Racines Carrees Base

 

 

THEME : RACINE CARREE

 TYPES D’EXERCIcES SOUVENT RENCONTRES

 11  type type  d’exercice Rappel :  Nous

connaissons la valeur de certaines racines carrées. Par exemple : 4 =2 ( car 2² = 4 ) , 36 = 6 ( ca carr 6² = 36 ) , 1  = 1 ( car 1² = 1 ) 100 = 10 ( car 10² = 100 ) 1211 121104 04 = 348 ( car 348² = 1211 121104 04 ) ( avec l’aide de la calculatrice !!! )   2,25 = 1,5 ( car 1,5² = 2,25 ) …. Mais il est impos impossible sible de donne donnerr une valeu valeurr sous forme décima décimale le de 2 , de 3 , de 8 , …  D’après le cours , nous savons qu’il existe ( ?? ) un u n nombre dont le carré est 2, mais nous ne pouvons pas en donner la valeur… décimale ( cette valeur décimale n’existant pas ! ) Pour 2 , la la ccalc alcula ulatric tricee d don onne ne com comme me val valeur eur app approc rochée hée : 1,414213562  ( il existe d’autres chiffres après le 2 ) Ce nombre 1,414213562 élevé au carré donne ( à la calculatrice ) : ( mais pas 2 !!! ) 1,414213562² = 1,999999999 Nous savons savons que ce nombre 2 est co compris mpris eentre ntre 1,4 et 1, 1,5, 5, ou, avec pplus lus de précis précision, ion, ent entre re 1,41 et 1,42 , ou encore entre 1,414213562 et 1,414213563 , mais nous ne pouvon pouvonss pas lui donner une valeur décimale .

Par contre, il existe des racines carrées faciles à connaître. Ce sont les racines carrées des nombres appelés des « carrés parfaits » ( Un carré parfait est le carré d'un entier ) . Par exemple 1 , 4 , 9 , 16 , 25 ,… sont des carrés parfaits . Elévation au au  carré

Nombre Carré

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

4

9

16

25

36

49

64

81

Ces quelques carrés parfaits sont à connaître.

10

11

12

100 121 144

… …

Racine carrée 

 

Pa Parr eexe xemp mple le,, llee ccar arré ré de 7 eest st 49 , donc la racine carrée de 49 est 7. 49 = 7 De même, même, llee carré de 8 est 64 , don la racine carrée de 64 est 8. 64 = 8 Nous avons donc le tableau suivant : Nombre Racine carrée  Une

4

9

4 =2

9 =3

propriété du cours :

a × b 

1

16 =

=

a

25

36

49

64

81

25  = 5

36  = 6

49  = 7

64  = 8

81 =9

×

b 

10  

10

=1

121

144

…

121 = 11

144 = 12

…

avec a et b positif

Remarque : a+b

≠  

a

+

b  

Conséquences : Cette propriété, concernant la multi lication et les racines carrées, va nous pe mettre de simplifier certaines racines carrées.  Simplifions par exemple 8 . Cher Ch erch chon onss si le no nomb mbre re 8 eest st é al au pro produit duit d’u d’unn carré carré pa parfai rfaitt pa parr un autre nombre . Nous avons 8 = 4 x 2. Donc : 8 = 4 × 2  = 4 × 2 = 2 × 2 = 2 2  Simplifions

32 . Quel Qu el carr carréé ppaarf rfai aitt eest st un di divi viss ur de 32 ? En les prenant dans l’ordre croissant, nous nous con constato statons ns que le ca carré rré par parfai fai 4 est un diviseur de 32 Nous avons donc : 32 = 4 × 8  = 4 × 8   = 2 8   Mais la simplification n’est pas ot otal ale. e. 8 peut peut enco encore re se si simp mpli lifi fieer co com m e nous l’avons vu précédemment. 32 = 4 × 8  = 4 × 8 = 2 8 = 2 4 × 2  = 2 4 × 2 = 2 × 2 × 2 = 4 ×  2 = 4 2   Il est cependant possible d’eff ctuer cette simpl simplificatio ificationn plus rapide rapidemen ment. Si 4 est un diviseur de 32, il existe parmi les carrés p rfaits inférieurs à 32 ( 4 , 9 , 16 , 25 ) un autre diviseur de 32. Le carré parfa parfait it 16 divise 32. Nou avons donc : 32 = 16 × 2  = 16 × 2 = 4 2    Simplifions 12 .  4 est un carré parfait et divise di vise 12. Nous avons donc : 12 = 4 × 3  = 4 × =2 3  ( 3 n’étant pas divisible par un ca carr rréé pa parf rfai aitt de la li list stee donn donnée ée,, la sim impl plif ifii ation est terminée. )

Et si nous nous éc écrivi rivions ons 12 12 com comme me l produit de 6 par par 2 ? Cett Cettee faço façonn de fair n’est pas à conseiller puisque ni 6 , ni 2 ne sont des c rrés parfaits. Cependant, nous pouvons é rire 12 = 6 × 2  = 6 × 2 = 2 × 3 × 2 = 2 × 3 × 2 = ( 2 )²  3 = 2 × 3 = 2 3    

Exercice 1:  Simplifie Simpli fierr les écr écritu iture res suivantes : A = 2 20 - 45 +  125 C = 96 + 2 6 - 2 24 - 3 54  

 

B = 7 3 - 3 48 + 5 12   D = 2 32 - 3 50 + 6 8

 

 

Correction :

 Les carrés parfaits : ( sauf 1 ) 20  - 45 + 125   4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , … Simplifions les différentes racines de cette expression. et la racine carrée de ces carrés parfaits : Nous avons : 4 = 2 , 9 = 3 16 = 4 , 25 = 5 , 20 = 4 × 5 = 4  × 5 = 2 × 5 = 2 5   36 = 6 , 49 = 7 , … 45 = 9 × 5 = 9   × 5 = 3 × 5 = 3 5   125 = 25 × 5 = 25  × 5 = 5 × 5 = 5 5   Remplaçons, dans l’expression l’expression A, ces racines ca carrées rrées par leurs éc écritures ritures simplifiées. Nous avons : A = 2 × 2 5  − 3 5 + 5 5   A = 4 5 −  3 5 + 5 5 = ( 4 – 3 + 5 ) 5 = 6 5   A =  6 5   li eu de simplifier séparément les différentes racines, Remarque : Une autre rédaction est souhaitée. Au lieu nous pouvons, dans l’expression A, les simplifier simultanément.   A = 2

  B

= 7 3 − 3  48 + 5 12   Nous avons successivement : B = 7 3 − 3 4 ×  12 + 5 4 × 3   B = 7 3 − 3 4 ×  12 + 5 4 × 3   B = 7 3 − 3 × 2 ×  12 + 5 × 2 × 3   B = 7 3 − 6  12 + 10 3   B = 17  3 − 6 12   Nous devon devonss conti continuer nuer et simpl simplifier ifier 12 B = 17 3 −  6 4 × 3 = 17 3 −   6  × 2 × 3 = 17  3

−

12 3  = 5 3

La simplification de 48 a éété té exécutée en deux éétapes. tapes. La rédaction pouvait être plus rapide en constatant que 48 = 16 × 3 . Nous obtenons alors : B = 7 3 − 3 16  × 3 + 5 4 × 3   B = 7 3 − 3 16 ×  3 + 5 4 × 3   B = 7 3 − 3 × 4 ×  3 + 5 × 2 × 3   B = 7 3 − 12 3 + 10 3 = 5 3   B=5 3       C

= 96 + 2 6 −  2 24 − 3 54   Essayons de déterminer dans chaque radicande ( nombre situé sous le radical ) le carré parfait le plus grand possible. C = 16 × 6 + 2 6 − 2  4 × 6 − 3 9 × 6   C = 16 × 6 + 2 6 − 2   4 × 6 − 3 9 × 6   C = 4 6 + 2 6 −  2 × 2 6 − 3 × 3 6   C = 4 6 + 2 6  − 4 6 − 9 6 = − 7 6   C = −7 6    D

= 2 32 −  3 50 + 6 8   D = 2 16 × 2 − 3 25   ×2 + 6 4 ×2   2 16 × 2 − 3 25 2 +6 4 × 2     × D = 2 × 4 × 2 − 3 × 5 × 2 + 6 × 2 × 2   D = 8 2 − 15   2 + 12 2  = 5 2  

D= 5 2

 

Exercice 2 : Brev

t des Collèges - Guadeloupe-Guyane-Martinique – 97

Ecrire le nombre suiv nt sous sous la for forme me a b , a et b étant étant deu entiers avec b entier positif le plus petit p ssible.  75 × 6   D=  

 

Correction : D = 2   75 × 6   Attention, Attent ion, ccette ette eexpres xpression sion nn'est 'est ppaas une somme ( ou une différence ) , mais un produit !

 Méthode 1 :

 Les carrés pa rfaits : ( sauf 1 ) 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , …

et la racine car ée de ces carrés parfaits : 4 = 2 , 9 = 3 16 = 4 , 25 = 5 , 36 = 6 , 9 =7,…

Cettee m Cett mét étho hode de est est ppeeu ccon onse seil illé lée, e, m me si, dans notre cas, elle elle peut peut être être ra rappide. ide. Il est est ppré réfé féra ra le, en Mathématiques, de trav travai aill lleer aave vecc d des es "pet "petit its" s" no nomb mb es plutôt qu'avec des "grands" ! et d doi oitt ) êt être re lu luee d dan anss lles es deux deux se sens ns.. N us pouvons, et uniquement La propriété a × b =  a × b  peu ( et da dans ns un pr prod oduit uit,, re regr grou oupe perr les les rac racin in s carrées. D = 2 75   × 6 = 2 75 × 6 = 2 450   Nous No us de devo vonns mai ainnte tennant ant si simp mpli liffie ierr c tte expression. D = 2 450 9 × 50 = 2 9 × 50  = 2 × 3 × 50 = 6 50     =2 Continuons : D = 6 50  = 6 25 × = 6 25 × 2 =  6 × 5 × 2 = 30 2    

 Méthode 2 : simplifiable ifiable ) . Nous avons avons : Simplifions chaque " racine carrée " ( Seul 75 est simpl D = 2 25   ×3 × 6  D = 2 25   × 3× 6  D = 2 ×5×   3 × 6 = 0×   3 × 6   A ce st stad adee , d deu eux xm mét étho hode dess s' s'of offr free t encore à nous : D = 10 × 3 × 6 =  10 × 18 = 10 × 9 × 2 = 10 × 9 × 2 = 10 × 3 × 2 = = 30 2   ou 2 = 30 2   D = 10 × 3 × 6  = 10 × 3 × 3 × 2 10 × 3 × 3 × 2 = 10  × ( 3 )²× 2 = 10 × 3 × 2 = 30   ×  

 m

 22  t  pe  d’exercice

:  Exercice 3 :  Simplifier les expressions suivantes : A =( C =(

2 - 1 )(  2 - 2 ) 6 + 2 )( 3 - 2 ) 

E = ( 3 2 - 1 )2 - ( 2

2 + 1 )(

  

B = ( 2 2 -   5 )( 2 + 5 )  D = ( 3 + 5 ) 2 - ( 3 - 5 ) 2   2 -1 )

 

Correction :   A =

( 2 - 1 )( 2 - 2 )   A = 2 × 2 - 2   × 2 - 1 × 2 + 1 × 2  = A = 2 2 - (  2 )² - 2 + 2   mais ( 2 )²  = 2 A = 2 2 -  2 - 2 + 2   A = ( 2 - 1 )( 2 - 2 )   A = -  4 + 3 2   Si nous nous rem rempla plaçon çonss 2 par x, nous nous obt obteno enons ns ll'exp 'expres ressio sionn A = ( x – 1 )( 2 – x ) A = -  4 + 3 2   En développant, nous obtenons : A = 2x – x² - 2 + x Comparez avec l'écriture A = 2 2 - (  2 )² - 2 + 2   Continuons et réduisons notre expression. Nous avons : A = - x² + 3x – 2 Remplaçons Rempl açons mainte maintenant nant x par 2 ( le contraire de la première étape )  A = - ( 2 )² + 3 2 -  2 = - 2 + 3 2 - 2 = - 4 + 3 2   Nous retrouvons le résultat obtenu ci-dessus.

Remarque : Ne procédez pas ainsi. Il faut comprendre et constater que les méthodes de développement sont identiques à celles utilisées dans le calcul littéral. Ne revenez pas à une écriture littérale. Il faut procéder directement comme ci-dessus avec les racines   B =

( 2 2 -   5 )( 2 + 5 )   B =2 2 × 2 +2 2 × 5 - 5 × 2 -  5 × 5   B = 2( 2 )² + 2 2 × 5 - 5 × 2 -  ( 5 )²  Sachant que ( 2 )²  = 2 , que ( 5 )² = 5 et que 2   × 5 = 5   × 2 = B = 2 × 2 + 2 10 - 10 -  5   = 4 + 2 10 - 10 -  5  = - 1  + 10  

10 , nou nouss avons avons :

B = -  1 + 10  

  C = (

6 + 2 )( 3 - 2 ) C = 6 × 3  - 6 × 2 + 2 3 - 2  

C C == C= C =3

2  

Nous pouvons également écrire ( 3ème ligne ) : C = 3 × 2 2  - 2 × 3 3 + 2 3 - 2 2   C = 2 3 3  - 3 2 2 + 2 3 - 2 2  

+

18 9 × 2-   - 12 4 ×23 +32 - 23 -22 9 × 2 - 4× 3 +2 3 2  - 2 3 + 2 3 - 2 2

 2   -2 2   = 2

C = 2 ( 3 )²  - 3 ( 2 )²+ 2 3 - 2 2 C = 2 × 3  - 3 × 2 + 2 3 - 2 2   Soit C =3 2  - 2 3 + 2 3 - 2 2   Et donc C = 2

C= 2   3 + 5 )2 - ( 3 - 5 )2   D = ( 3 )²+ 2 × 3 × 5 + ( 5  )² -   ( 3 )²- 2 × 3 × 5 D = ( 3+2 3 5 + 5 3 5 + 5)    ) - ( 3-2 D = 3+2 3   5 + 5 - 3+2 3 5 - 5  

  D = (

=

D 4 3 5   ou

=

 

×

=

D 4 3 5 4 15  

D = 4 15  

+

( 5 )²  

 

 

2 - 1 )2 - ( 2 2 + 1 )( 2   1 )   E = [ (3 2 )² -  2 × 3 2 × 1 + 1²] - [ 2 ( 2 )² - 2 2 + 2 - 1 ] E = [ 3² ( 2 )² -  6 2 + 1 ] - [ 2 × 2 - 2 2 + 2 - 1 ]   E = [ 9 × 2  - 6 2 + 1 ] - [ 4 - 2 2 + 2 - 1 ] E = [ 18 -  6 2 + 1 ] - [ 4 - 2 2 + 2 - 1 ]   E = 18 - 6 2 + 1   - 4 + 2 2 - 2 + 1   E = 16 - 5 2

E =( 3

E = 16 - 5 2

 

 Autres  Autre ss tt  pes  pe ss  Exercice 4 ::  

 d’exerc ces  ce ss

On donne les nombres :  a = 2 5 - 3   et     b = 2 5 + 3  Calculer a + b , a - b , a² + b² , ab et ( a + b )²

Correction :  Att Attent ention ion

aux paren aux parenthè thèse se

 Calcul

de a + b : Remplaçons a et b par les valeurs do nées ci-dessus. Le Less  di diffé fére rennte tess va valeurs s nt entre parenthèses .  a + b = ( 2 5 − 3 )  + ( 2 5 + 3 )   a+b= 2 5

−

3  + 2 5

+

3  = 4 5  

de a - b : a - b = ( 2 5 − 3 )  − ( 2 5 + 3 )   a - b = 2 5 − 3  − 2 5 − 3  = - 6

a + b =  4 5

 

 Calcul

a - b = - 6 

 Calcul

de a² + b²:  a² + b² = ( 2 5 − 3 )² 5 + 3)   + (2 a² + b² = [ (2 5 )² − 12   5 + 3² ] + (2 5 )² + 12 5 + 3²]   a² + b² = [ 2²( 5 )² −  12 5 + 9 ] + [ 2²( 5 )² + 12 5 + 9 ]   a² + b² = [ 4 × 5 − 12  5 + 9 ] + [ 4 × + 12 5 + 9 ]   a² + b² = [ 20 − 12 5   + 9 ] + [ 20 + 1 5   + 9 ]   a² + b² = [ 29 − 12  5 ] + [ 29 + 12 5 ]  = 29 − 12 5  + 29 + 12 5  = 58   a² + b² = 20 − 12   5 + 9 + 20 + 12 5 + 9  = 20 + 9 + 20 + 9 = 58  

a² + b² = 58    Calcul

de ab :   ab = a × b = ( 2 5   − 3 )( 2 5 + 3 )   ab = ( 2 5  )² − 3² = 2²( 5  )² − 3²  = 4 ×  5 − 9 = 20 – 9 = 11

ab = 11

 

 Calcul

de ( a + b )² :  ( a + b )² = [( 2 5 − 3 )  + ( 2 5 + 3 ]²  ( a + b )² = [ 2 5 − 3  + 2 5 + 3 ]²   ( a + b )² = [ 4 5 ]²   ( a + b )² = 4²( 5 )² = 16 × 5  = 80

( a + b )² = 80 

des Collèges - Poitiers - 199 Exercice 5 : d'a2pr- 2s Brevet Prouver que 8 75 5 12   est un nombre entier . ( l ×

+

symbole "x" est le symbole

de la multiplication )

Correction :  8   × 2  = 16 = 4 (d’après la propriété a × b =  a × b  qui doit également se lire L’expression L’exp ression à cal calculer culer est do donc nc éga égall à ( nous appellerons A cette expression ) : A = 8 × 2 − 2  75 + 5 12   A = 16 − 2 25 ×  3 + 5 4 × 3   A = 4 − 2 25 ×   3 + 5 4 × 3   A = 4 − 2 ×5×   3 + 5×2× 3   A = 4 − 10  3 + 10 3  = 4

a

×

Le premier terme pouvait également être simplifié comme suit : 8 × 2 = 4 × 2  × 2 = 4 × 2 × 2 = 2 × ( 2  )² = 2 × 2 = 4    

:  Exercice 6 :  Les côt côtés és d'un tria triangl ngl IJK ont pour longueurs : 3 + 3

=

a × b ) 

A = 4 do donc A est un entier 

 

Remarque :

IJ = 2

b 

IK = 3

3

- 2

et

JK = 2

13 13

Démontrer que le triangle IJK est r ctangle.  

Correction :  Recherche du plus grand côté : A l’l’aide de la calculatrice , nous constatons que : IJ = 2 3 + 3 ≈ 6,46 13 IK 3 3 − 2 ≈ 3,19 et JK = Par conséquen conséquentt , si le trian triangle gle IJK est rectangle rectangle , il ne ppeut eut êtr êtree recta rectangle ngle qu qu’e ’en I. Le triangle IJK est-il rectangle en I ? Nous avons ( calculs séparés ) :  JK² = (2 13 )² 1 )² = 4 × 13 = 52     =  2² × (  IJ² + IK² = ( 2 3   + 3 )² + ( 3 3 − 2 )²     IJ² + IK² = [( 2 3  )² + 12 3 + 3²] + [( 3   3 )² − 12 3 + 2² ]     IJ² + IK² = [ 2²(   3 )² + 1 3 + 9 ] + [ 3²(   3 )² − 12 3 + 4 ]     IJ² + IK² = [ 4 ×  3 + 12 3 + 9 ] + [ 9 × 3 − 12 3 + 4 ]  

≈

7,21

 

  IJ² + IK² = [ 12 + 12 3 + ] + [ 27 − 12 3 + 4 ]     Continuons le calcul dans chaque par nthèse ou supprimons les : IJ² + IK² = 12 + 12  3 + 9 + 27 − 12 3 + 4  = 12 + 9 +27 + 4 = 52 Ces deux calcul calculss pe permett rmettent ent d’écri d’écrirr que : JK² = IJ² + IK² Donc Do nc,, d d’a ’apprès rès la la ré réci cippro roqu quee d duu tthé héor or me de Pythagore, le triangle IJK est rectangle en I 

des Collèges - Caen - 1994  Exercice 7 : Brevet Soit l'expression = x² - 6x + 7 Calculer C pour x = 5   ( Ecrire le résultat  sous la forme a + b Calculer C pour x =  3 + 2  

5)

Correction :   Calcul

de C pour x =

5:

Nous avons : C = ( 5 )²  - 6 × 5 + 7   C = 5 -  6 5 + 7  = 12 - 6 5    Calcul de C pour x = 3 + 2 : Nous avons : C = ( 3 + 2 )² - 6 ( 3 + 2 ) + 7   C = [ 3² + 2 × 3 × 2  + ( 2 )²] - 6 ( 3 + C = [ 9 + 6 2 + 2  ] - 6 ( 3 + 2 ) + 7   C = 9 + 6 2 +  2 - 18 − 6 2 + 7  = 0

C   = 12 - 6 5  

2 )+ 7 

C = 0 

Exercice 8 : Brevet des Collèges - Nice - Montpellier - Toulouse - 1991  Dévelo Déve lopp pper er et éécr crir ir le plus simplement possible : D = ( 4 + 5  2 )² + ( 2 + 3 )( 3 2 + 7 )    

Correction :  D =  ( 4 + 5 2 )² 2 + 3 )( 3 2 + 7 )     +(2 D = [ 4² + 40 2  + ( 5 2 )²] + ( 6 ( 2 )² + 14 2  + 9 2 + 21 )   D = [ 16 + 40 2 +   5²× ( 2 )²] + ( 6 × 2 + 14 2 + 9 2 + 21 )   D = [ 16 + 40 2 +   25 × 2 ] + ( 12 + 14 2 + 9 2 + 21 )   D = [ 16 + 40 2  +  50 ] + ( 12 + 14 2 + 9 2 + 21 )   D = 16 + 40 2 +  50  + 12 + 14 2 + 2 + 21   D = 16 +  50 + 12 +  21 + 40 2

 

+

14

+

9 2  = 99   + 63 2  

D =  99   + 63 2