rayos X

1330

C APÍT U LO 38 Fotones, electrones y átomos

Entonces, las emisiones estimuladas durante transiciones de un estado 5s a un estado 3p causan la emisión de luz muy coherente a 632.8 nm, como se ve en la figura 38.24a. En la práctica, el haz se envía de ida y vuelta muchas veces a través del gas, mediante un par de espejos paralelos (figura 38.24b), para estimular la emisión de tantos átomos excitados como sea posible. Uno de los espejos es parcialmente transparente, y una parte del haz emerge como haz hacia el exterior. El resultado neto de todos esos procesos es un rayo de luz que puede ser bastante intenso, sus rayos luminosos son paralelos, es muy monocromático y es espacialmente coherente en todos los puntos en una determinada sección transversal. En otras clases de láseres se usan distintos procesos para alcanzar la inversión de población necesaria. En un láser semiconductor, la inversión se obtiene impulsando electrones y huecos a una unión p-n (que se describirá en la sección 42.7) con un campo eléctrico constante. En un tipo de láser químico, una reacción química forma moléculas en estados excitados metaestables. En un láser dinámico de dióxido de carbono gaseoso, la inversión de población se debe a la expansión rápida del gas. Un máser (acrónimo de microwave amplification by stimulated emission of radiation, amplificación de microondas por emisión estimulada de radiación) funciona con base en inversiones de población en moléculas y utiliza niveles de energía cercanos. La radiación emitida correspondiente está en el intervalo de las microondas. La acción del máser llega a presentarse en la naturaleza, en las nubes de gas interestelar. Los láseres tienen una gran variedad de aplicaciones prácticas. Un rayo láser de gran intensidad puede perforar un agujero diminuto en un diamante para hacer un troquel y extrudir (es decir, dar forma a) alambres de diámetro muy pequeño. Con frecuencia, los topógrafos usan láseres, en especial en casos que requieren gran precisión, como la perforación de un túnel largo a partir de sus dos extremos; el haz láser tiene rayos paralelos que pueden recorrer grandes distancias sin dispersarse. En medicina los láseres tienen diversas aplicaciones. Un láser con un haz intenso y muy angosto se emplea en el tratamiento del desprendimiento de retina; una ráfaga corta de radiación daña una pequeña área de la retina y el tejido cicatrizal que resulta “suelda” la retina nuevamente a la membrana de donde se despegó (véase la figura 33.2). Los rayos láser se usan en cirugía; los vasos sanguíneos que corta el rayo tienden a sellarse a sí mismos y facilitan el control de la hemorragia. También se usan láseres para destrucciones selectivas de tejidos, como en la remoción de tumores. Evalúe su comprensión de la sección 38.6 Una lámpara ordinaria de neón (como las de los letreros luminosos) emite luz roja con la misma longitud de onda de 632.8 nm que el láser de helio-neón. La luz emitida por una lámpara de luz neón es i) una emisión espontánea; ii) una emisión estimulada; iii) tanto una emisión espontánea como una emisión estimulada.

❚

38.7 Producción y dispersión de rayos x 38.25 Aparato usado para producir rayos x, parecido al que utilizó Röntgen en 1895.

+

Se emiten electrones termoiónicamente del cátodo caliente, y son acelerados hacia el ánodo; cuando chocan con éste, se producen los rayos x. Cátodo calentado Ánodo Suministro de potencia para el calefactor Haz de rayos x + Voltaje de aceleración V

La producción y la dispersión de rayos x son ejemplos adicionales de la naturaleza cuántica de la radiación electromagnética. Los rayos x se producen cuando los electrones que se mueven rápidamente, y que fueron acelerados a través de una diferencia de potencial del orden de 103 a 106 V, chocan con un metal. Wilhelm Röntgen (18451923) los produjo por primera vez en 1895, usando un dispositivo similar, en principio, al arreglo que se representa en la figura 38.25. Los electrones se expulsan del cátodo calentado por emisión termoiónica, y son acelerados hacia el ánodo (el objetivo) mediante una gran diferencia de potencial VAC. El bulbo se evacua (presión residual 1027 atm o menor), para que los electrones puedan ir del cátodo al ánodo sin chocar con moléculas de aire. Cuando VAC es de algunos miles de volts o más, la superficie del ánodo emite una radiación muy penetrante.

Fotones de rayos x Debido a que se emiten por medio de cargas aceleradas, es lógico que los rayos x sean ondas electromagnéticas. Al igual que la luz, los rayos x están gobernados por relaciones cuánticas en su interacción con la materia. Entonces podemos hablar de fotones o cuantos de rayos x, y la energía de un fotón de rayo x se relaciona con su frecuencia

1331

38.7 Producción y dispersión de rayos x

y su longitud de onda en la misma forma que los fotones de luz, E 5 hf 5 hc>l. Las longitudes de onda características de los rayos x son de 0.001 a 1 nm (10212 a 1029 m). Estas longitudes de onda pueden medirse con gran precisión mediante técnicas de difracción en cristales, que describimos en la sección 36.6. La emisión de rayos x es lo inverso del efecto fotoeléctrico. En la emisión fotoeléctrica, hay una transformación de la energía de un fotón en energía cinética de un electrón; en la producción de rayos x hay una transformación de la energía cinética de un electrón en la energía de un fotón. Las relaciones de energía son parecidas. En la producción de rayos x a menudo se ignora la función trabajo del material que sirve de blanco, al igual que la energía cinética de los electrones “evaporados”, ya que esas energías son muy pequeñas con respecto a las demás que se manejan. En la emisión de los rayos x intervienen dos procesos distintos. En el primero, algunos electrones son frenados o detenidos por el blanco (el material golpeado por los electrones), y parte o toda su energía cinética se convierte en forma directa en un espectro continuo de fotones, incluyendo los rayos x. A este proceso se le llama bremsstrahlung (palabra alemana que significa “radiación de frenado”). La física clásica es totalmente incapaz de explicar por qué los rayos x que se emiten en el proceso de bremsstrahlung tienen una frecuencia máxima fmáx y una longitud de onda correspondiente mínima, lmín , y mucho menos puede predecir sus valores. Con los conceptos cuánticos, en cambio, es algo sencillo. Un electrón tiene la carga 2e, y gana energía cinética eVAC al acelerarse a través de un aumento de potencial VAC. El fotón más energético (el de máxima frecuencia y longitud de onda más corta) se produce cuando toda su energía cinética se emplea en producir el fotón; esto es, eVAC 5 hfmáx 5

hc lmín

(límites de bremsstrahlung)

(38.22)

Observe que la frecuencia máxima y la longitud de onda mínima en el proceso de bremsstrahlung no dependen del material del blanco. El segundo proceso causa picos en el espectro de rayos x en frecuencias y longitudes de onda características que sí dependen del material del blanco. Otros electrones, si tienen la energía cinética suficiente, pueden transferirla en parte o en forma total a átomos individuales en el blanco. Esos átomos quedan en niveles excitados; cuando decaen y regresan a sus niveles fundamentales, pueden emitir fotones de rayos x. Como cada elemento tiene un conjunto único de niveles de energía en sus átomos, también cada uno tiene un espectro de rayos x característico. Los niveles de energía correspondientes a los rayos x son de carácter muy distinto de los correspondientes a espectros visibles; implican huecos en las configuraciones electrónicas internas de átomos complejos. Las diferencias de energía entre esos niveles pueden ser de cientos o miles de electrón volts, no de unos cuantos, como es característico en los espectros ópticos. En la sección 41.5 regresaremos a los niveles de energía y a los espectros asociados con los rayos x.

Ejemplo 38.7

Producción de rayos x

Los electrones son acelerados en un tubo de rayos x mediante una diferencia de potencial de 10.0 kV. Si un electrón produce un fotón al chocar con el blanco (o ánodo), ¿cuál es la longitud de onda mínima de los rayos x resultantes? Conteste tanto en unidades del SI como en electrón volts.

SOLUCIÓN IDENTIFICAR: Para producir un fotón de rayo x con longitud de onda mínima y, por consiguiente, con energía máxima, toda la energía cinética de un electrón debe transformarse y producir un solo fotón de rayo x.

EJECUTAR: De acuerdo con la ecuación (38.22) y usando unidades del SI tenemos: lmín 5

5 1.24 3 10 210 m 5 0.124 nm En electrón volts, se tiene que lmín 5

PLANTEAR: Usaremos la ecuación (38.22) para determinar la longitud de onda en este caso.

1 6.626 3 10 234 J # s 2 1 3.00 3 10 8 m / s 2 hc 5 eVAC 1 1.602 3 10 219 C 2 1 10.0 3 10 3 V 2

1 4.136 3 10 215 eV # s 2 1 3.00 3 10 8 m / s 2 hc 5 eVAC e 1 10.0 3 10 3 V 2

5 1.24 3 10 210 m 5 0.124 nm continúa

1332

C APÍT U LO 38 Fotones, electrones y átomos

Observe que la “e” en las unidades eV se cancela con la “e” de la magnitud de la carga del electrón, porque el electrón volt (eV) es la magnitud de la carga del electrón e por un volt (1 V). EVALUAR: Para comprobar nuestro resultado, recordemos, del ejemplo 38.6 (sección 38.5), que un fotón de 10.2 eV de energía tiene una

longitud de onda de 122 nm. En este ejemplo, la energía del electrón y, en consecuencia, la energía del fotón de rayo x es 10.0 3 103 eV 5 10 keV (unas 103 veces mayor que en el ejemplo 38.6), y la longitud de onda es aproximadamente 1023 veces menor que en el ejemplo 38.6. Esto tiene sentido, porque la longitud de onda y la energía del fotón son inversamente proporcionales.

Dispersión de Compton ONLINE

17.4

Dispersión de Compton

Un fenómeno llamado dispersión de Compton, que explicó por primera vez el físico estadounidense Arthur H. Compton, ofrece una confirmación adicional directa de la naturaleza cuántica de los rayos x. Cuando esos rayos chocan con la materia, algo de su radiación se dispersa, de la misma forma que la luz visible que incide sobre una superficie áspera sufre una reflexión difusa. Compton y otros científicos descubrieron que parte de esa radiación dispersada tiene menor frecuencia (mayor longitud de onda) que la radiación incidente, y que el cambio de longitud de onda depende del ángulo en el que se dispersa la radiación. En forma específica, la radiación dispersada sale formando un ángulo f con la radiación incidente (figura 38.26), y si l y lr son las longitudes de onda de la radiación incidente y de la dispersada, respectivamente, se ve que lr 2 l 5

h 1 1 2 cos f 2 mc

(dispersión de Compton)

(38.23)

donde m es la masa en reposo del electrón. Las unidades de la cantidad h>mc que aparece en la ecuación (38.23) son de longitud. Su valor numérico es h 6.626 3 10234 J # s 5 5 2.426 3 10212 m mc 1 9.109 3 10231 kg 2 1 2.998 3 108 m / s 2 Con la teoría electromagnética clásica no se puede explicar la dispersión de Compton, la cual pronostica que la onda dispersada tiene la misma longitud de onda que la onda incidente. Sin embargo, la teoría cuántica ofrece una explicación notablemente clara. Imaginemos el proceso de dispersión como una colisión de dos partículas, el fotón incidente y un electrón que inicialmente está en reposo, como en la figura 38.27a. El fotón incidente desaparece y cede parte de su energía y su cantidad de movimiento al electrón, el cual retrocede como resultado de este impacto. El resto se transforma en un fotón nuevo, dispersado, que en consecuencia tiene menos energía, menor frecuencia y mayor longitud de onda que el incidente (figura 38.27b). La ecuación (38.23) se puede deducir a partir de los principios de la conservación de la energía y de la cantidad de movimiento. A continuación describiremos esta deducción, y lo invitamos a completar sus detalles (véase el ejercicio 38.41). La energía de retroceso del electrón puede estar en el intervalo relativista, por lo que se deben usar las ecuaciones relativistas de energía y cantidad de movimiento, las ecuaciones (37.39) S y (37.40). El fotón incidente tiene una cantidad de movimiento p , con magnitud p y S energía pc. El fotón dispersado tiene una cantidad de movimiento p r, de magnitud pr y energía prc. El electrón está en reposo al principio, y su cantidad de movimiento inicial es cero, y su energía inicial es su energía en reposo, mc 2. La cantidad de moviS miento final del electrón es Pe , de magnitud Pe , y la energía final del electrón es Ee2 5 1 mc 2 2 2 1 1 Pec 2 2. Así, la conservación de la energía determina la relación pc 1 mc 2 5 prc 1 Ee 38.26 Un experimento del efecto Compton.

Fotones dispersados Fuente de rayos x

l Fotones incidentes

lr

Blanco

φ

Detector El cambio en la longitud de onda depende del ángulo en el que los fotones se dispersan.

1333

38.7 Producción y dispersión de rayos x 38.27 Esquema de la dispersión de Compton. b) Después del choque: el ángulo entre las direcciones del fotón dispersado y el fotón incidente es f.

a) Antes del choque: el electrón blanco está en reposo. Fotón incidente: longitud de onda l, cantidad de S movimiento p

Electrón blanco (en reposo)

c) Diagrama vectorial que muestra la conservación de la cantidad de movimiento S S S en el choque: p ⴝ pr ⴙ Pe. S

S

Fotón dispersado: longitud de onda lr, cantidad de S movimiento pr

pr

f

Pe

S

p

f

Electrón en retroceso: S cantidad de movimiento Pe

Al reacomodar queda

1 pc 2 prc 1 mc 2 2 2 5 Ee2 5 1 mc 2 2 2 1 1 Pec 2 2

(38.24) S

De esta ecuación podemos eliminar la cantidad de movimiento del electrón, Pe, usando la conservación de cantidad de movimiento (figura 38.27c): S

S

S

p 5 p r 1 Pe

S

S

o

S

(38.25)

Pe 5 p 2 p r Sacando el producto escalar de cada lado de la ecuación (38.25) por sí mismo, o usando la ley de los cosenos en el diagrama vectorial de la figura 38.27c, obtenemos Pe2 5 p2 1 pr2 2 2ppr cos f

38.28 Intensidad en función de longitud de onda, para fotones dispersados en un ángulo de 135°, en un experimento de dispersión de Compton.

(38.26)

Ahora sustituimos esta ecuación de Pe2 en la ecuación (38.24), y multiplicamos el lado izquierdo. Dividimos entre un factor común c 2; varios términos se anulan, y cuando la ecuación que resulta se divide entre (ppr), el resultado es mc mc (38.27) 2 5 1 2 cos f pr p

Ejemplo 38.8

Intensidad por unidad de longitud de onda

Por último, se sustituye pr 5 h>lr y p5 h>l, y después multiplicamos por h>mc para obtener la ecuación (38.23). Cuando se miden las longitudes de onda de los rayos x dispersados en cierto ángulo, la curva de intensidad por unidad de longitud de onda en función de la longitud de onda tiene dos máximos (figura 38.28). El pico de mayor longitud de onda representa la dispersión de Compton. El de menor longitud de onda, identificado con l0, está en la longitud de onda de los rayos x incidentes, y corresponde a la dispersión de ellos por electrones firmemente enlazados. En esos procesos de dispersión debe retroceder todo el átomo, por lo que la m de la ecuación (38.23) es la masa de todo el átomo, y no la de un solo electrón. Los desplazamientos de longitud de onda que resultan son despreciables.

Fotones dispersados por electrones firmemente enlazados: desplazamiento mínimo de longitud de onda.

l0

Fotones dispersados por electrones enlazados débilmente: el desplazamiento de la longitud de onda obedece a la ecuación (38.23).

l9

λ

Dispersión de Compton

Utilice los fotones de rayos x del ejemplo 38.7 (con l 5 0.124 nm) en un experimento de dispersión de Compton. a) ¿En qué ángulo la longitud de onda de los rayos x dispersados es 1.0% mayor que la de los incidentes? b) ¿En qué ángulo es 0.050% mayor?

SOLUCIÓN IDENTIFICAR: Este problema se basa en la relación entre el ángulo de dispersión y el desplazamiento de longitud de onda en el efecto Compton. PLANTEAR: En cada caso, nuestra variable buscada es el ángulo f que se ve en la figura 38.27b. La despejaremos con la ecuación (38.23).

EJECUTAR: a) En la ecuación (38.23) deseamos que Dl 5 lr 2 l sea el 1.0% de 0.124 nm. Esto es, Dl 5 0.00124 nm 5 1.24 3 10212 m. Usando el valor h>mc 5 2.426 3 10212 m, vemos que Dl 5

h 1 1 2 cos f 2 mc

cos f 5 1 2

Dl h / mc

512

1.24 3 10 212 m 5 0.4889 2.426 3 10 212 m

f 5 60.7° continúa

1334

C APÍT U LO 38 Fotones, electrones y átomos

b) Para que Dl sea el 0.050% de 0.124 nm, es decir, 6.2 3 10214 m, cos f 5 1 2

6.2 3 10 214 m 5 0.9744 2.426 3 10 212 m

f 5 13.0°

EVALUAR: Al comparar nuestros resultados de los incisos a) y b) vemos que los ángulos menores dan desplazamientos menores de longitud de onda. Así, en una colisión rasante, la pérdida de energía del fotón y la energía de retroceso del electrón son menores cuando el ángulo de dispersión es mayor. Esto es justo lo que se espera de un choque elástico, ya sea entre un fotón y un electrón, o entre dos bolas de billar.

Aplicaciones de los rayos x

38.29 Este radiólogo maneja un aparato de tomografía computarizada (se ve por la ventana, arriba) desde un cubículo separado, para evitar exposiciones frecuentes a los rayos x.

Los rayos x tienen muchas aplicaciones prácticas en medicina y en la industria. Como los fotones de rayos x tienen una energía tan alta, son capaces de penetrar varios centímetros de materia sólida, por lo que se pueden usar para visualizar los interiores de materiales que son opacos a la luz ordinaria, como huesos rotos o defectos en el acero estructural. El objeto por visualizar se coloca entre una fuente de rayos x y una hoja grande de película fotográfica. El oscurecimiento de la película es proporcional a la exposición a la radiación. Una grieta o una burbuja de aire permiten mayor transmisión y se manifiesta como una zona oscura. Los huesos aparecen más claros que los tejidos blandos que los rodean, porque contienen mayores proporciones de elementos con menor número atómico (y mayor absorción); en los tejidos blandos predominan los elementos ligeros, como carbono, hidrógeno y oxígeno. Una técnica de rayos x empleada con frecuencia, que se ha mejorado notablemente, es la tomografía computarizada; al instrumento con que se obtiene se le llama escáner CT (por las siglas de computed tomography). La fuente de rayos x produce un haz delgado, en forma de abanico, que se detecta en el lado opuesto del sujeto mediante una serie de varios cientos de detectores alineados. Cada detector mide la absorción a lo largo de una línea delgada que atraviesa al sujeto. Todo el aparato gira en torno al sujeto, en el plano del haz, durante algunos segundos. Las tasas variables de conteo de fotones, en los detectores, se registran en forma digital; una computadora procesa esa información y reconstruye una imagen de absorción dentro de todo un corte transversal del sujeto (figura 38.29). Con las imágenes de CT se pueden determinar diferencias hasta del 1%, así como detectar tumores y otras anomalías que son demasiado pequeñas para verlas con las técnicas anteriores de radiología. Los rayos x provocan daños a los tejidos vivos. Cuando se absorben fotones de rayos x en los tejidos, su energía rompe enlaces moleculares y forma radicales libres muy reactivos (como H y OH neutros), que a la vez pueden perturbar la estructura molecular de las proteínas, y en especial del material genético. Las células jóvenes y las que crecen con rapidez son especialmente susceptibles; por esa razón, los rayos x son útiles en la destrucción selectiva de células cancerosas. Sin embargo, a la inversa, una célula puede ser dañada por la radiación, pero puede sobrevivir, continuar dividiéndose y producir generaciones de células defectuosas; por ello, los rayos x pueden causar cáncer. Aun cuando el organismo no muestre daños aparentes, su exposición excesiva a la radiación puede causar cambios en el sistema reproductor, los cuales afectarán a la descendencia. Es esencial tener una evaluación cuidadosa del balance entre los riesgos y los beneficios de la exposición a la radiación, en cada caso individual. Evalúe su comprensión de la sección 38.7 Si usted usara fotones de luz visible en el experimento de la figura 38.26, ¿los fotones sufrirían un desplazamiento de longitud de onda al dispersarse? Si así fuere, el ojo humano ¿podría detectar el desplazamiento? ❚

38.8 Espectros continuos Los espectros de línea son emitidos por materia en estado gaseoso, cuando los átomos están tan alejados entre sí que su interacción es despreciable, y cada uno se comporta como un sistema aislado. La materia caliente en estados condensados (sólido o líquido) emite casi siempre radiación con una distribución continua de longitudes de onda, y no un espectro de líneas. Una superficie ideal que absorbe todas las longitudes de onda de la radiación electromagnética que le llegan también es el mejor emisor posible de

Ejercicios 38.28. a) Demuestre que, conforme n se vuelve muy grande, los niveles de energía del átomo de hidrógeno se acercan cada vez más en energía. b) ¿Los radios de estos niveles de energía también se acercan?

Sección 38.6 El láser 38.29. ¿Cuántos fotones por segundo emite un láser de CO2 de 7.50 mW, cuya longitud de onda es 10.6 mm? 38.30. Cirugía PRK. La queratectomía fotorrefractiva (PRK) es un procedimiento quirúrgico basado en láser que corrige la miopía y la hipermetropía eliminando parte del cristalino del ojo para modificar su curvatura y, por lo tanto, su distancia focal. Este procedimiento puede remover capas de 0.25 mm de grosor mediante impulsos de 12.0 ns de duración de un haz láser con longitud de onda de 193 nm. Se pueden usar haces de baja intensidad porque cada fotón individual tiene suficiente energía para romper los enlaces covalentes del tejido. a) ¿En qué parte del espectro electromagnético se ubica esta luz? b) ¿Cuál es la energía de un solo fotón? c) Si se emplea un haz de 1.50 mW, ¿cuántos fotones llegan al cristalino en cada impulso? 38.31. Una gran cantidad de átomos de neón están en equilibrio térmico. ¿Cuál es la relación de la cantidad de átomos en un estado 5s con los que hay en un estado 3p a) a 300 K, b) a 600 K, c) a 1200 K? Las energías de esos estados se muestran en la figura 38.24a. d) En cualquiera de esas temperaturas, la rapidez con la que el neón gaseoso emite una radiación de 632.8 nm en forma espontánea es bastante pequeña. Explique por qué. 38.32. La figura 38.10 muestra los niveles de energía del átomo de sodio. Los dos niveles excitados más bajos aparecen en las columnas identificadas por 2P3>2 y 2P1>2. Calcule la razón entre la cantidad de átomos en estado 2P3>2 y la cantidad en estado 2P1>2 para sodio gaseoso en equilibrio térmico a 500 K. ¿En cuál estado hay más átomos?

Sección 38.7 Producción y dispersión de rayos x 38.33. Una diferencia de potencial de 4.00 kV acelera a unos protones, desde el reposo, y éstos chocan con un objetivo metálico. Si un protón produce un fotón en el impacto, ¿cuál es la longitud de onda mínima de los rayos x que resultan? ¿Cómo se compara su respuesta con la longitud de onda mínima si se emplean electrones de 4.00 keV? ¿Por qué los tubos de rayos x usan electrones y no protones para producir los rayos x? 38.34. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial mínima entre el filamento y el blanco de un tubo de rayos x, si se deben producir rayos x de 0.150 nm de longitud de onda? b) ¿Cuál es la longitud de onda mínima que se produce en un tubo de rayos x que funciona a 30.0 kV? 38.35. Rayos x en las pantallas de televisión. Los voltajes de aceleración en un cinescopio (un tubo de rayos catódicos, CRT) de televisión son aproximadamente de 25.0 kV. ¿Cuáles son a) la máxima frecuencia y b) la mínima longitud de onda (en nm) de los rayos x que produce una pantalla de televisión de este tipo? c) ¿Qué suposiciones necesitó hacer? (Los cinescopios de televisión contienen blindaje para absorber estos rayos x.) 38.36. Se producen rayos x en un tubo que trabaja a 18.0 kV. Después de salir del tubo, los rayos x con la longitud de onda mínima producida llegan a un blanco y se dispersan por efecto Compton en un ángulo de 45.0°. a) ¿Cuál es la longitud de onda del rayo x original? b) ¿Cuál es la longitud de onda de los rayos x dispersados? c) ¿Cuál es la energía de los rayos x dispersados (en electrón volts)? 38.37. Unos rayos x con longitud de onda inicial de 0.0665 nm sufren dispersión de Compton. ¿Cuál es la máxima longitud de onda que se encuentra en los rayos x dispersados? ¿A qué ángulo de dispersión se observa esa longitud de onda? 38.38. Un haz de rayos x de 0.0500 nm de longitud de onda tiene dispersión de Compton por los electrones de una muestra. ¿A qué ángulo, con respecto al haz incidente, hay que buscar para encontrar rayos x con longitud de onda de a) 0.0542 nm, b) 0.0521 nm y c) 0.0500 nm?

1345

38.39. Si un fotón con longitud de onda de 0.04250 nm choca con un electrón libre y se dispersa a un ángulo de 35.0° con respecto a su dirección original, calcule a) el cambio en la longitud de onda de este fotón; b) la longitud de onda de la luz dispersada; c) el cambio en la energía del fotón (¿se trata de una pérdida o de una ganancia?); d) la energía ganada por el electrón. 38.40. Un fotón se dispersa hacia atrás (u 5 180°) desde un protón libre, que inicialmente está en reposo. ¿Cuál debe ser la longitud de onda del fotón incidente para sufrir un cambio de longitud de onda del 10.0%, como resultado de la dispersión? 38.41. Complete la deducción de la fórmula de dispersión de Compton, ecuación (38.23), de acuerdo con el desarrollo de las ecuaciones (38.24) a (38.27).

Sección 38.8 Espectros continuos 38.42. Determine lm, la longitud de onda del máximo de la distribución de Planck, y la frecuencia f correspondiente, a las siguientes temperaturas Kelvin: a) 3.00 K, b) 300 K y c) 3000 K. 38.43. Una bombilla eléctrica incandescente de 100 W tiene un filamento cilíndrico de tungsteno de 30.0 cm de longitud, 0.40 mm de diámetro, y su emisividad es 0.26. a) ¿Cuál es la temperatura del filamento? b) ¿Para qué longitud de onda es máxima la emitancia espectral de la bombilla? Las bombillas incandescentes no son fuentes eficientes de luz visible. Explique por qué. 38.44. La longitud de onda visible más corta es 400 nm, aproximadamente. ¿Cuál es la temperatura de un radiador ideal, cuya emitancia espectral es máxima en esa longitud de onda? 38.45. Se ha detectado radiación procedente del espacio, que es característica de un radiador ideal a T 5 2.728 K. (Esta radiación es una reliquia del Big Bang del principio del Universo.) Para esa temperatura, ¿en qué longitud de onda es máxima la distribución de Planck? ¿En qué parte del espectro electromagnético está esa longitud de onda? 38.46. Dos estrellas, que se comportan como cuerpos negros ideales, irradian la misma energía total por segundo. La más fría tiene una temperatura T en su superficie y un diámetro que es 3.0 veces el diámetro de la estrella más caliente. a) ¿Cuál es la temperatura de la estrella más caliente en términos de T? b) ¿Cuál es la razón entre la longitud de onda de máxima intensidad de la estrella caliente y la longitud de onda de máxima intensidad de la estrella fría? 38.47. a) Demuestre que el máximo de la distribución de Planck, ecuación (38.32), se presenta a una longitud de onda lm, definida por lm 5 hc>4.965kT (ecuación 38.33). Como explicamos en el libro, 4.965 es la raíz de la ecuación (38.34). b) Evalúe las constantes en la ecuación deducida en el inciso a), para demostrar que lmT tiene el valor numérico que aparece en la ley de desplazamiento de Wien, ecuación (38.30). 38.48. Sirio B. La estrella más brillante en el firmamento es Sirio. En realidad es un sistema binario, es decir, está constituido por dos estrellas, la menor de las cuales (Sirio B) es una enana blanca. El análisis espectral de Sirio B indica que la temperatura en su superficie es de 24,000 K y que irradia energía a razón de 1.0 3 1025 W. Suponga que se comporta como un cuerpo negro ideal. a) ¿Cuál es la intensidad total irradiada por Sirio B? b) ¿Cuál es la longitud de onda de máxima intensidad? ¿Es visible esta longitud de onda para los humanos? c) ¿Cuál es el radio de Sirio B? Exprese su respuesta en kilómetros y como una fracción del radio del Sol. d ) ¿Cuál estrella irradia más energía total por segundo, la caliente Sirio B o el (relativamente) frío Sol que tiene una temperatura en la superficie de 5800 K? Para descubrirlo, calcule la razón entre la potencia total que irradia el Sol y la potencia que irradia Sirio B. 38.49. Demuestre que para grandes valores de l, la distribución de Planck, ecuación (38.32), concuerda con la distribución de Rayleigh, ecuación (38.31). 38.50. Supergigantes azules. Una estrella “supergigante azul” (como las que explotan dejando agujeros negros) tiene una temperatura de

Photons, Electrons, and Atoms

38.29.

38-7

Thus ΔE becomes small as n becomes large. (b) rn = n 2r1 so the orbits get farther apart in space as n increases. IDENTIFY and SET UP: The number of photons emitted each second is the total energy emitted divided by the energy of one photon. The energy of one photon is given by Eq.(38.2). E = Pt gives the energy emitted by the laser in time t. EXECUTE: In 1.00 s the energy emitted by the laser is (7.50 × 10−3 W)(1.00 s) = 7.50 × 10 −3 J. The energy of each photon is E =

hc

λ

=

(6.626 × 10 −34 J ⋅ s)(2.998 × 108 m/s) = 1.874 × 10−20 J. 10.6 × 10 −6 m

−3

7.50 × 10 J/s = 4.00 × 1017 photons/s 1.874 × 10−20 J/photon EVALUATE: The number of photons emitted per second is extremely large. IDENTIFY and SET UP: Visible light has wavelengths from about 400 nm to about 700 nm. The energy of each hc 1.99 × 10 −25 J ⋅ m photon is E = hf = . The power is the total energy per second and the total energy Etot is the =

Therefore 38.30.

λ

λ

number of photons N times the energy E of each photon. EXECUTE: (a) 193 nm is shorter than visible light so is in the ultraviolet. hc (b) E = = 1.03 × 10 −18 J = 6.44 eV

λ

38.31.

E NE Pt (1.50 × 10−3 W)(12.0 × 10 −9 s) (c) P = tot = so N = = = 1.75 × 107 photons t t E 1.03 × 10 −18 J EVALUATE: A very small amount of energy is delivered to the lens in each pulse, but this still corresponds to a large number of photons. n − ( E − E ) / kT IDENTIFY: Apply Eq.(38.21): 5 s = e 5 s 3 p n3 p SET UP: EXECUTE:

38.32.

From Fig.38.24a in the textbook, E5 s = 20.66 eV and E3 p = 18.70 eV

E5 s − E3 p = 20.66 eV − 18.70 eV = 1.96 eV(1.602 × 10−19 J/1 eV) = 3.140 × 10 −19 J

(a)

−19 −23 n5 s = e − (3.140×10 J)/[(1.38×10 J/K)(300 K)] = e −75.79 = 1.2 × 10−33 n3 p

(b)

−19 −23 n5 s = e− (3.140×10 J)/[(1.38×10 J/K)(600 K)] = e −37.90 = 3.5 × 10−17 n3 p

(c)

−19 −23 n5 s = e− (3.140×10 J)/[(1.38×10 J/K)(1200 K)] = e−18.95 = 5.9 × 10−9 n3 p

(d) EVALUATE: At each of these temperatures the number of atoms in the 5s excited state, the initial state for the transition that emits 632.8 nm radiation, is quite small. The ratio increases as the temperature increases. n2 P3 2 ) KT −( E −E = e 2 P3 2 2 P1 2 . n2 P1/ 2

hc (6.626 × 10−34 J)(3.000 × 108 m s) = = 3.375 × 10−19 J. λ1 5.890 × 10−7 m hc (6.626 × 10−34 J)(3.000 × 108 m s) = = = 3.371 × 10−19 J. so ΔE3 / 2 −1/ 2 = 3.375 × 10−19 J − 3.371 × 10 −19 J = λ2 5.896 × 10−7 m

From the diagram ΔE3 / 2 − g = ΔE1 2 − g

38.33.

4.00 × 10−22 J.

n2 P3 / 2

eVAC = hf max =

hc λ min

n2 P1/ 2

= e − (4.00 × 10

−22

J) (1.38 × 10−23 J / K ⋅500 K).

⇒ λ min =

= 0.944. So more atoms are in the 2 p1 2 state.

hc (6.63 × 10−34 J ⋅ s)(3.00 × 108 m s) = = 3.11× 10−10 m eVAC (1.60 × 10−19 C)(4000 V)

This is the same answer as would be obtained if electrons of this energy were used. Electron beams are much more easily produced and accelerated than proton beams.

38-8

Chapter 38

38.34.

IDENTIFY and SET UP: EXECUTE: (a) V =

hc

λ

= eV , where λ is the wavelength of the x ray and V is the accelerating voltage.

hc (6.63 × 10 −34 J ⋅ s)(3.00 × 108 m/s) = = 8.29 kV eλ (1.60 × 10−19 C)(0.150 × 10 −9 m)

hc (6.63 × 10−34 J ⋅ s)(3.00 × 108 m/s) = = 4.14 × 10−11 m = 0.0414 nm eV (1.60 × 10−19 C)(30.0 × 103 V) (c) No. A proton has the same magnitude of charge as an electron and therefore gains the same amount of kinetic energy when accelerated by the same magnitude of potential difference. IDENTIFY: The initial electrical potential energy of the accelerated electrons is converted to kinetic energy which is then given to a photon. SET UP: The electrical potential energy of an electron is eVAC, where VAC is the accelerating potential, and the energy of a photon is hf. Since the energy of the electron is all given to a photon, we have eVAC = hf. For any wave, fλ = v. EXECUTE: (a) eVAC = hfmin gives (b) λ =

38.35.

fmin = eVAC/h = (1.60 × 10–19 C)(25,000 V)/(6.626 × 10–34 J ⋅ s ) = 6.037 × 1018 Hz

38.36.

= 6.04 × 1018 Hz, rounded to three digits (b) λmin = c/fmax = (3.00 × 108 m/s)/(6.037 × 1018 Hz) = 4.97 × 10–11 m = 0.0497 nm (c) We assume that all the energy of the electron produces only one photon on impact with the screen. EVALUATE: These photons are in the x-ray and γ-ray part of the electromagnetic spectrum (see Figure 32.4 in the textbook) and would be harmful to the eyes without protective glass on the screen to absorb them. hc IDENTIFY and SET UP: The wavelength of the x rays produced by the tube is give by = eV .

λ

h h hc λ′ = λ + (1 − cosφ ) . = 2.426 × 10−12 m . The energy of the scattered x ray is . λ′ mc mc hc (6.63 × 10−34 J ⋅ s)(3.00 × 108 m/s) = = 6.91 × 10−11 m = 0.0691 nm EXECUTE: (a) λ = (1.60 × 10−19 C)(18.0 × 103 V) eV h (1 − cos φ ) = 6.91 × 10−11 m + (2.426 × 10−12 m)(1 − cos 45.0°) . mc λ ′ = 6.98 × 10 −11 m = 0.0698 nm . hc (4.136 × 10−15 eV ⋅ s)(3.00 × 108 m/s) = = 17.8 keV (c) E = 6.98 × 10 −11 m λ′ EVALUATE: The incident x ray has energy 18.0 keV. In the scattering event, the photon loses energy and its wavelength increases. h IDENTIFY: Apply Eq.(38.23): λ ′ − λ = (1 − cosφ ) = λC (1 − cos φ ) mc SET UP: Solve for λ ′ : λ ′ = λ + λC (1 − cos φ ) The largest λ ′ corresponds to φ = 180°, so cosφ = −1. (b) λ ′ = λ +

38.37.

38.38.

EXECUTE: λ ′ = λ + 2λC = 0.0665 × 10 −9 m + 2(2.426 × 10 −12 m) = 7.135 × 10 −11 m = 0.0714 nm. This wavelength occurs at a scattering angle of φ = 180°. EVALUATE: The incident photon transfers some of its energy and momentum to the electron from which it scatters. Since the photon loses energy its wavelength increases, λ ′ > λ . Δλ (a) From Eq. (38.23), cosφ = 1 − , and so Δλ = 0.0542 nm − 0.0500 nm, ( h mc)

cos φ = 1 −

0.0042 nm = −0.731, and φ = 137°. 0.002426 nm

0.0021 nm = 0.134. φ = 82.3°. 0.002426 nm (c) Δλ = 0, the photon is undeflected, cosφ = 1 and φ = 0.

(b) Δλ = 0.0521 nm − 0.0500 nm. cosφ = 1 −

38.39.

IDENTIFY and SET UP: The shift in wavelength of the photon is λ ′ − λ =

wavelength after the scattering and

h (1 − cos φ ) where λ ′ is the mc

h = λc = 2.426 × 10−12 m . The energy of a photon of wavelength λ is mc

Photons, Electrons, and Atoms

E=

38.40.

hc

λ

=

1.24 × 10

−6

eV ⋅ m

λ

38-9

. Conservation of energy applies to the collision, so the energy lost by the photon

equals the energy gained by the electron. EXECUTE: (a) λ ′ − λ = λc (1 − cos φ ) = (2.426 × 10−12 m)(1 − cos35.0°) = 4.39 × 10 −13 m = 4.39 × 10 −4 nm (b) λ ′ = λ + 4.39 × 10−4 nm = 0.04250 nm + 4.39 × 10−4 nm = 0.04294 nm hc hc (c) Eλ = = 2.918 × 104 eV and Eλ ′ = = 2.888 × 104 eV so the photon loses 300 eV of energy. λ λ′ (d) Energy conservation says the electron gains 300 eV of energy. The change in wavelength of the scattered photon is given by Eq. 38.23 Δλ = h (1 − cos φ ) ⇒ λ = h (1 − cosφ ). mcλ λ ⎛ Δλ ⎞ mc ⎜ ⎟ ⎝ λ ⎠ (6.63 × 10−34 J ⋅ s) (1 + 1) = 2.65 × 10 −14 m. (1.67 × 10−27 kg)(3.00 × 108 m/s)(0.100) The derivation of Eq.(38.23) is explicitly shown in Equations (38.24) through (38.27) with the final substitution of h p′ = h λ′ and p = h λ yielding λ′ − λ = (1 − cos φ ). mc 2.898 × 10−3 m ⋅ K c From Eq. (38.30), (a) λ m = = 0.966 mm, and f = = 3.10 × 1011 Hz. Note that a more precise 3.00 K λm value of the Wien displacement law constant has been used. (b) A factor of 100 increase in the temperature lowers λm by a factor of 100 to 9.66 μ m and raises the frequency

Thus, λ =

38.41.

38.42.

by the same factor, to 3.10 × 1013 Hz. (c) Similarly, λ m = 966 nm and f = 3.10 × 1014 Hz. 38.43.

(a) H = AeσT 4 ; A = π r 2l 14

⎛ ⎞ 100 W ⎛ H ⎞ T =⎜ ⎟ =⎜ 2 4 ⎟ −3 −8 ⎝ Aeσ ⎠ ⎝ 2π (0.20 × 10 m)(0.30 m)(0.26)(5.671 × 10 W m ⋅ K ) ⎠ 3 T = 2.06 × 10 K 14

38.44. 38.45.

(b) λ mT = 2.90 × 10−3 m ⋅ K; λ m = 1410 nm Much of the emitted radiation is in the infrared. 2.90 × 10−3 m ⋅ K 2.90 × 10−3 m ⋅ K T= = = 7.25 × 103 K. λm 400 × 10−9 m IDENTIFY and SET UP: The wavelength λm where the Planck distribution peaks is given by Eq.(38.30). 2.90 × 10−3 m ⋅ K = 1.06 × 10 −3 m = 1.06 mm. 2.728 K EVALUATE: This wavelength is in the microwave portion of the electromagnetic spectrum. This radiation is often referred to as the “microwave background” (Section 44.7). Note that in Eq.(38.30), T must be in kelvins. IDENTIFY: Since the stars radiate as blackbodies, they obey the Stefan-Boltzmann law and Wien’s displacement law. SET UP: The Stefan-Boltzmann law says that the intensity of the radiation is I = σT 4, so the total radiated power is P = σAT 4. Wien’s displacement law tells us that the peak-intensity wavelength is λm = (constant)/T. EXECUTE: (a) The hot and cool stars radiate the same total power, so the Stefan-Boltzmann law gives σAhTh4 =

EXECUTE:

38.46.

λm =

σAcTc4 ⇒ 4πRh2Th4 = 4πRc2Tc4 = 4π(3Rh)2Tc4 ⇒ Th4 = 9T 4 ⇒ Th = T 3 = 1.7T, rounded to two significant digits. (b) Using Wien’s law, we take the ratio of the wavelengths, giving λm (hot) Tc T 1 = = = = 0.58, rounded to two significant digits. λm (cool) Th T 3 3

38.47.

EVALUATE: Although the hot star has only 1/9 the surface area of the cool star, its absolute temperature has to be only 1.7 times as great to radiate the same amount of energy. (a) Let α = hc / kT . To find the maximum in the Planck distribution:

dI d ⎛ 2π hc 2 ⎞ (2π hc 2 ) 2π hc 2 ( −α λ 2 ) = ⎜ 5 αλ − 5 αλ ⎟ = 0 = −5 5 α λ dλ dλ ⎝ λ (e − 1) ⎠ λ (e − 1) λ (e − 1) 2 α hc ⇒ − 5(eα λ − 1) λ = α ⇒ − 5eα λ + 5 = α λ ⇒ Solve 5 − x = 5e x where x = = . λ λkT