Qué son las aproximaciones polinomiales

Introducción El objetivo primordial de este tema es aproximar funciones mediante series de potencias. Sin embargo, antes del estudio de las series de potencias se prepara el terreno. Mientras que los valores de funciones polinomiales pueden determinarse efectuando un número finito de adiciones y multiplicaciones, otras funciones, entre ellas las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas, no pueden evaluarse tan fácilmente. En esta sección se mostrara que muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que el polinomio, en lugar de la función original, puede emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor real de la función y la aproximación polinomial es suficientemente pequeña. Varios métodos pueden emplearse para aproximar una función dada mediante polinomios. Uno de los más ampliamente utilizados hace uso de la fórmula de Taylor, llamada así en honor del matemático ingles brook Taylor (16851731). El teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalización del teorema del valor medio, proporciona la fórmula de Taylor.

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Objetivo Uno de los objetivos primordiales es aprender cómo funcionan las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, ya que es de gran importancia para poder así calcular las unciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas. También como mencionaba así darle una visión más amplia al lector sobre este tema, llevando un lenguaje no tan extenso y más centrado en lo práctico y lo necesario para llevarse a cabo este tipo de cálculos matemáticos, tanto en el calculo diferencial e integral, encontramos infinidad de temas que a veces no nos llaman la atención de practicar, en las aproximaciones polinomiales veremos lo sencillo que es hacer una aproximación por medo de teoremas. 1. Existen infinidad de métodos para aproximar una función dada mediante polinomios, unos de los más importantes que se usan es la fórmula de Taylor.

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1. ¿Qué son las aproximaciones polinomiales? Muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que el polinomio, en lugar de la función original, puede emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor real de la función y la aproximación polinomial es suficiente pequeña. Mientras que los valores de funciones polinomiales pueden determinarse efectuando un número finito de adiciones y multiplicaciones, otras funciones, entre ellas las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas, no pueden evaluarse tan fácilmente. En esta sección se mostrara que muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que el polinomio, en lugar de la función original, puede emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor real de la función y la aproximación polinomial es suficientemente pequeña. Varios métodos pueden emplearse para aproximar una función dada mediante polinomios. Uno de los más ampliamente utilizados hace uso de la fórmula de Taylor, llamada así en honor del matemático ingles brook Taylor (1685-1731). El teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalización del teorema del valor medio, proporciona la fórmula de Taylor.

brook Taylor

Las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, forman parte importante dentro del cálculo diferencial e integral. Uno de los objetivos primordiales es aprender cómo funcionan las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, ya que es de gran importancia para poder así calcular las unciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas. También como mencionaba así darle una visión más amplia al lector sobre este tema, llevando un lenguaje no tan extenso y más centrado en lo práctico y lo necesario para llevarse a cabo este tipo de cálculos matemáticos, tanto en el cálculo e integral, encontramos infinidad de temas que a veces no nos llaman la atención de practicar, en las aproximaciones polinomiales veremos lo sencillo que es hacer una aproximación por medo de teoremas.

1. Existen infinidad de métodos para aproximar una función dada mediante polinomios, unos de los más importantes que se usan es la fórmula de Taylor. El teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalización del teorema del valor medio, proporciona la fórmula de Taylor.

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Teorema 1 Sea ƒ una función tal que ƒ y sus primeras n derivadas son continuas en el intervalo cerrado [a, b]. Además , considere que ƒ (x) existe para toda x del intervalo abierto (a, b). Entonces existe un número z en el intervalo abierto (a, b). Tal que

(1) La ecuación (1) también se cumple si b < a; en tal caso [a, b] se reemplaza por [b, a], y (a, b) se sustituye por (b, a). Observe que cuando n = 0, (1) se convierte en

Donde z esta entre a y b. esta es la conclusión del teorema del valor medio. La demostración del teorema 1 se presentara más adelante. Si en (1) se reemplaza b por x, se obtiene la fórmula de Taylor:

(2) Donde z esta entre a y x. La condición en la que se cumple (2) es que ƒ y sus primeras n derivadas sean continuas en un intervalo cerrado que contenga a a y x, y la (n + 1 )-esima derivada de ƒ exista en todos los puntos del intervalo abierto correspondiente. La fórmula (2) puede escribirse como: Continúa…. (3) Donde

(4) Y

Donde z esta entre a y x (5)

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Pn(x) se denomina polinomio de Taylor de n-ésimo grado de la función ƒ en el número a, y Rn(x) se llama residuo. El termino Rn(x), dado en (5), se denomina forma de lagrange del residuo, llamada así en honor al matemático francés joseph l. lagrange (1736-1813). El caso especial de la fórmula de Taylor que se obtiene al considerar a = 0 en (2) es

Donde z esta entre 0 y x. esta fórmula recibe el nombre de fórmula de maclaurin, en honor al matemático escocés colin maclaurin (1698-1746). Colín maclaurin Sin embargo, la fórmula fue obtenida por Taylor y por otro matemático inglés, james stirling (1692-1770). El polinomio de maclaurin de n-esimo grado para una función ƒ, obtenido a partir de (4) con a = 0, es

(6) De este modo, una función puede aproximarse por medio de un polinomio de Taylor en un número a o por un polinomio de maclaurin. Ejemplos: Ilustrativo 1 Se calculara el polinomio de maclaurin de n-esimo grado para la función exponencial natural. Si ƒ(x) = , entonces todas las derivadas de ƒ en x son iguales a evaluadas en cero son 1. Por tanto, de (6),

y las derivadas

Así, los primeros cuatro polinomios de maclaurion de la función exponencial natural son

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Las figuras 1 a 4 muestran la gráfica de ƒ(x) = junto con las gráficas de P0(x), P1(x), P2(x) y P3(x), respectivamente, trazadas en el rectángulo de inspección de [-3, 3] por [0, 4]. En la figura 5 se muestran las gráficas de los cuatro polinomios de maclaurin y la gráfica de ƒ(x) = aproximan

en el mismo sistema coordenado. Observe como los polinomios para valores de x cercarnos a cero, y note que conforme n se

incrementa, la aproximación mejora. Las tablas 1 y 2 proporcionan los valores de , Pn(x) (cuando n es igual a 0, 1, 2 y 3) y - Pn(x) para x = 0.4 y x = 0.2, respectivamente. Observe que con estos dos valores de x, a medida que x está más cerca de 0, es mejor la aproximación para un Pn(x) especifico. n

e0.4

Pn(0.4)

e0.4 – Pn(0.4)

0

1.4918

1

0.4918

1

1.4918

1.4

0.0918

2

1.4918

1.48

0.0118

3

1.4918

1.4907

0.0011

n

e0.2

Pn(0.2)

e0.2 – Pn(0.2)

0

1.2214

1

0.2214

1

1.2214

1.2

0.0214

2

1.2214

1.22

0.0014

3

1.2214

1.2213

0.0001

De (5), la forma de lagrange del residuo, cuando Pn(x) es el polinomio de maclaurin de nesimo grado para la función exponencial natural, es Continua.

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donde z esta entre 0 y x (8) en particular, si P (x) se emplea para aproximar

Donde z esta entre 0 y x y

figuras del 1 al 4 muestran Graficas.

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, entonces

Funciones Tubulares. Si se considera la función y=f(x) definida en forma tabular, parecida a la presentada en la Tabla 5.1, pero sin que los valores de la variable independiente tengan paso constante, puede escribirse un polinomio de grado n-ésimo que pase por todos los (n+1) puntos definidos de la función. [pic] Los coeficientes ahí pueden determinarse fácilmente si se utilizan las diferencias divididas de los valores tabulados. La diferencia dividida de orden cero se define como: [pic] esta diferencia se puede denotar también como yr ó bien fr. La diferencia de primer orden o diferencia de orden uno es igual a: [pic] Las diferencias de orden superior se definen en términos de diferencias de orden inferior, por ejemplo una diferencia de orden n se define como: [pic] Una vez definidas las diferencias, los coeficientes se determinan como sigue: [pic] Por lo tanto si se reemplaza en el polinomio [pic] Este polinomio se conoce como polinomio de interpolación con diferencias divididas de Newton.

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 Diferencia Finita.

El método de diferencias finitas es una clásica aproximación para encontrar la solución numérica de las ecuaciones que gobiernan el modelo matemático de un sistema continuo. Es valioso familiarizarse con ésta aproximación porque tal conocimiento reforzará la comprensión de los procedimientos de elementos finitos. Básicamente, en una solución por diferencias finitas, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmente resoluble por medios comunes. Un uso importante de diferencias finitas está en el análisis numérico, especialmente en las ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas y las ecuaciones diferenciales parciales numéricas, que tienen como objetivo la solución numérica las ecuaciones diferenciales parciales ordinarias de y respectivamente. La idea es substituir los derivados que aparecen en la ecuación diferencial por las diferencias finitas que las aproximan. El cálculo de las diferencias finitas permite encontrar el grado del polinomio por el cual puede describirse una función tabular. Dada la función y=f(x) definida en forma tabular como la que se presenta en la Tabla , y suponiendo que los valores de la variable independiente xn, están igualmente espaciados entre sí, es decir que el incremento o paso es igual a un valor constante denominado h. xy x0 y0 x1= x0+h y1 x2= x0+2h y2 x3= x0+3h y3 …… xn= x0+nh yn

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 Interpolación con incrementos Interpolación de Newton

constantes

e

Si se desea encontrar un valor incluido entre dos valores consecutivos de una función tabular puede utilizarse la interpolación de Newton. Dada la función y = f(x), definida en la tabla anterior, para encontrar un valor de x incluido entre dos valores consecutivos de la tabla mencionada, x k < x< x k+1, se supone que la función f(x) se aproxima a un polinomio Pn(x) de grado n, que pasa por todos los puntos que definen a la función (puesto que la diferencia de orden n es aproximadamente constante). Recordando la definición de diferencias pueden calcularse los valores de la variable dependiente y en función de estas diferencias como se indica a continuación:

En estas expresiones puede verse que aparecen las primeras de las distintas diferencias de órdenes sucesivos a partir de y0, afectadas por los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton. Suponiendo que esto es verdadero para cualquier valor de y, puede establecerse que:

Esta fórmula es verdadera para todo valor entero positivo de k, se denomina fórmula de interpolación de Newton y es aplicable para

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cualquier valor de xk correspondiente o no a la tabla. En esta fórmula, yk es un valor aproximado (interpolado) de la función obtenida para x = xk; y0 es el valor inicial de y, el cual se considera inmediato al valor que se trata de interpolar; Δy0, Δ2y0, Δ3y0, Δ4y0, …, son las diferencias hacia adelante de órdenes sucesivas correspondientes a y0; y k se determina como sigue:

- Por ejemplo si se desea encontrar el valor de la variable independiente para x=6,2 de la función definida por la tabla

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Se calculan las diferencias hacia adelante:

Como puede observarse las diferencias de orden 3 ó terceras diferencias se mantienen constantes, por lo tanto la función puede describirse por un polinomio de tercer grado. Se aplica la fórmula para encontrar el valor deseado:

O bien puede resolverse el problema encontrando el polinomio de interpolación de Newton, para ello se calculan las diferencias divididas hasta el orden quinto, es decir:

El polinomio interpolador es un polinomio de quinto grado: Por lo tanto si x=6,2, se reemplaza en el polinomio de Newton y el valor de la variable dependiente es: 61,1.

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 Extrapolación de Newton o Interpolación Inversa El problema de interpolación inversa consiste en determinar el valor de la variable independiente x conocido el valor de la función f(x). Se resuelve utilizando la fórmula de interpolación de LaGrange y formando una tabla con los valores de la variable dependiente como valores de x y los de la independiente como los de y. Practica f Consideremos los datos correspondientes a puntos de la gráfica de la función y = x3: x= [0 1 2 3 4] y= [0 1 8 27 64] y supongamos que a partir de dichos datos deseamos realizar una interpolación para calcular el valor de 3 20. Dicha interpolación deberá ser inversa ya que nosotros conocemos y0 = 20 y nuestro deseo es conocer el x0 que lo produce. La interpolación inversa o extrapolación consiste entonces en expresar la x en función de la y. En nuestro caso y usando la expresión de LaGrange del polinomio interpolador.

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 Interpolación con incrementos variables e Interpolación de LaGrange Este método se utiliza para funciones tabulares en las cuales los valores de x no son equidistantes. Para realizar la interpolación, se busca un polinomio que pase por todos los puntos. Si se tienen n puntos el polinomio debe ser de grado n-1, o sea:

Este polinomio puede escribirse en la forma: El grado del polinomio es n-1. Los coeficientes A0, A1, A2,… An se determinan de manera que la gráfica del polinomio pase por todos los puntos especificados. Si x = xn, se tiene y = yn, entonces reemplazando en la fórmula para llegar a que:

y despejando el coeficiente An:

Fórmula de interpolación de LaGrange:

Esta fórmula suele expresarse también como:

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La fórmula de error para el polinomio de LaGrange de grado n-1es:

- Por ejemplo si se deseara encontrar el valor de la función tabular dada por la tabla para x=4 aplicando la interpolación de LaGrange:

Se utiliza interpolación de orden 2 puesto que se tiene 3 puntos definidos:

Reemplazando por los valores correspondientes:

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Programación de Métodos de la Interpolación

En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la construcción de nuevos puntos dados partiendo del conocimiento de un conjunto de puntos dados discretos. Está se utiliza para introducir datos dentro de una gráfica ya obtenida. En ingeniería y ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un muestreo o experimento y pretender construir una función que los ajuste. Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluásemos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido. En todo caso, se trata, a partir de n puntos distintos xk llamados nodos de obtener una función “f” que verifique A la que se denomina función interpolante de dichos puntos. Algunas formas de interpolación que se utilizan con frecuencia son la interpolación lineal, la interpolación polinómica, de la cual la anterior es un caso particular, o la interpolación por medio de splines. spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios. splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador. Un tipo de Splinne o una curva de Bèzier

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Aproximación Polinomial Simple Para obtener los (n+1) coeficientes del polinomio de grado n (n>0) que pasa por (n+1) puntos, proporcionar los DATOS:

El grado del polinomio N, y las N+1 parejas de valores (X(I), FX(I), I=0, 1, ..., N).

RESULTADOS:

Los coeficientes A(0), A(1), ..., A(N) del polinomio de aproximación.

PASO 1.-

Hacer I = 0

PASO 2.-

Mientras I  N, repetir los pasos 3 a 9. PASO 3.-

Hacer B(I, 0) = 1

PASO 4.-

Hacer J = 1

PASO 5.-

Mientras J  N, repetir los pasos 6 y 7. PASO 6.- Hacer B(I, J)) = B(I, J-1) * X(I) PASO 7.- Hacer J = J + 1

PASO 8.-

Hacer B(I, N+I) = FX(I)

PASO 9.-

Hacer I = I + 1.

PASO 10.-

Resolver el sistema de ecuaciones lineales B a = fx de orden N+1 con alguno de losalgoritmos del capítulo 3.

PASO 11.-

IMPRIMIR A(0), A(1), ..., A(N) y TERMINAR

Interpolación con Polinomios de LaGrange Para interpolar con polinomios de LaGrange de grado N, proporcionar los DATOS:

El grado del polinomio N, y las N+1 parejas de valores (X(I), FX(I), I=0, 1, ..., N) y el valor para el que se desea la interpolación XINT.

RESULTADOS:

La aproximación FXINT, el valor de la función en XINT.

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PASO 1.-

Hacer FXINT = 0

PASO 2.-

Hacer I = 0

PASO 3.-

Mientras I  N, repetir los pasos 4 a 10. PASO 4.-

Hacer L = 1

PASO 5.-

Hacer J = 0

PASO 6.-

Mientras J  N, repetir los pasos 7 y 8. PASO 7.- Si I  J Hacer L = L * (XINT - X(J)) / (X(I) - X(J)) PASO 8.- Hacer J = J + 1

PASO 11.-

PASO 9.-

Hacer FXINT = FXINT + L * FX(I)

PASO 10.-

Hacer I = I + 1

IMPRIMIR FXINT y TERMINAR

Tabla de Diferencias Divididas Para obtener la tabla de diferencias divididas de una función dada en forma tabular, proporcionar los DATOS:

El número de parejas M, y las parejas de valores (X(I), FX(I), I=0, 1, ..., M-1).

RESULTADOS:

La tabla de diferencias divididas T.

PASO 1.-

Hacer N = M - 1

PASO 2.-

Hacer I = 0

PASO 3.-

Mientras I  N-1, repetir los pasos 4 y 5. PASO 4.-

Hacer T(I, 0) = (FX(I+1) - FX(I)) / (X(I+1) - X(I))

PASO 5.-

Hacer I = I + 1

PASO 6.-

Hacer J = 1

PASO 7.-

Mientras J  N-1, repetir los pasos 8 a 12. PASO 8.-

Hacer I = J

PASO 9.-

Mientras I  N-1, repetir los pasos 10 y 11. PASO 10.- Hacer T(I, J) = (T(I, J-1) - T(I-1, J-1)) / (X(I+1) - X(I - J)) PASO 11.- Hacer I = I + 1

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PASO 12.PASO 13.-

Hacer J = J + 1

IMPRIMIR T y TERMINAR

Interpolación Polinomial de Newton Para interpolar con polinomios de Newton en diferencias divididas de grado N, proporcionar los DATOS:

El grado del polinomio N, las N+1 parejas de valores (X(I), FX(I), I=0, 1, ..., N) y el valor para el que se desea interpolar.

RESULTADOS:

La aproximación FXINT al valor de la función en XINT.

PASO 1.-

Realizar los pasos 2 a 12 del algoritmo 5.3.

PASO 2.-

Hacer FXINT = 0

PASO 3.-

Hacer I = 0

PASO 4.-

Mientras I  N-1, repetir los pasos 5 a 11. PASO 5.-

Hacer P = 1

PASO 6.-

Hacer J = 0

PASO 7.-

Mientras J  I, repetir los pasos 8 y 9. PASO 8.- Hacer P = P * (XINT - X(J)) PASO 9.- Hacer I = J + 1

PASO 12.-

PASO 10.-

Hacer FXINT = FXINT + T(I, J) * P

PASO 11.-

Hacer I = I + 1

IMPRIMIR FXINT y TERMINAR

Aproximación con Mínimos Cuadrados Para obtener los N+1 coeficientes del polinomio óptimo de grado N que pasa por entre M parejas de puntos, proporcionar los DATOS:

El grado del polinomio de aproximación N, el número de parejas de valores M y las M+1 parejas de valores (X(I), FX(I), I= 1, 2, ..., M).

RESULTADOS:

Los coeficientes A(0), A(1), ..., A(N) del polinomio de aproximación.

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PASO 1.-

Hacer J = 0

PASO 2.-

Mientras J  (2*N-1), repetir los pasos 3 a 5. PASO 3.-

Si J Hacer SS(J) = 0. De otro modo continuar

PASO 4.-

Hacer S(J) = 0

PASO 5.-

Hacer J = J + 1

PASO 6.-

Hacer I = 1

PASO 7.-

Mientras I  M, repetir los pasos 8 a 15. PASO 8.-

Hacer XX = 1

PASO 9.-

Hacer J = 0

PASO 10.-

Mientras J  (2*N-1), repetir los pasos 11 a 14. PASO 11.- Si J Hacer SS(J) = SS(J) + XX * FX(I). De otro modo continuar PASO 12.- Hacer XX = XX * X(I) PASO 13.- Hacer S(J) = S(J) + XX PASO 14.- Hacer J = J + 1

PASO 15.-

Hacer I = I + 1

PASO 16.-

Hacer B(0, 0) = M

PASO 17.-

Hacer I = 0

PASO 18.-

Mientras I  N, repetir los pasos 19 a 24. PASO 19.-

Hacer J = 0

PASO 20.-

Mientras J  N, repetir los pasos 21 y 22. PASO 21.- Si I  0 y J  0 Hacer B(I, J) = S(J - 1 + I) PASO 22.- Hacer J = J + 1

PASO 23.-

Hacer B(I, N+1) = SS(I)

PASO 24.-

Hacer I = I + 1

PASO 25.-

Resolver el sistema de ecuaciones lineales B a = ss de orden N + 1 con alguno de los algoritmos del capítulo 3.

PASO 12.-

IMPRIMIR A(0), A(1), ..., A(N) y TERMINAR

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Aproximación Funcional e Interpolación

A continuación se presentan las presiones de vapor del cloruro de magnesio: Puntos

0

1

2

3

4

5

6

7

P (mm Hg)

10

20

40

60

100

200

400

700

T °C

930

988

1050

1088

1142

1316

1223

1418

Calcule la presión de vapor correspondiente a T = 1000 °C. SOLUCIÓN A continuación se muestra la forma de resolver este ejemplo con Mathcad. Para el cálculo de Pint se aplica el método de LaGrange. El último renglón de la figura muestra la forma de usar la interpolación con spline cúbico (vea Sección 5.7 Aproximación Polinomial Segmentaria en el libro).

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La siguiente tabla muestra las viscosidades del isopentano a 59 °F y a diferentes presiones. Presiòn (psia)

Viscosidad (centipoisese)

426.690

2468

483.297

2482

497.805

2483

568.920

2498

995.610

2584

1422.300

2672

2133.450

2811

3555.750

3094

2466.900

3236

7111.500

3807

Elabore un programa para aproximar el valor de la viscosidad a las presiones de 355.575, 711.150, 2844.600, 5689.200 y 8533.801 psia, utilizando la aproximación cúbica segmentaria de Bessel. SOLUCIÓN

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El calor específico Cp (cal/K gmol) del Mn3O4 varía con la temperatura de acuerdo con la siguiente tabla: T (K)

280

650

1000

1200

1500

1700

Cp (cal/K gmol)

32.7

45.4

52.15

53.7

52.9

50.3

Aproxime esta información con un polinomio por el método de mínimos cuadrados. Ejemplo 5.17 Use la aproximación polinomial de segundo grado obtenida en el ejemplo anterior para aproximar el calor específico del Mn3O4 a una temperatura de 800 K. SOLUCIÓN

Dada la tabla Puntos

0

1

2

3

4

xi

1.00

1.35

1.70

1.90

3.00

f(xi )

0.00000

0.30010

0.53063

0.64185

1.09861

Construya una tabla de diferencias divididas para aproximar f(x) en x = 1.50; utilice un polinomio de Newton de segundo grado.

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SOLUCIÓN

Elabore un programa para leer una tabla de m pares de valores e interpolar o extrapolar, utilizando el polinomio de Newton de Grado n en diferencias divididas. Pruebe este programa con los datos del ejemplo 5.1.

24

SOLUCIÓN

Elabore un programa que lea una tabla de m (seleccionado por el usuario) pares de valores, y que interpole o extrapole con el polinomio de LaGrange de grado m-1.

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SOLUCIÓN

Para calibrar un medidor de orificio se miden la velocidad v de un fluido y la caída de presión  P. Los datos experimentales se dan a continuación y se buscan los mejores parámetros a y b de la ecuación que represente estos datos: v = a ( P )b donde v = velocidad promedio (pies/s)

 P = caída de presión (mm Hg). i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

vi

3.83

4.17

4.97

6.06

6.71

7.17

7.51

7.98

8.67

9.39

9.89

 Pi

30.0

35.5

50.5

75.0

92.0

105.0

115.0

130.0

153.5

180.0

109.5

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SOLUCIÓN

En este caso se obtiene también la gráfica de dispersión de los datos experimentales (círculos azules) y la gráfica de los valores calculados de la velocidad vc para los valores experimentales de  P (línea negra). A continuación se presentan las presiones de vapor del cloruro de magnesio: Puntos

0

1

2

3

4

5

6

7

P (mm Hg)

10

20

40

60

100

200

400

700

T °C

930

988

1050

1088

1142

1316

1223

1418

Calcule la presión de vapor correspondiente a T = 1000 °C.

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SOLUCIÓN A continuación se muestra el guión de Matlab. Para resolver este ejemplo.

Que al ser ejecutado produce:

La función interp1(T,P,Tint) realiza la interpolación lineal, mientras que interp1(T,P,Tint,'spline') realiza una interpolación con spline cúbico. La siguiente tabla muestra las viscosidades del isopentano a 59 °F y a diferentes presiones. Presiòn (psia)

Viscosidad (centipoisese)

426.690

2468

483.297

2482

497.805

2483

568.920

2498

995.610

2584

1422.300

2672

2133.450

2811

3555.750

3094

2466.900

3236

7111.500

3807

28

Elabore un programa para aproximar el valor de la viscosidad a las presiones de 355.575, 711.150, 2844.600, 5689.200 y 8533.801 psia, utilizando la aproximación cúbica segmentaria de Bessel. SOLUCIÓN

Ejemplo 5.16 El calor específico Cp (cal/K gmol) del Mn3O4 varía con la temperatura de acuerdo con la siguiente tabla: T (K)

280

650

1000

1200

1500

1700

Cp (cal/K gmol)

32.7

45.4

52.15

53.7

52.9

50.3

Aproxime esta información con un polinomio por el método de mínimos cuadrados. Ejemplo 5.17 Use la aproximación polinomial de segundo grado obtenida en el ejemplo anterior para aproximar el calor específico del Mn3O4 a una temperatura de 800 K.

29

SOLUCIÓN El siguiente guión de Matlab genera los coeficientes de un polinomio de regresión de segundo grado y realiza la interpolación (observe el orden de los coeficientes dados por Matlab).

Al ejecutarlo se obtiene:

Dada la tabla Puntos

0

1

2

3

4

xi

1.00

1.35

1.70

1.90

3.00

f(xi )

0.00000

0.30010

0.53063

0.64185

1.09861

Construya una tabla de diferencias divididas para aproximar f(x) en x = 1.50; utilice un polinomio de Newton de segundo grado.

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SOLUCIÓN

Elabore un programa para leer una tabla de m pares de valores e interpolar o extrapolar, utilizando el polinomio de Newton de Grado n en diferencias divididas. Pruebe este programa con los datos del ejemplo 5.1.

31

SOLUCIÓN A continuación se muestra el guión de Matlab para este ejercicio. Este guión lee el número de pares de valores (M); el grado del polinomio interpolante N lo hace N = M; el argumento en que se desea interpolar (Xint; y los pares de valores (X(1),FX(1), X(2), FX(2), ..., X(M),FX(M)).

Al ejecutarlo con los datos del ejemplo 5.1 se obtiene:

32

Elabore un programa que lea una tabla de m (seleccionado por el usuario) pares de valores, y que interpole o extrapole con el polinomio de Lagrange de grado m-1. SOLUCIÓN A continuación se muestra el guión de Matlab para este ejercicio.

Al ejecutarlo con los datos del ejemplo 5.1 se obtiene:

Para calibrar un medidor de orificio se miden la velocidad v de un fluido y la caída de presión  P. Los datos experimentales se dan a continuación y se buscan los mejores parámetros a y b de la ecuación que represente estos datos:

33

v = a ( P )b donde v = velocidad promedio (pies/s)

 P = caída de presión (mm Hg). i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

vi

3.83

4.17

4.97

6.06

6.71

7.17

7.51

7.98

8.67

9.39

9.89

 Pi

30.0

35.5

50.5

75.0

92.0

105.0

115.0

130.0

153.5

180.0

109.5

SOLUCIÓN A continuación se muestra el guión de Matlab que resuelve este ejercicio (vea detalles en el libro).

Al ejecutarlo con los datos del ejemplo 5.1 se obtiene:

34

En este caso se obtiene también la gráfica de dispersión de los datos experimantales (círculos azules) y la gráfica de los valores calculados de la velocidad vc para los valores experimentales de  P (línea negra).

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Resumen en este trabajo se llega a la conclusión de que las aproximaciones polinomiales, sucesiones y series infinitas, son parte importante del cálculo, ya que con ellas se pueden llegar a resultados precisos en cuanto con operaciones aritméticas no se pueden llegar, hablando de aproximaciones polinomiales vemos que son una forma de saber cómo determinar las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas, ya que algunas veces no pueden evaluarse fácilmente dentro del contexto de la aritmética, tanto así que es necesario tener la mente abierta y receptiva a nuevos conceptos de poder calcular determinado resultado que buscamos. En las sucesiones vemos que son conceptos vistos anteriormente en el álgebra, ya que con las sucesiones podemos enlistar un determinado conjunto de números en orden lógico, y así poder encontrar el resultado que buscamos, en las series infinitas vemos que son las sumas parciales de las sucesiones ya que con la cual también son parte esencial en la búsqueda de dicho resultado parametrito establecido con anterioridad en un orden lógico. Gracias.

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Bibliografía CÁLCULO INTEGRAL. P. Puig Adams CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Piskunov CÁLCULO SUPERIOR. Murray R. Spiegel CÁLCULO. F. Granero Rodríguez. PROBLEMAS DE CALCULO INTEGRAL. R.A.E.C. CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. Larson CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. Stein. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Granville. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Ayres CALCULO PURCELL E. CALCULUS LARSON R CALCULO STEINS CALCULO THOMAS CALCULUS SMITH E. CALCULO ZILL D. CALCULO BOYLE W. CALCULO GRANVILLE N CALCULO EDWARDS CALCULO HOFFMANN

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