Raciocinio Logico e Matematica.pdf

Coleção TRIBUNAIS e MPU Coordenador

VALÉRIA LANNA

HENRIQUE CORREIA

RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICA PARA OS CONCURSOS DE TÉCNICO, ANALISTA E PERITO DO INSS E TÉCNICO E ANALISTA DOS TRIBUNAIS

3.ª edição revista, ampliada e atualizada

2016

Tribunais e MPU -Valeria Lanna -Raciocinio Logico e Mat 3ed.indb 3

08/07/2016 15:36:03

Editais sistematizados

– Raciocínio lógico-matemático

1. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS (FCC) - RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICOTÉCNICO E ANALISTA Conteúdo

Detalhamento dos tópicos

Capítulo

PROPOSIÇÕES. CONECTIVOS: Conceito de proposição. Valores Introdução, lógicos das proposições. Conectivos. Cap. 02 e 03 1. Raciocínio lógico-matemático: Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações.

OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES: Negação de uma proposição. Conjugação de duas proposições. Disjunção de duas proposições. Proposição condicional. Proposição bicondicional.

Cap. 04

TABELAS-VERDADE DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Construção de Proposições Conjuntas. Tabela-Verdade de Proposições Conjuntas.

Cap. 04

EQUIVALÊNCIA LÓGICA E IMPLICAÇÃO LÓGICA: Equivalência lógica. Propriedades da relação de equivalência lógica. Recíproca, contrária e contrapositiva de uma proposição condicional. Implicação lógica. Princípio de substituição. Propriedade da implicação lógica. Leis de Morgan.

Cap. 05, 06 e 10

2. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio sequencial, orientação espacial e temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos

SEQUENCIAS NUMÉRICAS, GEOMÉTRICAS, ALFABÉTICAS, CRONOLÓGICAS, MÉTRICAS,CIRCUITOS LÓGICOS, dentre outros problemas voltados para o raciocínio de associação e indução.

Cap. 13

3. Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas

TAUTOLOGIAS E CONTRADIÇÕES Definição de tautologia. Definição de contradição. ARGUMENTOS E QUANTIFICADORES Conceito de argumento. Validade de um argumento. Critério de validade de um argumento. Condicional associada a um argumento. Argumentos válidos fundamentais. RACIOCÍNIO ANALÍTICO - Encontrando o culpado por associação

Cap. 07, 08, 09 e 10

27

Tribunais e MPU -Valeria Lanna -Raciocinio Logico e Mat 3ed.indb 27

08/07/2016 15:36:04

CAPÍTULO 1

Noções de conjuntos Conjunto é um agrupamento de elementos. Se um elemento compõe um conjunto, dizemos que ele pertence a este conjunto, indicamos com o símbolo ∈. Por exemplo: seja A o conjunto dos múltiplos de 3, escrevemos: 6 ∈ A (6 pertence a A) e 8 ∉ A (8 não pertence a A). Embora os elementos de um conjunto possam ser qualquer coisa (mesmo outros conjuntos), representamos os conjuntos por letras maiúsculas e os elementos por letras minúsculas.

REPRESENTAÇÃO Por enumeração Conjunto dos ímpares maiores que 10 e menores que 20 A = { 11, 13, 15, 17, 19 }

Por propriedade A = { x / x é par 3 < x < 11 } que corresponde ao conjunto A = {4, 6, 8, 10}

Por diagrama .0

A .3

A = { 0, 1, 3, 4 } . 1

.4

CONJUNTO VAZIO Denomina-se CONJUNTO VAZIO o conjunto que não possui elementos. Indica-se por ∅ ou por { }, mas não ambos → {∅} O conjunto de números que são pares e ímpares aos mesmo tempo. O conjunto de números inteiros entre 1 e 2. 49

Tribunais e MPU -Valeria Lanna -Raciocinio Logico e Mat 3ed.indb 49

08/07/2016 15:36:06

VALÉRIA LANNA

IGUALDADE DE CONJUNTOS Dois ou mais conjuntos que possuem os mesmos elementos são iguais.

SUBCONJUNTOS OU PARTES DE UM CONJUNTO Sejam os conjuntos A e B, onde os elementos de B estão contidos em A, então dizemos que B ⊂ A (B está contido em A) ou que A ⊃ B (A contém B).

A B

O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. Obs.: Número de Subconjuntos é dado por 2n, onde n é número de elementos do conjunto.  Exemplo 01: A = {1,2,3} o número de subconjuntos será 23 = 8 subconjuntos, ou seja, P(A) = {∅, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} Exemplo 02: Um conjunto possui 512 subconjuntos, ao retirarmos 3 elementos desse conjunto, quantos subconjuntos terá o novo conjunto? »» Resolução: 512 = 2n, logo ao fatorarmos 512 = 29, ou seja, teremos n = 9, menos 03 elementos sobram 06 elementos e então o novo conjunto ficará com 26 = 64 subconjuntos.

O assunto que vou abordar agora tem haver com o porque da operação 2n, ou seja, por que o 2 elevado a n? A ideia é que ao agruparmos as partes de um conjunto devemos “olhar’ para cada elemento e decidir se ele vai ou não fazer parte do subconjunto, assim temos “duas” opções de escolha para cada elemento,logo como temos n elementos, teremos: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x... n vezes, ou seja, 2n. Mas, se as partes de um conjunto são feitas de agrupamentos, então podemos concluir que os subconjuntos de um conjunto, nada mais são que , agrupamentos aleatórios. O que nos leva ao memorável Blaise Pascal.

TRIÂNGULO DE PASCAL Agora faremos uma pausa para recordarmos de um instrumento muito útil para explicar o porque do número de partes de um conjunto ser 2n , além de ser uma ferramenta muito útil no estudo de Análise Combinatória. O triângulo de Pascal é de Pascal? Qualquer pessoa que tenha um pouco de leitura e bom senso deve no mínimo estar suspeitando que o triângulo aritmético não seja uma descoberta ou invenção de Pascal. Por exemplo: a denominação desse triângulo varia 50

Tribunais e MPU -Valeria Lanna -Raciocinio Logico e Mat 3ed.indb 50

08/07/2016 15:36:06

Noções de conjuntos

muito ao longo do mundo. Com efeito, se bem que os franceses o chamem de triângulo de Pascal, os chineses o chamam de triângulo de Yang Hui, os italianos o chamam de triângulo de Tartaglia e encontramos outras denominações como triângulo de Tartaglia-Pascal ou simplesmente triângulo aritmético ou triângulo combinatório. Conforme descobriu Tartaglia, cerca de cem anos antes de Pascal, o triângulo aritmético também é bastante útil no cálculo de probabilidades. Com efeito, é fácil vermos que os coeficientes das expansões binomiais tem um significado combinatorial e, então, probabilístico. Para construir o triângulo, Pingala, na Índia (2000 anos antes de Pascal) descreve a seguinte regra: Desenhe um quadradinho; abaixo dele desenhe dois outros, de modo que juntem-se no ponto médio da base dele; abaixo desses dois, desenhe outros três e assim por diante. A seguir, escreva 1 no primeiro quadradinho e nos da segunda linha. Na terceira linha escreva 1 nos quadradinhos dos extremos, e no do meio escreva a soma dos números acima dele. Prossiga fazendo o mesmo nas demais linhas.Nessas linhas, a segunda dá as combinações com uma sílaba; a terceira dá as combinações com duas sílabas e assim por diante. Os livros indianos eram escritos em folhas de palmeira o que fez com que poucos deles chegassem aos nossos dias. Na China, 1700 anos antes de Pascal, o uso que os antigos chineses faziam do triângulo aritmético centrava-se no cálculo aproximado de raízes quadradas, cúbicas e etc. Os chineses não tinham uma álgebra literal e todo seu envolvimento com problemas algébricos era baseado em uma notação e procedimentos apropriados para o emprego de varetas de cálculo (instrumento que precedeu o conhecido suan pan, o ábaco chinês). O triângulo aritmético, que denominavam sistema de tabulação para descobrir coeficientes binomiais, encaixava-se perfeitamente bem nesse esquema. E assim por diante. O triângulo de Pascal (alguns países, nomeadamente em Itália, é conhecido como Triângulo de Tartaglia) é um triângulo numérico infinito formado por números combinatórios. Para Pascal nós podemos conhecer em essência e completamente as coisas No texto O Homem perante a natureza, de Pascal, ele relata que: Não procuremos segurança e firmeza. Nossa razão é sempre iludida pela inconstância das aparências e nada pode fixar o finito entre os dois infinitos que o cercam e dele se afastam. Creio que a concepção deste inevitável fará que o homem se conforme com o estado em que a natureza o colocou e o mantenha tranquilo. Esse termo médio que nos

51

Tribunais e MPU -Valeria Lanna -Raciocinio Logico e Mat 3ed.indb 51

08/07/2016 15:36:06

VALÉRIA LANNA coube por destino, situa-se sempre os dois extremos, de modo que pouco nos importa tenha o homem maior ou menor inteligência das coisas. Se a tiver as verá apenas de um pouco mais alto. Mas não se achará sempre infinitamente afastado da meta, e a duração de nossa vida não o estará também, infinitamente, afastada da eternidade, embora dure dez anos mais? Se tivermos em mente estes infinitos, todos os finitos serão iguais; e não vejo razão para assentar a imaginação em um deles e a preferência ao outro. A simples comparação entre nós e o infinito nos acabrunha. Se o homem procurasse conhecer a si mesmo antes de tudo, perceberia logo a que ponto é incapaz de alcançar outra coisa. Como poderia uma parte conhecer o todo? Mas a parte pode ter, pelo menos, a ambição de conhecer as partes, as quais cabem dentro de suas próprias proporções. E como as partes do mundo têm sempre relações íntimas e intimamente se encadeiam, considero impossível compreender ma sem alcançar as outras, e sem penetrar o todo. O homem, por exemplo, tem relações para durar, de movimento para viver, de elementos que o constituam, de alimentos e calor que o nutram, de ar para respirar; vê a luz, percebe os corpos; em suma, tudo se alia a ele próprio. Para conhecer o homem, portanto, mistério se faz saber de onde vem que precisa de ar para subsistir; e para conhecer o ar é necessário compreender donde provém essa sua relação com a vida do homem, etc. A chama não subsiste sem o ar; o conhecimento de uma coisa, se liga, pois, ao conhecimento de outra. E como todas as coisas são causadoras e causadas, auxiliadoras e auxiliadas, mediatas e imediatas, e todas se acham presas por um vínculo natural e insensível que une as mais afastadas e diferentes, parece-me impossível conhecer as partes sem conhecer o todo, bem como conhecer o todo sem entender particularmente as partes. (A eternidade das coisas, em si mesmas ou em Deus, deve assombrar a nossa ínfima duração. A imobilidade fixa e constante da natureza, em comparação com a transformação contínua que se verifica em nós, deve causar o mesmo efeito). E o que completa a nossa incapacidade de conhecer as coisas é o fato de serem simples em si enquanto nós somos complexos de natureza antagônicos e de gêneros diversos, alma e corpo. Pois é impossível que a parte raciocinante de nós mesmos não seja unicamente espiritual; e se pretenderem que somos tão somente corporais, mais afastarão ainda de nós o conhecimento das coisas, porquanto nada mais será inconcebível do que a matéria conhecer-se a si própria; não podemos conceber de que maneira se conheceria. Assim, se somos simplesmente materiais nada podemos conhecer; e se somos compostos de espírito e matérias não podemos conhecer perfeitamente as coisas simples, espirituais ou corporais. Donde a confusão generalizada entre os filósofos que misturam as ideias das coisas, falando espiritualmente das coisas corporais e corporalmente das coisas espirituais.

52

Tribunais e MPU -Valeria Lanna -Raciocinio Logico e Mat 3ed.indb 52

08/07/2016 15:36:06

Noções de conjuntos ff TRIÂNGULO DE PASCAL N=0

1

N=1

1

1

N=2

1

2

1

N=3

1

3

3

1

N=4

1

4

6

4

1

N=5

1

5

10

10

5

1

N=6

1

6

15

20

15

6

1

N=7

1

7

21

35

35

21

7

N=8

1

1

8

28

56

70

56

28

8

1

P=0

P=1

P=2

P=3

P=4

P=5

P=6

P=7

P=8

No exemplo 01 em que consideramos o conjunto A = {1,2,3} e que o número de subconjuntos será 23 = 8 subconjuntos (soma das linhas) ,ou seja, P(A)={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. Veja também que se o conjunto A possui 03 elementos ele está diretamente ligado à linha 03 do triângulo e seus subconjuntos também, por exemplo: n=3

1

3

3

1

n=4

...

...

...

...

n=5

...

...

...

...

n=6

...

...

...

...

p=0

p=1

p=2

p=3

P(A)={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}

Em P(A), acima enumerado, temos através da terceira linha (n = 3) e na coluna onde p = 0 , o número 1, ou seja, um subconjunto com zero elementos; na coluna onde p = 1 , o número 3, ou seja, 3 subconjuntos com um elemento cada; na coluna onde p = 2, o número 3, ou seja, 3 subconjuntos possuem dois elementos e na coluna onde p = 3, temos o número 1, ou seja, um subconjunto com 03 elementos. Exemplo 03: Cor da pele humana »» No caso da cor da pele humana, considerando apenas 5 fenótipos, envolvendo dois pares de genes N e B, que teriam a mesma função, ou seja, acrescentar uma certa quantidade de melanina à pele, se efetivos (N ou B) ou não acrescentar nada, se não efetivos (n ou b).

Se acontecer um cruzamento entre dihíbridos, quais serão as proporções fenotípicas da descendência? Usando a Genética: (quais são os gametas e os tipos possíveis de filhos gerados?) 53

Tribunais e MPU -Valeria Lanna -Raciocinio Logico e Mat 3ed.indb 53

08/07/2016 15:36:06

VALÉRIA LANNA

NnBb x NnBb Gametas produzidos por ambos: NB, Nb, nB e nb ff GAMETAS

NB

Nb

nB

nb

NB

NNBB

NNBb

NnBB

NnBb

Nb

NNBb

NNbb

NnBb

Nnbb

nB

NnBB

NnBb

nnBB

nnBb

nb

NnBb

Nnbb

nnBb

nnbb

ff FENÓTIPOS

ff NÚMERO DE GENES

Negro(NNBB)

4 genes efetivos e 0 não efetivos

mulatos escuros (NNBb ou nNBB)

3 genes efetivos e 1 não efetivo

mulatos médios (NNbb, nnBB ou NnBb)

2 genes efetivos e 2 não efetivos

mulatos claros (Nnbb ou nnBb)

1 gene efetivo e 3 não efetivos

Branco (nnbb)

0 genes efetivos e 4 não efetivos

Usando o Triângulo de Pascal: Chama-se de p = genes efetivos = 2 (N ou B) e de q = genes não efetivos = 2 (n ou b) Procura-se no triângulo a linha em que o número de genes é igual a 4. ff Nº GENES

ff COEFICIENTES

0

1

1

1 1

2

1 2 1

3

1 3 3 1

4

1 4 6 4 1

1

Negro

4 efetivos e 0 não efetivo

4

Mulatos escuros

3 efetivos e 1 não efetivo

6

Mulatos médios

2 efetivos e 2 não efetivos

4

Mulatos claros

1 efetivo e 3 não efetivos

1

Branco

0 efetivo e 4 não efetivos

54

Tribunais e MPU -Valeria Lanna -Raciocinio Logico e Mat 3ed.indb 54

08/07/2016 15:36:06

Noções de conjuntos

Portanto, na descendência chega-se à seguinte proporção fenotípica: 1 negro : 4 mulatos escuros : 6 mulatos médios : 4 mulatos claros : 1 branco

Curiosidades do Triângulo de Pascal Vejamos o triângulo na sua forma original com 12 linhas: 1 1 1

2

1 1 1 1 1 1 1

1 1

6 7

8 9

36

1 3

6 10

15 21

28

3 4

5

1 1 4 10

1 5

20 15 35 35

56 70

1 6

21

1 7

56 28

84 126 126 84 36

1 8

1 9

1

10 45 120 210 252 210 120 45 10

1

11 55 165 330 462 462 330 165 55 11

1

Curiosidade Matemática Uma outra aplicação do triângulo de Pascal é o desenvolvimento de binômios, ou seja, polinômios elevados à potências, os chamados produtos notáveis: (a + b)2 = (a + b).(a +b) = a.a + a.b + b.a + b.b = a2 + 2.a.b + b2 (Quadrado perfeito) Observando os números da terceira linha (n = 2) do triângulo (1, 2, 1) pode-se perceber que eles representam os coeficientes de a2, a.b  e  b2, ou seja: 1.a2 + 2.a.b + 1.b2. O mais interessante, ainda, é que através do Triângulo de Pascal pode-se desenvolver, além do produto notável (a + b)2, outros produtos do tipo (a + b)3, (a + b)4 e, assim por diante… • N = 3  (a + b)3 = 1.a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + 1.b3  (quarta linha  n = 3) • N = 4  (a + b)4 = 1.a4 + 4.a3.b + 6.a2.b2 + 4.a.b3 + 1.b4 (quinta linha  n = 4) • N=5(a+b)5=1.a5+5.a4.b+10.a3.b2+10.a2.b3+5.a.b4+1.b5 (sexta linhan=5) 55

Tribunais e MPU -Valeria Lanna -Raciocinio Logico e Mat 3ed.indb 55

08/07/2016 15:36:06

VALÉRIA LANNA

Método •

em cada monômio da expressão algébrica há um produto do termo a pelo termo b, isto é a.b ;

•

a partir do primeiro monômio os expoentes de a vão “decrescendo” e os de b vão “crescendo”;

•

a soma dos expoentes de cada monômio da expressão algébrica é igual ao expoente do binômio;

•

o primeiro expoente de a é igual ao expoente do binômio e o último é zero;

•

o primeiro expoente de b é zero e o último é igual ao expoente do binômio;

•

a expressão algébrica possuirá 1 termo a mais que o expoente do binômio.

•

em todos os termos aparece o produto a.b (lembre-se que a0 = b0= 1, a1= a , b1= b)

•

expoentes de a: 5, 4, 3, 2, 1, 0  (ordem decrescente)

•

expoentes de b: 0, 1, 2, 3, 4, 5  (ordem crescente)

•

soma do expoentes de a e de b em cada monômio: 5 (expoente do binômio)

•

a expressão algébrica obtida possui 6 termos (5 + 1) FOCA NA DICA!

Outra dica: podemos usá-lo na resolução de Análise Combinatória!!!!! A análise combinatória, tema que será abordado no capítulo 13, é um dos temas que mais aterrorizam os alunos, por se tratar de assunto que exige raciocínio e prática. Com o triângulo de Pascal, podemos simplificar os cálculos numa abordagem rápida e direta, é claro que usar o triângulo é apenas uma opção, existem outras maneiras de resolver tais problemas, como fórmulas e o P.F.C., que serão abordados posteriormente. As linhas representam quantos elementos temos disponíveis para a escolha e as colunas quantos elementos precisamos , ou são pedidos no problema. Se temos “”x” elementos disponíveis e precisamos de “y” elementos , então o valor procurado vai estar na linha “x” e na coluna”y”, nesta ordem. Vejamos alguns exemplos: 01. (Elaborada pela autora) Quantas comissões de 03 pessoas podemos formar num grupo com 07 componentes? 56

Tribunais e MPU -Valeria Lanna -Raciocinio Logico e Mat 3ed.indb 56

08/07/2016 15:36:07

Noções de conjuntos »» Solução: Temos 07 possíveis escolhas, portanto linha sete (n= 7) e queremos formar comissões de 03 elementos, portanto coluna três (p = 3): valor encontrado 35. n=0

1

n=1

1

1

n=2

1

2

1

n=3

1

3

3

1

n=4

1

4

6

4

1

n=5

1

5

10

10

5

n=6

1

6

15

20

15

6

1

n=7

1

7

21

35

35

21

7

n=8

1 1

1

8

28

56

70

56

28

8

1

p=0

p=1

p=2

p=3

p=4

p=5

p=6

p=7

p=8

Assim podemos formar 35 comissões de 03 pessoas escolhidas dentre sete.

02. (Elaborada pela autora) Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos formar uma diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses? »» Solução: Temos 06 possíveis escolhas para brasileiros, portanto linha seis (n= 6) e 04 possíveis escolhas para japoneses , portanto linha quatro (n = 4); Queremos formar uma diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros, coluna três (p = 3) e 2 japoneses, coluna dois (p = 2) . Devemos escolher brasileiros e japoneses, então iremos multiplicar o número de opções de brasileiros pelo o número de opções de japoneses. Veja os valores no triângulo: Brasileiros: linha seis e coluna três = 20 Japoneses: linha quatro coluna dois = 6 n=0

1

n=1

1

1

n=2

1

2

1

n=3

1

3

3

1

n=4

1

4

6

4

1

n=5

1

5

10

10

5

n=6

1

6

15

20

15

6

1

n=7

1

7

21

35

35

21

7

n=8

1 1

1

8

28

56

70

56

28

8

1

p=0

p=1

p=2

p=3

p=4

p=5

p=6

p=7

p=8

Portanto o valor desejado será o resultado do produto: 20 x 6 = 120 possíveis diretorias.

57

Tribunais e MPU -Valeria Lanna -Raciocinio Logico e Mat 3ed.indb 57

08/07/2016 15:36:07

VALÉRIA LANNA

 QUESTÕES COMENTADAS Julgue os itens seguintes quanto aos princípios de contagem. 03. (TRT/9ª) Em um tribunal, os julgamentos dos processos são feitos em comissões compostas por 3 desembargadores de uma turma de 5 desembargadores. Nessa situação, a quantidade de maneiras diferentes de se constituírem essas comissões é superior a 12. ►► Comentários: Temos 05 possíveis escolhas, portanto linha cinco (n= 5) e queremos formar comissões de 03 desembargadores, portanto coluna três (p = 3): valor encontrado 10. n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8

1 1 1 1 1 1 1 1 1 p=0

1 2 3 4 5 6 7 8 p=1

1 3 6 10 15 21 28 p=2

1 4 10 20 35 56 p=3

1 5 15 35 70 p=4

1 6 21 56 p=5

1 7 28 p=6

1 8 p=7

1 p=8

Assim podemos formar 10 comissões de 03 desembargadores escolhidos dentre cinco, portanto o item está errado. 04. a) b) c) d) e) ►►

(FUNDEP) Se M = {1, 2, 3, …, 7}, o número de subconjuntos de M, com 3 elementos, é igual a: 6 21 35 49 210 Comentários: Temos 07 possíveis escolhas, portanto linha sete (n= 7) e queremos formar comissões de 03 elementos, portanto coluna três (p = 3): valor encontrado 35. n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8

1 1 1 1 1 1 1 1 1 p=0

1 2 3 4 5 6 7 8 p=1

1 3 6 10 15 21 28 p=2

1 4 10 20 35 56 p=3

1 5 15 35 70 p=4

1 6 21 56 p=5

1 7 28 p=6

1 8 p=7

1 p=8

Assim podemos formar 35 subconjuntos de 03 elementos escolhidas dentre sete, alternativa correta letra C.

58

Tribunais e MPU -Valeria Lanna -Raciocinio Logico e Mat 3ed.indb 58

08/07/2016 15:36:07

Noções de conjuntos 05. Julgue os itens seguintes quanto aos princípios de contagem.

( ) (CESPE/BB- escriturário/2007) Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcionários de uma repartição de modo que o funcionário mais recentemente contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2 tarefas cada um. Nessa situação, sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um funcionário, é correto concluir que o chefe da repartição dispõe de menos de 120 maneiras diferentes para distribuir essas tarefas.

►► Comentários: Temos 07 possíveis escolhas e devemos escolher 03 tarefas para o primeiro e duas para os outros dois funcionários da seguinte maneira: 1º) Das sete vamos escolher três, linha sete (n = 7) e coluna três (p = 3) → 35 n=0

1

n=1

1

1

n=2

1

2

1

n=3

1

3

3

1

n=4

1

4

6

4

1

n=5

1

5

10

10

5

n=6

1

6

15

20

15

6

1

n=7

1

7

21

35

35

21

7

1

n=8

1

8

28

56

70

56

28

8

1

p=0

p=1

p=2

p=3

p=4

p=5

p=6

p=7

p=8

1

2º) Das quatro que sobraram vamos escolher duas para o segundo funcionário, portanto linha quatro (n = 4) e coluna dois (p = 2) → 6 n=0

1

n=1

1

1

n=2

1

2

1

n=3

1

3

3

1

n=4

1

4

6

4

1

n=5

1

5

10

10

5

1

n=6

1

6

15

20

15

6

n=7

1

7

21

35

35

21

7

1

n=8

1

8

28

56

70

56

28

8

1

p=0

p=1

p=2

p=3

p=4

p=5

p=6

p=7

p=8

1

3º) Das duas restantes devemos escolher as duas últimas tarefas para o terceiro funcionário, portanto linha dois (n = 2) e coluna dois (p = 2) → 1

59

Tribunais e MPU -Valeria Lanna -Raciocinio Logico e Mat 3ed.indb 59

08/07/2016 15:36:07

VALÉRIA LANNA n=0

1

n=1

1

1

n=2

1

2

1

n=3

1

3

3

1

n=4

1

4

6

4

1

n=5

1

5

10

10

5

n=6

1

6

15

20

15

6

1

n=7

1

7

21

35

35

21

7

1

n=8

1

8

28

56

70

56

28

8

1

p=0

p=1

p=2

p=3

p=4

p=5

p=6

p=7

p=8

1

O produto das três escolhas, ou seja, 35 x 6 x 1 = 210 possíveis escolhas de dividir as tarefas, portanto o item está errado. 06. (UNB/Téc. Ad./ANCINE/2006) Suponha que uma distribuidora de filmes tenha 6 filmes de animação e 5 comédias para distribuição. Nesse caso, é superior a 140 e inferior a 160 o número de formas distintas pelas quais 4 desses filmes podem ser distribuídos de modo que 2 sejam comédias e 2 sejam de animação. ►► Comentários: Temos 06 possíveis escolhas para filmes de animação, portanto linha seis (n= 6) e 05 possíveis escolhas para comédias , portanto linha cinco (n = 5); Queremos formar grupos de 04 filmes, 02 de animação e 02 de comédia, coluna dois (p = 2) . Devemos multiplicar o número de opções de filmes de animação pelo o número de opções de fimes de comédia. Veja os valores no triângulo: Animação: linha seis e coluna dois = 15 Comédia: linha cinco coluna dois = 10 n=0

1

n=1

1

1

n=2

1

2

1

n=3

1

3

3

1

n=4

1

4

6

4

1

n=5

1

5

10

10

5

1

n=6

1

6

15

20

15

6

1

n=7

1

7

21

35

35

21

7

1

n=8

1

8

28

56

70

56

28

8

1

p=0

p=1

p=2

p=3

p=4

p=5

p=6

p=7

p=8

Portanto o valor desejado será o resultado do produto: 15 x 10 = 150 possíveis grupos, que é um valor compreendido entre 140 e 160, logo o item está correto.

60

Tribunais e MPU -Valeria Lanna -Raciocinio Logico e Mat 3ed.indb 60

08/07/2016 15:36:07