Résumés des cours de physique PCSI

Physique - Résumés de cours PCSI Harold Erbin

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Table des matières Table des matières

iii

1 Cinématique 1.1 Systèmes de repérage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Vitesse, accélération, trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2

2 Dynamique 2.1 Lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Forces usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Application du PFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 5 6

3 Énergétique 3.1 Définitions et théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Mouvements à un degré de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 8

4 Mouvement libre d’un oscillateur à un degré 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Régime libre d’un oscillateur non amorti . . . 4.3 Régime libre d’un oscillateur amorti . . . . . 4.3.1 Régime pseudo-périodique (Q > 1/2) . 4.3.2 Régime apériodique (Q < 1/2) . . . . 4.3.3 Régime critique (Q = 1/2) . . . . . . .

de . . . . . . . . . . . .

liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 Oscillateurs mécaniques en régime sinusoidal forcé 6 Théorème du moment cinétique 6.1 Moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Moment cinétique d’un point matériel 6.1.2 Moment d’une force . . . . . . . . . . 6.1.3 Théorème du moment cinétique . . . .

11 11 11 12 12 13 13 15

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17 17 17 18 19

7 Mouvements à force centrale conservative 7.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Etude des mouvements dans un champ de force 7.3.1 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Etude des trajectoires . . . . . . . . . .

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21 21 21 22 22 23

iii

TABLE DES MATIÈRES

8 Changements de référentiels 25 8.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 8.2 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 9 Dynamique en référentiel non galiléen 10 Systèmes formés 10.1 Cinétique . . 10.2 Dynamique . 10.3 Système isolé

de . . . . . .

27

deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

matériels 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

11 Référentiels galiléens approchés

33

12 Statique des fluides dans le champ de pesanteur 35 12.1 Pression et force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 12.2 Cinétique des fluides dans le champ de pesanteur . . . . . . . . . 36 13 La lumière en 13.1 Ondes . . 13.2 Milieux . 13.3 Rayons . .

optique géométrique 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

14 Formation des images 41 14.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 14.2 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 15 Le prisme 43 15.1 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 15.2 Conditions d’émergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 16 Miroirs sphériques 45 16.1 Caractéristiques et relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 16.2 Rayons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 17 Lentilles minces 17.1 Définitions . . . . . . . . 17.2 Foyers, plans focaux . . 17.3 Construction des images 17.4 Relations . . . . . . . .

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47 47 47 48 48

18 Bases de l’électrocinétique 18.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Circuit électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.2 Lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.3 Conventions d’étude des dipôles . . . . . . . . . 18.2.4 Grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.5 Dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.6 Association de dipôles passifs . . . . . . . . . . 18.2.7 Dipôles linéaires réels . . . . . . . . . . . . . . 18.2.8 Association de dipôles passifs et actifs linéaires

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51 51 51 51 52 52 52 53 53 55 55

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TABLE DES MATIÈRES

19 Réponses libres et réponses à un échelon de circuits R, L, C 57 19.1 Considérations énergétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 19.2 Réponse à un échelon indiciel d’un circuit du premier ordre . . . 58 19.3 Réponse libre d’un circuit du second ordre . . . . . . . . . . . . . 58 19.3.1 Sans amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 19.3.2 Avec amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 19.4 Réponse à un échelon d’un circuit du second ordre . . . . . . . . 59 20 Amplificateur opérationnel idéal en fonctionnement linéaire

61

21 Régime sinusoidal forcé 63 21.1 Formalisme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 21.2 Etude de circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 22 Filtres du premier et second ordre 22.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Diagramme de Bode . . . . . . . . . 22.2.1 Caractéristiques . . . . . . . 22.3 Filtres du premier ordre . . . . . . . 22.3.1 Passe-bas du premier ordre . 22.3.2 Passe-haut du premier ordre 22.4 Filtres du second ordre . . . . . . . . 22.4.1 Passe-bas du second ordre . . 22.4.2 Passe-haut du second ordre . 22.4.3 Passe-bande du second ordre

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67 67 67 68 69 69 69 70 70 71 71

23 Electrostatique 23.1 Charges et champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . 23.1.1 Champ créé par une charge ponctuelle . . . . . . . . 23.1.2 Champ créé par une distribution continue de charges 23.2 Symétries et antisymétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4 Topographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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73 73 73 74 75 75 76

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24 Magnétostatique 77 24.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 24.2 Champ magnétique créé par un courant . . . . . . . . . . . . . . 78 25 Mouvement d’une particule chargée dans ou magnétique 25.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2 Particule soumise uniquement à un champ 25.2.1 Champ électrique . . . . . . . . . . 25.2.2 Champ magnétique . . . . . . . . . 25.3 Lois locales . . . . . . . . . . . . . . . . .

un champ électrique . . . . .

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79 79 80 80 80 80

26 Dipôle électrostatique et dipôle magnétostatique 81 26.1 Dipôle électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 26.1.1 Interaction entre un dipôle et un champ extérieur . . . . . 82 26.2 Dipôle magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 v

TABLE DES MATIÈRES

27 Premier principe de la thermodynamique 27.1 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.2 Transformations et transferts . . . . . . . 27.3 Energie interne . . . . . . . . . . . . . . . 27.4 Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.5 Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.6 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . .

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85 85 85 86 87 87 88

28 Second principe de la thermodynamique 28.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28.2 Systèmes non calorifugés : entropie d’échange 28.3 Machines thermiques . . . . . . . . . . . . . . 28.3.1 Le réfrigérateur . . . . . . . . . . . . . 28.3.2 La pompe à chaleur . . . . . . . . . . 28.4 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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89 89 90 91 91 91 91

29 Changements d’état : étude descriptive en équilibre 29.1 Les changements d’état d’un corps pur . 29.1.1 Projection dans le plan(p,T) . . 29.2 Equilibre liquide-gaz . . . . . . . . . . . 29.3 Grandeurs thermodynamiques . . . . . .

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du corps pur diphasé . . . .

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93 93 94 95 95

30 Gaz parfait monoatomique 97 30.1 Modèle du gaz parfait monoatomique . . . . . . . . . . . . . . . . 97 30.2 Coefficients thermoélastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 A Résoudre une équation A.1 Premier ordre . . . . A.2 Second ordre . . . . A.3 Equation sinusoidale

différentielle 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

B Elements infinitésimaux B.1 Déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103 103 103 104

C Constantes et unités C.1 Constantes . . . . . . . . C.2 Unités . . . . . . . . . . . C.3 Notations . . . . . . . . . C.3.1 Mécanique . . . . . C.3.2 Thermodynamique C.3.3 Symboles . . . . .

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105 105 105 105 106 106 106

D Glossaire D.1 Général . . . . . . D.2 Mécanique . . . . . D.3 Optique . . . . . . D.4 Thermodynamique

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107 107 107 107 107

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vi

TABLE DES MATIÈRES

Index

109

Table des figures

113

vii

TABLE DES MATIÈRES

viii

Chapitre 1

Cinématique 1.1

Systèmes de repérage

Référentiel repère spatial (définit un espace géométrique dans lequel on effectue des mesures) + repère temporel Coordonnées cartésiennes – M (x, y, z) – −∞ < x, y, z < +∞ −−→ − → − → – OM = x.− u→ x + y.uy + z.uz

(figure 1.1)

Fig. 1.1 – Repérage cartésien Coordonnées cylindriques (figure 1.2) – M (r, θ, z) – r>0 0 < θ < 2π − ∞ < z < +∞ 1

CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE

−−→ → + z.− → – OM = r.− u u r z → disparait – remarque : en coordonnées polaires, − u z − → dur − → – on a = uθ dθ

Fig. 1.2 – Repérage cylindrique Coordonnées sphériques (figure 1.3) – M (r, θ, φ) – r>0 0 0 : F motrice → − – P < 0 : F résistante → − – P = 0 : F ne travaille pas → − −−→ −−→ Travail élémentaire : δW = F · dOM = P · dt (en J) avec dOM , le déplacement élémentaire. Travail entre deux points Z

M2

δW

W1→2 = M1

Théorème de la puissance cinétique P=

dEc dt

Théorème de l’énergie cinétique W1→2 = Ec1 − Ec2 Remarque : les deux théorèmes précédents ne permettent de déterminer l’équation différentielle d’un mouvement que pour les systèmes à un degré de liberté. 7

CHAPITRE 3. ÉNERGÉTIQUE

Force conservative

force dont le travail ne dépend pas du chemin emprunté.

Travail d’une force conservative variation d’une fonction (définie à une constante près) appelée énergie potentielle W1→2 = Ep (M1 ) − Ep (M2 ) Exemples d’énergies potentielles : – de pesanteur : Ep = mgz – de rappel d’un ressort : Ep =

1 k(x − x0 )2 2

– de gravitation : Ep = −G

m1 m2 r

Théorème de l’énergie mécanique Em2 − Em1 = W1→2,nc Avec Wnc , travail des forces non conservatives. Si Wnc < 0, alors ces forces sont dissipatives. Système conservatif

toutes les forces appliquées sont conservatives.

Intégrale première du mouvement

Pour un système conservatif, on a

Em = cste

3.2

Mouvements à un degré de liberté

Dérivée de l’énergie potentielle : – puit de potentiel : état lié (mouvement périodique) (figure 3.1) – barrière de potentiel : état de diffusion (figure 3.2)

Fig. 3.1 – Barrière de potentiel

Un exemple (figure 3.3) 8

CHAPITRE 3. ÉNERGÉTIQUE

Fig. 3.2 – Puit de potentiel

Fig. 3.3 – Exemple d’énergie potentielle – Em1 : état de diffusion – Em2 : état lié (mouvement périodique)

Positions d’équilibre

si dEp (x0 ) =0 dt

Alors x0 est une position d’équilibre (voir figure 3.4), cela correspond à une tangente horizontale : – stable : correspond à un minimum – instable : correspond à un maximum – indifférent

Fig. 3.4 – Positions d’équilibre 9

CHAPITRE 3. ÉNERGÉTIQUE

Approximation parabolique donc

Au voisinnage de xeq , Ep ≈ parabole. On a

Ep (x) = Ep (xeq ) +

k(x − x0 )2 2

Si Em = cste, on applique le TEM, et on obient l’équation x ¨+

k k x = xeq m m

Il s’agit de l’équation d’un oscillateur harmonique (solution sinusoïdale).

10

Chapitre 4

Mouvement libre d’un oscillateur à un degré de liberté 4.1

Introduction

Approximation parabolique m¨ x + k(x − x0 ) = 0 On pose ε = x − x0 , donc ε¨ = x ¨ (valable pour de petits déplacements), et on obtient k ε¨ + ε = 0 m

4.2

Régime libre d’un oscillateur non amorti

x ¨ + ω02 x = 0 Solution : x = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t) = C cos(ω0 t + ϕ)

Portait de phase

ellipse (harmonique), trajectoire fermée (oscillateur). 11

CHAPITRE 4. MOUVEMENT LIBRE D’UN OSCILLATEUR À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

On a

1 k C2 2 Elle est constante pour des conditions initiales données. Em =

4.3

Régime libre d’un oscillateur amorti

Forme normalisée de l’équation différentielle x ¨ + 2ξω0 x˙ + ω02 x = 0 Avec ξ, coefficient d’amortissement. On définit le facteur de qualité Q tel que Q=

1 2ξ

Résolution : – Equation caractéristique r2 + 2ξω0 r + ω 2 = 0 – Calcul du discriminant – si ∆ > 0 (ξ > 1) : 2 racines réelles r1 et r2 x = A exp(r1 t) + B exp(r2 t) – si ∆ < 0 (ξ 1/2)

– TA : pseudo-période – ωA : pseudo-pulsation (TA ωA = 2π) – Enveloppe : exp(−ξω0 t) Temps caractéristique de décroissance τ=

1 ξω0

12

(ou temps de relaxation)

CHAPITRE 4. MOUVEMENT LIBRE D’UN OSCILLATEUR À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

Décrément logarithmique x(t0 + TA ) = exp(−ξω0 TA ) = exp(−δ) x(t0 ) δ=r

2π 2π =p 1 4Q2 − 1 −1 ξ2

Décroissance de l’énergie mécanique Em (t0 + TA ) = exp(−2δ) Em (t0 )

Portrait de phase : la trajectoire contourne le point attracteur dans le sens indirect, à t → +∞, le point retrouve une position d’équilibre stable.

4.3.2

Régime apériodique (Q < 1/2)

Allure : pas d’oscillations, x somme de deux exponentielles décroissantes. On pose 1 1 τ2 = − τ1 = − r1 r2 La plus grande impose la décroissance. Portrait de phase : le point est directement attiré malgré une tentative de contournement.

4.3.3

Régime critique (Q = 1/2)

Allure : pas d’oscillations, il s’agit du régime pour lequel le retour à la position d’équilibre est le plus rapide. On définit le coefficient de frottement pour régime critique : h = 2mω Portrait de phase : semblable à celui du régime apériodique.

13

CHAPITRE 4. MOUVEMENT LIBRE D’UN OSCILLATEUR À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

14

Chapitre 5

Oscillateurs mécaniques en régime sinusoidal forcé Equation de mouvement m¨ x + hx˙ + kx = fa Où fa correspond à la force d’excitation qui s’applique à M(a), qui peut s’exprimer ainsi fa (t) = Fam cos(ωt) On cherche x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) Réponse en élongation : on utilise le formalisme complexe pour trouver la solution en régime permanent. Etude de v(t) v(t) = Vm cos(ωt + ψ) Relations : – V = ωX ⇒ ψ = ϕ + π/2, Vm = ωXm . ω0 – Q= où ∆ω est la largeur de la bande passante. ∆ω Il y a toujours résonnance en vitesse (l’intensité dépend de ξ). Réponse en puissance → − − P(t) = fa · → v = fa v = Fam cos(ωt)Vm cos(ωt + ψ) Puissance moyenne hP(t)i =

Fam Vm cos ψ 2 15

CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES EN RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ

Il y a toujours résonnance en puissance pour ω = ω0 car la puissance fournie par fa (t) vaut 1 hPi = hVm2 2

16

Chapitre 6

Théorème du moment cinétique − Soit M un point matériel de masse m, de vitesse → v dans un référentiel R, et O un point de l’espace.

6.1 6.1.1

Moment cinétique Moment cinétique d’un point matériel

Par rapport à un point Il s’agit du moment de la quantité de mouvement par rapport à O (en kg·m2 ·s−1 ) − → −−→ − L0 = OM ∧ m→ v

Propriétés : − – Si M se déplace radialement par rapport à O ou si le support de → v passe par − → − → → − O, L0 = 0. Sinon, L0 6= 0 . −−→ − – Sa direction est perpendiculaire par rapport à → v et OM . – Son sens est donné par la règle du tire-bouchon. − → −−→ − – Son module vaut ||L0 || = OM · mv| sin(OM , → v )|. Le moment cinétique renseigne sur le mouvement de rotation de M autour du point O. 17

CHAPITRE 6. THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE

− → Expression de L0 dans le cas d’un mouvement plan en coordonnées polaires − → → L0 = mr2 θ˙ · − u z Où θ˙ = ω, vitesse de rotation angulaire.

Par rapport à un axe orienté − → Il s’agit de la projection du moment cinétique L0 sur un axe ∆ orienté − → → L∆ = L0 · − u∆

Propriétés : – L∆ est indépendant du point O choisi sur l’axe. − − – Si le support de → v est parallèle à l’axe ∆ ou si les supports de → v et ∆ sont concourants, L∆ = 0. Le moment cinétique renseigne sur le mouvement de rotation de M par rapport à l’axe ∆.

6.1.2

Moment d’une force

Par rapport à un point

−→ → − −−→ → − M0 ( F ) = OM ∧ F → − −→ → − → − Unité : N · m = J Si le support de F passe par O, M0 ( F ) = 0

Par rapport à un axe

→ − −→ → − M∆ ( F ) = M 0 ( F ) · − u→ ∆ Il possède les mêmes propriétés que L∆ . → − → − Calcul de M∆ ( F ) à partir du bras de levier (cas où le support de F est perpendiculaire à ∆) → − |M∆ ( F )| = OH · F = b · F → − → − M∆ ( F ) > 0 si F tend à faire tourner M autour de ∆ dans le sens positif, et inversement. 18

CHAPITRE 6. THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE

6.1.3

Théorème du moment cinétique En un point O fixe dans Rg

Théorème du moment cinétique

− → X −→ → − dL0 = M0 (Fi ) dt i

Il en découle par projection sur l’axe ∆ X → − dL∆ = M ∆ ( Fi ) dt i

19

CHAPITRE 6. THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE

20

Chapitre 7

Mouvements à force centrale conservative 7.1

Définition

Mouvement à force centrale Dans un référentiel donné, une force est dite centrale si elle pointe en permanence vers un point fixe de ce référentiel, appelé centre de force. La force est de la forme Soit M soumis à la seule force centrale conservative → − K→ F = 2− ur r Dérivant de l’énergie potentielle Ep =

7.2

K r

Lois de conservation

Conséquences (théorème du moment cinétique) : – conservation du moment cinétique ; – le mouvement est plan et mr2 θ˙ = cste ; – Loi des aires Durant des intervalles de temps égaux, le rayon vecteur −−→ L0 = C, où C est la constante des OM balaie des surfaces égales : r2 θ˙ = m aires. Rappel : On a la relation δW = −dEp 21

CHAPITRE 7. MOUVEMENTS À FORCE CENTRALE CONSERVATIVE

Exemples de forces centrales – Force d’interaction gravitationnelle (attractive) : K = −Gm0 m q0 q – Force d’interaction électrostatique (attractive ou répulsive) : K = − 4πε0 Il y a conservation de l’énergie mécanique Em =

K 1 1 L20 + mr˙ 2 + 2 |2 {z } |2 mr{z r} Ec∗ Ep∗

Où Ep∗ est l’énergie potentielle effective et Ec∗ l’énergie cinétique effective(ou radiale).

7.3

Etude des mouvements dans un champ de force

Etude qualitative de la trajectoire : – Interaction attractive : – Em < 0 (état lié) → ellipse. – Em > 0 (état de diffusion) → hyperbole. – Em = 0 (état de diffusion) → parabole. – Interaction répulsive : on a forcément Em > 0 (état de diffusion) → hyperbole. Lois 1. 2. 3.

de Kepler ce sont des lois expérimentales Les planètes décrivent des trajectoires elliptiques dont un foyer est le Soleil. Loi des aires. Le carré de la période de révolution T des planètes autour du Soleil est proportionnel au cube du demi grand-axe de l’ellipse qu’elle parcourt T2 4π 2 = = cste a3 Gm0

7.3.1

Relations

Première vitesse cosmique toire circulaire

Vitesse de rotation dans le cas d’une trajecr Gm0 v= R

Vitesse de libération Appelée aussi deuxième vitesse cosmique, il s’agit de la vitesse minimale que l’on doit fournir à M de masse quand il se trouve à r = r0 de O pour qu’il se libère de son attraction r 2Gm0 v= r0 22

CHAPITRE 7. MOUVEMENTS À FORCE CENTRALE CONSERVATIVE

Relations énergétiques Ep = −2Ec

7.3.2

Em = −

1 Gm0 m = −Ec 2 a

Etude des trajectoires

Equations liant r à θ (méthode de Binet)

Où

r=

−p 1 − e cos θ

si K > 0

r=

p 1 − e cos θ

si K < 0 AL20 e= KM

2 L p = 0 KM

Relation énergie mécanique-excentricité Em =

−|K| (1 − e2 ) 2p

Trajectoires possibles pour K > 0 La trajectoire est une branche d’hyperbole (car e > 1 forcément) de foyer O ne contournant pas le centre de force, avec   1 |θ| < arccos e Au péricentre, on a r˙ = 0

rmin =

−p 1−e

Trajectoires possibles pour K < 0 – e > 1 : la trajectoire est une branche d’hyperbole de foyer O contournant le centre de force, avec   −1 |θ| < arccos e Au péricentre, on a r˙ = 0

rmin = 23

p 1+e

CHAPITRE 7. MOUVEMENTS À FORCE CENTRALE CONSERVATIVE

– e = 1 : la trajectoire est une parabole de foyer O. Au péricentre, on a r˙ = 0

rmin =

p 2

– e < 1 : la trajectoire est une ellipse dont l’un des foyers est O. Si e = 0, la trajectoire est un cercle.

Trajectoire elliptique

Fig. 7.1 – Ellipse

A : apocentre, P : péricentre, C : centre, F et F’ : foyer, O : centre de force, p : paramètre, r : rayon, a : demi grand-axe, b : demi petit-axe, c : distance focale. On peut montrer les relations suivantes e=

c a

a2 − b2 = c2

Vitesse aréolaire

OP = r(0) = a − c

dS C πab = = dt 2 T

24

OA = r(π) = a + c

Chapitre 8

Changements de référentiels 8.1

Définitions

Décrire le mouvement de R0 par rapport à R revient à décrire le mouvement du solide S’ par rapport à R. Pour cela, il suffit de donner : – La vitesse d’un point quelconque de S’ (par exemple O’). −−−−→ – La rotation de S’ par rapport à R, notée ΩR0 /R . Torseur cinématique des vitesses d’un solide → −−−−→ −−− − − → 0 0 0 0 v→ R (P ) = vR (N ) + ΩR0 /R ∧ N P

Formule de Varignon

Aussi appelée formule de dérivation vectorielle → −! −−−−→ → − dA = ΩR0 /R ∧ A dt 0 R

Si R0 est en translation par rapport à R, son mouvement relatif est décrit par : −−−−→ → − – Une rotation nulle ΩR0 /R = 0 . – La vitesse de n’importe laquelle de ses points. Si R0 est en rotation pure par rapport à un axe fixe de R orienté par le vecteur unitaire − u→ ∆ auquel appartient le point O’, son mouvement relatif est décrit par : −−−−→ 0 – Une ΩR0 /R = ω − u→ ∆ , où ω est la vitesse de rotation angulaire de R par rapport à R. → − – − v→ R = 0. Point coincident On appelle point coincident avec M à l’instant t le point P’ fixe dans R0 qui est confondu avec M à l’instant t. 25

CHAPITRE 8. CHANGEMENTS DE RÉFÉRENTIELS

8.2

Lois de composition

Vitesse d’entrainement Vitesse par rapport à R du point P’ fixe dans R0 coincidant avec M à l’instant t −−−−→ −−0−→ → − 0 ve = − v→ R (O ) + ΩR0 /R ∧ O M

Loi de composition des vitesses − −→ 0 → − v→ R (M ) = vR0 (M ) + ve

Accélération d’entrainement Accélération par rapport à R du point P’ fixe dans R0 coincidant avec M à l’instant t − → dΩ −−0−→ −−−−→ −−−−→ −−0−→ → − − → 0 ae = aR (O ) + ∧ O M + ΩR0 /R ∧ (ΩR0 /R ∧ O M ) dt Accélération de Coriolis Aussi appelée accélération complémentaire, elle n’existe que que si le point M est mobile par rapport à R0 et si R0 est en rotation par rapport à R −−−−→ → − →0 (M ) ac = 2ΩR0 /R ∧ − vR Loi de composition des accélérations − −→ 0 → − → − a→ R (M ) = aR0 (M ) + ae + ac

Cas particuliers : – Translation pure → − →0 (O0 ) ve = − vR – Rotation pure

→ − →0 (O0 ) ae = − aR

−−−−→ −−→ → − ve = ΩR0 /R ∧ HM

→ − → − ac = 0

−−→ → − ae = −ω 2 HM

Où H est le projeté orthogonal de M sur l’axe de rotation et ω la vitesse de rotation angulaire. L’accélération d’entrainement est centripète.

26

Chapitre 9

Dynamique en référentiel non galiléen Tous les référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres. Principe fondamental de la dynamique en référentiel non galiléen Soit → − M(m) auquel s’applique F dans Rg galiléen, et soit R0 un référentiel non galiléen. − −→ −→ →0 (M ) = → m− aR F + Fie (M ) + Fic (M ) −→ −→ − − Avec Fie (M ) = −m→ ae (M ) la force d’inertie d’entrainement et Fic (M ) = −m→ ac (M ) la force d’inertie de Coriolis. Ces forces d’inertie ne découlent d’aucune interaction fondamentale. −→ → − Lorsque l’on s’intéresse à un équilibre, on a Fic = 0 . Les différents théorèmes (théorème du moment cinétique, de la puissance cinétique, de l’énergie cinétique, de la puissance mécanique, de l’énergie mécanique) peuvent être appliqués  − →! −−→ → − −−→ → − −−→ −→ → − → − dL0 dEcR0 = MO0 ( F )+MO0 ( F ie )+MO0 (Fic ) = PR0 ( F )+PR0 ( F ie ) dt dt R0 0 R

1→2 ∆EcR 0

=

− → 1→2 → 1→2 − WR ( F )+WR (Fie ) 0 0

dEm R0 dt

Remarques : – La force de Coriolis ne travaille pas. 27

 R0

−−→ = PR0 (FN C )

1→2 1→2 −−→ ∆Em R0 = Wm R0 (FN C )

CHAPITRE 9. DYNAMIQUE EN RÉFÉRENTIEL NON GALILÉEN

– Généralement, la force d’entrainement n’est pas conservative. – Une force peuvent travailler dans un référentiel et pas dans un autre.

28

Chapitre 10

Systèmes formés de deux points matériels 10.1

Cinétique

Quantité de mouvement totale dans R → − − − p = m1 → v1 + m2 → v2 = M − v→ G

avec

M = m1 + m2

Moment cinétique total par rapport à un point dans R −→ −−−→ → −−−→ − LO = OM1 ∧ − p1 + OM2 ∧ → p2

Formule de changement de point pour le moment cinétique −−→ −→ −−0→ → LO0 = LO + O O ∧ − p

Energie cinétique totale dans R Ec =

1 1 m1 v12 + m2 v22 2 2

Barycentre G de deux points −−−→ −−−→ −−→ m1 OM1 + m2 OM2 OG = m1 + m2

−−−→ −−−→ → − m1 GM1 + m2 GM2 = 0

29

CHAPITRE 10. SYSTÈMES FORMÉS DE DEUX POINTS MATÉRIELS

Référentiel barycentrique On appelle référentiel barycentrique R∗ associé au référentiel d’étude R, un référentiel en translation par rapport à R dans lequel G est fixe. Il n’est pas forcément galiléen. Quantité de mouvement totale dans R∗

→ −∗ → − p = 0

Moment cinétique total dans R∗ ou barycentrique − → point par rapport auquel il est calculé, il est noté L∗

indépendant du

Théorème de Koenig relatif au moment cinétique → −−→ − −→ − LO = L∗ + OG ∧ → p

Théorème de Koenig relatif à l’énergie cinétique 1 Ec = Ec∗ + M v 2 (G) 2

10.2

Dynamique

−−−→ −−−→ – Forces intérieures : forces d’interaction entre M1 et M2 : F1→2 = −F2→1 – Forces extérieures : forces exercées sur M1 et M2 n’appartenant pas au système Théorème de la quantité de mouvement dans R galiléen − −−→ d→ p = Fext dt Théorème du centre d’inertie (ou de masse) dans R galiléen −−→ M− a→ G = Fext Théorème du moment cinétique dans R galiléen −→ −−→ −−→ dLO = MO (Fext ) dt −−→ Travail des forces intérieures δW (Fint ) = F1→2 dr. Si M1 et M2 forment un système rigide (M1 M2 = cste), ce travail est nul. Son calcul ne dépend pas du référentiel. Théorème de l’énergie cinétique pour un système de deux points −−→ −−→ ∆Ec = W (Fint ) + W (Fext ) 30

CHAPITRE 10. SYSTÈMES FORMÉS DE DEUX POINTS MATÉRIELS

Théorème de la puissance cinétique pour un système de deux points −−→ −−→ dEc = P (Fint ) + P (Fext ) dt

avec

−−→ dr P (Fint ) = F1→2 dt

Energie mécanique Em = Ec + Ep,int + Ep,ext Théorème de l’énergie mécanique −−−−−→ −−−−−→ ∆Em = W (Fint,N C ) + W (Fext,N C )

10.3

Système isolé

− → −−→ → − −−→ − Comme Fext = 0 , R est galiléen, alors on a → p = cste, R∗ est galiléen, L∗ = −→ −−→ ∗ = cste. cste, et, si les forces intérieurs sont conservatives, Em L’étude du mouvement relatif se ramène à l’étude la particule réduite : m1 m2 – de masse µ = m1 + m2 −−→ − −−−−→ – situé en M tel que GM = → r = M1 M2 → − −−−→ – soumise à la force centrale F = F1→2 passant par G − 2→ → − d r – répondant à l’équation µ 2 = F dt Les mouvements de M1 et M2 sont homothétiques (de centre G) de celui de la particule réduite : −−−→ GM1 = −

−−−→ GM2 =

m2 → − r m1 + m2

31

m1 → − r m1 + m2

CHAPITRE 10. SYSTÈMES FORMÉS DE DEUX POINTS MATÉRIELS

32

Chapitre 11

Référentiels galiléens approchés Champ de gravitation

créé en M par A :

−−−→ − → F grav = mGa (M ) A→B

− → −GmA avec Ga (M ) = r2

Un champ extérieur et uniforme n’a aucune influence sur les mouvements de −→ M1 et M2 dans R∗ et − a→ G = GA . Sinon

−−→ −−−→ m1 m2 − m2 a∗M2 = F1→2 + γ→ A m1 + m2 − → − → avec − γ→ A = Ga (M2 ) − Ga (M1 ), le terme différentiel (ou de marée). La résultante des forces de marées et d’attraction est une force centrale, et le système (non rigide) peut se déformer. Origine des référentiels : – de Copernic : centre de masse du système solaire ; – héliocentrique : centre du Soleil ; – géocentrique : centre de la Terre. Note : les référentiels hélio- et géocentrique sont en translation par rapport à celui de Copernic, dont les trois directions sont données par trois étoiles "fixes" (lointaines). Le référentiel terrestre est en rotation uniforme par rapport au référentiel géocentrique. Poids En référentiel terreste, le poids est défini comme la force opposée à celle qui le maintient en équilibre dans le référentiel terrestre et on a → −→ ~ = m− GT (M ) + Fie P~ = −R

33

CHAPITRE 11. RÉFÉRENTIELS GALILÉENS APPROCHÉS

Champ de pesanteur

− Noté → g , il est défini tel que

→ − − P = m→ g

−→ → − − g = GT (M ) − m→ ae

L’accélération d’entrainement fait varier g d’environ 0.3%. Force de Coriolis

Expression dans le référentiel terrestre     −ω cos λ x˙ −→ → − −  ∧  y˙  0 Fic = −2m Ω ∧ → v = −2m  ω sin λ z˙

Si v = 700m.s−1 , le rapport entre la force de Coriolis et le poids vaut 1%. −→ Première approximation : résoudre le problème (PFD) en négligeant Fic , puis −→ on introduit le terme correctif qui correspond à Fic , et dans l’expression, on − remplace → v par celle obtenue juste avant.

34

Chapitre 12

Statique des fluides dans le champ de pesanteur 12.1

Pression et force

→ − → − Pression Elle est définie par d F = p d S , avec p en Pa, F en N et S en m2 . La force pressante s’interprète comme la force exercée par les chocs des molécules de fluide sur la surface. Son module est indépendant de l’orientation de la surface. Autres unités : – 1 bar = 105 P a – 1 atm = 1, 013 hP a – mm de Hg, torr, PSI Equivalent volumique des forces pressantes → − → − dF dp(z) − → fv = =− u z dV dz ZZZ → − → − F = fv dV avec dV = dx dy dz

Relation fondamentale de la statique des fluides dp = −ρg dz Modèle de l’atmosphère isotherme

Pour T = T0 ∀z. On a l’équation

dp pMair =− g dz RT0 35

CHAPITRE 12. STATIQUE DES FLUIDES DANS LE CHAMP DE PESANTEUR

Et la solution est

 p = p0 exp

−Mair gz RT0



Où Mair est la masse de l’air. Application aux fluides incompressibles (ρ = cste) pA − pB = −ρg(zA − zB )

Théorème de Pascal différences de pression.

Un fluide incompressible transmet intégralement les

Théorème d’Archimède Un corps entièrement plongé dans un fluide subit de la part de celui-ci une force unique appelée poussée d’Archimède, qui est −→ opposée au poids du volume déplacé, notée FA . Notes : elle s’applique au centre d’inertie du fluide déplacé par le solide. Le fluide déplacé et le fluide environnant doivent être à l’équilibre.

12.2

Cinétique des fluides dans le champ de pesanteur

Densité particulaire Il s’agit du nombre de particules par unité de volume, noté n∗ . Dans le cas du modèle de l’atmosphère isotherme, on a la relation   −Ep (z) n∗ = n0 exp kb T0 Avec Ep (z) = mgz, l’énergie potentielle d’une particule. Le terme kb T0 rend compte de l’agitation thermique. Loi de Boltzmann Dans un système en équilibre, la probabilité de trouver une particule dans un état d’énergie E donné est proportionnel au facteur de Boltzmann   E exp kb T0

36

Chapitre 13

La lumière en optique géométrique 13.1

Ondes

Onde électromagnétique propager.

elle ne nécessite pas de milieu matériel pour se

Caractéristiques d’une onde monochromatique : – longueur d’onde λ ; – période T ; – fréquence ν ; – célérité v ; – pulsation ω ; – amplitude. On a les relations suivantes λ = vT =

v ν

ν=

37

1 T

ω = 2πν

CHAPITRE 13. LA LUMIÈRE EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE

Spectre électromagnétique

(figure 13.1)

Fig. 13.1 – Spectre électromagnétique

13.2

Milieux

Caractéristique d’un milieu : – homogène ; – isotrope ; – indice de réfraction n=

c v

– en changeant de milieu, v varie, mais pas ν ; Quelques indices : nair = 1, neau = 1.33, nverre = 1.5 Milieu dispersif

n dépend de la fréquence de l’onde. 38

CHAPITRE 13. LA LUMIÈRE EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE

13.3

Rayons

Fig. 13.2 – Dioptre

Lois des rayons – indépendants : ils n’intéragissent pas entre eux ; – ils se propagent en ligne droite. Dioptre 13.2).

Surface de séparation entre deux milieux transparents (voir figure

Plan d’incidence

plan contenant le rayon incident et la normale au dioptre.

Rayon réfracté (ou transmis) Rayon réfléchi

rayon du second milieu.

rayon renvoyé dans le premier milieu.

Lois de Snell-Descartes n1 sin i1 = n2 sin i2 i01 = −i1 Si n2 > n1 alors n2 est plus réfringent et |i2 | < |i1 |. Le rayon réfracté se rapproche de la normale. Angle limite de réfraction

i1 = π/2 

n1 n2





n2 n1



|i2,lim | = arcsin

Angle de réfraction totale

i2 = π/2

|i1,lim | = arcsin

39

CHAPITRE 13. LA LUMIÈRE EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE

40

Chapitre 14

Formation des images 14.1

Définitions générales

– Système optique succession de miroirs et/ou de milieux de propagations séparés par des dioptres. – Stigmatisme tous les rayons de A convergent en A’, ce dernier est le point image de A (on dit que A et A’ sont conjugués). – Système optique centré système optique qui possède un axe de révolution appelé axe optique. – Aplanétisme l’image d’un objet perpendiculaire à l’axe l’est aussi. – Point réel intersection des rayons, située après la sortie pour une image, ou avant l’entrée pour un objet. – Point virtuel intersection du prolongement des rayons, située avant la sortie pour une image, ou après l’entrée pour un objet. – Foyer image image d’un point A situé à l’infini sur l’axe. – Foyer objet il a pour image un point A’ situé à l’infini sur l’axe. – Plan focal image l’image ϕ0 (foyer image secondaire) d’un point objet situé à l’infini hors axe est située dans le plan focal image. – Plan focal objet un point ϕ (foyer objet secondaire) appartenant au plan focal objet a pour image un point situé à l’infini hors axe. – remarque : une image virtuelle n’est pas projetable sur un écran. Pour déterminer l’emplacement d’un objet à partir de l’image, on utilise le principe du retour inverse de la lumière. Conditions de Gauss – les rayons sont faiblement inclinés sur l’axe optique ; – les rayons interceptent les dioptres à une hauteur faible devant les rayons de courbure. – remarque : les rayons sont dits paraxiaux.

41

CHAPITRE 14. FORMATION DES IMAGES

Dans ce cas, on a un système optique centré approximativement stigmatique et aplanétique.

14.2

Relations

Relations de conjugaison – miroir plan HA0 = −HA – dioptre plan HA0 HA = n2 n1 Grandissements – transversal γ=

A0 B 0 AB

– angulaire

α0 α – si γ > 0, l’image est droite, sinon, elle est renversée. γa =

42

Chapitre 15

Le prisme

Fig. 15.1 – Prisme

15.1

Relations

n sin r0 = sin i0

sin i = n sin r

A = r + r0 Déviation D = i + i0 − A Angle limite de réfraction ˆl = arcsin 1 n 43

CHAPITRE 15. LE PRISME

15.2 – – – –

Conditions d’émergence

si A > r, A 6 r + ˆl et A 6 2ˆl si A < r, A > r + ˆl si A = 2ˆl, r = r0 = ˆl et i = i0 = π/2 A − ˆl 6 r 6 ˆl

Pour les petits angles i0 = nr0

i = nr

D = A(n − 1)

44

Chapitre 16

Miroirs sphériques 16.1

Caractéristiques et relations

Le foyer objet est confondu avec le foyer image. Vergence v=

1 f0

exprimée en dioptrie δ

Relations de conjugaison – origine au sommet 1 1 2 1 1 + = = = 0 f SA SA0 SC SF 0 – origine au centre 1 1 2 1 1 + = = = 0 0 f CA CA CS SF – origine aux foyers F A · F A0 = f 02 – grandissement γ=

16.2

A0 B 0 CA0 SA0 = =− AB CA SA

Rayons

45

CHAPITRE 16. MIROIRS SPHÉRIQUES

Fig. 16.1 – Miroir concave

Fig. 16.2 – Miroir convexe

46

Chapitre 17

Lentilles minces 17.1

Définitions

La lentille est dite mincce si – e  S1 C1 ; – e  S2 C2 ; – e  S1 C1 − S2 C2 . Avec e = S1 S2 . Aplanétisme et stigmatisme approchés dans les conditions de Gauss.

17.2

Foyers, plans focaux

Un rayon passant par O n’est pas dévié. Distance focale f 0 = OF 0 . 0 – Si f > 0, la lentille est convergente. – Si f 0 < 0, la lentille est divergente. Vergence V =

1 f0

exprimée en dioptrie δ

Foyer objet Symétrique de F’ par rapport à O (utilisation du principe du retour inverse de la lumière). 47

CHAPITRE 17. LENTILLES MINCES

17.3

Construction des images

Fig. 17.1 – Lentille convergente

Fig. 17.2 – Lentille divergente

17.4

Relations

Relations de conjugaison – Origine au centre 1 1 1 − = 0 0 f OA OA – Origine au sommet F 0 A0 · F A = −f 02 Grandissement – Origine au centre γ= 48

OA0 OA

CHAPITRE 17. LENTILLES MINCES

– Origine au sommet γ=

f0 F 0 A0 = −f 0 FA

49

CHAPITRE 17. LENTILLES MINCES

50

Chapitre 18

Bases de l’électrocinétique 18.1

Définitions générales

– Courant électrique déplacement de porteurs de charges. – Intensité du courant débit de charge à travers une surface. i(t) =

dq(t) dt

A=

C s

Par convention, le courant se déplace dans le sens contraire des électrons. – Potentiel – Tension

état électrique d’un point de l’espace. différence de potentiels.

Approximation des régimes quasi-stationnaires les retards dus aux phénomènes de propagation sont négligeables par rapport à la durée d’évolution des signaux. Cette approximation est valable si l

18.2 18.2.1

c =λ f

l : longueur du circuit

Circuit électrique Définitions

– Réseau électrique ensemble de conducteurs reliés les uns aux autres et dans lesquels circulent des porteurs de charge. Aussi appelé circuit. – Dipôle composant dont l’accès de fait par deux bornes (ou pôles). – Multipôle l’accès se fait par plus de deux bornes. 51

CHAPITRE 18. BASES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE

– Fil de connexion fil conducteur dont la résistance est négligeable devant les autres résistances du montage. – Noeud point de jonction entre tois fils ou plus. – Branche tronçon de circuit compris entre deux noeuds. – Maille ensemble de branches formant un contour fermé (elle peut être orientée arbitrairement).

18.2.2

Lois de Kirchhoff

– Loi des noeuds X

ek ik = 0

k

– Loi des mailles – on a ek = 1 si ik arrive sur le noeud, sinon, ek = −1. X ek uk = 0 k

– on a ek = 1 si uk est dans le sens de la maille, sinon, ek = −1. – remarque : ces lois ne sont valables que dans l’ARQS.

18.2.3

Conventions d’étude des dipôles

– Convention récepteur orientations opposées de u et de i. – si p(t) > 0, fonctionnement récepteur ; – si p(t) < 0, fonctionnement générateur. – Convention générateur même orientations de u et de i. Les fonctionnements sont inversés par rapport à la convention récepteur.

18.2.4

Grandeurs

– Puissance instantannée p(t) = u(t) i(t) – Puissance moyenne P = < p(t) >= Caractéristique statique

1 Tf

Z

Tf

p(t) dt 0

graphe de I = f (U ) en régime statique. a0 I + b0 U = F

Si la caractéristique passe par l’origine, alors on a un dipôle passif. 52

CHAPITRE 18. BASES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE

Remarque : en régime statique, on a u(t) = U = cste, i(t) = I = cste, f (t) = cste Dipôle linéaire la relation entre u et i est une équation différentielle linéaire à coefficients constants.

18.2.5

Dipôles

– Source de tension une source de tension parfaite e(t) (constante ou variable) impose la tension à ses bornes quelque soit l’intensité. – Source de courant une source de courant parfaite i(t) (constante ou variable) impose le courant qui la traverse quelque soit la tension. – Résistance (ou résistor) caractérisé par sa résistance R en ohms (Ω). On a u(t) = R i(t) De plus (on suppose u(t) et i(t) constants) P = U I = R I2 > 0 La résistance ne peut donc que recevoir de la puissance, qu’elle dissipe à son environnement sous forme de chaleur (effet Joule). On a aussi P =

U2 R

– Bobine caractérisée par son inductance propre (ou autoinductance) L en henry (H). En régime permanent, la bobine se comporte comme un fil. On a u(t) = L

di(t) dt

– Condensateur caractérisé par sa capacité C en farad (F). L’armature par laquelle entre le courant porte une charge +q(t). On a i(t) = C

18.2.6

du(t) dq(t) = dt dt

Association de dipôles passifs

Association en série – Résistance Req =

X

Rj

j

– Bobine Leq =

X j

53

Lj

CHAPITRE 18. BASES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE

– Condensateur X 1 1 = Ceq Cj j Formule du pont diviseur de tension u1 (t) u2 (t) u(t) = = R1 R2 R1 + R2 Cette formule n’est applicable que si i(t) = 0. Association en série de dipôle quelconque : pour obtenir la caractéristique statique, il faut additionner les tensions à même intensité.

Association en parallèle – Résistance X 1 1 = Req Rj j Parfois, on travaille avec les conductances (Gj =

Geq =

X

1 ). On a alors Rj

Gj

j

– Bobine X 1 1 = Leq Lj j – Condensateur Ceq =

X

Cj

j

Formule du pont diviseur de courant i2 (t) i(t) i1 (t) = = R2 R1 R1 + R2

Association en série de dipôle quelconque : pour obtenir la caractéristique statique, il faut additionner les intensités à même tension. 54

CHAPITRE 18. BASES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE

18.2.7

Dipôles linéaires réels

Fil de connexion Un câble est résistif. Soit l sa longueur, S sa section, ρ la résistivité du métal (en Ω · m). On a l R=ρ S

Source de tension réelle Soit r sa résistance interne. On a u(t) = e(t) − r i(t) En continu, on a U = E−RI. Le terme RI est appelée chute de tension ohmique. Il ne s’agit pas d’une source de tension idéale car U dépend de I. On a P = U I = (E − RI) I = EI − RI 2 RI 2 : puissance dissipée par effet Joule.

Source de courant réelle Soit r sa résistance interne. On a i(t) = i0 (t) −

u(t) R

En continu, on a U R U = R(I0 − I) I = I0 −

De plus, on a P = UI = U

18.2.8

  U2 U I0 − = U I0 − R R

Association de dipôles passifs et actifs linéaires

Théorème de superposition La réponse en courant ou en tension d’un réseau linéaire contenant différentes sources indépendantes agissant simultanément est égal à la somme des réponses en tension et en intensité dues à chaque source agissant séparément. 55

CHAPITRE 18. BASES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE

Point de fonctionnement Soient D1 et D2 deux dipôles dont on connait les caractéristiques statiques. On connecte D1 et D2 .  I = I1 = I2 U = U1 = U2 U et I sont lus au point d’intersection des deux caractéristiques statiques. Ce point est appelé point de fonctionnement du circuit.

Association de sources uniquement – Sources de tension e(t) = e1 (t) + e2 (t) Remarque : montage en parallèle interdit si e1 (t) 6= e2 (t). De plus, le montage fermé par un fil (e2 (t) = 0) est interdit. – Sources de courant i(t) = i1 (t) + i2 (t) Remarque : montage en série interdit si i1 (t) 6= i2 (t). De plus, un circuit ouvert (i2 (t) = 0) est interdit.

Modèles équivalents de Thévenin et de Northon

UAB = ET h − Req I I = IN −

Théorème de Thévenin

UAB Req

Méthode pour obtenir ET h et Req :

1. on impose I = 0 (le dipôle est à vide) et on calcule UAB = ET h ; 2. on procède à la passivation des sources du dipôle ; 3. on calcule alors la résistance équivalente entre A et B. Méthode pour obtenir le modèle équivalent de Norton : 1. on court-circuite A et B, on calcule I = IN dans le fil (courant du courtcircuit) ; 2. passivation des sources.

56

Chapitre 19

Réponses libres et réponses à un échelon de circuits R, L, C 19.1

Considérations énergétiques

L’énergie (en J) reçue par un dipôle entre t1 et t2 est donnée par Z t2 E= u(t)i(t) dt t1

– Résistance Z

t2

Ri2 (t) dt > 0

E= t1

La résistance ne peut que recevoir de l’énergie de la part du reste du circuit. Cette énergie n’est pas emmagasinée mais restituée à l’environnement sous forme d’effet Joule. – Condensateur  t2 Z t2 duc (t) 1 2 E= uc (t)C dt = Cuc (t) = Ec (t2 ) − Ec (t1 ) = ∆Ec dt 2 t1 t1 Avec l’énergie du condensateur égale à Ec =

1 1 q2 Cu2c = 2 2 C

Remarque : un condensateur ne peut avoir une tension discontinue à ses bornes. – Bobine  t2 Z t2 diL (t) 1 2 E= iL (t)L dt = Li (t) = EL (t2 ) − EL (t1 ) = ∆EL dt 2 L t1 t1 57

CHAPITRE 19. RÉPONSES LIBRES ET RÉPONSES À UN ÉCHELON DE CIRCUITS R, L, C

Avec l’énergie du condensateur égale à EL =

1 2 Li 2 L

Remarque : Le courant ne peut pas subir de discontinuité. Ec et EL peuvent être positif ou négatif : le condensateur et la bobine peuvent donc recevoir ou donner de l’énergie au reste du circuit. Ils sont des éléments de stockage de l’énergie.

19.2

Réponse à un échelon indiciel d’un circuit du premier ordre

En régime libre, on a S∞ ds(t) 1 + s(t) = dt τ τ Avec τ : constante de temps et S∞ = lim s(t). t→+∞

La solution est  s(t) = (S0 − S∞ ) exp

−t τ

 + S∞

Dans le cas d’une réponse libre, on a S∞ = 0.

19.3 19.3.1

Réponse libre d’un circuit du second ordre Sans amortissement

d2 s(t) + ω02 s(t) = 0 dt Avec ω0 la pulsation propre du circuit. La solution est s(t) = A cos(ω0 t) + b sin(ω0 t) = C cos(ω0 t + ϕ) 58

CHAPITRE 19. RÉPONSES LIBRES ET RÉPONSES À UN ÉCHELON DE CIRCUITS R, L, C

19.3.2

Avec amortissement

d2 s(t) ds(t) + 2ξω0 + ω02 s(t) = 0 dt dt Solutions – Si ξ < 1 : régime pseudo-périodique   s(t) = A cos(ωA t) + B sin(ωA t) exp(−ξω0 t) p Avec ωA = ω0 1 − ξ 2 et TA ωA = 2π. – Si ξ = 1 : régime critique s(t) = (At + B) exp(−ξω0 t) – Si ξ > 1 : régime apériodique s(t) = A exp(r1 t) + B exp(r2 t) Avec r1 et r2 solutions de r2 + 2ξω0 r + ω 2 = 0

19.4

Réponse à un échelon d’un circuit du second ordre d2 s(t) ds(t) + 2ξω0 + ω02 s(t) = ω02 S∞ dt dt

59

CHAPITRE 19. RÉPONSES LIBRES ET RÉPONSES À UN ÉCHELON DE CIRCUITS R, L, C

60

Chapitre 20

Amplificateur opérationnel idéal en fonctionnement linéaire Il faut toujours alimenter l’amplificateur opérationnel avant d’imposer des tensions à ses bornes d’entrée. La caractéristique statique fait apparaitre : – Une zone linéaire, où vs = Ad · ε et alors −Vsat < vs < +Vsat . Ad est le gain différentiel de l’AO. – Une zone non linéaire (fonctionnement saturé), où vs = ±Vsat . Hypothèses de fonctionnement – AO idéal : Ad → ∞ et i+ ≈ i− ≈ 0. Remarque : le courant de sortie est non nul. – Fonctionnement linéaire : ε = 0. On suppose que l’AO est en fonctionnement linéaire dès qu’il existe une rétroaction négative sur l’entrée -.

61

CHAPITRE 20. AMPLIFICATEUR OPÉRATIONNEL IDÉAL EN FONCTIONNEMENT LINÉAIRE

62

Chapitre 21

Régime sinusoidal forcé Décomposition en série de Fourier Sous certaines conditions, un signal périodique de pulsation ω0 et de valeur moyenne nulle peut se décomposer en une somme infinie de sinusoides de pulsations multiples de ω0 X f (t) = Cn cos(nωt + ϕn ) n

21.1

Formalisme complexe

Grandeurs complexes

à un signal f (t) = F cos(ωt + ϕ)

On peut associer son amplitude complexe F = F exp(jϕ) Et la fonction complexe du temps associée est f (t) = F exp(jωt) exp(jϕu ) = F exp(jωt)

Opérations : – Dériver une fonction revient à multiplier par jω la fonction complexe associée. – Intégrer une fonction revient à diviser par jω la fonction complexe associée. Impédance complexe d’un dipôle linéaire Un dipôle est linéaire si u(t) et i(t) sont liés par une équation différentielle du type a0 u(t) + a1

du(t) d2 u(t) di(t) + a2 + · · · = b0 i(t) + b1 + ··· 2 dt dt dt 63

CHAPITRE 21. RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ

En passant aux amplitudes complexes, on obtient la relation   b0 + b1 jω + b2 (jω)2 + · · · U= I =ZI a0 + a1 jω + a2 (jω)2 + · · · Où Z est l’impédance complexe du dipôle (en ohms Ω), et l’impédance dépend donc de l’impédance du générateur. On a aussi |U | = |Z||I| ⇒ U = ZI Impédance de dipôles usuels : – Résistance : Z = R. u(t) et i(t) sont en phase (même argument). – Bobine : Z = jLω. i(t) est en retard de π/2 sur u(t). 1 . i(t) est en avance de π/2 sur u(t). – Condensateur : Z = jCω Tous les théorèmes vu en continu avec les résistances sont valables.

21.2

Etude de circuits

Phénomène de résonnance Pulsation pour laquelle la tension ou l’intensité aux bornes du dipôle est maximale.√ – Il y a résonnance en tension si ξ 6 1/ 2. Alors p ωr = ω0 1 − 2ξ 2 √ Remarque : si ξ  1/ 2, alors ωr ≈ ω et donc Udipole ≈ QUgenerateur . Q est parfois appelé coefficient de surtension. – Il y a toujours résonnance en courant pour ω = ω0 et on a Imax =

U R

– Il y a aussi toujours résonnance en puissance pour ω = ω0 . On utilise la fonction arctan pour obtenir la valeur de la phase ϕ. Puissance moyenne (ou active) Puissance constante qui donnerait la même valeur que l’énergie reçue pendant une période entière (de la tension ou du courant) Z 1 T P = hp(t)i = p(t)dt T 0 En sinusoidal, on obtient Um Im cos ϕ 2 cos ϕ est appelé facteur de puissance. P =

64

CHAPITRE 21. RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ

I = Ia + Ir Avec Ir la partie réactive (en quadrature par rapport à U ) et Ia la partie active du courant (en phase avec U ). Valeur efficace

On pose Um Uef f = √ 2

Im Ief f = √ 2

L’expression de la puissance devient alors P = Uef f Ief f cos ϕ

65

CHAPITRE 21. RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ

66

Chapitre 22

Filtres du premier et second ordre 22.1

Généralités

Fonction de transfert Fonction, notée H ayant un effet de filtrage si elle dépend de ω (son effet sera différent selon la fréquence d’entrée). – en jω : isochrone - pour les signaux sinusoidaux. – en p : symbolique - pour les signaux causaux. La fonction de transfert est perturbée par le circuit en aval. Remarque : on peut écrire H = H1 · H2 seulement si l’impédance de sortie du premier quadripôle est négligeable devant celle du second.s Ve – calcul de Ze : Ie – calcul de Zs : détermination de l’impédance équivalente du générateur de Thévenin en passivant les sources.

22.2

Diagramme de Bode

H(jω) est une fonction complexe de la pulsation ω   H(jω) = |H(jω)| exp jϕ(ω) Représentation graphique : – le module G = |H(jω)|est appelé  gain de la fonction de transfert. – l’argument ϕ(ω) = arg H(jω) est appelé phase de la fonction de transfert. 67

CHAPITRE 22. FILTRES DU PREMIER ET SECOND ORDRE

Le diagramme de Bode est constitué de deux courbes : – la courbe de gain (en dB), défini par GdB = 20 log G – la courbe de phase (en rad). On utilise une échelle logarithmique. Le diagramme de Bode du produit de deux fonctions de transfert (H = H1 · H2 ) est obtenu par : – la somme des courbes en gain (en dB) pour le gain : GdB,H = GdB,H1 +GdB,H2 . – la somme des courbes de phase pour la phase, car arg(H1 · H2 ) = arg H1 + arg H2

22.2.1

Caractéristiques

Pulsations de coupure Les pulsations de coupures d’une fonction de transfert correspondent aux pulsations pour lesquelles son gain est réduit d’un facteur √ 2 par rapport à sa valeur maximale. Gmax G(ωc ) = √ 2 On parle aussi de pulsation de coupure à -3 dB car −20 log

√

2 = −3.

Bande passante Il s’agit du domaine de pulsation pour lequel le gain est compris entre Gmax et G(ωc ). Types de filtre : – Un filtre passif n’est constitué que d’éléments passifs. – Un filtre actif comporte au moins un amplificateur opérationnel. Filtres spéciaux : – gain pur (réel) H(jω) = K > 0 ou < 0 – dérivateur pur (imaginaire pur) H(jω) = j

ω ω0

GdB = 20 log ω − 20 log ω0 Equation correspondand à une droite croissante passant par 0 dB pour ω = ω0 dont la pente est de 20 dB par décade. ϕ = +π/2 – intégrateur pur (imaginaire pur) H(jω) =

68

1 ω j ω0

CHAPITRE 22. FILTRES DU PREMIER ET SECOND ORDRE

GdB = 20 log ω0 − 20 log ω Equation correspondand à une droite décroissante passant par 0 dB pour ω = ω0 dont la pente est de -20 dB par décade. ϕ = −π/2

22.3

Filtres du premier ordre

22.3.1

Passe-bas du premier ordre

1

H(jω) =

1+j

ω ω0

Fig. 22.1 – Filtre passe-bas du premier ordre

22.3.2

Passe-haut du premier ordre

j H(jω) =

ω ω0

1+j

69

ω ω0

CHAPITRE 22. FILTRES DU PREMIER ET SECOND ORDRE

Fig. 22.2 – Filtre passe-haut du premier ordre

22.4

Filtres du second ordre

22.4.1

Passe-bas du second ordre

H(jω) =

1 2ξω ω 2 − 2 1+j ω0 ω0

Fig. 22.3 – Filtre passe-bas du second ordre

70

CHAPITRE 22. FILTRES DU PREMIER ET SECOND ORDRE

22.4.2

Passe-haut du second ordre

ω2 ω02 H(jω) = 2ξω ω 2 − 2 1+j ω0 ω0 −

Fig. 22.4 – Filtre passe-haut du second ordre

22.4.3

Passe-bande du second ordre

2ξω ω0 H(jω) = 2ξω ω 2 1+j − 2 ω0 ω0 j

71

CHAPITRE 22. FILTRES DU PREMIER ET SECOND ORDRE

Fig. 22.5 – Filtre passe-bande du second ordre

72

Chapitre 23

Electrostatique 23.1

Charges et champ électrostatique

Loi de Coulomb Soient une charge qA placée en A et une charge qb placée en B, toutes deux fixes dans le référentiel d’étude. La force exercée par A sur B s’exprime par −−−−→ qa qb 1 −−→ FA→V = uAB 4πε0 εr r2 Remarque : εr est la permittivité relative du vide. – Dans le vide : εr = 1 – Dans l’air : εr ≈ 1

23.1.1

Champ créé par une charge ponctuelle

Champ électrostatique → − E (M ) =

créé par qi située en Pi −−→ qi Pi M −→ 4πε0 εr ||− Pi M ||3

(V · m−1 )

Il s’agit d’une grandeur locale. → − → − On a donc la relation F = q E Principe de superposition Si, dans une région de l’espace, on dispose de n sources, alors le champ en un point M est égal à la somme des champs créés 73

CHAPITRE 23. ELECTROSTATIQUE

séparément en M par les n sources → − E (M ) =

23.1.2

−−→ n 1 X Pi M qi −−→ 4πε0 i=1 ||Pi M ||3

Champ créé par une distribution continue de charges

Densité volumique de charges %(P ) =

dq dτ

(C · m−3 )

La charge totale comprise dans le volume V est ZZZ ZZZ dq = %dτ Q= V

V

Le champ créé par une distribution volumique est donc ZZZ −−→ → − % Pi M E (M ) = −−→ 3 dτ 4πε 0 ||Pi M || V Densité surfacique de charges σ(P ) =

dq dS

(C · m−2 )

La charge totale comprise dans le volume V est ZZ ZZ Q= dq = σdS S

S

Le champ créé par une distribution surfacique est donc ZZ −−→ → − σ Pi M E (M ) = − −→ dS S 4πε0 ||Pi M ||3 Densité linéique de charges λ(P ) =

dq dl

(C · m−1 )

La charge totale comprise dans le volume V est Z Z Q= dq = λdl L

L

74

CHAPITRE 23. ELECTROSTATIQUE

Le champ créé par une distribution surfacique est donc Z −−→ → − Pi M λ E (M ) = − −→ dl L 4πε0 ||Pi M ||3

23.2

Symétries et antisymétries

Soient P et P’ deux points (entourés par les volumes élémentaires dτ et dτ 0 ) symétriques par rapport à un plan de symétrie géométrique Π d’une distribution de charges. Plan de symétrie électrostatique Π est un plan de symétrie si pour tout couple (P, P’), la densité de charge vérifie %(P ) = %(P 0 ). Au contraire, Π est un plan d’antisymétrie si %(P ) = −%(P 0 ). Un plan de symétrie des charges est aussi un plan de symétrie des champs — de même pour un plan d’antisymétrie. Direction du champ : → − – Si Π est un plan de symétrie, alors M ∈ Π ⇒ E (M ) ∈ Π. → − – Si Π est un plan d’antisymétrie, alors M ∈ Π ⇒ E (M ) ⊥ Π. Invariance Transformation géométrique qui laisse le champ inchangé. Exemple : si le champ est invariant par rotation, alors E(r, θ, z) = E(r, z).

23.3

Théorème de Gauss

→ − Flux élémentaire Le flux élémentaire dφ de E à travers l’élément de surface orienté dS est défini par → → − − dφ = E · dS ZZ φ= dφ S

Si la surface S est fermée, on notera I φ=

dφ S

→ − Théorème de Gauss Le flux du champ E à travers une surface fermée S est proportionnel à la charge qint enfermée dans la surface S φ=

qint ε0

Méthode : 75

CHAPITRE 23. ELECTROSTATIQUE

– Chercher les symétries et les invariances. – Chercher une surface de Gauss fermée, perpendiculaire au champ en tout point, et la compléter éventuellement par des morceaux de surfaces sur lesquelles le flux est nul pour la refermer.

23.4

Topographie

Equipotentielle Une surface (ou ligne) équipotentielle est définie par l’en→ − semble des points de même potentiel. Le champ E est perpendiculaire aux équipotentielles en tout point. On a

→ − E = − grad V

Lignes de champ Courbes tangentes au vecteur champ électrostatique. Elles sont orientées dans la direction du champ. On obtient leur équation par −−→ → − → − dOM ∧ E = 0 → − En un point où se coupent deux lignes de champ, E est soit nul, soit indéfini.

76

Chapitre 24

Magnétostatique 24.1

Définitions

La Terre est source d’un champ magnétique, appelée champ géomagnétique. Le pôle nord magnétique correspond au pôle sud d’un aimant droit (et inversement). Le pôle nord d’une aiguille aimantée pointe vers le pôle nord magnétique. Champ magnétique Le champ magnétique en un point M peut être repré→ − senté par un vecteur B (M ), qui est caractérisé par : – une direction (celle d’une aiguille placée en M) ; – un sens : du pôle sud vers le pôle nord de l’aiguille ; – une intensité (en tesla - T). La valeur d’un champ magnétique peut être mesuré avec un teslamètre. Remarque : 1T représente un champ intense. Principe de superposition Si, dans une région de l’espace, on dispose de n sources, alors le champ en un point M est égal à la somme des champs créés séparément en M par les n sources n

X− −−→ → Btot (M ) = Bi (M ) i=1

Lignes de champ Courbes tangentes au vecteur champ magnétique. Une ligne de champ créée par un aimant est orientée du pôle nord vers le pôle sud. Spectre magnétique

Ensemble des lignes de champ. 77

CHAPITRE 24. MAGNÉTOSTATIQUE

Remarque : Le spectre magnétique d’aimant courbe contient des lignes de champs parallèles entre elles et perpendiculaires aux branches de l’aimant dans l’entrefer. Le champ a la même valeur en tout point de l’entrefer.

24.2

Champ magnétique créé par un courant

– Composants bobine enroulement de fil conducteur protégé par une gaine isolante. – Composants solénoïde bobine constituée d’un enroulement en hélice, de spires régulièrement réparties, dont la longueur est grande (au moins 6 à 7 fois son diamètre).

Remarques sur le solénoïde : – Les lignes de champs sortent par la face nord et entrent par la face sud. – A l’intérieur, le champ est uniforme. Il est dirigé du sud vers le nord. – Le sens du champ dépend de la circulation du courant. Soit un circuit filiforme parcouru par un courant d’intensité I. A une petite → − portion du circuit dl (orientée dans le sens du courant), située en P, est associée → − → − un élément de courant d C = I · dl . Loi de Biot et Savart Elle permet d’exprimer la contribution de l’élément → − de courant d C situé en P au champ magnétique total au point M −−→ − → − PM µ0 → d C ∧ −−→ dB = 4π ||P M ||3

Soit Π, plan de symétrie de la distribution de courant : → − – Si M ∈ Π, alors B ⊥ Π. → − – Π est un plan d’antisymétrie pour B . Soit Γ un contour fermé qui enlace un certain nombre de courant Ik . → − Théorème d’Ampère la circulation CΓ du champ magnétique B sur le contour Γ est égaleau produit de µ0 par la somme algébrique des courants enlacés par Γ I X − → − → C= B d l = µ0 εk Ik Γ

k

− Avec ek = 1 si I et → n sont dans le même sens, sinon, ek = −1.

78

Chapitre 25

Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique ou magnétique 25.1

Généralités

Le poids d’une particule chargée peut être négligée car → − −−→ −−−−→ P  Felec  Fmagn

Force de Lorentz Force globale que subit une particule en présence de deux champs, l’un électrique et l’autre magnétique → − −−→ → − − Ftot = q E + q → v ∧B |{z} | {z } −−→ −−−−→ Felec Fmagn

Remarque : on a la relation

µ0 ε0 c2 = 1 79

CHAPITRE 25. MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS UN CHAMP ÉLECTRIQUE OU MAGNÉTIQUE

25.2

Particule soumise uniquement à un champ

25.2.1

Champ électrique

Le mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme se fait dans un plan définit par : – le point d’entrée O de la charge dans la zone de champ ; − – le vecteur vitesse initial → v0 de la particule ; → − – le vecteur champ électrique E . L’application d’un tel champ à une particule chargée permet de faire varier sa vitesse. Cas particuliers : → − − – Si → v0 // E alors le mouvement est uniformément varié. → − − – Si → v0 ⊥ E alors le mouvement est un arc de parabole.

25.2.2

Champ magnétique

La vitesse d’une particule chargée dans un champ magnétique reste constante car la force magnétique ne travaille pas. Le mouvement est : → − − – rectiligne uniforme si → v0 // E ; → − − – circulaire si → v0 ⊥ E ; – hélicoïdal sinon.

25.3

Lois locales

Vecteur densité de courant Vecteur dont le flux est défini par l’intensité du courant traversant une surface S à la date t ZZ − → − → I= j dS (A · m−2 ) S

On a donc

X→ X → − − − j = jk = nk qk → vk k

Loi d’Ohm

k

Interprétation microscopique → − → − j = σE

Où σ désigne la conductivité du milieu, en S · m−1 .

80

Chapitre 26

Dipôle électrostatique et dipôle magnétostatique 26.1

Dipôle électrostatique

Dipôle électrostatique On appelle dipôle électrostatique un ensemble de deux charges ponctuelles opposées, placées en deux points N (-q) et P (+q) distants de d, et auquel on associe un moment dipolaire. Moment dipolaire −−→ → − µ = qN P − Remarque : parfois il est noté → p

Propriétés (figure 26.1) : – N O = OP – Potentiel total créé en M −q Vtot (M ) = VN (M ) + VP (M ) = 4πε0



1 1 − − + r r

Approximation dipolaire d  r, r+ , r− Cette approximaion est fausse au voisinnage du dipôle. 81



CHAPITRE 26. DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE ET DIPÔLE MAGNÉTOSTATIQUE

Fig. 26.1 – Représentation d’un dipôle électrostatique

26.1.1

Interaction entre un dipôle et un champ extérieur

Energie potentielle d’interaction Energie potentielle d’interaction entre −−→ − le dipôle de moment dipolaire → µ et le champ électrostatique extérieur Eext −−→ − Ep = −→ p · Eext

Moment en O (centre du dipôle) de la force du champ extérieur exercé −→ → → − M0 = − p ∧E

Dans un champ électrostatique, le dipôle tend à s’aligner avec le champ et à se placer dans le même sens. Une fois aligné, dans le cas d’un champ non uniforme, le dipôle subit une force qui l’amène vers les zones de plus fort champ. Dans un champ extérieur uniforme, la résultante des forces est nulle.

26.2

Dipôle magnétostatique

Moment magnétique

Vecteur associé à un champ créé par une spire − → − M =I ·S·→ n

Approximation dipolaire

(A · m2 )

Elle consiste à dire que la distance r où l’on 82

CHAPITRE 26. DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE ET DIPÔLE MAGNÉTOSTATIQUE

calcule le champ est très supérieure aux dimensions caractéristiques de la distribution de courant rR Le champ créé, dans le cadre de l’approximation dipolaire, par une spire de courant est → − µ0 1 → + M sin θ · − →) (2M cos θ · − u u B (M ) = r θ 4π r3 Les lignes de champ électrostatique ont la même allure que les lignes de champ magnétique créées par une spire de courant.

83

CHAPITRE 26. DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE ET DIPÔLE MAGNÉTOSTATIQUE

84

Chapitre 27

Premier principe de la thermodynamique 27.1

Energie

Les formes d’énergie : – énergies cinétiques macroscopique et microscopique (Ec∗ ) ; – énergies potentielles d’interactions externes et internes. Ainsi, à tout système on associe une énergie interne (U = Ec∗ + Ep,int ), et une énergie mécanique (Em = Ec + Ep,ext ) : E = Em + U . En thermodynamique, l’énergie interne est considérée comme extensive : l’énergie interne d’un système composé de deux sous-systèmes vaut la somme des énergies internes de ces derniers. Premier principe de la thermodynamique pour système isolé Pour tout système qui n’échange ni matière ni énergie avec le milieu extérieur, la fonction énergie est une grandeur conservative.

27.2

Transformations et transferts

L’énergie d’un système ne peut varier que par transfert avec l’extérieur. Il existe deux formes de transfert : – le travail W ; – le transfert thermique Q (ou chaleur). 85

CHAPITRE 27. PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

Premier principe de la thermodynamique pour un système macroscopique en mouvement – Entre un instant t et un instant t + ∆t ∆(Em + U ) = W + Q – Sous forme de différentielle d(Em + U ) = δW + δQ – note : W est le travail des forces extérieures qui n’ont pas été prises en compte dans Ep,ext . W et Q dépendent du "chemin" emprunté. – remarque : dans le cas d’un système au repos, Em = 0 Transformations particulières : – cyclique : ∆U = 0 (mais dU 6= 0) – adiabatique : Q = 0 et ∆U = W – pas de travail : W = 0 et ∆U = Q Le transfert thermique : – par conduction : non contrôlable ; même en calorifugeant le système, on peut ralentir le transfert thermique mais pas l’annuler, les températures finiront toujours par s’uniformiser. – par convection. – par rayonnement. Le travail est défini comme un transfert d’énergie maitrisable et/ou directement mesurable. Il peut être de nature mécanique, électrique, électromagnétique...

27.3

Energie interne

Gaz parfait On appelle gaz parfait tout gaz dont le comportement est décrit par la fonction d’état pV = nRT A basse pression, tous les gaz ont un comportement de gaz parfait. L’énergie interne de n moles de gaz parfait ne dépend que de sa température : – monoatomique : 3 U = nRT 2 – diatomique : 5 U = nRT 2 Système thermoélastique système dont l’état est décrit par les variables p, T et V . Il est possible de lier ces trois variables par une équation d’état 86

CHAPITRE 27. PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

f (p, V, T ) = 0. L’énergie interne peut alors s’exprimer en fonction de deux variables, souvent T et V . Une variation infinitésimale s’écrit : dU =

∂U ∂U dT + dV ∂T ∂V

Capacité thermique à volume constant mation isochore (dV = 0). On a : dU = Cv (V, T )dT

avec

système subissant une transfor-

Cv =

∂U ∂T

en J.K −1

Cas particuliers : – gaz parfait, Cv est une constante (obtenue en dérivant U). – phase condensée : la pression n’influence presque pas le volume, donc Cv ne dépend que de T .

27.4

Enthalpie

Enthalpie fonction d’état dont la variation ne dépend que de l’état initial et de l’état final (et pas du chemin parcouru). On peut l’exprimer en fonction de deux des variables d’état, souvent p et T . H = U + pV dH =

∂H ∂H dT + dp ∂T ∂p

Capacité thermique à pression constante formation isobare (dp = 0). On a : dU = Cp (p, T )dT

avec

Cp =

système subissant une trans∂H ∂T

en J.K −1

Relation de Mayer pour les gaz parfaits Cp = Cv + nR. De plus, on Cp . Dans le cas d’un gaz parfait, l’enthalpie ne dépend définit le coefficient γ = Cv que de la température (dH = Cp dT ). Dans le cas des phases condensées, Cp = Cv = C et dU ≈ dH ≈ CdT

27.5

Travail

Transformations : 87

CHAPITRE 27. PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

– brutale : les variables intensives ne sont pas définies à tout instant, non mesurables, et le système n’est pas en équilibre interne. L’expression du travail est de la forme W = −pext ∆V , avec pext à déterminer. – quasi-statique : suite d’états d’équilibres internes. Les variables sont bien définies. Le travail élémentaire vaut : δW = −pdV (qu’il suffit d’intégrer entre l’instant initial et l’instant final pour trouver le travail W). – détente : V augmente, le travail reçu est négatif ; – compression : V diminue, le travail reçu est positif. Travail reçu par un dipôle électrique (en convention récepteur) : δW = p(t)dt

27.6

Cas particuliers

Transformations : – isochore : W = 0

Z ∆U = Q =

Cv (T, V )dT

– monobare : W = −p∆V Z ∆H = Q =

Cp (T, p)dT

– isotherme d’un gaz parfait : elle implique une transformation quasi-statique. On a ∆U = 0. Loi de Laplace

Pour une transformation quasi-statique adiabatique, on a pV γ = cste

88

Chapitre 28

Second principe de la thermodynamique 28.1

Définitions

Causes d’irréversibilité : – les phénomènes dissipatifs (frottements, effet Joule...) ; – les phénomènes de diffusion liés à la non uniformité des grandeurs intensives (température, pression...) ; – les réactions chimiques. Une transformation non quasi statique est forcément irréversible. Une transformation est réversible si à chaque instant le système est en équilibre internet et externe. Second principe de la thermodynamique Pour tout système, il existe une fonction S appelée entropie qui possède les propriétés suivantes : – fonction d’état ; – fonction extensive ; – pour tout système calorifugé (pouvant échanger du travail mais pas de la chaleur) on a

 dS > 0

= 0 pour une transformation réversible > 0 pour une transformation irréversible

Si dS < 0 alors la réaction est impossible. L’entropie d’un système calorifugé ne peut que croitre ou rester constante. 89

CHAPITRE 28. SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

Généralement, on choisira d’exprimer S en fonction de U et V. On a ∂S ∂S dU + dV dS = ∂U ∂V V

U

Au voisinnage de l’équilibre thermodynamique, on a 1 ∂S T = p=T ∂V U ∂S ∂U V

Identité thermodynamique dU = T dS − pdV On a une identité semblable avec l’enthalpie dH = T dS + V dp

28.2

Systèmes non calorifugés : entropie d’échange

Source de travail Une source de travail n’échange pas de chaleur avec l’extérieur et sa variation d’entropie est nulle pendant une transformation quelconque. Elle n’intervient donc pas dans un bilan d’entropie. Source thermique Une source thermique n’échange pas de travail avec l’extérieur et est capable d’échanger de la chaleur sans que sa température Ts n’évolue (source idéale) (Cv0 → ∞). On appelle aussi ces sources des thermostats. Echange entre un système et une source thermique à température T0 – Variation d’entropie de la source dS0 =

δQ0 δQ =− T0 T0

– Variation de l’entropie du système en contact avec la source dS = δSc + δSe Avec Sc l’entropie de création et Se l’entropie de création (ce ne sont pas des fonctions d’état, et leur valeur dépend du "chemin" emprunté), et on a δSe = Et

 δSc > 0

δQ T0

= 0 pour une transformation réversible > 0 pour une transformation irréversible 90

CHAPITRE 28. SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

Une système est à l’équilibre thermodynamique quand il est stationnaire et qu’il n’y a pas de création d’entropie : δSc = 0

28.3

Machines thermiques

Une machine thermique est une machine qui : – décrit des cycles ; – échange du travail et de la chaleur avec le milieu extérieur. Si la machine reçoit du travail, c’est un récepteur, sinon, c’est un moteur. Méthode d’étude : on applique successivement – le premier principe à la machine ; – le deuxième principe à l’univers. Inégalité de Clausius X Qi 60 T sources i Il y a égalité dans le cas de la réversibilité.

28.3.1

Le réfrigérateur

Efficacité ε=

Qf Tf 6 W Tc − Tf

Il s’agit d’une limite supérieure de l’efficacité du réfrigérateur. Elle peut être supérieure à 1 si Tc < 2Tf . Cette limite est théorique et ne peut être atteinte que pour une transformation réversible.

28.3.2

La pompe à chaleur

Efficacité ε=

28.4

−Qc Tc 6 W Tc − Tf

Compléments

Troisième principe de la thermodynamique Lorsque la température absolue d’un corps pur parfait tend vers 0 K, son entropie tend vers 0. 91

CHAPITRE 28. SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

Nombre de complexion nombre de micro-états qui mènent à un macroétat. Il est noté Ω. Un état final a d’autant plus de chances d’être observé que son nombre de complexion est grand. A chaque macro-état, on associe une entropie "statistique", liée au nombre de complexion S = kb ln Ω Où kb est la constante de Boltzmann.

92

Chapitre 29

Changements d’état : étude descriptive du corps pur diphasé en équilibre 29.1

Les changements d’état d’un corps pur

Fig. 29.1 – Les différents changements d’état

Représentation : un corps pur à l’équilibre thermodynamique interne peut exister sous plusieurs formes : une seule phase, deux ou trois phases. L’existence de ces phases dépend des valeurs des variables d’état p, V, T. 93

CHAPITRE 29. CHANGEMENTS D’ÉTAT : ÉTUDE DESCRIPTIVE DU CORPS PUR DIPHASÉ EN ÉQUILIBRE

Fluide hypercritique liquide ou d’un gaz.

29.1.1

Phase où l’on ne peut distinguer s’il s’agit d’un

Projection dans le plan(p,T)

Fig. 29.2 – Diagramme (p,T)

Il n’y a équilibre entre deux phases que si le point est situé sur l’une des courbes. Point triple Point où le corps pur peut exister sous ses trois phases en même temps. Il se situe à une pression et à une température bien définies caractéristiques de chaque corps pur. Point critique

Point au-delà duquel il n’y a plus d’équilibre liquide-vapeur.

Fig. 29.3 – Diagramme (p,T) de l’eau

94

CHAPITRE 29. CHANGEMENTS D’ÉTAT : ÉTUDE DESCRIPTIVE DU CORPS PUR DIPHASÉ EN ÉQUILIBRE

Fig. 29.4 – Diagramme (p,V)

29.2

Equilibre liquide-gaz

On appelle : – courbe de rosée le lieu des points G ; – courbe d’ébullition le lieu des points L ; – courbe de saturation l’ensemble des courbes de rosée et d’ébullition. Fraction massique de vapeur Appelée aussi "titre en vapeur", notée x x=

mG m

Où mG est la masse de la vapeur. On peut définir également la fraction massique de liquide y=

mL = (1 − x) m

Théorème des moments Pour un point M sur une isotherme dans la zone d’équilibre liquide-vapeur, les fractions massiques de vapeur et de liquide vérifient MG LM y= x= LG LG

29.3

Grandeurs thermodynamiques

Enthalpie massique de changement d’état Variation d’enthalpie massique, notée ∆h1→2 , quand le corps pur passe d’une extrémité à l’autre d’un palier de changement d’état. Elle est aussi appelée chaleur latente. 95

CHAPITRE 29. CHANGEMENTS D’ÉTAT : ÉTUDE DESCRIPTIVE DU CORPS PUR DIPHASÉ EN ÉQUILIBRE

Entropie massique de changement d’état Variation d’entropie massique, notée ∆s1→2 , quand le corps pur passe d’une extrémité à l’autre d’un palier de changement d’état. Elle vérifie ∆s1→2 =

∆h1→2 T

Ces deux variations sont à considérer lorsque le changement d’état a lieu à une température T constante et donc à la pression d’équilibre constante égale à la pression de vapeur saturante ps (t). Enthalpie massique On nomme hv l’enthalpie massique au point G et hL l’enthalpie massique au point L. L’enthalpie massique au point M est obtenue par h = x · hG + (1 − x)hL h = x∆hvap + hL Entropie massique On nomme sv l’enthalpie massique au point G et sL l’enthalpie massique au point L. L’enthalpie massique au point M est obtenue par ∆hvap + sL s = x · sG + (1 − x)sL s=x T

96

Chapitre 30

Gaz parfait monoatomique 30.1

Modèle du gaz parfait monoatomique

Soit un ensemble N de molécules monoatomiques dans un référentiel galiléen, macroscopiquement au repos et de centre d’inertie G. On note m la masse de → − − la molécule, → v sa vitesse précédant le choc, v 0 sa vitesse après le choc, n∗ la densité particulaire et τ durée du choc. Hypothèses d’étude : – molécules assimilables à des points matériels ; – aucune interaction à distance ; – les interactions se limitent à des chocs élastiques entre les atomes entre eux ou avec les parois ; – équilibre interne : la densité moléculaire et la répartition statistique des vitesses des atomes sont homogènes et stationnaire : – isotropie des vitesses. Pression cinétique La pression cinétique exercée par un fluide sur une paroi est due aux chocs des molécules du fluide sur la paroi. Elle est liée à la valeur moyenne des forces exercées par les molécules sur la paroi. Etude du choc d’une molécule qui se déplace vers une surface dS, perpendiculairement à celle-ci, avant de repartir en sens inverse : – Modèle simplifié : seules trois directions orthogonales sont possibles. – Force exercée par la molécule sur la surface pendant le choc : → − 2mv F = τ → − − – A cause de la conservation de l’énergie cinétique, on déduit que → v = v0 . 97

CHAPITRE 30. GAZ PARFAIT MONOATOMIQUE

– Le nombre de chocs reçus pendant une durée ∆T est N=

n∗ dS · v · ∆T 6

– Force moyenne reçue par l’élément de surface pendant la durée ∆T → − 1 h F i = mn∗ v 2 dS 3 – La pression exercée est 1 mn∗ v 2 3 Adaptation du modèle à la réalité : on prend la valeur moyenne de la vitesse sur l’ensemble des molécules. 1 p = mn∗ u2 3 N p 1 X 2 Où u = hv 2 i = v est la vitesse quadratique moyenne d’une moléN i=1 i cule . p=

Température cinétique Il s’agit de l’image macroscopique de l’agitation thermique microscopique. Elle est liée à l’énergie cinétique moyenne d’une molécule du gaz par 3 1 hEc i = mu2 = kb T 2 2 Où kb est la constante de Boltzmann. Energie interne U=

30.2

3 nRT 2

Coefficients thermoélastiques

Dans un système thermoélastique, ces coefficients permettent de décrire la façon dont varient certaines variables d’état par rapport aux autres. Coefficient de dilatation isobare volume quand la température varie α=

Il permet de quantifier la variation de 1 ∂V V ∂T p

Coefficient de compressibilité isotherme Il permet de quantifier la variation de volume quand la pression varie 1 ∂V χT = − V ∂p T 98

CHAPITRE 30. GAZ PARFAIT MONOATOMIQUE

Ces coefficients sont très faibles dans le cas de phases condensées.

99

CHAPITRE 30. GAZ PARFAIT MONOATOMIQUE

100

Annexe A

Résoudre une équation différentielle A.1

Premier ordre

y˙ +

y ⇒ y = A exp τ



−t τ



y¨ + ω 2 y = 0 ⇒ y = A cos(ωt) + B sin(ωt)

A.2

Second ordre

Etapes : 1. équation sans second membre (ESSM) ; 2. solution particulière (S∞ ) ; 3. solution général : solESSM + S∞ ; 4. détermination des constantes grâce aux conditions initiales. Equation différentielle sans second membre : x ¨ + 2ξω0 x˙ + ω02 x = 0

Résolution : – Equation caractéristique r2 + 2ξω0 r + ω 2 = 0 101

ANNEXE A. RÉSOUDRE UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

– Calcul du discriminant – si ∆ > 0 (ξ > 1) : 2 racines réelles r1 et r2 x = A exp(r1 t) + B exp(r2 t) – si ∆ < 0 (ξ