Prve_vjezbe_-_2010_11.pdf

PRIMIJENJENA MATEMATIKA – uvodne vježbe –

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Osnovni zadatak: Za danu neprekidnu funkciju f (x), treba naći vrijednost x = ξ takvu da je f (ξ ) = 0

f(x)

ξ1 f(ξ1 )=0

ξ2 f(ξ2 )=0

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

x

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Osnovni koraci u pronalaženju korijena • Lokalizacija nula - crtanje grafa funkcije (ručno, Excel, MathCAD, Matematica, ...) - inkrementalno pretraživanje - prethodna iskustva, ...

• Poboljšanje rješenja - metode na zatvorenom intervalu (metoda bisekcije ili polovljenja, metoda ''regula falsi'') - metode na otvorenom intervalu (prosta interacija, Newtonova metoda, modificirana Newtonova metoda, metoda sekante ili sječice)

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Ponašanje nelinearnih jednadžbi u blizini korijena

a)

b) f(x)

f(x)

ξ x

c)

x

d) f(x)

f(x)

ξ1

ξ2

x

ξ1

ξ2

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

ξ3

x

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Ponašanje nelinearnih jednadžbi u blizini korijena

e)

f) f(x)

f(x)

ξ1 = ξ2

x

ξ1 = ξ2 = ξ3

x

h)

g) f(x)

ξ1

f(x)

ξ2 = ξ3

x

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

x

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Metoda polovljenja intervala - bisekcija Ideja: prepoloviti početni interval, u kojem se nalazi korijen, na dva podintervala, provjeriti u kojem podintervaluse nalazi korijen, i postupak nastaviti do željene to čnosti ili pronalaska rješenja.

ξ ∈ (a, b) c=

a+b 2

f(x)

Ako je f(a)f(c) 0 ⇒ a = c = 1.25, b = b = 1.5

c=

ξ ∈ [1.25,1.5] a + b 1.25 + 1.5 = = 1.375 2 2 f (c ) = f (1.375) = −0.109375 < 0, f (1.5) = 0.25 > 0 ⇒ a = c = 1.375, b = b = 1.5

c=

ξ ∈ [1.375,1.5] ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

itd., itd., itd., ............. 14. iteracija

ξ = 1.41425 GFMO | Akademska 2010./2011. godina

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Metoda polovljenja intervala - bisekcija

Prednosti: • Korijen jednadžbe se nalazi unutar granica nekog intervala, tako da je konvergencija zagarantirana. • Maksimalna greška metode je |bn-an|. • S obzirom da se svakom iteracijom interval polovi, broj iteracija n, a time i broj računanja funkcije, koji je potreban da se prvobitni interval (bn,an) smanji na određeni interval (bn,an), dobiva se iz (bn − an ) =

1 (b0 − a0 ) 2n

pa je n=

b −a 1 log( 0 0 ) log(2) bn − an

Osnovni nedostatak ove metode je spora konvergencija, odnosno veliki broj iteracija radi postizanja željene točnosti.

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Metoda ''regula falsi'' Ideja: aproksimirati funkciju pravom linijom između krajnjih točaka početnog intervala, i naći točku x1, koja predstavlja prvu aproksimaciju rješenja. Postupak ponavljati do željene točnosti ili pronalaska rješenja.

ξ ∈ ( a, b) x1 = b −

b −a f (b ) f (b ) − f (a )

f(x)

Ako je f(a)f(xi) 0 ⇒ a = x 2 = 1.4, b = b = 2

ξ ∈ [1.4, 2] b −a 2 − 1.4 x3 =b − f (b ) = 2 − 2 = 1.41176 f (b ) − f (a ) 2 − (−0.04) f (x 3 ) = f (1.41176) = −0.00692 < 0, f (b ) = f (2) = 2 > 0 ⇒ a = x 3 = 1.41176, b = b = 2

ξ ∈ [1.41176, 2] ⇒⇒⇒⇒⇒⇒

itd., itd., itd., ............. 6. iteracija

ξ = 1.4142 GFMO | Akademska 2010./2011. godina

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Metoda proste iteracije (fiksne tocke) Ideja: Napisati jednadžbu oblika f(x)=0 u obliku x=g(x) i iterativno je riješiti.

y

xi +1 = g ( xi ) | xi +1 − xi |≤ ε 1 i/ili f ( xi +1 ) ≤ ε 2

xi

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

xi+1

ξ

x

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Metoda proste iteracije Uvjet konvergencije:

xi +1 − ξ = ei +1 = g ( xi ) − g (ξ ) g (ξ ) = g ( xi ) + g '(ζ )(ξ − xi ) + ...

(xi ≤ ζ ≤ ξ )

xi +1 − ξ = ei +1 = − g '(ζ )(ξ − xi ) xi +1 − ξ = ei +1 = g '(ζ )ei ei +1 = g '(ζ ) < 1 ei

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Metoda proste iteracije Primjer Na primjeru rješavanja jednadžbe f (x) = x 2 – x – 2 pokazati upotrebu metode proste iteracije. 10

9 8

f ( x) = x = g ( x)

7 6

(a) x = x 2 − 2

5 4

y

(b) x = ± x + 2 2 (c) x = 1 + x x2 − x − 2 (d) x = x − 2x

3 2 1

2

g(x)=x -2 g(x)= x+2

0

g(x)=1+2/x 2 g(x)=x+(x -x-2)/(2x-1) f(x)=x

-1 -2 -3

ξ 0

1

2

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

3

4

5

x

6

7

8

9

10

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Metoda proste iteracije 50 45

(a) g(x) = x − 2 2

2

40

g(x)=x -2 f(x)=x

35

x0 =3

30

x 2 = g (x 1 ) = 7 2 − 2 = 47

25

y

x 1 = g (x 0 ) = 32 − 2 = 7 x 3 = g (x 2 ) = 47 2 − 2 = 2207

20

itd.

15 10

Uvjet konvergencije:

g′(x) = 2x < 1

za

5

x <

1 2

ξ

0 0

1

2

3

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

4

5

x

6

7

8

9

10

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Metoda proste iteracije 5

(b) g(x) = x + 2

4

f(x)=x

x0 =3

3

x 1 = g (x 0 ) = 3 + 2 = 2.236

2

x 3 = g (x 2 ) = 2.058 + 2 = 2.0014 x 4 = g (x 3 ) = 2.0014 + 2 = 2.0004 itd.

y

x 2 = g (x 1 ) = 2.236 + 2 = 2.058

1 0 -1

Uvjet konvergencije:

1 − 4

ξ -3

0

1

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

2

x

3

4

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Metoda proste iteracije 5

(c) g(x) = 1 + 2 / x 4

x0 =3 x 1 = g (x 0 ) = 1 + 2 / 3 = 1.6666

3

x 3 = g (x 2 ) = 1 + 2 / 2.2 = 1.9091

y

x 2 = g (x 1 ) = 1 + 2 /1.6666 = 2.2 2

x 4 = g (x 3 ) = 1 + 2 /1.9091 = 2.0476 itd.

1

Uvjet konvergencije:

g′(x) = −

1 1

ξ -1

0

1

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

2

x

3

4

5

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Newtonova metoda Ideja: aproksimirati funkciju tangentom u početnoj aproksimaciji, i naći točku x1, koja predstavlja sljedeću aproksimaciju rješenja. Postupak ponavljati (traženje tangente u novoj aproksimaciji) do željene točnosti ili pronalaska rješenja.

f ( xi +1 ) − f ( xi ) xi +1 − xi

iz

f '( x) =

ili

f ( xi +1 ) = f ( xi ) + f '( xi )( xi +1 − xi ) + ...

f(x) M0

M1

f ( xi ) xi +1 = xi − f '( xi )

M2 x0

dok se ne postigne željena točnost, tj.

| xi +1 − xi |≤ ε 1 i/ili f ( xi +1 ) ≤ ε 2

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

x1

x2

ξ

x

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Newtonova metoda Primjer Naći pozitivni korijen jednažbe f (x) = x 2 – 2. Postupak rješavanja zaustaviti kada vrijednost razlike između dvije uzastopne iteracije bude manja od 10-4, tj. |xi+1 – xi | ≤ ε 10

f ( xi ) xi2 − 2 xi +1 = xi − = xi − 2 xi f '( xi )

9

2

f(x)=x -2

8

1⎛ 2⎞ xi +1 = ⎜ xi + ⎟ 2⎝ xi ⎠

7 6

y

5 4

x0 = 3

3

1⎛ 2⎞ x1 = ⎜ 3 + ⎟ = 1.833333 2⎝ 3⎠ 1⎛ 2 ⎞ x2 = ⎜1.833333 + ⎟ = 1.462212 2⎝ 1.833333 ⎠

2 1

ξ

0 -1

x2 0

1

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

x1

x0 2

x

3

4

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Newtonova metoda 10 9

1⎛ 2 ⎞ x3 = ⎜1.462212 + ⎟ = 1.415 2⎝ 1.462212 ⎠

8 7 6 5

y

1⎛ 2 ⎞ x4 = ⎜1.415 + ⎟ = 1.41421 2⎝ 1.415 ⎠

f(x)=x2-2

1⎛ 2 ⎞ x5 = ⎜1.41421 + ⎟ = 1.41421 2⎝ 1.41421 ⎠

4 3 2 1

ξ

0 -1

x2 0

1

ξ = 1.41421 GFMO | Akademska 2010./2011. godina

x1

x0 2

x

3

4

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Newtonova metoda

Prednosti: • To čnost metode je drugog reda, pa se svakom iteracijom udvostručava broj značajnih znamenki. • odlične osobine lokalne konvergencije. Nedostaci: • Problem određivanja prve derivacije.

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Modificirana Newton-Raphsonova metoda Ideja: aproksimirati funkciju tangentom u početnoj aproksimaciji, i naći točku x1, koja predstavlja sljedeću aproksimaciju rješenja. Postupak ponavljati, korištenjem vrijednosti prve derivac. za početnu aproksimaciju, do željene točnosti ili pronalaska rješenja.

f ( xi ) xi +1 = xi − f '( xi )

f(x) M0

f '( x) = f '( x0 ) f ( xi ) xi +1 = xi − f '( x0 )

M1

dok se ne postigne željena točnost, tj.

x0

| xi +1 − xi |≤ ε 1 i/ili f ( xi +1 ) ≤ ε 2

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

M2

M2

x1 x2 x3 x3

ξ

x

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Modificirana Newton-Raphsonova metoda Primjer Naći pozitivn korijen jednadžbe f (x) = x 2 – 2. Postupak rješavanja zaustaviti kada vrijednost razlike između dvije uzastopne iteracije bude manja od 10-4, tj. |xi+1 – xi | ≤ ε

x i +1 = x i −

10

f (x i ) x −2 = xi − 2x 0 f '(x 0 ) 2 i

9 8

x0 =3

7

1.41437 2 − 2 = 1.41437 − = 1.41429 2⋅3

ξ = 1.41429

6 5

y

32 − 2 = 1.833333 x1 = 3− 2⋅3 1.8333332 − 2 = 1.60648 x 2 = 1.833333 − 2⋅3 ... x 13

2

f(x)=x -2

4 3 2 1

ξ

0 -1

x2 x1 0

1

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

x0 2

x

3

4

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Metoda sječice (sekante) Ideja: nelinearna funkcija f(x) se lokalno aproksimira linearnom funkcijom g(x) (sječica). Korijen funkcije g(x) je sljedeća aproksimacija.

f ( xi ) xi +1 = xi − f '( xi ) f(x)

f ( xi ) − f ( xi −1 ) f '( x) = g ( x) = xi − xi −1

M0

M1

xi − xi −1 xi +1 = xi − f ( xi ) f ( xi ) − f ( xi −1 )

M2 x0

dok se ne postigne željena točnost, tj.

| xi +1 − xi |≤ ε 1 i/ili f ( xi +1 ) ≤ ε 2

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

x1

x2

M3 ξ x3

x

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Metoda sječice (sekante) Primjer Naći pozitivni korijen jednadžbe f (x) = x 2 – 2. Postupak rješavanja zaustaviti kada vrijednost razlike između dvije uzastopne iteracije bude manja od 10 -4, tj. |xi+1 – xi | ≤ ε

x i +1 = x i −

15

x i − x i −1 f (x i ) f (x i ) − f (x i −1 )

14

2

f(x)=x -2

13 12

x 0 = 4, x 1 = 3

11 10

3− 4 x 2 = 3− 7=2 7 − 14 2−3 x3 = 2− 2 = 1.6 2−7 ......

9

y

8 7 6 5 4

1.41423 − 1.41606 x 7 = 1.41423 − 0.000055 0.000055 − 0.005221 = 1.41421

ξ = 1.41421

3 2 1

ξ

0 -1

x3 0

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

1

x2 2

x1

x

3

x0 4

5

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Metoda sječice (sekante)

Prednosti: • To čnost metode je reda 1.62, pa je metoda znatno brža od proste iteracije. U slučaju kada je brzina izračunavanja vrijednosti funkcije povoljna u odnosu na izračunavanje prve derivac. funkcije (točnije, do 43% brža), metoda je brža i od Newtonove metode.

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Problemi u numeričkom rješavanju jednadžbi

• nedovoljno dobra početna aproksimacija • konvergencija prema pogrešnom korijenu • korijeni koji su blizu jedan drugom • mnogostruki korijeni • Toč ke infleksije (prevoji) • kompleksni korijeni • loše postavljena nelinearna jednadžba • spora konvergencija

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Smjernice u traženju korijena

• Proces lokalizacije bi trebao ograničiti korijen. • Dobra početna aproksimacija je veoma važna. • Metode sa zatvorenim intervalom su sigurnije nego one sa otvorenim, jer zadržavaju rješenje u zatvorenom intervalu. • Metode sa otvorenim intervalom, kada konvergiraju, općenito konvergiraju brže od metoda sa zatvorenim intervalom. • Za funkcije bez naglih promjena u ponašanju, većina algoritama uvijek konvergira ako je početna aproksimacija dovoljno blizu. Za ove slučajeve unaprijed je moguće procijeniti brzinu konvergencije.

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Smjernice u traženju korijena

• Mnogi, ako ne i većina, inženjerskih problema su jednostavni i dobro se ´ponašaju´. U takvim slučajevima, jednostavne metode, kao što je Newtonova metoda, mogu se primijeniti bez bojazni da se radi o nekom specijalnom slučaju. • Ako se neki problem treba riješiti samo jednom, ili mali broj puta, efikasnost nije u prvom planu. Nasuprot tome, ako se rješavanje neke jednadžbe obavlja veliki broj puta, veoma važno je koristiti efikasnije metode.

GFMO | Akademska 2010./2011. godina

Primijenjena matematika | Rješavanje nelinearnih jednadžbi Željene osobine metoda za rješavanje nelinearnih jednadžbi

• Treba biti poznat maksimalan broj iteracija. • U slučaju da metoda koristi prvu derivac. funk., f’ (x), mora se paziti da ova vrijednost u toku proračuna ne bude jednaka nuli. • Test konvergencije oblika |xi+1-xi |, te vrijednost funkcije |f (xi+1 )| se moraju uzeti u obzir. • Kada se dostigne konvergencija, konačna procjena korijena bi se trebala uvrstiti u funkciju f (x), kako bi se zagarantiralo da je f (x)=0 u granicama željene konvergencije.

GFMO | Akademska 2010./2011. godina