PRUEBA DE HIPOTESIS - PARA UNA Y DOS PROPORCIONES POBLACIONALES

2009 - I

1

Ing. José Manuel García Pantigozo [email protected]

Objetivos de Aprendizaje • Definir una proporción. • Demostrar una hipótesis

acerca de una

proporción poblacional

• Demostrar

una hipótesis acerca de dos

proporciones poblacionales. 2

   N     Ó    I    C    R    O    P    L    O    R   A    P   N    A   O    I    N   C    U   A    A   L    R   B    A   O    P   P    A    B    E    U    R    P

Proporción: La fracción, porción relativa o porcentaje que expresa la parte de la población o muestra que tiene u atributo particular de interés. • Concepto de proporción. n = tamaño de la muestra x = número de éxitos en la muestra   p

 x =

n

• Estadístico para la proporción de una

población

−

 z 

 p

−

 p

=

 pq 3

   S    E    N     Ó    I    C    R    O    S    P   E    O    L    R   A    P   N    I    S   O    C    O    D   A    L    A   B    R   O    A   P    P    A    B    E    U    R

• Proporción conjunta.

 p c • • • •

=

n1 p1

+

n 2  p 2

n1

+

n2

Tamaño de la muestra 1 Tamaño de la muestra 2 Número de éxitos en la muestra 1 Número de éxitos en la muestra 2

• Estadístico para la proporción de una

población conjunta. − −

 z  =

( p1 −  p2 ) − ( p1 −  p2 )  pq

+

 pq 4

• Ejemplo.1. Supóngase que un gobernador desea conocer el    N porcentaje de votos que va a obtener en las próximas     Ó    I elecciones. En las pasadas elecciones obtuvo el 30% de los    C    R votantes del estado. El gobernador sospecha que este    O porcentaje no ha cambiado. Luego de pedirle a Ud. que    P    L efectúe el estudio correspondiente con un 95% de    O    R   A confiabilidad, Ud. toma una muestra de 1.230 votantes, 611    P   N de los cuales afirmaron que votarían por él. ¿Puede    A   O    I    N   C afirmarse que ha habido un aumento en este porcentaje?    U   A    A   L    R   B    A   O    P   P    A    B    E    U    R    P

Solución: Paso 1: Determinación de Hipótesis nula H 0 y alternativa H1  – H0: p = 0.3  – H1: p > 0.3 Paso 2: Definir el nivel de significancia 5

Paso 3: Se fija el estadístico de trabajo    N     Ó    I    C    R    O    P    L    O    R   A    P   N    A   O    I    N   C    U   A    A   L    R   B    A   O    P   P    A    B    E    U    R    P

 _  −

 z e

 p

−

0.4967

 p

=

=

 pq

−

0.013

0.3 =

15.13

n

Paso 4: Se da la Regla de Decisión

1.645

6

Paso 5: Tomar una muestra y llegar a la decisión (1)    N     Ó    I    C    R    O    P    L    O    R   A    P   N    A   O    I    N   C    U   A    A   L    R   B    A   O    P   P    A    B    E    U    R    P

 _  −

 z e

 p

−

0.4967

 p

=

=

 pq

−

0.013

0.3 =

15.13

n

15.13

1.645

7

Paso 5: Tomar una muestra y llegar a la decisión (2)    N     Ó    I •    C    R    O    P    L •    O    R   A    P   N    A   O    I    N   C    U   A    A   L    R   B    A   O    P   P    A    B    E    U    R    P

Como se ve en la gráfica el valor del estadístico cae en la zona de rechazo, por lo tanto no aceptamos la hipótesis nula. En consecuencia hay suficiente evidencia estadística para decir que el porcentaje de votantes a aumentado

• Ejemplo.2. Una encuesta realizada por Bancomer a 35    N clientes indicó que un poco más del 74 por ciento tenían un     Ó    I ingreso familiar de más de $200,000 al año. Si esto es cierto,    C    R el banco desarrollará un paquete especial de servicios para    O este grupo. La administración quiere determinar si el    P    L porcentaje verdadero es mayor del 60 por ciento antes de    O    R   A desarrollar e introducir este nuevo paquete de servicios. Los    P   N resultados mostraron que 74.29 por ciento de los clientes    A   O    I    N   C encuestados reportaron ingresos de $200,000 o más al año. El    U   A nivel de significancia es 5%    A   L    R   B Solución:    A   O Paso 1: Determinación de Hipótesis nula H y alternativa H 0 1    P   P H0: p ≤ 0.6 & H1: p > 0.6 (p: la proporción de clientes con    A    B ingresos familiares anuales de $200,000 o más)    E    U Paso 2: Definir el nivel de significancia    R    P 9 α =5%

   N     Ó    I    C    R    O    P    L    O    R   A    P   N    A   O    I    N   C    U   A    A   L •    R   B •    A   O    P   P    A    B    E    U    R    P

•

Paso 3: Se fijan los estadísticos de trabajo que será el ERROR ESTANDAR

 s  p

 p (1

−

 p )

=

n

 p = proporción especificada en la hipótesis nula. n = tamaño de la muestra

( proporción  _ observada ) − ( proporción _  H 0 )  Y el ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA  z  =  s p

Paso 4: Se da la Regla de Decisión    N     Ó    I    C    R    O    P    L    O    R   A    P   N    A   O    I    N   C    U   A    A   L    R   B    A   O    P   P    A    B    E    U    R    P

1.645

Paso 5: Tomar una muestra y llegar a la decisión (1)    N     Ó    I    C    R    O    P    L    O    R   A    P   N    A   O    I    N   C    U   A    A   L    R   B    A   O    P   P    A    B    E    U    R    P

 s p

=

0.60(1 − 0.60) 35

=

.0828

0.7429 0.60 −

 z 

=

0.0828

=

1.73

1.73

1.645

12

Paso 5: Tomar una muestra y llegar a la decisión (2)    N     Ó    I •    C    R    O    P    L    O    R   A    P   N    A   O    I    N   C    U   A    A   L    R   B    A   O    P   P    A    B    E    U    R    P

La hipótesis nula se rechaza porque el valor de la Z  calculada es mayor que el valor crítico Z . El banco puede concluir con un 95 por ciento de confianza que más de un 60 por ciento de sus clientes tienen ingresos familiares de $200,000 o más. La administración puede introducir el nuevo paquete de servicios orientado a este grupo.

• Ejemplo.3. . Un artículo del New York Times en 1987 reportó

   S que se puede reducir el riesgo de sufrir ataques al corazón    E    N ingiriendo aspirina. Para llegar a esta conclusión el cronista se     Ó    I basó en los resultados de un experimento diseñado, en donde    C    R participaron dos grupos de personas. A un grupo de 11,034    Spersonas se le suministró una dosis diaria de una pastilla que    O    P   E    Lno contenía ninguna droga (un placebo), y de estos 189    O    R   Asufrieron posteriormente ataques corazón, mientras que al otro    P   N grupo de 11,037 se les suministró una aspirina, y sólo 104 lo    O    S   I    Csufrieron. Usando una prueba de hipótesis y un nivel de    O    D   Asignificancia del 1%, considera Usted que el cronista del New    L    A   BYork Times estaba en lo correcto?.    R   O    A   PSolución:    P Paso 1: Determinación de Hipótesis nula H 0 y alternativa H1    A    B H1: p1 – p2 > 0  – H0: p1 – p2 = 0 &    E    U Paso 2: Definir el nivel de significancia 14    R

Paso 3: Se fija el estadístico de trabajo    N     Ó    I    C    R    O    P    L    O    R   A    P   N    A   O    I    N   C    U   A    A   L    R   B    A   O    P   P    A    B    E    U    R    P

− −

 z  =

( p1 −  p2 ) − ( p1 −  p2 )  pq n1

+

 pq n2

Paso 4: Se da la Regla de Decisión

2.33

15

Paso 5: Tomar una muestra y llegar a la decisión (1)    N     Ó    I    C    R    O    P    L    O    R   A    P   N    A   O    I    N   C    U   A    A   L    R   B    A   O    P   P    A    B    E    U    R    P

5.00

2.33

16

   N     Ó    I    C •    R    O    P    L    O    R   A    P   N    A   O    I    N   C    U   A    A   L    R   B    A   O    P   P    A    B    E    U    R    P

Paso 5: Tomar una muestra y llegar a la decisión (2) Como Z = 5.00 > Z0.99 = 2.33 se rechaza la hipótesis nula de que no hay diferencia entre las proporciones de las personas que sufren infarto con relación a la toma o no de la aspirina, y por lo tanto se concluye que el tomar una aspirina diaria reduce las posibilidades de sufrir infarto en el futuro.

PROBLEMAS PROPUESTOS (1)    N     Ó    I • 1 La maqueta del nuevo automóvil propuesto se mostró a    C dos grupos de 150 personas cada uno. Un grupo constó de    R    O personas entre 18 y 25 años de edad, y el otro de personas    P mayores de 50 años. El 80% de los integrantes del grupo    L    O más joven aprobó el modelo, mientras que sólo el 50% del    R   A    P   N grupo mayor en edad lo aprueba. Dentro de un 95% de    O    A   I confiabilidad, ¿puede decirse que ambos grupos tienen    N   C opiniones diferentes?    U   A    A   L • 2 Un profesor de Estadística desea comparar el porcentaje    R   B de aprobados de la sección “A” contra el porcentaje de    A   O    P   P    A    B    E    U    R    P

aprobados de la sección “B”. En la sección “A” se tomó una muestra de 26 estudiantes, de los cuales 16 habían aprobado, de la sección “B” una muestra de 28 estudiantes reveló 25 aprobados. Utilice un 99% de confiabilidad para comprobar si el porcentaje de aprobados de la sección18“B”

PROBLEMAS PROPUESTOS (2)

   S    E    N • 3 El gerente de una red hotelera ha estimado que a    O    I menos que el porcentaje de ocupación de sus hoteles    C sea superior al 65% no obtendrá suficiente margen de    R   S    E ganancia. Se tomó una muestra de 400 huéspedes, de    O    L    P   A los cuales 228 alquilaron habitaciones. El gerente desea    O    N saber si el porcentaje del total de huéspedes superará el    R   O    P   I 65% dentro de un nivel de significación de 0,02.    C    A   A    R   L • 4 El Ministerio del Trabajo ha afirmado que el 40% de las    A   B personas que se retiraron de un empleo antes de los 65    P   O años volverían a trabajar si alguien les ofreciese empleo.    A   P Esta pregunta se hizo a 200 personas en esta condición,    B    E y 64 contestaron en forma afirmativa. ¿Es cierta la    U afirmación del Ministerio, con base a la evidencia    R    P estadística? 19

   S    E    N    O    I    C    R   S    E    O    P   L    A    O    N    R   O    P   I    C    A   A    R   L    A   B    P   O    A   P    B    E    U    R    P

PROBLEMAS PROPUESTOS (3) • 5 Un artículo leído en la prensa nacional afirma que solamente 1 de cada 3 personas que se gradúan en la universidad consiguen empleo. Sin embargo, se preguntó a 215 graduados universitarios si tenían trabajo, y 50 contestaron afirmativamente. ¿Puede decirse que la afirmación de la prensa es correcta? Utilice un nivel de confianza del 90%. • 6 Se desea saber si hay tantos hombres como mujeres al volante en las autopistas, con un nivel de confianza del 99%. Una muestra reveló 170 mujeres y 130 hombres. ¿Qué piensa Ud.? 20

   S    E    N    O    I    C    R   S    E    O    L    P   A    O    N    R   O    P   I    C    A   A    R   L    A   B    P   O    A   P    B    E    U    R    P

PROBLEMAS PROPUESTOS (4) • 7 Una cosecha de maíz se dividió en dos lotes antes de sembrarse. Las del primer grupo fueron rociadas con un líquido que se sospecha que debe reducir el barrenillo del maíz. El otro lote no se sometió a ningún tratamiento. Luego de recogida la cosecha, se tomaron 400 mazorcas del maíz tratado, de las cuales 80 estaban infectadas con el barrenillo. En una muestra de 250 mazorcas sin tratamiento, 75 estaban infectadas. ¿Es menor el porcentaje de infecciones con el tratamiento? 21

PROBLEMAS PROPUESTOS (5) • 8 Una fábrica está probando dos máquinas cortadoras de alta velocidad. Se sospecha que el porcentaje de defectos de ambas máquinas sea el mismo. En la tabla siguiente aparece un resumen de los datos de una muestra de piezas cortadas. Realice una prueba de hipótesis con un nivel de confiabilidad del 94% que permita dilucidar si ambas cortadoras producen el mismo porcentaje de defectos. • Cortadora 1 Cortadora 2

   S    E    N    O    I    C    R   S    E    O    L    P   A    O    N    R   O    P   I    C    A   A    R   L    A   B    P   O    A   P    B • Número de artículos cortados correctamente: 2.320 815    E    U • Número de artículos cortados incorrectamente: 228 89    R    P 22

   S    E    N    O    I    C    R   S    E    O    L    P   A    O    N    R   O    P   I    C    A   A    R   L    A   B    P   O    A   P    B    E    U    R    P

PROBLEMAS PROPUESTOS (6) • 9 En una agencia de viajes por experiencia se conoce que el porcentaje de personas que viajan a Europa es del 44%. Sin embargo, de los primeros 100 pasajeros de este año, 46 han viajado a Europa. ¿Ha cambiado el porcentaje este año?

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