Raccolta Degli Esercizi Di Idraulica 2011.12

Esercitazioni del corso di Idraulica Idrodinamica Esercizio 1

05-feb-08

esame

Civili

Nel sistema rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata Q0 da un serbatoio A a quota YA tramite una condotta in ghisa in servizio corrente. Successivamente si decide di incrementare la portata a servizio del serbatoio B, passando dal valore Q0 al valore αQ0 con α > 1, tramite una immissione concentrata nel nodo C. A tal fine si intende realizzare un raddoppio di condotta a valle del nodo C (figura 4.b). L’allievo determini: - per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.a, la portata Q0 da erogare a servizio del serbatoio B; - per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.b, il diametro Dr da assegnare alla nuova tubazione nell’ipotesi di lasciare inalterata la portata Q0 erogata dal serbatoio A.

α=

1.2 +

=

-

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

=

mm

=

m

=

m

seconda cifra della matricola * 0.05 YA =

200 + seconda cifra della matricola * 2

YB =

150 + prima cifra della matricola * 2

D=

185 + seconda cifra della matricola * 2

L=

2000 + terza cifra della matricola * 20

Lr =

500 + seconda cifra della matricola * 25

ultime cifre della matricola scelta: 9 5 7 2 9,81 m/s 2 1,006E-06 m /s

g ν α YA

1,45 218 m

YB D L Lr

160 m 195 mm

0,195 m 2140 m 625 m

Il

quesito

consiste

nel

determinare

la

portata

Q0

da

erogare

inizialmente

a

servizio

del

serbatoio

B

ed

il

diametro

Dr

da

assegnare al nuovo tronco in parallelo, affinché il serbatoio eroghi sempre Q0. La piezometrica sul tratto A - C è pertanto la stessa nei due casi. Dovendo poi essere congiunta al serbatoio B, si può concludere che la piezometrica è la stessa nei due casi, tra i due serbatoi. Ne deriva che sul vecchio tronco in parallelo circolerà ancora Q0, mentre sul nuovo (α - 1)Q0. ε

0,2 mm

valore scelto per la scabrezza della tubazione, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di conservazione della parete interna

ε/D

0,001 -

corrispondente scabrezza relativa

Schema 4.a Ipotesi: moto assolutamente turbolento λturb,1 ΣD cturb JA-B,1 QA-B,1 VA-B,1 Re1

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] } , formula di Prandtl. 2

0,020 2

0,030 m 5,78 s2/m6 0,0271 0,068 m3/s 2,29 m/s 444287,47 -

π * D /4, area della sezione della tubazione originaria. 2 5 2 8*λ λturb,1/(g*π π *D ), avendo posto JA-B,1 = cturb*QA-B,1 , dove cturb raggruppa le costanti e variabili note 2

( YA-YB ) / L, cadente piezometrica. 1/2

(JA-B,1 / c1) , portata circolante. QA-B,1 / ΣD, velocità in condotta. VA-B,1 D / ν , numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody: nel caso di moto non assolutamente turbolento, riferiamoci alla formulazione completa di Colebrook - White.

Formulazione completa con formula di Colebrook - White λC-W cC-W

0,020 5,98 s2/m6

coefficiente di resistenza di tentativo. il valore di primo tentativo viene posto pari a circa il corrispondente fornito della formula di Prandtl; la formula di Colebrook - White può ammettere più soluzioni; quella giusta è compresa tra 0,01 e 0,08 (si veda abaco di Moody)

Re1

432749,03 -

2 , 51   λ  10  

−

1 2

λ

−

 ε  1 3 , 715 D  

numero di Reynolds di tentativo, ottenuto dalla relazione di Colebrook - White. QA-B,1

JA-B, di tent F(JA-B, di tent)

0,067 m3/s 0,027 -0,0005 -

(π π D Re1 ν / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re. c1 * QA-B,12, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo. JA-B - JA-B, di tent, l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione. Macro: "Idrodinamica_Es1_Calcola_Q"

Schema 4.b Qp,n

0,031 m3/s

( α - 1 )Q0, portata sul nuovo tronco di tubazione in parallelo.

A differenza della procedura iterativa precedente, in questo caso fissando λ come parametro di iterazione della formula di Colebrook - White, ne deriva una equazione di secondo grado nell'incognita Dr. Seguono i coefficienti dell'equazione:

εp,n

0,02 mm

εp,n

0,00002 m

λC-W

valore scelto per la scabrezza della nuova tubazione,

da affiancare al tratto preesistente coefficiente di resistenza di tentativo.

0,016 -

La formula di Colebrook - White può ammettere più soluzioni; quella corretta è compresa tra 0,01 e 0,08 (vedi abaco di Moody).

A

0,00051

B

-0,00011

C

0,000005

2,51 ⋅ π ⋅ ν 4 ⋅ Q p,n ⋅ λ

− 10

−

coefficiente moltiplicativo del termine quadratico.

1 2 λ

ε p, n

coefficiente moltiplicativo del termine lineare. coefficiente costante.

3,715

Dp,n

2

JC-B, di tent

8 * λC-W * Qp,n2 /( g *π π2 * Dp,n5), cadente di tentativo; il valore soluzione

0,0274 -

F(JC-B, di tent.)

1/2

(-B+(B -4AC) )/2A, soluzione dell'equazione quadratica.

0,135 m

è fornito cliccando su ricerca obiettivo. JC-B - JC-B, di tent, l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.

-0,000269 -

Macro: "Idrodinamica_Es1_Calcola_Dpn"

Esercizio 2

02-dic-08

esame

Civili

Nell’impianto di adduzione rappresentato in figura il serbatoio B a a quota geometrica zB riceve una portata Q da un serbatoio in pressione A a quota geometrica zA, tramite una condotta in acciaio di diametro D con rivestimento bituminoso a spessore. L’allievo determini la quota piezometrica in A, la lettura ∆ del manometro differenziale a mercurio, posizionato tra i due serbatoi e tracci l’andamento qualitativo della linea piezometrica. zA =

100 +

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

=

m

=

l/s

=

mm

seconda cifra della matricola * 2 YB =

150 + prima cifra della matricola * 2

L=

3000 + prima cifra della matricola * 50

Q=

75 + terza cifra della matricola * 3

D=

215 + seconda cifra della matricola * 3

ultime cifre della matricola scelta: 2 9 0 B 2

9,81 m/s 2 1,006E-06 m /s 118 m

g ν zA

D

YB

154 m

L

3100 m 3 0,045 m /s

Q

45 l/s

D

242 mm

Innanzitutto

si

procede

alla

A

0,242 m

determinazione

della

L

cadente

J

sulla

base

dell'equazione

di

Darcy

-

Weisbach;

l'indice

viene di seguito ricavato per tentativi, tramite una funzione ricerca obiettivo costruita sulla formula di Colebrook - White:

ΣD v ε

0,046 m2 0,98 m/s 0,1 mm

ε ε/D

0,00041 -

λturb1

0,016 -

λC-W

0,018 -

0,0001 m

π * D2/4, area della sezione della tubazione. Q / ΣD, velocità in condotta. valore scelto per la scabrezza della tubazione. scabrezza assoluta espressa in metri. scabrezza relativa. 2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] } , formula di Prandtl. coefficiente di resistenza di tentativo. il valore di primo tentativo viene posto pari a circa il corrispondente fornito della formula di Prandtl; la formula di Colebrook - White può ammettere più soluzioni; quella giusta è compresa tra 0,01 e 0,08 (si veda abaco di Moody).

Re F(λC-W)

235347,34 -0,01104

4 Q / (π π D ν ), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante. F(λ C − W ) =

1 λ

 ε 2.51 + 2 ⋅ LOG10 +  2.715 ⋅ D Re⋅ λ

   

uguale a 0 per il valore soluzione di λC-W

Macro: "Idrodinamica_Es2_Calcola_lamba_C_W"

JA-B

0,00365 -

8 * λ * Q2 /( g *π π2 * D5), cadente di tentativo; il valore soluzione. si ottiene risolvendo il polinomio F(λC-W)

Si procede quindi al calcolo della differenza di quota piezometrica tra i due serbatoi ed infine alla lettura del manometro metallico: ∆YA-B ∆ YA

11,32 m 0,90 m 165,32 m

JA-B L, differenza di quota piezometrica tra A e B ∆YA-B γ/(γm - γ), lettura del manometro YB +∆ ∆YAB, quota piezometrica al serbatoio A

di

resistenza

Esercizio 3

28-ott-08

esame

Civili

Nel sistema rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata QA-B,1 da un serbatoio A a quota YA, tramite una condotta in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore. Successivamente (figura 4.b) si decide di erogare una portata concentrata q in corrispondenza del nodo N, posto a distanza LA-N dal serbatoio di monte, a quota zN. L’allievo determini: - per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.a, la portata QA-B,1 da erogare a servizio del serbatoio B; - per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.b, la potenza teorica di una pompa installata subito a valle del nodo N, affinché B riceva sempre QA-B,1 e l’altezza piezometrica nel nodo N sia pari o superiore a 10 m; - la portata concentrata q erogata dal nodo sulla base dei vincoli riportati in precedenza; -

le piezometriche per i due sistemi. YA =

200 +

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

=

mm

=

m

=

m

=

m

seconda cifra della matricola * 2 YB =

150 + prima cifra della matricola * 2

D=

185 + seconda cifra della matricola * 2

L=

2000 + terza cifra della matricola * 20

LAN =

1200 + seconda cifra della matricola * 20

zN =

110 + seconda cifra della matricola * 2

ultime cifre della matricola scelta: 5 9 4 2

9,81 m/s 2 1,006E-06 m /s

g ν YA

218 m

YB D

160 m 203 mm

0,203 m

L LAN

2080 m 1380 m

zN

128 m

Il quesito consiste nel determinare la portata QA-B,1 da erogare a servizio del serbatoio B per lo schema di fig. 4.a; la potenza teorica Pt di una pompa posta subito a valle di un nodo di derivazione, affinchè B riceva sempre QA-B,1 e sul nodo l'altezza piezometrica risulti pari o superiore a 10m.

Scegliamo un valore di scabrezza per la tubazione assegnata: ε

0,1 mm

valore scelto per la scabrezza della tubazione, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di conservazione della parete interna.

ε/D JA-B,1

0,0005 -

corrispondente scabrezza relativa. ( YA-YB ) / L, cadente piezometrica.

0,028 -

Schema 4.a Ipotesi: moto assolutamente turbolento λturb,1 ΣD c1 QA-B,1 VA-B,1 ReA-B,1

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] } , formula di Prandtl. 2

0,017 0,032 m 3,99 s2/m6

π * D /4, area della sezione della tubazione. 2 5 2 8*λ λturb1/(g*π π *D ), avendo posto J1 = c1*Q0 , dove c1 raggruppa le costanti e variabili note.

0,084 m3/s 2,58 m/s

(JA-B,1 / c1)1/2, portata circolante.

2

521500,41 -

2

QA-B,1 / ΣD, velocità in condotta. VA-B,1 D / ν , numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody: nel caso di moto non assolutamente turbolento, riferiamoci alla formulazione completa di Colebrook - White.

Formulazione completa con formula di Colebrook - White λC-W,1 cC-W,1

0,018 4,22 s2/m6

coefficiente di resistenza di tentativo. il valore di primo tentativo viene posto pari a circa il corrispondente fornito della formula di Prandtl; la formula di Colebrook - White può ammettere più soluzioni; quella giusta è compresa tra 0,01 e 0,08 (si veda abaco di Moody).

2 , 51 ReC-W,1

502417,58 -

  λ  10  

−

1 2

λ

−

 1 ε  3 , 715 D  

numero di Reynolds di tentativo, ottenuto dalla relazione di Colebrook - White. QA-B,1

JA-B, di tent F(JA-B,1, di tent.)

0,081 m3/s 0,027 -0,000491 -

(π π D ReC-W,1 ν / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re. 2 cC-W,1 * QA-B,1 , cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

JA-B,1 - JA-B,1, di tent, l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione. Macro: "Idrodinamica_Es3_Calcola_Q_4a_e_4b"

Schema 4.b Sulla base del carico imposto sul nodo N, è possibile valutare la portata circolante sul tronco A - N. Anche in questo caso è possibile formulare un ipotesi sul regime di moto o costruire una procedura iterativa sulla formula di Colebrook - White. YN,2 JA-N,2

138 m 0,058 -

zN + 10, nuova quota piezometrica per il nodo N. [ YA - ( zN + 10 ) ]/ LAN, nuova cadente piezometrica.

Ipotesi: moto assolutamente turbolento QA-N,2

0,121 m3/s

(JAN / c1)1/2, portata circolante.

vA-N,2

QA-N / ΣD, velocità in condotta.

3,73 m/s

ReA-N,2

v0 D / ν , numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody:

751930,63 -

nel caso di moto non assolutamente turbolento, riferiamoci alla formulazione completa di Colebrook - White. Formulazione completa con formula di Colebrook - White λC-W,2

coefficiente di resistenza di tentativo. Il valore di primo tentativo viene posto pari a

0,017 4,15 s2/m6

cC-W,2

circa il corrispondente fornito della formula di Prandtl; la formula di Colebrook - White può ammettere più soluzioni; quella giusta è compresa tra 0,01 e 0,08 (si veda abaco di Moody).

2 , 51 ReC-W,2

737642,09 -

  λ  10  

−

1 2

λ

−

 ε  1 3 , 715 D  

numero di Reynolds di tentativo, ottenuto dalla relazione di Colebrook - White. (π π D ReC-W,2 ν / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re.

0,118 m3/s 0,058 -

QA-N,2

JA-N,2, di tent F(JA-B,1, di tent.)

cC-W,2 * QA-N,22, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo. JA-N,2 - JA-N,2, di tent, l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione.

0,000113 -

Macro: "Idrodinamica_Es3_Calcola_Q_4a_e_4b"

0,038 m3/s 19,52 m

q ∆YVP-B,2 YVP ∆YP,2

QA-N,2 - QA-B,1, portata erogata dal nodo N. JVP-B,2*(L-LAN), dislivello piezometrico tra il punto della condotta immediatamente a valle della pompa ed il serbatoio di valle. JVP-B,2 = JA-B,1 poiché la piezometrica. YB + ∆YVP-B,2, quota piezometrica a valle della pompa, coincidente con lo schema di figura 4.a.

179,52 m

YVP - YN,2, prevalenza manometrica della pompa. 9.81 QA-B,1 ∆YP,2, potenza teorica della pompa.

41,52 m

Pteorica

32,82 kW

Esercizio 4

23-apr-07

esame

Civili

Edile Architettura

Si calcolino le portate circolanti nell’impianto a tre serbatoi rappresentato nella seguente figura. Si assumano condotte in acciaio, con rivestimento bituminoso a spessore. YA =

360 +

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

=

mm

seconda cifra della matricola * 2 YB =

240 + prima cifra della matricola * 2

YC =

280 + prima cifra della matricola * 2

D1 =

155 + seconda cifra della matricola * 0.3

D2 =

135 +

=

mm

=

mm

=

km

=

km

=

km

seconda cifra della matricola * 0.3 D3 =

115 + terza cifra della matricola * 0.3

L1 =

1.38 + seconda cifra della matricola * 0.05

L2 =

1.43 + prima cifra della matricola * 0.03

L3 =

1.24 + terza cifra della matricola * 0.03

YC

ultime cifre della matricola scelta:

YA

4 3

YB

D3

6

D1

9,81 m/s2 1,006E-06 m2/s

g ν YA

D2 L1

366 m

YB

248 m

YC

292 m

C L2 L3

2

D1

155,9 mm

0,1559 m

D2

136,2 mm

0,1362 m

0,019 m 0,015 m2

D3

116,8 mm

0,1168 m

0,011 m2

L1

1,53 km

1530 m

L2

1,55 km

1550 m

L3

1,42 km

1420 m

Il quesito consiste in un problema di verifica: occorre cioè determinare le portate circolanti, nota la geometria del sistema. Procediamo in due maniere: 1. con la formula di Prandtl facendo l'ipotesi di moto a.t. e con la formula empirica λ = λemp(J,D). ε

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e

0,1 mm

stato di conservazione della parete interna. ε / D1

0,00064 -

corrispondente scabrezza relativa per la tubazione 1.

ε / D2

0,00073 -

corrispondente scabrezza relativa per la tubazione 2.

ε / D3

0,00086 -

λturb,1

0,018 -

corrispondente scabrezza relativa per la tubazione 3. 2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] } , indice di resistenza per la tubazione 1.

λturb,2

0,018 -

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione 2.

λturb,3

0,019 -

2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] } , indice di resistenza per la tubazione 3.

8*λ λturb,1/(g*π π *D1 ), avendo posto J1 = c1*Q1 , dove c1 raggruppa le costanti e variabili note.

c2

15,84 s /m 32,12 s2/m6

c3

71,82 s2/m6

8*λ λturb3/(g*π π2*D35), avendo posto J3 = c3*Q32, dove c3 raggruppa le costanti e variabili note.

c1

2

6

Ipotesi: moto assolutamente turbolento

2

5

2

8*λ λturb,2/(g*π π *D2 ), avendo posto J2 = c2*Q22, dove c2 raggruppa le costanti e variabili note. 2

5

YN

J1

J2

J3

Q1

Q2

Q3

∆Q

309,54

0,0369

0,0397

0,0124

0,048

0,035

0,013

-9,5541E-06

v1

v2

v3

2,53

2,41

1,22

Re1

Re2

Re3

391813,44

326703,76

142112,64

Formulazione empirica YN

J1

J2

J3

λEMP,1

λEMP,2

λEMP,3

cEMP,1

cEMP,2

cEMP,3

310,46

0,0363

0,0403

0,0130

0,0181

0,0187

0,0198

16,24

32,95

75,31

Q1

Q2

Q3

∆Q

0,047

0,035

0,013

-0,00082

v1

v2

v3

2,48

2,40

1,23

Re1

Re2

Re3

383857,77

324961,14

142359,98

Esercizio 5

09-lug-07

Macro: "Idrodinamica_Es4_Calcola_Q_Problema_tre_serbatoi"

esame

Civili

Edile Architettura

Nel sistema di adduzione rappresentato in figura 4.a) il serbatoio B a quota YB riceve una portata Q0 da un serbatoio A a Q0 da un serbatoio A a quota YA tramite una condotta in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore. Successivamente (figura 4.b) è prevista una erogazione concentrata q, per cui si rende necessario l’inserimento di un parallelo. L’allievo determini la portata Q0 per lo schema di figura 4.a) ed il diametro Dp da assegnare al tronco in parallelo affinché la portata a servizio del serbatoio B sia sempre Q0. YA =

360 +

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

=

mm

=

km

=

km

seconda cifra della matricola * 2 YB =

240 + prima cifra della matricola * 2

D=

155 + seconda cifra della matricola * 2

Lp =

1.38 + seconda cifra della matricola * 0.05

L2 =

1.43 + prima cifra della matricola * 0.03

q=

Q0 / 2

ultime cifre della matricola scelta: 4 3 6 2

9,81 m/s 2 1,006E-06 m /s

g ν YA

366 m

YB

248 m

D Lp

161 mm

0,161 m

1,53 km

1530 m

L2

1,55 km

1550 m

Il quesito consiste nel determinare la portata circolante per lo schema 4.a) ed il diametro Dp da assegnare ad un tronco in parallelo per lo schema 4.b), piazzato a monte del nodo di derivazione, affinche YB riceva sempre Q0 e la portata derivata risulti pari a Q0 / 2. ε

0,5 mm

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di conservazione della parete interna.

ε/D

0,00311 -

corrispondente scabrezza relativa per la tubazione relativa alla figura 4.a).

JA-B,1

0,03831 -

cadente corrispondente allo schema di figura 4.a).

Schema 4.a Ipotesi: moto assolutamente turbolento λturb ΣD c1 QA-B,1 VA-B,1 ReA-B,1

2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] } , indice di resistenza per la tubazione relativa alla figura 4.a).

0,026 0,020 m 20,16 s2/m6

π * D2/4, area della sezione della tubazione. 8*λ λturb/(g*π π2*D5), avendo posto JA-B,1 = c1*QA-B,12, dove c1 raggruppa le costanti e variabili note.

0,044 m3/s 2,14 m/s

(JA-B,1 / c1)1/2, portata circolante.

2

342711,32 -

QA-B,1 / ΣD, velocità in condotta. VA-B,1 D / ν , numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody: nel caso di moto non assolutamente turbolento, riferiamoci alla formulazione completa di Colebrook - White.

Formulazione completa con formula di Colebrook - White λC-W,1

0,027 -

coefficiente di resistenza di tentativo. Il valore di primo tentativo viene posto pari a

cC-W,1

20,46 s2/m6

circa il corrispondente fornito della formula di Prandtl; la formula di Colebrook - White può ammettere più soluzioni; quella giusta è compresa tra 0,01 e 0,08 (si veda abaco di Moody).

ReC-W,1

341391,04 -

2 , 51   λ  10  

−

1 2

λ

−

 ε  1 3 , 715 D  

numero di Reynolds di tentativo, ottenuto dalla relazione di Colebrook - White.

QA-B,1

JA-B, di tent F(JA-B,1, di tent.)

0,043 m3/s 0,039 0,000273 -

(π π D ReC-W,1 ν / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re. 2

cC-W,1 * QA-B,1 , cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo. JA-B,1 - JA-B,1, di tent, l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione. Macro: "Idrodinamica_Es5_Calcola_Q0"

Schema 4.b Poiché il serbatoio di quota YB riceve sempre Q0 ne deriviamo che la piezometrica è pari sempre a JA-B,1 ovunque. Per questo motivo sul vecchio tronco (ora in parallelo) A - N circolerà ancora Q0 e quindi per la continuità al nodo, sul nuovo tronco in parallelo circolerà una portata Qp,n = Q0 / 2.

Qp,n εp,n

0,026 m3/s 0,02 mm

Q0 / 2 portata sul nuovo tronco di tubazione in parallelo. valore scelto per la scabrezza della nuova tubazione, da affiancare al tratto preesistente

0,00002 m Formulazione completa con formula di Colebrook - White A differenza della procedura iterativa precedente, in questo caso fissando λ come parametro di iterazione della formula di Colebrook - White, ne deriva un'equazione di secondo grado nell'incognita Dr. Seguono i coefficienti dell'equazione: λC-W

0,016 -

coefficiente di resistenza di tentativo. La formula di Colebrook - White può ammettere più soluzioni; quella corretta è compresa tra 0,01 e 0,08 (vedi abaco di Moody)

A

0,00060

B

-0,00012

C

0,000005

2,51 ⋅ π ⋅ ν 4 ⋅ Q p,n ⋅ λ

− 10

−

coefficiente moltiplicativo del termine quadratico.

1 2 λ

ε p, n

coefficiente moltiplicativo del termine lineare. coefficiente costante.

3,715

Dp,n JC-B, di tent F(JC-B, di tent.)

0,119 m 0,0384 -0,000103 -

(-B+(B2-4AC)1/2)/2A, soluzione dell'equazione quadratica. 8 * λC-W * Qp,n2 /( g *π π2 * Dp,n5), cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo. JC-B - JC-B, di tent, l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione. Macro: "Idrodinamica_Es5_Calcola_Dpn".

Determinazione del diametro con una formula empirica

La procedura iterativa proposta in precedenza presenta lo svantaggio di essere particolarmente sensibile ai parametri noti (ε …) e quindi non sempre la soluzione (Dp,n) è di immediata soluzione. La procedura semplificata che segue, permette di determinare il diametro incognito tramite una formula empirica che, sebbene implicita permette comunque di giungere al calcolo di Dp,n.

Formula empirica:

λemp

coefficiente di resistenza di tentativo.

0,015 -

Il valore soluzione (compreso tra 0,01 e 0,08) si ottiene risolvendo per tentativi la Formula empirica cliccando su Calcola λemp. F(λemp)

funzione ricerca obiettivo costruita su λemp.

3,0396E-06

Dp,n

2 π2 * JA-B,1)]1/5, diametro teorico da formula empirica. [8 * λemp * Qp,n /( g *π

0,117 m

Si confrontino i valori soluzione per il diametro teorico Dp,n ottenuti con le due procedure esposte.

Esercizio 6

12-set-07

esame

Civili

Edile Architettura

L’impianto di sollevamento rappresentato in figura risulta costituito da due condotte in parallelo di pari diametro, materiale e stato di usura. La portata complessivamente sollevata dal sistema, 24h al giorno per 365 giorni l’anno, risulta pari a Q0. giorno per 365 giorni l’anno, risulta pari a Q0. L’allievo determini l’energia spesa in un anno per alimentare la pompa posta subito a valle del serbatoio A e tracci l’andamento della linea piezometrica. Nei calcoli si assuma: - la condotta di aspirazione di lunghezza trascurabile; - le condotte di mandata di diametro D e costituite da tronchi in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore. YA =

100 +

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

=

m

=

mm

seconda cifra della matricola * 2 YB =

150 + prima cifra della matricola * 2

L=

2000 + prima cifra della matricola * 50

D=

145 + terza cifra della matricola * 3

Q0 =

70 +

=

km

terza cifra della matricola * 2

ultime cifre della matricola scelta: 4 3 6 2 9,81 m/s 2 1,006E-06 m /s

g ν YA

106 m

YB

158 m

L

2200 m

D Q0

163 mm 82 l/s

0,163 m 0,082 m3/s

Il quesito consiste nel determinare l'energia annua spesa per sollevare la portata Q0. Poiché le condotte in parallelo sono identiche, tale portata si divide a metà. Dunque la piezometrica sarà valutata con Q0/2. eta-pompa ε

0,65 0,1 mm

valore scelto per il rendimento della pompa. valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di usura.

0,0001 m ε/D Qp

0,00061 -

ΣD

0,041 m3/s 0,021 m2

vp

1,96 m/s

Re λturb

318352,59 0,017 -

scabrezza relativa delle tubazioni. Q0/2, portata sollevata da una condotta. π * D2/4, area della sezione della tubazione. Qp/Σ ΣD, velocità in condotta. vp D / ν , numero di Reynolds per condotta. 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza per ciascuna delle due tubazioni calcolato con la formula di Prandtl perché è stato constatato

cturb

12,55 -

un regime di moto assolutamente turbolento. π2*D5), avendo posto JA-B = cturb*Qp2, dove cturb raggruppa le costanti e variabili note. 8*λ λturb/(g*π

JA-B

0,021 -

cturb Qp2, cadente piezometrica.

JA-B L

46,41 m

∆Hm

98,41 m

perdita di carico tra i due serbatoi YB + JA-B L - YA, prevalenza manometrica della pompa.

Pr

121,79 kW

E

3,84E+09 kJ

E

1066902,68 kWh

E

1,07 GWh

9.81 *Q0 * ∆Hm / eta_pompa, potenza reale, spesa dalla pompa. Pr*365*24*3600, energia annua spesa in kJ. Pr*365*24, energia annua spesa in kWh.

nel caso di singola condotta, l'energia spesa aumenta perché aumenta la prevalenza manometrica: JA-B

0,084 -

cturb Q02, cadente piezometrica.

JA-B L

185,65 m

∆Hm

237,65 m

perdita di carico tra i due serbatoi YB + JA-B L - YA, prevalenza manometrica della pompa.

294,11 kW

9.81 *Q0 * ∆Hm / eta_pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.

Pr E

9,28E+09 kJ

Pr*365*24*3600, energia annua spesa in kJ.

E

2576398,11 kWh

E

2,58 GWh

Esercizio 7

Pr*365*24, energia annua spesa in kWh. 6 Pr*365*24/10 , energia annua spesa in GWh

-

syllabus

Civili

Edile Architettura

Per l’impianto idroelettrico rappresentato in figura l'allievo determini l'energia ricavabile in un anno di funzionamento e tracci l'andamento della linea piezometrica.

2

9,81 m/s 2 1,006E-06 m /s

g ν YA

151 m

YB

20 m

L

1250 m

D Q0

243 mm 30 l/s

eta-turbina

0,65

ε

0,243 m 0,03 m3/s

valore scelto per il rendimento della pompa. valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di usura.

0,2 mm 0,0002 m

ε/D ΣD v0 Re λturb

0,00082 -

scabrezza relativa delle tubazioni. π * D2/4, area della sezione della tubazione. Q0/ΣD, velocità in condotta.

0,046 m2 0,65 m/s

v0 D / ν , numero di Reynolds per condotta.

156252,55 -

2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] } , indice di resistenza per ciascuna delle due tubazioni

0,019 -

calcolato con la formula di Prandtl perché è stato constatato un regime di moto assolutamente turbolento. π2*D5), avendo posto JA-B = cturb*Q02, dove cturb raggruppa le costanti e variabili note. 8*λ λturb/(g*π

cturb

1,83 -

JA-B

0,0016 -

cturb Q02, cadente piezometrica.

JA-B L ∆Hm

2,05 m 128,95 m

perdita di carico tra i due serbatoi. YB + JA-B L - YA, prevalenza manometrica alla turbina.

Pr

7,78E+08 kJ

E

216081,164 kWh

E

0,22 GWh

Esercizio 8

9.81 *Q0 * ∆Hm * eta-turbina, potenza reale, ottenuta dalla turbina.

24,67 kW

E

Pr*365*24*3600, energia annua spesa in kJ. Pr*365*24, energia annua spesa in kWh. Pr*365*24/106, energia annua spesa in GWh.

-

syllabus

CP16

Civili

Edile Architettura

Per l’impianto di sollevamento rappresentato in figura l'allievo determini la pressione dell'aeriforme contenuto nella cassa d’aria posta immediatamente a valle della pompa nella ipotesi di livello idrico YC = YA - 5m.

g

9,81 m/s2

ν YA

1,006E-06 m2/s 25,74 m

YB

55,12 m

L1

250 m

L2

1250 m

D Q0

250 mm

eta-pompa

0,7

0,25 m 0,05 m3/s

50 l/s

ε

valore scelto per il rendimento della pompa. valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di usura.

1 mm 0,001 m

ε/D

0,00400 0,049 m2 1,02 m/s

ΣD v0 Re

scabrezza relativa delle tubazioni. π * D /4, area della sezione della tubazione. Q0/ΣD, velocità in condotta. 2

v0 D / ν , numero di Reynolds per condotta.

253129,13 -

λturb

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza per ciascuna delle due tubazioni

0,028 -

calcolato con la formula di Prandtl perché è stato constatato cturb

2,40 -

JA-B

0,006 -

un regime di moto assolutamente turbolento. 8*λ λturb/(g*π π2*D5), avendo posto JA-B = cturb*Q02, dove cturb raggruppa le costanti e variabili note. 2 cturb Q0 , cadente piezometrica.

JA-B L1

1,50 m

JA-B L2

7,50 m

∆Hm Pr

perdita di carico continua tra il serbatoio di monte e il punto precedente la pompa perdita di carico continua tra il punto seguente la pompa ed il serbatoio di valle YB + JA-B L2 - (YA - JA-B L1), prevalenza manometrica della pompa 9.81 *Q0 * ∆Hm / eta_pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.

38,39 m 26,90 kW

E

8,48E+08 kJ

E

235618,345 kWh

Pr*365*24*3600, energia annua spesa in kJ.

E

0,24 GWh

Pr*365*24, energia annua spesa in kWh. 6 Pr*365*24/10 , energia annua spesa in GWh

YC

20,74 m

YA - 5, quota del pelo libero all'interno della cassa

hGAS

41,88 m

YB + JA-B L2 - YC, altezza piezometrica sulla cassa d'aria

pGAS

1000 * g * hGAS, pressione dell'aeriforme contenuto nella cassa d'aria

410885,47 Pa

Esercizio 9 Nel Q

sistema da

un

di

adduzione

serbatoio

A

syllabus

rappresentato a

quota

YA

in

CP20

Civili

il

serbatoio

B

una

condotta

in

figura

tramite

Edile Architettura

a

quota

acciaio

spessore. L'allievo determini i diametri commerciali da utilizzare e le relative lunghezze. 2

9,81 m/s 2 1,006E-06 m /s

g ν YA

858 m

YB

782 m

L

2,520 km

2520 m

Q

64,5 l/s

0,0645 m3/s

YB con

deve

ricevere

rivestimento

una

portata

bituminoso

a

Determinazione del diametro teorico con una formula empirica La procedura iterativa di Colebrook - White presenta lo svantaggio di essere particolarmente sensibile dai parametri noti (ε …) e quindi non sempre la soluzione (Dp,n) è di immediata soluzione. La procedura semplificata che segue, permette di determinare il diametro incognito tramite una formula empirica che permette di giungere al calcolo di Dt.

Formula empirica:

ε

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e

0,05 mm

JA-B,teor

0,00005 m

stato di conservazione della parete interna.

0,0302 -

( YA-YB ) / L, cadente piezometrica teorica.

λemp

0,015 -

indice di resistenza calcolato con la formula di cui sopra.

Dt

0,176

2 1/5 [8 * λemp * Qp,n2 /( g *π π * JA-B,1)] , diametro teorico da formula empirica.

Dcomm,1

0,15

diametro commerciale inferiore scelto da una serie.

Dcomm,2

0,2

diametro commerciale inferiore scelto da una serie.

ε/Dcomm,1

0,0003 -

scabrezza relativa della tubazione commerciale 1.

ε/Dcomm,2

0,0003 -

scabrezza relativa della tubazione commerciale 2.

ΣD,1

π * Dcomm,12/4, area della sezione della tubazione 1. ΣD,1, velocità nella tubazione 1. Q/Σ v1 Dcomm,1 / ν , numero di Reynolds per la tubazione 1.

0,018 m2 3,65 m/s 544227,64 -

v1 Re1 ΣD,2

π * Dcomm,22/4, area della sezione della tubazione 2. ΣD,2, velocità nella tubazione 2. Q/Σ

0,031 m2 2,05 m/s

v2 Re2

v2 Dcomm,2 / ν , numero di Reynolds per la tubazione 2.

408170,73 -

λturb,1

0,015 -

2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dcomm,1 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione 1.

0,017

λturb,2

0,014 -

2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dcomm,2 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione 2.

0,016

termine noto

Matrice dei coefficienti 1

1

0,0747

0,0174

vettore delle incognite

2520

561,36

76

1958,64 2520

Esercizio 10 Nel

sistema

di

adduzione

rappresentato

in

Civili figura

4.a)

prova

Edile Architettura il

serbatoio

B

a

quota

YB

riceve

una

portata

Q0 da un serbatoio A a quota YA tramite un sistema di tre condotte in serie in PEAD. Nel sistema rappresentato in figura 4.b) dal nodo N viene erogata una certa portata concentrata q, senza il contributo del serbatoio di valle B.

L'allievo determini la portata Q0 a servizio del serbatoio YB per lo schema di figura 4.a e la portata derivata q per lo schema di figura 4.b. 9,81 m/s2 1,006E-06 m2/s

g ν YA

850 m

YB

837 m

LAN

4 km

4000 m

LNC

1 km

1000 m

LCB

3 km

3000 m

DAN

0,3 m

DNC

0,32 m

DCB

0,28 m

ε

0,1 mm

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di conservazione della parete interna.

ε/DAN

0,0001 m 0,0003 -

ε/DNC

0,0003 -

corrispondente scabrezza relativa per la tubazione relativa alla figura 4.a).

ε/DCB

0,0004 -

corrispondente scabrezza relativa per la tubazione relativa alla figura 4.a).

corrispondente scabrezza relativa per la tubazione relativa alla figura 4.a).

Schema 4.a Ipotesi: moto assolutamente turbolento λturb,AN

0,01526 -

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*DAN ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione relativa alla figura 4.a).

ΣAN cAN

0,071 m2 2076,02

π * DAN2/4, area della sezione della tubazione. π2*DAN5), avendo posto JAN LAN = cAN*QA-B,12, dove cAN raggruppa le costanti e variabili note. 8*λ λturb,AN LAN/(g*π

λturb,NC

0,01505 -

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*DNC ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione relativa alla figura 4.a).

ΣNC cNC λturb,CB ΣCB cCB

0,080 m

2

370,71

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*DNC ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione relativa alla figura 4.a).

0,01549 0,062 m 2231,33

π * DNC2/4, area della sezione della tubazione. π2*DNC5), avendo posto JNC LNC = cNC*QA-B,12, dove cNC raggruppa le costanti e variabili note. 8*λ λturb,NC LNC/(g*π

2

π * DCB2/4, area della sezione della tubazione. π2*DCB5), avendo posto JCB LCB = cCB*QA-B,12, dove cCB raggruppa le costanti e variabili note 8*λ λturb,CB LCB/(g*π

Equazione del moto: ∆YA-B = JANLAN + JNCLNC + JCBLCB = ( cAB + cAB + cAB ) QA-B,12 QA-B,1 vAN

0,0527 m3/s 0,75 m/s

(DHA-B,1 / (c1+c2+c3))1/2, portata circolante. QA-B,1 / ΣAN, velocità in condotta.

vNC

0,66 m/s

QA-B,1 / ΣNC, velocità in condotta.

vCB

0,86 m/s

QA-B,1 / ΣCB, velocità in condotta. VA-B,1 D / ν , numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody:

ReAN

222397,47 -

ReNC

208497,63 -

nel caso di moto non assolutamente turbolento, riferiamoci alla formulazione completa

ReCB

238283,01 -

di Colebrook - White.

Formulazione completa con formula di Colebrook - White Conviene costruire lo schema numerico iterando sulla portata di tentativo QA-B,1; è possibile in questo modo ricavare il numero di Re, l'indice di resistenza λ e la cadente J per ciascuna condotta. Il controllo si effettua constatando che la perdita di carico continua totale risulti pari alla differenza di quota geotedica YA - YB tra i due serbatoi. QA-B,1,tent

0,0488 m3/s

portata di tentativo. Il primo valore viene valutato sulla base di un numero di Re su ogni condotta almeno pari a 5000 (limite inferiore di applicabilità della formula di Colebrook-White)

F

min{Rek} ReC-W,A-N,1

192976,749 -

A 4 Q / (π π DAN ν ), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante.

205841,87 -

λC-W,A-N,1 F(λC-W,A-N,1)

0,01785 0,00005 -

F(λ C − W ) =

0,61 s2/m6 0,001 -

cC-W,A-N,1 JA-N, tent

1 λ

 2.51 ε + 2 ⋅ LOG10 +  2.715 ⋅ D Re⋅ λ

C

   

O

cC-W,A-N, * QA-B,12, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

L 2427,861

ReC-W,N-C,1

4 Q / (π π DNC ν ), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante.

192976,75 -

λC-W,N-C,1 F(λC-W,N-C,1)

0,01786 0,00005 -

F(λ C − W ) = 2

cC-W,N-C,1

0,44 s /m 0,001 -

JN-C, tent

6

1 λ

 ε 2.51 + 2 ⋅ LOG10 +  2.715 ⋅ D Re⋅ λ

T

   

A

cC-W,N-C, * QA-B,12, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

T 439,815

ReC-W,C-B,1

4 Q / (π π DCB ν ), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante.

220544,86 -

λC-W,C-B,1 F(λC-W,C-B,1) cC-W,C-B,1 JC-B, tent

0,01786 0,00005 -

F(λ C − W ) =

0,86 s2/m6 0,002 -

1 λ

 ε 2.51 + 2 ⋅ LOG10 +  2.715 ⋅ D Re⋅ λ

I

   

V

cC-W,C-B, * QA-B,12, cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo.

O 2572,009

λm,1

0,018 -

Dm,1

0,300 m

cm,1

0,607 s2/m6 8000 m

Ltot ∆YA-B

13,00 m

Σ Jk Lk, tent

12,950 m

∆Q

0,0001 m3/s

F(∆YA-B-ΣJkLk,tent)

sommatoria delle perdite di carico continue

0,050309 m Macro: "Idrodinamica_Es10_Calcola_Q0" L'algoritmo ha trovato una soluzione. Si confrontino i risultati delle due procedure (B836 e B849).

La procedura è molto sensibile ai diametri delle tubazioni. Valori molto differenti tra loro possono non restituire la soluzione.

Esercizio 11

08-gen-09

esame

Civili

Edile Architettura

Nell’impianto di sollevamento rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata Q da un serbatoio A a quota YA, tramite una successione di due condotte con diversi anni di esercizio in acciao con rivestimento bituminoso a spessore. Successivamente (figura 4.b) si intende triplicare la portata a servizio del serbatoio B. A tal fine, metà della nuova portata verrà resa disponibile da un nuovo serbatoio posto a a quota YC. L’allievo, determini: - la potenza teorica Pa della pompa per lo schema riportato in figura 4.a; - il diametro D3 da assegnare al nuovo tronco in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore di lunghezza L3 e la nuova potenza teorica Pb per lo schema riportato in figura 4.b;

- l’andamento delle piezometriche per i due schemi. YA =

120 +

=

m s.l.m.

YC =

seconda cifra della matricola * 2 YB =

200 +

=

m s.l.m.

L4 =

prima cifra della matricola * 2 L1 =

800 +

=

215 +

m

L2 =

=

55 +

mm

D2 =

1000 +

=

2000 +

=

315 +

=

=

l/s

L3 =

1000 +

=

prima cifra della matricola * 20

ultime cifre della matricola scelta: 3 1 4 2

9,81 m/s 2 1,006E-06 m /s

ν YA

122 m

YB

206 m

YC D1

306 m 217 mm

0,217 m

317 mm

0,317 m

L1 D2

880 m

L2

2080 m

L3

1060 m

L4 Q

1080 m 55,5 l/s

0,0555 m3/s

Il quesito consiste nel determinare la potenza teorica della pompa per le due condizioni di funzionamento descritte ed il diametro D3 per il nuovo tronco, in maniera tale che in esso circoli metà della nuova portata a servizio del serbatoio B. ε

0,2 mm

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di usura.

0,0002 m Schema 4.a Ipotesi: moto assolutamente turbolento ε/D1

0,00092 -

scabrezza relativa della tubazione 1

ε/D2

0,00063 -

scabrezza relativa della tubazione 2

ΣD1

0,037 m2

m

m

mm

seconda cifra della matricola * 2

seconda cifra della matricola * 2

g

m s.l.m.

terza cifra della matricola * 20

seconda cifra della matricola * 2 Q0 =

=

terza cifra della matricola * 20

terza cifra della matricola * 20 D1 =

300 +

prima cifra della matricola * 2

π * D12/4, area della sezione della tubazione 1

m

ΣD2 vp1

0,079 m3 1,50 m/s

π * D2 /4, area della sezione della tubazione 2 Q / ΣD1, velocità in condotta 1. 2

vp2 Re1

0,70 m/s 323702,00 -

Q / ΣD2, velocità in condotta 2. vp1 D1 / ν , numero di Reynolds per la tubazione 1

Re2

221587,81 -

vp2 D2 / ν , numero di Reynolds per la tubazione 2

λturb,1

0,019 -

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D1 ) ] }2, indice di resistenza per ciascuna delle due tubazioni

λturb,2

0,018 -

calcolato con la formula di Prandtl 2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D2 ) ] } , indice di resistenza per ciascuna delle due tubazioni calcolato con la formula di Prandtl

J1 J1 L1 J2 J2 L2

0,010 8,95 m 0,001 2,91 m

π *D1 ), formula di Darcy - Weisbach 8*λ λturb,1 Q /(g*π 2

2

5

perdita di carico continua sul tratto 1 2 π2*D25), formula di Darcy - Weisbach 8*λ λturb,2 Q /(g*π

perdita di carico continua sul tratto 2

Equazione del moto tra A e B: YA - J1L1 + ∆Hman,a - J2L2 = YB Dhman,a Pa

95,86 m 52,19 kW

Dall'equazione del moto 9.81 *Q * ∆Hman,a, potenza teorica

eta Pr

0,68 76,75 kW

Schema 4.b Ipotesi: moto assolutamente turbolento per le condotte 1 e 2 L'ipotesi, se soddisfatta in precedenza, è a maggior ragione soddisfatta nel nuovo schema perché le portate sulle condotte sono maggiori. QNB QAN QCN vpAN vpNB

0,167 m3/s 0,083 m3/s

3Q, nuovo valore di portata richiesto a servizio del serbatoio B.

0,083 m3/s 2,25 m/s 2,11 m/s

3Q / 2, nuova portata circolante da C verso N.

3Q / 2, nuova portata circolante da A verso N. Q / ΣD1, velocità in condotta sul tratto A - N. Q / ΣD2, velocità in condotta sul tratto N - B.

ReAN

485553,01 -

vpAN D1 / ν , numero di Reynolds per la tubazione 1.

ReNB

664763,42 -

vpNB D2 / ν , numero di Reynolds per la tubazione 2.

2 π2*D15), perdita di carico continua per unità di lunghezza da A a monte della pompa. 8*λ λturb,1 QAN /(g*π

JAP

0,023 -

JAP L1

20,14 m

perdita di carico continua sul tratto compreso tra A e monte della pompa.

JPN

0,003 -

8*λ λturb,2 QPN2/(g*π π2*D25), perdita di carico continua per unità di lunghezza da P ad N.

JPN (L2 - L4) JNB JNB L4 YN

3,15 m 0,013 13,59 m 219,59 m

perdita di carico continua sul tratto compreso tra valle della pompa ed N. 2 π2*D25), perdita di carico continua per unità di lunghezza da C a N. 8*λ λturb,2 QNB /(g*π

perdita di carico continua su N - B. YB +JNB*L4, quota piezometrica del nodo N.

Equazione del moto tra A ed N: YA - JAPL1 + Dhman,b - JPN (L2 - L4) = YN Dhman,b Pa

120,88 m 98,72 kW

Dall'equazione del moto 9.81 *QAN * ∆Hman,b, nuova potenza teorica

Determinazione del diametro teorico con una formula empirica

Formula empirica:

εN

0,05 mm

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e

0,00005 m

stato di conservazione della parete interna.

JC-N

0,0815 -

( YA-YB ) / L, cadente piezometrica teorica.

λemp

0,015 -

indice di resistenza calcolato con la formula di cui sopra, dove J = JC-N, Q = QC-N, ε = εN.

Dt

0,159

2 1/5 [8 * λemp * QC-N2 /( g *π π * JC-N)] , diametro teorico da formula empirica.

Dcomm,3-1

0,125

diametro commerciale inferiore scelto da una serie.

Dcomm,3-2

0,175

diametro commerciale inferiore scelto da una serie.

ε / Dcomm,3-1

0,0004 -

scabrezza relativa della tubazione commerciale 1.

ε / Dcomm,3-2

0,0003 -

scabrezza relativa della tubazione commerciale 2.

ΣD,3-1

π * Dcomm,3-12 / 4, area della sezione della tubazione. QC-N / ΣD,3-1, velocità in condotta.

0,012 m2 6,78 m/s

v3-1 Re3-1

v3-1 Dcomm,3-1 / ν , numero di Reynolds per condotta.

842920,02 -

ΣD,3-2 v3-2

π * Dcomm,3-22 / 4, area della sezione della tubazione. QC-N / ΣD,3-2, velocità in condotta.

0,024 m2 3,46 m/s

v3-2 Dcomm,3-2 / ν , numero di Reynolds per condotta.

Re3-2

602085,73 -

λturb,1

0,016 -

2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dcomm,3-1 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione 1.

λturb,2

0,015 -

2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dcomm,3-2 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione 2.

termine noto

Matrice dei coefficienti

vettore delle incognite

1

1

1060

128,96

0,2980

0,0515

86,41

931,04 1060

Esercizio 12 Nel

sistema

serbatoio

A

29-gen-09 di

adduzione

a

quota

esame

rappresentato

geometrica

YA,

in ad

Civili figura

un

si

Edile Architettura

intende

serbatoio

prova

B

convogliare posta

a

una

quota

certa

portata

geometrica

condotta di polietilene ad alta densità PE 80. L’allievo progetti i diametri da assegnare. YA =

100 +

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

seconda cifra della matricola * 2 YB =

150 + prima cifra della matricola * 2

YB

Q0

da

tramite

un una

L=

2000 +

=

m

=

mm

=

km

prima cifra della matricola * 50 D=

145 + terza cifra della matricola * 3

Q0 =

70 + terza cifra della matricola * 2

ultime cifre della matricola scelta: 0 1 6 2

9,81 m/s 2 1,006E-06 m /s

g ν

0,035 m3/s 112 m

35 l/s

Q YA YB

30 m

L

1920 m

Il quesito consiste nel determinare il o i diametri commerciali da assegnare alla tubazione sopra descritta.Tali diametri verranno scelti da una serie nota. Serie relativa Dest

Spess

Dint

Dint [m]

75

4,5

70,5

0,0705

90

5,4

84,6

0,0846

110

6,6

103,4

0,1034

125

7,4

117,6

0,1176

140

8,3

131,7

0,1317

160

9,5

150,5

0,1505

180

10,7

169,3

0,1693

200

11,9

188,1

0,1881

225

13,4

211,6

0,2116

250

14,8

235,2

0,2352

280

16,6

263,4

0,2634

Determinazione del diametro teorico con una formula empirica

Formula empirica:

εN

0,02 mm

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di conservazione della parete interna.

0,00002 m 0,0427 -

JA-B

( YA-YB ) / L, cadente piezometrica teorica.

λemp

0,015 -

indice di resistenza calcolato con la formula di cui sopra, dove J = JC-N, Q = QC-N, ε = εN.

Dt

0,128 m

2 π2 * JA-B)]1/5, diametro teorico da formula empirica. [8 * λemp * Q /( g *π

Dcomm,1

0,11 m

diametro commerciale inferiore scelto da una serie.

Dcomm,2

0,14 m

diametro commerciale superiore scelto da una serie.

ε / Dcomm,1

0,0002 -

scabrezza relativa della tubazione commerciale 1.

ε / Dcomm,2

0,0001 -

scabrezza relativa della tubazione commerciale 2.

0,010 m2 3,68 m/s 402705,44 -

π * Dcomm,1 /4, area della sezione della tubazione. Q / ΣD,1, velocità in condotta.

0,015 m2 2,27 m/s 316411,42 -

π * Dcomm,22/4, area della sezione della tubazione. Q / ΣD,2, velocità in condotta.

ΣD,1 v1 Re1 ΣD,2 v2 Re2

2

v1 Dcomm,1 / ν , numero di Reynolds per condotta.

v2 Dcomm,2 / ν , numero di Reynolds per condotta.

λturb,1

0,013 -

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dcomm,3-1 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione 1.

λturb,2

0,013 -

2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dcomm,3-2 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione 2.

termine noto

Matrice dei coefficienti

vettore delle incognite

1

1

1920

590,03

0,0846

0,0241

82,00

1329,97 1920

Esercizio 13

A

29-gen-09

prova

prova

Derivazione concentrata: Unico diametro

Civili

Lungo la condotta in ghisa sferoidale di diametro D e scabrezza ε rappresentata in figura è presente una derivazione concentrata. L’allievo determini le portate circolanti nei due tronchi di tubazione. q=

k * (15 +

)

=

l/s

=

mm

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

=

m

prima cifra della matricola * 0.5 D=

150 + seconda cifra della matricola * 2

YA =

200 + terza cifra della matricola * 2

YB =

150 + prima cifra della matricola * 2

L=

2000 +

Edile Architettura

seconda cifra della matricola * 20 LAN =

700 +

=

m

seconda cifra della matricola * 20

ultime cifre della matricola scelta: 2 0 7 2

9,81 m/s 2 1,006E-06 m /s

g ν q k

16 l/s 1

0,016 m3/s coeff. molt. di q 0,15 m 214 m

DYAB

YB

154 m

J*

L LAN

2000 m 700 m

λ q*

D YA

150 mm

60 m 0,0857 0,018 0,066 m3/s

Il quesito consiste nel determinare le portate circolanti nei tronchi A - N e N - B sulla base dell'applicazione dell'equazione del moto tra A e B; L'equazione assume diversa forma, così come l'equazione di continuità, in dipendenza dell'ipotesi assunta sulla quota piezometrica al nodo interno N. Nel seguito verrà illustrato il procedimento sia nell'ipotesi di YN >= di YB, sia nell'ipotesi YN < di YB; la soluzione corretta corrisponderà ad uno solo dei due casi esposti. Il lettore tenga presente che può evitare la formulazione dell'ipotesi (YN >= di YB oppure YN < di YB) valutando la portata q* che si avrebbe in assenza di contributo da parte del serbatoio B. Se q = YB altrimenti YN < YB . Equazione risolutiva: JA-N (Q,λA-N,D) LA-N + JN-B((Q-q),λN-B,D) LN-B = YA - Y B

per YN >= YB

JA-N (Q,λA-N,D) LA-N - JN-B((q-Q),λN-B,D) LN-B = YA - Y B

per YN < YB

Ipotesi: moto assolutamente turbolento e YN >= YB JA-N (Q,ε,D) LA-N + JN-B((Q-q),ε,D) LN-B = YA - Y B

ε

0,1 mm 0,0001 m

ε/D ΣD λ A-N = λ N-B

0,00067 0,018 m2 0,018 -

8 ⋅ λ A−N ⋅ L A−N g ⋅ π2 ⋅ D5

Q2 +

8 ⋅ λ N−B ⋅ L N−B g ⋅ π2 ⋅ D5

(Q − q )2

= YA − YB

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di conservazione della parete interna. scabrezza relativa delle tubazioni. π * D2/4, area della sezione delle tubazioni. 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza per ciascuna delle due tubazioni calcolato con la formula di Prandtl. Occorre verificare a posteriori il regime di movimento

I calcoli precedenti torneranno utili anche nel seguito, se l'ipotesi formulata non è soddisfatta Termini dell'equazione quadratica

8 ⋅ λ A−N ⋅

A

38769,28

g ⋅ π2 ⋅ D5

B

-806,401

− 2⋅

C

-53,549

(L A − N + L N −B ) =

8 ⋅ λ N−B ⋅ L N−B g ⋅ π2 ⋅ D5

8 ⋅ λ N−B ⋅ L N−B g ⋅ π2 ⋅ D5

8 ⋅ λ A−N ⋅ g ⋅ π2 ⋅ D5

L

q

q 2 − (YA − YB )

3

0,049 m /s 2,8 m/s

Qm vm

3

0,033 m /s 1,87 m/s

Qv vv

Verifica su YN (segno +) e su Re (moto ass. turbolento) 8 ⋅ λ A−N ⋅

JA-N YN

cadente sul tronco di monte.

YA - JA-N LA-N, quota piezometrica sul nodo di derivazione.

181,43 m

Re

Q2

g ⋅ π2 ⋅ D5

0,05 -

Prova JN-B

0,0211 -

YN

181,43 m

4 Q / (π π D ν ), numero di Re da diametro e portata circolante.

413380,52 -

verifica dell'ipotesi sul moto soddisfatta: il serbatoio B riceve; non si faccia riferimento ai calcoli seguenti

8 ⋅ λ A−N ⋅ L A−N

Ipotesi: moto assolutamente turbolento e YN < YB JA-N (Q,ε,D) LA-N - JN-B((q-Q),ε,D) LN-B = YA - Y B

g ⋅ π2 ⋅ D5

Q2 −

8 ⋅ λ N −B ⋅ L N −B g ⋅ π2 ⋅ D5

(q − Q )2

= YA − YB

Termini dell'equazione quadratica 8 ⋅ λ A−N ⋅

A

-11630,79

B

806,401

C

-66,451

g ⋅ π2 ⋅ D5 2⋅

−

Qm

#NUM!

m3/s

vm

#NUM!

m/s

Qv

#NUM!

m3/s

vv

#NUM!

m/s

(L A − N − L N − B )

8 ⋅ λ N − B ⋅ L N −B g ⋅ π2 ⋅ D5

8 ⋅ λ N− B ⋅ L N −B g ⋅ π2 ⋅ D5

q q 2 − (YA − YB )

Verifica su YN (segno -) e su Re (moto ass. turbolento) 8 ⋅ λ A−N ⋅

Q2

JA-N

#NUM!

-

g ⋅ π2 ⋅ D5

YN

#NUM!

m

YA - JA-N LA-N, quota piezometrica sul nodo di derivazione.

Re

#NUM!

-

4 Q / (π π D ν ), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante.

cadente sul tronco di monte.

Prova JN-B

#NUM!

-

YN

#NUM!

m

verifica dell'ipotesi sul moto non soddisfatta: il serbatoio B riceve; si faccia riferimento ai calcoli precedenti

Esercizio 13 Lungo una

la

BIS

condotta

derivazione

in

05-feb-09 ghisa

concentrata.

sferoidale L’allievo

esame di

Immissione concentrata: Unico diametro

diametro

determini

D le

e

scabrezza

portate

ε

circolanti

rappresentata nei

due

Civili in

figura

tronchi

di

è

presente tubazione.

Edile Architettura

q=

k*(5+

)

=

l/s

=

mm

=

m

=

m

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

prima cifra della matricola *0.5 D=

180 + seconda cifra della matricola * 2

L=

1500 + terza cifra della matricola * 20

LAN =

500 + prima cifra della matricola *20

YA =

200 + seconda cifra della matricola * 2

YB =

150 + prima cifra della matricola *2

ultime cifre della matricola scelta: 1 0 6 9,81 m/s

g

2

2 1,006E-06 m /s

ν q

22 l/s

k

1-

D1

180 mm

D2

180 mm

0,022 m3/s coeff. Molt. Di q 0,18 m 0,18 m

L

DYAB

1620 m

LAN

520 m

YA YB

78 m

J*

0,0709 -

200 m

λ

0,020 -

122 m

q*

0,090 m3/s

Il quesito consiste nel determinare la portate circolanti nel tronco A - N e nel tronco N - B; nel seguito si formulerà l'ipotesi di moto assolutamente turbolento, verificandola a posteriori tramite il controllo su Re, in modo da risolvere l'equazione del moto derivante. Ancora,

si

può

evitare

la

formulazione

dell'ipotesi

(YN

>=

di

YA

oppure

YN

<

di

YA)

valutando

la

portata

q*

avrebbe in assenza di contributo da parte del serbatoio A. Se q = YA -JA-N (Q,ε,D1) LA-N + JN-B((Q-q),ε,D2) LN-B = YA - YB

+ -

per YN >= YA per YN < YA

−

8 ⋅ λ A −N ⋅ L A− N g ⋅ π 2 ⋅ D 15

Q2 +

8 ⋅ λ N − B ⋅ L N −B g ⋅ π 2 ⋅ D 52

(q − Q )2

= Y A − YB

che

si

ε

ε / D1 ε / D2 ΣD1 ΣD2

0,2 mm 0,0002 m

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di conservazione della parete interna.

0,00111 -

scabrezza relativa della tubazione 1.

0,00111 -

scabrezza relativa della tubazione 2.

λA-N

0,025 m2 0,025 m2 0,020 -

π * D2/4, area della sezione della tubazione 1. 2 π * D /4, area della sezione della tubazione 2. 2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D1 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione di monte

λN-B

0,020 -

calcolato con la formula di Prandtl. Occorre verificare a posteriori il regime di movimento. 2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D2 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione di valle calcolato con la formula di Prandtl. Occorre verificare a posteriori il regime di movimento.

I calcoli precedenti torneranno utili anche nel seguito, se l'ipotesi formulata non è soddisfatta. Termini dell'equazione quadratica A

5105,11

B

-426,013

C

-73,314

Qm vm Qv vv

8 ⋅ λ N −B ⋅ L N −B g ⋅ π 2 ⋅ D 52 − 2⋅

8 ⋅ λ A−N ⋅ L A−N g ⋅ π 2 ⋅ D 15

8 ⋅ λ N−B ⋅ L N −B g ⋅ π 2 ⋅ D 52

8 ⋅ λ N−B ⋅ L N−B g ⋅ π 2 ⋅ D 52 3

−

q

q 2 − (YA − YB )

-0,085 m /s -3,3 m/s 3 0,107 m /s

portata sul tronco A - N

-0,085 I radice

velocità sul tronco A - N portata sul tronco N - B

0,169 II radice

4,21 m/s

velocità sul tronco N - B

Verifica su YN (segno +) e su Re (moto ass. turbolento) JA-N YN

Re

8 ⋅ λ A−N ⋅ 2 Q cadente sul tronco di monte g ⋅ π2 ⋅ D5 YA - JA-N LA-N, quota piezometrica sul nodo di derivazione.

0,06 233,20 m

Prova JN-B

YN

0,10 233,20 m

4 Q / (π D1 ν), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante.

-598851,722 -

verifica dell'ipotesi sul moto non soddisfatta: il serbatoio A fornisce; si faccia riferimento ai calcoli seguenti

8 ⋅ λ A−N ⋅ L A−N

Ipotesi: moto assolutamente turbolento e YN< YB JA-N (Q,ε,D) LA-N + JN-B((q+Q),ε,D) LN-B = YA - YB

g ⋅ π2 ⋅ D5

Termini dell'equazione quadratica 8 ⋅ λ A− N g ⋅ π2 ⋅ D5

(L A − N + L N − B ) =

A

14259,11

B

426,013

2⋅

C

-73,314

8 ⋅ λ N −B ⋅ L N − B 3

Qm

0,058 m /s

vm

2,291 m/s 3 0,080 m /s

Qv vv

3,156 m/s

8 ⋅ λ N − B ⋅ L N −B g ⋅ π2 ⋅ D5

g ⋅ π 2 ⋅ D5

8 ⋅ λ A−N g ⋅ π2 ⋅ D5

q

q 2 − (YA − YB )

L

Q2 +

8 ⋅ λ N −B ⋅ L N −B g ⋅ π2 ⋅ D5

(q + Q )2

= YA − YB

Verifica su YN (segno -) e su Re (moto ass. turbolento) 8 ⋅ λ A−N ⋅ 2 Q g ⋅ π2 ⋅ D5 JA-N 0,03 cadente sul tronco di monte YN

YA - JA-N LA-N, quota piezometrica sul nodo di derivazione.

184,44 m

Re

Prova JN-B

0,0568 -

YN

184,44 m

4 Q / (π π D1 ν ), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante.

409969,57 -

verifica dell'ipotesi sul moto soddisfatta: il serbatoio A riceve; si faccia riferimento ai calcoli della precedente sezione

Esercizio 14

A

06-feb-09

esame

Immissione concentrata: Concepito con diametri distinti

La condotta in ghisa sferoidale rappresentata in figura è costituita da due tronchi di diametro D1 e D2. Lungo il percorso è presente una immissione concentrata. L’allievo determini le portate circolanti nei due tronchi di tubazione. q=

k*(5+

)

=

l/s

=

mm

=

mm

=

m

=

m

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

prima cifra della matricola *0.5 D1 =

180 + seconda cifra della matricola * 2

D2 =

180 + seconda cifra della matricola * 2

L=

1500 + terza cifra della matricola * 20

LAN =

500 + prima cifra della matricola *20

YA =

200 + seconda cifra della matricola * 2

YB =

150 + prima cifra della matricola * 2

ultime cifre della matricola scelta: 1 0 6 2 9,81 m/s

g

2 1,006E-06 m /s

ν q

55 l/s

k

10 -

D1

150 mm

D2

180 mm

L

0,055 m3/s coeff. Molt. Di q 0,15 m 0,18 m 1620 m

DYAB

48 m

Civili

Edile Architettura

LAN

520 m

J*

0,0436 -

YA

200 m

λ

0,020 -

YB

152 m

q*

0,070 m3/s

Il quesito consiste nel determinare le portate circolanti nei tronchi A - N e N - B sulla base dell'applicazione dell'equazione del moto tra A e B; L'equazione assume diversa forma, così come l'equazione di continuità, in dipendenza dell'ipotesi assunta sulla quota piezometrica al nodo interno N. Nel seguito verrà illustrato il procedimento sia nell'ipotesi di YN >= di YA, sia nell'ipotesi YN < di YA; la soluzione corretta corrisponderà ad uno solo dei due casi esposti. Ancora,

si

può

evitare

la

formulazione

dell'ipotesi

(YN

>=

di

YA

oppure

YN

<

di

YA)

valutando

la

portata

q*

avrebbe in assenza di contributo da parte del serbatoio A. Se q = YA

-

per YN < YA

Ipotesi: moto assolutamente turbolento e YN >= YA -JA-N (Q,ε,D1) LA-N + JN-B((Q-q),ε,D2) LN-B = YA - YB

ε

0,20 mm 0,0002 m

−

ε / D1

0,00133 -

scabrezza relativa della tubazione 1.

0,00111 -

scabrezza relativa della tubazione 2.

λA-N

0,018 m2 0,025 m2 0,021 -

λN-B

0,020 -

g ⋅ π 2 ⋅ D 15

Q2 +

8 ⋅ λ N − B ⋅ L N −B g ⋅ π 2 ⋅ D 52

(q − Q )2

= Y A − YB

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di conservazione della parete interna

ε / D2 ΣD1 ΣD2

8 ⋅ λ A −N ⋅ L A− N

π * D12/4, area della sezione della tubazione 1. 2 π * D2 /4, area della sezione della tubazione 2. 2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D1 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione di monte calcolato con la formula di Prandtl. Occorre verificare a posteriori il regime di movimento. 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D2 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione di valle calcolato con la formula di Prandtl. Occorre verificare a posteriori il regime di movimento.

I calcoli precedenti torneranno utili anche nel seguito, se l'ipotesi formulata non è soddisfatta. Termini dell'equazione quadratica A

-2236,48

B

-1065,032

C

-18,712

QA-N vA-N QN-B vN-B

-0,018 -1,0 0,073 2,9

8 ⋅ λ N −B ⋅ L N −B g ⋅ π 2 ⋅ D 52 − 2⋅

g ⋅ π 2 ⋅ D 52

g ⋅ π 2 ⋅ D 52

m/s m3/s m/s

8 ⋅ λ A−N ⋅ L A−N

8 ⋅ λ N−B ⋅ L N −B

8 ⋅ λ N − B ⋅ L N −B

m3/s

−

g ⋅ π 2 ⋅ D 15 q

q 2 − (YA − YB )

portata sul tronco A - N velocità sul tronco A - N portata sul tronco N - B velocità sul tronco N - B

Verifica su YN (segno +) e su Re (moto ass. turbolento) 8 ⋅ λ A−N ⋅

JA-N

0,01 -

g ⋅ π2 ⋅ D5

Q2

cadente sul tronco di monte

Prova JN-B

0,04725 -

che

si

YN

g⋅π ⋅D YA - JA-N LA-N, quota piezometrica sul nodo di derivazione.

203,98 m

Re

YN

203,98 m

4 Q / (π π D1 ν ), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante

-154155,68 -

verifica dell'ipotesi sul moto non soddisfatta: il serbatoio A fornisce; si faccia riferimento ai calcoli seguenti

8 ⋅ λ A−N ⋅ L A−N

Ipotesi: moto assolutamente turbolento e YN< YB JA-N (Q,ε,D1) LA-N + JN-B((q+Q),ε,D2) LN-B = YA - YB

Termini dell'equazione quadratica A

8 ⋅ λ A−N g ⋅ π 2 ⋅ D 15

21600,70

B

1065,032

C

-18,712

2⋅

L A−N +

8 ⋅ λ N−B ⋅ L N−B g ⋅ π 2 ⋅ D 52

8 ⋅ λ N −B ⋅ L N − B g ⋅ π 2 ⋅ D 52 3

0,014 m /s

QA-N vA-N

g ⋅ π 2 ⋅ D 15

QN-B

0,78 m/s 3 0,069 m /s

vN-B

2,70 m/s

8 ⋅ λ N−B g ⋅ π 2 ⋅ D 52

L N−B

=

Q2 +

8 ⋅ λ N −B ⋅ L N −B g ⋅ π 2 ⋅ D 52

8 ⋅ λ A−N g ⋅ π2 ⋅ D5

solo per diametri uguali

q

q 2 − (YA − YB )

portata sul tronco A - N velocità sul tronco A - N portata sul tronco N - B velocità sul tronco N - B

Prova JA-N

YA - JA-N LA-N, quota piezometrica sul nodo di derivazione.

197,75 m

Re

YN

4 Q / (π π D1 ν ), numero di Re dedotto dal diametro e portata circolante.

115933,83 -

verifica dell'ipotesi sul moto soddisfatta: il serbatoio A fornisce; non si faccia riferimento ai calcoli precedenti

Esercizio 15

26-mar-09

esame

Civili

Edile Architettura

Nel sistema di adduzione rappresentato in figura, il serbatoio a pelo libero B posto a quota zB riceve una certa portata Q da un serbatoio A posto a quota zA, con pressione dell’aeriforme pari a 3 atm relative. I due serbatoi sono collegati da una nuova condotta in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore di diametro D. L’allievo determini: - la potenza reale di una pompa installata subito a valle del serbatoio A, affinché venga convogliata la portata Q; - la portata Qsp senza la pompa, specificando il verso; - la piezometrica per le due condizioni esposte. YA =

100 +

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

=

m

=

mm

seconda cifra della matricola * 2 YB =

150 + prima cifra della matricola * 2

L=

2000 + prima cifra della matricola * 50

D=

145 +

= YA − YB

L

Verifica su YN (segno -) e su Re (moto ass. turbolento) 8 ⋅ λ A−N ⋅ 2 Q JA-N g ⋅ π 2 ⋅ D 15 0,00 cadente sul tronco di monte YN

(q + Q )2

0,11 271,13 m

terza cifra della matricola * 3 Q=

70 +

=

km

terza cifra della matricola * 2

ultime cifre della matricola scelta: 2 6 6 9,81 m/s

g

2

2

ν

1,006E-06 m /s

D

197 mm

Q

36 l/s

0,197 m 0,036 m3/s

L

2120 m

zA

104 m

zB

212 m

Il quesito consiste di due parti: nella prima si chiede quale deve essere la potenza della pompa, necessaria per il sollevamento della portata Q; nella seconda invece si chiede la portata circolante nella condotta senza la pompa. Nell'ultimo caso occorre valutare le quote piezometriche dei due serbatoi, per poter stabilire il verso della portata. Si ricorda infatti che i fluidi muovono da quote piezometriche maggiori a quote piezometriche minori. Infine si richiede il tracciamento delle piezometriche per le due condizioni esposte. Schema con pompa eta-pompa

0,65 -

valore scelto per il rendimento della pompa

ε

0,05 mm 0,00005 m

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di usura.

ε/D ΣD

0,00025 0,030 m2

scabrezza relativa delle tubazioni

vp Re λturb

1,18 m/s 231285,50 0,014 -

π * D2/4, area della sezione trasversale della tubazione. ΣD, velocità in condotta. Q/Σ vp D / ν , numero di Reynolds per la condotta; necessario per il tipo di movimento. 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza la tubazione calcolato constatando un regime di movimento assolutamente turbolento.

c JA-B,0 JA-B,0 L ∆Hm

Pr

4,01 0,005 11,44 88,45

m m

109,46 kW

8*λ λturb/(g*π π2*D5), avendo posto JA-B,0 = c*Q2, dove c raggruppa le costanti e variabili note. c Q2, cadente piezometrica. perdita di carico tra i due serbatoi zB + JA-B,0 L - (ZA + 3*10.33), prevalenza manometrica della pompa. si noti che il serbatoio in pressione è stato reinterpretato come un serbatoio a superficie libera, posto ad una quota geometrica pari a zA + 3 * 10.33m. Si ricorda che 1atm = 10.33m in colonna d'acqua 9.81 *Q * ∆Hm / eta_pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.

JA-B,0

∆Hm PCIRA 3*10.33m

Schema senza pompa Poiché risulta zA + 3 * 10.33 < zB, in assenza della pompa il fluido muoverà da B verso A. La piezometrica che ne deriva è di seguito illustrata:

JA-B,1 PCIRA 3*10.33m

JA-B,1

[ZB - (ZA + 3*10.33)] / L, prevalenza manometrica della pompa.

0,04 m

Ipotesi: moto assolutamente turbolento (JA-B,1 / c)1/2, portata circolante. QA-B,1 / SD, velocità in condotta. VA-B,1 D / ν , numero di Reynolds per condotta; occorre constatare che il regime di moto risulti assolutamente

0,095 m3/s 3,12 m/s 611292,32 -

QA-B,1 VA-B,1 ReA-B,1

turbolento. In alternativa bisogna impiegare una legge di resistenza alternativa.

Esercizio 16

14-mag-09

esame

Civili

Edile Architettura

Nel sistema di adduzione rappresentato in figura, una condotta in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore di diametro D con diversi anni di esercizio collega rispettivamente il serbatoio A posto a quota YA con il serbatoio B a quota YB. Al termine della condotta è presente una valvola capace di indurre una perdita di carico concentrata pari a α V2/2g. L’allievo determini le portate circolanti per le seguenti condizioni: - α = 0; - α = 100; - α tendente ad infinito; D=

185 +

= seconda cifra della matricola * 2

mm

L=

2000 +

=

m

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

terza cifra della matricola * 20 YA =

200 + prima cifra della matricola * 2

YB =

100 + seconda cifra della matricola * 2

ultime cifre della matricola scelta: 3 2 8 g

2 9,81 m/s

ν

1,006E-06 m /s

2

189 mm

D

0,189 m

L YA

2160 m 206 m

YB

104 m

Il quesito consiste nel determinare la portata Q circolante in condotta per tre differenti aperture della valvola ubicata al termine della stessa: 1. α = 0, ovvero valvola completamente aperta; 2. α = 100, ovvero valvola parzialmente chiusa; α → ∞, ovvero valvola chiusa. Si procede pertanto alla scrittura dell'equazione del moto (Bernoulli tra A e B), specificando la portata in funzione di α. 8⋅λ⋅L g⋅π ⋅D 2

5

Q2 + α

V2 = YA − Y B 2g

ovvero

16 ⋅ Q2 8⋅λ⋅L Q2 + α = YA − YB 2g ⋅ π2 ⋅ D 4 g ⋅ π 2 ⋅ D5

da cui consegue l'espressione della portata:

  YA − YB  Q= 8⋅λ ⋅ L 16 ⋅ α  +  g ⋅ π 2 ⋅ D 5 2g ⋅ π 2 ⋅ D 4 

ε

ε/D ΣD λturb

0,08 mm 0,00008 m 0,00042 0,028 m2 0,016 -

      

1/ 2

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di usura. scabrezza relativa della tubazione. π * D2/4, area della sezione della tubazione. 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione calcolato con la formula di Prandtl. Occorre verificare a posteriori il regime di movimento.

J

α= 0

Q= V= J=

Verifica sul numero di Re Re 620027,03 -

0,093 3,30 0,047

m3/s m/s -

4 Q / ν π D, numero di Reynolds per la tubazione; occorre constatare che il regime di moto risulti assolutamente turbolento. In alternativa bisogna impiegare una legge di resistenza alternativa.

J

α = 100

Q= V= J=

0,075 2,66 0,031

m3/s m/s -

V2 = 2g

35,95

m

α

Verifica sul numero di Re Re 498944,83 -

4 Q / ν π D, numero di Reynolds per la tubazione; occorre constatare che il regime di moto risulti assolutamente turbolento. In alternativa bisogna impiegare una legge di resistenza alternativa.

J

α→ ∞

Q= V= J= α

Verifica sul numero di Re Re 0,00 -

Esercizio 17

0,000 0,00 0,000

V2 = 102,00 2g

3

m /s m/s m

fluido in quiete

11-giu-09

esame

Civili

Edile Architettura

Nel sistema di adduzione rappresentato in figura, una certa portata q viene prelevata dal nodo N lungo la condotta in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore di diametro D e con diversi anni di esercizio. L'allievo determini: - il diametro DNB da assegnare al tronco di valle NB affinché la portata a servizio del serbatoio B sia pari ad 1/3 portata concentrata q; - la piezometrica per il sistema in esame. D=

215 +

=

mm

=

l/s

seconda cifra della matricola * 2 q=

35 + prima cifra della matricola * 0.2

LAN =

1000 +

=

m

=

m

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

terza cifra della matricola * 20 L=

2000 + terza cifra della matricola * 20

YA =

210 + prima cifra della matricola * 1

YB =

100 + seconda cifra della matricola * 1

ultime cifre della matricola scelta: 2 8 9 9,81 m/s

g

2

2

ν

1,006E-06 m /s

D

191 mm

q

35,4 l/s

0,191 m 0,0354 m3/s

LAN

1180 m

L

2180 m

YA

212 m

YB

188 m

Il quesito consiste nel determinare il diametro DNB, da assegnare al tronco NB affinchè in esso circoli un terzo della portata erogata dal nodo N. Dovendo quindi circolare sul tronco AN una portata pari a 4q/3 per l'equazione di continuità al nodo N, è possibile determinare ivi in corrispondenza la piezometrica JAN; dunque la quota piezometrica al nodo N e quindi la piezometrica sul tronco NB, ovvero JNB; infine si procede al calcolo del diametro teorico Dt,NB e quindi della coppia di diametri commerciali Dcomm,1 e Dcomm,2 da piazzare in serie sul tronco NB. ε

ε/D ΣD QAN vp Re λturb

0,2 mm 0,0002 m 0,00105 0,029 m2 0,047 m3/s 1,65 m/s 312766,89 0,020 -

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di usura. scabrezza relativa della tubazione AN. π * D2/4, area della sezione della tubazione. 4 * q / 3, portata circolante sul tronco AN. QAN/Σ ΣD, velocità nella condotta AN. 5 vp D / ν , numero di Reynolds per condotta; se > 10 i calcoli seguenti sono corretti.

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione calcolato con la formula di Prandtl. Occorre verificare a posteriori il regime di movimento.

cAN JAN YN

6,45 0,014 195,05 m

8*λ λturb/(g*π π2*D5), avendo posto JAN = cAN*QAN2, dove cAN raggruppa le costanti e variabili note. 2 cAN QAN , cadente piezometrica sul tronco AN. YA - JAN LAN, quota piezometrica sul nodo di derivazione.

JNB

(YN - YB)/(L-LAN), cadente piezometrica sul tronco NB.

0,0070 0,012 m3/s 0,022 -

QNB λemp Dt,NB

q / 3, portata circolante sul tronco NB. indice di resistenza calcolato con la formula di resistenza empirica f(JNB,QNB). 2 1/5 [8 * λemp * QNB2 /( g *π π * JNB)] , diametro teorico da formula empirica.

0,129

Dcomm,1 Dcomm,2

0,1 m 0,15 m

diametro commerciale inferiore scelto da una serie. diametro commerciale inferiore scelto da una serie.

ε/Dcomm,1

0,0020 -

scabrezza relativa della tubazione commerciale 1.

ε/Dcomm,2

0,0013 -

scabrezza relativa della tubazione commerciale 2.

ΣD,1

π * Dcomm,1 /4, area della sezione della tubazione. Q/Σ ΣD,1, velocità in condotta. 2

0,008 m2

v1

1,50 m/s

Re1

v1 Dcomm,1 / ν , numero di Reynolds per condotta.

149346,19 -

ΣD,2

π * Dcomm,22/4, area della sezione della tubazione. ΣD,2, velocità in condotta. Q/Σ

0,018 m2

v2

0,67 m/s

Re2

v2 Dcomm,2 / ν , numero di Reynolds per condotta.

99564,13 -

λturb,1 λturb,2

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dcomm,3-1 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione 1. 2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dcomm,3-2 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione 2. 2

0,023 0,021 -

Matrice dei coefficienti

1

1

0,0269

0,0032

Esercizio 18

termine noto 1000 7,05

13-lug-09

esame

vettore delle incognite 162,57 837,43 1000 prova

Civili

Edile Architettura

Nell’impianto di sollevamento rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata Q da un A, tramite una successione di due condotte in ghisa con diversi anni di esercizio. Successivamente (figura 4.b) si intende prelevare dal nodo N una portata q lasciando inalterata la portata a servizio del serbatoio B. L'allievo determini: - le portate circolanti e le piezometriche per i due schemi illustrati; - la variazione di potenza reale della pompa. YA =

140 +

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

=

mm

=

m

seconda cifra della matricola * 0.5 YB =

200 + prima cifra della matricola * 0.5

D1 =

245 + seconda cifra della matricola * 2

L1 =

800 + terza cifra della matricola * 20

D2 =

205 +

=

mm

=

m

=

m

seconda cifra della matricola * 2 L2 =

2000 + terza cifra della matricola * 20

Lm,2 =

600 + prima cifra della matricola * 20

Q=

q=

45 l/s

35 +

=

l/s

prima cifra della matricola * 0.2

ultime cifre della matricola scelta: 1 8 5 9,81 m/s

g ν

1,006E-06 m /s

YA

144 m

YB

200,5 m

D1

261 mm

0,261 m

221 mm

0,221 m

L1 D2

900 m

L2

2100 m

Lm,2

620 m

Lv,2

1480 m 3 0,0766 m /s

Q q

2

2

15,4 l/s

0,0154 m3/s

Il quesito consiste nel determinare le portate circolanti per i due schemi assegnati, le piezometriche e la variazione di potenza.

Schema 4.a eta-pompa ε

0,7 0,2 mm 0,0002 m

Condotta a monte della pompa ε / D1 0,00077 ΣD1 v1

0,054 m2 1,43 m/s

valore scelto per il rendimento della pompa. valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di usura.

scabrezza relativa della tubazione di monte. π * D12/4, area della sezione della tubazione. ΣD1, velocità in condotta. Qp/Σ

Re1 λturb,1

c1 J1 J1 L 1

v1 D / ν , numero di Reynolds per la tubazione di monte.

371450,03 -

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D1 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione di monte 2

0,018 -

1,26 s2/m6 0,007 6,63 m

Condotta a valle della pompa ε / D2 0,00090 ΣD2 v2

Re2 λturb,2

c2 J2 J2 L 2

calcolato con la formula di Prandtl. Occorre constatare il regime di movimento, affinchè i calcoli seguenti risultino corretti. 2 5 2 8*λ λturb,1/(g*π π *D1 ), avendo posto J1 = c1*Q , dove c1 raggruppa le costanti e variabili note. c1 Q2, cadente piezometrica. perdita di carico tra il sebatoio A ed il punto immediatamente monte la pompa

scabrezza relativa della tubazione di valle. π * D22/4, area della sezione della tubazione. Qp/Σ ΣD2, velocità in condotta.

0,038 m2 2,00 m/s

v2 D / ν , numero di Reynolds per la tubazione di valle.

438680,81 -

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D2 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione di valle

0,019 -

3,00 s2/m6 0,018 36,98 m

calcolato con la formula di Prandtl. Occorre constatare il regime di movimento, affinchè i calcoli seguenti risultino corretti. 2 5 2 8*λ λturb,2/(g*π π *D2 ), avendo posto J2 = c2*Q , dove c2 raggruppa le costanti e variabili note. 2

c2 Q , cadente piezometrica. perdita di carico tra il punto immediatamente valle la pompa ed il serbatoio B.

∆hma

100,11 m

YB + J2 L2 - (YA - J1 L1), prevalenza manometrica della pompa.

Pr,a

107,47 kW

9.81 *Q * ∆Hma / eta_pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.

J2 ∆hma

Schema 4.b Condotta tra nodo N e serbatoio B Jv,2 Lv,2 26,06 m YN 226,56 m Condotta tra pompa e nodo N QmN 0,09 m3/s Jm,2 0,025 Jm,2 Lm,2 15,75 m Ypv

242,31 m

Condotta tra serbatoio A e pompa

perdita di carico tra la derivazione ed il serbatoio B, dove Jv,2 = J2. YB + Jv,2 L2, quota piezometrica del nodo N.

Q + q, portata circolante a monte del nodo di derivazione N. 2

c2 QmN , cadente piezometrica. perdita di carico tra la pompa ed il nodo di derivazione N YN + Jm,2 Lm,2, quota piezometrica a valle della pompa.

Jn,1

c1 QmN2, cadente piezometrica.

0,011 9,56 m 134,44 m

Jn,1 L1 Ypm

perdita di carico tra il sebatoio A ed il punto immediatamente monte la pompa YA + Jn,1 L1, quota piezometrica a monte della pompa.

Calcolo della nuova prevalenza manometrica Ypv - Ypm, prevalenza manometrica della pompa. ∆Hmb 107,88 m Calcolo della nuova potenza Pr,b 139,09 kW

9.81 *QmN * ∆Hmb / eta_pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.

JPN JNB ∆Hmb

JAP

Differenza di potenza tra i due schemi Pr,b - Pr,a 31,62 kW

Esercizio 19

10-set-09

esame

Civili

Edile Architettura

Nell’impianto di adduzione rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata Q da un serbatoio A, a quota YA, tramite una condotta in ghisa con diversi anni di esercizio. Successivamente (figura 4.b) si vuole dimezzare la portata Q0 a servizio del serbatoio B tramite una perdita di carico concentrata indotta da una valvola posta a valle della condotta. L’allievo, determini: - la portata circolante per lo schema di figura 4.a; - la perdita di carico concentrata per lo schema di figura 4.b; - le piezometriche per i due schemi illustrati. YA =

140 +

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

=

mm

=

m

seconda cifra della matricola * 0.5 YB =

100 + prima cifra della matricola * 0.5

D=

215 + seconda cifra della matricola * 2

L=

4800 +

terza cifra della matricola * 20 ultime cifre della matricola scelta: 7 8 8 9,81 m/s

g

2

2

ν

1,006E-06 m /s

YA

144 m

YB

93,5 m 231 mm

D

0,231 m

L

4960 m

Il quesito consiste nel determinare la portata Q circolante iper la condotta semplice rappresentata in figura 4.a) e la perdita di carico concentrata necessaria per lo schema di figura 4.b, affinchè la portata risulti pari a Q0 / 2. Si procede pertanto lla scrittura dell'equazione del moto (Bernoulli tra A e B), per i due schemi (si veda esercizio 16 per confronto):

Schema 4.a 8⋅λ ⋅ L g ⋅ π2 ⋅ D5

Q 20 = YA − YB

1

da cui consegue l'espressione della portata:    Y − YB Q0 =  A 8⋅λ⋅L   g ⋅ π2 ⋅ D5 

ε

ε/D ΣD λturb

      

1/ 2

2

0,2 mm 0,0002 m 0,00087 0,042 m2 0,019 -

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di usura. scabrezza relativa della tubazione π * D2/4, area della sezione della tubazione 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D1 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione calcolato con la formula di Prandtl. Occorre verificare a posteriori il regime di movimento.

J0 Q0 = V0 = J0 =

3

0,065 1,56

m /s m/s

0,0102

-

Verifica sul numero di Re Re 358356,13 -

4 Q / ν π D, numero di Reynolds per la tubazione; occorre constatare che il regime di moto risulti assolutamente turbolento. In alternativa bisogna impiegare una legge di resistenza alternativa.

Schema 4.b 2

8⋅λ⋅L

 Q0   + ∆Yvalv = YA − YB  g ⋅π ⋅D  2  2

ovvero

5

1 8⋅λ ⋅L Q 0 2 + ∆Yvalv = YA − YB 4 g ⋅ π2 ⋅ D5

dalla eq. 1 consegue:

∆Yvalv =

3 (YA − YB ) 4

3

E' bene precisare che la eq. 3 è stata ricavata nell'ipotesi di costanza dell'indice di resistenza. Occorre pertanto verificare anche in questo caso che ci si trovi in moto assolutamente turbolento. Se la verifica da esito negativo bisogna valutare il lambda con una formula alternativa.

J

Variante 26 luglio Q0 / 3

Q0 / 2

m3/s m/s 0,0011 0,0025 Si noti che J e pari ad 1/4 del vecchio valore, poiché il legame J(Q) è quadratico

∆Yvalv = ∆Yvalv

3

0,022 0,52

m /s m/s -

44,89

m

Qn = Vn = Jn =

∆Yvalv =

8 = (YA − YB ) 9

∆Yvalv =

0,033 0,78

37,88 m 3 (YA − YB ) 4

Test JL = ∆Yvalv + JL = YA - YB = Verifica sul numero di Re Re 179178,07 -

Esercizio 20

12,63 50,50 50,50

m m m

4 Q / ν π D, numero di Reynolds per la tubazione; occorre constatare che il regime di moto risulti assolutamente turbolento. In alternativa bisogna impiegare una legge di resistenza alternativa.

16-set-09

Esame

Civili

Edile Architettura

Il sistema di adduzione rappresentato in figura è caratterizzato da un tronco a monte, caratterizzato dal diametro Dm e lunghezza Lm, a cui segue a valle un tratto in parallelo di lunghezza Lv, caratterizzato da due tronchi di diametro Dv1 e Dv2. Tutte le condotte sono in ghisa sferoidale, con diversi anni di esercizio. L’allievo determini le portate circolanti nelle condotte e tracci le relative piezometriche. YA =

200 +

= seconda cifra della matricola * 2

m s.l.m.

YB =

150 +

=

m s.l.m.

=

m

=

m

=

mm

=

mm

=

mm

prima cifra della matricola * 2 Lm =

1000 + terza cifra della matricola * 10

Lv =

500 + seconda cifra della matricola * 10

Dm =

215 + terza cifra della matricola * 2

Dv1 =

155 + prima cifra della matricola * 2

Dv2 =

125 + seconda cifra della matricola * 2

ultime cifre della matricola scelta: 0 1 9 9,81 m/s

g

2

2

ν

1,006E-06 m /s

YA

202 m

YB

150 m

Lm

1090 m

Lv

510 m

Dm

233 mm

0,233 m

Dv1

155 mm

0,155 m

Dv2

127 mm

0,127 m

Trattasi di un problema di verifica. Il quesito consiste nel determinare le portate circolanti per lo schema assegnato. Si procederà in due maniere 1. con l'ipotesi di moto assolutamente turbolento nelle tre condotte; 2. con formulazione empirica sull'indice di resistenza. ε

0,2 mm 0,0002 m

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di usura.

Condotta a monte del parallelo ε / Dm 0,00086 -

scabrezza relativa della tubazione.

ΣDm

π * Dm2/4, area della sezione della tubazione.

0,043 m2

Condotta a monte del parallelo ε / Dv1 0,00129 ΣDv1 0,019 m2

scabrezza relativa della tubazione. π * Dv12/4, area della sezione della tubazione.

Condotta a monte del parallelo ε / Dv2 0,00157 ΣDv2 0,013 m2

scabrezza relativa della tubazione. π * Dv2 /4, area della sezione della tubazione. 2

1. Ipotesi: moto assolutamente turbolento 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dm ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione di monte. λturb,m 0,019 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dv1 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione di valle 1. λturb,v1 0,021 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dv2) ] }2, indice di resistenza per la tubazione di valle 2. λturb,v2 0,022 2,27 s2/m6 19,29 s2/m6 54,96 s2/m6

cm cv1 cv2

8*λ λturb,m/(g*π π *Dm ), avendo posto Jm = cm*Qm , dove cm raggruppa le costanti e variabili note. 8*λ π2*Dv15), avendo posto Jv1 = cv1*Qv12, dove cv1 raggruppa le costanti e variabili note. λturb,v1/(g*π 2

5

2

8*λ λturb,v2/(g*π π *Dv2 ), avendo posto Jv2 = cv2*Qv2 , dove cv2 raggruppa le costanti e variabili note. 2

5

2

YN

Jm

Jv1 = Jv2

Qm

Qv1

Qv2

181,49

0,0188

0,0617

0,091

0,057

0,034

vm

vm1

vm2

2,13

3,00

2,65

Rem

Rev1

Rev2

494018,86

461916,14

334017,95

∆Q 0,001

2. Formulazione empirica YN

Jm

Jv1 = Jv2

λEMP,m

λEMP,v1

λEMP,v2

cEMP,m

cEMP,v1

cEMP,v2

181,44

0,0189

0,0617

0,019

0,021

0,022

2,31

19,50

55,63

Qm

Qv1

Qv2

∆Q

0,090

0,056

0,033

0,001

vm

vv1

vv2

2,12

2,98

2,63

Rem

Rev1

Rev2

490936,58

459125,14

331768,47

Macro: 'Idrodinamica_Es20_Calcola_portate'

Si noti come le soluzioni risultino tanto più vicine quanto più evidente il carattere turbolento delle correnti Esercizio 21

16-set-09

Esame

Civili

Edile Architettura

Per l’impianto idroelettrico rappresentato in figura l'allievo determini l'energia ricavabile in un anno di funzionamento nell’ipotesi di funzionamento continuo 24h/24h e tracci la relativa piezometrica. La condotta è in ghisa in servizio con lievi incrostazioni di diametro D. YA =

850 +

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

seconda cifra della matricola * 2 YB =

600 +

prima cifra della matricola * 2 L=

2500 +

=

m

=

mm

=

l/s

prima cifra della matricola * 10 D=

235 + terza cifra della matricola * 2

Q=

50 + prima cifra della matricola * 0.5

ultime cifre della matricola scelta: 0 4 1

g ν D Q L YA YB

eta-turbina ε

ε/D ΣD v0 Re λturb

cturb JA-B JA-B L ∆Hm Pr E E E

Esercizio 22

237 mm 50 l/s

9,81 1,006E-06 0,237 0,05

m/s2 2 m /s m

m3/s 2500 m 858 m 600 m

valore scelto per il rendimento della turbina.

0,7 0,2 mm 0,0002 m 0,00084 0,044 m2 1,13 m/s

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di usura. scabrezza relativa della tubazione π * D2/4, area della sezione della tubazione. Q/Σ ΣD, velocità in condotta. v0 D / ν , numero di Reynolds per condotta.

267013,85 -

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione

0,019 -

2,08 s2/m6 0,0052 13,01 m 244,99 m 84,12 kW 2,65E+09 kJ 736881,885 kWh 0,74 GWh

30-ott-09

calcolato con la formula di Prandtl. Occorre constatare il regime di movimento, affinchè i calcoli seguenti risultino corretti. 8*λ λturb/(g*π π2*D5), avendo posto JA-B = cturb*Q2, dove cturb raggruppa le costanti e variabili note. cturb Q2, cadente piezometrica. perdita di carico continua tra i due serbatoi. YA + JA-B L - YB, prevalenza sulla turbina. 9.81 *Q * ∆Hm * eta_turbina, potenza reale ottenuta dalla turbina. Pr*365*24*3600, energia annua spesa in kJ. Pr*365*24, energia annua spesa in kWh. Pr*365*24/106, energia annua spesa in GWh.

Esame

Civili

Edile Architettura

Nell’impianto di sollevamento rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata Q da un serbatoio A a quota YA, tramite una successione di due condotte in ghisa con diversi anni di esercizio. Successivamente (figura 4.b) si intende incrementare del 20% la portata a servizio del serbatoio B, lasciando invariata la potenza della pompa. A tal fine si intende realizzare un tratto in parallelo, costituito da una tubazione in acciaio con Dopo aver verificato la fattibilità del nuovo schema di figura 4.b, l’allievo, determini: - la potenza reale Pr della pompa per lo schema riportato in figura 4.a; - il diametro Dn da assegnare al nuovo tronco in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore; - l’andamento delle piezometriche per i due schemi.

Q=

65 +

=

l/s

=

mm

=

m

=

mm

=

m

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

seconda cifra della matricola * 0.5 D1 =

215 + seconda cifra della matricola * 2

L1 =

300 + seconda cifra della matricola * 20

D2 =

185 + seconda cifra della matricola * 2

L2 =

3000 + terza cifra della matricola * 20

YA =

120 + seconda cifra della matricola * 2

YB =

200 + prima cifra della matricola * 2

ultime cifre della matricola scelta: 7 5 6

g ν Q D1 L1 D2 L2 YA YB

67,5 l/s 225 mm 195 mm

9,81 1,006E-06 0,0675 0,225 420 0,195 3120 130

2

m/s m2/s m3/s m m m m m

214 m

eta-pompa

0,7 -

valore scelto per il rendimento della pompa

Schema 4.a ε

ε / D1 ΣD,1 v0,1 Re1

0,15 mm 0,00015 m

valore scelto per la scabrezza della tubazioni esistenti, scelto sulla base del tipo di materiale e

0,00067 -

scabrezza relativa della tubazione di monte.

0,040 m2 1,70 m/s 379693,70 -

λturb,1

0,018 -

cturb,1

2,55 s2/m6 0,012 4,88 m

J1 J1 L 1 ε / D2 ΣD,2 v0,2 Re2 λturb,2

cturb,2 J2 J2 L 2 ∆Hm,a Pr

0,00077 0,030 m2 2,26 m/s 438108,12 0,018 -

5,40 s2/m6 0,025 76,74 m 165,63 m 156,68 kW

stato di usura.

π * D1 /4, area della sezione della tubazione di monte. Q/ΣD,1, velocità nella tubazione di monte. 2

v0,1 D1 / ν , numero di Reynolds per la tubazione. 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D1 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione di monte calcolato con la formula di Prandtl. Occorre constatare il regime di movimento, affinchè i calcoli seguenti risultino corretti. 2 5 2 8*λ λturb,1/(g*π π *D1 ), avendo posto J1 = cturb,1*Q , dove cturb,1 raggruppa le costanti e variabili note. 2 cturb,1 Q , cadente piezometrica sulla tubazione di monte. 2

perdita di carico tra serbatoio di monte e pompa. scabrezza relativa della tubazione di valle. π * D2 /4, area della sezione della tubazione. Q/Σ ΣD,2, velocità nella tubazione di valle. 2

v0,2 D2 / ν , numero di Reynolds per la tubazione. 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D2 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione di valle calcolato con la formula di Prandtl. Occorre constatare il regime di movimento, affinchè i calcoli seguenti risultino corretti. 8*λ λturb,2/(g*π π2*D25), avendo posto J1 = cturb,2*Q2, dove cturb,2 raggruppa le costanti e variabili note. 2 cturb,2 Q , cadente piezometrica sulla tubazione di valle. 2

perdita di carico tra pompa e serbatoio di valle. YB + J1 L1 + J2 L2 - YA, prevalenza sulla pompa. 9.81 *Q * ∆Hm / eta_pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.

Schema 4.b ε

0,1 mm 0,0001 m

Qn

0,081 m3/s 138,02 m 0,017 -

∆Hm,b Jn,1 Jn1 L1 Jn,2

7,03 m 0,02 m

Qp,2

0,053 m3/s

vp,2

1,77 m/s

Rep,2

342814,41 -

valore scelto per la scabrezza della nuova tubazione da piazzare in parallelo 1.2*Q, nuovo valore di portata richiesta. Q * ∆Hm,a / Qn, nuovo valore della prevalenza manometrica, basato sulla potenza costante. 2 cturb,1 Qn , cadente piezometrica sulla tubazione di monte (in regime di moto asolutamente turbolento). perdita di carico tra serbatoio di monte e pompa. (YA - J1 L1 + ∆Hm,b - YB) / L2, nuovo valore della cadente sul tronco di valle. Se il valore risulta > 0, allora il nuovo schema è effettivamente realizzabile. (Jn,2 / cturb,2)1/2, nuovo valore della portata sul vecchio tronco di valle (in regime di moto asolutamente turbolento). Qp,2 / ΣD,2, nuovo valore della velocità sul vecchio tronco di valle. vp,2 D2 / ν , nuovo numero di Reynolds per il vecchio tronco di valle. necessario per constatare il regime di movimento.

Qn,2

0,028 m3/s

Qn - Qp,2, portata sul tronco da dimensionare.

λemp,2

0,019 -

f(Qn,2, Jn,2), come da relazione empirica

Dn,t

0,153

2 1/5 [8 * λemp,2 * Qn,22 /( g *π π * Jn,2)] , diametro teorico da formula empirica

Dcomm,1 Dcomm,2

0,125 m 0,175 m

diametro commerciale inferiore scelto da una serie. diametro commerciale superiore scelto da una serie.

ε / Dcomm,1

0,0008 0,0006 -

ε / Dcomm,2 ΣD,1 vcomm,1

scabrezza relativa della tubazione commerciale 1. scabrezza relativa della tubazione commerciale 2. π * Dcomm,12/4, area della sezione della tubazione. ΣD,1, velocità in condotta. Qn,2/Σ

0,012 m2 2,30 m/s

Re1

vcomm,1 Dcomm,1 / ν , numero di Reynolds per la tubazione commerciale 1.

285347,92 -

ΣD,2

π * Dcomm,2 /4, area della sezione della tubazione. Qn,2/Σ ΣD,2, velocità in condotta. 2

0,024 m2

vcomm,2

1,17 m/s

Re2

vcomm,2 Dcomm,2 / ν , numero di Reynolds per la tubazione commerciale 2.

203819,94 -

λturb,1 λturb,2

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dcomm,1 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione 1. 2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dcomm,2 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione 2. 2

0,019 0,017 -

Matrice dei coefficienti 1 0,0416

termine noto 3120 46,99

1

0,0077

vettore delle incognite per Dcomm,1 673,25 2446,75 per Dcomm,2 3120

Esercizio 23

11/12/2009

Esame

prova

Civili

Nel sistema di adduzione rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata Q0 da un serbatoio A a quota YA, tramite una condotteain ghisa con diversi anni di esercizio. Successivamente (figura 4.b) si intende derivare dal nodo N una portata q pari al 70% della portata Q0, lasciando invariata la portata a servizio del serbatoio B. A tal fine si intende realizzare un tratto in parallelo, costituito da una tubazione in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore, compreso tra il serbatoio A ed il nodo di derivazione N. L'allievo determini: - la portata Q0 circolante nella condotta rappresentata in figura 4.a; - il diametro Dn da assegnare al nuovo tronco in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore (figura 4.b); - l’andamento delle piezometriche per i due schemi.

YA =

200 +

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

=

mm

seconda cifra della matricola * 2 YB =

110 + prima cifra della matricola * 2

D=

215 +

seconda cifra della matricola * 2 Lp =

1000

=

m

=

m

terza cifra della matricola * 20 L=

2500 + prima cifra della matricola * 20

ultime cifre della matricola scelta: 0 4 1 9,81 m/s

g ν YA

208 m

YB D

2

2 1,006E-06 m /s

110 m 223 mm

0,223 m

Lp

1020 m

L

2500 m

Il quesito consiste nel determinare la portata circolante per lo schema 4.a) ed il diametro Dn da assegnare ad un tronco in parallelo per lo schema 4.b), piazzato a monte del nodo di derivazione, affinche YB riceva sempre Q0 e la portata derivata risulti pari a q. ε

0,2 mm

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di conservazione della parete interna

ε/D

0,00090 -

corrispondente scabrezza relativa per la tubazione relativa alla figura 4.a)

JA-B,1

0,03920 -

cadente corrispondente allo schema di figura 4.a)

Schema 4.a Ipotesi: moto assolutamente turbolento λturb,0

0,019 -

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione relativa alla figura 4.a) calcolato con la formula di Prandtl. Occorre constatare il regime di movimento, affinchè i calcoli seguenti risultino corretti.

ΣD c0 Q0 V0 Re0

0,039 m2 2,86 0,117 m3/s 3,00 m/s 664138,12 -

π * D2/4, area della sezione della tubazione. π2*D5), avendo posto J0 = c0*Q02, dove c0 raggruppa le costanti e variabili note. 8*λ λturb,0/(g*π 1/2 (JA-B,1 / c0) , portata circolante. Q0 / ΣD, velocità in condotta. V0 D / ν , numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody: nel caso di moto non assolutamente turbolento, riferiamoci alla seguente formulazione completa di Colebrook - White.

Formulazione completa con formula di Colebrook - White λC-W,1 cC-W,1

0,024 3,66 s2/m6

coefficiente di resistenza di tentativo. il valore di primo tentativo viene posto pari a circa il corrispondente fornito della formula di Prandtl; la formula di Colebrook - White può

0,010

ammettere più soluzioni; quella giusta è compresa tra 0,01 e 0,08 (si veda abaco di Moody)

2 , 51 ReC-W,1

41159,59 -

  λ  10  

−

1 2

λ

−

 1 ε  3 , 715 D  

numero di Reynolds di tentativo, ottenuto dalla relazione di Colebrook - White Q0

JA-B, di tent F(JA-B,1, di tent.)

0,007 m3/s 0,000 -0,03900756 -

(π π D ReC-W,1 ν / 4), portata circolante dedotta dal numero di Re. 2 cC-W,1 * Q0 , cadente di tentativo; il valore soluzione è fornito cliccando su ricerca obiettivo. JA-B,1 - JA-B,1, di tent, l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione. Macro:'Idrodinamica_Es23_Calcola_Q0'

Schema 4.b Poiché il serbatoio di quota YB riceve sempre Q0 ne deriviamo che la piezometrica è pari sempre a JA-B,1 ovunque. Per questo motivo sul vecchio tronco (ora in parallelo) A - N circolerà ancora Q0 e quindi per la continuità al nodo, sul nuovo tronco in parallelo circolerà una portata q = 0.7 Q0.

Qp,n εp,n

0,082 m3/s 0,01 mm

0.7 Q0 portata sul nuovo tronco di tubazione in parallelo. valore scelto per la scabrezza della nuova tubazione, da affiancare al tratto preesistente

0,00001 m Formulazione completa con formula di Colebrook - White A differenza della procedura iterativa precedente, in questo caso fissando λ come parametro di iterazione della formula di Colebrook - White, ne deriva un'equazione di secondo grado nell'incognita Dr. Seguono i coefficienti dell'equazione: λC-W

0,015 -

coefficiente di resistenza di tentativo. La formula di Colebrook - White può ammettere più soluzioni; quella corretta è compresa tra 0,01 e 0,08 (vedi abaco di Moody).

A

0,00020

B

-0,00008

C

0,000003

Dp,n JC-B, di tent F(JC-B, di tent.)

0,346 m 0,0017 0,037542 -

2,51 ⋅ π ⋅ ν 4 ⋅ Q p,n ⋅ λ − 10

−

ε p, n 3,715

coefficiente moltiplicativo del termine quadratico.

1 2 λ

coefficiente moltiplicativo del termine lineare. coefficiente costante.

(-B+(B2-4AC)1/2)/2A, soluzione dell'equazione quadratica 2 π2 * Dp,n5), cadente di tentativo; il valore soluzione 8 * λC-W * Qp,n /( g *π

è fornito cliccando su ricerca obiettivo. JC-B - JC-B, di tent, l'uguaglianza a zero restituisce i valori soluzione. Macro:'Idrodinamica_Es23_Calcola_Dpn

Determinazione del diametro con una formula empirica La procedura iterativa proposta in precedenza presenta lo svantaggio di essere particolarmente sensibile ai parametri noti (ε …) e quindi non sempre la soluzione (Dp,n) è di immediata soluzione. La procedura semplificata che segue, permette di determinare il diametro incognito tramite una formula empirica che, sebbene implicita permette comunque di giungere al calcolo di Dp,n.

Formula empirica:

λemp

0,014 -

coefficiente di resistenza di tentativo. Il valore soluzione (compreso tra 0,01 e 0,08) si ottiene risolvendo per tentativi la Formula empirica cliccando su Calcola λemp.

F(λemp)

0,00087099 -

funzione ricerca obiettivo costruita su λemp.

Macro: 'Idrodinamica_Es23_Calcola_Dpn_empirico'

Dp,n Dcomm,1 Dcomm,2

0,181 m 0,15 m 0,20 m

[8 * λemp * Qp,n2 /( g *π π2 * JA-B,1)]1/5, diametro teorico da formula empirica. diametro commerciale inferiore scelto da una serie diametro commerciale inferiore scelto da una serie

ε / Dcomm,1

0,00007 -

scabrezza relativa della tubazione commerciale 1.

ε / Dcomm,2

0,00005 -

scabrezza relativa della tubazione commerciale 2.

ΣD,1 vcomm,1 Re1 ΣD,2 vcomm,2 Re2 λturb,1 λturb,2

0,018 m2 4,64 m/s 691146,41 0,031 m2 2,61 m/s 518359,81 0,011 0,011 -

Matrice dei coefficienti 1 1 0,0810 0,0183

π * Dcomm,12/4, area della sezione della tubazione. ΣD,1, velocità in condotta. Qp,n/Σ vcomm,1 Dcomm,1 / ν , numero di Reynolds per condotta. π * Dcomm,22/4, area della sezione della tubazione. ΣD,2, velocità in condotta. Qp,n/Σ vcomm,2 Dcomm,2 / ν , numero di Reynolds per condotta. 2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dcomm,3-1 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione 1. 2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dcomm,3-2 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione 2.

termine noto 1020 39,98

vettore delle incognite per Dcomm,1 340,34 per Dcomm,2 679,66 1020

prova

Esercizio 24

11/01/2010

Civili

Edile Architettura

Nel sistema di adduzione rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata Q0 da un serbatoio A a quota YA, tramite una condotta in ghisa con diversi anni di esercizio di diametro D. Successivamente (figura 4.b) si intende incrementare la portata a servizio del serbatoio

B, passando da Q0 a

αQ0, tramite l’inserimento di un tronco in parallelo per una lunghezza massima pari a Lp. L’allievo valuti se è possibile realizzare il tronco in parallelo con una tubazione di pari caratteristiche (diametro e scabrezza). Nel caso ciò non risulti possibile, l’allievo proceda alla valutazione del diametro di una nuova condotta in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore, per una lunghezza pari ad Lp. Si traccino infine le piezometriche per i due schemi.

YA =

200 +

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

=

mm

=

m

=

m

=

m

seconda cifra della matricola * 2 YB =

110 + prima cifra della matricola * 2

D=

215 + seconda cifra della matricola * 2

Lp =

1000 terza cifra della matricola * 20

L=

2500 + prima cifra della matricola * 20

α=

1+ terza cifra della matricola * 0.03

ultime cifre della matricola scelta: 6 6 2 g

2 9,81 m/s

ν

2 1,006E-06 m /s

YA

212 m

YB D

122 m 227 mm

0,227 m

Lp

1040 m

L

2620 m

α

1,06 m2/s

Il quesito consiste nel determinare la portata circolante per lo schema 4.a) e di valutare la possibilità di inserire un tronco in parallelo di diametro e scabrezza pari alla tubazione esistente, se la sua lunghezza Ln risulta inferiore alla distanza Lp, ovvero in caso contrario di calcolare il diametro da assegnare ad una nuova tubazione in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore da piazzare in parallelo per una lunghezza pari a Lp, per lo schema 4.b). Per lo schema 4.a) si valuterà la portata circolante Q0 sia nell'ipotesi di moto assolutamente turbolento, eseguendo a posteriori il

controllo sul numero di Reynolds, sia con una formulazione empirica per l'indice di resistenza; per lo schema 4.b) si valuterà Ln dall'equazione del moto scritta tra A e B. Se Ln risulterà maggiore di Lp, si procederà al calcolo del diametro Dp della nuova tubazione di lunghezza Lp. Poiché risulterà YC minore di YB, è però necessario prevedere un impianto di sollevamento sul tronco di monte che, per ipotesi, garantisce sul nodo C un carico pari a YB + 10m. Schema 4.a Ipotesi: moto assolutamente turbolento ε

0,2 mm 0,0002 m

ε/D λturb,0

0,00088 0,019 -

J0

0,034 -

c0 Q0

2,61 s2/m6 0,115 m3/s 0,040 m2 2,84 m/s 639872,57 -

ΣD V0 Re0

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di conservazione della parete interna. corrispondente scabrezza relativa per la tubazione relativa alla figura 4.a). 2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] } , indice di resistenza per la tubazione relativa alla figura 4.a). cadente corrispondente allo schema di figura 4.a). 2 5 2 8*λ λturb,0/(g*π π *D ), avendo posto J0 = c0*Q0 , dove c0 raggruppa le costanti e variabili note. (JA-B,1 / c0)1/2, portata circolante. π * D /4, area della sezione della tubazione. Q0 / ΣD, velocità in condotta. V0 D / ν , numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody: 2

nel caso di moto non assolutamente turbolento, ci si riferisca alla formulazione completa di Colebrook - White o ad una formulazione empirica Schema 4.b Q1

0,122 m3/s

α Q0, portata erogata dal serbatoio A.

Adozione della stessa tubazione per il parallelo Verifichiamo innanzitutto se è possibile avvalersi della formulazione in regime di moto assolutamente turbolento per i tronchi in parallelo: Qn Vp Re0

0,061 m3/s 0,67 m/s 150136,54 -

Q0 / 2, portata circolante in ciascuno dei tronchi in parallelo. Qn / ΣD, velocità in ciascuno dei tronchi. V0 D / ν , numero di Reynolds (si verifichi l'ipotesi di partenza sull'abaco di Moody: nel caso di moto non assolutamente turbolento, riferiamoci alla formulazione completa di Colebrook - White.

Scrittura dell'equazione del moto J1 (L - Ln) + Jn Ln = YA - Y B

1.

dove J1 = c1 Q12 Jn = cn Qn2

2. 3.

ε

0,2 mm

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di conservazione della parete interna

ε/D λturb,1 c1 cn

0,00088 0,0190 2,61 s2/m6 2,61 s2/m6

corrispondente scabrezza relativa per la tubazione relativa alla figura 4.a) 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza per tutte le tubazioni relative alla figura 4.b). 8*λ λturb,1/(g*π π2*D5), avendo posto J1 = c1*Q12, dove c1 raggruppa le costanti e variabili note. 8*λ λturb,1/(g*π π2*D5), avendo posto Jn = cn*Qn2, dove cn raggruppa le costanti e variabili note. si noti come i precedenti coefficienti risultano uguali in regime di moto assolutamente turbolento.

J1

0,0386 -

cadente sul tronco di monte da eq. 2.

Jn

0,0096 -

cadente sui tronchi in parallelo a valle da eq. 3.

Ln

384,28 m

lunghezza dei tronchi in parallelo a valle da eq. 1.

Lunghezza sufficiente; non si considerino i calcoli che seguono

εpn

0,05 mm 0,00005 m

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di conservazione della parete interna

Jp

0,0096 -

10 / Lp, cadente sui tronchi in parallelo, nell'ipotesi di sollevamento meccanico con YC = YB + 10.

λemp,vp(Jp, D)

0,0200 -

indice di resistenza sulla vecchia tubazione in parallelo

8*λ λemp,vp/(g*π π *D ), avendo posto Jp = cvp*Qvp , dove cvp raggruppa le costanti e variabili note.

Qvp

2,74 s2/m6 0,06 m3/s

Qnp

0,06 m3/s

Qn - Qvp, portata sul nuovo tronco del parallelo.

cvp

λemp,np(Qnp, Jp)

2

5

2

1/2

(Jp / cvp) , portata sul vecchio tronco del parallelo.

0,0136 -

2 1/5 [8 * λemp,np * Qnp2 /( g *π π * Jp)] , diametro teorico da formula empirica.

Dp,n

0,232 m

Dcomm,1 Dcomm,2

0,275 m

diametro commerciale inferiore scelto da una serie.

0,325 m

diametro commerciale superiore scelto da una serie.

ε / Dcomm,1 ε / Dcomm,2 ΣD,1 vcomm,1 Re1 ΣD,2 vcomm,2 Re2 λturb,1 λturb,2

0,00018 -

scabrezza relativa della tubazione commerciale 1.

0,00015 -

scabrezza relativa della tubazione commerciale 2.

0,059 m2 1,05 m/s

π * Dcomm,12/4, area della sezione della tubazione. ΣD,1, velocità in condotta. Qnp/Σ vcomm,1 Dcomm,1 / ν , numero di Reynolds per condotta.

287305,77 0,083 m2 0,75 m/s

π * Dcomm,22/4, area della sezione della tubazione. Qp,n/Σ ΣD,2, velocità in condotta. vcomm,2 Dcomm,2 / ν , numero di Reynolds per condotta.

243104,88 -

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dcomm,3-1 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione 1. 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dcomm,3-2 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione 2.

0,013 0,013 -

Matrice dei coefficienti 1 1 0,0028 0,0012

termine noto 1040 10,00

vettore delle incognite 5501,58 per Dcomm,1 -4461,58 per Dcomm,2 1040

Esercizio 25

08-feb-10

esame

Civili

prova

Edile Architettura

Nell’impianto di sollevamento rappresentato in figura, il serbatoio B a quota YB riceve inizialmente una certa portata Qv da un serbatoio A a quota YA, tramite una condotta in ghisa sferoidale con diversi anni di esercizio. Successivamente si intende variare la portata circolante, passando dal valore Qv al valore Qn = α Qv. L’allievo: - esprima la differenza di prevalenza manometrica esistente a seguito della variazione di portata, come funzione del parametro α; - determini la differenza di potenza reale, specificatamente per α =1,2 ; - tracci le piezometriche per i due schemi illustrati;

Nei calcoli si assuma un regime di moto assolutamente turbolento.

YA =

20 +

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

=

mm

=

m

=

mm

=

m

=

l/s

seconda cifra della matricola * 0.5 YB =

90 + prima cifra della matricola * 0.5

D1 =

205 + seconda cifra della matricola * 2

L1 =

800 + terza cifra della matricola * 20

D2 =

245 + seconda cifra della matricola * 2

L2 =

4800 + terza cifra della matricola * 20

Qv =

60 + prima cifra della matricola * 2

ultime cifre della matricola scelta: 0 4 8 g ν YA YB D1 L1 D2

9,81 1,006E-06 122 190 213 mm 253 mm

m m

_____ _____ _____

0,213 m 960 m 0,253 m

L2 Qv

m/s2 2 m /s Profilo piezometrico per Q = Qv Profilo piezometrico per Q = α Qv, α > 1 Profilo piezometrico per Q = α Qv, α < 1

4960 m 0,06 m3/s

60 l/s

Il quesito consiste nel determinare la differenza di prevalenza manometrica ∆Hm,n - ∆Hm,v tra i due schemi descritti, in funzione del parametro α = Qn/Qv, la differenza di potenza reale Pr,n - Pr,v, specificatamente per α = 1,2 ed infine le rispettive piezometriche. Per quanto concerne il primo quesito si osservi che: ∆Hm,v = (YB - YA) + J1,v L1 + J2,v L2

1.

ovvero: ∆H m , v = (YB − YA ) +

8 ⋅ λ 1, v ⋅ L 1 g ⋅ π 2 ⋅ D 15

Q 2V +

8 ⋅ λ 2 ,v ⋅ L 2 g ⋅ π 2 ⋅ D 52

Q 2V

2.

ed analogamente: ∆H m ,n = (YB − YA ) +

8 ⋅ λ 1, n ⋅ L 1 g ⋅ π 2 ⋅ D15

(αQ v )2 +

8 ⋅ λ 2 ,n ⋅ L 2 g ⋅ π 2 ⋅ D 52

(αQ v )2

3.

per l'ipotesi introdotta sul moto assolutamente turbolento risultera λv,1 = λn,1 = λ1 e λv,2 = λn,2 = λ2. Sottraendo la eq. 3 alla eq.2 si ottiene:   8 ⋅ λ 1 ⋅ L1 8⋅λ2 ⋅L2 Qv2  Q 2+ ∆H m, n − ∆H m , v = (α − 1) ⋅    g ⋅ π2 ⋅ D5 v g ⋅ π 2 ⋅ D 52 1  

5.

ovvero in forma compatta: Calcolo della potenza reale Pr,v per lo schema iniziale eta-pompa ε

ε / D1 ΣD,1 v0,1 Re1

0,7 -

valore scelto per la scabrezza della tubazioni esistenti, scelto sulla base del tipo di materiale e

0,00070 -

scabrezza relativa della tubazione di monte.

0,036 m2 1,68 m/s 356519,91 0,018 -

c1

3,40 s2/m6 0,012 11,75 m

J1,v L1 ε / D2 ΣD,2 v0,2 Re2 λ2

valore scelto per il rendimento della pompa.

0,15 mm 0,00015 m

λ1

J1,v

0,00059 0,050 m2 1,19 m/s 300153,12 0,017 -

stato di usura.

π * D1 /4, area della sezione della tubazione. ΣD,1, velocità nella tubazione di monte. Qv/Σ 2

v0,1 D1 / ν , numero di Reynolds per la tubazione. 2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D1 ) ] } , indice di resistenza calcolato con la formula di Prandtl. Occorre constatare

il regime di movimento, affinchè i calcoli seguenti risultino corretti. 8*λ λ1/(g*π π2*D15), avendo posto J1,v = c1*Qv2, dove c1 raggruppa le costanti e variabili note. c1 Qv2, cadente piezometrica sulla tubazione di monte. perdita di carico tra serbatoio di monte e pompa. scabrezza relativa della tubazione di valle. π * D22/4, area della sezione della tubazione. ΣD,2, velocità nella tubazione di valle. Qv/Σ v0,2 D2 / ν , numero di Reynolds per la tubazione. 2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D2 ) ] } , indice di resistenza calcolato con la formula di Prandtl. Occorre constatare

il regime di movimento, affinchè i calcoli seguenti risultino corretti. c2 J2,v J2,v L2 ∆Hm,v Pr,v

1,38 s2/m6 0,005 24,68 m 104,43 m 87,81 kW

8*λ λ2/(g*π π2*D25), avendo posto J2 = c2*Qv2, dove c2 raggruppa le costanti e variabili note. 2 c2 Qv , cadente piezometrica sulla tubazione di valle. perdita di carico tra pompa e serbatoio di valle (YB - YA) + J1,v L1 + J2,v L2, prevalenza manometrica iniziale sulla pompa. 9.81 *Qv * ∆Hm,v / eta_pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.

Calcolo della potenza reale Pr,n per lo schema finale eta-pompa

0,7 -

α

1,2 -

Qn

0,072 m3/s

ε

4.

5 mm

valore scelto per il rendimento della pompa coefficiente moltiplicativo della vecchia portata nuovo valore di portata valore scelto per la scabrezza della tubazioni esistenti, scelto sulla base del tipo di materiale e

0,005 m ε/D1

stato di usura.

0,02347 -

v0,1

scabrezza relativa della tubazione di monte. Qv/Σ ΣD,1, velocità nella tubazione di monte.

2,02 m/s

Re1

v0,1 D1 / ν , numero di Reynolds per la tubazione.

427823,89 -

J1,n

c1 Qn2, cadente piezometrica sulla tubazione di monte.

0,018 16,92 m

J1,v L1 ε/D2

perdita di carico tra serbatoio di monte e pompa

0,01976 -

v0,2

scabrezza relativa della tubazione di valle

ΣD,2, velocità nella tubazione di monte. Qn/Σ

1,43 m/s

Re2

v0,2 D2 / ν , numero di Reynolds per condotta.

360183,75 -

J2,n

2

c2 Qn , cadente piezometrica sulla tubazione di valle.

J2,n L2

0,007 35,54 m

∆Hm,n

120,46 m

(YB - YA) + J1,n L1 + J2,n L2, prevalenza manometrica finale sulla pompa.

Pr,n

121,55 kW

9.81 *Qv * ∆Hm,v / eta_pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.

perdita di carico tra pompa e serbatoio di valle

Calcolo delle differenze richieste ∆Hm,n - ∆Hm,v Pr,n - Pr,v

differenza di prevalenza manometrica esistente a seguito della variazione di portata, come funzione di α (eq. 5)

2 (α -1)* 36,43

differenza di potenza reale, valutata specificatamente per α =1,2 ;

33,74 kW

Esercizio 26

18/02/2010

esame

Civili

Edile Architettura

Per l’impianto idroelettrico rappresentato in figura l'allievo determini l'energia ricavabile in un anno di funzionamento nell’ipotesi di funzionamento continuo 24h/24h e tracci la relativa piezometrica. La condotta è in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore di diametro D e diversi anni di esercizio. L=

2500 +

=

m

=

mm

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

=

l/s

prima cifra della matricola * 10 D=

235 + terza cifra della matricola * 2

YA =

850 + seconda cifra della matricola * 2

YB =

600 + prima cifra della matricola * 2

Q=

50 + prima cifra della matricola * 0.5

ultime cifre della matricola scelta: 5 4

8 g ν D L YA YB

9,81 1,006E-06 0,251 2550 858,0 710

251 mm

Q

52,5 l/s

eta-turbina

0,65 -

ε

v0

valore scelto per il rendimento della turbina. stato di usura. scabrezza relativa della tubazione. π * D2/4, area della sezione della tubazione. Qv/Σ ΣD, velocità nella tubazione di monte.

1,06 m/s

v0 D / ν , numero di Reynolds per la tubazione.

264726,68 -

λturb

m m m m

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e

0,00797 0,049 m2

Re

∆Hm

0,0525 m3/s

2 mm 0,002 m

ε/D ΣD

2

m/s m2/s

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] } , indice di resistenza calcolato con la formula di Prandtl. Occorre constatare 2

0,035 -

il regime di movimento, affinchè i calcoli seguenti risultino corretti. 8*λ λturb/(g*π π2*D5), avendo posto JA-B = cturb*Q2, dove cturb raggruppa le costanti e variabili note. 2 cturb Q , cadente piezometrica.

2,91 s2/m6 0,008 20,46 m

cturb JA-B JA-B L ∆Hm

perdita di carico tra i due serbatoi. YA + JA-B L - YB, prevalenza sulla turbina.

127,54 m

Pr

9.81 *Q * ∆Hm / eta_pompa, potenza reale, spesa dalla pompa.

42,69 kW

E E E

1,35E+09 kJ 374006,949 kWh 0,37 GWh

Esercizio 27

Pr*365*24*3600, energia annua spesa in kJ Pr*365*24, energia annua spesa in kWh Pr*365*24 / 106, energia annua spesa in GWh

18/02/2010

esame

Civili

Edile Architettura

Nel sistema di adduzione rappresentato in figura, una portata q viene prelevata dal nodo N a quota geometrica zN, lungo la condotta in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore di diametro D e con diversi anni di esercizio. L'allievo determini: - la massima portata qMAX, prelevabile dal nodo N, affinché l’altezza piezometrica sullo stesso risulti pari a 10m; - la portata qMAX, prelevabile dal nodo N, affinché il serbatoio B non dia contributo; - tracci le piezometriche per i casi in precedenza esposti. D=

195 +

=

mm

=

m

=

m

=

m s.l.m.

seconda cifra della matricola * 2 LAN =

1000 + terza cifra della matricola * 20

L=

2000 + terza cifra della matricola * 20

YA =

200 +

prima cifra della matricola * 0.5 YB =

150 +

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

seconda cifra della matricola * 0.5 zN =

80 + terza cifra della matricola * 0.5

ultime cifre della matricola scelta: 5 4 8 9,81 m/s

g ν D

10m

2

2

1,006E-06 m /s 203 mm

LAN

0,203 m 1160 m

L

2160 m

YA

202,5 m

YB

152 m

qMAX

zN

84,0 m

qLIM

Il quesito consiste nel determinare le portate erogate qMAX e qLIM per le condizioni descritte e le relative piezometriche. Si procede nell'ipotesi di moto assolutamente turbolento, verificandola a posteriori per ciascuno dei due casi. ε

ε/D ΣD

0,2 mm 0,0002 m 0,00099 0,032 m2

Calcolo della portata qMAX YN 94,0 m λturb 0,020 cturb JAN QAN vAN ReAN JNB

π * D2/4, area della sezione della tubazione.

il regime di movimento, affinchè i calcoli seguenti risultino corretti. 8*λ λturb/(g*π π2*D5), avendo posto JA-N = cturb*QA-N2, dove cturb raggruppa le costanti e variabili note. (YA - YN) / LAN, cadente piezometrica sul tronco AN.

m /s m/s -

(JAN/cturb)1/2, portata circolante sul tronco AN. ΣD, velocità nella condotta AN. QAN/Σ vAN D / ν , numero di Reynolds per la condotta.

-

(YN - YB)/(L-LAN), cadente piezometrica sul tronco NB.

3

vNB ReNB

0,111 m3/s 3,44 m/s 693727,12 -

qMAX

0,253 m3/s

QNB

scabrezza relativa delle tubazioni

zN + 10, quota piezometrica per il calcolo di qMAX. 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza calcolato con la formula di Prandtl. Occorre constatare

4,68 s2/m6 0,094 0,141 4,37 880968,85 0,058

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di usura.

Calcolo della portata qLIM YN 152,00 m

(JNB/cturb)1/2, portata circolante sul tronco NB. ΣD, velocità nella condotta NB. QNB/Σ vNB D / ν , numero di Reynolds per la condotta. QAN + QNB, portata massima prelevabile.

= YB, per il vincolo introdotto.

JAN

0,096 2,98 601023,39 0,096

ReAN qLIM

Esercizio 28 Si

(YA - YN) / LAN, cadente piezometrica sul tronco AN.

0,044 -

QAN vAN

calcolino

1/2

m3/s m/s -

(JAN/cturb) , portata circolante sul tronco AN. QAN/Σ ΣD, velocità nella condotta AN.

m3/s

= QAN, portata corrispondente al vincolo introdotto.

vAN D / ν , numero di Reynolds per la condotta.

19/03/2010 le

portate

circolanti

esame nell’impianto

basato su: a

tre

serbatoi

23-apr-07

rappresentato

Civili

nella

seguente

assumano condotte in acciaio, con rivestimento bituminoso a spessore. YA =

720 +

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

=

mm

=

mm

=

mm

=

km

=

km

=

km

seconda cifra della matricola * 2 YB =

600 + prima cifra della matricola * 2

YC =

640 + terza cifra della matricola * 2

D1 =

225 + seconda cifra della matricola * 0.3

D2 =

235 + prima cifra della matricola * 0.3

D3 =

185 + terza cifra della matricola * 0.3

L1 =

1.28 + seconda cifra della matricola * 0.03

L2 =

1.33 + prima cifra della matricola * 0.03

L3 =

1.14 + terza cifra della matricola * 0.03

ultime cifre della matricola scelta: 0 2 4 g ν YA

2

9,81 m/s 2 1,006E-06 m /s 724 m

YB

600 m

YC

648 m

figura.

Edile Architettura Si

D2

235 mm

0,235 m

0,040 m2 0,043 m2

D3

186,2 mm

0,1862 m

0,027 m2

L1

1,34 km

1340 m

L2

1,33 km

1330 m

L3

1,26 km

1260 m

D1

Il

225,6 mm

quesito

consiste

in

un

0,2256 m

problema

di

verifica:

occorre

cioè

determinare

le

portate

circolanti,

nota

la

geometria

del

sistema.

Procediamo in due maniere: 1. con la formula di Prandtl facendo l'ipotesi di moto a.t. e con la formula empirica λ = λemp(J,D). ε

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e

0,2 mm

stato di conservazione della parete interna. ε / D1

0,00089 -

corrispondente scabrezza relativa per la tubazione 1.

ε / D2

0,00085 -

corrispondente scabrezza relativa per la tubazione 2.

ε / D3

0,00107 -

λturb,1

0,019 -

corrispondente scabrezza relativa per la tubazione 3. 2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] } , indice di resistenza per la tubazione 1.

λturb,2

0,019 -

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] } , indice di resistenza per la tubazione 2.

λturb,3

0,020 -

2

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione 3. 2

c1

8*λ λturb,1/(g*π π *D1 ), avendo posto J1 = c1*Q1 , dove c1 raggruppa le costanti e variabili note. 2

6

2,69 s /m 2,18 s2/m6

c2

2

c3

7,37 s /m

5

2

8*λ λturb,2/(g*π π *D2 ), avendo posto J2 = c2*Q2 , dove c2 raggruppa le costanti e variabili note. 2

5

2

8*λ λturb3/(g*π π *D3 ), avendo posto J3 = c3*Q3 , dove c3 raggruppa le costanti e variabili note. 2

6

5

2

Ipotesi: moto assolutamente turbolento YN

J1

J2

J3

Q1

Q2

Q3

∆Q

649,87

0,0553

0,0375

0,0015

0,143

0,131

0,014

-0,00217519

v1

v2

v3

3,58

3,03

0,52

Re1

Re2

Re3

803931,86

707086,17

96427,46

Formulazione empirica YN

J1

J2

J3

λEMP,1

λEMP,2

λEMP,3

cEMP,1

cEMP,2

cEMP,3

649,96

0,0553

0,0376

0,0016

0,0192

0,0191

0,0211

2,72

2,20

7,79

Q1

Q2

Q3

∆Q

0,143

0,131

0,014

-0,00227

v1

v2

v3

3,57

3,01

0,52

Re1

Re2

Re3

799872,73

704012,77

96030,31

Macro: 'Idrodinamica_Es28_Calcola_Q_Problema_tre_serbatoi'

Esercizio 29

23/04/2010

esame

Civili

esame

Civili

basato su:

23-apr-07

Si faccia riferimento all'Esercizio 13. Esercizio 30

08/07/2010

Edile Architettura

Nel sistema rappresentato in figura 4.a, il serbatoio B a quota YB riceve una certa portata Q0 da un serbatoio A a quota YA tramite una condotta in ghisa in servizio corrente. Successivamente si decide di incrementare la portata erogata dal serbatoio A, a servizio del serbatoio B, passando dal valore Q0 al valore αQ0 con α > 1. A tal fine si intende realizzare un raddoppio di condotta a valle del nodo C (figura 4.b). L’allievo determini: - per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.a, la portata Q0 da erogare a servizio del del serbatoio B; - per la condizione di esercizio illustrata in figura 4.b, il diametro Dr da assegnare alla nuova tubazione. Nel caso in cui lo schema proposto non possa essere realizzato, si proponga una soluzione alternativa. α=

1.2 +

=

-

=

m s.l.m.

=

m s.l.m.

=

mm

=

m

=

m

seconda cifra della matricola * 0.01 YA =

200 + seconda cifra della matricola * 2

YB =

130 + prima cifra della matricola * 2

D=

185 + seconda cifra della matricola * 2

L=

2000 + terza cifra della matricola * 20

Lr =

800 + seconda cifra della matricola * 25

ultime cifre della matricola scelta:

4.a)

9 5 1 2

9,81 m/s 2 1,006E-06 m /s

g ν α YA

1,25 210 m

YB D L Lr

148 m 195 mm

0,195 m 2020 m 925 m

Il

quesito

consiste

nel

determinare

la

portata

Q0

da

erogare

inizialmente

a

servizio

del

serbatoio

B

ed

il

diametro

Dr

da

assegnare al nuovo tronco in parallelo, affinché il serbatoio A eroghi sempre α Q0 con α > 1. Occorre verificare per lo schema di figura 4.b se la quota piezometrica del nodo C risulta superiore della quota geometrica del serbatoio B. In caso contrario non sarà possibile addurre la portata α Q0 con lo schema proposto; schemi alternativi possono prevedere una immissione concentrata e/o una pompa lungo la condotta A-C. ε

valore scelto per la scabrezza della tubazione, scelto sulla base del tipo di materiale e

0,2 mm

stato di conservazione della parete interna ε/D

0,001 -

corrispondente scabrezza relativa

Schema 4.a Ipotesi: moto assolutamente turbolento λturb ΣD cturb JA-B,0 QA-B,0 VA-B,0 Re0

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] }2, formula di Prandtl.

0,020 2

0,030 m 5,78 s2/m6

π * D2/4, area della sezione della tubazione originaria. 2 5 2 8*λ λturb/(g*π π *D ), avendo posto JA-B,0 = cturb*QA-B,0 , dove cturb raggruppa le costanti e variabili note. ( YA - YB ) / L, cadente piezometrica.

0,0307 -

(JA-B,0 / c0)1/2, portata circolante.

0,073 m3/s 2,44 m/s

QA-B,0 / ΣD, velocità in condotta. VA-B,0 D / ν , numero di Reynolds (occorre constatare il regime di movimento).

472799,62 -

Formulazione empirica per l'indice di resistenza

λEMP,0

0,020 -

cEMP,0

5,86 s /m 0,072 m3/s

QA-B,0

2

6 1/2 (JA-B,0 / cEMP,0) , portata circolante.

Schema 4.b Ipotesi: moto assolutamente turbolento: = Q1, nuova portata da addurre. α Q0 0,090 m3/s VA-C,1 Re0

3,03 m/s 587170,33 -

Q1 / ΣD, velocità in condotta. VA-C,1 D / ν , numero di Reynolds (occorre constatare il regime di movimento).

JA-C,1

0,0473 -

2 cturb Q1 , cadente piezometrica sul tronco di monte.

YC

158,16 m

YA - JA-C,1(L - Lr), quota piezometrica del nodo C.

Occorre a questo punto eseguire il controllo sulla quota piezometrica del nodo C: Lo schema proposto può essere realizzato. Si faccia riferimento ai calcoli seguenti.

JC-B,1 Qp,v Vp,v Rep,v Qp,n

0,01099 0,044 m3/s 1,46 m/s 282895,64 0,047 m3/s

(YC - YB ) / Lr, cadente sul tronco in parallelo. (JC-B,1 / cturb)1/2, portata circolante sul vecchio tronco in parallelo. Qp,v / ΣD, velocità nel vecchio tronco in parallelo. Vp,v D / ν , numero di Reynolds (occorre constatare il regime di movimento). = Q1 - Qp,v, portata da convogliare nel nuovo tronco in parallelo.

εpn

0,05 mm

valore scelto per la nuova tubazione da piazzare in parallelo.

0,00005 m λemp,pn(Qp,n, JC-B,1)

0,016 -

Dp,n

0,191 m

2 π2 * JC-B,1)]1/5, diametro teorico da formula empirica. [8 * λemp,pn * Qpn /( g *π

Dcomm,1

0,150 m

diametro commerciale inferiore scelto da una serie.

Dcomm,2

0,250 m

diametro commerciale superiore scelto da una serie.

εp,n / Dcomm,1

0,0003 -

scabrezza relativa della tubazione commerciale 1.

εp,n / Dcomm,2

0,0002 -

scabrezza relativa della tubazione commerciale 2.

ΣD,1 v1

0,018 m2 2,65 m/s

π * Dcomm,1 /4, area della sezione della tubazione 1. Qp,n/Σ ΣD,1, velocità nella tubazione 1. 2

Re1

395557,10 -

v1 Dcomm,1 / ν , numero di Reynolds per la tubazione 1.

ΣD,2 v2

0,049 m2 0,96 m/s 237334,26 -

π * Dcomm,2 /4, area della sezione della tubazione 2. ΣD,2, velocità nella tubazione 2. Qp,n/Σ v2 Dcomm,2 / ν , numero di Reynolds per la tubazione 2.

Re2

2

λturb,1

0,015 -

2 0.25/{ LOG10[ εp,n/(3.715*Dcomm,1 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione 1.

λturb,2

0,014 -

0.25/{ LOG10[ εp,n/(3.715*Dcomm,2 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione 2.

Matrice dei coefficienti 1 1 0,0365 0,0026

termine noto 925 10,16

vettore delle incognite per Dcomm,1 229,89 per Dcomm,2 695,11 925

Esercizio 31

04-lug-11

esame

Civili

prova

Edile Architettura

Nel sistema di adduzione rappresentato in figura il serbatoio B a quota YB una certa portata Q da un serbatoio A a quota YA, tramite un impianto di sollevamento. Le condotte comprese tra A e B sono in ghisa di diametro DAB con diversi anni di esercizio. Nell’ipotesi di funzionamento continuo, l’allievo: - determini l’energia necessaria in un anno per sollevare la portata Q da A a B; - progetti la tubazione nuova in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore compresa tra B e C, necessaria per convogliare la stessa portata Q al serbatoio C; - tracci l’andamento delle piezometriche. L1 =

400 +

=

m

D1 =

terza cifra della matricola * 10 L2 =

2000 +

=

m

D2 =

seconda cifra della matricola * 10 L3 =

5000 +

=

prima cifra della matricola * 10

300 +

=

mm

terza cifra della matricola * 2 350 +

=

mm

seconda cifra della matricola * 2 m

Q=

85 +

=

seconda cifra della matricola * 2

l/s

YA =

120 +

=

m s.l.m.

terza cifra della matricola * 5 YC =

550 +

YB =

600 +

=

terza cifra della matricola * 5

=

m s.l.m.

terza cifra della matricola * 5

ultime cifre della matricola scelta: 2 0 7 2

9,81 m/s 2 1,006E-06 m /s

g ν L1 D1

470 m 314 mm

L2 D2

0,314 m 2000 m

350 mm

0,35 m

L3

5020 m

YA

535 m

YB

635 m

YC Q

585 m 89 l/s

0,089 m3/s

Il quesito consiste nel determinare l'energia spesa in una anno dalla pompa per sollevare la portata Q ed il diametro D3 da associare al tronco 3, per il convogliamento della stessa portata al serbatoio C. ε

0,2 mm

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di usura.

0,0002 m eta

0,65 -

valore scelto per il rendimento della pompa

1. Calcolo dell'energia spesa in un anno di funzionamento dalla pompa Ipotesi: moto assolutamente turbolento ε/D1

0,00064 -

scabrezza relativa della tubazione 1

ε/D2

0,00057 -

scabrezza relativa della tubazione 2

ΣD1 ΣD2 vp1

0,077 m2 0,096 m3 1,15 m/s

π * D12/4, area della sezione della tubazione 1 π * D22/4, area della sezione della tubazione 2 Q / ΣD1, velocità in condotta 1.

vp2 Re1

358733,96 -

Q / ΣD2, velocità in condotta 2. vp1 D1 / ν , numero di Reynolds per la tubazione 1

Re2

321835,61 -

vp2 D2 / ν , numero di Reynolds per la tubazione 2

0,93 m/s

λturb,1

0,018 -

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D1 ) ] } , indice di resistenza per ciascuna delle due tubazioni

λturb,2

0,017 -

calcolato con la formula di Prandtl 2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D2 ) ] } , indice di resistenza per ciascuna delle due tubazioni

2

calcolato con la formula di Prandtl

m s.l.m.

J1 J1 L1 J2 J2 L2

0,004 1,78 m 0,002 4,29 m

π *D1 ), formula di Darcy - Weisbach 8*λ λturb,1 Q /(g*π 2

2

5

perdita di carico continua sul tratto 1 π *D2 ), formula di Darcy - Weisbach 8*λ λturb,2 Q /(g*π 2

2

5

perdita di carico continua sul tratto 2

Equazione del moto tra A e B: YA - J1L1 + ∆Hman - J2L2 = YB Dhman Pt Pr E

106,06 m 92,60 kW 142,46 kW 4,49E+09 kJ

E

1247985,1 kWh

E

1,25 GWh

Dall'equazione del moto 9.81 *Q * ∆Hman,a, potenza teorica Pa/η η, potenza reale. Pr*365*24*3600, energia annua spesa in kJ. Pr*365*24, energia annua spesa in kWh. Pr*365*24/106, energia annua spesa in GWh.

2. Calcolo del diametro della condotta tra i serbatoi B e C Determinazione del diametro teorico con una formula empirica

Formula empirica:

εN

0,08 mm

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e

0,00008 m

stato di conservazione della parete interna.

JB-C

0,0100 -

( YB-YC ) / L, cadente piezometrica teorica.

λemp

0,015 -

indice di resistenza calcolato con la formula di cui sopra, dove J = JB-C, ε = εN.

Dt

0,251

2 π2 * JB-C)]1/5, diametro teorico da formula empirica. [8 * λemp * Q /( g *π

Dcomm,3-1

0,225 m

diametro commerciale inferiore scelto da una serie.

Dcomm,3-2

0,275 m

diametro commerciale inferiore scelto da una serie.

ε / Dcomm,3-1

0,0004 -

scabrezza relativa della tubazione commerciale 1.

ε / Dcomm,3-2

0,0003 -

scabrezza relativa della tubazione commerciale 2.

ΣD,3-1 v3-1 Re3-1 ΣD,3-2 v3-2

0,040 m2 2,24 m/s 500633,18 0,059 m2 1,50 m/s

Re3-2

409608,96 -

λturb,1

0,015 -

π * Dcomm,3-12 / 4, area della sezione della tubazione. Q / ΣD,3-1, velocità in condotta. v3-1 Dcomm,3-1 / ν , numero di Reynolds per condotta. π * Dcomm,3-22 / 4, area della sezione della tubazione. Q / ΣD,3-2, velocità in condotta. v3-2 Dcomm,3-2 / ν , numero di Reynolds per condotta. 2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dcomm,3-1 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione 1.

λturb,2

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dcomm,3-2 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione 2. 2

0,015 -

termine noto

Matrice dei coefficienti

vettore delle incognite

1

1

5020

1669,48

0,0176

0,0062

50,00

3350,52 5020

Esercizio 32

25/07/2011

esame

prova

Edile Architettura

Nel sistema di adduzione rappresentato in figura è costituito da una prima condotta con funzionamento a gravità e da un successivo impianto di sollevamento. Nell’ipotesi di voler convogliare dal serbatoio A al serbatoio C una portata costante pari a Q, l’allievo: - progetti la tubazione nuova in acciaio con rivestimento bituminoso a spessore tra il serbatoio A ed il serbatoio B; - determini l’energia necessaria in un anno per il sollevamento meccanico (condotte comprese tra i serbatoi B e C in ghisa con diversi anni di esercizio); - tracci l’andamento delle piezometriche. L1 =

5000 +

=

m

Q=

terza cifra della matricola * 10 L2 =

400 +

=

m

D2 =

seconda cifra della matricola * 10 L3 =

4000 +

=

600

m

=

620 +

m s.l.m.

=

m s.l.m.

ultime cifre della matricola scelta: 0 7 8 2 9,81 m/s 2 1,006E-06 m /s

ν L1

5080 m 3 0,085 m /s 470 m

Q L2

85 l/s

D2

316 mm

0,316 m

364 mm

0,364 m

L3 D3

300 +

=

D3 =

350 +

=

YB =

580 +

=

terza cifra della matricola * 0.5

terza cifra della matricola * 0.5

g

l/s

mm

mm

seconda cifra della matricola * 2

terza cifra della matricola * 0.5 YC =

=

terza cifra della matricola * 2

prima cifra della matricola * 10 YA =

85 +

prima cifra della matricola * 2

4000 m

YA

604 m

YB

584 m

m s.l.m.

YC

624 m

Il quesito consiste nel determinare l'energia spesa in una anno dalla pompa per sollevare la portata Q ed il diametro D1 da associare al tronco 1, per il convogliamento della stessa portata al serbatoio B. 1. Calcolo del diametro della condotta tra i serbatoi A e B Determinazione del diametro teorico con una formula empirica

Formula empirica:

εN

0,05 mm 0,00005 m 0,0039 -

JA-B

valore scelto per la scabrezza della tubazioni che dovranno essere comprese tra i serbatoi A e B, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di usura (tubi nuovi). ( YA-YB ) / L, cadente piezometrica teorica.

λemp

0,015 -

indice di resistenza calcolato con la formula di cui sopra, dove J = JA-B, ε = εN.

Dt

0,295

2 π2 * JA-B)]1/5, diametro teorico da formula empirica. [8 * λemp * Q /( g *π

Dcomm,1-1

0,25 m

diametro commerciale inferiore scelto da una serie.

Dcomm,1-2

0,35 m

diametro commerciale inferiore scelto da una serie.

ε / Dcomm,1-1

0,0002 -

scabrezza relativa della tubazione commerciale 1.

ε / Dcomm,1-2

0,0001 -

scabrezza relativa della tubazione commerciale 2.

ΣD,1-1

0,049 m2 1,73 m/s

v1-1 Re13-1

430319,53 -

ΣD,1-2 v1-2

0,096 m2 0,88 m/s

π * Dcomm,1-12 / 4, area della sezione della tubazione. Q / ΣD,1-1, velocità in condotta. v1-1 Dcomm,1-1 / ν , numero di Reynolds per condotta. π * Dcomm,1-22 / 4, area della sezione della tubazione. Q / ΣD,1-2, velocità in condotta. v1-2 Dcomm,1-2 / ν , numero di Reynolds per condotta.

Re1-2

307371,09 -

λturb,1

0,014 -

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dcomm,3-1 ) ] }2, indice di resistenza per la tubazione 1.

λturb,2

0,013 -

2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*Dcomm,3-2 ) ] } , indice di resistenza per la tubazione 2.

termine noto

Matrice dei coefficienti

vettore delle incognite

1

1

5080

1817,83

0,0084

0,0015

20,00

3262,17 5080

prova

2. Calcolo dell'energia spesa in un anno di funzionamento dalla pompa Ipotesi: moto assolutamente turbolento ε

0,2 mm

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di usura.

valore scelto per la scabrezza della tubazioni che dovranno essere comprese tra i serbatoi B e C,

0,0002 m eta

0,65 -

scelto sulla base del tipo di materiale e stato di usura (tubi nuovi).

ε/D2

0,00063 -

scabrezza relativa della tubazione 2.

ε/D3

0,00055 -

scabrezza relativa della tubazione 3.

ΣD2 ΣD3 vp2

π * D2 /4, area della sezione della tubazione 2. 2

0,078 m2 0,104 m3

π * D3 /4, area della sezione della tubazione 3. Q / ΣD2, velocità in condotta 2. 2

1,08 m/s

vp3 Re2

0,82 m/s 340442,66 -

Q / ΣD3, velocità in condotta 3. vp2 D2 / ν , numero di Reynolds per la tubazione 2.

Re3

295549,13 -

vp3 D3 / ν , numero di Reynolds per la tubazione 3.

λturb,2

0,018 -

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D2 ) ] }2, indice di resistenza per ciascuna delle due tubazioni

λturb,3

0,017 -

calcolato con la formula di Prandtl 2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D3 ) ] } , indice di resistenza per ciascuna delle due tubazioni calcolato con la formula di Prandtl

J2 J2 L2 J3 J3 L3

π *D1 ), formula di Darcy - Weisbach 8*λ λturb,1 Q /(g*π 2

0,003 1,57 m

2

5

perdita di carico continua sul tratto 2 π *D2 ), formula di Darcy - Weisbach 8*λ λturb,2 Q /(g*π 2

0,002 6,37 m

2

5

perdita di carico continua sul tratto 3

Equazione del moto tra B e C: YB - J2L2 + ∆Hman - J3L3 = YC Dhman Pt Pr

47,94 m 39,97 kW

Dall'equazione del moto 9.81 *Q * ∆Hman, potenza teorica

61,49 kW

Pa/η η, potenza reale.

E

1,94E+09 kJ

E

538693,289 kWh

E

0,54 GWh

Esercizio 33

Pr*365*24*3600, energia annua spesa in kJ. Pr*365*24, energia annua spesa in kWh. Pr*365*24/106, energia annua spesa in GWh.

17/10/2011

esame

Edile Architettura

Nel sistema rappresentato in figura un impianto di sollevamento permette il convogliamento di una portata Q dal serbatoio A posto a quota YA al serbatoio B posto a quota YB, per 8 ore ogni notte. La stessa portata è poi convogliata dal serbatoio B al serbatoio C a quota YC per 8 ore al giorno. Poco prima del serbatoio C è presente una turbina per la produzione di energia elettrica. Le tubazioni costituenti il sistema sono in PEAD con numerosi anni di esercizio. L’allievo: - determini la potenza reale necessaria per il sollevamento della portata Q e l'energia spesa in un anno; - valuti l’energia ricavabile in un anno dalla turbina ed il relativo ricavo, per un prezzo dell’energia elettrica pari a 0,25Eur/kWh; - tracci le relative piezometriche. ultime cifre della matricola scelta: 0 2 5

2

9,81 m/s 2 1,006E-06 m /s

g ν L1

840 m

D1

254 mm

L2

2000 m

D2

300 mm

0,3 m

L3

1100 m

D3

290 mm

0,29 m

YA

154 m

YB

YC

174 m

Q

c

0,25 Eur/kWh

0,254 m

234 m 54 l/s

0,054 m3/s

valore scelto per il rendimento della pompa.

eta-pompa

0,65

eta-turbina

0,7

valore scelto per il rendimento della turbina.

ε

0,2 mm

valore scelto per la scabrezza della tubazioni, scelto sulla base del tipo di materiale e stato di usura.

0,0002 m ε/D1

0,00079 -

ΣD1 v1

0,051 m2 1,07 m/s 269074,28 -

Re1 λturb,1

0,019 -

scabrezza relativa della condotta 1. π * D12/4, area della sezione condotta 1. Q/ΣD1, velocità nella condotta 1. v1 D1 / ν , numero di Reynolds per la condotta 1. 2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D1 ) ] } , indice di resistenza per la condotta 1,

calcolato con la formula di Prandtl perché è stato constatato cturb,1 JA-P JA-P L1

1,45 0,0042 3,55 m

ε/D2

0,00067 -

ΣD2

0,071 m2 0,76 m/s 227816,22 -

v2 Re2 λturb,2

0,018 -

un regime di moto assolutamente turbolento. π2*D15), avendo posto JA-P = cturb1*Q2, dove cturb,1 raggruppa le costanti e variabili note. 8*λ λturb,1/(g*π cturb,1 Q2, cadente piezometrica. perdita di carico tra il serbatoio A e monte pompa. scabrezza relativa della condotta 2. π * D22/4, area della sezione della condotta 2. Q/ΣD2, velocità nella condotta 2. v2 D2 / ν , numero di Reynolds per la condotta 2. 2 0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D2 ) ] } , indice di resistenza per la condotta 2,

calcolato con la formula di Prandtl perché è stato constatato cturb,2 JP-B JP-B L2 ∆Hm

0,61 0,0018 3,53 m 87,08 m

un regime di moto assolutamente turbolento. 2 5 2 π *D2 ), avendo posto JP-B = cturb2*Q , dove cturb,2 raggruppa le costanti e variabili note. 8*λ λturb,2/(g*π 2

cturb,2 Q , cadente piezometrica. perdita di carico tra i valle pompa e serbatoio B. (YB - YA) + JA-P L1 + JP-N L2, prevalenza manometrica della pompa.

Pr Ep Ep

207226,31 kWh

Ep

0,21 GWh

ε/D3 ΣD3 v3 Re3 λturb,3

9.81 *Q0 * ∆Hm / eta-pompa, potenza reale della pompa.

70,97 kW

Pr*365*8*3600, energia annua spesa in kJ.

7,46E+08 kJ

Pr*365*8, energia annua spesa in kWh. Pr*365*8/106, energia annua spesa in GWh.

0,00069 -

scabrezza relativa della condotta 3. π * D3 /4, area della sezione condotta 3. 2

0,066 m2 0,82 m/s

Q/ΣD3, velocità nella condotta 3. v3 D3 / ν , numero di Reynolds per la condotta 3.

235671,95 -

0.25/{ LOG10[ ε/(3.715*D ) ] }2, indice di resistenza per ciascuna delle due tubazioni

0,018 -

calcolato con la formula di Prandtl perché è stato constatato cturb,3

0,72 -

JB-C

0,002 -

JB-C L3 ∆Ht Pr

2,32 m

perdita di carico continua tra i serbatoi B e C. YB - YC - JB-C L3, prevalenza manometrica alla turbina.

21,39 kW

9.81 *Q * ∆Ht * eta_turbina, potenza reale ottenibile dalla turbina.

2,25E+08 kJ

Et

62455,0307 kWh

Et

0,06 GWh

Esercizio 34

2 cturb,3 Q , cadente piezometrica.

57,68 m

Et

C

un regime di moto assolutamente turbolento. 2 5 2 8*λ λturb/(g*π π *D ), avendo posto JA-B = cturb*Q0 , dove cturb raggruppa le costanti e variabili note.

Pr*365*8*3600, energia annua spesa in kJ. Pr*365*8, energia annua spesa in kWh. 6

Pr*365*8/10 , energia annua spesa in GWh c*Et, ricavo ottenibile dall'impianto.

15613,76 Eur

-

syllabus

CP20

Civili

Edile Architettura

Prova scritta EA 21/11/2011 Qn 0,054 l/s

v0 Re

JA-B JA-B L ∆Hm Pr E E E ∆E

1,22 m/s 288374,96 -

0,0061 15,17 m 242,83 m 90,05 kW 2,84E+09 788802,7 0,79 0,05

kJ kWh GWh GWh