Pruebas de Hipotesis - Intervalos de Confianza

 

INTERVALOS CONFIANZA DE PRUEBAS DE POR: STIVE PINEDA HIPOTESIS E

 

Estimación 

Estimar qué va a ocurrir respecto a algo (o qué está ocurriendo, o qué ocurrió), a pesar de ser un elemento muy claramente estadístico, está muy enraizado en nuestra cotidianidad. Dentro de ello, además hacemos estimaciones dentro de un intervalo de posibilidades. Por ejemplo: “creo que terminaré la tarea en unos 5-6 días”.

 

Estimaciones puntuales e intervalos de confianza 

Estimación puntual: Estadístico calculado a partir  de la información obtenida de la muestra y que se

usa para est stiimar el parámetro poblacional.  Intervalo de confianza: Un conjunto de valores obtenido a partir de los datos muestrales, en el q uc euheanytrueneal d meintraod. aA persota bapbro ilib dab dild en pe atre árm ideaq dusee sle conoce como el nivel de confianza.

 

Estimación Puntual Consiste en la estimación del valor del parámetro mediante un sólo valor, obtenido de una fórmula determinada. Por ejemplo, si se pretende estimar la talla media de un determinado grupo de individuos, puede extraerse una muestra y ofrecer como estimación puntual la talla media de los individuos. Lo más importante de un estimador, es que sea un estimador eficiente

 

Estimación Puntual

 

Estimacione Estimacioness por Intervalo e Intervalos de Confianza INTERVALO DE CONFIANZA Conjunto de valores que se forma a partir de una muestra de datos de forma que exista la posibilidad de que el parámetro poblacional ocurra dentro de dicho conjunto con una probabilidad específica. La probabilidad específica recibe el nombre de nivel de confianza.

 

Estimacione Estimacioness por Intervalo e Intervalos de Confianza

Para calcular el intervalo de confianza, consideraremos dos situaciones: •   Utilizamos los datos de la muestra para calcular µ con   x, mientras que la

desviación estándar de la población  (σ)  es conocida. •   Utilizamos los datos de la muestra para calcular µ con x, mientras que la

desviación estándar de la población es desconocida. En este caso, sustituimos la de dessvi viac ació ión n es está tánd ndar ar de la( la(s) s) mu mues estr tra( a(s) s) po porr la de desv svia iaci ción ón es está tánd ndar ar de la población   (σ). Existen diferencias importantes en las suposiciones entre estas dos situaciones. Consideraremos primero el caso donde se conoce   σ.

 

El calculo de inte terrvalo loss de confian anzza par ara a la es esti tim mac aciión de pa parrám áme etr tro os son téc écn nicas que nos permiten hacer declaraciones sobre que valores podemos esperar para un parámetro. El Intervalo calculado dependerá de: •

Lo estimado de la muestra(porcentaje, media….) El intervalo de confianza esta formado por valore ligeram amen ente te menores y mayores qu que e la ap aprroxim ima ación ofre rec cida porr la mu po mues estr tra. a.

•

El tamaño muestral. Cuanto mas datos hayan participado en el cálculo, más pequeño esperamos que sea la diferencia entre el valor estimado y el valor real desconocido.

•

La probabilidad (Nivel de confianza) con la que el método dará una respuesta cor orre rect cta. a. Ni Nive velles de co conf nfiian anza za ha habi bitu tual ales es pa para ra lo loss int nter erva valo loss de co conf nfiian anza za so son n el 95 95% % y el 99%.

 

Estimación por Intervalos 

Si la desviación estándar de la población es cono co noci cida da ut utililiz izam amos os la di dist striribu buci ción ón  z.

s  X     z

n

 

Intervalo de estimación Un intervalo de estimación establece el rango en el cual se encuentra el parámetro de población.  Un intervalo en el cual se espera que ocurra el parámetro de población se llama intervalo de 



confianza. Los dos intervalos de confianza que son más utilizados son de 95% y 99%.

 

Intervalo de estimación 

Para un 95% de intervalo de confianza, aproximadamente 95% de los intervalos construidos contendrán el parámetro inicial. También el 95% de la muestra media para un tamaño de muestra específico se encontrará dentro del 1.96 de la desviación estándar de la media de la población.

 

Intervalo de estimación 

Para el 99% de intervalo de confianza, 99% de la muestra media para un tamaño de muestra específico se encontrará dentro del 2.58 de la desviación estándar de la media de la población.

 

Valor Critico “Z” Margen de Confianza / 2 0.95/2 = 0.4750 0.99/2= 0.4950

 

Valor Critico “Z” Error/ 2 0.05/2 = -0.0250 0.01/2= 0.0050

 

Intervalos de Confianza

 

Construyendo intervalos generales de confianza para  µ 

En general, un intervalo de confianza para la media se calcula como:

s  X     z

n

 

95% y 99% intervalos de confianza para  µ 

El 95% y 99% intervalos de confianza: 

95% para la media de la población :  X    1.96

s n

•

99% para la media de la población : s  X     2 .5 8

n

 

Intervalos de Confianza 

Intervalo de Confianza para un promedio.



Intervalo de Confianza para una proporción.

 

Intervalos de Confianza Intervalo de Confianza para la media de la poblacion Por ejemplo, supong ngam amo os que se plan anttea la hipótesis de que el pro rom medio de pes eso o de na naci cimi mien ento to de ci cier erta ta po pobl blac ació ión n es ig igua uall a la me medi dia a na naci cio ona nall de 32 3250 50 gr gram amos os.. Al to toma marr un una a mue uest stra ra de 30 re reci cién én na naci cid dos de la po pobl blac ació ión n en es estu tud dio io,, se ob obtu tuvo vo::  x= 2930 sn== 43500 Al construir un intervalo de 95% de confianza para la media poblacional, se obtiene:

Luego, Lueg o, el pe peso so de na naci cimi mien entto va varíría a en enttre 27 2769 69 y 309 0911 gr gra amo moss, co con n un una a co con nfia ian nza de 95 95%. %. Como el intervalo no incluye el valor µ = 3250 gramos planteado en la hipótesis,

entonces esta es rechazada con confia ian nza 95% (o un valor p menor a 0,5).

 

Que es una prueba de hipótesis 

Un contraste o test de hipótesis es una técnica de Inferencia Estadística que permite comprobar si la

in info ión que pro orci una ahip mues mu obse coform nrma cuaecrdió an qu (oe pr noo)por ccion oona n alaun ótestr estra isa ob estserv adrvad ísada tica formulada sobre el modelo de probabilidad en estudio y, por tanto, se puede aceptar (o no) la hipóte hip ótesis sis for formul mulada ada.. Una hi hipó póte tesi siss es esta tadí díst stic ica a es cualquier conjetura sobre una o varias características de interés de un modelo de

probabilidad  

Procedimiento de cinco pasos para probar una hipótesis Se establecen las hipótesis nulas y alternativas

Se selecciona un nivel de significancia

Se identifica el estadístico de prueba

Se formula una regla para tomar decisiones

Se toma una muestra; se llega a una decisión

Se rechaza Ho o no se rechaza Ho y se acepta H1

 

Pruebas de Hipótesis El primer paso consiste en establecer la hipótesis que se debe probar. Ésta recibe el nombre de hipótesis nula (Ho). La letra mayúscula H representa la hip ipót ótes esis is,, y el su subí bín ndi dice ce ce cero ro im impl plic ica a qu que e “no hay dif difer eren enci cia a”. EOn ste érm ino s zgaenoernaoles, ipó tes lansae afofirrm aiópnarq aure eanliz iza ue rein co ha selarehcip hóate zas.is Ensuu mualc oasr eunra ecphra zaba. a men eno os que la info forrmac aciión de la muestra ofrezca evid ide encia convincen ente te de que es falsa. Cabe hacer hincapié en que, si la hipótesis nula no se rechaza c opóte n tesi ba ela n se losa dve ardad toader s dera e ala hipó hi sissenu nula sea verd

muestra, no es posible decir que la

HIPÓTESIS NULA Enunciado relativo al valor de un parámetro poblacional que se fo forrmula co con n el fifin n de probar ev eviide den ncia numér ériica.

 

Pruebas de Hipótesis La hip ipó ótesis alter ern nativa describ ibe e lo que se concluirirá á si se rechaza la hipótesis nula. Se representa H1 y se lee “H subíndice uno”. También se le conoce como co mo hi hipó pótes tesis is de in inve vest stig igac ació ión. n. Lsu afici hiente póte tesev is iden alenci tercia na vatadí sdíst estic aica caep tarasire lachaz inazar foar rmla achi iópóte n tesi de a m sufi cien evid aties esta para pa rech hipó siss lnu nula la..uestra ofrece

HIPÓTESIS ALTERNATIVA Enunciado que se acepta si los datos de la muestra ofre of rece cen n su sufifici cien ente te ev evid iden enci cia a pa para ra re rech chaz azar ar la hi hipó póte tesi siss nu nula la..

 

Hipótesis Nulas y Alternativas

Se establecen las hipótesis nulas y alternativas

Se selecciona un nivel de significancia

Se identifica el estadístico de prueba

Se formula una regla para tomar decisiones

Se toma una muestra; se llega a una decisión

Se rechaza Ho o no se rechaza Ho y se acepta H1

La Hipótesis Nula, denotada como H0 siempre especifica un solo valor del parámetro de la población si la hipótesis es simple o un conjunto de valores si es co com mpu pues esta ta (es lo qu que e qu quer erem emos os de desa sacr cred edit itar ar))

H0 : µ = µ0

H0 : µ > µ0

H0 : µ < µ0

La Hipótesis Alternativa, denotada como H1 es la que responde nuestra pregunta, la que se establece en base a la evidencia que tenemos. Puede tener cuatro formas

 H 1

:µ =µ

 H 1 :

µ < µ0

 H 1

:µ>µ

 H 1 : µ

≠µ0

 

Pruebas de Hipótesis ➢

Se establecen las hipótesis nulas y alternativas

Se identifica el estadístico de prueba

Se formula una regla para tomar decisiones

Se toma una muestra; se llega a una decisión

Se rechaza Ho o no se rechaza Ho y se acepta H1

Como las conclusiones a las que lleguemos se basan en una muestra, hay posibilidades de que nos

equivoquemos.  Dos decisiones correctas son posibles:

➢

Se selecciona un nivel de significancia



Rechazar H0 cuando es falsa



No Rechazar H0 cuando es verdadera.

Dos decisiones incorrectas son posibles: Rechazar H0 cuando es verdadera  No Rechazar H0 cuando es falsa 

 

Nivel de Significancia

Se establecen las hipótesis nulas y alternativas

Se selecciona un nivel de significancia

Se identifica el estadístico de prueba

Se formula una regla para tomar decisiones

Se toma una muestra; se llega a una decisión

Se rechaza Ho o no se rechaza Ho y se acepta H1

NIVEL DE SIGNFICANCI SIGNFICANCIA A Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. El nivel de significancia se expresa con la letra griega alfa,   α. En ocasiones también se conoce como nivel de riesgo. Éste quizá sea un término más adecuado porque se trata del riesgo que se corre al rechazar la hipótesis nula nu la cu cuan ando do es ve verd rdad ader era. a.

 

Nivel de Significancia

Se establecen las hipótesis nulas y alternativas

Se selecciona un nivel de significancia

Se identifica el estadístico de prueba

Se formula una regla para tomar decisiones

Se toma una muestra; se llega a una decisión

Se rechaza Ho o no se rechaza Ho y se acepta H1

No existe ningún nivel de significancia que se aplique a todas las pruebas. Se toma la decisión de utilizar el nivel de 0.05 (expresado con frecuencia como nivel de 5%), nivel de 0.01, nivel de 0.10 o cualquier otro nivel entre 0 y 1. Se acostumbra elegir el nivel de 0.05 en el caso de los proyectos de inve in vest stig igac ació ión n re rela lac cio ion nad ado os con lo loss co cons nsum umid idor ores es;; el nive vell de 0. 0.01 01 en re rela lac ció ión n con el del control de calidad, y el de 0.10 en el de las encuestas políticas.

 

Nivel de Significancia

Se establecen las hipótesis nulas y alternativas

Se selecciona un nivel de significancia

Se identifica el estadístico de prueba

Se formula una regla para tomar decisiones

Se toma una muestra; se llega a una decisión

Se rechaza Ho o no se rechaza Ho y se acepta H1

El nivel de significación es el riesgo o la probabilidad que voluntariamente asume el investigador de equivocarse al rechazar la hipótesis nula, cuando en realidad es cierta. Este ririe esgo se estable lec ce norm rma alm lme ente en 0.05 (9 (955%)ó 0.01 (9 (999%).  Si p < 0.05 se considera significativo, en cuyo caso se rechaza la hipótesis nula  Si p> 0.05 se considera no significativo en cuyo caso no se rechaza la hipótesis nula.    1 − Φ (Z) P=2

 

Nivel de Significancia

Se establecen las hipótesis nulas y alternativas

Se selecciona un nivel de significancia

Se identifica el estadístico de prueba

Se formula una regla para tomar decisiones

Se toma una muestra; se llega a una decisión

Se rechaza Ho o no se rechaza Ho y se acepta H1

El valor de "p" que indica que la asociación es estadísticamente sig igni niffic icat ativ iva a ha si sido do ar arbi bitr trar aria iame ment nte e se sele lecc ccio iona nado do y po porr co cons nsen enso so se consid ide era en 0.05.  Una seguridad del 95% lleva implícito una p < de 0.05.  Una seguridad del 99% lleva implícita una p < 0.01.

Lim ap"opr"tannocie u as. uLna insdigicnaifd icoarcd ióen fueesrtzaadíd steicala a esocpiaocr iótnanntiodeunsa condición resultante del rechazo de una hipótesis nula media ian nte la ap aplilic cac ació ión n de una pr prue ueb ba es esta tad dís ísttic ica a de si sign gnifific icac ació ión n

 

Estadístico de Prueba

Se establecen las hipótesis nulas y alternativas

Se selecciona un nivel de significancia

Se identifica el estadístico de prueba

Se formula una regla para tomar decisiones

Se toma una muestra; se llega a una decisión

Se rechaza Ho o no se rechaza Ho y se acepta H1

Estadístico de Prueba: Valor determinado a partir de la información de la muestra para determinar si se rechaza la hip hipót nula Estaótes desis ístis icnu os la. de. Pruebas Z y t La prueba de hipótesis de la media (µ), cuando se conoce σ es el estadístico de prueba Z que se calcula de la siguiente manera: Z = X-µ σ /√ n

 

Formula Regla de Decision

Se establecen las hipótesis nulas y alternativas

Se selecciona un nivel de significancia

Se identifica el estadístico de prueba

Se formula una regla para tomar decisiones

Se toma una muestra; se llega a una decisión

Una Un a re regl gla a de de dec cis isió ión n es un en enun unci ciad ado o so sobr bre e las co cond ndic icio ione ness es espe pecí cífific cas en que se rechaza la hipótesis nula y aquellas en las que no se rechaza. La región o área de rechazo define la ubicación de todos esos valores que son tan grandes o tan pequeños que la probabilidad de que ocur oc urra ran n en un una a hi hipó póte tesi siss nu nula la ve verd rdad ader era a es mu muyy re remo mota ta..

Se rechaza Ho o no se rechaza Ho y se acepta H1

 

Formula Regla de Decision

Se establecen las hipótesis nulas y alternativas

Se selecciona un nivel de significancia

Se identifica el estadístico de prueba

Se formula una regla para tomar decisiones

Se toma una muestra; se llega a una decisión

Se rechaza Ho o no se rechaza Ho y se acepta H1

Observ Obse rve e lo si sigu guie ient nte e en la gr gráf áfic ica: a: •El área en que se acepta la hipótesis nula se loca lo caliliza za a la iz izqu quie ierd rda a de 1. 1.65 65.. •El área de rechazo se encuentra a la derecha de 1.65. •Se apl plic ica a un una a pr prue ueba ba de un una a so sola la co cola la.. gió ó el ni nive vell de si sign gnif ific ica anc ncia ia de 0. 0.05 05.. •Se eliligi •La dis isttrib ibu ución mu mue estral del est sta adís ísttic ico o z tie ien ne un una a distrib distribución •El vaución lor 1.6normal. 5 separa las regiones en que se rechaza la hip ipó ótesis nula y en la que se acepta. •El va vallor de 1.65 es el va valo lorr críríttic ico o.

 

Formula Regla de Decision

Se establecen las hipótesis nulas y alternativas

Se selecciona un nivel de significancia

Se identifica el estadístico de prueba

Se formula una regla para tomar decisiones

Se toma una muestra; se llega a una decisión

Antes de llevar a cabo una prueba de d e hipótesis, es importante diferenciar entre una prueba de significancia si gnificancia de una cola y una prueba de dos colas.

Se rechaza Ho o no se rechaza Ho y se acepta H1

 

Formula Regla de Decision

Se establecen las hipótesis nulas y alternativas

Se selecciona un nivel de significancia

Se identifica el estadístico de prueba

Se formula una regla para tomar decisiones

Se toma una muestra; se llega a una decisión

Se rechaza Ho o no se rechaza Ho y se acepta H1

Una manera para determinar la ubicación de la región de rechazo consiste en mirar en la

dire rec cción en la que señal ala a el signo de desigualdad en la hi hip pótesis al altternati tivva ( o ). Si el problema, seña se ñala la a la iz izqu quie ierd rda, a, y, po porr co cons nsig igui uien ente te,, la re regi gió ón de re rech chaz azo o se lo loca caliliza za en la co cola la izq zqui uier erda da..

En resumen, una prueba es de una cola cuando la hipótesis alternativa, H1, indica una direcc dir ección ión,, com como: o: H0:: el ingres H0 eso o med ediio anu nua al de las corredoras de bolsa es meno norr o igual a …...

H1: el ingres H1: eso o med ediio anu nua al de las corredoras de bolsa es mayor a ……. Si no se es espe peci ciffic ica a di dire recc cció ión n al algu guna na en la hi hipó póte tessis al alte tern rnat atiiva va,, ut utiililice ce un una a pr prue ueba ba de dos co cola las. s. Si camb ca mbia ia el pr prob oble lema ma an ante teririor or co con n fifine ness de ililus ustr trac ació ión, n, pu pued ede e de deci cirr lo si sigu guie ient nte: e: H0:: el ingres H0 eso o medio anu nual al de las corr rre edoras de bo bollsa es de ……..

H1:: el ingres H1 eso o med ediio anu nua al de las corredoras de bolsa no es igua uall a ……….  

Se Toma una Decision

Se establecen las hipótesis nulas y alternativas

Se selecciona un nivel de significancia

Se identifica el estadístico de prueba

Se formula una regla para tomar decisiones

Se toma una muestra; se llega a una decisión

El quinto y último paso en la prueba de hipótesis consiste en calcular el estadístico de la prueba, comparándola con el valor crítico, y tomar la decisión de rechazar o no la hipótesis nula.

Se rechaza Ho o no se rechaza Ho y se acepta H1

 

Estadístico de Prueba Z El Caso De Una Media Poblacio ion nal En muchas ocasiones, los in invvestigadores están interes esa ados en evaluar  si una media poblacio ion nal conocid ida a ha variado o se mantie ien ne ig igu ual. En estos casos, una vez verificadas las propiedades anteriormente señaladas, se extrae una muestra aleatoria de la población y se calcula la med edia ia arit itm mét étiica de la mis ism ma. El estadí díssti tic co de análisis es:

 

Estadístico de Prueba Z La media de las aptitudes generales de los aspirantes a ingresar a la Universidad A, en los últimos diez años, es de 43, con una σ = 8.56. Una muestr tra a de 275 aspirantes del año 2010 obtuvo una medi dia a de 46.65. Con alfa de 0.05 determine si la media de las aptitudes generales de los asp spirira antes ha aumentado en comparació ión n con los últi tim mos diez años.

 

Estadístico de Prueba Z

 

Estadístico de Prueba Z

Se establecen las hipótesis nulas y alternativas

Se selecciona un nivel de significancia

Se identifica el estadístico de prueba

Se formula una regla para tomar decisiones

Se toma una muestra; se llega a una decisión

Se rechaza Ho o no se rechaza Ho y se acepta H1

Se selecciona una muestra de 36 observaciones de una población normal. La media muestral es de 49 y el tamaño de la muestra de 36. La desviación estándar de la población es 5. Utililic ice e un niv ivel el de sign gnifific ica anc ncia ia de 0.05. Ho : µ = 50 H1: µ ≠ 50 Z = x - µ Z = 49 - 50 Z = - 1 Z = - 1.2 σ /√ n 5 /√ 5 /6

36  

Valor de “P” en las pruebas de Hipótesis Cuando se desea probar una hipótesis, hi pótesis, se compara el estadístico de la prueba con un valor crítico. Se toma la decisión de cisión de rechazar la hipótesis nula o de no hacerlo. Así, por ejemplo, eje mplo, si el valor crítico es de 1.96 y el valor calculado del estadístico de prueba es de d e 2.19, la decisión consiste en rechazar la hipótesis nula.

 

Estadístico de Prueba T student 1- las puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen, en la población general de adolescentes, una distribución Normal de media 11,5. En un centro escolar que ha imupelastnra taddoeun3p glruam mnaod m 0roa s e heastim purolapcoió rcniodneadlaocrleaas tivsiidgaud ienutneas 11, 9, 12, 17, 8, 11, 9, 4, 5, 9, 14, 9, 17, 24, 19, 10, 17, 17, puntuaciones: 8,

23, 8, 6, 14, 16, 6, 7, 15, 20, 14, 15. A un nivel de confianza del 95% ¿Puede afirmarse que el programa es efectivo? Ho : µ = 11.5

H1: µ

11.5

 

Punto e intervalo de estimación 

Si la desviación estándar de la población es desc de scon onoc ocid ida a ut utililiz izam amos os la di dist striribu buci ción ón  t

s  X    t 

n

 

Punto e intervalo de estimación

s  X    t 

n

Un fabricante de llantas desea investigar la durabilidad de sus productos. Una muestra de 10 llantas que recorrieron 50 000 millas reveló una media muestral de 0.32 pulgadas de cuerda restante con una desviación estándar de 0.09 pu pullgad ada as. Construya un inte terrvalo de confianza de 95% de la media poblacional. ¿Sería razonable que el fa fab bric ica ante concluyera que después de 50 000 millas la cantidad media poblacional de cuerda

rest re stan ante te es de 0. 0.30 30 pul ulg gad adas as? ?  

Punto e intervalo de estimación De ac acue uerd rdo o co con n la in info form rmac ació ión n da dada da,,

  = 0.3 0.32 2

 X    t   

s n

, s = 0.09 y n 10. Para hallar el valor de t.

El primer paso para localizar t consiste es desplazarse a lo largo de las columnas identif ide ntifica icadas das com como o “Intervalos de CONFIANZA” hasta el ni nivvel de confianz nza a que se re req quier ere. e. En este caso, desea el nivel de confianza de 95%, así que vaya a la columna con el encabezamiento “95%”. La columna del margen izquierdo se identifica como “gl”. Estas palabras se refier eren en al número de grados de libertad, esto es, el núm úme ero de observaciones incluidas en la muestra menos el número de muestras, el cual se escribe n - 1. En este caso es de 10 - 1 9. ¿Por qué se decidió que había 9 grados de libertad? Cuando se utilizan esta es tadí díst stic icas as de la mu mues estr tra, a, es ne nece cesa saririo o de dete term rmin inar ar el nú núme mero ro de va valo lore ress qu que e se en encu cuen entr tran an

lilibr bres es pa para ra var varia iar. r.  

Punto e intervalo de estimación

 X    t   

s n

 

Ejemplos 

Se toma una muestra de 49 observaciones de una población normal con una desviación estándar de 10. La media de la muestra es de 55. Determine el intervalo de confianza de 99% de la media poblacional.



Se toma una muestra de 81 observaciones de una población normal con una desviación estándar de 5. La media de la muestra es de 40. Determine el intervalo de confianza de 95% de la media poblacional.