Raciocínio Lógico Formal

Raciocínio Lógico Formal

Prof. Milton Araujo

INSTITUTO INTEGRAL | www.institutointegralead.com.br

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Sumário 1

INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 6 1.1 O QUE É LÓGICA? ....................................................................................................................... 6 1.2 RECOMENDAÇÕES NECESSÁRIAS ..................................................................................................... 6 1.2.1 Como estudar Lógica?........................................................................................................ 6 1.3 TIPOS DE ARGUMENTO ................................................................................................................ 7 1.3.1 Argumento Dedutivo.......................................................................................................... 7 1.3.2 Argumento Indutivo ........................................................................................................... 8 1.4 INTERPRETAÇÕES ........................................................................................................................ 9 1.5 PARA FINALIZAR ......................................................................................................................... 9

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CONCEITOS BÁSICOS ................................................................................................................... 11 2.1 VISÃO GERAL .......................................................................................................................... 11 2.2 PROPOSIÇÃO ........................................................................................................................... 12 2.2.1 Conceito .......................................................................................................................... 12 2.2.2 Indo além do conceito ...................................................................................................... 13 2.2.3 Linguagem corrente e Linguagem simbólica ..................................................................... 16 2.2.4 Aspas............................................................................................................................... 16 2.2.5 Valor lógico ou valor-verdade de uma proposição ............................................................ 17 2.2.6 Três princípios básicos da Lógica Formal .......................................................................... 18 2.2.7 Classificação das Proposições........................................................................................... 19 2.2.8 Conectivos Lógicos ........................................................................................................... 20 2.2.9 Proposição Simples .......................................................................................................... 21 2.2.10 Proposição Composta .................................................................................................. 21 2.3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS (1) ........................................................................................................ 23 2.3.1 Gabarito Exercícios Propostos (1) ..................................................................................... 25 2.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS (2) ........................................................................................................ 30 2.4.1 Gabarito Exercícios Propostos (2) ..................................................................................... 32 2.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS (3) ........................................................................................................ 35

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OPERAÇÕES LÓGICAS .................................................................................................................. 38 3.1 TABELA-VERDADE:.................................................................................................................... 39 3.1.1 Etapas para o preenchimento de uma Tabela-Verdade..................................................... 39 3.2 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES ..................................................................................... 42 3.2.1 Negação .......................................................................................................................... 42 3.2.2 Conjunção ....................................................................................................................... 44 3.2.3 Disjunção Inclusiva .......................................................................................................... 48 3.2.4 Disjunção Exclusiva .......................................................................................................... 53 3.2.5 Condição ......................................................................................................................... 58 3.2.6 Bicondição ....................................................................................................................... 69 3.3 QUADRO-RESUMO ................................................................................................................... 74 3.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................. 75

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TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA.......................................................................... 96 4.1 4.2

TAUTOLOGIA ........................................................................................................................... 96 CONTRADIÇÃO ......................................................................................................................... 98

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4.3 4.4 5

CONTINGÊNCIA ........................................................................................................................ 99 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................................................... 102

IMPLICAÇÃO LÓGICA E EQUIVALÊNCIA LÓGICA ......................................................................... 105 5.1 IMPLICAÇÃO LÓGICA................................................................................................................ 105 5.1.1 Símbolo: ⇒ .................................................................................................................... 105 5.1.2 Significado:.................................................................................................................... 105 5.2 EQUIVALÊNCIA LÓGICA ............................................................................................................ 108 5.2.1 Símbolo: ⇔ ................................................................................................................... 108 5.2.2 Significado:.................................................................................................................... 108 5.2.3 Equivalências Notáveis................................................................................................... 109 5.3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................................................... 113

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ÁLGEBRA PROPOSICIONAL ........................................................................................................ 120 6.1 PROPRIEDADE COMUTATIVA...................................................................................................... 120 6.1.1 Conjunção ..................................................................................................................... 120 6.1.2 Disjunção Inclusiva ........................................................................................................ 120 6.1.3 Disjunção Exclusiva ........................................................................................................ 121 6.1.4 Bicondição ..................................................................................................................... 121 6.1.5 5Observação Importantíssima: ...................................................................................... 121 6.2 PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA ..................................................................................................... 122 6.2.1 Conjunção x Disjunção Inclusiva ..................................................................................... 122 6.2.2 Disjunção Inclusiva x Conjunção ..................................................................................... 122 6.3 LEIS DE DE MORGAN ............................................................................................................... 123 6.4 NEGAÇÃO DE OUTRAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS ........................................................................... 125 6.4.1 Negação de proposição condicional ............................................................................... 125 6.4.2 Negação de proposição bicondicional ............................................................................ 128 6.4.3 Negação da Disjunção Exclusiva:.................................................................................... 130 6.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................................................... 130

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LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO .................................................................................................... 136 7.1 ARGUMENTO LÓGICO DEDUTIVO ................................................................................................ 136 7.2 VALIDAÇÃO DE ARGUMENTOS ................................................................................................... 138 7.2.1 Método da Tabela-Verdade para validação de argumentos............................................ 138 7.2.2 Método da condicional associada para validação de argumentos................................... 142 7.2.3 Método das regras de inferência para validação de argumentos .................................... 146 7.3 SILOGISMO HIPOTÉTICO ........................................................................................................... 147 7.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................................................... 149

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PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS (QUANTIFICADORES) ................................................................... 172 8.1 QUANTIFICADORES ................................................................................................................. 172 8.2 NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS .................................................................................... 174 8.3 EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS DE PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS ............................................................... 177 8.4 REPRESENTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS POR MEIO DE DIAGRAMAS DE EULER-VENN. ................... 178 8.4.1 “Todo P é Q.” ................................................................................................................. 178 8.4.2 “Nenhum P é Q.” ........................................................................................................... 178 8.4.3 “Algum P é Q.”............................................................................................................... 178 8.4.4 “Algum P não é Q.” ........................................................................................................ 178

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8.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................................................... 178 8.6 ARGUMENTO CATEGÓRICO ....................................................................................................... 187 8.6.1 Validação de Argumentos Categóricos ........................................................................... 188 8.7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................................................... 192 9

PROPOSIÇÕES ABERTAS DE PRIMEIRA ORDEM.......................................................................... 206 9.1 CONCEITO ............................................................................................................................ 206 9.2 CONJUNTO-VERDADE .............................................................................................................. 207 9.3 IMPLICAÇÃO LÓGICA................................................................................................................ 208 9.4 EQUIVALÊNCIA LÓGICA ............................................................................................................ 208 9.5 OPERAÇÕES LÓGICAS............................................................................................................... 209 9.5.1 Negação ........................................................................................................................ 209 9.5.2 Conjunção ..................................................................................................................... 212 9.5.3 Disjunção Inclusiva ........................................................................................................ 212

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LÓGICA INFORMAL (APRESENTAÇÃO) ....................................................................................... 214

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Atenção! Nosso material didático passa por constantes revisões e atualizações, seja para corrigir erros, seja para melhorar as explicações em alguns tópicos. Isto é feito com base nas centenas de dúvidas e sugestões que recebemos mensalmente. Mantenha seu material didático sempre atualizado! Consulte periodicamente nossa pasta pública, na qual todo o nosso material didático é mantido: http://www.facebook.com/groups/souintegral/. Cadastre-se também aqui http://integral.klicksite.com.br/anpad-poa-rs/ ou aqui http://mga960.klicksite.com.br/pre-anpad-poa-rs/ e receba, via email, informações e atualizações em primeira mão. Este material é parte integrante dos nossos cursos a distância. Por contrato assinado com a RB (empresa que tem os direitos de veiculação dos nossos cursos online), não poderemos mantê-lo com distribuição pública e gratuita por muito tempo. Por isto, é aconselhável que você se inscreva também no Cadastro por e-mail, pois enviaremos as correções e atualizações, sem custos, apenas para os integrantes da lista, quando o material for retirado da circulação pública e gratuita. Por gentileza, repasse esse material para o maior número possível de amigos. Obrigado! Participe do nosso projeto: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/payit-forward-corrente-do-bem.html

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1 Introdução "Não se pode ensinar coisa alguma a um homem; apenas ajudá-lo a encontrá-la dentro de si mesmo." [Galileu]

1.1 O que é Lógica? Certamente, o leitor já deve ter se deparado com uma dúzia de definições, e isto pode ter trazido mais confusão do que esclarecimento. A Lógica surgiu como um ramo da Filosofia, mas atualmente suas aplicações permeiam os limites de todas as áreas do pensamento, inclusive os mais simples afazeres cotidianos. Podemos dizer, não de modo conclusivo, que o homem é um ser essencialmente lógico. Este livro não tem a pretensão de lhe trazer respostas prontas a respeito das questões relacionadas à Lógica. E, por aí, já estaremos mostrando o que a lógica pode ser: uma forma de bem pensar e buscar, por si só, conclusões fundamentadas em evidências. Certamente que não estamos dizendo que cada um poderá praticar ciência isoladamente, sem qualquer base conceitual. Deixaremos para examinar, mais adiante, os conceitos e definições da Lógica Formal, antecipando apenas que seu objeto principal de estudo é o argumento. Enfim, para não nos alongarmos demasiadamente neste ponto, deixaremos para o leitor a tarefa de chegar às suas próprias conclusões, desde que consistentemente fundamentadas. 1.2 Recomendações necessárias 1.2.1 Como estudar Lógica?

Paciência e disciplina são requisitos fundamentais! Muitos alegam que não conseguem aprender lógica, mas um simples diagnóstico mostra que a maioria

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dos que iniciam seus estudos nesse assunto, o fazem buscando respostas prontas, pois pensam que irão aprender raciocínio lógico por meio de questões resolvidas. Pense apenas no seguinte: se uma questão de raciocínio lógico já está respondida, não haverá aprendizado... Na verdade, nem sequer se tem uma questão. Nosso cérebro é extremamente poderoso, mas também é bastante preguiçoso... Se lançarmos um desafio ao cérebro, ele jamais irá parar de trabalhar sobre o problema, até que consiga solucioná-lo. Porém, se a solução é apresentada ao cérebro, ele imediatamente para de trabalhar na questão, passando a fazer uma simples leitura do raciocínio alheio. É como correr uma maratona na garupa de alguém: a brisa suave e agradável no rosto seria como uma ilusão de aprendizado. A recomendação fundamental, então, é: deixe as questões propostas em segundo plano e se preocupe em assimilar bem os conceitos. Vale dizer: tenha paciência! Geralmente, as questões de lógica formal requerem o domínio de mais de um conceito para que se possa respondê-las. Estude todos os conceitos primeiro, baseando-se apenas nos exemplos solucionados para a assimilação dos conceitos. Deixe os exercícios para a segunda leitura: releia um capítulo de cada vez e tente responder a bateria de questões propostas. Tenha disciplina! Estude todos os dias, nem que sejam apenas 30 minutos, e não abandone um capítulo enquanto não tiver pelo menos 70% de aproveitamento nas questões propostas. Leia o post: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/03/como-estudar-e-aprenderraciocinio.html 1.3 Tipos de Argumento A lógica diferencia duas classes fundamentais de argumentos: os dedutivos e os indutivos. 1.3.1 Argumento Dedutivo

Os argumentos dedutivos são aqueles nos quais as premissas fornecem um fundamento definitivo da conclusão. Em outras palavras, numa dedução é Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Num raciocínio dedutivo a informação da conclusão já está contida nas premissas, de modo que se toda a informação das premissas é verdadeira, a informação da conclusão também deverá ser verdadeira. Resumidamente: nos argumentos dedutivos o raciocínio parte de premissas gerais para uma conclusão particular. Exemplo: Todos os mamíferos são mortais. Os cães são mamíferos. Logo, os cães são mortais. 1.3.2 Argumento Indutivo

Nos argumentos indutivos as premissas proporcionam somente alguma fundamentação da conclusão, que contém alguma informação que não está contida nas premissas, ficando em aberto a possibilidade de que essa informação a mais cause a falsidade da conclusão apesar das premissas verdadeiras. Resumidamente: Raciocinar indutivamente é partir de premissas particulares, na busca de uma conclusão geral. Exemplo: Um aluno chega à sua escola e, ao passar pela sala 1 percebe que ela foi pintada de azul. Observa que a sala 2 também foi pintada de azul. Ao passar pelas salas 3 e 4 percebe que ambas foram pintadas de azul, o mesmo ocorrendo com sua sala, que é a 5. Dessa forma, esse aluno conclui que todas as salas de aula da escola foram pintadas de azul. Entretanto, esse aluno não pode ter certeza de que isto está correto, visto que é uma generalização (inferência) baseada em alguns casos particulares (experiência).

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1.4 Interpretações Os conceitos da lógica formal são apresentados de modo muito simples, e talvez seja justamente essa simplicidade que gere confusões e interpretações diversas de um mesmo conceito. Para ilustrar, tomaremos a frase: “Eu não disse que ele pegou o dinheiro.” Se perguntarmos se o leitor entendeu a frase acima, a resposta certamente será “sim!” Vamos imaginar que essa frase é um dos conceitos que estamos tentando interpretar. Façamos então um exercício, tirando da frase interpretações diversas: Interpretação 1: “Eu não disse que ele pegou o dinheiro.” Significado: pode ter sido outra pessoa quem disse isso. Interpretação 2: “Eu não disse que ele pegou o dinheiro.” Significado: posso ter dito que outra pessoa pegou o dinheiro. Interpretação 3: “Eu não disse que ele pegou o dinheiro.” Significado: posso ter dito que ele pegou outro objeto. Interpretação 4: “Eu não disse que ele pegou o dinheiro...” Significado: eu já havia dito isto antes, mas não me deram ouvidos... Como se vê, isto não pode acontecer quando se trata de um conceito. É preciso haver consenso na interpretação, sob pena de se criar muita confusão. 1.5 Para finalizar Este livro não foi escrito com a pretensão de fechar a questão em torno do assunto, visto que nem mesmo os mais renomados logicistas alcançaram tal proeza. Entretanto, o consenso é algo constantemente buscado nos cursos que ministro, e é justamente isto que apresentarei neste livro. Foram os meus alunos que me incentivaram a transformar minhas notas de aulas neste livro. Várias das recomendações para estudo e até mesmo formas mais Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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simples de se entender certos conceitos, que estão neste livro, são dos meus alunos, não meus. Posso dizer que este livro tem tantos coautores, que citá-los nominalmente tomaria todas as suas páginas... Fica aqui o meu agradecimento a todos eles. Tiro-lhes o chapéu! Espero que o leitor possa ter com este livro o mesmo proveito e alcance os mesmos resultados que os alunos dos nossos cursos presenciais, visto que vários deles já conseguiram gabaritar provas de Raciocínio Lógico, tanto no Teste ANPAD quanto em Concursos Públicos. Em onze anos, o Instituto Integral já preparou mais de 100 turmas (quase 1.000 alunos) para o Teste ANPAD (maioria) e para Concursos Públicos em geral. Nosso índice de aprovação já ultrapassou os 75%. Estude com garra e determinação! Depois, envie-nos sua história de sucesso, para que o seu nome seja inserido em nossa Galeria dos Campeões.

O Autor.

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2 Conceitos Básicos “A Experiência é uma professora difícil, pois ela dá o teste primeiro e a lição depois.” [Vernon Sanders Law]

2.1 Visão Geral Lógica Informal (Não clássica) ↓ VERDADE (julgamento) ↓ Interpretação Textual ↓ “O que” foi dito

Lógica Formal (Clássica) ↓ VALIDADE (forma) ↓ Estrutura Lógica ↓ “Como” foi dito

Exemplo: Na sentença: “Se há fumaça, há fogo.” fumaça é a causa e fogo é o efeito. ( ) correto. (×) incorreto. “o que” foi dito está incorreto, pois fumaça não causa fogo.

Exemplo: Na sentença: “Se há fumaça, há fogo.” fumaça é a causa e fogo é o efeito. (×) correto. ( ) incorreto. “como” foi dito está correto, pois fumaça é a proposição antecedente, e fogo é a proposição consequente.

Observa-se, no quadro acima, que a Lógica Formal preocupa-se com a estrutura lógica (como foi dito), e não com seu conteúdo (o que foi dito), a menos que a questão solicite que seja feito um julgamento de valor. [Nota: Lógica Informal será tratada em outro livro.]

Veja um exemplo: Premissa 1: “Se três é um número primo, então dois não é um número par.” Premissa 2: “Mas dois é um número par.” Conclusão: “Três não é um número primo.”

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No argumento acima, tanto a premissa 1 quanto sua conclusão são falsas (julgamento), e a premissa 2 é verdadeira (julgamento). Entretanto, o argumento acima é válido (estrutura). [Nota: Argumentos serão vistos em capítulo próprio, assim como a forma correta e segura de validá-los. Neste ponto, é suficiente deixar apenas o alerta ao leitor: a lógica formal se baseia na estrutura lógica (como foi dito) e não na interpretação do texto (o que foi dito)].

2.2 Proposição 2.2.1 Conceito

O conceito de proposição está fundamentado em três pilares: 2.2.1.1

Definição

Chama-se de proposição uma frase ou sentença declarativa. Exemplo: "João é médico." 2.2.1.2

Formas de apresentação

Uma proposição se apresenta de duas formas: 2.2.1.2.1

Afirmativa

Exemplo: "João é médico." 2.2.1.2.2

Negativa

Exemplo: "João não é médico."

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2.2.1.3

Valoração

A valoração de uma proposição depende da classe dessa proposição. Veremos em detalhes, mais adiante, esse importante ponto do conceito. Esquemática e resumidamente, temos:

Pilar 1: Definição. Pilar 2: Formas de apresentação (afirmativa ou negativa). Pilar 3: Valoração: depende da classe da proposição. Leia no blog o post http://profmilton.blogspot.com.br/2013/04/pilulas-deraciocinio-logico-2.html 2.2.2 Indo além do conceito 2.2.2.1

Frase

É todo enunciado linguístico, constituído de uma ou mais palavras, que expressa um enunciado de sentido completo. A frase não vem necessariamente acompanhada por um sujeito, verbo ou predicado. Por exemplo: “Atenção.” é uma frase, pois transmite uma ideia, ou tem sentido, mas não há verbo, sujeito ou predicado. Ademais, a frase “Atenção.” não é declarativa, e, portanto, não é uma proposição. 2.2.2.1.1

Oração

É todo enunciado linguístico que contém um verbo.

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Exemplo: "João é médico." 2.2.2.1.2

Período

É uma frase que possui uma ou mais orações. O período pode ser: a) Simples: Quando constituído de uma só oração. Exemplo: Mariana foi ao cinema ontem. b) Composto: Quando é constituído de duas ou mais orações. Exemplo: O aluno foi bem na prova, pois estudou muito. 2.2.2.2

Tipos de frases

a) declarativas. Exemplo: João teve cuidado. b) exclamativas. Exemplo: Que dia lindo! c) imperativas. Exemplo: Vire à esquerda. d) interrogativas. Exemplo: Será que vai chover? e) rogativas. Exemplo: Por favor, me liga. Há ainda outros tipos de frases, mas não é propósito deste estudo discutir essa questão. À Lógica formal só interessa o primeiro tipo, ou seja, as frases declarativas. Seguindo-se o conceito acima, pode-se definir proposição como uma oração declarativa. Observe o leitor que, para fazer uma declaração necessita-se fazer uso de um verbo.

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Redefinindo o conceito: Proposição é uma oração declarativa, que pode ser expressa de forma afirmativa ou negativa. A valoração da proposição depende da classe a que ela pertence. Exemplos de proposições: a)“João é funcionário público.” (forma afirmativa) “João não é funcionário público.” (forma negativa) b) “Paulo foi Ministro da Educação.” (forma afirmativa) “Paulo não foi Ministro da Educação.” (forma negativa) c) “sin(kπ) = 0, com k ∈ {0, 1, 2, 3}.” (forma afirmativa) “sin(kπ) ≠ 0, com k ∈ {0, 1, 2, 3}.” (forma negativa) d) “x + 5 = 12.” (forma afirmativa) “x + 5 ≠ 12.” (forma negativa) Observe que a proposição d acima está representada em sua forma simbólica (simbolismo matemático). Podemos estabelecer a leitura dessa proposição em linguagem corrente: d) “Xis mais cinco é igual a doze.” (forma afirmativa) “Xis mais cinco não é igual a doze.” ou “Xis mais cinco é diferente de doze.” (forma negativa) e) “Este carro é azul.” (forma afirmativa) “Este carro não é azul.” (forma negativa) f) “Todos foram aprovados no exame.” (forma afirmativa) “Nem todos foram aprovados no exame.” (forma negativa) [Nota: As formas de se estabelecer a negação dos diversos tipos de proposições serão vistas em capítulo próprio. Fica o alerta ao leitor, para que se preocupe em assimilar um conceito de cada vez!]

g) “2 + 2 = 3.” (forma afirmativa) “2 + 2 ≠ 3.” (forma negativa) Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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h) “Nenhum aluno compareceu à aula hoje.” (forma afirmativa) “Algum aluno compareceu à aula hoje.” (forma negativa) 2.2.3 Linguagem corrente e Linguagem simbólica

Uma proposição pode ser representada tanto em linguagem corrente quanto em linguagem simbólica. 2.2.3.1

Linguagem corrente

É a representação sob a forma de uma frase, no idioma natural do leitor. Exemplo: “João é médico.” 2.2.3.2

Linguagem simbólica

É a representação por meio de letras do alfabeto. As proposições simples são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s, t, etc.), e as proposições compostas são representadas por letras maiúsculas (P, Q, R, S, T, etc.). Exemplos: a) p: “João é médico.” (proposição simples) b) P: “Pedro é engenheiro e Maria é professora.” (proposição composta) [Nota: os conceitos de proposição simples e proposição composta serão vistos em detalhes mais adiante.]

2.2.4 Aspas

Quando estiver na linguagem corrente, é prudente sempre colocar uma proposição entre aspas. Embora nem todos os autores sigam essa determinação, aconselha-se ao leitor desenvolver esse hábito, a fim de evitar algumas confusões na identificação das proposições simples e compostas.

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Exemplos: a) Dadas as proposições: “João é médico.” e “Pedro é engenheiro.” Note que, neste exemplo, têm-se duas proposições simples. O “e” entre ambas não é um conectivo lógico. p: “João é médico.” e q: “Pedro é engenheiro.” b) Dada a proposição: “João é médico e Pedro é engenheiro.” Note que, neste exemplo, tem-se uma proposição composta, formada por duas proposições simples. O e entre as proposições simples é um conectivo lógico. P: “João é médico e Pedro é engenheiro.” 2.2.5 Valor lógico ou valor-verdade de uma proposição

Há duas formas de se valorar uma proposição: V, se ela for verdadeira, ou F, se ela for falsa. 2.2.5.1

Função de Valoração

v(p) = V. Lê-se: “O valor lógico da proposição p é Verdadeiro”; ou v(p) = F. Lê-se: “O valor lógico da proposição p é Falso” [Nota: A forma correta de se indicar o valor lógico de uma proposição é através de sua função de valoração. Jamais se deve escrever algo do tipo p = V ou p = F, pois uma proposição não é igual ao seu valor-verdade.] [Nota: As proposições abertas de primeira ordem não são valoradas dessa forma. Assim, neste livro, sempre que houver referência a valor lógico ou valor-verdade de uma proposição não estaremos nos referindo às proposições abertas de primeira ordem.]

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2.2.6 Três princípios básicos da Lógica Formal 2.2.6.1

Princípio da identidade

Se uma proposição é verdadeira, então ela é verdadeira. 2.2.6.2

Princípio da não contradição

Uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa. 2.2.6.3

Princípio do terceiro excluído

Uma proposição não pode ser nem verdadeira, nem falsa. [Nota: Excluem-se desse conceito as proposições abertas de primeira ordem.]

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2.2.7 Classificação das Proposições

Proposição Lógica (fechada) Também conhecida como proposição fechada, ou seja, a ela pode-se atribuir um único valor lógico: verdadeiro ou falso. Exemplos: a) “sin( π) = 0, e k ∈ {0, 1, 2, 3}.” b) “2 + 2 = 3.” c) “No dia 04/03/2010 choveu na cidade de Porto Alegre-RS.” d) “Oito é um número primo.” A principal característica da proposição lógica ou fechada é o fato de a informação contida entre aspas estar completa, clara e exata, o que possibilita o seu julgamento.

Proposição Aberta (presença de incógnita) 1) Primeira ordem: tipo de proposição para a qual não se pode atribuir um valorverdade. A proposição se caracteriza pela presença de uma incógnita matemática (x, y, z, ...). Exemplos: a) “sin( π) = 0.” b) “x + 5 = 12.” ___________________ 2) Segunda ordem: tipo de proposição na qual algum elemento é desconhecido (geralmente, o sujeito da frase).

Proposição Categórica (presença de quantificador)

Estabelece-se uma proposição categórica mediante o uso de quantificadores: 1. Todo: universal afirmativo. 2. Nenhum: universal negativo. 3. Algum: particular ou existencial afirmativo. 4. Algum não é: particular ou existencial negativo.

Exemplos: a) “Todos foram aprovados no exame.” b) “Nenhum aluno compareceu à aula.” c) “Alguns homens são Exemplos: a) “Carlos é funcionário bons motoristas.” d) “Existe triângulo que público.” b) “Paulo foi Ministro da não é retângulo.” Educação.” Observação: Existe tem o c) “Este carro é azul.” d) “Ontem choveu em São mesmo significado de Algum. Paulo.”

[Nota: As proposições abertas de primeira ordem são chamadas de “Sentenças Abertas” por vários autores. Este tipo de proposição foi introduzido na Lógica Formal por matemáticos, e, como não têm valor-verdade (ou valor lógico), foram deixadas à margem do conceito de proposição. Todavia, há que se ressaltar que o conceito de proposição foi estabelecido pela Lógica Aristotélica (lógica filosófica), e nele ficou estabelecido que uma proposição tem associado a ela um valor-verdade (ou valor lógico): V, se verdadeira; F, se falsa.]

Lembre-se o leitor de que, para ser proposição, uma frase ou sentença precisa ser uma oração declarativa, que possa ser representada tanto na forma afirmativa, quanto na forma negativa. As “Sentenças Abertas” (ou proposições abertas de primeira ordem) se enquadram perfeitamente neste conceito. O que precisa ficar claro aqui é que a questão da valoração dependerá unicamente do tipo de proposição. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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Exemplo: “x + 5 = 12” está em linguagem simbólica (simbolismo matemático). Em linguagem corrente, tem-se: “Xis mais cinco é igual a doze.”, que é uma oração declarativa dita de forma afirmativa. Na forma negativa, a frase acima fica: “Xis mais cinco não é igual a doze.”, ou, “Xis mais cinco é diferente de doze.” Como se vê “x + 5 = 12” se enquadra perfeitamente no conceito de proposição, ficando a questão da valoração ligada ao tipo da proposição. Neste livro chamaremos as sentenças abertas, de proposições abertas de primeira ordem, separando-as do conceito quando se tratar da sua valoração. Lembre-se o leitor de que a Lógica Formal está fundamentada no conceito de proposição (oração declarativa). 2.2.8 Conectivos Lógicos

Um conectivo lógico tem a função de formar uma proposição composta. São eles: Conectivo a) Conjuntivo b) Disjuntivo Inclusivo c) Disjuntivo Exclusivo

Símbolo ∧ ∨ ∨

d) Condicional

⟶

e) Bicondicional

⟷

Linguagem Corrente ... e ... ... ou ... Ou... ou... Se..., então... Quando... Quem... ...que... ...somente se... ... se e somente se...

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2.2.9 Proposição Simples

Diz-se que uma proposição é simples quando nela não há conectivos lógicos. Exemplos: a) p: “João é médico.” b) q: “Paulo é engenheiro.” c) r: “Hoje está chovendo.” d) s: “2 + 2 = 3.” [Nota: Abstenha-se de julgar uma proposição, quando isto não for solicitado. Evidentemente, “2 + 2 = 3” é uma proposição falsa. Mas, se o comando da questão não solicitar o seu valor lógico, preocupe-se apenas com sua estrutura.]

e) Pedro e Paulo estudaram para a prova.” [Nota: No exemplo acima, tem-se uma proposição simples, pois o e entre “Pedro e Paulo” forma um sujeito composto, mas não é um conectivo lógico.]

2.2.10

Proposição Composta

Uma proposição composta é aquela em que há conectivos lógicos. Sejam as proposições: p: “Pedro e Paulo estudaram para a prova.” q: “Pedro estudou para a prova .” r: “Paulo estudou para a prova.”

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Linguagem corrente a) “Pedro e Paulo não estudaram para a prova.” b) “Não é verdade que Pedro e Paulo estudaram para a prova.” c) “Pedro não estudou para a prova e Paulo não estudou para a prova.” d) “Não é verdade que Pedro estudou para a prova e Paulo estudou para a prova.”

Linguagem simbólica ~p ~p ~ q ∧ ~r ~( q ∧ r)

Observe, no quadro da página anterior, que todas as frases em linguagem corrente transmitem exatamente a mesma ideia (“o que” foi dito é o mesmo em todas elas). Em outras palavras, todas elas têm o mesmo significado. Entretanto, na linguagem simbólica da Lógica Formal, verifica-se que somente os itens a e b têm a mesma simbologia, que é, estruturalmente, diferente das demais (“como” foi dito). A linguagem simbólica mostrada em d também pode ser escrita, por meio de álgebra proposicional, em sua forma equivalente: ~( q ∧ r) ⟺ ~ q ∨ ~r [Nota: Veremos o que é equivalência lógica e álgebra proposicional mais adiante.]

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2.3 Exercícios Propostos (1) Para cada uma das proposições compostas a seguir, identifique as proposições simples e coloque-as na linguagem simbólica, conforme mostra o exemplo. 1) Exemplo: “Se eu sair de casa, eu vou ao cinema.” p: “Eu saio de casa.” q: “Eu vou ao cinema.” 2) “Célia não é escritora ou Paulo é atleta.” 3) “Sara é míope ou Paulo não é atleta.” 4) “Paulo não é atleta ou Sara não é míope.” 5) “Se Pedro está na empresa, Mário e Cíntia estão de folga do trabalho.” 6) “Se Bruno não vai à escolinha, Pietra também não vai.” 7) “Ou Paulo irá para Curitiba, ou Pedro irá para Belém, ou Pierre irá para Campo Grande.” 8) “Se Polércio for para Fortaleza, então Pierre irá para Campo Grande.” 9) “Se as vendas diminuem, então a empresa vai à falência.” 10) “Se o custo de produção sobe, então os preços sobem.” 11) “Se os preços sobem, então as vendas diminuem.” 12) “Alberto não vai ao shopping ou Beatriz vai à praia.” 13) “Beatriz e Carlos irão acampar se, e somente se, existirem condições climáticas favoráveis para a prática de tal atividade.” 14) “Não é verdade que todas as mulheres não são estudiosas.” 15) “Residir em apartamentos é ruim ou residir em casa é bom.”

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16) “Se eu frear, o carro para.” 17)“Se Milton é professor, então Paulo é motorista.” 18) “Se a inflação subir dois pontos percentuais, o salário será reajustado em um ponto percentual.” 19) “Se eu corro, eu me condiciono fisicamente.” 20) “Se chover, então Roger não sairá de casa.”

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2.3.1 Gabarito Exercícios Propostos (1)

Para cada uma das proposições compostas a seguir, identifique as proposições simples e coloque-as na linguagem simbólica, conforme mostra o exemplo. 1) Exemplo: “Se eu sair de casa, eu vou ao cinema.” p: “Eu saio de casa.” q: “Eu vou ao cinema.” 2) “Célia não é escritora ou Paulo é atleta.” Solução: p: "Célia é escritora." ~p: "Célia não é escritora." q: "Paulo é atleta." Observe que, se colocarmos a proposição p sob a forma: p: "Sara não é escritora." não estaremos cometendo qualquer erro. Entretanto, esta forma de representar uma proposição, na qual já contém uma negação, em sua linguagem simbólica gera erros no momento de se estabelecer a negação da proposição (veremos isto mais adiante). Assim, proceda do seguinte modo: a) escolha uma letra para representar a proposição na linguagem simbólica; b) escreva a proposição sempre no modo afirmativo (mesmo que a questão traga a proposição na forma negativa). 3) “Sara é míope ou Paulo não é atleta.” Solução: p: "Sara é míope." q: "Paulo é atleta." ~q: "Paulo não é atleta." Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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4) “Paulo não é atleta ou Sara não é míope.” Solução: p: "Paulo é atleta." ~p: "Paulo não é atleta." q: "Sara é míope." ~q: "Sara não é míope." 5) “Se Pedro está na empresa, Mário e Cíntia estão de folga do trabalho.” Solução: p: "Pedro está na empresa." q: "Mário e Cíntia estão de folga do trabalho." Observação: "Mário e Cíntia" formam um sujeito composto e não uma proposição composta! 6) “Se Bruno não vai à escolinha, Pietra também não vai.” Solução: p: "Bruno vai à escola." ~p: "Bruno não vai à escola." q: "Pietra vai à escola." ~q: "Pietra não vai à escola." 7) “Ou Paulo irá para Curitiba, ou Pedro irá para Belém, ou Pierre irá para Campo Grande.” Solução: p: "Paulo irá paga Curitiba." q: "Pedro irá para Belém." r: "Pierre irá para Campo Grande." 8) “Se Polércio for para Fortaleza, então Pierre irá para Campo Grande.”

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Solução: p: "Polércio vai para Fortaleza." Observação: não se preocupe com o tempo verbal. A Lógica Formal se preocupa apenas com a estrutura lógica, e não com sintaxe ou semântica! q: "Pierre irá para Campo Grande." 9) “Se as vendas diminuem, então a empresa vai à falência.” Solução: p: "As vendas diminuem." q: "A empresa vai à falência." 10) “Se o custo de produção sobe, então os preços sobem.” Solução: p: "O custo de produção sobe." q: "Os preços sobem." 11) “Se os preços sobem, então as vendas diminuem.” Solução: p: "Os preços sobem." q: "As vendas diminuem." 12) “Alberto não vai ao shopping ou Beatriz vai à praia.” Solução: p: "Alberto vai ao shopping." ~p: "Alberto não vai ao shopping." q: "Beatriz vai à praia."

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13) “Beatriz e Carlos irão acampar se, e somente se, existirem condições climáticas favoráveis para a prática de tal atividade.” Solução: p: "Beatriz e Carlos irão acampar." (reveja a observação feita na questão 5) q: "Existem condições climáticas favoráveis para a prática de tal atividade." (reveja a observação feita na questão 8) 14) “Não é verdade que todas as mulheres não são estudiosas.” Solução: p: "Todas as mulheres são estudiosas." ~p: "Todas as mulheres não são estudiosas." Observação: Esta proposição é categórica. Veremos a forma correta de tratar de suas formas de negação mais adiante. 15) “Residir em apartamentos é ruim ou residir em casa é bom.” Solução: p: "Residir em apartamentos é ruim." q: "Residir em casa é bom." 16) “Se eu frear, o carro para.” Solução: p: "Eu freio." q: "O carro para." 17)“Se Milton é professor, então Paulo é motorista.” Solução: p: "Milton é professor." Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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q: "Paulo é motorista." 18) “Se a inflação subir dois pontos percentuais, o salário será reajustado em um ponto percentual.” Solução: p: "A inflação sobe dois pontos percentuais." q: "O salário será reajustado em um ponto percentual." 19) “Se eu corro, eu me condiciono fisicamente.” Solução: p: "Eu corro." q: "Eu me condiciono fisicamente." 20) “Se chover, então Roger não sairá de casa.” Solução: p: "Chove." q: "Roger sairá de casa." ~q: "Roger não sairá de casa."

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2.4 Exercícios Propostos (2) Classifique cada uma das proposições a seguir, conforme codificação indicada: L: proposição lógica; A1: proposição aberta de primeira ordem; A2: proposição aberta de segunda ordem; UA: proposição categórica universal afirmativa; UN: proposição categórica universal negativa; PA: proposição categórica particular afirmativa; PN: proposição categórica particular negativa. Exemplo: 1) “Todos os brasileiros são vegetarianos.” Classificação: UA 2) “Existem índios que são brasileiros.” Classificação: PA 3) “x + 5 = 12” Classificação: A1 4) “Carlos é funcionário público.” Classificação: A2 5) “Alguns alunos não estão presentes na aula hoje.” Classificação: PN 6) “Nenhum aluno foi reprovado.” Classificação: UN 7) “Dois mais dois é igual a três.” Classificação: L 8) “2 + 2 = 3” Classificação: L 9) “2 é um número ímpar.” Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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10) “Paulo foi Ministro da Educação.” 11) “João é médico.” 12) “Chove.” 13) “Todos os vegetarianos são magros.” 14) “Existem índios que são brasileiros.” 15) “Existem índios que são magros.” 16) “Nenhum aluno que cola sai da escola.” 17) “Paulo é desorganizado.” 18) “Todos que são desorganizados erram.” 19) “Célia não é escritora.” 20) “Paulo não é atleta.” 21) “Todo administrador entende de finanças pessoais.” 22) “5 é um número primo.” 23) “Nenhuma bola é vermelha.” 24) “Algumas frutas são vermelhas.” 25) “Os cachorros são mamíferos.”

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2.4.1 Gabarito Exercícios Propostos (2)

Classifique cada uma das proposições a seguir, conforme codificação indicada: L: proposição lógica; A1: proposição aberta de primeira ordem; A2: proposição aberta de segunda ordem; UA: proposição categórica universal afirmativa; UN: proposição categórica universal negativa; PA: proposição categórica particular afirmativa; PN: proposição categórica particular negativa. Exemplo: 1) “Todos os brasileiros são vegetarianos.” Classificação: UA 2) “Existem índios que são brasileiros.” Classificação: PA 3) “x + 5 = 12” Classificação: A1 4) “Carlos é funcionário público.” Classificação: A2 5) “Alguns alunos não estão presentes na aula hoje.” Classificação: PN 6) “Nenhum aluno foi reprovado.” Classificação: UN 7) “Dois mais dois é igual a três.” Classificação: L 8) “2 + 2 = 3” Classificação: L 9) “2 é um número ímpar.” Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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Solução: L 10) “Paulo foi Ministro da Educação.” Solução: A2 11) “João é médico.” Solução: A2 12) “Chove.” Solução: A2 13) “Todos os vegetarianos são magros.” Solução: UA 14) “Existem índios que são brasileiros.” Solução: PA 15) “Existem índios que são magros.” Solução: PA 16) “Nenhum aluno que cola sai da escola.” Solução: UN 17) “Paulo é desorganizado.” Solução: A2 18) “Todos que são desorganizados erram.” Solução: UA

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19) “Célia não é escritora.” Solução: A2 20) “Paulo não é atleta.” Solução: A2 21) “Todo administrador entende de finanças pessoais.” Solução: UA 22) “5 é um número primo.” Solução: L

23) “Nenhuma bola é vermelha.” Solução: UN 24) “Algumas frutas são vermelhas.” Solução: PA 25) “Os cachorros são mamíferos.” Solução: L

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2.5 Exercícios Propostos (3) 1) ANPAD 2011 – Sejam dadas as seguintes proposições compostas: I. Se o objeto reluz, então é de ouro. II. O objeto é barato ou não é de ouro. III. O objeto é de ouro se, e somente se, for barato. Se os valores lógicos (V, se verdadeiro; F, se falso) de I, II e III são, respectivamente, F, V e F, então o objeto a) reluz e é barato. b) é barato e é de ouro. c) não reluz e é de ouro. d) não é de ouro e não reluz. e) é de ouro e não é barato. 2) ANPAD 2010 – Sejam dadas as sentenças a seguir: I. 2 – x ≤ 7. II. 1/4 + 3/4 = 1. III. A empresa obteve lucro em 2009. IV. Todo cachorro é mamífero. Qual(is) delas é(são) sentença(s) aberta(s)? a) Somente I. b) Somente III. c) Somente I e III. d) Somente II e III. e) Somente III e IV. 3) ANPAD 2009 – Considere as seguintes sentenças: I. sin(kπ) = 0, para k ∈{0,1,2,3} II. Quem comprou o pastel? III. Os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4 e 12. Do ponto de vista da lógica, pode-se dizer que a) II é uma proposição interrogativa. b) III é uma proposição verdadeira. c) I e II não são proposições. d) I e III são proposições. e) I, II e III são proposições. 4) ANPAD 2010 – Considere as sentenças a seguir: I. Faça a prova ou vá para casa! Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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II. Se a taxa de juros sobe, então o poder de compra diminui. III. Qual a tua idade? É CORRETO afirmar que a) apenas II não é uma proposição. b) apenas I e III não são proposições. c) apenas I e III são proposições d) I, II e III não são proposições. e) I, II e III são proposições. 5) ANPAD 2006 – Considere as seguintes sentenças: I. Paulo foi Ministro da Educação. ( ) = 0, com k ∈ {0, 1, 2, 3}. II. III. x + 5 = 12. Do ponto de vista da lógica, pode-se dizer que a) I, II e III são proposições. b) I e III são proposições. c) II não é uma proposição. e) I, II e III não são proposições. e) I e III não são proposições e II é uma proposição. 6) ANPAD 2009 – Considere as seguintes sentenças: I. Eu fui para São Paulo ontem. II. Vamos trabalhar! III. O número -2 é um número natural. Do ponto de vista da lógica, sabe-se que a) II é uma proposição interrogativa. b) III é uma proposição verdadeira. c) I e II não são proposições. d) I e III são proposições. e) I, II e III são proposições. [Nota: Há um erro conceitual na questão acima. A proposição I não é lógica; é aberta de segunda ordem! Entretanto, o comando da questão diz "do ponto de vista da lógica", o que significa dizer que, exatamente como ocorreu na questão 3, o enunciado pede que se aponte somente as proposições lógicas.]

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Gabarito: 1–A

2–C

3–D

4–B

5–E

6–D

Você encontrou algum erro aqui? Tem alguma dúvida ou sugestão? Por gentileza, envie-nos um e-mail. Nossa proposta é responder em, no máximo, 24 horas! Obrigado! Participe do nosso projeto: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/payit-forward-corrente-do-bem.html

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3 Operações Lógicas “A Oportunidade é uma dama altiva, pois não perde tempo com os despreparados.” [Autor desconhecido]

Operação

Símbolo

a) Negação

~

b) Conjunção c) Disjunção Inclusiva d) Disjunção Exclusiva

∧ ∨ ∨

e) Condição

⟶

f) Bicondição ou Dupla condição

⟷

Linguagem Corrente ... não ... Não é verdade que ... É falso que ... ... e ... ... ou ... Ou... ou... Se..., então... Quando... Quem... ...que... ...somente se... ...se e somente se...

Observação: compare o quadro acima com o do item 1.2.8 e note que a negação é operação lógica, mas não é conectivo lógico. Reforçando o conceito: um conectivo lógico serve para formar uma proposição composta. Observe que a mera negação de uma proposição simples não a transforma em uma proposição composta, razão pela qual o operador lógico de negação não pode ser considerado um conectivo lógico. Exemplo: “João é médico.” (proposição simples – forma afirmativa) “João não é médico.” (proposição simples – forma negativa)

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3.1 Tabela-Verdade: 3.1.1 Etapas para o preenchimento de uma Tabela-Verdade 3.1.1.1

Identificando e contando as proposições simples

Exemplo: Na proposição composta “Não é verdade que, se João vai ao cinema, então ele estuda para a prova.”, tem-se duas proposições simples: p: “João vai ao cinema.” q: “João estuda para a prova.” =2 n é a quantidade de proposições simples. 3.1.1.2

Número de linhas da Tabela-Verdade

Fórmula: =2 Onde: k é o número de linhas da tabela-verdade, e n é o número ou quantidade de proposições simples. No exemplo acima, tem-se que 3.1.1.3

= 2, então

= 2 = 4 linhas

Desenha-se uma coluna para cada proposição simples

p q ... ... ... ... ... Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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3.1.1.4

Distribuição dos valores lógicos na Tabela-Verdade

a) na coluna mais à esquerda, preenche-se a metade superior das linhas com valores lógicos V, e a metade inferior com valores lógicos F; b) na coluna seguinte, preenche-se, alternadamente, com valores lógicos V e F. p V V F F

q V F V F

[Nota: observe que, em uma tabela-verdade de quatro linhas, o preenchimento dos valores lógicos se dá do seguinte modo: na primeira coluna, de dois em dois; na segunda coluna, de um em um]

A tabela-verdade acima ainda não está completa! O que se fez até agora foi apenas a distribuição de todos os possíveis valores lógicos para as proposições simples encontradas no exemplo dado. O preenchimento completo da tabelaverdade só será possível após o estudo do Capítulo 2 – Operações Lógicas. Outro exemplo: ~( → ~ ) →

∧

n=3 = 2 = 8 linhas p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

... ... ... ... ... ... ... ... ...

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[Nota: observe que, em uma tabela-verdade de oito linhas, o preenchimento dos valores lógicos se dá do seguinte modo: na primeira coluna, de quatro em quatro; na segunda coluna, de dois em dois; na terceira coluna, de um em um] 3.1.1.5

Esquematicamente, tem-se:

Primeira coluna: k/2 Segunda coluna: k/4 Terceira coluna: k/8 Quarta coluna: k/16 ...

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3.2 Operações Lógicas Sobre Proposições 3.2.1 Negação

A negação é uma operação lógica que tem por finalidade mudar o valor lógico de uma proposição. [Nota: Excluem-se de apreciação por valor lógico as proposições abertas de primeira ordem, que não possuem valor-verdade (em alguns casos, essas proposições possuem conjuntoverdade). É necessário ressaltar que a operação de negação pode ser estabelecida para qualquer tipo de proposição (inclusive as abertas de primeira ordem). Lembre-se de que uma proposição é uma oração declarativa que pode ser apresentada tanto na forma afirmativa como na forma negativa.]

3.2.1.1

Símbolo: ~

[Nota: Organizadoras de Concursos Públicos, como a CESPE-UnB costumam usar o símbolo ¬]

3.2.1.2

Significado:

“...não...”, “Não é verdade que,,,”, “É falso que...”, “Não é o caso que...” Exemplo: p: “João é médico.” 3.2.1.3

Negação em linguagem simbólica: ~p

3.2.1.4

Negação em linguagem corrente:

a) “João não é médico.” b) “Não é verdade que João é médico.” c) “É falso que João é médico.”

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Obs.: As expressões “não é verdade que” ou “é falso que” colocadas na frente de uma proposição estabelecem sua negação. É necessário ter cuidado quando uma proposição composta for precedida por uma dessas expressões. Os casos de negação de proposições compostas (e suas equivalências, que são obtidas por meio de álgebra proposicional) serão vistos mais adiante, no capítulo de Álgebra das Proposições.

3.2.1.5

Tabela-Verdade:

P V F

~p F V

[Nota: Negação de proposições compostas será vista mais adiante.]

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44

3.2.2 Conjunção 3.2.2.1

Símbolo:

3.2.2.2

Significado:

“...e...”, “...mas...” Exemplo: P: “João é médico e Paulo é engenheiro.” Note que: p: “João é médico.” e q: “Paulo é engenheiro.” são proposições simples. 3.2.2.3

Linguagem simbólica: p

3.2.2.4

Tabela-Verdade:

1 2 3 4

q

p V V F F

q V F V F

p∧q V F F F

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3.2.2.5

Diagramas Lógicos:

Onde: Os conjuntos P e Q representam as proposições p e q.  representa o conjunto Universo. A operação p ∧ q é representada, em diagramas lógicos, pela operação de interseção entre conjuntos (P ∩ Q). A região sombreada na figura acima é a “área da verdade” para a proposição p ∧ q. 3.2.2.6

Preenchimento da Tabela-Verdade (linha por linha):

Tomemos um elemento x. Linha 1:

É verdade que x está no diagrama P; Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

46

É verdade que x está no diagrama Q; É verdade que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 2:

É verdade que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q; É falso que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 3:

É falso que x está no diagrama P;

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47

É verdade que x está no diagrama Q; É falso que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 4:

É falso que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q; É falso que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Em resumo: A conjunção (p ∧ q) é verdadeira quando AMBAS as proposições simples são verdadeiras.

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48

3.2.3 Disjunção Inclusiva 3.2.3.1

Símbolo:

3.2.3.2

Significado:

“...ou...” Exemplo: P: “Maria vai ao cinema ou Joana estuda.” Note que: p: “Maria vai ao cinema.” e q: “Joana estuda.” são proposições simples. 3.2.3.3

Linguagem simbólica: p

3.2.3.4

Tabela-Verdade:

1 2 3 4

q

p V V F F

q V F V F

p∨q V V V F

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3.2.3.5

Diagramas Lógicos:

Onde: Os conjuntos P e Q representam as proposições p e q.  representa o conjunto Universo. A operação p ∨ q é representada, em diagramas lógicos, pela operação de união entre conjuntos (P ∪ Q) A região sombreada na figura acima é a “área da verdade” para a proposição p ∨ q. 3.2.3.6

Preenchimento da Tabela-Verdade (linha por linha):

Tomemos um elemento x. Linha 1:

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50

É verdade que x está no diagrama P; É verdade que x está no diagrama Q; É verdade que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 2:

É verdade que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q; É verdade que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 3:

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51

É falso que x está no diagrama P; É verdade que x está no diagrama Q; É verdade que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 4:

É falso que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q; É falso que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima).

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52

Em resumo: A disjunção inclusiva (p ∨ q) é verdadeira quando PELO MENOS UMA das proposições simples é verdadeira.

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53

3.2.4 Disjunção Exclusiva 3.2.4.1

Símbolo:

3.2.4.2

Significado:

“Ou... ou...” Exemplo: P: “Ou Maria viaja ou Carlos joga futebol.” Note que: p: “Maria viaja.” e q: “Carlos joga futebol.” são proposições simples.

3.2.4.3

Linguagem simbólica: p

3.2.4.4

Tabela-Verdade:

1 2 3 4

q

p V V F F

q V F V F

p∨q F V V F

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3.2.4.5

Diagramas Lógicos:

Onde: Os conjuntos P e Q representam as proposições p e q.  representa o conjunto Universo. A operação p ∨ q é representada, em diagramas lógicos, pela operação (P ∪ Q) – (P ∩ Q). A região sombreada na figura acima é a “área da verdade” para a proposição p ∨ q.

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55

3.2.4.6

Preenchimento da Tabela-Verdade (linha por linha):

Tomemos um elemento x. Linha 1:

É verdade que x está no diagrama P; É verdade que x está no diagrama Q; É falso que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 2:

É verdade que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q;

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56

É verdade que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 3:

É falso que x está no diagrama P; É verdade que x está no diagrama Q; É verdade que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 4:

É falso que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q;

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57

É falso que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Em resumo: A disjunção exclusiva (p ∨ q) é verdadeira quando APENAS UMA das proposições simples é verdadeira.

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3.2.5 Condição 3.2.5.1

Símbolo:

3.2.5.2

Significado:

“Se..., então...”, “Quando...”, “Quem...”, “...que...”, “...somente se...” Exemplo: P: “Se João estuda, então Pedro vai ao cinema.” Note que: p: “João estuda.” e q: “Pedro vai ao cinema.” são proposições simples. [Nota: Uma proposição condicional também pode ser dita – ver exemplo acima – do seguinte modo:“Pedro vai ao cinema, se João estuda.”]

Outros exemplos: a) “Quando chove, não tem aula ao ar livre.” b) “Quem tem dinheiro, não compra fiado.” c) “Pessoas que têm dinheiro, não compram fiado.” d) “Carlos vai à festa somente se Júlia for à festa.”

3.2.5.3

Linguagem simbólica: p

q

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3.2.5.4

Tabela-Verdade:

1 2 3 4 3.2.5.5

p V V F F

q V F V F

p⟶q V F V V

Diagramas Lógicos:

Onde: Os conjuntos P e Q representam as proposições p e q.  representa o conjunto Universo. A operação p ⟶ q é representada, em diagramas lógicos, por uma relação de causa e efeito: P ⊂ Q. Note que, na figura acima, não há “região sombreada”. Esta é uma das características da condição: apesar de ser considerada uma operação lógica, na verdade não passa de uma relação de causa e efeito entre duas condições.

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Observe o esquema a seguir: P q ⟶ ⇓ ⇓ antecedente consequente acarretante acarretado causa efeito ⇓ ⇓ Condição Condição Suficiente Necessária Exemplo: “Se chegam visitas, o cachorro late.” Condição suficiente (causa): “chegam visitas.” Significa dizer que o fato de chegarem visitas é uma condição suficiente para o cachorro latir. Condição necessária (efeito): “o cachorro late.” Significa dizer que o fato de o cachorro latir é condição necessária, desde que a condição precedente tenha sido satisfeita. 3.2.5.6

Preenchimento da Tabela-Verdade (linha por linha):

Tomemos um elemento x. Linha 1:

É verdade que x está no diagrama P; É verdade que x está no diagrama Q; Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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A condição está satisfeita, e, portanto, é verdadeira. Linha 2:

É verdade que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q; A condição não está satisfeita, e, portanto é falsa. Não é possível que x esteja no diagrama P e não esteja no diagrama Q, uma vez que P ⊂ Q. Linha 3:

É falso que x está no diagrama P; É verdade que x está no diagrama Q;

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A condição está satisfeita, e, portanto, é verdadeira. Linha 4:

É falso que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q; A condição está satisfeita, e, portanto, é verdadeira. Em resumo: A condição (p ⟶ q) é verdadeira quando NÃO OCORRER VF, nesta ordem, entre as proposições simples. Observação: A operação de condição (p ⟶ q) é, na verdade, um argumento, que contém uma premissa (p) seguida de sua conclusão (q). Um argumento só é válido quando sua conclusão não entra em contradição com suas premissas. Esta é a razão pela qual não se pode dizer que x pode estar presente no diagrama P e não estar no diagrama Q (ver figura da Linha 2 acima). Veremos argumentos em detalhes mais adiante.

3.2.5.7

Algumas equivalências lógicas notáveis:

[Nota: Equivalências lógicas serão abordadas mais adiante, em capítulo próprio. Por ora, basta o leitor ter presente que uma equivalência lógica é uma igualdade lógica, isto é, relaciona duas proposições que terão valores lógicos sempre iguais.]

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I.

p ⟶ q ⇔ ~(p ∧ ~q)

II.

p ⟶ q ⇔ ~p ∨ q

[Nota: as equivalências vistas acima são também chamadas de equivalências notáveis.]

Tabela-Verdade:

1 2 3 4

I p V V F F

II q V F V F

III ~p F F V V

IV ~q F V F V

V p⟶q V F V V

VI p ∧ ~q F V F F

VII ~(p ∧ ~q) V F V V

VIII ~p ∨ q V F V V

[Nota: observe, atentamente, as colunas V, VII e VIII na Tabela acima. São todas exatamente iguais! Em outras palavras, as colunas V, VII e VIII são equivalentes entre si.]

Desafio: O leitor saberia dizer o que ocorre entre as colunas V e VI? Dica: Reveja o conceito de negação.

3.2.5.8

Recíproca:

Exemplo: “Se chegam visitas, o cachorro late.” (linguagem corrente) p ⟶ q (linguagem simbólica) A recíproca da proposição acima é: “Se o cachorro late, chegam visitas.” (linguagem corrente) q ⟶ p (linguagem simbólica)

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Tabela-Verdade: I p V V F F

1 2 3 4

II Q V F V F

III p⟶q V F V V

IV q⟶p V V F V

[Nota: observe que as colunas III e IV na Tabela acima não apresentam valores lógicos iguais em todas as suas linhas. Significa dizer que a recíproca de uma proposição condicional nem sempre é verdadeira. Conclui-se que uma proposição condicional não é equivalente à sua recíproca.]

3.2.5.9

Contrária ou Inversa:

Exemplo: “Se chegam visitas, o cachorro late.” (linguagem corrente) p ⟶ q (linguagem simbólica) A contrária ou inversa da proposição acima é: “Se não chegam visitas, o cachorro não late.” (linguagem corrente) ~p ⟶ ~q (linguagem simbólica) Tabela-Verdade:

1 2 3 4

I p V V F F

II q V F V F

III IV ~p ~q F F F V V F V V

V p⟶q V F V V

VI ~p ⟶ ~q V V F V

[Nota: observe que as colunas V e VI na Tabela acima não apresentam valores lógicos iguais em todas as suas linhas. Significa dizer que a contrária ou inversa de uma proposição condicional nem sempre é verdadeira. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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Conclui-se que uma proposição condicional não é equivalente à sua contrária ou inversa.]

3.2.5.10 Contrapositiva:

Exemplo: “Se chegam visitas, o cachorro late.” (linguagem corrente) p ⟶ q (linguagem simbólica) A contrapositiva da proposição acima é: “Se o cachorro não late, não chegam visitas.” (linguagem corrente) ~q ⟶ ~p (linguagem simbólica) Tabela-Verdade:

1 2 3 4

I p V V F F

II q V F V F

III IV ~p ~q F F F V V F V V

V p⟶q V F V V

VI ~q ⟶ ~p V F V V

[Nota: observe que as colunas V e VI na Tabela acima apresentam valores lógicos iguais em todas as suas linhas. Significa dizer que uma proposição condicional é equivalente à sua contrapositiva.]

Tem-se aqui o Teorema Contrarrecíproco:

p ⟶ q ⇔ ~q ⟶ ~p Agora revise cuidadosamente os conceitos vistos até aqui. Você precisará memorizar as três importantíssimas equivalências notáveis vistas até agora, que são: I.

p ⟶ q ⇔ ~(p ∧ ~q)

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II.

p ⟶ q ⇔ ~p ∨ q

III.

p ⟶ q ⇔ ~q ⟶ ~p

Coloque-as em um cartaz e visualize-as diariamente! Exercícios Propostos 1) O seguinte enunciado é verdadeiro: “Se uma mulher está grávida, a substância gonadotrofina coriônica está presente em sua urina.” Duas amigas, Fátima e Mariana fizeram esse exame. O de Fátima acusou a presença da substância, e o de Mariana, não. Considerando o enunciado, o resultado dos exames e os conceitos da lógica formal, responda: a) Fátima está grávida? Justifique. b) Mariana está grávida? Justifique. 2) Em uma empresa de exportações, o cargo de Diretor Executivo só pode ser ocupado por uma pessoa pós-graduada em Administração de Empresas. Nessa empresa, Alex ocupa atualmente o cargo de Diretor Executivo. Fátima já ocupou esse cargo e Bruno nunca foi Diretor Executivo. Com base nessas premissas, o que se pode afirmar sobre a formação acadêmica de Alex, Bruno e Fátima? Justifique.

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Gabarito Exercício 1 Solução: 1º passo - A primeira coisa que se deve fazer é buscar, na proposição dada, as proposições simples e colocá-las em linguagem simbólica: p: “A mulher está grávida.” q: “A substância está presente em sua urina.” 2º passo – Escrever a proposição dada em linguagem simbólica: p→q 3º passo – Vamos colocar a proposição dada em um quadro e lançar nele a informação dada (resultados dos exames da Fátima e da Mariana)

Como a proposição dada é verdadeira (conforme o enunciado da questão), podemos concluir que a Mariana com certeza não está grávida, e nada se pode afirmar sobre Fátima estar ou não grávida. Exercício 2 Solução: Aqui precisamos definir primeiro qual é a proposição antecedente e qual é a proposição consequente. Observe que, para a empresa, a condição necessária (proposição consequente) é que o funcionário tenha pós-graduação. Então, “ter o cargo” é a condição suficiente (proposição antecedente): p: “O funcionário está/esteve no cargo.” Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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q: “O funcionário tem Pós-Graduação.” Proposição dada em linguagem simbólica: p⟶q Com as informações dadas no enunciado, podemos desenvolver o quadro a seguir:

Conclui-se que Alex e Fátima são pós-graduados em Administração de Empresas, mas nada se pode afirmar sobre a formação acadêmica de Bruno.

Você encontrou algum erro aqui? Tem alguma dúvida ou sugestão? Por gentileza, envie-nos um e-mail. Nossa proposta é responder em, no máximo, 24 horas! Obrigado! Participe do nosso projeto: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/payit-forward-corrente-do-bem.html

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3.2.6 Bicondição 3.2.6.1

Símbolo: ⟷

3.2.6.2

Significado

“... se, e somente se...” Exemplo: P: “João vai ao médico se, e somente se está doente.” Note que: p: “João vai ao médico.” e q: “João está doente.” são proposições simples. 3.2.6.3

Linguagem simbólica: p ⟷ q

3.2.6.4

Tabela-Verdade:

1 2 3 4

p V V F F

q V F V F

p⟷q V F F V

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3.2.6.5

Diagramas Lógicos:

Onde: Os conjuntos P e Q representam as proposições p e q.  representa o conjunto Universo. A operação p ⟷ q é representada, em diagramas lógicos,pela operação  (p ∨ q). A região sombreada na figura acima é a “área da verdade” para a proposição p ⟷ q.

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3.2.6.6

Preenchimento da Tabela-Verdade (linha por linha):

Tomemos um elemento x. Linha 1:

É verdade que x está no diagrama P; É verdade que x está no diagrama Q; É verdade que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 2:

É verdade que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q; Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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É falso que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 3:

É falso que x está no diagrama P; É verdade que x está no diagrama Q; É falso que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Linha 4:

É falso que x está no diagrama P; É falso que x está no diagrama Q;

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É verdade que x está na “área da verdade” (região sombreada do diagrama acima). Em resumo: A bicondição (p ⟷ q) é verdadeira quando NÃO OCORRER VF NEM FV entre as proposições simples. 3.2.6.7

Algumas equivalências notáveis:

I.

p ⟷ q ⇔ (p ⟶ q) ∧ (q ⟶ p)

II.

p ⟷ q ⇔ ~(p ∨ q)

III.

~( p ⟷ q) ⇔ p ∨ q

[Nota: observe que a bicondição é a negação natural da disjunção exclusiva, e vice-versa. Veja a Tabela-Verdade a seguir.]

1 2 3 4

I p V V F F

II q V F V F

III p⟷q V F F V

IV p∨q F V V F

V ~(p ⟷ q) F V V F

VI ~(p ∨ q) V F F V

As colunas III e IV na Tabela acima apresentam valores-verdade contrários, isto é, nas linhas em que a proposição p ⟷ q é verdadeira, a proposição p ∨ q é falsa, e nas linhas em que a proposição p ⟷ q é falsa, a proposição p ∨ q é verdadeira. Reveja o conceito de negação e comprove que a bicondição é uma negação natural da disjunção exclusiva, e vice-versa. [Nota: Conforme já foi dito, a negação de proposições compostas será vista no capítulo de Álgebra das Proposições. Veremos também, em Álgebra das Proposições, outra forma de estabelecer a negação da bicondição.]

Observe o leitor que as equivalências notáveis: p ⟷ q ⇔ ~(p ∨ q) e Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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~( p ⟷ q) ⇔ p ∨ q estão representadas na Tabela-Verdade acima. Tente associar as colunas em que essas equivalências notáveis aparecem. Fica como exercício para o leitor a representação em Tabela-Verdade da seguinte equivalência: p ⟷ q ⇔ (p ⟶ q) ∧ (q ⟶ p) [Nota: O leitor já deve ter observado que, para se desenvolver a Tabela-Verdade de uma operação lógica, é necessário saber em que situação cada um dos operadores lógicos resulta verdadeiro ou falso. Desse modo, convém associar na memória o quadro a seguir.]

3.3 Quadro-Resumo Proposição: É verdadeira quando:

p∧q TODAS as proposições simples são verdadeiras

p∨q PELO MENOS UMA das proposições simples é verdadeira

p∨q APENAS UMA das proposições simples é verdadeira

p⟶q NÃO OCORRER VF, nesta ordem, entre as proposições simples

p⟷q NÃO OCORRER VF, NEM FV, entre as proposições simples

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3.4 Exercícios Propostos 1) ANPAD 2010 – Dadas as proposições: I. 6 > 3 e 2 + 7 = 8. II. 2 > 5 ou 4 – 1 = 3. III. Se 8 > 3, então 3 > 4. IV. Se 3 > 4, então 8 > 3. Os valores lógicos (V, se verdadeiro; F, se falso) das proposições acima são, respectivamente, a) F V F V b) F V F F c) F F V V d) V V F F e) V V V V 2) ANPAD 2011 – Sejam dadas as seguintes proposições compostas em que P e Q são proposições verdadeiras e R é uma proposição falsa: I. P → (Q ∧ ~R) II. R → (Q ∧ P) III. (~P ∧ Q) → ~R IV. R ↔ Q V. P ∨ (R ∨ Q) A sequência CORRETA do respectivo valor verdade de cada uma das proposições compostas acima é a) V V V F V b) V F F V F c) V V V V V d) F V F F V e) F V V F F 3) ANPAD 2011 – Se, sob o ponto de vista dos valores lógicos, as proposições compostas P  (Q  R), Q  (P  R) e R  (P  Q) são, respectivamente, verdadeira (V), falsa (F) e verdadeira (V), então as proposições P, Q e R são, respectivamente, a) V, F e F b) V, F e V c) V, V e F d) V, V e V e) F, F e F. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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4) ANPAD 2009 – Dada a proposição composta “Se eu sair de casa, eu vou ao cinema”, identifique, dentre as alternativas a seguir, aquela que a torna falsa. a) “Eu saí de casa” é falso. b) “Eu saí de casa” é verdade. c) “Eu vou ao cinema”.é falso. d) “Eu saí de casa” é falso, e “Eu vou ao cinema” é falso. e) “Eu saí de casa é verdade”, e “Eu vou ao cinema” é falso. 5) ANPAD 2009 – Sejam as proposições compostas: I. Se Maria foi à festa, então ela sabe dançar se, e somente se, se Pedro foi à festa, então ele sabe dançar. II. Se Maria foi à festa, então Pedro sabe dançar. III. se Pedro foi à festa, então Maria sabe dançar. Sabendo que as proposições “Maria foi à festa”, “Pedro foi à festa”, “Maria sabe dançar” e “Pedro não sabe dançar” são verdadeiras, pode-se concluir que os valores-verdade (V, se verdadeiro; F, se falso) das proposições I, II e III são, respectivamente, a) V, V e V b) V, F e V c) F, F e F d) F, V e V e) F, F e V 6) ANPAD 2009 – Duas cartas são retiradas de um baralho e colocadas com a face para baixo sobre uma mesa. Alguém, que viu as duas cartas, diz para você que somente uma das proposições abaixo é verdadeira: I. Há um Rei ou um Ás, ou estão ambos na mesa. II. Há uma Dama ou um Ás, ou estão ambos na mesa. Então, pode-se afirmar que a) a carta que está na mesa não pode ser o Ás. b) a carta com maior probabilidade de estar na mesa é o Ás. c) a carta com maior probabilidade de estar na mesa é a Dama. d) a carta com maior probabilidade de estar na mesa é o Rei. e) Rei, Dama e Ás têm a mesma possibilidade de estarem na mesa. 7) ANPAD 2009 – Dado que “se eu frear, o carro para”, posso afirmar que a) eu freei, e o carro não parou. b) eu freio ou o carro não para. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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c) eu não freio ou o carro para. d) o carro parou sem eu frear. e) se eu parei o carro, é porque eu freei. 8) ANPAD 2009 – Considere a proposição p: Q ou R, em que Q: Lia é frentista. R: Se Milton é pedreiro, então Nei é jardineiro. Ora, sabe-se que a proposição p é falsa. Logo, a) Lia é frentista; Milton é pedreiro; Nei não é jardineiro. b) Lia é frentista; Milton não é pedreiro; Nei não é jardineiro. c) Lia não é frentista; Milton é pedreiro; Nei não é jardineiro. d) Lia não é frentista; Milton não é pedreiro; Nei não é jardineiro. e) Lia não é frentista; Milton é pedreiro; Nei é jardineiro. 9) ANPAD 2010 – Sejam dadas as proposições verdadeiras a seguir: I. Tavares é estudioso. II. Aranhas voam. Qual alternativa apresenta uma verdade? a) Se aranhas voam, então Tavares não é estudioso. b) Aranhas não voam se, e somente se, Tavares for estudioso. c) Aranhas não voam se, e somente se, Tavares não for estudioso. d) Se aranhas voam, então Tavares é estudioso e aranhas não voam. e) Se Tavares é estudioso ou aranhas não voam, então Tavares não é estudioso. 10) ANPAD 2010 – Se quem come manga com leite passa mal; logo, quem a) come manga passa mal. b) não come manga com leite não passa mal. c) não passou mal não comeu manga ou não tomou leite. d) passa mal é só quem toma leite ou come manga. e) toma leite passa mal. 11) ANPAD 2010 – A porta de um escritório é controlada por uma fechadura lógica, cujo esquema é o seguinte:

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Sabe-se que os símbolos e representam, respectivamente, os operadores lógicos “∧” e “∨” (os quais são binários, no sentido de terem duas entradas e uma saída). A configuração padrão para as entradas A, B, C e D consiste em, respectivamente, F, F, V e V e implica que a porta do escritório está trancada. Uma combinação lógica das chaves A, B, C e D, respectivamente, para abrir a porta corresponde a a) F F F F b) F V F F c) F V V F d) V V F V e) V V V F 12) ANPAD 2010 – Dadas as proposições: I. 6 > 3 e 2 + 7 = 8. II. 2 > 5 ou 4 – 1 = 3. III. Se 8 > 3, então 3 > 4. IV. Se 3 > 4, então 8 > 3. Os valores lógicos (V, se verdadeiro; F, se falso) das proposições acima são, respectivamente, a) F V F V b) F V F F c) F F V V d) V V F F e) V V V V 13) ANPAD 2010 – A condição para ser estagiário no laboratório LEA é: “Se o candidato se sair bem na entrevista e/ou tiver bom currículo ou falar inglês, então ele será aceito no estágio”. Logo, um acontecimento possível é um candidato a) não ser aceito no estágio, apesar de ir bem na entrevista e de ter bom currículo. b) não ser aceito no estágio, apesar de ir bem na entrevista e de falar inglês. c) não ser aceito no estágio, apesar de ir bem na entrevista, de falar inglês e de ter bom currículo. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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d) só ser aceito no estágio se for bem na entrevista, falar inglês e tiver bom currículo. e) ser aceito no estágio, apesar de não ir bem na entrevista, não ter bom currículo e não falar inglês. 14) ANPAD 2010 – Dadas as proposições compostas: I. Se 7 + 3 = 9, então 7 + 7 = 15. II. Se 5 + 5 = 9, então 6 + 6 = 12. III. Se 6 + 6 = 12, então 5 + 5 = 11. IV. Ou 6 + 6 = 12 e 5 + 5 = 11, ou 7 + 2 = 6. Os valores-verdade (V, se verdadeiro; F, se falso) das proposições I, II, III e IV são, respectivamente, a) V, V, F, F b) V, F, F, F c) V, V, F, V d) F, V, F, V e) F, F, V, V 15) ANPAD 2011 – Considerando que a proposição “o muro é alto” é verdadeira e que a proposição “ele pulou o muro” é falsa, NÃO é verdade que: a) Ou ele pulou o muro, ou o muro é alto. b) Se o muro é alto, então ele pulou o muro. c) Se o muro não é alto, então ele pulou o muro. d) Se ele pulou o muro, então o muro não é alto. e) Ou o muro não é alto, ou ele não pulou o muro. 16) ANPAD 2011 – Sejam dadas as seguintes proposições: I. Se uma flor tem perfume, então 2 > 1. II. Se 2 < 1, então a vida é curta. III. O baralho está viciado ou eu estou lendo esta questão. IV. Se x < y, então x2 < y2, para todo número inteiro. Os valores lógicos (V, se verdadeira; F, se falsa) das proposições acima são, respectivamente, a) F F V V b) F V F F c) V V F F d) V F V F e) V V V F

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17) ANPAD 2011 – Sejam dadas as sentenças a seguir: I. x + 5 = 0 → x2 = 25 II. x2 = 25 → x + 5 = 0 III. x + 5 = 0 ↔ x2 = 25 Os valores lógicos (V, se verdadeira; F, se falsa) das proposições acima são, respectivamente, a) V F F b) V V F c) V F V d) V V V e) F F F 18) ANPAD 2011 – Na empresa multinacional AZW, o diretor precisa falar, além do português, os idiomas inglês e alemão. Alberto foi diretor antes de Pedro nessa empresa, e José ainda não foi diretor, pois assumiu o cargo de gestor de investimentos. Sobre Alberto, Pedro e José é CORRETO afirmar: a) Ou José fala alemão, ou José fala inglês. b) José não fala inglês e Alberto fala inglês. c) Se Alberto fala inglês, então José fala alemão. d) Se José fala português, então Pedro fala inglês. e) Se Pedro e Alberto falam português, então José fala inglês. 19) ANPAD 2011 – Ao ler a notícia “Dado que o reator da usina aqueceu, então ocorreu vazamento ou a contaminação se propagou.”, certo cidadão ficou em dúvida, pois tanto a veracidade das notícias sobre o vazamento como a veracidade das notícias sobre a propagação da contaminação eram diversas, ou seja, as notícias podiam ter valores verdade distintos dependendo de onde eram anunciadas. Assim, a notícia ora apresentada pode ser considerada falsa se for a) falso que o reator da usina aqueceu, falso que o vazamento ocorreu e falso que a contaminação se propagou. b) verdade que o reator da usina aqueceu, falso que o vazamento ocorreu e falso que a contaminação se propagou. c) verdade que o reator da usina aqueceu, falso que o vazamento ocorreu e verdade que a contaminação se propagou. d) verdade que o reator da usina aqueceu, verdade que o vazamento ocorreu e falso que a contaminação se propagou. e) verdade que o reator da usina aqueceu, verdade que o vazamento ocorreu e verdade que a contaminação se propagou.

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20) ANPAD 2011 – Dado que as proposições “O dia está ensolarado.” e “Estou na praia.”, respectivamente simbolizadas por P e Q, são verdadeiras, NÃO se pode concluir como verdadeira a proposição a) ~P → ~Q b) ~P → Q c) P → ~Q d) ~Q → ~P e) ~Q → P 21) ANPAD 2011 – Assinale a alternativa que apresenta a negação da proposição “Se a concentração e a dedicação forem efetivas, então o aprendizado é consequência.” a) A concentração e a dedicação são efetivas, e a aprendizagem é consequência. b) A concentração e a dedicação são efetivas, e a aprendizagem não é consequência. c) A concentração e a dedicação não são efetivas, e a aprendizagem é consequência. d) A concentração e a dedicação são efetivas, ou a aprendizagem não é consequência. e) A concentração e a dedicação não são efetivas, e a aprendizagem não é consequência. 22) ANPAD 2011 – Observe as proposições a seguir: I. Se x é um número real e x2 > 4, então x > 2. II. Se x é um número real e x > 2, então x2 > 4. III. Se x é um número real e x2 – 4 = 0, então x = 2. IV. Se x é um número real e x = 2, então x2 – 4 = 0. A sequência CORRETA do respectivo valor verdade de cada uma das proposições acima é a) F V V V b) V F F F c) F F V V d) V V F V e) F V F V 23) ANPAD 2011 – Sejam dadas as seguintes proposições compostas em que P e Q são proposições verdadeiras e R é uma proposição falsa: I. P → (Q ∧ ~R) II. R → (Q ∧ P) Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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III. (~P ∧ Q) → ~R IV. R ↔ Q V. P ∨ (R ∨ Q) A sequência CORRETA do respectivo valor verdade de cada uma das proposições compostas acima é a) V V V F V b) V F F V F c) V V V V V d) F V F F V e) F V V F F 24) ANPAD 2011 – Quem não corre anda. Logo, a) quem anda corre. b) quem corre anda. c) quem anda não corre. d) quem não anda corre. e) quem não anda não corre. 25) ANPAD 2011 – Se o computador estiver conectado à Internet, então trabalharei menos. Logo, a) trabalharei menos e o computador estará conectado à Internet. b) o computador estará conectado à Internet e eu não trabalharei mais. c) o computador não estará conectado à Internet ou eu trabalharei menos. d) se eu trabalhar menos, então o computador estará conectado à Internet. e) se eu trabalhar menos, então o computador não estará conectado à Internet. 26) ANPAD 2011 – Se, sob o ponto de vista dos valores lógicos, as proposições compostas P  (Q  R), Q  (P  R) e R  (P  Q) são, respectivamente, verdadeira (V), falsa (F) e verdadeira (V), então as proposições P, Q e R são, respectivamente, a) V, F e F. b) V, F e V. c) V, V e F. d) V, V e V. e) F, F e F. 27) ANPAD 2011 – Seja dado que as proposições P: José foi se divertir, Q: João foi à universidade e R: José está de férias, são, respectivamente, verdadeira, verdadeira e falsa. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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Sejam também dadas as proposições compostas: I. Se José está de férias, então ele foi se divertir e João não foi à universidade. II. Se José foi se divertir, então ele não está de férias e João não foi à universidade. III. Se João não foi à universidade, então José não está de férias, mas foi se divertir. Quanto ao valor verdade, as proposições I, II e III são, respectivamente, a) V, F e V. b) V, V e F. c) V, F e F. d) F, F e V. e) F, V e V. 28) ANPAD 2012 (Adaptada) – Assinale a alternativa que apresenta a sequência de valores lógicos (V, se verdadeiro; F, se falso) para as sentenças A, B e C que tornam a proposição composta (~(B ∧ C) ⟶ A) ⟶ ((B ∨ C) ⟶ A) falsa a) FFF b) FVV c) FVF d) VFF e) VVV 29) ANPAD 2012 (Adaptada) – Sejam dadas as proposições P: Trabalhar é importante, Q: Estudar é importante e R: Viver é essencial. A proposição composta “Se trabalhar é importante, então estudar também o é, mas viver é essencial ou não é verdade que trabalhar é importante.” pode ser simbolizada por: a) P ⟶ (Q ∨ R) b) (P ⟶ Q) ∨ (R ∨ ~P) c) (P ⟶ Q) ∧ (R ∧ ~P) d) (P ⟶ Q) ∨ (Q ⟶ R) e) (P ⟶ Q) ∧ (R ∨ ~P) 30) ANPAD 2012 (Adaptada) – Se olhar, eu vejo. Logo, a) vi. b) olhei. c) se vi, então olhei. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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d) se não vi, então não olhei. e) se não olhei, então não vi. 31) ANPAD 2012 (Adaptada) – Dadas as proposições verdadeiras: I. Vou comprar um carro. II. Recebi visitas. III. Estou estudando. Assinale, dentre as alternativas a seguir, aquela que apresenta uma proposição com valor verdade falso. a) Se estou estudando e recebi visitas, então vou comprar um carro. b) Se estou estudando ou recebi visitas, então vou comprar um carro. c) Se não estou estudando e não recebi visitas, então vou comprar um carro. d) Se estou estudando e não recebi visitas, então não vou comprar um carro. e) Se estou estudando ou não recebi visitas, então não vou comprar um carro. 32) ANPAD 2012 (Adaptada) – Dado que as proposições “Meu carro é branco.” e “Minha casa é azul.” são verdadeiras e que “Minhas costas estão doendo.” é falsa, então a alternativa que representa uma proposição verdadeira é: a) Se meu carro é branco, então minhas costas estão doendo. b) Se minhas costas não estão doendo, então meu carro não é branco. c) Minha casa é azul ou meu carro é branco, mas minhas costas estão doendo. d) Se minhas costas estão doendo, então meu carro é branco e minha casa não é azul. e) Se meu carro é branco e minhas costas não estão doendo, então minha casa não é azul. 33) ANPAD 2012 (Adaptada) – Ao viajar a negócios, João, uma pessoa que nunca mente, falou a sua esposa: “Se as condições climáticas forem desfavoráveis, telefonarei para avisar e voltarei no dia seguinte.” Entretanto, João não telefonou para a esposa. Assim, pode-se afirmar com certeza que a) as condições climáticas não estavam desfavoráveis. b) João voltou no mesmo dia. c) João voltou no dia seguinte. d) as condições climáticas estavam desfavoráveis e João voltou no dia seguinte. e) as condições climáticas não estavam desfavoráveis e João voltou no mesmo dia.

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34) ANPAD 2012 (Adaptada) – Em certa ilha existem duas tribos: a Mega e a Giga. A seguinte afirmação é tomada como verdadeira: “Ao contrário dos Mega, não mais existem Giga analfabetos.” Logo, pode-se concluir que: a) Todo Giga é Mega. b) Existem Giga que são Mega. c) Todos os Mega são analfabetos. d) Existem analfabetos que são Mega. e) Não existem analfabetos que sejam Mega. 35) ANPAD 2012 (Adaptada) – Considere a proposição “Chove.” como verdadeira e a proposição “Vou jogar futebol.” como falsa. Considere, também, as seguintes proposições compostas: I. Chove e não vou jogar futebol. II. Se chover, então vou jogar futebol. III. Não chove e não vou jogar futebol. IV. Chove se, e somente se, eu não for jogar futebol. V. Chove e eu não vou jogar futebol se, e somente se, eu não for jogar futebol e não chover. Dentre as proposições compostas acima, as verdadeiras são a) somente I e IV. b) somente I, II e V. c) somente I, IV e V. d) somente II, III e IV. e) I, II, III, IV e V. 36) ANPAD 2012 (Adaptada) – Dado que as proposições “Eu fiz o concurso.” e “Eu estudei muito.” são verdadeiras e que “Não estive presente em todas as aulas.” é falsa, qual das alternativas a seguir representa uma proposição verdadeira? a) Se estudei muito, então eu não fiz o concurso. b) Se eu fiz o concurso, então não estive presente em todas as aulas. c) Eu fiz o concurso ou estudei muito, mas não estive presente em todas as aulas. d) Se estudei muito e fiz o concurso, então não estive presente em todas as aulas. e) Se não estive presente em todas as aulas, então eu fiz o concurso e estudei muito. 37) ANPAD 2012 (Adaptada) – Sejam dadas as seguintes proposições compostas: I. Se leio muito, então sou culto ou fico bem informado. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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II. Se fico bem informado ou sou culto, então leio muito. III. Ou sou culto e fico bem informado, ou leio muito. Dado que os valores lógicos de “leio muito”, de “sou culto” e de “fico bem informado” são, respectivamente, falso, verdadeiro e falso, pode-se afirmar que os valores lógicos (V, se verdadeiro; F, se falso) das proposições compostas acima são, respectivamente, a) VFF b) VFV c) VVF d) VVV e) FFF 38) ANPAD 2012 (Adaptada) – Sejam dadas as seguintes proposições: I. Se 4 é par, então 5 é primo. II. Se 4 não é par, então 5 é primo. III. Se 5 é primo, então 4 não é par. IV. Se 4 ou 5 é ímpar, então 4 ou 5 é par. A sequência dos valores lógicos (V, se verdadeiro; F, se falso) de cada uma das quatro proposições compostas acima é a) V V F F b) V F V V b) V V F V d) V V V V e) F V F V 39) ANPAD 2012 (Adaptada) – Sejam dadas as proposições compostas e verdadeiras a seguir: I. Se saio de casa, então não faz sol. II. Ou saio de casa, ou faz sol. III. Se saio de casa, então não faz frio. IV. Se faz sol, então não faz frio. Uma possibilidade de sequência para os valores lógicos (V, se verdadeiro; F, se falso) das proposições “Eu saio de casa.”, “Faz sol.” e “Faz frio.” é a) V F V b) V F F c) F F F d) F V V e) F F V

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40) ANPAD 2012 (Adaptada) – Sejam dadas as seguintes proposições: I. Eu fico em casa. II. O dia está chuvoso. III. Estou de férias. Sabendo que as proposições acima são verdadeiras, qual das alternativas a seguir apresenta uma proposição que tem valor verdade falso? a) Se estou de férias e o dia está chuvoso, então fico em casa. b) Se estou de férias ou o dia não está chuvoso, então fico em casa. c) Se não estou de férias e o dia não está chuvoso, então fico em casa. d) Se estou de férias e o dia não está chuvoso, então não fico em casa. e) Se estou de férias ou o dia não está chuvoso, então não fico em casa. 41) ANPAD 2012 (Adaptada) – Sejam dadas as proposições P, Q e R: P: Estudar é importante. Q: Ler é primordial. R: Aprender é consequência. A proposição composta “Se estudar é importante, então ler é primordial ou aprender é consequência.” pode ser simbolizada por: a) P → (Q ∨ R) b) (P → Q) ∨ R c) P ∨ (Q → R) d) (P ∨ Q) → R e) P → (Q ∧ R) 42) ANPAD 2012 (Adaptada) – Uma possível negação da proposição “Se Rafael foi ao supermercado, então Manoel foi jogar futebol e usava tênis.” é: a) Rafael foi ao supermercado e Manoel foi jogar futebol e usava tênis. b) Rafael foi ao supermercado ou Manoel foi jogar futebol e usava tênis. c) Rafael não foi ao supermercado ou Manoel foi jogar futebol e usava tênis. d) Rafael não foi ao supermercado e Manoel não foi jogar futebol e usava tênis. e) Rafael foi ao supermercado e Manoel não foi jogar futebol ou não usava tênis. 43) ANPAD 2012 (Adaptada) – Dado que a proposição composta ((A → B) ∧ (B ∨ ~C)) → (A → C) é falsa, então os valores lógicos (V, se verdadeiro, F, se falso) de A, B e C são, respectivamente, a) F F V b) F V F c) V V F d) V F F Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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e) V V V 44) ANPAD 2012 (Adaptada) – Sejam dadas as proposições: P: Os pássaros cantam. Q: Os cachorros latem. R: Os gatos miam. Uma forma de escrever a proposição ((P ∧ Q) → R) ∨ ((R ∧ ~Q) → P) em linguagem natural é: a) Se os pássaros cantam e os cachorros latem, então os gatos miam; ou se os pássaros cantam e os gatos miam, então os cachorros não latem. b) Se os pássaros cantam e os cachorros latem, então os gatos miam; ou os pássaros cantam se os gatos miam e os cachorros não latem. c) Se os pássaros cantam, então os cachorros latem e os gatos miam; ou os gatos miam se os pássaros cantam e os cachorros não latem. d) À medida que os pássaros cantam e os cachorros latem, então os gatos miam; ou os pássaros cantam se, e somente se, os gatos miam e os cachorros não latem. e) os pássaros cantam e os cachorros latem se, e somente se, os gatos miam; ou se os pássaros cantam, então os gatos miam e os cachorros não latem. 45) ANPAD 2012 (Adaptada) – Se as normas são respeitadas ou cumpridas, então o convívio é agradável. Logo, a) se o convívio é agradável, então as normas são respeitadas. b) se o convívio é agradável, então as normas não são cumpridas. c) se o convívio não é agradável, então as normas não são respeitadas, mas são cumpridas. d) se o convívio não é agradável, então as normas não são respeitadas e nem cumpridas. e) se o convívio não é agradável, então as normas não são respeitadas ou não são práticas. 46) ANPAD 2012 (Adaptada) – Sejam dadas as seguintes proposições: I. Se 5 > 5, então 5 > 7. II. A metade de 2x é x ou o dobro de x é 4x. III. Não é verdade que 1 é 2 e 2 é 1. IV. Se o cachorro é um animal, então o elefante é um vegetal. A sequência do valor lógico (V, se verdadeira; F, se falsa) de cada proposição acima é a) F V F V b) V V F V Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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c) V V V V d) V F V V e) V V V F 47) ANPAD 2007 – Sejam as proposições: p: “O cão é bravo” e q: “O gato é branco”. A linguagem simbólica equivalente à proposição “Não é verdade que o cão é bravo ou o gato não é branco” é a) ~ ∧ b) ~ ∨ ~ c) ⟶ d) ~ ∨ e) ∨ ~ 48) ANPAD 2007 – Considere a proposição “Não é verdade que, se Maria não é elegante, então ela é inteligente”. Uma proposição logicamente equivalente é a) “Maria é elegante ou é inteligente”. b) “Maria é elegante e não é inteligente”. c) “Maria não é elegante e é inteligente”. d) “Maria não é elegante e nem é inteligente”. e) “Maria não é elegante ou não é inteligente”. 49) ANPAD 2006 – Se P é a proposição “José fez a prova” e Q é a proposição “Pedro estudou”, então a proposição composta “Não é verdade que se José não fez a prova então Pedro estudou” pode ser escrita na linguagem simbólica como a) ~(~ ∧ ) b) ~(~ ∧ ) c) ~( ⟶ ) d) ~ → e) ~ ∧ ~ 50) ANPAD 2006 – Sabendo que P e Q são proposições, o que NÃO se pode afirmar sobre a função valoração (v)? a) v(~P) = V se, e somente se, v(P) = F. b) v(P∧Q) = V se, e somente se, v(P) = v(Q) = V. c) v(P∨Q) = V se, e somente se, v(P) = V ou v(Q) = V. d) v(P→Q) = V se, e somente se, v(P) = F ou v(Q) = V e) v(P↔Q) = V se, e somente se, v(P) = v(Q) = V.

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51) ANPAD 2006 – Sejam as proposições: p: “Bruna foi ao cinema”. q: “Caio foi jogar tênis”. A proposição composta “Caio foi jogar tênis ou Bruna não foi ao cinema” pode ser escrita na linguagem simbólica como a) ~(~ ∧ ~ ) b) ~(~ ∨ ) c) ~( ∨ ~ ) d) ~(~ ∧ ) e) ~( ∧ ~ ) 52) ANPAD 2006 – Seja a proposição “Se Davi pratica natação, então Nair joga vôlei”. Uma proposição equivalente pode ser dada por a) “Davi pratica natação e Nair joga vôlei”. b) “Davi não pratica natação ou Nair joga vôlei”. c) “Se Nair joga vôlei, então Davi pratica natação”. d) “Davi não pratica natação e Nair não joga vôlei”. e) “Se Davi não pratica natação, então Nair não joga vôlei”. 53) ANPAD 2006 – Uma proposição equivalente a “Se Tadeu é economista, então Renato não é estudioso” é a) “Se Renato é estudioso, então Tadeu não é economista”. b) “Se Renato é estudioso, então Tadeu é economista”. c) “Se Tadeu não é economista, então Renato é estudioso”. d) “Tadeu é economista ou Renato é estudioso”. e) “Tadeu é economista ou Renato não é estudioso”. 54) ANPAD 2006 – Considere = { ∈ ℝ; 2 + 4 = 0} e as seguintes proposições: I. Se o Estado de Rio de Janeiro está na Região Sul, então = {− 1 2}. II. Se o Estado de Rio de Janeiro está na Região Sudeste, então = {−2}. III. Se o Estado de Rio de Janeiro está na Região Sudeste, então = {−6}. IV. Se o Estado de Rio de Janeiro está na Região Sul, então = {−2}. A sequencia formada pelo valor verdade (V, se verdade; F, se falso) dessas proposições é, a) F V V V b) F V F F c) V V F V d) V F F F Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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e) V V V V 55) ANPAD 2006 – Considere as seguintes proposições: p: “Hoje é quarta-feira”. q: “Celso vai jogar boliche”. A proposição composta ~(~ ∨ ), em linguagem corrente, é expressa pela declaração: a) “Hoje é quarta-feira e Celso não vai jogar boliche”. b) “Hoje é quarta-feira ou Celso não vai jogar boliche”. c) “Hoje não é quarta-feira e Celso vai jogar boliche”. d) “Hoje não é quarta-feira e Celso não vai jogar boliche”. e) “Hoje não é quarta-feira ou Celso não vai jogar boliche”. 56) ANPAD 2005 – Sabe-se que “Se chegam visitas, o cachorro late”. Assim, é CORRETO afirmar que a) se não chegarem visitas, então o cachorro não latirá. b) o fato de chegarem visitas é condição necessária para o cachorro latir. c) o fato de chegarem visitas é condição suficiente para o cachorro latir. d) o cachorro só vai latir se chegarem visitas. e) se o cachorro latiu, então chegaram visitas. 57) ANPAD 2004 – Sejam as proposições: p: Amir é estudioso. q: Amir é trabalhador. A alternativa abaixo que representa a proposição ~ ∧ ~ é a) Amir é trabalhador e estudioso. b) Amir não é trabalhador ou não é estudioso c) Amir não é trabalhador e é estudioso. d) Amir não é trabalhador ou é estudioso. e) Amir não é trabalhador e não é estudioso. 58) ANPAD 2004 – Baseando-se nas tabelas-verdade das proposições seguintes, a alternativa que representa um valor falso é a) se 2 + 2 = 4, então 2 é par b) se 2 + 2 = 3, então 2 é ímpar c) se 2 + 2 = 4, então 2 é ímpar d) se 2 + 2 = 2, então 2 divide 3 e) se 2 + 2 = 2, então 2 – 2 = 2

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59) ANPAD 2004 – Dada a proposição: “Se Carla é solteira, então Maria é estudante”, uma proposição equivalente é a) “Carla é solteira e Maria é estudante”. b) “Se Maria é estudante, então Carla é solteira”. c) “Se Maria não estudante, então Carla não é solteira”. d) “Maria é estudante se, e somente se,Carla é solteira”. e) “Se Carla não é solteira, então Maria não é estudante”. 60) ANPAD 2004 – Um vendedor fala para seu cliente: “quem tem dinheiro não compra fiado”. O cliente escuta e repete: “quem não tem dinheiro compra fiado”. Pode-se dizer que a) as duas afirmações são equivalentes. b) as duas afirmações não são equivalentes. c) as duas afirmações não são inversas. d) as duas afirmações são condicionais equivalentes. e) as duas afirmações não são condicionais. 61) ANPAD 2003 – Considere as seguintes proposições simples p: João vai ao clube. q: Hoje é domingo. A proposição composta ~( ∧ ~ ), em linguagem corrente, é a) João vai ao clube ou hoje é domingo. b) João vai ao clube e hoje é domingo. c) João não vai ao clube e hoje não é domingo. d) João não vai ao clube e hoje é domingo. e) João não vai ao clube ou hoje é domingo. 62) ANPAD 2003 – Sejam as proposições p: João é inteligente e q: Paulo joga tênis. Então, ~(~ ∨ ), em linguagem corrente, é a) João é inteligente ou Paulo não joga tênis. b) João é inteligente e Paulo não joga tênis. c) João não é inteligente e Paulo não joga tênis. d) João não é inteligente ou Paulo joga tênis. e) João é inteligente ou Paulo joga tênis. 63) ANPAD 2003 – A CONTRAPOSITIVA da proposição “Se os preços aumentam, então as vendas diminuem”. é a) “Se os preços diminuem, então as vendas aumentam”. b) “Os preços diminuem e as vendas aumentam”. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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c) “Se os preços aumentam, então as vendas aumentam”. d) “As vendas aumentam ou os preços diminuem”. e) “Se as vendas aumentam, então os preços diminuem”. 64) ANPAD 2002 – Se Rubens estudar, então passará no concurso. Deste modo, é correto afirmar que a) Se Rubens não passar no concurso, então não terá estudado. b) O estudo de Rubens é condição necessária para que ele passe no concurso. c) Se Rubens não estudar, não passará no concurso. d) Rubens passará no concurso só se estudar. e) Mesmo que Rubens estude, ele não passará no concurso. 65) ANPAD 2002 – Sejam as proposições p: Luísa é bancária. q: Luísa é fumante. Então, a proposição ~(q ∨ ~p), em linguagem corrente é a) “Luísa não é bancária e não é fumante”. b) “Luísa é bancária e não é fumante”. c) “Luísa é fumante, mas não é bancária”. d) “Luísa não é bancária ou é fumante”. e) “Luísa é bancária ou é fumante”. 66) ANPAD 2002 – A proposição p → ~q é equivalente a a) p ∨ q b) p ∧ ~q c) ~p → q d) ~q → p e) ~p ∨ ~q 67) ANPAD 2002 – Sejam p: 9 + 32 = 51 q: O comprimento de uma circunferência é dado por circunferência. Então, a proposição verdadeira é a) (p ∨ ~q) → q b) ~(p ∨ q) → q c) (p ∧ ~q) → q d) (~p ∨ ~ q) → q e) ~(p ∧ q) → q

= ℓ , onde ℓ é o raio da

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68) ANPAD 2002 – A proposição ~(p → ~r) → q ∧ r é falsa, se: a) p e q são verdadeira e r falsa. b) p, q e r são verdadeiras. c) p e q são falsas e r verdadeira. d) p, q e r são falsas. e) p e r são verdadeiras e q é falsa. 69) ANPAD 2002 – A proposição p ∧ (~p ∨ q) é equivalente à proposição a) ~p ∨ q b) p ∧ q c) p ∨ q d) ~p ∧ q e) p ∧ ~q 70) ANPAD 2002 – Considere as seguintes proposições simples: p: José é estudante. q: Maria é professora. A proposição composta ~(~p ∨ q), em linguagem corrente, é a) “José não é estudante ou Maria é professora.” b) “José é estudante ou Maria não é professora.” c) “José não é estudante ou Maria não é professora.” d) “José é estudante e Maria é professora.” e) “José é estudante e Maria não é professora.” 71) ANPAD 2002 – Considere a sentença “Se é feriado, os bancos estão fechados.” A CONTRAPOSITIVA dessa sentença é a) “Se os bancos não estão fechados, não é feriado.” b) “Se os bancos estão fechados, não é feriado.” c) “Se não é feriado, os bancos estão fechados.” d) “Se os bancos estão fechados, é feriado.” e) “Se é feriado, os bancos estão fechados.” 72) ANPAD 2002 – Considere as seguintes proposições simples: p: Pardais adoram frutas. q: Fazendeiros detestam pardais. A proposição composta ~(p ∧ ~q), em linguagem corrente, é a) “É falso que pardais adoram frutas e que fazendeiros detestam pardais” Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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b) “Fazendeiros detestam pardais ou pardais não adoram frutas”. c) “É falso que pardais adoram frutas ou que fazendeiros detestam pardais”. d) “Fazendeiros detestam pardais e pardais adoram frutas”. e) “Fazendeiros detestam pardais ou pardais adoram frutas”. 73) ANPAD 2002 – Considere as seguintes proposições simples: p: Golfinhos comem sardinha. q: Cristina não gosta de golfinhos. A proposição composta ~(p ∧ ~q), em linguagem corrente, é: a) É falso que os golfinhos comem sardinha e que Cristina não gosta de golfinhos. b) Cristina não gosta de golfinhos ou os golfinhos não comem sardinha. c) É falso que os golfinhos comem sardinha ou que Cristina gosta de golfinhos. d) Cristina gosta de golfinhos e os golfinhos comem sardinha. e) Cristina gosta de golfinhos ou os golfinhos comem sardinha. Gabarito: 1–A 2–A 10 – C 11 – E 19 – B 20 – C 28 – B 29 – E 37 – A 38 – C 46 – E 47 – A 55 – A 56 – C 64 – A 65 – B 73 – B

3–A 12 – A 21 – B 30 – D 39 – B 48 – D 57 – E 66 – E

4–D 13 – E 22 – E 31 – E 40 – E 49 – E 58 – C 67 – C

5–E 14 – A 23 – A 32 – D 41 – A 50 – E 59 – C 68 – E

6–A 15 – B 24 – D 33 – A 42 – E 51 – E 60 – B 69 – B

7–C 16 – E 25 – C 34 – D 43 – C 52 – B 61 – E 70 – E

8–C 17 – A 26 – A 35 – A 44 – B 53 – A 62 – B 71 – A

9–C 18 – D 27 – A 36 – E 44 – D 54 – C 63 – E 72 – B

Você encontrou algum erro aqui? Tem alguma dúvida ou sugestão? Por gentileza, envie-nos um e-mail. Nossa proposta é responder em, no máximo, 24 horas! Obrigado! Participe do nosso projeto: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/payit-forward-corrente-do-bem.html

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4 Tautologia, Contradição e Contingência “Você faz suas escolhas e suas escolhas fazem você.” [Steve Beckman]

4.1 Tautologia Tautologia é uma proposição composta que sempre terá resultado lógico verdadeiro. Em outras palavras, na tabela-verdade de uma proposição tautológica, a coluna encimada pela proposição apresenta somente valores lógicos V (verdadeiro). Exemplos: a) p ∨ ~p p ~p p ∨ ~p V F V F V V b) p → p p p p→p V V V F F V

c) p ↔ p p p p↔p V V V F F V

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d) (p → q) ↔ (~p ∨ q) p V V F F

q ~p p → q ~p ∨ q (p → q) ↔ (~p ∨ q) V F V V V F F F F V V V V V V F V V V V

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4.2 Contradição Contradição é uma proposição composta que sempre terá resultado lógico falso. Na tabela-verdade, a coluna da proposição contraditória apresenta somente valores lógicos F (falso). Exemplos: a) p ∧ ~p p ~p p ∧ ~p V F F F V F b) (~ ∨ ~ ) ↔ ( ∧ ) p V V F F

q ~p ~q (~ V F F F F V V V F F V V

∨ ~ ) ( ∧ ) (~ ∨ ~ F V V F V F V F

)↔( ∧ ) F F F F

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99

4.3 Contingência Quando a proposição composta não for tautologia e nem contradição, ela será uma contingência. Em outras palavras: contingência é uma proposição composta que tanto pode ter resultado lógico V (verdadeiro) como F (falso). Exemplo: a) ( ∨ ~ ) → (~ ∧ ) p V V F F

q ~p ~q ( ∨ ~ ) (~ V F F V F F V V V V F F F V V V

∧ ) ( ∨ ~ ) → (~ ∧ ) F F F F V V F F

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100

Exemplo: 1) ANPAD 2006 – Considera as proposições a seguir: I. Josi é morena ou não é verdade que Josi é morena e Jorge é loiro. II. Ou o café não está quente ou o bolo não está delicioso se, e somente se, o café está quente e o bolo está delicioso. Pode-se afirmar que a) ambas as proposições são tautologias. b) ambas as proposições são contradições. c) a proposição I é uma contradição e a II é uma tautologia. d) a proposição I é uma tautologia e a II é uma contradição. e) ambas as proposições não são tautologias. Solução: I. Josi é morena ou não é verdade que Josi é morena e Jorge é loiro. Identificando as proposições simples: p: “Josi é morena.” q: “Jorge é loiro.” Em linguagem simbólica, a proposição dada fica assim: ∨ ~( ∧ ) a) Tabela-Verdade: p V V F F

q ( ∧ ) ~( ∧ ) V V F F F V V F V F F V

∨ ~( ∧ ) V V V V

Outra forma de verificação: b)

∨ ~( ∧ )

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101

Observe que a proposição p está em ambos os lados da disjunção inclusiva, e, à direita do símbolo de disjunção inclusiva (∨) há uma negação. Poderemos valorar a proposição através dos valores lógicos da proposição p, como segue: p ∨ ~( p ∧ q ) V V No esquema acima, verifica-se que, se a proposição p for verdadeira, a disjunção será verdadeira, pois (consulte o quadro-resumo no item 2.2.6.9.) a disjunção inclusiva será verdadeira sempre que pelo menos uma de suas proposições for verdadeira. Por outro lado, se a proposição p for falsa, teremos: p ∨ ~( p ∧ q ) F ~( F ) ~( F ) V V Como se vê, a proposição ∨ ~( ∧ ) sempre terá resultado lógico verdadeiro, logo, trata-se de uma tautologia. II. Ou o café não está quente ou o bolo não está delicioso se, e somente se, o café está quente e o bolo está delicioso. Identificando as proposições simples: p: “O café está quente.” q: “O bolo está delicioso.” Em linguagem simbólica, a proposição dada fica assim: (~ ∨ ~ ) ↔ ( ∧ )

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Tabela-Verdade: p V V F F

q ~p ~q ~ ∨ ~ V F F F F F V V V V F V F V V F

( ∧ ) (~ ∨ ~ V F F F

)↔( ∧ ) F F F V

Pela Tabela-Verdade acima, vê-se que a proposição (~ ∨ ~ ) ↔ ( ∧ ) é uma contingência. Observação: A proposição I é uma tautologia e a proposição II é uma contingência. Assim, verifica-se que esta questão não apresenta alternativa que contemple o resultado encontrado, e, portanto, deveria ter sido anulada. 4.4 Exercícios Propostos 1) ANPAD 2009 – Em um condomínio residencial, havia duas placas. Na primeira, estava escrito que “todo cachorro é amigo do homem”; na segunda, liase que “nem todo cachorro é amigo do homem, cuidado”. Assim, pode-se concluir que a) uma placa repete a informação da outra. b) a informação da primeira placa é uma tautologia. c) a informação da segunda placa é uma contradição. d) a informação da primeira placa poderia ser negada pela segunda se aquela fosse substituída por “existem cachorros que são amigos do homem”. e) a informação da segunda placa poderia ser substituída por “existem cachorros que não são amigos do homem, cuidado”. 2) ANPAD 2009 – Sejam dadas as seguintes proposições I. Todo juro alto é derivado da inflação. II. É completamente justificável, em probabilidade, o fato de uma pessoa escolher o jogo {7, 21, 27, 43, 48, 56} em vez de {1, 2, 3, 4, 5, 6} para o sorteio de uma Mega-Sena, por exemplo. III. A tabela-verdade da implicação (p → q) é a mesma da disjunção p ∨ q. IV. A forma p → p é uma tautologia. Pode-se afirmar que a) somente I e II são falsas. b) somente I e IV são falsas Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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c) somente II e IV são verdadeiras. d) somente II é verdadeira. e) somente IV é verdadeira. 3) ANPAD 2006 – Considera as proposições a seguir: I. Josi é morena ou não é verdade que Josi é morena e Jorge é loiro. II. Ou o café não está quente ou o bolo não está delicioso se, e somente se, o café está quente e o bolo está delicioso. Pode-se afirmar que a) ambas as proposições são tautologias. b) ambas as proposições são contradições. c) a proposição I é uma contradição e a II é uma tautologia. d) a proposição I é uma tautologia e a II é uma contradição. e) ambas as proposições não são tautologias. [Nota: a questão acima não tem, entre suas alternativas, uma que contemple o que pede o enunciado.]

4) ANPAD 2006 – Dada a proposição composta “Não é verdade que se João estiver de férias ele não vai trabalhar, então, ele está de férias e trabalhando”, pode-se afirmar que a) é uma contradição. b) é uma tautologia. c) não é tautologia e nem contradição. d) é equivalente a “se João está de férias então ele não trabalha”. e) é equivalente a “se João está de férias então ele trabalha”. 5) ANPAD 2005 – A proposição composta “Maria vai ao cinema, ou não é verdade que Maria vai ao cinema e João vai ao médico” é a) uma tautologia. b) uma contingência. c) uma contradição. d) um silogismo. e) um paradoxo. 6) ANPAD 2002 – Considere as seguintes sentenças: I. ~(p ∨ q) ↔ ~ p ∧ ~q. II. ~(p ∧ q) ↔ ~ p ∧ ~ q. III. p ∨ (p ∧ q) ↔ p. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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IV. p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r). Dentre as quatro sentenças, as que representam tautologias são a) II, III e IV b) I, III e IV c) apenas I e IV d) apenas I e III e) apenas II e IV Gabarito: 1–E

2–E

3–D

4–B

5–A

6–B

Você encontrou algum erro aqui? Tem alguma dúvida ou sugestão? Por gentileza, envie-nos um e-mail. Nossa proposta é responder em, no máximo, 24 horas! Obrigado! Participe do nosso projeto: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/payit-forward-corrente-do-bem.html

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105

5

Implicação Lógica e Equivalência Lógica “Uma pessoa inteligente aprende com seus erros. Uma pessoa sábia aprende com os erros dos outros." [Augusto Cury]

5.1 Implicação Lógica 5.1.1 Símbolo: ⇒ 5.1.2 Significado:

Haverá implicação lógica entre proposições sempre que não ocorrer VF nesta ordem. Não confundir a relação de implicação lógica (⟹) com operação de condição (→). Abrimos parêntese neste ponto, para explicar a diferença entre operação e relação:  Na matemática ou na lógica, uma operação é um tipo de procedimento realizado sobre certos elementos, seguindo a uma regra específica e produzindo um resultado compatível com essa regra. Em outras palavras: uma operação sempre produzirá um resultado. Exemplo: Sejam os conjuntos A e B não vazios: A = {1, 2, 3} B = { 2, 3, 4, 5} Ao realizarmos a operação de união (∪) entre ambos, chegaremos a um resultado (um terceiro conjunto), que podemos nominar como conjunto C. A∪B=C C = {1, 2, 3, 4, 5}

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 Uma relação estabelece uma correspondência entre os elementos implicados, mas não produz resultado algum. Em outras palavras, uma relação decorre de mera observação entre os elementos implicados. Exemplo: Sejam os conjuntos A e B não vazios: A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Verifica-se que todos os elementos do conjunto A são também elementos do conjunto B. Desse modo, diz-se que o conjunto A está contido (⊂) no conjunto B, ou seja: A⊂B Observe que, acima, se fez apenas uma constatação, e disto não resultou um terceiro conjunto como resultado. Fecha-se aqui o parêntese. Observação: Na operação de condição (→), quando ocorre VF nesta ordem, o resultado lógico será falso (F). Na relação de implicação lógica (⟹), quando ocorre VF nesta ordem, diz-se que não há implicação lógica entre as proposições envolvidas. Por outro lado, quando não ocorrer VF nesta ordem, diz-se que há implicação lógica. Veja que, em se tratando de implicação lógica, nunca se pode dizer que a implicação é verdadeira ou falsa, pois neste caso não há resultado lógico. Exemplos: 1) Verificar se

⟹

→

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Tabela-Verdade: → V V F V

q V F V F

p V V F F

Nas colunas em destaque, na tabela-verdade acima, não ocorreu VF, nesta ordem, em uma mesma linha, portanto, a proposição p implica a proposição q → p. 2) Verificar se

∧

⟹

∨

Solução: Tabela-Verdade: p V V F F

q V F V F

∧ V F F F

∨ V V V F

Nas colunas em destaque da tabela-verdade acima não ocorreu VF, nesta ordem, em qualquer das linhas. Logo, a proposição ∧ implica a proposição ∨ . 3) Verificar se

→

⟹

Solução: Tabela-Verdade: p V V F F

q V F V F

→ V F V V

V V F F

Na tabela-verdade acima verifica-se a ocorrência de VF, nesta ordem, nas linhas 3 e 4. Desse modo, diz-se que a proposição → não implica a proposição , ou, em linguagem simbólica: → ⇏ Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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5.2 Equivalência Lógica 5.2.1 Símbolo: ⇔ 5.2.2 Significado:

Haverá equivalência lógica entre proposições sempre que não ocorrer VF nem FV. Não confundir a relação de equivalência lógica (⟺) com operação de bicondição (↔). Observação: Na operação de bicondição (↔), quando ocorre VF ou FV, o resultado lógico será falso (F). Na relação de equivalência lógica (⟺), quando ocorre VF ou FV, diz-se que não há equivalência lógica entre as proposições envolvidas. Por outro lado, quando não ocorrer VF nem FV, diz-se que há equivalência lógica. Veja que, em se tratando de equivalência lógica, nunca se pode dizer que ela é verdadeira ou falsa, pois neste caso não há resultado lógico. Exemplos: 1) Verificar a equivalência:

→

⇔~ ∨

Solução: Tabela-Verdade: p V V F F

q ~p V F F F V V F V

→

~ ∨

V F V V

V F V V

Nas colunas em destaque da tabela-verdade acima não ocorreu VF, nem FV, logo, ⟶ é equivalente a ~ ∨ . Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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2) ANPAD 2007 – Sejam as proposições p: “O cão é bravo” e q: “O gato é branco”. A linguagem simbólica equivalente à proposição “Não é verdade que o cão é bravo ou o gato não é branco.” é a) ~ ∧ b) ~ ∨ ~ c) ⟶ d) ~ ∨ e) ∨ ~ Solução: Estrutura lógica da proposição: ~( ∨ ~ ) Tabela-Verdade:

V V F F

V F V F

~

~

∨~

F F V V

F V F V

V V F V

a ~( ∨ ~ ) ~ ∧

F F V F

F F V F

b ~ ∨~

c ⟶

d ~ ∨

F V V V

V F V V

V F V V

e ∨~

V V F V

As duas colunas em destaque na tabela-verdade acima identificam a equivalência: ~( ∨ ~ ) ⟺ ~ ∧ Resposta: alternativa A. A questão em tela se resolve mais rapidamente por meio de álgebra proposicional (Lei de De Morgan), que será vista no capítulo seguinte.

5.2.3 Equivalências Notáveis 5.2.3.1

Dupla-negação:

~~ ⟺

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Tabela-Verdade:

V F

~

~~

F V

V F

As colunas em destaque evidenciam a equivalência 5.2.3.2

⟺ ~( ∧ ~ )

→ Tabela-Verdade:

V V F F

V F V F

~

⟶

∧~

~( ∨ ~ )

F V F V

V F V V

F V F F

V F V V

As colunas em destaque evidenciam a equivalência 5.2.3.3

→

⟺~ ∨

Tabela-Verdade:

V V F F

V F V F

~

⟶

~ ∨

F F V V

V F V V

V F V V

As colunas em destaque evidenciam a equivalência 5.2.3.4

Contrapositiva:

→

⟺~ →~

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Tabela-Verdade:

V V F F

V F V F

~

⟶

~ ∨

F F V V

V F V V

V F V V

As colunas em destaque evidenciam a equivalência 5.2.3.5

Negação da condição:

~( → ) ⟺

∧~

Tabela-Verdade:

V V F F

V F V F

~

⟶

~( ⟶ )

∧~

F V F V

V F V V

F V F F

F V F F

As colunas em destaque evidenciam a equivalência 5.2.3.6

⟷

⟺( → )∧( → )

Tabela-Verdade: p V V F F

q V F V F

p⟷q V F F V

p→q V F V V

q→p V V F V

(p → q) ∧ (q → p) V F F V

As colunas em destaque evidenciam a equivalência

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5.2.3.7

Negação da bicondição:

~( ⟷ ) ⟺ ( ∧ ~ ) ∨ (~ ∧ ) Leia o post: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-raciociniologico-1.html Tabela-Verdade: p V V F F

q ~p V F F F V V F V

~q F V F V

p⟷q V F F V

~(p ⟷ q) F V V F

p ∧ ~q F V F F

~p ∧ q F F V F

(p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q) F V V F

As colunas em destaque evidenciam a equivalência 5.2.3.8

Negação da bicondição:

~( ⟷ ) ⟺ ( ∨ ) Tabela-Verdade: p V V F F

Q V F V F

⟷

~( ⟷ )

∨

V F F V

F V V F

F V V F

As colunas em destaque evidenciam a equivalência 5.2.3.9

Negação da disjunção exclusiva:

~( ∨ ) ⟺

⟷

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Tabela-Verdade: p V V F F

q V F V F

∨

~( ∨ )

⟷

F V V F

V F F V

V F F V

5.3 Exercícios Propostos 1) ANPAD 2010 – Seja dada a proposição “Todas as manhãs eu saio para fazer caminhada e, enquanto caminho, faço exercícios”. É INCORRETO afirmar: a) Se não saio, então não faço exercícios. b) Saio todas as manhãs para fazer exercícios. c) Pela manhã, saio para fazer exercícios. d) Pela manhã, saio para fazer caminhada e exercícios. e) Todas as manhãs, se eu caminhar, faço exercícios. 2) ANPAD 2010 – Uma forma de negar a proposição “Se o amor não fosse tão grande e a saudade não fosse infinita, eu não voltaria ou atrasaria minha volta” pode ser escrita como a) O amor é tão grande, a saudade é infinita; eu volto e não atraso minha volta. b) O amor é tão grande, a saudade é infinita; eu não volto e atraso minha volta. c) O amor não é tão grande, a saudade não é infinita; em volto e não atraso minha volta. d) Se o amor é tão grande e a saudade é infinita, então eu volto ou atraso minha volta. e) Se eu não voltar ou atrasar minha volta, então o amor não é tão grande e a saudade não é infinita. 3) ANPAD 2010 – Sejam as proposições: P: Rui é rico. Q: Rui é elegante ou carinhoso. A proposição (p ∧ ~q) → q é equivalente a a) Rui é elegante ou carinhoso se, e somente se, ele é rico. b) Rui é rico se, e somente se, ele não é elegante ou carinhoso. c) Se Rui não é rico e é elegante ou carinhoso, então ele é elegante ou carinhoso. d) Se Rui é rico, então ele é elegante ou carinhoso.

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e) Se Rui não é elegante, não é carinhoso e é rico, então ele não é elegante e não é carinhoso. 4) ANPAD 2010 – Se quem come manga com leite passa mal; logo, quem a) come manga passa mal. b) não come manga com leite não passa mal. c) não passou mal não comeu manga ou não tomou leite. d) passa mal é só quem toma leite ou come manga. e) toma leite passa mal. 5) ANPAD 2010 – A condição para ser estagiário no laboratório LEA é: “Se o candidato se sair bem na entrevista e/ou tiver bom currículo ou falar inglês, então ele será aceito no estágio”. Logo, um acontecimento possível é um candidato a) não ser aceito no estágio, apesar de ir bem na entrevista e de ter bom currículo. b) não ser aceito no estágio, apesar de ir bem na entrevista e de falar inglês. c) não ser aceito no estágio, apesar de ir bem na entrevista, de falar inglês e de ter bom currículo. d) só ser aceito no estágio se for bem na entrevista, falar inglês e tiver bom currículo. e) ser aceito no estágio, apesar de não ir bem na entrevista, não ter bom currículo e não falar inglês. 6) ANPAD 2011 – Quem não corre anda. Logo, a) quem anda corre. b) quem corre anda. c) quem anda não corre. d) quem não anda corre. e) quem não anda não corre. 7) ANPAD 2011 – Se o computador estiver conectado à Internet, então trabalharei menos. Logo, a) trabalharei menos e o computador estará conectado à Internet. b) o computador estará conectado à Internet e eu não trabalharei mais. c) o computador não estará conectado à Internet ou eu trabalharei menos. d) se eu trabalhar menos, então o computador estará conectado à Internet. e) se eu trabalhar menos, então o computador não estará conectado à Internet. 8) ANPAD 2012 (Adaptada) – Se olhar, eu vejo. Logo, a) vi. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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b) olhei. c) se vi, então olhei. d) se não vi, então não olhei. e) se não olhei, então não vi. 9) ANPAD 2007 – Sejam as proposições: p: “O cão é bravo.” e q: “O gato é branco.” A linguagem simbólica equivalente à proposição “Não é verdade que o cão é bravo ou o gato não é branco” é a) ~ ∧ b) ~ ∨ ~ c) ⟶ d) ~ ∨ e) ∨ ~ 10) ANPAD 2007 – Considere a proposição “Não é verdade que, se Maria não é elegante, então ela é inteligente”. Uma proposição logicamente equivalente é a) “Maria é elegante ou é inteligente”. b) “Maria é elegante e não é inteligente”. c) “Maria não é elegante e é inteligente”. d) “Maria não é elegante e nem é inteligente”. e) “Maria não é elegante ou não é inteligente”. 11) ANPAD 2006 – Se P é a proposição “José fez a prova” e Q é a proposição “Pedro estudou”, então a proposição composta “Não é verdade que se José não fez a prova então Pedro estudou” pode ser escrita na linguagem simbólica como a) ~(~ ∧ ) b) ~(~ ∧ ) c) ~( ⟶ ) d) ~ → e) ~ ∧ ~ 12) ANPAD 2006 – Considerando-se a proposição p: “Se Rui é bom poeta, então Jorge é atleta”, é CORRETO afirmar que a) a contrapositiva de p é “Se Rui não é bom poeta, então Jorge não é atleta”. b) a contrapositiva de p é “Se Jorge não é atleta, então Rui não é bom poeta”. c) a contrapositiva de p é “Se Jorge é atleta”, então Rui é bom poeta”. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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d) a recíproca de p é “Se Rui não é bom poeta, então Jorge não é atleta”. e) a recíproca de p é “Se Jorge não é atleta, então Rui não é bom poeta”. 13) ANPAD 2006 – Seja a proposição “Se Davi pratica natação, então Nair joga vôlei”. Uma proposição equivalente pode ser dada por a) “Davi pratica natação e Nair joga vôlei”. b) “Davi não pratica natação ou Nair joga vôlei”. c) “Se Nair joga vôlei, então Davi pratica natação”. d) “Davi não pratica natação e Nair não joga vôlei”. e) “Se Davi não pratica natação, então Nair não joga vôlei”. 14) ANPAD 2006 – Uma proposição equivalente a “Se Tadeu é economista, então Renato não é estudioso” é a) “Se Renato é estudioso, então Tadeu não é economista”. b) “Se Renato é estudioso, então Tadeu é economista”. c) “Se Tadeu não é economista, então Renato é estudioso”. d) “Tadeu é economista ou Renato é estudioso”. e) “Tadeu é economista ou Renato não é estudioso”. 15) ANPAD 2006 – Considere as seguintes proposições: p: “Hoje é quarta-feira”. q: “Celso vai jogar boliche”. A proposição composta ~(~ ∨ ), em linguagem corrente, é expressa pela declaração: a) “Hoje é quarta-feira e Celso não vai jogar boliche”. b) “Hoje é quarta-feira ou Celso não vai jogar boliche”. c) “Hoje não é quarta-feira e Celso vai jogar boliche”. d) “Hoje não é quarta-feira e Celso não vai jogar boliche”. e) “Hoje não é quarta-feira ou Celso não vai jogar boliche”. 16) ANPAD 2004 – Dada a proposição: “Se Carla é solteira, então Maria é estudante”, uma proposição equivalente é a) “Carla é solteira e Maria é estudante”. b) “Se Maria é estudante, então Carla é solteira”. c) “Se Maria não estudante, então Carla não é solteira”. d) “Maria é estudante se, e somente se,Carla é solteira”. e) “Se Carla não é solteira, então Maria não é estudante”.

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17) ANPAD 2003 – Sejam as proposições p: João é inteligente e q: Paulo joga tênis. Então, ~(~ ∨ ), em linguagem corrente, é a) João é inteligente ou Paulo não joga tênis. b) João é inteligente e Paulo não joga tênis. c) João não é inteligente e Paulo não joga tênis. d) João não é inteligente ou Paulo joga tênis. e) João é inteligente ou Paulo joga tênis. 18) ANPAD 2002 – Se Rubens estudar, então passará no concurso. Deste modo, é correto afirmar que a) Se Rubens não passar no concurso, então não terá estudado. b) O estudo de Rubens é condição necessária para que ele passe no concurso. c) Se Rubens não estudar, não passará no concurso. d) Rubens passará no concurso só se estudar. e) Mesmo que Rubens estude, ele não passará no concurso. 19) ANPAD 2002 – A proposição a) ∨ b) ∧ ~ c) ~ ⟶ d) ~ ⟶ e) ~ ∨ ~

⟶ ~ é equivalente a

20) ANPAD 2002 – A proposição p ∧ (~p ∨ q) é equivalente à proposição a) ~ ∨ b) ∧ c) ∨ d) ~ ∧ e) ∧ ~ 21) ANPAD 2002 – Considere as seguintes proposições simples: p: José é estudante. q: Maria é professora. A proposição composta ~(~p ∨ q), em linguagem corrente, é a) “José não é estudante ou Maria é professora.” b) “José é estudante ou Maria não é professora.” c) “José não é estudante ou Maria não é professora.” d) “José é estudante e Maria é professora.” e) “José é estudante e Maria não é professora.” Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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22) ANPAD 2002 – Considere a sentença “Se é feriado, os bancos estão fechados.” A CONTRAPOSITIVA dessa sentença é a) “Se os bancos não estão fechados, não é feriado.” b) “Se os bancos estão fechados, não é feriado.” c) “Se não é feriado, os bancos estão fechados.” d) “Se os bancos estão fechados, é feriado.” e) “Se é feriado, os bancos estão fechados.” 23) ANPAD 2002 – Considere as seguintes proposições simples: p: Pardais adoram frutas. q: Fazendeiros detestam pardais. A proposição composta ~(p ∧ ~q), em linguagem corrente, é a) “É falso que pardais adoram frutas e que fazendeiros detestam pardais” b) “Fazendeiros detestam pardais ou pardais não adoram frutas”. c) “É falso que pardais adoram frutas ou que fazendeiros detestam pardais”. d) “Fazendeiros detestam pardais e pardais adoram frutas”. e) “Fazendeiros detestam pardais ou pardais adoram frutas”. 24) ANPAD 2002 – Considere as seguintes proposições simples: p: Golfinhos comem sardinha. q: Cristina não gosta de golfinhos. A proposição composta ~(p ∧ ~q), em linguagem corrente, é: a) É falso que os golfinhos comem sardinha e que Cristina não gosta de golfinhos. b) Cristina não gosta de golfinhos ou os golfinhos não comem sardinha. c) É falso que os golfinhos comem sardinha ou que Cristina gosta de golfinhos. d) Cristina gosta de golfinhos e os golfinhos comem sardinha. e) Cristina gosta de golfinhos ou os golfinhos comem sardinha. Gabarito: 1–A 2–C 3–D 9 – A 10 – D 11 – E 17 – B 18 – A 19 – E

4–C 12 – B 20 – B

5–E 13 – B 21 – E

6–D 7–C 8–C 14 – A 15 – A 16 – C 22 – A 23 – B 24 – B

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6 Álgebra Proposicional "Quanto mais esperto o homem se julga, mais precisa de proteção divina para defender-se de si mesmo." [Seneca]

Abordaremos aqui as principais propriedades das proposições lógicas. Estas são suficientes para a resolução rápida da maioria das questões de Raciocínio Lógico do Teste ANPAD e dos Concursos Públicos. A memorização dessas propriedades dispensará o leitor de desenvolver as tabelas-verdade correspondentes. 6.1 Propriedade Comutativa 6.1.1 Conjunção

p∧q⇔q∧p Tabela-Verdade: p V V F F

q V F V F

∧ V F F F

∧ V F F F

6.1.2 Disjunção Inclusiva

p∨q⇔q∨p Tabela-Verdade: p V V F F

q V F V F

∨ V V V F

∨ V V V F

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6.1.3 Disjunção Exclusiva

p∨q⇔q∨p

Tabela-Verdade: q p∨q q∨p V F F F V V V V V F F F

p V V F F 6.1.4 Bicondição

p↔q⇔q↔p Tabela-Verdade: p V V F F

q V F V F

↔

↔

V F F V

V F F V

6.1.5 5Observação Importantíssima:

Não se aplica a propriedade comutativa à proposição condicional:

p⟶q⇎q⟶p Tabela-Verdade: p V V F F

q V F V F

⟶ V F V V

⟶ V V F V

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122

Observe que as duas últimas colunas da tabela-verdade acima não são iguais, o que significa dizer que não há equivalência entre as proposições. 6.2 Propriedade Distributiva 6.2.1 Conjunção x Disjunção Inclusiva

p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Tabela-Verdade: p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r q ∨ r p ∧ (q ∨ r) p ∧ q p ∧ r (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) V V V V V V F V V F V V V V F V V V F F F F F F V V F F F F F V F F F F V V F F F F F F F F F F

Observe que as colunas em destaque na tabela-verdade acima são iguais, identificando, assim, a equivalência. 6.2.2 Disjunção Inclusiva x Conjunção

p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) Tabela-Verdade: p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r q ∧ r p ∨ (q ∧ r) p ∨ q p ∨ r (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) V V V V V V F F V V V V V F V V V V F F V V V V V V V V V V F F V F F F V F F V F F F F F F F F

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123

Observe que as colunas em destaque na tabela-verdade acima são iguais, identificando, assim, a equivalência. 6.3 Leis de De Morgan [Nota: Augustus De Morgan (1806–1871) foi professor da Universidade de Londres.]

Só se aplicam as Leis de De Morgan nas negações de:  Conjunção;  Disjunção inclusiva. Exemplos: a) ~(~ ∧ ~ ) ⟺

∨

Tabela-Verdade: p V V F F

q ~p ~q ~ ∧ ~ V F F F F F V F V V F F F V V V

~(~ ∧ ~ ) p ∨ q V V V V V V F F

Observe que as colunas em destaque na tabela-verdade acima são iguais, identificando, assim, a equivalência. b) ~(~ ∨ ) ⟺

∧~

Tabela-Verdade: p V V F F

q ~p ~q ~ ∨ V F F V F F V F V V F V F V V V

~(~ ∨ ) p ∧ ~q F F V V F F F F

Observe que as colunas em destaque na tabela-verdade acima são iguais, identificando, assim, a equivalência. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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c) ~( ∨ ~ ) ⟺ ~ ∧ Tabela-Verdade: p V V F F

q ~p ~q V F F F F V V V F F V V

∨~ V V F V

~( ∨ ~ ) ~p ∧ q F F F F V V F F

Observe que as colunas em destaque na tabela-verdade acima são iguais, identificando, assim, a equivalência. d) ~(~ ∧ ) ⟺

∨~

Tabela-Verdade: p V V F F

q ~p ~q ~ ∧ V F F F F F V F V V F V F V V F

~(~ ∧ ) p ∨ ~q

V V F V

V V F V

Observe que as colunas em destaque na tabela-verdade acima são iguais, identificando, assim, a equivalência. e) ~( ∧ ~ ) ⟺ ~ ∨ Tabela-Verdade: p V V F F

q ~p ~q V F F F F V V V F F V V

∧~ F V F F

~( ∧ ~ ) ~p ∨ q V V F F V V V V

Observe que as colunas em destaque na tabela-verdade acima são iguais, identificando, assim, a equivalência.

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6.4 Negação de outras proposições compostas Lembre-se de que “só se aplicam as Leis de De Morgan nas negações de:  Conjunção;  Disjunção inclusiva.” Como, então, seria possível estabelecer a negação das proposições compostas a seguir? a) ~( → ) ⟺? b) ~( ↔ ) ⟺? c) ~( ∨ ) ⟺? Resposta: por meio de equivalências notáveis! 6.4.1 Negação de proposição condicional

Para a negação de uma condição, lança-se mão da seguinte equivalência notável: →

⟺ ~( ∧ ~ )

Algebricamente, vamos negar ambos os membros da equivalência acima: ~( → ) ⟺ ~~( ∧ ~ ) No segundo membro da equivalência, tem-se uma dupla-negação. Lembre-se de que: ~~ ⟺ Desse modo: ~( → ) ⟺

∧~

Na proposição condicional, a proposição p é denominada proposição antecedente, ou causa, e a proposição q é denominada proposição consequente, ou efeito. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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Assim, uma “leitura” para a negação da proposição condicional seria: Manter a causa e negar o efeito. Tabela-Verdade: p V V F F

q V F V F

~p F F V V

p⟶q V F V V

~(p ⟶ q) F V F F

p ∧ ~q F V F F

Observe, na tabela-verdade acima, que as colunas em destaque confirmam a equivalência lógica: ~( → ) ⟺ ∧ ~ Exemplos: 1) A negação da proposição: “Se chegam visitas, o cachorro late.” é a) “Se não chegam visitas, o cachorro não late.” b) “Não chegam visitas e o cachorro não late.” c) “Chegam visitas e o cachorro não late.” d) “Se o cachorro não late, não chegam visitas.” e) “Se o cachorro late, chegam visitas.” Solução: Sejam as proposições simples: p: “Chegam visitas.” q: “O cachorro late.” Linguagem simbólica da proposição dada:

→

Negação (via equivalência notável): ~( → ) ⟺

∧~

Negação em linguagem corrente: “Chegam visitas e o cachorro não late.”

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Observe que a causa (“Chegam visitas.”) foi mantida; e o efeito (“O cachorro late.”) foi negado. Resposta: alternativa C. 2) ANPAD 2009 – Assinale a alternativa que apresenta a negação da proposição “Se a concentração e a dedicação forem efetivas, então o aprendizado é consequência.” a) A concentração e a dedicação são efetivas, e a aprendizagem é consequência. b) A concentração e a dedicação são efetivas, e a aprendizagem não é consequência. c) A concentração e a dedicação não são efetivas, e a aprendizagem é consequência. d) A concentração e a dedicação são efetivas, ou a aprendizagem não é consequência. e) A concentração e a dedicação não são efetivas, e a aprendizagem não é consequência. Solução: Sejam as proposições simples: p: “A concentração e a dedicação são efetivas.” q: “O aprendizado é consequência.” Linguagem simbólica da proposição dada:

→

Negação (via equivalência notável): ~( → ) ⟺

∧~

Negação em linguagem corrente: “A concentração e a dedicação são efetivas e o aprendizado não é consequência.” Resposta: alternativa B. 3) Assinale a alternativa que apresenta a negação da proposição “Se não houver acordo, os professores entrarão em greve por tempo indeterminado.” a) “Não houve acordo e os professores não entraram em greve por tempo indeterminado.”

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b) “Houve acordo e os professores não entraram em greve por indeterminado.” c) “Se houve acordo, os professores não entraram em greve por indeterminado.” d) Se os professores entraram em greve por tempo indeterminado, não acordo.” e) “Não houve acordo ou os professores não entraram em greve por indeterminado.”

tempo tempo houve tempo

Solução: Sejam as proposições simples: p: “Haverá acordo.” q: “Os professores entrarão em greve por tempo indeterminado.” Linguagem simbólica da proposição dada: ~ → Negação (via equivalência notável): ~(~ → ) ⟺ ~ ∧ ~ Negação em linguagem corrente: “Não houve acordo e os professores não entraram em greve por tempo indeterminado.” Observação: Lembre-se de que, na negação de uma proposição condicional, a causa deve ser mantida, estando ela negada ou não, e o efeito deve ser sempre negado! [Nota: Observe que o tempo verbal da proposição pode variar, uma vez que a lógica formal ocupa-se da estrutura lógica, e não da sintaxe ou da semântica.]

Resposta: alternativa A. 6.4.2 Negação de proposição bicondicional

Para a negação de uma bicondição, lança-se mão da seguinte equivalência notável: ⟷

⟺ [( → ) ∧ ( → )]

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Algebricamente, vamos negar ambos os membros da equivalência acima: ~( ⟷ ) ⟺ ~[( → ) ∧ ( → )] Observe que, no segundo membro da equivalência acima se tem uma negação de conjunção, na qual se pode aplicar Lei de De Morgan: ~( ⟷ ) ⟺ ~( → ) ∨ ~( → ) Agora restaram duas proposições condicionais negadas, nas quais se aplicam a equivalência ~( → ) ⟺ ∧ ~ Resultando... ~( ⟷ ) ⟺ ( ∧ ~ ) ∨ (~ ∧ ) Outra forma de se estabelecer a negação da proposição bicondicional é através da equivalência notável: ~( ⟷ ) ⟺ ( ∨ ) [Nota: Revise o tópico de Equivalências Notáveis.]

Exemplo: FDRH 2009 – Uma forma de negar a proposição: “João vai ao médico se, e somente se está doente.”, é a) “João não vai ao médico se, e somente se não está doente.” b) “Se João não vai ao médico, ele não está doente.” c) “João não vai ao médico e não está doente.” d) “João vai ao médico e não está doente, e João está doente e não vai ao médico.” e) “Ou João vai ao médico, ou João está doente.” Solução: Sejam as proposições simples: p: “João vai ao médico.” q: “João está doente.”

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A linguagem simbólica da proposição dada é:

⟷

Há duas formas de se estabelecer a negação de uma proposição bicondicional: a) ~( ⟷ ) ⟺ ( ∧ ~ ) ∨ (~ ∧ ) b) ~( ⟷ ) ⟺ ( ∨ ) Desse modo, a negação da proposição dada poderia ser apresentada de uma das seguintes formas: a) “Não é verdade que João vai ao médico se, e somente se está doente.” Linguagem simbólica: ~( ⟷ ) b) “João vai ao médico e não está doente ou João está doente e não vai ao médico.” Linguagem simbólica: ( ∧ ~ ) ∨ (~ ∧ ) c) “Ou João está doente, ou João vai ao médico.” Linguagem simbólica: ∨ Resposta: Alternativa E. 6.4.3 Negação da Disjunção Exclusiva:

~( ∨ ) ⟺ ( ⟷ ) Observe o leitor que a disjunção exclusiva é a negação da bicondição e viceversa. 6.5 Exercícios Propostos 1) ANPAD 2010 – Uma forma de negar a proposição “Se o amor não fosse tão grande e a saudade não fosse infinita, eu não voltaria ou atrasaria minha volta” pode ser escrita como a) O amor é tão grande, a saudade é infinita; eu volto e não atraso minha volta. b) O amor é tão grande, a saudade é infinita; eu não volto e atraso minha volta. c) O amor não é tão grande, a saudade não é infinita; em volto e não atraso minha volta. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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d) Se o amor é tão grande e a saudade é infinita, então eu volto ou atraso minha volta. e) Se eu não voltar ou atrasar minha volta, então o amor não é tão grande e a saudade não é infinita. 2) ANPAD 2012 (Adaptada) – Uma possível negação da proposição “Se Rafael foi ao supermercado, então Manoel foi jogar futebol e usava tênis.” é: a) Rafael foi ao supermercado e Manoel foi jogar futebol e usava tênis. b) Rafael foi ao supermercado ou Manoel foi jogar futebol e usava tênis. c) Rafael não foi ao supermercado ou Manoel foi jogar futebol e usava tênis. d) Rafael não foi ao supermercado e Manoel não foi jogar futebol e usava tênis. e) Rafael foi ao supermercado e Manoel não foi jogar futebol ou não usava tênis. 3) ANPAD 2012 – Negar que “Os gatos e os cachorros são animais domésticos.” é dizer que a) existem gatos que não são animais domésticos. b) existem cachorros que não são animais domésticos. c) os gatos e os cachorros não são animais domésticos. d) todos os gatos ou cachorros são animais domésticos. e) há algum gato ou cachorro que não é animal doméstico. 4) ANPAD 2006 – Se P é a proposição “José fez a prova” e Q é a proposição “Pedro estudou”, então a proposição composta “Não é verdade que se José não fez a prova então Pedro estudou” pode ser escrita na linguagem simbólica como a) ~(~ ∧ ) b) ~(~ ∧ ) c) ~( ⟶ ) d) ~ → e) ~ ∧ ~ 5) ANPAD 2006 – A negação da proposição “Se João é jogador de basquete, então ele é bonito”, é: a) “Se João não é jogador de basquete, então ele não é bonito”. b) “Se João não é bonito, então ele não é jogador de basquete”. c) “João não é jogador de basquete ou ele é bonito”. d) “João é jogador de basquete ou ele não é bonito”. e) “João é jogador de basquete e ele não é bonito”. 6) ANPAD 2006 – Sejam as proposições: Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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p: “Bruna foi ao cinema”. q: “Caio foi jogar tênis”. A proposição composta “Caio foi jogar tênis ou Bruna não foi ao cinema” pode ser escrita na linguagem simbólica como a) ~(~ ∧ ~ ) b) ~(~ ∨ ) c) ~( ∨ ~ ) d) ~(~ ∧ ) e) ~( ∧ ~ ) 7) ANPAD 2006 – A negação da proposição “Vera vai ao cinema ou à festa” é a) “Vera vai ao cinema ou não vai à festa”. b) “Vera não vai ao cinema ou não vai à festa”. c) “Vera vai ao cinema e à festa”. d) “Vera não vai ao cinema e vai à festa”. e) “Vera não vai ao cinema e não vai à festa”. 8) ANPAD 2006 – Considere as seguintes proposições: p: “Hoje é quarta-feira”. q: “Celso vai jogar boliche”. A proposição composta ~(~ ∨ ), em linguagem corrente, é expressa pela declaração: a) “Hoje é quarta-feira e Celso não vai jogar boliche”. b) “Hoje é quarta-feira ou Celso não vai jogar boliche”. c) “Hoje não é quarta-feira e Celso vai jogar boliche”. d) “Hoje não é quarta-feira e Celso não vai jogar boliche”. e) “Hoje não é quarta-feira ou Celso não vai jogar boliche”. 9) ANPAD 2005 – A negação de “Carmelinda é magra e loira” pode ser descrita por a) “Carmelinda não é magra e não é loira”. b) “Carmelinda não é magra ou é loira”. c) “Carmelinda é magra e não é loira”. d) “Carmelinda não é magra ou não é loira”. e) “Carmelinda é magra ou não é loira”. 10) ANPAD 2004 – A negação da proposição: “Pedro fala inglês e francês” é a) “Pedro fala inglês ou fala francês”. b) “Pedro não fala inglês e fala francês”. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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c) “Pedro não fala inglês ou fala francês”. d) “Pedro não fala inglês e não fala francês”. e) “Pedro não fala inglês ou não fala francês”. 11) ANPAD 2003 – Considere as seguintes proposições simples p: João vai ao clube. q: Hoje é domingo. A proposição composta ~( ∧ ~ ), em linguagem corrente, é a) João vai ao clube ou hoje é domingo. b) João vai ao clube e hoje é domingo. c) João não vai ao clube e hoje não é domingo. d) João não vai ao clube e hoje é domingo. e) João não vai ao clube ou hoje é domingo. 12) ANPAD 2003 – A NEGAÇÃO da sentença “Ana não voltou e foi ao cinema”. é a) “Ana voltou ou não foi ao cinema”. b) “Ana voltou e não foi ao cinema”. c) “Ana não voltou ou não foi ao cinema”. d) “Ana não voltou e não foi ao cinema”. e) “Ana não voltou e foi ao cinema”. 13) ANPAD 2003 – Sejam as proposições p: João é inteligente e q: Paulo joga tênis. Então, ~(~ ∨ ), em linguagem corrente, é a) João é inteligente ou Paulo não joga tênis. b) João é inteligente e Paulo não joga tênis. c) João não é inteligente e Paulo não joga tênis. d) João não é inteligente ou Paulo joga tênis. e) João é inteligente ou Paulo joga tênis. 14) ANPAD 2002 – Sejam as proposições p: Luísa é bancária. q: Luísa é fumante. Então, a proposição ~(q ∨ ~p), em linguagem corrente é a) “Luísa não é bancária e não é fumante”. b) “Luísa é bancária e não é fumante”. c) “Luísa é fumante, mas não é bancária”. d) “Luísa não é bancária ou é fumante”. e) “Luísa é bancária ou é fumante”. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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15) ANPAD 2002 – Considere as seguintes proposições simples: p: José é estudante. q: Maria é professora. A proposição composta ~(~p ∨ q), em linguagem corrente, é a) “José não é estudante ou Maria é professora.” b) “José é estudante ou Maria não é professora.” c) “José não é estudante ou Maria não é professora.” d) “José é estudante e Maria é professora.” e) “José é estudante e Maria não é professora.” 16) ANPAD 2002 – Considere as seguintes proposições simples: p: Pardais adoram frutas. q: Fazendeiros detestam pardais. A proposição composta ~(p ∧ ~q), em linguagem corrente, é a) “É falso que pardais adoram frutas e que fazendeiros detestam pardais” b) “Fazendeiros detestam pardais ou pardais não adoram frutas”. c) “É falso que pardais adoram frutas ou que fazendeiros detestam pardais”. d) “Fazendeiros detestam pardais e pardais adoram frutas”. e) “Fazendeiros detestam pardais ou pardais adoram frutas”. 17) ANPAD 2002 – Considere as seguintes proposições simples: p: Golfinhos comem sardinha. q: Cristina não gosta de golfinhos. A proposição composta ~(p ∧ ~q), em linguagem corrente, é: a) É falso que os golfinhos comem sardinha e que Cristina não gosta de golfinhos. b) Cristina não gosta de golfinhos ou os golfinhos não comem sardinha. c) É falso que os golfinhos comem sardinha ou que Cristina gosta de golfinhos. d) Cristina gosta de golfinhos e os golfinhos comem sardinha. e) Cristina gosta de golfinhos ou os golfinhos comem sardinha.

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135

Gabarito: 1–C 2–E 3–E 4–E 5–E 6–E 7–E 8–A 9–D 10 – E 11 – E 12 – A 13 – B 14 – B 15 – E 16 – B 17 – B Você encontrou algum erro aqui? Tem alguma dúvida ou sugestão? Por gentileza, envie-nos um e-mail. Nossa proposta é responder em, no máximo, 24 horas! Obrigado! Participe do nosso projeto: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/payit-forward-corrente-do-bem.html

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136

7

Lógica de Argumentação “Tudo aquilo que não enfrentamos em vida acaba se tornando nosso destino.” [Carl Jung]

7.1 Argumento Lógico Dedutivo Um argumento é formado por um uma ou mais proposições, P1, P2, P3, ..., Pn, chamadas de premissas, seguidas de uma proposição Q, chamada de conclusão. Uma forma simbólica de se representar um argumento é a seguinte: P1, P2, P3, ..., Pn ⊢ Q Lê-se: “P1, P2, P3, ..., Pn acarretam Q”, ou “Q se deduz de (ou decorre de, ou se infere de) P1, P2, P3, ..., Pn” Na representação acima, as premissas são apresentadas na forma simbólica, separadas por vírgula. A proposição à direita do símbolo ⊢ (chamado de traço de asserção) é a conclusão do argumento. Outra forma de se representar um argumento: P1: (proposição) P2: (proposição) P3: (proposição) ... Pn: (proposição) Q: (proposição) Descrição: colocam-se as proposições, em linguagem simbólica, uma embaixo da outra. A seguir, passa-se um traço sob a última premissa, e, após o traço, colocase a conclusão, também em linguagem simbólica. Exemplo: ANPAD 2002 (adaptado) – Considere o seguinte argumento: Se 7 é menor que 4, então 7 não é primo. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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Mas 7 não é menor que 4, logo 7 é primo. O primeiro passo para a resolução do argumento é identificar as premissas e a conclusão: I.

“Se 7 é menor que 4, então 7 não é primo.” Premissa 1. Mas “7 não é menor que 4.” Premissa 2. Logo, “7 é primo.” Conclusão.

[Nota: na linguagem corrente, a conclusão do argumento sempre virá após palavras ou expressões tais como “logo”, “portanto”, “desse modo”, “assim sendo”, etc.]

O segundo passo é identificar todas as proposições simples contidas no argumento, representando cada uma delas em linguagem simbólica por letras minúsculas, conforme já visto no Capítulo 1: p: “7 é menor que 4.” q: “7 é primo.” [Nota: procure representar as proposições simples (simbolicamente) sempre na forma afirmativa, ainda que, no argumento dado, elas estejam na forma negativa.]

O terceiro passo é escrever o argumento em linguagem simbólica, usando a segunda forma de representação vista anteriormente: P1: p ⟶ ~q P2: ~p Q: q .

Observação: O argumento acima é um silogismo. Silogismo é todo argumento constituído por duas premissas, seguidas de uma conclusão. [Nota: o procedimento acima sempre deve ser adotado sempre que a questão solicitar a validação do argumento.]

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7.2 Validação de Argumentos Um argumento será válido quando sua conclusão for verdadeira, sempre que todas as suas premissas forem verdadeiras. [Nota: a verdade, tanto das premissas quanto da conclusão, decorrem da estrutura lógica do argumento, e não do julgamento das proposições contidas nele. Em outras palavras: a validação está na estrutura lógica do argumento.]

7.2.1 Método da Tabela-Verdade para validação de argumentos

O método ficará mais bem explicado, se utilizarmos um exemplo: Argumento: Se 7 é menor que 4, então 7 não é primo. Mas 7 não é menor que 4, logo 7 é primo. Proposições em linguagem simbólica: p: “7 é menor que 4.” q: “7 é primo.” Argumento em linguagem simbólica: P1: p ⟶ ~q P2: ~p Q: q .

Para a validação de um argumento por meio de sua tabela-verdade, deve-se proceder do seguinte modo:

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139

7.2.1.1

Construir a tabela-verdade do argumento

1 2 3 4 7.2.1.2

q ~p ~q p → ~q V F F F F F V V V V F V F V V V

Destacar, na tabela-verdade, as colunas em que se encontram as premissas e também a conclusão do argumento:

1 2 3 4 7.2.1.3

p V V F F

p V V F F

Q q V F V F

P2 P1 ~p ~q p → ~q F F F F V V V F V V V V

Selecionar as linhas em que todas as premissas são verdadeiras (V), e descartar as demais:

1 2 3 4

p V V F F

Q q V F V F

P2 P1 ~p ~q p → ~q F F F F V V V F V V V V

Na tabela-verdade acima, as linhas 1 e 2 foram descartadas, pois as premissas não são todas verdadeiras nessas duas linhas. As linhas 3 e 4 apresentam as premissas verdadeiras. Q p q 3 F V 4 F F 7.2.1.4

P2 P1 ~p ~q p → ~q V F V V V V

Para que o argumento seja válido, a conclusão deve ser verdadeira (V) em todas as linhas cujas premissas são verdadeiras.

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Observe, na tabela-verdade acima, que a conclusão é falsa na linha 4. Desse modo, o argumento é dito não válido, ou inválido, ou falácia, ou sofisma. Exercício Resolvido: ANPAD 2002 – Considere os seguintes argumentos: I. Se 7 é menor que 4, então 7 não é primo. Mas 7 não é menor que 4, logo 7 é primo. II. Se Londres está na Dinamarca, então Paris não está na França. Mas Paris está na França, portanto Londres está na Dinamarca. III. Se 5 é um número primo, então 5 não divide 15. Mas 5 divide 15, logo 5 não é um número primo. A validade dos argumentos I, II, III forma, respectivamente, a seguinte sequencia: a) Válido, Válido, Válido b) Não válido, Não válido, Válido c) Válido, Não válido, Válido d) Válido, Válido, Não válido e) Não válido, Não válido, Não válido Solução: O argumento I já foi resolvido. Argumento II: Se Londres está na Dinamarca, então Paris não está na França. Mas Paris está na França, portanto Londres está na Dinamarca. Proposições em linguagem simbólica: p: “Londres está na Dinamarca.” q: “Paris está na França.” Argumento em linguagem simbólica: P1: p ⟶ ~q P2: q Q: p .

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Tabela-verdade:

1 2 3 4

Q P2 P1 p q ~q p → ~q V V F F V F V V F V F V F F V V

Seleção das linhas em que todas as premissas são verdadeiras:

1 2 3 4

Q P2 P1 p q ~q p → ~q V V F F V F V V F V F V F F V V

Q P2 P1 p q ~q p → ~q 3 F V F V Observe, na linha 3 remanescente na tabela-verdade acima, que a conclusão é falsa. Então, o argumento é não válido. Argumento III: Se 5 é um número primo, então 5 não divide 15. Mas 5 divide 15, logo 5 não é um número primo. Proposições em linguagem simbólica: p: “Londres está na Dinamarca.” q: “Paris está na França.”

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Argumento em linguagem simbólica: P1: p ⟶ ~q P2: q Q: ~p .

Tabela-verdade:

1 2 3 4

p V V F F

P2 q V F V F

Q P1 ~p ~q p → ~q F F F F V V V F V V V V

Seleção das linhas em que todas as premissas são verdadeiras:

1 2 3 4

p V V F F

P2 q V F V F

Q P1 ~p ~q p → ~q F F F F V V V F V V V V

P2 Q P1 p q ~p ~q p → ~q 3 F V V F V Observe, na linha 3, que tanto as premissas quanto a conclusão são verdadeiras. O argumento é, portanto, válido. Resposta: Alternativa B. 7.2.2 Método

da

condicional

associada

para

validação

de

argumentos

Este método consiste em se criar uma proposição condicional na qual a proposição antecedente é a conjunção de todas as premissas, e a proposição consequente é a conclusão do argumento.

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Simbolicamente: P1 ∧ P 2∧ P3 ∧ ... ∧ Pn ⟶ Q Se a condicional associada for uma tautologia, o argumento será válido. Exemplo: ANPAD 2002 – Considere os seguintes argumentos: I. Se 7 é menor que 4, então 7 não é primo. Mas 7 não é menor que 4, logo 7 é primo. II. Se Londres está na Dinamarca, então Paris não está na França. Mas Paris está na França, portanto Londres está na Dinamarca. III. Se 5 é um número primo, então 5 não divide 15. Mas 5 divide 15, logo 5 não é um número primo. A validade dos argumentos I, II, III forma, respectivamente, a seguinte sequência: a) Válido, Válido, Válido b) Não válido, Não válido, Válido c) Válido, Não válido, Válido d) Válido, Válido, Não válido e) Não válido, Não válido, Não válido Solução: Argumento I: Se 7 é menor que 4, então 7 não é primo. Mas 7 não é menor que 4, logo 7 é primo. Proposições em linguagem simbólica: p: “7 é menor que 4.” q: “7 é primo.”

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Argumento em linguagem simbólica: P1: p ⟶ ~q P2: ~p Q: q .

Condicional associada: [(p ⟶ ~q) ∧ (~p)] ⟶ q Tabela-Verdade:

1 2 3 4

q ~p ~q p → ~q (p → ~q) ∧ (~p) [(p → ~q) ∧ (~p)] → q V F F F F V F F V V F V V V F V V V F V V V V F

p V V F F

Observe que a condicional associada (vide última coluna da tabela-verdade acima) não é uma tautologia. Portanto, o argumento é não válido. Argumento II: Se Londres está na Dinamarca, então Paris não está na França. Mas Paris está na França, portanto Londres está na Dinamarca. Proposições em linguagem simbólica: p: “Londres está na Dinamarca.” q: “Paris está na França.” Argumento em linguagem simbólica: P1: p ⟶ ~q P2: q Q: p .

Condicional associada: [(p ⟶ ~q) ∧ q] ⟶ p

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Tabela-Verdade: p V V F F

1 2 3 4

q ~p ~q p → ~q (p → ~q) ∧ q [(p → ~q) ∧ q] → p V F F F F V F F V V F V V V F V V F F V V V F V

Observe que a condicional associada (vide última coluna da tabela-verdade acima) não é uma tautologia. Portanto, o argumento é não válido. Argumento III: Se 5 é um número primo, então 5 não divide 15. Mas 5 divide 15, logo 5 não é um número primo. Proposições em linguagem simbólica: p: “Londres está na Dinamarca.” q: “Paris está na França.” Argumento em linguagem simbólica: P1: p ⟶ ~q P2: q Q: ~p .

Condicional associada: [(p ⟶ ~q) ∧ q] ⟶ ~p Tabela-Verdade:

1 2 3 4

p V V F F

q ~p ~q p → ~q (p → ~q) ∧ q [(p → ~q) ∧ q] → ~p V F F F F V F F V V F V V V F V V V F V V V F V

Observe que a condicional associada (vide última coluna da tabela-verdade acima) é uma tautologia. Portanto, o argumento é válido.

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7.2.3 Método das

regras

de

inferência

para validação de

argumentos

As regras a seguir se aplicam apenas em silogismos, cuja premissa 1 é uma proposição condicional, e tanto a premissa 2 quanto a conclusão são proposições simples. 7.2.3.1

Regra Modus Ponens:

[Nota: Em grego, Modus Ponens significa modo afirmativo.]

P1: p ⟶ q P2: p Q: q .

Condicional associada: [(p ⟶ q) ∧ p] → q Tabela-verdade:

1 2 3 4

p V V F F

q p → q (p → q) ∧ p [(p → q) ∧ p] → q V V V V F F F V V V F V F V F V

A última coluna da tabela-verdade acima (condicional associada ao argumento) é uma tautologia. Portanto, o argumento é válido. 7.2.3.2 Regra Modus Tollens: [Nota: Em grego, Modus Tollens significa modo negativo.]

P1: p ⟶ q P2: ~q Q: ~p .

Condicional associada: [(p ⟶ q) ∧ (~q)] → ~p

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Tabela-verdade:

1 2 3 4

p V V F F

q ~p ~q p → q (p → q) ∧ ~q [(p → q) ∧ ~q] → ~p V F F V F V F F V F F V V V F V F V F V V V V V

A última coluna da tabela-verdade acima (condicional associada ao argumento) é uma tautologia. Portanto, o argumento é válido. Observações: (1) As regras Modus Ponens e Modus Tollens só se aplicam a silogismos cuja premissa 1 seja uma proposição condicional, e, tanto a premissa 2 quanto a conclusão sejam proposições simples. (2) Não é necessário desenvolver a tabela-verdade para as regras Modus Ponens e Modus Tollens, como foi feito acima. Basta que o leitor observe atentamente a estrutura lógica de cada uma delas, aplicando-as ao argumento em análise. (3) Há outras regras de inferência, que não serão abordadas neste livro. (4) Você sabia que, através do quadro resumo visto no item 2.2.6.8. (reproduzido abaixo), é possível validar um argumento sem escrever sua tabela-verdade inteira, em menos de um minuto? Proposição: É verdadeira quando:

p∧q AMBAS as proposições simples são verdadeiras

p∨q PELO MENOS UMA das proposições simples é verdadeira

p∨q APENAS UMA das proposições simples é verdadeira

p⟶q NÃO OCORRER VF, nesta ordem, entre as proposições simples

p⟷q NÃO OCORRER VF, NEM FV, entre as proposições simples

A técnica ensejada acima só pode ser explicada em aula presencial. 7.3 Silogismo Hipotético O silogismo hipotético é constituído de duas premissas com proposições condicionais, seguidas de uma conclusão também dada sob a forma de proposição condicional. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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Em linguagem simbólica, temos: P1: p → q P2: q → r Q: p → r Observe que o consequente da primeira premissa é igual ao antecedente da segunda premissa. A conclusão é formada pelo antecedente da primeira premissa com o consequente da segunda premissa. Exemplo: ANPAD 2002 – Se Felipe toca violão, ele canta. Se Felipe toca piano, então ele não canta. Logo a) Se Felipe não toca violão, então ele não toca piano. b) Se Felipe toca violão, então ele não toca piano. c) Se Felipe toca violão, então ele não canta. d) Se Felipe canta, então ele não toca violão. e) Se Felipe toca piano, então ele canta. Solução: Linguagem simbólica: p: “Felipe toca violão.” q: “Felipe canta.” r: “Felipe toca piano.” Argumento em linguagem simbólica: P1: p → q P2: r → ~q Q: ? Para que a proposição consequente na Premissa 1 fique igual à proposição antecedente na Premissa 2 basta substituir, na premissa 2, a condição pela sua contrapositiva:

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P1: p → q P2: q → ~r Q: p → ~r Conclusão, em linguagem corrente: “Se Felipe toca violão, então ele não toca piano”. Resposta: Alternativa B. 7.4 Exercícios Propostos 1) ANPAD 2009 – Dado o texto “Neste mundo capitalista, a política define o que se pode ganhar, porque ela, além de elaborar as regras, também as aplica.”, podese afirmar que a) a proposição “no mundo capitalista, a política define o que se pode ganhar” é a conclusão do argumento sugerido. b) a proposição “no mundo capitalista, a política define o que se pode ganhar” é a premissa do argumento sugerido. c) não há conclusão no argumento estabelecido no texto. d) não há premissa no argumento delineado no texto. e) o texto não consiste em um argumento. 2) ANPAD 2009 – Considera as seguintes proposições verdadeiras. I. Célia não é escritora ou Paulo é atleta. II. Sara é míope ou Paulo não é atleta. III. Paulo não é atleta ou Sara não é míope. IV. Se Sara não é míope, então Célia é escritora. Então, pode-se concluir que a) Célia é escritora, Paulo não é atleta e Sara é míope. b) Célia é escritora, Paulo não é atleta e Sara não é míope. c) Célia não é escritora, Paulo é atleta e Sara é míope. d) Célia não é escritora, Paulo não é atleta e Sara é míope. e) Célia não é escritora, Paulo não é atleta e Sara não é míope. 3) ANPAD 2009 – Se Pedro está na empresa, Mário e Cíntia estão de folga do trabalho na empresa. Se Cíntia está de folga do trabalho na empresa, Bruno não vai à escolinha. Se Bruno não vai à escolinha, Pietra também não vai. Ora, Bruno foi à escolinha. Logo, pode-se concluir que Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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a) Cíntia não está de folga do trabalho na empresa. b) Mário não está de folga do trabalho na empresa. c) Cíntia não está de folga do trabalho na empresa e Pietra foi à escolinha. d) Pedro e Cíntia estão na empresa. e) Pedro não está na empresa e Mário está na empresa. 4) ANPAD 2009 – Quatro irmãos decidiram que não passarão juntos um determinado feriadão, cada um indo para uma cidade diferente: ou Paulo irá para Curitiba, ou Pedro irá para Belém, ou Pierre irá para Campo Grande; se Polércio for para Fortaleza, então Pierre irá para Campo Grande; se Pedro for para Belém, então Polércio irá para Fortaleza. Ora, Pierre não irá para Campo Grande. Logo, a) Paulo irá para Curitiba ou Pedro não irá para Belém. b) Paulo não irá para Curitiba e Polércio não irá para Fortaleza. c) Pedro irá para Belém ou Polércio irá para Fortaleza. d) Pedro não irá para Belém e Polércio irá para Fortaleza. e) Pedro não irá para Belém e Paulo não irá para Curitiba. 5) ANPAD 2009 – Dadas as proposições sobre a empresa X: p: Se as vendas diminuem, então a empresa vai à falência. q: Se o custo de produção sobe, então os preços sobem. r: Se os preços sobem, então as vendas diminuem. Sabe-se que a empresa X não foi à falência, então a) as vendas não aumentaram b) as vendas diminuíram c) o custo de produção não subiu d) os preços diminuíram e) os preços subiram 6) ANPAD 2009 – Considere as seguintes proposições como premissas: I. Alberto não vai ao shopping ou Beatriz vai à praia. II. Se Alberto não vai ao shopping, então Beatriz e Carlos irão acampar. III. Beatriz e Carlos irão acampar se, e somente se, existirem condições climáticas favoráveis para a prática de tal atividade. Como Beatriz não foi à praia, a conclusão para que esse argumento seja inválido é a) “Alberto não foi ao shopping e Beatriz e Carlos foram acampar.” b) “Alberto não foi ao shopping e existem condições climáticas favoráveis à prática do camping.”

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c) “Alberto não foi ao shopping ou Beatriz e Carlos foram acampar com condições climáticas favoráveis à prática do camping.” d) “Se Beatriz e Carlos foram acampar com condições climáticas favoráveis à prática de tal esporte, então Alberto foi ao shopping.” e) “Se existem condições climáticas favoráveis à prática do camping, então Alberto não foi ao shopping.” 7) ANPAD 2010 – Uma notícia foi assim divulgada: “Se a inflação subir dois pontos percentuais, o salário será reajustado em um ponto percentual.” Acontece que o reajuste salarial foi de três pontos percentuais. Logo, a) a inflação subiu dois pontos percentuais. b) a inflação subiu seis pontos percentuais. c) a regra estabelecida na notícia não foi violada. d) a regra estabelecida na notícia foi violada. e) a regra garante o reajuste dos três pontos anunciados. 8) ANPAD 2010 – Se eu corro, eu me condiciono fisicamente. Se eu me condiciono fisicamente, eu fico resistente a resfriados. Agora eu não estou condicionado fisicamente; logo, a) eu não fico resistente a resfriados. b) eu corro e fico resistente a resfriados. c) eu corro e não fico resistente a resfriados. d) eu não corro e não fico resistente a resfriados. e) eu não corro ou não fico resistente a resfriados. 9) ANPAD 2010 – Seja dado o seguinte argumento: “Se ele tem muitos amigos, ele os respeita como indivíduos. Se os respeita como indivíduos, então ele não pode esperar que todos eles se comportem da mesma maneira. Ele tem muitos amigos. Portanto, não espera que todos eles se comportem da mesma maneira.” Considerem-se as letras sentenciais: A: Ele tem muitos amigos; R: Ele respeita seus amigos como indivíduos e E: Ele espera que todos os amigos se comportem da mesma maneira. Então, qual das seguintes alternativas representa uma formalização horizontal desse argumento? a) → , → ~ , ⊢~ . b) → , ~ → , ⊢~ . c) → , → ~ , ⊢~ d) → , → ~ , ⊢ . Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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e) ~ ,

→~ ,

⊢ .

10) ANPAD 2010 – Sejam dadas as sentenças: “P: Marcus se saiu bem na prova de estatística” e “Q: Sabrina se saiu bem na prova de matemática e de estatística”. Sabendo-se, além disso, que Marcus e Sabrina se saíram bem na prova de estatística, pode-se concluir que a) P → Q é verdade. b) Q → P é verdade. c) P → Q é falso. d) Q → P é falso. e) Q ∧ P é verdade. 11) ANPAD 2010 – Se tudo que é amor é proibido e toda proibição é cobiçada, então a) tudo que é cobiçado é amor. b) tudo que é proibido é amor. c) tudo que não é cobiçado é proibido. d) tudo que é amor é cobiçado. e) tudo que não é amor não é cobiçado. 12) ANPAD 2010 – Você sabe que “Se chover, então Roger não sairá de casa”. Como Roger saiu de casa, você conclui que não choveu. Esse processo de inferência a) é apenas indutivo . b) é apenas dedutivo. c) é indutivo e dedutivo. d) é predicativo. e) é tanto indutivo como predicativo. 13) ANPAD 2010 – Se Elias for ao cinema, então Graça é dentista. Felipe é cozinheiro, ou Diana é professora, ou graça é dentista. Se Diana é professora, então Elias irá ao cinema. Ora, Graça não é dentista. Então, conclui-se que a) Diana é professora e Graça não é dentista. b) Diana é professora ou Elias irá ao cinema. c) Diana não é professora e Elias irá ao cinema. d) Felipe é cozinheiro e Diana não é professora. e) Felipe não é cozinheiro e Elias não irá ao cinema.

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14) ANPAD 2010 – Se Alberto está na portaria, ele, sempre que Maria chega atrasada à empresa, anota em um caderno o tempo de atraso dessa funcionária. Hoje, Maria foi trabalhar e Alberto não anotou no caderno o tempo de atraso dela. Logo, pode-se concluir, com certeza, que hoje a) Maria chegou atrasada. b) Maria não chegou atrasada. c) Maria chegou atrasada, mas Alberto não estava na portaria. d) Maria não chegou atrasada e Alberto estava na portaria. e) Maria não chegou atrasada ou Alberto não estava na portaria. 15) ANPAD 2010 – Se quem come manga com leite passa mal; logo, quem a) come manga passa mal. b) não come manga com leite não passa mal. c) não passou mal não comeu manga ou não tomou leite. d) passa mal é só quem toma leite ou come manga. e) toma leite passa mal. 16) ANPAD 2010 – Observe as sentenças: “Se eu estudar, passarei no concurso” e “Eu passarei no concurso ou não estudarei”. Logo, a) não se pode concluir a segunda sentença com base na primeira. b) não se pode concluir a primeira sentença com base na segunda. c) pode-se afirmar que as duas sentenças não são proposições lógicas. d) pode-se afirmar que as duas sentenças são proposições lógicas equivalentes. e) pode-se concluir que, se eu passei no concurso, então eu estudei. 17) ANPAD 2010 – Considere as formas de argumento expostas a seguir. I. → , ∨ ~ , → ~~ ⊢ ∨ II. ~ ∧ Q, ~ ↔ , ⊢~ III. ~ ∨ ~Q, ∨ ~ , ⊢~ Pode-se concluir que a(s) forma(s) de argumento válida(s) é(são) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) I, II e III. 18) ANPAD 2010 – Sejam as proposições P: “sair de casa”; R: “não está chovendo” e T: “correr à beira-mar”. Uma forma de escrever o argumento P → R, ~(~T ∧ R), P ⊢ T Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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a) “Se eu saio de casa, então não está chovendo. Não é verdade que eu não corro à beira-mar e está chovendo. Eu saio de casa. Portanto, corro à beira-mar.” b) “Se eu saio de casa, então está chovendo. Não é verdade que eu não corro à beira-mar e está chovendo. Eu saio de casa. Portanto, corro à beira-mar.” c) “Se eu saio de cãs, então não está chovendo. Não é verdade que eu corro à beira-mar e está chovendo. Eu saio de casa. Portanto, corro à beira-mar.” d) “Se eu saio de cãs, então não está chovendo. Não é verdade que eu não corro à beira-mar e não está chovendo. Eu saio de cãs. Portanto, corro à beira-mar.” e) “Se eu saio de casa, então não está chovendo. Eu corro à beira-mar e não está chovendo. Eu saio de cãs. Portanto, corro à beira-mar.” 19) ANPAD 2010 – Considere as proposições a seguir. p: “Se Luisa é solteira e não é advogada, então Luisa é nadadora.” q: “Luisa não é nadadora.” Pode-se concluir que Luisa é a) solteira e advogada. b) solteira e não advogada. c) não solteira e advogada. d) não solteira ou advogada. e) não solteira e advogada. 20) ANPAD 2010 – Considere as proposições a seguir. I. “Pessoas idosas são egoístas.” II. “Pessoas egoístas são rejeitadas.” III. “Quem sabe escalar prédio não é rejeitado.” Assim, NÃO se pode concluir que pessoas a) egoístas não sabem escalar prédio. b) idosas não sabem escalar prédio. c) idosas são rejeitadas. d) rejeitadas não sabem escalar prédio. e) rejeitadas são egoístas. 21) ANPAD 2010 – Dada a sequência de implicações P → Q, Q → R, R → T, T → Se a) ~R, posso concluir ~T. b) ~S, posso concluir P. c) ~S, posso concluir ~P. d) Q, posso concluir P. e) T, posso concluir P. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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22) ANPAD 2011 – Uma universidade pode optar entre uma das duas formas a seguir para realizar o processo de seleção de alunos para os seus cursos de graduação: um novo processo seletivo ou o vestibular tradicional. Se optar por um novo processo seletivo, então a universidade optará pelo ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio) e pela aplicação de uma nova prova de vestibular. Se adotar o ENEM, então ela utilizará a nota média das edições do ENEM de que cada candidato participou. Se adotar uma nova prova de vestibular, a prova será específica para a área de cada curso (saúde, exatas, humanas, etc.). Sabe-se que a universidade não adotará a nota média das edições do ENEM de que cada candidato participou. Logo, a universidade a) adotará o vestibular tradicional e o ENEM. b) adotará o vestibular tradicional ou aplicará uma nova prova de vestibular. c) adotará um novo processo seletivo e aplicará uma nova prova de vestibular. d) adotará um novo processo seletivo, mas não aplicará uma nova prova de vestibular. e) aplicará uma nova prova de vestibular, mas não adotará a nota média das edições do ENEM. 23) ANPAD 2011 – Definindo as letras sentenciais A, B e C como: A: O carro é veloz. B: A rua está livre. C: Eu chegarei a tempo. As premissas (A ∨ B) → C e ~C nos possibilitam concluir que a) o carro é veloz e não chegarei a tempo. b) a rua não está livre e o carro não é veloz. c) não é verdade que a rua não está livre ou que o carro é veloz. d) não é verdade que a rua não está livre e que o carro não é veloz. e) não é verdade que o carro é veloz ou que não chegarei a tempo. 24) ANPAD 2011 – Se ela sai, então ele não volta. Se ela não sai, então eu não vou. Agora, eu vou; logo, a) ela sai e ele volta. b) ele volta e ela não sai. c) ele não volta e ela sai. d) ela não sai e ele não volta. e) ela não sai ou ele volta.

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25) ANPAD 2011 – Se Belarmino é mais alto do que Amélia, então Amélia e Antônia têm a mesma altura. Se Amélia e Antônia têm a mesma altura, então Cássia é mais baixa do que Paulo. Se Cássia é mais baixa do que Paulo, então Emerson é mais alto do que Cássia. Ora, Emerson não é mais alto do que Cássia. Logo, a) Cássia é mais baixa do que Paulo e Amélia e Antônia têm a mesma altura. b) Amélia e Antônia têm a mesma altura, e Belarmino é mais alto do que Amélia. c) Cássia não é mais baixa do que Paulo, e Amélia e Antônia têm a mesma altura. d) Amélia e Antônia não têm a mesma altura, e Belarmino é mais alto do que Amélia. e) Cássia não é mais baixa do que Paulo, e Belarmino não é mais alto do que Amélia. 26) ANPAD 2011 – Se Ivan não é italiano, então Amélia é alemã, e Magda é inglesa. Se Ivan é italiano, então Bernardo é brasileiro ou Gregório é grego. Se Gregório é grego, France é francesa. Mas France é francesa se, e somente se, não for verdade que Elena não é espanhola. Porém, Elena não é espanhola. Logo, a) Ivan é italiano. b) Amélia não é alemã. c) Bernardo é brasileiro. d) Magda não é inglesa. e) Gregório não é grego. 27) ANPAD 2011 – Se José viaja, então seu filho Pedro joga bola conosco. Se a mãe de Pedro viaja, então Pedro não joga bola conosco. Assim, pode-se afirmar: a) Pedro só joga bola conosco se seu pai viajar. b) Se Pedro está jogando bola conosco, então seu pai viajou. c) Se Pedro está jogando bola conosco,então sua mãe não viajou. d) É certo que o pai está em casa, já que Pedro está jogando bola conosco. e) É certo que a mãe está em casa, já que Pedro está jogando bola conosco. 28) ANPAD 2011 – Se estou com fome, então não aprendo a matéria. Se presto a atenção desejada, então aprendo a matéria. Assim, a) se presto a atenção desejada, então estou com fome. b) se não estou com fome, então presto a atenção desejada. c) se presto a atenção desejada, então não estou com fome. d) se aprendo a matéria, então eu presto a atenção desejada. e) se não estou com fome, então não presto a atenção desejada.

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29) ANPAD 2011 – Quando se fala de proposições, fala-se de verdade e falsidade; quando se fala de argumento, fala-se em validade e invalidade. Sejam dados os argumentos a seguir: I. Se Pedro for ao cinema, tomará sorvete. Sabe-se que ele foi ao cinema. Portanto, ele tomará sorvete. II. Se Pedro for ao cinema, tomará sorvete. Sabe-se que ele não foi ao cinema. Portanto, ele não tomará sorvete. III. Se Pedro for ao cinema, tomará sorvete. Sabe-se que ele não tomou sorvete. Portanto, ele não foi ao cinema. Os argumentos I, II e III são, respectivamente, a) válido, válido e válido. b) válido, inválido e válido. c) válido, válido e inválido. d) inválido, inválido e válido. e) inválido, válido e inválido. 30) ANPAD 2011 – Em uma conversa com o professor, Pedro anotou as seguintes proposições: I. Se eu estudar, então irei bem na prova ou aprenderei a matéria. II. Se eu for bem na prova, então passarei de ano. III. Se eu aprender a matéria, então passarei de ano. Nesses termos, assinale a alternativa que apresenta uma conclusão possível. a) Se Pedro estudar, então passará de ano. b) Estudar é condição necessária para passar de ano. c) Pedro aprenderá a matéria mesmo não estudando. d) Se Pedro estudar, ainda assim não passará de ano. e) Pedro ir bem na prova implica ele ter aprendido a matéria. 31) ANPAD 2011 – Se Mônica tem uma função gratificada no trabalho, então ela tem uma boa casa. Se ela gasta tudo em salões de beleza, então ela não tem uma boa casa. Foi descoberto que Mônica não tem uma boa casa; logo, Mônica a) Gasta tudo em salões de beleza. b) Não gasta tudo em salões de beleza. c) Tem uma função gratificada no trabalho. d) Não tem uma função gratificada no trabalho. e) Tem uma função gratificado no trabalho e gasta tudo em salões de beleza. 32) ANPAD 2012 (Adaptada) – Se olhar, eu vejo. Logo, a) vi. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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b) olhei. c) se vi, então olhei. d) se não vi, então não olhei. e) se não olhei, então não vi. 33) ANPAD 2012 (Adaptada) – Se Sílvio tem dinheiro suficiente, então ele comprará o carro que quer. Se Sílvio ganhar na loteria, então ele terá dinheiro suficiente. Baseando-se, unicamente, nessas duas informações, é certo que: a) Sílvio não ganhou na loteria. b) Sílvio ganhou na loteria, mas não comprou a blusa que queria. c) Se Sílvio não comprou o carro queria, então ele não ganhou na loteria. d) Se Sílvio comprou o carro que queria, então ganhou na loteria. e) Se Sílvio não ganhou na loteria, então ele comprou o carro que queria. 34) ANPAD 2012 (Adaptada) – Considere a seguinte afirmação: “Se João é o culpado, então ele está com a mala do dinheiro. Se João trabalha na empresa, ele é suspeito de desfalque. Mas João não tem a mala do dinheiro e tampouco é suspeito pelo crime.” Logo, a) João é culpado e trabalha na empresa. b) João é culpado ou trabalha na empresa. c) João não é culpado e trabalha na empresa. d) João é culpado e não trabalha na empresa. e) João não é culpado e não trabalha na empresa. 35) ANPAD 2012 (Adaptada) – Sabe-se que, se Cláudio fizer o curso, então não fará a viagem ao exterior. Contudo, ou Cláudio fará a viagem ao exterior, ou não comprará uma casa e tampouco tirará férias. Como Cláudio tirou férias, tem-se: a) Cláudio fez a viagem ao exterior e fez o curso. b) Cláudio não fez a viagem ao exterior e fez o curso. c) Cláudio fez a viagem ao exterior e não fez o curso. d) Cláudio não fez a viagem ao exterior e não fez o curso. e) Se Cláudio não fez o curso, então não fez a viagem ao exterior. 36) ANPAD 2012 (Adaptada) – Considere as seguintes premissas de um argumento: “Se papai noel existe ou os golfinhos são minerais, então o cachorro é vegetal. Se o cachorro é vegetal, então jiló é bom no lanche. Mas jiló não é bom no lanche”. Para que o argumento seja válido, pode-se concluir que a) os golfinhos são ave e papai noel não existe. b) golfinhos são minerais e papai noel não existe. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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c) o cachorro não é vegetal e papai noel existe. d) os golfinhos não são minerais e papai noel não existe. e) o cachorro é vegetal e golfinhos não são minerais. 37) ANPAD 2012 (Adaptada) – Se o cão está no canil, então ele tem coleira. Se o cão tem coleira, então é domesticado. Porém, o cão não é domesticado; logo, a) o cão está no canil e tem coleira. b) o cão está no canil ou tem coleira. c) o cão está no canil e não tem coleira. d) o cão não está no canil e tem coleira. e) o cão não está no canil e não tem coleira. 38) ANPAD 2012 (Adaptada) – Se há fumaça, há fogo. Se há brasa, há fogo. Logo, a) não há fumaça e nem brasa. b) não há fumaça e nem fogo. c) se há fogo, então há fumaça e brasa. d) se não há fogo, então não há fumaça e nem brasa. e) se não há fumaça, então não há fogo e nem brasa. 39) ANPAD 2011 – Se o computador estiver conectado à Internet, então trabalharei menos. Logo, a) trabalharei menos e o computador estará conectado à Internet. b) o computador estará conectado à Internet e eu não trabalharei mais. c) o computador não estará conectado à Internet ou eu trabalharei menos. d) se eu trabalhar menos, então o computador estará conectado à Internet. e) se eu trabalhar menos, então o computador não estará conectado à Internet. 40) ANPAD 2006 – Cinco amigos, André, Celso, Daniel, Hugo e Mário, prestam exame de seleção para a Aeronáutica. Sabe-se que, se André estudou, Celso foi aprovado; se Daniel foi aprovado, André estudou; se Hugo não estudou, Mário também não o fez; se Hugo estudou, Daniel foi aprovado. Como Mário estudou, a) Daniel não foi aprovado. b) Hugo não foi aprovado. c) Mário foi aprovado. d) André foi aprovado. e) Celso foi aprovado. 41) ANPAD 2006 – Considere os seguintes argumentos: Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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I.

Se o leão é manso, então o coelho não é branco. Como o coelho é branco, o leão não é manso. II. O anel é de aço ou a bolinha é de ferro. O anel não é de aço – logo, a bolinha não é de ferro. III. Se Denise canta, então Flávio chora. Ora, Denise não canta, logo, Flávio não chora. A atribuição de validade aos argumentos I, II e III forma, respectivamente, a seguinte sequencia: a) válido, não válido, não válido. b) não válido, não válido, não válido. c) válido, válido, não válido. d) não válido, não válido, válido. e) válido, não válido, válido. 42) ANPAD 2005 – João falou para seus alunos na aula de lógica formal: “Se o princípio da lógica for entendido, então a aula é proveitosa, todavia, a aula será proveitosa somente se vocês prestarem atenção”. Advertiu ainda sobre o fato de que a aula poderia ser proveitosa, mesmo que o princípio da lógica não fosse compreendido. Sabe-se que os alunos não prestaram atenção à aula. Logo, pode-se concluir que a) a aula foi proveitosa e o princípio da lógica foi entendido. b) a aula foi proveitosa ou o princípio da lógica foi entendido. c) a aula não foi proveitosa ou os alunos entenderam o princípio da lógica. d) a aula foi proveitosa e o princípio da lógica não foi entendido. e) a aula não foi proveitosa e os alunos não entenderam o princípio da lógica. 43) ANPAD 2005 – Considere as seguintes proposições.  “Quem sabe pintar não é insensível”.  “Mutantes não sabem escrever”.  “Quem não sabe escrever é insensível”. Uma conclusão possível pode ser escrita como a) “Os seres insensíveis não sabem escrever”. b) “Mutantes não sabem pintar”. c) “Seres que não sabem pintar são insensíveis”. d) “Seres que sabem escrever não são insensíveis”. e) “Seres que não sabem escrever são mutantes”. 44) ANPAD 2005 – Considere as seguintes proposições condicionais:  Se Jorge é maior do que Jardel, então Tiago e Caio têm o mesmo tamanho. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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 Se Tiago e Caio têm o mesmo tamanho, então Pedro é maior do que Jardel.  Se Pedro é maior do que Jardel, então Jorge é maior do que Tiago. Sabendo-se que Jorge não é maior do que Tiago, qual das seguintes alternativas apresenta uma proposição verdadeira de acordo com as apresentadas acima? a) Jorge não é maior do que Tiago e Pedro é menor do que Jardel. b) Jorge é maior do que Jardel e Tiago e Caio têm o mesmo tamanho. c) Jorge não é maior do que Jardel e Tiago e Caio não têm o mesmo tamanho. d) Jorge é maior do que Jardel e Pedro é menor do que Jardel. e) Jorge e Pedro são menores do que Jardel. 45) ANPAD 2005 – Se a laranja está azeda, então a manga não está doce. Ou a manga está doce ou André não gosta de manga. Ora, André gosta de manga. Logo, a) a laranja está azeda e a manga está doce. b) a laranja está azeda e a manga não está doce. c) a laranja não está azeda e a manga está doce. d) a laranja não está azeda e a manga não está doce. e) se a laranja não está azeda, então a manga não está doce. 46) ANPAD 2005 – O muro de uma escola foi pichado. Carlos, Giovanni e Mário são suspeitos. Sabe-se que o fato foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que (i) se Carlos é inocente, Giovanni é culpado; (ii) ou Mário é culpado ou Giovanni é culpado, mas não os dois; e (iii) Mário não é inocente. Logo, a) Giovanni e Mário são os culpados. b) somente Carlos é inocente. c) somente Giovanni é culpado. d) somente Mário é culpado. e) Carlos e Mário são os culpados. 47) ANPAD 2005 – Se eu não saio de carro, o tempo fica ensolarado. Se eu saio de carro, Jonas, o gato, não sai de casa. Entretanto, Jonas saiu de casa. Logo, a) eu saí de carro e o tempo ficou ensolarado. b) eu saí de carro e o tempo não ficou ensolarado. c) eu não saí de carro e o tempo ficou ensolarado. d) eu não saí de carro e o tempo não ficou ensolarado. e) se Jonas saiu de casa, o tempo não ficou ensolarado. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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48) ANPAD 2005 – Sejam dados os enunciados: I. Como aumentar as vendas? O poder aquisitivo dos brasileiros está diminuindo a cada ano. II. João trabalha na empresa Y; portanto, ele e suas família têm planos de saúde. III. Na cidade de São Pedro, a maioria das pessoas não sabe em quem votar. IV. Os que criticam o aborto são hipócritas. Protestam contra quem faz o aborto, mas nada veem de errado no fato de crianças morrerem de fome. V. Você entende de administração? VI. Não quero ir para casa pois o jogo ainda não acabou, e eu só saio do estádio quando ele acaba. Diante disso, pode-se afirmar que a) II, IV e VI são argumentos. b) I, II e VI são argumentos c) II, III e VI são argumentos d) II, IV e V são argumentos e) IV, V e VI são argumentos 49) ANPAD 2005 – Dadas as premissas P1 e P2, e a conclusão Q, então o argumento válido é a) P1: “Se Matias estiver disposto, então ele ganhará o jogo”. P2: “Matias não estava disposto”. Q: “Matias não ganhou o jogo”. b) P1: “Se Matias estiver disposto, então ele ganhará o jogo”. P2: “Matias ganhou o jogo”. Q: “Matias estava disposto”. c) P1: “Se Matias estiver disposto, então ele ganhará o jogo”. P2: “Matias perdeu o jogo”. Q: “Matias não estava disposto”. d) P1: “Se Matias estiver disposto, então ele ganhará o jogo”. P2: “Matias perdeu o jogo”. Q: “Matias estava disposto”. e) P1: “Se Matias estiver disposto, então ele ganhará o jogo”. P2: “Matias estava disposto”. Q: “Matias não ganhou o jogo”. 50) ANPAD 2004 – André mandou aprontar o seu carro para participar de uma corrida, mas não sabe se o mesmo ficará pronto. Seus amigos Júlio, Sérgio e Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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Vítor têm opiniões diferentes sobre se o carro ficará ou não pronto até a hora da corrida. Se Júlio estiver certo, então Vítor estará enganado. Se Vítor estiver enganado, então Sérgio estará enganado. Se Sérgio estiver enganado, então o carro não ficará pronto. Nessa situação, ou o carro fica pronto ou André não participará da corrida. Ora, verificou-se que Júlio estava certo. Logo, a) o carro ficou pronto. b) André não participou da corrida. c) Sérgio e Vítor não estavam enganados. d) Vítor estava enganado, mas Sérgio não. e) Sérgio estava enganado, mas Vítor não. 51) ANPAD 2004 – Se x + y = 2 , então x = 0. Ora, x não é zero. Então, pode-se afirmar que a) y = 2. b) y = 0. c) y = 2 – x. d) x + y ≠ 2. e) y ≠ 0. 52) ANPAD 2004 – Numa vila afastada, chamada Vila 51, tem-se que “se um homem não é inteligente, então é bonito” e que “se é inteligente, então é preguiçoso”. Com base nessas afirmações, pode-se concluir que a) homens inteligentes não são bonitos. b) homens que não são bonitos não são inteligentes. c) homens bonitos são preguiçosos. d) homens que não são bonitos são preguiçosos. e) homens bonitos não são inteligentes. 53) ANPAD 2003 – Considerando verdadeiras as proposições “Se João cometeu um grave delito, então ele sonegou impostos.” e “João não sonegou impostos.”, pode-se concluir que a) “João sonegou impostos” b) “João cometeu um grave delito.” c) “João cometeu um grave delito e ele sonegou impostos.” d) “João não cometeu um grave delito.” e) “João cometeu um grave delito ou ele sonegou impostos.” 54) ANPAD 2003 – Considere a proposição “Paulo é elegante, ou Paulo é alto e moreno.” Como Paulo não é elegante, então, conclui-se que Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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a) Paulo não é alto e não é moreno. b) Paulo não é alto ou não é moreno. c) Paulo é alto e moreno. d) Paulo é alto ou moreno. e) Paulo é alto e não é moreno. 55) ANPAD 2003 – Considere as seguintes premissas I. “Se não chover, Cláudia vai à praia.” II. “Se chover, Fábia vai ao clube.” Como choveu o dia inteiro, então a) Cláudia não foi à praia e Fábia foi ao clube. b) Cláudia e Fábia não foram à praia. c) Cláudia e Fábia não foram ao clube. d) Cláudia foi à praia. e) Fábia foi ao clube. 56) ANPAD 2003 – Considere a proposição “Pedro é estudioso e trabalhador, ou Pedro é bonito.” Como Pedro não é bonito, então a) Pedro é estudioso e trabalhador. b) Pedro é estudioso ou trabalhador. c) Pedro não é estudioso ou não é trabalhador. d) Pedro é estudioso e não é trabalhador. e) Pedro não é estudioso e não é trabalhador. 57) ANPAD 2003 – Considere as seguintes premissas: “Cláudia é bonita e inteligente, ou Cláudia é simpática”. “Cláudia não é simpática”. A partir dessas premissas, conclui-se que Cláudia a) “é bonita ou inteligente.” b) “é bonita e inteligente.” c) “é bonita e não é inteligente.” d) “não é bonita e não é inteligente.” e) “não é bonita e é inteligente.” 58) ANPAD 2002 – Considere os seguintes argumentos: I. Se 7 é menor que 4, então 7 não é primo. Mas 7 não é menor que 4, logo 7 é primo. II. Se Londres está na Dinamarca, então Paris não está na França. Mas Paris está na França, portanto Londres está na Dinamarca. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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III. Se 5 é um número primo, então 5 não divide 15. Mas 5 divide 15, logo 5 não é um número primo. A validade dos argumentos I, II, III forma, respectivamente, a seguinte sequencia: a) Válido, Válido, Válido b) Não válido, Não válido, Válido c) Válido, Não válido, Válido d) Válido, Válido, Não válido e) Não válido, Não válido, Não válido 59) ANPAD 2002– Considere as seguintes sentenças: I. A é vermelho se, somente se, B é verde. II. B não é verde se, somente se, C é azul. Pode-se concluir que a) Se C é azul, então A não é vermelho. b) Se C é amarelo, então A não é vermelho. c) Se A não é vermelho, então C não é azul. d) Se C é azul, então B é amarelo. e) Se B é verde, então C é amarelo. 60) ANPAD 2002 – Considere os argumentos abaixo: I. Se 6 não é par, então 3 não é primo. Mas 6 é par. Logo 3 é primo. II. Se faz frio, Margarete fica em casa. Margarete não ficou em casa. Logo, não fez frio. III. Se você tem ar condicionado, então não passa calor. Quem mora em Foz do Iguaçu tem ar condicionado. Logo, se você mora em Foz do Iguaçu, não passa calor. Os argumento(s) dedutivo(s) é(são) a) I e II b) II e III c) somente I d) somente III e) I, II e III [Nota: argumento dedutivo é argumento válido.]

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61) ANPAD 2008 – Lúcio é tio de Norma ou Raquel é mãe de Sílvia. Se Valdir é neto de Taís, Jacó é sobrinho de José. Se Raquel é mãe de Sílvia, Jacó não é sobrinho de José. Ora, Valdir é neto de Taís; logo, a) Lúcio é tio de Norma e Raquel não é mãe de Sílvia. b) Lúcio não é tio de Norma e Raquel é mãe de Sílvia. c) Jacó não é sobrinho de José e Lúcio é tio de Norma. d) Valdir é neto de Taís e Jacó não é sobrinho de José. e) Raquel é mãe de Sílvia ou Jacó não é sobrinho de José. 62) ANPAD 2008 – Quando não vejo Abelardo, não malho ou estudo Matemática. Quando não chove e malho, não vejo Abelardo, quando estou triste, não malho e estudo Matemática. Quando não estou triste e estou estudando Matemática, não malho. Hoje malho, portanto, hoje, a) não vejo Abelardo, estou estudando Matemática, não estou triste e não chove. b) não vejo Abelardo, estou estudando matemática, estou triste e chove. c) vejo Abelardo, estou estudando Matemática, não estou triste e chove. d) vejo Abelardo, não estou estudando Matemática, estou triste e chove. e) vejo Abelardo, não estou estudando Matemática, não estou triste e chove. 63) ANPAD 2008 – Laura é surfista ou Mário é paisagista. Se Nair é decoradora, Oscar não é bailarino. Se Oscar não é bailarino, Mário não é paisagista. Ora, Laura não é surfista e Suzi não é desenhista;pode-se, então, concluir corretamente que a) Laura não é surfista e Mário não é paisagista. b) Laura não é surfista e Nair é decoradora. c) Mário é paisagista e Oscar é bailarino. d) Nair não é decoradora e Oscar não é bailarino. e) Nair é decoradora e Suzi não é desenhista. 64) ANPAD 2008 – Se uma avaliação é periódica, é também atuante, mas se ela é atuante, é eficaz. Em determinada empresa, a avaliação não eficaz é não periódica. Assim, pode-se concluir que, a) se a avaliação é atuante, ela não é eficaz. b) se a avaliação é eficaz, ela é periódica. c) se a avaliação é periódica, ela é eficaz. d) se a avaliação é periódica, ela não é eficaz. e) se a avaliação não é atuante, ela é periódica.

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65) ANPAD 2008 – Assinale a alternativa que expõe um argumento cuja estrutura é válida. a) Ricardo foi à festa, somente se Renata foi à festa. Renata foi à festa. Portanto, Ricardo foi à festa. b) Ricardo foi à festa, somente se Renata foi à festa. Sabe-se também que Rogério foi à festa, somente se Renata foi à festa. Entretanto, Renata não foi à festa. Logo, Ricardo não foi à festa assim como Rogério. c) Ricardo não foi à festa se, e somente se, Renata foi à festa. Renata foi à festa se, e somente se, Rogério não foi à festa. Sabe-se que Rogério foi à festa. Consequentemente, Ricardo não foi à festa. d) Se Ricardo foi à festa, então Renata não foi à festa ou Rogério foi à festa. Ricardo não foi à festa. Logo, Renata foi à festa ou Rogério não foi à festa. e) Se Ricardo foi à festa, então Renata foi à festa. Renata não foi à festa ou Rogério foi à festa. Rogério não foi à festa. Portanto, Ricardo foi à festa. 66) ANPAD 2007 – Em uma determinada maternidade estavam num mesmo quarto cinco mães: Marta, Juliana, Vanessa, Giovana e Rosa, e suas filhas: Betina, Clara, Renata, Judite e Lúcia, não necessariamente nessa ordem. Os enfermeiros do hospital afirmaram o seguinte: I. Se Betina é filha de Marta, então Clara não é filha de Juliana. II. Clara é filha de Juliana, ou Renata é filha de Vanessa. III. Se Judite não é filha de Giovana, então Betina é filha de Marta. IV. Nem Renata é filha de Vanessa nem Lúcia é filha de Rosa. Com base nessas afirmações, pode-se concluir que a) Renata é filha de Vanessa, ou Betina é filha de Marta. b) se Clara é filha de Juliana, Betina é filha de Marta. c) Judite é filha de Giovana, e Clara é filha de Juliana. d) Se Clara é filha de Juliana, então Judite não é filha de Giovana. e) Judite é filha de Giovana, e Betina é filha de Marta. 67) ANPAD 2007 – Se o governo aumenta a taxa de juros, então as exportações aumentam. Embora o que se sabe é que as exportações aumentaram, o que podemos concluir é que a) a taxa de juros aumentou. b) a taxa de juros diminuiu. c) as exportações aumentaram. d) as exportações diminuíram. e) as exportações aumentaram, e a taxa de juros também.

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68) ANPAD 2007 – Sejam as proposições: I. Se Carlos trair a esposa, Larissa ficará magoada. II. Se Larissa ficar magoada, Pedro não irá ao jogo. III. Se Pedro não for ao jogo, o ingresso não será vendido. IV. Ora, o ingresso foi vendido. Portanto, pode-se afirmar que a) Carlos traiu a esposa, e Pedro não foi ao jogo. b) Carlos traiu a esposa, e Pedro foi ao jogo. c) Carlos não traiu a esposa, e Pedro foi ao jogo. d) Pedro foi ao jogo, e Larissa ficou magoada. e) Pedro não foi ao jogo, e Larissa não ficou magoada. 69) ANPAD 2007 – Numa determinada região chove ou faz sol. Se chove, há enchente; porém se faz sol, há seca. Assim, uma conclusão possível é a de que nessa região a) há seca. b) há enchente. c) há tempos de seca e de enchente. d) há tempos de seca ou de enchente. e) há apenas enchente. 70) ANPAD 2007 – Manoela vai comprar um computador ou um carro; porém disse ao seu noivo que não é verdade que, se comprar um computador, retirará o dinheiro da poupança. Assim, pode-se afirmar que a) Manoela vai comprar o carro. b) Manoela vai comprar o computador. c) Manoela retirou o dinheiro da poupança. d) Manoela não vai comprar o carro nem o computador. e) Manoela retirou o dinheiro da poupança e vai comprar o computador. 71) ANPAD 2007 – Considere as seguintes sentenças: I. Os gatos são pretos e os cachorros são brancos. II. Se todos os gatos são brancos, não há gatos na varanda. III. Não é verdade que os cachorros são pretos e que há gatos na varanda. Admitindo-se que todas essas sentenças sejam verdadeiras, é CORRETO afirmar que: a) Os gatos são pretos ou os cachorros são brancos. b) Não há gatos na varanda. c) Todos os gatos estão na varanda. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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d) Os cachorros são pretos. e) Os gatos são brancos. 72) ANPAD 2007 – Em determinado campeonato de futebol, analisam-se as condições de alguns resultados: I. Se a Portuguesa venceu, nem o Estrela nem o Navegantes foram para a próxima fase. II. Se o Navegantes não foi para a próxima fase, o Ipiranga venceu. III. Se o Ipiranga venceu, o Serrinha foi rebaixado. Sabe-se que o Serrinha não foi rebaixado; portanto: a) a Portuguesa não venceu e o Navegantes não foi para a próxima fase. b) O Estrela e o Navegantes não foram para a próxima fase. c) O Navegantes não foi para a próxima fase e o Ipiranga não venceu. d) A Portuguesa e o Ipiranga não venceram. e) O Navegantes não foi para a próxima fase ou o Ipiranga venceu. 73) ANPAD 2007 – Se Alfredo ama Rebeca, ele vai se casar com ela e não vai comprar uma casa. Caso ele se case, não comprará a casa. Mas, de fato, ele comprou uma casa. Logo, pode-se dizer que: a) Alfredo vai se casa com Rebeca. b) Alfredo não comprar a casa. c) Alfredo vai se casar com Rebeca e vai comprar uma casa. d) Alfredo ama Rebeca. e) Alfredo não ama Rebeca. 74) ANPAD 2007 – Assinale a alternativa que apresenta uma estrutura de argumento não válida. a) Não é verdade que, se Ricardo foi à festa, Renata foi à festa. Portanto, se Ricardo não foi à festa, Renata não foi à festa. b) Ricardo não foi à festa e Renata não foi à festa. Consequentemente, ambos não foram à festa. c) Não é o caso que Ricardo foi à festa ou Renata foi à festa. Logo, Ricardo não foi à festa ou Renata não foi à festa. d) Se Ricardo não foi à festa, Renata não foi à festa. Portanto, não é verdade que, se Ricardo foi à festa, Renata foi à festa. e) Não é o caso que, se Ricardo não foi à festa, Renata foi à festa. Assim, Renata não foi à festa. 75) ANPAD 2007 – Manoel recebeu as seguintes instruções para sua viagem: Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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I. Siga à esquerda e retorne se, e somente se, seu destino for Albuquerque. II. Se seu destino for Albuquerque, siga à direita. III. Siga à esquerda. IV. Retorne ou siga para a colônia de férias. Sabe-se que Manoel obedeceu a todas as instruções. Logo a) seu destino era Albuquerque. b) seu destino não era Albuquerque e ele seguiu para a colônia de férias. c) chegou a Albuquerque, seguindo à esquerda. d) seguiu sempre em frente e à direita. e) retornou. [Nota: A questão acima não pode ser considerada um argumento, visto que é formada por frases imperativas. À luz dos conceitos da lógica formal, um argumento somente pode ser constituído por proposições.]

76) ANPAD 2010 – Sejam verdadeiras as proposições a seguir. I. “Se x = 1 e y = z, então y > 2.” II. “y ≤ 2.” Pode-se concluir que a) x ≠ 1 e y ≠ z b) x ≠ 1 ou y ≠ z c) x ≠ 1 e y = z d) x = 1 e y ≠ z e) y = z e x = 1 77) ANPAD 2006 – Considere as regras do cálculo proposicional e suas derivações, qual das proposições abaixo pode ser derivada das proposições: “ → ~ ” e “~ → ~ ”? a) ∧ b) ~( ∧ ) c) → d) ~ → e) ~( → )

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Gabarito: 1–A 2–D 10 – D 11 – E 19 – D 20 – E 28 – C 29 – B 37 – E 38 – D 46 – E 47 – C 55 – E 56 – A 64 – C 65 – B 73 – E 74 – D

3–A 12 – B 21 – C 30 – A 39 – C 48 – A 57 – B 66 – C 75 – B

4–A 13 – D 22 – B 31 – D 40 – E 49 – C 58 – B 67 – C 76 – B

5–C 14 – E 23 – B 32 – D 41 – A 50 – B 59 – A 68 – C 77 – B

6–D 15 – C 24 – C 33 – C 42 – E 51 – D 60 – B 69 – D

7–C 16 – D 25 – E 34 – E 43 – B 52 – D 61 – A 70 – B

8–E 17 – D 26 – E 35 – C 44 – C 53 – D 62 – E 71 – A

9–A 18 – D 27 – C 36 – D 45 – C 54 – C 63 – C 72 – D

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8

Proposições Categóricas (Quantificadores) "Os verdadeiros analfabetos são aqueles que aprenderam a ler e não leem." [Mário Quintana]

Trataremos, neste capítulo, de uma expansão da lógica sentencial vista nos capítulos anteriores, para incluir expressões como "para todo x", "existe um x", que denotam operações de quantificação sobre variáveis. Tais expressões foram introduzidas por Frege (Friedrich Ludwig Gottlob Frege, 1848–1925), matemático, lógico e filósofo alemão, que criou um sistema de representação simbólica para formalizar a estrutura dos enunciados lógicos e suas relações, e a contribuição para a implementação do cálculo dos predicados. Procuraremos manter a simplicidade proposta desde o início, minimizando ao máximo o simbolismo costumeiramente empregado nesse assunto. 8.1 Quantificadores Todo: quantificador categórico universal afirmativo; Nenhum: quantificador categórico universal negativo; Algum: quantificador categórico particular ou existencial afirmativo; Algum não é: quantificador categórico particular ou existencial negativo. Toda proposição que se utiliza de um dos quantificadores acima é chamada de proposição categórica. Exemplos: a) “Todo P é Q.” Simbolicamente: ∀x (Px → Qx) b) “Nenhum P é Q.” Simbolicamente: ∀x (Px → ~Qx), ou ∀x (Qx → ~Px), ou

~∃x (Px ∧ Qx) c) “Algum P é Q.” Simbolicamente: ~∀x (Px → ~Qx), ou ∃x (Px ∧ Qx) d) “Algum P não é Q.” Simbolicamente: ~∀x (Px → Qx), ou ∃x (Px ∧ ~Qx) Um modo simples de se entender os quantificadores seria imaginar um conjunto de n elementos, e tomar três subconjuntos:

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a) Com zero elemento (conjunto vazio) o conjunto representa o quantificador “Nenhum”; b) Um subconjunto com o número de elementos no intervalo [1, (n – 1)] representa o quantificador “Algum/Alguns” (ou “Existe/Existem” ou “Pelo menos um”); c) O próprio conjunto, com todos os n elementos representa o quantificador “Todo” (ou “Qualquer que seja”). Acompanhe o quadro a seguir. Número de elementos

0

[1, (n – 1)]*

n

Quantificador

Nenhum

Algum/Alguns Existe/Existem Pelo menos um

Todo

Símbolo

∄ ou ~∃

~∀

∀

Proposição Categórica

“Nenhum P é Q.”

“Algum P é Q.”

“Todo P é Q.”

Representação Simbólica

∀x (Px → ~Qx) ou ∀x (Qx → ~Px)

~∀x (Px → ~Qx)

ou ∃x (Px ∧ Qx)

∀x (Px → Qx)

(*) intervalo fechado que tem de um a (n – 1) elementos.

Exemplo: Tomemos uma turma do curso preparatório para o Teste ANPAD que contém dez alunos. Seja C = {m, n, o, p, q, r, s, t, u, v} o conjunto que representa essa turma, em que n = 10. a) No dia 04/07/2012, às 9:00h, nenhum aluno havia ainda chegado para a aula, isto é, o número de elementos do conjunto C era zero (n = 0). Então, vale aqui a proposição: “Nenhum aluno está presente na sala.”

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b) Às 9:06h chegaram os alunos m e p. Agora, o número de elementos do conjunto passou a ser dois (n = 2). Pode-se, agora, dizer que “Alguns alunos estão presentes na sala.” ou “Pelo menos um aluno está presente na sala.” ou, ainda, que “Existem alunos presentes na sala.” Também é correto dizer que, neste caso, “Alguns alunos não estão presentes na sala.” ou que “Alguns alunos estão ausentes.” (não presente = ausente) c) Às 9:17h estavam presentes os alunos m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, ou seja, n = 10, o que vale dizer que “Todos os alunos estão presentes na sala.” 8.2 Negação de Proposições Categóricas Negação, como já foi visto, é o ato de modificar, por meio de uma operação lógica, o valor verdade de uma proposição. Em outras palavras, se a proposição é verdadeira, sua negação a torna falsa, e, se a proposição é falsa, sua negação a torna verdadeira. A negação de proposições categóricas é uma tarefa bastante simples. Tomemos o mesmo exemplo anterior, da turma do curso preparatório para o Teste ANPAD... C = {m, n, o, p, q, r, s, t, u, v} é o conjunto que representa essa turma, em que n = 10. a) No dia 04/07/2012, às 9:00h, nenhum aluno havia chegado para a aula, o que significa que a proposição: “Nenhum aluno está presente na sala.” é verdadeira. Em outras palavras, tem-se, no momento, um conjunto vazio. O que deve acontecer para que esse conjunto deixe de ser vazio? Ou: O que deve ser feito para que a proposição “Nenhum aluno está presente na sala.” se torne falsa? A resposta é bem simples: é necessário que chegue pelo menos um aluno...

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Assim, estabelece-se a negação da proposição “Nenhum aluno está presente na sala.”, que é: “Algum aluno está presente na sala.” ou “Alguns alunos estão presentes na sala.”, ou “Existe aluno que está presente na sala.”, ou “Existem alunos que estão presentes na sala.”, ou “Pelo menos um aluno está presente na sala.” b) Às 9:06h chegaram os alunos m e p. Agora, o número de elementos do conjunto passou a ser dois (n = 2). Diz-se que “Alguns alunos estão presentes na sala.”, ou “Pelo menos um aluno está presente na sala.”, ou, ainda, que “Existem alunos presentes na sala.” são proposições verdadeiras. Para negar a proposição “Alguns alunos estão presentes na sala.” é necessário retirar da sala os dois alunos presentes no momento. Desse modo, tem-se para negação da proposição acima: “Nenhum aluno está presente na sala.”, ou “Todos os alunos não estão presentes na sala.”, ou “Todos os alunos estão ausentes.” c) Às 9:17h estavam presentes os alunos m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, ou seja, a proposição “Todos os alunos estão presentes na sala.” é verdadeira. Como negar a proposição acima? Ou, como fazer com que a proposição “Todos os alunos estão presentes na sala.” se torne falsa? A resposta é simples: basta retirar um aluno... A proposição dada estaria negada e teria a seguinte estrutura: “Pelo menos um aluno não está presente na sala.”, ou “Pelo menos um aluno está ausente.” Agora observe que, se dois alunos forem retirados (em vez de apenas um), a negação da proposição “Todos os alunos estão presentes na sala.” passaria a ser enunciada como “Alguns alunos não estão presentes na sala.”, ou “Alguns alunos estão ausentes.”, ou ainda “Existem alunos que estão ausentes.”

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A proposição dada fica, da mesma forma, negada, independente da quantidade de alunos ausentes. Assim, tem-se como negação da proposição “Todos os alunos estão presentes na sala.”: “Pelo menos um aluno não está presente na sala.”, ou “Pelo menos um aluno está ausente.”, ou “Algum aluno não está presente na sala.”, ou “Alguns alunos não estão presentes na sala.”, ou “Algum aluno está ausente.”, ou “Alguns alunos estão ausentes.”, ou “Existe aluno que não está presente.”, ou, ainda, “Existem alunos ausentes.” Lembre-se de que “não está presente” é o mesmo que dizer “está ausente”. Com isto, pode-se estabelecer, para a negação das proposições categóricas, o resumo a seguir:

Observação importantíssima: A negação de uma proposição categórica universal sempre será uma proposição categórica particular ou existencial, e vice-versa. Jamais se pode negar uma proposição categórica universal com outra proposição categórica universal! O mesmo vale para as proposições categóricas particulares ou existenciais, ou seja, não se pode usar uma proposição categórica particular ou existencial para negar outra proposição categórica particular ou existencial.

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É costumeira a confusão que muitos fazem ao pensar que a negação do quantificador “todo” seria “nenhum” ou vice-versa. Quem pensa dessa forma, precisa rever o conceito de negação. Esse erro é cometido frequentemente por candidatos em concursos públicos. [Nota: Como examinador de concursos públicos, frequentemente recebo recursos em questões desse tipo, por conta da confusão neste conceito.]

Lembre-se de que estamos estabelecendo a negação do quantificador, e não quantificando a negação... Para ilustrar, tomemos um exemplo, com uma proposição simples: “João é médico.” Vamos negá-la de três formas: a) “João não é médico.” b) “João NÃO é médico.” c) “João não não não não não é médico.” Observe que, em nenhuma das negações apresentadas acima, a proposição “João é médico.” ficou mais negada ou menos negada. Isto deixa claro que a negação é uma operação lógica que simplesmente muda o valor lógico de uma proposição, e para a qual não existe quantidade. Reiterando: a negação do quantificador não é a quantificação da negação! 8.3 Equivalências Notáveis de Proposições Categóricas

Todo P não é Q. ⇔ Nenhum P é Q. Nenhum P não é Q. ⇔ Todo P é Q.

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8.4 Representação de Proposições Categóricas por meio de diagramas de Euler-Venn. Esta forma de representação das Proposições Categóricas terá grande utilidade na validação de argumentos categóricos, que serão vistos a seguir. 8.4.1 “Todo P é Q.”

8.4.2 “Nenhum P é Q.”

8.4.3 “Algum P é Q.”

8.4.4 “Algum P não é Q.”

8.5 Exercícios Propostos 1) ANPAD 2009 – Admitindo como verdadeira a proposição p: “Nenhum aluno que cola sai da escola.”, pode-se concluir que a) existe aluno que cola e sai da escola. b) todo aluno que cola sai da escola. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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c) todo aluno que cola não sai da escola. d) todo aluno que não cola sai da escola. e) todo aluno que não cola não sai da escola. 2) ANPAD JUN 2009 – Mário, ao chegar a uma cidade com princípios lógicos, viu na placa de “Bem-Vindo!” o seguinte escrito ∀ ( ∧ ) → . Mais adiante, em outra placa, havia a explicação para o entendimento da placa inicial: “Nesta cidade, considera-se que Px: x é pessoa visitante, Bx: x é pessoa do bem e Vx: x é bem-vindo à cidade”. Assim, a placa quer dizer que a) todo visitante que é bem-vindo à cidade é do bem. b) todo visitante que é do bem é bem-vindo à cidade. c) todo visitante é do bem e é bem-vindo à cidade. d) nem todo visitante é bem-vindo à cidade. e) nem todo visitante é do bem. 3) ANPAD FEV 2009 – A proposição equivalente a “Não é verdade que todas as mulheres não são estudiosas.” é a) “Existem mulheres estudiosas.” b) “Existem mulheres não estudiosas.” c) “Nenhuma mulher não é estudiosa.” d) “Todas as mulheres são estudiosas.” e) “Todas as mulheres não são estudiosas.” 4) ANPAD FEV 2009 – Sejam as definições de categorias Ax: x é administrador, Px: x é bom profissional Sx: x tem bom salário. Uma simbolização para “Todo administrador que é bom profissional, tem bom salário” é a) ∀x ((Ax → Px) → Sx). b) ∀x ((Ax ∧ Px) → Sx). c) ∀x (Ax ∧ (Px → Sx)). d) ∀x ((Ax → Px) ∧ Sx). e) ∀x ((Ax ∧ Px) ∧ Sx). 5) ANPAD 2010 – Considere-se FALSO o seguinte enunciado: “Alguns alunos não estudam adequadamente os conteúdos”. Sejam dadas as seguintes proposições: I. Todos os alunos estudam adequadamente os conteúdos. II. Nenhum aluno estuda adequadamente os conteúdos. III. Alguns alunos estudam adequadamente os conteúdos.

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Os valores lógicos (V, se verdadeiro; F, se falso) das proposições I, II e III são, respectivamente, a) V V V b) V F V c) V V F d) V F F e) F V V 6) ANPAD 2010 – Utilizando-se a constante “p” para ‘Pedro’ e os predicados “A”, “T” e “L” para, respectivamente, ‘x é amigo de y’, ‘x é atleta’ e ‘x é alto’, a expressão “nenhum amigo alto de Pedro é atleta” pode ser escrita em linguagem simbólica por a) ∀ → ~( ∧ ) b) ∀ (( ∧ )→~ ) c) ∀ (( ∧ )→ ) d) ~∀ (( ∧ )→~ ) e) ~∀ →( ∧ ) 7) ANPAD 2011 – A negação da proposição “Alguns administradores não são líderes.” é a) “Nenhum administrador é líder.” b) “Alguns administradores são líderes.” c) “Todos os administradores são líderes.” d) “Existe pelo menos um administrador que é líder.” e) “Existe pelo menos um administrador que não é líder.” 8) ANPAD 2011 – Dado que “todos que trabalham recebem salário”, pode-se afirmar: a) Para todos, se recebem salário, então trabalham. b) Existe alguém que recebe salário e não trabalha. c) Existe alguém que trabalha e não recebe salário. d) Para todos, se não recebem salário, então não trabalham. e) Para todos, se não trabalham, então não recebem salário. 9) ANPAD 2011 – Seja dada a proposição quantificada “Todo animal doméstico é amigo.” Considerando-se que A, D e M representam, respectivamente, os predicados “ser animal”, “ser doméstico” e “ser amigo”, então uma forma de escrever simbolicamente a referida proposição é

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a) ∀x ((Ax ∧ Dx) → Mx) b) ∀x ((Ax ∨ Dx) → Mx) c) ∀x (Mx → (Ax ∧ Dx)) d) ∀x (Ax ∧ (Dx → Mx)) e) ∀x ((Ax ∧ Dx) ∧ Mx) 10) ANPAD 2011 – Na lógica, os quantificadores são usados quando um termo predicado ocorre em uma proposição não singular. Utilizando os predicados P para “ser político” e C para “ter dinheiro”, assinale a alternativa que apresenta a representação simbólica da proposição “Nem mesmo um político tem dinheiro”. a) x,  Px  ~ Cx  b) x,  Px  Cx  c) x,  ~ Px  Cx  d) x,  ~ Px  ~ Cx  e) ~ x,  Px  ~ Cx  11) ANPAD 2011 – Utilizando-se os predicados Mx e Cx para respectivamente representar que “x tem menos de 18 anos” e “x pode tirar carteira de motorista”, a representação lógica da proposição “qualquer um, exceto quem tem menos de 18 anos, pode tirar a carteira de motorista” é a) x  Mx  ~ Cx  b) x  ~ Cx  ~ Mx  c) x  Mx  ~ Cx   x  Cx  ~ Mx  d) x  ~ Mx  ~ Cx   x  Mx  Cx  e) x  Mx  ~ Cx   x  ~ Mx  Cx  12) ANPAD 2012 (Adaptada) – A negação da afirmação “Todo novo produto que é lançado é inovação.” é: a) Nem todo novo produto é lançado e não é inovação. b) Tudo que é lançado é inovação e não é um novo produto. c) Existem novos produtos que são lançados e são inovações. d) Existem novos produtos que são lançados e não são inovações. e) Existem novos produtos que são inovações e não são lançados. 13) ANPAD 2012 (Adaptada) – Uma possível negação da proposição “Para todo homem existe uma mulher ideal” é: a) Toda mulher é ideal para um homem. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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b) Existe um homem para o qual toda mulher não é ideal. c) Não é verdade que existe um homem que é ideal para toda mulher. d) Existe um homem para o qual não existe mulher que não é ideal. e) Não é verdade que existe um homem para o qual toda mulher não é ideal. 14) ANPAD 2012 (Adaptada) – Dados os predicados: I. Nx: x é um número natural. III. Ix: x é ímpar. II. Ex: x é par. IV. Px: x é primo. Considere a seguinte tabela com proposições e representações simbólicas: a. Existe um número natural par. 1. ∀ ( → ( ∨ )) b. Todo número natural é par ou ímpar. 2. ~∀ ( → ) c. Nem todos os números primos são pares. 3. ∀ (( ∧ )→ ) d. Todo número natural que não é ímpar é par. 4. ∃ ( ∧ ) Assinale a alternativa que associa adequadamente cada proposição a uma representação simbólica. a) a-3, b-1, c-4, d-2 b) a-3, b-1, c-2, d-4 c) a-4, b-1, c-2, d-3 d) a-4, b-1, c-3, d-2 e) a-4, b-2, c-1, d-3 15) ANPAD 2012 (Adaptada) – Sejam dados os predicados: I. Px: x é de prata. II. Ex: x é condutor de eletricidade. III. Mx: x é metal. Assinale a alternativa com a representação simbólica da proposição “Nem todo metal condutor de eletricidade é de prata.” a) ∀ ~ ∧( ∧ ) (

∧

)∧

c) ∀ ~ ( d) ∃ ~ (

∧

)⟶

b) ~∀

e) ∃

∧ )∧ ∧( ∧~ )

16) ANPAD 2008 – Assinale a alternativa que apresenta uma contradição. a) Algum vendedor de livros é paulista e algum vendedor de livros não é paulista. b) Nenhum vendedor de livros é paulista e algum vendedor de livros não é paulista. c) Todo paulista é vendedor de livros e algum vendedor de livros não é paulista. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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d) Todo vendedor de livros é paulista e algum paulista não é vendedor de livros. e) Todo vendedor de livros não é paulista e algum paulista é vendedor de livros. 17) ANPAD 2008 – Considere as seguintes proposições I. Toda mulher é formosa. II. Algumas mulheres são belas. III. Nenhuma mulher é feia. IV. Algumas mulheres não são atraentes. Assinale a alternativa que apresenta uma proposição que NÃO equivale a alguma das quatro proposições acima. a) Não existe alguma mulher que não seja formosa. b) Não existem mulheres feias. c) Nem todas as mulheres não são belas. d) Nem todas as mulheres são atraentes. e) Nem toda mulher é feia. 18) ANPAD 2006 – A negação da proposição “Nenhuma fruta não é doce” pode ser a) “Nenhuma fruta é doce”. b) “Todas as frutas são doces”. c) “Existem frutas que são doces”. d) “Todas as frutas não são doces”. e) “Existem frutas que não são doces”. 19) ANPAD 2006 – Seja a proposição: p: “Todos os filósofos são calvos”. A proposição que NÃO é equivalente a p é a) “Os filósofos são calvos”. b) “Qualquer filósofo é calvo”. c) “Nenhum filósofo não é calvo”. d) “Se alguém é calvo, então ele é filósofo”. e) “Se alguém não é calvo, então não é filósofo”. 20) ANPAD 2006 – A negação da proposição “Todas as máquinas não são eficientes” é a) “Nenhuma máquina é eficiente”. b) “Todas as máquinas são eficientes”. c) “Existe máquina que é eficiente”. d) “Existe máquina que não é eficiente”. e) “Não é verdade que todas as máquinas são eficientes”. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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21) ANPAD 2005 – Considere as proposições abaixo I. Todo S é P. II. Nenhum S é P. III. Algum S é P. IV. Nenhum S não é P. Supondo que a proposição categórica “Algum S não é P” seja falsa, a sequencia formada pelo valor verdade (V, se verdade; F, se falso) das proposições apresentadas é, respectivamente, a) V V V V b) V F V F c) F V F F d) V F V V e) F F F F 22) ANPAD 2005 – A proposição “É necessário que todos os administradores saibam lógica” é equivalente a a) “Nenhum administrador sabe lógica”. b) “Não é verdade que existe administrador que não sabe lógica”. c) “Não é verdade que todo administrador sabe lógica”. d) “Existe administrador que não sabe lógica”. e) “Todo administrador não sabe lógica”. 23) ANPAD 2005 – Considerando que a proposição “Nenhum homem bom pratica o mal” é falsa, qual das seguintes alternativas apresenta uma proposição verdadeira? a) Todo homem bom pratica o mal. b) Todo homem bom não pratica o mal. c) Alguns homens bons não praticam o mal. d) Pelo menos um homem bom pratica o mal. e) Não há homem bom que pratique o mal. 24) ANPAD 2004 – Dadas as proposições: I Todos os homens são bons administradores. II Nenhum homem é bom administrador. III Todos os homens são maus administradores. IV Pelo menos um homem não é bom administrador. V Toda mulher é boa administradora. A(s) negação(ões) da proposição I é(são) a(s) proposição(ões) Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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a) II b) III c) IV d) V e) II e IV 25) ANPAD 2003 – A NEGAÇÃO da sentença “Todos os homens são honestos”. é a) “Nenhum homem é honesto”. b) “Todos os homens são desonestos”. c) “Algum homem é desonesto”. d) “Nenhum homem é desonesto”. e) “Alguns homens são honestos”. 26) ANPAD 2002 – A negação da sentença “Nenhuma pessoa que chora muito fica desamparada” é a) “Todas as pessoas que choram muito ficam desamparadas”. b) “Todas as pessoas que choram muito não ficam desamparadas”. c) “Algumas pessoas que choram muito ficam desamparadas”. d) “Algumas pessoas que choram muito não ficam desamparadas”. e) “Nenhuma pessoa que chora muito fica desamparada” 27) ANPAD 2002 – A negação da sentença “Todos os triângulos são equiláteros.” é a) “Todos os triângulos não são equiláteros.” b) “Existe triângulo que não é equilátero.” c) “Existe triângulo que é equilátero.” d) “Nenhum triângulo é equilátero.” e) “Todos os triângulos são isósceles.” 28) ANPAD 2002 – A negação da sentença “Nenhuma pessoa lenta em aprender frequenta esta escola.” é a) “Todas as pessoas lentas em aprender frequentam esta escola.” b) “Todas as pessoas lentas em aprender não frequentam esta escola.” c) “Algumas pessoas lentas em aprender frequentam esta escola.” d) “Algumas pessoas lentas em aprender não frequentam esta escola.” e) “Nenhuma pessoa lenta em aprender frequenta esta escola.”

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29) ANPAD 2002 – A negação da proposição “Todos os homens são bons motoristas.” é a) “Todas as mulheres são boas motoristas”. b) “Algumas mulheres são boas motoristas”. c) “Nenhum homem é bom motorista”. d) “Todos os homens são maus motoristas”. e) “Ao menos um homem é mau motorista”. Gabarito: 1–C 2–B 10 – A 11 – E 19 – D 20 – C 28 – C 29 – E

3–A 4–B 12 – D 13 – B 21 – D 22 – B

5–B 6–B 14 – C 15 – E 23 – D 24 – C

7–C 16 – E 25 – C

8–D 17 – E 26 – C

9–A 18 – E 27 – B

Você encontrou algum erro aqui? Tem alguma dúvida ou sugestão? Por gentileza, envie-nos um e-mail. Nossa proposta é responder em, no máximo, 24 horas! Obrigado! Participe do nosso projeto: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/payit-forward-corrente-do-bem.html

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8.6 Argumento Categórico Argumento categórico é todo argumento formado por proposições categóricas. Exemplos: 1) ANPAD 2010 – Sejam admitidas como verdadeiras as seguintes proposições: I. Nenhuma bola é vermelha. II. Algumas frutas são vermelhas. Então, pode-se concluir que a) algumas bolas são frutas. b) algumas frutas são bolas. c) algumas frutas não são bolas. d) nenhuma fruta é bola. e) nenhuma bola é fruta. [Nota: Observe que o argumento acima é um silogismo (duas premissas). Este é o tipo mais comum de argumento categórico.]

2) ANPAD 2009 – Considere o argumento a seguir: Todos os brasileiros são vegetarianos. Todos os vegetarianos são magros. Existem índios que são brasileiros. Logo, existem índios que são magros. Pode-se concluir que a forma desse argumento é a) válida e todas as premissas, assim como a conclusão, são verdadeiras. b) válida e tem conclusão verdadeira, embora existam premissas falsas. c) válida, apesar de todas as premissas serem verdadeiras e a conclusão ser falsa. d) inválida, porque a conclusão é falsa. e) inválida, porque contém premissas falsas. As questões de argumento categórico se apresentam basicamente de duas formas, I. como no exemplo 1, no qual é solicitada uma conclusão que torne o argumento válido, ou II. como no exemplo 2, acima, que solicita a validação do argumento, visto que já há nele uma conclusão (vide Logo, existem índios que são magros.)

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8.6.1 Validação de Argumentos Categóricos

O meio mais seguro e rápido de se validar argumentos categóricos é por meio de diagramas lógicos, ou diagramas de Euler-Venn. Exorta-se o leitor a fazer uma breve revisão do item 7.4. Exemplo: ANPAD 2010 – Sejam admitidas como verdadeiras as seguintes proposições: I. Nenhuma bola é vermelha. II. Algumas frutas são vermelhas. Então, pode-se concluir que a) algumas bolas são frutas. b) algumas frutas são bolas. c) algumas frutas não são bolas. d) nenhuma fruta é bola. e) nenhuma bola é fruta. Solução: Chamaremos de B o diagrama que representará “bola”, V o diagrama que representará “vermelha”, e F o diagrama que representará “fruta”. Representação das premissas: Premissa I: “Nenhuma bola é vermelha.”

Premissa II. “Algumas frutas são vermelhas.”

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Devemos justapor os diagramas das duas premissas:

Observe que a premissa I traz informação sobre os diagramas B e V, e a premissa II dá informação sobre os diagramas V e F. Como conclusão precisamos buscar informação sobre os diagramas B e F. Vamos, então, “apagar” o diagrama V, a fim de facilitar a visualização da conclusão:

Como se pode notar no diagrama acima, a conclusão do argumento é: “Algum F não é B.” Ou, na linguagem corrente: “Alguma fruta não é bola.”, ou “Algumas frutas não são bolas.”, ou, ainda, “Existem frutas que não são bolas.” Resposta: alternativa C. Observação: A representação a seguir não está correta, uma vez que infere que “Nenhuma fruta é bola.” (“Nenhum F é B.”, ou “Nenhum B é F.”), o que não decorre diretamente das premissas.

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Outro exemplo: ANPAD 2009 – Considere o argumento a seguir: Todos os brasileiros são vegetarianos. Todos os vegetarianos são magros. Existem índios que são brasileiros. Logo, existem índios que são magros. Pode-se concluir que a forma desse argumento é a) válida e todas as premissas, assim como a conclusão, são verdadeiras. b) válida e tem conclusão verdadeira, embora existam premissas falsas. c) válida, apesar de todas as premissas serem verdadeiras e a conclusão ser falsa. d) inválida, porque a conclusão é falsa. e) inválida, porque contém premissas falsas. Solução: Sejam os diagramas: B: brasileiros. V: vegetarianos. M: magros. I: índios. Representação das premissas por diagramas de Euler-Venn Premissa I: “Todos os brasileiros são vegetarianos.”

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Premissa II: “Todos os vegetarianos são magros.”

Premissa III: “Existem índios que são brasileiros.”

Justapondo os diagramas das premissas, teremos o diagrama a seguir:

Como a questão pede a validação do argumento, tomaremos sua conclusão (“Existem índios que são magros.”) como base para apagar os diagramas que não estão relacionados na conclusão. Neste caso, apagaremos os diagramas B e V acima. Assim, o diagrama acima será representado como segue:

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Em linguagem corrente: “Algum I é M.”, ou “Algum M é I.”, ou na linguagem do argumento: “Algum índio é magro.”, ou “Existem índios que são magros.” A questão em tela ainda pedia o julgamento das premissas: Premissa I: “Todos os brasileiros são vegetarianos.” é falsa. Nem todos os brasileiros são vegetarianos. Na verdade, poderíamos até dizer que são bem poucos... Premissa II: “Todos os vegetarianos são magros.” é falsa. Premissa III: “Existem índios que são brasileiros.” é verdadeira. Conclusão: “Existem índios que são magros.” é verdadeira. Resposta: alternativa B. 8.7 Exercícios Propostos 1) ANPAD 2009 – Considere o argumento a seguir: Todos os brasileiros são vegetarianos. Todos os vegetarianos são magros. Existem índios que são brasileiros. Logo, existem índios que são magros. Pode-se concluir que a forma desse argumento é a) válida e todas as premissas, assim como a conclusão, são verdadeiras. b) válida e tem conclusão verdadeira, embora existam premissas falsas. c) válida, apesar de todas as premissas serem verdadeiras e a conclusão ser falsa. d) inválida, porque a conclusão é falsa. e) inválida, porque contém premissas falsas.

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2) ANPAD 2009 – “Todo administrador entende de finanças pessoais.” “Alguns alunos que estudam em uma faculdade não entendem de finanças pessoais”. A partir dessas sentenças, é CORRETO concluir que a) alguns administradores que estudam em uma faculdade não entendem de finanças pessoais. b) nenhum administrador estuda em faculdade alguma. c) os alunos que não estudam em uma faculdade entendem de finanças pessoais. d) todos os administradores estudam em alguma faculdade. e) todos os administradores que estudam em uma faculdade entendem de finanças pessoais. 3) ANPAD 2009 – Considere as seguintes proposições: I. Tudo que é útil é bom. II. Nem tudo que é bom é agradável. III. Nem tudo que é útil é agradável. Sendo as proposições acima verdadeiras, pode-se concluir que a) tudo que é agradável é útil. b) tudo que é útil é agradável. c) tudo que é bom é agradável. d) nem tudo que é bom é útil. e) nem tudo que não é bom é agradável e útil. [Nota: A questão acima foi anulada.]

4) ANPAD 2010 – Sejam dadas as seguintes proposições: I. Toda pessoa magra faz dieta alimentar. II. Manoel faz dieta alimentar. Pode-se concluir: a) Manoel é magro. b) Toda pessoa que faz dieta alimentar é magra. c) Se João é magro, então ele faz dieta alimentar. d) Se Manoel faz dieta alimentar, então ele é magro. e) Algumas pessoas que fazem dieta alimentar são gordas. 5) ANPAD 2010 – Sejam admitidas como verdadeiras as seguintes proposições: I. Nenhuma bola é vermelha. II. Algumas frutas são vermelhas. Então, pode-se concluir que a) algumas bolas são frutas. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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b) algumas frutas são bolas. c) algumas frutas não são bolas. d) nenhuma fruta é bola. e) nenhuma bola é fruta. 6) ANPAD 2010 – Sejam dados os enunciados: “Todos que são bem-humorados são alegres” e “Todos que são alegres são simpáticos”. Logo, pode-se concluir: a) João não é simpático, então ele é bem-humorado. b) Joaquim não é alegre, então ele não é simpático. c) Manoel não é simpático, então ele não é bem-humorado. d) Pedro é alegre, então ele é bem-humorado. e) Toda pessoa simpática é bem-humorada. 7) ANPAD 2010 – Se tudo que é amor é proibido e toda proibição é cobiçada, então a) tudo que é cobiçado é amor. b) tudo que é proibido é amor. c) tudo que não é cobiçado é proibido. d) tudo que é amor é cobiçado. e) tudo que não é amor não é cobiçado. 8) ANPAD 2010 – Considere as proposições a seguir. I. “Pessoas idosas são egoístas.” II. “Pessoas egoístas são rejeitadas.” III. “Quem sabe escalar prédio não é rejeitado.” Assim, NÃO se pode concluir que pessoas a) egoístas não sabem escalar prédio. b) idosas não sabem escalar prédio. c) idosas são rejeitadas. d) rejeitadas não sabem escalar prédio. e) rejeitadas são egoístas. 9) ANPAD 2010 – Considere os argumentos a seguir. I. Todos os mamíferos são mortais. Todos os mamíferos são pássaros. Alguns mortais são pássaros. II. Se Maria fizer regime, ela emagrecerá. Maria não fez regime. Logo, Maria não emagrecerá. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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III.

Todos os alunos do curso Alfa passaram no vestibular. Jonas não é aluna do curso Alfa. Portanto, Joana não passou no vestibular. A sequência CORRETA quanto à validade dos argumentos I, II e III é, respectivamente, a) válido, não válido e não válido b) válido, não válido e válido c) válido, válido e não válido d) não válido, válido e válido e) não válido, não válido e válido [Nota: o argumento II da questão acima não é categórico.]

10) ANPAD 2011 – Toda rosa é perfumada. Existem flores que não são rosas e são perfumadas. Portanto, a) todas as flores são perfumadas. b) tudo que é perfumado é uma rosa. c) existem flores perfumadas que não são rosas. d) existem flores que são rosas e não são perfumadas. e) existem flores que não são rosas e não são perfumadas. 11) ANPAD 2011 – Sabendo-se que todo benfeitor é altruísta e que existe algum filantropo que é benfeitor, pode-se afirmar que a) todo filantropo é altruísta. b) todo benfeitor é filantropo. c) não existe filantropo altruísta. d) algum filantropo não é altruísta. e) existe algum filantropo que é altruísta. 12) ANPAD 2011 – Sejam dadas as afirmações: I. Todo professor é estudioso. II. Todo professor tem capacidade de aprender. III. Carol é estudiosa. IV. Marisa não é professora, mas é estudiosa. Logo, pode-se concluir: a) Carol tem capacidade de aprender. b) Marisa tem capacidade de aprender. c) Se um indivíduo é estudioso, então ele é professor. d) Não existem indivíduos que são estudiosos e não são professores. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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e) Existem pessoas que têm capacidade de aprender e que são estudiosas. 13) ANPAD 2011 – Quem não corre anda. Logo, a) quem anda corre. b) quem corre anda. c) quem anda não corre. d) quem não anda corre. e) quem não anda não corre. 14) ANPAD 2011 – Dado que “todo americano é patriota” e que “existem patriotas importantes”, pode-se concluir que a) existem americanos importantes. b) existem patriotas que são americanos. c) não existem americanos importantes. d) todo patriota é americano e importante. e) existem patriotas que são americanos e importantes. 15) ANPAD 2011 – Considere os seguintes conjuntos formados por uma premissa seguida de uma conclusão. I. Algum avô é economista. Logo, algum economista é avô. II. Nenhum arquiteto é cantor. Logo, nenhum cantor é arquiteto. III. Todo advogado é poeta. Logo, todo poeta é advogado. Qual(is) é(são) argumento(s) válido(s)? a) apenas I b) apenas II c) apenas I e II d) apenas II e III e) I, II e III 16) ANPAD 2011 – Em certo setor de uma empresa, sabe-se que toda mesa é azul ou preta e que algumas mesas azuis possuem computador. Então, em relação a esse setor, certamente é possível afirmar: a) Toda mesa preta possui computador. b) Se a mesa tem computador, então ela é azul. c) Algumas mesas pretas possuem computador. d) Se a mesa é azul, então ela possui computador. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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e) Não é verdade que toda mesa azul não possui computador. 17) ANPAD 2011 – Sabe-se que, em certa concessionária, existe pelo menos um carro com câmbio automático e freios ABS. Além disso, sabe-se que todo carro com freios ABS tem ar- condicionado. Logo, nessa concessionária, a) Todo carro com ar-condicionado tem freios ABS. b) Todo carro com ar-condicionado tem câmbio automático. c) Existe carro com câmbio automático que tem ar-condicionado. d) Nenhum carro com câmbio automático tem ar-condicionado. e) Nenhum carro que não tenha ar-condicionado tem câmbio automático. 18) ANPAD 2012 (Adaptada) – Todo leão é carnívoro. Todos os carnívoros são vertebrados. Portanto, a) todo leão é vertebrado. b) todo carnívoro é leão. c) algum leão não é carnívoro. d) existem leões que não são carnívoros. e) todo vertebrado ou é leão ou é carnívoro. 19) ANPAD 2012 (Adaptada) – Todo pós-graduando em Engenharia interessa-se por projetos grandiosos. Toda pessoa que se interessa por projetos grandiosos tem inteligência acima da média. Há pessoas com inteligência acima da média que não cursam pós-graduação em Engenharia. Existem estudantes de pósgraduação em Engenharia. Essas informações nos garantem que a) Não há pessoas inteligentes que não se interessam por projetos grandiosos. b) Existem pós-graduandos em Engenharia que não se interessam por projetos grandiosos. c) Não existe pessoa que se interessa por projetos grandiosos e tenha inteligência acima da média. d) Há estudantes de pós-graduação em Engenharia que têm inteligência, no máximo, média. e) Existe alguém que tem inteligência acima da média, interessa-se por projetos grandiosos e é pós-graduando em Engenharia. 20) ANPAD 2008 – Em um grupo de rapazes, todos os mineiros são engenheiros, mas nenhum engenheiro é pobre. Todos os rapazes altos são gênios, e alguns gênios são pobres. Se nenhum gênio é engenheiro, a) nenhum rapaz alto é mineiro. b) pelo menos um rapaz alto é pobre. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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c) pelo menos um rapaz mineiro é pobre. d) todos os rapazes gênios são mineiros. e) todos os rapazes gênios são altos. 21) ANPAD 2008 – Sejam as proposições: p : Todos os mineiros são simpáticos. q : Alguns paulistas são altos. A proposição composta ~(~ ∧ ) é expressa, na linguagem corrente, por a) “Existem mineiros que não são simpáticos e alguns paulistas são altos”. b) “Existem mineiros que não são simpáticos ou alguns paulistas são altos”. c) “Todos os mineiros não são simpáticos ou todos os paulistas não são altos”. d) “Todos os mineiros são simpáticos ou todos os paulistas não são altos”. e) “Todos os mineiros são simpáticos e todos os paulistas não são altos”. 22) ANPAD 2008 – Considere os argumentos abaixo. I. Alguns animais são amarelos e algumas coisas amarelas são comestíveis. Logo, alguns animais amarelos são comestíveis. II. Todas as cobras têm duas asas. Todos os seres de duas asas têm pernas. Logo, todas as cobras têm pernas. III. Todos os poetas são pobres e alguns pobres são honestos. Logo, alguns poetas são honestos. Indicando-se os argumentos válidos por V e as falácias por F,.os argumentos I, II e III são, respectivamente, a) F V F b) F F V c) F F F d) V F V e) V V V 23) ANPAD 2008 – Nem tudo o que começa chega ao fim, mas tudo o que chega ao fim tem de começar. Logo, a) nada começa. b) tudo chega a seu fim. c) se algo começa, então chega ao fim. d) não é verdade que tudo o que começa chega ao fim. e) não é verdade que tudo o que começa não chega ao fim. 24) ANPAD 2008 – Dentre as alternativas expostas abaixo, assinale aquela que apresenta uma forma INVÁLIDA de argumento. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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a) Nenhum paulista é cearense. Mas, alguns administradores são paulistas. Portanto, alguns administradores não são cearenses. b) Toda pessoa com menos de três meses de idade é analfabeta. Nenhum administrador é analfabeto. Logo, nenhum administrador tem menos de três meses de idade. c) Todo aquele que é graduado, concluiu o ensino superior. Todo administrador é graduado. Logo, todo administrador concluiu o ensino superior. d) Todo administrador foi alfabetizado. Nenhum alienado é administrador. Logo, existe alguém que é alienado e alfabetizado. e) Todo pós-doutor fala inglês fluentemente. Alguns administradores são pósdoutores.Assim, alguns administradores falam inglês fluentemente. 25) ANPAD 2007 – Todo ladrão é desonesto. Alguns desonestos são punidos. Portanto, pode-se afirmar que a) alguns punidos são desonestos. b) nenhum ladrão é desonesto. c) nenhum punido é ladrão. d) todo ladrão é punido. e) todo punido é ladrão. 26) ANPAD 2008 – Considere as seguintes premissas: I. Nenhum estudante é ignorante. II. Todo administrador é estudante. Uma conclusão possível, decorrente dessas premissas, é a de que a) nenhum administrador é ignorante. b) algum administrador é ignorante. c) todo administrador é ignorante. d) algum estudante é ignorante. e) todo estudante é administrador. 27) ANPAD 2007 – Das proposições “Nenhuma fruta marrom é doce” e “Algum abacaxi é doce”, conclui-se que a) “Algum abacaxi não é marrom”. b) “Todo abacaxi é marrom”. c) “Nenhum abacaxi é marrom”. d) “Algum abacaxi é marrom”. e) “Todo abacaxi não é marrom”. 28) ANPAD 2007 – Considerem-se as seguintes proposições: Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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 “Todas as pessoas ricas são cultas”.  "Nenhum pescador é culto”.  “Hugo é rico”. Uma conclusão que necessita de todas essa proposições como premissas é a) “Ricos são cultos”. b) “Hugo não é culto”. c) “Hugo não é pescador”. d) “Hugo é rico e pescador”. e) “Hugo é um pescador culto”. 29) ANPAD 2007 – Considerem-se as seguintes premissas:  “Todos os jogadores de futebol são bonitos”.  “Lucas é bonito”.  “Hugo é rico”. Considerando as premissas, a validade de cada argumento gerado pelas conclusões I, II e III é, respectivamente, a) válido, válido, válido. b) não válido, válido, válido. c) válido, não válido, não válido. d) não válido, válido, não válido. e) não válido, não válido, não válido 30) ANPAD 2006 – Considere os seguintes argumentos: I. Todas as aves são carnívoras. Existem peixes que são carnívoros. Logo, existem peixes que são aves. II. Todos os minerais são aves. Existem borboletas que são minerais. Logo, existem borboletas que são aves. III. O assassino é o chofer ou Lea é pretensiosa. Ora, Lea não é pretensiosa. Logo, o assassino é o chofer. A sequencia CORRETA quanto à validade dos argumentos I, II e III é, respectivamente, a) não válido, válido, válido. b) não válido, válido, não válido. c) não válido, não válido, não válido. d) válido, válido, não válido.

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e) válido, válido, válido. [Nota: o argumento III da questão acima não é categórico.]

31) ANPAD 2005 – Sejam dadas as premissas “Alguns engenheiros são estudiosos” e “Todos os engenheiros são aprovados no teste”. Para que se tenha um argumento válido, pode-se concluir que a) “Todos os estudiosos são engenheiros”. b) “Todos os estudiosos são aprovados no teste”. c) “Alguns estudiosos são aprovados no teste”. d) “Todos os aprovados no teste são engenheiros”. e) “Todos os aprovados no teste são estudiosos”. 32) ANPAD 2005 – Considere as seguintes proposições.  “Quem sabe pintar não é insensível”.  “Mutantes não sabem escrever”.  “Quem não sabe escrever é insensível”. Uma conclusão possível pode ser escrita como a) “Os seres insensíveis não sabem escrever”. b) “Mutantes não sabem pintar”. c) “Seres que não sabem pintar são insensíveis”. d) “Seres que sabem escrever não são insensíveis”. e) “Seres que não sabem escrever são mutantes”. 33) ANPAD 2005 – Considere as seguintes proposições: p : “Todo soldado é forte”. q : “Alguns pedreiros não são fortes”. Supondo que p e q são verdadeiras, qual das seguintes alternativas está correta? a) “Os indivíduos que são pedreiros são fortes”. b) “Alguns soldados que são pedreiros não são fortes”. c) “Todos os soldados que são pedreiros são fortes”. d) “Nenhum soldado é pedreiro”. e) “Todo pedreiro é soldado”. 34) ANPAD 2005 – Sabendo-se que todo A é B e que existe algum C que é A, pode-se afirmar que a) algum C não é B. b) existe pelo menos um C que é B. c) não existe nenhum C que é B. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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d) todo A é C. e) todo C é B 35) ANPAD 2004 – Se “Alguns profissionais são administradores” e “Todos os administradores são pessoas competentes”, então, necessariamente, com as proposições apresentadas, pode-se inferir que a) “Algum profissional é uma pessoa competente”. b) “Toda pessoa competente é administradora”. c) “Todo administrador é profissional”. d) “Nenhuma pessoa competente é profissional”. e) “Nenhum profissional não é competente”. 36) ANPAD 2004 – Todos os primogênitos da família Bragança têm olhos verdes. Eduardo tem olhos castanhos. Então, pode-se afirmar que a) Eduardo pertence à família Bragança. b) Eduardo não pertence à família Bragança. c) Eduardo pertence à família Bragança e é primogênito. d) Se Eduardo é primogênito, então pertence à família Bragança. e) Se Eduardo pertence à família Bragança, então não é primogênito. 37) ANPAD 2004 – Toda criança é feliz. Algumas pessoas que usam óculos são infelizes. Logo, a) nenhuma criança usa óculos. b) as pessoas que não usam óculos são felizes. c) todas as crianças que usam óculos são felizes. d) todas as pessoas que usam óculos são infelizes. e) algumas crianças que usam óculos são infelizes. 38) ANPAD 2003 – Considere as proposições “Todos os cães são mamíferos” e “Alguns cães mordem”. Então, conclui-se que a) Todos os cães mordem b) Todos os mamíferos mordem c) Alguns mamíferos mordem d) Nenhum mamífero morde e) Nenhum cão morde. 39) ANPAD 2002 – Todas as pessoas que comem banana e maçã preferem maçã. Algumas pessoas que comem maçã não a preferem. a) Todas as pessoas que comem maçã a preferem. Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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b) Ninguém prefere maçã. c) Algumas pessoas que comem maçã não comem banana. d) Quem come banana prefere maçã. e) Só quem come banana e maçã come maçã. 40) ANPAD 2002 – São verdadeiras as seguintes afirmações: I. Todos os mô são bô. II. Todos os rê são bô. III. Alguns rê funcionam. Então, a sentença que é consequência lógica de I, II e III é a) Alguns bô que funcionam não são rê. b) Alguns bô funcionam e alguns bô que funcionam não são rê. c) Alguns bô funcionam e nenhum mô funciona. d) Alguns mô funcionam. e) Alguns bô funcionam. 41) ANPAD 2002 – Considere as seguintes proposições: I Todo artista é simpático. II Todo político não é simpático. Pode-se afirmar que a) Alguns artistas são políticos. b) Algumas pessoas simpáticas são políticos. c) Nenhum artista é simpático. d) Nenhum artista é político. e) Nenhuma pessoa simpática é artista. 42) ANPAD 2002 – São verdadeiras as seguintes informações: I Todos os calouros são humanos. II Todos os estudantes são humanos. III Alguns estudantes pensam. Assim, a sentença que é consequência lógica de I, II e III é a) “Alguns humanos pensam.” b) “Alguns humanos que pensam não são estudantes.” c) “Alguns humanos pensam e nenhum calouro pensa.” d) “Alguns humanos pensam e alguns humanos que pensam não são estudantes.” e) “Todos os calouros são estudantes e alguns humanos pensam.”

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Gabarito: 1–B 2–E 10 – C 11 – E 19 – E 20 – A 28 – C 29 – E 37 – C 38 – C

3–X 12 – E 21 – D 30 – B 39 – E

4–C 13 – D 22 – A 31 – C 40 – E

5–C 14 – B 23 – D 32 – B 41 – D

6–C 15 – C 24 – D 33 – C 42 – A

7–D 16 – E 25 – A 34 – B

8–E 17 – C 26 – A 35 – A

9–A 18 – A 27 – A 36 – E

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Proposições Categóricas (Uso de Quantificadores) Quadro-Resumo TIPO

PROPOSIÇÃO QUANTIFICADOR SÍMBOLO CATEGÓRICA

DIAGRAMAS LÓGICOS

EQUIVALENTE REPRESENTAÇÃO LÓGICO SIMBÓLICA (sentencial) (predicados)

Todo

∀

Todo P é Q

p→q

∀x (Px → Qx)

Nenhum

∄ ou ~∃

Nenhum P é Q

p → ~q

∀x (Px → ~Qx)

Algum/Alguns Existe/Existem Pelo menos um

∃

Algum P é Q

p∧q

∃x (Px ∧ Qx)

Algum não é

~∀

Algum P não é Q

p ∧ ~q

∃x (Px ∧ ~Qx)

Universais

Particulares ou Existenciais

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9

Proposições Abertas de Primeira Ordem “Vista de perto, a vida é uma tragédia. Vista de longe, é uma comédia.” [Charles Chaplin]

9.1 Conceito Conforme já foi dito no Capítulo 1, alguns autores denominam as proposições abertas de primeira ordem como sentenças abertas, pelo fato de não se poder valorar tais proposições com V (verdadeiro) ou F (falso). Ressalte-se, novamente, que o conceito de proposição foi estabelecido no campo da Filosofia, e, de fato, consta que “uma proposição é uma oração declarativa, que tanto pode ser apresentada na forma afirmativa quanto negativa, e, para a qual somente se pode atribuir um valor lógico (V, se verdadeira, e F, se falsa)”. Ocorre que, não fossem proposições as tais sentenças abertas, jamais poderiam ter sido introduzidas no campo da Lógica Formal, que está alicerçada sob o conceito de proposição. Dito de outra forma: o que não é proposição não pode ser analisado pelos conceitos da Lógica Formal. As sentenças abertas foram introduzidas nesse campo de estudos por matemáticos, que mantiveram o conceito (filosófico) original ipsis literis, quando deveriam tê-las separado apenas no que diz respeito à sua valoração. Retomando o conceito e um exemplo, apresentados no Capítulo 1: Proposição é uma oração declarativa, que pode ser expressa de forma afirmativa ou negativa. Exemplo: “x + 5 = 12.” (forma afirmativa) “x + 5 ≠ 12.” (forma negativa) A proposição acima é uma oração declarativa e foi apresentada nas formas afirmativa e negativa; está em sua forma simbólica, mas pode ser perfeitamente “traduzida” para a linguagem corrente:

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“Xis mais cinco é igual a doze.” (forma afirmativa) “Xis mais cinco não é igual a doze.” ou “Xis mais cinco é diferente de doze.” (forma negativa) Somente com a resolução, caso seja possível, da proposição aberta de primeira ordem em um dado conjunto (associando-se um valor desse conjunto a x), esta tornar-se-á uma proposição que pode ser V ou F. Entretanto, uma proposição aberta de primeira ordem não é, necessariamente, uma equação ou uma inequação (de uma ou mais variáveis). Se, por exemplo, nos referirmos à razão entre x e y teremos aí uma proposição aberta de primeira ordem que não é equação nem inequação. 9.2 Conjunto-Verdade Conjunto-verdade de uma proposição aberta de primeira ordem é aquele em que se enumera(m) o(s) valor(es) que a verifica(m), quando esta é dada em forma de equação ou inequação. Exemplo: x–3=2 Solução: x=2+3⇒x=5 V = {5} é o conjunto-verdade da equação acima. Como se vê, somente será possível analisar uma proposição aberta de primeira ordem pelos conceitos da Lógica Formal a partir do fechamento da proposição, isto é, a partir do momento em que for determinado o seu conjunto-verdade.

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9.3 Implicação Lógica Uma proposição aberta de primeira ordem implica (⇒) outra quando o conjuntoverdade da primeira está contido no conjunto-verdade da segunda. Exemplo: Verificar a implicação: (x – 3 = 2) ⇒ (x2 – 25 = 0) O conjunto-verdade da primeira proposição é: V1 = {5}. O conjunto-verdade da segunda proposição é: V2 = {-5, 5}. Como o conjunto-verdade da primeira proposição está contido no conjuntoverdade da segunda (V1 ⊂ V2), diz-se que (x – 3 = 2) implica (x2 – 25 = 0). 9.4 Equivalência Lógica Uma proposição aberta de primeira ordem é equivalente (⇔) a outra quando os conjuntos-verdade de ambas forem rigorosamente iguais. Exemplo: Verificar a equivalência: (x – 3 = 2) ⇔ (5x – 25 = 0) O conjunto-verdade da primeira é: V1 = {5}. O conjunto-verdade da segunda é: V2 = {5}. Como os conjuntos-verdade das duas proposições são iguais, diz-se que (x – 3 = 2) é equivalente a (5x – 25 = 0)

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9.5 Operações Lógicas 9.5.1 Negação

Afirmação x=y x≠y x≥y xy

Negação x≠y x=y xy x≤y

Exemplos: 1) Afirmação: Negação: +

+ =2 ≠2

2) Afirmação: ≤ −4 Negação: > −4 3) Afirmação: > 1 Negação: ≤ 1 4) Afirmação: ≠ 0 Negação: = 0 Exercícios Propostos 1) ANPAD 2009 – A negação de “ x  1 e y  0 com x, y  R é a) x  1 e y  0 b) x  1 e y  0 c) x  1 e y  0 d) x  1 ou y  0 e) x  1 ou y  0 2) ANPAD 2010 – Sejam verdadeiras as proposições a seguir. I. “Se x = 1 e y = z, então y > 2.” II. “y ≤ 2.” Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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Pode-se concluir que a) ≠ 1 e ≠ b) ≠ 1 ou ≠ c) ≠ 1 e = d) = 1 e ≠ e) = e = 1 3) ANPAD 2011 – Se x < y, então z = 0. Ora, z ≠ 0. Portanto, a) x = y b) x - y < 0 c) x ≠ y d) x ≥ y e) x > y 4) ANPAD 2011 – Seja dado: se x + y = z, então r + s = z; se r + s = z, então z = w – s; e, se z = 0, então 51 = x + v. Sabendo-se que z = x + y ou z = 0, então pode-se concluir que, se x + v ≠ 51, a) x + y = 0. b) 51 = x + y. c) r = z + s. d) z = w – s. e) 0 = w – s. 5) ANPAD 2004 – Se afirmar que a) y = 2 b) y = 0 c) y = 2 – x d) x + y ≠ 2 e) y ≠ 0 Gabarito: 1–D 2–B

3–D

+

= 2, então

4–D

= 0. Ora,

não é zero. Então, pode-se

5–D

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9.5.2 Conjunção

Haverá conjunção entre duas proposições abertas de primeira ordem se houver elemento comum em ambos os conjuntos-verdade. em outras palavras, o conjunto-verdade da conjunção é dado pela interseção entre os conjuntosverdade de cada uma das proposições. Exemplo: 1) (x + 5 = 12) ∧ (x2 – 49 = 0) Solução: Conjuntos-verdade: V1 = {7}, e V2 = {–7; 7} V1 ∩ V2 = {7} 9.5.3 Disjunção Inclusiva

Na disjunção inclusiva entre duas proposições abertas de primeira ordem, o conjunto solução é dado pela união entre os conjuntos-verdade de cada uma das proposições. Exemplo: 1) (x + 5 = 12) ∨ (x2 – 49 = 0) Solução: Conjuntos-verdade: V1 = {7}, e V2 = {–7; 7} V1 ∪ V2 = {–7; 7} [Nota: Este Capítulo é pouco explorado no Teste ANPAD ou em Concursos Públicos.] [Nota: As operações de condição, disjunção exclusiva e bicondição entre proposições abertas de primeira ordem não são cobradas em Concursos Públicos, nem no Teste ANPAD, razão pela qual deixarão de constar neste material.]

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10 Lógica Informal (Apresentação) “Os maiores dos erros são a pressa antes do tempo e a lentidão diante da oportunidade.” [Provérbio árabe]

No próximo volume, abordaremos a Lógica Informal, cujas questões não têm por base os conceitos que o leitor procurou assimilar até agora. São questões que visam apurar sua versatilidade no pensar e sua frieza ao encarar desafios, encaminhando uma solução apropriada. Seguem exemplos de questões que você verá abordadas no livro de Lógica Informal. 1) ANPAD 2007 – Uma urna contém bolinhas de gude de várias cores: oito marelas, doze vermelhas, cinco brancas, treze azuis e sete verdes. A quantidade mínima de bolinhas de gude que precisamos retirar da urna para garantir que teremos três bolinhas de uma mesma cor é a) 11 b) 15 c) 21 d) 23 e) 28 2) ANPAD 2007 – Cinco amigos, Abel, Deise, Edgar, Fábio e Glória, foram lanchar e um deles resolveu sair sem pagar. O garçom percebeu o fato, correu atrás dos amigos que saíam do restaurante e chamou-os para prestarem esclarecimentos. Pressionados, informaram o seguinte:  “Não fui eu nem o Edgar”, disse Abel.  “Foi o Edgar ou a Deise”, disse Fábio.  “Foi a Glória”, disse Edgar.  “O Fábio está mentindo”, disse Glória.  “Foi a Glória ou o Abel”, disse Deise. Considerando que apenas um dos cinco amigos mentiu, pode-se concluir que quem resolveu sair sem pagar foi a) Abel b) Deise c) Edgar d) Fábio Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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e) Glória 3) ANPAD 2007 – Edmundo percebeu que, na terça-feira, 27 de julho, iriam terminar as suas férias; verificou que o próximo feriado é o dia 7 de setembro e viu que esse dia cai a) numa segunda-feira b) numa terça-feira c) numa quarta-feira d) num sábado e) num domingo 4) ANPAD 2007 – Três amigos, Bernardo, Davi e Fausto, de sobrenome Pereira, Rocha e Silva, não necessariamente nessa ordem, foram assistir, cada um, a um filme diferente – ação, comédia e terror. Sabe-se que:  Bernardo não assistiu ao filme de terror nem ao de ação.  Pereira assistiu ao filme de ação.  O sobrenome de Davi é Silva. É CORRETO afirmar que a) Davi assistiu a uma comédia. b) Fausto assistiu a um filme de ação. c) Rocha assistiu a um filme de terror. d) o sobrenome de Fausto é Rocha. e) o sobrenome de Bernardo é Pereira. 5) ANPAD 2007 – Cada uma das três amigas Ana, Bia e Carla, gosta de apenas uma das seguintes frutas: maçã, banana e pera, não necessariamente nessa ordem. Ana gosta de pera, Bia não gosta de pera e Carla não gosta de banana. Se apenas uma dessas três afirmações for verdadeira e se cada uma das três amigas gosta de uma fruta diferente, então as frutas de que Ana, Bia e Carla gostam são, respectivamente a) banana, pera e maçã. b) pera, maçã e banana. c) maçã, banana e pera. d) pera, banana e maçã. e) banana, maçã e pera. 6) ANPAD 2006 – Descobriu-se uma espécie de bactéria imortal que, a partir do momento de sua hospedagem e/ou existência, começa seu ciclo reprodutivo infinito e ininterrupto. Sabe-se que dois exemplares dessa espécie de bactéria Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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geram seis exemplares em apenas 5 segundos, totalizando assim oito exemplares em 5 segundos. Com esses dados, se tivéssemos agora dez exemplares da referida bactéria, quantos exemplares teríamos daqui a 10 segundos? a) 420 b) 160 c) 120 d) 50 e) 40 7) ANPAD 2006 – Algumas pessoas de uma mesma família estão reunidas e entre elas existem as seguintes relações de parentesco: pai, mãe, filho, filha, irmão, irmã, primo, prima, sobrinho, sobrinha, tio e tia. Considerando-se que todos têm um antepassado em comum e que não há casamento consanguíneo entre eles, o número mínimo necessário de pessoas para a ocorrência de todas essas relações é a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 8) ANPAD 2006 – Em uma bombonière há 13 bombons, cada qual recheado com apenas um dos sabores: avelã, cereja, damasco ou morango. Sabe-se que existe pelo menos um bombom de cada recheio e que suas quantidades são diferentes. Os bombons recheados com avelã ou cereja somam 4 bombons, enquanto que os recheados com avelã ou morango totalizam 5. Considerando-se essas informações, uma das possíveis alternativas é que somente a) 2 bombons sejam de avelã. b) 2 bombons sejam de cereja. c) 3 bombons sejam de damasco. d) 4 bombons sejam de damasco. e) 4 bombons sejam de morango. 9) ANPAD 2006 – As primas Branca, Celeste e Rosa foram almoçar na casa da avó e notaram que estavam com calçados das cores branca, celeste e rosa. Então, Branca disse: “as cores dos calçados combinam com nossos nomes, mas nenhuma está com o calçado da cor que combine com seu próprio nome”. “E daí?”, respondeu a jovem com o calçado rosa. Com essas informações, pode-se afirmar que Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

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a) Branca está com calçado rosa. b) Celeste está com calçado rosa. c) Rosa está com calçado celeste. d) Celeste está com calçado branco e Rosa está com calçado celeste. e) Branca está com calçado celeste e Celeste está com calçado branco. 10) ANPAD 2004 – Aldo, Lucas e Osmar saíram para passear de bicicleta. Em certo momento, eles trocaram as bicicletas e os bonés entre si. Isto é, cada um passeia agora com a bicicleta de um segundo e o boné de um terceiro. O que está com o boné de Osmar está com a bicicleta de Lucas. Então, a) Osmar está com o boné de Aldo. b) Lucas está com a bicicleta de Aldo. c) Aldo está com a bicicleta de Osmar. d) Osmar está com a bicicleta de Aldo. e) Lucas está com o boné de Osmar.

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