó en un factor de un cuarto (a 15 000). ¿ E n cuánto cam biaría el m argen de error?

29.

M é to d o s N ie ls e n .

V isite e l sitio web d e N ielsen M edia

Research y reporte lo s m étodos reales u sad o s para estimar

Unidos encuestando a 60 0 0 0 individuos. a.

S u pon ga q u e quiere estimar

Unidos. ¿C u án to s estudiantes d eb e elegir de manera alea­ toria para tener una confianza del 9 5 % q u e su proporción

votantes están a favor del candidato Martínez. E n la s e ­

E n c u e s ta d e d e s e m p le o . L a O ficina d e E stadísticas del T rabajo estim a la tasa de desem pleo m ensual en E stados

¿ Q u ié n es el v ic e p r e s id e n t e ?

la proporción d e estudiantes en su universidad que pueden identificar d e manera correcta a l vicepresidente d e E stados

estatal para e l senado d e E stados U nidos, s e realizan tres sondeos d e opinión. E n la primera encuesta, 780 d e 1 500

28.

¿Q ué tam año d e la muestra sería necesario para dar un margen d e error d e 2 puntos porcentuales?

proporciones poblacionales e intervalos de confian za en lo s índices d e audiencia Nielsen. 33.

T o d a s las caden as principales d e televisión d e m anera re­ gular realizan en cuestas so b re una variedad d e tem as. Vi­ site los sitios web d e las caden as principales y reúna los resultados d e una encuesta particular q u e incluya la estim a­ ción d e una proporción poblacional. A segúrese d e incluir toda la información que esté dada acerca del tam año d e la muestra, margen d e error e intervalos de confianza. Incluya cualesquiera detalles respecto a l procedimiento real para encuestar.

E n c u e s ta d e o p in ió n . Una encuesta determ ina q u e 54% de la población aprueba e l trabajo q u e e l presidente está

haciendo; la encuesta tiene un m argen d e error d e 4% (su­

,= ^

poniendo un grad o de 9 5 % d e confianza).

e n l a s n o t ic ia s

^ -

a . ¿C u á l e s e l intervalo d e confianza del 9 5 % para e l por­ centaje verdadero de la población q u e aprueba e l d e s­ em peño del presidente?

34.

E s t im a c ió n d e p r o p o r c io n e s p o b la c io n a le s . E n ­ cuentre una noticia o reporte en e l q u e u na proporción poblacional se a estim ada a partir d e una muestra. E l a r ­

www.FreeLibros.org b.

30.

¿C u ál e s e l tam año d e la muestra para esta encuesta?

D o s tercios (o 66.6% ) de 626 residentes de Colorado encuestados por Talm ey-D rake R esearch & StraA rm a s o c u lta s .

tículo deb e incluir un m argen d e error y /o un intervalo de confianza. A nalice lo s m étodcs u sa d o s en e l estudio y cóm o s e llegó a las conclusiones.

tegy Inc., dijeron q u e respaldaban una enm ienda pendiente

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E je r c ic io s d e r e p a s o d e l c a p ít u lo

361

Ejercicios d e repaso del capítulo 1. En un estudio clínico del fárm aco Z iac, 3.2% d e 221 usua­ rios experim entaron m arees (con b a se en inform ación de

b.

del C I d e estudiantes universitarios s i e l tam año d e la muestra fuese m ayor d e la necesaria? ¿ M á s pequeña de

b s laboratorios L ederle). a.

lo necesario?

U tilice lo s resultados d e esta m uestra para construir un intervalo de confianza del 9 5 % q u e estim e la propor­

c.

ción poblacional d e usuarios d e Z ia c q u e experim enta­

utilizam os e l valor verdadero en lugar d e 16 en e l in­

Escriba un enunciado que interprete, d e manera correcta,

ciso a, ¿có m o s e vería afectad a la respuesta en e l inciso a ? ¿ S e ría la mism a, m ás pequeña o m ás gran de?

el intervalo d e confianza encontrado en e l inciso a. c.

¿C u ál e s e l m argen d e error?

d.

La proporción muestral d e 0 .0 3 2 s e obtuvo d e una

3. S e obtuvo una muestra de 50 individuos elegid os aleatoria­ mente, s e cuentan lo s glóbu los blancos en la san gre d e cada

muestra específica de 221 sujetos. S u p o n ga q u e mu­

individuo. L a m edia e s 7.1 y la desviación estándar e s 2.5.

chas m uestras diferentes d e 221 su jeto s s e obtienen y que para cad a m uestra s e encontró la proporción de

a.

aquellas q u e experim entaron m areos. ¿Q ué sab em os respecto a la form a d e la distribución de la s proporcio­ b.

m ás ju n tos, m ás alejad os o no habría cam bio?

c.

¿C u ál e s e l m argen d e error?

d.

S i la desviación estándar e s 2.5, ¿cu án tos individuos deben incluirse, s i querem os una confianza del 9 5 % de que la m edia muestral ten ga un error d e a lo m ás 0 .2 5 ?

Usando un conjunto diferente d e datos, encontram os un intervalo d e confian za del 95% 0 .4 0 0 < p < 0.500. ¿Q ué e s incorrecto en esta interpretación: “E x iste una probabilidad d e 9 5 % q u e la proporción poblacional

4.

a.

U sted ha sid o contratado por Intel para determ inar la proporción d e propietarios d e com putadora q u e planean actualizarlas a un nuevo sistem a operativo. Suponiendo

caerá entre 0.400 y 0 .5 0 0 "?

que quiere tener una confianza del 95% de que su pro­

2 . Queremos estim ar la m edia d e la calificación del C I en el exam en Stanford-Binet para la población de estudiantes universitarics. S ab em cs que para gente elegid a aleatoria­ mente d e la población general, la desviación estándar d e las calificaciones del CI en e l exam en Stanford-Binet e s 16: a.

Escriba un enunciado q u e interprete correctamente el intervalo de confianza encontrado en e l inciso a.

S i pudiésem os aum entar e l tam año d e la muestra de modo que se a m ucho mayor a 221, ¿cu á l sería e l efecto sobre lo s lím ites del intervalo d e co n fian za? ¿E starían

f.

U tilice lo s resu ltados d e esta muestra para construir un intervalo de confianza del 9 5 % q u e estim e la m edia po­ blacional.

nes m uéstrales? e.

¿ L a desviación estándar d e las calificacion es del CI para estudiantes universitarios e s probable q u e sea igual a 16, mayor q u e 16 o menor q u e 1 6 ? Explique. S i

ron mareos. b.

¿C ó m o s e afectaría nuestra estim ación d e la media

porción muestral esté dentro d e 0.02 d e la proporción poblacional real, ¿cuán tas personas deb e encuestar? b.

S u pon ga que, a l realizar la encuesta descrita en e l in­ ciso a, encuentra q u e la mitad d e las personas llam adas rehúsan responder las preguntas d e la encuesta, y a que

U sando una desviación estándar d e 16, ¿cu án tos estu­ diantes universitarios deben elegirse de m anera alea­

ellcs creen que está tratando d e venderles algo . S i usted procede a llam ar d o s v e c e s d e m odo q u e e l tam año de

toria para exám en es del CI, s i querem os tener una confianza del 9 5 % de que la m edia muestral esté dentro de 3 puntos d e CI d e la m edia poblacional?

su muestra se a suficientem ente grande, ¿ s u s resultados serían buenos? Explique.

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362

D e m u e s tra s a p o b la c io n e s

C uestion ario del capítulo 1 . S i s e seleccionan m uchas muestras aleatorias diferentes de

lamaño 100 d e una población d e pulsos de mujeres adultas, ¿cuál e s la form a de la distribución de las medias muéstrales? 2 . S i s e seleccionan m uchas m uestras aleatorias diferentes de tamaño 5 0 0 d e la población d e estudiantes universitarios, ¿cu ál e s la form a de la distribución d e la s proporciones de m ujeres?

c.

La desviación estándar d e la muestra.

d. 0 rango d e la muestra. e.

La proporción muestral.

6 . Determine e l m argen d e error correspondiente a este inter­ valo d e confianza del 9 5 % : 0 .2 4 0 < p < 0.280. 7. Determine e l m argen d e error correspondiente a este inter­

3. ¿Q ué representa la notación p ?

valo d e confianza del 9 5 % : 2 4 0 < p. < 280.

4 . Un artículo d e una revista proporciona un intervalo d e co n ­

8. Cuando un intervalo de confianza del 9 5 % s e construye

fianza en e l form ato 0 .6 0 ± 0.08. E xp rese este intervalo de

para la m edia poblacional, una m edia muestral s e encuen­

confianza en e l form ato a < p < b. (Esto es, rescriba a < p < ¿ u sa n d o valores esp ecíficos en lugar d e a y b).

tra que e s 4.60 y e l margen d e error s e encuentra q u e es Q 15. Identifique e l intervalo d e confianza del 95% .

5. Suponga que querem os estim ar la media d e la fuerza d e su ­

9 . Cuando se construye un intervalo d e confian za del 9 5% para la proporción poblacional, se encuentra q u e una pro­

jeció n de hom bres adultos en Estados U nidos. S i s e obtuvo una muestra aleatoria d e fuerzas d e sujeción, ¿cu á l d e las siguientes e s la m ejor estim ación d e la m edia poblacional?: a.

L a m ediana d e la muestra.

porción muestral e s 0.600 y e l margen d e error e s 0.200. Identifique e l intervalo d e confianza del 95% . i O. Identifique lo q u e e s incorrecto con este intervalo d e confian7a del 9 5 % para la proporción poblacional: 6 5 .0 < p < 70.0.

b. L a m edia d e la muestra.

i

U so de la tecn ología En la d e sc rip c ió n d e m é t o d o s p a r a la d e te rm in a c ió n d e in terv a lo s d e co n fian z a q u e e stim e n u n a m e d ia p o b la c io ­ nal, e s t e c a p ítu lo só lo c o n sid e ra c a s o s en lo s q u e s e a p lic a la d istrib u ció n n o rm a l. El c a p ítu lo 10 in tro d u c e in terv a lo s d e c o n fia n z a p a r a e s tim a c io n e s d e u n a m e d ia p o b lac io n a l q u e s e e n cu e n tra n u s a n d o la d istrib u ció n t. V ea lo s p r o c e ­ d im ien to s a l final del c a p ítu lo 10 p a r a e s o s o t r o s m é t o d o s .

d a t o s , tal c o m o A1:A12. Si t ie n e 12 v a lo re s lis ta d o s en la co lu m n a A. D é clic en O K . En el c u a d r o d e d iá lo g o s e le c ­ c io n e el nivel d e c o n fia n z a . T am b ié n in tro d u z c a el v a lo r c o n o c id o d e la d e sv ia c ió n e s t á n d a r p o b la c io n a l. D é clic en C o m p u t e I n t e r v a l y el in te rv a lo s e m o stra rá . I n t e r v a lo s d e c o n f ia n z a q u e e s t im a n u n a p r o p o r c i ó n p o ­

u tilic e el c o m p le m e n to D a ta D e sk XL q u e e s un c o m p le m e n t o p a r a E xcel. P rim ero in g r e se el n ú m e ro d e é x ito s en la c e ld a Al, lu e g o in g r e s e el n ú m e ro t o ta l d e e n s a y o s en la c e ld a B l. Si e s t á u s a n d o E x cel 2 0 0 3 , d é clic en D D X L . Si e s t á u s a n d o E x cel 2 0 0 7 , d é clic en A d d s - in y lu e g o d é clic en D D X L . S e le c c io n e C o n f id e n c e I n te r v a l. S e le c c io n e S u m m 1 V a r P r o p I n t e r v a l ( q u e e s u n a fo rm a a b r e v ia d a en in g lé s d e “in terv alo d e c o n fia n z a p a r a u na p ro p o rc ió n u s a n d o d a t o s re su m id o s p a r a u na v a ria b le ”). D é clic en el ic o n o del lápiz p a r a "N u m s u c c e s s e s " e in g r e s e A l. D é clic en el ic o n o del lá p iz p a r a “N um t r iá is " e in g r e s e B l. D é clic en O K . En el c u a d r o d e d iá lo g o se le c c io n e el nivel d e c o n fia n z a , lu e g o d é c lic en C o m p u t e I n te r v a l. b la c io n a l:

SPSS I n t e r v a lo d e c o n f ia n z a p a r a u n a m e d ia : S P S S n o tie n e un p r o c e d im ie n to p a r a o b t e n e r un in te rv a lo d e c o n fia n z a q u e e s t im e u n a m e d ia p o b la c io n a l c o n d e sv ia c ió n e s t á n ­ d a r p o b la c io n a l c o n o c id a . V ea la s in str u c c io n e s d e t e c n o ­ lo g ía a l final del c a p ít u lo 10 p a r a un p ro c e d im ie n to q u e s e a p lic a a s itu a c io n e s en b s q u e la d e sv ia c ió n e s t á n d a r p o b lac io n a l n o e s c o n o c id a .

S P S S no tie n e un p r o c e d im ie n to p a r a o b t e n e r in te r v a lo s d e c o n ­ fian z a p a r a u na p ro p o rc ió n p o b lac io n a l. I n t e r v a lo s d e c o n f ia n z a p a r a u n a p r o p o r c i ó n :

Excel I n t e r v a lo s d e c o n f ia n z a q u e e s t im a n u n a m e d ia p o b l a ­

utilice el c o m p le m e n to D a ta D e sk XL q u e e s un c o m p le m e n to d e E xcel. P rim ero in g r e se lo s d a t o s m u é s tr a le s en la c o lu m n a A. Si e s t á u s a n d o E x cel 2 0 0 3 , d é clic en D D X L . S e le c c io n e C o n f id e n c e I n t e r v a ls (In te rv a lo s d e c o n fia n z a ). D e b a jo d e la s o p c io n e s d e t ip o d e fu n ció n , s e le c c io n e 1 V a r z Int e r v a l. D é clic en el ic o n o del lá p iz e in g r e s e el r a n g o d e c io n a l:

STATDISK S e le c c io n e A n a ly s is y lu e g o C o n f id e n c e I n t e r v a ls . L u e g o se le c c io n e , y a s e a M e a n - O n e S a m p le o P r o p o r t i o n - O n e S a m p le , en el c u a d r o d e d iá lo g o q u e a p a r e c e , p rim e ro in­ g r e s e el nivel d e sig n ifica n cia c o m o un n ú m e ro d e cim al. In g r e se .9 5 p a r a un nivel d el 9 5 % d e c o n fia n z a . P r o c e d a a in g r e sa r lo s o t r o s e le m e n to s n e c e sa r io s . L u e g o d é clic en E v a lú a t e y el in te rv a lo d e c o n fia n z a a p a r e c e r á .

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MAIBJLIEMOS 1D1EHISTORIA ¿D ón de inició la estadística? L o s orígen es d e m uchas disciplin as s e pierden en la antigüedad, pero la s raíces d e la estadística pueden identificarse co n algun a certidum ­ bre. L a conservación d e registro sistem ático inició en Lon d res en 1532 co n una colección d e d atos sem an ales so b re muertes. Posteriorm ente en l a m ism a décad a, en Francia inició una colección d e d atos oficiales d e bautism os, muertes y matrimonios. E n 1608, la colección sim ilar a estadísticas vitales inició en S u ecia. C anadá realizó e l primer censo oficial en 1666. Por supuesto, la estadística e s m ás que u na colección d e datos. S i h ay un fundador d e la estadística, e s a persona debe ser alguien que trabajó con d atos d e un m odo inteligente y sistem ático y quién u só los >ara llegar a conclusiones q u e no había sid o evidentes anteriorM uch os expertos creen q u e un inglés llam ado Joh n Graunt m e­ rece e l título d e fundador d e la estadística. John Graunt nació en Londres en 1620. C om o e l h ijo m ayor en una fam ilia num erosa tom ó e l n egocio d e su padre com o m ercero (un com erciante en ropa y alim entos no perecederos). É l p asó la mayor parte d e su vida co m o un prominente ciudadano d e Londres, hasta que ptrdió su c a sa y su s posesiones en e l Incendio de Londres en 1666. Ocho añ o s m ás tarde murió en la pobreza. N o e s claro có m o John Graunt s e interesó en lo s registros sem an ales d e bautism os y obituario — conocidos co m o registros d e mortalidad— q u e s e habían conservado en Londres desde 1563. E n e l prefacio d e su libro N atu ral an d P o lític al O bservation s on the B ills o f M or-

ta lity é l escribió q u e otros "hicieron poco u so diferente d e e llo s" y s e sorprendió d e “qué del conocim iento del m ism o será traído a l m undo”. É l debe haber trabajado en su s estadísticos por m uchos añ o s antes de q u e su libro fuese publicado en 16 6 2 . Graunt trabajó principalmente con registros anuales, lo s cuales eran resúm enes d e fin de añ o de lo s registros d e mortalidad sem anal. L a figura 8.14 m uestra e l registro anual para 1665 (el año d e la G ran Plaga). E n e l tercio superior del registro s e muestra e l número d e sepelios cad a parroquia. E l total d e sep elio s y bautizos s e anotó en la parte central con muertes debidas a la plaga registradas de manera separada. El tercio inferior del .debidas a una variedad d e causas, con lo s totales dad os para itaba consciente d e que se habían hecho estim aciones b u rdas de la población de propósitos d e im puestos, pero é l debe haber sid o escéptico d e hacer una estim a­ ción que ponía a la población de Londres en 6 o 7 m illones en 1661. U sando lo s registros an u a­ les, com parando los sep elios y lo s bautizos, y estim ando la densidad d e las fam ilias en Londres (con un tam año prom edio d e la fam ilia d e ocho), llegó a u na estim ación d e la población de 460 0 0 0 por tres m étodos diferentes — ¡m uy diferente d e 6 o 7 m illonesl Tam bién encontró

A p r o p ó s it o ... A lg u n o s h isto riad o re s aseguran q j e e l lib ro d e G ra u n t e n realid ad fue e s c rito p o r su a m ig o d e to d a la v id a y c o la b o ra d o r W illiam Petty. L o s arg um en to s so n m uy em bro lla do s, p e ro la m ayoría efe los e sta d ístico s c re e n que G raunt e s c rib ió su p ro p io libro. De c u a lq u ie r manera, sabem os q u e Petty co n tin u ó e l trabajo efe G rau n t, p u b lic a n d o e d icio n es

que la población de Londres estab a aum entando mientras que las poblaciones d e los pueblos

p osterio res d e l lib ro d e G rau n t y

en e l cam po estaban dism inuyendo, mostrando una tendencia tem prana a la urbanización. Él aum entó la conciencia so b re la s altas ta sa s de m ortalidad infantil. Tam bién refutó una teoría

c re a n d o e l c a m p o d e "aritm ética

popular d e q u e la s p lagas llegaban co n nuevos reyes.

d e la p o lítica ”, q u e a h o ra llam am os dem ografía.

L a contribución m ás sign ificativa d e Graunt puede haber sid o su construcción de la pri­ mera tabla de vida. A unque lo s d atos detallados so b re la edad d e muerte no estaban d ispon i­

www.FreeLibros.org bles, Graunt sa b ía q u e d e 100 b eb é s recién nacidos, “36 d e ello s morían antes d e cumplir seis

años, y q u e qu izá só lo uno sobrevivía a los 7 6 ". Con e sto s d o s datos, é l llenó lo s añ o s interme­ dios co m o s e muestra en la tabla 8.5, usando m étodos q u e no exp licó com pletam ente.

363

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364

D e m u e s tra s a p o b la c io n e s

! A general! Bill for chis prefenc year, j e n d in g th e i p o f Dtcem ber i 6 6 ¡ . a cc o rd in g to th c R c p o rr n a d e to (he K I N G S m o l t Exccllent M ajcrty. B y th e C o m p in y o f P u i í h Q e t k s o

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www.FreeLibros.org Puesto que la hipótesis alternativa tiene una form a “m ayor q u e”, la prueba de hipótesis será de co la derecha.

c.

E n este caso, la afirm ación e s acerca de una proporción poblacional (p j: la proporción de cebras hem bras en la población d e ceb ras d e la región. L a proporción poblacional aceptada

www.fullengineeringbook.net 392 of 495.

9.1 F u n d a m e n t o s d e la s p r u e b a s d e h ip ó t e s is

373

e s p = 0.5 , q u e s e convierte en la h ipótesis nula. E l b ió lo go d e la faun a afirm a q u e la pro­ porción poblacional real e s diferente del valor en la hipótesis nula. Puesto q u e "diferente" puede ser m ayor o menor, la hipótesis alternativa tiene una form a “diferente a ":

Hq (hipótesis nula): p = 0.5 H&(hipótesis alternativa): p # 0.5 L a form a "diferente" para esta hipótesis alternativa lleva a una prueba d e d o s colas.

R esu ltad o s p o sib les de u n a p ru e b a de h ip ó tesis Una prueba d e hipótesis siem pre inicia suponiendo que la hipótesis nula es verdadera. L u ego probam os para ver s i la inform ación n os d a razón para pensar otra cosa. C om o resultado, por lo general só lo hay d o s p osibles resultada» para una prueba de hipótesis, resum idas en e l recuadro siguiente.

L o s d o s re su lta d o s p o sib le s de u n a p ru eb a d e h ip ó tesis E x is t e n d o s p o s ib le s r e s u lt a d o s p a r a u n a p r u e b a d e h ip ó t e s is :

1. R ech azar la h ip ó t e s is n u la , Hq, e n c u y o c a s o t e n e m o s e v id e n c ia p a r a r e s p a ld a r la h ip ó t e s is a lt e r n a t iv a .

A p r o p ó s it o ... El p rim er e je m p lo re g is tra d o de prueba d e hip ó te sis se atrib u ye al e s c o c é s Jo h n A rb u th n o t (1667-

2.

N o rech azar

la h ip ó t e s is n u la ,

H0, e n

c u y o c a s o n o t e n e m o s e v id e n c ia s u f ic ie n t e p a r a

r e s p a ld a r la h ip ó t e s is a lt e r n a t iv a .

1735). U sa n d o 8 2 añ os d e datos, él o b s e rv ó q u e e l n ú m e ro anual d e b au tizos d e ho m b res era co n siste n tem e n te m a y o r que

O bserve q u e “aceptar la hipótesis nula" no e s un resultado posible, y a q u e la hipótesis nula siem pre e s la su posición inicial. L a prueba d e hipótesis podría dam o s razón para rechazar esta su posición inicial, pero no puede d a m o s razón para concluir q u e la su posición inicial es

el n ú m e ro anual d e b au tizos de mujeres. S a b ie n d o q u e n o había sesg o e n los b au tizos co n base en el g énero, é l a rg u m e n tó q u e tal

verdadera. E l q u e só lo haya d o s p osibles resultados hace extrem adam ente importante q u e la hipó­ te sis nula y la alternativa s e elijan d e una manera no sesgad a. E n particular, am b as hipótesis

patrón re g u la r n o p od ría exp licarse p o r e l a z a r y te n ía q u e ser d e b id o a "la d iv in a p rovid en cia", q u e rie n d o

siem pre deben form ularse an tes d e obtener una muestra de la población para probarlas. D e otra

d ecir q u e los niños debían

manera, lo s d atos d e la muestra podrían se sg a r la selección de la hipótesis a probar.

rep rese ntar un p o c o m ás del 50% d e to d o s los nacim ientos. En te rm in o lo g ía m oderna, é l re ch a zó

U N M O M E N T O D E R E F L E X I Ó N ________________________ L a id e a q u e u n a p r u e b a d e h ip ó t e s is n o p u e d a lle v a r n o s a a c e p t a r la h ip ó t e s is n u la e s un e j e m p lo d e l v ie j o r e f r á n “a u s e n c ia d e e v i d e n c ia n o e s e v i d e n c ia d e a u s e n c ia " . C o m o u n a

la hip ó te sis nula, los d a to s podrían exp licarse s ó lo por e l azar.

ilu s t r a c ió n d e e s t a id e a , e x p li q u e p o r q u é s e r ía m á s f á c il, e n p r in c ip io , p r o b a r q u e a lg ú n le g e n d a r io a n im a l ( t a l c o m o P ie G r a n d e o e l M o n s t r u o d e l L a g o N e s s ) e x is t e , p e r o e s c a s i i m p o s ib le p r o b a r q u e c o e x i s t i ó .

E JE M P L O 2

R e s u l t a d o s d e u n a p r u e b a d e h ip ó t e s is

Para cada uno d e lo s tres c a so s del ejem plo 1, describa lo s resultados p osibles d e una prueba de hipótesis y có m o interpretaríamos esto s resultados. S o lu c ió n a.

Recuerde que la hipótesis nula e s la afirm ación d e la publicidad de q u e la m edia del millaje para los autom óviles nuevos e s /x = 62 m illas por galón . L a hipótesis alternativa e s la afirm ación del grupo d e consum idores q u e e l m illaje verdadero e s m enorque e l anunciado,

www.FreeLibros.org o /x < 62 m illas por galón. L o s resultados p osibles son: • Rechazar la hipótesis nula d e /x = 6 2 m illas por galón , en cu y o c a so tenem os evidencia para respaldar la afirm ación del grupo d e consum idores q u e e l m illaje e s menor q u e el anunciado.

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374

P r u e b a s d e h ip ó te s is • N o rechazar la hipótesis nula, en cuyo caso carecem os de evidencia para respaldar la afirm ación del grupo d e consum idores. S in em bargo, observe que esta opción no im plica q u e la afirm ación anunciada se a verdadera.

b . L a nula e s que la estancia m edia en e l hospital e s e l prom edio nacional d e 2 .0 días. L a hipótesis alternativa e s la afirm ación del Departamento d e S a lu d q u e la estancia m edia en O hio e s m ayor q u ee 1 prom edio nacional. L o s resultados p osibles son: • Rechazar la hipótesis nula d e /x = 2 .0 días, en cuyo caso tenem os evidencia para apoyar la afirm ación del Departamento d e S alu d q u e la estancia m edia en Ohio e s m ayor q u e el promedio nacional. • N o rechazar la hipótesis nula, en cuyo c a so carecem os d e evidencia para apo y ar la afir­ m ación del Departamento d e Salu d . S in em bargo, ob serv e q u e esta opción no im plica que la estancia prom edio en O hio en realidad se a igual a la estancia promedio nacional de 2.0 días.

c. L a hipótesis nula e s q u e la proporción de cebras hem bras e s la proporción poblacional aceptada d e 5 0 % {p = 0.5). L a hipótesis alternativa e s l a afirm ación del b ió lo go q u e el valor aceptado e s incorrecto, esto es, la proporción real d e cebras hembras no e s 5 0% (p o ­ dría ser mayor o menor que 50% ). L o s p osibles resultados son: • Rechazar la hipótesis nula, en cuyo caso tenem os com o evidencia para respaldar la afir­ mación del b ió lo go q u e e l valor aceptado e s incorrecto. • N o rechazar la hipótesis nula, en cuyo caso carecem os de evidencia para respaldar la afirm ación del biólogo. S in em bargo, ob serv e q u e esto no im plica q u e e l valor aceptado se a correcto.

C ó m o sac a r u n a co n clu sió n de u n a p ru eb a de h ip ó tesis R egresam os a l ejem plo d e G ender Cholee en e l cu al ideam os sacar una m uestra aleatoria de 100 bebés (nacidas d e mujeres q u e usaron e l producto Gender Cholee) y encontram os q u e 64 de esto s b ebés fueron mujeres. ¿C ó m o decidir s i esta muestra resultante debe llev am o s a recha­ zar o no rechazar la hipótesis nula? L a respuesta viene d e decidir s i la muestra resultante era probable o poco probable d e q u e haya ocurrido por azar s i la hipótesis nula e s verdadera. Recuerde q u e la hipótesis nula para este c a so e s q u e la proporción verdadera d e bebés m ujeres entre la población d e usuarias de Gender C hoice es 50% , o p = 0 .5 0 . U sando la n o­ tación introducida en e l capítulo 8 , la muestra q u e estam os estudiando tiene un tam año de n = 100 y una proporción m uestral p = 0 .6 4 . Entonces, la pregunta precisa es: s i la proporción poblacional verdadera e s p = 0 .5 0 (com o lo afirm a la hipótesis nula), ¿cu á l e s la probabilidad de q u e só lo por azar una muestra d e tam año n = 100 ten ga una proporción m uestral d e por lo m enos p = 0 .6 4 ? S i la probabilidad e s baja, entonces e s m uy p oco probable que hubiésem os encontrado tal muestra por azar, por tanto tenem os razones para rechazar la hipótesis nula. S i la probabilidad d e observar la muestra resultante e s m oderada o alta, entonces e s m uy probable que podríam os haberla obtenido co m o resultado del azar, por lo q u e no podem os rechazar la

L a v erd ad p ro b ab le depende de argu m en tos e sta d ístic o s p a ra v a lo ra r c u ál d e la s d iferen tes p o sib ilid ad e s e s m ás p ro b ab le que se a verd ad era. C uando alg o d ebe s e r p ro b ad o m ás a llá de una du da razo n ab le, ¿ e so q u é sig n ifíc a ? ¿ Q ué n iv el d e duda e s a c e p tab le ?¿U n o en vein te? ¿U n o en un b illó n ?

hipótesis nula. H ay m últiples form as de tom ar la decisión acerca d e rechazar o no rechazar la hipótesis nula. A continuación revisam os d e s op cion es m uy relacionadas: tom ar la decisión con b ase en la sign ifican cia estadística del resultado y tom ar la decisión co n b ase en la probabilidad real, o e l "valor F del resultado d e la prueba.

S ig n i f ic a n c i a e s t a d í s t i c a Introducim os la idea d e sign ifican cia estadística en la sección 6.1. Recuerde q u e s i la probabi­ lidad d e un resultado particular e s 0 .0 5 o m enos, decim os q u e e l resultado e s estadísticam ente

www.FreeLibros.org — K . C . Colé

significativo a l nivel 0.05, s i la probabilidad e s 0.01 o menor, e l resultado e s estadísticam en­ te sign ificativo a l nivel 0.01. Por tanto, e l nivel 0.01 quiere decir q u e e s m ayor la sign ifican cia que la del nivel 0.05. El recuadro siguiente resum e cóm o podem os aplicar estas ideas d e m a­ nera directa a la s pruebas d e hipótesis.

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9.1 F u n d a m e n t o s d e la s p r u e b a s d e h ip ó t e s is

375

D ecisiones en p ru ebas d e hipótesis basadas en niveles de significancia estadística D e c id im o s e l r e s u lt a d o d e u n a p r u e b a d e h ip ó t e s is c o m p a r a n d o e l r e s u lt a d o m u e s t r a l r e a l ( m e d ia o p r o p o r c ió n ) c o n e l r e s u lt a d o e s p e r a d o

s i la

h ip ó t e s is n u la e s v e r d a d e r a .

D e b e m o s e l e g i r u n n iv e l d e s ig n if ic a n c ia p a r a la d e c is ió n . •

S i la p o s ib ilid a d d e u n r e s u lt a d o m u e s t r a l a l m e n o s t a n e x t r e m o c o m o e l r e s u lt a d o

1 e n 100 ( o 0 .01 ) , e n t o n c e s la p r u e b a e s e s t a d ís t ic a m e n t e 0.01 y o f r e c e u n a f u e r t e e v id e n c ia p a r a r e c h a z a r la h ip ó t e s is n u la .

o b se rv a d o es m e n o r d e s ig n if ic a t iv a a l n iv e l •

S i la p o s ib ilid a d d e u n r e s u lt a d o m u e s t r a l a l m e n o s t a n e x t r e m o c o m o e l r e s u lt a d o o b ­ s e r v a d o e s m e n o r d e 1 e n 2 0 ( o 0 . 0 5 ) , e n t o n c e s la p r u e b a e s e s t a d ís t ic a m e n t e s ig n if i­ c a t iv a a l n iv e l 0 . 0 5 y o f r e c e u n a e v i d e n c ia m o d e r a d a p a r a r e c h a z a r la h ip ó t e s is n u la .

•

S i la p o s i b i li d a d d e u n r e s u lt a d o m u e s t r a l a l m e n o s t a n e x t r e m o c o m o e l r e s u lt a d o o b s e r v a d o e s m a y o r q u e e l n iv e l d e s ig n if ic a n c ia e l e g i d o ( 0 . 0 5 o 0 .0 1 ) , e n t o n c e s n o r e c h a z a m o s la h ip ó t e s is n u la .

E JE M P L O 3

S ig n i f ic a n c i a e s t a d í s t i c a e n p r u e b a s d e h ip ó t e s is

Considere e l ejem plo de Gender C hoice en e l que e l tam año d e la m uestra e s n = 100 y la pro­ porción muestral p = 0.64. U san do técnicas q u e analizarem os posteriorm ente en este capítulo, es posible calcular la probabilidad de elegir d e m anera aleatoria tal muestra (o una muestra m ás extrem a co n p > 0 .6 4 ) b a jo la su posición q u e la hipótesis nula {p = 0 .5 0 ) e s verdadera; el resultado e s que la probabilidad e s 0.00 2 6 . C on b ase en este resultado, ¿deb em os rechazar o no la hipótesis nula?

S o lu c ió n

L a probabilidad d e 0.0026 sign ifica q u e s i la hipótesis nula e s verdadera (que­

riendo decir que la proporción poblacional verdadera e s 50% ), la probabilidad d e extraer una m uestra aleatoria con una proporción m uestral d e por lo m enos p = 0 .6 4 e s só lo menor que 3 en 1000. Puesto que esta probabilidad e s menor q u e 1 en 100, este resultado e s estadística­ mente sign ificativo a l nivel 0 .0 1 . Por tanto, n os d a una buen a razón para rechazar la hipótesis nula, lo q u e sign ifica que proporciona respaldo para la hipótesis alternativa que e l producto Gender C hoice aum enta la proporción d e niñas a m ás d e 50% .

V a lo r e s p E n e l ejem plo 3 anterior concluim os q u e e l resultado muestral nos d a razón para rechazar la h ipótesis nula, y a q u e e l resultado e s estadísticam ente sign ificativo a l nivel 0 .0 1 . De hecho, el resultado e s aún m ejor q u e eso : la probabilidad calculada d e 0 .0026 e s alrededor d e un cuarto de 0 .0 1 . Por tanto, la probabilidad p recisa n os d a aún m ás inform ación q u e só lo establecer un nivel d e sign ifican cia estadística. L o s resúm enes publicados o reportes d e noticias d e pruebas d e hipótesis co n frecuencia só lo indican e l nivel d e sign ifican cia, pero la determ inación d e e se nivel siem pre requiere que primero calculem os una probabilidad precisa. Esta probabilidad s e denom ina v a lo r 1* (abrevia­ ción d e valor d e probabilid ad ,); ob serv e la letra m ayúscula P, u sada para evitar la confusión con la letra m inúscula p q u e s e establece para la proporción poblacional. En otras palabras, para e l caso del ejem plo 3, en e l q u e la probabilidad d e extraer una muestra con una propor­ ción muestral d e a l m enos 6 4 % e s 0.0026, decim os q u e e l valor P p a ra la prueba de hipótesis es 0 .0 0 2 6 , A nalizarem os e l cálcu lo real del valor P en las seccion es 9.2 y 9.3; aquí, só lo nos concentraremos en su interpretación.

D ecisio n es d e p r u e b a s de h ip ó tesis con b ase en v alo re s

P

E l v a l o r P ( v a lo r d e p r o b a b ilid a d ) p a r a u n a p r u e b a d e h ip ó t e s is d e u n a a f ir m a c ió n a c e r c a d e u n p a r á m e t r o p o b la c io n a l e s la p r o b a b i l id a d d e s e le c c io n a r u n a m u e s t r a a l m e n o s ta n e x t r e m a c o m o la m u e s t r a o b s e r v a d a , s u p o n i e n d o q u e la h ip ó t e s is n u la e s v e rd a d e ra :

www.FreeLibros.org • U n v a l o r P p e q u e ñ o ( t a l c o m o m e n o r o ig u a l a 0 . 0 5 ) in d ic a q u e la m u e s t r a r e s u lt a n t e e s p o c o p r o b a b le y p o r t a n t o p r o p o r c io n a r a z ó n p a r a r e c h a z a r la h ip ó t e s is n u la .

• U n v a l o r P g r a n d e ( m a y o r q u e 0 . 0 5 ) in d ic a q u e la m u e s t r a r e s u lt a n t e p o d r ía f á c i l ­

m e n t e h a b e r o c u r r id o p o r a z a r , p o r l o q u e n o p o d e m o s r e c h a z a r la h ip ó t e s is n u la .

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376

P r u e b a s d e h ip ó te s is

E JE M P L O 4

¿ M o n e d a ju s t a ?

Usted sosp ech a que una m oneda podría estar se sg a d a hacia la cruz con m ayor frecuencia que cara, y decide probar esta sosp ech a lanzando la m oneda 100 veces. E l resultado e s q u e obtiene 40 caras (y 6 0 cruces). Un cálcu lo (que no s e muestra aquí) indica q u e la probabilidad d e obte­ ner 4 0 o m enos caras en 100 lanzam ientos con una m oneda no se sg ad a e s 0.0 2 2 8 . Determine el valor P y e l nivel d e sign ifican cia estadística para su resultado. ¿D e b e concluir q u e la m oneda está se sg ad a en contra d e la s caras?

S o lu c ió n

L a h ipótesis nula e s q u e la m oneda e s no se sg a d a , en cu y o caso la proporción de

caras debe ser alrededor d e 5 0 % (H0: p = 0.50). L a hipótesis alternativa e s su so sp ech a d e que la m oneda está se sg ad a en contra de la cara, en cuyo caso la proporción d e caras sería menor que 5 0 % p < 0 .5 0 ). S u s 100 lanzam ientos d e la m oneda representan una m uestra aleato­ ria d e tam año n = 100, y e l resultado d e 40 caras e s la proporción muestral (p = 0 .4 0 ) para la prueba d e hipótesis. E l valor P para la prueba e s la probabilidad d e obtener u na proporción muestral a l m enos tan extrem a com o la que usted encontró ( p < 0 .4 0 ), suponiendo q u e la moneda e s no se sg ad a y la proporción poblacional d e caras e s 0 .5 . L a probabilidad dada para esta ocurrencia e s 0.0228, q u e e s e l valor P p a ra la prueba. Puesto q u e este valor P e s menor que 0.05, e l resultado e s estadísticam ente significativo a l nivel 0.05. Puesto que no e s menor que 0.01, e l resultado no e s estadísticam ente significativo a l nivel 0 .0 1 . L a sign ifican cia esta­ d ística a l nivel 0 .0 5 n os d a una razón m oderada para rechazar la h ipótesis nula y concluir que la m oneda está se sg a d a en contra d e las caras.

R eu n ir to d o Ahora hem os cubierto tod as la s ideas b ásicas d e la prueba d e hipótesis, excep to lo s cálculos reales requeridos. A nalizarem os esto s cálcu los para la s pruebas d e hipótesis d e las m edias po­ blacionales en la sección 9.2 y para la s proporciones poblacionales en la sección 9.3. E l recua­ dro siguiente resum e los p aso s q u e s e realizan en una prueba d e hipótesis.

El p ro c e so d e u n a p ru e b a d e h ip ó tesis R a s o 1. F o r m u la r la s h ip ó t e s is n u la y la a lt e r n a t iv a , c a d a u n a d e la s c u a le s d e b e h a c e r u n a a f ir m a c ió n a c e r c a d e u n p a r á m e t r o p o b la c io n a l, t a l c o m o u n a m e d ia p o b l a c i o n a l ( ¡i ) o u n a p r o p o r c ió n p o b l a c i o n a l ( p ) ; a s e g ú r e s e d e h a c e r e s t o a n t e s d e s a c a r u n a m u e s t r a o r e c o le c t a r d a t o s . C o n b a s e e n la f o r m a d e la h ip ó t e s is a lt e r n a t iv a , d e c id a s i n e c e s it a r á u n a p r u e b a d e c o la iz q u ie r d a , d e r e c h a o d e d o s c o la s . R a s o 2 . S a q u e u n a m u e s t r a d e la p o b la c ió n y m id a lo s e s t a d ís t ic o s m u é s t r a le s , i n c lu y e n d o e l t a m a ñ o d e la m u e s t r a ( n ) y e l e s t a d í s t i c o m u e s t r a l r e le v a n t e , ta l c o m o la m e d ia m u e s t r a l ( x ) o la p r o p o r c ió n m u e s t r a l ( p ) . P a s o 3 . D e t e r m in e la v e r o s im ilit u d d e o b s e r v a r u n e s t a d í s t i c o m u e s t r a l ( m e d ia o p r o p o r c ió n ) a l m e n o s t a n e x t r e m o c o m o e l q u e e n c o n t r ó ba jo la su p o sició n q u e la h ip ótesis n ula e s ve rd a d e ra . L a p r o b a b i l id a d p r e c is a d e t a l o b s e r v a c ió n e s e l v a l o r P ( v a l o r d e p r o b a b i l id a d ) p a r a s u m u e s t r a . P a s o 4 . D e c id a s i r e c h a z a o n o r e c h a z a la h ip ó t e s is n u la e n s u n iv e l d e s ig n if ic a n c ia e l e g i d o ( p o r lo c o m ú n 0 . 0 5 o O .O l, a u n q u e e n a lg u n a s o c a s io n e s , o t r o s n iv e le s d e s ig n if ic a n c ia s o n u s a d o s ) .

Nuevam ente, asegúrese d e evitar confusión entre los tres diferentes u so s d e la letra p. •

U na letra p m inúscula representa una proporción p ob lacio n al, esto es, la proporción verda­ dera en toda la población.

www.FreeLibros.org •

U na letra m inúscula p {"p-gorro") representa una proporción m uestra / esto es, la propor­

•

ción encontrada en una muestra extraída d e la población. U na P m ayúscula indica la probabilidad en e l valor P .

www.fullengineeringbook.net 396 of 495.

9.1 F u n d a m e n t o s d e la s p r u e b a s d e h ip ó t e s is

E JE M P L O 5

377

M i l l a je m e d i o d e r e n t a d e a u t o m ó v i le s

En E stadas U nidos, e l autom óvil promedio s e m aneja alrededor d e 1 2 0 0 0 m illas cada año. E l propietario de una gran com pañía d e renta de autom óviles so sp ech a q u e para su flotilla, la distan cia m edia e s m ayor q u e 1 2 0 0 0 m illas por año. É l selecciona una m uestra aleatoria de n = 225 autom óviles d e su flotilla y determ ina q u e e l m illaje m edio anual para e sta muestra e s x = 12375 millas. Un cálcu lo muestra que s i usted supone que la m edia d e la flotilla e s la m edia nacional d e 1 2 0 0 0 millas, entonces la probabilidad de seleccionar una muestra d e 225 autom óviles co n un m illaje m edio d e a l m enos 1 2 3 7 5 m illas e s 0.01. Con b ase en e sto s datos, describa e l proceso d e llevar a cab o una prueba d e hipótesis y saq ue una conclusión.

S o lu c ió n

Seg u im o s los cuatro p aso s listados en e l recuadro anterior:

Paso 1. E l parámetro poblacional d e interés e s una m edía p o b lacio n al (/x) —la m edia d e millaje anual para la población d e todos lo s autom óviles en la flotilla de autom óviles en renta— . L a hipótesis nula e s que la m edia poblacional e s e l promedio nacional d e 1 2000 millas anuales por autom óvil. L a hipótesis alternativa e s la afirm ación del propietario q u e la media poblacional d e su flotilla e s mayor que e l promedio nacional. Esto es, / ^ : ¡x — 1 2 0 0 0 m illas

H ¿ /x > 12 000 m illas Puesto que la hipótesis alternativa tiene una form a “m ayor qu e", la prueba d e hipótesis será d e co la derecha. Paso 2. E ste p aso pide q u e seleccionem os la muestra y m idam os los estadísticos muéstrales; aquí, s e n os dan e l tam año d e la muestra d e / 7 = 2 2 5 y l a m edia muestral d e x = 12 375 m illas. Paso 3. Este p aso nos pide determinar la verosim ilitud que, b a jo la suposición que e l promedio de la flotilla en realidad se a 1 2 0 0 0 m illas (hipótesis nula), seleccion ásem os por azar n ía muestra co n una media de por lo menos 12375 millas. Aquí no necesitamos hacer les cálculos, y a que n os dieron la probabilidad d e 0 .0 1 . (E l m étodo d e cálcu lo s e d a en la sección 9.2). E sta probabilidad e s e l valor P, n os d ice q u e s i la hipótesis nula fuese verdadera, habría só lo u na probabilidad de 0.01 d e seleccionar una muestra tan e x ­ trema co m o la observada. Paso 4. E l valor P de 0.01 n os d ice q u e e l resultado e s significativo a l nivel 0 .0 1 . Por tanto, rechazamos la hipótesis nula y concluim os que la prueba proporciona fuerte apo y o para la hipótesis alternativa, implicando q u e la m edia anual d e m illaje para la flotilla efe renta d e autom óviles e s mayor q u e e l promedio nacional d e 1 2 0 0 0 millas.

U n a an alo g ía legal de p ru e b a de h ipótesis Una analogía legal podría ayudar a clarificar la idea d e prueba d e hipótesis. E n la s cortes le­ gales estadounidenses, e l principio fundamental e s que un acu sado s e presum e inocente hasta que s e pruebe q u e e s culpable. Puesto q u e la su posición inicial e s inocente, esto representa la hipótesis nula:

Hq\ E l acu sado e s inocente. Ma: E l acu sado e s culpable. E l trabajo del fiscal e s presentar evidencia tan convincente q u e e l ju ra d o s e persuada de rechazar la hipótesis nula y encuentre a l acu sado culpable. S i e l fiscal no construye un c a so su ­ ficientemente convincente, entonces e l ju ra d o no rechazará Hq y e l a cu sad o s e encontrará “no

www.FreeLibros.org culpable". O bserve q u e encontrar a una persona inocente (aceptando Hq) no e s una opción: un veredicto d e no a cu sad o significa que la evidencia n o e s suficiente para establecer culpabilidad, pero no prueba inocencia.

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378

P r u e b a s d e h ip ó te s is

UN M O M E N T O D E R E F L E X I Ó N C o n s id e r e d o s s it u a c io n e s . E n u n a , u s t e d e s j u r a d o e n u n c a s o e n e l q u e e l a c u s a d o p o d r ía s e r m u lt a d o c o n u n m á x im o d e $ 2 0 0 0 . E n e l o t r o , u s t e d e s u n j u r a d o e n u n c a s o e n e l c u a l e l a c u s a d o p o d r ía r e c i b i r la p e n a d e m u e r t e . C o m p a r e lo s n iv e le s d e s ig n if ic a n c ia q u e u s a ­ ría e n la s d o s s it u a c io n e s . E n c a d a s it u a c ió n , ¿ c u á le s s o n la s c o n s e c u e n c ia s d e r e c h a z a r d e m a n e r a e r r ó n e a la h ip ó t e s is n u la ?

A lf a b e t iz a c ió n e s ta d ís tic a y p e n s a m ie n to c r ít ic o 1.

P ru e b a d e h ip ó te s is .

10.

¿Q ué e s una prueba d e hipótesis? n.

¿Q u é e s la hipótesis nula? ¿Q u é notación se utiliza para la hipótesis nula? ¿Q ué e s una hipótesis alter­

2. H ip ó te s is .

tiv a?

V a lo r P . En una prueba clínica d e un m edicam ento nuevo, el coordinador del proyecto está feliz d e sab er q u e la efe c­

0 .0 0 1 . 12.

Un investigador quiere probar

P u ls o .

una afirm ación hecha acerca d e l a tem peratura corporal d e adultos saludables: la afirm ación s e refiere a l valor de

tiva e s /x < 74.

a lte r n a tiv a .

98.6°F. Identifique la s tres posibles expresion es diferentes que podrían usarse para la hipótesis alternativa. V a lo r P .

¿Q ué e s e l valor P p a r a una prueba d e hipótesis?

¿ T ie n e s e n t id o ?

C o n c e p to s y a p lic a c io n e s 13.

Para lo s ejercicio s 5 a l 8 decida s i e l enuncia­

¿ Q u é e s la s ig n ific a n c ia ? Suponga q u e usted v ia ja diario a la universidad y llena su tanque d e gaso lin a c a d a viernes

por la tarde co n 7 galo n es d e gasolina.

do tiene sentido (o e s claramente verdadero) o no tiene sentido (o claram ente e s falso). Explique claramente: no tod os lo s enun­

a.

R e p o r t e e n m e d io s .

¿Consideraría este aum ento estadísticam ente sign ifica­ tivo o lo atribuiría a fluctuaciones aleatorias?

L a revista New port C hronícle in­

b.

cluye un artículo con e l enunciado q u e "el estudio probó q u e e l porcentaje d e aspirantes a trabajos q u e no pasaban

o lo atribuiría a variaciones aleatorias?

Una investigadora está convencida q u e ella puede demostrar que un m edicam ento nuevo e s efectivo en d ism i­

6 . V a lo r P .

c. ¿Q ué tanto aum ento necesitaría ver antes d e q u e lo co n ­ sidere estadísticam ente significativo y buscar una e x ­ plicación? Explique.

nuir e l colesterol L D L . E lla afirm a q u e e l valor P d e 0.001 respalda su afirm ación de un nivel m edio m ás b ajo d e c o ­ lesterol L D L . A l probar una afirm ación d e q u e e l nivel medio d e colesterol L D L e s menor q u e 130 m g/dL, e l inves­

7. H ip ó t e s is nu la.

14.

¿ Q u é e s s ig n if ic a t iv o ?

D espués d e realizar una prueba d e hipó­ tesis, un investigador form a una conclusión inicial d e que

a.

ción, o atribuiría este tipo d e variación a l azar? b.

hay evidencia m uestral estadística para respaldar la hipóte­ s is nula. m e d ic a m e n to .

D espués d e un m es d e u so normal, e l monto d e las lla­ m adas telefónicas e s $8.05. ¿C onsideraría este cam bio estadísticam ente sign ificativo y buscaría una exp lica­

8. H ip ó t e s is nu la.

D espués d e un m es d e u so normal, e l monto d e las lla­ m adas telefónicas e s $40. ¿C onsideraría este cam bio estadísticam ente sign ificativo y buscaría una exp lica­ ción, o atribuiría este tipo d e variación a l azar?

En una prueba d e la

afirm ación de que, entre los pacientes tratados con Z iac, la proporción que experimentó m areos e s menor que 0.06, la

Su pon ga q u e su s ca rg o s d e llam a­

d as telefónicas d e larga distancia so n d e $ 7 m ensuales.

tigador establece la hipótesis nula co m o /x < 130 m g/dL.

con

Después de otra sem ana de manejar y viajar normalmen­ te, encuentra que su autom óvil necesita 12 galones. Este aim ento, ¿ lo consideraría estadísticam ente significativo

una prueba de d ro g as e s igual a 6 % ”.

T ra t a m ie n to

Una sem ana, d esp u és d e un m anejo y v iaje normal, usted encuentra q u e su autom óvil necesita 8 galones.

ciados tienen respuestas definitivas, por lo que su explicación es m ás importante q u e la respuesta elegida.

9.

En una prueba d e la afirm ación d e q u e quien hace

ejercicio tiene un pulso m edio menor q u e 74 latidos por minuto, la hipótesis nula e s /x = 74 y la hipótesis alterna­

3. H ip ó t e s is

5.

Un estudio está diseñado para determinar

tividad del m edicam ento está descrita con un valor P de

nativa? ¿Q u é notación s e utiliza para u na hipótesis alterna­

4.

M e d ia m u e s tra l.

la proporción d e hombres q u e pesan m ás d e 2 0 0 libras, por b que debe encontrarse e l p eso m edia muestral.

c.

¿A lrededor d e cuánto aum ento necesitaría ver antes de q je lo considere estadísticam ente significativo y buscar

www.FreeLibros.org hipótesis alternativa e s p ^ 0 .0 6 .

w a exp licación ? Explique.

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9.1 F u n d a m e n t o s d e la s p r u e b a s d e h ip ó t e s is F o r m u la c ió n d e h ip ó t e s is . En lo s ejercicio s 15 a l 22 form ule la hipótesis nula y la alternativa para una prueba d e hipótesis.

24.

25. C o n te n id o s d e re fr e s c o .

Un consum idor s e qu eja d e que

Un director d e preparatoria afirm a

C a lif ic a c io n e s d e l S A T .

¿C u á l e s e l valor P d e este resultado? 2 6 . Una muestra aleatoria de 100 nacim ientos tiene 4 0 bebés

hombres. ¿ E s t e resultado e s sign ificativo a l nivel 0 .0 5 ? ¿C u á l e s e l valor P d e este resultado?

q je , en su escuela, la calificación m edia del S A T d e los alum nos d e últim o añ o e s menor q u e e l prom edio nacional 0 . 5 o n zas por tonelada S o lu ció n

Para e l c a so d e co la izquierda, la hipótesis nula y la alternativa son

Hq\ pureza = 0 .5 on zas por tonelada Ha: pureza < 0 . 5 o n zas por tonelada L as d o s decision es posibles en este c a so son: •

Rechazar Hq, q u e sign ifica concluir q u e la pureza del mineral e s menor q u e e l necesario

•

para mantener abierta la mina, por lo q u e la mina e s cerrada. N o rechazar H q , lo q u e sign ifica q u e tenem os evidencia insuficiente para concluir q u e la pureza d e la mina e s menor q u e e l necesario, por lo q u e la mina perm anece abierta.

Un error d e tipo I (rechazar d e m anera errónea u na H q verdadera) sign ifica q u e la mina e s c e ­ n ad a cuando, en realidad, la pureza del mineral de oro e s suficiente para operar la mina. Para b s operadores de la mina esto sign ifica la pérdida d e utilidades potenciales de la mina; para los em pleados sign ifica pérdida innecesaria d e trabajo. Un error d e tipo II (equivocarse en rechazar una H q falsa) sign ifica q u e la mina continúa en operación, pero en realidad no e s rentable. A hora su p on ga q u e la mina s e mantiene abierta só lo s i la pureza e s m ayor a 0 .5 on zas por tonelada. Para este c a so d e cola derecha, la s hipótesis nula y alternativa son

H q : pureza = 0 .5 on zas por tonelada Ha: pureza > 0 . 5 o n zas por tonelada L as d o s decision es p osibles son • •

Rechazar Hq, que sign ifica concluir q u e la pureza del mineral e s m á s q u e e l necesario para mantener abierta la mina, por lo q u e la mina perm anece abierta. N o rechazar H0, lo q u e sign ifica q u e tenem os evidencia insuficiente para concluir q u e la pureza d e la mina e s lo suficientemente alta para mantener abierta la mina, por lo q u e la mina e s cerrada.

Un error d e tipo I (rechazar d e manera incorrecta una H q verdadera) sign ifica dejar abierta la

www.FreeLibros.org mina cuando en realidad no e s rentable. Un error de tipo II (no rechazar una H q falsa) sign ifica cerrar la mina cuando en realidad e s rentable, dejan do a le s em plead os sin trabajo cu ando no hay razón suficiente.

www.fullengineeringbook.net 410 of 495.

9.2 P r u e b a s d e h ip ó t e s is p a ra m e d ia s p o b la c io n a le s

391

Sección 9 .2 Ejercicios A lf a b e t iz a c ió n e s ta d ís tic a y p e n s a m ie n to c r ít ic o 1.

C uando realizam os pruebas d e hipótesis para n ía m edia poblacional, e s m uy importante entender clara­ mente lo que representan n, x ,s , a y /x. D escriba q u é indica

N o t a c ió n .

seleccionar un nivel d e sign ifican cia d e cero, d e m odo que no haya probabilidad d e com eter e se error. 12. M n e m ó n ic o . U na regla m nem otécnica para interpretar el valor P e n u na prueba d e h ipótesis es: “S i la P (valor) es baja, la nula no trabaja".

cada una d e estas variables. 2.

P u ls o .

A una estudiante graduada se le ha asign ad o pro­

bar la afirm ación d e q u e e l pulso d e los instructores d e la universidad e s m ayor q u e 7 0 latidos por minuto. E lla m ide el pulso de 225 instructores en su universidad, y encuen­ tra q u e hay suficiente evidencia para apo y ar la afirm ación. ¿Q ué e s incorrecto en su proyecto? 3. T ip o s d e e rro re s .

¿Q ué e s e l error de tipo I? ¿Q u é e s el

error d e tipo II? 4.

C o n c e p to s y a p lic a c io n e s ¿ S e r e s p a ld a n la s h ip ó te s is a lte r n a tiv a s ? En lo s ejercicios 13 al 2 0 encuentre e l valor d e la puntuación estándar, y deter­ mine s i la hipótesis alternativa e s respaldada a un nivel d e sign i­

z,

ficancia d e 0.05. 13. Ha: /x > 100, n — 100, x — 102, 69.0, n = 400, x = 75.2, cr = 12.0

S ig n ific a n c ia e s ta d ís tic a .

En una prueba d e la dieta Atkins

sb obtuvo un valor P d e 0.004 cuando s e com probó la afir­ mación d e que había una pérdida co n la dieta. El peso medio perdido después d e 12 m eses fue 2.1 libras. ¿ E l peso m e­ dio perdido de 2.1 libras es estadísticamente significativo? ¿E l p eso m edio perdido de 2.1 libras tiene significancia práctica? ¿P or qué s í o por qué no? Para los ejercicios 5 a l 12 decida s i e l enun­ ciado tiene sentido (o e s claram ente verdadero) o no tiene sen ­

15. Ha: / i < 98.6, n = 64, x = 9 8 .2 , 36.35 z= 1.5 para PL¿. /x > 0.227 z = —1.6 para Ha\ ¡x ^ 0.389 z= - 2 . 0 para Ha\ /x # 172 z= 1.7 para Ha\ /x =£ 75 z= 1.9 para Ha\ /x =£ 25.7 z= 2.7 para Ha\ /x > 19.4 z= 3.5 para Ha\ /x > 75 z= - 2 .1 para Ha\ /x < 1 0 0 7 z= —1.1 para Ha\ /x < 149.6 z = 0 .1 5 para Ha\ ¡x 90.3

www.FreeLibros.org 32.

de sign ificancia.

33.

n.

Puesto q u e e l nivel d e sign ifican cia es la probabilidad d e com eter un error d e tipo I, e s prudente N iv e l d e s ig n ific a n c ia .

34.

z = 3.5 para Ha\ /x =£ 1 022

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392 35.

36.

P r u e b a s d e h ip ó te s is In te rp re ta c ió n d e v a lo re s P .

Su pon ga q u e está probando una hipótesis alternativa d e la form a Hz\ ¡x > valor a fir­

g i s (AAD) prueba 65 muestras de una onza de la medicina y encuentra q u e la cantidad media d e acetominofén para la

mado. S i la m edia muestral tiene una puntuación estándar

muestra es 589 m iligram os con una desviación estándar de

d e z = —1.0, ¿qu é concluye? ¿ P o rq u é no e s necesario rea­ lizar la prueba d e hipótesis form al?

21 miligramos. Pruebe la afirmación de la A A D d e q u e la medicina no contiene la cantidad requerida d e acetominofén.

In te rp re ta c ió n d e v a lo re s P . Su pon ga q u e está probando una hipótesis alternativa d e la form a /a > valor a fir­

42.

mado. S i la m edia muestral tiene una puntuación estándar

de Utah. Con b ase en esta muestra, pruebe la afirm ación de que e l ingreso m edio d e lo s hogares en Utah difiere del in­

Para lo s ejercicio s 37 al

5 0 utilice un nivel de sign ifican cia 0.05 y realice una prueba de hipótesis usando e l proceso d e cuatro p aso s descrito en e l texto.

greso m edio nacional de $35 100. 43.

E n c u e s ta R o p e r.

C o n s u m o d e c o m b u s tib le .

De acuerdo co n la A dm inis­

tración de Información d e Energía (datos d e la A dm inistra­ ción d e A utopistas Federales), e l prom edio d e m illaje de

A segúrese d e establecer su conclusión. 37.

Recién e l ingreso m edio en hogares en e l condado

representan una muestra aleatoria de tod os lo s residentes

de z = 0.5, ¿q u é concluye? ¿P o r q u é no e s necesario reali­ zar la prueba d e hipótesis form al? P ru e b a s d e h ip ó te s is p a ra m e d ia s .

In g reso .

de W asatch, Utah, fu e $ 4 1 0 4 5 co n una desviación estándar efe $ 1 6 0 5 . Su pon ga q u e le s 1 3 2 6 7 residentes del condado

Una encuesta Roper utilizó una muestra

todos los autom óviles e s 21.4 m illas por galón . Para una muestra aleatoria d e 4 0 cam ionetas, e l m illaje m edio es 19.8 m illas por galón co n una desviación estándar d e 3.5

de 100 propietarios d e autom óvil seleccionada» d e manera aleatoria. En la muestra, e l tiempo m edio de posesión d e un so lo autom óvil fue d e 7.01 años, con una desviación están­

m illas por galón . Pruebe la afirm ación d e q u e e l m illaje

dar d e 3.74 años. Pruebe la afirm ación hecha por e l propie­

medio d e tod as las cam ionetas e s menor q u e 21.4 m illas por galón.

tario d e una gran concesionaria de que e l tiem po m edio de posesión para todos les autom óviles e s menor q u e 7.5 años. 44. 38.

T ie m p o e n el h o s p ita l.

D e acuerdo con un estudio reali­

de

b é is b o l.

Se obtuvo una muestra aleatoria de

40 bolas nuevas d e béisbol. C ada una s e d e jó caer so bre n ía superficie d e concreto y la altura d e los rebotes tiene una

zado por los Centros para e l Control d e Enferm edades, la m edia nacional d e estancia en hospital d esp u és del alum ­

media d e 92.67 pulgadas y una desviación estándar d e 1.79

bramiento e s 2 .0 días. A l revisar lo s registros en su hosp i­ tal, una adm inistradora calcula q u e la m edia d e estancia en

pulgadas (con b ase en d atos d e USA Today). Pruebe la afir­ mación d e q u e las b o la s n u evas d e béisb o l tiene una altura

el hospital para una muestra d e 81 m ujeres que dieron a luz

media d e rebote q u e e s menor q u e la altura d e rebote m edio

es 2.2 d ía s con una desviación estándar de 1.2 días. S u p o ­ niendo que la s pacientes representan una muestra aleatoria

de 92.84 pulgadas encontrada para b olas viejas d e béisbol

de la población, pruebe la afirm ación d e q u e este hospital

45.

mantiene m ás tiem po a la s nuevas m am ás q u e e l promedio nacional. ¿C ó m o cam bia e l resultado s i la desviación e s ­

C o m p r a d o r e s c o m p u ls iv o s . U nos investigadores d e sa ­ rrollaron un cuestionario para identificar a com pradores

com pulsivos. U na muestra aleatoria d e 32 su jeto s q u e se identifican com o com pradores com pulsivos obtuvo una puntuación m edia en e l cuestionario d e 0 .8 3 con una d e s­

tándar d e la muestra e s 0 .8 d ías? 39.

B o la

E m p a q u e ta m ie n to . Los fabricantes d e una marca líder de pasta dental necesitan asegurarse de que la cantidad d e pasta

viación estándar de 0.24 (con base en dates de "A Clini-

dental en cad a paquete d e “ 16 onzas" no s e sobrepase d e ­

cal Screen er for Com pulsive B u y in g", d e Faber y Guinn, Jo u rn al o í Consum er R esearch , volum en 19). Pruebe la

masiado (lo cual tendería a desperdiciar producto) ni q u e le falte (lo cual llevaría a la insatisfacción d e lo s clientes). Los

afirm ación d e q u e la población q u e s e autoidentifica com o comprador com pulsivo tiene una m edia m ayor q u e la m edia (fe 0.21 para la población general.

paquetes de pasta dental en una muestra d e n = 144 tienen un peso medio de 15.8 on zas con una desviación estándar de 1.6 onzas. Pruebe la afirmación d e que lo s paquetes de “ 16

46.

Peso d e m oneda.

De acuerdo co n e l Departamento del

T esoro d e E stad os U nidos, e l p eso m edio d e una m oneda (fe 25 centavos e s 5.670 gram os. U na m uestra aleatoria de

onzas" en realidad tienen un peso medio d e 16 onzas. Los fabricantes d e m oto­

50 m onedas tiene un p eso m edio d e 5.622 gram os con una

cicletas deben producir e je s delanteros q u e cum plan con

desviación estándar d e 0.068 gram os. Pruebe la afirm ación (fe que e l p eso m edio d e las m onedas de 25 centavos en

4 0 . F a b r ic a c ió n d e m o to c ic le ta s .

dim ensiones especificadas. En particular, los diám etros de lo s e je s deben ser d e 8.50 centímetros. L o s e je s en una muestra d e n = 64 e je s tienen un diám etro m edio d e 8.56 centím etros con una desviación estándar d e 0.24 centím e­ tros. Pruebe la afirm ación d e que lo s e je s delanteros tienen

circulación e s 5 .6 7 0 gram os. 47.

P e s o al n a c e r.

El p eso m edio a l nacer de b eb é s hom bres

nacidos d e 121 m adres que tom aron un com plem ento v i­ tamínico e s 3.67 kilogram o» con una desviación estándar

www.FreeLibros.org e l diám etro m edio especificado.

41.

(fe 0.66 kilogram os (con b ase en datos del Departamento de

C a n tid a d e s d e m e d ic in a .

La medicina en crema Dozenol lista 600 m iligram os de acetominofén por onza com o un

Salud del E stado d e N ueva York). Pruebe la afirm ación de que e l peso m edio a l nacer d e toda» lo s b ebés nacidos de

ingrediente activo. L a Administración d e Alimentos y Dro-

madres q u e tom aron e l com plem ento vitam ínico e s igual

www.fullengineeringbook.net 412 of 495.

9.2 P r u e b a s d e h ip ó t e s is p a ra m e d ia s p o b la c io n a le s

393

a 3.39 kilogram os, q u e e s la m edia para la población de

Proyectos para Internet y más allá

todos los b eb é s hombres. 48.

M illa je d e u n a u to m ó v il. D e acuerdo co n la A dm inistra­ ción de Información de Energía (datos de la Administración

de A utopistas Federales), e l m illaje prom edio anual para autom óviles en E stados U nidos e s 1 1725 millas. E l propie­ tario d e una com pañía d e renta d e autom óviles selecciona

P a ra en laces ú tiles seleccion e “L in k s fo r Internet P ro je c ts” p a ra e l cap ítu lo 9 en ww w.aw.com /bbt. 55. C o m p a r a c io n e s c o n p r o m e d io s n a c io n a le s .

una m uestra aleatoria de 225 autom óviles de su flota co m ­ pleta. Para la muestra, e l m illaje anual m edio es 12 145 millas con una desviación estándar d e 3 0 0 0 millas. Pruebe la afir­

49.

ejem plo, estatura, peso, tam año d e la familia, presión sa n ­

mación d e q u e e l m illaje m edio de la flotilla e s m ayor que

guínea, ritmo cardiaco, tiem po d e reacción). U tilice internet

el prom edio nacional.

u otras referencias para determ inar lo s prom edios naciona­

C o n v ic t o p o r d e s f a lc o .

les para estas variables (por categorías de edad, s i e s ad e ­ cuado). Recolecte inform ación so b re la s variables, usando una muestra aleatoria de por lo m enos 5 0 individuos. L le v e

Cuando 70 convictos por d esfalco

fueron seleccionados d e manera aleatoria, s e encontró que la duración m edia d e la s pen as era 22.1 m eses y la d e sv ia­

a cabo la s pruebas d e hipótesis relevantes para determinar s i e s sign ificativa la diferencia entre la m edia muestral y la media poblacional.

ción estándar fue 8.6 m eses (con base en d atos del Departa­ mento d e Justicia d e E stad os Unidos). Ja n e Flem ing está com pitiendo por un puesto político en una plataform a que cfesea un tratamiento m ás severo a crim inales convictos. Pruebe la afirm ación d e Jan e d e q u e la s condenas en pri­

50.

Seleccione

d iversas variables que sean, relativamente, sen cillas de medir en una clase o m uestra d e estudiantes. L a s variables deben incluir una cantidad q u e pueda ser prom ediada (por

56.

E l reporte S ta tistic a l A b stract o f the U nited S ta te s y la Encuesta de Población A ctual pro­

D a to s d e u n c o n d a d o .

sión para convictos por desfalco tienen una m edia menor

porcionan una fuente inagotable d e estadísticas sociales,

q je 24 m eses.

económ icas y vitales a nivel d e condado, estado y locales. U tilice su s sitios web para com parar los d atos estatales con b s d atos nacionales d e la m anera siguiente:

in g r e s o s .

De acuerdo co n la Encuesta d e Población A c ­

tual hecha por la O ficina del Censo, hom bres con grad o de licenciatura ganan un promedio d e $ 4 6 7 0 0 . Su p o n ga que

a.

una m uestra aleatoria d e 4 0 0 m ujeres co n grad o d e licen­

Seleccion e una variab le d e interés q u e incluya una m edia para un estado particular (p or ejem plo, la media del tam año d e les hogares en Illinois).

ciatura tiene un ingreso m edio d e $28 7 0 0 fia m edia nacio­ nal para mujeres) con una desviación estándar de $ 16 500.

b.

Pruebe la afirm ación de q u e la m edia de lo s ingresos

Determine e l valor nacional actual para e s a variable (p or ejem plo, la m edia del tam año d e lo s hogares).

de m ujeres e s menor q u e la m edia de lo s ingresos para c.

hombres.

Seleccion e un condado particular en e l estado y obtenga b s d atos correspondientes para e l condado, a sí com o el tam año de la muestra (p or ejem plo, e l tam año medio

En los ejercicios 51 a 54 se dan una hipótesis nula y u na alternativa. S in usar lo s términos "hipó­ E rro re s d e t ip o l y d e t ip o II.

de hogares en e l condado de C ook, Illinois).

tesis nula" e “hipótesis alternativa", identifique e l error d e tipo I d.

y e l error d e tipo II. 51.

52.

Hq. e l paciente está libre d e una enferm edad particular.

del estado, pruebe l a afirm ación d e q u e e l estado está por arriba o por a b a jo del nivel nacional en térm inos de

H ¿ e l paciente tiene la enferm edad.

esa variable. e.

Hq\ e l acu sado no e s culpable. e l acu sado e s culpable.

53.

A nalice e interprete su s resultadas. L a prueba d e hipó­ tesis depende de q u e la muestra (el condado) se a una muestra aleatoria d e la población (el estado). A segúrese de analizar este factor en su s conclusiones.

Hq\ l a lotería e s ju sta. 57.

Ha: la lotería está sesgad a. 54.

Suponiendo q u e e l condado e s una muestra aleatoria

A p p le t p a ra p ru e b a s d e h ip ó te s is .

U sando un motor de

Hq, la longitud m edia d e un perno en e l sistem a d e su sp en ­

búsqueda tal com o G oogle, busque "prueba de hipótesis" y "applet". Encuentre un app let y córralo. D escriba cóm o

sión d e lo s autom óviles nuevos A udi e s 3.456 centímetros.

funciona e l applet y q u é ilustra.

Ha: la longitud m edia d e un perno en e l sistem a de su sp en ­

58.

P o te n c ia d e una p ru e b a .

U sando un motor de búsqueda,

sión d e lo s autom óviles nuevos A udi no e s igual a 3.456

tal com o Google, busque "potencia" de una prueba de hipóte­

centímetros.

sis. D escriba qué es la potencia de una prueba de hipótesis.

www.FreeLibros.org www.fullengineeringbook.net 413 of 495.

394

P r u e b a s d e h ip ó te s is

9 .3 P ruebas d e hipótesis p ara proporcion es p oblacion ales

A

hora p asam os a l problem a d e pruebas d e hipótesis co n p rop orcion es (en lugar de m e­ dias). T o d a s las ideas d e la sección anterior s e aplican, excep to q u e necesitam os un m étodo diferente para calcular la desviación estándar d e la distribución muestral. U ti­

lizam os un ejem plo para ilustrar e l proceso. Su pon ga q u e u na candidata política encarga una encuesta antes d e que se cierre una elecd ó a U san do una muestra aleatoria de n = 400 probables votantes, la encuesta encuentra que 204 apoyan a la candidata. ¿ L a candidata debe estar confiada en q u e gan ará? En e l capítulo 8 analizam os cóm o determinar e l m argen d e error e intervalos de confianza para este tipo d e en ­ cu esta A hora abordam os la pregunta com o u na prueba d e hipótesis. Para una prueba d e hipótesis preguntam os s i lo s resultados d e la encuesta (que son la s estadísticas m uéstrales) apo y an la hipótesis d e q u e la candidata tiene m ás d e 5 0 % d e lo s votos. Com o e s usual, representam os con p a la proporción d e personas en la población votante que favorecen a la candidata, y denotam os con p a la proporción de personas en la m uestra que están a favor d e la candidata. Puesto q u e 204 d e 400 personas en la muestra apoyan a la candi­ data, la proporción muestral es

» - s - ~ A hora podem os form ular la hipótesis nula y la alternativa. Com o e s común, establece­ m os nuestra hipótesis nula co m o una igualdad:

H0: p = 0.5 (50% d e les votantes a favor d e la candidata) La candidata quiere sab er s i ella tiene respaldo d e la mayoría, por lo q u e la hipótesis alternativa es d e co la derecha:

Hz\ p > 0.5 (m ás d e 50% d e los votantes favorecen a la candidata)

C álcu lo s p a ra p ru eb as de h ip ótesis co n p ro p o rcio n es ¿C óm o determ inam os s i existe evidencia suficiente en la muestra para rechazar la hipóte­ sis nula? S igu ien d o e l proceso d e pruebas de hipótesis de la págin a 376, v e m o s que hemos com pletado los prim eros d o s p aso s (la form ulación d e las hipótesis y la recolección d e datos muéstrales). A hora, a l igual q u e com o hicim os para la s m edias m uéstrales en la sección 9.2, debem os determinar la probabilidad d e q u e la muestra resultante podría haber su rgido por azar s i la hipótesis nula e s verdadera. Procediendo co m o lo hicim os co n m edias muéstrales, im aginam os la selección d e mu­ ch as m uestras d e tam año n = 400. Para c a d a muestra calcu lam os la proporción de personas que están a favor d e la candidata. Otra vez, puesto que tenem os una muestra de tam año ra­ zonablem ente grande, la distribución d e la s proporciones m uéstrales d eb e ser m uy cercan a a una distribución normal. B a jo la su posición inicial d e q u e la hipótesis nula e s verdadera (que la proporción d e personas en la población q u e están a favor d e la candidata e s 0 .5 ), e l pico de esta distribución será la proporción d e la población afirm ada por la hipótesis nula, p = 0 .5 . L a N O T A T É C N IC A

desviación estándar d e la distribución muestral está d a d a por la fórm ula siguiente (la deducción está fuera del alcan ce d e este lib ro):

L a fó rm u la p ara la d esv iació n están d ar d e la d is trib u c ió n de

desviación estándar d e la distribución d e proporciones m uéstrales

.T -

~ P)

p rop o rcio n e s m uéstrales e s p recisa

www.FreeLibros.org sólo c u a n d o np Z 5 y n(1 - p ) £ 5.

Para este caso, la desviación estándar es

Estas co n d icio n e s se c u m p le n para b s p rob lem a s q u e co n sid e ra m o s

en e ste libro.

W V

Z

A

n

= J

V

0-* 1 -

° -5 > = 0 .0 2 5

400

www.fullengineeringbook.net 414 of 495.

9.3 P r u e b a s d e h ip ó t e s is p a ra p r o p o r c io n e s p o b la c io n a le s

395

L a figura 9 ,7 muestra l a distribución d e las proporciones muéstrales. C onsideram os la proporción muestral d e la encuesta {p = 0.510) co m o un so lo punto en esta distribución m ues­ tral. M uy parecido a la s pruebas d e hipótesis con m edias (vea la figura 9 .1 ), ob serv am os lo siguiente: •

S i l a muestra resultante está cerca del pico d e la distribución muestral, entonces no tenem os

•

S i la muestra resultante está lejo s del pico d e la distribución muestral, entonces e s m ás probable que la explicación se a q u e la distribución muestral no tiene un pico donde lo a se ­

razón para pensar que la hipótesis nula e s incorrecta y no rechazam os la hipótesis nula.

gura la hipótesis nula, en cu y o caso rechazam os la hipótesis nula.

p - 0,510 tiene una puntuadón estándar de 0.4 Está en el percentil 66o. con un valor P d e 0.34

\ \

34% del área total bajo la curva

/ -----------------L —I1----- _ l ------1--------1 —s»---11— ------ 1—i*------------ w 0.40 0.45 050 0.55 0.60 media

{/*)

Proporción muestral F ig u r a 9 .7

L a d is t r ib u c ió n d e p r o p o r c io n e s m u é s t r a le s p a r a u n a e n c u e s t a d e e le c c io n e s

c o n u n a m e d ia d e p = 0 . 5 y u n a d e s v ia c ió n e s t á n d a r d e 0 .0 2 5 . L a p r o p o r c ió n m u e s t r a l p = 0 .5 1 0 t ie n e u n a p u n t u a c ió n e s t á n d a r d e 0 . 4 y u n v a l o r P d e 0 .3 4 .

D e nuevo, com o hicim os para m edias muéstrales, d ecidim o s s i la proporción muestral está "cerca” o “ le jo s” del pico d e la distribución muestral (suponiendo q u e la hipótesis nula es verdadera) cuantificando la distancia con una puntuación estándar. L a fórm ula para la puntua­ ción estándar siem pre tiene la m ism a form a general (vea la página 209); para la distribución de proporciones muéstrales, la fórm ula tom a la forma

z =

proporción m uestral - proporción poblacional

p —p

desviación estándar d e la distribución m uestral

V p ( 1 — p )/n

Ahora podem os calcular e interpretar la puntuación estándar para nuestro ejem plo actual. El tam año d e la muestra so n la s n = 400 personas entrevistadas, la proporción muestral e s 51% de la muestra q u e apo y a a la candidata (p = 0.510) y la proporción poblacional e s e l p = 0.5

A p r o p ó s ito ...

afirm ado por la hipótesis nula. Por tanto, la puntuación estándar para la proporción muestral es

En la e le c c ió n p resid en cia l de 1948 la m a y o ría d e los e n c u e sta d o re s y

z = — ,

p - p

V p(1 -

=

p )/n

0.510 - 0 .5 _

= ----------------------- = 0 . 4

0 .0 2 5

En otras palabras, la muestra u sada en la encuesta tiene una proporción q u e está 0 .4 d e s­ viacion es estándar por arriba del pico d e la distribución d e las proporciones m uéstrales. C om o podem os ver en la figura 9 .7 , esta muestra resultante no es m uy extrem a, indicando q u e no

p e rió d ico s p red ecían una v ic to ria ho lg ad a para e l re p u b lic a n o D ew ey sobre e l d e m ó c ra ta T rum an. En realidad, T rum an g a n ó p o r un m argen d e v o t o p op u la r d e 49.5% a 45.1%.

debem os rechazar la hipótesis nula. E sto es, la candidata no puede estar con fiad a de obtener el apo y o d e la mayoría.

P u n tu ación e stán d ar p a ra la p ro p o rció n m u estral en u n a p ru e b a de h ip ó tesis D a d o e l t a m a ñ o d e la m u e s t r a ( n ) , la p r o p o r c ió n m u e s t r a l ( p ) y la p r o p o r c ió n p o b l a c i o ­ n a l a f ir m a d a ( p ) , la p u n t u a c ió n e s t á n d a r p a r a la p r o p o r c ió n m u e s t r a l e s

www.FreeLibros.org V p (1 - p )/n

www.fullengineeringbook.net 415 of 495.

396

P r u e b a s d e h ip ó te s is

N iveles d e sig n ifican cia y v alo res P Ftodemas usar un criterio m ás cuantitativo, usando un nivel d e significancia o valor P Iniciam os con la sign ifican cia Puesto que e l ejem plo d e la encuesta de la elección utiliza una prueba de cola derech a encontram os los valores críticos para significancia en la tabla 9.1 (página 383). L a puntuación estándar d e z = 0 .4 no e s m ayor q u e e l valor crítico d e z = 1.645 para una sig ­ nificancia a l nivel 0.05, confirm ando q u e e l resultado no d eb e hacem os rechazar la hipótesis nula. Para encontrar e l valor P, u sam os las tab las en e l apéndice A. L a s tablas muestran q u e el área a la izquierda de una puntuación estándar d e z = 0 .4 e s 0.65 5 4 . Puesto q u e e s una prueba de cola derecha, restam os este valor de 1 para determinar e l área a la derecha (m ostrada en la figura 9.7), que e s e l valor P p a ra esta prueba d e hipótesis. Esto es, e l valor P e s 1 — 0.6554 = 0.3446, lo cu al indica q u e s i la hipótesis nula e s verdadera, h ay m ás d e 0.34 d e posibilidades d e seleccio­ nar aleatoriam ente una muestra tan extrem a com o la encontrada en esta encuesta. Con tan alta probabilidad de sacar tal muestra por azar, no tenem os razón para rechazar la hipótesis nula, por b que la candidata no puede suponer que ella tiene e l apoy o de m ás de 50% d e los votantes.

R esu m en de p ru eb as de h ip ó tesis co n p ro p o rcio n es Ahora podem os resum ir e l procedimiento para realizar una prueba d e hipótesis co n una pro­ porción poblacional. A segúrese d e observar que aún estam os sigu iendo e l proceso general de cuatro p aso s para pruebas d e hipótesis d e la págin a 376 y aqu í nos centram os en lo específico de tratar co n proporciones. •

Puesto q u e tratam os con proporciones poblacionales, la hipótesis nula tiene la form a p = valor afirm ado. Para decidir s i s e rechaza o no s e rechaza la hipótesis nula, deb em os deter­ minar s i una muestra tan extrem a com o la encontrada en la prueba d e hipótesis e s probable o poco probable que ocurra s i la hipótesis nula e s verdadera.

•

D eterm inam os esta probabilidad de la puntuación estándar (z) d e la proporción muestral, que calculam os d e la fórm ula A

_

P ~ P

V p( 1

-

p )/n

donde n e s e l tam año de la muestra, p e s la proporción muestral y p e s la proporción pobla­ cion al afirm ada por la hipótesis nula. •

Entonces aplicam os la puntuación estándar d e la s d o s form as q u e utilizam os para pruebas de hipótesis con m edias: 1 . Podem os evaluar su nivel d e sign ifican cia estadística com parando la puntuación están­ d ar con lo s valores críticos d a d o s en la tabla 9.1 (p á g in a 383) para pruebas d e una co la y e l recuadro d e la págin a 386 para pruebas de d o s co las. 2 . Podem os determinar su valor P c o n tab las d e puntuaciones estándar com o las del apén ­ dice A . Para pruebas d e co la izquierda, e l valor P e s e l área d eb ajo d e la cu rva normal a la izquierda d e la puntuación estándar; para una prueba de cola derecha, e s e l área debajo de la curva normal a la derecha d e la puntuación estándar; y para pruebas d e do s co las, e s e l doble del valor q u e encontraríam os s i fuésem os a calcular e l valor P p a r a una prueba de una cola.

•

S i e l resultado e s estadísticam ente sign ificativo a l nivel elegid o ( por lo regular 0.05 o 0.01 de nivel d e significancia), rechazam os la hipótesis nula. S i no e s estadísticam ente sign ifica­ tivo, no rechazam os la hipótesis nula.

EJEM PLO 1

T a s a d e d e s e m p l e o lo c a l

Suponga q u e la tasa d e desem pleo nacional e s 3 .5 % y en una encuesta d e n = 450 perso­ nas en un co n d ad o rural d e W isconsin, 22 personas aparecen co m o desem pleadas. L a s autori­

www.FreeLibros.org dades del condado hacen una solicitud d e ayuda estatal con base en la afirm ación d e q u e la tasa

de desem pleo local e s mayor q u e e l promedio nacional. Pruebe esta afirm ación a un nivel de 0.05 d e significancia.

www.fullengineeringbook.net 416 of 495.

9.3 P r u e b a s d e h ip ó t e s is p a ra p r o p o r c io n e s p o b la c io n a le s

S o lu c ió n

397

S ig a m o s e l proceso d e cuatro pasos original d e la págin a 376.

P aso 1. L a tasa d e desem pleo e s una proporción poblacional (en contra d e una m edia pobla­ cional). L a hipótesis nula e s la su posición d e q u e la tasa de desem pleo local e s igual a la tasa nacional, o H ¿ p = 0.035. L a hipótesis alternativa e s la afirm ación del condado de que la tasa d e desem pleo lo cal e s m ayor que e l promedio nacional, o Observe q u e ésta será una prueba d e cola derecha.

p > 0.035.

Paso 2. L o s estadísticos m uéstrales son e l tam año d e la muestra, n = 450, y la proporción muestral, p . C on base en lo s d atos d ad os, la proporción muestral es

¿=I r 00489 Paso 3. A hora determ inam os la posibilidad que, b ajo la su p osición que Ja h ip ó tesis n u ia se a verdadera, s e tenga oportunidad de obtener una proporción m uestral a l m enos tan e x ­ trema com o la p = 0 .0489 encontrada para e sta muestra particular. Para determinar esta posibilidad, iniciam os por calcular la puntuación estándar para esta proporción muestral:

z =

p - p

/ = = V /7 (l - p )/n

0 .0 4 8 9 - 0.035

.

= = V 0 .0 3 5 (1 - 0 .0 3 5 )/ 4 5 0

1.60

Esta puntuación estándar e s cercana a l valor crítico d e z = 1.645 para una prueba de co la derecha, pero no e s m ayor q u e este valor, por lo q u e e l resultado no e s sign ifi­ cativo a l nivel 0.05. D el apéndice A, la puntuación estándar de 1.60 tiene un valor P d e 1 - 0 .9 4 5 2 = 0.05 4 8 , confirm ando q u e h ay m ás d e 0 .0 5 d e probabilidad q u e esta m uestra surgiera por azar s i la hipótesis nula e s verdadera. L a figura 9.8 m uestra estas ideas so bre la distribución muestral. Paso 4. Puesto que la prueba no cum ple completam ente e l criterio para sign ifican cia a l nivel 0.05, no rechazam os la hipótesis nula. E n otras palabras, esta muestra no proporciona evidencia suficiente para apo y ar la afirm ación d e q u e la tasa d e desem pleo en e l co n ­ dado está por arriba del prom edio nacional.

p

- 0.0 4 8 9 llene una puntuación estándar de 1.60 y un valor de alrededor de 0.055.

P

0.018

0 .0 3 5 media

(p)

0.052

Tasas muéstrales de desempleo F ig u r a 9 .8

L a d i s t r ib u c ió n d e p r o p o r c io n e s m u é s t r a le s p a r a e l e j e m p lo 1. L a

p r o p o r c ió n m u e s t r a l d e

p = 0 .0 4 8 9

p a r a u n a s ig n if ic a n c ia a l n iv e l

n o e s t á s u f ic ie n t e m e n t e le jo s , a la d e r e c h a ,

0 .0 5 .

www.FreeLibros.org EJEM PLO 2

P o b la c ió n z u r d a

U na muestra aleatoria d e n = 7 5 0 personas e s seleccionada, d e ellas 92 so n zurdas. U tilice esta inform ación muestral para probar la afirm ación d e q u e 10% d e la población e s zurda.

www.fullengineeringbook.net 417 of 495.

398

P r u e b a s d e h ip ó te s is S o lu ció n

Nuevamente segu im os e l proceso d e cuatro pasos.

Paso 1. L a afirm ación tiene q u e ver co n la proporción de la población q u e e s zurda, por lo que es una prueba co n una proporción poblacional. L a h ipótesis nula e s la afirm ación de que 10% d e la población e s zurda, o Hq\ p = 0 .1 . Para probar esta afirm ación necesi­ tam os tom ar en cuenta la posibilidad d e q u e la proporción poblacional real se a menor o m ayor q u e 10% . Por tanto, la h ipótesis alternativa e s PL¿. p # 0 .1 , q u e requiere una prueba d e d o s colas. Paso 2. L o s estadísticos m uéstrales so n e l tam año d e la muestra, n = 750, y la proporción de personas zurdas en la muestra:

p = — = 0.123 F 750 Paso 3. L a puntuación estándar para esta proporción muestral

« —

r P —

= 0 .1 2 3 ) es

, 0123 ~ ftl = 2 .0 9 V 0 . 1 ( l - 0 .1 ) / 7 5 0

V p ( 1 - p )/n

Del recuadro d e la página 386, los valores críticos para sign ifican cia a l nivel 0.05 en una prueba de d o s c o la s so n puntuaciones estándar m enores q u e —1.96 o m ayores que 1.96. L a calificación estándar d e 2.09 para esta prueba e s mayor q u e 1.96, por lo que concluim os que la prueba e s significativa a l nivel 0.05. D el apéndice A, e l área a la d e ­ recha d e una puntuación estándar d e 2.09 e s 1 — 0 .9 8 1 7 = 0 .0 1 8 3 . Éste sería e l valor P s i estuviésem os realizando una prueba d e una cola. Puesto q u e tenem cs una prueba de do s co las, lo duplicam os para determinar que e l valor P e s 2 X 0 .0 1 8 3 = 0.0 366. L a figura 9.9 muestra e l sign ificad o d e este valor P e n la distribución muestral. Paso 4. Puesto q u e la prueba e s significativa a l nivel 0.05, rechazam os la hipótesis nula y co n ­ cluim os que la proporción de la población q u e e s zurda n o es igual a 10% . Recordando que e l nivel d e sign ifican cia e s la probabilidad de un error d e tipo I d e rechazar una hipótesis q u e en realidad e s verdadera.

p-

0.1 2 3 tiene una puntuación estándar de 2.09 y un valor de alrededor de 0.036.

P

Alrededor de 1.8% del área total debajo de la curva

------- 1— 0.0 6

Alrededor de 1.8% del área total debajo de la curva

_____ i_____ ------- 1--------► 0.08

0.10 media

(j)

0 .1 2

0.14

Proporción muestral de personas zurdas F ig u r a 9 . 9

E s ta g r á f ic a m u e s t r a la p o s ic ió n d e la p r o p o r c ió n m u e s t r a l

( p = O .T23) e n la d is t r ib u c ió n d e p r o p o r c io n e s m u é s t r a le s p a r a e l e j e m p lo 2 . P u e s t o q u e e s u n a p r u e b a d e d o s c o la s , e l v a l o r P c o r r e s p o n d e a l á r e a d e b a j o d e la c u r v a q u e e s t á a m á s d e 2 . 0 9 d e s v ia c io n e s e s t á n d a r , e n

cu alquiera

d e la s d o s

d ir e c c io n e s , d e l p ic o .

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9.3 P r u e b a s d e h ip ó t e s is p a ra p r o p o r c io n e s p o b la c io n a le s SE * $ v > í - v

Sección 9 .3 Ejercicios A lf a b e t iz a c ió n e s ta d ís tic a y p e n s a m ie n to c r ít ic o 1.

N o t a c ió n .

de 25 añ o s d e ed ad o mayores, 1234 so n mujeres. Pruebe la afirm ación d e q u e e l porcentaje d e m ujeres m ayores en la universidad está por arriba del promedio nacional.

¿Q u é representan p , p y e l valor F í 11.

2 . D is trib u c ió n . A l realizar una prueba de hipótesis com o se describió en esta sección, ¿q u é distribución particular s e uti­ liza? ¿P o r qu é? 3.

M u e stre o .

A m erica O nLine realiza una en cu esta en la que

de q u e m enos d e la mitad d e tod os los adolescen tes en la población sienten que la s calificaciones so n su principal

Entre las 9 6 7 7 2 respuestas, hay 7 6 8 8 5 respuestas s í ¿ E s válido usar e sto s resultados m uéstrales para probar la afir­ mación d e que la m ayoría de la población general responde s í a esta pregunta? ¿P or q u é s í o por q u é no? V a lo r P .

fuente d e presión. 12.

muéstrales para probar la afirm ación d e q u e la m ayoría

que están casad o s. Pruebe la afirm ación d e q u e e sta m ues­

de los accidentes autom ovilísticos ocurren a 5 m filas del lügar. ¿Q u é n os d ice este valor P t ¿ T ie n e s e n t id o ?

tra proviene d e una población con un porcentaje d e casad o s menor que 58.6% .

Para lo s ejercicios 5 a l 8 decida s i e l enuncia­

Un estudio del Departamento d e Salu d y Servicio s H um anos d e uso ilegal d e d ro g as entre per­

13. U s o d e d r o g a s .

so n a s d e 12 a 17 a ñ o s reportó una dism inución en e l uso

ciad o s tienen respuestas definitivas, por lo que su explicación es m ás importante q u e la respuesta elegida. 5.

(de 11.4% en 1997) a 9 .9 % actualm ente. Su p o n ga q u e una encuesta en una gran preparatoria revela que, en u na m ues­

H ip ó te s is nu la. Fhra probar la afirm ación d e q u e una m a­ yoría d e estadounidenses e stá a favor de registrar todas las

tra aleatoria de 1 0 5 0 estudiantes, 98 reporta u so ilegal de drogas. Pruebe la afirm ación d e la directora d e q u e e l uso ilegal de drogas en su escu ela está por d eb ajo del promedio

arm as de fu ego, la hipótesis nula e s p = 0.5. 6.

Para probar la afirm ación de que n ía m ayoría de estadounidenses está a favor del registro de

H ip ó te s is a lte rn a tiv a .

todas las arm as de fuego, la hipótesis alternativa e s p > 0.5. 7.

nacional actual. 14. P o b r e z a .

en pobreza. Su p o n ga que la s personas en este co n d ad o re­ presentan una m uestra aleatoria d e tod as las personas en

co las d e una afirm ación acerca de una proporción, e l valor P e s el área a la derecha d e la puntuación estándar, z 8.

H ip ó te s is a lte rn a tiv a .

Idaho. C on b ase en esta muestra, pruebe la afirm ación de que la tasa de pobreza en Idaho e s menor q u e la tasa nacio­ nal d e 13.3% .

S e afirm ó q u e p > 0 .5 nunca puede

respaldarse s i la proporción muestral p e s menor q u e 0.5. 15.

C o n c e p to s y a p lic a c io n e s

a aproxim adam ente a 2 7 6 0 0 0 estudiantes acerca d e su s a c ­ titudes sobre una variedad d e tem as. De acuerdo co n la en ­

pótesis usando e l procedimiento d e cuatro p aso s descritos en el

cuesta reciente, 5 1 % de lo s estudiantes de primer añ o creen

texto. A segúrese d e establecer su s conclusiones. E n c u e s ta d e v o ta n t e s .

que e l aborto debe ser legal (bajó d e 65% en 1990). Pruebe la afirm ación d e q u e m ás d e la mitad d e tod os los estudian­

En una encuesta previa a la s elec­

ciones, un candidato para e l puesto d e a b o g a d o del distrito recibe 205 d e 400 votos. Suponiendo q u e las personas encuestadas representan una muestra aleatoria d e la pobla­ ción d e votantes, pruebe la afirm ación d e q u e una m ayoría efe lo s votantes apoy a a l candidato.

E n c u e s ta d e a b o r to . Una encuesta anual d e estudiantes de primer año en la universidad, realizada por e l Instituto de

Investigación en Educación Superior en la U C LA , pregunta

Para lo s ejercicios 9 a l 18 utilice un nivel de sign ifican cia d e 0 .0 5 para realizar una prueba d e hi­ P ru e b a s d e h ip ó te s is .

9.

D e acuerdo co n estim aciones recientes, 12.1%

de la s 4 3 4 2 p erso n asen e l condado d e Custer, Idaho, viven

Eh una prueba d e hipótesis d e d o s

H ip ó te s is a lte rn a tiv a .

A d u lt o s c a s a d o s . Eh un añ o reciente, 125.8 m illones de adultos, o 58.6% d e la población adulta d e E stad os Uni­

dos, estab a casada. E n un pueblo d e N ueva Inglaterra, una m uestra aleatoria sim ple d e 1 4 4 5 adultos incluye 56.0%

Un v a lo r P d e 0.00001 s e obtuvo a l usar datos

do tiene sentido (o e s claram ente verdadero) o no tiene sentido (o claram ente e s falso). E xplique claramente; no todos lo s enun­

P r e s ió n p o r c a lific a c io n e s . U n estudio solicitado por el Departamento d e Educación d e E stad os U nidos, co n base

en la s respuestas d e 1 0 1 5 adolescen tes seleccion ados alea­ toriamente, concluyó q u e 4 4 % d e e llo s cita la s calificacio­ nes com o su mayor fuente de presión. Pruebe la afirm ación

pide a lo s usuarios d e internet que respondan una pregunta.

4.

399

tes d e primer añ o creen q u e e l aborto deb e ser legal. 16.

F u m a r.

L a tasa d e fum adores para toda la población d e e s ­

tadounidenses adultos (m ayores d e 21 añes) e s 32% (Insti­ tuto N acional sobre A buso d e D rogas de E stados Unidos). Suponga que para una muestra d e 75 estudiantes d e bellas

www.FreeLibros.org 10.

M u je res e n la u n iv e rs id a d .

De acuerdo con la O ficina de

Censo d e E stad os Unidos, 5 8 % d e lo s estudiantes universi­ tarios d e 25 añ o s o m ás so n mujeres. S u p o n ga q u e en e l C o­ legio Clarion, en una muestra aleatoria d e 2 1 0 0 estudiantes

artes m ayores de 21 años, la tasa d e fum adores e s 35% . U ti­ lice un nivel d e sign ifican cia de 0.05 para probar la afirm a­ ción d e q u e la tasa d e fum adores para tod os lo s estudiantes de bellas artes e s mayor que e l promedio nacional.

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400

P r u e b a s d e h ip ó te s is De acuerdo con la Adm inistración de Información d e Energía, 53.0% d e los hogares en la nación

17. U s o d e g a s na tu ral.

usaron g a s natural para calefacción en 1997. U na encuesta reciente de 3 600 hogares seleccionados aleatoriamente m os­ tró q u e 5 4% usaron g a s natural. U tilice un nivel d e sign i­ ficancia del 0 .0 5 para probar la afirm ación d e q u e la tasa nacional de 5 3 .0 % cambió. 18.

22.

El reporte S ta tistic a l A b stract o f the U nited S tate sy la Encuesta de Población A ctual proporcio­

D a to s d e c o n d a d o s .

nan una fuente am plia d e estadísticas so ciales, econ óm icas y vitales en lo s niveles d e condado, estado y locales. Uti­ lice su s sitio s web para com parar lo s d atos estatales d e la manera siguiente: a.

Pruebe la afirm ación d e q u e e l porcentaje d e pacientes tra­ tados con síntom as d e gripa e s mayor q u e la tasa 1.9% para pacientes que no s e les d a e l tratamiento.

Seleccione una variable de interés q u e incluya una proporción para un estado particular (p or ejem plo, el

En pruebas clín icas del m edicam ento Lipitor, 863 pacientes fueron tratados y 19 d e ello s experim en­ taron sín tom as d e grip a (con b ase en d atos d e Parke-D avis). P ru e b a c lín ic a .

porcentaje de personas q u e viven en la pobreza en Arizona). b.

Determine e l valor nacional actual para esta variable (por ejem plo, la tasa de pobreza nacional).

c.

Seleccione un condado particular dentro del estado y obtenga los d atos correspondientes para e l condado (por ejem plo, l a tasa d e pobreza en e l condado d e Pima,

P r o y e c t o s p a r a i n t e r n e t y m á s a llá

Arizona).

P a ra en laces ú tiles seleccion e “L in k s fo r Internet P ro jects ” p a ra e l capítulo 9 en ww w.aw.com /bbt. 19.

P o b la c ió n zu rd a .

d.

Dada la afirmación de que 10% de lo s e s ­

tadounidenses son zurdos, seleccione aleatoriamente al m enos a 5 0 estudiantes en su escuela y determine s i son zurdos. FVuebe la afirmación con una prueba d e hipótesis formal. Utilice referencias d e internet o bibliográfi­ cas para determinar la proporción de estadounidenses que

20. F u m a d o re s.

Suponiendo q u e e l condado e s una muestra aleatoria del estado, pruebe la afirm ación de q u e e l estado está por arriba o por d eb ajo del nivel nacional en términos de e s a variable.

e.

Analice e interprete su s resultados. L a prueba d e hi­ pótesis depende de la muestra (el condado) sien do una muestra aleatoria d e la población (el estado). A segúrese de analizar este factor en su s conclusiones.

fuman. Pruebe la afirm ación de que la proporción d e estu­ diantes en su escuela que fuma e s diferente de la proporción de todos les estadounidenses. Recolecte los d atos muéstra­ les d e por lo m enos 5 0 estudiantes elegidos aleatoriamente. 21. E s tu d ia n t e s m u je re s e n u n iv e rs id a d .

U tilice internet o

referencias bibliográficas para determ inar la proporción de estudiantes universitarios en E stad os U nidos q u e so n mu­ jeres. Pruebe la afirm ación d e q u e la proporción d e estu­ diantes m ujeres en su e scu ela e s diferente d e la proporción d e tod os lo s estudiantes universitarios d e E stad os Unidos. Recolecte d atos muéstrales d e por lo m enos 100 estudian­ tes elegid os d e manera aleatoria.

-=**- E N L A S N O T I C I A S - ^

iiuiiiiiiniiiinmmnuiuiicinniinuiiiuiuiurimumnunmnumumaiiiunuiiuiunuiuiun:

23. P ru e b a s d e h ip ó te s is e n la s n o tic ia s .

Encuentre una

noticia o reporte d e investigación q u e describa (quizá no d e manera explícita) una prueba de hipótesis para una proporción poblacional. A djunte e l artículo y re­ sum a e l m étodo usado.

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E je r c ic io s d e r e p a s o d e l c a p ít u lo

401

Ejercicios de repaso del capítulo 1. En latas d e coca, seleccio n adas d e m anera aleatoria, se m ide la cantidad d e cola, en on zas. L o s v a lo re s muéstrales listados a continuación tienen una m edia de 12.19 on zas y n ía desviación estándar d e 0.11 on zas. Su pon ga q u e q u e­ remos utilizar un nivel d e significancia de 0.05 para probar la afirm ación d e q u e la s latas d e co la tienen una cantidad media d e co la m ayor q u e 12 on zas. Su p o n ga q u e la po­ blación tiene una desviación estándar d ad a por -l)

d o s c o la s

busque para determ inar e l valor apropiado d e t. Para intervalos d e confianza co n m edias poblacionales, lo s v alo re s /q u e corresponden a 9 5 % d e confianza están en la colum na 2 y en la 3 a la confianza d e 9 0 % . (U tilizam os lo s valores d e la tabla para e l “área d e d o s colas" ya q u e e l m argen de error puede ser por a b a jo o por arriba d e él; por ejem plo, confianza del 9 5 % sign ifica que estam os buscando un área total d e 0.05 alejada a am b cs la d o s de una

0 .0 5

0 .1 0

1

1 2 .7 0 6

6 .314

2

4 .3 0 3

2 .9 2 0

3

3 .182

2 .3 5 3

4

2 .7 7 6

2.132

5

2 .5 7 1

2 .0 1 5

6

2 .4 4 7

1 .9 4 3

7

2 .3 6 5

1 .8 9 5

8

2 .3 0 6

1 .8 6 0

b la c ió n d is t r ib u id a n o r m a lm e n t e ) , e l in t e r v a lo d e c o n f ia n z a p a r a e l v a l o r v e r d a d e r o d e

distribución t, com o la s q u e se muestran en la figura 10.1). U na vez q u e encontró e l valor /p a r a su s d atos y e l nivel de confianza, puede determinar e l intervalo de confianza a l igual q u e lo hicim os en la sección 8.2, sa lv o q u e ahora s e u sa la nueva fórm ula para e l m argen d e error, E.

Intervalo d e co n fian za p a ra u n a m e d ia p o b la cio n a l (/ x ) con la d istrib u c ió n S i la s c o n d i c io n e s r e q u ie r e n d e l u s o d e la d is t r ib u c ió n

9

2 .2 6 2

1 .8 3 3

la m e d ia p o b l a c i o n a l

10

2 .2 2 8

1.812

(x - E )

71

2 .2 0 1

1 .7 9 6

c o n f ia n z a p a r a la m e d ia p o b l a c i o n a l e s

12

2 .1 7 9

1 .7 8 2

x - E < ¡i < x + E ( o

13

2 .1 6 0

1.771

14

2 .1 4 5

1.761

15

2.131

1.753

16

2 .1 2 0

1 .7 4 6

17

2 .110

1 .7 4 0

18

2.101

1 .7 3 4 1 .7 2 9

19

2 .0 9 3

20 21

2 .0 8 6

1 .7 2 5

2 .0 8 0

1.721

22

2 .0 7 4

1.717

23

2 .0 6 9

1.714

24

2 .0 6 4

1.711

25

2 .0 6 0

1 .7 0 8

26

2 .0 5 6

1 .7 0 6

t

( tr n o c o n o c id a y

n>

t

30 o po­

0 ¿) s e e x t ie n d e d e s d e la m e d ia m u e s t r a l m e n o s e l m a r g e n d e e r r o r + £ ) . E s t o e s , e l in t e r v a lo d e

h a s t a la m e d ia m u e s t r a l m á s e l m a r g e n d e e r r o r ( x

d e f o r m a e q u iv a le n t e , x ±

£)

d o n d e e l m a rg e n d e e rro r es

y d e t e r m in a m o s

E JE M P L O 1

t con

b a s e e n la t a b la

10 .1.

I n t e r v a lo d e c o n f ia n z a p a r a p r e s i ó n d i a s t ó l i c a s a n g u ín e a

A continuación se tienen cin co m ediciones d e presión diastólica sanguínea d e adultos hom­ bres seleccion ados d e manera aleatoria: 78, 54, 81, 68, 6 6 . E sto s cin co valores resultan en lo s estadísticos m uéstrales: n = 5, x = 69.4, s =

10.7. Con e sta muestra construya e l intervalo

de confian za a l 95% que estim e la m edia de la presión diastólica sanguínea para la población de todos los adultos hombres.

27

2 .0 5 2

1 .7 0 3

28

2 .0 4 8

1.701

S o lu ció n Puesto que la desviación estándar poblacional n o e s conocida y e s razonable su ­ poner que lo s niveles d e presión sanguínea d e adultos hom bres s e distribuyen d e manera nor­

29

2 .0 4 5

1 .6 9 9

mal, utilizam os la distribución ten lugar d e la distribución normal. Con una muestra d e tam año

30

2 .0 4 2

1 .6 9 7

n = 5, e l número de g rad o s d e libertad es

31

2 .0 4 0

1 .6 9 6

32

2 .0 3 7

1 .6 9 4

34

2 .0 3 2

1.691

grad os d e libertad para la distribución t = n — 1 = 5 — 1 = 4

36

2 .0 2 8

1 .6 8 8

Rara una confianza de 9 5 % utilizam os la colum na 2 en la tabla 10.1, para encontrar q u e / = 2.776. Ahora usam cs este valor junto con e l tam año d e muestra dado (n = 5) y la desviación estándar

38

2 .0 2 4

1 .6 8 6

muestral (5 = 1 0 .7 ) para calcular e l margen d e error, E\

40

2 .0 2 1

1 .6 8 4

50

2 .0 0 9

1 .6 7 6

100

1 .9 8 4

1 .6 6 0

M a y o re s

1 .9 6 0

1 .6 4 5

10.7 s E = t • — j= = 2 .7 7 6 — -= = 13.3 vn V5 Por último, utilizam os e l m argen d e error y la m edia muestral para determinar e l intervalo de confianza a l 95% :

x — E < ¡i < x + E 6 9 .4 -

13.3 < /x < 6 9 .4 + 13.3 56.1 < /x < 8 2 .7

www.FreeLibros.org Con base en la s cinco mediciones muéstrales, tenem os 95% de confianza d e q u e lo s lím ites de 56.1 y 82.7 contienen la media del nivel de presión diastólica sanguínea para la población d e todos b s hombres adultos.

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10.1 L a d is t r ib u c ió n t p a r a in fe r e n c ia s a c e r c a d e u n a m e d ia

P ru eb a s de h ip ó tesis u san d o la d istrib u ció n t Cuando la distribución ¿ se utiliza para una prueba de hipótesis d e una afirm ación acerca d e una m edia poblacional (//0: /x = valor afirm ado), e l valor ¿desem peñ a e l papel d e la puntuación estándar zcu an d o estudiam os estas pruebas d e hipótesis en la sección 9.2. Recuerde q u e deter­ m inam os la sign ifican cia estadística com parando la puntuación estándar de la m edia muestral con e l valor crítico o para determinar su valor P . Con la distribución ¿, en lugar d e calcular la puntuación estándar z, utilizam os la fórm ula siguiente para calcular t

donde ne s e l tam año d e la m uestra, x e s la m edia muestral, s e s la desviación estándar muestral y /x e s la m edia poblacional afirm ada por la hipótesis nula. U na vez q u e hem os calcu lado ¿, decidim os s i se rechaza o no la hipótesis nula com pa­ rando nuestro valor d e ¿ c o n los v a lo re s críticos d e ¿encontrados en la tabla 10.1. L o s valores críticos dependen del tipo de prueba com o sigue: I V u e b a d e c o la d e re c h a : rechazar la hipótesis nula s i e l estadístico d e prueba calculado ¿ e s mayor o igual a l valor d e ¿encontrado en la colum na d e la tabla 10.1 etiquetada com o

“Á rea de una co la ". O bserve q u e para la prueba de una cola, la colum na 2 proporciona valores críticos para la sign ifican cia a l nivel 0 .0 2 5 y la colum na 3 proporciona valores crí­ ticos para sign ifican cia a l nivel 0.05. f t u e b a d e c o la iz q u ie r d a : rechazar la hipótesis nula s i e l estadístico d e prueba calculado

¿ e s menor o igual a l n egativo del valor d e ¿encontrado en l a colum na d e la tabla 10.1 eti­ quetada com o "Área d e una co la". Nuevamente, puesto q u e e s una prueba d e una cola, la colum na 2 proporciona valores críticos para la sign ifican cia a l nivel 0.025 y la colum na 3 proporciona valores críticos para sign ifican cia a l nivel 0.05. I V u e b a d e d o s c o la s : rechazar la hipótesis nula s i e l valor ab so lu to del estadístico de

prueba calcu lado ¿ e s m ayor o igual a l valor d e ¿encontrado en la colum na d e la tabla 10.1 rotulado “Á rea en d o s co las". Para este caso , la colum na 2 proporciona lo s valores críticos para sign ifican cia a l nivel 0.05 y la columna 3 proporciona valores críticos para sign ifican ­ cia a l nivel 0.10. E l estadístico d e prueba ¿calculad o tam bién puede usarse para determinar e l valor P , sin em bargo, por lo regular esto e s hecho con ay u d a d e softw are estadístico en lugar d e tablas.

E JE M P L O

2 Prueba de hipótesis de cola derecha para una media

A continuación están listadas diez puntuaciones del C I elegid as aleatoriam ente de estudiantes d e estadística: 111

115

118

100

106

108

110

105

113

109

U sando m étodcs del capítulo 4 puede confirm ar q u e e sto s d atos tienen los siguientes e stad ís­ tic o s m uéstrales: n = 10, x = 109.5, s = 5.2. Con un nivel d e sign ifican cia 0.05, pruebe la afirm ación de q u e los estudiantes d e estadística tienen una puntuación m edia del CI m ayor que 100, que e s la puntuación m edia del CI d e la m ayoría d e la población. S o lu c ió n Con base en la afirm ación d e q u e la m edia del CI de estudiantes d e estadística es mayor que 100, utilizam cs la hipótesis nula Hq\ / x = 100 y la hipótesis alternativa /x > 100. Puesto q u e l a desviación estándar de tod as la s puntuaciones del C I para la población d e todos lo s estudiantes d e estadística no e s conocida y y a q u e e s razonable suponer q u e las calificacio­ nes del C I de estudiantes d e estadística s e distribuyen normalmente, utilizam os la distribución ¿

www.FreeLibros.org en lugar d e la distribución normal. E l valor del estadístico ¿ e s calcu lado com o sigue:

www.fullengineeringbook.net 433 of 495.

414

P r u e b a s t, t a b la s d e d o s e n t r a d a s y A N O V A Ahora necesitam os com parar este valor para e l valor crítico apropiado con b ase en la tabla 10 . 1 :

•

Encontram os e l renglón correcto reconociendo q u e este conjunto d e d atos tiene n — 1 =

•

10 - 1 = 9 g rad o s d e libertad. Puesto que e s una prueba d e una cola y estam os preguntando por u na prueba con sign ifi­

cancia en e l nivel 0 .0 5 , utilizam os los valores d e la colum na 3. •

B u scan d o en la fila para 9 g rad o s d e libertad y la colum na 3, encontram os q u e e l valor crí­ tico para sign ifican cia a l nivel 0 .0 5 e s / = 1.833.

Puesto q u e e l estadístico m uestral t = 5 .7 7 7 e s m ayor q u e e l valor crítico t = 1.833, rechaza­ m os la hipótesis nula. Concluim os q u e hay evidencia suficiente para respaldar la afirm ación de que la puntuación m edia del CI e s mayor q u e 100. P odem os ser m ás precises usando softw are para calcular e l v alo r P d e esta prueba d e hipó­ tesis, q u e resulta ser 0.000135. Observe q u e este valor P e s m ucho menor q u e 0 .0 5 , por lo que podem os estar m uy confiados en la decisión d e rechazar la hipótesis nula y respaldar la afirm a­ ción de q u e la puntuación m edia del C I e s m ayor q u e 100.

E JE M P L O 3

P r u e b a d e h i p ó t e s i s d e d o s c o la s p a r a u n a m e d i a

C on lo s d atos m uéstrales del ejem plo 2 y e l m ism o nivel d e sign ifican cia de 0 .0 5 , pruebe la afirm ación d e que la puntuación m edia del CI d e estudiantes d e estadística e s ig u a la 100. S o lu ció n Con base en la afirm ación de q u e la puntuación m edia del C I d e estudiantes de estadística e s igual a 100, utilizam os la hipótesis nula ¡ i = 100 y la hipótesis alternativa / / a: /x # 100. L a form a "diferente a ” d e la hipótesis alternativa sign ifica q u e e s u na prueba de d o s colas. E l valor del estadístico muestral sig u e sien do e l m ism o q u e e l del ejem plo 2 (/ = 5.777), pero lo s valores críticas so n diferentes para la prueba d e d o s co las. Puesto q u e estam os usando el m ism o conjunto d e dates, e l número d e grad os d e libertad aún e s 9, que nos d ice cuál ren­ glón buscar en la tabla 10.1. Pero para una prueba d e d o s c o la s encontram os e l valor crítico para la sign ifican cia a l nivel 0.05 en la columna 2, en lugar d e la columna 3. E l valor crítico en el renglón 9 y colum na 2 e s / = 2.262. O bserve q u e e l valor absoluto del estadístico d e prueba t = 5.777 e s m ayor q u e e l valor crítico t = 2.262, a sí que nuevamente rechazam os la hipótesis nula. C oncluim os q u e hay ev i­ dencia suficiente para rechazar la afirm ación d e q u e la puntuación m edia del CI d e estudiantes de estadística e s igual a 100. (C on softw are encontram os q u e e l estadístico d e prueba tiene un valor P d e 0.000269).

E JE M P L O 4

P r u e b a d e h i p ó t e s i s d e c o l a iz q u i e r d a p a r a u n a m e d i a

A consecuencia d e los g a sto s involucrados, las pruebas d e accidentes autom ovilísticos co n fre­ cuencia usan m uestras pequeñas. En un estudio, cinco autom óviles BM W so n chocados bajo condiciones estándar, y lo s co sto s d e reparación (en dó lares) so n u sad o s para probar la afir­ mación de q u e e l co sto m edio de reparación para todos lo s autom óviles BM W e s menor que $ 3 000. L a muestra d e cinco co sto s d e reparación tiene una m edia d e $2 835 co n una desviación estándar de $883. U tilice un nivel d e sign ifican cia 0.05 para probar la afirm ación d e q u e la po­ blación de costos d e reparación de BM W tiene una m edia menor que $3 000. S o lu ció n

Con b ase en la afirm ación d e q u e la m edia del co sto d e reparación e s menor que

$3 0 0 0 , la hipótesis nula e s Htf. f i = $3 0 0 0 y la hipótesis alternativa e s / / a: /x < $3 0 0 0 . L a desviación estándar d e la población no e s conocida. Supondrem os q u e lo s costos d e reparación se distribuyen normalmente fia prueba d e hipótesis para /n o e s m uy sensible a pequeñas d e s­ viaciones d e la s distribuciones normales, por lo que s e trata d e una su posición razonable). El valor del estadístico d e prueba te s

www.FreeLibros.org t =

x - t i = 2 835 - 3 0 0 0

s/V~n~

883/V 5

www.fullengineeringbook.net 434 of 495.

= -0 .4 1 8

10.1 La distribución t para inferencias acerca de una media

415

Para este ejem plo, e l tam año d e la muestra e s n = 5, por lo q u e e l número de g rad o s d e libertad e s n — 1 = 5 — 1 = 4. Y a que e s una prueba d e una cola, encontram os los valores críticos para sign ifican cia a l nivel 0.05 en la colum na 3. S i revisa en e l renglón 4 y columna 3, encontrará el valor crítico ¿ = 2.132. Para una prueba d e co la izqu ierd a estam os buscando valores m enores o iguales a l negativo d e este valor, o ¿ = —2.132. Puesto q u e e l estadístico de prueba muestral t = - 0 .4 1 8 no e s menor o igual a l valor crí­ tico ¿ = - 2 .1 3 2 , no rechazam cs la hipótesis nula. N o hay evidencia suficiente para respaldar la afirm ación d e q u e e l co sto m edio d e reparación se a menor que $3 0 0 0 . C on softw are encon­ traría que e l valor P para e l estadístico d e prueba e s 0.3488. En otras palabras, s i la hipótesis nula e s verdadera, la probabilidad d e seleccionar u na m uestra a l m enos tan extrem a com o la encontrada aqu í e s alrededor d e 35% . É sta e s una probabilidad m uy alta q u e no n cs d a razón para pensar que la hipótesis nula se a errónea.

Sección 10.1 Ejercicio A lf a b e t iz a c ió n e s ta d ís tic a y p e n s a m ie n to c r ít ic o 1.

D is t r ib u c ió n

t. S u pon ga que quiere construir un intervalo

prueba d e hipótesis no e s necesaria y podem es concluir que no existen datos suficientes para respaldar la afirmación. 8.

efe confianza o probar una hipótesis acerca d e una m edia

D is t r ib u c ió n t fre n te a d is t r ib u c ió n n o rm a l. R iesto que la s pruebas ¿ n o necesitan un valor con ocid o d e la d e sv ia­

poblacional. D escriba la s condiciones q u e indican q u e debe

ción estándar poblacional y y a que e l valor d e la desviación

usar la distribución t

estándar poblacional raram ente e s conocido, la prueba ¿ es usada en situaciones reales con mucha m ás frecuencia que

2. D is t r ib u c ió n

t. A l construir un intervalo d e confianza

la prueba de hipótesis q u e u sa la distribución normal.

para estim ar una m edia poblacional o probar una hipótesis a :e rca d e una m edia poblacional, ¿p o r q u é la distribución te s u sada co n m ucha m ayor frecuencia q u e la distribución normal?

C o n c e p to s y a p lic a c io n e s In te rva lo s d e c o n fia n z a .

3. T e r m in o lo g ía .

¿C u á l e s la diferencia entre una distribu­

ción ¿de Student y una distribución (i 4.

M é to d o d e m u e s tr e o .

Suponga q u e quiere estim ar la can ­

tidad m edia de efectivo q u e llevan la s personas en E stados

En los ejercicios 9 a l 16 u sam os la

distribución ¿p a ra construir e l intervalo d e confianza para esti­ mar la m edia poblacional. 9.

Unidos. S i encuesta a 12 d e su s m ejores am igos, ¿pu ed e utilizar la distribución ¿ para desarrollar un intervalo de

U na muestra aleatoria sim ple de puntuaciones del CI s e seleccion a de una población distri­

P u n tu a c io n e s d e l C L

buida normalmente. L o s estadísticos m uéstrales so n n = 25, x = 102.5, s — 12.8. Construya e l intervalo de confianza al

confianza? ¿ E l resultado sería bueno para estim ar la media

95% para estim ar la m edia d e la población.

poblacional?

10. E s ta tu ra s d e ju g a d o r e s d e la N B A .

Para lo s ejercicios 5 a l 8 decida s i e l enuncia­ do tiene sentido (o e s claram ente verdadero) o no tiene sentido ¿ T ie n e s e n t id o ?

(o claram ente e s falso). E xplique claramente; no todos lo s enun­

damente normal. L o s estadísticos muéstrales so n n = 16, x — 77.9 pulgadas, s — 3.50 pulgadas. Construya e l inter­ valo d e confianza a l 95% para estim ar la m edia poblacional.

ciad o s tienen respuestas definitivas, por lo que su explicación es m ás importante q u e la respuesta elegida. 5.

P ru eb a

t. A l probar la hipótesis acerca d e una m edia po­

11. L o n g itu d d e l c o d o a la p u n ta d el d e d o d e h o m b re s.

blacional con una muestra q u e tiene m enos de 3 0 valores, la distribución ¿siem pre e s usada. 6.

M é to d o d e m u e s tre o .

S e obtiene una muestra aleatoria sim ple d e hom bres y se m ide la longitud d e sd e e l co d o hasta la punta del dedo. L a población de e s a s longitudes tiene una distribución q u e es

A l probar una hipótesis acerca de

n ía m edia poblacional co n una muestra q u e parezca prove­

normal. L o s estadísticos m uéstrales so n n = 35, x = 14.5 pulgadas, s = 0 .7 pulgadas. Construya e l intervalo de co n ­ fianza a l 9 5 % para estim ar la m edia poblacional.

nir d e una población distribuida normalmente con una d e s­ viación estándar poblacional desconocida, la distribución ¿p u ed e usarse sin importar e l método q u e fue u sado para

Eh una muestra alea­

toria sim ple d e estaturas de ju gad o res d e baloncesto en la N B A la población tiene una distribución que e s aproxim a­

12.

C a lific a c io n e s d e l S A T .

Una muestra aleatoria sim ple de ca­

www.FreeLibros.org recolectar lo s d atos muéstrales.

7.

P ru eb a

t. Cuando s e u sa la distribución ¿ para probar la

lificaciones del S A T s e obtiene y la población tiene una dis­ tribución que e s aproximadamente normal. Los estadísticos

afirm ación d e q u e los estudiantes tienen una puntuación

muéstrales son n = 41, x = 1503, s = 352. Construya e l in­

media del C I mayor que 105, s i la m edia muestral e s 103, la

tervalo de confianza a l 95% para estimar la media poblacional.

www.fullengineeringbook.net 435 of 495.

416

P r u e b a s t, t a b la s d e d o s e n t r a d a s y A N O V A S e realizó un estudio para estim ar lo s co sto s d e hospitalización para víctim as de

mediciones fueron registradas en e l sitio del edificio 5 del World T rad e Center en diferentes d ía s inmediatamente

accidentes q u e utilizaron cinturones d e seguridad. Veinte

después d e la destrucción causada por los ataques terroris­

c a so s, elegid os aleatoriam ente, tienen una distribución que parece tener aproxim adam ente una form a de cam pana con

tas del 11 d e septiem bre d e 2001. D espu és d el co lap so de los d o s ed ificio s del W orld T rad e Center, había considera­

una m edia d e $ 9 0 0 4 y una desviación estándar d e $ 5 6 2 9

b le interés por la calidad d el aire. U tilice lo s valores dad os

(con base en d atos del Departamento d e Transporte d e E s ­

para construir un intervalo d e confian za a l 9 5 % para esti­ mar la cantidad m edia d e plom o en e l aire. ¿H ay a lg o en el

13. C o s t o s h o s p it a la r io s d e a c c id e n t e s .

tad os Unidos). a.

b.

Construya e l intervalo de confianza a l 9 5 % para la

conjunto de d atos q u e su giera q u e e l intervalo d e confianza

m edia d e tales costos.

podría no ser bueno? Explique.

3 usted e s un gerente de una compañía de segures que

P r u e b a s d e h ip ó te s is .

proporciona las tasas m ás bajas para conductores que usan cinturones d e seguridad y quiere una estimación conser­

mación dada. 17.

vadora para e l peor d e lo s escenario, ¿qu é cantidad debe

A z ú c a r e n el c e re a l.

U na m uestra aleatoria sim p le de 16

cereales diferentes se obtuvo, y para cad a cereal seleccio­ nado s e m idió e l contenido de azúcar (en gram os d e azúcar

usar com o costes hcspitalarios pcsibles para la víctim a de un accidente que usa un cinturón de seguridad?

por gram o d e cereal). E s a s cantidades tienen una m edia de

Uno de lo s autores com piló una lista d e tem peraturas m áxi­

Q295 gram os y una desviación estándar d e 0.168 gram os. Utilice un intervalo d e confianza de 0 .0 5 % para probar la

m as reales y la correspondiente lista d e tem peraturas m á­

afirm ación de un promotor d e cereales d e q u e la m edia de

xim as pronosticadas co n tres d ía s d e anticipación. L u ego s e determ inó la diferencia d e c a d a d ía restando la tem pe­

todos les cereales e s menor que 0 .3 gram os.

14. T e m p e ra tu r a s

p r o n o s t ic a d a s

y

t e m p e r a tu ra s

re a le s.

18.

ratura pronosticada d e la tem peratura real; e l resultado fue una lista d e 31 valores co n una m edia d e —0 .4 1 9 ° y una

S e se­

precisión d e su s relojes d e pulsera, con errores positivos representando a re lo jes q u e estaban adelantados a la hora

a . Construya e l intervalo d e confian za a l 9 5 % para estim ar

correcta y errores n egativos representando relojes q u e e s ­ taban atrasad os d e la hora correcta. L o s 3 0 valores tienen n ía m edia d e 117.3 segu n d os y una desviación estándar de

la diferencia m edia entre tod as las tem peraturas m áxi­ m as reales y la s tem peraturas m áxim as pronosticadas con tres d ía s d e anticipación. b.

P ru e b a d e p r e c is ió n d e lo s r e lo je s d e p u ls e r a .

leccionaron aleatoriam ente estudiantes y se m idió la

desviación estándar d e 3.704°.

185.0 segu n d os. U tilice un nivel d e sign ifican cia d e 0.05 para probar l a afirm ación d e q u e la población de tod os los relojes tiene una m edia igual a 0 segu n d os. ¿Q u é puede

¿ E l intervalo d e confianza incluye a 0 ° ? S i e l intervalo de confianza incluye a 0°, ¿pod em os concluir q u e las temperaturas pronosticadas con tres d ía s d e anticipa­

concluir ace rca d e la precisión d e lo s relojes d e pulsera de

ción so n im precisas?

la gente?

15. E s t im a c ió n d e c o n t a m in a c ió n d e a u to m ó v ile s .

C ada a u ­

19.

tom óvil en una muestra d e siete autom óviles fue probado

En pruebas anteriores, b olas de béisbol se dejaron caer 24 pies so b re una superficie d e concreto y

B o la s d e b é is b o l.

rebotaron un prom edio d e 92.84 pulgadas. E n una prueba

para em isiones d e ó x id o d e nitrógeno (en gram os por milla) y s e obtuvieron lo s resultados siguientes: 0 . 06, 0 . 1 1 , 0 . 1 6 , 0.15, 0.14, 0.08, 0.15 (con b ase en d atos d e la A gencia de

de una muestra d e 20 b olas nuevas, la s alturas d e lo s rebo­ tes tuvieron una m edia d e 92.67 p ulgadas y una desviación

Protección a l Ambiente).

estándar d e 1.79 p ulgadas (con b ase en d atos del L aborato­

a.

rio N acional Brookhaven y USA Today). U tilice un nivel de sign ifican cia d e 0.05 para determinar s i hay evidencia

Suponiendo q u e esta muestra e s representativa d e todos lo s autom óviles en uso, construya e l intervalo d e co n ­ fianza a l 9 5 % para estim ar la cantidad m edia d e em isio ­

suficiente para respaldar la afirm ación d e que la s nuevas bolas de béisbol tienen alturas d e rebote con una m edia d i­

nes de ó x id o d e nitrógeno para todos lo s autom óviles. b.

ferente de la s 92.84 pulgadas. ¿P arece q u e las nuevas bolas de béisbol so n diferentes?

La A gencia d e Protección a l Ambiente requiere q u e las emisiones d e óxido d e nitrógeno sean menores que 0.165 gram os/m illa Alguien afirm ó que la s em isiones de óxido de nitrógeno tienen una media igual a 0.165 gramos/milla. ¿E l intervalo de confianza sugiere que esta aflim ación no e s válida? ¿P or qué s í o por qué no?

16.

En los ejercicios 17 a l 24 pruebe la afir­

M o n ito re o d e p lo m o e n el a ire .

A continuación están lis­

tadas la s cantidades d e plom o m edidas (en m icrogram os por metro cúbico, o /xg/m3) en e l aire.

20.

C o n f ia b ilid a d d e ra d io s e n a e ro n a v e s . El tiempo m edio entre fallas para un radio d e la com pañ ía Telektronic usado

en aeron aves ligeras e s 420 horas. D espu és q u e 15 rad ios nuevos fueron m odificada? en un intento por m ejorar la confiabilidad, s e realizaron pruebas para medir lo s tiem pos entre fallas. L o s 15 rad ios tuvieron un tiempo m edio entre

www.FreeLibros.org 5.40

1.10

0.42

0.73

0.48

1.10

L a A gencia d e Protección a l Ambiente ha establecido una calidad estándar d el aire para plom o d e 1.5 /xg/m3. L a s

fallas d e 442 horas con una desviación estándar d e 44.0 horas. U tilice un nivel d e sign ifican cia del 0 .0 5 para pro­ bar la afirm ación d e q u e lo s rad ios m odificados tienen un

tiempo m edio entre fallas que e s m ayor a 420 horas. ¿ P a ­ rece q u e la m odificación m ejoró la confiabilidad?

www.fullengineeringbook.net 436 of 495.

10.2 P r u e b a s d e h ip ó t e s is c o n t a b la s d e d o s c o la s 21.

E f e c t o d e c o m p le m e n to v ita m ín ic o e n el p e s o al nacer.

servación acerca d e la precisión d e lo s núm eros? ¿Q u é ca­ racterísticas extremadam ente importantes del conjunto de

Cuando fueron registrados lo s p eso s a l nacer d e una m ues­ tra aleatoria sim ple d e 16 bebés hom bres d e m adres que tomaron un com plem ento vitam ínico especial, la muestra tuvo una m edia d e 3.675 kilogram os y una desviación e s ­ tándar d e 0.657 kilogram os (con b a se en d atos del D epar­ tamento d e S a lu d del E stado d e N ueva Y ork). U tilice un nivel d e sign ifican cia d e 0.05 para probar la afirm ación de q je e l p eso m edio a l nacer para tod os lo s bebés varones de m adres q u e tom aron vitam inas e s diferente d e 3.39 ki­

datos no e s considerada en la prueba de hipótesis? 24.

N ic o tin a e n c ig a r ro s .

22.

P u ls o .

Uno d e lo s autores afirm ó q u e su pulso cardiaco

era menor que e l pulso m edio d e lo s estudiantes de esta­

La com pañía d e tabaco Carolina

anunció q u e su s cigarros sin filtro m ejor ven d id os co n ­ tienen 4 0 m iligram os d e nicotina o m enos, pero la revista Consum er A dvócate realizó pruebas d e 10 cigarros se lec­ cionados aleatoriam ente y encontró las cantidades (en m ili­ gram os) que s e muestran a continuación. 47.3 43.3

logramos, que e s la m edia para la población d e tod os lo s tam bres. Con base en e sto s resultados, ¿ e l com plem ento de vitam inas parece tener un efecto en e l p eso a l nacer?

417

39.3 42.3

40.3 49.3

38.3 40.3

46.3 46.3

Utilice un nivel d e significancia d e 0.05 para probar la a fir­ m ación d e la revista d e q u e la m edia de contenido d e nico­ tina e s m ayor a 4 0 m iligram os.

dística. E l pulso del autor fue m edido y s e encontró q u e era de 6 0 latidos por minuto, y lo s 20 estudiantes d e su clase midieron su s pulsos. L o s 2 0 estudiantes tuvieron un pulso medio d e 74.5 latidas por minuto y su desviación estándar fue 10.0 latidos por minuto. ¿H ay evidencia suficiente para respaldar la afirm ación d e q u e e l pulso m edio d e estudian­ tes d e estadística e s m ayor d e 6 0 latidos por m inuto? U ti­ lice un nivel de sign ifican cia de 0.05. 23.

P royecto s para internet y más allá P a ra en laces ú tiles seleccion e “L in ks fo r Internet P ro jects ” p a ra e l cap ítu lo 1 0 en w w w .aw .com /bbt. E l W orld A lm anac an d Book o fF a c ts incluye una sección denom inada “Noted

2 5 . P e rs o n a lid a d e s d e s t a c a d a s .

A continuación s e listan lo s tiem ­

Personalities", co n su b seccion es para arquitectos, artis­

pos gan ad ores (en segundos) d e hom bres en 100 metros li­

tas, líderes d e negocios, hum oristas y otras categorías. Seleccione una muestra d e un gru p o y encuentre la media y la desviación estándar d e longevidad. Pruebe

G a n a d o r e s o lím p ic o s .

bres para ju e g o s olím picos consecutivos, listados en orden por renglón. 12.0

1 1.0

1 1.0

1 1.2

10.8

1 0.8

1 0.8

10.6

10.8

10.3

10.3

10.3

10.4

10.5

10.2

10.0

10.14

10.06

10.25

9.99

9.92

9.96

9.9 5

Suponiendo q u e esto s resultados so n d a to s muéstrales aleatoriam ente seleccionados de la población d e todos los

la afirm ación d e q u e e l gru p o tiene una longevidad d i­ ferente d e 77 añes, q u e e s la lon gevidad m edia actual para la población general. 2 6 . G o s s e t.

L a distribución t fue desarrollada original­

mente por W illiam S e a ly G osset. U tilice internet para

ju e g o s olím picos p asados y futuros, utilice un nivel de significancia d e 0 .0 5 para probar la afirm ación de q u e el

buscar “W illiam S e a le y G o sse t" o “W illiam S . G o s­ se t". Redacte un párrafo q u e describa inform ación im­

tiem po m edio e s menor a 10.5 segundos. ¿C u á l e s su o b ­

portante acerca de G osset y su s logros.

10.2 Pruebas de hipótesis con tablas de d o s colas

T

'Vxlas la s pruebas d e hipótesis que hem os considerado hasta ahora han tenido hipótesis nulas en las que una m edia poblacional (/x) o u na proporción poblacional ( p ) s e afirm a que so n ig u a le s a algún valor. Pero existen m uchas situaciones en la s q u e la hipótesis

nula tom a una form a diferente. E n esta sección exam in am os pruebas de hipótesis diseñadas para buscar una relación entre d o s variables. E l proceso b á sico e s e l m ism o d e siem pre: identi­ ficar la hipótesis nula y la hipótesis alternativa, probar la hipótesis nula co n d atos muéstrales, y lu ego decidir s i la evidencia d e la muestra respalda rechazar o no rechazar la hipótesis nula. S i rechazam os la hipótesis nula, sign ifica q u e aceptam os la hipótesis alternativa.

Id en tificació n de las h ip ó tesis co n d o s variab les

www.FreeLibros.org Su pon ga q u e a lo s adm inistradores de un colegio les preocupa que pueda haber se sg o en la

form a en q u e lo s títulos so n otorgádos a hom bres y m ujeres en diferentes departam entos. Por tanto, recolectan inform ación so b re e l número d e títulos otorgados a hombres y m ujeres en diferentes departam entos. E sto s d atos tratan con d o s variables: esp ecialid ad y género. L a

www.fullengineeringbook.net 437 of 495.

418

P r u e b a s t, t a b la s d e d o s e n t r a d a s y A N O V A variable esp ecialid ad p u ed e tom ar diverso s valores, tales co m o b iología, negocios, m atem áticas y m úsica. L a variable gén ero puede tom ar só lo d o s valores, m asculino o femenino. Para probar si existe se sg o en e l otorgam iento d e títulos, los adm inistradores hacen la pregunta siguiente:

¿L o s d ato s su gieren un a relació n entre la s d o s v a riab le s? S i existe una relación, entonces los hombres y la s m ujeres son elegid o s para especialidad es a diferentes tasas, sugiriendo q u e e l género d e una persona influye en su elección d e especialidad (ya se a por elección o a consecuencia del sesg o dentro d e diferentes departam entos). S i no hay relación, sign ifica q u e no hay evidencia de q u e e l género influye en la elección d e la esp eciali­ dad d e una persona. E sta idea su giere la s eleccion es siguientes para las d o s hipótesis. L a hipótesis nula, H¡¡, establece que las d o s variables so n independientes {no h ay relació n entre ellas); en nuestro ejem plo actual establece q u e no existe relación entre género y especialidad. L a hipótesis alter­ nativa, Ha, establece lo opuesto. H ay u na relación entre la s variables, q u e en e ste caso im plica que e l género influye la elección d e especialidad d e una persona.

H ip ó te sis n u la e h ip ó tesis altern ativ a con d o s variab le s L a h ip ó te s is nula, H 0, e s t a b le c e q u e la s v a r ia b le s s o n in d e p e n d ie n t e s ( n o h a y re la ció n e n tr e e lla s ) . L a h ip ó te s is a lte rn a tiv a , H& e s t a b le c e q u e s í h a y u n a r e la c ió n e n t r e la s d o s v a r ia b le s .

C ó m o m o strar lo s d a to s en tab las de d o s en tradas C on la hipótesis identificada, e l p aso siguiente en la prueba d e hipótesis e s exam inar e l co n ­ ju nto d e dates para ver s i respalda rechazar o no rechazar la hipótesis nula. L a recolección de datos para nuestro ejem plo sign ifica encontrar los núm eros de hom bres y m ujeres co n títulos otorgados en diferentes especialidades. U na vez q u e hem os recolectado lo s datos, necesitam os encontrar una manera eficiente d e mostrarlo. Puesto q u e estam os tratando con d o s variables, podem os exhibir lo s d atos d e m anera eficiente co n una t a b la d e d o s e n t r a d a s (también den o­ m inada t a b la d e c o n t b ig e n d a ) , así nombrada porque exhibe d o s variables. L a tabla 10.2 muestra q u e la tabla de d o s entradas podría verse com o para d atos en las variables esp ecialid ad y género. C ada celda muestra una frecuencia (o cuenta) para una com bi­ nación d e d o s variables. Por ejem plo, la celd a en e l renglón M u jeresy colum na B io lo g ía m ues­ tra q u e 32 g rad o s d e licenciatura fueron otorgados a m ujeres en biología. D e m anera análoga, la celd a en e l renglón H om bres y colum na A dm inistración muestra q u e 8 7 g rad o s d e licencia­ tura fueron otorgados a hombres en adm inistración.

T a b la 1 0 .2

T a b la d e d o s e n tra d a s p a ra la s v a r ia b le s e s p e cia lid a d y g é n e ro

variable 1 esp ecialid ad -*

B io lo g ía

A d m in is tr a c ió n

M a te m á tic a s

P s ic o lo g ía

M u je res

32

110

18

75

H o m b re s

21

87

15

70

...

T

variable 2 género Nota: una v a ria b le se muestra a lo largo d e las colu m nas y la otra a lo largo d e lo s renglones. A q u í sólo h a y dos renglones, y a que e l género sólo puede ser hombre o mujer. Existen tantas colum nas para las especialidades, a q u í sólo se muestran las primeras.

T a b la s d e d o s e n trad as

www.FreeLibros.org N o p u edo h acerlo sin con tadores.

U n a ta b la d e d o s e n tra d a s m u e s t r a la r e la c ió n e n t r e d o s v a r ia b le s l is t a n d o u n a v a r ia b le

—William Shakespeare,

The W inter’s Tale

e n lo s r e n g lo n e s y la o t r a v a r ia b le e n la s c o lu m n a s . L a s e n t r a d a s e n la s c e ld a s d e la t a b la se d e n o m in a n fre cu e n cia s ( o c o n te o s ).

www.fullengineeringbook.net 438 of 495.

10.2 P r u e b a s d e h ip ó t e s is c o n t a b la s d e d o s c o la s

419

S i estam os buscando cu alq u ier relación entre especialidad y género, necesitaríam os un conjunto com pleto d e dates para todas las especialidades, lo q u e sign ifica que la tabla 10.2 tendría d o cen as d e colum nas. A dem ás, com o verem os en breve, realizar lo s cálcu los p ara la prueba d e hipótesis requiere q u e encontrem os los totales d e tod os lo s renglones y columnas. A quí, para sim plificar lo s cálculos, n os concentrarem os só lo en d o s especialidad es, biología y adm inistración. E sto es, en lugar d e preguntar s i hay una relación entre especialidad y género para tod as las especialidades, consideram os una pregunta m ás sencilla: ¿ E l género d e una per­ sona influye en su elección d e la especialidad en biología o en adm inistración? L a tabla 10.3 m uestra los d atos de biología y adm inistración extraídos d e la tabla 10.2, ju n to co n lo s totales por renglón y por colum na. T a b la 1 0 .3

T a b la d e d o s e n tra d a s p a ra títu lo s

en b io lo g ía y e n a d m in is t r a c ió n

A p r o p ó s ito ...

B io lo g ía

A d m in is tr a c ió n

T o ta l

M u je res

32

110

142

H o m b re s

21

87

108

T o ta l

53

197

En to d o s los c o le g io s y universidades estado un ide nse s, los ho m bres e x c e d e n a las m ujeres en d e c id irs e p o r esp e cia lid a d e s

250

cte ingeniería, cie n cia s d e la

U N M O M E N T O IDE R E F L E X I Ó N ________________________

co m p u ta ció n y arquitectura. Las mujeres e x ce d e n a los hom bres

m in is t r a c ió n f u e r o n c o n c e d id o s a h o m b r e s ? ( b ) ¿ C u á n t o s t ít u lo s e n a d m in is t r a c ió n f u e r o n

en p sico lo g ía , bellas artes, co n tab ilid ad , b io lo g ía y ed u cación

o t o r g a d o s e n t o t a l? ( c ) C o m p a r e e l n ú m e r o t o t a l d e t ít u lo s c o n c e d i d o s a h o m b r e s y a m u ­

elem ental.

U t ilic e la t a b la 10.3 p a r a r e s p o n d e r á la s p r e g u n t a s s ig u ie n t e s : ( a ) ¿ C u á n t o s t ít u lo s e n a d ­

j e r e s c o n e l n ú m e r o t o t a l d e t ít u lo s o t o r g a d o s e n a d m in is t r a c ió n y b io lo g ía . ¿ E s t o s t o t a le s s o n ig u a le s o d if e r e n t e s ? ¿ P o r q u é ?

EJEMPLO 1 Una tabla de dos entradas para una encuesta L a tabla 10.4 m uestra lo s resultados de una encuesta previa a la elección so b re e l control de arm as. U tilice la tabla para responder las preguntas siguientes: T a b la 1 0 .4

T a b la d e d o s e n tra d a s p a ra e n c u e s ta d e c o n tr o l d e a rm a s ( c o n to ta le s ) A f a v o r d e le y e s m á s e s tricta s

E n c o n tra d e le y e s m ás e s tric ta s

123

R e p u b lic a n o

456 332

T o ta l

788

D e m ó c ra ta s

In d e ciso

T o ta l 622

446

43 21

569

64

1 421

799

a. Identifique las d o s variables q u e se muestran en la tabla. b. ¿Q ué porcentaje d e dem ócratas están a favor d e ley e s m ás estrictas? c . ¿Q ué porcentaje de tod os los votantes están a favor d e leyes m ás estrictas?

d.

¿Q ué porcentaje d e aqu ellos que se oponen a leyes m ás estrictas so n republicanos?

S o lu c ió n

O bserve que la su m a d e los totales d e lo s renglones y la su m a d e lo s totales de las

colum nas so n iguales. a.

Los renglones muestran la variab le resp u esta a Ja en cuesta, q u e puede ser "a favor d e leyes m ás estrictas", "en contra d e leyes m ás estrictas" o "indeciso”. L a s colum n as muestran la variable afiliació n p artid ista, que en esta tabla puede ser dem ócrata o republicano.

b.

De lo s 622 dem ócratas encuestadcs, 456 están a favor d e ley e s m ás estrictas. E l porcentaje de dem ócratas a favor d e ley e s m ás estrictas e s 456/622 = 0.733, o 73.3% .

c.

De la s 1421 personas encuestadas, 788 están a favor d e leyes m ás estrictas. E l porcentaje de tod os los encuestados a favor d e ley e s m ás estrictas e s 7 8 8 /1 4 2 1 = 0.555, o 55.5% .

www.FreeLibros.org d . De la s 569 personas en cuestadas q u e s e oponen a leyes m ás estrictas, 466 son republicanos. Com o 446/569 = 0.783, entonces 78.3% d e lo s q u e s e oponen a ley e s m ás estrictas son republicanos.

www.fullengineeringbook.net 439 of 495.

420

P r u e b a s t, t a b la s d e d o s e n t r a d a s y A N O V A

C o m o llevar a c ab o la p ru e b a de h ip ó tesis Con la hipótesis identificada y los dates organizados en la tabla de d o s entradas, ahora estam os preparados para realizar la prueba de hipótesis. Otra vez, la idea b á sica d e la prueba d e hipó­ te sis e s la m ism a de siem pre, decidir s i la inform ación proporciona evidencia suficiente para rechazar la h ipótesis nula. Para e l c a so d e una prueba con una tabla d e d o s entradas, los pasos específicos so n co m o sigue: •

C om o siem pre, iniciam os suponiendo q u e la hipótesis nula e s verdadera, lo q u e significa que no hay relación entre las d o s variables. E n e se caso esperaríam os q u e las frecuencias (el número d e individuos en las ce ld as individuales) en l a tabla d e d o s entradas se a l a que ocurriría por puro azar. Entonces, nuestro primer p aso e s encontrar una form a para calcular la s frecuencias q u e esperaríam os por e l azar.

•

L u ego com param os la s frecuencias esperad as por azar con la s frecuencias ob serv ad as en la muestra, que so n las frecuencias m ostradas en la tabla. H acem os esto por m edio del cálcu lo d e a lg o llam ado e l estad ístico j í cu ad rad a para los d atos m uéstrales, la cual aquí desem peña un papel sim ilar a l d e la puntuación estándar z en la s pruebas d e hipótesis que realizam os en e l capítulo 9 o e l papel d e la ten la sección 10.1.

•

Recuerde q u e para las pruebas d e hipótesis en e l capítulo 9 tom am os la decisión acerca de rechazar o no rechazar la hipótesis nula a l com parar e l valor calculado d e la puntuación e s ­ tándar para la muestra con lo s valores críticos dad os en la s tablas; d e manera análoga, en la sección 10 .1 com param os los valores calcu lados del estadístico d e prueba /c o n lo s valores encontrados en una tabla. Aquí hacem cs lo m ism o, sa lv o q u e en lugar d e usar los valores críticos para la puntuación estándar o /, utilizam os lo s v a lo re s críticos p ara e l estadístico ji cuadrada. C om o un ejem plo del proceso, desarrollam os e sto s p ases con lo s d atos d e la tabla 10.3.

D e t e r m in a c ió n d e la s fr e c u e n c ia s e s p e r a d a s p o r e l a z a r Nuestro primer p aso e s encontrar las frecuencias esperad as en la tabla 10.3 com o s í no hubiese

relació n entre las variables, que e s equivalente a la frecuencia esperada só lo por azar. Inicia­ m os por determinar la frecuencia que esperaríam os por azar para especialidad en adm inistra­ ción de hom bres. Para hacer esto, primero calcu lam os la fracción d e to d o slo s estudiantes en la muestra q u e recibieron título d e adm inistración: títulos totales en adm inistración _ 197 títulos totales

250

Com o s e estudió en e l capítulo 6, podem os interpretar este resultado com o una p rob ab ilid ad

d e frecu en cia re lativ a E sto es, s i seleccionam os a un estudiante a l a z a r d e la m uestra, la pro­ babilidad d e q u e ten ga un título en adm inistración e s 197/250. U sando la notación para proba­ bilidad, escribim os /(adm in istración) =

197

D e manera sim ilar, s i seleccionam os a l azar a un estudiante en la muestra, la probabili­ dad q u e este estudiante se a hombre es ,

total de hom bres

/(ho m b re) = -------- — — -----

total de hom bres y m ujeres

108

= ——

250

A hora tenem os toda la información necesaria para determinar la frecuencia que espera­ ríam os por azar para hom bres co n título en adm inistración. Recuerde d e la sección 6.5 q u e si

www.FreeLibros.org d o s even tos A y B so n independientes (el resultado de uno no afecta la probabilidad del otro), entonces

P {A y B ) = P(A) X P (B )

www.fullengineeringbook.net 440 of 495.

10.2 P r u e b a s d e h ip ó t e s is c o n t a b la s d e d o s c o la s

421

Podem os aplicar esta regla para determinar la probabilidad d e q u e un estudiante se a a la vez hombre y co n especialidad en adm inistración (suponiendo la hipótesis nula de q u e género es independiente d e especialidad): P(hom bre y adm inistración) = P {hombre) x /{adm inistración ) =

108

197 x — « 0 .3404

E sta probabilidad e s equivalente a la fracción del total d e estudiantes q u e esperam os sean hombres con especialidad en adm inistración s í no h ay relació n entre género y especialidad. Por tanto, m ultiplicam cs esta probabilidad por e l número total d e estudiantes en la muestra (250) para determinar e l número (o frecuencia) de hom bres con especialidad en adm inistración que esperam os por azar: 108 ^ x

197 — x 250 « 8 5 .1 0 4

A este valor le llam am os f r e c u e n c ia e s p e r a d a para e l número d e hombres con especialidad en adm inistración. (Observe la sem ejanza entre la idea d e frecuencia esperada y e l de v alo r esp e­ rad o an alizado en la sección 6.3).

D efin ició n L a s fre c u e n c ia s e s p e r a d a s e n u n a t a b la d e d o s e n t r a d a s s o n la s f r e c u e n c ia s q u e e s ­ p e r a r ía m o s p o r e l a z a r s i n o hu b ie se re la c ió n e n t r e la s v a r i a b le s d e lo s r e n g lo n e s y la s c o lu m n a s .

E JE M P L O 2

Frecuencias esperadas para la tabla 10.3

Determine las frecuencias esperadas por e l azar para las tres ce ld as restantes en la tabla 10.3. L u e g o construya una tabla q u e m uestre la s frecuencias o b serv ad as y las frecuencias esperadas por e l azar. S o lu c ió n

Seg u im o s e l procedimiento u sado para determinar e l número esperado de hom­

bres co n especialidad en adm inistración. Y a tenem os /{h om b re) y /{adm inistración). Tam bién n ecesitarem o s/{m u jer) y /'(biología): rv • x /■(mujer) = „ . , ^ b io lo g ía =

total d e m ujeres — —total d e hom bres y m ujeres

142 = — = 0.5680 250

total d e títulos en biología 53 r— ------ - ------- = ^ z = 0.2120 total d e títulos 250

C om binam os la s probabilidades individuales para encontrar la probabilidad para cad a una d e la s tres celdas restantes: 142

/{m u je r y adm inistración) = /{m u je r) X /{adm inistración ) =

/{h o m b re y biología)

= /{h om b re) X /(b io lo g ía ) =

P(m ujer y biología) = /{m u je r) X /{b io lo g ía ) =

142

x

X

X

197

« 0.4476

M illo n es vieron la m anzana caer, p e ro N ew ton fu e e l único que se p regu n tó p o r qué. —Bem ard Baruch

« 0.0916 53

=» 0 .1204

Observe que, com o esperábam os, e l total de la s probabilidades para la s cuatro ce ld as e s 0 .3404 + 0.4476 + 0.09158 + 0 .1 2 0 4 = 1.0000.

www.FreeLibros.org A hora encontram os las frecuencias esperad as multiplicando las probabilidades d e la celda por e l número total d e estudiantes (250): Frecuencia esperada d e m ujeres = 250 x x ~ 111 896 con especialidad en adm inistración 250 250

www.fullengineeringbook.net 441 of 495.

422

P r u e b a s t, t a b la s d e d o s e n t r a d a s y A N O V A Frecuencia esperada para hom bres = 25Q x | 0 8 ^ con especialidad en b iología

250

53_ ^

^ ^

250

Frecuencia esperada para m ujeres _ 2 5 0 x 142 ^ con especialidad en b iología 250

_53_ ^ 250 ~

1Q4

L a tabla 10.5 repite la inform ación d e la tabla 10.3, pero esta v e z tam bién m uestra la frecuencia esperada para c a d a celda (entre paréntesis). Para com probar q u e hicim os e l trabajo correctamente, confirm am os q u e e l total d e las cuatro frecuencias esperadas e s igual a l total de 250 estudiantes en la muestra: 85.104 + 111.896 + 2 2.896 + 3 0 .1 0 4 = 2 5 0 .0 0 0 Tam bién ob serv e q u e los valores en e l renglón ‘‘T o tal" y la colum na “T o tal" so n lo s m ism os para la s frecuencias ob serv ad as y las frecuencias esperad as por azar. E sto siem pre deb e ser el caso, proporcionando otra buena com probación de su trabajo.

T a b la 10.5

F r e c u e n c ia s o b s e r v a d a s y fre c u e n c ia s

e s p e ra d a s (e n tre p a ré n te s is ) p a ra la ta b la 10.3 B io lo g ía

A d m in is tr a c ió n

T o ta l

M u je res

32 ( 3 0 .1 0 4 )

TIO (111.896)

142 (1 4 2 .0 0 0 )

H o m b re s

21 ( 2 2 . 8 9 6 )

8 7 ( 8 5 .1 0 4 )

108 (1 0 8 .0 0 0 )

5 3 ( 5 3 .0 0 0 )

197 (1 9 7 .0 0 0 )

2 5 0 ( 2 5 0 .0 0 0 )

Total

C á lc u lo d e l e s t a d ís t ic o ji c u a d r a d a O bserve q u e las frecuencias esperad as en la tabla 10.5 parecen coincidir co n la s frecuencias o b ­ servadas. Por ejem plo, la frecuencia esperada d e alrededor d e 85.1 para hom bres con esp ecia­ lidad en adm inistración e s m uy cercana a la frecuencia ob serv ad a d e 87. Por tanto, podríam os conjeturar q u e la información n o nos d a razón para rechazar la hipótesis nula d e no relación entre las v ariab les gén ero y esp ecialid ad . S in em bargo, podem os ser m ás esp ecíficos en deter­ minar una form a de cuantificar la diferencia entre la s frecuencias observad as y las esperadas. D enotem os la s frecuencias ob serv ad as m ediante O y las frecuencias esperad as mediante E E sta notación, O — E (“ O rnenos E ") indica la diferencia entre la frecuencia ob serv ad a y la frecuencia esperada para cad a celda. E stam os buscando una m edida d e la diferencia to tal para toda la tabla. N o podem os dar tal m edida simplemente sum an do la s diferencias individuales,

O — E , y a que siem pre sum an cero. En lugar d e eso, consideram os e l ajad ra d o d e la diferencia para cad a celda (O — £ J2. Entonces hacem os c a d a valor d e (O - £ J2 una diferencia relativa dividiéndolo entre la correspondiente frecuencia esperada; esto nos d a la cantidad ( O — E)2/E para cad a celda. Su m an d o lo s v alo re s individuales d e (O - £ J2/E ’n os d a e l e s ia d f c t ír o j i c u a ­ d r a d a d e n o tad o ^ 2 {x e s la letra grieg a ji).

D eterm in ación del estadístico ji cu ad ra d a R a s o 1.

P a r a c a d a c e l d a e n la t a b la d e d o s e n t r a d a s , id e n t if iq u e O c o m o la f r e c u e n c ia o b s e r v a d a y E c o m o la f r e c u e n c ia e s p e r a d a s i la h ip ó t e s is n u la e s v e r d a d e r a ( n o h a y r e la c ió n e n t r e la s v a r ia b le s ) .

P a s o 2 . C a lc u le e l v a l o r ( O - E p / E p a r a c a d a c e ld a . P a s o 3 . S u m e lo s v a lo r e s d e l p a s o 2 p a r a o b t e n e r e l e s t a d í s t i c o j i c u a d r a d a .

X 2 = s u m a d e t o d o s lo s v a lo r e s

^

www.FreeLibros.org E n tr e m a y o r s e a e l v a lo r d e

x 2< m a y o r s e r á la d if e r e n c ia p r o m e d io e n t r e la s f r e c u e n c ia s

o b s e r v a d a s y la s e s p e r a d a s e n la s c e ld a s .

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10.2 P r u e b a s d e h ip ó t e s is c o n t a b la s d e d o s c o la s

423

Rara hacer estos cálculos de una manera organizada, e s m ejor construir una tabla com o la 10.6, con un renglón para c a d a una d e las celdas en la tabla d e d o s entradas original. C om o s e muestra en la celd a inferior derecha para les d atos género/especialidad e l resultado es = 0.350.

T a b la 10.6

C á lc u lo d e l e s t a d ís t ic o xa p a ra lo s d a t o s d e la ta b la 10.5 O

E

O - E

M u je re s / a d m in is tra c ió n

no

111.896

M u je re s / b io lo g ía

32

3 0 .1 0 4

H o m b re s / a d m in is tr a c ió n

87

R e s u lta d o

H o m b re s / b io lo g ía T o t a le s

(O - E ) 2

(O - E ) 2/ E

- 1 .8 9 6

3 .5 9 5

0 .0 3 2

1 .8 9 6

3 .5 9 5

0.119

8 5 .1 0 4

1 .8 9 6

3 .5 9 5

0 .0 4 2

21

2 2 .8 9 6

- 1 .8 9 6

3 .5 9 5

0 .1 5 7

250

2 5 0 .0 0 0

0 .0 0 0

14 .3 8 0

X2 = 0 .3 5 0

UN M O M EN TO D E RBUTJBXlOTV__________ ¿ P o r q u é lo s n ú m e r o s e n la c o lu m n a O — E s ie m p r e d e b e n s u m a r c e r o ?

C ó m o t o m a r la d e c is ió n E l valor d e j ? n os d a una manera d e probar la hipótesis nula d e no relación entre la s variables. Si e s pequeña, entonces e l prom edio d e diferen cias entre la s frecuencias o b serv ad as y las esperadas e s pequeña, y no deb em os rechazar la hipótesis nula. S i )£ e s grande, entonces el prom edio de diferencias entre las frecuencias observad as y la s esperad as e s grande y tene­ m os razón para rechazar la hipótesis nula d e independencia. Para cuantificar e l significado de "pequeña" y "grande", com param os e l valor d e ¿ encontrado para la muestra con valores críticos: •

S i e l valor calcu lado d e %2 e s m enor que e l valor crítico, las diferencias entre los valores observados y esperados so n pequeñas y no hay evidencia suficiente para rechazar la hipóte­ s is nula.

•

S i e l valor calculado d e %2 e s m ayor o ig u a l a l valor crítico, entonces hay evidencia su fi­ ciente en la muestra para rechazar la hipótesis nula (al nivel de sign ifican cia dado). L a tabla 10.7 d a lo s valores críticos d e

para d o s n iveles d e sign ificancia, 0.05 y 0.01.

O bserve q u e lo s valores críticos difieren para distintos tam años d e tablas, a sí q u e d eb e estar seguro d e q u e lee lo s v a lo re s críticos para un conjunto d e d atos en e l renglón adecu ado para el tam año d e la tabla. Para los d atos género/especialidad que hem es estudiado en las tablas 10.3 y 10.5, hay d o s renglones y d a s colum nas (no cuente los renglones o colum nas d e “total"), lo que significa una tabla de tam año 2 X 2. A l observar e l primer renglón d e la tabla 10.7, vem os que e l valor crítico d e %2 para sign ifican cia en e l nivel 0 .0 5 e s 3.841. E l valor d e j i cuadrada q u e en ­ contram os para los d atos género/especialidad e s

= 0 .3 5 0 ; puesto q u e e s menor q u e e l valor

crítico d e 3.841, n o podem os rechazar la hipótesis n u la Por supuesto, no llegar a rechazar la hipótesis nula no p ru eb a q u e especialidad y género sean independientes. S ó lo sign ifica q u e no tenem os evidencia suficiente para ju stificar e l rechazo d e la hipótesis nula d e independencia. T a b la 1 0 .7

V a lo r e s c rític o s d e

x 2- re c h a z a r

H 0 s ó lo si X 2 > v a lo r c rític o T a m a ñ o d e la ta b la ( re n g lo n e s x c o lu m n a s )

N O TA TÉC N IC A El e s ta d ís tic o d e p ru e b a ¿ 2 es

N iv e l d e s ig n ific a n c ia

té cn icam e n te una v a ria b le d iscreta, m ientras q u e la d istrib u ció n j?

0 .0 5

0 .0 1

es co ntin ua. L a d isc re p a n c ia no

2 X 2

3.841

6 .6 3 5

c au sa ningún p ro b le m a su stan cial

2 X 3 0 3 X 2

5.991

9 .2 1 0

m ientras q u e la fre cu e n cia

www.FreeLibros.org 3 X 3

2 X 4 o 4

x 2

2 X 5 0 5 X 2

9 .4 8 8

1 3 .2 7 7

7.815

11.345

9 .4 8 8

1 3 .2 7 7

www.fullengineeringbook.net 443 of 495.

« p e r a d a para c a d a c e ld a s e a por

b m e n o s 5. Su p on d rem o s q u e e s ta

co n d ició n se cu m p le para to d o s los q e m p lo s e n e ste libro.

424

P r u e b a s t, t a b la s d e d o s e n t r a d a s y A N O V A

E JE M P L O 3

P ru e b a d e v ita m in a C

Un estudio hipotético b u sca determinar s i la vitam ina C tiene un efecto en la prevención de resfriados. Entre una muestra d e 2 2 0 personas, 105 personas elegid as aleatoriam ente tomaron píldoras de vitam ina C diariamente durante un periodo de 10 sem an as, y la s 115 personas res­ tantes tomaron un placebo diariam ente durante 10 sem an as. A l finalizar las 10 sem an as, e l nú­ mero d e personas q u e habían tenido resfriados s e registró. L a tabla 10.8 resum e lo s resultados. Determine s i hay una relación entre tom ar vitam ina C y tener resfriado.

T a b la 1 0 .8

T a b la d e d o s en tra d a s p a ra

el n ú m e ro o b s e r v a d o e n c a d a c a te g o ría R e s f r ia d o

T o ta l

V it a m i n a C

45

60

P la c e b o

75

40

115

120

100

220

T o ta l

S o lu c ió n

N o r e s f r ia d o

105

Iniciam os estableciendo la s hipótesis nula y la alternativa.

Hq (hipótesis n ula): no e x iste relación entre tom ar vitam ina C y atrapar un res­ friado; esto es, la vitam ina C no tiene m ás efecto so b re lo s resfriados q u e el placebo.

Ha (hipótesis alternativa): existe una relación entre tom ar vitam ina C y atrapar un resfriado; esto es, e l número d e resfriados en lo s d o s gru p o s no so n lo que esperaríam os s i la vitam ina C y e l placebo fueran igualm ente eficace s (o igual­ mente ineficaces). C om o siem pre, suponem os q u e la hipótesis nula e s verdadera y calcu lam os la frecuencia e sp e ­ rada para cad a celda en la ta b la O bservando q u e e l tam año d e la muestra e s 220 y procediendc com o en e l ejem plo 2 , encontram os la s frecuencias esperad as siguientes:

Vitamina C y resfria d o :

105

220 X

X

220 PfvlL C)

Vitamina C y no re sfria d o :

105

220 X

220

X

100 220

= 4 7 .7 2 7

P1j\a resfr.)

115 220 *

= 57.273

220 Pfn&tr.)

¿ W tC )

Placebo y re sfria d o :

120

120

22^ *

2 2 Í = 6 2 ‘727

/^placebo) / ’fresfr.)

Placebo y no resfria d o :

220 X —

220

/placebo)

X —

220

= 52.273

Mxa resfr.)

L a tabla 10.9 muestra la tabla d e d o s entradas con la s frecuencias esperad as entre paréntesis. T a b la 10.9

F re c u e n c ia s o b s e r v a d a s y e s p e ra d a s p a ra el e s tu d io d e

v ita m in a C

V it a m i n a C P la c e b o

R e s f r ia d o

N o r e s f r ia d o

T o ta l

45 (57.273) 75 (62.727)

6 0 (4 7 .7 2 7 )

105 (1 0 5 .0 0 0 )

4 0 (52.273)

115 ( 1 1 5 . 0 0 0 )

120 ( 1 2 0 .0 0 0 )

1 0 0 ( 1 0 0 .0 0 0 )

2 2 0 ( 2 2 0 .0 0 0 )

www.FreeLibros.org T o ta l

A hora calcu lam os e l estadístico j i cuadrada para los d atos muéstrales. L a tabla 10.10

muestra có m o organizam os e l trabajo; debe confirm ar tod os lo s cálcu los mostrados.

www.fullengineeringbook.net 444 of 495.

10.2 P r u e b a s d e h ip ó t e s is c o n t a b la s d e d o s c o la s

T a b la 1 0.10

T a b la p a ra c a lc u la r el e s t a d ís tic o

R e s u lta d o

E

O - E

(O - E )2

( O - E ) 2/ E

45 60

-12.273 12.273

150.627 150.627

2 .6 3 0 3.156

12.273

150.627

-12.273

150.627

2.401 2.882

0 .0 0 0

6 0 2 .5 0 8

P la c e b o / r e s f r ia d o

75

P la c e b o / n o r e s f r ia d o

40

52.273

T o t a le s

220

2 2 0 .0 0 0

V it a m in a C / n o r e s f r ia d o

p a ra el e s tu d io d e v ita m in a C

O

57.273 47.727 62.727

V it a m in a C / r e s f r i a d o

X2 =

11.069

Para tom ar la decisión so b re rechazar la hipótesis nula, com param es e l valor d e la j i cu a ­ drada para lo s d atos muéstrales, y¡- = 11.069, co n los valores críticos d e la tabla 10.7. R evi­ sa m o s e l renglón para una tabla d e tam año 2 X 2 , puesto q u e lo s d atos originales en la tabla 10.8 tenían do s renglones y d o s colum n as (sin contar lo s valores “total"). V em os q u e e l valor crítico d e ^ para sign ifican cia a l nivel 0.01 e s 6.635. Puesto q u e nuestro valor muestral de

X2 = 11.069 e s m ayor q u e este valor crítico, rechazam os la hipótesis nula y concluim os que hay una relación entre la vitamina C y los resfriados. E sto es, con base en los d atos d e esta muestra existe razón para creer q u e la vitam ina C 5 / tiene m ás efecto sobre los resfriados que un placebo.

E JE M P L O 4

425

A p ro p & sito ... D ocenas d e e s tu d io s cu id a d o so s se han re a liz a d o so b re la p regun ta d e la v ita m in a C y los resfriados. A lg u n o s han e n c o n tra d o alto s niveles d e co n fia n z a e n los e fe cto s d e la v ita m in a C, p e ro o tro s no. A co n se cu e n cia d e e sto s fre cu e n te s resultados c o n flictiv o s, e l te m a de si la v ita m in a C a y u d a a prevenir resfriados sigue s ie n d o polém ico.

D e c l a r a r o n o d e c la r a r

L a tabla d e d o s entradas 10.11 muestra cóm o una declaración d e culpable o no culpable afectó la sentencia en 1 0 2 8 c a so s de ro bo elegidos d e manera aleatoria en e l área de S a n Francisco. Pruebe la afirm ación d e q u e la sentencia (prisión o no prisión) e s independiente d e la d ecla­ ración.

T a b la 10.11

F r e c u e n c ia s o b s e r v a d a s p a ra d e c la r a c ió n

y s e n te n c ia

D e c la r a r s e c u lp a b le D e c la r a r s e n o c u lp a b le T o ta l

P ris ió n

N o p ris ió n

392

564

T o ta l 956

58

14

72

450

578

1028

Fuente: Law andSocfety Revlew, Vol. 16, No. 1. S o lu c ió n

L a s hipótesis nula y alternativa para e l problem a son:

Hq. (hipótesis nula): la sentencia en c a so s d e ro bo e s independiente d e la d e c la ­ ración. (hipótesis alternativa): la sentencia en c a so s d e robo depende d e la d eclara­ ción. Encontram os e l número d e personas esp erad o siguiente en c a d a categoría, suponiendo q u e las variables de lo s renglones son independientes d e la s variables d e las columnas:

C ulpable y p risión

1028 X

C ulpable y no p risión

1028 X

No cu lpable y p risió n

1028 X

956

450

1028

1028

956

578

1028

1028

72 1028

X

450 1028

= 418.482 = 537.518 = 31.518

www.FreeLibros.org No cu lpable y no p risió n

1028 X

72

1028

y

578

1028

= 40.482

L a tabla 10.12 resum e las frecuencias observad as y las frecuencias esperadas.

www.fullengineeringbook.net 445 of 495.

426

P r u e b a s t, t a b la s d e d o s e n t r a d a s y A N O V A

T a b la 10.12

F re c u e n c ia s o b s e r v a d a s y fre c u e n c ia s

e s p e ra d a s p o r a z a r (e n p a ré n te s is ) p a ra d e c la r a c ió n y s e n te n c ia P ris ió n C u lp a b le

No

3 9 2 ( 4 1 8 .4 8 2 )

N o c u lp a b le

5 8 (3 1.518)

T o ta l

p r is ió n

T o ta l

5 6 4 ( 5 3 7 .5 1 8 ) 14 ( 4 0 . 4 8 2 )

450

578

956 72 1028

Com o e s usual, calculam os x 2 organizando nuestro trabajo com o s e muestra en la tabla 10.13, donde la O denota frecuencia ob serv ad a y E denota la frecuencia esperada. C om o se muestra en la celda inferior derecha, e l estadístico j i cuadrada para e sto s d atos e s = 42.556. Este valor e s mucho m ayor q u e los valores críticos (p ara una tabla d e 2 X 2) para sign ifican cia en e l nivel 0 .0 5

= 3.841) y e l nivel 0.01

= 6.635). Por tanto, lo s d atos respaldan recha­

zar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa. C on base en esto s datos, hay razón para creer q u e la sentencia dada en un caso d e robo está a so ciad a con la declaración. E n específico, la s personas que se declararon culpables, en realidad m enos fueron a prisión q u e lo e sp e ­ rado (por azar) y m ás evitaron la prisión q u e lo esperado. D e la s personas q u e s e declararon no culpables, en realidad m ás fueron a prisión d e lo esperado y m enos evitaron la prisión d e lo esperado. Recuerde q u e la prueba no dem uestra una relación cau sal entre la declaración y la sentencia. T a b la 10.13

C á lc u lo d e

R e s u lta d o

O

O - E

E

(O -E )2

(O - E ? /E

C u lp a b le / p r is ió n

392

4 1 8 .4 8 2

-2 6 .4 8 2

7 0 1 .2 9 6

1.6 7 6

C u lp a b l e / n o p r is ió n

564

5 3 7 .5 1 8

2 6 .4 8 2

7 0 1 .2 9 6

1 .3 0 5

N o c u lp a b le / p r is ió n

58

31.518

2 6 .4 8 2

7 0 1 .2 9 6

22 .2 5 1

N o c u l p a b l e / n o p r is ió n

14

4 0 .4 8 2

-2 6 .4 8 2

7 0 1 .2 9 6

1 7 .3 2 4

1028

1 0 2 8 .0 0 0

0 .0 0 0

2 8 0 5 .1 8 4

X 2 = 4 2 .5 5 6

T o t a le s

UN M O M EN TO D E R F .n ,E \ I Ó \ ______________________ S i u s t e d f u e s e e l a b o g a d o p a r a u n s o s p e c h o s o d e r o b o , ¿ c ó m o p o d r í a e l r e s u lt a d o d e l e j e m p lo a n t e r i o r a f e c t a r su e s t r a t e g ia e n la d e f e n s a d e s u c l ie n t e ? E x p liq u e .

Sección 10.2 Ejercicio A lf a b e t iz a c ió n e s ta d ís tic a y p e n s a m ie n to c r ít ic o

V:

SL ím 3.

Suponga q u e conocem os la s fre­ cuencias en una tabla d e d o s entradas co n género (hombre/

F r e c u e n c ia e s p e r a d a .

mujer) co m o la variab le del renglón y m ulta por e x c e so de ¿Q ué e s una tabla de d o s entra­

velocidad (sí/no) com o la otra variable. D ado q u e las fre­

d as y q u é so n los valores q u e s e ingresan en una tabla de

cuencias observadas deben ser números enteros, ¿la s frecuen­

d o s entradas?

cias esperadas también deben ser números enteros?

1. T a b la s d e d o s e n tra d a s .

Suponga que hemos analizado las frecuencias en una tabla de d e s entradas con género (hombre/

2. R e la c ió n e n tre va ria b le s .

mujer) correspondiendo a lo s renglones y mano dominante

4.

N o ta c ió n .

En e l contexto d e tab las d e do s entradas, d e s­

criba las notaciones siguientes: O, E y Para lo s ejercicio s 5 a l 8 decida s i e l enunciado tiene sentido (o e s claramente verdadero) o no tiene sentido (o

(izquierda/derecha) correspondiendo a las columnas. T am ­ bién suponga que rechazam os la independencia entre género

¿ T ie n e s e n tid o ?

y mano dominante. ¿Podem os concluir que e l género d e una

claramente e s falso). Explique claramente: no todos lo s enun­

persona tiene un efecto s i la persona e s zurda o derecha? ¿Por qué sí o por qué no?

ciados tienen respuestas definitivas, por lo q u e su explicación es m ás importante q u e la respuesta elegida.

www.FreeLibros.org www.fullengineeringbook.net 446 of 495.

10.2 P r u e b a s d e h ip ó t e s is c o n t a b la s d e d o s c o la s 5.

E n c u e s ta . En una encuesta rápida s e les pregunta a lo s su ­ je to s s i pueden identificar e l año en e l cu al E stad os Unidos

13.

se resum en en una tabla d e d o s entradas.

7.

de 148 hom bres y m ujeres. Utilice un nivel d e sign ifican ­ cia d e 0.05 para probar la afirm ación de independencia

z 2- Una tabla de d o s entradas se utiliza para calcular un estadístico de prueba y s e obtuvo el valor ^ = - 2 .5 0 0 . E s t a d ís t ic o d e p ru e b a

E s t a d ís t ic o d e p r u e b a

L a tabla siguiente (consistente en

d atos nacionales) m uestra la distribución d e estudiantes de tiem po parcial y d e tiem po com pleto para una muestra

declaró su independencia. L o s resultados de e s a pregunta

6.

D e m o g ra fía e s tu d ia n til.

427

entre género y categoría d e estudiante (tiempo com pleto o tiem po parcial).

z 2- En una tabla de d o s entradas,

T ie m p o c o m p le t o

T ie m p o p a rc ia l

M u je res

47

37

H o m b re s

38

26

1

todas las frecuencias o b serv ad as so n m uy cercanas a las frecuencias esperadas, por lo q u e e l estadístico d e prueba e s m uy pequeño y no llega a rechazar la hipótesis nula efe independencia entre las variables del renglón y d e la co ­ lumna. 8.

14.

C o n c u r r e n c ia d e v o ta n te s .

pasada elección presidencial, d e acuerdo a l género (con­ sistente con les d atos d e la población nacional). Utilice un

S u pon ga que una tabla de d o s entradas está configurada para que gén ero (hombre/mujer) represente la

H ip ó t e s is nu la.

nivel d e sign ifican cia d e 0.05 para probar la afirm ación de

variable del renglón y resp u esta (sí/no) a una pregunta de

que e l género e s independiente d e la asistencia d e votantes.

rz

la encuesta, represente la variable de la colum na. L a hipó­ tesis nula e s e l enunciado d e q u e e l género y la respuesta son independientes.

C o n c e p to s y a p lic a c io n e s En los ejercicios 9 a l 12 su p on ga

R e s u lta d o s d e la e n c u e s ta .

L a tabla siguiente m uestra el

número de ciudadanos en una muestra q u e votaron en la

15.

C o rre o

V o ta r o n

N o v o ta ro n

M u je res

140

120

H o m b re s

130

110

e le c tr ó n ic o y p r iv a c id a d .

A lo s trabajadores y

je fe s d e nivel superior s e le s preguntó s i era m uy poco ético

que a una muestra aleatoria sim ple, d e hombres y mujeres, s e pre­ senta una encuesta de preguntas con respuesta sí/no y lo s resul­

monitorear e l correo electrónico d e lo s em pleados; lo s re­ sultados s e resumen en la tabla siguiente (con base en datos

tados s e resumen en una tabla d e d o s entradas co n e l form ato de

de una encuesta d e G allup). Utilice un nivel d e sign ifican ­

la tabla siguiente. U tilice e l valor d ad o del estadístico d e prueba X2 y e l nivel d e sign ifican cia para probar l a independencia entre

cia d e 0.05 para probar la afirm ación d e q u e la respuesta es independiente d e s i e l su je to e s trabajador o je f e d e nivel

género y respuesta.

superior. Sí

No

192

244

40

81

Mujer T ra b a ja d o re s

H o m b re

Je fe s 9.

Estadístico de prueba:

= 0.051; nivel de significancia: 0.01. 16.

1 0 . Estadístico de prueba: x 2 = 10.785; nivel de significancia: 0.01. n . Estadístico de prueba:

E fic a c ia d e c a s c o s p a ra b ic ic le ta .

Un estudio realizado

entre 531 personas lesio n adas en accidentes d e bicicleta, muestra elegid a aleatoriam ente, s e resum e en la tabla s i ­

= 2.924; nivel de significancia: 0.05.

12. Estadístico de prueba: x 2 = 15.238; nivel de significancia: 0.05.

guiente (con base en d atos d e "A Case-Control Study o f the Effectiveness o f B icycle S a fe ty Helm ets in Preventing F a ­

En lo s ejercicio s 13 a l 2 0 rea­

cial Injury" d e Thom pson, Thom pson, Rivara y W olf Am e­

P ru e b a d e h ip ó te s is c o m p le t a .

rican Jo u rn al o f P u b lic H ealth, volum en 8 0 , número 12).

lice lo s p aso s siguientes:

Con un nivel d e sign ifican cia d e 0.01, pruebe la afirm ación

a . Indique la hipótesis nula y la alternativa. b.

de que e l u so d e un casco e s independiente de recibir le sio ­ nes faciales.

Suponiendo independencia entre la s d o s variables, d e ­ termine la frecuencia esperada para c a d a celda d e la tabla.

c. d.

Se usó casco

Encuentre e l valor del estadístico d e prueba U tilice e l nivel d e sign ifican cia dado para encontrar el valor crítico d e j f .

17.

S in c a s c o

L e s io n e s fa c ia le s re c ib id a s

30

182

N o h a y le s io n e s fa c ia le s

83

236

T r a ta m ie n to d e a rtritis .

A 98 participantes se le s d io un

nuevo tratamiento experim ental para la artritis, 56 m os­

www.FreeLibros.org e.

U san do e l nivel d e sign ifican cia dad o, com plete la prueba para la afirm ación de q u e las d o s variables son

traron mejoría. D e lo s 9 2 participantes que s e le s d io un placebo, 49 mostraron mejoría. Construya una tabla d e do s

independientes. Indique la conclusión q u e ab ord a la

entradas para e sto s dates, y luego utilice un nivel d e sig ­ nificancia d e 0.05 para probar la afirm ación d e que la

afirm ación original.

www.fullengineeringbook.net 447 of 495.

428

P r u e b a s t, t a b la s d e d o s e n t r a d a s y A N O V A m ejoría e s Independiente d e q u e a l participante s e le haya dado e l m edicam ento o un placebo.

18.

B e b id a y

e m b a ra z o .

sitio w eb del S ta tistíc a l A bstract o f the U nited S ta te s d e la

Una m uestra aleatoria sim ple de

1252 m ujeres em barazadas m enores d e 25 añ o s incluye 13 que estaban bebiendo alcohol durante su em barazo. Una

19.

tradas para la s d o s variables. A nalice s i parece existir una relación entre la s variables. Un buen lugar para iniciar e s el oficina d e Censo d e E stad os Unidos. 22.

A n á lis is d e t a b la s d e d o s e n tra d a s.

Seleccione d o s varia­

muestra aleatoria sim ple d e 2 029 m ujeres em barazadas de 25 años y m ás de ed ad incluye a 37 que estaban bebiendo

bles que parezcan tener una relación q u e v alga la pena in­ vestigar. U na variable debe tener a l m enos do s categorías de

alcohol durante su em barazo. (L os datos tienen co m o base

individuos, por ejem plo, d e s o m ás categorías d e edades,

resultadas del Centro N acional para Estadísticas d e la S alu d de E stados U nidos). Utilice un nivel de sign ifican cia de

categorías raciales o ubicaciones geográficas. L a otra v a ­ riable debe tener a l m enos d o s categorías para algún fac­

0.05 para probar la afirm ación de q u e la categoría d e edad

tor social, econ óm ico o d e salud, por ejem plo, d o s o m ás

(menor d e 25 y d e 25 o m ayores) e s independiente de q u e la mujer em barazada estuviera bebiendo durante e l em barazo.

categorías d e ingresos, categorías d e bebida, o categorías de lo gro s educativos. Encuentre la s frecuencias de d atos

C rim e n y d e s c o n o c id o s .

L a tabla siguiente lista lo s resu l­

tados d e en cuestas obtenidas d e una muestra aleatoria de diferentes víctim as d e crím enes (con b ase en d atos del D e­ partamento de Justicia d e E stad os Unidos). U tilice un nivel d e sign ifican cia d e 0.01 para probar la afirm ación d e que e l tipo d e crimen e s independiente d e s i e l criminal era un

necesarias para llenar u na tabla d e d o s entradas para las do s variables. R ealice una prueba de hipótesis para determinar s i existe una relación entre la s variables. U na buena fuente e s e l sitio w eb del S ta tistíc a l A bstract o f the U nited S ta te s de la oficina d e C en so d e E stad os Unidos.

extraño.

El c rim in a l era u n d e s c o n o c id o

H o m ic id io

Robo

A s a lt o

12

379

727

El c rim in a l e ra u n c o n o c id o o un p a r ie n te 20.

-=4« - E N L A S N O T I C I A S ^ -

t i i