Razonamento maetematico Proporciones

RAZÓN O RELACIÓN Se denomina razón a la comparación que se establece entre dos cantidades homogéneas pudiendo ser sus valores cualquier número real, estas cantidades pueden compararse de dos maneras, una de ellas sería hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas y la otra hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: * Razón aritmética o por diferencia * Razón geométrica o por cociente RAZÓN ARITMÉTICA O POR DIFERENCIA: Es cuando se comparan dos cantidades mediante la operación de la sustracción y consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades a la otra. Ejemplo: Cantidad de canicas de Fhary : 21 Cantidad de canicas de Jimi :7 Entonces diremos que el número de canicas de Fhary excede al de Jimi en 14. Razón aritmética valor de la razón 21 -

7

=

RAZÓN GEOMÉTRICA O POR COCIENTE: Es cuando se comparan dos cantidades mediante la operación de la división y consiste en determinar cuántas veces una de las cantidades contiene a la otra cantidad. Ejemplo: Cantidad de canicas de Fhary : 21 Cantidad de canicas de Jimi : 7 El número de canicas de Fhary es tres veces el número de canicas que tiene Jimi.

Valor de la razón } antecedente  21  3 consecuente  7 razón geométrica

PROPIEDADES DE LAS RAZONES ARITMÉTICAS O POR DIFERENCIAS Como la razón aritmética o por diferencia de dos cantidades no es más que la diferencia indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda resta o diferencia:  Si al antecedente de una razón aritmética se le suma o se le resta un número, la razón queda aumentada o disminuida en ese número. (a+N) - b = r + N (a - N) - b = r - N  Si al consecuente de una razón aritmética se le suma o resta un número, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en el mismo número. a- (b - N ) = r+ N a - ( b+N ) = r - N  Si al antecedente y consecuente de una razón aritmética se suma o resta un mismo número, la razón no varía. ( a + N ) - ( b+N ) = r ( a - N ) - ( b - N ) = r PROPIEDADES DE LAS RAZONES GEOMÉTRICAS O POR COCIENTES Como la razón geométrica o por cociente de dos cantidades no es más que una división indicada o un quebrado, las propiedades de las razones geométricas serán las propiedades de los quebrados:  Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la

razón queda multiplicada o dividida por ese número. a N  r N b

a N  r N b

En esta ecuación aparecen dos términos especiales: b es media diferencial de a y c c es tercera diferencial de a y b

 Si el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número. a  r N b N

a  r N b N

 Si all antecedente y al consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un mismo número, la razón, no varía. a N r b N

a N r b N

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA O EQUICOCIENTE Es la igualdad de dos razones geométricas equivalentes. Existen:  Proporción discreta: Cuando todos los términos de la proporción geométrica son diferentes entre sí. a c  b d En esta ecuación aparece un término especial: d es la cuarta proporcional de a; b y c.

Observación: Cuando no se indique la razón, se asumirá que es una razón geométrica. PROPORCIÓN: Cuando se tiene la igualdad de dos razones del mismo tipo (ambas aritméticas o ambas geométricas). Cuando 2 razones tienen el mismo valor, se dice que guardan la misma proporción o que dichas razones son equivalentes, por lo tanto, al iguarlas se forma lo que se denomina una proporción. Existen dos tipos de proporción: ARITMÉTICA y GEOMÉTRICA.

Además “a y d” se llaman términos extremos y “b y c” se llaman términos medios.  Proporción continua: Cuando los términos medios de la proporción geométrica son iguales.

a b  b c En ésta ecuación aparecen dos términos especiales: b es media proporcional de a y c c es tercera proporcional de a y b

PROPORCIÓN ARITMÉTICA O EQUIDIFERENCIA Es la igualdad de dos razones aritméticas equivalentes. Existen:

PROPIEDADES PARA UNA PROPORCIÓN Para la proporción:

 Proporción discreta: Cuando todos los términos de la proporción aritmética son diferentes entre sí.

a b c d  b d

En esta especial:

a b c d  b d

a b  c d

ecuación

aparece

un

término

d es la cuarta diferencial de a; b y c.

Además “a y d” se llaman términos extremos y “b y c” se llaman términos medios.  Proporción continua: Cuando los términos medios de la proporción aritmética son iguales.

 a b  b c

a c a c   b d b d

a c  b d

se cumple que:

a c  b a d  c a c  b a d  c a b c d  a b c d

PROPIEDADES PARA UNA SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Existe una serie de razones geométricas equivalentes cuando se igualan varias razones geométricas como:

a1 a2 a3 a    ....  n  k (razón) b1 b2 b3 bn

I.- La suma de los antecedentes sobre la suma de los consecuentes NO hace variar la razón, es decir, la razón permanece constante: a1  a2  a3  ....  an  k ( razón ) b1  b2  b3  ...  bn

a  b a b  3 16

Pero se tiene Comparando (1) con (2) 2a a  b  8 16

Comparando (1) y (3) 2b a  b   2 16 a  16

Rpta.

2. La razón entre la suma de dos números y su diferencia es 5/3. El cociente entre el mayor y el menor es: 4

II.- El producto de los antecedentes sobre el producto

a)

de los consecuentes hace variar la razón. La razón se eleva a la cantidad de razones que se utilizan:

d) Resolución:

a1  a2  a3  ....  an n  k (razón) b1  b2  b3  ...  bn

EJERCICIOS RESUELTOS 1. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 5, 3 y 16. Hallar los números. 16y4 18 y4 15y4 a) b) c) 17y4

19y4

d) e) Resolución: Sean a y b los números. a  b a  b a b   ...........(1) 5 3 16

Componiendo las dos primeras razones. a b a b a b  5 3 3 2a a  b  ...........(2) 8 3

O también.

a b a b a b  5 3 3 2b a  b  ...........(3) 2 3

b)

1 4

e)

5

c)

2

1 2

a b 5  a b 3 3a  3b  5a  5b 8b  2a

8 a a    4 2 b b

Rpta.

3. Tres números son entre si como 2, 5 y 7 si la suma de estos números es 420. Hallar el mayor de ellos. a)

150

b)

180

d) Resolución:

e)

180

c)

210

240

a b c   k 2 5 7 a  b  c  420

a  b c k 2 5 7 420  k  k  30 14 c  30  7 c  210

Rpta.

a b c d    5! 6! 7! 8!

4. Si Calcular:

dc

,

si

a  b  5!

.

a) d)

6!

b)

5!

c)

8!

2.

Las edades de Suely y Anitza son 20 y 32 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 5 a 7? a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10

3.

Marco y Miguel tienen entre los dos $ 4 200 y su dinero está en la relación de 5 a 2. ¿Cuánto dinero debe darle Marco a Miguel para que la nueva relación sea de 3 a 4? a) $ 1 000 b) 1 200 c) 1 600 d) 2 100 e) 2 400

4.

En una bolsa se tienen 200 caramelos de los cuales 80 son de fresa y el resto de limón. ¿Cuántos caramelos de fresa se deben agregar para que por cada 4 caramelos de fresa haya 5 de limón? a) 10 b) 12 c) 16 d) 20 e) 40

5.

Si los dos tercios de “A”, los tres cuartos de “B” y los cuatro quintos de “C” son entre sí como 4; 5 y 6, hallar “B”, si: A + C = 486 a) 124 b) 243 c) 245 d) 240 e) 145

6.

Dos jugadores “P” y “Q” al empezar una partida tienen cantidades de dinero proporcionales a 25 y 29. Después de unas partidas “Q” ha perdido S/.18 050 y lo ha ganado “P”, y ahora lo que le queda a “Q” es los 13/23 de lo que tiene “P”. ¿Cuánto tiene ahora “P”? a) S/.47 500 b) 55 100 c) 65 550 d) 77 550 e) 84 550

7.

Una persona produce cierta cantidad de panes, se realiza una venta y se observa que el número de panes que se ha vendido es al número de panes que quedan como 1 es a 3, pero si se hubiera vendido 4 000 panes más, la razón de panes vendidos a los que quedan sería de 3 a 7. Hallar la cantidad inicial de panes. a) 40 000 b) 20 000 c) 60 000 d) 50 000 e) 80 000

8.

Un comerciante tiene lapiceros rojos y azules en razón de 7 a 4. Si vende los 2/5 del total de lapiceros de los cuales 3/5 son rojos y el resto azules, ¿cuál es la nueva relación de lapiceros rojos y azules?

7!

9!

e)

Resolución: d c  k  d  c  k  8! 7! .......(1) 8! 7! a b 5! 1  k  k k 5! 6! 5! 1  6  7

d c 

K en (1) d  c  7!

1 7! 8  1 7

Rpta.

5. Dos números son entre sí como 7 es 12 si al menor se le aumenta 70, para que el valor de la razón no se altere el valor del otro número debe triplicarse, Hallar el mayor número. a)

150

b)

240

d) Resolución:

e)

210

c)

80

230

a 7 7b  a ............(1) b 12 12

Del enunciado.

a  70 7  3b 12 12a  840  21b.............(2)

(1) En (2)  7b   840  21b  12 840  14b

12

b  60

Rpta.

3 a) 2

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1.

La razón de aritmética 36. a) 36 d) 75

dos números es 9/5 y su razón Hallar el menor de dichos números. b) 45 c) 60 e) 90

9.

4 b) 11

5 c) 7

7 d) 11

109 e) 56

La edad de Juan es a la edad que su padre tenía hace 26 años como 7 es a 5 y la edad de su padre era la edad que tenía Juan hace 6 años como 9 es a 2. ¿Cuántos años tendrá Juan dentro de 3 años? a) 14 b) 15 c) 17 d) 19 e) 21

10. Una persona debía preparar 150 litros de bebida mezclando vino y agua en la relación de 15 a 1, por error empleó 1 litro de agua por 5 litros de vino. ¿Cuánto necesitará adicionar de vino a esta mezcla para establecer la proporción deseada? a) 375 litros b) 200 c) 250 d) 150 e) 100 11. Se tienen tres máquinas: “A”, “B” y “C”, tal que la producción de “A” y “B” están en la relación de 24 a 35, y la de “B” y “C” en la relación de 21 a 20. Si en un determinado día la diferencia entre lo que produce “A” y “C” es 3 192, ¿cuál fue la producción de “B” ese día? a) 11 830 b) 11 865 c) 11 900 d) 11 935 e) 11 970 12. Cuatro números son proporcionales a: 1; 2; 3 y 5, además la suma de los cubos de dichos números es 1.288. El mayor es: a) 2 b)4 c) 6 d) 8 e) 10 13.Determinar el mayor de tres números proporcionales a los números 10; 20 y 30, con la condición de que el producto de los dos primeros sea 800. a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 100 4.

14.En una serie de cuatro razones iguales, el producto de los antecedentes es 226 800 y los consecuentes son: 5; 7; 8 y 10. Hallar la suma de los antecedentes. a) 45 b) 72 c) 60 d) 78 e) 90

5.

15. En una serie de tres razones iguales, el producto de los antecedentes es 504 y el de los consecuentes es 4.032. Si además la suma de los antecedentes es 25, ¿cuál es la suma de los consecuentes? a) 50 b) 60 c) 75 d) 40 e) 100 16. Si la suma de los antecedentes de una serie de tres razones geométricas iguales es los 2/3 de la suma de los consecuentes, ¿cuál es el producto de los antecedentes, si el producto de los consecuentes es 24 300? a) 10 800 b) 7 200 c) 6 000 d) 4 800 e) 3 600 17. Se tiene tres números en progresión aritmética que aumentados en 2; 3 y 8 respectivamente son proporcionales a 10; 25 y 50, encontrar el número mayor. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 13

18. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 5; 3 y 16. Uno de dichos números es: a) 5 b) 8 c) 10 d) 13 e) 16 19.

En una serie de razones equivalentes, los antecedentes son: 2; 3; 7 y 11. El producto de los consecuentes es 37 422. Hallar la suma de los consecuentes. a) 60 b) 63 c) 66 d) 69 e) 72

20. En una serie de cuatro razones geométricas iguales y continuas, la suma de los extremos es 68. Hallar la suma de los antecedentes, si el valor de la razón es entero y distinto de la unidad. a) 120 b) 130 c) 80 d) 240 e) 200

REFORZAMIENTO PROBLEMA: 01

En una serie de tres razones geométricas equivalentes, la suma de los términos de cada razón es 12; 24 y 48 respectivamente y el producto de los consecuentes es 1000. Hallar el mayor de los consecuentes. a) 50 b) 30 c) 40 d)PROBLEMA: 10 e) 20 02

En una reunión se observa hombres, mujeres y niños, donde se cumple que por cada 4 hombres hay 5 mujeres y por cada 7 mujeres hay 11 niños. Si la cantidad de niños excede a las mujeres en 140. En cuánto excede la cantidad de niños a los hombres. a) 49 b) 196 c)198 d) 189 e) 169 PROBLEMA: 03

Los cuadrados de 1/2 ; 1/4 y 1/8 son proporcionales a otros tres números que suman 147/176. Uno de dichos números es: a) 7/176 b) 8/21 c) 5/44 d) 7/18 e) 8/41 PROBLEMA: 04

La suma de tres números es 1880; el primero es al segundo como 4 es a 5; el segundo es al tercero como 3 es a 4. Dar el tercero. a) 600 b) 840 c) 900

d) 800 PROBLEMA: 05

La edad de Gabriela es a la edad de César como 9 es a 7. El doble de la edad de Gabriel y el triple de la edad de César suman 78. Hallar la diferencia de las edades. a) 14 b) 18 c) 2 d) 8 e) 4 PROBLEMA: 06

En una serie de tres razones geométricas continuas, la suma de los dos primeros antecedentes es 20 y la de los 2 últimos consecuentes es 45. Hallar el primer antecedente. a) 12 b) 27 c) 8 d) 4 e) 3 PROBLEMA: 07

¿Cuál es la diferencia entre los cuadrados de la razón aritmética y geométrica de los números 12 y 3? a) 16 b) 81 c) 25 d) 65 e) 45 PROBLEMA: 08

La razón del recíproco de un número con el recíproco de su cuadrado es 16. Dar como respuesta la suma de las cifras del número. a) 9 b) 5 c) 4 d) 16 e) 7

PROBLEMA: 12

Encontrar: M + A + P + A si: “M” es la tercera proporcional de 12 y 48 “A” es la media diferencial de 13 y 57 “P” es la media proporcional de 44 y 891 a) 520 b) 485 c) 460 d) 425 e) 438 PROBLEMA: 13

¿Cuál es la tercera diferencial de la media proporcional de 16 y 9, y la cuarta diferencial de 8 ; 6 y 20. a) 18 b) 6 c) 12 d) 24 e) 36 PROBLEMA: 14

Hallar la cuarta proporcional de la media diferencial de 134 y 86, la tercera proporcional de 4 y 20, y la media geométrica de 121 y 4 a) 20 b) 30 c) 40 d) 45 e) 52 PROBLEMA: 15

Se tiene una proporción geométrica discreta donde uno de los extremos es la media diferencial de 37 y 43, y la media geométrica de los términos medios es 10 2 . Hallar el otro extremo. a) 2 b) 5 c) 1 4 2 PROBLEMA: 16 e) 5 3 d)

PROBLEMA: 09

La suma de dos números es 4320 y ambos están en la relación como 13 es a 7. Hallar la suma de las cifras de la diferencia de los números. a) 15 b) 18 c) 16 d)PROBLEMA: 17 e) 19 10

En una proporción geométrica continua, uno de los extremos es uno y la suma de sus cuatro términos es 64. Hallar el valor del otro extremo. a)PROBLEMA: 81 b) 64 c) 17 25 d) 36 e) 49

La diferencia de los cuadrados de dos números es 8640 y su razón geométrica es como 17 es a 23. Hallar la cifra de mayor orden de la razón aritmética de los números. a) 7 b) 1 c) 3 d) 9 e) 6

En una serie de cuatro razones geométricas equivalentes, el primer antecedente es 4 y el último consecuente es 9. Hallar la suma de los tres últimos antecedentes si la suma de los 3 primeros consecuentes es 33. Si la razón de la serie es como 1 a 3. a) 10 b) 15 c) 8 d) 12 e) 18

PROBLEMA: 11

Hallar T + O + D + O si: “T” es la cuarta diferencial de 13 ; 10 y 17 “O” es la cuarta proporcional de 8 ; 2 y 24 “D” es la tercera diferencial de 19 y 15 a) 53 b) 39 c) 42 d) 37 e) 31

PROBLEMA: 18

Se tiene una proporción geométrica continua cuya razón es un número entero. Sabiendo que la suma de extremos menos la suma de los medios es 450. Hallar el

máximo valor que puede tener el primer antecedente. a) 1800 b) 512 c) 820 d) 324 e) 2000

Halle la suma de los antecedentes, si es la menor posible y tiene 4 cifras. a) 1178 b) 1204 c) 1282 d) 1296 e) 1304 PROBLEMA: 23

PROBLEMA: 19

32 b c 4    b c 4 e

2

20a  y 1  z   k 2 20a  y 1  z Si: 100a  x 2 además: k  x  y  z  1 . Hallar el mayor valor de “k”, sabiendo que es un número de dos cifras y que “a” es un dígito. a) 10 b) 20 c) 18 d) 22 e) 30 100a  x

Si a) 1 3 d) 4



cc



e) 5

a 8 c d    k 7 b 3 e

Si Donde a  b  c = 42 (c  e + d) … (1)

dd

 10  a Si: bb dd ee , además: a  2c Hallar: a + b + c + d + e a) 17 b) 15 c) 21 d) 70 e) 19

Además: c + e = 7 Hallar a + b a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

1

PROBLEMA: 24

a c  b d

PROBLEMA: 21

90  a



108  b

b) 2

PROBLEMA: 24

PROBLEMA: 20

aa

. Hallar e



144  c

k

Si: 90  a 108  b 144  c además: a  b  c  2  k  k  1 . Hallar “b” a) 80 b) 56 c) 96 d) 49 e) 72

Sabiendo que: a b c

Hallar:

a b c d

20736

PROBLEMA: 22

En la siguiente serie de razones geométricas equivalentes. a1 a2 a3 a4 a     ...  n  n 8 10 12 14 b

; d  15

a)

c)

20736

21963

d)

21737

21861

b) e)

c)