Raz. Matematico
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Descripción: RAZONAMIENTO MATEMATICO...
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Razonamiento Matemático
Material elaborado por:
Lic. Alicia Herrera Ruiz Especialista en Educación de Adultos
Lic. Alicia Herrera Ruiz
Psicotécnico -Razonamiento Matemático
Presentación El presente módulo de Razonamiento Matemático, está diseñado para reforzar las competencias, o, dicho en otros términos, las habilidades, la pericia y las aptitudes de los abogados para analizar y resolver problemas, para manejar información y para enfrentar situaciones que se les presentarán en la vida profesional y que requerirán de tales habilidades. El Razonamiento matemático trata en sí, de una evaluación personal que busca identificar la existencia de ciertas capacidades, habilidades y aptitudes propias que, en conjunto, permiten a la persona resolver problemas y situaciones de la vida, especialmente de la profesional. Los procesos que el estudiante debe realizar corresponden con tres grados de complejidad. En los procesos de reproducción se trabaja con operaciones comunes, cálculos simples y problemas propios del entorno inmediato y la rutina cotidiana. Los procesos de conexión involucran ideas y procedimientos matemáticos para la solución de problemas que ya no pueden definirse como ordinarios, además involucran la elaboración de modelos para la solución de problemas. El tercer tipo de procesos, los de reflexión, implican la solución de problemas complejos y el desarrollo de una aproximación matemática original. Las capacidades fundamentales que se estimulan con el Razonamiento Matemático son: • Pensamiento creativo: Capacidad para encontrar y proponer formas originales de actuación, superando las rutas conocidas o los cánones pre-establecidos. • Pensamiento Crítico: Capacidad para actuar y conducirse en forma reflexiva, elaborando conclusiones propias y en forma argumentativa • Solución de problemas: Capacidad para encontrar respuestas alternativas pertinentes y oportunas ante las situaciones difíciles o de conflicto. • Toma de decisiones: Capacidad para optar, entre una variedad de alternativas, por la más coherente, conveniente y oportuna, discriminando los riesgos e implicancias de dicha opción. Desarrollar la inteligencia lógica-matemática en los abogados a través de la práctica de ejercicios implica estimular una gran capacidad de visualización abstracta, favorecer el modo de pensamiento del hemisferio izquierdo. El hemisferio izquierdo es lógico, procesa secuencial y linealmente, forma el todo a partir de las partes, se ocupa de analizar los detalles, piensa en palabras y en números. El hemisferio derecho es holístico, procesa globalmente, va del todo a las partes, es intuitivo. La capacidad de comprender y organizar un problema lógico matemático y seleccionar a continuación un modelo matemático o fórmula para solucionarlos, favorecerá en los abogados competencias propias de su especialidad, como el de identificar, ordenar y explicar con argumentos en forma coherente, los principios, los conceptos y los problemas fundamentales del aspecto social, cultural, político y económico del género humano. Asimismo, al analizar los datos de un problema matemático, evaluar y verificar que los resultados obtenidos cumplan con los requerimientos del problema, conllevará a desarrollar mejor la sustentación de argumentos de manera coherente.
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Psicotécnico -Razonamiento Matemático
ÍNDICE
Sucesiones
…………………………………………………………………………… 1. Sucesiones numéricas ……….…………………… 2. Sucesiones literales ………….……………….. 3. Sucesiones gráficas ………………………………
Página 3 3 7 8
Analogías
…………………………………………………………………………..
9
término excluido
……………………………………………………………………………
10
Relaciones familiares
……………………………………………………………………………
11
Razonamiento lógico
……………………………………………………………………………
12
Orden de información ……………………………………………………………………………
16
I. Ordenamiento lateral ……………………………. II. Ordenamiento circular …………………………. III. Ord. por posición de datos ………………… IV. Relación de datos entre sí ……………….…
16 17 18 19
Porcentajes y Análisis de gráficas ………………………………………………………
21
Conteo de figuras
…………………………………………………..………………………
26
Ejercicios para practicar ………………………………………………………………………
30
Clave De respuestas
43
……………………………………………………………………..
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Psicotécnico -Razonamiento Matemático
Es un conjunto ordenado de elementos (pueden ser números, letras o figuras) tales que cada uno ocupa un lugar establecido y forman un orden determinado, estos elementos cumplen una ley de formación, llamada también LEY DE RECURRENCIA. A los elementos se les denomina TÉRMINOS DE LA SUCESIÓN
Es un conjunto de números que guardan una determinada relación de formación. Esta ley de formación puede ser: Aritmética: Sumando o restando cantidades. Geométrica: Multiplicando o dividiendo cantidades. Posicional: Dependiente de la ubicación de los números
SUCESIONES ARITMÉTICAS: El siguiente término se halla sumando o restando el término anterior por un número. Ejemplo 1) Encontrar el número que sigue en la sucesión: 5, 6, 8, 11, 15, ...... a) 17
b) 16
c) 18
d) 19
e) 20
Solución: 5
,
6
+1
,
8
,
+2
11
,
+3
15
+4
,
20
+5 Rpta: e)
2)
Encuentra el valor que falta en :
A) -24
B) -22
18, 10, 2, -6, -14 ,
C) -20
......
D) 20
E)22
Solución: 18
, -8
10
, -8
2
, -8
-6
, -8
-14
,
-22
-8 Rpta: B)
3
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3) Determinar “x” en: 3;
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6;
a) 38
11;
19;
31;
b) 46
c) 48
X
d) 50
Solución: 3;
6;
11;
+3
+5
19; +8
+2
+3
31; +12
X ¿?
+4
+5
19;
31;
Entonces: continúa 12 + 5 = 17 3;
6;
11;
+3
+5
+8
+2
+3
+12
X +17
+4
+5
Finalmente: 31 + 17 = 48 Rpta C 4)
¿Cuál es el número que continúa en 1; 11 ; 23; 39; 61 ; …….? A) 89
B) 85
C) 91
D) 72
E) 96
Solución: 1
,
11
+10
,
23
+12
+2
,
39
+16
+4
,
61
,
+22
+6
91
+30
+8 Rpta:
C)
SUCESIONES GEOMÉTRICAS: El siguiente término se halla multiplicando o dividiendo el término anterior por un número. 5) Hallar la tercera parte del término faltante: 3 ; 3 ; 6; 18; ……… a) 24 b) 36
c) 64
d) 72
e) 81
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Solución: 3
,
3
x1
,
6
,
x2
18
,
x3
x4
La tercera parte del término faltante es 72:3 = 24
6)
Hallar la cuarta parte del término faltante A) 86
B) 72
C) 96
72
Rpta: A)
3, 6, 12, 24, 48, ….. D) 104
E) 24
Solución: 3
,
6
,
x2
12
x2
,
24
,
x2
48
x2
,
96
x2 Rpta: C)
SUCESIONES COMBINADAS: Los términos se forman sumando o restando al anterior un número y multiplicando o dividiendo. Ejemplo:
7) Encontrar el número que sigue: 3, 4 , 12, 14, 42, 45, …… A) 52
B) 85
C) 90
D) 135
Solución: Probemos con la suma: 3;
4; +1
12; +8
+7
14; +2
-6
42; +28
+26
45 +3
-25
Como vemos es un poco difícil encontrar una relación en la secuencia… Si queremos probar con la multiplicación, no se podrá con el primer término, pues no hay un entero que multiplicado por 3 nos de 4, pero del segundo al tercero sí: 4 x 3 = 12.
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Esto nos da una idea de que puede ser una sucesión combinada: 3
,
4
, 12,
+1
14 ,
x3
+2
42
,
x3
45
+3
135 x3
Rpta d
8) Hallar el término que sigue en: 80, 80, 40, 120, 30, 150, 25, 175, …. a) 225
b) 175
c) 300
d) 435
Solución: 80,
80,
X1
40,
÷2
120,
30,
x3
÷4
150, x5
25,
÷6
…… x7
Entonces: 25 x 7 = 175 Alternativa b
SUCESIONES SUCES IONES INTERCALADAS O ALTERNADAS
Dentro de estas sucesiones existen 2 o más sucesiones cuyos términos están intercalados. 9) Indicar el número que continúa: 10 , 60 , 12 , 58 , 15 , 55 , 19 , ………. , ………. a) 20 ; 50
b) 23 , 52
c) 50 ; 21
d) 52 ; 22
e) 51 ; 24
Solución: -2 10
,
+2
60
, 12 ,
-3 58
+3
,
15
-4 , 55
+4
,
19 ,
51,
+5
24
rpta: e)
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Sus elementos son las letras del alfabeto, que al igual que las series numéricas, guardan una determinada relación de formación. En este caso la ley de formación es generalmente posicional (es decir la ubicación de letras depende de su ubicación en el alfabeto). El análisis que se debe realizar es muy similar al que se hace en caso de sucesiones aritméticas. No se consideran las letras compuestas como Ch y Ll. Ejemplos: 10) ¿Qué letra continúa en la sucesión? A; C; D; F; G. A) H
B) I
C) J
D) K
E) L
Solución: Una primera forma de resolver es colocando las letras que se encuentran entre los términos. A,
C,
D,
F,
G
B – E Entonces la letra que sigue es I
-
H Rpta b
11) Indica las letras que continúan en: Y , V , T , Q , O , M , ..? , …?.. a) J; G
b) H ; I
c) K ; G
d) K ; H
Solución: Aquí tenemos que contar de retroceso Y,
V, XW
T, U
: Q,
SR
O, P
M,
K
ÑN
L
H JI Rpta d
12) ¿Qué pareja de letras sigue: a) DE b) FG
ST; OP; LM; HI; __
c) BD
d) DG e) DF
Solución:
ST
; QR
OP
; NÑ
LM
; JK
HI
;
DE
FG R pt a a )
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B ; A ; F ; C ; J ; E ; ............. a) M b) N c) Ñ
d) O
e) P
Solución: B B
; A ; CDE
F
D ; C
;J ; E ;
GHI
N
KLM
R pt a:
b)
1) Identifique La alternativa que continúa en la siguiente sucesión:
A
B
C
D
E
Solución: La figura gira en sentido antihorario, de derecha a izquierda, luego baja y a la derecha y en el sexto lugar se ubicará en la parte inferior.
Las zonas rayadas horizontal- vertical. así:
giran en sentido antihorario y las rayas cambian de vertical – La zona se encontrará a la derecha con rayas horizontales. Quedaría
rpta: C
2) Según la secuencia presentada indicar la alternativa que continúa.
a
b
c
d Rpta a
3) Encontrar la figura que completa la serie en:
a
b
c
d Rpta b
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4) Según la secuencia inicial, ¿qué figura continúa?
a
b
c
d
e
f Rpta f
5) ¿Qué figura continua en la serie?
a)
b)
c)
d)
e)
rpta e)
EN UNA ANALOGÍA tenemos que buscar la relación que existe entre dos o más términos y análogamente repetir la misma lógica en el siguiente grupo de términos. Ejemplos: 1) Es a
A
B
como
C
es a :
D
E
Solución: La primera figura ha girado en sentido antihorario una posición (90º):
Entonces, por analogía, el otro par cumple la misma rotación:
Rpta: E)
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2)
es a
A)
como
B)
C)
es a:
D)
Solución: • El triángulo, de estar en la parte interior pasó a la parte superior. • El círculo pasó de la parte superior a ser la parte externa. • Y el cuadrado de ser la parte externa pasó a la parte interior. Así:
Los mismos cambios se realizan en el segundo par de figuras:
Rpta: D) 3)
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Rpta a)
4)
Rpta e)
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Se tiene una sucesión de términos y debemos identificar aquel que no concuerda con dicha sucesión. Generalmente es la misma figura que está girando. 5) ¿Cuál no corresponde a las demás?
a)
b)
c)
d)
rpta: c)
6) Hallar la figura que no concuerda con las demás:
A
B
C
D
E
Rpta: d)
1) ¿Quién es el padre de la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) Mi hijo
b) Mi padre
c) Yo mismo
d) Mi abuelo
e) Mi nieto
Solución: MADRE
YO (único vástago)
ESPOSA PADRE HIJA
RPTA: YO MISMO
rpta C)
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2) El hijo de la hermana de mi padre es mi: a) Nieto
c) Primo e) Sobrino b) Padrasto d) Tío
Solución:
PAPÁ
HERMANA
tía YO
HIJO primo Es mi primo
Rpta: c)
3) Si el hijo de Manuel es el padre de mi hijo, ¿Qué parentesco tengo con Manuel? a) Es mi suegro
b) soy su esposa
c) soy su madre
d) soy su hija e) es mi tío Rpta: a)
1)
= 500 monedas
= 1200 monedas
¿Cuántas monedas cuesta una pelota? a) 100
b) 200
c) 300
d) 400
e) 500
Solución: Lo ideal en este tipo de problemas es utilizar el dato menor y colocarlo dentro del mayor.
Si :
= 500 monedas
Entonces, el doble será
= 1000 monedas, pero
= 1200 monedas Por lo que la pelota sobrante vale 200 monedas Rpta b
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2) Si el ayer del pasado mañana es lunes. ¿Qué día será el anteayer del mañana del pasado mañana del ayer de pasado mañana? a) Lunes
b) martes
c) miércoles
d) viernes
e) domingo
Solución: Utilizando el método del cangrejo, es decir de los datos finales a los datos iniciales: Lo indicado aquí es primero ubicarse en el día de hoy Si el ayer del pasado mañana es lunes HOY
mañana
pasado mañana
Luego: Si el ayer del pasado mañana es lunes HOY
Domingo
mañana
pasado mañana
Lunes
martes ayer
Entonces hoy es Domingo. Respondiendo la pregunta: ¿Qué día será el anteayer del mañana del pasado mañana del ayer de pasado mañana? martes ayer Lunes pasado mañana Miércoles mañana Jueves anteayer Martes
rpta: b)
3) El dibujo muestra un cubo de lado 12 cm y una hormiga caminando desde el punto A al punto B siguiendo la ruta de las flechas. ¿Qué distancia recorre la hormiga? a) 60 cm
b) 65 cm
c) 36 cm
d) 24 cm e) imposible determinar
R pta: a)
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4) Un agricultor tiene 100 animales entre ovejas y pollos, si en total hay 224 patas, el número de pollos es: a. impar b. menor que 70 c. mayor que 80 d. divisible por 5 e. imposible determinarlo.
Solución: Para evitar las ecuaciones podemos hacer algunas suposiciones: Las ovejas tienen 4 patas y los pollos 2, vamos a suponer que los pollos también tienen 4 patas. Entonces tendríamos 100 animales x 4 patas = 400 patas, pero hay 224, el exceso es el número de patas extras que hemos contado en los pollos. 400 – 224 = 176 patas que hemos contado de más, a dos patas extras por pollo, por lo tanto: 176 : 2 = 88 pollos
Rpta: c
5) Un para de conejitos pare una vez al mes una cría de un par de animalitos (macho y hembra), al cabo de dos meses de nacimiento los recién nacidos ya dan cría. ¿Cuántos animales habrá al cabo de 3 meses si al comienzo sólo había un par? a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
Solución: Parejas 1° Pareja Un par Hijos de la 1° pareja
1° mes
2° mes
3° mes
Nace el primer par de la 1° pareja: Un par
Nace el segundo par de la 1° pareja: Un par
Nace el tercer par de la 1° pareja:
Hijos de la 2° pareja
En total hay 10 animales
No hay cría
Un par Nace el primer par de la 2° pareja: Un par Rpta : ( C)
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6) Encontrándose Pedro en un país cuya lengua desconoce, entró a un hotel para almorzar. Al ver la lista de platos del menú, pidió BREMA, TAJA Y DODO y le sirvieron una manzana, papas y sopa. Al día siguiente solicitó AMIDOS, TAJA Y UFE, y le sirvieron un churrasco, pescado y sopa. El tercer día pidió BREMA, DODO Y UFE y le sirvieron una manzana, papas y churrasco. El cuarto día desea almorzar un churrasco ¿qué tendrá que pedir? a) ADIDOS
b) BREMA
c) DODO
d) TAJA
e) UFE
Solución: Comparemos: 1º almuerzo BREMA
2º almuerzo
TAJA DODO
AMIDOS
3 º almuerzo
TAJA
BREMA DODO
UFE manzana
sopa
papas
UFE
churrasco, pescado y
manzana,
sopa
churrasco
papas
y
Del primer y segundo almuerzo: Se repiten: TAJA y sopa, entonces: TAJA = sopa Del segundo y tercer almuerzo: Se repiten UFE y churrasco, entonces: UFE = churrasco Si desea almorzar un churrasco pedirá UFE
rpta e)
Regla de conjunta: 7) Sabiendo que 6 manzanas cuestan lo mismo que 8 plátanos, y que 4 plátanos cuestan S/2, ¿cuánto costarán 12 manzanas? a) 8 soles
b) 12 soles
c) 6 soles
d) 9 soles
e) 10 soles
Solución: Escribimos las equivalencias: Colocando las mismas unidades una por cada lado. 6 manzanas < > 8 plátanos 4 plátanos < > 2 soles X soles < > 12 manazanas 6.4.x x
8. 2 . 12
8.2.12 192 = = 8manzanas 6 .4 24
rpta a)
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Los problemas de este tipo son fáciles de reconocer. La característica más importante es que se nos presentan datos desordenados, que necesariamente contienen toda la información que requerimos para poder relacionarlos entre sí (ya sea ordenarlos de acuerdo a ciertas premisas o encontrar correspondencia entre los mismos) Dentro de este primer capítulo vamos a encontrar diferentes tipos de ejercicios, pero para su resolución debemos tener en cuenta siempre lo siguiente: - La información dada necesita ser ordenada. - Debemos verificar que nuestro ordenamiento final cumpla con todos los datos del problema.
1. ORDENAMIENTO LATERAL Cuando los datos se presentan de manera horizontal se sigue el mismo procedimiento visto anteriormente. IZQUIERDA
DERECHA
OESTE
ESTE
OCCIDENTE
ORIENTE
IZQUIERDA
DERECHA
Ejemplo a: Cuatro abogadas tienen sus estudios en la misma calle. Si sabemos que: - Daniela se encuentra a la izquierda de Ursula. - La oficina de Ursula queda junto y a la derecha de la de Sara. - Sara está a la izquierda de María. ¿Quién tiene su estudio a la izquierda de las demás? A)Sara
B)Ursula
C)María
D)Daniela
E)No se puede determinar
Solución: 1º Definir los signos: (-)
(+)
Izquierda
derecha
2º primera premisa: Daniela se encuentra a la izquierda de Ursula (-)
(+) D
U
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3º segunda premisa: La oficina de Ursula queda junto y a la derecha de la de Wendy (-)
(+) D
S --U
4º tercera premisa: Wendy está a la izquierda de María (-)
(+) D
S –U
M
La que tiene su oficina a la izquierda de las demás es Daniela, por lo tanto la respuesta es la D.
II . ORDENAMIENTO ORDENAMIENT O CIRCULAR En este caso se forma un circuito cerrado, en donde todos están mirando hacia el centro.
Izquierd a
Derecha
Derecha
Izquierd a
EJEMPLO Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda con 4 sillas distribuidas simétricamente. Si sabemos que: - Juan se sienta junto y a la derecha de Luis. - Pedro no se sienta junto a Luis. - José les comentó que deben practicar mucho. Podemos afirmar: A. José y Juan se sientan Juntos B. Luis y José no se sientan juntos. C.No es cierto que José y Juan no se sientan juntos D. Pedro se sienta junto y a la derecha de José. E. Juan se sienta junto y a la izquierda de Pedro
Solución: Leamos primero todas las premisas, para comenzar con la que nos pueda ayudar más. 1º primera premisa: Juan se sienta junto y a la derecha de Luis
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Juan
Derecha
Luis
2º tercera premisa: Pedro no se sienta junto a Luis. el otro asiento se sienta José.
Juan
Pedro
Entonces Pedro se sienta frente a Luis y en
Derecha
Luis
José
Verificando las alternativas: A. José y Juan se sientan Juntos (falso) B. Luis y José no se sientan juntos. (falso) C. No es cierto que José y Juan no se sientan juntos (falso) Doble negación es una afirmación: José y Juan se sientan juntos D. Pedro se sienta junto y a la derecha de José. E. Juan se sienta junto y a la izquierda de Pedro
(falso) (verdadero)
Por lo que la respuesta es la E.
Rpta E)
III. ORDENAMIENTO POR POSICIÓN DE DATOS Para resolver los problemas de este tipo, no hay una norma general, sino más bien depende de lo que esté enunciado en el problema, es decir que se debe representar gráficamente lo que está tratando de ubicar.
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Problemas de Edificios EJEMPLO Se tiene una casa de cuatro pisos y en cada piso vive una familia. La familia Castilla vive un piso más arriba que la familia Muñoz. La familia Fernández habita más arriba que la familia Díaz y la familia Castilla más abajo que la familia Díaz. ¿En qué piso vive la familia Castilla? A. 1º B. 2º C. 3º D. 4º E. No se puede determinar En primer lugar, dibujaremos la casa de cuatro pisos. 1º La primera premisa dice que la familia Castilla vive un piso más arriba que la familia Muñoz (exactamente un piso) por lo cual, tenemos tres ubicaciones posibles: 4ºpiso
C
3ºpiso
C
2ºpiso
C
1ºpiso
M
M
M
2º Luego, el problema dice que la familia Fernández vive más arriba que la familia Díaz (más arriba no es lo mismo que un piso más arriba) por lo cual podremos completar las tres distribuciones posibles: 4ºpiso
F
F
C
3ºpiso
D
C
M
2ºpiso
C
M
F
1ºpiso
M
D
D
3º Por último el problema dice que la familia Castilla vive más abajo que la familia Díaz, por lo cual la segunda y tercera distribución quedan descartadas, siendo el orden correcto: 4ºpiso
F
3ºpiso
D
2ºpiso
C
1ºpiso
M
Por lo tanto la familia Castilla vive en el segundo piso. Rpta B
I V. RELACIÓN DE DATOS ENTRE SI (CUADROS DE DOBLE ENTRADA) La mejor forma de plantear los problemas en que se nos pide relacionar diversos datos entre si (como pueden ser personas con su ocupación, gustos, deportes, lugar donde viven o donde estudian, etc) es haciendo un cuadro, en el cual podamos ir marcando las deducciones que vamos haciendo. Igual que en el caso anterior, se recomienda buscar para comenzar, aquella premisa que nos da información que podamos colocar directamente.
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Nota: Al descubrir un dato, debemos descartar toda la fila y toda la columna correspondiente al casillero descubierto. EJEMPLO Tres amigos con nombres diferentes, tiene cada uno un animal diferente. Se sabe que. - El perro y el gato peleaban. - Jorge le dice al dueño del gato que el otro amigo tiene un canario. - Julio le dice a Luis que su hijo es veterinario. - Julio le dice al dueño del gato que éste quiso comerse al canario ¿Qué animal tiene Luis? A) perro B) gato C) canario D) No se puede determinar
Solución: 1º Observamos que tendremos que relacionar dos cosas; nombres y mascotas para lo cual prepararemos un cuadro de la siguiente manera: Perro
Gato
Canario
Jorge Julio Luis 2º La primera premisa sólo sirve para saber que hay un gato y un perro. La secunda premisa permite deducir que Jorge no es el dueño del gato ni del canario, entonces es el dueño del perro (descartamos también en vertical) Perro
Gato X
Jorge Julio
X
Luis
X
Canario X
3º La tercera premisa sólo sirve para saber que los otros amigos son Julio y Luis. La cuarta premisa nos permite deducir que Julio no es el dueño del gato, por lo tanto es el dueño del canario. Perro
Gato X
Jorge Julio
X
Luis
X
Canario X
X X
4º En el espacio vacío encaja un visto. Perro
X
Jorge Julio
X
Luis
X
Entonces Luis tiene el gato.
Gato
Canario X
X X Rpta: B)
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P % de N = EXPRESIÓN GENERAL
P .N 100
EJEMPLOS : 1) Hallar el 20% de $700 Solución: 20% de $700 =
20 .700 = 140 dólares. 100
2) Hallar el 4% del 60% de 5000 soles Solución: En porcentajes, la palabra “de” o del” indica multiplicación. 4% del 60% de 5000 =
4 60 . .5000 = 120 100 100
3) De un total de 500 niños y niñas de la calle, el 30% son menores de 10 años y el 20% de éstos son niñas. ¿Qué cantidad son niñas menores de 10 años? a) 15
b) 20 c) 25 d) 30 e) 33,5
Solución: 1º FORMA: El 30% de 500 …. Son menores de 10 años = 30 .500 = 150 niños menores de 10 años. 100 20 El 20% de 150 niños = .150 = 30 son niñas menores de 10 años. 100 2º FORMA: Se utiliza el mismo principio que en el ejercicio anterior. El 30% de 500 …. Son menores de 10 años El 20% del 30% de 500 =
20 30 . .500 = 30 niñas menores de 10 años. 100 100 Rpta d)
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4) Considerando que todo el círculo del gráfico representa a los delincuentes, hombres mujeres, y la parte sombreada representa a las delincuentes, se puede afirmar que delincuentes (varones) constituyen el:
A) 20% del total.
y los
B) 50% del total. C) 75% del total. D) 90% del total.
Solución: La suma de las partes debe dar siempre el total, que en este caso es el 100%. Observamos que el área sombreada es la cuarta parte del total, es decir el 25%, por lo que la zona sin sombrear y que representa a los delincuentes es el 75%. Rpta c)
Los gastos mensuales de la familia Torres se representan en el siguiente gráfico:
Respecto al gráfico, responder las siguientes preguntas: 5) Si el dinero disponible para alimentación de la familia es de S/.680, Hallar los gastos mensuales totales del mes. a) S/. 1800 b) S/. 2450 c) S/. 1700 d) S/. 2720 e) S/.6800 Solución: Planteando la regla de tres: Si en alimentación se gasta S/. 680 680 X
40% 100%
X = 680 x 100 = S/. 1700 40 Rpta C) 6) Hallar cuánto gastará diariamente dicha familia en servicios. (En un mes de treinta días). a) S/.17 b) S/.9 c) S/.10 d) S/.51 e) S/.21
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Solución: Los servicios corresponden al 30%, entonces: 1700
100 %
X
30 %
X=
30 x 1700 100
= S/. 510
Este valor entre los 30 días del mes es S/. 17
Rpta: a)
7) Al mes, ¿cuánto más gasta en servicios que en vestido? (en soles) a) 340 b) 510 c) 240 d) 170 e) 100
Solución:
30 x 1700 = 510 100 20 Vestido: 20% de 1700 = x 1700 = 340 100
Servicios: 30% de 1700 =
La diferencia es S/. 170
Rpta: d)
8) Si el gasto en luz y agua representa el 20% de los servicios, ¿cuánto es este gasto mensualmente? a) 145 b) 102 c) 51 d) 91 e) 340
Solución: El gasto en luz y agua es el 20% del 30% de 1700
20 30 x x 1700 100 100
= S/. 102
Rpta: b)
VARIACIÓN PORCENTUAL: En estos casos debemos tener mucho cuidado al tomar la cantidad total, la que le corresponderá el 100%. Una vez ubicada esa cantidad sólo nos queda trabajar una proporción o regla de tres. EJEMPLOS : 9) Encuentre la cantidad inicial 10% 180
a) 100 b) 150 c) 250 d) 230 e) 200
Solución: La cantidad inicial que no conocemos, la denotaremos por “x”, que equivale al 100%.
23
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Después de una disminución del 10%, queda el 90% que le corresponde 180. Planteamos la regla de tres: x
100%
180
90%
X = 180 x 100 = 200 90
Rpta: e)
10) ¿Cuánto había al comienzo? 60
20%
a) 40
b) 48
c) 30
d) 50
e) n.a
Solución: La cantidad inicial que no conocemos, la denotaremos por “x”, que equivale al 100%. Después de un aumento del 20% queda el 120% que equivale a 60. x
100%
60 X=
120%
60 x 100 = 50 120
Rpta : d)
11) La siguiente gráfica muestra el Número de robos a casas en el distrito de Trujillo.
Robos a casa 500 429 n°de robos
400 300 200
250
260
286
255
200
100 0 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 años
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Determinar la validez de las siguientes afirmaciones: I) El crecimiento porcentual entre el año 2000 y 2001 fue de aproximadamente 50%. II) El periodo en que se presentó el menor crecimiento porcentual fue el 2001-2002 III) En el periodo 2002-2003 el crecimiento porcentual de las picaduras fue menor que en el periodo 2004-2005. Son verdaderas: a) Sólo I
b) sólo II
c) Solamente II y III d) Sólo I y III e) ninguno
Solución: Analicemos las alternativas: I) El crecimiento porcentual entre el año 2000 y 2001 fue de aproximadamente 50%. El incremento de robos fue: 250 -200 = 50. 200
100%
50
x
X=
50 x 100 = 25% 200
(premisa FALSA)
II) El periodo en que se presentó el menor crecimiento porcentual fue el 2001-2002
Se necesita hallar la variación porcentual de todos los periodos en crecimiento: Periodo 2001-2002: El incremento de robos fue: 260 -250 = 10. 250
100%
10
x
X=
10 x 100 = 4% 250
Periodo 2002-2003: El incremento de robos fue: 286 -260 = 26. 260
100%
26
x
X=
26 x 100 = 10% 260 25
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Periodo 2002-2003: El incremento de robos fue: 429 - 286 = 143. 286
100%
143 X=
x
143 x 100 = 50% 286
Por lo tanto el menor incremento porcentual fue en el 2001-2002 (premisa VERDADERA) III. En el periodo 2002-2003 el crecimiento porcentual de las picaduras fue menor que en el periodo 2004-2005. 2002 – 2003 : 2004 – 2005 : En conclusión:
aumentó disminuyó
por lo tanto la premisa es FALSA
sólo II e verdadera
rpta: b)
CUBOS: Aquí debe Ud. considerar hasta los cubos que no se ven, por encontrarse en la parte posterior. 1) ¿Cuántos cubos de una pieza hay en total en la siguiente figura?
a) 22 b) 26
c) 30
d) 39 e) 46
2) Indicar el número total de cubos:
a) 16
b) 18
c) 20
d) 22
e) 26
26
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POLÍGONOS: El objetivo en este tema es encontrar la mayor cantidad posible de figuras geométricas planas, ya sean triángulos, cuadriláteros, hexágonos, etc. que hay en una determinada figura presentada. Se recomienda colocar una letra diferente en cada zona o figura simple. Posteriormente, se contará las figuras pedidas en forma ordenada: 1º figuras simples o de una pieza, es decir las que tienen una letra 2º figuras compuestas, de dos zonas, dos piezas o dos letras, luego de tres y sucesivamente. 3º Cuando la figura es un poco complicada, se recomienda ir agrupando en u antihorario, para no olvidar ninguna figura.
así sentido
horario
EJEMPLOS: 3) Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? a) b) c) d) e)
4 5 6 7 8
Solución: Son cuatro zonas y en cada zona una letra. Contemos en sentido antihorario.
b a c
De una pieza a, b, d
= 3
De 2 piezas: ab, bc, cd, da
= 4
De 3 piezas
= 0
De 4 piezas = todo
= 1
Total
d
8 trián.
Rpta: e) 4) ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?
a) 4
b) 6
c) 9
d) 12
e) 10
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Solución:
c a
De una pieza
= 0
De 2 piezas: ab, bc, bd,
= 3
De 3 piezas
= 2
abd, bcd
De 4 piezas = todo
b
Total
d
= 1 6 cuadri.
Rpta: b) 5) Un niño y su padre observan una telaraña, entonces el padre le dice: “por cada triángulo que encuentres, te daré S/.2”. ¿Cuánto es lo máximo de dinero que el padre le podría dar a su hijo?
a) 18
b) 24
c)30
d) 34
e) 36
Solución: Separemos las figuras:
A B C De 1 pieza: A =1 De 2 piezas AB =1 De 3 piezas ABC = 1 Total = 3 pero hay 6 de estas figuras: Total 6 x 3 = 18 triángulos A 2 soles cada uno son: 18 x 2 soles = 36 soles
rpta : e)
28
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CASOS ESPECIALES: ABANICO:
PERSIANAS:
n . . 1 2 3 …..
n
2 1
1 2 3 ....... n
Enumeraremos cada pieza y el resultado será:
1 + 2 + 3 + 4….+ n
6) ¿Cuántos triángulos hay?
a) 4
b) 5
c) 7
d) 8
e) 10
Solución: 1 2 3
4 Sólo tenemos que sumar los números colocados: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 triángulos. Rpta: e) 7) Encontrar el número de cuadriláteros en:
a) 18
b) 21
c) 25
d) 15
e) 16
Solución: Son 6 cuadriláteros simples: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 cuadriláteros
Rpta: b)
29
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Continúe la serie de figuras escogiendo la opción de la derecha que le parezca más razonable a
b
c
d
1.
2. 3.
4.
5.
6.
A
B
C
D
E
F
7.
8.
9.
10.
30
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11) Encontrar el gráfico que encaje en el espacio vacío
a)
b)
c)
d)
e)
12) Encontrar el valor que continua en 8, 8, 7, 14, 12, 36, ……. A) 36
B) 33
C) 28
D) 92
E) 30
13) Determine la figura que sigue:
A
B
C
D
14) Con base a las siguientes relaciones numéricas:
¿Cuál es el resultado del siguiente renglón? a) 24
b) 25
c) 21
d) 22
e) 20
15) Con base a las siguientes relaciones numéricas:
¿Cuál es el miembro izquierdo del siguiente renglón?
31
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16) Encontrar el número siguiente: 3, 12, 13, 52, a) 200
b) 54
53,
……
c) 212
d) 122
17) ¿Cuál es la figura que corresponde?
es a:
como
A)
B)
es a:
D)
C)
18) Si el día de ayer fuese como mañana faltarían 4 días para el sábado. ¿Qué día de semana fue anteayer? a) lunes
b) sábado
c) martes
d) viernes
e) domingo
19) Siendo viernes el mañana del mañana de hace 5 días, ¿qué día será el anteayer del anteayer de dentro de 4 días? a) lunes
b) jueves
c) martes
d) sábado
e) viernes
20) Si el ayer del mañana el anteayer del pasado mañana es jueves. ¿qué día es el pasado mañana de anteayer? a) Domingo
b) Sábado
c) Miércoles
d) Jueves
c) Viernes
21) A la botella de la figura se le ha roto un trozo, ¿Cuál es?
a) 1
b) 2
c) 3
d) todos
e) ninguno
32
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22) ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
a) 5
b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
23) ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
a) 10 24)
b) 28
c) 26
d) 27
e) 30
¿Cuántos triángulos hay en la figura?
a) 21 b) 27 c) 26 d) 48
e) 60
25) ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
a) 7
b) 10
c) 12
d) 14
e) 8
26) En la sucesión 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... ¿cuántos unos hay antes de la posición 35? a) 20
b) 34
c) 17
d) 19
e) 25
27) ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?
a) 7 b) 9 c) 10 28) Encontrar el número de triángulos:
a) 1
b) 3
d) 11
c) 5
e) 13
d) 6 e) 2
33
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29) El número de cuadriláteros en la figura es:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12 e) 16
30) Cuando la hija nació; el padre tenía 26 años. Ambas edades suman hoy 44 años más que la madre que tiene 44 años. ¿Qué edad tiene el nieto que nació cuando la madre tenía 17 años? a) 12 años
b) 13
c) 9
d) 14
e) 10
31) ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
a) 8
b) 9
c) 10
d) 12
e) 14
32) ¿Cuántos palitos hay que retirar como mínimo para que no quede ningún triángulo?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
33) La suma de las edades de Cristina y Alonso es 68 años. Al acercarse Lorena, Cristina le dice: ¨ Cuando tú naciste, yo tenía 6 años, pero cuando Alonso nació tenías 4 años ¿Cuál es la edad de Lorena? a) 21
b) 33
c) 24
d) 20
e) 29
34) En las preguntas del 34 al 40 indique cuántos cubos de una pieza hay en total:
a) 6
b) 7
c) 9
d) 12
a) 12
b) 18
c) 21
d) 11
35)
e)
34
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36)
a) 16
b) 24
c) 26
d) 30
e) 36
b) 17
c) 18
d) 20
b) 21
c) 24
d) 27
e) 30
b) 20
c) 32
d) 36
e) 40
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22
37)
a) 16
23
38)
a) 15 39)
a) 18 40)
a) 18
41) Observe las siguientes sucesiones: 4, 8, 16, 32,... 9, 27, 81, 243, ... 16, 64, 256, 1024,... ... ¿Cuál sucesión sigue? A) 81, 486, 2916, 17496, ... D) 81, 129, 177, 225, ...
B) 25, 125, 625, 3125... E) 25, 50, 75, 100, ...
C) 25, 73, 121,169, ...
42) ¿Cuál es el número de la sucesión que se encuentra en la posición 17? Posición Número
1 1
2 5
3 9
4 13
5 17
… …
17 ?
… …
35
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A) 45 B) 65 C) 21 D) 57 E) 69 43) ¿Cuál es el número de la sucesión que se encuentra en la posición 13? Posición
1
2
3
4
…
13
…
Número
1 3
1 5
1 7
1 9
…
?
…
a) 1/13
b) 1/27
c) 1/19
d) 1/21
e) 1/25
44) ¿Cuál es la figura que sigue en la secuencia?
a) 45) ¿Cuál es la figura que sigue en la secuencia?
46) Indique el número de cuadriláteros:
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
36
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47) En determinada ciudad del país se han registrado la siguientes cantidades de accidentes de tránsito; ¿Cuántos accidentes se esperan para el 2009 si las condiciones fueran las mismas a los años anteriores?
Accidentes de tránsito 1400
1210
1200
1100 1000
1000 800 600 400 200 0 2006
a) 1243
2007
2008
b) 1297
2009
c)1331
d) 1350
48) Indique el número de cuadriláteros:
a) 4
49)
b) 8
c) 12
e) 5
Hallar el total de triángulos en:
a) 6 b) 7 c) 8 50)
d) 6
d) 9 e ) 10
¿Cuántos triángulos que no contengan asteriscos se pueden contar en la siguiente figura?
*
* a) 12 b) 11 c) 14 d) 13 e) 10
37
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51) Hallar x
2 3 4
3 5
2
14 X a)11
b)13
c)15
d)17
52) Yo tengo un hermano únicamente. ¿Quién es el otro hijo del padre del tío del hijo de la mujer del hijo de mi padre que, sin embargo, no es mi hermano? a) mi padre b) mi madre c) soy yo d) mi primo e) mi esposa
53) En una feria, en cierto poblado, realizan trueque de la siguiente manera: por 3 patos dan 2 pollos, por cuatro pollos dan 3 gallinas, por 12 gallinas dan 8 monos, y 5 monos cuestan S/ 750. ¿Cuánto se pagará por 5 patos? a) 450 soles b) 270 soles
c) 250 soles
d) 180 soles
e) 540 soles
54) Luego de una cacería Luis muestra que ha obtenido 86 cabezas y 246 patas. Si sólo ha cazado palomas y conejos, ¿cuántas palomas hay? a) 49
b) 37
c) 28
d) 43
e) 51
55) Pedro gira el triángulo sombreado, en el interior del cuadrado, alrededor del punto P, como se observa en las figuras:
0 P
1
P 2
P
¿En cuál posición estará el triángulo al haber realizado treinta y siete movimientos?
a)
P 37
b)
P 37
37 P
37 P c)
d)
56) Laura es la abuela paterna de Peter y tiene dos hijos: Marta y Coco. Angela es la única hija de Marta. ¿Qué parentesco tienen Peter y Angela? a) primos
b) sobrina y tío
c) sobrino y tía
d) hermanos e) N.A.
57) En una reunión, Roberto comenta: «Solange es la hija de la esposa del unigénito de mi abuela». ¿Qué parentesco tiene Solange con Roberto? a) Nuera
b) Cuñada
c) esposa
d) Hermana
e) Prima.
38
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58) Pepe es hijo único. Milagros y Pepe se casaron y sólo tuvieron tres hijos: Carlos, Nena y Fany. Milagros y Pepe son padres de la madre de Ángel, quien es hijo de la hermana de Nena. Aurora es hermana de Ángel y uno de sus bisabuelos maternos se llama Esteban, quien sólo tiene un vástago. El hijo del padre del padre de Carlos es: a) Esteban. b)Ángel.
c) Pepe. d) Carlos. e) No se puede determinar.
59) Si Benito es más alto que Daniel pero más bajo que Abel, Germán es más bajo que Enrique y este a su vez es más bajo que Carlos. Benito es más alto que Enrique y Fernando más bajo que Enrique. Entonces: A) Femando es el más bajo C) Benito es más alto que Germán bajo que Femando
B) Carlos es más alto que Abel D) Daniel es más alto que Germán
E) Abel es más
60) Se tiene un edificio de 4 pisos y en cada piso vive una familia. La familia Cárdenas vive un piso más arriba que la familia Alvarado. La familia Manrique habita más arriba que la familia Torres y la familia Cárdenas más abajo que la familia Torres. ¿En qué piso vive la familia Cárdenas? a) 1º
b) 2º
c) 3º
d) 4º
61) En una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente se sientan cinco amigos: Ricardo, Saúl, Tomás, Vanesa y Verónica. Se sabe que: o o o
Verónica y Saúl no se sientan juntos. Tomás se sienta junto a Ricardo y Verónica. Vanesa se sienta frente a Tomás.
¿Quién se sienta frente al sitio vacío?
A) Ricardo
B) Tomás
C) Verónica D) Vanesa E) Saúl
62) Indicar la figura que no corresponde:
63) Arturo, Alejandro, Artemio, Antonio y Antenor ingresan primero al aula. Se sabe que: -
Alejandro ingresó anteriormente a Antonio y Antenor Artemio ingresó inmediato a Alejandro y Antenor posteriormente a Antonio Arturo ya había saludado al profesor antes que los cuatro ¿Quién ingresó en el tercer lugar?
39
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a) Arturo
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b) Alejandro
c) Artemio
d) Antonio
e) Antenor
64) Timoteo, Alberto, Germán y Diego fueron a cenar en compañía de sus esposas. En el restaurante se sentaron alrededor de una mesa redonda de forma que: I. Ningún marido se sentó al lado de su esposa. II. Al frente de Germán se sentó Timoteo. III. A la derecha de la esposa de Timoteo se sentó Alberto. IV. No había dos hombres juntos. Entonces la persona que se sentó entre Timoteo y Diego, es la esposa de a) Germán
b)Diego
c) Timoteo
d) Alberto
65) Un renombrado Fiscal Superior del Dpto. de Junín tiene los siguientes gastos mensuales:
Otros 5% Ropa 15%
Diversión
Alimentación 35%
Servicios 25%
Si el Sr. Fiscal Superior gasta S/. 1500 por mes en diversión, hallar el ingreso total, en soles, con el que cubre todas sus necesidades. a) 6500
b) 7500
c) 5500
d) 7000
e) 8000
66) El tío del hijo del padre de Germán es mi primo hermano. Si Germán es hijo único ¿qué parentesco tengo con padre del tío de Germán?
a) Es mi hijo
b) Es mi padre
c) Es mi tío
d)Es mi sobrino
67) ¿Cuál eliminaría de la gráfica?
40
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68) Encontrar la figura que no guarda relación con las demás:
69) El
precio inicial de una camisa se disminuyó en un 20%. Para volverla al precio inicial al nuevo precio se le hace un aumento de:
a) 7 %
b) 25 %
c) 30%
d) 20%
70) Si las áreas en blanco representan los juicios perdidos por un abogado, porcentaje de juicios ganados.
a) 20%
b) 80%
c) 50%
indicar
el
d) 75%
71) Seis amigos: Abel, Benito, Cain, Dalila, Eva y Francisco, se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que: a. Abel se sienta frente a Benito b. Cain está junto y a la izquierda de Abel. c. Dalila no está frente a Cain ni a Eva. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I.
Dalila está frente a Francisco.
II.
Eva está junto a Benito.
III.
Benito está entre Dalila y Eva.
a) Solo I
b) Solo II
c) sólo I y III
d) sólo II y III
e) sólo I y II
72) Encontrar el número que sigue en la sucesión: 3, 5, 8, 13, 21, 33, …. a) 47
b) 48
c) 49
d) 50
73) Encontrar el término que sigue en: B1-V
;
E10-R
a) R10000 – S
;
I100-O ;
b) S10000-M
c) S1- Q
N1000-N d) R10000-L
74) Encontrar el grupo de letras que sigue:
41
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AB, a) STUVW
EFG,
KLMN,
b) QRSTU
c) TUVWX
28,
136,
……. d) RSTUV
75) Hallar “x” en: 1,
6,
a) 135
13, b) 251
76) ¿Qué número sigue en a) 37
63, c) 261
x d) 271
2, 3, 8, 17, 30, ...?
b) 47
c) 53
d) 63
77) ¿Cuál es el número que continúa en 1; 11 ; 23; 39; 61 ; …….? a) 89
b) 85
c) 91
d) 72
c) 9
d) 34
78) 10; 13: 15; 15; 12; ……. a) 10
b) 5
79) El valor que continúa a)300
b) 1200
2 , 8, 40 , 240 , ….. c) 1680
es : d) 247
80) Encuentre la letra que continúa en W, T, P, N , J, …… a) H
b) I
c) G
d) K
"Una persona usualmente se convierte en aquello que el cree que es. Si yo sigo diciéndome a mi mismo que no puedo hacer algo, es posible que yo termine siendo incapaz de hacerlo. Por el contrario si yo tengo la creencia que sí puedo hacerlo, con seguridad yo adquiriré la capacidad de realizarlo aunque no la haya tenido al principio. (Gandhi)
42
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Respuestas a la Autoevaluación Nº
Nº
Nº
Nº
1)
C
21)
B
41)
B
61)
A
2)
D
22)
E
42)
B
62)
C
3)
A
23)
E
43)
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