PS-1316 Tema 2.1 - Sistemas Hidráulicos

MODELAJE DE SISTEMAS HIDRAULICOS EJEMPLO 1.- TANQUE DE ALMACENAMIENTO CON DRENAJE A TRAVÉS DE UNA TUBERÍA CORTA (FLUJO LAMINAR) Tanque de área transversal  A, que almacena un fluido cuya densidad  ρ  es constante. Fluido drena a través de una válvula. Se desea controlar h(t)  por medio de la regulación de q(t).

q(t)

h(t)

 R  A

qo(t)

Objetivo: Objetivo: Determinar la respuesta dinámica de h(t) ante una variación de q(t) Suposiciones: Suposiciones: 1.- Flujo laminar 2.- Densidad constante 3.- Area transversal del tanque  A, no varía con el nivel del líquido 4.- Tanque abierto y descarga del fluido a la atmósfera. Constantes:  R= resistencia fluídica  = densidad  ρ  =  A= área del tanque

Variables: h(t)= nivel del tanque (Var. controlada) qo(t)= flujo de salida q(t)= flujo de entrada (Var. Manipulada)

 Datos:  Datos: 3 q q o 100 m /h h 7  m 2  A = 7 m 15

MODELO MATEMATICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES

•

 Balance de masa

 MASA

 MASA

 MASA

QUE 

QUE 

QUE  SE 

 ENTRA

SALE 

 ACUMULA d ( ρ  Ah )

 ρ q( t )  ρ qo ( t )

dt 

 

(1)

 

(2)

Tomando en cuenta que  A y  ρ  son  son constantes q( t ) − q o ( t ) = A

•

dh dt 

 

(3)

 Ecuación constitutiva constitutiva

Expresión para qo(t). Tomando en cuenta flujo laminar: existe relación lineal entre qo(t) y h(t) q o ( t )

donde

kh( t )

h( t )  R

 

(4)

k= coeficiente  R = resistencia lineal

h(t)

R

q o(t)

16

Modelo completo del sistema: q( t ) − q o ( t ) = A q o ( t ) =

h( t )  R

dh dt 

 

(3)

 

(4)

con los valores numéricos: 2

A=7m h  = 0.07  R qo

MODELO MATEMÁTICO EN FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Se definen las variables de perturbación: q ( t ) = q( t ) − q

(5)

q o ( t ) = q0 ( t ) − q o

(6)

h ( t ) = h( t ) − h

(7)

* *

*

donde q , qo y h valores obtenidos del sistema operando en estado estacionario. Se escriben ecuaciones del sistema en estado estacionario:

−q =

q

o

qo

=

A

dh

(8)

dt 

( 9)

h  R

Se restan (8) y (9) de (3) y (4) y se utiliza notación de variables de pertubación q ( t ) − qo ( t ) = A *

q o ( t ) = *

*

*

h ( t )

*

dh

dt 

(10) (11)

 R

17

Se suponen variaciones pequeñas alrededor del punto de operación. Se toma la transformada de Laplace de (10) y (11) Q ( s ) − Qo ( s ) = AsH ( s ) *

*

*

(12)

*

Qo ( s ) = *

H (s)

(13)

 R

Se sustituye (13) en (12) y se agrupan términos. Función de Transferencia  H * ( s ) *

Q ( s)

=

 R  RAs + 1

 

(14)

Forma general.  H * ( s )

k 

*

τ s

Q (s)

donde:

1

 

(15)

k = ganancia estática del sistema =  R τ  = constante de tiempo del sistema =  RA

DIAGRAMA DE BLOQUES Q* ( s )

*

k  τ s

 H  ( s ) 1

Para los valores numéricos conocidos 2

 A = 7 m  R = 0.07

se calculan los parámetros de la Función de Transferencia: k = R = 0.07 τ  = RA = 0.49

*

Q (s)

*

 H  ( s )

0.07  0.49 s

1 18

EJEMPLO 2.- TANQUE DE ALMACENAMIENTO CON DRENAJE A TRAVÉS DE UNA TUBERÍA CORTA (FLUJO TURBULENTO) Tanque de área transversal  A, que almacena un fluido cuya densidad  ρ  es constante. Fluido drena a través de una válvula, se desea controlar h(t)  por medio de la regulación de q(t).

q(t)

h(t)

 R  A

qo(t)

Objetivo: Determinar la respuesta dinámica de h(t) ante una variación de q(t) Suposiciones: 1.- Flujo turbulento 2.- Densidad constante 3.- Area transversal no varía con el nivel del líquido 4.- Caída total de presión es debida a la restricción 5.- Dinámica del flujo en la tubería rápida con respecto a dinámica del nivel

6.- Tanque abierto y descarga a la atmósfera 7.- No existen pérdidas por fricción Constantes:  A= área del tanque ρ = densidad

Variables: h(t)= nivel del tanque (Var. controlada) qo(t)= flujo de salida q(t)= flujo de entrada (Var. Manipulada)

 Datos: 3 q q o 100 m /h h 7  m 2  A = 7 m

19

MODELO MATEMÁTICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES

•

 Balance de masa  ρ q( t )  ρ qo ( t )

d ( ρ  Ah ) dt 

 

(2)

Tomando en cuenta que  A y  ρ  son constantes q( t ) − q o ( t ) = A

•

dh dt 

 

(3)

 Ecuaciones constitutivas

Expresion para qo(t). Tomando en cuenta flujo turbulento: no existe relación lineal entre qo(t) y h(t) qo

= C 

h 

(24)

donde C  : constante propia del sistema. f(A2 ,g)

Modelo completo del sistema: q( t ) − q o ( t ) = A

dh( t ) dt 

 

qo  = C  h(t )  

(3)

(24)

con los valores numéricos: 2

A=7m qo m 3 / h  = 37.8 C = m0.5 h

20

MODELO MATEMÁTICO EN FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Se linealiza h . Se utiliza expansión de Taylor sabiendo que se cumple con las siguientes condiciones: - las variables son continuas - las derivadas también son continuas En general, expansión de Taylor para una función de dos variables  f= f(x,x2):  f ( x1 , x2 ) =  f ( x1 , x2 ) + ( x1 − x1 )

∂ f  ∂ f  + ( x2 − x2 ) + ∂ x1  x , x ∂ x2  x , x 1

( x1 − x1 )

2

1

2

2 ∂ 2 f  2 1 ∂  f  + ( x2 − x2 ) + ... 2 2 2! ∂ x 2! ∂ x 1  x , x 2  x , x

2 1

1

2

1

2

(25)

Se toma en cuenta la primera derivada. Se aplica a h h

=

h

1

+

2 h

(h − h ) 

(26)

donde h  : valor del nivel en el estado estacionario

Se sustituye (26) en (24): qo

⎛  = C⎜ ⎝ 

h

+

1 2 h

⎞  ⎠

( h − h )⎟  

Ecuaciones en estado estacionario: dh q − qo = A dt  qo

=C

h

(27)

(28) (29)

21

Se restan (28) (29) de (3)(27) y se utiliza notación de variable de perturbación: dh q (t ) − qo* (t ) =  A *

*

(30)

dt 

qo*

=

C 

2 h

(31)

h(t )*

Se sustituye (31) en (30) y se toma transformada de Laplace: Q ( s ) − C' H ( s ) = AsH ( s ) *

*

donde C ' =

*

(32)

C  2 h

Se despeja H*(s) en función de Q*(s). Función de transferencia *

 H  ( s ) *

Q (s)

=

k  τ s + 1

 

(33)

donde: k  =

τ=

2 C   A C '

h

=

2 A C 

h

DIAGRAMA DE BLOQUES *

Q (s)

*

 H  ( s )

k  τ s

1

Para los valores numéricos conocidos: 2

 A = 7 m C  = 37.8

22

se calculan los parámetros de la Función de Transferencia: k = 0.14 τ  = 0.98 

*

Q (s)

*

0.14 0.98 s

 H  ( s ) 1

23

EJEMPLO 3.- TANQUE CON DRENAJE A TRAVÉS DE UNA BOMBA Tanque de área transversal  A, que almacena un fluido con densidad  ρ. Fluido sale a través de una bomba. Se desea controlar h(t) por medio de la regulación de q(t).

q(t)

h(t)

q o A

Objetivo: Determinar la respuesta dinámica de h(t) ante una variación q(t).

Suposiciones: 1.- Flujo laminar 2.- Densidad constante 3.- Area transversal del tanque  A, no varía con el nivel del líquido 4.- Tanque abierto y descarga del fluido a la atmósfera. 5.- La bomba mantiene un flujo constante de salida

Constantes  A = area del tanque qo= flujo de salida

Variables h(t) = nivel del tanque q(t) = flujo de entrada

24

MODELO MATEMÁTICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES

•

 Balance de masa

Ecuación que representa el modelo matemático del sistema: q( t ) − q o

=

A

dh dt 

 

(34)

donde qo = flujo constante de salida que proporciona la bomba.

MODELO MATEMÁTICO EN FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Ecuación en estado estacionario:

−q =

q

o

dh

A

dt 

 

(35)

Se resta de ecuación estado no estacionario: *

q ( t )  A

dh

*

dt 

 

(36)

Se toma Transformada de Laplace *

k 

*

s

 H  ( s ) Q (s)

 

(37)

donde k = ganancia estática del sistema = 1/ A

25

DIAGRAMA DE BLOQUES

*

Q (s)

*

k 

 H  ( s )

s

Para los valores numéricos conocidos k  = 0.14

*

Q (s)

0.14

*

 H  ( s )

s

26

EJEMPLO 4.- TANQUE CON DRENAJE A TRAVÉS DE UNA TUBERÍA LARGA. Tanque de área transversal  A, que almacena un fluido con densidad  ρ . Liquido drena a través de una tubería larga. Se desea controlar h(t) manipulando q(t) q(t) 1

h(t) v(t),A2,f 2 3 A

2 q o(t)

L

Objetivo: Determinar la respuesta dinámica de h(t) ante una variación q(t).

Suposiciones: 1.- Flujo laminar 2.- Densidad constante 3.- Area transversal del tanque  A, no varía con el nivel del líquido 4.- Tanque abierto y descarga del fluido a la atmósfera.

Constantes:  A1=area del tanque  A2=area de la tubería d 2= diámetro de la tubería  f  = coeficiente de fricción  L= longitud de la tubería

Variables: h(t)= nivel en el tanque q(t)= flujo de entrada v(t)= velocidad del flujo. qo(t)=flujo de salida

27

MODELO MATEMÁTICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES

•

 Balance de masa q( t ) − q o ( t ) = A

•

dh dt 

 

(38)

 Ecuación constitutiva

Expresión para qo(t). q o ( t ) = A2 v( t ) 

(39)

Utilizando La ecuación de Bernoulli:  L

dv2 dt 

⎡  L 1 ⎤ 2 = gh(t ) − ⎢ f  + ⎥ v2 (t )   d  2 2⎦ 2 ⎣

(42)

Modelo completo del sistema: q (t ) − qo (t ) =  A

dh dt 

(38)

qo (t ) =  A2 v2 (t )

(39)

⎡  L 1 ⎤ 2  L = gh(t ) − ⎢ f  + ⎥v (t ) 2 2⎦ dt  d  ⎣ 2

(42)

dv

MODELO MATEMATICO EN FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Se linealiza v2 v

2

= v + 2 v ( v( t ) − v )   2

(43)

Se sustituye en (42)

28

 L

⎛   L 1 ⎞ 2 = gh( t ) − ⎜⎜  f  + ⎟⎟( v + 2v ( v( t ) − v )   dt  ⎝  2d 2 2 ⎠

dv

(44)

Se resta (38), (39) y (44) de las ecuaciones de estado estacionario, se utiliza variables de perturbación, se toma la transformada de Laplace:  AsH * ( s ) = Q* ( s ) − Qo* ( s )

(45)

Qo* ( s ) =  A2V * ( s )

(46)

( Ls + 2v k )V * ( s) = gH * ( s)

(47)

donde k  =  f 

 L

2d 2

+

1 2

Función de transferencia global del sistema: se sustituye (46) y (47) en (45) o se utiliza la formula de Mason pasando por los diagramas de bloque y diagramas de flujo de señales.

DIAGRAMA DE BLOQUES DE CADA ECUACION Qo* ( s )

-

*

1

 H  ( s )

V * ( s )

 As

+

 A2

Qo* ( s)

*

Q ( s)

*

 H  ( s )

g

*

V  ( s)

 Ls + 2ν k 

DIAGRAMA DE BLOQUES GENERAL Q * ( s) Qo* ( s )

*

 H  ( s )

1 +

 As

-

 A2 V * ( s)

g  Ls + 2ν k 

29

Q* ( s)

+

1

-

 As

*

 H  ( s )

 A2 g  Ls + 2ν k 

Si se utiliza la técnica de reducción de bloques o los diagramas de flujo de señales y la fórmula de Mason se encuentra el diagrama de bloques reducido:

*

Q (s)

 Ls  As( Ls

2ν k 

*

 H  ( s )

2ν k   A2 g )

30

EJEMPLO 5.- DOS TANQUES CONECTADOS Dos tanques interconectados. Se desea controlar el nivel del segundo tanque manipulando el flujo de entrada al mismo. q(t)

h2(t) h1(t)

R 2

R 1

A1 Tanque 1

A2 q 1(t)

Tanque 2

q 2(t)

Objetivo: Determinar la respuesta dinámica de h2(t) ante una variación de q(t).

Suposiciones:

1.- Flujo laminar 2.- Densidad constante 3.- Area transversal de los tanques no varían con el nivel del líquido 4.- Tanques abiertos y descarga del fluido a la atmósfera.

Constantes: Variables:  A1= area del primer tanque h1(t)= nivel del primer tanque  A2= area del segundo tanque h2(t)= nivel del segundo tanque  R1= resistencia fluídica de la 1º válvula q1(t)= flujo de líquido de 2 1  R2= resistencia fluídica de la 2º válvula q2(t)= flujo de salida del sistema q(t)= flujo de entrada al sistema

31

MODELO MATEMÁTICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES

•

 Balance de masa  ρq1 ( t ) = ρ

dV 1 dt 

= ρ  A

1

dh1 dt 

 

 ρ q ( t )  ρ q1 ( t )  ρ q2 ( t )  ρ 

•

(49) dV 2 dt 

ρ  A2

dh2 dt 

 

(50)

 Ecuaciones constitutivas

Expresión para q1(t) y q2(t)

q1 ( t ) = q 2 ( t ) =

h2 ( t ) − h1 ( t ) 

(51)

 R1 h2 ( t ) − 0

(52)

 R2

Se sustituye (51) y (52) en (49) y (50)

 R1 A1

dh1

h1 h2 dt  dh  R1 R2 A2 2 h2 ( R1  R2 )  R2 h1 dt 

(53) qR2 R1

(54)

32

MODELO MATEMÁTICO EN FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Se escriben las ecuaciones en estado estacionario y se restan de las ecuaciones en estado no estacionario *

 R1 A1

dh1

*

dt  * dh2  R1 R2 A2 dt 

*

h1

h2 *

(55) *

(56)

*

h2 ( R1  R2 )  R2 h1

q  R2 R1

Se toma transformada de Laplace a (55) y (56)

( R1 A1s + 1) H 1* ( s ) = H *2 ( s ) [ R1 R2 A2 s + ( R1 + R2 )] H *2 ( s ) = R2 H 1* ( s ) + Q* ( s ) R2 R1

(57) (58)

Función de transferencia global : se despeja  H 1 de (57) y se sustituye en (58), o se utiliza la formula de Mason  pasando por los diagramas de bloque y diagramas de flujo de señales

DIAGRAMA DE BLOQUES DE LAS ECUACIONES

 H 1* ( s )

R 2

+

1

*

 H 2 ( s )

 R1 R 2 A2 s + R1 + R 2

+ R 2R 1  H 2* ( s) Q * ( s)

1

 H 1* ( s )

 R1 A1 s + 1

33

DIAGRAMA DE BLOQUES GENERAL

+

*

Q (s)

1

R 2R 1

 H 2* ( s)

 R1 R2 A2 s + R1 + R2

+ R 2

1  R1 A1 s + 1

Si se utiliza la técnica de reducción de bloques o los diagramas de flujo de señales y la fórmula de Mason se encuentra el diagrama de bloques reducido:

*

*

 H 2 ( s )

 R1 R2 A1 s  R2

Q (s)  R1 R2 A1 A2 s

2

 R1 A1  R2 A1  R2 A2 s

1

34

EJEMPLO 6.- TANQUE PRESURIZADO Tanque cerrado que contiene un líquido cuyo nivel varía y sobre el cual se encuentra un gas. La entrada y salida del líquido al tanque se realiza a través de una válvula. Se desea controlar el nivel del líquido en el tanque manipulando la presión de entrada al sistema.

Po(t)

T h(t)

q 1(t)

P1(t)

V2

V1 P2(t)

P3

q 2(t)

A

Objetivo: Determinar la respuesta dinámica de h(t) ante una variación de P1(t)

Suposiciones: 1.- Gas ideal 2.- La expansión y compresión son isotérmicas 3.- No se considera evaporación 4.- Densidad constante y Cv1=Cv2 5.- Presión en el fondo del tanque = Presión de entrada y salida del tanque 6.- Dinámica del fluido en tubería más rápida respecto dinámica del nivel del tanque 7.- Caída total de presión es debida a la restricción. 8.- Presión de salida P3 es la presión atmosférica. Constantes:  A= area del tanque T  = temperatura del tanque P3= presión atmosférica V 1= válvula de entrada V 2= válvula de salida

Variables: q1(t)= flujo volumétrico de entrada q2(t) = flujo volumétrico de salida Po(t)= presión del gas P1(t)= presión de entrada P2(t)= presión de salida h(t) = nivel del tanque 35

MODELO MATEMATICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES

•

 Balance de masa en el líquido q1 ( t ) ρ  q 2 ( t ) ρ  q1 ( t )

•

q2 ( t )  A

d  ρ V  dt  dh dt 

 

(60)

 

(61)

 Ecuaciones constitutivas

Expresión para q1(t) y q2(t).  En este caso deben ser función de la caída de  presión: q1 ( t )  f ( ∆ p ) q2 ( t )  f ( ∆ p )

q1

P1

P2

v1

v2

q2

donde: v1= velocidad del fluido aguas arriba v2= velocidad del fluido en la garganta de la válvula Se expresa el flujo en función de la presión: q1( t ) = C v1 P1 − P2  

(70)

donde C v1 es la constante de la válvula Expresiones para el flujo de entrada y flujo de salida q1 ( t )

C v1 P1

P2

C v1 P1

q2 ( t )

C v1 P2

P3

C v1 ( Po

( Po

γ h )

(72)

γ h ) P3

(73)

36

Se busca Po(h). VT  = V

+ V 

(74)

g

donde: V  = volumen de liquido =  Ah V g= volumen de gas = VT  − Ah Se usa la Ley de los gases ideales: PV o g

=m

g

RTg 

(75)

donde: Po= presión del gas V g= volumen del gas mg=masa del gas T g= temperatura del gas  R= constante universal Se sustituye (74) y se despeja Po Po

=

mg RT g VT  − Ah

 

(76)

Modelo completo del sistema dh

q1 ( t )

q2 ( t )  A

q1 ( t )

C v1 P1

dt  P2

q2 ( t )

C v1 P2

P3

Po

=

mg RT g VT  − Ah

 

 

(61) C v1 P1 C v1 ( Po

( Po γ h )

γ h )

(72)

P3

(73)

(76)

37

MODELO MATEMATICO EN FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Se linealizan los términos no-lineles 1) Flujo de entrada:

q1

=C

⎛  m RT  ⎞ −⎜ + γ h⎟ = q ( P ,h )   ⎝ V − Ah  ⎠ g

P1

v1

g

1

(77)

1

T 

Linealizando q1

+

=C

v1

1 2

−

P1

mg RT g

− γh +

VT  − Ah

m RT  ⎛  ⎞ − − γh ⎟ ⎝  V − Ah  ⎠ g

Cv 1 ⎜ P1

2

−1 / 2

g

Cv 1

m RT  ⎛  ⎞ − γ h ⎟ ⎜P − ⎝  V − Ah  ⎠ g

−1 / 2

g

1

T 

⎡ ( − A )m RT  ⎤ γ  − ⎢ (V − Ah ) ⎥( h − h ) ⎣ ⎦ g

( P1

− P )+ 1

 

(78)

g

2

T 

q1 ( P1 ,h ) = q1

1

T 

+ b( P − P ) + c( h − h )   1

(79)

1

donde : b= c=

1

Cv 1

2 1 2

m RT  ⎛  ⎞ − γ h ⎟ ⎜P − ⎝  V − Ah  ⎠ g

1 / 2

g

1

T 

Cv 1

m RT  ⎛  ⎞ P h γ − − ⎜ ⎟ ⎝  V − Ah  ⎠ g

−1 / 2

g

1

T 

⎡ ( − A )m RT  ⎤ γ  − ⎢ (V − Ah ) ⎥ ⎣ ⎦ g

g

2

T 

2) Flujo de salida q2 ( h ) = q 2

+ d( h − h ) 

(80)

donde

⎛  m RT  ⎞ d = C  ⎜ + γh − P ⎟ 2 ⎝ V − Ah  ⎠ 1

g

v1

g

3

T 

−1 / 2

⎡  Am RT  ⎤ γ  + ⎢ (V − Ah ) ⎥ ⎣ ⎦ g

g

2

T 

38

Se escriben las ecuaciones en estado estacionario y se restan de las ecuaciones en estado no estacionario: * q2

dh*

* q1

−

q1*

= bP1* + ch*

(82)

q*2

= dh*

(83)

=  A

dt 

(81)

Se sustituye (82) y (83) en (81), se toma la transformada de Laplace y se despeja  H * ( s ) *

P1 ( s ) k  =

donde: τ  =

=

k  τ s + 1

 

(84)

b d −c  A d

−c DIAGRAMA DE BLOQUES b *

P1 ( s )

d  c  A s 1 d  c

 H * ( s )

donde:

b= c=

1 2 1 2

Cv 1

m RT  ⎛  ⎞ P h γ  − − ⎜ ⎟ ⎝  V − Ah  ⎠ g

1 / 2

g

1

T 

Cv 1

m RT  ⎛  ⎞ P − − γh ⎟ ⎜ ⎝  V − Ah  ⎠ g

1

T 

g

−1 / 2

⎡ ( − A )m RT  ⎤ γ  − ⎢ (V − Ah ) ⎥ ⎣ ⎦ g

g

2

T 

39

⎛  m RT  ⎞ d = C  ⎜ + γh − P ⎟ 2 ⎝ V − Ah  ⎠ 1

g

v1

g

3

T 

−1 / 2

⎡  Am RT  ⎤ γ  + ⎢ (V − Ah ) ⎥ ⎣ ⎦ g

g

2

T 

40