Raciocinio Logico

RACIOCÍNIO LÓGICO

RACIOCÍNIO LÓGICO ~p (não p): O Pão não é barato. (É a negação lógica de p) ~q (não q): O Queijo é bom. (É a negação lógica de q)

1 ESTRUTURAS LÓGICAS.

Se uma proposição é verdadeira, quando usamos a negação vira falsa. Se uma proposição é falsa, quando usamos a negação vira verdadeira.

Na lógica, uma estrutura (ou estrutura de interpretação) é um objeto que dá significado semântico ou interpretação aos símbolos definidos pela assinatura de uma linguagem. Uma estrutura possui diferentes configurações, seja em lógicas de primeira ordem, seja em linguagens lógicas poli-sortidas ou de ordem superior. As questões de Raciocínio Lógico sempre vão ser compostas por proposições que provam, dão suporte, dão razão a algo, ou seja, são afirmações que expressam um pensamento de sentindo completo. Essas proposições podem ter um sentindo positivo ou negativo.

Regrinha para o conectivo de negação (~):

Exemplo 1: João anda de bicicleta. Exemplo 2: Maria não gosta de banana. Tanto o exemplo 1 quanto o 2 caracterizam uma afirmação/ proposição.

P

~P

V

F

F

V

Conjunção (símbolo Λ): Este conectivo é utilizado para unir duas proposições formando uma terceira. O resultado dessa união somente será verdadeiro se as duas proposições (p e q) forem verdadeiras, ou seja, sendo pelo menos uma falsa, o resultado será falso. Ex.: p Λ q. (O Pão é barato e o Queijo não é bom). Λ = “e”. Regrinha para o conectivo de conjunção (Λ):

A base das Estruturas Lógicas é saber o que é Verdade ou Mentira (verdadeiro/falso). Os resultados das proposições sempre tem que dar verdadeiro. Há alguns princípios básicos:

P

Q

PΛQ

Contradição: Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

V

V

V

V

F

F

Terceiro Excluído: Dadas duas proposições lógicas contraditórias somente uma delas é verdadeira. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, não há um terceiro valor lógico (“mais ou menos”, meio verdade ou meio mentira). Ex. Estudar é fácil. (o contrário seria: “Estudar é difícil”. Não existe meio termo, ou estudar é fácil ou estudar é difícil).

F

V

F

F

F

F

Disjunção (símbolo V): Este conectivo também serve para unir duas proposições. O resultado será verdadeiro se pelo menos uma das proposições for verdadeira. Ex: p v q. (Ou o Pão é barato ou o Queijo não é bom.) V = “ou”. Regrinha para o conectivo de disjunção (V):

Para facilitar a resolução das questões de lógica usamse os conectivos lógicos, que são símbolos que comprovam a veracidade das informações e unem as proposições uma a outra ou as transformam numa terceira proposição. Veja: (~) “não”: negação (Λ) “e”: conjunção (V) “ou”: disjunção (→) “se...então”: condicional (↔) “se e somente se”: bicondicional

Q

PVQ

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Condicional (símbolo →): Este conectivo dá a ideia de condição para que a outra proposição exista. “P” será condição suficiente para “Q” e “Q” é condição necessária para “P”. Ex: P → Q. (Se o Pão é barato então o Queijo não é bom.) → = “se...então”. Regrinha para o conectivo condicional (→):

Temos as seguintes proposições: O Pão é barato. O Queijo não é bom. A letra p representa a primeira proposição e a letra q, a segunda. Assim, temos: p: O Pão é barato. q: O Queijo não é bom. Negação (símbolo ~): Quando usamos a negação de uma proposição invertemos a afirmação que está sendo dada. Veja os exemplos:

Didatismo e Conhecimento

P V

1

P

Q

P→Q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

RACIOCÍNIO LÓGICO Bicondicional (símbolo ↔): O resultado dessas proposições será verdadeiro se e somente se as duas forem iguais (as duas verdadeiras ou as duas falsas). “P” será condição suficiente e necessária para “Q”. Exemplo: P ↔ Q. (O Pão é barato se e somente se o Queijo não é bom.) ↔ = “se e somente se”. Regrinha para o conectivo bicondicional (↔): P

Q

P↔Q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

(CESPE – TRE-RJ – Técnico Judiciário) Texto para as questões de 04 a 07. O cenário político de uma pequena cidade tem sido movimentado por denúncias a respeito da existência de um esquema de compra de votos dos vereadores. A dúvida quanto a esse esquema persiste em três pontos, correspondentes às proposições P, Q e R: P: O vereador Vitor não participou do esquema; Q: O Prefeito Pérsio sabia do esquema; R: O chefe de gabinete do Prefeito foi o mentor do esquema. Os trabalhos de investigação de uma CPI da Câmara Municipal conduziram às premissas P1, P2 e P3 seguintes:

QUESTÕES 01. (ESAF - Receita Federal - Auditor Fiscal) A afirmação “A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro” tem como sentença logicamente equivalente:

P1: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o Prefeito Pérsio não sabia do esquema. P2: Ou o chefe de gabinete foi o mentor do esquema, ou o Prefeito Pérsio sabia do esquema, mas não ambos. P3: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema.

(A) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis. (B) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. (C) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro. (D) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. (E) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.

Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, acerca de proposições lógicas. 04. Das premissas P1, P2 e P3, é correto afirmar que “O chefe de gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador Vitor participou do esquema”.

02. (ESAF - Receita Federal - Auditor Fiscal) Se Anamara é médica, então Angélica é médica. Se Anamara é arquiteta, então Angélica ou Andrea são médicas. Se Andrea é arquiteta, então Angélica é arquiteta. Se Andrea é médica, então Anamara é médica. Considerando que as afirmações são verdadeiras, seguese, portanto, que:

( ) Certo

05. Parte superior do formulário Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, acerca de proposições lógicas. A premissa P2 pode ser corretamente representada por R ∨ Q.

(A) Anamara, Angélica e Andrea são arquitetas. (B) Anamara é médica, mas Angélica e Andrea são arquitetas. (C) Anamara, Angélica e Andrea são médicas. (D) Anamara e Angélica são arquitetas, mas Andrea é médica. (E) Anamara e Andrea são médicas, mas Angélica é arquiteta.

( ) Certo

( ) Errado

06. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, acerca de proposições lógicas. A premissa P3 é logicamente equivalente à proposição “O vereador Vitor participou do esquema ou o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema”.

03. (ESAF - Receita Federal - Auditor Fiscal) Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. Se Ana é pianista, Denise é violinista. Se Ana é violinista, então Denise é pianista. Se Beatriz é violinista, então Denise é pianista. Sabendo-se que nenhuma delas toca mais de um instrumento, então Ana, Beatriz e Denise tocam, respectivamente:

( ) Certo

( ) Errado

07. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, acerca de proposições lógicas. A partir das premissas P1, P2 e P3, é correto inferir que o prefeito Pérsio não sabia do esquema.

(A) piano, piano, piano. (B) violino, piano, piano. (C) violino, piano, violino. (D) violino, violino, piano. (E) piano, piano, violino.

Didatismo e Conhecimento

( ) Errado

( ) Certo

2

( ) Errado

RACIOCÍNIO LÓGICO Respostas

08. (CESPE - TRE-ES - Técnico) Entende-se por proposição todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, que afirmam fatos ou exprimam juízos a respeito de determinados entes. Na lógica bivalente, esse juízo, que é conhecido como valor lógico da proposição, pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), sendo objeto de estudo desse ramo da lógica apenas as proposições que atendam ao princípio da não contradição, em que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa; e ao princípio do terceiro excluído, em que os únicos valores lógicos possíveis para uma proposição são verdadeiro e falso. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. Segundo os princípios da não contradição e do terceiro excluído, a uma proposição pode ser atribuído um e somente um valor lógico. ( ) Certo

01. Resposta “C”.

( ) Errado

~Q → ~P

P→Q

~P ∨ Q

P→Q

P é suficiente para Q

P→Q

Q é necessário para P

Sintetizando: Basta negar a primeira, manter a segunda e trocar o “ou” pelo “se então”. “A menina tem olhos azuis (M) ou o menino é loiro (L)”. Está assim: M v L Fica assim: ~M → L

Proposições são frases que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não como V e F simultaneamente. As proposições simples são aquelas que não contêm nenhuma outra proposição como parte delas. As proposições compostas são construídas a partir de outras proposições, usando-se símbolos lógicos, parênteses e colchetes para que se evitem ambiguidades. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto: A, B, C, etc. Uma proposição composta da forma A ∨ B, chamada disjunção, deve ser lida como “A ou B” e tem o valor lógico F, se A e B são F, e V, nos demais casos. Uma proposição composta da forma A B, chamada conjunção, deve ser lida como “A e B” e tem valor lógico V, se A e B são V, e F, nos demais casos. Além disso, A, que simboliza a negação da proposição A, é V, se A for F, e F, se A for V. Considere que cada uma das proposições seguintes tenha valor lógico V.

Se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro. 02. Parte inferior do formulário Resposta “C”. Anamara médica → Angélica médica. (verdadeira → verdadeira) Anamara arquiteta → Angélica médica ∨ Andrea médica. (falsa → verdadeira ∨ verdadeira) Andrea arquiteta → Angélica arquiteta. (falsa → falsa) Andrea médica → Anamara médica. (verdadeira → verdadeira)

∨

Como na questão não existe uma proposição simples, temos que escolher entre as existentes, uma proposição composta e supor se é verdadeira ou falsa. Nesta questão analise as proposições à medida que aparecem na questão, daí a primeira proposição sobre a pessoa assume o valor de verdade, as seguintes serão, em regra, falsas. Embora nada impeça que uma pessoa tenha mais de uma profissão, o que não deve ser levado em consideração. Importante lembrar que todas as proposições devem ter valor lógico verdadeiro. Para encontrar a resposta temos que testar algumas hipóteses até encontrar a que preencha todos os requisitos da regra.

I- Tânia estava no escritório ou Jorge foi ao centro da cidade II- Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla não pagou o condomínio. III- Jorge não foi ao centro da cidade. 09. A partir dessas proposições, é correto afirmar que a proposição “Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade” tem valor lógico V.

- Se Anamara é médica, então Angélica é médica. (verdadeiro) 1. V V 2. F F 3. F V

( ) Errado

10. A partir dessas proposições, é correto afirmar que a proposição. “Carla pagou o condomínio” tem valor lógico F.

- Se Anamara é arquiteta, então Angélica ou Andrea são médicas. (verdadeiro) 1. F V V - Para ser falso Todos devem ser falsos. 2. V F V - A segunda sentença deu falso e a VF apareceu, então descarta essa hipótese. 3. V V F - Aqui também ocorreu o mesmo problema da 2º hipótese, também devemos descartá-la.

( ) Errado

Didatismo e Conhecimento

P→Q

Se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro. (~P) (→) (Q)

Texto para as questões 09 e 10.

( ) Certo

Equivalente

A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro. (~P) (∨ ) (Q)

(CESPE - TRT-ES – Técnico Judiciário) Proposição

( ) Certo

Proposição

3

RACIOCÍNIO LÓGICO - Se Andrea é arquiteta, então Angélica é arquiteta. (verdadeiro) 1. F F 2. 3.

04. Resposta “Certo”. É só aplicar a tabela verdade do “ou” (v). V v F será verdadeiro, sendo falso apenas quando as duas forem falsas.

- Se Andrea é médica, então Anamara é médica. (verdadeiro) 1. V V 2. 3.

A tabela verdade do “ou”. Vejam: p∨q

p

q

03. Resposta “B”.

V

V

Ana pianista → Beatriz violinista. (F → F) Ana violinista → Beatriz pianista. (V → V) Ana pianista → Denise violinista. (F → F) Ana violinista → Denise pianista. (V → V) Beatriz violinista → Denise pianista. (F → V)

V

F

F

V

V

F

F

F

No 2º caso, os dois não podem ser verdade ao mesmo tempo. Disjunção exclusiva (Ou... ou) Representado pelo v, ou ainda ou. Pode aparecer assim também: p v q, mas não ambos.

Proposições Simples quando aparecem na questão, suponhamos que sejam verdadeiras (V). Como na questão não há proposições simples, escolhemos outra proposição composta e supomos que seja verdadeira ou falsa.

Regra: Só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e outra falsa.

1º Passo: qual regra eu tenho que saber? Condicional (Se... então). 2º Passo: Fazer o teste com as hipóteses possíveis até encontrar a resposta.

Hipótese 1: P1: F → V = V (Não poderá aparecer VF). P2: V F = V (Apenas um tem que ser verdadeiro). P3: F → F = V

Hipótese 1 - Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. (verdade) V V - Como já sabemos, se a (verdade) aparecer primeiro, a (falso) não poderá.

Conclusões: Vereador participou do esquema. Prefeito não sabia. Chefe do gabinete foi o mentor.

- Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. (verdade) F F - Já sabemos que Ana é pianista e Bia é violinista, então falso nelas.

Então: O chefe de gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador Vitor participou do esquema. V V = verdade, pois sabemos que para ser falso, todos devem ser falsos.

- Se Ana é pianista, Denise é violinista. (verdade) VV - Se Ana é violinista, então Denise é pianista. (verdade) FF

Hipótese 2: P1: F → F = V P2: F V = V P3: F →V = V

- Se Beatriz é violinista, então Denise é pianista. (verdade) V F - Apareceu a temida V F, logo a nossa proposição será falsa. Então descarte essa hipótese.

Conclusões: Vereador participou do esquema. Prefeito sabia. Chefe de gabinete não era o mentor.

Hipótese 2 - Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. (verdade) FV

Então: O chefe de gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador Vitor participou do esquema. F V = verdade.

- Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. (verdade) V F - A VF apareceu, então já podemos descartá-la, pois a nossa proposição será falsa.

Didatismo e Conhecimento

F

V

4

RACIOCÍNIO LÓGICO 05. Resposta “Errado”. Não se trata de uma Disjunção, trata-se de uma Disjunção Exclusiva, cujo símbolo é . Também chamado de “Ou Exclusivo”. É o famoso “um ou outro mas não ambos”. Só vai assumir valor verdade, quando somente uma das proposições forem verdadeiras, pois quando as duas forem verdadeiras a proposição será falsa. Da mesma forma se as duas forem falsas, a proposição toda será falsa.

07. Resposta “Errado”. A questão quer saber se o argumento “o Prefeito Pérsio não sabia do esquema” é um argumento válido. Quando o argumento é válido? Quando as premissas forem verdadeiras e a conclusão obrigatoriamente verdadeira ou quando as premissas forem falsas e a conclusão falsa. Quando o argumento não é válido? Quando as premissas forem verdadeiras e a conclusão for falsa. Pra resolver essas questões de validade de argumento é melhor começar de forma contrária ao comando da questão. Como a questão quer saber se o argumento é válido, vamos partir do princípio (hipótese) que é inválido. Fica assim:

Tabela verdade do “Ou Exclusivo”. p

q

V

V

p∨q

P1: P → ~Q verdade P2: R (ou exclusivo) Q verdade P3: P → ~R verdade Conclusão: O prefeito Pérsio não sabia do esquema. falso

F

V

F

F

V

V V

F

F

F

Se é falso que o Prefeito Pérsio não sabia, significa dizer que ele sabia do esquema. Então, pode-se deduzir que as proposições ~Q e Q são, respectivamente, falsa e verdadeira. Na segunda premissa: Se Q é verdadeira, R será obrigatoriamente falsa, pois na disjunção exclusiva só vai ser verdade quando apenas um dos argumentos for verdadeiro. E se R é falso, significa dizer que ~R é verdadeiro. Fazendo as substituições:

Com a frase em P2 “mas não ambos” deixa claro que as duas premissas não podem ser verdadeiras, logo não é uma Disjunção, mas sim uma Disjunção Exclusiva, onde apenas uma das premissas pode ser verdadeira para que P2 seja verdadeira. 06. Resposta “Certo”. Duas premissas são logicamente equivalentes quando elas possuem a mesma tabela verdade: P

R

¬P

V

V

V

F

F F

P1: P → ~Q Verdade F→FV Por que P é falso? Na condicional só vai ser falso se a primeira for verdadeira e a segunda for falsa. Como “sabemos” que a premissa toda é verdadeira e que ~Q é falso, P só pode assumir valor F.

¬P ∨ R

¬R

P→R

¬R → P

F

F

V

V

F

V

F

F

V

V

F

V

V

V

F

V

V

V

V

V

V F

P2: R (ou exclusivo) Q Verdade F (ou exclusivo) V V

Possuem a mesma tabela verdade, logo são equivalentes.

Lembrando que na disjunção exclusiva, só vai ser verdade quando uma das proposições forem verdadeiras. Como sei que Q é verdadeiro, R só pode ser falso.

Representando simbolicamente as equivalências, temos o seguinte: (P → R) = (¬P ∨ R) = (¬R → ¬P)

P3: P → ~R Verdade F→VV

As proposições dadas na questão: P = O vereador Vitor não participou do esquema. R = O chefe de gabinete do Prefeito foi o mentor do esquema.

Se deduz que R é falso, logo ~R é verdadeiro. Consideramos inicialmente o argumento sendo não válido (premissas verdadeiras e conclusão falsa). Significa dizer que a questão está errada. Não é correto inferir que o Prefeito Pérsio não sabia do esquema. Foi comprovado que ele sabia do esquema.

Premissa dada na questão: P3 = Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe do gabinete não foi o mentor do esquema. Em linguagem simbólica, a premissa P3 fica assim: (P → ¬R). A questão quer saber se (P → ¬R) é logicamente equivalente a proposição: “O vereador Vitor participou do esquema ou o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema”, que pode ser representada da seguinte forma: (¬P ∨ ¬R). Vemos que P3 tem a seguinte equivalente lógica: (P → ¬R) = (¬P ∨ ¬R). Negamos a primeira sentença, mudamos o conectivo “→” para “∨ ”, e depois mantemos a segunda sentença do mesmo jeito. Assim sendo, a questão está correta. As duas sentenças são “logicamente equivalentes”.

Princípio da Não Contradição = Uma preposição será V ou F não podendo assumir os 2 valores simultaneamente. Representação: ¬(P ¬P). Exemplo: Não (“a terra é redonda” e “a terra não é redonda”). Princípio do Terceiro Excluído = Uma preposição será V ou F, não podendo assumir um 3o valor lógico. Representação: P ∨ ¬P. Exemplo: Ou este homem é José ou não é José. Uma proposição só poderá ser julgada verdadeira ou falsa, nunca poderá ser as duas coisas ao mesmo tempo.

∨

Didatismo e Conhecimento

08. Resposta “Certo”.

5

RACIOCÍNIO LÓGICO 09. Resposta “Errado”. Da proposição III “Jorge não foi ao centro da cidade” que é verdadeira e a questão diz “Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade” a segunda parte é falsa como o conectivo é “e” as duas teriam que ser verdadeiras (o que não acontece). Vamos analisar cada proposição de cada premissa, tendo em mente que as premissas tem valor lógico (V), daí tiramos um importante dado, sabemos que a premissa III é (V), portanto vamos atribuir o valor lógico (V) a proposição “e” e o valor lógico (F) a proposição “B”, agora vamos separar: A: Tânia estava no escritório (V) B: Jorge foi ao centro da cidade (F)

p1 p2 p3 . . . pn ∴

Exemplos: 01. Se eu passar no concurso, então irei trabalhar. Passei no concurso ________________________ ∴ Irei trabalhar

Diante das análises iniciais temos que a premissa A v B, tem valor lógico (V), mas que a proposição “B” tem valor lógico (F), ou seja, A v (valor lógico F), para que essa premissa tenha o valor lógico (V), “A” tem que ter um valor lógico (V).

02. Se ele me ama então casa comigo. Ele me ama. __________________________ ∴ Ele casa comigo.

C: Manuel declarou o imposto de renda na data correta (V) D: Carla não pagou o condomínio (V)

∨

O enunciado fala para considerar todas as premissas com valor lógico (V), logo, a premissa C D para ter valor lógico (V), ambas proposições devem ter valor lógico (V).

03. Todos os brasileiros são humanos. Todos os paulistas são brasileiros. __________________________ ∴ Todos os paulistas são humanos.

E: Jorge não foi ao centro da cidade (V) B = (V)

∨

∨

Diante das explicações, C

(F) = (F).

04. Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho. Se o Palmeiras não ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho. __________________________ ∴ Todos os jogadores receberão o bicho.

10. Resposta “Certo”. Considere que cada uma das proposições seguintes tenha valor lógico V. Logo o que contraria essa verdade é falso. I- V + F = V II- V + V = V III- V

Observação: No caso geral representamos os argumentos escrevendo as premissas e separando por uma barra horizontal seguida da conclusão com três pontos antes. Veja exemplo:

Portanto se no item II diz que Carla não pagou o condomínio é verdadeiro, então o fato dela ter pago o condomínio é falso, pois está contradizendo o dito no item II. Os valores lógicos da segunda proposição não são deduzíveis, mas sim informados no enunciado.

Premissa: em água.

II- Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla não pagou o condomínio V e V. Portanto, se Carla não pagou o condomínio é Verdadeiro. Carla pagou o condomínio é Falso. Enunciado correto.

Conclusão: em água.

Todos os sais de sódio são substâncias solúveis Todos os sabões são sais de sódio. ____________________________________ ∴ Todos os sabões são substâncias solúveis

Os argumentos, em lógica, possuem dois componentes básicos: suas premissas e sua conclusão. Por exemplo, em: “Todos os times brasileiros são bons e estão entre os melhores times do mundo. O Brasiliense é um time brasileiro. Logo, o Brasiliense está entre os melhores times do mundo”, temos um argumento com duas premissas e a conclusão. Evidentemente, pode-se construir um argumento válido a partir de premissas verdadeiras, chegando a uma conclusão também verdadeira. Mas também é possível construir argumentos válidos a partir de premissas falsas, chegando a conclusões falsas. O detalhe é que podemos partir de premissas falsas, proceder por meio de uma inferência válida e chegar a uma conclusão verdadeira. Por exemplo: Premissa: Todos os peixes vivem no oceano. Premissa: Lontras são peixes. Conclusão: Logo, focas vivem no oceano.

2 LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO: ANALOGIAS, INFERÊNCIAS, DEDUÇÕES E CONCLUSÕES. Um argumento é “uma série concatenada de afirmações com o fim de estabelecer uma proposição definida”. É um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como consequência outra proposição. Isto é, o conjunto de proposições p1,...,pn que tem como consequência outra proposição q. Chamaremos as proposições p1,p2,p3,...,pn de premissas do argumento, e a proposição q de conclusão do argumento. Podemos representar por: Didatismo e Conhecimento

q

6

RACIOCÍNIO LÓGICO Conclusão: Finalmente se chegará a uma proposição que consiste na conclusão, ou seja, no que se está tentando provar. Ela é o resultado final do processo de inferência e só pode ser classificada como conclusão no contexto de um argumento em particular. A conclusão respalda-se nas premissas e é inferida a partir delas.

Há, no entanto, uma coisa que não pode ser feita: a partir de premissas verdadeiras, inferirem de modo correto e chegar a uma conclusão falsa. Podemos resumir esses resultados numa tabela de regras de implicação. O símbolo A denota implicação; A é a premissa, B é a conclusão. Regras de Implicação Premissas



Conclusão

A seguir está exemplificado um argumento válido, mas que pode ou não ser “consistente”. 1. Premissa: Todo evento tem uma causa. 2. Premissa: O universo teve um começo. 3. Premissa: Começar envolve um evento. 4. Inferência: Isso implica que o começo do universo envolveu um evento. 5. Inferência: Logo, o começo do universo teve uma causa. 6. Conclusão: O universo teve uma causa.

Inferência

A

B

AàB

Falsas

Falsa

Verdadeira

Falsas

Verdadeira

Verdadeira

Verdadeiras

Falsa

Falsa

Verdadeiras

Verdadeira

Verdadeira

- Se as premissas são falsas e a inferência é válida, a conclusão pode ser verdadeira ou falsa (linhas 1 e 2). - Se as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, a inferência é inválida (linha 3). - Se as premissas e a inferência são válidas, a conclusão é verdadeira (linha 4).

A proposição do item 4 foi inferida dos itens 2 e 3. O item 1, então, é usado em conjunto com proposição 4 para inferir uma nova proposição (item 5). O resultado dessa inferência é reafirmado (numa forma levemente simplificada) como sendo a conclusão. Validade de um Argumento

Desse modo, o fato de um argumento ser válido não significa necessariamente que sua conclusão seja verdadeira, pois pode ter partido de premissas falsas. Um argumento válido que foi derivado de premissas verdadeiras é chamado de argumento consistente. Esses, obrigatoriamente, chegam a conclusões verdadeiras.

Conforme citamos anteriormente, uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele é válido ou não válido. A validade de uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. Sendo assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos:

Premissas: Argumentos dedutíveis sempre requerem certo número de “assunções-base”. São as chamadas premissas. É a partir delas que os argumentos são construídos ou, dizendo de outro modo, é as razões para se aceitar o argumento. Entretanto, algo que é uma premissa no contexto de um argumento em particular pode ser a conclusão de outro, por exemplo. As premissas do argumento sempre devem ser explicitadas. A omissão das premissas é comumente encarada como algo suspeito, e provavelmente reduzirá as chances de aceitação do argumento. A apresentação das premissas de um argumento geralmente é precedida pelas palavras “admitindo que...”, “já que...”, “obviamente se...” e “porque...”. É imprescindível que seu oponente concorde com suas premissas antes de proceder à argumentação. Usar a palavra “obviamente” pode gerar desconfiança. Ela ocasionalmente faz algumas pessoas aceitarem afirmações falsas em vez de admitir que não entenda por que algo é “óbvio”. Não se deve hesitar em questionar afirmações supostamente “óbvias”.

a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. Exemplo: Todos os apartamentos são pequenos. (V) Todos os apartamentos são residências. (V) __________________________________ ∴ Algumas residências são pequenas. (V)

b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira. Exemplo: Todos os peixes têm asas. (F) Todos os pássaros são peixes. (F) __________________________________ ∴ Todos os pássaros têm asas. (V)

Inferência: Uma vez que haja concordância sobre as premissas, o argumento procede passo a passo por meio do processo chamado “inferência”. Na inferência, parte-se de uma ou mais proposições aceitas (premissas) para chegar a outras novas. Se a inferência for válida, a nova proposição também deverá ser aceita. Posteriormente, essa proposição poderá ser empregada em novas inferências. Assim, inicialmente, apenas se pode inferir algo a partir das premissas do argumento; ao longo da argumentação, entretanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas aumenta. Há vários tipos de inferência válidos, mas também alguns inválidos. O processo de inferência é comumente identificado pelas frases “Consequentemente...” ou “isso implica que...”.

Didatismo e Conhecimento

c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa. Exemplo: Todos os peixes têm asas. (F) Todos os cães são peixes. (F) __________________________________ ∴ Todos os cães têm asas. (F)

Todos os argumentos acima são válidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras então as conclusões também as seriam. Podemos dizer que um argumento é válido quando todas as suas premissas são verdadeiras, acarreta que sua conclusão também é 7

RACIOCÍNIO LÓGICO verdadeira. Portanto, um argumento será não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa. Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados. Exemplo:

Afirmação do Antecedente: O primeiro argumento dedutivo válido que discutiremos chama-se “afirmação do antecedente”, também conhecido como modus ponens. Exemplo: Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço. José foi aprovado no concurso. ___________________________ ∴ José será demitido do serviço.

Todas as mulheres são bonitas. Todas as princesas são mulheres. __________________________ ∴ Todas as princesas são bonitas.

Observe que não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento é válido. Vamos substituir mulheres bonitas e princesas por A, B e C respectivamente e teremos:

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma: Se p, então q, ou p. ∴ q.

Todos os A são B. Todos os C são A. ________________ ∴ Todos os C são B.

Outro argumento dedutivo válido é a “negação do consequente” (também conhecido como modus tollens). Obs.: p → q é equivalente a ¬q → ¬p . Esta equivalência é chamada de contra positiva. Exemplo:

Logo, o que é importante é a forma do argumento e não o conhecimento de A, B e C, isto é, este argumento é válido para quaisquer A, B e C, portanto, a validade é consequência da forma do argumento. O atributo validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos.

(

)

(

)

“Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Se ele não casa comigo, então ele não me ama”;

Argumentos Dedutivos e Indutivos O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas. Exemplo:

Então vejamos o exemplo do modus tollens. Exemplo: Se aumentarmos os meios de pagamentos, então haverá inflação. Não há inflação. ______________________________ ∴ Não aumentamos os meios de pagamentos.

Todo ser humano tem mãe. Todos os homens são humanos. __________________________ ∴ Todos os homens têm mãe.

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para retificar as conclusões. Exemplo:

Se p, então q,

O Flamengo é um bom time de futebol. O Palmeiras é um bom time de futebol. O Vasco é um bom time de futebol. O Cruzeiro é um bom time de futebol. ______________________________ ∴ Todos os times brasileiros de futebol são bons.

Não q. ∴ Não p.

p→q

ou

¬q ∴ ¬p

Existe também um tipo de argumento válido conhecido pelo nome de dilena. Geralmente este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativas indesejáveis. Exemplo:

Portanto, nos argumentos indutivos a conclusão possui informações que ultrapassam as fornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentos válidos ou não válidos para argumentos indutivos.

João se inscreve no concurso de MS, porém não gostaria de sair de São Paulo, e seus colegas de trabalho estão torcendo por ele.Eis o dilema de João:

Argumentos Dedutivos Válidos Vimos então que a noção de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos também que não podemos ter um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. A seguir exemplificaremos alguns argumentos dedutivos válidos importantes.

Didatismo e Conhecimento

p→q p ∴q

Ou João passa ou não passa no concurso. Se João passar no concurso vai ter que ir embora de São Paulo. Se João não passar no concurso ficará com vergonha diante dos colegas de trabalho. _________________________ ∴ Ou João vai embora de São Paulo ou João ficará com vergonha dos colegas de trabalho. 8

RACIOCÍNIO LÓGICO Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

Se p então r

Se

Não p. ∴ Não q.

p∨ q

p ou q.

ou

p então s. ∴ r ou s

p→ r q→s ∴r ∨ s

Todos os mamíferos são mortais. (V) Todos os gatos são mortais. (V) ___________________________ ∴ Todos os gatos são mamíferos. (V) Este argumento tem a forma: Todos os A são B. Todos os C são B. _____________________ ∴ Todos os C são A.

Podemos facilmente mostrar que esse argumento é não válido, pois as premissas não sustentam a conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C por cobra. Todos os mamíferos são mortais. (V) Todas as cobras são mortais. (V) __________________________ ∴ Todas as cobras são mamíferas. (F)

Se ele me ama então ele casa comigo. Ele casa comigo. _______________________ ∴ Ele me ama.

Podemos escrever esse argumento como:

Podemos usar as tabelas-verdade, definidas nas estruturas lógicas, para demonstrarmos se um argumento é válido ou falso. Outra maneira de verificar se um dado argumento P1, P2, P3, ...Pn é válido ou não, por meio das tabelas-verdade, é construir a condicional associada: (P1 ∧ P2 ∧ P3 ...Pn) e reconhecer se essa condicional é ou não uma tautologia. Se essa condicional associada é tautologia, o argumento é válido. Não sendo tautologia, o argumento dado é um sofisma (ou uma falácia). Tautologia: Quando uma proposição composta é sempre verdadeira, então teremos uma tautologia. Ex: P (p,q) = ( p ∧ q) ↔ (p V q) . Numa tautologia, o valor lógico da proposição composta P (p,q,s) = {(p ∧ q) V (p V s) V [p ∧ (q ∧ s)]} → p será sempre verdadeiro.

p→ q

ou

q ∴p

Este argumento é uma falácia, podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Outra falácia que corre com frequência é a conhecida por “falácia da negação do antecedente”. Exemplo: Se João parar de fumar ele engordará. João não parou de fumar. ________________________ ∴ João não engordará.

Há argumentos válidos com conclusões falsas, da mesma forma que há argumentos não válidos com conclusões verdadeiras. Logo, a verdade ou falsidade de sua conclusão não determinam a validade ou não validade de um argumento. O reconhecimento de argumentos é mais difícil que o das premissas ou da conclusão. Muitas pessoas abarrotam textos de asserções sem sequer

Observe que temos a forma:

Didatismo e Conhecimento

¬p ∴ ¬q

Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Assim, podemos ter, por exemplo, argumentos não válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém, as premissas não sustentam a conclusão. Exemplo:

Existe certa quantidade de artimanhas que devem ser evitadas quando se está construindo um argumento dedutivo. Elas são conhecidas como falácias. Na linguagem do dia a dia, nós denominamos muitas crenças equivocadas como falácias, mas, na lógica, o termo possui significado mais específico: falácia é uma falha técnica que torna o argumento inconsistente ou inválido (além da consistência do argumento, também se podem criticar as intenções por detrás da argumentação). Argumentos contentores de falácias são denominados falaciosos. Frequentemente, parecem válidos e convincentes, às vezes, apenas uma análise pormenorizada é capaz de revelar a falha lógica. Com as premissas verdadeiras e a conclusão falsa nunca teremos um argumento válido, então este argumento é não válido, chamaremos os argumentos não válidos de falácias. A seguir, examinaremos algumas falácias conhecidas que ocorrem com muita frequência. O primeiro caso de argumento dedutivo não válido que veremos é o que chamamos de “falácia da afirmação do consequente”. Exemplo:

q ∴p

ou

Este argumento é uma falácia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

Argumentos Dedutivos Não Válidos

Se p, então q,

p→q

Se p, então q,

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RACIOCÍNIO LÓGICO produzirem algo que possa ser chamado de argumento. Às vezes, os argumentos não seguem os padrões descritos acima. Por exemplo, alguém pode dizer quais são suas conclusões e depois justificá-las. Isso é válido, mas pode ser um pouco confuso. Para complicar, algumas afirmações parecem argumentos, mas não são. Por exemplo: “Se a Bíblia é verdadeira, Jesus foi ou um louco, ou um mentiroso, ou o Filho de Deus”. Isso não é um argumento, é uma afirmação condicional. Não explicita as premissas necessárias para embasar as conclusões, sem mencionar que possui outras falhas. Um argumento não equivale a uma explicação. Suponha que, tentando provar que Albert Einstein cria em Deus, alguém dissesse: “Einstein afirmou que ‘Deus não joga dados’ porque acreditava em Deus”. Isso pode parecer um argumento relevante, mas não é. Trata-se de uma explicação da afirmação de Einstein. Para perceber isso, deve-se lembrar que uma afirmação da forma “X porque Y” pode ser reescrita na forma “Y logo X”. O que resultaria em: “Einstein acreditava em Deus, por isso afirmou que ‘Deus não joga dados’”. Agora fica claro que a afirmação, que parecia um argumento, está admitindo a conclusão que deveria estar provando. Ademais, Einstein não cria num Deus pessoal preocupado com assuntos humanos.

04. Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados à presença de um velho e sábio professor de Lógica. Um dos suspeitos estava de camisa azul, outro de camisa branca e o outro de camisa preta. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. O velho e sábio professor perguntou, a cada um dos suspeitos, qual entre eles era o culpado. Disse o de camisa azul: “Eu sou o culpado”. Disse o de camisa branca, apontando para o de camisa azul: “Sim, ele é o culpado”. Disse, por fim, o de camisa preta: “Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu”. O velho e sábio professor de Lógica, então, sorriu e concluiu corretamente que: a) O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente. b) O culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente. c) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente. d) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade. e) O culpado é o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade.

QUESTÕES

05. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo: a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa. c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.

01. Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo, a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês. b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês. c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol. d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano. e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.

06. (FUNIVERSA - 2012 - PC-DF - Perito Criminal) Parte superior do formulário Cinco amigos encontraram-se em um bar e, depois de algumas horas de muita conversa, dividiram igualmente a conta, a qual fora de, exatos, R$ 200,00, já com a gorjeta incluída. Como se encontravam ligeiramente alterados pelo álcool ingerido, ocorreu uma dificuldade no fechamento da conta. Depois que todos julgaram ter contribuído com sua parte na despesa, o total colocado sobre a mesa era de R$ 160,00, apenas, formados por uma nota de R$ 100,00, uma de R$ 20,00 e quatro de R$ 10,00. Seguiram-se, então, as seguintes declarações, todas verdadeiras:

02. Sabe-se que todo o número inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator) primo.Se n é primo, então tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um primo p, ou seja, é da forma ps, então 1, p, p2, ..., ps são os divisores positivos de n. Segue-se daí que a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos, é igual a: a) 25 b) 87 c) 112 d) 121 e) 169

Antônio: — Basílio pagou. Eu vi quando ele pagou. Danton: — Carlos também pagou, mas do Basílio não sei dizer. Eduardo: — Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$ 10,00. Basílio: — Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antônio quem colocou, eu vi quando ele pegou seus R$ 60,00 de troco. Carlos: — Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota de R$ 50,00 que o Eduardo colocou na mesa.

03. Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então: a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. b) Lógica é fácil e Geografia é difícil. c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.

Didatismo e Conhecimento

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RACIOCÍNIO LÓGICO Imediatamente após essas falas, o garçom, que ouvira atentamente o que fora dito e conhecia todos do grupo, dirigiu-se exatamente àquele que ainda não havia contribuído para a despesa e disse: — O senhor pretende usar seu cartão e ficar com o troco em espécie? Com base nas informações do texto, o garçom fez a pergunta a (A) Antônio. (B) Basílio. (C) Carlos. (D) Danton. (E) Eduardo.

10. (VUNESP - 2011 - TJM-SP) Parte superior do formulário Se afino as cordas, então o instrumento soa bem. Se o instrumento soa bem, então toco muito bem. Ou não toco muito bem ou sonho acordado. Afirmo ser verdadeira a frase: não sonho acordado. Dessa forma, conclui-se que (A) sonho dormindo. (B) o instrumento afinado não soa bem. (C) as cordas não foram afinadas. (D) mesmo afinado o instrumento não soa bem. (E) toco bem acordado e dormindo.

07. (ESAF - 2012 - Auditor Fiscal da Receita Federal) Parte superior do formulário Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Passárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar em Passárgada. Assim, (A) não viajo e caso. (B) viajo e caso. (C) não vou morar em Passárgada e não viajo. (D) compro uma bicicleta e não viajo. (E) compro uma bicicleta e viajo.

Respostas 01. (P1) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. (P2) Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. (P3) Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. (P4) Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. (P5) Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês.

08. (FCC - 2012 - TST - Técnico Judiciário) Parte superior do formulário A declaração abaixo foi feita pelo gerente de recursos humanos da empresa X durante uma feira de recrutamento em uma faculdade: “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Mais tarde, consultando seus arquivos, o diretor percebeu que havia se enganado em sua declaração. Dessa forma, conclui-se que, necessariamente, (A) dentre todos os funcionários da empresa X, há um grupo que não possui plano de saúde. (B) o funcionário com o maior salário da empresa X ganha, no máximo, R$ 3.000,00 por mês. (C) um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3.000,00 por mês. (D) nenhum funcionário da empresa X tem plano de saúde ou todos ganham até R$ 3.000,00 por mês. (E) alguns funcionários da empresa X não têm plano de saúde e ganham, no máximo, R$ 3.000,00 por mês.

Ao todo são cinco premissas, formadas pelos mais diversos conectivos (Se então, Ou, Se e somente se, E). Mas o que importa para resolver este tipo de argumento lógico é que ele só será válido quando todas as premissas forem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira. Uma boa dica é sempre começar pela premissa formada com o conectivo e. Na premissa 5 tem-se: Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo para esta proposição composta pelo conectivo e ser verdadeira as premissas simples que a compõe deverão ser verdadeiras, ou seja, sabemos que: Francisco não fala francês Ching não fala chinês Na premissa 4 temos: Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Temos uma proposição composta formada pelo se e somente se, neste caso, esta premissa será verdadeira se as proposições que a formarem forem de mesmo valor lógico, ou ambas verdadeiras ou ambas falsas, ou seja, como se deseja que não seja verdade que Francisco não fala francês e ele fala, isto já é falso e o antecedente do se e somente se também terá que ser falso, ou seja: Elton não fala espanhol.

09. (CESGRANRIO - 2012 - Chesf - Analista de Sistemas) Parte superior do formulário Se hoje for uma segunda ou uma quarta-feira, Pedro terá aula de futebol ou natação. Quando Pedro tem aula de futebol ou natação, Jane o leva até a escolinha esportiva. Ao levar Pedro até a escolinha, Jane deixa de fazer o almoço e, se Jane não faz o almoço, Carlos não almoça em casa. Considerando-se a sequência de implicações lógicas acima apresentadas textualmente, se Carlos almoçou em casa hoje, então hoje (A) é terça, ou quinta ou sexta-feira, ou Jane não fez o almoço. (B) Pedro não teve aula de natação e não é segunda-feira. (C) Carlos levou Pedro até a escolinha para Jane fazer o almoço. (D) não é segunda, nem quarta, mas Pedro teve aula de apenas uma das modalidades esportivas. (E) não é segunda, Pedro não teve aulas, e Jane não fez o almoço. Didatismo e Conhecimento

Da premissa 3 tem-se: Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Uma premissa composta formada por outras duas simples conectadas pelo se então (veja que a vírgula subentende que existe o então), pois é, a regra do se então é que ele só vai ser falso se o seu antecedente for verdadeiro e o seu consequente for falso, da premissa 4 sabemos que Elton não fala espanhol, logo, para que a premissa seja verdadeira só poderemos aceitar um valor lógico possível para o antecedente, ou seja, ele deverá ser falso, pois F Î F = V, logo: Débora não fala dinamarquês.

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RACIOCÍNIO LÓGICO Da premissa 2 temos: Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Vamos analisar o consequente do se então, observe: ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. (temos um ou exclusivo, cuja regra é, o ou exclusivo, só vai ser falso se ambas forem verdadeiras, ou ambas falsas), no caso como Ching não fala chinês e Débora não fala dinamarquês, temos: F ou exclusivo F = F. Se o consequente deu falso, então o antecedente também deverá ser falso para que a premissa seja verdadeira, logo: Iara não fala italiano.

Observe que se tem um argumento com duas premissas, P1 (verdadeira) e P2 (falsa) e uma conclusão C. Veja que este argumento é válido, pois se as premissas se verificarem a conclusão também se verifica: (P1) Todo cavalo tem 4 patas. Indica que se é cavalo então tem 4 patas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos cavalos é um subconjunto do conjunto de animais de 4 patas.

Da premissa 1 tem-se: Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Ora ocorreu o antecedente, vamos reparar no consequente... Só será verdadeiro quando V Î V = V pois se o primeiro ocorrer e o segundo não teremos o Falso na premissa que é indesejado, desse modo: Ana fala alemão.

(P2) Todo animal de 4 patas tem asas. Indica que se tem 4 patas então o animal tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos animais de 4 patas é um subconjunto do conjunto de animais que tem asas.

Observe que ao analisar todas as premissas, e tornarmos todas verdadeiras obtivemos as seguintes afirmações: Francisco não fala francês Ching não fala chinês Elton não fala espanhol Débora não fala dinamarquês Iara não fala italiano Ana fala alemão.

(C) Todo cavalo tem asas. Indica que se é cavalo então tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto de cavalos é um subconjunto do conjunto de animais que tem asas.

A única conclusão verdadeira quando todas as premissas foram verdadeiras é a da alternativa (A), resposta do problema. Observe que ao unir as premissas, a conclusão sempre se verifica. Toda vez que fizermos as premissas serem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira, estaremos diante de um argumento válido. Observe:

02. Resposta “B”. O número que não é primo é denominado número composto. O número 4 é um número composto. Todo número composto pode ser escrito como uma combinação de números primos, veja: 70 é um número composto formado pela combinação: 2 x 5 x 7, onde 2, 5 e 7 são números primos. O problema informou que um número primo tem com certeza 3 divisores quando puder ser escrito da forma: 1 p p2, onde p é um número primo. Observe os seguintes números: 1 2 22 (4) 1 3 3² (9) 1 5 5² (25) 1 7 7² (49) 1 11 11² (121)

Desse modo, o conjunto de cavalos é subconjunto do conjunto dos animais de 4 patas e este por sua vez é subconjunto dos animais que tem asas. Dessa forma, a conclusão se verifica, ou seja, todo cavalo tem asas. Agora na questão temos duas premissas e a conclusão é uma das alternativas, logo temos um argumento. O que se pergunta é qual das conclusões possíveis sempre será verdadeira dadas as premissas sendo verdadeiras, ou seja, qual a conclusão que torna o argumento válido. Vejamos: Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1) Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. (P2) Artur gosta de Lógica (P3)

Veja que 4 têm apenas três divisores (1, 2 e ele mesmo) e o mesmo ocorre com os demais números 9, 25, 49 e 121 (mas este último já é maior que 100) portanto a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos é dada por: 4 + 9 + 25 + 49 = 87.

Observe que deveremos fazer as três premissas serem verdadeiras, inicie sua análise pela premissa mais fácil, ou seja, aquela que já vai lhe informar algo que deseja, observe a premissa três, veja que para ela ser verdadeira, Artur gosta de Lógica. Com esta informação vamos até a premissa um, onde temos a presença do “ou exclusivo” um ou especial que não aceita ao mesmo tempo que as duas premissas sejam verdadeiras ou falsas. Observe a tabela verdade do “ou exclusivo” abaixo:

03. Resposta “B”. O Argumento é uma sequência finita de proposições lógicas iniciais (Premissas) e uma proposição final (conclusão). A validade de um argumento independe se a premissa é verdadeira ou falsa, observe a seguir: Todo cavalo tem 4 patas (P1) Todo animal de 4 patas tem asas (P2) Logo: Todo cavalo tem asas (C) Didatismo e Conhecimento

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RACIOCÍNIO LÓGICO p

q

pVq

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Camisa Branca

Camisa Preta

“eu sou culpado”

“sim, ele (de camiza azul) é o culpado”

“Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu”

Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente.

Sendo as proposições: p: Lógica é fácil q: Artur não gosta de Lógica p v q = Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1)

I) Primeira hipótese: Se o inocente que fala verdade é o de camisa azul, não teríamos resposta, pois o de azul fala que é culpado e então estaria mentindo.

Observe que só nos interessa os resultados que possam tornar a premissa verdadeira, ou seja, as linhas 2 e 3 da tabela verdade. Mas já sabemos que Artur gosta de Lógica, ou seja, a premissa q é falsa, só nos restando a linha 2, quer dizer que para P1 ser verdadeira, p também será verdadeira, ou seja, Lógica é fácil. Sabendo que Lógica é fácil, vamos para a P2, temos um se então.

II) Segunda hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa preta, também não teríamos resposta, observem: Se ele fala a verdade e declara que roubou ele é o culpado e não inocente. III) Terceira hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa branca achamos a resposta, observem: Ele é inocente e afirma que o de camisa branca é culpado, ele é o inocente que sempre fala a verdade. O de camisa branca é o culpado que ora fala a verdade e ora mente (no problema ele está dizendo a verdade). O de camisa preta é inocente e afirma que roubou, logo ele é o inocente que está sempre mentindo.

Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Do se então já sabemos que: Geografia não é difícil - é o antecedente do se então. Lógica é difícil - é o consequente do se então. Chamando: r: Geografia é difícil ~r: Geografia não é difícil (ou Geografia é fácil) p: Lógica é fácil (não p) ~p: Lógica é difícil

O resultado obtido pelo sábio aluno deverá ser: O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente (Alternativa A). 05. Resposta “C”. Uma questão de lógica argumentativa, que trata do uso do conectivo “se então” também representado por “→”. Vamos a um exemplo: Se o duque sair do castelo então o rei foi à caça. Aqui estamos tratando de uma proposição composta (Se o duque sair do castelo então o rei foi à caça) formada por duas proposições simples (duque sair do castelo) (rei ir à caça), ligadas pela presença do conectivo (→) “se então”. O conectivo “se então” liga duas proposições simples da seguinte forma: Se p então q, ou seja: → p será uma proposição simples que por estar antes do então é também conhecida como antecedente. → q será uma proposição simples que por estar depois do então é também conhecida como consequente. → Se p então q também pode ser lido como p implica em q. → p é conhecida como condição suficiente para que q ocorra, ou seja, basta que p ocorra para q ocorrer. → q é conhecida como condição necessária para que p ocorra, ou seja, se q não ocorrer então p também não irá ocorrer.

~r → ~p (lê-se se não r então não p) sempre que se verificar o se então tem-se também que a negação do consequente gera a negação do antecedente, ou seja: ~(~p) → ~(~r), ou seja, p → r ou Se Lógica é fácil então Geografia é difícil. De todo o encadeamento lógico (dada as premissas verdadeiras) sabemos que: Artur gosta de Lógica Lógica é fácil Geografia é difícil Vamos agora analisar as alternativas, em qual delas a conclusão é verdadeira: a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. (V → F = F) a regra do “se então” é só ser falso se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso, nas demais possibilidades ele será sempre verdadeiro. b) Lógica é fácil e Geografia é difícil. (V ^ V = V) a regra do “e” é que só será verdadeiro se as proposições que o formarem forem verdadeiras. c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. (V ^ F = F) d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. (F ^ V = F) e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. (F v F = F) a regra do “ou” é que só é falso quando as proposições que o formarem forem falsas.

Vamos às informações do problema: 1) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo. Chamando A (proposição rei ir à caça) e B (proposição duque sair do castelo) podemos escrever que se B então A ou B → A. Lembre-se de que ser condição necessária é ser consequente no “se então”.

04. Alternativa “A”. Com os dados fazemos a tabela:

Didatismo e Conhecimento

Camisa azul

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RACIOCÍNIO LÓGICO 2) O rei ir à caça é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Chamando A (proposição rei ir à caça) e C (proposição duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se A então C ou A → C. Lembre-se de que ser condição suficiente é ser antecedente no “se então”.

07. Resposta “B”. 1°: separar a informação que a questão forneceu: “não vou morar em passárgada”. 2°: lembrando-se que a regra do ou diz que: para ser verdadeiro tem de haver pelo menos uma proposição verdadeira. 3°: destacando-se as informações seguintes: - caso ou compro uma bicicleta. - viajo ou não caso. - vou morar em passárgada ou não compro uma bicicleta.

3) O conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir. Chamando D (proposição conde encontrar a princesa) e E (proposição barão sorrir) podemos escrever que D se e somente se E ou D ↔ E (conhecemos este conectivo como um bicondicional, um conectivo onde tanto o antecedente quanto o consequente são condição necessária e suficiente ao mesmo tempo), onde poderíamos também escrever E se e somente se D ou E → D. 4) O conde encontrar a princesa é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. Chamando D (proposição conde encontrar a princesa) e C (proposição duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se C então D ou C → D. Lembre-se de que ser condição necessária é ser consequente no “se então”. A única informação claramente dada é que o barão não sorriu, ora chamamos de E (proposição barão sorriu). Logo barão não sorriu = ~E (lê-se não E). Dado que ~E se verifica e D ↔ E, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: esse modo ~E → ~D (então o conde não encontrou a princesa). Se ~D se verifica e C → D, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~D → ~C (a duquesa não foi ao jardim). Se ~C se verifica e A → C, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~C → ~A (então o rei não foi à caça). Se ~A se verifica e B → A, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~A → ~B (então o duque não saiu do castelo).

Logo: - vou morar em pasárgada (F) - não compro uma bicicleta (V) - caso (V) - compro uma bicicleta (F) - viajo (V) - não caso (F) Conclusão: viajo, caso, não compro uma bicicleta. Outra forma: c = casar b = comprar bicicleta v = viajar p = morar em Passárgada Temos as verdades: c ou b v ou ~c p ou ~b

Observe entre as alternativas, que a única que afirma uma proposição logicamente correta é a alternativa C, pois realmente deduziu-se que o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.

Transformando em implicações: ~c → b = ~b → c ~v → ~c = c → v ~p → ~b

06. Resposta “D”. Como todas as informações dadas são verdadeiras, então podemos concluir que: 1 - Basílio pagou; 2 - Carlos pagou; 3 - Antônio pagou, justamente, com os R$ 100,00 e pegou os R$ 60,00 de troco que, segundo Carlos, estavam os R$ 50,00 pagos por Eduardo, então... 4 - Eduardo pagou com a nota de R$ 50,00.

Assim: ~p → ~b ~b → c c→v Por transitividade: ~p → c ~p → v Não morar em passárgada implica casar. Não morar em passárgada implica viajar.

O único que escapa das afirmações é o Danton. Outra forma: 5 amigos: A,B,C,D, e E.

08. Resposta “C”.

Antônio: - Basílio pagou. Restam A, D, C e E. Danton: - Carlos também pagou. Restam A, D, e E. Eduardo: - Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$ 10,00. Restam A, D, e E. Basílio: - Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antônio. Restam D, e E. Carlos: - Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota de R$ 50,00 que o Eduardo colocou. Resta somente D (Dalton) a pagar.

Didatismo e Conhecimento

A declaração dizia: “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Porém, o diretor percebeu que havia se enganado, portanto, basta que um funcionário não tenha plano de saúde ou ganhe até R$ 3.000,00 para invalidar, negar a declaração, tornando-a desse modo FALSA. Logo, necessariamente, um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3.000,00 por mês. 14

RACIOCÍNIO LÓGICO Proposição composta no conectivo “e” - “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Logo: basta que uma das proposições seja falsa para a declaração ser falsa.

Para a proposição composta ~Ja → ~C ser verdadeira, então ~Ja também é falsa. ~Ja → ~C Na proposição acima desta temos que Je → ~Ja, contudo já sabemos que ~Ja é falsa. Pela mesma regra do conectivo Se, ... então, temos que admitir que Je também é falsa para que a proposição composta seja verdadeira. Na proposição acima temos que PF V PN → Je, tratando PF V PN como uma proposição individual e sabendo que Je é falsa, para esta proposição composta ser verdadeira PF V PN tem que ser falsa. Ora, na primeira proposição composta da questão, temos que S V Q → PF V PN e pela mesma regra já citada, para esta ser verdadeira S V Q tem que ser falsa. Bem, agora analisando individualmente S V Q como falsa, esta só pode ser falsa se as duas premissas simples forem falsas. E da mesma maneira tratamos PF V PN.

1ª Proposição: Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde. 2ª Proposição: ganha mais de R$ 3.000,00 por mês. Lembre-se que no enunciado não fala onde foi o erro da declaração do gerente, ou seja, pode ser na primeira proposição e não na segunda ou na segunda e não na primeira ou nas duas que o resultado será falso. Na alternativa C a banca fez a negação da primeira proposição e fez a da segunda e as ligaram no conectivo “ou”, pois no conectivo “ou” tanto faz a primeira ser verdadeira ou a segunda ser verdadeira, desde que haja uma verdadeira para o resultado ser verdadeiro. Atenção: A alternativa “E” está igualzinha, só muda o conectivo que é o “e”, que obrigaria que o erro da declaração fosse nas duas.

Representação lógica de todas as proposições: S V Q → PF V PN (f) (f) (f) (f) F F

A questão pede a negação da afirmação: Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde “e” ganha mais de R$ 3.000,00 por mês. Essa fica assim ~(p ^ q). A negação dela ~pv~q

PF V PN → Je F F

~(p^q) ↔ ~pv~q (negação todas “e” vira “ou”)

Je → ~Ja F F

A 1ª proposição tem um Todo que é quantificador universal, para negá-lo utilizamos um quantificador existencial. Pode ser: um, existe um, pelo menos, existem... No caso da questão ficou assim: Um funcionário da empresa não possui plano de saúde “ou” ganha até R$ 3.000,00 por mês. A negação de ganha mais de 3.000,00 por mês, é ganha até 3.000,00.

~Ja → ~C F F Conclusão: Carlos almoçou em casa hoje, Jane fez o almoço e não levou Pedro à escolinha esportiva, Pedro não teve aula de futebol nem de natação e também não é segunda nem quarta. Agora é só marcar a questão cuja alternativa se encaixa nesse esquema.

09. Resposta “B”. Sendo: Segunda = S e Quarta = Q, Pedro tem aula de Natação = PN e Pedro tem aula de Futebol = PF.

10. Resposta “C”. Dê nome: A = AFINO as cordas; I = INSTRUMENTO soa bem; T = TOCO bem; S = SONHO acordado.

V = conectivo ou e → = conectivo Se, ... então, temos: S V Q → PF V PN Sendo Je = Jane leva Pedro para a escolinha e ~Je = a negação, ou seja Jane não leva Pedro a escolinha. Ainda temos que ~Ja = Jane deixa de fazer o almoço e C = Carlos almoça em Casa e ~C = Carlos não almoça em casa, temos:

Montando as proposições: 1° - A → I 2° - I → T 3° - ~T V S (ou exclusivo)

PF V PN → Je Je → ~Ja ~Ja → ~C

Como S = FALSO; ~T = VERDADEIRO, pois um dos termos deve ser verdadeiro (equivale ao nosso “ou isso ou aquilo, escolha UM”). ~T = V T=F I→T (F)

Em questões de raciocínio lógico devemos admitir que todas as proposições compostas são verdadeiras. Ora, o enunciado diz que Carlos almoçou em casa, logo a proposição ~C é Falsa. ~Ja → ~C

Didatismo e Conhecimento

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RACIOCÍNIO LÓGICO Em muitos casos, é um macete que funciona nos exercícios “lotados de condicionais”, sendo assim o F passa para trás. Assim: I = F Novamente: A → I (F)

Considere os exemplos a seguir: p: Mônica é inteligente. q: Se já nevou na região Sul, então o Brasil é um país europeu. r: 7 > 3 s: 8 + 2 ≠ 10

O FALSO passa para trás. Com isso, A = FALSO. ~A = Verdadeiro = As cordas não foram afinadas.

Tipos de Proposições

Outra forma: partimos da premissa afirmativa ou de conclusão; última frase: Não sonho acordado será VERDADE Admita todas as frases como VERDADE Ficando assim de baixo para cima

Podemos classificar as sentenças ou proposições, conforme o significado de seu texto, em: - Declarativas ou afirmativas: são as sentenças em que se afirma algo, que pode ou não ser verdadeiro. Exemplo: Júlio César é o melhor goleiro do Brasil. - Interrogativas: são aquelas sentenças em que se questiona algo. Esse tipo de sentença não admite valor verdadeiro ou falso. Exemplo: Lula estava certo em demitir a ministra? - Imperativas ou ordenativas: são as proposições em que se ordena alguma coisa. Exemplo: Mude a geladeira de lugar.

Ou não toco muito bem (V) ou sonho acordado (F) = V Se o instrumento soa bem (F) então toco muito bem (F) = V Se afino as cordas (F), então o instrumento soa bem (F) = V A dica é trabalhar com as exceções: na condicional só dá falso quando a primeira V e a segunda F. Na disjunção exclusiva (ou... ou) as divergentes se atraem o que dá verdade. Extraindo as conclusões temos que: Não toco muito bem, não sonho acordado como verdade. Se afino as corda deu falso, então não afino as cordas. Se o instrumento soa bem deu falso, então o instrumento não soa bem.

Proposições Universais e Particulares As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se à totalidade do conjunto. Exemplo: “Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “Todo S é P”

Joga nas alternativas: (A) sonho dormindo (você não tem garantia de que sonha dormindo, só temos como verdade que não sonho acordado, pode ser que você nem sonhe). (B) o instrumento afinado não soa bem deu que: Não afino as cordas. (C) Verdadeira: as cordas não foram afinadas. (D) mesmo afinado (Falso deu que não afino as cordas) o instrumento não soa bem. (E) toco bem acordado e dormindo, absurdo. Deu não toco muito bem e não sonho acordado.

Nesta definição incluímos o caso em que o sujeito é unitário. Exemplo: “O cão é mamífero”. As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. Exemplo: “Alguns homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”. Proposições Afirmativas e Negativas

3 LÓGICA SENTENCIAL (OU PROPOSICIONAL). 3.1 PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS.

No caso de negativa podemos ter: “Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e simbolizamos por “nenhum S é P”.

Uma proposição é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa. Ela é o significado da afirmação, não um arranjo preciso das palavras para transmitir esse significado. Por exemplo, “Existe um número primo par maior que dois” é uma proposição (no caso, falsa). “Um número primo par maior que dois existe” é a mesma proposição, expressa de modo diferente. É muito fácil mudar acidentalmente o significado das palavras apenas reorganizandoas. A dicção da proposição deve ser considerada algo significante. É possível utilizar a linguística formal para analisar e reformular uma afirmação sem alterar o significado. As sentenças ou proposições são os elementos que, na linguagem escrita ou falada, expressam uma ideia, mesmo que absurda. Considerar-se-ão as que são bem definidas, isto é, aquelas que podem ser classificadas em falsas ou verdadeiras, denominadas declarativas. As proposições geralmente são designadas por letras latinas minúsculas: p, q, r, s... Didatismo e Conhecimento

“Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e simbolizamos por “algum S não é P”. No caso de afirmativa consideramos o item anterior. Chamaremos as proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum S é P”, “algum S não é P” e “nenhum S é P”. Então teremos a tabela:

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AFIRMATIVA

NEGATIVA

UNIVERSAL

Todo S é P (A)

Nenhum S é P (E)

PARTICULAR

Algum S é P (I)

Algum S não é P (O)

RACIOCÍNIO LÓGICO Diagrama de Euler

Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir uma outra correspondente com a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar:

Para analisar, poderemos usar o diagrama de Euler.

∧

- Todo S é P (universal afirmativa – A) P S

- Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b) - Disjunções: a b (lê-se: a ou b) - Condicionais: a ⇒ b (lê-se: se a então b) - Bicondicionais: a ⇔ b (lê-se: a se somente se b)

P=S

ou

Exemplo - Nenhum S é P (universal negativa – E)

S

“Se Cacilda é estudiosa então ela passará no AFRF” Sejam as proposições: p = “Cacilda é estudiosa” q = “Ela passará no AFRF”

P

Daí, poderemos representar a sentença da seguinte forma: Se p então q (ou  p ⇒ q)

- Algum S é P (particular afirmativa – I) P=S

P S

ou

P

S

Sentenças Abertas

ou

ou S

Existem sentenças que não podem ser classificadas nem como falsas, nem como verdadeiras. São as sentenças chamadas sentenças abertas.

P

- Algum S não é P (particular negativa – O) S

S

S

P ou

P

Exemplos

P

1. ou

A sentença matemática x + 4 = 9 é aberta, pois existem infinitos números que satisfazem a equação. Obviamente, apenas um deles, x = 5 , tornando a sentença verdadeira. Porém, existem infinitos outros números que podem fazer com que a proposição se torne falsa, como x = −5.

Princípios - Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. - Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo ter outro valor. a) “O Curso Pré-Fiscal fica em São Paulo” é um proposição verdadeira. b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira. c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa. As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas. Os conectivos serão representados da seguinte forma:

2.

Atenção: As proposições ou sentenças lógicas são representadas por letras latinas e podem ser classificadas em abertas ou fechadas. A sentença s ( x ) : 2 + 2 = 5 é uma sentença fechada, pois a ela se pode atribuir um valor lógico; nesse caso, o valor de s (x ) é F, pois a sentença é falsa. A sentença p (x ) “Phil Collins é um grande cantor de música pop internacional” é fechada, dado que possui um valor lógico e esse valor é verdadeiro. Já a sentença e(x ) “O sorteio milionário da Mega-Sena” é uma sentença aberta, pois não se sabe o objetivo de falar do sorteio da Mega-Sena, nem se pode atribuir um valor lógico para que e(x) seja verdadeiro, ou falso.

    corresponde a “não”

Didatismo e Conhecimento

q( x) : x < 3

Dessa maneira, na sentença x < 3 , obtemos infinitos valores que satisfazem à equação. Porém, alguns são verdadeiros, como x = −2 , e outros são falsos, como x = +7.

∧

∧ corresponde a “e”

corresponde a “ou” ⇒ corresponde a “então” ⇔ corresponde a “se somente se”

p( x) : x + 4 = 9

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RACIOCÍNIO LÓGICO Modificadores

Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições simples. Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas. Se P é uma proposição composta das proposições simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...). Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as proposições simples entre os parênteses, escrevendo simplesmente P.

A partir de uma proposição, podemos formar outra proposição usando o modificador “não” (~), que será sua negação, a qual possuirá o valor lógico oposto ao da proposição. Exemplo p: Jacira tem 3 irmãos. ~p: Jacira não tem 3 irmãos.

Exemplos: (4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das proposições simples p: Paulo é estudioso e q: Maria é bonita. (5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das proposições simples p: Maria é bonita e q: Maria é estudiosa. (6) R: Se x = 2 então x2 + 1 = 5. R é composta das proposições simples p: x = 2 e q: x2 + 1 = 5. (7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposições simples p: a > b e q: b < a.

É fácil verificar que: 1. Quando uma proposição é verdadeira, sua negação é falsa. 2. Quando uma proposição é falsa, sua negação é verdadeira. V ou F

Sentença: p

Negação: ~p

V ou F

V

4∈ N

4∉ N

F

F

12 é divisível por zero

12 não é divisível por zero.

V

As proposições simples são aquelas que expressam “uma única ideia”. Constituem a base da linguagem e são também chamadas de átomos da linguagem. São representadas por letras latinas minúsculas (p, q, r, s, ...).

Para classificar mais facilmente as proposições em falsas ou verdadeiras, utilizam-se as chamadas tabelas-verdade. Para negação, tem-se p

~p

V

F

As proposições composta são aquelas formadas por duas ou mais proposições ligadas pelos conectivos lógicos. São geralmente representadas por letras latinas maiúsculas (P, Q, R, S, ...). O símbolo P (p, q, r), por exemplo, indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q e r.

F V Atenção: A sentença negativa é representada por “~”.

Exemplos

A sentença t: “O time do Paraná resistiu à pressão do São Paulo” possui como negativa de t, ou seja, “~t”, o correspondente a: “O time do Paraná não resistiu à pressão do São Paulo”.

São proposições simples: p: A lua é um satélite da terra. q: O número 2 é primo. r: O número 2 é par. s: Roma é a capital da França. t: O Brasil fica na América do Sul. u: 2 + 5 = 3 . 4

Observação: Alguns matemáticos utilizam o símbolo “¬ O Brasil possui um grande time de futebol”, que pode ser lida como “O Brasil não possui um grande time de futebol”. Proposições Simples e Compostas

São proposições compostas: P(q, r): O número 2 é primo ou é par. Q(s, t): Roma é a capital da França e o Brasil fica na América do Sul. R: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.

Uma proposição pode ser simples (também denominada atômica) ou composta (também denominada molecular).  As proposições simples apresentam apenas uma afirmação. Podese considerá-las como frases formadas por apenas uma oração. As proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas.

Não são proposições lógicas: - Roma - O cão do menino - 7+1 - As pessoas estudam - Quem é? - Que pena!

Exemplos (1) p: eu sou estudioso (2) q: Maria é bonita (3) r: 3 + 4 > 12

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RACIOCÍNIO LÓGICO Tabela Verdade

Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q e de um em um para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sãos os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F.

Proposição Simples - Segundo o princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p, é verdade ou falsa, isto é, tem o valor lógico verdade (V) ou o valor lógico falso (F). p

Notação: O valor lógico de uma proposição simples p indicase por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V. Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F.

V F Proposição Composta - O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinados. É um dispositivo prático muito usado para a determinação do valor lógico de uma proposição composta. Neste dispositivo figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes.

Exemplos p: o sol é verde; q: um hexágono tem nove diagonais; r: 2 é raiz da equação x² + 3x - 4 = 0 V(p) = F V(q) = V V(r) = F

Proposição Composta - 02 proposições simples

Questões

Assim, por exemplo, no caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são: p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

01. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições: a) P ˅ ~q b) p → q c) ~p ^ ~q d) p ↔ ~q e) (p ˅ ~q) ↔ (q ^~p) 02. Considere as proposições p: A terra é um planeta e q: Aterra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol. b) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol. c) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol. d) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta. e) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol. (Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas como “não p e não q”)

Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F. Proposição Composta - 03 proposições simples No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p, q e r as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são: p

q

r

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

Didatismo e Conhecimento

03. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é impar”, determine: a) a contrapositiva b) a recíproca 04. a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F e V (~r ^ ~s) = V, determine V (p → r ^ s). b) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V e V (p ˅ r → q) = F, determine V (p), V (q), V (r). c) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p ˅ r → q ˅ r).

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RACIOCÍNIO LÓGICO 05. Dê o conjunto-verdade em R das seguintes sentenças abertas: a) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0 b) x² ˃ 4 ↔ x² -5x + 6 = 0

Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.

06. Use o diagrama de Venn para decidir quais das seguintes afirmações são válidas: a) Todos os girassóis são amarelos e alguns pássaros são amarelos, logo nenhum pássaro é um girassol. b) Alguns baianos são surfistas. Alguns surfistas são louros. Não existem professores surfistas. Conclusões: I- Alguns baianos são louros. II- Alguns professores são baianos. III- Alguns louros são professores. IV- Existem professores louros.

Fumar deve ser proibido. Fumar de ser encorajado.

R

Fumar não faz bem à saúde.

T

Muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes. a) A sentença I pode ser corretamente representada por P ^ (¬ T). b) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ^ (¬ R). c) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P. d) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ^ (¬ T)) → P. e) A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ^ (¬ P)).

07. (CESPE - PF - Regional) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ̚ , ^, ˅ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto, julgue os itens a seguir. a) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição ( ̚ P) ˅ ( ̚ Q) também é verdadeira. b) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R→ ( ̚ T) é falsa. c) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ^ R) → (¬ Q) é verdadeira.

10. Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações: A loura: “Não vou à França nem à Espanha”. A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”. A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

08. (CESPE - Papiloscopista) Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P v Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ^ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição. A partir das informações do texto, julgue os itens subsequentes. a) As tabelas de valorações das proposições P v Q e Q → ¬P são iguais. b) As proposições (P v Q) → S e (P → S) v (Q → S) possuem tabelas de valorações iguais.

O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que: a) A loura é Sara e vai à Espanha. b) A ruiva é Sara e vai à França. c) A ruiva é Bete e vai à Espanha. d) A morena é Bete e vai à Espanha. e) A loura é Elza e vai à Alemanha. Respostas: 01. a) “Está frio ou não está chovendo”. b) “Se está frio então está chovendo”. c) “Não está frio e não está chovendo”. d) “Está frio se e somente se não está chovendo”. e) “Está frio e não está chovendo se e somente se está chovendo e não está frio”.

09. (CESPE - PF - Regional) Considere as sentenças abaixo. I- Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. II- Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. III- Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. IV- Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. V- Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; consequentemente, muitos europeus fumam. Didatismo e Conhecimento

P Q

02. a) ~(p ˅ q); b) p → q c) ~(p ˅ ~q) d) ~p ^ ~q e) q ↔ ~p

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RACIOCÍNIO LÓGICO 03. a) a contrapositiva: “Se p 2 e p é par, então p não é primo”. b) a recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar, então p é primo”.

08. a) Item ERRADO. Basta considerarmos a linha da tabelaverdade onde P e Q são ambas proposições verdadeiras para verificar que as tabelas de valorações de P v Q e Q → ¬P não são iguais:

04. a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F (1) e V (~r ^ ~s) = V (2), determine V (p → r ^ s). Solução: De (2) temos que V (r) = V (s) = F; Usando estes resultados em (1) obtemos: V (p) = V (q) = V, logo, V (p → r ^ s) = F b) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V (1) e V (p ˅ r → q) = F (2), determine V (p), V (q) e V (r). Solução: De (1) concluímos que V (p) = V e V (q ˅ r) = V e de (2) temos que V (q) = F, logo V (r) = V c) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p ˅ r → q ˅ r). Solução: Vamos supor V (p ^ r → q ^ r) = F. Temos assim que V (p ^ r) = V e V (q ^ r) = F, o que nos permite concluir que V (p) = V (r) = V e V (q) = F, o que contradiz V (p → q) = V. Logo, V (p ˅ r → q ˅ r) = V. Analogamente, mostramos que V (p ˅ r → q ˅ r) = V.

P V

¬P F

PvQ V

Q → ¬P F

b) Item ERRADO. Nas seguintes linhas da tabela-verdade, temos os valores lógicos da proposição (P v Q) → S diferente dos da proposição (P → S) v (Q → S): P V F

Q F V

S F F

(P v Q) → S F F

P→SvQ→S V V

09. a) Item ERRADO. Sua representação seria P ^ T. b) Item CERTO. Apenas deve-se ter o cuidado para o que diz a proposição R: “Fumar não faz bem à saúde”. É bom sempre ficarmos atentos à atribuição inicial dada à respectiva letra. c) Item CERTO. É a representação simbólica da Condicional entre as proposições R e P. d) Item CERTO. Proposição composta, com uma Conjunção (R ^ ¬T) como condição suficiente para P. d) Item ERRADO. Dizer “...consequentemente...” é dizer “se... então...”. A representação correta seria ((¬ R) ^ (¬ P)) → T.

05. a) R – {2} b) [-2,2[ 06. a) O diagrama a seguir mostra que o argumento é falso:

10. Resposta “E”. A melhor forma de resolver problemas como este é arrumar as informações, de forma mais interessante, que possa prover uma melhor visualização de todo o problema. Inicialmente analise o que foi dado no problema: a) São três amigas b) Uma é loura, outra morena e outra ruiva. c) Uma é Bete, outra Elza e outra Sara. d) Cada uma fará uma viagem a um país diferente da Europa: Alemanha, França e Espanha. e) Elas deram as seguintes informações:

b) O diagrama a seguir mostra que todos os argumentos são falsos:

A loura: “Não vou à França nem à Espanha”. A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”. A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

07. a) Item ERRADO. Pela tabela do “ou” temos: (¬ P) v (¬ Q) (¬ V) v (¬ V) (F) v (F) Falsa

Faça uma tabela: Cor dos cabelos

b) Item ERRADO. A condicional regra que: R → (¬ T) F (¬ V) F (F) Verdadeira

Loura

Morena

Ruiva

Afirmação

Não vou à França nem a Espanha

Meu nome não é Elza nem Sara

Nem eu nem Elza vamos à França

País

Alemanha

França

Espanha

Nome

Elza

Bete

Sara

Com a informação da loura, sabemos que ela vai para a Alemanha. Com a informação da morena, sabemos que ela é a Bete. Com a informação da ruiva sabemos que ela não vai à França e nem Elza, mas observe que a loura vai a Alemanha e a ruiva não vai à França, só sobrando a Bete ir à França. Se Bete vai à França a ruiva coube a Espanha. Elza é a loura e Sara fica sendo a ruiva.

c) Item CERTO. Obedecendo a conjunção e a condicional: (P ^ R) → (¬ Q) (V ^ F) → (¬ V) F F Verdadeira

Didatismo e Conhecimento

Q V

21

RACIOCÍNIO LÓGICO Proposição Composta do Tipo P(p, q, r, s): a tabela-verdade possui 24 = 16 linhas e é formada igualmente as anteriores.

3.2 TABELAS-VERDADE.

Proposição Composta do Tipo P(p1, p2, p3,…, pn): a tabelaverdade possui 2n linhas e é formada igualmente as anteriores. A tabela-verdade é usada para determinar o valor lógico de uma proposição composta, sendo que os valores das proposições simples já são conhecidos. Pois o valor lógico da proposição composta depende do valor lógico da proposição simples. A seguir vamos compreender como se constrói essas tabelas-verdade partindo da árvore das possibilidades dos valores lógicos das proposições.

O Conectivo “não” e a negação O conectivo “não” e a negação de uma proposição p é outra proposição que tem como valor lógico V se p for falsa e F se p é verdadeira. O símbolo ~p (não p) representa a negação de p com a seguinte tabela-verdade:

Proposição Composta do Tipo P(p, q)

p

~p

V

F

F

V

p

~p

V

F

Exemplo: a) p = 7 é ímpar. ~p = 7 não é ímpar. p

q

P(p, q)

V

V

?

V

F

?

F

V

?

F

F

?

b) q = 24 é múltiplo de 5. ~q = 24 não é múltiplo de 5.

Proposição Composta do Tipo P(p, q, r)

q

~q

F

V

Observação: A negação de “Roma é a capital da Itália” é “Roma não é a capital da Itália” ou “Não é verdade que Roma é a capital da Itália”. Note que: - A negação de “Todos os brasileiros são carecas” é “Nem todos os brasileiros são carecas” ou “Pelo menos um brasileiro não é careca”. - A negação de “Nenhum homem é careca” é “Algum homem é careca” ou “Pelo menos um homem é careca”. p

q

r

P(p, q, r)

V

V

V

?

V

V

F

?

V

F

V

?

V

F

F

?

F

V

V

?

F

V

F

?

F

F

V

?

F

F

F

?

Didatismo e Conhecimento

Número de linhas da Tabela Verdade Seja “L” uma linguagem que contenha as proposições P, Q e R. O que podemos dizer sobre a proposição P? Para começar, segundo o princípio de bivalência, ela é ou verdadeira ou falsa. Isto representamos assim: P V F

22

RACIOCÍNIO LÓGICO Agora, o que podemos dizer sobre as proposições P e Q? Oras, ou ambas são verdadeiras, ou a primeira é verdadeira e a segunda é falsa, ou a primeira é falsa e a segunda é verdadeira, ou ambas são falsas. Isto representamos assim: P

Q

V

V

V

F

F

V

F

F

Como você já deve ter reparado, uma tabela para P, Q e R é assim: P

Q

R

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

Q

R

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

P˄Q

(P˄Q) → R

⌐(P˄Q) → R

Para completar esta tabela precisamos definir os operadores lógicos. Ao fazê-lo, vamos aproveitar para explicar como interpretá-los. O Conectivo e “e” a conjunção O conectivo “e” e a conjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem verdadeiras, e F em outros casos. O símbolo p ˄ q (p e q) representa a conjunção, com a seguinte tabela-verdade:

∨

Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as fórmulas) representa uma valoração. Agora, o que dizer sobre fórmulas moleculares, tais como ⌐P, Q ∨R, ou (Q R) → (P↔Q)? Para estas, podemos estabelecer os valores que elas recebem em vista do valor de cada fórmula atômica que as compõe. Faremos isto por meio das tabelas de verdade. Os primeiros passos para construir uma tabela de verdade consistem em: - Uma linha em que estão contidas todas as subfórmulas de uma fórmula e a própria fórmula. Por exemplo, a fórmula ⌐(P˄Q) → R tem o seguinte conjunto de subfórmulas: [(P˄Q) → R, P˄Q, P, Q, R]. - “L” linhas em que estão todos os possíveis valores que as proposições atômicas podem receber e os valores recebidos pelas fórmulas moleculares a partir dos valores destes átomos.

p

q

p˄q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Exemplo: a) p = 2 é par. q = o céu é rosa. p ˄ q = 2 é par e o céu é rosa. p

q

p˄ q

V

F

F

p

q

p˄q

F

F

F

b) p = 9 < 6. q = 3 é par. p ˄ q: 9 < 6 e 3 é par.

O número de linhas é L = nt, sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do CPC) e t o número de átomos que a fórmula contém. Assim, se uma fórmula contém 2 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos serem falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos os átomos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois átomos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos átomos são falsos (F F F). Então, para a fórmula ⌐(P˄Q) → R, temos:

Didatismo e Conhecimento

P

c) p = O número 17 é primo. q = Brasília é a capital do Brasil. p ˄ q = O número 17 é primo e Brasília é a capital do Brasil.

23

p

q

p˄q

V

V

V

RACIOCÍNIO LÓGICO O Conectivo “ou” e a disjunção O conectivo “ou” e a disjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se alguma das proposições for verdadeira e F se as duas forem falsas. O símbolo p v q (p ou q) representa a disjunção, com a seguinte tabelaverdade: p

q

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

V

q F

p

q F

p∨q V

p

q V

p∨q F

q

F

V

p∨q V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

p

q

p→q

V

V

V

p

q

p→q

F

V

V

p

q

p→q

V

F

F

O Conectivo “se e somente se” e a bicondicional A bicondicional p se e somente se q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, e F nos outros casos. O símbolo p ↔ q representa a bicondicional, com a seguinte tabela-verdade:

p∨q V

O Conectivo “se… então…” e a condicional A condicional se p então q é outra proposição que tem como valor lógico F se p é verdadeira e q é falsa. O símbolo p → q representa a condicional, com a seguinte tabela-verdade:

Didatismo e Conhecimento

V

d) p = 25 é múltiplo de 2. q = 12 < 3. p → q: Se 25 é múltiplo de 2 então 2 < 3.

d) p = O número 9 é par. q = O dobro de 50 é 100. p ν q: O número 9 é par ou o dobro de 50 é 100. p

V

c) p = 24 é múltiplo de 3. q = 3 é par. p → q: Se 24 é múltiplo de 3 então 3 é par.

c) p = O número 17 é primo. q = Brasília é a capital do Brasil. p ν q = O número 17 é primo ou Brasília é a capital do Brasil.

V

V

b) p = 7 + 5 < 4. q = 2 é um número primo. p → q: Se 7 + 5 < 4 então 2 é um número primo.

b) p = 9 < 6. q = 3 é par. p ν q: = 9 < 6 ou 3 é par.

F

p→q

a) p: 7 + 2 = 9. q: 9 – 7 = 2. p → q: Se 7 + 2 = 9 então 9 – 7 = 2.

V

a) p = 2 é par. q = o céu é rosa. p ν q = 2 é par ou o céu é rosa. p

q

Exemplo:

p∨q

Exemplo:

V

p

24

p

q

p↔q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

RACIOCÍNIO LÓGICO Exemplo: a) p = 24 é múltiplo de 3. q = 6 é ímpar. p ↔ q = 24 é múltiplo de 3 se, e somente se, 6 é ímpar.

b) p = 25 é quadrado perfeito. q = 8 > 3. p ↔ q = 25 é quadrado perfeito se, e somente se, 8 > 3.

c) p = 27 é par. q = 6 é primo. p ↔ q = 27 é par se, e somente se, 6 é primo.

p

q

p↔q

V

F

F

p

q

p↔q

V

V

V

p

q

p↔q

F

F

V

Tabela-Verdade de uma Proposição Composta

∨

Exemplo: veja como se procede a construção de uma tabela-verdade da proposição composta P(p, q) = ((p ∨ q) → (~p)) → (p q), onde p e q são duas proposições simples quaisquer. Resolução: uma tabela-verdade de uma proposição do tipo P(p, q) possui 24 = 4 linhas, logo:

F

F

V

F

F

(p ∨ q) → (~p)

p

q

((p ∨ q) → (~p)) → (p

((p ∨ q) → (~p)) → (p

q)

q)

∨

V

V

~p

∨

V

p∨q

∨

q

∨

p

q)

Agora veja passo a passo a determinação dos valores lógicos de P.

q V

p∨q

~p

(p ∨ q) → (~p)

p q

V

F

V

F

V

V

F

F

F

p

q

~p

V

F

(p ∨ q) → (~p)

p q

V

p∨q

V V

F

V

F

F

V

V

V

F

F

F

V

V

b) Valores lógicos de ~p

Didatismo e Conhecimento

25

∨

p V

∨

a) Valores lógicos de p ν q

((p ∨ q) → (~p)) → (p

RACIOCÍNIO LÓGICO

~p

V

p∨q V

F

(p ∨ q) → (~p)

V

F

V

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

V

V

p

q

~p

V

V

F

(p ∨ q) → (~p)

p q

V

p∨q

F

V

V

F

V

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

e) Valores lógicos de P(p, q) = ((p ν q) → (~p)) → (p p

q

~p

V

p∨q

V V

V

F

V

F

V

F

F

q)

∨

q

∨

∨

d) Valores lógicos de p

F

∨

V

p q

((p ∨ q) → (~p)) → (p

((p ∨ q) → (~p)) → (p

q)

p q

F

(p ∨ q) → (~p) F

V

((p ∨ q) → (~p)) → (p ∨ q)

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

QUESTÕES 01. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições: ∨

∨

(A) p v ~q (B) p → q c) ~p ~q (C) p ↔ ~q e) (p v ~q) ↔ (q

q)

∨

q

∨

p

∨

c) Valores lógicos de (p ν q) → (~p)

~p)

02. Considere as proposições p: A Terra é um planeta e q: A Terra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições: (A) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol. (B) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol. (C) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol. (D) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta. (E) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol. (Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas como “não p e não q”) 03. Escreva a negação das seguintes proposições numa sentença o mais simples possível. (A) É falso que não está frio ou que está chovendo. (B) Se as ações caem aumenta o desemprego. (C) Ele tem cabelos louros se e somente se tem olhos azuis. (D) A condição necessária para ser um bom matemático é saber lógica. (E) Jorge estuda física mas não estuda química. (Expressões da forma “p mas q” devem ser vistas como “ p e q”) Didatismo e Conhecimento

26

V

RACIOCÍNIO LÓGICO 04. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é ímpar”, determine: (A) a contrapositiva (B) a recíproca

10. Dê a negação das seguintes proposições: (A) Existem pessoas inteligentes que não sabem ler nem escrever. (B) Toda pessoa culta é sábia se, e somente se, for inteligente. (C) Para todo número primo, a condição suficiente para ser par é ser igual a 2.

05. (A) Supondo V(p Λ q ↔ r v s) = F e V(~r Λ ~s) = V, determine V(p → r Λs). (B) Supondo V(p Λ (q v r)) = V e V (p v r → q) = F, determine V(p), V(q) e V(r). (C) Supondo V(p→ q) = V, determine V(p Λ r → q Λ r) e V(p v r → q v r).

Respostas 01. (A) “Não está frio e não está chovendo”. (B) “Está frio se e somente se não está chovendo”. (C) “Está frio e não está chovendo se e somente se está chovendo e não está frio”.

06. Utilizando as propriedades das operações lógicas, simplifique as seguintes proposições: (A) (p v q) Λ ~p (B) p Λ (p → q) Λ (p →~q) (C) p Λ (p v q) → (p v q) Λ q (D) ~(p → q) Λ ((~p Λ q) v ~(p v q)) (E) ~p → (p v ~(p v ~q))

02. (A) ~(p v q) (B) p → q (C) ~(p v ~q) (D) ~p ~q (E) q ↔ ~p ∨

07. Escrever as expressões relativas aos circuitos. Simplificálas e fazer novos esquemas.

03. (A) “Não está frio ou está chovendo”. (B) “As ações caem e não aumenta o desemprego”. (C) “Ele tem cabelos louros e não tem olhos azuis ou ele tem olhos azuis e não tem cabeloslouros”. (D) A proposição é equivalente a “Se é um bom matemático então sabe lógica” cuja negação é “É um bom matemático e não sabe lógica”. (E) “Jorge não estuda lógica ou estuda química”.

(A)

(B)

04. (A) contrapositiva: “Se p ≠ 2 e p é par então p não é primo”. (B) recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar então p é primo”. 05. (A) Supondo V(p Λ q ↔ r v s) = F(1) e V(~r Λ ~s) = V (2), determine V(p → r Λ s). Solução: De (2) temos que V (r) = V(s) = F; Usando estes resultados em (1) obtemos: V(p) = V(q) = V, logo, V(p → r Λ s) = F

08. Verifique a validade ou não dos seguintes argumentos sem utilizar tabela-verdade: (A) p v q, ~r v ~q ╞ ~p → ~r (B) p → q v r, q → ~p, s → ~r ╞ ~(p s) (C) p → q, r → s, p v s ╞ q v r (D) Se o déficit público não diminuir, uma condição necessária e suficiente para inflação cair é que os impostos sejam aumentados. Os impostos serão aumentados somente se o déficit público não diminuir. Se a inflação cair, os impostos não serão aumentados. Portanto, os impostos não serão aumentados. ∨

(B) Supondo V(p Λ (q v r)) = V (1) e V(p v r → q) = F (2), determine V(p), V(q) e V(r). Solução: De (1) concluimos que V(p) = V e V(q v r) = V e de (2) temos que V(q) = F, logo V (r) = V. (C) Supondo V(p → q) = V, determine V(p Λ r → q Λ r) e V(p v r → q v r). Solução: Vamos supor V(p Λ r →q Λ r) = F. Temos assim que V(p Λ r) = V e V(q Λ r) = F, o que nos permite concluir que V(p) = V(r) = V e V(q) = F, o que contradiz V(p → q) = V. Logo, V(p v r → q v r) = V. Analogamente, mostramos que V(p v r → q v r) = V.

09. Dê o conjunto-verdade em R das seguintes sentenças abertas: (A) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0 (B) x² > 4 ↔ x² - 5x + 6 = 0

Didatismo e Conhecimento

27

RACIOCÍNIO LÓGICO

((~p ∨ (q ~q)) ↔ p

∨ ∨

∨ ∨

∨ ∨

∨

∨

∨

∨

∨

∨

∨ ∨

∨ ∨

∨

(E) ~p → (p ∨ ~(p∨~q)) ↔ p ∨ (p ∨ ~(p∨~q)) ↔ (p ∨ (~p q)) ↔ (p∨~p) ∨

~p ↔ F

(p∨q) ↔ V

(p∨q) ↔ p∨q

p↔q p ∨

∨

∨

∨

∨

∨

∨

∨

∨

(B) ((p∨q) r)) ∨ ((q r) ∨ q)) ↔ ((p∨q) r) ∨ q ↔ (p∨q∨q) (r∨q) ↔ (p∨q)

∨

∨

p ↔ ((p q)

∨

∨ ∨

∨

∨

(D) ~(p→q) ((~p q)) ↔ (p ~q) ((~p q) ∨ (~p ~q)) (p ~q) ((~p (q∨~q)) ↔ (p ~q) (~p V) ↔ (p ~q) ~p (p ~p) ~q ↔ F ~q ↔ F 07. (A) (p q) ∨ ((p q) ∨ q)

(~p ∨ F) ↔ p

∨

(~p∨~q) ↔ p

∨

∨

q ↔ p→q

∨

(p∨q) → (p ∨q)

(~p∨q)

∨

(p→~p) ↔ p

∨

∨

(p→q)

∨

∨

~p ↔ (p ~p) ∨ (q ~p) ↔ F ∨ (q ~p) ↔ (q ~p)

∨

∨

(C) p

∨

(B) p

∨

06. (A) (p∨q)

(r∨q) ↔ q ∨ (p r)

08. (A) Válido (B) Válido (C) Sofisma. Considerando V(p) = V(q) = V( r ) = F e V(s) = V, todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. (D) Considere p: O déficit público não diminui; q: A inflação cai; r: Os impostos são aumentados. Analise o argumento: p → (q↔r), r →p, q →~r ╞ ~r (Válido) 09. (A) R- {2} (B) [-2, 2[ 10. (A) “Todas as pessoas inteligentes sabem ler ou escrever”. (B) “Existe pessoa culta que é sábia e não é inteligente ou que é inteligente e não é sábia”. (C) “Existe um número primo que é igual a 2 e não é par”.

3.3 EQUIVALÊNCIAS.

Equivalências Na lógica, as asserções p e q são ditas logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes, se p ╞ q e q ╞ p. Em termos intuitivos, duas sentenças são logicamente equivalentes se possuem o mesmo “conteúdo lógico”. Do ponto de vista da teoria da demonstração, p e q são equivalentes se cada uma delas pode ser derivada a partir da outra. Semanticamente, p e q são equivalentes se elas têm os mesmos valores para qualquer interpretação. A notação normalmente usada para representar a equivalência lógica entre p e q é p ≡ q, p ⇔ q ou p q. Exemplo: As seguintes sentenças são logicamente equivalentes: 1- Se hoje é sábado, então hoje é fim de semana. 2- Se hoje não é fim de semana, então hoje não é sábado. Em símbolos: d: “Hoje é sábado”. (d → f) f: “Hoje é fim de semana”. ( f → d) Sintaticamente, (1) e (2) são equivalentes pela Lei da Contraposição. Semânticamente, (1) e (2) têm os mesmos valores nas mesmas interpretações. Há equivalência entre as proposições p e q somente quando a bicondicional p ↔ q for uma tautologia ou quando p e q tiverem a mesma tabela-verdade. p ⇔ q (p é equivalente a q) é o símbolo que representa a equivalência lógica. Didatismo e Conhecimento

28

RACIOCÍNIO LÓGICO Diferenciação dos símbolos ↔ e ⇔

O símbolo ↔ representa uma operação entre as proposições p e q, que tem como resultado uma nova proposição p ↔ q com valor lógico V ou F. O símbolo ⇔ representa a não ocorrência de VF e de FV na tabela-verdade p ↔ q, ou ainda que o valor lógico de p ↔ q é sempre V, ou então p ↔ q é uma tautologia. Exemplo: A tabela da bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) será: p

q

~q

~p

p→q

~q → ~p

(p → q) ↔ (~q → ~p)

V V

V

F

F

V

V

V

F

V

F

F

F

V

F

V

F

V

V

V

V

F

F

V

V

V

V

V

Portanto, p → q é equivalente a ~q → ~p, pois estas proposições possuem a mesma tabela-verdade ou a bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) é uma tautologia. Veja a representação: (p → q) ⇔ (~q → ~p) Equivalências Notáveis Propriedade ~~p ↔ p pVp↔p pVq↔qVp p V (q V r) ↔ (p V q) V r ~(p V q) ↔ ~p ∧ ~q p ∧ (q V r) ↔ (p ∧ q) V (p ∧ r) p ∧ (p V q) ↔ p p → q ↔ ~p V q p ↔ q ↔ (p → q) ∧ (q → p) pVF↔p pVV↔V p V ~p ↔ V F = contradição V = tautologia

Nome Dupla Negação (DN) Idempotente (IP) Comutativa (COM) Associativa (ASS) De Morgan (DM) Distributiva (DIS) Absorção (ABS) Reescrita da Condicional (COND) Reescrita da Bicondicional (BI) Elemento Neutro (EN) Elemento Absorvedor (EA) Complementares (COMPLE)

Dual p∧p↔p p∧q↔q∧p p ∧ (q ∧ r) ↔ (p ∧ q) ∧ r ~(p ∧ q) ↔ ~p V ~q p V (q ∧ r) ↔ (p V q) ∧ (p V r) p V (p ∧ q) ↔ p p∧V↔p p∧F↔F p ∧ ~p ↔ F

As proposições p e q são chamadas de logicamente equivalentes (≡) se p ↔ q é uma tautologia. Exemplos: Mostraremos que (p V q) e p ∧ q são logicamente equivalentes. Uma das leis de De Morgan. Solução: (p V q) e p ∧ q (p V q) ↔ p ∧ q

p

q

(p V q)

¬(p V q)

¬p

¬q

p∧ q

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

V

F

F

V

F

V

F

V

V

F

V

F

F

V

F

F

F

V

V

V

V

V

Mostraremos que (p → q) e p V q são logicamente equivalentes. Solução:

(p → q) e p V q p

q

¬p

¬p V q

p→q

V

V

F

V

V

V

(p → q) ↔ p V q

V

F

F

F

F

V

F

V

V

V

V

V

F

F

V

V

V

V

Didatismo e Conhecimento

29

RACIOCÍNIO LÓGICO QUESTÕES

(D) p ∧ q → r ⇔ p → (q → r)

p∧q→r⇔ ~(p ∧ q) ∨ r ⇔ (reescrita da condicional) ~p ∨ ~q ∨ r ⇔ (De Morgan) ~p ∨ (~q ∨ r) ⇔ (associativa) ~p ∨ (q → r) ⇔ (reescrita da condicional) p → (q → r) (reescrita da condicional)

01. Demonstre as relações abaixo utilizando as equivalências notáveis: (A) p → q ∧ r ⇔ (p → q) ∧ (p → r) (B) p → q ∨ r ⇔ (p → q) ∨ (p → r) (C) p ∧ (r ∨ s ∨ t) ⇔ (p ∧ r) ∨ (p ∧ s) ∨ (p ∧ t) (D) p ∧ q → r ⇔ p → (q → r) ~(~p → ~q) ⇔ ~p ∧ q (E)

(E) ~(~p → ~q) ⇔ ~p ∧ q ~(~p → ~q) ⇔ ~(~~p ∨ ~q) ⇔ (reescrita da condicional) ~(p ∨ ~q) ⇔ (dupla negação) ~p ∧ ~~q ⇔ (De Morgan) ~p ∧ q (dupla negação)

02. Demonstre, utilizando as equivalências notáveis, que as relações de implicação são válidas: (A) Exemplo: Regra da simplificação: p ∧ q ⇒ q Para provarmos uma relação de implicação temos que demonstrar que a condicional p ∧ q → q é tautológica, ou seja, que a condicional p ∧ q → q ⇔ V Desenvolvendo o lado esquerdo da equivalência, tem-se: p ∧ q → q ≡ (aplicando-se a equiv. de reescrita da condicional) ~(p ∧ q) ∨ q ≡ (aplicando-se a Lei de Morgan) ~p ∨ ~q ∨ q ≡ (aplicando-se lei complementar, ~q ∨ q é uma tautologia) ~p ∨ V ≡ (pela lei da identidade ~p ∨ V é um tautologia) V Portanto, está provado que p ∧ q ⇒ q é uma tautologia

02. (B) Regra da adição: p ⇒ p ∨ q p → p ∨ q ⇔ V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) ~p ∨ (p ∨ q) ⇔ (condicional) ~p ∨ p ∨ q ⇔ (associativa) V ∨ q ⇔ (complementares ~p ∨ p ) V (identidade) (C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p ∨ q) ∧ ~q ⇒ p (p ∨ q) ∧ ~q → p ⇔ V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~q) → p ⇔ (distributiva) (p ∧ ~q) ∨ F → p ⇔ (complementares) (p ∧ ~q) → p ⇔ (identidade) ~(p ∧ ~q) ∨ p ⇔ (condicional) ~p ∨ ~q ∨ p ⇔ (De Morgan) (~p ∨ p) ∨ ~q ⇔ (associativa) V ∨ ~q ⇔ (complementares) V (identidade)

(B) Regra da adição: p ⇒ p ∨ q (C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p ∨ q) ∧ ~q ⇒ p (D) Regra de Modus Ponens: (p → q) ∧ p ⇒ q (E) Regra de Modus Tollens: (p → q) ∧ ~q ⇒ ~p 03. Usando as regras de equivalência, mostre a seguinte tautologia: (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q)

(D) Regra de Modus Ponens: (p → q) ∧ p ⇒ q (p → q) ∧ p → q ⇔ V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (~p ∨ q) ∧ q → q ⇔ (condicional) (q ∧ ~p) ∨ (q ∧ q) → q ⇔ (distributiva) (q ∧ ~p) ∨ q → q ⇔ (idempotente) ~((q ∧ ~p) ∨ q) ∨ q ⇔ (condicional) (~(q ∧ ~p) ∧ ~q) ∨ q ⇔ (De Morgan) ((~q ∨ p) ∧ ~q) ∨ q ⇔ (De Morgan) (~q ∧ ~q) ∨ (~q ∧ p) ∨ q ⇔ (distributiva) ~q ∨ (~q ∧ p) ∨ q ⇔ (idempotente) (~q ∨ q) ∨ (~q ∧ p) ⇔ (associativa) V ∨ (~q ∧ p) ⇔ (complementares) V (identidade)

Respostas

01. (A) p → q ∧ r ⇔ (p → q) ∧ (p → r) p→q∧r⇔ ~p ∨ (q ∧ r) ⇔ (reescrita da condicional) (~p ∨ q) ∧ (~p ∨ r) ⇔ (distributiva) (p → q) ∧ (p → r) (reescrita da condicional) (B) p → q ∨ r ⇔ (p → q) ∨ (p → r) p→q∨r⇔ ~p ∨ (q ∨ r) ⇔ (reescrita da condicional) ~p ∨ q ∨ r ⇔ (associativa) ~p ∨ ~p ∨ q ∨ r ⇔ (idempotente, adicionei um ~p,

(E) Regra de Modus Tollens: (p → q) ∧ ~q ⇒ ~p (p → q) ∧ ~q → ~p ⇔ V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (~p ∨ q) ∧ ~q → ~p ⇔ (De Morgan) (~q ∧ ~p) ∨ (~q ∧ q) → ~p ⇔ (Distributiva) (~q ∧ ~p) ∨ F → ~p ⇔ (Complementares) (~q ∧ ~p) → ~p ⇔ (Identidade) ~(~q ∧ ~p) ∨ ~p ⇔ (condicional) ~~q ∨ ~~p ∨ ~p ⇔ (De Morgan) q ∨ p ∨ ~p ⇔ (Dupla Negação) q ∨ V ⇔ (complementares)

pois ~p ∨ ~p ⇔ ~p)

(~p ∨ q) ∨ (~p ∨ r) ⇔ (associativa) (p → q) ∨ (p → r) (reescrita da condicional)

(C) p ∧ (r ∨ s ∨ t) ⇔ (p ∧ r) ∨ (p ∧ s) ∨ (p ∧ t)

p ∧ (r ∨ s ∨ t) ⇔ p ∧ (r ∨ (s ∨ t)) ⇔ (associativa em s ∨ t ) (p ∧ r) ∨ (p ∧ (s ∨ t)) ⇔ (distributiva) (p ∧ r) ∨ (p ∧ s) ∨ (p ∧ t)

(distributiva)

Didatismo e Conhecimento

V 30

RACIOCÍNIO LÓGICO 03. Mostraremos que uma tautologia, de fato:

Ordem 1 2 3 4 5

(p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q)

significado é: “o complementar da interseção de dois conjuntos é igual à reunião dos complementares dos conjuntos iniciais” cujo significado é: “o complementar da reunião de dois conjuntos é igual à interseção dos complementares dos conjuntos iniciais”.

é

Proposição (p → q) → r ⇔ ⇔(~p ∨ q) → r ⇔ ⇔~(~p ∨ q) ∨ r ⇔ ⇔ r ∨ ~(~p ∨ q) r ∨ (p ∧ ~q)

Segundas Leis de Morgan: As Segundas Leis de Morgan permitem-nos efetuar a negação de proposições com quantificadores (universais e existenciais). Dada a expressão proposicional (ou condição) p(x), em que x ∈ A, conjunto de números reais, a expressão ∀x ∈ A: p (x) lê-se: “para todo o elemento de A, verifica-se p”, ou seja, qualquer que seja o valor de A pelo qual substituímos x, p(x) transforma-se numa proposição verdadeira. Por outro lado, a expressão ∃x ∈ A: p(x) lê-se: “existe pelo menos um elemento de A que verifica p”, ou seja, significa que existe pelo menos um valor da variável x, para a qual a p(x) se transforma numa proposição verdadeira.

3.4 LEIS DE DE MORGAN.

Neguemos ambas:

As leis de De Morgan definem regras usadas para converter operações lógicas OU em E e vice versa. Sendo X, Y {0,1} e as operações em {0,1} sendo +, . e -, assim definidas: Operação lógica

Símbolo

Exemplos

+

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1

E

.

0.0=0 0.1=0 1.0=0 1.1=1

Não

-

=1 =0

Ou

As negações destas duas proposições constituem então as Segundas Leis de Morgan. As leis: Considere X e Y como variáveis booleanas ou proposições cuja resposta seja {Sim, Não} ou {Verdadeiro, Falso} ou ainda {0,1}. Seguem as leis de De Morgan conforme algumas notações possíveis: Lógica Proposicional

Lógica Booleana

Da autoria do ilustre matemático inglês Augustus De Morgan (1806-1871), podemos separá-las em Primeiras Leis de Morgan e Segundas Leis de Morgan. As primeiras podem ser indicadas de várias formas, dependendo do contexto a estudar. Podemos utilizálas em operações lógicas sobre proposições ou em operações sobre conjuntos.

Textual Não (X E Y) = Não (X) Ou Não (Y) Não (X Ou Y) = Não (X) E Não (Y)

∧

Primeiras Leis de Morgan: Sendo p e q duas proposições e ~,

∧ e , respetivamente, os símbolos das operações lógicas negação,

Generalização: A ideia é que ao “aplicar” a barra (operador Não) sobre uma outra operação, esta muda seu sinal, restando uma barra para cada membro da operação. Exemplos:

conjunção e disjunção, as Primeiras Leis de Morgan podem ser apresentadas simbolicamente por: ∧

1. ~(p ∧ q) = ~p ~q cujo significado é: “negar a simultaneidade de p e q é afirmar pelo menos não p ou não q”. ∧

Prova: Se de fato, então:

2. ~(p q) = ~p ∧ ~q cujo significado é: “negar a ocorrência de pelo menos p ou q é afirmar nem p nem q”.

a)

Mas, se considerarmos A e B dois conjuntos e , respectivamente, os símbolos da interseção, reunião, complementar de A e complementar de B, as Primeiras Leis de Morgan podem ser apresentadas simbolicamente por: cujo

Didatismo e Conhecimento

Primeiro usamos a propriedade distributiva do operador (+), depois a propriedade comutativo (passo não mostrado), então vemos a soma de elementos complementares. 31

RACIOCÍNIO LÓGICO b)

Para a demonstração algébrica vamos ter de nos socorrer dos axiomas e de outros teoremas da álgebra de Boole Binária. Para tanto, consideremos:

Primeiro usamos a propriedade distributiva do operador (.), depois usamos a propriedade de comutatividade (esse passo não foi mostrado), então usamos a propriedade de elementos complementares .

(A2a) (A4a T2a)

=0+0

Por outro lado, consideremos: (A1b) (A2b)

QUESTÕES 01. Numa pesquisa sobre audiência de TV entre 125 entrevistados, obteve-se: 60 assistem ao canal X, 40 ao canal Y, 15 ao canal Z, 25 assistem a X e Y, 8 a Y e Z, 3 a X e Z e 1 assiste aos três. (A) Quantos não assistem a nenhum desses canais? (B) Quantos assistem somente ao canal X?

Sendo assim, x + y e xy satisfazem os axiomas A4a e A4b, pelo que x + y deverá ser o (único) complemento de xy, e viceversa. E então possível escrever e, por dualidade, x . y = x + y. 03. (A) ~(p ~(p ~p ~p ∨

q r) ↔ ~p ∨ ~q ∨ ~r (q r)) ↔ (Associativa) ~(q r) ↔ (De Morgan) ~q ~r (De Morgan)

∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨

02. Prove a seguinte Lei de De Morgan: x + y = xy. 03. Demonstre as Leis de Morgan: (A) ~(p ∧ q ∧ r) ↔ ~p ∨ ~q ∨ ~r (B) ~(p ∨ q ∨ r) ↔ ~p ∧ ~q ∧ ~r

(B) ~(p ∨ q ∨ r) ↔ ~p ~q ~r ~(p ∨ (q ∨ r)) ↔ (Associativa) ~p ~(q ∨ r) ↔ (De Morgan) ~p ~q ~r (De Morgan)

∨

∨ ∨

(A) Assim, (A B C) ∧ C = ? X= 60 XY= 25 - 1 = 24 XeY=3-1=2 X, Y e Z= 1 → X, Y e Z = 1

∨

01.

∨

Respostas

3.5 DIAGRAMAS LÓGICOS.

Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. Uma situação que esses diagramas poderão ser usados, é na determinação da quantidade de elementos que apresentam uma determinada característica.

Da teoria dos conjuntos, temos: n(X Y Z) = n(X) + n(Y) + n(Z) - n(X Y) - n(X Z) n(Y Z) + n(X Y Z) n(X Y Z) = 60 + 40 + 15 - 25 - 3 - 8 + 1 n(X Y Z) = 116 – 36 n(X Y Z) = 80, então: como n(X Y Z) = 125, vem que: 125 - 80 = 45 não assistem nenhum desses canais. (B) 60 - (25 - 1) + (3 -1) + 1 = 60 - 27 = 33 02. Podemos demonstrar a Lei de De Morgan por indução completa ou algebricamente. Tabela de verdade onde se demonstra a Segunda Lei de De Morgan: 0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 1 0 0

Didatismo e Conhecimento

1 0 1 0

Assim, se num grupo de pessoas há 43 que dirigem carro, 18 que dirigem moto e 10 que dirigem carro e moto. Baseando-se nesses dados, e nos diagramas lógicos poderemos saber: Quantas pessoas têm no grupo ou quantas dirigem somente carro ou ainda quantas dirigem somente motos. Vamos inicialmente montar os diagramas dos conjuntos que representam os motoristas de motos e motoristas de carros. Começaremos marcando quantos elementos tem a intersecção e depois completaremos os outros espaços.

1 0 0 0

32

RACIOCÍNIO LÓGICO Fora dos diagramas teremos 150 elementos que não são leitores de nenhum dos três jornais. Na região I, teremos: 70 - 40 = 30 elementos. Na região II, teremos: 65 - 40 = 25 elementos. Na região III, teremos: 105 - 40 = 65 elementos. Na região IV, teremos: 300 - 40 - 30 - 25 = 205 elementos. Na região V, teremos: 250 - 40 -30 - 65 = 115 elementos. Na região VI, teremos: 200 - 40 - 25 - 65 = 70 elementos.

Marcando o valor da intersecção, então iremos subtraindo esse valor da quantidade de elementos dos conjuntos A e B. A partir dos valores reais, é que poderemos responder as perguntas feitas.

Dessa forma, o diagrama figura preenchido com os seguintes elementos:

a) Temos no grupo: 8 + 10 + 33 = 51 motoristas. b) Dirigem somente carros 33 motoristas. c) Dirigem somente motos 8 motoristas.

Com essa distribuição, poderemos notar que 205 pessoas leem apenas o jornal A. Verificamos que 500 pessoas não leem o jornal C, pois é a soma 205 + 30 + 115 + 150. Notamos ainda que 700 pessoas foram entrevistadas, que é a soma 205 + 30 + 25 + 40 + 115 + 65 + 70 + 150.

No caso de uma pesquisa de opinião sobre a preferência quanto à leitura de três jornais. A, B e C, foi apresentada a seguinte tabela: Jornais

Leitores

A

300

B

250

C

200

AeB

70

AeC

65

BeC

105

A, B e C

40

Nenhum

150

Diagrama de Euler Um diagrama de Euler é similar a um diagrama de Venn, mas não precisa conter todas as zonas (onde uma zona é definida como a área de intersecção entre dois ou mais contornos). Assim, um diagrama de Euler pode definir um universo de discurso, isto é, ele pode definir um sistema no qual certas intersecções não são possíveis ou consideradas. Assim, um diagrama de Venn contendo os atributos para Animal, Mineral e quatro patas teria que conter intersecções onde alguns estão em ambos animal, mineral e de quatro patas. Um diagrama de Venn, consequentemente, mostra todas as possíveis combinações ou conjunções.

Para termos os valores reais da pesquisa, vamos inicialmente montar os diagramas que representam cada conjunto. A colocação dos valores começará pela intersecção dos três conjuntos e depois para as intersecções duas a duas e por último às regiões que representam cada conjunto individualmente. Representaremos esses conjuntos dentro de um retângulo que indicará o conjunto universo da pesquisa.

Diagramas de Euler consistem em curvas simples fechadas (geralmente círculos) no plano que mostra os conjuntos. Os tamanhos e formas das curvas não são importantes: a significância do diagrama está na forma como eles se sobrepõem. As relações espaciais entre as regiões delimitadas por cada curva (sobreposição, contenção ou nenhuma) correspondem relações teóricas (subconjunto interseção e disjunção). Cada curva de Euler divide o plano em duas regiões ou zonas estão: o interior, que Didatismo e Conhecimento

33

RACIOCÍNIO LÓGICO representa simbolicamente os elementos do conjunto, e o exterior, o que representa todos os elementos que não são membros do conjunto. Curvas cujos interiores não se cruzam representam conjuntos disjuntos. Duas curvas cujos interiores se interceptam representam conjuntos que têm elementos comuns, a zona dentro de ambas as curvas representa o conjunto de elementos comuns a ambos os conjuntos (intersecção dos conjuntos). Uma curva que está contido completamente dentro da zona interior de outro representa um subconjunto do mesmo. Os Diagramas de Venn são uma forma mais restritiva de diagramas de Euler. Um diagrama de Venn deve conter todas as possíveis zonas de sobreposição entre as suas curvas, representando todas as combinações de inclusão / exclusão de seus conjuntos constituintes, mas em um diagrama de Euler algumas zonas podem estar faltando. Essa falta foi o que motivou Venn a desenvolver seus diagramas. Existia a necessidade de criar diagramas em que pudessem ser observadas, por meio de suposição, quaisquer relações entre as zonas não apenas as que são “verdadeiras”. Os diagramas de Euler (em conjunto com os de Venn) são largamente utilizados para ensinar a teoria dos conjuntos no campo da matemática ou lógica matemática no campo da lógica. Eles também podem ser utilizados para representar relacionamentos complexos com mais clareza, já que representa apenas as relações válidas. Em estudos mais aplicados esses diagramas podem ser utilizados para provar / analisar silogismos que são argumentos lógicos para que se possa deduzir uma conclusão.

Nos casos mais simples, os diagramas são representados por círculos que se encobrem parcialmente. As partes referidas em um enunciado específico são marcadas com uma cor diferente. Eventualmente, os círculos são representados como completamente inseridos dentro de um retângulo, que representa o conjunto universo daquele particular contexto (já se buscou a existência de um conjunto universo que pudesse abranger todos os conjuntos possíveis, mas Bertrand Russell mostrou que tal tarefa era impossível). A ideia de conjunto universo é normalmente atribuída a Lewis Carroll. Do mesmo modo, espaços internos comuns a dois ou mais conjuntos representam a sua intersecção, ao passo que a totalidade dos espaços pertencentes a um ou outro conjunto indistintamente representa sua união. John Venn desenvolveu os diagramas no século XIX, ampliando e formalizando desenvolvimentos anteriores de Leibniz e Euler. E, na década de 1960, eles foram incorporados ao currículo escolar de matemática. Embora seja simples construir diagramas de Venn para dois ou três conjuntos, surgem dificuldades quando se tenta usá-los para um número maior. Algumas construções possíveis são devidas ao próprio John Venn e a outros matemáticos como Anthony W. F. Edwards, Branko Grünbaum e Phillip Smith. Além disso, encontram-se em uso outros diagramas similares aos de Venn, entre os quais os de Euler, Johnston, Pierce e Karnaugh. Dois Conjuntos: considere-se o seguinte exemplo: suponhase que o conjunto A representa os animais bípedes e o conjunto B representa os animais capazes de voar. A área onde os dois círculos se sobrepõem, designada por intersecção A e B ou intersecção A-B, conteria todas as criaturas que ao mesmo tempo podem voar e têm apenas duas pernas motoras.

Diagramas de Venn Designa-se por diagramas de Venn os diagramas usados em matemática para simbolizar graficamente propriedades, axiomas e problemas relativos aos conjuntos e sua teoria. Os respectivos diagramas consistem de curvas fechadas simples desenhadas sobre um plano, de forma a simbolizar os conjuntos e permitir a representação das relações de pertença entre conjuntos e seus elementos (por exemplo, 4 ∉ {3,4,5}, mas 4 ∉ {1,2,3,12}) e relações de continência (inclusão) entre os conjuntos (por exemplo, {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}). Assim, duas curvas que não se tocam e estão uma no espaço interno da outra simbolizam conjuntos que possuem continência; ao passo que o ponto interno a uma curva representa um elemento pertencente ao conjunto. Os diagramas de Venn são construídos com coleções de curvas fechadas contidas em um plano. O interior dessas curvas representa, simbolicamente, a coleção de elementos do conjunto. De acordo com Clarence Irving Lewis, o “princípio desses diagramas é que classes (ou conjuntos) sejam representadas por regiões, com tal relação entre si que todas as relações lógicas possíveis entre as classes possam ser indicadas no mesmo diagrama. Isto é, o diagrama deixa espaço para qualquer relação possível entre as classes, e a relação dada ou existente pode então ser definida indicando se alguma região em específico é vazia ou não-vazia”. Pode-se escrever uma definição mais formal do seguinte modo: Seja C = (C1, C2, ... Cn) uma coleção de curvas fechadas simples desenhadas em um plano. C é uma família independente se a região formada por cada uma das interseções X1 X2 ... Xn, onde cada Xi é o interior ou o exterior de Ci, é não-vazia, em outras palavras, se todas as curvas se intersectam de todas as maneiras possíveis. Se, além disso, cada uma dessas regiões é conexa e há apenas um número finito de pontos de interseção entre as curvas, então C é um diagrama de Venn para n conjuntos. Didatismo e Conhecimento

Considere-se agora que cada espécie viva está representada por um ponto situado em alguma parte do diagrama. Os humanos e os pinguins seriam marcados dentro do círculo A, na parte dele que não se sobrepõe com o círculo B, já que ambos são bípedes mas não podem voar. Os mosquitos, que voam mas têm seis pernas, seriam representados dentro do círculo B e fora da sobreposição. Os canários, por sua vez, seriam representados na intersecção A-B, já que são bípedes e podem voar. Qualquer animal que não fosse bípede nem pudesse voar, como baleias ou serpentes, seria marcado por pontos fora dos dois círculos. Assim, o diagrama de dois conjuntos representa quatro áreas distintas (a que fica fora de ambos os círculos, a parte de cada círculo que pertence a ambos os círculos (onde há sobreposição), e as duas áreas que não se sobrepõem, mas estão em um círculo ou no outro): - Animais que possuem duas pernas e não voam (A sem sobreposição). - Animais que voam e não possuem duas pernas (B sem sobreposição). - Animais que possuem duas pernas e voam (sobreposição). - Animais que não possuem duas pernas e não voam (branco - fora). 34

RACIOCÍNIO LÓGICO Essas configurações são representadas, respectivamente, pelas operações de conjuntos: diferença de A para B, diferença de B para A, intersecção entre A e B, e conjunto complementar de A e B. Cada uma delas pode ser representada como as seguintes áreas (mais escuras) no diagrama: Diferença Simétrica de dois conjuntos: A

Diferença de A para B: A\B

B

Complementar de A em U: AC = U \ A

Complementar de B em U: BC = U \ B

Diferença de B para A: B\A

Três Conjuntos: Na sua apresentação inicial, Venn focou-se sobretudo nos diagramas de três conjuntos. Alargando o exemplo anterior, poderia-se introduzir o conjunto C dos animais que possuem bico. Neste caso, o diagrama define sete áreas distintas, que podem combinar-se de 256 (28) maneiras diferentes, algumas delas ilustradas nas imagens seguintes. Intersecção de dois conjuntos: AB

Diagrama de Venn mostrando todas as intersecções possíveis entre A, B e C.

Complementar de dois conjuntos: U \ (AB) Além disso, essas quatro áreas podem ser combinadas de 16 formas diferentes. Por exemplo, pode-se perguntar sobre os animais que voam ou tem duas patas (pelo menos uma das características); tal conjunto seria representado pela união de A e B. Já os animais que voam e não possuem duas patas mais os que não voam e possuem duas patas, seriam representados pela diferença simétrica entre A e B. Estes exemplos são mostrados nas imagens a seguir, que incluem também outros dois casos.

União de dois conjuntos: A

União de três conjuntos: A

B

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B

Intersecção de três conjuntos: A 35

C

B

C

RACIOCÍNIO LÓGICO Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma das proposições categóricas, isto é, de Todo A é B, Nenhum A é B, Algum A é B e Algum A não é B, pode-se inferir de imediato a verdade ou a falsidade de algumas ou de todas as outras.

A \ (B

1. Se a proposição Todo A é B é verdadeira, então temos as duas representações possíveis:

C)

1

2

B

A

A

(B

B

Nenhum A é B. É falsa. Algum A é B. É verdadeira. Algum A não é B. É falsa.

C) \ A

Proposições Categóricas

2. Se a proposição Nenhum A é B é verdadeira, então temos somente a representação:

- Todo A é B - Nenhum A é B - Algum A é B e - Algum A não é B

A

Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B. Ou seja: A está contido em B. Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A. Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, não tem elementos em comum. Atenção: dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A. Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupomos que nem todo A é B. Entretanto, no sentido lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que “alguns de meus colegas estão me elogiando”, mesmo que todos eles estejam. Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. Também, as seguintes expressões são equivalentes: Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B. Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Temos as seguintes equivalências: Algum A não é B = Algum A é não B = Algum não B é A. Mas não é equivalente a Algum B não é A. Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é, são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B.

B

Todo A é B. É falsa. Algum A é B. É falsa. Algum A não é B. É verdadeira. 3. Se a proposição Algum A é B é verdadeira, temos as quatro representações possíveis:

Nenhum A é B. É falsa. Todo A é B. Pode ser verdadeira (em 3 e 4) ou falsa (em 1 e 2). Algum A não é B. Pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3 e 4) – é indeterminada. 4. Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três representações possíveis:

- Todo A é B = Todo A não é não B. - Algum A é B = Algum A não é não B. - Nenhum A é B = Nenhum A não é não B. - Todo A é não B = Todo A não é B. - Algum A é não B = Algum A não é B. - Nenhum A é não B = Nenhum A não é B. - Nenhum A é B = Todo A é não B. - Todo A é B = Nenhum A é não B. - A negação de Todo A é B é Algum A não é B (e vice-versa). - A negação de Algum A é B é Nenhum A não é B (e viceversa).

3

A

B

Todo A é B. É falsa. Nenhum A é B. Pode ser verdadeira (em 3) ou falsa (em 1 e 2 – é indeterminada). Algum A é B. Ou falsa (em 3) ou pode ser verdadeira (em 1 e 2 – é ideterminada).

Verdade ou Falsidade das Proposições Categóricas

Didatismo e Conhecimento

=

36

RACIOCÍNIO LÓGICO QUESTÕES

(A) 93 (B) 110 (C) 103 (D) 99 (E) 114

01. Represente por diagrama de Venn-Euler (A) Algum A é B (B) Algum A não é B (C) Todo A é B (D) Nenhum A é B

07. Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas entrevistadas, 100 liam o jornal X, 150 liam o jornal Y, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram entrevistadas? (A) 220 (B) 240 (C) 280 (D) 300 (E) 340

02. (Especialista em Políticas Públicas Bahia - FCC) Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que: (A) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. (B) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. (C) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. (D) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. (E) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

08. Em uma entrevista de mercado, verificou-se que 2.000 pessoas usam os produtos C ou D. O produto D é usado por 800 pessoas e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto C? (A) 1.430 (B) 1.450 (C) 1.500 (D) 1.520 (E) 1.600

03. Dos 500 músicos de uma Filarmônica, 240 tocam instrumentos de sopro, 160 tocam instrumentos de corda e 60 tocam esses dois tipos de instrumentos. Quantos músicos desta Filarmônica tocam: (A) instrumentos de sopro ou de corda? (B) somente um dos dois tipos de instrumento? (C) instrumentos diferentes dos dois citados?

09. Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Em uma pesquisa efetuada num grupo de 120 pessoas de um hospital, constatou-se que 40 delas têm o antígeno A, 35 têm o antígeno B e 14 têm o antígeno AB. Com base nesses dados, quantas pessoas possuem o antígeno O? (A) 50 (B) 52 (C) 59 (D) 63 (E) 65

04. (TTN - ESAF) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro que: (A) algum A não é G; (B) algum A é G. (C) nenhum A é G; (D) algum G é A; (E) nenhum G é A; 05. Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O número de alunos da classe é: (A) 30. (B) 35. (C) 37. (D) 42. (E) 44.

Respostas 01. (A)

(B)

06. Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre: - 20 alunos praticam vôlei e basquete. - 60 alunos praticam futebol e 55 praticam basquete. - 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei. - o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número de alunos que praticam só vôlei. - 17 alunos praticam futebol e vôlei. - 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei.

(C)

(D)

O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a:

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02. Resposta “B”. 37

RACIOCÍNIO LÓGICO

Agora devemos juntar os desenhos das duas proposições categóricas para analisarmos qual é a alternativa correta. Como a questão não informa sobre a relação entre os conjuntos A e G, então teremos diversas maneiras de representar graficamente os três conjuntos (A, G e R). A alternativa correta vai ser aquela que é verdadeira para quaisquer dessas representações. Para facilitar a solução da questão não faremos todas as representações gráficas possíveis entre os três conjuntos, mas sim, uma (ou algumas) representação(ões) de cada vez e passamos a analisar qual é a alternativa que satisfaz esta(s) representação(ões), se tivermos somente uma alternativa que satisfaça, então já achamos a resposta correta, senão, desenhamos mais outra representação gráfica possível e passamos a testar somente as alternativas que foram verdadeiras. Tomemos agora o seguinte desenho, em que fazemos duas representações, uma em que o conjunto A intercepta parcialmente o conjunto G, e outra em que não há intersecção entre eles.

A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a total dissociação entre os diagramas. E estamos com a situação inversa. A opção “B” é perfeitamente correta. Percebam como todos os elementos do diagrama “livro” estão inseridos no diagrama “instrutivo”. Resta necessariamente perfeito que algum livro é instrutivo. 03. Seja C o conjunto dos músicos que tocam instrumentos de corda e S dos que tocam instrumentos de sopro. Chamemos de F o conjunto dos músicos da Filarmônica. Ao resolver este tipo de problema faça o diagrama, assim você poderá visualizar o problema e sempre comece a preencher os dados de dentro para fora. Passo 1: 60 tocam os dois instumentos, portanto, após fazermos o diagrama, este número vai no meio. Passo 2: a)160 tocam instrumentos de corda. Já temos 60. Os que só tocam corda são, portanto 160 - 60 = 100 b) 240 tocam instrumento de sopro. 240 - 60 = 180 Vamos ao diagrama, preenchemos os dados obtidos acima:

100

60

Teste das alternativas: Teste da alternativa “A” (algum A não é G). Observando os desenhos dos círculos, verificamos que esta alternativa é verdadeira para os dois desenhos de A, isto é, nas duas representações há elementos em A que não estão em G. Passemos para o teste da próxima alternativa. Teste da alternativa “B” (algum A é G). Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a direita, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elementos em A que não estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “D” não é correta. Passemos para a próxima. Teste da alternativa “C” (Nenhum A é G). Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a esquerda, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elementos em A que estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “E” não é correta. Portanto, a resposta é a alternativa “A”.

180

Com o diagrama completamente preenchido, fica fácil achara as respostas: Quantos músicos desta Filarmônica tocam: a) instrumentos de sopro ou de corda? Pelos dados do problema: 100 + 60 + 180 = 340 b) somente um dos dois tipos de instrumento? 100 + 180 = 280 c) instrumentos diferentes dos dois citados? 500 - 340 = 160 04. Esta questão traz, no enunciado, duas proposições categóricas: - Alguns A são R - Nenhum G é R

05. Resposta “E”.

Devemos fazer a representação gráfica de cada uma delas por círculos para ajudar-nos a obter a resposta correta. Vamos iniciar pela representação do Nenhum G é R, que é dada por dois círculos separados, sem nenhum ponto em comum. n = 20 + 7 + 8 + 9 n = 44 06. Resposta “D”. Como já foi visto, não há uma representação gráfica única para a proposição categórica do Alguns A são R, mas geralmente a representação em que os dois círculos se interceptam (mostrada abaixo) tem sido suficiente para resolver qualquer questão.

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n(FeB) = 45 e n(FeB -V) = 30 → n(FeBeV) = 15 n(FeV) = 17 com n(FeBeV) = 15 → n(FeV - B) = 2 n(F) = n(só F) + n(FeB-V) + n(FeV -B) + n(FeBeV) 60 = n(só F) + 30 + 2 + 15 → n(só F) = 13 38

RACIOCÍNIO LÓGICO n(sóF) = n(sóV) = 13 n(B) = n(só B) + n(BeV) + n(BeF-V) → n(só B) = 65 - 20 – 30 = 15 n(nem F nem B nem V) = n(nem F nem V) - n(solo B) = 2115 = 6

que aparecem em linguagens naturais ou artificiais são muito mais ricos. Por exemplo, como expressar coisas do tipo: “Existe...” e “Para todo...” na lógica proposicional? Exemplo: Considere a seguinte sentença declarativa: Todo estudante é mais jovem do que algum instrutor. Na lógica proposicional podemos identificar esta sentença com uma variável proposicional p. No entanto, esta codificação não reflete os detalhes da estrutura lógica desta sentença. De que trata esta sentença? - Ser um estudante. - Ser um instrutor. - Ser mais jovem do que alguém.

Total = n(B) + n(só F) + n(só V) + n(Fe V - B) + n(nemF nemB nemV) = 65 + 13 + 13 + 2 + 6 = 99.

07. Resposta “E”. A

80

20

Para expressar estas propriedades utilizaremos predicados. Por exemplo, podemos escrever estudante (ana) para denotar que Ana é uma estudante. Da mesma forma podemos escrever instrutor (marcos) para denotar que Marcos é um instrutor. Por fim, podemos escrever jovem (ana, marcos) para denotar que Ana é mais jovem do que Marcos. Nestes exemplos, estudante, instrutor e jovem são exemplos de predicados. Ainda precisamos codificar as noções de “todo” e “algum”. Para isto introduziremos o conceito de variável. Variáveis serão denotadas por letras latinas minúsculas do final do alfabeto: u, v, w, x, y, z (possivelmente acrescidas de sub-índices x1, x2, ...). Variáveis devem ser pensadas como “lugares vazios” que podem ser preenchidos (ou instanciados) por elementos concretos, como João, Maria, etc. Utilizando variáveis podemos especificar o significado dos predicados estudante, instrutor e jovem de uma maneira mais formal: - estudante (x): x é um estudante. - instrutor (x): x é um instrutor. - jovem (x, y): x é mais jovem do que y.

B +

130

110

Começamos resolvendo pelo que é comum: 20 alunos gostam de ler os dois. Leem somente A: 100 – 20 = 80 Leem somente B: 150 – 20 = 130 Totaliza: 80 + 20 + 130 + 110 = 340 pessoas. 08. Resposta “D”. A

B 1200

320

Note que o nome das variáveis não é importante. É equivalente a: - estudante (x): x é um estudante. - estudante(y): y é um estudante.

480

Para que possamos finalmente expressar em detalhes a sentença apresentada no exemplo precisamos codificar o significado de Todo e algum em Todo estudante é mais jovem do que algum instrutor. Os quantificadores e fazem este trabalho: : significa para todo; : significa existe.

Somente B: 800 – 320 = 480 Usam A = total – somente B = 2000 – 480 = 1520. 09. Resposta “C”. A

B 26

14

21

+

Os quantificadores e estão sempre ligados a alguma variável: : para todo x; x : existe um x (ou existe algum x). x

59

Começa-se resolvendo pelo AB, então somente A = 40 – 14 = 26 e somente B = 35 – 14 = 21. Somando-se A, B e AB têm-se 61, então o O são 120 – 61 = 59 pessoas.

Agora podemos finalmente codificar a sentença: Todo estudante é mais jovem do que algum instrutor. Da seguinte forma: x

y

(instrutor (y) Λ jovem (x, y))))

Note que predicados diferentes podem ter um número distinto de argumentos: os predicados estudante e instrutor admitem apenas um argumento e por isto são chamados de predicados unários, enquanto que o predicado jovem admite dois argumentos, e portanto é um predicado binário. O número de argumentos de um predicado é chamado sua aridade. Assim, os predicados unários têm aridade 1, enquanto que os predicados binários têm aridade 2, etc. No cálculo de predicados são permitidos predicados com qualquer aridade finita.

4 LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM.

O cálculo proposicional possui limitações com respeito a codificação de sentenças declarativas. De fato, o cálculo proposicional manipula de forma satisfatória componentes das sentenças como não, e, ou, se ... então, mas certos aspectos lógicos

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(estudante (x) → (

39

RACIOCÍNIO LÓGICO Exemplo: Considere a sentença: Nem todos os pássaros podem voar. Escolhemos os seguintes predicados para expressar esta sentença: - pássaro(x): x é um pássaro. - voar (x): x pode voar.

- Se Φ é uma fórmula e x é uma variável então ( xΦ) e ( xΦ) também são fórmulas. - Nada mais é fórmula. Em BNF temos: Φ :: = p (t1, ... , tn) | (¬Φ) | (Φ Λ Φ) | (Φ V Φ) | (Φ → Φ) | (Φ ↔ ψ) | (( xΦ) | (( xΦ)

Esta sentença pode ser codificada da seguinte forma: ¬(x (pássaro (x) → voar(x)))

Onde p é um símbolo de predicado de aridade n > 0, ti são termos sobre F e x é uma variável.

Exemplo: Uma outra maneira de expressar a mesma ideia da sentença anterior é dizer que: Existem alguns pássaros que não podem voar. Esta última sentença pode ser codificada da seguinte maneira: x

Adotaremos a seguinte prioridade de operadores: 1. ¬, , ; 2. Λ, V; 3. →, ↔.

(pássaro (x) Λ ¬voar(x))

Exemplo: Considere a seguinte sentença: Todo filho de meu pai é meu irmão. Podemos codificar esta fórmula de pelo menos duas formas distintas: 1. Representando a noção de “pai” como predicado: Neste caso escolhemos três predicados: filho, pai e irmão com os seguintes significados e aridades: - filho (x, y): x é filho de y. - pai (x, y): x é pai de y. - irmão (x, y): x é irmão de y.

Posteriormente veremos que as duas codificações dadas são semanticamente equivalentes. De fato, existem transformações que convertem uma na outra. O vocabulário da lógica de primeira ordem consiste de três conjuntos: - Um conjunto P de símbolos de predicado; - Um conjunto F de símbolos de função; - Um conjunto C de constantes.

Uma possível codificação para a sentença dada utilizando estes predicados é:

Onde cada símbolo de predicado e de função vem com sua aridade bem definida. Os predicados são casos especiais de função: enquanto as funções possuem contradomínio qualquer, os predicados têm contradomínio sempre igual a {V,F}. As constantes são funções de aridade 0.

x

(pai (x, João) Λ filho (y, x) → irmão (y, João))

Dizendo que: “para todo x e todo y, se x é o pai de João e se y é um filho de x então y é um irmão de João”. Representando a noção de “pai” como função, que chamaremos de f: Neste caso, f(x) retorna o pai de x. Note que isto funciona apenas porque o pai de uma dado x é único e está sempre definido, e portanto f é realmente uma função. Uma possível codificação para esta sentença é dada por:

Termos são definidos da seguinte forma: - Qualquer variável é um termo; - Se c F é uma função de aridade 0 então c é um termo; - Se t1, ... , tn são termos e f F é uma função de aridade n > 0 então f (t1, ... , tn) é um termo. - Nada mais é termo.

x

Em BNF (Backus Naur form) temos:

(filho (x, f(João) → irmão (y, João))

Significando que “para todo x, se x é um filho do pai de João então x é um irmão de João. Esta codificação é menos complexa que a anterior porque envolve apenas um quantificador.

t :: = x | c | f (t, ... , t) Onde x percorre o conjunto de variáveis V, c percorre os símbolos de função de aridade 0 de F e f percorre os elementos de aridade maior do que 0 de F.

Especificações formais em geral exigem um domínio de conhecimento. Muitas vezes este conhecimento não está explicitado no domínio. Sendo assim, um especificador pode desconsiderar restrições importantes para um modelo ou implementação. Por exemplo, as codificações dadas no exemplo anterior podem parecer corretas, mas e se x for igual a João? Se o domínio de relações de parentesco não é um conhecimento comum o especificador pode não notar que uma pessoa não pode ser irmão dela mesma. A abrangência de (respectivamente, ) em Φ x x x (respectivamente, xΦ) é Φ. Uma ocorrência de uma variável ligada numa fórmula, é uma ocorrência de uma variável x, dentro do campo de abrangência de um quantificador x ou x. Uma ocorrência de uma variável livre é uma ocorrência de uma variável x não ligada. Exemplo: Na fórmula x (p(f(x), y) → q(x)), as duas ocorrências da variável x são ligadas, enquanto a ocorrência da variável y é livre. Na fórmula x p(f(x), y) → q(x) a primeira ocorrência da variável x é ligada, no entanto a segunda é livre.

Exemplo: Suponha que n, f e g são símbolos de função de aridade respectivamente igual a 0, 1 e 2. Então g (f (n), n) e f (g (n, f (n))) são termos, mas g(n) e f (f (n), n) não são termos por violarem as aridades dos símbolos. A escolha dos conjuntos P e F para símbolos de predicado e de função é definida a partir do que se pretende descrever. Definimos o conjunto de fórmulas sobre o conjunto S = (F, P) indutivamente da seguinte forma: - Se p P é um símbolo de predicado de aridade n > 0, e se t1, ... , tn são termos sobre F então p (t1, .... , tn) é uma fórmula. - Se Φ é uma fórmula então (¬Φ) é também uma fórmula. - Se Φ e ψ são fórmulas então (Φ Λ ψ), (Φ V ψ), (Φ → ψ) e (Φ ↔ ψ) são fórmulas.

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y

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RACIOCÍNIO LÓGICO Dada uma variável x, um termo t e uma fórmula Φ, definimos Φ [x/t] como sendo a fórmula obtida após substituir cada ocorrência livre de x em Φ por t.

- regras de formação (definições recursivas para dar origem a fórmulas bem-formadas ou FBFs). - regras de transformação (regras de inferência para derivar teoremas). - axiomas.

Exemplo: Considere novamente a fórmula x ((p(x) → q(x)) Λ s(x, y)), que chamaremos simplesmente de Φ. Temos que Φ [x/f(x, y)] = Φ. De fato, todas as ocorrências de x em Φ são ligadas, e portanto a substituição [x/f(x, y)] não tem nenhum efeito sobre esta fórmula.

Os axiomas considerados aqui são os axiomas lógicos que fazem parte do cálculo de predicados. Além disso, os axiomas nãológicos são adicionados em teorias de primeira ordem específicas: estes não são considerados como verdades da lógica, mas como verdades da teoria particular sob consideração. Quando o conjunto dos axiomas é infinito, requer-se que haja um algoritmo que possa decidir para uma fórmula bem-formada dada, se ela é um axioma ou não. Deve também haver um algoritmo que possa decidir se uma aplicação dada de uma regra de inferência está correta ou não. É importante notar que o cálculo de predicados pode ser formalizado de muitas maneiras equivalentes; não há nada canônico sobre os axiomas e as regras de inferência propostos aqui, mas toda a formalização dará origem aos mesmos teoremas da lógica (e deduzirá os mesmos teoremas a partir de um conjunto qualquer de axiomas não-lógicos).

Exemplo: Agora considere a fórmula ( x (p(x) Λ q(x))) → (¬p(x) V q(y)) que chamaremos simplesmente de ψ. Neste caso temos uma ocorrência livre de x e, portanto [x/f(x, y)] é igual a ( (p(x) Λ q(x))) → (¬p(f(x, y)) V q(y)). As substituições podem x produzir efeitos colaterais indesejados: Considere o termo f(x, y) e a fórmula y (p(x, y)). Então ( y (p(x, y))) [x/f(x, y)] resulta na fórmula ( y (p(f(x, y), y))) se fizermos uma substituição “ingênua”. Observe que o termo resultante possui uma semântica diferente da esperada porque a variável y do termo f(x, y) não corresponde a variável y quantificada universalmente na fórmula dada. Como resolver este problema?

Alfabeto

Dados um termo t, uma variável x e uma fórmula Φ, dizemos que t é livre para x em Φ se nenhuma ocorrência livre de x em Φ está no escopo de ( y ou y para qualquer variável y que ocorra em t.

O alfabeto de 1ª ordem, Σ, tem a seguinte constituição: Σ = X ΣC ΣF ΣR ΣL ΣP , onde

Exemplo: Considere a fórmula s(x) Λ y (p(x) → q(y)), que possui duas ocorrências livres de x. A ocorrência de x mais a esquerda poderia, por exemplo, ser substituída pelo termo f(y, y), no entanto a outra ocorrência não poderia ser substituída por este termo porque tal substituição acarretaria captura da variável y. Quando precisamos realizar uma substituição de um termo t que não está livre para uma variável x em uma fórmula Φ, o que fazemos é renomear as variáveis ligadas para evitar capturas:

X = {x, y, z, x1, x2, ..., y1, y2, ..., z1, z2, ...} é um conjunto enumerável de variáveis; ΣC = {a, b, c, a1, a2, ..., b1, b2, ..., c1, c2, ...} é um conjunto de símbolos chamados de constantes; ΣF = {F1, F2, ...} é um conjunto de símbolos ditos sinais funcionais; ΣR = {R1, R2, ...} é um conjunto de símbolos ditos sinais relacionais ou predicativos; ΣL = {¬, Λ, V, →, ↔, , } é o conjunto de símbolos ditos sinais lógicos; ΣP = {(,),,} é o conjunto de símbolos de pontuação.

Exemplo: No caso do exemplo anterior, a substituição de x por f(y, y) em s(x) Λ y (p(x) → q(y)) pode ser resolvida renomeando a variável ligada y da fórmula para algum nome novo, por exemplo : s(x) Λ (p(x) → q( )) . Agora a substituição pode ser realizada sem provocar captura de variáveis.

As constantes, sinais funcionais e sinais predicativos constituem a coleção de sinais ditos símbolos não lógicos. Há diversas variações menores listadas abaixo: O conjunto de símbolos primitivos (operadores e quantificadores) varia frequentemente. Alguns símbolos primitivos podem ser omitidos, substituindo-os com abreviaturas adequadas; por exemplo (p ↔ q) é uma abreviatura para (p → q) ∧ (q → p). No sentido contrário, é possível incluir outros operadores como símbolos primitivos, como as constantes de verdade ⊤ para “verdadeiro” e o ⊥ para “falso” (estes são operadores do aridade 0). O número mínimo dos símbolos primitivos necessários é um, mas se nós nos restringirmos aos operadores listados acima, seria necessário três; por exemplo, o ¬, o ∧ , e o bastariam. Alguns livros mais velhos usam a notação Φ ⊃ ψ para Φ → ψ, ~Φ para ¬Φ, Φ & ψ para Φ ∧ ψ, e uma riqueza de notações para os quantificadores; por exemplo, xΦ pode ser escrito como (x)Φ. A igualdade é às vezes considerada como parte da lógica de primeira ordem; Neste caso, o símbolo da igualdade será incluído no alfabeto, e comportar-se-á sintaticamente como um predicado binário. Assim a LPO será chamada de lógica de primeira ordem com igualdade. As constantes são na verdade funções de aridade 0, assim seria possível e conveniente omitir constantes e usar as funções que tenham qualquer aridade.

O ingrediente novo da lógica de primeira ordem não encontrado na lógica proposicional é a quantificação: dada uma sentença Φ qualquer, as novas construções xΦ e xΦ - leia “para todo x, Φ” e “para algum x, Φ”, respectivamente são introduzidas. xΦ significa que Φ é verdadeiro para todo valor de x e xΦ significa que há pelo menos um x tal que Φ é verdadeiro. Os valores das variáveis são tirados de um universo de discurso pré-determinado. Um refinamento da lógica de primeira ordem permite variáveis de diferentes tipos, para tratar de diferentes classes de objetos. A lógica de primeira ordem tem poder expressivo suficiente para formalizar praticamente toda a matemática. Uma teoria de primeira ordem consiste em um conjunto de axiomas (geralmente finitos ou recursivamente enumerável) e de sentenças dedutíveis a partir deles. A teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel é um exemplo de uma teoria de primeira ordem, e aceita-se geralmente que toda a matemática clássica possa ser formalizada nela. Há outras teorias que são normalmente formalizadas na lógica de primeira ordem de maneira independente (embora elas admitam a implementação na teoria dos conjuntos) tais como a aritmética de Peano. Um cálculo de predicados consiste em:

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RACIOCÍNIO LÓGICO Mas é comum usar o termo “função” somente para funções de aridade 1. Na definição acima, as relações devem ter pelo menos aridade 1. É possível permitir relações de aridade 0; estas seriam consideradas variáveis proposicionais. Há muitas convenções diferentes sobre onde pôr parênteses; por exemplo, se pode escrever x ou ( x). Às vezes se usa dois pontos ou ponto final ao invés dos parênteses para criar fórmulas não ambíguas. Uma convenção interessante, mas incomum, é a “notação polonesa”, onde se omite todos os parênteses, e escrevese o ∧ , , e assim por diante na frente de seus argumentos. A notação polonesa é compacta e elegante, mas rara e de leitura complexa. Uma observação técnica é que se houver um símbolo de função de aridade 2 que representa um par ordenado (ou símbolos de predicados de aridade 2 que representam as relações de projeção de um par ordenado) então se pode dispensar inteiramente as funções ou predicados de aridade > 2. Naturalmente o par ou as projeções necessitam satisfazer aos axiomas naturais. Os conjuntos das constantes, das funções, e das relações compõem a assinatura e são geralmente considerados para dar forma a uma linguagem, enquanto as variáveis, os operadores lógicos, e os quantificadores são geralmente considerados para pertencer à lógica. Uma estrutura dá o significado semântico de cada símbolo da assinatura. Por exemplo, a linguagem da teoria dos grupos consiste de uma constante (elemento da identidade), de uma função de aridade 1 (inverso), de uma função de aridade 2 (produto), e de uma relação de aridade 2 (igualdade), que seria omitida pelos autores que incluem a igualdade na lógica subjacente.

escrevemos 1 < 2 em vez de < (1 2). Similarmente se f for uma função de aridade 2, nós escrevemos às vezes “a f b” em vez de “f (a b)”; por exemplo, nós escrevemos 1 + 2 em vez de + (1 2). É também comum omitir alguns parênteses se isto não conduzir à ambiguidade. Às vezes é útil dizer que “P(x) vale para exatamente um x”, o que costuma ser denotado por !xP(x). Isto também pode ser expresso por x (P (x) y (P (y) → (x = y))). Exemplos: A linguagem dos grupos abelianos ordenados tem uma constante 0, uma função unária −, uma função binária +, e uma relação binária ≤. Assim: - [0, x, y são termos atômicos]; - [+ (x, y), + (x, + (y, − (z))) são termos, escritos geralmente como x + y, x + (y + (−z))]; - [= (+ (x, y), 0), ≤ (+ (x, + (y, − (z))), + (x, y)) são fórmulas atômicas, escritas geralmente como x + y = 0, x + y - z ≤ x + y,]; - [( x y ≤ (+ (x, y), z)) ∧ ( x = (+ (x, y), 0)) é uma fórmula, escrita geralmente como ( x y (x + y ≤ z)) ∧ ( x (x + y = 0))].

∧

Substituição: Se t é um termo e Φ(x) é uma fórmula que contém possivelmente x como uma variável livre, então Φ(t) se definido como o resultado da substituição de todas as instâncias livres de x por t, desde que nenhuma variável livre de t se torne ligada neste processo. Se alguma variável livre de t se tornar ligada, então para substituir t por x é primeiramente necessário mudar os nomes das variáveis ligadas de Φ para algo diferente das variáveis livres de t. Para ver porque esta condição é necessária, considere a fórmula Φ(x) dada por y y ≤ x (“x é máximal”). Se t for um termo sem y como variável livre, então Φ(t) diz apenas que t é maximal. Entretanto se t é y, a fórmula Φ(y) é y y ≤ y que não diz que y é máximal. O problema de que a variável livre y de t (=y) se transformou em ligada quando nós substituímos y por x em Φ(x). Assim, para construir Φ(y) nós devemos primeiramente mudar a variável ligada y de Φ para qualquer outra coisa, por exemplo a variável z, de modo que o Φ(y) seja então z z ≤ y. Esquecer desta condição é uma causa notória de erros.

Regras de Formação As regras de formação definem os termos, fórmulas, e as variáveis livres como segue. O conjunto dos termos é definido recursivamente pelas seguintes regras: - Qualquer constante é um termo (sem variáveis livres). - Qualquer variável é um termo (cuja única variável livre é ela mesma). - Toda expressão f (t1,…, tn) de n ≥ 1 argumentos (onde cada argumento ti é um termo e f é um símbolo de função de aridade n) é um termo. Suas variáveis livres são as variáveis livres de cada um dos termos ti. - Cláusula de fechamento: Nada mais é um termo.

Igualdade: Há diversas convenções diferentes para se usar a igualdade (ou a identidade) na lógica de primeira ordem. Esta seção resume as principais. Todas as convenções resultam mais ou menos no mesmo com mais ou menos a mesma quantidade de trabalho, e diferem principalmente na terminologia. A convenção mais comum para a igualdade é incluir o símbolo da igualdade como um símbolo lógico primitivo, e adicionar os axiomas da igualdade aos axiomas da lógica de primeira ordem. Os axiomas de igualdade são x=x x = y → F(…, x, …) = F(…, y, …) para qualquer função F x = y → (R(…, x, …) → R(…, y, …)) para qualquer relação R (incluindo a própria igualdade)

O conjunto das fórmulas bem-formadas (chamadas geralmente FBFs ou apenas fórmulas) é definido recursivamente pelas seguintes regras: - Predicados simples e complexos: se P for uma relação de aridade n ≥ 1 e os ai são os termos então P (a1, ..., an) é bem formada. Suas variáveis livres são as variáveis livres de quaisquer termos ai. Se a igualdade for considerada parte da lógica, então (a1 = a2) é bem formada. Tais fórmulas são ditas atômicas. - Cláusula indutiva I: Se Φ for uma FBF, então ¬Φ é uma FBF. Suas variáveis livres são as variáveis livres de Φ. - Cláusula indutiva II: Se Φ e ψ são FBFs, então (ψ ∧ Φ), (ψ V Φ), (ψ → Φ), (ψ ↔ Φ) são FBFs. Suas variáveis livres são as variáveis livres de Φ e de ψ. - Cláusula indutiva III: Se Φ for uma FBF e x for um variável, então xΦ e xΦ são FBFs, cujas variáveis livres são as variáveis livres de Φ com exceção de x. Ocorrências de x são ditas ligadas ou mudas (por oposição a livre) em xΦ e xΦ. - Cláusula de fechamento: Nada mais é uma FBF. Na prática, se P for uma relação de aridade 2, nós escrevemos frequentemente “a P b” em vez de “P a b”; por exemplo, nós

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A próxima convenção mais comum é incluir o símbolo da igualdade como uma das relações de uma teoria, e adicionar os axiomas da igualdade aos axiomas da teoria. Na prática isto é quase idêntico à da convenção precedente, exceto no exemplo incomum de teorias com nenhuma noção de igualdade. Os axiomas são os mesmos, e a única diferença é se eles serão chamados de axiomas lógicos ou de axiomas de teoria. Nas teorias sem funções e com um número finito de relações, é possível definir a igualdade em termos de relações, definindo os dois termos s e t como iguais se qualquer relação continuar inalterada ao se substituir s por t em qualquer argumento. Por exemplo, em teoria dos conjuntos com uma relação ∈ , nós definiríamos s = t como uma abreviatura para

RACIOCÍNIO LÓGICO ∀x (s ∈ x ↔ t ∈ x) ∧ ∀x (x ∈ s ↔ x ∈ t) . Esta definição de igualdade satisfaz automaticamente os axiomas da igualdade. Em algumas teorias é possível dar definições de igualdade ad hoc. Por exemplo, em uma teoria de ordens parciais com uma relação ≤ nós poderíamos definir s = t como uma abreviatura para s ≤ t ∧ t ≤ s. Regras de Inferência

A regra de inferência modus ponens é a única necessária para a lógica proposicional de acordo com a formalização proposta aqui. Ela diz que se Φ e Φ → ψ são ambos demonstrados, então pode-se deduzir ψ. A regra de inferência chamada Generalização Universal é característica da lógica de primeira ordem: Se ╞ Φ, então ╞ xΦ onde se supõe que Φ é um teorema já demonstrado da lógica de primeira ordem. Observe que a Generalização é análoga à regra da necessitação da lógica modal, que é: Se ╞ P, então ╞ xP Limitações: Apesar da Lógica de Primeira Ordem ser suficiente para formalizar uma grande parte da matemática, e também ser comumente usada em Ciência da Computação e outras áreas, ela tem as suas limitações. Suas limitações incluem limitações em sua expressividade e limitações com relação aos fragmentos das línguas naturais que pode descrever. Expressividade: O teorema de Löwenheim–Skolem mostra que se uma teoria de primeira ordem tem um modelo infinito, então a teoria também tem modelos de todas as cardinalidades infinitas. Em particular, nenhuma teoria de primeira ordem com um modelo infinito pode ser categórica. Assim, não há uma teoria de primeira ordem cujo único modelo tem o conjunto dos números naturais como domínio, ou cujo único modelo tem o conjunto dos números reais como domínio. Várias extensões da Lógica de Primeira-Ordem, incluindo a Lógica de Ordem Superior e a Lógica Infinitária, são mais expressivas no sentido de que elas admitem axiomatizações categóricas dos números naturais ou reais. Essa expressividade tem um custo em relação às propriedades meta-lógicas; de acordo com o Teorema de Lindström, qualquer lógica que seja mais forte que a lógica de primeira ordem falhará em validar o teorema da compaccidade ou em validar o teorema de Löwenheim–Skolem. Formalizando as Línguas Naturais A lógica de primeira ordem é capaz de formalizar vários quantificadores na lingua natural, como “todas as pessoas que moram em Paris, moram na França”. Mas existem várias características que não podem ser expressas na lógica de primeira ordem. “Qualquer sistema lógico que é apropriado para analisar línguas naturais, precisa de uma estrutura muito mais rica que a lógica de primeira ordem” (Gamut 1991). Tipo

Exemplo

Comentário

Quantificadores sobre as propriedades

Se Rafael for satisfeito consigo mesmo, então ele tem pelo menos uma coisa em comum com Roberta

Quantificadores sobre as propriedades

Papai Noel tem todos os atributos de um sadista

Requer quantificadores sobre os predicados, os quais não podem ser implementados com a lógica de primeira ordem (unicamente ordenada): Zj→ ∃X(Xj∧Xp)

Predicado adverbial

Luiz está andando rápido

Não pode ser analisado como Wj ∧ Qj; predicados adverbiais não são a mesma coisa que predicados de segunda ordem, como cores

Adjetivo Relativo

Jumbo é um elefante pequeno

Não podem ser analisados como Sj ∧ Ej; predicados adjetivados não são a mesma coisa que predicados de segunda ordem, como cores

Modificador do predicado adverbial

Anderson está andando muito rápido

-

Modificador do adjetivo relativo

Roberta é extremamente pequena

Uma expressão como “extremamente” , quando usado com um adjetivo relativo “pequena”, resulta em um novo adjetivo relativo: “extremamente pequena”

Preposições

Alberto está sentado ao lado de Danilo

A preposição “ao lado de” quando aplicada a Luiz, resulta em um predicado adverbial “ao lado de Luiz”

Didatismo e Conhecimento

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Requer quantificadores sobre os predicados, os quais não podem ser implementados com a lógica de primeira ordem (unicamente ordenada): ∀X(∀x(Sx → Xx)→Xs)

RACIOCÍNIO LÓGICO Axiomas e Regras

Há muitas maneiras diferentes (mas equivalentes) de definir provabilidade. A definição acima é um exemplo típico do cálculo no estilo de Hilbert, que tem muitos axiomas diferentes, mas poucas regras de inferência. As definições de demonstrabilidade para a lógica de primeira ordem nos estilos de Gentzen (dedução natural e cálculo de sequentes) são baseadas em poucos ou nenhum axiomas, mas muitas regras de inferência.

Os cinco axiomas lógicos mais as duas regras de inferência seguintes caracterizam a lógica de primeira ordem: Axiomas: (A1) (A2) (A3) (A4) (A5)

Algumas Equivalências , onde x não é livre em α. , [t:= x], onde t é livre para x em α.

Regras de Inferência Modus Ponens: Generalização Universal:

Algumas Regras de Inferência

Estes axiomas são na realidade esquemas de axiomas. Cada letra grega pode ser uniformemente substituída, em cada um dos axiomas acima, por uma FBF qualquer, e uma expressão do tipo α [t:= x] denota o resultado da substituição de x por t na fórmula α. Cálculo de Predicados

(se c for uma variável, então não deve ser quantificada em P(x)). (x não deve aparecer livre em P(c)).

O cálculo de predicado é uma extensão da lógica proposicional que define quais sentenças da lógica de primeira ordem são demonstráveis. É um sistema formal usado para descrever as teorias matemáticas. Se o cálculo proposicional for definido por um conjunto adequado de axiomas e a única regra de inferência modus ponens (isto pode ser feito de muitas maneiras diferentes, então o cálculo de predicados pode ser definido adicionando-se alguns axiomas e uma regra de inferência “generalização universal”. Mais precisamente, como axiomas para o cálculo de predicado, teremos: - Os axiomas circunstanciais do cálculo proposicional (A1, A2 e A3); - Os axiomas dos quantificadores (A4 e A5); - Os axiomas para a igualdade propostos em seção anterior, se a igualdade for considerada como um conceito lógico.

QUESTÕES 01. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás) Dadas as sentenças A e B da lógica de primeira ordem, onde A é a sentença e B é a sentença , temse que (A) A é consequência da lógica de B. (B) B é consequência da lógica de A. (C) A é consequência da lógica de ¬B. (D) B é consequência da lógica de ¬A. (E) B é consequência da lógica de A. 02. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás) Considere o conjunto de conectivos lógicos da lógica sentencial. Por definição, um conjunto de operadores B é completo se somente se todos os operadores de A podem ser expressos em função do(s) operador(es) de B. Analise as afirmativas a seguir: Ié um conjunto de operadores completo. IIé um conjunto de operadores completo. IIIé um conjunto de operadores completo. IVé um conjunto de operadores completo. Vé um conjunto de operadores completo.

Uma sentença será definida como demonstrável na lógica de primeira ordem se puder ser obtida começando com os axiomas do cálculo de predicados e aplicando-se repetidamente as regras de inferência “modus ponens” e “generalização universal”. Se nós tivermos uma teoria T (um conjunto de sentenças, às vezes chamadas axiomas) então uma sentença Φ se define como demonstrável na teoria T se a ∧ b ∧ ...→ Φ é demonstrável na lógica de primeira ordem (relação de consequência formal), para algum conjunto finito de axiomas a, b, ... da teoria T. Um problema aparente com esta definição de “demonstrabilidade” é que ela parece um tanto ad hoc: nós tomamos uma coleção aparentemente aleatória de axiomas e de regras de inferência, e não é óbvio que não tenhamos acidentalmente deixado de fora algum axioma ou regra fundamental. O teorema da completude de Gödel nos assegura de que este não é realmente um problema: o teorema diz que toda sentença verdadeira em todos os modelos é demonstrável na lógica de primeira ordem. Em particular, toda definição razoável de “demonstrável” na lógica de primeira ordem deve ser equivalente à definição acima (embora seja possível que os comprimentos das derivações difira bastante para diferentes definições de demonstrabilidade).

Didatismo e Conhecimento

Conclui-se que (A) uma das afirmativas acima é verdadeira e quatro são falsas. (B) duas das afirmativas acima são verdadeiras e três são falsas. (C) três das afirmativas acima são verdadeiras e duas são falsas. (D) quatro das afirmativas acima são verdadeiras e uma é falsa. (E) todas as afirmativas acima são verdadeiras. 03. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás) Considere as premissas: Premissa 1: as premissas 2 e 3 são verdadeiras. Premissa 2: das premissas 3 e 4, uma delas é verdadeira e a outra, falsa. 44

RACIOCÍNIO LÓGICO Premissa 3: as premissas 1 e 4 são ambas verdadeiras ou ambas falsas. Premissa 4: as premissas 1 e 3 são ambas falsas.

(C) Se Mário não é contador, então Norberto é estatístico. (D) Se Mário é contador, então Norberto não é estatístico. (E) Se Mário é contador, então Norberto é estatístico.

Sabendo-se que cada premissa acima é exclusivamente verdadeira ou exclusivamente falsa, são verdadeiras APENAS as premissas: (A) 1 e 2. (B) 1 e 3. (C) 2 e 3. (D) 2 e 4. (E) 3 e 4. 04. (CESPE - TRE-MG – Técnico Judiciário) Considere as sentenças apresentada a seguir. G - O preço do combustível automotivo é alto. M - Os motores dos veículos são econômicos. I - Há inflação geral de preços. C - O preço da cesta básica é estável.

08. (FCC - TCE-GO - Técnico de Controle Externo) São dadas as afirmações: - Toda cobra é um réptil. - Existem répteis venenosos. Se as duas afirmações são verdadeiras, então, com certeza, também é verdade que (A) Se existe uma cobra venenosa, então ela é um réptil. (B) toda cobra é venenosa. (C) algum réptil venenoso é uma cobra. (D) qualquer réptil é uma cobra. (E) Se existe um réptil venenoso, então ele é uma cobra. 09. (FCC - TCE-GO - Técnico de Controle Externo) No próximo domingo, Dona Marieta completará 100 anos de idade e sua bisneta Julieta resolveu presenteá-la construindo a árvore genealógica de seus descendentes. Para tal, Julieta usou as seguintes informações: - Dona Marieta teve 10 filhos, três dos quais não lhe deram netos e cada um dos demais lhe deu 3 netos; - Apenas quatro dos netos de Dona Marieta não tiveram filhos, enquanto que cada um dos demais lhe deu 5 bisnetos; - Dos bisnetos de Dona Marieta, apenas nove não tiveram filhos e cada um dos outros teve 2 filhos; - Os tataranetos de Dona Marieta ainda não têm filhos.

Admitindo que os valores lógicos das proposições compostas (M ∨ G) → (C ∧ I), I → ( C ∧ G), G → M e C ∨ M são verdadeiros, assinale a opção correta, considerando que, nessas proposições, os símbolos ∨ e ∧ representam os conectivos “ou” e “e”, respectivamente, e o símbolo ¬denota o modificador negação. (A) os motores dos veículos são econômicos e não há inflação geral de preços. (B) o preço da cesta básica não é estável e há inflação geral de preços. (C) o preço do combustível automotivo é alto e os motores dos veículos não são econômicos. (D) os motores dos veículos são econômicos e o preço da cesta básica não é estável. (E) o preço da cesta básica é estável e o preço do combustível automotivo é alto.

Nessas condições, é correto afirmar que o total de descendentes de Dona Marieta é: (A) 277 (B) 272 (C) 268 (D) 264 (E) 226

05. (FCC - TRE-PI - Técnico Judiciário) Todos os advogados que trabalham numa cidade formaram- se na universidade X. Sabe-se ainda que alguns funcionários da prefeitura dessa cidade são advogados. A partir dessas informações, é correto concluir que, necessariamente, (A) existem funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X. (B) todos os funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X são advogados. (C) todos os advogados formados na universidade X trabalham nessa cidade. (D) dentre todos os habitantes dessa cidade, somente os advogados formaram-se na universidade X. (E) existem funcionários da prefeitura dessa cidade que não se formaram na universidade X.

Respostas 01. Resposta “A”. Sentenças: (A) (B) Para saber qual sentença manipular, é preciso lembrar algumas regras: (1) ¬∃xp(x) = ∀x¬p(x) (2) ¬∀xp(x) = ∃x¬p(x)

06. (CESPE - SECONT-ES - Auditor do Estado) Se a proposição simbolizada por A ∧ B → C for um argumento válido, então a proposição A ∧ B ∧ (¬C) será falsa. ( ) Certo

( ) Errado

07. (CESPE - TRE-MA – Técnico Judiciário) Com base nas regras da lógica sentencial, assinale a opção que corresponde à negação da proposição “Mário é contador e Norberto é estatístico”. (A) Se Mário não é contador, então Norberto não é estatístico. (B) Mário não é contador e Norberto não é estatístico.

Didatismo e Conhecimento

45

Para a sentença A ser “transformada”, seria necessário introduzir uma negação dupla (¬¬). Observando a regra (1), percebese que a sentença B pode ser “transformada” sem a necessidade de utilização de uma negação dupla. Com isso, selecionamos a sentença B para efetuar a manipulação. Manipulando a sentença B: ¬∃x¬p(x) ∨∀xq(x) ∀x¬¬p(x) ∨∀xq(x) ∀x(¬¬p(x) ∨q(x)) ∀x(¬¬p(x) ∨q(x)) Obs.: (¬p(x) ∨ q(x) = p(x) → q(x)) ∀x (¬p(x) → q(x))

RACIOCÍNIO LÓGICO Logo, a sentença A é consequência da lógica de B. É importante mencionar que não foram introduzidos elementos adicionais (negação dupla, por exemplo) na sentença original para se chegar ao resultado. Com isso, podemos afirmar que a sentença A é consequência da lógica (manipulação direta) de B.

I como verdadeira essa sentença composta seria falsa e como a questão afirma que todas as compostas são verdadeiras, então I = Falsa e ~I = V, daí a sentença seria verdadeira, ou seja: Não há inflação geral de preços. - Na segunda sentença composta: I então ~C ∧ G considerando I (falsa) o resultado era verdadeiro para a sentença independente de ser Falso ou Verdadeiro a 2ª parte - por isso não tinha ainda argumento válido. - Na terceira sentença: G então M - se considerar M verdadeira então G pode ser falso ou Verdadeiro. - Na quarta sentença: ~C M - se considerar M verdadeira então ~C pode ser falso ou verdadeiro (mas como na primeira sentença já considera C como verdadeira), ou seja: Os motores dos veículos são econômicos.

∧

São equivalências lógicas, ou seja, elas são bidirecionais. Dessa forma, pode-se concluir que a alternativa correta é a “A”, (B → A). 02. Resposta “C”.

∧

∧

Dizemos que um conjunto de operadores é completo se com eles pode exprimir as operações conjunção, disjunção e negação, que são: , ∧ ,¬ e nand (não é). I - Verdadeiro; II - Verdadeiro; III - Falso; IV - Verdadeiro; V - Falso.

O enunciado da questão diz: 1) Se (M ~G) então (C ∧ ~ I) que equivale a: Se (Se G então M ) então ~(Se C então I); 2) Se I então (~C ∧ G) que; 3) Se G então M; 4) ~C M que.

∧

Precisa-se somente das proposições 1 e 3. Inicia-se pela proposição 3. Supunha que o G era verdadeiro, desta forma o M só poderia ser verdadeiro. Caso contrário a proposição se tornaria falsa. Então para a proposição 1: Como a primeira parte é verdadeira a segunda só poderia ser verdadeira, ou seja ~(se C então I) também tinha que ser verdadeira. Como tem o “~” na frente, Se C então I tem que ser falsa. E para ser falsa I deve ser falso e C deve ser verdadeira. Desta forma descobre-se o valor real de cada proposição.

∧

Na lógica, um grupo de conectivos tem a propriedade da completude funcional se todos outros conectivos possíveis podem ser definidos em função dele. Os conjuntos {nand}, {nor}, { , ¬}, { , ¬} e {→, ¬} possuem a propriedade da completude funcional. Demonstração da completude funcional em um conjunto: Utilizando apenas a negação ¬ e a implicação (→) podemos gerar todas as outras operações.

∧

Disjunção: Conjunção: Bi-implicação:

05. Resposta “A”. Quando temos a expressão “Todo” e “Todo”, a resposta tem que obrigatoriamente ter a expressão “Todo” e não pode aparecer a expressão comum. Ex.: Todo indivíduo que fuma tem bronquite. Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho. Expressão comum: bronquite. Logo: Todo indivíduo que fuma costuma faltar ao trabalho. Quando temos as expressões “Todo” e “Algum”, na resposta prevalece o “Algum” e não pode aparecer a expressão comum. Na questão acima, descartamos a “B” e a “C”, pois começam com “Todo”. Depois descartamos “D” pois aparece a expressão comum “advogados”. Depois descartamos a “E” pois aparece uma negação “não se formaram na universidade x”. Resumo:

03. Resposta “D”. Premissa 1: as premissas 2 e 3 são verdadeiras. FALSO (apenas a premissa 2 é verdadeira a 3 é falsa); Premissa 2: das premissas 3 e 4, uma delas é verdadeira e a outra é falsa. VERDADEIRA (a premissa 3 é falsa e a 4 é verdadeira); Premissa 3: as premissas 3 e 4 são ambas verdadeiras ou ambas falsas. FALSO (premissa 3 é falsa e a 4 é verdadeira); Premissa 4: as premissas 1 e 3 são ambas falsas. VERDADEIRA. Normalmente ler as premissas em ordem inversa facilita a resposta. Premissa 4: afirma que 1 e 3 são falsas, portanto 2 deverá ser verdadeira. Premissa 3: contraditória com a P4 - Falsa. Premissa 2: até aqui a 4 é verdadeira e a 3 falsa – Verdadeira. Premissa 1: contraditória com a P4 – Falsa.

Todo e Todo = Todo Todo e Nenhum = Nenhum Algum e Todo = Algum Algum e Nenhum = Algum Não Se todos os advogados são formados na universidade X e se existem funcionários da prefeitura que são advogados, logo, certamente existem funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X. Com relação a letra “E”, temos que não necessariamente os outro funcionários que não são advogados não se formaram na universidade X, pois nada garante que eles tenham se formado nesta universidade ou não, como deixa dúvida, esta não pode ser necessariamente correta.

04. Resposta “A”. - Atribui-se verdadeiro para todas as sentenças simples, ou seja, G, M, I, C - são a princípio (V). - Comece pela primeira sentença composta: M ∧ ~G então C ∧ G - Por essa sentença conclui-se que atribuindo à sentença Didatismo e Conhecimento

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RACIOCÍNIO LÓGICO 06. Resposta “Certo”.

(E) Falsa = nem todo réptil venenoso é cobra (há lagartos venenosos, são répteis e não são cobras).

∧

Um argumento válido considere todas as premissas verdadeiras, e a conclusão terá que ser verdadeira. V V A ∧ B → C (Argumento válido) A ∧ B ∧ (~C) V ∧ V ∧ (~V) V ∧ F = F (Falsa)

Nota-se que na proposição composta que a alternativa diz ser falsa só foi usado o conectivo E ( ∧ ), isto torna a questão fácil, ou seja, tanto o A, o B e a negação de C têm que ter valores verdadeiros para a proposição ser verdadeira (regra do conectivo E). Se a negação de C tem que ser verdade, logo, o C é falso. Se o C é falso, A ∧ B não pode ser verdadeiro, pois V então F, que é o argumento válido trazido pela questão, é falso. Se a questão diz que o argumento é válido, ele realmente é válido, temos que acreditar nisso, logo, o valor de A ∧ B tem que ser falso obrigatoriamente, senão o argumento não é válido. Se A ∧ B tem que ser falso, significa que ou o A ou o B tem que ser falso (regra do E, um falso tudo falso). Sendo ou o A ou o B falso, torna a proposição A ∧ B ∧ ~C falsa.

Um grande conjunto é o dos répteis, obrigatoriamente o conjunto das cobras, que é menor, estará totalmente dentro do conjunto dos répteis. Já o conjunto dos Venenosos existem 3 possibilidades: 1 - o conjunto dos venenosos estar totalmente dentro do conjunto dos répteis, mas não se mistura com o conjunto das cobras, ou seja, são dois conjuntos dentro do grande conjunto que é o dos répteis; 2 - o conjunto dos venenosos estar parcialmente dentro do conjunto dos répteis, mas não se mistura com o conjunto das cobras, ou seja, um conjunto (cobras) dentro do conjunto dos répteis e outro (venenosos) parcialmente dentro e fora (como na figura). 3 - o conjunto dos venenosos estar totalmente dentro do conjunto dos répteis, e parcialmente, também, dentro do conjunto das cobras. 4 - o conjunto dos venenosos estar totalmente dentro do conjunto dos répteis e totalmente dentro do conjunto das cobras.

07. Resposta “D”.

A negativa de uma conjunção pode ser: - uma condicional - afirma a 1ª parte e nega a 2ª parte = P então não Q. - uma disjunção - Não P ou Não Q. Mário é contador e Norberto é estatístico. P e Q = P e não Q, portanto: Se Mário é contador, então Norberto não é estatístico.

Logo, a única coisa que conseguimos garantir dentre as alternativas é que “todas as cobras são répteis”, elas podem ser ou não venenosas e os venenosos podem ou não ser répteis e podem ou não ser cobras.

Considerando: P: “Mário é contador”. Q: “Norberto é estatístico”. A negação de P ∧ Q é ~P “ou” ~Q.

09. Resposta “C”. Dona Marieta teve 10 filhos = 7 férteis e 3 inférteis. Sete férteis tiveram 21 filhos = 17 férteis e 4 inférteis. Dezessete férteis tiveram 85 filhos = 76 férteis e 9 inférteis. Setenta e seis férteis tiveram 152 filhos = 152 férteis. Descendentes = férteis + inférteis = 252 + 16 = 268 descendentes.

A partir daí basta transformar ~P “ou” ~Q em sua proposição equivalente: P “se então” ~Q. 08. Resposta “A”. (A) Verdade, toda cobra é um réptil. Se as duas afirmações são verdadeiras, então, com certeza, também é verdade que - Se existe uma cobra venenosa (P), então ela é um réptil (Q). (P → Q = V). Obs: segundo as afirmações “dadas” não se pode determinar se P é V ou F, no entanto isto não altera a correção da assertiva. (B) Falsa = nem toda cobra é venenosa. (C) Falsa = nem todo réptil venenoso é cobra (há lagartos venenosos, répteis e não são cobras). No contexto geral, esta afirmação poderia ser considerada verdadeira, mas segundo as afirmações “dadas” pela questão ela é falsa, pois não é mencionada qualquer ligação entre o grupo das cobras e dos répteis venenosos; A cobra é um réptil; Alguns répteis são venenosos; mas embasando-se somente nestas duas afirmações não há como se garantir que Algum réptil venenoso é uma cobra. (D) Falsa = nem todo réptil é uma cobra (Jacaré é réptil).

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Seguindo os passos: - Dona Marieta teve 10 filhos, três dos quais não lhe deram netos e cada um dos demais lhe deu 3 netos; dos 10 filhos de Dona Marieta 3 não lhe deram netos, enquanto que 7 lhe deram 3 netos “cada”, então fazemos o seguinte cálculo: 7. 3 = 21 netos. - Apenas quatro dos netos de Dona Marieta não tiveram filhos, enquanto que cada um dos demais lhe deram 5 bisnetos; Sabemos que Dona Marieta teve 21 netos, mas, desses 21, quatro não tiveram filhos, enquanto que os outros 17 lhe deram 5 bisnetos cada: 17. 5 = 85 bisnetos. - Dos bisnetos de Dona Marieta, apenas nove não tiveram filhos e cada um dos outros tiveram 2 filhos; Dona Marieta teve 85 bisnetos, e desses 85 nove não tiveram filhos, o que implica que 76 tiveram 2 filhos “cada”: 76 . 2 = 152 tataranetos. - Os tataranetos de Dona Marieta ainda não têm filhos. Como os tataranetos não tiveram filhos, então somamos os filhos, netos, bisnetos e tataranetos: 10 + 21 + 85 + 152 = 268. 47

RACIOCÍNIO LÓGICO 5 PRINCÍPIOS DE CONTAGEM E PROBABILIDADE.

Análise Combinatória Análise combinatória é uma parte da matemática que estuda, ou melhor, calcula o número de possibilidades, e estuda os métodos de contagem que existem em acertar algum número em jogos de azar. Esse tipo de cálculo nasceu no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), chamado também de Tartaglia. Depois, apareceram os franceses Pierre de Fermat (16011665) e Blaise Pascal (1623-1662). A análise desenvolve métodos que permitem contar, indiretamente, o número de elementos de um conjunto. Por exemplo, se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória. Veja quais propriedades existem:

Generalizações: Um acontecimento é formado por k estágios sucessivos e independentes, com n1, n2, n3, … , nk possibilidades para cada. O total de maneiras distintas de ocorrer este acontecimento é n1, n2, n3, … , nk Técnicas de contagem: Na Técnica de contagem não importa a ordem.

- Princípio fundamental da contagem - Fatorial - Arranjos simples - Permutação simples - Combinação - Permutação com elementos repetidos Princípio fundamental da contagem: é o mesmo que a Regra do Produto, um princípio combinatório que indica quantas vezes e as diferentes formas que um acontecimento pode ocorrer. O acontecimento é formado por dois estágios caracterizados como sucessivos e independentes:

Considere A = {a; b; c; d; …; j} um conjunto formado por 10 elementos diferentes, e os agrupamentos ab, ac e ca”. ab e ac são agrupamentos sempre distintos, pois se diferenciam pela natureza de um dos elemento. ac e ca são agrupamentos que podem ser considerados distintos ou não distintos pois se diferenciam somente pela ordem dos elementos. Quando os elementos de um determinado conjunto A forem algarismos, A = {0, 1, 2, 3, …, 9}, e com estes algarismos pretendemos obter números, neste caso, os agrupamentos de 13 e 31 são considerados distintos, pois indicam números diferentes.

• O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos. • O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos.

Quando os elementos de um determinado conjunto A forem pontos, A = {A1, A2, A3, A4, A5…, A9}, e com estes pontos pretendemos obter retas, neste caso os agrupamentos são iguais, pois indicam a mesma reta.

Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um acontecimento é igual ao produto m . n Exemplo: Alice decidiu comprar um carro novo, e inicialmente ela quer se decidir qual o modelo e a cor do seu novo veículo. Na concessionária onde Alice foi há 3 tipos de modelos que são do interesse dela: Siena, Fox e Astra, sendo que para cada carro há 5 opções de cores: preto, vinho, azul, vermelho e prata. Qual é o número total de opções que Alice poderá fazer?

Conclusão: Os agrupamentos... 1. Em alguns problemas de contagem, quando os agrupamentos se diferirem pela natureza de pelo menos um de seus elementos, os agrupamentos serão considerados distintos. ac = ca, neste caso os agrupamentos são denominados combinações.

Resolução: Segundo o Principio Fundamental da Contagem, Alice tem 3×5 opções para fazer, ou seja,ela poderá optar por 15 carros diferentes. Vamos representar as 15 opções na árvore de possibilidades:

Pode ocorrer: O conjunto A é formado por pontos e o problema é saber quantas retas esses pontos determinam. 2. Quando se diferir tanto pela natureza quanto pela ordem de seus elementos, os problemas de contagem serão agrupados e considerados distintos. ac ≠ ca, neste caso os agrupamentos são denominados arranjos. Pode ocorrer: O conjunto A é formado por algarismos e o problema é contar os números por eles determinados.

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RACIOCÍNIO LÓGICO Fatorial: Na matemática, o fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808. A função fatorial é normalmente definida por:

Podemos também escrever Permutações: Considere A como um conjunto com n elementos. Os arranjos simples n a n dos elementos de A, são denominados permutações simples de n elementos. De acordo com a definição, as permutações têm os mesmos elementos. São os n elementos de A. As duas permutações diferem entre si somente pela ordem de seus elementos.

Por exemplo, 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120

Cálculo do número de permutação simples:

Note que esta definição implica em particular que 0! = 1, porque o produto vazio, isto é, o produto de nenhum número é 1. Deve-se prestar atenção neste valor, pois este faz com que a função recursiva (n + 1)! = n! . (n + 1) funcione para n = 0. Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo coeficiente binomial.

O número total de permutações simples de n elementos indicado por Pn, e fazendo k = n na fórmula An,k = n (n – 1) (n – 2) . … . (n – k + 1), temos: Pn = An,n= n (n – 1) (n – 2) . … . (n – n + 1) = (n – 1) (n – 2) . … .1 = n! Portanto: Pn = n! Combinações Simples: são agrupamentos formados com os elementos de um conjunto que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Considere A como um conjunto com n elementos k um natural menor ou igual a n. Os agrupamentos de k elementos distintos cada um, que diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos são denominados combinações simples k a k, dos n elementos de A.

Arranjos simples: são agrupamentos sem repetições em que um grupo se torna diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Seja A um conjunto com n elementos e k um natural menor ou igual a n. Os arranjos simples k a k dos n elementos de A, são os agrupamentos, de k elementos distintos cada, que diferem entre si ou pela natureza ou pela ordem de seus elementos. Cálculos do número de arranjos simples:

Exemplo: Considere A = {a, b, c, d} um conjunto com elementos distintos. Com os elementos de A podemos formar 4 combinações de três elementos cada uma: abc – abd – acd – bcd Se trocarmos ps 3 elementos de uma delas: Exemplo: abc, obteremos P3 = 6 arranjos disdintos.

Na formação de todos os arranjos simples dos n elementos de A, tomados k a k:

abc

acd

bcd

acb

n → possibilidades na escolha do 1º elemento. n - 1 → possibilidades na escolha do 2º elemento, pois um deles já foi usado. n - 2 → possibilidades na escolha do 3º elemento, pois dois deles já foi usado. . . n - (k - 1) → possibilidades na escolha do kº elemento, pois l-1 deles já foi usado.

bac bca cab cba Se trocarmos os 3 elementos das 4 combinações obtemos todos os arranjos 3 a 3:

No Princípio Fundamental da Contagem (An, k), o número total de arranjos simples dos n elementos de A (tomados k a k), temos:

abd

An,k = n (n - 1) . (n - 2) . ... . (n – k + 1)

(é o produto de k fatores)

Multiplicando e dividindo por (n – k)!

abc

abd

acd

bcd

acb

adb

adc

bdc

bac

bad

cad

cbd

bca

bda

cda

cdb

cab

dab

dac

dbc

cba

dba

dca

dcb

(4 combinações) x (6 permutações) = 24 arranjos Logo: C4,3 . P3 = A4,3

Note que n (n – 1) . (n – 2). ... .(n – k + 1) . (n – k)! = n!

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49

RACIOCÍNIO LÓGICO QUESTÕES

Cálculo do número de combinações simples: O número total de combinações simples dos n elementos de A representados por C , tomados k a k, analogicamente ao exemplo apresentado, temos: n,k a) Trocando os k elementos de uma combinação k a k, obtemos Pk arranjos distintos. b) Trocando os k elementos das Cn,k . Pk arranjos distintos.

01. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 7 e 8? 02. Organiza-se um campeonato de futebol com 14 clubes, sendo a disputa feita em dois turnos, para que cada clube enfrente o outro no seu campo e no campo deste. O número total de jogos a serem realizados é: (A)182 (B) 91 (C)169 (D)196 (E)160

Portanto: Cn,k . Pk = An,k ou

A C n,k = n,k Pk Lembrando que:

03. Deseja-se criar uma senha para os usuários de um sistema, começando por três letras escolhidas entre as cinco A, B, C, D e E, seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 0, 2, 4, 6 e 8. Se entre as letras puder haver repetição, mas se os algarismos forem todos distintos, o número total de senhas possíveis é: (A) 78.125 (B) 7.200 (C) 15.000 (D) 6.420 (E) 50

Também pode ser escrito assim:

Arranjos Completos: Arranjos completos de n elementos, de k a k são os arranjos de k elementos não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular os arranjos completos, deve-se levar em consideração os arranjos com elementos distintos (arranjos simples) e os elementos repetidos. O total de arranjos completos de n elementos, de k a k, é indicado simbolicamente por A*n,k dado por: A*n,k = nk

04. (UFTM) – João pediu que Cláudia fizesse cartões com todas as permutações da palavra AVIAÇÃO. Cláudia executou a tarefa considerando as letras A e à como diferentes, contudo, João queria que elas fossem consideradas como mesma letra. A diferença entre o número de cartões feitos por Cláudia e o número de cartões esperados por João é igual a (A) 720 (B) 1.680 (C) 2.420 (D) 3.360 (E) 4.320

Permutações com elementos repetidos Considerando: α elementos iguais a a, β elementos iguais a b, γ elementos iguais a c, …, λ elementos iguais a l,

05. (UNIFESP) – As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73ª palavra nessa lista é (A) PROVA. (B) VAPOR. (C) RAPOV. (D) ROVAP. (E) RAOPV.

Totalizando em α + β + γ + … λ = n elementos. Simbolicamente representado por Pnα, β, γ, …, λ o número de permutações distintas que é possível formarmos com os n elementos:

06. (MACKENZIE) – Numa empresa existem 10 diretores, dos quais 6 estão sob suspeita de corrupção. Para que se analisem as suspeitas, será formada uma comissão especial com 5 diretores, na qual os suspeitos não sejam maioria. O número de possíveis comissões é: (A) 66 (B) 72 (C) 90 (D) 120 (E) 124

Combinações Completas: Combinações completas de n elementos, de k a k, são combinações de k elementos não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular as combinações completas devemos levar em consideração as combinações com elementos distintos (combinações simples) e as combinações com elementos repetidos. O total de combinações completas de n elementos, de k a k, indicado por C*n,k

07. (ESPCEX) – A equipe de professores de uma escola possui um banco de questões de matemática composto de 5 questões sobre parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre retas.

Didatismo e Conhecimento

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RACIOCÍNIO LÓGICO De quantas maneiras distintas a equipe pode montar uma prova com 8 questões, sendo 3 de parábolas, 2 de circunferências e 3 de retas? (A) 80 (B) 96 (C) 240 (D) 640 (E) 1.280

04. I) O número de cartões feitos por Cláudia foi

08. Numa clínica hospitalar, as cirurgias são sempre assistidas por 3 dos seus 5 enfermeiros, sendo que, para uma eventualidade qualquer, dois particulares enfermeiros, por serem os mais experientes, nunca são escalados para trabalharem juntos. Sabendose que em todos os grupos participa um dos dois enfermeiros mais experientes, quantos grupos distintos de 3 enfermeiros podem ser formados? (A) 06 (B) 10 (C) 12 (D) 15 (E) 20

Assim, a diferença obtida foi 2.520 – 840 = 1.680

II) O número de cartões esperados por João era

05. Se as permutações das letras da palavra PROVA forem listadas em ordem alfabética, então teremos: P4 = 24 que começam por A P4 = 24 que começam por O P4 = 24 que começam por P A 73.ª palavra nessa lista é a primeira permutação que começa por R. Ela é RAOPV. 06. Se, do total de 10 diretores, 6 estão sob suspeita de corrupção, 4 não estão. Assim, para formar uma comissão de 5 diretores na qual os suspeitos não sejam maioria, podem ser escolhidos, no máximo, 2 suspeitos. Portanto, o número de possíveis comissões é

09. Seis pessoas serão distribuídas em duas equipes para concorrer a uma gincana. O número de maneiras diferentes de formar duas equipes é (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25 (E) 30

07. C5,3 . C4,2 . C4,3 = 10 . 6 . 4 = 240

10. Considere os números de quatro algarismos do sistema decimal de numeração. Calcule: a) quantos são no total; b) quantos não possuem o algarismo 2; c) em quantos deles o algarismo 2 aparece ao menos uma vez; d) quantos têm os algarismos distintos; e) quantos têm pelo menos dois algarismos iguais.

08. I) Existem 5 enfermeiros disponíveis: 2 mais experientes e outros 3. II) Para formar grupos com 3 enfermeiros, conforme o enunciado, devemos escolher 1 entre os 2 mais experientes e 2 entre os 3 restantes. III) O número de possibilidades para se escolher 1 entre os 2 mais experientes é

Resoluções 01. 02. O número total de jogos a serem realizados é A14,2 = 14 . 13 = 182.

IV) O número de possibilidades para se escolher 2 entre 3 restantes é

03. Algarismos

V) Assim, o número total de grupos que podem ser formados é2.3=6 09.

Letras

10. a) 9 . A*10,3 = 9 . 103 = 9 . 10 . 10 . 10 = 9000 b) 8 . A*9,3 = 8 . 93 = 8 . 9 . 9 . 9 = 5832 c) (a) – (b): 9000 – 5832 = 3168 d) 9 . A9,3 = 9 . 9 . 8 . 7 = 4536 e) (a) – (d): 9000 – 4536 = 4464

As três letras poderão ser escolhidasde 5 . 5 . 5 =125 maneiras. Os quatro algarismos poderão ser escolhidos de 5 . 4 . 3 . 2 = 120 maneiras. O número total de senhas distintas, portanto, é igual a 125 . 120 = 15.000.

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RACIOCÍNIO LÓGICO Probabilidade Ponto Amostral, Espaço Amostral e Evento Em uma tentativa com um número limitado de resultados, todos com chances iguais, devemos considerar: Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos resultados possíveis. Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos resultados possíveis; será representado por S e o número de elementos do espaço amostra por n(S). Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do espaço amostral; será representado por A e o número de elementos do evento por n(A).

União de Eventos Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, temos: A

Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S, portanto são eventos. Ø = evento impossível. S = evento certo.

B S

Conceito de Probabilidade As probabilidades têm a função de mostrar a chance de ocorrência de um evento. A probabilidade de ocorrer um determinado evento A, que é simbolizada por P(A), de um espaço amostral S ≠ Ø, é dada pelo quociente entre o número de elementos A e o número de elemento S. Representando:

Logo: P(A

B) = P(A) + P(B) - P(A

B)

Eventos Mutuamente Exclusivos Exemplo: Ao lançar um dado de seis lados, numerados de 1 a 6, e observar o lado virado para cima, temos: - um espaço amostral, que seria o conjunto S {1, 2, 3, 4, 5, 6}. - um evento número par, que seria o conjunto A1 = {2, 4, 6} C S. - o número de elementos do evento número par é n(A1) = 3. - a probabilidade do evento número par é 1/2, pois

A

B

Considerando que A ∩ B, nesse caso A e B serão denominados mutuamente exclusivos. Observe que A ∩ B = 0, portanto: P(A B) = P(A) + P(B). Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, sempre mutuamente exclusivos, nesse caso temos, analogicamente:

Propriedades de um Espaço Amostral Finito e Não Vazio - Em um evento impossível a probabilidade é igual a zero. Em um evento certo S a probabilidade é igual a 1. Simbolicamente: P(Ø) = 0 e P(S) = 1. - Se A for um evento qualquer de S, neste caso: 0 ≤ P(A) ≤ 1. - Se A for o complemento de A em S, neste caso: P(A) = 1 P(A).

P(A1 P(An)

A2

A3

…

An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... +

Eventos Exaustivos Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, mutuamente exclusivos, estes serão denominados exaustivos se A1 A2 A3 … An = S

Demonstração das Propriedades Considerando S como um espaço finito e não vazio, temos:

Então, logo:

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S

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RACIOCÍNIO LÓGICO Portanto: P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1 Probabilidade Condicionada

Resolução: - Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes o evento A, nesse caso será necessário ocorrer exatamente n – k vezes o evento A. - Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A é 1 – p, nesse caso a probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e n – k vezes o evento A, ordenadamente, é:

Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. A probabilidade de B condicionada a A é dada pela probabilidade de ocorrência de B sabendo que já ocorreu A. É representada por P(B/A).

Veja:

- As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. O número de maneiras de escolher k vezes o evento A é, portanto Cn,k. - Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que possuem a mesma probabilidade pk . (1 – p)n-k, e portanto a probabilidade desejada é: Cn,k . pk . (1 – p)n-k

Eventos Independentes

QUESTÕES

Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. Estes serão independentes somente quando:

P(A/N) = P(A)

01. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna que contém, exatamente, 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é:

P(B/A) = P(B)

(A)

Intersecção de Eventos

(B)

(C)

(D)

(E)

02. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é

Considerando A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, logo:

Assim sendo: P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B) Considerando A e B como eventos independentes, logo P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A), sendo assim: P(A ∩ B) = P(A) . P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes, podemos utilizar a definição ou calcular a probabilidade de A ∩ B. Veja a representação:

(A)

(C)

(D)

(E)

03. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de se obter um rei ou uma dama?

A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ou A e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

04. Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas de 1 a 6, e lê-se o número de cada uma das duas faces voltadas para cima. Calcular a probabilidade de serem obtidos dois números ímpares ou dois números iguais? 05. Uma urna contém 500 bolas, numeradas de 1 a 500. Uma bola dessa urna é escolhida ao acaso. A probabilidade de que seja escolhida uma bola com um número de três algarismos ou múltiplo de 10 é (A) 10% (B) 12% (C) 64% (D) 82% (E) 86%

Lei Binominal de Probabilidade Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes, dentro das mesmas condições, de maneira que os resultados de cada experiência sejam independentes. Sendo que, em cada tentativa ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou o complemento A cuja probabilidade é 1 – p. Problema: Realizando-se a experiência descrita exatamente n vezes, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só k vezes?

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(B)

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RACIOCÍNIO LÓGICO 06. Uma urna contém 4 bolas amarelas, 2 brancas e 3 bolas vermelhas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ela ser amarela ou branca?

A: o número sorteado é formado por 3 algarismos; A = {100, 101, 102, ..., 499, 500}, n(A) = 401 e p(A) = 401/500 B: o número sorteado é múltiplo de 10; B = {10, 20, ..., 500}.

07. Duas pessoas A e B atiram num alvo com probabilidade 40% e 30%, respectivamente, de acertar. Nestas condições, a probabilidade de apenas uma delas acertar o alvo é: (A) 42% (B) 45% (C) 46% (D) 48% (E) 50%

Para encontrarmos n(B) recorremos à fórmula do termo geral da P.A., em que a1 = 10 an = 500 r = 10 Temos an = a1 + (n – 1) . r → 500 = 10 + (n – 1) . 10 → n = 50

08. Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B são tais que P(A U B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o valor de P(B) é: (A) 0,5 (B) 5/7 (C) 0,6 (D) 7/15 (E) 0,7

Dessa forma, p(B) = 50/500. A Ω B: o número tem 3 algarismos e é múltiplo de 10; A Ω B = {100, 110, ..., 500}. De an = a1 + (n – 1) . r, temos: 500 = 100 + (n – 1) . 10 → n = 41 e p(A B) = 41/500 Por fim, p(A.B) =

09. Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas. Retiram-se quatro bolas, sempre com reposição de cada bola antes de retirar a seguinte. A probabilidade de só a primeira e a terceira serem brancas é:

(A)

(B)

(C)

(D)

06. Sejam A1, A2, A3, A4 as bolas amarelas, B1, B2 as brancas e V1, V2, V3 as vermelhas. Temos S = {A1, A2, A3, A4, V1, V2, V3 B1, B2} → n(S) = 9 A: retirada de bola amarela = {A1, A2, A3, A4}, n(A) = 4 B: retirada de bola branca = {B1, B2}, n(B) = 2

(E)

10. Uma lanchonete prepara sucos de 3 sabores: laranja, abacaxi e limão. Para fazer um suco de laranja, são utilizadas 3 laranjas e a probabilidade de um cliente pedir esse suco é de 1/3. Se na lanchonete, há 25 laranjas, então a probabilidade de que, para o décimo cliente, não haja mais laranjas suficientes para fazer o suco dessa fruta é:

(A) 1 (B)

(C)

(D)

(E)

Como A B = , A e B são eventos mutuamente exclusivos; Logo: P(A B) = P(A) + P(B) =

Respostas 01.

07. Se apenas um deve acertar o alvo, então podem ocorrer os seguintes eventos: (A) “A” acerta e “B” erra; ou (B) “A” erra e “B” acerta.

02. A partir da distribuição apresentada no gráfico: 08 mulheres sem filhos. 07 mulheres com 1 filho. 06 mulheres com 2 filhos. 02 mulheres com 3 filhos.

Assim, temos: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 40% . 70% + 60% . 30% P (A B) = 0,40 . 0,70 + 0,60 . 0,30 P (A B) = 0,28 + 0,18 P (A B) = 0,46 P (A B) = 46% 08. Sendo A e B eventos independentes, P(A B) = P(A) . P(B) e como P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B). Temos: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B) 0,8 = 0,3 + P(B) – 0,3 . P(B) 0,7 . (PB) = 0,5 P(B) = 5/7.

Comoas 23 mulheres têm um total de 25 filhos, a probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é igual a P = 7/25. 03. P(dama ou rei) = P(dama) + P(rei) = 04. No lançamento de dois dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, são 36 casos possíveis. Considerando os eventos A (dois números ímpares) e B (dois números iguais), a probabilidade pedida é:

05. Sendo Ω, o conjunto espaço amostral, temos n(Ω) = 500

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