R. C. Juvinall K. M. Marshek - Fondamenti Della Progettazione Dei Componenti Delle Macchine

FONDAMENTI DELLA PROGETTAZIONE DEI COMPONENTI DELLE MACCHINE Robert C. Juvinall P~.ofessorof Mechanical Engineering Universitu del Michigan

Kurt M. Marshek Prqfessor o f Mechanical Engineering Università del Texas (Au.rtin)

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Iiitrnd~izionc Ilc.;cririi-inc dell:i tr;isniissioric origin:ilc lfyJr,i-Matic 1lctcrriiiri;izionc dei rapporti di ir;isriiissic-iric c clci carichi siii coiiipnncnti 20.4 Considerazioni siil progetto dcgli ingi;rii;iggi 20.5 Considerazioni sul progctto dcllc I'ri~ioiiiC tlci ficrii 20.6 Considerarinni varie stil piogetti,

Appciidicc A . Unità A I ; i Fattori di corivci-sioric per- IJiiii.ì (~;r:ivit:i/i~iri:ilchritaiinico I11glcsc C SI ,\-l b Fattori di convcrsioiic clcnc:irr in b;isc allc cl~iniititàfisichc A - ~ ; IPrcfissi standarci SI i\-2h I l n i i i c sinilmli SI A-3 Prefissi SI ciinsigli;iti nei calcoli dcllc teiisioiii A-4 Prefissi SI con\igli:iti nci calcoli dcgli spostaniei~ti A-5 Prcfi.;si SI cnn\igli:iti iici crilcoli dellc ioi;i/iorii Appcndicc R Fropricti clcllc ~ c r i o i i ie dei solidi 13- I H-2

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1.2 CONSII>I~RAZIONI111 SICUREZZA d~illaprofonditi nella coniprcnsiorie delle cigerizc rel~itive,d;ill;i tcciiol~igr:is ~ ci ~ i i si basano le soluzioni, e così via Questo libro tratta principalmente i l progetto di partic»l:iri ~ . ~ I I I / > Oclellc. IICI~I~ iiiacchine o dei sistemi meccanici. Una conoscenza di questi aspetti 6 foiidariieiii;iIc per la comprensione e la sintesi di iiiacchinc e sisterni coriipleti che sai-arino oggetto di altri insegnamenti o della pratica professionale. Si vedrà che ariche nel progetto di un singolo biillone o di una molla, l'ingegnere dcve usare la migliore competenza scientifica disponibile, insieme con I'inforniazionc ernpirica, i l b~ioii senso e spesso un certo grado di irigegnosità, per progettare i1 prodotto migliore per la società attuale. Le considerazioni tecniche circa il progetto di un coiiipoiiciite iiieccaiiico sorio largamente centrate su due aspetti: ( I ) le relazioni tensiorie-deforinazionc-resistenza che riguardano ii volume di un corpo solido e (2) i fenomeiii superficiali comprendenti attrito, lubrificazione, usura e deterioramento prodotto dali'anibieiite circostante. La prima parte del libro riguarda gli aspetti fondariientali, la secondii parte le applicazioni a particolari componenti meccanici. I cornponenti scelti sorio ampiamente usati e sono già conosciuti dallo studente. Non è possibile riè desiderabile che lo studente studi gli aspetti legati al progetto dettagliato di rurri gli elementi delle macchine. Pertanto, nel trattare quelli scelti, si è cercato di focalizzare l'attenzione sui meiodi e sulle procedure usate in modo che lo studente possa acquisire una competenza necessaria per applicare questi nietodi e procedure ai componenti meccanici in generale. Quando l'ingegnere considera una macchina completa, invariabilmente trova che i requisiti ed i vincoli dei vari cornponenti sono tra loro interconnessi. Il progetto di una molla di una valvola di un motore per un'autoniobile, per esempio, dipende dallo spazio concesso alla molla. Questo, d'altra parte, rappresenta un compromesso con lo spazio necessario per l'apertura della valvola, i passaggi del fluido refrigerante, l'ingombro della candela e così via. Questa situazione aggiunge una dimensione completamente nuova all'immaginazione e all'ingegnositi richieste agli ingegneri quando essi cercano di determinare un progetto ottirriale con una combinazione di componenti interconnessi. Questo aspetto del progetto meccaiiico è illustrato da uno "studio di un caso tipico" nel capitolo finale del libro. Oltre alle considerazioni tecniche ed economiche fondamentali per il progetto e lo sviluppo di componenti e sistemi meccanici, l'ingegnere moderno vieiie coinvolto sempre più in aspetti legati alla sicurezza, l'ecologia, e, più in generale, la "qualità della vita". Questi aspetti sono discussi brevemente nelle seguenti sezioni.

1.2 CONSIDERAZIONI DI SICUREZZA E' naturale che, in passato, gli ingegneri abbiano rivolto la loro attenzione agli aspetti funzionali ed economici delle nuove apparecchiature. Dopo tutto, se le apparecchiature non svolgono le loro funzioni correttamente, esse non risultano di particolare interesse per l'ingegnere. Inoltre, se una nuova apparecchiatura non può essere prodotta ad un costo che è sostenibile dalla società contemporanea, una perdita di tempo continuare a studiarla. Ma gli ingegneri che ci hanno preceduto sono riusciti a sviluppare una moltitudine di prodotti che funzionano con successo e che possono essere prodotti economicamente. In parte a causa di ciò, un serripre maggior sforzo ingegneristico sta per essere finalizzato a più ampie considerazioni circa l'influenza dei prodotti ingegrieristici sulle persone e sull'ambiente.

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I,;i sicurezza pcrsoiinle è iiria considerazione che gli ingegneri hanno seriipre :iviiio preseilte iiia clie ora richiede uir'enfasi maggiore. In confronto al c:rlcol» r-cliiiiv:iiiierite 11reciso delle teiisioiii o degli spostanieriti. 5 probabile che la dcterilirn;i~io~ie della sicurezza sia una materia elusiva e indefinita, complicata da latiori psicologici e sociologici. Ma questo dovrebbe rappresentare una maggior attriittiva per un ingegnere. Ciò offre ad egli o ad essa la possibilità di considerare t i i t t i gli aspetti pertinenti e di prendere delle buone decisioni sulla base della corioscenza, dell'iinniaginazione, dell'ingegnosità e del buon senso. I1 prirrio iiril~oi-tantepasso per sviluppare una competenza ingegneristica nel cariipo della sicurezza consiste nel coltivare una consapevolezza della sua importanza. La sicurezza di un prodotto è di grande interesse per i legislatori, gli avvocati, i giudici, i giurati, gli agenti delle assicurazioni e così via. Ma nessuno di loro può contribuire direttamente alla sicurezza di un prodotto; essi possono solo sottolineare l'urgenza di fornire un'adeguata enfasi alla sicurezza nello sviluppo ingeg'nerisrico del prodotto. E' I' ingegnere che deve sviluppare prodotti sicuri. La sicurezza è eminentemente una materia che non si presta facilmente a quantilicazioni ed un criterio di valutazione deve essere stabilito per effettuare un coriiproinesso tra sicurezza, costo, peso e così via. Alcuni anni fa il primo autore fu impiegaio in una ditta particolarmente attenta ai problemi della sicurezza e fu incaricato di stiriiolare I'ingegnere delegato alla sicurezza per ridurre ulteriormente gli inevitabili rischi associati con le apparecchiature della ditta. Un giorno, stimolato un po' troppo, questo ingegnere rispose: "Guarda, ho fatto questo modello tanto sicuro da essere «a provadi stupido» ("foolproof') ma non posso mai farlo «a prova di un vuiletleiro stupido». Se qualcuno ci prova veramente, può farsi male anche con questa macchina!". Il giorno seguente questo individuo inavvertitainente provò la verità di quanto aveva detto facendosi accidentalmente cadere i l nuovo inodello sul piede e rompeiidosi un dito! Ma il punto da chiarire qui è che quando una società prende decisioni circa i requisiti di sicurezza, gli ingegneri dovrebbero fornire un contributo importante. Oltre alla consapevolezza dei rischio, il secondo punto principale della sicuL'ingegnere deve essere abbastanza fantasioso ed ingegnoso rezza 5 l'ingeg~~osirà. per unricipare le situazioni, relative al prodotto, potenzialmente pericolose. La vecchia massima che ogni cosa che possa accadere prima o poi probabilmente accadrà è iiiiportarite. Seguono quattro casi tutti implicanti onerose responsabilità.

l . Un grande locale con un alto soffitto doveva essere riscaldato e raffreddato con tre unità a forma di cubo, ognuna sospesa al soffitto con lunghe barre d'acciaio poste ai quattro vertici. Entro queste unità venivano montati scambiaton di calore, soffianti e filtri da parte di operai che stavano sia dentro che sopra le apparecchiature. La flessibilità delle lunghe barre di sostegno permetteva a queste unità di oscillare avanti ed indietro e gli operai talvolta si divertivano a provocare delle oscillazioni di notevole ampiezza. La rottura per fatica di una barra di sostegno causò la morte di un operaio. Poichè grandi tubi di vapore (non ancora installati al tempo dell'incidente) impedivano una significativa oscillazione dell'apparecchiatura, uiia volta con~pletata,e le barre e r a 0 progettate con un fattore di sicurezza di 17 (basato sul peso statico delle apparecchiature completate). non era stato dato ulteriore importanza a questo problema di sicurezza. Nessun responsabile del progetto e dell'installazione delle unità aveva riesaminato la sequenza d'installazione con l'immaginazione e l'ingegnosità necessaria per prevedere questo pericolo. 2. U n ragazzo fu seriamente ferito in seguito all'urto con una macchina quando

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GENERALITA'SULLA PROGETTAZIONE MECCANICA

i freni della sua nuova bicicletta non fiinzionarono in un'eiiiergciiz;~.1.;i cniiqii risultò essere l'interferenza tra un coniponente del meccariisino del cniribio ;i ti-? rapporti ed un bordo aguzzo sulla manopola di comando del freno. Sia i l inccc;inismo di comando del cambio sia la manopola del freno erano di progettaziorrc iioii convenzionale. Ambedue erano sicuri in sè ed erano sicuri se usati in conibiiiazione con un progetto convenzionale dell'altro elemento. Ma quando questi diic elementi non convenzionali erano usati insieme. era lacile montarli sul rriniiiihri» in posizione tale che la corsa della manopola del freno fosse limitata e chc qiiindi fosse impedita la completa applicazione del freno. Di nuovo, nessun responsabile del progetto completo della bicicletta previde questa situazione pericolosa. 3. Un operaio perse una mano in una pressa da 400 t nonostante che indossasse guanti di sicurezza connessi ad un dispositivo azionato da un albero a carrimc, per allontanare le mani dalla zona pericolosa prima che il punzone si abbassasse. La causa fu una vite di fermo allentata che permise alla cammn di ruotare rispetto alla giusta posizione sull'albero, ritardando quindi l'allontanamento delle mani f i n dopo l'abbassamento del punzone. Questo caso illustra il vcccliio detto "Una catena non è più resistente del suo anello più debole". Qui, un dispositivo di sicurezza, altrimenti molto efficace e resistente, fu annullato d a l i ' ~ ~ a n c l l o > ~ ingiustificabilmente debole della vite di fermo. Un po' di immaginazione e di ingegnosità da parte dell'ingegnere responsabile del progetto avrebbe evidenziato questo pericolo prima che l'apparecchiatura fosse immcssa in produzionc. 4. Un bimbo che si muoveva carponi perse le estremità di tre dita quairdo cercò di salire su una "cyclette" su cui pedalava una sorella più grande. Quando pose la mano sul ramo inferiore della catena, essa fu immediat;imcnte trascinata verso il rocchetto. Per minimizzare il costo. la "cyclette" era stata progettata in modo da utilizzare alcune parti a basso costo, prodotte in grande serie, delle biciclette normali. Sfortunatamente, comunque, la protezione della catena, che offre un'adeguata protezione per una bicicletta normale, è totalmente inadeguata per una "cyclette" fissa per esercizi. Era troppo attendersi che l'ingegnere responsabile del progetto possedesse sufficiente immaginazione per prevedere questo pericolo? Non avrebbe dovuto avere sufficiente ingegno per individuare un progctto alternativo di protezione che fosse economico ed anche realizzabilc? E' proprio necessario che questo tipo di immaginazione ed ingegnosità sia stimolato nell'ingegnere da una legge concepita e stabilita da non ingegneri? Una volta che l'ingegnere è sufficientemente consapevole delle questioni di sicurezza e accetta questa sfida per la sua immaginazione ed ingegnosità, vi sono alcune tecniche e linee guida che sono spesso utili. Sei di queste sono suggerite qui di seguito.

1. Riesame del ciclo di vita totale del prodotto dalla produzionc iniziale allo smaltimento finale, con particolare attenzione alla ricerca dei rischi significativi. Chiedersi quale genere di situazioni possono ragionevolmente svilupparsi durante le varie fasi della produzione, del trasporto, dell'immagazzinamento, dell'installazione, dell'utilizzazione, del servizio, e così via. 2. Essere certi che le condizioni di sicurezza siano soddisfatte in niorio bilanciaro. Non accettare la penalizzazione di 1000 lire per eliminare un rischio trascurando la possibilità di eliminare un ugual rischio con un costo di 200 lire. Come nel caso della pressa sopra presentato. non focalizzare l'attenzione siilla resistenza dei guanti di sicurezza trascurando la inadeguatezza del collegaincnto tra la camma e l'albero.

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I MATERIALI

La niaggior parte degli acciai legati sono classificati come "da boriilicn" o "da cenientazione"; questi ultimi sono us;.:i quando i l "cuore" del pezzo deve essere tenace e lo strato superficiale duro, anche se relativainente sottile. Si usiino inoltre sia la nitrurazjone che altri processi di induriinento siiperficinlc. Acciai HSLA Gli acciai "I-Iigh Strength Low Alloy" (alta resistenza. basso conteniito di lega) furono sviluppati a partire dal 1940 come classe di acciai economici ina dotati di molti aspetti vantaggiosi degli acciai legati, più costosi. Spesso la loro resistenza, superiore a quella degli acciai al carbonio. pemiette di ridurre i pesi senza aumentare o quasi il costo totale. Recentemente l'industria automobilistica ha fatto molto uso degli acciai HSLA. Acciai d a indurimento superficiale L'indurimento superficiale si ottiene con la cementazione. la cianiirazione, la n i t ~ r a z i o n ee la tempra per induzione od alla fiamma. La cementazione introduce altro carbonio attraverso alle superfici di un pezzo di acciaio che, diversamente, avrebbe un basso tenore di carbonio; il trattamento termico determina poi un'elevata durezza superficiale. La cianurazione è un procedimento analogo, che aggiunge sia azoto sia carbonio nelle zone superficiali di pezzi di acciaio a medio-basso tenore di carbonio. La nitrurazione aumenta il tenore di azoto in un pezzo già lavorato e già trattato termicamente. La temperatura del procedimento è di 1000°F (538°C) o inferiore e non è richiesta la tempra. Ciò elimina i problemi di distorsione. Per ottenere Ia niassima durezza superficiale si usano spesso acciai speciali da nitrurazione (con alluminio come elemento di lega). Si nitrurano anche gli acciai legati a medio tenore di carbonio (in particolare lo AISI 4340). L'indurimento con tempra superficiale ad induzione od alla fiamma si ottiene riscaldando solo le superfici di pezzi in acciaio a medio tenore di carbonio, anche legati, e poi effettuando la tempra ed il rinvenimento. Acciai inossidabili Gli acciai inossidabili contengono,per definizione, una percentuale di cromo non inferiore al 10.5%. Gli acciai da deformazione plastica a caldo sono austenitici, ferritici, niartensitici o indurenti per precipitazione. Le proprietà nieccaniche di alcuni acciai inossidabili di questo tipo sono riportate in Appendice C-8. Gli acciai inossidabili da fonderia sono generalmente classificati conle acciai "refrattari" (resistenti al calore) o come acciai resistenti alla corrosione. Superleghe d i f e r r o Le superleghe a base di ferro sono usate soprattutto per applicazioni ad alta temperatura. Le proprietà di tipiche superleghe sono riportate in Appendice C-9. Alcuni esperti considerano come vere superleghe solo i materiali a struttura austenitica. Queste in generale sono usate per temperature superiori a 1000°F (538°C). mentre i materiali rnartensitici sono usati per temperature inferiori. Le proprieth principali delle superleghe sono la resistenza nieccanica ad alta temperatura e la resistenza allo scorrimento viscoso a caldo, all'ossidazione. alla corrosione ed all'usura. Tipicamente sono usate per costruire parti di turbine a gas (compresi i bulloni). turbogetti, scambiatori di calore e forni.

3 1 I LF,(;I4F. NON FERROSE

3.11

91

1,EGHE N O N FERUOSE Esistoiio ceritiiini;~di leghe leggere

II - Tono M - Mangancic 7 - Zinco

92

I MATERIALI

Scgliorio due nuiricri clic ra[ll>resentano le rispettive pcrccritu;ili. arrotoiidatc, di questi due elementi. Con urla lettera succe~sivnsi iiidiciiiio variaziorii iiiiriori della composizione o la presenza di inipurezze. Infirir urla sigla, ideiitica a quella usata per le leghe di alluminio (Appendice C-12). indica lo stato di trattaiiieiiio specificato. Ad csenipio la lega AZ3 I B-H24 contiene circa i l 3% di alluriiinio e lo I % di zinco ed è incrudita tramite una lavorazione plastica a freddo. Le proprietà nieccaniche di alcune coinurii leghe di riiagncsio sono i-iponate nell'Appendice C- 13. Leglie di Nickel e superleghe a base di Nickel Le leghe di nickel sono usate in varie applicazioni stnitturali che richiedono una particolare resistenza alla corrosione ed urla sufficierite rcsisienza e rigidezza sia a temperature molto alte, fino a 2000"F(I093"C) sia a teiiipcrature molto basse. fiiio a -40O0F(-240°C). 'I'ipiche proprietà fisiche sono ripoi~iateiri Appendice C-14. Le leghe di nicliel e le leghe Duranickel contengono oltre i l 94% di nickel. Una serie di leghe nickel-rame, basate sulla coriipleta solubiliti di questi due elementi in qualunque percentuale. viene denoniinata h4oiiel. Esse hon« resistenti e tenaci a temperature inferiori allo zero e resistono particolrirniente bene alla tensocorrosione (vedi Paragrafo 9.5). Una serie di superleghe a base di Ni-Mo e di Ni-Mo-Cr è denominata Hastelloy. Vari tipi di Hastelloy resistono bene all'ossid;izione e rnanteiigoiio sufficienti resistenza alla rottura ed allo scorririiento viscoso intorno a 2000"F(I093"C). Le leghe Inconel, Incoloy, Renc ed Udiriiet, elcricatc i r i Appendice C-1 5, sono leghe a base di Ni-Cr e di Ni-Cr-Fe.

1.12 L1 A'l'EItIE PLASTICHE M O ~ O ~ I B I O

Polimero

Ciilei,e

Polielilene

Stirsne

Polisiirene

91

Leghe di Titanio Le leghe di titanio sono amagnetiche e resistono iiiolro bene alla corrosioric, hanno una bassa conducibiliti termica e sono carattenzzate da uii eccezionale rapporto tra resistenza e peso. Peraltro sono inolto costose e di difficile lavoraziorie con le niacchine utensili. Le proprietà meccaniche di alcurie delle Icglie più coiiiuiii sono riportate in Appendice C-16. Leghe di Zinco Lo zinco è uri riietallo molto econoriiico con moderata resistenza. Ha uii b:~sso punto di fusione e perciò si presta ad essere pressofuso in modo sernplice e cori poca spesa. Tipicaniente le pressofusioni di zinco si usano per varie coinporienti degli autoveicoli, degli arredamenti domestici, delle macchine per ufficio e per i giocattoli. Vi è un uso limitato di questo materiale in alire fornie costruttive. Le proprietà meccaniche di comuni leghe di zinco per pressofusiorie suiio riportate in Appcridice C-17. E' inclusa anche una lega relativamenie nuova (la ZA-12) che si presta a vane tecniche di fonderia.

3.12

MATERIE PLASTICHE Le inforniazioni contenute in questa sezione si limitano ad un:i breve rassegna. mentre i l canipo è molto arnpio e complesso. Le materie plastiche costituiscono un grande e vario gruppo di materiali sintetici organici. Le costituenti elementari delle materie plastiche sono i rnonomeri. In condizioiii adatte che riguardano sia la

Figiira 3.9 Tipici niononicri e relativi gmppi polimcrici

pressione che la temperatura od entrambe, avviene la polimerizzaztone. che combina assieme i monomeri dando origine a polimeri. Tipici rnonorneri. con i corris[~oridciitigruppi poiimerici, sono illustrati nclla Fig.3.9. L'unione di un numero crescente di rnonomeri per forniare catene polirnenchr sempre più lunghe aumenta il peso molecolare e modifica profondamente le proprietà fisiche del materiale. Ad esempio la Fig.3.10 si riferisce al gas metano CfI,. Aggiungendo un gruppo CH, si ottiene i l gas etano (C,H,), più pesante. Continuand o ad aggiungere gruppi CH, si ottiene pentano (C,H,,), che è un liquido. e la paraffina (C!,H,,), che è una cera. Raggiunta all'incirca la composizione C,,H,,,, vi è una sufficiente tenacità, così che si ottiene Lin iitile materiale plastico chiamato polielilene (1 basso peso molecolare. Il polietilene più tenace. chiamato polielilerir~ a d rilio peso molecolare, contiene quasi riiezzo milione di gnippi CHI in singole

3. i 2 MATERIE PLASTICHE

/i

I

li-c-ti

H

H

I

l

H-C-C-H

I

H

Eiano

l .i

(gas!

H-C-H Tip~ca rlrulluia

di

una

calsne

iamillcala

1 H C - - H

Figura 3.10 Catene molwolari

1

H

catene molecolari. La struttura delle catene polimenche può comprendere ramificazioni, come è illustrato in Fig.3.10. I1 grado di ramificazione influisce sullacapacità delle catene di avvicinarsi tra loro, i l che a sua volta influisce sulle proprietà fisiche. Se la ramificazione è limitata le catene polimenche possono stare molto vicine (da ciò derivano forti forze attrattive intemolecolari); questa situazione determina una densità relativamente elevata. una struttura cristallina e rigida ma anche un ritiro pronunciato nella forma. S e la ramificazione è estesa si ottiene un materiale più flessibile a struttura amorfa ed un minore ritiro e distorsione nella fomia. Le proprietà fisiche dei pezzi di materiale plastico possono essere modificate tramite In copolimeriuazione, cioè la realizzazione di catene polirneriche a partire da due mononieri diversi, e tramite la formazione di leghe, miscelando meccanicamente o fondendo irisieine costituenti che non si legano chimicamente. Le materie plastiche vengono tradizionalmente suddivise in resine i~rmo-plnstiche. che perdono durezza a caldo. e lermoindurenti, che non perdono dure7.ra a

95

c;ildo. Ilriii siid(1ivisioiie prcferihile i: cl~iell;it r ; ~matcri;ili a stnittura [inerire o rci~c.o/(ir(i. 1-e c;itciie poliiiicricli~delle rri:itcric ;i struttura 1ine;ire rimangono lineari e clistiiite dopo I:i foriiiat~ir;~. IL catene ilelle plastichc a ztruttur;i reticolata sono iiii;ci;iliiiciitc 1iiie;iri riin si intrecciano i r r f ~ v ~ r s i l ~ i i n durante r r ~ ~ r f ~la~forinatura, crclindo iinn rete iiiolerol;ire intercoiiricss,~. L.:i rcticol:izioiic può essere favorita dalla temperatura, da agenti chimici. da [..'cc 1 i.i~ioni . . o d;i una coriibina~ionedi questi fattori. Alcune rriateric plastiche possono prczentarsi sia cori stnittura reticolata che lineare. I tipi con struttura reticolata sono piìi resistciiti a caldo , resistono all'attacco di sostanze chimiche ed allo scorrimento viscoso (con iiiigliore stabilità dimensionalei. D'iltrn parte le forme lincari sono irieiio fragili (piìi resistenti all'urto) e sono piìi facili a fabbricare anche in forme coriiplesse. Rinforzando le matene plastiche per mezzo di fibre di vetro se ne può aumentare In resistenz;~di due o più volte. Con un costo riotevolmente superiore si possono ottcnere iilteriori ;i~iinentidi resistenza usando fibre di carbonio. Questi materiali relativamente riuov~(con una percentiiale dal 10% al 40 5% di fibre di carbonio) 1>os\onoraggiungcrc una tensione di rottiicr a trazione fino a 40 ksi. Rispetto ailc rcsine rinforzate con fibre di vetro presentano un minor ritiro durante la fomiatiira, un riiinore coefficicnte di dilatazione, maggiore resistenza allo scorrimento ed all'usurn e ni;iggiore tenacità. Le nuove materie plastiche rinforzate sono usate senipre pii] spesso per realizzare parti di macchine c di struttura che devono essere leggere cd avere iin alt« rapporio resisteriza-peso. L e proprietà di alcune comuni matene plastiche sono riportate in Appendicc C 183. Un confronto tra le propnctà di slciine termoplastichz rinforzate con fibra di vctro oppiirc senza nnforzo è dato in Appendice C-18b. Vantaggi analoghi si ottengono rinforzando con fibra di vetro anche varie materie plastiche temioindurenti, Nell'utilizzarc le tra cui le più importanti sono le resine poliesten ed ~[~ossidictie. tabelle che forniscono dati circa materie plastiche. il lettore deve ricordare quanto gi:i visto alla Sezione 3.7. circa Ic liniitaiioni dei dati "da manuale". Queste limitazioni sono particolarmente marcate nel caso dei dati sulle niatene plastiche. I dati pubblicati si riferiscono a condizioni striridnrd di formatura, semplici, economiche e facilmente riproducibili. I valori di resistenza relative alle condizioni di formatura ~ / / C t t i ~possono v essere marcatamente diversi. Inoltre la temperatura e la velociti di ;ipplic;i~iciriedel carico hanno un'influenza sulla resistenza delle materie plastiche, chc è assai maggiore di quella osservata nel caso dei metalli, e ciò richiede una cura particolare nella scelta del materiale plastico più adatto. L'Appendice C-18c fornisce una lista di tipiche applicazioni delle matene plastiche più comuni. Qui si riportano alcuni commenti circa ciascuno di questi iiiateriali. Comrini matcric plastiche i41

AIIS (Acrilo-hutadienc-siirene) mollo tenace m o anche dura e ripida; discrcta resis~enzaall'attacco cliirnico. h a s o a~sorhimcniodi umidita e quiiidi huona srahilitA dimcnsionalc. elevata resistenj~ all'ahrasionc;si prcqta alla deposizione clettrogal~anicadi strati superficiali. RESINE ACETALICHF.: molto resistenti e rigide. con ecce/ionale stabiliti dimensionnle C rrsislcnza allo scorrirneniii viscoso ed alla fatica indotta d3 ~ihra~ioni: basso c w f f i c i e r ~ d~~ailnio. ~ ailc rcsistcriza all'ahr:i~ionced all'aiiacco chimico. rn:rnicrignno iiivariarc molle d i (1i:estc proprictd ;iiiche \ C iiriniercc i n :icqiia c.ildn

[86[out'l"i 61 '9'N 'ES'IOA 'o!'10 'pUillaAal3 '3dI/UOlUad ' 2 n S f I J ~ I ~ J J J f&] U~ ~ J 2 l U m 1861 ~ 8 ! . ~ 2 «2U!yJrJJA,' 'p 'LL61 'UOlWfl ' ~ 0 3 ~ pue 8 ~ 6 1 '1X ~ S o l o u y 2 ~S ~u ! ~ n r 2 n j n u tpun ~ ~ I D ! J J ~ U 'y.8 J.~ ' ~ n g a c 1 ~ .E 17 'LL6l"V!h'

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'oun,lle o oples e ezuais!sai e1 auJazsaJsJe ad oiesy!pow ossads :ouade,lle 08a!dui!,llau r;i!yqeis esless :oples e ezuais!saJ esiass :p!p!uin !p oiusw!q~osseosseq :aiua~-edse~i 'op!8!1 'auo!mlo~ela(!scj !p 'os!uiouosa aleuaiew : ~ N ~ X ~ ~ S I I O ~ 'aiuauiesiue~le8o~iia(a o i c s s ~ l dalassa pnd :oiei!w![ oisos :ola88al :es!uai Ci![!qeis euonq :(3,,

5'6-

) .J,S 1 !p wdos !p le oun,lle ezuals!saJ euonq :o3!ui!qs osseiie,l[e ezuaisisal !p a aqsuiiala r;iaudid

!iuallas3a :ozi«js 0110s o auolssau u! auo!mlnssaj elle ezuais!sal alcuo!'Taaq : 3 N 3 l I d O X d I l O d

. a ~ u a ~ n p u ! o u ie~ua!is a ~auiosaqsue ais!sa:eplen enhse u! po ouade,lle ii14s!diiii pt: oiirpeu~:i~Yelu!!18e ei!l!q!suss eiesnui :!uoj !p!se po !s~!q!p oces [au aqs onps ' o s y ~ ! q s o s ~ e i i c , 1 1E Z~I I ~ I S I S 3J 1;1!~euai 'aqs!~1131ayia!~do~d 'aleuo!suaui!~~ ~ ~ ! q ! q!lua1[asm ~is :mx~~;i110d

.auolreui o olau uolos !au 010s aJane qnd !F :aqs!uilai a aqs!liia[a ' s q s ~ u 3 m u siaudo~d i !p oie!sue[!q uaq awa!su! un uos oswouosa alc!laiew : - m - ~ r ] ( ) ~ x3d~ 1 s : g ~

( M W H ~a~e[o3alow ) osad oui!ssiile pe !d!i OuoiS!S~os!w!qs ossciie,11e 3113 c3!~1ialaC!Sxuais!sa~iiuallassa :oples e ezuais!sal esless a aleuo!suaw!p ei![!qeis rssrq oiiiirq :osod ourisos a aunpold cp ~ [ i ~ouos e j 105g!3ad~osad osseq ouwq aiini :ap!8!~ n!d a slnp n!d '!iuaiysal n!d O U O F ( a H ) ~ I I S U S Pelle pa ( a w ) elpaui e allanb :il!q!ssaU a !seuai oiios ( a i ) ciisiisp esseq e allanb :yi!suap rile pa erpaiu 'essrq e :!d!i !p riauen e!duie : 3 ~ 3 l 1 ~ 1 1 ~ d

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'olenala olsos :!leuo!zuanuos !poi3111110sallnpold ep ![!sgj~p:aqs!llia[a !la!Jdo~d iiuallassa :auo!zeiel!p !p aiua!sgjaos osseq 'eJnsnIlr i?zuais!sal ciionq a oun,lle ezuais!saJ ellv ,oiuawe!qssanu!,lle pa (ezuaii!uilaiu! pe 3.Zgp 'L],(j(j(i '~i"3lll~~liPnU!i!iU"" 3,,(j9~ a o p ' L ] ~ ~a ~S o)l e le s ezuais!sal aleuo!zasq : ~ ~ I I . V I . V I I O ~

os!i=ldouual aleuaiew auim aq3w ais!sa !al!q!ssaU aqs o p g u e!s osucdsaapuairui u! !luauoduio3 a s s o ~ 8!p auo!znnsos e1 )ad oiiepe aiuaui~e[os!ued:oun,lle pa auo!suqe,lle ezuais!sal a ei!3nuai !Ieuo!zasm :auo!mlnuiJoj !P cdn lap epuosas e ' 0 p ! 8 ~aqs al!q!ssau e!s alassa pnd ' O N V L 3 H n l r I O d

.auo!zesuqqej e[ aluelnp alnieladwal aienala apa!qsu :030nj [e 3IU31s!sa~~ I U ~ ~ ~ ~ ~ S :~lnlEladLUal U I J I U ! !p d u e 3 o!duie un u! !s!ui!qs !lua!qLUe ![%ap aurd ~o!SYeuiellau auau! !elnie~aduiaiesseq e ezuais!saJ aiuallassa :os!w!q3 omeiie,(lepa (aiuaw -raiicni1iiuo33, ZEZ ? o ! q 0 o 5 p ) S J O ~ C J1mruai?!saJ aleuo!zasq : ~ N ~ T ] N ~ J I ]a I O0~ ~ ~

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:OZJOJS OIIOS

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--

C~uri?iorircoi1 bullone iii L.UI soriri superfici soggctic a iaglio seniplice.

da sostituire), le spine trasversali utilizzate per mantenere in posizione fissa orgarii tubolari telescopici, e molti altri. I l ~ s g l i oseinplice non produce uno stato di sollecitazione di taglio puro (coiiic fà un carico torsionale), e l'effettiva distribuzione delle tensioni è complessa. Essa è infkenzata dal contatto fra gli. organi _--dell'accoppi+_r.ne,nLoe-da!laloro_n~$,ezza .\ r.eLiiti~.L a n a tensione di &L sitilure~f!A . . ha&&KEq. (4.2). Nel progetto di macchine o di organi strutturali, tuttavia. I'Eq. (4.2) è c6nunenientc utilizzata in combinazione con valori opportuirarrierite conservativi della tensione tangenziale di esercizio. Inoltre, per produrre la rottura cogpletii a taglio di un o ~ m ino materiale duttiJe, il cancodeve superare conteniporLrl_e~~!!_.~esistenza~tagI~~,~uU ogni e l e l sgijonc so[lgcitata a taglio. N C e s p d i rottura t ~ ~ a ~ Y - Y 1 4 . 2 quindi p u ò essere coiisidera----. __ __ ta valida, ponendo zuguale alla tensione tangenziale di rottura, S,,.

A questo punto si potrebbe disperare di potere tricii usare PIA coirie valore accettabile della tensione massima da confrontare con le caratteristiche di resistcnza del materiale. Fortunatamente non è così. Lo studente, mentre i l suo studio procede e la sua esperienza aumenta, dovrebbe poter acquisire una maggiore capacità di esprimere valutazioni ingegneristiche sui fattori di cui sopra.

4.3

\

TAGLIO SEMPLICE I1 taglio semplice implica I'applicuione di forze uguali ed opposte così prossinie ad essere collineari da far sì che il materiale tra di esse sia soggetto a taglio con flessione trascurabile. La Figura 4.3 rappresenta un bullone utilizzato per iriipedire lo scommento relativo di due piastre soggette a due forze opposte P. Trascurando l'attrito fra le oiastre. la sezione del bullone di area A (contrassegnata con ( -Ì)& soggetta - direttainente ad una -

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4.4

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-' ,

(4.21, ,,A , ,

Se il dado in Fig. 4.3 viene serrato così da produrre una trazione iniziale nel bullone pari a P, le tensioni tangenziali alla radice della filettatura del bullone (superficie ed alla radice della fiiettatura del dado (superficie @ ), hanno valori medi in accordo con I'Eq. 4.2. Le superfici alla radice delle filettature sono superfici cilindriche di altezza pari allo spessore del dado'. Se la tensione tangenziale r! eccessiva, viene tnnciata o "strappata" la filettatura del bullone o del dado, a seconda di quale delle due è più debole. Esenipi simili di taglio semplice si hanno nei rivetti, nei perni. nelle chiavette, nei profili scanalati, e così via. Una sollecitazione diretta di taglio è inoltre comunemente utilizzata per tagliare, come nelle comuni cesoie o forbici per uso domestico, nelle taglierine e nelle tranciatrici industriali per lamiere. La Figura 4.4 mostra i l perno di una cerniera soggetta a taglio su due sezioni, dove cioè il carico P è trasmesso a taglio atwaverso due sezioni che lavorano in parallelo; l'area A da utilizzare nell'Eq. (4.2);èquindi pari a due volrr l'area della sezione trasversale del perno. Esempi di perni soggetti a taglio su due sezioni sono comuni: le copiglie utilizzate per impedire la rotazione di un dado (ad esempio nei dadi che bloccano i cuscinetti nelle ruote delle automobili). le spine di sicurezza utilizzate nella trasmissione di eliche marine (il perno si rompe a taglio quando l'elica colpisce un grosso ostacolo, proteggendo così organi più costosi e difficili

a).

' ~ i b & sirettaniente vero solo per filciiature con un prolilo a "V" acuto. Le arce d i iaglio per Ic fileitaiure siandardizzate sono un pò minon. Si veda il Paragrafo 104.5.

.

__

__.

.

..'-' - :,,

l

TORSIONE La Figura 4.5 illusira l'applicazione di un carico torsionale ad una barra di sezione circolare. Si noti che il verso della coppia torcente applicata (T) comporta che la faccia di sinistra dell'eleinento E sia soggetta ad una tensione tangenziale rivolta rvrsu il basso e quella di destra ad una tensione diretta rlerso l'alro. Insierne, queste tensioni esercitano sull'elernento una coppia in senso anriurario che deve essere bilanciata da una corrispondente coppia in senso orario, generata dalle teiisiorii tangenziali che agiscono sulla faccia superiore e su quella inferiore. Lo stato di temione presente sull'elerriento E è di [agliopuro. La convenzioiie sul segno del carico assiale (positivo per la trazione, negativo per la compressiorie) distingue due tipi di carico fondarnentalrriente diversi fra loro: la corripressione può causare fenomeni di instabilità mentre la trazione non può, una catena o un cavo possono resistere a trazione ma non a compressione, i l calceslmzzo è più resistente a conipressione che a trazione, e così via. La conveiizione sul segno per una sol:ecitazione di [aglio non adempie una siinile funzione i l taglio positivo e quello negativo sono essenzialmente la stessa cosa - e la corivenzione sul segno del tutto arbitraria. Qualunque convenzione sul segno del t:iglio è soddisfacente purchè sia utilizzata dall'inizio alla fine di uii qualsiai problenia. In questo testo è adottata la corivenzione del senso orario - pci.ririvo; cioè, le tensioni tangenziali che agiscono sulla faccia superiore e su quella inferiore dell'eleniento E (in Fig. 4.5) tendono a far Notare l'elemento in senso orcirio c sono quindi considerate positive. Le facce verticali sono soggette a taglio in sensc ar~iiorrrrio,cioè negarivo. Per una barra di sezione circolare in torsione, le tensioni variano lineaniieritc, da. zero sull'asse ad un massimo sulla superficie esterna. I testi di scienza delle ~

~

106

l

TENSIONI INTERNE

45

FT2ESSIONE PPLJRA. TRAVI RETTILINEE 107

lbl

Vista ingrandiia dell'elemento E

Taglia p r i t r v o -A

Vkta isnmtrica

'u' (CI Vista hontale deil'elemnto E

Figura 4.5

I

J

'

?-

Tagla positivo (d J Convenzione siil segm del taglio

x~

~~

1.2

tenstone tacqenz,ale lungo questa linea

e massima

Vista ingrandita dellelemento 2

Sollecitazione di iorsione in una batia circolare. Figura 4.6 Gnrnnia per cancellare opportunamente iracciaia per illustrare le defomazioni ( e quindi le teiisioni) torsioiiali i n una hatia di sc7ionc rciiangolarc.

costmzioni contengono dimostrazioni formali che la tensione tangenziale in corrispondenza di un qualsiasi raggio r & data da

sugli spigoli (elemento 2) poich? sono i più lontani dall'asse neutro. Analogamente, la minima tensione tangenziale dovrebbe essere sull'elemento 1 che è i l più vicino all'asse. L'osservazione della gomma in torsione mostra esattamente l'opposto - l'elemento 2 (se potesse essere disegnato abbastanza piccolo) non si una distorsione maggiore di qualsiasi deforma affatto, cesbnialtro elemento sull'intera superficie! Una rilettura della derivazione formale dell'Eq. (4.3) ci ricorda che il presup~ ~d~e ~f oir vtz oi o posto principale è che le ~ q i o n i p i a n e c i ~ g n ~ . p [ gaila -.--. t i c . Se si rappresenta una sezione piana tracciando la linea "A" sulla gomma, questa -C si distorce in modo evidente in seguito alla torsione; per una sezione;ettangoiGèla condisione richiamata sopra non e perciò soddisfatta. Imponendo l'equilibrio dell'elemento di spigolo 2 risulta chiaro che tale elemento deve avere tensioni le= I ' -. trasmettere tensioni tangenziali; (2) essendo vero cib. la condizione di equilibrio impedisce che su una qualsiasi delle altre quattro superfici dell'elernento possano esservi tensioni tangenziali. Le tensioni tangenziali sono pertanto nulle lungo tutti gli spigoli della gomma. Le equazioni per i l calcolo della tensione di torsione per sezioni non circolari sono riportate in testi quali [8]. Pq.e%mpio. J.&mz+ma tensione tangenziale in iina sezione re!!angolare, come- quella rapgrese.nLaJai.n .EiggI&-e - ---..-. . .- - - ~ - -- __ r-, = T(3a + 1 ,8b)la'b2 (4.5)

Di particolare interesse è, naturalmente, la tensione sulla superficie, dove r è uguale al raggio della barra e J è il momento d'inerzia polare della sezione, che è uguale a &l32 per una barra piena di sezione circolare (v. Appendice B-l). La semplice sostituzione di questa espressione nell'Eq. (4.3) fornisce l'equazione per i l calcolo della tensione di torsione sulla superficie di una barra circolare piena di diametro d :

& '

L'equazione corrispondente per il calcolo della tensione di torsione in iina barra circolare cava (ad esempio un tubo circolare) si attiene sostituendo l'espressione appropriata del momento d'inerzia polare (v. Appendice B-l). Le pitì importanti ipotesi associate all'Equazione (4.3) sono:

l.

2.

La bana deve essere rettilinea e di sezione circolare (piena o cava), e i l momento torcente deve essere applicato intorno all'asse longitudinale. Il materiale deve essere omogeneo e le tensioni non devono superare i l limite

-

-

W. 3.

La ~ & d ~ _ d e y c - e s ~ ~ ~ s u f f l ie u~t aen amh punti ~ - di appl&azione del carico e dalle z o a d i . d e l l e t e a l l a n j (ad es. fori, intagli, cave per linguette, solchi di superficie, ecc.)

Per barre di sezione non circolare, l'analisi precedente fornisce risultati corripletamente errati. Per barre di sezione rettangolare ciò può essere dimostrato tracciando su una normale gomma per cancellare i piccoli elementi quadrati 1.2 e 3 come mostrato in Fig. 4.6. Quando la gomma viene deformata a torsione intorno al suo asse longitudinale, I'Eq (4.3) implica che la massinia tensione tangenziale sia

4.5

FLESSIONE PURA, TRAVI RETTILINEE Le Figure 4.7 e 4.8 mostrano travi sollecitate snltanrn a flessione. da cui i l termine "flessione pura". Dagli studi di scienza delle costnirioni, le tensioni risiiltanti sono dntc dall'eqiiaz.ione

110

4 (i

TENSIONI INTERNE

Superficie barrentrica Superficie neutra

La qii;iniit:i oticncndo

I m

\,:/(r."

+

I,Lk:SSIONI: PURA. TRAVI CURVE

v ) ncll'Eq. (d) pii6 essere sostitiiita tla y

-

11 1

r,y/(r- + v)

Asre bdr~entrico

Asse

"e"lro

Figura 4.10

I1 secondo integrale nell'Eq. (e) è iigiiale a zero a causa dcll'Eq. (C).11 primo integrale è uguale a eA. (Si noti che questo integralc sarebbe uguale a zero se y fosse misurato dall'assc baricentrico. Poichè y viene misurato da un asse a distan7a e dal baricentro, l'integrale ha un valore pari ad eA.) Sostituendo l'espressione precedente nell'Eq. (e) si ottienc

Sostitiiendo I'F4.

Trave curva in flessione.

trave rettilinea .sona importanti nelle travi a e a t u r a , quali quelle chc si incontrano ~o-m!~ne~eate.jei morsetti a C, nei telai delle presse verticali o dei trapani a còlonna, nei ganci, nelle forcelle e nelle maglie delle catene. Per comprendere pih chiaramente lo schema di comportamento illustrato in Figura 4.9c, ricaviamo le equazioni fondamentali delle tensioni in una trave curva. Facendo riferimento alla Fig. 4.10. si rappresenti con abcd un elemento limitato dal piano di simmetria a b (che non cambia giacitura quando viene applicato 11momento M) e dal piano cd I1 momento h1 fa ruotare i l piano ( d di un angolo d 4 fino ad assumere la nuova posizione c'd' (Si noti che cib iniplica che Ic sczioni inizialmente piane nmangano piane dopo l'applicazione del carico ) La rota7ione di questopiano - ---ha luogo, - ovviamente, intorno all'asse neutro di flcssione, spostato di iGognita rispettoill'assè baricentfico una La deformazione di una fibra a distanza y dall'asse neutro 6

Per un materiale elastico, la tensione corrispondente 6

(0nell'Eq. (b) si ha

Sostituendo y = -C, e y = co per trovare i valori massimi della tensione in corrispondenza della superficie interna ed esterna, abbiamo

I scgni di queste eqiiazioni sono congnienti con le tensioni di compressione e di trazione che agiscono sulla superficie intcrna cd esterna della trave in Fig. 4.10, dove i l verso del momento h1 6 stato scelto neil'interesse di una maggiore chiarezza dcll'analisi. Più comunemente, un momento flettente positivo è definito come quello che tendc a raddrizzare iina travc ini~ialrnentecurva. Con questa convenzione: D

Si noti che questa equazione fornisce un andamento ipcrbolico della tensione, come illustrato in Fig. 4 . 9 ~ . L'equilibrio di un tratto di trave, da una parte o dall'altra dcl piano cd, (Fig. 4.10) richiede

,,I v d A

=O

*. - -

4

.-.

Prima di usare I'Eq. (4.9), 6 necessario ricavare una espressione per i l calcolo della distanza e . Iiiiponendo innanzitutto I'eqiiilibrio dclle forze. F.q (C),e soatitiicndo (rn + y) con p. abbiamo:

hla v = P - rn. per cili.

-!unisa !qsue3 I !ie3!lddc ouos !n3 iis auoz i! o auo!suai !p !uo!zci~iiasuos a~!ie31j~uQ!s e au!Quo ouuep 211s auoz ri a u p A oddoii oiios uou ~ u o ~ s u al a i owlo3le3 !s !pnb al iad !uo!zai a? .p 0311selaa~!ui!lle !J«iiaJu! ouos ~ u o ~ s uala ]alln) a oaua8oiuo ;,?\E!J?icui~~'E .e~ilaiuui!s!p o u e ~ dun u! a~cs!ie:, ouos I A B J I a? 'Z

Q I I ~ U I J J O elli! I~

.enuil!iia~a~e[o%ueiia~ exeq eun pa ( z = ?/i) auoi7.7~cllsp I( ~ l m 1h ecJnieAJn3 !p O!BBFJuon 'eAJnJ a~elo5ueiia~ eueq eun z1.p e~nX!.(

--.-

.

.

aiqg allns !uo!sua;'al ' 3 !p aio!55eui a]loA 01 ouauilc a I as,, :esu!duia e l o % a ~ auniuos eun eJ]sn[l! o3!jtii8 11 .a,t!ie]uasa~dde~ !uo!zas aunqe pa aJnieAJn3 asJa,t!p uo3 !Avi) ad ,y !p u o p ! o 3 g e ~ Q !p e w o j oiios !ieuod!i ouos I 1.p e ~ n 3 UI! ~

:oiuc!qqe 'auialsa pa awalu! aJqg a[ a]uaiue,\!]iads!i aJes!pu! ]ad o a 1 !31pad ! opuesn '!so3 .X 'einie~Jns!p aiollej un ]ad eau!l!iiai aheii ,J/"W,, 3JOICA [FP 01103S~J3JJ!P( 6 . ~ '@,[ll?p 1 !)!lUOJ aUO!SUa] Ip UOICA I

C[[3?

il?s!,Uap! auolzas !p eau~l!])a~ ~ A ~ eun J I i11 alianb cp auiailsa aiq!j allns !leuo!ssaU !iio!siiai al oiio>suajj!p oluenb . Z I ' P'81.~i11 o]e~isouiauios 'y 'auolzas ellap ez -zail~:,llvalrciYn ' J 'ale!z!ii! e i n ~ e ~ ciin ~ n eq s aieloQiici)aiaiiolznc c s ~ e iru[l i

-

. ._ .---

_

-

.o!duiasa a1uan5au lep o)e~)sn[l! p !uo!zenba aisanb !posn'? . I I ~ ~ ; > I L I ~ . oinual~o I I J ~ J ~ aJassa ~ n (01.pj d 'bg,11au aiedi~103 ai13 alei8aiii!'llap J J O I I ? . ~ I l 'oI~I!ssa3auaS .auo!zas !so!slrinb aJozzlleuc al!q!ss«d ? ( 0 1 ' ~ a) ( 6 ' ~ !uo!zenh~[ ) OPlll?7Zll!)~'~]U~LU~I!J~]L?N '[si il! lUO!Zas 2SJaAIp Jsd !)elnqI!i OiioS 2 p3 ' ' 2 ![l !Jo(r,i1 . , , 0 1 ~ 3iad 3 O [ lap n!d !p l/.)jvaiolrn I! o111os!p oix?aons "o" .xuaiU!

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-!lduias ;,!~cu!pnl!Suol0!l%?]!p !uo!susi aisanb !p Ezuasa~dalcaJ r?,l .~1uaui31a~11ap alouaju! pa a ~ o u a d n s!xyadns allns o!JeJo!luc osuas u! ouo3si5r? a i p ! I ~ ! Z U ~ ~ U E I ~ u o ~ s uallep a ] o ~ ~ p a d u;,i !013 .o!JeJo osuas u! ~ J E I O NE aqqalapuai oisanb '!Jol]aA anp !lsanb oiueilos o~ass!5eo~uauiala,llns3s OSSI?^ I! O S J ~ AL>)IJJ!P;,e ~ i s a pCIIS E I ~ E a u o j allap aiuei[ns!J e[ a 'oIle.1 osJaA EllaJ!p ;, oluauiala'llap E J I S I U ! ~elle e u a l s a e u o j ~ 3 1 u n ' aqs l OIIFJ ~ e a]!l!qs]s p !uo!zaJ!p u! 11ua5e(oieu!uua]ap alassa E J O ~ U ~ a ~ a ap J o p !n3 l!) 11e!zua5ue1!uo!sua) E a11a5aosouos oiuauiala,llap EJIS!U!S cllarib a uisap s!33g e? ,auo!z!sod eisanb u! o ~ e ~ p r i nOiUaUJJlJ b 01033!d un O I C I U ~ S ~ J ~ ~ C J ;, c ~ n %ellap g e~ls!u!s e oile u! a w d vIlaN ' O J I ~ ~asse'llap U e ~ d o s!p IE X Ezuais!p cun pe a 'e~ls!u!s !p 0155odde.llep 1-ezu~]s!pe oue!d un U! ZI~ESJaASEJI~ ~ E ! Z U J ~ U E I auo~sua]ellap auo!znquis!p e1 a ~ c u ~ u ~ i ao u~ iaep! l a o ~.euazzaui u! o]r?~iua3uos 031.~3 un suoddos a ?)!uia~]saalle r:ic!%Sodde;,aheJ] e? , 0 3 1 ~!p~ ouyd 3 [ F o]]ads!~ e3UlJuiui!S ' E U ~ J I I ~ alesJaAsui R auo!zas !p aAeJ1 eun eJ1soui p1.p C J I I ~ !e?~ %q1p . . 3 ellnr oiuasse'l c r p m r k ' a ' l ~ s -J~'ASEJI a ellap auo!znq!J,s! . . il !H eiEnala Wiaiuiuilonaiap!suo3 ;,w!rrmu auobu-sloui ;3!lu3 a1esJaaseJi auo!zas ellap eaJe.1 ad os!~!pq1 0 8 ~ '1 ; , 0 ! 3 m s z1.z 'S!d u! oJaq1e.I sui03 !AEJI u! 01pau a1esJaAscJi ale!zuaSuc~auo!sua~ n1 auaqqag.

v

.

1 16

TENSIONI INTERNE

SFORZO 111 TAGLIO NELLE TRAVI

4.7

ce da visualizzare: se si applicano ad un libro o ad uii blocco di c;iri:i le forze rappresentate in Fig. 4.14, le pagine scorrono una sull'alira; se delle carte do gioco plastificate in un mazzo non usato da molto tempo si sono attaccate irisienie, piegando il mazzo con un carico a flessione su tre punti di questo tipo le carte si staccano una dall'altra. Ritornando al piccolo eleriiento in figura, si può detei-iriiiiare i l valore di tutte e quattro le tensioni tangenziali valutando una qualsiasi di esse. Procediamo ora a valutare la tensione tangenziale sulla superficie inferiorr dell'elemento. Immaginate di eseguire con una sega due tagli trasversali, ad urla distanza tlx uno dall'altro, a partire dalla supertice superiore della trave e continuarido verso il basso fino ad includere i lati dell'elemento quadrato. Viene così isolato 1111 segineiito della trave, la cui superficie inferiore è la superficie inferiore del:'elemento su cui agisce la tensione tangenziale T. Notate che il segrnento di trave interessa l'intera larghezza della trave. La superficie inferiore, su cui agisce la tensione tangenziale incognita, ha un'area rettangolare di dimensioni clx e b. La dimensione b sarà, ovviamente, diversa per valori diversi di y, (cioè, per diverse profondità del "taglio"). La vista ingrandita in Fig. 4.14 mostra le forze che agiscono sul segiricrito di trave. U n pun-ch..hhe le tensioni dovute alla flessioiie sono leggernienre maggiori sul lato & s r v dove-il mo.mentofletteiitee niaggiore di quello che agisce sul lato sinistro di una quantità dM. Latgncione tengenziale incognita sulla superficie inferiore deve essere sufficienremcnte grande da compensare questa disuguaglianza. Poichè la sornina delle forze orizzontali deve essere nulla:

1 17

icrisioiie iarigeriziale tagliiirido appena un po' più in prororidità (cioè dirriinueiido Icggerriieiitc y,,) palchi. l'area sulla.quale agisce la tensione tangenziale di compeiisalioiie dirriiiiuisce rapidarnente (cioè O decresce rapidamente mentre viene ridotto . . y,,). Si noti ancora che la tensione tangenziale massima si ha in corrisporde-n~a del~lG~--q~esta è UIGs i i u x z i m f e r n a m e n t e f a v m.~e v ~ l k ! ~ ~ L a ~ ~ > ~ s i r i i a teiisione t q e n z i d e è presente esatt-a-mente là dove può essere meglio tollerata s u l l ~ ~ s neutro se dovs le m i o n e flessionale è nulla. I,? corrispondenza delle fibi-e critiche di estremità dove l ~ g n > i o . n ~ f l e s s i p nèamassima, l~ la tensione tangen-ziale è illi!!?. (Un'analisi della Eq. 4.12 indica che per s'eiioiii di forma rnolto p~trticolarr i i i cui la larghezza 6,in corrispondenza dell'asse neutro, è notevolmente maggiorc della larghezza in prossirnirà dell'asse neutro, la massima tensione tangenziale non sarà s~ill'asseneutro. Tuttavia, ciò è raramente significativo.) Spesso visualizzare i concetti su un modello fisico aiuta a fissarli più chiar:iiiieiiic in rriente. La Figura 4.1 5 mostra una comune gomma per cancellare su cui è staia tracciata una fila di elementi che evidenzia gli scorrimenti inutui (e quindi le tensioni tangenziali) che si hanno quando la gomma viene caricata come una trave (coine rriostrato in Fig. 4.15b). Se la gomma viene caricata con attenzione, si pii6 vedere ctic gli elementi in alto e in basso subiscono una distorsione trascurabile (cioè, gli angoli inizialmente retti rimangono retti) mentre la distorsione maggiore Ii:i luogo negli elementi centrali. Applicando I'Eq. 4.12 a sezioni piene circolari e rettangolari, trovianio la dibiiibuzione parabolica delle tensioni tangenziali mostrata in Fig. 4.16, con I valori inassirrii in comspondenza dell'asse neutro pari a ~

-

-

Ma dM = V dr;per cui per sezioni circolari piene. ed a Risolvendo nell'incognita

. /----

3 \\ L , , = ~ V / A

T

: .

Facciamo ora alcune importanti osservazioni che riguardano questa equazione. Innanzitutto, la tensione tangenziale è nulla sulla superficie superiore (ed inferiore) della trave. Ciò 6 vero perchè in questo caso i tagli non hanno profondità e non c'è quindi alcuna disuguaglianza delle tensioni di flessione agenti sulle due facce che deve essere compensata dalla tensione tangenziale sul fondo. (Guardando la cosa da un altro punto di vista, se il piccolo elemento in alto a destra nella Figura 4.14 viene spostato nella posizione più elevata, allora la superficie superiore dell'elemento diviene parte della superticie libera della trave. Non vi è nulla in coniatto con questa superficie che possa trasmettere una tensione tangenziale. Se non c'è tensione tangenziale nella parte superiore dell'elemento, allora I;i condizione di equilibrio impedisce che vi sia tensione tangenziale su alcuna delle altre tre facce.) Mentre i una profondità crescente: superfici sempre n i m i o r i vengonoesposte alla disuguaglianza delle tensioni flessionali;la teiisione tangerrziale di compensazione deve quindi crescere corrispondentemente. Si noti che per la profonditi di taglio mostrata in Fig. 4.14, si avrebbe un notevole auiiiento della -

-

-

~

~

--

~

-

-

.,,

(4.14)

-______-.-

.

per s%ezi~ni .-ert Per una sezione circolare cava, la distribuzione della terisiorie dipende dal rapporto fra i l diametro interno e quello esterno, ma per un t~ibo a pareti sottili una buona approssimazione della tensione tangenziale massinia . .

(,,l

118,

Tracciata e non caricala

C a r r a r a come una irave

Disrribuzionc delle delorniazioni (C quindi delle tensioni) dovute al iaglio Figura 4.15 vi\iinli~zaiesu uiia goiniiia per cancellare

1 1X

TENSIONI INTERNE

4.7

SFORZO I l 1 TAGLIO NELLE TRAVI

110

Determinare la distrihuzionc delle tensioni tangenziali per la trave e le condizioni di carico mostrate i11 Fig. 4.18. Si confronti tale distribuzione con In massima tensione flessionale. 180000N

Dislribuzione delle Figura 4.16 e rettangolari piene.

Figura 4.17

tensioni iangenziali

Irasversali in

sezioni circolari

Effeiio della lunghezza della irave sulle solleciiazioni di ilersioiie e di ta~lio

è data da .rmli= 2 V I A

(4.15)

In unasezione ad I d i t i p o o n v e n _ z i o n a l e , ~ ~ l a , + ~ . ~ & ~ ~ ~ ~ n ~ ~ ~ ~ p i c c o l a n e l l ' a n h a che nelle ali da far si che le tciisioni tangenzialisiana.maltoqiu.elé~ate nell',m.imaLDi fatto, le tensioni t a n g e n z i ~ a n i ~ p m w m a .te dividendo la f ~ ~ ~ = ~ ~ ~ 2 1 . ~ a r e a d e a b i a n ~ m a . we~t:i s . d ~si~ ~ ~ ~ o ~ ~ . ~ estendesseper-tutta L'altezza della tmve. . Nell'analisi precedente si k tacitamente supposto che la tensione tangenziale sia uniforme sulla larghezza, b, della trave a qualsiaii distanza, y,,, dall'asse neutro (V.Fig. 4.14). Anche se questa ipotesi non è totalmente corretta, raramente coniporta errori significativi da un punto di vista ingegneristico. La variazione della tensione di taglio lungo la larghezza della trave trattata in [8] e in [I I ] . Un altro argoqeato-pet il quale si rinvia a lesti pih avanzati sono le travi caricate su.un piano che non sia~-di -simmetria. . _ .. E' - a e - ~ e M ~ k t c a y = i ~ ~ 1 . & t g - ~ ~ f l z tensioni Laaenzi ali possono e s s e r e - n ~ ~ ~ a4 guelle t o d o v M s l l principio che sottende questa generalizzazione è illustrato in Fig. 4.1 7, dove sono mostrati gli stessi carichi applicati ad una trave lunga e ad una corta. Entrambe le travi hanno lo stesso sforzo di taglio e la stessa inclinazione del diagramma dei mornenti. Quando la lunghezza della trave tende a zero, il momento flettente (e le tensioni corrispondenti) tende a zero, mentre lo sforzo di taglio e le relative tensioni tangenziali rimangono invariate.

_ ~_

1:sernpio 4.2. Disirihurione della iensionc iangenziale nella irave. Nota: tuiie le F i w r a 4.18 dimensioni sono li?millirnein; le caraiien~iichedella sezione sono A = 2400 rnm2; I, = 1840 X l l? rnrn'. Soluzione Dati: Una trave rettangolare di sezione data 2 sollecitata da una forza nota. Determinare: Jlcterininare la distribuziorie delle tensioni tangenziali e la massima tensione flessionale. Schema e Dati:

V. Figg. 4.19 e 4.20

Ipotesi:

1. La irave 6 inizialmente rettilinea. 2. La trnve 6 caricata in un piano di simmetria. 3. La tensione tangenziale 6 uniforme sulla larghezza della trave a qualsiasi distanza dall'asse neutro. Analisi: 1. Facendo riferimento alla Fig. 4.14 e all'F4. 4.12, sappiamo fin dall'inizio che T = O sulle superfici superiore ed inferiore Ciò fornisce i punti iniziali per il grafico delln distribuzione delln tensione tangenziale in Fig. 4.20. Mentre gli immaginari "tagli" trasversali (descritti in relazione alla Fig. 4.14) procedono dall'alto verso i l basso aiinientando di profondita, aumen-

120

TENSIONI 1N.IIiRNk

18

TENSIONI 1Nl)OT-T'k - CERCHIO LI1 MOI-Il<

121

3. Mcritre la ~~rofondità del "tiiglio" aumenta firio a raggiungere l'asse iieutro, la superficie sulla quale agisce la tensione tangenziale rimane la stessa, rrientrc lo sbilanciamento diviene sempre maggiore poichè aree aggiuntive (1A verigorio esposte. Tuttavia, corne mostrato in Fig. 4.19c, queste nuove aree dA sono soltanto 113 di quelle della parte superiore della sezione. Lii tensione tangenziale sull'asse neutro non è quindi così grande come ci si potrebbe aspettare a prima vista. Quando si utilizza l ' m . 4.12 per trovare s sull'asse neutro, si noti che è necessario effettuare due integrali, Lino che copre I'iiitervallo di y da O a 30 mm e l'altro da 30 a 40 mm (quest'ultiiiio integrale, naturalmente è già stato valutato).

(

Figura 4.19

Soluzione p ~ r t i a l c- r a tre livclii - del prohlerlia dcll'Esciiipio 4.2

l

= 32,61 N / rnm2. oppure

32,61 MPa

Questi calcoli permettorio di tracciare in Fig. 4.20.

il

grafico della tensione tangenziale

I

4. Per uii confronto, la tensione di flessione è niassima in corrispondenza delle superfici superiore ed inferiore della trave, a metà della sua lunghezza dove il momento flettente è più elevato. Qui, la tensione flessionale può essere calcolata come I i

O

Figura 4.20

7 G I MPa

Grafico dclla distrihurione della tcnsionc tangenriale - Esernpio 4.2

86.96 MPa I I Commento: Ricordando che la tensione tangenziale deve essere nulla sulla =

tano le superfici esposte alle tensioni flessionali leggerrriente sbilanciate, causando di consegueriza un aumento con legge parabolica della tensione tangenziale di compensazione sul fondo del segmento di trave ininiaginario. Ciò continua fino a che i l "taglio" raggiunge urla profondità di 10 mm. La Figura 4 . 1 9 ~niostra il segmento immaginario appena prinia che il taglio anivi alla superficie interna della sezione. A questo livello la tensione tangenziale (che agisce sulla superficie inferiore 6 O . h ) può essere calcolato come

superficie libera all'interno della sezione, è evidente che la distribuzione della tensione tangenziale assunta uniforme in Fig. 4.19 non è corretta, e che le tensioni tangenziali nelle porzioni esterne della sezione a questo livello saranno più elevate del valore di 7,61 MPa che è stato calcolato. Ciò è di scarsa iniportanza perchè, per quanto riguarda la tensione tangenziale, l'attenzione sarà concentrata sul livello immediatamente inferiore, dove il valore di 7 è tre volte più elevato, o sull'asse neutro dove raggiunge il massimo.

v (40000) >-#I /bl,,,.ydA = (i,-840 x 1 0 6 ) ( 6 ~ 1 - ~ 1 y ( 6 0 d y )

7 = --

-

>.C

40000 (W>[$] (i,840x10°)(60)

4.8

>=UI

= 7.61 N/iiini'. oppure 7.6 1 MPa

TENSIONI INDOTTE, RAPPRESENTAZIONE MEDIANTE IL CERCHIO DI MOHR

"=MI

2. Con un taglio di profondità appena più grande, la superficie interna viene raggiunta e l'area sulla quale agisce la tensione tangenziale si riduce di colpo a 2 0 . d ~come . mostrato in Fig. 4.196. Le forze di flessione sbilariciate che agiscono sulle superfici laterali del segmento di trave rimangono virtualmente invariate. Così, l'unico termine che cambia n e i l ' m . 4.12 è h, che è ridotto di un fattore 3, producendo di conseguenza una tensione tangenziale tre volte più alta. ovvero 22,83 MPa.

Sol!ecitazioni di trazione o compressione semplice producono tensioni tangeriziali su determinati piani; analogamente, una sollecitazione ditaglio puro produce trazione e compressione. In alcuni casi le tensioni indotte possono essere pii1 dannose per il materiaie delle tensioni dirette. In Figura 4 . 2 1 è~ rappresentata una normale gomma per cancellare su cui sono tracciati due grandi elementi quadrati, uno orientato nella direzione dei lati dellii gomma. l'altro a 45". La Figura4.21 b mostra la superficie su cui sono stati tracciati gli elementi sollecitata a trazione (ad esempio flettendo la gomma). E' chiaranieritt~

122

l

TENSIONI INTERNE

48

'\

Gomma per cancellare tracciata

,/-

Gomma per cancellare tracciata ' (wr illustrare la torzione) \

\

\

li,!

V e t a obliqua

V a t a ingrandna dell'elemento

Vista frontale

Vtrta obliqua

J

Ekmento soggetto a

7,.

Tensioni tangenziali indotte da una sollecitazione di trailone pura.

evidente una distorsione prodotta da iaglio del quadrato a 45". Se In stiperficie è caricata a compressione, la distorsione del quadrato a 45" avviene in senso opposto. In Figura 4 . 2 1 è~ rappresentata una vista ingrandita di u ~ ! c & e l e m e n t i coz le facce verticali ed orizzontali indicate con x e y ed una tensione di--trazione o, a g e n ~ u l l facce e x. LeJacce x ed y dell'elemento sono ovviamente perpmdiolan alla sur>e&-a gomma, -- come chiarito dalla vista obliqua, anch'essa mostrata "ella Fig. 4 . 2 1 ~ . In Fig. 4.21d t mostrata la rappresentazione gra-k i l cr;rch.io di tensionipresenti suli'elemento. I p y t i x ed y r a p p r e s e n t a w s i o n i . che agiscono sulle facce x ed v . 11 cerchio di hlohr viene quindi tracciato in modo tale che il segmento xy comspondaad un diametro.. La dimostrazione delle relazioni su cui si basa il cerchio di Mohr è lasciata a testi e l e m e n t i di scienza delle costruzioni. Lo sforzo è qui rivolto ad ottenere una comprensione chiara del significato e dell'interpretazione di tale rappresentazione grafica. Per primacosa, si noti quando un piano immaginario che seziona I'elemento viene ruotato (mantenendolo sempre perpendicolare alla superficie). Dassa dal 7piano x (vecirtael-e),), e di nuovo ad un piaao x (verticale) in soli 1 8 0 0 . m i normali e tangenziali che agiscono su tutti questi piani di sezione coprono tutti i 3600 del cerchio di Mohr in Fig. 4.21d. Gli a n g $ ~ T m ~ ~ ~ j sul c e r c h s o n q u i n ' i a n g ~ l ci o m s p ~ ~ e ~ j ~ s u l l ~ e l e r stesso. nento ~ ~ r ~ ~ ~ m p i o , ~ ~ d c.a.180: ~ 2 0sul ~~erch,q:l e m ~ t o Un secondo punto importante è che se ci si attiene alla convenzione siil segno della tensione tangenziale stabilita nel Paragrafo 4.4 (cioè senso orario positivo), una-rotazione .... del piano di sezione sull'ele~ento in uno qualsiasi dei due sensi ---. ~-

p

P -

i.11 Ekmento orientato

Elemento ingrandito

\

i)-+

uguale area n

-+

--

Fattore di concentrazione d e l k tensioni l 2

I l

L + Iiii

Non

intagliaro

lh!

i i l

Figura 4.40

,

Intagliato l

/ q

Tensione

=.$,

,'

Piastra con roro centrale ( a ) flessione 171; ( b ) carico assiale [ I O ] .

ha avuto origine alla radice dell'intaglio; ma lo snervamento globale (o generale) che interessa l'intera sezione non avrà inizio finchè. non si raggiunge "d". Si noti che il carico associato alla curva "d" t? identico alla capacità di carico del provino . noti anche che la curva " d puh essere non intagliato, mosirata in Fig. 4 . 4 2 ~Si raggiunta senza che vi sia un allungamento significativo del particolare. I l pezzo non si allunga in modo significativo se non si snerva l'intera sezione. compresa la zpna centrale. Cosl, per la maggior pane degli scopi pratici, la barretta intagliata sopporterà lo stesso carico statico di quella non intagliata.

(CI mpiin

4.42

Il'

nislnhiirione dcllc tensioni di Euioir iri iiiia humin nuicnale duirile nori iritagliaw cd in&liai;i

142

J li '1'I:NSICINI I i I ~ S I I I ~ ICAASIITI< E LIAL-LO SNERVAMENTO

TENSIONI INTERNE

133

icrisionc riicdia (300 Mt'a) per I'cire:i siilln qiialc agisce (10 mm x 25 mm). Aii;ilognriicrite I.'! ì. ugualc ad uri;i tcn\ionc riicdia di 150 MPa per un'area di l 5 mni x 25 rnin. I bracci delle coppie siili» pari a 40 nini c 20 rnm, rispettivamente. I'cr cui

Deterrniriiariio ora le tensioni residue che restano quando i l riioiiiento M, viene riniosso. La variazione el:istica delle tensioni quando M, viene riniosso è

a=A1/Z=4125N~m/(1,042xIO' i n ' ) =3.96x10R Pa=396MPa

( a ) lnfomurani mte (v. testo)

O

Temane dovuta al CDKO

Tcmane resdua

ldl

(il

Figura 4.44

-3%

300 396

T~~~~~~ resdua

Tcmbne residua

0

Tensione rcsidua

variazione della tensione dovuta ana rimzione dei c a r r o

+

+

,

+

Tensione dovuta al carico

Tens~onedovuta al carico

Tensnine dovuta al carico

Tensioni residue in una irave rcriangolare non

=

Tensione totale (trav? rrllilinea)

=

Tensione lo tal^ (prossima allo rnewamento)

Tensione totale =

(prossima alla mewamentol

iniagliaia.

trave di sezione 25 x 50 mm, realizzata in un acciaio con una curva tensione deformazione idealizzata ed S,= 300 MPa. Il momento M,, incognito, produce la distribuzione di tensioni mostrata in Fig. 4.44a, con uno snervamento che si estende fino alla profonditi9 di 10 mm. Determiniamo innanzitutto i l valore del momento M,. Se alle tensioni distribuite si sostituiscono le forze concentrate F , ed F,, applicate rispettivamente in corrispondenza dei baricentri delle porzioni rettangolari e triangolari del diagramma delle tensioni, i l momento M, è uguale alla somma delle coppie prodotte da F , ed F,. Il valore di F l 6 iigiiale al prodotto dcll:i

La distribuzione delle tensioni elastiche quando viene tolto il carico è mostrata nel grafico centrale di Fig. 4.44h. Questa. sommata alla distribuzione delle tensioni dovute al carico. fornisce i l diagrnrrima dcllc tensioni residue mostrato nel lato destro della figura. La linea tratteggiata riportata sul diagramina delle tensioni dovute al carico rappresenta le tensioni dovute alla riniozione del carico, cambiate di segno. Poiché sia i l diagramma rappresentato con la linea continua che quello con la linea tratteggiata corrispondono allo stesso valore del momento flettente, possiamo osservare da1 grafico che il momento del diagramma a linea continua è uguale a quello del diagramma a linea tratteggiata. A posteriori possiaiiio osservare che questo fatto avrebbe potuto essere utilizzato per tracciare abbastanza accurataniente la linea tratteggiata senza fare calcoli. Notate come determinati punti sul diagramma delle tensioni di carico servono a localizzare i punti in cui la tensione residua è uguale a zero e quelli in cui è uguale a 62 MPa. Notate che a questo piinto la trave k leggermc~nreinflessa. Le zone esterne che si sono snervate non tendono a tornare nella loro posizione iniziale mentre quelle interne, che non si sc>iiosnervate. sì. Così. si raggiunge un bilanciamento fra queste tendenze opposte con una distribuzione di tensioni residue che soddisfa le condiSappiamo che l; t r a v e . & . l ~ g g ~ ~ e ~ t e i n f l e s s a zioni di equilibrio CF=Oe &=O. seinplicementc guardando .- . il diagramma -.-.delle tensioni residue. La zona cen;kie, che era inizialniente rettilinea e non soggetg 5-ieniioni.non h a s i 6 i ' i f i k u n o snervamento. Potrebbe tornare ad essere rettilinea soltanto in assenza di tensioni. La Figura 3 . 3 3 ~mostra come, per ottenere la condizione desiderata in cui la zona centrale è priva di tensioni. è necessario sovrapporre un carico che sviluppi una tensione di compreisione di 62 MPa. 10 mm sotto la superficie. Quando viene applicato un tale carico, le tensioni totali sono quelle mostrate nella parte destra della figura. Poichè le tensioni nella zona centrale sono nulle, la trave è in effetti rettilinea. Calcoliamo i l morriento necessario per mantenere diritta la trave. E' gih noto che una tensione elastica di 396 MPa in superficie è associata ad un momento di 41 25 N ni. Facendo una semplice proporzione. una tensione di 104 MPa richiede un momento di 1083 N.ni. Detemiiniamo ora quale momento flettente è in grado di sopportare elasiicanlerlre la trave quando su questa si sono si~ilupparerensioni residue. La Figura 3.44d mostra che si pub applicare un momento nello stesso verso di M, tale da Tovrapporre alla tensione in superficie una tensione di +396 MPa senza che vi sia snervarnento. Dai calcoli precedenti, sappiamo che questa tensione è associata ad iin moriiento di 4 / 2 5 h'ni. Una brevr riflessione indica che qiiecta concliisione è

143

TENSIONI INTEKNt ovvia. La rrttioziotir del iiioniciito applicaio inizi;iliiieiite A l , = 4125 N i i i rioii provocava snervamento; quindi può essere opl)licuio di ~iirovosenza clie vi sia snervamerito. La Figura 4.44e niostra che. in un verso opposto a quello del rnoiiiento originario M,, un inoniento che produca in superficie una tensione pari a 204 MPa è i l massimo che può essere sopponato elasticarnente. Di nuovu. coli ~ i i i , i seniplice proporzione, questo corrisponde ad un momento di 2125 Ntri. L'analisi precederite illusti-a un importaiite principio. Uti sovrncc~ricocile causi stzenJa~>retrrq produce letrsiolri residue clic, Ii~l~itir) un efi7~oJ1vort~volenel caso in cui i carict![ fuluri agiscano nello .stcmu-wno e sfavorevole se i carichi hrintro verso opposlo. .

..

. -------I_.

._I.._.__.

( 2 )dzicriiiiriaiido It: forze -h< i vincqli d e v o n o . ~ e i ~ i t +pcr i x iiril?-c!ir-e tali variazio~ iii, e (3) calcolando le teii~ioiiiassociati: alle reazioni viiicolari. Questa a illustrata dall'eserripio srgueiite.

( ESEMPIO 4.4 Un tubo d'acci;iio di lunghezza IO-in. (con le seguenti proprieth : E = 30 x 10" psi ed a = 7 x IOd per grado Fahrenheit) avente una sezione trasversale di area pari ad 1 in.', viene installato a 80°F con le estremità "bloccate" in modo tale d;i risultare non sollecitato. In esercizio il tubo viene riscaldato uniformemente su tutta la lunghezza fino a 480°F. Misure accurate indicano che le estremità si allontanano una dall'altra di 0,008 in. Quali cariclii vengono esercitati sulle estreniità del tubo e quali sono le tensioni risultanti'!

l

-

Inoltre sulla base di una curva tensione-deforniazione idealizzata. I'auineiito della capacità di carico in un verso è cbattariierite uguale alla dirriinuzionc della capaciti di carico nel verso opposto. Questi principi possoiio essere illustrati anche per uii cai~icoassiale utilizzando la Fig. 4.43. L'esempio di Fig. 4.44 potrebbe essere portato aiicora uii passo avaiiti coiisiderando i l rnomerito esterno necessario a raddrizzare permanentemente la trave (in niodo tale che la porzione centrale sia di nuovo priva di teiisioni e quir:di rettilii~e;~ quando i l momento raddrizzante viene rimosso), ed i l niiovo diagraniiiia delle tensiorii residue che ne risulta. Ciò viene fatto iii [ 2 ] . Barre circolari sovraccaricate a torsione possono essere trattate allo stesso modo di quello descritto nell'esempio precedente per la barra rettangolare sovraccaricata a flessione. L'introduzione di c«ncentrazioni di tensioiii sia nella flessione che nella torsione non richiede alcun nuovo concetto oltre quelli presentati in questo paragrafo e nel precedente.

Soliizione Dati: Uii tubo d'acciaio di lunghezza e heziorie riote si allunga di 0,008 in. quando viene riscaldato unifoniieniente da 80°F (temperatura alla quale i l tubo risulta non sollecitato) fino a 480°F.

I

1)eterrttiriarr Dcienninare i carichi e le tensioni sul Iiiho

4.16 TENSIONI TERMICHE Finora sono state considerate sultaiito tensioiii derivanti dall'applica~ioriedi cari chi esterni. Le tensioni possono anche essere prodotte da espansioni o contrazioni liori uriifuriiii del materiale dovutc o a variazioni di temperatura o a canibiarnenti di fase. Un'accurata valutazione quantitativa di queste tensioni in reali componenti meccanici e stnittural~è. in generale, oltre gli bcopi di qii~.stotesto. E' tuttavici importante per lo studente acquistare familiarità con i principi di base da cui spesso si possono ottenere importanti informazioni qualitative. Quando la temperatura di un corpo omogeneo ed isotropo, libero di espandersi (e di contrarsi). varia unifonneinenente, questo ~i espande (o si contrae) unifonnemente-in tutte ie dir&ni.sec~n~q!~.,reIgz1~~1e.

I

+ : : r + o

I'=lli

LFigura 4.45

I dove a5 il coefficiente di espansione termica e AT è la variazione di temperatura. I valori di a per diversi metalli di uso comune sono riportati nell'Appendice C - l . Questa variazione libera ed uniforme del volume non produce scorrimen,ti n? tensioni, sia normali che tangenziali. Se sul corpo durante la variazione di temperatura vengono posti dei vincoli che ne impediscono la deformazionc, Ic tcnsioni risultanti si possono determinare ( l ) calcolando le variazioni di dimensioni che si avrebbero in c~sst~~i;c~ di tali vincoli,

1

BO'F

1'-



C

-2 E .5.C

d. d. .S.?

"L

L , s o

2 5

3 .N

3-r

2 C 2 C

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3

4 2 5 Il > -n0.E6 S . l

r

O $ C 2,H

a'

150

PROBLEMI

TENSIONI INTERNE assiali e flessionali sono trascurabili. (a) Qual'è i l valore nominale della tensione tangenzi;ilC si11l;isiiper-ficic? (b) Se viene utilizzato iin albero cavo di diametro interno p:iri ;i 0.8 volte il diametro esterno, quaIe diametro esterno è richiesio per avere le stesse tensioni sulla superficie esterna? (C) In che rapporto stanno fra loro i pesi dell'albero pieno e dell'albcro cavo? 4.5

4.6

p;iri

;i

3

i11

151

. soggetto ad iin rrioiiiento flettente di 3200 fblh

4.12 Ad

i i r i albero di diametro 40 rnrn è applicato un momento flettente di 2000 N.m. Calcolare i l valore della tensione sulla supedcie. Se viene utilizzato un albero cavo di diametro esterno pari a 1,15 volte il diametro interno, determinare qiiale diametro esterno è richiesto per avere le stesse tensioni siilla superficie esterna.

La potenza di un motore di 3200 hp viene trasmessa da un albero di diametro pari a 2 in. che ruota a 2000 girilmin. I carichi flessionali ed assiali sono trascurabili. (a) - Qual'è il valore nominale della tensione tangenz~sIesoll;~superficie? (b) Se viene utilizzato un ~ l b e r ocavo di diametro interno pari a 0,85 volte il diametro esterno, quale diametro esteno i: richiesto per avere le stesse tensioni sulla superficie esterna? (ci In che rapporto stanno fra loro i pesi delI'alkro pieno e dell'albero cavo?

4.13 Qualc inoniento flettente è richiesto per produrre una tensione normale

Stimare il momento torcente necessario a produrre tina tensioiie tliiigenziale massima di 100 MPa in un albero cavo avente un dianictro interno di 20 mm e un diametro esterno di 24 mm.

iniziale, 7. ugir;ile a due volte l'altezza. h, della sezione. In quale relazione sono le tensioni sulle fibre piìi esterne con quclle che si avrebbero iii una trave identica ma rettilinea?

a

4.7

Lo stesso momento torcente è applicato sia a un albero pieno di sezione quadrata bxb che ad un albero pieno di sezione circolare e raggio r. Quale dovrebbe essere il rappono b/r perchk entrambi gli alberi abbiano la stessa tensione tangenziale massima sulla superficie esterna? Per qiiesto rapporto, confrontare il pcso dei due alberi ed anche il rappono fra la resistenza e il peso.

4.8

Quale momento torcente è richiesto per produrre iina tensiorie tangenziale massima di 400 MPa: (a) in un albero di sezione circolare di diametro pari a 40 mrii? (b) in un albero di sezione quadrata di lato pari a 40 inm?

4.9

Confrontare la resistenza a torsione di un albero pieno di sezione circolare con quella di un albero pieno di sezione quadrata dellc stesse dimensioni (diametro del cerchio uguale al lato del quadrato). Confrontare i l pcso dei due alberi ed anche il rapporto fra la resistenza e i l peso.

massima di 400 MPa: (a) in una barra rettilinea di sezione circolare di diametro 40 mm? (h) In una barra rettilinea di sezione quadraia di lato 40 mm (con i l moiiiento applicato intorno all'asse X come mostrato nell'Appendice ~ - d ~una e rsezione rettangolare)? Paragrafo 4.6 4.14

La trave a sezione rettangolare mostrata in Fig. P4.14 ha una curvatura

'Fb-!

I

4.15

l

Ilcterminare la posizione ed i l valore della massima tensione di trazione nel gancio ad S mostrato in Fig. P4.15. (Nota: La przione inferiore sopporta un momento maggiore, ma quella superiore ha un raggio di ciirvatura pii] piccolo; & quindi necessario investigare su entrambe.)

Paragrafo 4.5 4.10

Un albero rettilineo, circolare, di diametro pari a 2 in., è soggetto ad un momento flettente di 2000 ft.lb. (a) Qual'è il valore nominale della tensione sulla superficie? (b) S e viene utilizzato un albero cavo di diametro interno pari a 0,s volte il diametro esterno, quale diametro esterno è richiesto per avere le stesse tensioni sulla superficie esterna? (Si noti che se l'albero cavo è troppo sottile, possono insorgere fenomeni di instabilita.)

4.11 Determinare la tensione presente sulla superficie di un albero di di;inietro

3.16 Ripetere i l problema 11.15 nel caso in cui i l raggio di curvatura minore è di 5 in. e qiiello maggiore di 7 in. 4.17

I,a sezione critica M di un gancio di gru (Fig. P4.17) viene considerata, per semplicità di analisi. di forma trapezoidale con le dimensioni indicate in figura. Determinare la tensione risiiltante (dovuta al momento flettente e allo sforzo diretto di trazione) nei punti P e Q.

4.18 Ilipeterc il prohlema 4.17 per un gancio di sezione circolare (cori sezioiic trasvers:ile di area uguale a quella del problema 4.17).

154

TENSIONI INTERNE

L,;..J

PKOBLEMI

h,.

155

Figura P4.25

4.26 La Figura P4.26 mostra una trave in materiale plastico avente una sezione a scatola, con la piastra siipenore incollata in posizione come indicato in figura. Determinare la tensione tangenziale che agisce sulla giunzione incollata, per un carico di 12 kN.

frizione per m z r o di un giiinto fkssbile

\

'

400 P<

4.28 Kipetere i l Problema 4.27 per un diametro della puleggia di 130 mni. 4.29 Desideriamo analizzare le tensioni nell'albero a manovella di una bicicletta (cioè l'albero orizzontale che collega i due pedali ed b supportato da due cuscinetti a sfere montati sul telaio.) Ricavare le dimensioni necessarie inisurando una qualsiasi bicicletta da adulti. (a) Mostrare, con l'aiuto di uno schizzo, le condizioni di carico più gravose che si possono verificare sull'albero in condizioni normali. Indicare tutte le dimensioni di interesse ed elencare le ipotesi fatte sul carico. (b) Indicare sullo schizzo il punto maggiormente sollecitato e tracciare la rappresentaz-ione dello stato tensionale mediante i cerchi di Mohr. (Trascurare la concentrazione delle tensioni.)

-

Paragrafi 4.9 4.11

4.27 L'albero mostrato in Fig. P4.27 b supportato da diie cuscinetti orientabili (A e B), montati ad una distanza di 200 rnm l'uno dall'altro. Una cinghia trasmette alla puleggia le forze indicate in figura. L'estreniità sinistra dell'albero b collegata ad una frizione per mezzo di un giunto flessibile. AII'estremiià destra non b collegato nuIla. (a) Fare uno schizzo che mostri le tensioni che agiscono sugli elementi superiore e laterale, Ted S,situati accanto alla puleggia. (Trascurare la concentrazione delle tensioni.) @)

Rappresentare lo stato di tensione in Ted Stracciando i tre cerchi di Mohr.

(C) Per il punto S. rappresentare l'elemento sii ciii agiscono le tensioni principali e quello su cui agiscono le massime tensioni tangenziali.

4.30 La Fig~iraP4.30 mostra una manovella sulla cui estremità agisce un carico verticale statico. (a) Copiare il disegno ed indicare il punto maggiormente sollecitato a flessione. Tracciare i cerchi di Mohr che rappresentano le tensioni in questo punto. (Trascurare la concentrazione delle tensioni.) (b) Indicare sul disegno il punto in cui è massima la tensione tangenziale dovuta all'effetto sia del momento torcente che del taglio. Tracciare i cerchi di Mohr che rappresentano le tensioni in questo punto, trascurando di nuovo la concentrazione delle tensioni. 4.31

Ripetere il Problema 4.30 ma cambiare la dimensione di 200 mm con una di 50 mm.

4.32 La Figura P4.32 mostra un motore elettrico collegato ad una trasmissione a cinghia. Copiare il disegno ed indicare su entrambe le viste il punto, o i punti, dell'albero maggiormente sollecitati. Rappresentare in modo completo lo stato tensionale in questo punto mediante i cerchi di Mohr. (Trascurare la concentrazione delle tensioni.)

158

l

1

TENSIONI INTERNE

PROBLEMI 4.46 Ripetere i l I'roblcnin 4.45 per

iiiin

159

prcssioric interna di 10000 psi

4.47 l,a siiperficic interna di un cilindro cavo internamente pressurizzato a 100 MPa è soggetta a tensioni circonferenziali ed assiali rispettivaniente pari a

600 e 200 MPo. Rappresentare, mediante i cerchi di Mohr, lo stato tensionale sulla superficie interna. Quale 5 la massima tensione tangenziale agente sulla superficie interna? (Risp.: 350 MPa) 4.48 La superficie interna di iin cilindro cavo internarnente pressurizzato a 100 MPa è soggetta a tensioni circonferenziali ed assiali rispettivamente pari a

350 e 75 MPa. Rappresentare le terisioni agenti sulla superficie interna mediante i cerchi di Mohr e detenninare la niassima tensione tangenziale. Figura P4.37

di 50 MPa. Rappresentare lo stato tensionale sulla superficie iiiediantc i cerchi di Mohr. 4.40 Rappresentare, mediante i cerchi di Mohr, lo stato tensionale sulla ~uperfi-

cie di un tratto di tubo circolare di acciaio, internaniente pressurizzato, soggetto a tensioni circonferenziali ed assiali sulla superficie rispettivamente pari a 400 e 250 MPa. A queste si sovrappone una tensione torsionale di 200 Mpa.

4.49

La superficie interna di un cilindro cavo i? soggetta a tensioni circonferenziali ed assiali rispettivamente pari a 40000 e 24000 psi. Determinare la massima tensione tangenziale agente sulla superficie interna se il cilindro è prcswrizzato a 10000 psi.

Paragrafi 4.12 - 4.14 4.50 Un albero è siipportato da due cuscinetti, in A e B, e caricato da una forza verso i l basso di 1000 N come mostrato in Fig. P4.50. Determinare la tensione m;isima in corrispondenza del raccordo. I1 raccordo critico i? a

70 mm da R . 4.41 Ripetere il Problema 4.40 per una tensione torsionale di 150 MPa 4.42 Tracciare i cerchi di Mohr che rappresentano le tensioni agenti sulla

superficie di un tubo circolare di acciaio, internamente pressurizzato, soggetto sulla superficie esterna a tensioni circonferenziali ed assiali rispettivamente pari a 45000 e 30000 psi e ad una tensione torsionale di 18000 psi. - 5 0 0

4.43 Un cilindro b soggetto internamente ad una pressione di 100 MPa. Questa

provoca sulla superficie esterna tensioni circonferenziali ed assiali rispettivamente pari a 400 e 200 MPa. Rappresentare, mediante i cerchi di Mohr. lo stato tensionale sulla superficie esterna. Quale 5 la massima tensione tangenziale agente sulla superficie esterna? (Risp.: 200 MPa)

mn

R,

;l.

250rnm-

R,

Figura P4.50

4.51 Trovare i l massimo valore della tensione sul foro e sull'intaglio

semicircolare mostrati in Fig. P4.5 I .

4 44 Determinare la massima tensione tangenziale sulla superficie esterna di un

cilindro internamente pressurizzato. I1 cilindro b pressurizzato a 125 MPa e soggetto a tensioni circonferenziali ed assiali rispettivamente pari a 300 e 175 MPa. 4.45

Un cilindro t soggetto internamente ad una pressione di 7000 psi. Questa provoca sulla superficie esterna tensioni circonferenziali ed assiali rispcttivamente pari a 30000 e 20000 psi. Determinare la massinia tensione tangenziale agente sulla superficie esterna.

Figura P4.51

4.52 Per la Fig. P4.52, qiial'è i l valore della tensione rriassima siil foro e

siill'intaglioq

l'or«: (n)

(t))

Quando :i ci;iscuri;i estremità della biirrii è ;ipplicato trazione di 100 kN Q ~ a ~ i di l oc;uico if ~ ~ I I I O S S O .

1111

cai-ico di

4.60 Ilipetere il Problcnia 4.59 per un carico di coriipressiorie

Figura t'4.52

4.53 Llna barrettn piaria irita~liata(come quella rappresentata iri Fig. 4.39) tia un fattore di concentrazione per carichi di trazione pari a 2. L'are;i della sezione trasversale sul piano degli intagli P 0.5 in2.Il niateriale ì- acciaio. con iina resistenza allo snervariiento, hia a trazione clie a coinpressic~ne,di 30 ksi. Assumere una curva tensione-deformazione idealizzata. Inizialrnente nella barra non vi sono tensiorii residiie.

4.61 Uiia b;irrctta intagliata (coriie quella rappresentata in Fig. 4.39) h,i ~ i r i fattore di concentrazione per carichi di traziorie pari a 2,s. La bnrra ì. realizzata in acciaio duttile (assurnere una curva tensione-deforiiiaziorie idealizzata) con resistenza allo snervamento sia a trazione che a compressione di 200 MPa. La barretta è sollecitata a trazione con tensioni ccilcolote alla radice dcll'intaglio che variano nel tempo come mostrato in Fig. P4.61. Copiare il disegno e aggiungere ad esso una curva che mostri le variazioni nel teriipo delle tensioni effettivamente presenti.

-

-

4W

:

200

I

(a) Fare un disegno che mostri I'andainento approssiiii;ito delle tensiorii quando alla barra P applicato un carico di trazione di 5000 111 e quando il carico è rimosso. (h) Ripetere per un carico di 10000 Ib. Ripetere per un carico di 15000 1b. (C)

4.54 Ripetere il Problema 4.53 per un carico di compressione.

o

r C

200 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

1

1

1

2

Ternpa

4.55 Ripetere il Probleina 4.53 usando una fattore di coiiceritruione delle tensioni di 3. 4.56 Ripetere il Problema 4.53 per iin fattore di coricentrazioiie delle tensioni di 3 ed un carico di cornpressionr. 4.57 Una barra di sezione rettangolare 20 x 60 rrini (li x 6) con un foro ceritrale di 10 mm di diametro (come mostrato in Fig. 4.40) 5 in acciaio cori resistenza allo snervamento sia a trazione che a compressione di 300 MPa. Assumere una curva tensione-defonnazione idealizzata. Inizialmente nella barra non vi sono tensioni residue. Fare un disegno che mostri l'andamento approssimato delle tensioni nel piano del foro: (a) Quando a ciascuria estremità della bnrra è applicato un carico di trazione di 400 kN. (b) Quando i l carico è rimosso.

4.58 Ripetere il Problema 4.57 per un carico di compresionc 4.59 Una barra di sezione rettangolare 10 X 40 mm (h x h ) di acciaio (con resistenza allo snervamento sia a trazione che a comprcssione di 300 MPa) ha un foro centrale di 6 mm di diametro (corne mostrato in Fig. 4.40). Assumere che inizialmente nella barra non vi siano tensioni residue e che il materiale abbia una curva tensione-deformazione idealizzata. Fare uno schizzo che mostri l'andamento approssimato delle tensioni nel piano del

Figura i'4.61

4.62 Ripetere i l Problerna 4.61 usando una fiittore di concentrazione delle tensioni di 3.

4.63 Due travi rettangolari sono realizzate in acciaio con resistenza allo sncrvamento a trazione pari a 80 ksi e una curva tensione-deformazione idealizzata. La trave A ha una sezione costante di I x 0,5 in. La trave B ha una sezione di 1 x 0.5 in. che che si raccorda simmetricamente ad una sezione di 1,5 x 0.5 in. 11 fattore di concentrazione delle tensioni dei raccordi è pari a 3. Le travi sono caricate a flessione in modo tale che Z = I/c = 6h2/6= 0,5 ( 1 )'l6 = in'. (a) Per ciascuna delle due travi, quale mornento M provoca ( l ) l'inizio

dello snervamento e (2) uno snervamento completo? La trave A è caricata ad un livello che provoca lo snervamento fino ad una profondith di 114 in. Determinare e rappresentare in un grafico la distribuzione delle tensioni residue che restano dopo la rimozione del carico. (Risp.: ( a l ) trave A, 6667 in,lb, trave B, 2222 in.lb; (a2) 10000 in.lb per entrambe le travi) (b)

DEFORMAZIONI ELASTICHE, RIGIDEZZA E STABILITA'

5.1

INTRODUZIONE Deformazioni elastiche, rigidez~ae stabilità sono concetti di importanza fondamentale per l'ingegnere. La rig!dezza, piuttosto che la tensione, & spesso il fattore di controllo nel progettoA-un componente. I telai delle macchine utensili, per esempio,-devono essere estremamente rigidi per consentire l'accuratezza delle lavorazioni. Quando i telai sono abbastanza massicci da soddisfare i requisiti di rigidez~a,le tensioni possono essere così basse da risultare non significative. Altri organi possono richiedere una grande rigidezza per eliminare problemi di vibrazioni. Un'inflessione eccessiva può provocare interferenza fra componenti o la perdita dell'ingranamento fra mote dentate. Un altro importante aspetto delle defomazioni elastiche è il loro molo nelle tecniche sperimentali per la misura delle tensioni. La tensione non & in generale una quantità direttamente misurabile; la deformazione lo è. Quando sono note le costanti elastiche di un materiale, i valori della tensione possono essere ottenuti dai valori di deformazione determinati sperimentalmente utilizzando le relazioni tensione-deformazione richiamate nel paragrafo 5.5. Le Figure da 5 . l a a 5 . l d illustrano sistemi elasticamente stabili. In questi sistemi un piccolo disturbo della condizione di equilibrio rappresentata in figura sarà corretto da forze o momenti elastici di richiamo (o da entrambi). Questo può non essere il caso per la trave snella caricata di punta mostrata in Fig. 5. le. In questo caso, se la trave & abbastanza snella, il modulo elastico abbastanza basso e i l carico abbastanza grande, l'organo in compressione sarà elasticamente instabile e i l pih piccolo disturbo ne causerà l'inflessione laterale o il collasso. Questo può accadere anche quando la tensione PIA è molto a l di sotto del limite elastico del materiale. Gli ultimi sei paragrafi di questo capitolo si occuperanno di questo fenomeno.

5.2

DEFINIZIONE E MISURA DELLE DEFORMAZIONI RAPPRESENTAZIONE CON I CERCHI DI MOHR

-

Nella Fig. 5.2 sono mostrate le deformazioni presenti in un elemento soggetto a trazione uniassiale. Le equazioni che definiscono le tre componenti longitudinali della deformazione (ovvero le tre dilatazioni E,, E,, E,) sono riportate in figura. Nell'elemento sotto carico non si verifica alcuna variazione degli angoli inizialniente retti. Le deformzioni trasversali, ovvero gli scorrimenti y,, yrZe T;, sono

F i g u r a 5.1 insiabili.

Componenti sollcc.iiaii (a-d) elasiicnrrieriic si.ihi11 e

(C)

po[eiirialiiicnic eI.isiicaiiieiiie

perciò nulli e l'elemento rappresentato è orientato secorido le direzioni principali. Di conseguenza, E,, E, ed E, sono anche E,, E, ed E, dove i pedici 1 , 2 e 3 indicano le direzioni principali. I valori negativi di E, ed E ~ .nioscrdti in figura, derivano dall'avere supposto che i l materiale abbia un coefficiente di Poisson positivo. In Figura 5.3 è rappresentato un elemento simile soggetto a taglio puro. Gli scorrimenti risultanti sono definiti in figura. La notazione con doppio pedice corrisponde alla convenzione cui è stato fatto brevemente cenno nel Paragrafo 4.9 in relazione alla Fig. 4.26. Come era vero anche nel caso delle tensioni tangenziali. non c'è aIcun bisogno di distinguere fra y, e y,,. La Figura 5.4 niostra come si può costruire il cerchio di Mohr delle deforma~ioni a partire dalla conoscenza di E,, E, e y,. La procedura è identica a quella usata per il cerchio delle tensioni eccetto che qui si deve fare attenzione a riportare alle ordinate solo metà dello scorrimento y. Alle equazioni analitiche per le tensioni (dall' Eq. 4.1 5 all'Eq. 4.19) corrispondono direttamente analoghe equazioni per Ic deformazioni, dove E sostituisce a e yI2 sostituisce z. Quando si desidera determinare sperimentalmente le tensioni nei punti critici di componenti meccanici o strutturali, si inizia col misurare le deforiiiazioiii e -l --p-

F i g u r a 5.2

Elemento

non carrato

Elemento soggetto a tnzmne uniassiaie in direzane X (defomazioni rappresentate In scala molto amplificata)

Dcfomazioni longiiudinali per una sollcciinzione d i irsrioiie uniassiale

r ,, (in senso antioiarlo e quindi negativa) r , , (in senso orario e quindi positiva) F i g u r a 5.3

valore

=

hni

= La,,

0

8

y-o

Delorinarioni trasversali per uiia sollecilarioric d i [aglio puro

qiiiiidi, note le costanti elastiche del materiale, si calcolano le tensioni corrispondenti. Se le direzioni principali sono note. le deformazioni principali si possono iniaurare direttamente usando estensimetri elettrici a resistenza ad una sola griglia (Fig. 5.5a) o rosette estensimetriche a due griglie (Fig. 5.5b). Se le direzioni principali non sono note potremmo teoricamente determinare E, ed E, misurando prima le deformazioni E,, E, e y_ in direzioni arbitrarie e determinando poi E, ed E: dal cerchio di Mohr conle in Fig. 5.4. Sfortunatamente, la misura sperimentale diretta degli scorrimenti è difficilmente eseguibile in pratica. Si fa quindi uso di rosette estensimetriche a tre griglie, mostrate nelle Figg. 5 . 5 e~d , sulla base delle considerazioni svolte qui di seguito. Innanzitutio, si noti che la costruzione del cerchio di Mohr - sia delle tensioni, coiile riiostrato in Fig. 4.27, che delle deformazioni, come mostrato in Fig. 5.4 foniisce un cornodo metodo per risolvere graficamente un sistema di tre equazioni in tre iiicognite. Le incognite sono i valori delle due tensioni (o deformazioni) principali e l'angolo tra i piani principali e i piani di riferimento (di solito indicati con x ed y). Per la soluzione sono necessari tre valori noti. Questi sono or,q e ,z (o t;. E, e yr+).L c ~ i e a t r e , g r i g l i permettono e di risolv~re@!~ktesse tre incognite. . . 1na-i.c ~ r r i s p o n ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Non ~ ressendo ~ ~ i o n ~ disponibile nessuna seniplice soluzZne grafica del tipo cerchio di Mohr, si utilizza

-

F i g u r a 5.4

'"

Ccrcliio di M o h r delle deforniazioni cosrniito

d

pdnire dai valon noli di

E.

$ c y,,

166

DEFORMAZIONI ELASTICHE, RIGIDEZZA E STABI1,ITA

5.3

ANALISI IIELLE DEFORMAZIONI

-

R O S E T E EQUIANGOLk

167

I

= is _=

EEz

(4

-

l

Ertensimtri ad una sola griglia orien:ati in m d o da rntrurare deformarwni onzzontal~

!M. @j:

&

.

A

V

'

Y

I

Figura 5.6 Ibl

Rapprcscrita7iorie di roscitc csicrisimerrichc cqiiianpole

orientamenti delle griglie. Utilizzando la notazione precedente, le equazioni per calcolare il valore e la direzione delle deformazioni principali sono [3]

Rosette estensimtriche a due griglie o r r n t a t e in modo da maurare deformarioni orizzontali e verrrali

Rosette estensimrnche equrangole a tre g r ~ l i e

ldl

Un valore positivo di a significa che misuriamo l'angolo in senso orario dalI'orientamento dell'estensimetro a O" a ciascuno degli orientamenti dei due assi principali definiti dall'Eq. 5.2. Per determinare quale direzione deve essere associata a ci*cuno dei due assi, si segua la regola secondo cui la deformazione principale più elevata giace sempre entro 30" dalla deformazione di valore algebrico più elevato fra E,,, E,,, ed E,,. L'uso e I'inteqxetazione delle Equazioni 5.1 e 5.2 sono illiistrati dal seguente esempio.

Rosette eslensimetrrhe rettangoiari a tre griglie

Daiiiia rosettacstensimetncaequiangola si ottengono le seguenti deformazioni:

Figura 5 5 Configurazione delle griglie in alcuni tipici csiensinictri elctirici a rcsisicriza

E, = -0,00075

una soluzione analitica. Soluzioni di questo tipo sono disponibili qualunque siano le tre direzioni lungo le quali sono note le deformazioni [5], ma qui verranno considerate soltanto le due configurazioni utilizzate comunemente: rosette equiangole (Fig. 5 . 5 ~ e) rosette rettangolari (Fig. 5 . 5 4 .

5.3

ANALISI DELLE DEFORMAZIONI EQUIANGOLE

E,, = 4 , 0 0 0 4 E,,

= 4 , 0 0 1 85 m/ni

Determinare I'orientamento ed il valore delle deformazioni principali e verificare i risultati tracciando il cerchio di Mohr.

- ROSETTE

Tutte le rosette equiangole possono essere rappresentate dal diagramma in Fig. 5.6~1,che mostra le singole griglie a O", 120" e 240" in progressione nniioraria. L'angolo a 6 misurato a partire dalla griglia a 0" fino agli assi principali ancora incogniti. Le Figure 5.6b e C mostrano combinazioni diverse, ma equivalenti, degli

m/m m/m

Soluzione

'

Dati: Sono noti i tre valori di defomiazione forniti da unarosetta estensimetnca cquiangola.

1

Determinare: Calcolare i l valore e I'orientamento delle defomiazioni princi pali. Tracciare i l cerchio di Mohr che rappresenta le deformazioni.

W-,

F W W

a

C

e,

a

-E

.-i m o

D

- i l )

o

Vi

0

.. .--.-

.e

?

-7

?

7-

C

. E

8 01 Il

C' 7

E

, N O

O

6 Il W

W-; v

+I

o-

8

8

0II W

3 v

e,E1,12EREAZIONI SOVRABBONDANTI

191

.sigtiificcitivofiticI16I'inJcssionr fioti fn sì che il hrnccio dello forzo dr groi~iicì

differisco ;ti triodo sigriificntivo dn 1.2 rri Qiiest;i è una condizione che deve essere rispettata in tutti i problemi affrontati con il metodo di Castigliano. Le espressioni delle varie componenti di sollecitazione sono scritte per una ben precisa geoinetria. Nella misura in cui le deformazioni alterano la geometria. vengono introdotti nelle espressioni delle sollecitazioni errori che causano errori corrispondenti nel calcolo dello spostamento. Sebbene cih dovrebbe essere tenuto presente, costituisce raramente un fattore di cui tener conto nei problemi ingegnerisiici.

Figura 5.22 Esempio 5 9 - asta con carico eccentrico C vincoli ipersiaiici

Analisi:

I

1.

Poichè l'accelerazione di gravità è 9,s rn/s2, la forza gravitazionnle che agisce sulla massa è 4900 N.

2.

La trazione F è una reazione sovrabbondante (cioè, l'asta sarebbe in equilibrio anche senza il cavo di ritegno) e lo spostamento nel punto in cui è applicata F e nella direzione di F deve essere nullo. Quindi la derivata parziale dell'energia elastica totale del sistema rispetto ad I; deve essere zero.

3.

Prima di scrivere l'espressione completa dell'energia, omettiamo i termini che pih tardi dovrebbero comunque essere eliminati perchè la loro derivata rispetto ad F è nulla. Questo è vero per tutti i termini che rappresentano l'energia dell'asta sopra il puntoa e per i l termine relativo alla compressione dell'asta sotto a. Gli unici termini che rimangono sono associati all'energia flessionale sotto a.

4.

Definendo per comodità y come mostrato in Fig. 5.22. otteniamo per la flessione in tale tratto,

5.

L'energia flessionale sotto il punto a è

6.

Lo spostamento orizzontale nel punto a è

ESEMPIO 5.10

Inflessione di una mensola con vincoli iperstatici

Detenninare I'abbassameiito in corrispondenza del carico P nella mensola a forcella mostrata in Fig. 5.23. La mensola è costituita dello stesso niateriale e presenta la stessa sezione su tutta la lunghezza.

Soluzione Dati:

E' data la geometria di una niensola a forcella caricata in mezzeria.

Determinare: Ricavare l'espressione dello spostamento nel punto di applicazione del carico. Schema e dati:

Poichè E ed I possono avere soltanto valori finiti, il termine fra parentesi deve essere uguale a zero; si ottiene pertanto F = 2940 N.

Commento: Si noti il risultato apparentemente notevole che la risposta è completamente indipendente da E ed I. La rigidezza dell'asta non è un fattore

Figura 5.23 E ~ e m p i o5 10 - mcntola a lorcclla cancaia in r n c r ~ c r i , ~

I

5.10 INSTABILITA' ELASTICA NELLE TRAVI CARICATI7 DI PUNTA - FORMULA DI EU1,ERO Di solito si pensa che in canipo elastico gli spostairienii e le roiaziorii debbano variare linearmente con i l carico. Esistoiio diverse notevoli eccczioni che sorio iiitte relative a casi in cui un componente relativamente lungo e sottile ì: soggctio a compressione. Fra gli esempi si possono includere colonne di edifici, organi strutturali di collegamento (ad es. nei ponti), bielle, molle ad elica in coinpressi«iic e viti di trasmissione. Questi comspondono al caso generale trattato da Leonnrdo Eulero nel 1744 quando pubblicò il primo trattato conosciuto sull'instabilitA elastica. L'analisi di Eulero fa riferimento alla Fig. 5.24 che mostra una trave lunga e snella - come una normale riga da disegno - sollecitata a cornpressioiie. Eulero considerò il caso ideale di una trave perfettamente rettilinea, con un carico esattiimente assiale, un materiale perfettamente omogeneo e le tensioni entro i l liniite elastico lineare. Se una tale trave viene caricata sotto un certo valore critico, PCr ogni piccolo spostamento laterale impresso alla trave (come rnostrato in modo amplificato in Fig. 5.24) produce un momento elastico intemo più che siifficieiite a ripristinare la rettilineith iniziale della trave quando la forza che provoca lo spostamento laterale viene rimossa. La trave è quindi elasticamente stabile. Quando Per, viene superato, il minimo spostamento laterale produce un momento flettente esterno Pe maggiore del momento elastico interno di richiamo e la trave collassa. I carichi maggiori di P-, rendono quindi la trave elasticamente itistahilr. La derivazione della classica formula di Eulero per detenninare PCrsi ti-ova i i i quasi tutti i testi di scienza delle costruzioni. Qui viene riportata senza ripetere la derivazione.

Figuvd 5.25 Gralico in tcala hilogariiniica d e l l a iorrnula di Eiilero (Eq 5 1 1 ) (adirnen~ionale.e quindi valido ner tiilli i ni:ilcriali cnlro i l Iimile elastico)

l

i

!

1

I =

riiomerito di inerzia della sezioiie rispetto all'asse intorno a cui si ha l'inflessione laterale. Questo è il minimo fra tutti i valori che I piiò assiimere nella sezione, come illiistrato in Fig. 5.24. L, = Iiinghezza equivalente (o lunghezza libera di flessione). Questa è uguale alla lunghezza effettiva, I,, nel caso in cui gli estremi siano incernierati come in Fig. 5.24.1 valori di L, per travi con diversecondizioni di vincolo sono riportati nel paragrafo siiccessivo.

l

Sostituendo nell'F4. 5.10 la relazione I = Ap '(cioè, rnomento di inerzia = area per i l raggio d'inerzia al quadrato2) si ottiene

l

1

dove

E = modulo di elasticiti I'

- L'asse di minimo l e p diviene l'asse neutro di flessione presenza di insrabilitd Nelle formule per le travi caricate di punta ut~lirraresempre i valori di l e p "spetto a questo asse in

Sezane trasversale della trave

Due wste della trave

Figura 5.24 InslahilitA di Eulero in una trave inizialmenie reiiilinen

dove i l rapporto L j p è noto come rapporto (11 .rticllez;a della trave. Si noti che questa equazione fornisce i l valore della teniione PIA alla quale la trave diviene elasticamente instabile. Non ha niente a che vederc con la resisten~aallo snervamento o la resistenza a rottura del materiale. 11 grafico dell'Fq. 5.1 1 è riportato in Fig 5.25 in coordinate bi-logaritmiche. Si noti che questa unica retta rappresenta una relazione generale valida per tutti i materiali (elastici). Essendo adimensionale, I'@. 5.1 1 può essere uiili7.zata con qualsiasi unità di misura. I l grafico mostra che i l valore critico del carico unitario PIA, rapportato al modulo di elasticiti, dipende solo dal rapporto di snellezza. In Figura 5.26 sono riportate in coordinate lineari le curve di Eulero per i moduli di elasticiti dell'acciaio e dell'alluminio. Sono anche mostrate le curve della resistenza allo snervamento a compressione per S I =496 MPa (72 ksi) e S , = 689 MPa (100 ksi). Un coniponente sollecitato a compressione in acciaio con una Fra i vari sirnholi che si usano per i l raggio di inerzia i l più coiriiinc t r Qui (e in aliri icsli) bienc iisaro i l sirnholo p per evitar? coniiisioni con i l raggio eiicitivo di iina rr,ivc di ~c7il:irc

5.12 FORMULA PAKABOLICA DI J . U. JOHNSON 197

I;iiir?

.

I)JIh(oriun, Vll. Aiiicncm Insiiiute olSiwl Consiniriion.Inc New York. 1970. p,)

5 IRS

Figura 5.27 I , I I I I ~ I I C I I T cqu~valer~ii per v m e coiidiziorii di carico

20

40

60

ioo

nn Snellerra i.,

120

I

.IO

qiiesta condizione; quindi, le travi con uno o due estremi incastrati hanno sernpre Iiiiigliczze equivalenti maggiori di quelle teoriche. I valori minimi raccoiiiandati dall'AISC, tabulati i n Fig. 5.27, sono validi per vincoli di estremità dove "le condizioni ideali sono approssimate". Quando gli incastri sono meno rigidi, bisogna lisare i l buon senso. Se la rigidezza è dubbia, qualche volta è prudente fare l'ipotesi cautelativa che la rigidezza flessionale sia nulla e quindi equivalente ;I quella di un'esiremo incernierato.

i (;[i

!p

Figura 5.26 C u r ~ di t Eulzro per due valon di E e di S,

resistenza allo snervamento di 689 MIJa cederebbe. sccondo la teoria di Eulero, per una combinazione dei carichi e della geometria comspondente ad un punto sopra la curva /\CE. Analogamente, un componente in alluminio con una resistenza allo snervamento di 496 MPa cederebbe teoricamente sopra la curva BDF. Vedreiiio nel Paragrafo 5.1 1 che nella realtà i cediinenti si verificano per valori più bassi di P/A, in particolre in prossimità dei punti di transizione C c D.

5.11

LUNGHEZZA EQUIVALENTE DI UNA TRAVE CARICATA DI PUNTA PER VARIE CONDIZIONI DI VINCOLO L'analisi di Eulero indica clie la forma teorica della linea elastica in Fig. 5.24 corrisponde a meta di un onda sinusoidale. Per usare un'unica formula di Eulero come la (5.10) o (5.1 1 ) - per tutte le condizioni di vincolo, è consuetudine lavorare con la lunghezza equivalente della trave, definita come la lunghezza di una trave equivalente inceniierata agli estremi (ovvero come la lunghezza che comsponde a metà onda sinusoidale o, anche, coiiie la distanza fra i punti in cui -il momento flettente si annulla). La Figura 5.27 mostra le condizioni di vincolo che si incontrano più cornunemente nelle travi caricate di punta. I valori teorici della lunghezza equivalente corrispondono a vincoli di incastro injnitamente rigidi (cioè, rotazione nulla dovuta al momento flettente di reazione). Nella pratica ci si può solo avvicinare a

5.12

EQUAZIONI PIIK IL P R DI TRAVI ~ CARICATE ~ DI I'UWrA - FORMULA PARABOLICA DI J. B. JOHNSOrV A causa dellc inevitabili deviazioni dalla situazione ideale rappresentata dalle curve ACE e IIDF in Fig. 5.26, i l collasso delle travi caricate di punta si verifica per carichi più bassi di quelli predetti dalla teoria, in particolare in prossimità dei punti C e D. Per tener conto di questo, sono state proposte numerose modifiche empiriche. Alcune di queste sono incorporate in norme che riguardano il progetto di apparecchiature specifiche in cui sono presenti travi caricate di punta. Forse la modifica più largainente utilizzata k la formula parabolica proposta da J. B. Johnson verso l'inizio del secolo. Questa k mostrata in Fig. 5.28 pcr i duc casi precedentemente considerati. L'equazione della parabola è

Srbl~eiievi sia molta dispersione nei dati ottenuti dalle prove, la parabola di Johnson si trova in ragionevole accordo con i risultati sperimentali.

2 m m

C.

Il

8

C

2

2

O C,

O

E

zm .-'5

-

J C. ;, L LZ

Il

2 m >= C

52

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'2 g 0 -a

2.

La Fig. 5.28 iiiostrii che per i l ripporto di siie1ierz;i c;ilcol:ito siariio iiioltii di là del punto di tarigci17a >lilla curva AEe quiiidi entro i l carii1)io SII ciii si può effettivamente iipplicarr la fonnula di Eulero. I l valore finale. leggeniiente arrotoridato. ì. pertanto 38 rnni. ;l1

ESEMI'IO 5.12

Dcterniiiiare il dianictro di una biclla in alIuniinio

Ripetere il problema dell'Esernpio 5.1 I, riducendo la lunghezza a 200 nini ed usando alluminio di caratteristiche: S, = 496 MPa, E = 7 1 GPa. L,. p

P

O.2(4) - 32 0,025

Dati: Una biella di alluminio, lunga 200 mrn (Fig. 5.30) con niodulo elastico, resistenza allo snervainento e fattore di sicurezza noti 6 coriipressa da una forza nota.

l. Determinare:determinare i l diametro della biella

2.

5.13 S,

&

--

496 MPa 71 GPa (allurn I

La forriiula di Eulero ha fornito un diametro di 22 inm, mentre la foriiiula di Johnion mostra che il diametro deve essere maggioredi 22 inm. cioè 25 iniTi. Confrontando la risposta con quella dell'esempio precedente nel quale la hiella era lunea 1 rn e in acciaio. il risultato è auello che si Doteva attendere.

CARICO ECCENTRICO - FORMULA DELLA SECANTE Se la retta d'a~ioiiedella forza risultante P che agisce sulla trave non coincide cori I'a\.\c bariceritrico della sezione, la trave è caricata eccentricamente. La distanzii fra I'asse di carico e I'asse della colonna è l'eccentricità e. Tenendo conto del riioinento flettente P e , S I può derivare la seguente equazione analitica, nota corna /oi-rlz~il(lciella secarire':

Figura 5.30 Hiella iri aliumiiiio (usai3 riell'Esempio 5.12).

Ipotesi:

l. 2.

La biella è rettilinea. Gli estremi sono inceniierati e di conseguenza la lurighezza equivalente è di 200 mm. 3. La biella non cede a causa delle tensioni di compressione. a capacità del materiale di sopportare un carico di punta corrisporide alla 4. L linea AE di Fig. 5.28. 5. E' valida la fonnula di Eulero.

P

dove c è la distanza della fibra più esterna dall'asse neutro di flessione e r c l p ' è iioto come farrore di eccrrilricitu. li' importante notare che I'Eq. 5.14 è rrlativa ad un inflessione nel piurio del ~,zor~iento j7ettcrile Pe. Il raggio di inerzia, quindi, deve essere calcolato rispetto all'asse corrispondente. Se tale raggio non 2 anche il minimo raggio di i n e r ~ i a 51 . deve vrrificare la stabilità anche intorno all'asse di minimo p, usando le procedure per i l carico centrato descritte nel paragrafo precedente. Per illustrare questo punto, supponete che la trave in Fig. 5.24 sia caricata tla un forza la cui retta d'azione è spostata di una piccola quantità lungo I'asse ?i. Sebbene questa eccentricità auriienti la tendenza della trave ad inflettersi intonio ~ill'usseY, non ha nessun effetto sull'inflessione intorno all'asse h'. Se la sezioiie dell:i travr rappresentata in figura fosse più prossinia ad un quadrato. sarebbe facile

Analisi:

I

l.

Di nuovo, nell'ipotesi che la trave sia nel campo di Eulero.

2.

La Figura 5.25 mostra che per il rapporto di snellezza calcolato la trave è troppo"corta" perchè sia valida la formula di Eulero e deve quiiidi essere applicata l ' e q i z i o n e di Johnson. - -

I

'l.,i dcriva/.ioiir s i pub trovare in quasi iuiti i icsii di s c i e n ~ ddelle i«stmrioni

203

I>Ef;ORMAZIONI EL,ASTICHE, RIGIDEZZA f: ST.4RILII'A'

5.14 TISNSONI EQIJIFIAIJENTINICLLE TRAVI CARICATE DI PUNTA Coiiie notato precedentemente, le foriiiulc per le travi caricate di puntzi (coiiie quelle di Eulero e del Johnson) forniscono espressioni per deterniinare i! valore di S < , con i l qtiiile si può confrontare i l carico unitario applicato P / , . Po~siniiio perisare ad Scrcome ad una grzindez~acorrelata ad Sv dall'equaziorie

dove u è un frittore che riducc la resistcnw alla compressione a causa del1;i tendenza all'instabilità. Per le travi estrcmarnerite corie ( L j p < IO), n ì. in pratica iiguale ad I. Per travi più lunghe, n assume valcri crescenti. Nel criinpo di Eulero, dall'Eq. 51 1 segue che

s ( L ,/ p ) '

,

--

=

rr'E

Analogariientc nel campo di vrilidità della forniula di Johnson lisando I'Eq. 5 12 abhinmo

Finira 531 Confronto Ira le l n m u l c d i Eulero e della secante per E = 207 GP;i. S,= 4 0 0 hlP:i

visualizzare l'insorgere di una condizione di instabilità intorno all'a?.

1'1i~i.i 11. ('.

Josi-i~iP., dl«cliirtr Dc~sr~ti I>roj~r(.ls, K«ii:ild Press. Ncw York. 1057 8. Vii>osr-~, 9. W I L . I I T I I.)~. ~I'., "Fracture Mech;inics Giiidclines tor Aii-crirfi Stnictiira! Applic;iiioiis". Ii.S. Air Force Techiiical Report AF17DI_-TR-69-1I I , Feb., 1970.

5 22 Coppia torcente z(Nm) (b)

Figiira 6.21

( a ) Curve di diriribur.ione pcr r e ?. nell'Esempin 6 4. ( h ) Ciirva di cIi~tribu7ione

per z

Ipotesi: Sia la resistenza al serraggio del bullone che la coppia di serraggio sono distribuite normalmente. Analisi: a. o,= 1 N.m, o,,=1.5 N.ni. Dall'Eq. 6.15, o,= 1,80 N.m b. La figura 6.20 mostra che una percentuale di rotture dello 0.2 corrisponde ;i 2,9 deviazioni standard sotto la media: p; = ko, = (2,9) (1.8 N.rri) = 5.22 N.m. Quindi, p, = S,22 N,m. C. Poicht p, = 20 N.m, si ottiene dall'Eq. 6.14 = 14,78 N.m. Qiiesto è il valore richiesto della coppia di serraggio. Commento: Notare che la previsione dell'affidabilità con la teoria dell'interferenza non richiede n&preclude l'esistenza di uno specifico ordine di prova dei bulloni. In altri termini, un gmppo di S O bulloni potrebbe essere provato in un dato ordine ed un secondo gmppo in un ordine diverso avendosi sempre una sola rottura.

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6.

M A R I NJOSEPH, , "Theories of Strength for Combined Siress and Nonisotropic

PROBLEMI Paragrafi 6.3 e 6.4 6.1 Ripctcre I'Escriipio 6.1 iisaiido come in;iieri;ile uri acciaio DhAC alla ter1ipcratur.i di -40nF,cori proprietà S, = 227 k\i, S', = 107 hsi cd una tenacità i n stato piano di teiisione Kl,= 100 ksi dir1 6.2 Ripetere I'Escriipio 6.1 iis;iiido coiiie iiiateri;ilc iin acciaio D6AC a teinperatiira aiiibiente, con propriet'h Su = 220 ksi, S , = I90 k.;i ed iina tenacità in stato piano di iensione h',, = 1 15 ksi.din. 6.3 Ripeiere I'Eseiiipio 6.1 usando come materiale un acciaio 4340 a ternperaturo amhienic, ctin proprietà Su= 260 ksi. S, = 21 7 ksi ed iina tenaciià in stato piano di iensione KI, = I I5 ksi.din. 6.4 Ripetere l'Esempio 6.1 usando come materiale la lega di tiianio Ti-6AI-4V allo stato ricotto, con proprietà Su = 130 ksi, S, = 120 ksi ed iiria tenacità in stato piano di tensione K,, = 1 10 ksi.din. 6.5 Una lastra di larghezza 2ti = 8 in e spessore t = 0,05 in. è fatta di iina lega berillio-rame (Su = 1 l 7 ksi. S, = 98 ksi) ed ha una tenacità in stato piano di tensione K,, = 70 ksi.din. Essa viene impiegata per un recipiente in pressione. in cui è prevista un'ispezionc periodica per la rilevazione di fessure. Siiiii;irc 11 carico massimo, P (v. paragrafo 6.4. Fig. 6.2a), che può essere applicaio senza causare rottura quando iiiia fessura in posizione centrale è cresciuta fino ;id una dimensione, 2c, di 1.5 in. 6.6 Ripetere il Problcrna 6.5 usando coiiic inateriale un ottone con proprieià Su = 55 ksi, S, = 42 ksi ed una tenacità in stato piano di tensione K,, = 35 ksi din 6.7

Ripetere l'Esempio 6.2 usarido come materiale la lega di alluminio 7 0 7 5 - T 6 1

6.8 Ripetere l'Esempio 6.2 usando come materiale l'acciaio DhAC a temperatura ambiente. 6.9 Ripetere l'Esempio 6.2 usando come materiale l'acciaio D6AC a -40°F;. 6.10 Ripetere l'Esempio 6.2 usando come rriateriale l'acciaio 4140 a ternpcratiira ambiente. Paragrafi 6.5 e 6.12 6.11 I1 telaio di iiiia macchina P fatto di acciaio con S, = 400 MPa e S,, = 250 MPa. Da iina prova speririienialc è risultato che le tensioni variano lirieariiienie col carico. Sono staii individuati diie piinti critici siilla superficie. Con iin cnnco di

240

X IIKTI N O R M

F l l h l ~ 1 7.2 0

1 Dafi: Due barre tonde di geometria nota sono soggette ad iinpatto in tr;izionz. I

I

Capacità di ~ ~ s o r b i i i i e ndi t o energia di vari materiali

La Figiira 7.5 mortra un peso in caduta che urta iin blocco di niateriale con funrione di paraurti. Stiinare le capaciti di assorbire energia elastica dei seguenti ninteriali se iitilizr;iti per la costnizione del paraurti.

Ipotesi: 1 . La massa di ciascuna barra è trascurabile. 2. Gli spostamenti interni alle masse sono trascurabili. 3. Lo sniorzamento dovuto all'attrito è trascurabilc. 4. Ciascuna barra si coinporta elasticamente. 5. I1 carico d'impatto è applicato in modo coassialc. 6 . Le concentrazioni di tensione possono essere trascurate

I

Analisi: 1. La capacita di assorbire energia elastica per la Fig. 7.4~1si determina direttamente dalltEq. 7.5a, dove a = S,:

Densità (kN1rii3)

Materiale Acciaio (lolcc Acciaio ad alta rcsistcn~~i Guiiima

77 77

9.2

Modiilo Elastico (E)

Limite Elastico (Se. M P a )

207 GI'a 207 GI',ì 1,034 MP;i

207 828 2.07

Dati: Un peso cade sii iin paraurti fatto di un certo materiale. Determinare: Le capaci13di impatto elastico dei tre materiali, confroritandole. Scliema e dati: Vedi Fig. 7.5

Per la Fig. 7.46, le energie assorbite dalla parte superiore C dii quella inferiore devono essere determinate separatamente. La parte inferiore, di sezione più piccola, è critica; essa può essere portata ad una tensione pari a S,,, ed il suo ). la volume è VI2 (dove V = volume della intera barra in Fig. 7 . 4 ~ Pertanto, capacita di assorbire energia della meta inferiore 6

l

h

I

i

P a r a u n Ci sezione A u1urie= A i

"W-

Figura 7.5

Irnpatio in compressione su uii paraiirti.

1 Ipotesi: 3.

La fonatrasmessa lungo tutta la barra è costante. La parte superiore ha una sezione pari a quattro volte quella della parte inferiore; quindi, essa ha quattro volte i l volume e solo un quarto della tensionc. I'ertanto, Iii cap;icith di assorbire energia della meta superiore è

1. 2.

3. 4. 5.

La rnassa del paraurti 6 trascurabile. Gli spostamenii interni al peso in csdiitn sono traiciirahili Lo srnorznrnento C tr;iscur~il>ile. Il paraiirti si corriporta elasticarriente. il carico d'ilripatto è applicato uniforincriieiitc.

Analisi:

1. 4.

1

j

I

Confrontare la capacita di assorbire energia elastica delle diie

Llrema e dati: Vedi Fig. 7.4

2.

25 1

Commento: l ~ concentriizione i i11 tensic~iiciicl iiiczz.o della I>nrra a sezione viiriabilc ne ridiice iilteric~rinentcla capaciti C tende a frivt-irire Iti rotiiira fragile. Questo aspetto ! C sviliippnto nel prossinio paragrafo.

I m p a t t o assiale - Importanza d e l l ' i r n i f o r n ~ i t ~della i sezione La Fig. 7.4 mostra due barre tonde sottopoitc ad impatto in trazione. Qiiali sono le loro capacita di assorbire energia elastica? (Trascurare le concentrazioni di tensione ed usare S, come approssimazione del limitc elastico.) ESEMPIO 7.1

Determinare: barre.

- -

La capacita totale di assorbimento di energia6 la sornma di U,,e Ubu,il che corrisponde a solo cinque ottavi dello capacita di Fig. 7 . 4 ~Poichè . la barra in Fig. 7.46 ha 2.5 volte i l volume ed il peso della barra diritta, risulta che la capacità di assorbimento di energia per uni~àdi pe.to è qiinr/ro i ~ ~ l r e maggiore nella barra a sezione uniforme.

Dalla Fig. 7.3. l'energia di dcformazic-iiie elastica assortita 2 112Ft6, ci02 l'a-ea sotto la ciirva carico-spostamento. Al limite elastico. F, = S , A . e 6 = I;, U A E . La sostituzione di questi valori fornisce

1

252

IhlPArr'O

2.

ctie, naturalinentc corrisponde esattaniciiie all'l~q.7.5(1. La sostituzione delle date proprietà dei iriaterinli iiell'liq. li iridic;i clii: Ic capacità di assorbimento di energia elastica per uniti di voluriic del18acci:iio dolce, dell'acciaio ad alta resistenza e della gomma staniio iri rapporto di 1 : 16:20. Le capacità per unità di massa o peso sorio in rapporto di I :I O: 168.

Commento: L? capacità di assorbimento di cnergia elastica per iiriit:i di voliime di un dato materiale c del diagr:iiiiiii;i . ----è u a a l l ' a r e a sotto l a a i g ~ el:istica tensi~n-e ed è chiamata modulo d i reiilietizu del niateriale. La c a p a c i t i i d i a s ~ o ~ m e ndi t o energia rnfule~perunitàdi volurae del riiatcrialc è uguale aii'area totale sotto . - la curva .. - . tensione-deformazio~ (estes:i fino tiII;i rottura) ed è a volte chiamata modulo di rettaciru delmateriale. Nel prohlcrna ora esaminato i due accia~~differivaKo m i E a t Z M i e nel m o h l o di rcsilicn7a, ma i loro moduli di tenacità sarebbero stati probabilmente coiiip:ir:ihili. -,-m

~

-

-

-

3. Impatto flcssionalc - Effetto di una sospciisione elastica

E S E M P I O 7.3

La Fig. 7.6 mostra una trave di legno sopportata da due riiollc e ciirictita i11 flessione con un carico d'urto. Stimare la tensione e lo spostariieiiio iiicissiirii nella trave, nell'ipotesi che le masse della trave e delle niollc siaiio tra\c.iircihili.

4.

I'ertiiiito. la freccia totale all'inip:iiio vtilc 0,57 x 7,6 = 4,3 in., nia la freccia della sola travc è solo 0,07 Y 7.6 = 0,53 in. La tensiorie suII:i fibra estcrii;i piieswrc siiinata :i partire da t:, = l 0 0 x 7.6 = 760 Ib:

Soluzione Dati: Un peso di 100 Ib cade da una data altezza sii una tr:ivc di Icgno con proprietà del materiale e geometria note e sopportata su due rriollc. Determinare: La tensione e lo spostamento niassiriii nellii ti:ivc. Schema e dati:

i---- 30

81,

- -

l

Il, 1l a

100 Ihlin

-

-

#n

4

4

-

1i !

1

l

17 in

6 ksi

I

v X 3 3 n --

-

.-

'

60

,"

- .

--

l

-2 -.

l=bh31l7=646in' 1=i = 3 56 # n

l.

12a tensione stimata è hcn al di sotto dcl daio modulo di rottura di 6000 psi. (I1 rnod~ilodi rottiira è i l valore calcolato di M/Z;i rottura in una prova sratica standard )

~

@ Legno di pino 2 r E - 10psi M d u h di mllure

Conlnlenti:

1 0 0 , i >, r >

4

Se Ic mollc di 5upporto vengono riiiiosse, lo spostamento statico totale vicnc ridotto ,i 0.07 in., cd i l fatiorc d'impatto sale a 19,6. Questo darebbe una tcn5ionc rn:issinia nella travc di 8250 psi, che è maggiore del modulo di rottiira. Se I'eftctto iner7ialc della massa della trave non causa una tensione effettiva niolto rriaggiorc di 8250 psi. C possibile che "l'effetto di incrudirnent~din;iriiic~''niostrato in Fig. 7.2 sia sufficiente ad evitare la rottiira. Poich? pcr i l legno tale effetto è generalmente sensibile, le fonti che riportano proprietà dei lepnnriii spesso includono i risultati di prove standard i di impatto ~ i travi.

~ p

F i p i r a 7.6 Impatto in flessionc, con sospensione su molle elastiche

Ipotesi:

1. Come stabilito nel testo del problema, le masse della trave e delle molle sono trascurabili. 2. La trave e le mollc si comportano elasticamente. 3. I1 carico d'impatto è applicato uniformemente al centro della trav?. Analisi: l.

Le frecce statichc della sola trave, delle solc iiiolle e dcll'intcro

\i.;ii:iii:i

7.3 TENSIONI E DEFORMAZIONI CAUSATE DA URTI IN TORSIONE 1~';in:ilisidel paragrafo precedcnte potrcbbc essere ripctiiia per i c,isi di torsione. trovando un corrispondente iniicmc di cqua7.ioni. In alternativa. si sfniiierd I'analopin cjireiin fra sisieini massa-molla cd i casi di tor.;ionc, scrivendi, direiinniente Ic eqiiaiioni firitili. Le quantità analoghe coinvnlic \(>no

2.73

IMI'ATIO Sistema massa - itiolln

dischi solidi di (Iciisità p = 2000 hglrri' Id':ilbrro ì: di ;icci;iio (Ci = 7 0 GPa). ed i l siio pcso pii-l

m .2 3- -

Z Z "-Cr ,

,.C 2 C

u C " O

o

% 2

Cm, ,

om

U

-2 8

3

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Ez

89

C

z zE s s :

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-G 2-.- " & % E .L > > ,v

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' C

- - L

r-:

FATICA

8.1 INTRODUZIONE I:iiio ;i circa la nietà del diciannovcsimo secolo gli ingegneri trattavano i carichi variabili o ripctiiti allo stesso modo dei carichi costanti nel tempo, tranne i l fatto di iriipiegare iiiaggiori coefficienti di sicurezza. L'uso del termine fatica in qiieste sitiiazioni sembra essere stato introdotto dal francese Poncelet in un libro pubblicato nel 1839. Gli studiosi niodemi suggeriscono che l'uso della dicitiirafruttura progressiva sarebbe forse stato più appropriato. Le rottu.re pgr,'tfattca" hanno inizio con una piccola (di solito microscopica) frattura posta in una zona critica, caratterizzata da elevati livelli locali di tensione. Questa si trova quasi sempre in corrispondenza di zone di concentrazione delle t e ~ w e Inoltre, . il fenomeno risulta spesso legato a piccole discontinuità del ni:itcriale o a fessure preesistenti (si ricordi, dal Paragrafo 6.3. che l'approccio basato sulla mccc;inica della frattura assume la presenza di difetti iniziali in tutti i materiali). Una ispezione delle superfici dopo la rottura finale (si veda la Fig. 8.1) inoxtra solitarnente una zona in cui la fessura si ì: propagata gradualmente da una "linea di (temporaneo) arresto" ("beach niark") alla successiva, finché la sezione resistente residu:i non si è sufficientemente indebolita, da provocare la rottura finale i11 heguito all'applicazionc dell'ultimo carico. Questa può aver luogo allorchi. la tensione slipcra la resistenza a rottura. con modalità di frattura simili a q~iellcosscrv:ibili in iina prova di trazione monotona. Di solito, tuttavia, la rottura fiiiale è prev;ileiitenientc "fragile" e si vrrifica in accordo con i criteri di meccanica della fr~ilturnesposti nelle Sezioni 6.3 e 6.4. ( Si ricordi che la frattura fragile è S,i\,orita da concentrazioni di tensioni e da elevate v e l o ~ ; t a 8 i a p p t h z k n e d e l carico, condizioni che sono solitamente entrambe presenti al momento della frattura finale). Nella Fig. 8.1. la curvatura delle lince di arresto può indicare i l punto in cui ha ;iv~itoorigine la rottura. La zona contenente le linee di arresto prende usualmente i l norne di zona di Jiricu. Essa è caratterizzata da un aspetto liscio e vellutato prodotto dal ripetuto venire in contatto e separarsi delle superfici di frattura. Qiicsto :ispctto i contrappone a quello relativamente scabro della zona di frattura finale. Una ciiriitteristica distintiva della rottura per fatica dei materiali duttili è che l'intero processo avviene con piccole, se non addirittura nulle. deforrnazioni m:icroscopichc, mentre In rottura sotto un c:irico monotono è accompagnata da rilevanti dictorsioni.

8.2 CONCETTI DI BASE [ ~ ' i i:iriipio

Invoro di riccrca compiiito nell'iiltiriic~secolo ha consentiio iirin parziale

2 07

X 2 CONCI TI I 111 BASI2

269

fatica, è riccessarin che l'ingegnere concentri -. la sua atten7.1' -%me p o t..e.-' ~ i i P e r i c o ~ ocs3e1 o r i . s ~ ~ p o m e t t a t u r ficiali C punti diro.a.ouanc-La Fig. 8.2 rnostra una zona di questo tipo posia :iIl,i radice di un intaglio. /tiinienrac-rea, r r . s i s r e n . c ~ d _ g u ~i. , \ ~ ~ .s/>es~ocilrrc[~(inl~ eficoce_.ckm~ke..LIUlfe~~~.~.-m&~I~ siiperiori corotrerisriche nreccaniclrr. -- - . . . . . -e---

4.

S e ladcfqmazione plastica locale ì. sufficientemente piccola, il materiale piiò aiimentare la sua resistenza allo snervaniento attrave~soi l fenomeno dell'in~ cnidirnento, facendo cessare i fc.iinnieni plastici. In tal caso, il coniponente avrà in rcalià tratto beneficio del leggero sovraccarico. M a in presenza di livelli più elevati di deformazione plastica locale, i successivi cicli di carico causeranno una p & i W u a a d l pUtti'aJa (in accordo con i concetti discussi nel Paragrafo 3.3) finché la deformazione ciclica iniposta al materiale della zona pericolosa non potr3 essere sostenuta sen7a una rottura.

t o clistnittiva azione della d e f o r n i a i o n e plastica al suo apice r i s i ~ ~ s o g g e t alla ciclica localizzata A mano a mano che la fessuraaumenta di dimensiorii. riducendo . - in tal -nioc&!a sezione resistente e provocando un aumenta delle tensioni: I? sua ve1ocità d i a v à n ~ à m ~ ~ n ~ t ~ ~ a C ~ é ; ilai s-sisteare a~~Tché residua--non .risulta più in grado di sostenerei&a%gap&to ed ha luogq la r o t u d r a l e . solitaniente in accordo con i principi della meccanica della frattura. (Ci sono situazioni in cui una fessur;~di fatica, nell'avanzare, inconira una zona in cui il livello di tensione è più basso elo la resistenza del materiale niaggiore. e si arresta, nia tali situa7ioni si verificano assai poco di frequcnie). --

.L,nee di srresio' rBeach marki'l nella zona di roltura per

falica (superlicie liscia di aspetla 'vellulata'l

Figura 8.1 Rottura per faiica innescainsi nell;i zona < l i racci~rdodi u n albero a gomiti per uso aeornautico (acciaio SAE 4340. 320 I In)

comprensione dei meccanismi di base connessi con la rottiira per f:itic;i. Il testo [3] della Bibliografia contiene un sunto di molte delle attuali conoscen7.e nella forma in cui risultano applicabili nella pratica ingegneristica. Nel segiiito sorio riportati che $ rivelano utili pcr la coinprerisione dei alcuni sempijci~concet~if~nda,meenta~ fenomeni connessi con il comportamento a fatica. 1.

La rottura per fatica ha origine da de/ornlaziuni pla.sriclie ril>et~t[r,coiiic I;i rottura di un filo che sia stato rigetutamente piegato avanti ed indietro. S c n ~ ; i defomiazioni plastiche cicliche. la rottura per fatica non può aver I~iogo.

2.

Mentre un filo può essere rotto dopo pochi cicli di deformazione pl;istic:i macroscopica, la rottura per fatica avviene tipicamente dopo inigliaia o perfino milioni di ripetizioni di piccole plasticizzazioni, che spciso avvengono solo a livello microscopico. La rottura per fa!ica avveriire a livelli di tensione nominale molto inferiori al carico di snervaniento o al liniite el:i = 4000lA. I'cnaiito. qu:ilunquc sia l'area. risulta: aJam= 0.67. Questo rappoilo ì. rappresentato dalla linea OA in Fig. 8.22. Si rioti I'iriterpretazione che C po~sibiledare di q u e m linea. Se l'area A fosse infinitamente grande, sia O", che adsarebbero nulle. ed i l ciclo di tensione sarebbe rappresentato dall'origine, 0. Allontanarsi dall'origine lurigo I;) linea OA corrisponde a decrescere progressivaiiicnte i l valore di A. Per la parte (a) del prohlenia si richiede di determinare I'zirea corrispondente alla intersezionc di OA con la liriea [li durata a fatica infinita (coincidente, in questo caso, con qiiella per 10'cicli). indicata con il punto 1. Per tale punto: am= 57 ksi; pertanto, dalla relazione am= 60001A è possibile determinare per A un valore di 0.107 in.'. Dalla relazione A = ris-14, si ottiene infine: d = 0,369 in.. Questo valore si colloca pertanto all'interno del campo di dimensioni per il quale si pu0 assuiiiere C, = 0.9. coriie ipc~tizzatonella fase di costruzione del diagriirnnia. Nella maggior parte dei casi. i l valore ottenuto potrebbe e c c r e arrotondato ad un valore di d = 318 in. 3 Per la parte ib) del problerria. in cui si richiede unadurata di soli 10' cicli, è poszibile. alnieno in apparenza. procedere lungo la linea OA di Fig 8.22 fino al punto 2. dove la linea stessa interseca la curva corrispondente alla (liirata di 10' cicli. Tuttavia, se si supera il punto 3, il carico massimo di progetto, pari n 10.000 Ib., provoca tensioni che superano la resistenza allo sriervaniento. In iin tirante privo di intagli le tensioni sono uniformi e pertanto si nvrehbe una plasticizzazione generalizzata dell'intera barra. Kell'ipotesi che questo non sia ammissibile, è necessario scegliere i l diametro i n base al piinto 3 e non in base al punto 2. In tale punto si ha: am= 71 ksi, per ciii si »[tiene A = 0.086 in.? e d = 0,728 in.. generalmente arrotondabile a 0 = 5/16 in.. Questo diarnetro corrisponde ad una durata a faiica stiniata maggiore di quella richiesta, ma scegliere un diailierro appeiia piìi piccolo causerebbe uno snervamento generalizzato alla prima applicazione del carico di progetto. L'impiego probabilmente piìi comune delle relazioni per la valutazione della resistenza a fatica è connesso con i l progetto di componenti per una durata infinita ( O maggiore di 5 x IORcicli) o con l'analisi di componenti per i quali si intende avere iina durata a fatica infinita. In queste sitiiazione non è richiesto l'impiego di irlcciri-i ciirva S-h'. Si richiede soltanto di calcolare i l limiie di fatica stiniato c di tracciare la linea di Cioodinan per durata infinita.

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;\Il-la, i l che costitiiisce cvii'critcriiciitc iin;i circo\i;iriz;i I;i\orcvolc. 111 quanto, in caso contrario, anche piccoli graffi sii quella clie potrcl)hc ;iltriiiicriii chiamarsi una superficie liscia e levigata (che danno Iiiogo a valori cctrcriiaiiiciitc elevati di K,) ridurrebbero in modo disastroso la resistenz:~a fatica. L a figiira 8.24 fornisce una rappresentazione della sensibilità all'intaglio i i i funzione del raggio ;il fondo dell'intaglio stesso, per alcuni materiali di coniune impiego. Si noti clic, in . tutti i casi riportati, la sensibilità all'intaglio tende a zero al tendere ;i zero del ,! raggio. Si noti anche che i dati per gli acciai evidenziano iiri:i generale tendenzi verso ;na maggiore sensibiIità all'intaglio p s r i materiali più duri ed a più altri ~ i i i s ~ i F a ~ u e s significa to che,-anche s ~ i i p a s s a r da e un acciaio i k s s a resisten.za ad uno avente resistenza e durezza maggiori produce solitariiente un niigliora"4-.j me?!? della resistenza a fatica del componente, tale aumento noli risulta così 1 g ~ s d c c o m cei si $tiebbeaspettare, a causa della aumentata sensibilità all'intai41io.- lnfjne, la Fig. 8.24 mostra che iin determinato tipo di acciaio C Ieggernieiite r+~ù sensibile all'intaglio per sollec&ioni torsionali che per sollecitazioni assiali o fl~16riili._~ esempio, d un raggio di fondo intaglio di 0,03 in. provoca. in uii l l componente in acciaio avente una durezza di 160 HB, una sensibilità all'iiitaglio di circa 0.71 se il carico è di flessione o assiale e di circa 0,76 se i l carico è di torsione. La figura 8.23 mostra che l'effetto dell'intaglio per iina durata di 10' cicli i: considerevolmente minore di quello corrispondente ad iina diir;ita di 10Qicli. In alcrini lavori si suggerisce di trascurare l'influenza delle concentrazione di tensioni a 10'cicli. Sebbene questo suggerjmento sia supportato da alcuni dati. una analisi più accurata mostrerebbe come questo approccio sia valido soltanto per iriateriali relativamente dolci (acciai, alluminio, magnesio e probabilmente altri rincara), mentre per le leghe relativamente dure e resistenti di questi stessi metalli, l'effetto di intaglio per una durata di 10' cicli può essere quasi altrettanto grande di quello per una durata di 10kicli (vedi [6], Fig. 13.26). C'è una difficoltà fondamentale nell'analirzare l'effetto degli iritagli nella zona comspondente a piccoli numeri di cicli a rottura di curve conie quella mostrata nella Fig. 8.2%. Qiiesto è dovuto al fatto che la rcri.sione tiottiiriale calcolata usata nel grafico non è direttamente correlata con le vere condizioni di carico imposte alla ristretta zona alla radice dell'intaglio, in ciii si origina la rottiira per fatica. La figura 8.2 mostra un ingrandimento della zona dell'iiit;iglio di un provino simile a quello rappresentato nella Fig. 8.236. In presenz;i di carichi alternati sufficienti a causare rottura per fatica dopo, ad esempio, 101cicli, si +p&u&nno g~~tdi~in !utt+?n?-pic$da !o@'àlla haskdell'intaglio.Dato ~he~~ue~eta~egionè contribuisce solo in minima paite-.alla rigidezza ~- .~ ' d. e l l ' i n t e r ~ c ~!e~ ..odeformzioni - .n..e.. ~.., al suo interno sono devrniinate quasi interamente dal ,comportamento - e l a $ c ~ o o d ~ ~ 3 t ~che'la a l e ^circonda. Qiiesto a i ~ 5 C h e durante.~inapwy.a.di-fatica . a carico massimo costante, la dcforrnazione massima nella zona "vulnerabile" rimarr.~co~tarrted~~icl~ciiIo.~L'~/fEttiv .o----m o ~ e - E j r i t r o af$:zopna f può quindi variare significativamente nel ~ tempo, in d i ~-n .d e n z dellecaratteri~stighai a incrudimento del materiale. Pertanto, unp -- studioattendibiledel comportamento a fatica per picsoli numeri di cicli deve basarsi. sulle,.d.efo~azioni~ locali- e f f g t i v ~ , p i u ~ o s tche o sulle tensioni locali. nominali. Questo approccio basato su "cicli di deformazione" va al di là degli -scopiai'~cuopuì) ri\iili;trc l'orcciiiciitc c;iiirclaiivo ( i l \ero effetto dell'ininglio puì) ?.?sere \ ~ s t ; i i i z i a l n i ~riiinore ~ ~ t c di A' ). nel caso di dur;ite relativainenie brevi. A (~ucstopurito, i rende necessario considerare ~in'altroaspetto. E' preferibilc trattare K, come un fattore di concentrazione delle tensioni o come un fattore di ridiizionc della resisienza'! Su questa questione gli specialisti esprimono pareri ditcordi, nia in qiiehto libro K sarà considerato come unfurrore dj ~ ~-r i c c r r ~ r a z i o r i e .-i - t s i i Guiirdando la d g . 8.23. è evidentemente possibile considerare K, conie iin fartore di riduzione della rcsistcnza e calcolare un "limite di fatica con intaglio" dato dri SmCLC,C.(K, . Questo approccio sarebbe corretto, ma presenterebbe lo svantaggio di implicare che il niarcriale stesso sia indebolito dalla presenza dell'intaglio, mentre. ovviamente, non è così, in quanto l'intaglio W c a solamente uii innal7;imento locale delle tensioni. Inoltre, se si assume che fattoremoltiplicatiCodellétCGioKi~~~?~o~he di riduzionedella resistenza),-.le curve S-N e quelle di ducataa fatica costante risultano indipendefli daìiageo_m_e!ria dcll'intaglio e d.i~iene~~ertanlo possibile fare uso de!le~esse~.cu~e.per.component i con intagli di forma diversa. Tnfine. per poter tener conto delle tensioni residue provocate di1-r picclii aì-c?itico (coinc nel casc della Fig. 4.43). è necessario considerare K, come un fattore di concentrazione delle tensioni.

s si ai in

8.11 EFFETTO DELLE CONCENTRAZIONI DI TENSIONI IN PRESENZA DI CARICHI MEDI E ALTERNATI Nelle Sezioni 4.14 e 4.15, è stato mostrato come carichi elevati, provocando valori delle tensioni elastiche calcolate superiori alla resistenza allo snervamento. podiicano deformazioni plastiche e conseguenti stati residui di tensione. Si è ------inoltre fai10 rlotare come le t e n s i o n i u e provochino s e m p r r e ~ i i I j 5 Z < i m e n ~ o . ~ ~ . l e ~ ~ i i i ~ ~ e T i i G ~ - c o n s e ~ u di carico. Per illiistrare l'effetto delle tensioni residue sulla vita a fatica. nel caso in ciii siano presenti tensioni niedie, oltre alle tensioni alternate, si considerino gli esenipi riportati nella Fig. 4.47, Si supponga che la banii intagliata soggetta a trazione sia fabbricata in acciaio. avente Su= 450 MI% ed S = 300 MPa, e che le sue dimensioni e i l suo stato superficiale siano tali che le cur:e di durata a fatica costante stimate coincidano con quelle riportate nella parte inferiore della Fig. 8.25. La parte superiore della Fig. 8.25 mostra la fluttuazione della tensione in corrisponden7a dell'intaglio, calcolata senza considerare fenomeni di deformazicne plastica. 1 primi tre cicli corrispondono alle condizione di carico e scarico illustrata nella Fig. 4 . 4 3 ~I. due cicli successivi (curve tratteggiate) rappresentano un incremento progressivo del carico fino al livello riportato nella Fig. 4.436. Si noti che questi cicli, rappresentat i con linee tratteggiate. mostrane iin valore di tensione alla base dell'intaglio, calcolato elasticamente, pari a circa 7/6 .Ty. Analogamente i tre cicli rappresentati con linee a tratto intero nella Fig. 8.256 mostrano tensioni calcolate che vanno da un valore nullo (quando si rimiiove i l carico) a 400 MPa. pari a 413 Questo procedimento continua nella parte superiore della Fig. 8.25 sino al raggiungimento della condizione mostrata nella Fig. 4.43d. Qui. i l valore di tensione calcolato è pari a zero in assenza di carico ed a 2SI in presenza del carico massimo. Iiiiriiediatariiente al di sotto, nella Fig. 8.25. è riportato l'andamento delle tensioni cffriiive alla radice dell'intaglio Esso si basa sull'ipoiesi che i l comportap -

-4

1.

-

abbiano luogo deformazione plastiche rilevnriti alla riidice dell'intaglio, seii/.a iiiio snervamento dell'intera sezione - e siamo prossiini a qiicsta coiidizioiie soltarito i n corrispondenza del punto d. In sintesi, la procediira qui suggerita per la previsione dellii durata a fatic;i di componenti con intagli soggetti ad una comhinazionc di tensioni niedie ctl :iltcni;ite può essere così riassiint;i. Tutte -. le . t e n s i o ~ _ I s U , l a ~ ~ ~ n e n f eche d i tqueila z a(!t.rl!n !;.-

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4.

1.c tre coiii~~oiicriti di leii\iori~.I I I corrispor,deriza del raccorclo sono pari ;i:

5.

Applicando la procedura specificata per "condizioni di carico biassiali di tipo generiile" riclla Fig 8.16, i.. possibile costniire nella Fig. 5.28 una linea di Goodiii;in stimata per diirata infinita e per carichi diflessiotie. Siiccessivamente si riporta sul diapramma uri "punto di lavoro" corrispondente alle iensioni di flessione media ed alternata r~yuii,aleriri.Delle tre componenti di tensione deterniiriate. quelle torsioriali ed assiali sono costanti per condizioni operailve di regime, inientre le tensioni di flessione sono completamente ;ilteniate (la tensione di flessione in ogni punto del raccordo passa d;illa tra7.ione alla conipressione e di nuovo alla trazione durante ogni giro Jell'alhero). Usando la procedura suggerita per determinare le tensioni rnedie ed alternate equivalenti, si ottiene:

mrn ~uperlicitinia di macchiid i i i i ~ n i l o

i= 5

--

:

1 f_

D = t 0 mm (roda por curcineflo)

d = 16 rnm (diametro dell'amro)

f = 0.6 (,, . .,N , rappresentano le durate (in cicli) a questi stessi Iivclli di tensione, ottenibili dalla curva S-N appropriata. Si prevede che avvcngti la roitiir;i per fatica quando:

_

ld

J

Diagramma della Iensone in Iiinzione del tempo

.

L'uso della regola di accumulo lineare del danneggiamento è illiistriito nel seguente esempio.

E S E M P I O 8.5

Previsione della d u r a t a a fatica in prescriza di tcrisiorii alternate variabili in modo casuale.

intaglio, tipo di carico, gradierite di teri\ione e stato superficiale Determinare: Determinare la diirata a fritic~idcl componente.

Le tensioni (comprensive dei fattori di concentrazione delle tensioni KI) nella sezione intagliata di un componente fluttuano casualmente nella maniera indi. tensioni possono essere di flessione, torsione o assiali - o cata in Fig. 8 . 2 9 ~Le anche tensioni di flessione equivalenti prodotte da generiche condizioni di carico biassiali. Il grafico rappresenta quelli clie possono ritenersi venti tipici secondi di lavoro in condizioni operative. I l materiale è acciaio e In appropri;ita curva S-N è riportata nella Fig. 8.29b. Tale curva è già corretta per gli effetti del tipo di carico, del gradiente di tensione e della finitura superficiale. Valutnre la durata a fatica del componente.

I Soluzione Dati: Per un componente in acciaio, è dato l'andamento temporale, niisiirato sii una durata di venti secondi, del livello di tensione. corretto pcr gli effctti di

Scliema e dati: Si veda la Pig 8.29 Ipotesi: 1.

2.

I

1,'and;irnerito delle tensioni ottenuto coine ricultato della misurazione condotta per uria diirata di venti secondi. ci ripetcrà sino all'eventiiale rottiira del componente per fatica. E' possibile iitilizxare la regol;i di acciiniulo lineare del danneggiariirnto.

Analisi: Nella Fig. 8.290 si possono individuare otto cicli di tensione che superano il limite di fatica (pari a 60 ksi): 5 cicli ad un livello di tensione di 80 ksi, 2 cicli a 90 ksi ed I un ciclo a 100 ksi. La curva S - N mostra che ciascuno dei cicli ad 80 ksi consuma una pcute su 10'della vita. ciascun ciclo a 90 ksi utilizza una parte sii 3 . 8 10-d ~ i l ciclo n 100 ksi iisn iiria parte su 1 . 6 IO4. ~ Sonimando Ic frazioni di vita con5umate si otticnc.

11

5 10'

'I+!!L+_=+-

N,

N,

N,

2 +7=0,0001651 I 3,8.10~,6~10 i,::,

Per fare in modo clie la frazione di vita consumata raggiiinjia i l valore iinitario, il tempo di prova di 20 secondi deveessere moltiplicato per 1l0.000 105 1 =6059. Questo corrisponde a 20 19 minuti, cioè rrna durata conipresci fra 30 .q5 ore.

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i :no

o

Commento: la regola di accumulo lineare del d:inneggiarriciito p~iì, essere facilmente estesa alla trattazione di problemi in ciii si abbia a che fare, oltre che con tensioni alternate, con tensioni medie. Il prossimo problema illustrativo niostra questi aspetti per il caso di tensioni di flessione fluttuanti.

ESEMPIO 8.6

1110

'00

uo

Previsioni di vita a fatica - Tensioni di flessione variabili casualmente.

La figura 8 . 3 0 ~rappresenta la fliittuazione di tensione nella sezione intagliata di un componente durante quello che si ritiene sia un periodo tipico di funzionamento di 6 secondi. Le tensioni di flessione rappresentate includono l'effetto della concentrazione di tensioni. Il componente (Fig. 8 . 3 0 4 è fabbric;ito in iina lega di alluminio avente Su= 480 MPa e SI = 410 MPa. La curva S-N per . ciirva è corretta per gli effetti del flessione è data nella Fig. 8 . 3 0 ~ Questa gradiente di tensione e del grado di finitura superficiale. Valiitare la diirata del componente.

allurrinia

Lega di

5" = 410 MPa 5"

Soluzione

480 MPa

:

in!

Dati: Per iin componente in lega di alluniinio, sono dati l'andamento temporale tipico della tensione in esercizio per una durata di 6 secondi, corretta per gli effetti della concentrazione di tensioni, e la curva S-N per resistenza a flessione. corretta per il gradiente di tensione e per i l grado di finitura superficiale. ,lm O,

Determinare: Determinare la durata a fatica del componente.

*io,

Figura 8.30 I'icvi\iorii d i diirala a faiica pcr c a r i c h i v a r i a b i l i in modo casuale (Escmpio S 6 1

Schema e dati: vedi la Fig. 8.30 Ipotesi:

1. l. 2.

E' possibile utilizzare la regola di Miner. I sei secondi di funzionamento possono ritenersi sufficientemente rappresentativi delle condizioni operative da poter assumere che i l relativo andamento tensione-tempo si ripeterà fino alla rottura del coniponente. 2.

I1 periodo di 6 secondi incliide, nell'ordine, diie cicli di ampiezza a , tre cicli di ampiezza h, due cicli di ampiezza C, un ciclo di ampiezza d e uno di ampiezza 17. Ciasciino di questi cicli corrisponde ad una combinazione di tensione niedia ed alternata rappresentata come un punto nella Fig. 8.30h. Per escmpio. al ciclo a corrispondono 0- = 50 MPa e oo=100 MPa. I piinti d;ia fino a d sulla Fig. 8.3017 sono connessi con segmenti rettilinei al punto om= Susiill'asse orizzontale. Qiiesto fornisce una famiglia di quattro

eilap a,ale!3!ji3dnr wuais~sai!p oluauine uri !p o ~ e u ! q u i oollajja,l ~ ai~uieiio)nua]lo al!qe3![ddc auo~sua]!p o[[aA![ [au % o9 11 eei!3 !p 01uauiai3u! uri s i ~ s o u i1 c.8 .8!d e[ 'o!duiasa iad .!3e3ga 0110~11a i u ~ u i e ] ! ~ o s o u ~ ~alei3!padns ]n~!i rrzua]slz3i -eiuauine !p opri.13u! !iuauie11eii +!uo!sual!p !uo!zEi1u33uO~""3 aqn!1!~3a u w 3jpp oueiuasa~d!iuauoduio3 ! !]]n] a1uauiri3!lC~d oiuauioui l e a .!lueAal!i 12gauaq ouoSua]]o 'auo!sio] 0 3uo!ssa~u! a]~?3!ie3'jiahas a]uauiie[o3!ued !18eiu!uo3 I I U ~ L I o d ~ u o a.!le!3!padris ain]!u!j a ~ ! ] ] al]" e ~ a]uauilc!z!u! aiaAe uou !p ouaui t! o l l o p ! ~ o i [ o u 01xj3uaq uri ouoaB_3u a ~ u a u i l ~~~- s? s! ~J ~ ~ , , ~ ! ~ ~lpE !I ~u !I.i d~ !1uauod!o3 ~. ,11e!31padns !]UauiElleil !p auo!zt:~!~dde,llep 13!jauaq U O ! ~ % F U I I 3uei1 ouesscd ('2 !p !io[eh ~ s s e q aue~ossoi8 ) ![e!3!jiadns ain]!ug cp a-p !]ua!pei~! r i o ~ i:p !]rizzua~~eim 11uauoduio3I aq3 O]]VJ lap 3uo1ze8a1ds~ l u o i deuri 335!1LIOJ a1elo1 auo~suai!p !iua!pei% I uo3 ezua]s!sai !p !]ua!peia I aia~uoijuo3!p o1)aJuos [I .EJIIEJ e eleinp cllap oiuamne iin exldui! ai[" [ l 'EJIS!U!S OSJ3A (q(J~'8'8ld F[[aU[Il? OUIJ V t!p !]urid ! aui03) FlDU13][F 3 U O I S U J l - c!paui 3uo!sua1 euiuiei8e!p [ris , ' O A ! I E J ~ ~ Oo~und,,I! ou~lsgd'.' auo!ssaid~uo2 !p anpfsai !uo!suai al aq3 OIIEJ l! 3 ' 1 ~ * 8 . 8 ! qg a p aiuap!~aaicddii uou ai{?'C5[1LiJ r: t:zuais!sai E[ iad 0!3!J?uaq aio!jarrri u n .aiii3uoduio~lap ezu3iS.1~5~siinpu ozuas ('332 '!le13!jladns ! J J ~ : J' ~ ~ U O I S O J J O ~ !p i U 2 u i O U 3 J !p esnc3 e o~duissspr?) O!Z!Al3S u! !sieio!iaiap eirisiui aqqenb i11 ond oi[%lu!,jjap a ! ~ ~ i ~ a i lfi-atls ris ts!j!uS!s oiS%7j-.!iua8urii oueilnsii p a J a~iri:,al a[i!rib lau ciiu~idlap r:j.uapiiods!uos u! c a ~ 3 ~ j i a de[ n s 0110s c~cisods 1s i:iniioi r?iiri isicu(Y~ioaiu5iiilt?!z~iZ](~d (!ii 10 331111 D L I J I I ! I I ~I !~I I I l

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presenza di tensioni residiie. Per ;ipplicazioiii iri cui siario resc scii ti sollecit;i/.ioric ( l i flessione o torsione, noti ? infrcqiicnte che Iii c:ip;icità di resicieriza :i I':iiic,i risiilii più che raddoppiata. Le due sezioni successive discutono vari metodi per I'niimento dcll;i rcsisten7a superficiale. E' anche importante essere a conoscenza dei processi tecnologici clie possono causare iin indeboliniento del la siiperficie. L'operazione i -c 2 v .-

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iiuradegli i r a i i siiperficiali proieiiivi, esponendo nuovi "picchi" sulla superficie niciallica che si saldano insieme e sono successivanienie asportati dal movimento relriiivo. Coii la maggior parte dei niaieri;ili di uso ingegnerisiico, i deiriti superficiali forinati i r i quesio iiiodo si ossidano dando luogo a particelle abrasive in fornia di polvere. che si depositano e provocano la prosecuzione del processo di usura. Nel caso delle Icghc di ferro, la polvere di ossido viene talvolta chiamata "cacao", ;i caiisa del siio colore bruno. Le particelle di ossido di alluminio e magnesio presentano invece un colore nero. La resisienzii al "freiting" varia fortenienie per niaieriali diversi. I riporti duri iri leghe a baie di cobalio sono tra i riiigliori. Iii generale, i l coniaiio acciaio sii acciaio e gliii;i sii ghisa mostra iin hiioii coniportamenio. ma le interfacce nelle qu;ili iiiio dei nicialli ì. coiiiiuiio d:i acciaio inos\idahile o iitanio hanno iina bassa rcsistenzii. L'oitonc sii acciaio iende ri niosir2irc iin cornportnriicriio iiiigliore del-

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icricro dei diic inetalli sotiopo\ii ;i ~trisci~iiiiciito reciproco. I risultati delle prove per la dcicriiiiniizioiic clei coclficiciiii di iiiirii iiiostr.irio iina forte dispersione. iipicariicrite secondo uri fatiore 4 i r i piìi o i i i riiciio Acl eseinpio, se il coefficientc di usura osservato è pari a 100 i l v;ilnrc vero ( 1 1 h' v;irit.r;i tra 25 e 4 0 0 . Questo non può sorprendere, in quanto i Iciioiiicrii di iiiira ;idesiv;i inostrano una proporzionalità con la quarta o In qi~intnpotenza del cocfhcieritc di :ittrito, il qiialc è a siia volta noto con iinn forte incertezza. I l segiiente esempio mostra la valiit;irionc di K ;i pkirtirc (1;i diiti spcririiciit;ili.

Un dispositivo per prove di attrito del tipo perno-su-disco (Fig. 9.13) si 1i;is:i sull'impiego di un perno di rame di durezza pari a SO Vickcrs e dot~itot l i iiria testa arrotondata, che viene spinto con iina forza di 20 N contro la superl'icie di un disco rotante in ztcciaio di durezza Brinell pari a 210, i r i asscrizii di luhrificazione. Il contatto di,strisciamerito avvieiic i n corrisporideriza di iiii raggio di 16 mm ed il disco mota ad 80 giri al miniiio. Dopo due ore si procctic alla pesatura del perno e del disco. Si trova che I'iisura adesiva lia provocato perdite di peso nel rame e nell'acciaio eqiiivalenti rispcttiv:iriirnte :i 2,7 e 0.65 mm'. Valutare i coefficienti di usiira.

Perno Perdna d volume del

wrno = 2.7 mm'

r i

,

S,

Pcrdila d uiiurno del d8sco - 0.65 m-'

Disco

Uii i

-

?t, P.0II I P i l , ,

P r o ! in#l#al,

Soluzione Dati: L'estremità di un perno cilindrico \,iene premiita contro In \iipcrficic piana di un disco rotante. Determinare: i coefficienti di attrito.

I Schema e dati: vedi la Fig. 9.13

l

3.

I);illa rqii:izi«ne 9 . 13, i l cocfficiciitc di iisura risiilia pari a

l

Ipotesi: L'equazione 9. In è valida.

Analisi:

1

I.

2.

Distanza totale di strisciamenlo in due ore è pari a: mm giri min S=2rr(16)-.80-.6n-.2or-=9,65 10'niiii giro rriin ora Durezza del perno, H = 9,8 l(80) = 785 MPa (rame) Durezza del disco, H = 9,S l(2 10) = 2060 MP;i (acciaio)

l

-

0,6S(?OhO) = 6,94 10 ' (acciaio) 20i9.65 10')

Commento: Il voli~meusurafodel perno è calcolaiocome V p= ruPAp/4,dove A è I'iisura del perno misiirata nella dirczionc del siio asse e d è il dianietro deC perno stesso. Se d = 4 mm. dato che V = 2.7 mni', risulta Ap = 0,21 rnm. Il volume usiireto del disco 6 approssiinat~vanlentepari a I',i=rrD(iA, almeno nel caso in cui la siiperficie iisurata del perno si mantenga pianti. Qui A , è la profondità di usura nel diwo e D è i l dianietrci dell'anello uiiirato. Con d = 4 inm, D = 32 rrirri e V,= 0.65 rrirri'. si ottiene A,= 0.0016 m m . Si noti che la profonditi ili usura dei disco risulta rricno di I/IOO dell'usura lineare del perno.

I

CAPITOLO 10

COLIXGAMENTI FILETTATI E VITI DI MANOVRA

Ldi

INTRODUZIONE Una personli inesperta potrebbe considerare i collegamenti filettati (costituiti da viti, dadi e bulloni) una oarte di scarso interesse tra eli elementi costmttivi delle macchine. Guardando più a fondo il tecnico può invece verificare che questi componenti. apparentemente semplici, sono disponibili in una notevole varietà di forme e presentaiio soluzioni costmttive talvolta ingegnose. In molte applicazioni, I'incideni-a economica che i collegamenti, sia filettati che non, come le rivettature, hanno sul è molto rilevante. Ad esempio, la stmttura di un grosso aereo a reazione progetto . contiene approssimativamente 2.4 IO6 elementi di collegamento (tra bulloni, viti e rivetti) che comportano un costo di circa $750000 in dollari del 1978. Anche sotto l'aspetto della sicurezza i collegamenti sono molto importanti, in particolare nella costnizione dei mezzi di trasporto. Spesso associati ai collegamenti possono presentarsi problemi di corrosione, dovuti alla necessità di accoppiare elementi costituiti con materiali di diversa natura che possono dar luogo a fenomeni galvanici. Molti collegamenti richiedono inoltre una progettazione che consenta un montaggio che sia allo stesco tempo facile e di basso costo (spesso da potersi effettuare in modo automatizzato). E' talvolta importante anche la facilità di srnontaggio, allorchè nella vita della macchina sia necessario effettuare interventi di manutenzione o sostituire alcune parti. D'altro lato la difficoltà di smontaggio può essere richiesta quando. in certe situazioni, risulti necessario preservare parti di macchina nei confronti di atti di vandalismo. Recentemente stadiventando particolarniente importante la possibilità di effettuare lo smontaggio a fine vita per riciclare componenti e materiali. (Ionte di roya

Flgura 10.4 Profili dcllc Cileilaiure di manovra. [Noia: I Cileiii rapprcscriiaii sono crtcnii ( o v i c r o sono della viie e non dclla madreviie); dm è. . il diamciro medio d i coniaiio dei filciii c approssiriiaii .-. - . . v c e n i e vale ( d 5 ! ? ] .

Vr,!rrc la nr,mir ASSI h

li1 5~1077vi ulieriuri deiugli

Vcdrrc la iiunna A M I HI 9 1 9 7 3 F r ulicriori deilagli

Dente di . q a b

- - - - - 10.7- VITI DI M A N O V R A 37 1 clicoidalc pcrmcttc di rcaiiizare prccisi posizioii;uliciiu assiali cornc nei cornp;iratori . -~..... . niicromcirici o nella vitc-madrc dcl tornio. La Fig. 10.5 illustri in forma schcrnatica irc divcrsi tipi di martinetti a vitc. Si pub osservare chc in ognuno di essi I'elcmcn~oombreggiato più scuro, a cui 6 collegala la leva di azionamcnio. mota aiiomo all'asse dcUa Pilctlatura e clic un cuscinclto reggispinta a sfere trasmette il carico assiaie dail'clemcnto rotanic a qucllo non rotante. Lo schema meccanico dei tre martinctu 6 sostanzialrncnte lo stcsso C quindi si farh rifcrirncnto ad uno di cssi (iri particolare al caso C ) pcr dctcmiinan: il momcnio, Fa, che dcvc csscre csercitato sulla m a d ~ v i i cpcr sollcvan: un dato pcso. Girando la madrcviic rappresentata nclla Fig. 1 0 . 5 ~si cscrciia una azionc chc induce ogni porzione del profilo dcUa madrevite a scorrere sul filetto dclla vitc come su di un piano inclinato. S e si immagina di svilupparc ui piano il profilo di scorrimento per la lunghezza di un gin, complcto si ouicnc la rapprcscntazionc di Fig. 10.6. Lo sviluppo di un gin, complcto origina un triangolo avente cornc altczza il passo di avvolgimcnto e cornc basc la circonfcrcnza in comspndcnza del diamciro mcdio di filettatura pcr cui vaic la segucntc rclazionc:

L

tan h = -%n

in cui

1 = angolo di avvolgimcnto dcll'cli~a L = passo di avvolb'v~ncnio dm= diametro mcdio di contatto dei filctti

Sola 4 I

4 4J

Nclla Fig. 10.6 6 schcmatizzalo solo un clcmcnto infìriiiciiriio dclla rnadrcviie sul qualc agiscono: il carico vcrticalc W (chc 6 una por~ioncdel carico assiale iotale M?, la fona normale n di contatto tra i filetti (che t rapprcscritaia in visia C in vcra

I

Peso

I

scala nella sczioric A ~ A ) ,la f o r ~ adi atlrito fn e la f o r ~ aiangcnzialc q. SI puD osscrvarc chc il prcdo~todclla for1.a q pcr il braccio dmi2 rapprcscnta la parte di momcnio torccriic chc compete aU'clcmcnto infiriiicsimo di riiadrcvite in csamc. Applicando le coridizioni di equilibrio dclla siaiicii all'clcmcnto infinilesimo si otticnc pcr la direzioric orizzontale:

clic puD csscrc scritt:i comc:

Figura 10.5 Pcsi sollcvaii da riiarliriciii a vile. In ognuna dcllc solwioni solo la pane pii1 scura è roianie.

n =

il'

c o s a . tosi, /-seri i,

372

COLLEGAMENTI FlL.ETI'AT1 E VITI D1 MANOVRA

l O 3 VITI DI MANOVRA

373

Combinando Ic rclazioni a c b si pcrvicnc alla scgucnic: q=w

f cosh+cosa,senh c o s a . c o s h - f seri h

Cornc prima osservato. il morncnto prodotto dalla f0n.a q vale q(dm/2).Dato chc il blocco iniinilcsimo rapprcscnta una generica sczionc dcl filetto della rnadrevitc. integrando lungo lo sviluppo dcl contatto tra i liletti si oiticnc una rclazionc dcl iuilo analoga all' Eq. C ma nclla quale compaiono Ic f o n ~rotali agcnti W e N al posto di W e n. Pcrtarito il morneiilo T necessario per produm: I'innalzamcnto dcl pcso W valc:

Si fa osservare chc il momcnio T è anche ugualc al prodolto Fa nclla Fig. 10.5~. Daio che il passo di avvolgirncnlo L è una grandezza di più imrncdiata conoscenza rispcito ail'angolo di avvolgimento h, una forma più utile per c;ilcolarc il rnorncnio iorccnlc puD csscrc oticnuta dividendo numcratore C denorninaLorc per cosh c poncndo Llxd, al p o s ~ odi ian h. Qucs~csosiiiuzioni pon'mo alla rclazionc scgucnlc:

T=-

LVd, fitd, 2

+L cosa

n

xd,cosa,-p.

Mqlkap&~A*IWanidi~vili di manovra prevedono l'uso di un collare reggispinta (rcalizzaio rncdianic cuscinctli di roiolmcnio o striscianti) che trasrnctlc il carico assialc~raI'elcmcnio rol;inlc c qucllo non rotmic. Ncgli escmpi di Fig. 10.5 qucsia funzione è svolta da un cuscinetio rcggispinta a sfcrc di diamctro dc. In molti casi vicnc uiilizzato un scmplicc ;mcllo rcggispinta a strisciamcnio. Se si assume non ~rascurabilcil cocfficicntc di atlritofc in corrispondcnza della superficie ponanic dcl collare, si dcvc considcrarc un aurncnio dcl morncnto lorccnic necessario pcr sollevare il peso che valc lVfcdj2 l. 11 rnorncnio iorccnle iolalc ncccssario \. zlc quindi:

T=-

Wd,, fnd, 2

+ L c o s a . +-LVfcdc 2

xd,cosa,-p.

2

fxd, + L xd,-p.

+-WfCdc 2

Nel caso raro in cui sia necessaria ima più accuraia valuta7ionc dcil'cffctio dcll'aitriro sull'elernenlo di spinta. possonocsscrc irnpicpaii I rneiodi dcscriiii ncl Capiioli> 18 relativi ai dischi roianii. l

Pcr la Pilcilaiur~iACME. cos a" t così prossiriio ;ill'uniiA clic l'cqu;i/.ionc 10.40 puD csscrc usata scnza ;ipprc/.zahili crrori anchc pcrchC m o r i m;iggiori si cornnicilono pcr Ic iriccrtczzc sili ctxfficicnli di ailrilo chc sono tipicanicnlc affciti (!;i inlrinscchc variabililà. Ncl scguilo dcl prcscntc paragrafo vcrraruio ricavaic niolic allrc rclazioni, sia pcr il caso gcneralc chc pcr il iilc~ioa pane quadro. Quesi'uliirnc formulc poiraruio csscrc utilizzaie con sufficicnlc approssirnazionc anchc pcr lc hlcitalurc ACME. E' cvidcnic chc l'irnpicgo dcllc fomiulc gcncrali fornisu: coniuriquc la rnigliorc stima in ogni condizione. Ncll'analisi svolla finora è implicita l'ipolcsi di csercitarc il moincnio iorcciiic ncl scnso di sollevare il pcso ovvcro di prcdurrc una for/.a assialc ncl vcrso oppos~o a quello- dcl carico cslcmo. Sc si vuolc considcrnrc il problcnia di a h h a ~ s a r eil carico, l'analisi prcccdcnic rirnanc sos~anzialnieriicvalida cccciio chc pcr quanio riguarda i vcrsi dcllc forzc y C fn (Fig. 10.6) chc dcvono csscrc invcniii. Cori passaggi clcl Lullo aiialoghi si pcrvicric, nrl caso di momcnto chc fa avaniiire I:i madrcvitc nclla dirczionc dcl carico csicmo, alla rclazionc scgucnic:

(10.4)

Ncl caso panicolarc di filetti a pane quadro. cos a" = I . la rclazionc 10.4 si semplifica nclla rclatioric scgucnlc:

T=-Wd,

F i g u r a 10.7 Angoli ilcll'clica riiisiiraii rispciii ai 1ii:ini assiali e noniisli (n i: n" rislxiiivanicn ie)

IVd T-"---" 2

fnd

-Lcosa,

xd, c o s a ,

+ fl,

+-Wf:d, 2

chc valc pcr una lilcii:iiura gcncrica. nicriirc Ixr il 11:inc quadro > i oiiicric.

l o '3 VITI DI M A N O V R A

10.3.1 Valori dei coellicienli d'attrito Allorchè vengano utilizzati per i collari dci cuscineiti rrggispinia a rulli oppure a sfcre, il cocfficiente fc risulta talmente basso che gli effetti dell'attrito possono essere con buona approssimazione trascurati nciia valutazione dci rnorncnto, eliminando il secondo addendo neile relazioni precedenti. Quando viceversa si impiegano cuscinciti a strisciamcnio,f e/c hanrio valori chc normairncntc sono cornprcsi tra 0,08 e 0.2 in normali condizioni di lubrilicazionc C pcr contatti di acciaio con ghisa o bronzo. Ilcampo indicato si riferisce sia ai valori di attrito statico chc dinamico e s o l i m e n t e il cceflicicnte statico è approssimativaniciiie un i c r ~ ornaggiorc di qucl:o dirianiico Paiiicol.iri liiiiiiirc. ir:iti~rnciiiihuprliciali o p p u ~ l ' i r n ~ c & )ailliiti d i ricopiimcriii [)ossonoproifum aiictic un dinic//;iriiciiio dci valori riportali (vedi paragrafo 9.15)

10.3.2 Angolo del filetto stil piano normale La Fig. 10.7 rnosira I'inclinazionc dcl filciio valuiaia sul piano normalc (il valo,r$p" di t d e p g o l o t siaio usato ncilc equazioni prcccdcnti) c l'inclinazione valutata su un piano assiale (a,valorc normalmente spccilicaio nclla dcsignazionc dclla filenaiura, vedi Fig. 10.4). La Fig. 10.7 permciic di giusiificarc In scgucnic rcla~ioncirigonomcirica tra i duc angoli: - - --

E' cornuiiquc opponuiio osscrvdrc clic, aiictic W un &Capp!amcns risulta auiobloc~m a ~coridiuoni s l ~ i i c l iuso_p@ ~. ma csscrlo più in condizioni dinami chc -Qu~rn-olarn1ente in>ponarilepcr i colJ.cgamx&@builonati nci qiZiT vili c dali. che sono autoMoccaRti s u a n d e a d a~ h ~ n o la tcndcnza i l ' a i l c n l a r n c ~ ~ se ~ .so~opasfi Ò a .nbrazioni. ~ c paragrafo l 10.8 v ~ r r a n n o ~ i e s ~ ~ ~padcolari i c u n i sistcrni in grado di garantire I'antisvitamcnto in presenza di vibrayioni. -

I l lavoro rncccanico Talio ricl corso di una rotazione cornplcta della rnadrevitc (cornc ncl C3SO rapprcscntaio in Fig. 10.5) pub csscrc vaiutaio moltiplicando la forza per lo spostarncnio ovvcro W L . Pcr crrctiuarc qucsio lavoro stato peraltro ncccssano far compicrc una roia~ioncdi un angolo giro ( 2 n ndianii) al momento motore. cornpicndo quindi un lavoro pari a 2nT. Si dcfiniscc ~ridirncnio(efficicncy) dcl sistcrna di sollcvamcnio il rdpporto WLI2nT. Sosiiiucndo a T la su;] csprcssionc dala C1;ìIl;i ~ ( l u a ~ i o n10.4 c C trascurando I'aitriio ncl collarc, si oiiicric:

Kciidi riicn io

~

tana. = ianacosh

375

L *,c = nd,

nd, c o s a , - jL nfl, + I , c o s a n

-

( l 0.6)

-___

__v-

Per piccoli valon di inclinazione dcll'angolo dcll'elica, cosh t normalrncnic considerato coincidcnic con I'uniia.

clic ncl caso di viie a pane quadro divcnia.

10.3.3 Filettatiire reversibili ed aiilobloccanti Supponiamo. scnza pcrdcrc in gcncraliii, di prcndcrc cornc rifcrirncnio il caso di Fig 10.5, urla filcitaiura si dcliniscc aurobloccanre o non rcvcrsibile sc risulia ncccssario applicarc un rnorncnto iorccnic positivo (nclla dirczionc dcl rnovirncnio) pcr produrre un abbassarnenio dcl carico. Viccvcrsa, sc il solo pcso t suflicicnic a far ruoiarc la rnadrcviic, c quindi un rnorncnio iorccntc ncgativo è ncccssano per rnantcncrc il peso ncila sua posizionc, la viic si dcfiiscc rcversrbile o anchc rerrograda. Ncll'ipoicsi chc l'aiiriio sul collarc possacsscrc irascurato, l'c-qu:izioric 10.5 mostra chc la condizione pcr avcrc un accoppiamcnio non rcirogrado t 13 scgucntc:

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c]itaifro

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E ' scrnprc i~iruiiivo~Uroriiarcun pioblcnia da duc purili di vista dirrcrrriii c giungcrc 311(1 sicsso risuiiaio. A ialc fine I'cquazionc 10.8 pub anchc csscrc dcdoiia valuiando i l rrippono ira il rnorncnio ncccssario per sollcvarc il carico in asscnza di riitnto +O) C i l rnornciito crrctiivo daio dalla cquazionc 10.4. Qucsto sernplicc cserci7io k 1:isciaio al Iciiorc Sc si sosiiiuiscc I'cquazionc 10 1 nclla 10.8, dopo facili scrnplific;vioni si gi,?iingcalla scgucnic

oppure

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(10.7a)

376

COI-LEGAMENTI FILETTATI E VITI DI hlANOVRA La Fig. 10.8 mosira, pcr una filcitaiura ACME, l'andamento del rcndiniciiio in funzionc dcll'angolo di inclina7.ionc dcii'clica pcr differenii valori dcll'aiirito. E' opponuno soffermarsi sull'csame qualiiativo dcllc curve riponiitc ed cffciiuarc alcune considerazioni. 4 1.

eg e!~v~gtk~c~~cicnic di aiinio,crnino_n:risulta il rendirnenio.

2. I1 rcndimcnto tcndc a zero pcr angoli di inclinazione dell'clica che icndono a zcro; quesio può csscrc spicgaio intuitivamenic ad cscmpio riferendosi alla Fig. . . 10.6 ed osservando che, p c 7 W e h a . - g r a n p a m d c l l a v m moto-_-~e_nc-gs.sipao dalllamitc~-_ne!! w g o . ~ ~ ~ r s o _ . n c c per e ~ op t c r produrre uno sposiameni,o,ossc c!i una relauvaqcnic~piccolacntil3. . - ~

3. Il rendimento iende a ridursi anche per valori dell'angolo dell'clica h che si avvicinano a 90". Una dcbole riduzione di rendirnenLo si haaumentando l'angolo a" da zero (pancquadro) a !4,5O (ACME) mcnirc il rendimento iendcrcbbc ancora a zero se ansi avvicinasse a 90". Qucsio avviene perché, i ~ t o m a g g i o r c è l'angolo formaio dalla pcrpcndjcolarc ai fianco del Tilciio con l'assc deila viic,

tanto più e l e v . a ~ a . h l r a . l a _ f on.ow!e ~ dlcqn-io-necessaria= equilibrare una,da!a.forza, assiale. Unaumcnio della forza normale comporta un corrispondcnic incremcnio dclla foma d'aitriio chc è ad essa l e g a i a - f a u n a Tcggc di proporzionalil3 di-ttalPcr rcndcrsi conio di cib si pub perisare di comprimcrc un anello a s&ionc retiangolare contro una supcriicic piana e di farlo coniemporancamcnic molare. 11 momcnio necessario sarh ccnamcnic più basso di qucllo chc scntirebbc, a panià di maicriali c di spinia assialc, a far ruoiarc un cono all'inicmo di una caviih dclla sicssa forma. La maggiore difhcoiih è spicgabile c o ~ ~ c f l w o ~ m c o ' caumenta he la f o r ~ anormalc di coniaiio a paritA di for/,a assialc cscrciiaiì. Se il scmiangolo di apcnura del cono è molto piccolo (icndc a 0°), far ruoiarc il cono può divcnirc praiicamcnic impossibile.

10.3.5 Viti a ricircolazioiie di sfere Figura 10.8 Kcndinicriii di [ilciiaiurc AChlE quando

La figura 10.9 illusira lo spaccaio di una viic a ricircolazione di sfere; il moio di sirisciamcnio tra i ficiii della viic c dcila madrcviie è sostiiuiio da un coniniio di quasi puro rotolamenio ira Ic &cC-c Icpisie-ricavaic sia nella viie che nclla madrcviic. Qucsia soluzionc nducc drasticmcnic I'aiinio e pona il rcndimcnio a valori cornuncrncnie niaggiori di 0,9. A causa del basso aitnio, le viti 3 ricircolazionc di sfcrc non sono gcneralmcnie auiobloccanti. Qucsio componn la ncccssiih di impicgarc un frcno sc 2 necessario m.micncre il carico in posizione. D'aliro laio pcrb. la vite risulia re~ro,qradaC cib conscnic di produrrc rapidi moti roiaiori escrciiando carichi assiali cori rel;iiivarncnie piccoli sposiamenti. I l fun/.ionamcnio di qucsic vili 6 di lipo rcgolarc anche in regimi di moto caraiierizz;~~ da basse vclociih o da azionamcnii inicrmiiicnti. Non insorgono infaiti pcnurbazioru dcl moio dovuic a "siick-slip" che invcce si possono osservare ncllc normali viti sinscianii (il fenomeno è collegaio alla dil'fcnnza ira I'aiiriiodinamico e quello di primo disiacco). La capaciih di carico delle vili a ricircola/.ioric è cornuncrncnic mriggiorc rispciio alle viti a sinsciamcriio di ugualc diamciro. Lc dimensioni più piccole e il peso rninorc sono ialvolia un notcvolc variiaggio. D'aliro Iaio. problemi di insL~bilith clastica (pcr viti lunghe e comprcssc) o di velociih critiche (pcr viti Iunglic e

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Aila fine si possono scnvcrc Ic csprcssioni per Fbc F ncl niodo scpcriic

304

COLLEGAMENTI FILETTATI E VITI DI MANOVRA

in cui g rappresenta una lunglic7za effettiva pcr enlrambi. Nella dctcrminru.ione di kc sorge una duplice diificoli3. 1. Gli clementi coniprcssi spesso consistono nclla sovrapposi7.ionc di sirati di

maLcnale diverso ctie rappresentano clcmcnti clastici in serie. Iri tale circoslaiiza

t ricccssario uliliz7arc la iormuln delle molle in serie:

(Forza di repJrarionepr ogni bu:bnaJ

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Flgura 10.26 I;, e arsialmenic rigidi

5 i r i funrionc di F, pcr il caro di bullonc defonriahilc clic collega elcmmii

Le Eq. 10.13 sono rappresentate graficamente nclla Fig. 10.27. L'esame della figura offrc lo spunto per due ulicrion intcrcssanti considerazioni.

2. L'area eilicace Ac, ovvero eiicttivamcnie collaborante. dell'clemento compresso t difficilinenie vnlulabile. Qucslo ialio t panicolarnenie vero se le piastre hanno una forma irrcgolare oppurc anche solo se esse si estendono sensibilmente nel piano pe~ridicoliircall'asse dei bullone. Un pmedimento cmpirico s p s s o inipiegnlo per valut;irc A' t mostrriio nclla Fig. 10.28.

Una pr(~~. (b) Mostrare su.un diagramma iensione aliemaia - iensione mcdia che rappresenii la condizione alla radice del fdeito: (1) appcna dopo il forzamenio iniziale, (2) duranie l'esercizio con il carico variabile tra O e Pf2 (ovvero usando il valore di P trovato e un faitore di sicurezza 2). e (3) con il fermo macctuna dopo l'esercizio ua Oe P/2. [Risp.: Approssimativamenie 183 kN] 10.37 Due piastre di alluminio, pani della struiiura di un aereo, sono fissate insieme mediante un bullone UNF da 0.5 in e di grado 7. L'area efiicace delle piastre di alluminio iniercssaie alla comprcssiorie 6 12 volie maggiore della sezione del bullone & acciaio. Il bullone 6 inizialmenre serraio con una forza pari al 90% della iensione ammissibile. Un carico che varia ira 0 c P tende a far allonianare rccipmamenie Ic piasire (producendo un effetio flessionale trascurabile sul bullone). Assumendo un cwliicienie di sicurezza pari a 1.3. deierminare il massimo valore di P clie non causa la roiiura per fatica del bullone. Che Sor~aresidua di serraggio nniane sulle piastre quando quesio valore di P agisce'?

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PROBLEMI 439

10.38 Rivedere la soluzione data pcr gli esercizi di seguiio elencati e, sulla base delle u~rorrnazioniconienuie nel Paragrafo 10.12 e della Tab. 10.7. commentarli circa la probabile accuratezza sulla previsione di resistenza a fatica. In base a queste conclusioni, sembrerebbe importante specificare che il processo di mllaiura sia eseguito dopo il trattamento iermico? (a) Esercizio 10.33. (b) Esercizio 10.34. (C) Esercizio 10.35. (d) Esercizio 10.36. (e) Esercizio 10.37. 10.39 Una applicazione panicolzrmenie criuca richiede l'uso di un bullone di dimensioni più piccole possibili per resisiere ad un carico dinamico che tende a separare i l giunto e che vana ua O e 100 kN. E' stato valutato che, adottando un bullone realizzato con un acciaio ad elevala resistenza (S = 1200 MPa) ed una speciale procedura di serraggio che permette di reafizzare un precarico di A,Sp, , è possibile oitenere un rapporto di rigideue k) k, pari a 6. Si può scegliere qualunque fdetto e finitura superficiale riportata neUa Tab. 10.7. Con un coefficienie di sicurezza pari a 1 nei confronti della roitura per rauca, qual t il bullone avente fdenatura metrica che può essere impiegriio? Fissato il fileno. la finitura superficiale e il preserraggio, che forza residua di compressione si eserciterh tra le piasire (almeno inizirilmenie) quando viene raggiunto il canco di 100 kN?

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CAPITOLO l1 RIVETTI, SALDATURA ED INCOLLAGGIO

11.1 INTRODUZIONE Anche i riveiii e i chiodi, coine Ic viil ed I t>iilloiii (Cap. IO), sono disponibili i i i griinde varietà e spesso la loro tipologia cvideiizia urla noievolc ingegnosità. La hrevc iratiazione clie vicne loro riservata iri qiiesto capiiolo. ha lo scopo di far acqiiisire al lettore una certa farililiariti con le scelie pohsibili, c di predisporlo per I'applicazionc dei principi basilan dell'analisi dei cariclii c delle iciisioni. nei nguardi di questi particolari elemcnti di unione. Per quel che riguarda le saldaiiirc c gli iricoll,iggi, la loro trattarionc in quc\to voiurne potrebbe non essere condivisa da tiitti. dal rnorneiiio chc non sono compoileriti di inaccliine. In realià, poicliè I'ingegricrc è frcquentenieriie chiariiaio a risolvere aituazioni in cui occorrc sccglicrc fra I'iriipiego di eleinenti di fissaggio filetinti r non (che sono componenti di rnacchine) e I'altemativadi saldare ed incollarc, semhr;i iiivcce appropriato trattarli insieine a yueaii coniponenti, sebbene brevenicnie. Avendorie lo spazio, riieriterehhe di caserc tiaitata in quesio sieaso capi~olo iin'alira tecnica (11 aaseinhlapgio, che cori\isic ricll'oitcnerc le giunzioni attraver.;o iin ineccanismo a scali» (~nclp-/il). Quchto tipo di collegamenio può esserc congegnato fisso o smontabile e rappreseni'i tini tecnica di giunzione. poienzi;ilinente niolto efficace ed econornrca, che viene ben descritta in [.?l. Altre tecnichc di collegamenio e giunzione. discusse in [ ? l c iri [SI,(lovrcbbcro diventare farnili:iri all'ingegnere inieressato alla progeiiazione delle apparecchiature incccaniche

11.2 RIVETTI E CHIODI I rivetti* convc:nzionali ad impiego \iniiiiirnlc, illiistrati in Fig I I I , sono larga niente usati nell'industria aeronautica. dei ira5porti e pcr iutii qiici prodotti indii~tri:ili clie richiedono una alta resistenza nelle giunzioni F.s~iaono ;iiiche iis;iti nellr costruzioni civili, navali, delle caldaie e dei poiiii (col nome di chiodi i i d r ). anclic \ r negli ultimi decenni abbiamo assistito, per (lileste ;ipplicazi»ni, ad iin uho c m p r r maggiore della saldatura. Per motivi di sicurezza. la progettazione delle unioni con riveiti è regolata da norme emesse da sociei:~tecniclic come I'ArnPric.nn Insrirur~(!t Srec.1 Consrrucrion (AISC) e I'Amerircln S o ( - i e ~q/Mec.hari~cnlEn,qinc~c,rs(ASME] I,a Fig. 2.19 illustra una tipica unione cori rivetti ]:cr In qiralc. nel Paragrafo 2 6. diseussa un'analisi dei carichi fatta secon(lo Iincc di forra sovrahhondanti L3anali\i

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.l'ubolrirc interamenlc foralo Figura 11.1 Rivctto convcrizionalc a sczione [iicna pririi;i C dopo la

A doppia coda

delle sollecitazioni di trazione e ta lio è siniile a quella fatta per i bulloni nel Paragrafo &l04 e 10.5 (Paragrafo 10.10) 6 applicabile :il 1 0 4 . Gran parte deg=pi rivetti. Una significativa tensione iniziale è prevedibile nei chiodi, che vengono montati al calor rosso. Questa tensionesi maifesta-d~r~~t~l raffrcjdamento pcr effetto della contrazi~cet ~ r i c a . ____-----Mentre da un lato lo sviluppo delle moderne apparecchiature per saldare ha ridotto l'importanza dei chiodi nelle applicazioni struttur;ili pesanti, dall'altro lo sviluppo di moderne rivettatrici ha grandemente favonto il loro uso nell'assemblaggio di componenti più piccoli, in una molteplicità di prodotti industriali connessi con I'autoveicolo, la stmmentazione, l'elettronica, i l mobilio. le macchine per ufficio. In questi ed altri campi di applicazione, i rivetti ha-n.np_,-frequentementesostitiiito gli elementi di fissaggio filettati a causa del più b a s o costo d'i installazione. Essl~'inf:itti, sono più economici dei bulloni. e le attuali rivettatrici ad alta velocità - alcune dellc quali riescono a montare oltre 1000 rivettilora - rendono basso i l costo dell'assemblaggio. I rivetti vengono anche impiegati come perni per articolazioni, per contatti elettrici, fine corsa ed inserti. I n confronto con gli elementi di fissaggio filettati, i rivgt(no-~sono suscettibili di allentamenti, ma d'altra parte non consentono lo smontaggio e la manutcnzionc. A chi, infatti, non si è presentata la necessità di dover smontare un'app;irecchiatura elettrica per esegiiire una semplice riparazione (forse un filo elettrico staccato all'interno della cassa di un orologio sveglia. o della spina di un ferro da stiro) solo per constatare che erano stati usati dei rivetti ed essere costretto a gettare l'apparecchiatura per acquistarne una nuova. Per questo. a dispetto dell'iniziale economicità della fabbricazione. le applicazioni con rivetti sono a volte discutibili in rapporto ai criteri di economia e di ecologia, nonostante i l fatto che i l costruire un dispositivo elettrico che non possa essere smontato e manomesso dall'utente mcdio costituisca una caratteristica di sicurezza. Questo punto dimostra che decisioni ingegnrristiche apparentemente semplici, spesso richiedono approfondite considcraioni su molti fattori, e che la migliore soluzione può richiedere inventiva e nuovi approcci di progettazione per un compromesso ottimale tra esigenze econoinictie, di sicurezza ed ecologiche! Gran parte dei materiali duttili. coiric l'acciaio non legato, le leghe d'alluininio e l'ottone, per citare i più diffusi, possono essere impiegati per fabbricare i rivetti. Possono essere applicati vari tipi di rivestimento: galvanici,di ossido o con vernici. In generale, un rivelto non piigarantire t t ~ a~ecistenzauguale a quell;i di un bullone o una vite di ugual diametro. Come per i bulloni, comunque, particoiart: attenzione va riposta nella scelta dei materiali da tenere insieme, a causa dcll'azionc galvariica che collegamenti siffatti possono innescare.

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pressione

Figura 11.2 Tipi base di rivetti tubolan 171. (a) Semi-tubolare. (b) A penetrazione. A pressione.

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1. Poichè il nnforzo non è rasato, c ' è una concentrazione di tensione sul lato del cordone di saldatura: K, .= 1.2 (Tab. 1 1.2).

3. Come ipotizzato. C,;= 0.8 = (62 ksi/2)(0.8)(0,55)(1) = 13,6 ksi

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462

l i 8 ADESIVI

RIVETTI. SALDATURA ED INCOLLAGGIO

11.8 ADESIVI

463

Kirnuovzndo quslio maimale si nducs l i conca@@.?ione di lcnlii>ne sulle ta'u in~ollnir

L'incollaggio di parti metalliche con adesivi è un canipo in rapida espansione clie sta influenzando la progettazione di prodotti di ogni tipo. I vantaggi degli adesivi sono molti. Infatti. non vengono richiesti fori (che indeboliscono Te come per i collegZmEnii con bulloni o rivetti; non sono richieste lemperature tanto alte da produ.rrdstorsioni o tensioni residue. come nell'uso della saldatura; quando la giunzione è caricata. le tensioni si distribuiscono su una larga area, sì da produrre sulla giunzione una concentrazione di tensioni del tutto secondaria. Per quest';ltimo motivo, I'incollaggio con adesivi spesso consente I'uso di elementi più sottili rispetto a quelli dei collegamenti tradizionali, con un non trascurabile risparmio nel peso oltre al fatto di poter disporre di superfici esterne liscie, integre, di buon aspetto esteriore, più facili da rifinire e di ridotta resistenza all'attrito per i fluidi (p?rticolarmente adatto, dunque, in quelle applicazioni checoinvolgono flussi di gas o d i liquidi come le ali degli aeroplani o le pale dei rotori degli elicotteri). Quasi tutti i materiali solidi possono essere incollati con l'adesivo opportuno. Quando si incollano metalli dissimili lo strato di adesivo può realizzare un effettivo isolamento dalle correnti galvaniche (il principio è illustrato nella Fig. 9.7), ma se si desidera. I'adesivo può essere reso elettncamente condutiore. La fl-sibiIitiJe1 materialc.adesivo può essere sfruttata per compensare espansioni termiche-diverse fra la parti incollate, oltre che per assorbire urti o per sinorzare la trasmissione di vibrazioni e onde sonore. Le giunzioni incollate possono. inoltre, effettivamente sigillare, evitando perdite di qualunque gas o liquido che non reagisca all'adesivo. Per quel c h e . r i g u a d a g l i aspetti negativi, gli adesivi sono più sensibili alla temperatura di quanto non lo siano i collegamenti meccanici. La maggior parte di essi vengono correntemente utilizzati fra -200" e 550" F (-129" e 260" C) e variano notevolmente nelle caratteristiche con la temperatura, i l che deve sempre essere tenuto in considerazione quando si procede alla scelta di un adesivo per una particolare applicazione. Inoltre, ispezioni, smontaggi e riparazioni non sono sempre praticabili come d'altra parte è discutibile la durata nel tempo . .per certi adesivi. Forse i l principale fattore che favorisce la proliferazione degli adesivi è la / l da considerare è quello rotale dell'asscmblaggio, riduzione dei costi. T u ~ ~ v i a ,costo e può risultare sia più alto sia più basso di quello dei collegamenti incccanici, in quanto dipendente da una molteplicità di fattori. Come precedentemente notato, infatti. I'incollaggio con adesivo consente l'uso di elementi più sottili e leggeri, ed in questo caso i costi di lavorazione risultano ridotti per l'eliminazione della foratura e l'accettazione di tolleranze più larghe. Ad esempio. la capacità di riernpiinento dei giochi da parte di alcuni adesivi può eliminare la necessità di basse tolleranze, richieste per i l montaggio forzato alla pressa. I l costo dell'adesivo stesso può essere maggiore o minore di quello del competitivo collegamento ineccanico. Un fattorc determinante per i l costo di un giunto incollato è spesso la preparazione delle superfici. La pulizia è spesso indispensabile, sebbene recenti progressi nella ricerca lianno reso possibile un abbassamento del grado di pulizia, in alcune applicazioni. L'autoniazione per alta produzione, invece, può comportare maggiori costi. specialmente se essa riguarda fissaggi laboriosi e tempi di polimerizzazione estesi. Gli adesivi per incollaggio si comportano come un costituente di una specie di materiale composito, con un'interazione tra I'adesivo ed i inateriali incollati che influenza le proprietà meccaniche della giunzione realizzata. Questo fatto, insieme alla varietà di adesivi sul mercato. spesso rende difficile la scelta del miglior adesivo per una particolare applicazione. ed è per questo che ad essa deve concorrere sia la

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k 1.1

tiiunlo a sovrapposiziooe di mslallo incollaio medianlc aderivo

i 6 1 Raccordi di nibazioni brasali

i r l Giunto di Icgno incollalo

Figura 11.12 Esempi di giunti incollati progettati per essere caricati a taglio

letteratura tecnica specializzata, sia le informazioni dei fornitori, sia i risultati di prove sperimentali. Rilevante importanza ricoprono, nell'industria degli adesivi, la sicurezza e i fattori ambientali. tant'è vero che vi sono norme che controllano l'uso di certi adesivi basati su solventi che emettono gas infiammabili o tossici. Alcuni adesivi non vengono usati per certe applicazioni a causa dell'emissione di un odore molto sgradevole fiiichè non vengono polimerizzati. Per molti di essi la materia prima è costituita dal petrolio, ma la ricerca è orientata allo studio di alternative. Molti tipi di adesivi richiedono polimerizzazioni a caldo da 95" a 260" C , qualche volta per diverse ore. Così, al crescere dei costi energetici corrisponde l'urgenza di produrre adesivi equivalenti che richiedono temperature e tempi di polimerizzazione ridotti. Quando è possibile gli accoppiamenti dovrebbero essere progettati in modo che i giunti c%ispondenti risultino sollecitati a taglio, dato che tutti i collanti si compoi.tano meglio quando sono caricati in questo modo. La Fig. 11.12 illustra esempi appropriati e rappresentativi. I giunti incollati possono anche essere caricati a trazione, purchè siano evitati carichi di scollamento. La maggior parte degli adesivi i n d w t r i a l i o srrurrurali sono ~ermoindurenri, in opposizione ai tipi termoplastici (che ammorbidiscono al calore), tali come i l mastice, la colla per aerei e i collanti ad azione rapida. Questi ultimi sono generaliriente impiegati per applicazioni in servizi leggeri che richiedono forze di adesione più basse. La resistenza a taglio di alcuni adesivi epossidici ad un solo componente e polimerizzanti a caldo non è più alta di 70 MPa. ma per la maggior parte degli adesivi strutturali essa è compresa fra 25 e 40 MPa. Glipdesivi epossrdici, usati industrialmente sin dal 1940, sono i più versatili e i più diffusi fra gli adesivi stiutturali. I tipi a due componenti polimerizzano a temperatura ambiente, ma richiedono pre-miscelazione, al coiitrario dei tipi ad un solo coinponente che polimerizzano permanendo per almeno un'ora, ad una temperatura intorno ai 150" C. Questi collanti possono essere anche ottenuti con una viscosità sufficiente a soddisfare le richieste di nempimento dei giochi. I1 costo totale di un incollaggio con un adesivo epossidico ad alta forza di adesione può

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12.1 INTRODUZIONE

Orsi piasha ha d u e saldaiuri rnm od una da 100 mm.

Paragrafo 11.6

11.9 Due piastre da 20 mm di spessore sono saldate insieme di testa. Sia i l materiale delle piastre che quello degli elettrodi corrisponde a proprietà di resistenza di Su= 500 MPa e S,= 400 MPa I l carico imposto fluttua rapidamente fra -20 e 60 kN.Calcolate la lunghezza della saldatura, introducendo un coefficiente di sicurezza pari a 2.5. nei seguenti casi: (a) Se i l cordone di saldatura non è inolato. (b) Se i l cordone di saldatura viene accuratamente rasato fino ad ottenere superfici continue e lisce.

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Le inolle sono organi elastici che esercitanojorze o tnotnenti, e che assorbono energia I normalmente conservata e successivamente restituira). Le molle sono normalmente, ma non necessariamente, fatte di materiale metallico. Materie plastiche possono essere usate in condizioni di bassi carichi [3]. Per quelle applicazioni che richiedono molle aventi massa ridotta iniziano ad essere usati i moderni materiali compositi per impieghi strutturali. Molle in blocchetti di gomma sono spesso utilizzate, come ad esempio nei paraurti e quando si vuole isolare dalle vibrazioni macchine coine motori elettrici e motori a combustione interna. Molle pneumatiche di vario gznere sfruttano la comprimibilith dei gas, come ad esempio nel caso nelle sospensioni idrodinamiche delle autovetture francesi Citroen, basate su azoto compresso in circuiti idropneumarici ad alta pressione. Molle idrauliche hanno daro buoni risultati in applicazioni che richiedono molle compatte caratterizzate da piccoli abbassamenti sotto carichi elevati . Esse lavorano sfrutiando la modestissima comprimibilità dei liquidi, evidenziatadal loro modulo di elasticità volumetrico. E' da rilevare che a volte possono ottenersi minori costi di produzione intervenendo a mònte sulla elasticità di altri componenti piuttosto che rendere questi rigidi ed aggiungerne altri funzionanti come molle [3]. Questo testo tratta molle realizzate con materiali solidi - metalli o compositi costituiti da materie plastiche rinforzate. S.e JIlobiettivoè quello di assorbire energia con la massima efficienza ( minima massa della molla) la soluzione ideale è una barra a sezione costante in trazione poiché tutto il materiale è sottoposto ad una stessa tensione (vedi Cap.7 ). Sfortunatamente, barre a trazione diragionevole lunghezza hanno una rigidezza troppo elevata per la maggior parte delle applicazioni da molle; pertanto è necessario dar forma al materiale in modo tale che esso sia caricato in condizioni di torsione o flessione. (Si ricordi il metodo di Castigliano descritto nei Paragrafi 5.8 e 5.9, dove è stato messo in rilievo che gli abbassamenti dovuti alla trazione ed alle tensioni trasversali di taglio sono trascurabili in confronto a quelli dovuti alla nessione e10 alla torsione.) 1 paragrafi che seguono iratiano molle aventi forme comuni. in linea con gli scopi che ci si è prefissati.

.

12.2 MOLLE A BARRA DI TORSIONE Figura P11.7

l

l

Forse la più semplice delle forme di molle è quella a barra di torsione, illi~stratain

368

MOLLI;

12.3 '1'I.NSIONI l-. AHt3ASSAMEN.I I I1EL.L.E MOLLE A SPIRI:

469

Se.naIato

.4nipio r a g g i o (a) Barra di torsione con profili ccaiialaii

'A

iilmloeia usala nclle

12.3 EQUAZIONI PER TENSIONI E ABBASSAMENTI ' DELLE MOLLE A SPIRE

;illr ccirciiiii2

coincn\iont aiiiiirri~ih!li\iiclic)

Le f i g u ~ , J c,mostran« ~ ~ - ~ nlolle a spire ad elica cilindrica coiilpresse e tese. rispettivamente, aventi a n ~ o l odi inclinazi«ne dell'elica A relativainente picc«l«. Corrispondcntemente le figure 12.2h e d rriosirano le estremità superiori di tali inolle cornc corpi liberi in ecliiilihiio. Cuacinctto

B a r r a di t o r s i o n c

a h a r r a d i iorsioiic

(h) A s t a con b r a c c i t e r n i i n a l i u l i l i r / a t a c o n i ?

tii~>ci.;.\trmenio totale della.molln dovutu al carico massimo.

6. Infine, le molle ad elica a compressione sono idznli Iicr ir;irre Iiciiefici, = --oh' . i '2FL:

/,

thh? Io1

lb!

I i n quarto di cllisse

Seniicllissc li..

IL

Figura 12.22 Tipologia di basc

di

niollc di

fic\si«iie a

laiiiiriz

Fimra 12.24 Molla

a lamina rriangolnrc incasir;iiaedequivalcnic molla n

h.i!csir.i

-

498-

~

-

-

-

-

-

-

p

-

-

-

12 10 MOLLE DI FLESSIONE

MOLLE

499

Le equazioni per l a ~ ~ ~e ola- - freccia n e relative sono -. -.ai-- tre tipi -..-. di molle a lamine__ riassunte ndla Fig:-fEE?: ~ p p l i c a n d .o ' r ; . ~ ~ r m u ~ m e .~~ ~. a~ ~ , . i oa . rmno iei a illustrata in . --Fig. ...-- 12.25. devono essere messi in conto diversi altri fattori. +---

.^

1..1 La molla non pub-------terminare a punta ma a l l ' e s ~ ~ m 1 t 3 d e -~. e e .~larga s e r ea sufficien-

za per per~oe_1'aUaaallastrutfuradi~fia'iar~1io Biscoiiinv ( permcits

piccole i ? r i ? z i o n i di

1

1

P u n t o di a i t a c c o a c a r n i e r a

/\

/

lunehszza dslla molla)

\ P u n t o di a t i a c c o

a cerniera

2. Le equazioni delle- frecce sono ottenute con I'ipatesi che esse siano u l m e ~ t e ~ da non influe&e 'i" modo signjficativo la geometria della d a . Per abbassad-&:-o il.3&%.& ..lungher~addia.&ayehmssxia un'anabsi -pih precisa. ." ..--.... . 3. A differenza delle m o l l g ~ ~ - ~ ~ , . k . m n l l e . at ~d s m o ansvolgere o compiti s t & t ~ ~ C ~ fgngere 1 T ~ d~a o~r g =

S W k

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6,

12.1 1 MOLLE DI TORSIONE

5Uj

12.11 MOLLE DI TORSIONE

Schema e dati:

Le cosiddette inolle di torsione sono di due tipi : ad elica, come mostrato in Fig. 12.28

Par.4.6. La tensione massima si ha nella parte interno delle spire ed è uguale a (4.10) a i = K, M c l I

I

( 2 ) Soluzione

della piastra

iriangolur del problcrr,n

I2 4

dove K è dato in Fig.4.1 1 per alcuni tipi di sezioni. e dato in Fig.12.30 per le sezioni circolare e rettangolare che comunemente si usano in questi casi. Con alcune sostituzioni si ha: filo circolare: filo rettangolare:

( b ) Soluzione della

piasua i r ~ p c ~ o i d adcl l e problema

12.5

Figura 12.27 Confrontoira le ngiderze delle molle Lnangolart e irapczoidali dell'esempio 12.3. Si nori. 11 k della molla irapezoidale 6 maggiore del kdella molla inangolarc di circa i l I O %

I Ipotesi:

1. La piastra.trapezoidale è equivalente allasomma di due piastre, una tri;ingolare e l'altra rettangolare come mostrato in Fig. 12.27b. -

32 F a

a , =- &, K ,,,,, a =-K 6Fa bh'

"""

(12.16) (12.17)

In applicazioni a fatica, occorre porre speciale cura nel progetto delle estremila del filo e del loro collegamento al carico. essendo queste zone sedi di concentrazioni delle sollecitazioni e quindi punti di innesco alla roltura per fatica. Le tensioni residue sono importanti per questo tipo di molle. Si ricordi quanto detto nel Par.4.15: Un sovraccarico che causi snervamento produce tensioni residue che hanno un effetto favorevole nel caro in cui i carichi futuri agiscano nello stesso verso e sfavorevole se i carichi hanno verso opposto. La realizzazione

Si trascuri I'attnto tra le lamine

..

I-rrd' --C 32 ' I bli' -=C 6 '

.'..

2. Le equazioni della freccia e della rigidezza sviluppate in Fig. 12.27 indicano che i l materiale aggiuntivo della molla trapezoidale incrementa la sua rigidezza del 10%.

3. Entrambe le molle sopportano lo stesse carico con lo stesso livello di tensione di flessione all'incastro. Ma poichè la molla trapezoidale si inflette di una quarttiti inferiore pari al 10%. essa assorbe il 10% in meno di energia. (Si ricordi che l'energia è l'integrale delle forze per gli spostamenti.) Ciò si verifica nonostante la molla trapezoidale sia più pesante. Commenh: La molla trapezoidale assorbe i l 10% in meno di energid e pesa

il

delle spire delle molle ad elica ed a spirale richiede ovviamente uno snervamento e le conseguenti tensioni residue sono favorevoli se i carichi tendono a racchiudere le spire (sfavorevoli se i carichi tendono a svolgere le spire). E' estremamente importante tenere questo a mente quando si intende installare una molla di torsione. A causa delle tensioni residue favorevoli, la tensione di progetto, nel caso di servizio statico, può essere pari al 100% della resistenza a snervamento del materiale. La rotazione della trave soggetta a momento puro è ML

(caso 3, Tab.5.1) 8 =E1 e questa equazione può essere applicata direttamente sia alle molle a spirale che ad elica. Per molle con elevato numero di spire, come le molle a spirale usate per gli orologi ed i giocattoli e come le molle usate come bilanciamento delle serrande dei garage o come avvolgirori di tapparelle, la rotazione può raggiungere diversi giri.

20%

in più nspeno alla molla triangolare

Figura 12.28 Mollc di

ior7ione ad elica

Figura 12.29 Mollc di ionione a spirale

!

o

1.5

14

13

1 2

1 1

1

o

Figura 12.31 Tipi di rrioltc ,I rriridcll;~I I l 2

4

6

8

10

12

I n d i c e d c l l a niolla , C = Dld o Dlh

Figura 1230 Fattore di wiicentra7.ione delle tensioni pcr molle di torsionc nvcnii f i l i circ.

F i ~ u r a1 2 3 2 hlollc 13ellerillc ,i paccheiii~

Le molle a gicirrettiera sono semplici molle ad elica con le estremit;i collegatc a formare un cerchio. Esse sono comunemente utilizzate nelle guarnizioni di tenuta a Iahhrn, dove esercitano forze radiali per tenere I;i guarnirione a stretto contatto coli l'albero rotante. Si povono usarc anclic coii~ce.;pan\ori delle f a v e elastiche dei pistoni e come cinghie di trasmissione Fili conformati costituiscono una gran vanetà di rnolle ottenute cori la flessionc del filo stesso fino a raggiungere la fnrrn;~voliit;~. Fili conformati hanno prcso i l posto di molle ad elica cornprcssc nclla realizzazione dei materassi a rnolle e delle brande per letti. Un vantaggio è quello che queste rnolle possono essere conformate in liiodo dri csscrc piatte e di piccnlo spissorc colne riei .;edili delle automobili o i r i altri componenti elastici. IL mollc ri,for:cr corrnrirc (un «rigiri;ile fu oiiiolog;ito ed introdot~osotto i l ri i punti operativi" ( 1 ) in condizioni (h) di macchina ferma e niolla caricatri solo da una forz:i statica di l00 Ib, (2)in condizioni di carichi normali , (3')iielle condilioni di sovr;iccarico come da progetto. (C) Determinare la rigide7.7~della molla.

.

3,.

12.37 IJna molla a halesira. a forma semiellittica, per un riiiiorchio Icggcro i. realizzatacon acciaio avente S = 1200 MPa, Sv= 1080 Ml'n ed iiiiii rcsisteiiza a fatica corretta di 5 5 0 MPa. La molla è luiiga 1.2 m ed h:i 5 foglie di 5 niiii di spessore e 100 mm di larghezza. K, è pari a 1,4. Quaiido il riiriorchic:, 2 completamente carico, la forza statica applicata al centro della iii(->II;i L; di 3500 N. (aj Il carico del rimorchio percorre strade non asfaltate. Si stimi qiiale carico alterno. sovrapposto al carico totale sulla niolla, causa 1;i rottura per fatica ? (b) Quale sarà la niassinia freccia della niolla qiiando cssii vicric c;iric:ita secondo (a) ? (C) Quanto vale l'energia che assorbe la mo1l;i qiiando i l carico passa dal valore minimo al massimo determinato in (a) '? (d) Fino a quale v;ilorc potrebbe essere auirieiit;ito i l c;iric,o alteriio c L; richiesta una vita di soli l0'cicli ?

Paragrafo 12.1 1

12.38 La Fig. P12.38 inostra una coppia di molle a torsione in acci;iio montate su di un albero che serve a sorreggere i l peso di una porta di un garage. L'albero con dianieiro di 25 mm è vincolato ad una struttura iraniite cuscinetti (noli mostrati in figura) alle estremità ed al centro. Un cavo avvolto sulle (iiic pulegge sosiicne i l peso della porta. ( Il diariieiro delle pulegge 6 pari :i I I O inin)'. Ogni rriolla ha D = 45 rnm. d = 6 rnin e 120 spire. Da quando le iiioll~~ sono scariche a qu;indo la porta è chilisa I'allungairiento totale chr \ i 1i;i ni.1 due cavi è di 2.1 i i i . (a) Calcolare la teiisione iiorninalc di tlc\\iorie nella inolla a porta c.lii~i\:i. (h) Elencare i fattori importatiti che potrehhero giustificare differen~cira i valori nominali e le tensioni iii;issiiiie recili. ( C ) C)u:into vale la forza che solleciia ogni c:iv» q~iaiidoI;i porta ì. chiiis;i'! 12.39 Risolvi i l Prohlenia 12.38 usan(1o i dati di uri c;iso reale. inisurandoli porta di garagc siniile a quella dell'esercizio.

iii iiriii

12.40 Normalmente gli avvi~lgiioriper tapparelle di finestre haiinc:, Iiinghe niolle di torsione che lavorano con lo siesso principio visto nel Problema 12.38, Pcr i i i i avvolgitore di 3 3 miri di diametro, quante spire di filo in acciaio di sezionc pari a 1,2 miri! con iin diametro di ;ivvolgirnenio L) = 19 iririi sono nccess;irii, per dare un tiro di 14 N con la niolla c:iric;it;i per I4 giri'? Quale è il valore (1rll;i rriassima ieiisionc di flessione'? 12.41 La barra di tor\i«nc nel Problema 12.2 è oggeiiivamente lunga e va ostituii;i con un'altr:~f;itt:i di acciaio avente le stesse canitteristiche. Lo spazio disporiibile cori.;enic i l rriontriggio di una nioll;i di dinrrictro esterni, fino ii j iri. I)etern1inarc un:i opportuna conibina~ioriedi d, D. N. Qual'? I;i Iiinglie~~.:~ totale della iriolla proposta? Coiifr~iiiiaici l p c o dell;i iiioll;i iieiermiriiit,~cori quello della barra di torsione. 12.42 Ripetere il Problerrin 12.41 per uiiii hiirrii (li torsione sostitiiiia d;illa b;irr;i (11 torsicine del Problcma 12.3 12.43 Confrontare I;i capaciti di assorbire energia per uniti di p c o e di voluiiic t i i molle in acciaio realiz7ate nelle forme: di barr;i di torxione. (li rriollc ;i(i elicti di coiiipressiorie e di irmit~nc,di travi iiicastratc icitiingolari. di travi iiic;i\ir;i~ te a pianta triaiigo1;ire. di rriolle di torsione. Per i i i t t i qucsti tipi. ccrctio li, t i , i \ i incaslrate, a\ìiiiiierc f i l i coii sezione circol;iri

'1

Cinghia

CAPITOLO 13

LUBRIFICAZIONE E CUSCINETTI DI STRISCIAMENTO

13.1 TIPI DI LUBRIFICANTI La parola cuscinetto, nel caso di una macchina o di una struttura, si riferisce a superfici a contatto attraverso cui è trasinesso il carico e quando le due superfici sono in moto relativo, si desidera minimizzare attrito e u s u n Prende il nome di l u ) r ~ f i c a n i e y I Iubdu-rali-u ~ canti sono in genere liquidi, ma possono essere solidi, come la gr ite, TFE,'o bisolfuro di r n o t ~ d e n o l - k g a s , ~ c o # e ~ ~ i ~ c-6 ~ p ~ s a . La caratteristica principale dei lubrificanti liquidi, cioè degli oli. è la viscosità (v. paragrafo 1 3 . 3 , ma vi sono altre caratteristiche altrettanto importanti. che si riflettono nel nome dato agli oli stessi. Gli oli modemi generalmente contengono uno o più additivi per avere scommento alle iemperature più basse -additivi abbassanti il punto di scorrimento; per diminuire la variazione della viscositàcon la temperatura - additivi miglioratori dell'indice di viscosità; per prevenire la formazione di schiuma se agitati da macchine ad alta velocità -additivi antischiuma; per resistere all'ossidazione alle alte temperature -additivi antiossidanti; per prevenire la corrosione delle superfici metalliche -additivi anticorrosivi; per minimizzare la formazione e rallentare i l deposito di morchie nei motori -additivi detergenti e disperdenti; per ridurre l'attrito e l'usura quando non è possibile mantenere un velo di lubrificante completo -additivi antiusura. I grassrsonooJJxificanti liqujdi che sono stati addensati per ottenere caratteristiche non ottenibili con gli oli. I grassi sono generalmente usati quando il lubrificante deve rimanere nel cuscinetto, in particolare quando una lubrificazione frequente-è difficile o costosa. Spesso, rimanendo nel cuscinetto, oltre a lubrificare, il grasso serve anche a prevenire l'ingresso di contaminanti dannosi tra le superfici del cuscinetto. Diversamente dagli oli, i grassi non possono circolare e quindi servire pcr raffreddamento C pulizia. A pane questo, i grassi svolgono tutte le funzioni dei lubrificanti fluidi. Per maggiori dettagli sui lubrificanti si veda [ 131. ~

~

13.2 TIPI DI CUSCINETTI DI STRISCIAMENTO I cuscineiti di sirisciamento prevedono lo strisciamento diretto di un elemento caricato sulSuo supporto, a differenza dei cuscinetria rotolamenro (capitolo 14). in cui tra Ir superfici in movimento relativo sono interposte sfere o rulli. 'Teira~luoroeiilene.come i l TeJlon della

Du Poni

Cusiinolto d spinta (paiia Ik3ngal.i del cu,cnolio

di b n n m l ( b ) Misia

Curonsllo di banm

(mntatlo locale

curonsito d banco

fz

inlermiilente)

Abero a g o m , ,

sede~

Figura 13.2 1 irc tipi

(ci L n n e fccntano iwaie ec esteso)

conlinuo

Iondnmcniali di lubrificarioiir.1-e superfici Tono noicvolrririiic inprariiliie

sup-fic/ (come la rotazione dell'albcro). Nori si ha usu~,s~.~Cfii;Lale.eI:ii~iritii sulo quelhinLernn.al fl.uid~-~bdi~?~~,!& Vai ori tipici di altezza mi ninia del nieato (indicata coine h,,) sono 0.008-0,020 iiini. Valori tipici del coefficiente d'attrito (/l sono 0,002-0,010.

A cu3cne:io I d banco

Sede del curcinello d mana,ailr

Fikwpa 13.1 Cuscinetii radiali

C assi:ili di uri . Ibero a gomiii I-albero ;i gniiiiii i' siippori:ilo da due ruccirierii di banco ed è collegaio alla hiclla aiiraverso i l rusrokr. abbreviato Si. Le viscosità assoliire possorio essere otteniiic dalle iiiisure fritt' con un viscosimetro Saybolt (il tempo S in secondi) tramite le eqiinzioni in cui p è è la densità in grammi per centimetro cubo (che numericamente b uguale al peso specifico). Per gli oli minerali la densith a 60°F (15.6"C) b di circa 0.89 g/cm3. Ad altre temperature la densità è

La Society of Automotive Engineers (SAE) classifica gli oli secondo la loro viscosità. In Fig.13.6 sono riportate le curve viscosità-temperatura di oli tipici individuati dalla numerazione SAE. Un olio particolare pub allontanarsi parecchio da queste curve perché le specifiche SAE definiscono una serie continua di bande di viscosità. Per esempio, un olio SAE 30 può essere appena più viscoso del "più denso" SAE 20, o solo appena meno viscoso del "più fluido" SAE 40. Inoltre, ciascuna banda di viscosità è specificata ad una sola temperatura. Per i SAE 20.30, 40, e 5 0 sono specificate a 100°C (212°F) mentre per i SAE 5W, IOW, e 20W sono specificate a -18"C(0°F). Gli oli "multigrade" devono soddisfare una specifica di viscosità ad entrambe le temperature. Per esempio un olio SAE IOW-40 deve soddisfare i l requisito di viscosità a -18°C dell'olio IOW e quello a 100°C del SAE 40. I fluidi lubrificanti industriali sono normalmente specificati in termini di standard internazionali, piibblicati come ASTM D 2422, Amencan National Standard Z1 1.232, ISO,(International Standards Organization) Standard 3448, e altri. I vari gradi di viscosità sono indicati come "ISO VG" seguiti da un numero uguale alla viscosità cinematica nominale a 40°C. Sono specificati 18 gradi, con viscosith cinematiche a 40°C pari a 2, 3, 5 , 7 , 10, 15. 22, 32, 46, 68, 100, 150. 220, 320, 460, 680. 1000, e 1500 cSt (mm2/s). Il grasso è un materiale non-Newtoniano che non comincia a fluire finché lo sforzo di taglio non supera un valore limite. Con tensioni tangenziali più elevate, si verifica i l flusso "viscoso" con la viscosirà apparenre decrescente al crescere della velocith di scorrimento. Le viscosità apparenti devono essere sempre riportate ad iina temperatura e portata specificata (vedi ASTM D1092).

Un olio per niotore ha una viscosità cinematica 3 100°C corrispondente a 58 secondi, determinata con un viscosimetro Saybolt (Fig. 13.7). Qual'&la comspondente viscositi assoluta in millipascal-secondi (o centipoise) e in microrcyn? A quale numero SAE corrisponde?

1

Soluzione Dati: La viscositi cinematica Saybolt di un olio per morore. Figura 13.6 Curve della v i ~ o s i i 3in

fiinrionc dclla icriipcrniiira pcr

o l i S A E tipici

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13.7 EQUAZIONE D1 PETROFF PER L'ATTRITO 531 cr/K è

talvolta chiamato gioco rt-laiivo ed è corriunemente dell'ordine di 0,0014,002. La sua importanza diventerà sempre più evidente nello studio del Paragrafo 13.8.

ESEMPIO 13.2 Un albero di 100 mm di diametro è sopportato da un cuscinetto di 80 mm di lunghezza con un gioco diametrale di 0,10 rnm (Fig. 13.9). E' lubrificato con olio avente viscosità (alla temperatura di lavoro) di 50 mPa.s. L'albero mota a 600 girilmin con un carico radiale di 5000 N. Stimare il coefficiente d'attrito del cuscinetto e la potenza dissipata usando il metodo di Petroff.

Soluzione Figura 13.8 Cuscineiio di strisciamenio non cancato uslito nella teoria di Peiroff

Dati: Un albero di diametro, velocità angolare, e carico radiale noti è sopportato da un cuscinetto lubrificato ad olio di lunghezza e gioco diametrale determinati.

quindi senza l'effetto "cuneo" e con capacità di carico del meaio nulla, e con fliisso nullo in direzione assiale. Con riferimento alla Fig. 13.5, un'espressione del momento resistente di aiirito viscoso è derivata considerando l'intero meato cilindnco come i l "blocco liquido" su cui agisce la forza F. Risolvendo l'equazione data in figura si ha per F

r=-MU Il

Determinare: il coefficiente d'attrito e la potenza dissipata.

I I

Schema e Dati:

(4

dovtF = momento d'attritolraggio deIl'albero=if/R A = 2pRL U = 2pRn (dove n sono i giri al secondo) dove

C

diametro del cuscinetto - dianietro dell' albero 2 momento d'attrito

= gioco radiale = -

Sostituendo si ottiene per

il

T, =

J ~ ? ~ I L R ' r

Se un piccolo carico radiale W viene applicato all'albero, la forza d'attrito può essere considerata pari al prodottofl, essendo i l momento d'attrito espresso come T, = f \VR = f (DLP)R (C) dove P è il carico radiale per unità di superficie utile del cuscinetto. L'imposizione del carico W porterà i l perno in posizione eccentrica rispetto al un effetto trasc~~rabile s~ill'Eq.b,le due espressioni b I: C si cuscinetto. Se ciò possono eguagliare, ottenendo

I

Figura 13.9 Boccola relaiiva all'Esempio 13 2

Ipotesi:

1. Eccentricità del perno nel cuscinetto e flusso assiale dell'olio nulli. 2. Forza d'attrito pari al prodotto del coefficiente d'attrito e del carico radiale.

I Analisi:

I

1. Con le ipotesi citate, si può applicarel'equazione di Petroff. Dall'Eq. 13.7. f =?n2 Questa è la nota equnzione di Peiroff. Essa fornisce un mezzo veloce e semplice per ottenere stime ragionevoli dei coefficienti d'attrito di cuscinetti poco caricati. Procedure più raffinate sono riportate nel Paragrafo 13.9. Si noti che l'equazione di Petroff identifica due parametri del cuscinetto niolto important~.L'importanza di p d P è stata discussa nel Paragrafo 13.4. 11 rapporto

I

(0,05 Pa .s)(10 gin 1 s) 5000 0,l x 0.08

50 mm x-~0,0158 0,05 mm

2. 11 momento d'attrito T,=fWDR = (0.0158)(5000 N)(0.1 m)/2 = 3.95 N.m Nota: (1) T, potrebbe essere anche ottenuta dal1'Eq.b. (2) Per diversi valori di

533

L~URRIFCAZIONEE CUSCINETTI DI STRISCIAMINTO

17.S

W si (~alcolcrchhclo stesso valore di T,, rnn ii~;ig~.icrc ì' i l c ; i r i ~ ' ~ ~ . riiaggiore è lo scostaniento dall'ipotesi di ecccntriciii niill:i di Petroff. 3. I'oteriz;i=2rcT,~i=2~(3,95N-rri)(lOgiri/s)=,74XN-ni/s=24R W .

Commento: In una situazione reale, bisognerebbe verificare, con la dissip;izionc di 248 W, la congruenza dclla temperatura media dell'olio ncl cuscinetto con i l valore di viscosità usato nei calcoli.

13.8 TEORIA DELLA LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA L'analisi teorica della lubrificazione idrodinamica parte dallo studio di Osborne Reynolds sull'indagine spcrirnentale dci cuscinetti ferroviari in Inghilterra effettuat:~ da Beaucharnp Tower agli inizi de11'800 (Fig.13.10).sPer sperimentare l'effetto di un oliatore fu realizzato un foro di adduzione. Tower fu sorpreso nello scoprire chc quando l'apparecchiatura lavorava senza l'oliatore, l'olio fuoriusciva dal foro! Cercò di bIoccare questo flusso con un tappo e fermi di legno nel foro, rria In pressione idrcdinamica li spingeva fuori. A questo punto, Tower collcgò un rilevatorc di pressione al foro facendo le relative misure di pressione del rneato in varie posizioni. Scoprì allora che la risultante delle pressioni idrodinarniche cra ugiialc al carico gravante sul cuscinetto. L'analisi teorica di Reynolds porta alla sua fondamcntale equazione della lubrificazione idrodinaniica. La diniostrazione seguente dcll'cq~~azione di Keynolds

clic

I'IiOKIA I >I)

(l!

Nell'Eq. 13.1 \;i quantità F/A rappresenta lo sforro tangenziale T sulla faccia superiore del "blocco". Nella Fig.13.1 1 il "blocco" è ridotto ad un elemento infinitcsimo di altezza (i)',velocità u, gradientc di velocità dir. Con questc sostituzioni dall'Eq. 13. I si ricava ~=\d(iid&),solo che in questo caso 11 varia sia con x che con y. c quindi si i i n la derivata pariiale:

Analogaiiicntc,~ varia sia cori x che con y , C quindi si usa 13 derivata pari.iale c).r/Jynella Fig.13.1 I e nell'F4.a D'alirn pafle. si ipotiz7a che la pressione n o n , v;iri nclle direzioni y e i e quindi viene iisata la derivata totale cip/ciX. Sostituendo l'espressione c ne1l'Eq.h si ricava

'Tenendo x costante e iniegrnndc due volte rispetto a Y

I

ottiene

F i p r a 13.10 Schema dcll'csprnincnio di Beaucharnp Towcr

si nferisce al flusso unidirnensionalc tra pareti piane. Questa analisi SI può applicare anche ai cuscinetti radiali pcrché i l raggio del perno è molto grande rispctto a110 spessore del meato. L'ipotizzarc il flusso unidirnensionalc equivale a trasciirare le perdite laterali e ciò è accettabile per cusciictti con rapporti 1/11 maggiori di circa 1 ,S.La diniostrazione iniziadall'equazione dell'equilibrio delle forzc nella dircziorie .r agenti sull'elernento di fluido rriostrato in Fig. 13.1 1 .

L4 -

.

./i ,/I

Figura 13.11 r.or,c ci, prcssionc r visco~cnzcnii s u uri c l c i n r n i ~t 1~1 l~ihri~ic:~nlc i'cr \crnplic113 $ i ! ~ i t ) ripor(LIlc %il O.O(K)2 + O,O(XX)4D (h,, r I ) in pollici) oppure

Pressione s ec& La tabella 13.2 riassume valori tipici di ,]so corniiiic. Si rioti I;I r i o ' i e d e n z a del feiiomenii di schi;icciamento del nic:iici citato ;il~:i fini C I C I

psi

Corichi rclntii~ot~icntc~ storici hloiori elettrici Turbine a vapore Riduttori a ingranaggi Pompe centrifuphe Carichi variabili ropidonientr Motori Diesel Cuscinetti di banco Cuscinetti di biella Motori automobilistici a bcnzii cuscinetti di banco Cuscinetti di biclla

13.13 PROGETTO DI CUSCINETTI IDRODINAMICI Nell'esempio 13.3 del Paragrafo 13.9 C stata illustrata la ver~fii.iidi uri cuscinctto idrodinamico dato. I1 progerto di tale cuscinetto è un procedimento notevoliricritc più complesso, che richiede la conoscenza di tutto ciò che è stato esposto fiiioro in questo capitolo, più le linee guida di origine empirica che seguono. (Come per i 1 progetto di gran partedegli elementi di macchine, qui possono essere trattati solo gli aspetti fondamentali; è quindi consigliabile uno studio della letteratura specifica sul progetto di cuscinetti.)

MPa

> 0.005 +0,00004B (li,, e I l in niilliinetn)

(13.15)

Questa equazione dovrebbe essere usata con un adeguato coefficiente di s i c u r c z ~ ; ~ (SF) per il carico. Trumplcr suggerisce SI-=? per carichi statici che possono cssirc valutati con ragionevole precisione. Inoltre, I ' E q 13.15 è valida solo per cuscinetti che abbiano una superficie del perno finita con rugosità non superiore n 0,005 iiiiii. o 0,0(Ml2 in.; che abbiano un buon grado di precisione geometrica su circol:irii;i. par:illelismo, cilindricità, e un buon grado di plili7.in ilcll'olio I'er coscirietti ,,ngjeiti ;i c:inchi v;iriahili ~ipiti:iiiieri;c( c c ciitcirictii ( l i riiotori).

13.13 PKOGETTO DI CUSCINETTI IDRODINAMICI calcoli seniplificati basati sull'ipotesi che i carichi di picco rimangano costanti possono dare valori di h,, dell'ordine di un terzo i valori effettivi. Di ciò si deve tener conto quando si usano criteri empirici come l'Q.13.15. Calcoli più realistici per tali cuscinetti tengonoconto del fenomeno d. schiacciamento ina vanno oltre lo scopo di questo testo. Giochi relativi (dR, o 2 d D ) . Per perni di 25- 150 mm di diametro, i l rapporto c/R è generalmente aell'ordine di 0.001. in particolare per cuscinetti di precisione. Per cuscinetti meno precisi questo rapporto tende ad essere più alto- fino a circa 0,002 per cuscinetti di macchine generiche e 0,004 per macchine grossolane. In qualsiasi progetto specifico i l gioco relativo può variare in un campo di valori che dipendono dalle tolleranze assegnate al diametro del perno e del cuscinetto. La seguente è una lista di fattori importanti da considerare quando si progetta un cuscinetto con lubrificazione idrodinamica

8.

9.

L'altezza minima del meato d'olio deve essere sufficiente a garantire 12 lubrificazione perfetta. Si usi l ' Q . 13.15 come guida e si tenga conto della finitura superficiale e delle fluttuazioni del carico. L'attrito deve essere i l più basso possibile, conforme ad uno spessore adeguato del meato. Si cerchi di rimanere nell'area ottimale di Fig. 13.13. Si !erifichi che.11cuscinetto sia alimentato sempre ed in misura adeguata con oliopulito e sufficientemgnte rflredo(lto. Questo potrèbbe richiedere alimentazione forzata, dispositivi di raffreddamento o entrambi. Si verifichi che la temperatura massima dell'olio sia ammissibile (generalmente al di sotto di 93"- 12 I "C O 200-25O0Q. Si verifichi che l'olio introdotto nel cuscinetto si distribuisca su tutta la lunghezza. Ciò potrebbe richiedere scanalature nel cuscinetto che dovrebbero essere tenute lontane dalle zone caricate. Si scelga un materiale per il cuscinetto atto a garantire una resistenza sufficiente alle temperature di lavoro, una deformabilità elastica e penetrabilità sufficienti. e un'adeguata resistenza alla corrosione. Si controlli i l progetto globale relativamente al disassaniento e inflessione dell'albero. Se questi sono eccessivi, anche un cuicinetto ben progettato darà problemi. Si controllino i carichi sul cuscinetto e le durate dei transitori all'avviainento e all'arresto. Le pressioni nei cuscinetti in questi intervalli dovrebbero preferibilmente mantenersi al di sotto di 2 MPa, o 300 psi. Se ci sono lunghi periodi di lavoro a basse velocità. devono essere considerate le esigcnzc rclative alla lubrificazione limite (Paragrafo 13.14). Si verifichi che il progetto sia soddisfacente per tutte le coinbinazioiii ragioiievolmente prevedibili di gioco e viscosità dell'o!io. Il gioco in condizioni di lavoro sarà influenzato da dilatazione termica ed eventuale usura. La ternperatura dell'olio e quindi la sua viscosità è influenzata da fattori termici (tcmperatura ambiente, circolazione dell'aria,ecc.), e da possibili cambiamenti dell'olio nel tempo. Inoltre, l'utente potrebbe mettere un olio di gradazione diversa da quella specificata.

55 1

ESEMPIO 13.4 Un cuscinetto di strisciamento (Fig. 13.26a) su un rotore di turbina a vapore da I800 gidmin sopporta un carico costante dovuto al peso di 17 kN. Il diametro del perno fissato per garantire una rigidezza sufficiente all'albero è di 150 mm. Il cuscinetto è alimentato tramite lubrificazione forzata con un olio SAE 10. mantenuto ad una temperatura media nel meato di 82°C. Determinare una combinazione idonea di lunghezza e di gioco radiale del cuscinetto. Determinare inoltre i valori corrispondenti di coefficiente d'attrito, potenza dissipata, portata d'olio entrante e uscente dal cuscinetto, e incremento di temperatura dell'olio che attraversa il cuscinetto. Soluzione Dati: Un ciiscinetto lubrificato ad olio di dato diametro sopporta l'albero rotore di una turbina a vapore con velocità di rotazione e carico radiale noti. Determinare: la lunghezza del cuscinetto e i l gioco radiale. Stimare inoltre i valori corrispondenti del coefficiente d'attrito, della potenza dissipata, [e portate d'olio, e l'incremento di temperatura dell'olio.

I

Schema e dati:

liyr 'H - 15 niin

j" Figura 13.26 Cuscineito radiale

dell'Esernpiol3.4

1 Scelte e ipotesi: 1. Nell'intervallo 1-2 MPa dei carichi unitari tipici dei cuscinetti di strisciamento

2. 3. 4. 5. 6.

dati per cuscinetti per turbine a vapore nella Tab.13.2, si sceglie arbitrariamente la pressione specifica P= 1.6 MPa. I parametri del cuscinetto sono scelti in modo da lavorare nell'intervallo ottimale. Le condizioni del cuscinetto sono statiche con i l carico radiale fissato in modulo e direzione. I1 cuscinetto è alimentato da lubrificante a pressione atmosferica. L'influenza di fori o scanalature sulla portata è trascurabile. La viscosità è costante e corrisponde alla temperatura media dell'olio in

I I

LIIBRIHCAZIONE E CUSCINE'iTì 111 STRISCIAMIJNTO ingresso e in uscita dal cuscinetto. 7. Tutto il calore generato nel cuscinetto è asportato dall'olio

Analisi: 1. Sulla base della decisione 1, dove P=1,6 MPa, L17000Ni[(1,6 niPn)( l50 rnm)]=70,83 mm. Arbitrariamente si arrotonda questo valore a L 7 5 rnrn per ottenere UD=112 ed agevolare l'uso delle curve di Rairnondi e Royd. (Si fa notare che un rapporto U D = 112 è in linea con la pratica corrente di ciiscinctti per turbine.) Con L 7 5 mrn, si determina P=1,5 1 I MPa. 2. In Fig.13.13 si vede che per UD=II2, l'intervallo ottirnale è tra S=0.037 e S=0,35. Dalla Fig. 13.6 si ricava il valore 6.3 mPa.s per In viscositi dell'olio SAE 10 a 82°C. Sostituendo i valori noti (corrispondenti nllc frontiere dclla zona ottimale) nell'espressione di S si ottiene

0,037 =

(6,3 x 1 0 - ' ~ a~ ) ( 3 0giri l S) 1.51 1 x 10' Pa

da cui c=0,138 rnrn (c/R=O,OO 184). Analogamente, per S=0.35, cd.0448 rnm (c/R=0,00060). Si nota che questi giochi relativi sono dell'ordine di 0,001 e quindi in accordo con i valori dati in questo paragrafo. 3. Prima di scegliere un intervallo di tolleranza adeguato per il gioco radiale, si calcoli e si tracci i l grafico di h,,f, Q, e Q, in funzione di C, con estensione di c al di fuori dell'intervallo ottimale. Valori estratti dalla Tnb. 13.3sono rnpprcsentati nella Fig. 13.27.

13 l i 4.

' D s l i n l o n F i g 13.13

553

1,a 1 3 ~ 1 3 . 2 7sernbra indicare buoiie condizioni di lavoro nell'intervallo di gioclii radiali 0.04-0.15 inni circ;i, ina deiac essere effettuata una verifica con I'Eq.13.15: ìi 2 0,005 + 0,»()004(150) = 0,0 1 1 rnrn Si confronti questo valore con quello dell'al~czzaminima calcolata usando un fattore di sicurezza 2 applicato al carico, e ipotizzando un "caso estremo" di (.=O. 15 mrn:

ìl,/c=0,06, h,=O,D09 rnrn Questo ì. inferiore al valore richiesto dall'F! 13.15 di 0,OI I rnm. Tuttavia. la la terriperatura media dell'olio nel mearo di 82"C, specificata all'inizio per semplificare il problema, era poco realistica. L'irigente portata d'olic associ;ita n c d , 15 nirn dovrebbe normalinente portare a una ternperaturadell'olio ncl meato più bassa (dunque, maggior viscosità) di quella ottenuta con giochi più ridotti. Inoltre, potrebbe essere specificata una gradazione "più pesante" dell'olio quando l'usura f:i aunientare i l gioco del cuscinetto. Un calcolo con un olio SAE 20 (sempre con temperatura media nel rneato di 82°C) indica che I'altez7;i minim;i del meato con c d , 15 rnin e ciirico radialedi due volte 17 kN dovrebbe essere circa 0,012 rnni. 5. A questo punto un giudizio può esserc dato circa le tolleranze diametrali idonee per cusciiietti e perni. Definirle in modo tale da avcre giochi radiali di O,O5-0,07 rnm coniporierebbe una sensibile usura senw che il cuscinetto lavori oltre la "zona ottimale". Aumentare le tolleranze per avcre iin gioco

TABI;I.LA 13.3 Valori per l'Esempio 13.4

1,714 0.767 0,42S 0.342 0.771 O. 140 0,OXS 0,057 0.04 1

0.76 0.59 0.47 0.45 0.37 0.76 l ) , 19s

0.036

n.1 I 0.10

;i,030 0.021

Figura 13.27 Esempio 13.4 Andarncnro di h,,.f. Q e Q, al varinrc di c ()i.n.l.,I).e W i.o\inriii)

P R O G t I T O DI i

PROBLEMI 559 7.

8. 9. 10. Fig.13.28 Cuscinetto di spinia fissi e pattino piano roianie

contenente pntlini

oppure i pattini possono essere orientabili, liberi di prendere il loro angolo d'inclinazione ottimale, o possono essere vincolati parzialmente permetteildo loro una piccola escursione angolare. Se i pattini hanno un'inclinazione fissa, è ovvio che un carico può essere sopportato idrodinamicamente solo in un verso di rotazione. Anche per il progetto di cuscinetti di spinta sono disponibili curve di progetto di Raimondi e Boyd [4,8]. Si veda inoltre [6, p.89-9 I].

11. 12. 13.

RAIMONDI, A.A., e J . BOYU."A Solution for the Finite Journal Beaing a ~ Its d Application to Analysis and Design." Parts I, 11 e 111. Trans. ASLE, Vol. l , N. I , p. 159-209, in Lubrication Science arid Technology, Pergamon Press, New York, 1958. RAIMONDI. A.A., e J. BOYD,"Applying Bearing Theory to the Analysis and Design of Pad-Type Bearings." Trans. ASME, 77: 287-309 (Aprile 1955). SHAW, MILTON C,, e F. MACKS. Anu[ysis and Lubricalion ofBearings, McGrawHill. New York, 1949. SLAYMAKER, ROBERT R., Bearing Lubrication Analysis. Wiley, New York. 1955. Szwi. A.Z., Tribology, McGraw-Hill, New York. 1980. TRUMPLER. PAULR., Design of Film Bearings, Macmillan. New York, 1966. W i u s , J. GEORGE, Lubrication Fundamentals. Marcel Dekker. New York, 1980.

PROBLEMI Paragrafo 13.5

13.16 LUBRIFICAZIONE ELASTOIDRODINAMICA Il termine lubrificazione elastoidrodinamica si riferisce alla lubrificazione di superfici non conformi fortemente caricate, generalmente in contatto, almeno parzialmente, di rotolamento. La teoria. che qui non sarà presentata, tiene conto della deformazione elastica delle due superfici accoppiate (come trattata nel Par.9.13). e dell'incremento di viscosità del lubrificante sotto l'azione delle altissime [ ~ r e s i o nin i giwo. (Si veda 161, p.92-98 e 103-114.) Lateoria elastoidrodinlirnica& fondarnentale per qualsiasi studio avanzato sul comportamento di superfici curve fortemeriie cancate in componenti di macchine come ingranaggi, cuscinetti a sfere e a mlli. e camme.

13.1

Per un olio SAE 30 a 160°F, determinare il peso per pollice cubo

13.2

Per un olio SAE 20 a 6OoF,determinare la densità in grammi per centimetro cubo.

13.3

Un olio ha una viscosità di 30 mPa s a 10°C e una viscosità di 4 mPa.s a 100°C. Il peso specifico a 15.6"C è 0,870. Trovare la viscosità di questo olio in mPa,s a 80°C.

13.4

Per l'olio del Problema 13.3. determinare la viscosità cinernatica a 80°C

13.5

I1 peso specifico di un olio a 60°F k di 0,887. L'olio ha una viscosità di 65 SUS a 210°F e una viscosità di 550 SUS a 100°F. Valutare la viscosità di quest'olio in microreyns a 180°F.

13.6

Per l'olio del Problema 13.5. determinare la viscositàcinematica a 180°F.

BIBLIOGRAFIA 1. 2. 3. 4,

5.

6.

CAMERON, A,, The Princrples nf Lubrication, Wiley, New York, I906 G ~ o s sW.A., , Gas Film Lubrication, Wiley, New York, 1962. "Mechanical Drives." Machine Design Reference Issue, PentonflK, Clevelaiid. June 18, 198 1 . O'CONNER, J.J., e J . BOYD,Standard Haridbook of Lubricotiori Engineering, McGraw-Hill, New York, 1968. OCVIRK, F.W.. "Short-Bexing Approximation for Full Journal Bearings." Technical Note 2808, Nat. Advisory Cornm. for Aeronliutics, Washington, D.C., 1952. Vedere anche G.B. Du~oise F.W. O C V I K "The K , Short-Bearing Approximation for Plain Journal Bearings," Trans. ASME, 77: 1173-1 178 (1955). P m ~ s oM.B., ~ . e W.O. W I N E(coord.), K Wecir Contro1 llori~lbnok,Anicric;iri Society of Mechanical Engineers, New York, 1980.

Paragrafo 13.7 13.7

Un cuscinetto di strisciamento radiale, poco carica!^, d! 360". di 4 in. di diametro e 6 in. di lunghezza, lavora con un gioco radiale di 0.002 in. e una velocità di 900 gidmin. E' usato un'olio SAE IO a 150°F. Determinare la potenza dissipata e il momento d'attrito.

13.8

Un cuscinetto di Petroff di 100 mm di diametro e 150 mm di lunghezza ha un gioco radiale di 0,05 mrn. Ruota a 1200 g i d m i n ed è lubrificato con un olio SAE 10 a 170°F. Valutare la potenza dissipata e il momento d'attrito.

st>o

I~UBRIFICAZIONEE CUSCINETTI DI STKISCIAMfIN7'0

13.9

Ripetere I'Esempio 13.2, usando però In viscosità di iin olio SAf' IO ;i 40°C e un gioco radiale di 0.075 mm.

13.10

Un albero di 3 in. di diametro è sopportato da un cuscineito di 3 in. di lunghezza con un gioco diametrale di 0,004 in. E' lubrificato da olio che alla temperatura di lavoro ha una viscosità di 5 preyn. L'albero mota a 1800 giri/min e porta un carico radiale di 1200 Ib. Valutare i l coefricicrite d'attrito e la potenza dissipata usando il metodo di Peiroff.

13.1 1

Un cuscinetto di strisciamento radiale di 120 mrn di diametro e hO inni di lunghezza ha un gioco diametrale di 0.20 mm. Il perno ruota a 7000 giri/ min ed è lubrificato con olio SAE 20 ad una iemperatura media di 70°C. Usando l'equazione di Petroff valutare la potenza dissipata e i l iiioniento d'attrito. (Risp.: 1.01 kW, 3,2 N.m)

13.12

Un motore di automobile ha cinque cuscinetti di banco. ciascuno di 7.5 in. di diametro e 1 in. di lunghezza. I l gioco dianictrale è di 0,0015 in. Usando l'equazione di Petroff, valutare la potenza dissipata in ogni cuscinetto a 3600 giri/min se viene usato un olio SAE 30, con una temperatiirri niedia del meato di 180°F. (Risp.: 0,66 hp)

13.16

1111cuscinetto con L=100 i i i i i i e 1)=200 iniii sopport;~uii carico radiale di 33.4 kN. 1j;i uri gioco radiale di 0,100 inni c mota a 900 giriirnin Tracciare uii gr;ificr>de1l:i potcriz-a dissilxit;~c di / i t i i r i fiiiiziorie dclln \ i\coxiiCi, iisrirido oli SAE 1 O , 20, 30. e 40. t i i t t i a 7 I "T.

13.17

Ripetere i l Problema 13.16, usando però solo un olio S.4E 40. Tracciare i grafici della potenza dissipata e di 11, in furizioiie del gioxo radiale. usando i valori 0,050. 0.100, e 0,150 nirn lrioltre, incl~iderci punti corriponderiti ,il gioclii che cr>tit~iiicorioi l i r i i i t i dellii "banda ottiniale" nella Fig. l i 13.

13.18

Uri cuscinetto di strisciaiiierito radiale cori L)=l in. e [,=l i n . devc e a c r c iis:ito per sopportare un roinrc (11 ttlirt>in:i chC nioia a 1 2 ( M piriimin. I k \ c essere usato un olio SA15 I O e la teiiipcratura media del lubrificante nci cuscinetti i. stirnata iiitorno n 148°F. E' previsto un oitimn liltraggio dcll'olio, e 1;) mgosita riris del perno i. iriferiore a 32 pin. rms. Cori qiiciii fattori, l'altezza iiiiniriiri del iiicaio p ~ i ;irriviirc i~ a 0,0003 in. ( ; i ) Quale gioco dianietrale curiiporterii la iiias~inincapacità di c a r i ~ o tlcl cuscinctto? (h) Usando questo gioco, qualc carico riiassimo puo essere sopportato'? (C) Con qiiesio gioco carico. cliiarito vale la potenza dissipata nel cuscinetto'.' [Uisp,:(21) 0.001 l i n . , ( h ) I300 lb, ( C )0,70 \11)1

13.19

Un ciiscinctio con L=50 rnni c B=50 rnrii dcve soppc1n;ire un carico r;idi;iIc di 5 kN. I>a velociti di rotazicric debe essere 120() giriiiiiin, e I ' a l t c ~ z ~ i riiiiiiiiia dcl iiicato lio deve essere 0.025 rniii. Perché i1 cuscinctto lavori ;il liniiie della hrindti ottimale corrisporidenie :ill'nttrito riiininio. qii;ilc gioco ,issi;ilc c qiirilc \,i\coiit3 dell'olii, occorrono '

Paragrafi 13.8 e 13.9

13.13

Ripetere i l Problema 13.1 1, usando le curve di progetto invece dell'cqunzione di Petroff, e deterniinare anche I'altezza minima del rneato, / i , , per (a) Un carico sul cuscinetto di 500N. (h) Un carico sul cuscinetto di 5000 N. Confrontare le risposte con quelle ottenute per il Problema 13.1 1 [Risp.: (a) 1.02 kW, 3.25 N.m, 0,086 rnrn, (b) 1.26 k W . 3.0 N.rii. 0,041 mml

13.14

Ripetere i l Problema 13.12, usando le curvedi progetto invece dcll'eclulizinne di Petroff. Determinare inoltre l'altezza minima del merito per un carico di 100 Ib su ogni cuscinetto.

13.15

Un cuscinetto di strisciamento radiale con /,=I in., B=2 iri.. c tiri gioco diametrale di 0,002 in. sopporta un carico di 300 Ib. mentre mota :i 1800 giriimin. Viene usato un olio SAE 10, con una temperatura nicdia del meaio di 130°F. Determinare (a) l'altezza minima del meato. (b) i l cocfficicnte d'attrito;(c) la massima pressione nel rneato. (d) l'angolo tra la retta dei carichi e quella dell'altezza minima, (e) l'angolo tra la retta dei carichi e quella di fine meato. (f) I'angolo tra la retta dei carichi e quclla della perduta massima pressione, (g) portata circonferenziale totale, e (h) port~it;~ lateralmente. Raccomandereste di usare un gioco leggerniente piìi piccolo o più grande? Perché?

13.20

IJn albero nioia a 1800 giriiiiiiri cd ccrcita iin carico radiale di 2.0 k"L: \ i i cuscirictto di \iriici:iiiierito radi;ilc. t;' ricliicio i i n rapporto l,'[)= I l us;ito uri olio SAE 3 0 . 1,atcriipcraiiira rnetlia del mcatc) prcLita è h5 '(' I richifito I'irigombro niiniiiio per i l cusciiictto. ( a ) 1)eierniin:ire i valori tli I. e f) ( h ) 1)eti.riiiiriare i valori di c corri\poiiil~~nti 31 due e i r i . i i i i ilc1l;i ~oii,i oitiinale di Fig. 13 17 ( C ) I l valore di C per ;itirit~liiiiriirrio soii(Iiil,i i l criierio di Tri~riipl~,r 1)c.r I'alterza iiiinima niiiinisibilc del ~iic~ito'! 1111

13.21

i' richicto Lin cuscinetto di niinirno ingonibro conipatihilc con la pr;iiic.i corrente per una turbina a vapore. Ileve essere usato un olio S A E 20. e I:! temperatura media del mento prevista è Ih0"l. E' richiesto un rapporto 11 B=1. I l cuscinetto radiale devc essere progeitato per sopportare 1111 c;iric.o radiale di 1500 Ib a 1200 giriimiri. (a) Ilctcrniinarc i valori di L e L). (h) Deteririinare i valori di c corrispondcriii ;il d ~ i el i r i i i i i i l c l l . i /ori;i oiiiiii.ili. di F ~ i ~ l 3 . 1 3 .

P -

502

-

-

-

-

-

-

-

p

p

LUBKIRCAZIONE E CUSCINETTI DI STKISC'IAhZENI'O (C) I l valore di C per attrito mininio soddisfa l'altezza minima ammissibile del ineato?

il

criterio di Truiiiplcr per

(b) Quali considerazioni oltre a quelle considerate nella parte (a) possono influenzare la decisione finale sul diametro e la lunghezzadel cuscinet-

to?

13.22

Deve essere progettato un cuscinetto radilile per l'albero di iiii riduttore ad ingranaggi che mota a 1200 giri/min ed esercita un carico di 4.45 kN sul cuscinetto. Si richiedono dimensioni tali che UD= I. Deve essere usato un olio SAE 20, e la temperatura media del meato prevista è di 60°C. I l cuscinetto deve essere il più piccolo possibile compatibilmente coi1 I:i pratica corrente. (a) Determinare valori adeguati di L e D. (b) Determinare valori di ccomspondenti ai due estremi della zona ottiinale di Fig.13.13. (C) Il valore di C per attrito minimo soddisfa i l criterio di Tminpler per l'altezza minima ammissibile del meato? [Risp.: (a) 55 mm, (b) 0,029 mm e 0,047 mm]

13.23

Deve essere progettato un cuscirietto di strisciamento radiale per l'albero di un riduttore a ingranaggi che mota a 290 girilmin ed esercita un carico radiale di 953 Ib sul cuscinetto. (a) Determinare una combinazione adeguata di i,D, materiale, lubrificante, e temperatura media dell'olio (si ipotizzi che questa possa essere mantenuta ad un valore ragionevole specificato mediante uno scambiatore di calore esterno). (b) Tracciare i grafici dij, ti,. AT, Q e Q, in un intervallo di giochi radiali che superi un pò l'intervallo ottimalc di Fig.13.13. Dii tali curve, si ricavino indicazioni per un intervallo adeguato di giochi costmttivi se le tolleranze sono tali che il massimo gioco è più grande di 0,001 in. del minimo gioco.

13.24

Un cuscinetto lubrificato ad anelli deve sopportare un carico radiale statico di 4.5 kN mentre l'albero mota a 660 giritmin. Ovviamente. sono possibili molte soluzioni, ma si indichi una combinazione ragionevole di D, L, c, rnateriale del cuscinetto, finitura supe.ficiale, e olio lubrificante.

13.25

Indicare una combinazione ragionevole di D, L, C, materiale del cuscinetto. finitura superficiale, e olio lubrificante per un cuscinetto lubrificato ad anelli che sopporta un carico statico di 1500 Ib mentre l'albero ruota a 600 ginlmin.

13.26

Progettare un cuscinetto lubrificato ad anelli atto a sopportare un albero che mota a 500 giri/min ed esercita un carico statico di 2000 Ib. Specificare D, L, C, materiale del cuscinetto, finitura superficiale. e olio lubrificante.

13.27

La Fig.Pl3.27, che non è disegnata in scala. mostra una mota drntata folle per catena a rulli quadrupla che mota su un albero fisso, sopportata da due cuscinetti di strisciamento. Lacatena trasmette 3.7 kW ad una velociti della catena di 4 d s . e il diametro della mota è di 122,3 mm. La distanza tra i bordi interni dei supporti dell'albero della motaè di 1 15 mm. (a) Determinare una combinazione soddisfacente di lunghezza del cuscinetto, diametro, e materiale.

P R O B L ~ 563' .

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CAPITOLO 14 CUSCINETTI VOLVENTI

14.1 C O N F R O N T O T R A M E Z Z I ALTERNATIVI P E R

SOPPORTARE ALBERI ROTANTI Come introduzione ai cuscinetti volventi, può essere utile fare un breve riepilogo circa i cuxinetti di stnsciamento (Capitolo 13). I cuscinetti più semplici possibili sono i cu~cinettiseniplici o di strisciamento, non lubrificati -come le ruote di legno di un carro montate direttamente sugli assali di legno nei tempi antichi. Si ottennero ininor anrito e maggior durata aggiungendo un lubrificante, come olio animale o vegetale. Nelle macchine moderne che usano cuscinetti di strisciamento, gli alberi di acciaio sono sopportati dalle superfici dei cuscinetti fatte di un materiale compatibile per quanto riguarda l'usura. come i l bronzo o il TFE' (vedi Par.9.9 e 9.10). Nelle comuni applicazioni a basse velocità ruote di tagliaerba, carrelli da giardino, tricicli da bambini vengono usati olio o grasso, ma i l lubrificante non separa completamente le superfici. D'altra parte, i cuscinetti di strisciamento usati negli alberi a gomiti dei motori lavorano normalmente in regime di lubrificazione idrodinamica; cioè l'olio separa completamente le superfici. j sfere Nei cuscinetti a rotolamento l'albero e gli~elementiestemi s o n o ~ e p f a tda o nilli, quindil'attrito'di strisciamento è sostituito da attrito volvente. Esempi sono riportati nelle Fig. 14.1- 14.10. Dato che le aree di contatto sono piccole e le tensioni elevate (Par.9.13), le parti caricate dei cuscinetti a rotolamento sono normalmente costituite da materiali duri, ad alta resistenza, superiori a quelle dell'albero e dell'elemento esterno. Queste parti comprendono gli anelli interno ed esterno e le sfere o i nilli. Un altro componente del cuscinetto è generalmente una gabbia, che tiene le sfere o i rulli equispaziati e separati. Sia i cuscinetti di strisciamento che quelli a rotolamento hanno un loro ruolo nelle macchine moderne. Un vantaggio notevole dei cuscinetti a rotolamento è 11 basso attrito all'avviamento. I cuscinetti di strisciamento possono arrivare ad un attrito altrettanto hasso solo in regime di lubrificazione perfetta iseparazione completa delle superfici) che si può ottenere con la lubrificazione idrostatica. con i l suo costoso sistema ausiliwio esterno di alimentazione del fluido, o con la lubrificazione idrodinamica che però non può essere ottenuta all'avviamento. I cuscinetti a rulli sono ideali perle applicazioni con elevati carichi all'avviamento. Per esempio. l'uso di cuscinetti a rulli per sopportare gli assali dei vagoni ferroviari elimina la necessità di iin'ulteriore locomotiva per far partire un lungo treno. D'altra parte. icuscinetti a sostentamento fluido sono adatti per alte velocità di rotazione con uni e sovraccarichi momentanei. Piìi alta è la velocità di rotazione, più efficace è l'azione di pompaggio idrodinamica. Inoltre, il meato fluido attiitisce efficacemente un urto. -

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565

300

CUSCINEITI VOLVENTI

perché la durata dell'urro non è abbastanza lunga da schiacciare ed espellere completamente il velo di lubrificante. Le alte velocità di rotazione sono generalmente svantaggiose per i cuscinetti a rotolamenio per la rapida accumulazione di cicli di fatica e l'elevata forza centrifuga sugli elementi volventi.(vedi Par.9.14, Rotture per fatica sutxrficiale). 1cuscinetti a rotolamento hanno un maggiore ingombro radiale intorno all'albero. ma le boccole generalmente hanno un maggior ingombro assiale. 1-cuscinetti volventi generano e trasmettono una certa quantiti di rumore, mentre i cuscinetti a sostentamento fluido normalmente non generano rumore e possonp smortare il rumore proveniente da altre fonti. 1cuscinetti di strisciamento sono meno costosi dei cuscineii a sfere o a rulli per semplici applicazioni che richiedono una luhnricxione minima. Quando i cuscinetti di stnsciamento richiedono un sistema di lubrific~zionc. f o m t a , i l costo totale deicuscinetti volventi può risultare più ba>ncehsioriedella New Deparfure-Hyait Bmring Division. Gcneral Motors Corpration )

Fipiira 14.3 Cuscinetti a slerr tipici. in a g g i ~ r i ial ~ lt

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CUSCINETTI VOL2VI:NTI

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Figura 14.6 Cuscincili orientabili a rulli. ( o , pcr gentile conccs~ioriedcllri McGill Manukiciuririg Cornpany. Inc.. Beanng Division. Valparaiso, Indinna, h. C, per gcniile concessione dcll:i l c 7.- ,3 r: Y C$ C g G ~o E g 3 a3 3C , - - - > 9 - 2 5 + 2 5 : G g B r 2 Q

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CUSCINETTI VOLVENTI

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(5. Per X minuti di funzionamento, si ha nl=500X giri, n,=3(X)X giri, e n,=2OOX

I

gin. 6. Dalla parte 3, N,=2887.IO6giri, N2=526,8-IOb giri, e N,=] 7 l ,8. IOf' giri. 7.. Sostituendo nell'equarione della parte 4. si ottierie 500X 300X + 200X =l 2887x10' 526,8x10~7I,8x1O0 +

lob e X=-=524436 m ~ no X=8741 ore 1,9068 8. La durata media è pari approssimativamente a cinque volte la durata L,,,, quindi vale 43703 ore. Commento: L a relazione generale dell'uyaglian7a della durata media ad appros-

simativamente cinque volte la durata L,, è basata sui dati speriinentali ottenuti dalle prove di durata su numerosi cuscinetti.

14.8 MONTAGGIO DEI CUSCINETTI SOGGETTI A CARICO ASSIALE Le pubblicazioni delle case costnitirici di cuscinetti contengoiio estese inforniazioni e illustrazioni relative all'applicazione corretta dei loro prodotti. Qui si illustra soltanto il principio di base del corretto rnoiitaggio dei cuscinetti rispetto al carico assiale. Le Fig.14.17 e 14.18 illustrano due disposizioni tipiche Arichc se iiori ci

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Figura 14.18 Cu~ciriciiirnoiiiaii in niodo che eiitrarnbe lc direrioiii

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sono ciirichi assiali evidenti sulla parte rotante, 6 riecessai-io assicurarsi che i l peso, le vibrazioni, e così via non causino riiovimenti assiali. I'principio che normalmente si applica è che la spinta assiale in ogni direzione -. deve essere sopportata esclusivarriente da un solo cuscinetto. Nella Fig. 14.17 i l cuscincito di sinistra sopporta la spinta verso sinistra, i l cuscinetto drdestra quella vcrso destra. Nessuno dei due cuscinetti ì: niontato in iriodo da sopportare s p i n ~ c nella direziuiie opposta. In Fig. 14.18 il cuscinetto di sinistra sopporta la spinh in entrariibe le direzioni. I1 cuscinetto di destra è libero di scorrere in entrambe le direzioiii ?ella scdc; quindi non può sopportare alcuna spinta assiale. Si iioti clic in Fig.14.17 i distanziali sono usati per permetiere la regolazioiie del gioco assiale dcll'albero giiisto di quel tanto che in nessuna condizione di diversa dilatazi«ne teriiiica l'albero possa alluiigarsi al punto di creare interferenza e carichi ecccsaivi sui cuaciiietti. Ciò suggerisce la ragione per cui non è normalmerite corretto progettare un rnoiitaggio che preveda che entrambi i cuscineiii sopportino i l carico assiale iiella stessa direzione. Per elementi "assolutamenie rigidi". ciò richiederebbe uiia d i s t a i i ~tra~ i cuscinetti sull'albero esarramente uguale alla distanza tra i cuscinetti nella sede. Anche se una costosa costnizione di precisione soddisfacesse a questo requisito, la diversa dilatazione termica durante il funzionamerito potrebbe creare iina piccola interferenza, caricando conseguenterriente i cusciiieiii. -

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1. 2. 3. 4. Figura 14.17 Cuscinetti monbti in modo da sopportare ciascuno la spinia assiale in una direzionc.

HAKKIS, ?'~:DKIC A., Rollirig B e a r i n ~Arialy.si.r, Wiley, Ncw York, I046 "Mechanical Drives," Machine Ursign Refcrc.n .

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CAPITOLO 15 RUOTE DENTATE A DENTI DIRITTI

15.1 INTRODUZIONE E NOTIZTE STORICHE Le ruote driitate. definite come ruote provviste di denti che consentono di irasiriettere il inoto di rotarione da un albero ad un altro. sono fra le più antiche invenzioni dell'uomo. È noto che circa 2600 arini prima di Cristo i cinesi hanno usato c a m coniprendenti una serie corriplessa di ruote coine quelle illustrate in Fig. 15.1 Aristotele nel quarto secolo avanti Cnsto, scnsse di ruote dentate come se fossero di uso coiiiune Nel quindicesimo secolo dopo Cnsto, Leonardo dd Vinci ha disegnato una quantità di dispositivi coniprrndenti molti tipi di ruote dentate. Fra i differenri inetodi per trasmettere la potenza rrieccanica (considerando principalmente le ruote. le cinghie e le catene), le ruote dentate sono generalmente le più affidabili e durevoli. Il rendiniento della trasrnissione è elevato, fino al 98 per cento. Per contro le ruote dentate norinalinente costano di più dellr cinghie e delle catene. Come ci si può aspettare, i1 costo di fabbricazione delle ruote dentate aiinlenta relativamente di poco auiiicntando la precisione - precisione importante quando si è in presenza di alte vclociià e carichi elevati, oppure per avere bassa rumorosità (esistono tolleraii7c tissatc. a seconda dei gradi di precisione nelle normative AGMA. Amcrican Genr ManuPacturers Association e in quella ISO). Le ruote dentate a denti dintti sono le ruote più scniplici ed il tipo più usato. Come mostrato in Fig. 15.2, queste ruote servono per trasiiicttere i l rnoto fra alberi con assi paralleli. [Nella lingua. iialiciiia irigr(111uggio L: i l ineccaiiisriio elementare costituito da due ruote dentate (e dal telaio); spesso vieiic usato iriipropriamente per indicare la singola ruota deniata. r i d!.]. I,a niaggior parte del nostro studio sulle ruote tratterà la geoinetria e I J teriiiiiiologia (t'aragrafi 15.2 e 15.31, l'analisi delle forre fra ruote (Paragrafo 15 4), I;i resisteriLa del deiite alla flessiorie (dal Paragrafo 15.5 al Paragrafo 15.8), e i l daririeggianierito della sul~erficiedel dente (Paragrafi 15.0 e 15 10). L'ingegnere clic deve occuparsi della progettazione di ruote dentate di qualsiasi tipo deve conosceie la norriiativa ISO o AGMA che è dedicata rsclusivaniente alle ruote ovvero I risultati di \tudi e ricerche siille ruote dentate che si trovano nella letieratura tecnic;~receritc

15.2 (I;EObIk~?'KIAE TERMINOLOGIA 1-:i proprieià foridairientale che si richiede alla geoiiieiria del profilo del dentc i. di assiciirarc rapporti fra le velocità angolari perfettamente costanti. Ad esciiipi(i, i l rapporio delle velocità angolan fra uiia ruota con 20 denti ed una ruota con 30 dciiii dcvr e s e r e 2 pcr qualsiasi posizione relativa dei denti. Non deve essere, ad c\ci~ipio. 1 .q9 quando duc denti entrano in contatto e quindi 2.01 quando si abbaridoiiaiio. Natiirciliiiente cli e n o n di fabbricazione e le defonnazioni del dente \orio iriu\;i di piccole variazioni nel rapporto di velocità, ma i profili dei denti che si possono usare \ i basano su curve geonietriche che soddisfano questa condizionr La proprietà di unti

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IS 2 GEOMETRIA b TERMINOLOGIA 603

Figura 15.5 Kuoiedi Irrri~iriecoridr;irneiro d e velocili angolare w internamente alla circonferenza di base. Per comprendere appieno l'accoppiamento di due denti occorre l'analisi ( 1 ) della trasmissione con ruote di frizione, (2) della trasniissione con cinghia, e quindi (3) della trasmissione con ruote deritate. La Fig. 15.5 mostra due circonferenze primitive. Si immagini che queste circonferenze rappresentino due cilindri a contatto lungo una generatnce. Se non esiste strisciamento, la rotazionedi un cilindro (in figura la circonferenza primitiva) fa ruotare l'altro con un rapporto fra le velocità angolari inversamente proporzionale ai rispettivi diametri. In una coppia di ruote, quella più piccola si chiama pignone e la più grande r u g a . Il termine "ruota dentata" viene usato per indicare una delle due e sp&ificamente 13 più grande delle due. Ciò può ingenerm un pò di confusione.ma.c~sìè la vjta!. Usandogkliici p_ e g per iodicare rispettivamente i l pignone e la ruota ri spe.~tiva~nen!~sih.a ._ -- . . .

dove o è la velocità angolare, d il diametro primitivo ed i l segno negativo indica che i due cilindn (ruote dentate) ruotano in verso opposto. L'ink.rasse..è.&to da C

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doye r è i l raggio primitivo. Per trasmettere una coppia maggiore di quanto sia possibile con una semplice coppia di ruote di frizione, a queste ruote si aggiunge una cinghia montata su due pulegge rappresentate dalle circonferenze di base, come in Fig. 15.6. Se si ruota il pignone in senso antiorario di pochi gradi. la cinghia farà ruotare la ruota secondo la Eq. 15.1. Con la terminologia usata per le ruote dentate l'angolo viene chiamato aegolo di pressione. Dai triangoli simili le circonferenze di base hanno lo stesso rapporto de=Zonferenze primitive; quindi i rapporti di trasmissione nelle ruote di frizione e nella trasmissione a cinghia sono uguali. 'Nella leneraiura teonica italiana viene definito rapporto di irasmusionz i l quoziente s = oio,.con o, velociih angolare della ruota conductrice e o, quella della ruota wndoita. L' ISO definisce questo rapporto con i = w,lo,che si pub anche chtamare rapporto di ingrunamenro per dis~inguerloda T ( n d.1 ).

Figura 15.6Cinghia sovrapposiaailenioiediCririorie Nella Fig. 15.7 la cinghia viene tagliata nel punto C ,e le due estremità vengorio usate per generare i profili ad evolvente d< e dp rispettivamente per il pignone e In mota. E' chiaro ora perchè @ viene chiamato angolo di pressione: trascurando I'attnto dovuto allo strisciamento. forza che un den~e-trasm&e&~~&~te dell'g~tr~a èsQnpreb j n c l ~ 1 ~ ~ ~ ~'pressione. ~ ~ Un~ confronto ~ a fra~le ? Fig. 15.7 ea15.3 mostra che i profili a evolvente sddlsEii61a legge fondamentale dell'azione fra profili coniugati dei denti. Incidentalmente, laevolvente di circonferenza è l'unica curva che soddisfa la proprietà di dare un angolo di pressione costante quando le ruote sono in moto. Si noti in particolare che il contatto fra le evolventi coniugate può avvenire solo al di fuori delle due circonferenze di base. Nella Fig. 15.7 i profili ad evolvente possono essere disegnati soltanto "tagliando la cinghia" in uii punto compreso fra a e D . La Fig. 15.8 mostra il dente completo. I1 profilo ad evolvente si estende estentriniente alla circonferenza priniitiva per una distanza chiamata addendurn. In c o m spondenza si ha la circonferenza di testa. Analogamente la distanza del profilo del dente che si esteride all'interno della cir~onferenzaprimitiva viene chiamata dedendum Naturalmente la curva evolvente esiste solo esternamente alla circonferenza di base La porzioiie del profilo fra la circonferenza di base e la circonferenza di piede iioii può partecipare al contatto fra i denti ma non deve interferire con la testa del dentc dell'altra ruota. La porzione di dente cornpresa fra la circonferenza di base e la circonferenza di piede viene disegnata di solito rettilinea, ma la sua forma reale (chc dipende dalla tecnologia usata per realizzare la ruota).è normalmente trocoidale. Uri raggio di raccordo alla base del dente fa terminare 1 1 profilo sulla circonferenza di piede. Questo raccordo è importante per evitare l'effetto di intaglio che si ha quando i l dente è sottoposto a flessione. Quando si parla del diametro di una ruota dentata senza alcun aggettivo qualificiitivo ci si rifcrisce sempre al diametroprirnitivo. Facendo riferimento ad altri diametri occorre seiiipre specificare quale diametro si considera. Analogamente per i simbuli d senza indici è il diamerro primitivo. I diametri primitivi del pignone e della ruota 51

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GEOMETRIA E TERMINOLOGIA

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Figura 15.9 Terniinologia dei denti di u n a mola d e n i a i ~

inch di diametro primitivo) mentre nel SI i l termine "passo" si riferisce al [>ihFillcrs.Proc. 1 J i h 1:asicrn Phnirrlasiiiiiy C i ~ n.il'l; I)cid ; i - r a m E d c l dcritc c ricliiedono la conoscenza dci c n t e n di resisfen7;ipr~;cntati nei C:lpitolo 8 T succi\\i \ i diie par:~gr;ifi ngiiiirdano I;i resitcnra all'tisur;~siiprrficiale e irinrio Liso delle riortorii sulla vaiolatura -) e \i1113 njaturii S I I ~ C T ~ I C ~ ~ iJJ~i\trii[c J C ~ ~ CI I C~I ~ ~ ~ ~ ~ ~ ) Capitolo 9. Viene u t i l i z z i ~ n c h equalche aspetto della l u b r i m n e irattata nel C;rpilolo i 3 ('onie si vedri. la capacità di canc.o ed i l riiodo di rompersi di iina ioppi,i (li niote dentate zono influenr:ìti dalla loro velocita di rota~ionc.LI] \iiidio 1Icl1;i capaciti di carico fornisce un eccellente opporiuniti per applicare nioltc norinni prc

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*

15.8 ANALISI KESfSTENZA DENTE

627

'TABE1,I.A 15.2 Fattore di correzione per il niontaggio Km 1,arghpzza dente (iii.) Caratteristiche del supporto

daOa2

6

9

>l6

Montaggio accuwio, piccoli giochi ner cuscine(ti. inllessione iiiinirna. ruote di precisione

I?

1.3

15

I .8

Moni.iggio rnenorigido. moic rncno [irccisc, conlaiio esteso per iuiia la larghcria del dente

l ,(I

1.7

1 .X

2.2

-

Precisione e inontaggio tali chc i l conialio è limiiato ad una porzione dcllli larghc~tadel dcnic

rnagpiorc di 2.2

'TABELLA 15.3 Fattore correttivo per I'ailidabilità k,, dalla Fig. 6.19 assuniendo una deviazione standard del]' 8%

La figuri1 15.25 iiiostra uri;i applica~ioiiespecifica di una coppia di mote a denti diritti, con larghezza b = 1,25 in. Si stimi la massima potenza che I' ingranaggio può trasmettere continuanieiite con una probabilità di rompersi per fatica dell' I %.

Soluzione

Dati: Ilri pigitoric. di acciaio di cui si conosce la durezza, i l diurnrtr~lpitcli,

il

riuiiiero di denti, Iri larghezza della ruota. la velocità di rotazione e l'angolo di pressione di 2OU,trasiiiette la potenza ad uiia ruota deritaia con d u r e ~ z a290 Bliri a 8 6 0 girilirtinuto; è accettabile una probabilità di rottura per fatica dell' 1 %.

l

Deferniir~are:la riiassinia potciira chc le ruote possono trasniettere senza roiilira dei denti. Sclrerila e dati:

(riormalnienie stimata cori la temperatura del lubrificante) ì' iriferiorc a 160"1:'(7 1 "C) Se \:i teiiiperatura t niaggiorc di iluesta e

iri

assenza di iiiigliori irifornia7ioni, usare

i,,,) = fattore della tciisicine niedia. Secorido qu;~ntodetto ricl I'arngrat'o 15.7, usare I ,O per ruote oziose (tottoposte a sollecita~ioricalteniala) c 1,4 per Ic nioic di irigreso e di uscita (~ollccila~ioiie pulsante).

11 coefficienie di s i c u r e z ~ aper la fatica a llessioiie p ~ i 0c\sere ~ S S U I I I Oc o i i i ~ r;ippono fra la resistenza ;i T:itica ( e q u a ~ i o n c15.18)c la tensione di farica (cqii;izioiie 1 5 . 1 7 ) 11 suo valore riuiiicrico deve essere fiss:it(-, secondo i criieri elericati ricl liaragrafo 6.12. Poichè vengono introdotti i tingoli fattori K,,. h'", e kr, iiori è iiiiport:irite che i l "cocfficiente di ciciirc;.rn" sia piìi -r:inde ~iiauadir103 I S 111 O L I P J C ( I ~ S !S uou iiuap I aq31od .auoizeioJ !p OJlUa3 o ~ r i l a d s i ~ 11 " 0 2 x u e o rq olund 11 aiu"iin!Siio3 ella !~euo40~.10 ouos 1p13ola~aisanòB 'clON ,I c l l ~ paiuap [np a auouY~dlap aiuap Iap aiuauic~!~~ads!i o11e1uo3!p gund !ap A 3 A ' y ~ s o l aiio1ia.t ~ i 11un103c!icls ouos !nn u! t I ,519e [ p p !1e3n!uos I I ! J O J ~ ! u03 !luap !ssals 112I!JlSoUi o 9 z . s I i:~nd!d1:1 . O I I P I U O ~e !s!padns a16p oiuauleissuls !p e113ola,\ ellns oiiap oiels a ~ l . n~ L~ L I ~ J ~ J I !p I O~ ~] JUI ~~ A [ O A ~ ~~ ~ U[ I ) ~ J I au1o3 ~ P Aouucq J ~ ~3q3 ai{"upii!Ip ! x p d n s oiios o l i e l u o ~e !sipadns a[ 3q301a10u OIPIS a pa 11uap !e y ans15r: si13 . ~ I I O ! S S J J ~ Ip ~ Un7iOJ ~~ i![ ~ICUI~i1J3I2P l!lE]S Il~apa33id!jk?JZe~cd !aN .nuo!ssaU al[" cinhop cJ!lej ella czua]s!sa~rllap oisalduios i u a p ~ ~ ~ i!id oiloui Oiii3iil0~JI!rrn 3lu3p lap ali:ixyadns e z u ~ ~ ~ ~ _ a y 3 aY O I I U I U O ~ 111p alosnn3 !uo!rual 3lli:P !~e]isallosorios 11u3pI '(bl o ( o ] ! d n ~oiuauie[oi»~ ) ip 111au1ssn3 ' 6!ap 0lol!de3 ose3 laulau a 111u3sap u o ~ ~

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1

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15.10 ANALISI FATICA SUPERFICIALE TABELLA 15.4a Valori del coefliciente elastico C, per le ruote a denti diritti in In questa ultima espressione R è il rapporto fra il diametro della ruota ed i l diamelro del pignone

.-

&

Materiale ruota Maieriale del pigiioiic O 3 in tutti i casi)

Si noti che R è positivo per una coppia di ruote esterne (Fig. 15.2). Poicliè i diametri di una ruota interna si considerano negativi, R è negativo per la coppia pignone ruota interna (Fig. 1S.12). Sostituendo e tnell'equazione 15.21. ed introducendo i fattori Kv, K,, e K m usati per la flessione, si ottiene

635

Brom (Cu+AI)

Bronm (Cu+Sn)

W0 1803

1950 1800 1750

I 9x1 1 750

17X) IXCU

I7W

(V =

Acciaio

Ghisa

Accidio. L'= 3CXWX) ksi Ghisa. E = I'I(KK)ksi Broriri all'Al. L'= 17500 k\i Uroiiri allo Sn. E = 1000ksi

2XX)

2003 1950

1900

17(i0 1650

P

'TABELLA 15.41,

=lcol~tecon I'eq. 15.24 devono essere confrontate LCn ie curve' S - N di resistenza a fatica superficia!~ che sono state ottenute sperimentalmente con prove in cui i fattori elencati sono appr~ssimatamenteconfrontabili con quelli in esaine. cu.rvc di..r-sistenza a fatica superficiale per Quindi mentre ..si devono .usare ruote a dmiDirdti biT1&921Je.dtr~.c.u-:-ne!!a s&ssafisusa non _nqu!.dirpbiIi. In assenza di dati sulla resistenza a fatica superficiale più direttainente pertinenti allo specifico problema, la Tabella 15.5 fornisce valori indicativi. Come è-stato noratsttel Paragrafo 9.14 spesso è desiderdb~leche uno dei ineiribri a c o n i t t o . i ~ i a . . u n adrirez- maggiore dell'altro. Nel caso delle ruote in acciaio, a1 pignone viene sempreda@unaduie2fisupe~ore, sia perchè i denti del pignorre sono sottoposti ad un maggior n G o & cyick a~faticae sia p?rctiE .è piu ecoriomico conferire durezza ad un p s i c d a r e di mncchha di d . i h . ~ m s ~ ~ n w _ ~w~ il iei . Noriiialniente le durezze differiscono di circa 30 Bhn per ruote cori durezza sui 200 Bhn. di 100 Bhn per valori prossimi a 500 Bhn e di 2 Rockwell C per valori intorno a 60 KC. Se la variazione della durezza della mota non supera questi valori è stato trovaio che-può essere usato il valore della durezza . media sia per la verifica del pigiiorie clie della ruota. Per le ruote in acciaio indurite superficialinente i valon delle durezze usate con la Tabella 15.5 sono quelli superficiali, ma la profondità dello strato iiidur~iodeve estendersi oltre il massinio valore della tensione tangenziale iliostrato in Fig. 9 15b e 9.19. Di norma questo spessore è di I mm o 0.040 in. Per durate a fatica diverse da IO7 cicli, moltiplicare i valori di SIt .>- ?

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i r , -

-7 ilit3nci rigiiardi dcllii duriitn

15.33 Pcr Ic niotc dcll'esercizio 1 28 si stimi !:i potenrii che pu» cs\crc tr;i\riic\\.i per IOq cicli con i l 90%)di affi~labilità,hainndo\i \ulla fatica \iipcrfici:ile 15.35 11 riduttorc a duc stadi di Fig l i 17 Lisa due coppie uguali di nioic. Si confronti Ic resistenze relativedelle mote che vciigoiio i1ii1177atcper I'alt.i \elocità c pcr

ririiia~isa.lln~ J O eun J opueii3lasa E tu!loiiou ! euYadiiiisip ;: oiuaLiiala'llap . . oiiiauieisods o1 esseq nid Q ! ~ J ~ I ellau U eiii 'ozzoui lap ewaiii! a131pac1rifl~j1100 i)iieluo3 r: a ~ d i u a souos 6 !uqoiiou 13pg!LuaJ)sa q .alvtro!zal!p!un oisauu! iin ipu!nb ouo3s!n1!iso3 :aiuauirnual n ~ duou eui 'ris4allo2 ouos !ns ni (iluauisla,[ cioN oiuenb !p ( o u e ~ oosuas ui) aiuaiuasolai n!d 010s aJC1ON !p p cizzoiii ouoiiiasuo3 iu!loiiou 1 .(cioni q l a p 1 4 8 e !~!ie33eiie ouos inn e ozzoui) p ozzoiii IaP !U-'aiu! !iuaP 1 uo3 oiieiuo3 E !u![oiiou I ouo8uai auo!sJoi !p a l l o ~. \ i l ~ p . ~ [ < { ZIA u1 ~ : l e ~ l ~ na [auoizunj [l in2 e[ aiuauili:!ziiai~luo3~13 !isodiip !iii[aiiou i!rtl

oueiuasa~ddei(g !i!lPjaies r u o d [e oicssg) 6 o u ~ l o ~ i o[!upa (q eu0103 e1171 O ) ~ S S I _ I ) E oisaJm !p ou![oiiou 11 'auo!zeaJ ip oiuaiuala,l a pa F S S ~a 9 ale[os e l o n ~ e 1 O ~ U W U O J!p O , ~ I I I S O ~11S CI ~U O I Z ~IS opuenb ( F I I ~ Oelle ~ ~a A eiiaJ!p 'eiiopu) !uo!zisod a ~a~auinssi: i ad aiuauila!sse a~nisodsond 1s a euaie3 ad eiom elle alepiloi e i o ;~:o i u a u i a l a ~'euaic3 ellnp eieiio!ze a 1 rioni r i .cirr>ola~ ~ aii uos I ? ~ ~ S ~ipJ !ozzoiii ~ I < ~un !p e.yleuiaqsi aiio!zr!iuasa~dde~eun ()p'qld %I-J e 7 ()P'S[ .aliq!ssodui! aiuaiiienpoai 3 '13 aq3 !~isouiipIS :;. e alen8n auo!ss!uise~i !p o u o d d c ~ un "03 L E S I ~ I - J!p O [ E ' S I 3q ip ollanb e a l ~ ~ uo i~u s ~ i oun ~ a~n7z![eai !p i!~inui~xl ai13 ~iiiapolaiiiriu !p auo!zeutquios eun aJru!urlaiap lau ~1103!~1rp LIOJ yi1~ei11iuqcq U O I I aLl> a~aii4a8u1 u n f;f-s~ apui:~Z {:q !~~!plo[s!nlda !LIISIIOJ

i ~iillsii?s a ~xie s n alrq!ssod 3 (3) ;,a~clo8uenzucis!p alrn8n po iisods~pii~llairs o ~ i i e n ha ~ c ~ a t f o pa[!qissod i? 3 (q) i aloni aJ][r!a[ ouueq ~ i u a p~ i u e n o(e) .iiuap uo3 !1111a)esein a [P'[ !p (e1ddo3 e[ a u n p u a ) yi13ola~e[ aJeiuauine ]ad (iieiia8o~doieis ? a,iupldno .T .(ue:, r! 1131s I opuassa) 03~83 oua!d e auouZ!d lap a;alduio:, !IJO!ZeiOJ ,O[ !p eiwnp eun pa %66 lap -i![!qcp'lJe eiin i103;.'l alen8n ezza~n31s!p aiua!31~jaosun oiein aJassa aAaa e PION aq3 eu!qxeui eun pe u!ui/u18 00;:s C CION aq3 aJoioui .iiiiu/u18 un e p dq 09 aJaiiauiseJi ad ~ii!~!p~ i u a pr? aloni anp !p e!ddo3 eun a ~ r n i a 8 o ~Lc'S[ d

l

.alvuaieui a er>i4oloux~ auo1si3a~d !p ope18 'eioni ezzaq8~el'o~!]!uiudo ~ l a u i e ~!pp aleui~iloauo!zsu!quios eun ar!ugaa .z'l !p ezzarn31s !p aiua1sgao3un uo3 agg!qep!rje !p oh66 11 uoo !l213 !p eielnp eun ad aloni a[ aiaila8o~d.auo!s~said01e !p uou eui 'aleuisnpu! e3!ie~dciionq nun !p 11lanb ouos los su!^ I a uaqle !l9 .!icJapoui !un eiiopuo3 cu!qxeui n1 a !un ua48al -p aJoioui 11 .ui g !p a asswaiui'l 111ui/ur80 0 ~ e a~ulczzi[!lneu!qnscui e1 a u!rii/u!8 0096 U O ~ J O [I~ mO j ~'dq~ 8 !p ~ z u a i o d eun ad oicsn alassa anap ( ~ [ . q l d'%I-J !p 011anb e a [ y ! s ) ( a m l a ~a oiual) ~ p e i sanp ad eioni alen8n pa auou81d a[cn8n esn aq3 ! p ~ anp s e a ~ o i i n p uu n 9c.51

~ l c ! ~ ~ ) - ' aedi nn~s n pe[ 3113 aiioissalj Jad cn!ie) e ezuaisisaj e1 c!s uaprsuon IS .m-'01a.\o!Y5eiir~Su!'l~ n 11~1s d ,OI ip eiri~np"un opuxain~se' y l ~ m l aesict] ~ i:[

come mostrato in ].'i&. P1 5.4Ob. I l fiin7ioiiaincnto nclle ire niiircc i: i l srgiieriic: Bassa velocich (Marcia lenta): L'cleiiicnto 2 P nclla posizione L in cui ( I ! disinnesta i noiiolini 3 C (2) fa ruoiiirc la corona 5. L'elenienro di ~iscir:ii. i l porta satellite. che trascina i l mozzo attraverso i notiolini 9 Presa diretta: L'elemento 2 è nclla posizione N, dove trascina la corona ni;i disimpegna i nottolini 3. che trasmettono direttamente i l moto dalla ruoia dentata della catena al mozzo. (I nottolini 9 restano a contatto. ma "sopravanzano" causando un ticchettio, rumore caraticri~iicogcnerato dall'urto dei nottolini sulla dentatura del niozzo). Marcia alta (Moltiplicazione). L'eleinento 2 si disiiincst;~dalla corona c si innesta con i perni dei satclliti, che sono solidali al portasatellite 8. 1 nottolini 3 rnuovono il mozzo alla velociti della corona ed i nottolini 9 si niuovono pii] velocemente. Segue l'esercizio: (a) La ruoia solare e ciascun dei quatrro satelliti hanno diaineiro priiiiitivo di 518 in. e 25 dcnti. Quanti dcnii ha la corona e quale è i l dirinic~trolpitcli delle ruote ? (b) Quale è il rappoito fra la velocità angolare della ruoia e la velocitli dellii ruota dentata per catena in ciascuna marcia ? Deteriiiinarc questi rapporti con almeno due dei tre metodi esposti nel testo. (C) Spiegare brevemente cosa accade in ciascuna marcia quando la bicicletta si muove in discesa libera senza pcdalarc. 15.41 Un rotismo epicicloidale simile a quello di Fig. 15.32 h;i un freno ;i n;istro clie tiene la corona fissa. Al solare. che ruota in scnso oriirio a 800 giriliiiin. C applicata una coppia di 16 Nm. I l port;isatellite iiziona urla niaccliiiia Le nioic hanno modulo m = 2.0 mm e 9 = 20". 1.a corona h;i 70 dcnii. Vi sono solo due satelliti, ciascuno con 20 denti. (a) Quanto vale il passo circonferenziale p? (b) Si schizzi ciascun elemento del roiismocome un corpo libero in eqiiilibno (si trascuri i l peso). (C) Quanto vale la coppia in uscita ? (d) Quanto valc la vclociti di rotazione dcl portas;iicllite in ginlmin ? La rotazione avvienc in scnso orano o antiorario ? (e) Quale velocità periferica deve essere usata pcr dcierininare i l fattore di velocità KL,per ciascuna ruota ? (Suggerimento: La velocitli deve csserc determina& relativamente a ciascuna ruota. Pcr escriipio, la velociti dcl pignone e della ruota nel riduttore di un motore di un piccolo aereo da iurismo. quando l'aereo esegue evoluzioni circol:iri, > la vclociiii rel;itiv;i alla struttura e non quella relativa al ierreno). (f) Quanto valgono Ic f o n c radiali \ui cuscinetti clic sopl~oit:irioci:isciina ruota ? (g) Quale coppia deve esercitarc il freno per icner bloccata la corona ?

15.43 Coiiic i l Problerna 15.42. con P I . P2 dcriri 30. 24 e 28.

C

,T1 che Iianno rispeitivaincntc nilniero

15.44 Coirie i l Problcrna 15.42, coli 1'1. Il2 e S I che tianno rispcttivaincritc riiiniero denii 36, 30 e 32. 15.45 La Fig. P15.45 rappresenta un ingegnoso rotismo epicicloidalc che conscntc di ottencre un;] elevata riduzione di velocità con poco ingombro Questo roiisrno c sirnile ;I quello della Fig. 1'15.42 con la vanazione chc qiicst:~ volta i l portasateiliie è conduitore ed i diainctn dellc due ruote solari C dei due satelliii (clic sono solidali fra loro) sono quasi uguali fra loro. Per prima cosa si osservi che. sc qiieste coppie di ruote avessero lo stesso diametro. la velocità di uwita sarebbe nulla. Se facciamo i l diametral pitch di S I e P1 solo poco più grandc del clirinirtr-al pitch di 52 e P2. I'iiiicrassc sarebbe lo ctcsso per i1 nuniero iii dcriii rnosrraio in figura. I>crerminare la grandczza ed i l senso di rotazione dcl roti~iiio. (Kisposia: +0,0197)

15.42 La Fig. P15.42 mostra un rotismo epicicloidalc con s;itclliii doppi, diic niotc solare e nessuna corona. 1 satelliii P1 e P 2 sono solidali fra loro C Iiiinno rispettivamente 40 e 32 dcnti. 11 solare S I C l'ingresso cd ha 30 dcnti. I l solare S2 è fisso. Tutte le ruote hanno lo stcsso dirimetrrill~itc-li.Sc S I niota i r i scri.;o orario. quale P il riioto del porta sa[clliti ? Figura P15.45

662

RUOTE D E N T A E A DENTI DIKITTI

15.46 La Fig. P15.46 rappresenta Io schenia di una trasinissione usata nel faiiioso Modello T della Ford. Come nelle moderne trasinissioni autornatiche fu usato un rotismo epicicloidale. Questo veniva azionato per mezzo di due pedali. 11 pedale per la prima marcia bloccava la ruota solare S 3 per mezzo di un freno. Il pedale per la marcia indietro bloccava, sempre mediante freno, il solare S2. Lasciando entrambi i pedali si otteneva la presa diretta (Un parziale abbassamento del pedale della prima marcia dava la sconnessione con il motore. Anche azionando il freno a mano si provocava un parziale abbassamento del pedale e quindi la sconnessione con il motore, caratteristica molto apprezzata quando si faceva partire la macchina motando a mano la manovella di avviamento !) Si deternunino i rapporti di trasmissione per la priina marcia e per la retromarcia. (Si noti l'elevato rapporto in retromarcia. Ciò significa chc in strade con forte pendenza, troppo gravosa per la prima marcia, si poteva girare la macchina e fare la salib in retromarcia !) (Risposta: +2.75, -4.00)

-

11eMa nastro p,ip"ma marcia

USC8ld

II

i

Figura P15.46

la iClroniaiCw 1 5 r a la iuoia 9

CAPITOLO 16 RUOTE DENTATE ELICOIDALI, CONICHE ED A VITE

16.1 INTRODUZIONE La trattazione qui proposta dei principali tipi di ruote dentate a dentatura noi1 diritta è relativamente breve. I principi di base e molte delle equaz,ioni già viste si applicano ancl~ea questi tipi di ruote. Una ruota elicoidale (Fig. 16.l a ) può essere considerata come una mota a denti diritti ottenuta da un insieme di lariiine di spessore sottile, ognuna delle quali è leggemiente ruotata rispetto alle vicine (Fig. 16.l h). La.trasmissione di potenza iriediante ruote a denti e i i c o i d a ~ ~ n e galberi i i una spinta assiale. Questa può essere e l i s n a t a usando un ingranaggio a doppia elica (Fig. 16.1~). anche se ciò ;iuinenta sensibilmente i costi di fabbricazione e montaggio. QI.I~(~Q ~ngrmaggio ..~ a denti elicoidali (o bielicoidale) mota, ogni dente si iriipcgiia prima da un lato e quindi, con la rotazione, i l contatto si estende su tutto i l dciite. In que3to modo il dente si carica gradualmrnfe e dà luogo ad una trasmissione più regolare e silenziosa di quella ottenibile con le mole a denG diritti. L'ingranainento graduale comporta un abbassamento del fattore dinanuco K, e perinette di raggiungere velocità di rotazione più elevate. Gli ingranaggi a denti elicoidali trovano Ixgo impiego nelle trasmissioiii per autoveicoli in cui la silenziositi è un requisito di primaria imponanza. Sebhcric gli irigraiiaggi elicoidali 3iano usualrnente ad assi paralleli, le runtc clicoidali possorio essere utilizzate ariche con assi non paralleli e non incidenti (Fig 16. ld). In. tal caso si ha l'ingranaggio elisoidule ud assi sghenibi. Con gli assi sghembi, poicliè teoricamente gli ingranaggi elicoidali hanno contat!o in un solo punto, essi possono trasmettere solo carichi rriodesti. Una applicaziorie iiiolto diffusa C lairasniissionc della distribuzione e della pompa dell'olio dall'albero a caniirie nei iiioiori per autotrazione Lm ruore &ntut$ corririir (Fig. 16.2) hanrio I denti generalinente di 1oriri;i siriiilc a quelli delle ruote a denti diritti ma limitati da superfici coniche. I denti possono essere coi1 asse rettilineo (Fig. 16.2a e 16.2h) o a spirale (Fig. 1 6 . 2 ~ )I. denti a spirale ingranaio gradualniente (iniziando da un lato come per le ruote ;i denti elicoidali) e perrilettono un funzionamento regolare e silenzioso. Tali ruote vengono rnontalc cori gli ;issi incidenti tranne che per la ruota ipoidale (Fig. l6.2e). Cili assi sono usualmente, riia non necessananiente, perpendicolari. La Fig. 16.2d rnostra tiil caso limite di assi non perpendicolari. La caratteristica degli assi non incidenti degli ingranaggi ipoidi è interessante per applicazioni i11 automobili a trazione posrcrinrc poichè permette i l montaggio del motore più in basso con il vantaggio di poter abbassare il pianale, quindi il teito ed il centro di gravità dell'automobile. Un ingranaggio a vite (Fig. 16.3) è essenzialmente una vite che si impegna in una speciale niota elicoidale. Cornc una vite. la niot;i ;i vite può avere uno o pi~i

. L; K

=

.-

E*

95

s i.,t

16.2 TERh?lNOLOGIA E GEOMETKIA DELLE RUOTE ELICOIDALI 667

Saruria x x (iiei piano di i o l a i a n e l

Figura 16.4 Pane di una dentiera elicoidale

tang

Figura 1 6 3 Ingranaggio a vitc senza fine (o. da Horshurg & Scoit. b. da Ex-Cell-O Corporalion. Cone Dnve Operations.)

I valori di non sono normalizzati, ma nomialmerite compresi tra 15" e 30". 1 valori più bassi permettono di limitare le spinte assiali, mentre i valori più alti permettono funzionamenti più regolari. Gli ingrsnaggi elicoidali possono essert destri e sinistri, e lo stesso vale per i filctti di una vite (vedasi Fig. 10.1). In Fig. 16.la il pigrione è destro e la mota sinistra. Si noti che m o ~ ~ . ~ ~ i . c &(ad l i assi paralleli) che si accoppiano devono avere la stessa inclinazione dell'elica ma verso opposto. La Fig. 16.4 mostra che il passo circonferrnziale @) e l'angolo di pressione (q) sono misurati nel piano di rorazione. come per le ruote a denti diritti. Valori diversi per il passo circolare e l'angolo di pressione misurati nel piano normnle al dente sono mostrati nella figura ed indicati conp" e Dalla geometria elementare: P. = P COs W

Nel prossimo paragrafo sarà mostrato che:

(16.1)

= tang 41 cos W

(16.2)

Che si assuma o 4" come valore unificato dipende dal metodo usato per il taglio del dente. I valori unif cali per I'addendum ed il dedendum sono ]/Pn e 1,25/ P rispettivamente (in inch), ma sono diffusianche ingranaggi speciali con addendum e dedendum non unificati. Poicliè il prodotto fra il passo circonferenziale ed il diurnetral piich è rr sia sul piano normale che in quello di rotazione: P" = Plcos yi

(16.3)

Il diamerro primirivo di una ruota elicoidale è dato da: d = N/P = N/(P- cos W)

(16.4)

Si noti che il passo assiale p" è definito in Fig. 16.4 come la distanza tra i punti comspondenti di due denti adiacenti misurata sulla superficie primitiva nella direzjone assiale. Quindi P, = p h n g W

(16.5)

Per ottenere la sovrapposizione assiale di denti contigui, b> pa. In pratica si preferisce che sia b 2 1,15pg, ed in molli casi, bg 2po. Se si considera nullo l'attrito

16.3 FORZE NELLE RUOTE ELICOI1)ALI

~~~t~

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(rwta elimijsie nri v

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67 1

liuoca elimiaak

La Tig~ir;i16.7a iiiostra un un niotore che aziona una riiacchiiia iiicdiante iin riduttore con ruote elicoidali. In base alle informazioni date nello schema di figura. determinare le gr~ndezzegeometriche che definiscono le ruote: I$. P, dp,dg e N ; la velocità V sulla circonferenza primitiva; le forze F,. F, ed e la larghezza% con b = 1 ,5p0 .

piimilivo

C;

p"m,liw

Dati: urla coppia di ruote elicoidali con alcuni parametn geometrici definiti. Risultano definite la velocid di rotazionedel pignone e la potenza trasmessa. Veterniinare: le grandezze I$. P , d,],dg,N$ ; la velocità I/; le forze sui denti F, , Fr Fo; la larphczza b con b = 1.5pa.

C

I Sclien~ae dati:

Figura 16.6 Forze agenii inruoie a d e n ~diri~iiedelicoidali i

F, = F, tang @Jcos W

(e)

Combinando le equazioni e e 16.8 si ottiene tang @ n = tang @ cos v

(16.2)

motore con pignone Figura 16.7 Disegni per esempio 16.1

( a ) a l ~ a r i c l id:iilli i

tic lir(>[>i.i.i(icil;i \ . i h r ; i ~ i O~~I S L S I O qiiC\lc ~ ~ C : pili\a~ioni\ i pos\orio dclerriiiri;irc \11ci-iiiicritaliiientccori I'alhcr« fcniio, s[~ostanil«I;iicraliiicntc i l centro dell';ilhcro e ril;isci;iridolo iriiriii.diatariienic. In t i i t t i i casi, ehcliidendo quello seiiiplice "ideale' di tiri :ilhero la cui massa si considera tutta concentrata nel baricentro, sono presenti ;inche alirc velocilà critiche con valori inaggion della prima o fondamentale. Ir forniulc per determinare la velociti cnrica più bassi1 o fondarnentnlc sono ri:i\\iirite in Fig. 17.5 (vedi al riguardo testi sulle vibrazioni) Poiclié la valiii;ir.iorie delle velociii critiche di iin albero richiede i l c,ilcolo dcllr frecce Giicfic in liarccchi puriS. iiii'esre~sion~dcl programma in RASIC nportaii, riell'Appendice D-4 perriiettc i l c;rlcolo dcllc freccc t;itiche i delle vcli~citàcrilichi di iin ;ilhcro cori iin riiicrc->-coinputer.

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F o r r a praviiarlonaie

ciente rigidezza torsiorialc (e i n e r ~ i calla rotazionc a b h a s u n ~ ai~iccolc)per 1.11 \ i clic la frequenza propna torsioiiali: piu bassa sia siiperiore, in incido sigriiiicativo, ;iIIii frequenza tonionale più alta della causa eccitatrice. Qiiesti import;inti arrorncnti soiio trrittati in dettaglio \ i i i testi sulle vibrazioiii iiieccaniclic e po\\ori» c\\c.rc ( I U I soIi;ir~to ;icccnnati brevciricritc Per quello che riguarda le vibrazioni flessionali e le velocita di rotazione critictic, a causa della realizzazione tecnc>logica e del montaggio, i l b;iricen!ro di iin .;islciii;i niotante non,può rnai irovarsi esattrimenrr sull'asse di rotarione Percih quando Iii velocita di rotazione dell'albero -.-. ...aumenta. la forza centrifuga agente nel bariccritro tende ad i n f l e t ~ ~ ~ - ~ . i ~ m a n ~ ~ ~ a ~ r o I7iÙ ~ r el'albero s s i v .;ia .inflette. pii1 griindz diventa I'eccentncità e piu grande C la fon;i centnfiiga. Al di sntto del più piccol(> vaiore (o fon&lm&ihlP) &~a-véT~iii3~di~rotazi»ne critica, In i o n a ecritrifiiga e la reazione elastica dell'albcro sono iri equilibrio I>eruri;ifreccia finita dcll'albcro. AII;i velociti cntic;i. l'equilibrio richiede teoricaineiite iino spotaiiieiito iiifini~ci drl b;inccntro. 1.0 siiiorrainento doviiio ;li ciisciriclti dc1l';ilbcro. :ill';illriIir c ~ ;iil'i\ic:rc.ii l iriterna del rn;tteriale dell':ilhcro I;i \i che I'e(liiiliI>rii~\ i :ihhi;i con iiiio \~)il\i;iiiiciiti~ finito. Tuttavia, queste spostaincnto è spesso abbastanza gr:iiide da portarc ;i rottiira l'albero o carif a e sui cus.~iinertirotanti di grandezza ecccssi\,a. se iion distnittiva. Una velocità di r«tazione sufficientemente al di sopra della veiocit;~critic;i piine l'hlbcro in una posizione di equilibrio soddisfacentc perch? i l b;iriceiitrri \ i spo%t:i i,c3r.so I9a.;se di rotazione. In situazioni non uiuali come in alciiric tiirbinc ad ;iIt;i velocità. si ottiene iin fiinzionarnento soddisfacente atira\crs;irido r;i~iitl;iiiicritc1;i velocità critica sen7.a pcniiettere all'albero di raggiiingere la I'rccciii (li ~(liiilihrioc successivamente facendo ruotare l'albero al di sopra della vclocit?~critica [.a-velocità di rota7,ione critica ntimericamenie ha lo siesso valore delln pulsario-

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17.7 GIUNTI RIGIIII, E1,AS'I'ICI E C'AKDANICI Alberi ben allineati possono essere collegati da giunti rigidi.come quello mostrato iri Fig. 17.9. Le due pani del giunto possono essere collegate all'estrcniiti dell'albero con linguette, ina il giunto in figura trasrnette il mornento torcente per attrito trainite irianicotti conici fessurati (i manicotti sono incuneati nelle loro sedi con leggero lomanieritu avvitarido a l'orido i bulloni che collegano i duc riiaiiicotti). Notare chc Ic {>aniIlarigiate al dianietro esterno hanno urla funziorie di sicurezza poiciiè ril>;iraiio le teste dei bulloni ed i dadi. Per progettare un tal tipo di giurito i l coricetto di "linea di Sorza" it utile (Par. 2.4). Questo concetto permette di corisiderare in ordine: ( I ) 1:i coppia tnisrriissibile della linguetta o dell'accoppiainento forzato su sede coriica di coniiessione all'albero. (2) la resistenza delle pani relativamente sottili del disco ctic sono forate per iriserirc i bulloni, e (3) la resistenza dei bulloni.

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:e 9 d a~ aiueuaJj 01uauioui I! 'ouq!l!nba u! uaq!l !don nuios (21-8I '8!:1) aiio!zas !p oue!d lap wdos !p le olisnu !p aucd irl a oJnquici I! o p u r ? ~ n ~ i ! s u o ~ J J I I I L ! ! ~ ~a! ~'d aJviuaiiine JEJ e ouopuai oJiseu Ins oiioss18e aq3 o i ~ ~ i !p ie J 7 J O J 31 F?JnS!l li! &?,EJ,SOiii OJnqUie, (ap PIJEJO JUOli-eiOJe[ Jad '~il(lqlSSalJ JJa,%i?ad ~irissaio,uiir !paleuaieiu uos o i ~ i s ao!e!33r: ~ ! ~ !p a ~ a u a 8u! oiii:~a 'o~i5ru11 -!iLir:iiaJj d11 'asJoj ' a '51.8 1 r:~nXgu! olpnh aiiion 'onvnii i! oiiaJj 11 1 \ii!\ods![>!ap a ~ [ d i u an\ ~

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.oJnqiirei e !uaJj I uos nl!qtssod e!s uou oiiienh r! oiiads!~ 'oii~iie,p!slpadns allns a u o j a,e,\aIa ouo,,auuad a 'a~olc:,I! uo3 'oiiaiii ~ s ~ a s ~ o ~ i s i p 1: oiiopiiai o ~ ! p e ILIJJJ ~ a p!,W,OJ ! m d al aJilOU1 'e~nir?J3d~lai cii?Aa[a pc o i ~ ~ i i r : !p X U J ! ~~ a~auo!znu!iu!p pJ ~ ~ €1 aq3 ' Bir,rpnJ p czuais!saJ a~o158ciu a,uari;iasiio>a Oliiii211iVppJJJJCJ!p y s c d m aJ0!%8~ui OJOl EllJp c1.i JX' ~Jnii~AOi~il? ailOUi U l OJl1t]Lill?i P !JOIJ31111! !UaJJ 1 Ol!n)l)SOS OUiiRq E Z U ! ~C od!] lap 03SIpE !UJJJ ! ILliIri IiUliIn l l Y . 1 ~ .(,,!iuen)inllassemZ,,C 0ua.g) osn: ulo3s1tlu i i !p ns a n ~ o n !pnJaq!l i aloA ens e aq3 'ense!d cun !p ns !u!iicd !ap 0!88~~031lr! !p !iuxl ! opur:ssiJ i:inuai,o !u!,,rrd ! IqLuenua !p a , i r a 5 l o ~ ~auo!n? e cl !n3 u! o~pu!l!nolc1Yi11sI: oiin ep '01~03 !p IUOIOFJ ad a~uawpd!suud'oi!ni!isos oicls a !3!lnI?Jp!u p i i ~ ~anp ~ n1103 Jii>lJ.liirr:011.7~111 .ona!pu!,[lir ollanb .!ad anp a I ~ L ~ ii! A Coioiii I ! ad !1i1;7~10~hi: ILIIIII:~~ !a\ iic->nol03!a,\ un ;,o,cilnyJ 11 ' ~ '81 1 !p odli 11 oicsn l?J? i~oi~.iisotl I Jatl ~xiiiairi 'iJo!JalLin ! U ~ J . ad I eiei,opc iiJa aiio!znlos eisnriO -oJnqiiiiii lap i~iii:,\r:i11 aiio!ii:loJ

iiiiii Iiiioii;~coiictiittivit.~~ t~,rriiic:i

l j e t e r ~ ~ i i r r a r eI)~.tcrriiiii;ire : i l iiioriieriio li-eriiinii.. I;i fiir/;i ;iitii;itricc e(! il viiloic dcll;i diiiiciisione s chi* prcivoclii I'aiito bloccaggio. Schenra e dati:

b = 80 rnm

bel nsstro

Rotazione

I = O 20

Coeflicmnle di attnto

Pressione massima sul nvestimenta p_. = O 5 MPa

l

I 5 -

35 rnm

7

- 3

i

ItiUniiri

Fig. 18

1. Il coefficiente d i attrito sia costante. 2. L a leva e g l i altri coniponenti del freno resistario il carico. 3. L a larghe7.za del tamburo r i i i ugu;ile o riiaggiorc d i qiiella del ri;i\tro 4. L e v a e tambiiro si trovino i n condizicini d i reginie. Analisi:

1. 1):iila equazioiie I X 2 7 : 1:

= (0.5)(250)[~0)= 10000 N (laio ztrctto)

2. L)alla equazione 18.16:

=

-

l], m

3897 N (lato leiito).

('

3. I l i i l l a equariorie 18.24 7'

= (10000 - 3897)(0.250) = 1516

4. Dalla eq~iazioiie18.28:

=

3897(150)

-

iii

10000(35)

-

7(H)

.,

N

= 335 N

5. Dallaequazione 18.28: F =O per = . 3 8 ~ 7 ( 1 ~ 0 ) / 1 0 0 0 ~58,s = li freno i. ;iutoblocc;iiite se s >SH,S m n i (per f = 0.2)

iiiiii.

18.10 MATERIALI Nella progettazione d i frcrii e frizioni, la scelta dei rnaicriali per le superlici d i iiiterfaccia S critica. Una delle due siiperfici che si ;iccoppiano, noniialriierite iiict;illo - i n genere ghisa o acciaio - deve avere biionc caraiteri5iiche di attrito, clic \iaiio relaiivariicnie stabili riel cariipo d i tcnipcr;itura d i U~IIILLO, qii;iiido c\b;i V I C I I ~ II coriiatio coi1 l'altra superlicc dell'accoppianicnto. I iiiateri;ili dcvorio ariclie ;,vzre

c d iiria hiioii;i rc\istciiL;i alla abrasione ed alla kiiic;i tii-iiiic;~.IA;i liiiitiira di.ll:i siiperlicc dell'clcriiento di iiietallo deve esscrc abb;ist;iiiz;i cle\;it;i ;il fiiic di ridiirre il logorio dcl iiiaterialc d i aitriioche va a contatto. l.a fatica teniiica è dovuta a tensioni iriterne causate dalla espansione e c o i i t r u i o ric del riiateriale superficiale rispetto a quello sotto l a superfice, durante l'uso (vedere iiriclic il par. 4.16). U n ciclo d i fatica viene accumulato ogni volta che i l freno (o la friziorie) viene usato e p o i raffreddato. Si possono, così, avere l o snervamento e Ir tciisioiii r ~ i d i i e; ~ desso associate, che accelleraiio il danneg-giarnento d i fatica c caii;iiio distorsiorii. ILcricche iiiizi.ili d i fatica causate da carichi terniici, sorio sprsso clii;iiiiaic "crepe a caldo" o "crep? da temperatura". L a resistenza alla Satica tciiiiic;~piiil essere aur~ieritat;icon l'utilizzo d i niateriali aventi: maggiore conduttività tcriiiica (che percii, ridiicoiio i gradienti terniici). minore coefficiente d i epansione tci-iiiic;i, iiiaggiorc carico d i siiervamcrito ad elevata temperatura e resistenza a fatica. I i-cqiiisiti priiicipali dei materiali d i attrito sono: u n alto coefficiente d i attriio diii;iriiico che sia relativaniente stabile nel caiiipo d i temperatura d i utilizzo. e che sin p t x o iiill~ieii/.atoda piccoli qiiantitativi di sporcizia ed un cocfficiente d i attriio statico che siiperi del riiiniiiio pos.;ibilc quello dinarriico (per evitare vibrazioni dovute ;i ".slil~-.sri~k" e conseguente ruriiorosirà); alta resistenza alla usura abrasiva ed adesivii (vedere i par. 9.9 e 9.19); buona conduttività termica ed una resilienza abbaatan~ii e1ev;it;i da fiivorirc una buona distribuzione della pressioni all'interfaccia. h stabiliti teriiiicd del cocfficierite d i attrito viene spesso chiamata resistenza alfariing. L a tal)clla 18.1 elenca i p i ù cornurii niateriali d i attrito usati i n freni e fririorii :i secco. A l c u n i frciii industriali utilizzano il legnocome materiale d i attrito, e n i o l i i frciii applicati sii c;mi ferroviari usaio pattini d i ghisa che spingono su ruote d i ghisa o d i ;icciaio. Ne1l;i riiaggior piutc delle applicazioiii si usano riiateriali d i attrito classificati ;i b r c ~ r i d ~r!ia(a.).)r? ad o!Jessasau odiuai 11 1 ~r!nC) (I!) -tu N 1) !p O ~ U N I O ' L Uun opuaiiicq 'iiicli riinin !p oJsq[r$l'i>~sau~ii ons 1 1 aliii'liil) 00') I? onu!iuos !p !i18aJoiiilpii !p C ) A [ I ~ ~ IJ : JI /~J . ~ L I I , a q ~opoLLi 111 l:iel~a.llsiial,\ ~ioi,L!Jjs i r.; i11 N alIi.3AR 33iJl~JadOCLl!i~3.)I!ili1:iIIl pI? '.)iIO!/lI~ 2JololU Ui1 !p !881?~l?~8111 pl: aloiinpli 11 t 1.8 [

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CIU2,h!p (92'8 1 ) e1 a.iiuxu 'r!qiiirn i i o i ~(t.z.81) 2uoizrinba.1 aqo oirilns!J I! uos (92.81) a (pz $ 1 ) !iioizsiil)a allail ',I a K K U S U ~21~ atluis~ii12pi: ri1iin!931: ~ q q a ~ p u(rri r ~ a p i s i i < ) r i aJassa ~ 2 apuI!~;i d r 7 i 1 F ~ s r i ~j ~opurntl) ~~l: ',I m ~ o r7 j .i:!d;iajnd q l a p o!Odn~11 J p2 "[ap "!.7012~ I!] ? A 'y!i~Jii!o r l l a p rz7ai15unl !p yi!iin ad csseiu i?l ? ,ioaholi ii!i{zii13

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11i1

Figura 19.4 Cinghia trapezoidde in una puleggia a gola e su una pii1cggi:i pi;ii:a

inente fatte di ghisa, acciaio stampato o metalli) prcs~ofuso.Le cinghic tr:ipcioid;ili sono particolarmente indicate p e r c o n e distanze fra i centri degli ii\si e , :i causa della resistenza all'allungamento delle corde di rinforzo disposte intcrnairicntc. rioii ricliiedono la frequente regolazione della tensione iniziale. Quando una singola cinghia trapezoidale non è sufficiente. \e ne po\\c>no iisare più d'una, come mostrato in Fig. 19.3. Nelle applic;izioni per zcrvizi gr:ivo.;i ne sono comunemente impiegate fino a 12 e oltre ed è iinportantc che \i:iiic> di.;postc parallelamente per consentire al carico di npanirsi egualiiicntc. I i i qiicsti c:i\i. anche quando una sola cinghia necessit;i di eszere sostitiiit:~,è opportiiiio \o\tiiiiirc l'intero gruppo. LaFig. 19.4 mostra come le cinghie trapezoidali si adagirio rielle rel;iiivc piilegge :i gola mettendo in rilievo il contatto sui lati ed i l gioco siil foricjo Qiic\i;i ";i~ioiicdi incuneamento" accresce la forza norrri;ilc sul generico cleriientiric-, di cirigliiii d;i (IN ;i clNlsin 0 (vedi Fig. I X . I 6 o 19.4h). i l che ecluiv:ilc appros\iiiiativ;ii1iciitc ;i 3 25 (IN. Poichè la forza d'attrito disponibile per la trasmissionc del I;i coppi;i i. iiss~iiitii proporzionale alla forza normale. ne discende che ];i capacità di tr;isriiis\iorie di questo tipo di cinghic C pii1 di tre vc>ltcquella delle cinghie piatte. E per tencr conto di questo l'equazione 19.3 può essere modificata, sostituendo scrnplicciiieritc i 1 coefficicnte d'attrito/ con la ritatto. Irifaiti. 1111 eoiitiitto di so11 \ei deiiti c \iifficicritc alla cinghia per sviliipp;rrc cc~iiiplct:irncntcla propria capaciti tra\ii?i\\i\a I),it.i la rel;itiva leggcre//.a, I'cflicieri-

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Qursia equazione forni\c.e la coppi(l,iri di .rrtillo del giunto. per i l clualc lo scornmento S è uniiario. Quando c'è rrii~niissronedi poieni(1, lo scorriiricnio ~ C L C necessariamente essere minore dell'uniià ed in questo caso la coppia irasinessa t approssimativarnenie propor~ionalcallo scomrnento. Considerando, dunque il faitorc scorrimcnio, l'i%. 19.6 diventa I'cqiiaziorie che stabilisce la coppiri ircz.rrrii,s.sihilc~ dal giunto durante il funzionarnenio:

Per una coppia espressa in Ib x ft. o in gin al rninuio e O in pollici, pro\'e \periiiicniali su giunti autoinobilistici hanno diiriostrato clie pcr scorrirrienii vari~bili fra 30°h e 100%~.si può ritenere in prirna approssimazione

Qursta relazione perrnettc di fare due irnporianti considei-:izioiii

1.

La coppia e la potenza in cav;illi del giunto idraulicci variario con la quirir(r porrnzo (Irl diarneiro. Quesio è un laito abb:istari~.anoievolc in iluariio raddoppiando i l diametro In poterira cresce di 32 volie.

2.

La capaciti di trasmissione della coppia varia cori i l qi ~r / Ii o~ r~i ,ri ~ I ~~~~ ti ci lil ,z~r , ~ ~ ~ v C ~ l o c l ici1 ~ i i l \ C l i < i (l),, N c l l c ; ~ ~ ~ ~ ~ I Iclic C ~r1~~111ccIoiio I ~ . I I ~ I I Iiina IIIOI~I~~IIC.I~.I~III~ di coppi'i soIi:iiit~) i 1 1 avvi;iriient« e che devono trasniettere iin c ~ m c;inco i all;i velociià d i rcgitiic, i 1 rcattorc "fisso" C collegiiici ad uii innesto ":i ruoi:i libera" o "unil;itcrale". cornc riiostraio i n Fig. 19.13. Quando è raggiunta la v e l o c i t i operativa n«rni;ilc, il rcaiiorc niol;i 1ihcr:irncnic - g i c i senza ;ilciin vincolo iicll:i direzioni: coriscntit;~dalla riiot.i Iihcr;i ed i l ~.orivcrtitorcd i coppia si coiilporta coriic i i r i giunto i~ir;iiilico.E q ~ i c \ i o ? q ~ i c lche ;ivvicrie. per cccmpio, con un convcrtiiorc d i coppia i i i \ c r i t o i n iiii,i i r : i s i ~ i i s s i ~ nnutoiiiniica c ;iuioinohilistica. Qiiesti coiivcrtiiori iisunliiicriic Iorni\corio i i n ' a i i i ~ ) l i l i c n ~ i o della ~ i c coppia d i valore circ;i 7 ~lii;irido I'alhcio i r i iisciia i. Icriiicl N o i i appeiizi 1':iIhero iri iiscita ;iccclcr;i. il r:ippi>ito d i ;inipIilic;i~ioric ~ i c l l , ic.oplli.i dccrescc r:ipi(lariicnir Qiiniido raggitinge l'itiiiili.I'iniicsto a ninfa Iiher;~pcrriicitz nl reattore d i iriizi:irc :i girare libcr;irncntc nella (lirc~/ioiicopposiii ;i qiiellii cliz cr,i ~)rccclid;ilc c«ri I ' ; i l h c r ~ l d i iisciia della trasmissione. Il rapporio d i trasniissionc dcll;i pririiii iii:irci;i 2 (liiiiidi il prodorro dei rapporti d i riduzione della velocità dei due rotii.ri> d'ingresso riceve 1.44 \.olie la coppi;i del mioiore, i l frcrio ;IF~IIIII~~3 . 2 0 \ o l i < ' I:i coppia niotrice. e c i 0 equilibra la c o p p i : ~d i re:iyiorie d i ii\cii;i d i 3.01 \ o l i c I:i cop111.1 del motore. R I e I32 sono entraiiihi freni a nastro che iil,c.i;inii i i i o l i o (iliiiclo d i i r a s i i i i s s i o n i ) Chiaraincnie B2 è il freno p i ù critici1 L'innesco p e r l'inversione d c l i i i n i o 133 dcve :isr (ti r ~ ~ . ~ t r r ~ o3 53

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nirnerciale Avional660) ha sigle di designazione UNI P-AICu4, ISiMnMg C ISO !\ICu4SiMg. I r i Italia sta diffondendosi sempre più i l sitcriia di dcsigiiaiiiiiie ANSI. c.Iie vicnc preso a riferimento dalle nuove norme UNI relative n queste leghe. Lc. principali caratteristiche ed applicazioni di alcuric leghc eli ;illuiiiiriio d:t ilcforiiiazionc plastica sono riportate nell'app. C- l O. Ilari analiiglii pi.r ;iltre Ii.glic di L~lliiniinio si trovano in \ M I , h l h ] .

.7.3.Z I x g k e da fondcria 1,;i sig1;i di dcfirii~iiiiieilelle lcglic da Iiir:dcii,i adottala dall'ANS1 prevcde ~ i r i iiiiiricro di tre cifre, scgiiito cventiialiiientc da LIII quarto numero separato ila uii 1)iirito. 1>:1 pi-iiri:~cifra iileiititic;~ I;i cl;i$se iIcIl;i l e g a i n niodo siiriilc. rii;i non iilsriticci. con qii:into riportato per le Icglic J:i trahforniaaionc plastica. Nella tab. ,AL4 i. riportai,~];i designa71oiic coii~cnzioii;ilcANSI della clnsse per I'alluiiiiiiio e. Ic .;tic Iiglii. d;i Iiiiiclcria

I>riricip,ilc~ i~l'iiiciiti~di 1i.g;i

I)c\ignri/.ioric AA-ANSI ilcllc Iciglic da forideri;~

arnbito designazioni diverse. Conie per gli acciiii L: in atto una uriificnlioiic delle varie sigle nel sistema UNS, sul quale per brevit~iiion ci si sofferma. In [ q y ] sorio riportate le comspondenze tra le sigle AA-ANSI e quelle UNS per le varie legiie di alluminio. Talvolta, come ad esempio nell'app. C-1 I . si usano soltanto i primi trc nurrieri della designazione M - A N S I senza indicare il formato commerciale della lega espresso dal quarto numero dopo i l punto. Nel seguito si farà riferimento a qiicsto tipo di designazione col termine designazione AA-ANSI ccntratta. In Italia, per le leghe da fonderia, si segue ancora la definizione alfariuriicricii della norma UNI 3565 anche se molti utilizzatori tendono a seguire anche la designazione ANSI. Come prima lettera. al posto della P, vierie postri la letterli G , che sta per getti, per le leghe colate per graviti e GD per Ic leghe colate per pressofusione. Le principali caratteristiche ed applicazioni di alcurie Ieghe di allurriinio d;i fonderia sono riportate nell'app. C- 1 1 . Dati annloghi pcr altre leghe di rill~iinirriosi trovano in [M 1, M5, M6].

3.5 R A M E E SUE LEGHE Per gli impieghi strutturali vengono usate le Ieghe di rame, ctic possono essere classificate in: ottoni (leghe di ranie e zinco), bronzi, (leghe di rariie coli eleniciiti diversi dallo zinco. Si distinguono in: bronzi allo stagno, bronzi al silicio, bronzi all'alluminio, bronzi al berillio), cuprunichel (leghe di rame e nichel) e met:illi bianchi (leghe ai rainz, nichel e zinco). Tutte le leghe di ranie possono essere costruite nei tipi da deformazione plastica e da fonderia. I1 sistema di designazione UNS (Llnified Nurnbering Systeni) è, aiiche in Italia, il più usato per la designazione delle Ieghe di rame. Nel seguito la sigla di designazione UNS si pone dopo la dicitura UNS: e la composizione chimica dopo il termine CC:. Tra gli ottoni più usati nelle applicazioni strutturali si citano: l'ottone coiiiiiierciale (UNS: C2200; CC: 90Cu- 10Zn). l'ottone cartridge (UNS: C76000; CC:7OCu30Zn), l'ottone Muntz (UNS: C28MK); CC: 6OCu-40Zn) e l'ottone navale (LINS: C46400; CC: 6OCu-39,2Zn-O,8Sn). Tra i bronzi più usati nelle applicaziorii strutturali si citaiio: bronzo fosl'oroso (UNS: C54400; CC: 88Cu-4Sn-4Pb-4Zn), bronzo al silicio (UNS: C65500; CC: 97Cu-3Si). cuproalluminio binario (UNS: C60600; CC. 90Cu-4AI), cuproriicticl (UNS: C7 1500; CC: 70Cu-30Ni). Le principali caratteristiche ed applicazioni di alcune legtic di r;riiic soiio riportate nell'app. C-13. Dati analoghi per altre leglie di rame si trovano in Ihl I , M5j.

3.6 ALTRI MATERIALI STRUTTURALI

Per gli altri materiali strutturali, citati nel cap 3 e nelle precedenti aplicii~lici, quali leghe dl magnesio (app. C- 14), Ieghe di titanio (app. C-16). leghe di zinco (app. C-17) e le materie plastiche, la sigladi designazione adottatri negli Stati Uriiti viene normalmente presa a riferimento anche iri Italia. Per i materiali metallici, oltre a quanto riportato nelle suddctte appcntlici, si possono trovare altri dati caratteristici in [ M I , M8].

4. Hibliografia essenziale hlaiiuali di inipiego generale [ H l ] Dubbel, Manuale di Ingegneria Meccanica, 15.a ed., Ed.EST/Springer, 1984. (H21 Baldassini L,, Vndemecum per disegnatori e tecnici, 1l.a ed., Ed. Hoepli. 1985. [117] blariuale dell'lngegnerc "Nuovo Colonibo" - 8 I .a edizione - Ed.Hoepli, 1985. [H41 Manuale degli organi di comando (a cura della SEW Eurodrive). Ed.Tecniche nuove, 1985. 11{5] AISC, Mariual of steel construciiori - Allowable Stress Desigri, 1X ed., AIS[ ' o ~ 'yii?d q ~ q e l a H 'NSV r d ' U O I I I I yqaa ~ yoo~([iiii:~ l s[i!iaku ' ( p ~ o o '71 s [ i ~ r' g ) ' l [iaicofl) s[1:)3p~JoJ .