PRUEBA CIRCUITO

UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD ANDRES BELLO DEPARTAMENTO DE CIENCI AS F´ ISICAS

Curso: Curso: FMF 241 Electromagn Electromagnetism etismoo Fecha: 1 de diciembre de 2011.

Prueba Solemne#3

Problema 1 En un planet planetaa de una galaxia galaxia muy muy lejana lejana ... se ha detect detectado ado que el campo campo magn´etico etico en sus polos es generado por tres anillos que est´an an distribuidos a lo largo del planeta portando cada uno una corriente I  corriente  I  tal  tal como muestra la figura. Teniendo en cuenta este modelo calcule: 1. El campo magn´ magn´etico etico de un anillo circular de radio r, que porta una corriente  I  a altura  z  sobre  sobre su eje. (2 p)  I  a una altura z  2. Calcul Calculee la magnit magnitud ud y la direcci´ direcci´ on on del campo magn´etico etico del planeta,  justo en su polo norte y en su polo sur. (2 p) 3. La direcci´ direcci´ on on y magn m agnitud itud de la fuerza fuer za magn´ ma gn´etica etic a que qu e siente sie nte una un a part par t´ıcula ıcu la de carga q  carga  q  al  al pasar justo por el polo norte, si esta viaja con velocidad v  de izquierda a derecha perpendicular al eje del planeta. (1 p) 4. Un robot explorador explorador de una civilizaci´ civilizaci´on on avanzada se posa justo en el polo sur del planeta. El robot tiene una antena vertical de longitud  L,  L , por la cual circula una corriente  I .  I . La antena queda paralela al eje del planeta. ¿ que fuerza ejerce el campo camp o magn´etico etico sobre ella?. ( 1 p) Soluci´ on  Para calcular el campo producido por una espira circular de radio on

altura  h  de su eje empleamos la integraci´on on empleando Biot-Savart r  a una altura h   = µ0 B 4π

  I d l × ( (r − r ) 



|r − r |3 

(1)

suponiendo la corriente en la direcci´on on de las manecillas el reloj y teniendo en cuenta la simetria de la espira tenemos que el campo camp o magn´etico etico esta dado por µ0 2π I R2 dφ    ˆ (2) B= z  z  4π 0 (z 2 + R2 )3/2 

 

1

I 

R1

h

I 

R

h

I 

quedando finalmente   = B

R1

µ0 IR2  ˆ z  2(z 2 + R2 )3/2

(3)

Para calcular el campo en cada uno de los polos basta con sumar de forma correcta el campo producido por cada espira. Veamos para el campo en el polo norte tenemos  n  = B

µ0 IR12 µ0 IR12 + − 2R 2((R + h)2 + R12 )3/2 2((R − h)2 + R12 )3/2

 µ I  0



zˆ 

(4)



zˆ 

(5)

para el polo sur tenemos  s  = B

µ0 IR12 µ0 IR12 + − 2R 2((R − h)2 + R12 )3/2 2((R + h)2 + R12)3/2

 µ I  0

Para una part´ıcula cargada que se nueve con velocidad v cuando pasa justo por el polo norte la fuerza que siente esta dada por F  = qvB

(6)

que esta apuntando hacia afuera de la hoja. Para el caso de la antena la fuerza es 0, puesto que la corriente y el campo son paralelos 2

Problema 2 Un truco de magia consiste en conectar una ampolleta a un anillo conductor, aislarlo de todo otro material y hacer que la ampolleta se encienda. Para esto, el mago ha construido un solenoide cil´ındrico grande, con su eje de simetr´ıa en posici´on horizontal y perpendicular al plano del anillo, y hace circular una corriente I por el solenoide. Si el solenoide es largo comparado con su radio, tiene n espiras por unidad de largo y un radio  b y el anillo est´a ubicado en el centro y tiene radio  a, calcule: 1. El campo magn´etico dentro del solenoide. (1 p) 2. La inductancia mutua entre el anillo y el solenoide. (0.5 p) 3. El flujo magn´etico Φ a trav´es del anillo.(0.5 p) 4. Conteste: Cu´ al/es de las siguientes acciones har´ıa que la ampolleta se prenda: a) mover el anillo de un lado al otro (hacia derecha o izquierda en el plano de la hoja), b) mover el anillo hacia adelante o atr´as (entrando o saliendo del plano de la ho ja), c) girar el anillo cont´ınuamente en torno a un eje vertical. Justifique cada respuesta. (3 p) 5. Si el anillo se mantiene en reposo pero se var´ıa la corriente I   por el solenoide de modo que I (t) = I o sin ωt, calcule la fem inducida en el anillo. (1 p)

%&' (')*+!,

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3

Soluci´ on

1) El campo del solenoide recto solo puede estar en la direcci´on paralela al eje, que llamamos zˆ  . Usando una espira amperiana rectangular con dos lados paralelos a zˆ  y los otros dos perpendiculares, se encuentra que B(r1 ) = B(r2 ) si r 1  > b, r2  > b y si se alejan infinitamente del solenoide el campo debe caer a 0, y por lo tanto es 0 en todo el espacio exterior. Tambi´en B(r1 ) = B(r2 ) si r 1  < b, r2  < b, por lo tanto el campo en el interior es uniforme. Si se pone   r1  < b, r2  > b se encuentra que B = µ z  en el interior del solenoide. o nI ˆ 2) Haciendo circular una corriente I  por el solenoide, su campo interior   es B = nI ˆ z . El flujo magn´etico es Φ=

   

B · da

(7)

Como el plano del anillo es perpendicular a ˆz ,  da  = daˆ z  resulta Φ = µ o nIπa2 de donde se identifica la inductancia mutua M  = µ o nπa2 . 3) El flujo por el anillo es Φ =  M I  = µ o nIπa2 .   es unifomre dentro del 4) a) No se prende la ampolleta porque como B solenoide y la orientaci´on relativa entre el anillo y el campo no cambia, el flujo magn´etico a trav´es del anillo no cambia al moverlo de un lado a otro, por lo que no aparece una fem inducida. b) Igual que a). c) En este caso la orientaci´on relativa del anillo y el campo si cambia, si el anillo gira en un ´angulo θ  en torno a un eje vertical,  da  = sin θˆ r  + cos θˆ z ,   · da = B cos θ, donde θ   cambia en el tiempo. Por lo tanto con lo que B  = −dΦ/dt es distinto de 0 y circula corriente que prende la ampolleta. 5) Φ = M I  = µ o nIπa2 ,  = −dΦ/dt = −µo nπa2 dI/dt = −µo nπa2 I o ω cos ωt.

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