PSD_Bab6_mei2010 (1)

BAB VI FILTER DIGITAL

Filter atau tapis adalah suatu sistem yang berfungsi untuk  menyaring menyaring sinyal, sebagian sebagian sinyal sinyal akan dibiarkan lewat, sebagian sebagian yang lain akan akan ditahan. Filter yang sering digunakan adalah filter untuk menyaring sinyal berdasarkan frekuensi sinyal, artinya sinyal sinyal dengan dengan frekuen frekuensi si terten tertentu tu akan akan dibiark dibiarkan an lewat, lewat, sinyal sinyal freku frekuen ensi si yang yang lain lain akan akan dita ditahan han.. Berd Berdasa asark rkan an sinya sinyall yang yang diproses, filter dibagi menjadi dua, yaitu filter analog dan filter  digital. Secar Secaraa umum umum,, filte filterr digi digita tall adala adalah h sama sama deng dengan an filte filter  r  analog, hanya saja sinyal input dan sinyal outputnya adalah sinyal digital. Oleh karena itu, komponen-komponen filter digital tidak  terdiri dari R, , ! atau gabungannya, tetapi terdiri dari penjumlah "adder #, #, pengali "multiplier  "multiplier #, # , dan elemen tunda "delay " delay element #

atau gabungannya. y(n)

z-1 x(n)

b

a

$ambar %.&. !ontoh filter analog "atas# dan filter digital "bawah#

 PSD – Bab VI Filter Digital 

''

Secara garis besar, ada dua macam filter digital, yaitu filter  ((R " Infinite  Infinite Impulse Response# Response# dan filter F(R " Finite Impulse Filter er F(R F(R adala adalah h siste sistem m yang yang murn murnii umpan umpan maju maju  Response#.  Response#. Filt " feed feed- forward #, #, stabil, strukturnya sederhana dan fasenya linier. Sedangkan filter ((R dapat berupa sistem umpan maju atau umpan  balik " feedback   feedback #. #. )idak )idak seperti seperti F(R, filter filter ((R mempuny mempunyai ai fase yang yang tida tidak k lini linier er dan dan mempu mempuny nyai ai pote potens nsii untu untuk k tida tidak k stabi stabil. l. *elebihan ((R adalah pelemahan "attenuation "attenuation## yang tinggi untuk  orde yang lebih rendah, bila dibanding dengan F(R. y(n)

z-1

x(n)

a

b y(n)

z-1

x(n)

b1

b2

$ambar %.+. Filter ((R "atas# filter F(R "bawah#

$ambar %.. !ontoh respon frekuensi filter ((R "atas# dan F(R "bawah#

 PSD – Bab VI Filter Digital 

'

A. Filte Filterr IIR IIR ( Infinite Impulse Response Filter ) Suatu filter ((R adalah sistem yang mempunyai mempunyai tanggapan tanggapan

terh terhad adap ap impu impuls ls satu satuan an "unit unit impuls impulsee# deng engan panja anjan ng tak  tak  terhingga. engan kata lain, ketika filter tersebut diberi masukan  berupa impuls "impulse#, impulse#, keluara keluaranny nnyaa terus terus ada sampai sampai waktu waktu mendekati tak hingga. esain filter ((R ada dua cara, yaitu user defined dan filter  klasik. Cara pertama diny dinyat atak akan an deng dengan an transf transfer er functio function n, distribusi distribusi pole dan /ero atau dengan 0ariabel  state.  state. Cara kedua dida didasa sark rkan an kepa kepada da mode modell filt filter er anal analog og,, kem kemudia udian n deng dengan an transformasi tertentu diubah menjadi filter digital. !ara pertama disebut cara langsung dan yang kedua disebut sebagai cara tak  langsung. langsung. an karena cara pertama secara matematis matematis terlalu rumit untuk buku ini, dan masih memiliki potensi tidak stabil, maka pada  buku ini hanya akan dibahas cara kedua saja. 1ntuk merealisasikan suatu filter digital sederhana, suatu model model filter filter waktu waktu kontin kontinyu yu 2"s# 2"s# harus harus diubah diubah menjad menjadii model model waktu waktu diskri diskritt 2"/#. 2"/#. 3etode 3etode untuk memetakan memetakan transfer function waktu kontinyu ke transfer function waktu diskrit menjadi penting. Sala Salah h satu satu meto metode de untu untuk k hal hal ini ini adala adalah h trans transfo form rmasi asi  Bilinear . )ransform )ransformasi asi ini mengubah mengubah 0ariabel  s menjadi 0ariabel   0ariabel  , dengan rumus4 s=

+  / − & 

 / − &     = +f s    )  / + &   / + &  

"%.&#

dengan ) adalah periode pencuplikan dan f s adalah frekuensi  pencuplikan. )rans )ransfor formas masii  Bilinear ini sifatny sifatnyaa tidak tidak linier linier,, sehing sehingga ga dapat menghasilkan menghasilkan distorsi distorsi berupa pergeseran frekuensi frekuensi cut-off  dari frekuensi yang dikehendaki semula. 1ntuk menghindari hal ini, ini, diperl diperluka ukan n suatu suatu  prewarping "pembengkokan awal# sebelum  pelaksanaan transformasi  Bilinear . 5roses  prewaping  prewaping  berarti mendesain frekuensi cut-off filter analog sedemikian rupa sehingga frekuen frekuensi si cut-of cut-offf filter filter digital digital,, Ωc, sama sama dengan dengan frekuens frekuensii cut-off  filter analog, ωc) 4 +  Ωc   Ωc   ω p = tan  = +f s tan   "%.+#   +   )   +   dimana ω p adalah frekuensi cut-off filter analog hasil prewarping  hasil prewarping , ) adalah periode pencuplikan, dan f s adalah frekuensi pencuplikan  PSD – Bab VI Filter Digital 

'6

Secara umum, perancangan filter ((R dengan metode ini terdiri dari enam tahap4 &. 5enetapan 5enetapan spesifikasi spesifikasi filter digital digital yang yang dikehen dikehendaki daki +.  Prewarp frekuensi digital ke frekuensi analog "hal ini khusus  bila menggunakan transformasi bilinear #. #. . 5era erancangan fil filter  prototype analo analog, g, dalam dalam hal hal ini ini adala adalah h  penetapan ordenya 7. 5erancangan 5erancangan filter analog analog menggun menggunakan akan transformasi transformasi frekuen frekuensi si ke frekuensi 5erancang angan an filter filter digital digital dengan dengan mentran mentransfor sformas masika ikan n dari dari !" 5eranc domain- s  s ke domain-  , dalam hal ini menggunakan tranformasi bilinear  %. (mplementasi (mplementasi filter filter digital digital pada perangkat perangkat keras keras atau atau perangkat perangkat lunak  Berikut akan dijelaskan tentang masing-masing tahap secara lebih terperinci. pertama ma adalah tahap penetapan spesifikasi filter  )ahap hap perta digital. 5enetapan yang dimaksud meliputi penetapan tipe filter  "lowpass, lowpass, #ig#pa #ig#pass ss dan sebagainya#, sebagainya#, penetapan frekuensi cut-off ,  penetapan frekuensi cuplik, penetapan kemiringan transition band , toleransi passband toleransi passband dan toleransi stopband  toleransi stopband . )ahap hap kedu penghitungan an frekuensi frekuensi hasil kedua a adalah tahap penghitung

 prewarping . 8kan kan teta tetapi pi,, hal hal ini ini khus khusus us bila bila meng menggu guna naka kan n trans transfo form rmasi asi bilin ilinea earr dalam dalam mengub mengubah ah sinyal sinyal analog analog menjadi menjadi sinyal digital. Bila menggunakan transformasi lain, tahap ini tidak   perlu dilaksanakan. )ahap )ahap ketiga perancangan gan  prototype filter analog. ketiga adalah perancan 5ada tahap ini dipilih pendekatan filter analog yang akan dipakai, misalnya misalnya Butterworth Butterworth,, !hebyshe0 !hebyshe0,, 9lliptic 9lliptic atau Bessel. engan  beberapa pertimbangan, yang akan dibahas di buku ini hanya  pendekatan Butterworth saja. *emudian dihitung orde filter yang dipe diperl rluk ukan an

untu untuk k

pend pendek ekat atan an

yang ang

dipi dipili lih. h.

Rumu Rumuss

untu untuk  k 

menghitung menghitung orde filter  prototype dengan pendekatan Butterworth adalah sebagai berikut4 + + log ((8 − &): ε )  ; = + log &:

(

"%.#

)

k 

dengan ; < orde filter prototype filter  prototype yang dicari, 8 < pelemahan minimum  stopband dan ε  < pelemahan maksimum  passband .  PSD – Bab VI Filter Digital 

=

8dapun untuk k, berbeda-beda tergantung jenis filternya. 1ntuk filter lowpass, lowpass, k < ωc:ωs passband

&,= +

&:"&- ε #

transition band

stopband &:8

+

ωc

ωs

$ambar %.7. Respon frekuensi filter lowpass tipe Butterworth

1ntuk filter #ig#pass, #ig#pass, k < ωs:ωc.

passband

&,=

transition band

+

&:"&- ε #

stopband +

&:8

ωs ωc $ambar %.>. Respon frekuensi filter #ig#pass tipe Butterworth

 PSD – Bab VI Filter Digital 

&

1ntuk filter bandpass, bandpass,

 ωs& (ωc+ − ωc& ) ωs&ωs+ ≥ ωc&ωc+  ω ω  jika c+ c&  ω+  & − s& ωc&ωc+  k=  ωs+ (ωc+ − ωc&   jika ωs&ωs+ < ωc&ωc+ − )   ωc+ ωc&  ω+s+ & −ω ω c&

c+

passband &,=

transition band

+

&:"&- ε #

stopband

stopband

+

&:8

ωs& ωc&

ωc+ ωs+

$ambar %.%. Respon frekuensi filter bandpass tipe Butterworth

1ntuk filter bandstop 4

 

ω+s& & − ωc&ωc+

 jika

 ω (ω − ω ) c&  s& c+  ωc+ ωc& k=  +  ω s+ − & − ωc&ωc+  ω (ω − ω )  jika 

s+

c+

ωc+ ωc&

 PSD – Bab VI Filter Digital 

ω ω ≥ω ω s&

s+

c&

c+

ωs&ωs+ < ωc&ωc+

c&

+

&,=

passband

passband

+

&:"&- ε #

transition band

+

&:8

stopband

ωc& ωs& ωs+ ωc+ $ambar %.'. Respon frekuensi filter bandstop tipe Butterworth

Setelah Setelah orde filter filter  prototype diketahui, diketahui, akan didapatkan didapatkan transfer   function untuk untuk filter filter tersebu tersebutt sesuai sesuai pendek pendekatan atan yang yang dipilih dipilih.. 8dapun 8dapun transfer transfer function function untuk untuk filter filter  prototype tipe Butterworth Butterworth  pada beberapa orde dapat dilihat pada tabel berikut4 )abel %.&. $ransfer $ransfer Function filter prototype filter prototype tipe Butterworth Orde $ransfer $ransfer function filter prototype filter prototype & +  7

& s + & & s

+

+ &,7&7s + & &



s

+ +s+ + +s + & &

s

7

+ +,%&&s + ,7&7+s+ + +,%&&s

)ahap )ahap kee keempa mpatt adalah tahap transformasi frekuensi, dari filter prototype filter prototype ke filter yang dikehendaki. Filter prototype Filter  prototype adalah fil filter lowp lowpas asss deng dengan an freku frekuen ensi si cutcut-o off & radian: radian:det detik. ik. Rumus Rumus transformasi frekuensi dapat dilihat pada tabel berikut4

 PSD – Bab VI Filter Digital 



)abel )abel %.+ )ransformasi Frekuensi pada filter analog  Prototype orde n

)ransformasi frekuensi

 %owpass ke lowpass

s⇒

 %owpass ke #ig#pass

s⇒

 %owpass ke bandpass  %owpass ke bandstop

Orde

s

n

ω= ω=

n

s (s +

+ωω ) & + s⇒ s(ω + − ω& ) s(ω + − ω& ) s⇒ + (s + ω& ω+ )

+n +n

)ahap kelima yaitu tahap transformasi domain s ke domain transformasi  Bilinear . Sebenarnya ada  z , dalam hal ini penerapan transformasi Bilinear  metode metode lain yang yang dapat dapat dipakai dipakai pada tahap ini, seperti seperti  Impulse  In&ariance dan  'atc#ed-( $ransformation $ransformation,, tetapi pada buku ini hanya akan dibatasi pada penggunaan transformasi Bilinear  transformasi  Bilinear . keena am adalah tahap implementasi. )ahap hap keen implementasi. 5embahasan 5embahasan tentan tentang g ini, ini, khususn khususnya ya yang yang mendasa mendasari ri penggu penggunaa naan n perang perangkat kat lunak dan perangkat keras, akan dilakukan secara lebih rinci pada sub bab !, tentang implementasi filter. !ontoh %.&4 Rancanglah suatu filter digital ((R, berbasis filter analog tipe Butterworth yang memiliki spesifikasi4 5elemahan maksimum passband  maksimum passband  ?angkauan frekuensi passband  frekuensi passband  ?angkauan frekuensi stopband  frekuensi stopband  5elemahan stopband 5elemahan stopband minimum Frekuensi pencuplikan

4  dB "< penguatan =,'=' kali# 4 = @ & k2/ 4 + @ > k2/ 4 6 dB "< pelemahan +,& kali# 4 &= k2/

?awab4 "ditambahkan gambar sketsa desain filter#

 PSD – Bab VI Filter Digital 

7

angkah pertama adalah prewarping adalah prewarping frekuensi analog yang ditentukan oleh4 +

 ωc )  +π&===    = +==== tan ω pp = tan   )   +====     +    

< %76,7 radian:detik  < &=7,> 2/ +  ωc )

ω ps =

 

tan

 

)

+

 +π.+===    = +==== tan     +====    

< &7>& radian:detik  < +&+ 2/ dimana ω pp < frekuensi passband frekuensi passband hasil prewarping  hasil prewarping 

ω ps < frekuensi stopband frekuensi stopband hasil prewarping  hasil prewarping  ari sini, orde dari prototype dari prototype filter analog tipe Butterworth dapat dihitung dengan4

+     +,& & −   + + log =,'='+   log((8 − &): ε )   =  ; = = &,%>'7≈ +   &   + log(&: + log  

)

k 

 &=7,> : +&+   5erlu diketahui bahwa orde filter adalah bilangan bulat, sehingga mesk meskip ipun un

hasi hasill

perh perhit itun unga gan n

beru berupa pa

peca pecaha han, n,

akan akan

sela selalu lu

dibulatkan ke atas. 5embulatan semacam ini bisa jadi membuat filter hasil desain tidak sesuai spesifikasi yang diinginkan, tetapi secara umum lebih baik dari spesifikasi tersebut. 3odel prototipe Butterworth orde dua dapat dilihat pada )abel %.+, yaitu diberikan oleh persamaan4 2"s# =

& s

+

+ &,7&7s + &

5enerapan 5enerapan transformasi transformasi frekuensi frekuensi lowpass ke lowpass "lihat )abel %.+# %.+# yaitu yaitu dengan dengan mengubah mengubah setiap setiap 0ariab 0ariabel el  s menj menjad adii  s:%76,7  s:%76,7 sehingga menghasilkan model analog orde dua4 2"s# =

&

 s +  s       + &,7&7  +  + &  %76,7   %76,7  

 PSD – Bab VI Filter Digital 

>

2"s# = 2"s# =

&

s

+

+ &,7&7(%76-,7 )s + +

(%76-,7 ) (%76-,7 )+ 7,+.&= s

+

'

+ 6,+.&= s + 7,+.&='

8khirnya, penerapan transformasi Bilinear transformasi Bilinear menghasilkan filter digital4 2"/# =

 

7,+.&=

 +   −   

'

    −   

 

/ &

/ &

7  7 '    +   +   + +.&= 6,+.&= +.&= 7,+.&=             /  & /  & + +                 

7,+.&= (/

+ +/ + &) − +/ + &)+ &-,7.&=' (/ + − &)+ 7,+.&=' (/ + + +/ + &) '

2"/# = + 7.&= (/

+

7,+.&= (/ '

2"/# =

+

+ +/ + &)

(7= + &-,7 + 7,+).&= ' / + − (-= − -,7%).&= ' / + (7= − &-,7 + 7,+).&= '

2"/# = =,=%'%

+ +/ + & + / −&,&7+/ + =,7&+ +

/

 PSD – Bab VI Filter Digital 

%

1.4

1.2

0 dB

1

0.8

      |       )      z       (

 –3 dB

      H       |

0.6

0.4

 –9 dB

0.2

0 0

500 500

1000 1000

1500 1500

2000 000 2500 2500 3000 3000 frekuensi (Hz)

350 3500

400 4000

4500 4500

5000 000

$ambar %.. )ampilan )ampilan magnitude filter analog

ari gambar gambar di atas, atas, terlih terlihat at bahwa bahwa hasil hasil rancan rancangan gan memili memiliki ki spesifikasi yang lebih baik dari yang diminta, yaitu pada bagian  stopband" 1ntu 1ntuk k freku frekuen ensi si + k2/ k2/ pelem pelemah ahan an minima minimall

yang yang

diminta adalah 6 dB, ternyata pada hasil rancangan telah mencapai =,+ =,+ "&7 "&7 dB#, dB#, seme sement ntar araa pele pelema maha han n 6 dB tela telah h terj terjad adii pada pada frekuensi sekitar &>== 2/. 5erbaikan ini disebabkan oleh adanya faktor pembulatan orde filter. !ontoh %.+4 engan menggunakan 3atlab, rancanglah suatu filter ((R tipe low pass orde  dengan dengan pendekatan pendekatan Butterworth. Butterworth. Frekuensi Frekuensi cut-of cut-offf > 2/, dengan frekuensi sampling frekuensi sampling >= 2/. ?awab4 % program untuk contoh 6.2 [z,p [z,p,k ,k] ] = butt buttap ap(3 (3); );

% fil filte ter r or ore e 3

[num,en] = zp2tf(z,p,k); zp2tf(z,p,k); fc = !; $c = 2pifc;

% frek cut"off alam #z % frek cut"off alam ra&etik

 PSD – Bab VI Filter Digital 

'

[n','] = lp2lp(num,en,$c); lp2lp(num,en,$c); f = !;

% frekueni ampling (#z)

point = !'2; [n,] = bilinear(n',',f); bilinear(n',',f); [h,$] = fre*z(n,,point,f); fre*z(n,,point,f); [h3,$] = fre*z(.++,',point,f); ubplot('2'); plot($,h3,k,$,ab(h), plot($,h3,k,$,ab(h),k), k), gri; -label(frekueni -label(frekueni (#z)); label(magnitue); title(/iagram 0oe 1ilter); %  tampilan alam emilog  mag = 2log'(ab(h)); 2log'(ab(h)); m3 = 2log'(ab(h3)); ubplot('22); emilog-($,m3,k,$,mag,k), gri; -label(frekueni -label(frekueni (#z)); label(magnitue label(magnitue (0)); title(/iagram 0oe 1ilter);

$ambar %.6. Respon frekuensi !ontoh %.+

B. Filter Filter FIR (Finite (Finite Impulse Response Filter ) Filter F(R adalah suatu sistem yang mempunyai tanggapan

terhadap impuls "impulse "impulse## dengan panjang terhingga. terhingga. engan kata

 PSD – Bab VI Filter Digital 



lain, ketika filter tersebut diberi masukan berupa impuls " impulse#, impulse#, keluar keluaranny annyaa hanya hanya ada sampai sampai waktu waktu terten tertentu. tu. 2al ini terjadi terjadi karena karena keluar keluaran an filter filter tersebu tersebutt sengaj sengajaa dibata dibatasi si sampai sampai waktu waktu tertentu saja. Suat Suatu u filt filter er F(R F(R dapa dapatt

dide didesa sain in deng dengan an memo memoto tong ng

tanggapan impuls dari suatu filter ((R. Bila h"n# adalah tanggapan impuls dari karakteristik filter ((R 2" Ω#, maka tanggapan impuls dari filter F(R 4

h"n#,

( )= 

hd n

= ≤ n ≤ ; -& n lainnya

"%.7#

 =, dengan ; adalah panjang filter atau orde filter. Fungsi alih / dan tanggapan frekuensi dari filter F(R diberikan oleh4

(n )/

−n

"%.>#

 ;−&

2 d (/ )

∑h

=

d

n==  ;−&

2 d (Ω )

∑h

=

d

"%.%#

( n )e −  jnΩ n==

(dealny (dealnya, a, 2d"Ω# harus mendek mendekati ati hasil hasil )ransf )ransform ormasi asi Fourie Fourier  r  Aaktu iskrit dari h"n#, atau 2 d"Ω# ≈ 2"Ω#. 5emotongan h"n# menyebabkan terjadinya perubahan pada tanggapan frekuensinya. Salah satu perubahan perubahan tersebut adalah timbulnya timbulnya riak "ripple " ripple## pada gambar magnitude-ny magnitude-nya. a. 1ntu 1ntuk k meng menghi hind ndari ari timbu timbuln lnya ya riak  riak  tersebu tersebut, t, dapat dapat dilakuk dilakukan an dengan dengan memperb memperbesar esar nilai nilai ;. 8kan 8kan tetapi tetapi dari dari sisi prakti praktis, s, filter filter yang yang sepert sepertii itu sulit sulit diwuju diwujudka dkan n karena waktu tundanya menjadi sangat besar. π -π -Ωc Ωc π -π -Ωc = Ωc

|H( ) 

" a#

|Hd(



"b#

$ambar %.&=. "a# )anggapan frekuensi filter lowpass ideal "b# )anggapan frekuensi filter lowpass riil

 PSD – Bab VI Filter Digital 

6

3asalah yang penting pada desain filter F(R adalah fase yang linier. Seperti telah disinggung sebelumnya, fase yang linier  terkait dengan waktu tunda pada keluaran filter, sementara fase tak  linier menyebabkan distorsi pada sinyal. Suatu filter 2 d"Ω# akan mempun mempunya yaii fase linier linier jika jika mempun mempunya yaii tangga tanggapan pan impuls impuls yang yang simetri genap, atau 4 hd"n# < hd"+m @ n# dimana m adalah bilangan genap, atau dengan kata lain panjang filter adalah 4  ; < +m  & dengan m adalah bilangan genap. 5erancangan filter F(R untuk mendapatkan fase linier ada  beberapa

metode,

antara

lain

metode )indowing ,

metod etodee

Frek Frekue uens nsii !upl !uplik ik " Fre*uency-Sampling 'et#od #, # , dan dan meto metode de  pendekatan !hebyshe0. !hebyshe0. 5ada pembahasan ini

hanya

akan

diuraikan diuraikan metode metode )indowing . 3etode ini termasuk metode yang sed sederhana,

mesk eskipun

kurang

presi esisi. si.

3eto etode

)indowing 

dilaksanakan melalui tahap-tahap berikut4 &. 5enetapan 5enetapan filter ideal ideal dengan spesifikasi spesifikasi filter filter yang dikehendaki dikehendaki +. 3encari 3encari tanggapan tanggapan impuls dari dari filter tersebut tersebut dengan memakai memakai ()F) " In&ers Discrete $ime $ime Fourier $ransform $ransform## 4 π & h (n ) = "%.'#

∫ 

 jΩn

2( Ω ) e

dΩ

+π −π

5ada prakteknya, untuk filter lowpass langsung menggunakan rumus4

 sin (Ω ! n )  πn ,=n ≠ h(n)=  Ω c  π , n = =

"%.#

sedangkan untuk jenis lain "#ig#pass+ " #ig#pass+ bandpass dan bandstop# bandstop# dengan melakukan manipulasi terhadap rumus di atas. . 3emotong 3emotong tanggapan tanggapan impuls impuls dari filter, filter, sesuai orde orde filter yang dikehendaki, misal orde < ; 7. 3enggeser 3enggeser tanggapan tanggapan impuls impuls dari filter, sebesar sebesar "; @ &#:+, untuk mendapatkan filter yang kausal

 PSD – Bab VI Filter Digital 

6=

>. 5emilih 5emilihan an dan pener penerapa apan n windowing , sesuai tipe window yang dikehendaki %. (mpleme (mplementa ntasi si filter filter F(R  F(R  !ontoh %.4 Rancan Rancangla glah h suatu filter filter lowF(R deng dengan an frek frekue uens nsii cut-off  low-pa pass ss F(R  pada Ωc < =,7 dan ord orde filt filter er < +&. +&. $un $unakan akan wind window owss  jenis rectangular . ?awab4 Respon frekuensi dari filter ideal tersebut adalah seperti $ambar  %.7. Respon impuls dari filter di atas dapat dicari dengan rumus4  sin(Ω ! n )

()

h n

 = πn Ω  c,  π

 PSD – Bab VI Filter Digital 

, n ≠ =

"%.6#

n = =

6&

|H( )| 

G -π

π

-=,7 = =,7

Ω

$ambar %.&& Respon frekuensi filter ideal

0.14 0.12 0.1 0.08

      )      n       (       !

0.06 0.04 0.02 0

0.02 0.04 50

40

30

20

10

0 n

10

20

30

40

50

$ambar %.&+. Respon impuls filter ideal "ditampilkan sebagian#

Respon impuls dari filter ideal menunjukkan bahwa filter tersebut  panjangnya dua kali tak terhingga, juga adalah filter non kausal, sehingg sehinggaa tidak tidak dapat dapat direali direalisasi sasikan kan dalam dalam sistem sistem waktu waktu nyata. nyata. Oleh Oleh karena karena itu filter filter tersebu tersebutt perlu perlu dibuat dibuat menjadi menjadi filter filter yang yang  panjangnya terhingga dan kausal, dengan cara dipotong, misal sepanjang +& cuplikan, kemudian digeser &= cuplikan ke kanan, atau dapat dihitung dengan rumus4

 PSD – Bab VI Filter Digital 

6+

h (n ) =

( ( )) , untuk n < =, &, +, +, ... +=, dan π(n −&=)

sin =,7 n −&=

d

(n) = =,7 , khusus untuk n < &=

h d

π

sehingga didapat h d"n# < C -=.=+7& -=.=&>' -=.==+ =.=&>+ =.=> =.=>'6 =.='6> =.=66 =.&&7+ =.&+7= =.&+' =.&+7= =.&&7+ =.=66 =.='6> =.=>'6 =.=> =.=&>+ -=.==+ -=.=&>' -=.=+7&D )ransformasi-/ dari filter diatas didapat dari rumus berikut4 2 d (/ )

+= =∑ h d (n )/−n n==

didapat 2d"/# < -&

C@ =.=+7& @ =.=&>'/ =.=&>'/  @ =.==+/

 =.=&>+/

 =.=>'6/

->

 =.&+'/

-&=

 =.&+7=/

-&&

 =.&&7+/

-&+

 =.='6>/

-&7

 =.=>'6/

-&>

 =.=>/

-&%

 @

=.==+/

 =.='6>/

-%

-+

-&

 =.=66/

 @ =.=&>'/

-'

-

 =.=>/

 =.&&7+/

-&6

 @ =.=+7&/

-

 @ 7

 =.&+7=/

 =.=66/

 =.=&>+/

-6

-& -&'

-+=

D.

0.14 0.12 0.1 0.08

         )        n          (          !

0.06 0.04 0.02 0

0.02 0.04 0

2

4

6

8

10 n

12

14

16

18

20

$ambar %.&. Respon impuls filter, untuk ; < +& dan digeser &= sampel ke kanan

 PSD – Bab VI Filter Digital 

6

Sedangkan respon frekuensi filter di atas didapat dari rumus4 +=

2 d (Ω ) =

∑ h (n ) e d

n==

"%.&=#

− jnΩ

)ampilan )ampilan respon frekuensi untuk filter kausal ini dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

1.4

1.2

1

0.8       |       H       |

0.6

0.4

0.2

0 4

3

2

1

0 frekuensi

1

2

3

4

$ambar %.&7. Respon frekuensi filter untuk ; < +&

ari gambar di atas, terlihat bahwa respon frekuensi pada bagian  stopband terdapat semacam riak "ripple "ripple#. #. 2al ini tentu berbeda  jauh dengan respon frekuensi filter ideal "lihat $ambar %.7#. 1ntuk  meneka menekan n semacam semacam riak tersebu tersebut, t, diguna digunakan kan teknik windowing , yang akan dibahas pada sub sub bab 7. 3asa 3asalah lah desai desain n filt filter er F(R F(R yang yang belu belum m diba dibaha hass adala adalah h tentang tentang desain filter selain jenis lowpass. lowpass. Berikut ini akan dibahas satu per satu, yaitu #ig#pass+ bandpass dan bandstop. bandstop. 5embahasan  berikut berdasarkan manipulasi terhadap desain filter lowpass. lowpass.

 PSD – Bab VI Filter Digital 

67

," esain Filter ig#pass Filter ig#pass esain filter #ig#pass dilakukan dengan memanfaatkan apa yang disebut disebut filter allpass. allpass. Respon frekuensi filter allpass adalah seperti gambar di bawah ini4

-π

π

$ambar %.&>. Respon frekuensi filter allpass

eng engan an memp memperh erhati atika kan n gamb gambar ar di atas, atas, desai desain n filte filterr #ig#pass dilaku dilakukan kan dengan dengan filter filter allp allpas asss dikura dikurangi ngi filter filter lowpass, lowpass, seperti gambar berikut4

-π

π

-Ωc

Ωc

-Ωc

Ωc

filter allpass

filter lowpass

filter #ig#pass

$ambar %.&%. (lustrasi desain filter F(R jenis #ig#pass

5ersamaan untuk mendapatkan tanggapan impuls untuk

filter 

#ig#pass adalah4

 sin (π(n − m)) − sin (Ω ! (n − m))  Ω! untuk n ≠ m "%.&&# & − n π − ( hd (n)=  π  m) untuk n = m 

 PSD – Bab VI Filter Digital 

6>

." esain Filter Bandpass Filter Bandpass esain filter bandpass dilakukan dengan mendesain

filter 

lowpass dikurangi filter lowpass lainnya

-π -ΩcH

ΩcH π

-ΩcLΩcL

-π -ΩcH -ΩcL ΩcLΩcH π

filter lowpass& lowpass&

filter lowpass+ lowpass+

filter bandpass

$ambar %.&'. (lustrasi desain filter F(R jenis bandpass

5ersamaan untuk mendapatkan tanggapan impuls untuk

filter 

bandpass adalah4

 sin (Ω !2 (n − m)) − sin (Ω ! (n − m))  , untuk n ≠ ( n π − m hd (n)=   m)  Ω!2 − Ω! , untuk n = m π

"%.&+#

/" esain Filter Bandstop Filter Bandstop esain filter bandstop dilakukan dengan mendesain

filter 

allpass dikurangi filter lowpass ditambah filter lowpass lain.

 sin (π(n − m)) − sin (Ω !2 (n − m)) + sin (Ω ! (n − m))  π(n − m) "%.&# hd (n)=  Ω +Ω  ! & − !2  π

 PSD – Bab VI Filter Digital 

6%

filter allpass

-π

π

filter lowpass& lowpass&

-π -ΩcH

ΩcH π

filter #ig#pass

-π

π

filter lowpass.

-ΩcLΩcL

filter bandstop

-π -ΩcH -ΩcL ΩcL ΩcH π $ambar %.&. (lustrasi desain filter F(R jenis bandstop

!ontoh %.74 eng engan an 3atl 3atlab ab,, desa desain in suat suatu u filt filter er F(R F(R tipe tipe lowp lowpas asss dengan frekuensi cut-off =,>. )ampilkan bagian magnitude dan sudut fase dalam dua gambar terpisah. ?awab4 %  filter 1  4 = 3'; % ore filter omegac = .!; % frekueni cutoff igital m = (4"')&2; % penggeeran fae n = 52m'; % pe penetapan ti titik un untuk pl plot h = omegac&pi  inc(omegac(n"m)&pi); inc(omegac(n"m)&pi); $ = [one( [one(',4 ',4) ) zero( zero(', ', lengt length(n h(n)"4 )"4)]; )]; % $ino $ino$ $ h = h . $; [#, omega'] = fre*z(h, '); phae = '7&pi  un$rap(angle(#)); un$rap(angle(#));

 PSD – Bab VI Filter Digital 

6'

ubplot(2''); plot(omega',.++,omega',ab(#)),gri; title(repon title(repon frekueni filter 1); -label(frekueni -label(frekueni (ra&ampel)); (ra&ampel)); label(magnitue); ubp ubplo lot( t(2' 2'2) 2); ; plot plot(o (ome mega ga', ',ph pha ae) e), , gri gri; ; -label(frekueni -label(frekueni (ra&ampel)); (ra&ampel)); label(uut label(uut fae (er));

$ambar %.&6. Respon frekuensi filter F(R pada !ontoh %.7.

7. )indowing dan pengaruhnya 5ada filter F(R, tanggapan impuls h"n# yang panjangnya tak terhingga dipotong sampai panjang tertentu, menjadi h d"n#. 2al ini sama dengan mengalikan h"n# dengan suatu window "jendela# tertentu, w"n#, atau ditulis 4 hd"n# < h"n# w"n# "%.&7# 2any 2anyaa saja, saja, peng penggu guna naan an window window rectan rectangul gular ar "persegipanjang#, menghasilkan pemotongan yang mendadak pada h"n#. 8kibatnya muncul adanya riak "ripple " ripple## pada tanggapan frekuensinya. frekuensinya. 1ntuk  mengurangi mengurangi rippl ripplee ini, perlu suatu pemotongan yang lebih baik, yaitu yaitu peru peruba baha han n nila nilaii hd"n# "n# yang yang lebi lebih h grad gradua ual, l, deng dengan an cara cara mengubah window yang dipakai. Berikut beberapa jenis window4 window4

 PSD – Bab VI Filter Digital 

6

)abel )abel %.. ?enis-jenis window w"n#, = ≤ n ≤ ;-&

 ;ama window

 ; −& +n− + &−  ; −&

Bartlett "segitiga#

+π 7 πn =,7+ + =,> cos + =.=-cos  ; − & ; − & + πn =,>7 − =,7%cos  ; −& &   +πn   & − cos   +    ; − &  

Blackman 2amming 2anning

5erbedaan window yang dipakai, menyebabkan sifat yang berubah,  baik pada tanggapan impuls maupun tanggapan frekuensi, seperti  pada gambar berikut4

      )      n       (       d       !

0.15

1.5

0.1

1       |       H       |

0.05

0.5 0

0.05 0

5

10 n

15

20

0 4

0.15

0 frekuensi

2

4

2

0 frekuensi

2

4

1 0.8

0.1       )      n       (       d       !

2

0.6

      |       H       |

0.05

0.4 0

0.05 0

0.2

5

10 n

15

20

0 4

$ambar %.+=. )anggapan impuls dan tanggapan frekuensi untuk window rectangular "atas# )anggapan )anggapan impuls dan tanggapan frekuensi untuk window 2amming "bawah#  PSD – Bab VI Filter Digital 

66

C. Implementa Implementasi si Filter Digital Digital (mplementasi (mplementasi filter digital digital dapat menggunakan menggunakan beberapa beberapa

cara cara,, yaitu aitu deng dengan an pera perang ngka katt luna lunak k atau atau pera perang ngka katt kera keras. s. (mplem (mplement entasi asi dengan dengan perang perangkat kat lunak lunak berarti berarti membua membuatt suatu suatu  program komputer untuk diterapkan pada komputer digital. 8dapun implementasi dengan perangkat keras adalah mendesain suatu suatu proseso prosesorr khusus, khusus, yang yang didalam didalamnya nya terdiri terdiri dari dari kumpul kumpulan an  penjumlah, pengali dan unit penunda penunda "delay " delay unit #. #. (mpl (mplem emen enta tasi si

deng dengan an

pera perang ngka katt

luna lunak k

memp mempun uny yai

kele kelebi biha han n pada pada kemu kemuda daha han n melak elakuk ukan an desa desain in ulan ulang. g. ?uga ?uga memungkinkan untuk menerapkan algoritma yang cukup rumit. Sebaliknya, implementasi dengan perangkat keras akan mengalami kesulitan pada dua hal di atas, tetapi mempunyai kelebihan pada kecepat kecepatan an proses prosesnya nya.. 5embah 5embahasan asan berikut berikut hanya hanya menyan menyangku gkutt dasar-dasar implementasi, yang dapat diterapkan pada perangkat keras maupun perangkat lunak  2asil 2asil desain desain filter filter digital digital "sebelu "sebelum m diimplem diimplemetas etasika ikan# n# adalah berupa transfer function dalam 0ariabel /. Bila input adalah E"/# dan output adalah "/#, transfer function suatu filter digital  biasanya dinyakan dalam bentuk4

( )  b = + b&/−& + b +/−+ + Λ + bm/−m = −+ −n −& E(/) & + a& / + a + / + Λ + an / F /

"%.&>#

, n≥m -&

dimana a dan b adalah koefisien riil, sedangkan / adalah simbol dari unit penunda. ari transfer function seperti inilah implemetasi filter filter digi digital tal dilak dilaksan sanak akan an.. Berik Berikut ut akan akan diba dibaha hass dua dua jenis jenis implementasi, implementasi, yaitu 5emrograman 5emrograman angsung dan 5emrograman 5emrograman Standar. &. 5emrograman 5emrograman angsu angsung ng " Direct Programming  Programming # (mplementasi jenis ini dilakukan dengan mengubah transfer function filter digital $"/# di atas, menjadi bentuk berikut4 -&

-n

-m

-n

-m

"/#  a&/ "/#  ...  an/ "/# < b= E"/#  ...  b m/ E"/# -&

"/# < @ a &/ "/# @...@ a n/ "/#  b= E"/#  ...  bm/ E"/# (mplem (mplement entasi asi jenis jenis ini sangat sangat mudah mudah dilakuk dilakukan, an, yaitu yaitu dengan dengan mengubah persamaan diatas ke dalam diagram blok "lihat $ambar  %.6#. *elemahan implementasi jenis ini adalah memerlukan unit  penunda yang cukup banyak, banyak, yaitu sebanyak " m + n) buah, oleh

 PSD – Bab VI Filter Digital 

&==

karen karenaa itu, itu, impl implem emen enta tasi si jeni jeniss ini ini jaran jarang g dipa dipaka kai. i. an an untu untuk  k  keperl keperluan uan prakti praktis, s, biasany biasanyaa diupay diupayaka akan n agar agar pemaka pemakaian ian unit unit  penunda adalah minimum.

b0 b1 z

 Y(z) z

-1

bm

-1

X(z)

z

z

-1

-1

–a1 –an $ambar %.+&. iagram blok implementasi filter  dengan 5emrograman angsung

+. 5emrograman 5emrograman Standar Standar "Standard "Standard Programming # (mplementasi jenis ini dilakukan dengan terlebih dahulu mengubah susunan transfer function filter digital menjadi 4

( ) = b + b /− + Λ + b ( E(/) (/) =    (/)      2   (/ )      /

&

=

E(/ )

2(/ )

 

 

dimana

m/

&

&

−&

&

+ Λ + a n / −n

 

()

+ b + /−+ +Λ + bm/

−&

()

)& + a /

E(/ )

 /

2 // 2

−m

= b= + b&/

& −+

−n

−m

−&

()

E /

=

& + a&/

+a +/

+Λ + an /

ari dua transfer function diatas, bentuknya diubah menjadi4 -& -m "/# < b= 2"/#  b&/ 2"/#  ...  b m/ 2"/# -& -+ -n 2"/# < E"/# @ a&/ 2"/# @ a+/ 2"/# @...@ a n/ 2"/# 3asing-masing 3asing-masing transfer transfer function function dibentuk menjadi diagram blok  terpi terpisah sah,, dan dan kemu kemudia dian n diga digabu bung ng menj menjad adii satu. satu. 1ntu 1ntuk k lebi lebih h  jelasnya, dapat dilihat $ambar %.&>. (mplementasi jenis ini memang sedikit lebih rumit dibanding 5emrograman angsung, karena harus melakukan

 PSD – Bab VI Filter Digital 

&=&

dekom dekompos posisi, isi, kemudi kemudian an mengga menggabun bungka gkanny nnyaa lagi. lagi. 8kan 8kan tetapi tetapi impl implem emen entas tasii jenis jenis ini ini meme memerlu rluka kan n unit unit penu penund ndaa yang yang lebih lebih sedikit, sedikit, yaitu n  buah. (mplementasi jenis ini lebih banyak dipakai, daripada jenis 5emrograman angsung.

b0 b1 b2 H(z) z

z

-1

X(z)

-1

H(z) z

-1

z

-1

z

-1

 Y(z)

bm z

-1

–a1 –a2 –an b0 b1 X(z)

b2 z

z

-1

-1

z

bm

-1

 Y(z)

–a1 an

–a2 –an

$ambar %.++. iagram blok implementasi filter  dengan 5emrograman Standar 

!ontoh %.>4 (mplementasi (mplementasikan kan filter berikut berikut dengan dengan 5emrograma 5emrograman n angsung angsung dan 5emrograman Standar4  / $/ = E /

− + − =,%/ ( ) = () ( ) & + =,>/−

 PSD – Bab VI Filter Digital 

& &

&=+

?awab4 a. engan engan 5emrog 5emrograma raman n angsung angsung $ransfer $ransfer function filter di atas diubah menjadi4 -&

-&

"/# < - =,>/ "/#  +E"/# @ =,%/ E"/#  b. engan 5emrograman Standar  $ransfer $ransfer function filter di atas diubah menjadi4 + F(/) & =,/−& 2 /

()

( )= − E(/) & + =,>/

= −

&

2 /

iagram blok untuk masing-masing implementasi adalah4

G"n#

z

2

y(n)

-0," !! !

-1

E"/#

 Y(z) -0,

z-1

"a#

#(n)

z

-1

0,"

y(n)

-!

H(z)

 Y(z)

G"n# +-

+

E"/#

h"n@&#

z-1 z H(z -1

#

=,> G"n# + E"/#

+-

z-1

0,"

-+

y(n)  Y(z)

=,> "b# $ambar %.+. iagram Blok implementasi filter dengan "a# 5emrograman 5emrograman angsung angsung dan dan "b# 5emrograma 5emrograman n Standar  Standar 

 PSD – Bab VI Filter Digital 

&=

D. !al"s !al"s!a !all &. Ranc Rancan ang g suat suatu u filte filterr digi digital tal ((R, ((R, berb berbasi asiss filte filterr anal analog og tipe tipe Butterwowth yang memiliki spesifikasi4 5elemahan maksimum passband  maksimum passband  4  dB ?angkauan frekuensi stopband  frekuensi stopband  4 = - + k2/ ?angkauan frekuensi passband  frekuensi passband  4  - > k2/ 5elemahan stopband 5elemahan stopband minimum 4 &= dB Frekuensi pencuplikan 4 &= k2/ +. Rancan Rancang g filter filter lowpass F(R orde ' dengan dengan frekuensi cut-off %== 2/, untuk frekuensi frekuensi pencuplikan pencuplikan  k2/. $unakan $unakan window tipe rectangular . . (mplementasikan filter berikut dengan dengan 5emrograman Standar4 − ( )= − E(/) & − =,>/

 /  + &,/

&

&

E. !al"s!al #ang #ang Diker$akan Diker$akan Dengan %atla& %atla& &. esain dan implemen ementtasik sikan sua suatu filte lter F(R untuk  mena menamp mpil ilka kan n hany hanyaa siny sinyal al frek frekue uens nsii rend rendah ah dari dari suat suatu u campuran sinyal 4

G&"n# < sin"+π&=n)# dan G +"n# < "+π%=n)#, dengan frekuensi sampling frekuensi sampling +== 2/. Buatlah tampilan dalam dua gambar, gambar, gambar atas untuk menampilkan menampilkan campuran campuran sinyal dan gambar gambar bawah bawah untuk untuk menamp menampilk ilkan an sinyal sinyal hasil hasil pentap pentapisan isan "penyaringan#. +. esa esain in dan dan impl implem emen enta tasi sika kan n suat suatu u filt filter er jen jenis ((R untu untuk  k  mena menamp mpil ilka kan n hany hanyaa siny sinyal al frek frekue uens nsii +== +== 2/ dari dari suat suatu u campuran sinyal 4 G&"n# < cos"+π>=n)# G+"n# < cos"+π+==n)#, dan G"n# < cos"+π%==n)# deng dengan an frek frekue uens nsii  sampling + k2/. k2/. Buatla Buatlah h tampil tampilan an dalam dalam empat gambar, gambar kiri atas untuk menampilkan magnitude respon frekuensi filter, kanan atas untuk sudut fase, kiri bawah untu untuk k camp campur uran an siny sinyal al dan dan gamb gambar ar kana kanan n bawa bawah h untu untuk  k  menampilkan sinyal hasil pentapisan "penyaringan#.

 PSD – Bab VI Filter Digital 

&=7