Razões - Introdução

EXPRESSÃO CULTURAL  CULT URAL  $)  A raz!o entre dois n"meros racionais $)  pode ser apresentada de tr4s formas. *emplo: Vamos considerar um carro de corrida com 4m de 4m de comprimento e um kart com 2m de 2m de comprimento. comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir dividir o comprim comprimento ento de um deles deles pelo outro. outro.  Assim:

/az!o entre $ e : $: ou ou -,%0. %)   A raz!o entre dois n"meros racionais %) pode ser e*pressa com sinal ne&ativo, desde que seus termos tenham sinais contr5rios. *emplos:

(o tamanh tamanho o do carro carro de corrid corrida a é duas vezes o tamanho do kart). Podemos Podemos afirmar afirmar também também que o kart tem a

A raz!o entre $ e #6 é

metade do comprimento comprimento do carro de corrida. A compara!o compara!o entre dois n"meros racionais, racionais, através de uma divis!o, chama#se razão. razão.

A raz!o entre

é

.

Termos de uma razão 3bserve a raz!o:

A raz!o raz!o pode pode também também ser represe representad ntada a por por $:% $:% e si&n si&nif ific ica a que que cada cada metr metro o do kart kart corresponde a %m do carro de corrida.

(l4#se a est5 para b ou a para b).

'eno 'enomi mina namo mos s de razão entre entre dois n"me n"meros ros a e b (b diferen diferente te de zero) o quociente

.

7a raz! raz!o o a:b ou , o n"mero a é deno denomi mina nado do antecedente e o n"mero b é denominado consequente. consequente . Ve8a o e*emplo:

ou a:b. a:b.

A pala alavra razão, razão, vem do latim ratio, ratio, e si&nifica divis!o. omo no e*emplo anterior, s!o dive divers rsas as as situ situa a+e +es s em que que util utiliz izam amos os o conceito de raz!o. *emplos: 'os 'os $%-$%-- insc inscri rito tos s num conc concur urso so,, passaram %candidatos. /az /az!o dos can candida idatos tos aprova ovados ness esse concurso:

2:0 9 eitu eitura ra da raz!o: raz!o: 3 está para 5  ou 3  para 5 .

•

Razões inversas onsidere as raz+es . 3bserve que o produto dessas duas raz+es é i&ual a $, ou se8a,

(de (de cada cada 0 candidatos inscritos, $ foi aprovado). Para Para cada cada $-$-- conv convid idad ados os,, 10 eram eram mulheres. /az!o entre o n"mero de mulheres e o n"mero de convidados:

.

7esse caso, caso, podemo podemos s afirmar afirmar que s!o razões inversas. inversas .

•

'uas 'uas raz+es raz+es s!o inver inversas sas entre entre si quando o produto delas é i&ual a $.  

*emplo: s!o s!o

(de

cada

inve nversas, sas,

pois



convidados, 2 eram mulheres).  

raz+es +es

. Verifi rifiq que que que nas nas raz+ raz+es es inve invers rsas as o antecedente de uma é o consequente da outra, e vice#versa.

3bserva+es:

  3bserva+es:

1

 R A Z Õ E S E P R O P O R Ç Õ E S 

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EXPRESSÃO CULTURAL  $) ;ma ;ma raz!o raz!o de antecedente antecedente zero zero n!o n!o possui inversa. %) Para Para determ determinar inar a raz!o raz!o inver inversa sa de uma raz!o dada, devemos permutar (trocar) os seus termos. *emplo: 3 inverso de

 

.

Razões equivalentes 'ada uma raz!o raz!o entre entre dois n"meros, n"meros, obtemos obtemos uma raz!o equivalente da se&uinte maneira: m >met etro ro quad quadra rado do e*is e*iste tem m em médi média a ? habitantes. 4) $ens $ensid idad ade e espec'fica:

a&so a&solu luta ta

ou

mass massa a

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EXPRESSÃO CULTURAL  Volume 9 $cm . $cm . $cm 9 $cm2 /az!o 9 /az!o 9 7,8 g/cm3 (l4#se 1,6 &ramas por  cent=metro c"bico). ssa raz!o raz!o si&nifica si&nifica que $cm2  de ferro pesa 1,6&.

/o&e /o&eri ri!o !o e lau laudi dinh nho o pass passei eiam am com com seus seus cachor cachorros ros.. /o&er /o&eri!o i!o pesa pesa $%-k& $%-k&,, e seu seu c!o, c!o, -k&. laudinho, por sua vez, pesa 6k&, e seu c!o, $?k&. 3bse 3bserv rve e a raz! raz!o o entr entre e o peso peso dos dos dois dois rapazes:

*emplo: 'ada a propor!o , temos: eitura: eitura: 2 est5 para para  assim assim como como %1 est5 para 2?. Meios:  Meios:  e %1 !tremos: 2 !tremos:  2 e 2? (ropriedade fundamental das propor!ões 3bserve as se&uintes propor+es: Produto Produto dos meios meios 9 .29 $%Produto dos e*tre e*tremos mos 9 2.2.- 9 $%Produto Produto dos meios meios 9 B.%9 $6Produto dos e*tre e*tremos mos 9 .0 .0 9 $6Produto Produto dos meios meios 9 6.0 9 2?Produto dos e*tre e*tremos mos 9 0.1% 0.1% 9 2?'e modo &eral, temos que:

3bserve, a&ora, a raz!o entre o peso dos cachorros:

Verificamos que as duas raz+es s!o i&uais. 7esse caso, podemos afirmar que a i&ualdade

'a= pode podemo mos s enun enuncia ciarr a propr propried iedad ade e fundamental das propor+es: m toda toda prop propor or! !o, o, o prod produt uto o dos dos meios é i&ual ao produto dos e*tremos.

é uma propor!ão. propor!ão . Assim: (ropor!ão  (ropor!ão   é uma i&ualdade entre duas raz+es. lementos de uma propor!ão 'ados quatro n"meros racionais a, b, c, d, n!o# nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma propor!o quando a raz!o do $H para o %H for  i&ual I raz!o do 2H para o H. Assim:

ou a:b=c:d  (l4#se a  a est5 para b assim como c  est5  est5 para d ) )

+plica!ões da propriedade fundamental $etermina!ão do termo descon,ecido de uma propor!ão   *emplos: 'etermine o valor de * na propor!o: •

5 " ! propriedade 5

=

8 " #5   "

!

=

olu!ão: (aplican (aplicando do a fundamental) #20  

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EXPRESSÃO CULTURAL  •

'etermine o valor de * na propor!o:

olu!ão: 5 " $!%3& $!%3& = 4 " $2!'# $2!'#&& (aplicando (aplicando a propriedade fundamental) 5! % #5 = 8! ' 4 5! % 8! = 4 ' #5   %3! = #9 3! = %#9

 ! = 50 m2 o&o o&o,, s!o s!o nece necess5 ss5ri rios os 0- m2 de 5&ua 5&ua sal&ada. -uarta proporcional 'ados tr4s n"meros racionais a, b e b e c , n!o#nulos, n!o#nulos, denomina#se quarta quarta propo proporci rcion onal al   desses n"meros um n"mero !  n"mero  !  tal  tal que:

 ! =  

o&o, o valor de !  de  !  é  é

*emplo: 'eter 'etermin mine e a quar quarta ta propo proporci rcion onal al dos n"meros 6, $% e ?. olu!ão: Jndi Jndica camo mos s por por * a quart uarta a proporcional e armamos a propor!o: •

.

3s n"meros 0, 6, 20 e * formam, nessa ordem, uma propor!o. 'etermine o valor de *. olu!ão:

•

(aplic (aplican ando do (aplicando (aplicando a propriedade propriedade fundamental) 5

"

!

=

5!

8 =

"

35 35   280  

 ! = 56  o&o, o valor de !  de  !  é  é 0? 0?.. Resol Resolu! u!ão ão de pro&le pro&lema mas s envolv envolven endo do propor!ões *emplo: 7uma salina, de cada metro c"bico (m 2) de 5&ua sal&ada, s!o retirados - dm 2  de sal. Para Para obte obterm rmos os % m 2 de sal, sal, quan quantos tos metro metros s c"bicos de 5&ua sal&ada s!o necess5riosG olu!ão:  A quantidade quantidade de sal retirada é volume me de 5&ua 5&ua sal& sal&ad ada a. proporcional ao volu Jndicamo Jndicamos s por * a quantid quantidade ade de 5&ua 5&ua sal& sal&a ada a ser ser dete deterrmina minad da e armamos amos a propor!o: •

fundamental) 8 " 8

!

= "

!

a

#2 =

propr propried iedad ade e "

6   72  

 ! = 9 o&o, a quarta proporcional é B. (ropor!ão cont'nua onsidere a se&uinte propor!o: 3bser 3bserve ve que que os seus seus meio meios s s!o i&uais, i&uais, sendo, por isso, denominada propor!ão cont'nua. cont'nua . Assim: Propor!o cont=nua é toda a propor!o que apresenta os meios i&uais. 'e um modo &eral, uma propor!o propor!o cont=nua pode ser representada por:

Terceira proporcional 'ados dois n"meros naturais a e b, n!o# nulos, denomina#se terce terceira ira propor proporcio ciona nall desses n"meros o n"mero !  n"mero  !  tal  tal que:

embre#se que -dm 2 9 -,-m 2.  

*emplo: 'etermin 'etermine e a terceira terceira proporc proporcion ional al dos

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EXPRESSÃO CULTURAL 

(aplicando a propriedade fundamental) 20

" ! 20!

=

#0

"

#0   #00  

=

'eter 'etermin mine e * e K na propo propor! r!o o sabendo que olu!ão: •

 Assim:

 ! = 5  o&o, a terceira proporcional é 0. .édia geométrica ou média proporcional 'ada 'ada uma propor propor!o !o cont=nua cont=nua , o n"mer n"mero o b  é denomina denominado do média geométrica ou média proporcional entre proporcional entre a e c . *emplo: 'etermin 'etermine e a média média &eométr &eométrica ica positiva positiva entre 0 e %-. olu!ão:

 !'( = 84 =) ! = 84%( =) =) !=36" o&o, !=36  o&o, !=36  e  e (=48 .

7uma 7uma propor propor!o, !o, a diferen diferena a dos dois primeiros termos est5 para o %H (ou $H) termo, assim como a diferena dos dois "ltimos est5 para o H (ou 2H).  

"

20 20

=

#00 b2  b

b

"

= =

! = 84%48

2/ propriedade:

•

5

, *LK96.

b b2  #00  

Demonstração

onsidere as propor+es:

= ubtraindo $ a cada membro obtemos:

b = #0  o&o, a média &eométrica positiva é $-. (ropriedades das propor!ões 1/ propriedade: 7uma 7uma prop propor or! !o, o, a soma soma dos dois ois primeiros termos est5 para o %H (ou $H) termo, assim assim como como a soma soma dos dos dois dois "ltim "ltimos os est5 para o H (ou 2H).  

(