Estadística y Control de Calidad. Unidad 2
PRUEBAS DE HIPÓTESIS Martínez López Moises Ingeniería Mecatrónica, Instituto Tecnológico de Tlaxiaco
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Resumen. En este trabajo se describen los conceptos de: prueba de hipótesis, hipótesis alternativa, hipótesis nula, región de rechazo, distribución normal, prueba t; Para las pruebas de hipótesis generalmente se trabaja con la media aritmética, media poblacional, desviación estándar y el tamaño de la muestra, dentro del desarrollo de este trabajo se presentan dos ejemplos de pruebas de hipótesis, para tener una mayor exactitud en el calculo de las medidas de tendencia central y dispersión que se utilizan se utilizo Matlab.
1. Introducción. La estadística Inferencial tiene dos principales actividades, una de ellas es la prueba de hipótesis, estas son muy utilizadas en los procesos de control de calidad, ya que tienen que verificar que el producto que están realizando cumpla con los estándares que debe de tener. En el presente trabajo se abordaran los conceptos de: prueba de hipótesis, hipótesis alternativa, hipótesis nula, distribución normal estándar, región de rechazo, errores tipo I y II, nivel de significancia y prueba t, incluyendo ejemplos que engloban cada tema tratado.
2. Hipótesis Estadística. Spiegel Murray R. [1] expone que “Al intentar alcanzar una decisión, es útil hacer hipótesis (o conjeturas) sobre la población implicada. Tales hipótesis, que pueden ser o no ciertas, se llama hipótesis estadísticas. Son, en general, enunciados acerca de las distribuciones de probabilidad de las poblaciones. ”
3. Prueba de Hipótesis. Larson Harold J. [4] define: “Una prueba de hipótesis es una partición de un espacio muestral en dos partes, llamadas la región de
rechazos (o región critica) y la región de aceptación.” Triola Mario F. presenta la siguiente definición: “En estadística, una hipótesis es una aseveración o afirmación acerca de una propiedad de una población. Una prueba de hipótesis (o prueba de significancia) es un procedimiento estándar para probar una aseveración acerca de una propiedad de una población.” Con las definiciones que presentan los diferentes autores se puede decir que las pruebas de hipótesis son aquellas que sirven para poder observar las propiedades de una población, una prueba de hipótesis esta compuesta por la región de aceptación y la región de rechazo.
4. Hipótesis Nula. Chao Linconln L. [2] define que: “La hipótesis nula, Ho, es una declaración tentativa de que un parámetro de la población es igual a un valor específico. A menudo en tal declaración está implícita la idea de que “no hay diferencia” y de ahí el nombre de hipótesis “nula”.” [5] “La hipótesis nula (denotada por Ho) es la afirmación de que el valor de un parámetro de población (como una porción, media o desviación estándar) es igual a un valor acervado. La hipótesis se prueba en forma directa, en el sentido de que se supone que es verdadera, y llegamos a una conclusión para rechazar Ho o no rechazar Ho.” La hipótesis nula es aquella que esta sujeta a comprobación, con el apoyo de la declaración de parámetros y sus distribuciones, ubicando su estadístico de prueba en la zona de rechazo o aceptación, se podrá tomar la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula, y finalmente presentar una conclusión del muestreo que se haya realizado . 5.
Hipótesis Alternativa.
Chao Linconln L. [2] presenta la siguiente definición: “La hipótesis alternativa, H1,
Estadística y Control de Calidad. Unidad 2 es una declaración tentativa de que el mismo parámetro de la población tiene un valor diferente del especificado en la hipótesis nula.”
desviación estándar muestral s) en una puntuación (como z, t o X2), bajo el supuesto de que la hipótesis nula es verdadera.
[5] “La hipótesis alternativa (denotada por H1 o Ha o HA) es la afirmación de que el parámetro tiene un valor que, de alguna manera, difiere de la hipótesis nula.”
Estadístico de prueba para proporciones.
(2)
La hipótesis alternativa es la declaración contraria a la hipótesis nula,
6. Distribución Normal Estándar. Chao Linconln L. [2] expone que: “Para obtener probabilidades para un cierto intervalo de valores, es necesario conocer la distribución probabilísticas. Sin embargo, hay tantas variables normales que resultan poco práctico desarrollar una distribución probabilística distinta para cada una. Afortunadamente, existe una distribución probabilística que puede aplicarse a cada una de las posibles variables aleatorias normales: la distribución normal estándar. Se trata de la distribución probabilística de la variable normal estándar Z, la cual se define como:
Estadísticos de prueba para medias.
(3) O
(4)
Estadístico de prueba para desviaciones estándar.
(5) (1)
en donde X es la variable aleatoria normal que tiene media y desviación típica . Obsérvese que la puntuación Z es la diferencia entre el valor observado de X y su media, expresada en términos de su desviación típica. Entonces, el valor de Z es igual al numero de desviaciones típicas y a menudo se le denomina desviación normal.” Se puede observar que los parámetros de la distribución normal estándar son la media ( ) y desviación estándar ( ), cuyos valores son 0 y 1 respectivamente. Tomando en cuenta que la grafica de esta distribución es simétrica con respecto al eje que atraviesa la media igual a cero ( )
7. Estadísticos de Pruebas. Mario F. Triola[5] define que: ”El estadístico de prueba es un valor que se utiliza para tomar la decisión sobre la hipótesis nula, y se calcula convirtiendo al estadístico muestral (como la proporción muestral , la media muestral , o la
El estadístico de prueba para una media usa la distribución normal o la distribución t de estudent, dependiendo de los requisitos que se satisfagan.” Por lo que se puede concluir que el estadístico de prueba es usado para decidir si se rechaza la hipótesis nula (Ho)
8. Región de Rechazo. Mario F. Triola[5] expone que: “Región critica (o región de rechazo) es el conjunto de todos los valores del estadístico de prueba que pueden provocar que rechacemos la hipótesis nula.” Analizando la definición se puede decir que la región de rechazo es la que puede provocar que rechacemos la hipótesis nula, la región de rechazo depende del valor que se le asigne a α (Nivel de Significancia)
9. Nivel de Significancia. Mario F. Triola [5] define que: “El nivel de significancia (denotado por α) es la probabilidad
Estadística y Control de Calidad. Unidad 2 de que el estadístico de prueba caiga en la región critica, cuando la hipótesis nula es verdadera Analizando la definición se puede decir que el nivel de significancia es el valor que se le asigna a α, ya que de este depende la probabilidad que el estadístico caiga en la región de rechazo, y en algunos casos se puede cometer el error de rechazar Ho cuando es verdadera.
10. Errores tipo I y tipo II. Mario F. Triola [5] puntualiza que: “Error tipo I: El error de rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera. Se utiliza el símbolo α (alfa) para representar el error tipo I. Error tipo II: El error de no rechazar la hipótesis cuando en realidad es falsa. Se utiliza el símbolo β (beta) para representar la probabilidad de un error tipo II.”
11. Pruebas de dos colas, izquierda, cola derecha.
cola
*Pruebas de Hipótesis para las resistencias de 100. Con ayuda de Matlab se obtuvieron los siguientes valores de una muestra de 160 datos. : 98.9488 : 0.5618 : 100 De acuerdo con el tamaño de la muestra se aplico la prueba z, y se tendrá que determinar si:
Mario F. Triola [5] puntualiza que: “Prueba de dos colas: La región critica se encuentra en las dos regiones extremas (colas) bajo la curva. Prueba de cola izquierda: La región critica se encuentra en la región extrema izquierda (cola) bajo la curva. Prueba de cola derecha: La región critica se encuentra en la región extrema derecha (cola) bajo la curva.” 12. Distribución t. Gil Infante Said et al. expone [6] que: “La distribución muestral de la estadística de prueba t, llamada distribución t, tiene, como en el caso de z, forma acampanada o de montículo, y es perfectamente simétrica respecto a t=0. A diferencia de z, es mucho más variable, alargándose con rapidez hacia la derecha y hacia la izquierda, un fenómeno que se puede explicar fácilmente.” También se puede decir que la distribución t tiene también por característica que se puede aplicar a muestras menores a 30, A continuación se presentan ejemplos de pruebas de hipótesis.
En la materia de Estadística y Control de Calidad se realizo un muestreo de diferentes resistencias (100,270,330 y 1k), se determinara si estas cumplen con las especificaciones que el fabricante dice utilizando la herramienta de prueba de hipótesis
dos
13. Ejemplo 1. Utilizando la Prueba z
Ho:
=100.
H1:
≠100.
z=-23.6756 Al asignarle el valor a (nivel de significancia) =0.05, teniendo en cuenta que se tiene que probar con una distribución de dos colas entonces quedaría /2, por lo que Z/2= Z0.025=1.96. |-23.6756|>|1.96| entonces se rechaza Ho. Por lo que se acepta H1 Con esto se puede concluir que las resistencias no cumplen con el valor de la especificación de 100 con un nivel de significancia del 5% *Prueba de Hipótesis para las resistencias de 270.
Estadística y Control de Calidad. Unidad 2 Con ayuda de Matlab se obtuvieron los siguientes valores de de una muestra de 150 datos. : 265.0662
z=-27.7151
: 2.4703 : 270 De acuerdo con el tamaño de la muestra se aplico la prueba z, y se tendrá que determinar si: Ho :=270
H1
≠270
Al asignarle el valor a (nivel de significancia) =0.05, teniendo en cuenta que se tiene que probar con una distribución de dos colas entonces quedaría /2, por lo que Z/2= Z0.025=1.96. |-27.7151|>|1.96| entonces se rechaza Ho. Por lo que se acepta H1 Con esto se puede concluir que las resistencias no cumplen con el valor de la especificación de 330 con un nivel de significancia del 5% *Pruebas de resistencias de 1K.
Al asignarle el valor a (nivel de significancia) =0.05, teniendo en cuenta que se tiene que probar con una distribución de dos colas entonces quedaría /2, por lo que Z/2= Z0.025=1.96.
Con esto se puede concluir que las resistencias no cumplen con el valor de la especificación de 270 con un nivel de significancia del 5%
Hipótesis
para
: 984.2375 : 7.1756
De acuerdo con el tamaño de la muestra que tenemos se aplico la prueba z, y se tendrá que determinar si: Ho:
=330.
H1:
≠330.
las
Con ayuda de Matlab se obtuvieron los siguientes valores de una muestra de 160 datos. : 324.7563 : 2.3943
z=-27.7900 Al asignarle el valor a (nivel de significancia) =0.05, teniendo en cuenta que se tiene que probar con una distribución de dos colas entonces quedaría /2, por lo que Z/2= Z0.025=1.96. |-27.7900|>|1.96| entonces se rechaza Ho. Por lo que se acepta H1
: 330 De acuerdo con el tamaño de la muestra que tenemos se aplico la prueba z, y se tendrá que determinar si: =330.
las
: 1000
|-24.4732|>|1.96| entonces se rechaza Ho. Por lo que se acepta H1
Ho:
para
Con ayuda de Matlab se obtuvieron los siguientes valores de una muestra de 160 datos.
z=-24.4732
*Pruebas de resistencias de 330
Hipótesis
H1:
≠330.
Con esto se puede concluir que las resistencias no cumplen con el valor de la especificación de 1K con un nivel de significancia del 5%
Estadística y Control de Calidad. Unidad 2
14. Ejemplo 2. Utilizando la Prueba t “Student”. En la materia de Estadística y Control de Calidad se realizo un muestreo de unos relevadores. Para saber si estos cumplen con las especificaciones se utilizara la prueba t por el número del tamaño de la muestra.
Referencias Bibliograficas [1]Spiegel Murray R..- ESTADÍSTICA; Edit. Mc Graw Hill; México’1995
[2]Chao Linconl L.- INTRODUCCION A LA ESTADISTICA; Edit. Cecsa; México’1995
n=15 Con ayuda de Matlab se obtuvieron los siguientes valores de la muestra.
[3]Fuenlabrada Samuel; Probabilidad y Estadistica; Edit.Mc Graw Hill; México’2004. [4]Larson Harold J..-Introducción a la teoría de probabilidades e inferencia Estadística; Edit. Limusa; México’1992
: 5.5707 : 0.5863
[5]Triola Mario F..-ESTADISTICA; Edit.Pearson. México’2009;
:5 Determinar si: Ho:
rechazo, estas las podemos emplear para la toma de decisiones importantes.
=330.
[6] Gil Infante Said y Zárate de Lara Guillermo
H1:
≠330.
Para la prueba t
t=3.771 Al asignarle el valor a (nivel de significancia) =0.05, teniendo en cuenta que se tiene que probar con una distribución de dos colas entonces quedaría /2, por lo que Z/2= Z0.025=1.96. |3.771|>|1.96| entonces se rechaza Ho. Por lo que se acepta H1 Con esto se puede concluir que los relevadores no cumplen con el valor de la especificación que dice el fabricante con un nivel de significancia del 5%
15. Conclusión. Las pruebas de hipótesis son un potente auxiliar para los procesos de control de calidad, ya que con ellas se pueden determinan mediante muestreos si un producto se encuentra dentro de la región de aceptación o dentro de la región de
P..-Métodos Estadísticos; Edit.; Edit. Trillas; México’ 1990.
