Pruebas Relativas A Varianzas

 

PRUEBAS RELATIVAS A VARIANZAS Ms. Gilberto Campo C

En ocasiones, la variación en una población población tiene tanta importancia como el promedio. Algunos ejemplos son:

 

•

Un fabricante de acero puede estar interesado en que la variación del espesor de cierto tipo de laminado se ajuste a estrechos límites de tolerancia.

 

•

La DIAN acaso necesite conocer la amplitud de la variación anual en los ingresos personales, a fin de estimar el efecto de una propuesta de estabilización en las recaudaciones fiscales.

 

•

El gerente de un supermercado puede interesarse por la variación del número de clientes que ingresan por hora en su establecimiento.

En muchos de estos casos, una estimación de la varianza, estándar,

  

 

2

, o un intervalo de confianza sobre el desvío

, pueden suministrar toda la información necesaria.

En otras ocasiones, la teoría o los métodos empíricos pueden sugerir la necesidad de probar hipótesis relativas a varianzas. En principio, estas pruebas son iguales que las relacionadas con medias o proporciones:

1) 

PRUEBA

  

2

2

  ( Ji-dos  Ji-dos o Chi-cuadrado) PARA LA VARIANZA,   , DE UNA POBLACIÓN 

Si se trata de una población y se quiere probar la hipótesis nula 2

2

 H o :    

donde

  

o

2

 

=

  o

, 2

  es un valor dado de la varianza poblacional, se utiliza el estadístico de la prueba      (Ji dos

calculado), con

c

n

−1  grados de libertad,

para probar la hipótesis hipótesis nula. Aquí

Para ilustrar esto, supongamos el siguiente ejemplo:

  

2

c

(n   =

−

1) s 2 2

  

.

 

EJEMPLO 1.  Una compañía productora de forrajes desea probar, con un nivel de significación de

 

=

2,5% , si un

nuevo programa de alimentación reducirá reducirá la variación en el aumento del peso del ganado para engorde engorde.. Sobre la base de la experiencia, la firma “sabe” que la varianza e n el aumento de peso del ganado sometido durante 90 días a su programa estándar de alimentación es de 1600 libras2.

Para esto, selecciona una muestra aleatoria de 30 reses para engorde, cuyo peso es casi idéntico, y se las somete al nuevo programa de alimentación durante 90 días. días. Al finalizar este período, los animales son son pesados cuidadosamente, calculándose la varianza de los registros en 1.000 libras2.

SOLUCIÓN: Se decide probar la hipótesis nula,  H o , contra la alternativa,  H 1 , así:   2

 H o :  

  2

 H 1 :     

=

1.60 600 0   alimentación estándar

 1.600

 

nuevo programa de alimentación

2

Se observa que esta es una prueba de cola unilateral izquierda. izquierda. De la tabla    , se encuentra que el e l punto crítico para

 

=

2,5%  

=

0.025   y.

n −1 = 30   −1 =

 = 2,5% 

2

  2,5%;29  

=

c

16,05  

=

 

=

=

16,05 .

   = 18 18,1 ,12 2 

(n − 1) s 2  

2

 

1 −  = 97,5% 

El valor de la estadística de prueba es  2   2,5%,29

2

29   grados de libertad es.   2,5%,29

2

=

(30 − 1)  1.000 000   1.600 600

=

mayor que el pu punto nto crítico 18,12 , siendo mayor

16,05   (se acepta  H o ).

Este resultado podría indicar que es posible que la compañía productora de forraje esté conforme con los resultados obtenidos, asegurándose que el nuevo programa alimenticio reduce la variación en los aumentos de peso. Es decir, la compañía todavía no tiene pruebas con el nivel de confianza elegido.

1.600 0  contra EJERCICIO. Con los mismos datos del problema anterior pruebe   :   = 1.60 ¡Ahora, Resuelva ambos con  

=

10%  y 1%!

 :   > 1.60 1.600 0 

 

 

2)  PRUEBA

F   de Fisher

2

PARA LA DIFERENCIA ENTRE LAS VARIANZAS, 2

 1

 Y

 2

2

, DE DOS POBLACIONES

2

A veces se desea averiguar por muestreo si las varianzas  1  y  2 , de dos distribuciones normales son iguales o una es mayor que la otra, mediante una razón de las varianzas varianzas de las muestras. Como por ejemplos:

 

Compararr la precisión de dos instrumentos de medición. Compara

 

Contrastarr la variación en llas Contrasta as característica característicass de la calidad de un producto manufac manufacturado turado con base en dos procesos.

 

Probar la variación en las calificaciones para dos procedimientos de exámenes.

•

•

•

Cuando deben probarse hipótesis sobre la diferencia entre dos varianzas se utiliza la distribución F  de Fisher .

2

La hipótesis sometida a prueba suele tener la forma  H o :   1    

2 =

  2

, donde

  

2

1

 y

  

2

 son las varianzas de dos

2

2

poblaciones. El estadístico de la prueba ( F c  calculado) es F c

  =

s1 s

2

  , con

n

1

 − 1   y

n

2

 − 1   grados de libertad.

s

Los números

s

1

2

 y

s

2 2

 son las varianzas obtenidas de muestras independientes independientes de  de ambas poblaciones.

Si las muestras son grandes las varianzas deberían estar cerca a los verdaderos valores de

  

1

2

 y

  

2

2

, en cuyo

caso el valor de F   tendría que estar cerca de 1  si  H o  fuera verdadera. Por lo tanto, los los valores observados de F   cercanos a cero o sustancialmente mayores que 1  conducen al rechazo de  H o . Las tablas de la distribución

sólo suministran los grandes valores de F    ubicados en el extremo derecho de la distribución; por tanto, es necesario colocar en el numerador la varianza muestral mayor.

Téngase en cuenta que la cola c ola inferior se calcula por la relación F 1

1  

 ;  1 ,  2

−

=

F  ;  

2 ,  1

Para ilustrar la prueba F   se consideran los siguientes ejemplos:

.

 

EJEMPLO 2. Supóngase que el agente de compras de una compañía camionera está considerando la adquisición de llantas de la marca A marca A o de la marca B, que se sabe tienen la misma durabilidad media; comprará la marca A marca A,, a menos que claramente tenga demasiada variabilidad.

Examina esto, ensayando 16 neumáticos de la marca A marca A y  y 21 neumáticos de la marca B, obteniendo una varianza para A para  A de  de 38.900 millas2 y una varianza para B de 21.000 millas2. Utilice  

=

10%  

SOLUCIÓN:  De acuerdo con el problema se quiere probar  H o

2

:    A    

2

 H 1   :   A    

=    B



2

 

compra A

2

  B  

No compra A

Se observa que la prueba es de cola derecha con; El punto crítico c rítico para   es F 10%;15, 20  

=

=

10%  hallado en la tabla F   de Fisher

1,84 , tal como se observa en el gráfico

1 −  = 90%   = 10%

  F 10%;15, 20  

=

1,84

 

 = 1,86 1,86

  Los datos suministrados los datos suministrados por las muestras son: S  A S  B

2  

2

=

2  

38 .990   millas , 2

=

  0 millas , 21.00 000

n A n B

=

=

16  

21 . 2

Encontrándose el valor del estadístico de la prueba mediante F C  Como F C 

=

1,86   F 15, 20 

=

S  A =

2

S  B

=

1,86 .

1,84 , la hipótesis nula es rechazada en favor de la alternativa.

Con base en este resultado, ¿qué decisión sobre la compra de neumáticos seguiría Usted? ¡Sustente su respuesta!  

 

EJEMPLO 3. Con base en el problema del EJEMPLO EJEMPL O 2, si se desea una prueba de dos colas; las hipótesis serían.

 H o

2

:    A    

2

 H 1  :   A    

Los dos puntos críticos con  

 2

=

0,10 , son:

F 5%;15 , 20

=

=    B



2

2,20  

y

 1 −  = 9 0% 0%

%;; = 0, 0,43 43 

 

  B  

= 5%

 

2

2

%;, =

 %;;

=

 ,

= 0,43 

= 5%

 

 

,86 6   = 1,8

F 5%;15, 20  

=

2,20  

2

El estadístico de la prueba sigue siendo F C 

=

1,86    F 5%;15 , 20

=

F C 

S  A =

2

S  B

=

1,86 .

Como

F C 

=

1,86   F 95%;20  ,15

=

0,43   y

2,20  (cae en la Región de Aceptción) se acepta la hipótesis nula de ninguna diferencia

en las varianzas.

EJEMPLO 4.  De el EJEMPLO 3 pruebe: nA  = 24. Y nB = 18. Con 5%, 2,5%, 1%

la hipótesis nula

 :  =   

Contra la hipótesis alternativa

 :  <   

 

EJERCICIOS

1)  Supongamos que la Dirección de tránsito de cierta ciudad planea comprar cámaras para el sistema de seguridad. La Dirección desea cámaras que posean no sólo larga duración, sino un alto grado de uniformid uniformidad. ad. Decide sobre la base de la experiencia, que la varianza no debe pasar de 250 horas2 . Ahora, u una na prueba de 20 lámparas de cierta marca da una duración media de 1.000 horas, que es considerada satisfactoria, pero con una varianza de 300 horas2. ¿Indica este resultado que la varianza varianza de población supera 250?  

=

5%  

2)  Una compañía produce piezas para motor que se supone tienen una varianza de diámetro no mayor que 0,0002 (diámetros medidos en pulgadas). Una muestra aleatoria de 10 piezas dio una una varianza muestral de   2

0,0003. Pruebe, en el ni nivel vel de 5%, que  H o :   

=

  2

0,0002  contra  H 1 :     



0,0002  

3)  Un experimentador está convencido de que la variabilidad en su equipo de medición resulta en una varianza de 4. 16 mediciones dieron una varianza varianza de 6,1. ¿Los datos contradicen su afirma afirmación ción con  

=

5% ?