Prueba de Hipotesis

1. Enc Encont ontremo remoss los los lím límites ites de la región de aceptación:

PROBLEMAS RESUELTOS PRUEBA DE HIPÓTESIS 1)Da 1)Dada da una una medi edia de muest uestra ra de 83 elem element entos os , una una desvi desviac ació iónn está estánd ndar ar de muestra de 12.5 y un tamaño de muestra de 22, pruebe la hipótesis de que el valor de la media de la población es 70, frente a la otra opción de que es más de 70. U tilice un nivel de significancia de 0.025 SOLUCIÓN:

Uo

±

t σ   σ   x :media :media hipote hipotetiz tizada ada más

o menos t veces el error estándar   Averigüemos el valor de t: En la tabla de la distribución t para 21 grados de libertada (n-1, n= tamaño de la muestra) y para un área de 0.475 (columna de 0.025) se lee un t=2,0796  Ahora encontremos el error estándar  respectivo:

DATOS

Hipótesis nula:Uo La media de la población es 70: Ho:Uo=70 Hipótesis alternativa:H1 La media de la población es más de 70: H1: Uo>70 Prueba de un extremo:derecho Nivel de significancia: 0.025 Media de la muestra  X  =83 Desviación estándar de la muestra : =12.5 Tamaño de la muestra =22 Como Como no se cono conoce ce la desv desvia iaci ción ón estándar de la población y el tamaño de la muestra es pequeño, utilizamos la distribución t: σ  

ˆ

12.5

σ   σ   x

=

n

=

=

2,665

22

Luego los límites de aceptación de nuestra prueba son: 70 ± (2,0796)*(2,665)=70 ± 5,54 ; entonces límite inferior de dicho intervalo =70-5.54=64.45 Límite superior = 70+5,54 = 75,54 Entonces: 64,45___________75,54 Y dado que la media de la muestra no se encuentra en este intervalo, porque es 83, rechazamos la hipótesis nula de que la media de la población es 70 . Gráficamente tendremos: 83

0.5 o 50%

0.475 o 47.5%

0.025 o 2.5%

0.5 o 50%

0.475 o 47.5% Uo=70

Uo=70

Utilicemos dos maneras:

0.025 o 2.5% 75,54

883 cae en la zona de rechazo

2. Ahora analicemos el segundo método: Tiene que ver con los valores estandarizados: Ya sabemos que el valor de t que limita la zona de aceptación es 2,0796; ahora comparémoslo con el valor t ( número de errores estándar) dado por el resultado de la prueba: t 

 x

−

Uo

o

=

σ    x

t 

83

−

SOLUCIÓN

70

=

2)Una corredora de bienes raíces tomó una muestra aleatoria de 12 hogares de un barrio de gente acomodada y encontró que el valor de mercado promedio estimado era de $780.000 con una desviación estándar de $49.000. Pruebe la hipótesis que para todas las casas del área, el valor  estimado medio es de 825.000, frente a la otra opción de que es menos de $825.000. Utilice un nivel de significancia de 0.05.

=

4,878

2,665 vemos que este valor supera los 2,0796 que figura como valor de aceptación. Por lo tanto este valor  (4,87) también nos indica que debemos rechazar la hipótesis nula ( esto es que la media de la población es de 70) Gráficamente tendremos:

t =4,87

Igual que en el problema anterior  debemos utilizar la distribución t ( no se conoce la desviación estándar de la población y el tamaño de la muestra es pequeño) DATOS:

Hipótesis nula:Uo El valor estimado medio es:$825.000 Ho:Uo=$825.000 Hipótesis alternativa:H1 El valor estimado medio es menor de $825.000 H1: Uo4 Prueba de un extremo:derecho Nivel de significancia: 0.05 Media de la muestra  X  =5,037=5,04

0.05 o 5%

0.45 o 45%

Uo=4

Utilicemos dos maneras: 1)Encontremos los límites de la región de aceptación:

Uo

±

 z σ   x :media hipotetizada más

o menos z veces el error estándar   Averigüemos el valor de z: En la tabla de la distribución normal para un área de 0.45 se lee un z =1.645 (promedio de dos valores)  Ahora encontremos el error estándar  respectivo:

2,3

σ   σ   x

=

=

n

=

0.542

18

Luego los límites de aceptación de nuestra prueba son:4 ± (1,645)*(0.542)=4 ± 0.89 ; entonces límite inferior de dicho intervalo =40.89=3,11 Límite superior = 4+0.89 = 4.89 Entonces: 3.11___________4.89 Y dado que la media de la muestra no se encuentra en este intervalo, porque es 5.04, rechazamos la hipótesis nula

de que la media de la población es 4cms . Gráficamente tendremos:

Z = 1.92

5.04 0.5 o 50% 0.5 o 50%

0.45 o 45%

Uo=4

0.05 o 5%

Uo=4

2)Ahora analicemos el segundo método: Tiene que ver con los valores estandarizados: Ya sabemos que el valor de z que limita la zona de aceptación es Z = 1.645; ahora comparémoslo con el valor z ( número de errores estándar) dado por el resultado de la prueba:  x

U o

−

=

σ     x

5.04

−

4

o

1.92 0.542 vemos que este valor supera el z = 1.645 que figura como valor de aceptación. Por lo tanto este valor  (z = 1.92) también nos indica que debemos rechazar la hipótesis nula ( esto es que la media de la población es 4 cms) Gráficamente tendremos:  z 

=

=

0.05 o 5% z =1.645

11.92 cae en la zona de rechazo

4.89

5.04 cae en la zona de rechazo

 z 

0.45 o 45%

4)Una fábrica de pilas garantiza que su producto tiene una vida media de 1000 horas y una desviación estándar de 50 horas. Pruebe la hipótesis de que  µ  = 1000 en contraposición a la alterna de que  µ  ≠ 1000 , si una muestra aleatoria de 30 baterias tiene una duración promedio de 950 horas. Utilice un α  = 5%

SOLUCIÓN DATOS

Hipótesis nula:Uo La vida promedio de las baterias es de 1000 horas: Ho:Uo=1000 Hipótesis alternativa:H1 La vida promedio de las baterias es diferente de 1000 horas H1:  µ  ≠ 1000 Prueba de dos extremos: Nivel de significancia: α  = 5% Media de la muestra  X  =950 Desviación estándar de la población: 0

σ  

=

50

La distribución a distribución normal:

utilizar

es

la Zona de a aceptación

=950 zona de rechazo 0.025 o 2.5% 0.475 0.475 o o 47.50% 47.5%

0.025 o 2.5%

Zona de rechazo

0.025 o 2.5% 0.475 0.475 o o 47.50% 47.5%

0.025 o 2.5%

Uo=1000 982.11

Utilicemos dos maneras: 1)Encontremos los límites de la región de aceptación:

Uo

±

 z σ   x :media hipotetizada más

o menos z veces el error estándar   Averigüemos el valor de z: En la tabla de la distribución normal para un área de 0.475 se lee un z =1.96 (promedio de dos valores)  Ahora encontremos el error estándar  respectivo:

50

σ   σ    x

=

=

n

=

Luego los límites de aceptación de nuestra prueba son:1000 ± (1,96)*(9.13)=1000 ± 17.89 ; entonces límite inferior de dicho intervalo =100017.89=982.11 Límite superior = 1000+17.89 = 1017.89 Entonces: 982.11___________1017.89 Y dado que la media de la muestra no se encuentra en este intervalo, porque es 950, rechazamos la hipótesis nula Gráficamente sería:

1017.89

2)Ahora analicemos el segundo método: Tiene que ver con los valores estandarizados: Ya sabemos que el valor de z que limita la zona de aceptación es Z = 1.96; ahora comparémoslo con el valor z ( número de errores estándar) dado por el resultado de la prueba:  z 

 x

U o

−

o

=

σ     x

9.13

30

Uo=1000

 z 

950

1000

−

=

5.48

= −

9.13

vemos que este valor supera el z = - 1.96 que figura como valor de aceptación. Por lo tanto este valor  (z = - 5.48) también nos indica que debemos rechazar la hipótesis nula ( esto es que la media de la población es 1000 horas) Gráficamente tendremos:

Z = -5.48 zona de rechazo

Zona de aceptación

Zona de rechazo

0.025 o 2.5% 0.475 0.475 o o 47.50% 47.5% -1,96

Uo=1000

0.025 o 2.5%

1.96

Lo cual nos indica también que debemos rechazar la hipótesis de que la vida media de las baterias es de 1000 horas.