Psicometria - VOL III - Problemas Resueltos
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Descripción: ESTADISTICA...
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Pr61ogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
lntroducci6n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Objetivos espedficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 15
ENUNCIADOS Capitulo
I. Tecnicas para Ia construcci6n de escalas de actitudes
17
Capitulo
II. La fiabilidad de las puntuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Capitulo
Ill. Validez de las inferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Capitulo
IV. Evaluaci6n y analisis de los elementos del test . . . . . . . . . . . . . . .
67
Capitulo
V. Asignaci6n, transformaci6n y equiparaci6n de las puntuaciones. . ... ... .. .... . .. .. ... .. .. .............. . ... .. . ... ........ .
81
VI. Problemas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Capitulo
Capitulo VII. La teoria de Ia respuesta al item . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 SOLUCIONES Capitulo
I. Tecnicas para Ia construcci6n de escalas de actitudes
121
Capitulo
II. La fiabilidad de las puntuaciones .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 133
Capitulo
Ill. Validez de las inferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Capitulo
IV. Evaluaci6n y analisis de los elementos del test....... . .. .. . . . 221
Capitulo
V. Asignaci6n, transformaci6n y equiparaci6n de las puntuaciones .. . ........... ... .. . .. ... ... . ............... . .... . . . . . .. . .. 241
Capitulo VI. Problemas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Capitulo VII. La teoria de Ia respuesta al item . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 TABLAS ESTADiSTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Capítulo 1: Técnicas para la construcción de escalas de actitudes
1. Se sometieron a la calificación de 20 jueces 12 ítems de una escala de actitudes. La tabla adjunta muestra la calificación dada por los mismos a cada uno de los ítems. Cada ítem puede ser calificado en una escala de 11 categorías. Jueces 1
ítems A
B
e
o
E
F
G
H
1
J
K
L
1
4
10
7
1
3
5
5
8
10
10
2
2
2
4
10
8
1
3
6
4
7
5
11
1
3
3
2
10
8
1
3
6
4
7
5
11
1
4
2
3
10
9
1
4
6
6
9
9
11
3
5
1
2
8
10
1
3
4
7
7
8
9
2
6
2
4
9
7
1
2
6
5
8
11
11
4
7
3
3
8
6
2
3
8
3
9
10
10
2
8
1
5
9
5
2
4
6
5
7
10
11
1 2
9
1
4
9
7
1
3
5
4
9
10
10
10
1
2
10
4
1
2
7
5
7
11
11
1
11
2
3
8
6
1
4
5
5
8
7
9
2
12
1
5
9
7
2
2
6
6
9
8
8
4
13
2
4
10
8
1
3
7
4
7
10
11
2
14
3
5
9
6
1
4
4
6
9
10
10
1
15
3
4
10
7
1
3
6
5
8
9
11
1
16
2
5
8
8
1
2
8
4
6
11
10
2
17
3
4
9
7
1
4
6
6
7
11
11
1
18
2
5
8
6
2
2
6
4
8
10
9
2
19
3
6
9
7
1
3
5
4
9
10
11
3
20
2
4
8
8
1
4
6
5
8
10
10
2
Calcular: 1. El valor de cada ítem. 2. El coeficiente de ambigüedad de los ítems A y H.
1
18 Psicometría: problemas resueltos
2. Con los siguientes deportes: fútbol, tenis, ski, baloncesto, balonmano, rugby, natación, equitación, judo, kárate y polo, lcuántos pares de estímulos habría que hacer para construir una escala por el método de las comparaciones binarias? 3. Se quiso saber la preferencia de los universitarios españoles por los 6 siguientes deportes: fútbol, baloncesto, balonmano, tenis, natación y artes marciales. Para ello se eligió aleatoriamente una muestra de 5000 estudiantes a los que se les aplicó una escala construida según el modelo de Thurstone de las comparaciones binarias. Las respuestas dadas por los universitarios pueden verse en la matriz adjunta. Cada casilla indica el número de sujetos que prefirió el deporte de la fila al de la columna. Escalar las preferencias respecto a estos deportes en este grupo. Artes marciales
Baloncesto Balonmano
Fútbol
Natación
Tenis
o
500
700
250
300
350
Baloncesto
4 .500
o
3.500
1.000
2.000
3 .000
Artes marciales
Balonmano
4 .300
1.500
o
550
800
900
Fútbol
4.750
4.000
4 .450
o
3.285
2.740
Natación
4.700
3.000
4.200
1.715
o
1.890
Tenis
4 .650
2.000
4 .100
2.260
3 .110
o
4. Las puntuaciones obtenidas por un grupo de sujetos en una escala de Guttman de ítems binarios pueden verse en la tabla adjunta. Calcular el coeficiente de reproductividad.
19 Técnicas para la construcción de escalas de actitudes Sujetos
A
B
e
D
E
F
G
H
1
J
K
L
M
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
o
o
o
o
o
o
o
o o o
o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o
o o o o o o
o o o o o
1
1
o o o o
o o o o o o o o o
1
o o o
o o
5
1
1
1
1
1
1
1
1
6
1
1
1
o
o
7
1
1
1
1
1
8
o 1
o o
o o
1
9
o o o o o o
o o o o o
o o o o o o o o o o
3
1
1
1
1
1
1
1
4
1
o
o
o
1
o
o
10
1
1
1
11
1
1
1
1
o o o o
1
o o o o o o
12
1
1
1
1
1
1
1
1
1
o o
1
1
N
1
1
o o o o
1
1
o o o
o o
13
1
1
1
1
1
1
1
1
14
1
1
1
1
1
1
1
o
o o
15
1
1
1
1
1
1
1
1
1
16
o
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
17
1
1
1
1
o
o
o
o
o
o
o
o
o
18
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
19
1
1
o
o
o
20
1
1
1
1
1
o o
o o
o o
o o
o o
o o
o o
21
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
22
1
1
1
1
1
1
o
o
o
o
23
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
24
1
1
1
1
1
1
1
1
25
o o
1
o
o
o
o
1
1
1
o o
o
26
27
1
1
1
1
o
1
1
1
1
1
1
1
o o
o o o o
28
o o o o
o o o o o
29
1
o
1
1
1
1
1
1
1
o o o o o o o o
30
1
1
1
o
1
o
1
o
1
o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o
1
1
1
1
31
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
o
o
o
33
1
1
1
1
1
1
1
1
o o
o o
o o
o o o
1
32
o o o
34
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
35
1
1
o
o
o
o
36
1
1
1
1
1
1
o
o o o
o o o
o o o o o o
o o o o o o
o o o o o o
o o o o o o
o o o o o o
1
37
1
1
1
o
o
38
1
1
1
1
1
1
1
1
39
o
o
o
o
o
o
o
40
1
1
1
1
1
1
1
o o
o o
1
1
1
o o o o o o o o o
1
20 Psicometría: problemas resueltos
5. Se quiere elaborar una escala de Thurstone que mida habilidades sociales. Para ello se han utilizado 300 jueces. La escala tiene siete puntos. El resultado de la eva luación de los jueces a un elemento de la prueba fue la siguiente: 1
1
1 5
Escala del elemento Número de jueces
2 15
3 25
4 30
5 75
6
7
1
120
30
1
1. Averiguar el valor escalar del elemento utilizando para ello la mediana. 2. Determinar el coeficiente de ambigüedad del elemento, utilizando la distancia intercuartílica . LSe debería aceptar el elemento para formar la escala definitiva?
6. Se quiere construir una escala de tipo Thurstone para medir una determinada actitud. La escala utilizada ha sido de 7 puntos. De entre todos los elementos utilizados en la prueba de jueces, hemos elegido uno de ellos para analizar. El resultado de la evaluación de 100 jueces al elemento fue el siguiente: 1
Escala del elemento
1
Número de jueces
1 2
2 5
3 8
4 10
5 25
6
40
7 10
1. Averiguar el valor escalar del elemento utilizando para ello la mediana. 2. Determinar el coeficiente de ambigüedad (dispersión discriminante) del elemento utilizando la distancia intercuartílica. LSe debería aceptar el elemento para formar la escala definitiva? 3. Construir la curva de frecuencias acumuladas del elemento marcando en ella, tanto el valor escalar como el tercer y primer cuartil.
7. Las puntuaciones obtenidas por un sujeto en los tres factores: Valorativo, Potencia y Actividad al evaluar 4 conceptos han sido las siguientes: F. Valorativo
F. Potencia
F. Actividad
Familia
Conceptos
3
2
Aborto
-3
3 1 -2
3 -3
Paz Amor
3 3
3 1
La evaluación de cada uno de los conceptos se ha hecho con una serie de escalas representativas de los tres factores citados; las puntuaciones de cada escala iban desde -3 a 3 . Construir una matriz que incluya las distancias entre cada concepto y cada uno de los restantes, utilizando para ello las puntuaciones obtenidas por el sujeto en cada facto r. Interpretar los resultados.
21 Técnicas para la construcción de escalas de actitudes
8. A un grupo de 5 sujetos se les han aplicado 6 elementos para medir una determinada actitud. Las respuestas a cada elemento fueron dicotómicas, un 1 indicaría actitud favorable y un O una actitud desfavorable. Los resultados de la aplicación fueron los siguientes: Ítems
Sujeto
1
2
3
4
5
1
1
1
1
1
1
1
2
o o 1 1 o 1 1 o o o o o o o o 1
1
1
1
o
1
1
1
1
3 4 5
6
1. Analizar los ítems y construir el escalograma. 2. Hallar el coeficiente de reproductividad.
9. Para construir una escala de tipo Thurstone que mida una determinada actitud se han utilizado 200 jueces. La escala tiene siete puntos. El resultado de la evaluación de los jueces a un elemento fue la siguiente: Escala del elemento
1
Número de jueces
4
2 10
3
4
16
20
5 50
6
7
80
20
1. Averiguar el valor escalar del elemento utilizando para ello la mediana. 2. Determinar el coeficiente de ambigüedad (dispersión discriminativa) del elemento, utilizando la distancia intercuartílica. ¿se debería aceptar el elemento para formar la escala definitiva? 3. Construir la curva de frecuencias acumuladas del elemento, marcando en ella tanto el valor escalar como el tercer y primer cuartil.
1 O. A un grupo de 6 sujetos se les han aplicado 7 elementos para medir una determinada actitud. Las respuestas a cada elemento fueron dicotómicas, un 1 indicaría actitud favorable y un O actitud desfavorable. Los resultados de la aplicación fueron los siguientes: Sujeto
Ítems 1
2
4
5
6
7
1
o o o o
1
1
1
2
1
1
1
1
3
o o o o 1 o 1 1 1 o o o 1 1 1 o o o o o
1
1
1
o
1
1
1
1
4 5 6
1
3
1
1
1. Analizar los ítems y construir el escalograma. 2. Hallar el coeficiente de reproductividad.
............
~~-------------
Capítulo 11: La fiabilidad de las puntuaciones
11. La ejecución de 1O sujetos en un test de inteligencia espacial compuesto por 6 ítems se muestra en la siguiente tabla, donde 1 es acierto y O es error.
7
B e D E F o o o o o o 1 1 o o 1 1 1 1 1 o o 1 o 1 1 o 1 o o o o 1 1 1 1 1 1 o o o o 1 1 1 1 o
8
1
1
1
1
1
1
9
1
1
1
1
1
1
10
1
1
1
1
o
1
Sujetos 1 2
3 4
5 6
A
Calcular: 1. El coeficiente y el índice de fiabilidad. 2. LCuál hubiese sido el coeficiente de fiabilidad del test si se hubiese calculado en una muestra cuya varianza fuera de 20?
12.
Teniendo en cuenta los datos del ejercicio anterior:
1. LCuál sería la puntuación verdadera diferencial que se estimaría a los sujetos que obtuvieron en el test una puntuación empírica directa de 4 puntos (1\JC 95%). 2. A los sujetos con una determinada puntuación empírica se les pronosticó que su puntuación verdadera estaría entre 3 y 4 LA qué nivel de confianza se hizo?
13. El mismo test de inteligencia espacial fue aplicado dos años más tarde a la misma muestra de sujetos, obteniéndose un coeficiente alfa de 0,70 y una correlación entre ambas aplicaciones de 0,89. Al nivel de confianza del 95% Les estadísticamente significativa la diferencia entre ambos coeficientes?
Capítulo 11: La fiabilidad de las puntuaciones
11. La ejecución de 1O sujetos en un test de inteligencia espacial compuesto por 6 ítems se muestra en la siguiente tabla, donde 1 es acierto y O es error.
7
B e D E F o o o o o o 1 1 o o 1 1 1 1 1 o o 1 o 1 1 o 1 o o o o 1 1 1 1 1 1 o o o o 1 1 1 1 o
8
1
1
1
1
9
1
1
1
10
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Sujetos 1 2
3 4
5 6
A
1
1
1
1
1
1
o
1
Calcular: 1. El coeficiente y el índice de fiabilidad. 2. LCuál hubiese sido el coeficiente de fiabilidad del test si se hubiese calculado en una muestra cuya varianza fuera de 20?
12. Teniendo en cuenta los datos del ejercicio anterior: 1. LCuál sería la puntuación verdadera diferencial que se estimaría a los sujetos que obtuvieron en el test una puntuación empírica directa de 4 puntos (NC 95%). 2. A los sujetos con una determinada puntuación empírica se les pronosticó que su puntuación verdadera estaría entre 3 y 4 LA qué nivel de confianza se hizo?
13. El mismo test de inteligencia espacial fue aplicado dos años más tarde a la misma muestra de sujetos, obteniéndose un coeficiente alfa de 0,70 y una correlación entre ambas aplicaciones de 0,89. Al nivel de confianza del 95% Les estadísticamente significativa la diferencia entre ambos coeficientes?
24 Psicometría: problemas resueltos
14. Un test de coordinación visomotora formado por 6 elementos se aplicó a una muestra de 8 sujetos. En la tabla adjunta se presentan los resultados donde 1 es acierto y O error. Calcular la fiabilidad por el método de:
o d
1. Rulan.
2. Guttman-Fianagan .
e D E F o 1 1 1 1 o o 1 1 o 1 o o o o 1 o 1 1 1 1 o o o o 1 o 1
Sujetos
A
B
1
o
1
2 3 4
5
6
1
1
1
1
1
7
o 1 1 o o o
1
1
1
1
1
1
8
1
to la re
ur tu to de
15. Una batería de memoria está compuesta por dos subescalas, una numérica con 1O ítems y otra verbal con 15. Se aplicó a una muestra de escolares encontrándose que la varianza global fue de 30 puntos, mientras que la varianza de cada una de las subescalas fue de 1O y 11 respectivamente. Calcular el coeficiente a y 13 de la batería.
0,~
16. En una escala de atención una muestra de 100 escolares obtuvo una media
los za
de 20 puntos y una desviación típica de 6. La varianza de la diferencia entre los ítems pares e impares fue de 0,83.
e~
e
mE
1. Calcular el coeficiente de fiabilidad del test.
2. LCuál sería la fiabilidad del test si se le añadiesen 1 O ítems paralelos a los 20 que ya tenía?
un. la ~
3. LEntre qué valores se encontrará la puntuación directa verdadera de los sujetos que obtuvieron en el test una puntuación empírica de 15 puntos? (NC 95%).
17. Un orientador escolar aplicó a una muestra de 100 alumnos un test de razonamiento numérico (RN) y otro de razonamiento verbal (RV), ambos compuestos por 20 elementos. En el test de RN la varianza de la diferencia entre los ítems pares e impares fue de 0,93, mientras que la varianza de las puntuaciones totales fue de 4,3. A su vez, en el test de RV la varianza de las puntuaciones verdaderas es cuatro veces mayor que la varianza del error. Calcular: 1. El coeficiente e índice de fiabilidad del test de RN. 2. El número de ítems que tendría que tener el test de RV para obtener una fiabilidad de 0,90.
de cos una de 1 Cal<
25 La fiabilidad de las puntuaciones
,rmado por 6 elementos se aplicó a presentan los resultados donde 1 es todo de:
18. A una muestra de sujetos se les ha aplicado un test de coordinación visual obteniendo una media de 25 puntos y una varianza de 5. Sabiendo que la varianza del error es 4 veces menor que la varianza de las puntuaciones verdaderas calcular: 1. En qué intervalo se encontraría \la puntuación diferencial verdadera que pronosticaríamos a un sujeto que en el test hubiera obtenido una puntuación directa de 50 puntos (NC 95%) . 2. LCuál sería la fiabilidad del test si se duplicase el número de ítems?
19. Cuál será la varianza de las puntuaciones obtenidas por una muestra de sujetos en los elementos pares de un test sabiendo que la varianza del test es 225, que las dos mitades son paralelas y que la correlación entre los elementos pares e impares es 0,54?
por dos subescalas, una numérica na muestra de escolares encontránientras que la varianza de cada una . Calcular el coeficiente a y i3 de la
de 100 escolares obtuvo una media nza de la diferencia entre los ítems
iesen 1O ítems paralelos a los 20 directa verdadera de los sujentuación empírica de 15 puntos?
20. Para averiguar la fiabilidad de un test por el método test-retest, se aplicó a una muestra de 300 sujetos en dos ocasiones distintas. Si la covarianza entre las puntuaciones empíricas obtenidas por los sujetos en las dos aplicaciones fue de 144 puntos y la desviación típica de los errores de medida 9 puntos, Lcuál fue el coeficiente de fiabilidad obtenido? 21. Un psicólogo necesita un test con un coeficiente de fiabilidad de al menos 0,94. Como punto de partida dispone de dos tests formados por elementos paralelos, X y Z. El test X tienen 1O ítems y su varianza error representa el 70% de la varianza de las puntuaciones verdaderas. El test Z está formado por 15 ítems y su coeficiente de fiabilidad es de 0,80, LQué test debe elegir para lograr el valor fijado con el menor número de ítems? 22. Un test de creatividad se aplicó a una muestra de 500 sujetos obteniéndose una media y una desviación típica de 1O y 3 puntos respectivamente. Sabiendo que la varianza error es igual a 0,81, calcular. 1. El coeficiente de fiabilidad del test. 2. El índice de fiabilidad.
de 100 alumnos un test de razaverbal (RV), ambos compuestos por diferencia entre los ítems pares e las puntuaciones totales fue de 4,3. aciones verdaderas es cuatro veces
el test de RV para obtener una fia-
3. El error típico de medida del test. 4. La varianza de las puntuaciones verdaderas de los sujetos.
23. Se quiere averiguar si un test, que se ha construido para medir la capacidad de razonamiento numérico en los niños de 11 años, reúne los requisitos psicométricos necesarios para ser utilizado como un instrumento científico de medida . Para ello, una vez elaborados los ítems del test, se les ha aplicado a una muestra representativa de la población. Los resultados obtenidos al aplicar el test aparecen a continuación. Calcular:
26 Psicometría : problemas resueltos
1
1
1
e o
2
1
1
1
3
1
o o o
4
o
1
1
o o o 1
Sujetos
A
B
5
1
1
6
1
1
D
1
1
1
1. El coeficiente e índice de fiabilidad del test, utilizando la fórmula más adecuada.
2. Si se duplicara la longitud del test, Lserían significativas las diferencias encon-
3. El intE dader (NC 9
30. Se f de 5 ítems e 0,40; 0,60; y 4 puntos, ca
31. Her evaluar su re recen en lar
tradas entre los dos coeficiente de fiabilidad obtenidos, sabiendo que la correlación entre las puntuaciones obtenidas por los sujetos en los dos tests (original y duplicado) es 0,607 (NC 95%).
24. Calcular el valor del coeficiente e índice de fiabilidad de un test, sabiendo que la varianza de los errores de medida es 3 y la varianza empírica 25 .
25. Calcular el índice de fiabilidad de un test, sabiendo que la proporción de varianza verdadera que hay en la varianza empírica es 0,81. 26. Se ha aplicado un test de inteligencia a un grupo de 300 sujetos. El coeficiente de fiabilidad es 0,81 y la varianza de las puntuaciones empíricas 25. Calcular: 1. La varianza de las puntuaciones verdaderas. 2. El error típico de medida. 3. El error típico de estimación de las puntuaciones verdaderas .
Ca lcular método de<
32. Her za de las pu 1 Si aplicamos de 81 punto
27.
33. LCL coeficiente e inicial de O,S
28.
34. Se 1 nos obtenier de la variam
Se ha aplicado un test de 60 ítems a una muestra de 100 sujetos. El coeficiente de fiabilidad de dicho test es 0,70 . Queremos saber cuántos elementos paralelos habría que añadir a dicho test para obtener un coeficiente de fiabilidad de 0,85. Un test está compuesto de 150 ítems dicotómicos y de la misma dificultad . Dicho test ha sido aplicado a una muestra de 250 sujetos obteniéndose una media de 25 puntos y una varianza de 42. Calcular el coeficiente de fiabilidad del test y justificar el método empleado.
29.
Hemos aplicado un test de 55 ítems paralelos a una muestra de 400 estudiantes. La desviación típica de las puntuaciones empíricas es 4, la desviación típica de los errores es 2 y la media del test fue 18. Calcular:
1. El índice de fiabilidad. 2. El coeficiente de fiabilidad del test s1 redujéramos el número de ítems en un 50%.
1. El
COE
2. El err'
3. El int encor tuaci<
35. Un razonamien1
27 La fiabilidad de las puntuaciones
3. El intervalo confidencial en el que se encontrará la puntuación diferencial verdadera de un sujeto que obtuvo una puntuación empírica directa igual a 25 (NC 99%).
30. Se ha aplicado a una muestra de 300 alumnos de 1. de Bachillerato un test 0
de 5 ítems dicotómicos. Las medias obtenidas para cada ítem han sido: 0,30; 0,80; 0,40; 0,60; y 0,90, respectivamente. Sabiendo que la varianza del test total ha sido de 4 puntos, calcular el coeficiente de fiabilidad del test. t est, utilizando la fórmula más ade-
1n significativas las diferencias encon!ad obtenidos, sabiendo que la correpor los sujetos en los dos tests (origi-
31. Hemos aplicado un test de cálculo matemático a un grupo de 5 sujetos para evaluar su rendimiento académico en matemáticas. Las puntuaciones obtenidas aparecen en la matriz adjunta. A
1
7
6
5
6
2
5
4
6
5 4
:e de fiabilidad de un test, sabiendo la varianza empírica 25. t est, sabiendo que la proporción de rica es 0,81.
a un grupo de 300 sujetos. El coefipuntuaciones empíricas 25. Calcular:
·as.
1aciones verdaderas.
ma muestra de 100 sujetos. El coefimos saber cuántos elementos paraleun coeficiente de fiabilidad de 0,85.
j icotómicos y de la misma dificultad. O sujetos obteniéndose una media de fi ciente de fiabilidad del test y justifi-
e
Sujetos
B
D
3
8
6
5
4
5
3
6
2
5
7
4
o
3
Calcular el coeficiente de fiabilidad del test empleando la fórmula de Rulan y el método de Guttman-Fianagan. Comentar los resultados.
32. Hemos aplicado un test a un grupo de 150 alumnos de 8 de EGB. La varianza de las puntuaciones obtenidas es de 49 puntos y el coeficiente de fiabilidad 0,80. Si aplicamos dicho test a una muestra más heterogénea de sujetos cuya varianza sea de 81 puntos, ¿cuál sería el coeficiente de fiabilidad del test? 33. ¿cuántos elementos hay que eliminar de un test que tiene 180, para que su coeficiente de fiabilidad quede reducido a la mitad, siendo el coeficiente de fiabilidad inicial de 0,98? 34. Se ha aplicado un test de razonamiento numérico a un grupo de 300 alumnos obteniendo una media de 36 puntos y una varianza de 25. Sabiendo que el 81% de la varianza empírica se debe a la varianza verdadera, calcular: 1. El coeficiente e índice de fiabilidad. 2. El error típico de medida.
'aralelos a una muestra de 400 estu!S empíricas es 4, la desviación típica alcular:
edujéramos el número de ítems en
3. El intervalo confidencial del 99% dentro del cual podremos afirmar que se encontrará la puntuación directa verdadera de un sujeto que obtuvo una puntuación típica en el test de 1,5.
35. Un investigador en el área del razonamiento desarrolló tres tests: Un test de razonamiento espacial (RE), un test de razonamiento verbal (RV) y un test de razona-
28 Psicometría: problemas resueltos
miento numérico (RN). Los tres tests fueron aplicados a una muestra representativa de 500 sujetos. Estimar la fiabilidad de cada uno de los tests sabiendo que: 1. El test RE está formado por 50 ítems, la varianza del test es igual a 100 y la suma de las covarianzas de los ítems es igual a 80.
2. El test RV se compone de 1O ítems dicotómicos de igual dificultad. Asimismo, la media y la desviación típica de las puntuaciones del test son 6,2 y 2,65 respectivamente.
41. Si mitad el n( test?
42. ¿e para que
43.
SL
He
3. La varianza de los ítems pares del test RN es de 8, la de los ítems impares es igual a 9 y el coeficiente de correlación entre las puntuaciones de los ítems pares e impares es de 0,7 . Justificar la utilización de las fórmulas.
tos, la desvi lidad 0,75. muestra mé
36. Averiguar el coeficiente de fiabilidad de un test sabiendo que la varianza de los errores es la mitad de la de las puntuaciones verdaderas .
44. Se niendo los: deras y la d' la varianza '
37.
Si el índice de fiabilidad de un test es 0,80, calcular:
1. La proporción de la varianza de las puntuaciones empíricas que se debe a verdadera medida del rasgo.
2. El error típico de medida, si la desviación típica de las puntuaciones empíricas fuera de 6 puntos.
38.
En una muestra de 300 sujetos la suma de sus puntuaciones empíricas fue de 1.800 puntos y la suma de sus puntuaciones diferenciales al cuadrado fue 2.1 OO . Averiguar: 1. La media de las puntuaciones verdaderas.
2. La media de los errores aleatorios según el modelo lineal de Spearman.
1. Coefi 2. Error
3. Coefi su jet'
4 . Si rec cient'
45. Sat ras de un te puntos, cale
3. La varianza de las puntuaciones empíricas.
1. Coefi
4. La varianza de las puntuaciones verdaderas sabiendo que el índice de fiabilidad es de 0,80 .
2. Error
5. Error típico de medida . 6. La correlación entre las puntuaciones empíricas y los errores de medida. 7. La proporción de varianza errónea que hay en la varianza empírica del test.
39. La correlación entre dos formas paralelas de un test es de 0,60. LCuál será el índice de fiabilidad de un test formado por la suma de los elementos de las dos formas?
3 . Entre diferE renci<
46. Se 1 COU obteniE de la variam
1 . Coefi,
2. Error
40. Si un test tiene 50 elementos y un coeficiente de fiabilidad de 0,64. LCuántos elementos paralelos hay que añadirle para obtener un coeficiente de fiabilidad de 0,80?
3 . lnter11 p untL en el
29
1
dicados a una muestra representativa de los tests sabiendo que:
10
1 varianza del test es igual a 1 00 y la igual a 80 .
ómicos de igual dificultad. Asimismo, 1t uaciones del test son 6,2 y 2,65 res-
N es de 8, la de los ítems impares es entre las puntuaciones de los ítems :ilización de las fórmulas.
le un test sabiendo que la varianza de verdaderas.
r
0,80, calcular:
uaciones empíricas que se debe a ver-
La fiabilidad de las puntuaciones
41. Si tenemos un test con un coeficiente de fiabilidad de 0,75 y reducimos a la mitad el número de sus elementos, Lcuál será el coeficiente de fiabil idad del nuevo test? 42. LCuántos elementos hay que eliminar de un test que tenía 140 elementos, para que su coeficiente de fiabilidad en lugar de ser 0,98 sea 0,80? 43. Hemos aplicado un test de Razonamiento Numérico a una muestra de sujetos, la desviación típica de las puntuaciones obtenidas fue 6 y el coeficiente de fiabilidad O, 75. LCuál sería el coeficiente de fiabilidad de dicho test si se aplicase a una muestra más heterogénea de sujetos, cuya varianza fuese 64 puntos? 44. Se ha aplicado un test de Fluidez Verbal a una muestra de 200 sujetos, obteniendo los siguientes resultados : La suma de la varianza de las puntuaciones verdaderas y la de los errores es 25; en dicho test el 64% de la varianza empírica se debe a la varianza verdadera. Averiguar: 1. Coeficiente e índice de fiabilidad del test.
2. Error típico de medida.
1 típica
de las puntuaciones empíricas
3. Coeficiente de fiabilidad que alcanzaría el test si se aplicara a una muestra de
sujetos cuya varianza empírica fuera el doble.
1a de sus puntuaciones empíricas fue s diferenciales al cuadrado fue 2.1 OO.
;,
el modelo lineal de Spearman.
4. Si redujéramos la longitud del test a la mitad Len cuánto se reduciría el coeficiente de fiabilidad del test? (Utilizar el coeficiente de fiabilidad del punto 1).
45. Sabiendo que la covarianza entre las puntuaciones empíricas y las verdaderas de un test es 15 y que la desviación típica de las puntuaciones empíricas es de 5 puntos, calcular: 1. Coeficiente e índice de fiabilidad.
as sabiendo que el índice de fiabili-
2. Error típico de medida . 3. Entre qué valores se encontrará, al nivel de confianza del 95%, la puntuación
diferencial verdadera de un sujeto que obtuvo en el test una puntuación diferencial de 4 puntos. píricas y los errores de medida. y en la varianza empírica del test. s de un test es de 0,60. LCuál será el suma de los elementos de las dos
46. Se ha aplicado un test de Rapidez Perceptiva a un grupo de 300 alumnos de COU obteniendo una media de 36 puntos y una varianza de 25. Sabiendo que el 81% de la varianza empírica se debe a la varianza verdadera, calcular: 1. Coeficiente e índice de fiabilidad.
2. Error típico de medida. coeficiente de fiabilidad de 0,64. para obtener un coeficiente de fiabi-
3. Intervalo confidencial dentro del cual podremos afirmar que se encontrará la
puntuación directa verdadera de un sujeto que obtuvo una puntuación típica en el test de 1,5 (NC 99%).
30 Psicometría: problemas resueltos
47. Sabiendo que la covarianza entre las puntuaciones empíricas y los errores de medida es 16 y que la desviación típica de las puntuaciones empíricas es 6, calcular:
5
do la
1. Error típico de medida del test utilizado. 2. Intervalo confidencial en el que puede afirmarse que estará la puntuación típica verdadera de un sujeto que obtuvo una puntuación típica empírica de 0,50 puntos (NC 95%). Utilizar el método de la distribución normal de errores
3. Intervalo confidencial en el que puede afirmarse que estará la puntuación diferencial verdadera de un sujeto que obtuvo una puntuación diferencial empírica de 3 puntos (NC 99%). Utilizar tanto la distribución normal de los errores como el modelo de regresión .
48. A un niño de 8 años se le ha detectado un retraso en cálculo aritmético mediante un test apropiado ya que la puntuación que obtuvo fue de 30 puntos mientras que la media obtenida por los niños de su clase fue de 45 puntos. La desviación típica fue de 1 O puntos . Se somete al niño a un periodo de recuperación, y al cabo de cierto tiempo se le pasa un test paralelo al primero alcanzando en éste una puntuación de 40 puntos LPodemos afirmar al NC del 95% que el niño ha recuperado algo en cálculo aritmético? El coeficiente de fiabilidad del test fue de 0,64. 49. Un sujeto obtiene en un test de Razonamiento Espacial una puntuación de 40, siendo la media del test 35, la desviación típica 1 O y el coeficiente de fiabilidad 0,64. El mismo sujeto obtuvo en un test de Razonamiento Abstracto una puntuación directa de 35, siendo la media de este test de 20 puntos, la desviación típica 1 O y el coeficiente de fiabilidad de 0,70, Transformadas las puntuaciones de ambos tests a una escala que tenga de media 50 y de desviación típica 20, Lpodemos afirmar que dicho sujeto es superior en Razonamiento Espacial que en Razonamiento Abstracto?
suje zas
50. Sea Z una variable compuesta igual a X + Y y sea W otra variable compuesta igual a X - Y. Siendo X e Y dos formas paralelas de un mismo test y sabiendo que la 5~ = 420 y la 5~ = 1OO. Calcular el coeficiente de fiabilidad del test Z aplicando la fórmula de Rulan .
tos. ro e de;
51. La covarianza entre los elementos pares e impares de un test fue 18. Sabiendo que la varianza del test fue ocho veces mayor que la covarianza, Lcuánto valió el coeficiente de fiabilidad?
0,2 fici1
var AV!
to~
O,L pu
31 La fiabilidad de las puntuaciones
3s puntuaci?nes empíricas y los errores de as puntuactones empíricas es 6, calcular: tdo.
e afirmarse que estará la puntuación típi) una punt ·' ' · . . uacton ttptca empírica de 0,50 de la dtstnbución normal de errores
'afirmarse que estará la puntuación dife>tuvo una puntuación diferencial empírilto la dtstnbución normal de los errores
·~~ado un retraso en cálculo aritmético
: ton que obtuvo fue de 30 puntos mienu clase .fue de 45 puntos · La d esvtaCion . ., un _penado de recuperación, y al cabo 1 pnmero alcanzando en éste una pun~C del 95% que el niño ha recuperado 1a b111dad del test fue de 0 , 64 _
~~amiento Espacial una puntuación de
ttplca 1O y el coeficiente de fiabilidad wnamlento Abstracto una puntuación 20 puntos, la desviación típica 1O y el as, las ,P_u ntuaciones de ambos tests a oon ttptca 20, Lpodemos afirmar que ICtal que en Razonamiento Abstracto?
r+
w
y y sea otra variable compueselas de un mismo test y sabiendo que e de fiabilidad del test Z aplicando la
ares e impares de un test fue 18 ~s mayor que la covarianza, Lcuánt~
52. Una batería de test está compuesta por tres subtests: A, B y C. Se ha pasado la batería a un grupo de 1 O sujetos obteniéndose los siguientes resultados: e
B Elementos
A Elementos
Sujetos
Elementos
4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
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1
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1
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1
1
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1
1
1
o
o o o o o o o
1
3
2
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5
1
1
o
o
o o o
1
1
1
1
o o o
6
1
1
1
1
1
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1
1
1
1
7
1
1
o
1
o
1
1
1
8
o
1
1
1
1
1
1
1
1
o o o
o o 1
1
1
1
1
1
1
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1
1
1
1
1
o o
10
1
o
o
o
o
1
o
1
3
2
4
1
6
1
1
2
1
1
o
1
o o
o
1
4
2
4
5
1
o
1. Averiguar la fiabilidad de cada uno de los subtests por el procedimiento más adecuado. 2. Averiguar el coeficiente de fiabilidad del test completo (la batería completa).
53. Un test compuesto de 40 elementos se ha pasado a una muestra de 300 sujetos. La suma de las varianzas de los elementos fue 70 y la suma de las covarianzas de todos los elementos fue 25. Averiguar el coeficiente de fiabilidad del test. 54. Un test de Memoria a largo plazo se ha aplicado a una muestra de 500 sujetos . Los elementos son dicotómicos y de la misma dificultad. Sabiendo que el número de elementos que componen el test es 140 y que en la muestra la media ha sido de 20 puntos y la varianza de 40, averiguar el coeficiente de fiabilidad del test .
55. La covarianza media entre todos los elementos que componen un test es 0,25, el test tiene 1 O elementos y una varianza empírica de 40 puntos. Calcular el coeficiente de fiabilidad del test. 56. Un test de 6 elementos se ha aplicado a un grupo de sujetos. La suma de las varianzas de los elementos resultó ser la cuarta parte de la varianza total del test. Averiguar el coeficiente de fiabilidad .·
57. Un test de 5 elementos dicotómicos se ha aplicado a un grupo de 300 sujetos. Las medias obtenidas para los distintos elementos han sido: 0,70; 0,20; 0,60; 0,40; y O, 1 O, respectivamente. Sabiendo que la varianza del test total ha sido de 4 puntos, averiguar el coeficiente de fiabilidad del test.
32 Psicometría: problemas resueltos
58.
La correlación entre los elementos pares e impares de un test fue 0,44. Calcular el índice de fiabilidad del test total.
59. Si dos tests tienen un coeficiente de fiabilidad de 0,75, pero uno ha sido aplicado a una muestra cuya varianza empírica es doble que la de la otra muestra, y si la varianza más pequeña es 4, ¿cuánto valdrá la varianza verdadera y la varianza errónea de cada test? 60. Para hacer una selección de pilotos tenemos dos tests con distinta precisión. El primero de ellos tiene 60 elementos y en una muestra cuya varianza fue 25 alcanzó un coeficiente de fiabilidad de 0,60, El otro test consta de 50 elementos y tiene un coeficiente de fiabilidad de 0,64 en una muestra con una varianza de 36. ¿cuál de los dos tests deberíamos utilizar para hacer la selección si necesitamos que tenga el menor número de elementos?
2. ¿l p
65. la suma formadl
66.
tra de · las pun empíric 1.
1
2.
61. Una batería de tests consta de tres subtests, uno para medir cálculo aritmético, otro que mide lectura y el otro mide ortografía. Sabiendo que las varianzas de cada uno de los subtests son 4, 9 y 16 puntos respectivamente; que en el test de cálculo aritmético el 60% de la varianza de las puntuaciones obtenidas por los sujetos es verdadera medida del rasgo; que en el de lectura, la desviación típica de los errores fue 1,5 y que en el de ortografía el coeficiente de fiabilidad fue 0,67. Averiguar la fiabilidad de la batería completa si la varianza total de las puntuaciones fuera de 100 puntos.
62. Un test consta de tres partes distintas. Aplicamos dicho test a una muestra de 200 sujetos y obtenemos los siguientes resultados: las varianzas de las puntuaciones obtenidas por los sujetos en cada parte del test fueron 15, 25 y 40 puntos respectivamente, y el doble sumatorio de sus covarianzas fue 20. Calcular la fiabilidad del test. 63. Un test de 50 elementos paralelos es aplicado a un grupo de 500 sujetos. La varianza de las puntuaciones empíricas fue 64 y el coeficiente de fiabilidad del test en esta muestra 0,81. Calcular: 1. Índice de fiabilidad de cada uno de los elementos. 2. ¿cuál sería el coeficiente de fiabilidad del test si redujéramos el número de elementos a la mitad? 3. ¿qué puntuación directa empírica habría obtenido un sujeto en el test inicial si, a nivel de confianza del 95%, le hubiéramos pronosticado una puntuación verdadera entre 50 y 70, sabiendo que la media del test fue de 55 puntos y que la pendiente de la recta de regresión utilizada en los pronósticos fue 0,81?
64. Un test que consta de 100 elementos ha alcanzado en una muestra de enfermeras un coeficiente de fiabilidad de 0,96. Averiguar: 1. ¿cuál sería el coeficiente de fiabilidad si se redujera el número de elementos en un 50%?
3.
4.
5. 6.
tres s1
!1 impares de un test fue 0,44.
lidad de 0,75, pero uno ha sido aplique la de la otra muestra, y si la nza verdadera y la varianza errónea
os dos tests con distinta precisión . uestra cuya varianza fue 25 aleanconsta de 50 elementos y tiene un n ,una _vananza de 36 . LCuál de los IOn SI necesitamos que tenga el
33 La fiabilidad de las puntuaciones
2. LCuántos elementos iniciales habremos de eliminar si consideramos suficiente para nuestros propósitos un coeficiente de fiabilidad de 0,81?
65. Averiguar la covarianza media entre los elementos de un test sabiendo que la suma de las varianzas es 42, que la varianza del test total es 80 y que el test está formado por 1O elementos. 66. Para estudiar la fiabilidad de un test de Memoria, se ha aplicado a una muestra de 1.500 sujetos obteniéndose los siguientes resultados: la desviación típica de las puntuaciones verdaderas fue de 3 puntos, lo que representaba el 60% de la de las empíricas, y la media del test fue de 15 puntos. Calcular: 1. Coeficiente e índice de fiabilidad.
uno _para medir cálculo aritmé·. Sabiendo que las varianzas de . ente; que en el test de cállon~s ~~tenidas por los sujetos es _desvlaCion típica de los errores fue lidad fue 0,67. Averiguar la fiabilipuntuaclones fuera de 100 puntos. mas ~icho test a una muestra de las vananzas de las puntuaciones n 15 • 25 Y 40 puntos respectivaO. Calcular la fiabilidad del test. a un grupo de 500 sujetos . La nte de fiabilidad del test en
2. Error típico de medida. 3. Intervalo confidencial en el que puede afirmarse, a un NC del 99%, que se encontrará la puntuación típica verdadera de un sujeto que obtuvo una puntuación directa empírica de 20 puntos . 4. LCuál sería el coeficiente de fiabilidad del test si se aplicara a una muestra de sujetos con doble varianza? 5. LCuál sería el coeficiente de fiabilidad del test, si se redujera a la mitad el número de elementos? 6. Si el test tuviera 150 elementos, Lcuántos elementos paralelos hemos de añadirle para obtener un coeficiente de fiabilidad de 0,80?
67. Hemos aplicado a un grupo de 5 niños una batería de tests compuesta de tres subtests. Los resultados fueron los siguientes: - En el subtest 1, la varianza de las puntuaciones verdaderas fue 3,04 y la de los errores 2,88 puntos.
redujéramos el número de eleun sujeto en el test inicial ' . pronosticado una puntuación 1a del test fue de 55 puntos y da en los pronósticos fue 0,8 17
- En el subtest 2, la correlación entre dos mitades paralelas fue 0,70 y la varianza de las puntuaciones empíricas 4 puntos. - En el subtest 3, los resultados aparecen en la tabla adjunta.
Sujetos
2
3
4
1
1
o
B
o o
1
1
1
e
1
1
1
1
D
o o o o o o
A
zado en una muestra de enferujera el número de elementos
Elementos
1
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1
1
34 Psicometría: problemas resueltos
Averiguar:
1. Coefic
1. Coeficientes de fiabilidad de los tres subtests.
2. Coefic
2. Coeficiente de fiabilidad de la batería completa sabiendo que el doble sumatorio de las covarianzas entre los tres subtests es de 4 puntos.
68. Sabiendo que la covarianza media entre los ocho elementos de un test es 4 y que la suma de las varianzas de estos ocho elementos es 60, averiguar el coeficiente de fiabilidad del test.
69. Se ha pasado un test de atención a un grupo de 400 sujetos. La razón entre la desviación típica de las puntuaciones verdaderas y la de las puntuaciones empíricas obtenidas por los sujetos en el test fue de 0,80, La media del test fue de 20 puntos y la desviación típica de las puntuaciones verdaderas 4. Calcular: 1. Coeficiente e índice de fiabilidad.
torio
71. Sab que la suma bilidad del t
72. En típica de las
1. SuCO
2. Su ín
3. El er
2. Error típico de medida.
4. LSe tose
3. Intervalo confidencial en el que puede afirmarse, a NC del 95%, que se encon-
5. Supe
trará la puntuación típica verdadera de un sujeto que obtuvo una puntuación directa empírica de 30 puntos.
del e el e<
4. LCuál sería el coeficiente de fiabilidad del test si se aplicara a una muestra de sujetos con doble varianza?
5. LCuál sería el coeficiente de fiabilidad del test, si se redujera a la mitad el número de elementos?
6. Si el test inicial tuviera 100 elementos, Lcuántos elementos paralelos hemos de añadirle para obtener un coeficiente de fiabilidad de 0,90?
gru~
6. Si el
ficie
73. L< 14. El cae test según
1. Sp€
70.
Una batería de tests está compuesta de tres subtests: A, B y C. Aplicada la batería a un grupo de 5 sujetos se obtuvieron los siguientes resultados:
2. Ru ' 3. Gu
SUBTEST A
4. Cr, Sujetos
Elementos
1
2
3
4
A
1
o
1
o
B
1
1
1
1
o
1
e
1
1
D
1
E
1
o o o o 1
1
La varianza de los errores en el subtest B fue 1,44 y la varianza verdadera fue 1,52. En el subtest C la correlación entre dos mitades paralelas fue 0,64 y la varianza de las puntuaciones empíricas 5 puntos. Averiguar:
74. ca el 1 O~ bilidad d
75. element lidad de
76. 800 asr ción m(
35 La fiabilidad de las puntuaciones
1. Coeficientes de fiabilidad de los subtests A, 8 y C. pleta sabiendo que el doble sumats es de 4 puntos. los ocho elementos de un test es 4 entos es 60, averiguar el coeficien-
po de 400 sujetos. La razón entre Y la de las puntuaciones empíriLa media del test fue de 20 punderas 4. Calcular:
2. Coeficiente de fiabilidad de la batería completa, sabiendo que el doble sumatorio de las covarianzas entre los tres subtests es de 4 puntos.
71. Sabiendo que la covarianza media entre los 1O elementos de un test es 2 y que la suma de las varianzas de estos elementos es 40, averiguar el coeficiente de fiabilidad del test. 72. En un test, la razón entre la desviación típica de los errores y la desviación típica de las puntuaciones empíricas es 0,50. Averiguar: 1. Su coeficiente de fiabilidad. 2. Su índice de fiabilidad. 3. El error típico de medida. 4. ¿se puede afirmar, al NC 95%, que la puntuación típica verdadera de un sÜjeto sea de Z = 1, si su puntuación típica empírica fue de 0,75?
arse, a NC del 95%, que se enconjeto que obtuvo una puntuación si se aplicara a una muestra de
5. Suponiendo que la desviación típica de las puntuaciones del grupo de sujetos del cual se obtuvieron los datos anteriores hubiera sido igual a 1O, ¿cuál sería el coeficiente de fiabilidad del test si se disminuyera la homogeneidad del grupo a la mitad?
test, si se redujera a la mitad el
6. Si el test constaba de 30 ítems ¿cuántos habríamos de añadir para que su coeficiente de fiabilidad aumente hasta 0,90?
tos elementos paralelos hemos de ' ilidad de 0,90? subtests: A, 8 y c. Aplicada la gurentes resultados:
73. La varianza de los ítems pares de un test es de 12 y la de los ítems impares 14. El coeficiente de correlación rpi = 0,70. Calcular el coeficiente de fiabilidad del test según: 1. Spearman-8rown. 2. Rulan . 3. Guttman. 4. Cronbach.
74. La desviación típica de los errores de medida es de 5 puntos, lo que significa el 10% de la varianza de las puntuaciones empíricas. ¿cuál es el coeficiente de fiabilidad del test?
75. Sea O, 1O el coeficiente de fiabilidad de un elemento de un test. ¿cuántos elementos más, paralelos a éste, habrá que construir para que el coeficiente de fiabilidad del test sea de 0,90? Y la varianza verdadera fue 1,5 2 . elas fue 0,64 y la varianza de las
76. Para entrar en la Facultad de Psicología se hace un examen de selección a los 800 aspirantes que se presentan. Este grupo, en dicho examen, obtiene una puntuación media de 45 puntos y el sumatorio de sus puntuaciones diferenciales al cuadra-
36 Psicometría: problemas resueltos
1 . Coeficiente
do es de 204.800 . Sólo son admitidos 640. Calcular cuál es la puntuación directa mínima que debe sacar un sujeto para entrar en la Facultad. La distribución de las puntuaciones es normal.
77. Para la selección del personal administrativo de una empresa se les ha aplicado a todos los aspirantes un test de rapidez perceptiva. La desviación típica de las puntuaciones verdaderas en el test es el 90% de la desviación típica de las puntuaciones empíricas. La media del test es de 20 y la varianza verdadera de 81. La puntuación mínima exigida para entrar en la empresa es de 29 puntos. LAdmitiríamos a un sujeto que obtuviera una puntuación empírica de 28 puntos? Hacer todos los cálculos al NC del 95%. 78. El sumatorio de las puntuaciones verdaderas diferenciales al cuadrado es 1.360 para un grupo de 85 sujetos y la varianza de los errores es 9. LCuánto vale el coeficiente de fiabilidad del test? ¿Y el índice?
79. Si la media obtenida por una muestra de sujetos en un test fue 100, la desviación típica 25 y un sujeto obtuvo una puntuación empírica de 125. LQué puntuación típica verdadera se puede pronosticar a partir de la empírica?, Lqué porcentaje de la varianza de las puntuaciones empíricas se debe a la varianza de las puntuaciones verdaderas? (rxx = 0,64).
80.
La desviación típica de los errores de medida es 3, lo que significa el 10% de la varianza de las puntuaciones verdaderas. LCuál es el coeficiente de fiabilidad del test?
81. Sea 0,20 el coeficiente de fiabilidad de un elemento de un test. LCuántos elementos más, paralelos a éste, habría que construir para que el coeficiente de fiabilidad del test fuera 0,90?
82. En un test, cuya distribución de puntuaciones se ajusta a la distribución normal, un sujeto obtiene una puntuación directa de 15 puntos. Sabiendo que la media del test es de 12 puntos, la desviación típica de 5, y su coeficiente de fiabilidad de 0,90, Lean qué probabilidad podremos afirmar que la verdadera puntuación de este sujeto es igual o superior a 17 puntos?
83.
Un gabinete de selección de personal pretende comprar un test. Dos casas de tests le ofrecen uno diferente cada una. La casa H le ofrece uno con las siguientes características : rhh = 0,95; Sh = 16, y la casa Y uno con las siguientes: rrr = O, 70; S~ = 16. LCuál de ellos debería comprar el gabinete de selección?
84. Se ha construido un test A con 50 elementos dicotómicos con el mismo índice de dificultad para todos ellos. La desviación típica de las puntuaciones observadas es de 7 puntos y la media de 12. Para construir una batería se dispone a la vez de un test B de 80 elementos en el que la suma de todas las covarianzas entre los ítems es 35 y la varianza de sus puntuaciones observadas 50 . Calcular:
2. Si la correla bilidad de
85. Sea un te correlación del ele test total?
86. Para la s construye una bat la conveniencia dE dos aleatoriamen· obtenidos se mue
Test X Elemento
A
B
e
D
6
7
8
3
3
2
5
6
3
2
2
7
3
8
8
2
3
2
5
2
3
3
3
3
9
3
7
o
o
3
8
3
2
1 7
6
1. El coeficiE Guttman)
2. La consist1 3. El coeficie es de 778,
87. Una ba1 Verbal, el test Be ta de 8 element< de este test fue 2 en las tablas adj mentas, uno o e ciente de fiabilid
37 La fiabilidad de las puntuaciones
lar cuál es la puntuación directa la Facultad. La distribución de las
1. Coeficiente de fiabilidad de ambos tests
2. Si la correlación entre el test A y el B es de 0,20, Lcuál es el coeficiente de fiabilidad de la batería compuesta por ambos? vo de una empresa se les ha apliIVa . La desviación típica de las la desviación típica de las puntuananza verdadera de 81. La punes de 29 puntos. LAdmitiríamos de 28 puntos? Hacer todos los
diferenciales al cuadrado es los errores es 9. LCuánto vale el
ujetos en un test fue 100, la desempírica de 125. LQué puntuade la em~ írica?, Lqué porcentaje a la vananza de las puntuacio-
a es 3, lo qu e significa el 1O% de el coeficiente de fiabilidad del
elemento de un test. LCuántos r para que el coeficiente de fia-
se ajusta a la distribución norpuntos. Sabiendo que la media su coeficiente de fiabilidad de verdadera puntuación de este
85. Sea un test de 100 elementos todos ellos paralelos entre sí. El coeficiente de correlación del elemento 1 con el 2 es de 0,2. LCuál es el coeficiente de fiabilidad del test total? 86. Para la selección de personal, el Gabinete de Psicología de una empresa construye una batería compuesta por los tests X, Y, Z. En un estudio piloto para mirar la conveniencia de utiliza r este tipo de medidas, aplican los tests a 1 O sujetos extraídos aleatoriamente de la población, a la que van dirigidos los tests . Los resultados obtenidos se muestran en la tabla adjunta. Calcular: Test X Elementos
Test Y Elementos
Test Z Elementos
A
B
e
D
E
F
G
H
1
J
K
L
M
N
o
p
6
7
8
3
5
4
3
8
6
8
8
9
1
1
1
1
Q 1
3
2
5
6
1
2
2
4
2
5
2
2
o
1
3
2
2
3
1
1
2
3
3
2
1
o o
o o
o o
o o
1
R
o o o
7
3
8
8
3
7
8
8
7
7
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5
1
1
1
1
1
1
2
3
2
5
5
2
2
2
2
2
2
3
1
o o
o o
1
o o
2
3
3
3
2
2
1
2
2
2
1
1
1
o o
3
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1
1
1
1
1
1
o
o
1
1
2
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1
1
o
o
o
o
o
o
o
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3
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8
7
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2
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1
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1
3
2
1
1
o
1
2
1
1
o
o
o
o
1
1
o o o
o o o
o
1
o
1. El coeficiente de fiabilidad del test X según la fórmula desarrollada po r Guttman y Flanagan. 2. La consistencia interna del test Y y del Z.
comprar un test. Dos casas de uno con las siguientes ca• siguientes: ryy = o 70 · 52y = 16 . 1
3. El coeficiente de fiabilidad de la batería sabiendo que la varianza de la batería
es de 778,29 puntos.
1
' ?
icotómicos con el mismo índilas puntuaciones observadas a se dispone a la vez de un covarianzas entre los ítems es lcular:
87. Una batería de tests está formada por tres subtests : el test A de Fluidez Verbal, el test B de Comprensión Verbal y el test C de Factor Numérico . El test A consta de 8 elementos, los cuales presentan una covarianza media de 0,32. La varianza de este test fue 26. Las respuestas dadas por los sujetos a los tests By C pueden verse en las tablas adjuntas. El test B sólo admite dos posibles puntuaciones en sus elementos, uno o cero. La varianza total de la batería es de 152,20. Calcular el coeficiente de fiabilidad de esta batería de tests.
/
38 Psicometría: problemas resueltos TEST e Elementos
TEST B Elementos A
B
e
D
E
A
B
e
D
E
1
1
1
1
1
1
1
3
4
3
3
4
2
1
1
1
1
2
2
3
2
4
4
3
1
o
1
o o
1
3
4
2
2
3
3
4
o o
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
o o o
2
o o
5
6
o o o
4
5
6
o
o
1
1
1
o o
1
88. El coeficiente de fiabilidad de un test de Rendimiento Académico es de 0,99, pero el test resulta enojoso de responder debido a sus muchos elementos. Se decide reducir su tamaño eliminando aleatoriamente el 75% de sus elementos. LCuál sería el coeficiente de fiabilidad del nuevo test resultante? 89. La varianza de los errores de medida de un test es 4 y la desviación típica de sus puntuaciones observadas 12. Calcular: 1. Su coeficiente de fiabilidad.
2. Su índice de fiabilidad. 3. El intervalo confidencial en torno a la puntuación verdadera de un sujeto que obtuvo en el test una puntuación típica empírica de 0,20 (a = 0,01 ).
93. El coef ciones observad típico de medid<
94. La corr medida es de O de 0,50. Al nive cial en torno a s
95. Un tes1 elementos debe
96. En un< 81% de su varia con una variam necesario aume ciente de fiabilic
97. A una media de las pu la pendiente de
1. Porcentaj
2. Error típi·
4. El coeficiente de fiabilidad del test inicial si le añadiéramos otros tantos elementos paralelos a los que ya tiene.
3. Intervalo puntuaó ca fue dE
90. La varianza de las puntuaciones observadas en una mitad aleatoria de un test es de 16 puntos, y en la otra mitad de 25. La desviación típica del test total es 8. LCuál es el coeficiente de fiabilidad del test total?
4. LCuál ser mentos ~
91. En un test de 30 elementos dicotómicos y de igual dificultad, la media de las puntuaciones verdaderas es de 18 puntos y la desviación típica empírica de 4. LCuál sería su coeficiente de fiabilidad si le añadiéramos 90 elementos paralelos a los 30 que ya tiene?
92. El coeficiente de fiabilidad de un test es 0,81 y la varianza de sus puntuaciones observadas 25. Calcular: 1. La razón entre la varianza verdadera y la empírica.
2. La razón entre la varianza error y la varianza empírica. 3. La correlación de las puntuaciones empíricas con el error de medida. 4. El índice de fiabilidad del test.
5. Si el test sería el ír
98. Un tes1 ción típica de 5 Otro test, B, típica de 2 y un gaussiana. Calct 1. El índice 2. El error t 3. La varían 4. El coefici
39 La fiabilidad de las puntuaciones TEST C
93. El coeficiente de fiabilidad de un test es 0,90 y la varianza de sus puntuaciones observadas 16. Calcular la varianza de las puntuaciones verdaderas, el error típico de medida y el error típico de estimación de las medidas. 94. La correlación entre las puntuaciones observadas en un test y su error de medida es de 0,60. Un sujeto obtiene en este test una puntuación típica observada de 0,50. Al nivel de confianza del 90%, (cuáles son los límites del intervalo confidencial en torno a su puntuación típica verdadera estimada? 95. Un test de 100 elementos tiene un índice de fiabilidad de 0,81. (Cuántos elementos debería tener para que su coeficiente de fiabilidad fuera de 0,80?
dimiento Académico es de o 9 9 sus muchos elementos. Se de~id~ % de sus elementos. (Cuál sería el
test es 4 Y la desviación típica de
96. En un grupo normativo determinado, la varianza verdadera de un test es el 81% de su varianza empírica. Este test va a ser utilizado para selección en un grupo con una varianza tres veces menor que la del grupo normativo. (Cuántas veces es necesario aumentar su longitud para que no sufra ninguna modificación su coeficiente de fiabilidad? 97. A una muestra de 500 sujetos se les aplicó un test de percepción visual. La media de las puntuaciones obtenidas fue 40 puntos y la varianza 25. Sabiendo que la pendiente de la recta de regresión en puntuaciones típicas fue 0,80, averiguar:
, ción verdadera de un sujeto que rnca de 0,20 (a = 0,01 ).
1. Porcentaje de varianza verdadera que hay en la varianza empírica del test. 2. Error típico de medida del test.
le añadiéramos otros tantos ele-
3. Intervalo confidencial dentro del cual podemos afirmar que se encontrará la puntuación diferencial verdadera de un sujeto cuya puntuación típica empírica fue de 0,50 puntos (NC 95%).
s en una mitad aleatoria de un · ción típica del test total es 8.
4. (Cuál sería el coeficiente de fiabilidad del test si le añadiéramos tantos elementos paralelos como los que tenía?
igual dificultad, la media de las ión típica empírica de 4. (Cuál elementos paralelos a los 30
1 Y la varianza de sus puntua-
5. Si el test inicial se aplicara a una muestra cuya varianza fuera el doble, (cuál sería el índice de fiabilidad que se obtendría?
98. Un test A, de Inteligencia Verbal tiene una media de 15 puntos, una desviación típica de 5 y un coeficiente de fiabilidad de 0,81. Otro test, B, éste de Inteligencia Espacial, tiene una media de 1O, una desviación típica de 2 y un error típico de medida de 1. Ambos tests presentan una distribución gaussiana. Calcular: 1. El índice de fiabilidad del test A. 2. El error típico de medida del test A.
n el error de medida.
3. La varianza de las puntuaciones verdaderas del test A.
4. El coeficiente de fiabilidad del test B.
40 Psicometria: problemas resueltos
5. El error típico de la estimación de las medidas del test B. 6. La puntuación directa verdadera estimada de un sujeto que obtuvo en el test A una puntuación directa de 20 puntos. 7. El intervalo confidencial en el que se encontrará la verdadera puntuación directa del sujeto anterior en el test B, en el que obtiene una puntuación típica de 0,85 (NC 95%).
99.
Hemos aplicado un test de 20 elementos a un grupo normativo. La varianza de los errores fue de 1.44 puntos y la varianza de sus puntuaciones empíricas de 4 puntos. El coeficiente de fiabilidad obtenido nos parece demasiado bajo y deseamos aumentarlo hasta 0,90, Averiguar: 1. La varianza de las puntuaciones verdaderas del test después de mejorar su coeficiente de fiabilidad . 2. El nuevo error típico de medida.
3. El número de elementos de los que deberá constar el nuevo test.
1 OO. La varianza de los elementos pares de un test es 6 y la de los impares 4 . La varianza del test total es 16. El test va a ser aplicado a un grupo con una desviación típica de 3 puntos, y es necesario que la varianza de sus puntuaciones verdaderas sea el 81% de la de las empíricas . ¿Qué podremos hacer con el test para conseguir esto?
102. SabiE un test es de 4 guar la varianz<
103.Seh
suma de los er Sabiendo que 1 res, averiguar:
1. Coeficie
2. Error típ
3 . Varianz<
4 . Correlac
5. lnterval' típica vE
6. ¿cuál s1 desviac
7 . ¿cuántt fuera O
104. Ten hacer un test varianza de lo za total fue 3· 1. Coefici
101. Se ha pasado un test de Atención a un grupo de 400 sujetos. La razón entre la desviación típica de los errores y la de las puntuaciones empíricas fue de 0,36, la media del test fue de 20 puntos y la desviación típica 4. Averiguar: 1. Coeficiente e índice de fiabilidad. 2. Error típico de medida .
2. Coefici
105. AL media de las que la pendiE
3. Intervalo confidencial en el que puede afirmarse al N. C. del 99% que se encontrará la puntuación verdadera de un sujeto que obtuvo una empírica directa de 30 puntos.
1. Porcer
4. ¿cuál sería el coeficiente de fiabilidad del test si se aplicara a una muestra de sujetos con doble varianza?
puntu ca fue
5. ¿cuál sería el coeficiente de fiabilidad del test si se redujera a la mitad el número de elementos?
4. ¿cuál ment<
6. Si el test inicial tuviera 100 elementos, ¿cuántos elementos paralelos hemos de añadirle para obtener un coeficiente de fiabilidad de 0,90?
5. Si el t sería '
2. Error t
3. lnterv<
1
41
1
jidas del test B. de un sujeto que obtuvo en el test rá la verdadera puntuación direce obtiene una puntuación típica de
a un grupo normativo. La varianza sus puntuaciones empíricas de 4 arece demasiado bajo y deseamos el test después de mejorar su coe-
La fiabilidad de las puntuaciones
102. Sabiendo que la covarianza media entre los 1O elementos que componen un test es de 4 puntos y que la suma de las varianzas de los elementos es 1O, averiguar la varianza total del test. 103. Se ha pasado un test de Agudeza Visual a un grupo de 400 sujetos. La suma de los errores cuadráticos de medida fue 196 y la media de los mismos cero. Sabiendo que la varianza de las puntuaciones verdaderas es el 200% de la de los errores, avenguar: 1. Coeficiente e índice de fiabilidad del test. 2. Error típico de medida.
3. Varianza de las puntuaciones verdaderas. 4. Correlación entre las puntuaciones empíricas y los errores de medida.
5. Intervalo confidencial en el que puede afirmarse se encontrará la puntuación típica verdadera de un sujeto que obtuvo una típica empírica de 0,50 (NC 95%).
star el nuevo test.
test es 6 y la de los impares 4 . o a un grupo con una desviade sus puntuaciones verdadeos hacer con el test para canse-
6. LCuál sería el coeficiente de fiabilidad si el test se aplicara a una muestra cuya desviación típica fuera la mitad? 7. LCuántos elementos habría que conservar del test inicial para que su fiabilidad fuera 0,40, si el número de elementos iniciales era 100?
104. Tenemos dos formas paralelas de un mismo test y con ellas queremos hacer un test único. Estas formas las vamos a denominar X e Y. En la forma X, la varianza de los elementos pares fue 1O y la de los impares 11. En la forma Y la varianza total fue 34. Averiguar: 1. Coeficiente de fiabilidad de las formas X e Y.
P0 de 400 sujetos. La razón aCJones empíricas fue de 0,36, 4. Averiguar:
2. Coeficiente de fiabilidad del test formado por la unión de las dos mitades.
105. A una muestra de 500 sujetos se les aplicó un test de Percepción Visual; la media de las puntuaciones obtenidas fue de 40 puntos y la varianza de 25. Sabiendo que la pendiente de la recta de regresión en puntuaciones típicas fue 0,80, averiguar: al N. C. del 99% que se enconobtuvo una empírica directa i se aplicara a una muestra de se redujera a la mitad el númeelementos paralelos hemos de d de 0,90?
1. Porcentaje de varianza verdadera que hay en la varianza empírica del test.
2. Error típico de medida del test. 3. Intervalo confidencial dentro del cual podemos afirmar que se encontrará la puntuación diferencial verdadera de un sujeto cuya puntuación típica empírica fue de 0,50 puntos (NC = 95%}. 4. LCuál sería el coeficiente de fiabilidad del test si le añadiéramos tantos elementos paralelos como los que tenía? 5. Si el test inicial se aplicara a una muestra cuya varianza fuera el doble, Lcuál sería el índice de fiabilidad que se obtendría?
i
42 Psicometría : problemas resueltos
106. La correlación entre dos subtests (copia y dictado) de Escritura es de 0,50. Aplicados a un grupo de escolares se obtuvieron los siguientes resultados: Test de Dictado: Test de Copia:
rxx =
rxx =
0,80;
0,90;
9,
9, =
=
de personal e1 tivo . ¿En cuá1 mentar el tes1 bilidad no su1
2.
3.
Averiguar el coeficiente de fiabilidad del test de escritura (test total).
107. Hemos pasado a un grupo de sujetos una batería de test que constaba de: a) Una prueba de ortografía (Test A). b) Conocimientos de gramática española (Test B). e) Matemáticas (Test C).
11 O. En 40 y una des' que alcanzan de confianza
111. A
122 mujeres por ambos~ para los vare índice de fia
d) Historia (Test D).
1. Coefi
e) Geografía (Test E).
2. Varia
La varianza verdadera del test A fue de 16 puntos y la correlación entre sus preguntas pares e impares de 0,85. Si el test B tuviera el doble de elementos de los que en realidad tiene, su error típico habría sido igual a 1 y con los elementos de los que en realidad consta, su varianza error es el 5% de su varianza verdadera. El coeficiente de fiabilidad del test C es 0,98 y su desviación típica empírica de 3 puntos. Aplicado el test O a un grupo más heterogéneo, su error típico de medida fue de 2 puntos . En el grupo inicial su coeficiente de fiabilidad fue de 0,80. El coeficiente de fiabilidad del test E fue calculado por el método de los tests paralelos. La varianza empírica de E' (test paralelo de E) fue de 144 puntos y la varianza de los errores de E + E' de 8. Sabiendo que la puntuación media obtenida por el grupo en la batería fue de 100 puntos y la desviación típica fue de 15. ¿cuál sería el intervalo confidencial en el que estará la puntuación verdadera estimada de un sujeto que haya obtenido en la batería una puntuación directa de 130 puntos? (NC 95%).
108. Se~ A y 8 dos tests paralelos con los siguientes estadísticos: Si = 20 y COVA 8 = 16, A = 12 y sea X =A + B. Si un sujeto obtiene en el test X una puntuación directa observada de 20 puntos. ¿cuáles son los límites de su puntuación verdadera en X? ( NC 95%) . 109. Para un determinado grupo normativo la varianza verdadera de un test de 1O elementos es el 81% de su varianza observada. Se va a llevar a cabo una selección
3. lnter' obtu
112. t nistrado do no sea clas mínimo de en la tabla lar la fiabili
43 La fiabilidad de las puntuaciones
y dictado) de Escritura es de 0,50 os stgUientes resultados: ·
t
e escritura (test total).
3
de personal en un grupo con una varianza tres veces menor que la del grupo normativo. LEn cuántos elementos, paralelos a los 1O que ya se poseen, se deberá incrementar el test para que, utilizado en la selección en este grupo, su coeficiente de fiabilidad no sufra modificación alguna?
11 O. En un test de inteligencia un grupo de 101 mujeres obtiene una media de 40 y una desviación típica de 15 puntos. Se aplica el test a un grupo de 197 varones, que alcanzan una puntuación media de 36 y una desviación típica de 14. LA qué nivel de confianza podemos afirmar que ambas medias son distintas?
batería de test que constaba de:
111. A dos muestras de estudiantes, una compuesta por 145 varones y otra por 122 mujeres, se les ha aplicado un test de fluidez verbal. Las puntuaciones obtenidas por ambos grupos en el test nos dan una media de 18 y una desviación típica de 4 para los varones y una media de 20 y una desviación típica de 5 para las mujeres. El índice de fiabilidad del test para el grupo de varones es rxv = 0,80. Averiguar:
B).
1. Coeficiente de fiabilidad del test en la muestra de mujeres. 2. Varianza de las puntuaciones verdaderas en el grupo de varones. y la correlación entre sus pre-
3. Intervalo confidencial en torno a la puntuación verdadera de una mujer que obtuvo en el test una puntuación directa de 28 puntos (NC 95%).
e en realidad tiene, su error típien realidad consta, su varian-
112. A una muestra de 15 niños que cursan 1 . de bachillerato se les han admi-
desviación típica empírica de 3
nistrado dos tests paralelos de Historia compuestos de 40 ítems. Para que un alumno sea clasificado dentro del grupo de maestría debe contestar correctamente un mínimo de 30 ítems. Las puntuaciones obtenidas por los alumnos aparecen recogidas en la tabla adjunta. Utilizando el método propuesto por Hambleton y Novick, calcular la fiabilidad del test.
error típico de medida fue de d fue de 0,80.
0
el método de los tests parae de 144 puntos y la varianza
Sujetos
Test X
Test Y
1 2
21 25
23 22
grupo en la batería fue de 100 tervalo confidencial en el que ue haya obtenido en la bate-
3 4
36 26 23
23 29
5 6 7
ntes estadísticos: Si = 20 y en: en el test X una puntuamttes de su puntuación ver-
nza verdadera de un test de a llevar a cabo una selección
8 9 10 11 12 13 14 15
26
35 30
35 38 34
38 38 24
24 28
34 29
29
28
27
27
28 25
28 32
44 Psicometría : problemas resueltos
113. En la matriz adjunta se presentan las puntuaciones obtenidas por cinco sujetos en un test de fluidez verbal compuesto por 8 ítems. Suponiendo que un sujeto deba responder un mínimo de 6 ítems para estar clasificado dentro del grupo de maestría, calcular la fiabilidad de dicho test.
Sujetos
Ítems 1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
o
o
1
1
4
o
1
o o
o o
1
3
o o
1
1
o
o
o o
5
1
1
1
o
1
o
o
1
114. En la tabla adjunta se presentan las puntuaciones y frecuencias obtenidas por 30 sujetos en un test de razonamiento compuesto por 20 ítems. Para que un sujeto sea clasificado dentro del grupo de maestría, debe responder un mínimo de 11 ítems. Calcular, empleando el método de Subkoviak, la consistencia de clasificación una vez eliminada la proporción de clasificación debida al azar (KR 20 = 0,70).
X
f,
28
2
26
2
22
3
19
5
16
4
14
4
11
3
10
2
8
2
6
1
5
1
3
1
115. En la tabla adjunta se presentan las puntuaciones y frecuencias obtenidas por 25 sujetos en un test de razonamiento compuesto por 25 ítems. Para que un sujeto sea clasificado dentro del grupo de maestría, debe responder un mínimo de 15 ítems. Calcular, empleando el método de Livingston, el coeficiente de fiabilidad (ex = 0,80).
116.
e
grupo de m p = 0,70.
117. SI ítems cada l tuaciones ol cado dentrc 12 ítems. C1 (NC 95%).
45 La fiabilidad de las puntuaciones
untuaciones obtenidas por cinco 8 ítems . Suponiendo que un sujer clasificado dentro del grupo de
X
f.
22
4 4
20 18 16 14
2 3 4
10 7
8
1 1
1 1
o o o o 1 1
aciones y frecuencias obtenidas Por 20 ít ems. Para que un suje1 oe responder un mínimo de 11 la consi stencia de clasificación al azar (KR 20 = 0,70).
116. Calcular la probabilidad de que un sujeto sea clasificado dentro de un grupo de maestría, supuesta una puntuación de corte del 70%, n = 12, x = 8 y p = 0,70.
117. Se han administrado dos tests paralelos de percepción, compuestos por 20 ítems cada uno, a una muestra de 1O sujetos. En la siguiente tabla aparecen las puntuaciones obtenidas por los sujetos en ambos tests. Para que un alumno sea clasificado dentro del grupo de maestría debe contestar correctamente un mínimo de 12 ítems. Con estos datos, calcular la significación estadística del coeficiente Kappa (NC 95%). Sujetos
Test X
Test Y
1
21
23
2 3 4
35 36 26 23
32 23 29
5 6 7
8 9 10
ones y frecuencias obtenidas por 25 ítems . Para que un e responder un mínimo de el coeficiente de fiabilidad
5 3
8
38 34
35 38
24 28
34 34 29
36
38
46 Psicometría : problemas resueltos
118. En la tabla adjunta se presentan las puntuaciones y frecuencias obtenidas por 40 sujetos en un test de percepción espacial compuesto por 15 ítems. Para que un sujeto sea clasificado dentro del grupo de maestría, debe responder un mínimo de 1 O ítems. Calcular, la consistencia de clasificación una vez eliminada la proporción de clasificación debida al azar (KR 20 = 0,80). X
121. En la tudes y los pare competente de
f.
15
4
14
3
13
7
12
8
10
8
9
4
7
3
5
2
2
1
119. Para un determinado test referido al criterio de fluidez verbal, se ha establecido la proporción de aciertos para ser considerado apto en 0,75. Se desea saber cuál es la longitud del test si se está dispuesto a admitir un error máximo de O, 1 y 0,05.
122. En jueces, de qu selección sear
120. En la tabla siguiente aparecen las probabilidades de que un sujeto mínimamente competente supere los 6 ítems de un test. Las probabilidades han sido asignadas por cuatro jueces. Calcular el punto de corte del test. Ítems
Juez 1
Juez 2
Juez 3
Juez 4
1
0,54
0,35
0,42
0,28
2
0,53
0,36
0,46
0,35
1. Los p1
2. El pUl
3
0,44
0,36
0,33
0,40
4
0,25
0,28
0,45
0,43
5
0,50
0,28
0,39
0,45
6
0,30
0,40
0,28
0,45
Calcular:
3. Qué j
123. H
de 4. 0 de la 1 bies alterna neas que eL mientas mír
47 La fiabilidad de las puntuaciones
aciones Y frecuencias obtenidas puesto por 15 ítems. Para que a, debe responder un mínimo de a vez eliminada la proporción de
121. En la siguiente tabla aparecen clasificados los 100 ítems de un test de aptitudes y los porcentajes de ítems asignados por un juez, que un sujeto mínimamente competente debería contestar correctamente. Calcular el punto de corte. Niveles de dificultad
Niveles de rendimiento
de fluidez verbal, se ha estaapto en 0,75. Se desea saber mitir un error máximo de o, 1
Fácil
Medio
Difícil
Esencial
Ítems: 10 70%
Ítems: 5 65%
Ítems: 1 O 40%
Importante
Ítems: 20 65%
Ítems : 1O 55%
Ítems: 4 20%
Aceptable
Ítems: 15 55%
Ítems: 8 45%
Ítems: 4 20%
Dudoso
Ítems: 10 30%
Ítems: 3 25%
Ítems:1 20%
122. En la siguiente tabla se presentan las probabilidades, asignadas por tres jueces, de que los cinco ítems de un test de aritmética utilizado en un proceso de selección sean superados por un grupo de sujetos.
dades de que un sujeto míniprobabilidades han sido asigtest.
Ítems
Juez 1
Juez 2
Juez 3
1
0,8
0.7
0,9
2
0.7
0,6
0.7
3
0,6
0,4
0,6
4
0,5
0,3
0,5
5
0,5
0,2
0,3
Calcular: 1. Los puntos de corte de cada Juez mediante el método de Angoff. 2. El punto de corte del test, a partir de la información de los tres jueces. 3. Qué juez considera el test más fácil y más difícil. 0,45
123. Hemos aplicado un test de comprensión lectora a un grupo de estudiantes de 4 .0 de la ESO. El test está compuesto por ítems de elección múltiple con cinco posibles alternativas (a, b, e, d, e) . En la siguiente tabla se recogen las alternativas erróneas que cuatro jueces creen que serían descartadas por un alumno con los conocimientos mínimos exigidos para superar el test.
48 Psicometria : problemas resueltos ítems
Juez 1
Juez 2
Juez 3
1
bcd
bcd
ce
Juez 4 be
2
ede
bd
bde
ab
3
ab
bde
ab
bde
4
abd
abe
ede
acd
Calcular:
Capitule Validez
1. El valor esperado en el test para cada Juez. 2. El punto de corte del test sin corregir y corrigiendo el efecto azar.
124. A e Multimétodo · dad (A) y la se
Indicar lo
125. Un ingreso que S los exámene~ test A con ur
puntuacione~
Mientras quE el 95% de la~
1. ¿cuál do en
2. La co1 tecno ra un<
3. ¿En q acces' (Utiliz
124. A continuación se presentan los resultados de un estudio Mu ltirrasgoMultimétodo donde se ha medido la correlación entre la introversión (1), la agresividad (A) y la sociabilidad (S) mediante dos métodos diferentes (método A y B): Método A
1 Método A
Método B
A
Método B
S
1
A
1
0,96
A
0,29
S
0,56
0,40
0,93
1
0,80
0,33
0,58
0 ,96
A
0,20
0,65
0,44
0,40
0,80
S
0,30
0,31
0,63
0,56
0,25
S
0,85
0,20
Indicar los coeficientes de fiabilidad, validez convergente y discriminante.
125. Un centro privado de Enseñanza Secundaria desea elaborar una prueba de ingreso que garantice que los alumnos admitidos obtengan una buena calificación en los exámenes de acceso a las licenciaturas tecnológicas. Se elaboran dos tests, en el test A con una varianza de 5 puntos y media 5,5, encontramos que la varianza de las puntuaciones verdaderas explica el 85% de la varianza de las puntuaciones empíricas. Mientras que en el test B, la desviación típica de las puntuaciones verdaderas explica el 95% de las empíricas. Calcular: 1. LCuál hubiese sido el coeficiente de fiabilidad del test A si se hubiese calculado en una muestra de sujetos con una varianza de 7 puntos? 2. La correlación entre el test A y los exámenes de acceso para las licenciaturas tecnológicas es de 0,90. LCuál sería el coeficiente de validez del test A si tuviera una fiabilidad perfecta? 3. LEn qué intervalo se encontrará la puntuación típica estimada en el examen de acceso de un sujeto que en el test A deja por debajo al 80,51% de los sujetos? (Utilizar un NC del 95%).
50 Psicometría : problemas resueltos
4. De los sujetos que obtuvieron 6 puntos en el test A, Lqué proporción de ellos obtendrán en el criterio puntuaciones iguales o superiores a 5, siendo la desviación típica igual a 2 y la media igual a 6? 5. LQué nivel de confianza tendríamos que utilizar para que el error máximo no fuese superior a 1,5?
126. Basándonos en los datos del ejercicio anterior y sabiendo que la fiabilidad de la prueba de acceso es 0,95, cuál sería la validez del test en el caso de que: 1. El test y el criterio tuvieran una fiabilidad perfecta. 2. Sólo el test tuviese una fiabilidad perfecta. 3. Sólo el criterio tuviese una fiabilidad perfecta.
127. En una muestra de 100 escolares, la desviación típica de los errores de estimación de una prueba de razonamiento matemático es de 0,75 puntos, siendo su media 6 y su varianza 9. Por otro lado, la varianza de las puntuaciones en las calificaciones finales de matemáticas es de 8 puntos, y su media 5. Calcular: 1. El coeficiente de determinación, alienación y el de valor predictivo.
2. Al nivel de confianza del 95% Lqué calificación se le pronosticará a un sujeto que en la prueba ha obtenido una puntuación de 7 puntos?
128. Se ha desarrollado un nuevo test para evaluar la satisfacción laboral. El test presenta un coeficiente de fiabilidad de 0,70. En la tabla adjunta se presentan los resultados obtenidos por 8 sujetos en dicho test, así como sus propias valoraciones (criterio) emitidas 1 año antes. Sujetos
Valoraciones (Y)
Test (X)
A
1
2
B
2
4
e
3
5
D
4
6
E
5
3
F
6
8
G
7
7
H
8
8
Calcular: 1. LCuántos ítems habría que añadir a los 1O originales para obtener un coeficiente de validez de 0,95? 2. LCuál hubiese sido el coeficiente de validez si tuviera la mitad de ítems? 3. LCuál es el error de estimación cometido al pronosticar la puntuación en el criterio del sujeto E?
,:
51 Validez de inferencias
129. En la misma investigación relacionada con la satisfacción laboral del problema anterior, también se entrevistó a los cónyuges de los sujetos, solicitándoles que manifestaran si consideraban que sus parejas estaban satisfechas con sus trabajos. Sujetos
Valoraciones
A
No
Test 2
B
Si
4
e
Si
5
D
No
6
E
No
3
F
Si
8
G
Si
7
H
Si
8
Si se asume que todos los errores son igualmente relevantes : 1. LCuál sería el punto de corte que minimiza los errores totales de clasificac ión cometidos al util izar la escala? 2. Una vez establecido el punto de corte, calcular la proporción total de clasificaciones correctas, la sensibilidad, especificidad, y el coeficiente Kappa .
130. Se aplicó un test de fluidez verbal compuesto por 20 elementos a una muestra de 100 sujetos, obteniéndose una desviación típica de 5 y una media de 1O puntos . La correlación entre dicho test y un criterio externo es de 0,80. 1. Calcular el coeficiente de alienación, determinación y de valor predictivo. Interprete los resultados. 2. Sabemos que cuando el test tiene una fiabilidad perfecta el coeficiente de validez final es de 0,90. LCuántos ítems habría que utilizar para que la validez fuera de 0,85?
131. De los 500 aspirantes a la formación como piloto aéreo, sólo se seleccionaron los 20 que obtuvieron mejores puntuaciones en la prueba de ingreso cuyo coeficiente de validez es 0,90. La distribución de las puntuaciones en dicha prueba es normal con una media de 6 una varianza de 4. 1. Cuál es la razón de selección. 2. Cuál es la puntuación directa que como mínimo deben haber obtenido en el test los seleccionados.
132. A continuación se presentan los datos obtenidos por 12 sujetos en un criterio (Y) y en una variable predictora (X):
52 Psicometría: problemas resueltos
y
X
1
1
o
2
1
2
4
3
3
5
2
5
5
6
6
7
9
10
13
11
15
11
16
12
Calcular: 1. La ecuación de regresión en puntuaciones directas para pronosticar Y. 2. El valor de la varianza asociada y el de la no asociada. 3. El error típico de estimación .
133. Un test de actitud ante la estadística (AC-ES) formado por 4 ítems se aplicó a 6 sujetos. En la tabla adjunta aparecen las puntuaciones de los seis sujetos en el test y sus calificaciones finales (CAL) en la asignatura de estadística al f inalizar el curso . Calcular la capacidad predictiva del test con respecto a las calificaciones finales. LQué porcentaje de la varianza de las calificaciones finales explica las puntuaciones en el test?
134. Un centro de formación de controladores aéreos debe seleccionar un número limitado de alumnos para este curso académico en función de un test de atención visual que prediga el éxito futuro en este puesto de trabajo . El psicólogo encargado de la selección dispone de dos tests que se han aplicado anteriormente y cuyas características se muestran en la tabla adjunta . Test
Número de ítems
Fiabilidad
Coeficiente de validez
A
40
0,65
0,60
B
60
0,80
0,70
Si el psicólogo desea un test con 20 ítems y con la máxima fiabilidad: 1 . LQué test debe seleccionar y admin istrar a los candidatos?
53 Validez de inferencias
2. LCuál es el coeficiente de validez del test seleccionado con 20 ítems? Comentar los resultados.
135. Un test tiene un coeficiente de fiabilidad de 0,81 . LCuál es el máximo coeficiente de validez que este test podría llegar a tener con cualquier criterio? 136. Un test de razonamiento matemático tiene un coeficiente de fiabilidad de 0,80. El coeficiente de fiabilidad de una segunda medida (Rendimiento en matemáticas) es de 0,70, El coeficiente de validez observado entre el test (Razonamiento Matemático) y el criterio (Rendimiento) es de 0,55. 1. LCuál sería el coeficiente de validez del test si se eliminaran todos los errores de medida, tanto del test como del criterio? 2. LCuál sería el coeficiente de validez del test, si éste careciese de errores de medida? 3. LCuál sería el coeficiente de validez del test si el criterio careciese de errores de medida?
137. Deseamos confeccionar una prueba para el examen de selección de los aspirantes a la Facultad de Psicología. Elegimos al azar uno de los grupos de primer curso de carrera. Conocemos sus notas en junio y su desviación típica es de 12; sólo el 40% de estos alumnos han aprobado todas las asignaturas y la varianza de este grupo es de 2,25. Les aplicamos nuestro test y obtienen en él un coeficiente de alienación de 0,92. LCuál sería la validez de nuestro instrumento de medida si la hubiéramos estudiado en el grupo primitivo? 138. En un centro de oligofrénicos, para tratar de probar la eficacia de cierto método de aprendizaje se aplica un test de inteligencia. La varianza que han obtenido los chicos es 49. Decidimos que sólo aplicaremos el tratamiento al 15% de los mejores. La desviación típica de este último grupo es de 2 puntos. Finalizada la aplicación del método de aprendizaje se les hace un examen a este grupo. La correlación del test con el examen en el grupo reducido es de 0,49. LCuál hubiera sido la correlación si todos los oligofrénicos pudieran haber realizado el tratamiento y ser sometidos al examen final? 139. Deseamos construir un test que mida bien el factor numérico. Para ello seleccionamos una muestra de niños de 2. 0 de ESO y les aplicamos el test. La desviación típica de las puntuaciones obtenidas fue de 15 puntos. De todos los niños de la muestra seleccionamos el 40% de los que obtuvieron mejores puntuaciones en el test, la desviación típica en el test en este grupo de niños fue de 3 puntos. A final de curso estos niños fueron evaluados por sus profesores a través de un examen; la desviación típica de las puntuaciones obtenidas fue de 2 puntos. La correlación entre las puntuaciones que obtuvieron en el test y las calificaciones obtenidas en el examen fue 0,40 . LCuál habría sido el coeficiente de validez del test en la muestra completa de niños de 2. 0 de ESO?
54 Psicometría: problemas resueltos
140. Se pasa un test a un grupo de aspirantes a un puesto de trabajo. La desviación típica de sus puntuaciones en el test fue de 16 puntos. Sólo son admitidos el 10% de los aspirantes. Calificados en un criterio de rendimiento se averiguó que la pendiente de la recta de regresión del criterio sobre el test en puntuaciones típicas fue de 0,30 y la desviación típica de las puntuaciones en el test del grupo de los seleccionados fue de 5 puntos. Calcular: 1. El coeficiente de valor predictivo del test cuando hacíamos la selección. 2. El coeficiente de determinación del test en el grupo de los admitidos.
141. Para elaborar un test de selectividad para la entrada en la universidad, en la Facultad de Psicología nos servimos de las notas de los alumnos de la última promoción. La desviación típica de estas puntuaciones fue de 12 puntos. Sólo una parte de estos alumnos estaban aprobados en todas las asignaturas. La desviación típica de sus notas fue de 3 puntos. Se utiliza a estos alumnos como grupo normativo. Se les aplica el test y obtienen en él una desviación típica de 5 y un coeficiente de validez de 0,40. LCuál hubiese sido el valor del coeficiente de validez calculado con todos los alumnos? 142. La desviación típica obtenida con las puntuaciones alcanzadas por los 100 alumnos que mejor nota obtuvieron en un experimento fue de 15 puntos. A estos alumnos se les aplica un test de inteligencia general y se sabe que sus puntuaciones diferenciales en el test elevadas al cuadrado suman 2.500 puntos. La varianza de las puntuaciones dadas por los profesores a todos los alumnos que realizaron el experimento fue de 400 puntos. Llamemos Y,, Y 2 , Y 3 , ... , Y 100 a las puntuaciones que los 100 sujetos elegidos para hacer el test obtuvieron en el experimento. Llamemos X,, X 2 , X 3 , . . • X100 , a las puntuaciones que los 100 alumnos elegidos para hacer el test obtuvieron en el mismo. Sea Z = (X
+
Y); S} = 340.
Calcular la correlación que se habría obtenido entre las puntuaciones alcanzadas por los alumnos en el laboratorio y las del test de inteligencia si éste se hubiera aplicado a todos los sujetos que realizaron el experimento en el laboratorio.
143. Hemos aplicado un test, con un coeficiente de valor predictivo de 0,34 a un grupo de sujetos. La varianza obtenida es de 144. LQué puntuación pronosticaríamos en el criterio a un sujeto que ha obtenido en el test una puntuación diferencial de 6 puntos? 144. La correlación entre las puntuaciones de un test y un criterio habiendo mejorado la fiabilidad del criterio es de 0,75. El coeficiente de validez del test primitivo era de 0,70. La varianza de las puntuaciones verdaderas de este primer criterio es igual a 1O y la varianza de los errores es igual a 2. LEn cuánto se mejoró el coeficiente de fiabilidad del criterio?
55 Validez de inferencias
145. Se ha administrado un test de inteligencia a un grupo de 100 sujetos. La pendiente de la recta de regresión en puntuaciones diferenciales de y sobre x vale 0,40, el ¡xy = 200, y la desviación típica del criterio es de 8. ¿Qué puntuación le pronosticaremos en el criterio a un sujeto que hubiera obtenido en el test una puntuación típica de 1,4? 146. Los alumnos de un centro escolar, valorados por sus profesores en inteligencia, presentan en esta evaluación (criterio) una desviación típica de 12 puntos. A este mismo grupo se le aplica un test de inteligencia general cuyo coeficiente de validez es de 0,95. De todo el grupo sólo se permite el paso al curso siguiente al 40% de los mejores según el juicio de los profesores. La desviación típica de las puntuaciones de este grupo en este criterio fue de 2 puntos. ¿cuál sería el coeficiente de validez del test en este grupo reducido? 147. Hemos aplicado un test X y un criterio Y a un grupo de sujetos. Sabemos que: - La varianza de X + Y (X = puntuaciones en el test, Y = puntuaciones en el criterio) es de 865 puntos. - La varianza de X - Y es de 15 puntos. - La desviación típica del test fue de 15 puntos. ¿cuál será el intervalo confidencial en el que podemos afirmar que se encuentra la puntuación de un sujeto en el criterio, si ha obtenido en el test un eneatipo de 7 puntos? (NC 95%).
148. Si la varianza de X+ Y= 61, la varianza de X- Y= 21 y la desviación típica de X es el 80% de la desviación típica de Y, ¿cuál es el coeficiente de correlación rx/ 149. Hemos aplicado un test a un grupo de aspirantes a controladores aéreos. La proporción de la desviación típica de sus puntuaciones en el criterio con respecto a la de sus puntuaciones en el test fue de 4/5. Son admitidos sólo un 1%. La pendiente de la recta de regresión en puntuaciones diferenciales de Y sobre X de los admitidos fue de 0,75. Calcular: 1. ¿cuál sería la correlación del test con el criterio calculado con el grupo total de aspirantes? 2. ¿En qué % de seguridad en el pronóstico se ve incrementada esta forma de selección sobre otra hecha al azar? 3. Si el índice de fiabilidad del test es de 0,98, ¿cuál sería el límite máximo de su coeficiente de validez?
150. La varianza de las puntuaciones pronosticadas por un test X en un criterio Y es de 25 . Los coeficientes de fiabilidad del test y del criterio son respectivamente de
56 Psicometría: problemas resueltos
0,98 y 0,95; pero si fueran perfectos el coeficiente de validez de nuestro test valdría 0,90. LCuál es el error típico de estimación de nuestro test?
151. Para la selección de personal se ha confeccionado un test. Aplicado a un grupo normativo se obtiene: - Que su varianza verdadera es 1/2 de su varianza empírica. - Su correlación con la productividad es de 0,70 . LCuántas veces deberá incrementar su longitud si se desea que su coeficiente de validez sea de 0,90?
152. La validez de un test es de 0,65, el coeficiente de fiabilidad del test es de 0,80, el coeficiente de fiabilidad del criterio vale 0,60. Si elevamos la fiabilidad del test a 0,85 y la del criterio a 0,75, calcular: 1. LCuál será la nueva validez del test? 2. LCuál será la correlación teórica entre ambas variables? 3. LSe puede conseguir una validez de 0,90 entre el test y el criterio, mejorando la precisión de este último? Explicar resultados.
153. En un test de inteligencia la varianza verdadera es el 75% de la varianza total. Su correlación con un criterio externo es de 0,60. Si se mejora su fiabilidad hasta alcanzar un coeficiente de 0,98, Len cuánto se incrementará su correlación con el criterio anterior? 154. En una universidad privada se quiere admitir sólo a los mejores alumnos entre todos los aspirantes. Para hacer la selección entre ellos, la universidad dispone de un test de aptitud verbal y otro de aptitud numérica. El criterio lo constituye las notas de los estudiantes al final de su carrera. El coeficiente de validez del test de aptitud verbal es de 0,80, el coeficiente de validez del test de aptitud numérica es de O, 70, la correlación entre ambos tests es de 0,20, = 9. La media de todos los examinados en aptitud verbal es de 20 puntos. La media de todos los examinados en aptitud numérica es de 50 puntos. La varianza del test de aptitud verbal es de 4. La varianza del test de aptitud numérica es de 16.
s;
Un sujeto obtiene en aptitud verbal una nota de 24 puntos, y en el de aptitud numérica 56 puntos. LQué puntuación típica le pronosticaríamos en el criterio?
155. Un test de rapidez perceptiva tiene un valor predictivo del 40%, su media y su varianza fueron de 20 y 4 respectivamente. Otro test, éste de inteligencia general, tiene un coeficiente de determinación de 0,81, una media de 50 y una desviación típica de 7. El coeficiente de correlación entre ambos tests es de 0,80. En una selección de personal son aplicados ambos tests para pronosticar la eficacia en el trabajo de los aspirantes. Rapidez perceptiva, inteligencia general y eficacia en el trabajo tienen una distribución gaussiana.
57 Validez de inferencias
Un sujeto obtiene en el test de rapidez perceptiva una puntuación directa de 24 puntos y en el de inteligencia general de 43. LQué probabilidad hay de que el sujeto obtenga realmente en el criterio una puntuación típica igual o mayor que 1?
156. Sean A y 8 dos tests utilizados en la selección de personal para cierto puesto de trabajo. Sea: COVAa = 37,5; SA = 15; 5 8 = 25; A = 250; 8 = 700 Sea Z = rendimiento en dicho puesto de trabajo. Sea Z' = puntuación pronosticada de Z. Si para pronosticar en Z se utilizara como única variable predictora la A, se eliminarían un 20% de azar de los pronósticos. 8 y Z tienen un 49% de varianza común. rzz = 0,94. Un aspirante al mencionado puesto de trabajo obtiene en el test A un puntuación directa de 275 puntos y en el 8 de 730. La puntuación típica establecida como crítica en el criterio es de 1 y el coeficiente de riesgo que la empresa está dispuesta a admitir como máximo es de 0,30. LObtendrá este sujeto el puesto de trabajo al que aspira?
157. En una adecuada muestra normativa un test tiene una desviación típica igual a 4 y una correlación con un criterio igual a 0,80. La desviación típica en el criterio es de 2 y los coeficientes de fiabilidad en el test y en el criterio son r xx = 0,90 y ryy = 0,90 . Un sujeto obtiene en el test una puntuación diferencial x = 3. Calcular: 1. LQué puntuación diferencial le pronosticamos en el criterio? 2. LCuál es el error típico de estimación? 3. Al nivel de confianza del 95%, Lentre qué límites podemos afirmar que estará la puntuación diferencial del sujeto en el criterio? 4. Si duplicamos la longitud del test, por adición de elementos paralelos, Lcuál será el coeficiente de validez del test aumentado? 5. LCuál sería el coeficiente de validez del test original si se eliminasen todos los errores de medida del test y del criterio?
158. El coeficiente de validez de un test sobre nivel de ansiedad es r xy = 0,90 y su coeficiente de fiabilidad r xx = 0,86. La fiabilidad del criterio es r yy = 0,82. Calcular: 1. Si un sujeto que obtiene en el test una puntuación de 64 puntos podrá alcanzar 78 puntos en el criterio, siendo la recta de regresión entre las puntuaciones del test y las del criterio Y' = 9,31 + 1,01X y la desviación típica del criterio = 2,2 .
sy
2. LCuál será el valor del coeficiente de alienación de dicho test y su interpretación?
58 Psicometría: problemas resueltos
159. Se ha validado un test de capacidad de abstracción con un coeficiente de fiabilidad rxx = 0,66 mediante un criterio (Sy = 3 y ryy = 0,90), dando un coeficiente de validación rxy = 0,68. Calcular: 1. ¿cuál es el coeficiente de validez corregido por atenuación? 2. Si aumentamos el número de ítems hasta 60 ¿cuál sería la validez del nuevo test si el original tenía 20 ítems? 3. ¿En cuánto se tendría que aumentar el test original para que obtuviera una validez de 0,75?
160. Un test de razonamiento abstracto compuesto de 18 ítems, y con un coeficiente de fiabilidad rxx = O, 71, se ha validado con fines a su comercialización, resultando un coeficiente de validez de 0,70. El coeficiente de fiabilidad del criterio es ryy = 0,90 y la desviación típica del mismo SY = 3. Calcular: 1. ¿cuál será el coeficiente de validez del test si aumentamos en 20 ítems la longitud del test inicial? 2. ¿cuánto será necesario aumentar la longitud del test para obtener una validez de 0,78? 3. ¿cuál es el coeficiente de eficacia en la predicción a partir de la validación obtenida?
161. Un test tiene en una muestra de sujetos un coeficiente de fiabilidad rxx = 0,64. La desviación típica de las puntuaciones fue 3 y la media 15. Calificados en
un criterio, los sujetos obtuvieron una desviación típica de 5 puntos y una media de 20, siendo el coeficiente de fiabilidad del criterio ryy = 0,64. Calcular: 1. El coeficiente de validez del test, sabiendo que su coeficiente de alienación K= 0,80. 2. Qué puntuación le pronosticaremos en el criterio a un sujeto que ha obtenido en el test una puntuación directa de 13,5 puntos (NC 9"5%). 3. ¿cuál sería el coeficiente de validez del test si se eliminasen del criterio todos los errores de medida? 4. Si el test inicial tuviera 200 elementos, ¿cuál sería su coeficiente de validez si reducimos su número a la mitad? 5. ¿cuál sería el coeficiente de validez del test si se aplicara a un grupo más heterogéneo cuya desviación típica en el test fuera el doble? 6. Asumiendo que las puntuaciones de los sujetos en el test se distribuyen según la curva normal, ¿qué percentil, estanino y puntuación típica derivada de media 60 y desviación típica 20 le correspondería a un sujeto cuya puntuación directa fue X = 18?
59 Validez de inferencias
162. Para la selección de 15 plazas de vendedores se han presentado 150 candidatos. Se ha utilizado un test selectivo cuya correlación con el criterio fue de 0,90. La media y desviación típica obtenidas en el test selectivo por el grupo de aspirantes fue 1O y 2 respectivamente. En el criterio la media fue 100 y la desviación 16. Solamente se seleccionaron los 15 sujetos que obtuvieron puntuaciones más altas en el test. Calcular: 1. Razón de selección . 2. Si el punto crítico en el criterio se fijara en Zy = 2 Lqué probabilidad de éxito tendrían los sujetos que obtuvieron en el test una puntuación diferencial de 4 puntos? 3. LCuántos sujetos de los seleccionados se espera que tengan éxito a nivel profesional?
163. Se quiere averiguar la validez de un test para medir el rendimiento escolar de los niños de 2. 0 de ESO. Para ello se escoge una muestra de 200 niños pertenecientes a dicha población. Una vez aplicado el test los resultados fueron los siguientes : la media de las puntuaciones empíricas obtenidas por los sujetos en el test fue 15, la desviación típica 4, y el coeficiente de fiabilidad 0,74. Calificados ese mismo grupo de niños en su rendimiento escolar, la media fue de 5 puntos y la desviación típica 2, siendo el coeficiente de fiabilidad 0,81. Calcular: 1. El coeficiente de validez del test sabiendo que su coeficiente de alienación K = 0,60 . 2. LQué puntuación le pronosticaremos en el criterio a un niño que ha obtenido en el test una puntuación directa de 20 puntos? ( NC 99%). 3. Si el test inicial tuviera 300 elementos, Lcuál sería su coeficiente de validez si reducimos su número a la mitad? 4. LCuál sería el coeficiente de validez si se eliminasen del test todos los errores de medida? 5. LCuál sería el coeficiente de validez si se aplicara a una muestra cuya desviación t ípica fuera el doble? 6. Asumiendo que las puntuaciones de los sujetos en el test se distribuyen según la curva normal, Lqué percentil, estanino y puntuación típica derivada de media 50 y desviación típica 15 le correspondería a un sujeto cuya puntuación directa fuera X = 20?
164. Para la concesión de 20 becas de Formación Profesional se han presentado 200 aspirantes y se ha utilizado un test selectivo cuya correlación con el criterio fue de 0,80 . El grupo total de aspirantes obtuvo en el criterio una media de 15 y una desviación típica de 5. En el test las puntuaciones se distribuyen normalmente con
60 Psicometría: problemas resueltos
una media de 100 y una desviación típica de 15. Las becas se conceden a los 20 sujetos que obtuvieron mejores puntuaciones en el test. Calcular: 1. Razón de selección. 2. Si el punto crítico en el criterio se fijara en Zy = 1, ¿qué probabilidad de éxito tendrían los sujetos que hubieran obtenido en el test una puntuación diferencial de 15 puntos? 3. ¿cuántos sujetos de los admitidos se espera que tengan éxito profesionalmente hablando?
165. El 25% de la varianza de las puntuaciones de los sujetos en un criterio empírico, se debe a errores de medida. Sabiendo que la correlación entre las puntuaciones obtenidas por un grupo de sujetos en dicho criterio, si se hubiera eliminado por completo los errores de medida, y las obtenidas en un test fue 0,90, ¿cuál es el coeficiente de validez de dicho test respecto al criterio utilizado? 166. Las puntuaciones obtenidas por un grupo de 5 niños (se trata de un ejemplo) en un criterio empírico (Y) y en dos variables predictoras (X1) y (X2 ) aparecen indicadas a continuación. Calcular las ecuaciones de regresión, en puntuaciones directas, de Y sobre X 1 y X 2 y decir cuál será la proporción de la varianza del criterio que se puede predecir a partir de las dos variables predictoras. Y1 2 3 4
X1
O
2 3 2
X2 2 2
2 4
167. Un test tiene un coeficiente de fiabilidad de 0,64. La desviación típica del test es 3 y la media 15. A partir del test podemos pronosticar o predecir el 36% de la varianza de las puntuaciones de los sujetos de la muestra en un criterio empírico: éxito en los estudios. El coeficiente de fiabilidad del criterio fue también 0,64, la desviación típica de las puntuaciones 5 y la media 20. Calcular: 1. Coeficiente de validez del test. 2. ¿Qué puntuación diferencial le pronosticaremos en el criterio a un sujeto que obtuvo en el test una puntuación típica Zx = -0,5? 3. Intervalo confidencial a NC 95% en la escala diferencial, dentro del cual podremos afirmar que se encontrará la puntuación en el criterio del sujeto del punto anterior. 4. El coeficiente de validez que alcanzaría el test si se eliminasen del criterio todos los errores de medida . 5. ¿cuáles son los coeficientes de alienación y de valor predictivo?
61 Validez de inferencias
168. Para la selección del personal técnico de una empresa se les ha aplicado a todos los aspirantes un test de rapidez perceptiva. El porcentaje de la varianza del criterio que se puede pronosticar a partir del test, si se hubieran eliminado de éste todos los errores de medida, es del 81%. La desviación típica de las puntuaciones verdaderas es el 60% de la de las empíricas, siendo esta última de 4 puntos. Sólo superan la prueba, el 20% de los sujetos que se presentaban a la selección. El grupo seleccionado tuvo en el test una desviación típica de 2 puntos y el coeficiente de fiabilidad del test en este grupo fue 0,40. ¿cuál sería el coeficiente de validez del test en el grupo de los seleccionados, si consiguiéramos eliminar los errores de medida del instrumento utilizado para hacer la selección?
169. Para la concesión de 20 becas de investigación se han presentado 200 doctorandos. Se conceden las 20 becas a los mejores en un test selectivo cuya correlación con el criterio utilizado fue de 0,90, Los aspirantes obtienen en el criterio una media de 1O y una desviación típica de 3. En el test, las puntuaciones se distribuyen normalmente con una media de 100 y una desviación típica de 30. Calcular: 1. La razón de selección. 2. La puntuación diferencial que como mínimo han obtenido en el test los 20 sujetos seleccionados. 3. Si el punto crítico en el criterio se fijara, en escala típica, en 2, ¿qué probabilidad de éxito tendrían los sujetos que hubieran obtenido en el test una puntuación directa de 160? 4. Si deseamos que los sujetos que obtengan 130 puntos en el test tengan una probabilidad de fracaso de 0,20, ¿cuál debe ser, en escala directa, el punto crítico en el criterio de selección?
170. Para la prueba de Acceso a la Universidad para alumnos mayores de 25 años se ha elaborado un test. Aplicado a un grupo normativo adecuado se han obtenido los siguientes resultados: - Su varianza error es el 10% de su varianza empírica. - La varianza de los errores de estimación es el 20% de la varianza pronosticable del criterio. - Aumentamos la longitud del test en un 75% con elementos paralelos a los que ya poseía. - La varianza empírica del nuevo test es 25. Un sujeto, en el test aumentado obtiene una puntuación diferencial de 1O puntos. ¿cuál será el intervalo confidencial en el que se encuentra la puntuación pronosticada de este sujeto? (NC 95%).
62
1
Psicometría: problemas resueltos
171. Una empresa desea medir el grado de sociabilidad y la ansiedad de sus directivos. Para medir cada uno de estos dos rasgos se dispone de dos tipos de tests: un test de verdadero-falso de aplicación colectiva (VF) y otro manipulativo de aplicación individual (MI). Los cuatro tests se aplican a una misma muestra y la matriz multirasgo-multimétodo resultante es la siguiente: Sociabilidad
Ansiedad
V-F
V-F
Sociabilidad MI
Ansiedad MI
0,90
0,20
0,8 5
0,15
Sociabilidad V-F
Ansiedad V-F
0,20
0,89
0,10
0,82
Sociabilidad MI
0,85
0,10
0,92
0,18
Ansiedad MI
0,20
0,82
0,18
0,87
1. LQué se puede decir de la validez convergente de dichos tests? 2. LQué se puede decir de su validez discriminativa? 3. LSe puede decir que existe algún tipo de sesgo?
17 2. Al nivel de confianza del 95% se pronostica que un sujeto, conocida su puntuación en un test, obtendrá una puntuación en un criterio relacionado con dicho test entre 1 y 2 puntuaciones típicas por encima de la media en dicho criterio. La desviación típica del test es 5, la media 1O puntos y la puntuación obten ida por el sujeto es de 19 puntos . LCuál es el coeficiente de validez del test? 173. En un test, un sujeto obtiene una puntuación directa de 25 puntos. La media de este test es de 20 puntos, la desviación típica de 4 y su coeficiente de validez de 0,84. LCuántas desviaciones típicas podremos pronosticar que se separará este sujeto de la media del criterio? 174. Se dispone de un test y un criterio cuyos coeficientes de fiabilidad son respectivamente 0,50 y 0,55; y un coeficiente de validez de 0,40 . Se desea averiguar cuál sería la máxima correlación que estas variables (test y criterio) podrían alcanzar si ambos carecieran de errores de medida . 175. Cierta universidad aplica a todos los alumnos aspirantes a una beca de investigación un test de Inteligencia General. La desviación t ípica de las puntuaciones de este grupo de sujetos en el test es de 1O. Sólo son seleccionados y se les concede la beca al 10% de los aspirantes; aquellos que mejores resultados obtuvieron en el test . La varianza de las puntuaciones de este grupo en el test es de 4. Todos los seleccionados son valorados en su rendimiento en la investigación. La correlación de estas
63 Validez de inferencias
puntuaciones con las que habían obtenido en el test es de 0,35. ¿cuál hubiera sido el coeficiente de validez del test, como instrumento de selección, si hubiera sido calculado en el grupo total de aspirantes?
176. El tanto por ciento de la varianza común entre un test y un criterio es el 64%. El coeficiente de fiabilidad del test es 0,75 y su varianza 16. La desviación típica del criterio 2. El test constaba inicialmente de 20 elementos. Le añadimos 80 elementos paralelos a los que ya posee. Si un sujeto obtiene en el nuevo test una puntuación diferencial de 8 puntos, ¿qué puntuación diferencial le pronosticaremos en el criterio si la desviación típica del nuevo test es 5,37? 177. La pendiente de la recta de regresión de Y/X en puntuaciones típicas es 0,75. ¿cuál es el coeficiente de determinación del test? 178. El coeficiente de validez de un test es de 0,50 y su coeficiente de fiabilidad de 0,60. Si aumentamos tres veces su longitud con elementos paralelos, ¿cuál será el coeficiente de valor predictivo del nuevo test? 179. El coeficiente de valor predictivo de un test es de 0,40. Un sujeto obtiene en el mismo una puntuación típica de 0,50. Al nivel de confianza del 95% ¿entre qué límites podremos decir que se encuentra su puntuación en el criterio? 180. El coeficiente de alienación de un test es 0,40. ¿cuál es el coeficiente de validez del test? 181. El coeficiente de valor predictivo de un test es 0,80. ¿cuál es el coeficiente de validez del test? 182. Se aplicó un test de discriminación visual compuesto de 1O ítems a un grupo de 2.000 sujetos. El coeficiente de fiabilidad del test fue 0,78 y su correlación con un criterio de 0,70. La media del test fue de 6 y la varianza de 4. La media en el criterio fue de 100 y la varianza 25. Calcular: 1. ¿Entre qué límites estará la puntuación directa de un sujeto en el criterio, si en el test obtuvo una puntuación de 7 puntos? (NC 99%).
2. ¿cuál será la validez del test si se le añaden 20 ítems paralelos a los 1O que ya posee?
183. Un test compuesto por 1O ítems tiene un coeficiente de fiabilidad de 0,20 y un coeficiente de validez de 0,40. Si deseamos conseguir un coeficiente de validez de 0,80, ¿cuántos ítems paralelos a los 1O primitivos le deberemos añadir? 184. El 75% de la varianza de un test está asociada a la de su criterio. El coeficiente de fiabilidad del test es de 0,90, ¿cuál será el coeficiente de validez del test si
64 Psicometría: problemas resueltos
aumentamos la longitud de éste 5 veces con elementos paralelos a los que ya poseía?
185. El 81% de la varianza de un test está asociada con la de su criterio. El coeficiente de fiabilidad del test es de 0,92. LCuál sería el coeficiente de validez del test si redujéramos en un 30% su longitud? 186. El coeficiente de fiabilidad de un test es de 0,80 y el del criterio 0,82. El coeficiente de validez del test, corregidos los errores de atenuación es 0,87 . LCuál es el coeficiente de validez del test sin corregir dichos errores? 187. El coeficiente de fiabilidad de un test es de 0,80. La correlación entre las puntuaciones empíricas del criterio y las verdaderas del test es 0,84. LCuál es el coeficiente de validez del test sin corregir ningún tipo de error de atenuación? 188. El coeficiente de validez de un test de inteligencia es de O, 70 y el coeficiente de fiabilidad del criterio de 0,80. LSe podría llegar a conseguir un coeficiente de validez de 0,90 mejorando la fiabilidad del criterio? 189. El coeficiente de fiabilidad de un test es de 0,75 y el del criterio de 0,80 . El coeficiente de validez de 0,65. Si corrigiéramos totalmente los errores de atenuación del test y del criterio, Lcuál sería el coeficiente de validez del test? 190. El coeficiente de valor predictivo de cierto test es de O, 1O. Parece excesivamente bajo y para conseguir incrementarlo se le añaden al test 180 elementos paralelos a los 20 de los que constaba inicialmente. Sabiendo que el coeficiente de fiabilidad inicial del test era de 0,50, Lcuál será el coeficiente de alienación del nuevo test?
191. Un test tiene un coeficiente de determinación de 0,36. La varianza del test es de 4 puntos y la media 1O. La media del criterio es de 5 puntos y la varianza de 25. Un sujeto obtiene en el test una puntuación empírica de 12. Al nivel de confianza del 95%, Lentre qué valores estará la puntuación de nuestro sujeto en el criterio? 192. El coeficiente de validez de un test es de 0,60 y su coeficiente de fiabilidad 0,50. LCuál será el coeficiente de valor predictivo de dicho test si se calculara en un grupo con una varianza doble de la del grupo normativo en el que fue calculado nuestro coeficiente de validez? 193. Una empresa considera adecuadas para cierta tarea a todas aquellas personas que, evaluado su rendimiento, obtienen una puntuación típica en el mismo, igual o superior a 0,45. Para cubrir 1O vacantes exige que, al menos, al 60% de los seleccionados se les pueda asegurar que van a tener éxito en su trabajo. Se presentan, cumpliendo todos los requisitos mínimos exigidos, 25 personas. El coeficiente de validez del test que se utiliza es de 0,85.
65 Validez de inferencias
1. ¿cuál es la mínima puntuación típica exigible a los aspirantes? 2. ¿Qué porcentaje de los admitidos es de esperar que sean buenos operarios?
194. En un test de 80 ítems, considerado como buen predictor de los resultados en las pruebas de acceso a la universidad (criterio), un grupo de 180 alumnos de COU obtuvo una puntuación media de 7 puntos y una varianza de 9, siendo 0,90 el coeficiente de fiabilidad del test. En la prueba de acceso (criterio) este grupo de sujetos obtuvo una puntuación media de 12 puntos y una desviación típica de 5. La correlación entre las puntuaciones del test y las del criterio fue de 0,80 y, el coeficiente de fiabilidad del criterio de 0,85. Calcular: 1. ¿Entre qué límites se estima que estará la puntuación directa que obtendrá en la prueba de acceso un alumno que obtuvo en el test una puntuación directa de 1O puntos? (NC 95%). 2. ¿cuál sería la validez del test si el criterio no tuviera errores de medida? 3. ¿cuál sería la validez del test si se le añadiesen 40 elementos paralelos a los 80 iniciales? 4. ¿Qué error máximo estamos dispuestos a admitir que hay entre la puntuación que pronosticamos a un sujeto en la prueba de acceso y la que realmente obtenga? (NC 98%).
195. En un test de 100 preguntas, considerado como buen predictor de los resultados en las pruebas de acceso a la universidad (criterio), un grupo de 200 alumnos de COU obtuvo una puntuación media de 6 puntos y una varianza de 4, siendo 0,90 el coeficiente de fiabilidad del test. En la prueba de acceso (criterio) este grupo de sujetos obtuvo una puntuación media de 8 puntos y una desviación típica de 3. La correlación entre las puntuaciones del test y las del criterio fue de 0,80 y el coeficiente de fiabilidad del criterio 0,85. Calcular o explicar: 1. Por qué el pronóstico de un criterio a partir de un test será tanto más exacto cuanto más relacionados estén el test y el criterio. 2. ¿Qué puntuación directa se estima que obtendrá en la prueba de acceso un alumno que obtuvo en el test una puntuación directa de 1O puntos? (NC 95%). 3. ¿cuál sería la validez del test si el criterio careciera de errores de medida? 4. ¿cuál sería la validez del test si se le añadieran 50 elementos paralelos a los 100 iniciales? 5. ¿Qué error máximo estamos dispuestos a admitir que hay entre la puntuación que pronosticamos a un sujeto en la prueba de acceso y la que realmente obtenga? (NC 99%).
66 Psicometría: problemas resueltos
196. Al nivel de confianza del 95% se ha pronosticado que la puntuación típica de un sujeto en el criterio estará comprendida entre 1 y 1,5. LCuál es el coeficiente de validez del test con el que se ha hecho este pronóstico? 197. Para la selectividad, cierta universidad aplica a todos los aspirantes a estudiar en ella un test de Inteligencia General y otro de conocimientos mínimos exigibles. La correlación del primer test con el rendimiento académico universitario es de 0,70 y la del segundo test de 0,60. La correlación entre ambos tests (Inteligencia/ Conocimientos) es de O, 1O. Un sujeto obtiene una puntuación típica de 1 y de O respectivamente en cada uno de dichos tests. Calcular: 1. LQué puntuación típica le podremos pronosticar en rendimiento académico? 2. LCuál es el coeficiente de determinación múltiple de dichos tests? 3. LCuál es el coeficiente de alienación múltiple? 4. LCuál es su coeficiente de valor predictivo múltiple?
198. Para diagnosticar alteraciones grafoléxicas se construye una batería de dos tests, uno de lectura y otro de escritura. Se considera patológica toda persona que esté por encima de una puntuación en el criterio de 12 puntos. El test de lectura presenta una correlación con el criterio de O, 72, una media de 20 y una desviación típica de 8. La correlación con el criterio del test de escritura es de 0,76, su media de 50 y su desviación típica de 3. La correlación de ambos tests entre si es de 0,30. La puntuación media del criterio es de 1O puntos y su desviación típica de 2. Un niño obtiene 16 puntos en el test de lectura y 50 en el test de escritura, Lpodemos afirmar al nivel de confianza del 99% que dicho niño no presenta ningún tipo de patología grafoléxica a la vista de sus resultados en el test?
Capítulo IV: Evaluación y análisis de los elementos del test
199. En la tabla siguiente aparecen las frecuencias de sujetos, ordenados en 5 percentiles según su puntuación, que respondieron a un ítem de un test de rendimiento en lengua con 4 opciones de respuesta, donde la opción C es la correcta. La media y varianza en el test de los sujetos fue de 6 y 4 respectivamente, mientras que la media en el test de los sujetos que acertaron el ítem fue de 7.
A
B
e
D
8
17
207
11
20% siguientes
11
39
223
25
20% siguientes
16
53
183
32
20% superior
20% siguientes
17
61
113
29
20% inferior
43
70
106
39
0,07
0,18
0,64
0,10
p
Calcular: 1. El índice de dificultad del ítem sin corregir y corrigiendo el azar. 2. El índice de discriminación del ítem.
200.
Si el test anterior está compuesto por 11 elementos.
1. Cuántos ítems se espera que acierte un sujeto que responde a todos los ítems de forma aleatoria. 2. LQué puntuación obtendrá una vez descontado el efecto del azar?
201. Las respuestas de 20 examinados a un ítem de un test compuesto por 30 elementos dicotómicos se muestran en la siguiente tabla, donde los 1O primeros sujetos son los que peores puntuaciones globales han obtenidos mientras que los 1O últimos los que mejores.
11
68 Psicometría : problemas resueltos Sujetos con mejores puntuaciones
Sujetos con peores puntuaciones Sujetos
8
o o o o o o o o
9 10
1 2 3 4 5 6 7
Puntuación total
Respuestas al ítem
Sujetos
Respuestas al ítem
Puntuación total
11
1
27
12
12
o
28
5
13
1
30
10
14
1
27
7
15
1
25
8
16
o
20
8
9
17
1
30
4
18
1
25
1
5
19
1
22
1
6
20
1
23
Calcular: 1. El índice de dificultad en ambos grupos. 2. El índice de discrim inación en ambos grupos.
202. Se quiere investigar si un test de razonamiento matemático presenta sesgo en uno de sus ítems. Para ello se contabilizaron los aciertos y errores en un grupo de los niños y otro de niñas en las categorías de baja y alta competencia. Alta competencia
Baja competencia Aciertos
Errores
Niños
4
6
Niños
Aciertos 12
Errores 8
Niñas
3
7
Niñas
9
11
Analizar si existe sesgo tomando como referencia el grupo de los niños.
203. En la tabla adjunta aparecen las respuestas de 200 sujetos a las tres alternativas de respuesta (A, B, C) de un ítem extraído de un test compuesto por 20 elementos, de las cuales sólo la B es correcta . También se exponen las medias obtenidas en el test por los sujetos que respondieron a cada alternativa. A
B
e
50% superior
26
60
14
50% inferior
35
28
37
Media test
9
14
12
1. Calcular el índice de dificultad del ítem . 2. Sabiendo que la varianza de las puntuaciones empíricas en el test es 9, calcular el índice de discriminación del ítem.
69 Evaluación y análisis de los elementos del test
204. En la tabla adjunta se presentan las puntuaciones de 5 sujetos en un test de 3 ítems. 1
2
A
o
o
3 1
B
1
1
1
e
1
o
o
D
1
1
1
E
1
1
1
Índice de validez
0,2
0,4
0,6
Calcular: 1. Los índices de discriminación de cada ítem. 2. El coeficiente de validez del test. 3. Si los ítems constaran de 5 opciones de respuesta, Lcuál sería la puntuación obtenida por el sujeto A una vez corregido el efecto del azar?
205. En la tabla siguiente aparecen las características psicométricas de 1O ítems: dificultad, discriminación, varianza, el porcentaje de respuestas a cada una de las opciones y la correlación biserial. 1. Comentar la calidad psicométrica de cada uno de los ítems. 2. Basándose en la distribución de respuestas y en la correlación biserial entre cada una de las opciones y la puntuación en el test, señalar las alternativas que no están funcionando de forma adecuada. Razonar su respuesta. 3. En los ítems 2 y 6 indicar qué opción parece ser la más correcta en función de las respuestas de los sujetos.
Ítems
Dificultad
%2
rbis2
%3
rbis3
0,212
0,2
0,212
0,4
- 0,303
0,4
0,13
1
- 0,098
0,5
0,20
0,3
- 0,098
0,2
0,013
2
0,186
0,2
0,146
0,35
0,326
3
0,55
0,643
0,25
- 0,261
2
0,1
0,009
0,35
- 0,509
1
Discriminación
%1
rbis 1
2
o o
3
0,025
0,326
0,1
4
0,325
0,643
0,05
- 0,055
5
O, 175
0,744
0,45
0,744
6 7
o o
8 9
1
10
Correcta
- 0,015
0,5
- 0,133
0,25
- 0,015
0,2
0,345
2
0,713
0,2
- 0,186
0,3
0,713
3
0,1
0,834
2
0,175
0,264
o
0,345
0,2
0,5
- 0,504
o
-
0,4
0,834
0,45
- 0,43
0,45
0,264
0,1
0,009
0,35
- 0,008
1
- 0,119
0,2
0,345
0,4
0,076
2
70
:1
Psicometría: problemas resueltos
206. La siguiente matriz de datos representa las respuestas dadas por 8 sujetos a un test de elección múltiple de seis elementos, cada uno de ellos con 4 alternativas de respuesta. Por simplicidad, en la matriz se ha indicado únicamente si el sujeto ha elegido la opción correcta (con un 1) o una opción incorrecta (con un 0) . Sujetos/elementos
1
2
3
4
5
6
1
1
1
o
o
1
2
1
1
1
1
1
3
1
1
1
o
4
1
o
5
1
1
o o
o
6
1
1
1
1
7
1
o
8
1
1
o o
o o
o o o o o
o o o o o o o o
1
1
Calcular: 1. El índice de dificultad del elemento n.o 2 2. El índice de homogeneidad del elemento n.o 4. 3. Determinar el número de discriminaciones que puede hacer el ítem n.o 5.
207. En la siguiente tabla se presentan los índices de dificultad y discriminación de los siete ítems dicotómicos de un test de comprensión lectora. 1. Indicar qué dos ítems habría que eliminar debido a que no contribuyen a la medida de la comprensión lectora . Razonar la respuesta. 2. Calcular el índice de fiabilidad del ítem que mejor contribuye a la medida de la comprensión lectora . Razonar la respuesta . Ítem
p
IT01
0,71
IT02
0,97
0,03
IT03
0,80
- 0,04
IT04
0,47
0,50
IT05
0,34
0,45
IT06
0,73
0,20
IT07
0,53
0,44
rbp
0,35
208. Con el fin de descartar la posibilidad de sesgo en contra de las niñas en un test de álgebra, se llevó a cabo un análisis del funcionamiento diferencial de los ítems. Por ese motivo, se formaron dos grupos de nivel de aptitud a partir de las puntuaciones en el test. En la siguiente tabla se muestra el número de respuestas correctas (C) e incorrectas (1) de los niños y de las niñas en función del nivel del nivel de apti-
71 Evaluación y análisis de los elementos del test
tud en el primer ítem del test. Analizar si existe FDI tomando como grupo de referencia el grupo de los niños. NIÑOS X
0-20 21-40
e
NIÑAS 1
e
1
58 125
16
64
12
99
66
60
209. Un test de 150 elementos es contestado por 300 sujetos. El elemento 35 es acertado por 120 de los sujetos. ¿cuál es su índice de dificultad? 21 O. Un elemento de un test es contestado por 400 sujetos. Lo contestan correctamente 190; de ellos, 100 pertenecen al 27% de los que mejor puntuación obtienen en el test y 70 al 27% de los que dan un rendimiento más bajo en el test. Calcular: 1. El índice de dificultad del elemento. 2. El índice discriminativo. 3. El número máximo de discriminaciones que el elemento realiza en esta muestra.
211. En un test cada uno de sus 300 elementos tiene 4 alternativas de las cuales sólo una es correcta. 1. ¿Qué puntuación le correspondería a un sujeto que ha contestado 251 elementos del test y de éstos 200 los ha acertado? 2. ¿Qué puntuación le correspondería si hubiera contestado a todos los elementos y hubiera acertado 2197 3. Si hubiera contestado todos los elementos al azar, ¿cuántos elementos se espera que hubiera acertado? ¿Qué puntuación le correspondería? 4. ¿cuál es la probabilidad de que acierte todos los elementos si contesta al azar? ¿cuál la de que los falle todos?
212. Aplicamos un test de inteligencia a un grupo de 300 sujetos. La respuesta se exige en el formato «verdadero-falso». El elemento n. 0 16 del test es contestado por todos los sujetos, pero sólo 180 lo hacen de forma correcta. La X en el test de los sujetos que responden correctamente el ítem 16 es de 70 puntos. La media obtenida por el grupo en el test es de 65 puntos y la varianza de 256. La varianza del elemento n.o 16 es de 0,24. ¿cuál es el índice de discriminación o de homogeneidad de dicho elemento? 213. Aplicamos un test de aptitud numérica a un grupo de 600 sujetos. De los 162 sujetos que obtienen una mejor puntuación en el test, 150 contestan correctamente al elemento 1O. Del 27% de sujetos con peor nota en el test 60 sujetos también contestan correctamente. Calcular el índice de discriminación del ítem 1O.
1
72 Psicometría: problemas resueltos
214. Un grupo de 6 sujetos obtuvo en un test de 4 elementos las puntuaciones que aparecen en la tabla adjunta. (En la tabla, el 1 significa que el sujeto acertó el elemento y el O que lo falló). Elementos
Sujetos
4
1
2
3
A
1
1
o
1
B
1
1
1
e
1
1
o
o o
D
o o
o o
1
1
E
o
o
F
1
1
1
1
Calcular:
1. El índice de dificultad y el número de discriminaciones de cada elemento . 2. El índice de homogeneidad del elemento n.o 3. La desviación típica de este elemento fue 0,50. Razone la respuesta y comente el resultado.
215. Se ha construido un test que se corrige clasificando a los sujetos en dos categorías: aptos-no aptos. Todos los elementos del test son dicotómicos . Se aplica el test a un grupo normativo y deseamos calcular el índice de homogeneidad de uno de sus elementos. Los sujetos han contestado según muestra la tabla adjunta. TEST Aptos
No aptos
Acierta
120
30
Falla
20
150
216. Hemos construido un test de rendimiento académico. El test sigue una distribución normal. Sus elementos aunque normales y continuos están dicotomizados. Deseamos calcular el índice de homogeneidad del elemento 4. La media del test es de 50 puntos y la desviación típica de 15. La media en el test de los sujetos que han acertado el elemento 4 es de 55. La varianza del elemento es 0,81 y la proporción PIY es igual a 1,7549. ¿cuál es el índice de homogeneidad de dicho elemento? 217. Se construye un test de inteligencia . Se aplica a un grupo normativo pertinente. El test se distribuye según la curva normal. Los elementos son dicotómicos. Se desea conocer el índice de homogeneidad del elemento 25 del test. La media del test en nuestra muestra es de 60 y la desviación típica de 12. La media en el test de los sujetos que han contestado correctamente a nuestro ítem es de 70. El elemento es acertado por el 45 % de los sujetos que responden al test. La varianza del elemento es de 0,45 . ¿cuál es el índice de homogeneidad del elemento?
73 Evaluación y análisis de los elementos del test
218. Se desea averiguar el índice de validez de un elemento dicotómico de un test. El criterio utilizado es continuo y tiene una distribución normal con una media de 100 puntos y una varianza de 196. La media en el criterio de los sujetos que han contestado adecuadamente al elemento es de 108. A dicho elemento han contestado bien 300 de los 500 sujetos a los que se les había aplicado el test. LCuál es el índice de validez del elemento? 219. Se ha elaborado un test para la selección de personal en cierta empresa . Se ha correlacionado con un criterio de buen rendimiento en el trabajo . Las puntuaciones de cierto grupo de sujetos en este criterio tienen una desviación típica de 9 y una media de 20. Los sujetos que obtienen cualquier puntuación por encima de la media se supone que tienen un buen rendimiento en el trabajo, mientras que aquellos cuya puntuación está por debajo de la media se consideran que tienen un rendimiento inadecuado. A estos mismos sujetos se les aplicó el test anteriormente mencionado. La relación entre sus calificaciones en el rendimiento y el haber acertado o fallado el elemento 12 del test se muestran en la tabla adjunta. Buen rendimiento
Mal rendimiento
Acierto en el elemento
300
60
Fallo en el elemento
100
240
LCuál es el índice de validez de dicho elemento?
220. Las respuestas de los sujetos al elemento n.o 15 de un test, se distribuyeron según la tabla siguiente: Alternativas del ítem
Subgrupo A
B
27% superior
12
10
27% inferior
12
20
e o o
D
E
120
12
40
82
La respuesta correcta es la O y tanto las puntuaciones en el test como en el elemento se distribuyen normalmente. Averiguar el índice de discriminación del elemento 15.
221. Las respuestas de los sujetos de una muestra a un elemento de un test, se distribuyeron según la tabla siguiente: Alternativas del ítem
Subgrupo A
B
e
27% superior
10
120
10
27% inferior
10
o o
30
100
D
La respuesta correcta es la C y tanto las puntuaciones en el test como en el elemento se distribuyen normalmente. Averiguar el índice de discriminación del elemento del test.
11
74 Psicometría : problemas resueltos
222. A un grupo de vendedores se les aplicó un test de 186 elementos. Los 50 primeros sólo tenían dos alternativas cada uno, es decir, eran de verdadero o falso; los 100 elementos siguientes tenían 5 alternativas de las cuales sólo una era correcta y los 36 elementos restantes tenían 4 alternativas, con sólo una correcta . 1. Un sujeto contesta todos los elementos; de los 50 primeros acierta 40; de los 100 siguientes falla 20 y de los restantes acierta tantos como falla. ¿Qué puntuación corregida obtuvo? (Puntuación corregida es aquella de la que se han eliminado los efectos del azar). 2. Decir si es verdadera o falsa la siguiente frase: «la puntuación del sujeto del punto 1 está por encima de la media del grupo que realizó el test». Razonar la respuesta.
3. Si un sujeto no sabe nada y contesta al azar, ¿cuántas preguntas es de esperar que acierte? ¿Qué puntuación corregida se espera que obtenga? Razone las respuestas.
223. A un grupo de 300 sujetos se les ha aplicado un test de 50 elementos . Cada elemento tiene 5 alternativas de las que sólo una es correcta. Las respuestas dadas al elemento 40 del test son las que se dan en la tabla adjunta. (La respuesta C es la correcta) . 1. Analizar las respuestas dadas a dicho elemento. 2. Calcular el índice de dificultad sin corregir y corregido . 3. Calcular el número de discriminaciones del elemento. Alternativas del ítem
Subgrupo A
B
e
D
E
50% superior
15
10
90
30
o
5
50% inferior
15
70
30
10
15
10
Omisiones
224. Realizado el análisis de elementos del test de razonamiento se encontró que las respuestas de los universitarios a un elemento del test se distribuían como se indica en la tabla siguiente: Subgrupo
A
B
e
D
27% superior
o o
8
37
3
2
11
14
13
12
27% inferior
E
La respuesta correcta es C y tanto las puntuaciones en el test como en el elemento se distribuyen normalmente. Averiguar e interpretar: 1. El índice de discriminación del elemento.
2. ¿Qué puede decirse acerca de las respuestas incorrectas al elemento?
75 Evaluación y análisis de los elementos del test
225. Un grupo de 6 sujetos obtuvo las siguientes puntuaciones en un test: 1, (4), 4, (5), 6, (1 O). Únicamente los tres que aparecen entre paréntesis acertaron la última pregunta del test, a pesar de que todos intentaron resolverla . Calcular: 1. El índice de dificultad de la última pregunta y comentar el resultado . 2. El número de discriminaciones que hace la última pregunta.
226. Un grupo de 500 universitarios realizó un test que constaba de 260 preguntas. Las ochenta primeras eran de verdadero o falso, es decir, cada pregunta tenía dos alternativas, y sólo una de ellas era correcta; las 120 preguntas siguientes tenían cada una 5 alternativas (5 posibles respuestas) y sólo una de ellas era correcta. Las 60 últimas eran de tres alternativas con sólo una correcta. 1. Un sujeto de los que realizaron el test contestó todas las preguntas: de las 80 primeras falló 1O; de las 120 siguientes acertó 100; y de las 60 últimas acertó tantas como falló. LQué puntuación corregida obtuvo? 2. Diga si es verdadera o falsa la siguiente frase: «La puntuación del sujeto del punto 1 está por encima de la media del grupo que realizó el test». Razone la respuesta. 3. Si un sujeto no sabe nada y contesta al azar, Lcuántas preguntas es de esperar que acierte? LQué puntuación corregida se espera que obtendría? Razone las respuestas .
227. A un grupo de 500 sujetos se les ha aplicado un test de 100 elementos. Cada elemento tiene 5 alternativas de las cuales sólo una es cor recta . Las respuestas dadas al elemento 80 del test son las que figuran a continuación . (La respuesta C es la correcta.) 1. Analizar las alternativas de dicho elemento . 2. Calcular el índice de discriminación. 3 . Calcular el número de discriminaciones del elemento. Subgrupo 27% superior 27% inferior
Alternativas del ítem A
B
e
D
E
Omisiones
5
10
80
20
20
o
25
60
20
5
20
5
228. Las respuestas de los universitarios a un elemento del test se distribu ían como se indica en la tabla siguiente: Subgrupo
1
2
3
4
5
50% superior
14
3
3
o
80
50% inferior
22
13
9
2
54
76
!1
Psicometría: problemas resueltos
La respuesta correcta es «5» y tanto las puntuaciones en el test como en el elemento se distribuyen normalmente. Averiguar: 1. La dificultad de ese elemento. 2. LQué puede decirse acerca de las respuestas incorrectas al elemento?
229. En un test, cada una de sus 200 cuestiones tiene 4 alternativas de las cuales sólo una es correcta. 1. LQué puntuación le correspondería a un sujeto que habiendo contestado a todas las preguntas acertase 80? 2. LQué puntuación obtendría si, habiendo contestado 80, hubiese dejado sin contestar 30? 3. Si contestase al azar, Lcuántas acertaría? LQué puntuación obtendría? 4. LCuál sería la probabilidad de acertar todos los ítems contestando al azar? ¿y la de fallarlos todos?
230. Un grupo de 1O sujetos obtuvo en un test de 6 elementos la matriz de puntuaciones adjunta. (El 1 significa correcto y el O incorrecto).
Sujetos
Elementos
1
2
3
4
5
6
A
1
1
1
o
o o
o
o o
o o o o
1
1
1
1
1
1
B
1
e
1
D
1
1
E
1
o
o o
1
1
F
1
1
1
1
1
o o
G
1
1
1
1
1
1
H
1
1
1
1
1
1
1
1
1
J
1
1
o
o o
o o o
o o
1. Calcule los índices de dificultad de todos los elementos y diga cuál es el más difícil. 2. LCuál es el elemento con mayor poder discriminativo y cuántas discriminaciones hace?
231. A un grupo de vendedores se les aplicó un test de 260 elementos. Los 80 primeros sólo tenían dos alternativas cada elemento, es decir, eran de verdadero o falso. Los 120 elementos siguientes tenían 5 alternativas de las que sólo una era correcta y los 60 elementos restantes tenían 4 alternativas con sólo una correcta.
77 Evaluación y análisis de Jos elementos del test
1. Un sujeto contesta todos los elementos; de los 80 primeros acierta 70; de los 120 siguientes falla 20 y de los restantes acierta tantos como falla. LQué puntuación corregida obtuvo? 2. Si un sujeto no sabe nada y contesta al azar, Lcuántas preguntas es de esperar que acierte? LQué puntuación corregida se espera que obtenga? Razone las respuestas.
232. Al realizar el análisis de los elementos de un test se encontró que las respuestas dadas por un grupo de 400 sujetos a uno de los elementos se distribuyó según la tabla adjunta. Suponiendo que tanto el test como el elemento son variables normales aunque dicotomizadas, averiguar: Subgrupo
A
B
C*
D
50% superior
10
40
120
30
50% inferior
40
60
70
30
1. Índice de dificultad del elemento. 2. Comentario sobre las respuestas incorrectas.
233. Sometemos cinco sujetos (A, B, C, D y E) a un test de 4 ítems para medir una variable continua y normal. Las calificaciones en cada uno de los ítems así como en el test, aparecen en el siguiente cuadro junto con las notas obtenidas por los sujetos en el criterio del test empleado. Ítems test
A
Test
Criterio
6
21
4
h
i
j
k
5
6
4
B
6
7
5
7
25
6
e
6
7
6
8
27
7
D
7
8
6
8
29
8
E
5
6
4
5
20
5
Calcular, con tres cifras decimales:
1. Índice de homogeneidad del elemento «h». 2. Índice de validez del elemento «h». 3. El coeficiente de validez del test. 4. El error típico de estimación del criterio a partir del test.
5. Es posible que los estadísticos calculados en las cuatro cuestiones anteriores, sobre un test con 4 elementos y con 5 sujetos, le permitan hacer algunas críticas sobre la sensatez y utilidad -en un caso real- de su cálculo. Hágalas .
78
11
Psicometría: problemas resueltos
234. Se le aplica una escala tipo Likert a un grupo de 1000 sujetos. La varianza de la escala es de 49 y el ítem 25 tiene una varianza de 2. La correlación rjx del ítem con el test es de 0,40 . LCuál será el índice de homogeneidad de dicho ítem? 235. Se quiere estudiar cierta actitud de los ejecutivos españoles. Para ello se ha elaborado una escala tipo Likert. Se ha aplicado a una muestra de 300 sujetos para hacer un estudio previo del poder discriminativo de los ítems. La puntuación media del 25% con calificación más alta en el ítem 8 ha obtenido una puntuación media de 6,25 y una varianza de 2, 12. El 25% con menor calificación en este ítem ha obtenido una media en el mismo de 2 y una varianza de 2,7. LEs la diferencia entre ambas medias estadísticamente significativa? NC 95%. 236. Se desea saber si un ítem de una escala de Likert podría discriminar adecuadamente. Se aplica el ítem a un grupo de 400 personas. Este grupo se dicotomiza en dos por la mediana. Las puntuaciones del grupo pueden verse en la tabla adjunta: Grupo inferior
Total
Puntuación sobre la mediana
Grupo superior 176
80
256
Puntuación bajo la mediana
24
120
144
200
200
400
Total
LQué podemos decir sobre la capacidad discriminativa del ítem? NC 95%.
237. Para medir una determinada actitud se quiere construir una escala siguiendo la técnica de Likert. Se escoge una muestra de 60 sujetos a los que se les aplica un conjunto inicial de 30 elementos. Cada uno de estos elementos tiene 5 categorías de respuesta que van del 1 al 5. Ordenados los sujetos según la puntuación total obtenida, seleccionamos el 25% que obtuvo puntuaciones más altas y el 25% de los que obtuvieron puntuaciones más bajas. Las puntuaciones obtenidas por ambos grupos en el elemento n.o 15 de la prueba fueron las siguientes: Grupo alto 25% superior Grupo bajo 25% inferior
1. Calcular el poder discriminante del ítem mediante la prueba estadística t de Student utilizando un nivel de confianza del 95%. 2. Utilizando el test de la mediana y aplicando la prueba de Chi cuadrado, Lpodemos decir que el ítem es discriminativo al NC del 99%7 Nota. No tener en cuenta el pequeño tamaño de la muestra.
238. Para la elaboración de una escala tipo Likert, se somete a una muestra de sujetos (N = 60) a un conjunto inicial de 20 ítems. Cada uno de los ítems tiene cinco categorías de respuesta cuyas puntuaciones van del 1 al 5. Ordenados los sujetos según la puntuación total obtenida, seleccionamos el 25% que obtuvo puntuaciones
79 Evaluación y análisis de los elementos del test
más altas y el 25% de los que obtuvieron puntuaciones más bajas. Las puntuaciones obtenidas por ambos grupos en el elemento número 20 de la prueba fueron las siguientes: Grupo alto 25% superior Grupo bajo 25% inferior
Utilizando el test de la mediana y aplicando la prueba de significación Chi cuadrado, Lpodemos decir que el ítem número 20 es discriminativo? Utilizar el nivel de confianza del 95%. Nota. No tener en cuenta el pequeño tamaño de la muestra, ya que se trata de un ejemplo.
Capítulo V:
I
Asignaciónu transformación y equiparación de las puntuaciones
239. Como resultado de la aplicación de un test de inteligencia a cinco sujetos, tenemos un conjunto de puntuaciones directas X¡ que son las siguientes: 22, 26, 14, 18, 20. 1. Transformar estas puntuaciones en otras W que tengan 50 de media y 25 de varianza. 2. Si multiplicamos las puntuaciones X¡ por la constante ( - 1/2) obtenemos unas nuevas puntuaciones V¡. ¿cuál es su media y su varianza?
240. _!rans_!ormar las puntuaciones X¡ (7, 5, 3, 6, 9) en otras puntuaciones Y tales que Y = 2X - 5 y Sr = 2Sx. 241. Se pasa un test de fluidez verbal a un grupo de cien sujetos que se distribuyen normalmente. El percentil 75 corresponde a una puntuación directa de 80 puntos. Un sujeto que es superado por otros 75 obtuvo una puntuación directa de 40 puntos . ¿Qué puntuación típica obtendría un sujeto con una puntuación directa de 50? 242. Se aplicó un test de rapidez operatoria a un grupo de 200 estudiantes, obteniéndose la distribución que se adjunta. Aunque faltan algunas frecuencias se sabe que la mediana fue 12 y que un sujeto que obtuvo 18 puntos estaba en el percentil 90. Rellene las frecuencias que faltan en la distribución. Razone la respuesta . X
F
20-22 17-19 14-16
30
11-13 8-10 5-7
20
2-4
10
82
1
Psicometría: problemas resueltos
243. Las puntuaciones obtenidas por un grupo de 200 sujetos en un test de comprensión verbal aparecen recogidas en la siguiente distribución de frecuencias:
X
F
100-104
2
95-99
10
90-94 85-89 80-84
40
75-79
38
70-74
34
65-69 60-64
7
1. Completar el cuadro sabiendo que un sujeto que obtuvo una puntuación directa de 67 puntos deja por debajo de sí al 8% de sus compañeros y que 152 sujetos obtienen puntuaciones inferiores a 87. 2. Averiguar el percentil correspondiente a un sujeto que obtuvo una puntuación directa de 97 puntos. 3. Suponiendo que la distribución fuera normal, calcular la puntuación típica derivada de media 100 y desviación típica 20, y el eneatipo del sujeto del punto 2.
244. A un grupo normativo se le ha pasado una prueba de discriminación visual. Las puntuaciones obtenidas se distribuyen de forma normal, esto se ha comprobado aplicando x2 como prueba de bondad de ajuste. Sabiendo que la media y la desviación típica fueron 15 y 1O respectivamente, Lqué puntuación típica, percentil, eneatipo y cociente intelectual de media 100 y desviación típica 16 obtendría un sujeto que alcanzó en el test una puntuación empírica X= 20?
245. Sabiendo que la distribución de las puntuaciones obtenidas por un grupo normativo de 1.000 sujetos en un test de razonamiento numérico se ajusta a una curva normal y que la media y desviación típica obtenidas fueron 40 y 1O respectivamente, calcular: 1. Porcentaje de sujetos que obtuvieron puntuaciones iguales o menores de 50. 2. LCuál es la probabilidad de que un sujeto alcance una puntuación directa igual o mayor que 45? 3. LQué puntuación típica derivada de media 50 y desviación típica 1O le corresponderá a un sujeto que obtuvo una puntuación en el test por encima de 850 de sus compañeros?
83 Asignación, transformación y equiparación de las puntuaciones
4. ¿Qué puntuación t ípica le corresponderá a un sujeto que obtuvo una puntuación directa inferior al 40% de sus compañeros?
5. ¿Qué eneatipo obtendrá un sujeto que en el test tuvo una puntuación directa de X = 55?
246. Dada la siguiente distribución de frecuencias: X
f
16-18
3
13-15
5
10-12
7
7-9
9
4-6
8
1-3
4
Calcular: 1. Puntuaciones típicas correspondientes a los puntos medios de los intervalos. 2. Puntuaciones típicas derivadas de media 50 y desviación típica 1O correspondientes a los puntos medios de los intervalos. 3. Supuesta la normalidad de nuestros datos, calcular las puntuaciones típicas normalizadas y derivadas de media 50 y desviación típica 1O que corresponde a los puntos medios de los intervalos (en escala directa) y comparar estos resultados con los obtenidos en los apartados 1 y 2.
247. Entre 100 aspirantes a vendedores se quiere hacer una selección. Una de las pruebas que se les aplicó fue un test de Fluidez Verbal, obteniéndose la siguiente distribución de frecuencias, cuya media es 36,76 y cuya desviación típica es 7 ,38. X
F
50-51
2
48-49
4
46-47
6
44-45
8
42-43
9
40-41
10
38 -39
11
36-37
10
34-35
9
32-33
7
30-31
4
28-29
6
26-27
5
24-25
4
22-23
3
20-21
2
1
84 Psicometría : problemas resueltos
Ca lcular: 1. Puntuaciones directas correspondientes a los centiles 5 y 60.
2. Puntuaciones típicas primitivas correspondientes a dichos centiles. 3. Transformar dichos centiles en puntuaciones típicas normalizadas. 4. Puntuaciones típicas normalizadas derivadas de media 60 y desviación t ípica 1O que corresponderían a dichos centiles.
5. Estaninos o eneatipos que les corresponderían. 6. Cocientes Intelectuales típicos normalizados, con media 100 y desviación típica 16. 7. Puntuación directa que correspondería a la mediana.
8. Centil que ocuparía un sujeto que hubiera obtenido una puntuación directa de 46 puntos.
248. En una muestra de 100 estudiantes de psicología se qu iere tipificar un test. Para ello se les aplica y se obtiene la siguiente distribución de frecuencias, con una media de 24,24 y una desviación típica de 7,38. X
f
40-41
2
38-39
3
36-37
4
34-35
5
32-33
6
30-31
4
28-29
7
26-27
9
24-25
10
22-23
11
20-21
10
18-19
9
16-17
8
14-15
6
12-13
4
10-11
2
Calcular: 1. Puntuaciones directas correspondientes a los centiles 1O y 80. 2. Puntuaciones típicas primitivas correspond ientes a dichos centiles. 3. Transformar dichos centiles en puntuaciones típicas normalizadas.
85 Asignación, transformación y equiparación de las puntuaciones
4. Puntuaciones típicas normalizadas derivadas de media 50 y desviación típica 1O.
5. Estaninos o eneatipos que les corresponderían. 6. Cocientes intelectuales típicos normalizados con media 100 y desviación típica 16. 7. Puntuación directa correspondiente a la mediana. 8. Centil que ocuparía un sujeto que hubiera obtenido en el test una puntuación directa de 34.
249.
Dada la siguiente distribución de frecuencias: X
n;
13-15
5
10-12
10
7-9
40
4-6
20
1-3
5
Calcular: 1. Puntuaciones centiles correspondientes a los puntos medios de los intervalos. 2. Eneatipos correspondientes a los puntos medios de los intervalos.
250. Supongamos que las puntuaciones obtenidas por un grupo de 1.000 suje!_os en un test de rendimiento se distribuyen según la curva normal con una media X = 1O y una desviación típica Sx = 4. Calcular: 1. Puntuación típica, típica derivada de media 60 y desviación típica 1O, eneatipo y cociente intelectual típico que le corresponde a un sujeto que obtuvo en el test una puntuación directa X = 12. 2. Puntuación directa que corresponde a un sujeto que es superior a 250 de los sujetos de la muestra. 3. LCuántos sujetos han obtenido puntuaciones inferiores a 1O? 4. Puntuaciones correspondientes a los percentiles 75, 80 y 90.
251. En una muestra de 200 niños de 2° Bachillerato, 80 obtuvieron puntuaciones superiores a 15 o inferiores a 25 en un test de memoria de dígitos. A un sujeto que obtuvo una puntuación de 25 le correspondió el percentil 80. Si la distribución de las puntuaciones obtenidas es normal, averiguar la puntuación típica y eneatipo de un sujeto cuya puntuación directa en el test fuera de 15.
86
1
Psicometria: problemas resueltos
252. La distribución de las puntuaciones obtenidas por un grupo de 500 sujetos en un test de coordinación motora se ajusta a la curva normal. A un sujeto que obtiene una puntuación directa de 20 puntos le corresponde el percentil 75 . Sabiendo que un sujeto que obtenga en el test una puntuación directa de 1O será superior al 25% de sus compañeros, calcular: 1. La media y la desviación típica del test. 2. Eneatipo de los sujetos cuyas puntuaciones directas fueron X, = 20 y X 2 = 1O. 3. Si un sujeto obtiene en el test una puntuación directa X = 27, Lcuál será su puntuación típica, percentil y eneatipo?
253. A un grupo de 100 sujetos se les ha aplicado un test de razonamiento numérico . Las puntuaciones obtenidas, que se distribuyen según la curva normal, fueron las siguientes: X
f
30-32
10
27-29
14
24-26
20
21-23
21
18-20
30
15-17
5
Calcular: 1. Puntuaciones centiles correspondientes a las puntuaciones directas 16, 19, 22, 25, 28y31. 2. Puntuación correspondiente a la mediana. 3. Puntuaciones típicas normalizadas correspondientes a las puntuaciones directas de los puntos (1 y 2). 4. Puntuaciones derivadas normalizadas con media 50 y desviación típica 20 correspondiente a las puntuaciones típicas del punto 3. 5. Eneatipos correspondientes.
254. Para medir la agudeza visual se ha aplicado una prueba adecuada a una muestra de 50 sujetos obteniéndose los siguientes resultados: f
X 5
4
4
13
3
20
2 "' 1
8
"
5
87 Asignación, transformación y equiparación de las puntuaciones
Suponiendo que la distribución de los datos es aproximadamente normal, calcular: 1. Puntuaciones centiles que corresponden a cada una de las puntuaciones directas. 2. Puntuaciones diferenciales. 3. Puntuaciones típicas. 4 . Puntuaciones típicas derivadas con media 100 y desviación típica 15. 5. Eneatipos.
255. En un experimento de laboratorio, se han utilizado 200 cobayas. El experimento consiste en recorrer un laberinto y encontrar la salida. La media de tiempo empleado en encontrar la salida fue de dos horas y la desviación típica de 1/2 hora. Suponiendo que la distribución de los tiempos se ajuste a una curva normal, calcular: 1. Tiempo en horas que tarda una cobaya en encontrar la salida, sabiendo que la encuentra antes que 150 de las cobayas de la muestra. 2. Transformar la puntuación anterior a puntuación t ípica, percentil, t ípica derivada de media 40 y desviación típica 30 y eneatipo.
256. El número de respuestas emitidas por un grupo de 500 ratas a un programa de reforzamiento se ajusta a la distribución normal y presenta una media de 70. Sabemos que una rata emite más respuestas que 250 de sus compañeras. Calcular: el percentil, la puntuación típica empírica, el eneatipo, el número de respuestas que emitió, la puntuación derivada y normalizada en una escala de media 50 y desviación típica 20 de dicha rata. 257.
Dada la siguiente distribución de frecuencias, calcular: X
n;
21-24
5
17-20
8
13-16
10
9-12
15
5-8 1-4
""
8 4
1. La puntuación directa correspondiente a los percentiles 20 y 70 . 2. En qué percentil está un individuo que obtiene una puntuación directa de 20 puntos. 3. Puntuación típica de un individuo que obtiene 11 puntos como puntuación directa.
88
11
Psicometría: problemas resueltos
258. El número de respuestas emitidas por un grupo de 200 palomas a un programa de reforzamiento se distribuye según la curva normal, con una media de 60 y una desviación típica de 5. Sabiendo que una determinada paloma emite más respuestas que 150 de sus compañeras de grupo, calcular: su percentil, su puntuación típica, el número de respuestas que emitió, su puntuación derivada en una escala de media 100 y desviación típica 20, su esta ni no. 259. Un sujeto tiene una puntuación en un test de 28. La media del grupo es 26 y la varianza 25. El coeficiente de fiabilidad del test es de 0,90, Calcular: 1. LCuál es la puntuación verdadera de este sujeto en el test? Exprese los resultados en puntuaciones típicas. Suponiendo que la distribución sea normal: 2. LQué percentil ocuparía ese sujeto? 3. LQué puntuación le correspondería en una escala de eneatipos?
260. Se aplicó un test de agresividad a un grupo de 200 niños que habían estado viendo en la televisión un programa de contenido violento, obteniéndose la distribución que se adjunta debajo. Aunque faltan algunas frecuencias, se sabe que la mediana fue 12 y que un niño que obtuvo 18 puntos estaba en el percentil 80.
Ir
Puntuación en agresividad
Número de niños
20·22 17-19 14-16
20
11-13 8-10
40
5-7
20
2-4
10
1. Calcule la puntuación de un niño que esté en el percentil 1O. 2. Rellene las frecuencias que faltan en la distribución razonando adecuadamente su obtención.
261. El departamento de Recursos Humanos de una empresa ha desarrollado dos cuestionarios para evaluar el grado de satisfacción en el trabajo de sus empleados. En un estudio piloto, se asigna de forma aleatoria las dos pruebas a 12 sujetos de tal forma que 6 realizan la forma X y seis la forma Y. Los resultados obtenidos son los que aparecen a continuación:
89 Asignación, transformación y equiparación de las puntuaciones Forma X
Forma Y
40
36
39
41
44
39
50
45
46
40
41
46
Equiparar las puntuaciones de ambos cuestionarios y calcular el error típico de medida de la puntuación equiparada correspondiente a X = 50.
262. El psicólogo de un centro escolar ha decidido utilizar dos formas distintas de un test para estudiar el grado de motivación de los alumnos con problemas de aprendizaje en su centro . Para calcular la equiparación de las puntuaciones, el psicólogo cuenta con las puntuaciones obtenidas en las dos formas del test por 30 alumnos. La mitad de los alumnos respondieron primero a la forma X y luego a la forma Y, y la otra mitad contestaron primero a la forma Y y luego a la forma X. La suma de las puntuaciones obtenidas en las dos formas y la suma de las pun tuaciones al cuadrado fueron: Grupo 1
:¿x :¿)(2
Grupo 2
Forma Y
Forma X
Forma Y
Forma X
189
195
210
202
1.750
1.81 o
2.140
1.990
A la vista de estos resultados, calcular la ecuación de equiparación de las puntuaciones de ambas formas del test.
263. La dirección de una empresa desea evaluar los conocimientos de marketing de sus agentes . Puesto que no es posible llevar a cabo la evaluación de todos los agentes a la vez, se han confeccionado dos tests distintos, de 50 preguntas cada uno. De las cincuenta preguntas, 15 son comunes a ambos tests y 35 diferentes. Las puntuaciones obtenidas por los cinco agentes de cada grupo son: Grupo 1
Grupo 2
Ítems comunes
Ítems diferentes
Ítems comunes
Ítems diferentes
14
32
10
20
12
25
10
25
9
26
8
20
11
19
13
30
10
15
15
25
Calcular para cada agente su calificación final en el test, de modo que las calificaciones de los cinco agentes estén en la misma escala .
90 Psicometría: problemas resueltos
264. Se han administrado dos cuestionarios a dos muestras de 200 sujetos con el fin de evaluar su actitud ante un determinado partido político. En la tabla siguiente se presentan los resultados obtenidos en ambos cuestionarios. Puntuación
Cuestionario A
Cuestionario B
o
6
26
1
8
34
2
10
42
3
14
46
4
18
20
5
44
12
6
50
8
7
24
6
8
20
2
9
4
2
10
2
2
Equiparar las puntuaciones de ambos cuestionarios utilizando para ello el método percentil
265. Hemos seleccionado una muestra aleatoria de 100 sujetos . Una vez dividida en dos grupos, aplicamos al primer grupo de sujetos un test X de geografía, donde la media de las puntuaciones en el test es igual a 65, y la desviación típica es igual a 6; y un test Y también de geografía donde la media de las puntuaciones es igua l a 55, y la desviación típica es igual a 5. Al segundo grupo le administramos los mismos tests, pero en orden inverso, obteniendo los siguientes resultados: la media de las puntuaciones en el test Y es igual a 45, y la desviación típica es igual a 5.5 y, la media de las puntuaciones en el test X es igual a 60 y la desviación típica es igl:!_al a 6. La correlación entre ambos tests es igual a 0,75, y los valores totales del test X = 62, Y = 48, Sx = 5. Deseamos saber qué puntuación en el test Y sería equivalente a la puntuación 53 obtenida por un sujeto en el test X y cuál es el error típico de equiparación cometido.
1
~ uestras de 200 sujetos con político. En la tabla siguienonarios.
tionario B
26 34 42 46 20 12 8
6 2 2 2
ilizando para ello el méto-
00 sujetos. Una vez dividitest X de geografía, donde :J esviación típica es igual a ls puntuaciones es igual a administramos los mismos ~s ultados: la media de las a es igual a 5.5 y, la media ia ción típica es igual a 6. es totales del test X = 62, st Y sería equivalente a la ; el error típico de equipa-
266. Un grupo de sujetos tiene en un test una media de 20, 12 de desviación t ípica y la correlación entre las dos mitades equivalentes del test fue de 0,84. Examinados por un tribunal competente recibieron calificaciones cuya med ia fue de 12 puntos y la desviación típ ica fue de 3. La correlación de Pearson entre las puntuaciones en el test y las notas del tribuna l arrojó un valor de 0,80 . Si un sujeto obtiene 36 puntos en el test, averiguar: 1. El intervalo confidencial del 96% en torno a su puntuación verdadera en el test. 2. El intervalo confidencial del 96% en torno a su puntuación en el criterio . 3. El coeficiente de alienación del test. 4. Supon iendo que la distribución de las puntuaciones en el test sea norma l, Lqué centil ocupa este sujeto en su grupo? 5. Suponiendo que la distribución de las puntuaciones en el test sea normal, Lqué puntuación típica normalizada derivada (Dn con media 50 y desviación típ ica 20) le corresponde? 6. Suponiendo que la distribución de las puntuaciones en el test sea norma l, Lqué eneatipo o estanino le corresponde?
267. Un test de 100 elementos tiene en un grupo normativo una media de 8, una desviación típica de 5, un coeficiente de fiabilidad de 0,75 y un coeficiente de validez de 0,60 respecto de un criterio cuya fiabilidad es 0,80 y cuya varianza es 16. Calcular: 1. El coeficiente de alienación.
2. El coeficiente de valor predictivo. 3. Calcular el coeficiente de determinación y el porcentaje de varianza asociada entre el test y el criterio. 4. La desviación típica de las puntuaciones verdaderas en el test .
92 Psicometria: pro ble mas resueltos
5. Entre qué valores se encontrará la puntuación verdadera directa de un sujeto en el test, si obtuvo en éste una puntuación empírica directa de 12. Nivel de confianza del 99%.
6. El intervalo confidencial del 95% en el que puede afirmarse que estará la puntuación diferencial empírica del sujeto anterior en el criterio. 7. ¿cuál sería la validez del test si se eliminasen los errores de medida del test y del criterio?
8. Si se añadiesen al test 50 elementos paralelos a los que posee, ¿cuál sería la
2E
una m califie< coefici
fiabilidad del nuevo test?
9. ¿cuál debe ser la diferencia mínima entre las puntuaciones de dos sujetos en el test para poder afirmar al nivel de confianza del 95% que uno de ellos es superior al otro? 1 O. Sabiendo que los sujetos se distribuyen en el test según la curva normal, calcular: a) El estanino. b) El percentil.
1.
e) La puntuación diferencial.
d) La puntuación derivada de media 1O y varianza 9.
2
e) La puntuación directa que le correspondería a un sujeto que obtuvo en el test una puntuación típica igual a 1 ,5.
3
268. En una adecuada muestra normativa un test tiene una desviación típica igual a 4 y una correlación con un criterio externo igual a 0,80. La desviación típica en un criterio es de 2 y los coeficientes de fiabilidad en el test y en el criterio son r xx = 0,90 y r yy = 0,90. Un sujeto obtiene en el test una puntuación diferencial x = 3 . Averiguar: 1. ¿Qué puntuación diferencial le pronosticamos en el criterio?
ros s
men·
ra pé
2. ¿cuál es el error típico de estimación del test para el criterio? 3. Al nivel de confianza del 95%, ¿entre qué límites podemos afirmar que estaría la puntuación diferencial del sujeto en el criterio? 4. Si duplicamos la longitud del test, por adición de elementos paralelos, ¿cuál será el coeficiente de validez del test aumentado?
5. ¿cuál sería el coeficiente de validez del test original si se eliminan todos los errores de medida del test y del criterio?
6. Suponiendo que la distribución del test es normal, expresar la puntuación del sujeto que obtuvo una puntuación diferencia l x = 3, en: a) Escala típica primitiva.
bas la e med ticip y 1,;
93 Problemas generales
rdadera directa de un sujeto 1írica directa de 12. Nivel de
afirmarse que estará la pun, el criterio.
mores de medida del test y
os que posee, Lcuál sería la
b) Escala típica derivada con media de 50 y desviación típica de 20 . e) Eneatipo. d) Percentil.
269. Un grupo de 100 alumnos obtuvo en un test de razonamiento numérico una media de 20 y una desviación típica de 5 puntos. Estos mismos alumnos fueron calificados en un criterio y la distribución de frecuencias se expone a continuación; el coeficiente de alienación es 0,60.
tuaciones de dos sujetos en el 95% que uno de ellos es ~st según la curva normal,
y
f
10-12
10
7-9
40
4-6
35 15
1-3
Averiguar:
1. El centil que ocupará un sujeto que obtiene en el criterio una puntuación directa de 8 puntos, puntuación típica empírica, típica normalizada y eneatipo.
a 9. un sujeto que obtuvo en el
2. Si suponemos que la distribución de las puntuaciones obtenidas por los sujetos en el test es normal, averiguar la puntuación directa correspondiente a un sujeto que ocupa el centil 60; Lcuál será el eneatipo correspondiente?
3. Cuarenta sujetos situados por encima de la mediana del test acertaron el elemento
x3
x.
11 10 12 10 9 8 12 14 8 10
10 9 7 15 9 8 13 14 10 11
14 9 13 6 8 10 10
Criterio Y
7.
13
27 20 28 26 24 27 46 38
10 12
39
27
8.
27 coefici1 car un en los t ípica i 1.
278. Para determinar la fiabilidad de un test de percepción espacial se llevó a cabo un estudio piloto en el que se aplicó dicho test, compuesto de 50 ítems de cuatro alternativas, a una muestra de 1O sujetos. En la tabla adjunta se presentan las puntuaciones de cada sujeto en los ítems pares (P) e impares (1).
2.
1
99 Problemas generales
ron evaluados por el jefe de mante. Calcular:
Sujetos p 1
fiabilidad del test. varianza empírica del test. duplicase el número de eleación diferencial verdadera ión típica empírica de O, 75
los errores de medida del bilidad del criterio es 0,80.
sobre el criterio, en punalcanzar en el criterio una hubiera obtenido una pun-
1 15 20
2 18 15
3 22 18
4 10 14
5 11 9
6 17 12
7 16 21
8 7 13
9 23 19
10 15 19
Calcular: 1. La varianza de las puntuaciones verdaderas. 2. El intervalo confidencial dentro del que se encontrará la puntuación directa verdadera de un sujeto que en el test se encontraba a 2 desviaciones típicas por encima de la media (NC 95%). 3. Si se aplicase dicho test a una segunda muestra de sujetos cuya varianza fuera el doble de la varianza de la primera muestra, Lcuál sería el valor del coeficiente de fiabilidad? 4. LEn qué proporción aumentaría el coeficiente de fiabilidad si se aumentase el número de ítems del test en un 50%7 5. Como criterio externo se utilizó una prueba oftalmológica obteniéndose los siguientes resultados: Sujetos Puntuación
or predictivo. Interpretar los A la vista de estos resultados, Lcuál sería el valor del coeficiente de validez del test? 6. El coeficiente de validez del test bajo las condiciones del apartado número 4. 7. Si el coeficiente de fiabilidad del criterio es igual a 0,96, Lcuál sería el valor del coeficiente de validez del test si la fiabilidad del criterio fuese perfecta? 8. Supongamos que de las cuatro alternativas sólo una es correcta y que los sujetos contestan a todos los ítems, Lcuál sería la puntuación corregida del sujeto n. 0 3 en el test?
279. Un test de aptitud tiene en una muestra de 300 alumnos de 3° de BUP un coeficiente de fiabilidad de 0,81, una desviación típica igual a 4 y permite pronosticar un 49% de la varianza de las puntuaciones de la muestra en un criterio de éxito en los estudios. La fiabilidad del criterio, en esa muestra, es de 0,64 y la desviación típica igual a 6. Averiguar:
epción espacial se llevó a puesto de 50 ítems de cuaa adjunta se presentan las (1).
1. LQué puntuación diferencial se le pronosticará en el criterio a un sujeto que ha obtenido en el test una puntuación típica de -0,5. LCuál sería el intervalo confidencial? (NC 99%). 2. Si la distribución de las puntuaciones en el criterio se ajusta a la curva normal de probabilidad, Lcuántos alumnos obtendrían en el criterio puntuaciones superiores a la pronosticada al sujeto anterior?
100 Psicometría: problemas resueltos
3. LCuál sería el coeficiente de fiabilidad del test si se aplicara a una muestra cuya varianza fuera la mitad?
7. Si
Lq su
4. LCuál sería el coeficiente de validez del test si se eliminasen de él los errores de medida?
281.
280. Un equipo de investigación está llevando a cabo la construcción de una batería de test para su utilización en selección de personal. En un estudio piloto que han llevado a cabo sobre una muestra de 500 vendedores han obtenido los siguientes resultados: Test A (fluidez verbal)
= 25 Varianza = 64 N. de ítems = 30 Media
0
Test B (habilidades sociales)
Matemát capacidac
Selecc si le sirver mera eva de Materr
= 20 Varianza = 81 N. 0 de ítems = 30 Media
- La suma de las covarianzas de los ítems en el test A fue de 49 puntos.
- Si s un.
- En el test 8, las dos mitades (pares - impares) eran paralelas y la varianza de las puntuaciones de los sujetos en los ítems pares fue de 24 puntos. Evaluados los sujetos en un criterio externo, en función del número de ventas mensuales realizadas, se obtuvieron los siguientes resultados: media = 35; varianza = 16. A partir de las puntuaciones del test A se podía predecir el 60% de las puntuaciones de los sujetos en el criterio y entre el test 8 y el criterio había un 49% de varianza común asociada. Calcular: 1. Coeficiente de fiabilidad y validez de los tests A y B.
-A n se E
- El E dirr
2. LCuál de los dos tests elegiría para hacer la selección si sólo se pudiera utilizar uno de ellos?
Averi<
3. LQué puntuación se le pronosticará en el criterio a un sujeto que ha obtenido en el test A 40 puntos?
2. El
4. LEntre qué valores se encontrará, a un NC del 95%, la puntuación verdadera en el test 8 de un sujeto que ha obtenido una puntuación empírica de 24 puntos? 5. LCuál sería el valor del coeficiente a si se duplicara la longitud del test A? Suponiendo que la correlación entre las puntuaciones obtenidas por los sujetos en el test inicial y en el duplicado fuera de 0,84, Lsería significativa la diferencia entre los dos coeficientes a obtenidos? (NC 95%). 6. Si de los 500 vendedores se han seleccionado 200, y de éstos las tres cuartas partes tuvieron éxito como vendedores, Lcuál fue la razón de selección? ¿y la de eficacia?
1.
¿e
3. La 4. Si ap su
5. Si bil
6.
¿e re'
7.
¿e PL
101 Problemas generales
aplicara a una muestra cuya 'minasen de él los errores de
bo la construcción de una . En un estudio piloto que han obtenido los siguien-
7. Si las puntuaciones de los sujetos en el test A se distribuyen normalmente, Lqué puntuación típica derivada de media 50 y DT 1O le correspondería a un sujeto que ha obtenido una puntuación de 30?
281. Un psicólogo escolar está intentando evaluar la capacidad para las Matemáticas de sus alumnos de 8° de EGB para, si el rendimiento no se adecua a sus capacidades, poder poner en marcha un programa de recuperación . Selecciona dos pruebas de Matemáticas de las que existen en el mercado para ver si le sirven para predecir el rendimiento de sus alumnos, y las aplica antes de la primera evaluación. A mediados de curso evalúa su rendimiento mediante un examen de Matemáticas. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
1
Test A
~edia = 23 SA = 9
se
1
=3
- Si se utiliza sólo el test A para pronosticar el rendimiento de los niños, queda un 40% de varianza del criterio sin explicar. paralelas y la varianza de las de 24 puntos. ción del número de ventas ltados: media = 35; varianpredecir el 60% de las pune! criterio había un 49% de
B. n si sólo se pudiera utilizar
Test B Media
= 38
rp;
= 0,49
- A nivel de confianza del 95%, los límites del intervalo confidencial entre los que se encontrará la puntuación verdadera de un sujeto son 30 y 24,8 puntos. - El error típico de estimación es el 60% de la desviación típica del criterio (rendimiento) . Averiguar: 1. LCuál de las dos pruebas tiene mayor poder predictivo?
un sujeto que ha obtenido
2. El coeficiente de fiabilidad de las dos pruebas 3. La varianza empírica de las puntuaciones de los sujetos en el test B.
la puntuación verdadera puntuación empírica de 24 ra la longitud del test A? es obtenidas por los suje, Lsería significativa la dife95%).
y de éstos las tres cuartas la razón de selección? ¿y la
4. Si el criterio se ha medido en una escala de 1O puntos considerando que el aprobado está en la media (en el 5}, Lqué probabilidad de aprobar tendrá un sujeto que en el test A está a una desviación típica por encima de la media? 5. Si se duplicara la longitud del test B, Lqué pasaría con sus coeficientes de fiabilidad y validez? 6. LCuál de los dos tests se verá más afectado si la variabilidad de la muestra se redujera a la mitad? 7. LCuál sería la puntuación de un sujeto en el test B equivalente a una 9_e.]'
102 Psicometria: problemas resueltos
282. El Centro de Investigaciones Sociológicas está interesado en evaluar el impacto que los últimos escándalos acaecidos en la vida pública española han tenido en la imagen que la sociedad española tiene de la clase política .
En prueb ficació
Para ello, elabora una escala con seis elementos y la aplica a una muestra representativa. Así mismo, a los sujetos de esta muestra se les pide que den una valoración personal de la clase política en una escala de 1 a 1O. La tabla adjunta recoge las respuestas dadas por cinco sujetos de esa muestra a las preguntas del cuestionario junto con su valoración de la clase política:
1 a 1O
Ítems
Sujetos 1
2
3
4
5
6
Valoración clase política
1
3
2
3
4
5
5
4
2
1
2
3
2
3
1
3
3
4
4
3
1
4
5
9
4
2
3
5
2
3
3
3
Cale
5
4
1
3
1
2
5
8
1.
Calcular:
2. 5 e
~
1. LCuál es la fiabilidad del cuestionario?
3. L
2. LSe pueden utilizar las puntuaciones de este cuestionario para pronosticar la imagen que de la clase política tienen los ciudadanos españoles? Calcule algún índice que avale su respuesta.
4. L
3. LCuál sería la validez de este cuestionario si éste no tuviera errores de medida?
5. E
4. LCuál sería el valor máximo que se podría obtener para el coeficiente de validez de este cuestionario?
6. E
5. LCuál es el error de medida en este cuestionario del sujeto número 5? LEn qué sentido le afecta, de modo favorable o desfavorable? Razone su respuesta. 6. LEs posible que un sujeto con una puntuación de 12 en el cuestionario tenga una imagen positiva de la clase política (Y 2: 12)? Justifique su respuesta. 7. Si se añadieran seis elementos más al cuestionario original, Lcuál sería el nuevo coeficiente de fiabilidad del test? Ly el de validez? 8. LCuál es el índice de validez del elemento número 6? 9. La puntuación en el cuestionario del sujeto número 4 y expresarla en la escala típica derivada D.
283. El Instituto Nacional de Calidad y Evaluación desea examinar el nivel de conocimientos en el área de Humanidades de los alumnos al finalizar la educación obligatoria. Para ello, construye una prueba de cinco preguntas cortas, calificadas en una escala de 1 a 5 cada una de ellas; esta prueba se administra a una muestra representativa de 2.000 alumnos procedentes de todas las comunidades autónomas.
o
7. L V
8. L q
9. L g SI
284 sado en la tasad ha diseñ 20 pregt de segu¡ segundo dientes 1 cuáles n1
103 Problemas generales
Stá interesado en evaluar el
a pública española han tenido política.
a aplica a una muestra repres pide que den una valoración 1 tabla adjunta recoge las res~guntas del cuestionario junto
En la tabla adjunta se presentan las respuestas dadas a las preguntas de dicha prueba por los seis primeros alumnos de la muestra. La tabla recoge también la calificación otorgada a dichos alumnos por el profesor de Humanidades en una escala de
1 a 1O. Sujetos
4
3 9
3
8
Calificación
x3
x.
x,
3
2
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2
3
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2
8
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2
2
2
1
4
2
clase política
Ítems
x,
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5
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2
2
1
3
5
6
4
5
4
5
4
8
Calcular: 1. La fiabilidad de la prueba.
2. Si se trabajara con una prueba de 1O preguntas, Lse obtendría un coefic iente de fiabilidad significativamente diferente al anterior? La correlación ent re las puntuaciones del test original y del alargado es 0,85. rio para pronosticar la nos españoles? Calcule algún
3. LSe puede considerar la prueba como un buen predictor de las calificaciones de los alumnos en el área de Humanidades?
4. La puntuación verdadera en el test del alumno número 4. o tuviera errores de medida? para el coeficiente de vali-
5. El error de estimación en el criterio para el alumno número 2. 6. El índice de discriminación y el de fiabilidad de la pregunta número 4. 7. La puntuación obtenida por los seis alumnos de la muestra en una escala deri-
1 sujeto
número 5? LEn qué ble? Razone su respuesta. 12 en el cuestionario tenga Justifique su respuesta. original, Lcuál sería el nuevo
4 y expresarla en la escala
desea examinar el nivel de nos al finalizar la educación untas cortas, calificadas en nistra a una muestra repremunidades autónomas.
vada de media 5 y desviación típica la unidad.
8. La fiabilidad de la prueba en la muestra total de los 2.000 alumnos, sabiendo que la varianza de sus puntuaciones ha sido 38,50.
9. LSi es posible que un alumno con una puntuación de 15 en la prueba obtenga una calificación de notable (7 o más) en el área de Humanidades? Justifique su respuesta.
284. El Instituto Universitario de Educación a Distancia de la UNED está interesado en saber hasta qué punto el nivel de satisfacción del alumnado se relaciona con la tasa de alumnos que finalizan o abandonan sus estudios en la UNED. Para ello, se ha diseñado un cuestionario para medir la satisfacción con los estudios formado por 20 preguntas; dicho cuestionario se ha administrado a una muestra de 500 alumnos de segundo de psicología y a otra muestra de idéntico tamaño de estudiantes de segundo curso de derecho. Al cabo de seis años, se han consultado las correspondientes bases de datos para determinar qué alumnos han finalizado sus estudios y cuáles no lo han hecho todavía.
il
104 Psicometría: problemas resueltos
En la tabla adjunta se presentan las respuestas dadas a cinco preguntas de dicho cuestionario por los seis primeros alumnos de la muestra de psicología. La última columna indica si el alumno ha finalizado (1) o no (O) sus estudios, transcurridos los seis años después de la administración del cuestionario.
e que VIS U
Sujetos
Ítems
X,
x2
x3
x.
1
3
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2
1
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y
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3
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3
2
1
6
3
2
4
3
4
o
3
4
5 1. A partir de los datos de la tabla anterior, determine la fiabilidad de esa parte del cuestionario .
2. Suponiendo que las 15 preguntas restantes son paralelas a las cinco de la tabla, determine la fiabilidad del cuestionario completo.
3. LCuál sería la varianza de las puntuaciones de los 500 alumnos de psicología en el cuestionario completo? 4. A la vista de la información contenida en la tabla anterior, Lse puede utilizar la información proporcionada por el cuestionario para predecir la tasa de abandono de los estudios en la UNED? Justifique su respuesta.
5. Calcule el índice de discriminación y el de validez de la pregunta número 4. 6. Determine la puntuación en el cuestionario del alumno número 1 en la escala de eneatipos, asumiendo que las puntuaciones se distribuyen de forma normal. 7. Suponiendo que el porcentaje de varianza común entre las puntuaciones empíricas en el cuestionario de los 500 alumnos de derecho y sus errores de medida es del 25%, Lexisten diferencias estadísticamente significativas entre los coeficientes de fiabilidad obtenidos para dicho cuestionario en la muestra de psicología y derecho?
285. Con motivo de las modificaciones que se quieren introducir en el examen psicotécnico para la obtención del permiso de conducir, se han aplicado dos tests a una muestra de 50 sujetos para evaluar su grado de atención y su agudeza visual. En el test de atención, la razón entre la desviación típica de los errores y la de las puntuaciones emp íricas fue de 0,25; la media del test 18 y la desviación típica de 3 puntos. En la tabla adjunta se presenta la proporción de sujetos que contestó correctamente a los 11 ítems de que constaba el test de agudeza visual. La media de dicho test fue de 7 puntos y la va rianza total del test de 7 puntos.
6
7
-
;.
des< Para ítem emp cada da dé
105
11
Problemas generales
a cinco preguntas de dicho ra de psicología. La última estudios, transcurridos los Como criterio hemos empleado la puntuación obtenida en un video juego en el que los sujetos tenían que conducir un coche. La correlación con el test de agudeza visual fue de 0,63. y
Calcular: 1. El coeficiente de fiabilidad de los dos tests. 2. El intervalo confidencial en el que se encontrará la puntuación típica verdadera de un sujeto que obtuvo en el test de atención una puntuación típica de 0,90 puntos (NC 95%). 3. El coeficiente de fiabilidad del test de agudeza visual si duplicásemos su longitud. 4. Los coeficientes de alienación y de valor predictivo del test de agudeza visual.
ne la fiabilidad de esa parte paralelas a las cinco de la pleto.
5. Sabiendo que la correlación entre el test de agudeza visual antes y después de duplicar su longitud es de 0,80, Lexisten diferencias estadísticamente significativas entre ambos coeficientes de fiabilidad? (NC 95%). 6. Si la distribución de las puntuaciones en el primer test se ajusta a una distribución normal, Lqué puntuación directa y eneatipo le corresponde a un sujeto que ha obtenido una puntuación superior al 90% del resto de los sujetos?
500 alumnos de psicología
7. El error máximo de estimación en el criterio que se podría cometer al realizar un pronóstico a partir del test de agudeza visual (NC 95%).
anterior, Lse puede utilizar o para predecir la tasa de
8. LCuál es la varianza y el índice de dificultad del ítem 8 que aparece en la tabla?
de la pregunta número 4. mno número 1 en la escala istribuyen de forma normal. n entre las puntuaciones de derecho y sus errores de camente significativas entre cuestionario en la muestra
n introducir en el examen se han aplicado dos tests a "ón y su agudeza visual. En los errores y la de las pundesviación típica de 3 pun·etos que contestó correctavisual. La media de dicho
286. La dirección de un centro comercial está interesada en conocer las aptitudes comerciales de sus empleados con objeto de adaptar sus estrategias de venta. Para ello selecciona a diez de sus empleados y les aplica un test compuesto de 40 ítems. Asimismo, solicita al Jefe de Personal que haga una valoración global de los empleados en dichas aptitudes. En la siguiente tabla, aparecen las puntuaciones que cada sujeto obtuvo en los ítems pares (P) e impares (1) del test y las puntuaciones dadas a cada empleado por el Jefe de Personal. Sujetos
Pares
Impares
y
1 2 3 4 5
10 11 8 14 13 17 12 15 18 7
15 14 10 9 10 18 15 14 20 9
30 28
6
7 8 9 10
22
29 25 30 30 32 37 18
106 Psicometría: problemas resueltos
Calcular:
3
1. La consistencia interna del test. Comentar los resultados. 2. Cuántos ítems paralelos habría que añadir al test para obtener un coeficiente de fiabilidad igual a 0,88.
4
3 . El intervalo confidencial en el que se encontrará la puntuación directa verda-
5
dera en el test de los sujetos que obtuvieron una puntuación empírica de 18. (NC 95%).
6.
4. El error típico de estimación del criterio.
5. La puntuación directa y el eneatipo que obtendrá en el criterio un empleado que obtuvo en el test una puntuación superior al 80% de sus compañeros, suponiendo que la distribución de las puntuaciones en el test y en el criterio se ajustan a la curva normal de probabilidad.
6. La puntuación corregida de un sujeto que en el test acierta 25 ítems y falla el resto, suponiendo que cada ítem consta de cuatro alternativas.
7.
2
aerop zas . E rante: datos
7. Porcentaje de la varianza empírica del test que se debe a la varianza error y porcentaje de la varianza de las puntuaciones del criterio que no se pueden explicar a partir de la varianza de las puntuaciones en el test.
8. Suponiendo que a los sujetos de la muestra se les aplica un segundo test con media 35 y desviación típica 7, la puntuación que obtendría en este test un sujeto que obtuvo una puntuación de 29 en el primer test.
287. Para la realización de una práctica un estudiante aplica un test «A» de fluidez verbal a una muestra de cinco niños. Como criterio utiliza las puntuaciones obtenidas en la primera evaluación de Lenguaje (Y). Las puntuaciones de los cinco niños aparecen recogidas en la tabla adjunta.
Sujetos
Ítems X,
x,
x3
x.
Xs
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1
1
o
o
1
1
1
1
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5
Sa los su 1.
2. Calcular:
3.
1. El coeficiente de fiabilidad del test utilizando dos métodos distintos. Justificar los métodos utilizados.
4.
2. Podemos afirmar que el coeficiente de fiabilidad del test es estadísticamente significativo? (NC 95%).
5.
107 Problemas generales
r ultados.
;t para obtener un coeficiente
la puntuación directa verdaa puntuación empírica de 18.
3. La proporción en que incrementaría el coeficiente de fiabilidad del test si duplicásemos su longitud. 4. La puntuación derivada de media 50 y desviación típica 1O que obtendrá en el criterio un sujeto que obtuvo una puntuación 4 en el test. 5. El coeficiente de validez del test si lo aplicáramos a un grupo de sujetos en el que la desviación típica fuera el doble. 6. El valor del coeficiente de valor predictivo del nuevo test si aumentáramos 3 ítems su longitud.
rá en el criterio un empleado · al 80% de sus compañeros, nes en el test y en el criterio acierta 25 ítems y falla el alternativas. debe a la varianza error y criterio que no se pueden en el test. aplica un segundo test con e obtendría en este test un
te aplica un test «A» de fluiiza las puntuaciones obteaciones de los cinco niños
7. El índice de dificultad y el índice de discriminación del ítem «3» del test.
288. Ante la falta de controladores aéreos y los problemas existentes en los aeropuertos españoles, se ha hecho una convocatoria especial para cubrir nuevas plazas. Entre las pruebas utilizadas para hacer la selección se les aplicó a todos los aspirantes (N= 1.500) un test de atención. El test estaba formado por 60 elementos y los datos obtenidos fueron los siguientes: - Índice de fiabilidad del test: 0,80. - Media del grupo de aspirantes en el test: 45 . - Varianza del grupo de aspirantes en el test: 25. - Distribución normal de las puntuaciones obtenidas . Mediante este test, se seleccionaron los sujetos que tenían una puntuación igual o mayor que una desviación típica por debajo de la media. Los sujetos seleccionados fueron evaluados en un criterio de competencia profesional y calificados en una escala de O a 1O puntos, obteniendo los siguientes resultados: - Media de las puntuaciones en el criterio: 7. - Desviación típica en el criterio : 2. - La correlación entre las puntuaciones obtenidas por estos sujetos en el test de atención y en el criterio: r xy = 0,60. Sabiendo que la media y la desviación típica obtenida en el test de atención por los sujetos seleccionados fue de 50 y 4 puntos respectivamente. Calcular: 1. El error típico de medida en el grupo de aspirantes. 2. El coeficiente de fiabilidad del test en el grupo seleccionado. 3. El número de sujetos que fueron seleccionados y la razón de selección .
· métodos distintos. Justificar
4. La puntuación empírica directa y eneatipo que sirvió de punto de corte en el test para hacer la selección .
del test es estadísticamente
5. Cuál habría sido el coeficiente de validez del test en la muestra total de aspirantes.
108 Psicometría: problemas resueltos
1
1
6. Los coeficientes de determinación, alienación y valor predictivo en ambos grupos. Expl icar los resultados.
7. Un sujeto con una puntuación empírica en el test de atención de 38 puntos, Lha sido seleccionado? , Ldebería haber sido seleccionado? Justifique su respuesta (NC 95%).
8. Entre qué valores estará la puntuación directa que obtendría en el criterio un sujeto seleccionado, que en la prueba de atención obtuvo una puntuación igual a una desviación típica por encima de la media (NC = 95%).
289. A los exámenes PIR se han presentado 3.000 aspirantes de toda España. Se les ha aplicado una prueba de conocimientos (X) que consta de 100 elementos numerados divididos en tres pa rtes, la primera está formada por los 25 primeros elementos que son de dos alternativas, la segunda parte incluye los 40 elementos siguientes que son de tres alternativas y los elementos restantes incluidos en la tercera parte de la prueba son de cuatro alternativas. Sólo hay una alternativa correcta en cada elemento. El 80% de la varianza de las puntuaciones obtenidas corresponde a la varianza verdadera y la media y desviación típica fueron 65 y 6 puntos respectivamente. De todos los aspi rantes se seleccionaron aquellos que habían obtenido 5 puntos por encima de la media. La desviación típica del grupo de admitidos y la media fueron 4 y 80 respectivamente. Después de un período de prueba los admitidos fueron evaluados por sus profesores en un criterio de competencia profesional obteniendo una media de 7 puntos y una desviación típica de 3. La correlación entre las puntuaciones de este grupo en la prueba de conocimientos y en el criterio de competencia fue de 0,76. Calcular:
1. El coeficiente e índice de fiabilidad de la prueba de conocimientos en ambos grupos (aspirantes y admitidos) . 2. La puntuación directa en la prueba de conocimientos de un sujeto que contestó a todos los ítems y acertó 20 ítems de la primera parte, 30 de la segunda, y en la tercera falló 9. 3. Entre qué valores estará la puntuación verdadera del sujeto del punto anterior en la prueba de conocimientos. (NC 95%). 4 . El porcentaje de varianza del criterio que se puede predecir a partir de la prueba en el grupo seleccionado. 5. El coeficiente de validez de la prueba en el grupo de aspirantes .
6. El índice de dificultad del elemento 86 sabiendo que fue acertado por el 40% de los sujetos de la muestra de aspirantes y fallado por el resto. 7. Sabiendo que la distribución de las puntuaciones del criterio se ajustan a una distribución normal, la puntuación directa y eneatipo que corresponderá en el
da< mé Par ser jun rec
109 Problemas generales
ra lor predictivo en ambos gru-
!st de atención de 38 puntos, leccionado? Justifique su res-
ue obtend ría en el criterio un ción obtuvo una puntuación 1edia (NC = 95%).
criterio a un sujeto del grupo de admitidos que obtuvo en la prueba de conocimientos una puntuación de 70 puntos.
290. Se quiere averiguar si un test, que se ha construido para medir la capacidad de razonamiento numérico en los niños de 11 años, reúne los requisitos psicométricos necesarios para ser utilizado como un instrumento científico de medida . Para ello, una vez elaborados los ítems del test se les ha aplicado a una muestra representativa de la población correspondiente. Los resultados obtenidos al aplicar el test, junto a las puntuaciones obtenidas por los mismos sujetos en un criterio externo, aparecen a continuación. (Téngase en cuenta que es un ejemplo).
aspi rantes de toda España . Se nsta de 100 elementos numepor los 25 pri meros elemen e los 40 elementos siguientes 1cluidos en la tercera parte de nativa correcta en cada ele-
Sujetos
ítems
x,
x,
2
1
3
o
4
5 6
e habían obtenido 5 puntos admitidos y la media fue-
x.
o
1
corresponde a la varianza ntos respectivamente.
x,
y 5
1
6
o
o
4
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o
8
o
7
6
Calcular: n evaluados por sus profedo una media de 7 puntos y ciones de este grupo en la fue de 0,76 .
1. El coeficiente e índice de fiabilidad del test, utilizando la fórmula más adecuada. 2. Si se duplicara la longitud del test, Lserían significativas las diferencias encontradas entre los dos coeficiente de fiabilidad obtenidos, sabiendo que la correlación entre las puntuaciones obtenidas por los sujetos en los dos tests (original y duplicado) es 0,60? (nivel de significación = 0,05) .
e conocimientos en ambos
3. El coeficiente de validez. Interpretar los resultados obtenidos en función del coeficiente de alienación, valor predictivo y determinación.
ntos de un sujeto que conmera parte, 30 de la segun-
4. El coeficiente de validez del test cuando se le añaden 4 elementos paralelos a los que tenía .
sujeto del punto anterior
5. La puntuación pronosticada en el criterio de un sujeto que en el test original obtuvo una puntuación directa de 3 puntos. Intervalo confidencial utilizando a = 0,05.
predecir a partir de la pruee aspirantes. ue fue acertado por el 40% por el resto. el criterio se ajustan a una que corresponderá en el
6. Si se establece un punto de corte en el test en la puntuación 2, para clasificar a los sujetos en Aptos/No aptos. El coeficiente de Livingston y comente los resultados . 7. El índice de dificultad y de discriminación del ítem D. 8. Suponiendo que la distribución de las puntuaciones en el test fuera una distribución normal, Lqué percentil y eneatipo le correspondería a un sujeto que en el test obtuvo una puntuación directa de 3 puntos?
110 Psicometría: problemas resueltos
9. Hacer un comentario general acerca de si el test reúne los requisitos psicométricos mínimos.
291. Dada la gran relevancia que las nuevas tecnologías tienen en la educación, y en consecuencia, la importancia que de nuevo están adquiriendo los estudios en el campo del procesamiento de la información visual, un grupo de profesores de la UNED está desarrollando una investigación cuyo objetivo es conocer la agudeza visual en niños de edades comprendidas entre los 6 y los 12 años. A los efectos de este estudio se desarrolló un test que pretende evaluar, de forma rápida y eficaz, la agudeza visual. El test está compuesto por 26 elementos (ítems) . Además, al grupo de niños, un oftalmólogo les valoró la agudeza visual con el procedimiento tradicional (conteo del número de letras reconocidas desde una distancia estándar) . El la tabla siguiente aparecen las puntuaciones que cada sujeto obtuvo en los ítems pares e impares del test en el estudio y las puntuaciones dadas por el oftal mólogo a cada participante en la experiencia. Sujeto
Pare.
Imp.
Criterio (Y)
1 2 3
7 7 5 9 9 11 8 10 12 5
10 9 7
20 19 15 19 17 20 18 21
4
5 6
7 8 9 10
6
7 12 10 9 13
22
6
12
Partiendo de los datos anteriores y suponiendo que ambos subtests son paralelos: 1. Calcular el coeficiente e índice de fiabilidad del test.
2. Qué valor máximo podría alcanzar el coefic iente de validez. 3. Determinar la puntuación pronosticada en el criterio y su intervalo confidencial, a un sujeto que en el test obtuvo una puntuación total de 16. (NC 95%) .
4. Sabiendo que los ítems son de «verdadero/falso», calcular la puntuación co rregida de un sujeto que en el test acierta 15 ítems, falla 5 y deja 6 sin responder.
5. Cuántos ítems paralelos hay que añadir para que la fiabilidad alcance un valor de 0,90. 6. Suponiendo que las puntuaciones obtenidas en el test siguen una distribución normal, determinar el percentil y el eneatipo que corresponde a un sujeto cuya puntuación total en el test es de 23 puntos.
a
n<
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a
1
1
reúne los requisitos psicomé-
ogías tienen en la educación, dquiriendo los estudios en el grupo de profesores de la ~es conocer la agudeza visual
e pretende evaluar, de forma ~o por 26 elementos (ítems). a agudeza visual con el proonocidas desde una distancia os que cada sujeto obtuvo en aciones dadas por el oftal-
111 Problemas generales
7. Calcular el porcentaje de la varianza empírica del test que se debe a la varianza error, y el porcentaje de la varianza de las puntuaciones del criterio que no se pueden explicar a partir de la varianza de las puntuaciones en el test.
292. Se aplicó un test de razonamiento numérico (RN) de 6 ítems dicotómicos a una muestra 1O alumnos de 4. 0 de la ESO. En la tabla siguiente se presentan algunos datos descriptivos tanto de cada uno de los ítems como del test completo. ltem 01
ltem 02
ltem 03
ltem 04
ltem 05
ltem 06
Test
Media
0,40
0,80
0,60
0,70
0,30
0,50
3,30
Varianza
0,24
0,16
0,24
0,21
0,21
0,25
2,61
Teniendo en cuenta que la varianza de los errores representa el 67% de la varianza de las puntuaciones verdaderas. Calcular comentando los resultados en cada apartado: 1. El coeficiente de fiabilidad del test.
2. La correlación entre las puntuaciones empíricas y las verdaderas y el error típico de medida. 3. La dificultad de los ítems ordenándolos de menor a mayor grado de dificultad. 4. Suponiendo que las puntuaciones del test se hubieran transformado a una escala de típicas derivadas con media 250 y desviación típica de 50, LCuál sería, en la escala original del test, la puntuación verdadera de un sujeto que obtuvo una puntuación de 253 en la nueva escala? 5. Sabiendo que el test explica el 17 % de la varianza de las calificaciones de los sujetos en matemáticas, LCuántos ítems habría que añadir o eliminar en el test para obtener un coeficiente de validez de 0,50 con respecto a este criterio de interés?
·o y su intervalo confidención total de 16. (NC 95%) .
6. Si se pretende utilizar este test como si fuera un subtest en una batería sobre aptitud matemática, junto con otros dos subtests, uno de calculo aritmético (CA) y otro de álgebra lineal (AL). LCon qué precisión mediría la batería la aptitud matemática, si sabemos que la varianza de las puntuaciones globales de la batería es igual a 20 puntos? En la siguiente tabla se muestran las características de dicha batería. Justificad la elección del coeficiente utilizado.
lar la puntuación correfalla 5 y deja 6 sin res-
Número de ítems
Varianza
6
2,61
CA
10
4
AL
19
6
RN
fiabilidad alcance un valor siguen una distribución rresponde a un sujeto cuya
VIl:
293. Un test de aptitud verbal consta de dos ítems con parámetros estimados: a,= 0,20
b,
=
2
a 2 = 0,80
b2
=
0,60
1. LCuál es la probabilidad de fallar ambos ítems para un sujeto con
e=
2?
2. LCuál es la probabilidad de que ese sujeto responda correctamente el elemento 2?
294. Hemos aplicado el modelo de un parámetro a las respuestas de 100 sujetos a 40 ítems. La estimación del parámetro de dificultad del primer ítem fue b = -0,91. Con la idea de evaluar el ajuste del modelo a las respuestas a este ítem, los sujetos se dividieron en cinco grupos de aptitud a partir de las estimaciones de la aptitud, con 20 sujetos en cada grupo de aptitud. En la siguiente tabla se presentan las respuestas de los sujetos al ítem en cada grupo de aptitud . Nivel de aptitud
Respuestas al ltem 1 o o o
1
1
1
o
1
1
o o
1
1
o
1
1
1
o
1
1
1
0,0
1
1
1
1
1
1
o
1
1
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1
1
1
1
1,0
1
1
1
1
1
1
1
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1
1
1
1
1
1
o o o 1 o 1 1 o
2,0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
~2,0 ~ 1,0
o 1 o o
1 1
1
1 1 1
o o o 1 o 1 1 1 o
1
1
1
1
1
1
1
1
Calcular: 1. La proporción de respuestas correctas observada para cada nivel de aptitud 2. La proporción de respuestas correctas esperada para cada nivel de aptitud (utiliza los parámetros estimados del ítem). 3. El estad ístico de ajuste Q, para el ítem y los grados de libertad para el contraste.
114 Psicometría: problemas resueltos
4. Según el índice Q 1, Lse ajusta el modelo de un parámetro a los datos satisfactoriamente?
295. Vamos a suponer que también se han ajustado los modelos de dos y tres parámetros a los datos y que los parámetros estimados son los siguientes: Para el modelo de dos parámetros: b = - 0,87, Para el modelo de tres parámetros:
3(
test. P babilic Sabie
a = 1,02.
a = 1,23, b = -0,32 y e = 0,50.
1. Utiliza el estadístico de ajuste Q 1 para evaluar el ajuste de los modelos de dos y tres parámetros a los datos (asume que los grupos de aptitud son los mismos).
2. LSe ajustan a los datos los modelos según
0 1?
3. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos, Lqué modelo es el más apropiado para caracterizar al ítem?
3
296. Un ítem presenta los siguientes estimaciones de sus parámetros: a, = 1,4, b 1 = 2 y e = 0,20. Calcular la probabilidad de que el ítem sea acertado para un valor en el rasgo latente igual a 3. 297. Dos ítems de un test son localmente independientes. Un sujeto tiene una probabilidad de 0,75 de responder correctamente el primer ítem y de 0,45 de responder correctamente al segundo. 1. LCuál es la probabilidad de que el sujeto acierte los dos ítems?
1
2. LCuál es la probabilidad de que el sujeto falle los dos ítems?
3. LCuál es la probabilidad de que el sujeto acierte el segundo ítem, teniendo en cuenta que ha acertado el primero?
298.
2
3
""
Dos ítems ajustados al modelo de dos parámetros tienen los siguientes parámetros: ltem
a
b
1
1,00
0,00
2
1,50
1,00
1. Representar las funciones de información de los dos ítems en el mismo gráfico (utiliza e= -3, -2, -1, O, 1, 2, 3). 2. LEn qué valor de los ítems?
e se
maximiza la función de información para cada uno de
3. LCuáles son los valores máximos que alcanzan las funciones de información?
299. Calcular la función de información del test para un test formado por los dos ítems del ejercicio anterior. Calcular el intervalo de confianza (NC 95%) para e para un sujeto al que se le ha estimado una puntuación de e = 2.
4
en le::
115 La teoría de la respuesta al ítem
Darámetro a los datos satisfac-
ad o los modelos de dos y tres s son los siguientes:
300. Un modelo logístico de dos parámetros se ha ajustado a los datos de un test. Para los dos primeros ítems, fijado un nivel determinado de aptitud, e, las probabilidades de responder correctamente han sido: P,(e) = 0,50 y P2 (e) = 0,70. Sabiendo además que: P(X, = 1, X2 = 1) = 0,45
1,02 .
-0,32 y e = 0,50.
P(X1 = O, X2 = 1) = 0,05
ajuste de los modelos de dos os de aptitud son los mismos) .
P(X 1 = 1, X2 =O)= 0,25
modelo es el más apropia-
P(X, = O, X2 = O) = 0,25 ¿se cumple el supuesto de independencia local para este nivel de aptitud?
301. de sus parámetros: a 1 = 1,4, sea acertado para un valor
dientes. Un sujeto tiene una mer ítem y de 0,45 de ress dos ítems?
segundo ítem, teniendo en
s tienen los siguientes
Los parámetros de cuatro ítems vienen dados en la siguiente tabla : ltem
a
b
e
1
1,8
1,0
0,00
2
1,5
0,0
0,10
3
1,2
1,0
O, 15
4
1,0
1,5
0,20
1. ¿Qué modelo logístico debemos utilizar para calcular las probabilidades de responder correctamente para cada uno de los niveles de aptitud? 2. Indicar qué ítem es el más difícil de los cuatro . ¿cuál es el más fácil? 3. ¿Qué ítem presenta un mayor poder discriminativo? Según el modelo, ¿qué probabilidad tienen los sujetos con muy bajo nivel de aptitud de responder correctamente a este ítem por azar? 4. ¿En qué ítem los sujetos, con muy bajo nivel de aptitud, tienen una mayor probabilidad de responder correctamente por azar?
302. Los parámetros de cuatro ítems que siguen un modelo de 2P se presentan en la siguiente tabla: os ítems en el mismo gráfipara cada uno de
ltem
a
b
1
1,0
1,0 0 ,0
2
1,0
3
1,5
1,0
4
1,5
1,5
funciones de información? ra un test formado por los nza (NC 95%) para e
e e = 2.
La estimación de máxima verosimilitud de la aptitud para un sujeto es de 1,5. 1. Determinar el error típico de estimación para la puntuación de ese sujeto. 2. Construir un intervalo de confianza del 95% para
e.
116 Psicometría: problemas resueltos
303. Sea un banco de ítems con seis ítems que proporcionan las funciones de información presentadas en la tabla adjunta .
1.
e
2. Ir
FUNCIÓN DE INFORMACIÓN POR NIVEL DE APTITUD, 0
ltem
-3
-2
-1
o
1
2
1
0,02
0,06
0,10
0,20
0,15
0,08
0,04
¿ ít
2
0,00
0,00
0,05
0,10
1,10
0,25
0,10
d
3
3
0,00
0,03
0,10
0,25
0,50
0.40
0,15
4
0,15
1,25
1.45
0,10
0,02
0,00
0,00
5
0,00
0,10
0,60
0.70
0,20
0,05
0,00
6
0,00
0,00
0,02
0.40
2.20
0.40
0,15
1. Calcular la función de información del test y el error típico de estimación para cada nivel de aptitud.
30f
tos a 3C de los s1 tan en 1 (E¡) el ít¡
2. Indicar el nivel de aptitud en el que el test mide con más precisión y calcular el intervalo de confianza para 8 en ese nivel de aptitud .
3. LCuántos ítems como el 5 son necesarios para obtener un error típico de 0,408 en 8 = -1?
304. La dificultad de cierto ítem localmente independiente es de 1 y su poder discriminativo de 1,8. La posición de un sujeto en el rasgo que mide el ítem es 2. LCuál es la probabilidad de que dicho sujeto acierte este ítem? 305.
Dos tests fueron construidos del banco de ítems anterior. El test A está formado por los ítems 2 y 3, y el test B por los ítems 1 y 6.
1. ¿
2. E
1. Calcular la información proporcionada por cada test.
e
2. LCuántos ítems como el ítem 1 habría que añadir al test A para que ambos tests sean aproximadamente igual de informativos en 8 = 1?
E
306. Construido un test que se ajusta al modelo logístico de 2P, se sabe que el poder discriminativo de uno de sus ítems es de 0,9 y su dificultad es de O. Un sujeto con una puntuación de -1 en el rasgo que mide el test contesta al test. LCuál es la probabilidad de que dicho sujeto acierte dicho ítem? 307. Un test formado por cuatro ítems se ha ajustado al modelo de un parámetro. En la tabla siguiente se ofrecen las funciones de información de cada ítem para cada uno de los niveles de aptitud . o
e
30!
probabi
1. 2.
Ítems
1
2
3
4
-2
0,37
0,09
0,01
0,00
- 1
0,72
0,37
0,09
0,01
o
0,37
0,72
0,37
0,09
1
0,09
0,37
0,72
0,37
2
0,01
0,09
0,37
0,72
311
de 800 llevó a e siete gn de álge
117 La teoría de la respuesta al ítem
)roporcionan las funciones de
1. Construir el intervalo de confianza para un sujeto con un nivel de aptitud de = O (NC 95%).
e
2. Interpretando adecuadamente la información que le proporciona la tabla, Lqué probabilidad tiene un sujeto con e = 1 de responder correctamente al ítem 1?, Lqué probabilidad tiene ese mismo sujeto de acertar los cuatro ítems del test?
típico de estimación para
308. Hemos aplicado el modelo de un parámetro a las respuestas de 200 sujetos a 30 ítems de un test de inteligencia general. Una vez estimados los parámetros de los sujetos se crearon cinco intervalos de aptitud. En la tabla siguiente se presentan en las columnas 2 y 3 el número de sujetos que han acertado (A¡) y han fallado (E¡) el ítem 3, para cada nivel de aptitud . La dificultad del ítem es b = 1.
con más precisión y calcular itud.
9
un error t ípico de 0,408
A¡
E¡
Pzp
P,p
- 2
1
29
0,001
0,250
- 1
3
37
0,010
0,270
iente es de 1 y su poder sgo que mide el ítem es 2. ítem ? s anterior. El test A está for-
r al test A para que ambos en e = 1? ístico de 2P, se sabe que el 1ficultad es de O. Un sujeto contesta al test. LCuál es la
o al modelo de un paráinformación de cada ítem
o
13
57
0,070
0,300
1
20
20
0,500
0,630
2
17
3
0,930
0,950
1. LPodemos considerar que el ajuste del modelo de 1Pes el apropiado? 2. En la misma tabla, en las columnas 4 y S figura la probabilidad de responder correctamente según el modelo de dos parámetros (P 2p) y el modelo de tres parámetros (P 3 p) en el ítem 3 para cada nivel de aptitud. Teniendo en cuenta esta información, Lqué modelo consigue un ajuste más satisfactorio a los datos? (x~.
o,95
= 9,49, X~. o,95 = 7,81, X ~. o,9 5 = 5,99)
309. Un sujeto tiene la probabilidad de 0,8 de acertar el ítem 1 de un test y la probabilidad de 0,5 de acertar el ítem 2 . Los ítems son localmente independientes. 1. LCuál es la probabilidad de que acierte ambos ítems? 2. LHabiendo acertado el ítem 1, cuál es la probabilidad de que acierte también el 2?
31 O. Se administró una prueba de rendimiento en matemáticas a una muestra de 800 alumnos. Una vez estimados los parámetros de los tres modelos logísticos, se llevó a cabo un estudio del ajuste de los modelos a los datos, dividiendo la aptitud en siete grupos o intervalos de aptitud. Los resultados de este estudio con los cinco ítems de álgebra aparecen en la tabla adjunta.
118 Psicometria: problemas resueltos Ítem
Q1 (1P)
Q1 (2P)
1
13.4
11.4
3,2
2
14,2
6,9
4,6
3
15,6
10,3
5,0
Q1(3P)
4
14,8
6,5
1,3
5
7,05
15,0
2,8
Con la información proporcionada evaluar el ajuste de los tres modelos y selecciona el modelo más apropiado para el subtest de álgebra teniendo en cuenta que los cinco ítems deben modelizarse con el mismo modelo.
311. Justificar y demostrar formalmente la verdad o falsedad de la siguiente igualdad para el modelo de dos parámetros. P¡ (e) In -) = Da (e - b) ( Q¡ (e) 1 1 1
donde: • In es el logaritmo neperiano de la expresión dentro del paréntesis. • P¡ (e) es la probabilidad de responder correctamente al ítem i según el modelo 2- p. • Q¡(e) es la probabilidad de responder incorrectamente al ítem i según el modelo 2P.
312. Un test de Aptitud Numérica consta de tres ítems y sus parámetros estimados se muestran en la tabla adjunta. ltem
a
b
1
0,7
-0,9
2
0,7
- 0,3
3
1,2
0,5
1. LCuál es la probabilidad de acertar el elemento 1 para un sujeto con
2. LCuál es la probabilidad de acertar el elemento 3 de un sujeto con
e= e=
-0,97 0,77
Solución 1 1. Cada ítem adquiere el valor de la mediana:
--f
Md
=
A X
F
3
=
6
2
=
8
1
=
6
20- 6 ) Md = 1,5
+(
2
8
1 = 2
B
X
F
6 = 1 5 = 5
4=8 3
=
3
2
=
3
Md = 3,5
+(
20- 6 ) 2 8
1 = 4
L; +
N ( 2
fd
b
)
í
122 Psicometría: problemas resueltos
e X
F
10 = 7 9 = 7 8=6
Md=8,5+
(
_3_2_-0) \
1 =9
6
D X F 1o = 1 9 = 1
8 7
5 7
= =
6=4 5 4
= 1
1
=
20- 6 ) Md = 6,5 + (
2
1 = 7
8
E X
F
2=4 1 = 16
--o 20 Md=0,5+ (
\
6
) 1=1,13
F X
F
4=6 3
=
9
2 = 5
20- 5 ) 2 Md = 2,5 + ( 1 = 3,05 9
123 Técnicas para la construcción de escalas de actitudes
G X F 8 = 2 7= 2 6 = 10 5=4 4 = 2
\o
_3_2_-6) Md=5,5 + (
1 =5,9
H
X 7 6 5 4 3
=
= = = =
F 1 4 7 7 1
Md = 4,5 + (
_3_2_-8) 2 7
1 = 4,78
X F 9=6 8=6 7 = 7 6 = 1
Md
=
7,5 + (
_3_2_-8) 2 6
1 = 7,83
J X F 11 = 4 10 = 9 9=2 8=2 7 = 1 6=0 5 = 2
Md
=
9,5 + (
_3_2_-7) 2 9
1 = 9,83
124 Psicometría : problemas resueltos
K
X
F
11 10 9
1o 6 3
= =
=
8 = 1
Md = 9,5
+(
20- 4 ) 2 6
1 = 9,5
L
X
F
4=2 3
=
2
2 1
=
9 7
=
Md = 1,5
+(
20- 7 ) 2 9
1 = 1,83
2. Ítem A:
-25n- -n ) P2s = L¡
P,;
P,_
~
~
+(
100 nd 25
X
b
1
20
100
0,5 + (
-o)
6 75
X
20
100
2,5 + (
1 = 1,33
-14)
6
1 = 2,66
CA = 2,66 - 1 ,33 = 1,33 Ítem H:
P,;
~
P,_
~
25 3,5 + (
X
100 7 75
4,5 + (
20
X
20
100 7
CA= 5,5-4,07 = 1,43
-1) -8)
1 = 4,07
1 = 5,5
125 Técnicas para la construcción de escalas de actitudes
Solución 2 Los estímulos son 11 y el número de pares sería: N(N- 1)
11 X (11 - 1)
11 X 10
11 o
2
2
2
2
55
Solución 3 Artes Baloncesto Balonmano marciales
Fútbol
Natación
Tenis
Total
o
500
700
250
300
350
2.100
Baloncesto
4.500
o
3.500
1.000
2.000
3.000
14.000
Artes marciales Balonmano
4.300
1.500
o
550
800
900
8.050
Fútbol
4 .750
4.000
4.450
o
3.285
2.740
19.225
Natación
4.700
3.000
4.200
1.715
o
1.890
15.505
Tenis
4.650
2.000
4.100
2.260
3.110
o
16.120
Se puede invertir la matriz y quedaría: Artes marciales
Balonmano
Baloncesto
Natación
Tenis
Fútbol
Artes marciales
0,5
0,86
0,9
0,94
0,93
0,95
Balonmano
0,14
0,5
0,7
0,84
0,82
0,89
Baloncesto
0,1
0,3
0,5
0,6
0,4
0,8
Natación
0,06
0,16
0,4
0,5
0,622
0,657
Tenis
0,07
0,18
0,6
0,378
0,5
0,548
Fútbol
0,05
0,11
0,2
0,343
0,452
0,5
Artes marciales
Balonmano
Baloncesto
Natación
Tenis
Fútbol
o
1,08
1,28
1,56
1,48
Balonmano
- 1,08
o
0,52
0,99
0,92
1,23
Baloncesto
- 1,28
- 0,52
o
0,25
-0,25
0,84
Natación
- 1,56
- 0,99
- 0,25
0,31
0,41
Tenis
- 1,48
- 0,92
0,25
- 0,31
o
Fútbol
- 1,64
- 1,23
- 0,84
- 0,41
-0,12
Artes marciales
o
1,64
0,12
o
¿
- 7,04
- 2,58
0,96
2,08
2,34
4,24
Z=
- 1,17
- 0,43
0,16
0,35
0,39
0,71 1,88
K = 1,17
o
0,74
1,33
1,52
1,56
Valores
5,
52
5,
54
5s
56
126 Psicometría : problemas resueltos
2 Fútbol
1,88
Tenis Natación Baloncesto
1,56 1,52 1'13
Balonmano
0,74
Artes marciales
o
127 Técnicas para la construcción de escalas de actitudes
Solución 4 Reorganizando la tabla tenemos: Sujetos
Ítems A
B
e
D
E
F
G
H
1
J
K
L
M
N
Total
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
14
18
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
34
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
o o
13
13
12
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
o
1
1
13
16
o
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
13
21
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
o
12
31
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
o
1
12
13
1
1
1
1
1
1
1
1
o
1
1
23
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
o o
o
o o o o
30
1
1
1
o
1
o
1
o
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
o o
1
15 5
1
1
1
1
1
1
1
1
o
1
24
1
1
1
1
1
1
1
1
33
1
1
1
1
1
1
1
1
38
1
1
1
1
1
1
1
1
o o o
29
1
o
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
1
1
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
14
1
1
1
1
1
1
1
40
1
1
1
1
1
1
1
28
1
1
1
1
1
1
22
1
1
1
1
1
1
36
1
1
1
1
1
1
7
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
o
o o o o
o o o o
20
1
1
1
1
1
32
1
1
1
1
1
27
1
1
1
1
17
1
1
1
1
o o
26
o
o
1
1
1
6
1
1
1
10
1
1
1
37
1
1
1
19
1
1
35
1
1
o o o o o
4
1
8
o
1
9
1
o o o
25
o o o
o o o o o o o o
o o o o o o
o o o o o
2 39
1
o o
o o o o
1
1
o o o o o o o o o o o o o
1
o o o o 1
o o o o o o o o o o o
1
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
1
o o o o
1
11
o
10
1
1
10
o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o
9
1
o o o o o o o o o o o o o o o o
9 8 8 8 8 7 7 7 7 6 6
1
6
o o o o o o o o o o o o o o o o o
6 5 5 5 4 4 3 3 3 2 2 2 2 1 1
o o
il
128 Psicometría : problemas resueltos
Los números en negrilla son errores .
E 44 44 CR = 1 - - - = 1 - - - = 1 - - - = O 92 n ·N 14 X 40 560 ' Es un coeficiente de reproductividad perfectamente aceptable, puesto que está por encima de 0,90.
Solución 5 1
Escala del elemento
1 Fa
1
1
1
2
1
3
1 5 1 20 1 45
4
75
5 1 6 7 1 1so ¡ no 3001
1. Mediana: 5,5 equivale al valor escalar del ítem. -300 - - 150 ) 2 Md = 5,5 + ( · 1 = 5,5 270 2. Hay que calcular la distancia intercuartílica para el coeficiente de ambigüedad .
0 3= 5,5 + 1/120 (225-150) = 5,5 + 0,625 = 6,125 o,= 4,5 CA= 6,125 - 4,5 = 1,625 Como el CA < 2 se acepta el ítem.
Solución 6 1. La mediana está en el intervalo 5-6. El valor de la mediana es 5,5.
2. Coeficiente de ambigüedad: 0 3
-
O,.
Escala del elemento
1
2
3
4
5
6
7
Fa
2
7
15
25
50
90
100
= 5,5 + 1/40 (75 - 50) = 5,5 + 24/40 = 5,5 + 0,625 = 6,125 = 3,5 + 1/10 (25-15) = 4,5 CA= 0 3 - O, = 6,125 - 4,5 = 1,625
03= o, =
p75
p2 5
Dado que el coeficiente de ambigüedad es menor de 2, el ítem debería ser aceptado.
1
129 Técnicas para la construcción de escalas de actitudes
3. o "' ..!!!
75
"O
:::¡
E :::¡ u
"'"'
50
Ql ·~
....e: Ql
u
.... o Q.
25
1,5
2,5
3,5
4 ,5
5,5
6,5
7,5
Categorías escalares (límites superiores)
Solución 7 F. potencia
3 -3
2
3
3
- 3
Aborto
oF- AB
= vr3
F. actividad
F. valorativo Familia Paz
3
1
3
Amor
3
-2
1
- (- 3)]2 + (2 - 3)2 + [3 - (-3)]2
= V36 +
1 + 36 =m= 8,54
DF- P
= V(3 - 3) 2 + (2 -
DF- A
= V(3- 3) 2 + [2- (-2)]2 + (3- 1)2 = V16 + 4 =
1)2
+ (3 - 3) 2 = 1
DAb - P = V(-3 - 3)2 + (3 - 1)2 + (-3 - 3) 2 = V36 + 4 DAb-A= V(-3- 3)2 + [(3- (-2)]2 + (-3- 1)2 DP-A = V (3- 3)2 + [1 - (-2)]2 + (3- 1)2 = Familia
Aborto
Paz
-
Aborto
8,54
-
1
8,72
-
4,47
8.77
3,6
Amor
= V36 +
25 + 16
V9+4 = v'13 =
Familia Paz
v20 = 4,47 + 36 = v76 = 8,72
Amor
-
3,6
= 8,77
1
130 Psicometría : problemas resueltos
Solución 8 1. Sujetos
2
1
Elementos 3 4 5
Punt. sujetos
6
1
1
1
1
1
1
1
6
2
o o o o
o
1
1
1
1
4
1
1
o
3
o o
o o
1
o o
1
1
2
1
1
1
3
1
2
3
3
5
4
3 4 5
Se ordenan los sujetos y los elementos. Elementos
Sujetos 1
2
3
4
6
5
Punt. sujetos
1
1
1
1
1
1
1
6
2
o o o o
o
1
1
1
1
4
CD CD ® ®
1
3
3 5 4
1
o o
o o
1
1
1
3
o
1
1
2
2
3
3
4
5
2. Hay cuatro errores. CR = 1 - -
E
Os
= 1 - 4/6
X
5 = 1 - 4/30 = 0,86
Dado que el CR es menor que 0,90, nuestros datos no se ajustan al modelo de Guttman.
Solución 9 Escala del elemento
1
2
3
4
Fa
4
14
30
50
1. Mediana = 4,5
+ 1/50 (1 00 - 50)
=
5
6
7
100 180 200
5,5.
El valor escalar del ítem es 5,5. 2. Coeficiente de ambigüedad: 0 3
03= 01 =
p 75
-
O,.
= 5,5 + 1/80 (150 - 100) = 5,5 + 0,625 = 6,125
P25 = 3,5
+
1/20 (50 - 30) = 3,5
+
1 = 4,5
131 Técnicas para la construcción de escalas de actitudes
CA = 0 3 - 0 1 = 1,625. Dado que el coeficiente de ambigüedad es menor que 2, el ítem debería ser aceptado.
3. o
75
""O
~ :::¡
E
:::¡
u
ra
50
Q)
"iij'
....e: Q)
...u
o 0..
25
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
7,5
Límite superior de la escala
Solución 10 1. Sujetos
Elementos 1
2
3
4
5
7
6
Punt. sujetos
1
o
o
o
o
1
1
1
3
2
1
1
1
1
1
1
1
7
3
o o o o
o
o
o
1
1
1
3
1
1
1
o
1
o
4
o o
1
1
1
1
1
5
o
o
o
1
1
2
1
2
3
3
4
6
5
4 5 6
Se ordenan los sujetos y los elementos. Sujetos
Elementos
Punt. sujetos
1
2
3
4
5
6
7
2
1
1
1
1
1
1
1
5
o o 1 o CD CD o o o o o o o o o
1
1
1
1
5
1
@
@
1
4
o o o
1
1
1
3
1
1
1
3
o
1
1
2
1
3
4
5
6
4 1 3 6
2
3
7
2. CR = 1 - EIQS = 1 - 4/42 = 1 - 0,095 = 0,904. Aunque en el límite, nuestros datos serían escalables según el modelo de Guttman.
Capítulo 11: Fiabilidad de las puntuaciones
Solución 11 Sujetos
A
B
1
o
o
2
1
1
e o o
D
E
F
X
p
1
p- 1
o
o
o
o
o
1
1
4
2
2
o
1
4
2
2
o o o
1
o
3
1
2
-1
3
1
1
1
4
1
1
5
o o
o o o o
o
o
1
1
1
3
2
1
1
6
1
1
1
o
o
3
1
2
-1
7
o
1
1
1
1
o o
4
2
2
8
1
1
1
1
1
1
6
3
3
9
1
1
1
1
1
1
6
3
3
o o o
3
2
1
10
1
1
1
1
o
1
5
p
0,6
0,8
0,7
0,5
0,6
0,6
X = 3,8
1.
Sf =
0,6
X
0,4 = 0,24
S~ =
0,8
X
0,2
=
S~
= 0,7
X
0,3
= 0,21
Sj
=
0,5
X
0,5
=
S~
= 0,6
X
0,4 = 0,24
S~
= 0,6
X
0,4 = 0,24
s; =
O, 16
ISJ
0,25
=
1,34
5 2 = 2)q = 166; S% = 7,60
167
1
Fiabilidad de las puntuaciones
2:X6 = 28;
IX1
= 146;
S~
= 6,76
2:SJ = 45,71 2:Xr = 213; 2:)0. = 6853 S~=
Y= 21 ,30;
n n- 1
a =
231,61
(1 - 2:SJ) s;
a = 6- ( 1 5
45,71 ) =O 96 231,61 '
Test Z
I X = 27; 2: )(2 = 123;
S~
= 5,01
p 1 = 0,60; p 2 = 0,60; p 3 = 0,50; p 4 = 0,30; Ps = 0,50; p 6 = 0,20
KR2o
rxx
=
=
n (1 - 2: pq) n- 1 S~
1,35) KR 20 = - 6 ( 1 - - = 0,88 45 5,01
n
S}= 2: SJ + 2:2: S¡k =S~+ ]= 1
Sxr=
2: (X- X)(Y- Y) N
s; +S~+ 2(Sxr + Sxz + Syz)
1.505 = -- -=150,5 10
2: (X-X)(Z-Z) 210 Sxz = _ _ _N_ _ _ = - - - = 20,2 10
2: (Y - Y)(Z - Z) 258,2 Syz = _ _ _N_ _ _ = - - - = 25,82 10 S}= 119,6 + 201,21 + 4,44 + 2(150,5 + 20,2 + 25,82) = 778,29
rrr
(119,6 t 201,21 t 4,44) - (119,6 X 0,91 t 201,21 X 0,95 t 4,44 X 0,84) = 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -778,29
=
0,97
168
1
Psicometría: problemas resueltos
Solución 87 Datos: Test A: n
=
2
n r¡kS¡Sk
(AA
r
= _
= 88
_:______:e___
S~
8; cov jk 64
=
O 32
X
S~ =
0,32;
=
'
0 79 '
=
26
( 1 _ 'Lpq ) = ~( 1 _ 0,22 n - 1 5~ 4 n
rcc =
n
(
1 _ 'LSJ) _ 5~
n - 1
26
+ 0,25 + 0,25 + 0,22 + 0,25)
= 0,7
2,91
~( 1 _ 1,67 + 1,81 + 0,56 + 0,92 + 1,89) = 4
27,22
0 94
'L SJ - 'L SJr¡¡
r rr = 1 - - --
5?
--
26 + 2,92 + 27,22 - (26
r rr = 1 - - -=
- - --
-
X
- --
0,79 + 2,92 X 0,74 + 27,22 X 0,94) - - - - -- -- - -- 152,2
0,95
Solución 88 Datos: rxx
=
0,99
rxx
nr11
= ------'-''------
+
(n - 1 )r11
-
0,25 X 0,99 - ---1 + (0,25 - 1)0,99
Solución 89 Datos: 5~
=
52
1 . rxx = _ v S~
4; Sx = 12 ~
52
v
=
S2 - S2 x
e
=
144 - 4
=
140
140 144
rxx = - - = 0,97 2 . rvx =
Vo:97 =
3. NC 99%
~
0,98
2,58
~YGx
Szvzx
=
Z11
rxvZx = 0,98
=
X
=
V 1 - 0,97V0,97
0,2 = O, 196 = 0,20
=
0,17
=
0,96
4
'
169
1!
Fiabilidad de las puntuaciones
O, 17
=
Emáx
X
2,58
0,44
=
-0,244:::; O, 196:::; 0,636 4.
(XX
= 2
0,97 = 0,98 1,97
X
Solución 90
Solución 91 Datos: n = 30; Xv = 18; Sx = 4
X--~-)_3_0 (1 57
r - _n_(1 XX
n=
n - 1
_1_8_-_332_04-) =O 57
29
30 + 90 39
16
120 30
=--=4
nrxx rxx = -------"'-'-----1 + (n - 1 )rxx
4 X 0,57 ------ = +(4-1)0,57
0,84
Solución 92 Datos: rxx = 0,81;
52 52
1. _v
=
S~
= 25
rxx = 0,81
X
2.
(XX
= 1-
52
52
_ e ----¿ _ e S~ S~
= 1- ( = 1XX
3. rxe = ~ = Y1 - 0,81 = 0,44 4. rvx =
Vf:x =
VQ,81 =
0,90
o 81 '
=
o 19 '
'
170 Psicometría: problemas resueltos
Solución 93 Datos: rxx
=
0,90; S~
=
(XX
16
=
S2
~V ~
S2 = 1 6 X
S~
S 2e = S 2x
o9 =
V
-
14 4
'
'
S 2v = 16 - 14 , 4 = 1, 6 ,· S e = 'V!:J6 1,0 = 1 , 2 6
Svx =Se~= 1,26Vo:9 = 1,20
Solución 94 Datos: rxe = 0,60; Zx = 0,50 NC 90%
~
Zc
1,645
=
Szvzx = rxe~ = ~~ = rxe~ 0,6 = ~ ~
Szvzx
=
0,6 yf(),64
(XX
= 1 - 0,36 = 0,64
= 0,48
1,645 X 0,48 = 0,7896 = OJ9
fmáx =
Zv' = rvxzx = 0,8 X 0,5 = OA -0,39::o;Zv:::; 1,19
Solución 95
n =
Rxx(1 - rxJ rxx(1 - RxJ
=
0,80(1 - 0,66)
= 2,08
0,66(1 - 0,80)
EF = nEI = 100 X 2,08 = 208 El test debería tener 208 elementos.
Solución 96 S2 Datos: rxx = 0,81; ~v = 0,81 S2 X
S~(1
- 0,81)
=
3 - 2.43 = 1 -
S~
(1 -
3
(XX
~
(XX)
~
3(1 - 0,81) = (1 - rxJ
0,57 = 1 -
(XX
~
(XX
= 1 - 0,57 = 0.43
171
1
Fiabilidad de las puntuaciones
n=
0,81(1 - 0,43)
= 5,75
0,43(1 - 0,81)
El test debe ser aumentado en 5, 75 veces.
Solución 97 Datos: N = 500;
X=
40; S~ = 25;
rxv
= 0,80
1. La proporción (o porcentaje) de varianza verdadera que hay en la varianza empírica de un test viene dado por el coeficiente de fiabilidad .
0,80 2
rxx =
2.
se= sx V1=r: =
3. NC 95%
Z = 0,5 V'
=
fm áx
- 3,1 4.
Rxx
=
5.
..3_
=
S~ Tn
= 0,64
= 1,96
X
:S V :S
2
X
X
X
2,5 = 1,60
3 VQ,64 = 2,40 2,40 = 4,70
6,3
0,64
1,64 1 -
r22
1 -
r,,
= 0,78
-7-
1,64 = -2- = 0,82;
2
rx
1 -
r22
=
----=-=--
V
=
2 2
1 - 0,64
-7
'~
Datos: Test A: X= 15; SA = 5;
V
rAA = 0,81
= ~ = 0,90
2. 5e= 5 Y1- 0,81 =2,18 3.
S~
-
S~
2r22 = 2- 0,36 = 1,64
0,82 = 0,91
Test B: X = 1 O; 5 8 = 2; Se = 1 rvx
64%
5 = 2,50
Solución 98
1.
-7
5Y1 - 0,64 = 3
0,5
Yr:x =
0,64
1,96
=
-7 X =
rxx X
Svx = Se
Zc
-7
=
= 25 - 4,75 = 20,25 =
S~
1
172 Psicometria: problemas resueltos
4. 1 = 2Y1(BB
4 - 1
=
1 = 4(1 - r 88 )
T 88 ---7
1 = 4- 4r88
0,75
=
4
---7
S. Svx = 1 V0,75 = 0,87
6.
V~ =
(20 - 15)0,81 + 15 X- 10 2
7. O 85 = '
Svx
X
=
=
1,71
19,05
11 ,70
0,87
=
1,96
fmáx =
V~=
---7
=
X
0,87
(11,70- 10)0,75
+ 10
=
11,28
/C = 11,28 :±: 1,71
9,75
:S
v:s 12,99
Solución 99 Datos: n = 20; S~ = 1 ,44; S~ = 4; Rxx = 0,90
1.
S~
=
rxx =
S~
S~ S~
S~
-
=
= 4 - 1 ,44 = 2, 56 2 56 ' = O 64 4 '
S~, = n 2 S~,
n= S~, =
R(1 - r)
0,90(1 - 0,64) 0,64(1 - 0,90)
-----'------'-------'---'- =
r(1 - R)
25,60
X
2,56
=
5' 06
65,64
Cuando se mejora la fiabilidad de un test aumentando su longitud, la varianza verdadera del test inicial se multiplica por n 2 •
2.
S~,
=
nS~,
= 5,06
se, = v7:i9 =
X
1,44 = 7,29
2, 70
Cuando se mejora la fiabilidad de un test aumentando su longitud, la varianza de los errores es igual a la del test inicial multiplicada por n.
3. EF
=
5,06 x 20
=
101 elementos
173 Fiabilidad de las puntuaciones
Solución 1 00
sr = 4;
Datos: s~ = 6;
s~
= 16
S2 S 2 = 3·, ~V S2 =o , 81 X
rxx
6
= 2 (1 -
S~,(1 -
r 11 ) =
: 1
4
) = 0,75
S~,(1 -
r 22 )
16(1 - 0,75) = 9(1 - r 22 )
5
r22 n
= ~ =
0,56
9
0,81 (1 - 0,56)
=
0,56(1 - 0,81)
= 3,36
Aumentar su longitud en 3,36 veces.
Solución 1 01 S
-
Datos· N = 400· ~• SX = O 36· X = 20· S = 4 •
1
S2
~•
1. rxx = 1 -
rvx = 2.
S~
1
~
Zc
=
- o,87 = 1 A4
2,58
1,44
Sv x =Se
v7:x =
= 2,58
V' = rxx>< V' ::±::
X
v7:x = \10,87 = 0,93
3. NC 99%
fmáx
1
= 1 - 0,36 2 = 1 - O, 13 = 0,87
s. = sx ~ = 4 V1 s. =
1
1,44 X 0,93 = 1,34
X 1 ,34
+X =
= 3,46
0,87(30 - 20)
fmáx
/C = 25,24 s Vs 32,16
+
20 = 28,70
174
11
Psicometria: problemas resueltos
4.
r22 ) = SW - r11) 32(1 - r22 ) = 16(1 - 0,87)
S~(1
-
32 - 32r22 = 2,08 ( 22
5.
32 - 2,08 = 32
=
o 94 '
0,5 X 0,87 rxx =
1
+ (0,5 - 1)0,87
=
0.77
6. El= 100 n =
0,90(1 - 0,87) 0,87(1 - 0,90)
= 1,33
EF = 1,33 X 100 = 133 Habría que añadirle 33 elementos.
Solución 102 Datos: r1kS¡Sk = 4; 'iSJ = 1O = 'iSJ + n(n - 1)r¡kS¡Sk = 1O + 1O X 9 X 4 = 370
s;
La varianza de una variable compuesta es igual a la suma de las varianzas más la de todas las covarianzas, o bien a la suma de todas las varianzas más n(n - 1) covarianza media.
Solución 1 03 Datos: N = 400; 'ie 2 = 196; 196 1. S2 = - - = e 400
e = O;
S~
o' 49
S~= 0,98
s; =S~+ S~= rxx =
rxv =
2. Se
=
0,98
+
0,49 = 1,47
0 98 = 0,67 ' 1,47
VQ.67
=
0,82
VQ.49
=
O, 70
3. S~= 0,98
4.
rxe
= ~ = Y1 - 0,67 = 0,57
= 200% S~
1
175 Fiabilidad de las puntuaciones
Zc
~
5. NC 95%
1,96
=
Se
= - = O 58 Sx '
Sz
e
Sz.zx
Vf:x =
Sze
=
0,58 X 0,82 = 0,84
± 1,96 X 0.48 = 0,94
fmáx =
z..~ = fvxZx =
0,82 X 0,50 = 0.41
IC = 0.41 ± 0,94
-0,53
6.
S
Zv
S
1,35
S~
(1 - r 11 ) =S~ (1 - r 22 )
52
=
0,61
1.47(1 - 0,67) (22
=
=
0,37(1 - r 22 )
0,37- OA9 0,37
= -0,32
Nunca se podría aplicar ese test a una muestra cuya desviación típica fuera la mitad de aquella en que el coeficiente fue 0,67, ya que en esa muestra la fiabilidad del test sería nula. 7. El
=
n =
100 0.40(1 - 0,67) 0,67(1 - OA)
= 0,33
EF = 0,33 X 100 = 33 Habría que conservar 33 elementos.
Solución 104 X y
1.-----s~ = 1 o = 34
s;
St =
11
Como las dos formas son paralelas: SJ = S~ y el coeficiente de fiabilidad también es el mismo en las dos formas:
2. Z =X+ Y
176 Psicometría: problemas resueltos
s; =
34 + 34 + 2
rzz =
2(1 2
68 ) 119,68
0,76
X
0,76
X
34 = 119,68
X
0,86
=
0,86
rzz = - - - - =
1 + 0,76
Solución 1 OS
Sk
=
25; rvx
s;(1 - rxJ
=
25(1 - 0,64)
Datos: N= 500; X= 40;
=
0,80
sz sz
1. _v = rxx = r;v = 0,64 X
2.
S~ =
s; -
se=
3
S~ =
3. NC 95%
Zc
---7
X
1 ,96
=
---7 X = Z~
ZX = -SX
0 5
= X
V' =
rxxX
se=
3
0,64
=
Sv x = Se~ fmáx
= 2,40
v' : :': :
Emáx
X
X
3
=
2,5
X
5
X
1
=
0,80
1,60
=
2,40
1 ,96 = 4,70
IC = 1,60 : :': : 4,70
-3,1 4.
rxx =
:'S V :'S
2
X
6,3
0,64
1 + 0,64
5. rxx = 1
r 22 = 1
= 0,78
sz -_e
s;
S2
9
S~
50
=
-_e = 1 --=O
'
82
2 50 1
=
9
177 Fiabilidad de las puntuaciones
Solución 106 Datos: red = 0,50; TD: rdd = 0,80; S~ = 2 TC: ree
=
S~= S~+ S~+ 2red5e5d rrr = 1 -
ISJ- ISJrH S~
0,90; S~= 3 =
2
+
= 1-
3
+
2
2
+
3 - (2 x 0,80
X
0,50
X
\Í2
X
+
\Í3
=
7,45
3 x 0,90)
7,45
= 0,91
Solución 1 07 Datos:
A:
ree
52
rp1 = 0,85
_e
S~
X total
=
100
Sx total
=
15
D:
E:
0,98
rdd = 0,80
5} = 144
3
Se,
s~(e + e') = 8
C:
B:
=o , 05
=
se=
=
2
Antes de calcular el coeficiente de fiabilidad de la batería completa es necesario calcular los coeficientes de cada uno de los tests así como sus varianzas y, a continuación, aplicar la siguiente fórmula:
ISJ- ISJrH
rrr = 1 - - - - - " - - 5~
Test A
2 X 0,85
(AA
= - - - - = 0,92 1,85
(AA
s~A
= -S~
~
1
o
5 2 = - - = 17,39 0,92
A
Test B 5
~8
S~ s~,
=
o 05 '
=
25~, ~ s~
=
52 = 0,50 = 1o V
0,05
o,5o
178 Psicometría: problemas resueltos S~ = S~
+ S~
St 8
f 88 = -
S~
=
1O + 0,50 = 10,50
1O
= -
-- =
10,50
0 95 '
Test C S~=
rcc = 0,98
9
Test D
r00 = 0,80 = 1 52
4
= -
-=
0,20
O
52 _ e
St
--7
- O 80 = O 20 ' '
52 =_ e =::}
52
O
52
52 =
o
__ e_
o 20 '
20
En el test B cuando se duplica su longitud se duplica la varianza de los errores. Sin embargo la varianza de los errores no cambia con la variabilidad de la muestra, por eso en el test D la varianza de los errores es 4 . Test E = S~ =
5}
144
s~(E+e') = 8
S~(E+e') 2
4
1 - - - = 0 97 144 '
=
(EE
= 4
Batería
= 1 -
rrr
(1 7,39 t 10,50 t 9 t 20 t 144)- (17,39 X 0,92 t 10,50 X 0,95 t 9 X 0,98 t 20 X 0,8 t 144 X 0,97) = O 96 225 '
NC 95% --7 Z c = 1,96
Svx
Sx ~
=
fm áx =
V'
=
Vf:x =
15 V 1 - 0,96 VQ.% = 2,94
2,94 X 1,96 = 5,76
rxx(X - X)
+X
=
IC = 128 ± 5,76
123,04
~ V ~
134,56
0,96(130 - 100)
+
100 = 128,80
179 Fiabilidad de las puntuaciones
Solución 108 Datos: Si = 20; cov (A8) = 16; A = 12; X = A + 8 Cov (A8)
rAsSASs
=
SA = 58
rAB =
(A8) =
COV
~ = 0 80 20
SASB
2
rxx =
.
0,80 = 0,89 1,80
X
NC 95% ~ Zc = 1,96
s: =
S~
Sv x = Sx fm áx
+
S~
+ 2 cov
(A8) = 20
V1=f: v'f:x =
= 2,63
X=A +8
X =
+ 20 + 2
X
16 = 72
8,49 Y1 - 0,89 V0,89 = 2,63
1,96 = 5,15 24
V' = rxx(X - X) + X = 0,89(20 - 24) + 24 = 20.44
/C = 20.44 : :': : 5,15 15,29 :::; V ::s 25,59
Solución 1 09 5~,
2 2 Datos: n = 1 O·. 5t= O.81·. 352 =5 1
r,,
5~,
= - = 0,81
5t
SW S2 2 -
1
r,,)
=
SW -
r22)
_R 3
- r, , =
1 - r22 3
~'
1-
o,81
=
1-r22 3
~ r22
=
o,43
Como no puede aplicarse un test cuya fiabilidad sea menor de 0,81, vamos a ver cuántos elementos hemos de añadir (paralelos a los que ya tenía) para conseguir que el coeficiente de fiabilidad sea 0,81.
180 Psicometría: problemas resueltos
n
0,81 (1 - 0,43)
= 5,75
0,43(1 - 0,81)
EF = 5,75 X 10 = 58
Como ya tenía 1O, habremos de añadirle 48 elementos .
Solución 11 O Datos: N = 101 mujeres; -?5_m = 40; Sm = 15 N = 197 varones; Xv = 36; Sv = 14
S2
F=~=115
St
'
Fc(100, 196)0,95
= 1 ,22
No hay diferencias significativas entre las varianzas, por tanto aplicamos el esquema de comprobación de la significación de diferencias entre las dos medias, desconocidas las varianzas de la población pero supuestamente iguales. Ho: f.Lv = f.Lm H1: f.Lv
-=1=
f.Lm
x,- X
2 T = -----------
n 15? n1
+ n 2 5~ 1 1 ) -+(
+ n2
-
2
n,
n2
40- 36
----------------- =
2,27
101X225+197X196( 1 1) 101 + 197 - 2 101 + 197 Como T > te rechazamos la hipótesis nula a nivel de confianza del 95% . Para saber a qué nivel de confianza podemos afirmar que ambas medidas son distintas, acudimos a la tabla de t y vemos que aproximadamente al nivel de confianza del 98%.
Solución 111 Datos: Nv = 145; Xv = 18; Sv = 4; rxv = 0,80
Nm = 122; Xm = 20; Sm = 5
181 Fiabilidad de las puntuaciones
1. Dado que el error típico no cambia, depende del test, será el mismo en los varones que en las mujeres.
sev = Sxv \11=--r:;:; = 4 Y1 - 0,64 = 2,40 2,40 = 5 \11=--r:;:; -Hxx = 0,77
2. 53= rxxs; = 0,64 3. NC 95% fmáx
=
~
Zc
=
16 = 10,24
X
1,96
2,40 X 1,96 -
= 4,70
-
V' = rxx(X- X)+ X = 0,77(28 - 20)
+
20 = 26,16
21 ,46 ::; V ::; 30,86
Solución 112 Punto corte = 30 Test B
Test A Maestría
No-Maestría
Total (N¡)
Maestría
6
1
7
No-maestría
3
5
8
Total (N¡)
9
6
15 = N
Pe
6
=-
15
Pa =
5
+15
7
=
9
073 '
8
6
15 X 15 + 15 X 15 =
k= Pe - Pa 1 - Pa
0,49
0,73 - 0,49
0,24
1 - 0,49
0,51
- - - - - = - - = 0,47
Solución 113 Ítems
Sujetos
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
o o
o
4
o o
o o
1
3
o o
1
1
1
5
1
1
1
o
1
o o
o o
o o 1
182
1
Psicometría: problemas resueltos
8+6+2+3+5
X=
5
X
8 KR 21 =
(
8 - 1
4,8 1 -
-
(4,80)2
=
4,56 ___:_____
__:.___
SX
0,33
---7
Pz
=
4,56
(4:)2 )
(C - 0,5 -X) = (6 - 0,5 - 4,8)
Z = X =
4,80
32 + 62 + 22 + 32 + 52 5
52 =
Zx
=
0,66
_____:___:_ =
o' 3 3
2,14
0,629
=
A partir de las tablas de Gupta obtenemos la probabilidad (P22 ) de que dos variables distribuidas normalmente con una correlación KR 21 = 0,66 sean menores que
z=
0,33. Pzz
=
0,497
pe = 1 + 2(Pzz - Pz) = 1 + 2(0,497 - 0,63) = 1 + 2( - 0, 133) = O, 73, luego podemos concluir que el test presenta una fiabilidad media alta.
Solución 114 1 - 2(Px-
P~)
fx{1 - 2(Px- P~))
fxPx
fx
Px
Px
28
2
0,811
0,3062
0,5751
1,15
0,61
26
2
0,764
0,1861
0,6971
1,39
0,37
22
3
0,671
0,0571
0,8924
2,68
0,17
19
5
0,601
0,0198
0,9612
4,81
0,10
16
4
0,531
0,0058
0,9885
3,95
0,02
14
4
0,484
0,0023
0,9955
3,98
0,01
11
3
0,414
0,0005
0,9991
3,00
0,01
10
2
0,391
0,0002
0,9995
2,00
0,0005
8
2
0,344
0,0001
0,9999
2,00
0,0001
1
0,297
0,0000
1,0000
1,00
0,0000
5
1
0,274
0,0000
1,0000
1,00
0,0000
3
1
0,227
0,0000
1,0000
1,00
0,0000
X
6
27,96
30
Pe
=
I f.{1 - 2(Px- P/)) = 27,96 = O ~
30
'
93
1,29
183
1
Fiabilidad de las puntuaciones
Pa = 1 _
2 [ I~Px
_
[ I~Px rJ
1~~9
= 1 _ 2[
_ [
1~~9rJ
= 0 , 92
K = Pe - Pa = 0,93 - 0,92 = 0,01 = O 13 1 - Pa 1 - 0,92 0,08 ' Puesto que el valor de kappa es muy bajo, cabría esperar una fiabilidad baja.
Solución 115 X
fx
22
4
20
4
18
2
16
3
14
4
10
5
8
3
Datos: ex = 0,80; X = 15,64; Si = 23,91 1(2_ = XV
aS~ S~
0,80 X 23,91 + (15,64 - 15)2 23,91 + (15,64 - 15) 2
+ (X - C)2 + (X - C)2
19,13 + 0,41 - -- - - = 0,80 24,32
Solución 116 Aplicando la función de distribución binomial: Prob (x
2:
8lp = 0,70, n = 12) = x~8
Prob (x = 8) = Prob (x = 9) =
C82 ) (0,70) (0,30) 8
4
en
(0,70)X(0,30)n -x
= 495 x 0,057 x 0,008 = 0,226
c
2 ) (0, 70) 9 (0,30)3 = 220 9
0,040
X
X
0,027 = 0,237
Prob (x = 1 O) =
(~ ~) (0,70) 10 (0,30)2
= 66
Prob (x = 11) =
(~ ~) (0,70) 11 (0,30) 1
= 12 x 0,019 x 0,30 = 0,068
Prob (x = 12) =
(~ ~) (0,70) 12 (0,30) 0
= 1
X
X
0,028
0,013
X
X
0,09 = O, 166
1 =
0,013 0,712
¡~
184 Psicometria : problemas resueltos
La probabilidad de acertar 8 o más ítems de 12 y ser clasificado dentro del grupo de maestría es igual a 0,71 .
Solución 117 Punto corte = 12
Test B
Test A
Maestría
No-Maestría
Maestría
6
o
Total
6
No-maestría
1
3
4
Total
7
3
10
Se calculan las frecuencias de coincidencias esperadas por azar:
7 X6 --=420 1
o
Fa = 4,2
'
+ 1,2 = 5,40
3 X 4 - - = 120 1
o
'
A continuación, calculamos las frecuencias observadas de clasificaciones coincidentes:
Fe= 6 + 3
= 9
Por lo tanto:
9 - 5,40 = 3,60 = 10- 5,40 4,60
o 78 '
Este resultado nos indica una consistencia de clasificaciones alta.
S.=
J
NC 95%
Fa N(N - Fa) = --7
Zc = 1,96
K± Zc · s. 0,78 ± 1 ,96
X
0,34
O, 11 ::::; K ::::; 1,40
J
5,40 = 10(10-5,40)
{5;iO
'./46
= 0, 34
ll
185 Fiabilidad de las puntuaciones
Dado que el valor K = 0,78 no se encuentra dentro de los límites del intervalo, podemos establecer que el acuerdo entre las clasificaciones es estadísticamente significativo .
Solución 118
P~)
fx(1 - 2(Px - P;)}
X
fx
Px
px
15
4
0,946
0,9760
0,9532
14
3
0,893
0,8697
0,7734
2,3201
2,6091
13
7
0,839
0,6987
0,5789
4,0525
4,8906
12
8
0,786
0,5093
0,5002
4,0014
4,0742
10
8
0,679
0,2064
0,6724
5,3788
1,6515
9
4
0,626
0,1149
0,7966
3,1864
0,4596
7
3
0,519
0,0264
0,9486
2,8457
0,0793
5
2
0,413
0,0037
0,9926
1,9852
0,0074
2
1
0,253
0,0000
0,9999
0,9999
0,0000
28,5827
17,6758
1 - 2(Px-
3,8127
40
fxPx
3,9041
I fx(1 - 2(Px- P/)) 28,5827 Pe = _ __::_:___ _-'----"._ ____::__:_:___ = = O 7145 fx 40 '
Pa= 1 _ 2 l i~Px -li~PxT]= 1 _ 2 l17,:~58 -l17,:~58T] = 0, 51 K= Pe-Pa = 0,7145- 0,51 = 0,2075 =O 42 1 - Pa 1 - 0,51 0,493 ' El valor del coeficiente kappa indica una fiabilidad media baja.
Solución 119 e =O, 1 y 0,05 Pe(1 - Pe)
n=-'----'---------'----'----
no,1 =
no.os =
0,75(1 - 0,75) O,P 0,75(1 - 0,75) 0,05
2
O, 1875 = 18,7519 0,01 O, 1875 = 75 0,0025
il
186 Psicometría: problemas resueltos
Solución 120 El punto de corte será igual a la media de las puntuaciones totales otorgadas por los cuatro jueces: 2,56 + 2,03 + 2,33 + 2,36 = 2,32 4 La puntuación de corte se establecería aproximadamente en 2.
Solución 121 XC= p(M) = 10(0,70) + 5(0,65) + 10(0,40) + 20(0,65) + 10(0,55) + 4(0,20) + + 15(0,55) + 8(0,45) + 4(0,20) + 10(0,30) + 3(0,25) + 1(0,20) = 50,15 La puntuación de corte establecida por el juez está en 50 ítems.
Solución 122 1. Los puntos de corte se calculan sumando las probabilidades, asignadas por cada uno de los jueces, de que cada uno de los ítems sea superado por los sujetos. Sumando dichas probabilidades tenemos: Punto de corte: 3,1 O (Juez 1)
2,20 (Juez 2)
3 (Juez 3)
2. El punto de corte del test es igual al promedio de los puntos de corte asignados por cada uno de los jueces. PC test
= 3,1O + 2,20 + 3 = 8,30 = 2 76 ' 3
3
3. El primer juez, es el que considera el test más fácil ya que es el que define un punto de corte más alto (3, 1O) . El segundo juez, es el que cons idera el test más difícil ya que es el que define un punto de corte más bajo (2,20) .
Solución 123 1. En primer lugar, debemos calcular la puntuación esperada por un sujeto en cada uno de los ítems del test. La puntuación esperada pa ra un sujeto en un ítem viene dada como resultado de dividir la unidad por el número de alternativas del ítem que el sujeto no haya rechazado.
187 Fiabilidad de las puntuaciones
A continuación sumamos las puntuaciones esperadas y su valor nos da el valor esperado en el test para cada juez. Estos datos son los que se recogen en la siguiente tabla: Ítems
Juez 1
Juez 2
Juez 3
1
bcd
bcd
ce
be
2
ede
bd
bde
ab
Juez 4
3
ab
bde
ab
bde
4
abd
abe
ede
acd
Ítems
Juez 1
Juez 2
Juez 3
Juez 4
1
1/2
1/2
1/3
1/3
2
1/2
1/3
1/2
1/3
3
1/3
1/2
1/3
1/2
4 ¿;
1/2
1/2
1,83
1,83
1/2 1,66
1,66
1/2
2. El punto de corte del test es igual al promedio de los valores esperados para cada juez. PC = 1,83
+ 1,83 + 1,66 + 1,66 = 6,98 = 1 .7 45 4
PCcorregido
=
N-A
A - ---
n- 1
4
4- 1,745 1,745- _ _....:....___ 5 - 1
1,745- 0,563
=
1,182
Capítulo 111: Validez de las inferencias
Solución 124 Método A A
1 Método A
Método B
Método B
1
0,96 1
A
0,29 2
0,85 1
S
0,56 2
OAO'
0,93 1
1
3
0,33
0,58
0,96 1
0,65 3
0,44
OAO'
0,80 1
3
2
0,25 2
0,80
0,20
A
0,30
S
0,31
0,63
1. 1 -Fiabilidad. 2 - Validez discriminante. 3 - Validez convergente.
Solución 125 1. RAA = 1 -
sz
s~A (1 - rAA) 2A
(AA
2.
=
0,85
s~A =
5
Rvy =
~ y;:;;
X
--7 RAA =
=
1 -
5
7
z=
2,33 >
z=
= 4,22
1,645
Al nivel del 99 y 95% se puede afirmar que no alcanzará 78 puntos en el criterio. 2 • K= Y 1 - r 2xy = Y 1 - O, 90 2 = O, 4358 Con un coeficiente de validez de 0,90 puede predecirse un 56,42% mejor de lo que hubiera sido posible en el caso de no existir relación alguna entre el criterio y el test, existiendo una cuantía de error de predicción del 43,58%.
205 Validez de las inferencias
Solución 159 r,, = 0,66
SY = 3 rxy
=
1 • Rxy
~
rYY = 0,90
r,Y = 0,68
0,68 Vo,66 X 0,9
=o 88 '
60
2. n = - = 3
20
Rxy
=
3. n =
-----;:=r==='x=Yn=n== V1 + (n- 1)rxx 1 - 0,66
0,80\13 -----;=======V 1 + (3 - 1) X 0,66
=
O, 91
=
O, 76
= 2,12
0,682 -o 66 0,75 2 ' EF = 2,12 X 20 = 42,4 = 42
42 - 20 = 22 Aumentó en aproximadamente 22 elementos.
Solución 160 rxx = 0,7064
rxr = 0,70
rrr = 0,90
Sr= 3
38 1.n=-=211 18 '
R xy
2, n =
=
rx Vn V1 + (n - 1) rxx
0,70\12,11 -----¡.======'====V1 +(2,11-1)0,71
(1 - r )R 2 (1 - 0,71) 0,78 2 XX xy = ----'--------'----'-------- = 3,04 r~y- R~yrxx 0,70 2 - 0,78 2 X 0,71
EF = 2,7819 X 18 =50 Aumentar 3,04 X 18 = 54,72; 54,72 - 18 = 36,72 = 37
3. E= (1 - K100) ~K= V1 - r~r = V1 - 0,70 2 = 0,7141 E= (1 - 0,7141) 100 = 28,59%
206 Psicometría: problemas resueltos
Solución 161 rxx = 0,64 Sx = 3
X = 15
ryy = 0,64
Y = 20
Sy = 5
1. K= 0,80 = V1 - r~Y
= 0,36
r~y
2. X= 13,5
,
rxy = 0,60
~
~X=
sy sx
y= rxy-x
13,5-15
o,6o x 5
=
-1,5
=
(13,5- 15)
=
-1,5
3
Y' = - 1,5 +Y= - 1,5 + 20
=
18,5
Syx = Sy Y1 - r~y = 5 Y1 - 0,36 = 4 fmáx
10,66
:S
y
:S
X
4
Vr:r
XVy
=
7,84
26,34
= ----'it_ =
3 R "
1,96
=
0 60
' v0,64
= 0,75
o,6oVO,S V1 + (o, 5 - 1) o, 64
Y36 6. X= 18 ~
~
Zx =
18 - 15
= 1
3
E = 5 + 2Zx = 5 + 2
~
X
PTD = 60 + 20Zx = 60 + 20
X
1. RS =
2.
X
= 4
X= 1 O Sx = 2
1 = 80
-
Y= 100
seleccionados 15 = -- = O1 aspirantes 150 ' ~
4 Zx = - = 2 2
=
0,52
0, 83
P = P(Z::::; 1) 100 = 84,13 = 84
Solución 162 rxy = 0,90
0,824
6 X 0,60 0,36 + (1 - 0,36) 9
1 = 7
X
0,426
--=
Sy = 16
~
207 Validez de las inferencias
Zy' = rxyZx = 0,90
2 = 1,80
X
Szyx = Y 1 - r~y = Y1 - 0,81 = 0,44 2 - 1,8
Zc =
= 0,45 ---¿ P(Zc
0,44
2:
0,45) = 0,3264
32,64% de éxito 3. p = O, 1O ---¿ Z = 1,28
Zy' = 0,90
z
1,28 = 1,15
X
= 2 - 1 '1 5 = 1 93 0,44
e
P(Zc
2:
'
1,93)
0,0268
=
Sólo tendrá éxito el 2,68%, lo que supone aproximadamente un sujeto.
Solución 163 rxx = 0,74 11 y = 5
Sx = 4
X= 15
Sr= 2
rw = 0,81
1. K = 0,60 = Y1 - r~Y; 1 - r~Y = 0,36---¿ rxy = 0,80 2. Syx = Sy Y1 - r~y = 2 Y1 - 0,64 = 1,2 fmáx =
SyxZc
1,2
=
S y'= rxy____}I_X = 0,80
sx
Y'= 2 + 5
2,58
X X
=
3,096
2 -(20- 15) = 2
4
7
=
3,904:::; Y' :::; 10,096
3 R . xy 4. R
VxY
rxy Vn
=
Y1 + (n =
_!_:x_ '¡V rxx
=
o,8oVO,S ----¡.======V1 + (o,5- 1)0,74
- 1) rxx
0 80 '
0 , 86
=
=
O, 72
O 93
'
8 X 0,80 ----¡.=========Y64 X 0,64 + (1 - 0,64) 16
6. X = 20 ---¿ Z =
20- 15 4
= 1 ,25 ---¿ P = 89
=
0,94
208
11
Psicometría: problemas resueltos
f=5+2X1,25=8 PO = 50 + 15 X 1,25 = 69
Solución 164 rxy = 0,80 1.
2.
Y = 15
seleccionados aspirantes X
= 15
~
SY
=
5 X = 100
Sx = 15
20 =--=010 200 '
Z = X
15 = 1 15
Zy' = 0,80 X 1 = 0,80 Zyc
=
szz y
X
Z, =
1
= V1 - o,64 = o,6o 1 - 0,80 0,60
= 0,33
~
P(Zc
::=;
0,33) = 0,6293
1 - P(Z, ::=; 0,33) = 0,3707 Tendrán una probabilidad de éxito del 37,07%.
3. P ::=; 0,90
~
Zx = 1,28 (la puntuación típica de los admitidos)
Zy· = 0,80 X 1,28 = 1,024 Zyc
= 1
szz y
X
Zc =
= 0,60 1 - 1,024
1 - P(Zc
0,60 ::=;
= -0,04
~
P(Zc
::=;
-0,04) = 0,4840
-0,04) = 0,516
Tendrán éxito el 51,6% de los admitidos.
Solución 165 Ryy = 1 - 0,25 = 0,75 Rxvy= 0,90
209 Validez de las inferencias
Solución 166 Y=2
X1
s; = 2
1,8
X2
5~, =
0,56
s~, =
0,96
Sr = 1,41
s x,
=
0,75
sx,
0,98
ryx,
ryx,
=
-0,87
rx,x,
0,75
=
=
2,2
=
=
-0,76
=
Zy = b,* Zx, + b;zx, b 1x 1 + b 2x 2
y'
=
Y'
= a
+ b,x, + b 2x 2 0,75- (-0,87)(-0,76) 1 - (-0,76)2
,-
b*
-
=
-0,87 - (0,75) (-0,76)
---'----'--'--'---'----'----'- =
1 - (-0,76)2
Zr
=
b,
= -- =
b2
b,*Sy
0,21
sx, b;sr sx,
=
0,40
=
- o,71 x 1,41
-1 ,02
=
0,98 -
a= Y- b 1X1
1 ,02x2
b 2X 2
-
2- 0,40
=
+ 0,40X1
-
b,*ry, + b;ry,
=
Y'= 3,52
1,41
X
0,75
= -- =
12
-o' 71
0,21Zx, - 0,71Zx,
y' = 0,40x 1
R~
0,21
X
1,8- (-1,02)
X
2,2
=
0,78
1 ,02X2 0,21
X
0,75 + 0,71
X
0,87
La proporción es del 78%.
Solución 167 rxx
=
0,64 Sx
=
3 X
1. r~y = 0,36
-7
2. Zx
-7 X=
=
-0,5
rxy
=
=
15
rrr = 0,64 Sr = 5
0,60 (-0,5) 3
=
-1,5
Sr 5 y'= rxyS X = 0,60 · 3(-1,5) X
=
-1,5
Y = 20
=
3,52
210
!1
Psicometría : problemas resueltos
3.
=
Sy x
Sy
Y 1 - r~y = 5 Y 1 - 0,36 = 4
1,96
fm áx =
4
X
=
7,85
-9,35 ::::; y ::::; 6,35 0,60
r xy
4.
= , ¡-- = - - = 0,75 v r.... 0,80 yy
Rxvy
S. K= Y 1 - r~Y = Y 1 - 0,36 = 0,8
E = 1 - K = 1 - 0,80 = 0,20 80% de incertidumbre por un 20% de seguridad en los pronósticos .
Solución 168 R~xY
= 0,81
~ RVxY
-
Sv
= 0,60
~ r xv
R VxY
=
sx
sx
r
~
= 2;
r xx'
= 0,60
~ o
_ x_y _
= 0,90; S X = 4
90 =
'
~ r xx'
= 0,36
r
~ r xy
xy
Vü.36
= 0,40. En el grupo amplio
= 0,54 r xy
= 0,54 utilizaremos
2 X 0,54 -----¡::.======== V4 X 0,29 + (1 - 0,29) 16
r
VxY
=
R xy ·
0,30
0,30
r xv
= -----=-- = - - - = O,48
y,:;
v'Mo
Solución 169 r xy
= 0,90
1. RS
SY
20 200
= 3 y = 1O
= -- =
x=
100
Sx
= 30
O 1O
'
2. La Zx que deja por encima un 10% de los casos es 1,28; a esta puntuación t ípica le corresponde una puntuación diferencial de: X= Z~x
3.
Zyc =
= 1,28
2
X = 1 60
~
Zx =
160 - 100 30
= 2
X
30 = 38,40
211 Validez de las inferencias
Zy = rxyl x = 0,90
X
2
=
1 ,8
5yx=Y 1 - r~y=V 1 - 0,81 = 0,44
z
2
=
18 ' =
-
0,44
r
o 45 '
P(Z, ::=:: 0,45) = 0,33
Los sujetos que en el test obtengan una Zx = 2 estando el punto crítico en Zyc = 2, tienen una probabilidad de superar dicho punto crítico de un 33%.
130 - 100 4. Zx = - -- -- = 1 30 La probabilidad de fracaso es de un 20% --7 Z, = -0,84 pues es la puntuación típica que deja por debajo un 20% de los casos.
zy' = rxylx = 0,90 Zrc - Zy'
z, =
X
= 0,44
Zyc = Zy' + zcsy = 0,90 + (- 0,84) 0,44 = 0,53
--7
Yc = Y + ZycSy = 1 O + 0,53
Y - Y e
1 = 0,90; sy
--7
s y.x
Zyc =
X
X
X
3 = 11,59
Sr 11,59 será el valor directo del punto crítico en el criterio de selección.
Solución 170 rxx = 1
52 -
_e
S~
=
1 - O, 1O = 0,90
S~ (1 - r~y) ___é__
_
s~.
~
= 0,20
0,91 V1Ts ---¡=======V 1 + (1 .75 o,9o
n
Sy x = Sy V1 - r~Y = V1 - 0,93 2 = 0,37 fm áx
= :±::1,96
z
X
X
0,37 = 0,73
10 = - =2 5
=
n = 1 ,75
O, 93
5~
= 25
212 Psicometría: problemas resueltos
Como no se conoce la Sy del criterio hay que calcular el intervalo en puntuaciones típicas. Z1
= 0,91
X
2
= 1,82
1 ,09 :s: Zy :s: 2,55
Solución 171 La ideal sería: Sociabilidad
Ansiedad
V-F
V-F
Alto
Bajo
Sociabilidad V-F
Sociabilidad M-1
Ansiedad M-1
Alto
Bajo
e
D
Ansiedad
Bajo
V-F
Alto
Bajo
Alto
Bajo
Alto
Bajo
Alto
Bajo
Alto
e
D
Sociabilidad M-1
Alto
Ansiedad M-1
Bajo
e
D
e
D
D = divergente; C = con vergente .
1. Podemos decir que los test tienen validez convergente, ya que las correlaciones entre los test que miden el mismo rasgo con métodos diferentes son altas. Así por ejemplo, la correlación entre sociabilidad (V-F) y sociabilidad (M-1) es alta, ya que es 0,85. 2. Igualmente, los test tienen una buena validez discriminante, ya que las correlaciones entre los test que miden distintos rasgos con el mismo método son bajas. Así por ejemplo, la ansiedad (M-1) presenta una correlación de O, 18 con la sociabilidad (M-1). Es decir, sólo un 3% de la varianza sería común entre ambos test. 3. Las correlaciones entre los tests del mismo método que miden distinto rasgo : sociabilidad (V-F) - ansiedad (V-F) = 0,20 y sociabilidad (M-1) - ansiedad (M-1) = O, 18 son sistemáticamente mayores que las encontradas entre los test de distinto método para medir distinto rasgo (sociabilidad V-F - ansiedad M-1) = O, 15 y (sociabilidad M-1 - ansiedad V-F) = O, 1O, Esto es, pues, un indicador de la existencia de un sesgo debido al método que debe ser corregido.
Solución 172 rxyZx - V 1 - r~y
X
1,96
2 = rxyZx + V 1 - r~y
X
1,96 = Zy,
1
=
Zx =
19 - 10 5
= 1,8
=
Zy ,-
Em áx
+
Em áx
213 Validez de las inferencias
1 = rxy1,8- Y 1 - r~y
1,96
X
2
=
rxy1,8 + Y1 - r~y X 1,96
3
=
2rxy 1,8
r = xy 2
3
1,8
X
= 0,83
Solución 173 X = 25
X = 20
Sx = 4
rxy
=
0,84
Zy' = Zxrxy
zX =
X - X 25- 20 = = 1 25 SX 4 '
Zy' = 1,25
0,84 = 1,05
X
Se separará de la media del criterio 1,05 desviaciones típicas.
Solución 174 rxx = 0,50
ryy = 0,55
rxy = 0,40
=o 77 0,40 -Vr-o=,5=o=x=o=,5=-5 '
Solución 175
s3 =
Sx = 1O
4
rxy = 0,35
10 X 0,35 ---¡::.=========== = 0,88 Y100 X 0,1225 + (1 - 0,1225)4
Solución 176 rxy = 0,80
rxx = 0,75
5~,
rxy Vn Rxy - --¡::.=='====Y 1 + (n - 1)rxx
y' =
0,9
X
5,37
2
X
8 = 2,68
= 16
Sy = 2
EF = 100
x = 8
0,8\ÍS --¡::.= = = = = = = 0,90 V 1 + (5 - 1) + o,75
Sx, = 5,37
214 Psicometría: problemas resueltos
Solución 177 Zy' = Zxrxy; b* = rxy
0,75
D
=
rxy
r;Y = 0,56
=
Solución 178 rxy = 0,50
rxx = 0,60
o,5ov3
rx (n - 1) rxx
V1 +
Rxy =
n = 3
-,======V 1 + (n - 1) 0,60
=
0,59
E= 1 - V1 - R~y = 1 - V1 - 0,59 2 = O, 19
Solución 179 E = 0,40 Zx
0,50
=
Szy;zx = V1 - r~Y
E= 1 - V1 - r~Y
0,40 = 1 - V1 - r~Y
V1 - r~y = 1 - o,4o = o,6o ~ szy/zx = o,6o Emáx
= 0,60 (1 ,96} = 1,176 0,60 = V1 - r~y
Zy' = rxyZx
0,36 = 1 - r~y
Zy' = 0,80 X 0,50 = 0,40
-0,776 :::; Zy:::; 1 ,576
Solución 180 K= 0,40 K= V1 -
r2xy
V1 - r~y
0,40
=
r~y =
1 - O, 16
=
rxy =
\,10,84
0,92
=
0,16
=
1 - r~Y
0,84
Solución 181 E= 0,80 E
=
1 - K
=
1 - V1 - r~Y
r~Y = 1 - 0,36 = 0,64 rxy = 0,80
1
215 Validez de las inferencias
O' 80
Y 1 - r~y
2 r xy
0,20
=
r~Y =
1-
V1 -
1 -
=
0,04
r~Y =
1 - 0,04
=
rxy
v'0,96
o' 98
=
=
0,96
Solución 182 1 . rxx = 0,78
rxy = 0,70
X = 6
s: = 4
Y = 100
s; = 25
Syx = Sy V 1 - r~y = S V 1 - 0,49 = 3,57 = Zc · Syx = 2,58 X 3,57 = 9,21
fm áx
Sy
Y' = rxy -
sx
92,54
2. Rxy -
:5
y
x + Y= 0,70
:5
S
X- X
2
1 + 100
=
101,75
11 0,96
o,r / 3
rxy Vn ----;-=======V1 + (n - n rxx
-,::.=====V 1 + (3- 1)0.78
=
0,76
Solución 183 rxx = 0,20
n =
rxy = 0,40
1 - 0,20
1 - rxx r~y
XX
X
16
=
=
16
0,16 - 0,20 0,64
-- r R2 xy 10
n = 1 O Rxy = 0,80
160; 160 - 1 0
=
1 50
Habrá que añadir 150 ítems.
Solución 184 r~y
= 0,75 rxx = 0,90 n = S
rxy
=
_
VoTs =
0,87
rxy Vn
Rxy - ----;-=='====V1 + (n - 1) rxx
0,87 V5 ---::======v 1 +(S - 1)0,90
=
0,90
216
11
Psicometría: problemas resueltos
Solución 185 r~y
= 0,81
rxy =
~
Rxy -
= 0,92 n
rxx
0,90
= rxy
0,3
=
\Ín
------r==o'=9=Vü.3=o=,3==
-----r=='====-
Y1 + (n
=
o ,83
V1 + (o,3- 1)0,92
- 1 ) rxx
Solución 186
=
R v,vy rxy =
r
Vr:i:r xy
rxy
O,8 7 = -----r=====-
;
Y0,80
0,87 Y0,80
X
0,82
=
X
0,82
0,70
Solución 187 rv,y
= 0,84;
r
-
r
xy . ~ '
v,y -
rxy =
rxx
= 0,80
o' 84
0,84 \1(),80
r~
-
-~-
yi(),80
-
=
0,75
Solución 188 rxy =
r
0,70
0,80
ryy =
rxy
0,70
~
yi(),80
= -- = --- = XVy
O, 79
Nunca podría alcanzar un coeficiente de validez de 0,90 ya que el valor máximo que podríamos alcanzar es igual a 0,79 .
Solución 189 rxx =
0,75
Rv v = X
y
ryy =
0,80
0,65 Y0,75
X
0,80
rxy =
=
0,65
0,84
217 Validez de las inferencias
Solución 190 E = O, 1 O n = 20
E= 1 - K
=
rxx = 0,50
2 1 - V 1 - r xy
2 O' 1O = 1 - dV 1 - r xy
1 - O, 1O = Y 1 - r~Y
0,90
=
1 - r~Y = 0,81 ~ r~ = 1 - 0,81 rxy =
v'0,19 =
-
rxy
=
O, 19
O,44
Vn
Rxy - ------;:.==== ==-
\! 1 + (n
- 1 ) rxx
K = Y 1 - 0,59 2
=
0,44 ViO
---;:::=='======-
V1 + (1 o -
=
1) o,so
0,59
0,81
Solución 191
e ·D =
0,36
s: =
-
4
-
X = 1O Y = 5
s; =
25
X = 12
NC 95%
5yx = 5y Y1 - r~y = 5 Y1 - 0,36 = 4
e · D = r~r = 0,36; rxr = V0,36 = 0,60 f máx = 1,96 X 4 = 7,84 S 5
(12- 10) + 5
Y' = rxy _!_ X + Y = 0,60 X -
2
5x
O, 16
S
y
S
8
=
15,84
Solución 192 rxy = 0,60
rxx = 0,50
R = 1 _ 5~ (1 - rxx) ~ R = 1 _ 1 - rxx = 1 ___ - _0_:_,_5 0_ = 0, S 7 XX 25~ XX 2 2 Rxy =
rx,y,
Yr:;,
, ¡V rx,x,
=
0,6 V0,75 '~ V O, 50
E = 1 - K = 1 - Y 1 - r~Y
=
=
O
' 73
1 - Y 1 - 0,73 2
=
0,32
il
218 Psicometría: problemas resueltos
Solución 193 1 - 0,60
0,40
=
1. p = 0,40
Zxc
z, =
~
-0,25
o,45 + o,25 V1 - o,85 2 0,85
= --'-----'-------'------ =
2. Razón de selección
0,69
= 2Q_ = 0,40 25
Según la tabla de Taylor-Russell tendrá éxito el 95% de los admitidos.
Solución 194 n = 80 X= 7
s; = 9
rxx = 0,90
Y= 12
Sy = 5
rxy = 0,80
1. syx = syV1- r~y = 5Y1- o,8 2 = 3
= 1,96
fmáx
3 = 5,88
X
Sy
-
-
Y'= rxy-(X- X)+ Y= 0,8
X
sx
10,12
XVy
3. n
120 80
rxy Vn
=
fmáx
0,80
Vo:8s
Y1 + (n = 2,33
=
0,87
15 '
= -- =
R xy 4.
y::; 21,88
rxy -- - ~ -
2 R "
:S
5 -(10- 7) + 12 = 16 3
- 1 ) rxx
o,8W
----¡:======V1 + (1,5- 1)0,9
=
0,82
3 = 6,99
X
Solución 195 n = 100 rxy
=
0,80
N = 200 X= 6 ryy
=
0,85
s; = 4
rxx = 0,90
Y= 8
SY = 3
ryy = 0,85
219
1
Validez de las inferencias
1. rxy
=
ryy'
Los pronósticos y' serán más exactos cuanto mayor sea rY:I que es rxy·
2. Syx = Sy Y1 - r~y = 3 Y1 - 0,8 2 = 1,8 Emáx
=
ZoJ 2Syx
= 1,96 X 1,8 = 3,53
Sy 3 y ' =rxy-x=0,8X-(10-6)=4,8 sx 2
~y
' =4,8+8= 12,8
9,27 ::; y::; 16,33 3. Rxv 1 y
0,80 ----===- = 0,867
rxy
=
~
V0,85
rw
rxy \Ín 4. Rxy - ----¡.======Y1 + 11,304, luego el niño no puede considerarse con ninguna patología grafoléxica al nivel de confianza del 95%.
5
Capítulo IV: Evaluación y análisis de los elementos del test
77
Solución 199 A
1. 1D = -
N
=
832 1.303
= O, 64
E
832 -
A----
(K - 1) ID=-----
iO Sx,
=
3
2.
: 0,84
2 -=o 14 8 '
2 3
rbp = xp; x ~~ fPq =
04 '
m ninguna patología grafo-
7
2
6
{0,64 = o 67
~0,36
'
Solución 200 1. -
11 = 2.75 4
2. X =
- - - - - =0,52 1.303
N
y = 1O SY = 2
471 3
=A
~
' ' acertana por azar 3 1tems.
E
- --
K- 1
8
= 3 - - = 3 - 2 67 = O 33 3
'
'
Se le asignaría una puntuación directa de O.
Solución 201 1. Dificultad en el grupo de bajo nivel:
A
2
ID=- = - = 02 N 10 '
~
O
222 Psicometría: problemas resueltos
Dificultad en el grupo de alto nivel:
A
8
I D = - = - = 08 N 10 ' 2. Para el cálculo del índice de discriminación podemos aplicar dos procedimientos: A) Procedimiento directo: se calcula la correlación biserial puntual (rbp) entre la puntuación en el ítem (J) y la puntuación en el test descontada la puntuación en el ítem j (X - J). B) Procedimiento indirecto: se calcula la correlación biserial puntual entre la puntuación en el item (J) y la puntuación en el test (X) y, a continuación, se aplica la fórmula de corrección (véase página 69 del formulario de Psicometría) . Para el cálculo del primer índice vamos a aplicar ambos procedimientos para mostrar al alumno que se obtienen los mismos resultados. En el resto de los ejercicios se aplicará el procedimiento directo. Sujetos con peores puntuaciones Procedimiento directo: X- J
(X- J) -media
8
8
0,8
0,64
12
12
4,8
23,04
X
J
o o o o o o o o
[(X- J) - media]>
5
5
-2,2
4,84
10
10
2,8
7,84
7
7
0,2
0,04
8
8
0,8
0,64
9
9
1,8
3,24
4
4
3,2
10,24
1
5
4
3,2
10,24
1
6
5
2,2
72
Sumatorio
4,84 65,6
8+12+ ... +5 72 X= - - - - - - - = - = 72 10
S~
=
1 W
XP
=
~=
X
2 (sujetos 9 y 10).
65,6 = 6,56
1o
'
Sx = 2,56
4,5. Debido a que es la media en el test de los que aciertan el ítem
223 Evaluación y análisis de los elementos del test
2
P =-=02 1o ' ' q=1-p=08 ' r¡(x-j) = rbp = xp
)Odemos aplicar dos procedí-
S~ X jf = 4,52,~:,2
.j"ff
-0,52
=
Procedimiento indirecto: biserial puntual (rbp) entre la test descontada la puntuación
1
)
o o o o o o o o
biserial puntual entre la pun(X) y, a continuación, se apli1formulario de Psicometría).
1
bos procedimientos para masEn el resto de los ejercicios se
(X)- media
X
[(X) - media]>
8
0,6
0,36
12
4,6
21,16
5
-2,4
5,76
10
2,6
6,76
7
-0,4
0,16
8
0,6
0,36
9
1,6
2,56
4
-3,4
11,56
1
5
-2,4
5,76
1
6
-1,4
1,96
Sumatorio
74
56,4
[(X - J) - media]>
0,64
X=
8+12+ ... +6
74
10
1
- - - - - - - =-=
23,04 4,84 7,84
1
Sx2 = 10
o
74
'
56 4 = 5,64 Sx = 2,37 '
X
0,04 0,64 3,24 10,24
XP
2 (sujetos 9 y 1O).
10,24 4,84
5+6
= --- =
p =
2
1Q =
5,5. Debido a que es la media en el test de los que aciertan el ítem
0,2, q = 1 - p = 0,8
Sf = pq = 0,2
X
0,8 = O, 16
S¡ = 0,40
65,6
;t de los que actertan el ítem
rbp = xp- x
sx
fP vq-
= s,s- 7,4 2,37
{0:2 vo.s
= -o,4o
Aplicamos ahora la fórmula de corrección:
-0,40 X 2,37 - 0,40 Y5,64 + O, 16 - 2
X ( -0,40) X
2,37
-1,348 X
0,40
2,5609
-0,52
224 Psicometría: problemas resueltos
Sujetos con mejores puntuaciones
x r.(
= 24,9
·)
JX - J
xp
= rb = p
= 25,13
s:
25,13 - 24,9 3,08
= 9,49
sx =
3,08
p = o,8, q = 0,2
1*,8
--=O 149 0,2 '
Solución 202 El grupo de referencia (GR) está formado por los niños y el grupo focal (GF) por las niñas. Calcular el número de respuestas correctas e incorrectas por cada grupo y nivel de aptitud.
Correctas
1ncorrectas
Grupo de referencia (GR)
Ak
Bk
Grupo focal (GF)
ek
Dk
Nk
Grupo baja aptitud : Correctas
Incorrectas
Niños (GR)
4
6
Niñas (GF)
3
7
20
Grupo alta aptitud: Correctas
Incorrectas
Niños (GR)
12
8
Niñas (GF)
9
11
40
Calcular
aMH
mediante la siguiente expresión:
225 Evaluación y análisis de los elementos del test Términos de la expresión Grupo de aptitud
= 0,8, q = 0,2
AkDk
AkDk Nk
BkCk
BkCk Nk
Baja
28
28 - = 14 20 '
18
~ = 09
Alta
132
132 = 3,3 40
72
72 = 18 40 '
20
4,7
Suma
1iños y el grupo focal (GF) por rectas por cada grupo y nivel
2,7
f AkDk Nk 4,7 = - - - - -f BkCk 2 ,7 k= 1
CXM H
k= 1
'
= 1,74
Nk
!orrectas
Dado que de las niñas.
B¡
O¡
> 1, el ítem favorece al grupo de referencia, en este caso al grupo
aMH
N¡
Solución 203 E
1./D
88- -
A - - -K - 1
= - --
-
-
---- =
200
N
2.
rbp = xpS~ X ¡¡;q = Yo X=
112 2
14 - 11 ,965 3
9 X 61 + 88 X 14 +51 X 12 200
0,16
ro;¡;¡ = o 60 Yo:56 , =
11,965
Solución 204 1. Ítems 1 y 3:
xps-xxfioq -rbp= ---'-Ítem 2:
1,5-1,4
V0,64
Fif '
= 0,25
226 Psicometría : problemas resueltos
0,4 X 0,2 0,4 X 0,25
+ 0,49 X 0,4 + 0,4 X 0,6 + 0,49 X 0,99 + 0,4 X 0,25
ta s. E tud tiE pulad
= 0,76
S• 3. Número de ítems que acertaría por azar:
N
2
E
X = A - - - = 1 - - = 05 K-1 4 '
1.
Se asignaría un 0,5.
Si
Solución 205 Ítems
Dificultad
Discriminación
%1
rbis 1
%2
rbis 2
%3
0,4
- 0,303
0,4
rbis 3 Correcta O, 13
2
o o
- 0,098
0,5
0,20
0,3
- 0,098
0,2
0,013
2
3
0,025
0,326
0,1
0,186
0,2
0,146
0,35
0,326
3
4
0,325
0,643
0,05
- 0,055
0,55
0,643
0,25
- 0,261
2
5
O, 175
0,744
0,45
0,744
O, 1
0,009
0,35
- 0,509
1
6
0,345
2
7
o o
0,713
3
8
0,1
1
9 10
0,212
0,2
0,212
0,5
- 0,133
0,713
0,2
0,834
o
O, 175
0,264
0,45
o
0,345
0,2
- 0,015
0,25
- 0,015
0,2
- 0,186
0,5
- 0,504
0,3
-
0,4
0,834
0,264
O, 1
- 0,119
0,2
1
0,45
- 0,43
0,009
0,35
- 0,008
1
0,345
0,4
0,076
2
2
2
1. En cuanto a la dificultad, habría que decir que todos los ítems son más difíciles de lo que sería recomendable. Con respecto a la discriminación, excepto el ítem 2 y el 6 el resto presenta unos valores aceptables como el 1 y 9, y bastante buenos como el 3, 4, 5, 7, 8 y 1O. 2. Excepto en los ítems 4 y 7 el resto de los ítems tienen alternativas que no funcionan adecuadamente. En el ítem 1 a la alternativa 3 están respondiendo alguno de los sujetos que mejores puntuaciones globales obtienen en el test, así mismo el porcentaje de respuestas a ella es elevado. En el ítem 2 hay un alto porcentaje de sujetos que están respondiendo a la alternativa 1. En el ítem 3 las dos alternativas incorrectas son inadecuadas ya que algunos de los sujetos que obtienen buenas puntuaciones globales se centran en ella. Lo mismo ocurre con la alternativa 2 del ítem 9 y con la 3 del 1O. Por último, la alternativa 1 del ítem 8 no es respondida por nadie, quizás debido a su manifiesta falsedad.
3. En el ítem 2 la opción que parecería correcta en función de las respuestas es la 1, mientras que en el 6 la 3, ya que en ambos ítems la correlación entre esas alternativas y la puntuación en el test es positiva, como ocurre con las alternativas corree-
r
227 Evaluación y análisis de los elementos del test
,4 X0,6
tas. El que esa correlación sea positiva significa que los sujetos con alto nivel de aptitud tienden a considerar esas alternativas como las correctas y no la que se había estipulado previamente.
= 0,76
1,4 X 0,25
Solución 206 n=6
N = 8
A 6 = - = 0,75 N 8
0,5
1. ID = -
E
2 6 - 3 - - - = 0,67. 8
A - - -Si corregimos el azar, ID rbis 2
%3
rbis 3
Correcta
- 0,303
0,4
O, 13
1
- 0,098
0,2
0,013
2
0,146
0,35
0,326
3
0,643
0,25
- 0,261
2
0,35
0,009
- 0,509
1
- 0,015
0,2
0,345
2
- 0,504
0,3
0,713
3
0,834 0,009 0,345
0,45 0,35 0,4
- 0,43 - 0,008 0,076
2 1 2
>dos los ítems son más difíci-
y el 6 el resto presenta unos no el 3, 4, 5, 7, 8 y 1O.
men alternativas que no funtán respondiendo alguno de en el test, así mismo el porun alto porcentaje de suje3 las dos alternativas incoetos que obtienen buenas urre con la alternativa 2 del ítem 8 no es respondida por
- -- - -
N
NI XJ- I xi J Y[NI X 2 - (IX)2] [NI P - (IJ)2] Sujetos
x,
x,
x3
x.
Xs
x.
X
xx.
o o o o o o o o
3 5
1
1
1
o
o
1
2
1
1
1
1
1
3
1
1
1
o
4
1
o
1
5
1
1
o o
o
6
1
1
1
1
7
1
o
8
1
1
o o
o o
o o o o o 1
X,
X,4
o
9
o
5
25
1
3
o
9
o
2
2
4
1
o
2
o
4
4
4
16
1
1
o o
1 9
o o
77
3
3 23
3
8 X 11 - 23 X 3 -----¡::.=========- = 0,53 Y(8 X 77 - 23 2}{8 X 3 - 3 2) S2 = I X2 - ( I X )2 = 77 - ( 23 )2 = 1 36 X N N 8 8 '
S 2 = -3 - ( -3 1 8 8 IH=
nción de las respuestas es rrelación entre esas altercon las alternativas corree-
K-1
=
Y 1,36
)2 = O' 23 ~ S
1
~S
= 1 17 X
'
= O 48 '
0,53X1,17-0,48 X 0,53 X 1,17
+ 0,23- 2
3. N. 0 discriminaciones = AE = 3
X
=0, X
0,48
5 = 15
14
11
228 Psicometría : problemas resueltos
Solución 207
Cal
1. - A primera vista se observa que los ítems IT02 e IT03 presentan correlaciones con la puntuación en el test muy bajas (rbp = 0,03 y -0,04, respectivamente), lo que implica que no tiene poder discriminativo. Por este motivo, podríamos eliminar esos dos ítems.
- El ítem que contribuye más a la medida de la comprensión lectora en el ítem 4, debido a que muestra el más alto poder discriminativo. Para el cálculo del índice de fiabilidad del ítem utilizamos la siguiente expresión:
Gru~
de apti
11
Solución 208
Suma
El grupo de referencia (GR) está formado por los niños y el grupo focal (GF) por las niñas. Calcular el número de respuestas correctas e incorrectas por cada grupo y nivel de aptitud. Correctas
1ncorrectas
Grupo de referencia (GR)
A•
Bk
Grupo focal (GF)
c.
o. N•
Grupo 1 de aptitud (O
:S
X
:S
Se
20):
Niños (GR) Niñas (GF)
Correctas
Incorrectas
16 12
64 58
ID
150
Grupo 11 de aptitud (21
:S
X
:S
Da caso a
40):
Se 1.
Correctas
Incorrectas
Niños (GR)
99
Niñas (GF)
60
66 125
2. 350
3.
229 Evaluación y análisis de los elementos del test
Calcular
aMH
mediante la siguiente expresión:
IT03 presentan correlaciones ,03 y -0,04, respectivamennativo. Por este motivo, po-
mprensión lectora en el ítem iminativo. Para el cálculo del ~n te expresión: Términos de la expresión
Grupo de aptitud r¡(x - ¡]
AkDk 16
1
0,5
99
11
AkDk Nk
X
BkCk
58= 928
928 = 6 19 150 '
125 = 12.375
12.375 = 35,36 350
X
64 66
X
X
Nk
12 = 768
768 - - = 512 150 '
60 = 3.960
3.960 = 11,31 350
41,55
Suma
BkCk
16,43
os y el grupo focal (GF) por tas por cada grupo y nivel
41,55 16,43
-----'- =
2,53
~ectas
¡k
'k
Nk
Dado que aMH > 1, el ítem favorece claramente al grupo de referencia, en este caso al grupo de las niños, tal como se había sospechado.
Solución 209 A 120 I D = - = - - = 04 N 300 '
¡ectas 4
B
150
Solución 21 O A 190 1. I D = - = - - = 0,475 N 400
100- 70
----=
108 3. N Disc: 190 (400 - 190)
=
0,28
39.900
230 Psicometría: problemas resueltos
Solución 211 1. p = 200 -
22_ = 200 - 17 = 183
2. p = 219 -
~=
1
3
3
219 - 27 = 192
1 3. La probabilidad de acertar un elemento contestando al azar es de-, luego: 4
A= 300 = 75 4
225 p = 75 - - - = 75 - 75 = o 3 1 43oo
4. P = - 3300
P=-43oo
Solución 212
rbp
=
IH
=
70- 65 16 r¡(x - J>
=
1 ,22 = 0,38 0,38 X 16 - 0,49 Y256 + 0,24 - (2 X 0,38 X 16
e
150 162
=-- =
0,93 zad<
60 P.=--= 0,37 1 162
D =Pe- P;
0,49)
pon
Solución 213
p
= 0, 35 X
=
0,93 - 0,37
=
0,56
231 Evaluación y análisis de los elementos del test
Solución 214
64
1. /0 1 =
= 0,66; 10 2 =
PO, = 4
=
8; PD 2 = 4
X
2 = 8; PD 3 = 3
=
X
3
63
9; PD 4
=
= 0,5 =
3
X
3 = 9
3 3+3 + 2+2+0+4
2,33
6
J
-_
= 0,5; 104 =
0,66; 10 3
X=---------=
S
63
=
3
---- =
1
;tando al azar es de - , luego: 4
2
+2+4
3
2. XC=
X
64
32+32 +22 +6 22 + 02 + 42 -- - 2,3 2 = 1,30
=O p = -
3
=
6
q = 0,5
o 5
'
S1 = 0,5 -
rb-
r(
3- 2,33 jff,5 - - - 0,51 1,30 0,5
l =
JX - 1
O, 17
0,51 X 1,30 - 0,5 -r================Y1 ,30 2 + 0,5 2 - (2 X 0,51 X 1,30 X 0,5)
V1Ts
=
0,15
Solución 215 cb - ad
hY
y>
XY
x>
21 25
4 6 7 8 5
5 6 6 7 5
16 19 21 22 15 93
80 144 126 154 75 549
25 36 36 49 25 171
256 361 441 484 225 1.767
20 36 42 56 25 179
16 36 49 64 25 190
84 150 189 232 100 755
441 625 729 841 400 3.036
27
29 20
236 Psicometría: problemas resueltos
66 134-4 /De = - - - - = 0,59 200 2. - La primera respuesta confunde, el 14% del grupo superior y el 22% del inferior la eligen. - La segunda y tercera respuestas parecen aceptables. - La cuarta parece poco discriminativa.
Solución 229 120 1. 80 - - - = 40 3 90 2. 8 0 - - =50 3 120 3. - 4
30
=
30-
90 3
=o
1 4. - La probabilidad de acertar todos los ítems será - - si se contesta a todos al azar. 4wo 3200
- La probabilidad de fallar todos--42oo
Solución 230 10 1. ID 1 = 1
o
= 1
7 10 =
4 ID 4 = - = 040 1o '
102
=
0,70
ID 5 =
5 10 =
0,50
ID3
= 10 = 0,60
106 =
5 10 =
0,50
6
El elemento 4 es el más difíciL
2. El número de discriminaciones será: 0 = 0
E4 = 4
X
6 = 24
E2 = 7 X 3 = 21
E5 = 5
X
5 = 25
E3 = 6
E6 = 5
X
5 = 25
E,= 10
X
X
4 = 24
~1
238 Psicomet ría: pro blemas resueltos
1. rh =
2. rhy
5 V (5
V(5
3 r •
X
xy
V (5
X
171 - 29 )(5
X
179) - (29 2
171 - 29 )(5 (5
=
549 - 29 2
X
(5
=
X
X
30)
X
= 0,9406
1.767 - 93 2)
X
0,9449
=
190 - 30 2)
X
755) - (122
3.036 - 122 )(5 2
93
X
30)
X
=
190 - 30 2)
X
0,9453
4. Sy V 1- r~y = 1,4142 V 1 - 0,9453 2 = 0,461 5. Los estadísticos no se deberán calcular nunca con una muestra de cinco sujetos, pero teniendo en cuenta el propósito de este problema, pensamos que al alumno le puede resultar útil.
Solución 234 IH =
0,4 X 7- 1,41 V 49 + 2- 2 X 0,4 X 1,41
= 0,21 X
7
Solución 235 T
6,25 - 2
= - - - - -- - - - - - - - -- - - - - - =
J
(75- 1)
X
2,12 + (75- 1) 150 - 2
X
2,7
X
16,76
(- 1- + _ 1_) 75 75
Como T = 16,76 > Te = 1 ,96. Rechazamos la H0 , aceptamos la H1• Luego al nivel de confianza del 95% podemos afirmar que la diferencia es estadísticamente significativa.
Solución 236
+Mediana
-Mediana
Total
Grupo superior
176 (a)
24 (b)
200
Grupo inferior
80 (e)
120 (d)
200
256
144
400
Total
239 Evaluación y análisis de los elementos del test
=
0,9406
400 (176
9449
[1176
X
X
120-80
X
24 1-
~J
+ 24)(80 + 120)(176 + 80)(24 + 120)
= 97 ,92
97,92 > 3,841, luego el ítem genera diferencias suficientemente elevadas .
Solución 237
0,9453
1. Se calcula la media de cada grupo:
54 X = - = 36 S 15 ' on una muestra de cinco suje)lema, pensamos que al alum-
-+
30 x 1. = - = 2 15
Una vez calculadas las medias se aplica la prueba de T para ver si hay diferencias significativas al NC del 95%. Esquema de dos muestras independientes:
te= con n , + n 2
NC 95%
~
Ho:
1-Ls -
H1 :
f1s -
f1¡ = O f1¡ =f. O
-
2 grados de libertad = 2,048 bilateral
unilateral te = 1,701
X
X;
-
5 T=-----------------------------(ns - 1)5; + (n; - 1 )S} (-1- + __ 1) ns + n¡ - 2 ns n¡
3,6- 2
J
14
X
2, 54 + 14 28
X
1,44 ( 2 )
15
1,6
~;:=====- = 3,08
_751)
~ptamos
111,44 420
s= 2
la H,.
~ar que la diferencia es esta -
S
I (X5
-
xy
n5
-
1
= 35,6 = 2 54 14 '
5 2 = 20,16 = 144 1 14 ' Como T = 3,08 > Te = 1,701. Rechazamos la H0 , aceptamos la H1 y decimos que el ítem número 15 tiene poder discriminativo a través de esta prueba.
2.
'·
X
F
5
7
30
4
5
23
3
2
18
2
7
16
1
9
9
240 Psicometría: problemas resueltos
Md
Ll. + - 1 ( -N50 fd 1 00
=
1 5 + -1 (15 - 9) ' 7
=
b
1 5 + -6 ' 7
=
GS
Gl
1
Debajo mediana
4
12
16
1
Encima mediana
11
3
14
15
15
30
30[1132 - 121 - 15]2 16 X 14 X 15 X 15
2
X
- f)
=
2 36 '
Total
330.750 50.400
=
=
Call
Asi
de =
6 56 •
Se busca en tablas x~ al NC del 95% = 3,84; como x2 obtenido con los datos es mayor que el obtenido en tablas, aceptamos el ítem por haber diferencias significativas .
Solución 238
Se X 1.
Se halla la mediana combinada de los dos grupos.
Md
2,5
=
X
F
F.
5
6
30
4
8
24
3
8
16
2
3
8
1
56
56
1
+ - (15 - 8) 8
GA
1+ Md 1- Md
N( AD - BCI 1
x2
= -
- - - --
(A
+
C)(A
+
-
B)(B
~
-
- --
+
2,5
+ 0,875
GB
Total
A 10
B4
14
e5
D 11
16
15
15
r
D)(C
=
-
+
--
D)
-
=
3,375
30( 111 o - 20 1 - 15)2 --'-- - - - ' -- - 15 X 15 X 14 X 16
2
=
3,3 5
2 Utilizando NC 95%, Como x2 nificativas.
<
x2 =
3,84.
xt no deberemos seleccionar el ítem pues no presenta diferencias sig)
Capítulo V: Asignación, transformación y equiparación de las funciones
Solución 239 X = 22, 26, 14, 18, 20
1. Zx, =
22 - 20
= 0,5; Zx = 1,5
4
2
Zx, = -1,5; Zx4 = -0,5; Zx5 = O Ahora hallaremos las puntuaciones derivadas aplicando la fórmula:
W
w,
=
W + Sw(Zx)
= 50 + 5(0,5) = 52,5 = 53
w2 =50+ 5(1,5) = 57,5 = 58 W 3 =50+ 5(-1,5) = 42,5 = 43
w4
= 50+ 5( - 0,5) = 47,5 = 48
W5 =50 2.
V~ 1
--X
20 = -10
1
52= v,
-V = (- -21)-X= 12 s:4 = ~ = 4 4
Solución 240 -
X; = 7, 5, 3, 6, 9 Zx, =
7- 6 2
-
Y= 2X - 5; Sr= 2Sx
= 0,5; Zx, = - 0,5
Zx, = - 1,5; Zx4 =O; Zx5 = 1,5 X=6
52=4 X
S =2 X
242 Psicometría: problemas resueltos
Y=12-5=7
s; =
4
s; =
s~ =
16
4
Ahora hallamos las puntuaciones derivadas de media Y
+ 4(0,5) = 9 y2 = 7 + 4(-0,5) = 5 y3 = 7 + 4(-1,5) = 1
Y, = 7
y4
=
7
Y5 = 7
+ 4(1 ,5)
= 13
Solución 241 X= 80-7 P = 75 X= 40-7 P = 25
z= p25 -7 z = p75
-7
0,67 -0,67
80- X 0,67 = - - -
sx
40- X -0,67 = - - -
sx
O= 120- 2X X= 60 0,67Sx = 80 - 60 = 20
20 S = - - = 29,85 = 30 X 0,67
z=
50- 60 = -0,33 30
-0,33 es la puntuación típica pedida.
Solución 242
X
F
20-22
1 O*
17-19
20*
14-16
30
11-13
80*
8-1 o
30*
5-7
20
2-4
10
=
7 y Sy
=
4.
243
11
Asignación, transformación y equiparación de las funciones
La mediana Md
=
12 tiene que dejar por debajo 100 sujetos.
12 es el punto medio del intervalo 11-13 luego quiere decir que desde el límite inferior 10,5-12 tiene que haber 40 sujetos. Si partimos de que los sujetos se reparten uniformemente a lo largo de todo el intervalo, desde el punto medio al límite superior tendrá que haber otros 40 sujetos; de ahí que, la frecuencia total del intervalo 11-13 sea 80. Siguiendo el mismo razonamiento, rellenamos las casillas que faltan:
X= 18
~
P90
~
17-19 habrá 20 sujetos, luego en el 20-22 habrá 10
Solución 243 Si se sigue el mismo razonamiento que en el problema anterior:
1. Las frecuencias que faltan son: (90-94) = 21; (85-89) = 30; (65-69) = 18
2. X
97
=
~
P
=
96,5
= 97
3. P965 ~acudiendo a tablas de curva normal se busca la puntuación típica que por debajo de ella deje una probabilidad de 0,965. Esa puntuación típica es Zn = 1,81: POn= 100
E= 5
+ 20(1,81)
+ 2(1 ,81)
=
=
136,2 = 136
8,6 = 9
Solución 244 X= 15 X= 20 E= 5
Sx ~
=
1O
Zx =
20- 15 10
+ 2(0,5) = 6
~
= 0,5
Cl = 100
~
P = 69,15 = 69
+ 16(0,5) = 108
Solución 245 N = 1 .000 1.
z=
X = 40
50-40 10
= 1
Sx = 1O ~
0,8413
~
84,13%
244
11
Psicometría: problemas resueltos
2. Z =
45- 40 = 0,5 ---¿ P(X 10
2
45) = 1 - P(X < 45) = 1 - 0,6915 = 0,3085
3. 1.000-1
850-X
X= 0,85
Buscamos en las tablas una P = 0,850 ---¿ Z = 1,04 PD =50+ 10(1,04) = 60,4 = 60
4. p = 0,40---¿
z=
-0,25
55- 40 5. X= 55 ---¿Z = - - - = 1,5 10 E = 5 + 2Zn = 5 + 2(1 .5) = 8
Solución 246 1.
X
F
fXm
f)(2m
Xm
Zx
PD
16-18 13-15 10-12 7-9 4-6 1-3
3 5 7 9 8 4 36
51 70
867 980 847 576 200 16 3.486
17 14 11 8 5 2
1,88 1,19 0,5 -0,19 -0,88 -1,57
69 62 55 48 41 34
77 72
40 8 318
318 X=--= 8,83 36 S~ =
3.486 - 8,83 2 = 18,86 Sx = \118,86 = 4,34 36 X-X
Z=---
17 - 8,83 = 1,88 4,34
Y así para todos los puntos medios de los intervalos. 2. Ver la última columna de la tabla que aparece en el apartado 1. PD = 50 + 1O(Zx) = 50 + 1 O (1 ,88) = 68,8
= 69
Las puntuaciones derivadas se han redondeado enteros ya que su utilidad estriba, entre otras cosas, en no utilizar decimales.
245 Asignación, transformación y equiparación de las funciones
3.
X
f
fa/Xm
% acumulado/Xm
16-18
3
34,5
96,6
13-15
5
30,5
10-12
7
24,5
7-9
9
4-6 1-3
Zn
PDn = 50
+ 1 O(Zn)
1,82
68
85,4
1,05
60
68,6
0,48
55
16,5
46,2
- 0,10
49
8
8
22,4
- 0,76
42
4
2
5,6
- 1,59
34
Se averiguan las puntuaciones centiles correspondientes a los puntos medios de los intervalos. Como queremos calcular los percentiles de los puntos medios de los intervalos, se puede hacer también acumulando las frecuencias sólo hasta los puntos medios y luego esas frecuencias acumuladas transformadas en porcentajes acumulados, que serán ya los percentiles. Se acude a las tablas de curva normal y los percentiles se transforman en probabilidad y se busca la puntuación típica normalizada que le corresponde. En la última columna aparecen las puntuaciones derivadas ya redondeadas. Al comparar las puntuaciones típicas obtenidas en este apartado con las del apartado 1, observamos alguna diferencia, aunque no muy grande, entre las dos series de puntuaciones típicas; ello es debido a que la distribución es aproximadamente normal; pero no exactamente normal (en la muestra).
Solución 247 X= 36,76
sx=
7,38
X
f
fa
%
)('
fx'
fx 02
50-51
2
100
100
7
14
98
48-49
4
98
98
6
24
144
46-47
6
94
94
5
30
150
44-45
8
88
88
4
32
128
42-43
9
80
80
3
27
81
40-41
10
71
71
2
20
40
38-39
11
61
61
1
11
11
36-37
10
50
50
o
-
-
34-35
9
40
40
- 1
- 9 - 14
28
- 12
36
9
32-33
7
31
31
- 2
30-31
4
24
24
- 3
28-29
6
20
20
- 4
- 24
96
26-27
5
14
14
- 5
- 25
125
24-25
4
9
9
- 6
- 24
144
22-23
3
5
5
- 7
- 21
147
20-21
2
2
2
- 8
- 16
128
13
1.365
100
246 Psicometría : problemas resueltos
- = 36,5 + 2 (-13-) = 36,76 X 100 5 2 = 41
l
X
sx=
1365 100
(____12_) 100
2
= 54 46 '
]
7,38
1 . C5
=
23 ,5
C60 = Intervalo 38-39 X 60 = 37,5
+ 2__(100 11
c 6a = 39,32
2. P5
p60 ~
7,38
z=
100
50) = 37,5 +
2_ 11
X
10 = 39,32
= 39
23,5 - 36,76
Z =
~
X~-
= - 1,796
39,32 - 36,76
= 0,346
7,38
3. Se busca en las tablas de curva normal las típicas correspondientes.
P5 P60
~zn =
~
- 1,645
Zn = 0,25
+ 10(- 1,645) = 43,55 = 44 = 60 + 1 0(0,25) = 62,5 = 62
4. Dn = 60 Dn
S. E = 5 + 2( - 1,645) = 1.71
E = 5 + 2(0,25) 6. Cl
=
= 5,5 =
=2
6
100 + 16(-1,645) = 73,68
Cl = 1 00
= 74
+ 16(0,25) = 104
7. La mediana es el centil 50 . X= 37,5 8. Si un sujeto obtiene una X = 46, Lqué centil ocuparía? 1 OOP 46 = 45 5 + -2 ( - - 88 ) ' 6 100 1 88 46 - 45 5 = - p - ' 3 3
p = 88,49 = 89
247 Asignación, transformación y equiparación de las funciones
Solución 248 fa
%
40-41
2
100
100
38-39
3
98
98
36-37
4
95
95
34-35
5
91
91 86
f
X
32-33
6
86
30-31
4
80
80
28-29
7
76
76
26-27
9
69
69
24-25
10
60
60
22-23
11
50
50
20-21
10
39
39
18-19
9
29
29
16-17
8
20
20
14-15
6
12
12
12-13
4
6
6
10-11
2
2
2
X= 24,24
sx=
7,38
N = 100 1.
c10 =
lnterv. 14-15
8 X= 13,5 + -(10-6) 6
=
13,5 + 1,33 = 14,83
C80 --7X = 31,5
2.
--7
z=
14,83 - 24,24
Pao --7
z=
31,5- 24,24 = 0,98 7,38
p10
7,38
= -1, 28
3. P10 --7 Zn = -1,28
P80 --7 Zn = 0,84 4. Dn =50+ 10( - 1,28) = 37,2 = 37 Dn = 50 + 1 0(0,84) = 58,4 = 58
248 Psicometría: problemas resueltos
5. E= 5 + 2(-1,28)
2,44
=
E = 5 + 2(0,84) = 6,68
+ 16( -1 ,28)
6. Cl = 1 00
+ 16(0,84)
Cl = 1 00
7. P50
~X =
=
=
79,52 = 80
113,44 = 113
23,5
8. X= 34 34
1OOP 33 5 + -2 (- - 86 ) ' 5 100
=
2P 172 05=- - - , 5 5
174,5
p
=
=
2P
87,25
= 87
Solución 249 1. X
fa m
% acumulado/Xm
Percentiles redondeados
Zn
E
=9 =7 5,3 = 5 3,2 = 3 1,28 = 1
14
77,5
96,873
97
1,88
8,76
11
70
87,5
88
1,13
7,26
8
45
56,25
56
O, 15
5
15
18,75
19
- 0,88
3
- 1,86
2
80 - 1 0 0 2,5-X
2,5
X=
3,125
2 5 100 ' x 80
=
3 125 '
y así sucesivamente
2. A partir de los percentiles se acude a las tabla de curva normal y se buscan las puntuaciones típicas correspondientes (ver tabla). Una vez calculadas se transforman en eneatipos aplicando la fórmula correspondiente.
249 Asignación, transformación y equiparación de las funciones
Solución 250 N = 1.000 X = 1 O Sx = 4 1. Zx =
12-10 = 05 4 '
PO = 60 + 10(0,5) = 65
+ 2(0,5) = 6 = 100 + 15(0,5) = 107,5 = 108
E= 5 Cl
2. P = 0,250
--7
Zx = -0,67
Z = - 0,67 =
X- 10
--7
4
X = 1O - 0,67(4) = 7,32
3. Si la distribución es normal, media, mediana y moda coinciden, luego X = 10.
=
Md =
= Mo
La puntuación X = 1O dejará por debajo al 50% de los sujetos de la d istribución. Habrá 500 sujetos con puntuaciones iguales o superiores a 1 O.
4. P75
--7
Zx = 0,67
--7
X = 1O + 4(0,67) = 12,68
P80
--7
Zx = 0,84
--7
X = 1 O + 4(0,84) = 13,36
P90 --7 Zx = 1,28 --7X = 10
+ 4(1,28) = 15,12
Solución 251 Entre el sujeto que obtuvo una puntuación X = 25 y el que obtuvo X = 15 hay 80 sujetos que representan el 40% de la distribución. Si el sujeto X = 25 era superior al 80%, de los sujetos de su grupo y entre ambas puntuaciones hay un 40%, luego a una X = 15 corresponde una puntuación centil P = 40.
p
=
40
z = - 0,25 E= 5 + 2( - 0,25) = 4,5
= 4
Solución 252 1. P75
--7
Zx = 0,67
P 2s --7 Zx
0,67 =
= - 0,67
20 - X
sx
-
; 20 - X = 0,67Sx
250 Psicometría: problemas resueltos
X= -0,675x + 20 -0 67 = 1
10- X SX
~
1O - X = -0 675
X
1
X= 10 + 0,675x 20 - 0,675x = 1 O + 0,675x 1 O = 1,345x
sx =
7,46
X=10+0,67X7,46=15
2. E = 5 + 2(0,67) = 6,34 = 6 E= 5 + 2(-0,67) = 3,66 3.
z=
27- 15
p
95
7,46
=
=4
= 1,61
E = 5 + 2(1 ,61) = 8,22 = 8
Solución 253 1.
X
f
Xm
30-32
10
31
27-29
14
28
83
24-26
20
25
66
66
21-23
21
22
45,5
45,5
18-20
30
19
20
20
15-17
5
16
facumuladJXm 95
2,5
%acumulado
95 83
2,5
Para calcular las puntuaciones centiles, calculamos los porcentajes acumulados hasta los puntos medios de los intervalos.
X= 31
~
P
=
95
X= 28
~
P
=
83
X= 25
~
P = 66
X= 22
~
P
=
46
X= 19
~
P
=
20
X=16~P=3
251 Asignación, transformación y equiparación de las funciones
2. La mediana equivale al percentil 50 . Md = 20,5
3
+ - (50-35) 21
= 22,6
3. X = 3 1-¿ P95 -¿zn = 1,64 X = 28 -¿ P83 -¿ Zn = 0,95
X = 25 -¿ P66 -¿ Zn = 0,41 X = 22 -¿ P46 -¿ Zn = - 0,1 O X = 19-¿ P20 -¿ Zn = - 0,84
X = 16 -¿ P3 -¿ Zn = -1 ,88 Md = 22,6 -¿ P50 -¿ Zn = O
+ 20(1 ,64) = 83 = 50 + 20(0,95) = 69
4. Zn = 1 ,64 -¿ PDn = 50 Zn = 0,95 -¿ PDn
Zn = 0,41 -¿ PDn =58 Zn = - 0,10-¿ PDn = 48 Zn = - 0,84-¿ PDn = 33 Zn = - 1 ,88 -¿ PDn = 1 2 Zn = O -¿ PDn = 50
S. E = 5 + 2(Zn)
E = 5 + 2 ( 1, 64) = 8
+ 2(0,95) = 7 E = 5 + 2(0,41) = 6 E = 5 + 2( - 0,1 O) = 5 E = 5 + 2 (- O, 84) = 3 E = 5 + 2( -1 ,88) = 1 E = 5 + 2(0) = 5 E= 5
Solución 254
X
f
fXm
f)(lm
20 52
100 208
60 16
180 32
5 153
5 525
5
4
4
13
3 2 1
20 8 5 50
252
11
Psicometría: problemas resueltos
153 1. X = - - = 3,06 50 525 - 3 06 2 = 1 14 50 ' '
52 = X
zx,
=
zx4 = z=
1 - 3,06 1,07 4- 3,06 1,07
1,81
Z = 0,88
z
= -1,92; Zx, = = 0,88; Zx, =
~
P 19
z=
~
p3
-1,92
X= 3
1,07
3 - 3,06 = -0,06 1,07
= 1,81
~ p48 ~
= 4
5- 3,06
= -0,99; Zx 3
P81
Z = -0,99
x
1,07
~ p96
= -0,06
2. X = 5
2- 3,06
~X
= 5 - 3,06 = 1 ,94
~x
= 0,94
~X=
-0,06
X=2~X=-1,06
X= 1
~X=
-2,06
3. Las puntuaciones típicas aparecen en el punto 1 ya que se han calculado para averiguar las puntuaciones percentiles. 4. PDn = 100 PDn = 100 PDn = 100 PDn = 100 PDn = 100 PDn = 100
5. E
=
+ + + + + +
15(Zn) 15(1,81) = 127,15 = 127 15(0,88) = 113,2 = 113 15(-0,06) = 99,1 = 99 15(-0,99) = 85,15 = 85 15(-1,92) = 71,2 = 71
5 + 2(Zn)
E= 5 E= 5 E= 5 E= 5 E= 5
+ 2(1,81) = 8,62 = 9 + 2(0,88) = 6,76 = 7 + 2(-0,06) = 4,88 = 5 + 2(-0,99) = 3,02 = 3 + 2(-1,92) = 1,16 = 1
253
1'
Asignación, transformación y equiparación de las funciones
Solución 255 1. 150 cobayas representan el 75% de la muestra. Buscamos en las tablas de curva normal la puntuación típica que corresponde al percentil 75; Z = 0,678.
X-X
0,678 =
~X
sx
= 2 + 0,678(0,5) = 2,339 = 2,34
La cobaya tardará en encontrar la salida 2 horas y 34 minutos.
2. X = 2,34
~
Z = 0,678 ~ P75 ~ PO = 40
+
30(0,678) = 60,34 = 60
E = 5 + 2(0,678) = 6,356 = 6 o 7
Solución 256 250 ratas representan el 50% de la muestra.
P~
50~
POn = 50
Z
=
O ~E
+ 20(0)
5 N. 0 de respuestas emitidas: 70
=
50
=
Solución 257
,
1. El 20% de 50 sera: X 20 = 4,5
X
F
fa
21-24
5
50
17-20
8
45
13-16
10
37
9-12
15
27
5-8
8
12
1-4
4
4
(50
4
, (50 El 70% de 50 sera: X 70 = 12,5
4
20)
100
+ -(1 0-4) = 8
X
4,5 X
+ - (35-27) = 10
10
+3=
70)
100
=
=
12,5
7,5
35
+
3,2 = 15,7
254
1
Psicometría : problemas resueltos
2.
X = 20
20 = 16,5
---7
+ ~( 8
+ 0,5(0,5?-37) 20 + 18,5 - 16,5
50
p - 37) 100
20 = 16,5 0,25P = p
=
22
22
= - - = 88 0,25
Un sujeto que obtenga una puntuación directa de 20, estará en el percentil 88.
3. No sabemos si la distribución es normal o no, por lo tanto no podemos acudir a las tablas de curva normal para obtener ningún valor.
X- X
X = 11;Z = - --
Sx X
sz
__ fXm _
N =
9 388 5 ' - 12,5 2 = 31,52 • 50
X
z=
(22,5 X 5) t (18,5 X 8) t (14,5 X 10) t (10,5 X 15) t (6,5 X 8) t (2,5 X 4)
- - - -- - - - -- - - -- - - - - -- - = ~
11 - 12,5 = -0,27 5,61
Solución 258 150 es el 75% de 200 P
---7
75
---7
Zn = 0,67
El número de respuestas que emitió será: 0,67 =
X - 60
5
---7
X = 60
- Su puntuación derivada PD = 100 - Eneatipo = 5
+
+ 2(0,67) = 6,34 = 6
+
5(0,67)
=
63,35 = 63
20(0,67) = 113,4 = 113
12,5
255 Asignación, transformación y equiparación de las funciones
Solución 259 1. X= 28
X= 26
s; = rxx
25
= 0,90
rxv
= yi().90 = 0,948 = 0,95
Zx =
28- 26 5 = 0,4
Z.;
0,95
=
X
0,4 = 0,38
Con los datos que tenemos es la mejor estimación que podemos hacer acerca de la puntuación verdadera de un sujeto que tiene una puntuación empírica X = 28.
2. Zv'
=
0,38
3. E = 5
+
Percentil = 64,8 = 65
2(0,38) = 5,76 = 6
Solución 260 Puntuación en agresividad
Número de niños
20-22
30
17-19
20
14-16
20
11-13
60
8-1 o
40
5-7
20
2-4
10
1. La puntuación de un niño que está en el percentil 1O ha de ser una puntuación directa que deje por debajo a 20 sujetos, que es el 10% de 200, Esta puntuación es X= 6.
2. La mediana es el punto medio del intervalo 11-13 y tiene que dejar por debajo de ella 100 sujetos de la distribución . Hasta el límite inferior del intervalo (1 0,5) hay 70 sujetos, luego faltan 30 hasta el punto medio del intervalo, pero como partimos del supuesto de que los sujetos se reparten homogéneamente dentro del intervalo, desde punto medio hasta el límite superior habrá otros 30 sujetos; por lo tanto en el intervalo completo habrá 60, La puntuación directa 18 corresponde a la puntuación centil 80, luego tiene que haber un 80% de sujetos de la muestra que hayan obtenido puntuaciones iguales o menores que 18; este 80% representa 160 sujetos de la muestra.
256 Psicometria: problemas resueltos
La puntuación 18 es el punto medio del intervalo 17-19; hasta el límite inferior de este intervalo hay 150 sujetos, faltan 1 O hasta el punto medio del intervalo, pero desde el punto medio hasta el límite superior habrá otros 1O sujetos repartidos; por lo tanto en el intervalo completo habrá 20 sujetos. Por último si a 200 le restamos 170 sujetos nos queda 30 que es el número de sujetos que faltan y que se encontrarán en el intervalo 20-22.
Solución 261 1. Nos encontramos ante un diseño de grupos equivalentes. Por lo tanto, la ecuación de equiparación se define como:
X*
=
5; = 5; = X *=
Y
- +: (5) 5
=
(X - X)
11.354 6 1 0.239 6
Y
- (43,3) 2 = 1.892,3 - 1.874,9 = 17.4 ==> 5x = 4,17
- (41,2)2 = 1.706,5 - 1.697.4 = 9,1 ==> 5y = 3,02
5 ) ( 5: (X- X) + Y = 0,72(X - 43,3) + 41,2
Aplicando dicha ecuación a las puntuaciones de la forma X tenemos :
X *=
+ 41,2 = 39 0,72(39 - 43,3) + 41,2 = 38
x· =
0,72(44 - 43,3) + 41,2
=
42
X *= 0,72(50 - 43,3)
+ 41,2
=
46
X *= 0,72(46- 43,3)
+ 41,2
=
43
X *= 0,72(41 - 43,3)
+ 41,2
=
40
X * = 0,72(40 - 43,3)
25; N,
=
J
+ N2
(z_; +
2)
=
J
2 X 9,1 ( ( 50 - 43,3 6 + 6 4,17
N,
25;
( ( (X - X)
+ N2
)2 + 2 ) =
5x
2,63
)2 + 2 )
=
257 Asignación, transformación y equiparación de las funciones
Solución 262 N= 30 Grupo 1 Forma X
l:X 2:X'
Grupo 2 Forma X
Forma Y
Forma Y
189
195
210
202
2.420
2.635
2.986
2.810
Nos encontramos ante un solo grupo. Por lo tanto, la ecuación de equiparación se define como:
X2 = 14
2.420 2.635 - (13)2 = 6,66 - (12,6)2 = 2,73 St, = 15 15
S2x, =
X1 =12,6Y1 =13
2.986 - (14)2 = 3,06 15
Y2 =13,46 S2x,X*
=
y
= (
Sy, + Sy,
sx,
+
sx,
)
(x _
X1
S2Y, =
2.810 15
-(13,46) 2 = 6,16
+ X 2 ) + Y1 + Y2 2
2
= (2,58 + 2,48)(x- 12,6 + 14) + 13 + 13,46 1,65 + 1,74 2 2
X* = 1 ,49(X - 13,3) + 13,23
Solución 263 Se ha utilizado un diseño de anclaje. La ecuación de conversión es:
V5y,2 + b yz, (5z2 ( V5 2x, + b 2xz, (5z2 2
X*
=
Y=
52 )
z,
) (
-
-
-
-
5 z,2 )
Se calcula la media y varianza del grupo A y B:
A:
S~,
= 34,6
8: St, = 14 Grupo total (A
+ 8):
-
-
X- (X, + bxz, (Z- Z,)) + (Y2 + byz, (Z- Z2)))
X1 = 23,4
s;,
= 2,96
Z1 = 11,2
Y2 = 24
S~,
= 6,16
Z2 = 11 ,2
Sx2 = 4,56; Z = 11,2
S
b yz 2 =ryz 2 ~ S z,
258
11
Psicometría: problemas resueltos
z,
X
xz,
z;
X'
z,
y
14 12
32
448
196
1.024
10
20
25 26 19
300 234 209
144 81 121
625 676 361
10 8 13
25 20 30
15 117
150 1.341
100 642
225 2.911
15 56
25 120
9 11 10 56
r~, =
niXZ1
-
X
153 253,15
x·
X
sx, sz, sy, sz,
rxz 1
ryz 2
=
225 658
1.375
900 625 2.950
X
6.705 - 6.552
642 - 56 2)
Y866
X
74
o 60 '
Y[ni Y2 - (I Y)2] [niZ~ - (IZ2)2]
1
2
625 400
ni YZ2- I YI Z2
155 232,16
=
400
100 64 169
-¡======================~
Y(5
byz
100
250 160 390 375
1
2.911 - 117 2 )(5
5
=
200
IXIZ1
2 -
Y(5
bxz
yz
-r======================= Y[niX (IX)2] [n iZ~ - (IZ )2] 5 X 1 .341 - 11 7 X 56
Ty~ =
z~
YZ,
Y =
(
X
1.375 - 120
2.950 - 120 2)(5 =
X
X
56
6.875 - 6.720
658 - 56 2 )
Y350
X
154
o 68 ' 5,88 1,72
= 0,60-- = 3,42 3,74 2,48
= 0,68-- = 1,02
VY14+104(456-616)) ' ' ' (x -
(23,4 + 3,42(11 ,2 - 11 ,2)) +
34,6 + 11 ,69(4,56 - 2,96)
+ (24 + 1 ,02(11 ,2 - 11 ,2)))
=
0,48
X (X-
23,4) + 24
Solución 264 En primer lugar se calcula, en cada test, los percentiles correspondientes a cada una de las puntuaciones.
259 Asignación, transformación y equiparación de las funciones Puntuación
Cuestionario A
o
Cuestionario B
1,5
6,5
1
5
21,5
2
9,5
40,5
3
15,5
62,5
4
23,5
79
5
36
87
6
50
92
7
62,5
95,5
8
92
97,5
9
98
98,5
99,5
99,5
10
Una vez calculados los percentiles, se representan gráficamente las puntuaciones obtenidas: 100 90 80 70 ·.¡:;
60
...V
50
e: (]) (])
c.
--+-Test A -Test B
40 30 20 10
o o
2
3
4
6
5
7
8
9
10
Puntuación directa
A partir del gráfico obtenemos las puntuaciones equivalentes en ambos cuestionarios y redondeamos las puntuaciones. A
o
A•
2
o o o
3
1
1
4
1
5
2
6
3
7
3
8
6
9
9
10
10
il
260 Psicometria: problemas resueltos
Solución 265 Grupo 1
X, = 65; 5x 1 = 6
Y, = 55; Sy, = 5 Y 2 = 45; Sy 2 = 5,5
Grupo 2 _
X 2 = 60; Sx 2 = 6
X = 62; Y = 48; Sx = 5; rxy = 0,75 -
-
X • =Y= ( Sr , + Sr' ) ( X- X, + X2 ) Sx, + Sx, 2 = (
5 + 5,5 )( 53 _ 65 + 60) 6 + 6 2
Y, + Y2 +----"2
+ 55 + 60
=
2
105( 125) 115 =' - 53 - - +- = 0,875(53 - 62,5) + 57,5 = 49 12
2
2
Capítulo VI: Problemas generales
Solución 266 Datos: 62,5)
+ 57,5
= 49
20;
X =
1. NC 96%
--7
Sx
= 12;
r pi
= 0,84;
Y
= 12;
Sy
= 3;
r xy
= 0,80
Zc = 2,05
Cuando se utiliza el método de la distribución normal de los errores se utiliza el error típico de medida cuya fórmula es:
Por el contrario, si se utiliza el modelo de regresión la fórmula a utilizar es el error típico de estimación de la puntuación verdadera. Su fórmula es:
a) Intervalo utilizando el método de la distribución normal de los errores f xx =
2 x 0,84 = 0,
2rpi
1
+
se = sx~ = fmá x
= 3,6
X
91
1,84
rpi
,...----
12 \11
-
0,91 = 12 . 0,30 = 3,6
2,05 = 7,38
/C = X± fmáx = 36 ± 7,38 28,62 ::; V::; 43,38
b) Intervalo utilizando el modelo de regresión
se= 3,60 svx = 3,60 \,IQ.91 fm áx
V' =
= 2,05 fxx
(X
X
= 3,42
3,42 = 7,01
-X) +X = 0,91(36
27,55::; V::; 41,57
- 20)
+ 20 = 34,56
262 Psicometria: problemas resueltos
2. Syx = Sy V 1 - r~y = 3 V 1 - 0,64 = 1,80
S 3 Y' = rxy___x_ (X - X) + Y= 0,80 (36 - 20) + 12 = 15,20 sx 12 Emáx = SyxZc = 1,8 IC
=
Y' ± Emáx
X
2,05 = 3,69
15,20 ± 3,69
=
11,51 ::::: y ::::: 18,89 3. K = V 1 - r~Y = V 1 - 0,64 = 0,60 4.
z=
36
12
20
1,33
=
P(Z :s: 1,33) = 0,9082
p
=
5. POn
91
= 50 + 20(1 ,33) = 76,6 = 77 + 2(1,33)
6. E = 5
=
7,66
=8
Solución 267 Datos: n = 1 00; X = 8; Sx = 5; rxx = 0,75; rxy = 0,60; ryy = 0,80;
s; = 16
1. K= V 1 - r~Y = V 1 - 0,6 2 = 0,8. El porcentaje de inseguridad o azar que afecta a los pronósticos es del 80%.
2. E = 1 - K = 1 - 0,8 = 0,2. Hay un porcentaje de seguridad en los pronósticos del 20% .
3. d = r~Y = 0,6 2 = 0,36. Entre el test y el criterio hay un 36% de varianza común o asociada lo que implica que, a partir de las puntuaciones de los sujetos en el test, se puede pronosticar el 36% de la variación de sus puntuaciones en el criterio. 4. rxx =
S2 52
_ v
-7 S~
=
rx~;
= 0,75
X
25 = 18,75
X
Sv =
v'18,75
5. NC 99%
-7
=
4,33
Zc = 2,58
Utilizando el método de la distribución normal de los errores
s. = sx~ = s v1- o.7s
= 2.so
262 Psicometria : problemas resueltos
2. sy x = Sy V 1 - r~y = 3 V 1 - 0,64 = 1,80
S 3 Y' = rxy_Y_ (X- X) + Y = 0,80 (36 - 20) + 12 sx 12 Emáx
= SyxZc = 1 ,8
IC = Y' ±
11,51
E máx =
X
=
15,20
2,05 = 3,69
15,20 ± 3,69
y ::; 18,89
:S
3. K= V 1 - r~Y = V 1 - 0,64 = 0,60 4.
z=
36- 20 12
=
1,33
P(Z s 1,33) = 0,9082
p = 91 5. POn = 50
6. E = 5
+ 20(1 ,33)
+ 2(1 ,33)
=
=
76,6 = 77
7,66 = 8
Solución 267 Datos: n = 1 00; X= 8; Sx = 5; rxx = 0,75; rxr = 0,60; rrr = 0,80; s; = 16
1. K = V 1 - r~Y = V 1 - 0,6 2 = 0,8. El porcentaje de inseguridad o azar que afecta a los pronósticos es del 80%. 2. E = 1 - K = 1 - 0,8 = 0,2. Hay un porcentaje de seguridad en los pronósticos del 20%.
3. d = r~Y = 0,6 2 = 0,36. Entre el test y el criterio hay un 36% de varianza común o asociada lo que implica que, a partir de las puntuaciones de los sujetos en el test, se puede pronosticar el 36% de la variación de sus puntuaciones en el criterio. 4. rxx =
52 52
_v
~S~
= rx.S: = 0,75
X
25 = 18,75
X
5. NC 99%
~
Zc = 2,58
Utilizando el método de la distribución normal de los errores
s. = s x ~ = s
v1 - o.7s = 2.so
263 Problemas generales f máx =
+ 12
2,58
/( == X::±::
== 15,20
2,50
X
6,45
=
12 ::±:: 6,45
fm áx =
5,55 ::::: V ::::: 18,45 6. NC 95%---¿ Zc = 1,96
Syx = s y Y 1 - r~y = 4 Y 1 - 0,60 2 = 3,20 1,96
f máx =
3,20
X
=
6,27
, Sr 4 y = rxy-x = 0,6 - (12- 8) = 1,92 sx 5
/( =y' ::±::
fm áx
= 1,92 ::±:: 6,27
- 4,35 :::=:y :::; 8,19 0,60
-----;:= ='====-
Y0,75
8. n =
Rxx = ,60; ryy == 0,80; s;
=
16
e inseguridad o azar que afee-
0,80
X
= 0,78
100 + 50 = 1,50 100 nrxx 1 + (n - r)rxx
1,50 X 0,75 + (1,5-1)0,75
- ------"''------
9. NC 95%
Sd = s x
---¿
Zc
=
=
0,
82
1 ,64. Es una prueba unilateral.
y:¡-=-;:: V2 =
5 Y 1 - 0,75 V2 = 3,53
Dif. mín. = 1,64 X 3,53 = 5,79 de seguridad en los pronósti -
b) Z = 1,5
y un 36% de varianza común ¡ones. de los sujetos en el test, Btuac1ones en el criterio.
~e
10. a) E= 5 + 2(Z) ---¿
=5+2
1,5
X
=8
P93 ,32 ---¿ Percentil 93
e) x =Z·Sx = 1,50 X 5 = 7,5
d) PD
=
10 + 3
X
1,50
=
e) X= x + X = 7,50 + 8
14,50= 15 =
15,50
Solución 268 Datos: Sx = 4; rxy = 0,80; Sr = 2; rxx = 0,90; ' rr = 0,90
los errores
Sr 2 1. y'= rxy-x = 0,8 - (3) = 1,20 sx 4
il
264 Psicometría: problemas resueltos
2. syx = Sy Y 1 - r~y = 2 Y 1 - 0,64 3. NC 95%
---¿
1,20
=
1
Z=-
Zc = 1,96
Zn sE en lasta de punt1 pond e u
Syx = 1,20 Emáx = SyJC = 1,96
X
1,2
=
2,35
y' = 1,20 /C = 1,20 :±: 2,35
- 1,15:::::y ::::: 3,55
J1
4. Rxy =
0,80
rxy - rxx
n
--;===========-
J-
1_-----'o,_9o_ +
+ fxx
2
0,80
--;::='====Y0,90
6. x = 3; Zx =
3
4
2. u muestra
X
=
0,90
= 0,82
0,90
o,89
3. S na y la rr na y qu1 media m
= 0,75; PO = 50 + 20(0,75) = 65
E= 5 + 2(0,75) = 6,5 = 7 p
=
77
Solución 269 N = 1 00
X = 20 y
10-12 7-9 4-6 1-3
Sx = 5
K = 0,60
f
fa a/p m
10 40 35 15
95 70 32,5 7,5
Ym
11 8 5 2
fYm
fY 2 m
110 320 175 30 635
1.210 2.560 875 60 4.705
Sol Date
1. F
y= Sy =
635 = 6,35 100 4 705 " - 6 35 2 = 2 59 100 ' '
1. Y = 8 puntos. Se busca en la tabla de los porcentajes acumulados hasta el punto medio y vemos que a la puntuación directa 8---¿ P70 .
F
F
F
F
265 Problemas generales .' ' . Z = 8 - 6,35 = o,6 4 es 1a puntuaCion t1p1ca 2,59
' . emp~nca .
Zn sería la puntuación típica normalizada, para ello, a partir del percentil, se busca en las tablas la puntuación típica que le correspondería a ese sujeto si la distribución de puntuaciones fuera una distribución normal. Al P70 (0,6985 en tablas) le corresponde una Zn = 0,52. E= 5
+ 2(Zn) = 5 + 2(0,52) = 6,04
~
E= 6
2. Un sujeto que ocupa el centil 60 es superior al 60% de los sujetos de su muestra. =
0,82 P60
~
Zx =
Zn = 0,25 X-X
sx
-
~X= X + Z~x
+ 2(0,25) = 5,50
E= 5
~
= 20 + 0,25(5) = 21,25
E= 6
3. Si la distribución de las puntuaciones en el test es normal, la media, la mediana y la moda coinciden, por lo tanto hay 40 sujetos que están por encima de la mediana y que acertaron el elemento 1,96 1,26 Por tanto, al nivel de confianza del 95%, no existen diferencias estadísticamente significativas entre un alumno que ha obtenido un 4,5 en la prueba de selectividad y otro que ha obtenido un 5,5.
S. 5 1 Y 1 - r 1 1 = 5 2 Y 1 - r22 S~
Sr = 0,80
NC = 95%
= 25f = 2
1,20 2 = 2,88
X
~
5 2 = 1 ,70
1,20 Y 1 - 0,45 = 1,7 Y 1 - r22 0,52 = Y 1 - r22 0,27 = 1 - r22
~
r22 = 0,73
Al duplicar la varianza de la muestra la fiabilidad de la prueba de Selectividad pasa de 0,45 a 0,73.
0,50
-ff*---'---,
= 0,64
•s errores :
no que obtuvo un 4 en dicha t,26 y 5,74 a un nivel de con-
Al modificar la variabilidad de la muestra su fiabilidad ha pasado de 0,45 a 0,73, esta mejora de la fiabilidad afecta al coeficiente de validez que pasa de 0,50 a 0,64.
7. Se trata de un problema bivariado de validez y homogeneidad, supuesta conocida la variabilidad de las puntuaciones en la variable directamente selectiva -la prueba de Selectividad- en el grupo amplio -todos los alumnos- y en el grupo restringido -los alumnos matriculados en la Facultad de Psicología. 1,20 Y 1,44
X
X
0,50
0,50 (1 - 0,50 2) 2
= X
1
0,57
268 Psicometría: problemas resueltos
Solución 272 n=8
N=10
A 7 = = O 70 N 10 '
1. ID = -
2. Aplicando KR 20 rxx
=
KR2o
=
n :
1
¿:t)
(1 -
Ítems
A
1
10
p
q
1
o
pq
o
2
7
0.7
0,3
0,21
3
5
0,5
0,5
0,25
4
6
0,6
0,4
0,24 0,25
5
5
0,5
0,5
6
2
0,2
0,8
0,16
7
4
0,4
0,6
0,24
8
2
0,2
0,8
0,16 1,51
Sujetos 1
4
16
4
16
3
6
36
4
2
4
5
4
16
6
3
9
7
8
64
8
1
1
9
7
49
IX 41 X=-=-=410 N 10 ' =
X
KR 20
~ 1o =
-
4 10 2
'
=
4 69
'
8 (1 - 1,51) 8- 1 4,69
=
X,
2
10
S2
X
0,77
2
4
41
215
269 Problemas generales
Aplicando a rxx
= a =
x,
Xl
X,
n :
(1
1
~ ~l )
x,
X'2
X1
x.
X'4
X,
Xg
Xs
Xl
X1
X'7
x.
X'8
1
1
o o
o
1
o o
o
1
1
1
o o o
o o o
1
1
o o o o o o
o o o o o o
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
o
o
o o
o o
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
o
o
o
o
1
1
1
1
1
1
1
1
o o o
o o o
o o o
1
1
0,21
1
1
1
1
o
o
o
o
o o o
0,25
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0,24
1
1
o
o
o
o
o
o
o
o
o o o
o
o
o
o
1
1
1
1
o
o
o
o
2
4
4
2
2
pq
o
0,25
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0,16
1
1
o
o
o
o
1
1
o
o
o o o
0,24
10
10
7
7
5
5
6
6
5
5
2
0,16 1,51
52 = IX? x,
52 x,
N
=7- -
1o
~ (~)2 = _2_2_ ~ N
)2 =
(- 7 1o
1O
(_2_2_)2 = 0 1O
021
'
5 - ( - 5 )2 =o 25 x, =1o 1o '
52
( 6
)2 =o 24
(- 5 1O
)2 =
52
6
52
=5 --
5 26
=2- - ( - 2
52 1
4-( 4 =
52
( 2 )2 =12o - -1o =o ' 16
x. =1-o - -1 o
xs
x
x
Xg
1O 1O
1O
1O
1O
'
025 '
)2 =o 16 '
)2 =
024 '
8 ( o+ 0,21 + 0,25 + 0,24 + 0,25 + 0,16 + 0,24 + 0,16) 18- 1 4,69
a=--
=
0,77
270 Psicometría: problemas resueltos
Aplicando dos mitades Fórmula de Rulon 5~-i
r
xx
= 1 ---
s;
i
p-i
(p-i)l
p2
j2
pi
1
4
1
3
-2
4
1
9
3
2
4
1
3
-2
4
1
9
3
o o o
9
9
9
1
1
1
4
4
4
Sujetos
p
X
3
6
3
3
4
2
1
1
5
4
2
2
o o o
6
3
1
2
- 1
1
1
4
2
7
8
4
4
o
o
16
16
16
8
1
o
1
- 1
1
o
1
o
9
7
3
4
-1
1
16
16
12
10
2
52 p-
1
rxx =
1
1
o
17
24
-7
7 2 ) 1o
= __!__!__ -
( -
1o
1 - 0,61 4,69
=
=
o 11
1
1
1
43
70
51
pu
o'61
0,87
Fórmula de Flanagan 4rpispsi
111
S~
a(
r xx =
rpi
tE
N'i pi- 'i pi i = -Y-;::[=N= I =p= I =i)=2 =-=(I=p=)=2J=[N=I=,=. 2=-=(= 21 10 X 51 - 17 X 24 ----¡-===========Y(10 X 43 - 17 2 ){10 X 70 - 24 2)
p
O, 77
=
2
I p- - (-I p )2 = -43 - ( -17 )2 = 1 41 52 = P N N 10 10 ' 2
¿~
rxx =
4 X 0,77 X 1,19 X 1,11 --------- =
-
(
~
r ~~ ~~ r
St =
=
4,69
- (
= 1 ,24
0,87
~
S = 1 19 P
'
~ S¡ = 1,11
271 Problemas generales
Aplicando la fórmula de Guttman
r = 2 (1 -
S~ + St)
=
2 (1 -
2
X
0,77
S~
XX
1,41 + 1,24) 4,69
----'----- = 0,87 1 + 0,77 Rxx =
2
X
0,87
1 + 0,87
=
=
O 87 '
Utilizando
rxx
= ex.
Utilizando el valor de rxx calculado por el método de las dos mitades.
0,93
4. En= 5 + 2Zn La puntuación obtenida por el sujeto n.0 5 es 4. El centil que corresponde a esta puntuación será el siguiente:
C =
f. acum.b
4
N
X
f
1
1
1
2
2
3
3
1
4
4
3
7
5
o
7
6
1
8
7
1
9
8
1
10
+ 0,5fd x 100
f. ac.
=
4 + 0,5 x 3 x 100 10
=
55
Se ha aplicado la fórmula que permite calcular el centil correspondiente al punto medio del intervalo. facum b es la frecuencia acumulada hasta el intervalo anterior a aquél en que se encuentra la puntuación y fd es la frecuencia que hay dentro del intervalo . Veamos en las tablas de la curva normal qué puntuación corresponde a una proporción de 0,55. Este valor es Zn = O, 13. Por tanto:
En = 5 + 2 1'19
X
O, 13 = 5,26
Al sujeto n. 0 5 le corresponde el estanino 5.
Solución 273 N I XY - ¿x¿ y
=5
272 Psicometría: problemas resueltos
X
Sujetos
y
x>
y>
XY
1
6
16
36
256
96
2
5
14
25
196
70
3
3
10
9
100
30
4
3
11
9
121
33
5
2
6
4
36
12
6
2
8
4
64
16
7
4
10
16
100
40
8
5
12
25
144
60
9
7
19
49
361
133
10
6
18
36
324
108
43
124
213
1.702
598
10 X 598- 43 X 124 Rxy
=
Y(10
213- 43 2)(10
X
2 • E= 1 -K= 1 - Y1 -
2 rxy
X =
648
1.702- 1242 } 1 - Y1 - O' 95 2
Y281 =
X
1 - O' 31
=
0,95
1.644 =
O' 69
Por consiguiente el porcentaje de seguridad o certidumbre con el que se puede pronosticar el éxito académico a partir de las puntuaciones en la prueba X de nivel de conocimientos es del 69%.
3. Aplicando a
ex = n : 1
dice
( ;~~~ist)
52=
1 -
X
N
Cómo los únicos valores posibles para cualquier elemento de la prueba es 1 ó O, entonces X1 = Xf. Por consiguiente: X,
x>
x3
x.
Xs
x6
x7
Xa
1
1
1
1
1
1
1
o o
1
o o o
o o
o o o o
Sujetos 2
1
1
1
3
1
o
1
4
o o
1
o
1
5
1
6
1
o o
7
1
1
o o
8
1
1
1
o o o o
9
1
1
1
10
1
1
¿:
8
7
1
1
1
o o o o
1
o o o o
1
1
1
1
o
1
1
o
1
1
6
4
8
2
6
2
1 1
1 1
1
o o o o
273
11
l Y'
XY
256 196 100 121
5 12 =8- - ( - 8
96 70 30 33 12 16 40 60 133 108 598
~ 36 64 100 144 361 324 ~02
1
X
1.644
=
o' 95
dumbre con el que se puede 1es en la prueba X de nivel de
o
)2 =o 16 '
6 - (10 6 )2 = 10
0,24
S~ =
4 - ( 10 4 )2 = 10
0,24
)2 =o 16 '
2 (10 2 )2 = 10-
St
=
51
= 160 - ( 160
S§ = 120 - ( 120
r r
52
=
= 0.24 = O, 16
= 1,57
'ifX
2 _
N
X
('ifX)2 N
1ento de la prueba es 1 ó O,
1
o o o o 1
o 2
0,16
Al mismo resultado se llega utilizando la fórmula de la varianza de una variable dicotómica que es igual a pq.
)2
x. o o o
=0,21
S~ =
I sr N
1
5 2 = 8- - ( - 8 S 10 10
1 - 0,31 = 0,69
;~}
o
7 (10 7 )2 Si=10-
1 648 --;::-====Y281
Problemas generales
x7
Xa
1 1
o o o o
o o o o 1 1 1 1 6
X
f
fX
X'
fX'
2 3 4 5 6 7
2 2 1 2 2 1 10
4 6 4 10 12 7 43
4 9 16 25 36 49
8 18 16 50
1
o o o o 1 2
52
213 = --
X
(\' =
10
( - 43 10
)2 =
2 81 '
8 ( 1 -1,57) - - =o 50 8 - 1 2,81 '
72
49 213
274 Psicometría: problemas resueltos
Aplicando la ecuación de Kuder-Richardson 20
ítem n. 0
p
q
pq
1
0,8
0,2
0,16
2
0,7
0,3
0,21
3
0,6
0,4
0,24
4
0,4
0,6
0,24 0,16
5
0,8
0,2
6
0,2
0,8
0,16
7
0,6
0,4
0,24
8
0,2
0,8
0,16
I
ex=
4.
8 (1- ~)=o 50 8 - 1 2,81 '
se= sx ~ = v'2.81 V1
y
y
Syx
-
o,so
f
1,19
=
y>
fY
fY 2
6
1
6
36
8
1
8
64
64
10
2
20
100
200
11
1
11
121
121
12
1
12
144
144
14
1
14
196
196
36
16
1
16
256
256
18
1
18
324
324
19
1
19
361
361
10
124
I
S2
1,57
1.702 =- - (124)2 -1010
=
16 44 '
= 4,05 Y1 - 0,95 2 = 1,26
~
1.702
S = 4 05 y
'
275 Problemas generales
ro x o,95 Y4,5 2,02
--¡=====-
+
Y4,o6 6. A 2
-
o,n
0,95 2 + (1 - 0,95 2)2,81
X
0,97
=
E2 3 --=-= 7 - --- = 6 n-1
4-1
7. Hay que calcular el centil primero. Tn
=
C
=
50 + 1 Oz facumb
X
+
0,5fd X 100
N X
f
2
2
f. 2
3
2
4
4
1
5
7
5
2
6
2
9
7
1
10
Se busca en tablas de curva normal y la puntuación típica normalizada que le corresponde es:
Zn
=
0,25
Tn
=
50
+ 1 O (0,25)
= 53
Solución 274 1. KR
=
2o
n n - 1
p
(1 - 'I_pq) 52 X
x,
x,
x,
x.
Xs
x.
5\6
3\6
3\6
4\6
4\6
1\6
q
1\6
3\6
3\6
2\6
2\6
5\6
pq
5\36
9\36
9\36
8\36
8\36
5\36
S2 X
=
2_X N
2 _
(
IX N
)2
44\36
=
1,22
276 Psicometria: problemas resueltos
52
= - 80 -
6
X
KR 20 rvx
= -6
5
x,
Xz
x3
x.
X,
1
1
1
1
1
o
o o
1
o
1
1
1
1
1
1
1
o
1
o o
1
o
1
o
( - 20 6
)2 =
2 22 '
(1 - 1,22) 2,22
=
~
X
xz
4
16
2
4
5
25
1
x6 o o o o
3
9
1
1
1
5
25
o
o
o
1
1
20
80
S = 1 49 X
'
0,54
= yiQ.54 = 0,73
l. r XY
=
NIXY- IXIY -Yr-[=N=I=X=2 =_=(=I=X=)2=][=N=I=Y=2 =-=(I=Y=)=2]
yz
xz
49
16
X
y
XY
4
7
28
2
4
8
16
4
5
6
30
36
25
3
5
15
25
9
5
8
40
64
25
1
3
3
9
1
33
124
199
80
6 X 124- 20 X 33 Gv
3. ID
84
-----¡:===- =
= -¡======================~ Y[6 X 199 - 33 2 ][6 X 80 - 20 2 ]
=
4 p = -
6
~
Y105
X
80
o' 9 2
ID = O 67
'
N. 0 discriminaciones = AE = 4 X 2
~
N. 0 discriminaciones = 8
. . . . = pq = -4 x -2 = - 8 Po d er d 1scnmmat1vo
6
6
36
~
po d er d"1scnmmat1vo . . .
=
o, 22
277 Problemas generales ;
[
X
)(2
4
16
2 5
4
25
3
9
5
25
1
1
20
80
rxx.
N'i XX4 - 'i X'i X4 -Yr:[=N='i=X=2 =-=(= ' i='X'=)2=][=N= 'i=X=J=-=('i=X=)=2] 4
=
52
x.
'iXl _ ( 'i X4 N
N
)2
x.
X
xx.
X~
)(2
1
4
4
1
16
1
2
1
4
1
5
2 5
1
25
o
3
o
o
9
1
5
5
1
25
o
1
o
o
1
16
4
80
16 80 X 8
0,63
4
6 X 16 - 20 X 4 rxx• = -Y---;:(=6=X=80=-=2=0=2)=(6=X=4= - =4=2=-)
5 2x. = ~ 6 IH =
(~) 6
2
= 0 ' 22
~
---=
x. = 0 ' 4 7
S
0,63 X 1,49- 0,47 ~ IH Y2,22 + 0,22 - 2 X 0,63 X 1,49 X 0,47
4. 1 - rxx
=
1 - 0,54
=
=
0, 38
0,46
El 46% de la variabilidad de las puntuaciones empíricas del test es varianza error.
S. 1 -
34
=-
i X 80
=
0,92
r~r =
1 - 0,92 2
= O, 15
El 15% de la variabilidad de las puntuaciones en el criterio no es explicado a partir de las puntuaciones del test.
Solución 275
naciones = 8
f"'
=
discriminativo
~ 0,22
1. Se trata de calcular la fiabilidad del test utilizando el método test-retest. El coeficiente de fiabilidad en este caso se calcula mediante la correlación entre las puntuaciones obtenidas por los sujetos en ambas aplicaciones:
278 Psicometría: problemas resueltos
r x,x2 =
rxx
x,
x2
x,X2
Xf
5 4 6 3 1 4 23
6 3 5 4 1 5 24
30 12 30 12 1 20 105
25 16 36
--7 f xv
2. E = 1 -
V1 -
=
v'0,84
--7 fxv
36
nc
9
la
25 16 1 25 112
9
1 16 103
6 X 105- 23 X 24 -Y---¡.(=6=X=1=03= - =2=3=2 )=(6= X=1=1=2=-=2=4=2)
= 0,84
X2 2
78 ----;:===V 89 X 96
=
o' 84
= 0,92
r~y
N 'i XY- 'i X I Y
r xy =
-Y¡::;[=N= I=X2=-~(IX=F~HN~I ~Y2=-=(I=Y)=2=-l
X,
x2
y
X1 Y
5
6 3 5 4 1 5
8 6 4 5 2 3 28
40 24 24 15 2 12 117
4 6 3 1 4
rx,y
=
f x,y
=
X2Y
Y2 64 36 16 25 4
48 18 20 20 2 15 123
9
154
6 X 117-28 X 23
58
V(6 X 154 - 28 2)(6 X 103 - 23 2)
V 140 X 89
6 X 117 - 28 X 23
66
V (6 X 154 - 28 2)(6 X 112- 24 2)
V 140 X 99
= 0,52 = 0,57
E, = 1 - V 1 - 0,52 2 = O, 15 E2 = 1 - V 1 - 0,57 2 = O, 18
El coeficiente de valor predictivo variará según se tome una serie de puntuaciones u otra. En cualquier caso la diferencia no es muy grande. En el primero el porcentaje de seguridad es del 15% mientras que en el segundo caso es del 18%.
279 Problemas generales
X'2
3. El error de estimación es la diferencia entre la puntuación obtenida y la pronosticada. Vamos a utilizar solamente el coeficiente de validez obtenido a partir de las puntuaciones obtenidas en la primera aplicación del test.
36
1
9
25 16
E=Y-Y'
1
Sy Y' = rx y - (X, - X 1) + Y
25 112
sx
1
S2
2: Y2 _ ( I Y )2
=
N
Y
78
=
= 0,84
l X 96
S2
x,
103 - ( 23 )2 6 6
=
154 _ ( 28 )2 6 6
=
N
=
=
3 89 ~ S ' Y
=
1 97 '
2 47 '
-
2:Y 28 Y = - = - = 467 N 6 '
X1
= -
23 6
Y'
= 0,52
=
3 83 '
1 97 (5 - 3,83) ' 1,57
+ 4,67 = 5,43
E = Y - Y' = 8 - 5,43 = 2,57
(
Y'
[8
64
18 w !o
36 16 25
2
4
5
9
23
154
4. El sujeto que en el criterio obtuvo un 8, en la primera aplicación del test obtuvo un 5.
E = 5 + 2Zn
ex = 5 =
4 + o,5 6
1
= 0 ,75
~
40
5 R - - ---'----= 0,52
.
xy-
~-rxx
~
n =
X 89
x 99
0,67
1 - rxx r~y
R2 - r xy
66
~o
=
E = 5 + 2(0,67) = 6,34 = 6 rxy
58
Z c= 0,7 5
=
0,57
ome una serie de puntuacio¡rande. En el primero el porundo caso es del 18%.
Considerando rx,y:
n =
1 - 0,84
= 0,67
0,522 - 0,84 0,25 EF n =El
~
EF = nEI
EF1 = (0,67)6 = 4,02
~
EF 1 = 4
XX
280 Psicometría: problemas resueltos
Solución 276 1 " rxr
r~
NIXY- IXIY
=
=
-Y---r[=N=I=)(2~-=(=IX=)=2 ]=[N=I=Y2==-=(I=Y)=2=-]
Sujetos
X
y
)(2
Y'
XY
1 2 3 4 5 6
3 4 2 5 1 5 20
15 20 14 30 13 28 120
6 16 4 25 1 25 80
225 400 196 900 169 784 2.674
45 80 28 150 13 140 456
6
X
456 - 20
X
120
-r========================== Y(6 X 80 - 20 )(6 X 2.674 - 120 2
2
)
336 362,66
---=
0,93
Dado que el criterio ha sido medido con anterioridad al test se puede hablar de una validez retrospectiva. Sin embargo, si se considera que a pesar de que el criterio se haya medido con anterioridad la aplicación del test ha sido inmediatamente después, se podría hablar de un estudio de validez concurrente.
2. Zx = 1
~
Zr. = rxr Zx = (0,93)1 = 0,93
Szyqzx = Y1 - r;y = Y1 - 0,8649 = 0,37 0 93
Z = O- ' r 0,37
=
-2 51 '
~
P(Z
2
0,994)
Buscando en las tablas de curva normal, la probabilidad que queda por encima de una Z = -2,51 se obtiene una probabilidad de 0,994. Esta será la probabilidad de éxito de los sujetos del problema.
3. El error de medida es la diferencia entre la puntuación empírica y la verdadera, pero como la verdadera no se puede conocer se utiliza la verdadera pronosticada. E=X-V'
V'
=
rxx(X - X) + X 20
X = - = 3 33
6
52 X
=
'
80 - (3 33) 2 6 '
=
2 24 '
p 1 q 1 = 0,83 X O, 17 = O, 14
281 Problemas generales
P2q 2 = 0,67
X
0,33
=
p3q3 = 0,67
X
0,33
= 0,22
p4q4 = 0,67
X
0,33
=
= 0,50
X
0,50
= 0,25
p 5q 5 y>
225 400 196
~o o 169 784 674
XY 45 80 28 150
0,22
0,22
'i p¡q¡ = 1,05 a=
LSx~J ) =
n (1 n- 1
~) =
2 (1 4 2,22
+ 3,33 = 4,43
V' = 0,66(5 - 3,33)
~
0,66
E = 5 - 4,43 = 0,57
13
140 456
4. Test B (n
1 O elementos)
=
20- (14 + 2,22)
- - = - - - - ' - - - - - - - ' -----'----=- =
336 52,66
=
0 93 ·
ad al test se puede hablar de q ue a pesar de que el criterio ha sido inmediatamente desrente.
20[1 5. EF
=
RXX
8
n
El= 5
1,60
1,60 X 0,66 - ----'-----'------ - = 1 + (1 ,60 - 1) X 0,66
nrxx' (n - 1 )rxx'
= - - - - - '"'----
1 +
=
-((-!s-Y +(~~ y)]
o,42
O, 76
Solución 277 1. Se uti lizará el método de las dos mitades. lidad que queda por encima · Esta será la probabilidad de
ación empírica y la verdadea la verdadera pronosticada.
xp =
20,90
s p = 3,64
X¡ = 19,90
S¡ = 4,48
X1
st = 6,78
=
40,80
S2p +
rxx = 2[1 s~ - i
=
s~
S~
+ 57-
51]
2rpispsi
s~ -i rxx = 1 - - - = 1
sx
S2 2 . rxx = 1 - _e S~
~
=
l-
2 1
13,29 + 20,09] 45,96
= o 55 '
= 13,29 + 20,09 - 2 x 0,385 x 3,64 x 4,48 = 20,83
20,83 45,96
=
1 - 0,453
S2
_e = 1 - 0,55 = 0,45 S~
Hay un 45% de varianza debida a los errores.
=
0,55
282 Psicometría: problemas resueltos
2 X 0,55 1 + (2 - 1) X 0,55
nrxx'
3. Rxx
- - - --'-------- =
= -------""'------
+
1
4. Zx = -
X
(n - 1 )rxx'
~ x
sx
0,71
test
pror
= Z.Sx = (0,75)6,78 = 5,09
v' = rxxX = 0,55(5,09) = 2,80 S~= S~(1
- rxx)
=
45,96(1 - 0,55)
=
20,68
Se = 4,55 Svx = Se
Yr:x = 4,55 V0,55 = 3,37
Emáx = SvxZc = 3,37 X 1 ,96 = 6,60
- 3,80 ::;
9,40
V::;
5. N = 1 O; L, X = 404; L, )(2 = 16.834; L, Y= 303; L, Y 2 = 9.704; L, XY = 12.573 r
N L, XY - L, X L, Y Y [N L, )(2 - (L,X)l][NL, Y2 - (L, Y)2]
-
xy -
0,64 Y 0,80 X 0,55
7. n
1 - rxx
=
r~y
R2 - r
XX
xy
EF
n = -
S. S 2
=
y
Sy
=
El
~
=
_ 1_ -_0_,5_5_ o 40 o 55 ____!___ 0,64 '
=
=O 64 '
0,64 0,66
_0_.4_5 0,08
EF = n x El = (5,63)4 = 22,52
9.704 _ ( 303 10 10
)2 =
o 97
=
'
=
5 63 '
= 23
~
23 - 4 = 19 ítems
52 31 '
7,23
Sxy = Sy Y 1- r~y = 7,23 Y 1 - 0,64 2 = 5,55 Y' = 1,64 + 0,20X Z = r
Y - Y'
~
Y' = 1 ,64 + 0,20(60) = 13,64
17 - 13,64
e
SyY 1 - r~y
=
0,61
5,55
Z, = 0,61 < Zc = 1,64 al NC 95% en pruebas unilaterales.
Por tanto, aceptamos que dicho sujeto podría alcanzar dicha puntuación.
283 Problemas generales
=
9. d = r~Y = 0,64 2 = 0,41 ~ Hay un 41% de varianza común o asociada entre el test y el criterio.
0,71
K= Y1 - r~y = Y1 - 0,41 = 0,77 ~ 77% de incertidumbre o inseguridad en los pronósticos.
E= 1 - K = 1 - O, 77 = 0,23
~
23% de seguridad en los pronósticos.
Solución 278 1. I P = 154; 2: 1 = 160; 2: PI = 2.558; 2:P 2 = 2.602; 2: 12 = 2.702; .L X= 314; 2: X 2 = 10.420
LY2 =
9.704; .L XY
=
rp.i
12.573
=
N .L XPI - PI -Y--¡.[=N=.L=P=2=-=(=P)=2]=[N=2: =f=2=-=(=2.:=1)=-2] 10
X
2.558- 154
X
160
------;================= Y[18 X 2.602 - 23.716][1 o X 2.702 - 25.600] rxx
¡¡
=
2rp; 1 + rp;
2 X 0,52 1 + 0,52
=
O 68 '
S~= .LXZ _ ( I X)2 = 10.420 _ (314)2 = 56 , 04 n n 10 10
'3
rxx =
~
23 - 4 = 19 ítems
ar dicha puntuación.
S~
2. Z = 2 =
S 2V = 0 , 68
~
X-X
sx
~
X
= 56
56 , 04 = 38 11 1
X = X + 2Sx
X= 31,40 + 2(7,49)
=
46,38
V'= rxx
4. El valor máximo que puede alcanzar el coeficiente de validez es igual al índice de fiabilidad.
rxy test A equivale a 42 en el B.
:S
rxv
rxv = ~ = ~ = 0,75 ~ rxy ::::: O, 77 5. E= X- V V'
E
= =
6. P(Y
rxx(X- X) +X= 0,59(16 - 17,6) + 17,6 16 - 16,66 ?':.
7IX
=
=
16,656 = 16,66
-0,66
= 1 2) = F- 1
(z =
, Sy Y= rxy-(X- X)+ Y= sx
ye
Y' )
-
sy,x 2,58
0,33-~(12-
3,93
17,6) + 5,4
=
4,19
290 Psicometría: problemas resueltos
Sxy = Sy\11 - r~y = 2,58Y1 - 0,33 2 = 2,44
z=
7 - 4, 19 = 1 1 5 2,44 '
Buscando en las tablas de la curva normal se obtiene una probabilidad de obtener un valor inferior a este de 0,8749. Dado que lo que se preguntaba era si se podía tener una imagen positiva, habrá que restar de la unidad ese valor:
< 7/X = 12) = 1 - 0,8749 = 0,1251
P(Y2 7/X = 12) = 1 - P(Y
La probabilidad de tener una imagen positiva de la clase política habiendo obtenido una puntuación en la escala de 12 puntos o más es sólo del 12,51%.
2 X 0,59 = O 74 1 + 0,59 ' 0,33
X
\Í2
----;:::.===- = 0,37
v'1
8.
x6
y
5 1 5
4
X6 Y 20
3
3
9
3
3
5 85
8 27
45 9 40 117
+ o,59
X2
Y2
25 1 25 9 25 85
16 9 81 9 64 179
N'i X6 Y - I X6I Y
(X 6Y
=
---¡=================2 Y[N I Xt - (I X6)2][N I Y
-
(I Y)2]
5 X 117-27 X 19
----;:.========== Y[5
X
85 - 19 2 ][5
X
179 - 27 2 ]
=
0,70
9. X= 18 0=50+10Z=50+10
X-X
sx
=50+10
18-176 '=51,02=51 3,93
291 Problemas generales
Solución 283 1.
n e una probabilidad de obtese preguntaba era si se podía ad ese valor: - 0,8749 =O, 1251 clase política habiendo obtesólo del12,51%.
~s
x,
x>
x,
x.
Xs
X
3 2 5 2 3 4 19
2 3 4 1 2 5 17
4 4 3 2 2 4 19
3 3 4 2 1 5 18
4 2 5 1 3 4 19
16 14 21 8 11 22
92
5 12
y
Xf
Xf
Xj
XJ
x>
x>
y>
XY
7 8 7 4 5 8 39
9 4 25 4 9 16 67
4 9 16 1 4 25 59
16 16 9 4 4 16 65
9 9 16 4 1 25 64
16 4 25 1 9 16 71
256 196 441 64 121 484 1.562
49 64 49 16 25 64 267
112 112 147 32 55 176 634
=67 --
6
( - 19 6
)2 =
5
1 14 '
Así se van sacando las varianzas de cada uno de los elementos y del test total.
a
n 2. Rxx =
fs7) ;~_ , _ 1 __ ( 1 5~
= __ n_
2
nrxx 1 +(n-1)rxx
X
=
0,89
1 +0,89
5 ( 1 _ 7,24 ) 5 - 1 2 5, 2 2
=
0 89 '
= 0,94
(a,- a2)~ t = ---¡::.=========== 4(1 - a 1)(1 - a 2)(1 - d2)
Y
(0,94- 0,89) V6=2
V4(1
- o,94H1 - o,89)(1 - o,85 2)
O, 1 --- =
0,086
1,17 <
t0,95;4
=
2,132
Se acepta la H 0 , es decir no parecen existir diferencias estadísticamente significativas entre las pruebas de 5 y 1O preguntas. - 17 6
--'- =
~. 93
51 02 =51 '
3. r~
NIXY- IXIY
= -;======================~
Y[NIX2 - (LX) 2 ][NI Y2 - (I Y) 2 ] 6
X
634 - 92
X
39
---¡::.=========== 2
Y[6 X 1.562 - 92 ][6 X 267 - 39 2 ]
=
0,80
A la vista del valor obtenido para el coeficiente de validez, se puede considerar la prueba como un buen predictor de las calificaciones de los alumnos en el área de Humanidades.
292 Psicometría : problemas resueltos
4. V'
=
rxx (X -X) + X = 0,89(8 - 15,33) + 15,33
=
8,81
S. E = Y'- Y S
-
15
-
Y' = rxy___}'_(X- X)+ Y= 0,80-'-(14- 15,33) + 6,5 = 6,18
sx
5,02
E = 6,18 - 8 = -1 ,82
N'L X4(X - X4) - 'L X4'L (X - X4
6. rx.(x- x.>
=
---;======================v'rN I Xl - ('L X4)2 ][N'L (X - X4)2
('L (X - X4))2]
-
6 X 247 - 18 X 74
-----;::==== 2======2 Y [6 X 64 - 18 ][6 X 1.004 - 74
7. D = 5
X - X
=
0,83
]
X- 15,33 5,02
+ Z = 5 + - - - = 5 + - -----'--
8. Sf(1 - r,,)
Sujetos
X
D (5, 13)
1
16
2
14
(4.74)
3
21
(6,13)
4
8
(3,54)
5
11
(4,14)
6
22
(6,33)
r22)
= SW -
25,22(1 - 0,89) = 38,5(1 - r 22 ) 9. P(Y ":?. 7/X = 15) = F- 1
(z, =
Ul
~
r 22 = 0,93
Y')
yc Sy,x S 15 Y' = rxy_ r (X - X) + Y= 0,80-'-(15 - 15,33) + 6,5 = 6,42 sx 5,02
Sxy = Sy Y 1 - r~y = 1,5 Y 1 - 0,80 2 = 0,90
z r
= 7 - 6 ,4 2 = 0,90
o 64 '
Buscando en las tablas de la curva normal se obtiene una probabilidad de obtener un valor inferior a este de 0,7389. Habrá que restar de la unidad ese valor: P(Y ":?. 7/X = 15) = 1 - P(Y < 7/X = 15) = 1 - 0,7389 = 0,2611
tio
rr C<
al
293 Problemas generales
3
=
8,81
La probabilidad de que un alumno con una puntuación de 15 en la prueba obtenga una calificación de al menos notable en el área de Humanidades es de 0,2611.
33) + 6,5
=
6,18
Solución 284 1.
x,
x,
3
2 1
2
x3
x.
2
1
2
2 4
4 5
5
4 2
3
3
2
4 4 4
19
17
19
= 0,83
3
Xs 3
X
y
x>
x>
x>3
x>
x>
11
1
1 5 4
8 21 22
o
9 4
4 1
4 4
1 4
9 1
121 64
16 25
14 16 92
9 16 16
16 25
2 4 19
25 16 4
25 16 4 16
441 484 196
5 3
18
3
-(1 - _J,_5f) =
ex= _n
5~
n- 1 EF 2. n = El
Rxx
=
20 5
=- =
1 1 1
o 4
1
2
9 4 59
9 67
5 (1 5 - 1
7,24 ) 25,22
4
9 9 64
16 65
=
5
71
x>
256 1.562
o 89 '
4
nrxx
---=---1 + (n - 1lrxx
4 X 0,89 + (4- 1 )0,89
------ =
0,97
3. Con los datos proporcionados esta cuestión no se puede resolver. Se trata de un problema de fiabilidad y variabilidad. En efecto, conocemos la fiabilidad del cuestionario completo en el grupo de 6 alumnos (calculado en el punto anterior) y podemos conocer la variabilidad de las puntuaciones de esos 6 sujetos en el cuestionario completo:
5; = n5;[1 + (n - 1 )rxJ = 4 3) + 6,5
=
6,42
=
0,2611
2,522[1 + (4 - 1 )0,89]
=
3,7023
Pero no conocemos la fiabilidad del cuestionario completo en el grupo de 500 alumnos. Por tanto, tenemos una ecuación con dos incógnitas (r 22 y 5;):
5?(1 - r,,)
1e una probabilidad de obter de la unidad ese valor:
- 0,7389
X
4.
rbp
xp -x
= ____:_ _ _
5x
J! q
Xp= (11+21+22+14) 4
=
17
=
5W -
r22)
294 Psicometría: problemas resueltos
92
X = - = 15 33 6 '
17~1,533 Y2,522
{4/6=0,47
-Y 2i6
El valor obtenido para el coeficiente de validez no es muy elevado pero tampoco excesivamente bajo (habría alrededor de un 22% de varianza común entre el predictor y el criterio: 0,47 2 = 0,22), por lo que parece razonable utilizar con cierta precaución la información proporcionada por el cuestionario para predecir la tasa de abandono de los estudios en la UNED.
S.
(X-
x.)
(X-
10
100
6 17 17
36
12
289 289 121 169
68 85 33 39
1.004
247
11 13 74
X4p =
x.(x- X 4 )
x.F
(1
+
4
+
5
+
10
3)
4
= 3,25
18
X =-=3 4 6
6.
x,
= 3 + 2 + 2 + 1 + 3 = 11
E = 5 + 2Zn = 5 + 2
7.
r~E
= 0,25
~ rxx0
= 1
X
~
X
sx ~dE=
= 5 + 2
1
~
11
~
1 5,33
5,02
= 3,27 = 3
0,25 = 0,75 0 ' 75 ~~ Ü, 97
=
8 33F '
(No_,)(Np_,)
Por consiguiente, existen diferencias estadísticamente significativas entre los coeficientes de fiabilidad obtenidos en las muestras de Psicología y Derecho.
295 Problemas generales
Solución 285 N= 50
Datos:
Test aten ción: Se = Sx ~
sx~ S
?s muy elevado pero tampoco ri anza común entre el predic~b le utilizar con cierta precaupara predecir la tasa de aban-
,
X= 18 S~v = 7
Test agudeza: X = 7
(YAV
= 0,63
1. Test atención
~=0,25 1
~
rxx = 0,06
rxx = 0,94 Test agudeza visual
n
KR 20 =
n
2. NC 95%
~
~
1
(1
fmáx
.
3 - = 3,27
= 0,24
~
X
v-T:x =
e significativas entre los coeol ogía y Derecho.
2,38 -) = 0,726 7
Y1 ~ 0,94 yi0,94 = 0,245
yi0,94
0,40 SZv
1,34
X
0,9 = 0,87
nrxx 3. Rxx = ------"''-------1 + (n ~ 1 )rxx
=3
~
1,96 = 0,47
Zv' = rxvZx = S
I pq 11 ( 1 -) = --S} 1O
2_ X 0.73 __ ___:_____ _ = 0,84 + (2 ~ 1 )0.73
4 • K= Y1 ~ r 2xy = Y1 ~ O, 63 2 = O' 77
E= 1
S. t
~
K= 1
~
O, 77 = 0,23
Ir,, ~r 1~
=
= 0.73
Zc = 1,96
sz,z, = ~
6 -=o 27 ,..
o
=025
X
22 -----;==============Y4(1 ~ r,,)(1 ~ r 22 )(1 ~ r~ 2 )
10.73 ~ 0,841 1V48 -----;================V4(1 ~ O, 73)(1 ~ 0,841 )(1 ~ 0,80 2)
to.9s, 48 = 1,677 ~ 3,04
> 1,677
= 3,04
X
0,97
=
0,24
296 Psicometría: problemas resueltos
Al nivel de confianza del 95% la diferencia entre los coeficientes es estadísticamente significativa.
6. p = 90
~
z=
E= 5+2 7.
Zx
= Y1 -
SZyx
fmáx
1 ,28
5
=
r;y =
+
0,63 2 = 0,776
= ZcSzy.x = :+:1,96
8. 5 8 2 = pq = 0,3
(2 X 1,28)
X
=
=
7,56 = 8 0,78
0,78 = :+:1,53
0,7 = 0,21
X
ID= 0,3
Solución 286 Sujetos
Pares
Impares
y
1
10 11
15
30 28
2 3
14 10
8 14
4 5
9 10
13 17
6
7
18 15 14
12 15 18
8 9 10
20 9
7
22 29 25 30 30 32 37 18
IX= 259 IX 2 = 7.127 'LY 2 = 8.151 IXY
=
7.570
1. Se aplica Rulon y Guttman-Fianagan:
rxx = 1 -
S~
s;
8 29
= 1- - '
41,89
= 2 ( 1 _ S~ +
r XX
s;
= 0,80
51) = 2 ( 1 _
11,85 + 13,24) = 0 80 41,89 '
A la vista del resultado obtenido podemos afirmar que el test posee una consistencia interna alta.
297 Problemas general es
los coeficientes es estadística-
2. n
=
Rxx (1 - rxx)
EF
n
=- ~
El
0,88(1 - 0,80) 0,80(1 - 0,88)
=
rxx (1 - Rxx)
EF
1 83
=- =
40
'
74
~
=
1,83
74 - 40
=
34
Habría que añadir 34 ítems. ~
3. NC 95% V' = rx)(
Zc = 1,96
+
-
-
+ (25,9 - 0,80 6,47\11 - 0,80 V0,80 = 2,58
(X - rxxX) = 0,80 X 18
sv x = seVT:x = 2,58
Emáx =
V' :::':::
Emáx =
X
1,96
=
X
25,9)
=
19,58
5,06
19,58 : :': : 5,06
14,52 ::::; V ::::; 24,64 y
30 28 22
4. Sr = 5,05 r
10 + 7.570 - 259
=
Y [71 .270 - 67.081 ][81.51 Ü
xy
29 25
X
Syx = Sy Y 1 - r~y
30 30
281 -
= 0,89
78.961]
= 5,05 Y 1 - 0,89 2 = 2,30
5. 80%
32 37 18
Se busca en tablas la puntuación típica que deja por debajo el 80% de los sujetos de la muestra. Esa Z = 0,84.
=
0,84
X - 25,90
~X=
6,47
25,90
+ (0,84
X
6,47)
= 31,33
S 5 05 Y' = rxy ____!__(X - X) + Y= 0,89 - ' -(31,33 - 25,90) sx 6,47
- 28,10 Zy· =31,87 - - -- - = 0,75 5,05
E= 5 + 2 6. =
~ ue
0,80
A~
A= a
el test posee una consis-
P
e
X
0,75
6,5 = 7
=
25 E
n- 1
=A
-
= E
n - 1
15 3
= 5
= 25 - 5
=
20
+ 28,10
=
31 ,87
298
:1
Psicometría : problemas resueltos
7. La proporción de varianza del test que se debe al error es el complemento hasta la unidad del coeficiente de fiabilidad. Si se multiplica por 100 se tendrá el porcentaje. La proporción de la varianza del criterio que no se puede explicar a partir del test es el complemento del coeficiente de determinación. Multiplicado por 100 se obtiene el porcentaje.
= 1 - 0,80 = 0,20
1 -
(XX
1 -
r~Y =
n
1 - 0,89 2 = 0,21
e y- 35 8.--7
29
25 90 ' 6,47
~y=
-
7
- (29 - 25,90) 6,47
+ 35
=
38
Solución 287 1. Dado que los ítems son dicotómicos y de distinta dificultad vamos a utilizar la fórmula KR 20 . Teniendo en cuenta que el test tiene un número de ítems par se puede utilizar Rulon o Guttman.
p, = 1; P 2 = 0,60; P3 = 0,40; P4 = 1; p 5 = 0,20; p 6 = 0,40 KR
= 20
Ru1on:
n (1 _ n - 1 rxx =
1 -
Ipq) s;
S~
=
s;
1 2
Guttman:
(XX=
2 (1 -
=
~ ( 1 _ 3 x 0,24 + O, 16 ) 5
=
O 73 '
0,64 = O, 72 2,24
5 + S1 ) p
2,24
s;
=
( 2 1 -
0,80 + 0,64) 2,24 = 0,72
2. Se plantea la hipótesis nula de que el coeficiente sea cero.
Ha: ex =O H1 :ex
*O
-ex F=--1 - & Fo.975 (4. 20)
=
1
- o
----=
1 - 0,73
3,70
/
3,51
Puesto que el valor de F que hemos obtenido con los datos no está comprendido en el intervalo, se rechaza la Ha y podemos afirmar que el valor de exA es estadísticamente significativo.
299 Problemas generales
~be al error es el complemento ti plica por 100 se tendrá el por-
3. Rxx
nrxx
= -----'"'------
1 + (n - 1 )rxx
2 X 0,73 - - - - = 0,84 1 + 0,73
0,84 = 1 15 0,73 '
· puede explicar a partir del test Multiplicado por 100 se obtie-
Habrá un incremento del 15%. 4. Primero es necesario calcular el coeficiente de validez para utilizar las ecuaciones de regresión y pronosticar la puntuación que obtendría en el criterio el sujeto que en el test obtuvo un 4. ,90)
+ 35 = 38 rxy
N 'i XY - I X'i Y -V¡::.[=N= 'i= X?=-=('iX=)2=][=N= 'i=Y2=-=(I=Y)=2]
=
5 X 118- 18 X 30
--¡.===========V[5
dificultad vamos a utilizar la
76 - 324][5
X
190 - 900]
= 0,94
Sy 1 41 Y'= rxy-(X- X)+ Y = 0,94-'-(4 - 3,60) + 6 = 6,35 Sx 1.49
z= e ítems par se puede utilizar
X
6,35 - 6 = 1.41
o 25 '
PD = 50 + 1O X 0,25 = 52,5 = 53 0,40
5. Desviación típica en el grupo más homogéneo = 1,49; la varianza = 2,22. S~=
2,22
Desviación típica en el grupo más heterogéneo = 2,98; la varianza = 8,88.
s~ =(s,88 2,98 sea cero.
V8,88 6. El= 6
Rxy
atos no está comprendido 1 valor de aA es estadística -
=
EF
J1
=
9
X
X
0,94
0,94 + (1 - 0,94 2)2,22 2
EF 9 n = - = - = 15 El 6 '
rxy - rxx + rxx n
CA = V 1 - R~y = V 1 -
0,94
--;=:,============~ =
J
_2__=._ o,7 3
+ o 73
1,5
'
o' 99 2 = o' 14
CVP = 1 - K = 1 - O, 14 = 0,86
o' 99
= 0,98
300 Psicometría: problemas resueltos
7. El índice de dificultad viene dado por la proporción de aciertos. Para calcular el índice de discriminación, como tenemos una variable dicotómica (el ítem) y una variable continua (el test) se utiliza la correlación biserial puntual.
A
2
I D = - = - = O 40 T 5 '
. .
D1scr1. =
rbp
=
xp Sx- xx
ji¿
-q =
4 - 3,20 1,17
Mo,4o
- - = O 55 0,60 '
Cl<
fi<
Solución 288
SE
Datos: Rvx = 0,80; X = 45;
5~
qt ve
= 25; Zx = -1
y = 7; Sy = 2; rxy = 0,60; X = 50; Sx = 4
a<
1. S. = Sx Y1 - Rxx = 5 Y1 - 0,64 = 3
2. 5_;(1 - Rxx) = s;(1 - rx); 25(1 - 0,64) = 16(1 - rx) 9 = 16 - 16rxx
rxx
7
=- =
16
0,44
Las letras en mayúscula representan los datos del grupo de aspirantes, las minúsculas las del grupo seleccionado.
Sl
o
3. P(Zs -1) = 0,1587 4
Del total de aspirantes se eliminaron aquellos que obtuvieron una puntuación típica igual o menor que -1. Eso representa el 15% de la muestra que sobre los 1.500 son 238 sujetos. Fueron seleccionados 1.500 - 238 = 1.262 sujetos.
' d e se 1ecc1on . ' es: 1.262 La razon - - = 0,84. 1.500
4. Z = -1 =
X-X
--.¿X = X - Sx = 45 - 5 = 40
Sx f=5+2(-1)=3 5 Y25
3 --¡:::.=== Y9 + 10,24
3 4,39
= -- =
o 68 '
X
X
0,60
0,36 + (1 - 0,36)16
301 Problemas generales
·ión de aciertos. Para calcular e dicotómica (el ítem) y una ti puntual.
6. Grupo de aspirantes CD = d =
Rh
2
= 0,68 = 0,46
CA = K = V 1 - R~y =
= V 1 - OA6 = o,73 CVP = 1 - K = 1 - 0,73 = 0,27 =
Grupo seleccionado CD = d = r~y = 0,36
CA=K = ~ = = V 1 - o,36 = o,8o CVP = 1 - K = 1 - 0,80 = 0,20
0,55 A mayor homogeneidad de la muestra (grupo seleccionado) menor será el coeficiente de validez y, por lo tanto, menor el coeficiente de determinación, mayor el coeficiente de alienación y menor el de valor predictivo.
7. Teniendo en cuenta que la media del test es 45 y la desviación típica S, para ser seleccionado los sujetos tenían que haber obtenido una puntuación igual o mayor que 40 (una desviación típica por debajo de la media). Por lo tanto el sujeto que obtuvo en el test una puntuación de 38 no fue seleccionado. Para saber si debía haber sido seleccionado es necesario hacer una estimación acerca de su puntuación verdadera. Para ello aplicamos el modelo de regresión : V' = Rxx (X - X) + X = 0,64(38 - 45) + 45 = 40,52
Debería haber sido seleccionado porque su puntuación verdadera pronosticada es de 40,52 y está por encima del punto de corte. pode aspirantes, las minús-
obtuvieron una puntuación inuestra que sobre los 1.500 ~6 2 sujetos.
Se podría haber calculado el intervalo confidencial al NC del 95% tal y como sugiere el enunciado del problema, pero dado que al hacer el pronóstico el valor obtenido ya es superior a 40, no es necesario.
8. El sujeto del enunciado habrá obtenido una puntuación en el test igual a 45 + 5 = 50. NC 95%
~
Zc = 1,96
Syx = Sy Y 1 - r~y = 2 Y 1 - 0,36 = 1,60
S 2 Y' = rxy _ Y (X- X) + Y = 0,60 - (50 - 50) + 7 = 7 sx 4 fm áx
= 1,96
7
3,14
::+::
3,86
0,36)16
:=:; y :=:;
X
1,60 = 3,14
1 O, 14
302 Psicometría: problemas resueltos
Solución 289 Datos: N = 3.000; test: n = 100; Rxx = 0,80; X= 65; Sx = 6 X ?:: 71 ;
y=
x=
sx = 4;
80
7; Sy = 3; rxy = 0,76
1. Rxx = 0,80
Rxv =
V0,8Q =
0,89
5;(1 - Rxx) = 5;(1 - rxJ; 36(1 - 0,80) = 16(1 - rxJ
7,2
=
16- 16rxx 8,8
rxx = - - = 0,55 16
~
rvx = 0,74
2. De los 100 ítems, los 25 primeros son de dos alternativas, los 40 siguientes de tres y los últimos 35 de cuatro alternativas: 1. 0 20 - 5
15
=
10 2. 0 3 0 - - = 25 2 9 3. 0 2 6 - 3
PD 3. NC 95%
~
=
23
=
63
Zc
se = 6 \11 Svx
=
fmáx
=
1,96
0,80 = 2,68
d01
2,68 V0,8Q = 2,41
= 2,41
V' = Rxx(X-
X
1,96 = 4,72
X) +X=
0,80(63 - 65)
+ 65 = 63,4
58,12 ::::; V::::; 68,12
4.
r;Y
= 0,76 2 = 0,5776 = 0,58
Se puede predecir un 58% aproximadamente. 6 X 0,76
-----¡:.==========Y36 X 0,58
+
=
0,868 = 0,87
16 - 16 X 0,58
6. El ítem 86 tiene 4 alternativas. Si no corrigieran los efectos del azar el índice de dificultad sería 0,40 puesto que es la proporción de sujetos que acierta el elemento, pero corrigiendo los efectos del azar y utilizando frecuencias:
303 Problemas generales
E
65; Sx
=
A ---K- 1 1 .200 - 600 ID = - - -- - = = O 20 N 3.000 '
6
Acertaron el ítem 1.200, lo fallaron 1.800.
7. X= 70 Sy 3 Y'= rxy- (X- X)+ Y = 0,76-(70 - 80) + 7 = 1,30 sx 4
1,3 - 7
Zy =
trnativas, los 40 siguientes de
= - 1,90;E = 5 + 2 · Zy =5 - 3,8 = 1,2=1
3
Solución 290 Datos: N = 6; n = 4
I X 2 = 48
I X = 16 I XY = 96 S~
Y = 6
I (X)2 = 246
I pq = 0,72
= 1,67
1. a = 4 ( 1 -
X = 2,67
I Y2 = 226
X2 = 246
S~=
0,87
I (Y) 2 = 1.296 Sx = 0,93
Sy = 1,29
0,72) 0, = 0,23 87
3
I Y = 36
l. fiabilidad =
v'0,23
= 0,48
La fórmula de alfa de Cronbach con los ítems que tenemos da el mismo resultado que la KR 20 .
2. Rxx =
a2
= _2 X _ 0,23 __.:____ = 0, 37 1,23
,4
te. 4gl = 2,776 t =
(0,37 - 0,23)V6=2 = _0_,2_8 = o 25 -V-;::::4=(1====o=,3=7)=(1=== - =o=,2=3=)(= 1-=o=,3=6=-) 1 , 11 '
No hay diferencias significativas.
~=== =
16 X 0,58
0,868
= 0,87
:ultad sería 0,40 puesto que D corrigiendo los efectos del
6 X 98- 16,36 l. rxy = Y (6 X 48 - 256)(6 X 226 - 1.296) d = r~y = 0,0729
K= ~ E = CVP
=
, . -- - -
= Y1
1 - 0,96
- 0,0729 =
0,04
=
0,96
12 43,82
-- =
0,27
1
304 Psicometría : problemas resueltos
El coeficiente de validez es 0,27 . Con este valor hay un 7,29% de varianza común o asociada entre el test y el criterio o, lo que es lo mismo, a partir de la varianza de las puntuaciones de los sujetos en el test se puede predecir un 7% de la varianza de las puntuaciones en el criterio. La inseguridad que afecta a los pronósticos es del 96% y sólo hay un 4% de seguridad en los mismos .
4. Añadir al test cuatro elementos paralelos implica duplicar su longitud. Rxy =
rxyYl
0,27Vl
Y 1 + (2 - 1)rxx
Y 1 + 0,23
5. X = 3
NC
=
95%
~
Zc = 1,96
1 29 Y' = 0,27( ' )(3- 2,67) 0,87 Syx
= 0,34
mer m u~ inse algL mul corr lo q
+ 6 = 6,13
= 1,29 Y 1 - 0,0729 = 1,24 1,24 X 1,96
fmáx =
6,13
2,43
::!:::
=
=
2,43
3,7 y 8,56
3,7 :5 y ::; 8,65
6 K2 •
=
XV
a5 2
+
(X- C) 2
0,23 X 0,87 + (2,67 - 2) 2 = 0,65 = 0,4 9 0,87 + (2,67 - 2) 2 1 ,32
---"x--=--- S~ + (X - C)2
Cuando el valor del punto de corte no coincide con la media, se verifica que K~v es mayor que el coeficiente alfa. Un coeficiente como el que hemos obtenido indica que la fiabilidad de las clasificaciones es una fiabilidad media .
7. Índice de dificultad =
_i_ 6
= 0,67
Índice de discriminación:
2_ 0 = 4
2_ 0 2 =4
'i (X - 0) = 12
'i (X-0)2=144
'i O(X-0) = 9
6 X 9 - 4 X 12
r o(x- o)
=
----;. = ==========- = Y (6 X 4 - 16)(6 X 26 - 144)
0,61
El ítem tiene un índice de dificultad algo superior a la media y, por otra parte un índice de discriminación medio alto. La correlación más adecuada sería la biserial puntual, aunque hay que tener en cuenta que esta correlación no es más que la correlación de Pearson entre una variable continua y otra dicotómica.
8. X= 3
Z =
3 - 2,67 0,93
= 0,36
~
Percentil ~ 64
(tar
305 Problemas generales
3Y un 7,29% de varianza común ismo, a partir de la varianza de redecir un 7% de la varianza de
E = 5 + 2Zn
=
5
+ 2(0,36)
=
5,2 ~ E = 6
1
96% Y sólo hay un 4% de segu-
ca duplicar su longitud.
9. El test no reúne los requisitos necesarios para ser utilizado como un instrumento científico de medida, tanto el coeficiente de fiabilidad como el de validez son muy bajos, 0,23 y 0,27 respectivamente. Con estos valores el error de medida y la inseguridad que afectaría a los pronósticos sería muy elevada. Convendría mejorar de alguna manera la fiabilidad. Dado que para calcular la fiabilidad se ha utilizado la fórmula KR 20 , los resultados indican que la consistencia interna entre los elementos que componen el test no es muy alta, hay una baja homogeneidad entre los elementos, lo que puede implicar que no todos midan la misma variable y en la misma cuantía.
Solución 291
- 2)2
0,65
- =--= 2
1,32
Sujeto
Pare.
Imp.
1 2
7 7
10
3 4
5 9
5 6
9 11
7
8 10
8 9 10
049 '
media, se verifica que K2w 1 ~ que hemos obtenido indica nedia .
1 la
12 5
2: X
83
S, S
1
))2 = 144
'L D(X- D)
=
9
y
X,
y,
XY
20
289
400
340
256 144
361 225
304
49 49
100 81
12 15
19 15 19
16 23
17 20
361 289
180 285 272
25 81 81
49
225 256
18
400 324
460 324
121
18 19
529 324
36 49 144
361 625 121
441 484
399
100 81
25 11
21 22 12
64 100
90 156
183 18,3
3.130
144 25 739
169
172 17,2
550 132 3.246
36 845
30 773
17,16 4,14
8,01
Total
17 16
9 7 6 7 12 10 9 13 6 89
N'L X,X2
•
rxx' =
144 3.429
X,1
X,2
x,x, 70 63 35 54 63 132 80
2,83
'L X,'LX2
-
-Yr:[=N='L=X=~=-=(=LX===,)=2 ]=[N='L=X=~=-===('L=X==)2=-]
2
10X773-83X89
--;:::============ Y(1 o X 739 - 83 )(1 o X 845 - (89 2
3
media y, por otra parte un lecuada sería la biserial pun>n no es más que la correla)mica .
2)
0,67
Dado que las dos mitades del test son paralelas se puede aplicar Spearman-Brown (también se puede calcular mediante las fórmulas de Rulan y Guttman-Fianagan). 2 X 0,67
Rxx' =
---'-- =
1
1
+ 0,67
64 El índice de fiabilidad =
VR:;
=
yi0,8c) =
0,89.
0,80
306 Psicometría: problemas resueltos COMENTARIO: El test presenta una fiabilidad alta lo cual quiere decir que mide con una precisión aceptable la agudeza visual en los niños de este estudio.
2. rxy
:S
rxv por tanto el coeficiente de validez máximo será
3. rxy
=
N'i XY- 'i X 'i Y -================Y[N'iX2 - (LX)2][N'i y¡ - ('i Y)
VR:: =
0,89.
2]
10
X
3.246- 172
X
183
-----;:.============== Y(1 o X 3 .130 - 172 )(1 o X 3.429 - 183 2
2)
0,84
, Sy _ SY _ Y = rxy-X + Y - rxy-X =
sx
=
sx
2 83 0,84 - ' 4,14
X
2 83 1 6 + 18,3 - 0,84 - '4,14
X
17,2
17,61
=
Syx = Sy Y1 - r~y = 2,83 Y1 - (0,84)2 = 1,54 Intervalo confidencial a a = 0,05 Y' ± SyxZa
= 17,61 ± 1,54
X
1,96
~
17,61 + 3,02 = 20,63 17,61 - 3,02
=
14,60
CoMENTARIO: El test presenta un coeficiente de validez alto que nos permite considerarlo un buen predictor de la agudeza visual valorada por el oftalmólogo .
Este sujeto obtendría una puntuación en el criterio comprendida entre 14,6 y
20,63 (límites del intervalo confidencial) con un nivel de confianza del 95%. 4. A
= a
5 (2 - 1)
=
5
Pe = A - Aa = 15 - 5 = 1 O CoMENTARIO: Teniendo en cuenta que el test consta de 26 elementos, este sujeto tan solo alcanza una puntuación de 1O sobre los 26 que sobre 1O sería un 3,8.
_o..:...,9_0..:....(1_-_o_:_.8_0_:_) 0,80(1 - 0,90) 2,25
=
EF n.o ítems inicial
; por tanto:
=
2 25 '
2,25
= -
EF
26
de donde:
N. 0 de ítems finales = 2,25 X 26 = 58,61 = 59 Ítems que hay que añadir: 59 - 26 = 33 CoMENTARIO: Para incrementar la fiabilidad en O, 1 O, necesitaríamos añadir 33 nuevos elementos paralelos, lo cual implica aumentar a más del doble la longitud del test.
307 Problemas generales
31 quiere decir que mide con e este estudio. o será
VR:; =
6.
z=
23 - 17,2 4,14
X; - X
---- =
sx
140 '
Percentil (Z < 1 AO) = 91,92 = 92
0,89.
E = 5 + 2Z = 5 + 2 x 1 AO = 7, 8 = 8
0,84
=
CoMENTARIO : Por debajo de este sujeto se encuentra el 92% de la muestra en la puntuación en agudeza visual. Lo cual quiere decir que este sujeto presenta una alta agudeza visual medida con este instrumento, conclusión que se extrae también del valor del eneatipo.
7. Porcentaje de varianza empírica del test debida a la varianza error:
( ~:
2 = 17,61
)
= (1 - rxx·l = (1 - 0,80) = 0,20
Luego el porcentaje es 100 x 0,20 = 20%
2
=
20,63
2 = 14,60
alto que nos permite consi)Or el oftalmólogo.
comprendida entre 14,6 y _onfianza del 95%.
Porcentaje de la varianza del criterio no explicada por las puntuaciones en el test: CD
=
r~y
= 0,84 2 = 0,70
% de varianza del criterio no explicada = 100(1 - CD) = 100(1 - OJO) = 30% COMENTARIO : El porcentaje de la varianza empírica que se debe a la va rianza de las puntuaciones error no es excesivo.
La varianza del criterio no explicada por el test es bastante baja por lo que podemos considerar que este test es un buen predictor de la agudeza visual.
Solución 292
· 26 elementos, este sujeto ;obre 1O sería un 3,8.
1.
S~ = 0,67S~
S~
=
S2
S~ + S~
=
S~ + 0,67S~
1
~ S~
= - - = O 59 1,67
'
= 1 ,67S~
= O' 60 = rxx'
donde:
esitaríamos añadir 33 nuedel doble la longitud del
A la vista de los resultados, se puede decir que este test presenta una fiabilidad aceptable, teniendo en cuenta que se trata de un test de poca longitud (n = 6 ítems) .
2. rxx'
=
rxv =
r~v
y;:;; =
O, 77
se= sx V 1 - rxx
=
1,61 V 1 - o,6o
=
1,o2
1
308 Psicometría: problemas resueltos
3.
Ítems
Dificultad
2
0,8
4
0,7
3
0,6
6
0,5
1
0,4
5
0,3
(3=
Teni¡ longitud tud mat matemá
Como se puede apreciar, los ítems del test presentan una gran variabilidad en dificultad, siendo el ítem 2 el más fácil y el ítem 5 el más difícil. Se trata de un test de dificultad intermedia, próxima a 0,50. Hay que tener en cuenta que cuando nos referimos al índice de dificultad de un ítem en realidad estamos hablando de un ítem de facilidad. Cuanto mayor es el valor del índice de dificultad encontrado el ítem es más fácil.
4. 253 = 2so
z=
+
saz
0,06
0,06 = X- 3,3 1,61
=3
X= 3,39
V' = 0,60 X 3
S. CD = d =
rxy
=
0,41
Rxy
=
0,50
+
r~y =
(3,3 - 0,60 X 3,3) = 3,12
O, 17
n = (1 - rxx)R~y r~y - R~/xx
5
X
6
=
(1 - 0,60)(0,50)2
O, 17 - [(0,50)20,60]
O, 1 =--=5 0,02
30
Ítems finales = 30 Por lo tanto, tenemos que añadir 30 - 6 = 24 ítems al test para obtener un coeficiente de validez de 0,5 con respecto al criterio.
6.
Ítems
Varianza
nj/n
(nj/n)l
RN
6
2,61
O, 17
0,03
CA
10
4
0,28
0,08
AL
19
6
0,54
0,29
Suma
12,61
0,41
309 Problemas generales
f3
=
20-12,61 20(1 - 0,41)
=
0,626 ~ 0,63
Teniendo en cuenta que la batería está formada por 35 ítems, lo que implica una longitud aceptable del test, se puede concluir que la fiabi lidad de la batería de aptitud matemática es baja, por lo que no mide con la precisión necesaria la aptitud matemática.
una gran variabilidad en difidifícil. Se trata de un test de
al índice de dificultad de un lad. Cuanto mayor es el valor
=
5
1test para obtener un cae-
Capítulo VIl: La teoría de la respuesta al ítem
Solución 293 1. P(X1 =
11e
P(X2 = 1 e 1
e 1.? xo,2o(2-2l + e1,7 xo,2o(2 - 2) e 1.? xo,so(2-o,6o) = 2) = - + -e- - - = 0,50 1.? xo.so(2-o,6o) = 2)
= - - - - - - = 0,50
P(X, = O, X 2 = O) = Q,(e)Q 2(e)
2. P(X2 = 1
1
e=
=
e 1.? xo,so(2 - o,6o) 2)
=
1
+
e1,7 xo.so(2 - o,6o)
Solución 294 1.
2.
0,50 X O, 13
Aptitud
N¡
Aciertos
P¡
~2,0
20
10
0,50
~1,0
20
12
0,60
0,0
20
16
0,80
1,0
20
18
0,90
2,0
20
20
1,00
Aptitud
P¡
P¡
~2,0
0,50
0,136
~1,0
0,60
0,462
0,0
0,80
0,824
1,0
0,90
0,963
2,0
1,00
0,993
= 0,87
Q,(e) =
Q2(e)
= 0,065
o,5o = 1 -0,87 = O, 13
312 Psicometría: problemas resueltos
3 y 4.
Aptitud
P¡
P¡
P¡- P¡
(p¡ - P¡)>
N¡(p¡- P¡) 2
P¡(1 - P¡)
Q¡
- 2
0,50
0,136
0,364
O, 13284
2,657
0,117
22,678
- 1
0,60
0,462
0,138
0,01909
0,382
0,249
1,536
o
0,80
0,824
-0,024
0,00060
0,012
0,145
0,083
1
0,90
0,963
-0,063
0,00391
0,078
0,036
2,173
2
1,00
0,993
0,007
0,00005
0,001
0,007
0,142
Suma 5
26,612
El valor de Q, = 26,612, con grados de libertad igual a 5 - 1 = 4. El valor crítico para un nivel de confianza del 95% es X~; 0 ,05 . Dado que 0 1 > 9,488, con el nivel de confianza establecido podemos concluir que el modelo logístico de un parámetro no se ajusta a este ítem .
Solución 295
pa co se
m(
1 y 2. Modelo logístico de 2 parámetros: Aptitud
P¡
P¡
-2,0
0,50
0,123
- 1,0
0,60
0,444
0,0
0,80
0,820
1,0
0,90
0,960
2,0
1,00
0,993
P¡- P¡
(p¡ - P¡)>
N¡(p¡- P¡)'
P¡(1 - P¡)
0,377
0,14190
2,838
0,108
0,444
O, 156
0,02427
0,485
0,247
1,966
0,820
- 0,020
0,00038
0,008
0,148
0,052
0,90
0,960
-0,063
0,00393
0,079
0,036
2,189
1,00
0,993
0,007
0,00005
0,001
Aptitud
P¡
P¡
- 2
0,50
0,123
- 1
0,60
o
0,80
1 2
O¡ 26,254
0,007
0,136
Suma =
30,598
El valor de Q, = 30,598, con 5-2= 3 grados de libertad . El valor crítico para un nivel de confianza del 95% es X~; 0 ,05 = 7,815 . Dado que Q, > 7,815, con el nivel de confianza establecido podemos concluir que el modelo logístico de dos parámetros no se ajusta a este ítem. Modelo logístico de 3 parámetros: Aptitud
P¡
P¡
- 2,0
0,50
0,515
- 1,0
0,60
0,598
0,0
0,80
0,831
1,0
0,90
0,970
2,0
1,00
0,996
1
1a 5 - 1 = 4. El valor crítico Q 1 > 9,488, con el nivel de logístico de un parámetro no
313 La teoría de la respuesta al ítem Aptitud
pj
pj
pj- pj
(pj- P)'
Nj(pj- Pj)l
Pj(1 - P)
Qj
- 2
0,50
0,515
- 0,015
0,00021
0,0042
0,250
0,017
- 1
0,60
0,598
0,002
0,00001
0,0001
0,240
0,001
o
0,80
0,831
- 0,031
0,00097
0,0194
0,140
3,442
1
0,90
0,970
- 0,070
0,00495
0,0990
0,029
0,078
2
1,00
0,996
0,004
0,00001
0,0003
0,004
3,675
Suma =
3,675
El valor de Q 1 = 3,675, con grados de libertad igual a 5 - 3 = 2. El valor crítico para un nivel de confianza del 95% es x~.oos· Dado que 0 1 > 7,815, con el nivel de confianza establecido podemos concluir que el modelo logístico de tres parámetros se ajusta a este ítem .
3. El modelo más apropiado para modelizar las respuestas a este ítem es el modelo logístico de tres parámetros.
Solución 296 P(X2 = 118 = 3) = 0,20
+
e u x 1.4(3-2)
(1 - 0,20) 1
+
e1 ,7 x 1.4(3 - 2J
= 0,93
Solución 297 1. P(1,1l8¡) = P1 (8¡)P2 (8¡)P3 (8¡) = 0,45 X 0,75 = 0,34
2. P(O,O 18¡)
. El valor crítico para un Q 1 > 7,815, con el nivel de
logístico de dos parámetros
= 0 1 (8¡)0 2 (8¡) = (1 - 0,45) X (1 - 0,75) = O, 14
Solución 298 1. Ítem 1: Aptitud
P(6)
Q(O)
P(6) Q(6)
1(6)
-3
0,006
0,994
0,006
0,017
-2
0,032
0,968
0,031
0,090
-1
0,154
0,846
0,131
0,377
o
0,500
0,500
0,250
0,723
1
0,846
0,154
0,131
0,377
2
0,968
0,032
0,031
0,090
3
0,994
0,006
0,006
0,017
314 Psicometría: problemas resueltos
El valor valo estará
ltem 2: Aptitud
P(6¡)
Q(6¡)
P(6¡) Q(6¡)
1(6¡)
- 3
0,00004
1,000
0,00004
0,0002
- 2
0,00048
1,000
0,00048
0,0031
- 1
0,00606
0,994
0,00602
0,0392
o
0,07243
0,928
0,06718
0.4368
1
0,50000
0,500
0,25000
1,6256
2
0,92757
0,072
0,06718
0.4368
3
0,99394
0,006
0,00602
0,0392
(2 - 1,9f
Sol ue
Tenien' to de inde patrón de1 ítem. En e:
Función de información de los ítems
2,0
1,5 --- ítem 1
1,0
~Ítem 2
0,5
Estas observadc: pendencié
1
0,0 3
o
2
2. Para el ítem 1 en
2
e = O y para
3
e=
el ítem 2 en
1.
Sol u 3. Para el ítem 1: /(e =O) = 0,723
1. El
Para el ítem 2: /(e = 1) = 1,6256
2. ÍtE
Solución 299
ÍtE Aptitud
1, (6¡)
/2(6¡)
FIT
-3
0,017
0,0002
0,018
-2
0,090
0,0031
0,093
-1
0,377
0,0392
0.417
o
0,723
0.4368
1
0,377
1,6256
1'159 2,003
2
0,090
0.4368
0,527
3
0,017
0,0392
0,057
3. El
4. Er
Soh 1.
A un sujeto se le ha estimado una aptitud de
8=
E:
2. El error típico de estimación
1
es, para e = 2, /(e) = 0,527, ET(e = 2) = , ~ = 1,38 . v0,527
/(
315 La teoría de la respuesta al ítem
El valor crítico para un nivel de confianza del 95% es 1 ,96. Por lo tanto, el intervalo estará comprendido entre los valores:
(2 - 1,96
X
1,38, 2 + 1,96
X
1,38)
=
(2- 2,7048, 2 + 2,7048)
=
(- 0,71, 4 ,71)
Solución 300 Teniendo en cuenta que P 1 (8) = 0,50 y P2 (8) = 0,70, para que se cumpla el supuesto de independencia local para ese nivel de aptitud la probabilidad de obtener un patrón determinado es igual al producto de las probabilidades de respuesta a cada ítem . En este caso: P(X, = 1, X 2 = 1) = P, (8)P 2 (8) = 0,50 X 0,70 = 0,35 P(X, = O, X 2 = 1) = Q,(8)P2 (8) = 0,50 X 0,70 = 0,35 Ítem 1 Ítem 2
P(X, = 1, X 2 = O) = P,(8)Q 2 (8) = 0,50 X (1 - 0,70) = O, 15 P(X, =O, X 2 = O) = 0 1(8)0 2 (8) = 0,50
X
(1 - 0,70) = O, 15
Estas probabilidades esperadas bajo la independencia local no coinciden con las observadas en los datos por lo que estos datos sugieren que no se cumple la independencia local para este nivel de aptitud. 1.
Solución 301 1. El modelo logístico de tres parámetros. 2. Ítem más difícil: el ítem 4 . Ítem más fácil : el ítem 2.
3. El ítem 1 con a
=
1,8. La probabilidad es cero, e = 0,0.
4. En el ítem 4 con una probabilidad de 0,20,
Solución 302
. El error típico de estimación
38 .
1
--;::====-
1. ET{8 = 1 ,5) =
V /(8 4
=
1,5)
/(8 = 1,5) = 'L D 2atP;(8 = 1,5)0;(8 = 1,5) i= 1
e= 0,20.
316 Psicometría: problemas resueltos
a2
Ítems 1
P(O = 1,5)
Q(9=1,5)
1;(6 = 1,5)
1
0,70
0,30
0,61
2
1
0,93
0,07
0,19
3
2,25
0,78
0,22
1,11
4
2,25
0,50
0,50
1,63
FIT(6 = 1,5)
3,54
Por
So P(>
/(6 = 1,5) = 3,54 1
ET(e = 1,5) =
V3,54
= o,53
Se
2. El valor crítico para un nivel de confianza del 95% es 1,96. Por lo tanto, el
1.
intervalo estará comprendido entre los valores: (1 ,5 - 1,96 X 0,53, 1,5
+ 1,96
X
0,53) = (1 ,5 - 1,0388, 1,5
+ 1,0388) =
(0,46, 2,54)
Solución 303 1.
Nivel de aptitud, 6 Ítem
-3
-2
-1
o
1
2
3
1
0,02
0,06
0,10
0,20
O, 15
0,08
0,04
2
0,00
0,00
0,05
0,10
1,10
0,25
0,10
3
0,00
0,03
0,10
0,25
0,50
0,40
0,15
4
O, 15
1,25
1,45
0,10
0,02
0,00
0,00
5
0,00
0,10
0,60
0,70
0,20
0,05
0,00
6
0,00
0,00
0,02
0,40
2,20
0,40
O, 15
FIT(6)
0,17
1,44
2,32
1,75
4,17
1,18
0,44
ET(6)
2,43
0,83
0,66
0,76
0,49
0,92
1,51
2. e = 1 con una precisión de 4,17 y un error típico de estimación de 0,49. El valor crítico para un nivel de confianza del 95% es 1,96. Por lo tanto, el intervalo estará comprendido entre los valores: (1 - 1,96 X 0,49, 1
+
1,96 X 0,49) = (1 - 0,9604,1
3. El ítem 5 tiene una /(6 ET(e) =
~
, V /(6)
=
-1) = 0,60 .
+ 0,9604)
sita =
(0,04, 1,96)
317 La teoría de la respuesta al ítem i 1,5)
1;(6 = 1,5)
30
0,61
07
O, 19
¡2
1,11
LO
1,63
h 1,5)
3,54
0,408=
1
V0,60n
~n=(
~Y=10.o121~1o
0,408 0,60
Por lo tanto, necesitamos 1O ítems.
Solución 304 e1.7 x 1,B(2 - 1l
P(X = 116 = 2) = - - - - - - = 0,96
+
e1.7 x 1.B(2 - 1)
Solución 305 95% es 1,96. Po r lo tanto, el
1. Test A
B' 1' 5 + 1' 0388) =(O 46 2,54)
1
'
1
2
3
O, 15
0,08
0,04 0,10
1,10
0,25
0,50
0,40
O, 15
0,02
0,00
0,00
0,20
0,05
0,00
2,20
0,40
O, 15
4,17
1,18
0,44
0,49
0,92
1,51
'
Aptitud
1,(6¡)
1,(6¡)
FIT
~3
0,00
0,00
0,00
~2
0,00
0,03
0,03
~1
0,05
0,10
0,15
o
0,10
0,25
0,35
1
1,10
0,50
1,60
2
0,25
0,40
0,65
3
0,10
O, 15
0,25
Aptitud
1,(6j)
/6(6j)
FIT
~3
0,02
0,00
0,02
~2
0,06
0,00
0,06
~1
0,10
0,02
O, 12
0,20
0,40
0,60
Test B
o 1
O, 15
2,20
2,35
2
0,08
0,40
0,48
3
0,04
0,15
0,19
de estimación de 0,49. s 1,96. Por lo tanto, el int er-
+ 0,9604)
=
(0,04, 1,96)
2. 2,35 - 1,60
=
0,75
El ítem 1 en e = 1 la información es de O, 15. Para que el test B llegue a 2,35 necesita 0,75. Por lo tanto, 5 x O, 15 = 0,75, es decir 5 ítems como el ítem 1.
Solución 306 e1,7 x o,9(-1-o)
P(X2
= 116 = -1) = -+-- -- = 0,178 e1.7 x o.9(-1-o)
1
318
i
Psicometría: problemas resueltos
Solución 307 1. En primer lugar se calcula el valor de la FIT y el ET(8) para 8 = O: Ítems
o
1
2
3
4
- 2
0,37
0,09
0,01
0,00
-1
0,72
0,37
0,09
0,01
0,37
0,72
0,37
0,09
1
0,09
0,37
0,72
0,37
2
0,01
0,09
0,37
0,72
o
FIT
ET(O)
1,55
0,80
pa1
COl
El valor crítico para un nivel de confianza del 95% es 1 ,96 . Por lo tanto, el intervalo estará comprendido entre los valores:
(O- 1,96
0,80, 0
X
+ 1,96
X
0,80) =(O- 1,568, 0
+ 1,568) = (-1,568, 1,568)
2. En el modelo 1 - p, la máxima información se da cuando 8 = b . En el ítem 1 la máxima información se observa en 8 = -1, por lo tanto b 1 = -1. e1,7(1 - o)
P (X = 1 18 = 1, b = -1) = - - - - = O, 97 1
+
e1.7(1 - 1)
b 2 = O, b 3 = 1, b 4 = 2 P 2 (8
=
1)
=
0,85
P3 (8
=
1)
=
0,50
P4 (8
=
1)
=
O, 15
P(1, 1, 1, 118 = 1) = P 1 (8 = 1)P2 (8 = 1)P3 (8 = 1)P4 (8 = 1) = 0,06
Solución 308 1.
Aptitud
Nj
- 2,0
30
-1,0 0,0
Aciertos
pj
1
0,033
40
3
0,075
70
13
0,186
1,0
40
20
0,500
2,0
20
17
0,8500
aJu
319 La teoría de la respuesta al ítem Aptitud
ET(e) para
e = O:
F/T
ET(9)
1,55
P¡
-2
0,033
-1
P¡- P¡
(p¡ - P¡)l
N¡(p¡- P¡) 2
P¡(1- P¡)
O¡
0,006
0,027
0,00074
0,0223
0,006
3,705
P¡
0,075
0,032
0,043
0,00182
0,0729
0,031
2,334
o
0,186
0,154
0,031
0,00098
0,0684
0,131
0,523
1
0,500
0,500
0,000
0,00000
0,0000
0,250
0,000
2
0,8500
0,846
0,004
0,00002
0,0004
0,131
0,003
Suma =
6,57
0,80
es 1,96. Por lo tanto, el inter-
El valor de O,= 6,57, con grados de libertad igual a 5 - 1 = 4. El valor crítico para un nivel de confianza del 95% es xi; 0,05 . Dado que O, < 9,488, con el nivel de confianza establecido podemos concluir que el modelo logístico de un parámetro se ajusta adecuadamente a este ítem.
2. Modelo logístico de dos parámetros:
+ 1,568)
= (-1,568, 1,568)
cuando
b,
=
e=
- 1.
b. En el ítem 1
Aptitud -2
P¡
P¡
0,033
-1
P¡- P¡
(p¡ - P¡)l
N¡(p¡- P¡)l
P¡(1 - P¡)
O¡
0,001
0,032
0,00105
0,0314
0,001
31,395
0,075
0,010
0,065
0,00423
0,1690
0,010
17,071
o
0,186
0,070
0,116
0,01339
0,9373
0,065
14,398
1
0,500
0,500
0,000
0,00000
0,0000
0,250
0,000
2
0,850
0,930
-0,080
0,00640
0,1280
0,065
1,966
Suma =
= 1) = 0,06
64,83
El valor de O,= 64,83, con grados de libertad igual a 5 - 2 = 3. El valor crítico para un nivel de confianza del 95% es X~; 0 .05 . Dado que 0 1 > 7,815, con el nivel de confianza establecido podemos concluir que el modelo logístico de dos parámetros no se ajusta a este ítem. Modelo logístico de tres parámetros: Aptitud - 2
P¡
P¡
P¡- P¡
(p¡ - P¡)l
N¡(p¡- P¡) 2
P¡{1 - P¡)
O¡
0,033
0,25
-0,217
0,047
1.408
0,188
7.511
-1
0,075
0,27
-0,195
0,038
1,521
0,197
7,717
o
0,186
0,30
-0,114
0,013
0,914
0,210
4,354
1
0,500
0,63
-0,130
0,017
0,676
0,233
2,900
2
0,8500
0,95
-0,100
0,010
0,200
0,048
4,211
Suma =
26,69
El valor de O,= 26,69, con grados de libertad igual a 5 - 3 = 2. El valor crítico para un nivel de confianza del 95% es X~; 0 .05 . Dado que 0 1 > 5,991, con el nivel de confianza establecido podemos concluir que el modelo logístico de tres parámetros no se ajusta a este ítem .
320 Psicometría: problemas resueltos
Por lo tanto, basándonos en los resultados de la aplicación de la prueba Q,, el modelo apropiado para modelizar las respuestas a este ítem es el modelo logístico de un parámetro.
Solución 309
So
1. P(X 1 = 1, X 2 = 1) = P,(8)P2 (8) = 0,80 X 0,50 = 0,4
1. 2. P(X2 = 1 jX 1 = 1) = P2 (8) = 0,50
2.
Solución 31 O En primer lugar, para interpretar el resultado de Q, en cada ítem hay que calcular los grados de libertad para cada modelo logístico. Para el modelo de un parámetro: k - 1, k= 7, grados de libertad
=
6.
Valor crítico para un nivel de confianza del 95%: X~; 0 ,05 = 12,592 . El modelo 1 - p se ajusta al ítem 5 y no se ajusta a los ítems: 1, 2, 3, 4 y 5. Para el modelo de dos parámetros: k - 2, k = 7, grados de libertad = 5. Valor crítico para un nivel de confianza del 95%: X~; o.os
=
11 ,070 .
El modelo 2 - p se ajusta a los ítems: 2, 3 y 4 y no se ajusta a los ítems : 1 y 5.
Para el modelo de tres parámetros: k - 3, k= 7, grados de libertad
=
4.
Valor crítico para un nivel de confianza del 95%: X~; 0 ,05 = 9,488 . El modelo 3 - p se ajusta a los 5 ítems del subtest. Por lo tanto, el modelo a seleccionar para este subtest es el modelo de tres parámetros.
Solución 311 eDa(O - b)
P(8) = - - - 1 + eDe(O-b) eDa (O-b)
0(8)
=
1 - P(u)
=
1
1
+
+
1
eDe(O-b)
eDa(O-b)
P(8)
+
eDe (O - b )
Q(8)
+
eDa (O - b)
--- = eDa(O - b)
eDa(O - b) _
eDa (O-b)
eDa(O-b)
+ eDa(O - b)
1
+
eDa (O -b )
1
321 La teor ía de la res puesta a l ítem
plicación de la prueba Q1 , el ítem es el modelo logístico de
Ln [ P(e) Q(e)
J=
In (eoa(Hl) = Da(e - b)
Solución 312 ,4
e 1.7 x 0.7( - o.9 - - o.9l
1.P(X = 1 Ie =- 0,9) =
1+
e 1,7 x o,7( - o,9 - o,9)
=
e 1,1 x 1.2(0.7 - o,5) 2. P(X = 1 1 e = 0,7) = - -+-e-,-.7-x-,,2-(o-.7---o.5-) = 0 •60 1 en cada ítem hay que calcu-
95%: X ~: 0,05
=
12,592 .
·usta a los ítems: 1, 2, 3, 4 y 5 . dos de libertad
=
5.
4 y no se ajusta a los ítems: dos de libertad
95%: X ~: o, 05
=
=
4.
9,488 .
. ubtest. Por lo tanto, el modeelo de tres parámetros.
e Da(O - b)
1
+
eDa(O-b)
0,5
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