Proyecto Vaciado de Un Recipiente

ANÁLISIS DE TIEMPO Y VACIADO DE UN RECIPIENTE

Grupo: 3 “D” Pérez Flores Mileydi Pineda Flores Nayeli Rosas Valencia Cristian Rosas Cano Misael Alejandro

Universidad Politécnica de Tlaxcala Ecuaciones Diferenciales 30 de Mayo de 2019.

Objetivo. •

Realizar el análisis de los tiempos contra la rapidez de salida durante el vaciado de un recipiente aplicando el Teorema de Torricelli.

Determinar el tiempo que tarda en demorarse en vaciarse un tanque cilíndrico.

Ecuaciones diferenciales Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes respecto a una o más variables independientes.Se llama ecuación diferencial ordinaria (E. D. O.) a una ecuación diferencial en la que aparecen derivadas ordinarias de una o más variables dependientes respecto a una única variable independiente. Se llama ecuación diferencial en derivadas parciales (E. D. P.) a una ecuación diferencialen la que aparecen derivadas parciales de una o más variables dependientes respecto a más de una variable independiente. Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) Muchas de las leyes generales de la naturaleza encuentran su expresiónmás natural en el lenguajede las ecuaciones diferenciales. También tienen múltiples aplicaciones en Geometría, Ingeniería, Economía y muchos otros campos de las Ciencias Aplicadas. Se denomina orden de una ecuación diferencial al orden de la derivada más alta entre todaslas que figuran en dicha ecuación.

Una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n en la variable dependiente y en la variable Independiente x es una ecuación que puede expresarse de la forma:

Donde a0(x) es una función no idénticamente nula.

Es una E. D. O. lineal de orden 3 y coeficientes constantes.

Es una E. D. O. lineal de orden 2 y coeficientes variables.

xex d 4 y dx4 = 25 x 3 es una E. D. O. lineal de orden 4 y coeficientes variables.

( d 2 y dx2 )2 + 5y dy dx = x es una E. D. O. no lineal de orden 2.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad: Según su tipo distinguimos entre: • Ecuaciones diferenciales ordinarias: estas ecuaciones contienen

únicamente

derivadasordinarias respecto a una sola variable independiente. • Ecuaciones en derivadas parciales: contienen derivadas parciales respecto de dos o más variables independientes. DEF. Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la derivada superior que intervieneen la ecuación.

DEF. Si F es un polinomio, se define grado de la ecuaci´on diferencial como el grado de y(x) ysus derivadas. 3. Ecuaciones lineales DEF. Se dice que una ecuación diferencial yn) = f(x, y, y0, · · · , yn−1)) es lineal cuando f es una función lineal de y, y0, ..., yn−1) . Se puede escribir: an(x)yn) + an−1(x)yn−1) + · · · + a1(x)y0 + a0(x)y = g(x) Se trata de una ecuación diferencial de grado 1 en y y en todas sus derivadas. Cada coeficiente solo depende de x.

Teorema de Torricelli

Es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. “La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio”. Matemáticamente:

Donde: \ V_t es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio \ v_0 es la velocidad de aproximación o inicial.

\ h es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio. \ g es la aceleración de la gravedad

Para velocidades de aproximación bajas, la mayoría de los casos, la expresión anterior se transforma en:

USOS SE USA MAS QUE TODO PARA CALCULAR LA VELOCIDAD DE UN FLUIDO QUE SALE POR UN PEQUEÑO ORIFICIO DEL RECIPIENTE QUE LO CONTIENE, O DE CUALQUIER COMPONENTE DE ESTA

Donde:

\ Vr es la velocidad real media del líquido a la salida del orificio \ Cv es el coeficiente de velocidad. Para cálculos preliminares en aberturas de pared delgada puede admitirse 0,95 en el caso más desfavorable.

Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad del fluido y otros factores tales como la tensión superficial, de ahí el significado de este coeficiente de velocidad. Ejemplo:

Un depósito cilíndrico, de sección S1 tiene un orificio muy pequeño en el fondo de sección S2 mucho más pequeña que S1. Aplicamos el teorema de Bernoulli a los puntos (1) y (2) situados en la superficie libre del fluido y en el centro del orificio inferior. p1+ρgy1+12ρv21=p2+ρgy2+12ρv22p1+ρ gy1+12ρ v12=p2+ρ gy2+12ρ v22 Suponiendo que la velocidad del fluido en la sección mayor S1es despreciable v1≈ 0 comparada con la velocidad del fluido v2en la sección menor S2. Por otra parte, el elemento de fluido delimitado por las secciones S1 y S2 está en contacto con el aire a la misma presión. Luego, p1=p2=p0. La diferencia de alturas es y1-y2=h. Siendo h la altura de la columna de fluido Con estos datos la ecuación de Bernoulli se escribe

gh=12v22v2=√ 2gh Velocidad de salida de un depósito

Un tanque cerrado contiene un líquido de densidad ρ, y tiene un orificio lateral a una distancia y1 del fondo. El diámetro del orificio es pequeño en comparación con el diámetro del tanque. El aire del interior del tanque que está encima del líquido se encuentra a una presión p. Considera que se trata de un flujo laminar sin fricción. 1. Demuestra que la velocidad a la que el fluido sale por el orificio cuando la superficie del líquido está a una altura h respecto a él es

2.

Considera el caso p = p0. Calcula la distancia a la que llega el agua que sale del orificio en función de y2 y h. Supongamos que podemos variar la altura del orificio. Para un valor fijo de y2, ¿qué valor de h hace máxima la distancia que alcanza el chorro?

El principio de Bernoulli estable que para dos puntos situados en la misma línea de corriente

Consideremos entonces un punto “2” situado en la superficie superior del líquido y un punto “1” en el orificio, de forma que el líquido se mueve desde uno hacia el otro. En este caso, la relación anterior da

Para el punto 2 la presión es p, la del gas que se encuentra en la cámara superior, la altura respecto al fondo es y2 y la velocidad es la de descenso del nivel del depósito. Si suponemos que esta es muy pequeña, porque el tanque tiene una sección grande y el orificio es pequeño, podemos despreciarla. Para el punto 1 la presión es la atmosférica, p0, la altura es y1 y la velocidad es v, la de salida. Sustituyendo queda

Despejando

Alcance del chorro Si la presión en la parte superior del líquido es la atmosférica (por ejemplo, porque el depósito no tiene tapa), la expresión anterior se reduce a

Una vez que sale del depósito, el líquido sigue una trayectoria parabólica, en la que la posición inicial tiene una altura y1 y una velocidad horizontal v. A partir de ahí, la trayectoria del chorro es

El líquido llega al suelo cuando y = 0, lo que ocurre en el instante

y el alcance del chorro lo da el valor de x en este instante

Sustituyendo el valor de la velocidad de salida

Para qué altura es máximo el alcance, Eliminamos la raíz, elevando al cuadrado

El máximo se da cuando

Es decir, cuando el orificio está a media altura del depósito. El alcance máximo es

Igual al nivel del líquido en el depósito.

Caída libre De entre todos los movimientos rectilíneos uniformemente acelerados (m.r.u.a.) o movimientos rectilíneos uniformemente variados (m.r.u.v.) que se dan en la naturaleza, existen dos de particular interés: la caída libre y el lanzamiento vertical. En este apartado estudiaremos la caída libre. Ambos se rigen por las ecuaciones propias de los movimientos rectilíneos uniformemente acelerados (m.r.u.a.) o movimientos rectilíneos uniformemente variados (m.r.u.v.):

En

la caídalibre un

objeto

verticalmente

desde cierta altura H despreciando

cualquier tipo

de rozamiento con el aire o

cualquier otro

obstáculo.

un movimiento

rectilíneo

acelerado

(m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo

uniformemente

variado

Se

trata

cae

de

uniformemente (m.r.u.v.)

en

el

que laaceleración coincide con el valor de la gravedad. En la superficie de la Tierra, la aceleración de la gravedad se puede considerar constante, dirigida hacia abajo, se designa por la letra g y su valor es de 9'8m/s2 (a veces se aproxima por 10 m/s2). Para estudiar el movimiento de caídalibre normalmente utilizaremos un sistema de referencia cuyo origen de coordenadas se encuentra en el pie de la vertical del punto desde el que soltamos el cuerpo y consideraremos el sentidopositivodeleje yapuntandohaciaarriba, tal y como puede verse en la figura:

Con todo esto nos quedaría:

La caída libre es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.) en el que se deja caer un cuerpo

verticalmente desde cierta altura y no encuentra resistencia alguna en su camino. Las ecuaciones de la caída libre son:

Donde: 

y: La posición final del cuerpo. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m)



v: La velocidad final del cuerpo. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m/s)



a: La aceleración del cuerpo durante el movimiento. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo al cuadrado(m/s2).



t: Intervalo de tiempo durante el cual se produce el movimiento. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el segundo (s).



H: La altura desde la que se deja caer el cuerpo. Se trata de una medida de longitud y por tanto se mide en metros.



g: El valor de la aceleracióndelagravedad que, en la superficie terrestre puede considerarse igual a 9.8 m/s.

Tipos de derivadas Derivada en un punto:

La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Interpretación geométrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la rectasecante tiende a ser la rectatangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo αtiende aserβ .

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto. m t = f'(a)Der ivadas de funciones Derivada de funciones La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada , si existe. Se expresa por f'(x).

Concepto de trabajo Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.

dW=→F⋅→dr=Fdscosθ=FtdsdW=F→·dr→=Fdscosθ=Ftds

Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el módulo del vector desplazamiento →drdr→ , y θ el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento.

El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos infinitesimales W=B∫A→F⋅→dr=B∫AFtdsW=∫ABF→·dr→=∫ABFtds Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la función que relaciona la componente tangencial de la fuerza Ft, y el desplazamiento s. Ejemplo: Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del muelle es 1000 N/m.

La fuerza necesaria para deformar un muelle es F=1000·x N, donde x es la deformación. El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integral W=0.05∫01000x⋅dx=1000x22∣∣∣0.050=10000.0522=1.25JW=∫00.051000x·dx=1000x22| 00.05=10000.0522=1.25 J El área del triángulo de la figura es (0.05·50)/2=1.25 J Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento por el desplazamiento. W=Ft·s

Ejemplo: Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.



Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo



Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es negativo



Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.

Concepto de energía cinética Supongamos que →FF→ es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula. W=B∫A→F⋅→dr=B∫AFtds=B∫Amatds=B∫Amdvdtds=B∫Amdsdtdv=B∫Amvdv=12mv2B−1 2mv2AW=∫ABF→·dr→=∫ABFtds=∫ABmatds=∫ABmdvdtds=∫ABmdsdtdv=∫ABmvdv=12m vB2−12mvA2

En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial. El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula modifica su energía cinética. En la segunda línea, la aceleración tangencial ates igual a la derivada del módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil. La energía cinética es la expresión Ek=12mv2Ek=12mv2

Ejemplo: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante de F=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g. El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J La velocidad final v es −126=120.015v2−120.015⋅4502v=431m/s−126=120.015v2−120.015·4502  v=431 m/s Fuerza conservativa. Energía potencial El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto A al punto B. Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y final de una función que solo depende de las coordenadas. A dicha función se le denomina energía potencial. B∫A→F⋅→dr=EpA−EpBEp=Ep(x,y,z)∫ABF→·dr→=EpA−EpB  Ep=Ep(x,y,z)

El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero. ∮→F⋅→dr=0∮F→·dr→=0 Ejemplo:

Sobre una partícula actúa la fuerza →F=2xyˆi+x2ˆjF→=2xyi^+x2j^ N Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA. 

La curva AB es el tramo de parábola y=x2/3.



BC es el segmento de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3) y



CA es la porción del eje Y que va desde el origen al punto (0,1)

El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento

dW=→F⋅→dr=(Fxˆi+Fyˆj)(dx⋅ˆi+dy⋅ˆj)=Fxdx+FydydW=F→·dr→=(Fxi^+Fyj^) (dx·i^+dy·j^)=Fxdx+Fydy Las variables x e y se relacionan a través de la ecuación de la trayectoria y=f(x), y los desplazamientos infinitesimales dx y dyse relacionan a través de la interpretación

geométrica de la derivada dy=f’(x)·dx. Donde f’(x) quiere decir, derivada de la función f(x) con respecto a x. Vamos a calcular el trabajo en cada unos de los tramos y el trabajo total en el camino cerrado. 

Tramo AB Trayectoria y=x2/3, dy=(2/3)x·dx. dW=Fxdx+Fydy=2xx23dx+x223xdx=43x3dxWAB=3∫043x3dx=27JdW=Fxdx+Fyd y=2xx23dx+x223xdx=43x3dxWAB=∫0343x3dx=27 J



Tramo BC La trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata de una recta de pendiente 2/3 y cuya ordenada en el origen es 1. y=(2/3)x+1, dy=(2/3)·dx dW=Fxdx+Fydy=2x(23x+1)dx+x223dx=(2x2+2x)dxWBC=0∫3(2x2+2x)dx=−27Jd W=Fxdx+Fydy=2x(23x+1)dx+x223dx=(2x2+2x)dxWBC=∫30(2x2+2x)dx=−27 J



Tramo CD La trayectoria es la recta x=0, dx=0, La fuerza →F=0F→=0 y por tanto, el trabajo WCA=0



El trabajo total WABCA=WAB+WBC+WCA=27+(-27)+0=0

El peso es una fuerza conservativa: Calculemos el trabajo de la fuerza peso →F=−mgˆjF→=−mgj^ cuando el cuerpo se desplaza desde la posición A cuya ordenada es yA hasta la posición B cuya ordenada es yB.

B∫A→F⋅→dr=B∫A(−mgˆj)⋅(dx⋅ˆi+dy⋅ˆj)=B∫A−mgdy=mgyA−mgyB∫ABF→·dr→=∫AB(−m gj^)⋅(dx·i^+dy·j^)=∫AB−mgdy=mgyA−mgyB La energía potencial correspondiente a la fuerza conservativa peso tiene la formaEp=mgy. Donde y es la altura Ep=mgy+cEp=mgy+c Donde c es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la energía potencial. Metodología de la investigación En la presente investigación se realizó diferentes pasos para sacar los resultados obtenidos; dichos pasos son los siguientes: 1. Se llevó a cabo la obtención de conceptos base que permitieron la estructuración de la investigación, por lo cual se investigaron conceptos como: ecuaciones Diferenciales, tipos de Ecuaciones Diferenciales, Teorema de Torricelli, Caída Libre, Derivadas. 2. Recolección de materiales. Se seleccionó un recipiente cilíndrico, una pelota yuna llave para conectarla al recipiente que pueda permitir la salida de agua controlada 3. Se perforo el recipiente,después se conecto la llave al garrafón para permitir la salida del agua, posteriormente este recipiente se lleno de agua y se coloco la pelota dentro.El garrafón se coloco en un lugar estable donde pudiera caer el agua.

4. Siguiendo las indicaciones de la actividad del docente se realizó un video en el cual se dejaría salir el agua del garrafón hasta que este se vaciara.

5. Posteriormente se realizó la obtención de puntos en el software Logger Pro.

6. Después se realizó un tabla que contiene el tiempo en segundos correspondientes al eje “x” y que contenga la cantidad de agua que fluye en el eje “y”.

7. Graficación de la tabulación con la herramienta de análisis de datos del software Excel y se encontró la función que representa el comportamiento de los datos obtenidos en el registro del vaciado de agua de el garrafón.

8. Realización de una conclusión acerca del análisis realizado sobre el comportamiento observado en el vaciado del garrafón.

Desarrollo y Procedimiento: 1. Se recopiló el material necesario para la elaboración del proyecto. En este caso lo que se realizo fue la recopilación de un garrafón, una llave de pase para agua y una pelota pequeña. 2. Se selecciono el espacio de trabajo donde se grabaría pues al colocar la pelota dentro del recipiente en algunos ángulos y/o lugares contestaba el sol, no permitiendo ver con claridad la pelota. 3. Para grabar se selecciono el celular con el que se tomaría evidencia de cómo fue bajando el nivel del agua, hasta llegar al tope.

4.

Al obtener los puntos del tiempo contra volumen en el software Logger Pro se podrá obtener cuánto tiempo en minutos se tardoen llegar al vaciado, se tabularon los datos correspondientes en una tabla.

5. Después se gráfico los valores en el software Excel, dando opción a la herramienta análisis de datos y encontrando su función correspondiente.

Vaciado de un recipiente 0 -50 0

100

200

300

400

500

600

Y

-100 -150 -200 -250 -300 Variable X 1

y = 0.0008x2 - 0.8756x - 3.1103

Análisis y Discusión: A partir de lo realizado en la práctica se puede observar que a través de los conocimientos y los cálculos realizados el tiempo que se demora en vaciarse es el siguiente:

“FORMA EXPERIMENTAL”

Conclusiones Se

logro

analizar

la

determinación de descarga de agua

de

un

tanque cilíndrico, realizando los cálculos las ecuaciones quedan de la siguiente manera : √0.240095= √2g

à

0.489994= 4.427188

Al comparar las dos ecuaciones se observa que no hay igualdad y este se presenta debido al orificio que presento el recipiente al vaciarse, lo que influye en la velocidad con la que el agua sale.

Sugerencias Mecánica de fluidos parte de la física que se ocupa de la acción de los fluidos en reposo o en movimiento, así como de las aplicaciones y mecanismos de ingeniería que utilizan fluidos.

Referencias Bibliográficas Arturo . (2003). Introducción Ecuaciones Diferenciales . 2003, de Caminos Sitio web: http://caminos.udc.es/info/asignaturas/obras_publicas/203/pdfs/introduc_edo.pdf

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