Pruebas Estadísticas Con La Distribución Chi Cuadrado

 

PRUEBAS ESTADÍSTICAS CON LA DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO

1. BONDAD DE AJUSTE AJ USTE Las pruebas de bondad de ajuste tienen por objetivo determinar si los datos se ajustan a una determinada distribución, esta distribución puede estar completamente especificada (hipótesis simple) o perteneciente a una clase paramétrica (hipótesis compuesta). Con mucha frecuencia no se conoce la distribución de probabilidad de la variable aleatoria en estudio, digamos X, y se desea probar la hipótesis de que X sigue una distribución de probabilidad particular. Por ejemplo, podría ser de interés probar probar la hipótesis de que X sigue una

distribución n normal, ormal, una

exponencial, etc. Existen dos procedimientos para realizar pruebas de bondad de ajuste que son los más conocidos. El primero se basa en una técnica gráfica muy útil llamada gráfica de probabilidad y el segundo procedimiento se basa en la distribución Chi-cuadrada.

2. INTROD INTRODUCCIÓ UCCIÓN N A LA CHI-CUADRADO La prueba de Chi- cuadrado (X2), permite calcular la probabilidad de obtener resultados que únicamente por efecto del azar se desvíen de las expectativas en la magnitud observada si el modelo es correcto. Para realizar una prueba de Chi-cuadrado, el primer paso es comparar el número de individuos observado en cada categoría con los números esperados considerando el tamaño de la muestra y el modelo propuesto. Las desviaciones son elevadas al cuadrado y divididas por los valores esperados, lo cual proporciona un valor de Chi-cuadrado. Se utiliza el número de individuos y no las proporciones, X2 toma en consideración el tamaño de la muestra.

 

 

La formula para X2 es como se indica a continuación:

 x = ∑

(resultados  observados − resultados

2

i

resultados esperados

esperados

)  2

El siguiente paso es determinar los grados de libertad. Los grados de libertad son el número de categorías o clases variables independientes que existe. Generalmente, esto es igual a uno menos el número total de clases. Por ejemplo, si hay dos clases de semillas, amarillas y verdes, únicamente una de ellas es variable independientemente una vez se conozca el número de semillas amarillas en un tamaño de muestra determinado, también se conoce el número de semillas verdes. Por lo tanto, los grados de libertad en este ejemplo son uno. El paso final en la aplicación de la prueba de Chi-cuadrado es buscar el valor de Chi-cuadrado y los grados de libertad en una tabla o grafica como las que se presentan a continuación y determinar el valor de la probabilidad. Este valor es la probabilidad de que el azar por sí mismo pudiera ser responsable de una desviación tan grande o mayor que la observada, si la hipótesis es correcta. Si la probabilidad es alta se considera que los datos están de acuerdo con el modelo, lo cual no prueba que el modelo sea correcto, sino que simplemente no se puede demostrar que sea incorrecto. i ncorrecto. Si la probabilidad es baja, la desviación no es debida al azar y se considera que los datos no respaldan el modelo. Seguidamente se tiene que decidir que tan baja probabilidad es posible aceptar antes de rechazar el modelo propuesto. Generalmente, el nivel de confianza escogido es de 5%. Si la probabilidad es menor de 0.05, la diferencia es “significativa”, y si es menor de 0.01, esta es considerada “altamente  

 

significativa”. Las probabilidades en estos intervalos generalmente causan el rechazo de un modelo, sin embargo, el rechazo de la hipótesis al nivel del 5% significa que se rechazan hipótesis correctas 5% de las veces.

 

 

Tabla Distribución de ji-cuadrado

 

Grados de libertad   1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  40  50  60  70  80  90  100 

 

0,1  2,71  4,61  6,25  7,78  9,24  10,64  12,02  13,36  14,68  15,99  17,28  18,55  19,81  21,06  22,31  23,54  24,77  25,99  27,20  28,41  29,62  30,81  32,01  33,20  34,38  35,56  36,74  37,92  39,09  40,26  51,81  63,17  74,40  85,53  96,58  107,57  118,50 

Probabilidad de un valor superior   Probabilidad 0,05  0,025  0,01  3,84  5,02  6,63  5,99  7,38  9,21  7,81  9,35  11,34  9,49  11,14  13,28  11,07  12,83  15,09  12,59  14,45  16,81  14,07  16,01  18,48  15,51  17,53  20,09  16,92  19,02  21,67  18,31  20,48  23,21  19,68  21,92  24,73  21,03  23,34  26,22  22,36  24,74  27,69  23,68  26,12  29,14  25,00  27,49  30,58  26,30  28,85  32,00  27,59  30,19  33,41  28,87  31,53  34,81  30,14  32,85  36,19      31,41 34,17 37,57  32,67  35,48  38,93  33,92  36,78  40,29  35,17  38,08  41,64  36,42  39,36  42,98  37,65  40,65  44,31  38,89  41,92  45,64  40,11  43,19  46,96  41,34  44,46  48,28  42,56  45,72  49,59  43,77  46,98  50,89  55,76  59,34  63,69  67,50  71,42  76,15  79,08  83,30  88,38  90,53  95,02  100,43  101,88  106,63  112,33  113,15  118,14  124,12  124,34  129,56  135,81 

0,005  7,88  10,60  12,84  14,86  16,75  18,55  20,28  21,95  23,59  25,19  26,76  28,30  29,82  31,32  32,80  34,27  35,72  37,16  38,58  40,00  41,40  42,80  44,18  45,56  46,93  48,29  49,65  50,99  52,34  53,67  66,77  79,49  91,95  104,21  116,32  128,30  140,17 

 

3. TAB TABLA LAS S DE CONTINGENC CONTINGENCIA IA En estadística las tablas de contingencia se emplean para registrar y analizar la relación entre dos o más variables, habitualmente de naturaleza cualitativa, nominales u ordinales. Las tablas de contingencia tienen dos objetivos fundamentales:  1) Organizar la información contenida en un experimento cuando ésta es de carácter bidimensional, es decir, cuando está referida a dos factores (variables cualitativas).  2) A partir de la tabla de contingencia se puede además analizar analizar si existe alguna relación de dependencia o independencia entre los niveles de las variables cualitativas objeto de estudio. El hecho de que dos variables sean independientes significa que los valores de una de ellas no están influidos por la modalidad o nivel que adopte la otra. Supóngase que se dispone de dos variables, la primera el sexo (hombre o mujer) y la segunda que recoge si consume o no alimentos ecológicos. Se ha observado esta pareja de variables en una muestra aleatoria de 100 individuos. Se puede emplear una tabla de contingencia para expresar la relación entre estas dos variables, del siguiente modo:

CONSUME

 

NO

TOTAL 52

HOMBRE

43

CONSUME 9

MUJER

44

4

46

TOTAL

87

13

100

 

Las cifras en la columna de la derecha y en la fila inferior reciben el nombre de frecuencias marginales y la cifra situada en la esquina inferior derecha es el gran total. La tabla nos permite ver de un vistazo que la proporción de hombres consumidores es aproximadamente igual a la proporción de mujeres consumidoras. Sin embargo, ambas proporciones no son idénticas y la significación estadística de la diferencia entre ellas puede ser evaluada con el test Chi Cuadrado de Pearson, supuesto que las cifras de la tabla son una muestra aleatoria de una población. Si la proporción de individuos en cada columna varía entre las diversas filas y viceversa, se dice que existe asociación  entre las dos variables. Si no existe asociación se dice que ambas variables son independientes. El grado de asociación entre dos variables se puede evaluar empleando distintos coeficientes: el más simple es el coeficiente phi que se define por

ϕ 

donde

χ

2

=

 x

2

 N 

 

 se deriva del test de Pearson, y N es el total de observaciones -el

gran total-. φ puede oscilar entre 0 (que indica que no existe asociación entre las variables) y 1 (asociación total). Para identificar relaciones de dependencia entre variables cualitativas se utiliza un contraste estadístico basado en el estadístico  x2  (Chi-cuadrado), cuyo cálculo nos permitirá afirmar con un nivel de confianza estadístico determinado si los niveles de una variable cualitativa influyen en los niveles de la otra variable nominal analizada. Siguiendo con el ejemplo propuesto, el cálculo de la Chi-cuadrado nos permitiría saber si el sexo de una persona es un factor determinante en que dicha persona fume o no fume.  

 

¿Cómo podemos determinar si existe una relación de dependencia o independencia entre las variables analizadas?

Dos variables son independientes si: a) las frecuencias re relativas lativas condicionada condicionadass son iguales a las frecuencias relativas marginales, es decir:  ⎞ n11 ⎛  ⎛   ⎞ n1 j n1•  ⎞ n 12   ⎛  Α ⎟= 1 ⎟⎟ = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  f  ⎜ Α1  f  ⎜⎜ Αi = =   ⎟ ⎟ ⎜  Ν   1• ⎝  Β2 ⎠ n ⎝  Β j ⎠ n1• ⎝  Β1 ⎠ n1•

 f  ⎜

 ⎞ n21 ⎛  ⎛   ⎞ n2 j n2•  ⎞ n 22   ⎛  Α ⎟= 2 ⎟⎟ =   = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  f  ⎜ Α2  f  ⎜⎜ Α2 = = ⎟ ⎟ ⎜  Ν Β1 ⎠ n2• ⎝  Β2 ⎠ n  2• ⎝  Β j ⎠ n2• ⎝ 

 f  ⎜

Frecuencias relativas marginales: ⎛   ⎞ n ij ⎜ ⎟= Α i =  f   ij = ni •    f  ⎜ ⎟  Ν ⎝  Β j ⎠ ni• ⎛   ⎞ n• j   ⎜ Β  j ⎟ n  ij  ji  f  ⎜ ⎝  Α i ⎠⎟ = n•  j =  f  =  Ν  

 

 

b) O bien si se cu cumple mple que la frecuen frecuencia cia relativa conjunta es igual al producto de las frecuencias relativas marginales:

 f 

n  (Α ∩ Β ) =   Ν

ij  

i

 j

n

= ni • x • j    Ν  Ν

De esta forma, comparando las frecuencias f recuencias teóricas esperadas en caso de independencia entre los factores con las frecuencias observadas en la muestra, podremos concluir si existe una relación r elación de dependencia o independencia entre los factores o atributos analizados. Según la notación de la tabla inicial, y utilizando el concepto frecuentalista de probabilidad, podemos estimar la probabilidad de que se de un suceso determinado a partir de sus frecuencias relativas: 

Ρ

ij

 = n ;

Ρ  = n Ν

  i•

ij

i•

 Ν

;

Ρ  = n Ν

  •  j

•  j

 

De esta forma, si las variables son independientes

Ρij =

Ε   = n x n  

ij

 Ν

i•

 

 Ν

•j

 Ν

 

donde Eij sería el número de casos o frecuencia absoluta esperada o teórica en condiciones de independencia. Por lo tanto podremos calcular las frecuencias esperadas:

Ε

 x n   •  n• = i

ij

 

 Ν

j

 

En lugar de los Eij , habremos observado los nij. Tendremos tantos valores Eij y nij como celdas de la matriz, concluyendo que si hay poca diferencia entre estos valores los atributos serán independientes, no  

 

pudiéndose afirmar lo mismo en caso contrario. Supuesto que el atributo A tiene n filas y el atributo B, k columnas, la tabla será de orden nxk. Pearson planteó la utilización del estadístico c2 para analizar la independencia, definido por:

∑ ∑ (nij −Εij ) h

2

 x =

k 

2

i =1  j =1

Ε

 

ij

La hipótesis nula a contrastar será la de independencia entre los factores, siendo la hipótesis alternativa la de dependencia entre los factores. 2

2

El valor de  x  calculado se compara con el valor tabulado de una  x   para un nivel de confianza determinado y (n-1) (k-1) grados de libertad. Si el valor calculado es mayor que el valor de tablas de una  x2(n− 1)( k −1)  , significará que las diferencias entre las frecuencias observadas y las frecuencias teóricas o esperadas son muy elevadas y por tanto diremos con un determinado nivel de confianza que existe dependencia entre los factores o atributos analizados.

Resumiendo: 2

2

 x 〉 x( − )( − )     n 1 k  1

Rechazar hipótesis nula (dependencia entre las variables)  2

2

 x 〈 x( − )( − )     n 1 k  1

 Aceptar hipótesis nula (independencia (independencia entre las variables)

 

 

Veámoslo con el mismo ejemplo anterior:

SEXO 

ALIMENTO ECOLÓGICO 

HOMBRE 

MUJER 

MARGINAL 

CONSUME 

65 

58 

123 

NO CONSUME 

43 

67 

110 

MARGINAL 

108 

125 

233 

Frecuencias relativas marginales: P (ser hombre) = 108/ 233 = 46.4% P (ser mujer) = 125/ 233 = 53.6% P (consumir) = 123/ 233 = 52.8% P (no consumir) = 110/ 233 = 47.2% Frecuencias relativas conjuntas: P (hombre y consumir) = 65/ 233 = 27.9% P (hombre y no consumir) = 43/ 233 = 18.5% P (mujer y consumir) = 58/ 233 = 24.9% P (mujer y no consumir) = 67/ 233 = 28.8% Frecuencias relativas teóricas teóri cas esperada esperadass en caso de ind epe ependencia: ndencia: E (hombre y consumir) = 46.4% x 52.8% = 24.5% E (hombre y no consumir) = 46.4% x 47.2% = 21.9% E (mujer y consumir) = 53.6% x 52.8% = 28.3% E (mujer y no consumir) = 53.6% x 47.2% = 25.3% Frecuencias absolutas teóricas teór icas esperadas esperadas en caso de independencia: E (hombre y consumir) = 123 * 108 /233 = 57 E (hombre y no consumir) = 108*110/233 = 51 E (mujer y consumir) = 123*125/233 = 66 E (mujer y no consumir) = 125*110/233 = 59   

 

Valor Va lor de la Chi-cuadrado:  

∑ ∑ (nij −Εij ) (65−57) (58−66) (43   −51) + (67−59) = 4,42  + + = = h

k 

2

2

 x

2

2

2

2

i =1  j =1

Ε

ij

57

66

51

59

2

Dado que el valor calculado de la  x  para un nivel de confianza del 95% (5% nivel de significación) es mayor que el valor de tablas, se rechaza la hipótesis nula de independencia entre los factores, aceptando por tanto t anto que el sexo de una persona influye en que ésta sea consumidora o no de alimentos ecológicos.

4. TABL AS PIVOTE EN EXCEL EXCEL También llamadas tablas dinámicas, es una tabla interactiva que contiene campos, la que se usa para resumir y analizar los datos de múltiples filas de información de una tabla o de una lista original. Una tabla dinámica puede actualizarse cada vez que se modifiquen los datos originales de la misma, o sea los utilizados para su confección.

EJEMPLO: Disponemos de una hoja de cálculo con las horas trabajadas durante una semana por los trabajadores de una planta de procesado de fruta de una empresa según los diferentes cargos que ocupa.

 

 

Queremos crear crear una ta tabla bla dinámica que muestre, para cada empleado de la empresa, en páginas individuales, el total de horas trabajadas en cada uno de las funciones durante la última semana. 1. Sitúate en una de las celdas que contienen los datos y ve a Datos (Menú principal),  Asistente para tablas dinámicas. Se iniciará el  Asistente, que consta de cuatro cuadros de diálogo consecutivos. 2. En el primer cuadro de diálogo (paso 1 de 4) se solicita el origen de de los datos a organizar en forma de tabla dinámica. En este caso, dejamos la opción preseleccionada (Lista o base de datos de Microsoft Excel) y pulsamos Siguiente. 3. El siguiente cuadro de diálogo (paso 2 de 4) permite permite seleccionar el rango de celdas en el que están situados los datos a organizar.  

 

4. En el tercer cuadro de diálog diálogo o (paso 3 de 4) se diseñará la distribución distribución de los campos en la tabla a crear. En la parte derecha de la ventana se muestra un botón para cada campo de la lista y en la parte izquierda aparece el área en donde se diseñará la tabla, que está dividida en cuatro secciones (PÁGINA, FILA, COLUMNA y DATOS), en las que se pueden colocar los distintos campos, pulsando sobre el botón del campo y arrastrándolo a una sección.  A la hora de organizar los datos en nuestro ejemplo deberá tenerse en cuenta lo siguiente:

 

 

1. El campo que se coloque en la sección PÁGINA aparecerá en forma de una lista desplegable desde la que se podrá seleccionar aquel elemento del que se desee mostrar el resumen. Existirá además la posibilidad de mostrar el resumen correspondiente a cada empleado en una hoja diferente. 2. El campo que se coloque en la sección FILA mostrará sus elementos como encabezados o títulos de las filas en la tabla 3. El campo que se coloque en la sección COLUMNA, mostrará sus elementos como encabezados de las columnas de la tabla 4. En cuanto al campo que se coloque en la sección DATOS, sus datos se someterán a una determinada operación de cálculo: Suma (es la que se ofrece por defecto cuando los datos de este campo son todos numéricos), Contar (la que se ofrece por defecto en los demás casos), Promedio, Mínimo, Máximo, Producto, etc.

 

 

En nuestro ejemplo, por tanto, colocaremos los campos del siguiente modo:  El

campo Empleado en la sección PÁGINA

 El

campo Proyecto  en la sección FILA

 El

campo Fecha en la sección COLUMNA

 El

campo Horas  (que contiene los valores que queremos sumar) en

la sección DATOS, aceptando la función de SUMA que Excel propone por defecto.

 

 

Notas:

a)  La forma elegida aquí para organizar los datos sólo es una de entre todas las posibles. Cabe organizar los datos de otra manera; no obstante, hemos de procurar que la forma elegida sea la más clara y fácil de interpretar. b)   Aunque los datos de una tabla dinámica tienen el mismo aspecto que cualquier hoja de cálculo, no se pueden introducir ni editar los datos directamente en ella. Para modificar sus resultados deberán modificarse forzosamente los datos a partir de los cuales se ha creado.

 

 

c)  No obstante, las tablas dinámicas no se actualizan automáticamente cuando los datos de origen cambian, sino que, cambiados los datos fuente es necesario seleccionar con el botón derecho del ratón una celda cualquiera de la tabla y elegir la opción  Actualizar datos  del menú contextual correspondiente. d) Una vez creada creada la tabla dinámica, se p puede uede cambiar fácilmente su diseño arrastrando los botones sombreados con los nombres de los campos a otras posiciones de la tabla (por esta razón se llaman “dinámicas”, precisamente)

5. DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO EN EXCEL DISTR.CHI Devuelve la probabilidad de una variable aleatoria continua siguiendo una distribución chi cuadrado de una sola cola. La distribución γ2 está asociada a una prueba γ2. Utilice la prueba γ2 para comparar los valores observados con los esperados. Por ejemplo, un experimento genético podría estar basado en la hipótesis de que la próxima generación de plantas presentará un conjunto determinado de colores. Al comparar los resultados observados con los resultados esperados, puede decidir si su hipótesis original es válida. Sintaxis   Sintaxis DISTR.CHI((x ;grados_de_libertad DISTR.CHI grados_de_libertad)) X es el valor al que desea desea evaluar la distribución.  

 

Grados_de_libertad es el nú número mero de de grados grados de libe libertad. rtad. Observaciones   Observaciones •  Si uno de los argumentos no es numérico, DISTR.CHI devuelve el valor

de error #¡VALOR! •  Si el argumento x es negativo, DISTR.CHI devuelve el valor de error

#¡NUM! •  Si el argumento grados_de_libertad no es un entero, se trunca. •  Si el argumento grados_de_libertad < 1 o si grados_de_libertad ≥ 10^10,

DISTR.CHI devuelve el valor de error #¡NUM! •  DISTR.CHI se calcula como DISTR.CHI = P(X>x), donde X es una

variable aleatoria de γ2.

PRUEBA.CHI Devuelve la prueba de independencia. PRUEBA.CHI devuelve el valor de la distribución chi cuadrado ( γ2) para la estadística y los grados de libertad apropiados. Las pruebas γ2 pueden utilizarse para determinar si un experimento se ajusta a los resultados r esultados teóricos. Sintaxis   Sintaxis PRUEBA.CHI((rango_actual PRUEBA.CHI rango_actual;;rango_esperado rango_esperado)) Rango_actual es el rango de datos que que contiene observaciones para probar frente a valores esperados. Rango_esperado es el rango de datos que que contiene la relación del producto de los totales de filas y columnas con el total global.

 

 

Observaciones   Observaciones •  Si rango_actual y rango_esperado tienen un número diferente de puntos

de datos, PRUEBA.CHI devuelve el valor de error #N/A. •  La prueba γ2 primero calcula una estadística γ2 y después suma las

diferencias entre los valores reales y los valores esperados. La ecuación para esta función es PRUEBA.CHI=p( X> γ2 ), donde: y donde:  Aij = frecuencia actual en la iésima fila, jésima columna columna Eij = frecuencia esperada en la iésima fila, jésima columna r = número de filas c = número de columnas PRUEBA.CHI devuelve la probabilidad para una estadística γ2 y grados de libertad, gl, donde gl = (r - 1)(c - 1).

PRUEBA.CHI.INV Devuelve para una probabilidad dada, de una sola cola, el valor de la variable aleatoria siguiendo una distribución chi cuadrado. Si el argumento probabilidad = DISTR.CHI(x;...), entonces PRUEBA.CHI.INV(probabilidad,...) = x. Utilice esta función f unción para comparar los resultados observados con los resultados esperados, a fin de decidir si la hipótesis original es válida. Sintaxis   Sintaxis PRUEBA.CHI.INV((probabilidad PRUEBA.CHI.INV probabilidad;;grados_de_libertad grados_de_libertad)) Probabilidad es una probabilidad asociada asociada con la distribución ch chii cuadrado cuadrado.. Grados_de_libertad es el nú número mero de de grados grados de libe libertad. rtad.

 

 

Observaciones   Observaciones •  Si uno de los argumentos no es numérico, PRUEBA.CHI.INV devuelve el

valor de error #¡VALOR! •  Si probabilidad < 0 o si probabilidad > 1, PRUEBA.CHI.INV devuelve el valor de error #¡NUM! •  Si el argumento grados_de_libertad no es un entero, se trunca. •  Si grados_de_libertad < 1 o si grados_de_libertad ≥ 10^10, PRUEBA.CHI.INV devuelve el valor de error #¡NUM! PRUEBA.CHI.INV usa una técnica iterativa para calcular la l a función. Dado un valor de probabilidad, PRUEBA.CHI.INV itera hasta que el resultado tenga una exactitud de ± 3x10^-7. Si PRUEBA.CHI.INV no converge después de 100 iteraciones, la función devuelve el valor de error #N/A.

 

 

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