Prueba de Hiptesis[1]

INTERVALOS DE CONFIANZA Primer bloque EJERCICIO 1. De 50000 válvulas fabricadas por una compañía, se retira una muestra aleatoria de 400 válvulas, y se obtiene una media de 800 horas y una desviación estándar de 100 horas. SOLUCIÓN

a) ¿Cuál es intervalo de confianza de 99% para la media población. ( ̅

̅

√

)

√

√

√

b) ¿con que coeficiente de confianza se diría que la vida media está en Rpta 16%. c) ¿Qué tamaño debe tener la muestra para que el intervalo de la media sea 95% de confianza? ̅

√

√

̅

√

√

EJERCICIO 2. Un investigador está estudiando la resistencia de un determinado material bajo determinadas condiciones. El sabe que esta variable tiene una distribución normal con una desviación estándar de 2 unidades ̅ √ √ a) Utilizando los siguientes valores obtenidos de una muestra de tamaño 9. Determinar el intervalo de confianza para la resistencia media con un coeficiente de confianza de 90%: 4.9; 7.0; 8.1; 4.5; 5.6; 6.8; 7.2; 5.7; 6.2 unidades. ̅

̅

̂

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

(

)

b) ¿Cuál es el tamaño necesario de la muestra si quisiéramos que el erro cometido. Al estimar la resistencia media, no sea superior a 0.1 unidades con probabilidad de 0.90? e=0.1 σ=2 γ=0.9 z=1.64485 .

/

n=1082.217 EJERCICIO 3. Fueron retiradas 25 piezas de la producción diaria de una maquina; se encontró para una cierta medida una media de 5,2 mm.se sabe que las medidas tienen distribución normal con desviación estándar de 1,2 mm. Construir el intervalo de confianza para la media con coeficiente de confianza de 99%. SOLUCIÓN ̅

(

)

Formula: ̅

√

[Escribir texto]

√

̅

√

√

Página 2

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 4. Suponga que las alturas de los alumnos de la facultad de economía tienen distribución normal con f=15cm.fue retirada una muestra de 100 alumnos obteniéndose x=175cm.construir el intervalo de confianza para la verdadera altura media de los alumnos con 95% de confianza? SOLUCIÓN ̅ ̅

̅

√

√

√

√

EJERCICIO 5.Extraída una muestra de 30 piezas, dio los siguientes pesos: 250,265,267,269,271,277,281,283,284,287,289,291,293,293,293,298,301,303,306,307,307,309,31 1,315,319,322,324,328,335,339,275.Por medio de la construcción del intervalo de confianza, responder si esta muestra satisface la especificación por la cual el peso medio debe ser 300 kg.use α=5%. SOLUCIÓN n=30,

x

x

i

n

=296.633

s =22.2299632 Hallamos z0 : α=5% (

)

El intervalo está determinado por: ̅

√

̅

√

√

√

Rpta: Si satisface por la cual el peso medio debe de ser 300kg

[Escribir texto]

Página 3

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 6. En una fabrica al seleccionar una muestra de cierta pieza, se obtuvo las siguientes medias para los diámetros: 10,11,11,11,12,12,12,12,13,15,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,14,14,14,14,14,15,15,15,16,16. a) Estimar la media y la varianza. SOLUCION:

x

x

 ( x  x)

s2 

i

n x

i

n 1

394  13.133 30

s  1.432

b) Construir el intervalo de confianza para la media. SOLUCIÓN: Hallamos z0 : (

)

n=30 ̅

√

̅

√

√

√

12.621;13.645 2 2 EJERCICIO 7. Sea X una tal que X~N (µ, σ ), donde µ y σ son desconocidas .Una muestra de tamaño 15, dio los valores

∑

∑

Determine un intervalo de confianza de 95% para σ 2 .

S2  =>

[Escribir texto]

X

2 i

 ( X i ) 2 /n

n 1 27.3  (8.7)2 / 15 S2  14 2 S 1.5896

Página 4

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

(

(

)

)(

(

)

) (

)(

)

EJERCICIO 8. Diez lotes de siembra son tratados con fertilizante “A” y 12 con el fertilizante “B”. El rendimiento de los primeros lotes fue de 8 con una desviación estándar de 0.4. El rendimiento de Los segundos lotes fue de 6 con una desviación estándar de 0.2.Construir el intervalo de confianza para la diferencia de medias al 95% y 98%. A B

n 1 10

n1  12





X1 8

X1 6

S1 0,4

S1 0,2

gl 

(S12 /n1 S 22 /n 2 ) 2 (S12 /n1 ) 2 /(n1  1)  (S22 /n 2 ) 2 /(n 2  1)

(0,016  0,003)2 (0,0000284)  (0,0000008) 0,000361 gl  0,0000292 gl 12,3612 gl 

PARA

(

)

(̅

̅ )

(

[Escribir texto]

√

)(

)

Página 5

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

PARA

(̅

̅ ) (

√ )(

)

EJERCICIO 9. Un curso de inglés fue dado a 18 estudiantes por medio del método tradicional obteniéndose una media de 75 y una desviación estándar de 5. Para otro grupo de 15 estudiantes dio el mismo curso por medio de un método más moderno obteniéndose una media de 70 y una desviación estándar de 6. Construir el intervalo para la diferencia de las medias, use . I grupo

II grupo

n 1 18

n1  15





X1 75

X1 70

S1 5

S1 6

(S12 /n 1 S 22 /n 2 ) 2 gl  2 (S1 /n 1 ) 2 /(n1  1)  (S22 /n 2 ) 2 /(n 2  1) (1,3888  2,4)2 (0,11347131)  (0,41428571) 14,35567901 gl  0,52775702 gl 27,327 gl 

(

)

(̅

̅ ) (

[Escribir texto]

√ )(

)

Página 6

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 10. La Gerencia Comercial Moderno ha comercializado una nueva pila para las unidades "flash" de cámaras de 35mm con el lema. ¿Por que no usar lo mejor? En promedio muestras baterías producen 20000 destellos. El gerente de comercialización se criticaba el reclamo publicitario de la compañía al día para refutar las críticas, el gerente seleccionó al azar 23 unidades de destellos diferentes y comprobó con ellos la pila, los resultados fueron: Número de destellos (en miles) 15 19 14 16 12 17 16 18 17 22 18 9

Número de destellos (en miles) 16 18 17 20 16 15 17 16 13 15 17

a) Obtener un estimador puntual de la media verdadera ̅

El estimado puntual para la media es:

̅

b) Obtener un Intervalo de confianza de 95% para la media verdadera. Con base a estos resultados, ¿podría el gerente de comercialización refutar las críticas al anuncio que hace el lema de la compañía?

S (

)

2

 (X 

 i

- X)2

n 1 (15  16,22) 2  (19  16,22)  ...  (17  16,22) S2  22 2 S  7,178





S 2,679

[Escribir texto]

Página 7

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

̅

√ (

)

R: No, porque 20000 no está en el intervalo de confianza EJERCICIO 11. Los alumnos de la fac8ultad de Ingeniería Industrial puede escoger entre dos cursos de física, uno de 3 horas semanales sin laboratorio. El examen final es el mismo para ambos cursos. Si 12 estudiantes del curso con laboratorio obtienen una calificación promedio de 84 con una desviación estándar de 4 y 18 del curso sin laboratorio obtienen una calificación promedio de 77 con una desviación estándar de 6, encuentre un intervalo de confianza al 99% para la diferencia entre las calificaciones promedio para los 2 cursos. Suponga que las poblaciones tienen distribuciones aproximadamente normales.

Lab

Sin Lab n 1  18

n 1 12 



X 1 84

X 1 77

S1  4

S1 6

(

)

gl 

(S12 /n 1 S 22 /n 2 ) 2 (S12 /n 1 ) 2 /(n1  1)  (S22 /n 2 ) 2 /(n 2  1)

(1,3333333 2) 2 (0,1616161)  (0,2352941) 11,11111 gl  0,3969102 gl 27,927 gl 

(̅

̅ ) (

[Escribir texto]

√ )(

) Página 8

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 12. Un agente de compras de una compañía se vio confrontado con dos tipos de máquinas para realizar cierta operación. Se le permitió probar ambas máquinas a lo largo de cierto periodo de pruebas. Es deseo del agente comprar la máquina que tiene mayor rendimiento. Se le asignaron aleatoriamente 40 tareas, 20 a cada máquina con los siguientes resultados:

̅ ̅

n1=n2=20 a) ¿Qué máquina decidirá comprar el agente?

̅̅̅

̅̅̅

√

√

Como ambos límites son positivos entonces R: El agente deberá comprar la máquina 1 EJERCICIO 13. Una compañía de automóviles de alquiler está tratando de decidir la compra de neumáticos, entre las marcas A y B, para su flota de taxis. Para estimar la diferencia entre las dos marcas, se efectúa un experimento, empleando 12 de cada marca. Los neumáticos se usan hasta que se desgastan. Los resultados para la marca A son: ̅ = 36300 km y = 5000 km. Y para la marca B; ̅ =38100 Km y = 6100 km. Calcule un intervalo de confianza del 95% para µ1-µ2 (suponga que las poblaciones tienen distribuciones aproximadamente normales) r. 6522 < µ1-µ2 < 2922 SOLUCIÓN: 1. n ;0.5  2.16 14 14 0.45 está dentro del intervalo

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 59

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

d) ¿Existe una diferencia en el monto promedio de las facturas entre las dos opciones de pago? Si

i  ( x  y)  t 0

2 2 S x2 S y S x2 S y   ( x  y)  ( x  y)  t 0   n m n m

i  (9500  12000)  2.048

15002 12502 15002 12502   (9500  12000)  2.048   15 14 15 14

I= si existe una diferencia

e) ¿Hay alguna diferencia entre la opción A y la B en la proporción de facturas con un monto mayor a S/. 10000? 



( p1  p 2 )  t 0

 p1q1 p2 q2   ; ( p1  p2 )  t 0 n1 n2

(0.33  0.5)  2.048

p1q1 p2 q 2  n1 n2

0.33(0.67 ) 0.5(0.5) 0.33(0.67 ) 0.5(0.5)  ; (0.33  0.5)  2.048  15 14 15 14

I= este intervalo incluye al valor cero (0) por tanto no existe ninguna diferencia

EJERCICIO 28. Una compañía tabacalera desea determinar la efectividad de su nuevo proceso de producción, entendida esta como la consecución de mayores clientes de su marca dentro de los hombres y no de las mujeres. De 600 mujeres encuestadas, 300 indicaron que fumaban dicha marca; de 400 hombres fumadores encuestados. 200 indicaron que estaban fumando esa marca. ¿A qué conclusiones podría llegar Ud.? Solución Utilizaremos: 



( p1  p 2 )  t 0

I= (0.5  0.5)  1.96

 p1q1 p2 q2   ; ( p1  p2 )  t 0 n1 n2

p1q1 p2 q 2  n1 n2

n

x

proporción

mujeres

600

300

0.5

hombres

400

200

0.5

0.5 x0.5 0.5 x0.5 0.5 x0.5 0.5 x0.5  ; (0.5  0.5)  1.96  600 400 600 400

I= este intervalo incluye el valor cero por tanto no se ha logrado los resultados esperados.

EJERCICIO 29. El sindicato de los empleados de la Universidad de Lima sospecha que hay más hombres que mujeres que trabajan horas extras en las distintas oficinas de la universidad. El sindicato plantea su queja a la Oficina de Personal sobre la discriminación de las mujeres al asignar el tiempo extra. El Sindicato y la Oficina de Personal acuerdan usar una muestra aleatoria de 175 mujeres y una muestra aleatoria de 250 hombres usando los registros del año anterior para decidir sobre el asunto. En las ¡nuestras aleatorias se encontraron que 23 mujeres y 32 hombres trabajaron tiempo extra. ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 60

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

Con un coeficiente de confianza de 97%. ¿se puede concluir que las mujeres están trabajando menos horas extras que los hombres? R. No

a)





n

x

proporción

mujeres

175

23

0.131

hombres

250

32

0.128

 p1q1 p 2 q2   ; ( p1  p 2 )  z 0 n1 n2

( p1  p 2 )  z 0

p1q1 p 2 q2  n1 n2

I=< (0.131  0.128 )  2.17 0.131 (0.869 )  0.128 (0.872 ) ; (0.131  0.128 )  2.17 0.131 (0.869 )  0.128 (0.872 ) > 175 250 175 250 I= este intervalo incluye al cero entonces no existe diferencia entre las horas extras de hombres y mujeres

b) Determine mediante un intervalo de confianza, el porcentaje total de empleados de la Universidad de Lima que trabajaron tiempo extra. ¿Puede afirmarse que el porcentaje total de empleados que trabajaron horas extras supera la tercera parte de los empleados n

x

proporción

mujeres

175

23

0.131

hombres

250

32

0.128

|

Total

55 425





p t0

p (1  p )  ; p t0 n

0.129  2.17

I=

0.129



p (1  p ) n

0.129 (0.871 ) 0.129 (0.871 ) ;0.129  2.17 425 425

; No supera la tercera parte

EJERCICIO 30. En un estudio para evaluar los efectos de incluir una modelo en los anuncios de automóviles, se mostró a 100 hombres las fotografías de dos automóviles de precio, color y tamaño similares, pero de distintas marcas. A 50 de los 100 hombres (grupo A) se les mostró uno de los autos con una modelo y el otro sin la modelo, mientras que a los restantes 50 hombres (grupo B) los dos autos se les presentaron sin la modelo. En el grupo A. el auto mostrado con la modelo fue considerado más caro por 37 personas, mientras que en el grupo B el misino auto fue considerado más caro por 23 personas. ¿Indican éstos resultados que incluir una modelo influye en la percepción del cosió por automóvil? Use y =98,172% n ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

x

proporción Página 61

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS



Grupo A

50

37

0.74

Grupo B

50

23

0.46



i  ( p1  p 2 )  z 0 i  0.74  0.46 )  2.36

 p1q1 p 2 q 2   ; ( p1  p 2 )  z 0 n1 n2

p1q1 p2 q 2  n1 n2

0.74 (0.26 ) 0.46 (0.54 ) 0.74 (0.26 ) 0.46 (0.54 )  ; (0.74  0.46 )  2.36   50 50 50 50

i  0.05841;0.501887  Si influye

EJERCICIO 31. La empresa Cepsi S.A.. el año pasado inició una campaña intensiva de publicidad basada en el "reto Cepsi". donde cada consumidor decidía su preferencia entre esta bebida y la de la competencia. Al final de la promoción la empresa Cepsi S.A. en su publicidad afirmó lo siguiente: "Se ha demostrado con un error máximo de 1% y con 95% de con Habilidad, en una muestra de 5000 entrevistados, el 51% de las personas sometidas a la prueba de degustación prefirieron la bebida Cepsi, por lo tanto, se verificó la preferencia de más de la mitad de las personas en la población". Revisando los cálculos necesarios, el INDECOPI acusó a Cepsi S.A. de emplear una falsa publicidad que ocasiona competencia desleal entre ambas marcas. a) ¿Cuáles fueron los argumentos estadísticos que empleó el INDECOP1 para presentar la acusación contra la Cepsi S.A.?

n

Z 02 pˆ (1  pˆ ) E2

Reemplazando datos: 1.96 2 x0.51(0.49 ) 5000  E2 E  0.0139 ; El error no fue de 1% sino del 1.39% b) Si la proporción muestral se mantiene, ¿con que tamaño de muestra como mínimo, la firma se hubiese librado de la acusación?

n n

Z 02 pˆ (1  pˆ ) E2

1.96 2 x0.51(0.49 ) 0.01 2

n  9601 se necesita una población mínima de 9601 personas EJERCICIO 32. En una encuesta de opinión pública se invita a 100 personas de 1000 a expresar su preferencia por los productos A y B. 30 personas prefieren A: de esto se

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 62

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

concluyó que entre 210 y 390 personas de la población prefieren el producto A ¿Qué coeficiente de confianza se usó en este informe? El intervalo es despejando La proporción es 0.3 



p (1  p )  ; p t0 n



p z0

p (1  p) n

0.3(0.7) 100 0.21  0.3  z 0 0.046

0.21  0.3  z 0

z 0  1.960 De donde   0.95

CUARTO BLOQUE EJERCICIO 1. Sea x1…..x una m.a. extraída de una población Bernoulli B1;p),supongamos que se conoce que p