Raz Matematico Tomo 1 Edades

CRITERIO PARA PLANTEAR UNA ECUACIÓN 1. Leer y comprender el enunciado. 2. Extraer los datos. 3. Elegir la(s) variable(s) y representarla. 4. Relacionar los datos a través de una igualdad lógica ( ecuación ). 5. Resolver la ecuación obteniendo el valor de la variable o incógnita.

CONCEPTO: Plantear una ecuación significa traducir adecuadamente el enunciado de un problema a una expresión matemática mediante una o más ecuaciones. En todo enunciado de un problema, siempre se nos pide hallar el valor de “algo” que es cuantificable. A ese valor, por el momento desconocido, se le denomina INCÓGNITA y se le representa por una letra arbitraria: “X” , “y” ó “z” Toda frase o enunciado es susceptible de ser traducido a un lenguaje matemático. Veamos algunas traducciones. INTRODUCCIÓN: La Ecuación es el lenguaje de las matemáticas y como tal, es una herramienta fundamental para la resolución de problemas que se relacionan con nuestra vida diaria.

•

Plantear una ecuación es todo un arte que consiste en que el anunciado de cualquier problema es interpretado, comprendido y luego expresado en una ecuación matemática, la cual dará la solución al problema planteado; es decir:

7

Traducir al lenguaje matemático ( forma simbólica ) cada uno de los siguientes enunciados.

5.

EJERCICIOS 1.

2.

3.

4.

En un corral hay gallinas y conejos, el número de patas es 14 más 2 veces el número de cabezas. ¿cuántos conejos hay? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 En un corral de chanchos y pelícanos el número de ojos es 24 menos que el número de patas. Hallar el número de chanchos. A) 6 B) 10 C) 12 D) 16 E) 18 Unos gemelos y unos trillizos tienen edades que suman en total 150 años. Si se intercambian las edades de los gemelos con los trillizos, el total sería de 120 años. ¿Cuántos años tiene cada uno de los trillizos? A) 50 B) 48 C) 46 D) 44 E) 42 En una reunión se encuentran tantos caballeros como 3 veces el número de damas, después se retiran 8 parejas; el número de caballeros que aún quedan es igual a 5 veces el de damas. ¿Cuántos caballeros había inicialmente? A) 10 B) 42 C) 45 D) 48 E) 24

Un obrero gana S/ 3 más que otro diariamente. Al cabo de 26 días se retira el primero y seis días después, el segundo. Si los dos han cobrado la misma cantidad. ¿Cuál es el jornal diario del primero? A) 13 B) 10 C) 11 D) 12 E) 16

6.

En un corral hay tantas patas de patas como cabezas de patos; pero hay tantas patas de patos y patas como cabeza de patas y patos aumentado en 30. ¿Cuántos animales se contará en total luego que cada pata tenga cría 6 patitos? A) 90 B) 60 C) 30 D) 50 E) 70

7.

El cuadrado de la suma de dos números consecutivos es 81. Hallar la diferencia entre el triple del mayor y el doble del menor. A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 3

8.

A un alambre de 132 cm. se le hacen tantos cortes como longitud tiene cada trozo. ¿cuántas partes iguales se consiguen? A) 12 B) 14 C) 18 D) 16 E) 13 Un tonel de vino vale $ 7 000, si se sacan de él 80 litros vale solamente $ 1 400. ¿Cuál es la capacidad del tonel? A) 80 B) 100 C) 90 D) 120 E) 110

9.

10. En una granja se tienen pavos, gallinas y patos. sin contar a las gallinas tenemos 15 aves, sin contar a los pavos tenemos 11 aves, y sin contar a los patos tenemos 8 aves. ¿Cuántos patos más que gallinas hay? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 11. Si a un número par se le suman los tres números impares que le siguen y el par de números pares que le preceden, entonces se obtiene 123. Hallar dicho número, dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 6 B) 2 C) 10 D) 5 E) 9

8

12. 09. Una persona inicialmente toma 16 metros de un varilla. Luego toma 2/3 del resto y observa que ambas partes tienen la misma longitud. Hallar la longitud total de la varilla A) 40 B) 36 C) 48

D) 24

E) 39

panes el uno como el otro, la relación nueva queda de 2 a 5. Si juntos han consumido 120 en total. Hallar cuántos más tenía uno con respecto al otro.

13. 17. En uno de sus recorridos, un microbusero recaudo S/. 200, habiéndose distribuido 120 boletos entre pasaje entero y medio pasaje el primero cuesta S/.2 cada uno y el segundo S/.1 cada uno. Determinar, cuántos de los pasajeros eran universitarios sabiendo que supera en ocho al número de niños y éstos también pagan medio pasaje al igual que universitarios. A) 16 B) 40 C) 32 D) 38 E) 24

Rpta: …………….. 2.

14. Un exportador compró café por S/.8400 y té por S/.7200, habiendo comprado 60 kg más de té que de café. ¿Cuánto pagó por el kilogramo de café, si este cuesta S/. 8 más que un kilogramo de té? A) S/. 20 B) S/. 28 C) S/.36 D) S/. 24 E) S/. 26

Rpta: …………….. 3.

15. En una academia de secretariado las alumnas de la mañana pagan S/. 80 mensuales y las de la tarde S/.65 mensuales. Si la Directora ha recibido un total de S/.4080 correspondiente al mes de Agosto y además las alumnas de la tarde son 7 más que las del turno mañana. Hallar cuántas alumnas hay en total A) 57 B) 25 C) 78 D) 48 E) 52

Si por S/. 200 pudieran ingresar 6 personas más de las que ingresan normalmente al teatro, entonces el valor de una docena de entradas costaría S/. 90 menos. ¿Cuánto cuesta en soles cada entrada al teatro? Rpta: ……………..

4.

16. Tú tienes dos veces lo que yo tengo y él tiene dos veces más de lo que tú tienes. Si la suma de lo que tenemos los tres excede en S/. 45 al doble de lo que tienes. ¿Cuánto tengo? A) S/. 18 B) S/. 9 C) S/. 59 D) S/. 12 E) S/. 24

En un parque se observa que el número de bancas excede en 3 al número de árboles, además si planta 8 árboles más y quitan 5 bancas, entonces el número de árboles sería el doble del número de bancas. ¿Cuál es el número de bancas? Rpta: ……………..

5.

17. Cuatro amigos tienen 45 soles si el dinero del primero es aumentado en 2 soles, el del segundo es reducido en 2 soles, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los amigos tendrán la misma cantidad de dinero en soles. ¿Cuántos soles más tiene el que posee más dinero respecto al que tiene menos dinero? A) 15 B) 10 C) 5 D) 20 E) 6 18. Un grupo de monos está dividido en dos bandos, la octava parte de ellos al cuadrado se solaza en el bosque, mientras que los otros doce juegan en el campo. La mayor cantidad de monos que podemos tener es: A) 56 B) 69 C) 32 D) 48 E) 6

Se compraron 2 piezas de alambre que juntas miden 120 metros. Cada pieza de alambre costó tantos soles como metros tiene la pieza. Una de ellas costó 40 soles más que la otra. ¿Cuál es la longitud de la pieza más grande? Rpta: ……………..

OBJETIVO Averiguar el número exacto de cierto tipo de figuras que puedan identificarse en una figura principal, el cual se encuentra dividida por puntos o líneas. * FIGURAS SIMPLES, son las que no contienen otras figuras en su interior, veamos:

19. Si por S/.12 soles dieran 8 bananas más de las que dan usualmente, una banana costaría S/.2 menos. Hallar cuánto cuesta un octeto de bananas. A) 26 B) 24 C) 32 D) 27 E)25

A

B

* FIGURAS COMPUESTAS, son aquellas que hacen aparecer otras figuras secundarias mediante líneas o un punto en su interior, veamos:

20. Un grupo de caminantes, compuestos de 20 personas entre hombres, mujeres y niños, descubre un naranjo cuando ya la sed comenzaba a hacerse sentir. El árbol tiene 37 naranjas, que se reparten así: cada hombre come seis naranjas, cada mujer una y cada niño media. ¿Cuántos niños habían en el grupo? A) 6 B)14 C) 12 D) 7 E) 5

A

M O

R

Conteo de figuras básicamente se puede efectuar de 2 maneras:

TAREA 1.

En una reunión, el número de varones es tres veces más que las mujeres, después se retiran 10 parejas, el número de varones que aún queda es dos veces más que el doble de las mujeres que quedan. Hallar cuántas damas habían al inicio.

A).- MEDIANTE CONTEO DIRECTO: Consiste en identificar cada una de las figuras solicitadas en el

Dos personas tienen cierto número de panes que están en relación de 3 a 5, luego de comerse tantos 9

ejercicio. Se procede a enumerarlos mediante dígitos y/o letras. Ejemplo: Rpta: ................

I. Determina cuántos triángulos como máximo hay en las siguientes figuras. 1.

III. CONTEO DE TRIÁNGULOS (T):

A) 15 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

1

2

...

3

T=

n

n(n +1) 2

Solución :

1R (a,b,c,d,e,f) 2R (be, bf, de) 3R (ade, def, abc, abf) 4R ( _________ ) 6R (abcdef)

Ejemplo: Indica cuántos triángulos hay como mínimo en cada uno de los siguientes casos:

6 3 4 1 14

--

B).-MEDIANTE CONTEO POR INDUCCIÓN: Consiste en el cálculo de la cantidad de figuras de un determinado tipo por medio de ciertas relaciones, que expondremos a continuación:

IV. CONTEO DE CUADRILÁTEROS Y CUADRADOS:

A) Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura

I. CONTEO DE SEGMENTOS (S) 1

2

3

.....

*

(n-1) n

S=

n(n +1) 2

n

3

4 ... n

n(n +1) 2

m m-1 : : 4

2 3

. :

2

# de cuadriláteros =

II. CONTEO DE ÁNGULOS (A):

1

1

A=

n(n + 1) 2

3 2 1

2

3

4

... n-1 n .

Ejemplo: Indica cuántos ángulos hay en cada uno de los siguientes casos:

# de cuadriláte ros

=

n(n + 1) m(m + 1) × 2 2

B) Cuántos cuadrados hay en cada caso: n n-1 : : 4

b)

3 10

D) 22

2 1

2

3

4

.... n-1 n

# de cuadrados =

2.

m m1 : : 4 3 2 3

4

4.

.... n-1 n

IV. CONTEO DE CUBOS Y PARALELEPÍPEDOS 5.

n

n

1

 n( n + 1)  13 + 2 3 + 33 + ..... + n 3 =   2 

n

1

 S

   T U D I



A

 R



Si César recibe S/.140, ¿Cuánto le ofreció el papá por cada segmento ? A) S/.2 B) S/.5 C) S/.7 D) S/.9 E) S/.12 ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura ?

¿Cuántos ángulos hay en la siguiente figura? A) 21 B) 28 C) 36 D) 45 E) 55

m x n x p +(m-1)(n-1)(p-1) +....

9.

            R A Z O N A M I E N T O B) 66

C) 20

¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

8.

¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?

A) 55



7.

n

EJERCICIOS 1.

B) 18 E) 23

A

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

# total de n( n +1) m( m +1) p ( p +1) = x x paralelepípedos 2 2 2 # Total de cubos:



¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? A) 15 B) 30 C) 21 D) 60 E) 48

p

1 2

F

6. 2

m

2 1

 N

A) 6 B) 8 C) 4 D) 3 E) 11

n

1 2

 U

A) 81 B) 56 C) 42 D) 21 E) 58

# de = m × n + (m − 1)(n − 1) + (m − 2)(n − 2) + ... cuadrados

2 1

 I

El papá de César ofreció a éste cierta cantidad de dinero por cada segmento que encontrara en la siguiente figura:

 E

2

 R

A) 16 D) 21 3.

1

¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?

 T

n(n + 1)(2n + 1) 6

E) 33

C) 11 11

¿Cuántos cuadriláteros se distinguen en la figura? A) 7 B) 8 C) 9 D) 11 E) 5

17. La estrella que se muestra esta formada por 5 rectas que se intersectan en 10 puntos. ¿Cuántos segmentos cuyos extremos sean estos puntos se pueden observar?

10. Halla el número de cuadriláteros

A) 1980 B) 2100 D) 990 E) 1100 11. Halla el número de cuadrados

A) 10 B) 15 C) 30 D) 45 E) 60 18. La siguiente figura fue dibujada en el suelo, y una persona camina sobre la línea desde “A” hasta “B” ¿Cuántas veces debe girar a su derecha? A) 12 A B) 14 B C) 11 D) 10 E) 13

C) 3960

A) 720 B) 240

19. ¿Cuántos cubitos (los más pequeños) se pueden contar en total, en la siguiente figura?

C) 360 D) 180

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 16

E) 390 12. Halla el número de cuadrados A) 36

20. Cuántos cubitos están en contacto con el cubito que esta inmediatamente debajo del cubito sombreado? A) 10 B) 11 C) 12 D) 9 E) 13

B) 72 C) 144 D) 288 E) 91 13. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 1

21. ¿Cuántos cubitos hay en total en el siguiente sólido? A) 50 B) 61 C) 59 D) 52 E) 56

14. ¿Cuántos ángulos agudos hay en la figura? A) 28 B) 21 C) 35 D) 29 E) 27

22. Cuántos cubos tocan por lo menos en una de las esquinas a los cubos 1 y 2, respectivamente, de la figura mostrada? A) 8;12 B) 13;9 1 C) 10; D) 12;7 2 E) 10;4

15. Cuántos triángulos hay en la siguiente figura A) 42 B) 43 C) 44 D) 48 E) 56

23. La parte exterior de este conjunto de bloques esta pintada. ¿Cuántas caras de cubitos se han pintado? A) 15 B) 17 C) 18 D) 21 E) 19

16. Cuántos triángulos hay en la figura: A) 11 B) 17 C) 13 D) 9 E) 6

24. Cuántos cubitos como mínimo habrá que agregar al sólido mostrado para formar un cubo compacto? A) 17 B) 90 C) 15 12

D) 115

II. FALSA SUPOSICIÓN Para comprender este método analizaremos un ejemplo ilustrativo.

E) 26

Ejemplo ¿Cuántas monedas de S/.2 debo entregar para pagar una deuda de S/.29, si tengo 10 monedas de S/.5 y S/.2?

En este capítulo trataremos de situaciones donde se tenga que aplicar las operaciones básicas como la adición sustracción, multiplicación y división, en algunos casos se aplicaran ciertas reglas o formas abreviadas de solución como son :

Solución: • Supuesto: Si las 10 monedas fueran de S/.5 tendría en total 10 x 5 = 50 soles. • Pero la deuda solo asciende a S/29. por lo que sobraría : 50 – 29 = 21 soles • Esto se debe a que hemos considerado que todas las monedas son de S/.5 y ninguna de S/.2. • Al no considerar 1 moneda de S/.2 aumento al dinero que tengo en 5-2 = 3 soles (error unitario), luego el número de monedas de S/.2 que no consideré es :

I. II. III.

Método de las diferencias (Rectángulos) Falsa Suposición (rombo) Método del Cangrejo (operaciones inversas) IV. Método de la Conjunta I. MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS (rectángulo) Se emplea este método cuando hay una situación (problema) que se presenta dos incógnitas, para encontrar la solución se procederá de acuerdo al ejemplo ilustrativo. Ejemplo El director del Colegio “200 Millas Peruanas” desea renovar los libros de la biblioteca para lo cual razona : Si compro 7 libros me sobran 11 soles, pero si compro 10 libros me falta 13 soles. ¿Cuál es el costo de un libro?

N° de monedas de S/.2 =

Error Total = Error Unitario

21 = 7 3

Solución: Este problema tiene 2 incógnitas, el costo de cada libro y el dinero que tiene el director.

Método Práctico (Rombo) ( ) Valor unitario

+ 7 libros

S/.11

Dinero que tengo

-

S/.13

-

Total de Elementos

Falta

Recaudación Total

Valor Unitario Pedido

10 libros

Para el ejemplo anterior. Del gráfico observamos que si se quiere comprar 10-7 = 3 libros (diferencia total) se tendría que gastar lo que sobró y lo que falta , es decir:

S/.5

+ -

11 + 13 = S/24

→ Costo libro:

S/.2

Método Práctico Si las cantidades son del mismo tipo, se debe tomar en cuenta lo siguiente: Lo que falta y lo que sobra se suman , las otras cantidades se restan y estos resultados se dividen.

II)

Lo que sobra y lo que sobra se resta, las otras 2 cantidades se restan y estos dos resultados se dividen.

S/.29

10

S / .24 = S/.8 3

I)

-

N° de monedas de S/.2

=

10 x5 − 29 =7 5 −2

III. MÉTODO DEL CANGREJO (Operaciones Inversas) Debido a que conocemos el resultado y cada una de las operaciones realizadas para llegar a dicho resultado, entonces para poder encontrar la incógnita pedida se empiezan desde el final (dato), es decir , a partir del último resultado y regresamos hasta el inicio del problema, haciendo las operaciones inversas correspondientes. 13

A) S/.250 D) S/.230

Ejemplo A la cantidad soles que tengo le añado 5, al resultado multiplico por 3 y le aumento 4, al número así obtenido le saco la raíz cuadrada y al resultado le sumo 3 para finalmente, dividirlo entre 2 y obtener 5 soles. Entonces inicialmente tenía: Solución:

Incógnita

10

+5

Un granjero dispone de cierta cantidad de pollos que los vende vivos en cada venta da la mitad de los que tiene más 1 pollo. Si después de la quinta venta, le quedan dos pollos. ¿Cuantos tenía al inicio? A) 216 B) 214 C) 126 D) 261 E) 420

6.

Dos jugadores convienen en que cada vez que uno gane el otro le paga tanto como para triplicar lo que tiene. Después de dos jugadas que las ha ganado un solo jugador ambos tienen 90 soles. ¿Cuánto tenía el ganador al inicio? A) 10 B) 170 C) 80 D) 90 E) 180

7.

Una combi que hace servicio de Huacho a Huaral cobra S/.2 como pasaje único y en el trayecto se observa que cada vez que baja 1 pasajero suben 2. Si llegó a Huaraz con 34 pasajeros y una recaudación de S/.96. ¿Cuántas personas partieron de Huacho? A) 20 B) 12 C) 28 D) 34 E) 48

8.

En un colegio a cada estudiante se le da 36 hojas para sus exámenes. Si los estudiantes aumentan en 960, se les reparte 6 hojas menos a cada uno, sin variar la cantidad total de hojas. Indicar la cantidad actual de alumnos. A) 5200 B) 4360 C) 5760 D) 4800 E) 7200

9.

En un restaurante los comensales estaban sentados 9 en cada mesa; para descongestionarlos se colocaron 2 mesas más y entonces ahora hay, 8 en cada mesa. ¿Cuántos comensales hay? A) 92 B) 208 C) 108 D) 144 E) 168

Resultado -5

15 ÷3

x3 45 +4

-4 49 ( )2 7

+3

-3 10

÷2 Dato final

x2 5

EJERCICIOS 1.

Un premio de S/.20 700 se va a repartir entre 300 personas. Algunas de los cuales fallecen antes de poder cobrar, entonces el resto tiene que cobrar S/.2070 cada una. ¿Cuántas fallecieron? A) 250 B) 200 C) 290 D) 170 E) 270

2.

La cantidad 5400 soles debe ser cancelada entre 18 personas, pagando partes iguales, pero como algunos de ellos no pueden hacerlo, las otras tendrán que pagar 150 soles más cada una. ¿Cuántas personas no pueden pagar? A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4

3.

Encontrar un número tal que dividiéndolo por 10 y a este cociente dividiéndolo por 3 ; la suma de estos cocientes es 600. A) 4250 B) 4360 C) 4650 D) 4520 E) 4500

4.

Tres amigos "A" "B" y "C" que tienen 10, 9 y 7 panes respectivamente, invitan a "D" a consumir sus panes. Si los cuatro consumen en partes iguales y al retirarse "D" deja en pago S./1300, ¿Cuantos soles le corresponde a "B"?

C) S/.720

5.

Operaciones Directas Operaciones Inversas Inicial

B) S/.450 E) S/.500

10. José compra cierta cantidad de animales por 80 000 soles y vende parte de ellos por 62 000 soles a 400 soles cada uno, ganando en esta venta 12 400 soles. ¿Cuántos animales compró? A) 250 B) 155 C) 320 D) 420 E) 225 11. Un comerciante compra 40 jarrones a 70 soles cada uno. Después de haber vendido 12 con una ganancia de 20 soles por jarrón, se le rompieron 5. ¿A qué precio vendió cada uno de los jarrones que le quedaron sabiendo que la ganancia total fue de 810 soles? A) S/.100 B) S/.90 C) S/.110 D) S/.120 E) S/.112 12. Un obrero gana diariamente S/.5 mas que otro. Después de trabajar cada uno el mismo número de días, el primero recibe S/.143 y el segundo S/.88. ¿Cuánto gana por cada día el obrero que menos gana? A) S/.11 B) S/.13 C) S/.5 D) S/.12 E) S/.8 13. Si trabaja los lunes inclusive, un peón economiza 40 soles semanalmente, en cambio, la semana que no trabaja el lunes tiene que retirar 20 soles de sus 14

ahorros. Si durante 10 semanas logra economizar 220 soles. ¿Cuántos lunes dejó de trabajar en estas 10 semanas? A) 1 B) 9 C) 5 D) 7 E) 3

amarillas con 6 cajas azules dentro de cada una. ¿Cuántas cajas tengo en total? A) 18 B) 360 C) 361 D) 435 E) 432 2.

A un cierto número de personas se les iba a dar S/.35 a cada uno, pero uno de ellos renunció a su parte, por lo que a cada uno de los demás les tocó S/.42. ¿Cuántas personas iban a recibir S/.35? A) 4 B) 7 C) 5 D) 8 E) 6

3.

15. .En una jaula donde hay conejos y gallinas pueden contarse 132 cabezas y 420 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase? A) 10 y 25 B) 54 y 78 C) 98 y 34 D) 13 y 22 E) 200 y 32

A una reunión bailable asistieron 120 personas, si todos bailan a excepción de 26 mujeres. ¿Cuántas mujeres hay en total? A) 26 B) 37 C) 83 D) 91 E) 73

4.

16. En una prueba de examen un alumno gana 2 puntos por respuesta correcta pero pierde un punto por cada equivocación. Si después de haber contestado 50 preguntas, obtiene 64 puntos. ¿Cuántas preguntas resolvió correctamente? A) 28 B) 32 C) 36 D) 38 E) 42

Con mi gratificación he comprado 25 libros, si cada uno me hubiera costado S/.10 menos, hubiera adquirido 50 libros más, ¿cuánto me costó cada libro? A) S/.10 B) S/.15 C) S/.5 D) S/.25 E) S/.20

5.

Compro 2 artículos por S/:3 y los vendo a 7 por S/:11, ¿cuántos artículos debo vender para ganar S/:24? A) 336 B) 172 C) 340 D) 312 E) 328

14. Un almacenista compró a confecciones “Shafa”, cierto número de camisas a S/.84 la docena y los vendió después a un comerciante a S/.90 la docena. El comerciante vendió las camisas al público a S/.28 el par, ganando S/.720 más que el almacenista. ¿Cuánto cobró confecciones “Shafa” por todas las camisas? A) S/.1750 B) S/.1960 C) S/.1575 D) S/.1680 E) S/.2100

17. Un tonel A tiene 230 litros de vino que cuesta 18 soles el litro y el otro tonel B 210 litros de otro vino que cuesta 15 soles el litro. Se desea sacar de cada tonel la misma cantidad de litros, de manera que al colocar en el tonel A el vino sacado de B y en B el vino sacado de A, los dos toneles tengan el mismo valor. ¿Qué cantidad debe sacarse de cada tonel? A) 150 L B) 145 L C) 160 L D) 175 L E) 165 L 18. Se tiene un montón de 84 monedas de 10 g cada una y otro montón de 54 monedas de 25 g cada una. Halle el número de monedas que debe intercambiarse (el mismo número) para que ambos montones adquieran el mismo peso. A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 19. Un comerciante adquirió 1800 lapiceros a 8 soles cada uno, habiéndosele obsequiado 4 lapiceros por cada 20 unidades que compró. ¿A qué precio debe vender cada lapicero, si él a su vez regalará 5 por caja y piensa obtener una ganancia total de 9600 soles? A) S/.90 B) S/.12 C) S/.15 D) S/.14 E) S/.9 20. Tres personas “A”, “B” y “C” se pusieron a jugar con la condición de que el perdedor de cada partida debería duplicar el dinero de los otros dos. Se sabe que perdieron en orden alfabético, uno cada vez, quedándose cada uno con S/.32 al final. ¿Cuánto tenía el jugador “B” al inicio? A) S/.54,5 B) S/.27,5 C) S/.22,5 D) S/.28 E) S/.52 1.

TAREA Tengo 3 cajas rojas con 4 cajas verdes cada una, además que cada una de las verdes contiene 5cajas 15

En esta situación se recomienda el uso de un “cuadro de doble entrada” para facilitar la ubicación de los datos en sus tiempos respectivos.

SUJETOS

TIEMPOS PASADO PILI MILI

a b

PRESENT E m n

FUTURO X Y

Del cuadro anterior se concluye: 1. La diferencia de edades de dos personas es constante en cualquier tiempo. a–b=m- n=x–y

EDADES

2. El tiempo que ha transcurrido para una persona es el mismo que ha transcurrido para la otra:

I.- CASO I : Cuando Interviene la edad de un sujeto. Hace 8 Hace 6 x-8

x-6

Edad= x Tiempo present e

Dentro de 5 x+5

m-a=n-b y Dentro de 15 x +15

1.

TIEMPO FUTURO

TIEMPO PASADO

Observación.- Es recomendable resolver el problema planteando una simple ecuación.

Solución: Sea la edad actual de Mauricio “x” años. Luego: La edad que tuvo hace 6 años

Hace 7 años mi edad era el doble que tu edad en ese entonces, pero dentro de 13 años la relación de nuestras edades será de 5 a 3. ¿Qué edad tuve yo cuando tú naciste? A) 32 años B) 46 años C) 40 años D) 28 años E) 36 años

3.

A un profesor le preguntaron su edad y este responde: “Mi edad es el exceso del quíntuplo de la edad que tendré dentro de 7 años, sobre el quíntuplo de la edad que tuve hace 2 años” ¿Cuál es la edad del profesor? A) 30 años B) 31 años C) 37 años D) 42 años E) 45 años

4.

Juana tuvo una hija a los 20 años y una nieta 24 años después; cuando la nieta tiene 11 años la abuela dice tener 45 años y la hija 30 años ¿Cuál es la suma de las edades que ocultan ambas? A) 10 años B) 13 años C) 17 años D) 20 años E) 15 años

5.

Jorge dice a Luis: “La suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací”. Entonces, Luis tiene actualmente. A) 12 años B) 34 años C) 48 años D) 24 años E) 22 años

6.

Si hubiera nacido 15 años antes, entonces lo que me faltaría actualmente para cumplir 78 años sería los cinco tercios de la edad que tendría si hubiese nacido 7 años después ¿Qué edad tendré dentro de 5 años? A) 28 B) 33 C) 30 D) 25 E) 36

x + 12 = 4 (x - 6) → x = 12 Tres veces más La edad que tendrá dentro de 12 años. La edad de Mauricio es 12 años. 1.- Si una persona ya cumplió años, luego:

=

AÑO ACTUAL

-

AÑO DE SU NACIMIENTO

2.- Si una persona todavía no cumple años, luego: EDAD = ACTUAL

AÑO ACTUAL- 1

AÑO DE SU NACIMIENTO

II.- CASO II: Cuando interviene la edad de dos ó más sujetos. 16

EJERCICIOS Hace 7 años mi edad era la cuarta parte de la edad que tendré dentro de 8 años ¿Qué edad tendré dentro de 12 años? A) 24 años B) 28 años C) 32 años D) 30 años E) 36 años

2.

Ejemplo: Dentro de 12 años Mauricio tendrá 3 veces más la edad que tuvo hace 6 años. ¿Qué edad tiene Mauricio?

EDAD ACTUAL

x-m=y–n

7.

Mary tuvo en 1988 tantos años como el producto de las dos últimas cifras del año de su nacimiento ¿Cuál es la suma de cifras del número que expresa el año en que cumplió 15 años? A) 26 B) 22 C) 24 D) 16 E) 18

8.

Una numerosa familia compuesta por 20 personas realizan una reunión familiar por cada cumpleaños. Estando todos reunidos en marzo del año 2004, hicieron la suma de los años en que habían nacido cada uno de los presentes y luego sumaron las edades de todos ellos, dando la suma total un resultado de 40075. ¿Cuántas reuniones familiares faltan realizarse durante ese año? A) 7 B) 5 C) 6 D) 9 E) 17

9.

Una persona en el año 1975 se le preguntó por su edad y contestó: tengo en años la mitad del número que forman las dos últimas cifras del año de mi nacimiento. Hallar la suma de las cifras de su edad. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 10. Los tres hijos de Pepe tiene (2x + 9), (x + 1) y (x + 2) años respectivamente ¿Cuántos años tendrá que transcurrir para que la suma de las edades de los últimos sea igual a la del primero? A) 5 años B) 8 años C) 6 años D) 9 años E) 10 años 11. La edad de Javier es los 3/2 de la edad de Luis. Si Javier hubiera nacido, 10 años antes y Luis 5 años después, entonces la razón de ambas edades sería 16/5 de la razón que habría si Javier hubiera nacido 5 años después y Luis 10 años antes. ¿Qué edad tuvo uno de ellos, cuando nació el otro? A) 10 B) 20 C) 15 D) 16 E) 5

4.

Nataly normalmente termina sus clases a las 19h y a esa misma hora es recogida por su novio, que llega en su auto para llevarla a casa. Pero un día, salió a las 18h y se fue, sin perder tiempo, con dirección a su casa. Se encontró por el camino con su novio y llegó junto con él a su casa 36 minutos antes de lo acostumbrado. ¿Qué tiempo en minutos, estuvo caminando Nataly? A) 42 B) 36 C) 60 D) 50 E) 18

5.

Dos autos arrancando del mismo punto viajaron en direcciones opuestas. La velocidad de uno fue 80 km/h y del otro 70 km/h ¿En cuántas horas se apartarán 375 km? A) 2 h B) 2,5 h C) 3 h D) 4,5 h E) 4 h

6.

Abel salió en su carro con una velocidad de 40 km/h, dos horas después, María salió del mismo lugar. Ella manejó por la misma carretera a 50 km/h. ¿Cuántas horas ha manejado María cuando se encontró a Abel? A) 5 h B) 8 h C) 7 h D) 9 h E) 10 h

7.

Una lancha puede viajar a 20 km/h en aguas tranquilas, y puede navegar a 36 km; a favor de la corriente en el mismo tiempo que viaja río arriba 24 km ¿Cuál es la velocidad de la corriente? A) 2 km/h B) 3 km/h C) 4 km/h D) 5 km/h E) 6 km/h

8.

Una persona va de “A” hacia “B”, sale de “A” a media noche y recorre 50 m/min, en cierto punto sube a un caballo que recorre 120 m/min, y que salió de “A” 15 min. después de ella. La persona llega a “B” 20 minutos antes que si hubiera continuado caminando. Hallar la distancia AB . A) 2800 m B) 3600 m C) 2900 m D) 3200 m E) 3000 m

MOVILES 1.

2.

3.

Una persona sale de su casa todos los días a la misma hora y llega a su centro de trabajo a la hora exacta. Un día salió atrasado 25 minutos y duplica su rapidez, pero aún así llegó 10 minutos tarde ¿Cuántos minutos demora en llegar a su trabajo normalmente? A) 10 B) 20 C) 30 D) 35 E) 25

TAREA

Con una velocidad de 8 m/s, un maratonista se acerca frontalmente hacia una gran pared, si cuando el maratonista está a 174 m de la pared, emite un grito ¿Al cabo de qué tiempo el maratonista escuchará el eco? Considere que la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s. A) 2 S B) 3 S C) 1 S D) 1,5 S E) 2,5 S Dos obreros, uno viejo y otro joven, viven en un mismo apartamento y trabajan en la misma fábrica. El joven va desde la casa a la fábrica en 20 minutos; el viejo, en 30 minutos ¿En cuántos minutos alcanzará el joven al viejo andando ambos a su paso normal, si éste sale de casa 5 minutos antes que el joven? A) 15’ B) 10’ C) 20’ D) 12’ E) 18’ 17

1.

Mi tatarabuelo que nació en la primera mitad del siglo XIX, tuvo “x” años en el año x 2 y 126 años después del año en que él nació, yo tenía tantos años como lo expresa las dos últimas cifras del año de mi nacimiento. Al poner en conocimiento a mi profesor de lo que sucedía con mi edad, él dijo que con su edad ocurría lo mismo. ¿Qué edad tenía mi profesor cuando yo nací? A) 49 B) 51 C) 50 D) 48 E) 52

2.

Sabiendo que tengo 44 años. ¿Hace cuántos años tenía 4 años, más que 4 veces la edad que tenía cuando cumplí 4 años menos de la cuarta parte de mi edad actual? A) 6 B) 8 C) 12 D) 18 E) 4

3.

Dos móviles A y B separados 24 m. parten simultáneamente al encuentro con velocidades de 3 m/s y 5 m/s respectivamente. Después de qué tiempo los separa 72 m. A) 8 s B) 10 s C) 6 s D) 12 s E) 9 s

4.

Dos autos pasan por un mismo punto y se mueven en el mismo sentido con velocidades de 40 m/s y 20

m/s. Delante de ellos a 900 m hay un árbol. ¿Después de qué tiempo los móviles equidistarán del árbol? A) 28 s B) 45 s C) 32 s D) 30 s E) 15 s 5.

Observación: En 1 hora el minutero recorre 60 divisiones, luego: 1h 60 div 60 min 360° →

Un camino de A a B consta de una subida y una bajada; un peatón que se dirige de A a B pasa todo el camino en 13 h y en el camino de regreso demora 1 h menos. Si la subida va a 2 km/h y la bajada a 3 km/h ¿Cuál es la longitud del camino? A) 12 km B) 18 km C) 32 km D) 20 km E) 30 km

1 div = 1 min = 6°

Relación del recorrido del horario y minutero En cada hora la relación de recorrido de “H” y “m” es: H 5 divisiones = m 60 divisiones

H 1 = m 12 Lo cual significa que cada vez que el minutero avance “m” divisiones el horario avanzará “m/12” divisiones. 12

I. CALENDARIO Es un sistema de medida del tiempo, agrupados en unidades superiores, como semanas, meses, años, etc.

m 3

9

Observaciones: 1.

H

Considerar el número de días que atrae cada mes. Ener o 31

m div.

Febrer Marz o o 28 ó 29 31

Abri l 30

May o 31

Juni o 30

m/12 div 6

CALCULO DEL ÁNGULO “θ ” 1er CASO: Cuando el minutero adelanta al horario.

Juli o 31

12

Año normal año bisiesto Agost o 31 2.

Setiembr e 30

Octubr e 31

Noviembr e 30

Diciembr e 31

θ

m

+7

Martes 1

11 m - 30H 2

H

6

”m” antes que “H”

Un día se vuelve a repetir cada 7 días. +7

θ=

3

9

+7k

2do CASO: Cuando el horario adelanta al minutero. 12

Martes Martes . . . Martes 8 15

m

3.

Con respecto a un año.

9

θ

6

52 semanas Año

”H” antes que “m”

366 días Febrero (29 días)  Se repite cada 4 años ( 4 )

Bisiesto

III. CAMPANADA En general: Número de campanadas:

II. RELOJES

1

Instrumento empleado para medir o indicar el paso del tiempo y divide el día en horas, minutos y segundos. 12

11 10

1

m θ

9

2 30°

H

8 7

3 4

6

5

11 M 2

H

365 días ó Normal 12 meses (febrero trae 28 días) ó

θ = 30H -

3

H : Horario m : minutero θ : ángulo formado por el horario y el minutero

2

3

4

1°

2°

3°

I

I

I

Del gráfico:

n (n-1)° n° I

I

n+1 tiempo de cada intervalo

n° Campanadas = n° intervalos + 1 Ejemplo:

5 divisiones (1 división 1min)

18

1C

2C 1° 2seg

T

3C

4C

5C

2°

3°

4°

2seg

2 seg

2seg

=

4

x

2

=

8seg

5.

Siendo las 8 am empieza a adelantarse un reloj 5 min cada hora. ¿Que hora marcará cuando la hora correcta sea 10 pm del mismo día? A) 10:11 pm B) 11:10 pm C) 12:10 pm D) 11:20 pm E) 11:15 pm

6.

Un reloj que se atrasa 6 min. cada 2 h es sincronizado el 4 de mayo a las 4 pm. ¿Cual será el próximo día en la que volverá a marcar la hora exacta? A) 14 - may B) 16 - may C) 15 - may D) 12 - may E) 13 – may

7.

Hace 12 horas y media se descompuso un reloj sufriendo un atraso de 8 min cada 4 horas. Si en este instante marca 8h 57 min. ¿Cual es la hora correcta? A) 9 h 22 min B) 10 h 57 min C) 10 h 22 min D) 9 h 23 min E) 11 h 25 min.

8.

¿Qué ángulo forma el horario y minutero a las 5h 10 min. A) 90° B) 92° C) 95° D) 97° E) 98°

9.

Hallar la medida del ángulo que forman horario y minutero a las 3h 40 min A) 120° B) 125° C) 130° D) 145° E) 127°

Tiempo = n° de x Tiempo de Total intervalos cada intervalo ADELANTOS Y ATRASOS Estas situaciones se presentan como consecuencia de algún desperfecto en el reloj, por lo que no marcaran la hora correcta. Hora marcada por un reloj atrasado

Hora real

(-) atraso total

Hora marcada por un reloj adelantad

(+) adelanto total

• ADELANTOS

Donde: HM : Hora marcada HR : Hora real AD : Adelanto

HM = HR + AD • ATRASOS HM = HR - AT

10. ¿A que hora entre las 7 y las 8 las agujas de un reloj están en línea recta? A) 7h 5 3/11 min B) 7h 6 5/11 min C) 7h 5 5/11 min D) 7h 4 3/11 min E) 7h 4 5/11 min

Donde: HM : Hora marcada HR : Hora real AT : Atraso

11. ¿Qué hora será exactamente según el gráfico? EJERCICIOS 1.

2.

3.

4.

A) 9:32

Un reloj da 4 campanadas en 15s. En cuanto tiempo dará 12 campanadas A) 55 s B) 50s C) 60s D) 65s E) 70s

B) 9:34 C) 9:16 D) 9:36

Un reloj demora “x” segundos en dar (x+y) campanadas ¿cuanto tiempo demora en dar “xy” campanadas? A) (xy+1)/(x+y-1) B) (xy-1)/(x+y-1) C) x(y-1)/(x+y-1) C) x(xy-1)/(x+y-1) E) x(xy-1)(x+y-1)

E) 9.39

Dentro de 10 minutos faltará para las 5:00, los mismos minutos que transcurrieron desde las 3:00 hasta hace 20 minutos ¿Qué hora será dentro de 1 hora? A) 4:05 B) 3:05 C) 5:05 D) 6:05 E) 4:45

12. ¿Qué hora indica el gráfico? A) 1:43 B) 1:44

¿Qué hora es? Pilar responde: Ya pasaron las 11 y falta poco para las 12. Además dentro de 13 minutos faltará para las 13 la misma cantidad de minutos que habían pasado desde las 11 hasta hace 7 minutos ¿Qué quiso decir Pilar? A) 11h 20 min. B) 11h 34 min. C) 11h 54 min. D) 11h 56 min. E) 11h 57 min.

C) 1:43 7/11 D)

1:43

4/11 E) 1:43 3/11 19

En una bodega un comerciante vende tres clases de vino: A, B y C agrupando los barriles de 7 en 7. Llega un cliente y pide que se le venda 4 barriles de cada tipo.

13. ¿Qué hora es según el reloj? A) 2:42 B) 2:43 4/9 C) 2:44 D) 2:44 4/9 E) 2:43 2/9

Entonces esta comprando 4 por cada 7 barriles de cada tipo, lo cual podemos escribirlo como: El 4 por cada 7 < >

1.

TAREA Pepe tiene en casa un reloj de pared que toca la campana del siguiente modo: a la hora exacta, tantas campanadas como el número de la hora, a los 15, 30 y 45 minutos da una campanada. Un día Pepe vuelve a casa, al entrar oye una campanada, pasado un rato otra, pasado otro rato, otra, y así desde que entró; oye ocho veces una campanada, ¿Qué hora era cuando entró? A) 12:00 B) 12:15 C) 12:30 D) 1:.00 E) 11:00

2.

Un reloj se atrasa 2 min cada hora y otro se adelanta 3 min cada hora. Si los dos se sincronizan al medio día con un reloj normal. Cada cuanto tiempo volverá a marcar la hora exacta los tres relojes: A) 20 días B) 10 C) 6 D) 8 E) 30

3.

Un reloj indica la hora con igual número de campanadas. Para indicar las 5:00 emplea 12 segundos. Jesús se acuesta y en ese momento escucha que el reloj emplea en total 30 segundos para indicar dicha hora, y se levanta (al día siguiente) a una hora en que su reloj se demora 9 segundos para indicarla. ¿Cuántas horas descansó Jesús? A) 5 B) 6 C) 8 D) 7 E) 9

4.

5.

Si compramos 2 barriles de cada tipo de vino podríamos decir que estamos adquiriendo 2 por cada 7. El 2 por cada 7 < >

D) 9 : 35

2 11

3 11

C) 9 : 39

m n

Esto nos indica que de un total de “n” partes iguales estamos tomando “m” y podemos ilustrarlo así:

En particular, si n = 100 entonces

Estamos tomando: m por cada ciento < > el m por ciento Así: El “m” por ciento < >

m 100

El “m” por ciento de “a” < >

m 100

a

Ejercicios: - El 3 por 7 es: ................ - El 9 por 17 es: ........................ - EL 4 por 9 de 36 es: ...................... - El 20 por ciento de 45 es: ....................... - El “a” por “b” es: ......................................... Equivalencias:

Cindy al ver la hora confunde el minutero por el horario y viceversa, y dice guiada por lo que ella cree que es; son las 4:48 ¿Qué hora es realmente? B) 9 : 38

2 7

En general: el m por cada n < >

Un campanario estuvo tocando durante 45 segundo, y se escucharon tantas campanadas como un vez más el tiempo que hay entre campanada y campanada. ¿Cuánto tiempo empleará este campanario para tocar 9 campanadas? A) 20s B) 21s C) 24s D) 40s E) 22s

A) 9:24

4 7

3 11

E) 9:37

20

D) 30%

Aplicación Comercial Pv = Pc + G Pv = Pc -

Al vender con pérdida

14. ¿A qué aumento único equivalen 2 aumentos sucesivos del 20% y 30%? A) 36% B) 46% C) 76% D) 56% E) 26%

Donde: GB: Gana Bruta GN: Ganancia Neta

3.

17. ¿En qué porcentaje ha variado el área de un rectángulo si la base se ha incrementado en un 60% y la altura ha disminuido en un 30%? A) 10% B) 12% C) 14% D) 22% E) 8% 18. ¿Cuántos litros de agua contiene una mezcla de 120 litros de alcohol al 70%? A) 84 B) 36 C) 56 D) 64 E) 100

C) 3,24

Si K es el 150% de L. ¿Qué porcentaje de L es (K+L)? A) 200% B) 250% C) 300% D) 350% E) 400%

5.

Hallar el 50% del 40% del 30% del 20% de 500. A) 8 B) 6 C) 4 D) 5 E) 10 El precio de un artículo aumento de 24 a 30 soles. ¿Cuál fue el porcentaje de aumento? A) 5% B) 10% C) 15% D) 20% E)25%

7.

16. La base de un triángulo aumenta 30%, y la altura disminuye 30%. ¿En qué porcentaje varía su área? A) 17% B) 8% C) 9% D) 10 E) 11%

C) 200

4.

6.

15. Si el área de un cuadrado disminuye en 36%.¿En qué porcentaje a disminuido su lado? A) 80% B) 50% C) 40% D) 30% E) 20%

EJERCICIOS Hallar el uno por tres del dos por cuatro del seis por ocho del 16 por uno de 20. A) 40 B) 20 C) 30 D) 50 E) 60

8% de 36 es 72%, ¿de qué número? A) 2,06 B) 2,88 D) 4 E) 40

¿A cómo se debe vender lo que costó 60 soles para ganar el 60% del precio de venta? A) 100 B) 150 C) 200 D) 250 E) 300

13. Tres descuentos sucesivos del 20%, 30% y 40% equivale a un descuento único de: A) 36,4% B) 46,4% C) 56,4% D) 66,4% E) 76,4%

GB = GN + Impuestos o Gastos s

De qué número es 160 el 20% menos. A) 180 B) 190 D) 220 E) 60

9.

12. ¿A qué descuento único equivale 2 descuentos sucesivos del 20% y 30%? A) 40% B) 42% C) 44% D) 46% E) 50%

También:

2.

¿A cómo se debe vender lo que costó 60 soles para ganar el 60%? A) 96 B) 98 C) 100 D) 102 E) 104

11. A un hospital llegan 80 enfermos de los cuales mueren 30. ¿Qué porcentaje de los que no murieron; murieron? A) 50% B) 60% C) 70% D) 80% E) 40%

Donde: Pc: Precio de costo Pv: Precio de venta G: Ganancia Pf: Precio fijado P: Pérdida Dcto: Descuento

1.

8.

10. Un sastre vende dos camisas a 60 soles cada una. En una camisa gana 25% de lo que costó hacerla y en la otra pierde el 25% de su costo. ¿Ganó o perdió en la venta?¿Cuánto? A) Perdió 6 soles B) Perdió 8 soles C) Perdió 10 soles D) Ganó 6 soles E) Ganó 8 soles

Al vender con ganancia P

E) 35%

19. ¿Cuántos litros de agua debemos agregar a 36L de una mezcla alcohólica de 25° para obtener una nueva mezcla de 10°? A) 50L B) 64L C) 84L D) 74L E) 54L 20. Una tela al lavarse se encoge el 10% en el ancho y el 20% en el largo. Si se sabe que la tela tiene 2 metros de ancho.¿Qué longitud debe comprarse si se

La población de una ciudad en 1997 era 60 000 habitantes y en 2007 era de 72 000 habitantes. ¿Cuál fue tasa de incremento en la población? A) 10% B) 20% C) 25% 21

necesitan 36 metros cuadrados de tela después de lavada? A) 28 B) 34 C) 25 D) 50 E) 75

Estas operaciones relacionan al operador matemático con cantidades numéricas mediante una “ley de formación”. 1era componente

TAREA 1.

Un recipiente está lleno de una mezcla de alcohol y agua al 60%. Si se extrae la mitad de la mezcla y se remplaza por agua, y luego se extrae la mitad de la nueva mezcla y se remplaza por agua. ¿Cuál es la concentración final de la mezcla? A) 45% B) 60% C) 65% D) 80% E) 15%

2.

x

2da componente X θ Y = x + 2xy + y2 2

Operador Definición de matemático Operador

EJERCICIOS

¿Qué tanto por ciento de la región cuadrada está sombreada? A) 50% B) 63%

= 2x - 1

1.

C) 62 1/3%

Q =

E) 62 ½%

= 4x + 7

3

+

2

3. Un boxeador decide retirarse cuando tenga un 90% de triunfos en su carrera. Si ha boxeado 100 veces, obteniendo 85 triunfos. ¿Cuál es el número mínimo de peleas adicionales necesarias para que el boxeador se pueda retirar? A) 5 B) 25 C) 50 D) 75 E) 10

x

= x2 - 1

x

= x(x+2)

x

= 2x - 1

x

= 4x + 7

Hallar: Q =

3

A) 11 D) 14

4. Se tiene una solución de alcohol y yodo con un 30% de yodo. ¿Cuántos litros de alcohol puro debe añadirse a 20 L de esta solución, para obtener una nueva solución con 12% de yodo? A) 10 L B) 20 L C) 30 L D) 40 E) 50 L

5.

A) 1 D) 4

(UNIVERSAL

3

+

2

B) 2 E) 7 x P y

4. Si :

hallar:

C) 3

 =P(x) −P(y) 

R =

P(4) P(2)

A) 1 D) 2

a).-OPERADOR CLÁSICO CONVENCIONAL)

C) 13

= x(x+2)

hallar : Q =

5. Si:

2

= x2 - 1

x x

1.-OPERADOR MATEMÁTICO. Son símbolos que representan una operación matemática. Pueden ser clásicos o arbitrarios.

+

B) 12 E) 15

3. Si:

De los alumnos de una de las aulas de AUNO, el 40% son mujeres. Si el número de mujeres aumenta en 30% y el de los hombres en 20%, ¿En qué porcentaje aumentó el total de alumnos? A) 10% B) 12% C) 18% D) 20% E) 24%

+;-;x;÷;

C) 19

2. Si :

D) 61 1/9%

x

Si: A * B = 3A2 + 2B2 Hallar : 2 * 3 A) 10 B) 12 D) 20 E) 35

B) 4 E) 3

C) 1/2

= x2 calcular.

x

“n” cuadriláteros.

O

2

...........

A) a2n

; ∑ ; ...

D)

22

B) 2n n

E) 2 n+1

6. Se define en IR.

b).-OPERADORES ARBITRARIOS.

Z = Z(Z – 24)

∇ ;◊ ;° ;θ ;∆ ;⊗ ;⊕ ;...

Además:

2.-OPERACIÓN MATEMÁTICA. 22

x

= 4x – 40

C) 2 n-1

Hallar el valor de: 23

12. Se define :

-2

A) 3 D) 8

a B) – 4

E) 0

a (b

b=

a) ; a

b >0

C) 5 Calcular: 32

7. Si el conjunto: A = {0, 1, 3} definimos la operación (#) por:

4

A) 16 D) 32

B) 8 E) 64

C) 4

13. Se define: De las proposiciones, determinar el valor de verdad o falsedad: I 3#1=1#3 II. (1 # 0) # 3 = 3 # (0 # 3) III. (3 # x) # 0 = 1 → x # 1 = 3 A) VVF D) VVV

B) FFF E) VFF

a ; Si 0 ≤b ≤10

b=

a

b

2

; otros casos

Hallar la suma de cifras del resultado de: E=(2

C) VFV

11)

5

A) 1 D) 5

8. Dada la tabla:

B) 0 E) 6

C) 2

14. Si:

X Halle “x” en: ((2-1 * 3)-1 * x-1) * ((4-1 * 2) * 4)-1 = 2 A) 1 D) 4

B) 2 E) N.A.

9. Si a * b =

Además: Calcular:

7

B) 243/12 E) 343/15

B) 27 E) 35

15. Si: a+1 =2a +3 Determinar: E =

= 13

.. .

a

.. .

A) 1 D) 4

+ 2 C) 25

C) 15

x = 3x+1 x–1

2

.. .

Resolver:

=8x+9

A) 9 D) 42

Dar el valor de: 3-1 * 5-1

10. Se define:

X

C) 3

ab

A) 243/15 D) 343

= 32 x – 31

B) 2 E) 5

C) 3

A) 256x + 255 C) 729x + 728 E) 256x – 255

.. .

8 operadores

B) 256x + 257 d) 729x – 728

11. Si: 16. Si: a

a b

= 4a

b= a+b–6

Si además “a-1” es el elemento inverso de “a”. Calcular. E = 10–1

A – 1 =a + 2

Calcular: 10 A) 1 D) 8

4

A) 2 D) 5

5–1 B) 3 E) 6

C) 4

80 B) 5 E) 10

17. Sea (

C) 7

) la operación en:

A = {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8} definida por la tabla siguiente: 23

1

Calcular: E = 3 A) 36 D) 1296 2.

Si:

[( a

−1

2 −1 )

(6

8) −1

]

−1

=2

B) 216 E) 1

Se tiene: 84 120

20 = 88 25 = 110

200

3 = 106

Calcule: 14

43

A) 7 D) 79

Hallar el valor de “a”

C) 712

B) 93 E) 96

C) 86

Observación: a −1 es el elemento inverso de a respecto de (

3.

).

Se define en

:a

b = a+b –

10 3

a–1: Elemento inverso de “a”.

A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 18. Se define una operación @ mediante la siguiente tabla:

El 3–1 para dicha operación es de la forma donde

n es una fracción irreductible. m

Halle: E = (n – m)2 A) 11 D) 64 4.

B) 14 E) 196

C) 21

Se define en R

Calcule: 50 @ 18 A) 77 D) 98

B) 89 E) 96

C) 99

19. Se define la operación mediante la tabla:

Halle: (5

3) + (1

A) 268 D) 1 5.

Calcular: 2005 A) 10025 D) 14033

2006

1000x + 20

X=

x( x + 1) 2

Si:

x

; ∀

x∈ N

= 231. Calcular el Valor de “x”.

Si: m2 – 2 = m

B) 2 E) 5

C) 3

. .2 .

.. .

Si:

Definimos:

Calcular:

TAREA

C) 5

.. .

6.

1.

B) 270 E) 300

A) 1 D) 4

B) 4012 C) 14037 E) 14041

25)

= 1000 x + 29

A) 2100 D) 2 7. 24

B) 00 E) 0

Si: x + 2x = 4 x + 11

.. . C) 1

3x – 4x = 2 x + 3

n ; m

Calcular: A) 22 D) 21

1.

2.

3.

8. B) 18 E) 24

C) 17

PRÁCTICA Nº I Ana tiene el doble de lo que tiene Luisa en dinero, luego Ana le prestó cierta suma a Luisa, por lo que ahora Luisa tiene el triple de lo que le queda a Ana. Sí el préstamo que pidió Luisa excede en S/. 6 a lo que tenía inicialmente, ¿Con cuánto se quedó Ana? A) S/. 12 B) S/. 18 C) S/. 30 D) S/. 15 E) S/. 24

10. Una persona compra naranjas, la mitad a cinco por seis soles y el resto a seis por siete soles. Vende la mitad a tres por cuatro soles y las demás a cuatro por cinco soles. Se desea saber ¿cuántas naranjas habrá vendido? si ganó 39 soles. A) S/.330 B) S/.350 C) S/.360 D) S/.630 E) S/.530

Luís y José salieron de cacería, trajeron patos y conejos. Luís mató el doble de patos de lo que mató en conejos. José mató tantos conejos como Luís. Si entre los dos trajeron 21 especimenes, con un total de 54 patas. ¿Cuántos patos mató José? A) 3 B) 12 C) 15 D) 9 E) 6

11.

04. Los ahorros de un niño constan de (n+1), (3n−5) y (n+3) monedas de S/.5, S/.10 y S/.20 respectivamente. ¿A cuanto asciende sus ahorros, si al cambiarlo en monedas de S/.25 el número de monedas obtenidas es el doble del número de monedas de S/.5? A) S/.360 B) S/.400 C) S/.345 D) S/.440 E) S/.900

4.

Un alumno pide en una librería 4 lápices y “n” lapiceros. Si se sabe que el costo de los lápices es una vez más el costo de los lapiceros. El vendedor se confunde el pedido y le entrega “n” lápices y 4 lapiceros, dicho error lo llevó a pagar la mitad más de lo que debió pagar. Hallar “n” A) 12 B) 18 C) 14 D) 16 E) 10

5.

Se quiere colocar cierto número de fichas de modo que formen un cuadrado completo. En la primera disposición sobran 8 fichas; formando el cuadrado con una ficha más por lado faltan 23. ¿Cuántas son las fichas? A) 247 B) 253 C) 243 D) 233 E) 223

6.

Aniceta que tiene el hábito de lavarse la cabeza diariamente utiliza la misma cantidad de champú. Después de 15 días observa que ha consumido la cuarta parte del frasco. Veinte días más tarde observa que aún le quedan 50 centímetros cúbicos. ¿Cuántos centímetros cúbicos de champú consume diariamente en cada lavado de cabeza? A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) 6

7.

Un auto debe recorrer 10 km, si leva una llanta de repuesto y todas se utilizaron de modo alternado. ¿Qué distancia recorrió cada llanta? A) 2 km B) 2,5 km C) 8 km D) 10 km E) 6 km 9. Cada día un empleado, para ir de su casa a su oficina, gasta S/.2 y de regreso S/.4. Si ya gastó S/.92, ¿Dónde se encuentra el empleado? A) En la oficina B) En la casa C) A mitad de camino a la casa D) A mitad del camino a la oficina E) No se puede determinar

5

Una persona compra peras, la tercera parte del total a cuatro por cinco soles, la cuarta parte del resto a cinco por seis soles y el resto a seis por siete soles. Vende la quinta parte del total a uno por dos soles, la sexta parte del resto a dos por tres soles y las demás a tres por cuatro soles. Se desea saber ¿cuántas peras habrá vendido?, si ganó 416 soles. A) 1400 B) 1500 C) 1600 D) 1440 E) 1550

12. Un microbús hace un trayecto de Lima a Huacho. En cierto viaje recaudó S/.33 000 por pasajeros adultos y S/.17 500 por los niños. En el trayecto se observó que por cada adulto que bajó subieron 3 niños, y por cada niño que bajó subieron 2 adultos. Si al paradero final llegó con 20 adultos y 26 niños. ¿Con cuántos adultos y niños salió del paradero inicial, si el pasaje adulto vale S/.1100 y el de niño S/.500? A) 11 y 6 B) 10 y 7C) 12 y 5 D) 12 y 6 E) 13 y 8 13. Dos coches parten de un punto y se alejan en direcciones perpendiculares con velocidades de 30 y 40 m/s ¿En qué tiempo estarán separados 24 km? A) 10 min B) 9 minC) 8 min D) 7 min E) 12 min 14. La suma de las edades de un padre, de su hijo y de su hija es 65 años. Si 10 años más tarde el padre tendrá el doble de la edad del hijo y hace 5 años la edad de éste era el doble de la edad de su hermana, halle la edad del hijo. A) 15 años B) 18 años C) 21 años D) 23 años E) 25 años 15. Laura le dice a Pamela : Yo tengo el doble de la edad que tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas el doble de la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades sería 8. Hallar la edad de Pamela. A) 18 B) 21 C) 24 D) 28 E) 32

Un zorro perseguido porun galgo le lleva 50 saltos de ventaja y da 4 saltos mientras el galgo sólo da 3; pero 2 saltos del galgo equivalen a 3 del zorro. ¿Cuántos saltos dará el galgo para alcanzar al zorro? A) 250 B) 300 C) 320 D) 360 E) 400

16. La suma de las edades de una pareja de esposos, cuando nació su primer hijo, era la mitad de la suma de sus edades actuales. Si ahora el hijo tiene 25

20 años. ¿Qué edad tenía cuando las edades de los 3 sumaban 70 años? A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 18

D) S/.600

E) S/.350

24. Un pantalón cuesta 5 veces lo que una truza. Si compro ambos artículos, me rebajan el pantalón en 30% y la truza en 20% y así quedaría beneficiado con una rebaja de S/.357. Cuál es el precio de la truza? A) S/.200 B) S/.210 C) S/.220 D) S/.240 E) S/.230

17. ¿Qué hora indica el reloj de la figura? A) 4:35 B) 4:36

25. Un tirador debe acertar en total el 60% de los disparos que realiza; le dan 85 balas y ya ha disparado 45, consiguiendo sólo 19 aciertos. ¿Qué porcentaje de las balas que quedan debe acertar para cumplir el porcentaje requerido? A) 75% B) 60% C) 99% D) 80% E) 25%

C) 4:37 D) 4:38 E) 4:39 18. En la tarde de un determinado día, un poste de 10 metro de altura proyecta una sombra de 10 3 metros. En ese instante, ¿cuál es el ángulo que forman las agujas del reloj? A) 100º B) 140º C) 120º D) 60º E) 80º

26. ¿Qué porcentaje representa la región sombreada con respecto a la región no sombreada?

19. Kike feliz de continuar su lectura dice: "son más de las 6 sin ser las 9 de la noche. ¿Cuánto falta para acabar este lindo día?, iAh! me olvidaba hace 20 minutos la mitad de los minutos que habían transcurrido desde las 6 era igual a 1/3 del tiempo que falta transcurrir hasta las 9 dentro de 40 minutos? A) 5h 52’ B) 8h 20’ C) 4h 52’ D) 6h 19’ E) 7h 10’

A) 20% D) 25%

20. ¿Qué hora será exactamente según el gráfico?

11

A) 2:16 B) 2:18

12

1 2

10

C) 2:32 D) 2:24 E) 2:08

9

α

4

8

7 21. Un reloj demora (m + 1) seg. en tocar m2 campanadas. campanadas tocará en 1 seg?. A) m/2 B) 2 m D) m E) m – 1

3

2α

6

5 ¿cuántas C) m + 1

22. Si el 3 por 20 de mujeres y el 18 por 40 de los hombres de una población fuman y el 9 por 15 de la población total no son mujeres. ¿Qué tanto por ciento de la población no fuma? A) 33% B) 36% C) 48% D) 64% E) 67% 23. Un comerciante vendió un artículo y parte del importe lo invirtió en la compra de otro artículo, el que vendió con una utilidad del 40%, Esta utilidad equivale al resto del importe de la venta. Si el importe de la venta del primer artículo y el costo del segundo artículo suman S/.2 400 ¿cuánto ganó en la segunda venta? A) S/.400 B) S/.450 C) S/.500 26

B) 10% E) 33%

C) 30%

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