PyE Evidencia 06 Distribuciones de Probabilidad Especiales

Universidad Autónoma de Nuevo León

Facultad de Ciencias de la Tierra

Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ciencias de la Tierra Probabilidad y estadística estadística

Semestre Enero-Junio de 2013

Evidencia de aprendizaje:

Distribuciones de Probabilidad Especiales

Distribución Uniforme Discreta

Una variable aleatoria x tiene una distribución uniforme discreta, y se conoce como variable aleatoria uniforme discreta, si y sólo si su distribución de  probabilidad está dada por:   f ( x; k ) 

1

para x  x1, x2 , ...xk 

k 

cuando do i  j Donde  xi  x j cuan Teorema

La media y la varianza de esta distribución son respectivamente:

  

k 

1

 x k  i

y

i 1

  2

k 

 ( x   ) i

i 1

2

1 k 

Ensayo de Bernoulli Un proceso o ensayo de Bernoulli debe de tener las siguientes propiedades:

1.- El experimento debe de tener n ensayos repetidos. 2.- Cada ensayo produce un resultado que se puede clasificar como éxito o fracaso. 3.- La probabilidad de un éxito (que se denota con p), permanece constante durante los n ensayos. 4.- Los ensayos que se repiten son independientes.

Distribución de Bernoulli Una variable aleatoria x tiene una distribución de Bernoulli, y se conoce como variable aleatoria de Bernoulli, si y sólo si su distribución de probabilidad está dada por:

 f ( x; p)  p x (1  p)1 x

Probabilidad y Estadística Estadística

para para x  0,1

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Distribución Binomial Un experimento de Bernoulli que puede tener como resultado un éxito con  probabilidad  p y un fracaso con probabilidad q  1  p . Entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial x , el número de éxitos en n ensayos independientes, es:

 n   x n x b( x; n, p)    p (1  p)   x 

x  0,1, 2,3,..., n

para

Teorema

La media y la varianza de esta distribución son respectivamente:   

 2  npq

y

np

La Distribución Binomial en Matlab

binopdf ( x, n, p) Distribución Multinomial Si una prueba dada puede conducir a los

x

resultados  E1 , E2 , ..., E k  con

 probabilidades  p1 , p2 , ..., pk  , entonces la distribución de probabilidad de las variables aleatorias

x

,

1 x2

,..., xk  , que representan el número de ocurrencias para

 E1 , E2 , ..., E k  en n pruebas repetidas, es n    x1 x2 b( x1, x2 ,... xk ; p1, p2,..., pk , n)    p1 p2  x , x , ... x k    1 2 k 

Con

 x

i

n y

i 1

k 

  p

i

 x

pk  k 

1

i 1

Distribución Binomial Negativa Si pruebas independientes repetidas que pueden tener como resultado un éxito con  probabilidad  p y un fracaso con probabilidad q  1  p , entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria x , el número de la prueba en al que ocurre el k -ésimo éxito, es:  x  1  x x  k  b *( x; k , p)   para x  k , k  1, k   2,...  p (1  p)  k   1 Teorema

La media y la varianza de la distribución binomial negativa son respectivamente:   

Probabilidad y Estadística

k   p

y

 2 

k   1

 1     p  p  Semestre Enero-Junio 2013

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La Binomial Negativa en Matlab

b *( x; k , p)  k * binopdf ( k , x, p) / x Distribución Geométrica Si pruebas independientes repetidas que pueden tener como resultado un éxito con  probabilidad  p y un fracaso con probabilidad q  1  p , entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria x , el número de la prueba en al que ocurre el primer éxito, es:

 g ( x; p)  p x (1  p) x1

para x  1, 2,3,...

Teorema

La media y la varianza de la distribución geométrica son respectivamente:   

1

 2 

y

 p

1 p

 p 2

La Distribución Geométrica en Matlab

 g ( x; p)  b *( x,1, p)  binopdf (1, x, p) / x Distribución Hipérgeométrica La distribución de probabilidad de la variable aleatoria hipergeométrica x , el número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n que se selecciona de  N  artículos en los que k  se denominan éxitos y  N  k  fracasos, es:

 k  N  k   n  n  k   , h( x; N , n, k )     N  n  

max{0, n  ( N  k )}  x  min{n, k}  

Teorema

La media y la varianza de la distribución hipergeométrica son respectivamente   

nk   N 

y

 2 

n( N  n) k  k    1    N  1 N  N  

La Distribución Hipergeométrica en Matlab

hygepdf ( x, N , n, k ) Probabilidad y Estadística

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Distribución de Poisson La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson x , que representa el número de resultados que ocurren en un intervalo dado o región específica se denota con t , es:

 P( x;  t ) 

e  t ( t ) x  x !

para x  0,1, 2,3,...

Donde   es el número promedio de resultados por unidad de tiempo, distancia, área, o volumen y e=2.71822… Teorema

La media y la varianza de la distribución de Poisson son respectivamente:    t 

y

 2   t 

La Distribución de Poisson en Matlab

 poisspdf ( x,  ) Proceso de Poisson 1.- El número de resultados que ocurren en un intervalo o región específica es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o región del espacio disjunto. De esta forma vemos que el proceso de Poisson no tiene memoria.

2.- La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región, y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región. 3.- La probabilidad de que ocurra más de un resultado en un intervalo corto o región pequeña es insignificante Distribución Hipergeométrica Multivariada

Si  N  artículos se pueden dividir en k  celdas  A1 , A2 , ..., Ak  con a1 , a2 ,..., ak  elementos respectivamente entonces, la distribución de probabilidad de las variables aleatorias x1 , x2 ,..., xk  , que representan el número de elementos que se seleccionan de  A1 , A2 , ..., Ak  en una muestra aleatoria de tamaño n , es

 a1  a2   x  x  b( x1, x2 ,...xk ; a1, a2 ,..., ak , N, n)   1  2   N  n   k 

Con

 x

i

n y

i 1

Probabilidad y Estadística

k 

a

i

 ak    x   k  

 N 

i 1

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1FW. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad tropical sanguínea es 0.4. Si se sabe que 15  personas contraen tal enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Sobrevivan al menos 10. b) Sobrevivan de 3 a 8. c) Sobrevivan exactamente 5? 2FW.

Determinar la probabilidad de obtener 5 caras y 7 cruces en 12 lanzamientos al aire de una moneda equilibrada.

3. Una gran compañía petrolera compra dispositivos electrónicos detectores gases volátiles, el fabricante de estos dispositivos indica que la taza de defectuosos es del 3%. a) Un inspector de la compañía petrolera elige 20 artículos al azar  de un cargamento. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos un artículo defectuoso entre estos 20? b) Suponga que se reciben 10 cargamentos al mes y que el inspector aleatoriamente prueba 20 dispositivos por cargamento. ¿Cuál es la  probabilidad de que haya tres cargamentos que contengan al menos un dispositivo defectuoso? 4WM. Se conjetura que hay impurezas en 30% del total de pozos de agua potable en el ejido Hacienda de Guadalupe. Para obtener algún conocimiento del problema, se determina que debería de realizarse algún tipo de prueba. Es muy costoso  probar en todos los pozos del área, por lo que se eligieron solamente diez aleatoriamente para realizar una prueba. a) Considerando que la conjetura es correcta y utilizando la distribución binomial, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente tres pozos tengan impurezas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de tres pozos tengan impurezas? c) La afirmación de que el „‟30% de los pozos tienen impurezas‟‟ es meramente una conjetura del consejo ejidal. Supóngase que se eligen aleatoriamente 10 pozos y se encuentra que 6 contienen impurezas. ¿Qué implica esto respecto a la conjetura? 5WM. La complejidad de las llegadas y salidas en un aeropuerto es tal que a menudo se utiliza la simulación computarizada para modelar las condiciones ideales. Para un aeropuerto específico que contiene tres pistas se sabe que, en el escenario ideal las siguientes son las probabilidades de que las pistas individuales sean utilizadas por un avión comercial que llega aleatoriamente: Pista1, p1=2/9, Pista2, p2=1/6, Pista3, p3=11/18 ¿Cuál es la probabilidad de que 6 aviones que llegan al azar se distribuyan de la siguiente manera? Pista1: 2aviones, Pista2: 1 avión, Pista3: 3 aviones. 6FW. En cierta ciudad, la incompatibilidad se da como la razón o motivo legal en el 70% de todos los casos de divorcio. Obtenga la probabilidad de que 5 de los 6 divorcios siguientes archivados en esta ci udad argumenten incompatibilidad como motivo principal para el divorcio. 7FW. Un sociólogo asevera que solo el 50% de todos los alumnos del último año de preparatoria capaces de desempeñar  trabajos a nivel universitario, asisten en realidad a la universidad. Suponiendo verdadera esta afirmación, obtener la  probabilidad de que entre 18 alumnos capaces de desempeñar trabajos a nivel universitario: a) Exactamente diez asistan a la universidad. b) Cuando menos 10 vayan a la universidad. c) Cuando mucho 8 vayan a la universidad 8FW. Un ingeniero (un geo-científico) en control de calidad desea verificar (su jefe lo mando pá lavarse las manos) si el 95% de los componentes electrónicos (u cualquier otra cosa) que vende una compañía (que le vende a PEMEX) están libres de defectos (o sea que su jefe no haga tranzas). Para ello, selecciona al azar 20 de cada lote grande que ya esté listo para ser  embarcado, y aprueba un lote si todas las componentes están en buen estado; de lo contrario se revisa cada componente del lote. Suponiendo que los lotes son tan grandes que se puede utilizar una distribución binomial, obtener las probabilidades de que el Inge cometerá el error de: a) Retener un lote para hacer una revisión completa aunque el 95% de las componentes estén libre de defectos. b) Aprobar un lote aunque sólo el 90% de las componentes estén en buenas condiciones. c) Aprobar  un lote aunque sólo el 80% de las componentes estén libres de defectos. d) Aprobar un lote aunque sólo el 70% de las componentes estén libres de fallas. 9WM. Un prominente médico afirma que 70% de las personas con cáncer pulmonar son fumadores empedernidos. Si su aseveración es correcta: a) Encontrar la probabilidad de que 10 de tales pacientes con ingreso reciente a un hospital, menos de la mitad sean fumadores empedernidos. b) Encontrar la probabilidad de que 20 de tales pacientes que recientemente hayan ingresado a un hospital, menos de la mitad sean fumadores empedernidos. 10WM. Un estudio examinó las actitudes nacionales acerca de los antidepresivos. El estudio reveló que aproximadamente 70% cree que los antidepresivos en realidad no curan nada, sólo enfatizan el problema real. De acuerdo con este estudio, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 3 de las siguientes 5 personas seleccionadas al azar tengan esa opi nión. Probabilidad y Estadística

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11WM. Se sabe que el porcentaje de victorias para que el equipo de baloncesto Toros de Chicago pasará a las finales en la temporada 1996-1997 fue 87.7. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los toros ganen los primeros 4 de los 7 de la serie final?  b) ¿Cuál es la probabilidad de que los toros ganan la serie final? c) ¿Qué suposición importante se realiza para contestar lo s incisos anteriores? 12WM. Se sabe que 60% de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra cierta enfermedad. Si se inoculan 5 ratones, encuentre la probabilidad de que: a) Ninguno contraiga la enfermedad, b) Menos de 2 contraigan la enfermedad, c) Más de 3 contraigan la enfermedad. 13WM. Según el periódico USA Today (18 de marzo de 1997) de 4 millones de trabajadores en la fuerza laboral, 5.8% resultó positivo en una prueba de drogas. De quienes resultaron positivos, 22.5% fueron usuarios de cocaína y 54% de mariguana. a) ¿Cuál es la probabilidad de que de 10 trabajadores que resultaron positivos, 2 sean usuarios de cocaína, 5 de mariguana y 3 de otras drogas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que de 10 trabajadores que resultaron positivos, todos sean usuarios de mariguana? c) ¿Cuál es la probabilidad de que de 10 trabajadores que resultaron positivos, ninguno sea usuario de cocaína? 14WM. De acuerdo con la teoría genética, cierta cruza de conejillos de Indias tendrá crías rojas, negras y blancas con relación 8:4:4. Encontrar la probabilidad de que entre 8 crías 5 sean rojas, 2 negras y 1 blanca. 15WM. Un ingeniero de seguridad afirma que solo 40% de todos los trabajadores utilizan cascos de seguridad cuando comen en el lugar de trabajo. Supóngase que esta afirmación es cierta, encontrar la probabilidad de 4 de 6 trabajadores elegidos al azar utilizan cascos de seguridad mientras co men. 16. Muchos jefes se dan cuenta de que algunas personas que contrataron no son lo que pretenden ser. Detectar personas que solicitan un trabajo y falsifican la información en su solicitud ha generado un nuevo negocio: agencias investigadoras de antecedente. La revista US News and World Report (julio 13 de1981) notificó sobre este problema mencionando que una agencia, en un periodo de dos meses, encontró que el 35% de los antecedentes examinados habían sido alterados. Supóngase que Usted a contratado la semana pasada a 5 nuevos empleados y que la probabilidad de que un empleado haya falsificado su solicitud es del 35%. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las cinco solicitudes haya sido falsificada? ¿Dos o más? 17FW. Si la probabilidades 0.40 de que un niño expuesto a cierta enfermedad contagiosa la contraerá, ¿cuál es la  probabilidad de que el décimo niño expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla? 18FW. Si la probabilidades 0.75 de que un solicitante de licencia de manejo apruebe el examen de manejo en un ensayo dado. ¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante pase la prueba en el cuarto ensayo? 19FW. Como parte de un estudio de la contaminación del aire, un inspector decide examinar la emisión de gases de seis de los 24 camiones de carga de una compañía. Si cuatro de los camiones de la compañía emiten cantidades excesivas de contaminantes, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos sea incluido es la muestra del inspector? 20FW. Si la probabilidad es de 0.005 de que una persona que asista a un desfile en un día muy caluroso de verano sufra insolación, ¿cuál es la probabilidad de que 18 de las 3000 que asistan al desfile sufran insolación? 21FW. El número promedio de camiones que llegan un día cualquiera a un depósito de camiones en cierta ciudad es, según se sabe, 12. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día dado lleguen menos de 9 camiones a este depósito? 22FW. Cierto tipo de lámina tiene, en promedio dos defectos por 10yd2. Si se supone una distribución de Poisson, ¿cuál es la probabilidad de que en un rollo de 30yd2 de esta lamina tenga 4 o más defectos? 23WM. Lotes de 40 componentes cada uno se denominan aceptables si no contienen más de tres defectuosos. El  procedimiento para muestrear el lote consiste en seleccionar 5 componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso en la muestra. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre exactamente 1 defectuoso en la muestra,

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si hay 3 defectuosos en el lote? Encontrar la media y la varianza y después utilizar el teorema de Chebyshev para interpretar  el intervalo   2  24WM. Un grupo de 10 individuos se usa para un estudio de caso biológico. El grupo contiene 3 personas de sangre tipo O, 4 con sangre tipo A y 3 con tipo B. ¿Cuál es al probabilidad de que una muestra aleatoria de 5 contenga 1 persona con sangre tipo O, 2 personas con tipo A y 2 con tipo B? 25WM. En la Liga Mexicana de Beisbol el equipo que gane 4 juegos de 7 será el campeón. Suponga que el equipo de Los sultanes de Monterrey tiene un probabilidad de 0.55 de ganarle a Los Rieleros de Aguascalientes, y que ambos equipos se enfrentan entre si en la serie por el campeonato. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo de los Sultanes ganará la serie en 6 juegos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que los Sultanes ganará la serie?, c) Si ambos equipo se enfrentan en una serie de 5 juegos y el ganador es quien gana 3 juegos de 5, ¿cuál es la probabilidad de que los Sultanes ganará la serie? 26WM. Se sabe que en cierto proceso de fabricación, en promedio, uno de cada 100 artículos está defectuoso. ¿Cuál es la  probabilidad de que el quinto artículo que se inspecciona sea el primer defectuoso que se encuentra? 27WM. En „‟tiempo ocupado‟‟ un conmutador telefónico está muy cerca de su capacidad, por lo que los usuarios tienen dificultad para hacer sus llamadas. Puede ser de interés conocer el número de intentos para conseguir un enlace telefónico. Suponga que p=0.05 es la probabilidad de conseguir un enlace durante el tiempo ocupado. Nos interesa conocer la  probabilidad de que se necesiten 5 intentos para una llamada exitosa. 28WM. Durante un experimento de laboratorio el número promedio de partículas radioactivas que pasan por un contador en un milisegundo es 4. ¿Cuál es al probabilidad de que 6 partículas entren al contador en un milisegundo dado? 29WM. El número promedio de buques-tanque que llega cada día a cierta ciudad portuaria es de 10. Las instalaciones en el  puerto pueden manejar a lo más 15 buque-tanque por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día dado los buques-tanque se tengan que regresar? 30WM. En ciertas instalaciones industriales los accidentes ocurren con muy poca frecuencia. Se sabe que la probabilidad de un accidente en cualquier día dado es 0.005 y los accidentes son independientes entre sí. a) ¿Cuál es la probabilidad de un accidente en cualquier periodo dado de 400 días habrá un accidente en un día?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo más tres días con un accidente? 31.

Construya histogramas de probabilidad para la distribución de probabilidad binomial cuando n=10, p=0.1:0.1:0.9

32FW. Un examen de opción múltiple consta de ocho preguntas y tres respuestas a cada pregunta, de las cuales sólo una es la correcta. Si un estudiante responde a cada pregunta tirando un dado equilibrado y marca la primera respuesta si obtiene un 1 o un 2, la segunda respuesta si obtiene un 3 o un 4 y la tercera respuesta si obtiene un 5 o un 6, ¿cuál es la probabilidad de que logre exactamente cuatro respuestas correctas? 33FW. Un ingeniero de seguridad de automóviles asegura que 1 de 10 accidentes automovilísticos se debe a la fatiga del conductor. ¿Cuál es la probabilidad de que cuando menos 3 de 5 accidentes de deban a fatiga del conductor? 34T. Hay una probabilidad de 0.723 de que un vuelo de American Airlines, que se selecciona aleatoriamente, llegue a tiempo (de acuerdo con datos del Departamento del Transporte de Estados Unidos). En cada caso, suponga que se seleccionan aleatoriamente seis vuelos de American Airlines y calcule la probabilidad de que: (a) Calcular la probabilidad de que al menos cinco vuelos de American Airlines lleguen a tiempo. ¿Es poco común que al menos cinco de seis vuelos de American Airlines lleguen a tiempo? (b) Calcule la probabilidad de que a lo sumo dos vuelos de American Airlines lleguen a tiempo. ¿Es poco común que a lo sumo dos de seis vuelos de American Airlines lleguen a tiempo? (c) Calcule la  probabilidad de que más de un vuelo de American Airlines llegue a tiempo. ¿Es poco común que no más de uno de seis vuelos de American Airlines llegue a tiempo? (d) Calcule la probabilidad de que al menos un vuelo de American Airlines llegue a tiempo. ¿Es poco común que no haya al menos uno de seis vuelos de American Airlines que l legue a tiempo?

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35T. Ceguera al color. El 9% de los hombres y el 0.25% de las mujeres no pueden distinguir entre los colores rojo y verde. Este tipo de problema visual causa dificultades con las señales de tránsito. Si se seleccionan seis hombres aleatoriamente para un estudio de la percepción de las señales de tránsito, calcule la probabilidad de que exactamente dos de ellos no distingan entre el rojo y el verde. Muestreo de aceptación. La compañía Telektronic compra grandes embarques de focos fluorescentes y usa el 36T. siguiente plan de muestreo de aceptación: seleccionar aleatoriamente y probar 24 focos; después, aceptar el grupo completo sólo si hay uno o ninguno que no funcione. Si un embarque particular de miles de focos tiene en realidad una tasa de defectos del 4%, ¿cuál es la probabilidad de que el embarque completo se acepte?

37T. Auditorías de la IRS. La Hemingway Financial Company prepara devoluciones de impuestos para individuos. (Su lema: “También escribimos grandiosas novelas de ficción”). Según el Internal Revenue Service, los individuos que ganan entre 425,000 y 50,000 dólares se auditan en una proporción del 1%. La Hemingway Company prepara cinco devoluciones de impuestos para individuos que están en esa categoría de impuestos, en tanto se audita a tres de ellos. (a) Calcular la  probabilidad de que, cuando se seleccione aleatoriamente a cinco personas que ganan entre $25,000 y $ 50,000, se audite exactamente a tres de ellos. (b) Calcular la probabilidad de que se audite al menos a tres. (c) Con base en los resultados anteriores, ¿qué se concluye acerca de los clientes de Hemingway? ¿Sólo son desafortunados o están siendo blanco de las auditorías? Asistencia del directorio telefónico . Un artículo de USA Today afirma que “encuestas internas que son pagadas 38T.  por proveedores de asistencia del directorio telefónico, muestran que incluso las compañías más precisas usan los números incorrectos el 15% de las veces”. Suponga que prueba a un proveedor de éstos haciendo 10 solicitudes y también que el  proveedor le da números telefónicos incorrectos el 15% de las veces. (a) Calcule la probabilidad de obtener un número incorrecto. (b) Calcular la probabilidad de obtener a lo sumo un número incorrecto. (c) Si usted obtiene a lo sumo un número incorrecto, ¿parecería que la tasa de números i ncorrectos no es del 15%, como se afirma? Vuelos sobresaturados. Air America tiene la política de registrar a 15 personas en un avión donde sólo caben 14. 39T. (Estudios anteriores revelaron que sólo el 85% de los pasajeros que se registran usan el vuelo). Calcule la probabilidad de que, si Air America registra a 15 personas, no haya suficientes asientos disponibles. ¿Será la probabilidad suficientemente  baja, de modo que la sobreventa no sea un problema real para los pasajeros?

40T. Reacción al fármaco. En una prueba clínica del fármaco Viagra, se encontró que el 4% de los individuos en el grupo placebo sufrieron dolores de cabeza. (a). Suponiendo que la misma tasa del 4% se aplica a quienes toman Viagra, calcule la probabilidad de que, entre ocho usuarios del Viagra, tres experimenten dolores de cabeza. (b) Suponiendo que la misma tasa del 4% se aplica a quienes toman Viagra, calcule la probabilidad de que, entre ocho usuarios de Viagra que se seleccionan aleatoriamente, todos ellos experimenten dolores de cabeza. (c) Si los ocho usuarios de Viagra experimentaran dolores de cabeza, ¿parecería que la tasa de dolores de cabeza de los usuarios de Viagra es diferente de la tasa del 4% de los sujetos del grupo de placebo? Explique. Encuestas a televidentes. El programa de televisión 60 minutos, de la CBS, ha logrado éxito por muchos años. 41T. Recientemente registró una audiencia de 20, lo que significa que de todos los televisores en uso el 20% se sintonizan en 60 minutos (según datos de Nielsen Media Research). Suponga que un anunciante desea verificar dicho valor del 20%, realizando su propia encuesta, y que inicia una encuesta piloto con 10 hogares que tienen la televisión encendida en el momento en que se transmite el programa 60 minutos. (a) Calcule la probabilidad de que ninguno de los hogares esté sintonizando 60 minutos. (b) Calcule la probabilidad de que al menos uno de los hogares esté sintonizando 60 minutos. (c) Calcule la probabilidad de que a lo sumo uno de los hogares esté sintonizando 60 minutos. (d) Si a lo sumo un hogar está sintonizando 60 minutos, ¿será incorrecto el valor de una audiencia del 20%? ¿Por qué?

42T. Programas de acción afirmativa . Se realizó un estudio para determinar si había diferencias significativas entre estudiantes de medicina que se aceptaron por medio de programas especiales (como el de acción afirmativa) y estudiantes de medicina que se aceptaron a través de los criterios regulares de admisión. Se encontró que el 94% de los estudiantes de medicina que se aceptaron a través de programas especiales se graduaron (según datos del Journal of the American Medical Association). (a) Si se seleccionan aleatoriamente 10 de los estudiantes de los programas especiales, calcule la probabilidad Probabilidad y Estadística

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de que al menos nueve se gradúen. (b) ¿Sería poco común que de 10 estudiantes de los programas especiales, que se seleccionaron aleatoriamente, sólo se graduaran siete? ¿Por qué? 43T. Identificación de la discriminación por género . Después de que la rechazaran para un empleo, Kim Kelly se entera de que la Bellevue Advertising Company sólo contrató a dos mujeres entre los últimos 20 empleados nuevos. También, de que el grupo de solicitantes es muy grande, y que incluye un número aproximadamente igual de hombres y mujeres calificados. Ayúdele a presentar cargos por discriminación por género, calculando la probabilidad de que dos o menos mujeres se incluyan en una contratación de 20 personas, suponiendo que no hay discriminación que se basa en el género. ¿Apoya la probabilidad resultante esos cargos? 44T. Máquina tragamonedas. Una máquina tragamonedas que se configuró de tal forma que hay una probabilidad de 1/2000 de ganarse el premio mayor en cualquier ensayo individual. Una persona afirma haber jugado con la máquina cinco veces y ganado en dos ocasiones. (a) Calcule la probabilidad de exactamente dos premios en cinco ensayos. (b) Calcule la  probabilidad de al menos dos premios en cinco ensayos. (c) ¿Parece válida la afirmación del invitado de dos triunfos en cinco juegos? Explique. 45T. Cursos de posgrado. El Market Research Institute encontró que de los individuos que se graduaron de la universidad desde hace al menos 10 años, con empleo y edades entre 30 y 55 años, el 57% tomaron cursos universitarios tras haberse graduado (según el USA Today). Si usted selecciona aleatoriamente a cinco individuos que se graduaron de la universidad desde hace al menos 10 años, con edades entre 30 y 55 años, y descubre que sólo uno de ellos tomó cursos, ¿debe pensar que la tasa del 57% es incorrecta? Explique. 46FW. En un proceso de fabricación donde se manufacturan productos de vidrio ocurren defectos o burbujas, lo cual ocasionalmente deja a la pieza indeseable para su venta. Se sabe que, en promedio, 1 de cada 1000 de estos artículos que se  producen tiene una o más burbujas. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 8000 tengan menos de 7 artículos con burbujas? 47FW. Entre 120 estudiantes para ocupar un empleo, sólo 80 están realmente calificados para hacerlo. Si se seleccionan al azar cinco de estos aspirantes para realizar una entrevista „a fondo‟ determinar la probabilidad de que sólo dos de los 5 estén calificados para el trabajo. 48FW. Si la probabilidad es 0.75 de que una persona crea un rumor acerca de las transgresiones de cierto político, determinar las probabilidades de que (a) la octava persona es en oír un rumor sea la quinta en creerlo, (b) la decimoquinta  persona en oír un rumor sea la décima en creerlo. 49FW. Si las probabilidades de tener niño o niña son ambas 0.50, determinar las probabilidades de que (a) el cuarto hijo de una familia sea su primer niño, (b) el séptimo hijo de una familia sea su segunda hija, (c) el décimo hijo de una familia sea su cuarto o quinto hijo. 50FW. Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra tomada al azar de dos calculadoras portátiles de cada lote de 18 unidades que llega y acepta el lote si ambas están en condiciones de funcionamiento, en caso contrario se inspecciona todo el lote y el costo se carga al distribuidor. ¿Cuáles son las probabilidades de que este lote sea aceptado sin mayor inspección si contiene (a) cuatro calculadoras que no están en buenas condiciones de funcionamiento, (b) 8 calculadoras en malas condiciones, (c) 12 calculadoras en malas condiciones? 51FW. Entre 16 aspirantes a obtener un empleo, 10 tienen grado universitario. Si para ser entrevistados se eligen al azar  tres de los aspirantes, ¿cuáles son las probabilidades de que: (a) ninguno tenga un grado universitario; (b) uno tenga un grado universitario; (c) dos tengan grado universitario; (c) los tres tengan grado universitario? 52FW. Un cargamento grande de libros contiene 3% de ellos con encuadernación imperfecta. Utilizar la aproximación de Poisson para determinar las probabilidades de que entre 400 libros seleccionados al azar del cargamento: (a) exactamente 10 tengan defectos en la encuadernación; (b) cuando menos 10 tengan encuadernación imperfecta.

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53FW. Se sabe, por experiencia, que el 1.4% de las llamadas recibidas por un conmutador son números equivocados. Utilizar la aproximación de Poisson para determinar las probabilidades de que entre 150 llamadas recibidas dos sean números equivocados. 54FW. Según registros, la probabilidad de que un automóvil falle mientras pasa por cierto túnel es 0.0004. Utilizar la aproximación de Poisson para determinar las probabilidades de que entre 2000 automóviles que pasan por el túnel cuando menos uno falle. 55FW. En cierta región desértica, el número de personas que enferman de gravedad cada año por ingerir un tipo dado de  planta venenosa es una variable aleatoria que tiene una distribución de Poisson con    1.6 . Determinar las probabilidades de: (a) dos enfermedades de este tipo en un año; (b) cuando menos siete enfermedades de este tipo en cinco años. 56FW. En una inspección de una tela producida en rollos continuos, el número de imperfecciones por cada 10 yardas es una variable aleatoria que tiene una distribución de Poisson con    2.8 . Determinar las probabilidades de que: (a) 10 yardas de tela tengan tres imperfecciones; (b) 20 yardas de t ela tengan cuando mucho seis imperfecciones. 57FW. Si el número de aviones que llegan por minuto a un gran aeropuerto metropolitano es una variable aleatoria que tienen una distribución de Poisson con    0.9 . Obtener las probabilidades de que lleguen: (a) exactamente nueve aviones durante un periodo de cinco minutos; cuando menos 10 aviones en un periodo de 8 minutos; (c) cuando menos 14 aviones durante un periodo de 11 minutos. 58FW. Las probabilidades son 0.40, 0.50 y 0.10 de que, al manejar en la ciudad, cierto automóvil compacto promedie menos de 22 millas por galón, de 22 a 26 millas por galón o más de 26 millas por galón de combustible. Determinar las  probabilidades de que entre 10 de estos vehículos examinados, tres promedien 22 millas por galón, seis promedien de 22ª 26 millas por galón y uno promedie más de 26 millas por galón. 59FW. Según la teoría mendeliana de la herencia, si se cruzan plantas de semillas amarillas redondas con plantas e semillas verdes rugosas, las probabilidades de obtener una planta que produzca semillas amarillas redondas, semillas amarillas rugosas, semillas verdes redondas o semillas verdes rugosas son respectivamente 9/16, 3/16, 3/16 y 1/16. ¿Cuál es la probabilidad de que entre nueve plantas obtenidas así haya cuatro que produzcan semillas amarillas redondas, dos que  produzcan semillas amarillas rugosas, tres que produzcan semillas amarillas verdes y ninguna que produzca semillas verdes rugosas? Respuestas de adivinación. Varios estudiantes no se prepararon para enfrentar un examen sorpresa de 60T. verdadero/falso de 10 preguntas, por lo cual todas sus respuestas son conjeturas. (a) Calcule la media y la desviación estándar del número de respuestas correctas de esos estudiantes. (b) ¿Sería poco común que un estudiante pasara el examen adivinando y que obtuviera al menos siete respuestas correctas? ¿Por qué?

61T. Respuestas de adivinación. Varios estudiantes no se prepararon para presentar un examen de opción múltiple de 10 preguntas, por lo cual todas sus respuestas son conjeturas. Cada pregunta tiene cinco respuestas posibles, pero sólo una de ellas es correcta. (a) Calcule la media y la desviación estándar del número de respuestas correctas de esos estudiantes. (b) ¿Sería poco común que un estudiante pasara el examen adivinando y que obtuviera al menos siete respuestas correctas? ¿Por qué? 62T. Juego de ruleta . Si apuesta en cualquier número de la ruleta, su probabilidad de ganar es 1/38. Suponga que apuesta a un solo número en cada uno de 100 giros consecutivos. (a) Calcule la media y la desviación estándar del número de triunfos. (b) ¿Sería poco común no ganar ni una ocasión en l os 100 ensayos? ¿Por qué? 63T. Personas zurdas. El 10% de los adultos estadounidenses son zurdos. Una clase de estadística tiene 25 estudiantes. (a) Calcule la media y la desviación estándar del número de estudiantes zurdos en la clase con 25 estudiantes. (b)¿Sería poco común hacer una encuesta a una clase con 25 estudiantes y encontrar que 5 de ellos son zurdos? ¿Por qué?

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64T. Análisis de los resultados de un experimento de selección del género. Un experimento, en relación con un método de selección del género, incluye un grupo control de 15 parejas que no reciben ningún tratamiento creado para influir en el género de sus hijos. Cada una de las 15 parejas tiene un hijo. (a) Elabore una tabla que liste los posibles valores de la variable aleatoria x (que representa el número de niñas entre 15 nacimientos) y las probabilidades correspondientes. (b) Calcule la media y la desviación estándar del número de niñas en grupos de 15 nacimientos como éstos. (c) Si las parejas tienen 10 niñas y cinco niños, ¿será poco común este resultado? ¿Por qué? 65T. Mensajes descifrados. La Central Intelligence Agency tiene especialistas que analizan la secuencia de letras del alfabeto, en un intento por descifrar mensajes que se interceptan. En un texto estándar en inglés, la letra r se utiliza en una  proporción del 7.7%. (a) Calcule la media y la desviación estándar del número de veces que la letra r aparecerá en una  página común de 2,600 caracteres. (b) En un mensaje que se interceptó que iba hacia Irak, se encontró que en una página con 2,600 caracteres la letra r aparecía 175 veces. ¿Es esto poco común? 66T. Determinar si disminuyen las quejas después de un programa de entrenamiento . La Newtower Department Store recibió una tasa de quejas de los clientes del 3.2%, e intenta disminuir esta tasa con un programa de entrenamiento  para los empleados. Una vez que se completó el programa, se localizó a 850 clientes y se descubrió que sólo siete de ellos se quejaron. (a) Suponiendo que el programa de entrenamiento no tenga efecto alguno, calcule la media y la desviación estándar del número de quejas en grupos de 850 clientes como éste. (b) Con base en los resultados del inciso a), ¿es poco común el resultado de siete quejas? ¿Fue efectivo el programa de entrenamiento para disminuir la ta sa de quejas? 67T. Teléfonos celulares y cáncer cerebral . En un estudio que incluyó 420,000 usuarios de teléfono celular en Dinamarca, se encontró que 135 desarrollaron cáncer cerebral o del sistema nervioso. Si suponemos que este tipo de cáncer  no se afecta por los teléfonos celulares, la probabilidad de que una persona adquiera tal enfermedad es de 0.000340. (a) Suponiendo que los teléfonos celulares no se relacionan con el cáncer, calcule la media y la desviación estándar del número de personas, en grupos de 420,000, que pueden tener cáncer cerebral o del sistema nervioso. (b) Con base en los resultados del inciso a, ¿será poco común que, entre 420,000 personas, se presenten 135 casos de cáncer cerebral o del sistema nervioso? ¿Por qué? (c) ¿Qué sugieren tales resultados sobre la preocupación pública de que los teléfonos celulares son dañinos para la salud, porque incrementan el riesgo de cáncer cerebral o del sistema nervioso? Fármaco que reduce el colesterol . En un ensayo clínico del Lipitor, un fármaco común que se utiliza para 68T. disminuir el colesterol, 863 pacientes recibieron un tratamiento de 10 miligramos de tabletas de Atorvastatin. Este grupo incluyó a 19 pacientes que experimentan síntomas de influenza (según datos de Pfizer, Inc.). La probabilidad de que una  persona que no recibe tratamiento alguno presente síntomas de influenza es de 0.019. ()a Suponiendo que el Lipitor no  produce efectos sobre los síntomas de la influenza, calcule la media y la desviación estándar del número de personas en grupos de 863 individuos que se esperaría presentaran dichos síntomas. (b) Con base en los resultados del inciso a, ¿será  poco común encontrar que, de 863 personas, 19 experimentan síntomas de influenza? ¿Por qué? (c) Con base en los resultados anteriores, ¿los síntomas de la influenza parecen ser una reacción adversa que debe preocupar a los usuarios de Lipitor?

69T. Opiniones sobre la clonación . En una encuesta reciente de Gallup se preguntó a 1012 adultos que se seleccionaron aleatoriamente, si “la clonación humana debe o no permitirse”. Los resultados mostraron que el 89% de los encuestados opinaron que la clonación no tiene que permitirse. (a) De los 1012 adultos que se encuestaron, ¿cuántos opinaron que no debe permitirse la clonación. (b) Si suponemos que las personas se muestran indiferentes, de manera que el 50% considera que la clonación humana no tiene que permitirse, calcule la media y la desviación estándar del número de  personas en grupos de 1012 que se esperaría que opinaron que la clonación no debe permitirse. (c) Con base en los resultados anteriores, ¿parece inusualmente más alto el resultado del 89% de la encuesta de Gallup que la supuesta tasa del 50%? ¿Parece que una inmensa mayoría de adultos opina que la clonación humana no debe permitirse? 70T. Choques de automóviles. Los conductores de edades entre 20 y 24 años presentan una proporción del 34% de accidentes automovilísticos durante un año (según datos del National Safety Council). Un investigador de una aseguradora descubre que en un grupo de 500 conductores, en el rango de 20 a 24 años, que viven en la ciudad de Nueva York, que se seleccionaron aleatoriamente, el 42% tuvo accidentes el año anterior. (a) ¿Cuántos conductores, en el grupo de 500

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individuos de la ciudad de Nueva York, tuvo accidentes el año anterior? (b) Suponiendo que la misma proporción del 34% se aplica a la ciudad de Nueva York, calcule la media y la desviación estándar del número de personas, en grupos de 500 individuos, que se esperaría tuvieran accidentes. (c) Con base en resultados anteriores, ¿parece inusualmente más alto el resultado del 42% de los conductores de la ciudad de Nueva York, comparado con la proporción del 34% de la población general? ¿Se justifican las tasas de seguro más altas para los conductores de la ciudad de Nueva York? 71. Disminución radioactiva. Los átomos radioactivos son inestables porque tienen demasiada energía. Cuando liberan su energía sobrante, se dice que disminuyen. Al estudiar el cesio 137, se descubrió que durante el curso de la disminución, durante 365 días, 1,000,000 de átomos radioactivos se reducen a 977,287 átomos radioactivos. (a) Calcule el número medio de átomos radioactivos que se perdieron durante la disminución de un día. (b) Calcule la probabilidad de que en un día dado disminuyan 50 átomos radioactivos. Nacimientos. Actualmente nacen 11 bebés cada año en la villa de Westport (con una población de 760) (según 72T. datos del National Center for Health Statistics de Estados Unidos). (a) Calcule el número medio de nacimientos por día. (b) Calcule la probabilidad de que en un día dado no haya nacimientos. (c) Calcule la probabilidad de que en un día dado haya al menos un nacimiento. (d) Con base en los resultados anteriores, ¿debe estar en guardia permanente el personal médico o hay que llamarlos cuando sea necesario? ¿Significa esto que las madres de Westport podrían no recibir la atención médica inmediata que probablemente sí recibirían en una área más poblada? Muertes por coces de caballos . Un ejemplo clásico de la distribución de Poisson implica el número de muertes de 73T. hombres del ejército prusiano causadas por coces de caballo, entre 1875 y 1894. Se combinaron datos de 14 cadáveres durante un periodo de 20 años; los 280 años-cadáveres incluyeron un total de 196 muertes. Después de calcular el número medio de muertes por año-cadáver, determine la probabilidad de que un año-cadáver, que se selecciona aleatoriamente, tenga el siguiente número de muertes: (a) 0. (b) 1 (c) 2. (d) 3. (e) 4. Los resultados reales incluyen las siguientes frecuencias: 0 muertes (en 144 añoscadáveres); 1 muerte (en 91 años-cadáveres); 2 muertes (en 32 años-cadáveres); 3 muertes (en 11 años-cadáveres); 4 muertes (en 2 años-cadáveres). Compare los resultados reales con los que se esperan de las probabilidades de Poisson. ¿Sirve la distribución de Poisson como una buena herramienta para predecir los resultados reales? Muertes por homicidio. En un año hubo 116 muertes por homicidio en Richmond, Virginia (de acuerdo con “A 74T. Classroom Note on the Poisson Distribution: A Model for Homicidal deaths in Richmond, VA for 1991” en Mathematics and Computer Education, de Wiston A. Richards). Para un día que se seleccionó aleatoriamente, calcule la probabilidad de que el número de muertes por homicidio sea (a) 0. (b) 1 (c) 2. (d) 3. (e) 4. Compare las probabilidades calculadas con los siguientes resultados reales: 268 días (ningún homicidio); 79 días (1 homicidio); 17 días (2 homicidios); 1 día (3 homicidios); no hubo días con más de 3 homicidios. Ruleta . Scott apuesta el número 7 para cada uno de 200 giros de una ruleta. Como P(7)=1/38, él espera ganar  75T. aproximadamente cinco veces. (a) Calcule la probabilidad de ningún triunfo en los 200 giros. (b) Calcule la probabilidad de al menos un triunfo en los 200 giros. (c) Scott perderá dinero si el número de triunfos es 0, 1, 2, 3, 4 o 5. Calcule la  probabilidad de que Scott pierda dinero después de 200 giros. (d) ¿Cuál es la probabilidad de que Scott obtenga alguna ganancia después de 200 giros?

76T. Terremotos . Durante un periodo que comprende los últimos 100 años hubo 93 terremotos importantes en el mundo (al menos 6.0 en la escala de Richter) (según datos del World Almanac and Book of Facts). Suponiendo que la distribución de Poisson es un modelo adecuado, calcule el número medio de terremotos importantes por año; después, la probabilidad de que el número de terremotos en un año que se selecciona al azar sea (a) 0. (b) 1 (c) 2. (d) 3. (e) 4. (f) 5. (g) 6. (h) 7. Los resultados reales son: 47 años (0 terremotos importantes); 31 años (1 terremoto importante); 13 años (2 terremotos importantes); 5 años (3 terremotos importantes); 2 años (4 terremotos importantes); 0 años (5 terremotos importantes); 1 año (6 terremotos importantes); 1 año (7 terremotos importantes). Después de comparar las probabilidades que se calcularon con los resultados reales, ¿es la distribución de Po isson un buen modelo?

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77WM. Un club de estudiantes foráneos tiene como miembros a 2 Tamaulipecos, 3 Veracruzanos, 5 tabasqueños y 2 Yucatecos. SI se seleccionan al azar un comité de 4, encontrar la probabilidad de que; (a) todas los estados estén representados, (b) todos los estados estén representados excepto los Yucatecos. 78WM. Estudios de población biológica y el ambiente a menudo etiquetan y sueltan a sujetos con la finalidad de estimar el tamaño y el grado de ciertas características en la población. Se capturan 10 animales de una población que se piensa cerca de la extinción, se etiquetan y se liberan en cierta región. Después de un periodo se seleccionan en la región una muestra aleatoria de 15 animales del tipo. ¿cuál es la probabilidad de que 5 de estos seleccionados sean animales etiquetados si hay 25 animales de este tipo en la región? 79WM. Una urna contiene 3 bolas verdes, dos azules y 4 rojas. En una muestra aleatoria de 5 bolas, encontrar la  probabilidad de que se seleccionen bolas azules y al menos una roja. 80WM. La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtener una licencia de piloto  privado es 0.7. Encontrar la probabilidad de que el estudiante aprobará el examen: (a) en el tercer intento, (b) antes del cuarto intento. 81FW. Si 18 bloques de vidrio defectuoso incluyen 10 que tienen cuarteaduras pero no decoloración y tres con cuarteaduras con decoloración, ¿cuál es la probabilidad de que entre seis de los bloques elegidos al azar tres tengan cuarteaduras pero no decoloración, uno presente decoloración pero no cuarteaduras y dos muestren cuarteaduras pero no y decoloración? 82FW. En un aprueba de tortura se enciende y apaga un interruptor eléctrico hasta que este falla. Si la probabilidad es 0.001 de que el interruptor falle en cualquier momento en que esté encendido o apagado, ¿cuál es la probabilidad de que el interruptor no falle durante las primeras 800 que se enciende o apaga?

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