Rade Raonić - Određivanje položaja težišta homogene ravanske figure i linije

Раде Раонић

ПОЛОЖАЈ ТЕЖИШТА ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ И ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

РР©2013.

ЗАДАТАК Одредити: 1. аналитичким поступком координате положаја тежишта хомогене раванске фигуре, 2. графичким поступком координате положаја тежишта хомогене раванске фигуре, 3. аналитичким поступком координате положаја тежишта хомогене раванске линије, 4. графичким поступком координате положаја тежишта хомогене раванске линије и 5. применом Папос-Гулдинових теорема: а) површине тела која се добијају обртањем хомогене раванске линије око x и око y координатне осе и б) запремине тела која се добијају обртањем хомогене раванске фигуре око x и око y координатне осе. Хомогене раванске фигуре и хомогене раванске линије су задате помоћу шифрарника.

ШИФРАРНИК Ред.бр.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Шифра Ред.бр.

2.01.02 3.02.03 4.03.04 5.04.05 6.05.06 2.06.07 3.07.08 4.08.09 5.09.10

Шифра Ред.бр.

6.10.01 2.03.02 3.04.03 4.05.04 5.06.05 6.07.06 2.08.07 3.09.08 4.10.09

Шифра Ред.бр.

5.07.10 6.08.01 2.09.02 3.10.03 4.02.04 5.03.05 6.04.06 2.05.07 3.06.08

Шифра Ред.бр.

4.07.09 5.08.10 6.09.01 2.10.02 3.05.03 4.06.04 5.04.05 6.01.06 2.04.07

Шифра Ред.бр.

3.06.08 4.01.09 5.02.10 6.03.02 2.05.03 3.08.04 4.05.05 5.06.07 6.07.09

Шифра

2.07.10 3.10.02 4.08.03 5.09.04 6.10.05 2.09.06 3.01.07 4.07.08 5.08.02

10. 19. 28. 37. 46.

11. 20. 29. 38. 47.

ПРИМЕР ПРИМЕНЕ ШИФРАРНИКА Нпр. шифра

2.01.02.

12. 21. 30. 39. 48.

13.

14.

22.

23.

31.

32.

40.

41.

49.

50.

15. 24. 33. 42. 51.

16. 25. 34. 43. 52.

17. 26. 35. 44. 53.

18. 27. 36. 45. 54.

2.

01.

02.

a= 2 cm

фигура

линија

Ф01

Л02

има значење:

-2-

Ф01

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

a=____cm

A  A1  A2  A3

РР©2013. Елементарне фигуре Правоугли троугао Правоугаоник Половина круга



Ai

xi

(cm 2 )

xC 

A1  x1  A2  x2  A3  x3 A1  A2  A3

yC 

A1  y1  A2  y2  A3  y3 A1  A2  A3

yi

(cm)

(cm)

Ai  xi

Ai  yi

(cm3 )

(cm3 )

a4a 2

x1  a 

a 3

y1 

4a 3

____

____

A2  4  a 2

x2  a 

a 2

y2  2  a

____

____

8a 3

y3  2  a

____

____

____

____

A1 

A3 

4  a2   2

x3  2  a 

_______ xC  ( Ai  xi ) /( Ai )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Ai  yi ) /(  Ai )

yC  _____/_____  ____ cm -3-

Л01

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

a=____cm

L  L1  L2  L3  L4

РР©2013.

Li

Елементарне линије

(cm)

Коса линија

L1  17  a 2

Водоравна линија

L2  2  a

Половина кружнице

L3 

4  a  2

Водоравна линија

L4  a



_______

xi

(cm) x1 

a 2

x2  a x3  2  a  x4  a 

4a

 a 2

xC 

L1  x1  L2  x2  L3  x3  L4  x4 L1  L2  L3  L4

yC 

L1  y1  L2  y2  L3  y3  L4  y4 L1  L2  L3  L4

yi

Li  xi

Li  yi

(cm)

(cm 2 )

(cm 2 )

y1  2  a

____

____

y2  0

____

____

y3  2  a

____

____

y4  4  a

____

____

____

____

xC  ( Li  xi ) /( Li )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Li  yi ) /(  Li )

yC  _____/_____  ____ cm

-4-

Ф02

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

a=____cm

A  A1  A2  A3

РР©2013.

Ai

xi

xC 

A1  x1  A2  x2  A3  x3 A1  A2  A3

yC 

A1  y1  A2  y2  A3  y3 A1  A2  A3

Ai  xi

Ai  yi

(cm3 )

(cm3 )

2a 3

____

____

y2  2  a 

8a 3

____

____

y3  2  a 

8 a 3

____

____

____

____

yi

Елементарне фигуре

(cm 2 )

Правоугли троугао

A1  2  a 2

x1  2  a 

2a 3

y1  2  a 

Четвртина круга

A2  a 2  

x2  2  a 

8 a 3

Половина круга

A3  2  a 2  



_______

(cm)

(cm)

x3  2  a

xC  ( Ai  xi ) /( Ai )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Ai  yi ) /(  Ai )

yC  _____/_____  ____ cm -5-

Л02

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

a=____cm

L  L1  L2  L3

РР©2013.

L1  x1  L2  x2  L3  x3 L1  L2  L3

yC 

L1  y1  L2  y2  L3  y3 L1  L2  L3

Li  xi

Li  yi

(cm)

yi

(cm)

(cm 2 )

(cm 2 )

L1  8  a 2

x1  a

y1  a

____

____

x2  2  a 

____

____

____

____

____

____

Li

Елементарне линије

(cm)

Коса линија Четвртина кружнице

L2 

4  a  4

Половина кружнице

L3 

4  a  2



xC 

xi

4a



x3  2  a

_______

y2  2  a  y3  2  a 

4a

 4a



xC  ( Li  xi ) /( Li )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Li  yi ) /(  Li )

yC  _____/_____  ____ cm

-6-

Ф03

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

a=____cm

A  A1  A2  A3

РР©2013. Елементарне фигуре

Ai

xi

xC 

A1  x1  A2  x2  A3  x3 A1  A2  A3

yC 

A1  y1  A2  y2  A3  y3 A1  A2  A3

yi

Ai  xi

Ai  yi

(cm 2 )

(cm)

(cm)

(cm3 )

(cm3 )

Квадрат

A1  4  a 2

x1  a

y1  a

____

____

Правоугли троугао

A2  2  a 2

x2  2  a 

Половина круга

A3  2  a 2  



_______

2a 3

x3  2  a

y2  2  a 

2a 3

____

____

y3  2  a 

8 a 3

____

____

____

____

xC  ( Ai  xi ) /( Ai )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Ai  yi ) /(  Ai )

yC  _____/_____  ____ cm -7-

Л03

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

a=____cm

L  L1  L2  L3  L4

РР©2013.

xC 

L1  x1  L2  x2  L3  x3  L4  x4 L1  L2  L3  L4

yC 

L1  y1  L2  y2  L3  y3  L4  y4 L1  L2  L3  L4

Li  xi

Li  yi

(cm)

yi

(cm)

(cm 2 )

(cm 2 )

L1  2  a

x1  0

y1  a

____

____

Водоравна линија

L2  2  a

x2  a

y2  0

____

____

Коса линија

L3  8  a 2

x3  3  a

y3  a

____

____

4  a  2

x4  2  a

y4  2  a 

____

____

____

____

Li

Елементарне линије

(cm)

Вертикална линија

Половина кружнице



L4 

xi

_______

4a



xC  ( Li  xi ) /( Li )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Li  yi ) /(  Li )

yC  _____/_____  ____ cm

-8-

Ф04

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

a=____cm

A  A1  A2  A3

РР©2013.

Ai

xi

xC 

A1  x1  A2  x2  A3  x3 A1  A2  A3

yC 

A1  y1  A2  y2  A3  y3 A1  A2  A3

Ai  xi

Ai  yi

(cm3 )

(cm3 )

a 3

____

____

y2  2  a 

2a 3

____

____

y3  2  a 

8 a 3

____

____

____

____

yi

Елементарне фигуре

(cm 2 )

(cm)

Правоугли троугао

A1  a 2

x1  2  a 

2a 3

Правоугли троугао

A2  4  a 2

x2  4  a 

4a 3

Четвртина круга

A3  a 2  

x3  2  a 

8a 3



_______

(cm) y1  2  a 

xC  ( Ai  xi ) /( Ai )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Ai  yi ) /(  Ai )

yC  _____/_____  ____ cm -9-

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

Л04

a=____cm L  L1  L2  L3  L4  L5

РР©2013.

Li

xi

xC 

L1  x1  L2  x2  L3  x3  L4  x4  L5  x5 L1  L2  L3  L4  L5

yC 

L1  y1  L2  y2  L3  y3  L4  y4  L5  y5 L1  L2  L3  L4  L5

Li  xi

Li  yi

(cm 2 )

(cm 2 )

a 2

____

____

a 2

____

____

y3  a

____

____

y4  a

____

____

____

____

____

____

yi

Елементарне линије

(cm)

(cm)

Вертикална линија

L1  a

x1  2  a

y1  3  a 

Коса линија

L2  5  a 2

x2  a

y2  2  a 

Коса линија

L3  20  a 2

x3  2  a

Вертикална линија

L4  2  a

x4  4  a

Четвртина кружнице



L5 

4  a  4

x5  2  a 

(cm)

4a



_______

y5  2  a 

4a



xC  ( Li  xi ) /( Li )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Li  yi ) /(  Li )

yC  _____/_____  ____ cm

- 10 -

Ф05

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

a=____cm

A  A1  A2  A3

РР©2013.

Ai

Елементарне фигуре

(cm 2 )

Правоугаоник

A1  3  a 2

xi

yC 

A1  y1  A2  y2  A3  y3 A1  A2  A3

Ai  xi

Ai  yi

(cm3 )

(cm3 )

a 2

____

____

3 a 3

____

____

____

____

____

____

(cm)

3 a 2

Правоугли троугао

A2 

9  a2 2

x2  3  a 

3 a 3

Половина круга

A3 

a2   2

x3  3  a 

4a 3



A1  x1  A2  x2  A3  x3 A1  A2  A3

yi

(cm) x1 

xC 

_______

y1  3  a  y2  3  a 

y3  3  a

xC  ( Ai  xi ) /( Ai )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Ai  yi ) /(  Ai )

yC  _____/_____  ____ cm - 11 -

Л05

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

a=____cm L  L1  L2  L3  L4  L5

РР©2013.

Li

xi

Елементарне линије

(cm)

(cm)

Вертикална линија

L1  a

x1  0

Коса линија

L2  18  a 2

Вертикална линија

L3  2  a

Половина кружнице

L4 

2  a  2

Водоравна линија

L5  3  a



_______

x2 

yC 

L1  y1  L2  y2  L3  y3  L4  y4  L5  y5 L1  L2  L3  L4  L5

Li  xi

Li  yi

(cm 2 )

(cm 2 )

____

____

____

____

y3  a

____

____

y4  3  a

____

____

y5  4  a

____

____

____

____

(cm) y1  3  a 

y2 

x3  3  a

x5 

L1  x1  L2  x2  L3  x3  L4  x4  L5  x5 L1  L2  L3  L4  L5

yi

3 a 2

x4  3  a 

xC 

2a



3 a 2

3 a 2

a 2

xC  ( Li  xi ) /( Li )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Li  yi ) /(  Li )

yC  _____/_____  ____ cm

- 12 -

Ф06

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

a=____cm

A  A1  A2  A3

РР©2013. Елементарне фигуре

Ai

xi

(cm 2 )

(cm)

xC 

A1  x1  A2  x2  A3  x3 A1  A2  A3

yC 

A1  y1  A2  y2  A3  y3 A1  A2  A3

yi

Ai  xi

Ai  yi

(cm)

(cm3 )

(cm3 )

Половина круга

A1 

a2   2

x1  a 

4a 3

y1  3  a

____

____

Половина круга

a2   A2  2

x2  a 

4a 3

y2  a

____

____

Правоугли троугао

12  a 2 A3  2

x3  a 

3 a 3

____

____

____

____



_______

y3 

4a 3

xC  ( Ai  xi ) /( Ai )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Ai  yi ) /(  Ai )

yC  _____/_____  ____ cm - 13 -

Л06

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

a=____cm

L  L1  L2  L3  L4

РР©2013. Елементарне линије

Li

xi

(cm)

(cm)

Половина кружнице

L1 

2  a  2

x1  a 

Половина кружнице

L2 

2  a  2

x2  a 

Водоравна линија

L3  3  a

Коса линија

L4  25  a



2

2a

 2a



xC 

L1  x1  L2  x2  L3  x3  L4  x4 L1  L2  L3  L4

yC 

L1  y1  L2  y2  L3  y3  L4  y4 L1  L2  L3  L4

yi

Li  xi

Li  yi

(cm)

(cm 2 )

(cm 2 )

y1  3  a

____

____

y2  a

____

____

x3  a 

3 a 2

y3  0

____

____

x4  a 

3 a 2

y4  2  a

____

____

____

____

____

____

_______ xC  ( Li  xi ) /( Li )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Li  yi ) /(  Li )

yC  _____/_____  ____ cm

- 14 -

Ф07

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

a=____cm

A  A1  A2  A3

РР©2013. Елементарне фигуре Половина круга Половина круга

Ai

xi

(cm 2 )

A1  x1  A2  x2  A3  x3 A1  A2  A3

yC 

A1  y1  A2  y2  A3  y3 A1  A2  A3

yi

Ai  xi

Ai  yi

(cm)

(cm3 )

(cm3 )

a2   2

x1  2  a 

4a 3

y1  3  a

____

____

4  a2   2

x2  2  a 

8 a 3

y2  2  a

____

____

y3  a

____

____

____

____

A1  A2 

(cm)

xC 

Квадрат

A3  4  a 2



_______

x3  a

xC  ( Ai  xi ) /( Ai )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Ai  yi ) /(  Ai )

yC  _____/_____  ____ cm - 15 -

Л07

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

a=____cm L  L1  L2  L3  L4  L5

РР©2013. Елементарне линије

Li

xi

(cm)

(cm)

Половина кружнице

L1 

2  a  2

x1  2  a 

Половина кружнице

L2 

4  a  2

x2  2  a 

2a

 4a



xC 

L1  x1  L2  x2  L3  x3  L4  x4  L5  x5 L1  L2  L3  L4  L5

yC 

L1  y1  L2  y2  L3  y3  L4  y4  L5  y5 L1  L2  L3  L4  L5

yi

Li  xi

Li  yi

(cm)

(cm 2 )

(cm 2 )

y1  3  a

____

____

y2  2  a

____

____

Водоравна линија

L3  2  a

x3  a

y3  0

____

____

Вертикална линија

L4  2  a

x4  0

y4  a

____

____

Водоравна линија

L5  2  a

x5  a

y5  2  a

____

____



_______

____

____

xC  ( Li  xi ) /( Li )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Li  yi ) /(  Li )

yC  _____/_____  ____ cm

- 16 -

Ф08

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

a=____cm

A  A1  A2  A3

РР©2013. Елементарне фигуре Правоугли троугао

Ai

xi

(cm 2 ) A1 

a2 2

x2  2  a 

Правоугли троугао

8  a2 A3  2

x3 



yC 

A1  y1  A2  y2  A3  y3 A1  A2  A3

Ai  xi

Ai  yi

(cm3 )

(cm3 )

a 3

____

____

y2  2  a 

8a 3

____

____

y3  2  a 

2a 3

____

____

____

____

(cm)

x1  2  a 

4  a2   A2  4

A1  x1  A2  x2  A3  x3 A1  A2  A3

yi

(cm)

Четвртина круга

xC 

a 3

8 a 3

4a 3

_______

y1  2  a 

xC  ( Ai  xi ) /( Ai )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Ai  yi ) /(  Ai )

yC  _____/_____  ____ cm - 17 -

Л08

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

a=____cm

L  L1  L2  ...  L5  L6

РР©2013.

Li

xi

(cm)

(cm)

Вертикална линија

L1  a

x1  2  a

L2 

4  a  4

x2  2  a 

L1  x1  L2  x2  ...  L5  x5  L6  x6 L1  L2  ...  L5  L6

yC 

L1  y1  L2  y2  ...  L5  y5  L6  y6 L1  L2  ...  L5  L6

yi

Елементарне линије

Четвртина кружнице

xC 

(cm) y1  3  a 

4a



y2  2  a 

a 2

4a



Li  xi

Li  yi

(cm 2 )

(cm 2 )

____

____

____

____

Коса линија

L3  20  a 2

x3  2  a

y3  a

____

____

Вертикална линија

L4  2  a

x4  0

y4  a

____

____

Водоравна линија

L5  a

y5  2  a

____

____

Коса линија

L6  2  a



_______

____

____

x5 

2

a 2

x6  a 

a 2

y6  2  a 

a 2

xC  ( Li  xi ) /( Li )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Li  yi ) /(  Li )

yC  _____/_____  ____ cm

- 18 -

Ф09

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

a=____cm

A  A1  A2  A3

РР©2013. Елементарне фигуре Половина круга Правоугаоник Правоугли троугао



Ai

xi

(cm 2 )

(cm)

xC 

A1  x1  A2  x2  A3  x3 A1  A2  A3

yC 

A1  y1  A2  y2  A3  y3 A1  A2  A3

yi

Ai  xi

Ai  yi

(cm)

(cm3 )

(cm3 )

____

____

a 2

____

____

2a 3

____

____

____

____

a2   2

x1  a 

4a 3

y1  3  a

A2  3  a 2

x2  a 

3 a 2

y2  2  a 

A1 

A3 

6  a2 2

x3  4  a 

3 a 3

_______

y3  2  a 

xC  ( Ai  xi ) /( Ai )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Ai  yi ) /(  Ai )

yC  _____/_____  ____ cm - 19 -

Л09

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

a=____cm L  L1  L2  L3  L4  L5

РР©2013. Елементарне линије Половина кружнице

Li

xi

(cm) L1 

2  a  2

(cm) x1  a 

2a



Коса линија

L2  13  a 2

Вертикална линија

L3  3  a

x3  4  a

Водоравна линија

L4  3  a

x4  2  a 

Вертикална линија

L5  a



_______

x2  2  a 

a 2

xC 

L1  x1  L2  x2  L3  x3  L4  x4  L5  x5 L1  L2  L3  L4  L5

yC 

L1  y1  L2  y2  L3  y3  L4  y4  L5  y5 L1  L2  L3  L4  L5

yi

Li  xi

Li  yi

(cm)

(cm 2 )

(cm 2 )

y1  3  a

____

____

y2  a

____

____

a 2

____

____

y4  3  a

____

____

____

____

____

____

y3  a  a 2

x5  a

y5  3  a 

a 2

xC  ( Li  xi ) /( Li )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Li  yi ) /(  Li )

yC  _____/_____  ____ cm

- 20 -

Ф10

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ФИГУРЕ

a=____cm

A  A1  A2  A3

РР©2013. Елементарне фигуре Половина круга

Ai

xi

(cm 2 ) A1 

4  a2   2

A1  x1  A2  x2  A3  x3 A1  A2  A3

yC 

A1  y1  A2  y2  A3  y3 A1  A2  A3

Ai  xi

Ai  yi

(cm3 )

(cm3 )

8a 3

____

____

a 3

____

____

2a 3

____

____

____

____

yi

(cm)

(cm)

x1  2  a

Правоугли троугао

A2 

2  a2 2

x2  2  a 

2a 3

Правоугли троугао

A3 

4  a2 2

x3  2  a 

2a 3



xC 

_______

y1  2  a 

y2  2  a  y3  2  a 

xC  ( Ai  xi ) /( Ai )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Ai  yi ) /(  Ai )

yC  _____/_____  ____ cm - 21 -

Л10

ТЕЖИШТЕ ХОМОГЕНЕ РАВАНСКЕ ЛИНИЈЕ

a=____cm

L  L1  L2  L3  L4

РР©2013. Елементарне линије Половина кружнице

Li

xi

(cm) L1 

4  a  2

(cm) x1  2  a

xC 

L1  x1  L2  x2  L3  x3  L4  x4 L1  L2  L3  L4

yC 

L1  y1  L2  y2  L3  y3  L4  y4 L1  L2  L3  L4

y1  2  a 

(cm 2 )

(cm 2 )



____

____

a 2

____

____

____

____

____

____

____

____

____

____

4a

L2  5  a 2

x2  a

y2  2  a 

Вертикална линија

L3  3  a

x3  2  a

y3  a 

Коса линија

L4  8  a 2

x4  3  a

y4  a

_______

Li  yi

(cm)

Коса линија



Li  xi

yi

a 2

xC  ( Li  xi ) /( Li )

xC  _____/_____  ____ cm

yC  (  Li  yi ) /(  Li )

yC  _____/_____  ____ cm

- 22 -