prsten i polje

Arsiã Miodrag 53/08

Prsten i Polje Uvod Algebarska struktura je ureðeni par (ö, F), gde je ö skup elemenata, a F skup operacija u skupu elemenata ö. Algebarska struktura koja se sastoji od jednog skupa elemenata i jedne operacije (G,○), naziva se grupoid. Grupoid èija je operacija asocijativna naziva se asocijativni grupoid ili semigrupa. Ako je (G,○) grupoid sa osobinama: 1) Asocijacije 2) (  e  G)(  a  G) e ○ a = a ○ e = a (tj. postoji neutralni element) 3) (  a  G)(  a-1 G) a-1○ a = a ○ a-1 = e (tj. postoji inverzni element) 4) i ako je ○ komutativna operacija tada se algebarska struktura (G,○) naziva Abelova (komutativna) grupa.

Definicije Neka su u skupu S definisane dve binarne operacije, + i * sa osobinama: 1) (S, +) je Abelova grupa 2) (S, *) je semigrupa 3) (  x,y,z S) x * (y+z) = (x*y) + (x*z) (  x,y,z S) (x+y) * z = (x*z) + (y*z) (tj. važi distributivnost) tada se struktura (S, +, *) naziva prsten. Primeri:  (Z, +, *) skup celih brojeva gde je definisano sabiranje i množenje je prsten  Skup svih realnih polinoma je prsten

1

Komutativni prsten je prsten kod koga je operacija * komutativna. Prsten sa jedinicom je onaj prsten kod koga operacija * ima neutralni element. Neka je (S, +, *) prsten i a  S. Ako postoji b  S tako da je a * b = 0 (nula prstena), tada se a naziva levi delilac nule prstena (S, +, *). Analogno se definiše desni delilac nule. Primer: S = {0,1,2,3,4,5};

(S, +, *), + i * po modulu 61;

2*3=0

Prsten bez delilaca nule naziva se oblast celih (integralni domen). Primer: S = {0,1,2};

(S, +, *)

nema delilaca nule

Neka su u skupu S definisane dve binarne operacije, + i *, sa osobinama: 1) (S, +) je Abelova grupa 2) (S\ {0}, *) je grupa 3) Važi leva i desna distributivnost tada se algebarska struktura (S, +, *) naziva telo.

Neka su u skupu S definisane dve binarne operacije, + i *, sa osobinama: 1) (S, +) je Abelova grupa 2) (S, *) je Abelova grupa 3) Važi leva i desna distributivnost tada se algebarska struktura (S, +, *) naziva polje. Primer: S = {0,1,2,......, p-1}, p je prost broj (S, +, *) jeste polje ako su operacije + i * po modulu p

1

Sabiranje i množenje po modulu p, podrazumeva da se dva broja prvo saberu ili pomnože a zatim izraèuna ostatak pri deljenju sa brojem p.

2

Teoreme U prstenu (S, +, *) važi: (  x  S) x * 0 = 0 * x = 0. Dokaz: x * 0  x * (0  0)  x * 0  x * 0  x * 0  0

0 * x  (0  0) * x  0 * x  0 * x  0 * x  0

Ako je: 1) (S, +) je Abelova grupa 2) (S, *) je komutativna semigrupa 3) vazi leva (ili desna) distributivnost (napomena: ne važe obe distributivnosti, veã samo jedna) tada je struktura (S, +, *) prsten. Dokaz: Na osnovu komutativnosti koja proistièe iz taèke 2, lako možemo iz leve distributivnosti da dokažemo desnu i obratno. U prstenu (S, +, *) gde (  x,y S) važi: -(x * y) = (-x) * y = x * (-y) Prsten sa jedinicom u kome su svi elementi razlièiti od nule invertibilni, jeste telo. Dokaz: a, b  0

a*b  0

a 1 * ( a * b)  ( a 1 * a ) * b  c * b  b  0 a 1 ( a * b)  a 1 * 0  0

3