Rastav Funkcije u Parcijalne Razlomke

Rastav prave racionalne funkcije u sumu parcijalnih razlomaka Spomenimo da se pod parcijalnim razlomkom podrazumijeva razlomak oblika A

( x − x1 )

α

ili

(x

Mx + N 2

+ px + q)

β

,

(55)

gdje je p 2 − 4q < 0 (tj. pripadna kvadratna jednadžba x 2 + p x + q = 0 ima konjugirano kompleksne korijene). Pritom je: α , β ∈ ¬

, A, M, N, p, q ∈

.

Uočimo, ako u nazivniku parcijalnog razlomka imamo polinom prvog reda (tj. x − x1 ), onda u brojniku tog parcijalnog razlomka treba biti polinom nultog stupnja, tj. neki realni broj A. Ako u nazivniku parcijalnog razlomka imamo polinom drugog reda (tj. x 2 + p x + q ), onda u brojniku tog parcijalnog razlomka treba biti polinom prvog stupnja, tj. M x + N .

U suglasnosti s prethodno rečenim (vidi racionalne funkcije), zaključujemo da je prirodni broj

α∈

višestrukost realnog korijena x1 pripadne linearne jednadžbe x − x1 = 0 .

Analogno je prirodni broj β ∈

višestrukost kompleksnih korijena pripadne kvadratne jednadžbe

x2 + p x + q = 0 .



Koristeći svojstvo da se svaki polinom n-tog stupnja Q n ( x ) može rastaviti u produkt polinoma prvog i drugog reda po formuli (54) - vidi odjeljak racionalne funkcije, dobivamo da se svaka prava racionalna funkcija f ( x ) =

f (x) =

Pm ( x ) = Q n ( x ) b ⋅ ( x − x )α1 n 1

Pm ( x ) , m