Puntos Notables Asociados Al Triángulo

 

PUNTOS NOTABLES ASOCIADOS AL TRIÁNGULO ORTOCENTRO Es el punto de concurrencia de las alturas del triángulo, cuya ubicación depende de la naturaleza del triángulo.

B

 

Ea

En el triángulo acutángulo B E

H: ortocentro del  ABC

D

Ea : ex – centro relativo a BC 

H

 A





 A r a

B

C

F

Ea

r a

En el triángulo rectángulo

r a

B  A

B: ortocentro del

 A



C

ABC

C

H

En el triángulo obtusángulo

C

CIRCUNCENTRO Es el punto de concurrencia de las mediatrices de los lados del triángulo, dicho punto equidista de los vértices del tr triá iáng ngul ulo, o, po porr lo tant tanto o es el ce cent ntro ro de la cir circu cunf nfer eren encia cia circunscrita al triángulo. La ubicación del circuncentro depende de la naturaleza del triángulo. En el triángulo acutángulo

B

B E D

H : ortocentro del  ABC

 A

R

L3

C

R

F

R C

A

L2

H

INCENTRO Es el punto de concurrencia de las bisectrices interiores del triángulo; siempre es interior al triángulo y equidista de los lados, por lo tanto es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

L1

O

Circunferenci a circunscrita

L1 , L 2 , L 3 : mediatrices O : circuncentro del  ABC R : circunradio

B

En el triángulo rectángulo B

 

I : incentro del  ABC



 



 A

L1

L3

I

Circunferencia inscrita

B

A

L2

r  I

 A

 

C

O

C

R

r 

r  

L1 , L 2 , L 3 : mediatrices



C

r : inradio del  ABC EXCENTRO Es el punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores y una bisectriz interior trazada del tercer vértice; se encuentra exteriormente y equidista de los lados del triángulo, por lo tanto es el centro de la circunferencia ex – inscrita. Todo triángulo tiene tres ex – centros.

O : es circuncentro del  ABC R : circunradio En el triángulo obtusángulo

B

L3 O

L1

 A

R

C

L2

 

L1 , L 2 , L3 : mediatrices

5.

En el el tri triáng ángulo ulo acut acutáng ángulo ulo ABC se s sabe abe q que: ue: m  A – mC = 48°. Hallar la medida del ángulo HBO, si H es ortocentro y O es circuncentro del triángulo.

6.

En un triá triáng ngul ulo o ABC ABC,, de cir circu cunc ncen entr tro o “K “K”” y exce excent ntro ro rel relati ativo vo a BC   “E”. Calcular mBKC, siendo mBEC = 50°.

7.

En el gr gráf áfic ico o mos ostr trad ado, o, ca calc lcul ular ar x, si IM = MC MC.. I es incentro.

O : es circuncentro del  ABC R : circunradio B

Propiedades:

B 70°

O

H  A

I

C

M

25° 25°

Si O es el circuncentro se cumple:

x

 A

1.

OA = OB = OC = R

2. m AOC = 2m ABC

8.

C

En la fi figu gura ra,, h hal alla la x+y x+y,, si si  = 20°.  A

BARICENTRO Es el punto de con concur curren rencia cia de las media medianas nas de una superficie triangular; siempre es un punto interior interior.. El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, cuya razón es de dos a uno.



2 2



x y

 B

B



 

C

a

c

9. F

E

a

G

c

En un trián triángul gulo o AB ABC C de inc incent entro ro “I “I”” y exce excentr ntro o “E” rrela elativo tivo a  AB . Calcular la m  ABC si AE = AI.

10. En un triá triángulo ngulo rrectáng ectángulo ulo AB ABC C recto e en n B, de incen incentro tro I y  A

C

M b

b

G : baricentro de la región triangular ABC. Propiedad:

BG = 2(GM) ; AG = 2(GF) ; CG = 2(GE)

excentro E relativo a BC , si AC = IE, calcule m BCA. 11. La longi longitud tud de la c circunf ircunferen erencia cia inscr inscrita ita en un trián triángulo gulo es 12. Calcular la suma de las distancias del incentro a los lados de dicho triángulo.  A) 4

B) 6

C) 8

D) 12

E) 18

12. La suma de las dista distanci ncias as del circu circunce ncentr ntro o a los vér vértice tices s de un triángulo es 15. Calcular la longitud del diámetro de la circunferencia circunscrita.  A) 5

B) 10

C) 15

D) 20

E) 25

13. La suma de las dista distancias ncias de dell barice baricentro ntro a ca cada da uno de lo los s vértices de un triángulo es 18. Calcular la suma de las longitudes de las medianas de dicho triángulo. 1.

La suma suma de llas as lo longi ngitud tudes es de la las s med median ianas as de u un n tri triáng ángulo ulo es 48 cm. Calcular la suma de las distancias del baricentro a cada uno de los vértices.

2.

Si G es el el bar barice icentr ntro o del tr trián iángul gulo o equ equilát ilátero ero ABC y G GC C= 4, hallar la longitud del lado.

3.

En un tr triá iáng ngul ulo o AB ABC C cuy cuyo o cir circu cunr nrad adio io mid mide e 10. Calcular   AC siendo m ABC = 37°.

4.

De Dell gr gráf áfico ico,, ha halla llarr x siend siendo o K circ circun uncen centr tro o del triá triáng ngul ulo o  ABC. B

 A) 9

B) 12

C) 21

D) 25

E) 27

14 14.. En un triá triáng ngul ulo o ABC ABC de orto ortoce cent ntro ro “O “O”” se sabe sabe qu que e m AOC = 2 m ABC. Hallar mOCB.  A) 30°

B) 45°

C) 60°

D) 15°

E) 75°

15. Si la dist distancia ancia d del el bar baricentr icentro o de un tr triángu iángulo lo a uno d de e sus vértices mide 12 cm, halla la longitud de la mediana que parte de dicho vértice.  A) 12 cm C) 24 cm E) 48 cm B) 18 cm D) 36 cm 16. En u un n triá triángu ngulo lo ABC ABC::  es mediana y G el baricentro, si BM GM = 3, hallar BG.  A) 7 B) 8 C) 6 D) 5 E) 9

70° K 80°  A

17. Sea H el ortoce ortocentr ntro o de un triá triángu ngulo lo acutá acutángu ngulo lo ABC, ABC, BH prolongado corta a  AC  en P, calcular la m  APB.

x C

 

 A) 90°

B) 45°

C) 60°

D) 100°

E) 80°

31. En el  ABC: O  circuncentro. Hallar “x”. B

18 18.. El ángu ángulo lo A de un triá triáng ngul ulo o ABC mi mide de 60° 60°.. Ca Calcu lcula larr la medida del ángulo IAC, si I es el incentro del triángulo.  A) 30°

B) 60°

C) 45°

D) 37°

 A) 60° B) 70°

20° 30°

E) 53°

C) 80°

O

19. Sea O el circu circunce ncentr ntro o de un trián triángul gulo o ABC ABC.. Si OA = 4, hallar OB + OC.  A) 9

B) 10

C) 5

D) 7

 A

B) 3

C) 4

D) 5

B

B) 120°

C) 130°

D) 140°

E) 6

B) 80°



C) 90°

60°

D) 75° E) 65°

C

 A

E) 150°

22. Calcular Calcular x si “O “O”” es circu circuncentr ncentro o del tri triángul ángulo o AB ABC. C.

 A) 70°

40°

21 21.. El áng ángul ulo o B de un tr triá iáng ngul ulo o ABC mid mide e 80 80°, °, cal calcu cula larr la medida del ángulo AIC, siendo I el incentro del triángulo.  A) 110° 110°

C

32. En el  ABC: E  excentro. Hallar “”.

E

 A) 2

E) 75°

x

E) 8

20. Si la dista distancia ncia de dell incen incentro tro de un triá triángu ngulo lo ABC al lado lado  AC  es 6, hallar la distancia de dicho punto al lado  AB .

D) 90°

33. En el  ABC, “I”  incentro. Hallar “x”. B

 A) 40°

B

 A) B) C) D) E)

x

 A

80° 90° 75° 95° 70°

B) 35° 70°

x

80°

 A

23 23.. Se Sean an H y O, ort ortoce ocent ntro ro y circ circun unce cent ntro ro de un triá triáng ngul ulo o

D) 45° E) 60°

C

O

C) 36°

I

C

34. En el  ABC, “O”  circuncentro. Hallar “x”.

equilátero ABC. Si AB = 2 3 , calcular HO.

B

 A) 40°  A) 1

B) 2

C) 0

D) 1,5

E) N.A.

B) 50°

70°

25 25.. El áng ángul ulo o B de un tr triá iáng ngul ulo o ABC mid mide e 50 50°. °. Cal Calcu cula larr la medida del ángulo AEC, si E es el excentro referente al lado BC .  A) 15°

B) 20°

C) 22°

D) 25°

E) 28°

C) 30°

O

24. Si E es el exce excentr ntro o de un trián triángul gulo o ABC ABC,, refe referen rente te a BC , m A = 80°, calcular mEAC.  A) 35° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°

D) 60° x

80°

C

 A

E) 45°

35. En un cuad cuadrado rado ABCD se ttoman oman M y N pu puntos ntos med medios ios de lo los s la lado dos s  AB y  AD   respectivame respectivamente. nte. Si BN y DM   se intersecan en un mismo punto P y PC = 10, hallar AP AP..  A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) N.A. 36. De los sig siguient uientes es enun enunciados ciados,, cuáles so son n verd verdadero aderos: s:

26. 26. Dado Dado el tr triá iáng ngul ulo o ABC don donde de m B = 12 120° 0°,, ca calcu lcula lar  r  m AOC, si O es el circuncentro.  A) 100°

B) 60°

C) 120°

D) 90°

E) 160°

27. En un triáng triángulo ulo equilát equilátero ero la distan distancia cia del barice baricentr ntro o al punto medio de uno de sus lados es 1 m. Hallar la altura del triángulo.  A) 4 m B) 3 m C) 3,5 m D) 4,5 m E) N.A. 28. La dista distancia ncia del ort ortoce ocentr ntro o al bari baricen centro tro de un tri triáng ángulo ulo rec ectá táng ngul ulo o es 50 m. Ca Calc lcul ular ar el diám diámet etrro de la circunferencia circunscrita.  A) 100 m C) 75 m E) N.A. B) 150 m D) 200 m 29. En un triángulo triángulo ABC los lad lados os son pr propor oporcionale cionales s a 3, 4 y 5. Si su pe perí ríme metr tro o es 36 m, ha halla llarr la dist distan anci cia a de dell baricentro al circuncentro.  A) 2 m 30. En

un

B) 5/2 m  ABC

se

C) 1,5 m trazan

las

D) 3 m medianas

I. II. II.

En un ttri rián ángu gulo lo A ABC BC,, si el cir circu cunc ncen entr tro o y el ince incent ntro ro se enc encuen uentra tra en un mis mismo mo pun punto to P, ent entonc onces es el triángulo es equilátero En todo todo triá triáng ngul ulo, o, el in ince cent ntrro y ba barric ice entr ntro lo los s encontramos dentro del triángulo.

III.

Dos b bisectr isectrices ices e exterio xteriores res y u una na inte interior rior rela relativas tivas a un mismo lado concurren siempre en un mismo punto.

 A) Sólo I

C) I y III

B) Sólo II

D) II y III

37. En el trián triángul gulo o obt obtusá usángu ngulo lo PQR, “C” es circunce circuncentr ntro o si PR = 8 y PC = 5, hallar x. P

C

 AE y BD

 A) 100° B) 110° C) 115°

E) N.A.

cortándose ambas en el punto G. Si AE+BD= 24, hallar   AG+GB.  A) 16 B) 8 C) 12 D) 15 E) N.A.

E) T Todas odas

D) 127°

x Q

R

E) N.A.

 

38. En un triángu triángulo lo A ABC BC de c circun ircuncentr centro o “O” la m A = 74° y la  A) 50º

mOCA = 14°. Hallar “AB” si OC = 3.  A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

B) 45º

C) 40º

D) 60º

E) N.A.

47. Hallar el va valor lor de “x”, en la figur figura: a: B

39. Se tiene un triángu triángulo lo ABC d de e circun circuncentr centro o “O” la med mediatri iatriz z (52°–a)

de BC   co cort rta a a la pro prolo long ngac ació ión n de BA   en “M” y la

26°

mediatriz media triz de  AB  a la prolon prolongación gación de BC en N. Hallar la mONB si mOMC = 10°.  A) 10°

B) 20°

C) 15°

 A

D) 25°

R

a+12°

x

52°–a

C

E) 5°  A) 14°

B) 18º

C) 22º

D) 26º

E) 32°

40. En un triángulo triángulo ABC de inc incentro entro ““I” I” y circu circuncent ncentro ro “O” “O”,, la 48. En un ttriá riángu ngulo lo ABC ABC se s sabe abe q que ue mEIC - mIEC = 40°,

m A = 20° y mB = 110°. Hallar la m IAO.

sabiendo que “I” es el incentro y “E” es excentro relativo a  A) 55°

B) 30°

C) 70°

D) 50°

E) 65°

41. Lo Los s la lado dos s  AB y BC  de un triángulo ABC miden 10 y 15 m

BC . Calcular la m ABC.  A) 20°

B) 25º

C) 30º

D) 35º

E) 40°

respec respectiva tivamen mente; te; por el ince incentr ntro o del tri triáng ángulo ulo se tra traza za

PQ //  AC , hallar el perímetro del triángulo PBQ.

49. Se tiene u un n trián triángulo gulo isó isósceles sceles ABC (AB = BC) en e ell cual se traza traza la ce cevia viana na CF . Si “O” es el circuncentro del

 A) 20 m

B) 25 m

C) 30 m

D) 35 m

E) N.A.

triá triáng ngul ulo o AF AFC. C. Calcu Calcula larr la mOC OCF F sa sabi bien endo do qu que e la m ABC = 36°.

42. Los lados lados no conse consecutivo cutivos s de un cuad cuadrilát rilátero ero cónca cóncavo vo son perpendiculares entre sí. Calcular la medida del ángulo

 A) 9°

B) 12°

C) 18º

D) 27º

E) 36°

que forman sus diagonales. 50 50.. En la ffig igur ura, a,  AB  es diámetro y H cualquier punto de  AB ,  A) 30°

B) 45°

C) 60°

D) 90°

E) 120°

EM = HM y HN = NB. Hallar el valor de “x”. E

43. El ángu ángulo lo S de un trián triángul gulo o obt obtusá usángu ngulo lo isósc isóscele eles s LSD mide 140°. Calcular la medida del CLO, sabiendo que “C”

P

F M

y “O” son el circuncentro y el ortocentro respectivamente

x

de dicho triángulo.  A) 140°

B) 90°

C) 100°

D) 135°

44 44.. Da Dado do un tr triá iáng ngul ulo o isós isósce cele les, s, se tr traz azan an las las bise bisectr ctrice ices s ext exteri erior ores es de los áng ángulo ulos s iguale iguales. s. Si ést éstas as for forman man un ángulo que es 4 veces el ángulo desigual. Determinar el complemento del ángulo igual.  A) 80º

B) 20º

C) 10º

D) 60º

E) 70º

45. Se tien tiene e un triáng triángulo ulo ABC, ABC, en cuyo ex exter terior ior se ubic ubica a el punto O, tal que BO  es bisectriz exterior del ángulo B y

CO  es bisectriz exterior del ángulo C. Si el ángulo BOC mide 70º, hallar la medida del ángulo A.  A) 40º

B) 60º

C) 80º

D) 1 110º 10º

E) 140º

46 46.. En un ttri rián ángu gulo lo A ABC BC,, m  A = 80º. Se trazan las bisectrices interior y exterior de C, así como la bisectriz exterior de B. Est Estas as tre tres s líneas líneas al cor cortar tarse se mutua mutuamen mente, te, forman forman un triángulo, ¿Cuál es el valor del menor ángulo de dicho triángulo?

 A

E) 120°  A) 45°

O

B) 60°

H

C) 80º

N

B

D) 90º

E) 100°